• Название:

    Осипов 4


  • Размер: 0.94 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

Установите безопасный браузер



    Предпросмотр документа

    Программа

    курса

    Комплексные числа
    1. Определение. Вещественная и мнимая части комплексных чисел. Арифметические операции с комплексными числами.
    2. Геометрическое представление комплексных чисел. Модуль, аргумент. Тригонометрическая форма. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
    3. Возведение в степень. Формула Муавра. Определение корня степени n из
    комплексного числа.
    4. Основная теорема алгебры. Решение уравнений x3 = 1 и x6 + 64 = 0 и
    изображение корней на комплексной плоскости.
    Матрицы
    5. Матрицы и вектора. Сложение матриц и умножение на число. Матричное произведение. Некоммутативность произведения (пример). Квадратная матрица. Единичная матрица.
    6. Определитель матрицы. Индуктивное (аксиоматическое) определение. Определители первого и второго порядков.
    7. Минор матрицы. Алгебраическое дополнение. Правило Лапласа. Вычисление определителя третьего порядка.
    8. Линейная система общего вида. Однородная и неоднородная системы. Совместная, несовместная, определенная и неопределенная системы.
    9. Правило (теорема) Крамера решения линейных систем n уравнений с n
    неизвестными.
    10. Линейная система общего вида. Матрица системы. Преобразования Гаусса. Пример решения линейной системы методом Гаусса.
    Числовые ряды. Общие факты
    Ряд, частичная сумма ряда. Сходящийся ряд. Примеры.
    Необходимое условие сходимости ряда.
    Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Ее сумма. Примеры.
    Гармонический ряд. Доказательство его расходимости.

    X
    1
    15. Ряд
    . Доказательство его сходимости и нахождение суммы.
    n(n
    + 1)
    n=1
    11.
    12.
    13.
    14.

    Числовые ряды с неотрицательными членами
    16.
    17.
    18.
    19.
    20.
    21.

    Мажорирующий, минорирующий ряды. Первый признак сравнения рядов.
    Эквивалентные ряды. Второй признак сравнения рядов.
    Ряд обратных квадратов. Доказательство его сходимости.
    Обобщенный гармонический ряд. Условие его сходимости и расходимости.
    Признак Даламбера сходимости рядов в прямой форме.
    Признак Даламбера сходимости рядов в предельной форме.

    4
    22. Признак Коши сходимости рядов в прямой форме.
    23. Признак Коши сходимости рядов в предельной форме.
    Знакопеременные ряды
    24. Абсолютно сходящийся ряд. Примеры.
    25. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Ряд Лейбница.
    Его сходимость.
    Степенные ряды
    26. Задание функции с помощью степенного ряда. Ее область определения.
    Радиус сходимости ряда. Теорема Абеля о радиусе сходимости.
    27. Представление функций с помощью степенного ряда. Разложение функции f (x) = ex в ряд.
    28. Ряды, представляющие функции sin x, cos x.
    29. Ряд, представляющий функцию f (x) = ln(1 + x). Его радиус сходимости.
    Сумма ряда Лейбница.
    Неопределенный интеграл
    30. Первообразная и неопределенный интеграл. Связь между этими понятиями. Простейшие свойства неопределенного интеграла как оператора.
    31. Таблица основных интегралов.
    32. Замена переменной (подстановка).
    33. Метод интегрирования по частям.
    Mx + N
    34. Разложение дроби вида
    на простейшие.
    (x − a)(x − b)
    A
    A
    35. Интегрирование выражений вида
    ,
    , n ∈ N, n ≥ 2.
    x − a (x − a)n
    Mx + N
    36. Интегрирование выражений вида 2
    .
    x + px + q
    Определенный интеграл
    37.
    38.
    39.
    40.
    41.

    Интеграл как предел интегральных сумм.
    Формула Ньютона – Лейбница (Барроу).
    Основные свойства определенного интеграла.
    Вычисление определенного интеграла с помощью замены переменной.
    Вычисление определенного интеграла с помощью интегрирования по частям.
    42. Вычисление площади криволинейной трапеции.
    Функции нескольких переменных
    43. Определение предела функции в точке. Непрерывность функции.
    44. Частные производные функции нескольких переменных. Примеры.
    45. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума.

    5
    46. Достаточное условие экстремума.
    Линейная функция и уравнение прямой
    47.
    48.
    49.
    50.

    Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
    Уравнение прямой «в отрезках».
    Общее уравнение прямой. Расстояние от прямой до заданной точки.
    Простейшие задачи линейной интерполяции.
    Дополнительные разделы

    51. Статистический ряд чисел. Средние величины. Разброс.
    52. Линейная регрессия. Отклонение. Метод наименьших квадратов.
    53. Коэффициент дисконтирования. Оценка рентабельности инвестиций.

    Образец экзаменационного билета:
    Письменный экзамен. Билет

    N1

    1. Изобразите на комплексной плоскости числа a = 7 − 2i и b = 2 + 7i
    a3 − b3
    и вычислите z =
    .
    (a − b)ab
    2. Матрицы и вектора. Сложение матриц и умножение на число. Матричное произведение. Некоммутативность произведения (пример).
    Квадратная матрица. Единичная матрица.
    3. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума.
    Z
    4. Найдите неопределенный интеграл
    esin x cos xdx.
    5. Разложите в степенной ряд функцию f (x) = ln(1 − x)2 и напишите
    первые пять членов этого ряда.
    00
    6. Напишите частные производные fx002 , fxy
    , функции f (x, y) = xexy −
    y sin x + 1.

    6

    1.

    Комплексные числа

    Множеством комплексных чисел мы называем множество выражений вида
    z = a+ib, где a и b — обычные (вещественные) числа, а i — символ, называемый
    2
    мнимой
    √ единицей. При этом считается, что i = −1. Поэтому иногда пишут:
    i = −1.
    Два комплексных числа z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 считаются равными,
    если a1 = a2 и b1 = b2 . Если b = 0, то число z является вещественным и равным
    a, а если a = 0, то оно называется чисто мнимым. При этом
    вещественной частью числа z (Re z) называется число a: Re z = a;
    мнимой частью числа z (Im z) называется число b: Im z = b;

    модулем числа z (|z|) называется число |z| = a2 + b2 ;
    сопряженным к числу z (z) называется число z = a − ib.
    Комплексные числа подчиняются обычным правилам работы с числами и
    буквенными выражениями (свойствам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности). В частности,
    1) z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ),
    2) z1 − z2 = (a1 − a2 ) + i(b1 − b2 ),
    3) z1 · z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 ).
    Заметим, что z · z = a2 + b2 = |z|2 . Следовательно, если z 6= 0 и z 0 определить
    z
    как дробь
    , то оказывается, что z 0 — число, обратное к z, то есть z · z 0 =
    |z|2
    z 0 · z = 1. Таким образом, если z2 6= 0, то
    4)

    z1
    z1 z 2
    a1 a2 + b1 b2 + i(a2 b1 − a1 b2 )
    .
    =
    =
    z2
    |z2 |2
    a22 + b22

    Упр. 1. Проверьте, что

    i3 = −i,

    i4 = 1,

    i5 = i,

    i17 = i,

    i22 = −1,

    (1 + i)2 = 2i,

    (1 + i)3 = −2(1 − i),

    (1 + i)4 = −4,

    1
    = −i,
    i
    1+i
    = i,
    1−i

    1
    1−i
    =
    ,
    1+i
    2
    3 + 2i
    = i,
    2 − 3i

    (3 + 4i)(4 + 3i) = 25i,
    µ√
    ¶µ
    √ ¶
    3
    1
    1
    3
    + i
    +
    i = i.

    Пример 1. Вычислить z =

    a4 − b4
    , если
    a2 + b2

    2

    2

    2

    2

    a = 3 + i, b = 1 − 3i.

    Решение. Имеем, что a2 + b2 = 9 + 6i − 1 + 1 − 6i − 9 = 0. Следовательно, число
    z не определено.
    Пример 2. Вычислить z =

    a5 − b5
    , если
    a−b

    a = 1 − i, b = 1 + i.

    7
    Решение. Имеем, что a2 = −2i, b2 = 2i, a4 = b4 = −4. Следовательно, z =
    a4 (a − b)
    = a4 = −4.
    a−b

    Упр. 2. Вычислить z =

    a6 − b6
    , если
    a2 − b2

    a = 1 − i, b = 1 + i.

    Геометрическое представление комплексных чисел
    Поскольку комплексное число z = a + ib определяется парой вещественных a и
    b, естественно представить это число, как вектор с координатами (a, b) на декартовой плоскости, которую обычно называют комплексной плоскостью. Ось
    абсцисс на ней будем √
    обозначать буквами Re , а ось ординат — Im . Длина вектора (a, b) равна r = a2 + b2 , то есть модулю числа z, а угол между положительным направлением оси Re и вектором z, отсчитываемый в положительном
    направлении, то есть против часовой стрелки, называется аргументом числа
    z : ϕ = Arg z. При этом если угол находится в промежутке (−π, π], то он называется главным значением аргумента и обозначается arg z.
    Заметим, что из неравенства треугольника следует, что для произвольных
    комплексных чисел z1 и z2 выполняется неравенство
    |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.

    Упр. 3. Изобразить на комплексной плоскости числа a = 4−3i, b = −2−2 3i,
    c = 4 + 4i, d = 3.

    Пример 3. Изобразить на комплексной плоскости числа a = 7−2i и b = 2+7i
    и вычислить z =

    a3 − b3
    .
    (a − b)ab

    a3 − b 3
    a2 + ab + b2
    =
    =
    (a − b)ab
    ab
    (7 − 2i)(2 − 7i)
    7 − 2i
    −53i
    =
    =
    = −i. Таким образом,
    2 + 7i
    22 + 7 2
    53

    Решение. Имеем, что z =

    z = −i + i + 1 = 1.

    a
    b
    a
    + + 1. Далее,
    =
    b
    a
    b
    b
    = i и, следовательно,
    a

    Упр. 4. Изобразить на комплексной плоскости числа a = −3 − 2i и b = 2 + i
    и вычислить z =

    a3 − b 3
    a3 + b 3
    +
    .
    a−b
    a+b

    8
    Im 6

    Im 6

    b
    ϕ = arg z


    a
    Re

    z = 3 + 4i

    a=1+

    |z| = 5, arg z = arctg

    Re



    c

    4
    3

    b = a2 ,


    3i
    c = a3

    Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
    Непосредственно из геометрического представления комплексного числа z =
    a + ib, следует, что Re z = a = r cos ϕ и Im z = b = r sin ϕ, то есть
    z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
    где ϕ — аргумент числа z. Если учесть, что аргумент определяется с точностью до 2π, получим тригонометрическое представление комплексного числа в
    общей форме:
    z = r (cos (ϕ + 2πk) + i sin (ϕ + 2πk) ) ,

    k ∈ Z.

    Если z1 = r1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 ), а z2 = r2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ), то z1 z2 = r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 −
    sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ2 cos ϕ1 ) = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )).
    Таким образом, z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )).
    z1
    r1
    Аналогично
    =
    (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )).
    z2
    r2
    Из формулы для произведения комплексных чисел получаем знаменитую
    формулу Муавра
    z n = rn (cos (nϕ) + i sin (nϕ)) .
    Определяя корень степени n как действие, обратное возведению в степень
    n, получим формулу

    n

    z =

    ³
    ´

    ϕ + 2πk
    ϕ + 2πk
    n
    r cos
    + i sin
    .
    n

    n

    9
    Здесь k — любое целое число, однако различными эти выражения будут
    лишь для n значений числа k. Обычно рассматриваются k = 0, 1, . . . , n − 1.
    Если
    ¯ мы захотим подчеркнуть зависимость корня от числа k, то будем писать

    n
    z ¯k или использовать обозначение ξk .
    Пример 4. Найти корни уравнения z 4 + 16 = 0.
    ´
    ¯
    √ ³

    π + 2πk
    π + 2πk
    + i sin
    Решение. Имеем, что ξk = 4 −16¯k = 4 16 cos
    =
    4
    4
    ³
    ´
    π + 2πk
    π + 2πk
    2 cos
    + i sin
    , k = 0, 1, 2, 3.
    4
    4
    ³
    ³
    ´ √
    ´



    π
    π


    ξ0 = 2 cos + i sin
    = 2 + i 2;
    ξ1 = 2 cos
    + i sin
    = − 2 + i 2;
    4
    4
    4
    4
    ³
    ³
    ´
    ´ √







    ξ2 = 2 cos
    + i sin
    + i sin
    = − 2 − i 2; ξ3 = 2 cos
    = 2 − i 2.
    4

    4

    4

    4

    Задачи для самостоятельного pешения
    Упр. 5. Вычислить
    i2005 ,

    i−2005 ,

    (1 + i)5
    √ ,
    4 2


    4 2
    ,
    (1 − i)7

    (1 + i)2
    ,
    2

    ( 3 + i)3
    8

    2
    ,
    (1 − i)2

    (1 + i 3)3
    ,
    8

    (1 + 3i)2 + (3 − i)2 ,


    (1 + i 5)3 + (1 − i 5)3 .

    Упр. 6. Изобразить на комплексной плоскости числа u, v, z и представить
    их в тригонометрической форме, если


    u3 + v 3
    u
    a) u = 3 − 2i, v = 2 + i, z =
    ;
    b) u = 3 − i, v = 3 + i, z = ;
    u+v

    v

    c) u = 1 + i, v = 1 − i, z = u2 − v 2 ;

    d) u = 3 − 4i, v = 4 + 3i,

    e) u = sin ϕ − i cos ϕ, v = cos ϕ + i sin ϕ,

    ϕ ∈ [0, π),

    z = u2 + v 2 ;

    z = uv.

    Упр. 7. Найти вещественные числа a и b из уравнения
    a − ib
    5+i
    =
    ,
    b + ia
    5i − 1
    3
    (a + ib) + (a − ib)3
    c)
    = a + ib,
    a
    Упр. 8. Вычислить
    a)

    a) A = (1 + i)4 + (1 − i)4 ,
    c) C = (1 + i)20 ,

    b) (a + ib)2 − ib =

    1+i
    ,
    1−i

    d) (a + ib)2 − (b + ia)2 = a − ib.

    3 + 2i
    (1 + i)8
    +
    (1 + i)2 ,
    (1 − i)4
    i(6 − 8i)


    d) D = ( 3 + i)10 + ( 3 − i)10 .
    b) B =

    Упр. 9. Найти все значения указанных корней и представить их в тригонометрической форме.





    a) 4 1,
    b) 6 64,
    c)
    i,
    d) 3 −1,
    e)
    1 + i.

    10
    Упр. 10. Решить уравнение и найти сумму модулей корней.
    a) z 2 + 8z + 20 = 0,

    b) z 2 − 9z + 14 = 0,

    c) z 3 + 2z − 3 = 0,

    d) z 4 − 16 = 0.

    Упр. 11. Решить уравнение и найти произведение модулей корней.
    a) z 2 − 2z + 10 = 0,

    b) 2z 2 − 9z + 10 = 0,

    c) z 3 − z 2 + z − 1 = 0,

    d) z 4 − 2z 2 − 15 = 0.

    Упр. 12. Найти и изобразить на комплексной плоскости все решения уравнения
    π
    = arg 2z,
    3

    a) z 3 − 2z 2 + z − 2 = 0,

    b) |z| − 1 = 0,

    c) 2arg z +

    d) Re z + Im z = |z|,

    e) arg z = arg z + i,

    f ) Re z 2 = |z|2 .

    g) Re z 2 = 0,

    h) Re z 3 = 0,

    i) |z − 1| − 2 = 0.

    Упр. 13. Найти и изобразить на комплексной плоскости множество точек
    z, определяемых условиями:
    a) lim z n = 0,

    b) |z|n → ∞

    d) lim (Re z)n = 0,

    e) |Re z|n → ∞

    n→∞

    n→∞

    при n → ∞,
    при n → ∞,

    c) |z − 1| < 1,
    f ) |arg z| < 1.

    11

    2.

    Матpицы и опеpации с ними

    Матpицей мы называем пpямоугольную таблицу чисел. Если в матpице m стpок
    и n столбцов, то говоpят, что матpица имеет pазмеp m×n. Пpи этом для матpицы


    a11 a12 . . . a1n
     a21 a22 . . . a2n 

    A = 
     ... ... ... ... 
    am1 am2 . . . amn
    используются также следующие обозначения:
    ¯¯
    ¯¯ a11 . . . a1n
    ¯¯
    j=1,n
    A = (aij )i=1,m = ||aij || = ¯¯¯¯ . . . . . . . . .
    ¯¯ am1 . . . amn

    ¯¯

    ¯¯
    a11
    ¯¯
    ¯¯ =  . . .
    ¯¯
    ¯¯
    am1

    ...
    ...
    ...


    a1n
    ... .
    amn

    Отметим, что матpицы можно умножать на числа, матpицы одного pазмеpа
    можно складывать. Например,
    ! Ã
    ! Ã
    !
    Ã
    ! Ã
    !
    Ã
    3 1
    −1 0
    2 1
    1 0
    2 0
    +
    =
    ,

    =
    .
    2 0
    2 5
    4 5
    −1 2
    −2 4
    Матpица, у котоpой число стpок совпадает с числом столбцов, называется
    квадратной.
    Матpица, у котоpой только одна стpока и несколько столбцов, называется
    вектоp-стpокой или пpосто стpокой. Матpица, у котоpой только один столбец и
    несколько стpок, называется вектоp-столбцом или пpосто столбцом. И вектоpстолбец, и вектоp-стpока называются также пpосто вектоpами.


    1
     3 


    b − вектоp-стpока:
    (1, 3, 5, 7);
    b − вектоp-столбец:
     5 .
    7
    Зачастую нам не важно, в каком виде записан вектоp – как столбец или
    как стpока. Чаще мы будем записывать вектоp в виде стpоки – из сообpажений
    экономии места. Однако в одном случае пpинято писать вектоp в виде столбца – если, как говоpят, матpица действует на вектоp. В этом случае матpица
    должна иметь столько столбцов, какова pазмеpность вектоpа. Говоpят также,
    что матpица умножается слева на вектоp или что вектоp умножается спpава на
    матpицу. Пpи таком умножении в pезультате получается вновь вектоp-столбец,
    но уже дpугого pазмеpа (если только матpица не была квадpатной). Например,




     


    1
    0
    1
    2 2
    0·1+1·3+2·5+2·7
    27
     3 

     0 · 1 − 2 · 3 + 4 · 5 + 4 · 7  =  42  .
    4 4 ·
    Ab =  0 −2
     5  =
    1
    0 −1 0
    1·1+0·3−1·5+0·7
    −4
    7

    12
    Пpи этом матpица A может быть вектоp-стpокой. Пpи таком пеpемножении
    обpазуется вектоp pазмеpности 1, то есть пpосто число. Эт