• Название:

    пересечение многогранников плоскостью. развертк...

  • Размер: 4.89 Мб
  • Формат: PDF
  • или

    Федеральное агентство по образованию
    Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

    Ульяновский государственный технический университет

    ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
    ПЛОСКОСТЬЮ.
    РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ
    М е т о д и ч е с к и е у к а з а н и я д л я с т у д е н т о в 1-го курса
    машиностроительных специальностей

    Составители: Г. М. Горшков
    Д. А. Коршунов

    Ульяновск
    2008

    УДК 621.3 (076)
    ББК 30.11 я7
    П27

    Рецензент канд. техн. наук, доцент кафедры «Металлорежущие станки
    и инструменты» У л Г Т У М. Ю. Смирнов.

    Одобрено секцией
    совета университета.

    П 27

    методических

    пособий

    научно-методического

    Пересечение многогранников плоскостью. Развертки многогранников: методические указания для студентов 1-го курса машинострои­
    тельных специальностей / сост.: Г . М . Г о р ш к о в , Д. А. Коршунов. Ульяновск: УлГТУ, 2008. - 64 с.
    Содержат методику построения чертежа многогранника (призмы, пирамиды),
    усеченного плоскостью, и построения развертки многогранника.
    Работа подготовлена на кафедре «Начертательная геометрия и машинная
    графика».

    У Д К 621.3 (076)
    Б Б К 30.11 я7
    © Г. М. Горшков, Д. А. Коршунов,
    составление, 2008
    © Оформление. УлГТУ, 2008

    ОГЛАВЛЕНИЕ
    ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
    1. ЦЕЛЬ Р А С Ч Е Т Н О - Г Р А Ф И Ч Е С К О Й Р А Б О Т Ы
    2. С О Д Е Р Ж А Н И Е Р А С Ч Е Т Н О - Г Р А Ф И Ч Е С К О Й Р А Б О Т Ы
    3. ОБЩИЕ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е Р Е К О М Е Н Д А Ц И И
    4. СЕЧЕНИЕ П Р И З М Ы П Л О С К О С Т Ь Ю . РАЗВЕРТКА С П О С О Б О М
    Н О Р М А Л Ь Н О Г О СЕЧЕНИЯ
    4.1. Исходные данные
    4.2. Замена плоскостей проекций
    4.3. Построение проекции сечения
    4.4. Определение натуральной величины сечения
    4.5. Построение развертки
    5. СЕЧЕНИЕ П Р И З М Ы П Л О С К О С Т Ь Ю . Р А З В Е Р Т К А С П О С О Б О М
    РАСКАТКИ
    5.1. Исходные данные
    5.2. Замена плоскостей проекций
    5.3. Построение проекции сечения
    5.4. Определение натуральной величины сечения
    5.5. Построение развертки
    6. СЕЧЕНИЕ П И Р А М И Д Ы П Л О С К О С Т Ь Ю . Р А З В Е Р Т К А С П О С О Б О М
    ТРЕУГОЛЬНИКОВ
    6.1. Исходные данные
    6.2. Замена плоскостей проекций
    6.3. Построение проекции сечения
    6.4. Определение натуральной величины сечения
    6.5. Построение развертки
    ПРИЛОЖЕНИЕ А
    ПРИЛОЖЕНИЕ Б
    ПРИЛОЖЕНИЕ В
    БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

    3

    4
    5
    5
    5
    12
    12
    13
    18
    21
    23
    26
    26
    27
    31
    34
    36
    42
    42
    43
    47
    50
    52
    61
    62
    63
    64

    ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

    При выполнении чертежей деталей машин нередко встречаются задачи на
    построение проекций сечений различных геометрических тел плоскостями.
    Кроме того, на чертежах приходится выполнять построение разверток поверх­
    ностей деталей, в том числе и усеченных различными плоскостями. Это необ­
    ходимо для правильного раскроя листового материала, из которого изготовля­
    ют детали. К таким деталям можно отнести части трубопроводов, вентиляци­
    онных устройств, кожухов машин, ограждений станков, различных загрузоч­
    ных бункеров и др. (рис. 1).

    Рис. 1. Конструкции из листового металла

    В состав семестровых расчетно-графических работ для студентов первого
    курса машиностроительных специальностей входит работа на построения тела
    (призмы, пирамиды, цилиндра или конуса), усеченного плоскостью и на по­
    строение его развертки.
    Настоящие методические указания раскрывают методику построения
    чертежа многогранника (призмы, пирамиды), усеченного плоскостью и по­
    строения развертки.
    Развертка многогранника - плоская фигура, составленная из его граней,
    совмещенных с одной плоскостью.

    4

    1. ЦЕЛЬ Р А С Ч Е Т Н О - Г Р А Ф И Ч Е С К О Й Р А Б О Т Ы
    1. Закрепить знания теоретических положений, на которых основаны
    приемы построения сечения многогранников плоскостью.
    2. Изучить сущность и рациональное использование различных способов
    построения разверток многогранников.
    3. Развить пространственные представления, умения перейти от решения
    графических задач в пространстве к отображению этого решения на чертеже и
    наоборот.

    2. С О Д Е Р Ж А Н И Е Р А С Ч Е Т Н О - Г Р А Ф И Ч Е С К О Й Р А Б О Т Ы
    Разработать комплексный чертеж геометрического тела, усеченного плос­
    костью, найти натуральную величину сечения и построить полную развертку
    усеченной части тела.

    3. О Б Щ И Е М Е Т О Д И Ч Е С К И Е Р Е К О М Е Н Д А Ц И И
    Выполнению РТР должно предшествовать изучение учебной литературы
    [1, 3, 4], конспекта лекций и настоящей методической разработки.
    Эпюры контрольной РТР выполняются на чертежной бумаге формата A3
    (297 х 420) мм. Качество оформления эпюров должно соответствовать требова­
    ниям стандартов ЕСКД:
    - Г О С Т 2.104-2006 - Основные надписи;
    - Г О С Т 2.301-68 - Форматы;
    - Г О С Т 2.302-68 - Масштабы;
    - Г О С Т 2.303-68 - Линии;
    - ГОСТ 2.304-81 - Ш р и ф т ы чертежные.

    5

    В эпюрах контрольной РГР применяется упрощенная основная надпись
    (рис. 3.1).

    Рис. 3.1. Основная надпись для эпюров контрольной РГР № 1 •

    : с;

    Изображения на чертежах строят в точном соответствии с размерами, ука­
    занными в задании [5], в масштабе 1:1.
    Чертежи следует разрабатывать в определенной последовательности, ру­
    ководствуясь рекомендациями по выполнению основных обозначений и симво­
    лов (табл. 3.1), соблюдая правила выполнения элементов чертежей (табл. 3.2) и
    начертания букв, цифр и знаков (рис 3.2).
    1. Продумать компоновку чертежа, ориентируясь на примеры, показанные
    в настоящих указаниях. Заданные элементы следует расположить с учетом по­
    следующих построений. Рекомендуется сначала выполнить графические по­
    строения на бумаге в клетку, а затем перенести их на ватман.
    2. Оформить тонкими линиями рабочее поле чертежа: нанести в н е ш н ю ю и
    внутреннюю рамки, вычертить основную надпись (в упрощенном варианте) и
    дополнительную графу.
    3. Выполнить в тонких линиях все построения и надписи. В процессе чер­
    чения необходимо обеспечить взаимную параллельность линий связи и их пер­
    пендикулярность к оси проекций, так как от этого зависит точность графичес­
    ких построений.
    Предъявить чертеж (в тонких линиях) преподавателю для проверки и по­
    лучения дальнейших рекомендаций.

    6

    4. Убрать

    лишние линии.

    Отметить

    точки

    окружностями диаметром

    1,5...2 мм с помощью циркуля-балеринки. Обвести линии видимого контура
    толщиной 0,8... 1 мм. Толщина линий связи, размерных и выносных линий
    должна быть в пределах 0,25.. .0,3 мм.
    5. Обозначить проекции точек, линий и плоскостей буквами латинского и
    греческого алфавитов по ГОСТ 2.304-81 размером h = 5 мм с обязательной уп­
    рощенной разметкой их высоты и наклона. Буквенные и цифровые обозначения
    не должны пересекаться линиями чертежа. В необходимых случаях обозначе­
    ния следует вынести на полки линии-выноски.
    6. Заполнить основную надпись, подписать лист.
    7. Защитить чертеж, ответив на вопросы преподавателя (чертеж, подпи­
    санный преподавателем, сохраняют до окончания семестра, а затем включают в
    подшивку семестровых работ).

    Таблица 3.1. Основные обозначения и символы

    7

    Окончание табл. 3.1

    8

    Таблица 3.2. Начертание, размеры и обозначение элементов чертежей

    9

    Буквы русского алфавита (кириллица) и арабские цифры

    Знаки

    Рис. 3.2. Начертание букв, цифр и знаков

    10

    Буквы латинского алфавита

    Буквы греческого алфавита

    Рис. 3.2. Начертание букв, цифр и знаков
    11

    4. СЕЧЕНИЕ П Р И З М Ы П Л О С К О С Т Ь Ю .
    РАЗВЕРТКА С П О С О Б О М Н О Р М А Л Ь Н О Г О С Е Ч Е Н И Я

    4Л. Исходные данные
    Способом нормального сечения строят развертки таких многогранников
    как призмы. В качестве примера рассмотрим последовательность построения
    развертки трехгранной наклонной призмы усеченной плоскостью общего положения

    заданной фронталью

    и горизонталью

    (рис. 4.1). Плоскость

    возьмем перпендикулярной боковым ребрам призмы. На чертеже такой плоско­
    сти фронтальная проекция фронтали будет перпендикулярна фронтальным про­
    екциям боковых ребер призмы, а горизонтальная проекция горизонтали будет
    перпендикулярна горизонтальным проекциям боковых ребер призмы.

    Рис. 4.1. Исходные данные

    12

    4.2. Замена плоскостей проекций
    Так как секущая плоскость - плоскость общего положения, то для построе­
    ния сечения воспользуемся способом замены плоскостей проекций. П р и этом
    новую плоскость проекций

    построим перпендикулярно заданной плоскости

    чтобы последняя спроецировалась на плоскость
    проекция). На чертеже новую ось
    ной проекции горизонтали

    в линию (вырожденная

    построим перпендикулярно горизонталь­

    (согласно правилу проецирования прямого угла)

    как показано на рис. 4.2.

    Далее

    строим

    новую

    проекцию

    призмы

    на

    плоскости

    проекций

    (рис. 4.3). Для построения новых проекций вершин призмы необходимо:
    - от горизонтальных проекций вершин призмы
    лярно новой оси

    провести линии связи;

    13

    перпендику­

    - на продолжении этих линий связи от новой оси Х отложить отрезки рав­
    1

    ные расстоянию от предыдущей оси Л^до заменяемой проекции соответствующей вершины
    Построив на плоскости

    проекции всех вершин призмы, соединяем их

    ребрами.

    Рис. 4.3. Построение новой проекции призмы

    Строим новую проекцию секущей плоскости. Так как проекция секущей
    плоскости

    на плоскости

    будет занимать проецирующее положение (выро-

    ждается в прямую линию), то достаточно построить новые проекции двух точек

    14

    плоскости

    точки К и вспомогательной точки /V, которую возьмем на пря-

    мой f. Для точности построений точку N следует брать как можно дальше от
    точки К.
    Аналогично вышеприведенным построениям от горизонтальных проекций
    точек Ки N перпендикулярно новой оси Х строим линии связи (рис. 4.4).
    1

    Рис. 4.4. Построение новой проекции секущей плоскости (линии связи)

    Затем, на построенных линиях связи от новой оси Х откладываем отрезки,
    1

    равные расстоянию от предыдущей оси X до заменяемых (фронтальных) про-

    15

    екций соответствующих точек (рис. 4.5). Эти расстояния будут соответственно
    Таким образом, на чертеже получим точки

    Рис. 4.5. Построение новой проекции секущей плоскости (точки плоскости)

    Проведя через точки К

    и N

    прямую, получим вырожденную проекцию

    секущей плоскости а. Кстати, эта вырожденная проекция должна быть перпен­
    дикулярна новым проекциям боковых ребер призмы (рис. 4.6).
    16

    Рис. 4.6. Построение новой проекции секущей плоскости

    17

    4.3. Построение проекции сечения
    После преобразования чертежа, задача на построение сечения призмы
    плоскостью из задачи третьего вида преобразуется в задачу второго вида. Так
    как призма трехгранная, а секущая плоскость

    не пересекает основания приз­

    мы, то в сечении образуется треугольник. Вершины этого треугольника найдем
    в пересечении плоскости

    с боковыми ребрами призмы

    Рис. 4.7. Построение проекций вершин сечения

    18

    (рис. 4.7).

    Остальные проекции вершин сечения построим по принадлежности точек

    1, 2, 3 к соответствующим ребрам призмы (рис. 4.8).

    Рис. 4.8. Построение остальных проекций вершин сечения

    19

    Соединим вершины сечения / 2 J на каждой проекции. Далее обведем чер­
    теж с учетом видимости ребер призмы (рис. 4.9). При выполнении РГР обводка
    чертежа обычно выполняется после завершения всех построений.

    Рис. 4.9. Построение сечения

    20

    4.4. Определение натуральной величины сечения
    Натуральную величину сечения определим способом плоскопараллельного
    перемещения относительно пл. тт . Для этого на произвольном расстоянии от
    3

    оси Л"; построим отрезок прямой линии параллельно оси X Затем на этой линии
    f

    построим точки

    таким обюазом. чтобы оасстояния между ними были

    соответственно равны расстоянию между точками

    Рис. 4.10. Построение новой проекции сечения

    21

    (рис. 4.10).

    Так как при плоскопараллельном перемещении относительно

    горизон-

    тальные проекции точек /, 2, 3 будут перемещаться параллельно оси Х , то но­
    1

    вое положение проекций точек найдем как результат пересечения линий связи
    и линий перемещения (рис. 4.11). Соединив построенные точки, получим нату­
    ральную величину сечения.

    Рис. 4.11. Построение натуральной величины сечения

    22

    4.5. Построение развертки
    Для построения развертки по способу нормального сечения сначала необ­
    ходимо «развернуть» это сечение на прямую линию. Для этого на свободном
    поле чертежа строим прямую т, на которой откладываем точки /, 2, 3, 7, рас­
    стояние между которыми соответствует сторонам сечения (с натуральной вели­
    чины сечения 123). (рис. 4.12). Затем из каждой точки строим прямые линии
    перпендикулярные прямой т.

    Рис. 4.12. Построение нормального сечения на развертке

    23

    На соответствующих прямых, перпендикулярных прямой т, откладываем
    длины соответствующих боковых ребер призмы (строим точки А, В, Си А В ,
    п

    С ), значения которых берем с их проекций на плоскости
    1

    ;

    где они проециру­

    ются в натуральную величину (рис. 4.13). Соединив последовательно вершины
    призмы на чертеже, получим развертку боковой поверхности призмы.

    Рис. 4.13. Построение боковых ребер призмы на развертке

    Так как требуется построить развертку усеченной призмы, построим нату­
    ральную величину сечения и основания на развертке. Для этого воспользуемся
    циркулем и из соответствующих точек проведем дуги, на пересечении которых
    найдем недостающие вершины сечения (точка f) и основания (точка А) как по­
    казано на рис. 4.14.

    24

    Рис. 4.14. Построение основания и сечения призмы на развертке

    Завершая построение чертежа, обведем развертку (рис. 4.15).
    Окончательно оформленный чертеж призмы, усеченной плоскостью, и раз­
    вертки ее усеченной части приведен в прил. А.

    Рис. 4.15. Чертеж развертки

    25

    5. С Е Ч Е Н И Е П Р И З М Ы П Л О С К О С Т Ь Ю .
    РАЗВЕРТКА С П О С О Б О М Р А С К А Т К И

    5.1. Исходные данные
    Способом раскатки также строят развертки призм. В качестве примера рас­
    смотрим последовательность построения развертки трехгранной наклонной
    призмы, усеченной плоскостью общего положения
    горизонтальным следами (рис. 5.1). Плоскость

    заданной фронтальным и

    выбрана произвольно и сече­

    нием призмы этой плоскостью будет плоская фигура не перпендикулярная бо­
    ковым ребрам призмы. Так как призма трехгранная, а плоскость

    не пересекает

    основания призмы, то можно сделать вывод, что фигура сечения призмы плос­
    костью

    будет представлять собой треугольник.

    Рис. 5.1. Исходные данные

    26

    5.2. Замена плоскостей проекций
    Так как секущая плоскость - плоскость общего положения, то для построе­
    ния сечения воспользуемся способом замены плоскостей проекций. При этом
    новую плоскость проекций

    построим перпендикулярно заданной плоскости

    чтобы последняя спроецировалась на плоскость
    проекция). На чертеже новую ось Х

    х

    1

    1

    ному следу плоскости

    в линию (вырожденная

    построим перпендикулярно горизонталь­

    как показано на рис. 5.2.

    Рис. 5.2. Построение новой оси

    27

    Далее

    строим

    новую

    проекцию

    призмы

    на

    плоскости

    проекций

    (рис. 5.3). Для построения новых проекций вершин призмы необходимо:
    перпендику­

    - от горизонтальных проекции вершин призмы
    лярно новой оси Х провести линии связи;
    1

    - на продолжении этих линий связи от новой оси Х отложить отрезки, рав­
    1

    ные расстоянию от предыдущей оси X до заменяемой проекции соответствую­
    щей вершины

    Рис. 5.3. Построение новой проекции призмы

    28

    Строим новую проекцию секущей плоскости. Так как проекция секущей
    плоскости

    на плоскости

    эудет занимать проецирующее положение (выро-

    ждается в прямую линию), то достаточно построить новые проекции двух точек
    плоскости

    точки схода следов и вспомогательной точки N, которую возьмем

    на фронтальном следе плоскости

    (рис. 5.4).

    Рис. 5.4. Построение новой проекции секущей плоскости (точки плоскости)

    29

    Проведя через точки
    секущей плоскости

    прямую, получим вырожденную проекцию

    (рис. 5.5).

    Рис. 5.5. Построение новой проекции секущей плоскости

    30

    5.3. Построение проекции сечения
    После преобразования чертежа, задача на построение сечения призмы
    плоскостью из задачи третьего вида преобразуется в задачу второго вида.
    Вершины треугольника (фигуры сечения призмы плоскостью) найдем в пересечении плоскости

    с боковыми ребрами призмы

    Рис. 5.6. Построение проекций вершин сечения

    31

    (рис. 5.6).

    Остальные проекции вершин сечения построим по принадлежности точек

    /, 2, 3 к соответствующим ребрам призмы (рис. 5.7).

    Рис. 5.7. Построение остальных проекций вершин сечения

    Соединим вершины сечения 123 на каждой проекции. Для более четкого
    представления усеченной призмы обведем чертеж с учетом видимости ребер

    32

    призмы (рис. 5.8). При выполнении РГР обводка чертежа обычно выполняется
    после завершения всех построений.

    Рис. 5.8. Построение сечения

    33

    5.4. Определение натуральной величины сечения
    Для определения натуральной величины сечения воспользуемся способплоскопараллельного перемещения относительно пл.

    Для этого на произ-

    вольном расстоянии от оси Х построим отрезок прямой линии параллельно оси
    1

    Х . Затем на этой линии построим точки
    7

    таким образом, чтобы рас­

    стояния между ними были равны расстоянию между точками
    (рис. 5.9).

    Рис. 5.9. Построение новой проекции сечения
    34

    Так как при плоскопараллельном перемещении относительно

    горизон-

    тальные проекции точек /, 2, 3 будут перемещаться параллельно оси Х , то но­
    1

    вое положение проекций точек найдем как результат пересечения линий связи
    и линий перемещения (рис. 5.10). Соединив построенные точки, получим нату­
    ральную величину сечения.

    Рис. 5.10. Построение натуральной величины сечения

    35

    5.5. Построение развертки
    Условия применения способа раскатки: боковые ребра призмы должны
    быть параллельны одной из плоскостей проекций (проецируются на эту плос­
    кость проекций в натуральную величину); основания призмы должны быть па­
    раллельны другой плоскости проекций. Этим условиям удовлетворяет чертеж
    призмы в системе плоскостей проекций

    Поэтому, на свободном поле

    внизу чертежа повторяем этот двухпроекционныи чертеж, наклонив его для
    удобства построения развертки так, чтобы фронтальные проекции боковых ре­
    бер призмы были параллельны основной надписи. Все дальнейшие построения
    .;.;>

    будут идти вверх по листу (рис. 5.1 1).

    .\:

    :.сту

    Рис. 5.11. Исходные построения для развертки

    Сначала построим одну боковую грань [А А В-, В ]. Для этого из точек
    1

    и

    проведем линии, перпендикулярные фронтальным проекциям боковых ребер
    призмы, как показано на рис. 5.12, а затем из точек
    36

    проведем дугу ра-

    равным натуральной величине отрезка [АВ]. На пересечении no-

    диусом

    строенных отрезков и дуг найдем вершины В и В, первой боковой грани приз­
    мы. Соединим вершины в параллелограмм и перенесем точку 2на ребро [ВВ ]
    }

    (см. рис. 5.12).

    Рис. 5.12. Построение первой боковой грани призмы

    Строим вторую боковую грань

    Для этого из точек

    про­

    ведем линии, перпендикулярные фронтальным проекциям боковых ребер приз­
    мы, как показано на рис. 5.13, а затем из точек

    проведем дугу радиусом

    равным натуральной величине отрезка [СВ]. На пересечении построен­
    ных отрезков и дуг найдем вершины

    второй боковой грани призмы.

    Соединим вершины в параллелограмм и перенесем точку 3 на ребро
    а м , рис. 5.13).
    37

    Рис. 5.13. Построение второй боковой грани призмы

    Строим третью боковую грань

    Для этого из точек ,

    прове­

    дем линии, перпендикулярные фронтальным проекциям боковых ребер призмы,
    как показано на рис. 5.14, а затем из точек

    проведем дугу радиусом

    равным натуральной величине отрезка [CAl
    ных отрезков и дуг найдем вершины

    На пересечении построен­

    третьей боковой грани призмы.

    Соединим вершины в параллелограмм и перенесем точку
    (см. рис. 5.14).

    38

    / на ребро

    Рис. 5.14. Построение третьей боковой грани призмы

    Так как требуется построить развертку усеченной призмы, построим нату­
    ральную величину сечения и основания на развертке. Для этого воспользуемся
    циркулем и из соответствующих точек проведем дуги, на пересечении которых
    найдем недостающие вершины сечения (точка 1) и основания (точка А) как по­
    казано на рис. 5.15.

    39

    Рис. 5.15. Построение основания и сечения призмы на развертке

    Завершая построение чертежа, обведем развертку. При этом линии сгиба
    на развертке

    принято

    показывать

    штрихпунктирной

    с

    двумя

    черточками

    (рис. 5.16).
    Окончательно оформленный чертеж призмы, усеченной плоскостью и раз­
    вертки ее усеченной части приведен в при л. Б.

    40

    Рис. 5.16. Чертеж развертки

    41

    6. С Е Ч Е Н И Е П И Р А М И Д Ы П Л О С К О С Т Ь Ю .
    РАЗВЕРТКА СПОСОБОМ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

    6.1. Исходные данные
    В качестве примера рассмотрим последовательность построения развертки
    трехгранной пирамиды усеченной плоскостью общего положения

    заданной

    фронтальным и горизонтальным следами (рис. 6.1). Так как пирамида трех­
    гранная, а плоскость

    не пересекает основание пирамиды, то можно сделать

    вывод, что фигура сечения пирамиды плоскостью

    будет представлять собой

    треугольник с вершинами в точках пересечения плоскости
    рами пирамиды.

    Рис. 6.1. Исходные данные

    42

    с боковыми реб­

    6.2. Замена плоскостей проекций
    Так как секущая плоскость - плоскость общего положения, то для построе­
    ния сечения воспользуемся способом замены плоскостей проекций. При этом
    новую плоскость проекций

    построим перпендикулярно заданной плоскости

    чтобы последняя спроецировалась на плоскость
    проекция). На чертеже новую ось X
    ному следу плоскости

    f

    в линию (вырожденная

    построим перпендикулярно горизонталь­

    как показано на рис. 6.2.

    Рис. 6.2. Построение новой оси

    43

    Далее строим новую проекцию пирамиды на плоскости проекций
    (рис. 6.3). Для построения новых проекций вершин пирамиды необходимо:
    - от горизонтальных проекций вершин пирамиды

    перпенди­

    кулярно новой оси Х провести линии связи;
    1

    - на продолжении этих линий связи от новой оси Х отложить отрезки, рав­
    1

    ные расстоянию от предыдущей оси Л'до заменяемой проекции соответствую­
    щей вершины

    Рис. 6.3. Построение новой проекции пирамиды

    44

    Строим новую проекцию секущей плоскости. Так как проекция секущей
    ПЛОСКОСТИ

    на плоскости

    будет занимать проецирующее положение (выро­

    ждается в прямую линию), то достаточно построить новые проекции двух точек
    плоскости

    точки схода следов и вспомогательной точки /V, которую возьмем

    на фронтальном следе плоскости

    (рис. 6.4).

    Рис. 6.4. Построение новой проекции секущей плоскости (точки плоскости)

    45

    Проведя через точки
    секущей плоскости

    прямую, получим вырожденную проекцию

    (рис. 6.5).

    Рис. 6.5. Построение новой проекции секущей плоскости

    46

    6.3. Построение проекции сечения
    После преобразования чертежа, задача на построение сечения пирамиды
    плоскостью из задачи третьего вида преобразуется в задачу второго вида.
    Вершины треугольника (фигуры сечения пирамиды плоскостью) найдем в
    пересечении плоскости

    z боковыми ребрами пирамиды

    Рис. 6.6. Построение проекций вершин сечения

    47

    (рис. 6.6).

    Остальные проекции вершин сечения построим по принадлежности точек

    /, 2, 3 к соответствующим ребрам пирамиды (рис. 6.7).

    Рис. 6.7. Построение остальных проекций вершин сечения

    Соединим вершины сечения 123 на каждой проекции. Для более четкого
    представления усеченной пирамиды обведем чертеж с учетом видимости ребер

    48

    пирамиды (рис. 6.8). При выполнении РГР обводка чертежа обычно выполняет­
    ся после завершения всех построений.

    Рис. 6.8. Построение сечения

    49

    6.4. Определение натуральной величины сечения
    Для определения натуральной величины сечения воспользуемся способом
    плоскопараллельного перемещения относительно пл.

    Для этого на произ-

    вольном расстоянии от оси Х построим отрезок прямой линии параллельно
    1

    оси Х . Затем, на этой линии построим точки
    1

    таким образом, чтобы

    расстояния между ними были равны расстоянию между точками
    (рис, 6.9).

    Рис. 6.9. Построение новой проекции сечения
    50

    Так как при плоскопараллельном перемещении относительно
    тальные проекции точек /, 2, 3 будут перемещаться параллельно оси

    горизон­
    те но-

    вое положение проекций точек найдем как результат пересечения линий связи
    и линий перемещения (рис. 6.10). Соединив построенные точки, получим нату­
    ральную величину сечения.

    Рис. 6.10. Построение натуральной величины сечения

    51

    6.5. Построение развертки
    Для построения развертки пирамиды способом треугольников необходимо
    знать натуральные величины каждого ребра. Поэтому для определения нату­
    ральных величин боковых ребер воспользуемся способом вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси

    на которую переместим вершину пирамиды

    (точку S) (рис. 6.11).

    Рис. 6.11. Построение оси вращения

    52

    Чтобы ребра пирамиды проецировались на фронтальную плоскость проек­
    ций в натуральную величину, они должны быть параллельны этой плоскости.
    Значит, новые горизонтальные проекции боковых ребер пирамиды должны
    быть параллельны оси X, а их длины должны быть равны длинам предыдущих
    горизонтальных проекций:
    (рис. 6.12).

    Рис. 6.12. Построение новых горизонтальных проекций ребер

    53

    При вращении вокруг горизонтально-проецирующей

    оси

    фронтальные

    проекции точек А, В и С и будут перемещаться вдоль оси X до пересечения с
    соответствующими линиями связи от точек
    Соединив построенные точки

    (рис. 6.13).
    с точкой

    ральные величины боковых ребер пирамиды.

    Рис. 6.13. Построение натуральных величин ребер

    54

    получим нату­

    Так как необходимо построить развертку усеченной пирамиды, то перене­
    сем на натуральные величины боковых ребер и точки /, 2, 3- вершины сечения
    (рис. 6.14).



    Рис. 6.14. Построение вершин сечения на боковых ребрах

    Построение развертки пирамиды начинаем с построения одной из боковых
    граней, например грани
    вершину
    резка

    Для этого на свободном поле чеотежа стюоим

    и из нее луч, на котором откладываем точку А, при этом длина от­
    равна длине отрезка

    (натуральной величине) (рис. 6.15).

    55

    Рис. 6.15. Построение первого ребра боковой грани пирамиды
    Затем циркулем строим треугольник SAC, как показано на рис. 6.16
    S

    Рис. 6.16. Построение первой боковой грани пирамиды

    56

    Аналогично, циркулем строим треугольники

    представляющие

    собой вторую и третью грань пирамиды (рис. 6.17 и 6.18).

    Рис. 6.17. Построение второй боковой грани пирамиды

    Рис. 6.18. Построение третьей боковой грани пирамиды
    57

    Затем на соответствующих ребрах пирамиды, на развертке, построим вер­
    шины сечения (точки /, 2, 3), откладывая соответствующие расстояния, как по­
    казано на рис. 6.19, и соединим эти точки.

    Рис. 6.19. Построение вершин сечения на развертке

    Так как требуется построить развертку усеченной пирамиды, построим на­
    туральную величину сечения и основания на развертке. Для этого воспользуем­
    ся циркулем и из соответствующих точек проведем дуги, на пересечении кото­
    рых найдем недостающие вершины сечения (точка 1) и основания (точка В ),
    как показано на рис. 6.20.

    58

    Рис. 6.20. Построение основания и сечения пирамиды на развертке

    Завершая построение чертежа, обведем развертку. При этом линии сгиба
    на развертке

    принято

    показывать

    штрихпунктирной

    с

    двумя

    черточками

    (рис. 6.21).
    Окончательно оформленный чертеж призмы, усеченной плоскостью, и раз­
    вертки ее усеченной части приведен в прил. В.

    59

    Рис. 6.21. Чертеж развертки

    60

    ПРИЛОЖЕНИЕ Б

    62

    ПРИЛОЖЕНИЕ В

    111
    ш
    > в у
    су Ж сэ

    63

    БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
    1. Гордон В. О. Курс начертательной геометрии: учебное пособие для
    втузов / В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский; под ред. В. О. Гордона. 27-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2007. - 272 с.
    2. Гордон В. О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии:
    учебное пособие для втузов / В. О. Гордон, Ю. Б. Иванов, Т. Е. Солнцева; под
    ред. Ю. Б. Иванова. - 8-е изд., стер. - М.: Высшая школа., 2002. - 320 с.
    3. Государственные стандарты ЕСКД: Общие правила выполнения
    чертежей. - М . , 2001. - 160 с.
    4. Бударин, А. М. Проецирование геометрических тел: учеб. пособие
    / А. М. Бударин. - Ульяновск, УлГТУ, 2000. - 98 с.
    5. Сборник заданий по начертательной геометрии: сборник вариантов
    заданий / Сост. Г. М. Горшков, Д. А. Коршунов, А. В. Демокритова, А. В.
    Рандин. - Ульяновск: УлГТУ, 2004. - 88 с.

    Учебное издание
    ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЬЮ.
    РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ
    Методические указания
    Составители: ГОРШКОВ Геннадий Михайлович
    КОРШУНОВ Дмитрий Александрович
    Редактор О. С. Бычкова
    Подписано в печать 10.11.2008. Формат 60x84/16.
    Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,72. Тираж 250 экз.
    Заказ X /
    Ульяновский государственный технический университет,
    432027, Ульяновск, Северный Венец, 32.
    Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32.