• Название:

    мат


  • Размер: 0.03 Мб
  • Формат: RTF
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

    Осталось ждать: 10 сек.

Установите безопасный браузер



Предпросмотр документа

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

Основные математические понятия, факты, формулы

и теоремы, арифметика, алгебра и начала анализа

Понятие множества, равенство множеств. Операции объеди-

нения, пересечения и разности множеств. Перечисление элементов в

простейших конечных множествах.

Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель,

кратное. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.

Целые числа (Z). Рациональные числа (Q). Сумма, разность,

произведение, частное. Сравнение рациональных чисел.

Действительные числа (R), их представление в виде десятич-

ных дробей. Сравнение действительных чисел. Свойства числовых

неравенств. Примеры иррациональных чисел.

Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа,

его геометрический смысл.

Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы

сокращенного умножения.

Степень с натуральным и рациональным показателем. Ариф-

метический корень.

Логарифмы и их свойства.

Одночлен и многочлен. Многочлен с одной переменной. Корни

многочлена. Разложение многочлена на множители.

Определение функции, аргумент функции. Способы зада-

ния функции. Область определения. Множество значений функции.

График функции. Возрастание и убывание функции, периодичность,

четность, нечетность.

Определения, графики и основные свойства элементарных

функций:

– линейной у = ах + b;

– квадратичной у = ах2

+ bх + c;

– степенной у = ахn

, nN;

– обратной пропорциональности

(гиперболы) у = k/х;

– дробно-линейной у = (ах + b)/(cx + d);

– показательной у = аx

, a>0;

– логарифмической у = loga

x;

– модуля у = |х|;

– тригонометрических функций у = sinx, у = cosx, у = tgx,

у = ctgx;

7

– обратных тригонометрических функций

y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx;

– арифметического корня у = х.

Зависимости между тригонометрическими функциями одного

и того же аргумента.

Уравнение. Решения (корни) уравнения. Понятие о равносиль-

ных (эквивалентных) уравнениях. Формулы корней квадратного урав-

нения. Теорема Виета. Решения простейших тригонометрических

уравнений у = sinx, у = cosx, у = tgx, у = ctgx.

Неравенства. Решения неравенства. Понятие о равносильных

(эквивалентных) неравенствах.

Системы уравнений и неравенств. Решения систем.

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-ого

члена и суммы первых n членов прогрессии. Среднее арифметическое

и среднее геометрическое, соотношение между ними.

Синус, косинус, тангенс и котангенс суммы и разности двух ар-

гументов, двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.

Преобразование в произведение сумм sina ± sinb; cosa ± cosb; tga ± tgb;

ctga ± ctgb и произведений cosa cosb; sina sinb; sina cosb в суммы.

Понятие производной, ее геометрический смысл. Уравнение

касательной к графику функции. Производные суммы, разности, про-

изведения, частного двух функций. Производная сложной функции.

Производные функций:

у = ха

, аr; у = ах

, а>0; у = loga x;

у = cosx; у = sinx; у = tgx; у = ctg x.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции на про-

межутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экс-

тремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке.

Геометрия

Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, вели-

чина угла. Вертикальные и смежные углы. Параллельные прямые.

Признаки параллельности прямых.

Примеры преобразований фигур на плоскости, виды симметрии.

Преобразование подобия и его свойства. Подобные фигуры. Отношение

площадей подобных фигур. Признаки подобия треугольников.

Векторы. Сумма и разность векторов. Произведение вектора и

действительного числа. Расстояние между двумя точками на коорди-

натной плоскости.

8

Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника.

Медиана, биссектриса, высота. Сумма углов треугольника. Внешний

угол. Средняя линия. Виды треугольников. Соотношения между сто-

ронами и углами прямоугольного треугольника. Пропорциональность

отрезков в прямоугольном треугольнике. Теорема синусов, теорема

косинусов. Свойства равнобедренного треугольника. Свойства то-

чек, равноудаленных от концов отрезка. Свойство биссектрисы угла.

Соотношение отрезков, на которые биссектриса делит противополож-

ную сторону. Формулы площади треугольника.

Четырехугольники: параллелограмм, трапеция. Признаки па-

раллелограмма, свойства параллелограмма, свойства трапеции.

Формулы площади прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадра-

та, трапеции.

Многоугольник. Его вершины, стороны, диагонали. Сумма вну-

тренних углов выпуклого многоугольника.

Окружность и круг. Уравнение окружности. Центр, хорда, диа-

метр, радиус. Дуга окружности. Сектор. Сегмент. Окружность, опи-

санная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник.

Длина окружности и длина дуги окружности. Центральные и вписан-

ные углы, их измерения. Равенство произведений отрезков двух пере-

секающихся хорд. Окружность, описанная около четырехугольника.

Радианная мера угла. Площадь круга, сектора сегмента.

Касательная к окружности и ее свойства. Равенство касатель-

ных, проведенных из одной точки. Равенство квадрата касательной

произведению секущей и ее внешней части.

Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости. Приз-

нак параллельности плоскостей.

Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Общий перпен-

дикуляр к двум скрещивающимся прямым. Признак параллельности

прямой и плоскости.

Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпен-

дикулярность двух плоскостей. Признак перпендикулярности двух

плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.

Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Парал-

лелепипед. Призма. Пирамида. Формулы площади поверхности и

объема параллелепипеда, призмы, пирамиды.

Цилиндр. Конус. Формулы площади поверхности и объема ци-

линдра, конуса.

Сфера. Шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Формулы

объема шара и площади сферы.

9

Основные умения и навыки

Экзаменующийся должен уметь:

– производить без калькулятора арифметические действия над чис-

лами, заданными в виде десятичных и обыкновенных дробей;

сравнивать числа;

– проводить тождественные преобразования числовых выражений и

выражений с переменными;

– задавать области определения и области значений функций.

Перечислять элементы в конечных множествах;

– строить на координатной плоскости графики линейной, квадра-

тичной, степенной, показательной, гиперболической, логарифми-

ческой и тригонометрических функций, а также множества точек,

заданные уравнениями и неравенствами;

– решать уравнения и неравенства первой и второй степени и при-

водящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств пер-

вой и второй степени и приводящиеся к ним. Сюда, в частности,

относятся уравнения и неравенства, содержащие степенные, по-

казательные, логарифмические и тригонометрические функции, а

также уравнения и неравенства с параметрами;

– решать задачи на составление уравнений, неравенств и систем

уравнений и неравенств;

– изображать геометрические фигуры и производить простейшие

построения на плоскости;

– использовать геометрические представления при решении алге-

браических задач, а методы алгебры и тригонометрии – при реше-

нии геометрических задач;

– производить на плоскости операции над векторами (сложение и

вычитание векторов, умножение вектора на число) и пользоваться

свойствами этих операций;

– пользоваться понятием производной при исследовании функций

на возрастание (убывание), на экстремумы и при построении гра-

фиков функций;

– доказывать математические утверждения. Опровергать неправиль-

ные математические утверждения. Различать необходимые и до-

статочные условия в математических утверждениях;

– излагать и оформлять решения логически правильно и последова-

тельно, с необходимыми пояснениями каждого этапа.