• Название:

    Бродецкий Анализ скидок при оптимизации моделей...

  • Размер: 0.25 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: LOGISTIKA_6_05_2.qxd
  • Автор: mihalkina

АНАЛИЗ СКИДОК НА ЗАКАЗ
ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ МОДЕЛЕЙ
УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
С УЧЕТОМ ВРЕМЕННОЙ
СТОИМОСТИ ДЕНЕГ
Необходимо ли учитывать
временную стоимость де*
нег при оптимизации стра*
тегии управления запасами
(например, если существует
система скидок на заказ)?
Следует ли учитывать специ*
фику контрактных условий,
связанных с выплатами из*
держек хранения? Для того
чтобы получить ответы на
эти вопросы, в данной статье
рассматривается оптималь*
ная стратегия в рамках клас*
сической модели управле*
ния запасами с учетом ука*
занных особенностей. Кро*
ме того, в работе доказыва*
ется, что специфика различ*
ных схем выплат издержек
хранения (постнумерандо и
пренумерандо) незначитель*
но влияет на параметры опти*
мальной стратегии. При этом,
однако, повышение эффек*
тивности системы за счет
учета временной стоимости
денег может быть весьма су*
щественным.

ВВЕДЕНИЕ

БРОДЕЦКИЙ
Геннадий
Леонидович
Доктор технических
наук, кандидат физико*
математических наук,
профессор кафедры
логистики ГУ*ВШЭ, ка*
федры математичес*
ких методов в эконо*
мике РЭА
им. Г. В. Плеханова,
Международного цент*
ра логистики. Окончил
Киевский государст*
венный университет.
В 1998 г. стажировался
в области логистики в
Академии менеджмен*
та Нижней Саксонии
(Германия).
Автор более 150
публикаций.
E*mail:
info@mclog.ru

Разработанные в теории управ
ления запасами математические
методы и модели оптимизации
соответствующих стратегий уп
равления не предусматривают
возможность учета временной
структуры процентных ставок,
действующей на рынке. Требо
вание или желание менедже
ра учитывать временную стои
мость денег при оптимизации
системы управления запасами
приводит к постановке новых
задач оптимизации применитель
но к таким системам. При этом
у менеджеров, работающих в со
ответствующих областях бизне
са, меняется отношение как к
структуре самих моделей, так и
к критериям оптимизации в их
пределах с учетом временной
стоимости денег.
В статье «Возможности повы
шения эффективности страте
гий управления запасами при
учете временной стоимости из
держек / доходов»1 отмечалось,
что анализ моделей управления
запасами указанного типа свя
зан с разработкой специального
1

30

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

Бродецкая Н. Г., Бродецкий Г. Л.
Возможности повышения эффектив%
ности стратегий управления запаса%
ми при учете временной стоимости
издержек / доходов // Логистика се%
годня. — 2005. — №2 — С. 29.

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

Анализ скидок на заказ при оптимизации моделей управления запасами...

подхода или метода, использующего представ
ление соответствующих логистических процес
сов (поставки, хранения и т. д. в рамках анали
зируемой системы управления запасами) на
основе имеющихся денежных потоков уходя
щих и приходящих платежей. Это, в свою оче
редь, позволяет ввести понятие интенсивности
потока доходов в пределах конкретной системы
управления запасами и сформулировать понят
ный для менеджера критерий оптимизации, от
личающийся от принятых в классической теории
управления запасами, но естественный и тради
ционный для финансового менеджмента, — мак
симизация чистого приведенного дохода на ос
нове максимизации показателя интенсивности
потока доходов соответствующей системы уп
равления запасами. При этом возможности по
вышения эффективности системы за счет учета
временной стоимости денег (или соответствую
щих процентов) могут оказаться благоприятны
ми при большой номенклатуре товаров.
Это может способствовать появлению реального
интереса практиков к оптимизационным моде
лям указанного типа, позволяющим учитывать
временную структуру процентных ставок при
менительно к денежным потокам уходящих и
приходящих платежей в рамках логистических
процессов в системах управления запасами. Реа
лизация таких моделей в конкретных ситуациях
требует дополнительной их модификации, в
частности с учетом специфики практического
использования различных предлагаемых скидок.
Безусловно, модификация соответствующих
моделей управления запасами с учетом действу
ющих на рынке процентных ставок и их опти
мизация на основе максимизации либо рента
бельности системы, либо показателя чистого
приведенного дохода могут вызвать появление
иных, отличных от предлагаемых классической
теорией параметров оптимальных стратегий.
При этом менеджерам (аналитикам, экономис
там, предпринимателям, бизнесменам), реали
зующим сегодня на практике конкретные стра
тегии управления запасами, необходимо знать,
насколько существенными будут соответствую
щие отклонения в рекомендациях для основных
параметров стратегий управления и насколько
перспективными окажутся возможности повы
шения эффективности работы таких систем при
учете временной стоимости денег в критериаль
ных функциях.
Отметим также, что при учете временной стои
мости денег задача оптимизации стратегии уп
равления запасами будет уже зависеть (в отличие

от классического случая) от конкретной, приня
той в рамках модели схемы выплат издержек
хранения, что представляется спецификой соот
ветствующих контрактных условий выплат та
ких издержек. Указанные выплаты могут быть
привязаны к различным вариантам таких схем,
например:
1) выплаты издержек хранения в соответствии
со схемой, называемой в финансовом анализе
пренумерандо, т. е. в момент поставки соответ
ствующей партии заказа (в начале периода хра
нения);
2) выплаты издержек хранения в соответствии
со схемой, называемой в финансовом анализе
постнумерандо, т. е. в момент поставки следую
щей партии заказа (в конце периода хранения);
3) выплаты таких издержек в середине периода
времени до момента очередной поставки товара.
В данной статье задача оптимизации работы од
нономенклатурной системы управления запа
сами с постоянным спросом будет рассмотрена
применительно к первым двум из указанных
модификаций, для которых в качестве критерия
оптимизации стратегии управления соответ
ствующими логистическими процессами будет
выступать максимизация чистого приведенного
дохода при заданных объемах годовых поставок
анализируемого вида номенклатуры товаров и
при заданной годовой ставке наращения в рам
ках схемы простых процентов. При этом учиты
вается возможность скидок на заказ. Соответ
ствующей оптимизационной задачей, в свою
очередь, является максимизация суммарной ин
тенсивности доходов для имеющихся в рамках
системы управления запасами уходящих и при
ходящих денежных потоков, характеризующих
анализируемую систему.
Представленные в данной работе оптималь
ные стратегии управления запасами, исполь
зуемые в указанных модификациях модели
при различных контрактных требованиях, от
носящихся к схеме выплат издержек хране
ния, сравниваются (в рамках условных приме
ров) с предлагаемым классическим аналогом
оптимальной стратегии, при которой не учи
тывается временная стоимость издержек / до
ходов. Это позволяет продемонстрировать со
ответствующие отклонения в рекомендациях
для основных параметров таких стратегий уп
равления запасами, а также имеющиеся воз
можности повышения эффективности соответ
ствующих логистических процессов в системах
управления запасами за счет учета действую
щей на рынке временной структуры процент
ных ставок.

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

31

Бродецкий Геннадий Леонидович

ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИ И ОСНОВНЫЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Мы проанализируем классическую однопро
дуктовую модель управления запасами с посто
янным спросом и с учетом временной стоимости
денег. В первую очередь рассмотрим основные
ее атрибуты и их обозначения, которые будут ис
пользоваться далее в нашей статье.
D — объем годового потребления соответ
ствующего товара;
C0 — накладные расходы на поставку одной
партии товара;
СП — стоимость единицы товара;
РП — прибыль от реализации единицы товара;
С0П — издержки доставки единицы товара, не
включающие накладные расходы на поставку
соответствующей партии;
Сh — годовые издержки хранения единицы
товара;
q — размер партии заказа (оптимизируемая
величина в рамках рассматриваемой модели);
Т — период поставки (год), связанный с пока
зателем q следующим образом: Т = q /D (так
же оптимизируемая величина);
r — годовая ставка наращения, действующая
на рынке;
учет временной стоимости денег (издержек /
доходов) реализуется применительно к схеме
простых процентов.
Особенность рассматриваемой в данном случае
оптимизационной модели управления запасами,
помимо соответствующей специфики учета вре
менной стоимости издержек / доходов, заклю
чается также в следующем. Будем учитывать,
что стоимость партии товара будет зависеть от
размера заказа изза предлагаемой скидки. По
условиям скидки цена единицы товара будет
снижена, если размер партии заказа окажется
не меньше, чем оговариваемое соответствующее
пороговое значение. Введем следующие обозна
чения:
q1 — пороговое значение размера партии за
каза, начиная с которого действуют условия
скидки;
СП0 — цена единицы товара без учета скидки, т. е.
при размере партии заказа, меньшем чем q1;
СП1 — цена единицы товара с учетом скидки, т. е.
при размере партии заказа, большем или рав
ном q1 (имеет место неравенство СП0 > СП1).
Соответственно, цена единицы товара в рамках
рассматриваемой модели будет уже представле
на в виде функции переменной q (СП = СП(q)),
задаваемой в области q > 0 равенствами:

32

СП(q) = СП0, если 0 < q < q1;
СП(q) = СП1, если q ≥ q1.
Далее учитываем, что имеет место неравенство
СП0 > СП1.
Безусловно, в реальной ситуации может ока
заться, что при этом тарифы издержек достав
ки также будут зависеть от выбора размера
партии заказа (например, если они оговарива
ются в виде определенного процента от стои
мости партии товара). Поэтому, чтобы анализи
руемая модель была представлена в общем
виде, принимаем, что С0П также является функ
цией q (С0П = С0П(q)), причем по аналогии с пре
дыдущим случаем:
С0П (q) = С0П0, если 0 < q < q1;
С0П (q) = С0П1, если q ≥ q1,
где С0П0 — издержки доставки единицы товара,
не включающие накладные расходы на постав
ку соответствующей партии, без учета скидки;
С0П1 — издержки доставки единицы товара, не
включающие накладные расходы на поставку
соответствующей партии, с учетом скидки
(имеет место неравенство С0П0 > С0П1).
Кроме того, в рамках рассматриваемой модели
величину прибыли (РП) от реализации товара,
зависящую от цены единицы товара, также не
обходимо представить в виде функции РП =
РП(q) от объема поставок партии товара:
РП(q) = РП0, если 0 < q < q1;
РП(q) = РП1, если q ≥ q1,
где РП0 — прибыль от реализации единицы това
ра при ее стоимости СП0;
РП1 — прибыль от реализации единицы товара
при ее стоимости СП1 (имеет место неравенство
РП1 > РП0).
Отметим, что в рамках анализируемой модели
применительно к денежным потокам, характе
ризующим работу соответствующей системы
управления запасами, далее принимаем следу
ющее. Уходящие платежи соотносим с началь
ными моментами каждого периода времени
между поставками товара (исключение состав
ляет выплата издержек хранения, которая бу
дет оговорена отдельно), а приходящие плате
жи соотносим с серединами таких периодов,
естественно, с учетом их временной стоимости.

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

Анализ скидок на заказ при оптимизации моделей управления запасами...

Тогда величины денежных потоков в рамках
такой модели определяются следующим об
разом.
Величина уходящих платежей (УП) на одном
периоде поставки, которые соотносим с нача
лом каждого такого периода, определяется
следующим образом:
УП = C0 + C0П(q) × q + CП (q) ×
× q +Ch × q × T/2.
Отметим, что в данном случае C0 учитывает
выплаты в начале периода поставки, обусловли
ваемые накладными издержками на поставку
заказа, которые не зависят от объема товара в
поставляемой партии; слагаемое (C0П(q) × q) учи
тывает соответствующие издержки на постав
ку, которые зависят от объема заказа; слагаемое
(CП(q) × q) учитывает затраты, обусловливаемые
стоимостью партии заказа; наконец, слагаемое
(Ch × q × T/2) представляет издержки хранения
в период поставки, которые, как уже отмеча
лось выше, мы соотносим с началом периода
поставки, т. е. в рамках рассматриваемой моди
фикации модели соответствующие выплаты
принимаются пренумерандо.
Величину приходящих платежей (ПП) на
одном периоде поставки, соотносимых с се
рединой каждого периода времени между
поставками, можно определить следующим
образом:
ПП = (CП(q) + РП(q)) × q,
где (CП(q) × q) — «возвращенная» стоимость
партии заказа после реализации соответствую
щего товара, а (РП(q) × q) — соответствующая
прибыль. Также следует отметить, что вся ука
занная денежная сумма ПП в определенный пе
риод поставки может быть соотнесена с середи
ной интервала времени между поставками (не
смотря на то что такие поступления для модели с
постоянным спросом будут равномерно распре
делены на указанном интервале), поскольку в
рамках рассматриваемой модели для учета вре
менной стоимости денег принята схема прос
тых процентов.

ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ
УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ВЫПЛАТЕ ИЗДЕРЖЕК
ХРАНЕНИЯ ПРЕНУМЕРАНДО
Классический подход к оптимизации стратегий
управления запасами предполагает нахождение
такой стратегии, при которой минимизируются

суммарные (годовые) издержки на поставку и
хранение товаров. В данной статье в отличие от
классического подхода оптимизация стратегии
управления запасами рассматривается именно
как соответствующая задача финансового ана
лиза, состоящая в максимизации чистого приве
денного дохода для соответствующих уходящих
и приходящих денежных потоков, причем на ос
нове использования вводимого ниже показателя
интенсивности потока доходов (или прибыли).
Показатель интенсивности потока доходов для
систем управления запасами рассматриваемого
типа удобно ввести (используя периодический
характер рассматриваемых денежных уходя
щих и приходящих потоков с соответствующим
периодом, равным Т) следующим образом.
Напомним, что при анализе денежных потоков
соответствующие УП на каждом периоде време
ни между поставками мы соотносим с моментом
начала такого периода, а ПП — с его серединой.
Разность между соответствующими приходя
щими и уходящими платежами (с использовани
ем процедур наращения суммы для уходящих
платежей к моменту Т/2 при заданной ставке
наращения r, как этого требуют правила финан
сового анализа и финансовой математики) опре
деляет доход (или прибыль) в период между об
щими поставками, причем он соотнесен именно
с серединой такого интервала. После того как
значение указанного дохода будет дополнитель
но умножено на 1/Т, получим показатель ин
тенсивности потока доходов, т. е. доход за еди
ницу времени (Т), в качестве которой выбран
один год.
Тот факт, что соответствующий доход (или при
быль) за интервал времени между общими по
ставками товара соотнесен именно с серединой
такого интервала, позволяет легко интерпрети
ровать (в рамках процедур учета временной
стоимости денег по схеме простых процентов)
показатель интенсивности потока доходов при
менительно к любым другим удобным для ме
неджера единицам измерения времени. Напри
мер, если показатель интенсивности потока
доходов составляет $180 тыс. (за год), то приме
нительно к интервалу времени длительностью
1/12 (месяц) он составит $15 тыс., а примени
тельно к интервалу времени длительностью
1/50 (неделя, условно принимая, что в году 50
рабочих недель) — $3,6 тыс. (за неделю). Таким
образом, показатель интенсивности потока дохо
дов является удобным, доступным для понимания
и простым в обращении средством оценки эф
фективности логистических процессов приме
нительно к системам интересующего нас типа.

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

33

Бродецкий Геннадий Леонидович

И чем больше значение этого показателя, тем
больше и суммарная, получаемая к концу года
прибыль при заданной ставке наращения и за
данных годовых объемах поставок для рассмат
риваемого вида товара. Другими словами, понят
но, что при указанных условиях любой менеджер
будет стараться максимизировать именно такой
показатель эффективности работы системы.
Требование максимизации интенсивности сум
марного потока доходов по данному виду товара
в рамках рассматриваемой модификации моде
ли системы управления запасами с учетом вре
менной стоимости денег и предложенных усло
вий скидки на партию заказа приводит к задаче
максимизации следующей целевой функции
(обозначим ее через F):
F → max,
где функция:
F = 1/T × [q × (CП(q) + PП(q)) – (1 + r × T/2) ×
× (C0 + C0П(q) × q+ CП(q) × q ) +Ch × q × T/2)]
определена в области Т > 0 и q > 0, причем q и T
связаны равенством:
Т = q/D.
Отметим, что в данном случае, согласно прин
ципам финансового анализа и финансовой ма
тематики, соответствующие платежи уже при
ведены к общему моменту времени, т. е. к
середине периода поставок, в связи с чем уходя
щие (в начале такого периода) платежи нараще
ны с учетом ставки r к моменту T/2. Напомним,
что сообразно с принятыми выше обозначения
ми параметр Т измеряется в годах, поэтому со
ответствующую размерность имеет и представ
ленный здесь показатель интенсивности потока
доходов (F). Его легко приводить к любой дру
гой единице измерения времени благодаря при
нятой в рамках анализируемой модели схеме
начисления простых процентов (для учета вре
менной стоимости денег) и выбранному способу
представления эквивалентного результирующе
го денежного потока (соотнесение его с момен
тами, соответствующими серединам интервалов
времени между общими поставками).
Избавляясь от переменной Т в выражении для F
(с учетом равенства Т = q/D) путем несложных
преобразований (они опускаются изза огра
ниченности объема работы), целевая функция
F = F(q) как функция переменной q приводится
к виду:

34

D
r
)–
F(q) = D × (РП(q) – С0П(q)) – С0 × ( q +
2
r
q
C ×q
– Сh ×

× q × (C0П(q) + CП(q) + h
). (*)
2
2
2D
Далее, опуская слагаемое, которое не зависит
от q, меняя знак целевой функции на противо
положный и дополнительно умножая при этом
на 2 (для удобства записи), перепишем задачу
оптимизации в виде:
f(q) → min,
где функция f(q) определяется равенством:
f(q) = [2C0 × D/q + q × Ch] + q2 ×

r
× Ch/D + q ×
2

× r × (C0П(q)+CП(q))+2D × (C0П(q) – РП(q))
в области q > 0 с учетом отмеченных выше
представлений для функций CП(q), C0П(q) и PП(q).
При этом f(q) уже характеризует соответствую
щие потери в интенсивности потока доходов
при конкретном выборе объема q партии заказа
(изза указанного выше «перехода» к противо
положному знаку целевой функции). Выделим
фрагмент целевой функции f(q), который не за
висит от влияния предлагаемых условий скид
ки. А именно, определим для этого функцию ϕ(q)
равенством:

ϕ(q) = [2C0 × D/q + q × Ch] + q2 ×
×

r
× Ch/D.
2

Тогда интересующая нас целевая функция мо
жет быть задана равенствами:
f(q) = ϕ0 (q), если 0 < q < q1;
f(q) = ϕ1 (q), если q ≥ q1 ,
причем

ϕ0(q)= ϕ(q) + q × r × (C0П0 + CП0) + D ×
× (C0П0 – PП0);
ϕ1(q)= ϕ (q) + q × r × (C0П1+ CП1) + D ×
× (C0П1 – PП1).
Напомним, что в соответствии с условиями
скидки справедливы неравенства CП0 > CП1;
C 0П0 > C0П1 и PП1 > PП0. Следовательно, для лю
бой точки q (в области q > 0) справедливо нера
венство ϕ0(q) > ϕ1(q). Кроме того, функция ϕ(q)
является выпуклой вниз (можно самостоятельно

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

Анализ скидок на заказ при оптимизации моделей управления запасами...

проверить, что в указанной области выполняет
ся ϕ > 0) и имеет единственную точку мини
мума, которая, кстати, будет находиться левее
, дающей решение (по из
точки q0 =
вестной формуле Уилсона) применительно к
классической модели управления запасами, не
учитывающей особенности рассматриваемой
здесь модификации (временную стоимость де
нег и предлагаемую скидку).
Указанные особенности (выпуклость вниз и су
ществование единственной точки минимума,
расположенной левее q0) относятся также и к
обеим функциям ϕ0(q) и ϕ1(q). Для обоснования
этого можно использовать подход, предложен
ный в упомянутой выше статье, при анализе мо
дели с учетом временной стоимости денег, но
без предложения скидки. Пусть q0* обозначает
точку минимума функции ϕ0(q), т. е. является
оптимальным размером партии заказа с учетом
временной стоимости денег, но применительно
к ситуации, когда скидка не предлагается (в этом
случае СП(q) = CП0; С0П(q) = C0П0 и РП(q) = РП0).
Алгоритм нахождения q0* представлен в упомя
нутой выше работе и будет использован ниже.
По аналогии с описанным случаем пусть q1*
обозначает точку минимума функции ϕ1(q), т. е.
представляет собой оптимальный размер пар
тии заказа с учетом временной стоимости де
нег, но уже применительно к ситуации, когда

предлагается скидка на товар (СП(q) = CП1;
C0П(q) = C0П1 и РП(q) = РП1). Таким образом, алго
ритм нахождения q1* идентичен алгоритму на
хождения q0* с учетом лишь соответствующих
тарифов.
На рис. 1 и рис. 2 показаны график функции f (q)
(выделен жирной линией), имеющий един
ственный разрыв (Iго рода) в точке q = q1, и
графики функций ϕ0(q) (верхняя линия) и ϕ1(q)
(нижняя линия).
Основываясь на анализе структуры функции
f(q) и ее связи с функциями ϕ0(q) и ϕ1(q) приме
нительно к рассматриваемой модификации мо
дели управления запасами с учетом временной
стоимости денег и предлагаемой скидки для ин
тересующего нас оптимального размера партии
заказа (далее q*), можно сделать следующий вы
вод, что для оптимального значения q* в рамках
такой модели приемлемы только три варианта:
1) q* = q0*, если пороговое значение размера
партии заказа (q1) будет достаточно большим
для получения скидки и условия скидки будут
неприемлемыми (см. рис. 1);
2) q* = q1, если пороговое значение размера
партии заказа (q1) для получения скидки будет
достаточно близким к q0*, но большим чем q1* и,
соответственно, условия скидки будут приемле
мыми (см. рис. 2);

Потери в интенсивности потока доходов

Рис. 1. Зависимость потерь в интенсивности потока доходов от размера партии заказа (условия
скидки неприемлемы)

Функция ϕ0(q)

Функция ϕ1(q)

0

q1

q*0

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

q

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

35

Бродецкий Геннадий Леонидович

Рис. 2. Зависимость потерь в интенсивности потока доходов от размера партии заказа (условия
скидки приемлемы)

Потери в интенсивности потока

Функция ϕ0(q)

Функция ϕ1(q)

0

3) q* = q1*, если пороговое значение размера
партии заказа (q1) для получения скидки будет
достаточно близким к q0*, но меньшим чем q1* и,
соответственно, условия скидки также будут
приемлемыми (см. рис. 2).
Указанные особенности позволяют предста
вить простой алгоритм оптимизации стратегии
управления запасами для рассматриваемой мо
дификации модели. Для этого, как видно из при
веденного графика, необходимо использовать
упомянутую выше методику определения опти
мальных размеров партий заказов (q0* и q1*) для
модифицированной модели управления запаса
ми с учетом временной стоимости издержек /
доходов применительно к тарифам как без
скидки на стоимость заказа (для q0*), так и со
скидкой (для q1*).

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ
СТРАТЕГИИ ПРИ ВЫПЛАТЕ ИЗДЕРЖЕК
ХРАНЕНИЯ ПРЕНУМЕРАНДО
Для определения оптимального размера пар
тии заказа следует сравнить интенсивность по
токов доходов соответственно при q = q0*, q = q1
и при q = q1*, выбрав тот размер партии зака
за из указанных трех возможных вариантов,
при котором такая интенсивность будет боль
шей, следовательно, и потери в ней, характе
ризуемые функцией f(q), будут наименьшими
(см. рис. 1 и рис. 2).

36

q1

q*0

q

Другими словами, рассматривая интенсивность
потока доходов F = F(q) как функцию перемен
ной q, можно определить точку максимума с
учетом имеющегося разрыва (Iго рода) данной
функции. Для этого, как известно, достаточно
сравнить два значения функции в точках:
q = q0*(с ценой соответствующей партии то
вара без скидки);
q = q1 (с ценой соответствующей партии то
вара с учетом скидки);
q = q1* (с ценой соответствующей партии то
вара также с учетом скидки).
Учитывая уравнение (*), можно заметить, что
формулы расчета указанных значений интен
сивностей потоков доходов, которые необходи
мо сравнить между собой, следующие:
а) при q = q0* имеем:
F(q0*) = D × (РП0 – С0П0 ) – С0 × (
×

q0*
2



D
r
+ ) – Сh ×
q0* 2

Ch × q0*
r
);
× q0* × (C0П0 + СП0 +
2D
2

в) при q = q1 имеем:
r
D
F(q1) = D × (РП1 – С0П1 ) – С0 × ( q * +
)–
2
1
q1*
C × q0*
r
– Сh ×

× q1 × (C0П1 + СП1 + h
);
2
2
2D
с) при q = q1* имеем:

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

Анализ скидок на заказ при оптимизации моделей управления запасами...

r
D
F(q1*) = D × (РП1 – С0П1) – С0 × (
+ )–
q0* 2
q1*
Ch × q1*
r
– Сh ×

× q1* × (C0П1 + СП1 +
).
2
2
2D
Кроме того, как уже отмечалось выше, значе
ние q0* определяется по методике, предложен
ной в статье «Возможности повышения эффек
тивности стратегий управления запасами при
учете временной стоимости издержек / дохо
дов» (о которой уже говорилось), т. е. для моде
ли выплат издержек хранения пренумерандо
получаем:
q0* = q0/Z0,
q1* = q0/Z1,
где q0 — рекомендуемое формулой Уилсона и,
как мы уже понимаем, завышенное (если учи
тывать временную стоимость денег) значение
экономичного размера заказа, а величины 1/Z0
и 1/Z1 — множители, позволяющие учитывать
необходимую «поправку» изза влияния вре
менной структуры процентных ставок для де
нежных потоков. При этом для Z0 в данном слу
чае справедливо равенство:

причем:

Для определения Z1 справедливы аналогичные
равенства с заменой показателя С0П0 на С0П1 и
показателя СП0 на СП1.
Примечание. Если пороговое значение q1 будет
больше значения q0 (экономичный размер зака
за по формуле Уилсона), то последний вариант
(с) в рамках необходимого сравнения интенсив
ностей потоков доходов можно автоматически
не рассматривать. Не понадобится также и рас
чет показателя q1*.

Пример 1
Для демонстрации предложенного алгоритма
нахождения интересующих нас параметров оп
тимальной стратегии управления запасами рас
сматриваемой модификации модели (с учетом
временной стоимости денег и возможности ис
пользования предлагаемой скидки), а также для
иллюстрации изменений таких параметров по

сравнению с рекомендациями классического под
хода (без учета временной стоимости издержек /
доходов) рассмотрим следующую условную ситу
ацию. Допустим, анализируется оптимальная
стратегия организации поставок некоторого това
ра, максимизирующая чистый приведенный до
ход от соответствующих логистических операций
с учетом годовой ставки наращения, составляю
щей 20%. При этом необходимо учитывать, что
при размере партии заказа в 300 (ед. тов.) и бо
лее на соответствующий товар действует скид
ка в 1%. В рамках данного анализа используют
ся следующие параметры:
D = 20 тыс. (ед. тов.) — объем годового по
требления соответствующего товара;
C0 = $20 — накладные расходы на поставку
одной партии товара;
q1 = 300 (ед. тов.) — пороговое значение раз
мера партии заказа, начиная с которого
действуют условия скидки;
СП0 = $100 — цена единицы товара без учета
скидки, т. е. при размере партии заказа, мень
шем чем q1;
СП1 = $99 — цена единицы товара с учетом
скидки, т. е. при размере партии заказа, боль
шем или равном q1;
РП0 = $20 — прибыль от реализации единицы
товара при ее стоимости СП0;
РП1 = $21 — прибыль от реализации единицы
товара при ее стоимости СП1;
Сh = $20 — годовые издержки хранения еди
ницы товара.
Для удобства дальнейшего сравнения получен
ных результатов с аналогичными (но уже для
классической модели без учета временной сто
имости денег) допускаем, что C0П (q) = 0 (на
пример, соответствующие издержки уже вклю
чены в стоимость товара). Отметим, что в связи
с условиями примера далее в расчетах прини
маем r = 0,2.
Определим параметры оптимальных стратегий
управления запасами как для модифицирован
ной модели с учетом временной структуры про
центных ставок при выплате издержек хране
ния пренумерандо, так и для классической
модели (без учета таковой), и сравним их между
собой.
Решение. Прежде всего заметим, что примени
тельно к классическому аналогу модели управ
ления запасами с постоянным спросом по
формуле Уилсона соответствующее оптималь
ное значение q0 (безусловно, без учета времен
ной стоимости денег и предлагаемой скидки)
составит:

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

37

Бродецкий Геннадий Леонидович

нет) сравниваем интенсивности потоков доходов
F(q0*) и F(q1) для соответствующих двух первых
указанных ранее альтернативных вариантов.

q0 =
При этом период повторного заказа будет ра
вен: Т0= q0/D = 200/20000 = 1/100 (года), что
соответствует 100 поставкам за год.
Для определения оптимального размера партии
заказа q0* с учетом временной стоимости денег
(однако без учета предлагаемой скидки) требу
ется определить соответствующую «поправку»
в виде множителя 1/Z0 (в рамках формулы q0* =
= q0/Z0). Сначала находим:

Случай 1. При отказе от условий скидки и при
поставках товара партиями оптимального (с уче
том временной стоимости денег) объема q0* для
интенсивности потока доходов (по формуле
для F(q0*)) получаем:
0,2
20000
+
) – 20 ×
2
141,3
0,2
141,3
20 × 141,3
×

× 141,3 × (100 +
)=
2
2
2 × 20000

F(q0*) = 20000 × 20 – 20 × (

= 394340,2 (у.е./год).
Случай 2. Если принять условия скидки и реали
зовать поставки товара партиями соответству
ющего объема q1 = 300 для интенсивности по
тока доходов (по формуле для F(q1)) имеем:
Затем, переходя к аrccos α (для данной ситуации
этот показатель практически соответствует 90°)
находим соответствующее значение cos( α ) =
3
= 0,866, позволяющее определить Z0:
Следовательно:
q0* = q0/Z0 = 200/1,415 = 141,3 (ед. тов.).
Это соответствует около 142 (20000/141,3) пос
тавкам за год, а не 100, как получилось для клас
сического варианта модели без учета временной
стоимости денег. Учет временной структуры
процентных ставок существенно изменяет ука
занные параметры стратегии управления запа
сами, т. е. классическая рекомендация завысила
их применительно к рассматриваемой условной
ситуации данного примера на 41,3%. Соответ
ствующее расхождение в интенсивности потока
доходов будет отмечено ниже.
Подчеркнем, что согласно условиям этого при
мера предлагаемая скидка в 1% от стоимости
партии заказа соответствует пороговому уров
ню размера заказа q1 = 300 ед. тов., который,
как мы видим, более чем в два раза превышает
найденное оптимальное значение q0* = 141,3 ед.
тов. и в полтора раза превышает рекомендуе
мое классической формулой Уилсона для та
кой модели значение q0 = 200 ед. тов. Соответ
ственно, как было отмечено выше, расчет
показателей q1* и F(q1*) при оптимизации стра
тегии управления запасами для такой ситуа
ции не понадобится. Для нахождения наилуч
шего решения (принять условия скидки или

38

0,2
20000
+
) – 20 ×
2
300
300 0,2
×

× 300 × (99 + 20 × 300 ) =
2
2
2 × 20000
= 412690,2 (у.е./год).

F(q1) = 20000 × 21 – 20 × (

Из расчетов видно, что интенсивность потока до
ходов при использовании скидки на предлагаемых
условиях возрастает на 18350 у.е./год (412690,2 —
— 394340,2), несмотря на значительное превы
шение требуемого условиями скидки порогового
уровня для размера заказа (300 ед. тов.) соответ
ствующего найденного оптимального его значе
ния q0*. Другими словами, «экономия» за счет
снижения затрат на покупку товара в течение го
да (20000 у.е./год) в данном случае покрывает
рост издержек изза отклонения принимаемого
на условиях скидки размера партии заказа от оп
тимального его значения в рамках соответствую
щих логистических процессов. Оптимальное ре
шение — принять условия скидки и организовать
поставки данного товара партиями в 300 единиц.
Для сравнения с классическим аналогом такой
модели (когда временная стоимость издержек /
доходов в рамках соответствующих логистичес
ких процессов не учитывается) отметим следу
ющее. В соответствии с классическими реко
мендациями (формула Уилсона) при размере
партии заказа (q0) в 200 ед. тов. для интенсив
ности потока доходов получаем:
20000 0,2
200

) – 20 ×

200
2
2
0,2
20 × 300

× 200 × (100 +
) = 393996 (у.е./год).
2
2 × 20000

F(q0) = 20000 × 20 – 20 × (

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

Анализ скидок на заказ при оптимизации моделей управления запасами...

Сравнивая полученное значение с F(q 0*) =
= 394340,2 (у.е./год), видим, что разность
F(q 0*) — F(q0) в интенсивности потока доходов
по анализируемому виду товара составляет
344,2 (у.е./год). Это соответствующий экономи
ческий эффект в интенсивности потока дохо
дов, получаемый в процессе учета временной
стоимости денег применительно к логистичес
ким процессам анализируемой в этом примере
системы управления запасами, причем приме
нительно только к одному виду номенклатуры,
для которого были проведены соответствую
щие расчеты.
Указанное отклонение интенсивностей доходов
на первый взгляд может показаться не очень зна
чительным. Однако следует учитывать, что в ре
альных системах управления запасами соответ
ствующий перечень номенклатуры товаров
может измеряться сотнями и даже тысячами на
именований. Кроме того, при уменьшении дли
тельности интервала времени между общими
поставками товаров соответственно уменьшают
ся объемы не только хранимых товаров, но и соот
ветствующих страховых запасов по этим товарам,
а следовательно, и «замороженные» в них деньги.
Поэтому суммарная выгода за счет учета времен
ной структуры процентных ставок по всей группе
товаров может оказаться весьма существенной.

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ
СТРАТЕГИИ ПРИ ВЫПЛАТЕ ИЗДЕРЖЕК
ХРАНЕНИЯ ПОСТНУМЕРАНДО
В рассматриваемой модификации модели сис
темы управления запасами (с учетом времен
ной стоимости денег и предлагаемой скидки на
цену партии заказа) предполагалось, что вы
платы издержек хранения осуществляются по
схеме пренумерандо, т. е. моменты выплаты
считаются соотносящимися с началом периода
поставки. В зависимости от контрактных усло
вий схема выплат таких издержек может пред
полагать также реализацию соответствующих
платежей и в конце периода поставки, т. е. при
поступлении очередной партии заказа. В дан
ной статье мы в общих чертах рассмотрим так
же особенности анализируемой стратегии для
случая, когда контрактные условия предполага
ют возможность учета издержек хранения
постнумерандо. Величины денежных потоков в
рамках такой модификации модели определя
ются следующим образом:
для величины уходящих платежей в опреде
ленный период поставки, которые соотносим
с началом (УП(Н)) каждого такого периода,
получаем:

УП(Н) = C0 + C0П(q) × q + CП(q) × q;
для величины уходящих платежей в опреде
ленный период поставки, которые соотносим
с концом (УП(К)) каждого такого периода (из
держки хранения), получаем:
УП(К) = Ch × q × T/2.
При этом приходящие платежи остаются преж
ними, как и в рассмотренной выше модифика
ции модели. Задача максимизации интенсивнос
ти потока денежных доходов для интересующей
нас модификации (обозначим указанную интен
сивность через Fпост) с выплатой издержек хра
нения постнумерандно (причем с учетом вре
менной стоимости денег и предлагаемой скидки)
принимает вид:
Fпост → max,
где функция:
Fпост = 1/T × [q × (CП(q) + PП(q)) – (1 + r × T/2) ×
× (C0 + C0П(q) × q + CП(q) × q) + Ch ×
r
T
× q × T × (1 –
×
)/2)]
1+r
2
определена в области Т > 0 и q > 0, а перемен
ные q и T связаны равенством: Т = q/D. Обра
тим внимание на то, что в данном случае, в со
ответствии с принципами и правилами финан
сового анализа и финансовой математики, вып
латы издержек хранения (Сh × q × T/2), относя
щиеся к концу периода поставки, уже продис
контированы в рамках схемы простых процен
тов к общему моменту времени учета всех пла
тежей. Они приведены к середине интервала
времени между поставками, т. е. к моменту Т/2
с учетом соответствующего значения дисконта
d = r/(1 + r).
После несложных преобразований, которые мы
опустим изза ограниченности объема работы,
интересующая нас целевая функция Fпост =
= Fпост(q), как функция переменного q, легко
приводится к виду:
D
r
Fпост(q) = D × (РП(q) – С0П(q)) – С0 × ( q + 2 ) –
r
q
– Сh ×

× q × (C0П(q) + CП(q)) + q2 ×
2
2

ЛОГИСТИКА сегодня

×

#6

r
(1+r)

×

Ch
4D

.

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

(**)

39

Бродецкий Геннадий Леонидович

Это практически полностью соответствует
целевой функции F применительно к задаче
оптимизации стратегии управления запасами
для рассмотренной ранее модификации моде
ли с выплатами издержек хранения пренуме
рандо (формула (*)). Действительно, особен
ность рассматриваемого нами случая (выплаты
издержек хранения постнумерандо) по срав
нению с изученным ранее отражается анали
тически только наличием дополнительного
множителя (1/(1 + r)) в слагаемом, содержа
щем q 2. Соответствующая задача минимиза
ции потерь в интенсивности потока доходов
с целью максимизации чистого приведенно
го дохода в рамках анализируемых логисти
ческих процессов может быть представлена
в виде:

классические рекомендации, как можно заме
тить, снова завышают размер партии заказа.
Если в выражении для fпост(q) формально за
менить CП(q), C0П(q) и PП(q) соответственно на
CП1, C0П1 и PП1, то получим функцию, которую
по аналогии с рассмотренной выше модифи
кацией модели обозначим через ϕ1пост(q). Эта
функция также имеет единственную точку
минимума q1*пост, и выполняется неравенство
q1*пост < q0. В данном случае классические ре
комендации также завышают размер партии
заказа.
Кроме того, учитывая, что в соответствии с
условиями скидки С П0 > С П1, С ОП0 > С ОП1 и
Р П1 > Р П0, указанные функции в любой точ
ке q (q > 0) связаны неравенством ϕ0пост(q) >
>ϕ1пост(q) (можно сравнить с функциями ϕ0 (q) >
>ϕ1(q), представленными на рис. 1 и на рис. 2
применительно к модели учета издержек хра
нения пренумерандо).

fпост(q) → min,
где функция fпост(q) определяется равенством:
fпост(q) = [2C0 × D/q + q × Ch] + q × r × (C0П(q) +
r
+CП(q)) – q2 ×
× Ch/D + 2D × (C0П(q) –
2
– РП(q)),
в области q > 0 с учетом отмеченных выше
представлений для функций CП(q), C0П(q) и
PП(q). При этом часть часть выражения, заклю
ченная в квадратные скобки, для fпост(q) явля
ется аналогом целевой функции применитель
но к задаче минимизации издержек для
классического варианта модели без учета вре
менной структуры процентных ставок и без
предлагаемой скидки (применительно к кото
рому справедлива формула Уилсона для раз
мера партии заказа и который, напомним,
обозначается через q0).
Прежде чем представить алгоритм нахождения
оптимального размера партии заказа для рас
сматриваемой здесь модификации модели (обоз
начим его через q*пост), минимизирующего поте
ри в интенсивности потока доходов, подчеркнем
следующее.
Если в выражении для fпост(q) формально за
менить CП(q), C0П(q) и PП(q) соответственно на
CП0, C0П0 и PП0, то получим функцию, которую
по аналогии с рассмотренной выше модифи
кацией модели обозначим через ϕ0пост(q). Эта
функция имеет единственную точку мини
мума q0*пост, причем выполняется неравен
ство q0*пост < q0. В рамках такого варианта
модели при учете временной стоимости денег

40

Итак, для модели выплат издержек хранения
постнумерандо структура функции fпост(q) при
определении оптимального размера партии за
каза q0*пост оказывается такой же, как и структу
ра рассмотренной ранее функции f(q) для моде
ли выплат издержек хранения пренумерандо
(см. рис. 1 и рис. 2). Следовательно, для выбора
оптимального размера партии заказа q*пост необ
ходимо сравнивать интенсивности потоков до
ходов Fпост(q) для рассматриваемой модифика
ции модели при q = q0*пост, q = q1 и q = q1*пост,
выбрав тот вариант организации поставок, где
такая интенсивность будет больше. Для расчета
указанных значений интенсивностей потоков
доходов в соответствии с формулой (**) получа
ем следующие формулы:
а) при q = q0*пост:
D r
Fпост(q0*пост) = D × (РП0 – С0П0) – С0 × ( – ) –
q0 2
q0 r
– Сh ×

× q0*пост × (C0П0 + СП0) +
2
2
Ch
r
+ q0*2пост ×
×
;
(1 + r)
4D
в) при q = q1:
D
r
Fпост(q1) = D × (РП1 – С0П1 ) – С0 × ( – ) –
q1 2
q1
r
– Сh ×

× q1 × (C0П1 + СП1) + q12 ×
2
2
Ch
r
×
×
;
(1 + r)
4D
с) при q = q1* формула для определения Fпост(q1*)
аналогична предыдущей с учетом соответству
ющей замены q1 на q1*.

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

Анализ скидок на заказ при оптимизации моделей управления запасами...

При этом значение q0*пост определяется по мето
дике, предложенной в вышеупомянутой статье,
т. е. для модели выплат издержек хранения
постнумерандо получаем:

заказа q0*пост. Для значения в этом случае име
ем (напомним, что в рамках нашего примера ра
нее было условно принято, что С0П(q) = 0):

q0*пост = q0/Z0пост,
q1*пост = q0/Z1пост,
где q0 — рекомендуемое в классической теории
формулой Уилсона значение экономичного раз
мера партии заказа (соответствующая форму
ла уже была приведена выше, причем, как мы те
перь понимаем, она и в данном случае дает
завышенное значение), а величины 1/Z0пост и
1/Z1пост — множители, учитывающие необходи
мость «поправки» изза влияния соответствую
щей временной структуры процентных ставок
для денежных потоков. При этом для 1/Z0пост в
указанном случае справедливо равенство:

,

причем:

Значение Z1пост можно определять с помощью
аналогичных равенств с заменой соответствен
но показателя С0П0 на С0П1 и показателя СП0 на
СП1. Отметим, что применительно к рассматри
ваемой в данной статье модификации модели с
выплатой издержек хранения постнумерандо
также остается справедливым обозначенное
выше замечание (для модели с выплатой издер
жек хранения пренумерандо) относительно
возможности исключения из расчетов послед
него случая (с), если q1 > q0.
Для сравнения параметров оптимальной стра
тегии и интенсивности потока доходов, относя
щихся к модификации модели при выплате издер
жек хранения постнумерандо, с аналогичными,
но относящимися к ранее представленному ана
логу модели, когда такие выплаты предполага
лись пренумерандо, вернемся к условиям рас
смотренной выше условной ситуации примера 1.

Пример 2
Пример 2 является продолжением примера 1
(выплаты издержек хранения постнумерандо).
Итак, найдем в условиях примера 1 соответству
ющее оптимальное значение размера партии

Соответственно:
cos (

α
) = 0,865,
3

Z0 = 2 × 0,865 ×

= 1,4125.

Учитывая, что применительно к заданным па
раметрам, как мы уже определили в примере 1,
q0 = 200, оптимальный размер партии заказа
определяется равенством:
q0*пост = q0/Z0пост = 200/1,4125 = 141,5 (ед. тов.).
Можно сравнить полученное значение с най
денным в примере 1 q0* = 141,3 применительно
к модели выплат издержек хранения пренуме
рандо. Мы видим, что параметры оптимальных
стратегий управления запасами для таких моде
лей практически совпадают. Более того, для
практиков они просто совпадают, т. к. при
оформлении заказа необходимо округлять ука
занные значения до ближайшего приемлемого
целого числа.
Как и в примере 1, в данном случае не требует
ся расчет показателей q1*пост и Fпост(q1*пост), пос
кольку соблюдается условие q1 ≥ q0 (300 > 200).
Для нахождения наилучшего решения (прини
мать условия скидки или нет) сравниваем ин
тенсивности потоков доходов Fпост(q 0*пост) и
Fпост(q1) для указанных альтернативных вариан
тов решений.
Случай 1. При отказе от условий скидки и по
ставках товара партиями оптимального (с
учетом временной стоимости денег) объема
q0*пост для интенсивности соответствующего
потока доходов (по формуле для Fпост(q0*пост)
имеем:
Fпост(q0*пост) = 20000 × 20 – 20 × (
– 20 ×

20000 0,2
+
)–
141,5
2

0,2
141,5

× 141,5 × 100 + 141,52 × 0,2 ×
2
2

× 20 /(1 + 0,2) × 4 × 20000 = 394342,0 (у.е./год).

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3

41

Бродецкий Геннадий Леонидович

Случай 2. Если принять условия скидки и реали
зовать поставки товара партиями соответству
ющего объема q1 = 300 для интенсивности по
тока доходов (по формуле для Fпост(q1) получаем:
20000
0,2
+
)–
300
2

Fпост(q1) = 20000 × 21 – 20 × (
– 20 ×

300
0,2

× 300 × 99 + 3002 × 0,2 ×
2
2

× 20/(1 + 0,2) × 4 × 20000 = 412698,5 (у.е./год).
Мы видим, что и в случае выплат издержек хра
нения постнумерандо оптимальным решением
является принятие условий скидки и организа
ция поставки товара с размером партии заказа,
равным 300 (ед. тов.). Обратим внимание также
на то, что найденные значения интенсивности
потоков доходов — Fпост(q0пост) = 394342
(у.е./год) и Fпост(q1) = 412698,5 (у.е./год) — для
модели выплат издержек хранения постнуме
рандо оказались немного большими, чем соот
ветствующие значения интенсивности F(q1*) и
F(q1) для модели выплат издержек хранения
пренумерандо (см. пример 1). Это обусловлено
особенностью учета временной стоимости де
нег: при более поздних сроках реализации ухо
дящих платежей соответствующие показатели
чистой приведенной стоимости и интенсивнос
ти потока доходов должны (при прочих равных
условиях) возрастать.
Заметим, что в соответствии с классическими
рекомендациями без учета временной стоимос
ти денег при размере партии заказа (формула
Уилсона) q0 = 200 (ед. тов.) для интенсивности
потока доходов получим:
Fпост(q0) = 20000 × 20 – 20 × (
– 20 ×

20000 0,2
+
)–
2
200

200
– 200 × 100 + 2002 × 0,2 ×
2

× 20/(1 + 0,2) × 4 × 20000 = 393999,6 (у.е./год).
Сравнивая это значение с F пост (q 0 * пост ) =
=394342 (у.е./год) видим, что разность в ин
тенсивности потока доходов за счет учета вре
менной стоимости денег (которая составляет для
этой модификации модели 342,4 (у.е./год) приме
нительно к анализируемому виду номенклатуры)

42

остается практически такой же, как и соответ
ствующая разность в условиях примера 1 для
рассмотренной в нем модификации модели с
выплатами издержек хранения пренумерандо.
Следовательно, все выводы и комментарии, ка
сающиеся возможности повышения эффектив
ности системы управления запасами за счет
учета временной стоимости денег, относятся
напрямую и к этой модификации модели. Дру
гими словами, они практически не зависят от
оговариваемой в контракте схемы выплат из
держек хранения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработанные в классической теории модели
оптимальных стратегий управления запасами,
требующие анализа скидок на цену заказа, могут
быть улучшены в отношении максимизации эф
фективности таких систем (например, макси
мизации чистого приведенного дохода или ин
тенсивности потока доходов) за счет учета
действующих на рынке процентных ставок на
основе учета временной стоимости денег при
анализе денежных потоков, характеризующих
соответствующие издержки и доходы. Особен
ности конкретных схем выплат издержек хране
ния незначительно влияют на параметры опти
мальной стратегии управления запасами при
заданных годовом потреблении, структуре про
центных ставок и тарифах издержек. Суммарный
показатель возможного повышения эффектив
ности системы за счет учета временной стоимос
ти издержек / доходов по всей номенклатуре то
варов может оказаться весьма значительным.
Надеемся, что приведенные в данной работе
результаты исследования помогут менедже
рам, работающим в области управления запаса
ми, поновому ставить и решать задачи оптими
зации соответствующих стратегий управления,
достигая при этом лучших результатов, причем
без дополнительных затрат капитала фирмы.
Работа выполнена при поддержке индивидуаль
ного исследовательского гранта ГУВШЭ 2005 г.
«Возможности повышения эффективности стра
тегий управления запасами при учете времен
ной стоимости издержек / доходов».

ЛОГИСТИКА сегодня

#6

2005

Логин: Grape-Fruit, л/с: 26171
Хэш:26783b568041a2b6c92071efc31d508c, сессия:hrrC8pun9MHRIZp0, IP: 94.50.142.46, дата: 2010-04-11 22:21:21 GMT+3