• Название:

    Осипов 4

  • Размер: 0.94 Мб
  • Формат: PDF
  • или

    Программа

    курса

    Комплексные числа
    1. Определение. Вещественная и мнимая части комплексных чисел. Арифметические операции с комплексными числами.
    2. Геометрическое представление комплексных чисел. Модуль, аргумент. Тригонометрическая форма. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
    3. Возведение в степень. Формула Муавра. Определение корня степени n из
    комплексного числа.
    4. Основная теорема алгебры. Решение уравнений x3 = 1 и x6 + 64 = 0 и
    изображение корней на комплексной плоскости.
    Матрицы
    5. Матрицы и вектора. Сложение матриц и умножение на число. Матричное произведение. Некоммутативность произведения (пример). Квадратная матрица. Единичная матрица.
    6. Определитель матрицы. Индуктивное (аксиоматическое) определение. Определители первого и второго порядков.
    7. Минор матрицы. Алгебраическое дополнение. Правило Лапласа. Вычисление определителя третьего порядка.
    8. Линейная система общего вида. Однородная и неоднородная системы. Совместная, несовместная, определенная и неопределенная системы.
    9. Правило (теорема) Крамера решения линейных систем n уравнений с n
    неизвестными.
    10. Линейная система общего вида. Матрица системы. Преобразования Гаусса. Пример решения линейной системы методом Гаусса.
    Числовые ряды. Общие факты
    Ряд, частичная сумма ряда. Сходящийся ряд. Примеры.
    Необходимое условие сходимости ряда.
    Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Ее сумма. Примеры.
    Гармонический ряд. Доказательство его расходимости.

    X
    1
    15. Ряд
    . Доказательство его сходимости и нахождение суммы.
    n(n
    + 1)
    n=1
    11.
    12.
    13.
    14.

    Числовые ряды с неотрицательными членами
    16.
    17.
    18.
    19.
    20.
    21.

    Мажорирующий, минорирующий ряды. Первый признак сравнения рядов.
    Эквивалентные ряды. Второй признак сравнения рядов.
    Ряд обратных квадратов. Доказательство его сходимости.
    Обобщенный гармонический ряд. Условие его сходимости и расходимости.
    Признак Даламбера сходимости рядов в прямой форме.
    Признак Даламбера сходимости рядов в предельной форме.

    4
    22. Признак Коши сходимости рядов в прямой форме.
    23. Признак Коши сходимости рядов в предельной форме.
    Знакопеременные ряды
    24. Абсолютно сходящийся ряд. Примеры.
    25. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Ряд Лейбница.
    Его сходимость.
    Степенные ряды
    26. Задание функции с помощью степенного ряда. Ее область определения.
    Радиус сходимости ряда. Теорема Абеля о радиусе сходимости.
    27. Представление функций с помощью степенного ряда. Разложение функции f (x) = ex в ряд.
    28. Ряды, представляющие функции sin x, cos x.
    29. Ряд, представляющий функцию f (x) = ln(1 + x). Его радиус сходимости.
    Сумма ряда Лейбница.
    Неопределенный интеграл
    30. Первообразная и неопределенный интеграл. Связь между этими понятиями. Простейшие свойства неопределенного интеграла как оператора.
    31. Таблица основных интегралов.
    32. Замена переменной (подстановка).
    33. Метод интегрирования по частям.
    Mx + N
    34. Разложение дроби вида
    на простейшие.
    (x − a)(x − b)
    A
    A
    35. Интегрирование выражений вида
    ,
    , n ∈ N, n ≥ 2.
    x − a (x − a)n
    Mx + N
    36. Интегрирование выражений вида 2
    .
    x + px + q
    Определенный интеграл
    37.
    38.
    39.
    40.
    41.

    Интеграл как предел интегральных сумм.
    Формула Ньютона – Лейбница (Барроу).
    Основные свойства определенного интеграла.
    Вычисление определенного интеграла с помощью замены переменной.
    Вычисление определенного интеграла с помощью интегрирования по частям.
    42. Вычисление площади криволинейной трапеции.
    Функции нескольких переменных
    43. Определение предела функции в точке. Непрерывность функции.
    44. Частные производные функции нескольких переменных. Примеры.
    45. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума.

    5
    46. Достаточное условие экстремума.
    Линейная функция и уравнение прямой
    47.
    48.
    49.
    50.

    Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
    Уравнение прямой «в отрезках».
    Общее уравнение прямой. Расстояние от прямой до заданной точки.
    Простейшие задачи линейной интерполяции.
    Дополнительные разделы

    51. Статистический ряд чисел. Средние величины. Разброс.
    52. Линейная регрессия. Отклонение. Метод наименьших квадратов.
    53. Коэффициент дисконтирования. Оценка рентабельности инвестиций.

    Образец экзаменационного билета:
    Письменный экзамен. Билет

    N1

    1. Изобразите на комплексной плоскости числа a = 7 − 2i и b = 2 + 7i
    a3 − b3
    и вычислите z =
    .
    (a − b)ab
    2. Матрицы и вектора. Сложение матриц и умножение на число. Матричное произведение. Некоммутативность произведения (пример).
    Квадратная матрица. Единичная матрица.
    3. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума.
    Z
    4. Найдите неопределенный интеграл
    esin x cos xdx.
    5. Разложите в степенной ряд функцию f (x) = ln(1 − x)2 и напишите
    первые пять членов этого ряда.
    00
    6. Напишите частные производные fx002 , fxy
    , функции f (x, y) = xexy −
    y sin x + 1.

    6

    1.

    Комплексные числа

    Множеством комплексных чисел мы называем множество выражений вида
    z = a+ib, где a и b — обычные (вещественные) числа, а i — символ, называемый
    2
    мнимой
    √ единицей. При этом считается, что i = −1. Поэтому иногда пишут:
    i = −1.
    Два комплексных числа z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 считаются равными,
    если a1 = a2 и b1 = b2 . Если b = 0, то число z является вещественным и равным
    a, а если a = 0, то оно называется чисто мнимым. При этом
    вещественной частью числа z (Re z) называется число a: Re z = a;
    мнимой частью числа z (Im z) называется число b: Im z = b;

    модулем числа z (|z|) называется число |z| = a2 + b2 ;
    сопряженным к числу z (z) называется число z = a − ib.
    Комплексные числа подчиняются обычным правилам работы с числами и
    буквенными выражениями (свойствам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности). В частности,
    1) z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ),
    2) z1 − z2 = (a1 − a2 ) + i(b1 − b2 ),
    3) z1 · z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 ).
    Заметим, что z · z = a2 + b2 = |z|2 . Следовательно, если z 6= 0 и z 0 определить
    z
    как дробь
    , то оказывается, что z 0 — число, обратное к z, то есть z · z 0 =
    |z|2
    z 0 · z = 1. Таким образом, если z2 6= 0, то
    4)

    z1
    z1 z 2
    a1 a2 + b1 b2 + i(a2 b1 − a1 b2 )
    .
    =
    =
    z2
    |z2 |2
    a22 + b22

    Упр. 1. Проверьте, что

    i3 = −i,

    i4 = 1,

    i5 = i,

    i17 = i,

    i22 = −1,

    (1 + i)2 = 2i,

    (1 + i)3 = −2(1 − i),

    (1 + i)4 = −4,

    1
    = −i,
    i
    1+i
    = i,
    1−i

    1
    1−i
    =
    ,
    1+i
    2
    3 + 2i
    = i,
    2 − 3i

    (3 + 4i)(4 + 3i) = 25i,
    µ√
    ¶µ
    √ ¶
    3
    1
    1
    3
    + i
    +
    i = i.

    Пример 1. Вычислить z =

    a4 − b4
    , если
    a2 + b2

    2

    2

    2

    2

    a = 3 + i, b = 1 − 3i.

    Решение. Имеем, что a2 + b2 = 9 + 6i − 1 + 1 − 6i − 9 = 0. Следовательно, число
    z не определено.
    Пример 2. Вычислить z =

    a5 − b5
    , если
    a−b

    a = 1 − i, b = 1 + i.

    7
    Решение. Имеем, что a2 = −2i, b2 = 2i, a4 = b4 = −4. Следовательно, z =
    a4 (a − b)
    = a4 = −4.
    a−b

    Упр. 2. Вычислить z =

    a6 − b6
    , если
    a2 − b2

    a = 1 − i, b = 1 + i.

    Геометрическое представление комплексных чисел
    Поскольку комплексное число z = a + ib определяется парой вещественных a и
    b, естественно представить это число, как вектор с координатами (a, b) на декартовой плоскости, которую обычно называют комплексной плоскостью. Ось
    абсцисс на ней будем √
    обозначать буквами Re , а ось ординат — Im . Длина вектора (a, b) равна r = a2 + b2 , то есть модулю числа z, а угол между положительным направлением оси Re и вектором z, отсчитываемый в положительном
    направлении, то есть против часовой стрелки, называется аргументом числа
    z : ϕ = Arg z. При этом если угол находится в промежутке (−π, π], то он называется главным значением аргумента и обозначается arg z.
    Заметим, что из неравенства треугольника следует, что для произвольных
    комплексных чисел z1 и z2 выполняется неравенство
    |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.

    Упр. 3. Изобразить на комплексной плоскости числа a = 4−3i, b = −2−2 3i,
    c = 4 + 4i, d = 3.

    Пример 3. Изобразить на комплексной плоскости числа a = 7−2i и b = 2+7i
    и вычислить z =

    a3 − b3
    .
    (a − b)ab

    a3 − b 3
    a2 + ab + b2
    =
    =
    (a − b)ab
    ab
    (7 − 2i)(2 − 7i)
    7 − 2i
    −53i
    =
    =
    = −i. Таким образом,
    2 + 7i
    22 + 7 2
    53

    Решение. Имеем, что z =

    z = −i + i + 1 = 1.

    a
    b
    a
    + + 1. Далее,
    =
    b
    a
    b
    b
    = i и, следовательно,
    a

    Упр. 4. Изобразить на комплексной плоскости числа a = −3 − 2i и b = 2 + i
    и вычислить z =

    a3 − b 3
    a3 + b 3
    +
    .
    a−b
    a+b

    8
    Im 6

    Im 6

    b
    ϕ = arg z


    a
    Re

    z = 3 + 4i

    a=1+

    |z| = 5, arg z = arctg

    Re



    c

    4
    3

    b = a2 ,


    3i
    c = a3

    Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
    Непосредственно из геометрического представления комплексного числа z =
    a + ib, следует, что Re z = a = r cos ϕ и Im z = b = r sin ϕ, то есть
    z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
    где ϕ — аргумент числа z. Если учесть, что аргумент определяется с точностью до 2π, получим тригонометрическое представление комплексного числа в
    общей форме:
    z = r (cos (ϕ + 2πk) + i sin (ϕ + 2πk) ) ,

    k ∈ Z.

    Если z1 = r1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 ), а z2 = r2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ), то z1 z2 = r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 −
    sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ2 cos ϕ1 ) = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )).
    Таким образом, z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )).
    z1
    r1
    Аналогично
    =
    (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )).
    z2
    r2
    Из формулы для произведения комплексных чисел получаем знаменитую
    формулу Муавра
    z n = rn (cos (nϕ) + i sin (nϕ)) .
    Определяя корень степени n как действие, обратное возведению в степень
    n, получим формулу

    n

    z =

    ³
    ´

    ϕ + 2πk
    ϕ + 2πk
    n
    r cos
    + i sin
    .
    n

    n

    9
    Здесь k — любое целое число, однако различными эти выражения будут
    лишь для n значений числа k. Обычно рассматриваются k = 0, 1, . . . , n − 1.
    Если
    ¯ мы захотим подчеркнуть зависимость корня от числа k, то будем писать

    n
    z ¯k или использовать обозначение ξk .
    Пример 4. Найти корни уравнения z 4 + 16 = 0.
    ´
    ¯
    √ ³

    π + 2πk
    π + 2πk
    + i sin
    Решение. Имеем, что ξk = 4 −16¯k = 4 16 cos
    =
    4
    4
    ³
    ´
    π + 2πk
    π + 2πk
    2 cos
    + i sin
    , k = 0, 1, 2, 3.
    4
    4
    ³
    ³
    ´ √
    ´



    π
    π


    ξ0 = 2 cos + i sin
    = 2 + i 2;
    ξ1 = 2 cos
    + i sin
    = − 2 + i 2;
    4
    4
    4
    4
    ³
    ³
    ´
    ´ √







    ξ2 = 2 cos
    + i sin
    + i sin
    = − 2 − i 2; ξ3 = 2 cos
    = 2 − i 2.
    4

    4

    4

    4

    Задачи для самостоятельного pешения
    Упр. 5. Вычислить
    i2005 ,

    i−2005 ,

    (1 + i)5
    √ ,
    4 2


    4 2
    ,
    (1 − i)7

    (1 + i)2
    ,
    2

    ( 3 + i)3
    8

    2
    ,
    (1 − i)2

    (1 + i 3)3
    ,
    8

    (1 + 3i)2 + (3 − i)2 ,


    (1 + i 5)3 + (1 − i 5)3 .

    Упр. 6. Изобразить на комплексной плоскости числа u, v, z и представить
    их в тригонометрической форме, если


    u3 + v 3
    u
    a) u = 3 − 2i, v = 2 + i, z =
    ;
    b) u = 3 − i, v = 3 + i, z = ;
    u+v

    v

    c) u = 1 + i, v = 1 − i, z = u2 − v 2 ;

    d) u = 3 − 4i, v = 4 + 3i,

    e) u = sin ϕ − i cos ϕ, v = cos ϕ + i sin ϕ,

    ϕ ∈ [0, π),

    z = u2 + v 2 ;

    z = uv.

    Упр. 7. Найти вещественные числа a и b из уравнения
    a − ib
    5+i
    =
    ,
    b + ia
    5i − 1
    3
    (a + ib) + (a − ib)3
    c)
    = a + ib,
    a
    Упр. 8. Вычислить
    a)

    a) A = (1 + i)4 + (1 − i)4 ,
    c) C = (1 + i)20 ,

    b) (a + ib)2 − ib =

    1+i
    ,
    1−i

    d) (a + ib)2 − (b + ia)2 = a − ib.

    3 + 2i
    (1 + i)8
    +
    (1 + i)2 ,
    (1 − i)4
    i(6 − 8i)


    d) D = ( 3 + i)10 + ( 3 − i)10 .
    b) B =

    Упр. 9. Найти все значения указанных корней и представить их в тригонометрической форме.





    a) 4 1,
    b) 6 64,
    c)
    i,
    d) 3 −1,
    e)
    1 + i.

    10
    Упр. 10. Решить уравнение и найти сумму модулей корней.
    a) z 2 + 8z + 20 = 0,

    b) z 2 − 9z + 14 = 0,

    c) z 3 + 2z − 3 = 0,

    d) z 4 − 16 = 0.

    Упр. 11. Решить уравнение и найти произведение модулей корней.
    a) z 2 − 2z + 10 = 0,

    b) 2z 2 − 9z + 10 = 0,

    c) z 3 − z 2 + z − 1 = 0,

    d) z 4 − 2z 2 − 15 = 0.

    Упр. 12. Найти и изобразить на комплексной плоскости все решения уравнения
    π
    = arg 2z,
    3

    a) z 3 − 2z 2 + z − 2 = 0,

    b) |z| − 1 = 0,

    c) 2arg z +

    d) Re z + Im z = |z|,

    e) arg z = arg z + i,

    f ) Re z 2 = |z|2 .

    g) Re z 2 = 0,

    h) Re z 3 = 0,

    i) |z − 1| − 2 = 0.

    Упр. 13. Найти и изобразить на комплексной плоскости множество точек
    z, определяемых условиями:
    a) lim z n = 0,

    b) |z|n → ∞

    d) lim (Re z)n = 0,

    e) |Re z|n → ∞

    n→∞

    n→∞

    при n → ∞,
    при n → ∞,

    c) |z − 1| < 1,
    f ) |arg z| < 1.

    11

    2.

    Матpицы и опеpации с ними

    Матpицей мы называем пpямоугольную таблицу чисел. Если в матpице m стpок
    и n столбцов, то говоpят, что матpица имеет pазмеp m×n. Пpи этом для матpицы


    a11 a12 . . . a1n
     a21 a22 . . . a2n 

    A = 
     ... ... ... ... 
    am1 am2 . . . amn
    используются также следующие обозначения:
    ¯¯
    ¯¯ a11 . . . a1n
    ¯¯
    j=1,n
    A = (aij )i=1,m = ||aij || = ¯¯¯¯ . . . . . . . . .
    ¯¯ am1 . . . amn

    ¯¯

    ¯¯
    a11
    ¯¯
    ¯¯ =  . . .
    ¯¯
    ¯¯
    am1

    ...
    ...
    ...


    a1n
    ... .
    amn

    Отметим, что матpицы можно умножать на числа, матpицы одного pазмеpа
    можно складывать. Например,
    ! Ã
    ! Ã
    !
    Ã
    ! Ã
    !
    Ã
    3 1
    −1 0
    2 1
    1 0
    2 0
    +
    =
    ,

    =
    .
    2 0
    2 5
    4 5
    −1 2
    −2 4
    Матpица, у котоpой число стpок совпадает с числом столбцов, называется
    квадратной.
    Матpица, у котоpой только одна стpока и несколько столбцов, называется
    вектоp-стpокой или пpосто стpокой. Матpица, у котоpой только один столбец и
    несколько стpок, называется вектоp-столбцом или пpосто столбцом. И вектоpстолбец, и вектоp-стpока называются также пpосто вектоpами.


    1
     3 


    b − вектоp-стpока:
    (1, 3, 5, 7);
    b − вектоp-столбец:
     5 .
    7
    Зачастую нам не важно, в каком виде записан вектоp – как столбец или
    как стpока. Чаще мы будем записывать вектоp в виде стpоки – из сообpажений
    экономии места. Однако в одном случае пpинято писать вектоp в виде столбца – если, как говоpят, матpица действует на вектоp. В этом случае матpица
    должна иметь столько столбцов, какова pазмеpность вектоpа. Говоpят также,
    что матpица умножается слева на вектоp или что вектоp умножается спpава на
    матpицу. Пpи таком умножении в pезультате получается вновь вектоp-столбец,
    но уже дpугого pазмеpа (если только матpица не была квадpатной). Например,




     


    1
    0
    1
    2 2
    0·1+1·3+2·5+2·7
    27
     3 

     0 · 1 − 2 · 3 + 4 · 5 + 4 · 7  =  42  .
    4 4 ·
    Ab =  0 −2
     5  =
    1
    0 −1 0
    1·1+0·3−1·5+0·7
    −4
    7

    12
    Пpи этом матpица A может быть вектоp-стpокой. Пpи таком пеpемножении
    обpазуется вектоp pазмеpности 1, то есть пpосто число. Это число называется
    скаляpным пpоизведением соответствующих вектоpов и обозначается через
    < u, v > или (u, v), где u и v — вектора одного размера. Например, если u =
    (1, −3, 5), v = (2, 3, 8), то


    (1, −3, 5)
    2
     3  = 1 · 2 + (−3) · 3 + 5 · 8 = 33.
    < u, v > =
    8
    Если пеpемножаются матpицы A и B, пpичем матpица A стоит слева, а
    матpица B — спpава, то pезультатом будет матpица, столбцы котоpой получаются поочеpедным умножением столбцов матpицы B спpава на матpицу A.
     
     

    0
    1
    2
    1 2
    13 16
    4  ·  3 4  =  14 16  .
    AB =  0 −2
    1
    0 −1
    −4 −4
    5 6


    Пример 1.



    1
    Упр. 1. Найти произведение AB, если A =  2
    −3


    µ
    2
    1
    −3  , B =
    1
    1

    1 2
    −1 2


    .

    Произведение матриц в общем случае не обладает свойством коммутативности (перестановочности). Например,
    µ

    1 0
    1 0

    ¶µ
    1
    ·
    0

    1
    0



    µ
    =

    1
    1

    1
    1



    µ
    ,

    но

    1
    0

    1
    0

    ¶µ
    ¶ µ

    1 0
    2 0
    ·
    =
    .
    1 0
    0 0

    Однако операция перемножения матриц обладает свойством ассоциативности, то есть (AB)C = A(BC) если, конечно, произведения определены. Вместе
    с операцией сложения она обладает свойством дистрибутивности: A(B + C) =
    AB + AC.
    Достаточно часто приходится иметь дело с квадратными матрицами одной
    и той же размерности n. Множество таких матриц обозначим через Mn . В этом
    классе матриц существует «единица» или единичная матрица, то есть такая матрица E, что никакая матрица не меняется при умножении на нее. Это означает,
    что для любой матрицы A из класса Mn верно, что AE = EA = A. Если хотят
    подчеркнуть, что матрица E имеет размерность n, то пишут En . Единичная
    матрица имеет единицы на главной диагонали и нули вне этой диагонали. Например,
    
     
    
     


    1 2 3
    1 0 0
    1 0 0
    1 2 3
    1 2 3
     4 5 6  0 1 0  =  0 1 0  4 5 6  =  4 5 6 .
    7 8 9
    0 0 1
    0 0 1
    7 8 9
    7 8 9

    13
    Определитель квадратной матрицы
    Важной характеристикой квадратных матриц является
    называемая опpеделителем или детерминантом матpицы.
    Определитель обозначается следующим образом
    ¯


    ¯ a11
    a11 . . . a1n
    ¯
    det A = |A| = det  . . . . . . . . .  = ¯¯ . . .
    ¯ an1
    an1 . . . ann

    числовая величина,

    ...
    ...
    ...

    a1n
    ...
    ann

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯.
    ¯
    ¯

    При n = 1 и n = 2 определитель задается простыми явными формулами

    µ
    a b
    =⇒ det A = ad − bc.
    A = (a) =⇒ det A = a,
    A=
    c d
    При n > 2 детерминант удобнее определить (и вычислять) «индуктивным способом» (индукция по размерности матриц). Однако прежде обозначим те аксиомы, которым должны удовлетворять определители.
    Список свойств определителя
    • При пеpемене стpок местами определитель меняет знак;
    • При умножении одной из стpок на число определитель умножается на это
    число;
    • Пpи прибавлении к одной из стpок линейной комбинации нескольких дpугих определитель не меняется;
    • Определитель равен нулю, если две строки одинаковы или одна из строк
    состоит из нулей;
    • Все указанные выше свойства верны и для столбцов.

    1

    Пример 2. Показать, что определитель 4
    7

    2
    5
    8

    3
    6
    9




    равен нулю.



    Решение. Вычтем из третьей
    строки
    вторую, а затем из второй — первую.


    1


    2

    3

    3

    Получим определитель 3 3
    вательно, он равен нулю.

    3
    3
    3



    , у которого две строки одинаковы и, следо


    Для того чтобы осуществить индуктивный переход, то есть для подсчета
    определителей данного порядка использовать определители меньшего порядка,
    введем еще несколько понятий.
    Минор. Если после вычеркивания одного или нескольких столбцов и одной
    или нескольких строк в прямоугольной матрице образуется квадратная матрица, то ее определитель называется минором. Иногда минором мы будем называть также и саму образовавшуюся матрицу.

    14
    Индекс (знак) элемента. Каждому элементу aij матрицы приписывается
    индекс — множитель вида (−1)i+j . Например, для матрицы размера 3 × 3 распределение знаков-индексов выглядит следующим образом:


    +


    A →
    +


    − +
    + − .
    − +

    Алгебраическое дополнение. Зафиксируем некоторый элемент ai,j квадратной матрицы. Если вычеркнуть столбец и строку, на которых он стоит, то
    останется матрица, порядок (количество строк и столбцов) которой на 1 меньше. Ее определитель, умноженный на знак-индекс данного элемента, называется
    алгебраическим дополнением и обозначается через Aij . Например,


    µ

    1 2 3
    4 6
    3


    4 5 6
    если A =
    , то A12 = (−1) det
    = −(4 · 9 − 6 · 7) = 6;
    7 9
    7 8 9
    µ

    2 3
    4
    A31 = (−1) det
    = 2 · 6 − 3 · 5 = −3.
    5 6
    Правило Лапласа разложения по элементам одной строки (столбца).




    A = 




    a11
    a21
    ...
    ak1
    ...
    an1

    a12
    a22
    ...
    ak2
    ...
    an2

    ...
    ...
    ...
    ...
    ...
    ...

    a1n
    a2n
    ...
    akn
    ...
    ann










    =⇒

    det A = ak1 Ak1 + ak2 Ak2 + . . . akn Akn = Σnj=1 akj Akj ,
    где Akj — алгебраическое дополнение к элементам k-ой строки.


    1
    Пример 3. Найти определитель матрицы A =  4
    7

    2
    5
    8


    3
    6 .
    9

    Решение. Разложим определитель по элементам, например, 1-ой строки.
    ¯
    ¯ 5
    det A = (−1) · 1 · ¯¯
    8
    2

    ¯
    ¯
    ¯ 4
    6 ¯¯
    3
    + (−1) · 2 · ¯¯
    ¯
    9
    7

    ¯
    ¯
    ¯ 4
    6 ¯¯
    4
    + (−1) · 3 · ¯¯
    ¯
    9
    7

    +(45 − 48) − 2(36 − 42) + 3(32 − 35) = −3 + 12 − 9 = 0.

    ¯
    5 ¯¯
    =
    8 ¯

    15

    Задачи для самостоятельного pешения
    Упр. 2. Найдите произведение матриц

    µ


    1 −1 2 −2
    a) A =
    , B=

    1 1 2 2


    1
     2
    b) A = 
     3
    4



    −1
    −2 
    ,
    −3 
    −4

    3
    2
    c) A =  −1 −2
    1
    0

    µ
    B=

    1
    −3
    1

    1
    1


    0
    −4  ,
    0

    AB, если

    0 1
    2 0 
    ;
    0 3 
    4 0

    1 2
    −1 2


    2
    −2

    1
     2
    B=
     3
    4


    ;
    −1
    −2
    −3
    −4


    1
    2 
    .
    3 
    4

    Упр. 3. Найдите указанные ниже произведения матриц.


    0
    a)  1
     0
    0
    c)  1
    0

    1
    0
    0
    1
    0
    0

    
    0
    0
    3  1
    −1   0
    3
    0
    0  1
    −1
    0

    1
    0
    0
    1
    0
    0


    3
    0 ,
    −1 
    0
    3 ,
    −1



    1
    0
    0
    b)  1
     0 −1
    0
    1
    0
    d)  0
    −1 1

    
    −1
    0
    1
    0  0
    0
    0   −1 1
    0
    1
    0
    −1   1
    0
    0
    0 −1


    0
    −1  ,
    0 
    −1
    0 .
    0

    Упр. 4. Приведите пример двух матриц A и B, таких что
    a) произведение AB определено, но произведение BA не определено;
    b) произведения AB и BA определены, но AB 6= BA;
    c) произведения AB и BA определены, и при этом AB = BA.
    Упр. 5.

    8
     9
    7

    Покажите, что определители следующих матриц равны 0.







    5 2
    8 3 7
    1 8 7
    1 7 2
     4 9 5 ;
     9 6 3 ;
     3 8 4 .
    4 3 ;
    6 1
    1 6 2
    2 5 4
    5 9 6

    Упр. 6.

    1
     5
    2

    Покажите, что определители следующих матриц равны 1.







    9 7
    2 4 5
    7 6 8
    6 5 9
     6 1 9 ;
     5 3 9 ;
     1 7 8 .
    8 6 ;
    3 2 4
    4 3
    3 7 8
    2 1 4


    1
    Упр. 7. Докажите, что det  4
    7


    2 3
    5 6  = 24;
    8 1



    1
    det  2
    3

    −1
    −2
    −3


    1
    2  = 0;
    3

    16


    0
     3
    det 
     2
    1

    1
    0
    3
    2

    2
    1
    0
    3


    3
    2 
     = −96;
    1 
    0



    1
     4
    det 
     3
    2

    2
    1
    4
    3

    3
    2
    1
    4


    4
    3 
     = −160.
    2 
    1

    Упр. 8. Найдите определители матриц




    1 2 3
    0 7 7
    B =  3 2 1 ;
    A =  4 5 6 ;
    7 8 1
    1 1 7
    Упр. 9. Найдите
    ¯
    ¯ 0 1 1
    ¯
    ¯ 1 0 1
    D = ¯¯
    ¯ 1 1 0
    ¯ 1 1 1

    определители
    ¯
    ¯
    ¯
    0 ¯¯
    ¯
    ¯
    ¯
    1 ¯
    ;
    E = ¯¯
    ¯
    1 ¯
    ¯
    ¯
    0 ¯

    1
    0
    0
    1

    1
    1
    0
    0

    0
    1
    1
    0

    0
    0
    1
    1



    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯;
    ¯
    ¯
    ¯

    Упр. 10. Найдите определители матриц



    16 3 2 13
    7 14 2
     5 10 11

     12
    8
    1 13



     9 6 7 12  ,
     9
    4 16
    4 15 14
    1
    6 15 3


    11
    8 
    ,
    5 
    10

    Упр. 11. Решите уравнения
    ¯
    ¯
    ¯ 1 x x2 ¯
    ¯
    ¯
    a) ¯¯ 1 1 1 ¯¯ = 0,
    ¯ 1 3 9 ¯
    ¯
    ¯ cos α sin α 1
    ¯
    d) ¯¯ − sin α cos α x
    ¯ cos α sin α x2

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯ = 0,
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯ 0
    ¯
    ¯ cos α
    ¯
    ¯ sin α

    Упр.
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯

    b)
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯ = 0,
    ¯
    ¯

    ¯
    ¯ 1
    ¯
    ¯ 1
    ¯
    ¯ 1

    3 9
    x 1
    1 x2

    12. Решите неравенства
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯ 1 2 3 ¯
    0 1 0 ¯¯
    ¯
    ¯
    ¯ 4 5 6 ¯ > 0,
    1 0 3 ¯¯ < 0,
    ¯
    ¯
    ¯ 7 8 x ¯
    0 0 x ¯

    e)


    0
    2 .
    1

    1 2
    C= 0 1
    2 0

    ¯
    ¯ 1
    1 −1
    ¯
    ¯ 1 −1 −1
    F = ¯¯
    1
    ¯ −1 −1
    ¯ −1
    1
    1


    8
     15

     2
    9

    c)

    ¯
    ¯ 1
    ¯
    ¯ 1
    ¯
    ¯ 4

    x2
    1 + cos α
    1 + sin α

    10
    6
    11
    7

    3
    1
    16
    14

    −1
    1
    1
    −1

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯.
    ¯
    ¯
    ¯


    13
    12 
    .
    5 
    4

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯ = 0,
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    1
    ¯
    − sin α ¯¯ = 0.
    cos α ¯
    x
    2
    5

    ¯
    ¯
    ¯ 1 x+2 2 ¯
    ¯
    ¯
    ¯ 2
    1
    1 ¯¯ > 0.
    ¯
    ¯ −x
    −3
    5 ¯

    x2
    3
    6

    17

    3.

    Системы линейных уpавнений

    Всякая система линейных уpавнений

    a11 x1 + a12 x2



    a21 x1 + a22 x2
    ...



    am1 x1 + am2 x2

    имеет вид
    + · · · + a1n xn
    + · · · + a2n xn
    ...
    + · · · + amn xn

    = b1 ,
    = b2 ,
    ...
    = bm ,

    где m, n – натуpальные числа (m – количество уpавнений, n – количество неизвестных), aij – коэффициенты пpи неизвестных, котоpые пpедполагаются заpанее
    заданными; bi – также апpиоpи заданные постоянные, называемые свободными
    членами.
    Матpицей системы называется следующая матpица (пpямоугольная таблица
    чисел), составленная из коэффициентов системы


    a11 a12 . . . a1n
     a21 a22 . . . a2n 

    A = 
     ... ... ... ...  .
    am1 am2 . . . amn
    Расшиpенной матpицей системы называется матpица системы, к котоpой спpава
    пpиписан столбец свободных членов. Обычно его отделяют от матpицы системы
    веpтикальной чеpтой.


    a11 a12 . . . a1n b1
     a21 a22 . . . a2n b2 
    .
    Ã = 
     ...
    ... ...
    ... ... 
    am1 am2 . . . amn bm
    Решением системы называется такой набоp постоянных c1 , c2 , . . . , cn , что пpи
    подстановке вместо пеpеменных xi значений ci каждое из pавенств системы
    обpатится в тождество.
    Системы линейных уpавнений классифициpуются по числу pешений следующим обpазом:

    совместная система – система линейных уpавнений, имеющая хотя бы одно
    pешение;
    несовместная (пpотивоpечивая) система – система, не имеющая ни одного
    pешения;
    опpеделенная система – система, имеющая единственное pешение;
    неопpеделенная система – система, имеющая более одного pешения.
    Существуют два основных способа pешения линейных систем: метод Гаусса
    и, если m = n (то есть матpица системы квадpатная), метод (или пpавило)
    Кpамеpа.

    18
    Метод Гаусса решения линейных систем
    Для pешения системы не обязательно «таскать за собой» полную запись
    системы — достаточно pаботать с pасшиpенной матpицей. Пpи этом с ней можно
    пpоизводить опеpации, котоpые называются элементаpными пpеобpазованиями.
    К таковым относятся следующие действия со стpоками pасшиpенной матpицы:
    • пеpемена мест стpок;
    • умножение одной из стpок на число, отличное от нуля;
    • пpибавление к одной из стpок линейной комбинации нескольких дpугих.
    Отметим, что возможно пpоизводить опеpации и со столбцами pасшиpенной
    матpицы, но без этих пpеобpазований всегда можно обойтись, хотя они иногда
    и упpощают вид системы. Hеудобство, связанное с такими опеpациями, состоит в том, что пpи этом пpиходится «вести пpотокол», чтобы затем пpавильно
    интеpпpетиpовать ответ. Hапpимеp, пеpемена мест столбцов означает соответствующее изменение нумеpации пеpеменных и после получения ответа ее надо
    восстановить.
    Если в процессе преобразований появляется нулевая строчка, то мы ее вычеркиваем, уменьшая количество строк на единицу.
    При элементарных преобразованиях может получиться матрица, у которой
    есть строчка, все элементы которой слева от черты равны нулю, а справа стоит
    ненулевое число. В этом случае мы отмечаем, что система несовместна (противоречива), то есть не имеет решения. То же самое происходит, если совпадают
    две строчки за исключением свободных членов, которые различны. Например,
    несовместной является следующая система:


    1 2
     4 5
    7 8

    3
    6
    9


    1
    2 
    4




    1
     3
    3

    2
    3
    3

    3
    3
    3


    1
    1 .
    2

    Желательной целью цепочки элементаpных пpеобpазований является пpиведение pасшиpенной матpицы к такому виду, что на месте основной матpицы
    системы стоит единичная матpица, то есть единичная матpица стоит слева от
    черты в расширенной матрице. В этом случае процедура закончена и система является определенной, то есть имеет одно решение (один набор значений
    переменных). Этот набор переменных указан столбцом свободных членов.
    Пример 1. Рассмотрим систему

    y
     x +
    x − 2y

    x

    + z
    + 3z
    − z

    =
    =
    =

    2,
    4,
    0.

    (1)

    19
    Выпишем расширенную матрицу системы и сделаем пару элементарных преобразований:




    1
    1
    1 2
    0
    1
    2 2
     1 −2
    3 4  ∼  0 −2
    4 4 .
    1
    0 −1 0
    1
    0 −1 0
    Мы из первой и второй строк вычли третью. После этого все элементы второй
    строки разделим на 2 и полученную строку сложим с первой, записав сумму на
    место пеpвой строки:




    0
    1
    2 2
    0
    0
    4 4
     0 −2
    4 4  ∼  0 −1
    2 2 .
    1
    0 −1 0
    1
    0 −1 0
    В получившейся матрице все элементы пеpвой строки сократим на 4, элементы
    втоpой стpоки умножим на −1 и затем поменяем пеpвую и тpетью строки местами, чтобы получилась треугольная матрица, то есть матрица, у которой все
    элементы ниже главной диагонали равны 0:




    0
    0
    4 4
    1 0 −1
    0
     0 −1
    2 2  ∼  0 1 −2 −2  .
    1
    0 −1 0
    0 0
    1
    1
    Наконец, мы приводим

    1
     0
    0

    матрицу к диагональному виду и выписываем ответ:



    0 0 1
    x=1
     y = 0 .
    1 0 0 
    =⇒
    0 1 1
    z=1

    Таким обpазом, мы нашли некотоpое pешение. Это означает, что система
    совместна.
    Hайденное pешение оказалось единственным. Это означает, что система опpеделенна.
    Если к единичной матрице левую часть не удается привести, но в то же
    время система не является противоречивой, то в этом случае система является
    совместной, но неопределенной, то есть имеет бесконечное множество решений.
    В этом случае одной или нескольким переменным можно придать произвольные значения. Эти значения обычно не фиксируются, условно обозначаются
    буквами, например, a, b, . . . и называются параметрами. Остальные переменные
    однозначно выражаются через эти параметры.
    Пример 2. Рассмотрим систему

    x2
     x1 +
    x1 − 2x2

    3x1

    + x3
    + 3x3
    + 5x3

    =
    =
    =

    2,
    4,
    8.

    20
    Выпишем расширенную матрицу системы и сделаем естественные преобразования:




    1
    1 1 2
    1
    1 1 2
     1 −2 3 4  ∼  1 −2 3 4  .
    3
    0 5 8
    0
    0 0 0
    Мы из третьей строки вычли вторую и удвоенную первую. После этого вычеркнем нулевую строку и из второй строки вычтем первую. Затем выделим
    единичную матрицу коэффициентов перед x1 и x2 :

    µ

    µ

    µ
    1
    1 1 2
    1 1
    1
    2
    1 0
    5/3
    8/3


    .
    0 −3 2 2
    0 1 −2/3 −2/3
    0 1 −2/3 −2/3
    ⇒ x3 = a, x1 =

    2a − 2
    8 − 5a
    , x2 =
    .
    3
    3

    Таким обpазом, система имеет pешение, то есть она совместна. Hайденное
    pешение оказалось неединственным. Это означает, что система является неопpеделенной. Если ставится задача найти какое-нибудь решение, то мы можем положить a, равным, например, 1 и тогда x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1.
    Пpавило Кpамеpа
    Пpавило Кpамеpа используется для pешения линейных систем в случае, когда число уpавнений совпадает с числом неизвестных, то есть m = n.

    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,



    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ,
    ...
    ...
    ...



    an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn ,
    Обозначим чеpез 4 опpеделитель матpицы системы

    a11 a12 . . . a1n
     a21 a22 . . . a2n
    4 = det 
     ... ... ... ...
    an1 an2 . . . ann



    .


    Пpедполагается, что опpеделитель системы не pавен нулю (в пpотивном случае
    система является либо неопpеделенной, либо несовместной). Обозначим чеpез
    4k опpеделитель системы, котоpая получается из основной путем замены k-го
    столбца на столбец свободных членов.

    Фоpмулы Кpамеpа:

    xk =

    4k
    ,
    4

    k = 1, 2, . . . , n .

    21

    Задачи для самостоятельного pешения
    Упр. 1.

    1
     5
    2

    8
     5
    9

    Решите системы

    9 7 −1
    8 6
    3 ;
    4 3
    1

    7 3 2
    4 2 1 ;
    1 6 2

    с помощью пpавила Кpамеpа.




    2 4 5
    3
    7 6 8
    5
     6 1 9 14  ;
     5 3 9 −1  ;
    3 7 8
    2 1 4 −1
    4




    5 8 9
    6
    1 5 6 0
     3 4 6
     7 4 2 9 .
    5 ;
    2 7 1 −4
    3 8 9 2

    Упр. 2. Решите следующие системы обоими методами.

    a)

    5 −4
     1
    1

     3 −2
    0
    1


    9
     1

     0
    1

    c)

    7
    1
    1
    −1

    −3
    1
    1
    2
    −5
    1
    −7
    1

    −2
    1
    0
    3
    −3
    0
    4
    −1


    0
    2 
    ,
    2 
    0

    −6
    1 
    ,
    −4 
    2



    7 −6
     1
    1

     3
    2
    0
    3

    b)


    d)

    11
    8
     −1 −1

     0 −1
    1 −2

    5
    1
    1
    2

    −4
    1
    0
    1


    −8
    2 
    ,
    4 
    2

    5
    1
    7
    −3

    2
    −1
    −5
    4


    4
    0 
    .
    1 
    −2

    Упр. 3. Выясните, является ли система совместной, и, если она совместна,
    то найдите какое-либо ее решение.



    x +2y
    −z = 1
    −3x +y +2z = 0
    a)

    x +4y +3z = 2

    x +2y −z −w = 1



    x −y −z +w = 2
    c)
    2x −y −z +w = 3



    3x +2y −z −w = 4



    b)

    x +2y
    2x −y

    x +3y


    5x +2y



    x −y
    d)
     2x −y


    3x +2y

    −z
    −z
    −z
    −z

    −z
    −z
    −z
    −w
    +w
    +w
    −w

    = 3,
    = 2,
    = 4.
    = 0,
    = 2,
    = 3,
    = −2.

    Упр. 4. Решите системы:

    x



    2x
    3x



    4x


    +
    +
    +

    2y
    y
    2y
    3y

    +

    +
    +

    3z
    3z
    3z
    2z

    −u =
    +u =
    −2u =
    −3u =

    2,
    −1,
    2,
    4.






    x
    2x
    −3x



    4x

    + 2y
    − 3y
    + 4y

    y



    +


    3z
    4z
    z
    2z

    −4u =
    +u =
    −2u =
    −3u =

    0,
    −8,
    0,
    6.

    22

    4.

    Конечные суммы

    Достаточно часто в математике приходится иметь дело с суммами, содержащими большое количество слагаемых. При этом иногда затруднительно, а
    иногда и невозможно указать явно все слагаемые исследуемой суммы, и поэтому обычно используются два способа записи сумм. В первом случае — в форме
    записи с использованием многоточия — указываются несколько первых слагаемых суммы, определяющие закономерность, по которой могут быть вычислены
    остальные слагаемые. После этого ставится многоточие и выписывается последнее слагаемое. Например,
    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 1 + 2 + 3 + . . . + 10,
    1−

    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    + − + − + − + −
    = − + − ... − .
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    1
    2
    3
    10

    Если явно указана формула для каждого слагаемого в зависимости от его номера, то говорят, что задан общий член суммы. При этом удобно использовать
    P
    компактную форму записи суммы с использованием знака суммирования

    этом случае используется переменная, которой обозначается номер слагаемого.
    Она называется индексом суммирования. Чаще всего для обозначения индекса суммирования используются буквы k, i, j, но могут употребляться и любые
    другие. Снизу от знака суммирования указывается, с какого номера начинается
    суммирование, а сверху — каким номером оно заканчивается. Например,
    1 + 2 + 3 + . . . + 10 =

    10
    X
    k=1

    20

    k,

    X (−1)k+1
    1
    1
    1
    1
    − + − ... −
    =
    .
    1
    2
    3
    20
    k
    k=1

    Иногда число слагаемых не фиксировано и является переменной величиной.
    Переменной величиной может быть и начало отсчета, и конец. Например,
    k+n
    n
    X (−1)j−k
    X
    (−1)i
    (−1)n
    1
    1
    1

    +
    + ... +
    =
    =
    .
    2k
    2(k + 1)
    2(k + 2)
    2(k + n)
    2j
    2(k + i)
    i=0
    j=k

    Упр. 1. Запишите с использованием многоточия и в компактной форме следующие суммы:
    a) a1 b7 + a2 b6 + a3 b5 + a4 b4 + a5 b3 + a6 b2 + a7 b1 + a8 b0 ;
    b) 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5 + 7x6 ;
    c) c0 + c1 z + c2 z 2 + c3 z 3 + c4 z 4 + c5 z 5 .
    Упр. 2. Запишите в компактной форме суммы:
    1
    1
    1
    1
    1
    +
    +
    +
    +
    ;
    1
    1·2
    1·2·3
    1·2·3·4
    1·2·3·4·5
    n n
    2
    (−1) x
    x
    x
    b) 1 − +
    − ... +
    ;
    1
    2
    n
    2
    3
    z
    z
    z
    zk
    c) 1 + +
    +
    + ... + .
    1
    1·2
    1·2·3
    k!

    a) 1 +

    23
    Выпишем несколько простых свойств операции суммирования. Отметим, что
    здесь a, b, C — постоянные, то есть числа, не зависящие от индекса суммирования.
    n
    X

    I.
    III.

    V.

    C = nC,

    j=1
    n
    X

    n
    X

    j=1

    j=1

    (xj + yj ) =

    n
    X

    xj =

    j=k

    VII.

    k
    X
    j=1

    n
    X

    xi =

    n
    X

    xj +

    n
    X

    yj ,

    j=1
    n
    X

    IV.

    n−k
    X

    xj =

    xj+k ,

    j=k+1

    xj ,

    j=1

    (axj + byj ) = a

    n
    X

    VI.

    xj ,

    n
    X

    VIII.

    xj =

    n−1
    X

    xj+1 =

    j=0

    xj + b

    2n−1
    X

    n
    X

    yj ,

    j=1

    xj−n+1 ,

    j=n

    xj yn−j =

    j=0

    j=1

    n
    X
    j=1

    j=1

    n
    X

    n
    X

    Cxj = C

    j=1

    j=1

    j=0

    i=k

    xj +

    n
    X

    II.

    n
    X

    xn−j yj .

    j=0

    Некоторые способы суммирования. Ниже мы рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся способов суммирования.
    Арифметическая прогрессия. Если a1 = a, a2 = a + d, a3 = a + 2d, . . . , an =
    a + (n − 1)d, то
    a1 + a2 + a3 + . . . + an =

    n
    X

    ak =

    k=1

    В частности, 1 + 2 + 3 + . . . + n =

    n
    X

    k =

    k=1

    1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 =

    n
    X

    (2k − 1) = 2

    k=1

    a1 + an
    n.
    2

    n(n + 1)
    ,
    2

    n
    X

    k−

    k=1

    n
    X

    1 = 2

    k=1

    n(n + 1)
    − n = n2 .
    2

    Геометрическая прогрессия. Если b1 = b, b2 = b q, b3 = b q 2 , . . . , bn = b q n−1 ,
    и q 6= 1, то
    n
    X
    1 − qn
    b1 + b2 + b3 + . . . + bn =
    bk = b
    .
    k=1

    В частности, если q 6= 1, то 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 =

    1−q

    n−1
    X

    qk =

    k=0

    1+

    1
    1
    1
    1
    + 2 + 3 + ... + 9 =
    2
    2
    2
    2

    9
    X
    k=0

    1 − qn
    ,
    1−q

    210 − 1
    1
    1023
    =
    =
    .
    k
    2
    29
    512

    Разложение на простейшие. Воспользуемся равенством

    1
    1
    1
    = −
    .
    x(x + 1)
    x x+1

    24
    1
    1
    1
    1
    1
    +
    +
    +
    + ... +
    =
    1·2
    2·3
    3·4
    4·5
    (n − 1) · n

    Тогда

    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    n−1
    − + − + − + − + ... +

    = 1− =
    .
    1
    2
    2
    3
    3
    4
    4
    5
    n−1
    n
    n
    n

    Дифференцирование сумм. Рассмотрим, например, сумму

    n
    X

    xk =

    k=0

    1 − xn+1
    .
    1−x

    Продифференцировав левую и правую части равенства, получим новое соотношение (при x 6= 1):
    n
    X

    kxk−1 =

    k=1

    n−1
    X

    µ
    (k + 1)xk =

    k=0

    1 − xn+1
    1−x

    Например, 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 =

    ¶0
    =

    nxn+1 − (n + 1)xn + 1
    .
    (1 − x)2

    5x6 − 6x5 + 1
    .
    (x − 1)2

    Задачи для самостоятельного pешения
    Упр. 3. Запишите в явном виде суммы
    6
    5
    X
    X
    a)
    ak−2 b6−k ,
    b)
    x6−j y j ,
    d)

    k=2
    −1
    X

    ak b−k ,

    e)

    j=1
    3
    X

    2−j 3j ,

    Упр. 4. Найдите суммы
    99
    5
    X
    X
    1
    a)
    k,
    b)
    ,
    j
    d)

    (2k − 1),

    e)

    k=1

    g)

    3
    X
    k=1

    k!,

    f)

    j=−3

    k=−4

    k=0
    200
    X

    c)

    h)

    j=1
    4
    X
    j=1
    3
    X
    j=1

    2

    n
    X

    Cni f (i) g (n−i) ,

    i=n−4
    4
    X

    C4i f (4−i) g (i) .

    i=0

    c)

    (−1)j
    ,
    3j

    f)

    1
    ,
    j!

    i)

    5
    X

    i,

    i=−5
    5
    X
    i=0
    5
    X
    i=0

    C5i ;

    C5i 25−i .

    25

    5.

    Ряды

    Рядом называется сумма с бесконечным количеством слагаемых. Чтобы понять, что это означает, нам потребуется предельный переход, а пока будем рассматривать ряд чисто символически, воспринимая запись ряда

    X

    ak

    =

    a1 + a2 + a3 + . . .

    k=1

    формально. Формальными будут и действия с рядами, например:



    X
    X
    X
    сложение рядов
    ak +
    bk =
    (ak + bk );
    k=1

    X

    вычитание рядов

    ak −

    k=1

    X

    умножение на число

    c

    k=1

    k=1

    X

    bk =

    k=1

    X

    ak =

    k=1

    X

    (ak − bk );

    k=1

    cak .

    k=1

    Заметим, что в записи ряда
    P∞суммирование может начинаться с любого наначиналось с
    турального числа, например k=5 ak . Иногда удобно, чтобы оно P

    нуля.
    Однако
    заканчиваться
    оно
    должно
    всегда
    символом
    ∞.
    Ряд
    k=N +1 ak =
    P∞
    P∞
    a
    будем
    называть
    также
    остатком
    ряда
    a
    и
    обозначать
    A
    =
    N
    +j
    k
    j=1
    k=1
    через RN (A).

    X

    ak

    k=1

    =

    |

    a1 + a2 + . . . + aN + aN +1 + aN +2 + . . . .
    {z
    } |
    {z
    }
    частичная сумма SN

    P∞

    остаток ряда RN

    Для произвольного ряда k=1 ak = a1 + a2 + a3 + . . . его общим членом
    (ak ) называется формула, определяющая
    Pn каждое слагаемое в зависимости от
    его номера. Конечная сумма Sn = k=1 ak = a1 + a2 + . . . + an называет∞
    ся частичной суммой ряда. Если последовательность частичных сумм {Sn }n=1
    сходится, то ряд называется сходящимся, а предел частичных сумм называется
    суммой ряда. В противном случае ряд называют расходящимся. Для любого
    номера N верно, что ряд A сходится тогда и только тогда, когда сходится его
    остаток RN (A).
    Пример 1. Найти частичные суммы и выяснить, сходится ли ряд F =
    где fk =


    X

    fk ,

    k=1

    2k + 1
    .
    k2 (k + 1)2

    Решение. Представим общий член ряда в виде суммы более простых дробей:
    1
    1
    . Тогда ряд примет вид
    fk = 2 −
    2
    k

    (k + 1)


    X
    k=1

    µ

    1
    1

    k2
    (k + 1)2



    ³
    =

    1
    1
    − 2
    12
    2

    ´

    ³
    +

    1
    1
    − 2
    22
    3

    ´

    ³
    +

    1
    1
    − 2
    32
    4

    ´
    + ....

    26
    Частичные суммы ряда равны
    Sn =

    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    − 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 −
    =1−
    .
    12
    2
    2
    3
    3
    4
    n
    (n + 1)2
    (n + 1)2

    Таким образом, Sn → 1 при n → ∞. Ряд сходится, и его сумма равна 1.
    Упр. 1. Найдите частичные суммы и выясните, сходится ли ряд Bq =
    где bk =


    X

    bk ,

    k=1

    1
    1

    .
    kq
    (k + 1)q

    Упр. 2. Найдите частичные суммы и выясните, сходятся ли ряды


    X
    X
    a)
    1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ...,
    b)
    (−1)n+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . ,
    k=1

    c)


    X
    1
    k=0

    1
    1
    1
    = 1 + + 2 + 3 + ...,
    3k
    3
    3
    3

    d)

    k=1

    X
    k=1

    1
    1
    1
    1
    =
    +
    +
    + ... .
    k(k + 2)
    1·3
    2·4
    3·5

    В дальнейшем в основном нас будет интересовать вопрос о сходимости рядов.
    Сделаем сначала три замечания.
    Замечание 1. Изменение любого конечного числа первых членов ряда не меняет сходимость ряда. В частности, суммирование в записи ряда можно начать с
    любого номера. (Однако, разумеется, сумма ряда при этом может измениться).
    Замечание 2. Если среди членов ряда встречаются нули, то их можно убрать,
    изменив соответствующим образом нумерацию оставшихся членов ряда. Это не
    изменит ни сходимость ряда, ни его сумму, хотя, формально говоря, ряд будет
    другим.
    Замечание 3. Формальные действия с рядами, описанные выше, сохраняют
    сходимость, а именно: сумма и разность сходящихся рядов будут сходящимися
    рядами. Умножение или деление на число, не равное нулю, сохраняет сходимость.
    Теоремы, утверждения, относящиеся к вопросу о сходимости рядов, называются критериями или признаками сходимости.
    P∞
    Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд
    k=1 ak сходится, то
    его общий член ak стремится к нулю.
    Доказательство. Запишем равенство ak = Sk − Sk−1 . Поскольку Sk → S и
    Sk−1 → S при k → ∞, то правая часть стремится к нулю при k → ∞. Следовательно, стремится к нулю и левая часть. Доказательство закончено.
    Покажем на примере, чтоP
    выполнение условия ak → 0 при k → ∞ не доста∞
    точно для сходимости ряда
    k=1 ak . Рассмотрим так называемый гармонический ряд

    X
    1
    1
    1
    1
    = 1 + + + ... + + ... .
    H1 =
    k=1

    k

    2

    3

    k

    Теорема о расходимости гармонического ряда. Ряд H1 расходится.

    27
    Доказательство. Проведем доказательство «от противного». Предположим,
    что ряд сходится, сумма его равна S и, следовательно, Sn → S при n → ∞.
    Поскольку также S2n → S, получаем, что S2n − Sn → 0 при n → ∞. С другой
    стороны,
    S2n − Sn =

    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    +
    + ... +

    +
    + ...
    =n·
    = .
    n+1
    n+2
    2n
    2n
    2n
    2n
    2n
    2

    Получили противоречие, которое доказывает утверждение.
    Ряды с неотрицательными членами
    P∞
    Ряд A = k=1 ak называется знакоположительным или просто положительным,
    если ak > 0 для любого k. Мы будем писать при этом, что A Â 0 или 0 ≺ A.
    Если ak ≥ 0 для любого k, то ряд называется знаконеотрицательным или
    просто неотрицательным. Мы будем писать при этом, что A < 0 или 0 4 A.
    Частичные суммы неотрицательного ряда монотонно возрастают, и, следовательно, такой ряд сходится тогда и только тогда, когда они ограничены.
    P∞
    P∞
    Рассмотрим два ряда c неотрицательными членами A = k=1 ak и B = k=1 bk .
    Говорят, что ряд A мажорируется рядом B или что ряд B мажорирует ряд A, если начиная с некоторого номера выполняются неравенства ak ≤ bk . Если эти
    неравенства выполняются для всех номеров k, то мы будем говорить, что ряд
    B полностью мажорирует ряд A.
    Говорят также, что ряд B является мажорантой ряда A, и пишут A 4 B.
    Признак сравнения рядов. Пусть 0 4 A 4 B. Тогда если ряд B сходится,
    то сходится и ряд A. Если расходится ряд A, то расходится и ряд B.
    Доказательство. Оба утверждения немедленно следуют из того, что частичные суммы соответствующего остатка ряда A не превосходят частичные суммы
    остатка ряда B, а сходимость обоих рядов эквивалентна ограниченности их частичных сумм. Доказательство на этом закончено.
    Пример 2. Ряд A =


    X
    k=1



    X
    1
    1 X1
    1
    расходится, так как A Â
    =
    при
    2k − 1
    2k
    2
    k
    k=1

    k=1

    k > 1. Таким образом, рассматриваемый ряд мажорирует гармонический ряд
    и, следовательно, расходится.
    Говорят, что ряды A и B эквивалентны, и пишут A ∼ B, если эквивалентны
    их общие члены, то есть ak ∼ bk при k → ∞. Напомним, что ak ∼ bk , если
    a
    lim k → 1 при k → ∞.
    bk

    Теорема об эквивалентных рядах (2-ой признак сравнения). Пусть
    A, B Â 0, A ∼ B. Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
    Это означает, что если ряд B сходится, то сходится и ряд A. Если сходится
    ряд A, то сходится и ряд B.
    Доказательство. Поскольку ak ∼ bk при k → ∞, то существует такой номер
    N, что при k ≥ N выполнено неравенство ak ≤ 2bk . Следовательно, частичные

    28
    суммы остатка ряда A не превосходят удвоенных частичных сумм ряда B и
    если последние ограничены, то ограничены и частичные суммы первого ряда.
    Поменяв местами ряды, получим и второе утверждение. Теорема доказана.
    Пример 3. Ряд


    X
    k=1

    Пример 4. Ряд

    k=1


    1X 1

    2



    k=1


    X

    k

    <


    1X1

    2

    k=1

    k




    X
    X
    1
    1
    1
    1X1
    расходится, так как

    =
    .
    2k + 3
    2k + 3
    2k
    2
    k
    k=1

    k=1

    k=1



    X
    X
    1
    1
    1


    √ =
    расходится, так как

    2 k+3
    2 k+3
    2 k
    k=1

    k=1

    .

    Нам в дальнейшем для сравнения понадобится специальный ряд

    X
    1
    1
    1
    1
    =
    +
    +
    + · · · — ряд обратных произведений.
    k(k + 1)

    k=1

    1·2

    2·3

    3·4

    Теорема о сходимости ряда обратных произведений. Ряд обратных
    произведений сходится.
    Доказательство. Использовав разложение дроби на простейшие, описанное в
    предыдущей главе, получим, что частичные суммы ряда обратных произведе1
    ний равны Sn = 1 −
    . Таким образом, Sn → 1 при n → ∞ и, следовательно,
    n+1
    ряд сходится. Теорема доказана.
    Перейдем к исследованию на сходимость следующего ряда.

    X
    1
    1
    1
    1
    H2 =
    = 2 + 2 + 2 + ··· —
    ряд обратных квадратов.
    2
    k=1

    k

    1

    2

    3

    Теорема о сходимости ряда обратных квадратов. Ряд H2 сходится.
    Доказательство. Воспользуемся теоремой об эквивалентных рядах. Имеем,



    X
    X
    X
    1
    1
    1
    что

    .
    Выше
    мы
    установили,
    что
    ряд
    сходится,
    2
    k=1

    k

    k=1

    k(k + 1)

    k=1

    k(k + 1)

    следовательно, сходится и ряд H2 .
    Гармонический ряд и ряд обратных квадратов являются частными случаями ряда, который играет важную роль как «модельный» при использовании
    признаков сравнения.

    X
    1
    1
    1
    1
    Hγ =
    = γ + γ + γ + · · · — обобщенный гармонический ряд.
    γ
    k=1

    k

    1

    2

    3

    Теорема о сходимости обобщенного гармонического ряда. Ряд Hγ сходится при γ > 1 и расходится при γ ≤ 1.
    Доказательство. Пусть γ > 1. Положим q = γ − 1 и рассмотрим ряд Bq =
    P∞
    1
    1
    . Он сходится, поскольку его частичные суммы
    k=1 bk , где bk = q −
    q
    k

    (k + 1)

    29
    равны Sn = 1 −
    bk =

    1
    → 1 при n → ∞. С другой стороны,
    (n + 1)q

    (k + 1)q − kq
    (1 + 1/k)q − 1
    q
    1
    1
    =

    ∼ q 1+q = q γ .
    kq (k + 1)q
    (k + 1)q
    k(k + 1)q
    k
    k

    Таким образом, ряд Hγ эквивалентен ряду

    1
    Bq и, следовательно, сходится.
    q

    Если γ ≤ 1, то ряд Hγ мажорирует гармонический ряд H1 , что доказывает
    его расходимость. Теорема доказана.
    Упр. 3. Выясните, сходятся ли ряды


    X
    X
    k+1
    k2 + 1
    a)
    ,
    b)
    ,
    2
    2
    k
    k=1
    ∞ √
    X
    k+1
    d)
    ,
    k2

    e)

    k=1

    k=1

    X
    k=1

    k

    k+1

    ,
    k k2 + 1

    c)
    f)


    X
    k=1

    X
    k=1

    ln

    k+1
    ,
    k2
    k
    .
    k2 + 1

    ln √

    P∞
    Признак Даламбера в прямой форме. Пусть A = k=1 ak  0, причем
    существует число λ < 1 такое, что начиная с некоторого номера N выполняa
    ется неравенство k+1 ≤ λ. Тогда ряд A сходится. Если начиная с некоторого
    ak

    номера выполняется неравенство

    ak+1
    ≥ 1, то ряд расходится.
    ak

    Доказательство. Поскольку сходимость ряда равносильна сходимости любого
    P∞его остатка, достаточно рассмотреть частичные суммы остатка 2RN (A) =
    j=1 aN +j . Обозначим aN +1 = b, тогда aN +2 ≤ b λ, aN +3 ≤ b λ , aN +4 ≤
    b λ3 , . . . . Таким образом, ряд RN (A) мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией b, bλ, bλ2 , . . . , которая сходится. Следовательно, сходится и сам ряд. Для доказательства второй части теоремы заметим, что если
    ak+1
    ≥ 1, то ak+1 ≥ ak и, следовательно, общий член ряда не стремится к
    ak

    нулю. Таким образом, не выполняется необходимое условие сходимости и ряд
    расходится. Теорема доказана.
    Перед тем как сформулировать следующую теорему, сделаем одно техническое замечание, или скорее напоминание.
    Лемма о границах. Пусть a, b — некоторые числа, a < b. Предположим,
    что последовательность xk сходится, limk→∞ xk = `, причем a < ` < b. Тогда
    существует номер N такой, что если k > N, то a < xk < b.
    Доказательство. Напомним, что в соответствии с определением предела последовательности для любого ε > 0 существует N такой, что если k > N, то
    |xk − `| < ε. Возьмем в качестве ε минимум из двух расстояний: ` − a и b − `. Если утверждение теоремы нарушается и, например, xk ≥ b, то xk − ` ≥ b − ` ≥ ε.
    Получаем противоречие, которое доказывает лемму.
    P∞
    Признак Даламбера в предельной форме. Пусть A =
    k=1 ak  0,
    ak+1
    причем существует предел
    при k → ∞, равный `. Тогда, если ` < 1, то
    ak

    ряд сходится. Если ` > 1, то ряд расходится.

    30
    Доказательство. Если ` < 1, то возьмем в качестве b любое число, удовлетворяющее неравенствам ` < b < 1. В соответствии с леммой о границах, начиная с
    a
    некоторого номера k+1 < b, то есть выполняются условия признака Даламбера
    ak

    в прямой форме. Следовательно, ряд сходится. Если ` > 1, то возьмем a = 1.
    Опять воспользуемся леммой о границах и признаком Даламбера. Следовательно, ряд расходится. Теорема доказана.
    Два аналогичных признака мы дадим без доказательства.
    P∞
    Признак Коши в прямой форме. Пусть A = k=1 ak  0, причем существует число λ < 1 такое, что начиная с некоторого номера N выполняется

    неравенство n ak ≤ λ. Тогда ряд A сходится. Если начиная с некоторого но√
    мера выполняется неравенство n ak ≥ 1, то ряд расходится.
    P∞
    Признак Коши в предельной форме. Пусть A =
    k=1 ak  0, причем

    существует предел k ak при k → ∞, равный `. Тогда, если ` < 1, то ряд
    сходится. Если ` > 1, то ряд расходится.
    Упр. 4. Исследуйте на сходимость ряды



    X
    X
    X
    k!
    k2 − 1
    2k
    a)
    ,
    b)
    ,
    c)
    ,
    2
    k=1

    d)

    k

    ∞ √
    X
    k
    k=1

    2k

    ,

    e)

    k=1

    X
    k=1

    k!

    k!

    k

    2
    ,
    (k + 2)k

    f)

    k=1
    ∞ ³
    X
    k=1

    1+

    1
    k

    ´k

    .

    Знакопеременные ряды
    P∞
    Ряд C = k=1 ck = c1 + c2 + c3 + . . . называется знакопеременным,P
    если знак его

    общего члена ck может меняться. Таким является, например, ряд k=1 2−k sin k.
    Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если
    ряд из
    Pсходится

    абсолютных величин его членов, то есть сходится ряд |C| = k=1 |ck | = |c1 | +
    |c2 | + |c3 | + . . . . Если сам ряд сходится, но ряд из абсолютных величин его
    членов расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.
    Теорема об абсолютной сходимости. Если ряд абсолютно сходится, то
    он сходится.
    P∞
    ck абсолютно сходится.
    Доказательство. Предположим, что ряд C =
    k=1
    P∞
    Наряду с ним рассмотрим вспомогательный ряд D = k=1 dk , где dk = ck + |ck |.
    Понятно, что 0 4 D 4 2|C|. Поскольку ряд |C| по предположению сходится,
    то, в соответствии с признаком сравнения, сходится и ряд D. Следовательно,
    сходится и ряд C = D − |C|. Теорема доказана.
    Важный подкласс класса знакопеременных рядов образуют знакочередующиеся ряды, то есть такие ряды, у членов которых знаки чередуются. Чередование
    знаков удобнее всего оформлять, используя «переключатель» (−1)k — число,
    равное 1 при четном k и −1 при нечетном. Соответственно (−1)k+1 равно 1 при
    нечетном k и −1 при четном.
    P∞
    Признак Лейбница. Рассматривается ряд A = k=1 (−1)k+1 ak = a1 − a2 +
    a3 − a4 + . . . , где ak > 0. Если выполняются условия

    31
    1) a1 > a2 > a3 > . . . , 2) limk→∞ ak = 0, то ряд сходится.
    Доказательство. «Четные» частичные суммы S2n имеют вид (a1 − a2 ) + (a3 −
    a4 )+. . .+(a2n−1 −a2n ) и монотонно возрастают, так как каждая скобка в записи
    суммы положительна. Покажем, что они ограничены. Для этого запишем ту же
    сумму в другом виде: S2n = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − . . . − (a2n−2 − a2n−1 ) −
    a2n . Таким образом, S2n < a1 и последовательность четных частичных сумм
    сходится, поскольку монотонна и ограничена. Поскольку S2n+1 = S2n + a2n+1
    и a2n+1 → 0, то и последовательность «нечетных» сумм сходится к тому же
    пределу. Теорема доказана.
    Отметим, что ряды, для которых выполняются условия признака Лейбница,
    называются рядами лейбницевского типа. Наиболее известный среди них

    X
    (−1)k+1
    1
    1
    1
    ряд Лейбница:
    = 1 − + − + ....
    k=1

    k

    2

    3

    4

    Упр. 5. Исследуйте на абсолютную и условную сходимости ряды.

    X
    (−1)k
    ,
    ln k

    k=2


    X



    (−1)k ( k + 1 − k),

    k=1


    X
    k=1

    (−1)k
    ,
    k + sin k


    X
    sin k
    √ .
    k k
    k=1

    Степенные ряды
    Степенным мы называем ряд вида
    C=


    X

    ck (x − x0 )k = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + c3 (x − x0 )3 + . . . ,

    k=0

    где c0 , c1 , c2 , . . . — числовая последовательность, x0 — некоторое число, x —
    переменная. Все переменные и параметры ряда могут принимать и комплексные
    значения. Однако в нашем курсе мы ограничимся лишь вещественным случаем.
    При x = x0 ряд сходится. Обозначим через D множество всех вещественных
    x, при которых сходится ряд, и через f = f (x) сумму этого ряда, которая будет
    зависеть от x. Мы говорим, что P
    функция f (x) на множестве D представляется

    в виде ряда C, и пишем f (x) = k=0 ck (x − x0 )k . Говорят также, что функция
    f (x) раскладывается в ряд в точке x0 или в окрестности точки x0 . Наиболее важным P
    для нас является разложение в точке x0 = 0. В этом случае ряд имеет

    k
    вид
    k=0 ck x . Следующую теорему, основную в теории степенных рядов, мы
    дадим без доказательства.
    Теорема
    Абеля об области сходимости степенного ряда. Для ряда
    P∞
    k
    k=0 ck (x − x0 ) одно и только одно из следующих утверждений является
    истинным.
    1) Ряд сходится при всех x.
    2) Ряд расходится при всех x за исключением x = x0 .
    3) Существует положительное число R такое, что ряд сходится при
    всех x таких, что |x−x0 | < R и расходится при всех x таких, что |x−x0 | > R.

    32
    Если существует предел отношения

    |ck |
    , то он равен R, то есть
    |ck+1 |

    ¯
    ¯
    ¯ ck ¯
    ¯
    ¯.
    R = lim ¯
    k→∞ ck+1 ¯

    Число R при этом называют радиусом сходимости ряда, а интервал I = (x0 −
    R, x0 + R) — интервалом сходимости. В случае, если ряд сходится при любом
    x, говорят, что его радиус сходимости равен ∞, а интервал сходимости — вся
    вещественная прямая. В случае, если ряд расходится при любом x 6= x0 , говорят,
    что его радиус сходимости равен 0, а интервал сходимости — пустое множество.
    На границе интервала сходимости (то есть в точках x1 = x0 −R, x2 = x0 +R)
    ряд может сходиться или расходиться. Выяснять этот вопрос следует непосредственной подстановкой. Множество D, на котором ряд сходится, называется
    областью сходимости.

    ³ ´k
    X
    1
    x
    Пример 5. Найти радиус и область сходимости ряда
    .
    k=1

    k+1

    3

    Решение. По теореме Абеля
    R = lim

    k→∞

    (k + 2) 3k+1
    k+2
    k+2
    = lim
    · 3 = 3 lim
    = 3 ⇒ I = (−3, 3).
    3k
    (k + 1)
    k→∞ k + 1
    k→∞ k + 1

    Для того, чтобы определить область сходимости, подставим поочередно концевые значения:
    a) x = 3. Ряд расходится, так как является гармоническим.
    b) x = −3. Ряд является рядом Лейбница и, следовательно, сходится.
    Таким образом, D = [−3, 3). Задача решена.
    Если функция f (x) определяется как сумма степенного ряда на области сходимости, то говорят, что f (x) представляется в виде ряда, или что f (x) раскладывается в степенной ряд. Следующие разложения являются основными и их
    следует запомнить.
    1
    =
    1−x

    1 + x + x2 + x3 + . . . =

    ex =

    1+x+

    sin x =
    cos x =
    ln(1 + x) =

    x−
    1−
    x−


    X
    k=0

    X

    x2
    x3
    +
    + ... =
    2!
    3!

    k=0

    xk ,

    −1 < x < 1,

    xk
    ,
    k!

    R = 1;
    R = ∞;


    X
    x3
    x5
    x2k+1
    +
    − ... =
    ,
    (−1)k
    3!
    5!
    (2k + 1)!

    R = ∞;

    x2
    x4
    +
    − ... =
    2!
    4!

    R = ∞;

    x3
    x2
    +
    − ... =
    2
    3

    k=0

    X

    k=0

    X
    k=1

    (−1)k

    x2k
    ,
    (2k)!

    (−1)k+1 xk
    ,
    k

    −1 < x ≤ 1, R = 1.

    На стр. 35-36 помещена иллюстрация к этим разложениям.

    33
    Пример 6. Разложить в степенной ряд функции и написать первые пять
    членов этого ряда.
    1
    ,
    2−x

    f1 (x) =

    f2 (x) =

    Решение.

    sin x
    x

    f3 (x) = e3x .

    µ

    ³ ´2 ³ ´3
    x
    x
    x
    1 x x2 x3 x4
    1+ +
    +
    + . . . = + + + + +. . . .

    1
    1 1
    1
    =
    =
    2−x
    21− x
    2

    2

    2

    2

    2

    4

    8

    16

    32

    µ 2 3

    1
    x
    x5
    x7
    x9
    x2
    x4
    x6
    x8
    sin x
    =
    x−
    +

    +
    − ... = 1 −
    +

    +
    − ... .
    x

    x

    3!

    e2x = 1 + 2x +

    5!

    7!

    2

    9!

    3

    3!

    5!

    7!

    4

    9!

    3

    (2x)
    (2x)
    (2x)
    4x
    2x4
    +
    +
    + . . . = 1 + 2x + 2x2 +
    +
    + ... .
    2!
    3!
    4!
    3
    3

    Задачи для самостоятельного pешения
    Упр. 6. Напишите первые три — четыре члена ряда и исследуйте на сходимость.

    X
    3k

    k!

    k=1


    X
    k!

    ,

    ,
    k

    k=1

    4


    X
    k


    X

    ,
    k

    k=1

    2

    k=1


    X

    2
    ,
    k(k + 1)

    k=2

    k
    .
    (k − 1)(k + 1)

    Упр. 7. Напишите общий член ряда и исследуйте на сходимость.
    1
    3

    1
    9

    1+ + +

    1
    1
    + +. . . ,
    27 81

    1
    2

    1
    6

    1
    1
    +
    +. . . ,
    24 120

    1+ + +

    1 2 3
    4
    5
    6
    + + + + + +. . . .
    2 4 8 16 32 64

    Упр. 8. Исследуйте на сходимость.

    X
    2k − 1
    k=2

    k3 − 1


    X

    ,

    k=1

    1
    p
    ,
    k(k + 2)

    ∞ ³
    ´k
    X
    k
    k=1

    k+1


    X
    1

    ,

    k=1

    kk

    ,


    X

    1
    .
    k + cos k

    k=1

    Упр. 9. Исследуйте на сходимость и найдите сумму, если она существует.

    X


    X

    2
    ,
    k(k + 2)

    k=1


    k=1

    1
    √ ,
    k+2+ k


    X
    k=2


    X

    1
    ,
    k2 − 1

    k=1

    1
    √ .
    2k

    Упр. 10. Исследуйте на сходимость и абсолютную сходимость ряды.



    X
    X
    X
    (−1)k
    (−1)k
    (−1)k 2k
    ,
    ,
    ,
    a)
    b)
    c)
    2
    k

    k=1

    d)
    g)


    X
    sin k

    2k

    k=1
    ∞ ³
    X
    k=1

    ,

    1−

    e)
    1
    k

    ´k 2

    ,

    h)

    k=1

    X
    k=1

    X
    k=1

    2k − 1
    k

    (−1)
    √ ,
    k

    f)

    2k cos k
    ,
    kk

    i)

    k=1
    ∞ ³
    X

    k!

    1+

    k=1

    X
    k=1

    1
    k

    ´k

    ,

    k−1
    sin k.
    k3

    34
    Упр. 11. Укажите радиус сходимости и область сходимости следующих степенных рядов.



    X
    X
    X
    (−1)k xk
    (−1)k xk
    (2x)k
    a)
    ,
    b)
    ,
    c)
    ,
    2
    k

    k=1

    d)


    X
    x2k

    2k

    k=0

    g)

    ∞ ³
    X
    k=1

    ,

    1
    1−
    k

    e)
    ´k 2

    k

    h)

    x ,

    k=0

    X
    k=0

    X
    k=1

    k!
    k

    x
    ,
    2k + 1

    f)

    k=0
    ∞ ³
    X

    k!

    1+

    k=1

    (−1)k xk
    ,
    kk

    i)


    X
    k xk
    k=0

    k2 + 1

    1
    k

    ´k

    xk ,

    .

    Упр. 12. Найдите область сходимости степенного ряда.



    X
    X
    X
    xk
    2k xk
    2k xk ,
    ,
    ,
    k=0

    X
    k=1

    k

    x
    ,
    +1

    k2

    k=1

    X
    k=1

    k

    k+1 k

    (−1)
    x
    ,
    2k − 1

    k=0

    X
    k=1

    k!

    (−1)k+1 3k xk
    .
    k2

    Упр. 13. Разложите в степенной ряд функции и напишите первые пять членов этого ряда.
    f1 (x) = x2 cos x,
    f4 (x) =

    1
    ,
    1 + x2

    f2 (x) = ln(1 − x),
    f5 (x) = e−x ,

    2
    ,
    2−x
    sin x
    f6 (x) =
    .
    x

    f3 (x) =

    Упр. 14. Напишите первые три — четыре члена ряда.
    f1 (x) = ex cos x,
    f4 (x) =

    ex
    ,
    1+x

    1
    ,
    1 − x2

    f2 (x) = x ln(1 + 2x),

    f3 (x) =

    f5 (x) = xe3x ,

    f6 (x) = sin2 x.

    35
    f (x) = sin x
    y

    h(x) = ln(1 + x)
    y

    6

    x



    P3 (x) = x −
    y

    x3
    3!

    H2 (x) = x −
    y

    x



    y

    x3
    x5
    +
    3!
    5!

    3!

    y

    x

    +

    x5
    5!

    x7



    7!

    x



    6

    x3

    x2
    2

    6

    H3 (x) = x −



    P7 (x) = x −

    x



    6

    P5 (x) = x −

    6

    6



    H5 (x) = x −

    x2
    x3
    +
    2
    3

    x

    x2
    x3
    x4
    x5
    +

    +
    2
    3
    4
    5

    36
    f (x) =
    y

    1
    1−x

    g(x) = ex
    y

    6



    x

    P2 (x) = 1 + x + x2
    y

    Q2 (x) = 1 + x +
    y

    x

    P4 (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4

    y

    6

    Q3 (x) = 1 + x +

    y

    x

    P6 (x) = 1 + x + x2 + . . . + x6

    x2
    2!

    x



    6



    x



    6



    6

    6



    Q5 (x) = 1 + x +

    x2
    x3
    +
    2!
    3!

    x

    x2 x3 x4 x5
    +
    +
    +
    2!
    3!
    4!
    5!