• Название:

    Dops!


  • Размер: 0.7 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

Установите безопасный браузер



    Предпросмотр документа

    Методичнi рекомендацiї
    до самостiйної роботи з
    математичного аналiзу
    для студентiв фiзичного
    факультету.

    24 вересня 2009 р.

    Методичнi рекомендацiї мiстять задачi з математичного аналiзу,
    що пропонувались протягом кiлькох рокiв студентам фiзичного факультету
    КНУ для самостiйної роботи. Метою посiбника є поглиблення знань з
    математичного аналiзу, розвиток творчих здiбностей студентiв шляхом
    розширення їх самостiйної роботи.
    Ряд задач, що увiйшли до посiбника взято з вiдомих пiдручникiв
    та збiрникiв задач [1, 2], однак багато задач є оригiнальними.
    Кожна задача оцiнена певною кiлькiстю балiв, в залежностi вiд
    рiвня складностi. Значна частина завдань має пiдвищений рiвень складностi,
    однак для їх розв’язання достатньо теоретичних знань отриманих на
    лекцiях або з стандартних унiверситетських пiдручникiв з математичного
    аналiзу [4, 5]
    Завдання роздiлено на чотири модулi, якi студенти виконують i
    сдають паралельно до вивчення вiдповiдного теоретичного матерiалу.
    Кожен модуль має бути оформлений i складений у вiдповiдний термiн
    (див. Табл.)
    I
    II
    III
    IV

    Метод математичної iндукцiї, границя, похiдна.
    Iнтеграл.
    Частиннi похiднi. Кратнi та криволiнiйнi iнтеграли.
    Ряди. Iнтеграли з параметром.

    I семестр, до 15 листопада
    I семестр, до 15 грудня
    II семестр, до 15 травня
    III семестр, до 15 грудня

    Методичнi рекомендацiї до самостiйної роботи з математичного
    аналiзу для студентiв фiзичного факультету
    Укладачi: О.В. Барабаш, О.I.Якименко – К. 2007.
    Рецензенти:
    канд. фiз.-мат. наук, доц. Н.В. Майко,
    канд. фiз.-мат. наук, доц. М.А. Разумова

    Київський унiверситет iменi Тараса Шевченка, 2007.

    Роздiл 1

    1.1

    Метод математичної iндукцiї, границя,
    похiдна.

    1. За допомогою метода математичної iндукцiї довести твердження
    ( n ∈ N ):
    N
    X
    k+1
    1) 2n n! < nn , n > 5 ; [1]
    2)
    Cnk = CN
    +1 ; [3]
    n=k

    10n+1 − 9n − 10
    , лiва частина
    3) 3 + 33 + 333 + ... + 33...3 =
    27
    рiвностi
    n доданкiв; [2]
    q мiстить
    p

    2 + 2 + ... + 2 = 2 cos(π/2n+1 ) , лiва частина рiвностi
    4)
    мiстить n коренiв; [1]
    Z 2π
    (2n − 1)!!
    5)
    (cos x)2n dx = 2π
    ; [3]
    (2n)!!
    0
    p
    6) n − n дiлиться на p , якщо p ∈ N — просте число. [3]
    2. Знайдiть значення:


    n µ
    n µ
    Y
    Y
    1
    4
    1)
    1 − 2 , [3]
    2)
    ,
    1−
    k
    (2k − 1)2
    k=2
    k=2
    n
    X
    3)
    k · (k + 1) · (k + 2) . [5]
    k=1

    3. Обчислити суми:
    3

    [3]

    1)
    3)
    5)
    8)

    n
    X
    k=1
    n
    X
    k=1

    X
    k=1
    n
    X

    1
    ; [1]
    (3k − 2)(3k + 1)
    (−1)k−1 k 2 ; [3]
    1
    1
    ; [2]
    2
    k (k + 1)2
    k n−k
    CN
    CM ;

    [6]

    k=0

    6)


    X

    1
    ; [2]
    k(k + 1)(k + 2)
    k=1
    n
    n
    X
    X
    3
    4)
    k ,
    (−1)k−1 k 3 ; [6]
    2)

    n
    X

    k=1

    Cnk ;

    k=1

    [1] 7)

    k=0

    n
    X
    Cnk
    9)
    . [6]
    k+1

    n
    X

    (−1)k Cnk ; [1]

    k=0

    k=0

    4. Обчислити суми ( a, b ∈ R ):
    1)

    n
    X

    sin kx ; [3]

    2)

    k=1

    X


    X

    ak cos(kx + b) , |a| < 1 ; [4]

    k=1



    X
    sin ak
    cos ak X sin ak
    ,
    ; [5] 4)
    ; [4]
    3)
    (−1)k−1
    k
    k
    k
    k=1
    k=1
    k=1


    X
    X
    cos kx
    cos ak
    5)
    (−1)k 2
    ; [6] 6)
    . [3]
    k −1
    k!
    k=2

    k=0

    5. Обчислити суму:
    Sn =

    n−1
    X
    j=1

    1
    ,
    1 − zj

    [6]

    де zj коренi рiвняння z n = 1 , вiдмiннi вiд одиницi.
    6. Порахувати добуток
    (x21 + 1) · . . . · (x2n + 1),

    [5]

    де xi — коренi полiнома xn + a1 xn−1 + . . . + an , якщо всi xi —
    дiйснi.
    7. Знайти границi послiдовностi xn при n→ ∞ :
    1 Вказiвка:


    X
    1
    π2
    =
    2
    k
    6
    k=1

    ¯ n
    ¯
    √ ¯¯
    1 ¯¯X
    k
    1) xn = √ ¯
    (−1) k ¯ ; [7]
    ¯

    k=1

    n
    3n
    Y
    n
    2) xn =
    sin(k/n3/2 ). [10]
    n!
    k=1

    8. Довести, що послiдовнiсть xn має границю та знайти її.
    s
    r
    q

    1) xn = a + a + a + ... a, (n коренiв), a > 0 ; [4]
    n

    2) xn =

    X
    1
    kk! . [4]
    (n + 1)!
    k=1

    9. Довести, що послiдовнiсть xn

    1
    1
    1
    xn = 1 + √ + √ + . . . + √ − 2 n + 1
    n
    2
    3

    [6]

    монотонна та обмежена.
    10. Знайти границi:
    1)

    lim

    n→∞

    2n
    X
    k=0
    p
    n

    3) lim

    n→∞

    2−k cos

    p

    k/n;

    (4)

    2) lim

    (n + 1)(n + 2) . . . (n + n)
    .
    n

    n→∞

    2n
    X

    2−kn/(n+k) ;

    [4]

    k=0

    [10]

    11. Довести, що послiдовнiсть xn має границю та знайти її.
    v
    s
    u
    r
    u
    q

    t
    xn = 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + ... (n − 1) 1 + n . [15]
    12. Знайти границi:
    1) lim sin(2πen!),
    lim n sin(2πen!); [7]
    n→∞
    n→∞

    2) lim q n sin2 [π( 2 + 1)n ] , q > 0. [10]
    n→∞

    13. Визначити, при яких значеннях x1 та q послiдовнiсть xn має
    скiнченну границю та знайти її :

    x4n + 3
    x2 + 1
    ; [10] 2) xn+1 = n
    ;
    4xn
    2xn
    2
    = 1 + qxn , q 6= 0. [15]

    1) xn+1 =
    3) xn+1

    [7]

    14. Довести, що послiдовнiсть xn обмежена для всiх x1 , x2 > 0 ,
    якщо
    xn+2 = xn+1 + xn /2n . [7]
    15. Довести, що всi члени послiдовностi xn , заданої рiвнянням
    xn+1 =

    k + x2n
    ,
    xn−1

    x0 = x1 = 1,

    [15]

    приймають цiлi значення при будь-якому натуральному k .
    16. Дослiдити на неперервнiсть та побудувати графiк функцiї:
    1) f (x) = lim (x − 1)arctgxn ; [1]
    n→∞ √
    2) f (x) = lim n 1 + xn , (x ≥ 0); [1]
    n→∞

    ln(t/x)
    , (x > 0).
    t→x t − x

    3) f (x) = lim

    [1]

    17. Наведiть приклад функцiї, яка є розривною в кожнiй точцi, а її
    квадрат — функцiя неперервна. [3]
    18. Покажiть, що з диференцiйовностi функцiї в точцi x випливає i
    неперервнiсть функцiї в цiй точцi. Чи вiрне обернене твердження?
    Наведiть приклад. [2]
    19. Доведiть, що функцiя f (x) = x2 sin(1/x2 ) , f (0) = 0 є диференцiйовною
    на всiй числовiй осi. Чи є ця функцiя двiчi диференцiйовною?
    [3]
    20. Функцiєю Дiрiхле χ(x) називається функцiя, яка дорiвнює одиницi
    в кожнiй рацiональнiй точцi (включаючи i точку x = 0) i обертається
    в нуль в кожнiй iррацiональнiй точцi. Дослiдити на неперервнiсть
    функцiї χ(x) , xχ(x) та x2 χ(x) . Чи iснують точки в яких цi
    функцiї диференцiйовнi? [5]
    21. Розглянемо функцiю
    ½
    0 , якщо x — iррацiональна
    f (x) =
    ,
    1/q , якщо |x| = p/q

    f (0) = 1

    де p та q — цiлi додатнi числа, що не мають спiльних дiльникiв
    крiм одиницi. Покажiть, що функцiя f (x) — неперервна в кожнiй
    iррацiональнiй точцi i розривна в кожнiй рацiональнiй. Чи є ця
    функцiя перiодичною? Чи iснують точки, в яких ця функцiя
    диференцiйовна? [10]
    22. Будемо називати функцiю f (x) двiчi диференцiйовною в точцi
    x0 , якщо в цiй точцi iснує скiнченна границя
    f 00 (x0 ) = lim

    ∆x→0

    f (x0 + ∆x) − 2f (x0 ) + f (x0 − ∆x)
    .
    (∆x)2

    (∗)

    Покажiть, що:
    1) кожна функцiя f (x) , яка є двiчi диференцiйовною в точцi
    x0 в звичайному розумiннi (як похiдна вiд похiдної) буде двiчi
    диференцiйовною i в сенсi означення (*) i значення цих похiдних
    спiвпадають;
    2) iснують такi функцiї f (x) , якi є двiчi диференцiйовними в
    сенсi (*), але не є один раз диференцiйовними. Наведiть приклад
    функцiї, яка є неперервною в точцi x = 0 i для якої f 0 (0) — не
    iснує, але f 00 (0) = C 6= 0. [15]
    23. Першою рiзницею 4ϕ функцiї ϕ(x) з кроком h назвемо функцiю
    4ϕ = ϕ(x + h) − ϕ(x) . Друга рiзниця 42 ϕ визначається як
    4(4ϕ) = ϕ(x+2h)−2ϕ(x+h)+ϕ(x) . Аналогiчно визначається n та рiзниця: 4n ϕ = 4(4n−1 ϕ) . Знайти загальний вигляд функцiї
    ϕ(x) , для якої 4n ϕ ≡ 0 . [10]
    24. Обчислити, використовуючи визначнi границi:
    xn − 1
    sin x
    ; [1] 2) lim 2
    ; [2]
    x→π π − x2
    x→1 xk − 1
    ctgx
    3) lim x sin(π/x); (1) 4) lim (ln(e + x))
    ; [5]
    x→+∞
    x→0
    µ x
    ¶1/x2
    x
    a
    xe + 1
    aa − ax
    5) lim
    ;
    [6]
    6)
    lim
    , a > 0. [5]
    x→a ax − xa
    x→0 xπ x + 1
    1) lim

    25. Довести:
    ¯
    ¯
    ¯
    d ¯¯
    dx ¯¯
    ¯

    f11
    ...
    fi1
    ...
    fn1

    f12
    ...
    fi2
    ...
    fn2

    ... f1n
    ... ...
    ... fin
    ... ...
    ... fnn

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    n
    ¯ X¯
    ¯=
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯ i=1 ¯
    ¯
    ¯

    f11
    ...
    0
    fi1
    ...
    fn1

    f12
    ...
    0
    fi2
    ...
    fn2

    ... f1n
    ... ...
    0
    ... fin
    ... ...
    ... fnn

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯
    ¯,
    ¯
    ¯
    ¯

    [2]

    де fij (x) – диференцiйовнi функцiї. За допомогою доведеної
    формули обчислити ∆0 (x) , де
    ¯
    ¯ x
    ¯
    ∆(x) = ¯ x2
    ¯ x3

    1
    2x
    3x2

    0
    2
    6x

    ¯
    ¯
    ¯
    ¯ . [1]
    ¯

    26. Знайти кути пiд якими графiк функцiї y = f (x) перетинає вiсь
    абсцис:
    3at2
    3at
    , y= 3
    , −1 < t < 1; [2]
    1) y = ln x; [1] 2) x = 3
    t +1
    t +1
    2
    2
    3) x + y + 2y − 9 = 0, y > −1. [2]
    27. Записати рiвняння нормалi до графiку функцiї y = f (x) у вказанiй
    точцi:
    1) y = arcctg(1/x), x = 1; [2] 2) y 2 = 2px, y ≥ 0, x = x0 ;


    3) x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t, x = 1/2, y = 1/2; [2]
    4) r = a(1 + cos ϕ), ϕ = π/6. [3]

    [2]

    28. Скiльки коренiв (i при яких a) має рiвняння ax = loga x , a > 0 ,
    a 6= 1? [7]
    29. Визначити в яких точках i пiд яким кутом перетинаються графiки
    функцiй:


    1) f1 (x) = 2 sin x, f2 (x) = 2 cos x; [2]
    2) x2 + y 2 = 5, y 2 = 4x; [2]
    3) f1 (x) = g(x), f2 (x) = g(x) sin x,
    де g(x) − всюди диференцiйована функцiя. [3]
    30. Знайти вiдстань мiж полюсом i довiльною дотичною до кривої
    r = aebϕ . [5]
    31. Знайти y (n) (x) для функцiй:
    1) y =

    1+x
    ; [3]
    1−x

    2) y = sin4 x + cos4 x; [4] 3) y = x ln

    1+x
    ; [5]
    1−x

    4) y = eax cos(bx + c); [4] 5) y = chax sin bx; [4] 6) y = xn−1 e1/x .[7]

    32. Обчислити Pn,m (1) , якщо:
    Pn,m (x) =

    dn
    (1 − xm )n , m > 0. [5]
    dxn

    33. За допомогою розкладу в ряд Маклорена обчислити границi:
    (1 + x)1/x − e
    ex − 1 − x
    ;
    [1]
    2)
    lim
    ; [3]
    x→0
    x→0
    x2
    x

    5
    arctgx − arcsinx
    1 + 2x − 1


    3) lim
    ;
    [3]
    4)
    lim
    ; [3]
    4
    x→0
    x→0
    x3
    1+x− 1−x

    tgx − sin x
    sin 1 + x3 − sin 1
    5) lim
    . [4]
    ; [2] 6) lim √
    5
    3
    x→0
    x→0
    x
    1 − 2x ln cos x − 1
    ¡π
    ¢
    cos 2 cos x
    tg2 x − tgx2
    ; [5] 8) lim
    7) lim arcsinx
    ; [3]
    x→0 sin(sin2 x)
    x→0 e
    − esin x − x3 /3
    1) lim

    34. Обчислити границi:
    1) lim x (1 − x ln(1 + 1/x)) ; [3] 2) lim x1/(x−1) ; [3]
    x→∞
    x→1
    ³
    ´
    p
    4
    3
    2
    1/x
    3) lim (x − x + 1 + x/2)e
    − x12 − x9 + 2 ; [5]
    x→+∞
    ³p
    ´
    p
    5
    5
    4) lim x
    x5 + x4 + x3 − x5 + x4 − x3 ; [4]
    x→∞
    µ

    x2 + 1 x2 + x + 1
    x2 + 1
    5) lim
    1−
    ln
    ; [5]
    x→∞
    x
    x
    x2 + 1
    35. Використовуючи правила Лопiталя знайти границi функцiй:
    xx − 1
    ln x
    ; [2] 2) lim
    ; [1] 3) lim (1/x)sin x ; [2]
    x→1 ln x
    x→+0 ln sin x
    x→+0
    ln(1 − cos x)
    xα lnβ x
    ; [1] 5) lim
    ; [2]
    4) lim
    x→+∞
    x→+0
    ln tgx
    eγx
    µ

    α
    β
    n −x3
    6) lim x e
    ; [1] 7) lim

    , α, β 6= 0. [4]
    x→+∞
    x→1 1 − xα
    1 − xβ
    1) lim

    36. Розкласти в ряд Маклорена функцiї:
    1)

    1
    1
    ; [1] 2) √
    ; [3]
    2
    1+x
    1 − x2

    3) ln(x +

    p

    x2 + 1); [3]

    x+1
    4) arctgx; [3] 5) arcsinx; [3] 6)
    ; [3] 7) sh(x/2); [1]
    x−2

    1 − 1 + x2
    x

    8) ex cos x , до o(x3 ); [3] 9)
    ; [3] 10)
    ; [3]
    2
    (1 + x3 )2
    1+ 1+x
    11) cos6 x + sin6 x; [3] 12) ex/ sin x , до o(x4 ); [3]

    13) ln(1 − x + x2 ); [4] 14) cos x, до o(x4 ); [3]
    15) (1 − 2x + 3x2 + 4x3 )3 ,

    до o(x5 ). [2]

    37. Знайти першi три ненульових члена розкладу в ряд Маклорена
    функцiї y(x) , заданої рiвнянням:
    Z

    x−x2

    y(x) = x +

    y(t) cos t dt.

    [7]

    0

    38. Розкласти в ряд Тейлора функцiю в околi точки x = x0 до
    o((x − x0 )k ) :
    1
    1) , x0 = 2, k = n; [1] 2) (x2 − 1)e2x , x0 = −1, k = n; [4]
    x
    3
    2
    1
    3) √
    , x0 = 1, k = 2n; [2] 4) 2x −3x +3x , x0 = 1, k = 3n; [2]
    2
    2x − x
    x2 + x
    cos πx, x0 = −1/2, k = 2n. [4]
    5)
    2x + 1
    39. Знайти f (k) (0), якщо:
    2

    1) f (x) = e−x , k = 1000 ; [2] 2) f (x) = cos(sin x), k = 2009 ; [2]
    ³
    ´
    cos(x2 )
    1
    3) f (x) = 1−x
    , k = 2010; [3]
    4 , k = 2000; [3] 4) f (x) = ln
    1+x4
    5) f (x) = ln(1 + x + x2 + · · · + x999 ), k = 1000 .

    [5]

    40. Довести рiвнiсть
    f (2n+1) (0) = 0 , n = 1, 2, . . .

    де

    f (x) = ln(1 + ex ). [5]

    41. Функцiя y(x) задана параметрично. Записати повний ряд Маклорена
    для цiєї функцiї, якщо:
    y(t) = 3t − t3 ,

    x(t) = 2t − t2 . [5]

    42. Розкласти функцiю f (x) в ряд за степенями 1/x до o((1/x)k ):
    Z

    π/2

    e−x sin t dt; x → +∞. [10]

    1) f (x) = arctgx; [4] 2) f (x) =
    0

    43. Наведiть приклад нескiнченно диференцiйовної функцiї f (x) ,
    для якої ряд Тейлора

    X
    f (n) (x0 )
    (x − x0 )n
    n!
    n=0

    — є збiжним ∀x ∈ Oε (x0 ), ε > 0 , (∗∗)

    але ряд (**) збiгається до функцiї, яка не спiвпадає з f (x) . [5]
    44. Числа Бернуллi Bn визначаються з розкладу

    X
    x
    Bn n
    =
    x .
    x
    e − 1 n=0 n!

    Довести, що для чисел Bn виконуються рiвностi:
    n−1
    X
    1) B0 = 1,
    Cnk Bk = 0, n ≥ 2; [4]
    k=0

    2) B2n+1 = 0, n = 1, 2, . . . ;

    B1 = −1/2. [5]

    45. Записати через числа Бернуллi Bn (дивись попередню задачу)
    повний розклад в ряд Маклорена функцiй:
    1)

    x
    ;
    sin x

    [4]

    2) ln

    sin x
    ;
    x

    [5]

    3) ln cos x.

    [10]

    46. Нехай функцiя f (x) така, що для неї iснують похiднi f 0 (x0 ) та
    f 00 (x0 ) в сенсi означення (*) (дивись задачу 22). Чи завжди буде
    справедливий формальний розклад функцiї в ряд Тейлора:
    f (x) = f (x0 )+f 0 (x0 )(x−x0 )+

    f 00 (x0 )(x − x0 )2
    +o(|x−x0 |2 ) ? [10]
    2

    47. Знайти найбiльше та найменше значення функцiї:
    1) y = x3 − 6x2 + 9, x ∈ [−1; 2]; [2]

    2) y =

    x4 + 1
    , x ∈ [−1; 1]; [3]
    x2 + 1

    3π 2
    + sin x, x ∈ [π; 2π]; [4]
    x
    4) y = (x − 3)2 e|x| , x ∈ [−1; 4]; [3]
    5) y = sin(x − π/3) − cos (x − 2sign(x)π/3), x ∈ [−π; π]. [4]
    3) y = 4x +

    48. Знайти iнтервали опуклостi i точки перегину функцiї:
    2
    2
    1
    1) y = 2x4 − 3x2 + x − 1; [1] 2) y = √ e−x /2σ , σ > 0; [1]
    σ 2π

    3) y = ecos x ; [2] 4) y = 3 1 − x3 ; [2] 5) y = e−2x sin2 x. [2]

    49. Довести нерi