• Название:

    Итерационные методы решения СЛАУ — презентация

  • Размер: 0.23 Мб
  • Формат: PPT
  • или
(1) - сходящийся итерационный процесс Итерационные методы решения СЛАУ 1. точность начальное приближение -выход. 2. 3. 4. Реализация (4) Алгоритм:
Необходимым и достаточным условием сходимости итерационного процесса (4) при любом начальном приближении является требование, чтобы все собственные числа матрицы В по модулю были меньше 1, т.е. (5) Определение.
Число называется собственным числом матрицы В, такое, что называется собственным вектором матрицы В, соответствующим числу определение собственного числа (7) если существует Теорема Пусть , тогда при любом начальном приближении итерационный процесс сходится к единственному решению системы и при этом справедливы оценки:
Замечание.
Аналогичные оценки имеют место для метода простых итераций (1) Теорема Если дифференцируема и при этом выполняются условия что то итерационный процесс и при этом выполняются оценки Теорема Конкретные представители итерационных методов решения СЛАУ (1) Метод Якоби идет до тех пор пока не выполнится Итерационный процесс строится на основании (2) из (1) выражаем по формуле (2) и итерационный процесс строится идет до тех пор пока не выполнится (4) или его аналог (5) следующим образом:
Метод Зейделя Матричная запись методов Якоби и Зейделя Убедимся что (10) сходится к решению Итерационный процесс (3) в матричном виде Матричная запись метода Зейделя Покажем что (13) или (14) сходится к решению (11) 1. Достаточное условие Если матрица А имеет диагональное преобладание, то метод Якоби сходится. отметим для доказательства Условия сходимости метода Якоби 2. Необходимое и достаточное условие Для того, чтобы итерационный процесс сходился, необходимо и достаточно чтобы все корни уравнения Доказательство:
Для того, чтобы итерационный процесс сходился, необходимо и достаточно чтобы все корни уравнения Доказательство:
Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя Система называется нормальной, если матрица А симметрическая и положительно определенная.
Теорема Для нормальных систем метод Зейделя сходится всегда.
Замечание.
Если матрица А имеет диагональное преобладание,То метод Зейделя сходится и скорость сходимости выше чем у метода Якоби.
Получение нормальной системы Метод Зейделя для нормальных систем