• Название:

    Елементи векторної та лінійної алгебри

  • Размер: 0.36 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: ....2
  • Описание: ....2
  • Автор: Tanya

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Український державний морський технічний університет
імені адмірала Макарова

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

для виконання контрольних завдань з теми
"Елементи векторної та лінійної алгебри"

Рекомендовано Методичною радою УДМТУ
як методичні вказівки

Миколаїв 2002

УДК 658.5.044.18
Зоріна І.А., Літвінова М.Б. Методичні вказівки для виконання
контрольних завдань з теми "Елементи векторної та лінійної алгебри". – Миколаїв: УДМТУ. – 2002. – 28 с.
Кафедра вищої математики
Методичні вказівки можуть бути використані студентами вечірньозаочної форми навчання для виконання контрольних робіт з теми "Елементи векторної та лінійної алгебри," а також студентами денної форми
навчання для індивідуальної роботи та контролю якості знань.

Рецензент д-р фіз.-мат. наук, професор В.К. Баженов

© Український державний
морський технічний
університет, 2002
© Видавництво УДМТУ, 2002

РОЗДІЛ 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ ТА ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
У цьому розділі подаються поняття визначника, різні способи
його обчислення, методи розв'язання систем лінійних рівнянь. Крім
того, розділ містить важливі відомості з векторної алгебри.
Визначники, їх обчислення.
Системи лінійних рівнянь з трьома невідомими.
Правило Крамера
Нехай маємо числа a11, a12, a21, a22. Таблиця, яка має вигляд
 a11

 a 21

a12 
,
a 22 

(1)

зветься матрицею другого порядку, числа a11, a12, a21, a22 її елементами, причому перший індекс у записі числа вказує на номер рядка, в
якому стоїть цей елемент, а другий на номер стовпця.
Число ∆ = a11a22 – a12a21 називається визначником матриці (1) або
визначником другого порядку і позначається:
∆=

a11

a12

a 21

a 22

.

Цілком аналогічно, розглядаючи таблицю вигляду

 a11 a12

 a 21 a 22
a
 31 a 32

a13 

a 23  ,
a 33 
3

де a ij ( i = 1,2 ,3; j = 1,2 ,3 ) – деякі числа, маємо матрицю третього порядку, визначник якої позначається:

a11 a12
∆ = a 21 a22
a 31 a32

a13
a 23 .

(2)

a 33

У цьому випадку число ∆ знаходять за формулою
∆ = a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 − a13 a 22 a 31 − a11 a 23 a 32 − a12 a 21 a 33 . (3)

Визначник третього порядку можна виразити через визначники
другого порядку:

a11 a12
a 21 a 22
a 31 a 32

a13
a
a 23 = a11 22
a 32
a 33

a 23
a
a 23
a
a 22
.
− a12 21
+ a13 12
a 33
a 31 a 33
a 31 a 32

(4)

Основні властивості визначника
1. Величина визначника не зміниться, якщо рядки та стовпці його
поміняти місцями, тобто

a11 a12
a 21 a 22
a 31 a 32

a13
a11 a 21 a 31
a 23 = a12 a 22 a 32 .
a 33
a13 a 23 a 33

2. Якщо у визначнику поміняти місцями лише два рядки або два
стовпці, то знак визначника змінюється на протилежний.
3. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) помножити на те
саме число, то значення визначника також помножиться на те саме
число. Звідси зрозуміло, що спільний множник всіх елементів рядка
(стовпця) можна виносити за знак визначника.
4. Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпці),
то значення його дорівнює нулю. Отже, якщо елементи деякого рядка
(стовпця) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.
4

5. Величина визначника не змінюється, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати елементи другого рядка (стовпця), помножені на те саме число.
Нехай задано систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

 a11 x + a12 y + a13 z = b1 ;

 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b2 ;
a x + a y + a z = b ,
 31
32
33
3

(5)

де a11,…,a33 – коефіцієнти при невідомих; b1, b2, b3 – вільні члени.
Назвемо визначником системи (5) число ∆, яке має вигляд (2) і обчислюється за правилом (3) або (4). Тоді, знайшовши визначники:

b1

a12

a13

∆ x = b2
b3

a 22
a 32

a 23
a 33

a11 b1
; ∆ y = a 21 b2
a 31 b3

a13
a11 a12 b1
a 23 ; ∆ z = a 21 a 22 b2 ,
a 33
a 31 a 32 b3

розв'язок системи (5) запишемо у вигляді

x=

∆x


; y=

∆y


; z=

∆z


.

(6)

Система (5) має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли визначник ∆ системи відмінний від нуля. Тоді в цьому разі формули (6)
називають формулами Крамера. Якщо ∆ = 0, а ∆x, ∆y, ∆z відмінні від
нуля, то (5) розв'язку не має. Якщо ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0, то (5) має
безліч розв'язків.
Приклади
1. Обчислити визначники:
а)

2 −8
; б)
4 5

а) ∆ =

−4
0

7 3
2 0.

−8 −3 6

2 −8
= 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ ( −8 ) = 10 + 32 = 42 .
4 5
5

−4 7 3
б) ∆ = 0 2 0 = ( −4 ) ⋅ 2 ⋅ 6 + 7 ⋅ 0 ⋅ ( −8 ) + 0 ⋅ ( −3 ) ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 ⋅ ( −8 ) −
−8 −3 6

− ( −3 ) ⋅ 0 ⋅ ( −4 ) − 0 ⋅ 7 ⋅ 6 = −48 + 48 = 0
або

−4
7 3
0 2 0
−4 3
0 2 0 =− −4
7 3 = −2
=0.
−8 6
−8 −3 6
−8 −3 6
2. Розв'язати систему лінійних рівнянь:

 2 x + y + 3 z = 9;

2 x + 3 y = 7;
б)  x − 2 y + z = −2 ;
а) 
3 x + 2 y = 9;
3 x + 2 y + 2 z = 7.

Маємо : а)
∆=

7 3
2 3
= 14 − 27 = −13;
= 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 3 = −5 ; ∆ x =
9 2
3 2

∆y =

2 7
3 9

= 18 − 21 = −13.

13
Отже, x = ; y = 3 .
5
5
б)

2 1 3
2 9 3
9
1 3
∆ = 1 − 2 1 = 13 ; ∆ x = − 2 − 2 1 = −13 ; ∆ y = 1 − 2 1 = 26 ;
3 2 2
7
2 2
3 7 2
2

1

9

∆ z = 1 − 2 − 2 = 39 .
3
2
7

Отже, x = − 1 ; y = 2 ; z = 3 .
6

Матричний метод розв'язування систем лінійних рівнянь з трьома
невідомими
Якщо маємо систему лінійних рівнянь з трьома невідомими:

 a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 = b1 ,

 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b2 ,
a x + a x + a x = b ,
 31 1
32 2
33 3
3

(7)

то її можна записати у вигляді АХ = В (матрична форма запису), де
А, Х і В – матриці:

 a11 a12

A =  a 21 a 22
a
 31 a 32

a13 
 x1


a 23  ; X =  x 2
x
a 33 
 3

 b1 

 

 ; B =  b2  .
b 

 3


При множенні матриць елементи кожного рядка першої матриці
попарно перемножуємо з елементами кожного стовпчика другої
матриці. Отже, в нашому випадку система лінійних рівнянь (7) може
мати більш короткий, матричний, запис: АХ = В.
Але, з огляду на правила дій з матрицями, ми можемо, якщо
тільки det A = A ≠ 0 , знайти до матриці А обернену матрицю А–1.
Тоді рівняння (матричне) АХ = В зміниться на рівняння (також матричне) A–1АХ = A–1В, тобто Х = A–1В. Але ж це буде розв'язком системи. Отже, для того, щоб розв'язати систему рівнянь (7), треба лише
вміти знаходити матрицю, обернену до матриці А.
Існує простий алгоритм знаходження оберненої матриці:
1. Обчислимо визначник матриці А, він дорівнює det A = A ≠ 0 .
2. Обчислимо всі алгебраїчні доповнення відповідних елементів
матриці А.
Згадаємо, що алгебраїчним доповненням елемента aij називається
число Aij = ( −1) i + j det M ij , де M ij – матриця, яка знайдена з матриці
А викресленням і-го рядка і j-го стовпчика.
3. Побудуємо матрицю A v , яка називається приєднаною до матриці А. Всі елементи A v – це алгебраїчні доповнення відповідних
елементів матриці А.
4. Розділимо кожен елемент матриці Av на detA.
7

1 ⋅ Av
(тобто поміняємо місцями
det A
рядки і стовпчики). Оце й буде обернена матриця A–1, тобто
5. Транспонуємо матрицю

T

A −1 =  1 ⋅ A v  .
 det A

Приклад
Знайти A–1, якщо

 1 2 −1


A= 3
0 2.
4 −2 5



2 −1
1 2
+ 0 + ( −1) ⋅ 2 ⋅
=
−2 5
4 −2
= −3 ⋅ (10 − 2 ) − 2 ⋅ ( −2 − 8 ) = −24 + 20 = −4 ≠ 0 .
1. det A = A = ( −1) ⋅ 3 ⋅

1+1
2. A1 = ( −1) ⋅

0 2
3 2
= 4 , A12 = ( −1) 1+2 ⋅
= −7,
4 5
−2 5

A21 = ( −1) 2 +1 ⋅

2 −1
= −8,
−2 5

A23 = ( −1) 2 +3 ⋅

1 2
= 10,
4 −2

A31 = ( −1) 3+1 ⋅

2 −1
= 4,
0 2

A32 = ( −1) 3+2 ⋅

1 −1
= −5 ,
3 2

A33 = ( −1) 3+3 ⋅

1 2
3 0

= −6.

3. Будуємо приєднану матрицю Av:

 4 −7 −6


9 10  .
Av =  − 8
 4 −5 −6


8

7
3
 −1


4
2

1 ⋅ Av =  2 − 9 − 5 
4.
.

det A
4
2

5
3

 −1

4
2

5. Отже,





2 −1
 −1
T
A −1 =  1 ⋅ A v  =  7 − 9 5  .
 4
 det A

4 4
 3

−5 3

 2
2 2
Приклад
Розв'язати матричним методом систему лінійних рівнянь

2 x1 + 3 x 2 − 7 x 3 = 16;

 x1 + x 2 − 2 x 3 = 6 ;
5 x + 2 x + x = 16.
 1
2
3
Випишемо матрицю системи А:
2 3 −7


A=  1 1 −2  .
5 2
1 

 x1 
 16 
 
 
Якщо B =  6  , X =  x 2  , то маємо матричний запис системи:
x 
 16 
 3
 
АХ = В. Рішення її буде X = A −1 B .
Знайдемо A–1. В першу чергу обчислимо detA = –2 ≠ 0. Далі обчислимо алгебраїчні доповнення:
9

A11 = 5 ; A12 = −11; A13 = −3; A21 = −17; A22 = 37;
A23 = 11; A31 = 1; A32 = −3; A33 = −1.
Складемо матрицю Av:

 5 − 11 − 3 


A =  − 17 37 11  .
 1 − 3 −1 


v

Поділимо кожен елемент на detA = –2:
3
11
− 5


2
2
2


1 ⋅ A v =  17 − 37 − 11  .
 2
2
2 
det A
 1
3
1
−

 2
2
2

І нарешті, транспонуючи останню матрицю, маємо:

17 − 1 
−5


2
2
 2
3 .
A −1 =  11 − 37
 2
2
2
 3
1
− 11


 2
2
2
Повернемось до розв'язання системи:
 − 5 ⋅16 + 17 ⋅ 6 +  − 1  ⋅16 
17 − 1 
−5

 



 2 
2
2
2
2
2
16





3  ⋅  6  =  11 ⋅16 +  − 37  ⋅ 6 + 3 ⋅16  =
X = A −1 B =  11 − 37


 

 2 
 2
2
2
2    2

  16   3
 3
11
1
1
11





 ⋅16 +  −  ⋅ 6 + ⋅16 
 2
2
2

2
 2 
2
10

 − 40 + 51 − 8
  3

  
=  88 + ( −111) + 24  =  1  .
 24 + ( − 33 ) + 8   −1 

  
Таким чином, маємо х1 = 3; х2 = 1; х3 = –1.
Систему розв'язано.
Лінійні операції над векторами. Координати вектора. Довжина
вектора. Скалярний добуток двох векторів
Будемо називати вектором напрямлений прямолінійний відрізок.
Довжину відрізка, який зображує вектор, називають модулем або
довжиною вектора. Якщо модуль вектора дорівнює нулю, то вектор буде нульовим і напрям його невизначений.
Вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називають колінеарними. Якщо ж до цього вони мають однаковий напрям, то їх називають співнапрямленими. Колінеарні вектори,
що мають протилежні напрями, називають протилежно напрямленими. Вектори, що лежать в одній або в паралельних площинах, називають компланарними. Якщо вектори співнапрямлені і мають однакові модулі, то такі вектори називають рівними. Якщо вектори
мають однакові модулі, але протилежно напрямлені, то їх називають протилежними.
Сумою n-векторів, розміщених послідовно (тобто кінець першого
вектора є початком другого), називають вектор, який сполучає початок першого вектор-доданка з кінцем останнього вектор-доданка. Якщо два вектори мають спільний початок, то для знаходження
суми таких двох векторів необхідно побудувати на них двох паралелограм. Вектор, який збігається з діагоналлю побудованого паралелограма, що має спільний початок із заданими векторами, буде
сумою цих векторів. Це правило додавання двох неколінеарних векторів називають правилом
паралелограма.
r r
r r
a і br називають такий третій векдвох
векторів
Різницею
a

b
r
r
додати до вектора b , щоб дістати вектор a , отже
тор rc , який треба
r
r r
r
r
зрозуміти, що для того, щоб від
a − b = c , rякщо b + c = a . Неважко
r
r
вектора
a відняти вектор b , досить до вектора a додати вектор
r
−b .
11

r
Добутком
r вектора a на дійсне числоr (скаляр) t називають такий вектор b , модуль якого дорівнює a ⋅ t і який колінеарний з
r
вектором a і однаково напрямлений з ним при t > 0 та протилежно
напрямлений при t < 0 і є нуль-вектором при t = 0.
r
Розділити вектор a на дійсне число t ≠ 0 означає помножити
r
r r
вектор a на число 1 , тобто a = a ⋅ 1 .
t
t
Одиничним вектором (або ортом вектора) називають вектор,
довжина якого дорівнює 1 і який співнапрямлений з даним вектором. Очевидно, щоб знайти одиничний вектор заданого вектора,
потрібно поділити вектор на його довжину.
Якщо маємо вектор у системі координат, то це означає, що задано його координати, тобто алгебраїчні проекції вектора на
відповідні осі координат. Нехай маємо прямокутну декартову систему координат у просторі. Координати
вектора позначимо через
r
х, y, z. Тоді будемо записувати a = ( x , y , z ) . Очевидно, що

r
r r
r
a = xi + yj + zk ,

(8)
r r r
за осями коордиде i , j , k – одиничні вектори, взятіrвідповідно
r r
координатнат. Зауважимо, що трійка
r векторів i , j , k утворює
r
осі
0х,
вектор

осі
0у, вектор
ний
j
r базис, якщо вектор i належить
r r r
k – осі 0z. Кожен з векторів i , j , k має напрям, що збігається з
додатним напрямом відповідної осі, якій він належить. Подання векr
r
(8) є розкладом вектора a за координатним базитораra уr вигляді
r
сом i , j , k .
r
Якщо вектор a має координати x, y, z, то його модуль визначається за формулою
r
a = x2 + y2 + z2 ,
r
r
тоді орт вектора a позначимо через a 0 і, отже,

r 
a0 = 



12

x
x2 + y2 + z2

,

y
x2 + y2 + z2

,


.
2
2
2 
x + y +z 
z

Якщо маємо дві точки A( x1 ; y1 ; z1 ) і B ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) , то координати вектора AB записуємо в такий спосіб:
AB = ( x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) .
r
r
Нехай задано вектори a1 = ( x1 ; y1 ; z1 ) , ..., a n = ( x n ; y n ; z n ) . Тоді
в координатній формі маємо:

r r
r
a = a1 + ... + a n = ( x1 + ... + x n , y1 + ... + y n , z1 + ... + z n ) ;
r r
r
a = a1 − ... − a n = ( x1 − ... − x n , y1 − ... − y n , z1 − ... − z n ) ;
r
r
a = λ a1 = ( λ x1 , λ y1 , λ z1 ) .
Якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні. Усе
вище сказане має місце для координатної прямої
та площини. r
r r
r
Скалярним добутком двох векторів a і b називають число a , b ,
яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними,
і записують:

( )

r

r



r

(ar ,b ) = ar ⋅ b ⋅ cos  ar ,b  ,




або

r

(ar , b ) = ar пр

r
a

r r
r
b = b пр br a ,

r
r
r
де пр аr b – проекція вектора b на вектор a .
r r
Скалярний добуток ( a , a ) називають скалярним квадратом векr2
r
r r r r
тора a , він дорівнює квадрату модуля вектора a : ( a , a )r= a 2 = a .
r Якщо вектори задано своїми координатами, тобто a ( x1 ; y1 ; z1 )
і b ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) , то
r

(ar , b ) = x x
1

2

+ y1 y 2 + z1 z 2 .

13

 r∧ r 
Очевидно, що cos a , b  =


 r∧ r 
cos  a , b  =



r

(ar , br)

або
r
a⋅b

x 1 x 2 + y1 y 2 + z 1 z 2

.
x12 + y12 + z12 ⋅ x 22 + y 22 + z 22
r
Напрямними кутами вектора a називають кути, які він утворює
з координатними осями, а косинуси напрямних кутів називають напрямними косинусами і записують:

 r∧ r 
cos  a , j  =



 r∧ r 
; cos  a , j  =


x2 + y2 + z2

y

x

 r∧ r 
cos  a , k  =



z
x + y2 + z2

x2 + y2 + z2

;

,

2

r
r
r
r
де a = ( x , y, z ), i = (1,0,0 ), rj = ( 0,1,0 ), k ( 0,0,1) .
Якщо під дією сили F точка переміщується з положення В в
положення С, то виконана при цьому робота
r А чисельно буде визначатися скалярним добутком вектора сили F і вектора переміщення
BC , отже,
r
r
 r ∧ 
A = F , BC = F ⋅ BC cos  F , BC  .



(

)

Приклад
Якщо відомо, що точки M ( 3 ;1; −1) , N ( 3 ; −2 ;3 ) , P (1;0 ;4 ) – вершини трикутника, знайти кут ∠MPN .
Спочатку запишемо координати двох векторів, які виходять з
точки Р, це PM і PN .
PM = {2 ;1; −5} ; PN = {2 ; −2 ; −1};

14

(

)

cos ∠MPN = cos MP , PN =

2 ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 − 5 ⋅ ( −1)
4 + 1 + 25 ⋅ 4 + 4 + 1

=

7

= 7 30 .
90
3 30

7 30 .
Тобто ∠MPN = arccos
90
Векторний добуток двох векторів. Площа трикутника. Мішаний
добуток трьох векторів. Об'єм тетраедра
r r r r r r
r
Векторним добутком a , b (a ≠ 0 , b ≠ 0 ) є такий
r вектор c , який
r
перпендикулярний до кожного з векторів a та b , утворює з ними
праву трійку векторів і модуль якого визначається за формулою

[ ]

r r r
r∧ r
c = a ⋅ b ⋅ sin( a , b ) .

r r
r r
Зауважимо, що a , b = − b , a , а модуль векторного добутку доr r
рівнює площі паралелограма, побудованого на a і b , віднесених до
r
спільного
початку, тобто площа трикутника АВС, у якого AB = a ,
r
AC = b , може бути визначена таким чином:

[ ] [ ]

1 r r
S ∆ABC = | [ a , b ] | .
2

(9)

У координатній
формі векторний добуток векторів
r
r
a = ( x1 , y1 , z1 ) і b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) можна записати у вигляді

r
i
r r
a , b = x1
x2

[ ]

r
j
y1
y2

r
k
y
z1 = 1
y2
z2

z1 r x1
i −
x2
z2

z1 r x1
j+
x2
z2

y1 r
k.
y2

(10)

r
r векторів a ,
r rМішаним або скалярно-векторним добуткомr трьох
b , c називається векторний добуток векторів a і b , скалярно по15

r
множений на вектор c , тобто

r

r

[ar ,b ]⋅ cr або arb cr .

r rr
Чисельно мішаний добуток abrc rдорівнює об'єму паралелепіпеr
да, побудованого на векторах a , b , c . Якщо вектори компланарні,
їх мішаний добуток дорівнює нулю. Для мішаного добутку справедливі рівності:
rrr
r rr rr r r r r
rrr
rr r
a b c = b c a = c a b = − c b a = − ac b = − b ac .
r
У координатній формі мішаний добуток векторів a = ( x1 , y1 , z1 ) ,
r
r
b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , c = ( x 3 , y 3 , z 3 ) має вигляд

x1
r rr
ab c = x 2
x3

y1

z1

y2
y3

z2 .
z3

Якщо маємо тетраедр, заданий вершинами A = ( x1 , y1 , z1 ) ,
B = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , C = ( x 3 , y 3 , z 3 ) , D = ( x 4 , y 4 , z 4 ) , то його об'єм визначається за формулою

x 2 − x1
1
V = x3 − x2
6
x 4 − x1

y 2 − y1

z 2 − z1

y3 − y2 z3 − z2 .
y 4 − y1 z 4 − z1

(11)

Приклад
1. Трикутник задано вершинами A(1; −1;2 ) , B ( 5 ; −6 ;2 ) ,
C (1;3 ; −1) . Обчислити довжину висоти, опущеної з вершини В на
сторону АС.
Знаходимо вектори AB = ( 4 , −5 ,0 ) і AC = ( 0,4 , −3 ) , тоді, згідно з
формулами (9) і (10), дістанемо

S=1
2
16

2

2

0 4
4 −5
−5 0
+
+
4 −3
0 4
−3 0

2

= 1 15 2 + 12 2 + 16 2 = 25 кв.од.
2
2

Крім того, S = AC ⋅ h , тобто h = 2 S . Отже, знаходячи
2
AC
AC = 16 + 9 = 5 , маємо
h = 2 ⋅ 25 = 5 лін. од.
2 ⋅5

2. Три вершини тетраедра знаходяться у точках A( 2 ;1; −1) ,
B ( 3 ;0 ;1) , C ( 2 ; −1;3 ) . Знайти координати четвертої вершини D, яка
належить осі 0Y,якщо об'єм тетраедра дорівнює 3 куб. од.
Оскільки D належить осі 0Y, то її координати ( 0; y ;0 ) ; тоді, згідно
з формулою (11), маємо

1
−1 2
1
3= 0
− 4 або 18 = − 4 y + 2 .
6
− 2 y −1 1
Розв'язуючи це рівняння, дістанемо y1 = −4 , y2 = 5 , отже,
D1 ( 0; −4 ;0 ), D2 ( 0;5 ;0 ) .
Приклад
Знайти площу грані АВС, об'єм піраміди SАВС і довжину висоти SO, якщо вершини піраміди мають такі координати:
A ( 3 ; 2 ; 4 ) , B ( 2 ; 4 ;3 ) , C ( 4 ;3 ; −2 ) , S ( − 2 ; −4 ; −3 ) .

Знайдемо площу трикутника АВС, як половину площі паралелограма, побудованого на векторах AB і AC :
AB = {−1;2 ; −1} , AC = {1;1; −6} .

Площа паралелограма дорівнює довжині векторного добутку
цих векторів. А векторний добуток

[

]

r r
i j

r
k

σ = AB ⋅ AC = AB , AC = − 1 2 − 1 =
1 1 −6
17

r
r 2 −1 r −1 −1 r −1 2
r
r
=i
−j
+k
= −11i − 7 j − 3 k ;
1 −6
1 −6
1 1
r
σ = 121 + 49 + 9 = 179 .
Звідси маємо, що S ∆ABC =

1 179
кв. од.
2

Далі, об'єм піраміди SABC є 1 частина об'єму паралелепіпеда,
6
побудованого на векторах AB , AC , AS , де AB = ( − 1;2 ; −1);
AS = ( − 5 ; −6 ; −7 ) .
Знайдемо мішаний добуток цих векторів, а це і буде, з точністю
до знаку, об'єм паралелепіпеда:

−1
AB ⋅ AC ⋅ AS =

2

−1

1
1 − 6 = 108 .
−5 −6 −7

Отже, об'єм піраміди дорівнює VSABC = 1 ⋅108 = 18 куб.од.
6
Щоб знайти довжину висоти SO, застосуємо формули V SABC =
= 1 ⋅ S ABC ⋅ SO .
3

Але нам відомо, що V SABC = 18 , S ABC = 179 ; отже,

SO = 3 ⋅18 = 54 = 54 179 .
179
179
179

18

РОЗДІЛ 2. ВАРІАНТИ КОНТРОЛЬНИХ ЗАВДАНЬ
Завдання 1
Розв'язати систему рівнянь матричним методом і за формулами
Крамера.
Варіанти
2 X + 3Y + 2 Z = 9;
3 X + 4Y + 2 Z = 5 ;


1.  X + 2Y − 3 Z = 14 ;
2.  2 X −Y − 3 Z = 4 ;
3 X + 4Y + Z = 16.
 X + 5Y + Z = 5.



 X − 4Y − 2 Z = 1;

3. 3 X + Y + Z = 4 ;
 − 3 X + 5Y + 6 Z = 4.


 X −Y − Z = 2 ;

4.  4 X − 3Y + Z = −1;
2 X +Y = 4.


 X + 2Y + Z = 4 ;

5.  3 X − 5Y + 3 Z = −10;
2 X + 7Y − Z = 11.


3 X + 2Y − Z = 2 ;

6. 5 X −Y + 3 Z = −10;
 4 X + Y − 2 Z = 0.


 X − 4Y − 2 Z = −7;
7. 3 X +Y + Z = 6;
 − 3 X + 5Y + 6 Z = 14.


 5 X −Y + 3 Z = 4 ;

8. 2 X + 3Y + 6 Z = 7;
 X − 2Y + 5 Z = −9.


 3 X −Y − Z = 7;

9. 2 X +Y + 2 Z = 3;
 X + 3Y − 2 Z = −1.


3 X − 2Y − Z = 3;

10. 5 X − 3Y + Z = 10;
2 X + Y − 2 Z = −3.


3 X + 4Y − 2 Z = −2 ;

11.  X −Y + 3 Z = 9;
 4 X + 2Y − Z = 4.


 X −Y + Z = 6;

12.  2 X +Y + Z = 3;
 X +Y + 2 Z = 5.


 X −Y + Z = 5 ;

13. 2 X +Y + Z = 6;
 X +Y + 2 Z = 4.


2 X + 3Y + 2 Z = 0;

14.  X + 2Y − 3 Z = 5 ;
3 X + 4Y + Z = 1.


19

 3 X + 4Y + 2 Z = 4 ;
15.  2 X −Y − 3 Z = −14 ;
 X + 5Y + Z = 6.


3 X + 4Y + Z = 16;
16.  X + 2Y − 3 Z = 14 ;
2 X + 3Y + 2 Z = 9.


 X + 5Y + Z = 5 ;

17.  2 X −Y − 3 Z = 4 ;
3 X + 4Y + 2 Z = 5.


3 X +Y + Z = 4 ;

18.  3 X − 5Y − 6 Z = −4 ;
 X − 4Y − 3 Z = 1.


 4 X − 3Y + Z = −1;

19.  2 X +Y = 4 ;
 X +Y − Z = 2.


2 X + 7Y − Z = 11;

20. 3 X − 5Y + 3 Z = −10;
 X + 2Y + Z = 4.


 4 X + Y − 2 Z = 0;
21. 3 X + 2Y − Z = 2 ;
5 X −Y + 3 Z = −10.


3 X − 5Y − 6 Z = −14 ;

22.  3 X +Y + Z = 6;
 X − 4Y − 2 Z = −7.


 X − 2Y + 5 Z = −9;

23.  2 X + 3Y + 6 Z = 7;
5 X −Y + 3 Z = 4.


 X + 3Y − 2 Z = −1;

24. 3 X −Y − Z = 7;
2 X +Y + 2 Z = 3.


2 X + Y − 2 Z = −3;

25. 3 X − 2Y − Z = 3;
5 X − 3Y + Z = 10.

Завдання 2
Дано координати вершин піраміди: А1, А2, А3, А4. Потрібно методами векторної алгебри знайти: кут між ребрами А1А2 і А3А4; площу грані А1А2А3; об'єм піраміди і висоту А4О, опущену на грань
А1А2А3.
Варіанти
1. А1(1;–1;6), А2(4;5;–2), А3(–1;3;0), А4(6;1;5).
2. А1(1;-3;1), А2(–3;2;–3), А3(–3;–3;3), А4(–2;0;–4).
3. А1(1;1;1), А2(3;4;0), А3(–1;5;6), А4(4;0;5).
20

4. А1(0;0;0), А2(5;2;0), А3(2;5;0), А4(1;2;4).
5. А1(7;1;2), А2(–5;3;–2), А3(3;3;5), А4(4;5;–1).
6. А1(–2;3;–2), А2(2;–3;2), А3(2;2;0), А4(1;5;5).
7. А1(3;1;1), А2(1;4;1), А3(1;1;7), А4(3;4;–1).
8. А1(4;–3;–2), А2(2;2;3), А3(2;–2;–3), А4(–1;–2;3).
9. А1(5;1;0), А2(7;0;1), А3(2;1;4), А4(5;5;3).
10. А1(4;2;–1), А2(3;0;4), А3(0;0;4), А4(5;–1;–3).
11. А1(1;1;1), А2(–1;2;4), А3(2;0;6), А4(–2;5;–1).
12. А1(0;5;0), А2(2;3;–4), А3(0;0;–6), А4(–3;1;–1).
13. А1(0;0;6), А2(4;0;–4), А3(1;3;–1), А4(4;–1;–3).
14. А1(–5;6;–1), А2(6;–5;2), А3(6;5;1), А4(0;0;2).
15. А1(2;–5;3), А2(3;2;–5), А3(5;–3;–2), А4(–5;3;2).
16. А1(6;0;4), А2(0;6;4), А3(4;6;0), А4(0;–6;–4).
17. А1(3;2;4), А2(2;4;3), А3(4;3;–2), А4(–2;–4;–3).
18. А1(6;3;5), А2(5;–6;3), А3(3;5;6), А4(–6;–1;2).
19. А1(5;–2;–1), А2(4;0;0), А3(2;5;1), А4(1;2;5).
20. А1(4;2;5), А2(3;0;4), А3(0;0;3), А4(5;–2;–4).
21. А1(1;2;7), А2(4;2;10), А3(2;3;5), А4(5;3;7).
22. А1(0;5;0), А2(2;3;–4), А3(0;0;6), А4(–3;1;–1).
23. А1(0;0;6), А2(4;0;–4), А3(1;3;–1), А4(4;–1;–3).
24. А1(–5;6;–1), А2(6;–5;2), А3(6;5;1), А4(0;0;2).
25. А1(2;–5;3), А2(3;2;–5), А3(5;–3;–2), А4(–5;3;2).
Завдання 3
Варіанти
1. Дано вершини трикутника: А ( − 12 ; −3 ), В (12 ; −10 ),С ( − 6 ;14 ).
Знайти довжину висоти АD.
2. Дано вершини трикутника: А( −12 ; −3 ), В (12 ; −10 ),С ( − 6;14 ).
Знайти довжину висоти AD.
3. Дано вершини трикутника: А( −12 ; −3 ), В (12 ; −10 ),С ( − 6 ;14 ).
Скласти рівняння медіани АЕ.
4. Дано вершини трикутника: А( −12 ; −3 ), В (12 ; −10 ),С ( − 6 ;14 ).
Скласти рівняння прямої , що проходить через точку А паралельно
стороні ВР.
5. Дано вершини трикутника А( −12 ; −3 ), В (12 ; −10 ),С ( − 6 ;14 ) .
Скласти рівняння середньої лінії, що проходить через середини
сторін ВС і ВА.
6. Знайти проекцію точки Р ( 4 ; −3 ) на пряму 4 X + 3Y +12 = 0.
21

7. Скласти рівняння прямої, якщо точка P ( 2 ;3 ) служить основою перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю пряму.
8. У точках перетину прямої 2 X − 5Y +10 = 0 з осями координат
проведені перпендикуляри до прямої. Скласти їх рівняння.
9. Показати, що точки M 1 ( 2 ;1),M 2 ( − 3 ;3 ),M 3 ( 7 ; −1) лежать на
одній прямій. Знайти її рівняння.
10. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку
M 0 ( 2 ; −3 ) і складають із прямою 2 X − 3Y + 6 = 0 кут 45°.
11. Дано сторону прямокутника 3 X − 4Y + 5 = 0 і дві його вершини А(1;3) і С(1;2). Знайти рівняння інших сторін прямокутника.
12. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку М0(1;4):
а) паралельно прямій 2 X +Y +1 = 0 ;
б) перпендикулярно до цієї прямої.
13. Дано середини сторін трикутника: M 1 ( 2 ;1), M 2 ( 5 ;3 ),
M 3 ( 3; −4 ) . Скласти рівняння сторони, що проходить через точку М1.
14. Дано вершини трикутника: A ( 3 ;2 ), B ( 5 ; −2 ),C (1;0 ) . Скласти
рівняння медіани ВD.
15. Визначити кут, утворений прямими 3 X −Y + 5 = 0 і
2 X +Y − 7 = 0 .
16. Дві сторони квадрата лежать на прямих 5 X −12Y − 65 = 0 ,
5 X −12Y + 26 = 0 . Обчислити його площу.
17. Дано вершини трикутника A( − 20;1), B ( 4 ; −6 ),C ( −14 ;18 ) .
Знайти довжину висоти АD.
18. Дано вершини трикутника: A( − 20;1), B ( 4 ; −6 ),C ( −14 ;18 ) .
Скласти рівняння висоти АD.
19. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих X + 2Y +1 = 0 , 2 X +Y + 2 = 0 і утворює кут 135° з віссю абсцис.
20. Знайти проекцію точки Р(–8;12) на пряму, яка проходить через точки А(2;–3) і В(–5;1).
21. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих X + 2Y + 3 = 0 , 2 X + 3Y + 4 = 0 і паралельну прямій
5 X + 8Y = 0 .
22. Дано сторони трикутника: X + 2Y + 5 = 0 ( АВ ) , 3 X +Y + 1 =
= 0 ( ВС ) , X +Y + 7 = 0 ( АС ) . Скласти рівняння висоти, опущеної на
сторону АС.
23. Дано сторони трикутника X + 3Y − 7 = 0 ( АВ ) , 4 X −Y − 2 =
= 0 ( ВС ) , 6 X + 8Y − 35 = 0 ( АС ) . Знайти довжину висоти, проведеної
з вершини В.
22

24. Дано точки A( − 20 ;1), B ( 4 ; −6 ),C ( −14 ;18 ) . Скласти рівняння
прямої, що проходить через точку А паралельно прямій ВР.
25. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(2;5) і
відтинає на осі ординат відрізок b = 7.
Завдання 4
Варіанти
1. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму
X − 2 = Y + 3 = Z +1
перпендикулярно до площини 2 X − 3Y + 5 Z +
2
5
−1
+6 =0.
2. Скласти рівняння площини, що проходить через точку
 X − 2Y + Z − 3 = 0
.
M 0 (1; −2 ;1) перпендикулярно до прямої 
 X +Y − Z + 2 = 0

3. Знайти точку перетину прямої X − 1 = Y + 1 = 7 і площини
1
−2 6
2 X + 3Y + Z −1 = 0 .
4.

Знайти

проекцію

точки

P ( 5 ;2 ; −1 )

на

площину

2 X −Y + 3 Z + 23 = 0 .
5. Скласти рівняння площини, що проходить через точку

M 0 (1;2 ; −3 ) паралельно прямим X 2 + 3 Z + 3 = 0 , X + 5 = Y − 2 =
−2
3
Z +3
.
=
−1
6. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму
X = 2 t + 1 , Y = −3 t + 2 , і точку M 0 ( 2 ; −2 ;1) .
7. Скласти рівняння площини, що проходить через дві паралельні
X − 2 = Y +1 = Z − 3 X −1 Y − 2 Z + 3
,
.
прямі
=
=
3
2
−2
3
2
−2
3 X − 2Y + Z + 3 = 0
8. При якому значенні С пряма 
паралельна
 4 X − 3Y + 4 Z +1 = 0
площині 2 X −Y + C Z − 2 = 0 ?
23

 X + 3Y + Z = 0
9. Скласти параметричне рівняння прямої 
.
 X −Y − 3 Z − 2 = 0
10. Скласти рівняння площини, що проходить через точки
1
2 Z −3 .
M 1 ( 2 ; −1;3 ) і M 2 ( 3 ; −1;2 ) паралельно прямій X − = Y + =
2
2
−1
11. Довести, що прямі X − 1 = Y + 2 = Z − 5 і X = 3 t + 7 , Y = 2 t + 2 ,
2
−3
4
Z = −2 t +1 лежать в одній площині, і скласти рівняння цієї площини.
12. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму
X +1 = Z + 2 =
X = 3 t + 1 , Y = 2 t + 3 , Z = − t − 2 паралельно прямій
−2
2
= Z −1 .
1
13. Знайти рівняння площини, що проходить через точку
M 0 ( 2 ; −3 ;1) паралельно векторам a = ( − 3 ;2 ; −1) і b = (1;2 ;3 ) .
14. Знайти рівняння площини, що проходить через точки
M 1 ( 2 ; − 15 ;1) , M 2 ( 3;1;2 ) перпендикулярно до площини 3 X −Y −
−4Z = 0 .
15. Знайти рівняння площини, що проходить через точки
М1(1;1;1), М2(–1;1;–1) паралельно до прямої, обумовленої точками
А(5;–2;3) і В(6;1;0).
16. Скласти рівняння площини, що проходить через точки
М1(3;–2;2), М2(4;–1;–1), М3(2;0;2).
17. Скласти рівняння площини, що проходить через точки

М1(1;1;1) і М2(–1;1;–1) паралельно вектору a = (1;3; −3 ) .
18. Знайти точку перетину прямої X − 12 = Y − 9 = Z − 1 і площи4
3
1
ни 3 X + 5Y − Z − 2 = 0 .
19. Знайти кут між прямою X +1 = Y = Z + 5 і площиною X −
2
2
5
− 3Y + Z + 5 = 0 .
20. Знайти проекцію точки А(4;–3;1) на площину X + 2Y − Z − 3 =
= 0.
24

21. Скласти рівняння площини, що проходить через дві параX − 1 = Y = Z + 2 X +1 = Y + 3 = Z
і
.
лельні прямі
2
3
1
2
3
1
22. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму
X − 1 = Y + 1 = Z + 1 і точку M ( 2 ;0 ;1) .
0
1
2
−1
23. Скласти рівняння площини, що проходить через точки
М1(1;1;3) і М2(2;4;5) паралельно осі 0Х. Побудувати площину.
 X + 3Y + Z + 2 = 0
24. Знайти кут між прямими 
і X −3 =
−1
 X −Y − 3 Z − 2 = 0
= Y + 2 = Z −1 .
2
1
25. Скласти рівняння площини , що проходить через перпендикуляри, опущені з точки М(–1;2;5) на площини 4 X +Y − 3 Z +13 = 0 і
X − 2Y + Z − 11 = 0 .

Завдання 5
Знайти, які поверхні визначаються даними рівняннями. Зробити схематичне креслення.
Варіанти
1. а) Z 2 − 2 X 2 −Y 2 = 2 ;
2. a) 2 X 2 +Y + 3 Z 2 = 6 ;
3. a) Z = X 2 + 2Y 2 ;
4. a) Z = 4 − X 2 −Y 2 ;

б) Z = X 2 + 1 ;
б) X 2 − 2Y 2 = 2 ;
б) Y = − X 2 ;
б) Y 2 = Z + 2 ;

5. a) Z 2 = X 2 + 2Y 2 +1 ;
6. a) 2 X 2 + 3Y 2 − Z 2 = 6 ;
7. a) Z = 3 X 2 + 4Y 2 ;
8. a) Y = 2 X 2 + Z 2 ;

б) X 2 +Y = 0 ;
б) Y 2 − 2 Z = 0 ;

в) X + 3 Z = 3 .
в) 2 X + Z + 2 = 0 .
б) X 2 + 3 Z + 3 = 0; в) Z + 2Y − 2 = 0 .
б) X 2 + 2 Z 2 = 2 ; в) 2Y + Z − 3 = 0 .

2
2
9. a) Z 2 = X + Y ;
16
9

б) X 2 +Y 2 = 4 ;

в) Z −Y = 0 .

2
2
10. a) X = Y + Z ;
2
8

б) X = 2Y 2 ;

в) X + 2Y + Z − 4 = 0.

в) 2 X +Y = 1 .
в) 3 X + Z = 6 .
в) 2 X +Y + 3 Z = 6 .
в) X − 2Y = 4 .

25

2
2
11. а) X + Y − Z 2 = 1 ;
4
9
12. a) Z = 4 − X 2 − 4Y 2 ;

б) Y = X 2 ;

в) Y + Z = 2 .

б) Z = 1 − X 2 ;

в) 3 X + 2Y − 6 = 0 .

2
2
2
13. a) X + Y − Z = 1 ;
25
9
16

б) Z = 2Y 2 ;

в) 3 X + 4Y = 12 .

14. a) Z = 9 X 2 +Y 2 ;

б) Z = 4 −Y 2 ;

в) 3 X + 2Y − 6 = 0.

15. a) Z = 3 − 2 X 2 − 6Y 2 ;

б) X = 3Y ;

в) 5 X + Z = 15.

2
2
16. a) X + Y − Z 2 = 1 ;
16
9

б) Y = 1 − Z 2 ;

в) Y − X = 0 .

2
2
17. a) X + Y − Z 2 = −1 ;
4
9

б) Z = 9 − Z 2 ;

в) X + 6Y − 6 = 0 .

18. a) Z = 3 − 2 X 2 − 3Y 2 ;

б) Z = 1 X 2 ;
4

в) X + 3Y − 6 = 0 .

19. a) Z = 2 X 2 + 3Y 2 ;

б) Z = X 2 ;

в) 2 X + 3Y = 6 .

2
2
20. a) Z = X + Y ;
9
4

б) Z = Y 2 ;

в) X + 2Y + 3 Z = 6 .

2
2
2
21. a) X + Y − Z = 1 ;
9
4
2

б) Z = 4 − X 2 ;

в) X − 2Y + 3 Z = 6 .

2
2
2
22. a) X + Y + Z = 1 ;
9
4
2

б) X 2 + 2Y 2 = 2 ;

в) Z = X .

2
2
2
23. a) X + Y − Z = 1 ;
9
4
16

б) X = 16 − Z 2 ;

в) 8 X +Y = 8 .

2
2
2
24. а) X + Y + Z = 1 ;
9
4
16

б) Y = 16 − Z 2 ;

в) X + 2 Z = 2 .

25. a) Z = 5 − X 2 −Y 2 ;

б) Y = 2 X 2 ;

в) 4Y + Z = 8 .

26

2

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. –
М: Наука, 1989.
2. Ильин В.А., Позняк Е.Г. Основы математического анализа. – М: Наука, 1982.
3. Смирнов В.І. Курс вищої математики. – М: Державне видавництво
технічної літератури УРСР, 1954. – Т.1.
4. Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. Курс высшей математики. – М: Высшая школа, 1987.
5. Шиманський І.Є. Математичний аналіз. – К: Вища школа, 1972.

ІРІНА АНАТОЛІЇВНА ЗОРІНА
МАРИНА БОРИСІВНА ЛІТВІНОВА

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

для виконання контрольних завдань з теми
"Елементи векторної та лінійної алгебри"

Редактор О.В. Забава
Комп’ютерна правка і верстка Т.В. Митрохіна, М.О. Постніков
Коректор Н.О. Шайкіна
Підписано до друку 27.09.02. Формат 60×84/16. Папір офсетний. Ум.друк. арк. 1,6.
Обл.-вид. арк. 1,7. Тираж 200 прим. Вид. № 7. Зам. № 238. Ціна договірна.
Видавництво УДМТУ. 54002, м. Миколаїв, вул. Скороходова, 5