• Название:

    АГ 1 ПЗ Задачи АР и ПУС


  • Размер: 0.32 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

Установите безопасный браузер



  • Название: Глава 1

Предпросмотр документа

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия»
Семестр I
Задачи для аудиторного решения и задачи повышенного уровня
сложности
ПЗ 1. Решето Эратосфена
Задачи для аудиторного решения 1
1. Составьте таблицу простых чисел не больших 100.
2. Составьте таблицы простых чисел на промежутках:
а) [100; 200]; б) [200; 300]; в) [300; 500].
3. Найдите все простые числа на промежутках:
а) [880, 890]; б) [1900, 1910]; в) [4030, 4130].
4. Найдите каноническое разложение в произведение простых множителей числа: а) 15! б) 82 798 848;
в) 81 057 226 635 000.
Задачи повышенного уровня сложности 1
5. Для каких натуральных чисел их наибольший собственный делитель является простым числом?
6. Сколькими нулями оканчивается число: а) 25!; б) 200! ?
7. Найдите все целые решения уравнения x 2  19  y 2 .
ПЗ 2. Алгоритм Евклида
Задачи для аудиторного решения 2
1. Найдите НОД и НОК чисел: а) 3069 и 2637; б) 6567 и 4279; в)
29408339 и 26442001; г) 81719, 52003, 33649 и 30107.
2. Найдите линейное представление НОД чисел: а) 678 и 582; б) 703 и
697; в) 81719 и 52003; г) 33649 и 30107.
Задачи повышенного уровня сложности 2
3. Найдите все пары простых чисел р и q, удовлетворяющих условию
p 2  2q 2  1 . (Смотрите пример 5.)
4. Найдите наибольшее трехзначное число х, для которого
D(x,540)  36 .
5. При каких натуральных n будут взаимно простыми числа: а) 2n  3
и n  1 ; б) n 2  1 и n  3 ?
6. Докажите, что если число n не делится на 2 и 3, то число n 2  1 делится на 24.
7. Докажите, что при любом n число n 5  n делится на 30.
1

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

8. Докажите, что D(2n  1,2m  1)  2D(n,m)  1 .
ПЗ 3. Сравнения по модулю
Задачи для аудиторного решения 3
1. Среди чисел 123, 211, 134, 214, 303, 21 найдите все пары чисел,
сравнимых между собой по модулю 5.
2. Среди чисел 135, 226, 106, 181, 225, 167, 452 найдите все пары чисел, сравнимых между собой по модулю 15.
3. Какие из чисел 137, 343, 633 сравнимы с числом 13 по модулю 31?
4.
Найти
сумму,
разность
и
произведение
сравнений
15  8(mod 7), 83  6(mod 7) .
5. Умножьте сравнение 5  21(mod16) на 6.
6. Сократите все части сравнения 16  80(mod 96) на общий множитель. Верно ли сравнение 8  40(mod96) ?
7. Проведите все возможные сокращения в сравнении
224  14(mod 30) .
8. Найдите наименьший неотрицательный вычет данных чисел по
данному модулю: а) 127, 110, 203 по модулю 11; б) 136, 151, 210
по модулю 15; в) 406, 1596, 35671 по модулю 12.
9. Найдите наименьший по абсолютной величине вычет данных чисел
по данному модулю: а) 99, 138, 202 по модулю 11; б) 299, 602, 300
по модулю 30; в) 2013, 34973 по модулю 36.
10. Найдите полную и приведенную систему вычетов по модулю: а) 8;
б) 9; в) 10; г) 11.
11. Найдите полную и приведенную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю: а) 8; б) 9; в) 10; г) 11.
12. Вычислите значение функции Эйлера от чисел: 13, 169, 1001,
45000.
13. Найдите число примитивных классов вычетов по модулю: а) 30;
б) 100.
14. В последовательности чисел 1, 2, …, 2700 найдите количество чисел взаимно простых с числом 2700.
15. Найдите остаток от деления: а) числа 1349 на 48; б) числа
3200  7 200 на 101; в) числа 7 65  1165 на 80.
16. Найдите последнюю цифру чисел 17 281 , 19321 , 132161 .
17. Докажите, что число 37120  1 делится на 700.
2

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Задачи повышенного уровня сложности 3
18. Докажите, что любые m последовательных натуральных чисел образуют полную систему вычетов по модулю m.
19. Докажите свойства сравнений.
20. Докажите закон сокращения в сравнениях.
21. Докажите признаки делимости.
22. Докажите, что наименьший неотрицательный вычет числа а по
модулю m равен остатку от деления числа а на модуль m.
23. Число 0 и все натуральные числа выписаны одно за другим без запятых и пробелов в ряд: 012345678910111213… . Какая цифра стоит на 2010-й позиции?
24. Найдите две последние цифры чисел 17 281 , 19321 , 132161 .
25. Докажите, что 15243  10(mod30) .
26. Зная, что 12 июня 2010 года суббота, найдите день недели Дня независимости России в 2020-м году.
27. Докажите, что из любых 100 целых чисел можно выбрать 15 таких
чисел, что для любых двух из них их разность делится на 7.
28. Докажите, что если два целых числа не делятся на 3, то и сумма их
квадратов тоже не делится на 3.
29. Докажите, что числа вида n  9m  4, m  N нельзя представить в
виде n  a 3  b3  c3 , a, b,c  N .

ние 5  x  2 .
8. В группе примитивных классов вычетов по модулю 12 решите уравнение 7  x  5 .
9. Определите, разрешимо ли сравнение, и если да, то сколько решений оно имеет: а) 3x  25(mod 42) ; б) 13x  15(mod 36) ;
в)
20x  64(mod396) .
10. Решите следующие сравнения
методом перебора:
а)
5x  3(mod8) ; б) 4x  3(mod9) ; в) 8x  10(mod11) .
11. Следующие сравнения решите с помощью теоремы Эйлера: а)
2x  13(mod 21) ; б) 5x  44(mod51) .
12. Следующие сравнения решите с помощью алгоритма Евклида: а)
102x  133(mod 319) ; б) 235x  613(mod 661) .
13. Решите сравнения: а) 16x  2 (mod18) ;
б) 42x  24 (mod 78) ; в) 33x  192 (mod 237) .
Задачи повышенного уровня сложности 4
14. Доказать, что сложение и умножение классов вычетов по заданному модулю не зависит от выбора их представителей.
15. Объясните, почему множество всех целых неотрицательных чисел
не является группой ни относительно сложения, ни относительно
умножения.
16. Докажите, что множество всех целых чисел является областью.
17. Докажите, что кольцо классов вычетов по простому модулю является полем.
18. Докажите, что в любом поле нет делителей нуля.
19. Определить, является ли множество все целых чисел кратных 3
замкнутым относительно сложения и умножения, и образует ли оно
группу, кольцо или поле.
20. Решите в целых числах уравнение: а) 5x  7y  1 ; б) 15x  17y  11 ;
в) 105x  173y  101 .

ПЗ 4. Сравнения первой степени
Задачи для аудиторного решения 4
1. Составьте таблицы сложения и умножения для классов вычетов по
модулю: а) 2; б) 8; в) 12.
2. Составьте таблицу умножения для примитивных классов вычетов
по модулю: а) 2; б) 8; в) 12.
3. Для каждого класса вычетов по модулю 12 найдите противоположный ему класс вычетов.
4. Найдите все делители нуля в кольце классов вычетов по модулю 12.
5. Найдите все обратимые классы вычетов по модулю 12 и обратные
им классы вычетов.
6. С помощью таблицы умножения примитивных классов вычетов по
модулю 8 найдите для каждого примитивного класса вычетов обратный ему класс вычетов.
7. В кольце классов вычетов по модулю 12 решите линейное уравне3

ПЗ 5. Комплексные числа – 1
Задачи для аудиторного решения 5
1. Вычислите:
а)  3  7i    6  5i  ; б) 3i   7  2i  ; в)  2  4i    7  i  ;

4

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37



 

2i 
 2
27  i 32  

;
3
 3


д)  1  i  2  2i  ; е)  3  i 
г) 2 3  4i 2 



3  i ; ё)  3  i  i ;

4  6i
1  2i
3
4
2
ж) 1  i  ; з) 1  i  ; и) 1  i  ; й)
; к)
;
1 i
3i
5
5  i  3  5i 
1 i


3
3
л)
; м)  2  i    2  i  ; н)
;
3
2i
1  i 
2x  (2  i)y  4  6i
2. Решите систему 
.
 4x  2iy  16  4i
3. Пусть f (z)  2z 3  z 2  z  1 . Найдите f (2  i)  f (2  i) .
Задачи повышенного уровня сложности 5
4. Вычислите:
а) i3 , i 4 , i 4n , i 4n 1 , i 4n  2 , i 4n 3 , где n  Z ; б) i n , где n  Z ;
в) 1  i  i 2  i3  ...  i 2011 ; г) i  i 2  i3  ...  i 2012 ;
д) i  2i 2  3i3  ...  2010i 2010 .
ПЗ 6. Комплексные числа – 2
Задачи для аудиторого решения 6
1. Решите уравнение: а) (5  7i)  3z  8  11i ;

б) z  (0,6  0,8i)  5  11i ; в) 3z  5z  5  11i .
2. Найдите квадратные корни из комплексного числа z:
а) z  8  6i ; б) z  i ; в) z  i ; г) z  1  i ;
3 i
1
3
 ; ё) z  
i.
д) z  3  4i ; е) z 
2 2
2 2
3. Решите квадратное уравнение: а) z 2  4z  5  0 ;
б) z 2  4iz  5  0 ; в) z 2  4z  1  4i  0 ;
г) z 2  (7  2i)z  13  13i  0 .
4. Решите биквадратное уравнение:
1
3
а) z 4   
i ; б) z 4  i 3z 2  1  0 .
2 2
5. Найдите остаток от деления многочлена 4x 37  2x 30  3x 20  x  7 на
многочлен: а) x  i ; б) x  i ; в) x 2  1 .
5

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

6. Решите квадратное уравнение с дополнительным
условием: а) z 2  15  8i, Im z  0 ;
б) z 2  5  12i, Re z  0 ;
7. Решите уравнение: а) z 2  z  1  i ; б) z 2  2(z  z)  4  0 ; в)
z 2  2z  1  0 .
Задачи повышенного уровня сложности 6
8. Решите уравнение в поле комплексных чисел:
а) 9x 4  24x 3  2x 2  24x  9  0 ;
б) 2x 4  7x 3  9x 2  7x  2  0 .

ПЗ 7. Линейные операции с векторами
Задачи для аудиторного решения 7
1. Изобразить на рисунке вектор, лежащий на оси и имеющий правую
(левую) ориентацию.
2. Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки,
и постройте их сумму по правилу параллелограмма.
3. Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки,
и постройте их сумму по правилу треугольника.
4. Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки,
и постройте их разность.
5. По данным векторам a и b , отложенными от одной точки, построить векторы:
1
3
1
а) 2a  b ; б) (a  2b) ; в) (a  2b)  (a  2b)  a  b .
2
4
4
6. В треугольнике АВС дано: AB  a, AC  b , М – середина стороны
ВС. Используя линейные операции с векторами, выразите вектор
AM через векторы a и b .
7. В треугольнике АВС: М – точка пересечения медиан,
AM  a, AC  b . Используя линейные операции с векторами, выра-

зите векторы AB и BC через a и b .
8. В равнобочной трапеции ABCD, AD  2BC .
1
а) Постройте вектор AB  BC  CD .
2

б)

Докажите,

что

CD  BA  BC ,
6

2
1
AC  DB  AB
3
3

и

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

1
(AB  BC  CD)  AB .
2
9. Даны векторы a и b . Коллинеарны ли векторы:
а) c  a  2b и d  2a  4b ; б) c  a  2b и d  2a  4b ;
в) c  a  2 3  b и d   3  a  6  b ?

ванный. Найдите проекцию вектора a на ось Ох, и запишите его в
координатной форме записи.
4. Известна декартовая координата вектора оси Ох: a  (8) . Отложите этот вектор от точки А(11), и определите его ориентацию, модуль и координаты его конца.
5. Найдите модуль, декартовую координату вектора AB и его ориентацию на оси, если известны координаты его начала и конца: а) А(–

10. При каких значениях  векторы 2  a и (3  1)  a сонаправленные?
11. Дано: | a | 13, | b | 19, | a  b | 24 . Найти | a  b | .
12. Точка О является центром тяжести треугольника АВС. Доказать,
что OA  OB  OC  0 .
Задачи повышенного уровня сложности 7
13. В параллелограмме АВСD: К и М – середины сторон ВС и СD,
AK  a, AM  b . Выразить векторы BD и AD через векторы a и
b.
14. В четырехугольнике АВСD диагонали, пересекаясь делятся пополам. Доказать, что этот четырехугольник – параллелограмм.
15. Пользуясь линейными операциями с векторами докажите, что медианы любого треугольника пересекаются в одной точке. (Указание: пусть О – точка пересечения медиан AD и ВЕ, F – середина
стороны АВ. Выразите векторы OF и CO через векторы AB и
AC .)
16. В треугольнике АВС, CN и BK – медианы. Докажите, что
2
AB  AC  (CN  BK)  CB .
(Указание.
Докажите,
что
3
CB  OB  OC , О – точка пересечения медиан.)

ПЗ 8. Декартовая система координат на прямой
Задачи для аудиторного решения 8
1. Укажите на координатной оси Ох точки с заданными координатами: а) А(2); б) В(–3); в) C(3  2) ;

г) D(3  2) .
2. Изобразите на координатной оси Ох радиус-вектор точки: а) А(3);
б) В(–2).
3. Известно, что вектор a || Ox, | a |  5 , и вектор a правоориентиро7

4
7
3), В(–7); б) A   , B    .
3

 2

6. Найдите модуль и декартовую координату вектора 4a  5b , если
a  (18), b  (17) .
 1  4
7. Найдите расстояние АВ, если: а) А(6), В(–1) ; б) A    , B    ;
 3  7 

2  
3 
в) A 
, B
.
 2 3  3 2
8. На координатной оси Ох даны три точки своими координатами: А(–
2), В(3) и С(–1). Найдите длины отрезков АС и СВ, и вычислите
отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки
AC
.
А, используя формулу  CAB  
CB
9. Определите отношение, в котором точка С делит отрезок отрезок
x  xA
АВ, считая от точки А, по формуле  CAB  C
, если А(2), В(6)
xB  xC
и С(4).
10. Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении  СAB  3 , если А(–12) и В(7). Используйте формулу:
xC 

x A   CAB  x B

.
1   CAB
11. Найти координату середины отрезка, ограниченного двумя данными точками: а) А(3), В(5); б) С(–1), D(6).
12. Даны точки А(5) и В(–3). Определить: а) координату точки М,
симметричной точке А относительно точки В; б) координату точки
С, симметричной точке В относительно точки М.
13. Определить координаты концов отрезка, который точками
8

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

 3
 2
P  2  и Q    разделен на три равные части.
 7
 5
14. Точка С делит отрезок АВ, длина которого равна 10, в отношении
2
 CAB   . Найти длину отрезка АС.
3
15. Найдите длину отрезка АВ, если точка С делит его в отношении
 CAB   3 и BC  10 .
16. Даны три точки А(–7), В(–1) и С(1). Определить отношение, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
Задачи повышенного уровня сложности 8
 x 1 
17. Точка А(2) удалена от точки B 
 на расстоянии 5. Найдите х.
 3 
1

18. Известно, что расстояние между точками A  2x   и
3

x2 
B
 1 равно 3. Найдите х.
 4

19. При каких значениях параметра р решение неравенства
p
| 3  1,5x |  2  содержит луч (;5) ?
3
x 1
 1

20. Найдите координаты различных точек A    и B  2  x  и
 3

 3 2
отметьте их на числовой оси, если точка М(–2) является серединой
отрезка АВ.
x

21. Найдите значения х и у, при которых точка M   y  является
2

серединой
отрезков
АВ
и
СЕ,
где:
y
x

  x 2y  

A  2x   2,5  ;B    ;C  y   45  ;E  3y  2x  .
2
2

 3 5  


2. Относительно косоугольной системы координат с координатным
углом 45o дана точка М(4; 2). Определить расстояние от этой точки до осей координат.

ПЗ 9. Прямоугольная декартовая система координат на плоскости
Задачи для аудиторного решения 9
1. Построить точки с данными координатами в косоугольной системе
координат с координатным углом 60o : А(1; 2); В(–3; 1); С(1; –2);
D(–2; –2).
9

Следующие задачи решаем в ПДСК.

3. Постройте на координатной плоскости точку А(1; 4) и точки, симметричные данной относительно координатных осей и начала координат.
4. Постройте на координатной плоскости точку А(1; 4) и её радиусвектор, и найдите его декартовые координаты.
5. Отложите от точки А(–2; –3) вектор a  (1;7) .
6. Найдите модуль, направляющие косинусы и орт вектора a  (1;7) .
7. Найдите декартовые координаты вектора a , если | a |  2 и
o
3 4
a  ( ;  ) .
5 5
8. Найдите декартовые координаты вектора, если его модуль равен 5,
а угол между вектором и осью ординат равен 150o .
9. Найдите декартовые координаты вектора
AB , если
 8 9   7 11 
A  ;   , B  ;  .
3 4  4 3 
d  a  2b  3c ,
если
10.
Найдите
координаты
вектора
a  (1; 7), b  (2;5), c  (1; 3) .
11. Даны две смежные вершины квадрата А(3; –7) и
В(–1; 4). Вычислите его площадь.
12. Найдите отношение, в котором точка С(4; 5) делит отрезок АВ,
считая от точки А, если А(1; –1), В(3; 3). Убедитесь сначала, что
данные точки лежат на одной прямой.
13. На отрезке АВ, где А(–4; 5), В(1; –1), найдите точку С, которая делит его в отношении 3 : 5, считая от точки А.
14. Найдите координаты середины отрезка АВ, если:
 8 9   7 11 
а) А(–4; 5), В(1; –1); б) A  ;   , B   ;  .
3 4  4 3 
Задачи повышенного уровня сложности 9
15. Определить координаты точки М в косоугольной системе координат с координатным углом  , если расстояние ее от осей коорди6

10

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

Головизин В.В. АГ-1, ПЗ, задачи для АР и ПУС, УдГУ, Ижевск – 2010, с.37

нат равны соответственно 1 и 1,5.
16. Определить координаты вершин правильного шестиугольника со
стороной 1, если за оси координат принять две его смежные стороны, так, что вершина противолежащая началу координат, имеет положительные координаты.
17. Через точку А(4; 2) проведена окружность, касающаяся координатных осей. Определить ее центр и радиус.
18. Даны три точки А(1; –1), В(3; р) и С(4; 5). При каком р треугольник АВС прямоугольный?
 11

(ответ: 2; ; 2  11  )
2


19. Даны две смежные вершины квадрата А(2; –1) и
В(–1; 3). Найти координаты двух его других вершин.
20. Прямая линия отсекает на оси Ох отрезок OA  4 и на оси Оу отрезок OB  7 . Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую.
21. Ст