• Название:

    Метрология и измерения. Учебно методическое пос...

  • Размер: 0.51 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Microsoft Word - MiI.posobie

Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра метрологии и стандартизации

МЕТРОЛОГИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ
УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

для индивидуальной работы студентов
всех специальностей
Под общей редакцией С.В. Лялькова

Минск 1999

4

УДК 621.317(075)
ББК 30:10
М 54

Авторы: А.П. Белошицкий, М.Ю. Дерябина, А.М. Кострикин, С.В.
Ляльков, В.Т. Ревин
Метрология и измерения: Учебно-методическое пособие для индивидуальной работы студентов/ А.П. Белошицкий и др.; под общ. ред. С.В. Лялькова. Мн.: БГУИР, 1999. -72 с.: ил. 1. ISBN 985-444-103-2
Учебно-методическое пособие «Метрология и измерения» предназначено
для индивидуальной работы студентов, изучающих курсы измерений. Оно содержит краткие методические указания, список рекомендуемой литературы и
НТД, контрольные вопросы, решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения.
Пособие может быть использовано при проведении практических и лабораторных занятий, связанных с оценкой погрешностей получаемых результатов.
Оно также будет полезно самому широкому кругу студентов, аспирантов и научно-педагогических работников при решении ими конкретных практических
задач метрологии и стандартизации.

УДК 621.317(075)
ББК 30:10

ISBN 985-444-103-2

©

Коллектив авторов, 1999

5

СОДЕРЖАНИЕ
1
2

ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ ……………............…...
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ С ОДНОКРАТНЫМИ
НАБЛЮДЕНИЯМИ ……………………………………………………
3 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ ...................................................……
4 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ ………………………………...
5 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ СОВОКУПНЫХ И СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ….....................................….
6 ИЗМЕРЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ….......................................................….
7 ИЗМЕРЕНИЕ ЧАСТОТЫ, ПЕРИОДА, ИНТЕРВАЛОВ ВРЕМЕНИ И
ФАЗОВЫХ СДВИГОВ……....................................................……….
8 ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПАССИВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
ДВУХПОЛЮСНИКОВ …..…………………………………………….
ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................……

6

4
10
17
30
35
40
44
49
57

1 ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
Рекомендуемая литература: [1, c.230-248], [3, с.15-19] [4, c.49-55], [5, c.5161], [6, c.11-20, 32-36], [7, c.13-15], [11], [12]
Методические указания
При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:
- формы представления погрешностей средств измерений;
- правила выбора нормирующего значения ХN;
- способы нормирования и формы выражения пределов допускаемых погрешностей;
- обозначение классов точности средств измерений.
Контрольные вопросы
1 Что такое погрешность средства измерений?
2 Что такое основная и дополнительная погрешности средств измерений?
3 Какие существуют формы представления погрешностей средств измерений?
4 Какие существуют правила выбора нормирующего значения ХN?
5 Как регламентируются способы нормирования и формы выражения пределов допускаемых погрешностей?
6 Что такое класс точности средства измерения и чем он определяется?
7 Как обозначаются классы точности?
Решение типовых задач
Задача № 1
Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения тока I = 67 мA, если измерения проводились магнитоэлектрическим миллиамперметром с нулем в начале шкалы, классом точности 1.0 и пределом измерения А = 100 мA.
Решение
Для магнитоэлектрического миллиамперметра класс точности определяется
значением максимальной приведенной погрешности, т.е.  = 1,0 %.
Так как


100 % ,
XN
то предел инструментальной абсолютной погрешности
 XN

(мА).
100 %
Миллиамперметр имеет равномерную шкалу с нулем в начале шкалы, и поэтому XN = A = 100 мA:
1,0 %  100 мА

 1,0 (мА ) .
100 %
Предел инструментальной относительной погрешности

7

1,0 мА
 100 %  1,5 % .
67 мА
Задача № 2
Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения напряжения U=8,6 B, если измерения проводились магнитоэлектрическим вольтметром с нулем в середине шкалы, классом точности
2,5 и пределами измерения А =  25 В.
Решение
Как и в предыдущей задаче, предел абсолютной погрешности находится из
формулы:


100 % .
XN
Вольтметр имеет равномерную шкалу с нулем в середине шкалы. Поэтому
XN = |25| + |25| = 50 (B),
 = (2,550)/100 %=1,25 (В).
Найдем предел относительной погрешности измерения:
 = (/U)100 %= (1,25100)/8,6  15 (%).
Задача № 3
Oценить инструментальные погрешности измерения тока двумя магнитоэлектрическими миллиамперметрами с классами точности 0,5 и 1.0 и указать,
какой из результатов получен с большей точностью, а также, могут ли показания I1 = 19,0 мA и I2 = 18,6 мA исправных приборов отличаться так, как задано в
условии? Миллиамперметры имеют нули в начале шкалы и пределы A1 =
= 50 мA и A2 = 20 мA.
Решение
Инструментальные абсолютные погрешности можно найти из формул:
1 = (1 ХN1)/100 %= (1 A1)/100 %= (0,550)/100 = 0,25 (мA),
2 = (2 ХN2)/100 %= (2 A2)/100 %= (1,020)/100 = 0,20 (мA).
Для определения, какое из измерений проведено с большей точностью, необходимо определить инструментальные относительные погрешности:
1 = (1/I1) 100 % = (0,25/19,0)100 %  1,3 %,
2 = (2/I2) 100 % = (0,20/18,6)100 %  1,1 %.
Видно, что второе измерение проведено с большей точностью, так как точность обратно пропорциональна модулю относительной погрешности.
В наихудшем случае (когда погрешности приборов будут иметь противоположные знаки) модуль разницы между результатами измерений || = |I1 - I2| не
должен превышать сумму модулей абсолютных погрешностей, т.е.
|| < |1| + |2| .
Получаем
|| = 0,4 (мA) < |1| + |2| = 0,45 (мA).
Таким образом, при исправных миллиамперметрах можно получить указанные значения I1 и I2.


8

Задача № 4
Определить инструментальную абсолютную погрешность измерения сопротивления Rx = 200 кОм с помощью комбинированного прибора, если он имеет
класс точности 4,0, длину рабочей части шкалы L = 80 мм, отметке 200 кОм соответствует длина шкалы l = 40 мм.
Решение
В комбинированном приборе используется магнитоэлектрический омметр,
причем шкала прибора при измерении сопротивлений неравномерная. Инструментальная относительная погрешность измерения сопротивления  R x с по-

мощью таких омметров вычисляется через их класс точности по формуле
 R x  (   L / l ) ,

т.е.

 R x  (4,0  80 / 40)  8,0 (%)
C другой стороны

 R x  ( R x / R x )  100 % ,
где  R x - инструментальная абсолютная погрешность измерения сопротивления.
Тогда
 R x  ( R x  R x ) / 100  (8,0  200) / 100  16 (кОм).
Задача № 5
Определить относительную и абсолютную погрешности воспроизведения
сопротивлений R1 = 0,52 Ом; R2 = 120,00 Ом; R3 = 18412,00 Ом с помощью образцового магазина сопротивлений, если его класс точности 0,05/4 10-6, магазин
содержит 7 декад и цена младшей декады 0,01 Ом.
Решение
Сначала определим наибольшее значение воспроизводимой данным магазином сопротивлений величины:
Rк = 9 104 + 9 103 + 9 102 + 9 101 + 9 100 + 9 101 + 9 102 (Ом);
Rк = 99999,99 (Ом)  105 (Ом).
Для нормирования пределов погрешности магазинов мер одночленные формулы не применяются, поскольку они не отражают всегда имеющей место зависимости абсолютной или относительной погрешности меры от номинального
значения воспроизводимой величины. Для них используются двухчленные
формулы:
для абсолютной погрешности:
 = (a + bХ),
для относительной погрешности:
 = [c + d(|Xк/X|1)].
В нашем случае заданы величины c и d:
c = 0,05 %;
d = 4106 %.

9

Найдем относительные погрешности воспроизведения сопротивлений R1,
R2, R3:
 R 1 = [0,05 + 4106 (|105 /0,52|  1)]  0,3 (%),
 R 2 = [0,05 + 4106 (|105 /120|  1)]  0,53 (%),

 R 3 = [0,05 + 4106 (|10|5 /18412|  1)]  0,050 (%).
Известно, что связь между a, b, c, d - следующая:
d = a/Rк , c = b+d.
Для удобства выразим c и d в относительных единицах:
c = 5104 , d = 4108.
Тогда
a = d |Rк| = 4108 105 = 0,004 (Ом);
b = cd = 5104  4108  5104.
Теперь можно определить абсолютные погрешности воспроизведения сопротивлений R1, R2, R3
 R1 = (0,004+5 104  0,52)  0,0043 (Ом),
 R 2 = (0,004+5 104  120)  0,0064 (Ом),
 R 3 = (0,004+5 104  18412)  9,2 (Ом).
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения напряжения U = 6,4 B, если измерения проводились
магнитоэлектрическим вольтметром с нулем в начале шкалы, классом точности
1,5 и пределом измерения A = 25 B.
Задача № 2
Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения тока I = 6,8 мA, если измерения проводились магнитоэлектрическим миллиамперметром с нулем в середине шкалы, классом точности 2,5 и пределами измерения A = 10 мA.
Задача № 3
Выбрать магнитоэлектрический вольтметр со стандартными пределами измерения и классом точности при условии, что результат измерения напряжения
должен отличаться от действительного значения Uд = 44 B не более, чем на =
=0,4 B.
Задача № 4
Оценить инструментальные погрешности измерения напряжения двумя магнитоэлектрическими вольтметрами с классом точности 0.2 и 1.5 и указать, какой из результатов получен с большей точностью, а также могут ли показания
U1 =21,7 В и U2 =20,8 В исправных приборов отличаться так, как задано в условии? Вольтметры имеют нули в начале шкалы и пределы А1 =75 В и А2 =25 В.

10

Задача № 5
Определить относительную и абсолютную погрешности воспроизведения
сопротивления R = 25109 Ом с помощью имитатора сопротивлений, если его
класс точности 0,1/2,5109, диапазон воспроизводимых сопротивлений от
1105 Ом до 9,91014 Ом.
2 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ С ОДНОКРАТНЫМИ
НАБЛЮДЕНИЯМИ

Рекомендуемая литература: [1, c.174-181], [3, c.37-39], [4, c.33-35], [7, c.25-26]
Методические указания
При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:
- в каких случаях возможно проведение однократных измерений?
- что такое результат наблюдения и его отличие от результата измерения?
- как обеспечить получение результата измерения с погрешностью, не превышающей допустимую?
- в чем особенности априорной оценки ожидаемой погрешности результата
измерения?
- особенности методики оценки погрешностей результатов измерений с однократными наблюдениями.
Контрольные вопросы
1 Какие измерения называются однократными?
2 В каких случаях возможно проведение однократных измерений? Приведите примеры.
3 Каковы особенности проведения однократных измерений?
4 Как оценивают относительную погрешность результата измерения?
5 Каким образом находят доверительные границы случайной погрешности
при однократных измерениях?
6 Как суммируют систематические и случайные погрешности при однократных измерениях?
Решение типовых задач
Задача № 1
В процессе однократного измерения емкости конденсатора измерено значение C = 1,246 нФ. Предварительно оценены с.к.о. измерения емкости ̂ c =

=0,037 нФ и границы неисключенных остатков двух составляющих систематической погрешности  c1 = 0,012 нФ и  c 2 = 0,016 нФ. Определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения (Рд =0,95).
Решение
1 Рассчитываются доверительные границы случайной погрешности измерения

11



  t  ˆ c  2  0,037  0,074 (нФ),
где коэффициент Стьюдента t = 2 при доверительной вероятности P = 0,95.
2 Определяются доверительные границы неисключенных систематических
погрешностей
c  k 

2

 2ci  1,1 
i 1

2c  2c  1,1  (0,012) 2  (0,016) 2  0,022 (нФ).
1
2

Коэффициент k принимается равным 1,1 для доверительной вероятности Р =
= 0,95 и количества неисключенных систематических погрешностей m < 4 (в
данном случае m = 2).
Находится сумма неисключенных систематических погрешностей

c 

2

 c
i 1

i

 0,012  0,016  0,028 (нФ).

Для m  4 в качестве оценки границ неисключенной систематической погрешности принимается меньшее из значений  c и c :
 c  0,022 нФ.
3 Для оценки доверительных границ суммарной погрешности прямых однократных измерений необходимо вычислить отношение
   c / ˆ c  0,022 / 0,037  0,59 .
Тогда


  0,8  ( c  )  0,8  (0,022  0,074)  0,077 (нФ),
так как  лежит в интервале от 0,5 до 8. В данном случае коэффициент 0,8 учи

тывает малую вероятность того, что  c и  c будут одновременно иметь своиграничные значения. Если  < 0,5, можно пренебречь систематическими по



грешностями  c , и тогда    . Если  > 8, то можно пренебречь  , и тогда
  c .
4 Результат измерения записываем в следующем виде:
С = (1,2460,077) (нФ), P = 0,95,
так как доверительный интервал симметричен.
Задача № 2
Резонансная частота колебательного контура определялась путем однократного измерения индуктивности L = 0,346 мГн и емкости C = 6,5 нФ входящих в
него катушки индуктивности и конденсатора с последующим вычислением по
формуле f  1 /(2  L  C ). На основании предыдущих измерений частоты аналогичных контуров известна оценка СКО измерения частоты ˆ f  0,14 êÃö ,
границы неисключенных остатков систематической погрешности измерения
индуктивности  с L = 0,11 мГн и емкости  с c = 0,11 нФ. Определить довери12

тельные границы погрешности косвенного измерения частоты с доверительной
вероятностью Рд = 0,95.
Решение
1 Рассчитывается значение результата косвенного измерения частоты:
f  1 /(2  L  C  1 /(2  3,14  0,346  6,5 )  106,2 (кГц).
2 Рассчитываются оценки частных систематических погрешностей косвенного измерения индуктивности

Ê L  (f / L)   c L   c L /( 4  C  L3 ) 
 0,01  10  3 /( 4  3,14 6,5  10  9  0,041  10  9 )  1,54 (кГц);

емкости
Ê c  (f / Ñ)   c c    c c /(4  C 3  L ) 

 0,01  10  9 /( 4  3,14  274,625  10  27  0,346  10  3 )  0,28 (кГц).
3 Находятся доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения. Поскольку данные о виде распределения неисключенных систематических погрешностей отсутствуют, то их распределение принимается за равномерное. Тогда
2

c  k 

 Ei

2

 1,1 (1,54) 2  (0,28) 2  1,72 (кГц),

i 1

так как при доверительной вероятности Рд = 0,95 k = 1,1,
c  Ê L  Ê c  1,54  0,28  1,82 (кГц).
4 За оценку границ неисключенных систематических погрешностей принимается меньшее из  c и c :
 c = 1,72 кГц.
5 Оцениваются доверительные границы случайной погрешности измерения


  t  ˆ f  2  0,14  0,28 (кГц),
так как для однократных измерений и Рд = 0,95 коэффициент Стьюдента t принимают равным 2.
6 Оцениваются доверительные границы суммарной погрешности результата
измерения


 f  2c   2  (1,72) 2  (0,28) 2  1,74 (кГц).
7 Результат измерения записывается в следующем виде:
Р = 0,95.
f = (106,21,8) (кГц),
Задача № 3
Определить доверительные границы результирующей погрешности измерения напряжения U=200 мВ при однократном наблюдении с Рд= 0,95. Измерение
осуществляется с помощью автоматического потенциометра класса точности
13

0,5. Изменение температуры вызывает смещение нуля потенциометра на Т=
=0,1 % /10С. Нормальные условия эксплуатации потенциометра 202С, потенциометр стоит в помещении, температура которого меняется от 8 до 32С.
Нормальные условия для напряжения питания Uн=200 В2 %, а в реальных условиях эксплуатации напряжение может меняться на 10 % Uн. Напряжение наводки в линии связи частотой 50 Гц может достигать 1 мВ.
Решение
1 Основная погрешность аналогового регистратора определяется его классом точности. Погрешность всех электроизмерительных приборов согласно
стандарту нормируется с 25 %-м запасом на старение, т.е. фактически погрешность нового прибора составляет не больше, чем 0,8. Следовательно, рег =
=0,80,5=0,4 (%).
2 У потенциометра преобладающей является погрешность дискретности,
обусловленная конечным числом витков обмотки датчика, по которым скользит
подвижный контакт. Эта погрешность имеет равномерное распределение. В
этом случае рег =0,4 (%) можно считать половиной ширины этого равномерного
распределения, и тогда  п  0,4 / 3  0,24 %.
3 Погрешность от колебаний напряжения питания распределена по треугольному закону с принятыми пределами 10 %. Поэтому максимальное значение этой погрешности  нп  10 / 6  10 / 2,45  1,3 %. Параметры этого распределения: энтропийный коэффициент k=2,02; эксцесс =2,4; =0,645.

Р(х)

Р(х)

m

0

+m

х

0

х

4 Погрешность наводки распределена арксинусоидально. Энтропийный коэффициент k=1,11. Тогда
1 / 200  100
 нав. 
 0,450 (%).
1,11
5 Погрешность смещения нуля потенциометра при колебании температуры
является аддитивной, а закон ее распределения можно считать равномерным со
средним значением 20С и размахом 12С (так как температура в помещении
меняется от 8 до 32С). Максимальное значение этой погрешности при Т=
0,1  12
 0,07 %, так как kэ для равномерного
=0,1 % /10С составляет  T 
10  3
распределения равен 3 .

14

6 Суммирование погрешностей сводится к вычислению приведенной погрешности при х = 0, которая складывается из всех аддитивных составляющих,
и в конце диапазона, которая складывается из всех составляющих.
При х=0 погрешность будет складываться из трех составляющих:
п=0,24 %, Т=0,07 %, нп=1,30 %.
Однако т =0,07 % меньше нп =1,3 % в 18,5 раз. Так как суммирование под
корнем будет производиться над квадратами величин, то ее вклад в результат
будет ничтожным. Отсюда ясно, что этой погрешностью можно пренебречь и
опустить из дальнейшего рассмотрения. Тогда
2
 н   п2   нп
 0,24 2  1,30 2  1,32 (%) .

Для расчета погрешности в конце диапазона к полученному значению н надо добавить погрешность наводки нав.= 0,45 %:
2
2
2
2
 к  нав
.   н  0,45  1,32  1,39 (%) .

Для перехода к интервальной оценке в виде доверительного д = t или энтропийного э = k значений необходимо знание не самого закона распределения результирующей погрешности, а лишь его одного числового параметра в
виде квантильного множителя t или энтропийного коэффициента k.
Зависимости энтропийного коэффициента k от соотношения суммируемых
составляющих и их энтропийных коэффициентов могут быть представлены в
виде семейства графиков (график 1 и график 2).
По оси абсцисс отложены значения относительного веса дисперсии  22 второго из суммируемых распреде-лений в полной дисперсии p   22 /(12   22 ) , по
оси ординат – значение энтропийного коэффициен-та k образующейся при
этом ком-позиции. Кривая 1 соответствует композиции двух нормальных
распределений (k = 2,066 для любых значений веса р); кривая 2 – композиции
равномерно распределенной и нормально распределенной погрешностей; кривая 3 – композиции двух равномерных распределений; кривая 4 –композиции
арксинусоидальной и равномерно распределенной погрешностей; кривая 5 –для
двух арксинусоидально распределенных погрешностей.
Кривые 1-3 соответствуют сумми-рованию равномерного, треугольного и
нормального распределений с дискретным двузначным распре-делением, а кривые 4-6 – суммированию нормального распределения соответственно с арксинусоидальным, равномерным и экспоненциальным.

k

1

2

3

k

4

2,066
2,0
1,8
1,73
1,6

5

2,066
2,02
2,0
1,93
1,8
1,73
1,6

1

2

3

4

5
6

15

При х=0 относительный вес нп в полной дисперсии равен p 


2
 нп
2
 нп
  п2



1,32

 0,98 . Так как нп распределена по треугольному закону, а п –
1,32  0,24 2
по равномерному (кривая 2 на графике 2). Отсюда k  н  1,25 .
Тогда при х=0 доверительные границы
 н  k  н   н =1,251,3=1,63 (%)
В конце диапазона весовой коэффициент нав. в полной дисперсии равен
2
 нав
0,45 2
.
p 2

 0,10
 нав.   н2 0,45 2  1,32 2
Поскольку нав. распределена по арксинусоидальному, а н – по нормальному законам, воспользуемся кривой 4 на графике 2.
k  к  2,066 .
Тогда в конце диапазона доверительные границы  k  k  k   k =2,0661,39=
=2,87 (%).
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
В процессе однократного измерения индуктивности катушки получено значение L = 154 мГн и tg = 0,5. Из технических характеристик прибора известно,
что основная погрешность измерения индуктивности не превышает  = [(1 +
+ tg)  Lx103+ 0,1 мкГн + Lк103], где Lк - конечное значение предела измерения (Lк = 1000 Гн). Прибор находится в помещении, где температура колеблется от 15С до 25С. Определить погрешность измерения индуктивности катушки при доверительной вероятности Р = 0,99.

16

Задача № 2
На основании предварительных измерений напряжения известно среднеквадратическое отклонение результата измерения ̂ U = 0,51 В; границы неисключенных остатков четырех составляющих систематической погрешности
 c1 = 0,39 В;  c 2 = 0,81 В;  c 3 = 0,24 В;  c 4 = 0,55 В. Определить доверительные границы погрешности измерения напряжения U = 81,48 В с однократным
наблюдением. Доверительная вероятность Р = 0,95.
Задача № 3
Для измерения энергии, потребляемой нагрузкой на постоянном токе за
время t, использовался косвенный метод и выражение U2t/R. При этом в результате однократных измерений были получены следующие значения:
- напряжение U = 146 В с погрешностью 20 В;
- сопротивление нагрузки R=415 Ом с погрешностью 5 Ом;
- время t=15 с с погрешностью 0,04 с;
границы неисключенных остатков трех составляющих систематической погрешности  c U  0,44 B ;  c R  0,15 Ом; R c t  0,48 c .
Оценить суммарную погрешность измерения энергии и записать результат с
доверительной вероятностью Рд=0,99.
3 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Рекомендуемая литература: [3, с.26-31, 35-37], [4, с.10-36], [8, с.120-125], [9].
Методические указания
При изучении темы необходимо:
- изучить и точно знать, какие измерения являются прямыми и какие погрешности измерений относят к систематическим, случайным и грубым;
- рассмотреть способы оценки и уменьшения систематических погрешностей, обратив особое внимание на правила суммирования неисключенных систематических погрешностей;
- ознакомиться с основными выражениями математического описания случайных погрешностей (среднее арифметическое, дисперсия, среднее квадратическое отклонение);
- изучить основные теоретические положения и алгоритмы обработки результатов многократных прямых равноточных и неравноточных измерений;
- знать правила и формы представления погрешностей и записи результатов
измерений.
Контрольные вопросы
1 Какие измерения называются прямыми?
2 Какие измерения относят к равноточным, а какие к неравноточным?
3 В зависимости от чего применяют однократные либо многократные наблюдения?

17

4 Перечислите основные признаки, по которым классифицируются погрешности измерений.
5 Какие существуют методы обнаружения и оценки систематических погрешностей?
6 Сформулируйте правила суммирования систематических погрешностей.
7 Как оценивается случайная погрешность результатов прямых измерений?
Приведите необходимые математические соотношения.
8 Опишите алгоритмы обработки прямых равноточных измерений.
9 Поясните суть критерия грубых погрешностей.
10 В каких случаях используются точечные и интервальные оценки погрешностей измерений?
Общие положения алгоритма обработки результатов
многократных наблюдений при прямых измерениях
1 При статистической обработке группы результатов наблюдений следует
выполнить следующие операции:
- исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений;
- вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;
- вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;
- проверить гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат к нормальному распределению;
- вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения;
- вычислить границы неисключенной систематической погрешности (неисключенных остатков систематической погрешности) результата измерения;
- вычислить доверительные границы суммарной погрешности результата
измерения.
2 Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости q от 10 до 2
%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике выполнения измерений.
3 Для определения доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность P принимают равной 0,95. В тех случаях, когда
измерения нельзя повторить, и других особых случаях, результаты которых
имеют важное значение, допускается указывать границы для доверительной вероятности Рд = 0,99.

18

Решение типовых задач
Задача № 1
Обработать ряд результатов наблюдений Xi (таблица 1), полученный по результатам многократных прямых измерений сопротивления, и оценить случайную погрешность измерения, считая результаты исправленными и равноточными. Доверительную вероятность принять Рд = 0,95. Результат измерения представить по одной из форм, предусмотренных ГОСТ 8.207-76.

Таблица 1
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Xi 32,700 32,744 32,786 32,578 32,848 32,593 32,588 32,519 32,603
Продолжение таблицы 1
i
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Xi 32,627 32,635 32,970 32,754 32,702 32.879 32.799 32.775 32.690
Окончание таблицы 1
i
19
20
Xi
32,671
32,645

22
23
24
25
32,688
32,676
32,685
32,826
Решение
1 Так как в условии задачи указано, что результаты измерения являются исправленными и равноточными, то производить исключение систематических
погрешностей нет необходимости.
2 Вычисляем среднее арифметическое результатов наблюдений
X

21
32,701

1

n

n
i 1

1
Xi 
25

25

 Xi  32,707 кОм.

i 1`

Значение X принимается за результат измерения.
3 Определяем случайные отклонения Vi результатов отдельных наблюдений
по формуле
Vi = Xi  Х .
Результаты промежуточных расчетов заносим в таблицу 2.
Таблица 2
i
1
Vi
 0,007
2
Vi
0,04910-3

2
0,037
1,36910-3

3
0,079
6,24110-3

4
- 0,129
16,64110-3

5
0,133
17,68910-3

Продолжение таблицы 2
i
6
7
Vi
 0,114
 0,119
2
-3
Vi
12,99610
14,16110-3

8
 0,188
35,34410-3

9
 0,104
10,81610-3

10
 0,080
6,410-3
19

Продолжение таблицы 2
i
11
12
Vi
0,263
 0,072
2
-3
Vi
5,18410
69,16910-3

13
0,047
2,20910-3

14
 0,005
0,02510-3

15
0,172
29,58410-3

Продолжение таблицы 2
i
16
17
Vi
0,092
0,068
2
-3
Vi
8,46410
4,62410-3

18
 0,017
0,28910-3

19
 0,036
1,29610-3

20
 0,062
3,84410-3

Продолжение таблицы 2
i
21
22
Vi
 0,006
 0,019
2
-3
Vi
0,03610
0,36110-3

23
 0,031
0,96110-3

24
 0,022
0,48410-3

25
0,119
14,16110-3
n

Правильность вычислений Х и Vi определяем по формуле

 Vi  0 . Если
i 1

n

 Vi  0 , то имеют место ошибки в вычислениях.
i 1

4 Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений ̂ x
n

1
ˆ x 
  Vi2  0,105 кОм.
n 1
i 1

5 С помощью критерия грубых погрешностей (критерий «трёх сигм») проверяем наличие грубых погрешностей.
В соответствии с этим критерием, если | Vi | 3ˆ x , то такое наблюдение содержит грубую погрешность. В случае обнаружения грубой погрешности в i-м
наблюдении необходимо это наблюдение исключить из результатов наблюдений и повторить вычисления по пп. 1-5 для меньшего числа n.
В решаемой задаче 3ˆ x  3  0,105  0,315 кОм и, как видно из таблицы 2,
грубые погрешности отсутствуют.
6 Определяем оценку среднего квадратического отклонения результата измерения ̂ x из выражения
n
ˆ
1
0,105
2
 0,021 кОм.
ˆ x 
Vi  x 

n
25
n (n  1)
i 1

7 Выдвигаем гипотезу о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению и проверяем эту гипотезу.

20

а) При числе результатов наблюдений n > 50 для проверки принадлежности
их к нормальному распределению в соответствии с ГОСТ 11.006-74 предпочтительным является один из критериев 2 Пирсона или  2 Мизеса-Смирнова.
При числе результатов наблюдений 50>n>15 для проверки принадлежности
их к нормальному распределению предпочтительным является составной критерий, приведённый в [9].
При числе результатов наблюдений n15 принадлежность их к нормальному
распределению не проверяют. При этом нахождение доверительных границ
случайной погрешности результата измерения по методике, предусмотренной
[1], возможно в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений
принадлежат нормальному распределению. Если условие принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению не выполняется, методы
вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.
В решаемой задаче n = 25. Поэтому принадлежность результатов наблюдений к нормальному распределению проверяем по составному критерию.
б) Критерий 1. Вычисляем смещённую оценку среднего квадратического отклонения по формуле

ˆ * x 

1
n

n

 Vi

2

 0 ,1029 кОм.

i 1

Вычисляем параметр
n

 | Vi |
d̂ 

i 1

 ˆ *x

 0 , 789 .

n
Результаты наблюдений можно считать распределенными нормально, если
d1  q / 2  d̂  d q / 2 ,
1

1

где d1  q / 2 и d q / 2 - квантили распределения, получаемые из таблицы 3
1
1
по n, q1/2 и (1 - q1/2), причем q1 - заранее выбранный уровень значимости критерия.
Выбираем уровень значимости q равным 5 %. Из таблицы 3 находим d q / 2 =
1

=0,868, d1  q / 2 = 0,704. Сравнивая полученное значение d̂ с этими величина1
ми, делаем вывод о том, что по критерию 1 результаты наблюдений распределены по нормальному закону.
Критерий 2. Этот критерий используется дополнительно для проверки
«концов» распределений.

21

Гипотеза о нормальности по критерию 2 не отвергается, если не более m
ˆ x , где верная квантиль распределения
разностей Vi превзошли значение Z P / 2  
нормированной функции Лапласа отвечает вероятности P/2.
Tаблица 3 - Статистика d
(1  q1/2)  100%
q1/2  100%
n
1%
5%
95 %
99 %
16
0,9137
0,8884
0,7236
0,6829
21
0,9001
0,8768
0,7304
0,6950
26
0,8901
0,8686
0,7360
0,7040
31
0,8826
0,8625
0,7404
0,7110
36
0,8769
0,8578
0,7440
0,7167
41
0,8722
0,8540
0,7470
0,7216
46
0,8682
0,8508
0,7496
0,7256
51
0,8648
0,8481
0,7518
0,7291
Таблица 4 - Значения P для вычисления ZP/2.
n

m

10
11 - 14
15 - 20
21 - 22
23
24 - 27
28 - 32
33 - 35
36 - 49

1
1
1
2
2
2
2
2
2

1%
0,98
0,99
0,99
0,98
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99

q2  100%
2%
0,98
0,98
0,99
0,97
0,98
0,98
0,98
0,98
0,99

5%
0,96
0,97
0,98
0,96
0,96
0,97
0,97
0,98
0,98

Значения P определяются из таблицы 4 по выбранному уровню значимости
q2 и числу результатов наблюдений, а значения ZP/2 - из таблицы 5.
Для решаемой задачи выбираем уровень значимости q2 = 5% и для n = 25 из
таблицы 4 находим P = 0,97 и m = 2. Тогда, обращаясь к таблице 5, находим ZP/2
= 2,17. Отсюда
ˆ x = 0,229 кОм.
ZP / 2  
Согласно критерию 2 не более двух (m = 2) разностей Vi могут превзойти
значение 0,229 кОм.
По данным, приведенным в таблице 2, видим, что только V12 превышает
критическое значение. Следовательно, критерий 2 выполняется.
Таким образом, с уровнем значимости q  q1+ q2 = 0,1 гипотеза о нормальности полученных данных согласуется с данными наблюдений.

22

Таблица 5 - Значения нормированной функции Лапласа ф(z).
Z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2.1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9

0
0,000
03983
07926
11791
15542
19146
22575
25804
28814
31594
34134
36433
38493
40320
41924
43319
44520
45543
46407
47128
47725
48214
48610
48928
49180
49379
49534
49653
49744
49813

1
00399
04380
08317
12172
15910
19497
22907
26115
29103
31859
34375
36650
38686
40490
42073
43448
44630
45637
46485
47193
47778
48256
48645
48956
49202
49396
49547
49664
49752
49819

2
00798
04776
08706
12552
16276
19847
23237
26424
29389
32121
34614
36864
38877
40658
42220
43574
44738
45728
46562
47257
47831
48300
48679
48983
49224
49413
49560
49674
49760
49825

3
01197
05172
09095
12930
16640
20194
23565
26730
29673
32381
34850
37076
39065
40824
42364
43699
44845
45818
46638
47320
47882
48341
48713
49010
49245
49430
49573
49683
49767
49831

4
01595
05567
09483
13307
17003
20540
23891
27035
29955
32639
35083
37286
39251
40988
42507
43822
44950
45907
46712
47381
47932
48382
48745
49036
49226
49446
49585
49693
49774
49836

5
01994
05962
09871
13683
17364
20884
24215
27337
30234
32894
35314
37493
39435
41149
42647
43943
45053
45994
46784
47441
47982
48422
48778
49061
49286
49461
49598
49702
49781
49841

6
02392
06356
10257
14058
17724
21226
24537
`27637
30511
33147
35543
37698
39617
41309
42768
44062
45154
46080
46856
47500
48030
48461
48809
49086
49305
49477
49609
49711
49788
49846

7
02790
06749
10642
14431
18082
21566
24857
27935
30785
33398
35769
37900
39796
41466
42922
44179
45254
46164
46926
47558
48077
48500
48840
49111
49324
49492
49621
49720
49795
49851

8
03188
07142
11026
14803
18439
21904
25175
28230
31057
33646
35993
38100
39973
41621
43056
44259
45352
46246
46995
47615
48124
48537
48870
49134
49343
49506
49632
49728
49801
49856

9
03586
07535
11409
15173
18793
22240
25490
28524
31327
33891
36214
38298
40147
41774
43189
44408
45449
46327
47062
47670
48169
48574
48899
49158
49361
49520
49643
49736
49807
49861

Примечание - Значения Ф (z) при z = 3.0 - 4.5 следующие:
3.07......0.49865 3.4......0.49966
3.8......0.49993
3.1.......0.49903
3.5......0.39977
3.9......3.49995
3.2.......0.49931
3.6......0.49984
4.0......0.499968
3.3.......0.49952
3.7......0.49989
4.5......0.499999

8 По заданной доверительной вероятности Pд и числу степеней свободы
(n1) распределения Стьюдента определим коэффициент t из таблицы 6.
Для нашей задачи (P = 0,95 и n-1 = 24) значение t = 2,064.
Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата
измерения


ˆ x  2,0640,021 = 0,043 кОм.
  t 
23

Таблица 6 - Значение коэффициента t для случайной величины х, имеющей
распределение Стьюдента с n1 степенями свободы
n1
3
4
5
6
7
8
10
12
14

Pд = 0,95
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,228
2,179
2,145

Рд = 0,99
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,169
3,055
2,977

n1
16
18
20
22
24
26
28
30


Рд = 0,95
2,120
2,110
2,086
2,074
2,064
2,056
2,048
2,043
1,960

Рд = 0,99
2,921
2,878
2,845
2,819
2,797
2,779
2,763
2,750
2,576

9 Записываем результат измерения.
При симметричной доверительной погрешности результаты измерений
представляют в виде
o
Х   , Pд.
o
При этом значащих цифр в  должно быть не более двух , а числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и
o
значение погрешности  .
Результат измерения записываем в следующем виде:
R = (32,707  0,044) кОм;
Pд = 0,95.
Задача № 2
В процессе обработки результатов прямых измерений силы тока I определены: среднее арифметическое значение Ī =16,48 мА; оценка среднего квадратиˆ I  0,51 мА; границы неисческого отклонения среднего арифметического 

ключенных остатков трех составляющих систематической погрешности c1 =
=0,83 мА; c2 = 0,87 мА; c3 = 0,39 мА.
Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности
результата измерения и записать его по одной из установленных форм. Значение доверительной вероятности Рд = 0,99. Распределение случайной погрешности нормальное при N > 30.
Решение
1 Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата
измерения


ˆI .
  t 


Из таблицы 6 для Pд = 0,99 и n > 30 находим t = 2,576. Тогда   1,314 мА.
2 Определяем доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения

24

c  k 

m

  ci ,
2

i 1

где m - число суммируемых погрешностей;
 c - граница i-й неисключенной систематической погрешности;
i

k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью.
Если Рд = 0,95, то k = 1,1.
При доверительной вероятности Рд = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырёх (m >4). Если число суммируемых погрешностей m4, то коэффициент k определяют по графику зависимости (рисунок) k = f(m, l), где m число суммируемых погрешностей; l   c i /  c j ; кривая 1 - для m =2; кривая 2 для m = 3; кривая 3 - для m = 4.

График зависимости k = f(m, l).
При трёх или четырёх составляющих в качестве  c i принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других. В качестве  c j следует принять ближайшую к  c i составляющую.
Для нашей задачи l   c i /  c j  0,45 .
Используя вторую кривую графика, находим k = 1,32. Тогда с = 1,602 мА.
Следует иметь в виду, что при m<4 вычисленное значение с может оказаться больше алгебраической суммы систематических погрешностей

c 

m

  ci  2,09 мА,
i 1

чего не может быть. За оценку границ неисключенной систематической погрешности принимаем то из значений с, которое меньше. Таким образом, с =
=1,602 мА.
3 Определим границы суммарной погрешности результата измерения.
а) Находим отношение

   c /  I  3,1.
25

б) В случае если  < 0,8, то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница
о

   . Если  > 8, то пренебрегают случайной погрешностью по сравнению с
систематическими и принимают, что граница погрешности результата  = с.
Погрешность, возникающая из-за пренебрежения одной из составляющих
погрешности результата измерения при выполнении указанныx неравенств, не
превышает 15 %.
в) В случае, если неравенства п. б) не выполняются (0,8    8), то границу
погрешности результата измерения находят путём построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины.
В соответствии с [9] границы погрешности результата измерения  (без учета знака) вычисляют по формуле
ˆ ,
  K  
где К- коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;
̂  - оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.
Значение ̂  вычисляют по формуле
1m 2
ˆ     c  ˆ 2I  0,89 .
3 i 1 i
Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле


1 m 2 

ˆ 
K   (   c )  
  c   2,41 .
i 
 I
3
i 1


Определяем доверительные границы суммарной погрешности результата
измерения
  K  ˆ   2,48  0,89  2,14 .
Доказывается, что с погрешностью не более 10 % значение  может быть
определено по более простой формуле
2
    2c  2,072 .
4 Записываем результат измерения. Так как погрешность симметрична относительно результата измерения, то
I = (16,5  2,1) мА, Рд = 0,99.

26

Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
Обработать ряд наблюдений, полученный в процессе многократных прямых
измерений физической величины (ФВ), и оценить случайную погрешность измерений, считая результаты исправленными и равноточными. Результат измерения представить в одной из форм ГОСТ 8.207-76. Вид ФВ, ее размерность,
число наблюдений N, первый элемент выборки ряда J взять из таблицы 7, а номер ряда взять из таблицы 8 в соответствии с вариантом. Доверительную вероятность принять Рд = 0,95 для четных вариантов и Рд = 0,99 - для нечетных.

Таблица 7
Параметр
ФВ

Размер
мерность
N
J

1
Ток

3
Частота

мкА

2
Напряжение
мкВ

кГц

4
Сопротивление
кОм

20
1

15
10

30
6

35
1

Вариант
5
6
Мощ Вреность
мя

7

мВт

мс

ЭД
С
мВ

25
10

19
15

24
5

8
Длина

9
Емкость

мм

нФ

10
Индуктивность
мГн

25
1

18
10

32
4

При решении задач 2-4 необходимо определить доверительные границы
суммарной погрешности результата измерения. При расчетах полагать, что случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30. Данные взять из таблицы 9.
Задача №2
В процессе обработки результатов прямых измерений напряжения определено (все значения в вольтах): среднее арифметическое значение этого напряжения U  X , среднее квадратическое отклонение среднего арифметического
ˆ U  ˆ X , границы неисключенных остатков двух составляющих систематической погрешности  c1 и  c 2 .
Задача №3
В процессе обработки результатов прямых измерений сопротивления R определено (все значения в килоомах): среднее арифметическое R  X ; границы
неисключенных остатков трех составляющих систематической погрешности
 c1 ,  c 2 и  c 3 . Случайная погрешность пренебрежимо мала.
Задача №4
В процессе обработки результатов прямых измерений емкости С определено
(в нанофарадах): среднее арифметическое C  X ; среднее квадратическое отˆ C  ˆ X ; границы неисключенных остатклонение среднего арифметического 
ков двух составляющих систематической погрешности  c 3 и  c 4 .

27

Таблица 8
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

1
16,0065
15,7891
15,6774
16,0797
16,2531
16,1125
15,6624
16,0556
16,1915
16,1031
16,1762
15,6497
15,7332
16,0375
14,8296
16,2142
15,7891
15,6471
16,2576
15,6675
16,2032
15,6557
15,6820
15,7611
16,0905
16,0691
15,6331
15,6937
15,9504
16,2524
15,6513
16,1298
16,0551
16,2529
16,1402

Продолжение таблицы 8

28

2
22,0123
22,9939
22,2742
23,0254
22,3024
22,0120
22,8651
22,3795
22,7172
22,8255
22,4244
20,0291
22,7570
22,3292
22,9448
22,0760
23,0105
22,0643
23,0317
22,8951
22,0419
22,0591
22,0037
22,0317
22,8747
22,0285
22,0954
22,0016
22,2415
22,7934
22,9755
22,2265
22,2543
22,6592
22,7873

Номер ряда наблюдений
3
10,3623
10,2493
10,4923
10,3137
10,3183
10,4059
10,6294
10,2650
10,3024
10,2688
10,6268
10,7516
10,3913
10,3496
10,2725
10,2539
10,3990
10,2790
10,5937
10,7457
10,3457
10,6968
10,2640
10,4506
10,3961
10,4081
10,6238
9,6276
10,2670
10,3424
10,6293
10,7522
10,5381
10,6926
10,4042

4
49,7928
47,9739
47,9254
49,1514
49,3718
48,0822
49,1950
48,4626
49,5655
49,7933
48,8541
47,9618
48,0356
47,9949
49,7925
49,7869
49,5183
49,7603
49,6780
49,6591
49,0117
48,3095
47,9303
48,2104
49,7760
47,9673
45,5625
49,4889
49,2162
49,7757
48,0032
48,1368
48,2398
49,0547
49,1183

5
35,9204
36,9163
36,2257
36,1006
36,7542
36,1744
36,1744
36,2023
35,6021
35,5462
36,5920
36,4078
36,9107
36,1876
36,6934
35,6774
35,7912
36,4033
36,3126
36,4941
35,6285
35,9551
35,7093
35,9808
35,7190
34,0623
36,0152
35,6716
36,6773
36,5373
36,6845
35,5179
35,9262
35,6236
36,9338

I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

6
12,7416
12,8033
13,3574
12,7938
12,5663
12,7133
12,9213
12,7064
12,7432
12,7428
13,5213
12,8330
12,8214
13,3946
13,4483
12,5995
12,8412
12,8082
13,2607
12,8592
13,4198
12,7251
12,8300
14,4618
14,5839
13,4515
13,2268
12,5570
12,7186
13,3361
13,2431
13,3585
13,2472
13,5172
13,2472

7
28,1918
27,0238
28,2393
27,1120
26,8403
28,0320
29,9967
27,5508
26,7104
26,9868
27,0866
26,9129
26,6548
26,9626
26,6438
26,6523
26,6223
26,9044
26,6086
28,2372
27,0463
26,8789
26,6435
26,6083
27,4319
28,1347
26,6294
26,9332
26,6284
27,0570
26,6138
26,7730
27,3732
28,1526
26,7359

Номер ряда наблюдений
8
38,4404
38,5394
38,1955
38,1271
37,9341
38,0902
38,5348
38,2339
38,4842
38,0486
38,4781
37,9250
38,1662
38,0371
37,8539
38,0422
37,8655
38,0462
37,8203
38,1242
38,5117
38,1768
39,3839
38,5401
38,3996
38,3125
3,5463
37,8538
37,8892
37,9422
37,8345
38,2995
38,0396
38,4482
38,4931

9
17,5151
17,3831
17,2690
17,3792
18,1100
17,5170
18,1059
17,3931
17,8772
17,2714
19,2087
17,2570
17,3044
17,5808
17,2839
18,0627
17,2912
18,0420
17,3481
17,2767
17,8749
17,2979
17,9177
17,4381
17,2971
17,2750
18,0703
17,3146
17,9669
17,3075
17,2814
17,6904
17,2827
17,2882
17,4522

10
13,4250
13,6387
13,5889
13,7126
13,4818
14,1668
13,5771
13,4729
13,6753
13,4710
13,4971
13,7178
13,6937
13,6149
13,5516
13,0627
13,4723
13,7356
13,6109
13,4160
13,4706
13,4409
13,5433
13,4296
13,4468
13,4825
13,4927
13,4329
13,5458
13,7321
13,7071
13,5378
13,7106
13,5850
13,5620

Таблица 9
Пара-

Вариант

29

метр
Х
̂ X

 c1
c2
 c3
c4

1
5,75
0,08
0,32

2
1,246
0,037
0,45

3
18,31
0,52
1,30

4
25,43
0,23
0,92

5
8,49
0,20
0,56

6
4,38
0,60
0,14

7
20,92
1,20
1,56

8
9,48
0,45
0,35

9
53,79
0,45
2,30

10
16,48
0,51
0,83

0,15

0,023

0,49

0,87

0,35

0,48

0,62

0,46

0,82

0,87

0,21

0,012

0,16

0,29

0,20

0,12

0,47

0,23

0,63

0,39

0,18

0,016

0,21

0,85

0,19

0,23

1,10

0,20

0,60

0,81

4 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Рекомендуемая литература: [1, с.197-211], [3, с.31-37], [4, с.27-36], [8, с.101120].
Методические указания
При изучении материала темы необходимо:
- ознакомиться с основными определениями и классификационными признаками косвенных измерений;
- изучить методы оценки случайных погрешностей косвенных измерений,
алгоритмы обработки их результатов;
- обратить внимание на формы представления характеристик погрешностей
и записи результатов измерений.
Контрольные вопросы
1 Каким образом находят искомые величины при косвенном измерении? Какой формулой можно охарактеризовать косвенное измерение? Приведите пример косвенного измерения.
2 Какое значение принимается за результат косвенного измерения?
3 По какой формуле определяется частная случайная погрешность косвенного измерения?
4 Дайте определение коэффициента корреляции и поясните его физический
смысл.
5 По какой формуле может быть вычислена оценка коэффициента корреляции?
6 По каким формулам вычисляются средние квадратические отклонения результатов косвенных измерений для случаев зависимых и независимых частных
погрешностей?
7 Приведите критерий ничтожных погрешностей. Из какого условия он выведен? Что дает знание ничтожных погрешностей?
8 Что понимается под «эффективным» числом степеней свободы распределения Стьюдента при косвенных измерениях?
9 Опишите алгоритм обработки результатов косвенных измерений.

30

10 Приведите примеры форм представления характеристик погрешностей и
записи результатов измерений.
Решение типовых задач
Задача № 1
Мощность постоянного тока Р измерялась косвенным методом, путем многократных измерений напряжения U и тока I с учетом зависимости Р=UI. Ток I
и напряжение U подвергались прямым измерениям n = 15 раз. В процессе обработки результатов прямых измерений определены: средние арифметические
значения Ū = 25,2 В и Ī= 2,837 мА; оценки средних квадратических отклонений
 U = 0,38 В и  I = 0,028 мА. Произведена также оценка коэффициента корреляции между погрешностями измерения напряжения и тока RIU = 0,75.
Определить случайную погрешность результата косвенного измерения с доверительной вероятностью Рд = 0,95 и записать результат по одной из установленных форм.
Решение
1 Находим значение результата косвенного измерения мощности
P  U  I  71,492 мВт.
2 Определяем частные случайные погрешности косвенного измерения
P
ˆ I  U  ˆ I  0,706 мВт;
EI  
I
P
EU 
ˆ U  I  ˆ U  1,078 мВт.
U
3 Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результата косвенного измерения

ˆ P  E 2U  E 2I  2E U E I R IU  1,67 мВт.
4 Определяем значение коэффициента Стьюдента t для заданной доверительной вероятности Рд и числа наблюдений n.
а) При n  30 значение t определяется непосредственно из таблицы 6 для заданной Рд .
б) При n  30 предварительно должно быть определено так называемое «эффективное» число степеней свободы распределения Стьюдента, учитываемое
затем при пользовании таблицей 6.
Оно определяется из выражения
2

m

m 1


n ýôô .    Å̂x i ˆ x i 
Å̂2x ˆ 2x  1 ,


 ni  1 i i

 i 1

 i 1

где ni - число наблюдений при прямых измерениях xi .
ˆ x i  ˆ x i Xi - относительная оценка среднеквадратического отклонения
Для решаемой задачи

31

(Ê U i ˆ U i  Ê I i ˆ I i ) 2
n ýôô . 
 1  24,16.
1
2 ˆ2
2 ˆ2
(Ê   Ê I  I )
i i
n  1 Ui Ui
в) При получении дробного значения nэфф для нахождения коэффициента
Стьюдента применяем линейную интерполяцию
t t
t n t n
t  2 1 n эфф.  1 2 2 1 ,
n 2  n1
n 2  n1
где t1, t2 и n1, n2 - соответствующие табличные значения коэффициента
Стьюдента и числа наблюдений (для заданной Рд), между которыми находится
значение nэфф..
Для решаемой задачи при nэфф = 24,16 и Рд = 0,95 из таблицы 6 находим n1 =
=24, t1 = 2,069, n2 = 25, t2 = 2,064, а затем вычисляем значение t = 2,068.
5 Вычисляем доверительные границы случайной погрешности результата
косвенного измерения


  t   P  2,068  1,67  3,45 мВт.
6 Записываем результат измерения
P  (71,5  3,5) мВт, Рд=0,95.
7 Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ничтожных погрешностей.
В соответствии с этим критерием, если частная погрешность меньше 1/3
суммарной погрешности, то она является «ничтожной» и может быть исключена из рассмотрения.
Для решаемой задачи
 P 1,67



 0,556; E U  P и E I  P .
3
3
3
3
Следовательно, E U и E I не являются «ничтожными» и для повышения точности измерения Р необходимо увеличивать точность измерения как U, так и I.
Задача №2
Сопротивление резистора Rx определялось путем многократных измерений
падения напряжения на нем Ux и падения напряжения Uo на последовательно
соединенном с ним образцовом резисторе R0=5 кОм с последующим расчетом
U
по формуле R x  R 0 x . При обработке результатов прямых измерений Ux и
U0
U0 получены средние арифметические значения U x =32,5 В, U 0 =2 В; оценки
ˆ U x  0,19 B и ˆ U 0  0,036 B . Частные
средних квадратических отклонений 
погрешности некоррелированы. Число наблюдений при прямых измерениях
n=40.
Оценить случайную погрешность результата косвенного измерения сопротивления Rx c доверительной вероятностью РД = 0,99 и записать результат измерения по установленной форме.
32

Решение
1 Так как по условию задачи частные погрешности некоррелированы, то
Rij=0.
При необходимости количественная оценка Rij может производиться по
формуле
n
1
R̂ ij 
 (X ik  Xi )(X jk  X j ) ,
(n  1)ˆ x i  ˆ x j k 1

где n - наименьшее из чисел наблюдений Xik и Xjk .
2 Находим значение результата косвенного измерения сопротивления
U
32,5
Rx  R0 x  5
 81,25 кОм.
U0
2
3 Находим частные погрешности косвенного измерения
R
R x
Ê U x 
ˆ U x  0 ˆ U x  0,475 кОм,
U x
U0
R U
R x
Ê U o 
ˆ U o  o 2 x ˆ U o  1,463 .
U o
Uo
4 Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результата косвенного измерения. Так как Rij, то для определения RX используем формулу
для случая независимых частных погрешностей

ˆ R x  (Ê U x ) 2  (Ê U o ) 2  1,538 кОм.
5 Непосредственно из таблицы 6 (n=40) находим значение коэффициента
Стьюдента при РД = 0,99
t = 2,576.
6 Вычисляем доверительные границы результата косвенного измерения


  t  ˆ R x  2,576  1,538  3,962 кОм.
7 Записываем результат измерения
Rх = (81,3  4,0) кОм, РД = 0,99.
8 Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ничтожных погрешностей
R x
ˆ R x
ˆ R x
 0,512 кОм, Ê U o 
, а Ê U x 
.
3
3
3
Cледовательно, Ê U x является «ничтожной» погрешностью. Поэтому для увеличения точности измерения Rx необходимо в первую очередь повышать точность измерения U o .

33

Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
Напряжение в электрической цепи U определяется путем многократных измерений U1, U2, U3 на участках этой цепи с последующим расчетом по формуле
U = U1 + U2 + U3 . Воспользовавшись результатами обработки прямых измерений напряжений (таблица 10), продолжить обработку результатов косвенного
измерения U и, оценив его случайную погрешность, записать результат измереˆ U1  ˆ X1 , B ;
ния. При обработке принять U1  X1 , В; U 2  X 2 , В; U 3  X 3 , В; 

ˆ U 2  ˆ X 2 , B ; ˆ U 3  ˆ X 3 , B ; R̂ U1U 2  R̂ 12 ; R̂ U1U 3  R̂ 13 ; R̂ U 2 U 3  R̂ 23 ; РД=

=0,95 - для четных вариантов и РД = 0,99 - для нечетных вариантов, n – число
наблюдений каждой из величин в процессе прямых измерений.
Задача № 2
Резонансная частота f0 колебательного контура определяется путем многократных измерений индуктивности L и емкости С, входящих в контур катушки
индуктивности и конденсатора, с последующим вычислением по формуле
f 0  1 / 2 LC .
Воспользовавшись результатами обработки прямых измерений (таблица 10),
продолжить обработку результатов косвенного измерения f0 и оценить его случайную погрешность. При обработке принять L = X 2 мГн; C = X 3 мкФ;
ˆ L  ˆ X 2 мГн; ˆ C  ˆ X 3 мкФ; Рд= 0,95 - для четных вариантов и Рд = 0,99 для нечетных вариантов.
Таблица 10
ПараВариант
метр
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
35
15
22
11
19
32
13
40
11
17
12,45 8,46 14,39 27,65 19,37 25,20 17,30 32,50 19,00 37,35
X1
0,347 0,521 2,032 4,251 3,498 2,837 5,360 2,000 6,380 5,120
X2
5,320 1,090 10,51 15,40 6,300 1,800 10,14 22,50 5,210 28,05
X3
 X1 0,30 0,14 0,15 0,32 0,36 0,38 0,22 0,19 0,31 0,57

X2
X3

0,023 0,021 0,042 0,030 0,040 0,028

0,43

0,036 0,036 0,047

0,085 0,050

0,20

0,29

0,052 0,010

0,32

0,20

0,081

0,89

R̂12

-0,15

0,05

-0,34

0,47

-0,09

0,75

0

0,60

-0,50

0,80

R̂ 13

0,80

-0,42

-0,49

0,80

0,90

0,85

-0,09

-0,50

0,72

0,05

R̂ 23
R0

0,60

0,84

0,14

-0,32

0,46

0,63

0,53

0,06

0,18

-0,16

0,1

10,0

2,0

0,1

1,0

0,1

10,0

5,0

0,1

1,0

34

Задача № 3
Мощность постоянного тока Р измерялась косвенным методом путем многократных измерений напряжения U и тока I c последующим расчетом по формуле P=UI. Воспользовавшись результатами обработки прямых измерений
(таблица 10), продолжить обработку результатов косвенного измерения РU,
оценив его случайную погрешность, записать результат измерения. При обраˆ U  ˆ X1 , B ; ˆ I  ˆ X 2 , ìÀ ; R̂ UI  R̂ 12 ;
ботке принять U  X1 , В; I  X 2 , мА; 

РД= 0,95 - для четных вариантов и РД = 0,99 - для нечетных вариантов.
Задача № 4
Сопротивление Rx определялось путем многократных измерений падения
напряжения на нем Ux и падения напряжения Uo на последовательно соединенном с ним образцовом резисторе с сопротивлением Ro (кОм) с последующим
расчетом по формуле R x R o U x / U o . Воспользовавшись результатами обработки прямых измерений (таблица 10), продолжить обработку результатов косвенного измерения Rx и, оценив его случайную погрешность, записать резульˆ U x  ˆ X1 , B ;
тат измерения. При обработке принять U x  X1 , B ; U o  X 2 , B ; 

ˆ U o  ˆ X 2 , B ; R̂ U o U x  0 ; РД= 0,95 - для четных вариантов и РД = 0,99 - для

нечетных вариантов. Погрешностью резистора Ro пренебречь.
5 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ СОВОКУПНЫХ
И СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Рекомендуемая литература: [1, с.211-220], [2, с.167-172], [3, с.6-10, 12].
Методические указания
При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:
- отличие cовокупных и совместных измерений от прямых и косвенных;
- примеры совокупных и совместных измерений;
- суть метода наименьших квадратов и использование этого метода при составлении системы нормальных измерений.
Контрольные вопросы
1 Что такое совокупные измерения?
2 Чем совместные измерения отличаются от совокупных?
3 Что собой представляет система исходных уравнений?
4 Что такое невязка уравнений связи?
5 Объясните суть метода наименьших квадратов.

6 Каким образом составляется система нормальных уравнений и какие
известны методы ее решения?

35

Решение типовых задач
Задача № 1
Совокупные измерения углов трехгранной призмы выполнены с трехкратным повторением наблюдений. Результаты наблюдений следующие:
1 = 8955; 1 = 455; 1 = 4457;
2 = 8959; 2 = 456; 2 = 4455;
3 = 8957; 3 = 455; 3 = 4458.
Найти с доверительной вероятностью Рд = 0,95 результаты совокупных измерений углов , , .
Решение
Если найти каждый из углов как среднее арифметическое результатов соответствующих наблюдений, то получим:

0 =

3

 i / 3 = 8957; 0 =
i 1

3

i / 3 = 455.33;
i 1

3

0 =   i / 3 = 4456,67.
i 1

Сумма углов треугольника должна удовлетворять условию  +  +  = 180.
У нас же получилось 0 + 0 + 0 = 17959.
Это несовпадение - результат погрешностей измерений. Необходимо изменить полученные значения 0, 0, и 0 с тем, чтобы точно известное условие было выполнено.
Примем  = 0 + ;  = 0 + ;

 = 0 + , и будем искать значения

поправок , , .
Получаем:
1 = 1  0 = 2;

1 = 1 - 0 = 0.33;

1 = 1 - 0 = +0.33;

2 = 2  0 = +2;

2 = 2  0 = +0.67;

2 = 2 - 0 = 1.67;

3 = 3  0 = 0;

3 = 3  0 = 0.33;

3 = 3 - 0 = +1.33.

Уравнение связи имеет вид 0 +  + 0 +  + 0 +  = 180.
Следовательно,  +  +  = 180  17959 = 1.
Исключим из исходных уравнений , пользуясь соотношением =1  
 , и в каждом уравнении укажем оба неизвестных. Получаем следующую
систему исходных уравнений:
A1   + B1   = 1;

A4   + B4   = 1;

A2   + B2   = 2;

A5   + B5   = 2;

A3   + B3   = 3;

A6   + B6   = 3;

A7   + B7   = 1  1;
где

36

A8   + B8   = 1  2;

A9   + B9   = 1  3,

A1 = 1;
A2 = 1;
A3 = 1;
т.е.

B1 = 0;

A4 = 0; B4 = 1;A7 = 1; B7 = 1;
1  1 = +0,67;
B2 = 0;A5 = 0; B5 = 1;A8 = 1; B8 = 1;
1  2 = +2,67;
B3 = 0;A6 = 0; B6 = 1;A9 = 1; B9 = 1;
1  3 =  0,33,

1   + 0   = 2;

0   + 1   =  0,33;

1   + 0   = +2;

0   + 1   = +0,67;

1   + 0   = 0;

0   + 1   =  0,33;

1   + 1   = +0,67;

1   + 1   = +2,67;

1   + 1   =  0,33.
Теперь составим систему нормальных уравнений:
A12 = 1 + 1 + 1 = 3;
A11 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6;
A22 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6;
A21 = 1 + 1 + 1 = 3;
C1 = 2 + 2 +0.67 + 2,67  0,33 = +3;
C2 = 0,33 + 0,67  0,33 + 0,67 + 2,67  0,33 = +3.
Следовательно, нормальные уравнения примут вид
6   + 3   = 3;
3   + 6   = 3.
Вычислим определители Д, Д   и Д  :


Д  6 3  36  9  27 ;
3 6
Д    3' 3  18'9'  9' ;
3' 6
Д    6 3'  18'9'  9'
3 3'
и находим      9' / 27  0,33' .
Следовательно, и    0,33' .
Подставляя полученные оценки в исходные уравнения, вычислим невязки:
1 = 2,33; 4 = 0,67 ; 7 = 0;
2 = -1,67; 5 = -0,33; 8 = -2;
3 = 0,33; 6 = 0,67; 9 = 1.
Вычислим оценки с.к.о. результатов совокупных измерений: Д11 =6; Д22 = 6
(алгебраические дополнения элементов определителя Д):

ˆ    ˆ  

9

 i  Ä11(22) /((9  2)  Ä)  0,68' .

i 1

37

Ввиду равноточности исходных уравнений и равенства оценок   ,  ,   ,
ˆ    0,68' .
можно не делать повторных вычислений, а записать, что 
Оценим доверительные границы погрешностей измерения. Для Рд = 0,95 и
tp = 1,96:
            1,96  0,68  1,4' .
Окончательно можно записать результаты измерений:
 = 8957,3  1,4;  = 455,7  1,4;  = 4457  1,4;
Pд = 0,95.
Задача № 2
Найти с доверительной вероятностью Pд = 0,95 значения коэффициентов A,
B, C в уравнении, связывающем сопротивление платинового термометра гр. 22
с его температурой
R(t) = R0  (1 + A  t + B  t2 + C  t3).
При этом для t0 = 0C, R0 = 100,00 Oм; t1 = 50C, R1 = 80,00 Oм; t2 = 30C,
R2 = 111,85 Oм; t3 = 60C, R3 = 123,60 Oм; t4 = 90C, R4 = 135,24 Oм; t5 = 120 C,
R5 = 146,78 Oм.
Решение

Данные измерения являются совместными. Запишем систему исходных
уравнений в виде
A ti + B  ti2 + C  ti3 = Fi ;

i =1,5 ,

где
Fi = Ri / R0  1.
A  (50) + B  (50)2 + C  (50)3 =  0,210;
A  30 + B  302 + C  303 = 0,118;
A  60 + B  602 + C  603 = 0,236;
A  90 + B  902 + C  903 = 0,352;
A  120 + B  1202 + C  1203 = 0,468.
Систему исходных уравнений можно преобразовать в систему нормальных
уравнений
R11  A + R12  B + R13  C = P1;
R21  A + R22  B + R23  C = P2;
R31  A + R32  B + R33  C = P3,
где
3

R11 =


i 1

t i2 = 2,9500  104; R12 = R21 =
3

R13 = R31 = R22 =


i 1

38

3

 t i3

= 2,5750  106;

i 1

t i4 = 2,9299  108; R23 = R32 =

3

 t i5
i 1

= 3,12771010;

3

R33=


i 1

t i6 =3,58041012; P1 =

3

P3 =

3


i 1

t  Fi  1,1557  10 2 ; P2=
i

3

 t i2  Fi = 1,004710 ;
4

i 1

 t i3  Fi = 1,1444  10 .
6

i 1

Систему можно записать в матричной форме [R]  [X] = [P],
где X1 = A; X2 = B; X3 = C.
Отсюда [X] = [P]  [R]-1,
и, решая, получаем
X1  A = 3,9690410-3 1/град.;
X 2  B = 6,09710-7 (1/град)2;
X 3  C = 1,7010-10 (1/град)3 .
Найдем определитель Д матрицы [R]:
Д = 3,89981023.
Затем находим алгебраические дополнения матрицы [R]:
Д11 = 1,07501019; Д22 = 1,97801016; Д33 = 2,01261012.
Определим невязки уравнений связи:
i =1,5 ,
i = Pi  A  ti + B  ti2 + C  ti3;
-6
-5
1 = 2,331810 ; 2 = -2,725410 ; 3 = 1,518910-5;
4 = -3,379210-7; 5 = 1,498810-6.
Теперь можно найти оценки C.K.O. результатов совместных измерений

ˆ A 

5

 i2  Ä11 /(( 5  3)  Ä)  2,98  10  7 (1/град);

i 1

ˆ Â 

5

 i  Ä

22

2
/((5  3)  Ä)  4,99  10  9 (1/град) ;

33

3
/(( 5  3)  Ä)  5,03  10  11 (1/град) .

2

i 1

ˆ C 

5

 i  Ä
2

i 1

Оценим доверительные границы погрешностей измерения. Для Pд = 0,95,
tр = 1,96
 А = 1,962,9810-7   5,810-7 (1/град);
 В = 1,964,9910-9  9,810-9 (1/град)2;
 С = 1,965,0310-11  9,910-11 (1/град)3.
Окончательно можно записать
A = (3,969040,00058) 10-3 (1/град);
Pд = 0,95;
B = (6,0970,098) 10-7 (1/град)2;
Pд = 0,95;
39

C = (1,700,99) 10-10 (1/град)3;

Pд = 0,95.

Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
Проведены совокупные измерения емкости двух конденсаторов. Получены
следующие результаты: С1 = 0,2071 мкФ; С2 = 0,2056 мкФ; C1+ C2 = 0,4111 мкФ;
C1C2/(C1+C2) = 0,1035 мкФ, найти с доверительной вероятностью Рд = 0,99 результаты совокупных измерений емкостей C1 и C2.

Задача № 2

Найти с доверительной вероятностью Pд = 0,95 значения коэффициентов A,
B, C в уравнении, связывающем сопротивление платинового термометра гр. 21
с его температурой
R(t) = R0  (1 + A  t + B  t2 + C  t3).
При этом для t0 = 0C, R0 = 46,00 Oм; t1 = 20C, R1 = 42,34 Oм; t2 = 20C,
R2 = 49,64 Oм; t3 = 40C, R3 = 53,26 Oм; t4 = 60C, R4 = 58,86 Oм; t5 = 100C,
R5 = 63,99 Oм.
6 ИЗМЕРЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ

Рекомендуемая литература: [4, с.60-61], [5, c.78-88], [6, с.152-176], [7, с.174188].
Методические указания
При изучении темы необходимо обратить внимание на основные измеряемые параметры напряжений и их связь между собой, хорошо знать типы и
принципы работы преобразователей (детекторов) вольтметров, правила градуировки шкал вольтметров. Особое внимание следует обратить на зависимость
показаний вольтметров от формы измеряемого напряжения, четко представлять
себе, что такое градуировочный коэффициент, какие параметры он связывает,
уметь правильно определять результат измерения напряжения по показанию
вольтметра для различных форм измеряемых напряжений и при использовании
различных типов преобразователей.
Контрольные вопросы
1 Что понимают под мгновенным и пиковым значениями напряжений ?
2 Дайте определение измеряемых параметров напряжения.
3 Что такое коэффициенты амплитуды и формы напряжения? Как они определяются и от чего зависят?
4 Какие вольтметры могут использоваться для измерения переменного напряжения?
5 Чем определяется параметр измеряемого напряжения в вольтметрах переменного тока?
6 Что представляет собой пиковый детектор?
7 Что представляет собой детектор среднеквадратического значения?
40

8 Что представляет собой детектор средневыпрямленного значения?
9 Различаются ли показания импульсных вольтметров с открытым и закрытым входами? В чем заключается это различие?
10 В значениях какого параметра градуируются шкалы вольтметров переменного тока?
11 Чему равен градуировочный коэффициент, если вольтметр имеет пиковый детектор, а шкала проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения?
12 Чему равен градуировочный коэффициент, если вольтметр имеет детектор средневыпрямленного значения, а шкала проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения?
Решение типовых задач
Задача № 1
Определить пиковое, среднеквадратическое и средневыпрямленное значения напряжения пилообразной формы, поданного на вход электронного вольтметра с детектором средневыпрямленного значения, закрытым входом, со шкалой, проградуированной в среднеквадратических значениях синусоидального
напряжения. Показания вольтметра U = 6,0 В.
Решение
1 Поскольку вид измеряемого напряжения определяется типом детектора, то
можно сделать вывод, что вольтметр измеряет средневыпрямленное значение.
Однако шкала вольтметра проградуирована в среднеквадратических значениях
синусоидального напряжения. В этом случае мы должны показания вольтметра
умножить на градуировочный коэффициент, определяемый как отношение параметра напряжения, в значениях которого проградуирована шкала, к параметру напряжения, соответствующего типу детектора (Uск/Uсв = 1,11). Откуда
Uсв= 0,9U = 5,4 (B).
2 Зная коэффициент формы измеряемого пилообразного напряжения (Кф =
=1,16), можно найти среднеквадратическое значение напряжения:
Uск = KФUсв = 1,165,4  6.3 (B).
3 Зная коэффициент амплитуды (КА = 1,73), можно найти пиковое значение
пилообразного напряжения:
UA = KAUск = 1,736,3 = 10,9 (B).
Задача № 2
Напряжение сигнала неизвестной формы измерялось тремя вольтметрами,
которые имеют открытые входы, шкалы их проградуированы в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения, детекторы соответственно
пиковый, среднеквадратического и средневыпрямленного значений. Определить коэффициенты амплитуды и формы, если показания вольтметра с пиковым
детектором U1 = 72 B; с детектором среднеквадратического значения U2 = =58
B; с детектором средневыпрямленного значения U3 = 49 B.
41

Решение
По определению КА = Um/Uск; КФ = Uск/Uсв. Следовательно, для решения задачи необходимо знать значения пикового, среднеквадратического и средневыпрямленного значений напряжений.
Пиковое значение напряжения можно определить по показанию вольтметра
с пиковым детектором, учитывая градуировочный коэффициент, характеризующий разницу в типе детектора и градуировке шкалы:
Um = 1,41U1 = 1,4172 = 101,5 (B).
Среднеквадратическое значение напряжения находим по показаниям вольтметра с детектором среднеквадратического значения (градуировочный коэффициент равен 1, т.к. тип детектора и градуировка шкалы совпадают):
Uск = U2 = 58 (B).

Средневыпрямленное значение напряжения находим, зная показания
вольтметра с детектором средневыпрямленного значения и учитывая, что
шкала его отградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения:

Uсв = 0,9U3 = 0,949 = 44,1 (B).
Зная Um, Uск, Uсв, определяем искомые значения коэффициентов амплитуды
и формы измеряемого напряжения:
KA =101,5/581,75;
KФ = 58/44,1  1,32.
Задача № 3
Определить пиковое, среднеквадратическое и средневыпрямленное значения напряжения, поданного на вход электронного вольтметра с пиковым детектором, закрытым входом, со шкалой, проградуированной в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения. На вход вольтметра подан
импульсный сигнал скважностью Q = 5. Показания вольтметра U = 2,0 В.
Решение
1 Сигнал, поданный на вход вольтметра, имеет следующий вид:
U
Так как вольтметр имеет закрытый
вход, то измеряется только значение
переменной составляющей сигнала
Um U
m
Um, равное Um= 1,41U, (детектор
t

пиковый, а шкала вольтметра проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального
напряжения).

2 Амплитудное значение напряжения определяется как сумма переменной и
постоянной составляющих:
Um =Um+Uсв = 1,41U+Uсв.

42

3 По определению средневыпрямленное значение напряжения

1
T

Uсв =



T
0

U( t )dt .

С учетом того, что сигнал импульсный, можно записать
Uсв =
Uсв =

1
T




0

U( t )dt .

Тогда


U = Um/Q.
T m

4 Подставив Uсв в выражение для Um из п. 2, получим
Um = 1,41U+ Um/Q.
Отсюда
Um = 1,41U/(1-1/Q) = 1,412,0/(11/5)  3,52 (B).
5 Определяем значение Uсв:
Uсв = Um/Q = 3,52/5  0,70 (B).
6. Определяем значение Uск . По определению

1  2
1  2
Uск =
U ( t )dt =
U m ( t )dt  U m 
 U m / Q  3,52 / 5  1,57 (В)
T 0
T 0
T
(с учетом того, что сигнал импульсный).





Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
Имеются вольтметры с открытыми входами, шкалы их проградуированы в
среднеквадратических значениях синусоидального напряжения, детекторы соответственно пиковый, среднеквадратического и средневыпрямленного значений. Измеряемое напряжение имеет КА = 1,73 и КФ = 1,16. Необходимо по показаниям одного из вольтметров найти показания двух других.
1 Показание вольтметра с пиковым детектором U1 = 26,0 мВ.
2 Показание вольтметра с детектором среднеквадратического значения U2 =
=24,0 мВ.
3 Показание вольтметра с детектором средневыпрямленного значения U3 =
=24,2 мВ.
Задача № 2
Сигнал синусоидальной формы после однополупериодного выпрямителя
имеет КА = 2,0; КФ = 1,76. Вольтметр имеет пиковый детектор, закрытый вход,
шкала проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального
напряжения. Показание вольтметра U= 2,0 В. Определить пиковое, среднеквадратическое и средневыпрямленное значения напряжения.
Задача № 3

43

Имеются вольтметры с закрытыми входами, шкалы их проградуированы в
среднеквадратических значениях синусоидального напряжения, детекторы соответственно пиковый, среднеквадратического и средневыпрямленного значений. Измеряемое напряжение имеет КА = 1,73 и КФ = 1,16. Необходимо по показаниям одного из вольтметров найти показания двух других.
1 Показание вольтметра с пиковым детектором U1 = 26,0 мВ.
2 Показание вольтметра с детектором среднеквадратического значения U2 =
=24,0 мВ.
3 Показание вольтметра с детектором средневыпрямленного значения U3 =
=24,2 мВ.
Задача № 4
Сигнал синусоидальной формы после однополупериодного выпрямителя
имеет КА = 2,0; КФ = 1,76. Вольтметр имеет среднеквадратический детектор,
отрытый вход, шкала проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения. Показание вольтметра U= 2,0 В. Определить пиковое, среднеквадратическое и средневыпрямленное значения напряжения.
7 ИЗМЕРЕНИЕ ЧАСТОТЫ, ПЕРИОДА, ИНТЕРВАЛОВ ВРЕМЕНИ И
ФАЗОВЫХ СДВИГОВ

Рекомендуемая литература: [1, с. 129-143], [6, с. 104-142], [7, с. 141-160].
Методические указания
При изучении темы необходимо обратить внимание на основные измеряемые параметры и классификацию методов и приборов для измерения частоты,
интервалов времени и фазовых сдвигов. При этом нужно четко представлять, в
каком частотном диапазоне используются различные методы и приборы, и почему. Основное внимание следует обратить на изучение принципа действия и
основных источников погрешностей цифровых частотомеров, измерителей
временных интервалов и фазовых сдвигов, а также способов расширения их
частотных диапазонов как вниз, так и вверх.
Контрольные вопросы
1 Что такое период, частота, длина волны, долговременная и кратковременная нестабильность частоты? В каком диапазоне частот используют понятие
«длина волны»?
2 Как классифицируются приборы для измерения частоты и интервалов
времени?
3. Какой принцип положен в основу работы резонансных частотомеров?
4 Перечислите источники возникновения погрешностей резонансных частотомеров.
5 Какой принцип положен в основу работы цифровых частотомеров? Как
реализуются в этих приборах возможности измерения частоты, периода, интервалов времени, отношения частот?

44

6 Перечислите источники возникновения погрешностей цифровых частотомеров в различных режимах работы.
7 Какие трудности возникают при измерении низких и высоких частот?
8 Охарактеризуйте способы повышения точности измерения низких и инфранизких частот.
9 Что собой представляют гетеродинные преобразователи частоты и как с их
помощью можно увеличить верхнюю границу частотного диапазона цифровых
частотомеров?
10 Охарактеризуйте осциллографические методы измерения частоты: метод
интерференционных фигур и метод круговой развертки.
11 Что такое фазовый сдвиг сигналов?
12 Какие методы используются для измерения фазового сдвига?
13 Какой принцип положен в основу измерения фазового сдвига методом
суммы и разностей напряжений?
14 Какой принцип положен в основу измерения фазового сдвига нулевым
методом? Какие устройства могут использоваться в качестве индикаторов при
использовании этого метода?
15 Как осуществляется преобразование фазового сдвига во временной интервал?
16 Чем различаются неинтегрирующие и интегрирующие цифровые фазометры?
17 Перечислите источники возникновения погрешностей цифровых фазометров.
Решение типовых задач
Задача № 1
Определить относительную погрешность измерения частоты резонансным
частотомером, обусловленную неточностью настройки в резонанс. Добротность
колебательной системы Q = 500, индикатором частотомера является магнитоэлектрический вольтметр с детектором среднеквадратического значения. В момент резонанса стрелка индикатора отклонилась на 80 делений.
Решение
Относительная погрешность измерения частоты резонансным частотомером,
обусловленная неточностью настройки в резонанс, зависит от добротности колебательного контура Q и разрешающей способности индикатора резонанса:

1 
f  f  
,
f
2Q  p

где

 p - показание индикатора (вольтметра) при резонансе;

  - наименьшее уверенно отсчитываемое значение изменения показания индикатора, которое для стрелочных приборов составляет половину цены
деления.

45

1
0,5
 7,9  10  5 .
2  500 80
Задача № 2
Определить абсолютную погрешность измерения частоты f = 10 кГц цифровым частотомером, если время измерения Tu = 10 c, нестабильность частоты
кварцевого генератора  0 = 110-5.
Решение
Относительная погрешность измерения частоты f цифровым частотомером
определяется величиной
 f  ( 0  1 N)  ( 0  1 f  Tи ) ,
где N - число подсчитанных импульсов.
 f  (10  5  1 10  4  10)  2  10  5 .
Тогда абсолютная погрешность измерения частоты
 f   f  f  2  10  5  10 4  0,2 (Гц).
Задача № 3
Определить частоту сигнала f, измеряемую с помощью цифрового частотомера с гетеродинным преобразователем частоты, если частота следования импульсов кварцевого генератора f0 = 10 МГц, перестраиваемый фильтр выделил
десятую гармонику генератора гармоник, а показание цифрового частотомера
fp = 142,3 МГц.
Решение
В случае использования гетеродинного преобразователя частоты измеряемая
частота находится из формулы:
f = nf0 + fp,
где n - номер гармоники генератора гармоник.
f = 1010 +142,3 = 242,3 (МГц).

f  

Задача № 4
Определить частоту синусоидального сигнала fy, поданного на вход Y электронно-лучевого осциллографа, если на вход X подан сигнал с частотой fx =
=0,5 МГц и на экране получена интерференционная фигура .
Решение
По виду интерференционной фигуры можно определить отношение между
fу и fx. Для этого через изображение фигуры мысленно проводят вертикальную
и горизонтальную линии так, чтобы они не пересекались с узлами фигуры.
Число пересечений вертикальной (ny) и горизонтальной (nx) линий с изображением фигуры связаны с fу и fx следующим соотношением:
ny  fy = nx  fx,
46

откуда

f y  (n x / n y )  f x  4 / 2  0,5  1,0 (кГц).

Задача № 5
Определить частоту сигнала fz, поданного на вход Z осциллографа, если на
входы X и Y поданы сигналы синусоидальной формы частотой fx =0,8 кГц,
сдвинутые по фазе относительно друг друга на 90 градусов. Количество разрывов изображения n = 8.
Решение

Число разрывов n (или другими словами число чередующихся светлых полос и темных промежутков осциллограммы) однозначно определяет отношение
fz / fx. Вид осциллограммы:

Частота сигнала, поданного на вход Z (fz), будет связана с частотой сигналов, поданных на вход X и Y (fx), следующим соотношением:
fz = nfx = 80,8 = 6,4 (кГц).
Задача № 6
Определить фазовый сдвиг x между двумя напряжениями, если он измеряется с использованием метода разности напряжений. Амплитуды напряжений
U1 = U2 = 20 B, а разностное напряжение - Up=2,4 B.
Решение
Разностное напряжение Up двух сдвинутых по фазе на угол  напряжений
описывается выражением:
Up2 = U12+U222U1U2cos.
При U1 = U2 получим:
Up2 = 2U122U12cos = 4U12sin2(/2).
Откуда
 = 2arcsin(Up/(2U1)) = 2arcsin (2,4/(220))  6.9.
Задача №7
Определить время измерения Tи цифрового интегрирующего фазометра, если он имеет разрешающую способность n = 10 ед/град и частоту опорного кварцевого генератора f0 = 0,36 МГц. Найти также относительную погрешность измерения фазового сдвига x = 126,5, если нестабильность частоты опорного
кварцевого генератора 0 = 210-5.

47

Решение
Известно, что разрешающая способность фазометра равна: n = N/x, где N количество подсчитанных импульсов при измерении фазового сдвига. С другой
стороны, для цифрового интегрирующего фазометра
N   x  Tи  f 0 / 360 .
Тогда
Tи  360 N /  x  f 0  360n / f 0  360  10 / 0,36  10 6  0,01 (c) = 10 (мкс).

Относительная погрешность измерения фазового сдвига (x = 126,5) будет
равна
  x  ( 0  1 / N)  ( 0  1 / n   x )  2  10  5  1 / 10  126,5)  8,1  10  4 .
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
Определить абсолютную погрешность измерения частоты fx = 2 мГц резонансным частотомером, обусловленную неточностью настройки в резонанс.
Добротность колебательной системы Q =200, индикатором частотомера является магнитоэлектрический вольтметр с детектором среднеквадратического значения. Шкала вольтметра содержит 50 делений, а момент резонанса соответствует отклонению стрелки на 0,8 части полной шкалы.
Задача № 2
Оценить, как изменится относительная погрешность измерения частоты f =
=500 кГц цифровым частотомером при изменении времени измерения с Tи1=1 c
на Tи2 = 0,1 c. Нестабильность частоты кварцевого генератора 0 =  1,010-5.
Задача № 3
Оценить, как изменится относительная погрешность измерения периода Т =
=20 мс цифровым частотомером при измерении одного и 10 периодов исследуемого сигнала. Период следования импульсов кварцевого генератора Т0 =1 мкс,
нестабильность его частоты 0 = 1,010-5.
Задача № 4
Определить погрешность измерения отношения частот f1 = 500 кГц и f2 =
=0,1 кГц с помощью цифрового частотомера.
Задача № 5
Определить вид интерференционной фигуры, если на вход Y электроннолучевого осциллографа подан сигнал синусоидальной формы частотой fy =
=1,5 кГц, а на вход X - частотой fx = 2,25 кГц.
Задача № 6
Определить фазовый сдвиг между двумя напряжениями синусоидальной формы, если он измеряется фазометром, реализующим метод суммы напряжений.
Амплитуды напряжений U1 = U2 = 9,0 B, а суммарное напряжение - Uc = 5,4 B.

48

Задача № 7
Измерение разности фаз производится неинтегрирующим цифровым фазометром с генератором счетных импульсов частоты f0 = 3,6 МГц. Определить
частоту, на которой проводились измерения, если разрешающая способность
фазометра n = 10 ед/град.
Задача №8
Определить время измерения Tи цифрового интегрирующего фазометра, если он имеет разрешающую способность n = 100 ед/град и частоту опорного
кварцевого генератора f0 = 3,6 МГц. Найти также относительную погрешность
измерения фазового сдвига x = 165,5, если нестабильность частоты опорного
кварцевого генератора 0 = 1,210-5.
8 ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПАССИВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Рекомендуемая литература: [4, с.242-263], [6, с.308-321], [7, с.254-269], [10,
с.243-264].
Методические указания
При изучении темы следует обратить внимание на то, какими параметрами
характеризуются двухполюсники. Рассмотрите различные методы измерения
этих параметров, обратив особое внимание на мостовой и резонансный методы,
а также на вопросы автоматизации измерения параметров. Для лучшего усвоения материала самостоятельно получите основные расчетные соотношения при
определении параметров. Проанализируйте основные источники погрешностей
приборов для измерения параметров двухполюсников.
Контрольные вопросы
1 Перечислите измеряемые параметры пассивных линейных двухполюсников и дайте им определение.
2 Как классифицируются приборы для измерения параметров пассивных линейных двухполюсников?
3 Что такое эквивалентная схема двухполюсника? Чем различаются эквивалентные схемы конденсаторов с малыми и большими потерями?
4 Какие методы применяются для измерения параметров пассивных линейных двухполюсников?
5 Что собой представляют магнитоэлектрические омметры? Чем различаются схемы магнитоэлектрических омметров, используемых для измерения малых
и больших сопротивлений?
6 Дайте определение мостового измерителя параметров двухполюсников.
Как классифицируются эти измерители в зависимости от использования в них
либо нулевого, либо дифференциального метода сравнения?
7 Что такое общее, модульное и фазовое условия равновесия мостовой измерительной цепи? Какие правила построения мостовых измерительных цепей
следуют из этих условий?
8 Что такое чувствительность моста и от чего она зависит?
49

9 Что такое сходимость моста переменного тока?
10 Какой вид имеет условие равновесия моста постоянного тока?
11 Перечислите источники возникновения погрешностей мостов постоянного тока.
12 Какие трудности возникают при измерении малых (менее 1 Ом) и больших (более 106 Ом) сопротивлений, как они устраняются? Для чего используется четырехзажимная схема включения измеряемого сопротивления и что собой
представляет двойной мост постоянного тока?
13 Какой вид имеют условия равновесия моста переменного тока в режимах
измерения емкости и тангенса угла потерь для конденсаторов с малыми и
большими потерями, индуктивности и добротности для катушек индуктивности
с малой (Q < 30) и большой (Q > 30) добротностями?
14 Перечислите источники возникновения погрешностей мостов переменного тока.
15 На чем основан резонансный метод измерения параметров двухполюсников?
16 Что собой представляет измеритель параметров двухполюсников контурного типа? Как можно измерить емкость, индуктивнось и добротность при помощи этого измерителя?
17 Перечислите источники возникновения погрешностей резонансных измерителей параметров двухполюсников?
18 Для чего используется метод замещения при измерении параметров
двухполюсников резонансным методом? Охарактеризуйте особенности измерения при использовании этого метода.
19 Как можно измерить собственную емкость катушки индуктивности?
20 Как можно определить полное сопротивление двухполюсника при использовании резонансных измерителей?
Решение типовых задач
Задача № 1
Для измерения сопротивления Rx используется магнитоэлектрический омметр, имеющий последовательную схему включения. Напряжение источника
питания Е = 3 В, колебание этого напряжения составляет 1 %, ограничивающее сопротивление R0 = 10 кОм. Определите, в каких пределах должно изменяться значение Rк при установке прибора на нулевую отметку, если для Е=3 В
Rк = 2 кОм. Магнитоэлектрический миллиамперметр имеет внутреннее сопротивление Rа = 3 кОм.
R0



А
1
Rx

E
50

2



Решение
Проанализируем характер шкалы микроамперметра, проградуированной в
омах. Исходя из схемы ток, текущий через микроамперметр, будет равен
E
.
IА 
Rк  R0  RА  Rx
Тогда при Rx = 0, соответствующем установке прибора на отметку «0», ток
будет максимален и равен
E
3



 0,2  10  3 (A)  0,2 (мА).
max
R к  R 0  R А (2  10  3)  103
По условию задачи напряжение источника питания может колебаться на 1
%, т.е. от E = 2,97 B до E = 3,03 B. Соответственно, для того
чтобы Imax не изменялся, необходима возможность изменения значения RK от
RK до RK.
E
E

; IА

;

max
max
R к  R 0  R А
R к  R 0  R А
Е  I A max (R 0  R A ) 2,97  0,2  10  3 (10  3)  103
R к 

 1,85  103 (Ом);
3

I A max
0,2  10

R к 

Е  I A max (R 0  R A )
I A max



3,03  0,2  10  3 (10  3)  103
 2,15  103 (Ом).
3

0,2  10

Для обеспечения установки прибора на отметку «0» сопротивление RK
должно изменяться в пределах от RK = 1.85 кОм до RK = 2,15 кОм.
Задача № 2
Определите сопротивление резистора Rx, включенного в плечо уравновешенного моста постоянного тока, если R2 = 5 кОм; R3 = 1 кОм; R4 = 5 кОм.
Оцените, какой минимальной чувствительностью Su должен обладать индикатор, если его внутреннее сопротивление Ru = 0.6 кОм, напряжение источника
питания E = 6 B, а Rx необходимо измерить с относительной погрешностью
 R x  2 % .
И

Rx



R2



R4

R3

Е
51

Решение
Условие равновесия моста постоянного тока:
RxR3 = R2R4,
отсюда
Rx= R2R4/R3 =55/1 = 25 (кОм).
Найдем максимальное значение абсолютной погрешности измерения Rx:
 R x   R x  R x / 100 %  2  25 / 100  0,5 (кОм).

Изменение Rx на величину  R x вызывает ток небаланса Iu, протекающий
через индикатор:
U  R x  R 3 /(R x  R x  R 2 )  (R 3  R 4 
I è  
;
(R x  R x )  R 2 /(R x  R x  R 2 )  (R 3  R 4 /(R 3  R 4 )  R 4 )
I è  

25  10

3







6  500  10 3 / 25  10 3  500  5  10 3  10 3  5  10 3







 500  5  10 3 / 25  10 3  500  5  10 3  10 3  5  10 3 /(10 3  5  10 3 )  0,6  10 3

;

I и  3  10  6 A  3 мкА.
При этом протекание тока I и через индикатор должно вызвать отклонение
стрелки минимум на 0,5 деления, т.е.
Sи  0,5 дел/3  10 - 6 А  0,17106 дел/А;
Необходимо использовать индикатор с чувствительностью не хуже 0,17
106 дел/А.
Задача №3
Оцените погрешность измерения Rx с помощью двойного моста, если действительные значения сопротивлений плеч уравновешенного моста R1=
=502,0 Ом; R4 = 501,0 Ом; R2 = 1000 Ом; R3 = 1002 Ом; R0 = 1,0 Ом; r = 0,1 Ом.
R
R 
Для двойного моста при симметричной измерительной цепи  1  4  ус R2 R3 
ловие равновесия имеет вид
R
Rx = 1502,0/1000 = 0,502 Ом.
Rx = R0 1 ;
R2

R1
R


52

R2
И

r

R3

R0

Решение
Так как в нашем случае R1  R4 и R2  R3, то действительное значение несколько отличается от значения Rx:
R
R3  r
R
R 
R xд  R 0  1 
  1  4  .
R2 R3  R4  r  R2 R3 
Относительная погрешность измерения Rx тогда будет равна
R
R3  r
R 
  1  4 
R  R xд
R  R4  r  R2 R3 
R x   x
 100 % ;
 100 %   3
Rx
R xд

1002  0,1
501 
 502



1002  501  0,1  1000 1002 
R x  
 100 %   0,026 %.
0,502
Задача № 4
Параметры конденсатора с малыми потерями измеряются с помощью моста
переменного тока.
Rп
С0

R2

И


Сх

R3

R4

Г
Определить значения Cx, Rп и tgx, если C0 = 0,1 мкФ, R2 = 100 Ом; R3 =
=200 Ом; R4 = 100 Ом. Частота питающего напряжения f = 1 кГц.
Решение
Условие равновесия моста запишется в виде
( R п  1 j  2  f  C x )  R 3  ( R 4  1 j  2  f  C 0 )  R 2 .
Преобразовав его и отдельно приравняв действительные и мнимые части,
получим выражения для Rп, Cx и tgx
R п  R 4  R 2 / R 3  100  100 / 200  50 (Ом);
C x  C 0  R 3 / R 2  0,1  200 / 100  0,2 (мкФ);

tg x  2  f  C x  R п  2  f  C 0  R 4 = 6,281030,110-6100 = 0,0628.

53

Задача № 5
Параметры катушки индуктивности с малой добротностью измеряются с
помощью моста переменного тока.

Rп
Lx

И

R4

R2

R3

С0

Г
Определить значения Lx, Rп и Qx, если R2 = 100 Ом, R3 = 1250 Ом, R4 =
=250 Ом, C0 = 1 мкФ. Частота питающего напряжения f = 1 кГц.
Решение
Условие равновесия моста запишется в виде
R  1 / j  2  f  C 3
( R п  j  2  f  L x )  3
 R2  R4 .
R 3  1 / j  2  f  C 3
Преобразовав его и отдельно приравняв действительные и мнимые части,
получим выражения для Lx, Rп и Qx
L x  C 0  R 2  R 4  10-6100250 = 0,025 (Гн);
R п  R 4  R 2 / R 3  250  100 / 1250  20 (Ом);

Q x  2  f  L x R п  2  f  C 0  R 3  6,28  103  10  6  1250  7,85.
Задача № 6
Определить емкость конденсатора, измеряемую с помощью резонансного
измерителя, если в момент резонанса при частоте генератора fp = 10 МГц была
включена образцовая катушка индуктивности L0 = 100 мкГн.
Решение
Частота резонанса колебательного контура определяется значениями емкости и индуктивности элементов колебательного контура.
В нашем случае:
f p  1 / 2 L 0  C x ,
откуда
C x  1 /( 2  f p ) 2  L 0  1 /(6,28  10 7 )  100  10  6  2,54  10  12 (Ф);
54

Cx  2.54 (пФ).
Задача № 7
При измерении емкости конденсатора Cx с помощью резонансного измерителя с использованием метода замещения получены два значения емкости образцового конденсатора C01 = 320 пФ и C02 = 258 пФ. Определить значение Cx,
если измеряемый конденсатор включался параллельно с образцовым.
Решение
При параллельном подключении исследуемого двухполюсника с образцовым конденсатором измеряемое значение Cx находится из формулы:
Cx = 320  258 = 62 (пФ).
Cx = C01  C02;
Задача № 8
При измерении собственной емкости катушки индуктивности CL с помощью
резонансного измерителя получены резонансы на частотах f1p = 0,898 МГц и f2p
= 2,410 МГц. Соответствующие им значения емкости образцового конденсатора
C01 = 420 пФ и C02 = 53 пФ. Определить CL.
Решение
Собственная емкость катушки индуктивности CL определяется по двум измеренным значениям частот f1p и f2p и двум соответствующим значениям емкости C01 и C02, при которых контур настроен в резонанс. При этом:
2

 f 2p 
C  CL

  n 2  01
,
 f1p 
C

C
02
L


откуда
CL 
В нашем случае

C 01  n 2  C 02

n2 1

.

n 2  2,410 2 / 0,8982  7,20 .
Тогда
CL 

420  7,20  53
 6,2 (пФ).
7,20  1

Задача № 9
Определить полное сопротивление двухполюсника Z и его составляющие R
и X на частоте f = 3780 кГц, если до подключения двухполюсника к Q - метру
получены значения емкости образцового конденсатора С01 = 229 пФ и добротности Q1 = 95, а при его подключении к Q-метру (параллельно образцовому
конденсатору Q - метра) получены значения C02 = 63 пФ и Q2 = 20. Определить
характер реактивности.

55

Решение
Так как С1 > C2 и двухполюсник подключается параллельно образцовому
конденсатору, то двухполюсник имеет емкостной характер. Если C1 < C2, то
двухполюсник при таком подключении имел бы индуктивный характер
Cx = C01  C02 = 229  63 = 166 (пФ).
Тогда реактивная составляющая полного сопротивления
X  1 / 2  f  C x  1 / 2  3,14  3780  103  166  10 12  254 (Ом).
Так как используется параллельная схема подключения, то активная составляющая определяется по формуле
Q Q
95  20
;
R  (1 / 2  f  C 01 )  1 2  (1 / 2  3,14  3780  103  220  10 12 ) 
Q1  Q 2
95  20
R  4660 (Ом).
Полное сопротивление двухполюсника:
Z = R  jX = (4660  j254) Ом.

Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
Для измерения сопротивления Rx используется магнитоэлектрический омметр, имеющий параллельную схему включения. Проанализируйте характер
шкалы миллиамперметра, отградуированной в омах. Определите необходимое
значение напряжения источника питания, если R0 = 15 кОм, RK = 1 кОм. Магнитоэлектрический миллиамперметр имеет падение напряжения UA = 1 B, ток
полного отклонения IA = 0,5 мА.
Задача № 2
Определите сопротивление резистора Rx, включенного в плечо уравновешенного моста постоянного тока, если R2 = 2,5 кОм, R3 = 10 кОм, R4 = 100 кОм.
Задача № 3
Определить, какому значению Rx соответствует состояние баланса двойного
моста, если сопротивление плеч моста R1 =R4 =200,4 Ом; R2 = R3 = 1000 Ом; R0=
= 1 Ом.
Задача №4
Параметры конденсатора с большими потерями измеряются с помощью
моста переменного тока. Выбрать схему моста и определить значения Cx, Rп и
tgx, если C0 = 1 мкФ, R2 = 1000 Ом, R3 = 400 Ом, R4 = 100 Ом. Частота питающего напряжения f = 1 кГц.
Задача № 5
Параметры катушки индуктивности с большой добротностью измеряются с
помощью моста переменного тока. Выбрать схему моста и определить значения
Lx, Rп и Qx, если R2 = 1000 Ом, R3 = 40 Ом, R4 = 200 Ом, C0 = 0.1 мкФ. Частота
питающего напряжения f = 1 кГц.

56

Задача № 6
Определить значения Lmin и Lmax, которые могут быть измерены резонансным измерителем, имеющим диапазоны изменения частоты генератора f =
=(50 кГц - 50 МГц) и емкости образцового конденсатора С0 = (30-450) пФ.
Задача № 7
При измерении емкости конденсатора Cx с помощью резонансного измерителя с использованием метода замещения получены два значения емкости образцового конденсатора С01 = 154 пФ и С02 = 262 пФ. Определить значение Cx,
если измеряемый конденсатор включался последовательно с образцовым.
Задача № 8
При измерении индуктивности катушки с помощью резонансного измерителя с использованием метода замещения получены два значения емкости образцового конденсатора С01 = 175 пФ и С02 = 50 пФ. Определить значение Lx, если
катушка индуктивности включалась параллельно образцовому конденсатору.
Измерения проводились на частоте fp=4500 кГц.
Задача № 9
Определить полное сопротивление двухполюсника Z и его составляющие R
и X на частоте f = 5500 кГц, если до подключения двухполюсника к Q - метру
получены значения емкости образцового конденсатора С1 = 275 пФ и добротности Q1 = 140, а при его подключении к Q - метру (последовательно с образцовым конденсатором) получены значения С2 = 115 пФ и добротности Q2 = 68.
Определить характер реактивности.
ЛИТЕРАТУРА

1 Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. - М.: Издательство
cтандартов, 1975. - 336 с.
2 Рабинович С.Г. Погрешности измерений. -Л.: Энергия, 1978. - 262 с.
3 Архипенко А.Г., Белошицкий А.П., Ляльков С.В. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебное пособие. Ч.1. Основы метрологии. - Мн.: БГУИР, 1997. - 55 с.
4 Елизаров А.С. Электрорадиоизмерения. - Мн.: Выш. шк., 1986. - 320 с.
5 Основы метрологии и электрические измерения: Учебник для вузов/
Б.Я.Авдеев, Е.М.Антонюк и др.; Под ред. Е.М.Душина. - Л.: Энергоатомиздат,
1987. - 480 с.
6 Мирский Г.Я. Электронные измерения. - М.: Радио и связь, 1986. - 440 с.
7 Винокуров В.И., Каплин С.И., Петелин И.Г. Электрорадиоизмерения.:
Учебное пособие для радиотехнических специальностей вузов / Под ред. В.И.
Винокурова. - М.: Высш. шк., 1986. - 351 с.
8 Новицкий М.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. - Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 248 с.
9 ГОСТ 8.207-76. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов многократных наблюдений.

57

10 Метрология, стандартизация и измерения в технике связи: Учебное пособие для вузов/Б.П. Хромой, А.В. Кандинов, А.Л. Сенявский и др.; Под ред. Б.П.
Хромого. - М.: Радио и связь, 1986. - 320 с.
11 ГОСТ 8.009-84 ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики
средств измерений.
12 ГОСТ 8.401-80 ГСИ. Классы точности средств измерений. Общие
требования.

58

Св. план 1999, поз.77
Учебное издание
Авторы: Белошицкий Анатолий Павлович
Дерябина Марина Юрьевна
Кострикин Анатолий Михайлович
Ляльков Святослав Владимирович
Ревин Валерий Тихонович

МЕТРОЛОГИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ
Учебно - методическое пособие
для индивидуальной работы студентов

всех специальностей

Под общей редакцией С.В. Лялькова
Редактор Т.Н.Крюкова
____________________________________________________________________
Подписано в печать
Формат 60х84 1/16
Печать офсетная
Бумага
Усл.печ.л.
Уч.-изд.л.
Заказ .
Тираж 500 экз.
____________________________________________________________________
Белорусский государственный университет информатики и
радиоэлектроники
Отпечатано в БГУИР. Лицензия ЛП N 156. 220027, Минск, П.Бровки,6

59