• Название:

    Елементи векторної та лінійної алгебри

  • Размер: 0.36 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении/Abuse
  • Название: ....2
  • Описание: ....2
  • Автор: Tanya

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Український державний морський технічний університет
імені адмірала Макарова

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

для виконання контрольних завдань з теми
"Елементи векторної та лінійної алгебри"

Рекомендовано Методичною радою УДМТУ
як методичні вказівки

Миколаїв 2002

УДК 658.5.044.18
Зоріна І.А., Літвінова М.Б. Методичні вказівки для виконання
контрольних завдань з теми "Елементи векторної та лінійної алгебри". – Миколаїв: УДМТУ. – 2002. – 28 с.
Кафедра вищої математики
Методичні вказівки можуть бути використані студентами вечірньозаочної форми навчання для виконання контрольних робіт з теми "Елементи векторної та лінійної алгебри," а також студентами денної форми
навчання для індивідуальної роботи та контролю якості знань.

Рецензент д-р фіз.-мат. наук, професор В.К. Баженов

© Український державний
морський технічний
університет, 2002
© Видавництво УДМТУ, 2002

РОЗДІЛ 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ ТА ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
У цьому розділі подаються поняття визначника, різні способи
його обчислення, методи розв'язання систем лінійних рівнянь. Крім
того, розділ містить важливі відомості з векторної алгебри.
Визначники, їх обчислення.
Системи лінійних рівнянь з трьома невідомими.
Правило Крамера
Нехай маємо числа a11, a12, a21, a22. Таблиця, яка має вигляд
 a11

 a 21

a12 
,
a 22 

(1)

зветься матрицею другого порядку, числа a11, a12, a21, a22 її елементами, причому перший індекс у записі числа вказує на номер рядка, в
якому стоїть цей елемент, а другий на номер стовпця.
Число ∆ = a11a22 – a12a21 називається визначником матриці (1) або
визначником другого порядку і позначається:
∆=

a11

a12

a 21

a 22

.

Цілком аналогічно, розглядаючи таблицю вигляду

 a11 a12

 a 21 a 22
a
 31 a 32

a13 

a 23  ,
a 33 
3

де a ij ( i = 1,2 ,3; j = 1,2 ,3 ) – деякі числа, маємо матрицю третього порядку, визначник якої позначається:

a11 a12
∆ = a 21 a22
a 31 a32

a13
a 23 .

(2)

a 33

У цьому випадку число ∆ знаходять за формулою
∆ = a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 − a13 a 22 a 31 − a11 a 23 a 32 − a12 a 21 a 33 . (3)

Визначник третього порядку можна виразити через визначники
другого порядку:

a11 a12
a 21 a 22
a 31 a 32

a13
a
a 23 = a11 22
a 32
a 33

a 23
a
a 23
a
a 22
.
− a12 21
+ a13 12
a 33
a 31 a 33
a 31 a 32

(4)

Основні властивості визначника
1. Величина визначника не зміниться, якщо рядки та стовпці його
поміняти місцями, тобто

a11 a12
a 21 a 22
a 31 a 32

a13
a11 a 21 a 31
a 23 = a12 a 22 a 32 .
a 33
a13 a 23 a 33

2. Якщо у визначнику поміняти місцями лише два рядки або два
стовпці, то знак визначника змінюється на протилежний.
3. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) помножити на те
саме число, то значення визначника також помножиться на те саме
число. Звідси зрозуміло, що спільний множник всіх елементів рядка
(стовпця) можна виносити за знак визначника.
4. Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпці),
то значення його дорівнює нулю. Отже, якщо елементи деякого рядка
(стовпця) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.
4

5. Величина визначника не змінюється, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати елементи другого рядка (стовпця), помножені на те саме число.
Нехай задано систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

 a11 x + a12 y + a13 z = b1 ;

 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b2 ;
a x + a y + a z = b ,
 31
32
33
3

(5)

де a11,…,a33 – коефіцієнти при невідомих; b1, b2, b3 – вільні члени.
Назвемо визначником системи (5) число ∆, яке має вигляд (2) і обчислюється за правилом (3) або (4). Тоді, знайшовши визначники:

b1

a12

a13

∆ x = b2
b3

a 22
a 32

a 23
a 33

a11 b1
; ∆ y = a 21 b2
a 31 b3

a13
a11 a12 b1
a 23 ; ∆ z = a 21 a 22 b2 ,
a 33
a 31 a 32 b3

розв'язок системи (5) запишемо у вигляді

x=

∆x


; y=

∆y


; z=

∆z


.

(6)

Система (5) має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли визначник ∆ системи відмінний від нуля. Тоді в цьому разі формули (6)
називають формулами Крамера. Якщо ∆ = 0, а ∆x, ∆y, ∆z відмінні від
нуля, то (5) розв'язку не має. Якщо ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0, то (5) має
безліч розв'язків.
Приклади
1. Обчислити визначники:
а)

2 −8
; б)
4 5

а) ∆ =

−4
0

7 3
2 0.

−8 −3 6

2 −8
= 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ ( −8 ) = 10 + 32 = 42 .
4 5
5

−4 7 3
б) ∆ = 0 2 0 = ( −4 ) ⋅ 2 ⋅ 6 + 7 ⋅ 0 ⋅ ( −8 ) + 0 ⋅ ( −3 ) ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 ⋅ ( −8 ) −
−8 −3 6

− ( −3 ) ⋅ 0 ⋅ ( −4 ) − 0 ⋅ 7 ⋅ 6 = −48 + 48 = 0
або

−4
7 3
0 2 0
−4 3
0 2 0 =− −4
7 3 = −2
=0.
−8 6
−8 −3 6
−8 −3 6
2. Розв'язати систему лінійних рівнянь:

 2 x + y + 3 z = 9;

2 x + 3 y = 7;
б)  x − 2 y + z = −2 ;
а) 
3 x + 2 y = 9;
3 x + 2 y + 2 z = 7.

Маємо : а)
∆=

7 3
2 3
= 14 − 27 = −13;
= 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 3 = −5 ; ∆ x =
9 2
3 2

∆y =

2 7
3 9

= 18 − 21 = −13.

13
Отже, x = ; y = 3 .
5
5
б)

2 1 3
2 9 3
9
1 3
∆ = 1 − 2 1 = 13 ; ∆ x = − 2 − 2 1 = −13 ; ∆ y = 1 − 2 1 = 26 ;
3 2 2
7
2 2
3 7 2
2

1

9

∆ z = 1 − 2 − 2 = 39 .
3
2
7

Отже, x = − 1 ; y = 2 ; z = 3 .
6

Матричний метод розв'язування систем лінійних рівнянь з трьома
невідомими
Якщо маємо систему лінійних рівнянь з трьома невідомими:

 a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 = b1 ,

 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b2 ,
a x + a x + a x = b ,
 31 1
32 2
33 3
3

(7)

то її можна записати у вигляді АХ = В (матрична форма запису), де
А, Х і В – матриці:

 a11 a12

A =  a 21 a 22
a
 31 a 32

a13 
 x1


a 23  ; X =  x 2
x
a 33 
 3

 b1 

 

 ; B =  b2  .
b 

 3


При множенні матриць елементи кожного рядка першої матриці
попарно перемножуємо з елементами кожного стовпчика другої
матриці. Отже, в нашому випадку система лінійних рівнянь (7) може
мати більш короткий, матричний, запис: АХ = В.
Але, з огляду на правила дій з матрицями, ми можемо, якщо
тільки det A = A ≠ 0 , знайти до матриці А обернену матрицю А–1.
Тоді рівняння (матричне) АХ = В зміниться на рівняння (також матричне) A–1АХ = A–1В, тобто Х = A–1В. Але ж це буде розв'язком системи. Отже, для того, щоб розв'язати систему рівнянь (7), треба лише
вміти знаходити матрицю, обернену до матриці А.
Існує простий алгоритм знаходження оберненої матриці:
1. Обчислимо визначник матриці А, він дорівнює det A = A ≠ 0 .
2. Обчислимо всі алгебраїчні доповнення відповідних елементів
матриці А.
Згадаємо, що алгебраїчним доповненням елемента aij називається
число Aij = ( −1) i + j det M ij , де M ij – матриця, яка знайдена з матриці
А викресленням і-го рядка і j-го стовпчика.
3. Побудуємо матрицю A v , яка називається приєднаною до матриці А. Всі елементи A v – це алгебраїчні доповнення відповідних
елементів матриці А.
4. Розділимо кожен елемент матриці Av на detA.
7

1 ⋅ Av
(тобто поміняємо місцями
det A
рядки і стовпчики). Оце й буде обернена матриця A–1, тобто
5. Транспонуємо матрицю

T

A −1 =  1 ⋅ A v  .
 det A

Приклад
Знайти A–1, якщо

 1 2 −1


A= 3
0 2.
4 −2 5



2 −1
1 2
+ 0 + ( −1) ⋅ 2 ⋅
=
−2 5
4 −2
= −3 ⋅ (10 − 2 ) − 2 ⋅ ( −2 − 8 ) = −24 + 20 = −4 ≠ 0 .
1. det A = A = ( −1) ⋅ 3 ⋅

1+1
2. A1 = ( −1) ⋅

0 2
3 2
= 4 , A12 = ( −1) 1+2 ⋅
= −7,
4 5
−2 5

A21 = ( −1) 2 +1 ⋅

2 −1
= −8,
−2 5

A23 = ( −1) 2 +3 ⋅

1 2
= 10,
4 −2

A31 = ( −1) 3+1 ⋅

2 −1
= 4,
0 2

A32 = ( −1) 3+2 ⋅

1 −1
= −5 ,
3 2

A33 = ( −1) 3+3 ⋅

1 2
3 0

= −6.

3. Будуємо приєднану матрицю Av:

 4 −7 −6


9 10  .
Av =  − 8
 4 −5 −6


8

7
3
 −1


4
2

1 ⋅ Av =  2 − 9 − 5 
4.
.

det A
4
2

5
3

 −1

4
2

5. Отже,





2 −1
 −1
T
A −1 =  1 ⋅ A v  =  7 − 9 5  .
 4
 det A

4 4
 3

−5 3

 2
2 2
Приклад
Розв'язати матричним методом систему лінійних рівнянь

2 x1 + 3 x 2 − 7 x 3 = 16;

 x1 + x 2 − 2 x 3 = 6 ;
5 x + 2 x + x = 16.
 1
2
3
Випишемо матрицю системи А:
2 3 −7


A=  1 1 −2  .
5 2
1 

 x1 
 16 
 
 
Якщо B =  6  , X =  x 2  , то маємо матричний запис системи:
x 
 16 
 3
 
АХ = В. Рішення її буде X = A −1 B .
Знайдемо A–1. В першу чергу обчислимо detA = –2 ≠ 0. Далі обчислимо алгебраїчні доповнення:
9

A11 = 5 ; A12 = −11; A13 = −3; A21 = −17; A22 = 37;
A23 = 11; A31 = 1; A32 = −3; A33 = −1.
Складемо матрицю Av:

 5 − 11 − 3 


A =  − 17 37 11  .
 1 − 3 −1 


v

Поділимо кожен елемент на detA = –2:
3
11
− 5


2
2
2


1 ⋅ A v =  17 − 37 − 11  .
 2
2
2 
det A
 1
3
1
−

 2
2
2

І нарешті, транспонуючи останню матрицю, маємо:

17 − 1 
−5


2
2
 2
3 .
A −1 =  11 − 37
 2
2
2
 3
1
− 11


 2
2
2
Повернемось до розв'язання системи:
 − 5 ⋅16 + 17 ⋅ 6 +  − 1  ⋅16 
17 − 1 
−5

 



 2 
2
2
2
2
2
16





3  ⋅  6  =  11 ⋅16 +  − 37  ⋅ 6 + 3 ⋅16  =
X = A −1 B =  11 − 37


 

 2 
 2
2
2
2    2

  16   3
 3
11
1
1
11





 ⋅16 +  −  ⋅ 6 + ⋅16 
 2
2
2

2
 2 
2
10

 − 40 + 51 − 8
  3

  
=  88 + ( −111) + 24  =  1  .
 24 + ( − 33 ) + 8   −1 

  
Таким чином, маємо х1 = 3; х2 = 1; х3 = –1.
Систему розв'язано.
Лінійні операції над векторами. Координати вектора. Довжина
вектора. Скалярний добуток двох векторів
Будемо називати вектором напрямлений прямолінійний відрізок.
Довжину відрізка, який зображує вектор, називають модулем або
довжиною вектора. Якщо модуль вектора дорівнює нулю, то вектор буде нульовим і напрям його невизначений.
Вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називають колінеарними. Якщо ж до цього вони мають однаковий напрям, то їх називають співнапрямленими. Колінеарні вектори,
що мають протилежні напрями, називають протилежно напрямленими. Вектори, що лежать в одній або в паралельних площинах, називають компланарними. Якщо вектори співнапрямлені і мають однакові модулі, то такі вектори називають рівними. Якщо вектори
мають однакові модулі, але протилежно напрямлені, то їх називають протилежними.
Сумою n-векторів, розміщених послідовно (тобто кінець першого
вектора є початком другого), називають вектор, який сполучає початок першого вектор-доданка з кінцем останнього вектор-доданка. Якщо два вектори мають спільний початок, то для знаходження
суми таких двох векторів необхідно побудувати на них двох паралелограм. Вектор, який збігається з діагоналлю побудованого паралелограма, що має спільний початок із заданими векторами, буде
сумою цих векторів. Це правило додавання двох неколінеарних векторів називають правилом
паралелограма.
r r
r r
a і br називають такий третій векдвох
векторів
Різницею
a

b
r
r
додати до вектора b , щоб дістати вектор a , отже
тор rc , який треба
r
r r
r
r
зрозуміти, що для того, щоб від
a − b = c , rякщо b + c = a . Неважко
r
r
вектора
a відняти вектор b , досить до вектора a додати вектор
r
−b .
11

r
Добутком
r вектора a на дійсне числоr (скаляр) t називають такий вектор b , модуль якого дорівнює a ⋅ t і який колінеарний з
r
вектором a і однаково напрямлений з ним при t > 0 та протилежно
напрямлений при t < 0 і є нуль-вектором при t = 0.
r
Розділити вектор a на дійсне число t ≠ 0 означає помножити
r
r r
вектор a на число 1 , тобто a = a ⋅ 1 .
t
t
Одиничним вектором (або ортом вектора) називають вектор,
довжина якого дорівнює 1 і який співнапрямлений з даним вектором. Очевидно, щоб знайти одиничний вектор заданого вектора,
потрібно поділити вектор на його довжину.
Якщо маємо вектор у системі координат, то це означає, що задано його координати, тобто алгебраїчні проекції вектора на
відповідні осі координат. Нехай маємо прямокутну декартову систему координат у просторі. Координати
вектора позначимо через
r
х, y, z. Тоді будемо записувати a = ( x , y , z ) . Очевидно, що

r
r r
r
a = xi + yj + zk ,

(8)
r r r
за осями коордиде i , j , k – одиничні вектори, взятіrвідповідно
r r
координатнат. Зауважимо, що трійка
r векторів i , j , k утворює
r
осі
0х,
вектор

осі
0у, вектор
ний
j
r базис, якщо вектор i належить
r r r
k – осі 0z. Кожен з векторів i , j , k має напрям, що збігається з
додатним напрямом відповідної осі, якій він належить. Подання векr
r
(8) є розкладом вектора a за координатним базитораra уr вигляді
r
сом i , j , k .
r
Якщо вектор a має координати x, y, z, то його модуль визначається за формулою
r
a = x2 + y2 + z2 ,
r
r
тоді орт вектора a позначимо через a 0 і, отже,

r 
a0 = 



12

x
x2 + y2 + z2

,

y
x2 + y2 + z2

,


.
2
2
2 
x + y +z 
z

Якщо маємо дві точки A( x1 ; y1 ; z1 ) і B ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) , то координати вектора AB записуємо в такий спосіб:
AB = ( x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) .
r
r
Нехай задано вектори a1 = ( x1 ; y1 ; z1 ) , ..., a n = ( x n ; y n ; z n ) . Тоді
в координатній формі маємо:

r r
r
a = a1 + ... + a n = ( x1 + ... + x n , y1 + ... + y n , z1 + ... + z n ) ;
r r
r
a = a1 − ... − a n = ( x1 − ... − x n , y1 − ... − y n , z1 − ... − z n ) ;
r
r
a = λ a1 = ( λ x1 , λ y1 , λ z1 ) .
Якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні. Усе
вище сказане має місце для координатної прямої
та площини. r
r r
r
Скалярним добутком двох векторів a і b називають число a , b ,
яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними,
і записують:

( )

r

r



r

(ar ,b ) = ar ⋅ b ⋅ cos  ar ,b  ,




або

r

(ar , b ) = ar пр

r
a

r r
r
b = b пр br a ,

r
r
r
де пр аr b – проекція вектора b на вектор a .
r r
Скалярний добуток ( a , a ) називають скалярним квадратом векr2
r
r r r r
тора a , він дорівнює квадрату модуля вектора a : ( a , a )r= a 2 = a .
r Якщо вектори задано своїми координатами, тобто a ( x1 ; y1 ; z1 )
і b ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) , то
r

(ar , b ) = x x
1

2

+ y1 y 2 + z1 z 2 .

13

 r∧ r 
Очевидно, що cos a , b  =


 r∧ r 
cos  a , b  =



r

(ar , br)

або
r
a⋅