• Название:

    АГ 1 ПЗ Задачи АР и ПУС

  • Размер: 0.32 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Глава 1

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия»
Семестр I
Задачи для аудиторного решения и задачи повышенного уровня
сложности
ПЗ 1. Решето Эратосфена
Задачи для аудиторного решения 1
1. Составьте таблицу простых чисел не больших 100.
2. Составьте таблицы простых чисел на промежутках:
а) [100; 200]; б) [200; 300]; в) [300; 500].
3. Найдите все простые числа на промежутках:
а) [880, 890]; б) [1900, 1910]; в) [4030, 4130].
4. Найдите каноническое разложение в произведение простых множителей числа: а) 15! б) 82 798 848;
в) 81 057 226 635 000.
Задачи повышенного уровня сложности 1
5. Для каких натуральных чисел их наибольший собственный делитель является простым числом?
6. Сколькими нулями оканчивается число: а) 25!; б) 200! ?
7. Найдите все целые решения уравнения x 2  19  y 2 .
ПЗ 2. Алгоритм Евклида
Задачи для аудиторного решения 2
1. Найдите НОД и НОК чисел: а) 3069 и 2637; б) 6567 и 4279; в)
29408339 и 26442001; г) 81719, 52003, 33649 и 30107.
2. Найдите линейное представление НОД чисел: а) 678 и 582; б) 703 и
697; в) 81719 и 52003; г) 33649 и 30107.
Задачи повышенного уровня сложности 2
3. Найдите все пары простых чисел р и q, удовлетворяющих условию
p 2  2q 2  1 . (Смотрите пример 5.)
4. Найдите наибольшее трехзначное число х, для которого
D(x,540)  36 .
5. При каких натуральных n будут взаимно простыми числа: а) 2n  3
и n  1 ; б) n 2  1 и n  3 ?
6. Докажите, что если число n не делится на 2 и 3, то число n 2  1 делится на 24.
7. Докажите, что при любом n число n 5  n делится на 30.
1

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

8. Докажите, что D(2n  1,2m  1)  2D(n,m)  1 .
ПЗ 3. Сравнения по модулю
Задачи для аудиторного решения 3
1. Среди чисел 123, 211, 134, 214, 303, 21 найдите все пары чисел,
сравнимых между собой по модулю 5.
2. Среди чисел 135, 226, 106, 181, 225, 167, 452 найдите все пары чисел, сравнимых между собой по модулю 15.
3. Какие из чисел 137, 343, 633 сравнимы с числом 13 по модулю 31?
4.
Найти
сумму,
разность
и
произведение
сравнений
15  8(mod 7), 83  6(mod 7) .
5. Умножьте сравнение 5  21(mod16) на 6.
6. Сократите все части сравнения 16  80(mod 96) на общий множитель. Верно ли сравнение 8  40(mod96) ?
7. Проведите все возможные сокращения в сравнении
224  14(mod 30) .
8. Найдите наименьший неотрицательный вычет данных чисел по
данному модулю: а) 127, 110, 203 по модулю 11; б) 136, 151, 210
по модулю 15; в) 406, 1596, 35671 по модулю 12.
9. Найдите наименьший по абсолютной величине вычет данных чисел
по данному модулю: а) 99, 138, 202 по модулю 11; б) 299, 602, 300
по модулю 30; в) 2013, 34973 по модулю 36.
10. Найдите полную и приведенную систему вычетов по модулю: а) 8;
б) 9; в) 10; г) 11.
11. Найдите полную и приведенную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю: а) 8; б) 9; в) 10; г) 11.
12. Вычислите значение функции Эйлера от чисел: 13, 169, 1001,
45000.
13. Найдите число примитивных классов вычетов по модулю: а) 30;
б) 100.
14. В последовательности чисел 1, 2, …, 2700 найдите количество чисел взаимно простых с числом 2700.
15. Найдите остаток от деления: а) числа 1349 на 48; б) числа
3200  7 200 на 101; в) числа 7 65  1165 на 80.
16. Найдите последнюю цифру чисел 17 281 , 19321 , 132161 .
17. Докажите, что число 37120  1 делится на 700.
2

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Задачи повышенного уровня сложности 3
18. Докажите, что любые m последовательных натуральных чисел образуют полную систему вычетов по модулю m.
19. Докажите свойства сравнений.
20. Докажите закон сокращения в сравнениях.
21. Докажите признаки делимости.
22. Докажите, что наименьший неотрицательный вычет числа а по
модулю m равен остатку от деления числа а на модуль m.
23. Число 0 и все натуральные числа выписаны одно за другим без запятых и пробелов в ряд: 012345678910111213… . Какая цифра стоит на 2010-й позиции?
24. Найдите две последние цифры чисел 17 281 , 19321 , 132161 .
25. Докажите, что 15243  10(mod30) .
26. Зная, что 12 июня 2010 года суббота, найдите день недели Дня независимости России в 2020-м году.
27. Докажите, что из любых 100 целых чисел можно выбрать 15 таких
чисел, что для любых двух из них их разность делится на 7.
28. Докажите, что если два целых числа не делятся на 3, то и сумма их
квадратов тоже не делится на 3.
29. Докажите, что числа вида n  9m  4, m  N нельзя представить в
виде n  a 3  b3  c3 , a, b,c  N .

ние 5  x  2 .
8. В группе примитивных классов вычетов по модулю 12 решите уравнение 7  x  5 .
9. Определите, разрешимо ли сравнение, и если да, то сколько решений оно имеет: а) 3x  25(mod 42) ; б) 13x  15(mod 36) ;
в)
20x  64(mod396) .
10. Решите следующие сравнения
методом перебора:
а)
5x  3(mod8) ; б) 4x  3(mod9) ; в) 8x  10(mod11) .
11. Следующие сравнения решите с помощью теоремы Эйлера: а)
2x  13(mod 21) ; б) 5x  44(mod51) .
12. Следующие сравнения решите с помощью алгоритма Евклида: а)
102x  133(mod 319) ; б) 235x  613(mod 661) .
13. Решите сравнения: а) 16x  2 (mod18) ;
б) 42x  24 (mod 78) ; в) 33x  192 (mod 237) .
Задачи повышенного уровня сложности 4
14. Доказать, что сложение и умножение классов вычетов по заданному модулю не зависит от выбора их представителей.
15. Объясните, почему множество всех целых неотрицательных чисел
не является группой ни относительно сложения, ни относительно
умножения.
16. Докажите, что множество всех целых чисел является областью.
17. Докажите, что кольцо классов вычетов по простому модулю является полем.
18. Докажите, что в любом поле нет делителей нуля.
19. Определить, является ли множество все целых чисел кратных 3
замкнутым относительно сложения и умножения, и образует ли оно
группу, кольцо или поле.
20. Решите в целых числах уравнение: а) 5x  7y  1 ; б) 15x  17y  11 ;
в) 105x  173y  101 .

ПЗ 4. Сравнения первой степени
Задачи для аудиторного решения 4
1. Составьте таблицы сложения и умножения для классов вычетов по
модулю: а) 2; б) 8; в) 12.
2. Составьте таблицу умножения для примитивных классов вычетов
по модулю: а) 2; б) 8; в) 12.
3. Для каждого класса вычетов по модулю 12 найдите противоположный ему класс вычетов.
4. Найдите все делители нуля в кольце классов вычетов по модулю 12.
5. Найдите все обратимые классы вычетов по модулю 12 и обратные
им классы вычетов.
6. С помощью таблицы умножения примитивных классов вычетов по
модулю 8 найдите для каждого примитивного класса вычетов обратный ему класс вычетов.
7. В кольце классов вычетов по модулю 12 решите линейное уравне3

ПЗ 5. Комплексные числа – 1
Задачи для аудиторного решения 5
1. Вычислите:
а)  3  7i    6  5i  ; б) 3i   7  2i  ; в)  2  4i    7  i  ;

4

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37



 

2i 
 2
27  i 32  

;
3
 3


д)  1  i  2  2i  ; е)  3  i 
г) 2 3  4i 2 



3  i ; ё)  3  i  i ;

4  6i
1  2i
3
4
2
ж) 1  i  ; з) 1  i  ; и) 1  i  ; й)
; к)
;
1 i
3i
5
5  i  3  5i 
1 i


3
3
л)
; м)  2  i    2  i  ; н)
;
3
2i
1  i 
2x  (2  i)y  4  6i
2. Решите систему 
.
 4x  2iy  16  4i
3. Пусть f (z)  2z 3  z 2  z  1 . Найдите f (2  i)  f (2  i) .
Задачи повышенного уровня сложности 5
4. Вычислите:
а) i3 , i 4 , i 4n , i 4n 1 , i 4n  2 , i 4n 3 , где n  Z ; б) i n , где n  Z ;
в) 1  i  i 2  i3  ...  i 2011 ; г) i  i 2  i3  ...  i 2012 ;
д) i  2i 2  3i3  ...  2010i 2010 .
ПЗ 6. Комплексные числа – 2
Задачи для аудиторого решения 6
1. Решите уравнение: а) (5  7i)  3z  8  11i ;

б) z  (0,6  0,8i)  5  11i ; в) 3z  5z  5  11i .
2. Найдите квадратные корни из комплексного числа z:
а) z  8  6i ; б) z  i ; в) z  i ; г) z  1  i ;
3 i
1
3
 ; ё) z  
i.
д) z  3  4i ; е) z 
2 2
2 2
3. Решите квадратное уравнение: а) z 2  4z  5  0 ;
б) z 2  4iz  5  0 ; в) z 2  4z  1  4i  0 ;
г) z 2  (7  2i)z  13  13i  0 .
4. Решите биквадратное уравнение:
1
3
а) z 4   
i ; б) z 4  i 3z 2  1  0 .
2 2
5. Найдите остаток от деления многочлена 4x 37  2x 30  3x 20  x  7 на
многочлен: а) x  i ; б) x  i ; в) x 2  1 .
5

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

6. Решите квадратное уравнение с дополнительным
условием: а) z 2  15  8i, Im z  0 ;
б) z 2  5  12i, Re z  0 ;
7. Решите уравнение: а) z 2  z  1  i ; б) z 2  2(z  z)  4  0 ; в)
z 2  2z  1  0 .
Задачи повышенного уровня сложности 6
8. Решите уравнение в поле комплексных чисел:
а) 9x 4  24x 3  2x 2  24x  9  0 ;
б) 2x 4  7x 3  9x 2  7x  2  0 .

ПЗ 7. Линейные операции с векторами
Задачи для аудиторного решения 7
1. Изобразить на рисунке вектор, лежащий на оси и имеющий правую
(левую) ориентацию.
2. Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки,
и постройте их сумму по правилу параллелограмма.
3. Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки,
и постройте их сумму по правилу треугольника.
4. Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки,
и постройте их разность.
5. По данным векторам a и b , отложенными от одной точки, построить векторы:
1
3
1
а) 2a  b ; б) (a  2b) ; в) (a  2b)  (a  2b)  a  b .
2
4
4
6. В треугольнике АВС дано: AB  a, AC  b , М – середина стороны
ВС. Используя линейные операции с векторами, выразите вектор
AM через векторы a и b .
7. В треугольнике АВС: М – точка пересечения медиан,
AM  a, AC  b . Используя линейные операции с векторами, выра-

зите векторы AB и BC через a и b .
8. В равнобочной трапеции ABCD, AD  2BC .
1
а) Постройте вектор AB  BC  CD .
2

б)

Докажите,

что

CD  BA  BC ,
6

2
1
AC  DB  AB
3
3

и

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

1
(AB  BC  CD)  AB .
2
9. Даны векторы a и b . Коллинеарны ли векторы:
а) c  a  2b и d  2a  4b ; б) c  a  2b и d  2a  4b ;
в) c  a  2 3  b и d   3  a  6  b ?

ванный. Найдите проекцию вектора a на ось Ох, и запишите его в
координатной форме записи.
4. Известна декартовая координата вектора оси Ох: a  (8) . Отложите этот вектор от точки А(11), и определите его ориентацию, модуль и координаты его конца.
5. Найдите модуль, декартовую координату вектора AB и его ориентацию на оси, если известны координаты его начала и конца: а) А(–

10. При каких значениях  векторы 2  a и (3  1)  a сонаправленные?
11. Дано: | a | 13, | b | 19, | a  b | 24 . Найти | a  b | .
12. Точка О является центром тяжести треугольника АВС. Доказать,
что OA  OB  OC  0 .
Задачи повышенного уровня сложности 7
13. В параллелограмме АВСD: К и М – середины сторон ВС и СD,
AK  a, AM  b . Выразить векторы BD и AD через векторы a и
b.
14. В четырехугольнике АВСD диагонали, пересекаясь делятся пополам. Доказать, что этот четырехугольник – параллелограмм.
15. Пользуясь линейными операциями с векторами докажите, что медианы любого треугольника пересекаются в одной точке. (Указание: пусть О – точка пересечения медиан AD и ВЕ, F – середина
стороны АВ. Выразите векторы OF и CO через векторы AB и
AC .)
16. В треугольнике АВС, CN и BK – медианы. Докажите, что
2
AB  AC  (CN  BK)  CB .
(Указание.
Докажите,
что
3
CB  OB  OC , О – точка пересечения медиан.)

ПЗ 8. Декартовая система координат на прямой
Задачи для аудиторного решения 8
1. Укажите на координатной оси Ох точки с заданными координатами: а) А(2); б) В(–3); в) C(3  2) ;

г) D(3  2) .
2. Изобразите на координатной оси Ох радиус-вектор точки: а) А(3);
б) В(–2).
3. Известно, что вектор a || Ox, | a |  5 , и вектор a правоориентиро7

4
7
3), В(–7); б) A   , B    .
3

 2

6. Найдите модуль и декартовую координату вектора 4a  5b , если
a  (18), b  (17) .
 1  4
7. Найдите расстояние АВ, если: а) А(6), В(–1) ; б) A    , B    ;
 3  7 

2  
3 
в) A 
, B
.
 2 3  3 2
8. На координатной оси Ох даны три точки своими координатами: А(–
2), В(3) и С(–1). Найдите длины отрезков АС и СВ, и вычислите
отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки
AC
.
А, используя формулу  CAB  
CB
9. Определите отношение, в котором точка С делит отрезок отрезок
x  xA
АВ, считая от точки А, по формуле  CAB  C
, если А(2), В(6)
xB  xC
и С(4).
10. Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении  СAB  3 , если А(–12) и В(7). Используйте формулу:
xC 

x A   CAB  x B

.
1   CAB
11. Найти координату середины отрезка, ограниченного двумя данными точками: а) А(3), В(5); б) С(–1), D(6).
12. Даны точки А(5) и В(–3). Определить: а) координату точки М,
симметричной точке А относительно точки В; б) координату точки
С, симметричной точке В относительно точки М.
13. Определить координаты концов отрезка, который точками
8

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

 3
 2
P  2  и Q    разделен на три равные части.
 7
 5
14. Точка С делит отрезок АВ, длина которого равна 10, в отношении
2
 CAB   . Найти длину отрезка АС.
3
15. Найдите длину отрезка АВ, если точка С делит его в отношении
 CAB   3 и BC  10 .
16. Даны три точки А(–7), В(–1) и С(1). Определить отношение, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
Задачи повышенного уровня сложности 8
 x 1 
17. Точка А(2) удалена от точки B 
 на расстоянии 5. Найдите х.
 3 
1

18. Известно, что расстояние между точками A  2x   и
3

x2 
B
 1 равно 3. Найдите х.
 4

19. При каких значениях параметра р решение неравенства
p
| 3  1,5x |  2  содержит луч (;5) ?
3
x 1
 1

20. Найдите координаты различных точек A    и B  2  x  и
 3

 3 2
отметьте их на числовой оси, если точка М(–2) является серединой
отрезка АВ.
x

21. Найдите значения х и у, при которых точка M   y  является
2

серединой
отрезков
АВ
и
СЕ,
где:
y
x

  x 2y  

A  2x   2,5  ;B    ;C  y   45  ;E  3y  2x  .
2
2

 3 5  


2. Относительно косоугольной системы координат с координатным
углом 45o дана точка М(4; 2). Определить расстояние от этой точки до осей координат.

ПЗ 9. Прямоугольная декартовая система координат на плоскости
Задачи для аудиторного решения 9
1. Построить точки с данными координатами в косоугольной системе
координат с координатным углом 60o : А(1; 2); В(–3; 1); С(1; –2);
D(–2; –2).
9

Следующие задачи решаем в ПДСК.

3. Постройте на координатной плоскости точку А(1; 4) и точки, симметричные данной относительно координатных осей и начала координат.
4. Постройте на координатной плоскости точку А(1; 4) и её радиусвектор, и найдите его декартовые координаты.
5. Отложите от точки А(–2; –3) вектор a  (1;7) .
6. Найдите модуль, направляющие косинусы и орт вектора a  (1;7) .
7. Найдите декартовые координаты вектора a , если | a |  2 и
o
3 4
a  ( ;  ) .
5 5
8. Найдите декартовые координаты вектора, если его модуль равен 5,
а угол между вектором и осью ординат равен 150o .
9. Найдите декартовые координаты вектора
AB , если
 8 9   7 11 
A  ;   , B  ;  .
3 4  4 3 
d  a  2b  3c ,
если
10.
Найдите
координаты
вектора
a  (1; 7), b  (2;5), c  (1; 3) .
11. Даны две смежные вершины квадрата А(3; –7) и
В(–1; 4). Вычислите его площадь.
12. Найдите отношение, в котором точка С(4; 5) делит отрезок АВ,
считая от точки А, если А(1; –1), В(3; 3). Убедитесь сначала, что
данные точки лежат на одной прямой.
13. На отрезке АВ, где А(–4; 5), В(1; –1), найдите точку С, которая делит его в отношении 3 : 5, считая от точки А.
14. Найдите координаты середины отрезка АВ, если:
 8 9   7 11 
а) А(–4; 5), В(1; –1); б) A  ;   , B   ;  .
3 4  4 3 
Задачи повышенного уровня сложности 9
15. Определить координаты точки М в косоугольной системе координат с координатным углом  , если расстояние ее от осей коорди6

10

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

нат равны соответственно 1 и 1,5.
16. Определить координаты вершин правильного шестиугольника со
стороной 1, если за оси координат принять две его смежные стороны, так, что вершина противолежащая началу координат, имеет положительные координаты.
17. Через точку А(4; 2) проведена окружность, касающаяся координатных осей. Определить ее центр и радиус.
18. Даны три точки А(1; –1), В(3; р) и С(4; 5). При каком р треугольник АВС прямоугольный?
 11

(ответ: 2; ; 2  11  )
2


19. Даны две смежные вершины квадрата А(2; –1) и
В(–1; 3). Найти координаты двух его других вершин.
20. Прямая линия отсекает на оси Ох отрезок OA  4 и на оси Оу отрезок OB  7 . Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую.
21. Сторона ромба равна 5 2 , две его противоположные вершины
имеют коррдинаты (4; 9) и (–2; 1). Докажите, что этот ромб является квадратом.
22. В треугольнике с вершинами А(2; 3), В(6; 3) и С(6; –5) найти длину биссектрисы внутреннего угла В.
23. Покажите, что точки А(–3; 8), В(1; 5) и С(4; 1) могут служить тремя вершинами ромба ABCD (или ABDC).
а) Используя равенство AB  CD , найдите координаты точки D.
б) Вычислите площадь этого ромба.

5. Найдите модуль и направляющие углы радиус-вектора точки А(2; –
1; –2).
6. Найдите модуль и направляющие косинусы вектора a  (7; 6;6) .
7. Найдите орт вектора a  (6;2; 3) .
8. Найдите проекции вектора на координатные оси, если его модуль
равен
2,
и
известны
его
направляющие
углы:
o
o
o
  45 ,   120 ,   60 . Запишите этот вектор в координатной
форме.
9. Найдите декартовые координаты вектора, если его модуль равен
2 , направляющие углы   45o ,   135o , и известно, что направляющий угол  – острый.
10. Найдите координаты вектора, если точка А(–2; –13; 19) является
его началом, а точка В(–11; –9; 23) – его концом.
11. Найдите координаты вектора с  5a  2b , если a  (1;1; 2) ,

ПЗ 10. Прямоугольная декартовая система координат в пространстве
Задачи для аудиторного решения 10
1. Постройте в ПДСК Oxyz точку А(4; 3; 5) и её проекции на координатные оси и координатные плоскости, и найти их координаты.
2. Найдите расстояния от точки В(4; 3; –5) до координатных плоскостей и координатных осей.
3. Найдите координаты точек, симметричных точке М(5; 4; – 2) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала
координат.
4. Найдите проекции радиус-вектора точки А(1; 2; 5) на координатные
оси, и запишите его в координатной форме.

b  (3; 4;5) .
12. Найдите длины сторон треугольника с вершинами А(2; 2; –2), В(3;
–1; –3), С(–3; 6; 1), и длину его медианы, проведенной из вершины
А.
13. На прямой, проходящей через точки А(2; 5; –2) и В( –1; 3; –4),
4
найдите точку, которая делит отрезок АВ в отношении  , считая
7
от точки А.
14. Убедитесь, что точки А(1; –1; 0), В(0; 1; 3) и С(–2; 5; 9) лежат на
одной прямой, и найдите отношение, в котором точка А делит отрезок ВС, считая от точки В.
Задачи повышенного уровня сложности 10
15. Даны вершины треугольника А(1; 2; –1), В(2; –1; 3) и
С(–4; 7; 5). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при
вершине В.
16. На отрицательной полуоси абсцисс найти точку В, расстояние от
которой до точки А(–1; 4; 8) равно 12.
17. Даны две вершины А(2; –3; –5) и В(–1; 3; 2) параллелограмма
АВСД и точка пересечения его диагоналей К(4; –1; 7). Определить
две другие вершины этого параллелограмма.
18. Прямая проходит через точки А(–1; 6; 6) и В(3; –6; –2). Найти точки ее пересечения с координатными плоскостями.

11

12

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

19. Ребро куба равно 1. Найти длину отрезка, соединяющего середины
двух скрещивающихся ребер.
20. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных
ребер правильного тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
21. Докажите, что в произвольном треугольнике АВС вектор

тяжести оставшейся фигуры. Систему координат введите так, как
вам удобно.
10. Однородная проволока согнута в виде прямого угла со сторонами
а и b. Найти центр тяжести этой проволоки.

o

o

AB  AC лежит на биссектрисе угла ВАС.

ПЗ 11. Геометрический цент тяжести системы материальных точек и плоских фигур
Задачи для аудиторного решения 11
1. Найти ГЦТ системы из двух материальных точек: А(–6; 3; 9),
m A  7 , В(0; –2; 1), m B  4 .
2. Даны концы А(3; –5; 2) и В(–1; 3; 0) однородного стержня. Определить координаты его центра тяжести.
3. Найти ГЦТ системы из трех материальных точек: А(0; 0; 1), В(0; 4;
0) и С(7; 0; 0), m A  2, m B  3, m C  4 .
4. Найти центр тяжести треугольника с вершинами
А(0; 0; 1), В(0; 4; 0) и С(7; 0; 0).
5. На координатной плоскости Оху даны точки: А(1; 0), В(–1; 2), С(–
2; –1), D(–1; –2). Постройте данные точки на чертеже, и найдите
координаты центра тяжести четырехугольника АВСD.
6. Однородная пластина имеет форму квадрата со стороной 2р, от которого отрезан треугольник; прямая разреза проходит через середины смежных сторон квадрата. Определить центр тяжести пластины.
7. Правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной 1 изготовлен из
куска картона. Его разрезали пополам по прямой АD. Найдите
центр тяжести полученной равнобочной трапеции АВСD. Систему
координат введите так, как вам удобно.
Задачи повышенного уровня сложности 11
8. Дан правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной 1. Стороны
ВС и DЕ продляются за вершины С и D до пересечения в точке К.
Найдите ГЦТ пятиугольника АBКЕF. Систему координат введите
так, как вам удобно.
9. Правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной 1 изготовлен из
куска картона. От него отрезали треугольник АВС. Найдите центр
13

ПЗ 12. Полярная система координат
Задачи для аудиторного решения 12
1. Построить в полярной системе координат точки, заданные полярными координатами:

 

A  3;  , B(2; ), C  3;   ; D(4; 3); Е (1; –1).
4
 2

2. Определить полярные координаты точек, симметричных данным
относительно полюса и полярной оси:
 

  
A  3;  , B  2;   , C  3;   , D(5; –2).
2 
3
 4 
3. Полярная система координат на плоскости совмещена стандартным
образом с ПДСК. В полярной системе координат даны точки:

 
 

 2 
M1  6;  , M 2 (5; 0), M 3  2;  , M 4 10;   , M 5  8;
 . Опреде3
 2
 4

 3 
лить декартовы координаты этих точек.
4. Полярная система координат на плоскости совмещена с ПДСК.
Найти полярные координаты точек, заданных в ПДСК: А(0; 5), В(–
3; 0), C( 3;1), D( 2;  2) , E(1;  3) .
4 

5. В полярной системе координат даны две вершины A  3;   и
9 

 3 
B  5;  параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей
 14 
которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины
этого параллелограмма.
2 

 
6. В полярной системе координат даны точки A  8;   и B  6;  .
3 

 3
Вычислить полярные координаты середины отрезка АВ.
7. Вычислить площадь треугольника ОАВ, где О – полюс полярной
    
системы координат, A  5;  , B  4;  – полярные координаты
 4   12 
14

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

двух его других вершин.
Задачи повышенного уровня сложности 12
8. В полярной системе координат даны две противоположные верши7 

 
ны квадрата: A  6;   и C  4;  . Найти его площадь.
12 

 6
9. Полярная система координат совмещена с ПДСК стандартным образом. Найти ГМТ плоскости, координаты которых совпадают в
обеих системах координат.
10. Одна из вершин треугольника лежит в полюсе полярной системы
 
координат, а другие в точках А(2; 0) и B  4;  . Найти радиус впи 3
санной в треугольник окружности.
11. Полюс полярной системы координат совмещен с вершиной правильного треугольника со стороной 1, а полярный луч направлен
по его стороне. Найдите полярные координаты всех вершин треугольника.

6. Запишите в тригонометрической форме 2  sin 200  i cos 200  .

ПЗ 13. Комплексная плоскость
Задачи для аудиторного решения 13
1. Отметьте на комплексной плоскости комплексные числа 1  3  i ,
найдите их модули, аргументы и запишите в тригонометрической
форме.
2. Вычислить: а)  cos 200  isin 200  cos 250  isin 250  ;

4
4 

2  cos  isin 
9
9 
б) 
; в)  cos 200  isin 200  99 .
5
5




3  cos  isin 
18
18 

3. Вычислить (cos170  isin17 0 )100  (cos50  isin 50 ) 20 .
12

n

 1 i 3 
 1 i 3 
4. Вычислить: а) 
 ,nZ.
 ; б) 
1
i

2




5. Изобразите на комплексной плоскости множество комплексных чисел z, удовлетворяющих условию:

а) | z |  3 ; б) | z |  2 ; в) arg z  ; г) z  z  4 .
6
15

Задачи повышенного уровня сложности 13
7. Запишите в тригонометрической форме:
а) sin   i cos  ; б) 2  3  i . (Указание: представьте числа 2 и
3  i векторами на комплексной плоскости и найдите координаты
их суммы.);
в) 1  cos x  isin x, x  (2; 3) .
8. Изобразите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
2
1 
а) 2 | (1  i)z  i | 2 2 ; б) Re   i   Im .
z
z 

9. Из всех чисел z, удовлетворяющих условию z  z  25 , найдите такие, что | z  7 |  | z  5i | принимает наименьшее значение.
10. При каких значениях р среди комплексных чисел z таких, что
| z  1  i 3 | p , найдется ровно одно такое, что z 4  R ?
1
11. Пусть z   1 . Какое наибольшее значение может принимать
z
| z |?
12. Пользуясь формулой Муавра, выведите формулы для: а) cos3x ; б)
sin 3x .
13. Пользуясь формулой Муавра, выразите через первые степени синуса и косинуса аргументов кратных х, функции: sin 3 x ; б) cos3 x .
ПЗ 14. Корни из комплексных чисел
Задачи для аудиторного решения 14
1. Выпишите формулу корней n-й степени из комплексного числа.
2. Дано: n z . а) Найдите | z | и arg z ; б) Подставьте вычисленные данные в формулу корней n-й степени из комплексного числа z и запишите по отдельности каждый корень в тригонометрической форме; в) изобразите все найденные корни на комплексной плоскости.
а) 3 8i ; б) 3 27i ; в) 3 27 ; г) 6 1 ; д) 6 1 .
8  24i
; б)
3i

32
.
9(1  i 3)
4. Разложить на линейные множители многочлен:

3. Вычислить: а)

3

4



16

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

а) x  1 ; б) x  1 .
5. Разложите данные многочлены на неприводимые над R: а) x 6  1 ;
б) x 8  1 .
6. Найдите сумму таких чисел z, что z 4  3  i . Укажите одно из этих
чисел.
7. Найдите произведение таких чисел z, что z 4  1  i 3 . Укажите одно
из этих чисел.
Задачи повышенного уровня сложности 14
8. Составьте таблицу умножения для группы корней 5-й степени из 1.
9. Разложить на линейные множители многочлен x 6  64 .
10. Разложите многочлен x 8  256 на неприводимые над R множители.
11. Разложите многочлен x 4  4 на два квадратных трехчлена с действительными коэффициентами.
12. Разложить многочлен x 4  x 3  x 2  x  1 на два квадратных трехчлена с действительными коэффициентами.
13. Вычислите значение функции Эйлера (720) .
14. Вычислите значение функции Мёбиуса (840) .
15. Найдите степнь кругового многочлена Ф16800 (x) .
16. Найдите круговой многочлен Ф9 (x) .

ПЗ 15. Скалярное произведение векторов
Задачи для аудиторного решения 15
1. Зная, что | a |  2, | b |  3 , вычислить скалярное произведение век
2
3
; б)
торов a и b , если угол между ними равен: а)
; в) ;
6
3
4

5


; е) ; ё) .
г) ; д)
2
3
4
6
2. Найти скалярный квадрат вектора a , если его модуль равен 3 4 .
3. Найти модуль вектора, если известно, что его скалярный квадрат
равен 3 4 .

4. Дано: | a |  2, | b |  2, (a ^ b)  . Найти: а) (a  b) 2 ;
б) | a  b | ;
4
в) (3a  2b)(a  2b) .

17. Разложите многочлен x  1 на неприводимые над Q.
18. Не вычисляя корней уравнения x 2  x  1  0 , докажите, что его
корни являются корнями 3-й степени из 1.
1
1
19. Вычислите z142  142 , если z   1 .
z
z
20. Докажите что сумма всех корней n-й степени из 1 равна нулю.
21. Найдите сумму всех первообразных корней р-й степени из 1, если
р – простое число.
22. Найдите сумму 100 членов геометрической прогрессии, первый


 isin
. Ответ
член которой равен 1, а знаменатель равен cos
100
100
дайте в тригонометрической форме.

9. Дано, что | a |  3, | b |  5 . Определить, при каком значении  векто10. Найти работу производимую силой f  (3;  2;  5) , когда её точка
приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А(2; –
3; 5) в точку В(3; –2; –1).
11. Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1) и С(1; –2; 1).
Найти его внешний угол при вершине А.
12. Даны три вектора a  3i  6 j  k, b  i  4 j  5k и c  3i  4 j  12k .

17

18

6

8

9

5. Даны векторы a  (4;  2;  4), b  (6;  3; 2) . Вычислить их скалярное произведение.
6. Вычислить скалярный квадрат вектора a  (4;  2;  4) и его модуль.
7. Вычислить проекцию вектора a  (5; 2; 5) на вектор b  (2;  1; 2) .
8. Вычислить косинус угла, образованного векторами a  (2;  4; 4) и
b  (3; 2; 6) .
ры a   b, a   b будут ортогональны.

Вычислить прс (a  b) .
Задачи повышенного уровня сложности 15

13. Векторы a и b образуют угол . Зная, что | a |  3 , | b |  1 , вы6
числить угол между векторами p  a  b и q  a  b .

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

14. Даны две точки А(3; –4; –2), В(2; 5; –2). Найти проекцию вектора
AB
на ось, составляющую с координатными осями углы
  60o ,   120o , а угол  – тупой.

7. Сила P  (2;  4; 5) приложена к точке М(4; –2; 3). Найти момент
этой силы относительно точки А(3; 2; –1).
Задачи повышенного уровня сложности 16
8. Вектор x , ортогональный векторам a  (4;  2;  3) и b  (0;1; 3) об-

15. Найти проекцию вектора a  (4;  3; 2) на ось, если она составляет
с координатными осями равные острые углы.
16. Вектор x коллинеарный вектору a  (6;  8;  7,5) образует острый
угол с осью Oz. Зная, что | x |  50 , найти его координаты.
17. Найти угол между медианой и биссектрисой, проведенными из
вершины прямого угла треугольника, если его катеты относятся
друг к другу как m : n.
18. Пусть АBCD – правильный тетраэдр с ребром равным 1, О – центр
описанной около него сферы. Введите, удобным для вас образом,
ПДСК Охуz и найдите: а) координаты вектора OA , его модуль и
направляющие косинусы; б) косинус угла между ребром АВ и радиусом ОА.
ПЗ 16. Векторное произведение векторов
Задачи для аудиторного решения 16
1. Изобразить два произвольных вектора, отложенные от одной точки
под углом 45o между ними. Построить векторные произведения
этих векторов.
5
2. Угол между векторами a и b равен
. Зная, что
6
| a |  2 6, | b |  7 2 , вычислить | a  b | .
2
. Зная, что | a |  1 , | b |  2 ,
3. Угол между векторами a и b равен
3
вычислить:
а) (a  b) 2 ; б) ((2a  b)  (a  2b)) 2 .

4. Даны векторы a  (3;  1;  2), b  (1; 2;  1) . Найти:
а) a  b ; б) (2a  b)  b ; в) (2a  b)  (2a  b) .

разует с осью Оу тупой угол. Зная, что | x |  26 , найти его координаты.
9. Найти вектор x , зная, что он ортогонален векторам a  (2;  3;1) и
b  (1;  2; 3) и удовлетворяет условию x  (i  2 j  7k)  10 .
ПЗ 17. Смешанное произведение векторов
Задачи для аудиторного решения 17
1. Определить ориентацию тройки векторов:
а) {k, i, j} ; б) {k, j, i} ; в) {j, i, k} ; г) {i  j, j, k} ;

д) {i  j, i  j, j} ; е) {i  j, i  j, k} .
2. Векторы a, b, c образуют правоориентированный ортогональный
2
5
базис. Вычислить a  b  c , если | a |  , | b | , | c | 2,1 .
3
2
3. Вектор c ортогонален векторам a и b , угол между которыми равен
3
1
, | b |
, | c | 12 6 .
30o . Вычислить a  b  c , если | a | 
4
2
4. Докажите тождество (a  b)(b  c)(c  a)  2abc .
5. Даны три вектора a  (1;  1; 3), b  (2; 2;1), c  (3;  2; 5) . Вычислить
a  b  c и определить ориентацию тройки векторов {a, b, c}.
6. Выяснить, какая из следующих троек векторов является компланарной:
а) a  (2; 3;  1), b  (1;  1; 3), c  (1; 9;  11) ;

б) a  (3; 2;  1), b  (2;1; 2), c  (3;  1;  2) ;

5. Даны векторы a  (3;  1;  2), b  (1; 2;  1) . Найти | a  b | и синус угла между данными векторами.
6. Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; –3) и С(5; 2; 6). Вычислить площадь
треугольника АВС.

в) a  (2;  1; 2), b  (1; 2;  3), c  (3;  4; 7) .
7. Докажите, что четыре точки А(1; 2; –1), В(0; 1; 5),
С(–1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.
8. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой: А(2; –
1; 1), В(5; 5; 4), С(3; 2; –1), D(4; 1; 3).

19

20

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

9. Даны вершины треугольной пирамиды: А(2; 3; 1),
В(4; 1; –2), С(6; 3; 7), D(–5; –4; 8). Найти длину ее высоты, опущенной из вершины D.
10. Объем треугольной пирамиды равен 5, три ее вершины находятся
в точках А(2; 1; –1), В(3; 0; 1),
С(2; –1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно,
что она лежит на оси ординат.
Задачи повышенного уровня сложности 17
11. Докажите, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему
данного параллелепипеда.
12. Докажите, что для любых векторов a, b, c векторы a  b, b  c, c  a
компланарные. Каков геометрический смысл этого факта?

x 1
 y  1, x  7  3t , t  R ;
y  1 t
3
x  1 y  6 x  1  3t
,
, tR.

е)
y  1  4t
4
3
8. Найти все виды уравнений прямой 4x  3y  12  0 , ее угловой коэффициент, нормальный и направляющий векторы, точки пересечения с координатными осями, и постройте её чертеж на координатной плоскости.
9. Дана прямая 2x  3y  4  0 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(–2; 0): а) параллельно данной прямой; б)
перпендикулярно данной прямой.
Задачи повышенного уровня сложности 18
10. Составить уравнение прямой, если точка N(4; 5) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
11. Дан треугольник АВС: А(–2; 1), В(3; 5), С(10; 3). Найдите: а) общее уравнение прямой на которой лежит сторона АС; б) направляющий вектор высоты BD и её параметрическое уравнение; в) координаты точки D.
12. Найти проекцию точки А(1; –3) на прямую 2x  y  5  0 .
13. Найти координаты точки N, симметричной точке
М(–3;4) относительно прямой 4x  y  1  0 .
14. Даны уравнения сторон теугольника АВ: 3x  2y  6  0 ,
АС: 7x  y  31  0 , ВС: 2x  7y  38  0 . Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из
вершины А.
15. Даны две противоположные вершины квадрата А(–1; 3) и С(6; 2).
Найти уравнения его сторон.
16. Из точки А(–5; 6) выходит луч света под углом     arctg (2) к
оси Ох и отражается от оси Ох, а затем отражается от оси Оу. Найти уравнения прямых, по которым направлены все три луча.
17. Найти уравнение отраженного от прямой 2x  3y  8  0 луча, лежащего на прямой x  2y  3  0 .
18. Найти уравнение прямой, проходящей через точку с координатами
o
(2; 1) под углом 45 к прямой 2x  3y  4  0 .
19. Составить уравнения сторон треугольника, зная координаты одной

ПЗ 18. Общее и каноническое уравнение прямой
Задачи для аудиторного решения 18
1. Построить прямую, заданную уравнением 2x  y  4  0 , и записать
уравнение этой прямой в отрезках.
2. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 3)
перпендикулярно вектору n  (1; 2) .
3. Найти уравнение прямой с угловым коэффициентом, если её угло2
вой коэффициент равен k  и известно, что прямая проходит че3
рез точку С(0; –1).
4. Найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку А(–1; 2) параллельно вектору s  (3; 4) .
5. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точки А(–3; 4) и
В(1; –2).
6. Найти точку пересечения двух прямых 3x  4y  29  0 и
2x  5y  19  0 и угол между ними.
7. Выяснить взаимное расположение прямых:
а) x 3  y  1  0, 3x  y 3  1  0 ;

б) x 3  y  1  0, x  y 3  1  0 ;
в) y 

2
2
x
x  1, y 
 1 ; г) y 
x  1, y   x 2  1 ;
2
2
2
21

д)




22

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

из его вершин (4; –1) и уравнения двух биссектрис: x  1 и
y  x 1.
20. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина её отрезка, заключённого между прямыми
2x  y  5  0 и 2x  y  10  0 , равна 10 .

Задачи повышенного уровня сложности 19
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1; 5) на
расстоянии пять единиц от начала координат.
9. Составить уравнение прямой, симметричной прямой x  2y  6  0
относительно точки А(4; 2).
10. Определить, лежит ли точка М(–3; 2) внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями
x y40,
3x  7y  8  0 , 4x  y  31  0 .
11. Даны 3 параллельные прямые 10x  15y  3  0 , 2x  3y  5  0 ,
2x  3y  9  0 . Установить, что первая из них лежит между двумя
другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние
между ними.
12. Определить, лежат ли точки А(2; 3) и В(5; –1) в одном, в смежных
или вертикальных углах, образованных прямыми x  3y  5  0 ,
2x  9y  2  0 .
13. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных
двумя прямыми 3x  2y  5  0 и 2x  y  3  0 , содержит начало
координат.
14. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми
3x  y  4  0 и 2x  6y  3  0 , в котором лежит начало координат.

Задачи для аудиторного решения 19
1. Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нор3
4
мированными: а) x  y  3  0 ;
5
5
2
3
5
12
x y2  0;
б) x  y  1  0 ; в)
5
5
13
13
5
12
г)  x  y  2  0 ; д) x  2  0 ; е)  x  2  0 ;
13
13
ё) y  2  0 ; ж)  y  2  0 .
2. Привести общее уравнение прямой к нормированному виду и найти
расстояние от начала координат до этой прямой: а) 4x  3y  10  0 ;
4
3
б) x  y  10  0 ;
5
5
в) x  2  0 ; г) 12x  5y  13  0 ; д) 12x  y  5  0 .
3. Найти расстояние между параллельными прямыми:
а) 3x  4y  20  0 и 6x  8y  5  0 ;
б) 2x  3y  8  0 и 4x  6y  9 .
4. Вычислить невязку  , отклонение  и расстояние d точки от прямой: а) А(2; –1), 4x  3y  10  0 ;
б) В(0; –3), 5x  12y  23  0 ; в) С(–2; 3), 3x  4y  2  0 ;
5. Точка А(2; –5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x  2y  7  0 . Найти площадь этого квадрата.
6. Установить, лежит ли точка М(1; –3) и начало координат в одной
или в разных полуплоскостях относительно прямой: а)
2x  y  5  0 ; б) x  3y  5  0 ;
в) 3x  2y  1  0 ; г) x  3y  2  0 .
7. Доказать, что прямая 2x  y  3  0 пересекает отрезок, ограниченный точками А(–5; 1) и В(3; 7).
23

ПЗ 20. Пучок прямых
Задачи для аудиторного решения 20
1. Найти центр пучка (2x  3y  1)  (x  2y  4)  0 .
2. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых
(x  2y  5)  (3x  2y  1)  0 и проходящей:
а) через точку А(3; –1); б) через начало координат;
в) параллельно оси Ох; г) параллельно оси Оу;
д) параллельно прямой 4x  3y  5  0 ;
е) перпендикулярно прямой 2x  3y  7  0 .
3. Докажите, что прямая x  8y  7  0 принадлежит пучку
(2x  y  2)  (x  2y  1)  0 .
4. При каком значении С прямая 4x  3y  C  0 принадлежит пучку
(3x  2y  9)  (2x  5y  5)  0 .
5.
Найти
уравнение
прямой,
принадлежащей
пучку
24

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

(3x  4y  3)  (2x  3y  1)  0 и проходящей через центр тяжести
треугольника с вершинами А(–1; 2), В(4; –4) и С(6; –1).
6. Даны уравнения сторон треугольника
x  2y  1  0, 5x  4y  17  0, x  4y  11  0 .
Найти уравнения высот треугольника, не определяя координат его
вершин.
Задачи повышенного уровня сложности 20
7.
Найти
уравнение
прямой,
принадлежащей
пучку
o
(2x  7y  8)  (3x  2y  5)  0 и проходящей под углом 45 к
прямой 2x  3y  7  0 . (Решить, не находя центр пучка.)
8. Найти уравнение сторон треугольника, если известны координаты
одной из его вершин (2; –1), и уравнения высоты 7x  10y  1  0 и
биссектрисы 3x  2y  5  0 , проведенных из одной вершины. (Решить, не вычисляя координат других вершин треугольника.)
9. Луч света, пройдя через точки А(4; 6) и В(5; 8), упал на прямую
x  2y  2  0 и отразился от нее. Составить уравнение прямой, по
которой направлен отраженный луч.
10. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1; –1) так,
что середина ее отрезка между прямыми 2x  3y  6  0 и
2x  3y  6  0 лежала бы на прямой 2x  15y  42  0 .
11. Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника АВС, если задана его вершина А(1; 3) и уравнения медиан
x  2y  1  0 и y  1  0 .

2
3
x  y  1 ; д) 2y  1  0 ; е) z  2 ; ё) x  1  0 .
3
4
5. Написать уравнения координатных плоскостей, и выписать координаты их нормальных векторов.
x y z
6. Найти общее уравнение плоскости    1 и её нормальный
5 3 2
вектор.
7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 1; –1), и
перпендикулярной вектору n  (5; 0; 3) .
8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 1; –1), и
параллельной плоскости 2x  y  z  1  0 .
9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(3; 4; –5), и
параллельной векторам a1  (3; 1;  1) и a 2  (1;  2; 1) .
10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; –1;
3) и В(3; 1; 2) параллельно вектору a  (3;  1; 4) .
11. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(3;
–1; 2), В(4; –1; –1) и С(2; 0; 2).
12. Найти угол между плоскостями: а) 3y  z  0, 2y  z  0 ;
б) 6x  3y  2z  0, x  2y  6z  12  0 ;
в) 3x  2y  z  0, 6z  2x  4  0 .
13. Определить взаимное расположение двух плоскостей:
а) 2x  3y  5z  7  0, 2x  3y  5z  3  0 ;
2
4 10
б) 3x  y  2z  5  0, 2x  y  z   0 ;
3
3
3
в) 2x  5y  1  0, x  y  2z  3  0 .
Задачи повышенного уровня сложности 21
14. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат
и точку А(1; 1; 1), и перпендикулярной координатной плоскости: а)
Оху; б) Oxz; в) Oyz. В каждом случае построить чертеж плоскости.
15. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; 1; 1) и
содержащей ось: а) Ох; б) Оу; в) Oz. В каждом случае построить
чертеж плоскости.
16. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; 1; 1),
В(0; 1; 2), и параллельной оси: а) Ох; б) Оу; в) Oz.
17. Постройте в системе координат часть данной плоскости, видимой

ПЗ 21. Общее уравнение плоскости
Задачи для аудиторного решения 21
1. Какие из следующих точек лежат на плоскости 2x  3y  4z  5  0 :
А(1; 2; 3), В(1; 1; 1), С(3; 5; –1)?
2. Найти какую-нибудь точку, лежащую на данной плоскости: а)
x  5y  z  0 ; б) 2x  y  2z  5  0 ; в) y  3  0 .
3. Найти уравнение плоскости 2x  3y  4z  12  0 в отрезках, точки
её пересечения с координатными осями, и построить чертеж её части в первом октанте.
4. Найти нормальный вектор плоскости:
а) 2x  3y  4z  12  0 ; б) z  2x  3y ; в) z  2x  3 ;
25

г)

26

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

в первом октанте: а) 2x  3y  6  0 ;
б) y  2x ; в) y  2z ; г) y  2z  2 ; д) x  z  3 .
ПЗ 22. Нормированное уравнение плоскости
Задачи для аудиторного решения 22
1. Определить, какие из уравнений плоскостей являются нормальными:
1
2
2
2
1
1
а) x  y  z  5  0 ; б) x  y  z  3  0 ;
3
3
3
3
3
3
6
3
2
6
6
7
5
в) x  y  z  5  0 ; г)  x  y  z   0 ;
7
7
7
11
11 11 11
3
4
5
12
д) x  y  3  0 ; е)  y  z  1  0 ; ё) z  1  0 .
5
5
13
13
2. Найти нормирующий множитель и привести уравнения плоскостей
к нормальному виду:
3
6
2
а) 2x  2y  z  18  0 ; б) x  y  z  3  0 ;
7
7
7
в) 4x  6y  12z  11  0 ; г) 6x  6y  7z  11  0 ;
д) 5y  12z  26  0 ; е) 3x  4y  1  0 ; ё) 2z  1  0 .
3. Для каждой плоскости вычислить углы между нормалью к плоскости и осями координат, и расстояние от начала координат до плоскости: а) x  y 2  z  10  0 ;

б) x  y  z 2  16  0 ;

в) x  z  6  0 ;

г) y  z  2  0 ;

д)

x 3  y  10  0 ; е) x  2  0 ; ё) 2y  1  0 .
4. Вычислить невязку, отклонение и расстояние от данной точки до
данной плоскости: а) А(3; –6; 7), 4x  3z  1  0 .
б) В(–2; –4; 3), 2x  y  2z  3  0 ;
в) С(2; –1; –1), 16x  12y  15z  4  0 ;
5. Убедиться, что данные плоскости пересекаются в одной точке, и
найти
её
координаты:
2x  4y  z  4  0, 3x  6y  2z  4  0, 4x  y  3z  1  0 .
6. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями: а)
x  2y  2z  12  0, x  2y  2z  6  0 ;
б) 2x  3y  6z  14  0, 4x  6y  12z  21  0 ;
в) 2x  y  2z  9  0, 4x  2y  4z  21  0 .
27

7. Определить, лежит ли точка D(2; –1; 1) и начало координат в одном
полупространстве или в разных относительно данной плоскости: а)
5x  3y  z  18  0 ;
б) 2x  7y  3z  1  0 ; в) x  5y  12z  1  0 .
8. На оси ординат найти точку, отстоящую от плоскости
x  2y  2z  2  0 на расстоянии, равном 4.
Задачи повышенного уровня сложности 22
9. Составить уравнение биссекторной плоскости острого двугранного
угла между плоскостями x  z  5  0 и 3x  5y  4z  0 .
10. Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного плоскостями x  2y  3z  5  0 и
2x  y  z  3  0 .
11. Определить, лежат ли точки А(2; –1; 1) и В(1; 2; –3) в одном,
смежном или вертикальных двугранных углах, образованных плоскостями x  2y  3z  5  0 и 2x  y  z  3  0 .
12. Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного
угла между плоскостями 2x  y  2z  3  0 и 3x  2y  6z  1  0 , в
котором лежит точка М(1; 2; –3).
13. Грани тетраэдра заданы уравнениями x  2y  2z  3  0 ,
4x  4y  7z  9  0, 8x  4y  z  3  0, y  z  0 . Составить уравнение
биссекторной плоскости внутреннего двугранного угла между первыми двумя гранями.
ПЗ 23. Уравнение прямой в пространстве
Задачи для аудиторного решения 23
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 0; –3), и
параллельной: а) вектору a  (2;  3; 5) ; б) оси Ох; в) оси Оу; г)
оси Oz; д) прямой x  3t  1, y  2t  3, z  5t  2 .
2. Составить уравнение движения точки, которая двигается прямолинейно и равномерно из точки М(3; –1; –5) в направление вектора
s  (2; 6; 3) со скоростью v  21 .
3. Найдите параметрическое уравнение прямой:
x  2 y z 1
x 3
z 1
а)
; б)
.


y
2
3
4
2
0
4. Найдите каноническое уравнение прямой:
28

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

 x  5  3t
x  0
 xt



а)  y  2  2t ; б)  y  2 ; в)  y  0 .
z  1  t
 z  4  7t
z  t



5. Составить каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точки: а) (1; –2; 1), (3; 1; –1); б) (3; 1; 0), (1; 0; –3).
6. Найдите острый угол между прямыми:
z
z5
а) x  3   y  2 
и x  2  y3 
;
2
2
б) x  3t  2, y  0, z  3  t и x  2t  1, y  0, z  t  3 .
7.
Найдите
координаты
точки
пересечения
прямых:
x  2t  3, y  3t  2, z  6  4t и x  t  5, y  4t  1, z  t  4 .
8. Найдите значение параметра m, при котором прямые
x  2 y z 1
x  3 y 1 z  7
и
пересекаются, и вычислите




2
3
4
m
4
2
координаты их общей точки.
9. Задайте прямую x  2t  3, y  3t  2, z  6  4t пересечением двух
плоскостей.
10. Выясните взаимное расположение прямых:
x 1 y  3 z  2
x  2 y 1 z 1


и


.
3
2
1
2
3
5
11. Найдите каноническое уравнение прямой:
 x  2y  3z  4  0
 x  2y  3z  1  0
а) 
; б) 
.
3x  2y  5z  4  0
2x  y  4z  8  0
12. Найдите расстояние между параллельными прямыми
x  2 y 1 z  3 x 1 y  2 z  3


,


.
3
2
2
3
2
2
Задачи повышенного уровня сложности 23
13. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми
x  2t  4, y   t  4, z  2t  1 , x  4t  5, y  3t  5, z  5t  5 .
14. Вычислить расстояние от точки Р(1; –1; –2) до прямой
x 3 y  2 z 8


, и найдите проекцию точки Р на эту прямую.
3
2
2
15. Найдите уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(2; –2;
1) на прямую x  2t  1, y  3t  2 , z  2t  3 .
16. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А(–4; –5; 3),

x 1 y  3 z  2 x  2 y 1 z 1
.


,


2
1
5
3
2
3
17. Найдите параметрическое уравнение общего перпендикуляра прямых x  3t  7, y  4  2t, z  3t  4 и x  1  t, y  2t  8, z   t  12 .

29

и пересекающую прямые

ПЗ 24. Плоскость и прямая в пространстве
Задачи для аудиторного решения 24
1. Выясните взаимное расположение прямой и плоскости: а)
x y 1 z

 и x  2y  6z  2  0 ;
2
1
0
x y z
б)   и x  2y  6z  2  0 ;
2 1 0
x y z
и 3x  2y  6z  2  0 ;
в)  
2 1 2
x 1 y  2 z


и плоскостью
2. Найдите угол между прямой
3
2
6
x  2y  3  0 .
x 1 y  5 z
с плоскостью
3. Найдите точку встречи прямой


2
2
1
3x  2y  6z  18  0 .

4. Найдите точки пересечения плоскости 3x  2y  6z  18  0 с координатными осями.
5. Найдите каноническое уравнение прямой, проходящую через точку
А(3; 0; –1), и перпендикулярную плоскости 3x  2y  z  4  0 .
6. Найдите проекцию точки М(–4; 2; –1) на плоскость
x  2y  z  3  0 .
7. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;
x 1 y  2
2; –1), и перпендикулярную прямой

z.
3
4
x  2 y 1 z


параллельна плоскости
8. Убедитесь, что прямая
2
1
0
x  2y  2z  1  0 и найдите расстояние между ними.
9. Составить уравнение пучка плоскостей, если известны уравнения
и
двух плоскостей из этого пучка:
x  2y  z  7  0
30

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

2x  2y  z  2  0 .
10.
Найдите
уравнение
оси
пучка
плоскостей
(x  y  2)  (y  z  1)  0 .
11. Найдите уравнение пучка плоскостей, осью которого служит пряx  2 y 1 z 1
мая
.


2
2
1
12. Написать уравнение связки плоскостей, если известны три плоскоx  2y  z  7  0 , 2x  2y  z  2  0 ,
сти из этой связки:
x  3y  2z  11  0 .
13. Доказать, что плоскости x  2y  z  7  0 , 2x  2y  z  2  0 ,
x  3y  2z  11  0 принадлежат одной связке плоскостей и найти
центр связки.
14. Найти уравнение связки плоскостей с центром связки в точке (5; –
1; –4).
Задачи повышенного уровня сложности 24
15. Найдите уравнение плоскости, проходящей через прямую
x  2 y z 1
x  3 y 1 z  7


, и параллельной плоскости


.
2
3
4
1
4
2
16. Найдите проекцию точки А(3; 0; –1) на плоскость
3x  2y  z  4  0 .
17. Найдите точку, симметричную точке А(3; 0; –1) относительно
плоскости 3x  2y  z  4  0 .
18. Найдите уравнение прямой, которая является проекцией прямой
x 1 y  5 z

 на плоскость 3x  2y  6z  18  0 .
2
2
1
x 1 y  2

z.
19. Найти проекцию точки А(1; 2; –1) на прямую
3
4
(Указание: через точку А провести плоскость, перпендикулярную
данной прямой.)
20. Найдите точку симметричную точке А(1; 2; –1) относительно пряx 1 y  2
мой

z.
3
4
21. В пучке плоскостей
(2x  3y  z  3)  (x  3y  2z  1)  0
найти плоскость: а) проходящую через точку М(1; –2; 3);
б) параллельную оси Ох;
в) параллельную прямой

x  2 y 1 z  3
.


2
3
2
22. В пучке плоскостей
(2x  3y  z  3)  (x  3y  2z  1)  0
найти плоскость параллельную плоскости x  2y  3z  4  0 .
23. Найдите уравнение плоскости перпендикулярной вектору
a  (3; 3;1) , и находящейся в связке плоскостей
(7x  2y  z  1)  (6x  3y  2z  5)   (x  y)  0 .
(Задачу решить не находя координаты центра связки.)
24. Найдите уравнение плоскости параллельной плоскости
2x  y  3z  2  0 , и находящейся в связке плоскостей
(7x  2y  z  1)  (6x  3y  2z  5)   (x  y)  0 .
(Задачу решить не находя координаты центра связки.)
25. Найдите уравнение плоскости проходящей через точки А(1; 2; –1)
и В(–5; 6; 2), и находящейся в связке плоскостей
(7x  2y  z  1)  (6x  3y  2z  5)   (x  y)  0 . (Задачу решить
не находя координаты центра связки.)
26. Найдите уравнение плоскости проходящей через прямую
x  2 y 1 z  3
, и находящейся в связке плоскостей


2
3
2
(7x  2y  z  1)  (6x  3y  2z  5)   (x  y)  0 . (Задачу решить
не находя координаты центра связки.)
27. Найти уравнение плоскости, принадлежащей связке плоскостей
(7x  2y  z  1)  (6x  3y  2z  5)   (x  y)  0
и пучку плоскостей
(2x  3y  z  3)  (x  3y  2z  1)  0 .
(Центр связки и уравнение оси пучка не неходить.)
28. Определить взаимное расположение трех плоскостей:
а) x  2y  z  7  0, 2x  2y  z  2  0, x  3y  2z  11  0 ;
б) 2x  y  3z  5  0, 3x  y  2z  1  0, 4x  3y  z  2  0 .
29. Определить, при каких значениях
а
и
b
плоскости
2x  y  3z  1  0, x  2y  z  b  0, x  ay  6z  10  0 : а) пересекаются в одной точке; б) пересекаются по одной прямой; в) пересекаются по трем параллельным прямым, образуя треугольную «трубу».

31

32

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

ПЗ 25. Эллипс
Задачи для аудиторного решения 25
1. Найпишите уравнение окружности радиуса 5 с центром в точке С(–
3; 2).
2. Дано уравнение окружности x 2  y 2  7x  0 . Найдите координаты
его центра и радиус.
3. Определите, какие из следующих точек лежат на эллипсе
8x 2  5y 2  77 , какие внутри и какие вне его: А(–2; 3), В(2; –2), С(2;
–4); D(–1; 3), E(–4; –3) , F(3; –1), G(3; –2).
4. Для эллипса 9x 2  25y 2  225 найдите все его параметры: большую
и малую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и расстояние между
директрисами, фокальный параметр. Постройте чертеж и отметьте
на нем все найденные параметры.
5. Дано уравнение эллипса 12x 2  36y 2  432 . Убедитесь, что точка
М(3; –3) лежит на эллипсе и найдите её фокальные радиусы. Найдите уравнение касательной к данному эллипсу, проходящей через
точку М. Постройте чертеж.
6. Дано уравнение 16x 2  25y 2  32x  100y  284  0 . Убедитесь, что
оно определяет эллипс, и найдите координаты его центра и уравнения главных осей.
7. Найдите каноническое уравнение эллипса, если:
а) его полуоси равны 5 и 2; б) его большая ось 2a  10 , а расстояние между фокусами 2c  8 ; в) 2c  6 и эксцентриситет   3 / 5 ;
г) расстояние между его директрисами 2d  5 и 2c  4 ; д)
2a  8, 2d  16 ;

ё)

метры: большую и малую полуоси, координаты вершин и фокусов,
фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр.
11. Найдите уравнение эллипса, фокальной осью которого является
ось ординат, и центр лежит в начале координат, если известно, что:
а) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8;
б) его малая ось равна 16, а эксцентриситет   0,6 ; в) фокусное
2
расстояние равно 6, а расстояние между директрисами равно 16 ;
3
2
г) расстояние между директрисами равно 10 и эксцентриситет
3
  0,75 .
12. Определите взаимное расположение прямой и эллипса:
2x  y  3  0, 9x 2  16y 2  144 .
 10 5 
13. Из точки A  ;  проведены касательные к эллипсу
 3 3
2
2
x  4y  20 . Найдите уравнения этих касательных.
14. Докажите, что произведение расстояний от центра эллипса до точки пересечения любой его касательной с фокальной осью и до основания перпендикуляра, опущенного из точки касания на фокальную ось, есть величина постоянная, равная квадрату большой полуоси эллипса.
15. Докажите, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.
16. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по сторонам
прямого угла. Определить кривую, описываемую любой точкой М,
лежащей на этом отрезке.

M1 (4;  3), M 2 (2 2; 3) суть точки эллипса.
Задачи повышенного уровня сложности 25
8. Дано уравнение x 2  y 2  4x  8y  2  0 . Убедитесь, что оно определяет окружность, и найдите уравнения касательных к ней, проходящих через начало координат.
9. Найдите уравнение окружности, касающейся осей координат, и
проходящей через точку А(8; 9).
10. Постройте чертеж эллипса 16x 2  y 2  16 , и найдите все его пара-

ПЗ 26. Гипербола
Задачи для аудиторного решения 26
1. Для гиперболы 16x 2  9y 2  144 найдите все его параметры: действительную и мнимую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения
директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр.
Постройте чертеж и отметьте на нем все найденные параметры.
2. Дано уравнение гиперболы 20x 2  16y 2  320 . Убедитесь, что точка

33

34

е) М(2 5; 2) – точка эллипса и его малая полуось b  3 ;

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

М(6; 5) лежит на эллипсе и найдите её фокальные радиусы. Найдите уравнение касательной к данному эллипсу, проходящей через
точку М. Постройте чертеж.
3. Дано уравнение 16x 2  9y 2  64x  54y  161  0 . Убедитесь, что оно
определяет гиперболу, и найдите координаты её центра и уравнения главных осей. Найдите полуоси, эксцентриситет, уравнения
асимптот и уравнения директрис. Выполните чертеж.
4. Найдите каноническое уравнение гиперболы, если даны:
а) её полуоси равны 5 и 4; б) её мнимая ось 2b  8 , а расстояние
между фокусами 2c  10 ; в) 2c  6 и эксцентриситет   1,5 ; г)
4
уравнения асимптот y   x и фокусное расстояние 2c  20 ; д)
3
расстояние между директрисами 2d  6,4 и 2b  6 ; е) точки М(6;
–1) и N(8; 2 2) гиперболы; ё) точка М(4,5; –1) гипреболы и
2
3
уравнения асимптот y   x ; ж) уравнения асимптот y   x и
3
4
16
уравнения директрис x   .
5
Задачи повышенного уровня сложности 26
5. Для гиперболы 16x 2  9y 2  144 найдите полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис. (Обозначения действительной и мнимой полуосей оставить такими же, как и в канонической для гиперболы системе координат.)
6. Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на
оси ординат симметрично относительно начала координат, если
даны:
а) a  18, b  6 (буквой а по прежнему обозначает действительную
5
полуось); б) фокусное расстояние 2c  10 и эксцентриситет   ;
3
12
в) уравнения асимптот y   x и расстояние между действитель5
ными вершинами равно 48; г) расстояние между директрисами
50
7
4
равно
и эксцентриситет   ; д) уравнения асимптот y   x
7
5
3
и расстояние между директрисами равно 6,4.
7. Определите взаимное расположение прямой и гиперболы:
35

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

2x  y  10  0, 5x 2  20y 2  100 .
5
8. Определите, при каких значениях m прямая y  x  m пересекает
2
2
2
гиперболу 36x  9y  144 , касается её, проходит вне её.
9. Составьте уравнение касательных к гиперболе 64x 2  16y 2  1024 ,
параллельных прямой 10x  3y  9  0 .
10. Составьте уравнения касательных к гиперболе x 2  y 2  16 , проведенных из точки С(–1; –7).
11. Эксцентриситет гиперболы равен 2, центр её лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Найдите расстояние от точки гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей
данному фокусу.
12. Через левый фокус гиперболы 25x 2  144y 2  3600 проведен перпендикуляр к её действительной оси. Найдите расстояние от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.
13. Из правого фокуса гиперболы 4x 2  5y 2  20 под углом  к оси
абсцисс направлен луч света. Найдите уравнение прямой, на которой лежит отраженный от гиперболы луч, если tg   2 .
14. Докажите, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух её асимптот есть величина постоянная.
15. Докажите, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы и прямыми, проведенными через любую её
точку параллельно асимптотам, есть величина постоянная.
16. Докажите, что произведение расстояний от фокусов гиперболы до
любой её касательной есть величина постоянная.
17. Докажите, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
ПЗ 27. Парабола
Задачи для аудиторного решения 27
1. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если она симметрична относительно оси абсцисс и её ветви направлены вправо, зная, что: а) фокальный параметр p  3 ; б) парабола
проходит через точку с координатами М(1; 2).
2. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если она симметрична относительно оси абсцисс и её ветви направ36

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

лены влево, зная, что: а) фокальный параметр p  0,5 ; б) парабола
проходит через точку с координатами М(–1; 3).
3. Определите, какие линии определяются следующими уравнениями:
а) y  2 x ; б) y  2  x ; в) x  3  y .
4. На параболе y 2  16x найдите точки, фокальный радиус которых
равен 13.
5. Найдите фокальный параметр параболы, координаты её вершины и
фокуса, уравнение её директрисы, и изобразите на чертеже: а)
y 2  4x  8 ; б) x 2  2  y ; в) y  4x 2  8x  7 ; г) x  2y 2  12y  14 .
6. Составьте уравнение параболы, если известны координаты её фокуса F(7; 2) и уравнение её директрисы x  5 . Изобразите чертеж
данной параболы.
7. Определите взаимное расположение параболы y 2  5x и прямой
5x  y  15  0 .
8. При каких значениях углового коэффициента прямая y  kx  2 : а)
пересекает параболу 4x  y 2  0 ; б) касается ее; в) проходит вне
этой параболы.
Задачи повышенного уровня сложности 27
9. Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе 4x  y 2 . Составьте уравнение хорды, соединяющей точки касания.
10. Определите точки пересечения параболы y 2  3x и гиперболы
5x 2  20y 2  100 . Выполните чертеж.
11. Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 м.
Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба
этого троса в середине между точками крепления, приближенно
считая, что трос имеет форму дуги параболы. (Ответ: 40 см.)
12. Доказать, что две параболы, имеющие общую ось симметрии и
общий фокус, расположенный между их вершинами, пересекаются
под прямым углом.
13. Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными
осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной
окружности.

37