• Название:

    Dops!

  • Размер: 0.7 Мб
  • Формат: PDF
  • или

    Методичнi рекомендацiї
    до самостiйної роботи з
    математичного аналiзу
    для студентiв фiзичного
    факультету.

    24 вересня 2009 р.

    Методичнi рекомендацiї мiстять задачi з математичного аналiзу,
    що пропонувались протягом кiлькох рокiв студентам фiзичного факультету
    КНУ для самостiйної роботи. Метою посiбника є поглиблення знань з
    математичного аналiзу, розвиток творчих здiбностей студентiв шляхом
    розширення їх самостiйної роботи.
    Ряд задач, що увiйшли до посiбника взято з вiдомих пiдручникiв
    та збiрникiв задач [1, 2], однак багато задач є оригiнальними.
    Кожна задача оцiнена певною кiлькiстю балiв, в залежностi вiд
    рiвня складностi. Значна частина завдань має пiдвищений рiвень складностi,
    однак для їх розв’язання достатньо теоретичних знань отриманих на
    лекцiях або з стандартних унiверситетських пiдручникiв з математичного
    аналiзу [4, 5]
    Завдання роздiлено на чотири модулi, якi студенти виконують i
    сдають паралельно до вивчення вiдповiдного теоретичного матерiалу.
    Кожен модуль має бути оформлений i складений у вiдповiдний термiн
    (див. Табл.)
    I
    II
    III
    IV

    Метод математичної iндукцiї, границя, похiдна.
    Iнтеграл.
    Частиннi похiднi. Кратнi та криволiнiйнi iнтеграли.
    Ряди. Iнтеграли з параметром.

    I семестр, до 15 листопада
    I семестр, до 15 грудня
    II семестр, до 15 травня
    III семестр, до 15 грудня

    Методичнi рекомендацiї до самостiйної роботи з математичного
    аналiзу для студентiв фiзичного факультету
    Укладачi: О.В. Барабаш, О.I.Якименко – К. 2007.
    Рецензенти:
    канд. фiз.-мат. наук, доц. Н.В. Майко,
    канд. фiз.-мат. наук, доц. М.А. Разумова

    Київський унiверситет iменi Тараса Шевченка, 2007.

    Роздiл 1

    1.1

    Метод математичної iндукцiї, границя,
    похiдна.

    1. За допомогою метода математичної iндукцiї довести твердження
    ( n ∈ N ):
    N
    X
    k+1
    1) 2n n! < nn , n > 5 ; [1]
    2)
    Cnk = CN
    +1 ; [3]
    n=k

    10n+1 − 9n − 10
    , лiва частина
    3) 3 + 33 + 333 + ... + 33...3 =
    27
    рiвностi
    n доданкiв; [2]
    q мiстить
    p

    2 + 2 + ... + 2 = 2 cos(π/2n+1 ) , лiва частина рiвностi
    4)
    мiстить n коренiв; [1]
    Z 2π
    (2n − 1)!!
    5)
    (cos x)2n dx = 2π
    ; [3]
    (2n)!!
    0
    p
    6) n − n дiлиться на p , якщо p ∈ N — просте число. [3]
    2. Знайдiть значення:


    n µ
    n µ
    Y
    Y
    1
    4
    1)
    1 − 2 , [3]
    2)
    ,
    1−
    k
    (2k − 1)2
    k=2
    k=2
    n
    X
    3)
    k · (k + 1) · (k + 2) . [5]
    k=1

    3. Обчислити суми:
    3

    [3]

    1)
    3)
    5)
    8)

    n
    X
    k=1
    n
    X
    k=1

    X
    k=1
    n
    X

    1
    ; [1]
    (3k − 2)(3k + 1)
    (−1)k−1 k 2 ; [3]
    1
    1
    ; [2]
    2
    k (k + 1)2
    k n−k
    CN
    CM ;

    [6]

    k=0

    6)


    X

    1
    ; [2]
    k(k + 1)(k + 2)
    k=1
    n
    n
    X
    X
    3
    4)
    k ,
    (−1)k−1 k 3 ; [6]
    2)

    n
    X

    k=1

    Cnk ;

    k=1

    [1] 7)

    k=0

    n
    X
    Cnk
    9)
    . [6]
    k+1

    n
    X

    (−1)k Cnk ; [1]

    k=0

    k=0

    4. Обчислити суми ( a, b ∈ R ):
    1)

    n
    X

    sin kx ; [3]

    2)

    k=1

    X


    X

    ak cos(kx + b) , |a| < 1 ; [4]

    k=1



    X
    sin ak
    cos ak X sin ak
    ,
    ; [5] 4)
    ; [4]
    3)
    (−1)k−1
    k
    k
    k
    k=1
    k=1
    k=1


    X
    X
    cos kx
    cos ak
    5)
    (−1)k 2
    ; [6] 6)
    . [3]
    k −1
    k!
    k=2

    k=0

    5. Обчислити суму:
    Sn =

    n−1
    X
    j=1

    1
    ,
    1 − zj

    [6]

    де zj коренi рiвняння z n = 1 , вiдмiннi вiд одиницi.
    6. Порахувати добуток
    (x21 + 1) · . . . · (x2n + 1),

    [5]

    де xi — коренi полiнома xn + a1 xn−1 + . . . + an , якщо всi xi —
    дiйснi.
    7. Знайти границi послiдовностi xn при n→ ∞ :
    1 Вказiвка:


    X
    1
    π2
    =
    2
    k
    6
    k=1

    ¯ n
    ¯
    √ ¯¯
    1 ¯¯X
    k
    1) xn = √ ¯
    (−1) k ¯ ; [7]
    ¯

    k=1

    n
    3n
    Y
    n
    2) xn =
    sin(k/n3/2 ). [10]
    n!
    k=1

    8. Довести, що послiдовнiсть xn має границю та знайти її.
    s
    r
    q

    1) xn = a + a + a + ... a, (n коренiв), a > 0 ; [4]
    n

    2) xn =

    X
    1
    kk! . [4]
    (n + 1)!
    k=1

    9. Довести, що послiдовнiсть xn

    1
    1
    1
    xn = 1 + √ + √ + . . . + √ − 2 n + 1
    n
    2
    3

    [6]

    монотонна та обмежена.
    10. Знайти границi:
    1)

    lim

    n→∞

    2n
    X
    k=0
    p
    n

    3) lim

    n→∞

    2−k cos

    p

    k/n;

    (4)

    2) lim

    (n + 1)(n + 2) . . . (n + n)
    .
    n

    n→∞

    2n
    X

    2−kn/(n+k) ;

    [4]

    k=0

    [10]

    11. Довести, що послiдовнiсть xn має границю та знайти її.
    v
    s
    u
    r
    u
    q

    t
    xn = 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + ... (n − 1) 1 + n . [15]
    12. Знайти границi:
    1) lim sin(2πen!),
    lim n sin(2πen!); [7]
    n→∞
    n→∞

    2) lim q n sin2 [π( 2 + 1)n ] , q > 0. [10]
    n→∞

    13. Визначити, при яких значеннях x1 та q послiдовнiсть xn має
    скiнченну границю та знайти її :

    x4n + 3
    x2 + 1
    ; [10] 2) xn+1 = n
    ;
    4xn
    2xn
    2
    = 1 + qxn , q 6= 0. [15]

    1) xn+1 =
    3) xn+1

    [7]

    14. Довести, що послiдовнiсть xn обмежена для всiх x1 , x2 > 0 ,
    якщо
    xn+2 = xn+1 + xn /2n . [7]
    15. Довести, що всi члени послiдовностi xn , заданої рiвнянням
    xn+1 =

    k + x2n
    ,
    xn−1

    x0 = x1 = 1,

    [15]

    приймають цiлi значення при будь-якому натуральному k .
    16. Дослiдити на неперервнiсть та побудувати графiк функцiї:
    1) f (x) = lim (x − 1)arctgxn ; [1]
    n→∞ √
    2) f (x) = lim n 1 + xn , (x ≥ 0); [1]
    n→∞

    ln(t/x)
    , (x > 0).
    t→x t − x

    3) f (x) = lim

    [1]

    17. Наведiть приклад функцiї, яка є розривною в кожнiй точцi, а її
    квадрат — функцiя неперервна. [3]
    18. Покажiть, що з диференцiйовностi функцiї в точцi x випливає i
    неперервнiсть функцiї в цiй точцi. Чи вiрне обернене твердження?
    Наведiть приклад. [2]
    19. Доведiть, що функцiя f (x) = x2 sin(1/x2 ) , f (0) = 0 є диференцiйовною
    на всiй числовiй осi. Чи є ця функцiя двiчi диференцiйовною?
    [3]
    20. Функцiєю Дiрiхле χ(x) називається функцiя, яка дорiвнює одиницi
    в кожнiй рацiональнiй точцi (включаючи i точку x = 0) i обертається
    в нуль в кожнiй iррацiональнiй точцi. Дослiдити на неперервнiсть
    функцiї χ(x) , xχ(x) та x2 χ(x) . Чи iснують точки в яких цi
    функцiї диференцiйовнi? [5]
    21. Розглянемо функцiю
    ½
    0 , якщо x — iррацiональна
    f (x) =
    ,
    1/q , якщо |x| = p/q

    f (0) = 1

    де p та q — цiлi додатнi числа, що не мають спiльних дiльникiв
    крiм одиницi. Покажiть, що функцiя f (x) — неперервна в кожнiй
    iррацiональнiй точцi i розривна в кожнiй рацiональнiй. Чи є ця
    функцiя перiодичною? Чи iснують точки, в яких ця функцiя
    диференцiйовна? [10]
    22. Будемо називати функцiю f (x) двiчi диференцiйовною в точцi
    x0 , якщо в цiй точцi iснує скiнченна границя
    f 00 (x0 ) = lim

    ∆x→0

    f (x0 + ∆x) − 2f (x0 ) + f (x0 − ∆x)
    .
    (∆x)2

    (∗)

    Покажiть, що:
    1) кожна функцiя f (x) , яка є двiчi диференцiйовною в точцi
    x0 в звичайному розумiннi (як похiдна вiд похiдної) буде двiчi
    диференцiйовною i в сенсi означення (*) i значення цих похiдних
    спiвпадають;
    2) iснують такi функцiї f (x) , якi є двiчi диференцiйовними в
    сенсi (*), але не є один раз диференцiйовними. Наведiть приклад
    функцiї, яка є неперервною в точцi x = 0 i для якої f 0 (0) — не
    iснує, але f 00 (0) = C 6= 0. [15]
    23. Першою рiзницею 4ϕ функцiї ϕ(x) з кроком h назвемо функцiю
    4ϕ = ϕ(x + h) − ϕ(x) . Друга рiзниця 42 ϕ визначається як
    4(4ϕ) = ϕ(x+2h)−2ϕ(x+h)+ϕ(x) . Аналогiчно визначається n та рiзниця: 4n ϕ = 4(4n−1 ϕ) . Знайти загальний вигляд функцiї
    ϕ(x) , для якої 4n ϕ ≡ 0 . [10]
    24. Обчислити, використовуючи визначнi границi:
    xn − 1
    sin x
    ; [1] 2) lim 2
    ; [2]
    x→π π − x2
    x→1 xk − 1
    ctgx
    3) lim x sin(π/x); (1) 4) lim (ln(e + x))
    ; [5]
    x→+∞
    x→0
    µ x
    ¶1/x2
    x
    a
    xe + 1
    aa − ax
    5) lim
    ;
    [6]
    6)
    lim
    , a > 0. [5]
    x→a ax − xa
    x→0 xπ x + 1
    1) lim

    25. Довести:
    ¯
    ¯
    ¯
    d ¯¯
    dx ¯¯
    ¯

    f11
    ...
    fi1
    ...
    fn1

    f12
    ...
    fi2
    ...
    fn2

    ... f1n
    ... ...
    ... fin
    ... ...
    ... fnn

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    n
    ¯ X¯
    ¯=
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯ i=1 ¯
    ¯
    ¯

    f11
    ...
    0
    fi1
    ...
    fn1

    f12
    ...
    0
    fi2
    ...
    fn2

    ... f1n
    ... ...
    0
    ... fin
    ... ...
    ... fnn

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯,
    ¯
    ¯
    ¯

    [2]

    де fij (x) – диференцiйовнi функцiї. За допомогою доведеної
    формули обчислити ∆0 (x) , де
    ¯
    ¯ x
    ¯
    ∆(x) = ¯ x2
    ¯ x3

    1
    2x
    3x2

    0
    2
    6x

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯ . [1]
    ¯

    26. Знайти кути пiд якими графiк функцiї y = f (x) перетинає вiсь
    абсцис:
    3at2
    3at
    , y= 3
    , −1 < t < 1; [2]
    1) y = ln x; [1] 2) x = 3
    t +1
    t +1
    2
    2
    3) x + y + 2y − 9 = 0, y > −1. [2]
    27. Записати рiвняння нормалi до графiку функцiї y = f (x) у вказанiй
    точцi:
    1) y = arcctg(1/x), x = 1; [2] 2) y 2 = 2px, y ≥ 0, x = x0 ;


    3) x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t, x = 1/2, y = 1/2; [2]
    4) r = a(1 + cos ϕ), ϕ = π/6. [3]

    [2]

    28. Скiльки коренiв (i при яких a) має рiвняння ax = loga x , a > 0 ,
    a 6= 1? [7]
    29. Визначити в яких точках i пiд яким кутом перетинаються графiки
    функцiй:


    1) f1 (x) = 2 sin x, f2 (x) = 2 cos x; [2]
    2) x2 + y 2 = 5, y 2 = 4x; [2]
    3) f1 (x) = g(x), f2 (x) = g(x) sin x,
    де g(x) − всюди диференцiйована функцiя. [3]
    30. Знайти вiдстань мiж полюсом i довiльною дотичною до кривої
    r = aebϕ . [5]
    31. Знайти y (n) (x) для функцiй:
    1) y =

    1+x
    ; [3]
    1−x

    2) y = sin4 x + cos4 x; [4] 3) y = x ln

    1+x
    ; [5]
    1−x

    4) y = eax cos(bx + c); [4] 5) y = chax sin bx; [4] 6) y = xn−1 e1/x .[7]

    32. Обчислити Pn,m (1) , якщо:
    Pn,m (x) =

    dn
    (1 − xm )n , m > 0. [5]
    dxn

    33. За допомогою розкладу в ряд Маклорена обчислити границi:
    (1 + x)1/x − e
    ex − 1 − x
    ;
    [1]
    2)
    lim
    ; [3]
    x→0
    x→0
    x2
    x

    5
    arctgx − arcsinx
    1 + 2x − 1


    3) lim
    ;
    [3]
    4)
    lim
    ; [3]
    4
    x→0
    x→0
    x3
    1+x− 1−x

    tgx − sin x
    sin 1 + x3 − sin 1
    5) lim
    . [4]
    ; [2] 6) lim √
    5
    3
    x→0
    x→0
    x
    1 − 2x ln cos x − 1
    ¡π
    ¢
    cos 2 cos x
    tg2 x − tgx2
    ; [5] 8) lim
    7) lim arcsinx
    ; [3]
    x→0 sin(sin2 x)
    x→0 e
    − esin x − x3 /3
    1) lim

    34. Обчислити границi:
    1) lim x (1 − x ln(1 + 1/x)) ; [3] 2) lim x1/(x−1) ; [3]
    x→∞
    x→1
    ³
    ´
    p
    4
    3
    2
    1/x
    3) lim (x − x + 1 + x/2)e
    − x12 − x9 + 2 ; [5]
    x→+∞
    ³p
    ´
    p
    5
    5
    4) lim x
    x5 + x4 + x3 − x5 + x4 − x3 ; [4]
    x→∞
    µ

    x2 + 1 x2 + x + 1
    x2 + 1
    5) lim
    1−
    ln
    ; [5]
    x→∞
    x
    x
    x2 + 1
    35. Використовуючи правила Лопiталя знайти границi функцiй:
    xx − 1
    ln x
    ; [2] 2) lim
    ; [1] 3) lim (1/x)sin x ; [2]
    x→1 ln x
    x→+0 ln sin x
    x→+0
    ln(1 − cos x)
    xα lnβ x
    ; [1] 5) lim
    ; [2]
    4) lim
    x→+∞
    x→+0
    ln tgx
    eγx
    µ

    α
    β
    n −x3
    6) lim x e
    ; [1] 7) lim

    , α, β 6= 0. [4]
    x→+∞
    x→1 1 − xα
    1 − xβ
    1) lim

    36. Розкласти в ряд Маклорена функцiї:
    1)

    1
    1
    ; [1] 2) √
    ; [3]
    2
    1+x
    1 − x2

    3) ln(x +

    p

    x2 + 1); [3]

    x+1
    4) arctgx; [3] 5) arcsinx; [3] 6)
    ; [3] 7) sh(x/2); [1]
    x−2

    1 − 1 + x2
    x

    8) ex cos x , до o(x3 ); [3] 9)
    ; [3] 10)
    ; [3]
    2
    (1 + x3 )2
    1+ 1+x
    11) cos6 x + sin6 x; [3] 12) ex/ sin x , до o(x4 ); [3]

    13) ln(1 − x + x2 ); [4] 14) cos x, до o(x4 ); [3]
    15) (1 − 2x + 3x2 + 4x3 )3 ,

    до o(x5 ). [2]

    37. Знайти першi три ненульових члена розкладу в ряд Маклорена
    функцiї y(x) , заданої рiвнянням:
    Z

    x−x2

    y(x) = x +

    y(t) cos t dt.

    [7]

    0

    38. Розкласти в ряд Тейлора функцiю в околi точки x = x0 до
    o((x − x0 )k ) :
    1
    1) , x0 = 2, k = n; [1] 2) (x2 − 1)e2x , x0 = −1, k = n; [4]
    x
    3
    2
    1
    3) √
    , x0 = 1, k = 2n; [2] 4) 2x −3x +3x , x0 = 1, k = 3n; [2]
    2
    2x − x
    x2 + x
    cos πx, x0 = −1/2, k = 2n. [4]
    5)
    2x + 1
    39. Знайти f (k) (0), якщо:
    2

    1) f (x) = e−x , k = 1000 ; [2] 2) f (x) = cos(sin x), k = 2009 ; [2]
    ³
    ´
    cos(x2 )
    1
    3) f (x) = 1−x
    , k = 2010; [3]
    4 , k = 2000; [3] 4) f (x) = ln
    1+x4
    5) f (x) = ln(1 + x + x2 + · · · + x999 ), k = 1000 .

    [5]

    40. Довести рiвнiсть
    f (2n+1) (0) = 0 , n = 1, 2, . . .

    де

    f (x) = ln(1 + ex ). [5]

    41. Функцiя y(x) задана параметрично. Записати повний ряд Маклорена
    для цiєї функцiї, якщо:
    y(t) = 3t − t3 ,

    x(t) = 2t − t2 . [5]

    42. Розкласти функцiю f (x) в ряд за степенями 1/x до o((1/x)k ):
    Z

    π/2

    e−x sin t dt; x → +∞. [10]

    1) f (x) = arctgx; [4] 2) f (x) =
    0

    43. Наведiть приклад нескiнченно диференцiйовної функцiї f (x) ,
    для якої ряд Тейлора

    X
    f (n) (x0 )
    (x − x0 )n
    n!
    n=0

    — є збiжним ∀x ∈ Oε (x0 ), ε > 0 , (∗∗)

    але ряд (**) збiгається до функцiї, яка не спiвпадає з f (x) . [5]
    44. Числа Бернуллi Bn визначаються з розкладу

    X
    x
    Bn n
    =
    x .
    x
    e − 1 n=0 n!

    Довести, що для чисел Bn виконуються рiвностi:
    n−1
    X
    1) B0 = 1,
    Cnk Bk = 0, n ≥ 2; [4]
    k=0

    2) B2n+1 = 0, n = 1, 2, . . . ;

    B1 = −1/2. [5]

    45. Записати через числа Бернуллi Bn (дивись попередню задачу)
    повний розклад в ряд Маклорена функцiй:
    1)

    x
    ;
    sin x

    [4]

    2) ln

    sin x
    ;
    x

    [5]

    3) ln cos x.

    [10]

    46. Нехай функцiя f (x) така, що для неї iснують похiднi f 0 (x0 ) та
    f 00 (x0 ) в сенсi означення (*) (дивись задачу 22). Чи завжди буде
    справедливий формальний розклад функцiї в ряд Тейлора:
    f (x) = f (x0 )+f 0 (x0 )(x−x0 )+

    f 00 (x0 )(x − x0 )2
    +o(|x−x0 |2 ) ? [10]
    2

    47. Знайти найбiльше та найменше значення функцiї:
    1) y = x3 − 6x2 + 9, x ∈ [−1; 2]; [2]

    2) y =

    x4 + 1
    , x ∈ [−1; 1]; [3]
    x2 + 1

    3π 2
    + sin x, x ∈ [π; 2π]; [4]
    x
    4) y = (x − 3)2 e|x| , x ∈ [−1; 4]; [3]
    5) y = sin(x − π/3) − cos (x − 2sign(x)π/3), x ∈ [−π; π]. [4]
    3) y = 4x +

    48. Знайти iнтервали опуклостi i точки перегину функцiї:
    2
    2
    1
    1) y = 2x4 − 3x2 + x − 1; [1] 2) y = √ e−x /2σ , σ > 0; [1]
    σ 2π

    3) y = ecos x ; [2] 4) y = 3 1 − x3 ; [2] 5) y = e−2x sin2 x. [2]

    49. Довести нерiвностi:
    x3
    π
    1) ex ≥ ex, −∞ < x < +∞; [1] 2) tgx > x + , 0 < x < ; [4]
    3
    2



    3) arctgx ≤ x, x ≥ 0; [1] 4) n x − n y ≤ n x − y, x ≥ y ≥ 0; [3]
    5) xα − 1 ≤ α(x − 1), x > 0, 0 < α < 1. [1]
    50. Довести нерiвнiсть Юнга: якщо a, b > 0, p > 1 , 1/p + 1/q = 1 ,
    то
    a b
    a1/p b1/q ≤ + . [5]
    p q
    Знак рiвностi має мiсце лише при a = b.
    51. Довести нерiвнiсть Гьольдера: якщо xi , yi ≥ 0 , ( i = 1, n ),
    p > 1 , 1/p + 1/q = 1, то
    n
    X
    i=1

    Ã
    xi yi ≤

    n
    X
    i=1

    xpi

    !1/p à n
    X

    !1/q
    yiq

    .

    [7]

    i=1

    52. Довести, що якщо функцiя f (x) опукла вгору на вiдрiзку [a, b],
    то для будь-яких точок x1 , . . . , xn ∈ [a, b] виконується нерiвнiсть:
    µ

    f (x1 ) + . . . + f (xn )
    x1 + . . . + xn
    ≤f
    . [10]
    n
    n
    53. Вiдтворити вигляд алгебраїчного рiвняння
    x20 − 20x19 + . . . + 1 = 0 ,
    якщо вiдомо, що всi його коренi дiйснi i додатнi. [5]

    54. Побудувати графiк функцiї:
    p
    1) y = x 3 (x + 1)2 ; [3] 2) y = sin x−ln sin x; [3] 3) y = x2 e−x ; [2]
    1
    4) y = ecos x ; [1] 5) y = xx ; [2] 6) y = 2 ; [2] 7) y = th2 x; [4]
    ch
    x
    r
    µ
    ¶x
    3
    2
    1
    x − 2x
    8) y = 1 +
    ; [2] 9) y =
    ; [4] 10) y = x2 sin(1/x). [3]
    x
    x−3
    55. Побудувати графiк функцiї, заданої параметрично:
    1) x = 3t2 +2t3 , y = 5t3 −3t5 ; [6] 2) x = ln sin(t/2), y = ln sin t; [5]
    3) x = cos t+ln tg(t/2), y = sin t; [5] 4) x = 2 cos t, y = 2 cos 3t; [4]
    5) x = et cos t, y = et sin t. [3]
    56. Побудувати криву:
    1)
    3)
    5)
    7)

    x4 + y 4 = 1; [2] 2) (x − 1)(y 2 − x2 /3) = 4x2 /3; [5]
    x4 − y 4 = 4x2 y; [5] 4) (x + y)3 = xy; [4]
    (x2 − y 2 )(x − y) = 1; [4] 6) (x2 + y 2 )x = y; [3]
    x4 + y 4 = x2 + y 2 ; [3] 8) xy = y x . [7]

    57. Побудувати графiк функцiї в полярних координатах:
    1) r = atg(4ϕ/5); [6]

    2) r = a cos(5ϕ/6); [5]

    3) r = √

    1
    ; [3]
    sin 3ϕ

    4) r = a + b cos ϕ; [5] 5) r = −1 + 2/ cos ϕ; [2]
    6) r = 5 + 3 cos 4ϕ; [4] 7) r = a cos2 3ϕ. [3]
    58. Яку "фiгуру" описує рiвняння
    µ
    ·
    ¸¶2 µ
    ·
    ¸¶2
    x+1
    y+1
    x−2
    + y−2
    = 1 ? [3]
    2
    2
    Тут [x] — цiла частина числа x . А яка "фiгура" описується
    рiвнянням
    µ
    ·
    ¸¶2 µ
    ·
    ¸¶2
    x+1
    y+1
    x−
    + y−
    = 1 ? [3]
    2
    2
    I на кiнець "шедевр" нашої художньої творчостi. Зобразiть "фiгуру"
    ¸
    ·
    ¸¶2 µ
    ·
    ¸
    ·
    ¸¶2
    µ
    ·
    x+1
    x+2
    y+1
    y+2
    −2
    + y−
    −2
    = 1. [10]
    x−
    2
    4
    2
    4

    59. В чашку, що має форму пiвкулi радiусу R опустили однорiдний
    стержень довжиною l , де 2R < l ≤ 4R . Знайти положення
    рiвноваги стержня. [5]
    60. Посудина з вертикальною стiнкою висотою h, що наповнена
    водою, стоїть на горизонтальнiй площинi. Iз отвору в стiнцi посудини
    тече струмiнь. Визначити положення отвору, при якому вiдстань
    на яку буде бити струмiнь
    √ є найбiльшою, якщо швидкiсть рiдини,
    що витiкає дорiвнює 2gx , x — вiдстань вiд поверхнi води до
    отвору. [3]
    61. Точки A, B розташованi вiдповiдно у верхнiй i нижнiй напiвплощинах
    прямокутної системи xOy . Частинка рухається по ломанiй AM B ,
    де M — точка на вiсi Ox . Швидкiсть частинки у верхнi напiвплощинi
    v1 , а в нижнiй v2 . Довести, що час руху частинки буде мiнiмальним,
    v1
    α
    якщо sin
    sin β = v2 , де α, β — кути, що утворюються вiдрiзками
    AM та BM з нормаллю до вiсi Ox . [4]
    62. Знайти фiгуру найбiльшої площi, дiаметр якої дорiвнює одиницi
    (дiаметром опуклої фiгури називається найбiльша вiдстань мiж
    будь-якими двома її точками). [15]
    63. Нехай A0 , A1 , ..., An — вершини вписаного в коло опуклого багатокутника,
    при цьому вершини A0 i An фiксованi. Як вибрати точки A1 , ... , An−1 ,
    щоб периметр i площа багатокутника були найбiльшими (при
    заданому n)? [6]
    64. Точкове джерело свiтла, що знаходиться в точцi (0; b), b > 0 ,
    освiтлює область пiд графiком невiд’ємної, монотонної, опуклої
    вниз функцiї f (x) ∈ C 1 ([0; ∞)), f (0) > b . Променi свiтла вiдбиваються
    вiд графiку i вiд вiсi 0X по вiдомому закону. Чи буде освiтленою
    вся область, якщо f (x) → 0 при x → +∞. [20]
    65. Чорнильна паличка довжиною 1 може вiльно рухатись всерединi
    прямого кута, одночасно торкаючись обох його сторiн своїми
    кiнцями. Знайти рiвняння кривої, яка вiддiляє забарвлену чорнилами
    область вiд незабарвленої. [6]
    66. У 1803 роцi iталiйський математик Ферраре Мальфаттi сформулював
    таку задачу: як потрiбно вписати в даний трикутник три кола,
    що попарно не перетинаються, таким чином, щоб сумарна їх
    площа була найбiльшою? Мальфаттi вважав, що ця задача має
    такий розв’язок: три кола потрiбно розмiстити так, щоб кожне
    з них торкалося двох iнших та двох сторiн трикутника. Багато

    математикiв протягом полутораста рокiв намагалися довести гiпотезу
    Мальфаттi та отримати формулу для обрахунку радiусiв "мальфаттових
    кiл". I лише в 1929 роцi було знайдено простий контрприклад,
    що спростовує гiпотезу Мальфаттi. Який саме? (Цiкаво, що в
    1967 роцi вдалося довести, що кола Мальфаттi не є розв’язком
    поставленої задачi нi для якого трикутника.) [5]

    1.2

    Iнтеграл.

    67. Знайти iнтеграли:
    Z
    Z
    Z
    arctg(ex )
    dx; [2]
    1) earccosx dx; [3] 2) 3x cos xdx; [2] 3)
    chx
    Z
    Z


    dx
    4)
    ; [4] 5) ln( 1 + x + 1 − x) dx; [3]
    x
    2x
    3x
    1+e +e +e
    Z tgx
    Z
    2
    e + ctgx
    6)
    dx;
    [2]
    7)
    (x3 + x)e−x dx; [1]
    2
    cos x
    ¶2
    Z
    Z µ
    1
    2
    1−
    8) arctg
    dx; [1] 9)
    ex dx. [2]
    x−1
    x
    68. Знайти iнтеграли:
    ¶4
    Z µ
    Z
    x−1
    dx
    1)
    dx; [3]
    2)
    ; [4]
    x+1
    1 + x4
    Z
    Z
    xdx
    (5x − 14)dx
    3)
    ; [1]
    4)
    ; [3]
    2x2 − 3x − 2
    x3 − x2 − 4x + 4
    Z
    Z
    dx
    dx
    5)
    ; [5]
    6)
    ; [5]
    4
    3
    2
    11
    x (x + 1)
    x + 2x6 + x
    Z
    Z
    dx
    (1 − 4x5 )
    7)
    ;
    [3]
    8)
    dx . [5]
    (1 + x)2 (1 + x2 )
    (1 + x + x5 )2
    69. Знайти iнтеграли:
    Z √
    Z
    Z r
    x+4
    x8 dx
    x−1

    1)
    dx; [2] 2)
    ; [4] 3)
    x
    dx; [3]
    2−1
    x
    x+1
    x
    Z
    Z
    dx
    dx


    4)
    ; [7] 5)
    , [4]
    2
    2
    (x + 2) 2x − 2x + 5
    (x + 1) x2 + x + 1
    Z
    Z
    p
    dx

    6)
    ; [4] 7)
    x2 x2 + 4 dx. [3]
    (2x + 1)2 4x2 + 4x + 5

    70. При якiй умовi iнтеграл
    Z
    a1 x2 + b1 x + c1

    dx,
    ax2 + bx + c

    a 6= 0 [3]

    є алгебраїчною функцiєю?
    71. Отримати формулу зведення Абеля
    µ
    ¶n Z
    Z
    dx
    4
    (a − t2 )n−1 dt,
    2n+1 =
    4ac − b2
    (ax2 + bx + c) 2
    ³p
    ´0
    де t =
    ax2 + bx + c .
    72. Розглянемо функцiю
    ½
    0 , якщо x — iррацiональна
    f (x) =
    ,
    1/q , якщо |x| = p/q

    [4]

    f (0) = 1

    де p та q — натуральнi числа, що не мають спiльних дiльникiв
    крiм одиницi. Чи є ця функцiя iнтегрованою за Рiманом на вiдрiзку
    [a, b] ? [7]
    73. Знайти iнтеграли:
    Z r
    Z
    q

    dx

    1)
    1 + 1 + x dx; [4] 2)
    ; [4]
    4
    1 + x4
    Z p
    Z √ 2
    x + 3x + 2 − x
    3

    3)
    3x − x3 dx; [5]
    4)
    dx; [5]
    x2 + 3x + 2 + x
    Z
    Z
    dx
    (x + 1)dx

    p
    5)
    ; [5]
    6)
    ; [4]
    6
    6
    x x +1
    (x2 + x + 1)3
    Z
    Z
    dx
    (x2 + 1)dx


    7)
    ; [4]
    8)
    . [5]
    x7 x4 + 1
    (x2 − 1) x4 + 1
    74. Виразити наступнi iнтеграли через елементарнi функцiї i елiптичнi
    iнтеграли першого F (α, k) p
    i другого E(α, k) роду, де F (α, k) =
    R
    R
    √ dα
    ,
    E(α,
    k)
    =
    1 − k 2 sin2 α dα , k ∈ (0, 1) .
    2
    2
    1−k sin α

    Z
    dx
    x2 dx


    ; [5] 2)
    ; [5]
    1)
    4
    2
    2
    4
    36x − 13x + 1
    Z
    Z 1 − 2x − 8x
    dx
    dx


    3)
    ; [5] 4)
    . [7]
    2
    4
    1 + 29x + 100x
    1 + x3
    Z

    75. Знайти iнтеграли:
    Z
    Z
    sin x−a
    2
    1) sin x sin 2x sin 3x dx; [2] 2)
    dx; [2]
    sin x+a
    2
    Z
    Z
    cos x − sin x
    a1 cos x + b1 sin x
    3)
    dx; [2] 4)
    dx. [4]
    cos x + sin x
    a cos x + b sin x
    76. Знайти рекурентнi формули для iнтегралiв:
    Z
    Z
    dx
    n
    1) In = tg (x) dx; [2] 2) In =
    ; [4]
    (a sin x + b cos x)n
    ¶n
    Z
    Z µ
    sin x−a
    dx
    2
    dx. [6]
    3) In =
    ,
    |a|
    6
    =
    |c|;
    [6]
    4)
    I
    =
    n
    (a cos x + c)n
    sin x+a
    2
    77. При якiй умовi iнтеграл
    Z Ã

    n
    X
    ak
    xk

    !
    ex dx,

    [3]

    k=0

    де ak – постiйнi, є елементарною функцiєю?
    78. Довести тотожнiсть:
    Z

    1

    Z

    1

    x

    x ln x dx = −
    0

    xx dx. [2]

    0

    R
    79. Виразити через iнтегральний логарифм lix = lndxx , iнтеграл
    R
    2
    iмовiрностей Φ0 (x) = √12π e−x /2 dx , iнтегральний сiнус Six =
    R sin x
    x dx та елементарнi функцiї наступнi iнтеграли:
    Z x
    Z 100
    Z
    e
    x dx
    1)
    dx, x < 0; [1] 2)
    , [2] 3) li(x)dx; [2]
    x
    ln x
    Z
    Z
    Z
    2
    sin3 x
    4) xSi(x)dx; [2] 5)
    dx; [2] 6) x2 e−x dx; [2]
    x
    Z
    Z
    2
    x sin x − cos x
    −(2x +2x+1)
    7)
    e
    dx; [2] 8)
    dx ; [2]
    x2
    Z
    Z
    2
    2
    9) e−x −1/x dx; [4] 10) Φ0 (x)dx. [2]

    80. Знайти iнтеграли:
    Z 1
    1)
    (1 − x)m xn dx; [2]

    Z

    0

    Z

    a

    3)
    Z

    (a2 − x2 )n+1/2 dx; [3] 4)

    0
    Z 1

    0

    1

    (a2 − x2 )n dx; [3]
    xn (ln x)m dx; [2]

    0


    5)

    a

    2)

    dx
    . [10]
    x(x + 1) . . . (x + n)

    81. Довести формулу Фруланi:
    Z

    +∞
    0

    b
    f (ax) − f (bx)
    dx = f (0) ln ,
    x
    a
    Z

    дe a > 0, b > 0, f ∈ C[0, +∞) i


    a

    +∞

    [5]

    f (x)
    dx для ∀ a > 0.
    x

    За допомогою формули Фруланi обчислити iнтеграл:
    Z

    +∞
    0

    sin4 ax − sin4 bx
    dx,
    x

    a > 0, b > 0.

    [2]

    82. Знайти iнтеграли ( n ∈ N ):
    Z π
    Z π
    x sin x
    cos(2n + 1)x
    p
    1)
    dx; [7] 2)
    dx ; [5]
    2x
    1
    +
    cos
    0
    0
    cos4 x + sin4 x
    Z π
    Z π/2
    sin nx
    dx
    , a, b > 0; [4] 4)
    dx; [7]
    3)
    2 sin2 x + b2 cos2 x)2
    sin x
    (a
    0
    0
    Z π/2
    Z π/2
    5)
    cosn x cos nx dx; [5] 6)
    cosn x sin(n + 2)x dx. [6]
    0

    0

    83. Використовуючи метод диференцiювання по параметру, знайти
    iнтеграли: ( n ∈ N, a, b > 0, 0 < p, q < 1, α, β ∈ R )
    Z 1
    Z ∞
    dx
    n
    α−1
    1)
    x
    ln x dx , α > 0; [2] 2)
    ; [3]
    (1 + x2 )n+1
    0
    0
    Z ∞
    Z ∞ −ax
    dx
    e
    − e−bx
    ;
    [4]
    4)
    3)
    dx; [3]
    x
    (1 + x2 )n+1/2
    0
    0

    ¶2
    Z ∞µ −ax
    (eiαx − 1)(eiβx − 1)
    e
    − e−bx
    dx;
    [5]
    6)
    dx; [5]
    x2
    x
    −∞
    0
    Z ∞
    Z ∞
    Z ∞
    sin x −ax
    sin x
    x − sin x
    7)
    e
    dx,
    dx; [4] 8)
    dx; [7]
    x
    x
    x3
    0
    Z0 ∞ −x
    Z ∞ p−1 0 q−1
    e − cos x
    x
    −x
    9)
    dx; [5] 10)
    dx; [5]
    x
    (1
    +
    x) ln x
    0
    0
    Z ∞
    ln2 x

    dx. [7]
    11)
    x (1 + x)
    0
    Z



    5)

    84. Довести рiвностi:
    Z ∞
    xp−1
    1)
    dx = B(p, q); [3]
    (1 + x)p+q
    0
    Z π/2
    1
    2)
    cos2p−1 x sin2q−1 x dx = B(p, q). [3]
    2
    0
    85. Обчислити iнтеграли:
    Z 1
    Z π/2
    ln(1 − a2 x2 )

    1)
    dx, |a| ≤ 1; [6] 2)
    ln sin x dx; [5]
    x2 1 − x2
    0
    0

    Z +∞µ
    Z ∞
    x
    1 dx
    dx

    3)
    . [4]

    ; [15] 4)
    x − e−x
    2
    2
    e
    2
    x
    x − 1 (x2 − sin2 α)
    0
    1
    86. Знайти iнтеграл Пуасона:
    Z π
    ln(1 − 2α cos x + α2 ) dx. [7]
    0

    87. Довести, що якщо функцiя f (x) неперервна i додатня на вiдрiзку
    [0; 1], то:
    s µ ¶ µ ¶
    µZ 1

    ³n´
    1
    2
    n
    lim
    f
    f
    ...f
    = exp
    ln f (x)dx . [3]
    n→∞
    n
    n
    n
    0
    88. Який з iнтегралiв бiльший?
    Z π/2
    Z π/2
    sin x
    3 cos x
    1)
    dx або
    dx; [5]
    x
    1 + 2 cos x
    0
    0
    Z π/2
    Z π/2
    sin x
    3
    2)
    dx або
    dx. [5]
    x
    4 − cos x
    0
    0

    89. Довести, що якщо функцiя f (x) неперервна при x ≥ 0 та f (x) →
    a при x → +∞, то
    Z
    1 T
    lim
    f (t)dt = a. [3]
    T →+∞ T 0
    90. Довести, що:
    ¶2
    Z π/2 µ
    sin nx
    πn
    dx =
    , n ∈ N; [6]
    1)
    sin
    x
    2
    0
    Z π
    Z π/2
    2)
    xf (sin x) dx = π
    f (sin x) dx , [5]
    0

    0

    де функцiя f (x) — неперервна на вiдрiзку [0, 1].
    91. Обчислити iнтеграли ( a, b > 0 ):
    Z ∞
    Z ∞
    Z ∞ 2
    x dx
    x
    1)
    ;
    [7]
    2)
    ln
    thx
    dx;
    [7]
    3)
    2 dx; [7]
    x−1
    e
    ch
    x
    0
    0
    0
    Z +∞
    Z +∞
    −x2
    e
    ln x
    4)
    dx; [10] 5)
    dx, n ∈ N; [10]
    2 + 1/2)2
    (x
    (1
    +
    x2 )n
    0
    0
    Z 1
    Z +∞ −xa
    b
    x2
    e
    − e−x
    dx; [10] 7)
    dx; [10]
    6)
    2
    x
    0 (1 − x) ln (1 − x)
    0
    Z 1
    Z ∞
    Z +∞
    1 − cos x
    cos x
    sin2 x
    8)
    dx −
    dx; [10] 9)
    dx; [7]
    x
    x
    x2
    0
    1
    0
    Z +∞
    Z ∞
    2 2
    2
    2
    ln |1 − x2 |
    10)
    dx;
    [7]
    11)
    e−b x −a /x dx; [10]
    2
    x
    0
    0
    Z 1
    Z +∞
    Z 1
    ln x
    ln x
    −ax2
    dx,
    dx; [7]
    12)
    e
    cos bx dx; [10] 13)
    1

    x
    1
    +x
    0
    0
    0
    Z +∞
    Z +∞ 2
    sin2 x
    x − a2 sin x
    14)
    dx;
    [15]
    15)
    ·
    dx. [15]
    2
    1+x
    x2 + a2
    x
    0
    0
    Для обчислення деяких з цих iнтегралiв використовуються рiвностi

    Z ∞


    X
    1
    π 2 X (−1)k+1
    π2
    π
    −x2
    =
    ;
    =
    ;
    e
    dx
    =
    ;
    2
    2
    k
    6
    k
    12
    2
    0
    k=1

    Z
    0



    k=1

    e−x ln x dx = Γ0 (1) = −γ, де γ — постiйна Ейлера .

    Z



    92. Довести рiвнiсть:
    0

    xn dx
    = (1 − 2−n )
    ex + 1

    Z


    0

    xn dx
    , n ∈ N. [7]
    ex − 1

    93. Постiйною Каталанi G називається величина, яка визначається

    X
    (−1)n
    сумою G =
    . Виразити через постiйну Каталанi
    (2n + 1)2
    n=0
    наступнi iнтеграли:
    Z 1
    Z ∞
    Z π/2
    ln x
    x
    x
    1)
    dx; [3] 2)
    dx; [3] 3)
    dx; [4]
    2
    ch x
    sin x
    0 1+x
    0
    0
    Z π/4
    Z π/2
    x cos x dx
    4)
    x tg x dx; [5] 5)
    . [10]
    1 + sin x
    0
    0
    Z



    94. Обчислити iнтеграл

    esin x dx. [7]

    0

    Вказiвка: Функцiєю Макдональда нульового порядку називається функцiя
    I0 (x) , що задовольняє рiвнянню:
    I000 +

    1 0
    I0 − I0 = 0 ;
    x

    I0 (0) = 1, I00 (0) = 0.

    95. Знайти iнтеграл Лапласа
    Z
    I(x) =
    0



    cos xt
    dt.
    1 + t2

    Для цього:
    π
    1) показати, що lim I 0 (x) = − , lim I(x) = 0 . [6]
    x→+0
    2 x→∞
    2) функцiя I(x) задовольняє рiвнянню I 00 (x) = I(x) . [3]
    96. Обчислити iнтеграл:
    Z
    2

    +∞

    π(x)
    dx,
    x3 − x

    [5]

    де π(x) – кiлькiсть простих чисел, що не перевищують x .
    Вказiвка:



    X
    1 Y
    ·
    (1 − p−n
    i ) = 1 , де pi — простi числа ( p1 = 2 ).
    n
    k i=1
    k=1

    97. Обчислити iнтеграли з Γ- функцiєю:
    Z 1
    Z a+1
    1)
    ln Γ(x) dx; [5] 2)
    ln Γ(x) dx;
    0
    a
    Z 1
    3)
    sin(πx) ln Γ(x) dx. [5]

    [5]

    0

    98. За допомогою визначених iнтегралiв знайти:
    µ

    1
    π

    (n − 1)π
    1) lim
    sin + sin
    + ... + sin
    ; [2]
    n→∞ n
    n
    n
    n

    n
    n
    X
    2k/n
    n!
    ; [2] 3) lim
    ; [3]
    2) lim
    n→∞
    n→∞ n
    n + 1/k
    k=1

    4) lim

    n→∞

    2n
    X
    k=0

    k
    ; [2]
    k 2 + n2

    n
    1 Xp
    k(n − k) ; [2]
    n→∞ n2

    5) lim

    k=0

    n
    1 Xp
    6) lim 2
    (nx + k)(nx + k + 1) . [4]
    n→∞ n
    k=1

    99. Довести, що для будь-якого многочлена Qm (x) iнтеграл
    Z +1
    Qm (x)Pn (x)dx = 0, n > m ,
    −1

    де

    Pn (x) =

    1
    2n n!

    dn
    [(x2 − 1)n ] — полiноми Лежандра. [3]
    dxn

    100. Довести, що для полiномiв Лежандра (дивись попередню задачу)
    справедлива формула
    Z +1
    2
    Pn2 (x)dx =
    . [5]
    2n + 1
    −1
    101. Знайти площу фiгури, обмеженої кривими ( a > 0; b > 0; n ∈ Z ):
    1) y = ln(1 + x), x = 1, y = −xe−x ; [2] 2) x4 + y 4 = ax2 y; [5]
    3) x = a sin 2t, y = a sin t, [2] 4) x = at − t2 , y = at2 − t3 , [2]
    5) r = a sin 2ϕ, [3] 6) x = a(1 + 2 cos t), y = a(tgt + 2 sin t), [5]
    7) y = e−x | sin x|, y = 0, πn ≤ x ≤ π(n+1), [2] 8) r2 = 2a2 cos 2ϕ; [3]

    p
    p
    sin 3ϕ
    , r = a, r ≤ a; [4] 10) x/a + y/b = 1, x, y = 0, [4]
    sin ϕ
    a3
    , 2ay = x2 ; [3] 12) (x − a)2 (x2 + y 2 ) = 4a2 x2 . [5]
    11) y = 2
    a + x2

    9)r2= a2

    102. Знайти криву r = r(ϕ) , для якої площа сектора, що обмежена
    цiєю кривою i прямими ϕ = 0 , ϕ = α , обчислюється по формулi
    S = arn (α), n > 2 для будь-якого α ∈ (0; π) . [3]
    103. Знайти радiус кола з центром на початку координат, яке дiлить
    дугу астроїди x2/3 + y 2/3 = a2/3 , x ≥ 0, y ≥ 0 на три дуги
    однакової довжини. [5]
    104. Виразити довжину елiпса x2 /25 + y 2 /9 = 1 через елiптичну
    функцiю. [4]
    Rt
    Rt
    105. Знайти довжину дуги кривої x = 0 cos ϕ2 dϕ, y = 0 sin ϕ2 dϕ ,
    0 ≤ t ≤ t0 (клотоїда). [2]
    106. Нехай s(α) – довжина дуги логарифмiчної спiралi r = aekϕ ,
    k > 0 , α ≤ ϕ ≤ 0 . Обчислити lim s(α). [3]
    α→−∞

    107. Знайти об’єм бочки, висота якої дорiвнює h, дiаметр кожної з
    основ d, дiаметр середнього перерiзу D . Осьовi перерiзи бiчної
    поверхнi є параболами з вершинами на колi середнього перерiзу.
    [3]
    108. Знайти об’єм тiла, що утворюється при обертаннi навколо осi
    абсцис равлика Паскаля: [7]
    1) r = a cos ϕ + l, l < a (зовнiшня петля),
    2) r = a cos ϕ − l, l < a (внутрiшня петля),
    3) r = a cos ϕ + l, l ≥ a.
    109. Знайти площу елiпсоїда обертання (x2 + y 2 )/a2 + z 2 /b2 = 1 , 1)
    a > b (стиснутий елiпсоїд), 2) a < b (витягнутий елiпсоїд). [4]
    110. Циклоїда x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π , обертається
    навколо прямої y = ka , 0 ≤ k ≤ 2 .
    1) Знайти площу поверхнi тiла обертання що утворюється. [5]
    2) При якому значеннi k площа поверхнi буде мiнiмальною?
    Знайти цю найменшу площу. [2]

    111. Гладка крива i вiсь, що її не перетинає лежать в однiй площинi.
    Довести, що площа поверхнi тiла обертання, яке утворюється
    при обертаннi кривої навколо вiсi, дорiвнює добутку довжини
    дуги на довжину кола, що описує центр мас цiєї кривої (перша
    теорема Гульдина). [4]
    112. Довести, що об’єм тiла, яке утворюється при обертаннi плоскої
    фiгури навколо вiсi, що його не перетинає дорiвнює добутку
    площi цiєї фiгури на довжину кола, яке описує центр мас цiєї
    фiгури (друга теорема Гульдина). [4]
    113. Тор утворюється обертанням кола радiусу r навколо вiсi, що
    лежить у площинi кола на вiдстанi d вiд його центру, d > r .
    Використовуючи теореми Гульдина, знайти: 1) площу поверхнi
    тора, 2) об’єм тора. [2]
    114. Знайти центр мас пiвкола радiусу r , використовуючи теорему
    Гульдина. [2]
    115. Яку роботу треба виконати, щоб зупинити кулю радiусу R , що
    обертається навколо свого дiаметру iз кутовою швидкiстю ω ?
    Маса кулi m. [3]
    116. Яку роботу треба виконати, щоб насипати конiчну купку пiску
    висотою H i радiусом основи R ? Густина пiску ρ. [3]
    117. Швидкiсть розчинення солi у водi пропорцiйна кiлькостi нерозчиненої
    солi та рiзницi мiж концентрацiєю насиченого розчину i концентрацiєю
    розчину в даний момент. Масу m0 кг солi розчиняють у N л.
    води. Концентрацiя насиченого розчину дорiвнює c0 кг/л. За час
    τ розчинилась половина солi. За який час розчинеться 3m0 /4 кг
    солi (вважати, що m0 = 2N c0 /3 )? [7]
    118. Ракета з початковою масою m0 iз стану спокою проходить вiдстань
    l з постiйним прискоренням a. На ракету дiє постiйна сила F ,
    що направлена проти швидкостi ракети. Знайти витрати палива
    на дiлянцi довжиною l . Швидкiсть витiкання продуктiв згорання
    палива вiдносно ракети постiйна i дорiвнює u . [5]
    119. Студент вирiшив пiдзаробити, прибираючи вiд снiгу спортивний
    майданчик. Йому запропонували на вибiр двi дiлянки однакової
    площi: одну круглу, а другу квадратної форми. Для прибирання
    якої з цих дiлянок треба затратити меншу роботу? У скiльки
    разiв? Вважати, що робота по розчищенню дiлянки величиною
    ∆S пропорцiйна масi снiгу на цiй дiлянцi та вiдстанi, на яку
    потрiбно вiдносити снiг. [4]

    Роздiл 2

    2.1 Частиннi похiднi. Кратнi та криволiнiйнi
    iнтеграли.
    120. Знайти

    ∂2f
    ∂3f
    та
    , якщо f (x, y, z) = ϕ(x/y, y/z) . [3]
    ∂x∂y
    ∂x∂z 2

    121. Знайти частиннi похiднi першого порядку функцiй u(x, y, z) ,
    v(x, y, z) , що заданi системою рiвнянь:
    ½
    xy − z cos u cos v = 0
    [4]
    yz − x cos u sin v = 0 .
    122. Знайти

    ∂z
    ∂z
    та
    , якщо:
    ∂x
    ∂y

    x+t
    , tet = xex + yey ; [3]
    y+t
    2) x = eu+v , y = eu−v , z = uv; [3]
    3) z = f (x, y, u, v), g(y, u, v) = 0, h(u, v) = 0.
    1) z =

    123. Знайти d2 u та d2 v в точцi x = 1 , y = 2 при u = v = 0 для
    функцiй u(x, y) та v(x, y) , що заданi системою рiвнянь:
    (
    xeu+v + 2uv = 1
    u
    [6]
    yeu−v −
    = 2x .
    1+v
    25

    124. З рiвнянь x1 = r sin θ cos ϕ, x2 = r sin θ sin ϕ, x3 = r cos θ випливає,
    що
    ∂xi
    xi
    = .
    (∗)
    ∂r
    r
    З iншого боку, ∂xi /∂r = (∂r/∂xi )−1 . Але
    qX
    ∂r

    xi
    ∂xi
    r
    =
    x2j = , тобто
    = (∂r/∂xi )−1 = ,
    ∂xi
    ∂xi
    r
    ∂r
    xi
    що суперечить (*). Де помилка? [3]
    125. Знайти частинну похiдну (∂f /∂g)h , якщо
    f = sin(xy),

    g = cos(x + y),

    h = 2x + y + 1.

    (2)

    Напишiть загальну формулу для обрахунку похiдної (∂f /∂g)h
    для довiльних функцiй f , g та h. Якiй умовi повиннi задовольняти
    функцiї f , g , h щоб ця похiдна iснувала? Що означає ця умова?
    [2]
    126. Довести тотожнiсть
    µ ¶ µ ¶ µ ¶
    ∂f
    ∂g
    ∂h
    = −1.
    ∂g h ∂h f ∂f g

    [2]

    127. Дослiдити функцiю f (x, y) на диференцiйовнiсть в точцi (0, 0)
    та знайти частиннi похiднi fx0 (0, 0) , fy0 (0, 0) якщо вони iснують.

    2
     x y , x2 + y 2 6= 0
    2
    1) f (x, y) =
    , [3]
    x + y2

    0,
    x2 + y 2 = 0
    (
    y 4/3 ln(y 2 + x4/3 ), x2 + y 2 6= 0
    . [3]
    2) f (x, y) =
    0,
    x2 + y 2 = 0
    128. Для яких α та β функцiя f (x, y) є диференцiйовною в точцi
    (0, 0) ?

    α β
     x y , x2 + y 2 6= 0
    f (x, y) =
    . [3]
    |x| + |y|

    0,
    x2 + y 2 = 0

    129. Знайти загальний вигляд функцiї f (x) ∈ C 1 , що задовольняє
    рiвнянню:
    p
    1) f (xy) = xf (y) + yf (x); [3] 2) f ( x2 + y 2 ) = f (x) + f (y). [3]
    3) f (x + y n ) = f (x) + f n (y), n ∈ N; [3]
    130. Знайти dn u(x, y) , якщо:
    1) u(x, y) = f (t), t = ax + by; [2] 2) u(x, y) = f (x)g(y); [1]
    3) u(x, y) = f (x + y)g(x − y). [3]
    131. Розкласти в ряд Маклорена функцiю u(x, y) , якщо:
    1) u(x, y) = f (t), t = xy; [2] 2) u(x, y) = f (x)g(y); [2]
    3) u(x, y) = f (t), t = x2 + y 2 . [2]
    132. Розкласти в ряд Маклорена функцiю u(x, y) до четвертого порядку
    включно.
    Z
    1

    u(x, y) =

    2

    (1 + x)t y dt. [4]

    0
    n

    133. Знайти D f (t) , де D = x∂x + y∂y , Dn f ≡ D(Dn−1 f ) , t =
    ln(ax + by) . [3]
    134. Однорiдною функцiєю порядку n називається функцiя f (x, y) ,
    для якої f (λx, λy) = λn f (x, y) , ∀λ. Доведiть теореми Ейлера
    для однорiдної функцiї f (x, y) порядка n :
    1) (x∂x + y∂y )f (x, y) = nf (x, y); [2]
    2
    2
    2
    2) (x2 ∂xx
    + 2xy∂xy
    + y 2 ∂yy
    )f (x, y) = n(n − 1)f (x, y). [2]

    135. Задана складна функцiя f (x, y) = F (u, v) , де u, v — функцiї вiд
    x, y . Знайти вираз для d2 f . Якiй умовi повиннi задовольняти
    функцiї u та v , щоб форма другого диференцiалу залишалась
    iнварiантною в змiнних x, y та u, v ? [3]
    136. Оператором Лапласа ∆ в n-вимiрному евклiдовому просторi Rn
    n
    X
    ∂2
    . Знайти радiальну частину
    називається оператор ∆ =
    ∂x2i
    i=1
    цього оператору. [5]
    137. Позначимо Ω(x, y, z) — тiлесний кут, пiд яким видно замкнений
    контур, розташований в площинi XY , з точки (x, y, z). Показати,
    що ∆Ω(x, y, z) = 0 . [5]

    138. Перетворити вираз, перейшовши до полярних координат ( r =
    r(ϕ) ).
    x + yy 0
    ω= 0
    . [3]
    xy − y
    139. Перетворити рiвняння, прийнявши x = x(t) за нову функцiю,
    де ey = xt.
    y 00 (x) + (y 0 )2 = 0. [4]
    140. Перетворити рiвняння, перейшовши до нової функцiї z = z(y) ,
    де z = ln(y/x) .
    xyy 00 − x(y 0 )2 + yy 0 = 0.
    141. Перетворити рiвняння
    незалежнi змiннi:
    1) 2x = u2 − v 2 , y = uv;

    [5]

    ∆z + λz = 0, прийнявши u та v за
    [6] 2) x = eu cos v, y = eu sin v.

    [6]

    142. Перетворити рiвняння, прийнявши u та v за незалежнi змiннi,
    а ω — за нову функцiю.
    1)

    x ∂z
    y ∂z
    +
    = 0; xex = ueω , yey = veω , zez = 2ωeω .[8]
    1 + x ∂x 1 + y ∂y

    2)

    ∂2z
    ∂2z ³
    y ´∂ 2 z
    −2
    + 1+
    = 0; u = x, v = x+y, ω = x+y+z.[5]
    2
    ∂x
    ∂x∂y
    x ∂y 2

    143. Розв’язати рiвняння:
    ∂2z
    ∂2z
    1 ∂z

    y
    =
    , y > 0 ; [5]
    2
    2
    ∂x
    ∂y
    2 ∂y

    перейшовши
    до нових незалежних змiнних u = x − 2 y , v =

    x + 2 y.
    µ ¶2 2
    µ ¶2 2
    ∂z
    ∂ z
    ∂z ∂z ∂ 2 z
    ∂z
    ∂ z
    2)

    2
    +
    = 0, [10]
    ∂y
    ∂x2
    ∂x ∂y ∂x∂y
    ∂x
    ∂y 2
    прийняв x за функцiю вiд змiнних y та z .
    1)

    00
    00
    зберiгає свiй вигляд при поворотi
    144. Довести, що вираз fxx
    + fyy
    системи координат на довiльний кут. [5]

    145. Поверхня задана рiвнянням F (x, y, z) = 0 . Довести рiвностi
    1) вектор одиничної нормалi в точцi (x, y, z) :
    n=

    ∇F (x, y, z)
    ;
    |∇F (x, y, z)|

    [3]

    2) рiвняння дотичної площини:
    ∂F
    ∂F
    ∂F
    (X − x) +
    (Y − y) +
    (Z − z) = 0.
    ∂x
    ∂y
    ∂z

    [2]

    146. Написати рiвняння площини, що доторкається до кривої x =
    u(t) , y = v(t) , z = ω(t) , тобто площини, яка проходить через три
    точки кривої в граничному випадку, коли цi точки прямують до
    заданої точки кривої. [5]
    147. Дослiдити функцiї на екстремум:
    1) f = x2 + xy + y 2 +

    1
    x

    +

    1
    y

    ; [3]

    2) f = x4 + y 4 − 36xy; [3]

    3) f = e2x (x + y 2 + 2y); [3] 4) f =

    1+

    x4

    x2 − y 2
    . [5]
    + y 4 − 2x2 y 2

    148. Через точку A(a, b, c) , a > 0, b > 0, c > 0, провести площину, що
    вiдсiкає вiд першого октанту ( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) тетраедр
    найменшого об’єму. [5]
    149. На сторонах кута A розташувати двi точки B , C так щоб площа
    трикутника ABC була максимальною при фiксованiй довжинi
    сторони BC = d. [4]
    150. Знайти довжини головних осей елiпса, що отримується в перетинi
    цилiндру x2 + 2y 2 = 1 площиною x + y + z = 0. [7]
    151. На площинi заданi n точкових мас mi , що мають координати
    Pi (ai , bi ) . Знайти координати точки P (x, y) такої, що величина
    n
    X

    mi [(x − ai )2 + (y − bi )2 ]

    i=1

    буде мiнiмальною. Дайте результату фiзичне пояснення. [2]
    152. Знайти мiнiмальний об’єм ядерного реактора в формi прямого
    цилiндру, врахувавши вiдоме з теорiї дифузiї нейтронiв рiвняння
    зв’язку: (R1 /R)2 + (π/H)2 =const, R – радiус, H — висота
    цилiндру, число R1 = 2.4 — перший нуль функцiї Беселя J0 (R) . [2]

    153. Знайти довжини головних осей n -вимiрного елiпсоїду
    X
    xi xj = 1. [7]
    i≤j

    154. Як потрiбно провести пряму через центр куба, тетраедра, октаедра,
    щоб сума квадратiв вiдстаней вiд неї до вершин була
    а) мiнiмальною, б) максимальною. [15]
    155. Довести рiвностi:
    ÃZ
    Z π/2Z π/2
    1)
    cos(2a sin x sin y)dxdy =
    0

    Z

    0

    0

    dxdy
    π
    =
    2
    1 − k 2 sin2 x sin2 y

    0

    Z 1Z

    1

    3)
    0

    cos(a sin x)dx

    ; [10]

    0

    Z π/2
    π/2

    2)

    !2

    π/2

    Z

    π/2

    dx

    p
    0

    1 − k 2 sin2 x

    , k ∈ (0, 1); [5]

    f (xy)(1 − x)p−1 y p (1 − y)q−1 dxdy =

    0

    Z

    1

    = B(p, q)

    f (v)(1 − v)p+q−1 dv;

    [15]

    0

    Z 1Z
    4)
    0

    1

    Z
    (xy)xy dxdy =

    0

    1

    y y dy.

    [5]

    0

    156. Обчислити iнтеграли
    ZZ
    xp−1 y q−1
    1) I1 =
    dxdy; [3]
    α
    β m
    Ω (x + y )
    ZZ
    xp−1 y q−1
    2) I2 =
    dxdy; [7]
    α
    β m
    Ω (1 − x − y )
    де область iнтегрування Ω : {x, y ≥ 0, xα + y β ≤ 1} .
    157. Обчислити iнтеграли
    ZZ q


    1) I1 =
    x + y dxdy ;


    ZZ
    (xy)n dxdy ;

    2) I2 =

    [6]



    де область

    √ iнтегрування обмежена осями координат та параболою
    x + y = 1.

    158. Обчислити iнтеграл
    ZZ
    I=

    ln sin(x − y) dxdy,

    [5]



    де область iнтегрування – трикутник, що обмежений прямими:
    y = 0, x = π , y = x.
    159. Обчислити iнтеграл
    ZZ
    I=


    x2 sin(xy)
    dxdy,
    y

    [3]

    де область iнтегрування обмежена параболами: x2 = ay , x2 =
    by , y 2 = px , y 2 = qx, ( 0 < a < b , 0 < p < q ).
    160. Обчислити iнтеграл
    Z ∞Z ∞
    √ 2 2
    1)
    e−a x +y cos x cos y dxdy, a > 0; [7]
    0
    Z Z0
    y−x
    2) I =
    e y+x dxdy , Ω = {x + y ≤ 1, x, y ≥ 0}. [3]


    161. 1) Нехай Ω : {0 ≤ x ≤ α, y ≤ x} , ϕ(x) — довiльна функцiя,
    неперервна на [0, α] . Приводячи подвiйний iнтеграл
    ZZ
    ϕ(y) dxdy
    p

    − x)(x − y)

    до повторного, довести формулу
    Z α
    Z α
    Z x
    dx
    ϕ(y)dy



    ϕ(y)dy.
    x−y
    α−x 0
    0
    0

    [2]

    2) Використовуючи отриману формулу розв’язати iнтегральне
    рiвняння
    Z x
    ϕ(t)dt

    f (x) =
    , [3]
    x−t
    0
    тобто знайти невiдому функцiю ϕ(x) ∈ C 1 [0, α], якщо f (x) –
    задана функцiя.
    3) Розв’язати задачу Абеля: по якiй траєкторiї повинна рухатись
    важка кулька в полi тяжiння (без тертя), щоб час руху її з висоти
    h до найнижчої точки кривої не залежав би вiд h ? [6]

    162. Обчислити iнтеграл
    ZZ
    I=


    dxdy
    ,
    (1 + x2 + y 2 )2

    [3]

    де область iнтегрування — одна петля лемнiскати (x2 + y 2 )2 =
    x2 − y 2 .
    163. Знайти однократнi iнтеграли, зводячи їх до повторних ( a, b >
    0, n ∈ N ).
    Z ∞ −x
    Z ∞
    e − e−2x
    cos ax − cos bx
    1)
    dx; [4]
    2)
    dx; [3]
    p
    x
    x2
    0
    0
    Z ∞ −x
    Z ∞ a−1
    e (1 − cos ax)
    x
    − xb−1
    3)
    dx; [5] 4)
    dx; [7]
    x
    (1 + x) ln x
    0
    0
    Z ∞ −xa
    Z ∞
    b
    e
    − e−x
    sin2 x
    5)
    dx; [5]
    6)
    dx; [10]
    x
    1 + x2
    0
    0
    Z ∞
    Z ∞
    Z ∞
    ln x dx
    sin x
    2
    ; [10] 8)
    sin x dx; [7] 9)
    dx. [5]
    7)
    2 )n
    (1
    +
    x
    x
    0
    0
    0
    164. Позначимо
    ZZ
    Ix =

    ZZ
    f (r)x dxdy,

    Iy =



    ZZ
    Ixx =

    f (r)y dxdy,


    ZZ
    f (r)x2 dxdy, Ixy =


    ZZ
    f (r)xy dxdy, Iyy =


    f (r)y 2 dxdy.


    Використовуючи властивостi симетрiї областi iнтегрування Ω ,
    отримати рiвностi:
    1)
    Ix = Iy = 0, Ixx = Iyy , Ixy = 0, [7]
    якщо область Ω iнварiантна вiдносно поворотiв на кут 2π/n ,
    n ≥ 3 з центром в початку координат;
    2)
    Iy = kIx , (1 − k 2 )Ixy = k(Ixx − Iyy ), [7]
    якщо область Ω переходить сама в себе при дзеркальному вiдображеннi
    вiдносно прямої y = kx . Якi спiввiдношення на iнтеграли отримуються,
    якщо область Ω iнварiантна при вiддзеркаленi вiдносно двох
    взаємно перпендикулярних прямих? [1]

    165. Дробовою похiдною Рiмана - Лiувiля називається оператор D1/2 ,
    дiя якого на функцiю x(t) дається рiвнiстю:
    1 d
    D1/2 x(t) = √
    π dt
    Довести, що D1/2 (D1/2 x(t)) =
    iснують. [8]

    Z
    0

    t

    x(τ )dτ

    .
    t−τ

    dx
    при умовi, що всi iнтеграли
    dt

    166. Знайти тiлесний кут пiд яким видно правильний n-кутник з
    ребром a з точки, що знаходиться на вiдстанi h вiд центру
    фiгури (по нормалi до неї). [15]
    167. Знайти iнтеграли.
    ZZZ
    p
    xy
    √ dV, Ω : (x/a)2 + (y/b)2 ≤ z/c, z = c, x, y ≥ 0; [3]
    1)
    z

    ZZZ
    (x + y + z)2 dV, Ω : x2 + y 2 = 2az, x2 + y 2 + z 2 = 3a2 ; [4]

    2)
    ZZZ



    p

    3)


    xyz dV
    α2 x2

    + β 2 y2 + γ 2 z2

    ZZZ
    xp−1 y q−1 z r−1 dV, Ω :

    4)


    , Ω : x2 +y 2 +z 2 ≤ R2 , x, y, z ≥ 0; [5]
    ³ x ´α ³ y ´β ³ z ´γ
    +
    +
    ≤ 1, x, y, z ≥ 0. [6]
    a
    b
    c

    168. Знайти об’єм тiла, обмеженого поверхнями:
    1) (x2 + y 2 )2 + z 4 = y; [5] 2) (x2 + y 2 + z 2 )3 = a3 xyz; [5]
    µ 2
    ¶2 µ 2

    x
    y2
    z2
    x
    y2 z
    3)
    + 2 + 2
    =
    + 2
    . [5]
    a2
    b
    c
    a2
    b
    c
    169. Знайти об’єм тiла, обмеженого поверхнею (x + y + z)2 = ay ,
    x, y, z ≥ 0, перейшовши до нових змiнних r, θ, ϕ: x = r sin2 θ cos2ϕ ,
    y = r sin2 θ sin2 ϕ, z = r cos2 θ . [4]
    170. Знайти силу, з якою конус притягає точкову масу m, що знаходиться
    в його вершинi. Висота конуса h, кут при вершинi 2α , густина
    матерiалу ρ . [4]

    171. Знайти моменти iнерцiї тора вiдносно осей OX та OZ . Тор
    утворюється обертанням кола (x−R)2 +y 2 = r2 , R > r навколо
    вiсi z . Маса тора M . [7]
    172. На вiдрiзку [0, 1] випадковим чином обирають двi точки. Знайти
    середнє значення l вiдстанi мiж ними. [3] Яка ймовiрнiсть того,
    що ця вiдстань бiльше l ? 1 [2]
    173. З вiдрiзку [0, 1] випадковим чином обирають три числа. Яка
    ймовiрнiсть того, що цi числа є сторонами деякого трикутника?
    [5]
    174. З вiдрiзку [−a, a] випадковим чином обирають два числа u , v .
    Яка ймовiрнiсть того, що всi коренi рiвняння z 2 + uz + v = 0 —
    дiйснi? [5] Яка ймовiрнiсть того, що бiквадратне рiвняння z 4 +
    uz 2 + v = 0 має одночасно як дiйснi, так i комплекснi коренi? [2]
    175. В одиничному колi випадковим чином обираються двi точки.
    Знайти середнiй квадрат вiдстанi l2 мiж цими точками. [7]
    176. На границi кола радiуса R випадковим чином обираються двi
    точки. Знайти:
    1) середню довжину хорди l , що з’єднує цi точки; [4]
    2) середнє значення кута α ( α ≤ π ), мiж цими точками. [2]
    177. Всерединi кулi радiусу R народжуються нейтрони. Вважаючи,
    що розподiл нейтронiв по об’єму кулi однорiдний i всi напрямки
    рiвноiмовiрнi, обчислити середню вiдстань, яку проходить нейтрон
    до поверхнi кулi. Рух вважати прямолiнiйним, зiткненнями знехтувати.
    [15]
    178. Знайти гравiтацiйну енергiю однорiдної кулi радiуса R i маси
    M . [5]
    179. Знайти як змiнюється тиск в серединi однорiдної рiдкої кулi
    радiуса R i маси M . [6]
    180. Однорiдну кулю радiуса R i маси M розрiзали на двi половинки
    по дiаметру. З якою силою притягаються цi половинки? [5]
    181. Знайти момент iнерцiї однорiдного а) куба, б) октаедра маси M
    вiдносно довiльної осi, що проходить на вiдстанi a вiд центра
    фiгури. [10]
    1 Iмовiрнiсть вибору точки з даної множини пропорцiйна мiрi цiєї множини
    (довжинi, площi, об’єму).

    182. Знайти n-кратнi iнтеграли:
    Z
    Z
    1)
    max(x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn ;
    min(x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn ; [6]
    0≤xi ≤1

    0≤xi ≤1

    Z

    e−Aij xi xj dx1 . . . dxn , [10]

    2)
    Rn

    де Aij — додатно визначена симетрична матриця.
    183. Якiй умовi повинен задовольняти сталий вектор ~y ∈ Rn для
    того, щоб iнтеграл
    Z
    exp[−xi Aij xj + (~y · ~x)] dx1 . . . dxn
    Rn

    був скiнчений? Тут Aij — додатно визначена симетрична матриця.
    [7]
    184. Знайти n-кратнi iнтеграли:
    Z
    1)
    (x1 + · · · + xn )2 dx1 . . . dxn ; [4]
    0≤xi ≤1

    2)

    Z X

    cij xi xj dx1 . . . dxn ,

    де V :

    V i≤j

    ¶2
    n µ
    X
    xi − ai
    i=1

    bi

    ≤ 1. [10]

    185. Знайти площу поверхнi n-вимiрної кулi радiуса R . [5]
    186. Знайти об’єм чотиривимiрної областi, заданої рiвняннями ( i =
    1, 4):
    1) x1 x2 x3 x4 ≤ 1, 0 ≤ xi ≤ 2; [7]

    2) x1 x2 x3 x4 /xi = 1, xi ≥ 0. [12]

    187. Знайти об’єм n-вимiрної областi, заданої рiвняннями:
    !
    Ã n
    Y
    xk /xi = 1; xi ≥ 0, i = 1, n. [15]
    k=1

    188. Чотиривимiрний куб |xi | ≤ 1 , i = 1, 4 перетинається гiперплощиною
    (r, n) = 0 . Знайти об’єм багатогранника, що отримається в перетинi,
    якщо:
    1) n = (1, 1, 1, 1) ; [20]

    2) n = (1, 1, 1, 0) . [15]

    189. Знайти iнтеграли:
    Z ∞Z ∞
    1)
    | ln x − ln y|e−(x+y) dxdy; [4]
    0

    0

    Z

    2

    2

    2

    2

    ex1 +x2 −x3 −x4 dx1 . . . dx4 ,

    2)

    де Ω :



    4
    X

    x2i ≤ 1. [5]

    i=1

    190. Довести тотожнiсть
    1
    n!

    Z

    Z

    b

    ...
    a

    a

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    = ¯¯
    ¯
    ¯

    b

    ¯
    ¯ f1 (x1 ) f1 (x2 )
    ¯
    ¯ f2 (x1 ) f2 (x2 )
    ¯ ...
    ...
    ¯
    ¯ fn (x1 ) fn (x2 )

    Rb 2
    f dx
    Rab 1
    f f dx
    a 2 1
    .........
    Rb
    f f dx
    a n 1

    ...
    ...
    ...
    ...

    Rb
    f f dx
    Rab 12 2
    f dx
    a 2
    .........
    Rb
    f f dx
    a n 2

    f1 (xn )
    f2 (xn )
    ...
    fn (xn )
    ...
    ...
    ...
    ...

    ¯2
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯ dx1 dx2 . . . dxn =
    ¯
    ¯

    Rb
    f f dx
    Rab 1 n
    f f dx
    a 2 n
    .........
    Rb 2
    f dx
    a n

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯ . [6]
    ¯
    ¯
    ¯

    191. Розглянемо поверхню, що задана параметрично: xi = xi (u, v) ,
    ( xi ≡ x, y, z ). Тодi квадрат нескiнченно малого елемента довжини
    на поверхнi буде дорiвнювати
    dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = g11 du2 + 2g12 dudv + g22 dv 2 ,
    де g11 =

    X µ ∂xi ¶2

    , g22 =

    X µ ∂xi ¶2

    , g12 =

    X µ ∂xi ¶ µ ∂xi ¶

    ∂u
    ∂v
    ∂u
    ∂v
    i
    i
    — так званi метричнi коефiцiєнти. Який геометричний змiст цих
    коефiцiєнтiв? Покажiть, що елемент площi на цiй поверхнi буде
    дорiвнювати

    2
    dS = g dudv, де g = g11 g22 − g12
    .
    [5]
    i

    Запишiть частиннi випадки цього виразу для поверхнi заданої в
    декартових, цилiндричних та сферичних координатах рiвняннями
    z = z(x, y),

    ρ = ρ(z, ϕ),

    r = r(θ, ϕ).

    [5]

    RR
    RR
    192. Знайти поверхневi iнтеграли
    (x+y +z)dS та
    (x+y +z)2 dS
    2
    2
    по параболоїду x + y = az , 0 ≤ z ≤ a. [6]

    193. Використовуючи мiркування симетрiї показати, що наведенi нижче
    поверхневi iнтеграли 1-го роду дорiвнюють нулю.
    P
    P
    ZZ P
    ai xi + i p
    1)
    dS,
    x2 + y 2 + z 2
    S
    S : x2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 = 1;
    [5]
    (x + y + z)(2x − 3y + z − 2)
    p
    2)
    dS,
    x2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz
    S
    S : |x + y − z| + |x − y + z| + |z − x + y| = 1;
    ZZ
    2x2 + 5y 2 − z 2 + 4xy − xz + 3yz − 2
    p
    3)
    dS,
    x2 + y 2 + z 2
    S
    ZZ

    S:

    x2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz = 1.

    [7]

    [10]

    194. Використовуючи властивостi симетрiї поверхнi, отримати рiвнiсть




    ZZ
    2
    X
    X
    R

    cij xi xj  dS = 4πR2 
    (c11 + c22 + c33 ),
    cij ai aj +
    3
    S
    i≤j

    i≤j

    2

    S : (x − a1 ) + (y − a2 ) + (z − a3 )2 = R2 . [7]
    195. Знайти iнтеграл

    2

    ZZ
    (xy + yz + zx) dS
    Σ

    де Σ — частина конiчної поверхнi z =
    цилiндром x2 + y 2 = 2ax . [5]

    p

    x2 + y 2 , що обмежена

    196. Знайти електричне поле, яке створює рiвномiрно заряджена по
    поверхнi пiвсфера в її центрi. Яке електричне поле в центрi
    створює один квадрант сфери? Радiус сфери R , поверхнева густина
    заряду σ . [6]
    197. Знайти нормальну складову електричного поля, що створює рiвномiрно
    заряджена плоска фiгура в довiльнiй точцi простору, з якої цю
    поверхню видно пiд тiлесним кутом Ω . Поверхнева густина заряду
    σ . [3]
    198. Куля радiуса R занурена в рiдину з густиною ρ на глибину
    h > R вiдраховуючи вiд центра кулi. Знайти силу тиску рiдини
    на верхню та нижню половинки кулi. [4]

    199. З кулi x2 + y 2 + z 2 = a2 вирiзали два отвори цилiндрами x2 +
    y 2 = ±ax. Знайти об’єм та площу поверхнi частини кулi, що
    залишилася. [7]
    200. Знайти об’єм та площу поверхнi фiгури, що отримується в перетинi
    двох цилiндрiв x2 + z 2 = a2 та y 2 + z 2 = a2 . [6]
    201. Як вiдомо, знак другої похiдної функцiї f (x) в точцi x0 визначає
    її опуклiсть: якщо f 00 (x0 ) < 0 ( f 00 (x0 ) > 0 ), то функцiя f опукла
    вгору (вниз). Iнакше кажучи, значення функцiї f в точцi x0
    бiльше (менше) за середнє значення її в точках x0 ±ε для достатньо
    малих значень ε. Узагальненням цiєї властивостi на тривимiрний
    випадок є таке твердження (доведiть його): нехай функцiя f (r)
    двiчi диференцiйовна в околi точки A i ∆f |A < 0 ( ∆f |A > 0 ).
    Тодi значення функцiї f в точцi A бiльше (менше) за середнє
    значення її в точках на поверхнi сфери з центром в A i достатньо
    малого радiусу ε. [7]
    202. Використовуючи результат попередньої задачi доведiть твердження:
    якщо в деякiй скiнченiй областi ∆f (r) = 0 , то функцiя f
    досягає свого максимального та мiнiмального значення лише
    на границi областi (аналогiчне твердження вiрне i в загальному
    випадку функцiй n змiнних). [2]
    203. Використовуючи властивостi симетрiї кривої знайти криволiнiйнi
    iнтеграли 1-го роду (` — коло x2 + y 2 + z 2 = a2 , x + y − z = 0 ):
    I
    I
    I
    Ixx = x2 dl, Ixy = xydl, Ixz = xzdl. [15]
    `

    `

    `

    204. Знайти iнтеграли:
    Z
    1)
    xdl, ` : r = 1 + cos ϕ ; [3]
    Z`
    2)
    |y|dl, ` : x2 + y 2 = z 2 , x2 + y 2 = ax ; [3]
    Z`
    3) (x3 + y 3 )dl, ` : (x2 + y 2 )2 = 2axy, x, y ≥ 0 ; [3]
    Z`
    4) (x + y + z)dl, ` : x2 + y 2 + z 2 = a2 , |y| = x, z ≥ 0 . [3]
    `

    205. Знайти iнтеграли
    a sin 3ϕ. [7]

    Z

    Z
    y dl та

    (x2 − y 2 ) dl по трилиснику r =

    206. I
    На площинi розташований замкнутий контур ` . Знайти iнтеграл
    (r, n)dl , де r — радiус-вектор, проведений з деякої точки A на
    `

    площинi до дiлянки контура dl , n — вектор зовнiшньої нормалi
    до кривої. Розглянути випадки, коли точка A знаходиться:
    а) всерединi б) зовнi контура. [5]
    207. На площинi розташований замкнутий контурI `. Як потрiбно
    вибрати точку A на площинi, щоб iнтеграл
    r2 n dl приймав
    `

    найменше за модулем значення? Чому дорiвнює це найменше
    значення? r — вiдстань вiд точки A до дiлянки контура dl , n
    — вектор зовнiшньої нормалi до кривої. [7]
    R
    208. Знайти iнтеграл ` ad~l, якщо:
    1) a = (yz sin(xy), xz sin(xy), − cos(xy)), ` – ламана EABCDF ; [4]
    2) a = (z, x, y), ` — ламана ABEACDECBDA; [5]
    3) a = (2x − z, 2y, z + y), ` — ламана ABCDEA; [4]
    A(1, 0, 0) , B(0, 1, 0) , C(−1, 0, 0) , D(0, −1, 0) , E(0, 0, 1) , F (0, 0, −1) .
    H
    209. Знайти iнтеграл 2yz dx + (x2 − yz) dy + (xy − xz) dz вздовж
    кривої x2 + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 = ax, z ≥ 0 , a > 0. Крива
    обходиться проти годинникової стрiлки, дивлячись з боку додатних
    значень вiсi x . [5]
    210. Знайти похiдну функцiї u = xy+ yz в точцi M (2, 1, 2) в напрямку
    градiєнта функцiї v = xyz в цiй точцi. [2]
    211. Довести рiвнiсть:
    ( · ∇) = [rotÂ × Â],

    якщо |Â| = const. [3]

    212. Знайти загальний вигляд скалярної функцiї f (r) такої, що
    1) div(rf (r)) = 0; [3] 2) rot(rf (r)) = 0. [3]
    213. Знайти загальний вигляд векторного поля a, для якого rota =
    (x − 2z, y − 2z, x + y − 2z) . [5]
    214. Обчислити div та rot ( a — сталий вектор).
    1) Â =

    [a × r]
    ; [4]
    r3

    2) Â = a ln r; [3] 3) Â = r[a × r]. [4]

    215. Показати, що наведенi нижче iнтеграли дорiвнюють нулю при
    умовi, що div ≡ 0 та функцiї  та ϕ прямують до нуля при
    r → ∞ "достатньо швидко" (для кожного з iнтегралiв вказати,
    як саме швидко повиннi прямувати цi функцiї до нуля). Iнтегрування
    проводиться по всьому простору R3 .
    Z
    Z
    Z
    1)
    Â dV ; [4] 2)
    (r · Â) dV ; [4] 3)
    (∇ϕ · Â) dV. [4]
    ZZ
    216. Знайти потiк

    ~ через зовнiшню поверхню тора (розмiри
    r dS

    тора вважати заданими).

    [3]

    217. Обчислити поверхневi iнтеграли:
    ZZ
    ZZ
    1)
    [r × [a × n]] dS; [5]
    2)
    ΩV

    [a × r] · [b × n] dS,

    [5]

    ΩV

    де ΩV — замкнена поверхня, що охоплює об’єм V ; n — одиничний
    вектор нормалi, a та b — сталi вектори.
    ZZ
    218. Звести поверхневий iнтеграл 1-го роду
    f (x, y, z) dS до iнтеграла
    Σ

    по об’єму, що охоплює поверхня Σ, якщо Σ — сфера (r − a)2 =
    R2 , a — сталий вектор. [5]
    ZZ
    p
    219. Знайти потiк
    (a, n) dS через поверхню z = f ( x2 + y 2 ) ,
    x2 + y 2 ≤ R2 , якщо:
    а) a = (3, 2, 1) , б) a = (yz, xz, xy) . [7]

    2.2

    Ряди та iнтеграли з параметром;
    ряди i iнтеграли Фур’є.

    220. Дослiдити на збiжнiсть ряд
    1) an =

    1
    , [2]
    (ln ln n)ln n


    X

    an , де:

    2) an =

    1
    , [2]
    (ln n)ln ln n

    Z

    n+2

    3) an =
    n

    Z

    1/2

    1/4

    x2 e−x
    dx , [3] 4) an =
    1+x

    Z


    n

    cos x
    dx , [4]
    x

    −nx

    e
    dx [7].
    ln2 x

    5) an =
    0

    221. При яких значеннях параметра p збiгаються ряди:



    X
    (−1)[
    np
    n=1

    1)

    n]

    , [7]

    2)


    X
    (−1)[ln n]
    . [7]
    np
    n=1

    222. Дослiдити на умовну та абсолютну збiжнiсть ряди:
    ∞ µ ¶ln n

    X
    X
    (ln n)α
    1
    1)
    ; [4]
    2)
    sin n; [5]
    q
    n
    n=1
    n=2

    µ


    n
    X
    X
    (1 + 2 cos πn
    sin n
    4 )
    3)
    ; [3] 4)
    ; [5]
    ln 1 + α

    n ln n
    n=1
    n=2

    µ


    X
    X
    sin n
    sin n
    5)
    sin √
    ;
    [3]
    6)
    . [4]
    α
    α
    n ln (n + 1)
    n
    n=1
    n=1
    223. Навести приклад такого збiжного ряду

    X


    X

    an , для якого ряд

    n=1

    a3n — розбiжний. [5]

    n=1

    224. Знайти суму рядiв2 :
    1)


    X



    X
    X
    1
    (−1)n
    1
    ;
    [3]
    2)
    ;
    [4]
    3)
    ; [3]
    2 (n + 1)2
    2+n−2
    n
    n
    n(2n
    + 3)
    n=1
    n=2
    n=1


    X
    (−1)n
    4)
    ; [3]
    3n + 1
    n=0

    5)


    X
    n=1

    (−1)n+1

    cos nx
    , |x| < π; [5]
    n(n + 1)



    X
    X
    sin(2n − 1)x
    (−1)n lnn x
    6)
    , |x| < π; [5] 7)
    ,
    2n − 1
    2n n!
    n=1
    n=0
    2 Для

    довiдок:


    X
    π2
    1
    ,
    =
    2
    n
    6
    n=1


    X
    1
    π4
    .
    =
    4
    n
    90
    n=1

    x > 0. [3]

    225. Знайти суму ряду:


    X
    (−1)n
    , де a — не є цiлим.
    a 2 − n2
    n=1

    [10]


    X
    εn
    , де εn — випадкова величина, яка з
    n
    n=1
    рiвною ймовiрнiстю приймає значення ±1 . Яка ймовiрнiсть того,
    що ­ряд® S — розбiжний? Чому дорiвнюють середнi значення hS 2 i
    та S 4 ? [10]

    226. Розглянемо ряд S =

    227. В гармонiйному рядi 11 + 12 + 13 + · · · + n1 + · · · викреслимо всi
    доданки 1/n , для яких десятичний запис числа n має цифру 9.
    Доведiть, що отриманий таким чином ряд буде збiжним. [10]
    228. Розглянемо функцiю
    ½
    f (x) =

    e−1/x
    0

    2

    , x 6= 0
    .
    , x=0

    Ця функцiя є нескiнченно диференцiйовною в точцi x = 0 i
    f (n) (0) = 0, n = 0, 1, 2, . . . Тому, формально составлений ряд
    Маклорена збiгається при всiх x (сума ряда тотожно дорiвнює
    нулю), але ряд збiгається до функцiї, яка не спiвпадає з f (x) . Чи
    не протирiччить це теоремi про розклад функцiї в ряд Тейлора?
    [5]
    229. Знайти область збiжностi функцiональних рядiв:




    ·x
    X
    X
    ·
    ·
     1 − xx  ; [5]
    1)
    sin
    . . . sin x} ; [10] 2)
    | sin{z
    2 | {z }
    n=1

    3)

    ∞ ³
    X
    n=1

    n

    n=1

    n

    x ´n
    . [3]
    sin n

    230. Знайти область умовної та абсолютної збiжностi функцiональних
    рядiв:
    1)


    X

    xn
    ; [7]
    (1 + x)(1 + x2 ) · · · (1 + xn )
    n=1

    2)


    X
    sin n
    ;
    xln n
    n=2

    231. Знайти область збiжностi гiпергеометричного ряду:

    x > 0. [4]

    F (a, b, c; x) = 1 +

    ab x
    a(a + 1)b(b + 1) x2
    · +
    · +
    c 1!
    c(c + 1)
    2!
    a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2) x3
    +
    ·
    + ...
    c(c + 1)(c + 2)
    3!

    [3]

    232. Знайдiть помилку в доведенi наступного твердження: для будьякої функцiї f (x) , для якої ряд Маклорена збiгається при всiх
    x , виконується рiвнiсть
    Z ∞
    1/4
    I=
    e−x sin x1/4 f (x) dx = 0 ,
    0

    якщо iнтеграл I — збiжний.
    Доведення. За умовою
    f (x) =


    X

    an xn ,

    ∀x ∈ (−∞, ∞).

    n=0

    Тому
    Z
    I=



    Ã
    e−x

    1/4

    sin x1/4

    0


    X

    n=0

    =


    X
    n=0

    !
    an xn
    Z

    an



    dx =
    1/4

    e−x

    sin x1/4 xn dx = 0,

    0

    оскiльки при будь-якому n iнтеграл пiд знаком суми дорiвнює
    нулю (доведiть це) [5].
    R∞
    233. Чи випливає iз збiжностi iнтеграла 1 f (x) dx збiжнiсть iнтегралiв
    (ε >
    Z 0∞):
    Z ∞
    Z ∞
    |f (x)|
    1)
    f 3 (x) dx; [3] 2)
    dx;
    [3]
    3)
    e−εx f (x) dx. [3]
    x2
    1
    1
    1
    234. При яких значеннях параметрiв α та β збiгаються iнтеграли:
    µ

    Z ∞
    Z ∞
    x3
    α
    β
    α
    1)
    |x − 1| |x + 1| dx ; [4] 2)
    x arctan
    dx; [5]
    1 + xβ
    −∞
    0
    Z ∞
    xα sin x dx
    3)
    ³
    ´β . [7]
    x
    0
    arctan x − arcsin 1+x

    235. Дослiдити на абсолютну та умовну збiжнiсть при всiх значеннях
    параметра α наступнi iнтеграли:
    Z ∞
    Z ∞
    cos x dx
    sin ln x
    · sin x dx ; [3]
    1)
    ; [3] 2)
    α + ln x
    x

    0
    Z2 ∞
    dx
    3)
    sin(x + 1/x) α . [4]
    x
    0
    236. Дослiдити на неперервнiсть функцiї:
    Z ∞
    Z 1
    cos(ax2 )
    aesin x
    1) f (a) =
    dx;
    [3]
    2)
    f
    (a)
    =
    dx . [3]
    2
    2
    1 + x2
    0
    0 x +a
    237. За допомогою перетворення Фур’є, знайдiть розв’язок диференцiйного
    рiвняння
    ẍ + 2β ẋ + ω 2 x = f (t) ,

    β > 0, ω 2 > β 2 ,

    який обертається в нуль при f (t) ≡ 0 ; f (t) — деяка функцiя
    часу. [4]
    238. Використовуючи перетворення Фур’є, отримайте розв’язок системи
    диференцiйних рiвнянь:
    ½
    ½
    ẋ + 2x = y
    ẋ + 3x = y
    1)
    ; [5] 2)
    ; [5]
    ẏ + 2y = x − f (t)
    ẏ + 4x = 2y − 3f (t)
    який обертається в нуль при f (t) ≡ 0 ; f (t) — деяка функцiя
    часу.
    239. Розкласти в ряд Фур’є функцiю
    f (x) = ln(1 − 2q cos x + q 2 ), (|q| < 1).

    [5]

    240. Розкласти в ряд Фур’є функцiю f (x) = sgnx, (|x| < π), намалювати
    графiк самої функцiї i графiки декiлькох частинних сум ряду
    для цiєї функцiї. Використовуючи отриманий розклад знайти

    X
    (−1)n−1
    суму ряду Лейбниця:
    . [5]
    2n − 1
    n=1
    241. Знайти образи Фур’є для наступних функцiй:
    2

    1) f (x) = e−x /2 ; [3] 2) f (x) = e−x
    3) f (x) = δ(x − x0 ) . [2]

    2

    /2

    cos(ax); [4]

    242. Використовуючи перетворення Фур’є розв’язати iнтегральнi рiвняння
    (знайти невiдому функцiю ϕ(x) ):
    Z +∞
    1)
    ϕ(t) sin(xt)dt = e−x ; [5]
    Z

    0
    +∞

    2)

    ϕ(t) cos(xt)dt =
    Z

    0
    +∞

    3)

    a2

    1
    ; [5]
    + x2
    2

    ϕ(t)ϕ(x − t)dt = e−x . [5]

    −∞

    243. Знайти зображення Фур’є для тривимiрного потенцiалiалу Юкави
    V (~r) =

    V0 −q|~r|
    e
    . [5]
    |~r|

    244. Використовуючи перетворення Фур’є, отримайте розв’язок диференцiйного
    рiвняння

    ∆A = − j(r) ,
    c
    такий, що A(r) → 0 при j(r) → 0; j(r) — задана функцiя
    координат. [5]

    Роздiл 3

    3.1

    Теорiя функцiй комплексної змiнної

    245. Обчислити:
    µ

    π
    i
    1) tg
    + ln 3 ; [2]
    3
    2

    µ
    2) ln

    1 + i1001

    2


    ; [2]

    3) (3 − 4i)1+i . [2]

    246. Для яких z всi значення arcsin z — дiйснi? [2]
    247. Знайти 248. Розв’язати рiвняння:
    1) ctg z = − 35 i ; [2]

    2) 2 ch z + sh z = i ; [2] 3) sin z = i sh z . [2]

    249. Знайти множину розв’язкiв
    p
    1) |z + 1 + z 2 | = 1; [5] 2)

    рiвняння:
    ¯
    ¯
    ¯ z ¯
    ¯
    ¯
    ¯ z + 1 ¯ < 1 . [5]

    з геометричних мiркувань, довести, що обидва значення
    250. Виходячи

    z 2 − 1 лежать на прямiй, що проходить через початок координат
    i паралельна бiсектрисi внутрiшнього кута трикутника з вершинами
    в точках −1 , 1 та z , проведеної з точки z . [3]
    251. Початкове значення arg f (z) в точцi z = 2 прийнято рiвним
    нулю. Точка z робить один повний оберт проти годинникової
    стрiлки по колу з центром в початку координат i повертається в
    точку z = 2 . Знайти значення arg f (z) пiсля вказаного обходу,
    якщо:
    46

    p
    1) f (z) = z 2 + 2z − 3; [3]

    r
    2) f (z) =

    z−1
    ; [3]
    z+1

    3) f (z) = ln(z + 1/z) . [4]
    252. Знайти аналiтичну функцiю f (z) = u + iv , якщо
    1) u = x2 + y 2 + 5x + y ; [2]
    3) 2u + v = x2 − y 2 . [2]

    2) u = x3 + 6x2 y − 3xy 2 − 2y 3 ; [2]

    253. Знайти аналiтичну функцiю f (z) , якщо arg f (z) = x2 − y 2 . [2]
    254. Якiй умовi повинна задовольняти функцiя g(x, y) для того, щоб
    iснувала аналiтична функцiя f (z) = u+iv , для якої виконується
    рiвняння:
    1) au + bv = g(x, y) , a, b — заданi комплекснi числа; [3]

    2) n u2 + v 2 = g(x, y) , n ∈ N . [3]
    255. Будь-яку функцiю f = u(x, y) + iv(x, y) можна записати як
    функцiю вiд змiнних z та z ∗ :

    µ

    µ
    z + z∗ z − z∗
    z + z∗ z − z∗
    f =u
    ,
    + iv
    ,
    ≡ F (z, z ∗ ).
    2
    2i
    2
    2i
    Доведiть, що умова диференцiйовностi функцiї f в точцi z0
    еквiвалентна рiвнянню
    µ

    ∂F
    = 0.
    [2]
    ∂z ∗ (z0 ,z∗ )
    0

    Як виражається через функцiю F (z, z ∗ ) значення похiдної
    fz0 (z0 ) ? [1]
    256. Для яких z функцiя f (z) є диференцiйовною? Чому дорiвнює
    ця похiдна?
    1) f (z) = z ∗ (z − a) ; [2]
    3) f (z) = ln |z|. [2]

    2) f (z) = z 2 arg z ; [2]

    257. Нехай E = (u(x, y), v(x, y)) — векторне поле на площинi. Спiвставимо
    вектору E комплекснозначну функцiю E = u + iv . Доведiть, що
    система диференцiйних рiвнянь
    div E = 0,

    (rot E)3 = 0,

    еквiвалентна одному рiвнянню ∂E/∂z = 0 , загальний розв’язок
    якого E = E(z ∗ ) — довiльна функцiя вiд змiнної z ∗ = x − iy . [3]

    258. Знайти суму рядiв:
    1)
    3)

    N
    X
    n=0

    X

    sin(2n + 1)ϕ; [3]
    (−1)n+1

    n=1

    sin nϕ
    ,
    n

    2)


    X
    cos nϕ
    ; [3]
    n
    n=1

    −π < ϕ < π . [3]

    259. Розкласти в ряд Тейлора по степеням (z − 1) функцiю
    f (z) =

    z2
    .
    (1 + z)2

    [3]

    260. Розкласти в ряд Лорана в околi точки z = i та z = ∞ функцiю
    f (z) =

    1
    .
    (1 + z 2 )2

    [4]

    261. З’ясувати, чи допускає вказана багатозначна функцiя розклад в
    ряд Лорана в околi даної точки
    r
    r

    π
    π
    1)
    − arcsin z , z = 1 ; [7] 2)
    − arcsin z , z = 1/ 2 . [7]
    2
    4
    262. Знайти область збiжностi наступних функцiональних рядiв:
    µ
    ¶n!



    X
    X
    X
    z
    n n!
    n 2n
    2n
    1)
    2 z ; [2] 2)
    n z ; [2] 3)
    n
    . [3]
    1+z
    n=1
    n=1
    n=1
    263. Знайти радiус збiжностi ряда Маклорена для функцiї:
    µ

    sin z
    ln(2 + sin z)
    1) f (z) = ln
    ; [2] 2) f (z) =
    . [4]
    z
    z2 + 4
    264. Знайти особливi точки функцiї (для полюсiв вказати їх порядок):
    1
    ; [1]
    z(z 2 + 4)2
    1
    . [3]
    4)
    2
    ln(z − 4z + 5)

    1) ctg z − 1/z ; [2] 2)
    3) ectg 1/z ; [1]

    265. Знайти лишки функцiй вiдносно всiх iзольованих особливих точок
    та точки z = ∞ :
    sin 2z
    z2 + z − 1
    1) f (z) =
    ; [3] 2) f (z) = 2
    ; [3]
    3
    (z + 1)
    z (z − 1)
    3) f (z) = z ctg z 2 ; [2] 4) f (z) = ez+1/z ; [3]
    r
    1 3 z4
    5) f (z) =
    з розрiзом вздовж вiдрiзка [−1, 0], на
    1µ− z ¶
    1+z
    z4
    = 0 на верхньому березi. [7]
    якому arg
    1+z
    266. Знайти контурнi iнтеграли:
    Z
    z dz
    1)
    , де C — коло |z − 2| = 1/2; [3]
    (z

    1)(z
    − 2)2
    C
    Z
    1
    2)
    sin2 (1/z) dz , де C — коло |z| = 2; [3]
    2πi C
    Z
    z
    3)
    dz , де C — контур, що зображений на малюнку 1; [3]
    z∗
    ZC
    4)
    ln[z(z 2 −4)]dz , де C — контур, що починається в точцi z =
    C

    3 i закiнчується в точцi z = −1 (дивись малюнок 2). Вважати,
    що ln[z(z 2 − 4)]z=3 = ln 15 . [6]

    267. Знайти iнтеграли:
    Z ∞
    Z π
    cos x
    1)
    dx
    ;
    [3]
    2)
    tg(x + ia) dx, =m a = 0; [4]
    x4 + 8x2 + 16
    0
    0
    Z ∞
    Z ∞
    x2 dx
    xp dx
    3)
    ;
    [4]
    4)
    , −1 < p < 1; [4]
    2
    2
    3
    (x + a )
    (x + 1)2
    0
    0
    Z ∞
    Z ∞
    dx
    eax
    5)
    ;
    [2]
    6)
    dx, 0 < a < 1 ; [4]
    2
    x
    −∞ x − 2ix − 2
    −∞ 1 + e

    Z



    7)
    0

    (b + a cos ϕ)dϕ
    , |a| 6= |b|. [4]
    a2 + b2 + 2ab cos ϕ

    268. Знайти iнтеграли:
    ¶1/3
    Z 1 p
    Z 1µ
    4
    (1 − x)(1 + x)3
    dx
    x
    ;
    [5]
    2)
    dx; [6]
    1)
    2
    1−x
    1+x
    1 + x2
    0
    −1
    Z ∞ √
    Z ∞
    dx
    x dx
    3)
    ;
    [10]
    4)
    ; [6]
    n
    2
    2
    (1 + x )
    0
    0 (1 + x)(1 + x )
    Z 1
    Z ∞
    1 − x dx
    cos ln x
    5)
    ln
    , a>0; [6] 6)
    dx; [5]
    2 + a2
    x
    x
    +
    a
    x
    0
    0
    Z ∞
    Z ∞
    x − sin x
    ln x
    √ dx; [5]
    8)
    dx . [6]
    7)
    3
    x (x2 + a2 )
    (1 + x) x
    0
    0
    269. Знайти асимптотичну поведiнку iнтеграла I(λ) при λ → +∞ .
    Z
    1) I(λ) =

    Z

    1

    ln x e

    iλx

    dx; [7]





    2) I(λ) =

    0

    −∞

    eiλx
    dx . [10]
    1 + x2n

    270. За допомогою теорiї лишкiв, знайти суми рядiв
    1)


    X

    1
    ; [5]
    (2n
    +
    1)2
    n=0

    2)


    X
    (−1)n
    . [5]
    n2 + a 2
    n=0

    271. Розв’язати операцiйним методом
    1)
    2)
    3)
    4)
    5)
    6)

    x00 − 2x0 + 2x = 1 , x(0) = x0 (0) = 0 ; [3]
    x00 − 2x0 = e−2t , x(0) = x0 (0) = 0 ; [3]
    x00 + 4x0 + 4x = 2e−2t sin t , x(0) = −1, x0 (0) = 1 ; [4]
    x00 + tx0 − (t + 1)x = 0 , x(0) = x0 (0) = 1 ; [5]
    x00 + (t + 1)x0 + tx = 0 , x(0) = 1 , x0 (0) = −1 ; [5]
    tx00 + (2t − 1)x0 + (t − 1)x = 0 , x(0) = 1 , x0 (0) = −1 . [5]

    3.2

    Асимптотичнi методи в аналiзi

    272. Довести, що
    1) xx+O(x

    2

    )

    = 1 + x ln x + 12 x2 ln2 x + O(x2 ln x),

    x → +0 ;

    2) (x + 1 + O(1/x))x = exx + O(xx−1 ),

    x → ∞;

    3) якщо функцiя f (x) така, що f (0) = f 0 (0) = · · · = f (n) (0) = 0 ,
    тодi f (x) = o(xn ) , x → 0 .
    273. Чи виконуються рiвностi ( x → ∞ )
    1) 2 cos x + o(1) = (1 + o(1))2 cos x;
    2) (1 + o(1))2 cos x = 2 cos x + o(1);
    3) (1 + o(1)) ch x − (1 + o(1)) sh x = (1 + o(1))e−x .
    274. Нехай f (x) ∼ g(x), x → ∞ . Чи вiрно, що i
    1) (f (x))n ∼ (g(x))n ;
    3) ln f (x) ∼ ln g(x),

    2) ef (x) ∼ eg(x) ;
    f (x), g(x) > 0.

    275. Довести рiвнiсть ( x → ∞ )
    1) ln(O(x)) = O(ln x);
    O(x)

    Чи вiрна рiвнiсть e

    2)

    α

    (O(x)) = O(xα ),
    x

    = O(e ) ,

    α > 0.

    x→∞?

    276. Довести, що
    Z

    µZ

    x

    O (f (t)) dt = O
    0

    x


    |f (t)| dt .

    0

    277. Довести рiвнiсть
    Z
    1

    x

    µ
    ¶t
    µ

    1
    1
    11
    1+
    dt = e x − ln x + C −
    + O(x−2 ) ,
    t
    2
    24x

    x → ∞,

    де C — деяка константа.1
    278. Знайти першi два члена розкладу всiх коренiв рiвняння (² → 0 ).
    1) ²x3 + x + 2 + ² = 0;
    2) x3 − (4 + ²)x2 + (5 − 2²)x − 2 + ²2 = 0;
    3) ²(x5 + x4 − 2x3 ) − 4x2 + 4x − 1 = 0;
    4) ²2 x6 − ²x4 − x3 + 2x2 + x − 2 = 0.
    1 Вказiвка.

    ¡
    ¢
    Доведiть спочатку, що (1 + 1/t)t = e 1 − 1/2t + 11/24t2 + O(t−3 ) .

    279. Знайти кiлька перших членiв асимптотичного розв’язку рiвняння
    i оцiнити залишок.

    1) x2 (1 + ex ) = t−1 , t → ∞ ; 2) x ln x = t−1 , t → −∞ ;
    3) xx = t, t → 1, x → 1;
    4) xx = t t → 1, x → 0 ;
    x
    5) x = t, t → ∞;
    6) sin xn = (ln xn )−1 , n → ∞. 2
    280. Виходячи з асимптотичного розкладу для функцiї Бесселя
    (x → ∞)
    r
    ½
    ¾
    4ν 2 − 1
    2
    Jν (x) ∼
    cos(x − νπ/2 − π/4)−
    sin(x − νπ/2 − π/4))
    πx
    8x
    показати, що великi за номером коренi рiвнянь Jν (ξn ) = 0 та
    Jν0 (ζn ) = 0 даються наближеними формулами
    4ν 2 − 1
    ,
    2π(4n − 1 + 2ν)
    2
    3 + 4ν
    ζn = (n − 3/4 + ν/2)π −
    .
    2π(4n − 3 + 2ν)
    Цi формули дають надзвичайно гарне узгодження ( ' 0, 2% ) вже
    при n = 1 !
    ξn = (n − 1/4 + ν/2)π −

    281. За допомогою метода пiдсумовування довести асимптотичнi рiвностi.
    ·
    µ
    ¶¸
    n
    X
    √ ³ n ´n
    1
    2
    1)
    ln k = ln n! = ln
    n
    1+
    + O(1/n ) + C0 ;
    e
    12n
    2)
    3)

    k=1
    n
    X

    k=1
    n
    X




    1
    1
    1
    = ln(1 + 2) −
    (1 − √ ) + O(1/n2 );
    2n
    2
    k 2 + n2

    ln(k + n) = n ln n + n(2 ln 2 − 1) + ln

    k=1



    2−

    1
    + O(1/n3 ) .
    24n

    282. Використовуючи перетворення Абеля показати, що
    1)


    X

    2

    n−1 e−n

    n=1

    x

    1
    1
    = − ln x + γ + O(x1/2 ),
    2
    2

    x → 0; 3

    2) довести формулу пiдсумовування Ейлера - Маклорена
    2 Спробуйте
    3 Тут

    знайти повний а.р.
    i далi γ – постiйна Ейлера (дивись додаток 1).

    n
    X

    Z

    n

    f (k) =
    0

    k=0

    m

    X B2k
    1
    f (x) dx + (f (0) + f (n)) −
    (f (2k−1) (0) −
    2
    (2k)!
    k=1

    − f (2k−1) (n)) + R2m+1 ;
    3) отримати формулу пiдсумовування
    Z n
    n−1
    m
    X
    X
    22k−1 − 1
    f (k + 1/2) =
    f (x) dx +
    B (f (2k−1) (0) −
    2k−1 (2k)! 2k
    2
    0
    k=0
    k=1
    Rn
    (2k−1)
    −f
    (n)) + R2m+1 , де R2m+1 = O( 0 |f (2m+1) (x)| dx) 4 .
    283. Показати, що

    X
    c−1
    + c0 + c1 x + . . . ,
    1)
    ln(1 − be−nx ) =
    x
    n=0
    де cn =


    (−1)n Bn+1 X k n−1
    b k
    ,
    (n + 1)!

    0 < b < 1, x → 0,

    n = −1, 0, 1, 2, . . . ;

    k=1

    Bn – числа Бернуллi.

    X
    a−n
    1
    1 a(1 + a)

    2)
    − 3·
    + O(x−5 ),
    =
    3
    2
    2
    x(a

    1)
    2x
    (a

    1)
    n
    +
    x
    n=1
    284. Показати, що при x → 0

    X
    π2
    1
    1)
    ln(1 − e−nx ) = −
    − ln x + O(1);
    6x
    2
    n=1
    2)
    3)


    X
    k=1
    +∞
    X

    2

    (−1)k+1 ke−xk =

    2

    k 2n e−xk =

    −∞

    4)


    X

    2

    ke−xk =

    k=1
    4 Вказiвка.

    1 x
    + + O(x2 );
    4 8

    π(2n − 1)!!
    + е.м.ч.; 5
    2n xn+1/2

    2
    1

    + O(x).
    x 12

    Запишiть суму у виглядi
    n
    X

    Z
    f (k + 1/2) = A(n + 1)f (n + 1) −

    k=0

    де A(x) = n, n − 1/2 ≤ x < n + 1/2 .
    — експоненцiйно малi члени.

    5 е.м.ч.

    0

    n+1

    A(x)f 0 (x) dx,

    a > 1.

    285. Iнтегруванням частинами довести наступнi асимптотичнi розклади:
    Z ∞

    X
    1)
    f (x)e−px dx ∼
    f (n) (0)p−n−1 , p → ∞;
    0

    Z
    2)

    n=0
    b

    f (x)eiωx dx ∼

    a


    X

    (iω)−n−1 (eiωb bn − eiωa an ),

    ω → ∞,

    n=0

    де an = (−1)n f (n) (a) , bn = (−1)n f (n) (b) . Яким умовам повиннi
    задовольняти функцiї f (x) в a) та b) для того, щоб були справедливi
    цi розклади?
    Z x
    tα (ln t)n dt = O(xα+1 (ln x)n ), x → 0 i
    3)
    0
    Z x
    tα (ln t)n dt = O(xα+1 (ln x)n ), x → ∞, α > −1, n ∈ Z;
    2

    Z

    4) I(x) =
    0



    e−t


    X
    dt
    (−1)n n!

    ,
    t + x n=0 xn+1

    x → ∞,

    I(x) = − ln x − γ + o(1), x → 0 ;
    Z ∞
    e−xt
    p
    5) J(x) =
    dt = − ln x + 2 ln 2 − γ + o(1), x → 0 .
    t(t + 1)
    0
    286. Використовуючи метод Лапласа або метод стацiонарної фази
    довести асимптотичнi рiвностi ( x → +∞ ).
    ¡
    ¢
    Z ∞

    1 X (−1)k+1 Γ k+1
    −xtα
    α
    1)
    e
    ln(1 + t) dt ∼
    , α > 0;
    α
    kx(k+1)/α
    0
    k=1
    r
    Z ∞
    2π x/e
    −xt
    2)
    t
    dt ∼
    e ;
    xe
    0
    Z π/2

    X
    [(2k − 1)!!]2
    ;
    3)
    e−x sin t dt ∼
    x2k+1
    0
    k=0
    Z ∞

    X
    dt
    (−1)n (2n)!
    4)
    e−x/t

    ;
    2
    1+t
    x2n+1
    0
    n=0
    Z ∞ ³ ´t

    xe
    5)

    dt ∼ 2πx xα ex ;
    t
    1
    r µ

    Z ∞
    π 1
    −2 −x sin2 t
    6)
    t e
    dt =
    + O(x−1 ) ;
    x 6
    1

    Z

    1

    7)

    r
    t x

    2 −x

    e t (1 + t )
    0

    8)

    n
    X

    Cnk k! n−k

    k=0
    n
    X

    dt ∼
    r
    πn

    ,
    2

    π
    e
    ·
    ;
    2x 2x

    1
    λ2

    + O(1/n2 ), 0 < λ < 1 ; 6
    1 − λ n(1 − λ)3
    k=0
    µ

    Γ(x + a)
    (a − b)(a + b − 1)
    a−b
    2
    9)
    =x
    1+
    + O(1/x ) ; 7
    Γ(x + b)
    2x
    Z 1
    3
    Γ(1/3)eiπ/6 ln 2 Γ(2/3)eiπ/3
    eixt ln(2 + t) dt =
    10)
    +
    + O(1/x);
    3x1/3
    6x2/3
    r
    Z0 1 ixt

    X
    (−i)n+1 (2n − 1)!!
    πi
    e
    √ dt ∼
    + eix
    ;
    11)
    x
    2n xn+1
    t
    0
    n=0
    µ

    Z ∞
    1
    1
    2 3/2 π
    12) Ai(−x) = √
    cos(t3 /3 − tx)dt ∼ 1/4 sin
    x +
    ;
    3
    4
    π 0
    x

    Z π/2
    2
    i π
    i ixπ2 /4
    13)
    (1 − cos t)eixt dt = −
    e
    + 3/2 eiπ/4 + O(1/x2 );
    πx
    8x
    0
    Z π/2
    ³
    ´
    1 π
    sin x
    14)
    t sin(x cos t) dt =
    − cos x −
    + O(x−3 );
    x 2
    3x2
    0
    r
    µ

    Z ∞
    1 2x−1 π
    π x
    15)
    t cos[t2 (ln t − x)] dt =
    e cos
    e

    + O(1).
    e
    2
    4
    0
    Cnk k! n−k λk =

    287. Змiщуючи контур iнтегрування в комплексну площину, привести
    iнтеграли до вигляду iнтеграла Лапласа i довести асимптотичнi
    рiвностi ( x → +∞ ).
    r
    Z
    1 ∞ eixt
    π −x

    1)
    dt ∼
    e ;
    2 −∞ 1 + t2
    2x
    r
    Z ∞

    sin xt
    π X (−1)n [(2n − 1)!!]2

    2)
    dt ∼
    sin(x+π/4+πn/2);
    2x n=0
    23n n!xn
    t2 − 1
    1
    Z
    6 Вказiвка.
    7 Вказiвка.

    .

    k!n−k−1 =
    0



    e−nx xk dx .

    Скористайтеся спiввiдношенням
    Z 1
    Γ(p)Γ(q)
    B(p, q) =
    =
    xp−1 (1 − x)q−1 dx
    Γ(p + q)
    0

    µ ¶n+1/2
    ³ π
    ´
    2
    eixt (1−t2 )n−1/2 dt ∼
    Γ(n+1/2)cos x− (n + 1/2) ;
    x
    2
    −1
    Z 1

    n
    X
    (−i)
    i ln x iγ + π/2
    4)
    ln teixt dt ∼ −

    − eix
    n! ;
    x
    x
    xn+2
    0
    n=0
    Z πn
    πα
    (−1)n α
    5)
    tα cos t dt = −Γ(α + 1) sin
    +
    + O(nα−3 ),
    2
    (πn)1−α
    0
    α > −1, n ∈ N, n → ∞.
    Z

    1

    3)

    288. Використовуючи рiзнi методи довести асимптотичнi рiвностi
    µ

    Z ∞
    2xt
    1
    1
    dt
    1) I =
    exp − 2
    = + 3 + O(x−5 ), x → ∞,
    2+1
    t
    +
    1
    t
    x
    x
    0
    πx2
    π
    + O(x3 ) x → 0; 8
    I = −x+
    2
    8
    µ

    Z x
    (ln x)2
    1 π2
    ln t
    2)
    sin2 (t/2)dt =
    +
    − γ2 −
    t
    4
    4 12
    0
    ln x

    sin x + O(ln x/x2 ), x → ∞ ;
    2x
    Z


    3) I =

    e−t ln(t + x) dt = −γ − x ln x + O(x) ,

    x → 0,

    0

    I ∼ ln x +
    Z


    X
    (−1)k k!
    k=0

    xk+1

    ,

    x → ∞;



    ln t
    γ
    π
    sin t dt = − + 2 + O(x−3 ) , x → ∞ ; 9
    x
    +
    t
    x
    2x
    0
    πγ
    1
    I=−
    + x ln2 x + O(x); x → 0.
    2
    2

    4) I =

    289. За допомогою методу перевалу довести асимптотичнi рiвностi
    ( x → +∞ ). Обгрунтувати вибiр контура.


    ³ x ´n
    X
    [(2n − 1)!!]2
    (−1)n
    π X
    , x → ∞; I =
    , x → 0.
    2n+1
    2
    x
    2 n=0 [Γ(n/2 + 1)]
    2
    n=0
    ( ∞
    )
    X (−1)n (2n)!C2n
    π (−1)n (2n + 1)!
    9 Точнiше I ∼ 1
    ,
    +
    2n
    x n=0
    x
    2
    x2n+1
    n
    X
    1
    де Cn = −γ +
    ; C0 = −γ.
    k
    k=1

    8 Точнiше

    I∼

    Z



    1)

    r
    ix sh t

    e

    dt ∼

    −∞

    Z
    2)




    2π −x X [(2n − 1)!!]2
    e
    ;
    x
    n!(8x)n
    n=0

    sin(t3 /3 + xt) dt ∼

    0

    Z


    X

    (3n)!
    ;
    n n!x3n+1
    3
    n=0

    2 3/2 ∞
    e− 3 x X (−1)n (6n − 1)!!
    ;
    2x1/4 n=0 (2n)!72n x3n/2
    0

    µ

    1 X (6n − 1)!!
    2 3/2 π πn
    x + −
    ;
    4) Ai(−x) ∼ 1/4
    sin
    3
    4
    2
    x
    (2n)!72n x3n/2
    n=0
    µr

    Z
    2
    π
    x(t−ln t)
    x
    −3/2
    5)
    e

    + O(x
    dt = e i
    ) ,
    2x 3x
    C
    де C – пiвкола в верхнiй напiвплощинi комплексної змiнної t,
    що починається в точцi t = 1 i закiнчується в точцi t = −1 .
    r ³ ´
    Z ∞+i
    π e x −iπx
    −t2 dt

    e
    ;
    6)
    e
    2x
    t
    2 x
    −∞+i

    µ
    Z 1+i∞

    2
    2
    1
    7)
    tt e−xt dt ∼ i π exp − e2x−1 ;
    2
    1−i∞
    r
    Z +∞

    π(1 − c) −cx
    8)
    eixt (1 + t2 )−x dt ∼
    e (2c)−x , c = 2 − 1;
    x
    −∞
    Z ∞ ix(t3 +3t)
    Z ∞ ix(t3 +3t)
    e
    i
    e
    Γ(1/4) −2x


    9)
    dt ∼ ;
    dt ∼
    e
    ;
    1/4
    2
    2
    x
    2(3x)
    1
    +
    t
    1
    +
    t
    0
    −∞
    r
    µ

    Z +∞ −x(t2 −2it)
    e
    π 1 π
    −x
    −3/2
    10)
    dt

    e
    +
    +
    O(x
    )
    .
    2
    2
    4 x
    −∞ sh(1 + t )

    1
    3) Ai(x) = √
    π



    cos(t3 /3+xt) dt ∼

    Бiблiоґрафiя
    [1] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений
    математическому анализу, -М.: Наука (довiльне видання).

    по

    [2] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И.
    Сборник задач по математическому анализу, т. 1-3, -М.:
    Физматлит (довiльне видання).
    [3] Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н.
    Избранные задачи по вещественному анализу: Учеб. пособие для
    вузов.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992.- С. 432.
    [4] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, -М.:
    Наука (будь-яке видання).
    [5] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа -М. Высшая
    школа (будь-яке видання).

    58