• Название:

    Метрология и измерения. Учебно методическое пос...

  • Размер: 0.51 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении/Abuse
  • Название: Microsoft Word - MiI.posobie

Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра метрологии и стандартизации

МЕТРОЛОГИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ
УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

для индивидуальной работы студентов
всех специальностей
Под общей редакцией С.В. Лялькова

Минск 1999

4

УДК 621.317(075)
ББК 30:10
М 54

Авторы: А.П. Белошицкий, М.Ю. Дерябина, А.М. Кострикин, С.В.
Ляльков, В.Т. Ревин
Метрология и измерения: Учебно-методическое пособие для индивидуальной работы студентов/ А.П. Белошицкий и др.; под общ. ред. С.В. Лялькова. Мн.: БГУИР, 1999. -72 с.: ил. 1. ISBN 985-444-103-2
Учебно-методическое пособие «Метрология и измерения» предназначено
для индивидуальной работы студентов, изучающих курсы измерений. Оно содержит краткие методические указания, список рекомендуемой литературы и
НТД, контрольные вопросы, решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения.
Пособие может быть использовано при проведении практических и лабораторных занятий, связанных с оценкой погрешностей получаемых результатов.
Оно также будет полезно самому широкому кругу студентов, аспирантов и научно-педагогических работников при решении ими конкретных практических
задач метрологии и стандартизации.

УДК 621.317(075)
ББК 30:10

ISBN 985-444-103-2

©

Коллектив авторов, 1999

5

СОДЕРЖАНИЕ
1
2

ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ ……………............…...
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ С ОДНОКРАТНЫМИ
НАБЛЮДЕНИЯМИ ……………………………………………………
3 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ ...................................................……
4 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ ………………………………...
5 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ СОВОКУПНЫХ И СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ….....................................….
6 ИЗМЕРЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ….......................................................….
7 ИЗМЕРЕНИЕ ЧАСТОТЫ, ПЕРИОДА, ИНТЕРВАЛОВ ВРЕМЕНИ И
ФАЗОВЫХ СДВИГОВ……....................................................……….
8 ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПАССИВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
ДВУХПОЛЮСНИКОВ …..…………………………………………….
ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................……

6

4
10
17
30
35
40
44
49
57

1 ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
Рекомендуемая литература: [1, c.230-248], [3, с.15-19] [4, c.49-55], [5, c.5161], [6, c.11-20, 32-36], [7, c.13-15], [11], [12]
Методические указания
При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:
- формы представления погрешностей средств измерений;
- правила выбора нормирующего значения ХN;
- способы нормирования и формы выражения пределов допускаемых погрешностей;
- обозначение классов точности средств измерений.
Контрольные вопросы
1 Что такое погрешность средства измерений?
2 Что такое основная и дополнительная погрешности средств измерений?
3 Какие существуют формы представления погрешностей средств измерений?
4 Какие существуют правила выбора нормирующего значения ХN?
5 Как регламентируются способы нормирования и формы выражения пределов допускаемых погрешностей?
6 Что такое класс точности средства измерения и чем он определяется?
7 Как обозначаются классы точности?
Решение типовых задач
Задача № 1
Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения тока I = 67 мA, если измерения проводились магнитоэлектрическим миллиамперметром с нулем в начале шкалы, классом точности 1.0 и пределом измерения А = 100 мA.
Решение
Для магнитоэлектрического миллиамперметра класс точности определяется
значением максимальной приведенной погрешности, т.е.  = 1,0 %.
Так как


100 % ,
XN
то предел инструментальной абсолютной погрешности
 XN

(мА).
100 %
Миллиамперметр имеет равномерную шкалу с нулем в начале шкалы, и поэтому XN = A = 100 мA:
1,0 %  100 мА

 1,0 (мА ) .
100 %
Предел инструментальной относительной погрешности

7

1,0 мА
 100 %  1,5 % .
67 мА
Задача № 2
Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения напряжения U=8,6 B, если измерения проводились магнитоэлектрическим вольтметром с нулем в середине шкалы, классом точности
2,5 и пределами измерения А =  25 В.
Решение
Как и в предыдущей задаче, предел абсолютной погрешности находится из
формулы:


100 % .
XN
Вольтметр имеет равномерную шкалу с нулем в середине шкалы. Поэтому
XN = |25| + |25| = 50 (B),
 = (2,550)/100 %=1,25 (В).
Найдем предел относительной погрешности измерения:
 = (/U)100 %= (1,25100)/8,6  15 (%).
Задача № 3
Oценить инструментальные погрешности измерения тока двумя магнитоэлектрическими миллиамперметрами с классами точности 0,5 и 1.0 и указать,
какой из результатов получен с большей точностью, а также, могут ли показания I1 = 19,0 мA и I2 = 18,6 мA исправных приборов отличаться так, как задано в
условии? Миллиамперметры имеют нули в начале шкалы и пределы A1 =
= 50 мA и A2 = 20 мA.
Решение
Инструментальные абсолютные погрешности можно найти из формул:
1 = (1 ХN1)/100 %= (1 A1)/100 %= (0,550)/100 = 0,25 (мA),
2 = (2 ХN2)/100 %= (2 A2)/100 %= (1,020)/100 = 0,20 (мA).
Для определения, какое из измерений проведено с большей точностью, необходимо определить инструментальные относительные погрешности:
1 = (1/I1) 100 % = (0,25/19,0)100 %  1,3 %,
2 = (2/I2) 100 % = (0,20/18,6)100 %  1,1 %.
Видно, что второе измерение проведено с большей точностью, так как точность обратно пропорциональна модулю относительной погрешности.
В наихудшем случае (когда погрешности приборов будут иметь противоположные знаки) модуль разницы между результатами измерений || = |I1 - I2| не
должен превышать сумму модулей абсолютных погрешностей, т.е.
|| < |1| + |2| .
Получаем
|| = 0,4 (мA) < |1| + |2| = 0,45 (мA).
Таким образом, при исправных миллиамперметрах можно получить указанные значения I1 и I2.


8

Задача № 4
Определить инструментальную абсолютную погрешность измерения сопротивления Rx = 200 кОм с помощью комбинированного прибора, если он имеет
класс точности 4,0, длину рабочей части шкалы L = 80 мм, отметке 200 кОм соответствует длина шкалы l = 40 мм.
Решение
В комбинированном приборе используется магнитоэлектрический омметр,
причем шкала прибора при измерении сопротивлений неравномерная. Инструментальная относительная погрешность измерения сопротивления  R x с по-

мощью таких омметров вычисляется через их класс точности по формуле
 R x  (   L / l ) ,

т.е.

 R x  (4,0  80 / 40)  8,0 (%)
C другой стороны

 R x  ( R x / R x )  100 % ,
где  R x - инструментальная абсолютная погрешность измерения сопротивления.
Тогда
 R x  ( R x  R x ) / 100  (8,0  200) / 100  16 (кОм).
Задача № 5
Определить относительную и абсолютную погрешности воспроизведения
сопротивлений R1 = 0,52 Ом; R2 = 120,00 Ом; R3 = 18412,00 Ом с помощью образцового магазина сопротивлений, если его класс точности 0,05/4 10-6, магазин
содержит 7 декад и цена младшей декады 0,01 Ом.
Решение
Сначала определим наибольшее значение воспроизводимой данным магазином сопротивлений величины:
Rк = 9 104 + 9 103 + 9 102 + 9 101 + 9 100 + 9 101 + 9 102 (Ом);
Rк = 99999,99 (Ом)  105 (Ом).
Для нормирования пределов погрешности магазинов мер одночленные формулы не применяются, поскольку они не отражают всегда имеющей место зависимости абсолютной или относительной погрешности меры от номинального
значения воспроизводимой величины. Для них используются двухчленные
формулы:
для абсолютной погрешности:
 = (a + bХ),
для относительной погрешности:
 = [c + d(|Xк/X|1)].
В нашем случае заданы величины c и d:
c = 0,05 %;
d = 4106 %.

9

Найдем относительные погрешности воспроизведения сопротивлений R1,
R2, R3:
 R 1 = [0,05 + 4106 (|105 /0,52|  1)]  0,3 (%),
 R 2 = [0,05 + 4106 (|105 /120|  1)]  0,53 (%),

 R 3 = [0,05 + 4106 (|10|5 /18412|  1)]  0,050 (%).
Известно, что связь между a, b, c, d - следующая:
d = a/Rк , c = b+d.
Для удобства выразим c и d в относительных единицах:
c = 5104 , d = 4108.
Тогда
a = d |Rк| = 4108 105 = 0,004 (Ом);
b = cd = 5104  4108  5104.
Теперь можно определить абсолютные погрешности воспроизведения сопротивлений R1, R2, R3
 R1 = (0,004+5 104  0,52)  0,0043 (Ом),
 R 2 = (0,004+5 104  120)  0,0064 (Ом),
 R 3 = (0,004+5 104  18412)  9,2 (Ом).
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1
Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения напряжения U = 6,4 B, если измерения проводились
магнитоэлектрическим вольтметром с нулем в начале шкалы, классом точности
1,5 и пределом измерения A = 25 B.
Задача № 2
Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения тока I = 6,8 мA, если измерения проводились магнитоэлектрическим миллиамперметром с нулем в середине шкалы, классом точности 2,5 и пределами измерения A = 10 мA.
Задача № 3
Выбрать магнитоэлектрический вольтметр со стандартными пределами измерения и классом точности при условии, что результат измерения напряжения
должен отличаться от действительного значения Uд = 44 B не более, чем на =
=0,4 B.
Задача № 4
Оценить инструментальные погрешности измерения напряжения двумя магнитоэлектрическими вольтметрами с классом точности 0.2 и 1.5 и указать, какой из результатов получен с большей точностью, а также могут ли показания
U1 =21,7 В и U2 =20,8 В исправных приборов отличаться так, как задано в условии? Вольтметры имеют нули в начале шкалы и пределы А1 =75 В и А2 =25 В.

10

Задача № 5
Определить относительную и абсолютную погрешности воспроизведения
сопротивления R = 25109 Ом с помощью имитатора сопротивлений, если его
класс точности 0,1/2,5109, диапазон воспроизводимых сопротивлений от
1105 Ом до 9,91014 Ом.
2 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ С ОДНОКРАТНЫМИ
НАБЛЮДЕНИЯМИ

Рекомендуемая литература: [1, c.174-181], [3, c.37-39], [4, c.33-35], [7, c.25-26]
Методические указания
При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:
- в каких случаях возможно проведение однократных измерений?
- что такое результат наблюдения и его отличие от результата измерения?
- как обеспечить получение результата измерения с погрешностью, не превышающей допустимую?
- в чем особенности априорной оценки ожидаемой погрешности результата
измерения?
- особенности методики оценки погрешностей результатов измерений с однократными наблюдениями.
Контрольные вопросы
1 Какие измерения называются однократными?
2 В каких случаях возможно проведение однократных измерений? Приведите примеры.
3 Каковы особенности проведения однократных измерений?
4 Как оценивают относительную погрешность результата измерения?
5 Каким образом находят доверительные границы случайной погрешности
при однократных измерениях?
6 Как суммируют систематические и случайные погрешности при однократных измерениях?
Решение типовых задач
Задача № 1
В процессе однократного измерения емкости конденсатора измерено значение C = 1,246 нФ. Предварительно оценены с.к.о. измерения емкости ̂ c =

=0,037 нФ и границы неисключенных остатков двух составляющих систематической погрешности  c1 = 0,012 нФ и  c 2 = 0,016 нФ. Определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения (Рд =0,95).
Решение
1 Рассчитываются доверительные границы случайной погрешности измерения

11



  t  ˆ c  2  0,037  0,074 (нФ),
где коэффициент Стьюдента t = 2 при доверительной вероятности P = 0,95.
2 Определяются доверительные границы неисключенных систематических
погрешностей
c  k 

2

 2ci  1,1 
i 1

2c  2c  1,1  (0,012) 2  (0,016) 2  0,022 (нФ).
1
2

Коэффициент k принимается равным 1,1 для доверительной вероятности Р =
= 0,95 и количества неисключенных систематических погрешностей m < 4 (в
данном случае m = 2).
Находится сумма неисключенных систематических погрешностей

c 

2

 c
i 1

i

 0,012  0,016  0,028 (нФ).

Для m  4 в качестве оценки границ неисключенной систематической погрешности принимается меньшее из значений  c и c :
 c  0,022 нФ.
3 Для оценки доверительных границ суммарной погрешности прямых однократных измерений необходимо вычислить отношение
   c / ˆ c  0,022 / 0,037  0,59 .
Тогда


  0,8  ( c  )  0,8  (0,022  0,074)  0,077 (нФ),
так как  лежит в интервале от 0,5 до 8. В данном случае коэффициент 0,8 учи

тывает малую вероятность того, что  c и  c будут одновременно иметь своиграничные значения. Если  < 0,5, можно пренебречь систематическими по



грешностями  c , и тогда    . Если  > 8, то можно пренебречь  , и тогда
  c .
4 Результат измерения записываем в следующем виде:
С = (1,2460,077) (нФ), P = 0,95,
так как доверительный интервал симметричен.
Задача № 2
Резонансная частота колебательного контура определялась путем однократного измерения индуктивности L = 0,346 мГн и емкости C = 6,5 нФ входящих в
него катушки индуктивности и конденсатора с последующим вычислением по
формуле f  1 /(2  L  C ). На основании предыдущих измерений частоты аналогичных контуров известна оценка СКО измерения частоты ˆ f  0,14 êÃö ,
границы неисключенных остатков систематической погрешности измерения
индуктивности  с L = 0,11 мГн и емкости  с c = 0,11 нФ. Определить довери12

тельные границы погрешности косвенного измерения частоты с доверительной
вероятностью Рд = 0,95.
Решение
1 Рассчитывается значение результата косвенного измерения частоты:
f  1 /(2  L  C  1 /(2  3,14  0,346  6,5 )  106,2 (кГц).
2 Рассчитываются оценки частных систематических погрешностей косвенного измерения индуктивности

Ê L  (f / L)   c L   c L /( 4  C  L3 ) 
 0,01  10  3 /( 4  3,14 6,5  10  9  0,041  10  9 )  1,54 (кГц);

емкости
Ê c  (f / Ñ)   c c    c c /(4  C 3  L ) 

 0,01  10  9 /( 4  3,14  274,625  10  27  0,346  10  3 )  0,28 (кГц).
3 Находятся доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения. Поскольку данные о виде распределения неисключенных систематических погрешностей отсутствуют, то их распределение принимается за равномерное. Тогда
2

c  k 

 Ei

2

 1,1 (1,54) 2  (0,28) 2  1,72 (кГц),

i 1

так как при доверительной вероятности Рд = 0,95 k = 1,1,
c  Ê L  Ê c  1,54  0,28  1,82 (кГц).
4 За оценку границ неисключенных систематических погрешностей принимается меньшее из  c и c :
 c = 1,72 кГц.
5 Оцениваются доверительные границы случайной погрешности измерения


  t  ˆ f  2  0,14  0,28 (кГц),
так как для однократных измерений и Рд = 0,95 коэффициент Стьюдента t принимают равным 2.
6 Оцениваются доверительные границы суммарной погрешности результата
измерения


 f  2c   2  (1,72) 2  (0,28) 2  1,74 (кГц).
7 Результат измерения записывается в следующем виде:
Р = 0,95.
f = (106,21,8) (кГц),
Задача № 3
Определить доверительные границы результирующей погрешности измерения напряжения U=200 мВ при однократном наблюдении с Рд= 0,95. Измерение
осуществляется с помощью автоматического потенциометра класса точности
13

0,5. Изменение температуры вызывает смещение нуля потенциометра на Т=
=0,1 % /10С. Нормальные условия эксплуатации потенциометра 202С, потенциометр стоит в помещении, температура которого меняется от 8 до 32С.
Нормальные условия для напряжения питания Uн=200 В2 %, а в реальных условиях эксплуатации напряжение может меняться на 10 % Uн. Напряжение наводки в линии связи частотой 50 Гц может достигать 1 мВ.
Решение
1 Основная погрешность аналогового регистратора определяется его классом точности. Погрешность всех электроизмерительных приборов согласно
стандарту нормируется с 25 %-м запасом на старение, т.е. фактически погрешность нового прибора составляет не больше, чем 0,8. Следовательно, рег =
=0,80,5=0,4 (%).
2 У потенциометра преобладающей является погрешность дискретности,
обусловленная конечным числом витков обмотки датчика, по которым скользит
подвижный контакт. Эта погрешность имеет равномерное распределение. В
этом случае рег =0,4 (%) можно считать половиной ширины этого равномерного
распределения, и тогда  п  0,4 / 3  0,24 %.
3 Погрешность от колебаний напряжения питания распределена по треугольному закону с принятыми пределами 10 %. Поэтому максимальное значение этой погрешности  нп  10 / 6  10 / 2,45  1,3 %. Параметры этого распределения: энтропийный коэффициент k=2,02; эксцесс =2,4; =0,645.

Р(х)

Р(х)

m

0

+m

х

0

х

4 Погрешность наводки распределена арксинусоидально. Энтропийный коэффициент k=1,11. Тогда
1 / 200  100
 нав. 
 0,450 (%).
1,11
5 Погрешность смещения нуля потенциометра при колебании температуры
является аддитивной, а закон ее распределения можно считать равномерным со
средним значением 20С и размахом 12С (так как температура в помещении
меняется от 8 до 32С). Максимальное значение этой погрешности при Т=
0,1  12
 0,07 %, так как kэ для равномерного
=0,1 % /10С составляет  T 
10  3
распределения равен 3 .

14

6 Суммирование погрешностей сводится к вычислению приведенной погрешности при х = 0, которая складывается из всех