• Название:

    Geometry 9 m ukr

  • Размер: 2.82 Мб
  • Формат: PDF
  • или

    А. Г. Мерзляк
    В. Б. Полонський
    М. С. Якір

    ГЕОМЕТРІЯ
    Підручник для 9 класу
    з поглибленим вивченням математики

    Рекомендовано
    Міністерством освіти і науки України

    Харків
    «Гімназія»
    2009

    УДК 373:512
    ББК 22.151я721
    М52

    Рекомендовано
    Міністерством освіти і науки України
    (Лист від 19.06.2009 р. № 1/11-4351)

    Відповідальний за випуск
    Головний спеціаліст Міністерства освіти і науки України
    Н. С. Прокопенко

    М52

    Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С.
    Геометрія: Підруч. для 9 кл. шкіл з поглибл. вивченням
    математики.— Х.: Гімназія, 2009.— 272 с.: іл.
    ISBN 978-966-474-060-6.
    УДК 373:512
    ББК 22.151я721

    ISBN 978-966-474-060-6

    © А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський,
    М. С. Якір, 2009
    © C. Е. Кулинич, художнє
    оформлення, 2009
    © ТОВ ТО «Гімназія»,
    оригінал-макет, 2009

    Від авторів

    Любі дев’ятикласники!
    Ми маємо надію, що ви не розчарувалися, обравши не­
    легкий шлях навчатися в математичному класі. У цьому
    навчальному році ви продовжите вивчати математику за
    поглибленою програмою. Ми сподіваємося, що цьому спри­
    ятиме підручник, який ви тримаєте.
    Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою.
    Підручник розділено на сім параграфів, кожний з яких
    складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний
    матеріал. Особливу увагу звертайте на текст, виділений
    жирним шрифтом. Також не залишайте поза увагою слова,
    надруковані курсивом.
    Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершуєть­
    ся прикладами розв’язування задач. Ці записи можна
    розглядати як один з  можливих зразків оформлення
    розв’язання.
    До кожного пункту підібрано задачі для самостійного
    розв’язу­вання, приступати до яких радимо лише після за­
    своєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості
    й середні за складністю вправи, так і складні задачі (особ­
    ливо ті, які позначено зірочкою (*)). Свої знання можна
    перевірити, розв’язуючи задачі у тестовій формі з рубрики
    «Перевір себе».
    Якщо після виконання домашніх завдань залишається
    вільний час і  ви хочете знати більше, то рекомендуємо
    звернутися до рубрики «Коли зроблено уроки». Матеріал,
    викладений там, є непростим. Але тим цікавіше випробу­
    вати свої сили!
    Дерзайте! Бажаємо успіху!
    3

    Шановні колеги!
    Ми знаємо, що підготовка до уроку в класі з поглибленим
    вивченням математики — робота нелегка. Організація такого
    навчального процесу вимагає великих зусиль учителя, який
    формує навчальний матеріал по крихтах, збираючи його
    в багатьох посібниках. Ми сподіваємося, що цей підручник
    стане надійним помічником у вашій нелегкій і шляхетній
    праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається.
    У книзі дібрано обширний і  різноманітний дидактич­
    ний матеріал. Проте за один навчальний рік усі задачі
    розв’язати неможливо, та в цьому й немає потреби. Разом
    з тим набагато зручніше працювати, коли є значний запас
    задач. Це дає можливість реалізувати принципи рівневої
    диференціації та індивідуального підходу в навчанні.
    Червоним кольором позначено номери задач, що реко­
    мендуються для домашньої роботи, синім кольором — но­
    мери задач, які з урахуванням індивідуальних особливостей
    учнів класу на розсуд учителя можна розв’язувати усно.
    Матеріал рубрики «Коли зроблено уроки» може бути ви­
    користаний для організації роботи математичного гуртка
    і факультативних занять.
    Бажаємо творчого натхнення й терпіння.
    Умовні позначення


    завдання, що відповідають початковому і середньому
    рівням навчальних досягнень;

    завдання, що відповідають достатньому рівню на­
    n
    вчальних досягнень;
    ••
    завдання, що відповідають високому рівню на­
    n
    вчальних досягнень;
    задачі для математичних гуртків і факультативів;
    n*
    задачі, у  яких отримано результат, що може бути
    використаний при розв’язуванні інших задач;
    n (m) задача, яка пропонується в  різних пунктах для
    розв’язування різними способами (номер m вказує
    місцезнаходження цієї задачі в іншому пункті);
    закінчення доведення теореми.

    4

    Повторення
    й систематизація
    ­навчального матеріалу
    з курсу геометрії 8 класу

    §1

    1. Задачі на повторення навчального
    матеріалу з курсу геометрії 8 класу

    1.1.° Бічна сторона AB і менша основа BC трапеції ABCD до­
    рівнюють відповідно 16 см і 15 см. Який з відрізків перетинає
    бісектриса кута BAD — основу BC чи бічну сторону CD?
    1.2.° Пряма AB дотикається до кола в точці B, а пряма AC пере­
    тинає коло в точках C і D. Знайдіть відрізок CD, якщо AB = 6 см,
    AC = 9 см.
    1.3.° На одній стороні кута з вершиною в точці A позначили
    точки B і C, а на другій — точки D і E, причому AB = 10 см,
    AC = 18 см, AD : AE = 5 : 9. Знайдіть CE, якщо BD = 20 см.
    1.4.° Площа паралелограма ABCD дорівнює S. Знайдіть площу
    зафарбованої фігури (рис. 1.1).
    B
    C
    B

    C

    A

    D

    A

    D
    а)

    б)
    Рис. 1.1

    1.5.° Знайдіть відношення площ S1 і S2 трикутників, зображе­
    них на рисунку 1.2 (довжини відрізків дано в сантиметрах).
    1.6.° Відрізок AD — бісектриса трикутника
    ABC, площа трикутника ABD дорівнює 12 см2,
    1
    3
    а  трикутника ACD  — 20  см2. Знайдіть відно­
    S2
    S1
    шення сторони AB до сторони AC.
    1.7.° Діагоналі рівнобічної трапеції є бісек­
    трисами її гострих кутів і точкою перетину по­
    діляються у відношенні 5 : 13. Знайдіть площу
    Рис. 1.2
    трапеції, якщо її висота дорівнює 90 см.
    5

    § 1. Повторення з курсу геометрії 8 класу

    1.8.° Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18  см
    і 24 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини
    меншого гострого кута.
    1.9.° Медіани AM і CK трикутника ABC перпендикулярні. Зна­
    йдіть сторони трикутника, якщо AM = 9 см і CK = 12 см.
    1.10.° У трикутнику ABC медіани BM і CK перпендикулярні
    і перетинаються в точці O. Знайдіть довжину відрізка AO, якщо
    BM = 36 см і CK = 15 см.
    1.11.° У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, BD і AM – ви­
    соти трикутника, BD : AM = 3 : 1. Знайдіть cos C.
    1.12.° У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, BD і CK – ви­
    3

    соти трикутника, cos A = . Знайдіть відношення CK : BD.
    7

    1.13.° Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до
    бічної сторони і  утворює з  основою трапеції кут 30°. Знайдіть
    висоту трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції,
    дорівнює R.
    1.14.° Побудуйте квадрат, площа якого дорівнює сумі площ
    двох даних квадратів.
    1.15.° На медіані AM трикутника ABC позначено точку D так,
    що AD : DM = 1 : 3. Через точку D проведено пряму, паралельну
    стороні AC. У  якому відношенні ця пряма ділить сторону BC,
    рахуючи від вершини C?
    1.16.° У чотирикутнику ABCD відомо, що AB = AD, CB = CD.
    Доведіть, що AD ⊥ BC.
    1.17.° На основі AC рівнобедреного трикутника ABC позначили
    точку M, а на бічних сторонах AB і BC відповідно точки K і N
    так, що MK C BC, MN C AB. Знайдіть довжину бічної сторони,
    якщо відомо, що периметр чотирикутника MKBN дорівнює
    30 см.
    1.18.° У прямокутнику ABCD відомо, що AB = 2AD. Точка K —
    середина сторони AB. Знайдіть кут CKD.
    1.19.° Побудуйте квадрат за трьома точками, які є серединами
    трьох його сторін.
    1.20.° Діагоналі рівнобічної трапеції ABCD (BC C AD) перети­
    наються в точці M. Відомо, що ∠ CMD = ∠ BAD. Доведіть, що
    BC = AB.
    1.21.° У рівнобічній трапеції ABCD (BC C AD) бісектриси гострих
    кутів BAD і CDA перетинаються в точці, яка належить основі BC.
    Знайдіть периметр трапеції, якщо BC = 36 см, ∠ BAD = 60°.
    6

    Задачі на повторення навчального матеріалу з курсу геометрії 8 класу


    1.22. Побудуйте паралелограм за його вершиною і серединами
    сторін, яким ця вершина не належить.

    1.23. Перпендикуляр, опущений з вершини кута прямокутника
    на його діагональ, ділить цю діагональ на відрізки, довжини яких
    відносяться як 1 : 3. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника.

    1.24. На стороні AD прямокутника ABCD позначили точку M
    так, що MD = CD, MA = MC. Знайдіть кут між діагоналями
    прямокутника.

    1.25. Висоти BN і DM ромба ABCD, проведені з його тупих
    кутів B і D, перетинаються в точці F. Знайдіть кути ромба, якщо
    NF : FB = MF : FD = 1 : 2.

    1.26. Сума довжин катетів AB і BC прямокутного трикутника
    ABC дорівнює a. На гіпотенузі AC поза трикутником побудовано
    квадрат ACMN, діагоналі якого перетинаються в точці O. З точ­
    ки O на прямі BA і BC опустили перпендикуляри OK і OF відпо­
    відно. Знайдіть периметр чотирикутника BKOF.

    1.27. Серединний перпендикуляр діагоналі прямокутника
    утворює з його більшою стороною кут 60°. Відрізок цього пер­
    пендикуляра, який міститься всередині прямокутника, дорівнює
    12 см. Знайдіть більшу сторону прямокутника.

    1.28. На медіані BD трикутника ABC позначено точку M так,
    що BM : MD = 3 : 2. Пряма AM перетинає сторону BC у точці E.
    У  якому відношенні точка E поділяє сторону BC, рахуючи від
    вершини B?

    1.29. Бісектриса кута A паралелограма ABCD перетинає діаго­
    наль BD і сторону BC у точках E і F відповідно так, що BE : ED = 
    = 2 : 7. Знайдіть відношення BF : FC.

    1.30. Медіани AD і BM трикутника ABC перетинаються в точ­
    ці O. Через точку O проведено пряму, яка паралельна стороні AC
    і перетинає сторону BC у точці K. Знайдіть BD, DK і KC, якщо
    BC = 18 см.

    1.31. Коло, центр якого належить гіпотенузі прямокутного
    трикутника, дотикається до більшого катета і проходить через
    вершину протилежного гострого кута. Знайдіть радіус кола, якщо
    катети дорівнюють 5 см і 12 см.

    1.32. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6  см
    і  8  см. Знайдіть відстань від вершини меншого гострого кута
    трикутника до центра вписаного кола.

    1.33. Площа рівнобічної трапеції дорівнює 36 2   см2, а  го­
    стрий кут  — 45°. Знайдіть висоту трапеції, якщо в  неї можна
    вписати коло.
    7

    § 1. Повторення з курсу геометрії 8 класу

    1.34. Бісектриса кута A трикутника ABC (∠ C = 90°) поділяє
    катет BC на відрізки завдовжки 6  см і  10  см. Знайдіть радіус
    кола, яке проходить через точки A, C і точку перетину цієї бісе­кт­риси з катетом BC.

    1.35. Центр кола, вписаного в рівнобічну трапецію, віддалений
    від кінців її бічної сторони на 12 см і 16 см. Знайдіть периметр
    трапеції.

    1.36. Діагональ рівнобічної трапеції поділяє висоту, проведе­
    ну з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 15 см і 12 см,
    а  бічна сторона трапеції дорівнює її меншій основі. Знайдіть
    площу трапеції.

    1.37. Більша діагональ прямокутної трапеції поділяє висоту,
    проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 15 см
    і 9 см. Більша бічна сторона трапеції дорівнює її меншій основі.
    Знайдіть площу трапеції.

    1.38. У трапеції ABCD (BC C AD) точка M — середина AB.
    Знайдіть площу трикутника CMD, якщо площа даної трапеції
    дорів­нює S.

    1.39. Коло, побудоване на діагоналі AC ромба ABCD як на діаме­
    трі, проходить через середину сторони AB. Знайдіть кути ромба.
    ••
    1.40. На сторонах AB і BC трикутника ABC побудовано в зо­
    внішній бік квадрати ABDE і  BCFG. Виявилося, що DG C AC.
    Доведіть, що трикутник ABC є рівнобедреним.
    ••
    1.41. У трикутнику ABC проведено висоту AH і медіану BM.
    Відрізок MH перетинає бісектрису CK в її середині. Доведіть, що
    трикутник ABC є рівнобедреним.
    ••
    1.42. Побудуйте чотирикутник за його сторонами і відстанню
    між серединами діагоналей.
    ••
    1.43. Точка C належить прямому куту BOA (рис. 1.3). Дове­
    діть, що периметр трикутника ABC більший, ніж 2OC.
    ••
    1.44. На аркуші паперу в  клітинку накреслено трикутник
    ABC з вершинами у вузлах сітки (рис. 1.4). За допомогою лінійки
    побудуйте точку перетину медіан цього трикутника.

    B
    O

    A

    C

    B
    C

    A
    Рис. 1.3

    Рис. 1.4

    8

    Задачі на повторення навчального матеріалу з курсу геометрії 8 класу
    ••

    1.45. У трапеції довжина однієї з діагоналей дорівнює сумі
    основ, а кут між діагоналями дорівнює 60°. Доведіть, що трапеція
    є рівнобічною.
    ••
    1.46. На стороні AC трикутника ABC позначили точку K так,
    що вписані кола трикутників ABK і BCK дотикаються. Доведіть,
    що точка K належить вписаному колу трикутника ABC.
    ••
    1.47. На сторонах AB і CD трапеції ABCD (BC C AD) відповід­
    но позначили точки K і  L такі, що ∠ BAL = ∠ CDK. Доведіть,
    що ∠ BLA = ∠ CKD.
    ••
    1.48. У гострокутному трикутнику ABC відрізок AH є висотою.
    З точки H на сторони AB і AC опущено перпендикуляри HK і HL
    відповідно. Доведіть, що чотирикутник BKLC — вписаний.
    1

    ••

    1.49. Точка J належить трикутнику ABC і ∠ BJC = 90° + ∠ BAC.
    2

    Відомо, що пряма AJ містить центр описаного кола трикутника BJC. Доведіть, що J — центр вписаного кола трикутника ABC.
    ••
    1.50. Дано два кола. Перше з них проходить через центр O
    другого кола і перетинає це коло в точках A і B. Хорда OC першо­
    го кола перетинає друге коло в точці J. Доведіть, що точка J —
    центр вписаного кола трикутника ABC.
    ••
    1.51. У трикутнику ABC проведено висоти AH і CP. Знайдіть
    величину кута B, якщо відомо, що AC = 2PH.
    ••
    1.52. На стороні AC трикутника ABC позначили точку D таку,
    що ∠ ABD = ∠ BCD і AB = CD. Бісектриса кута A перетинає сто­
    рону BC в точці E. Доведіть, що DE C AB.
    ••
    1.53. Точка D — середина сторони AC трикутника ABC, DE
    і DF — бісектриси відповідно трикутників ABD і CBD. Відрізки
    1

    BD і EF перетинаються в точці M. Доведіть, що DM = EF.
    2

    ••
    1.54. У прямокутному трикутнику ABC (∠ C = 90°) відрізки
    CH, CL і CM — відповідно висота, бісектриса і медіана трикут­
    ника. Знайдіть довжину CL, якщо CH = 6, CM = 10.
    ••
    1.55. У  трикутнику ABC проведено бісектрису BD. Відомо,
    що AB = 15 см, BC = 10 см. Доведіть, що BD < 12 см.
    ••
    1.56. В опуклому чотирикутнику ABCD діагоналі перетина­
    ються в точці O. Відомо, що ∠ BAC = ∠ CBD, ∠ BCA = ∠ CDB.
    Доведіть, що CO•CA = BO•BD.
    ••
    1.57. Бісектриси кутів A і  B трикутника ABC перетинають
    описане коло трикутника ABC у точках K і L відповідно. Відрізки

    9

    § 1. Повторення з курсу геометрії 8 класу

    AK і BL перетинаються в точці O так, що

    AO
    OK

    =

    BO
    OL

    . Доведіть, що

    трикутник ABC — рівнобедрений.
    ••
    1.58. Трапеція ABCD (AB C CD) така, що коло, описане навколо
    трикутника ABD, дотикається до прямої BC. Доведіть, що коло,
    описане навколо трикутника BCD, дотикається до прямої AD.
    ••
    1.59. У  трикутнику ABC проведено бісектрису BK. На
    сторонах BA і  BC позначили відповідно точки M і  N такі, що
    ∠ AKM = ∠ CKN = 

    1
    2

    ∠ ABC. Доведіть, що пряма AC — дотична

    до кола, описаного навколо трикутника MBN.
    ••
    1.60. У колі проведено хорду CD паралельно діаметру AB так,
    що в  трапецію ABCD можна вписати коло. Знайдіть довжину
    хорди CD, якщо AB = 2R.
    ••
    1.61. На медіані AM трикутника ABC позначили точку F.
    Точки K і N — основи перпендикулярів, проведених з точки F
    на сторони AB і AC відповідно. Знайдіть відрізки FK і FN, якщо
    FK + FN = d, AB = c, AC = b.
    ••
    1.62. У трикутнику ABC проведено чевіани AA1, BB1, CC1, які
    перетинаються в точці M. Відомо, що площа трикутника AMB1
    дорівнює площі трикутника AMC1, площа трикутника BMC1
    дорівнює площі трикутника BMA1, а  площа трикутника CMA1
    дорівнює площі трикутника CMB1. Доведіть, що M  — точка
    перетину медіан.
    ••
    1.63. У трапеції ABCD (AD C BC, AD > BC) на діагоналі AC
    позначили точку E так, що BE C CD. Доведіть, що площі трикут­
    ників ABC і DEC рівні.
    1.64.* На медіані BM трикутника ABC позначили точку D.
    Через точки C і D провели прямі, паралельні відповідно прямим
    BM і AB. Проведені прямі перетинаються в точці E. Доведіть,
    що BE = AD.
    1.65.* На основі AD трапеції ABCD позначили точку M. Відомо,
    що периметри трикутників ABM, MBC і  CMD рівні. Доведіть,
    що AD = 2BC.
    1.66.* У коло вписано чотирикутник ABCD. На хорді AB по­
    будуйте точку M таку, що ∠ ADM = ∠ BCM.
    1.67.* Точки M і N — середини основ AD і BC трапеції ABCD
    відповідно. На сторонах AB і CD позначили точки P і Q відповід­
    но так, що PQ C AD (AP ≠ PB). Доведіть, що прямі PN, MQ і AC
    перетинаються в одній точці.
    10

    Розв’язування
    трикутників

    §2

    2. Синус, косинус, тангенс і котангенс кута
    від 0° до 180°

    Поняття «синус», «косинус», «тангенс» і «котангенс» гострого
    кута вам знайомі з курсу геометрії 8 класу. Розширимо ці поняття
    для будь-якого кута α, де 0° m α m 180°.
    У верхній півплощині координатної площини розглянемо
    півколо з центром у початку координат, радіус якого дорівнює 1
    (рис. 2.1). Таке півколо називають одиничним.

    Рис. 2.1

    Рис. 2.2

    Будемо говорити, що куту α (0° m α m 180°) відповідає точка M
    одиничного півкола, якщо ∠MOA = α, де точки O і A мають від­
    повідно координати (0; 0) і (1; 0) (рис. 2.1). Наприклад, на рисун­
    ку 2.1 куту, який дорівнює 90°, відповідає точка C; куту, який
    дорівнює 180°, — точка B; куту, який дорівнює 0°, — точка A.
    Нехай α — гострий кут. Йому відповідає деяка точка M(x; y)
    дуги AC (рис. 2.2). з прямокутного трикутника OMN маємо:
    cos α =

    ON
    OM

    , sin α =

    MN
    OM

    .

    Оскільки OM = 1, ON = x, MN = y, то x = cos α, y = sin α.
    Отже, косинус і синус гострого кута α — це відповідно абсциса
    і ордината точки M одиничного півкола, яка відповідає куту α.
    Отриманий результат підказує, як визначити синус і косинус
    будь-якого кута α, де 0° m α m 180°.
    11

    § 2. Розв’язування трикутників

    О з н а ч е н н я. К о с и н у с о м і с и н у с о м кута α (0° m α m 180°)
    називають відповідно абсцису x і ординату y точки M одиничного півкола, яка відповідає куту α (рис. 2.3).
    Користуючись таким озна­
    ченням, можна, наприклад, за­
    пи­с ати: sin 0 ° = 0, cos 0° = 1,
    s i n   9 0 °  =   1 , c o s   9 0 °  =   0 ,
    sin 180° = 0, cos 180° = –1.
    Якщо M (x; y) — довільна точ­
    ка одиничного півкола, то –1 m
    m x m 1 і 0 m y m 1. Отже, для
    будь-якого кута α, де 0° m α m
    m 180°, маємо:
    Рис. 2.3
    0 m sin α m 1,
    –1 m cos α m 1.
    Якщо α — тупий кут, то абсциса точки одиничного півкола,
    що відповідає цьому куту, є від’ємною. Отже, косинус тупого кута
    є від’ємним числом. Зрозуміло, що справедливе і таке тверджен­
    ня: якщо cos α < 0, то α — тупий або розгорнутий кут.
    З курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що для будь-якого гострого
    кута α виконуються рівності
    sin (90° – α) = cos α,
    cos (90° – α) = sin α
    Ці формули залишаються справедливими і для α = 0°, і для
    α = 90° (переконайтеся в цьому самостійно).
    Нехай кутам α і  180° – α, де α ≠ 0°, α ≠ 90° і  α ≠ 180°,
    відпо­відають точки M (x1; y1) і  N (x2; y2) одиничного півкола
    (рис. 2.4).

    Рис. 2.4

    12

    2. Синус, косинус, тангенс і котангенс кута від 0° до 180°

    Прямокутні трикутники OMM1 і ONN1 рівні за гіпотенузою
    і гострим кутом (ON = OM = 1, ∠ MOM1 = ∠ NON1 = α). Звідси
    y2 = y1 і  x2 = – x1. Отже,
    sin (180° – α) = sin α,
    cos (180° – α) = – cos α
    Переконайтеся самостійно, що ці рівності залишаються пра­
    вильними для α = 0°, α = 90°, α = 180°.
    Якщо α  — гострий кут, то, як ви знаєте з  курсу геометрії
    8 класу, справедлива тотожність
    sin2 α + cos2 α = 1,
    яка залишається правильною для α = 0°, α = 90°, α = 180° (пере­
    конайтеся в цьому самостійно).
    Нехай α — тупий кут. Тоді 180° – α є гострим кутом. Маємо:
    sin2 α + cos2 α = (sin (180° – α))2 + (–cos (180° – α))2 =
    = sin2 (180° – α) + cos2 (180° – α) = 1.
    Отже, рівність sin 2 α + cos 2 α = 1 виконується для всіх
    0° m α m 180°.
    З геометричних міркувань зрозуміло, що коли 0° m α < β m 90°,
    то sin α < sin β (рис. 2.5); коли 90° m α < β m 180°, то sin α > sin β
    (рис. 2.6); коли 0° m α < β m 180°, то cos α > cos β (рис. 2.5, 2.6).
    y
    1

    y
    1
    sin β

    sinβ

    sin α
    β
    O

    sin α

    α
    β

    α
    1
    cos β cosα x

    cos β cosα O

    Рис. 2.5

    1

    x

    Рис. 2.6

    О з н а ч е н н я. Т а н г е н с о м кута α, де 0° m α m 180° і α ≠ 90°,
    називають відношення

    sin α
    cos α

    , тобто

    tg α =

    sin α
    cos α

    Оскільки cos 90° = 0, то tg α не визначений для α = 90°.
    13

    § 2. Розв’язування трикутників

    О з н а ч е н н я. К о т а н г е н с о м кута α (позначають ctg α), де
    0° < α < 180°, називають відношення
    ctg α =

    cos α
    sin α

    , тобто

    cos α
    sin α

    Оскільки sin 0° = sin 180° = 0, то ctg α не визначений для
    α = 0° і α = 180°.
    Очевидно, що кожному куту α (0° m α m 180°) відповідає єдина точка одиничного півкола. Отже, кожному куту α відповідає
    єдине число, яке є  значенням синуса (косинуса, тангенса для
    α ≠ 90°, котангенса для α ≠ 0° і α ≠ 180°). Тому залежність зна­
    чень синуса (косинуса, тангенса, котангенса) від величини кута
    є функціональною.
    Функції f (α) = sin α, g (α) =  cos α, h (α) = tg α, p (α) = ctg α,
    які відповідають цим функціональним залежностям, називають
    тригонометричними функціями кута α.
      З а д а ч а. Доведіть, що tg (180° – α) = –tg α, ctg (180° –
    – α) = –ctg α.
    Р о з в’я з а н н я
    tg (180° − α) =
    ctg (180° − α) =

    sin (180° − α )
    sin α
    sin α
    =
    =−
    = − tg α;
    cos (180° − α ) − cos α
    cos α
    cos (180° − α )
    sin (180° − α )

    =

    − cos α
    sin α

    =−

    cos α
    sin α

    = − ctg α.

    П р и к л а д. Знайдіть sin 120°, cos 120°, tg 120°, ctg 120°.
    Р о з в’я з а н н я. Маємо:
    sin 120° = sin (180° − 60°) = sin 60° =

    3
    2

    ;

    1

    cos 120° = cos (180° − 60°) = − cos 60° = − ;
    2

    tg 120° = tg (180° − 60°) = − tg 60° = − 3;
    ctg 120° = ctg (180° − 60°) = − ctg 60° = −

    14

    3
    3

    .

    2. Синус, косинус, тангенс і котангенс кута від 0° до 180°

    Вправи
    2.1.° Чому дорівнює:
    1

    1) sin (180° – α), якщо sin α = ;
    3

    2) cos (180° – α), якщо cos α = 0,7;
    4

    3) cos (180° – α), якщо cos α = − ;
    9

    4) tg (180° – α), якщо tg α = –5;

    1

    5) ctg (180° – α), якщо ctg α = − ?
    3

    1

    2.2.° Кути α і β суміжні, cos α = − .
    6

    1) Знайдіть cos β.
    2) Який із кутів α і β є гострим, а який — тупим?
    2.3.° Знайдіть значення виразу:
    1) 2 sin 90° + 3 cos 0° + ctg 90°;
    2) 3 sin 0° – 5 cos 180° + tg 180°;
    3) tg 23°•tg 0°•tg 106°;
    4) 6 tg 180° + 5 sin 180° + cos 180°;
    5) cos2 165° + sin2 165°;
    6)

    sin 0° + sin 90°
    cos 0° − cos 90°

    .

    2.4.° Обчисліть:
    1) 4 cos 90° + 2 cos 180° – ctg 90°;
    2) cos 0° – cos 180° + sin 90° + tg 180°.
    2.5.° Чому дорівнює синус кута, якщо його косинус дорівнює:
    1) 1; 2) 0?
    2.6.° Чому дорівнює косинус кута, якщо його синус дорівнює:
    1) 1; 2) 0?
    2.7.° Чому дорівнює тангенс кута, якщо його котангенс дорів­
    1

    нює: 1) 1; 2) − ?
    3

    2.8.° Чому дорівнює котангенс кута, якщо його тангенс дорів­
    нює: 1) –1; 2) 3?
    2.9.° Знайдіть sin 135°, cos 135°, tg 135°, ctg 135°.
    15

    § 2. Розв’язування трикутників

    2.10.° Знайдіть sin 150°, cos 150°, tg 150°, ctg 150°.
    2.11.° Чи існує кут α, для якого:
    1

    1) sin α = ;

    4) cos α = –0,99;

    2) sin α = 0,3;

    5) cos α = 1,001;

    2

    3) cos α =

    3
    5

    ;

    6) sin α =

    5
    2

    ?

    2.12.° Знайдіть:
    3

    1) cos α, якщо sin α =

    і 0° m α m 90°;

    5
    1

    2) cos α, якщо sin α =

    і 90° m α m 180°;

    3

    3

    3) cos α, якщо sin α =

    4

    ;

    4) sin α, якщо cos α = –0,8;
    5) tg α, якщо sin α =

    4

    і 90° < α m 180°;

    5
    12

    6) ctg α, якщо cos α =
    2.13.° Знайдіть:
    1) cos α, якщо sin α =

    і 0° < α m 90°.

    13
    5

    і 90° m α m 180°;

    13
    1

    2) sin α, якщо cos α = ;
    6

    3) tg α, якщо sin α =

    5
    13

    4) ctg α, якщо cos α = −

    і 0° m α m 90°;
    8
    17

    .

    2.14.° Чи є правильним твердження (відповідь обґрунтуйте):
    1) косинус гострого кута більший за косинус тупого кута;
    2) існує тупий кут, синус і косинус якого рівні;
    3) існує кут, синус і косинус якого дорівнюють нулю;
    4) косинус кута трикутника є невід’ємним числом;
    5) синус кута трикутника може дорівнювати від’ємному
    ­числу;
    6) косинус кута трикутника може дорівнювати нулю;
    7) синус кута трикутника може дорівнювати нулю;
    16

    2. Синус, косинус, тангенс і котангенс кута від 0° до 180°

    8) косинус кута трикутника може дорівнювати –1;
    9) синус кута трикутника може дорівнювати 1;
    10) синус кута, відмінного від прямого, менший від синуса
    прямого кута;
    11) косинус розгорнутого кута менший від косинуса кута,
    відмінного від розгорнутого;
    12) синуси суміжних кутів рівні;
    13) косинуси нерівних суміжних кутів є протилежними чис­
    лами;
    14) якщо косинуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;
    15) якщо синуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;
    16) тангенс гострого кута більший за тангенс тупого кута;
    17) тангенс гострого кута більший за котангенс тупого
    кута?
    2.15.° Порівняйте з нулем значення виразу:
    1) sin 110° cos 140°;
    4) sin 70° cos 90° tg 104°;
    °
    °
    °
    2) sin 80 cos 100 cos 148 ;
    5) ctg 100° sin 114° cos 11°;
    2
    °
    °
    °
    3) sin 128 cos 130 tg 92 ;
    6) cos 85° sin 171° ctg 87°.
    2.16.° Знайдіть значення виразу:
    1) 2 sin 120° + 4 cos 150° – 2 tg 135°;
    2) cos 120° – 8 sin2 150° + 3 cos 90° cos 162°;
    3) cos 180° (sin 135° tg 60° – cos 135°)2;
    4) 2 sin2 30°+cos2 60° + sin2 45° + tg2 60° – ctg2 30°.
    2.17.° Чому дорівнює значення виразу:
    1) 2 sin 150° – 4 cos 120° + 2 tg 135°;
    2) tg 45° sin 60° ctg 30°;
    3) sin 90° (tg 150° cos 135° – tg 120° cos 135°)2?
    2.18.° Знайдіть значення виразу, не користуючись таблицями
    і калькулятором:
    1)

    sin 18°
    sin 162°

    ;

    2)

    cos 18°

    ;

    3)

    ;

    3)

    cos 162°

    tg 18°
    tg 162°

    ;

    4)

    ctg 18°
    ctg 162°

    .

    2.19.° Обчисліть:
    1)

    cos 49°
    cos 131°

    ;

    2)

    tg 12°
    tg 168°

    sin 53°
    sin 127°

    .

    2.20.° Знайдіть суму квадратів синусів усіх кутів прямокутного
    трикутника.
    2.21.° Знайдіть суму квадратів косинусів усіх кутів прямокут­
    ного трикутника.
    17

    § 2. Розв’язування трикутників

    2.22.° Порівняйте:
    1) sin 17° і sin 35°; 3) cos 89° і cos 113°; 5)
    2) cos 1° і cos 2°;

    1
    2

    4) sin 50° і sin 140°; 6) −

    і sin 40°;
    1

    і cos 130°.

    2

    2.23.° Порівняйте:
    3

    1) sin 118° і sin 91°; 3) cos 75° і cos 175°; 5)
    2) cos 179° і cos 160°; 4) sin70° і sin105°; 6)

    2
    1
    2

    і cos 20°;

    і sin 130°.

    2.24.° У  трикутнику ABC відомо, що ∠B = 60°, точка O  —
    центр вписаного кола. Чому дорівнює косинус кута AOC?
    2.25.° Точка O — центр вписаного кола трикутника ABC. Відо­
    мо, що cos ∠ BOC = −

    3
    2

    . Знайдіть кут A трикутника.


    2.26. У непрямокутному трикутнику ABC відомо, що ∠ B = 30°,
    точка H — ортоцентр. Чому дорівнює тангенс кута AHC?

    2.27. Точка H  — ортоцентр трикутника ABC. Відомо, що

    2

    cos ∠ AHC = −

    2

    . Знайдіть кут B трикутника.



    2.28. Точка O — центр вписаного кола трикутника ABC. Відо­
    1

    мо, що sin ∠ AOC = . Знайдіть кут B трикутника.
    2



    2.29. Точка H  — ортоцентр трикутника ABC. Відомо, що
    sin ∠ AHC =

    3
    2

    . Знайдіть кут B трикутника.



    2.30. Точка O — центр описаного кола трикутника ABC. Відо­
    1

    мо, що sin ∠ AOC = . Знайдіть кут B трикутника.
    2

    ••
    2.31. Обчисліть ctg 5° ctg 15° ctg 25°•...•ctg 75° ctg 85°.
    ••
    2.32. Обчисліть tg 10° tg 20° tg 30°•...•tg 70° tg 80°.

    18

    3. Теорема косинусів

    3. Теорема косинусів

    З першої ознаки рівності трикутників випливає, що дві сторо­
    ни і кут між ними однозначно визначають трикутник. Отже, за
    вказаними елементами можна знайти третю сторону трикутника.
    Як це зробити, показує така теорема.
    Т е о р е м а 3.1 ( т е о р е м а к о с и н у с і в). Квадрат сторони
    трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус
    подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними.
    Д о в е д е н н я. Розглянемо трикутник ABC. Доведемо, напри­
    клад, що BC2 = AB2 + AC2 – 2AB•AC•cos A.
    Можливі три випадки:
    1) кут A — гострий;
    2) кут A — тупий;
    3) кут A — прямий.

    B

    A

    D
    Рис. 3.1

    B

    C

    C

    A
    Рис. 3.2

    Рис. 3.3

    • Розглянемо перший випадок. Якщо ∠ A < 90°, тоді хоча б
    один з кутів B і C є гострим. Нехай, наприклад, ∠ C < 90°. Про­
    ведемо висоту BD (рис. 3.1).
    З ∆ ABD отримуємо: BD = AB•sin A, AD = AB•cos A.
    З ∆ BDC отримуємо: BC2 = BD2 + CD2 = BD2 + (AC – AD)2 =
    = AB2•sin2  A + (AC – AB•cos A)2 =
    2
    = AB •sin2 A + AC2 – 2AC•AB•cos A + AB2•cos2 A =
    = AB2•(sin2 A + cos2 A) + AC2 – 2AC•AB•cos A =
    = AB2 + AC2 – 2AB•AC•cos A.
    Якщо ∠ C l 90°, то ∠ B < 90°. Тоді потрібно провести висоту
    трикутника ABC з  вершини C. Далі доведення аналогічне роз­
    глянутому.
    • Для випадку, коли кут A  — тупий, проведемо висоту BD
    трикутника ABC (рис. 3.2).
    З ∆ ABD отримуємо: BD = AB•sin ∠ BAD =
    = AB•sin (180° – ∠ BAC) = AB•sin ∠ BAC,
    19

    § 2. Розв’язування трикутників

    A D   =   A B •c o s   ∠  B A D   =   A B •c o s   ( 1 8 0 ° – ∠  B A C )   =
    = –AB•cos ∠ BAC.
    З ∆ BDC отримуємо: BC2 = BD2 + CD2 = BD2 + (AC + AD)2 =
    = AB2•sin2 ∠ BAC + (AC – AB•cos ∠ BAC)2 =
    = AB2 + AC2 – 2 AB•AC•cos ∠ BAC.
    • Якщо кут A — прямий (рис. 3.3), то cos A = 0. Рівність, яку
    потрібно довести, набуває вигляду
    BC2 = AB2 + AC2
    і виражає теорему Піфагора для трикутника ABC (∠ A = 90°). 
    Та частина доведення, у якій розглянуто випадок, коли ∠ A —
    прямий, показує, що теорема Піфагора є  окремим випадком
    теореми косинусів. Тому теорема косинусів є  узагальненням
    теореми Піфагора.
    Якщо скористатися позначенням для сторін і  кутів трикут­
    ника ABC (див. форзац), то, наприклад, для сторони a можна
    записати:
    a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
    За допомогою теореми косинусів, знаючи три сторони трикут­
    ника, можна визначити, чи є він гострокутним, тупокутним або
    прямокутним.
    Т е о р е м а 3.2 ( н а с л і д о к з   т е о р е м и к о с и н у с і в). Нехай
    a, b і c — сторони трикутника ABC, причому a — його найбільша сторона. Якщо a2 < b2 + c2, то трикутник є гострокутним. Якщо a2 > b2 + c2, то трикутник є тупокутним. Якщо
    a2 = b2 + c2, то трикутник є прямокутним.
    Д о в е д е н н я. Маємо:
    a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
    Звідси 2bc cos α = b2 + c2 – a2.
    Нехай a2 < b2 + c2. Тоді b2 + c2 – a2 > 0. Отже, 2bc cos α > 0,
    тобто cos α > 0. Тому кут α — гострий.
    Оскільки a  — найбільша сторона трикутника, то проти неї
    лежить найбільший кут, який на підставі вищедоведеного є го­
    стрим. Отже, у цьому випадку трикутник є гострокутним.
    Нехай a2 > b2 + c2. Тоді b2 + c2 – a2 < 0. Отже, 2bc cos α < 0,
    тобто cos α < 0. Тому кут α — тупий.
    Нехай a2 = b2 + c2. Тоді 2bc cos α = 0, тобто cos α = 0. Звідси
    α = 90°. 
    20

    3. Теорема косинусів

    Т е о р е м а 3 . 3 . Сума квадратів діагоналей паралелограма
    дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.
    Д о в е д е н н я. На рисунку 3.4 зображено паралелограм ABCD.
    Нехай AB = CD = a, BC = AD = b, ∠ BAD = α, тоді ∠ ADC =
    = 180° – α.
    З ∆ ABD за теоремою косинусів

    BD2 = a2 + b2 – 2ab cos α.
    (1)
    З ∆ ACD за теоремою косинусів
    AC2 = a2 + b2 – 2ab cos (180° – α) або

    AC2 = a2 + b2 + 2ab cos α.
    (2)
    Додавши рівності (1) і (2), отримаємо
    BD2 + AC2 = 2a2 + 2b2. 
    З а д а ч а. Доведіть, що у  трикутнику ABC (див. позна­
    чення на форзаці):
    ma2 =
    mb2 =
    mc2 =

    2

    2

    2b + 2c − a

    2

    ,

    4
    2

    2

    2c + 2a − b

    2

    ,

    4
    2

    2

    2a + 2b − c
    4

    2

    .

    Р о з в’я з а н н я. Нехай відрізок BM  — медіана трикутника
    ABC. На промені BM позначимо таку точку D, що BM = MD
    (рис. 3.5). Чотирикутник ABCD — паралелограм.
    B

    b

    B

    C

    a
    A

    M

    D

    b

    D

    Рис. 3.4

    Рис. 3.5

    Використовуючи теорему 3.3, можна записати
    BD2 + AC2 = 2AB2 + 2BC2 або 4mb2 + b2 = 2c2 + 2a2 .
    Звідси mb2 =

    2

    2

    2c + 2a − b
    4

    C

    A

    a

    2

    .

    Аналогічно доводяться дві інші формули.
    21

    § 2. Розв’язування трикутників

    П р и к л а д 1. На стороні AC трикутника ABC позначено точку D
    так, що CD : AD = 1 : 2. Знайдіть відрізок BD, якщо AB = 14 см,
    BC = 13 см, AC = 15 см.
    Р о з в ’ я з а н н я . За теоремою косинусів з ∆ ABC (рис. 3.6):
    AB2 = AC2 + BC2 – 2AC•BC•cos C, звідси

    A

    cos C =

    AC2 + BC2 − AB2
    2 ACæBC

    D

    =

    C

    B

    =

    225 + 169 − 196
    2æ15æ13

    2
    2
    2
    15 + 13 − 14

    2æ15æ13

    =

    33
    65

    =

    .

    Оскільки CD : AD = 1 : 2, то
    CD =

    Рис. 3.6

    1
    3

    AC = 5  см.

    Тоді з ∆ BCD:
    BD2 = BC2 + CD2 − 2BCæCDæcos C = 132 + 52 − 2æ13æ5æ

    33
    65

    = 128.

    Отже, BD = 128 = 8 2 (см).
    Відповідь: 8 2  см.
    П р и к л а д 2. На діаметрі AB кола з центром у точці O взято
    точки M і N так, що OM = ON. На колі позначили точку X. До­
    ведіть, що сума XM2 + XN2 не залежить від вибору точки X.
    Р о з в’я з а н н я. Нехай X — точка кола, відмінна від точок A і B.
    Тоді радіус OX — медіана трикутника MXN (рис. 3.7). Скористав­
    шися ключовою задачею, запишемо:
    X
    2
    2
    2
    2 XM + 2 XN − MN
    2
    XO =
    .
    4

    Звідси XM 2 + XN 2 =

    2

    4 XO + MN

    2

    .

    A

    N B
    O
    M
    Оскільки XO — радіус даного кола, то
    значення правої частини останньої рівно­
    сті не залежить від вибору точки X.
    Випадок, коли точка X збігається
    Рис. 3.7
    з  точкою A або точкою B, розгляньте
    самостійно.
    П р и к л а д 3. Відомо, що довжина найбільшої сторони трикут­
    ника дорівнює 3. Доведіть, що три круги з центрами у верши­
    нах трикутника і радіусами 1 повністю покривають трикутник.
    2

    22

    3. Теорема косинусів

    Р о з в’я з а н н я. Очевидно, що ці круги покривають сторони
    трикутника.
    Нехай у трикутнику ABC знайшлася непокрита точка O, яка
    не належить сторонам. Очевидно, що один з  кутів AOB, BOC,
    COA не менший від 120°.
    1

    Нехай, наприклад, це кут AOC. Тоді cos ∠ AOC m − . З ∆ AOC
    2

    за теоремою косинусів AC2 = OA2 + OC2 – 2OA•OC•cos ∠ AOC l
    l OA2 + OC2 + OA•OC. З умови випливає, що AC2 m 3. Тоді OA2 +
    + OC2 + OA•OC m 3. Оскільки точка O не покрита, то OA > 1
    і OC > 1. Тоді OA2 + OC2 + OA•OC > 3. Отримали суперечність.
    Отже, точок трикутника, не покритих одним з указаних кругів,
    не існує.
    П р и к л а д 4. Додатні числа a, b, c такі, що c2 = a2 + b2 – ab.
    Доведіть, що (a – c) (b – c) m 0.
    Р о з в’я з а н н я. Побудуємо кут MON, який дорівнює 60°. На
    його сторонах OM і ON позначимо відповідно точки A і B так,
    що OA = a, OB = b (рис. 3.8). За те­
    M
    оремою косинусів AB2 = a2 + b2 – ab.
    A
    Отже, AB = c.
    У трикутнику OAB один з кутів A
    a
    і  B не менший від 60°, а  другий не
    60°
    більший за 60°. Отже, у трикутнику
    OAB сторона c не менша від однієї O
    b
    B
    N
    з  двох інших сторін і  не більша за
    другу. Звідси (a – c) (b – c) m 0.
    Рис. 3.8

    Вправи
    3.1.° Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо:
    1) AB = 5 см, BC = 8 см, ∠ B = 60°;
    2) AB = 3 см, AC = 2 2  см, ∠ A = 135°.
    3.2.° Знайдіть невідому сторону трикутника DEF, якщо:
    1) DE = 4 см, DF = 2 3  см, ∠ D = 30°;
    2) DF = 3 см, EF = 5 см, ∠ F = 120°.
    3.3.° Сторони трикутника дорівнюють 12  см, 20  см і  28  см.
    Знайдіть найбільший кут трикутника.
    3.4.° Сторони трикутника дорівнюють 18   см, 5  см і  7  см.
    Знайдіть середній за величиною кут трикутника.
    23

    § 2. Розв’язування трикутників

    3.5.° Установіть, гострокутним, прямокутним чи тупокутним
    є трикутник, сторони якого дорівнюють:
    1) 5 см, 7 см і 9 см;
    3) 10 см, 15 см і 18 см.
    2) 5 см, 12 см і 13 см;
    3.6.° Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 8 см і 12 см. Чи
    є  правильним твердження, що даний трикутник є  гострокут­
    ним?
    3.7.° Доведіть, що трикутник зі сторонами 8 см, 15 см і 17 см
    є прямокутним.
    3.8.° Сторони паралелограма дорівнюють 2 2  см і 5 см, а один
    з кутів дорівнює 45°. Знайдіть діагоналі паралелограма.
    3.9.° У  трапеції ABCD (BC C AD) BC = 3  см, AD = 10  см,
    CD = 4 см, ∠ D = 60°. Знайдіть діагоналі трапеції.
    3.10.° На стороні AB рівностороннього трикутника ABC по­
    значено точку D так, що AD : DB = 2 : 1. Знайдіть відрізок СD,
    якщо AB = 6 см.
    3.11. ° На гіпотенузі AB трикутника ABC позначено точку M так, що AM : BM = 1 : 3. Знайдіть відрізок CM, якщо
    AC = BC = 4 см.
    3.12.° У  трикутнику ABC відомо, що ∠ C = 90°, AC = 20  см,
    BC = 15 см. На стороні AB позначено точку M так, що BM = 4 см.
    Знайдіть довжину відрізка CM.
    3.13.° На продовженні гіпотенузи AB прямокутного рівно­
    бедреного трикутника ABC за точку B позначено точку D так,
    що BD = BC. Знайдіть відрізок CD, якщо катет трикутника ABC
    дорівнює a.
    3.14.° У трикутнику ABC відомо, що ∠ C = 90°, AB = 13 см,
    AC = 12 см. На продовженні гіпотенузи AB за точку B позначено
    точку D так, що BD = 26 см. Знайдіть довжину відрізка CD.
    3.15. ° Центр кола, вписаного в  прямокутний трикутник,
    знаходиться на відстанях a і  b від кінців гіпотенузи. Знайдіть
    гіпотенузу трикутника.
    3.16.° Точка O  — центр кола, вписаного в  трикутник ABC,
    BC = a, AC = b, ∠ AOB = 120°. Знайдіть сторону AB.
    3.17.° Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 60°,
    відносяться як 5 : 8, а третя сторона дорівнює 21 см. Знайдіть
    невідомі сторони трикутника.
    3.18.° Дві сторони трикутника відносяться як 1 : 2 3 і утво­
    рюють кут у 30°. Третя сторона трикутника дорівнює 2 7  см.
    Знайдіть невідомі сторони трикутника.
    24

    3. Теорема косинусів

    3.19. ° Сума двох сторін трикутника, які утворюють кут
    у 120°, дорівнює 8 см, а довжина третьої сторони становить 7 см.
    Знайдіть невідомі сторони трикутника.
    3.20.° Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 120°,
    відносяться як 5 : 3. Знайдіть сторони трикутника, якщо його
    периметр дорівнює 30 см.
    3.21.° Дві сторони трикутника дорівнюють 16 см і 14 см, а кут,
    протилежний меншій з відомих сторін, дорівнює 60°. Знайдіть
    невідому сторону трикутника.
    3.22.° Дві сторони трикутника дорівнюють 15 см і 35 см, а кут,
    протилежний більшій з відомих сторін, дорівнює 120°. Знайдіть
    периметр трикутника.
    3.23.° Одна із сторін трикутника у  2 рази більша за другу,
    а  кут між цими сторонами становить 60°. Доведіть, що даний
    трикутник є прямокутним.
    3.24.° Доведіть, що коли квадрат сторони трикутника дорівнює
    неповному квадрату суми двох інших сторін, то протилежний цій
    стороні кут дорівнює 120°.
    3.25.° Доведіть, що коли квадрат сторони трикутника дорівнює
    неповному квадрату різниці двох інших сторін, то протилежний
    цій стороні кут дорівнює 60°.
    3.26.° Дві сторони паралелограма дорівнюють 7  см і  11  см,
    а одна з діагоналей — 12 см. Знайдіть другу діагональ парале­
    лограма.
    3.27.° Діагоналі паралелограма дорівнюють 13  см і  11  см,
    а одна зі сторін — 9 см. Знайдіть периметр паралелограма.
    3.28.° Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см і 14 см, а одна
    зі сторін на 2  см більша за другу. Знайдіть сторони паралело­
    грама.
    3.29.° Сторони паралелограма дорівнюють 11 см і 23 см, а його
    діагоналі відносяться як 2 : 3. Знайдіть діагоналі паралелограма.
    3.30.° Сторони трикутника дорівнюють 16  см, 18  см і  26  см.
    Знайдіть медіану трикутника, проведену до його більшої сторони.
    3.31.° Дві сторони трикутника дорівнюють 12  см і  14  см,
    а  медіана, проведена до третьої сторони,  — 7  см. Знайдіть
    невідому сторону трикутника.

    3.32. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 4 см, а синус
    кута між ними дорівнює
    ника.

    35
    6

    . Знайдіть третю сторону трикут­

    25

    § 2. Розв’язування трикутників


    3.33. На стороні BC трикутника ABC позначено точку D
    так, що CD = 14  см. Знайдіть відрізок AD, якщо AB = 37  см,
    BC = 44 см і AC = 15 см.

    3.34. На стороні AB трикутника ABC позначено точку K, а на
    продовженні сторони BC за точку C — точку M. Знайдіть відрізок
    MK, якщо AB = 15  см, BC = 7  см, AC = 13  см, AK = 8  см,
    MC = 3 см.

    3.35. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, ∠ ABC = 120°.
    На продовженні відрізка AB за точку B позначено точку D
    так, що BD = 2AB. Доведіть, що трикутник ACD рівнобедрений.

    3.36. Знайдіть діагональ AC чотирикутника ABCD, якщо
    навколо нього можна описати коло, і  AB = 3  см, BC = 4  см,
    CD = 5 см, AD = 6 см.

    3.37. Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD,
    якщо AB = 4 см, AD = 3 см, BD = 6 см і ∠ C = 40°?

    3.38. Доведіть, що проти більшого кута паралелограма ле­
    жить більша діагональ. Сформулюйте і  доведіть обернене твер­дження.

    3.39. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 2   см,
    а медіана, проведена до бічної сторони, — 5 см. Знайдіть бічну
    сторону трикутника.

    3.40. Доведіть, що в  трикутнику ABC виконується рівність
    2

    2

    2

    ma + mb + mc
    a 2 + b 2 + c2

    3

    = .
    4



    3.41. Доведіть, що коли в  трикутнику ABC виконується
    рівність ma2 + mb2 = 5mc2 , то цей трикутник є прямокутним.

    3.42. Доведіть, що коли в  трикутнику ABC виконується
    рівність a2 + b2 = 5c2, то медіани, проведені з  вершин A і  B,
    перпенди­кулярні.

    3.43. Доведіть, що сума квадратів довжин медіан трикутника
    не менша від квадрата його півпериметра.

    3.44. Дано два кола, які мають спільний центр (такі кола на­
    зивають концентричними). Доведіть, що сума квадратів відстаней
    від точки одного з кіл до кінців діаметра другого кола не зале­
    жить ні від обраної точки, ні від обраного діаметра.
    ••
    3.45. Доведіть, що сума квадратів діагоналей чотирикутника
    в два рази більша за суму квадратів відрізків, які з’єднують се­
    редини протилежних сторін.
    26

    3. Теорема косинусів
    ••

    3.46. В  опуклому чотирикутнику відрізки, які з’єднують
    середини протилежних сторін, дорівнюють m і n, кут між ними
    дорівнює 60°. Знайдіть діагоналі чотирикутника.
    ••
    3.47. Діагоналі опуклого чотирикутника дорівнюють a і  b,
    кут між ними дорівнює 45°. Знайдіть відрізки, які з’єднують
    середини протилежних сторін чотирикутника.
    ••
    3.48. Відстань між серединами діагоналей трапеції дорівнює
    5 см, а її бічні сторони дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть відстань
    між серединами основ.
    ••
    3.49. У  трапеції ABCD (AD C BC) відомо, що AB = 5  см,
    1

    BC = 9 см, AD = 16 см, cos A = . Знайдіть сторону CD трапеції.
    7

    ••

    3.50. У  трапеції ABCD (AD C BC) відомо, що AB = 15   см,
    BC = 6  см, СD = 4  см, AD = 11  см. Знайдіть косинус кута D
    трапеції.
    ••
    3.51. У  трапеції ABCD (BC C AD) BC = 1  см, AD = 6  см,
    AC = 3 см, BD = 5 см. Знайдіть кут AOD, де O — точка перетину
    діагоналей трапеції.
    ••
    3.52. У трикутнику ABC проведено висоти AA1 і CC1. Відомо,
    1

    що A1C1 : AC = , AB = c, BC = a. Знайдіть AC.
    2

    ••

    3.53. З вершини D ромба ABCD до сторони BC проведено ви­
    соту DE. Діагональ AC перетинає відрізок DE в точці F так, що
    DF : FE = 5 : 1. Знайдіть сторону ромба, якщо AE = 35 см.
    ••
    3.54. В опуклому чотирикутнику ABCD відомо, що AB = a,
    BC = b, CD = c, DA = d, причому a2 + c2 = b2 + d2. Доведіть, що
    діагоналі цього чотирикутника перпендикулярні.
    ••
    3.55. У паралелограмі ABCD діагоналі AC і BD перетинаються
    в точці O. Відомо, що AB = a, BC = b (a l b), ∠ BOC = α. Доведіть,
    що cos α l

    a 2 − b2
    a 2 + b2

    .

    ••

    3.56. На діаметрі кола з  центром O радіуса R позначили
    точку M. Доведіть, що сума квадратів відстаней від точки M до
    кінців хорди, паралельної цьому діаметру, не залежить від ви­
    бору хорди.
    ••
    3.57. Кожна із сторін опуклого чотирикутника не більша за
    7 см. Доведіть, що для будь-якої точки чотирикутника знайдеться
    вершина, відстань від якої до цієї точки менша від 5 см.
    27

    § 2. Розв’язування трикутників

    3.58.* (т е о р е м а С т ю а р т а ). На стороні BC трикутника ABC
    взято точку D. Доведіть, що
    AB2•DC + AC2•BD – AD2•BC = BC•DC•BD.
    3.59.* Знайдіть найменше значення виразу
    1 + x2 − x + 1 + x2 − x 3 .
    2
    2
    3.60.* Доведіть, що 1 + x + 1 + x − x 3 l 3.
    *
    3.61. Доведіть, що для додатних чисел a, b і c виконується
    нерівність

    a2 − ab + b2 + b2 − bc + c2 l a2 + ac + c2 .
    3.62.* Чи існують такі три точки A, B і C, що для будь-якої
    точки X хоча б один з відрізків XA, XB, XC має ірраціональну
    довжину?

    4. Теорема синусів

    З другої ознаки рівності трикутників випливає, що сторона
    і два прилеглих до неї кути однозначно визначають трикутник.
    Отже, за вказаними елементами можна знайти дві інші сторони
    трикутника. Як це зробити, підказує така теорема.
    Т е о р е м а 4 . 1 ( т е о р е м а с и н у с і в ) . Сторони трикутника
    пропорційні синусам протилежних кутів.
    Л е м а . Хорда кола дорівнює добутку діаметра на синус
    будь-якого вписаного кута, який спирається на цю хорду.
    Д о в е д е н н я. На рисунку 4.1 відрізок MN — хорда кола з цен­
    тром у  точці O. Проведемо діаметр MP. Тоді ∠ MNP = 90° як
    вписаний кут, що спирається на діа­
    метр. Нехай величина вписаного кута
    MPN дорівнює α. Тоді з прямокутного
    P
    трикутника MPN отримуємо
    α
    O
    MN = MP sin α.
    (1)
    α
    Усі вписані кути, які спираються на
    N
    хорду
    MN, дорівнюють α або 180° – α.
    M
    Отже,
    їх синуси рівні. Тому отримана
    180° α
    рівність (1) справедлива для всіх впи­
    саних кутів, які спираються на хорду
    Рис. 4.1
    MN.
    28

    4. Теорема синусів

    Тепер ми можемо довести теорему синусів.
    Д о в е д е н н я. Нехай у трикутнику ABC AB = c, BC = a, CA = b.
    Доведемо, що
    a
    sin A

    b

    =

    sin B

    c

    =

    sin C

    .

    Нехай радіус описаного кола трикутника ABC дорівнює R. Тоді
    за лемою a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C. Звідси
    a
    sin A

    =

    b
    sin B

    =

    c
    sin C



    = 2R

    Н а с л і д о к . Радіус описаного кола трикутника можна обчислити за формулою
    R=

    a
    2sin α

    ,

    де a — сторона трикутника, α — протилежний їй кут.
    П р и к л а д 1. У  трикутнику ABC відомо, що AC = 2   см,
    BC = 1 см, ∠ B = 45°. Знайдіть кут A.
    Р о з в’я з а н н я. За теоремою синусів
    BC
    sin A

    =

    AC
    sin B

    .

    Тоді маємо:
    sin A =

    BC sin B
    AC

    =

    1æsin 45°
    2

    2

    =

    2

    1

    : 2= .
    2

    Оскільки BC < AC, то ∠ A < ∠ B. Отже, ∠ A — гострий. Звідси,
    1

    ураховуючи, що sin A = , отримуємо ∠ A = 30°.
    2

    Відповідь: ∠ A = 30°.
    П р и к л а д 2. У  трикутнику ABC відомо, що AC = 2   см,
    BC = 1 см, ∠ A = 30°. Знайдіть кут B.
    Р о з в’я з а н н я. Маємо:
    BC
    sin A

    sin B =

    =

    AC
    sin B

    AC sin A
    BC

    29

    ,

    =

    2
    2

    .

    § 2. Розв’язування трикутників

    Оскільки BC < AC, то ∠ A < ∠ B. Тоді кут B може бути
    як гострим, так і  тупим. Звідси ∠ B = 45° або ∠ B = 180° –
    – 45° = 135°.
    Відповідь: 45° або 135°.
    П р и к л а д 3. Відрізок BD  — бісек­триса трикутника ABC,
    ∠ B = 30°, ∠ C = 105°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо
    трикутника ABC, якщо радіус кола, описаного навколо трикут­
    ника BDC, дорівнює 8 6  см.
    Р о з в’я з а н н я. Нехай R1 — радіус кола, описаного навколо три­
    кутника BDC (рис. 4.2), R1 = 8 6  см.
    C
    1
    ∠ CBD = ∠ ABC = 15°.
    D
    2

    З ∆ BDC:
    ° – (∠ CBD + ∠ C) = 
    ∠ BDC = 180
    B
    °
    °
    = 180 – (15 + 105°) = 60°.

    A
    Рис. 4.2

    Тоді

    BC
    sin ∠ BDC

    = 2R1 , звідси

    BC = 2R1 sin ∠ BDC = 2æ8 6 sin 60° = 24 2 (см).
    З ∆ ABC:
    ∠ A = 180° – (∠ ABC + ∠ C) = 180° – (30° + 105°) = 45°.
    Нехай R — шуканий радіус кола, описаного навколо трикут­
    ника ABC.
    Тоді

    BC
    sin A

    = 2R, звідси R =

    BC
    2 sin A

    =

    24 2
    2 sin 45°

    = 24 (см).

    Відповідь: 24 см.
    П р и к л а д 4. У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 21 см
    і 9 см, а висота — 8 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо
    трапеції.
    C
    B
    Р о з в’я з а н н я. Проведемо висо­
    ту BM рівнобічної трапеції ABCD
    (рис. 4.3). Відомо1, що
    D
    A
    AD − BC
    M
    AM =
    ,
    2

    Рис. 4.3

    Див. ключову задачу пункту 10 книги «А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський,
    М. С. Якір. Геометрія. Підручник для 8 класу з поглибленим вивченням ма­
    те­матики. – Харків: Гімназія, 2008». Далі посилатимемося на цю книгу так:
    «Геометрія-8».
    1

    30

    4. Теорема синусів

    MD =

    BC + AD
    2

    . Маємо: AM = 6 см, MD = 15 см.

    З ∆ ABM отримуємо: AB =
    sin A =

    BM
    AB

    =

    8
    10

    AM 2 + BM 2 = 62 + 82 = 10 (см),

    4

    = .
    5

    2
    2
    2
    2
    З ∆ MBD отримуємо: BD = BM + MD = 8 + 15 = 17 (см).
    Коло, описане навколо трапеції ABCD, є  також описаним
    колом трикутника ABD. Відрізок BD  — хорда цього кола,
    ∠ A  — вписаний кут, що спирається на цю хорду. Позначив­
    ши шуканий радіус R, можна записати: BD = 2R•sin A. Звідси

    R=

    BD
    2 sin A

    =

    17
    85
    =
    (см).
    4
    8

    5

    П р и к л а д 5. На найбільшій стороні AC трикутника ABC по­
    значено точку X, відмінну від вершин A і C. З точки X опущено
    перпендикуляри XM і XN на прямі AB і BC відповідно. Знайдіть
    таке положення точки X, при якому довжина відрізка MN буде
    найменшою.
    Р о з в’я з а н н я. На рисунку 4.4 показано випадок, коли точки
    M і N лежать на сторонах трикутника, а на рисунку 4.5 — ви­
    падок, коли тільки одна точка, наприклад точка M, лежить на
    стороні трикутника.
    Легко показати, що точки M, B, N, X лежать на одному колі
    з діаметром BX. Відрізок MN — хорда цього кола, на яку спи­
    рається кут B (рис. 4.4) або кут, суміжний з кутом B (рис. 4.5).
    Для кожного з цих випадків можна записати MN = BX•sin B.
    Отже, довжина відрізка MN набуває найменшого значення, якщо
    набуває найменшого значення довжина відрізка BX. А ця умова
    досягається тоді, коли точка X є основою висоти трикутника ABC,
    проведеної з вершини B.
    B
    N
    M
    A

    B

    N
    M
    X

    C

    A

    Рис. 4.4

    C

    X
    Рис. 4.5

    31

    § 2. Розв’язування трикутників

    Вправи
    4.1.° Знайдіть сторону BC трикутника ABC, зображеного на
    рисунку 4.6 (довжини відрізків дано в сантиметрах).
    4.2.° Знайдіть кут A трикутника ABC, зображеного на рисун­
    ку 4.7 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

    B
    B

    45°

    6

    6 2
    A

    60°
    4 2

    C

    45°

    A

    Рис. 4.6

    C

    Рис. 4.7

    4.3.° Знайдіть сторону AB трикутника ABC, якщо AC =  6  см,
    ∠ B = 120°, ∠ C = 45°.
    4.4.° У трикутнику ABC відомо, що AB = 12 см, BC = 10 см,
    sin A = 0,2. Знайдіть синус кута C трикутника.
    4.5.° У трикутнику ABC відомо, що BС = a, ∠ A = α, ∠ C = γ.
    Знайдіть AB і AC.
    4.6.° Діагональ паралелограма дорівнює d і  утворює з  його
    сторонами кути α і β. Знайдіть сторони паралелограма.
    4.7.° Знайдіть кут A трикутника ABC, якщо:
    1) AC = 2 см, BC = 1 см, ∠ B = 135°;
    2) AC = 2  см, BC = 3  см, ∠ B = 45°.
    Скільки розв’язків у кожному з випадків має задача? Відпо­
    відь обґрунтуйте.
    4.8.° Чи існує трикутник ABC такий, що sin A = 0,4, AC = 18 см,
    BC = 6 см? Відповідь обґрунтуйте.
    4.9.° На продовженні сторони AB трикутника ABC за точку B
    позначено точку D. Знайдіть радіус кола, описаного навколо
    трикутника ACD, якщо ∠ ABC = 60°, ∠ ADC = 45°, а радіус кола,
    описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 4 см.
    4.10.° Радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорів­
    нює 6 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника
    AOC, де O — точка перетину бісектрис трикутника ABC, якщо
    ∠ ABC = 60°.
    32

    4. Теорема синусів

    A

    B
    β

    a

    C

    γ
    D

    α

    A

    C

    Рис. 4.8

    B

    β
    m

    D

    Рис. 4.9

    4.11.° За рисунком 4.8 знайдіть AD, якщо CD = a.
    4.12.° За рисунком 4.9 знайдіть AC, якщо BD = m.
    4.13.° На стороні AB трикутника ABC позначено точку M так,
    що ∠ AMC = ϕ. Знайдіть відрізок CM, якщо AB = c, ∠ A = α,
    ∠ ACB = γ.
    4.14.° У  трикутнику ABC відомо, що ∠ A = α, ∠ B = β. На
    стороні BC позначено точку D так, що ∠ ADB = ϕ, AD = m.
    Знайдіть сторону BC.

    4.15. Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють
    sin A, sin B, sin C, де A, B і C — кути даного трикутника ABC.

    4.16. Доведіть, користуючись теоремою синусів, що бісектриса
    трикутника поділяє його сторону на відрізки, довжини яких
    пропорційні прилеглим сторонам1.

    4.17. Доведіть, що бісектриса трикутника поділяє його сто­
    рону на відрізки, довжини яких обернено пропорційні синусам
    прилеглих до цієї сторони кутів.

    4.18. Для сторін і кутів трикутника ABC виконується рівність
    BC
    cos A

    =

    AC
    cos B

    . Доведіть, що AC = BC.



    4.19. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 12 см, а ви­
    сота, проведена до третьої сторони, — 4 см. Знайдіть радіус кола,
    описаного навколо даного трикутника.

    4.20. Знайдіть радіус кола, описаного навколо рівнобедреного
    трикутника з основою 16 см і бічною стороною 10 см.

    4.21. Сторона трикутника дорівнює 24 см, а радіус описаного
    кола — 8 3  см. Чому дорівнює кут трикутника, протилежний
    даній стороні?

    4.22. У трикутнику ABC AC = b, ∠ A = α, ∠ C = γ. Знайдіть
    бісектрису BD трикутника.
    1
      Нагадаємо, що цей факт було доведено у 8 класі з використанням теореми
    про пропорційні відрізки (див. «Геометрія-8», п. 16, теорема 16.2).

    33

    § 2. Розв’язування трикутників


    4.23. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, про­
    тилежний їй кут дорівнює α. Знайдіть бісектрису трикутника,
    проведену з вершини кута при основі.

    4.24. Відрізок CD  — бісектриса трикутника ABC, у  якому
    ∠ A = α, ∠ B = β. Через точку D проведено пряму, яка паралельна
    стороні BC і перетинає сторону AC у точці E, причому AE = a.
    Знайдіть CE.

    4.25. Медіана AM трикутника ABC дорівнює m і  утворює зі
    ­сторонами AB і  AC кути α і  β відповідно. Знайдіть сторони AB
    і AC.

    4.26. Медіана CD трикутника ABC утворює зі сторонами AC
    і BC кути α і β відповідно, BC = a. Знайдіть медіану CD.

    4.27. У прямокутному трикутнику ABC через вершини A і C
    і середину M гіпотенузи AB проведено коло радіуса R. Знайдіть
    радіус описаного кола трикутника CMB, якщо ∠ A = α.

    4.28. Висоти непрямокутного трикутника ABC перети­
    наються в точці H. Доведіть, що радіуси кіл, описаних навколо
    трикут­ників AHB, BHC, AHC і ABC, рівні.

    4.29. Центр вписаного кола рівнобедреного трикутника ділить
    висоту, проведену до основи, на відрізки завдовжки 5 см і 3 см,
    рахуючи від вершини. Знайдіть радіус описаного кола.
    ••
    4.30. Діагоналі описаного чотирикутника ABCD перетина­
    ються в точці O. Радіуси описаних кіл трикутників AOB, BOC,
    COD, DOA відповідно дорівнюють R1, R2, R3, R4. Доведіть, що
    R1 + R3 = R2 + R4.
    ••
    4.31. На стороні AB трикутника ABC позначено точки M і N.
    Відомо, що радіуси описаних кіл трикутників ANC і BMC рівні.
    Крім того, радіуси описаних кіл трикутників AMC і BNC також
    рівні. Доведіть, що трикутник ABC є рівнобедреним.
    ••
    4.32. З  точки M кола проведено три хорди MN = 1  см,
    MP = 6 см, MQ = 2 см. Відомо, що ∠ NMP = ∠ PMQ. Знайдіть
    радіус кола.
    ••
    4.33. З  точки M, яка належить куту, на його сторони AB
    і AC опустили перпендикуляри, які дорівнюють 7  см і 2 7  см.
    Знайдіть MA, якщо ∠ A = 60°.
    ••
    4.34. Дано дві прямі, які перетинаються і кут між якими до­
    рівнює α. Знайдіть геометричне місце точок X таких, що відстань
    між основами перпендикулярів, проведених з точки X до даних
    прямих, дорівнює заданій величині a.
    34

    4. Теорема синусів
    ••

    4.35. З  точки M кола на його діаметри AB і  CD опустили
    перпендикуляри. Доведіть, що відстань між основами перпенди­
    кулярів не залежить від вибору точки M.
    ••
    4.36. Навколо трикутника ABC описано коло. З  довільної
    точки M кола проведено перпендикуляри MN і MK до прямих
    AB і  AC відповідно. Для якої точки M довжина відрізка NK
    є максимальною?
    ••
    4.37. Бісектриси трикутника ABC перетинаються в точці O.
    Пряма AO вдруге перетинає описане коло трикутника BOC в точ­
    ці M. Знайдіть OM, якщо BC = 3 см, ∠ BAC = 120°.
    ••
    4.38. Точка J — центр вписаного кола трикутника ABC. Пря­
    ма AJ вдруге перетинає описане коло трикутника ABC у точці D.
    Знайдіть DJ, якщо BC = 6 см, а радіус описаного кола дорівнює
    2 3  см.
    ••
    4.39. У трикутнику ABC на стороні AB існує така точка D,
    що

    AD
    DC

    =
    ••

    AB
    BC

    . Доведіть, що кут C — тупий.

    4.40. На діагоналі BD квадрата ABCD позначили точку E.
    Нехай O1 і O2 — центри описаних кіл трикутників ABE і ADE
    відповідно. Доведіть, що чотирикутник AO1EO2 — квадрат.
    4.41.* Діагоналі вписаного чотири­
    кутника ABCD перетинаються в точ­
    B
    ці K. Відомо, що AB = a, CD = b,
    C
    ∠ BKA = α. Знайдіть радіус кола,
    описаного навколо чотирикут­ника.
    N
    4.42.* У  коло вписано чотирикут­
    D
    A
    ник ABCD (рис. 4.10). Прямі AB і CD
    перетинаються в  точці M, а  прямі
    M
    BC і  AD  — у  точці N. Відомо, що
    Рис. 4.10
    BM = DN. Доведіть, що CM = CN.

    35

    § 2. Розв’язування трикутників

    Коли зроблено уроки
    Тригонометрична форма теореми Чеви
    У 8 класі ви вивчали теорему Чеви. Нагадаємо її.
    Т е о р е м а Ч е в и . Для того щоб чевіани AA1, BB1 і CC1 трикутника ABC перетиналися в одній точці (рис. 4.11), необхідно
    й достатньо, щоб виконувалася рівність
    AC1 BA1 CB1
    æ
    æ
    = 1.
    A1 C B1 A


    B
    6 5

    C1
    3

    A

    A1
    1

    4

    B1
    Рис. 4.11

    2

    Теорема синусів дозволяє записати
    критерій конкурентності прямих AA1,
    BB1, CC1 в іншій формі.
    Позначимо кути, які чевіани AA1, BB1
    і CC1 утворюють зі сторонами трикутника
    C ABC, так, як показано на рисунку 4.11.
    З трикутника AC1C отримуємо:
    AC1

    CC1
    CC1

    З трикутника BC1C отримуємо:

    C1 B

    Звідси


    (*)

    C1 B

    AC1
    C1 B

    =

    sin ∠ 1
    sin ∠ C1 AC

    =

    =

    sin ∠ 1

    sin ∠ C1 AC

    sin ∠ C1 BC
    sin ∠ 2

    sin ∠ C1 BC

    æ

    sin ∠ 2

    .

    .

    .

    (1)

    ,

    (2)

    .

    (3)

    Аналогічно можна показати, що



    BA1
    A1 C
    CB1
    B1 A

    =
    =

    sin ∠ 3
    sin ∠ C1 BC
    sin ∠ 5
    sin ∠ A1 CA

    æ

    sin ∠ A1 CA

    æ

    sin ∠ 4
    sin ∠ C1 AC
    sin ∠ 6

    Перемноживши рівності (1), (2) і (3), отримаємо:
    AC1 BA1 CB1
    sin ∠ 1æsin ∠ 3æsin ∠ 5
    æ
    æ
    =
    .
    C1 B A1 C B1 A sin ∠ 2æsin ∠ 4æsin ∠ 6

    Тоді необхідну і достатню умови конкурентності чевіан AA1,
    BB1 і CC1 можна виразити такою рівністю:
    sin ∠ 1æsin ∠ 3æsin ∠ 5

    sin ∠ 2æsin ∠ 4æsin ∠ 6

    36

    = 1.

    Коли зроблено уроки

    П р и к л а д. Шестикутник ABCDEF вписано в коло. Доведіть,
    що діагоналі AD, BE і  CF перетинаються в  одній точці тоді
    і тільки тоді, коли
    B
    AB•CD•EF = BC•DE•FA.
    Р о з в’я з а н н я.����������������
    Розглянемо три­
    C
    кутник ACE. Введемо позначення кутів
    6
    5
    так, як показано на рисунку 4.12. Не­
    3
    A
    хай радіус кола дорівнює R.
    4
    D
    Тоді:
    AB = 2R sin ∠ 1;
    BC = 2R sin ∠ 2;
    1 2
    CD = 2R sin ∠ 3;
    F
    E
    DE = 2R sin ∠ 4;
    EF = 2R sin ∠ 5;
    Рис. 4.12
    FA = 2R sin ∠ 6.
    Звідси

    sin ∠ 1æsin ∠ 3æsin ∠ 5
    sin ∠ 2æsin ∠ 4æsin ∠ 6

    =

    ABæCDæEF
    BCæDEæFA

    .

    Діагоналі AD, BE і  CF є  конкурентними тоді і  тільки тоді,
    коли ліва частина записаної рівності дорівнює 1. Звідси випливає
    справедливість твердження, що доводиться.

    Вправи
    1. На сторонах AB, BC і CA трикутника ABC позначено відпо­
    відно точки C1, A1 і B1 так, що прямі AA1, BB1 і CC1 конкурентні.
    Доведіть, що прямі AA2, BB2 і CC2, симетричні прямим AA1, BB1
    і CC1 відносно бісектрис кутів A, B і C відповідно, також конку­
    рентні.
    B
    2. На сторонах AB, BC і  CA
    трикутника ABC позначено від­
    повідно точки C1, A1 і B1 так, що
    A1
    прямі AA1, BB1 і CC1 конкурентні
    B2
    C1
    (рис. 4.13). На сторонах A1B1,
    B1C1 і  C1A1 трикутника A1B1C1
    позначено відповідно точки C2,
    C2
    A
    A2 і B2 так, що прямі A1A2, B1B2
    α1 2
    і  C 1C 2 конкурентні. Доведіть,
    α2
    C
    B1
    що прямі AA2, BB2 і CC2 також A
    конкурентні.
    Рис. 4.13
    37

    § 2. Розв’язування трикутників

    Вказівка. Доведіть, що
    sin α1
    sin α 2

    =

    AB1 æC1 A2
    A2 B1 æ AC1

    .

    Формула Ейлера для знаходження відстані між центрами
    вписаного і описаного кіл трикутника
    Т е о р е м а . Відстань d між центрами вписаного і описаного
    кіл трикутника обчислюється за формулою
    d = R2 − 2Rr
    де r і R — відповідно радіуси його вписаного і описаного кіл.
    Д о в е д е н н я. Нехай O1 і O — центри вписаного і описаного кіл
    відповідно (рис. 4.14). Бісектриса кута B перетинає описане коло
    в точці D. Згідно з ключовою задачею 18.25 («Геометрія-8»)


    BO1•O1D = R2 – O1O2 = R2 – d2.

    (*)

    Нехай вписане коло дотикається до сторони BC у точці K. Тоді
    з трикутника O1BK отримуємо: BO1 =

    O1 K
    sin ∠ DBC

    =

    r
    sin ∠ DBC

    .

    За лемою п. 4 маємо: DC = 2R sin ∠ DBC. Згідно з ключовою
    задачею 11.25 («Геометрія-8») O1D = DC = 2R sin ∠ DBC. Отри­
    мані результати підставляємо у формулу (*):
    r
    sin ∠ DBC

    æ2R sin ∠ DBC = R 2 − d2 .

    B
    K
    O1

    O
    C

    A

    D
    Рис. 4.14

    Звідси d2 = R2 – 2Rr. 
    Оскільки d2 = R2 – 2Rr, то R2 –
    – 2Rr l 0. Звідси отримуємо, що для
    будь-якого трикутника виконується
    нерівність
    R l 2r.
    У цій нерівності рівність досяга­
    ється тоді і тільки тоді, коли центри
    вписаного і  описаного кіл трикут­
    ника збігаються. Така властивість
    притаманна лише рівносторонньому
    трикутнику.
    38

    Геометрія. 9 клас

    Відповіді та вказівки
    1.6. 3 : 5. 1.21. 126 см. 1.23. 60°. 1.24. 45°. 1.25. 60° і 120°.
    1.26. 2a. 1.40. Вказівка. Доведіть, що œ ABG = œ DBC. 1.42. Вказівка. Скористайтеся тим, що середини діагоналей і середини
    двох протилежних сторін чотирикутника є вершинами паралело­
    грама, сторони якого дорівнюють половинам двох інших сторін
    чотирикутника. 1.43. Вказівка. Нехай точка M  — середина
    відрізка AB. Тоді OM =

    1
    1
    AB, а CM < (CB + CA). 1.44. Вказівка.
    2
    2

    Побудуйте паралелограми ACBD і BAKC. 1.47. Вказівка. Чоти­
    рикутники AKLD і KBCL — вписані. Нехай F — точка перетину
    CK і AD. Тоді ∠ CKD = ∠ KFD + ∠ KDF. 1.48. Вказівка. Скорис­
    тавшись тим, що чотирикутник AKHL — вписаний, доведіть, що
    ∠ BKL + ∠ BCL = 180°. 1.49. Вказівка. Нехай O — центр описа­
    ного кола трикутника BJC. Доведіть, що чотирикутник ABOC —
    вписаний. 1.51. 60° або 120°. 1.52. Вказівка. Із подібності
    трикутників ABD і ACB випливає, що AD = AB , звідки з ураху­
    AB AC
    AD
    AB 1.53. Вказівка.
    ванням AB  =  DC можна записати
    =
    .
    DC AC

    Доведіть, що EF C AC. 1.54. 3 5. Вказівка. Скористайтеся тим,
    що CL — бісектриса кута HCM. 1.55. Вказівка. AC > AB – BC = 
    = 5 см. Нехай AD = 3x, тоді CD = 2x, де x > 1. Можна записати
    BD2 = 150 – 6x2 < 144. 1.56. Вказівка. œ CBO " œ CAB, звідси
    CO•CA  =  CB2. Крім того, œ CBO " œ DBC, і можна записати
    BO•BD = CB2. 1.58. Вказівка. І с п о с і б. Нехай E — точка пере­
    тину прямих DA і CB (див. рисунок).
    E

    Тоді
    A

    B

    C

    D

    Рис. до задачі 1.58

    EA EB
    =
    , крім того, EB2 = EA•ED.
    ED EC

    З двох отриманих рівностей випливає,
    що ED2 = EB•EC. ІІ с п о с і б. Розглянемо
    трикутники ABD і CDB. Маємо: ∠ ABD  =
    =  ∠ CDB, ∠ BAD  =  ∠ CBD. Звідси
    ∠ BDA = ∠ BCD. 1.59. Вказівка. Дове­
    діть, що чотирикутник MBNK — впи­
    саний, а потім скористайтеся властивіс­
    тю, оберненою до властивості кута між
    дотичною і хордою. 1.60. 2R ( 5 − 2).
    242

    Відповіді та вказівки

    Вказівка. Скористайтеся теоремою Птолемея. 1.61.

    bd
    cd
    ,
    .
    b+c b+c

    Вказівка. Трикутники AFC і AFB рівновеликі. 1.63. Вказівка.
    Нехай F — точка перетину прямої BE з основою AD. Тоді площа
    кожного із зазначених трикутників дорівнює половині площі
    паралелограма BCDF. 1.64. Вказівка. Проведіть пряму MF пара­
    лельно DE (див.  рисунок). Доведіть, що œ ABM  =  œ MFC.
    1.65. Вказівка. Доведіть, що чотирикут­
    E
    ники BCDM і ABCM — паралелограми.
    F
    B
    1.66.  Вказівка. Слід побудувати коло,
    яке проходить через точки C і D і доти­
    кається до хорди AB. 1.67. Вказівка.
    Нехай прямі MQ і PN перетинають пря­
    D
    му AC у точках F і F1 відповідно. Засто­
    C
    сувавши теорему Менелая до трикутника A
    M
    ACD і прямої MQ, а також до трикутни­
    Рис. до задачі 1.64
    ка ACB і прямої PN, доведіть, що точ­
    ки F і F1 збігаються. 1.68. Вказівка. Скористайтеся тим, що точ­
    13
    4
    5
    ;
    2) 35 ; 3)
    12
    6
    3
    2.17. 1) 1; 2) ;
    2

    ка B — центр зовнівписаного кола трикутника AKC. 2.12. 3)
    4
    12
    . 2.13. 1) − 12 ;
    або − 13 ; 4) 0,6; 5) − ; 6)
    3
    5
    13
    4

    8
    5
    . 2.16. 1) 2 − 3; 2) –2,5; 3) − 3 − 2; 4) .
    15
    4
    2
    1
    1
    ; у тупо­
    3) . 2.24. − . 2.25. 120°. 2.26. У гострокутному: −
    3
    2
    3
    1

    4) −

    кутному:

    3

    . 2.27. 45°. 2.28. 120°. 2.29. 60° або 120°. 2.30. 15°,

    або 75°, або 105°, або 165°. 2.31. 1. 2.32. 1. 3.3. 120°. 3.4. 45°.
    3.10. 2 7 см. 3.11.
    3.14. 3 89 см. 3.15.

    10 см. 3.12. 13 см. 3.13. a 2 + 2 .

    a 2 + b2 + ab 2 . 3.16.

    a 2 + b2 − ab . 3.17. 15 см,

    24 см. 3.18. 2 см, 4 3 см. 3.19. 3 см, 5 см. 3.20. 10 см, 6 см,
    14 см. 3.21. 6 см або 10 см. 3.22. 75 см. 3.26. 14 см. 3.27. 34 см.
    3.28. 7 см, 9 см. 3.29.  20 см, 30 см. 3.30. 11 см. 3.31. 22 см.
    3.32.

    21 см або

    29 см. 3.33. 13 см. 3.34.

    79 см. 3.36.

    247
    см.
    7

    3.37. Ні. 3.39. 6 см. 3.42. Вказівка. Скориставшись ключовою
    243

    Геометрія. 9 клас

    задачею п. 3, доведіть, що

    4 2 4 2
    m + m = c2 . 3.44. Вказівка. Нехай
    9 a 9 b

    AB  — діаметр одного кола, точка X  — точка другого кола.
    Якщо точка X не належить прямій AB, то розгляньте паралело­
    грам, сторони якого — відрізки XA і XB. 3.45. Вказівка. Сере­
    дини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма.
    3.46.

    m 2 + n 2 + mn ,

    m 2 + n 2 − mn .

    3.47.

    1
    a 2 + b2 + ab 2 ,
    2

    1
    a 2 + b2 − ab 2 . 3.48. 5 см. Вказівка. Доведіть, що в даній тра­
    2

    пеції середини діагоналей і основ є вершинами прямокутника.
    3.49. 8 см. Вказівка. Проведіть через вершину B пряму, яка па­
    ралельна стороні CD, і розгляньте трикутник, який при цьому
    утворився. 3.50. 13 . 3.51. 120°. Вказівка. Через вершину C про­
    20

    ведіть пряму, паралельну діагоналі BD. 3.52. a 2 + c2 + ac або
    a 2 + c2 − ac . Вказівка. Скористайтеся тим, що œ C1BA1 " œ ABC
    з коефіцієнтом подібності, рівним | cos B |. 3.53. 25 см. Вказівка.
    Використовуючи теорему про бісектрису, покажіть, що DC : CE =
    =  5 : 1. Застосуйте теорему косинусів до трикутника ABE.
    3.54. Вказівка. Доведіть, що косинус кута між діагоналями чо­
    тирикутника дорівнює 0. 3.55. Вказівка. Нехай діагоналі пара­
    лелограма дорівнюють d 1 і d 2. Маємо: b2 =
    a2 =

    d12 d22 d1d2
    +

    cos α,
    4
    4
    2

    d12 d22 d1d2
    a2 − b2
    . Скористайтеся тим,
    +
    +
    cos α. Звідси cos α =
    d1d2
    4
    4
    2

    що d1d2 m

    d12 + d22
    . 3.56. Вказівка. На даному діаметрі оберіть точ­
    2

    ку M1 таку, що OM1 = OM. Нехай хорда CD паралельна діаметру.
    Тоді CM2 + DM2 = DM2 +  DM 12 . 3.57. Вказівка. Нехай X — до­
    вільна точка даного чотирикутника ABCD. Тоді один з кутів AXB,
    BXC, CXD, DXA є не гострим. Нехай, наприклад, ∠ AXB l 90°.
    Припустивши, що XA l 5 і XB l 5, покажіть, що AB > 7.
    3.59. 2. Вказівка. Очевидно, що при x m 0 найменше значення
    не може бути досягнуто. При x > 0 розгляньте трикутник AOB,
    у якого ∠ O = 90°, OA = OB = 1. Побудуйте промінь OC так, що
    ∠ AOC = 60°, ∠ BOC = 30°. Нехай M — довільна точка променя
    OC, відмінна від точки O. Позначимо OM  =  x. Скористайтеся
    тим, що MA + MB l AB. 3.61. Вказівка. Розгляньте відрізки OA,
    244

    Відповіді та вказівки

    OB і OC такі, що OA  =  a, OB  =  b, OC  =  c, ∠ AOB  =  60°,
    ∠ BOC = 60°. 3.62. Існують. Вказівка. Виберіть точки A, B і C
    на одній прямій так, щоб AB = 2 − 1, AC  =  CB. 4.9. 2 6 см.
    4.10. 6 см. 4.11.
    4.14.

    a sin β
    . 4.12. m sin α sin β . 4.13. c sin α sin (α + γ ) .
    cos (β + γ ) sin γ
    sin (α − β)
    sin γ sin ϕ

    m sin α sin ϕ
    . 4.18. Вказівка. Доведіть, що tg A  =  tg B.
    sin β sin (α + β)

    4.19. 9 см. 4.20.

    25
    см. 4.21. 60° або 120°. 4.22.
    3

    b sin α sin γ
    .
    α−γ
    sin (α + γ )cos
    2

    α
    a sin α
    2
    4.23.
    . 4.24.
    . Вказівка. Доведіть, що CE = DE.
    sin β

    sin 45° +
    4
    2m sin β
    2m sin α
    4.25.
    ,
    . Вказівка. На продовженні медіани AM
    sin (α + β) sin (α + β)
    a cos

    (

    )

    за точку M позначте точку K таку, що AМ = MK, та застосуйте
    теорему синусів до трикутника ACK. 4.26.

    a sin (α + β)
    . 4.27. R tg α.
    2 sin α

    4.28. Вказівка. Виразіть кути AHB, BHC і AHC через кути три­
    кутника ABC. 4.29.

    25
    см. Вказівка. Скориставшись теоремою
    4

    про бісектрису, знайдіть косинус кута при основі рівнобедреного
    трикутника. 4.32. 2

    34
    см. Вказівка. Застосувавши теорему
    15

    косинусів до трикутників MNP і MQP, знайдіть косинус кута
    PMQ. 4.33.

    14 3
    . Вказівка. Якщо M1 і M2 — основи перпенди­
    3

    кулярів, то навколо чотирикутника MM1AM2 можна описати
    коло. 4.34. Коло радіуса

    a
    з центром у точці перетину даних
    sin α

    прямих. 4.36. AM  — це діаметр. Вказівка. Точки A, N, M, K
    лежать на одному колі. 4.37. 6 см. Вказівка. Покажіть, що
    ∠ BOC = 150°. Доведіть, що відрізок OM є діаметром описаного
    кола трикутника BOC. 4.38. 6 см або 2 3 см. Вказівка. Скорис­
    тайтеся тим, що DC  =  DJ  =  DB. 4.39. Вказівка. Доведіть, що
    sin ∠ ACD  =  sin ∠ ACB. 4.40. Вказівка. AE  =  2O1 A•sin 45°,
    245

    Геометрія. 9 клас

    AE  =  2O2A•sin 45°. Звідси AO1  =  AO2. 4.41.

    a 2 + b 2 + 2ab cos α
    .
    2 sin α

    Вказівка. Позначте на колі таку точку M, що ∪DM = ∪DC + ∪AB
    (див. рисунок). Тоді CM = a, ∠ DCM = 180° – α. 4.42. Вказівка.
    BM
    CM
    DN
    CN
    =
    =
    =
    . Далі скористайте­
    sin ∠ BCM sin ∠ CBM sin ∠ DCN sin ∠ CDN

    ся тим, що sin ∠ CBM = sin ∠ ABC =

    B
    M

    a
    α

    A

    K

    b

    D

    C

    = sin ∠ ADC = sin ∠ CDN. 5.12. 107°,
    73°, 132°, 48°. Вказівка. Проведіть
    через одну з вершин верхньої основи
    пряму, паралельну бічній стороні тра­
    пеції, і розгляньте три­кутник, який
    при цьому утворився. 6.2. 1) 60° або
    120°; 2) 90°. 6.3. 30° або 150°.
    6.6. 12 см. 6.7. 24 см. 6.8. 1)

    3
    см,
    2

    25
    см; 2) 8 см, 145 см. 6.9. 2 см,
    8
    8
    2
    2
    145 см. 6.14. a sin β sin γ 6.15. b sin α sin (α + β) . 6.16. h1h2 .
    .
    2 sin β
    2 sin α
    8
    2 sin (β + γ )
    Рис. до задачі 4.41

    6.17.

    h 2 sin β
    . 6.18. 51 см2, 75 см2, 84 см2. 6.19. 24 см.
    2 sin α sin (α + β)
    7

    Вказівка. Скористайтеся тим, що SABC = SABD + SACD. 6.20. 360 см2.
    Вказівка. Проведіть через один з кінців верхньої основи трапеції пряму, яка паралельна бічній стороні трапеції, і зна­йдіть висоту трикутника, який ця пряма відтинає від трапеції.
    6.21. 12 5 см2. Вказівка. Нехай ABCD — дана трапеція, BC C AD.
    Проведіть через вершину C пряму, яка паралельна прямій BD
    і перетинає пряму AD у точці E. Доведіть, що трикутник ACE
    і  дана трапеція рівно­великі. 6.22. 19,5 см. 6.24. 13 см, 14 см,
    15 см. 6.25. 36 см2. 6.26. 13 см, 15 см. Вказівка. Нехай точки
    дотику вписаного кола ділять одну з невідомих сторін на відріз­
    ки 6 см і x см, а другу — на відрізки 8 см і x см. Виразіть площу
    трикутника двома способами: за допомогою формули Герона і че­
    рез радіус вписаного кола. 6.27. Вказівка. Скористайтеся форму­
    лою для знаходження радіуса зовнівписаного кола і формулою
    Герона. 6.28. Вказівка. Виразіть висоти через площу трикутника
    і відповідні сторони. 6.32. Вказівка. Нехай відрізок AK — бісек­
    246

    Геометрія. 9 клас

    Додаток 1
    Зміст програми з ГЕОМЕТРІЇ (9 клас)
    для класів з поглибленим вивченням математики
    Затверджено Міністерством освіти і науки України
    (лист № 1/11-2151 від 30.05.2008 р.)

    Структура програми

    Програма подана у формі таблиці, яка містить дві частини: зміст навчального
    матеріалу і вимоги до підготовки учнів.
    У частині «Зміст навчального матеріалу», яка оформлена прямим шрифтом,
    включено зміст програми для загальноосвітніх навчальних закладів. Текст,
    оформлений курсивом, містить навчальний матеріал, який вивчається у класах
    з поглибленим рівнем математики.
    Програма передбачає можливість вивчення змісту курсу з різним степенем
    повноти. Додаткові питання і теми, узяті в квадратні дужки, можна не вивчати,
    що дозволяє вчителеві залежно від конкретних умов варіювати об’єм матеріалу,
    який вивчається, і відповідно ступінь поглиблення і розширення курсу.

    9-й клас. Геометрія

    (105 год. І семестр — 48 год, 3 год на тиждень,
    ІІ семестр — 57 год, 3 год на тиждень)
    К-ть
    год.
    6
    16

    Зміст навчального матеріалу

    Державні вимоги до рівня
    підготовки учнів

    Тема 1. Повторення і систематизація навчального
    матеріалу з курсу 8 класу
    Тема 2. Розв’язування трикутників
    Синус, косинус, тангенс і котан­генс
    як функції кута від 0° до 180°.
    Співвідношення між основними
    тригонометричними функціями:
    sin α
    sin2 α + cos2 α = 1, tg α =
    ,
    cos α
    cos α
    ctg α =
    .
    sin α
    Тотожності sin (180° – α) = sin α,
    cos (180° – α) = –cos α,
    tg (180° – α) = –tg α,
    ctg (180° – α) = –ctg α.
    Теореми косинусів і синусів.
    Властивість сторін і діагоналей
    паралелограма.
    Формула для знаходження довжи­
    ни медіани через сторони трикут­
    ника.
    Застосування формули a = 2R sin α

    264

    Формулює означення: синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута
    від 0° до 180°;
    теореми: синусів, косинусів,
    про сторони і діагоналі паралелограма.
    Записує співвідношення між тригонометричними функціями.
    Доводить теореми: синусів,
    косинусів, про сторони і діагоналі
    паралелограма;
    формули: для обчислення радіуса
    описаного кола трикутника, для
    обчислення площі трикутника
    і чотирикутника.
    Володіє алгоритмами розв’я­
    зування трикутників.
    Застосовує вивчені теореми для
    розв’язування задач.

    Додатки
    К-ть
    год.

    Зміст навчального матеріалу

    Державні вимоги до рівня
    підготовки учнів

    Розв’язування трикутників.
    [Тригонометрична форма теореми
    Чеви. Формула Ейлера для знахо­
    дження відстані між центрами впи­
    саного і описаного кіл трикутника.]
    Формули для знаходження площі
    трикутника.
    Формула для знаходження площі
    чотирикутника через його діагоналі
    та кут між ними.
    8

    Тема 3. Правильні многокутники
    Правильні многокутники та їх
    властивості. Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних
    многокутників.
    Побудова правильних многокутників.
    Довжина кола. Довжина дуги кола.
    Площа круга та його частин.

    18

    Формулює означення: правильного многокутника, кругового
    сектора, кругового сегмента;
    теореми: про відношення довжини
    кола до його діаметра, про довжину кола, про площу круга і його
    частин.
    Доводить формули для обчислення радіусів вписаного і описаного
    кіл правильного многокутника.
    Будує правильний шестикутник.
    Застосовує вивчені означення і
    теореми для розв’язування задач.

    Тема 4. Декартові координати на площині
    Прямокутна система координат на
    площині. Формула відстані між
    точками із заданими координатами.
    Поділ відрізка в заданому відношен­
    ні. Координати середини відрізка.
    Рівняння фігури. Загальне рівняння
    прямої. Рівняння прямої з кутовим
    коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка
    проходить через дві дані точки.
    Умови паралельності і перпенди­
    кулярності двох прямих. Формула
    відстані від точки до прямої.
    Рівняння кола. Взаємне розміщен­
    ня прямої і кола.
    Метод координат.
    [Коло Аполлонія. Формула Лейбніца.]

    265

    Описує прямокутну систему координат.
    Формулює означення рівняння
    фігури, умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.
    Записує формули: відстані між
    двома точками, координат сере­
    дини відрізка, координат точки
    поділу відрізка в даному відношенні, відстані від точки до прямої;
    рівняння кола, загальне рівняння
    прямої, рівняння прямої з кутовим
    коефіцієнтом, рівняння прямої, яка
    проходить через дві дані точки.
    Доводить формули: відстані між
    двома точками, координат сере­
    дини відрізка; умову паралельності двох прямих.
    Виводить: загальне рівняння прямої, рівняння кола.
    Застосовує вивчені означення і
    теореми для розв’язування задач.

    Геометрія. 9 клас
    К-ть
    год.
    19

    Зміст навчального матеріалу

    Тема 5. Вектори на площині
    Скалярні й векторні величини.
    Поняття вектора. Модуль і напрям
    вектора. Рівні вектори. Протилежні вектори. Координати вектора.
    Додавання і віднімання векторів. Множення вектора на число.
    Колінеарні вектори. Розкладання
    вектора за двома неколінеарними
    век­то­рами. Скалярний добуток
    векторів і його властивості.
    Застосування векторів до
    розв’язування задач і доведення
    теорем.

    20

    Описує поняття вектора.
    Формулює означення понять:
    модуль вектора, колінеарні вектори, рівні вектори, протилежні
    вектори, координати вектора,
    сума і різниця двох векторів, добуток вектора і числа, скалярний
    добуток двох векторів;
    властивості дій над векторами;
    теорему про розкладання вектора
    за двома неколінеарними векторами.
    Доводить формули для обчислення: координат вектора, який
    є результатом дій над векторами,
    скалярного добутку двох векторів,
    заданих координатами.
    Застосовує вивчені означення і
    теореми для розв’язування задач.

    Тема 6. Геометричні перетворення
    Поняття про перетворення фігури.
    Рух (переміщення) фігури і його
    властивості. Рівність фігур.
    [Композиція рухів.]
    Паралельне перенесення. Симетрії
    відносно точки та прямої. Поворот.
    Застосування рухів фігури для
    розв’язування задач.
    Гомотетія та її властивості. Перетворення подібності та його властивості. Площі подібних фігур.
    Застосування перетворень подіб­ності та гомотетії для
    розв’язування задач.
    [Інверсія. Застосування інверсії
    для розв’язування задач.]

    8

    Державні вимоги до рівня
    підготовки учнів

    Описує поняття перетворення.
    Формулює означення понять: рух,
    паралельне перенесення, осьова
    і центральна симетрії, поворот, гомотетія, перетворення подібності,
    рівні фігури;
    властивості: руху, гомотетії, перетворення подібності, площ подіб­
    них фігур.
    Доводить, що паралельне перенесення, симетрії відносно прямої
    й точки, поворот є рухами.
    Задає паралельне перенесення за
    допомогою координат.
    Застосовує вивчені означення і
    теореми для розв’язування задач.

    Тема 7. Початкові відомості з стереометрії
    Взаємне розташування
    прямих у просторі. Взаємне
    розташування площин. Взаємне
    розташування прямої та площини.
    Перпендикуляр до площини.

    266

    Описує взаємне розміщення
    в просторі двох прямих; прямої та
    площини; двох площин.
    Пояснює, що таке:
    пряма призма, піраміда, циліндр,

    Додатки
    К-ть
    год.

    Зміст навчального матеріалу
    Пряма призма. Піраміда. Площа
    поверхні та об’єм призми
    і піраміди.
    Циліндр. Конус. Куля. Площі
    поверхонь і об’єми циліндра,
    конуса і кулі.
    Розв’язування задач на обчислення
    площ поверхонь і об’ємів, у тому
    числі прикладного характеру.

    10

    Державні вимоги до рівня
    підготовки учнів
    конус, куля та їх елементи;
    поверхня і об’єм многогранника
    і тіла обертання.
    Зображує і знаходить на рисунках
    многогранники і тіла обертання та
    їх елементи.
    Записує і пояснює формули для
    обчислення площ поверхонь
    і об’ємів зазначених у програмі
    геометричних тіл.
    Застосовує вивчені означення
    і властивості до розв’язання
    задач, у т.ч. прикладного змісту.

    Тема 8. Повторення і систематизація навчального
    матеріалу

    Додаток 2
    Орієнтовне календарне планування з геометрії (9 клас)
    для класів з поглибленим вивченням математики


    Зміст навчального матеріалу

    Кіль­кість
    годин

    Тема 1. Повторення і систематизація навчального матеріалу
    з курсу геометрії 8 класу (6 год)
    1

    Повторення й систематизація навчального матеріалу

    5

    2

    Контрольна робота № 1

    1

    Тема 2. Розв’язування трикутників (16 год)
    3

    Синус, косинус і тангенс кута від 0° до 180°

    2

    4

    Теорема косинусів

    3

    5

    Теорема синусів

    3

    6

    Розв’язування трикутників

    3

    7

    Формули для знаходження площі трикутника

    4

    8

    Контрольна робота № 2

    1

    Тема 3. Правильні многокутники (8 год)
    9

    Правильні многокутники

    4

    10

    Довжина кола. Площа круга

    3

    11

    Контрольна робота № 3

    1

    267

    Геометрія. 9 клас


    Зміст навчального матеріалу

    Кіль­кість
    годин

    Тема 4. Декартові координати на площині (18 год)
    12

    Відстань між двома точками із заданими координатами.
    Поділ відрізка в заданому відношенні

    3

    13

    Рівняння фігури. Рівняння кола

    3

    14

    Контрольна робота № 4

    1

    15

    Загальне рівняння прямої

    3

    16

    Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
    Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.
    Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки

    4

    17

    Використання декартових координат для розв’язування
    геометричних задач

    3

    18

    Контрольна робота № 5

    1

    Тема 5. Вектори на площині (19 год)
    19

    Поняття вектора

    3

    20

    Координати вектора

    2

    21

    Додавання і віднімання векторів

    3

    22

    Контрольна робота № 6

    1

    23

    Множення вектора на число. Застосування векторів до
    розв’язування задач

    5

    24

    Скалярний добуток векторів

    4

    25

    Контрольна робота № 7

    1

    Тема 6. Геометричні перетворення (20 год)
    26

    Перетворення (відображення) фігур

    2

    27

    Рух. Паралельне перенесення

    2

    28

    Осьова симетрія

    3

    29

    Центральна симетрія

    3

    30

    Контрольна робота № 8

    1

    31

    Поворот

    4

    32

    Гомотетія. Подібність фігур

    4

    33

    Контрольна робота № 9

    1

    34

    Прямі й площини у просторі

    3

    35

    Пряма призма. Піраміда

    2

    36

    Циліндр. Конус. Куля

    2

    37

    Контрольна робота № 10

    1

    Тема 7. Початкові відомості з стереометрії (8 год)

    Тема 8. Повторення і систематизація навчального матеріалу (15 год)
    38

    Повторення навчального матеріалу

    14

    39

    Контрольна робота № 11

    1

    268

    Додатки

    Додаток 3
    Таблиця значень тригонометричних функцій
    Величина
    кута
    (у градусах)

    Синус

    Косинус

    Тангенс

    Величина
    кута (у
    градусах)

    Синус

    Косинус

    Тангенс

    0
    1
    2
    3
    4

    0,000
    0,017
    0,035
    0,052
    0,070

    1,000
    1,000
    0,999
    0,999
    0,998

    0,000
    0,017
    0,035
    0,052
    0,070

    46
    47
    48
    49
    50

    0,719
    0,731
    0,743
    0,755
    0,766

    0,695
    0,682
    0,669
    0,656
    0,643

    1,036
    1,072
    1,111
    1,150
    1,192

    5
    6
    7
    8
    9

    0,087
    0,105
    0,122
    0,139
    0,156

    0,996
    0,995
    0,993
    0,990
    0,988

    0,087
    0,105
    0,123
    0,141
    0,158

    51
    52
    53
    54
    55

    0,777
    0,788
    0,799
    0,809
    0,819

    0,629
    0,616
    0,602
    0,588
    0,574

    1,235
    1,280
    1,327
    1,376
    1,428

    10
    11
    12
    13
    14

    0,174
    0,191
    0,208
    0,225
    0,242

    0,985
    0,982
    0,978
    0,974
    0,970

    0,176
    0,194
    0,213
    0,231
    0,249

    56
    57
    58
    59
    60

    0,829
    0,839
    0,848
    0,857
    0,866

    0,559
    0,545
    0,530
    0,515
    0,500

    1,483
    1,540
    1,600
    1,664
    1,732

    15
    16
    17
    18
    19

    0,259
    0,276
    0,292
    0,309
    0,326

    0,966
    0,961
    0,956
    0,951
    0,946

    0,268
    0,287
    0,306
    0,335
    0,344

    61
    62
    63
    64
    65

    0,875
    0,883
    0,891
    0,899
    0,906

    0,485
    0,469
    0,454
    0,438
    0,423

    1,804
    1,881
    1,963
    2,050
    2,145

    20
    21
    22
    23
    24

    0,342
    0,358
    0,375
    0,391
    0,407

    0,940
    0,934
    0,927
    0,921
    0,914

    0,364
    0,384
    0,404
    0,424
    0,445

    66
    67
    68
    69
    70

    0,914
    0,921
    0,927
    0,934
    0,940

    0,407
    0,391
    0,375
    0,358
    0,342

    2,246
    2,356
    2,475
    2,605
    2,747

    25
    26
    27
    28
    29

    0,423
    0,438
    0,454
    0,469
    0,485

    0,906
    0,899
    0,891
    0,883
    0,875

    0,466
    0,488
    0,510
    0,532
    0,554

    71
    72
    73
    74
    75

    0,946
    0,951
    0,956
    0,961
    0,966

    0,326
    0,309
    0,292
    0,276
    0,259

    2,904
    3,078
    3,271
    3,487
    3,732

    30
    31
    32
    33
    34

    0,500
    0,515
    0,530
    0,545
    0,559

    0,866
    0,857
    0,848
    0,839
    0,829

    0,577
    0,601
    0,625
    0,649
    0,675

    76
    77
    78
    79
    80

    0,970
    0,974
    0,978
    0,982
    0,985

    0,242
    0,225
    0,208
    0,191
    0,174

    4,011
    4,331
    4,705
    5,145
    5,671

    35
    36
    37
    38
    39

    0,574
    0,588
    0,602
    0,616
    0,629

    0,819
    0,809
    0,799
    0,788
    0,777

    0,700
    0,727
    0,754
    0,781
    0,810

    81
    82
    83
    84
    85

    0,988
    0,990
    0,993
    0,995
    0,996

    0,156
    0,139
    0,122
    0,105
    0,087

    6,314
    7,115
    8,144
    9,514
    11,430

    40
    41
    42
    43
    44

    0,643
    0,656
    0,669
    0,682
    0,695

    0,766
    0,755
    0,743
    0,731
    0,719

    0,839
    0,869
    0,900
    0,933
    0,966

    86
    87
    88
    89
    90

    0,998
    0,999
    0,999
    1,000
    1,000

    0,070
    0,052
    0,035
    0,017
    0,000

    14,301
    19,081
    28,636
    57,290

    45

    0,707

    0,707

    1,000

    269

    Геометрія. 9 клас

    ЗМІСТ
    Від авторів......................................................................... 3
    § 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу
    з курсу геометрії 8 класу...................................................... 5

    1. Задачі на повторення навчального матеріалу з курсу
    геометрії 8 класу..................................................... 5
    § 2. Розв’язування трикутників....................................................... 11
    2. С
    инус, косинус, тангенс і котангенс кута
    від 0° до 180°.........................................................11

    3. Теорема косинусів..................................................19

    4. Теорема синусів.....................................................28
    • Тригонометрична форма теореми Чеви...................36
    • Формула Ейлера для знаходження відстані між
    центрами вписаного і описаного кіл трикутника......38

    5. Розв’язування трикутників.....................................39
    • Тригонометрія — наука про вимірювання
    трикутників.......................................................42

    6. Формули для знаходження площі трикутника...........44
    § 3. Правильні многокутники...............................................55

    7. Правильні многокутники та їх властивості ..............55

    8. Довжина кола. Площа круга...................................65
    § 4. Декартові координати на площині..................................77

    9. Відстань між двома точками із заданими
    координатами.
    Поділ відрізка в заданому відношенні......................77

    10. Рівняння фігури.....................................................84

    11. Загальне рівняння прямої.......................................92

    12. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
    Рівняння прямої, яка проходить через
    дві дані точки........................................................96

    13. Метод координат.................................................. 105
    • Як будували міст між геометрією та алгеброю...... 111
    • Радикальна вісь двох кіл.................................... 112
    270

    § 5. Вектори..................................................................... 117

    14. Поняття вектора.................................................. 117

    15. Координати вектора.............................................. 123

    16. Додавання і віднімання векторів............................ 127

    17. Множення вектора на число.
    Застосування векторів до розв’язування задач......... 137

    18. Скалярний добуток векторів.................................. 150
    § 6. Перетворення фігур.................................................... 161

    19. Перетворення (відображення) фігур........................ 161

    20. Рух. Паралельне перенесення................................ 168

    21. Осьова симетрія................................................... 176

    22. Центральна симетрія............................................ 186

    23. Поворот............................................................... 193

    24. Гомотетія. Подібність фігур................................... 201
    • Інверсія............................................................ 218
    § 7. Початкові відомості зі стереометрії............................... 223

    25. Прямі й площини у просторі................................. 223

    26. Пряма призма. Піраміда....................................... 228

    27. Циліндр. Конус. Куля........................................... 236
    Відповіді та вказівки....................................................... 242
    Додатки .......................................................................... 264
    Додаток 1. Зміст програми з геометрії (9 клас) для класів

    з поглибленим вивченням математики............. 264
    Додаток 2. Орієнтовне календарне планування

    з геометрії (9 клас) для класів

    з поглибленим вивченням математики............. 267
    Додаток 3. Таблиця тригонометричних функцій................ 269

    271

    Навчальне видання
    МЕРЗЛЯК Аркадій Григорович
    ПОЛОНСЬКИЙ Віталій Борисович
    ЯКІР Михайло Семенович

    ГЕОМЕТРІЯ
    Підручник для 9 класу
    з поглибленим вивченням математики

    Редактор Г. Ф. Висоцька
    Художник С. Е. Кулинич
    Комп’ютерна верстка О. О. Удалов
    Коректор Т. Є. Цента

    Підписано до друку 21.07.2009. Формат 60 90/16.
    Гарнітура шкільна. Папір офсетний. Друк офсетний.
    Умовн. друк. арк. 17,00.
    Тираж 5000 прим. Замовлення №

    Свідоцтво ДК № 644 від 25.10.2001 р.
    ТОВ ТО «Гімназія»,
    вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052
    Тел.: (057) 758-83-93, 719-17-26, факс: (057) 719-17-26
    Віддруковано з готових діапозитивів
    у друкарні ПП «Модем»,
    Тел. (057) 758-15-80