KED Pages

Формат документа: pdf
Размер документа: 3.1 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ
IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
Горкавенко Володимир Миколайович
Дiаграмна технiка Фейнмана.
Ймовiрнiсть розпаду та
перерiз розсiяння частинок
Навчальний посiбник
Київ – 2014

ЗМIСТ
Вступ7
Позначення та запис основних величин10
ЧАСТИНА I
ДIАГРАМНА ТЕХНIКА ФЕЙНМАНА.
КВАНТОВА ЕЛЕКТРОДИНАМIКА
У НИЖЧИХ ПОРЯДКАХ ТЕОРIЇ ЗБУРЕНЬ
Роздiл1. Постановка задачi. Матриця розсiяння
в представленнi взаємодiї. Матриця розсiяння у
квантовiй теорiї поля
20
Роздiл2. Операторний формалiзм. Електрон-
електронне розсiяння у другому порядку теорiї
збурень. Фотонний пропагатор
35
Роздiл3. Операторний формалiзм. Електрон-
фотонне розсiяння (ефект Комптона) у другому
порядку теорiї збурень
47
Роздiл4. Проектуючий оператор. Електронний
пропагатор
56
Роздiл5. Теореми Вiка. Елементи дiаграмної
технiки Фейнмана в координатному просторi
61
Роздiл6. Процеси за участю античастинок.
Електрон-позитронна дво- та трифотонна анiгiляцiї.
Розгалудження дiаграми. Елементи дiаграмної
технiки Фейнмана в iмпульсному просторi
69
Роздiл7. Множник симетрiї на прикладах
e−e +-,e−e-таγ−γ-розсiяння 79
Роздiл8. Фермiоннi петлi. Теорема Фаррi 89

4
Роздiл9. Правила дiаграмної технiки Фейнмана.
Приклади для процесiв четвертого порядку.
Перехресна iнварiантнiсть
94
Роздiл10. Процеси в зовнiшнiх полях 110
Роздiл11. Взаємодiя електронiв iз фермiонами iнших
поколiнь, зi скалярними та векторними частинками.
Приклади процесiв у стандартнiй моделi
118
ЧАСТИНА II
IМОВIРНIСТЬ РОЗПАДУ
ТА ПЕРЕРIЗ РОЗСIЯННЯ ЧАСТИНОК.
ПРИКЛАДИ РОЗРАХУНКIВ
Роздiл12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз
розсiяння частинок.Умова унiтарностi
134
Роздiл13. Процеси резонансного розсiяння
та розпаду
158
Роздiл14. Загальнi питання обчислення|M fi|2 166
Роздiл15. Кулонiвське розсiяння 171
Роздiл16. Електрон-електронне розсiяння 180
Роздiл17. Електрон-фотонне розсiяння 189
Роздiл18. Електрон-позитронна анiгiляцiя
у два фотони
204
Роздiл19. Народження частинок
при електрон-позитронних зiткненнях
208
Роздiл20. РозпадZ-бозона 218

5
Роздiл21. Розпад мюона 224
ЧАСТИНА III
РАДIАЦIЙНI ПОПРАВКИ.
КВАНТОВА ЕЛЕКТРОДИНАМIКА
У ВИЩИХ ПОРЯДКАХ ТЕОРIЇ ЗБУРЕНЬ
Роздiл22. Технiка розрахунку iнтегралiв у вищих
порядках теорiї збурень
234
Роздiл23.Методи регуляризацiї розбiжних iнтегралiв 244
Роздiл24. Аналiз перенормованостi теорiй поля 256
Роздiл25. Структура однопетльових розбiжностей.
Контрчлени.R-операцiя
264
Роздiл26. Точний електронний пропагатор. Розраху-
нок в однопетльовому наближеннi
278
Роздiл27. Точний фотонний пропагатор. Розрахунок
в однопетльовому наближеннi
303
Роздiл28. Власно-енергетична функцiя фотона.
Розклад Челлена-Лемана. Альтернативнi методи
розрахунку поляризацiйного оператора
319
Роздiл29. Вершинна функцiя 337
Роздiл30. Рiвняння Дайсона. Тотожностi Уорда та
Уорда-Такахаши. Радiацiйнi поправки до лiнiй
реальних частинок. Визначення фiзичного заряду
344
Роздiл31. Перенормування вершинної функцiї.
Аномальний магнiтний момент електрона
357

6
Роздiл32. Випромiнення м’яких фотонiв.
Позбавлення маси фотона у кiнцевих виразах
370
Роздiл33. Кулонiвське розсiяння з урахуванням
радiацiйних поправок
378
Роздiл34. Радiацiйнi поправки до закону Кулона.
Лембiвський зсув
386
Роздiл35. Бiжуча константа зв’язку.
Поняття про ренормалiзацiйну групу
387
Роздiл36. Кiральна аномалiя 393
Додаток 1. Рiзнi типи представлень у квантовiй ме-
ханiцi..........................414
Додаток 2.Перетворення Лоренца для рiзних типiв
полiв...........................419
Додаток 3.Скалярнi поля..................421
Д3.1. Нейтральне скалярне поле.........421
Д3.2. Заряджене скалярне поле.........422
Додаток 4.Векторнi поля..................424
Д4.1. Нейтральне масивне векторне поле...424
Д4.2. Заряджене масивне векторне поле....428
Д4.3. Безмасове векторне поле на прикладi
електромагнiтного поля..........429
Д4.4. Поляризацiйнi стани векторних полiв..434
Д4.5. Вибiр калiбрування.............437
Додаток 5. Фермiони та фермiоннi поля.........442
Д5.1. Розв’язки рiвняння Дiрака для вiльної
частинки....................444
Д5.2. Кiральнi стани фермiонiв.........451
Д5.3. Безмасовi фермiони. Нейтрино......453
Д5.4. Фермiонне поле...............456
Додаток 6. Стан вакууму та амплiтуда стану в пред-
ставленнi Фока....................459
Лiтература464

ВСТУП
Квантова теорiя поля виникла в кiнцi 20-х рокiв XX ст. Її почат-
ком вважають роботу П. Дiрака1927 р. Причиною ї ї виникнення була
потреба в описi фiзики при високих енергiях як теорiї, що повинна
враховувати як релятивiстськi ефекти, так i ефекти, пов’язанi з пере-
творенням частинокта змiною їх кiлькостi пiд час фiзичних процесiв.
У квантовiй теорiї поля елементарнi частинки є квантами вiдпо-
вiдних полiв, а їх взаємодiя вiдбувається за рахунокобмiну квантами
полiв, що переносять взаємодiю.
Iсторично, першими полями, якi розглядала квантоватеорiя поля,
були електромагнiтнi та фермiоннi (електрон-позитронне) поля, як
єдинi вiдомi на той час. Для опису взаємодiй мiж квантами цих полiв
була створенаквантова електродинамiка(КЕД).
На початку свого iснування фiзичнi процеси розглядалися в так
званому канонiчному формалiзмi, заснованому на безпосередньому
використаннi операторiв народження-знищення. Це був достатньо гро-
мiздкий метод, на змiну якому в 1948 р. прийшов потужний метод,
заснований на дiаграмнiй технiцi Фейнмана, що використовується й
сьогоднi. Величезною перевагою методу Фейнмана є фiзична наоч-
нiсть дiаграмного пiдходу та вiдносна простота в математичному описi
взаємодiй мiж частинками.
З часом стало зрозумiло, що окрiм електрон-позитронного та елек-
тромагнiтного полiв iснують також поля, яким вiдповiдають iншi еле-
ментарнi частинки — мюони, тау-лептони, нейтрино, кварки, бозон
Хiґса, а також поля, кванти яких вiдповiдають за новi взаємодiї —
W
±,Zбозони (слабка взаємодiя), глюони (сильна взаємодiя).
В 70-х роках XX ст. завдяки роботам Ш. Глешоу, С. Вайнберга та
А. Салама була створенастандартна модель фiзики елементарних
частинок(СМ), яка на сьогоднi претендує на опис електромагнiт-
ної, слабкої та сильної взаємодiї мiж елементарними частинками i
повнiстю узгоджується з експериментальними даними, за винятком
деяких моментiв, за якими стоїть вже нова фiзика.
Даний навчальний посiбник створено на основi лекцiй та практич-
них занять зi спецiальних курсiв “Квантова електродинамiка” та “При-
кладна квантова електродинамiка”, якi викладає автор, починаючи з

8
2003 року, студентам фiзичного факультету Київського нацiонального
унiверситету iменi Тараса Шевченка.
Мета першої частини посiбника – показати засади, на яких виник-
ла дiаграмна технiка Фейнмана та детально ї ї вивчити на прикла-
дах основних процесiв у нижчих порядках теорiї збурень у КЕД та
СМ. Пiсля ознайомлення з першою частиною посiбника читач пови-
нен вмiти представити конкретний процес у КЕД на рiвнi дiаграм та
математично записати вiдповiднi елементиˆ
S-матрицi.
Мета другої частини посiбника – навчити читача знаходити перерi-
зи розсiяння та реакцiй, а також ширини розпадiв частинок у КЕД та
СМ в скелетному наближеннi. Тобто навчитиотримувати величини,
якi можна порiвняти з експериментальними даними. Пiсля ознайом-
лення з другою частиною посiбника читач повинен вмiти записати пе-
рерiзи розсiяння та реакцiй через елементиˆ
S-матрицi та розрахувати
їх до чисельного значення, яке можна порiвняти з даними експери-
ментiв.
Посiбник спрямовано на пiдготовку читача до розрахунку про-
цесiв у вищих порядках теорiї збурень. Перший роздiл є введенням
до поняття формалiзмуˆ
S-матрицi в квантовiй теорiї поля та розкла-
дуˆ
S-матрицi в ряд за теорiєю збурень. Розд. 2–4 присвяченi матема-
тичнiй технiцi розрахунку середнiх вiдˆ
S-матрицi на рiвнi операторiв
народження-знищення. Розд. 5–8 пiдводять читача до формулювання
дiаграмної технiки Фейнмана, яку остаточно сформульовано в розд. 9.
В розд. 9–10 розглянуто перехресну iнварiантнiсть у дiаграмнiй технi-
цi та узагальнення правил дiаграмної технiки Фейнмана для процесiв
у зовнiшнiх полях. В розд. 11 показано, що розвинена в роботi тех-
нiка може бути використана для розгляду процесiв у СМ. В розд. 12
показано, як записуються вирази для перерiзiв розсiяння та реакцiй,
а також ширини розпадiв частинок через елементиˆ
S-матрицi. Розд.
13 присвячено зведенню проблеми розрахунку квадрата модуля ам-
плiтуди процесу до розрахунку згорток вiдγ-матриць та наведено тех-
нiку обрахунку згорток. У розд.14–20 наведеноприклади розрахунку
основних процесiв у КЕД та СМ, проведено порiвняння з експеримен-
тальними даними. У додатках мiститься стисле наведення необхiдних
для засвоєння основного матерiалу формул та результатiв з квантової
механiки, теорiї класичних та вторинно квантованих полiв.
Автор висловлює подяку рецензентам П.I. Голоду, В.П. Гусинiну
та О.Л. Ребенко, а також О.В. Барабашу за кориснi поради та заува-

9
ження. Автор також щиро дякує А.П. Пасiчному, який довгий час чи-
тав лекцiї з курсу “Квантова електродинамiка” на фiзичному факуль-
тетi Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка.
Матерiал цих лекцiй був суттєво використаний при написаннi даного
посiбника.
Автор буде вдячний за зауваження та побажання щодо покращен-
ня даного посiбника. Їх ви можете надiслати за електронною адресою
gorka@univ.kiev.uaЕлектронну версiю навчального посiбника можна
отримати на сайтiwww.qft.univ.kiev.ua/people/gorkav/gorkav_u.html

ПОЗНАЧЕННЯ ТА ЗАПИС ОСНОВНИХ
ВЕЛИЧИН
Ми будемо працювати в плоскому просторi-часi, для якого мет-
ричний тензорg µν має дiагональний вигляд
g
µν =⎛


⎝1000
0−10 0
00−10
00 0−1⎞


⎠.(0.1)
Перехiд вiд контраварiантних до коварiантних компонент вiдбу-
вається за допомогою метричного тензора
a
µ=
3
ν=0
gµνaν,f µν =
3
γ=0
gµγfγ
ν=
3
γ,δ=0
gµγgδνfγδ,
3
µ=0
gαµ gµβ =δ β
α,(0.2)
деδ
β
α– одиничний тензор (δ α
α=1;δ β
α=0,якщоα
=β). Для метрич-
ного тензора у формi (0.1):g µν =g µν.
Зокрема, чотиривимiрний радiус-вектор та чотиривимiрний век-
тор iмпульсу є контраварiантними величинами:x
α =(ct,x),p α =
(E/c , p), тобто коварiантними векторами до них будутьx
α=(ct,−x)
таp
α=(E/c ,− p).
Скалярний добуток двох контраварiантних 4-векторiвa=(a 0,a1,
a 2,a3)= (a 0,a)таb=(b 0,b1,b2,b3)=(b 0,
b)визначається як
ab=
3
ν=0
aνbν=
3
µ,ν=0
gµνaµbν=a 0b0−
a·
b.(0.3)
Iнодi, у громiздких формулах, для спрощення розумiння виразiв, ска-
лярний добуток 4-векторiв буде братися у дужкиab≡(ab).

Позначення та запис основних величин11
Для похiдних використовуються позначення
∂u
i
∂x α=∂ αui,∂u i
∂x α=∂ αui.(0.4)
Для спрощення записiв будемо опускати знак пiдсумовування i
вважати, що за двома iндексами, що повторюються, якщо окремо не
зазначено, проводиться пiдсумовування. Якщо окремо не зазначено,
грецькi лiтери означають пiдсумовування вiд 0 до 3, латинськi — вiд
1до3.
Перетворення Фур’є визначаються у виглядi










⎩f(x)=1
(2π) 4∞

−∞
d4kf(k)e −ikx ,
f(k)=

−∞ d4xf(x)e ikx .(0.5)
Для дельта-функцiї в одновимiрному просторi справедливо
δ(x
1)=1 2π

−∞
eik1x1dk 1.(0.6)
Для дельта-функцiї вn-вимiрному просторi:
δ(x)=δ(x
1)δ(x 2)...δ(x n)=
=1
(2π) n∞

−∞
...

−∞
ei(k 1x1+k 2x2+...+k nxn)dk 1dk 2...dk n.(0.7)
Системи одиниць. Енергетичнi одиницi.
Система одиниць=c=1.
У межах даного курсу як складової частини квантової теорiї поля
нам знадобляться такi константи: стала Планка (), швидкiсть свiтла
у вакуумi (c), електричний заряд та маса частинки — кванта електрон-
позитронного поля.
Розмiрнiсть та значення даних величин залежать вiд обраної систе-
ми одиниць. Iснує багато варiантiв вибору системи одиниць. Наведемо
значення необхiдних нам констант у системах одиниць СI та СГСЕ.

12Позначення та запис основних величин
Умiжнароднiй системi одиницьСI використовуються такi основ-
нi одиницi: метр (м), секунда (с), кiлограм (кг), Кулон (Кл), Джоуль
(Дж)(1Дж=1кг·1м
2/1с 2). Тодi значення вказаних констант є такi:






⎩=1.05457·10
−34 Дж·с;
c=2.99792458·108м/с;
|e|=1.60218·10 −19 Кл;
m
e=9.10938·10 −31 кг.(0.8)
У системi одиниць СГС (сантиметр-грам-секунда) базовими оди-
ницями є сантиметр (см), грам (г), секунда (с). Для роботи в електро-
динамицi СГС розширюється до системи одиниць СГСЕ (абсолютна
електростатична система, в якiй електрична сталаε
0=1, магнiт-
на сталаµ
0=1/c 2), СГСМ (абсолютна електромагнiтна система,
вякiйε
0=1/c 2,µ 0=1) абогауссової системи одиниць(ε 0=1,
µ
0=1). У системi одиниць СГСЕ:






⎩=1.05457·10
−27 ерг·с,(1ерг=1г·1см 2/1c 2);
c=2.99792458·10 10см/с;
|e|=4.80320·10 −10 статкулон,(1статкулон=1г 1/2 ·1см 3/2 /1с);
m
e=9.10938·10 −28 г.
(0.9)
Щоб задати iнтенсивнiсть деякої взаємодiї незалежно вiд обраної
системи одиниць треба ввести деякий безрозмiрний параметр. Зокре-
ма, для електродинамiки iнтенсивнiсть взаємодiї можна визначати че-
рез енергiю кулонiвської взаємодiї мiж двома частинками з елементар-
ними зарядами одного знака, що розташованi на вiдстанirодна вiд
одної:E=k·e
2/r. Параметрkта елементарний зарядeв рiзних
системах одиниць мають рiзнi значення. Подiливши обидвi частини
виразу на величинуcрозмiрностi[енергiя]·[довжина]отримаємо
E/c=α/r, де безрозмiрна величинаα=ke
2/cотримала назву ста-
лої тонкої структури 1. Вона є комбiнацiєю фундаментальних констант
релятивiстської квантової фiзики i визначає iнтенсивнiсть процесiв за
участi електромагнiтної взаємодiї.
Отже, стала тонкої структури визначається, виходячи iз запису
закону Кулона, у певнiй системi одиниць, наприклад:
1Константа отримала назву з ефекту розщеплення рiвнiв енергiї атома за ра-
хунок спiн-орбiтальної взаємодiї. Цей ефект пропорцiйнийα 2.

Позначення та запис основних величин13
вСГСЕα=e
2
c,вСIα=1 4πε 0
e2
c,(0.10)
деε
0=8.85419·10 −12 Кл 2/Дж·м – електрична стала в СI. Чисельне
значенняαне залежить вiд обраної системи одиниць
α=0.00729735·10
−3 ≈1/137.036.(0.11)
Яксистема одиниць СI, такi система СГСЕ не є зручними в теорiї
поля: чисельнi значення вказаних констант є або надзвичайно вели-
кими, або надзвичайно малими. Зокрема, одиниця вимiру маси 1 кг
(або 1 г) є надзвичайно великою для опису вiдомих елементарних ча-
стиноктаксамо, якi енергетична одиниця 1 Дж (або 1 ерг) є занадто
великою для опису процесiв у СМ. Тому зручно ввести нову енерге-
тичну одиницю, а також домовитись вимiрювати масу також в цих
енергетичних одиницях. Ми маємо право це робити, якщо використа-
ти спiввiдношення мiж масою та енергiєю частинки в станi спокою у
формiE=mc
2. За енергетичну одиницю в квантовiй теорiї поля обра-
но енергiю, яку отримує електрон при проходженнi рiзницi потенцiалу
в 1 Вольт. Ця одиниця отримала назву електрон-вольт (еВ):
1еВ=|e|·1В=1.60218·10
−19 Джоуль=1.60218·10 −12 ерг.(0.12)
Використовуються також похiднi одиницi, а саме: мегаелектрон-
вольт (1МеВ=10
6еВ), гiгаелектрон-вольт (1ΓеВ=10 9еВ), тераелек-
трон-вольт (1TеВ=10 12еВ) та iн. У цiй системi одиниць, зокрема,
маса електрона дорiвнюєm
ec2=9.10938·10 −31 ·299792458 2кг·м/с=
8.1871·10 −14 Дж≈0.511МеВ.
Однакнавiть пiсля переходу на новi енергетичнi одиницi залиша-
ються деякi незручностi пов’язанi iз захаращенням формул комбiна-
цiями константтаc. Тому в квантовiй теорiї поля найбiльш зручною
виявилась система одиниць, в якiй=c=1, тобто дiя та швидкiсть
є безрозмiрними величинами. Тодi енергiя та iмпульс мають розмiр-
нiсть маси, що очевидно, наприклад, iз спiввiдношеньE=mc
2та
p=mv.Отже,[E]=[p]=[m].
Розмiрнiсть довжини та часу також виражаються через розмiр-
нiсть маси[t]=[x]=[m]
−1 , оскiльки, наприклад,x=vt,[Et]=[],
[px]=[]. Чисельнi значення легко отримати iз системи рiвнянь,
що складається з означеньтаc, якщо згадати, що розмiрнiсть
є1Дж·1с=1кг·1м
2/1с:

14Позначення та запис основних величин


⎩=1.05457·10 −34 1кг·1м 2/1с=1;
c=2.99792458·10 8м/с=1;
1кг=5.60959·10 35 еВ;⇒

1м=5.06773·10
6еВ −1 ;
1сек=1.51927·10 15еВ −1.(0.13)
Розмiрностi величин, що експериментально спостерiгаються та яв-
но обраховуються в теорiї поля також виражаються через розмiр-
нiсть маси, а саме: перерiз розсiяння[σ]=[m]
−2 , iмовiрнiсть розпаду
[ω]=[m]. Тодi для виконання зворотного переходу потрiбно знати,
яквиразити черезm, c,правильну розмiрнiсть фiзичних величин.
Це легко зробити, враховуючи[
mc ]=[l],[ mc 2]=[t]. Корисно навести
чисельнi значення, наприклад, дляm=m
eзгiдно з (0.8):

mec=3.86159·10
−13 м, mec2=1.28809·10 −21 c.(0.14)
Надалi, за невеликим виключенням, ми будемо працювати саме в
системi одиниць=c=1.
Системи одиниць Гаусса та Хевiсайда – Лоренца
Яквiдомо, до просторової густини лагранжiана електромагнiтне
поле входить завдяки двом доданкам. Перший доданок описує взає-
модiю поля з електричними зарядами, другий доданок описує вiльне
електромагнiтне поле
L(x)=−1
cj
µAµ−a 2FµνFµν,(0.15)
деj
µ–µ-та компонента чотири-вектора електричного струмуj µ=
(cρ,
j), кожна компонента якого пропорцiйна елементарному заряду
e; с – швидкiсть свiтла;a
2– константа, що може бути обрана з мiр-
кувань зручностi. Конкретний вибiр цiєї константи буде визначати, в
якiй системi одиниць ми працюємо.
У гауссовiй системi одиницьa
2=1/(16π), тодi польове рiвняння
набуває вигляду∂
νFµν =− 4πcjµ. Зокрема, кулонiвський потенцiал,
що створюється точковим зарядомQна вiдстанirвiд свого положен-
ня, має вигляд
A
0=Q r,(0.16)

Позначення та запис основних величин15
а кулонiвська сила взаємодiї двох електронiв
|
F|=e
2
r2.
Безрозмiрна стала тонкої структури в гаусовiй системiα=e
2/(c).
Усистемi одиниць Хевiсайда–Лоренцаa 2=1/4, тодi польове
рiвняння спрощується∂
νFµν =− 1cjµ, де штрих означає величину в
новiй системi одиниць. Кулонiвський потенцiал, що створюється точ-
ковим зарядомQ
на вiдстанirвiд свого положення, отримує додат-
ковий множник
A

0=1 4πQ

r,(0.17)
а кулонiвська сила взаємодiї двох електронiв
|
F|=e
2
4π1 r2.
Оскiльки значення добуткуj
µAµ(або сили Кулона) не повинно за-
лежати вiд вибраної системи одиниць, то легко встановити зв’язок
мiж елементарними зарядами в рiзних системах одиниць, а самеe
2=
e 2/(4π). З iншого боку, розглядаючи вiльну частину лагранжiану в
однiй та iншiй системi одиниць, легко зрозумiти, щоA
µ =√ 4πA 
µ.
Отже,eA
µ=e A
µ.
Надалi ми будемо працювати в системi одиниць Хевiсайда – Ло-
ренца й опустимо штрихи в позначеннях. Константа тонкої структури
в цiй системi одиниць становить
α=e
2
4πc≈1 137.036.(0.18)
Оскiльки ми домовились працювати в системi=c=1,то
α=e
2
4π,(0.19)
тобто елементарний заряд у системi=c=1у позначеннях Хевiсай-
да – Лоренца|e|=√
4πα≈ (4π)/137≈0.3й є безрозмiрною вели-
чиною. Лагранжiан електричного поля iз взаємодiєю та рiвняння, що
визначає динамiку поля, у цiй системi одиниць матимуть вигляд
L(x)=−j
µAµ−1 4F
µνFµν,∂ νFµν =−j µ.(0.20)

16Позначення та запис основних величин
Зафiксувавшиa 2, отримуємо вирази для iнших електромагнiтних ве-
личин. Наприклад, в СI
1В=1Дж
1Кл;1Тл=1кг 1Кл·1с.(0.21)
Використавши (0.12), (0.13) та зв’язокмiж зарядом електрона в рiзних
системах вiдлiку

4πα=1.60218·10 −19 Кл,(0.22)
отримаємо
1В=1
√4παеВ≈3.3еВ;1Тл≈195.35еВ
2.(0.23)
Представленняγ-матриць
γ-матрицi в рiвняннi Дiрака не фiксуються однозначно умовами
γ
µγν+γ νγµ=2g µν та(γ µ)+=γ µ.(0.24)
Вибiр виглядуγ-матриць є питанням домовленостi. Найбiльш поши-
реними є представлення Дiрака та кiральне (вейлiвське) представлен-
ня.
Представлення Дiраказручно використовувати для аналiзу нере-
лятивiстського наближення. У ньому
γ
0=
I0
0−I
;γ i=
0σ i
−σ i 0
;
γ
5=γ 5+ =γ 5=iγ 0γ1γ2γ3=
0I
I0
,γ 5γµ=−γ µγ5,(0.25)
деIє одиничною матрицею2×2,аσ
iє матрицями Паулi:
σ
1=
01
10
;σ 2=
0−i
i0
;σ 3=
10
0−1
.(0.26)
Наведемо також явний вигляд матриць α=γ
0γта
Σ=−γ 0γ5γ
(векторнi величини тут мають верхнi iндекси):
 α=
0σ
σ0
;
Σ=
σ0
0σ
.(0.27)

Позначення та запис основних величин17
Кiральне представленнязазвичай використовують при розглядi
процесiв у СМ 1. Воно має певнi переваги при розглядi ультрареля-
тивiстського наближення.
Кiральне представлення отримується з представлення Дiрака за
допомогою матрицi (див. Д5.9):
S=1
√2
I−I
II
,
тодi
γ
0=
0I
I0
;γ i=
0σ i
−σ i 0
;
γ
5=γ 5+ =γ 5=iγ 0γ1γ2γ3=
−I0
0I
,γ 5γµ=−γ µγ5.(0.28)
Наведемо також явний вигляд матриць α=γ
0γта
Σ=−γ 0γ5γ
(векторнi величини тут мають верхнi iндекси):
 α=
−σ0
0σ
;
Σ=
σ0
0σ
.(0.29)
За допомогоюγ-матриць можна побудувати антисиметричну мат-
рицю
σ
µν =i 2[γ
µγν−γ νγµ],(0.30)
яка буде утворювати спiнову матрицюΣ
i=ε ij k σjk/2,деi, j, kприй-
мають значення1,2,3, тобтоΣ
1=σ 12,Σ 2=σ 31,Σ 3=σ 12. У випадку
коли перший iндекс нуль, отримуємоα-матрицi у вiдповiдному пред-
ставленнi:σ
0i =iγ 0γi=iα i.
Перекреслений символ векторної величини незалежно вiд пред-
ставлення надалi означатиме згортку вiдповiдного чотири-вектора з
γ-матрицями:a=a
νγν.
Причиннi функцiї
Будемо визначати причиннi функцiї Грiна (пропагатори полiв) за
тим самим принципом, за яким переставнi функцiї полiв отримують
з перестановної функцiї Паулi – Йордана для скалярного поля. Нага-
даємо, що
1Кiральне представленняγ-матриць також називають представленням Вейля.

18Позначення та запис основних величин
i[ˆϕ(x),ˆ ϕ(x )]−=i[ˆ
φ(x),ˆ
φ ∗(x)]−=¯
D(x−x ),
i[ˆ
U
µ(x),ˆ
U ν(x)]−=i[ˆ
V µ(x),ˆ
V ∗
ν(x)]−=−¯
D µν(x−x )=
=−
g
µν + 1m2 ∂2
∂xµ∂xν

3
¯arD(x−x ),
i[ˆ
A
µ(x),ˆ
A ν(x)]−=−¯
D o
µν(x−x )=−g µν ¯
D(x−x )|m=0 ,
i{ˆ
Ψ
α(x),ˆ
¯
Ψ β(x)}+=¯
G αβ (x−x )=(iˆ
∂+m) αβ ¯
D(x−x ),
(0.31)
деˆ ϕ,ˆ
φ,ˆ
U
µ,ˆ
V µ,ˆ
A µ,ˆ
Ψ β— оператори, а¯
D(x),¯
D µν(x),¯
D o
µν(x),¯
G αβ (x)—
функцiї Паулi – Йордана скалярного (нейтрального та зарядженого),
масивного векторного (нейтрального та зарядженого), електромагнiт-
ного та спiнорного полiв вiдповiдно. Вирази у квадратних i фiгурних
дужках є вiдповiдно комутатором та антикомутатором двох опера-
торiв:[ˆ
A,ˆ
B]
−=ˆ

B−ˆ

A,{ˆ
A,ˆ
B} +=ˆ

B+ˆ

A. Тодi причиннi функцiї
скалярного, масивного векторного, безмасового векторного (електро-
магнiтного) та спiнорного полiв, вiдповiдно, будемо визначати через
вакуумнi середнi у виглядi:
i0|ˆ
Tˆ ϕ(x)ˆϕ(x
)|0=i0|ˆ

φ ∗(x)ˆ
φ(x )|0=D(x−x ),
i0|ˆ

U
µ(x)ˆ
U ν(x )|0=i0|ˆ

V ∗
µ(x)ˆ
V ν(x )|0=−D µν(x−x )=
=−
g
µν + 1m2 ∂2
∂xµ∂xν

D(x−x ),
i0|ˆ

A
µ(x)ˆ
A ν(x )|0=−D 0
µν(x−x )=−g µνD(x−x )|m=0 ,
i0|ˆ

Ψ
α(x)ˆ
¯
Ψ β(x )|0=−i0|ˆ

¯
Ψ β(x )ˆ
Ψ α(x)|0=
=G
αβ (x−x )=(iˆ
∂+m) αβ D(x−x ).
(0.32)
Явний вигляд причинних функцiй через фур’є-представлення наведе-
но в додатках.
Скорочення та позначення
КЕД — квантова електродинамiка;
СМ — стандартна модель фiзики елементарних частинок;
α=e
2/4π— стала тонкої структури;
r
e=α/m e— класичний радiус електрона.
Додатковий матерiал, який при першому читаннi можна не врахо-
вувати, наведено в основному текстi посiбника курсивом.

ЧАСТИНА I
ДIАГРАМНА ТЕХНIКА ФЕЙНМАНА.
КВАНТОВА ЕЛЕКТРОДИНАМIКА
У НИЖЧИХ ПОРЯДКАХ
ТЕОРIЇ ЗБУРЕНЬ

РОЗДIЛ 1
Постановка задачi. Матриця розсiяння
в представленнi взаємодiї.
Матриця розсiяння у квантовiй теорiї поля
Будемо вважати, що читач вже знайомий з теорiю вiльних кла-
сичних та квантованих бозонних та фермiонних полiв. Базуючись на
цьому, розглянемо фiзичну задачу, коли частинки взаємодiють.
Безпосередньо процес взаємодiї описати складно, однак можна роз-
в’язати задачу, коли в початковому станi частинки є вiльними i пiсля
взаємодiї переходять в стан, у якому вони також є вiльними. У цьому
випадку можна ставити питання про визначення кiнцевого стану, в
який система з налiтаючих частинокпереходить внаслiдоквзаємодiї.
Отже, будемо розглядати тi зiткнення (взаємодiю), у процесi яких
можна видiлити три етапи. Перший етап: складовi фiзичної системи
розташованi на достатньо великiй вiдстанi одна вiд одної, коли взає-
модiєю мiж ними можна знехтувати. Другий етап: складовi системи
безпосередньо взаємодiють. Третiй етап: складовi фiзичної системи
розлiтаються на достатньо великi вiдстанi i взаємодiєю мiж ними зно-
ву можна знехтувати.
Метою нашого опису процесу взаємодiї є встановлення стану фi-
зичної системи пiсля взаємодiї, якщо вiдомий ї ї стан до взаємодiї.
Матриця розсiяння
Для опису зазначених процесiв зручно ввести
1оператор розсiяння
ˆ
S, що пов’язує початковий та кiнцевий стани системи в представленнi
взаємодiї (див. дод. 1).
НехайΨ
I(−∞)– хвильова функцiя системи, що описує ї ї стан до
взаємодiї в момент часуt=−∞,аΨ
I(∞)– описує стан системи пiсля
взаємодiї в момент часуt=∞. Надалi нижнiй символ I, що позначає
представлення взаємодiї, писати не будемо, однакбудемо мати його
на увазi. Визначимо операторˆ
Sтаким чином:
Ψ(∞)=ˆ
SΨ(−∞).(1.1)
1Нагадаємо, як вводиться оператор розсiяння для квантово-механiчних систем
та зробимо узагальнення для розгляду процесiв у вторинно квантованiй теорiї.

Роздiл 1. Постановка задачi21
Розглянемо детально фiзичний змiст елементiв матрицi розсiяння.
Для цього запишемо повний гамiльтонiан системи у виглядi
ˆ
H=ˆ
H
0+V=ˆ
H 
0+V ,(1.2)
деˆ
H
0таˆ
H 
0– оператори, що описують стан фiзичної системи без
урахування взаємодiї ї ї окремих частин у моменти часу до та пiс-
ля зiткнення, вiдповiдно. ДоданкиVтаV
описують взаємодiю мiж
окремими частинами системи i мають зникати приt→±∞вiдпо-
вiдно, що повнiстю вiдповiдає реальнiй фiзичнiй ситуацiї в класичнiй
фiзицi. Однакцю умову не можна строго реалiзувати яку квантовiй
механiцi, такi у квантовiй теорiї поля.
Справдi, нехай ми маємо два вiльних електрони, якi вt=−∞
вiднесенi на нескiнченну вiдстань один вiд одного i не взаємодiють. У
квантовiй механiцi хвильова функцiя вiльного електрона являє собою
плоску хвилю, тобто електрон має однакову ймовiрнiсть перебувати
в будь-якiй точцi простору, тому вираз: "два вiльних електрони на
нескiнченностi" не має сенсу. Крiм того, у квантовiй механiцi iснує
нелокальний тип взаємодiї такий, як в ефектi Ейнштейна – Розе –
Подольского, коли два електрони, що описуються спiльною хвильовою
функцiєю, вiдчувають змiну стануодин одного, навiть вiднесенi на
нескiнченнiсть.
Коли в класичнiй фiзицi ми кажемо про два електрони, що розташо-
ванi на нескiнченiй вiдстанi один вiд одного i не взаємодiють, то маємо
на увазi, що окремо iснують як зарядженi частинки, так i електромаг-
нiтнi поля навколо них. У квантовiй теорiї поля ситуацiя дещо iнша.
Електрон не iснує окремо, тобто сам по собi. Унаслiдок взаємодiї елек-
трона з вакуумом, навколо нього створюється так звана "шуба" вiр-
туальних частинок, якi будуть змiнювати його "голий" заряд i масу
та визначатимуть його фiзично спостережуванi характеристики. Тому
використання формалiзму вiльних "голих" частинок неможливе.
Отже, зважаючи на наведенi зауваження, ми будемо використо-
вувати лише наближену картину невзаємодiючих частинок, ввiвши
формальну замiну
V→Ve
−||t ,(→+0).
Ця замiна буде вiдповiдати адiабатичному включенню та виключен-
ню взаємодiї приt=±∞вiдповiдно. Штрихи в записi гамiльтонiана

22Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
пiсля зiткнення введенi тому, що внаслiдок взаємодiї могла змiнитися
природа окремих елементiв системи та характер взаємодiї мiж ними.
Введемо власнi функцiї та власнi значення операторiв гамiльто-
нiанiвˆ
H
0таˆ
H 
0, котрi, фактично, будуть описувати стан системи в
моменти часуt=±∞:
ˆ
H
0ϕα=E αϕα,ˆ
H 
0˜ ϕβ=˜
E β˜ ϕβ.(1.3)
Розкладемо функцiїΨ(−∞)таΨ(∞)за базисними функцiямиϕ
α,˜ ϕ β:
Ψ(−∞)=
α
Cαϕα;Ψ(∞)=
β
˜
Cβ˜ ϕβ (1.4)
та пiдставимо їх у (1.1), тодi
˜
C
β=
α
Sβα Cα;деS βα =
˜ ϕ +
βˆ
Sϕ αdV .(1.5)
Отже, якщо система в момент часуt=−∞перебувала в станi
ϕ
α0, то коефiцiєнт у розкладi (1.4)C α=δ α, α 0,тодiз(1.5)



C
β


2=|S βα 0|2,(1.6)
тобто матричний елемент|S
βα |2визначає ймовiрнiсть перебування си-
стеми в станiβпiсля зiткнення, якщо до зiткнення система перебувала
встанiα. Оскiльки сума ймовiрностей переходу систему зi стануαв
усi iншi станиβдорiвнює одиницi:

β
|Sβα |2=
β
Sβα S∗
βα =
β
Sβα S†
αβ =1,абоˆ
S +ˆ
S=1,(1.7)
тоˆ
S-матриця має бути унiтарною.
Щоб коректно отримати та розв’язати рiвняння дляˆ
S-матрицi
необхiдно спочатку розглянути оператор часової еволюцiї в представ-
леннi взаємодiї.
Оператор еволюцiї в представленнi взаємодiї
Аналогiчно до визначенняˆ
S-матрицi (1.1), що пов’язує стани си-
стеми в нескiнченному часовому промiжку вiдt=−∞доt=∞, вве-
демо оператор еволюцiї в представленнi взаємодiїˆ
U(t, t
0), що пов’язує

Роздiл 1. Постановка задачi23
стани системи за скiнченний промiжок часу мiжtтаt 0:
Ψ(t)=ˆ
U(t, t
0)Ψ(t 0).(1.8)
Рiвняння для оператораU(t, t
0)можна отримати, використавши
рiвняння на хвильову функцiю в представленнi взаємодiї (Д1.26)та
(1.8):
i∂ˆ
U(t, t
0)
∂t=V(t)U(t, t 0)(1.9)
з початковою умовоюˆ
U(t
0,t0)=1.
Проiнтегруємо за часом (1.9) та, врахувавши початкову умову, от-
римаємо
ˆ
U(t, t
0)=1−i 
t
t0
dtV(t )ˆ
U(t ,t0).(1.10)
Методом послiдовних iтерацiй розв’язокiнтегрального рiвняння мож-
на представити у виглядi нескiнченного ряду
ˆ
U(t, t
0)=1+
−i 
t
t0
dtV(t )+
−i 
2t
t0
dt1t
1
t0
dt2V(t 1)V(t 2)+
+
−i

3t
t0
dt1t
1
t0
dt2t
2
t0
dt3V(t 1)V(t 2)V(t 3)+...=
=
∞
n=0

−i

nt
t0
dt1t
1
t0
dt2...
tn−1
t0
dtnV(t 1)V(t 2)...V(t n).(1.11)
Використавши оператор хронологiчного впорядкування Дайсона,
що переставляє множники в такому порядку, що значення часової
змiнної у них спадає злiва направо
ˆ
T(V(t
1)V(t 2)...V(t n)) =V(t i)V(t j)...V(t k),t i>t j> ... > t k,(1.12)
можна переписати (1.11) у формi, щоб межi iнтегрування за кожною
змiнною були однаковими.

24Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Перевiримо сказане на прикладi подвiйного iнтеграла
I
2=
t
t0
dt1t

t0
dt2ˆ
T(V(t 1)V(t 2)),(1.13)
де вираз пiд iнтегралом означає:
ˆ
T(V(t
1)V(t 2)) =
V(t 1)V(t 2),t 1>t 2,
V(t
2)V(t 1),t 2>t 1.(1.14)
Розiб’ємо область iнтегрування на двi частиниt
1>t 2таt 1 1.1) i запишемо (1.13)увиглядi
I
2=
t
t0
dt1t
1
t0
dt2V(t 1)V(t 2)+
t
t0
dt2t
2
t0
dt1V(t 2)V(t 1).(1.15)
Замiнимо в другому доданкуt
1t 2i отримаємо
I
2=2!
t
t0
dt1t
1
t0
dt2V(t 1)V(t 2)⇒
t
t0
dt1t
1
t0
dt2V(t 1)V(t 2)=1 2!
t
t0
dt1t

t0
dt2ˆ
T(V(t 1)V(t 2)).(1.16)
t1
t2
t
t tt
21>
tt
21<
Рис. 1.1.Розбиття областi iнтегрування на двi частини при iнте-
груваннi з використанням оператора хронологiчного впорядкування
Дайсона.

Роздiл 1. Постановка задачi25
Аналогiчно можна розглянутиn-кратний iнтеграл в (1.11)
t
t0
dt1t
1
t0
dt2...
tn−1
t0
dtnV(t 1)V(t 2)...V(t n)=
=1
n!
t
t0
dt1t

t0
dt2...
t
t0
dtnˆ
T(V(t 1)V(t 2)...V(t n)).(1.17)
Отже, можна всi верхнi границi iнтегрування в кожному з доданкiв
виразу (1.11) замiнити наt. При цьому, внаслiдоксиметрiї iнтеграла
вiдносно перестановокзмiнної iнтегрування кожен iз доданкiв буде
давати значення вn!разiв бiльше.
Таким чином, оператор еволюцiї можна розкласти в ряд
ˆ
U(t, t
0)=
∞
n=0
1
n!
−i 
nt
t0
dt1t

t0
dt2...
t
t0
dtnˆ
T(V(t 1)V(t 2)...V(t n)),
(1.18)
який можна формально записати у виглядi
ˆ
U(t, t
0)=ˆ
Te −it
t
odtV(t ).(1.19)
З явного вигляду оператора еволюцiї випливає, що вiн унiтарний i має
такi властивостi:
ˆ
U(t, t
)ˆ
U(t ,t0)=ˆ
U(t, t 0),ˆ
U +(t, t )=ˆ
U(t ,t).(1.20)
Тепер можна коректно визначитиˆ
S-матрицю як
ˆ
S= lim
t→∞
t0→−∞
ˆ
U(t, t 0)=ˆ
Te −i∞
−∞ dtV(t ),(1.21)
тобтоˆ
S-матриця визначається лише оператором взаємодiї (гамiль-
тонiаном взаємодiї) у представленнi взаємодiї (V).
Зазначимо, що вираз дляˆ
S-матрицi у формi (1.21) справедливий
лише за умовиV=V
, тобто, коли характер взаємодiї не змiнюється
пiсля зiткнення.

26Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Iнтеграли руху та дiагоналiзацiяˆ
S-матрицi
Розглянемо питання, вiд яких характеристик системи, iнтегралiв
руху може залежатиˆ
S-матриця.
Нагадаємо, що певна фiзична величина буде зберiгатися в системi,
якщо для оператора цiєї величини буде виконуватись умова:

Q
dt=0.(1.22)
У представленнi Шредiнгера ця умова означає:
id
dtˆ
Q Sh =∂ˆ
Q Sh
∂t+[ˆ
Q Sh,ˆ
H] −.(1.23)
Тобто, якщо оператор не залежитьвiд часу явно, то фiзична величина
буде зберiгатися, якщо

Q
Sh,ˆ
H] −=0.(1.24)
У нашому випадку гамiльтонiан системи дорiвнюєˆ
H
0приt=±∞
таˆ
H
0+V Sh при скiнченному моменту часу. Тобто оператор фiзичної
величини, що зберiгається, має комутувати зˆ
H
0та зˆ
H 0+V Sh:

Q
Sh,ˆ
H 0+V Sh]−=0⇒[ˆ
Q Sh,ˆ
H 0]−=−[ˆ
Q Sh,V Sh]−=0.(1.25)
Так i має бути, оскiльки лiва частина (1.25)незалежитьвiдV
Sh.
Враховуючи, що в представленнi взаємодiї оператори мають вигляд
(Д1.21):

V
I(t)=e i(t−t 0)ˆ
H0VShe−i(t−t 0)ˆ
H0,
Q
I(t)=e i(t−t 0)ˆ
H0QShe−i(t−t 0)ˆ
H0,(1.26)
отримуємо, що вираз (1.25) справедливий i в представленнi взаємодiї:

Q
I,V I]−=ˆ
Q IVI−V Iˆ
QI=
=e
i(t−t 0)H0ˆ
QShVShe−i(t−t 0)H0−e i(t−t 0)H0VSh ˆ
QShe−i(t−t 0)H0=
=e
i(t−t 0)H0[ˆ
Q Sh,V Sh]−i(t−t 0)H0 e =0.(1.27)
Тодi, враховуючи означення (1.21), випливає, щоˆ
S-матриця та опе-
ратор фiзичної величини, що зберiгається в часi, повиннi комутувати

Q
I,ˆ
S] −=0.(1.28)

Роздiл 1. Постановка задачi27
Останнє твердження означає, що власнi функцiї операторiв мають
спiльну частину i цi оператори одночасно приводяться до дiагональ-
ного вигляду. Тому, усереднюючиˆ
S-матрицю за станамиαтаβ, от-
римаємо
S
αβ =γ |S q|γδ qq,(1.29)
деq– власнi значення оператораˆ
Q, що є iнтегралами руху систе-
ми (енергiя, момент кiлькостi руху, iзотопiчний спiн та iн.),γ–iншi
квантовi числа. Тобтоˆ
S-матриця має залежати вiд iнтегралiв руху
системи.
Зауважимо, що не всi оператори iнтегралiв руху комутують мiж
собою, тому станαне може характеризуватися одночасно всiма iнте-
гралами руху. Можна показати, щоˆ
S-матриця не залежить вiд iнте-
гралiв руху, що змiнюються при перетвореннях, якi не змiнюють га-
мiльтонiан системи. Наприклад, покажемо, що у випадку центрально-
симетричного поляˆ
S-матриця не може залежати вiд проекцiї повного
кутового моменту системиˆ
I, не зважаючи на те, що умови комутацiї
виконуються:

I,ˆ
S]
−=0.(1.30)
Позначимо проекцiю моменту на вiсьzчерезm. Запишемо умову ко-
мутацiї матрицi розсiяння та проекцiї моментуˆ
I
x:ˆ
I xˆ
S=ˆ

I xу мат-
ричному виглядi
m
γ|ˆ
Ixˆ
S|mγ=
m,γm γ|ˆ
Ix|m γm γ|ˆ
S|mγ=
=/ˆ
I
xне змiнює станγ/=
=
mm |ˆ
Ix|m m γ|ˆ
S|γm=/з iншого боку/=
=
mm γ|ˆ
S|γm m |ˆ
Ix|m.(1.31)
Припустимо, щоˆ
S-матриця залежить вiдmi значенняmє власним
значеннямˆ
I
z,тодi
m
γ|ˆ
S|γm=γ |S m|γδ m, m,m γ|S|γm =γ |S m|γδ m,m 
⇒m |ˆ
Ix|mγ |S m|γ=γ |S m|γm |ˆ
Ix|m.(1.32)

28Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Враховуючи, щоˆ
I z|m=m|mта[ˆ
I z,ˆ
Ix]− =0, отримаємо, що iснують
такimтаm (m
=m ), для якихm |ˆ
Ix|m
=0. Тому на цей множник
можна скоротити, тодi

|S m|γ=γ |S m|γ⇒S m =S m.(1.33)
Тобто ми дiйшли до суперечностi i довели, щоˆ
Sне залежить вiдm.
Якщо система iзотропна, то так i має бути, оскiлькиS
αβ визна-
чає ймовiрнiсть переходу системи з одного стану в iнший й не може
залежати вiд вибору системи вiдлiку, в той час як проекцiя моменту
змiнюється при поворотi системи вiдлiку. Аналогiчно можна показа-
ти, щоS-матриця не може залежати вiд проекцiй повного iмпульсу
системи, проекцiй iзотопiчного спiну
1iт.д.
Спостережуванi величини
Нехай у початковому станii(initial)будеN
iчастинок, а в кiнцево-
му станif(final)N
fчастинок. Якщо система замкнена, то в нiй мають
зберiгатися енергiя та iмпульс, тобто можна записати для оператора
переходу:
S
fi =δ fi +i(2π) 4Tfiδ4

⎝ Nf
β=1
pfβ −
Ni
α=1
piα


,(1.34)
де
Niα=1 piα, Nfβ=1 pfβ – 4-iмпульси системи в початковому та кiн-
цевому станах вiдповiдно, якi надалi будемо позначатиp
iтаp f;ˆ
T
– матриця розсiяння на енергетичнiй поверхнi; множникi(2π) 4вве-
ли для зручностi. Символ Кронекера вiдповiдає випадку, коли стан
системи пiсля взаємодiї не змiнився.
Якзазначалося в (1.6), iмовiрнiсть переходу системи зi стануiв
станfвизначається за допомогою квадрата модуля матричного еле-
ментаS
fi. Виникає запитання, яким чином брати квадрат модуля да-
ної величини, зокрема, як пiдвести дельта-функцiю до квадрата?
Щоб подолати дану проблему та провести розрахунки матема-
тично коректно будемо розглядати процес взаємодiї в обмеженiй об-
ластi простору, наприклад, у кубi з об’ємомV. Накладемо на хвильовi

S-матриця може залежати вiд 3-ї компоненти iзотопiчного спiнуI 3,оскiльки
остання пов’язана з електричним зарядом системи. Вiдповiдно, гамiльтонiан буде
симетричним лише вiдносно поворотiв навколо осi, що спрямована вздовжI
3.

Роздiл 1. Постановка задачi29
функцiї на границi об’єму певнi умови. Нехай, наприклад, значення
хвильої функцiї на протилежних гранях куба будуть однаковими 1.Це
приведе до появи в системi дискретного спектра
 p=2π
L(n 1,n 2,n 3),E 2=
p 2+m 2,(1.35)
деn
i– цiлi числа, аL 3=V.
Нехай об’ємVбуде достатньо великим. Тодi просторова дельта-
функцiя зведеться до
δ
3
V( pf− p i)=1 (2π) 3

V
d3xe i( p
i− p
f) x =V (2π) 3δ p
f, p
i ,деV→∞.
(1.36)
Якщо процес вiдбувається в обмеженому просторi, то будь-яка
подiя може повторюватися знову i знову. Тому слiд також обмежити
промiжокчасу до[−T/2,T/2],деT– час, за який система з почат-
кового вiльного стануiпереходить у кiнцевий вiльний станf, тобто
час, за який вiдбувається взаємодiя. ВважаючиTдостатньо великим,
запишемо часову дельта-функцiю у виглядi
δ
T(E f−E i)=1 2π
T/2
−T/2
dt e i(E f−E i)t=T 2πδ Ef,Ei,деT→∞.(1.37)
Враховуючиf(x)δ(x)=f(0)δ(x), квадрати дельта-функцiй можна
записати у виглядi






⎩[δ
3
V( pf− p i)]2= 1(2π) 3
Vd3xe i( p
i− p
f) x δ3
V( pf−
p i)= V(2π) 3δ3
V( pf− p i),

T(E f−E i)]2= 12πT/2

−T/2 dt e i(E f−E i)tδT(E f−E i)= T2π δT(E f−E i).
(1.38)
Отже,

δ
4(pf−p i)2= lim V,T→∞ [δ3
V( pf− p i)]2[δT(E f−E i)]2=VT (2π) 4δ4(pf−p i).
(1.39)
1Можна також вимагати трансляцiйної iнварiантностi теорiї при переходi до
iнших кубiв, тобто до замiниx i→x i+k iL(k i∈Z). Результат при цьому не
змiниться.

30Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Якщо розглядати частинки, що приt=−∞не взаємодiють, то їх
хвильова функцiя буде добутком хвильових функцiй окремих части-
нок. Оскiльки простiр обмежений, то хвильовi функцiї будуть нор-
мованi не на дельта-функцiю, а на одиницю, i будуть пропорцiйнi
1/√
2VE(див. (Д5.4.2)). Явно видiлимо цi множники вˆ
Tматрицi та
введемо амплiтуду розсiянняM
fi у виглядi
T
fi =M fi Niα=1
√2VE iα Nfβ=1
2VE fβ
,(1.40)
де добуток проводимо за всiма частинками в початковому та кiнцево-
му станах вiдповiдно. Тодi, використавши (1.34), (1.38)–(1.40), отри-
маємо ймовiрнiсть переходу системи з початкового стануi, до вклю-
чення взаємодiї, у кiнцевий станf, пiсля виключення взаємодiї (тут i
надалi будемо вважати, щоi
=f):
W
i→f =|S fi|2=(2π) 4δ4(pf−p i)VT|M fi|2
Niα=1 (2VE iα) Nfβ=1 (2VE fβ ).
(1.41)
В реальному експериментi кiнцевий стан системи може фiксувати-
ся лише з певною похибкою, що визначається вимiрювальними при-
ладами. Тому важливо визначити ймовiрнiсть переходу в множину
станiвdf, яка згiдно з (1.35) має визначатися множиною чиселn
i.
Визначимоdfяк сукупнiсть усiх можливих станiв кожної частинки
у своєму околidf=
Nff=1
n x,β
n y,β
n z,β ,деβ– номер частинки,
а число
n
k,β =(L/2π)dp k,f , див. (1.35). Тодi ймовiрнiсть системи
перейти зi стануiу множину станiв поблизу стануfдорiвнюватиме
dW
i→f =|S fi|2df=VT(2π)
4δ4(pf−p i)|M fi|2
Niα=1 (2VE iα) Nfβ=1 (2VE fβ )
Nf
β=1
V
(2π) 3d3 pfβ =
=T
VNi−1
|M fi|2
Niα=1 (2E iα)(2π)
4δ4(pf−p i)
Nf
β=1
d3
pfβ
(2π) 32E fβ.(1.42)
Тобто ймовiрнiсть переходу пропорцiйна часу, на який включено вза-
ємодiю. Подiливши останнiй вираз наT, отримаємо ймовiрнiсть пе-
реходу системи з початкового стануiв кiнцевий станfза одиницю
часу:

Роздiл 1. Постановка задачi31
dW i→f
T=1 VNi−1
|M fi|2
Niα=1 (2E iα)dΦ Nf,(1.43)
де величина

Nf=(2π) 4δ4(pf−p i)
Nf
β=1
d3 pfβ
(2π) 32E fβ (1.44)
отримала назву елементуN
f-частинкового фазового об’єму.
Якщо серед кiнцевих частинок єNтотожних, то при iнтегруван-
нi за їх iмпульсами (для знаходження повної ймовiрностi переходу)
необхiдно ввести множник1/N!, що враховує тотожнiсть станiв, якi
вiдрiзняються перестановкою частинок.
Наведена формула є основною для подальшого розрахунку вели-
чин, що можна вимiрювати експериментально (iмовiрнiсть розпаду,
перерiз розсiяння).
Матриця розсiяння у квантовiй теорiї поля
Для знаходження матричних елементiв у квантовiй теорiї поля
необхiдно в означення (1.21) пiдставити гамiльтонiан взаємодiї в пред-
ставленнi взаємодiї, записаний через оператори квантованих польових
функцiй, та провести усереднення за початковим та кiнцевим станами
системи.
Обмежившись випадком електродинамiки, знайдемо гамiльтонiан
взаємодiї в релятивiстськiй квантовiй теорiї. Нагадаємо, що в цьому
випадку просторова густина лагранжiанаL(x)має вигляд
L(x)=¯
Ψ(iγ
µ(∂µ+ieA µ)−m)Ψ−1 4F
µνFµν =L(x) 0+L(x) int =

Ψ(iγ
µ∂µ−m)Ψ−1 4F
µνFµν −e¯
Ψγ µΨA µ,(1.45)
де в останньому рядку першi два доданки вiдповiдають просторовим
густинам лагранжiанiв вiльного електрон-позитронного та електро-
магнiтного полiв, а останнiй доданок(L
int ) описує взаємодiю зазна-
чених полiв,e– заряд електрона (e=−√
4παзгiдно з (0.19)).
Тензор енергiї-iмпульсу системи:
T
µν =−Lg µν +∂ µΨ·∂L ∂(∂ νΨ)+∂
µ¯
Ψ·∂L ∂(∂ ν¯
Ψ)+∂ µAσ·∂L∂(∂ νAσ),(1.46)

32Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
а просторова густина гамiльтонiана системиHзбiгається з густиною
енергiїH=T 00. Можна показати, що частина гамiльтонiана, що вiд-
повiдає за взаємодiю в системi, має виглядH
i=−L int .
Нагадаємо, що згiдно з (0.15)L
int =−j µAµ,деj µ =e¯
Ψγ µΨ—
густина струму фермiонiв у релятивiстськiй квантовiй механiцi, тодi
H
i=j µAµ=e¯
Ψγ µΨA µ.(1.47)
У представленнi взаємодiї отримаємо (Д1.21):
H
i, int =e·e i(t−t 0)ˆ
H0¯
Ψγ µΨA µe−i(t−t 0)ˆ
H0=
=e·e
i(t−t 0)ˆ
H0¯
Ψe −i(t−t 0)ˆ
H0γµei(t−t 0)ˆ
H0Ψe −i(t−t 0)ˆ
H0×
×e
i(t−t 0)ˆ
H0Aµe−i(t−t 0)ˆ
H0=e¯
Ψ int γµΨint Aµ, int .(1.48)
Для запису гамiльтонiана взаємодiї у КЕД в (1.48) треба замiсть
хвильових функцiй пiдставити оператори поля в просторi Фока:
ˆ
H
i, int =ˆ
j µ
int ˆ
Aint =eˆ
¯
Ψ int γµˆ
Ψint ˆ
Aµ, int .(1.49)
Щоб знайти явний вигляд вторинноквантованих операторiв у пред-
ставленнi взаємодiї в теорiї, де враховується взаємодiя електрон-позит-
ронного та електромагнiтного полiв, запишемо рiвняння для польових
операторiв в представленнi Гайзенберга (для випадку, коли потенцiал
взаємодiї дорiвнює нулю) та в представленнi взаємодiї (коли потенцiал
взаємодiї не дорiвнює нулю):


⎩i

Q
Hdt =
ˆ
Q H,ˆ
H 0


i dˆ
Q
Idt =
ˆ
Q I,ˆ
H 0


.(1.50)
Вони збiгаються! Тобто в представленнi взаємодiї оператори квантова-
них польових функцiй мають збiгатися з операторами вiльних полiв у
представленнi Гайзенберга. Отже, у представленнi взаємодiї оператор
взаємодiї, проiнтегрований за об’ємом, має вигляд
V
I=
V
ˆ
Hi, int dV=−
V
ˆ
Li, int dV=
V
ˆ
jµˆ
AµdV ,де (1.51)
ˆ
j
µ(x)=e·ˆ
¯
Ψ(x)γ µˆ
Ψ(x),(1.52)

Роздiл 1. Постановка задачi33
а оператори квантованих польових функцiй треба взяти з (Д5.4.2),
(Д4.3.16).
Поняття про нормальнийдобуток операторiв
Легко переконатися, що використання оператора густини струму
безпосередньо у формi (1.52) призводить до нефiзичних результатiв:
струм у системi, в якiй немає частинок (струм у вакуумi), не дорiвнює
нулю. Справдi, вираз0|ˆ
j
µ(x)|0буде мiстити такi складовi:
0|a
+
αaβ|0,0|a +
αb+
β|0,0|b αbβ|0,0|b αb+
β|0,
деα, β– узагальненi iндекси, за якими проводиться пiдсумовування
(позначають стан з певним значенням 4-iмпульсу та спiральнiстю).
Згiдно з (Д6.9) першi три складовi дають нульовий внесок, а четверта
складова – нi:
0|b
αb+
β|0=δ αβ +0|b +
βbα|0=δ αβ .
Безпосереднiй розрахунокпоказує, що вакуумне середнє вiд нульової
компоненти струму (1.52) виявляється нескiнченно великим, тобто
0|ˆ
j
0(x)|0→∞.(1.53)
Аналогiчнi проблеми виникнуть при розрахунку й iнших фiзичних
величин, наприклад, густини енергiї системи у вакуумi. Для позбав-
лення вiд таких нефiзичних результатiв було запропоновано всi дина-
мiчнi характеристики фiзичної системи (тензор енергiї-iмпульсу, тен-
зор моменту кiлькостi руху, струм i т.п.) записувати у формi нормаль-
ного добутку операторiв, тобто у такому виглядi, коли всi оператори
народження передують всiм операторам знищення. Очевидно, що в
цьому випадку вакуумне середнє вiд записаних таким чином величин
дорiвнюватиме нулю.
Для зведення операторiв до форми нормального добутку необхiдно
у вiдповiдному виразi переставити оператори до нормальної форми,
використовуючи вiдповiднi переставнi спiввiдношення та вiдкинути
всi доданки, що мiстять символи Кронекера або дельта-функцiї. Фак-
тично можна вiдразу переставитиправильно оператори фермiонного
та бозонного полiв та домножити на(−1)
p,деp– кiлькiсть викори-
станих перестановокдля операторiв фермiонного поля.

34Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Отже, оператор густини струму у виразi для оператора взаємодiї
(1.51) потрiбно записувати в нормально впорядкованому виглядi
V
I=
V
ˆ
N
ˆ
j µ
ˆ
A
µdV ,(1.54)
деˆ
N– оператор нормального впорядкування.
Пiдставивши (1.54)у(1.21), отримаємо вираз дляˆ
S-матрицi, який
далi будемо використовувати для опису процесiв у КЕД
1:
ˆ
S=ˆ
Te
−i ∞
−∞ dt V
I(t) =ˆ
Te i∞
−∞ d4xˆ
L i,int (t) =ˆ
Te −i ∞
−∞ d4xˆ
N(ˆ
j µ)ˆ
Aµ=

Te
−ie ∞
−∞ d4xˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ
ˆ
A µ=ˆ
1+(−ie)

−∞
d4xˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
A µ+
+(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xˆ
T
ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
A µ·ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)ˆ
A 
ν
+
+(−ie)
3
3!

−∞∞

−∞∞

−∞
d4xd 4xd4x×
׈
T
ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ
µˆ
Ψ)ˆ
A µ·ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)ˆ
A 
ν ·ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γηˆ
Ψ)ˆ
A 
η 
+...(1.55)
деd
4x=dt d 3x, а штрих поблизу польових функцiй означає, що вiдпо-
вiдна величина залежить вiдx . Тобто ми отримали ряд теорiї збурень
за малим параметром 2e=√ 4πα≈0.3.
Завдання
1. Використовуючи лагранжiан (1.45) запишiть явний вигляд га-
мiльтонiана системи.
2. Безпосереднiм розрахунком, без застосування оператора нор-
мального впорядкування, знайдiть компоненти струму у ваку-
умi. Покажiть, що нульова компонента струму у вакуумi нескiн-
ченна.
1Ми працюємо в системi одиниць=c=1.2Як буде далi показано, при розрахунках конкретних процесiв з фiксованою
кiлькiстю початкових та кiнцевих частинок, ряд теорiї збурень для середнiх вiд
ˆ
S-матрицi буде являти собою розклад за малим параметромe
2.

РОЗДIЛ 2
Операторний формалiзм.
Електрон-електронне розсiяння
у другому порядку теорiї збурень.
Фотонний пропагатор
Електрон-електронне (мьоллерiвське) розсiяння
Розглянемо задачуe+e→e +e , коли в початковому та кiнцевому
станах маємо два електрони, що розташованi на значнiй вiдстанi один
вiд одного та не взаємодiють мiж собою за адiабатичною гiпотезою.
Нехай у початковий момент часу перший i другий електрони харак-
теризуються певним 4-iмпульсом та спiральнiстю:(p
1,µ 1)та(p 2,µ 2),
вiдповiдно. Знайдемо ймовiрнiсть того, що пiсля взаємодiї електрони
отримають квантовi числа(p
3,µ 3)та(p 4,µ 4)(рис. (2.1)).
Для розв’язання даної задачi нам потрiбно знайти матричний еле-
ментˆ
S
fi шляхом усереднення виразу (1.55) за початковим та кiнцевим
станами:
S
fi =(p 3,µ 3); (p 4,µ 4)|ˆ
S|(p 1,µ 1); (p 2,µ 2).(2.1)
Початковий i кiнцевий стани у фокiвському представленнi (див.
p22,p22,
p44,p44,
p33,p33,
p11,p11, 
Рис. 2.1.Схематичне зображення розсiяння двох електронiв.

36Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
детальнiше дод. 6) мають вигляд:


⎩|(p
1,µ 1); (p 2,µ 2)=ˆa +
1ˆ a+
2|0;
|(p
4,µ 4); (p 3,µ 3)=ˆa +
4ˆ a+
3|0;
(p
3,µ 3); (p 4,µ 4)|=(ˆa +
4ˆ a+
3|0) +=0|ˆ a 3ˆ a4,(2.2)
деˆ a
i(ˆa+
i)– оператори знищення (народження) електронiв (Д5.4.3)з
квантовими числами(p
i,µ i). Зауважимо, що нижнiй iндекс цих опе-
раторiв не вказує на коварiантнiсть величини.
Отже, середнє вiдˆ
S-матрицi:
S
fi=(p 3,µ 3);(p 4,µ 4)|ˆ
S|(p 1,µ 1);(p 2,µ 2)=
=0|ˆ a
3ˆ a4

⎣ˆ
1−ie ∞
−∞
d4xˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
A µ+(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x×
׈
T
ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ
µˆ
Ψ)ˆ
A µ·ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)ˆ
A 
ν
+...⎤

ˆ a +
1ˆ a+
2|0,(2.3)
де функцiя зi штрихом та без нього означає залежнiсть функцiї вiдx

таxвiдповiдно.
Укажемо на важливий момент. У формулах (2.2) порядокопе-
раторiв народження-знищення не фiксується, вiн довiльний. Оскiль-
ки фермiоннi оператори антикомутують, то вираз (2.3), насправдi,
визначений лише з точнiстю до загального знака. Це не є проблемою,
оскiльки фiзично спостережуванi величини виражаються через|S
fi|2.
Перед тим якрухатися далi, зробимо перепозначення для вто-
ринно квантованих функцiй електромагнiтного та фермiонного полiв
(див. (Д4.3.16), (Д5.4.2)), що значно спростять розрахунки, а також
перепозначимо оператори народження (знищення) фотонiв черезˆ c
λ,
k
(ˆc+
λ,
k ), щоб не плутати з вiдповiдними операторами фермiонiв:
ˆ
Ψ(x)=
µ=±1∞


k=−∞
1 2Vε
k

ˆ a

k,µ υµ
ke−ikx +ˆ
b +

k,µ υµ
−k eikx 
=
=
χ

ˆ a
χψχ(x)+ˆ
b +
χψ−χ (x)
,(2.4)

Роздiл 2. Електрон-електронне розсiяння37
ˆ
¯
Ψ(x)=
µ=±1∞


k=−∞
1 2Vε
k

ˆ a +

k,µ ¯ υµ
keikx +ˆ
b
k,µ ¯ υµ
−k e−ikx 
=
=
χ

ˆ a +
χ¯
ψχ(x)+ˆ
b χ¯
ψ−χ (x)
,(2.5)
ˆ
A
µ(x)=
2
λ=1∞


k=−∞
1 2Vω
k


µ(
k)ˆc λ,
k e−ikx + ∗λ
µ (
k)ˆc +
λ,
k eikx 
=
=
χ
!
ˆ cχϕχ
µ(x)+ˆc +
χϕ∗χ
µ(x)"
,(2.6)
де нижнiй iндексχозначає стан з певним 4-iмпульсом та спiраль-
нiстю, або поляризацiєю, для функцiй фермiонного та векторного
полiв вiдповiдно, i не є символомковарiантностi величини. Функцiї
ψ
χ(x),ψ −χ (x)таϕ χ
µ(x)визначено як:
ψ
χ(x)=υ
µ
k
2Vε
ke−ikx ;ψ −χ (x)=υ
µ
−k
2Vε
keikx ;ϕ χ
µ(x)=
λ
µ(
k) 2Vω
ke−ikx .
(2.7)
Далi ми також будемо використовувати такi скорочення:υ
µ1k1=υ 1,
υ µ1−k 1=υ −1 .
Використавши комутацiйнi спiввiдношення (Д5.4.3) легко показа-
ти, що в нульовому
1i першому порядках теорiї збурень усереднення
дає нульовий внесок.
Розглянемо детально другий порядоктеорiї збурень:
S
(2)
fi =(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x×
×0|ˆ a
3ˆ a4ˆ
T
ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
A µˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)ˆ
A 
ν
ˆ a +
1ˆ a+
2|0.(2.8)
Оскiльки операториˆ
A
µтаˆ
A 
νкомутують з операторами народ-
ження та знищення фермiонiв, тоˆ
A
µможна переставити злiва доˆ
A 
ν
та перенести їх правiше вiд усiх операторiв фермiонного поля.
1Вважаємо, що взаємодiя мiж частинками вiдбулась, а отже, початковий та
кiнцевий стани системи рiзнi.

38Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Вставимо мiж фермiонними операторами таˆ
A µˆ
A
νодиничний опе-
ратор
ˆ
1=
λ
|λλ|,(2.9)
деλпробiгає всi можливi стани в представленнi чисел заповнення для
фермiонiв та фотонiв:
S
(2)
fi =(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x×
×0|ˆ a
3ˆ a4ˆ
T
ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)
ˆ a +
1ˆ a+
2|λλ|ˆ

A µˆ
A
ν|0.(2.10)
Проаналiзуємо утворений вираз. Якщо в станiλiснує хоча б один
фотонний стан, тодi усереднення вiд фермiонної частини буде давати
нуль, оскiльки дiя фермiонних операторiв не змiнить фотонний стан,
на який злiва дiятиме вiдповiдний вакуумний стан. Аналогiчно, якщо
встанiλiснує хоча б один фермiонний стан, тодi усереднення вiд ча-
стини, що мiстить оператори електромагнiтного поля, даватиме нуль.
Отже,сумазавсiмастанамиλбуде давати лише один ненульовий
доданок, колиλвiдповiдає вакуумному стану:
S
(2)
fi =(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x×
×0|ˆ a
3ˆ a4ˆ
T
ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)
ˆ a +
1ˆ a+
2|00|ˆ

A µˆ
A
ν|0.(2.11)
Розглянемо окремо вакуумне середнє вiд фермiонної частини
1ви-
разу (2.11) для початку приt>t :
0|ˆ a
3ˆ a4 ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)ˆa +
1ˆ a+
2|0=
=0|ˆ a
3ˆ a4ˆ
N
ˆ a +
α¯
ψα+ˆ
b α¯
ψ−α

γ µ
ˆ a
βψβ+ˆ
b +
βψ−β

×
׈
N
ˆ a
+
χ¯
ψ
χ+ˆ
b χ¯
ψ
−χ 
γ ν
ˆ a
σψ
σ+ˆ
b +
σψ
−σ 
ˆ a +
1ˆ a+
2|0.(2.12)
Якщо розкрити всi дужки, отримаємо 16 рiзних доданкiв вiд кож-
ного з яких потрiбно брати вакуумне усереднення. Виявляється, що
1Надалi знак суми за iндексами, що повторюються, писати не будемо, але бу-
демо мати його на увазi.

Роздiл 2. Електрон-електронне розсiяння39
ненульовий внесокбуде давати лише один доданок:
0|ˆ a
3ˆ a4ˆ a+
αˆ aβˆ a+
χˆ aσˆ a+
1ˆ a+
2|0!
¯
ψ αγµψβ"!
¯
ψ 
χγνψ
σ"
.(2.13)
Покажемо детально, як брати вакуумнi середнi, та розглянемо вираз
Q
αβ χσ =0|ˆ a 3ˆ a4ˆ a+
αˆ aβˆ a+
χˆ aσˆ a+
1ˆ a+
2|0.(2.14)
По-перше, слiд розглянути три останнi оператори в (2.14), враховуючи
комутацiйнi спiввiдношення (Д5.4.3):
ˆ a
σˆ a+
1ˆ a+
2=(δ σ1 −ˆ a +
1ˆ aσ)ˆa+
2=δ σ1ˆ a+
2−ˆ a +
1ˆ aσˆ a+
2=(2.15)
=/ˆ a
σˆ a+
2=δ σ2 −ˆ a +
2ˆ aσ/=δ σ1ˆ a+
2−δ σ2ˆ a+
1+ˆa +
1ˆ a+
2ˆ aσ=δ σ1ˆ a+
2−δ σ2ˆ a+
1,
де в останнiй рiвностi знехтувано доданкомˆ a
+
1ˆ a+
2ˆ aσяктаким, що буде
дiяти на вакуум у (2.14). Пiдставивши (2.15)уQ
αβ χσ , отримаємо:
Q
αβ χσ =0|ˆ a 3ˆ a4ˆ a+
αˆ aβˆ a+
χ(δσ1ˆ a+
2−δ σ2ˆ a+
1)|0=

σ10|ˆ a 3ˆ a4ˆ a+
αˆ aβˆ a+
χˆ a+
2|0−δ σ20|ˆ a 3ˆ a4ˆ a+
αˆ aβˆ a+
χˆ a+
1|0.(2.16)
Аналогiчно до (2.15) можна записати
a
βˆ a+
χˆ a+
2=δ βχ ˆ a+
2−δ β2ˆ a+
χ;a βˆ a+
χˆ a+
1=δ βχ ˆ a+
1−δ β1ˆ a+
χ,(2.17)
та пiдставити в (2.16):
Q
αβ χσ =δ σ1δβχ 0|ˆ a 3ˆ a4ˆ a+
αˆ a+
2|0−δ σ1δβ20|ˆ a 3ˆ a4ˆ a+
αˆ a+
χ|0−
−δ
σ2δβχ 0|ˆ a 3ˆ a4ˆ a+
αˆ a+
1|0+δ σ2δβ10|ˆ a 3ˆ a4ˆ a+
αˆ a+
2|0.(2.18)
Аналогiчно, розписавши три останнi оператори в кожному з доданкiв
та врахувавши, що
0|ˆ a
αˆ a+
β|0=0|δ αβ −ˆ a +
βˆ aα|0=δ αβ ,(2.19)
отримаємо
Q
αβ χσ =δ σ1δβχ δ4αδ32 −δ σ1δβχ δ42δ3α −δ σ1δβ2δ4αδ3χ +δ σ1δβ2δ4χδ3α−
−δ
σ2δβχ δ4αδ31 +δ σ2δβχ δ41δ3α +δ σ2δβ1δ4αδ3χ −δ σ2δβ1δ4χδ3α .(2.20)

40Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Будемо вважати, що процес взаємодiї вiдбувся, тобто жоден iз почат-
кових станiв не спiвпадає з жодним iз кiнцевих станiв. Також вiзьмемо
до уваги, що згiдно з принципом Паулi початковi стани двох елек-
тронiв не можуть бути однаковими та кiнцевi стани двох електронiв
також не однаковi, тобто стани1
=2
=3
=4.Тодi
Q
αβ χσ =−δ σ1δβ2δ4αδ3χ +δ σ1δβ2δ4χδ3α −δ σ2δβ1δ4χδ3α +δ σ2δβ1δ4αδ3χ .
(2.21)
Отже, вакуумне середнє вiд фермiонної частини (2.12):
0|ˆ a
3ˆ a4 ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)ˆa +
1ˆ a+
2|0=Q αβ χσ !
¯
ψ αγµψβ"!
¯
ψ 
χγνψ
σ"
=
=−!
¯
ψ
4γµψ2"!
¯
ψ 
3γνψ
1"
+!
¯
ψ 3γµψ2"!
¯
ψ 
4γνψ
1"

−!
¯
ψ
3γµψ1"!
¯
ψ 
4γνψ
2"
+!
¯
ψ 4γµψ1"!
¯
ψ 
3γνψ
2"
.(2.22)
Тепер пiдставимо (2.22)у(2.11) i запишемо вираз для другого по-
рядку теорiї збурень приt>t
:
S
(2)
fi =/t > t /=(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xθ(t−t )0|ˆ
A µˆ
A
ν|0×
×
−!
¯
ψ
4γµψ2"!
¯
ψ 
3γνψ
1"
+!
¯
ψ 3γµψ2"!
¯
ψ 
4γνψ
1"

−!
¯
ψ
3γµψ1"!
¯
ψ 
4γνψ
2"
+!
¯
ψ 4γµψ1"!
¯
ψ 
3γνψ
2"
.(2.23)
Проаналiзувавши загальний вираз (2.8), стає зрозумiло, що випа-
док, колиt , отримується з випадкуt>t замiноюx↔x ,µ↔ν.
То д i
S
(2)
fi =/t < t /=(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xθ(t −t)0|ˆ
A 
νˆ
Aµ|0×
×
−!
¯
ψ

4γνψ
2"!
¯
ψ 3γµψ1"
+!
¯
ψ 
3γνψ
2"!
¯
ψ 4γµψ1"

−!
¯
ψ

3γνψ
1"!
¯
ψ 4γµψ2"
+!
¯
ψ 
4γνψ
1"!
¯
ψ 3γµψ2"
.(2.24)
Легко переконатися, що фермiоннi частини в обох виразах приt>t

таt раторiв квантованого електромагнiтного поля. Отже, можна записати
загальний вираз дляS
(2)
fi для довiльнихtтаt у виглядi

Роздiл 2. Електрон-електронне розсiяння41
S(2)
fi =(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x0|θ(t−t )ˆ
A µˆ
A
ν+θ(t −t)ˆ
A 
νˆ
Aµ|0×
×
−!
¯
ψ
4γµψ2"!
¯
ψ 
3γνψ
1"
+!
¯
ψ 3γµψ2"!
¯
ψ 
4γνψ
1"

−!
¯
ψ
3γµψ1"!
¯
ψ 
4γνψ
2"
+!
¯
ψ 4γµψ1"!
¯
ψ 
3γνψ
2"
.(2.25)
Вираз, що усереднюється за вакуумом, позначається як:
iD
0
µν(x, x )=0|θ(t−t )ˆ
A µˆ
A
ν+θ(t −t)ˆ
A 
νˆ
Aµ|0=0|ˆ

A µˆ
A
ν|0,(2.26)
деˆ
T– оператор хронологiчноговпорядкування, а величинаD
0
µν(x, x )
отримала назву причинної функцiї Грiна електромагнiтного поля, або
фотонного пропагатора. Його фiзичний змiст буде прояснено в дано-
му курсi пiзнiше. Зараз нам знадобляться такi властивостi фотонного
пропагатора, що будуть нами отриманi в кiнцi роздiлу:
D
0
µν(x, x )=D 0
µν(x−x )=D 0
νµ(x−x )=D 0
µν(x −x).(2.27)
Використавши (2.27), замiнимо в третьому та четвертому додан-
ку фермiонної частини (2.25) змiннi iнтегрування та пiдсумовування
x↔x
,µ↔ν. Пiсля замiни видно, що третiй та четвертий доданки
тотожнi першому та другому, а отже, остаточно маємо:
S
(2)
fi =i(−ie) 2∞
−∞∞

−∞
d4xd 4xD0
µν(x−x )×
×!
¯
ψ
3γµψ2"!
¯
ψ 
4γνψ
1"
−!
¯
ψ 4γµψ2"!
¯
ψ 
3γνψ
1"
.(2.28)
Перед тим якрухатись далi, перепишемо (2.28), використавши в
явному виглядi позначення дляψ
i(2.7), що були введенi нами для
скорочення запису:
S
(2)
fi =i(−ie)
2
√2Vε 12Vε 22Vε 32Vε 4∞

−∞∞

−∞
d4xd 4xD0
µν(x−x )×
×
(¯υ
3γµυ2)(¯υ 4γνυ1)e ip3x−ip 2x+ip 4x−ip 1x−
−(¯υ
4γµυ2)(¯υ 3γνυ1)e ip4x−ip 2x+ip 3x−ip 1x
.(2.29)

42Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Виконаємо замiну змiнних:y=x−x ,z=(x+x )/2, тобтоx=
z+y/2,x =z−y/2. Якобiан переходу дорiвнює одиницi. Остаточно
отримаємо
S
(2)
fi =i(−ie)
2
√2Vε 12Vε 22Vε 32Vε 4∞

−∞∞

−∞
d4yd 4zD 0
µν(y)×
×
(¯υ
3γµυ2)(¯υ 4γνυ1)e iz(p 3−p 2+p 4−p 1)+ iy2(p3−p 2−p 4+p 1)−
−(¯υ
4γµυ2)(¯υ 3γνυ1)e iz(p 4−p 2+p 3−p 1)+ iy2(p4−p 2−p 3+p 1)
.(2.30)
Оскiльки змiннаzмiститься лише в показнику експоненти, то за нею
можна проiнтегрувати
S
(2)
fi =i(−ie)
2(2π) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4) √2Vε 12Vε 22Vε 32Vε 4∞

−∞
d4yD 0
µν(y)×
×
(¯υ
3γµυ2)(¯υ 4γνυ1)e iy2(p3−p 2−p 4+p 1)−
−(¯υ
4γµυ2)(¯υ 3γνυ1)e iy2(p4−p 2−p 3+p 1)
.(2.31)
Дельта-функцiю слiд розумiти як той факт, що ймовiрнiсть пере-
ходу з одного стану системи в iнший буде ненульовою лише за умови
виконання закону збереження енергiї та iмпульсу. Використавши за-
кон збереження енергiї-iмпульсуможна спростити показники експо-
нент в останньому виразi
S
(2)
fi =i(−ie)
2(2π) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4) √2Vε 12Vε 22Vε 32Vε 4∞

−∞
d4yD 0
µν(y)×
×
(¯υ
3γµυ2)(¯υ 4γνυ1)e iy(p 1−p 4)−(¯υ 4γµυ2)(¯υ 3γνυ1)e iy(p 1−p 3)
.(2.32)
Використаємо означення прямого та оберненого перетворень Фур’є
в чотиривимiрному просторi (0.5):






⎩f(y)=
1(2π) 4

−∞ d4kf(k)e −iky
f(k)= ∞
−∞ d4yf(y)e iky (2.33)

Роздiл 2. Електрон-електронне розсiяння43
та остаточно запишемоS (2)
fi через фур’є-вiдображення фотонного про-
пагатора
S
(2)
fi =i(−ie)
2(2π) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ε1ε2ε3ε4 ×
×
(¯υ
3γµυ2)(¯υ 4γνυ1)D 0
µν(p1−p 4)−(¯υ 4γµυ2)(¯υ 3γνυ1)D 0
µν(p1−p 3)
.
(2.34)
Для отримання кiнцевої вiдповiдi нам залишилось знайти фур’є-вiдо-
браження фотонного пропагатора.
Фотонний пропагаторD
0
µν (x, x )
Використаємо введене ранiше означення фотонного пропагатора
(2.26) та пiдставимо в нього оператори електромагнiтного поля у фор-
мi (2.6). Розглянемо випадокt>t
:
iD
0
µν(x, x )=0|θ(t−t )ˆ
A µˆ
A
ν+θ(t −t)ˆ
A 
νˆ
Aµ|0=/t>t /=
=0|ˆ
A
µˆ
A
ν|0=0|!
ˆ c αϕα
µ+ˆc +
αϕ∗α
µ"
ˆ c βϕβ
ν +ˆc +
βϕ∗β
ν 
|0.(2.35)
Використавши комутацiйнi спiввiдношення для квантiв електромагнiт-
ного поля (Д4.3.17), легко переконатися, що ненульовий внесокбуде
давати лише один доданок:
iD
0
µν(x, x )=/t>t /=0|ˆ c αˆ c+
β|0ϕ α
µϕ∗β
ν =
α
ϕα
µϕ∗α
ν .(2.36)
Вираз приt отримуємо замiноюx↔x ,µ↔ν:
iD
0
µν(x, x )=/t α
ϕα
νϕ∗α
µ.(2.37)
Враховуючи явний записϕ
χ
µ(2.7), отримаємо:
iD
0
µν(x, x )=
∞

k=−∞2

λ=1








⎩ λ
µ(
k) 2Vω
ke−ikx ∗λ
ν(
k) 2Vω
keikx ,t>t 

ν(
k) 2Vω
ke−ikx ∗λ
µ(
k) 2Vω
keikx ,t (2.38)

44Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
За допомогою спiввiдношення (Д4.3.19) проведемо пiдсумовування за
поляризацiйними станамиλ:
iD
0
µν(x, x )=−g µν


k








⎩e −ik(x−x )
2Vω
k ,t>t 
eik(x−x )
2Vω
k ,t =
=

k
−g µν
2Vω
k

e i
k x−iω 
kt,t>0
e
−i
k x+iω 
kt,t<0,(2.39)
де ми перепозначилиx−x
≡x,t−t ≡t.
Перейдемо вiд пiдсумовування за дискретним спектром
kдо iнте-
грування в наближеннiV→∞i замiнимо в нижньому виразi
k→−
k:
iD
0
µν(x)=−

−∞
d
kg µν
(2π) 32ω
kei
k x 
e −iω 
kt,t>0
e +iω 
kt,t<0=−

−∞
d
kg µν
(2π) 32ω
kei
k x−iω 
k|t|
(2.40)
Щоб позбутися знака модуля та зробити вираз лоренц-iнварiантним,
треба перейти до комплексної площини. Розглянемо iнтеграл
#
c
e−izt
z2−ω 2

kdz(2.41)
за контуром, зображеним на рис.2.2,a, де контур обходу залежить
вiд знакаtдля забезпечення виконання леми Жордана. Тодi, згiдно
теореми Кошi про лишки
#
c
e−izt
z2−ω 2

kdz=2πi⎧





⎩−e
−iω 
kt

k ,t>0
e
−i(−ω 
k)t
(−2ω
k),t<0=−iπe
−iω 
k|t|
ω
k .(2.42)
Використавши (2.42), фотонний пропагатор можна записати у виглядi
iD
0
µν(x, x )=−ig µν
(2π) 4∞

−∞
d
k#
c
dze
i
k x−izt
z2−ω 2

k (2.43)

Роздiл 2. Електрон-електронне розсiяння45
Позначимоz=k 0iзгадаємо,щоω
k=|
k|(c=1), тодi
D
0
µν(x)=−g µν
(2π) 4∞

−∞
d
k#
c
dk 0ei
k x−ik 0t
k02 −
k 2=−g µν
(2π) 4∞

−∞
d
k#
c
dk 0e−ikx
k2 .
(2.44)
Щоб позбавитися незручного iнтеграла за контуром, можна трохи
видозмiнити контур iнтегрування, провiвши його по дiйснiй осi та змi-
стивши при цьому точки полюсiв (див. рис.2.2,б). Оскiльки iнтеграл
за напiвколом згiдно з лемою Жордана дорiвнює нулю, то iнтеграл за
контуром можна замiнити iнтегруванням уздовж дiйсної осiz:
D
0
µν(x) = lim →+0
−g µν
(2π) 4∞

−∞
d4ke
−ikx
k2+i.(2.45)
R
 rr
-
t<0
t>0

- Re z
Imz
б) Imz
Re z
a)
Рис. 2.2.Контур iнтегруванняc:R→∞,r→0.
Порiвнюючи отриманий вираз iз виразом для фур’є-перетворення
(2.33), можна вiдразу записати вираз для фур’є-вiдображення фотон-
ного пропагатора
D
0
µν(k)=−lim →+0
gµν
k2+i,(2.46)
саме який нам i знадобиться для подальших розрахункiв.
З явного вигляду фотонного пропагатора безпосередньо виплива-
ють властивостi симетрiї (2.27). Симетрiя щодо перестановкиµ↔ν
забезпечується метричним тензоромg
µν. Симетрiя щодо перестанов-
киx↔x очевидна iз (2.45) (нагадаємо, там була зроблена замiна
x≡x−x).
На завершення роздiлу, використавши явний вигляд фотонного
пропагатора (2.46), наведемо остаточний вираз для другого порядку

46Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
матрицi розсiяння електрона на електронi (2.34):
S
(2)
fi =−i(−ie) 2gµν lim→+0
(2π) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ε1ε2ε3ε4 ×
×$
(¯υ
3γµυ2)(¯υ 4γνυ1)
(p1−p 4)2+i−(¯υ
4γµυ2)(¯υ 3γνυ1)
(p1−p 3)2+i%
=
=ie
2lim→+0
(2π) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ε1ε2ε3ε4 ×
×$
(¯υ
3γµυ2)(¯υ 4γµυ1)
(p1−p 4)2+i−(¯υ
4γµυ2)(¯υ 3γµυ1)
(p1−p 3)2+i%
.(2.47)
Зазвичай величинав знаменнику (2.46) не вiдiграє ролi в подаль-
ших розрахунках, i тому, якщо немає необхiдностi, будемо ї ї опускати,
однакбудемо мати ї ї на увазi.
Завдання
1. Покажiть, що в задачi розсiяння електрона на електронi, вiдсут-
нiй внесоквiдˆ
Sматрицi в першому порядку теорiї збурень.
2. Покажiть, що у виразi (2.12) ненульовий внесокдаватиме лише
доданок(2.13).
3. Покажiть, що при переходi вiд сумування за дискретним спек-
тром до iнтегрування за неперервним спектром з’являється множ-
никV/(2π)
3.
4. Покажiть, що при змiнi контуру iнтегрування у виразi (2.45)
нескiнченно малий доданок у знаменнику має входити саме зi
знаком плюс.

РОЗДIЛ 3
Операторний формалiзм.
Електрон-фотонне розсiяння (ефект Комптона)
у другому порядку теорiї збурень
Розглянемо задачуe+γ→e +γ , коли в початковому та кiнцевому
станах маємо електрон та фотон, що розташованi на значнiй вiдстанi
один вiд одного та не взаємодiють мiж собою за адiабатичною гiпо-
тезою. Нехай у початковий момент часу електрон характеризуються
певним 4-iмпульсом та спiральнiстю(p
1,µ 1), а фотон має певний 4-
iмпульс та поляризацiю(k
1,λ 1). Будемо знаходити ймовiрнiсть того,
що пiсля взаємодiї електрон матиме квантовi числа(p
2,µ 2), а фотон
–(k
2,λ 2)(див. рис.3.1).
p11,p11,
p22,p22,
k22,k22,
k11,k11,
Рис. 3.1.Схематичне зображення розсiяння фотона на електронi.
Для розв’язання задачi нам потрiбно знайти матричний елемент
S
fi шляхом усереднення виразу (1.55) за початковим та кiнцевим ста-
нами:
S
fi =(p 2,µ 2); (k 2,λ 2)|ˆ
S|(p 1,µ 1); (k 1,λ 1).(3.1)
Початковий та кiнцевий стани в представленнi чисел заповнення
мають вигляд


⎩|(p
1,µ 1); (k 1,λ 1)=ˆa +
1ˆ c+
1|0;
|(p
2,µ 2); (k 2,λ 2)=ˆa +
2ˆ c+
2|0;
(p
2,µ 2); (k 2,λ 2)|=(ˆc +
2ˆ a+
2|0) +=0|ˆ a 2ˆ c2,(3.2)

48Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
деa i(a+
i)– оператори знищення (народження) електронiв (Д5.4.3)з
квантовими числами(p
i,µ i);c i(c+
i)– оператори знищення (народ-
ження) фотонiв (Д4.3.17) з квантовими числами(k
i,λ i). При цьому
нижнiй iндекс цих операторiв не вказує на коварiантнiсть величини.
Отже, середнє вiдˆ
S-матрицi:
S
fi=(p 2,µ 2); (k 2)|ˆ
S|(p 1,µ 1); (p 2,µ 2)=
=0|ˆ a
2ˆ c2

⎣ˆ
1−ie ∞
−∞
d4xˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
A µ+(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x×
׈
T
ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ
µˆ
Ψ)ˆ
A µ·ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)ˆ
A 
ν
+...⎤

ˆ a +
1ˆ c+
1|0.(3.3)
Використавши комутацiйнi спiввiдношення (Д4.3.17), (Д5.4.3), по-
кажемо, що в нульовому та першому порядках теорiї збурень усеред-
нення дає нульовий внесок. Розглянемо детально другий порядок тео-
рiї збурень
S
(2)
fi =(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x×
×0|ˆ a
2ˆ c2ˆ
T
ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
A µˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)ˆ
A 
ν
ˆ a +
1ˆ c+
1|0.(3.4)
Оскiльки операториˆ
A
µтаˆ
A 
νкомутують з операторами народжен-
ня та знищення фермiонiв, тоˆ
A
µможна переставити злiва доˆ
A 
νта
перенести їх правiше вiд усiх операторiв фермiонного поля. Вставимо
мiж фермiонними операторами таˆ
A
µˆ
A
νодиничний оператор
ˆ
1=
λ
|λλ|,
деλпробiгає всi можливi стани в представленнi чисел заповнення для
фермiонiв та фотонiв. У розд. 2 було показано, що в цьому випадку
ненульовий внесокдаватиме лише станλ, що вiдповiдає вакууму:
S
(2)
fi =(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x×

Роздiл 3. Електрон-фотонне розсiяння49
×0|ˆ a 2ˆ
T
ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)
ˆ a +
1|00|ˆ c 2ˆ
T
ˆ
A µˆ
A
ν
ˆ c +
1|0.(3.5)
Розглянемо випадокt>t
,тодi
S
(2)
fi =(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xθ(t−t )×
×0|ˆ a
2 ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)ˆa +
1|00|ˆ c 2ˆ
Aµˆ
A
νˆ c+
1|0.(3.6)
Розглянемо детально фотонну частину цього виразу
Q
µν =0|ˆ c 2ˆ
Aµˆ
A
νˆ c+
1|0=/(2.6)/=
=0|ˆ c
2

ˆ c
αϕα
µ+ˆc +
αϕ∗α
µ
ˆ c
βϕβ
ν +ˆc +
βϕ∗β
ν 
ˆ c +
1|0.(3.7)
Для розрахунку цiєї величини використаємо








⎩0|ˆ c
2ˆ cαˆ cβˆ c+
1|0=0;
0|ˆ c
2ˆ cαˆ c+
βˆ c+
1|0=δ 1,α δ2,β ;
0|ˆ c
2ˆ c+
αˆ cβˆ c+
1|0=δ 1,β δ2,α ;
0|ˆ c
2ˆ c+
αˆ c+
βˆ c+
1|0=0,(3.8)
тодi
Q
µν(x, x )=
α,β
!
δ1,α δ2,β ϕα
µϕ∗β
ν +δ 1,β δ2,α ϕ∗α
µϕβ
ν"
=

1
µϕ∗2
ν +ϕ ∗2
µϕ1
ν =
=
λ1µ(
k1)∗λ2ν (
k2)
2V√ ω1ω2 e−ik 1x+ik 2x+
∗λ2µ (
k2)λ1ν(
k1)
2V√ ω1ω2 e−ik 1x+ik 2x,(3.9)
звiдки видно, що
Q
µν(x, x )=Q νµ(x ,x).(3.10)
Розглянемо детально фермiонну частину виразу (3.6):
R
µν(x, x )=0|ˆ a 2 ˆ
N(ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ)ˆ
N(ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ)ˆa +
1|0.(3.11)

50Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Розрахунокцiєї величини шляхом пiдстановки явного вигляду опера-
торiв квантованого фермiонного поля (2.4), (2.5), якми це робили в
розд. 2, не є зручним i ми зробимо розрахунокпо iншому.
Зауважимо, що згiдно з визначенням оператора нормального впо-
рядкування ми можемо записати оператор густини струмуˆ
j
µ=ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ
у виглядi
ˆ

j
µ=ˆ
j µ−0|ˆ
j µ|0=ˆ
j µ−
α
¯
ψ−α γµψ−α .(3.12)
При цьому вакуумне середнє вiд лiвої та правої частин (3.12)дорiвнює
нулю, що й пiдтверджує справедливiсть наведеного виразу. Тодi вираз
(3.11) можна записати як
R
µν(x, x )=0|ˆ a 2ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψˆ a+
1|0−0|ˆ
j µ|00|ˆ a 2ˆ
¯
Ψγνˆ
Ψˆ a+
1|0−
−0|ˆ a

¯
Ψγ µˆ
Ψˆa +
1|00|ˆ
j ν|0+0|ˆ
j µ|00|ˆ
j ν|00|ˆ a 2ˆ a+
1|0=
=0|ˆ a

¯
Ψγ µˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψˆ a+
1|0−
−0|ˆ
j
µ|0¯
ψ 2γνψ1−¯
ψ 2γµψ10|ˆ
j ν|0,(3.13)
де останнi доданки ми отримали, безпосередньо взявши вакуумне се-
реднє.
Для подальших розрахункiв використаємо спiввiдношення


⎩&
ˆ a
+
1,ˆ
Ψ' +=ψ 1;
&
ˆ a
2,ˆ
¯
Ψ' +=¯
ψ 2;⎧

⎩&
ˆ a
+
1,ˆ
¯
Ψ' +=0;
&
ˆ a
2,ˆ
Ψ' +=0,(3.14)
де в правiй частинi стоять не оператори, а функцiї. Цi спiввiдношення
легко довести. Для прикладу доведемо перше з них:
&
ˆ a
+
1,ˆ
Ψ' +=&
ˆ a +
1,
ˆ a χψχ+ˆ
b +
χψ−χ
'
+=

χ(
ˆ a +
1,ˆ aχ)
++ψ −χ (
ˆ a +
1,b+
χ)
+=/(Д5.4.3)/=ψ 1.(3.15)
Використавши (3.14) можна записати
0|ˆ a

¯
Ψγ µˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψˆ a+
1|0=0|
¯
ψ 2−ˆ
¯
Ψˆa 2

γ µˆ
Ψˆ
¯
Ψ γν
ψ 
1−ˆ a +

Ψ
|0=
=0|¯
ψ
2γµˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνψ
1|0+0|ˆ
¯
Ψˆa 2γµˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνˆ a+

Ψ|0−
−0|¯
ψ
2γµˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνˆ a+

Ψ|0−0|ˆ
¯
Ψˆa 2γµˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνψ
1|0,(3.16)

Роздiл 3. Електрон-фотонне розсiяння51
де останнi два доданки дорiвнюють
0|¯
ψ
2γµˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνˆ a+

Ψ|0=−¯
ψ 2γµψ10|ˆ
j ν|0,(3.17)
0|ˆ
¯
Ψˆa
2γµˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνψ
1|0=−0|ˆ
j µ|0¯
ψ 2γνψ1.(3.18)
Використавши (3.16)–(3.18), вираз (3.13) запишемо у виглядi
R
µν(x, x )=0|¯
ψ 2γµˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνψ
1|0+0|ˆ
¯
Ψˆa 2γµˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνˆ a+

Ψ|0.(3.19)
Розглянемо другий доданоку (3.19):
0|ˆ
¯
Ψˆa
2γµˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνˆ a+

Ψ|0=*
&
ˆ a +
1,ˆ
¯
Ψ' +=0,&
ˆ a 2,ˆ
Ψ' +=0*
=
=0|ˆ
¯
Ψγ
µˆ
Ψˆa 2ˆ a+

¯
Ψγνˆ
Ψ|0=+
(
ˆ a +
1,ˆ a2)
+=0+
=
=−0|ˆ
¯
Ψγ
µˆ
Ψˆa +
1ˆ a2ˆ
¯
Ψγνˆ
Ψ|0=
=−0|ˆ
¯
Ψγ
µ
ψ
1−ˆ a +

Ψ
¯
ψ 
2−ˆ
¯
Ψ ˆ a2

γ νˆ
Ψ|0=
=/ненульовим є один доданок/=−0|ˆ
¯
Ψγ
µψ1¯
ψ
2γνˆ
Ψ|0.(3.20)
Отже, повертаючись до (3.19), маємо
R
µν(x, x )=0|¯
ψ 2γµˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνψ
1|0−0|ˆ
¯
Ψγ µψ1¯
ψ
2γνˆ
Ψ|0.(3.21)
Оскiльки випадокt вiдрiзняється вiд випадкуt>t замiною
µ↔ν,x↔x , то з урахуванням (3.10), отримаємо
S
(2)
fi =(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xQµν(x, x )
R µν(x, x ),t>t ,
R νµ(x ,x),t Для скорочення подальших записiв введемо оператор
ˆ
A=(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xQµν(x, x ).(3.23)
А тепер перепишемо (3.22), явно вказавши матричнi iндекси
ˆ
A·
0|¯
ψ
2αγµ
αβ ˆ
Ψβˆ
¯
Ψ
χγν
χσψ
1σ|0−0|ˆ
¯
Ψ αγµ
αβψ1β ¯
ψ
2χγν
χσ ˆ
Ψ
σ|0,t>t 
0|¯
ψ 
2χ γν
χσ ˆ
Ψ
σˆ
¯
Ψαγµ
αβψ1β|0−0|ˆ
¯
Ψ 
χγν
χσψ
1σ ¯
ψ2αγµ
αβ ˆ
Ψβ|0,t (3.24)

52Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Пiсля того, як явно вказано, за якими iндексами проводиться пiдсу-
мовування, можна переставити неоператорнi множники. Зробимо це
таким чином:
ˆ
A·
¯
ψ
2αγµ
αβ0|ˆ
Ψ βˆ
¯
Ψ
χ|0γ ν
χσψ
1σ−¯
ψ 
2χγν
χσ0|ˆ
¯
Ψ αˆ
Ψ
σ|0γ µ
αβψ1β,t>t 
−¯
ψ 2αγµ
αβ0|ˆ
¯
Ψ 
χˆ
Ψβ|0γ ν
χσψ
1σ +¯
ψ 
2χ γν
χσ0|ˆ
Ψ 
σˆ
¯
Ψα|0γ µ
αβψ1β,t (3.25)
(у другому рядку переставлено доданки мiсцями порiвняно з (3.24)).
В останньому виразi два випадкиt>t
таt та записати одним виразом, якщо для вакуумних середнiх ввести нове
позначення:
−iG
αβ (x, x )=0|θ(t−t )ˆ
Ψ αˆ
¯
Ψ
β −θ(t −t)ˆ
¯
Ψ 
βˆ
Ψα|0,(3.26)
деG
αβ (x, x )отримав назву причинної функцiї Грiна фермiонного
поля, або електронного пропагатора. Фiзичний змiст цiєї величини
буде розкрито пiзнiше. Забiгаючи наперед зазначимо, що електронний
пропагатор залежить вiдxтаx
якG αβ (x−x ).
Зауважимо, що електронний пропагатор можна записати бiльш
компактно, якщо розширити наведене поняття оператора хроноло-
гiчного впорядкування Дайсона (1.12), а саме: при перестановцi опе-
раторiв бозонного (електромагнiтного) поля оператор хронологiчного
впорядкування Дайсона дiє згiдно з (1.12), а при перестановцi опера-
торiв фермiонного поля додатково з’являється множник(−1)
p,деp–
кiлькiсть використаних перестановокфермiонних операторiв. Тодi
−iG
αβ (x−x )=0|θ(t−t )ˆ
Ψ αˆ
¯
Ψ
β −θ(t −t)ˆ
¯
Ψ 
βˆ
Ψα|0=
=0|ˆ

Ψ
αˆ
¯
Ψ
β|0.(3.27)
Використавши означення електронного пропагатора, вираз (3.25)
можна записати таким чином:
S
(2)
fi =−iˆ
A
¯
ψ 2αγµ
αβGβχ (x−x )γν
χσψ
1σ+¯
ψ 
2χγν
χσGσα (x −x)γ µ
αβψ1β

=
=−i(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xQµν(x, x )×
×!
¯
ψ
2γµG(x−x )γνψ
1+¯
ψ 
2γνG(x −x)γ µψ1"
(3.28)
Замiнивши в другому доданкуµ↔νx↔x
та використавши (3.10),
можна записати

Роздiл 3. Електрон-фотонне розсiяння53
S(2)
fi =−i(−ie) 2∞
−∞∞

−∞
d4xd 4xQµν(x, x )¯
ψ 2γµG(x−x )γνψ
1=
=/(3.9),(2.7)/=−i(−ie)
2∞
−∞∞

−∞
d4xd 4x×
×,

λ1µ(
k1)∗λ2ν (
k2)
2V√ ω1ω2 e−ik 1x+ik 2x+
∗λ2µ (
k2)λ1ν(
k1)
2V√ ω1ω2 e−ik 1x+ik 2x
-
×
ׯ υ
2 √2Vε 2eip2xγµG(x−x )γν υ1 √2Vε 1e−ip 1x=
=−i(−ie)
2
(2V) 2√ω1ε1ω2ε2∞

−∞∞

−∞
d4xd 4x¯ υ2γµG(x−x )γνυ1×
×

λ1µ(
k1)∗λ2ν (
k2)e−ik 1x+ik 2x+ip 2x−ip 1x+
+
∗λ2µ (
k2)λ1ν(
k1)e−ik 1x+ik 2x+ip 2x−ip 1x
.(3.29)
Далi, так само як i при розглядi розсiяння електрона на електронi,
зробимо замiну змiнних:y=x−x
,z=(x+x )/2, тобтоx=z+y/2,
x =z−y/2. Якобiан переходу дорiвнює одиницi. Отримаємо
S
(2)
fi =−i(−ie)
2
(2V) 2√ω1ε1ω2ε2∞

−∞∞

−∞
d4yd 4z¯ υ 2γµG(y)γ νυ1×
×

λ1µ(
k1)∗λ2ν (
k2)eiz(p 2−p 1−k 1+k 2)+ iy2(p2+p 1−k 1−k 2)+
+
∗λ2µ (
k2)λ1ν(
k1)eiz(p 2−p 1−k 1+k 2)+ iy2(p2+p 1+k 1+k 2)
.(3.30)
Проiнтегруємо заz:
S
(2)
fi =−i(−ie) 2(2π) 4δ(p 1+k 1−p 2−k 2)
(2V) 2√ω1ε1ω2ε2∞

−∞
d4y¯ υ 2γµG(y)γ νυ1×
×

λ1µ(
k1)∗λ2ν (
k2)eiy2(p2+p 1−k 1−k 2)+ ∗λ2µ (
k2)λ1ν(
k1)eiy2(p2+p 1+k 1+k 2)
,
(3.31)

54Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
де дельта-функцiя забезпечує виконання закону збереження енергiї-
iмпульсу. Використавши його, можна записати
S
(2)
fi =−i(−ie) 2(2π) 4δ(p 1+k 1−p 2−k 2)
(2V) 2√ω1ε1ω2ε2∞

−∞
d4y¯ υ 2γµG(y)γ νυ1×
×

λ1µ(
k1)∗λ2ν (
k2)eiy(p 1−k 2)+ ∗λ2µ (
k2)λ1ν(
k1)eiy(p 1+k 1)
.(3.32)
За допомогою означення прямого та оберненого перетворень Фур’є в
4-вимiрному просторi (2.33) отримаємоS
(2)
fi через фур’є-вiдображення
електронного пропагатора
S
(2)
fi =−i(−ie) 2(2π) 4δ(p 1+k 1−p 2−k 2)
(2V) 2√ω1ε1ω2ε2 ×
×
¯ υ
2γµG(p 1−k 2)γνυ1λ1µ(
k1)∗λ2ν (
k2)+
+¯υ
2γµG(p 1+k 1)γνυ1∗λ2µ (
k2)λ1ν(
k1)
=
=ie
2(2π) 4δ(p 1+k 1−p 2−k 2)
(2V) 2√ω1ε1ω2ε2 ×
ׯ υ
2
&
 λ1(
k1)G(p 1−k 2)∗λ2(
k2)+ ∗λ2(
k2)G(p 1+k 1)λ1(
k1)'
υ 1,
(3.33)
де перекреслена лiтера означає, що за нею проведена згортка зγ-
матрицямиa=a
νγν.
Завдання
1. Розрахуйте величину (3.11) шляхом пiдстановки явного вигля-
ду операторiв квантованого фермiонного поля (2.4), (2.5). Явно
отримайте в цьому пiдходi спiввiдношення (3.25).
2. Безпосереднiм розрахунком доведiть справедливiсть виразу (3.12).
Використавши (3.12), переконайтеся, щоˆ
S-матрицю електрон-
електронного розсiяння в другому порядку теорiї збурень (розд.
2) можна було розраховувати без застосування оператора нор-
мального впорядкування.

Роздiл 3. Електрон-фотонне розсiяння55
3. Доведiть справедливiсть виразiв (3.13), (3.17), (3.18)
4. Покажiть, що розширення змiсту оператора хронологiчного впо-
рядкування при дiї на фермiоннi функцiї не змiнить визначення
ˆ
S-матрицi (1.55).
5. Отримайте вираз дляˆ
S-матрицi в другому порядку теорiї збу-
рень для позитрон-фотонного розсiяння.

РОЗДIЛ 4
Проектуючий оператор.
Електронний пропагатор
Проектуючi оператори
Яквiдомо, стан фермi-частинки можна описати за допомогою двох
рiвнянь (див. (Д5.1.16)):

(qk−m)υ
µ
qk =0,
(γ 5χ−µ)υ µ
qk =0,(4.1)
деq=±1(q=1вiдповiдає частинцi,q=−1– античастинцi),µ=±1
визначає проекцiю спiну фермiона на напрямок його руху (Д5.1.23);
4-векторχвизначається з умов (Д5.1.14):χ
k=0таχ
2=−1. Iз цих
рiвнянь легко отримати оператори iмпульсу та спiральностi:
kυ
µ
qk=q mυ µ
qk,γ 5χυ µ
qk=µ υµ
qk.(4.2)
Побудуємо новий оператор(m+qk)/(2m)i розглянемо, яквiн дiє
на функцiюυ
µ
qkз урахуванням (4.2):
m+qk
2mυ
µ
qk=m+qq
m
2mυ
µ
qk=/q, q =±1/=δ q,q υµ
qk,(4.3)
тобто – це проектуючий оператор на стан з певним значенням числаq.
Побудуємо новий оператор(1 +µγ
5 χ)/2i розглянемо, яквiн дiє на
функцiюυ µ
qkз урахуванням (4.2):
1+µγ
5χ

µ
qk=1+µµ


µ
qk,(4.4)
тобто – це проектуючий оператор на стан з певним значенням числаµ.
Об’єднаємо тепер два розглянутих оператори та побудуємо про-
ектуючий оператор на стан з певним значенням числаqта числа
спiральностiµ:
Λ
q,µ
αβ =[(1 +µγ
5χ)(m+qk)] αβ
4m,(4.5)
Λ q,µ
αβ υµ
β, q k=δ q,q δµ,µ υµ
α, q k,(4.6)

Роздiл 4. Електронний пропагатор57
деα, β– iндекси 4-компонентної хвильової функцiї фермiона.
Нагадаємо спiввiдношення ортогональностi та повноти для фермi-
онних функцiй:

α
¯ υµ
α, qk υµ
α, q k=2mqδ µ, µ δq, q ,(4.7)

q,µqυµ
α, q k¯ υµ
β, q k=2mδ α,β .(4.8)
Подiємо проектуючим оператором на спiввiдношення (4.8):
Λ
q,µ
σα ·(4.8)⇒
q,µqδq,q δµ,µ υµ
σ, q k¯ υµ
β, q k=2mΛ q,µ
σβ ⇒

µ
σ, q k ¯ υµ
β, qk =2mΛ q,µ
σβ /·q⇒
υ
µ
σ, q k ¯ υµ
β, qk =2mqΛ q,µ
σβ =q 2[(1 +µγ
5χ)(m+qk)] σβ =ρ q,µ
σβ (k).(4.9)
Тобто ми в явному виглядi отримали результат добутку окремих ком-
понент функцiї та дiракiвськи спряженої фермiонної функцiї. Фак-
тично, це є матриця густини
1фермiонних станiв [2,11,12].
Отриманий результат суттєво допоможе нам при розрахунку елек-
тронного пропагатора.
Електронний пропагаторG
αβ (xx )
Згiдно з означеннями (3.27), (2.4), (2.5):
−iG
αβ (x−x )=0|ˆ

Ψ α(x)ˆ
¯
Ψ β(x )|0=
0|ˆ
Ψ α(x)ˆ
¯
Ψ β(x )|0,t>t 
−0|ˆ
¯
Ψ β(x )ˆ
Ψ α(x)|0,t =⎧





⎩0| χ

ˆ a
χ(ψ χ)α+ˆ
b +
χ(ψ −χ )α


σ

ˆ a +
σ!
¯
ψ 
σ"
β+ˆ
b σ!
¯
ψ 
−σ "
β

|0
−0|
σ

ˆ a +
σ!
¯
ψ 
σ"
β+ˆ
b σ!
¯
ψ 
−σ "
β


χ

ˆ a
χ(ψ χ)α+ˆ
b +
χ(ψ −χ )α

|0
1Зазначимо, що ми працюємо з фермiонами, що перебувають у чистому станi. У
цьому випадку модуль вектора спiну (входить в означення 4-вектораχ) у системi
спокою|
ξ|=1, для змiшаних станiв|
ξ|<1(див.дод.Д5.1,[12]).

58Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
=⎧





⎩ χ, σ
0|ˆ a χˆ a+
σ|0(ψ χ)α
!
¯
ψ 
σ"
β,t>t 
−
χ, σ
0|ˆ
b σˆ
b+
χ|0!
¯
ψ 
−σ "
β(ψ −χ )α,t =⎧













⎩
(
k, µ)(
k ,µ)
δ
k,
k δµ, µ υµ
α, k ¯ υµ
β, k 
2V√ ε

ke−i(kx−k x),t>t 
−
(
k, µ)(
k ,µ)
δ
k,
k δµ, µ ¯ υµ
β,−k υµ
α,−k
2V√ ε

k ei(kx−k x),t =
=⎧











⎩

k, µ
υµ
α, k ¯ υµ
β, k
2Vε
k e−ik(x−x ),t>t 
−

k, µ
¯ υµ
β,−k υµ
α,−k
2Vε
k eik(x−x ),t x−x =x
t−t=t*
=
=⎧











⎩

k, µ
υµ
α, k ¯ υµ
β, k
2Vε
k e−ik x ,t>0
−

k, µ
¯ υµ
β,−k υµ
α,−k
2Vε
k eik x ,t<0=(4.9)=
=

k, µ
1
2Vε
k




⎩1
2[(1 +µγ
5χ)(m+k)] αβ e−ik x ,t>0
−(−1)
2[(1−µγ
5χ)(m−k)] αβ eik x ,t<0,(4.10)
де у верхньому рядку останнього виразу ми поклалиq=1, а в ниж-
ньомуq=−1. У цьому виразi проведемо пiдсумовування заµ:
−iG
αβ (x)=

k
1
2Vε
k

(m+k) αβ e−ik x ,t>0
(m−k)
αβ eik x ,t<0=
=

k
1
2Vε
k(m+iγ µ∂µ)αβ

e −ik x ,t>0
e ik x ,t<0.(4.11)
Перейдемо вiд пiдсумовування за дискретним спектром до iнте-
грування за неперервним спектром енергiї:

Роздiл 4. Електронний пропагатор59
−iG αβ (x)=(m+iγ µ∂µ)αβ∞

−∞
Vd
k
(2π) 3
1
2Vε
k

e i
k x−iε 
kt,t>0
e
−i
k x+iε 
kt,t<0=
=(m+iγ
µ∂µ)αβ∞

−∞
d
k
(2π) 3
1

k

e i
k x−iε 
kt,t>0
e
i
k x+iε 
kt,t<0,(4.12)
де в останньому виразi в нижньому рядку було зроблено замiну
k→−
k.
Отже,
−iG
αβ (x)=(m+iγ µ∂µ)αβ∞

−∞
d
k
(2π) 3
1

kei
k x−iε 
k|t| =(2.42)=
=(m+iγ
µ∂µ)αβ i
(2π) 4∞

−∞

c
d
kdze
i
k x−izt
z2−ε 2

k =/z=k 0/=
=(m+iγ
µ∂µ)αβ i
(2π) 4∞

−∞

c
d
kdk 4 e−ik x
k02 −(
k 2+m 2)=
=(m+iγ
µ∂µ)αβ i
(2π) 4∞

−∞

c
d
kdk 0 e−ik x
k2−m 2=
=/змiнюємо контур як в розд. 2/=
=(m+iγ
µ∂µ)αβ lim→+0
i
(2π) 4∞

−∞
d4ke
−ik x
k2−m 2+i=
= lim
→+0
1
(2π) 4∞

−∞
d4ki(m+k) αβ e−ik x
k2−m 2+i.(4.13)
Порiвнявши отриманий вираз iз виразом для фур’є-перетворення (2.33),
можна вiдразу записати фур’є-вiдображення електронного пропагато-
ра
G
αβ (k) = lim →+0
(m+k) αβ
m2−k 2−i,(4.14)
який нам i потрiбен для подальших розрахункiв.

60Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
На завершення теми, використавши явний вигляд електронного
пропагатора, наведемо остаточнийвираз для другогопорядку матри-
цi електрон-фотонного розсiяння (3.33):
S
(2)
fi =ie 2(2π) 4δ(p 1+k 1−p 2−k 2)
(2V) 2√ω1ε1ω2ε2 ×
ׯ υ
2

 λ1(
k1)m+(p 1−k 2)
m2−(p 1−k 2)2∗λ2(
k2)+
+
∗λ2(
k2)m+(p 1+k 1)
m2−(p 1+k 1)2λ1(
k1)
υ 1.(4.15)
Завдання
1. Чи має значення порядок добутку проекцiйних операторiв у (4.9)?
2. Розгляньте випадок, коли в системi спокою фермiона вектор спi-
ну
ξмає вигляд
ξ=(0,1,1)/√
2. Проаналiзуйте значення проек-
цiї спiну фермiона на просторовi осix, y, zу випадку, коли вектор
iмпульсу фермiона має вигляд
k=(0,0,k
z). Пояснiть отриманий
результат.

РОЗДIЛ 5
Теореми Вiка. Елементи дiаграмної технiки
Фейнмана в координатному просторi
Те о р е м и В i к а
Введемо поняття спарювання двох операторiв якрiзницю їх хро-
нологiчно впорядкованого та нормального добуткiв:
Перша теорема Вiкастверджує, що
ˆ
T
ˆ
O
1(x1)ˆ
O 2(x2)...ˆ
O n(xn)
=

ˆ
N
ˆ
O 1(x1)ˆ
O 2(x2)...ˆ
O n(xn)
,(5.2)
де сума ведеться за всiма можливими спарюваннями мiж оператора-
ми, включаючи їх вiдсутнiсть.
Друга теорема Вiкастверджує, що
ˆ
T
ˆ
O
1(x1)ˆ
N
ˆ
O 2(x2),ˆ
O 3(x3)
...ˆ
N
ˆ
O k(xk),ˆ
O k+1 (xk+1 )
...ˆ
O n(xn)
=
=

ˆ
N
ˆ
O 1(x1),ˆ
O 2(x2)...ˆ
O n(xn)
,(5.3)
де сума ведеться за всiма можливими спарюваннями мiж оператора-
ми, включаючи їх вiдсутнiсть, за винятком спарювання мiж операто-
рами пiд знаком нормального впорядкування. При цьому нормальний
добутокзi спарюванням визначається як
деη– фазовий множник, що дорiвнює одиницi для бозонних опера-
торiв та(−1) p– для фермiонних операторiв, деp– кiлькiсть вико-
ристаних фермiонних перестановоквiд початкового порядку розта-
шування операторiв1... j−1jj+1... k−1kk+1... nдо кiнцевого
jk1... j−1j+1... k−1k+1... n. Останнє твердження пов’язане з тим,

62Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
що пiд знаком нормального впорядкування всi фермiоннi оператори
антикомутують.
Наведемо, поки без доведення, результати спарювань рiзних опе-
раторiв у КЕД:
Тодi, наприклад, згiдно з (5.4) маємо
Дiаграмна технiка Фейнмана в координатному просторi
Нехай кожному оператору квантованого поля та cпарюваннню мiж
операторами буде вiдповiдати певне графiчне зображення:
Тодi, використавши теореми Вiка, розкладˆ
S-матрицi (1.55)можна
графiчно представити у виглядi суми дiаграм (будемо лiворуч писати
математичну формулу, а праворуч – дiаграму, що їй вiдповiдає):
ˆ
S=ˆ
1+(−ie)

−∞
d4xˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ
ˆ
A µ+
+(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xˆ
T
ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ
ˆ
A µˆ
N
ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ
ˆ
A 
ν
+...=

Роздiл 5. Теореми Вiка63

1+
(−ie)ˆ
N

−∞ d4xˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψˆ
A µ+
ˆ
N(−ie) 2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψˆ
A µˆ
¯
Ψγνˆ
Ψˆ
A
ν + x,x,
 x x^  x
 x^
A
 xA x^ x’,
x’,
 x’ x’^
 x’ x’^
A
 x’A
 x’^

64Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
плюс дiаграми третього та вищих порядкiв теорiї збурень.
Очевидно, що запропонована процедура дозволяє також по заданiй
дiаграмi вiдновити математичну формулу, наприклад, дiаграмi
вiдповiдає доданокшостого порядкуˆ
S-матрицi (на дiаграмi зображе-
но шiсть точок(x
1...x 6)):
де цифри зверху в дужках (i) означають, що оператори залежать вiд
x
i.
Iснує твердження, що для опису певного фiзичного процесу потрiб-

Роздiл 5. Теореми Вiка65
но використати всi можливi дiаграми (в усiх порядках теорiї збурень),
в яких вiльнi кiнцi вiдповiдають частинкам (квантам поля), взаємодiя
яких розглядається. Справдi, вiльним кiнцям дiаграм зiставляються
оператори вiдповiдного поля, i саме вони будуть залученi при обчис-
леннi усереднення за початковим та кiнцевим станами. Внутрiшнi ж
лiнiї (див. (5.5)) при цьому не будуть визначальними, оскiльки явля-
ють собою величини неоператорної природи.
Враховуючи вищезазначене, наприклад, процесу розсiяння елек-
трона на електронi будуть вiдповiдати такi дiаграми:
в другому порядкуˆ
S-матрицi
в четвертому порядкуˆ
S-матрицi 1
та iншi дiаграми у вищих порядках теорiї збурень.
Пояснимо переваги, що надаються даними правилами. Якщо ранi-
ше, в iсторичному розглядi, при розглядi процесiв у другому порядку
теорiї збурень, ми були вимушенi записувати явно розклад операторiв
квантованих полiв, перемножувати утворюванi суми та брати усеред-
нення за заданими початковим та кiнцевим станами вiд кожного з
доданкiв (див., наприклад, (2.12), де з 16 доданкiв лише один давав
1Наведено лише рiзнi типи дiаграм. У повному записi потрiбно було б навести
дiаграми з петльовими поправками до рiзних зовнiшнiх фермiонних лiнiй, а також
дiаграму з поправкою до iншої вершини.

66Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
ненульовий внесок), то тепер необхiдний ненульовий доданок можна
записати вiдразу. Бiльше того, якщо в другому порядкуˆ
S-матрицi,
куди входило чотири оператори електрон-позитронного та два опера-
тори електромагнiтного поля, розрахунки ще можна було проробити
явно, то у вищих порядках теорiї збурень застосування формалiзму
ˆ
S-матрицi без використання правил дiаграмної технiки стає надзви-
чайно громiздким.
Зауважимо, якщо зовнiшнiм лiнiям дiаграм вiдповiдають реальнi
частинки, то внутрiшнiм лiнiям можна зiставити так званi вiртуальнi
частинки. У такому пiдходi дiаграми дають наочну фiзичну картину
взаємодiї частиноку квантовiй теорiї поля, при цьому саме поняття
взаємодiї розглядається якпроцес обмiну вiртуальними частинками.
Однакце вже тема наступного роздiлу.
Представленi дiаграми називають дiаграмами Фейнмана, а вiдпо-
вiднiсть їх математичним виразам для опису реальних фiзичних про-
цесiв – дiаграмною технiкою Фейнмана. Саме вiн запропонував вико-
ристовувати цей формалiзм ще в 1948 р. Щоправда, доведення цього
формалiзму у Фейнмана базувалося на методi континуального iнте-
грала. В даному курсi в якостi доведення слiд розглядати тотожнiсть
результатiв отриманих методом дiаграмної технiки Фейнмана (див.
далi) i методом, описаним в iсторичному оглядi (розд. 2 – 4).
Далi покажемо, як можна довести спiввiдношення (5.5).
Розгляд спарювання
Згiдно з означенням (5.1):
Розглянемо випадокt>t та явно запишемо квантованi оператори
електромагнiтного поля згiдно з (2.6),тодi
=
α
!
ˆ cαϕα
µ+ˆc +
αϕ∗α
µ"
β

ˆ c
βϕβ
ν +ˆc +
βϕ∗β
ν 

−−
α
ˆ
N!
ˆ c αϕα
µ+ˆc +
αϕ∗α
µ"
β

ˆ c
βϕβ
ν +ˆc +
βϕ∗β
ν 
=

Роздiл 5. Теореми Вiка67
=
α,β

ˆ c
αˆ cβϕα
µϕβ
ν +ˆc αˆ c+
βϕα
µϕ∗β
ν +ˆc +
αˆ cβϕ∗α
µϕβ
ν +ˆc +
αˆ c+
βϕ∗α
µϕ∗β
ν 

−
α,β

ˆ c
αˆ cβϕα
µϕβ
ν +ˆc +
βˆ cαϕα
µϕ∗β
ν +ˆc +
αˆ cβϕ∗α
µϕβ
ν +ˆc +
αˆ c+
βϕ∗α
µϕ∗β
ν 
=
=
α,β

ˆ c
α,ˆ c+
β
−ϕα
µϕ∗β
ν =
α
ϕα
µϕ∗α
ν .(5.9)
Аналогiчно, розглядаючи приt , отримаємо
тобто
=/(2.7)/=
∞

k=−∞

λ








⎩ λ
µ(
k) 2Vω
ke−ikx ∗λ
ν(
k) 2Vω
keikx ,t>t 

ν(
k) 2Vω
ke−ikx ∗λ
µ(
k) 2Vω
keikx ,t (5.11)
що й збiгається з означенням фотонного пропагатораiD
0
µν(x, x )(2.38).
Розгляд спарювання
Процедура доведення останнього спiввiдношення (5.5) повнiстю
аналогiчна тiльки що проведеному розгляду спарювання операторiв
електромагнiтного поля. Проробивши ї ї, отримаємо
=

k, µ,
k ,µ










⎩[a

k,µ ,a+

k,µ]+ υµ
α, k ¯ υµ
β, k 
2V√ ε

ke−i(kx−k x),t>t 
−[b
k,µ ,b+

k,µ]+ ¯ υµ
β,−k υµ
α,−k
2V√ ε

k ei(kx−k x),t =

k, µ
1
2Vε
k

υ µ
α, k ¯ υµ
β, k e−ik(x−x ),t>t 
−¯ υ µ
β,−k υµ
α,−k eik(x−x ),t
68Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
що й збiгається з означенням електронного пропагатора−iG αβ (x−x )
(4.10). Друге спiввiдношення в (5.5) можна довести згiдно з визначен-
ням (5.1) i врахувавши, що вторинно квантованi функцiї фермiонiв
антикомутують наc-числову функцiю
1(див. (Д5.4.5)):

T(ˆ
¯
Ψ β(x )ˆ
Ψ α(x))−ˆ
N(ˆ
¯
Ψ β(x )ˆ
Ψ α(x)) =
=−(ˆ
T(ˆ
Ψ
α(x)ˆ
¯
Ψ β(x ))−ˆ
N(ˆ
Ψ α(x)ˆ
¯
Ψ β(x ))) =− (5.13)
Завдання
1. Побудуйте всi дiаграми шостого порядку розсiяння електрона
на електронi.
2. Побудуйте всi дiаграми до шостого порядку включно розсiяння
фотона на електронi.
3. Доведiть перше та друге спiввiдношення (5.5).
4. Припустимо, що при розрахунку електрон-фотонного розсiяння
в другому порядку теорiї збурень (розд. 3) ви забули викори-
стати оператор нормального впорядкування для струмiв. Якого
типу дiаграми ви б додатково отримали?
1с-числом називають величину, що не має операторної природи.

РОЗДIЛ 6
Процеси за участю античастинок.
Електрон-позитронна дво- та трифотонна
анiгiляцiї. Розгалуження дiаграми.
Елементи дiаграмної технiки
Фейнмана в iмпульсному просторi
У попередньому роздiлi було введено поняття дiаграми Фейнмана
в координатному представленнi, головна користь вiд яких полягала в
тому, що розрахунокпевних процесiв у КЕД зводиться до усереднення
за початковим та кiнцевим станами не вiд усiх складовихˆ
S-матрицi,
а лише вiд тих, яким вiдповiдають дiаграмами Фейнмана, що опи-
сують цей процес. У цьому роздiлi на часткових прикладах деяких
процесiв у КЕД ми розвинемо правила дiаграмної технiки Фейнмана
в iмпульсному просторi та розкриємо фiзичний змiст внутрiшнiх лiнiй
дiаграм.
Електрон-позитронна анiгiляцiя у два фотони
Розглянемо електрон-позитронну анiгiляцiю у два фотониe+e
+→
γ+γ(рис.6.1).
Розглянемо перше незникаюче наближення, яке буде давати дру-
гий порядоктеорiї збурень (у нульовому та першому порядках теорiї
збурень не iснує дiаграм Фейнмана, що вiдповiдають за цей процес). З
розкладу другого порядкуˆ
S-матрицi за теоремою Вiка вiзьмемо лише
Рис. 6.1. Схематичне зображення електрон-позитронної анiгiляцiї.

70Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
дiаграми, що мають двi фермiоннi та двi фотоннi зовнiшнi лiнiї:
S
(2)
fi =(k 1,λ 1); (k 2,λ 2)|ˆ
S (2) |(p 1,µ 1); (p 2,µ 2)=
(k
1,λ 1); (k 2,λ 2)| + |(p 1,µ 1); (p 2,µ 2)
6
Оскiльки друга дiаграма отримується з першої замiною "нiмих" змiн-
них просумування та iнтегруванняx↔x ,µ↔νi дзеркальним вiдо-
браженням, то внесок вiд кожної з дiаграм буде однаковим i можна
розглядати лише один, наприклад, перший доданок у (6.1). Цим, фак-
тично, ми фiксуємо точкиxтаx
, в якi входять частинки. Отже,
()
=(−ie) 2∞
−∞∞

−∞
d4xd 4x0|ˆ c 1ˆ c2ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µ(−i)G(x−x )γνˆ
Ψˆ
Aµˆ
A
ν
ˆ a +

b+
2|0
=(−ie)
2∞
−∞∞

−∞
d4xd 4x0|ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µ(−i)G(x−x )γνˆ
Ψ
ˆ a+

b+
2|0×
×0|ˆ c
1ˆ c2ˆ
N
ˆ
A µˆ
A
ν
|0,(6.2)
де в останньому виразi оператор нормального впорядкуванняˆ
Nбу-
ло занесено явно в фермiонну тафотонну частини,щоб можна було
розглянути цi частини окремо.

Роздiл 6. Розгалуження дiаграми71
Розглянемо фермiонну частину:
0|ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ
µG(x−x )γνˆ
Ψ
ˆ a +

b+
2|0=
χ, σ
0|ˆ
N
ˆ a +
χ¯
ψχ+ˆ
b χ¯
ψ−χ

×
×γ
µG(x−x )γν
ˆ a
σψ
σ +ˆ
b +
σψ
−σ 
ˆ a +

b+
2|0=
=0|ˆ
b
χaσˆ a+

b+
2|0¯
ψ −χ γµG(x−x )γνψ
σ =

σ,1 δχ,2 ¯
ψ−χ γµG(x−x )γνψ
σ =¯
ψ −2 γµG(x−x )γνψ
1=
=¯ υ
µ2−p 2e−ip 2x
√2Vε 2 γµG(x−x )γνυµ1p1e−ip 1x
√2Vε 1 .(6.3)
Розглянемо фотонну частину:
0|ˆ c
1ˆ c2ˆ
N
ˆ
A µˆ
A
ν
|0=
=
α,β
0|ˆ c 1ˆ c2ˆ
N
ˆ c αϕα
µ+ˆc +
αϕ∗α
µ
ˆ c
βϕβ
ν +ˆc +
βϕ∗β
ν 
|0=
=
α,β
0|ˆ c 1ˆ c2ˆ
ˆ c+
αˆ c+
β|0ϕ ∗α
µϕ∗β
ν =
α,β
(δ1,β δ2,α +δ 1,α δ2,β )ϕ ∗α
µϕ∗β
ν =

∗2
µϕ∗1
ν +ϕ ∗1
µϕ∗2
ν =
=
∗λ2µ (
k2)eik2x
√2Vω 2
∗λ1ν (
k1)eik1x
√2Vω 1 +
∗λ1µ (
k1)eik1x
√2Vω 1
∗λ2ν (
k2)eik2x
√2Vω 2 .(6.4)
Пiдставивши (6.3), (6.4)у(6.2), отримаємо
S
(2)
fi =−i(−ie) 2∞
−∞∞

−∞
d4xd 4x¯
ψ−2 γµG(x−x )γνψ
1(ϕ ∗2
µϕ∗1
ν +ϕ ∗1
µϕ∗2
ν )=
=−i(−ie)
2∞
−∞∞

−∞
d4xd 4x
,
¯ υ µ2−p 2e−ip 2x
√2Vε 2 γµG(x−x )γνυµ1p1e−ip 1x
√2Vε 1
-
×
×,

∗λ2µ (
k2)eik2x
√2Vω 2
∗λ1ν (
k1)eik1x
√2Vω 1 +
∗λ1µ (
k1)eik1x
√2Vω 1
∗λ2ν (
k2)eik2x
√2Vω 2
-
,(6.5)
або, формально, на рiвнi дiаграм

72Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
(k 1,λ 1); (k 2,λ 2)| |(p 1,µ 1); (p 2,µ 2)=
+
+
Справдi, якщо записати множники, рухаючись вздовж фермiон-
них лiнiй у напрямку проти напрямку стрiлок, вставити у вузли вiд-
повiднi гамма-матрицi, помноженi на(−ie), а потiм помножити на
фотоннi частини та проiнтегрувати заxтаx
, то вiдновимо вираз
(6.5). Зазначимо, що коли лiнiю електромагнiтного поля ми зiстав-
ляємо з реальним фотоном, що може входити чи виходити з точки, то
фотонну лiнiю вже слiд писати iз зазначенням ї ї напрямку, оскiльки
вiд цього буде залежати функцiя, що з нею зiставляється.
У виразi (6.5) запишемо функцiю Грiна через фур’є-вiдображення
(2.33) i виконаємо iнтегрування заxтаx
:
S
(2)
fi =.
G(x−x )=

−∞
d4p
(2π) 4e−ip(x−x )G(p).
=
=−i(−ie)
2∞
−∞
d4p
¯ υ
µ2−p 2 √2Vε 2γµG(p)
(2π) 4γν υµ1p1 √2Vε 1

×

Роздiл 6. Розгалуження дiаграми73
×,

∗λ2µ (
k2) √2Vω 2
∗λ1ν (
k1) √2Vω 1(2π) 4δ(p+p 2−k 2)(2π) 4δ(p 1−p−k 1)+
+
∗λ1µ (
k1) √2Vω 1
∗λ2ν (
k2) √2Vω 2(2π) 4δ(p+p 2−k 1)(2π) 4δ(p 1−p−k 2)-
,(6.6)
або, формально, на рiвнi дiаграм:
 

+
+
 


Справдi, якщо записати множники, рухаючись уздовж фермiон-
них лiнiй у напрямку проти напрямку стрiлок, а потiм помножити на
фотоннi частини та проiнтегрувати заd
4p, то вiдновимо вираз (6.6).
Аргументи дельта-функцiй, що стоять у вершинах дiаграм легко
записати, якщо скористатися такими дiаграмами:
k2k2 k1k1
p1p1 p2 p2
pp k
11 pp k
11 x
x’ x’ +
k2k2 k1k1
p1p1 p2 p2
pp k
12 pp k
12 x
x’ x’
Тодi аргументи дельта функцiй будуть виражати збереження 4-iм-
пульсiв, що входять у певну точку та виходять з неї. Справдi, у першiй
дiаграмi в точцix
4-iмпульс електронаp 1(входить у вершину) перей-
де в 4-iмпульс фотонаk
1(виходить з вершини) та 4-iмпульс такзваної
вiртуальної частинкиp=p
1−k 1, якiй вiдповiдає суцiльна (фермiонна)
внутрiшня лiнiя дiаграми. У точцixцiєї ж дiаграми 4-iмпульс фото-

74Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
наk 2(виходить з вершини) є сумою 4-iмпульсу позитрона (насправдi
входить у вершину з 4-iмпульсомp
2, але на дiаграмi йому вiдповiдає
вихiдна лiнiя з 4-iмпульсом−p
2)1та 4-iмпульсу вiртуальної частинки
p=k
2−p 2. Прирiвнюючи значення в точкахxтаx , отримаємо закон
збереження енергiї-iмпульсуp
1+p 2=k 1+k 2.
Назвавiртуальна частинкавикористовується у зв’язку з тим, що,
якщо для реальної частинки квадрат4-iмпульсу дорiвнює квадра-
ту ї ї масиp
2=ε 2− p 2=m 2, то для вiртуальної частинки зазначена
рiвнiсть не виконується, наприклад:(p
1−k 1)2=p 2
1+k 2
1−2p 1k1=
m 2−2p 1k1
=m 2.
Щодо фiзичного змiсту наведених дiаграм, наприклад першої, то
його можна розумiти так. Електронp
1, що входить у точкуx ,ви-
промiнює фотонk
1, унаслiдокчого його4-iмпульс стаєp 1−k 1, тобто
таким, при якому електрон як реальна частинка перестає iснувати
(порушується спiввiдношення мiж ї ї енергiєю та iмпульсом:p
2
=m 2).
Однак, спiввiдношення невизначеностi енергiї-часу∆E∆t≥/2доз-
воляє частинцi перебувати в такому станi лише впродовж деякого
достатньо малого промiжку часу. Якщо за цей час така вiртуальна
частинка провзаємодiє з позитроном, то процес анiгiляцiї вiдбудеться
й утвориться фотонk
2. Якщо ж поблизу не виявиться позитрона, то
електрон поглине випущений фотонi знову перейде в реальний стан
за схемою, наведеною праворуч.
Тобто на рiвнi КЕД взаємодiя вiдбу-
вається шляхом обмiну взаємодiючих
частинокз iншими, вiртуальними ча-
стинками, квантами поля. Квадрат4-
p1p1 p1p1
k pk
1 pk1
iмпульсу вiртуальної частинки може бути як додатнiм, так i вiд’ємним.
Перший приклад. Для процесуe−e-розсiяння з (2.34) випливає,
що вiртуальний фотон може матиk=p
4−p 1, тобтоk 2=p 42 +p 12 −
2p
4p1=m 2+m 2−2(ε 4ε1− p 4
p1). Щоб оцiнити значенняk 2використає-
мо такий прийом. Оскiлькиk 2є скаляром, тобто iнварiантом в усiх си-
стемах вiдлiку, то виберемо систему вiдлiку, де перша частинка пере-
буває у спокої, тобтоp
1=(m,0),тодik 2=2m(m−ε 4)=/ε 4>m/<0.
Це дiаграма розсiючого типу.
1Нас не повинен бентежити факт, що античастинка, котра входить у точкуx,
зiставляється з лiнiєю, що виходить з цiєї точки з вiд’ємним 4-iмпульсом. Так i має
бути, адже у формалiзмi Дiрака античастинку можна трактувати як частинку, що
рухається в часi у зворотному напрямку.

Роздiл 6. Розгалуження дiаграми75
Другий приклад. Для процесу електрон-позитронного розсiян-
ня, якдалi покажемо, буде iснувати дiаграма,
деk=p
1+p 2, тобтоk 2=p 12+p 22+2p 1p2=
2m 2+2(ε 1ε2− p 1 p2). Оберемо систему вiд-
лiку, де перша частинка перебуває у спо-
кої, тодik
2=2m(m+ε 2)>0.Цедiаграма
анiгiлюючого типу. Фотон тут маєk 2>0i
p3p3
p1p1
kp p
 12 kp p
 12
p 2 p 2
p 4 p 4
формально йому можна зiставити частинку зM=√ k2.
Зазначимо таку корисну якiсну властивiсть поведiнки амплiтуди
реакцiй. Оскiльки вiртуальна частинка вiдповiдає внутрiшнiй лiнiї
дiаграми, тобто зiставляється з вiдповiдним пропагатором (2.46), (4.14)
з полюсом в точцip
2=m 2, то зрозумiло, що амплiтуда процесу буде
зростати при прямуваннi квадрата4-iмпульсу вiртуальної частинки
до маси реальної частинки.
Повернемося тепер до задачi електрон-позитронної анiгiляцiї. У
(6.6) проведемо iнтегрування заd
4pй остаточно отримаємо:
S
(2)
fi =−i(−ie) 2(2π) 4δ(p 1+p 2−k 1−k 2)
(2V) 2√ε1ε2ω1ω2 ×
×&
¯ υ
µ2−p 2γµG(p 1−k 1)γνυµ1p1∗λ2µ (
k2)∗λ1ν (
k1)+
¯ υ
µ2−p 2γµG(p 1−k 2)γ νυµ1p1∗λ1µ (
k1)∗λ2ν (
k2)'
=
=ie
2(2π) 4δ(p 1+p 2−k 1−k 2)
(2V) 2√ε1ε2ω1ω2 ×
ׯ υ
µ2−p 2
&
 ∗λ2(
k2)G(p 1−k 1) ∗λ1(
k1)+ ∗λ1(
k1)G(p 1−k 2) ∗λ2(
k2)'
υ µ1p1.
(6.7)
Пiдведемо пiдсумок. Ми розпочали розрахунок, записавши згiдно
з теоремою Вiка двi дiаграми в координатному просторi (див. (6.1)).
Внесоквiд них є однаковим. Справдi, перша з дiаграм описує випа-
док, коли електрон потрапляє в точкуx
, а позитрон у точкуx, друга
дiаграма — з точнiстю до навпаки. Формально можна вважати, що
множник2=2!визначає кiлькiсть всiх можливих перестановок то-
чокxix
на дiаграмi та пов’язаний з використанням релятивiстсько-
iнварiантної теорiї збурень. Нагадаємо, що саме використання опе-
ратора хронологiчного впорядкування Дайсона (див. (1.12)–(1.16))

76Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
призвело до появиn!у знаменникуn-го порядкуˆ
S-матрицi, або, фор-
мально, появаn!пов’язана з невизначенiстю розстановокточокx iпо
вузлам дiаграми.
Кожна з дiаграм iз формули (6.1) переходить у двi дiаграми в
iмпульсному представленнi:

k2k2 k1k1
p1p1 p2 p2
pp k
11 pp k
11 x
x’ x’ +
k2k2 k1k1
p1p1 p2 p2
pp k
12 pp k
12 x
x’ x’

k2k2 k1k1
p1p1 p2p2
pp k 11 pp k 11 x x’x’ +
k2k2 k1k1
p1p1 p2p2
pp k12 pp k12 x x’x’
Зафiксувавши точкиxix та прибравши2!зi знаменника у фор-
мулi для матрицi розсiяння (6.2), ми отримали лише двi дiаграми:
k2k2 k1k1
p1p1 p2 p2
pp k
11 pp k
11 x
x’ x’ +
k2k2 k1k1
p1p1 p2 p2
pp k
12 pp k
12 x
x’ x’
що вiдрiзняються точками вильоту кiнцевих фотонiвk 1таk 2.Такi
має бути, оскiльки експеримент не дає можливостi зафiксувати, з якої
саме точки вилетiв фотон:k
1чиk 2.
Звернемо увагу, що дiаграми мають спiльний знак. Справдi, друга
дiаграма вiдрiзняється вiд першої перестановкою операторiв електро-
магнiтного поля, а оскiльки вони комутують, то знак має бути таким
самим.
Електрон-позитронна анiгiляцiя в три фотони
За допомогою методу, наведеного в iсторичному оглядi, або явно
записавши всi доданки згiдно з теоремою Вiка, можна переконати-
ся, що внесокв електрон-позитронну анiгiляцiю в три фотони, тобто

Роздiл 6. Розгалуження дiаграми77
e+e +→γ+γ+γ, буде описуватися6=3!рiвнозначними дiаграма-
ми Фейнмана в координатному представленнi, що будуть вiдрiзнятися
лише перестановками точок iнтегрування (x, x
,x ).
Зафiксувавши точкиx, x ,x можна прибрати3!зi знаменника у
формулi для матрицi розсiяння та описати процес за допомогою однiєї
дiаграми в координатному представленнi:
x,x,
A xA x^
x’’,x’’,
 x’’ x’’^
A x’’A x’’^
 x x^ x’,
x’,

^A
 x’A
 x’
Зiставивши дiаграмi формулу, отримаємо (див. (6.2)):
S
(3)
fi =(−ie) 3∞
−∞∞

−∞∞

−∞
d4xd 4xd4x0|ˆ c 1ˆ c2ˆ c3ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µ(−i)G(x−x )γν×
×(−i)G(x
−x )γηˆ
Ψˆ
Aµˆ
A
ν ˆ
A
η
ˆ a +

b+
2|0=
=−ie
3∞
−∞∞

−∞∞

−∞
d4xd 4xd4x0|ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µG(x−x )γν×
×G(x
−x )γηˆ
Ψ
ˆ a +

b+
2|00|ˆ c 1ˆ c2ˆ c3ˆ
N
ˆ
A µˆ
A
ν ˆ
A
η
|0.(6.8)
Фермiонна частина дасть, очевидно, один доданок(див. (6.3)):
0|ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ
µG(x−x )γνG(x −x )γηˆ
Ψ
ˆ a+

b+
2|0=
=
χ, σ
0|ˆ
N
ˆ a +
χ¯
ψχ+ˆ
b χ¯
ψ−χ

×
×γ
µG(x−x )γνG(x −x )γη
ˆ a
σψ
σ +ˆ
b +
σψ
−σ 
ˆ a +

b+
2|0=
=0|ˆ
b
χaσˆ a+

b+
2|0¯
ψ −χ γµG(x−x )γνG(x −x )γηψ
σ =

σ,1 δχ,2 ¯
ψ−χ γµG(x−x )γνG(x −x )γηψ
σ =

ψ
−2 γµG(x−x )γνG(x −x )γηψ
1 =
=¯ υ
µ2−p 2e−ip 2x
√2Vε 2 γµG(x−x )γνG(x −x )γηυµ1p1e−ip 1x
√2Vε 1 ,(6.9)

78Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
а фотонна частина (див. (6.4))
0|ˆ c
1ˆ c2ˆ c3ˆ
N
ˆ
A µˆ
A
ν ˆ
A
η
|0=
α,β ,γ
0|ˆ c 1ˆ c2ˆ c3ˆ c+
αˆ c+
βˆ c+
γ|0ϕ ∗α
µϕ∗β
ν ϕ ∗γ
η =
=
α,β ,γ
(δ1,α δ2,β δ3,γ +δ 1,α δ3,β δ2,γ +δ 3,α δ1,β δ2,γ +

3,α δ2,β δ1,γ +δ 2,α δ1,β δ3,γ +δ 2,α δ3,β δ1,γ )ϕ ∗α
µϕ∗β
ν ϕ ∗γ
η (6.10)
дасть6=3!доданкiв (тобто дiаграм), в яких реалiзуються всi мож-
ливi варiанти вильоту трьох даних фотонiв iз трьох фiксованих точок.
Вiдбувається такзване розгалуження дiаграми. Яквидно, всi6дiа-
грам увiйдуть з однаковими знаками, як i має бути.
Узагальнюючи, скажемо, що у випадкуn-фотонної анiгiляцiї за-
дача таксамо зведеться до однiєї дiаграми в координатному просторi
(безn!у знаменнику виразу дляˆ
S-матрицi), що дасть у результатi
розгалуженняn!доданкiв в iмпульсному просторi, в яких будуть ре-
алiзуватися всi можливi варiанти вильотуnданих фотонiв iзnфiк-
сованих точок.
Цiкаво розглянути, що буде у випадку, коли кiнцевими частинками
будуть не фотони (бозони), а фермiони. Розглянемо цей випадокна
прикладi електрон-позитронного розсiяння в наступному роздiлi.
Завдання
1. Покажiть, що однофотоннаe−e
+-анiгiляцiя є забороненою, якi
будь-який iнший процес за участi електронiв (позитронiв) та фо-
тону в першому порядку теорiї збурень як такий, що суперечить
закону збереження енергiї-iмпульсу.
2. Покажiть, що математичний вираз, що вiдповiдає другiй дiагра-
мi в (6.1), збiгається з виразом (6.2).
3. Чи можливий випадок, коли4-iмпульс вiртуального фотона пря-
мує до нуля в процесie−e-розсiяння (2.34), (2.47). Що буде вiд-
буватися фiзично, колиk
2→0.
4. Доведiть спiввiдношення (6.10).
5. Доведiть, що у випадкуn-фотонної анiгiляцiї розгалуження дiа-
грами приведе до появиn!дiаграм.

РОЗДIЛ 7
Множник симетрiї на прикладах
e−e
+-,e−e-таγ−γ-розсiяння
У цьому роздiлi буде показано, що не в усiх формулах, що вiдповi-
дають дiаграмам Фейнмана, множник1/n!зникає до взяття вакуум-
ного усереднення.
Електрон-позитронне розсiяння (розсiяння Баба)
Розглядаємо процесe+e
+→e +e + . Нехай початковими характе-
ристиками електрона та позитрона будуть(p
1,µ 1),(p 2,µ 2), а кiнцеви-
ми —(p
3,µ 3),(p 4,µ 4), вiдповiдно. На вiдмiну вiд випадку розсiяння то-
тожних частинок, де для задання початкового та кiнцевого станiв по-
рядокоператорiв народження-знищення був довiльним (див. розд. 2,
(2.2)), у нашому випадку порядок операторiв визначається умовою,
щоб за вiдсутностi взаємодiї (у нульовому порядку теорiї збурень)
матричний елемент дорiвнював одиницi:
f|ˆ
1|i=δ
if.(7.1)
Завдяки цьому знак амплiтуди розсiяння фiксується однозначно. Для
виконання цiєї умови електроннi оператори мають стояти ззовнi або
всерединi, тобто в нашому випадку:
0|ˆ a

b4|ˆ
1|ˆ
b +
2ˆ a+
1|0=δ 13δ24,або0|ˆ
b 4ˆ a3|ˆ
1|ˆ a +

b+
2|0=δ 13δ24.(7.2)
Розглянемо перше незникаюче наближення. З розкладу другого
порядкуˆ
S-матрицi за теоремою Вiка вiзьмемо лише тi дiаграми, що
мають чотири фермiоннi зовнiшнi лiнiї. Цю умову задовольняє лише
одна дiаграма, тодi
S
(2)
fi =(p 3,µ 3); (p 4,µ 2)|ˆ
S (2) |(p 1,µ 1); (p 2,µ 2)=
=(p
3,µ 3); (p 4,µ 4)| |(p 1,µ 1); (p 2,µ 2)=

80Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
=(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x0|ˆ a 3ˆ
b4ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ
ˆ
b +
2ˆ a+
1|0iD 0
µν(x−x ).
Розписавши квантованi фермiоннi оператори згiдно з (2.4), (2.5)
та взявши вакуумне усереднення, отримаємо
S
(2)
fi =(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xiD 0
µν(x−x )×
×(

ψ
−2 γµψ1)(¯
ψ 
3γνψ
−4 )−(¯
ψ 3γµψ1)(¯
ψ 
−2 γνψ
−4 )+
+(¯
ψ
3γµψ−4 )(¯
ψ 
−2 γνψ
1)−(¯
ψ −2 γµψ−4 )(¯
ψ 
3γνψ
1))
.(7.3)
Цей вираз можна також представити на рiвнi дiаграм, що представ-
ленi на рис. 7.1. Справдi, якщо записати множники, рухаючись вздо-
вж фермiонних лiнiй у напрямку проти напрямку стрiлок, вставити у
вузли вiдповiднi гамма-матрицi, помноженi на(−ie), а потiм помно-
жити на фотоннi частини та проiнтегрувати заxтаx
, то вiдновимо
вираз (7.3).


 i
ii
i


‘ ‘‘
‘ ‘ ‘

‘ ‘ ‘ ‘
‘ ‘ ‘
Рис. 7.1.Зображенняe−e-розсiяння. Точкиx,x фiксованi.
Вiдображено всi фiзично можливi варiанти розташування зовнiшнiх
лiнiй.

Роздiл 7. Множник симетрiї81
Якщо в другому рядку виразу (7.3) замiнити змiннi пiдсумовуван-
ня та iнтегруванняµ↔ν,x↔x , то отримаємо той самий вираз, що
i в першому рядку. Отже,
S
(2)
fi =i(−ie) 2∞
−∞∞

−∞
d4xd 4x×
×(

ψ
−2 γµψ1)(¯
ψ 
3γνψ
−4 )−(¯
ψ 3γµψ1)(¯
ψ 
−2 γνψ
−4 ))
D 0
µν(x−x ),
тобто замiсть чотирьох дiаграм, що випливали з (7.3), отримаємо ли-
ше двi, кожнiй з яких буде вiдповiдати формула без2!у знаменнику.
Запишемо фотонний пропагаторD
0
µν(x−x )через фур’є-вiдобра-
ження (2.33), використаємо (2.7) i виконаємо iнтегрування за коорди-
натамиxтаx
:
S
(2)
fi =.
D 0
µν(x−x )=

−∞
d4k
(2π) 4e−ik(x−x )D0
µν(k).
=
=i(−ie)
2∞
−∞
d4k/

¯ υ
µ2−p 2 √2Vε 2γµ υµ1p1 √2Vε 1

¯ υ µ3p3 √2Vε 3γν υµ4−p 4 √2Vε 4

D 0
µν(k)
(2π) 4 ×
×(2π)
4δ(k+p 4+p 3)(2π) 4δ(k+p 2+p 1)−
−
¯ υ
µ3p3 √2Vε 3γµ υµ1p1 √2Vε 1

¯ υ µ2−p 2 √2Vε 2γν υµ4−p 4 √2Vε 4

D 0
µν(k)
(2π) 4×
×(2π)
4δ(k+p 1−p 3)(2π) 4δ(k−p 2+p 4)%
,(7.4)
або формально цей вираз вiдповiдає рiзницi дiаграм, а саме:
 



kp p 12 kp p 12 kp p 34 kp p 34 0 −

82Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
−  


 
kp p 13 kp p 13 kp p  24 kp p  24 0
Справдi, якщо записати множники рухаючись уздовж фермiонних
лiнiй у напрямку проти напрямку стрiлок, а потiм домножити на фо-
тонну частину та проiнтегрувати заd
4k, то вiдновимо вираз (7.4).
Аргументи дельта-функцiй, що стоять у вершинах дiаграм легко
записати, якщо скористатися такими дiаграмами:
p3p3
p1p1
kpp
 1 2 kpp
 1 2
p 2 p 2
p 4 p 4

p3p3
p1p1
kp p
24 kp p
24
p 2 p 2
p 4 p 4
Тодi аргументи дельта-функцiй будуть виражати збереження4-iмпуль-
сiв, що входять у певну точку та виходять з неї (для античастинок
треба пiдставляти їх4-iмпульси зi знаком мiнус).
Слiд звернути увагу на те, що лiнiю фотонного пропагатора ми
вже використовуємо з зазначеним напрямком. Це необхiдно, щоб ко-
ректно записати закони збереження в кожнiй точцi. В принципi, на-
прямоклiнiї вiртуального фотона можна обирати довiльним чином,
якнаприклад, на рис. 7.2, що буде вiдповiдати замiнi змiнної iнтегру-
ванняk→−kу(7.4), що, очевидно, не змiнить значення iнтеграла
(D
0
µν(k)=D 0
µν(−k)).
Фiзично, двi дiаграми на рис. 7.2 можна трактувати таким чи-
ном. У першiй дiаграмi (анiгiлюючого типу) електронp
1та позитрон
p
2входять у точкуx, анiгiлюють та утворюють вiртуальний фотонk
(k2=(p 1+p 2)2>0), який у точцix утворює електрон-позитронну па-
ру з характеристикамиp
3таp 4, вiдповiдно. Доданок, що виражається
цiєю дiаграмою, описує знищення та народження частинокi є прин-
ципово релятивiстським, у нерелятивiстському наближеннi вiн прямує
до нуля.

Роздiл 7. Множник симетрiї83
p3p3
p1p1
kp p
13 kp p
13
p 2 p 2
p 4 p 4
p3p3
p1p1
kp p
 12 kp p
 12
p 2 p 2
p 4 p 4
x’x’ x x’ x’ x
Рис. 7.2.Зображення електрон-позитронного розсiяння. На пер-
шiй дiаграмi вiдбудеться процес схожий наe−e +-анiгiляцiю з подаль-
шим утворенням новихeтаe +; на другiй — електрон та позитрон
змiнюють свої характеристики, обмiнюючись фотоном.
На другiй дiаграмi (розсiючого типу) взаємодiя вiдбувається прин-
ципово iншим чином: електронp
1у точцixвипромiнює вiртуальний
фотонk(k 2=(p 1−p 3)2<0)i внаслiдокцього змiнює свої квантовi
числа й стає електрономp
31. У точцix вiртуальний фотонkвзаємодiє
з позитрономp
2, внаслiдокчого позитрон змiнює свої квантовi числа
доp
4. Доданок, що виражається цiєю дiаграмою, перейде в нереля-
тивiстському наближеннi в борнiвську амплiтуду резерфордiвського
розсiяння.
У(7.4) проведемо iнтегрування заd
4kй остаточно отримаємо:
S
(2)
fi =i(−ie) 2(2π) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ε1ε2ε3ε4 ×
×[( ¯υ
−2 γµυ1)( ¯υ 3γνυ−4 )D 0
µν(p1+p 2)−
−(¯υ
3γµυ1)( ¯υ −2 γνυ−4 )D 0
µν(p3−p 1)] =
=/(2.46)/=ie
2(2π) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ε1ε2ε3ε4 ×
×$
(¯υ
−2 γµυ1)(¯υ 3γµυ−4 )
(p1+p 2)2 −(¯υ 3γµυ1)(¯υ −2 γµυ−4 )
(p3−p 1)2
%
.(7.5)
Пiдсумовуючи зазначимо, що в цьому випадку (на вiдмiну вiд (6.2),
(6.3))2!зникає зi знаменника (7) лише пiсля розкриття вакуумного
середнього. Однакце також пов’язано з невизначенiстю входження
взаємодiючих частиноку точкиxтаx
.
1Тут i далi слiд розумiти, що окрiм4-iмпульсiв пiд час реакцiї можуть змiню-
ватися також спiральностi частинок.

84Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Порiвняємо розрахунокe−e +-анiгiляцiї в попередньому роздiлi з
щойно проведеним описом процесуe−e +-розсiяння в другому порядку
теорiї збурень.
У першому випадку теорема Вiка вiдразу давала два доданки, що
вiдрiзнялись лише замiною змiнних пiдсумовування та iнтегрування,
i ми ще до взяття вакуумного середнього могли розглядати лише вне-
сокодного доданка, помноженого на2!. Цей доданокпiсля взяття
вакуумного середнього давав ще двi дiаграми, що при фiксованих
точках входження початкового електрона та позитрона вiдрiзнялися
точками виходу фотонiв.
У випадкуe−e
+-розсiяння теорема Вiка давала лише один до-
данок, який пiсля взяття вакуумного середнього давав чотири дiа-
грами, що вiдображали всi фiзично можливi варiанти розташування
зовнiшнiх лiнiй. З рис. 7.1 видно, що двi з чотирьох дiаграм вiдрiз-
няються замiною змiнних пiдсумовування та iнтегрування, що якi у
випадкуe−e
+-анiгiляцiї, дає множник2!та двi дiаграми, якi легко
передбачити. Справдi, у даному процесi є двi лiнiї, що входять. Вони
вiдповiдають початковому електронуp
1та кiнцевому позитронуp 4.
Оскiльки двi вхiднi фермiоннi лiнiї не можуть бути в однiй точцi, ми
розмiщуємо та фiксуємо їх у точкахxтаx
. Пiсля фiксацiї точокx
таx залишається розставити лiнiї, що виходять (початковий пози-
тронp
2i кiнцевий електронp 3). Iснують два рiзних варiанти, якi й
представленi на перших двох дiаграмах (рис. 7.1).
На вiдмiну вiд випадкуe−e
+-анiгiляцiї, коли двi кiнцевi дiаграми,
що вiдрiзнялися точками виходу фотонiв, входять з одним знаком
у випадку, коли кiнцевими продуктами є фермiони, їх перестановка
призводить до виникнення знака "мiнус" перед дiаграмою.
Введемо означеннямножника симетрiїдiаграми яккоефiцiєн-
та, що стоїть поблизу(−ie)
nу виразi для цiєї дiаграми та задається
внеском всiх вiдповiдних доданкiв (тих, що вiдрiзняються лише змi-
ною нiмих iндексiв пiдсумовування та iнтегрування) у розкладi за
теоремою Вiкаn-го порядкуS-матрицi ще до взяття середнього за
початковим та кiнцевим станами.
Наприклад, для дiаграмиe−e-розсiяння в другому порядку тео-
рiї збурень вiн буде дорiвнювати1/2!(див. (7)). А в процесie−e
+-
анiгiляцiї вiн дорiвнює одиницi (див. (6.2)).
Оскiльки множник симетрiї знаходиться до взяття вакуумного се-
реднього, то питання його знаходження зводиться до визначення кiль-

Роздiл 7. Множник симетрiї85
костi доданкiв з теореми Вiка, що вiдповiдають данiй дiаграмi. Якщо
для дiаграмиn-го порядку таких доданкiвk, то їх внесокбуде од-
наковим за рахунок змiни "нiмих" iндексiв iнтегрування (пiдсумову-
вання), а множниксиметрiї дорiвнюватимеk/n!. Яквже зазначалося,
множниксиметрiї майже завжди дорiвнює одиницi за винятком дея-
ких типiв дiаграм, частину з яких ми зараз розглянемо.
Фотон-фотонне розсiяння
Розглянемо дiаграму фотон-фотонного розсiянняγ+γ→γ
+γ 
в четвертому порядку теорiї збурень i спробуємо знайти ї ї множник
симетрiї.
Очевидно, iснують4!варiанти розташування точокx
i. Однак, як-
що ранiше кожному з варiантiв перестановки точок вiдповiдав окре-
мий доданок з теореми Вiка, внесок кожного з яких був однаковим i,
таким чином,n!у знаменнику зникав, то в даному випадку ситуацiя
змiниться. Справа в тому, що для такого типу дiаграм при циклiч-
ному змiщеннi точокдоданоку теоремi Вiка не змiнюється. Справдi,
дiаграмам iз циклiчним розташуванням точок
2 1
43 2 1
43 2 1
43
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3
2
14 3
2
14 3
2
14 3
вiдповiдає лише один доданокз теореми Вiка
.
Оскiльки будь-якiй дiаграмi можна зiставити4циклiчно iдентич-
них, то загальна кiлькiсть доданкiв з теореми Вiка буде в 4 рази мен-
шою вiд кiлькостi варiантiв розташування точокx
i. Всi цi доданки
будуть давати однаковий внесок, оскiльки будуть вiдрiзнятися лише
замiною iндексiв пiдсумовування та iнтегрування. Тодi iндекс дiагра-
ми буде(4!/4)/4! = 1/4.
Зазначимо, що для аналогiчноїn-точкової дiаграми, що утворює
замкнену фiгуру зnвнутрiшнiх фермiонних лiнiй, множниксиметрiї
дiаграми буде дорiвнювати1/n.

86Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Електрон-електронне розсiяння в четвертому порядку
Розглянемо тепер iндекс однiєї з декiлькох дiаграм (зображена
праворуч), що вiдповiдають за електрон-електронне розсiяння в чет-
вертому порядку теорiї збурень (див. розд.
5). Якi в попередньому випадку тут також
iснує4!варiантiв розташування точокx
i,
однакдiаграма не має симетрiї до циклiч-
них перестановок. Наприклад, таким дiа-
грамам:
12
3 4 1
2 34
будуть вiдповiдати наступнi рiзнi доданки з теореми Вiка, вiдповiдно:
7.6
7.7
Однакдля такого типу дiаграм iснує симетрiя щодо вiдображення вiд-
носно вертикальної осi, що проходить через середину рисунка. Напри-
клад, далi наведенi дiаграми мають спiльну схему спарювання (7.6).
12
3 4 1 2
3
4
Оскiльки будь-якiй дiаграмi можна зiставити дзеркальну, то за-
гальна кiлькiсть доданкiв з теореми Вiка буде в 2 рази меншою вiд
кiлькостi варiантiв розташування точокx
i.Цiдоданкибудутьвiдрiз-
нятися лише замiною iндексiв пiдсумовування та iнтегрування, а от-
же, множниксиметрiї дiаграми буде(4!/2)/4! = 1/2. Вираз для ам-
плiтуди можна отримати, використавши (7.6) та (5.4), (5.5):

Роздiл 7. Множник симетрiї87
S(4)
fi,pa r t =(−ie)
4
2

−∞
d4x1...

−∞
d4x4iD 0
µν(x1−x 2)iD 0
χσ (x3−x 4)×
×0|a
3a4ˆ
N
ˆ
¯
Ψ (4) γσ(−i)G(x 4−x 1)γµˆ
Ψ(1) 
×
׈
N
ˆ
¯
Ψ
(3) γχ(−i)G(x 3−x 2)γνˆ
Ψ(2) 
ˆ a +
1ˆ a+
2|0,(7.8)
де позначенняpar t(вiд англ.partial– частковий) означає, що для
опису цього процесу в четвертому порядку теорiї збурень ми взяли до
розгляду лише один тип дiаграм.

88Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Завдання
1. Отримайте формулу (7.3).
2. Зобразiть дiаграми, що вiдповiдаютьe−e-розсiянню в другому
порядку теорiї збурень (2.47). Порiвняйте дiаграми та вирази
дляe−e(2.47)таe−e
+(7.5) розсiяння. Знайдiть закономiрностi.
3. Отримайте формулу (7.8).
4. Переконайтеся, що множник симетрiї дiаграми для зображених
процесiв дорiвнює:а)1;б) 1/2;в) 1/4;г) 1/3;д) 1/4.
a) б) в)

РОЗДIЛ 8
Фермiоннi петлi. Теорема Фаррi
Фермiоннi петлi
Розглянемо одну з дiаграм четвертого порядку, що дає уточнення
до електрон-електронного розсiяння та знайдемо на ї ї прикладi вираз,
який вiдповiдатиме фермiоннiй петлi:
x’’,x’’, x’,
x’,
x’’’,x’’’, x,x,
Згiдно з теоремою Вiка наведенiй дiаграмi вiдповiдає вираз
()
 8 ,part

де ми врахували, що хоча iснує4!варiанти розстановокточокx, ..., x ,
їм можна зiставити лише4!/2рiзних доданкiв з теореми Вiка. Справ-
дi, дiаграмам, що вiдрiзняються дзеркальним вiдображенням вiдносно
вертикальної осi по центру рисунка, вiдповiдає один доданок з теоре-
ми Вiка.
Розглянемо внутрiшню частину, що вiдповiдає петлi. Явно вка-
жемо внутрiшнi iндекси пiдсумовування, що дозволить переставити
множники в необхiдному нам порядку згiдно з (5.4), (5.5):
=−ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψγ ν
αβ(−i)G βξ(x−x )γη
ξχ(−i)G χα (x−x )ˆ
¯
Ψ γσˆ
Ψ
=
=−(−i)
2Tr[γ νG(x −x )γηG(x −x )]ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψˆ
¯
Ψ γσˆ
Ψ
.(8.2)

90Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Отже, фермiоннiй петлi вiдповiдає згорткаγ-матриць та функцiй Грi-
на. Множник(−1)завжди буде виникати в будь-якiй замкненiй фер-
мiоннiй петлi, оскiльки петлi завжди вiдповiдатиме вираз, подiбний
до виразу (8.2) лише з бiльшою кiлькiстю сусiднiх спарених функ-
цiй, i ми завжди будемо переносити першу функцiю до останньої з
використанням (5.4), (5.5).
Бiльш точно, для математичного запису фермiонної петлi слiд об-
рати будь-яку точку на петлi
1, зiставити їйγ-матрицю i рухатись
проти напрямку фермiонних лiнiй, поки не повернемося в початкову
точку. Фермiонним лiнiям слiд зiставити функцiї Грiна з множником
(−i), точкам —γ-матрицi. Кiнцевий вираз для петлi слiд взяти пiд
знакзгортки та помножити на мiнус одиницю.
З урахуванням (8.2) фермiонна частина виразу (8.1):
(8.3)
=−(−i)
2Tr[γ νG(x −x )γηG(x −x )]0|ˆ a 3ˆ a4ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψˆ
¯
Ψ γσˆ
Ψ
ˆ a+
1ˆ a+
2|0
мiстить той самий вираз пiд знаком вакуумного усереднення, що й у
процесie−e-розсiяння в другому порядку теорiї збурень (2.22).
Використавши (2.22), (8.1), (8.3), отримаємо
S
(4)
fi =(−ie)
4
2

−∞∞

−∞∞

−∞∞

−∞
d4xd 4xd4xd4xiD 0
µν(x−x )·iD 0
ησ(x−x )×
×(−1)(−i)
2Tr[γ νG(x −x )γηG(x −x )]×
×
−!
¯
ψ
4γµψ2"!
¯
ψ 
3γσψ
1"
+!
¯
ψ 3γµψ2"!
¯
ψ 
4γσψ
1"

−!
¯
ψ

4γσψ
2"!
¯
ψ 3γµψ1"
+!
¯
ψ 
3γσψ
2"!
¯
ψ 4γµψ1"
.(8.4)
Можна показати, що внески двох останнiх рядкiв є однаковими, тодi
S
(4)
fi =(−ie) 4∞
−∞∞

−∞∞

−∞∞

−∞
d4xd 4xd4xd4xD0
µν(x−x )D 0
ησ(x−x )×
×(−1)Tr[γ
νG(x −x )γηG(x −x )]×
×!
¯
ψ
3γµψ2"!
¯
ψ 
4γσψ
1"
−!
¯
ψ 4γµψ2"!
¯
ψ 
3γσψ
1"
.(8.5)
1Пiд знаком згортки матрицi можна циклiчно переставляти.

Роздiл 8. Фермiоннi петлi. Теорема Фаррi91
При переходi в iмпульсний простiр зафiксуємо вхiднi лiнiїp 1,p 2
та отримаємо два варiанти розстановки зовнiшнiх лiнiйp 3,p 4,щобу-
дуть вiдрiзнятися знаком. При розстановцi iмпульсiв на петлi виникає
невизначений, довiльний iмпульсk. Тобто при переходi вiд координат-
ного до iмпульсного представлення не всi iнтеграли беруться завдяки
наявностi дельта-функцiй у вершинах i в даному випадку, залишаєть-
ся iнтеграл заk. Тодi згiдно з наведеними нижче дiаграмами




та з урахуванням (2.46), (4.14) отримаємо
S(4)
fi =(−ie) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ε12ε3ε4∞

−∞
d4k
×
¯ υ
4γµυ1(−g µν)
(p4−p 1)2 (−1)Tr$
γ ν m+k
m2−k 2γη m+p 1−p 4+k
m2−(p 1−p 4+k) 2
%
¯ υ 3γσυ2(−g ση)
(p4−p 1)2 −
−¯ υ
3γµυ1(−g µν)
(p3−p 1)2 (−1)Tr$
γ νm+k
m2−k 2γη m+p 1−p 3+k
m2−(p 1−p 3+k) 2
%
¯ υ 4γσυ2(−g ση)
(p3−p 1)2
0
=
=−e
4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ε12ε3ε4 ×
×

−∞
d4k
¯ υ 4γνυ1
(p4−p 1)2Tr$
γ ν m+k
m2−k 2γη m+p 1−p 4+k
m2−(p 1−p 4+k) 2
%
¯ υ 3γηυ2
(p4−p 1)2−
−¯ υ
3γνυ1
(p3−p 1)2Tr$
γ νm+k
m2−k 2γη m+p 1−p 3+k
m2−(p 1−p 3+k) 2
%
¯ υ 4γηυ2
(p3−p 1)2
0
.(8.6)

92Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Теорема Фаррi
Теорема Фаррi стверджує, щоу квантовiй електродинамицi при
розглядi рiзних процесiв не треба враховувати внесок дiаграм iз за-
мкненими фермiонними петлями, що мiстять непарну кiлькiсть
фермiонних лiнiй.
Безпосереднiй розрахуноктаких дiаграм виходить за межi дано-
го курсу, однак iз загальних мiркувань можна показати, що теорема
справедлива. Розглянемо, наприклад,N-вершинну фермiонну петлю
iз зовнiшнiми реальними або вiртуальними фотонами. Фактично, дана
дiаграма описує перетворення фотонiв, що входять, у тi, що виходять.
Якщо числоNнепарне, то парна кiлькiсть фотонiв перетворюється
на непарну, або навпаки. Фотони є зарядово непарними, а отже, закон
збереження зарядової парностi забороняє такi процеси.
Математично, вищенаведенi мiркування можна представити та-
ким чином. Внесок вiд фермiонної петлi задається виразом, що про-
порцiйний згортцi
F
N =Tr[γ µ1G(p 1)γµ2G(p 2)...γ µN G(p N)].(8.7)
Замiнимо кожен iз множникiв наγ
µ→U −1
C γµUC,G(p)→U −1
C G(p)U C,
деU
C– матричний оператор зарядового спряження (Д5.1.34). Значен-
ня (8.7), очевидно, при цьому не змiниться. З iншого боку,
U
−1
C γµUC=−(γ µ)T,U −1
C G(p)U C=m−p ν(γν)T
m2−p 2 =G T(−p).(8.8)
То д i
F
N =(−1) NTr
(γ µ1)TGT(−p 1)(γ µ2)TGT(−p 2)...(γ µN )TGT(−p N)
=
=(−1)
NTr
!
G(−p N)γµN G(−p N−1 )...γ µ2G(−p 1)γµ1"T
=
=(−1)
NTr
γ µ1G(−p N)γµN G(−p N−1 )...γ µ2G(−p 1)
.(8.9)
Остання згортка вiдповiдає петлi, в якiй напрямок фермiонних лiнiй
змiнено на протилежний. Значення виразу при цьому не має змiни-
тися. Отже,F
N=(−1) NFN, тобто для непарної кiлькостi точокNу
фермiоннiй петлiF
N=0.
З наведеного розгляду фермiонних петель також випливає, що для
петель з парною кiлькiстю фермiонних лiнiй внесок вiд петлi з одним

Роздiл 8. Фермiоннi петлi. Теорема Фаррi93
напрямком фермiонних лiнiй дорiвнює внеску вiд петлi з протилеж-
ним напрямком фермiонних лiнiй. Продемонструємо це на прикладi
петлi з трьох фермiонних лiнiй. Оберемо напрямоквнутрiшнiх лiнiй
в петлi проти годинникової стрiлки (див. дiаграму (а)). Данiй петлi
вiдповiдає вираз (8.7)
F
3=Tr[γ µG(p−k 3)γχG(p−k 1)γνG(p)].(8.10)
З iншого боку, згiдно з (8.9) вираз для петлi можна записати у виглядi
F
3=−Tr[γ µG(−p)γ χG(k 1−p)γ νG(k 3−p)],(8.11)
якому можна зiставити дiаграму (б), де напрямок внутрiшнiх лiнiй у
петлi змiнено на протилежний.
Оскiльки амплiтуда представленого процесу отримується шляхом
iнтегрування за внутрiшнiм 4-iмпульсом у межах−∞ замiною змiнної iнтегруванняp→−pотримуємо, що внесоквiд (8.10)
дорiвнює внеску вiд (8.11) з протилежним знаком. Отже, амплiтуда
процесу, зображеному на дiаграмi (a) або (б), дорiвнює нулю.
Завдання
1. Покажiть, що внески останнього та передостаннього рядкiв у
виразi (8.4) однаковi.
2. На прикладi петлi з чотирьох фермiонних лiнiй покажiть неза-
лежнiсть амплiтуди процесу вiд напрямку лiнiй у петлi.
3. Згiдно з теоремою Фаррi процес розпаду одного фотона на два
фотона є забороненим. Однак, розгляньте цей процес у третьому
порядку теорiї збурень, проведiть iнтегрування за просторовими
координатами та зведiть амплiтуду процесу до iнтеграла за4-
iмпульсом.

РОЗДIЛ 9
Правила дiаграмної технiки Фейнмана.
Приклади для процесiв четвертого порядку.
Перехресна iнварiантнiсть
Правила дiаграмної технiки Фейнмана
З розд. 5 видно, що теорема Вiка дозволяє записати ряд теорiї
збурень дляˆ
S-матрицi за допомогою дiаграм. Пiдсумовуючи розд.
5 – 8, сформулюємо правила дiаграмної технiки Фейнмана:
1. При розглядi конкретного процесу за допомогою теорiї збурень
необхiдно взяти до розгляду лише тi дiаграми (доданки з теоре-
ми Вiка), в яких кiлькiсть фермiонних та фотонних зовнiшнiх
лiнiй (неспарених операторних функцiй) спiвпадає з вiдповiд-
ною сумарною кiлькiстю початкових та кiнцевих продуктiв реак-
цiї. Дiаграми iз замкненими фермiонними петлями, що мiстять
непарну кiлькiсть фермiонних лiнiй, враховувати не потрiбно.
2. Знайти множниксиметрiї для кожної дiаграми.
3. Безпосередньо провести усереднення за початковим та кiнцевим
станами системи вiд дозволених доданкiв з теореми Вiка та зав-
дяки цьому виписати дiаграми з усiма дозволеними варiантами
зiставлення початкових i кiнцевих продуктiв реакцiї зовнiшнiм
лiнiям дiаграм (виписати всi варiанти розгалуження дiаграм).
Виконана процедура усереднення за початковим i кiнцевим ста-
нами системи забезпечує правильну розстановку знакiв мiж дiа-
грамами та правильний напрямоклiнiй для кожної з дiаграм.
При цьому автоматично мають виконуватися такi правила.
•Кожна з вершин дiаграми має мiстити одну фотонну лiнiю
(напрямокможе бути довiльним) та по однiй фермiоннiй
лiнiї, що входить та виходить з неї.
•Якщо одна дiаграма отримується з iншої перестановкою
двох зовнiшнiх фотонних лiнiй, то ї ї знакне змiнюється.

Роздiл 9. Правила дiаграмної технiки Фейнмана95
•Якщо одна дiаграма отримується з iншої перестановкою
двох зовнiшнiх фермiонних лiнiй, з’являється множник(−1).
•Напрямки зовнiшнiх лiнiй мають вiдповiдати процесу, що
розглядається. Напрямки внутрiшнiх фотонних лiнiй мо-
жуть бути обранi довiльним чином. Напрямоклiнiй у фер-
мiоннiй петлi можна обрати довiльним чином.
4. Для зовнiшнiх лiнiй кожної дiаграми треба проставити значення
4-iмпульсiв та поляризацiї (спiральностi) вiдповiдних продуктiв
реакцiї. Слiд проставити довiльнi рiзнi позначення для4-iмпуль-
сiв кожної внутрiшньої лiнiї дiаграми. За ними далi буде прово-
дитися iнтегрування. У кожнiй вершинi слiд довiльним чином
поставити лiтеру. За ними далi буде вестися пiдсумовування. Лi-
тери у вершинах не мають повторюватися.
5. Кожнiй дiаграмi слiд зiставити математичну формулу для серед-
нього вiдS-матрицi. Кожнiй лiнiї та точцi (вершинi) на дiагра-
мi зiставляється ї ї математичний еквiвалент за наведеними далi
правилами. Слiд розпочинати iз зовнiшньої фермiонної лiнiї, що
виходить, i рухатись по фермiонних лiнiях проти їх напрямку,
включаючи внески вiд вершин. Результат слiд домножити на
внутрiшнi фотоннi лiнiї в дiаграмi, фермiоннi петлi, зовнiшнi фо-
тоннi лiнiї та пiдсумувати за iндексами, що повторюються.
Правила вiдповiдностi:
для зовнiшньої електронної лiнiї 1, що виходить з точкиλ
(електрон з4-iмпульсомp
1та спiральнiстюµ 1виходить з точкиλ)
(, )p1 (, )p1  ¯ υµ1p1;
для зовнiшньої позитронної лiнiї, що виходить з точкиλ
(позитрон з4-iмпульсомp
1та спiральнiстюµ 1входить у точкуλ)
 (,) p 1 (,) p 1 ¯ υµ1−p 1;
1Влiтературi зустрiчається протилежний варiант вибору напрямку стрiлок в
фермiонних лiнiях. При цьому, фiзично, такi дiаграми будуть описувати розпо-
всюдження по лiнiям не електронiв, а позитронiв.

96Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
для зовнiшньої електронної лiнiї, що входить у точкуλ
(електрон з4-iмпульсомp
1та спiральнiстюµ 1входить у точкуλ)
 (, )p1 (, )p1 υµ1p1;
для зовнiшньої позитронної лiнiї, що входить у точкуλ
(позитрон з4-iмпульсомp
1та спiральнiстюµ 1виходить з точкиλ)
 (,) p 1 (,) p 1 υµ1−p 1;
для зовнiшньої фотонної лiнiї, що виходить з точкиη
(фотон з4-iмпульсомk
1та поляризацiєюλ 1виходить з точкиη
(ηвiдповiдає номеру компоненти4-вектора))
(, )k1 (, )k1  ∗λ1η (
k1);
для зовнiшньої фотонної лiнiї, що входить у точкуη
(фотон з4-iмпульсомk
1та поляризацiєюλ 1входить у точкуη
(ηвiдповiдає номеру компоненти4-вектора))
 (, )k 1 (, )k1 λ1η(
k1);
для внутрiшньої фермiонної лiнiї (вiртуальнийфермiон)
p −iG(p)
d 4p;
для внутрiшньої фотонної лiнiї (вiртуальнийфотон)
k iD 0
µν(k)
d 4k;
для вершини (без урахування фермiонних тафотонних лiнiй)
p1p1
p2p2
k
 (−ie)γ µδ(p 1+k−p 2);

Роздiл 9. Правила дiаграмної технiки Фейнмана97
для фермiонної петлi: для прикладу петлi з 6 вершин, без внеску фо-
тонних лiнiй, вiдповiдає
k1k1 



 k2k2 k6k6
k4k4
k3k3 k5k5
−(−ie) 6∞
−∞ d4k1∞
−∞ d4k2...×

−∞ d4k6
×Tr[γ µ(−i)G(k 6)γσ(−i)G(k 5)γχ×
×(−i)G(k
4)γλ(−i)G(k 3)γη×
×(−i)G(k
2)γν(−i)G(k 1)],
де ми для спрощення запису опустилиδ-функцiї в кожнiйiз вершин
(див. детальнiше розд. 8)
6. Кiнцевий результат для кожної з дiаграм слiд помножити на
ηC·(2π)
4(n−k)
(√ 2V) Ni+N fNiα=1 √εαNfβ=1 √εβ
,(9.1)
деN
i– кiлькiсть початкових продуктiв реакцiї,N f– кiлькiсть
кiнцевих продуктiв; iндексαвiдповiдає початковим продуктам
реакцiї, iндексβ– кiнцевим;n– кiлькiсть вершин у дiаграмi,
k– кiлькiсть внутрiшнiх лiнiй,η– множниксиметрiї,C–ко-
ефiцiєнт дiаграми. У результатi iнтегрування за вiртуальними
4-iмпульсами обов’язково має виникнути дельта-функцiя, що ви-
ражає закон збереження4-iмпульсу реакцiї в цiлому.
Поява iндексу дiаграмиCпов’язана з тим, що серед дiаграм роз-
галуження, отриманих в п. 3, можуть бути дiаграми, що вiдрiз-
няються лише замiною нiмих iндексiв пiдсумовування та iнте-
грування. Внесоквiд них буде однаковим. У результатi певний
фiзичний процес можна описати за допомогою меншої кiлькостi
дiаграм, але з iншими коефiцiєнтами. Коефiцiєнт дiаграми мож-
на не вводити (вважатиC=1), якщо безпосередньо враховувати
внески всiх розгалужень дiаграм.
7. Якальтернативний варiант, замiсть проведення iнтегрування за
всiма внутрiшнiми лiнiями, можна проставити4-iмпульси для
кожної внутрiшньої лiнiї дiаграми згiдно iз законом збережен-
ня енергiї-iмпульсу в кожнiй вершинi (цим буде враховано iн-
тегрування за дельта-функцiями у вершинах), а лише за тими

98Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
4-iмпульсами, якi не можна визначити, слiд провести iнтегру-
вання. У цьому випадку кiнцевий результат необхiдно також,
окрiм множника (9.1), додатково помножити на дельта-функцiю
δ

Nfβ=1 pfβ − Niα=1 piα

, аргумент якої визначається законом
збереження енергiї-iмпульсу реакцiї в цiлому.
8. Середнє вiдS-матрицi є сумою середнiх вiдS-матрицi в усiх
порядках теорiї збурень.
Отже, правила вiдповiдностi дозволяють за заданими дiаграма-
ми швидко вiдновити формулу для амплiтуди процесу з точнiстю до
загального знака амплiтуди. Для кращого розумiння дiаграмної тех-
нiки Фейнмана ми продемонструємо ї ї застосування двома подальши-
ми прикладами.
Приклад 1Знайти амплiтуду процесу представленого дiаграмоюa):
p1p1 p2p2
p4p4 p3p3 a)



 p
1p1 p2p2
p4p4 p3p3
k1k1
k3k3
k2k2 k4k4
б)




 p
1p1 p2p2
p4p4 p3p3
k
pkp
14  pkp14 
pk2pk2 pk1 pk1
в)
Перший спосiб.Розглянемо спочатку бiльш громiздкий спосiб для
кращого розумiння дiаграмної технiки.
Отже, згiдно з наведеними вище п.3−4проставимо iндекси в
кожнiй вершинi та позначимо довiльним чином4-iмпульси для кожної
внутрiшньої лiнiї (див. дiаграму (б)). Тодi згiдно з п. 5 та 6 отримаємо
матричний елемент переходу
S
(4)
fi,pa r t =(−ie) 4·C2·(2π)
4(4−4)
(√ 2V) 4√ε1ε2ε3ε4∞

−∞
d4k1∞

−∞
d4k2∞

−∞
d4k3∞

−∞
d4k4×
ׯ υ
4γσ(−i)G(k 4)γµυ1·¯ υ 3γχ(−i)G(k 2)γνυ2·iD 0
µν(k1)·iD 0
σχ (k3)×
×δ(p
1−k 1−k 4)·δ(k 4−p 4−k 3)·δ(p 3−k 3−k 2)·δ(k 2−k 1−p 2),
(9.2)

Роздiл 9. Правила дiаграмної технiки Фейнмана99
де ми врахували, що множниксиметрiї цiєї дiаграмиη=1/2(див.
розд. 7).
Другий спосiб.Запишемо результат без використання iнтегруван-
ня за дельта-функцiями. Для початку зазначимо, що ця дiаграма має
4 внутрiшнi лiнiї та 4 точки, тобто 4 дельта-функцiї. Одна дельта-
функцiя забезпечить виконання закону збереження енергiї-iмпульсу
реакцiї в цiлому, тобто залишаться три дельта-функцiї (три рiвнян-
ня) для визначення чотирьох iмпульсiв, що вiдповiдають внутрiшнiм
лiнiям. Тобто не вистачає одного рiвняння для однозначного визна-
чення4-iмпульсiв внутрiшнiх лiнiй. Тому4-iмпульс однiєї з внутрiш-
нiх лiнiй довiльно позначимо якk, пiсля чого легко знаходимо iншi
4-iмпульси згiдно iз законом збереження енергiї-iмпульсу в кожнiй
точцi (див. дiаграму (в)). Тодi згiдно п. 7 проведемо iнтегрування за
kта отримаємо
S
(4)
fi,pa r t =(−ie) 4·C2·(2π)
4(4−4) δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(√ 2V) 4√ε1ε2ε3ε4∞

−∞
d4k×
¯ υ
4γσ(−i)G(p 1−k)γ µυ1·¯ υ3γχ(−i)G(p 2+k)γ νυ2·iD 0
µν(k)·iD 0
σχ (p1−k−p 4).
(9.3)
Яку формулi (9.2), такi в (9.3) невизначеним залишився коефi-
цiєнт дiаграмиCта ї ї знак. Проiлюструємо процедуру їх знаходження
на другому прикладi.
Приклад 2.Розглянемо детально процес фотон-фотонного розсiяння
в четвертому порядку теорiї збурень. У розд. 7 ми знайшли множник
симетрiї цього процесу,η=1/4. Тепер будемо знаходити всi варiан-
ти розгалуження та коефiцiєнти дiаграм. Отже, вираз для амплiтуди
фотон-фотонного розсiяння в четвертому порядку має вигляд:
S
(4)
fi =(−ie)
4
4

−∞
d4x1...d 4x4×
×0|ˆ c
3ˆ c4ˆ
N
ˆ
A (1)
µ ˆ
A(2)
ν ˆ
A(3)
χ ˆ
A(4)
σ 
ˆ c+
1ˆ c+
2|0T µν χσ (x1,x 2,x 3,x 4),(9.4)
де тезорT
µν χσ вiдповiдає виразу для петлi з 4-х фермiонних лiнiй i
згiдно з правилами дiаграмної технiки Фейнмана дорiвнює

100Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Tµν χσ (x1,x 2,x 3,x 4)= .=
=−(−i)
4Tr[γ µG(x 1−x 2)γνG(x 2−x 3)γχG(x 3−x 4)γσG(x 4−x 1)](9.5)
для дiаграми, що зображена праворуч.
Розглянемо вакуумне середнє,
щоб коректно розставити зовнiшнi
лiнiї:
2 1
43 2 1
43 2 1
43
0|ˆ c 3ˆ c4ˆ
N
ˆ
A (1)
µ ˆ
A(2)
ν ˆ
A(3)
χ ˆ
A(4)
σ 
ˆ c+
1ˆ c+
2|0=
=0|ˆ c
3ˆ c4ˆ
N
ˆ c αϕα
µ(x1)+ˆc +
αϕ∗α
µ(x1)
ˆ c βϕβ
ν(x2)+ˆc +
βϕ∗β
ν(x2)
×
×
ˆ c
ηϕη
χ(x3)+ˆc +
ηϕ∗η
χ(x3)
ˆ c ξϕξ
σ(x4)+ˆc +
ξϕ∗ξ
σ(x4)
ˆ c +
1ˆ c+
2|0=
=0|ˆ c
3ˆ c4ˆ
N
ˆ c αˆ cβˆ c+
ηˆ c+
ξ
ˆ c+
1ˆ c+
2|0ϕ α
µ(x1)ϕ β
ν(x2)ϕ ∗η
χ(x3)ϕ ∗ξ
σ(x4)+
+0|ˆ c
3ˆ c4ˆ
N
ˆ c αˆ c+
βˆ cηˆ c+
ξ
ˆ c+
1ˆ c+
2|0ϕ α
µ(x1)ϕ ∗β
ν(x2)ϕ η
χ(x3)ϕ ∗ξ
σ(x4)+
+0|ˆ c
3ˆ c4ˆ
N
ˆ c αˆ c+
βˆ c+
ηˆ cξ

!ˆc +
1ˆ c+
2|0ϕ α
µ(x1)ϕ ∗β
ν(x2)ϕ ∗η
χ(x3)ϕ ξ
σ(x4)+
+0|ˆ c
3ˆ c4ˆ
N
ˆ c +
αˆ cβˆ cηˆ c+
ξ
ˆ c+
1ˆ c+
2|0ϕ ∗α
µ(x1)ϕ β
ν(x2)ϕ η
χ(x3)ϕ ∗ξ
σ(x4)+
+0|ˆ c
3ˆ c4ˆ
N
ˆ c +
αˆ cβˆ c+
ηˆ cξ
ˆ c+
1ˆ c+
2|0ϕ ∗α
µ(x1)ϕ β
ν(x2)ϕ ∗η
χ(x3)ϕ ξ
σ(x4)+
+0|ˆ c
3ˆ c4ˆ
N
ˆ c +
αˆ c+
βˆ cηˆ cξ

ˆ c+
1ˆ c+
2|0ϕ ∗α
µ(x1)ϕ ∗β
ν(x2)ϕ η
χ(x3)ϕ ξ
σ(x4).(9.6)
Можна показати, що кожен iз цих доданкiв дає чотири очевидних
варiанти розташування зовнiшнiх лiнiй, наприклад:
0|ˆ c
3ˆ c4ˆ
N
ˆ c αˆ cβˆ c+
ηˆ c+
ξ
ˆ c+
1ˆ c+
2|0=(δ α1δβ2 +δ α2δβ1)(δ η3δξ4 +δ η4δξ3).
Таким чином, вакуумне середнє дає всi можливi4!варiанти розташу-
вання зовнiшнiх лiнiй.
Враховуючи на те, щоT
µν χσ являє собою добутокматриць, якi
можна циклiчно переставляти пiд знакомTr, з 24 доданкiв у (9.6)
можна залишити лише шiсть, а весь вираз помножити на чотири.
Справа в тому, що доданки, якi вiдрiзняються циклiчною переста-
новкою зовнiшнiх лiнiй, дають однаковий внесок (див. Додаток до

Роздiл 9. Правила дiаграмної технiки Фейнмана101
роздiлу на сторiнцi108), тодi
S
(4)
fi =(−ie) 4∞
−∞
d4x1...d 4x4Tµν χσ (x1,x 2,x 3,x 4)×
×[ϕ
1
µ(x1)ϕ 2
ν(x2)ϕ ∗3
χ(x3)ϕ ∗4
σ(x4)+ϕ 1
µ(x1)ϕ 2
ν(x2)ϕ ∗4
χ(x3)ϕ ∗3
σ(x4)+

1
µ(x1)ϕ ∗3
ν(x2)ϕ 2
χ(x3)ϕ ∗4
σ(x4)+ϕ 1
µ(x1)ϕ ∗4
ν(x2)ϕ ∗3
χ(x3)ϕ 2
σ(x4)+

1
µ(x1)ϕ ∗3
ν(x2)ϕ ∗4
χ(x3)ϕ 2
σ(x4)+ϕ 1
µ(x1)ϕ ∗4
ν(x2)ϕ 2
χ(x3)ϕ ∗3
σ(x4)],(9.7)
що вiдповiдає нижченаведеним шiстьом дiаграмам з коефiцiєнтами
C=4:
p1p1 p2p2
p4p4 p3p3
x1,x1, x2,
x2,

x3,x3, x4,x4,
a)
p1p1 p2p2
p4p4 p3p3
x1,x1, x2,
x2,

x3,x3, x4,x4,
б)
p1p1 p3p3
p2p2 p4p4
x1,x1, x2,
x2,

x3,x3, x4,x4,
в)
p1p1 p4p4
p3p3 p2p2
x1,x1, x2,
x2,

x3,x3, x4,x4,
г)
p1p1 p3p3
p4p4 p2p2
x1,x1, x2,
x2,

x3,x3, x4,x4,
д)
p1p1 p4p4
p2p2 p3p3
x1,x1, x2,
x2,

x3,x3, x4,x4,
е)
Iз наведених графiчних зображень легко побачити, що дiаграми
(а, б, в) вiдрiзняються вiд дiаграм (г, д, е) дзеркальним вiдображен-
ням вiдносно осi, що проходить через верхню лiву та нижню праву
вершини вiдповiдної дiаграми та змiною напрямкiв внутрiшнiх лiнiй.
Отже, їх внесокмає бути однаковим. Тодi, процес фотон-фотонного
розсiяння може бути описаний лише за допомогою трьох дiаграм (на-
приклад тих, що зображенi у верхньому ряду) з коефiцiєнтамиC=8,
чому буде вiдповiдати наступний вираз для середньогоˆ
S-матрицi:
S
(4)
fi =−2e 4∞
−∞
d4x1...d 4x4×

102Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
×Tr[γ µG(x 1−x 2)γνG(x 2−x 3)γχG(x 3−x 4)γσG(x 4−x 1)]×
×[ϕ
1
µ(x1)ϕ 2
ν(x2)ϕ ∗3
χ(x3)ϕ ∗4
σ(x4)+

1
µ(x1)ϕ 2
ν(x2)ϕ ∗4
χ(x3)ϕ ∗3
σ(x4)+ϕ 1
µ(x1)ϕ ∗3
ν(x2)ϕ 2
χ(x3)ϕ ∗4
σ(x4)].(9.8)
Для переходу до iмпульсного простору необхiдно проставити внут-
рiшнi iмпульси на дiаграмах (а, б, в), якзображено далi, та врахувати
(2.7), (4.14):
p1p1 p2p2
p4p4 p3p3





a)
k
kp
1 kp 1 kp 2 kp 2
kp p 14 kp p 14
p1p1 p2p2
p4p4 p3p3





б)
kp p 13 kp p 13
kp 1 kp 1
k
kp
2 kp 2
p1p1 p3p3
p2p2 p4p4





в)
kp p 14 kp p 14
kp 1 kp 1 kp 3 kp 3
k
S(4)
fi =−2e 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ω1ω2ω3ω4∞

−∞
d4k×
×
Tr

λ1(m+k) λ2(m+k−p 2) ∗λ3(m+k+p 1−p 4) ∗λ4(m+k+p 1)
(m 2−k 2)(m 2−(k−p 2)2)(m 2−(k+p 1−p 4)2)(m 2−(k+p 1)2)+
+Tr

λ1(m+k) λ2(m+k−p 2) ∗λ4(m+k+p 1−p 3) ∗λ3(m+k+p 1)
(m 2−k 2)(m 2−(k−p 2)2)(m 2−(k+p 1−p 3)2)(m 2−(k+p 1)2)+
+Tr

λ1(m+k) ∗λ3(m+k−p 3) λ2(m+k+p 1−p 4) ∗λ4(m+k+p 1)
(m 2−k 2)(m 2−(k−p 3)2)(m 2−(k+p 1−p 4)2)(m 2−(k+p 1)2)1
.
(9.9)
Якщо ввести позначення
T
µν χσ (p2,p 1,p 4)=
= ∞
−∞
d4kTr[γ
µ(m+k)γ ν(m+k−p 2)γχ(m+k+p 1−p 4)γσ(m+k+p 1)]
(m 2−k 2)(m 2−(k−p 2)2)(m 2−(k+p 1−p 4)2)(m 2−(k+p 1)2),
вираз (9.9) запишеться як
S
(4)
fi =−2e 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ω1ω2ω3ω4 ×

Роздiл 9. Правила дiаграмної технiки Фейнмана103
×(
T µν χσ (p2,p 1,p 4)λ1µ( p1)λ2ν( p2)∗λ3χ ( p3)∗λ4σ ( p4)+
+T
µν χσ (p2,p 1,p 3)λ1µ( p1)λ2ν( p2)∗λ3σ ( p3)∗λ4χ ( p4)+
+T
µν χσ (p3,p 1,p 4)λ1µ( p1)λ2χ( p2)∗λ3ν ( p3)∗λ4σ ( p4))
.(9.10)
Видiливши окремо частину, що характеризує початковий та кiнце-
вий стани частинок, що розсiюються, можна ввести тензор фотон-
фотонного розсiяння четвертого рангуJ
µν χσ (p1,p 2,p 3,p 4):
S
(4)
fi =−2e 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ω1ω2ω3ω4 eλ1µ( p1)λ2ν( p2)∗λ3χ ( p3)∗λ4σ ( p4)×
×{T
µν χσ (p2,p 1,p 4)+T µν σχ (p2,p 1,p 3)+T µχν σ (p3,p 1,p 4)}=
=−2e
4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ω1ω2ω3ω4 λ1µ( p1)λ2ν( p2)∗λ3χ ( p3)∗λ4σ ( p4)×
×J
µν χσ (p1,p 2,p 3,p 4).(9.11)
РозрахуноквеличиниJ
µν χσ потребує знання технiки обчислення
iнтегралiв за4-iмпульсом та виходить за межi цього посiбника.
Зазначимо, тензор фотон-фотонного розсiяння четвертого рангу
J
µν χσ вводиться для зручностi розрахункiв та наочностi отриманих
результатiв. Для знаходженняS (4)
fi ми могли б напряму скористатися
виразами (9.4)та(9.6). У цьому випадку ми б отримали правильну
кiнцеву вiдповiдь, витративши бiльше часу.
Перехресна iнварiантiсть
Аналiзуючи правила дiаграмної технiки Фейнмана можна поба-
чити таку симетрiю. Будь-якiй зовнiшнiй лiнiї, що входить у певну
точку, може вiдповiдати як частинка, що входить у цю точку, так i
античастинка, що з неї виходить. I навпаки, кожнiй зовнiшнiй лiнiї, що
виходить з певної точки, може вiдповiдати як частинка, що виходить,
такi античастинка, що входить у цю точку.
Для замiни в певному процесi частинки на античастинку потрiб-
но замiнити на дiаграмi позначення для лiнiї початкового стану цiєї
частинки з4-iмпульсомpта квантовим числом спiральностiµ,якiй
вiдповiдаєυ
µ
p, на позначення для кiнцевого стану античастинки з−p
таυ µ
−p . А також замiнити позначення для лiнiї кiнцевого стану частин-
кизp
,µ та¯ υ µ
pна позначення для початкового стану античастинки

104Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
з−p та¯ υ µ
−p . Якщо треба замiнити античастинку на частинку, то
необхiдно зробити те саме, але навпаки. Потрiбно змiнювати лише
позначення, напрямки лiнiй залишаються незмiнними.
У випадку фотонiв, чиї античастинки i частинки спiвпадають, на-
ведене вище залишається в силi, але початковий фотон зkта певною
поляризацiєю, що входить, слiд замiнити на кiнцевий фотон, що ви-
ходить з−ki має протилежну поляризацiю. Справдi, щоб замiнити
фотон (фотонну лiнiю), що входить у точку з 4-iмпульсомk, на фотон
(лiнiю), що виходить iз точки з тим самим 4-iмпульсом, слiд замiнити

λ
η(
k)на ∗λ
η(
k), а це еквiвалентно замiнik→−k,λ→−λ, якщо не
змiнювати напрямоклiнiї.
Ця симетрiя дозволяє легко знайти амплiтуду процесу, що вiдпо-
вiдає дiаграмам за участю античастинок (частинок), якщо вiдома ам-
плiтуда процесу за участю частинок(античастинок). Потрiбно зро-
бити лише наведенi вище перепозначення. При цьому ми фактично
переходимо вiд одного перехресного каналу реакцiї до iнших.
Дана властивiсть дає бiльше можливостi нiж СРТ–теорема, згiдно
з якою амплiтуда процесу не змiниться, якщо початковий стан замi-
нити кiнцевим та змiнити всi частинки на античастинки. Справа в
тому, що вказана властивiстьˆ
S-матрицi дозволяє не тiльки глобаль-
но змiнювати всi частинки на античастинки, але й робити це окремо
для кожного з продуктiв реакцiї.
Для iлюстрацiї наведемо процесиe−e-таe−e
+-розсiяння. У про-
цесie−e-розсiяння ми хочемо замiнити початковий електронp
2на
позитрон, i кiнцевий електронp
4на позитрон.
Дляe−e-розсiяння маємо (2.47):
p3p3
p1p1
kp p
13 kp p
13
p2p2
p4p4 p3p3
p1p1
kp p
 14 kp p
 14
p4p4
p2p2

Дляe−e +-розсiяння маємо (рис. 9.2 та (7.5)):

Роздiл 9. Правила дiаграмної технiки Фейнмана105
p3p3
p1p1
kp p
13 kp p
13
p2 p2
p4 p4
p3p3
p1p1
kp p
 12 kp p
 12
p2 p2
p4 p4

Якбачимо, процесe−e +-розсiяння отримується з дiаграмe−e-
розсiяння шляхом замiни позначеньp
2→−p 4таp 4→−p 2. Така сама
замiна перетворює вирази для амплiтуди розсiяння (2.47)на(7.5).
Оскiльки в процесах з тотожними частинками знак амплiтуди є
довiльним (див. розд. 2), то при порiвняннi результатiв для амплiтуд
процесiв, отриманих згiдно з дiаграмною технiкою Фейнмана та на-
веденому вище механiзмi переходу до процесiв з античастинками (ча-
стинками), може виникнути змiна знака, що не є суттєвим.
Просторово-часовi дiаграми Фейнмана
Якми щойно мали змогу переконатися, якщо дiаграма подана
без пiдписiв та без пояснень, то не можна однозначно сказати, який
процес вона представляє. Одну й ту саму дiаграму можна трактува-
ти по-рiзному. Наприклад, схематичнiй дiаграмi (a) можна зiставити
електрон-електронне, позитрон-позитронне та електрон-позитронне роз-
сiяння.
p3p3
p1p1
p4p4
p2p2 a)б)
p3p3
p1p1
p2 p2
p 4 p 4 в)
p3p3
p1p1
p2 p2
p4 p4 г)
Для позбавлення неоднозначностей необхiдно зробити пiдписи до
лiнiй i спрямовувати фотоннi лiнiї внапрямку, що вiдповiдає фiзично-
му процесу
1. Тодi, дiаграми (б), (в) представлятимуть процесиe−e-
таe−e +-розсiяння. У них зрозумiло, що є початковими, а що кiнце-
вими продуктами реакцiї. Дiаграма (г) представляєe−e +-розсiяння
шляхом анiгiляцiї. Враховуючи напрямоквнутрiшньої фотонної лiнiї
робимо висновок, що початковими станами є електронний станp
1та
позитронний станp
2.
1Нагадуємо, напрямок внутрiшнiх фотонних лiнiй може бути довiльно обраним.

106Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Iснує альтернативний метод представлення дiаграм, такзванi про-
сторово-часовi дiаграми Фейнмана, що дозволяє уникнути неодно-
значностей у їх трактуваннi, не використовуючи пiдписи. Це тi самi
дiаграми, що ми до цього використовували, але розташованi в системi
вiдлiку, де вiсь часу напрямлена вертикально вгору, а одна з просто-
рових осей праворуч.
У таких позначеннях легко записати розвиток у часi фiзичного
процесу (слiд рухатись уздовж часової осi). Частинцi вiдповiдає лiнiя
(вектор), чия проекцiя на часову вiсь додатна (частинка рухається
в часi в додатному напрямку), а проекцiя на просторову вiсь визна-
чає просторовий напрямокруху частинки. Античастинцi, яквидно з
розд. 6, вiдповiдає лiнiя (вектор), чия проекцiя на часову вiсь вiд’ємна
(античастинка рухається в часi у вiд’ємному напрямку), а проекцiя
на просторову вiсь протилежна просторовому напрямку руху анти-
частинки. Тодi нижченаведеним дiаграмам вiдповiдатимуть такi про-
цеси: (а) – електрон-електронне розсiяння, (б) – позитрон-позитрон
розсiяння, (в) – електрон-позитронне розсiяння шляхом обмiну вiрту-
альним фотоном, (г) – електрон-позитронне розсiяння шляхом анiгi-
ляцiї.
У цьому посiбнику ми не будемо використовувати даний формалiзм,
оскiльки завжди безпосередньо вказуємо, який саме процес розгля-
дається.
б) а)в)
г)
t
x
Розрахунок у вищих порядках теорiї збурень. Загальне
обговорення проблеми
Дiаграмна технiка Фейнмана дозволяє записати амплiтуду фiзич-
ного процесу в довiльному порядку теорiї збурень. До кiнця 30-х ро-
кiв ХХ-го столiття розрахунки окремих процесiв проводилися лише
в першому незникаючому наближеннi по теорiї збурень, в так звано-
му скелетному наближеннi. Вважалося, що в наступних наближеннях

Роздiл 9. Правила дiаграмної технiки Фейнмана107
можна буде розраховувати процеси з довiльною точнiстю. Однак, в
1937-1939 роках Фелiкс Блох, Арнольд Нордчек та Вiктор Вайскопф
показали, що врахування наступних наближень (петльовi поправки
до внутрiшнiх фотонних та фермiонних лiнiй, поправки до вершини)
призводить до появи нескiнченних величин. Дану проблему було подо-
лано лише в кiнцi 40-х рокiв в роботах Ганса Бете, Рiчарда Фейнмана,
Джулiана Швингера, Синiтiро Томонаги та Фрiмена Дайсона, завдя-
ки створенню теорiї перенормування, що дозволяє видiлити фiзичнi
кiнцевi поправки з нескiнченних величин. Розгляд теорiї перенорму-
вання виходить за межi цього посiбника.
Припустимо тепер, що ми навчилися обчислювати кiнцевi значен-
ня поправок у вищих порядках теорiї збурень. Кожна така поправка
до фiзичного процесу з фiксованою кiлькiстю початкових та кiнце-
вих частинокзводиться до введення в дiаграму процесу додаткової
внутрiшньої лiнiї (з двома точками). За рахунок цього ї ї амплiтуда
змiнюється вe
2разiв (насправдi, зручно проводити розклад по сталiй
тонкої структуриα). Амплiтуда процесу буде представляти собою су-
му дiаграм з усе бiльшою кiлькiстю внутрiшнiх лiнiй i являтиме собою
суми членiв∼α
n. Оскiльки наступнi члени будуть меншими за по-
переднi, то можна припустити, що доданки з вищими ступенями по
константiαможуть бути вiдкинутi. Саме завдяки цьому, розрахунки
в скелетному наближеннi дають гарну точнiсть, зокрема теоретичний
розрахунокмагнiтного моменту електрона узгоджується з експери-
ментально вiдомим його значенням до десятого знаку пiсля коми.
Потрiбно додатково вказати на два моменти.
По-перше, в КЕД насправдi утворюються не збiжнi, а асимпто-
тично збiжнi ряди. Справа у тому, що зi збiльшенням порядку теорiї
збурень дуже сильно (∼n!) збiльшується кiлькiсть дiаграм, що опи-
сують процес вn-тому порядку теорiї збурень. Це перекриває ефект
вiд малого множникаα
n i починаючи з деякого значення порядку
теорiї збурень (для КЕД цеn∼1/α137) ряд теорiї збурень стає
розбiжним. Прикладом є ряд
n!α
n, який спочатку нiбито збiгається
до певного значення, а потiм сильно зростає. Особливiстю асимпто-
тичних рядiв є те, що вони можуть забезпечити лише деяку кiнцеву
точнiсть наближення, що залежить вiдn. Для таких рядiв частковi
суми з тим бiльшою точнiстю вiдповiдають реальному значенню, чим
менше значення параметруα. В КЕД мале значення константи тон-
кої структури дозволяє проводити розрахунки по теорiї збурень аж

108Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
до порядкiвn∼α −1 з надзвичайно високою точнiстю [7].
По-друге. Згiдно теорiї перенормування заряд електрона (констан-
та тонкої структури) змiнює своє значення при збiльшеннi енергiї ча-
стинок в реакцiї, зокрема вона логарифмiчно зростає, див., напри-
клад, [16]. Вiдповiдно, при певних значеннях енергiї константа зв’язку
αперестає бути достатньо малою. Зокрема при енергiях порядку 100
ГеВ значення константи тонкої структури стаєα
−1 128,щопiд-
тверджується в експериментах на сучасних прискорювачах. Констан-
та тонкої структури буде порядку одиницi при масштабi енергiй сут-
тєво бiльших за планкiвський масштаб, коли вже повинна буде про-
явити себе нова фiзика.
Додаток до роздiлу
Покажемо, що доданки, якi вiдрiзняються циклiчною перестанов-
кою зовнiшнiх лiнiй, дають однаковий внесок. Розглянемо це твер-
дження на прикладi двох доданкiв з (9.4):
(−ie)
4
4

−∞
d4x1...d 4x4Tµν χσ (x1,x 2,x 3,x 4)ϕ 1
µ(x1)ϕ 2
ν(x2)ϕ ∗3
χ(x3)ϕ ∗4
σ(x4)
(9.12)
та
(−ie)
4
4

−∞
d4x1...d 4x4Tµν χσ (x1,x 2,x 3,x 4)ϕ ∗4
µ(x1)ϕ 1
ν(x2)ϕ 2
χ(x3)ϕ ∗3
σ(x4),
(9.13)
що вiдрiзняються циклiчною перестановкою зовнiшнiх лiнiй i пред-
ставленi дiаграмами:
p1p1 p2p2
p4p4 p3p3
x1,x1, x2,
x2,

x3,x3, x4,x4,
p4p4 p1p1
p3p3 p2p2
x1,x1, x2,
x2,

x4,x4, x3,x3,
Використаємо (9.5) i зробимо в (9.13) замiну iндексiв пiдсумову-

Роздiл 9. Правила дiаграмної технiки Фейнмана109
вання
(9.13)=/µν χσ→σµνχ/=−(−ie)
4
4

−∞
d4x1...d 4x4×
×Tr[γ
σG(x 1−x 2)γµG(x 2−x 3)γνG(x 3−x 4)γχG(x 4−x 1)]×
×ϕ
∗4
σ(x1)ϕ 1
µ(x2)ϕ 2
ν(x3)ϕ ∗3
χ(x4),(9.14)
циклiчно переставивши матрицi пiд знакомTr:
(9.14)=−(−ie)
4
4

−∞
d4x1...d 4x4×
×Tr[γ
µG(x 2−x 3)γνG(x 3−x 4)γχG(x 4−x 1)γσG(x 1−x 2)]×
×ϕ
1
µ(x2)ϕ 2
ν(x3)ϕ ∗3
χ(x4)ϕ ∗4
σ(x1).(9.15)
Проробивши замiнуx
2,x 3,x 4,x 1→x 1,x 2,x 3,x 4переконуємося, що
вираз (9.13) справдi дорiвнює виразу (9.12).
Завдання
1. Покажiть, що з (9.2) випливає (9.3).
2. Покажiть, що внесок дiаграм (а) та (г) на стор.101однаковий.
3. Продовжiть розгляд електрон-електронного розсiяння в четвер-
тому порядку теорiї збурень з розд. 7. Доведiть до iнтеграла за
вiртуальним4-iмпульсом. Вкажiть, чому дорiвнюють коефiцiєн-
ти вiдповiдних дiаграм.
4. Запишiть амплiтуду процесу утворенняe−e
+-пари при зiткненнi
двох фотонiв за допомогою правил перехресної iнварiантостi.
5. Запишiть просторово-часовi дiаграми Фейнманаe−γ-розсiяння,
e
+ −γ-розсiяння,e−e +-анiгiляцiї, гальмiвного випромiнення
електрона.

РОЗДIЛ 10
Процеси в зовнiшнiх полях
Квантова теорiя поля за наявностi зовнiшнiх полiв є надзвичай-
но цiкавою та великою темою, якiй окремо присвячено багато книг.
Вона здатна описати такi ефекти, як змiна структури вакууму (по-
ляризацiя вакууму), народження частинок з вакууму, поява бозонної
конденсацiї, спонтанне порушення або вiдновлення симетрiї та iн. Без-
умовно, наявнiсть зовнiшнього поля впливає також на перебiг реакцiй
та розпадiв частинок.
Як приклад розглянемо декiлька найпростiших процесiв у КЕД
за наявностi зовнiшнiх електромагнiтних класичних полiв у нижчих
порядках теорiї збурень i подивимось, як при цьому модифiкуються
правила дiаграмної технiки Фейнмана.
Зовнiшнi класичнi та квантованi поля
Для початку розглянемо умови, за яких квантоване електромаг-
нiтне поле можна розглядати яккласичне.
Квантоване електромагнiтне поле задається операторомˆ
A
ν(2.6),
комутацiйними спiввiдношеннями мiж операторами народження-зни-
щення квантiв поляˆ c
α,ˆ c +
β(Д4.3.17) та правилами дiї цих операторiв
на стан системи. За допомогоюˆ
A
νбудуються оператори електричної
та магнiтної напруженостiˆ

E,ˆ

H.
З курсу теорiї поля вiдомо вираз для оператора енергiї електро-
магнiтного поля, що мiститься в кубi з розмiрамиL×L×L,яксума
операторiв енергiй для кожного фотона окремо:
ˆ
E=
2
λ=1

n1,n2,n3
ˆ
N
k( n),λ k0(n),(10.1)
де складовi вектораn=(n
1,n 2,n 3)пробiгають дискретнi значення
вiд нуля до нескiнченностi(n α =0,1, ...∞),k α =(2π/L)n α,k 0=


k2,ˆ
N
k( n),λ =ˆc +

k( n),λ ˆ c
k( n),λ — оператор кiлькостi частинок у станi
з поляризацiєюλта iмпульсом
k. Енергiя системи, що мiститься в
обмеженiй областi простору, є дискретною!

Роздiл 10. Процеси в зовнiшнiх полях111
Очевидно, що дискретнiсть спектра, наявна для квантованих си-
стем, не буде вiдчуватися за умови EE 1, тобто при великiй кiлько-
стi фотонiв або значнiй iнтенсивностi електромагнiтного поля. Зазна-
чимо, щоˆ c

k( n),λ ˆ c+

k( n),λ −ˆ c +

k( n),λ ˆ c
k( n),λ =1i за великої кiлькостi фотонiв
(ˆc
+

k( n),λ ˆ c
k( n),λ ˆ c
k( n),λ ˆ c+

k( n),λ =ˆ
N
k( n),λ )комутацiйними спiввiдношен-
нями мiж операторами можна знехтувати, й оператори переходять у
c−числа, тобтоc
+

k( n),λ c
k( n),λ =2 N
k( n),λ .
Якщо розглядати поле в релятивiстськiй квантовiй теорiї, то його
стан буде постiйно змiнюватися за рахунок квантових флуктуацiй (на-
приклад, завдяки взаємодiї з вакуумом електрон-позитронного поля,
процесам фотон-фотонного розсiяння або утвореннюe−e
+-пар при
зiткненнi фотонiв), тому класичне поле слiд розумiти якусереднене
за часом значення квантованого поля з великою iнтенсивнiстю.
Зробимо тепер кiлькiсну оцiнку, за яких умов електромагнiтне по-
ле можна вважати класичним. Для цього розглянемо електромагнiтне
поле усереднене за часом∆t, який обов’язково менший вiд часу, про-
тягом якого поле iстотно змiнюється. Якщо представити електромаг-
нiтне поле (
Eта
Hкомпоненти) через розклад у ряд Фур’є за ча-
сом, то в результатi усереднення "виживуть" лише доданки, для яких
ω∆t1, оскiльки доданки з вищими частотами за рахунок множника
∼e
−iωt дадуть нульовий внесок.
Отже, процедура усереднення за часом змiнює стан фiзичної систе-
ми. Пiсля ї ї виконання ми можемо розглядати в системi лише фотони
з частотамиωω
,деω =1/∆tта вiдповiдно з iмпульсамиpаж до
значеньpp ,деp =ω /c. Зазначенi фотони згiдно зi спiввiдно-
шенням невизначеностi Гейзенберга∆p∆x≥/2(де∆p∼p ), будуть
локалiзованi в межах областiV
γ∼(/∆p) 3∼(/p )3=(c/ω )3∼λ 3,
деλ — довжина хвилi фотона з частотоюω .
Загальну кiлькiсть фотонiв у повному об’ємi системиVможна
оцiнити яквiдношення повної енергiї електромагнiтного поля в цьому
об’ємi до середнього значення енергiї одного фотона (∼ω
):
N
γ∼(
E
2+
H 2)V
ω  .
В якостi критерiю класичностi зовнiшнього поля можна вимагати
виконання умови, щоб в об’ємiV
γмiстилося багато фотонiв. У нашому

112Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
випадку кiлькiсть фотонiв в областiV γстановить:
n
γ=N γVγ
V∼(
E
2+
H 2)c
3
ω 4 =(
E 2+
H 2)c
4
ω4
1
c=(
E
2+
H 2)(c∆t)
4
c,
а умова класичностi електромагнiтного поля набуває вигляду

E
2+
H 2c/(c∆t) 4.(10.2)
Проаналiзуємо наведений вираз. Оскiльки
tможна спрямувати
до нескiнченностi лише у випадку стацiонарного поля (тодi|
E|0),
то стацiонарне поле завжди є класичним. Зазначимо, що iз (10.2) вип-
ливає, що нестацiонарне слабке поле не може бути класичним. У за-
гальному ж випадку нестацiонарне поле може розглядатися як кла-
сичне лише тодi, коли воно є достатньо сильним, щоб задовольняти
умову (10.2). Зазначимо, що параметр∆tне є однозначною величи-
ною i фiзично визначає значення частот фотонiв
В подальшому пiд словомзовнiшнєкласичне поле будемо розумiти
усереднене значення квантованого поля достатньої iнтенсивностi, що
не зазнає змiн у процесi реакцiї та задовольняє умову (10.2).
Зовнiшнє класичне поле задається неквантованим 4-потенцiалом
A
ext
ν (x). Оператор гамiльтонiана в представленнi взаємодiї має форму:
ˆ
H
i=ˆ
j ν(ˆ
A ν+A ext
ν )=e·ˆ
¯
Ψγ νˆ
Ψ(ˆ
A ν+A ext
ν ),(10.3)
тобто в рядi теорiї збурень слiд замiнитиˆ
A
ν→ˆ
A ν+A ext
ν .
Вкажемо на загальну властивiсть зовнiшнiх класичних полiв. Оскiль-
ки доданокA
ext не є оператором, вiн не може утворювати спарювання
з iншими операторами, тобтоA ext буде представляти зовнiшнi, а не
внутрiшнi лiнiї дiаграми.
Однофотонна анiгiляцiя за наявностi зовнiшнього поля
Яквiдомо, процесe−e
+-анiгiляцiї в один фотон є забороненим за-
конами збереження енергiї-iмпульсу. Розглянемо цей процес за наяв-
ностi зовнiшнього поля. У першому порядку теорiї збурень цей процес
неможливий. У другому порядку маємо:
S
(2)
fi =(k 1,λ 1)|ˆ
S (2) |(p 2,µ 2); (p 1,µ 1)=

Роздiл 10. Процеси в зовнiшнiх полях113
=(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x0|ˆ c 1ˆ
T
ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ

A µ+A ext
µ )×
׈
N
ˆ
¯
Ψ
γνˆ
Ψ

A 
ν+A ext
ν )
ˆ
b +
2ˆ a+
1|0=
=(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x0|ˆ
T
ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ
ˆ
N
ˆ
¯
Ψ γνˆ
Ψ
ˆ
b +
2ˆ a+
1|0×
×0|ˆ c

T

A µ+A ext
µ )(ˆ
A 
ν+A ext
ν )
|0.(10.4)
Фермiонну частина легко знайти за теоремою Вiка (5.3) та (5.4):





=0|ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µ(−i)G(x−x )γνˆ
Ψ
ˆ
b +
2ˆ a+
1|0+
+0|ˆ
N
ˆ
¯
Ψ
γν(−i)G(x −x)γ µˆ
Ψ
ˆ
b +
2ˆ a+
1|0=
=−i[¯
ψ
−2 γµG(x−x )γνψ
1+¯
ψ 
−2 γνG(x −x)γ µψ1].(10.5)
Фотонна частина:
ˆ
T0|ˆ c
1(ˆ
A µ+A ext
µ )(ˆ
A 
ν+A ext
ν )|0=ˆ
T[0|ˆ c 1ˆ
AµAext
ν |0+0|ˆ c 1Aext
µ ˆ
A
ν|0]=

T[ϕ
∗1
µAext
ν +A ext
µ ϕ∗1
ν ]=ϕ ∗1
µAext
ν +A ext
µ ϕ∗1
ν ,(10.6)
де ми прибрали оператор хронологiчного впорядкування, оскiльки вiн
зводиться до замiниx→x
,µ→ν, вiдносно якої функцiя симетрична.
Отже,
S
(2)
fi =−i(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x×(10.7)

ψ
−2 γµG(x−x )γνψ
1+¯
ψ 
−2 γνG(x −x)γ µψ1}(ϕ ∗1
µAext
ν +A ext
µ ϕ∗1
ν )=
=−i(−ie)
2∞
−∞∞

−∞
d4xd 4x¯
ψ−2 γµG(x−x )γνψ
1(ϕ ∗1
µAext
ν +A ext
µ ϕ∗1
ν ).

114Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Ця формула дуже схожа на вираз дляe−e +-анiгiляцiї у два фотони
(6.5) i переходить в нього, якщо замiнитиAext на фотон, що вилiтає.
Отже, правила Фейнмана залишаються в силi, якщо замiсть фотона
розумiти зовнiшнє полеA
ext .
Для переходу в iмпульсний простiр запишемо перетворення Фур’є
для зовнiшнього поля
1(див. (2.33)):






⎩A
ext
ν (x)= 1(2π) 4

−∞ d4kA ext
ν (k)e −ikx
Aext
ν (k)=

−∞ d4xA ext
ν (x)e ikx .(10.8)
З урахуванням (2.4)–(2.6), (4.13) запишемо (10.7) в iмпульсному про-
сторi:
S
(2)
fi =−i(−ie) 2∞
−∞∞

−∞
d4xd 4x¯ υ−2 e−ip 2x
√2Vε 2 γµ∞
−∞
d4p
(2π) 4G(p)e −ip(x−x )γν×
υ
1e−ip 1x
√2Vε 1∞

−∞
d4k
(2π) 4
,
 ∗λ1µ eik1x
√2Vω 1Aext
ν (k)e −ikx +A ext
µ (k)e −ikx ∗λ1ν eik1x
√2Vω 1
-
=
=−i(−ie)
2
(2V) 3ε1ε2ω1¯ υ−2
$
 ∗λ1 m+k 1−p 2
m2−(k 1−p 2)2 Aext (k1−p 1−p 2)+
+ A
ext (k1−p 1−p 2)m+p 1−k 1
m2−(p 1−k 1)2∗λ1
%
υ
1.(10.9)
Отриманий вираз має багато спiльного з виразом дляe−e
+-анiгi-
ляцiї у два фотони (6.7), однакмає й принципову вiдмiннiсть — вiдсут-
нiсть дельта-функцiї, що виражає закон збереження енергiї-iмпульсу.
Справдi, у (10.9)p
1+p 2
=k 1, однакзакон збереження енергiї-iмпульсу
реакцiї у цiлому виконується завдяки внеску зовнiшнього поля.
Можна сказати, що розклад (10.8) насправдi виражає потенцiал
A
ext яксуперпозицiю вiртуальних фотонiв з рiзнимиk,авреакцiї
бере участь один iз цих фотонiв з необхiдними характеристиками.
1Оскiльки в правилах Фейнмана фотону, що входить у точку, вiдповiдаєe −ikx ,
то фур’є-образ (10.8) вiдповiдає лiнiї зовнiшнього поля, що входить. Цю особ-
ливiсть слiд враховувати при простановцi iмпульсiв на дiаграмi.

Роздiл 10. Процеси в зовнiшнiх полях115
Зауважимо, що (10.9) можна записати, скориставшись дiаграмами
k1k1 kpp112 kpp112
p1p1 p2 p2
kp12 kp12
ext
+
k1k1 kpp112 kpp112
p1p1 p2 p2
pk11 pk11
ext
де iмпульси розставляються згiдно iз законом збереження4-iмпуль-
су в кожнiй вершинi, починаючи з вершини з реальними частинка-
ми. Правила вiдповiдностi для лiнiй стандартнi, лiнiї з позначенням
extзiставляється вiдповiдна фур’є-компонента зовнiшнього класично-
го поляA
ext
µ (k)/(2π) 4.
Кулонiвське розсiяння
Розглянемо процес розсiяння електрона електричним полем важ-
кого нерухомого ядра. У цьому випадку поле ядра можна вважати
зовнiшнiм стацiонарним класичним полем, а саме:
A
ext
α =0,A ext
0 =Ze 4πr.(10.10)
Перше незникаюче наближення буде в першому порядку теорiї збу-
рень. Якщо початковий стан електрона(p
1;µ 1), а кiнцевий(p 2;µ 2),то
отримаємо:
S
(1)
fi =(−ie)

−∞
d4x0|ˆ a 2ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ

A µ+A ext
µ )ˆa+
1|0=/(2.4)−(2.6)/=
=(−ie)

−∞
d4x0|ˆ a 2ˆ
N
ˆ
¯
Ψγ µˆ
Ψ
ˆ a +
1|0A ext
µ =
=(−ie)

−∞
d4x¯
ψ 2γµψ1Aext
µ =/(10.8)/=
=(−ie)
2V√ ε1ε2·1(2π) 4∞

−∞∞

−∞
d4kd 4x¯ υ 2γµυ1Aext
µ (k)e i(p2−p 1−k)x =

116Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
=(−ie) 2V√ ε1ε2∞

−∞
d4k¯ υ 2γµυ1Aext
µ (k)δ( p 2− p 1−
k)δ(ε 2−ε 1−ω)=
=*
A
ext
µ (k)=2πδ(ω)Ze 
k2δµ0
*
=
=2π(−iZ e
2)δ(ε 1−ε 2)
2V√ ε1ε2∞

−∞
d
k¯ υ 2γ0υ1

k2 δ( p 2− p 1−
k)=
=2π(−iZ e
2)δ(ε 1−ε 2)
2V√ ε1ε2
¯ υ2γ0υ1
( p2− p 1)2.(10.11)
Тобто отримали, що у випадку стацiонарного поля вiртуальний
фотон зовнiшнього поля не змiнює енергiю електрона, що розсiю-
ється, а може змiнювати лише напрямокйого iмпульсу. Тодi
 p
12 = p 22, отже квадрат переданого iмпульсу електрона
внаслiдоквзаємодiї з електричним полем важкого ядра
 q
2=( p 2− p 1)2=4| p 1|2sin 2(θ/2),(10.12)
деθ– кут мiж початковим та кiнцевим iмпульсами електрона. Тодi
p1p1 p2p2 
p1p1 p2 p2
S(1)
fi =2π(−iZ e
2)δ(ε 1−ε 2)
2V√ ε1ε2 ·¯ υ 2γ0υ1

q2 .(10.13)
Завдання
1. Яквiдомо, процеси за участю реальних частиноку КЕД в пер-
шому порядку теорiї збурень є забороненими законами збере-
ження енергiї-iмпульсу. Розгляньтеe−e
+-анiгiляцiю в реальний
фотон у першому порядку теорiї збурень з гамiльтонiаном взає-
модiї (10.3) методом безпосереднього усереднення за початковим
та кiнцевим станами.
2. Яктреба змiнити перетворення Фур’є (10.8), щоб зовнiшньому
полю вiдповiдала лiнiя, що виходить з дiаграми?
3. Чи може формальний математичний розклад (10.8) виражати
суперпозицiю реальних фотонiв?

Роздiл 10. Процеси в зовнiшнiх полях117
4. Розгляньте процес однофотонноїe−e +-анiгiляцiї за наявностi
зовнiшнього поля в системi центра iнерцiї. Якi значення енергiї
може мати реальний фотон?
5. Розгляньте перехресний процес до однофотонноїe−e
+-анiгiляцiї,
а саме, гальмiвне випромiнювання електрона в зовнiшньому полi.
Запишiть амплiтуду процесу.
6. Знайдiть фур’є-образ потенцiалу (10.10).
7. Знайдiть явний вигляд кулонiвського потенцiалу в координат-
ному просторi та його фур’є-образ у випадку, коли фотон буде
мати масу.
8. Чи можна вважати свiтло вiд лампи денного свiтла зовнiшнiм
класичним полем?

РОЗДIЛ 11
Взаємодiя електронiв iз фермiонами iнших
поколiнь, зi скалярними та векторними
частинками. Приклади процесiв
у стандартнiй моделi
У цьому роздiлi ми вийдемо за межi квантової електродинамiки,
щоб показати, яким чином видозмiнюються правила дiаграмної тех-
нiки Фейнмана у випадку бiльш загальної теорiї взаємодiючих полiв.
Важливу роль при побудовi технiки Фейнмана в процесах за участi
полiв (частинок) рiзного типу вiдiграє те, що вторинно квантованi опе-
ратори рiзних типiв фермi полiв (наприклад, електронного та мюон-
ного) антикомутують, оператори фермi- та бозе-полiв комутують мiж
собою (ми це вже використовували в КЕД для перестановки мiсця-
ми операторiв електрон-позитронного та електромагнiтного полiв), та
оператори рiзних типiв бозе-полiв також комутують мiж собою (на-
приклад, оператори полiвZтаW
± бозонiв). Це призводить до то-
го, що спарювання мiж вторинно квантованими полями рiзного типу
дорiвнюють нулю i не може бути внутрiшньої лiнiї, одна половина якої
електронна, а iнша, скажiмо, мюонна.
Для прикладу розглянемо такi процеси в рамках стандартної мо-
делi фiзики елементарних частинок (СМ): електрон-мюонне розсiяння
та розсiяння електрона на нейтрино в другому порядку теорiї збурень,
розпад бозона Хiґса (кванта нейтрального масивного скалярного по-
ля) та Z-бозона (кванта нейтрального масивного векторного поля) на
електрон-позитронну пару в першому порядку теорiї збурень.
Ми не будемо виписувати весь лагранжiан СМ, оскiльки це вихо-
дить за межi курсу, а лише запишемо окремi його доданки, що нам
знадобляться. Повний лагранжiан СМ наведено, наприклад, в [5].
Взаємодiя електронiв iз фермiонами iнших поколiнь на при-
кладi електрон-мюонного розсiяння
Для опису електрон-мюонного розсiяння(e+µ→e
+µ )на-
самперед треба розширити гамiльтонiан взаємодiї (1.47) i включити
до нього доданок, що описує взаємодiю з мюонами. Цей доданок є в

Роздiл 11. Приклади процесiв в СМ119
лагранжiанi СМ, хоча i з загальних мiркувань зрозумiло 1,щовiнпо-
винен мати таку саму форму, що й доданок електрон-позитронної та
електромагнiтної взаємодiї. Частина лагранжiана СМ, що вiдповiдає
за електромагнiтну взаємодiю, має вигляд
L
int (x)=e
f
qf¯
fγµfA µ,(11.1)
де сума йде за всiма фермiонамиf(електрон, мюон, тау-лептон, вiд-
повiднi нейтрино, а також шiсть кваркiв);e– додатне число, елек-
тричний заряд протона;eq
f– електричний заряд iнших фермiонiв
(q
e=−1).
Для опису процесу взаємодiї у квантовiй теорiї поля в рамках тео-
рiї збурень треба перейти до представлення взаємодiї та зробити поля
операторними:
ˆ
L
i,int (x)=e
f
qfˆ
¯
fγµˆ

A µ,(11.2)
деˆ
f,ˆ
A
µ– вторинно квантованi вiльнi фермiоннi та електромагнiтнi
поля. Тодi згiдно (1.55) розкладˆ
S-матрицi матиме вигляд:
ˆ
S=ˆ
Te
−ie ∞
−∞ d4xˆ
N[ˆ
¯ e(x)γ νˆ e(x)+ˆ
¯ µ(x)γ νˆ µ(x)+...]ˆ
A ν(x) =

1+(−ie)

−∞
d4xˆ
N[ˆ
¯ e(x)γ νˆ e(x)+ˆ
¯ µ(x)γ νˆ µ(x)+...]ˆ
A ν(x)+
+(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xˆ
T&
ˆ
N[ˆ
¯ e(x)γ νˆ e(x)+ˆ
¯ µ(x)γ νˆ µ(x)+...]ˆ
A ν(x)×
׈
N[ˆ
¯ e(x
)γηˆ e(x )+ˆ
¯ µ(x )γηˆ µ(x )+...]ˆ
A η(x)'
+... ,(11.3)
деˆ e(x),ˆ µ(x)– вiльнi вторинно квантованi електроннiта мюоннi поля,
вiдповiдно.
Розглянемо електрон-мюонне розсiяння, звертаючи увагу на те, як
модифiкуються правила дiаграмної технiки Фейнмана. Будемо розв’я-
1Мюон – елементарна частинка, що має однаковий з електроном електричний
заряд i спiн, а вiдрiзняється вiд нього масою та лептонним зарядом.

120Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
зувати задачу, нiби не знаємо фейнманiвських правил, а потiм про-
аналiзуємо результат.
Позначимо початковий стан електрона(p
1;µ 1), а кiнцевий(p 3;µ 3);
для стану мюона, вiдповiдно,(p
2;µ 2)та(p 4;µ 4). Початковий та кiнце-
вий стан у представленнi чисел заповнення мають вигляд (див. умову
(7.1)):
|(p
2,µ 2); (p 1,µ 1)=ˆ
d +
2ˆ a+
1|0;
|(p
4,µ 4); (p 3,µ 3)=ˆ
d +
4ˆ a+
3|0⇒(p 3,µ 3); (p 4,µ 4)|=0|ˆ a 3ˆ
d4,(11.4)
деˆ a
i,ˆ a +
i– оператори знищення, народження електронiв,ˆ
d i,ˆ
d +
i–опе-
ратори знищення, народження мюонiв.
Щоб не плутатися далi в позначеннях, запишемо функцiю електрон-
позитронного поля у виглядi (див. (2.4), (2.5), (2.7)):
ˆ e(x)=
µ=±1∞


k=−∞
1 2Vε
k

ˆ a

k,µ υµ
ke−ikx +ˆ
b +

k,µ υµ
−k eikx 
=
=
χ

ˆ a
χeχ(x)+ˆ
b +
χe−χ (x)
,(11.5)
ˆ
¯ e(x)=
µ=±1∞


k=−∞
1 2Vε
k

ˆ a +

k,µ ¯ υµ
keikx +ˆ
b
k,µ ¯ υµ
−k e−ikx 
=
=
χ

ˆ a +
χ¯ eχ(x)+ˆ
b χ¯ e−χ (x)
,(11.6)
та за аналогiєю функцiю вторинно квантованого мюонного поля:
ˆ µ(x)=
µ=±1∞


k=−∞
1 2Vε
k

ˆ
d

k,µ Vµ
ke−ikx +ˆ
f +

k,µ Vµ
−k eikx 
=
=
χ

ˆ
d
χµχ(x)+ˆ
f +
χµ−χ (x)
,(11.7)
ˆ
¯ µ(x)=
µ=±1∞


k=−∞
1 2Vε
k

ˆ
d +

k,µ ¯

keikx +ˆ
f
k,µ ¯

−k e−ikx 
=
=
χ

ˆ
d +
χ¯ µχ(x)+ˆ
f χ¯ µ−χ (x)
,(11.8)

Роздiл 11. Приклади процесiв в СМ121
деˆ
f i,ˆ
f +
i – оператори знищення, народження антимюонiв;V µ
±k –од-
ночастинковi функцiї мюона та антимюона вiдповiдно.
Для початку вiдзначимо, що в першому порядку теорiї збурень
електрон-мюонної взаємодiї немає, оскiльки електроннi та мюоннi до-
данки входять уˆ
S-матрицю окремо. Отже, взаємодiя може виникну-
ти, лише починаючи з другого порядку теорiї збурень, що узгоджуєть-
ся з фейнманiвськими правилами, оскiльки мають бути чотири зов-
нiшнi лiнiї.
У другому порядкуˆ
S-матрицi
S
(2)
fi =(p 3,µ 3); (p 4,µ 4)|ˆ
S (2) |(p 2,µ 2); (p 1,µ 1)=

T(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x0|ˆ a 3ˆ
d4ˆ
N[ˆ
¯ e(x)γ νˆ e(x)+ˆ
¯ µ(x)γ νˆ µ(x)+...]ˆ
A ν(x)×
׈
N[ˆ
¯ e(x
)γηˆ e(x )+ˆ
¯ µ(x )γηˆ µ(x )+...]ˆ
A η(x)ˆ
d+
2ˆ a+
1|0.(11.9)
Очевидно, внесокбуде лише вiд двох доданкiв:
S
(2)
fi =ˆ
T(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x×
×0|ˆ a

d4
&
ˆ
N[ˆ
¯ e(x)γ νˆ e(x)]ˆ
A ν(x)ˆ
N[ˆ
¯ µ(x )γηˆ µ(x )]ˆ
A η(x)+

N[ˆ
¯ µ(x)γ
νˆ µ(x)]ˆ
A ν(x)ˆ
N[ˆ
¯ e(x )γηˆ e(x )]ˆ
A η(x)'
ˆ
d +
2ˆ a+
1|0.(11.10)
Згiдно з теоремами Вiка (5.2), (5.3), вираз (11.10) можна пред-
ставити через суму спарювань. Будемо мiркувати наступним чином:
по-перше, у реакцiї немає вiльних фотонiв, тобто за операторами елек-
тромагнiтного поля має бути спарювання; по-друге, потрiбно компен-
сувати дiю операторiв народження-знищенняˆ a
+
1,ˆ
d +
2,ˆ a 3,ˆ
d 4. Для цьо-
го необхiдно залишити вiльними двi електроннi та двi мюоннi лiнiї.
Зауважимо, що це також узгоджується з правилами дiаграмної тех-
нiки Фейнмана. Отже,
S
(2)
fi =(−ie)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4x&
0|ˆ a

d4ˆ
N
ˆ
¯ e(x)γ νˆ e(x)ˆ
¯ µ(x )γηˆ µ(x )
ˆ
d +
2ˆ a+
1|0+
+0|ˆ a

d4ˆ
N
ˆ
¯ µ(x)γ νˆ µ(x)ˆ
¯ e(x )γηˆ e(x )
ˆ
d +
2ˆ a+
1|0'
iD 0
νη(x−x ).(11.11)

122Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Для обчислення цього виразу потрiбно використати (11.5)–(11.8)
та згадати, що для фермiонiв оператори народження-знищення ча-
стинокрiзного сорту антикомутують. Виявляється, що внесокдвох
доданкiв однаковий i дорiвнює:
S
(2)
fi =(−ie)
2
(2V) 2√ε1ε2ε3ε4∞

−∞∞

−∞
d4xd 4x×
×(¯υ
3γνυ1)ei(p3−p 1)x(¯
V4γηV2)ei(p4−p 2)xiD 0
νη(x−x )=/(2.33)/=
=i(−ie)
2
(2V) 2√ε1ε2ε3ε4∞

−∞∞

−∞∞

−∞
d4xd 4xd4p×
×(¯υ
3γνυ1)ei(p3−p 1−p)x (¯
V4γηV2)ei(p4−p 2+p)x D0
νη(p)
(2π) 4.(11.12)
Iнтегрування за координатамиxтаx
приводить до появи дельта-
функцiй:
S
(2)
fi =i(−ie)
2(2π) 8
(2V) 2√ε1ε2ε3ε4∞

−∞
d4p(¯υ 3γνυ1)δ(p 3−p 1−p)×
×(¯
V
4γηV2)δ(p 4−p 2+p)D
0
νη(p)
(2π) 4.(11.13)
Провiвши iнтегрування за 4-iмпульсом остаточно отримаємо:
S
(2)
fi =i(−ie) 2(2π) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ε1ε2ε3ε4 (¯υ3γνυ1)(¯
V 4γηV2)D 0
νη(p3−p 1)=
=ie
2(2π) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ε1ε2ε3ε4 ·(¯υ 3γνυ1)(¯
V 4γνV2)
(p3−p 1)2 .(11.14)
Очевидно, формула (11.13) збiгається iз формулою для фейнманiв-
ської дiаграми процесу (дiаграми (а), (б) на наступнiй сторiнцi), запи-
саної згiдно з правилами, наведеними в розд. 9, де ми додали лiнiї, що
вiдповiдають новим частинкам — мюонам. Необхiдно також вказати
на вiдсутнiсть множника1/2!, що, якi ранiше, пов’язано iз симетрiєю
щодо замiниx↔x
.

Роздiл 11. Приклади процесiв в СМ123


 



pp31 pp31 pp p42 pp p42 
V
 V
p p
a)
0
 
p3p3
p1p1
pp p
31 pp p
31
p2p2
p4p4
e
e

 б)б)
Порiвнюючи даний результат iз формуламиe−e-таe−e +-розсiяння
(див. дiаграми на с.104) зазначимо, щоe−µ-розсiяння вiдрiзняєть-
ся вiд них вiдсутнiстю дiаграми, де в однiй точцi стикуються елек-
тронна та мюоннi лiнiї. Такi має бути, iнакше ми мали б процеси
перетворенняe↔µпри випромiнюваннi фотона однiєю iз частинок,
що заборонено законом збереження лептонного числа
1. У процесi ро-
зрахунку такi дiаграми зникають при переходi вiд (11.9)до(11.10).
Математично це пов’язано з тим,що оператори рiзних полiв антико-
мутують i вiдповiднi вакуумнi середнi дорiвнюють нулю. Очевидно,
така ситуацiя вiдбудеться i при взаємодiї електрона з будь-яким iн-
шим зарядженим фермiоном.
Слiд зауважити, що хоча в першому незникаючому наближеннi
(другий порядокˆ
S-матрицi) ми використовували вторинно кванто-
ванi функцiї лише електронних та мюонних полiв, у вищих порядках
теорiї збурень будуть задiянi вторинно квантованi функцiї всiх iнших
фермiонних полiв. Зокрема, у внутрiшнiх
фермiонних петлях будуть пробiгати
вiртуальнi частинки всiх iнших фер-
мiонних полiв.
Висновок.При взаємодiї електрона з iншими фермiонами, фей-
нманiвськi правила залишаються в силi, якщо розширити кiлькiсть
використаних лiнiй на тi, що вiдповiдають iншим частинкам. Цi лiнiї
1Врамках СМ лептонне число зберiгається, однак в кiнцi 1990-х рр. експе-
риментально [22,23] був зафiксований факт нейтринних осциляцiй, тобто про-
цес, коли нейтрино одного аромату можуть самовiльно переходити в стан з iн-
шим ароматом. Це означає, що нейтрино насправдi є масивними частинками, а
не безмасовими як у СМ. Для опису масивних нейтрино може бути застосований
як дiраковський, так i майоранiвський формалiзм. Якщо буде доведено, що ней-
трино є майоранiвськими частинками, це означатиме, що лептонне число не буде
зберiгатися[5,24].

124Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
можуть бути якзовнiшнiми, такi внутрiшнiми. При цьому необхiдно
слiдкувати за тим, що деякi дiаграми можуть бути забороненi згiдно
з певними законами збереження.
Взаємодiя електронiв iз фермiонами iнших поколiнь на при-
кладi електрон-нейтринної взаємодiї
Взаємодiя електрично заряджених лептонiв з електрично нейтраль-
ними лептонами (нейтрино) описується наступним доданком у СМ:
L
int =−A
n
(¯νnγµ(1−γ 5)enW +
µ+¯e nγµ(1−γ 5)νnW −
µ),(11.15)
де сума ведеться за всiма лептонними поколiннями (n=1,2,3– елек-
тронне, мюонне та тау-лептонiв поколiння),W
± – масивне векторне
заряджене поле ((W −)∗=W +), константаA=e/(2√ 2sinθ w),деθ w
— кут Вайнберга,sin 2θw=0.231.
Зазначимо, що (11.15) можна записати в симетричнiй формi як
L
int =−A
n
(jµ
(n) W +
µ+h.c.),(11.16)
де позначенняh.c.означає операцiю ермiтового спряження, а струм
j
µ
(n) =¯ν nγµ(1−γ 5)en— є такзванимзарядженимструмом. Справ-
дi, якщо у випадку електромагнiтної взаємодiї (див. (11.1)) у кожнiй
точцi дiаграми закон збереження заряду виконувався лише завдяки
лiнiям струмiв (нейтральнiструми) i переносниквзаємодiї (калiбру-
вальне полеA
µ) був електрично нейтральним, то для взаємодiї (11.15)
ситуацiя iнша — закон збереження електричного заряду в кожнiй
точцi дiаграми забезпечується лише одночасним внеском струмуj
µ
(n)
та переносника взаємодiї (калiбрувальне полеW ±-бозонiв є зарядже-
ним).
Для опису процесу взаємодiї у квантовiй теорiї поля в рамках тео-
рiї збурень треба перейти в представлення взаємодiї та зробити поля
операторними, тобто польовi функцiї слiд замiнити вторинно кванто-
ваними операторами вiдповiдних вiльних полiв. Також треба записати
ˆ
S-матрицю та ї ї розклад згiдно з (1.55).
Розглянемо реакцiю, пiд час якої електрон та мюонне нейтрино пе-
реходять у мюон та електронне нейтрино (e+ν
µ→µ+ν e). Для цього

Роздiл 11. Приклади процесiв в СМ125
нам знадобиться явний вираз длявторинно квантованого електрон-
ного, мюонного (11.5)–(11.8) i нейтринних полiв. Поля нейтриноν
n
входять у (11.15) якфермiоннi поля зm=0(див. Д.5.4). Запишемо
їх згiдно з (Д5.4.2):










⎩ˆ ν
n=
ξ=±1∞


k=−∞
1 2Vε
k

ˆ s
(n)
k,ξ νξ
(n)k e−ikx +ˆ
t +
(n)
k,ξ νξ
(n)−k eikx 
,
ˆ
¯ ν
n=
ξ=±1∞


k=−∞
1 2Vε
k

ˆ s +
(n)
k,ξ ¯ νξ
(n)k eikx +ˆ
t (n)
k,ξ ¯ νξ
(n)−k e−ikx 
,
(11.17)
де ми формально використалиˆ s(ˆs
+)таˆ
t(ˆ
t +)з вiдповiдними iндек-
сами для позначення операторiв народження-знищення нейтрино та
антинейтрино рiзних поколiнь та рiзних кiральностей
1(ξ).
Позначимо початковий стан електрона(p
1;µ 1), а кiнцевий стан мю-
она(p
3;µ 3); початковий стан мюонного нейтрино 2(p2;−1), а кiнцевий
стан електронного нейтрино(p
4;−1). Початковий та кiнцевий стани у
представленнi чисел заповнення мають вигляд
|(p
2;−1); (p 1,µ 1)=ˆs +
µ,2 ˆ a+
1|0;
|(p
4;−1); (p 3,µ 3)=ˆs +
e,4 ˆ
d+
3|0⇒(p 3,µ 3); (p 4;−1)|=0|ˆ
d 3ˆ se,4 .
(11.18)
Зазначимо, що умова (7.1) тут не спрацьовує, оскiльки за вiдсутно-
стi взаємодiїf|ˆ
1|i=0, а отже, порядокрозташування операторiв у
(11.18) є довiльним.
Перше незникаюче наближення буде в другому порядку теорiї збу-
рень:
S
(2)
fi =(p 3,µ 3); (p 4;−1)|ˆ
S (2) |(p 2;−1); (p 1,µ 1)=
=(−iA)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xˆ
T0|ˆ
d 3ˆ se,4 ×
1У СМ нейтрино з правою кiральнiстю не iснують. Однак формальний розклад
на лiво- та правокiральнi нейтрино використовувати можна. Множник1−γ 5=

P
−у(11.15) одночасно видiляє з нейтринної та лептонної функцiї лише частини
з лiвою кiральнiстю. Завдяки цьому нейтрино з правою кiральнiстю не ввiйдуть
у доданок взаємодiї.
2Кiральнiсть нейтрино, що бере участь у реакцiях СМ, дорiвнює(−1).

126Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
×&
ˆ
¯ ν e(x)γ χ(1−γ 5)ˆe(x)ˆ
W +
χ(x)+ˆ
¯ e(x)γ χ(1−γ 5)ˆνe(x)ˆ
W −
χ(x)+

¯ ν
µ(x)γ χ(1−γ 5)ˆµ(x)ˆ
W +
χ(x)+ˆ
¯ µ(x)γ χ(1−γ 5)ˆνµ(x)ˆ
W −
χ(x)+...'
×
×&
ˆ
¯ ν
e(x)γξ(1−γ 5)ˆe(x )ˆ
W +
ξ(x)+ˆ
¯ e(x )γξ(1−γ 5)ˆνe(x)ˆ
W −
ξ(x)+

¯ ν
µ(x)γξ(1−γ 5)ˆµ(x )ˆ
W +
ξ(x)+ˆ
¯ µ(x )γξ(1−γ 5)ˆνµ(x)ˆ
W −
ξ(x)+...'
×
׈ s
+
µ,2 ˆ a+
1|0,(11.19)
де ми не брали вирази для струмiв пiд знакнормального впорядку-
вання.
Зробимо маленький вiдступ та роз’яснимо цей момент. Нагадаємо,
що для квантової електродинамiки ми вимагали нормального впоряд-
кування оператора струму з вимоги, щоб струм у вакуумi дорiвнював
нулю (див. (1.55)). У випадку взаємодiї (11.15) вiдповiдний струм у
вакуумi автоматично дорiвнює нулю й оператор нормального впоряд-
кування не є обов’язковим. Рiзниця мiж випадком, коли ми поставимо
його чи нi, проявиться в теоремi Вiка, а саме в тому, чи буде iснува-
ти спарювання мiж елементами струму в однiй точцi. Однак, оскiль-
ки оператори народження фермiонних полiв рiзних типiв антикому-
тують, то легко показати, що спарювання мiж рiзними елементами
струму якв однiй, такi в рiзних точках, тобто,наприклад, мiжˆ
¯ ν
e(x)
таˆ e(x ),дорiвнюєнулю.
У(11.19) внесок, очевидно, буде лише вiд двох доданкiв:
S
(2)
fi =(p 3,µ 3); (p 4;−1)|ˆ
S (2) |(p 2;−1); (p 1,µ 1)=
=(−iA)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xˆ
T0|ˆ
d 3ˆ se,4 ×
×&
ˆ
¯ ν
e(x)γ χ(1−γ 5)ˆe(x)ˆ
W +
χ(x)·ˆ
¯ µ(x )γξ(1−γ 5)ˆνµ(x)ˆ
W −
ξ(x)+

¯ µ(x)γ
χ(1−γ 5)ˆνµ(x)ˆ
W −
χ(x)·ˆ
¯ ν e(x)γξ(1−γ 5)ˆe(x )ˆ
W +
ξ(x)'
×
׈ s
+
µ,2 ˆ a+
1|0.(11.20)
Згiдно з теоремами Вiка (5.2), (5.3) вираз (11.20) можна представи-
ти через суму спарювань. Нам необхiдно залишити вiльними зовнiшнi

Роздiл 11. Приклади процесiв в СМ127
лiнiї електрона, мюона та їх нейтрино, а лiнiїW-бозону треба зробити
внутрiшнiми, тобто провести за ними спарювання. Отже,
N
30
=(−iA)
2
2!

−∞∞

−∞
d4xd 4xiD ξχ(x−x )×
×&
0|ˆ s
e,4 ˆ
¯ νe(x)γ χ(1−γ 5)ˆe(x)ˆa +
1|00|ˆ
d 3ˆ
¯ µ(x )γξ(1−γ 5)ˆνµ(x)ˆs +
µ,2 |0+
+0|ˆ
d

¯ µ(x)γ χ(1−γ 5)ˆνµ(x)ˆs +
µ,2 |00|ˆ s e,4 ˆ
¯ νe(x)γξ(1−γ 5)ˆe(x )ˆa +
1|0'
=
=(−iA)
2
2!√ 2Vε 12Vε 22Vε 12Vε 4∞

−∞∞

−∞
d4xd 4xiD ξχ(x−x )×
×&
¯ ν
e,4 eip4xγχ(1−γ 5)υ1e−ip 1x·¯
V 3eip3xγξ(1−γ 5)νµ,2 e−ip 2x+

V
3eip3xγχ(1−γ 5)νµ,2 e−ip 2x·¯ νe,4 eip4xγξ(1−γ 5)υ1e−ip 1x'
.(11.21)
Останнiй рядоквiдрiзняється вiд передостаннього замiноюx↔x
,ξ↔
χ, вiдносно якої пропагаторD
ξχ(x−x )є симетричним. Отже, зi зна-
менника зникає2!:
S
(2)
fi =i(−iA)
2
√2Vε 12Vε 22Vε 32Vε 4∞

−∞∞

−∞
d4xd 4x∞
−∞
d4k
(2π) 4Dξχ(k)e −ik(x−x )×
×&
¯ ν
e,4 γχ(1−γ 5)υ1e−i(p 1−p 4)x ·¯
V 3γξ(1−γ 5)νµ,2 e−i(p 2−p 3)x'
=
=−iA
2(2π) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4) √2Vε 12Vε 22Vε 32Vε 4 Dξχ(p4−p 1)×
ׯ ν
e,4 γχ(1−γ 5)υ1·¯
V 3γξ(1−γ 5)νµ,2 .(11.22)

128Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
Очевидно, що дану формулу можна також записати за допомо-
гою правил дiаграмної технiки Фейнмана з розд. 9, якщо додати до
них лiнiї вiдповiдних фермiонiв та замiнити формулу, що вiдповiдає
точцi: коефiцiєнт(−ie)замiнити на(−iA), а матрицюγ
µзамiнити на
комбiнацiюγ µ(1−γ 5). Також слiд змiнити змiст внутрiшньої хвиля-
стої лiнiї, тепер вона вiдповiдатиме пропагатору векторного масив-
ного зарядженого поляW
±-бозону. При цьому, для внутрiшнiх лiнiй
W ±-бозону
30 .
Фермiонний розпад Хiґса на прикладi розпаду наe−e
+-пару
Для розгляду процесу розпаду бозону Хiґса на електрон-позитрон-
ну пару запишемо частину лагранжiана СМ, що вiдповiдає за взає-
модiю хiґсiвського поля з фермiонами:
L
int =−
k
mk
υ¯
f kfkh,(11.23)
деh– дiйсне скалярне хiґсiвське поле, а сума проводиться за всi-
ма фермiонами, що є в СМ, тобто за електронами, мюонами, тау-
лептонами та шiстьма кварками. Параметрυвизначає мiнiмум хiґсiв-
ського потенцiалу й вважається рiвним 247 ГеВ.
Якi ранiше, для опису процесу взаємодiї у квантовiй теорiї поля
в рамках теорiї збурень слiд перейти до представлення взаємодiї та
зробити поля операторними
ˆ
L
i,int =−
k
mk
υˆ
¯
f kˆ
fkˆ
h,(11.24)
деˆ
f– вторинно квантованi вiльнi фермiоннi поля,ˆ
h– скалярне поле
Хiґса. Тодi згiдно (1.55) розкладˆ
S-матрицi матиме вигляд
1:
ˆ
S=ˆ
Te
−iυ∞
−∞ d4xˆ
N[m eˆ
¯ e(x)ˆe(x)+m µˆ
¯ µ(x)ˆµ(x)+...]ˆ
h(x)
=
1Оператор нормального впорядкування тут є необхiдним. Якщо його не вво-
дити, то матимемо ненульове значення "скалярного" струмуˆ
¯
f

fkу вакуумi та
згiдно з теоремами Вiка нефiзичне ненульове спарювання мiжˆ
¯
f
k(x)таˆ
f k(x)в
однiй точцi.

Роздiл 11. Приклади процесiв в СМ129

1+
−i υ

−∞
d4xˆ
N[m eˆ
¯ e(x)ˆe(x)+m µˆ
¯ µ(x)ˆµ(x)+...]ˆ
h(x)+... ,(11.25)
де полеˆ
h(x)визначається як(див. (Д3.1.3)):
ˆ
h(x)=
∞

k=−∞
1 2Vε
k

ˆ
h

ke−ikx +ˆ
h +

keikx 
,(11.26)
вякомуˆ
h
+

k,ˆ
h
k— оператори народження, знищення бозонiв Хiґса з
4-iмпульсомk.
Позначимо початковий стан бозона Хiґса(p
1), а електрона та пози-
трона в кiнцевому станi як(p
2;µ 2)та(p 3;µ 3). Початковий та кiнцевий
стани в представленнi чисел заповнення мають вигляд:
|(p
1)=ˆ
h +
1|0;
(p
2,µ 2); (p 3,µ 3)|=0|ˆ a 2ˆ
b3,(11.27)
деˆ a
i,ˆ
b i(ˆ a+
i,ˆ
b +
i) – оператори знищення (народження) електронiв та
позитронiв вiдповiдно.
Перше незникаюче наближення буде вже в першому порядкуS-
матрицi вiд доданка, що мiстить електрон-позитронне поле:
S
(1)
fi =(p 2,µ 2); (p 3,µ 3)|ˆ
S (1) |(p 1)=
=−im
e
υ

−∞
d4x0|ˆ a 2ˆ
b3ˆ
N[ˆ
¯ e(x)ˆe(x)]ˆ
h(x)ˆ
h +
1|0=
=/(11.5),(11.6)/=−im
e
υ

−∞
d4x¯ υ 2υ−3 √2Vε 12Vε 22Vε 3ei(p1−p 2−p 3)x =
=−im
e
υ(2π)
4δ(p 1−p 2−p 3) √2Vε 12Vε 22Vε 3 ¯ υ2υ−3 .(11.28)
Очевидно, що цю формулу можна також записати за допомогою
правил дiаграмної технiки Фейнмана з розд. 9, якщо зробити такi
змiни. По-перше, ввести лiнiю скалярного поля (пунктирна пряма).
По-друге, змiнити формулу, що вiдповiдає точцi: коефiцiєнт(−ie)за-

130Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
мiнити на(−i·m f/υ)i забрати
γ-матрицю.
Зрозумiло, що формули для
розпаду бозона Хiґса на iншi
фермiони вiдрiзняються вiд
(11.28) лише змiною параметра
m
f. Отже, iмовiрнiсть розпаду

ppp321 ppp321



meme
p1p1
p2p2
p 3 p 3
h
e e
+ 

татиме зi зростанням маси фермiонiв.
РозпадZ-бозона на прикладi розпаду наe−e
+-пару
Розглянемо взаємодiю векторного поля з фермiонним на прикладi
розпадуZ-бозону. Вiдповiдний лагранжiан взаємодiї має вигляд:
L
int =−B
k
¯
fkγµ(gfkv −g fkaγ5)fkZµ,(11.29)
деZ
µ–µ-та компонента дiйсного (нейтрального) масивного вектор-
ного поля, а сума проводиться за всiма фермiонами, що є в СМ. Вiд-
повiдний фермiонний струм, з яким взаємодiєZ-бозон, є нейтраль-
ним. ПараметрB=e/sin 2θ
w, параметриg fkv,g fka визначаються ти-
пом фермiонiв i є вiдомими в СМ, їх чисельне значення для нас зараз
не є принциповим.
Перехiд до вторинно квантованої теорiї вiдбувається якi ранiше
ˆ
L
i,int =−B
k
ˆ
¯
fkγµ(gfkv −g fkaγ5)ˆ
fkˆ
Zµ,(11.30)
деˆ
f– вторинно квантованi вiльнi фермiоннi поля,ˆ
Z– векторне поле
Z-бозона. Тодi згiдно з (1.55) розкладˆ
S-матрицi матиме вигляд:
ˆ
S=ˆ
Te
−iB ∞
−∞ d4xˆ
N[ˆ
¯ eγ µ(ge
v−g e
aγ5)ˆe+...]ˆ
Z µ=

1+(−iB)

−∞
d4xˆ
N[ˆ
¯ eγ µ(ge
v−g e
aγ5)ˆe+...]ˆ
Z µ(x)+... ,(11.31)
в якому полеˆ
Z(x)визначається як(див. (Д4.1.12)):
ˆ
Z
µ(x)=
3
λ=1∞


k=−∞
1 2Vε
k

 λ
µ(
k)ˆz λ,
k e−ikx + ∗λ
µ (
k)ˆz +
λ,
k eikx 
,(11.32)

Роздiл 11. Приклади процесiв в СМ131
деˆ z λ,
k (ˆz+
λ,
k )є оператором знищення (народження) частинокз 4-iм-
пульсомkта поляризацiєюλ.
Розглянемо розпадZ-бозона на електрон-позитронну пару. Позна-
чимо початковий станZ-бозона(p
1;λ 1), а електрона та позитрона в
кiнцевому станi як(p
2;µ 2)та(p 3;µ 3). Потрiбно зробити все аналогiчно
до попереднього випадку розпаду бозона Хiґса, тодi отримаємо:
S
(1)
fi =(p 2,µ 2); (p 3,µ 3)|ˆ
S (1) |(p 1;λ 1)=
=(−iB)

−∞
d4x0|ˆ a 2ˆ
b3ˆ
N[ˆ
¯ e(x)γ µ(ge
v−g e
aγ5)ˆe(x)]ˆ
Z µ(x)ˆz +
1|0=
=(−iB)

−∞
d4x¯ υ 2γµ(ge
v−g e
aγ5)υ−3 λ1µ( p1) √2Vε 12Vε 22Vε 3 e−i(p 1−p 2−p 3)x =
=(−iB)(2π)
4δ(p 1−p 2−p 3) √2Vε 12Vε 22Vε 3 ¯ υ2λ1( p1)(g e
v−g e
aγ5)υ−3 .(11.33)
Очевидно, дану формулу можна також записати за допомогою
правил дiаграмної технiки з розд. 9, якщо замiнити формулу, що вiд-
повiдає точцi: коефiцiєнт(−ie)замiнити на(−iB), а матрицюγ
µзамi-
нити на комбiнацiюγ µ(ge
v−g e
aγ5). Також слiд змiнити змiст внутрiш-
ньої хвилястої лiнiї: тепер вона вiдповiдатиме пропагатору векторного
масивного нейтрального поляZ-бозона.
Отже, правила дiаграмної технiки Фейнмана справдi можуть
бути використанi в СМ. Необхiдно лише ввести додатковi лiнiї, що
вiдповiдають новим типам полiв та змiнити формулу, яка вiдпо-
вiдає точцi. Зазначимо, що в цьому випадку спарювання мiж вто-
ринно квантованими функцiями рiзних типiв полiв дають нульове
значення.
Завдання
1. Покажiть перехiд вiд (11.11)до(11.13).
2. Схематично зобразiть всi можливi дiаграмиe−µ-розсiяння в
четвертому порядку теорiї збурень.

132Частина 1. КЕД у нижчих порядках теорiї збурень
3. Розгляньте процесe−µ +-розсiяння в другому порядку теорiї
збурень.
4. Розгляньте процесe−e
+ анiгiляцiї з подальшим утворенням
париµ−µ +в другому порядку теорiї збурень.
5. Доведiть спiввiдношення
.
6. Виходячи з (11.22) запишiть дiаграму реакцiїe+ν
µ→µ+ν e.
Вкажiть, який саме з двох наявнихW ± бозонiв бере участь у
реакцiї, а також чому вiдсутня дiаграма, в якiй лiнiї виходу кiн-
цевих продуктiв реакцiї переставленi мiсцями.
7. Запишiть дiаграми та амплiтуди розсiянняe+ν
e→e +ν e за
участi нейтральних та заряджених векторних бозонiв у другому
та четвертому порядках теорiї збурень.
8. Виходячи з (11.33), запишiть дiаграму розпадуZ-бозона наe−
e
+-пару.

ЧАСТИНА I I
IМОВIРНIСТЬ РОЗПАДУ ТА ПЕРЕРIЗ
РОЗСIЯННЯ ЧАСТИНОК.
ПРИКЛАДИ РОЗРАХУНКIВ

РОЗДIЛ 12
Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння частинок.
Умова унiтарностi
Розглянемо два найбiльш важливих випадки опису взаємодiї ча-
стинокзгiдно з формулою (1.43). По-перше, процеси розпаду однiєї
частинки на двi та на три частинки. По-друге, процес взаємодiї (роз-
сiяння) двох частинок, що призводить до змiни їх станiв.
Розпад однiєї частинки на двi
Розглянемо розпад однiєї частинки на двi. ТобтоN
i=1,N f=2.
Нехай перша частинка має 4-iмпульсE
1,p 1, а двi утворенi:E 3,p3та
E
4,p4. Тодi ймовiрнiсть переходу системи з початкового стануiвкiн-
цевий станfза одиницю часу (1.43) дорiвнюватиме
dW
i→f
T=|M
fi|2
2E i dΦ 2=/(1.44)/=
=δ(E
1−E 3−E 4)δ( p 1− p 3− p 4)
25π2 ·|M fi|2
E1E3E4d3 p3d3 p4.(12.1)
Розглянемо процес розпаду в системi центра iнерцiї, тобто, коли
початкова частинка перебуває в станi спокою:
p
1=0,E 1=M,деM–
маса початкової частинки. Тодi
dW
i→f
T=δ(M−E
3−E 4)δ( p 3+ p 4)
25π2 ·|M fi|2
ME 3E4d3
p3d3 p4=Bd 3 p3d3
p4,
(12.2)
де лiтероюBдля зручностi позначимо частину виразу для ймовiр-
ностi переходу, що не включає в себе диференцiали за iмпульсами
кiнцевих частинок.
Отриманий вираз (12.2) визначає ймовiрнiсть розпаду однiєї ча-
стинки на двi iншi з характеристикамиp
3таp 4, що заданi з точнiстю
dp
3,dp 4. Однакцей вираз має явний недолiк: його важко порiвняти
з величинами, що експериментально спостерiгаються внаслiдок наяв-
ностi дельта-функцiй. Це природно, оскiльки в (12.2) забагато зайвої

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння135
iнформацiї. Величиниp 3,p 4не є довiльними, а пов’язанi законами
збереження, що мiстяться в аргументах дельта-функцiй.
Справдi, якщо знаємо
p
4, то однозначно вiдомо й
p 3. Отже, будемо
вимiрювати лише p
3, не звертаючи уваги яким буде
p 4. Математично
це буде вiдповiдати визначенню iмовiрностi переходу системи у стан
з фiксованим значенням
p
3та в усi стани за p 4, тобто iнтегруванню
поd 3
p4. При цьому фiзичне значення p 4автоматично отримується
завдяки наявностi вiдповiдної дельта-функцiї:

d
3 p4[Bd 3
p3]=δ(M−E 3−E 4)
25π2 ·|M fi|2
ME 3E4





p3=− p 4
·d 3
p3.(12.3)
Тепер необхiдно позбавитися вiд дельта-функцiї вiд енергiї, тобто
знайти ймовiрнiсть переходу в усi можливi стани за сумарною енер-
гiєю кiнцевих частинок проiнтегрувавши заd(E
3+E 4). Для цього
зазначимо, що
 p
3=− p 4 ⇒| p 3|2=| p 4|2⇒| p 3||dp 3|=| p 4||dp 4|;(12.4)
E
32 = p 32 +m 32 ⇒|E 3||dE 3|=| p 3||dp 3|;(12.5)
E
42 = p 42 +m 42 ⇒|E 4||dE 4|=| p 4||dp 4|.(12.6)
То д i
d(E
3+E 4)=| p 3||dp 3|
E3 +| p 4||dp 4|
E4 =
1 E3+1 E4

| p
3||dp 3|⇒(12.7)
dp
3=| p 3|2|dp 3|dΩ 3=E 3E4
E3+E 4d(E 3+E 4)| p 3|dΩ 3,(12.8)
i вираз (12.3) можна записати як

[Bd
3 p3]d3 p4=δ(M−E 3−E 4)d(E 3+E 4)
25π2 ·|M fi|2| p3|dΩ 3
M(E 3+E 4). p3=− p 4. (12.9)
Провiвши iнтегрування заd(E
3+E 4), отримаємо ймовiрнiсть роз-
паду за одиницю часу початкової частинки на двi частинки, одна з
яких має iмпульс, що за модулем дорiвнює| p
3|, а за напрямком зна-
ходиться в межах тiлесного кутаdΩ
3:

i→f =1 25π2·|M fi|2| p3|dΩ 3
M 2 .(12.10)

136Частина 2. Приклади розрахункiв
Значення модуля iмпульсу, спiльне для обох частинок, легко знай-
ти iз закону збереження енергiї, враховуючи, що| p
3|=| p 4|:
M=2
m2
3+| p 3|2+2 m2
4+| p 3|2.(12.11)
Воно визначається винятково значеннями мас кiнцевих частинок i ста-
новить
| p
3|=M 2S(M, m 3,m 4),(12.12)
деS(M, m
3,m 4)— безрозмiрна функцiя, що менша вiд одиницi:
S(M, m
3,m 4)=3
4
4
5
/
1−
m
3+m 4
M
26/
1−
m
3−m 4
M
26
.(12.13)
Оскiльки найменше можливе значення для модуля iмпульсу| p
3|
це нуль, то з (12.11) випливає, що процес розпаду частинки з масою
Mна частинки з масамиm
3таm 4є енергетично незабороненим лише
за умови
M≥m
3+m 4.(12.14)
Повна ймовiрнiсть розпаду за одиницю часу буде, вiдповiдно,
Γ=
dΓ.(12.15)
У випадку, коли ймовiрнiсть розпаду не залежить вiд напрямку
1,в
якому частинки розлiтаються, вираз (12.10) можна проiнтегрувати за
тiлесним кутом та отримати значення повної ширини двочастинкового
розпаду частинки з масоюMу системi центра iнерцiї на частинки з
масамиm
3таm 4у виглядi
Γ=|M
fi|2| p3|
8πM 2 =1 16πM·|M fi|2S(M, m 3,m 4),(12.16)
де при обчисленнi функцiї|M
fi|2треба використовувати значення мо-
дуля iмпульсу частинок, що розлiтаються (12.12). Зазначимо, що у
1Для частинок зi спiном з певною поляризацiєю в загальному випадку зазна-
чена умова не виконується, оскiльки величина

M
fi
2може залежати вiд кута
мiж напрямком спiну початкової частинки та напрямком iмпульсу частинок, що
розлiтаються.

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння137
випадку, коли в кiнцевому станi буде двi тотожнi частинки, згiдно з
розд. 1, результат вираз для ширини розпаду слiд роздiлити на 2.
Якщо частинка може розпадатися по декiлькох каналах реакцiї,
то повна ймовiрнiсть розпаду буде
Γ=
i
Γi,(12.17)
деΓ
i– iмовiрнiсть розпаду вi-му каналi.
Отже, розпад частинокхарактеризується ймовiрнiстю розпаду за
одиницю часуΓ(шириною розпаду). Її можна розумiти яквiдношен-
ня кiлькостi частинок, що розпалися за одиницю часу до загальної
кiлькостi частинок.
Розглянемо систему з багатьох частинок(N), що розпадається.
Очевидно, що змiна кiлькостi частинок з часом пропорцiйна кiлькостi
цих частинокз коефiцiєнтом пропорцiйностiΓ:
dN/dt=−ΓN.(12.18)
Отже, кiлькiсть частинок, що не розпалися до певного моменту
часуt:
N=N
0e−Γ(t−t 0),(12.19)
деN
0— початкова кiлькiсть частинок у момент часуt 0. Зазначимо,
що розпад частинки має ймовiрносний характер – формула (12.23)
описує розпад сукупностi частинок, а коли саме розпадеться конкрет-
но видiлена частинка не вiдомо.
Очевидно, що ширина розпаду має розмiрнiсть оберненого часу
або енергiї. Загальновживаним є вимiрювання ширини розпаду ча-
стинокв енергетичних одиницях (МеВ, ГеВ тощо). Характерний час
життя частинки визначається як
τ=1/Γ.(12.20)
В загальному випадку, коли нестабiльна частинка масоюMта з
енергiєюEрухається зi швидкiстюvто, згiдно з теорiєю вiдносностi,
ї ї час життя зростає
τ
=τ 1−β 2=γτ,(12.21)

138Частина 2. Приклади розрахункiв
деβ=v/c,c– швидкiсть свiтла. Ймовiрнiсть того, що частинка буде
iснувати протягом часуt
0i не розпадеться визначається як
P=e
−t0Γ/γ =e −t0ΓM/E .(12.22)
Поряд з визначенням характерного часу життя для нестабiльної
частинки, що рухається зi швидкiстюv, зручно також ввести поняття
характерної довжини пробiгу, яку проходить частинка перед тим як
розпадеться:
L=τγv=τ| p|/M ,(12.23)
та ввести ймовiрнiсть того, що при проходженнi шляхуx
0вона не
розпадеться:
P=e
−x 0Γ/(vγ) =e −x 0ΓM/| p| .(12.24)
Поняття довжини пробiгу є надзвичайно важливим з практичної точ-
ки зору, адже воно безпосередньо визначає на якiй вiдстанi вiд об-
ластi народження нестабiльних частинокслiд ставити детектори для
реєстрацiї цих частинокабо продуктiв їх розпаду.
Розпад однiєї частинки на три частинки
Розглянемо розпад однiєї частинки на три частинки, тобтоN
i=2,
N
f=3. Нехай початкова частинка має масуMта 4-iмпульсP,атри
нових частинки мають масиm
1,m 2,m 3та 4-iмпульсиp 1,p 2,p 3.
Вiдразу зазначимо, що якщо всi частинки, що беруть участь у
реакцiї безспiновi, або процес усереднений за спiновими iндексами,
то розпад характеризується лише двома незалежними кiнематични-
ми змiнними. Справдi, стан трьох кiнцевих частинок повнiстю визна-
чається векторами їх iмпульсiв, отже маємо3×3=9змiнних. На
них накладається 4 обмеження, що визначаються законами збережен-
ня енергiї та iмпульсу. Якщо перейти у систему вiдлiку, де початкова
частинка покоїться, то стає зрозумiлим, що розпад на три частинки
є iзотропним i не залежить вiд початкової орiєнтацiї системи вiдлiку.
Це означає, що слiд вiдняти ще три змiннi (три кутовi змiннi), що ха-
рактеризують орiєнтацiю системи як цiлого. В результатi отримуємо
9−4−3=2незалежнi змiннi. За звичай, в якостi двох незалеж-
них кiнематичних змiнних обирають двi лоренц-iнварiантнi величини
з трьох наступних:
m
2
12 =(p 1+p 2)2;m 2
23 =(p 2+p 3)2;m 2
13 =(p 1+p 3)2,(12.25)

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння139
деm ij – ефективнi маси, що пов’язанi мiж собою спiввiдношенням
m
2
12 +m 2
23 +m 2
13 =s+m 2
1+m 2
2+m 2
3,(12.26)
деs=(p
1+p 2+p 3)2=P 2=M 2.
Ймовiрнiсть переходу системи з початкового стануiв кiнцевий
станfза одиницю часу (1.43) дорiвнюватиме
dW
i→f
T=dΓ=|M
fi|2
2EdΦ 3=/(1.44)/=
=|M
fi|2
2E(2π)
4δ3(
P−
p 1−
p 2−
p 3)δ(E−E 1−E 2−E 3)18(2π) 9
dp 1dp 2dp 3
E1E2E3 .
(12.27)
Розглянемо процес розпаду в системi центра iнерцiї, тобто, коли
початкова частинка перебуває в станi спокою:
P=0,E=Mта проiн-
тегруємо заdp
2:
dΓ=|M
fi|2
16M(2π) 5δ(E−E 1−E 2−E 3)dp 1dp 3
E1E2E3,(12.28)
де
p
2=−( p 1+
p 3)та
E
2
2=m 2
2+( p 1+
p 3)2=m 2
2+ p 12 + p 32 +2| p 1|| p 3|cosθ 13.(12.29)
Врахувавши (12.4), запишемо теперdp
1dp 3в сферичнiй системi вiд-
лiку
dp
1dp 3=| p 1|2d| p 1|dΩ 1| p3|2d| p 3|dΩ 3=| p 1|E 1dE 1dΩ 1| p3|E 3dE 3dΩ 3,
(12.30)
деdΩ
1=sinθ 1dθ1dϕ 1,dΩ 3=sinθ 13 dθ13dϕ 3,кутиθ 1,ϕ 1обранi вiд-
носно довiльної вiсi у просторi, кутиθ
13,ϕ 3обранi вiдносно напрямку
вектора
p
1. Тодi отримаємо
dΓ=|M
fi|2
16M(2π) 5δ(E−E 1−E 2−E 3)| p 1|dE 1dΩ 1| p3|dE 3dΩ 3
E2 .(12.31)
Згiдно з виразом (12.29) змiна значення кутаθ
13, при сталих зна-
ченнях модулiв iмпульсiв, призводить до змiни енергiї 2 частинки:
sinθ
13dθ13 =E 2dE 2
| p1|| p 3|.(12.32)

140Частина 2. Приклади розрахункiв
Використавши цей факт,зведемо iнтегрування заθ 13 до iнтегрування
заdE
2та отримаємо:
dΓ=|M
fi|2
16M(2π) 5dE 1dE 3dϕ 3dΩ 1.(12.33)
Вважаючи, що|M
fi|2не залежить вiд кутових величин, проiнтегруємо
за кутовими змiнними та отримаємо
dΓ=|M
fi|2
8M(2π) 3dE 1dE 3.(12.34)
Замiсть iнтегрування за енергiями частинок, можна перейти до iн-
тегрування за ефективними масами, згiдно зi спiввiдношеннями (12.25):
m
2
12 =(p 1+p 2)2=(P−p 3)2=M 2+m 2
3−2ME 3, тобтоdm 2
12 =−2MdE 3.
Аналогiчно отримаємоdm 2
23 =−2MdE 1. Отже, можна записати
dΓ=|M
fi|2
32M 3(2π) 3dm 2
12 dm 2
23.(12.35)
Отже ми справдi отримали залежнiсть ширини розпаду лише вiд
двох кiнематичних параметрiв (E
1,E 3абоm 12,m 23). Визначимо дiа-
пазон можливих значень нових змiнних:m 2
ij=(p i+p j)2=(P−p k)2.
Очевидно, що найменше значенняm 2
ij буде для нерухомих частинок
min(p
i+p j)2=(m i+m j)2, а максимальне значення визначається
(P−p
k)2=(M−m k)2, отже
(m
1+m 2)2m 2
12 (M−m 3)2,(12.36)
(m
3+m 2)2m 2
23 (M−m 1)2.(12.37)
Спiввiдношення (12.29) визначає граничнi (мiнiмальне та макси-
мальне) значення енергiїE
2:
E
2
2max/min =m 2
2+ p 12 + p 32 ±2| p 1|| p 3|=m 2
2+E 2
1−m 2
1+E 2
3−m 2
3±2| p 1|| p 3|
(12.38)
З системи рiвнянь, що записана у системi вiдлiку, де початкова ча-
стинка нерухома
m
2
12 =(P−p 3)2=M 2+m 2
3−2ME 3,(12.39)
m
2
23 =(P−p 1)2=M 2+m 2
1−2ME 1,(12.40)
m
2
13 =(P−p 2)2=M 2+m 2
2−2ME 2,(12.41)

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння141
можна виразити енергiї частинокчерез ефективнi маси:
E
1=M
2+m 2
1−m 2
23
2M,E 2=M
2+m 2
2−m 2
13
2M,E 3=M
2+m 2
3−m 2
12
2M.
(12.42)
Згiдно з (12.26) параметрm
2
13 можна виразити через iншi ефективнi
маси:m 2
13 =s+m 2
1+m 2
2+m 2
3−m 2
12 −m 2
23. Пiдставивши вирази для
енергiй частинок(вираженi через ефективнi маси) у спiввiдношення
(12.38), що визначає граничнi значення енергiї частинок, ми отримає-
мо вираз вiд двох параметрiвm
2
12 таm 2
23, з якого можна явним чином
виразити граничнi значення параметраm2
23 черезm 2
12:
m
2
23max/min =M
2+m 2
1+m 2
2+m 2
3−m 2
12
2+
+(M 2−m 2
3)(m 2
2−m 2
1)± λ(M 2,m 2
3,m 2
12)λ(m 2
1,m 2
2,m 2
12)
2m 2
12 ,(12.43)
деλ(a, b, c)=a
2+b 2+c 2−2ab−2ac−2bc. Графiчнi представлення об-
ластi дозволених кiнематичних параметрiв, що описують тричастин-
ковий розпад, отримали назвудiаграм Далiца. Спiввiдношення (12.43)
безпосередньо дозволяють побудувати дiаграму Далiца в площинi па-
раметрiв(m
2
12,m 2
23), див. рис.12.1. Область дозволених параметрiв
знаходиться всерединi отриманого трикутника. Значення параметрiв
ззовнi наведеного трикутника не є фiзичними, оскiльки суперечать
законам збереження енергiї-iмпульсу в реакцiї.
2000
1000
1000 2000
m232
m122
Рис. 12.1.Дiаграма Далiца для розпаду частинки масою 50 МеВ
на три частинки з рiвними масами 5 МеВ.

142Частина 2. Приклади розрахункiв
Сама по собi форма дiаграми Далiца може сказати лише про маси
кiнцевих частинок. Набагато цiкавiшим є розподiл подiй в межах дiа-
грами Далiца, тобто якi значення точокm
2
12,m 2
23 бiльше або менше
реалiзуються в експериментах. Це визначається залежнiстюM 2
fi вiд
зазначених координат та дiєю законiв збереження (дискретнi симет-
рiї). Розгляд цих питань виходить за межi даного курсу, див. деталь-
нiше [20].
Розсiяння частинок
Розглянемо процес розсiяння однiєї частинки на iншiй. Нехай до
взаємодiї частинки характеризуються 4-iмпульсом i масою(p
1,m 1)
та(p
2,m 2), а пiсля взаємодiї –(p 3,m 3)та(p 4,m 4), вiдповiдно. Тобто
N
i=2,N f =2, тодi ймовiрнiсть переходу системи з початкового
стануiв кiнцевий станfза одиницю часу (1.43) дорiвнюватиме:
dW
i→f
T=δ(E
1+E 2−E 3−E 4)δ( p 1+ p 2− p 3− p 4)
V2 6π2 ·|M fi|2d3 p3d3 p4
E1E2E3E4 .
(12.44)
Розглянемо процес у системi центра iнерцiї:
dW
i→f
T=δ(E
1+E 2−E 3−E 4)δ( p 3+
p 4)
V2 6π2 ·|M fi|2d3
p3d3 p4
E1E2E3E4 .(12.45)
За аналогiєю з проробленим вище описом розпаду частинки вираз
(12.45) можна проiнтегрувати заdp
4i, враховуючи, що спiввiдношен-
ня (12.8) справедливе, i в цьому випадку,проiнтегрувати за сумарною
енергiєю кiнцевих частинок. Таким чином, отримаємо ймовiрнiсть пе-
реходу за одиницю часу двох початкових частинок у двi кiнцевi ча-
стинки, одна з яких має iмпульс, що за модулем дорiвнює| p
3|,аза
напрямком знаходиться в межах тiлесного кутаdΩ
3:

i→f =1 V·1 26π2·|M fi|2| p3|dΩ 3
E1E2E,(12.46)
деE=E
1+E 2=E 3+E 4– iнварiант руху в системi.
З явного вигляду (12.46) випливає, що дана величина не є одно-
значно заданою (величинаVможе бути задана довiльно великою).
Бiльш того, коли зробити фiзичний перехiдV→∞, то ймовiрнiсть

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння143
процесу буде прямувати до нуля. У цьому немає нiчого дивного, оскiль-
ки в нашiй постановцi задачi в початковому станi ми мали двi частин-
ки, що довiльно розташованi в нескiнченно великому просторi. Ми
довiльно задали напрямокїх iмпульсiв i при цьому, звичайно, ймовiр-
нiсть того, що цi частинки пiдiйдуть одна до одної на якусь кiнцеву
вiдстань, на якiй вони зможуть провзаємодiяти, прямує до нуля. Тобто
спiввiдношення (12.46) не придатне для практичного використання, i
його потрiбно довизначити.
Згадаємо визначення перерiзу розсiяння [10].У випадку, коли
потiк частинок летить на нерухому незмiнну мiшень (так званий розсi-
ювальний центр) перерiз розсiяння визначається як вiдношення кiлькостi
частинокN, що розсiялись за одиницю часу, до загальної кiлькостi ча-
стинокN
0, що проходять за одиницю часу через одиницю поверхнi площi
поперечного перерiзу пучкаS(тобто до поверхневої густини частинок за
одиницю часуn=N
0/S):
σ=N
n=N N0S,[σ]=[довжина] 2.(12.47)
Тодi, якiсно можна розумiти величину перерiзу розсiяння як прицiльної
площi(N=/формально/=nσ), в яку має потрапити частинка, щоб хоч
якось змiнити свої характеристики (розсiятися).
Вводять також поняття диференцiйного перерiзу розсiянняdσ,що
визначається якdσ=dN/n,деdN— кiлькiсть частинок, що розсiялись
за одиницю часу та мають певнi видiленi характеристики (наприклад,
розсiялись у певному кутовому дiапазонi). Величинаdσповнiстю визна-
чається законом взаємодiї частинок з мiшенню i є головною характери-
стикою процесу розсiяння.
У випадку зiткнення пучкiв частинок визначення перерiзу розсiяння
модифiкується. Нехай iснує один пучок частинок з об’ємною густиною
частинокn
1(пiдкреслюємо, об’ємна, а не поверхнева густина, як в попе-
редньому випадку) i швидкiстю частинок в ньомуv
1(4-iмпульсом кожної
з частинок пучкаp
1) та другий пучок з характеристиками, вiдповiдно,
n
2,v 2(p2). Нехай частинки в цих пучках будуть напрямленi назустрiч
одна однiй. У системi вiдлiку, в якiй частинки 2 нерухомi задача зводить-
ся до зiткнення частинок пучка 1 з нерухомою мiшенню. У цьому випадку
кiлькiсть зiткнень, що вiдбуваються в об’ємiVвпродовж часуt, дорiвнює
N=σv
вiднn
1n2Vt,(12.48)
деσ— перерiз розсiяння, характеристика взаємодiї частинок пучкiв мiж
собою,v
вiдн—швидкiстьчастинок1усистемiвiдлiку,вякiйчастинки2

144Частина 2. Приклади розрахункiв
нерухомi. У наведеному виразin 2Vможна розумiти як кiлькiсть части-
нок мiшенi в об’ємiV,аσv
вiднtn
1— як кiлькiсть частинок 1, що взяли
участь у взаємодiї.
Кiлькiсть зiткнень є величиною iнварiантною. Спробуємо записати її
в довiльнiй системi вiдлiку у виглядi
N=An
1n2Vt,(12.49)
деA– величина, яку ми далi визначимо. ПроAвiдомо лише те, що в
системi спокою частинок мiшенiA=σv
вiдн.При цьому пiдσми бу-
демо завжди мати на увазi перерiз розсiяння в системi вiдлiку,
де мiшень перебуває у спокої.
Оскiльки комбiнацiяVt
1є iнварiантною величиною щодо перетворень
Лоренца, то комбiнацiяAn
1n2також має бути iнварiантом. Вiдомо, що
кiлькiсть частинок є iнварiантомnV=inv, де об’єм змiнюється як
V=V
0√1−v 2, а знак 0 означає приналежнiсть до системи спокою ча-
стинок. Отже густина частинок веде себе якn=n
0/√ 1−v 2=n 0E/m,
деE=m/√
1−v 2— є енергiєю частинки. Тодi iнварiантом буде також
величинаAE
1E2,деE 1(2) — енергiї кожної з частинок першого (другого)
пучка. Бiльш зручно записати iнварiант у виглядi
AE
1E2
p1p2 =inv,(12.50)
оскiльки в системi спокою частинок 2 цей iнварiант, як легко перекона-
тись, дорiвнює А. З iншого боку, у цiй системi вiдлiкуA=σv
вiдн.Отже,
в довiльнiй системi вiдлiку
A=invp
1p2
E1E2=σv
вiднp 1p2
E1E2.(12.51)
Вираз дляv
вiднлегко отримати, використавши 4-добутокp
1p2.Уси-
стемi спокою частинки 2:
p
1νpν
2=m 1m2 21−v 2вiдн⇒v
вiдн=7
1−m 2
1m2
2
(p1p2)2.(12.52)
Остаточно кiлькiсть зiткнень можна записати як
N=σ
(p1p2)2−m 2
1m2
2
E1E2 n1n2Vt,(12.53)
1При лоренцевих бустахV=V 0√1−v 2,t=t 0/√ 1−v 2. Нижнiй знак 0 означає
приналежнiсть до системи спокою частинок.

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння145
звiдки для перерiзу розсiяння отримаємо
σ=N
n1n2VtE
1E2 (p1p2)2−m 2
1m2
2.(12.54)
У теорiї поля взаємодiя вiдбувається в усьому об’ємiV→∞за весь
часT→∞, тодi
σ=1
TNN1N2
VE 1E2 (p1p2)2−m 2
1m2
2=1 TNN1N2
1
j,(12.55)
деN
1,N 2— кiлькiсть частинок у пучках, 1TNN1N2— iмовiрнiсть пере-
ходу системи за одиницю часу з одного стану в iнший (див.(1.43)), аj
визначається як
j=I
VE 1E2,деI=2 (p1p2)2−m 2
1m2
2.(12.56)
Зазначимо, що величиниjтаIвизначаються лише за характеристиками
двох частинок (однiєї з частинок у першому та iншої в другому пучку).
Можна показати, що в системi центра iнерцiї
I=|
p
1|(E 1+E 2).(12.57)
Врахувавши, що
p
1=−
p 2,|
p 1|=|
p 2|та
p=E
vприходимо до висновку, що
величинаjза фiзичним змiстом є об’ємною густиною потоку частинок,
що провзаємодiють:
j=|
p|
V
1 E1+1 E2

=|
v 1|+|
v 2|
V,(12.58)
де
v
1,
v2— швидкостi частинок 1.
Зауважимо, що за допомогою визначення повного перерiзу розсiяння
(12.48)можна визначити довжину вiльного пробiгуlта характерний час
мiж зiткненнями частинокτ. Справдi, щоб визначити зазначенi харак-
теристики для однiєї частинки сорту 1 треба в(12.48)покластиn
1V=1
та розглядати випадок, коли вiдбувається лише одне зiткнення, тодi
τ
1=1 σv
вiднn 2;l 1=v
вiднτ 1.(12.59)
Поняття диференцiйного перерiзу розсiянняdσвводиться аналогiчно:
замiстьNвводитьсяdN, що представляє кiлькiсть подiй взаємодiї, вна-
слiдок яких частинки отримали певнiвидiленi характеристики (напри-
клад, розсiялись у певному кутовому дiапазонi).
1Об’ємна густина потоку частинок, що летять назустрiч одна однiй,
j=n 1v1−
n
2v2. У випадку двох частинокn 1=n 2=N 1,2 /V=1/V, тобто
j=(v 1−v 2)/V.
То д i|
j|=|v
1−v 2|/V=(|v 1|+|v 2|)/V, що й узгоджується з (12.58)

146Частина 2. Приклади розрахункiв
Замiсть спiввiдношення (12.46), що виражає ймовiрнiсть переходу
системи за одиницю часу з одного стану в iнший, для опису взаємодiї
частинокбудемо використовувати перерiз розсiяння (12.55), (12.56),
яквiдношення ймовiрностi переходу системи за одиницю часу зi стану
iвстанfдо об’ємної густини потоку частинок, що провзаємодiють
dσ=dΓ
i→f
j.(12.60)
Отже, розсiяння двох частиноку системi центра iнерцiї (див. (12.56),
(12.57)) описується диференцiйним перерiзом розсiяння у формi

i→f =/(12.46)/=1 64π 2·|M fi|2
E2
| p3|
| p1|dΩ 3,(12.61)
деE=E
1+E 2— повна енергiя системи. Якщо в результатi взаємодiї
тип частинокне змiнився (не змiнилися їх маси), то| p|=| p
1|=| p 2|=
| p
3|=| p 4|i вираз для перерiзу спрощується:

i→f =1 64π 2
|M fi|2
E2 dΩ 3.(12.62)
Зазначимо, що наведений вираз (12.60) можна застосовувати i у
випадку, коли кiлькiсть початкових частинокN
i=2, а кiлькiсть кiн-
цевих частинокN
fбудь-яка. Справдi, дане визначення позбавляє вiд
об’єму у виразi для ймовiрностi переходу (1.43), куди об’єм входить у
ступенiV
1−N iнезалежно вiд кiлькостi кiнцевих частинокN f.
Зауважимо, якщо в кiнцевому станi будутьNтотожнiх частинок,
то згiдно з розд. 1 результат iнтегрування потрiбно роздiлити наN!.
З явного визначення перерiзу розсiяння (12.47) випливає, що його
слiд вимiрювати в одиницях площi. У фiзицi елементарних частинок,
атомнiй та ядернiй фiзицi загальновживаною одиницею вимiру пере-
рiзу реакцiй є барни
1: 1 барн=10 −24 см 2= 100фм 2, що грубо вiдпо-
вiдає площi перерiзу атомного ядра (радiус протона∼1фм). Широко
використовуються також похiднi одиницi, наприклад: мегабарн (Мб,
10
−18 см 2), кiлобарн (кб,10 −21 см 2), мiллiбарн (мб,10 −27 см 2), мiкро-
барн (мкб,10 −30 см 2), нанобарн (нб,10 −33 см 2), пiкобарн (пб,10 −36
см 2), фемтобарн (фб,10 −39 см 2), аттобарн (аб,10 −42 см 2).
1Барн походить вiд англ.ba r n, що означає комора, сарай. Назва пов’язана з
тим, що бiльшiсть реакцiй в ядернiй фiзицi мають перерiз набагато менший за 1
барн. Для них величина 1 барн така ж велика як комора.

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння147
Корисно навести перехiдне спiввiдношення мiж барами та енерге-
тичними одиницями:
1пб≈2.568·10
−9 Ге В −2 .(12.63)
Вираз (12.55) корисно записати у виглядi
dN
i
dt=σ iN1N2j,(12.64)
що визначає кiлькiсть подiй в залежностi вiд характеристик почат-
кових пучкiв (i– канал реакцiї). Такий запис є зручним для аналiзу
(визначення перерiзу) процесiв, що можуть вiдбуватися при взаємодiї
одних i тих самих пучкiв початкових частинок. Наприклад, приe−e
+
абоp−p + зiткненнях на сучасних прискорювачах кiнцевi продукти
реакцiї мiстять майже всi частинки Стандартної моделi, див. деталь-
нiше розд.19. Тодi вираз (12.64) можна записати у виглядi
dN
i
dt=σ iL,(12.65)
де величинаLотримала назву свiтностi (luminosity) та є характери-
стикою потокiв взаємодiючих частинок. Вводять також iнтегральну
характеристику
N
i=σ iL,(12.66)
деL– iнтегральна свiтнiсть,N
i– кiлькiсть подiй у каналiiпротягом
певного часу спостережень. З останнього визначення зрозумiло, що
розмiрнiсть iнтегральної свiтностi є протилежною розмiрностi перерi-
зу реакцiї. Свiтнiсть вимiрюють у барн
−1 .
Тодi знайшовши свiтнiсть для реакцiї, перерiз якої добре вiдомий
(наприклад, утворенняµ−µ
+ пари), перерiз iнших реакцiй можна
визначити знаючи лише кiлькiсть вiдповiдних подiй:
σ
x=N x/L.(12.67)
Розсiяння в зовнiшньому постiйному полi
Коли частинка розсiюється у зовнiшньому постiйному полi або у
випадку, коли в системi центра iнерцiї одна частинка з(E
i1,pi1)роз-
сiюється на набагато важчiй вiд неї частинцi 1(E i2,0), енергiя легшої
1У цьому випадку в системi центра iнерцiї важча частинка може розглядатися
як нерухоме джерело постiйного зовнiшнього поля.

148Частина 2. Приклади розрахункiв
частинки не змiнюється, а змiнюється лише напрямок ї ї iмпульсу. То-
му замiсть (1.34) потрiбно представлятиS-матрицю у виглядi
ˆ
S
fi =δ fi +i2πT fiδ⎛

Nf
β=1
Efβ −E i1


,(12.68)
де ми врахували, що початкова частинка пiсля взаємодiї може розпа-
стися наN
fкiнцевих частинок.
Дiючи за аналогiєю з (1.34)–(1.43), отримаємо ймовiрнiсть пере-
ходу за одиницю часу з початкового стануiв множину станiв поблизу
кiнцевого стануf:

Γ
i→f =(2π)

Nfβ=1 Efβ −E i1

2VE i1 |M fi|2N f
β=1
d3
pfβ
(2π) 32E fβ .(12.69)
Перерiз розсiяння отримується згiдно з (12.60). У системi центра
iнерцiїj=| p
i1|/(VE i1)згiдно з (12.56), (12.57) у наближеннiE i2 →∞:
dσ=d˜
Γ
i→f
j=(2π)δ

Nfβ=1 Efβ −E i1

2| p i1||M fi|2N f
β=1
d3
pfβ
(2π) 32E fβ .
(12.70)
У випадку пружнього розсiяння, тобто коли в кiнцевому станi зали-
шилась та сама частинка, можна записатиd
3
pf1 =| p f1|2dp f1dΩ=
| p
f1|E f1dE f1dΩта| p f1|=| p i1|. Тодi, проiнтегрувавши за енергiєю,
отримаємо
dσ=1
16π 2|M fi|2dΩ.(12.71)

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння149
Кiнематичнi iнварiанти
Якщо при розсiяннi частинок у початковому та кiнцевому станах
перебувають по двi частинки, то незалежно вiд сорту частинок та
закону їх взаємодiї будуть виконуватися закони збереження чотири-
iмпульсу:
q
1+q 2+q 3+q 4=0,(12.72)
де будь-якi два 4-iмпульси належать до початкових частинок (q
0
i>0),
а iншi два — до кiнцевих частинок (q 0
f<0).
З даними чотирма частинками можливi такi реакцiї:
1+23+4(12.73)
1+¯
3¯
2+4(12.74)
1+¯
4¯
2+3,(12.75)
де цифрами позначенi вiдповiднi частинки, а цифрами з рисками —
античастинки.
Цi три реакцiї називають перехресними каналами однiєї узагаль-
неної реакцiї (див. розд. 9). Для реакцiї (12.73)q
1=p 1,q 2=p 2,
q
3=−p 3,q 4=−p 4i т.д. Наприклад, якщо частинки 1,3 електрони,
а 2,4 фотони, то (12.73), (12.75) — це електрон-фотонне розсiяння, а
реакцiя (12.74) — електрон-позитронна анiгiляцiя або утворення фо-
тонами електрон-позитронної пари (якщо стрiлка в реакцiї злiва).
Iз чотирьох 4-iмпульсiв можна утворити лише двi незалежнi iн-
варiантнi величини. По-перше, рiвнiсть (12.72) зводить кiлькiсть неза-
лежних параметрiв до трьох. По-друге, з трьох величин, наприклад
q
1,q2,q3, можна утворити шiсть iнварiантiв, серед якихq 12,q22,q32
дорiвнюють квадратам мас частинок, а iншi (q 1q2,q1q3,q2q3) пов’язанi
умовою
(q
1+q 2+q 3)2=q 42 =m 42.(12.76)
Як iнварiантнi параметри, керуючись зручнiстю використання, оби-
рають не два, а три параметри, що отримали назвузмiнних Мандель-
штама:
s=(q
1+q 2)2=(q 3+q 4)2;(12.77)
t=(q
1+q 3)2=(q 2+q 4)2;(12.78)
u=(q
1+q 4)2=(q 2+q 3)2,(12.79)
що пов’язанi мiж собою спiввiдношенням
s+t+u=m
12 +m 22 +m 32 +m 42.(12.80)

150Частина 2. Приклади розрахункiв
Параметрsмає простий фiзичний змiст для реакцiї (12.73)уси-
стемi центра iнерцiї, в якiй
q
1=p 1=(E 1,p1),q 2=p 2=(E 2,− p 1),
q
3=−p 3=(−E 3,− p 3),q 4=−p 4=(−E 4,p3).(12.81)
Тобтоsє квадратом повної енергiї початкових або кiнцевих частинок
у реакцiїs=(E
1+E 2)2 =(E 3+E 4)2. Аналогiчний змiст мають
параметриt, uдля реакцiй (12.74)та(12.75), вiдповiдно. У зв’язку
з цим реакцiї (12.73)–(12.75) називають реакцiямиs,tтаuтипу,
вiдповiдно.
Повернемося тепер до виразу для перерiзу розсiяння в системi цен-
тра iнерцiї у випадку, коли тип частинок при взаємодiї не змiнюється
(12.62) (тобто нехайm
1=m 3,m 2=m 4, вiдповiдноE 1=E 3,E 2=E 4)
i спробуємо записати вираз для перерiзу в iнварiантному виглядi.
В означеннi (12.62) величина|M
fi|2є iнварiантом при перетворен-
нях Лоренца, а кутова частинаdΩ
3буде змiнюватися при переходi
вiд однiєї системи вiдлiку до iншої. Щоб коректно записати кутову
частину, використаємо означення
t=(q
1+q 3)2=/(12.81)/=(p 1−p 3)2=
=m
12 +m 22 −2E 2
1+2| p 1|| p 3|cosθ,(12.82)
деθ– кут мiж векторами p
1та
p 3(у системi центра iнерцiї модулi
iмпульсiв однаковi| p
1|=| p 3|). Вважаючи, що енергiї початкових ча-
стинокфiксованi, отримаємо
dt=2| p
1|2d(cosθ),(12.83)
тобто
dΩ
3=sinθdθdϕ=dϕ d(−t) 2| p 1|2 .(12.84)
Пiдставимо останнiй вираз у (12.62) та отримаємо диференцiаль-
ний перерiз розсiяння в iнварiнтнiй формi до перетворень Лоренца,
що не змiнюють напрямоквiдносного руху частинок
1
dσ i→f =1 64π 2
|M fi|2
2| p 1|2E2dϕ d(−t)=1 64π|M
fi|2
I2

2πd(−t),(12.85)
1При таких перетвореннях величинаdϕне змiнюється.

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння151
де ми використали (12.57).
На завершення зазначимо, що величинуIможна також записати
через кiнематичнi iнварiанти
I
2=[s−(m 1+m 2)2][s−(m 1−m 2)2]/4,деs=(p 1+p 2)2.(12.86)
У випадку взаємодiї частинок з однаковими масамиmмаємо
I
2=s[s−4m 2]/4.(12.87)
Умова унiтарностi
Запишемо у явному виглядi умову унiтарностi матрицi розсiяння
(1.7) дляSматрицi у формi (1.34):
(SS
+)fi =
n
Sfn S+
ni =
n
Sfn S∗
in =δ fi =
=
n
[δfn +i(2π) 4δ4(P f−P n)Tfn ][δin −i(2π) 4δ4(P i−P n)T ∗
in]=
=
n
δfn δin−
n
iδfn(2π) 4δ4(P i−P n)T ∗
in+
n
iδin(2π) 4δ4(P f−P n)Tfn +
+
n
(2π) 8δ4(P f−P n)δ4(P i−P n)Tfn T∗
in=

fi −i(2π) 4δ4(P f−P i)[T fi −T ∗
if]+
+
n
(2π) 8δ4(P f−P i)δ4(P f−P n)Tfn T∗
in.(12.88)
Звiдки випливає
T
fi−T ∗
if=i(2π) 4
n
δ4(P f−P n)Tfn T∗
in=i(2π) 4
n
δ4(P f−P n)T ∗
nfTni,
(12.89)
де остання рiвнiсть випливає з розгляду унiтарностi добуткуS
+S.
Особливий iнтерес представляє випадок, коли пiсля взаємодiї ча-
стинка залишається у своєму попередньому станii=f(напр., роз-
сiяння на нульовий кут):
2Im[T
ii]=(2π) 4
n
δ4(P i−P n)|T in|2,(12.90)

152Частина 2. Приклади розрахункiв
де матрицяTзадається через амплiтуду реакцiї згiдно з (1.40), а пiд-
сумовування заnозначає пiдсумовування за всiма можливими стана-
ми.
Проiлюструємо кориснiсть даного спiввiдношення для випадку, ко-
ли у початковому станi знаходиться одна частинка, яка може розпа-
датися на пари iнших частинок. У цьому випадку матимемо
2Im[M
ii]
2VE i =(2π) 4
n
|M in|2δ4(P i−P n)
(2V) 3EiEn1En2 =
=(2π)
4
λ,k∞

−∞
Vdp n1
(2π) 3∞

−∞
Vdp n2
(2π) 3
|M in|2δ4(P i−P n)
(2V) 3EiEn1En2 =/(12.1)/=
=1
25π2V λ,k
|M fi|2| p3|dΩ 3
Ei2 =
λ,k

dW i→f
TV.(12.91)
де пiдсумовування заλозначає пiдсумовування за поляризацiєю ча-
стинок, пiдсумовування заkозначає пiдсумовування за каналами ре-
акцiї (напр., розпад на електрон-позитронну пару, мюон-антимюонну
тощо).
Розглянувши реакцiю в системi центру iнерцiїE
i=Mта повто-
ривши розрахунки, що ми робили на початку розд., з урахуванням
(12.10), отримаємо:
Im[M
ii]
M= k
Γk,(12.92)
деΓ
k– повна ширина реакцiї за каналомk. Iншими словами, наявнiсть
у амплiтуди реакцiїi→iуявної частини однозначно свiдчить про те,
що частинка у станiiє нестабiльною та буде розпадається на iншi
частинки. Враховуючи, що величини у лiвiй та правiй частинах виразу
(12.90) повиннi мати однакову точнiсть за розкладом за сталою тонкої
структури, приходимо до висновку, що матрицяT
in у правiй частинi
виразу повинна бути розрахована у двiчi меншому порядку за сталою
тонкої структури. Вiдповiдно, сам вираз (12.90) у нашому випадку
можна графiчно розумiти як
 Im
2

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння153
Розглянемо тепер випадок, коли у початковому станi знаходиться
двi частинки, якi можуть розсiюватися лише на пари iнших частинок.
У цьому випадку, перейшовши до системи центру iнерцiї, матимемо
2Im[M
ii]
(2V) 2Ei1Ei2=(2π) 4
n
|M in|2δ4(P i−P n)
(2V) 4Ei1Ei2En1En2=
=(2π)
4
k

λ∞

−∞
Vdp n1
(2π) 3∞

−∞
Vdp n2
(2π) 3
|M in|2δ4(P i−P n)
(2V) 4Ei1Ei2En1En2=/(12.46)/=
=1
V k

λ


i→n =1 64V 2π2

dΩ
n1|M in|2| pn1|
Ei1Ei2Ei,(12.93)
де пiдсумовування заλозначає пiдсумовування за поляризацiєю ча-
стинок, пiдсумовування заkозначає пiдсумовування за каналами ре-
акцiї,E
i=E i1+E i2 – повна енергiя системи двох частинок, а iнте-
грування заdp
n1,dp n2 було проведено аналогiчно якми це робили на
початку розд.
Домноживши обидвi частини виразу (12.93) на обернену величину
об’ємної густини потоку частинок (12.58)
1
j=VE
i1Ei1
| pn1|(E i1+E i2)(12.94)
та використавши визначення перерiзу розсiяння (12.61), отримаємо:
Im[M
ii]=2| p i1|E i

k
σkt,(12.95)
деσ
kt повний перерiз розсiяння двох початкових частинок поk-му ка-
налу реакцiї, а пiдсумовування вiдбувається за всiма каналами реак-
цiї. Зазначимо, що спiввiдношення (12.95) вiдоме у фiзицi якоптична
теорема. З явного вигляду (12.95) випливає, що наявнiсть уявної ча-
стини в амплiтудi розсiяння на нульовий кут однозначно призводить
до того, що внутрiшнi лiнiї вiдповiдної дiаграми "розриваються" i у
системi народжуються новi частинки.

154Частина 2. Приклади розрахункiв
Якi у попередньому випадку, вираз (12.90) для розсiяння двох
частинокна нульовий кут можна графiчно розумiти як
a
ba
b
Im 
a
b n 1
n2
n
2 n1
n2
Полюснi особливостi амплiтуд розсiяння
Розглянемо питання, яке набуде принципової важливостi при у
третiй частинi даного посiбника. Знайдемо полюсну структуру ам-
плiтуд розсiяння. Для цього розглянемо деяку реакцiюi→f, викори-
стаємо (12.89) та видiлимо серед промiжних станiв (n) одночастинковi
(n
1)та неодночастинковi(n 2):
T
fi−T ∗
if=i(2π) 4
n1
δ4(P f−P n1)Tfn1T∗
in1+i(2π) 4
n2
δ4(P f−P n2)Tfn2T∗
in2.
(12.96)
У подальшому вклад неодночастинкових вкладiв нас не буде цiкавити
i ми не будемо його розглядати.
Рис. 12.2.Схематичне зображення дiаграми з одночастинковим
промiжним станом.
Видiлимо уTматрицях амплiтуди реакцiї:
M
fi 
i
√2VE i
f
2VE f−M

if

i
√2VE i
f
2VE f=
=i(2π)
4
n1
δ4(P f−P n1)M fn1 2VE n1
f
2VE f·M

in1 2VE n1
i
√2VE i
(12.97)

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння155
та отримаємо
M
fi −M ∗
if=i(2π) 4
n1
δ4(P f−P n1)M fn1M ∗
in1 2VE n1
2VE n1
=
=i(2π)
4
λ∞

−∞
Vdp n1
(2π) 3δ4(P f−P n1)M fn1M ∗
in1
2VE n1 .(12.98)
Врахуємо, що
2E
n1

−∞
d4pn1δ4(p2
n1−m 2)=
dp n1,(12.99)
де ми врахували, що для вiльної частинки у станin
1виконується
умоваp 2
n1=m 2,E n1>0та
δ[f(x)] =
k
δ(x−x k)
|f(xk)|,(12.100)
деx
kкоренi функцiїf(x).
Взявши до уваги спiввiдношення (12.99), отримаємо
M
fi −M ∗
if=2πiδ 4(p2
n1−m 2)
λ
Mfn1M ∗
in1,(12.101)
де станиn
1таi, fпов’язанi законами збереження енергiї-iмпульса.
Отриманий вираз не є зручним для аналiзу. Згадаємо, що КЕД
є теорiєю поля, що є iнварiантною вiдносноC,P,Tокремих пере-
творень. Зокрема, зP,Tiнварiантностi випливає, щоM
fi =M if,де
станиf, iвiдрiзняються вiд станiвf ,iлише знаком спiральностей ча-
стинок(при тих самих iмпульсах). Тодi для зазначених станiв можна
записати
M
if−M ∗
fi=2πiδ 4(p2
n1−m 2)
λ
Min1M ∗
fn1,(12.102)
де ми залишаємо тi самi спiральнi стани у станахn
1, бо по ним все
одно вiдбувається пiдсумовування.
Додавши почленно два вирази (12.101)та(12.102), отримаємо
Im[
M fi]=−πδ 4(p2
n1−m 2)R,(12.103)
де величини

156Частина 2. Приклади розрахункiв
M fi =M fi +M if,R=−
λ
(M fn1M ∗
in1+M in1M ∗
fn1),(12.104)
є фактично амплiтудами реакцiй, щопiдсумованi за спiральностями
кiнцевих та початкових частинок.
Згадаємо тепер правило iнтегрування з курсу теорiї функцiй ком-
плексної змiнної

−∞
dxf(x) x±iε=−

−∞
dxf(x) x∓iπf(0),ε→0,(12.105)
де оператор−
означає iнтегрування в сенсi головного значення по
Кошi, тобто
P

−∞
dxf(x) x= lim ε→0−ε

−∞
dxf(x) x+ lim ε→0∞


dxf(x) x.
Вираз (12.105) має корисний запис у операторному виглядi
1
x±iε=P1 x∓iπδ(x).(12.106)
Отже по уявнiй частинi функцiї
M fi (12.103) ми можемо вiдновити
вигляд амплiтуди реакцiї:
M fi =R p2
n1−m 2+iε.(12.107)
Зрозумiло, що той самий полюс буде i у амплiтуди реакцiїM
fi,оскiль-
ки вiн не повинен залежати вiд спiральних станiв.
Таким чином, ми приходимо до висновку, що амплiтуда реакцiї
має полюса у точках, коли квадрат 4-iмпульсу вiртуальної частинки
(внутрiшнiх лiнiй) дорiвнює квадрату маси вiдповiдної реальної ча-
стинки.

Роздiл 12. Iмовiрнiсть розпаду та перерiз розсiяння157
Завдання
1. Гiпотетична скалярна частинкаXмасоюM= 500ГеВ у системi
вiдлiку, де вона по коїться, розпадається на двi нестабiльнi ска-
лярнi частинкиYз масамиm=1МеВ кожна. Ширина розпаду
частинокYвiдома:Γ
Y =5·10 −11 ГеВ. Яку вiдстань у метрах
пройдуть частинкиYперед тим, якрозпадуться?
2. Доведiть справедливiсть твердження (12.26).
3. Побудуйте дiаграму Далiца в координатахm
2
12,m 2
23 для розпаду
частинки масою 100 МеВ на три частинки з масамиm
1=50
МеВ,m
2=m 3=5МеВ. Порiвняйте з дiаграмою на рис.12.1.
4. Визначити повний перерiз пружнього розсiяння частиноквiд аб-
солютно твердої важкої кулi радiусаR.
5. Визначити повний перерiз розсiяння електронiв на важкiй за-
рядженiй зарядомQкул i р а д i ус аR.
6. Показати, що в системi центра iнерцiї виконується спiввiдношен-
ня (12.57).
7. Показати, що в системi центра iнерцiї у випадку, коли в резуль-
татi взаємодiї двох частинокїх природа не змiнилася (не змi-
нилися маси), модулi iмпульсiв частинокдо та пiсля реакцiї не
змiнилися.
8. Довести справедливiсть виразу (12.63).
9. Довести справедливiсть виразу (12.86).
10. Якою буде полюсна структура амплiтуди реакцiї при врахуваннi
у(12.96) внескiв не лише вiд одночастинкових станiв?

РОЗДIЛ 13
Процеси резонансного розсiяння та розпаду
В цьому роздiлi буде розглядатися така взаємодiя частинок, при
якiй народжується нова нестабiльна частинка, яка в подальшому роз-
падається на iншi частинки. Така ситуацiя досить часто зустрiчається
в експериментах на колайдерах. Бiльш того, перерiз реакцiї при за-
гальнiй енергiї налiтаючих частинок, що знаходиться в околi значен-
ня маси нестабiльної промiжної частинки має легко спостережувану
особливiсть – резонансний пiк, що дозволяє встановити факт народ-
ження промiжної частинки в експериментах, ї ї масу та час життя.
Даний факт лежить в основi методу пошуку та дослiдження нових
частинок.
Розпад частинок в квантовiй механiцi
Нестабiльна частинка в квантовiй механiцi, що утворилася в мо-
мент часуt=0, характеризується тим, що квадрат модуля ї ї хвильо-
вої функцiї зменшується з часом:
|ψ(t)|
2=|ψ(t=0)| 2e−t/τ ,t>0,(13.1)
деτ– величина з розмiрнiстю часу, що отримала назву часу життя
частинки. З даного виразу, зокрема випливає спiввiдношення (12.23).
Ширина розпаду визначається якΓ=1/τ.
З iншого боку, часова залежнiсть хвильової функцiї вiльної ча-
стинки визначається як
ψ(t)=ψ(t=0)e
−iE ψt=ψ(t=0)e −iE 0t−Γt/2 =ψ(t=0)e −i(E 0−iΓ/2)t .
(13.2)
Отже для нестабiльної частинки енергiя є комплексною величиною:
E
ψ=E 0−iΓ/2.
Для Фур’є перетворення хвильової функцiї матимемо
ψ(E)=ψ(t=0)
√2π

−∞
dt e i(E−(E 0−iΓ/2))t θ(t)=
=iψ(t=0)
√2π1 E−E 0+iΓ/2,(13.3)

Роздiл 13. Резонансне розсiяння та розпад159
деθ(t)– функцiя Хевiсайда. Отже ми отримали
|ψ(E)|
2=|ψ(t=0)|
2
2π1 (E−E 0)2+Γ 2/4.(13.4)
Останнiй вираз можна записати i в iншому виглядi, якщо домножити
чисельникта знаменниквиразу (13.3)наE+E
0та врахувати, що
E+E
0E(вважаємо, щоΓE 0), тодi отримаємо:
ψ(E)=iψ(t=0)
√2π2E E2−E 2
0+iEΓ,(13.5)
звiдки
|ψ(E)|
2=|ψ(t=0)|
2
2π4E
2
(E 2−E 2
0)2−E 2Γ2.(13.6)
Зазначимо, що значення енергiїEможна зiставити змiннiй Мандель-
штамаs.
Корисно зазначити, що для стабiльної частинки (Γ=0) матимемо
лише один коефiцiєнт Фур’є, котрий вiдповiдає випадкуE=E
0:
ψ(E)=ψ(t=0)
√2π

−∞
dt e i(E−E 0)t=√ 2πψ(t=0)δ(E−E 0).(13.7)
Ми приходимо до висновку, що стабiльна частинка знаходиться в
станi з визначеною енергiєюE=E
0протягом нескiнченно великого
часу, а нестабiльна частинка може мати рiзнi енергiї в певному iн-
тервалi∆E, але може розпастися в певному часовому iнтервалi∆t.
Ймовiрнiсть знайти нестабiльну частинку з енергiєюEбуде визна-
чатися залежнiстю (13.4). Вона буде найбiльшою приE=E
0, а при
вiддаленнi енергiї вiд значенняE
0ймовiрнiсть знаходження такого
стану системи швидко спадатиме, див. рис.13.1. Невизначене зна-
чення енергiї нестабiльної частинки не повинно дивувати, оскiльки
це безпосереднiй наслiдокспiввiдношення невизначеностi Гайзенбер-
га:∆E·∆t∼1.
З явного вигляду залежностi (13.4) випливає, що зi зменшенням
ширини розпаду пiкстає вищим, але в нижнiй частинi має ту саму
поведiнку, що й пiк з iншою шириною розпаду.

160Частина 2. Приклади розрахункiв
Рис. 13.1.Розподiл ймовiрностi!
|ψ(E)| 2"
знаходження неста-
бiльної частинки в станi з певною енергiєю. Бiльш високому пiку вiд-
повiдає менша ширина розпаду.
Розсiяння через промiжну нестабiльну частинку
Для початку розглянемо процес зворотнiй до розпаду частинки,
а саме розглянемо утворення частинки при взаємодiї двох частинок,
тобто колиN
i=2,N f =1. Нехай перша частинка має 4-iмпульс
E
A,p Aта масуm A, друга –E B,p Bта масуm B, а частинка, що утво-
рюється –E
R,pR та масуM R. Тодi ймовiрнiсть переходу системи з
початкового стануiв кiнцевий станfза одиницю часу (1.43)дорiв-
нюватиме
dW
i→f
T=δ(E A+E B−E R)δ( p A+ p B− p R)·π|M fi|2
4VE AEBERd3
pR.(13.8)
Перейдемо в систему центру iнерцiї, коли p
A+ p B =0, p R =0,
E
R=M Rта проiнтегруємо заd 3
pR, отримаємо:
Γ
i→f =
dp RdW i→f
T=δ(E A+E B−M R)·π|M fi|2
4VE AEBMR





p
R=0
.(13.9)
Отриманий вираз має декiлька проблем. По-перше, вiн мiстить у
собi погано визначену величину – об’єм системи, що може прямувати
до нескiнченностi. В принципi, це не дивно, адже ймовiрнiсть того, що
двi частинки з довiльними напрямками iмпульсiв запущенi з великої
вiдстанi провзаємодiють справдi прямує до нуля. Отже замiсть роз-
гляду ймовiрностi даного процесу коректно розглядати перерiз вiд-
повiдної реакцiї. По-друге, даний вираз мiститьδ-функцiю, що дає

Роздiл 13. Резонансне розсiяння та розпад161
або нуль, або нескiнченнiсть i не дозволяє провести порiвняння з екс-
периментом. Ми розглянемо яквирiшити зазначену проблему трохи
пiзнiше.
Перерiз реакцiї, що розглядається, має вигляд:
σ(AB→R)=Γ
i→f
j=/(12.56),(12.86)/=π|M
fi|2δ(E A+E B−M R)
4M RI.
(13.10)
Згадавши, щоM
2
R=(p A+p B)2=s,E A+E B =√ sта записавши
δ(√
s−M R)=2√ sδ(s−M 2
R)(використали спiввiдношення:δ(f(x)) =

iδ(x−x i)/|f (xi)|,деx i– коренi функцiїf(x)), отримаємо
σ(AB→R)=π|M
fi|2δ(s−M 2
R)
2I.(13.11)
Якщо вважати, що амплiтуда процесу

Mfi
2розрахована для усе-
реднених за поляризацiями станiв початкових частинок та усередне-
ного за поляризацiями стану кiнцевої частинки, то для перерiзу реак-
цiї утворення частинкиRз усiма можливими поляризацiйними ста-
нами завдяки взаємодiї частинокAтаBз усередненими поляризацiй-
ними станами матимемо
σ(AB→R)=π(2S
R+1)
 Mfi
2δ(s−M 2
R)
2I,(13.12)
де2S
R+1– кiлькiсть поляризацiйних станiв частинкиR(для фотона
2),S
R– значення спiну частинкиRза модулем.
Вираз для амплiтуди

Mfi
2є тим самим, що визначає розпад ча-
стинкиR, з усередненою поляризацiєю, наAтаB:
Γ
R→AB =/(12.16)/=(2S A+ 1)(2S B+1)
 Mfi
2| pA|
8πs,(13.13)
де множники(2S
A+1)(2S B+1)визначають ймовiрнiсть розпаду у ста-
ни з усiма можливими поляризацiями частинок. Значення| p
A|знай-
демо з (12.12):
| p
A|=√ s
27
$
1−(m A+m B)2
s%$
1−(m
A−m B)2
s%
=I √s.(13.14)

162Частина 2. Приклади розрахункiв
Пiдставивши вираз для
 Mfi
2з(13.13) у вираз (13.12), отримаємо:
σ(AB→R)=4π
2(2S R+1)
(2S A+ 1)(2S B+1)·Γ
R→AB s3/2 δ(s−M 2
R)
I2 =
=16π
2(2S R+1)
(2S A+ 1)(2S B+1)·Γ
R→AB s3/2 δ(s−M 2
R)
[s−(m A+m B)2][s−(m A−m B)2].(13.15)
δ-функцiю в останньому виразi слiд замiнити наδ-подiбну функцiю:
δ(x) = lim
ε→0
1
πεx2+ε 2.(13.16)
В нашому випадку це буде
δ(s−M
2
R)=1 π√
sΓ tot
(s−M 2
R)2+sΓ 2
tot ,(13.17)
деΓ
tot – повна ширина розпаду частинкиRз урахуванням всiх мож-
ливих каналiв, аsΓ
tot вважається набагато меншою за масу частинки
M
R. В результатi отримаємо
σ(AB→R)=16π(2S
R+1)
(2S A+ 1)(2S B+1)×
×Γ
R→AB s3/2
[s−(m A+m B)2][s−(m A−m B)2]√
sΓ tot
(s−M 2
R)2+sΓ 2
tot .(13.18)
Часто зустрiчається ситуацiя, коли маси початкових частинокm
A,m B
набагато меншi за масуM R=√ s, тодi наведений вираз суттєво спро-
щується:
σ(AB→R)=16π(2S
R+1)C R
(2S A+ 1)(2S B+1)C ACB
ΓR→AB Γtot
(s−M 2
R)2+sΓ 2
tot ,
(13.19)
де ми зробили узагальнення для випадку, коли окрiм рiзних поляри-
зацiйних станiв iснують рiзнi кольоровi стани частинок кiлькiстюC
(для кваркiвC
q=3).
Слiд зауважити, що коли народження частинкиRвiдбувається за-
вдяки частинкам, що є тотожнимиA=B, то, згiдно з твердженням

Роздiл 13. Резонансне розсiяння та розпад163
пiсля виразу (1.43), у визначення ширини розпаду (13.13) слiд добави-
ти двiйку в знаменник правої частини. Це призведе, до змiни виразу
(13.19), а саме:
σ(AA→R)=32π(2S
R+1)C R
(2S A+1) 2C2
A
ΓR→AA Γtot
(s−M 2
R)2+sΓ 2
tot .(13.20)
Залежнiсть перерiзу реакцiї утворення частинки вiд повної шири-
ни розпадуΓ
tot (при iнших однакових параметрах) наведено на рис.
13.2. З явного вигляду залежностi (13.19) випливає, що зi зменшен-
ням ширини розпаду пiкстає вищим, а в нижнiй частинi графiкiв
поведiнка функцiй з рiзними значеннямиΓ
tot суттєво вiдрiзняється.
Рис. 13.2.Залежнiсть перерiзу реакцiї утворення частинки вiд
повної ширини розпадуΓ
tot при iнших однакових параметрах. Бiльш
високому пiку вiдповiдає менша ширина розпаду. Графiку з найвищим
пiком вiдповiдає ширинаΓ
x, з середньою висотою пiку – ширина2Γ x,
з найнижчим пiком – ширина4Γ
x.
Таким чином ми отримали вираз для перерiзу утворення реальної
нестабiльної частинкиR. Розглянемо тепер якописувати процеси, у
яких частинкаRв подальшому розпадається. У випадку, коли частин-
каRможе розпастися лише по одному можливому каналуR→CD

tot =Γ R→CD ) є очевидним, що перерiзи реакцiй утворенняRча-
стинки та утворенняRчастинки з подальшим ї ї розпадом будуть
однаковими:
σ(AB→R)=σ(AB→R→CD),
бо всi частинкиR, врештi-решт, перейдуть у частинкиCтаD.Якщо
ж частинка може розпадатися по декiльком каналам з рiзною ши-

164Частина 2. Приклади розрахункiв
риною (Γ tot =
Γ f), то бiльша кiлькiсть розпадiв за одиницю часу
буде у каналi з бiльшою шириною розпаду (меншим часом життя),
тобто перерiз має бути∼Γ
f. Остаточно, перерiз реакцiї з утворенням
реальної частинкиRта подальшим ї ї розпадом за каналомfможна
записати як
σ(AB→R→f)=σ(AB→R)Γ
f
Γtot =
=16π(2S
R+1)C R
(2S A+ 1)(2S B+1)C ACB
ΓR→AB ΓR→f
(s−M 2
R)2+sΓ 2
tot .(13.21)
При цьому, очевидно,

f
σ(AB→R→f)=σ(AB→R).(13.22)
Звичайно, вираз (13.21) справедливий лише в околis≈M
2
R.
Звертаємо увагу, що знаменники отриманих виразiв для перерiзiв
реакцiй мiстять спiльний множник зi знаменником виразу (13.6):(s−
M
2
R)2+sΓ 2
tot . При цьому поява доданкаsΓ 2
tot , з математичної точки
зору, слугує для недопущення ситуацiї, коли у знаменнику виразiв
може виявитися нуль приs→M
2
R. Зазначимо, що якщо в кванто-
вомеханiчному пiдходi ширина розпадуΓє зовнiшнiм параметром,
характеристикою частинки, що береться з експериментальних даних,
то в квантовiй теорiї поля ширинарозпаду може бути, в принципi,
розрахована аналiтично. По-перше,виходячи з явного вигляду ла-
гранжiану взаємодiї частинки згiдно з (12.16). По-друге, згiдно з оп-
тичною теоремою, ширина розпаду визначається по уявнiй частинi
амплiтуди реакцiї (12.92), яка визначається уявною частиною радiа-
цiйних поправокдо пропагаторiв вiдповiдних полiв в точцis=M
R,
див., наприклад, (28.51). Якщо бiльш просто, то в КТП вираз для
знаменника пропагатора природнiм чином модифiкується саме за ра-
хунокрадiацiйних поправок, див., наприклад, (26.43).
Розпад на нестабiльнi частинки
Розглянемо ситуацiю, коли частинкаAрозпадається на двi ча-
стинкиBтаR, де частинкаRє нестабiльною та може розпастися
по декiльком каналам з шириною розпадуΓ
f(повна ширина розпаду
Γ
tot =
Γ f).

Роздiл 13. Резонансне розсiяння та розпад165
Ширина розпадуA→BRвизначається згiдно з (12.16).
Завдання
1. Покажiть, що ширина пiку на половинi висотi на рис.13.1справ-
дi дорiвнює ширинi розпаду. Знайдiть вiдношення мiж ширина-
ми розпаду для двох пiкiв зображених на рис.13.1.
2. Запишiть вираз для перерiзу утворення гiпотетичної масивної
нейтральної скалярної частинкиSпри взаємодiї двох глюонiв
σ(gg→S). Вважати, що величиниΓ
S→gg таΓ tot вiдомi. Лагран-
жiан взаємодiї має виглядL
int = λSMSSG a
µνGa,µν . ТензорG a
µν
визначається якG a
µν =∂ µGa
ν−∂ νGa
µ+g sfabc Gb
µGc
ν,деf abc –
структурнi константи групиSU(3).

РОЗДIЛ 14
Загальнi питання обчислення|M
fi|2
Для обчислення фiзично спостережуваних величин, зокрема та-
ких, як ймовiрностi розпаду або перерiзу розсiяння частинок, вини-
кає потреба знаходження квадрата модуля амплiтуди розсiяння|M
fi|2
(див. (1.43)). При цьому потрiбно знаходити квадрати модулiв ска-
лярiв типу¯ υ
1Qυ 2,деQ— певна комбiнацiяγ-матриць, аυ— одноча-
стинковi розв’язки, визначенi в (2.7). Покажемо, як це зробити:
|¯ υ
1Qυ 2|2=(¯υ 1Qυ 2)( ¯υ 1Qυ 2)∗=(¯υ 1Qυ 2)( ¯υ 1Qυ 2)+,(14.1)
де остання рiвнiсть справедлива, оскiльки операцiя ермiтового спря-
ження включає в себе транспонування та комплексне спряження, а
операцiя транспонування не змiнює скалярну величину. Врахуємо, що
(¯υ
1Qυ 2)∗=(¯υ 1Qυ 2)+=υ 2+ Q+¯ υ1+ =
=/¯ υ=υ
+γ0;γ 0γ0=I;γ 0+ =γ 0/=
=(υ
2+ γ0)γ0Q+γ0υ1=¯υ 2γ0Q+γ0υ1=¯υ 2¯
Qυ 1,(14.2)
де¯
Q=γ
0Q+γ0— дiраковськи спряжена матрицяQ.Тодi
|¯ υ
1Qυ 2|2=(¯υ 1Qυ 2)( ¯υ 2¯
Qυ 1).(14.3)
Використавши (Д5.2), легко переконатися у справедливостi таких
корисних спiввiдношень:
¯ γ
µ=γ µ;¯γ 5=−γ 5;γµγ5=γ µγ5;a=a ∗;ab=b ∗a∗;abc=c ∗b∗a∗.
(14.4)
Властивостi добуткiвγ-матриць
Наведемо основнi властивостi добуткiвγ-матриць, що нам знадоб-
ляться при розрахунку|M
fi|2.

Роздiл 14. Обчислення|M fi|2 167
Можна показати, що результатом пiдсумовування за iндексом, що
повторюється (µ), у таких комбiнацiяхγ-матриць є:
γ
µγµ=4I;(14.5)
γ
µγνγµ=−2γ ν;(14.6)
γ
µγλγνγµ=4g λνI;(14.7)
γ
µγλγνγργµ=−2γ ργνγλ;(14.8)
γ
µγλγνγργσγµ=2(γ σγλγνγρ+γ ργνγλγσ),(14.9)
де перший вираз явно випливає iз (Д5.2). А для доведення справедли-
востi наступних виразiв треба, використовуючи (Д5.2), крайню праву
матрицюγ
µпересунути до крайньої лiвої матрицiγ µ.
Домноживши (Д5.2) на компонентиa
µbνдовiльних 4-векторiв та
пiдсумувавши заµ, ν, отримаємо
ab+ba=2ab,(14.10)
аякщоa=b,то
aa=a
2.(14.11)
Домноживши (14.6)–(14.9) на вiдповiднi компоненти 4-векторiв
та пiдсумувавши за їхнiми iндексами, отримаємо
γ
µaγ µ=−2a;(14.12)
γ
µabγ µ=4ab;(14.13)
γ
µabcγ µ=−2cba;(14.14)
γ
µabcdγ µ=2(dabc+cbad).(14.15)
Технiка обчислення згорток
Рiвняння Дiрака (Д5.1) є iнварiантним вiдносно перетворень (Д5.9),
тому фiзичнi результати, що можна отримати, базуючись на ньому,
мають також виражатися через величини, iнварiантнi вiдносно пере-
творень (Д5.9). Такими iнварiантами є зокрема згорткиγ-матриць.
Тому не дивно, що при обрахунку фiзичних величин у КЕД, нам в
подальшому знадобиться їх обчислювати. Покажемо, як це робити.
По-перше, згортка вiд добуткуγ-матриць утворює завдяки власти-
востям згортоксиметричний вiдносно циклiчних перестановок тензор
T
µ1µ2...µ n=1/4Tr[γ µ1γµ2...γ µn].(14.16)

168Частина 2. Приклади розрахункiв
Пiд знаком згортки перебуваютьγ-матрицi, що не змiнюються при
переходi до довiльної системи вiдлiку. Отже, такою властивiстю має
володiти й тензорT
µ1µ2...µ n. Тодi вiн повинен виражатися лише через
метричний тензорg µν, що має вiдповiднi властивостi.
Оскiльки за допомогою метричного тензора можна виразити ли-
ше тензор парного рангу, то згортка вiд добутку непарної кiлькостiγ-
матриць має дорiвнювати нулю (див. також властивостi алгебри Дiра-
канас.442):
Tr[γ
µ1γµ2...γ µ2n+1 ]=0.(14.17)
Справедливiсть останнього твердження, до речi, можна показати й
явно за допомогою матрицiγ
5. Наприклад, у найпростiшому випадку
згортки вiд однiєїγ-матрицi:
Tr[γ
µ]=/γ 5γ5=1/=Tr[γ µγ5γ5]=
=/γ
µγ5=−γ 5γµ/=−Tr[γ 5γµγ5]=
=/T[AB C]=Tr[CAB]/=−Tr[γ
5γ5γµ]=−Tr[γ µ]⇒Tr[γ µ]=0.
Взявши згортку вiд обох частин (Д5.2) i врахувавшиTr[I]=4,
отримаємо для згортки двохγ-матриць
T
µν =g µν.(14.18)
Покажемо, як знайти згортку чотирьохγ-матрицьTr[γ
µγνγχγσ].
Для цього використовуючи (Д5.2), перемiстимо останнюγ-матрицю
до першої:
γ
µγνγχγσ=2g χσ γµγν−γ µγνγσγχ (14.19)
−γ
µγνγσγχ=−2g νσγµγχ+γ µγσγνγχ (14.20)
γ
µγσγνγχ=2g µσ γνγχ−γ σγµγνγχ (14.21)
та додамо почленно лiвi та правi частини виразiв (14.19)–(14.21):
γ
µγνγχγσ=2g χσ γµγν−2g νσγµγχ+2g µσ γνγχ−γ σγµγνγχ.(14.22)
Вiзьмемо згортку лiворуч та праворуч i врахуємо, що пiд знаком
згортки можна циклiчно переставляти множники:
Tr[γ
µγνγχγσ]=Tr[γ µγν]gχσ −Tr[γ µγχ]gνσ +Tr[γ νγχ]gµσ =
=/(14.18)/=4[g
µνgχσ −g µχ gνσ +g µσ gνχ].(14.23)

Роздiл 14. Обчислення|M fi|2 169
Отже,
T µν χσ =g µνgχσ −g µχ gνσ +g µσ gνχ.(14.24)
Аналогiчним чином можна показати, що
Tr[γ
µγνγχγσγηγρ]=Tr[γ µγνγχγσ]gηρ −Tr[γ µγνγχγη]gσρ
+Tr[γ µγνγσγη]gχρ −Tr[γ µγχγσγη]gνρ +Tr[γ νγχγσγη]gµρ,(14.25)
тобто
T
µν χσηρ =T µν χσ gηρ−T µν χη gσρ +T µν ση gχρ −T µχση gνρ +T νχση gµρ =
=g
µνgχσ gηρ −g µχ gνσgηρ +g µσ gνχgηρ −g µνgχηgσρ +g µχ gνηgσρ−
−g
µηgνχgσρ +g µνgσηgχρ −g µσ gνηgχρ +g µηgνσgχρ −g µχ gσηgνρ+
+g
µσ gχηgνρ −g µηgχσ gνρ +g νχgσηgµρ −g νσgχηgµρ +g νηgχσ gµρ.
(14.26)
Зазначимо, що за такою процедурою можна знайти згортку вiд до-
бутку довiльної парної кiлькостiγ-матриць.
У загальному випадку, можна показати, що
T
µ1µ2...µ n=
(−1) Ngabgcd...,(14.27)
деa, b, c, d...— деяка комбiнацiя iндексiвµ
1µ2...µ n, а сума береться
за всiма можливими комбiнацiями пар чиселa, b, c, d...;N— кiлькiсть
перестановок, що переводить послiдовнiсть чиселµ
1µ2...µ nвa, b, c, d...
Кiлькiсть доданкiв у сумi (14.27)дорiвнює(n−1)!!
Зазначимо, що для визначення знака перед окремим доданком iс-
нує альтернативна графiчна процедура. Слiд на колi проставити точ-
киµ
iв такому порядку, як у лiвiй частинi (14.27), а потiм з’єднати
попарно лiнiями тi точки, що належать до одного метричного тензора
gу доданку, що розглядається. Тодi знак перед доданком буде(−1)
N,
деN— кiлькiсть точок перетину лiнiй.
На завершення наведемо властивостi згортокз матрицеюγ
5(Д5.4):
Tr[γ
5]=0,(14.28)
Tr[γ
5γµγν]=0,(14.29)
Tr[γ
5γµγνγργλ]=−4i µν ρλ ,(14.30)
Tr[γ
5γµγνγργλγξγη]=4i[ε λξηα (δα
µgνρ −δ α
νgµρ +δ α
ρgµν)−
−ε
µν ρα (δα
λgξη −δ α
ξgλη +δ α
ηgλξ)],(14.31)

170Частина 2. Приклади розрахункiв
де µν ρλ — повнiстю антисиметричний 4-тензор четвертого рангу, що
змiнює знакпри перестановцi сусiднiх двох iндексiв (при цьому фiк-
суються значення
0123 =1, 0123 =−1) i дорiвнює нулю, якщо хоча
б два його iндекси є однаковими. Оскiлькиγ 5являє собою добуток
чотирьохγ-матриць, то згортка вiд добуткуγ5на непарну кiлькiсть
γ-матриць дорiвнює нулю.
Завдання
1. Переконатись у справедливостi (14.4).
2. Переконатись у справедливостi (14.5)–(14.9).
3. ЗнайтиT
µν χσηρδξ .
4. Переконатись у справедливостi (14.28)–(14.30).
5. Переконатись у справедливостi (14.31).

РОЗДIЛ 15
Кулонiвське розсiяння
Проведемо розрахунокперерiзу розсiяння електрона на важкому
ядрi з додатнiм зарядомZeу системi вiдлiку, де ядро нерухоме (си-
стема центра iнерцiї). Цей процес є найпростiшим в тому сенсi, що
добре описується вже в першому порядку за теорiєю збурень. Згiд-
но з визначеннями (1.40), (12.68) i виразом дляS-матрицi в першому
незникаючому наближеннi (10.13) амплiтуда розсiяння має вигляд
M
fi =−Ze 2·¯ υ 2γ0υ1
q2 ,(15.1)
де
q
2=4 p 12 sin 2(θ/2)— квадрат переданого iмпульсу електрона (10.12).
Вiдповiдно, використавши (14.3)i(14.4), отримаємо
 q
4|M fi|2
Z2e4 =(¯υ 2αγ0
αβυ1β)( ¯υ 1χγ0
χξυ2ξ)=γ 0
αβυ1β ¯ υ1χγ0
χξυ2ξ¯ υ2α =
=/u
i,α ¯ ui,β =(ρ i)αβ (4.9)/=γ 0
αβρ1βχ γ0
χξρ2ξα =Tr[γ 0ρ1γ0ρ2].(15.2)
Розглянемо найбiльш простий випадокрозсiяння неполяризовано-
го електрона у випадку, коли значення його кiнцевої поляризацiї не
фiксується. Це означає, що (15.2) потрiбно усереднити за початко-
вою спiральнiстю електронаµ
1та пiдсумувати за всiма можливими
спiральними станами його кiнцевого стануµ
2, тобто
|M
fi|2→ |M fi|2=1 2 µ1

µ2
|M fi|2.(15.3)
То д i
 q
4|M fi|2
Z2e4 =/(4.9)/=
=1
2 µ1

µ2
Tr[γ 01
2[(1 +µ 1γ5χ1)(m+p 1)]γ 01
2[(1 +µ 2γ5χ2)(m+p 2)]] =
=1
2Tr[γ
0(m+p 1)γ0(m+p 2)] =/(14.17)/=
=1
2m
2Tr[γ 0γ0]+p 1αp2β
2Tr[γ
0γαγ0γβ]=/(14.23)/=

172Частина 2. Приклади розрахункiв
=2[m 2g00 +p 1αp2β(g0αg0β −g 00gαβ +g 0βgα0)] =
=2[m
2+2(p 1)0(p2)0−p 1p2]=2[m 2+(p 1)0(p2)0+| p 1|| p 2|cosθ]=
=/(10.13),ε
1=ε 2,| p 1|=| p 2|/=2[m 2+ε 2
1+ p 2
1cosθ]=
=4[m
2+ p 2
1cos 2θ/2] = 4ε 2
1[1−q 2/4ε 2
1].(15.4)
Перерiз розсiяння для неполяризованих частинокотримуємо згiдно з
(12.71):

dΩ=
|M fi|2
16π 2 =4(Zα) 2·ε
2
1
 q4

1− q 2
4ε 2
1

,(15.5)
деα=e
2/4π≈1/137— стала тонкої структури.
Кутову залежнiсть перерiзу розсiяння легко отримати, викори-
ставши значення квадрата переданого iмпульсу електрона (10.12)
q
2=
4 p
12 sin 2(θ/2)


dΩ
Мотт=(Zα)
2
sin 4(θ/2)·ε
2
1
4 p 14

1− p 12
ε2
1sin 2(θ/2)
.(15.6)
Даний вираз отримав назву формули Мотта.
У нерелятивiстському наближеннiε
1=m, p 1=mv 1, тобто


dΩ
н.р.=
dσ dΩ
Рез×!
1−v 12 sin 2(θ/2)"
,(15.7)
де(dσ/dΩ)
Резє перерiзом резерфордiвського розсiяння
1


dΩ
Рез=
Zα 2mv 12
2 1
sin 4(θ/2).(15.8)
Як можна побачити, вираз для розсiяння електрона в кулонiвсь-
кому полi важкого ядра в нерелятивiстському наближеннi дещо, хоча
й не сильно(v
12 1), вiдрiзняється вiд виразу для резерфордiвсь-
кого розсiяння. Цей факт пов’язаний з тим, що електрон має спiн
1Формулу для розсiяння нерелятивiстських заряджених частинок, що взаємодi-
ють за законом Кулона, отримав Є. Резерфорд в 1911 р. в рамках класичної ме-
ханiки. Всистемi центра iнерцiї вона має вигляд
dσdΩ

Рез= Z1Z2α 2mv 2
2
1
sin4(θ/2) .
Вираз був використаний для iнтерпретацiя результатiв розсiянняα-частинок на
тонких пластинках золота. Отриманий результат справедливий i в квантово-
механiчному пiдходi для розсiяння безспiнових частинок (див. [11], §135).

Роздiл 15. Кулонiвське розсiяння173
s=1/2. У результатi вираз (15.5), що був отриманий у першому по-
рядку теорiї збурень, справедливий в областi застосування борнiвсь-
кого наближенняZα/v
11(див. [11], §126), тобто при не дуже малих
швидкостях. А умова застосування напiвкласичного наближення для
процесiв у кулоновому полi має протилежний виглядZα/v
11(див.
[11], §127), тобто виконується для малих швидкостей. Тому перехiд до
класичного випадку в (15.5) неможливий.
Особливiстю поведiнки перерiзу розсiяння в ультрарелятивiстсь-
кому наближеннi( p
12 →ε 2
1)є те, що розсiяння назад(θ→π)є
подавленим (рис.15.1).
1a) в)
б)

Рис. 15.1. Кутова частина диференцiйного перерiзу розсiяння елек-
трона в зовнiшньому кулонiвському полi для великих кутiв розсiяння:a)
резерфордiвське розсiяння;б) розсiяння фермiона з

p
12/ε12 =1/2;в)роз-
сiяння фермiона з
p
12/ε12 =1.
Аналiзуючи загальний вираз для перерiзу розсiяння (15.6) бачимо,
що як в нерелятивiстському, так i в ультрарелятивiстському набли-
женнi перерiз розсiяння швидко спадає зi збiльшенням енергiї почат-
кового електрона. Тобто зi збiльшенням енергiї для досягнення ефек-
тивної взаємодiї електрон має пролiтати ближче до важкого ядра, що
створює кулонiвське поле.
Зазначимо, що повний перерiз розсiянняσ=
(dσ/dΩ) sinθdθdϕє
розбiжною величиною в областi малихθунаслiдокнаявностi переда-
ного iмпульсу електрона в четвертому ступенi∼sin
4(θ/2)у знамен-
нику (15.5).
Iз класичної теорiї кут розсiяння однозначно визначається при-
цiльною вiдстанню та законом взаємодiї (див. [9], §18,19). Для кулонiв-

174Частина 2. Приклади розрахункiв
ської взаємодiї малим кутам розсiяння вiдповiдає велика прицiльна
вiдстаньρ:
ρ∼α
mv 2
1
θ→∞.(15.9)
Користуючись визначенням перерiзу розсiяння якефективної площi,
в яку має потрапити частинка, щоб розсiятися (змiнити свої характе-
ристики), нескiнченнiсть при малих кутах стає зрозумiлою.
З цього приводу корисно нагадати, що в iсторичному дослiдi Резер-
форда з розсiянняα-частинок на тонких пластинках золота повний пе-
рерiз розсiяння був скiнченний. Справа в тому, що ядро атома золота
оточено електронами, якi приводятьдо екранування заряду ядра i вiд-
повiдно потенцiал ядра має не кулонiвський (A
ext
0 = 14πr ), а юкавiвський
виглядA
ext
0 = e−r/a4πr ,деa— величина розмiрностi довжини, що за по-
рядком дорiвнює радiусу атома золота. Тобто у випадку, колиα-частинка
пролiтає вiд ядра на вiдстанi, бiльшiй нiж радiус атома золота, вона прак-
тично не взаємодiє iз зазначеним ядром.
Цiкаво, що цей iсторичний дослiд, який дав вiдповiдь про структуру
атома, був коректно проведений завдяки щасливому випадку, а саме, зав-
дяки виконанню таких умов:
1) ядро атома має бути достатньо важким, щоб його можна було
вважати нерухомим при взаємодiї зα-частинками;
2) швидкiсть налiтаючихα-частинок не має бути дуже великою для
того, щобα-частинка не могла наблизитися до ядра настiльки близько,
де на неї будуть впливати ядернi сили.
Однак у наступних дослiдах з алюмiнiєвими мiшенями перерiз розсiян-
ня вже вiдрiзнявся вiд резерфордiвського.
Розглянемо тепер розсiяння електрона в кулоновому полi важкого
ядра з визначеною спiральнiстюµ
1, якщо в кiнцевому станi спiраль-
нiсть будеµ
2. При цьому згiдно з (15.2), (4.9)маємо
q
4|M fi|2
Z2e4 =Tr[γ 01
2[(1+µ 1γ5χ1)(m+p 1)]γ 01
2[(1+µ 2γ5χ2)(m+p 2)]] =
= q
4
2
|M fi|2
Z2e4 +µ 1
4Tr[γ
0γ5χ1(m+p 1)γ0(m+p 2)]+

2
4Tr[γ
0(m+p 1)γ0γ5χ2(m+p 2)]+

1µ2
4Tr[γ
0γ5χ1(m+p 1)γ0γ5χ2(m+p 2)].(15.10)

Роздiл 15. Кулонiвське розсiяння175
Розглянемо по черзi окремi доданки:
Tr[γ
0γ5χ1(m+p 1)γ0(m+p 2)] =mχ 1µp2νTr[γ 0γ5γµγ0γν]+
+mχ
1µp1νTr[γ 0γ5γµγνγ0]=/(14.30)/=0.(15.11)
Tr[γ
0(m+p 1)γ0γ5χ2(m+p 2)] =Tr[γ 0γ5χ2(m+p 2)γ0(m+p 1)] =
=mχ
2µp1νTr[γ 0γ5γµγ0γν]+mχ 2µp2νTr[γ 0γ5γµγνγ0]=0.(15.12)
Tr[γ
0γ5χ1(m+p 1)γ0γ5χ2(m+p 2)] =m 2χ1µχ2νTr[γ 0γ5γµγ0γ5γν]+

1µχ2νp1αp2βTr[γ 0γ5γµγαγ0γ5γνγβ]=/[γ 5,γ µ]−=0,γ 5γ5=ˆ
1/=
=m
2χ1µχ2νTr[γ 0γµγ0γν]−χ 1µχ2νp1αp2βTr[γ 0γµγαγ0γνγβ]=
=/(14.24),(14.26),(Д5.1.14)/=4[m
2(2χ 10χ20 −χ 1χ2)+
+2(χ
2p1)χ 10p20 +2(χ 1p2)χ 20p10 −2(χ 1χ2)p10p20 −2(p 1p2)χ 10χ20+
+(χ
1χ2)(p 1p2)−(χ 1p2)(χ 2p1)].(15.13)
Використаємо явний вигляд 4-векторiв поляризацiї (Д5.1.21)та
врахуємо, що згiдно з (10.13) iмпульс електрона пiсля розсiяння змi-
нює лише свiй напрямок, тобто| p
1|=| p 2|,ε 1=ε 2,p 1 p2= p 12 cosθ.
Тодi останнiй вираз можна записати як:
1
4Tr[γ
0γ5χ1(m+p 1)γ0γ5χ2(m+p 2)] =
=( p
12 +ε 12 cosθ)+2·2 p 12ε12
m2 (1−cosθ)−
−2ε
12
m2( p12 −ε 12 cosθ)−2 p 12
m2(ε12 − p 12 cosθ)+
+1
m2( p12 −ε 12 cosθ)(ε 12 −
p 12 cosθ)− p 12ε12
m2 (1−cosθ) 2=
=2ε
12 −2(m 2+ε 12)sin 2(θ/2).(15.14)
Пiдставивши (15.11)–(15.14)у(15.10)та(12.71), отримаємо

dΩ=(Zα)
2
16 p 14 sin 4(θ/2)×
×!
2m
2+2 p 2
1cos 2θ/2+µ 1µ2[2ε 12−2(m 2+ε 12)sin 2(θ/2)]"
=
=(Zα)
2
sin 4(θ/2)·ε
2
1
4 p 14 ·
cos 2(θ/2),µ 1µ2=+1
(m/ε
1)2sin 2(θ/2),µ 1µ2=−1(15.15)

176Частина 2. Приклади розрахункiв
Якперевiрку, зробимо усереднення цього виразу за спiральностями:

dΩ→1 2 µ1

µ2

dΩ= µ1·µ2=−1,1

dΩ
Якбачимо, результат усереднення збiгається з (15.6).
Проаналiзуємо отриманий вираз (15.15). По-перше, оскiльки за-
лежнiсть вiд спiральностей електронiв пропорцiйнаµ
1µ2,топiсля
пiдсумовування за однiєю зi спiральностей (початкового чи кiнцевого
електрона) iнформацiя про iншу спiральнiсть втрачається. Або елек-
трон в кiнцевому станi може мати певну спiральнiсть лише тодi, якщо
вiн має певну спiральнiсть у початковому станi, i навпаки.
При русi електрона в центральному полi зберiгається повний куто-
вий момент частинки. У граничному випадку, коли початковий елек-
трон летить прямо на ядро (нульова прицiльна вiдстань), його ор-
бiтальний момент дорiвнює нулю й повний момент є спiном електро-
на. Очевидно, що пiсля взаємодiї електрон має змiнити напрямок руху
на протилежний. Оберемо систему вiдлiку, в якiй вiсьzнапрямлена
вздовж напрямку руху початкового електрона. Нехай також початко-
вий електрон має певну проекцiю спiну на вiсьz. Тодi пiсля розсiяння
проекцiя повного моменту (спiну) на вiсьzмає залишитись незмiн-
ною, а проекцiя спiну на напрямок руху (спiральнiсть) має змiнитись
на протилежну. Вiдповiдно, iмовiрнiсть розсiяння на кутθ=πуви-
падку, колиµ
1µ2=+1має дорiвнювати нулю, що й забезпечується
множникомcos 2(θ/2)в(15.15).
Яквидно з (15.15), у нерелятивiстському наближеннi спiральнiсть
електрона при розсiяннi в кулоновому полi може змiнюватись (див.
рис.15.2), однакв ультрарелятивiстському наближеннi спiральнiсть
зберiгається
1.
Останнє твердження пояснюється тим, що в ультрарелятивiстсько-
му наближеннiε
2
p 2, i тому можна вважати, що частинки є безма-
совими. Для безмасових частинок, як вiдомо, поняття спiральностi та
кiральностi збiгаються (див. додаток Д5). А для безмасових частинок
кiральнiсть є лоренц-iнварiантною величиною та iнтегралом руху. До
речi, перехiд до кiрального представлення для безмасових фермiонiв
1Iмовiрнiсть для ультрарелятивiстського процесу зi змiною спiральностiµ 1µ2=
−1прямує до нуля за рахунок множника(m/ε
1)2→0у(15.15).

Роздiл 15. Кулонiвське розсiяння177
в ультрарелятивiстському наближеннi значно спрощує розрахунки i є
загальновживаним.
Рис. 15.2. Кутова частина диференцiального перерiзу розсiяння нере-
лятивiстського електрона в зовнiшньому кулонiвському полi для великих
кутiв розсiяння:a) резерфордiвське розсiяння;б) розсiяння фермiона без
змiни поляризацiї (µ
1µ2=+1);в) зi змiною поляризацiї (µ 1µ2=−1).
Для прикладу припустимо, що початковий електрон має спiраль-
нiстьµ
1=−1, тодi в ультрарелятивiстському наближеннim=0i
електрон має лiву кiральнiсть, тобтоv
1→ˆ
P −v1/m=0 ,деˆ
P − =(1−
γ 5)/2— проектуючий оператор на стан з лiвою кiральнiстю (Д5.2.2).
Аналiзуючи вираз для амплiтуди (15.1), бачимо, що згiдно з (Д5.2.12)
у кiнцевому станi кiральнiсть електрона може бути лише лiвою, що й
узгоджується з випадкомµ
1µ2=+1у(15.15).
Отже, навiть не проводячи подальших розрахункiв, бачимо, що
в ультрарелятивiстському наближеннi введення кiральних операторiв
автоматично забезпечує заборону процесiв, де в результатi кулонiвсь-
кого розсiяння спiральнiсть електрона змiнює свiй знак. Розрахуємо
в цьому наближеннi перерiз розсiяння для початкового електрона з
лiвою кiральнiстю. Згiдно з (15.1), (Д5.2.14) запишемо амплiтуду як
M
fi =Ze
2
2
q 2·¯ υ 2γ0(1−γ 5)υ1,(15.16)
Тодi за аналогiєю з (15.2) отримаємо
4
q
4|M fi|2
Z2e4 =Tr[γ 0(1−γ 5)ρ1γ0(1−γ 5)ρ2].(15.17)

178Частина 2. Приклади розрахункiв
В останньому виразi, для спрощення розрахункiв, замiсть матри-
цi густиниρ
iможна використовувати пiдсумовану за спiральностями
матрицю густини (4.9):

µ=±1
ρi=
µ=±1
1
2[(1 +µγ
5χ)(m+p i)]) = (m+p i)|m=0 =p i.(15.18)
Це пов’язано з тим, що хоча в масивному випадку дiя оператора про-
ектуванняˆ
P
−на фермiонну функцiю з рiзними значеннями спiрально-
стi (µ=±1) не дорiвнює нулю, при переходi до ультрарелятивiстсько-
го випадку(m→0)оператор проектуванняˆ
P
−автоматично "вирiже"
потрiбну частину матрицi густини, що вiдповiдає лiвим фермiонам.
Отже, замiсть (15.17) можна записати
4
q
4|M fi|2
Z2e4 =Tr[γ 0(1−γ 5)p 1γ0(1−γ 5)p 2]=Tr[γ 0p1γ0p2]+
+Tr[γ
0γ5p1γ0γ5p2]−Tr[γ 0p1γ0γ5p2]−Tr[γ 0γ5p1γ0p2].(15.19)
Згортка вiд останнiх двох доданкiв дає нуль згiдно з (14.30), а в пер-
шому доданку в другому рядку (15.20) можна взагалi позбавитися
матрицьγ
5, якщо одну з них перемiстити до iншої, враховуючи, що
матрицяγ5антикомутує з усiма матрицямиγ µ. Тодi отримаємо
4
q
4|M fi|2
Z2e4 =2Tr[γ 0p1γ0p2]=2p 1,α p2,β Tr[γ 0γαγ0γβ]=/(14.24)/=
=8p
1,α p2,β (g0αg0β −g 00gαβ +g 0βg0α)=8[p 0
1p0
2−(p 1,p2)].(15.20)
Враховуючи, що енергiя електрона при кулонiвському розсiяннi
не змiнюється, а також те, що в ультрарелятивiстському наближеннi
ε=| p|,маємоp
1=ε(1,p 1/| p 1|);p 2=ε(1,p 2/| p 2|)та
 q
4|M fi|2
Z2e4 =2[2ε 2−ε 2(1−cosθ)] = 4ε 2cos 2(θ/2).(15.21)
Згiдно з (12.71) отримуємо перерiз розсiяння

dΩ=(Zα)
2
ε2
cos 2(θ/2)
4sin 4(θ/2),(15.22)

Роздiл 15. Кулонiвське розсiяння179
що в ультрарелятивiстському наближеннi збiгається з отриманим ранi-
ше виразом (15.15) у випадку, коли спiральнiсть електрона пiсля роз-
сiяння не змiнюється (µ
1µ2=+1).
Таким чином, ми явно переконалися, що перехiд до кiрального
представлення для безмасових фермiонiв в ультрарелятивiстському
наближеннi значно спрощує розрахунки при дослiдженнi реакцiй з
поляризованими частинками.
Завдання
1. Якзмiниться матриця густини (15.18) у випадку кулонiвського
розсiяння ультрарелятивiстського позитрона з певним значен-
ням спiральностi? Якпри цьому змiниться перерiз реакцiї?

РОЗДIЛ 16
Електрон-електронне розсiяння
Для знаходження диференцiйного перерiзу електрон-електронного
розсiяння (12.62) необхiдно розрахувати величину|M
fi|2. Згiдно з
означеннями (1.34), (1.40) i виразом для матрицie−e-розсiяння в
другому порядку теорiї збурень (2.47) амплiтудаe−e-розсiяння
M
fi =e 2$
(¯υ 3γµυ2)(¯υ 4γµυ1)
(p1−p 4)2 −(¯υ 4γµυ2)(¯υ 3γµυ1)
(p1−p 3)2
%
.(16.1)
Для знаходження|M
fi|2використаємо (14.3), (14.4) i визначення кi-
нематичних iнварiантiв (12.77) для випадку (12.81):
|M
fi|2
e4 =$
(¯υ 3γµυ2)(¯υ 4γµυ1)
u−(¯υ
4γµυ2)(¯υ 3γµυ1)
t%
×
×$
(¯υ
2γνυ3)(¯υ 1γνυ4)
u−(¯υ
2γνυ4)(¯υ 1γνυ3)
t%
=(16.2)
=(¯υ
4γµυ2)(¯υ 3γµυ1)(¯υ 2γνυ4)(¯υ 1γνυ3)
t2 +(16.3)
+(¯υ
3γµυ2)(¯υ 4γµυ1)(¯υ 2γνυ3)(¯υ 1γνυ4)
u2 −(16.4)
−(¯υ
4γµυ2)(¯υ 3γµυ1)(¯υ 2γνυ3)(¯υ 1γνυ4)
tu−(16.5)
−(¯υ
3γµυ2)(¯υ 4γµυ1)(¯υ 2γνυ4)(¯υ 1γνυ3)
ut.(16.6)
Бачимо, що вирази (16.4), (16.6) вiдрiзняються вiд виразiв (16.3)
та (16.5) замiною iндексiв3↔4, вiдповiдно. Тому для спрощення
запишемо квадрат амплiтудиe−e-розсiяння у виглядi
|M
fi|2
e4 =A t2+A 3↔4
u2 −B tu−B
3↔4
ut,(16.7)
де
A=(¯υ
4γµυ2)(¯υ 3γµυ1)(¯υ 2γνυ4)(¯υ 1γνυ3),(16.8)
B=(¯υ
4γµυ2)(¯υ 3γµυ1)(¯υ 2γνυ3)(¯υ 1γνυ4).(16.9)

Роздiл 16. Електрон-електронне розсiяння181
Вкажемо явно внутрiшнi iндекси пiдсумовування, що дозволить
переставити множники в необхiдному порядку та записати вирази для
A, Bу виглядi згортоквiд добуткiв матриць:
A=
¯ υ
4αγµ
αβυ2β

(¯υ
3δ(γµ)δηυ1η)!
¯ υ 2λγν
λξυ4ξ"
(¯υ 1ρ(γν)ρσυ3σ)=
=(γ
µ
αβυ2β¯ υ2λγν
λξυ4ξ¯ υ4α)((γ µ)δηυ1η¯ υ1ρ(γν)ρσυ3σ¯ υ3δ)=
=/u
i,α ¯ ui,β =(ρ i)αβ (4.9)/=Tr[γ µρ2γνρ4]·Tr[γ µρ1γνρ3].(16.10)
B=(¯υ
4αγµ
αβυ2β)(¯υ 3δ(γµ)δηυ1η)!
¯ υ 2λγν
λξυ3ξ"
(¯υ 1ρ(γν)ρσυ4σ)=

µ
αβυ2β¯ υ2λγν
λξυ3ξ¯ υ3δ(γµ)δηυ1η¯ υ1ρ(γν)ρσυ4σ ¯ υ4α =
=Tr[γ
µρ2γνρ3γµρ1γνρ4](16.11)
Надалi будемо розглядати найбiльш простий випадокрозсiяння
неполяризованих електронiв у випадку, коли значення кiнцевої поля-
ризацiї не фiксується. Це означає, що (16.2) потрiбно усереднити за
початковими спiральностямиµ
1,µ 2i пiдсумувати за всiма можливими
спiральностями кiнцевих частинокµ
3,µ 4, тобто треба
|M
fi|2→ |M fi|2=
µ3,µ4
1
2 µ1
1
2 µ2
|M fi|2.(16.12)
Оскiльки поляризацiйнi властивостi окремої частинки у виразi для
квадрата амплiтуди розсiяння явно входять лише до матрицi густини
ρ, а сума за можливими спiральними станами в матрицi густини згiдно
з визначенням (4.9):

µ=±1
ρqi =
µ=±1
q
2[(1 +µγ
5χ)(m+qp i)] =q(m+qp i)= ¯ρ qi,(16.13)
деq=1вiдповiдає частинцi, аq=−1— античастинцi, то процедура
усереднення за спiральними станами зводиться до замiни
|M
fi|2
e4 → |M fi|2
e4 =1 4$
¯
A t2+¯
A 3↔4
u2 −¯
B ut−¯
B
3↔4
ut%
,(16.14)
де вирази¯
A,¯
Bвiдрiзняються вiдA, Bзамiноюρ
i→¯ ρ i.
Знайдемо значення¯
A:
¯
A=Tr[γ
µ(m+p 2)γν(m+p 4)]·Tr[γ µ(m+p 1)γν(m+p 3)].(16.15)

182Частина 2. Приклади розрахункiв
Перший множникзнаходиться як
Tr[γ
µ(m+p 2)γν(m+p 4)] =
=Tr[m
2γµγν+mp 2αγµγαγν+mp 4βγµγνγβ+p 2αp4βγµγαγνγβ]=
=/(14.17)/=m
2Tr[γ µγν]+p 2αp4βTr[γ µγαγνγβ]=/(14.18),(14.24)/=
=4[m
2gµν +p 2αp4β(gµα gνβ −g µνgαβ +g µβ gνα )] =
=4[m
2gµν +p 2µp4ν −g µν(p2p4)+p 2νp4µ],(16.16)
а другий отримується з (16.16) замiною2→1,4→3та опусканням
iндексiв
Tr[γ
µ(m+p 1)γν(m+p 3)] = 4[m 2gµν +p 1,µ p3,ν −g µν(p1p3)+p 1,ν p3,µ ].
(16.17)
Пiдставивши вирази (16.16), (16.17)у(16.15) та врахувавши, що

µν gµνgµν =4, отримаємо усереднений за спiральними станами ви-
раз (16.3):
¯
A= 32[2m
4−m 2{(p 2p4)+(p 1p3)}+(p 1p2)(p 3p4)+(p 1p4)(p 2p3)].(16.18)
Знайдемо¯
B:
¯
B=Tr
γ
µ(m+p 2)γν(m+p 3)γµ(m+p 1)γν(m+p 4)
.(16.19)
Для спрощення обчислення (16.19) спочатку розглянемо його пiдкрес-
лену частину
γ
µ(m+p 2)γν(m+p 3)γµ=m 2γµγνγµ+mp 3,λ γµγνγλγµ+
+mp
2,λ γµγλγνγµ+p 2,λ p3,ρ γµγλγνγργµ=/(14.6)−(14.8)/=
=−2m
2γν+4m(p 3ν +p 2ν)−2p 3γνp2.(16.20)
Пiдставивши (16.20)у(16.19) i знехтувавши доданками, що мiстять
непарну кiлькiстьγ-матриць (див. (14.17)), отримаємо пiд знаком
згортки
γ
µ(m+p 2)γν(m+p 3)γµ(m+p 1)γν(m+p 4)=
=−8m
4I−2m 2(γνp1γνp4+p 3γνp2γν)+
+4m
2[(p 3+p 2)p 4+p 1(p3+p 2)]−2p 3γνp2p1γνp4=
=/(14.6),(14.7)/=−8m
4I−8(p 1p2)p 3p4+
+4m
2(p1p2+p 3p1+p 3p2+p 4p1+p 4p2+p 4p3).(16.21)

Роздiл 16. Електрон-електронне розсiяння183
Згортку вiд останнього виразу легко обчислити, врахувавши такi спiввiд-
ношення:Tr[I]=4,Tr[γ µγν]=4g µν. Остаточно маємо
¯
B= 16[−2m
4−2(p 1p2)(p 3p4)+
+m
2{(p 1p2)+(p 3p1)+(p 3p2)+(p 4p1)+(p 4p2)+(p 4p3)}].(16.22)
Зазначимо, що з явного вигляду¯
Bвипливає¯
B=¯
B
3→4 .
Пiдставивши (16.18), (16.22)у(16.14), отримаємо
|M fi|2
8e4 =2m
4−m 2{(p 2p4)+(p 1p3)}+(p 1p2)(p 3p4)+(p 1p4)(p 2p3)
t2 +
+2m
4−m 2{(p 2p3)+(p 1p4)}+(p 1p2)(p 3p4)+(p 1p3)(p 2p4)
u2 +
+2m
4+2(p 1p2)(p 3p4)
tu−
−m 2{(p 1p2)+(p 3p1)+(p 3p2)+(p 4p1)+(p 4p2)+(p 4p3)}
tu.(16.23)
Наведений вираз можна звести до бiльш простого вигляду, вико-
ристовуючи закон збереження 4-iмпульсуp
1+p 2=p 3+p 4таp 2
i=m 2:
|M fi|2
8e4 =(p 1p2)2+(p 1p4)2+2m 2(m 2−(p 1p3))
(p1−p 3)4 +
+(p
1p2)2+(p 1p3)2+2m 2(m 2−(p 1p4))
(p1−p 4)4 +
+2(p
1p2)((p 1p2)−2m 2)
(p1−p 3)2(p1−p 4)2,(16.24)
а також записати через кiнематичнi iнварiанти
|M fi|2
4e4 =1 t2
$
s 2+u 2
2+4m
2(t−m 2)%
+1 u2
$
s 2+t 2
2+4m
2(u−m 2)%
+
+4
tu
s 2−m
2
s
2−3m
2
.(16.25)
Отже перерiз розсiяння неполяризованих електронiв згiдно з (12.85)
та (12.87)дорiвнює

184Частина 2. Приклади розрахункiв
dσ i→f =1 64π
|M fi|2
I2

2πd(−t)=
=2r
e2

1
t2
$
s 2+u 2
2+4m
2(t−m 2)%
+1 u2
$
s 2+t 2
2+4m
2(u−m 2)%
+
+4
tu
s 2−m
2
s
2−3m
20
m 2dϕd(−t)
s[s−4m 2],(16.26)
де розмiрний параметрr
e=α/mотримав назву класичного радiуса
електрона (тутm=m
e– маса електрона), аα=e 2/4πє сталою тонкої
структури. У системi одиниць СI:
r
e=α mec22.818·10 −15 м.(16.27)
Для кращого розумiння отриманого результату розглянемо част-
ковi випадки.
У системi центра iнерцiї, враховуючи, що маси частинокодна-
ковi, маємо (див. (12.81)):
q
1=p 1=(ε, p 1),q 2=p 2=(ε,− p 1),
q
3=−p 3=−(ε, p 3),q 4=−p 4=−(ε,− p 3),(16.28)
деE
1=E 2=E 3=E 4=ε,| p 1|=| p 2|=| p 3|=| p 4|=| p|.Тодi(див.
рис.2.1 на с.35) отримаємо:
s=(p
1+p 2)2=4ε 2,(16.29)
t=(p
1−p 3)2=p 12 +p 32 −2(p 1p3)=
=2m
2−2( 2−| p| 2cosθ)=−4| p| 2sin 2θ
2,(16.30)
u=(p
1−p 4)2=2m 2−2( 2−| p| 2cos(π−θ)) =−4| p| 2cos 2θ
2,(16.31)
dϕd(−t)=2| p| 2sinθdθdϕ=2| p| 2dΩ.(16.32)
Пiдставивши (16.29)–(16.32)у(16.26) отримаємо громiздкий ви-
раз, який можна звести до

dΩ=r
2
em2(ε2+
p 2)2
4 p 4ε2
/
4
sin 4θ−3 sin 2θ+
 p
2
ε2+ p 2
2
1+4
sin 2θ6
.
(16.33)

Роздiл 16. Електрон-електронне розсiяння185
У нерелятивiстському наближеннi (ε→m, p 2→0)маємо


dΩ
н.р.=4r
2
e
v4
$
4
sin 4θ−3 sin 2θ%
=
=r
2
e
v4
$
1
sin 4θ/2+1 cos 4θ/2+1 sin 2θ/2cos 2θ/2%
,(16.34)
деv=2 p/m— вiдносна швидкiсть початкових електронiв. При цьому
швидкiсть електронiв вважається достатньо малою(v1), однакне
може прямувати до нуля. Це необхiдно для того, щоб виконувалась
умова застосовностi теорiї збуреньα/v1(тобто вiдносна швидкiсть
початкових електронiв має бути набагато бiльшою за1/137швидко-
стi свiтлаvc/137), див. [11], §126. У цьому наближеннi отриманий
нами вираз узгоджується з виразом розрахованим в рамках нереля-
тивiстської квантової механiки для розсiяння тотожних частинок у
борнiвському наближеннi, див. [11], §137.
В ультрарелятивiстському наближеннi (ε
2→ p 2,m→0)маємо


dΩ
у. р .=r
2
em2
ε2
$
1
4+4 sin 4θ−2 sin 2θ%
=r
2
em2
4ε2
(3 + cos 2θ)2
sin 4θ.
(16.35)
Якв нерелятивiстському (16.34), такi в ультрарелятивiстському
(16.35) наближеннi перерiз розсiяння швидко спадає зi збiльшенням
енергiї електронiв. Тобто зi збiльшенням енергiї електрони повиннi
пролiтати ближче один до одного для ефективної взаємодiї.
Вiдмiтимо, що отриманий вираз (16.33) є симетричним до замiни
θ→π−θ. Так i має бути, оскiльки зазначена замiна рiвнозначна за-
мiни мiсцями кiнцевих електронiв, що є тотожними частинками (див.
Рис.2.1нас.35).
Зауважимо, що в областiθ→0(θ→π)диференцiальний пере-
рiз розсiяння прямує до нескiнченностi, див. рис.19.1, що побудова-
ний на основi (16.33). Окрiм аргументiв, наведених в попередньому
роздiлi, слiд зазначити, що математично нескiнченнiсть в електрон-
електронному розсiяннi виникає тодi, коли 4-iмпульс вiртуального фо-
тона виходить на масову поверхню(q
2=m 2
γ=0).
Якбачимо з рис.19.1, кутова частина диференцiального перерiзу
розсiяння слабко залежить вiд енергiй частинок в областi малих кутiв.

186Частина 2. Приклади розрахункiв












Рис. 16.1.Кутова частина перерiзу електрон-електронного роз-
сiяння в системi центру iнерцiї для рiзних енергiй частинок. По вiсi
ординат вiдкладено безрозмiрну величину
dσdΩ4 p
4ε2
r2
em2(ε2+ p 2)2, параметр
β=ε
2/p 2.
У лабораторнiй системi вiдлiку[12], в якiй один з електронiв
(нехай це буде електрон iз характеристиками, якi ми позначили циф-
рою 2) спочатку був нерухомим(E
2=m, p 2=0), внаслiдоквзаємодiї
змiнюються якнапрямок, такi величини iмпульсiв та енергiї части-
нок. Тому параметрd(−t), що входить до визначення перерiзу роз-
сiяння (12.85), не можна виразити лише через диференцiал кута, на
який вiдхилився електрон, що спочатку налiтав на нерухомий елек-
трон. Виявляється, що параметрd(−t)можна виразити через змiну
безрозмiрного параметра
∆=(E
1−E 3)/m=(E 4−E 2)/m=(E 4−m)/m,(16.36)
що виражає передану енергiю нерухомому електрону (або змiну енер-
гiї електрона, що налiтає), а кiнематичнi iнварiанти через параметр
∆та енергiю електрона, що налiтає:
s=(p
1+p 2)2=p 12 +p 22 +2(p 1p2)=2m(m+E 1),(16.37)
t=(p
1−p 3)2=(p 4−p 2)2=p 42 +p 22 −2(p 4p2)=
=2m
2−2E 4m=/E 4=m(∆ + 1)/=−2m 2∆,(16.38)
u=(p
1−p 4)2=−2m(E 1−m−m∆)(16.39)
dϕd(−t)=2m
2dϕ d∆.(16.40)

Роздiл 16. Електрон-електронне розсiяння187
  

 



 


 




Рис. 16.2.Обезрозмiрений перерiз електрон-електронного роз-
сiяння в лабораторнiй системi вiдлiку для рiзних енергiй частинок.
По осi ординат вiдкладено
dσd∆1 2πr 2
e, по осi абсцис параметр∆умежах
0<∆<(γ−1)/2.
Пiдставивши (16.37)–(16.40)у(16.26) i проiнтегрувавши заdϕ,
отримаємо вираз для перерiзу електрон-електронного розсiяння в ла-
бораторнiй системi вiдлiку:
dσ=2πr
2
e d∆
γ2−1$
(γ−1)
2γ2
∆2(γ−1−∆) 2−2γ
2+2γ−1
∆(γ−1−∆)+1%
,(16.41)
де введено позначенняγ=E
1/m, а величиниm∆=E 4−mтаm(γ−1−
∆) =E
3−mвиражають кiнетичнi енергiї електронiв пiсля взаємодiї.
Тотожнiсть електронiв виражається в тому, що в (16.41) зазначенi
величини входять симетрично.
У граничному випадку∆→0диференцiйний перерiз розсiяння
також прямує до нескiнченностi∼1/∆
2(див. рис. 15.2). Якщо на
рис. 15.2 параметр∆змiнювати в межах(γ−1)/2<∆<γ−1,ми
отримаємо дзеркально симетричнi рисунки до наведених на рис.19.2.
Завдання
1. Переконатись у справедливостi (16.21), (16.22).
2. Переконатись у справедливостi (16.24), (16.25).
3. Виведiть в загальному випадку зв’язок мiж прицiльною вiдстан-
ню та кутом розсiяння в класичнiй теорiї.
4. Довести справедливiсть (16.39).
5. Вважаючи електроном вiддачi електрон, що пiсля взаємодiї має
меншу енергiю, визначити межi, в яких змiнюється параметр∆.

188Частина 2. Приклади розрахункiв
6. Показати безпосереднiм розрахунком, що в другому порядку
теорiї збурень перерiз розсiяння не змiниться, якщо один iз по-
чаткових або кiнцевих електронiв є поляризованим.
7. Що можна сказати, не проводячи розрахункiв, про кiнцевий
спiральний стан ультрарелятивiстських електронiв, якщо спо-
чатку вони перебувають у станi:а)e
L,eL;б)e R,eL;в)e R,eR.
8. У системi центру iнерцiї отримати перерiзи розсiяння ультраре-
лятивiстських електронiв, якщо в початковому станi вони мали:
а)однакову;б)рiзну спiральнiсть.
9. Користуючись поняттям перехресної iнварiантостi, розглянути
e−e
+-розсiяння. Для цього випадку отримати аналог формул
(16.26), (16.33)–(16.35), (16.41). Чи мають вони симетрiю до
замiни частинокмiсцями?
10. Пояснити, чому в нерелятивiстському наближеннi внесок вiд дiа-
грами анiгiляцiйного типу приe−e
+-розсiяннi зникає.

РОЗДIЛ 17
Електрон-фотонне розсiяння
Для того, щоб знайти диференцiальний перерiз процесу електрон-
фотонного розсiяння (12.62) необхiдно розрахувати величину|M
fi|2.
Згiдно з означеннями (1.34), (1.40) i виразом для матрицi електрон-
фотонного розсiяння в другому порядку теорiї збурень (4.15) амплiту-
да електрон-фотонного розсiяння може бути записана у виглядi
M
fi =e 2νλ1(
k1)µ∗λ 2(
k2)¯υ2
$
γ ν m+p 1−k 2
m2−(p 1−k 2)2γµ+

µ m+p 1+k 1
m2−(p 1+k 1)2γν%
υ
1.(17.1)
Щоб уникнути громiздких записiв, у цьому роздiлi будемо позначати

λi(
ki)≡ λi.
Отриманий вираз можна суттєво спростити, якщо врахувати, що
до нього входить згортка зγ-матрицями 4-iмпульсу реального фер-
мiона та його хвильова функцiя, якi пов’язанi через рiвняння Дiрака
(див., (Д5.1.9))
(qp−m)υ
qp =0,¯ υ qp(qp−m)=0,q=±1,(17.2)
деq=1(−1)вiдповiдає частинцi (античастинцi). Тодi
p
1γµυ1=p 1,α γαγµυ1=/(Д5.2)/=(2p µ
1−γ µp1)υ1=(2p µ
1−mγ µ)υ1
(17.3)
i(17.1) набуває вигляду
M
fi =e 2νλ1µ∗λ 2¯ υ2
$
2p µ
1γν−γ νk2γµ
m2−(p 1−k 2)2 +2p
ν
1γµ+γ µk1γν
m2−(p 1+k 1)2
%
υ
1.
(17.4)
Для знаходження|M
fi|2використаємо (14.3), (14.4) i визначення
кiнематичних iнварiантiв (12.77), якi для нашого випадку будуть
s=(p
1+k 1)2=m 2+2(p 1k1);
t=(p
1−p 2)2=(k 2−k 1)2=−2(k 1k2);(17.5)
u=(p
1−k 2)2=m 2−2(p 1k2).

190Частина 2. Приклади розрахункiв
Отже,
|M fi|2
e4 =¯υ 2
$
2( ∗λ2p1) λ1− λ1k2∗λ2
m2−u+2(
λ1p1) ∗λ2+ ∗λ2k1λ1
m2−s%
υ 1×
ׯ υ
1
$
2( λ2p1) ∗λ1− λ2k2∗λ1
m2−u+2(
∗λ1p1) λ2+ ∗λ1k1λ2
m2−s%
υ 2=
=1
(m 2−u) 2

4( ∗λ2p1)( λ2p1)¯υ2λ1υ1¯ υ1∗λ1υ2−
−2(
∗λ2p1)¯υ2λ1υ1¯ υ1λ2k2∗λ1υ2−2( λ2p1)¯υ2λ1k2∗λ2υ1¯ υ1∗λ1υ2+
+¯υ
2λ1k2∗λ2υ1¯ υ1λ2k2∗λ1υ2

+
+1
(m 2−s) 2

4( λ1p1)( ∗λ1p1)¯υ2∗λ2υ1¯ υ1λ2υ2+
+2(
λ1p1)¯υ2∗λ2υ1¯ υ1∗λ1k1λ2υ2+2( ∗λ1p1)¯υ2∗λ2k1λ1υ1¯ υ1λ2υ2+
+¯υ
2∗λ2k1λ1υ1¯ υ1∗λ1k1λ2υ2

+
+1
(m 2−u)(m 2−s)
4(
∗λ2p1)( ∗λ1p1)¯υ2λ1υ1¯ υ1λ2υ2+
+2(
∗λ2p1)¯υ2λ1υ1¯ υ1∗λ1k1λ2υ2−2( ∗λ1p1)¯υ2λ1k2∗λ2υ1¯ υ1λ2υ2−
−¯ υ
2λ1k2∗λ2υ1¯ υ1∗λ1k1λ2υ2

+
+1
(m 2−s)(m 2−u)
4(
λ1p1)( λ2p1)¯υ2∗λ2υ1¯ υ1∗λ1υ2+
+2(
λ2p1)¯υ2∗λ2k1λ1υ1¯ υ1∗λ1υ2−2( λ1p1)¯υ2∗λ2υ1¯ υ1λ2k2∗λ1υ2−
−¯ υ
2∗λ2k1λ1υ1¯ υ1λ2k2∗λ1υ2

.(17.6)
Доданки, що утворилися, мають структуру¯ υ iAυ k¯ υkBυ i,деA, B–
деякi матрицi розмiрностi(4×4).Тодi
¯ υ
i,α Aαβ υk,β ¯ υk,γ Bγδυi,δ =υ i,δ ¯ υi,α Aαβ υk,β ¯ υk,γ Bγδ =Tr[ρ iAρ kB],(17.7)
де ми використали визначення (4.9). Тодi (17.6) можна записати як:
|M
fi|2
e4 = λ1µ∗λ1ν λ2ξ∗λ2σ

1
(m 2−u) 2

4p σ
1pξ
1Tr[ρ 2γµρ1γν]−
−2p
σ
1k2,α Tr[ρ 2γµρ1γξγαγν]−2p ξ
1k2,α Tr[ρ 2γµγαγσρ1γν]+
+k
2,α k2,β Tr[ρ 2γµγαγσρ1γξγβγν]
+

Роздiл 17. Електрон-фотонне розсiяння191
+1 (m 2−s) 2

4p µ
1pν
1Tr[ρ 2γσρ1γξ]+
+2p
µ
1k1,α Tr[ρ 2γσρ1γνγαγξ]+2p ν
1k1,α Tr[ρ 2γσγαγµρ1γξ]+
+k
1,α k1,β Tr[ρ 2γσγαγµρ1γνγβγξ]
+
+1
(m 2−u)(m 2−s)
4p
σ
1pν
1Tr[ρ 2γµρ1γξ]+
+2p
σ
1k1,α Tr[ρ 2γµρ1γνγαγξ]−2p ν
1k2,α Tr[ρ 2γµγαγσρ1γξ]−
−k
2,α k1,β Tr[ρ 2γµγαγσρ1γνγβγξ]
+
+1
(m 2−s)(m 2−u)
4p
µ
1pξ
1Tr[ρ 2γσρ1γν]+
+2p
ξ
1k1,α Tr[ρ 2γσγαγµρ1γν]−2p µ
1k2,α Tr[ρ 2γσρ1γξγαγν]−
−k
1,α k2,β Tr[ρ 2γσγαγµρ1γξγβγν]0
.(17.8)
Розглянемо найбiльш простий випадокрозсiяння неполяризованих
частинок у випадку, коли значення кiнцевої поляризацiї (спiрально-
стi) не фiксується. Це означає, що|M
fi|2потрiбно усереднити за по-
чатковим поляризацiйним i спiральним станамиµ
1,λ 1та пiдсумувати
за всiма можливими поляризацiйними та спiральними станами кiнце-
вих частинокµ
2,λ 2, тобто треба
|M
fi|2→ |M fi|2=
µ2,λ2
1
2 µ1
1
2 λ1
|M fi|2.(17.9)
Пiдсумовування легко виконати, користуючись (16.13)та(Д4.3.19):
2
µi=1
ρi=¯ρ i=(m+p i),i=1,2(17.10)
2
λ1=12

λ2=1
λ1µ∗λ1ν λ2ξ∗λ2σ =g µνgξσ.(17.11)
Отже, (17.8) можна записати як
|M
fi|2
e4 =g µνgξσ
$
A µν ξσ
(m 2−u) 2+B
µν ξσ
(m 2−s) 2+
+C
µν ξσ
(m 2−u)(m 2−s)+D
µν ξσ
(m 2−s)(m 2−u)%
,(17.12)

192Частина 2. Приклади розрахункiв
Аналiзуючи явнi вирази для тензорiвA, B , C, Dлегко побачити, що
за допомогою змiни нiмих iндексiв пiдсумовування мiж ними iснують
такi спiввiдношення:B
µν ξσ =A µν ξσ (k2→−k 1)таC µν ξσ =D µν ξσ .
Оскiльки вирази, що входять у|M
fi|2(17.8) подiбнi, то детально
розглянемо лише три типових доданка, в якихρ
iзамiнимо на¯ ρ i1.
Розрахунок доданкаg
µνgξσ4p σ
1pξ
1Tr[¯ρ 2γµ¯ ρ1γν]:
Tr[¯ρ
2γµ¯ ρ1γν]=Tr[(m+p 2)γµ(m+p 1)γν]=
=m
2Tr[γ µγν]+p 2,α p1,β Tr[γ αγµγβγν];(17.13)
g
µνgξσ4p σ
1pξ
1Tr[γ µγν]=4p 2
1Tr[γ νγν]=/(14.5)/=
=4p
2
1Tr[4I]=64m 2;(17.14)
g
µνgξσ4p σ
1pξ
1p2,α p1,β Tr[γ αγµγβγν]=4p 2
1p2,α p1,β Tr[γ αγνγβγν]=
=/(14.6)/=−8p
2
1p2,α p1,β Tr[γ αγβ]=−32m 2(p1p2).(17.15)
Звiдки випливає
g
µνgξσ4p σ
1pξ
1Tr[¯ρ 2γµ¯ ρ1γν]=32m 2[2m 2−(p 1p2)].(17.16)
Розрахунок доданка−2g
µνgξσpσ
1k2,α Tr[¯ρ 2γµ¯ ρ1γξγαγν]:
Tr[¯ρ
2γµ¯ ρ1γξγαγν]=Tr[(m+p 2)γµ(m+p 1)γξγαγν]=
=m
2Tr[γ µγξγαγν]+p 2,β p1,τ Tr[γ βγµγτγξγαγν];(17.17)
−2g
µνgξσpσ
1k2,α Tr[γ µγξγαγν]=−2p 1,ξ k2,α Tr[γ νγξγαγν]=
=/(14.7)/=−8p
1,ξ k2,α gξαTr[I]=−32(p 1k2);(17.18)
−2g
µνgξσpσ
1k2,α p2,β p1,τ Tr[γ βγµγτγξγαγν]=
=−2p
1,ξ k2,α p2,β p1,τ Tr[γ βγνγτγξγαγν]=/(14.7)/=
=4p
1,ξ k2,α p2,β p1,τ Tr[γ βγαγξγτ]=/(14.24)/=
=16p
1,ξ k2,α p2,β p1,τ (gβα gξτ−g βξgατ +g αξgβτ)=16m 2(p2k2).(17.19)
Звiдки випливає
−2g
µνgξσpσ
1k2,α Tr[¯ρ 2γµ¯ ρ1γξγαγν]=−16m 2[2(p 1k2)−(p 2k2)].(17.20)
1У наведених нижче розрахунках ми не виписуємо доданки, що мiстять добуток
непарної кiлькостiγ-матриць згiдно з розд. 14.

Роздiл 17. Електрон-фотонне розсiяння193
Розрахунок доданкаg µνgξσk2,α k2,β Tr[¯ρ 2γµγαγσ¯ ρ1γξγβγν]:
Tr[¯ρ
2γµγαγσ¯ ρ1γξγβγν]=Tr[(m+p 2)γµγαγσ(m+p 1)γξγβγν]=
=m
2Tr[γ µγαγσγξγβγν]+p 2,λ p1,ω Tr[γ λγµγαγσγωγξγβγν];(17.21)
g
µνgξσk2,α k2,β Tr[γ µγαγσγξγβγν]=k 2,α k2,β Tr[γ νγαγξγξγβγν]=
=k
2,α k2,β 4Tr[γ νγαγβγν]=k 2,α k2,β 16g αβ Tr[I]=64k 2
2=0;(17.22)
g
µνgξσk2,α k2,β p2,λ p1,ω Tr[γ λγµγαγσγωγξγβγν]=k 2,α k2,β p2,λ p1,ω ×
×Tr[γ
λγνγαγξγωγξγβγν]=/(14.6)/=−2k 2,α k2,β p2,λ p1,ω ×
×Tr[γ
λγνγαγωγβγν]=/(14.8)/=4k 2,α k2,β p2,λ p1,ω Tr[γ λγβγωγα]=
=/(14.24)/=16k
2,α k2,β p2,λ p1,ω (gλβ gωα −g λω gβα +g λα gβω )=
= 16((p
2k2)(p 1k2)−(p 1p2)k 2
2+(p 2k2)(p 1k2)) = 32(p 2k2)(p 1k2).(17.23)
Звiдки випливає
g
µνgξσk2,α k2,β Tr[¯ρ 2γµγαγσ¯ ρ1γξγβγν] = 32(p 2k2)(p 1k2).(17.24)
Таким чином, з урахуванням коефiцiєнта1/4з(16.12) отримуємо
|M fi|2
8e4 =m
2[2m 2−(p 1p2)]−m 2[2(p 1k2)−(p 2k2)] + (p 2k2)(p 1k2)
(m 2−u) 2 +
+m
2[2m 2−(p 1p2)] +m 2[2(p 1k1)−(p 2k1)] + (p 2k1)(p 1k1)
(m 2−s) 2 +
+1
(m 2−s)(m 2−u){m
2[m 2+(p 1p2)] + (k 1k2)[−m 2+2(p 1p2)]+
+2m
2(p1,k1−k 2)+m 2(p2,k1−k 2)−2(p 1p2)(p 1,k1−k 2)}.(17.25)
Цей вираз можна звести до бiльш елегантного вигляду, використо-
вуючи закон збереження 4-iмпульсуp
1+k 1=p 2+k 2таp 2
i=m 2,
k 2
i=0:
|M fi|2
8e4 =
m
2
s−m 2+m
2
u−m 2
2
+
m
2
s−m 2+m
2
u−m 2


−1
4
s−m
2
u−m 2+u−m
2
s−m 2

,(17.26)
де величиниs, u, tвизначенi в (17.5).

194Частина 2. Приклади розрахункiв
IнварiантI, що входить до визначення перерiзу (12.86), у нашому
випадку дорiвнюєI 2=[s−m 2]2/4, а отже, перерiз розсiяння неполя-
ризованих електронiв на неполяризованих фотонах (12.85):

i→f =1 64π
|M fi|2
I2

2πd(−t)=4r e2


m 2
s−m 2+m
2
u−m 2
2
+
+
m
2
s−m 2+m
2
u−m 2

−1
4
s−m
2
u−m 2+u−m
2
s−m 2
0
m 2dϕd(−t)
(s−m 2)2,
(17.27)
деr
e=α/m=e 2/(4πm)— класичний радiус електрона.
Для кращого розумiння отриманого результату розглянемо част-
ковi випадки.У лабораторнiй системi вiдлiку, де початковий елек-
трон перебуває у станi спокою, маємоp
1 =(m,0),p 2 =(E 2,p2),
k
1=ω(1,
k 1/|
k 1|),k 2=ω (1,
k 2/|
k 2|).
Пiднiсши до квадрата рiвнiстьp
1+k 1−k 2=p 2, що виражає збе-
реження енергiї-iмпульсу в системi, отримаємо:
p
1k1−p 1k2−k 1k2=0,абоm(ω−ω )−ωω (1−cosθ)=0.(17.28)
Останнiй вираз дасть зв’язокмiж енергiєю фотона пiсля взаємодiї та
кутом розсiяння фотонаθ(кут мiж початковим i кiнцевим векторами
iмпульсу фотона)
ω
=ω 1+ ωm(1−cosθ).(17.29)
Яклегко побачити, при нульовому кутi розсiяння та в нерелятивiст-
ському випадкуω/m1(саме тому для видимого свiтла ефект змiни
частоти фотона нiвелюється) енергiя фотона не змiнюється; очевидно,
що найбiльша змiна енергiї вiдбувається при розсiяннi назад.
До речi, саме завдяки виразу (17.29), записаному через довжини
хвиль фотона до та пiсля розсiяння
λ
=λ+m −1 (1−cosθ),(17.30)
величина розмiрнiстю довжиниm
−1 отримала назву комптонiвської
довжини хвилi частинки.

Роздiл 17. Електрон-фотонне розсiяння195
Явнi вирази для кiнематичних iнварiантiв (17.5) легко отримати:
s=m
2+2mω;u=m 2−2mω ;
t=−2k
1k2=−2ωω (1−cosθ)=/(17.29)/=−2mω
2(1−cosθ)
m+ω(1−cosθ).(17.31)
Вважаючи початкову енергiю фотона фiксованою, знаходимо
d(−t)=2ω
2sinθdθ.(17.32)
Пiдставивши (17.31), (17.32)у(17.27) отримуємо остаточний вираз
для перерiзу електрон-фотонного розсiяння, який можна компактно
записати, використавши (17.29):

dΩ=r
e2
2
ω

ω
2
ω 
ω+ω ω−sin 2θ
.(17.33)
Отриманий вираз називають формулою Клейна–Нiшини, його вперше
отримано у 1929 р.
У нерелятивiстському наближеннi (ω/m1)ω
≈ωi вираз (17.33)
отримує вигляд формули Томсона (див. [10],§78), отриманої в класич-
нiй теорiї для розсiяння вiльної нерухомої зарядженої частинки непо-
ляризованим електромагнiтним полем (наприклад, звичайним свiт-
лом):


dΩ
н.р.=r
e2
2!
1+cos
2θ"
.(17.34)
Якбачимо, зi збiльшенням маси нерелятивiстської зарядженої ча-
стинки перерiз ї ї розсiяння на фотонi швидко зменшується (r
2
e ∼
m −2 ). Справа в тому, що в класичнiй теорiї розсiяння вiдбувається
за рахуноктого, що електромагнiтна хвиля, дiючи на заряджену ча-
стинку, викликає ї ї рух, що призводить до випромiнювання частинкою
нової хвилi в рiзнi боки. Отже, чим масивнiша заряджена частинка,
тим важче змусити ї ї рухатись. Тобто у випадкуm→∞згiдно з кла-
сичними мiркуваннями та отриманим нами виразом (17.33) розсiяння
не повинно вiдбуватися, однакце не так. Вираз (17.33) ми отримали
лише в першому незникаючому наближеннi. Уже в наступному на-
ближеннi (четвертий порядокз теорiї збурень) будуть доданки, що не
зникають приm→∞[1].

196Частина 2. Приклади розрахункiв
Зауважимо, що диференцiальний перерiз є величиною одного по-
рядку при рiзних значеннях кута розсiяння. У класичнiй теорiї це
обумовлено тим, що падаюча електромагнiтна хвиля є неполяризо-
ваною (усередненою по напрямкам напруженостi електричного поля
в площинi, перпендикулярнiй хвильовому вектору), завдяки чому за-
ряджена частинка, рухаючись пiд дiєю цього поля, випромiнює в рiзнi
боки з майже однаковою iнтенсивнiстю.
При збiльшеннi енергiї фотона диференцiальний перерiз розсiяння
отримує чiтко видiлений максимум при розсiяннi вперед, тобто на
малi кути (див. рис.17.1). А в ультрарелятивiстському наближеннi
(β=ω/m1) вiн взагалi є ненульовим лише колиθ→0, тобто
lim
β→∞

dΩ=δ θ,0 r2
e,(17.35)
деδ
α,β – символ Кронекера.
dd re 2
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1.0
0.5

0

1/2

10

1000

Рис. 17.1. Диференцiальнийперерiз електрон-фотонного розсiяння
для рiзних значень параметраβ=ω/mу лабораторнiйсистемi вiдлiку.
Яквидно з рис.17.1, диференцiальний перерiзe−γ-розсiяння (на
вiдмiну вiд випадкуe−e-розсiяння) є скiнченним при всiх значен-
нях кута розсiяння, тому можна обчислити величину повного перерiзу
розсiяння
σ=

0

π
0
sinθdθ
dσ dΩ
=|β=ω/m|=
=πr
e2
β3
$
2β(2 + 8β+9β 2+β 3)
(1 + 2β) 2 +(β 2−2β−2) ln(1 + 2β)%
,(17.36)

Роздiл 17. Електрон-фотонне розсiяння197
де в граничних випадках
lim
β→0 σ=8π 3r
2
e; lim β→∞ σ∼r 2
eβ−1 ln[β]→0.(17.37)
Яквидно з рис.17.2, найбiльший перерiз розсiяння буде при малих
енергiях фотона, а при збiльшеннi енергiї фотона перерiз розсiяння
спадатиме.

  re 2

0 5 10 15 20 25
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2

Рис. 17.2. Повнийперерiз електрон-фотонного розсiяння як функцiя
параметраβ=ω/mу лабораторнiйсистемi вiдлiку.
Усистемi центра iнерцiїенергiї частинок, що налiтають, до та
пiсля взаємодiї не змiнюються, змiнюються лише напрямки їх iмпуль-
сiв. Отже, маємо
p
1=(E, ωp 1/| p 1|),k 1=ω(1,− p 1/| p 1|),
p
2=(E, ωp 2/| p 2|),k 2=ω(1,− p 2/| p 2|),(17.38)
деE=√
m2+ω 2,| p 1|=| p 2|=ω.Тодi
s=m
2+2ω(E+ω);u=m 2−2ω(E+ωcosθ);
t=−2ω
2(1−cosθ);d(−t)=2ω 2sinθdθ.(17.39)
Пiдставивши (17.37)у(17.27) отримуємо громiздкий вираз для ди-
ференцiйного перерiзу розсiяння, що в нерелятивiстському наближен-
нi(ω/m1)узгоджується з виразом (17.34), отриманим у лаборатор-
нiй системi вiдлiку. Ми не будемо його виписувати, однак зауважи-
мо, що зi збiльшенням енергiї фотона поведiнка диференцiйного пе-
рерiзу в системi центра iнерцiї кардинально змiнюється, а саме, спо-
стерiгається чiткий максимум при розсiяннi у зворотному напрямку

198Частина 2. Приклади розрахункiв
(див. рис.17.3). При цьому в граничному випадкуlim β→∞ (dσ/dΩ) =
δ
θ,π r2
e/2,деδ α,β – символ Кронекера.
dd re 2
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.21.0
0.8
0.6
0.4



1/2

2 
10

1000

Рис. 17.3. Диференцiальнийперерiз електрон-фотонного розсiяння
для рiзних значень параметраβ=ω/mу системi центра iнерцiї.
Вираз для повного перерiзу розсiяння також має громiздкий вигляд,
тому наведемо лише його графiчне представлення (див. рис.17.4)та
граничнi випадки:
lim
β→0 σ=8π 3r
2
e; lim β→∞ σ∼r 2
eβ−2 ln[β]→0.(17.40)
  re 2
0 5 1015 2025 
1.0
0.20.40.60.8
Рис. 17.4. Повнийперерiз електрон-фотонного розсiяння як функцiя
параметраβ=ω/mу системi центра iнерцiї.
Яквидно з рис.17.4та з аналiтичних розрахункiв, у системi центра
iнерцiї повний перерiз розсiяння зi збiльшенням енергiї частинок, що
налiтають, спадає швидше, нiж у лабораторнiй системi вiдлiку, див.
рис.17.2.

Роздiл 17. Електрон-фотонне розсiяння199
Поляризацiйнi ефекти комптонiвського розсiяння
Поляризацiйнi ефекти приe−γ-розсiяннi мають цiкавi особливостi.
Для спрощення розглянемо їх в ультрарелятивiстському наближеннi
в системi центра iнерцiї та у випадку кiрального представленняγ-
матриць.
Вiдразу зазначимо, що в цьому випадку в (17.38)Eωi згiдно з
рис.17.3розсiяння вiдбувається назадθ=π−χ,χ→0.Тодiмаємо
m
2−u=m 2+(ωχ) 2,
m 2−s=−(m 2+4ω 2).(17.41)
Отже, основний внесокв амплiтуду розсiяння (17.1) в ультрареля-
тивiстському випадку буде давати перший доданок i наближено мож-
на записати
M
fi =e 2¯ υ2λ1m+p 1−k 2
m2+(ωχ) 2 ∗λ2υ1.(17.42)
В областi малих значень кутаχ(m/ωχ1, вiдповiдно(ωχ)
2m 2)
знаменник(17.42)буде∼χ 2, що й пояснює максимум перерiзу роз-
сiяння приθ→π. Водночас, на вiдмiну вiд iнших процесiв в ультра-
релятивiстському наближеннi, ми не можемо просто покластиm=0,
а вимушенi утримувати масовий доданок, щоб не було нефiзичної роз-
бiжностi приθ=π.
Розглянемо випадок, колиχ1таωχm. Вираз для рiзницi 4-
векторiвp
1−k 2зручно записати, скориставшись рис.17.5та врахував-
ши, що в ультрарелятивiстському наближеннi в системi центра iнерцiї

k
2=− p 2та| p 1|=| p 2|≈w:
p
1−k 2=(E−ω,| p 1|( p 1+ p 2)/| p 1|)≈ωχ(0,cosϕ,sinϕ,1),(17.43)
де ми записали компоненти вектора
p
1+ p 2в сферичнiй сичтемi вiд-
лiку; кутϕ— кут у площинi, перпендикулярнiй до осiz. Тодi у чи-
сельнику виразу (17.42) залишаються лише доданкиp
1−k 2:
M
fi =e 2¯ υ2λ1 p1−k 2
m2+(ωχ) 2 ∗λ2υ1.(17.44)
З явного вигляду (17.44) випливає, що оскiльки початковий елек-
трон перебував у певному спiральному (кiральному) станi (тобто для

200Частина 2. Приклади розрахункiв
його функцiї виконується вiдповiдне спiввiдношенняυ 1=ˆ
P ±υ1), то й
кiнцевий електрон залишиться в тому ж спiральному станi. Це пов’я-
зано з тим, що оператор проектування на певний кiральний стан по-
чаткового електрона при перенесеннi через триγ-матрицi перетво-
риться на проектуючий оператор на iнший кiральний стан, оскiльки
ˆ
P
±γµ=γ µˆ
P∓ (див. додатокД.5.2).
Рис. 17.5. Електрон-фотонне розсiяння назад у системi центра iнерцiї
в ультрарелятивiстському випадку.
Припустимо, що початковий (а значить i кiнцевий) електрон має
праву кiральнiсть, а початковий фотон має праву поляризацiю. Якщо
вибрати вiсьzуздовж напрямку руху початкового фотона (див. рис.
17.5), то згiдно з домовленiстю (див. додатокД.4.4) поляризацiйний
4-вектор початкового фотона матиме вигляд

λ1= 1=1 √2(0,1,−i,0).(17.45)
Хвильовi функцiї початкового та кiнцевого електронiв у кiральному
представленнi згiдно з (Д5.3.6) дорiвнюють
1
υ1=
0
√ 2εω (+)
k

=/(Д5.1.28),θ =π/=√ 2ε⎛


⎝0
0
0
1⎞


⎠,(17.46)
υ
2=
0
√ 2εω (+)
k

=/(Д5.1.28),θ =0/=√ 2ε⎛


⎝0
0
1
0⎞


⎠.(17.47)
1Згiдно з (Д5.1.28) ми повиннi були б виписати вiдповiднi фазовi множники
в(17.46), (17.47). Однак це просто б призвело до появи додаткового загального
фазового множника в (17.52), який не вплине на вираз для перерiзу процесу.

Роздiл 17. Електрон-фотонне розсiяння201
У цьому випадку наступна величина з (17.42) явно отримується
¯ υ
2λ1 =(υ 2)+γ0γµλ1
µ ≡0.(17.48)
Отже, у нашому наближеннi амплiтуда зазначеного процесу дорiв-
нює нулю й процес не може вiдбутися. Вiдповiдно, початковий фотон
повинен мати вiд’ємну проекцiю спiну на напрямок руху (лiву поля-
ризацiю) та описуватися поляризацiйним вектором

λ1= 2=1 √2(0,1,i,0).(17.49)
Кiнцевий стан фотона легко визначити аналогiчним способом. Яв-
но переконавшись, що

∗λ2υ1=0,для λ2= 2=1 √2(0,1,i,0),(17.50)
приходимо до висновку, що кiнцевий фотон має описуватися поляри-
зацiйним вектором
1
λ2= 1=1 √2(0,1,−i,0).(17.51)
Враховуючи, що кiнцевий фотон рухається проти напрямку осiz, при-
ходимо до висновку, що вiн залишається з лiвою поляризацiєю та має
вiд’ємну проекцiю спiну на напрямок руху.
Пiдставивши (17.43), (17.46), (17.47), (17.49), (17.51)у(17.44), от-
римаємо, що за виконання умовm/ω1,χ1,ωχm:
M
fi(eRγL→e RγL)=−e 2eiϕ 4χ
m2/ω 2+χ 2,(17.52)
а в аналогiчному випадку, коли початковий електрон має лiву поля-
ризацiю, легко отримати, що можливий лише процесe
LγR →e LγR,
причому
|M
fi(eLγR→e LγR)|2=|M fi(eRγL→e RγL)|2.(17.53)
1Звичайно, потрiбно було б врахувати, що кiнцевий фотон не рухається па-
ралельно осizi його поляризацiйний вектор насправдi вiдрiзняється вiд 1,2 =
(0,1,∓i,0)/√ 2. Однак цi вiдмiнностi будуть давати внесок у вищому порядку за
χi нами не враховуються.

202Частина 2. Приклади розрахункiв
У випадку, колиχ→0,алеωχm, у чисельнику виразу (17.42)
залишається лише масовий доданок
M
fi =e 2¯ υ2λ1 m
m2+(ωχ) 2 ∗λ2υ1 (17.54)
i це кардинально змiнює характер комптонiвського розсiяння.
Якщо початковий електрон перебував у певному спiральному (кi-
ральному) станi, то кiнцевий електрон, на вiдмiну вiд попереднього
випадку, має змiнити спiральний стан на протилежний. Це пов’язано
з тим, що оператор проектування на певний кiральний стан почат-
кового електрона буде вже переноситися не через три, а через двi
γ-матрицi.
Вiдповiдно, якщо початковий електрон мав праву поляризацiю, то
кiнцевий електрон матиме лiву поляризацiю, тобто згiдно з (Д5.3.6):
υ
2=
√ 2εω (−)
k
0
=/(Д5.1.28),θ
=χ/=√ 2ε⎛


⎝0
1
0
0⎞


⎠(17.55)
i його згортка з лiвополяризованим початковим фотоном даватиме
нуль. Вiдповiдно, у початковому станi може бути лише фотон з пра-
вою поляризацiєю. Висновокщодо кiнцевого стану фотона, що ба-
зується на добутку
∗λ2υ1, залишається без змiн — кiнцевий фотон
має лiву поляризацiю. Тобто у випадку дуже малих кутiв розсiюван-
ня (ωχm) початковий електрон та фотон у результатi розсiювання
змiнюють свої поляризацiї.
Пiдставивши (17.45), (17.46), (17.51), (17.55)у(17.54), отримаємо,
що за виконання умовm/ω1,χ1,ωχm:
M
fi(eRγR→e LγL)=−4e 2 m/ω
m2/ω 2+χ 2,(17.56)
а в аналогiчному випадку, коли початковий електрон має лiву поля-
ризацiю, легко отримати, що можливий лише процесe
LγL →e RγR,
причому
|M
fi(eLγL→e RγR)|2=|M fi(eRγR→e LγL)|2.(17.57)
Зазначена жорстка залежнiсть протiкання процесу комптонiвсь-
кого розсiяння в ультрарелятивiстському випадку вiд параметраωχ

Роздiл 17. Електрон-фотонне розсiяння203
дозволяє за допомогою одного пучка (електронного або фотонного)
з вiдомою поляризацiєю (наприклад, за допомогою променя лазера з
певною поляризацiєю) вимiрювати поляризацiю частинокiншого пуч-
ка або видiляти з неполяризованого пучка частинки з певною поля-
ризацiєю.
Завдання
1. Перевiрити справедливiсть виразу (17.25).
2. Перевiрити справедливiсть виразу (17.26).
3. Вважаючи, що електрон являє собою сферу, в якiй сферично-
симетрично рiвномiрно розподiлений заряд з густиноюρ, знайти
радiус цiєї сфери (радiус електрона) з умови, щоб енергiя елек-
тричного поля дорiвнювала енергiї електрона як масивної ча-
стинки, тобтоm
ec2. Якою має бути густина заряду у сферi, щоб
отриманий радiус дорiвнював класичному радiусу електрона?
4. Вiдновити вираз для комптонiвської довжини хвилi частинки в
системи СI. Який фiзичний змiст комптонiвської та дебройлев-
ської довжини хвилi частинки? Яка з них бiльша? У випадку,
коли частинка є електроном, як вони спiввiдносяться з класич-
ним радiусом електрона?
5. Отримати асимптотичнi вирази для повного перерiзу розсiяння
(17.37), (17.40).
6. Довести спiввiдношення (17.43).
7. В ультрарелятивiстському наближеннi, коли внеском другого
доданка в (17.1) було знехтувано, було отримано твердження,
що комптонiвське розсiяння не вiдбувається, коли початковий
електрон та фотон мають праву кiральнiсть. Переконатись, що
це твердження залишиться справедливим при врахуваннi дру-
гого доданка в (17.1).
8. Довести спiввiдношення (17.48), (17.52), (17.56).
9. Що буде при врахуваннi масового доданку у чисельнику (17.42).
В чому потреба введення обмеження знизу на кутχ,асаме
m/wχ?
10. Довести твердження (17.53), (17.57).

РОЗДIЛ 18
Електрон-позитронна анiгiляцiя у два фотони
Неважко помiтити, що процес електрон-позитронної анiгiляцiї є пе-
рехресним каналом (t-каналом) до процесу комптонiвського розсiян-
ня, а саме: амплiтуда процесу анiгiляцiї вiдрiзняється вiд амплiту-
ди комптонiвського розсiяння замiною кiнцевого стану електрона на
початковий стан позитронаp
2→−p 2та початкового стану фотона
на його кiнцевий станk
1→−k 1(див. розд. 9). Фактично, у виразi
для квадрата модуля амплiтуди комптонiвського розсiяння пiсля об-
числення всiх згорток(17.25) треба замiнити iмпульсиp
2→−p 2та
k
1→−k 1.
Мовою попереднього роздiлу вираз для квадрата амплiтуди проце-
су електрон-позитронної анiгiляцiї через кiнематичнi iнварiанти буде
збiгатися з (17.26), де вsтаtзроблена зазначена замiна iмпульсiв, тоб-
тоs=(p
1−k 1)2,t=(p 1+p 2)2. Однакдля процесу електрон-позитронної
анiгiляцiї вираз дляsмає визначатися через суму 4-iмпульсiв почат-
кових частинок, тобто електрона та позитрона, а вираз дляt— через
рiзницю початкового електрона та кiнцевого фотона, тобто для про-
цесу електрон-позитронної анiгiляцiї необхiдно ще зробити перепозна-
ченняs↔t.Отже:
|M fi|2
8e4 =
m
2
t−m 2+m
2
u−m 2
2
+
m
2
t−m 2+m
2
u−m 2


−1
4
t−m
2
u−m 2+u−m
2
t−m 2

,(18.1)
де величиниs, u, tвизначенi як
s=(p
1+p 2)2=(k 2+k 1)2=2(k 1k2);
t=(p
1−k 1)2=m 2−2(p 1k1);(18.2)
u=(p
1−k 2)2=m 2−2(p 1k2).
IнварiантI, що входить до визначення перерiзу (12.86)унашому
випадку дорiвнюєI
2=s[s−4m 2]/4, отже перерiз електрон-позитронної
анiгiляцiї (12.85):

Роздiл 18. Анiгiляцiяe−e +→2γ205
dσ i→f =1 64π
|M fi|2
I2

2πd(−t)=4r e2


m 2
t−m 2+m
2
u−m 2
2
+
+
m
2
t−m 2+m
2
u−m 2

−1
4
t−m
2
u−m 2+u−m
2
t−m 2
0
m 2dϕd(−t)
s(s−4m 2),
(18.3)
деr
e=α/m=e 2/(4πm)— класичний радiус електрона. Зазначи-
мо, що в останньому множнику автоматично враховано той факт, що
частинки в початковому та кiнцевому станах мають рiзнi маси (див.
(12.61), (12.62)).
Розглянемо процес електрон-позитронної анiгiляцiї в системi цен-
тра iнерцiї, в якiй
p
1=(E, p 1),p 2=(E,− p 1),k 1=E(1,− p 2/| p 2|),k 2=E(1,p 2/| p 2|),(18.4)
деE=
m2+ p 12 — енергiя електрона (позитрона) з iмпульсом p 1.
То д i
s=4E
2;u=−m 2−2| p 1|(| p 1|−Ecosθ);
t=−m
2−2| p 1|(| p 1|+Ecosθ);d(−t)=−2| p 1|Esinθdθ,(18.5)
де кут анiгiляцiїθвизначається як кут мiж векторами
p
1та
k 2.
Пiдставивши (18.5) у формулу для перерiзу анiгiляцiї (18.3), отри-
маємо такий вираз:

ee+→2γ
dΩ=α
2
4E| p 1|$
E
2+ p 12 cos 2θ+2m 2
m2+ p 12 sin 2θ−2m
4
(m 2+ p 12 sin 2θ)2
%
.
(18.6)
Для чисельного аналiзу цього виразу зручно виразити iмпульс елек-
трона через його енергiю та ввести безрозмiрний параметрβ=E/m:
4E| p
1|
α2
dσ ee+→2γ
dΩ=β
2(1 + cos 2θ)+2−cos 2θ
β2sin 2θ+cos 2θ−2 (β2sin 2θ+cos 2θ)2
(18.7)
Поведiнка знерозмiреного перерiзу реакцiї представлена на рис.
18.1. Яквидно, найменш ймовiрнимє процес випромiнення фотонiв

206Частина 2. Приклади розрахункiв
в напрямку, перпендикулярному до лiнiї зустрiчного руху електро-
на та позитрона, а найбiльш ймовiрним — у паралельному напрямку.
Зауважимо, що при найменшiй можливiй енергiї системи(E→m)
кутова залежнiсть перерiзу реакцiї вiдсутня, а при збiльшеннi енергiї
вiдбувається рiзке збiльшення знерозмiреного перерiзу реакцiї в об-
ластiθ→0(θ→π). Легко помiтити, що кутова залежнiсть перерiзу
анiгiляцiї (18.8) має симетрiю вiдносно замiниθ→π−θ, що пов’язано
з неможливiстю вiдрiзнити мiж собою перший та другий фотони (фо-
тони тотожнi частинки).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
12
10
8
6
4
2


 


Рис. 18.1.Кутова частина перерiзу реакцiї електрон-позитронної
анiгiляцiї в системi центра iнерцiї для рiзних енергiй частинок. По осi
ординат вiдкладено праву частину виразу (18.7), параметрβ=E/m.
В ультрарелятивiстському випадку (Em,| p
1|=| p 2|=E) вираз
(18.6) спрощується до вигляду


ee+→2γ
dΩ
у. р .=α
2
4E 2·1+cos

sin 2θ,(18.8)
що є справедливим для не дуже малих кутiв (sinθ>m/E). Бачимо,
що для нульового кута анiгiляцiї iснує скiнченне значення перерiзу


ee+→2γ
dΩ
у. р . ,θ=0 =r e2
2.(18.9)
У нерелятивiстському випадку (E≈m,| p
1|→0)з(18.6)маємо
вiдсутнiсть кутової залежностi в диференцiйному перерiзi реакцiї

Роздiл 18. Анiгiляцiяe−e +→2γ207

dσ ee+→2γ
dΩ
н.р.=α
2
4E| p 1|=r
2
e
4 1−m 2/E 2,(18.10)
i вiдповiдно повний перерiз реакцiї
σ
ee+→2γ


н.р.=1
2
π
0
sinθdθ

0
dϕ
dσ dΩ
н.р.=π 2r
2
e
1−m 2/E 2,(18.11)
де за допомогою множника1/2ми врахували, що кiнцевi частинки є
тотожними.
Повний перерiз реакцiї необхiдно обчислювати коректно за допо-
могою загального виразу (18.6). У загальному виглядi результат є
доволi громiздким, але в ультрарелятивiстському випадку вiн iстотно
спрощується:
σ
ee+→2γ


у. р .=1
2
π
0
sinθdθ

0
dϕ
dσ dΩ
у. р .=π 2α
2
E2ln4E
2
m2,(18.12)
де поява множника1/2також зумовлена тотожнiстю кiнцевих части-
нок.
Важливо, що повний перерiз реакцiї є скiнченною величиною i при
великих значеннях енергiї спадає повiльнiше за1/E
2.
Завдання
1. Побудувати дiаграми для процесуe−e
+-анiгiляцiї.
2. Розглянути процесe−e
+-анiгiляцiї в лабораторнiй системi вiд-
лiку.
3. Розглянути процес однофотонноїe−e
+-анiгiляцiї в зовнiшньому
полi в системi центра iнерцiї. При фiксованiй енергiї фермiонiв
знайти залежнiсть перерiзу реакцiї вiд енергiї кiнцевого фотона.
4. Довести спiввiдношення (18.8)та(18.9).
5. Враховуючи (18.9), знайти максимальне значення функцiї, що
представлена на рис.18.1.
6. Розглянути зворотний процес, а саме, утворенняe−e
+-пари дво-
ма фотонами.

РОЗДIЛ 19
Народження частинок
при електрон-позитронних зiткненнях
У прискорювачах на зустрiчних пучках (їх часто називають ко-
лайдерами вiд англ.col lide— зiштовхуватися), в яких зiштовхуються
електрони та позитрони, при збiльшеннi енергiї частинок почнуть вiд-
буватися процеси за межами квантовоїелектродинамiки як квантової
теорiї електронiв, позитронiв та фотонiв.
Розглянемо процесee
+-зiткнень та розрахуємо ймовiрнiсть народ-
ження всiх можливих двочастинкових пар 1завдяки електромагнiтнiй
взаємодiї 2, а саме нас будуть цiкавити процеси народження лептонних
µµ +,ττ +та кварковихqq +пар. Часто цi процеси також вiдносять до
процесiв КЕД.
Утворення пари мюон-антимюонµµ
+
Для початку розглянемо процес утворення мюон-антимюонної па-
риe+e +→µ+µ +. Цей процес є одним iз найважливiших процесiв
у фiзицi високих енергiй. Саме його використовують для калiбруван-
няee
+-колайдерiв. Процесe+e + →µ+µ + є перехресним каналом
електрон-мюонного розсiяння, що розглядався в розд. 11. Вiдповiдно
до (11.14) i позначень, представлених на рис.19.1, матимемо:
S
(2)
fi =ie 2(2π) 4δ(p 1+p 2−p 3−p 4)
(2V) 2√ε1ε2ε3ε4 ·(¯υ −2 γνυ1)(¯
V 4γνV−3 )
(p1+p 2)2 ,(19.1)
де функцiяυ
±i стосується доi-го електрона (позитрона), аV ±i –до
i-го мюона (антимюона).
Вiдповiдно до (1.34)та(1.40) амплiтуда переходу:
M
fi =e 2·(¯υ −2 γνυ1)(¯
V 4γνV−3 )
(p1+p 2)2 ,(19.2)
1Окрiм фотонiв, утворення яких було розглянуто в попередньому роздiлi.2Як видно з окремих частин лагранжiана СМ (11.23)та(11.29), у результатi
ee+- зiткнень може утворитися нейтральнийZ-бозон, або бозон Хiґса, а також
пари з усiх фермiонiв, що є в СМ, за допомогою обмiну вiртуальнимZ-бозоном,
або бозоном Хiґса.

Роздiл 19. Народження частинок приe−e +зiткненнях209
а квадрат ї ї модуля вiдповiдно до (14.3), (14.4):
|M
fi|2
e4 =(¯υ −2α γν
αβυ1β)(¯
V 4δγν,δ V−3 )( ¯υ 1ζγµ
ζηυ−2η )(¯
V −3η γµV4)
(p1+p 2)4 =
=Tr[γ
νρ1γµρ−2 ]Tr[γ ν−3 γµ4]
(p1+p 2)4 ,(19.3)
де
±i визначається якiρ ±i (4.9), але по щодо мюонiв.
p22,p22,
p44,p44,
p33,p33,
p11,p11, 
ee +

+
p3p3 p1p1
 pp12 pp12
p 2 p 2 p4 p4
б) a)
Рис. 19.1.Утворення мюон-антимюонної пари:a) схематичний
вигляд,б) дiаграма процесу.
Для спрощення розглянемо випадокнеполяризованих частинок. У
результатi усереднення та пiдсумовування за поляризацiями (16.12)
отримаємо:
4
|M fi|2
e4 =Tr[γ
ν¯ ρ1γµ¯ ρ−2 ]·Tr[γ ν¯ −3 γµ¯ 4]
(p1+p 2)4 =/(16.13)/=
=Tr[γ
ν(m e+p 1)γµ(m e−p 2)]·Tr[γ ν(m µ−p 3)γµ(m µ+p 4)]
(p1+p 2)4 .(19.4)
Тут має сенс знехтувати масою електрона порiвняно з масою мюона,
оскiлькиm
e/m µ≈1/200, а неточнiсть, пов’язана iз зануленнямm e,
iстотно менша вiд внеску поправок вищих порядкiв теорiї збурень [16].
Отже,
4
|M fi|2
e4 =−Tr[γ
νp1γµp2]·Tr[γ ν(m µ−p 3)γµ(m µ+p 4)]
(p1+p 2)4 .(19.5)
За аналогiєю з (16.16) легко отримати, що
Tr[γ
νp1γµp2]=4[p 1µp2ν −g µν(p1p2)+p 1νp2µ],(19.6)

210Частина 2. Приклади розрахункiв
Tr[γ ν(m µ−p 3)γµ(m µ+p 4)] = 4[m 2
µgµν −p 3µp4ν +g µν(p3p4)−p 3νp4µ].
(19.7)
То д i
|M fi|2
8e4 =m
2
µ(p1p2)+(p 1p4)(p 2p3)+(p 1p3)(p 2p4)
(p1+p 2)4 .(19.8)
Оскiльки нас цiкавить процес, що вiдбувається на колайдерi на зустрiч-
них пучках, то ми повиннi перейти в систему центра iнерцiї. Вико-
риставши узагальнений вираз для перерiзу реакцiї, у цьому випадку
(12.61) отримаємо:

i→f
dΩ 3 =1 64π 2·|M fi|2
E2
| p3|
| p1|=
=2α
2m2
µ(p1p2)+(p 1p4)(p 2p3)+(p 1p3)(p 2p4)
E2(p1+p 2)4 ·| p 3|
| p1|,(19.9)
деE=E
1+E 2— повна енергiя системи,α=e 2/4π— стала тонкої
структури.
У нашому випадку 4-iмпульси частинок мають наступний вигляд:
p
1 =(E/2,p 1),p 2 =(E/2,− p 1),p 3 =(E/2,p 3),p 4 =(E/2,− p 3).
Оскiльки в нашому наближеннim
e=0,то| p 1|=E 1=E/2,а| p 3|=
2
(E/2) 2−m 2
µ. Пiдставивши наведенi вирази в (19.9), отримаємо:

ee+→µµ +
dΩ 3 =α
2
4E 2
/
1+
2m
µ
E
2
+/
1−
2m µ
E
26
cos
2θ6
·7 1−
2m µ
E
2
,
(19.10)
де кутθ— кут мiж векторами
p
1та
p 3.
Слiд зазначити, що останнiй множнику (19.10) (модуль iмпульсу
мюона) автоматично забезпечує ненульовий перерiз реакцiї лише за
умови, коли повна енергiя електрон-позитронної пари буде бiльшою
за мiнiмально можливу енергiю утвореної мюон-антимюонної пари,
тобто, колиE>2m
µ.
Асимптотичнi вирази для перерiзу реакцiї легко отримати з (19.10):

Роздiл 19. Народження частинок приe−e +зiткненнях211
dσ ee+→µµ +
dΩ 3 =α
2
4E 2
!
1+cos 2θ"
,E2m µ;(19.11)

ee+→µµ +
dΩ 3 =α
2
4E 2
/
1+
2m
µ
E
26
·7
1−
2m µ
E
2
,E→2m µ.(19.12)
Зазначимо також, що залежнiсть перерiзу реакцiї є симетричною
щодо замiниθ→π−θ(рис.19.2). Це пояснюється тим, що в системi
центра iнерцiї, згiдно з дiаграми на рис.19.1б, електрон та позитрон
анiгiлюють у вiртуальний фотон з нульовим просторовим iмпульсом,
який потiм "розвалюється" на мюон та антимюон. При цьому ймо-
вiрнiсть того, що мюон полетить в одному фiксованому напрямку, а
антимюон у протилежному до нього, i навпаки, є однаковою.




 
 


Рис. 19.2.Кутова частина реакцiї утворення мюон-антимюонної
пари в системi центра iнерцiї для рiзних енергiй частинок. По осi
ординат вiдкладено знезрозмiрений перерiз
dσee+
→µµ+dΩ3 4E 2
α2, параметр
β=E/2m
µ.
Яквидно з рис.19.2, найменшою є ймовiрнiсть вильоту мюон-
антимюонної пари в напрямку, перпендикулярному до лiнiї руху по-
чаткового електрона та позитрона, а найбiльшою — у паралельному
напрямку. При цьому, чим менша повна енергiя системи, тим меншою
є кутова залежнiсть перерiзу реакцiї, що явно видно з асимптотичного
виразу (19.12).
З отриманого диференцiального перерiзу реакцiї (19.10) легко от-
римати повний перерiз, проiнтегрувавши за кутовими змiнними:

212Частина 2. Приклади розрахункiв
σee+→µµ +=
π
0
sinθdθ

0
dϕdσ dΩ 3=4πα
2
3E 2
7
1−
2m µ
E
2/
1+1
2
2m
µ
E
26
.
(19.13)
Графiчно залежнiсть повного перерiзу реакцiї представлена на рис.
19.3. Якми вже зазначили, перерiз є ненульовим лише в областiE>
2m
µ. При великих значеннях повної енергiї системи знезрозмiрений
перерiз реакцiї швидко виходить на постiйне значенняσE 2=4πα 2/3
за законом
σ
ee+→µµ +=4πα
2
3E 2
/
1−3
8
2m
µ
E
46
,E2m
µ.(19.14)
Отже, при великих значеннях енергiї частинок (електрона та пози-
трона) перерiз реакцiї утворення мюон-мюонної пари спадає до нуля
за закономσ∼α
2/E 2. Такi має бути iз загальних мiркувань: множ-
никE −2 має бути з мiркувань розмiрностi 1, множникα 2зумовлений
розглядом процесу в другому порядку за теорiєю збурень.




Рис. 19.3.Повний перерiз реакцiї утворення мюон-антимюонної
пари в системi центра iнерцiї. По осi ординат вiдкладено знезрозмiре-
ний перерiз
3E 2
4πα 2σee+→µµ +, по осi абсцисE/2m µ.
Значення, на яке виходить перерiз анiгiляцiїee
+-пари в системi
центра iнерцiї є унiверсальним i зручним. До речi, в експерименталь-
нiй фiзицi високих енергiй вимiрювання процесiв приee
+-анiгiляцiї
вiдбувається в одиницяхR=4πα 2/3E 2.
1Маса мюона не може входити в цей вираз, оскiльки в границiE2m µмасу
частинки можна покласти нулю.

Роздiл 19. Народження частинок приe−e +зiткненнях213
Утворення париττ +
Розгляд утворення париττ + при електрон-позитронних зiткнен-
нях повнiстю аналогiчний наведеному вище розгляду утворення мюон-
антимюонних пар. Необхiднi вирази отримуються замiною маси мюо-
на на масуτ-лептона.
Оскiльки реакцiї утворення пари частинка-античастинкаff
+при
анiгiляцiїee +-пари можуть проходити лише за умовиE>2m f,тоїх
використовують для визначеннямас утворюваних частинок. Напри-
клад, для утворенняτ-частинокзручно експериментально знаходити
вiдношення:
σ
ee+→ττ +
σee+→µµ + =σ ee+→ττ +
R=7 1−
2m τ
E
2/
1+1
2
2m
τ
E
26
,(19.15)
оскiльки масаτ-частинки є набагато бiльшою за масу мюона, вiд-
повiдно, коли народжуєтьсяττ
+-пара, перерiз реакцiї з утворенням
мюонної пари виходить на постiйне значенняR.
Корисно навести порiвняння отриманого виразу з експериментом
(рис.19.4,W.Bacino,et.al.,Phys.Rev.Lett.41, 13, 1978). З рис.19.4
чiтко видно границю, коли починається утворенняττ
+-пари. Можна
оцiнити масуτ-частинкиm
τ1.8Ге В .
Рис. 19.4.По осi ординат вiдкладено вiдношення σee+
→ττ+σee+
→µµ+ ,по
осi абсцис — повну енергiю в системi (в ГеВ).

214Частина 2. Приклади розрахункiв
Утворення кваркових парqq +
Розглянемо процес утворення кваркових парqq + через вiртуаль-
ний фотон приee +-анiгiляцiї.
Для цього нам слiд, по-перше, врахувати, що електричнi зарядиi-
го кварка вiдрiзняються вiд заряду електрона на множникQ
i.Отже
у наведених вище формулах необхiдно замiнитиα→Q 2
iα.
По-друге, врахувати, що кварки мають три можливих значення
кольорових зарядiв: синiй, червоний та зелений, а антикварки, вiд-
повiдно: антисинiй, античервоний та антизелений. Таким чином при
утвореннi париqq
+ ї ї колiр вiдсутнiй. Приee +-анiгiляцiї з однако-
вою ймовiрнiстю будуть утворюватися кварки всiх кольорiв, а отже
врахування кольорiв приведе до множення перерiзупроцесу утворен-
ня конкретної париqq
+на три.
По-третє, пiсля утворення кваркiв вони почнуть взаємодiяти мiж
собою згiдно iз законами квантової хромодинамiки i будуть утворюва-
ти зв’язанi кварковi стани — ґадрони (мезони та барiони). Виявляєть-
ся, що в областi енергiй, набагато бiльшiй за маси кваркiвqq
+,цей
процес суттєво не впливає на перерiз реакцiї (перевiрка цього факту
виходить за межi даного курсу).
Отже, для високоенергетичної областi утворення париqq
+ мати-
мемо:
σ
ee+→q iq+
i=3Q 2
iR.(19.16)
А повний перерiз процесiв з утворенням всiх можливих ґадронiв при
ee
+-анiгiляцiї при високих енергiях
σ
ee+→ґадрони=3R i
Q2
i.(19.17)
Перерахуємо всi шiсть ароматiв кваркiв у порядку зростання їх
маси iз зазначенням їх маси (наближено) та заряду:
u-кварк:m
u=3МеВ,Q u=2/3,
d-кварк:m
d=6МеВ,Q d=−1/3,
s-кварк:m
s=0.1Ге В ,Q s=−1/3,
c-кварк:m
u=1.3Ге В ,Q c=2/3’
b-кварк:m
b=4.3Ге В ,Q b=−1/3,
t-кварк:m
t= 175Ге В ,Q t=2/3.
Експерименти з народження ґадронiв проводились в широкiй об-
ластi енергiй. Оцiнимо, який результат ми очiкуємо побачити. В об-

Роздiл 19. Народження частинок приe−e +зiткненнях215
ластi iстотно бiльшiй за2×0.1=0.2Ге В , а л е м е н ш i й в i д2×1.3=2.6
Ге В , м а є б у т и
σ
1=3R(Q 2
u+Q 2
d+Q 2
s)=2R.(19.18)
В областi iстотно бiльшiй за2.6Ге В , а л е м е н ш i й в i д2×4.3=8.6Ге В ,
має бути
σ
1=3R(Q 2
u+Q 2
d+Q 2
s+Q 2
c)=10R/3.(19.19)
В областi iстотно бiльшiй за8.6Ге В , а л е м е н ш i й в i д2×175 = 350Ге В ,
має бути
σ
1=3R(Q 2
u+Q 2
d+Q 2
s+Q 2
c+Q 2
b)=11R/3.(19.20)
Звiримо наше передбачення з результатами експериментiв в об-
ластi енергiй вiд 1 до 40 ГеВ (рис.19.5). Суцiльною лiнiєю показано
результат наших передбачень, пунктирна лiнiя — результат передба-
чень з урахуванням впливу квантової хромодинамiки. Точками видi-
ленi енергiї, при яких народжуються ґадрони.
Рис. 19.5.По осi ординат вiдкладено вiдношення σee+
→ ґадрони σee+
→µµ+ ,
по осi абсцис — повну енергiю в системi√
s(вГеВ).Данiвзятиз
M.Swartz, Phys. Rev. D53, 5268 (1996).
Яквидно, результат експерименту непогано узгоджується з теоре-
тичними передбаченнями. Пiдтверджується також необхiднiсть враху-

216Частина 2. Приклади розрахункiв
вання кольорового множника три, що пiдтверджує iснування трьох
кольорiв для кваркiв.
Цiкавими для аналiзу є також результати експериментiв у бiль-
шому дiапазонi енергiй та з бiльшою кiлькiстю експериментальних
точок, див. рис.19.6. Корисно порiвняти представленi результати з
характеристиками частинок, що зазначенi на рис.19.6. Зазначимо,
щоZ-бозон має масуM=91.1876ГеВ та ширину розпадуΓ=2.4952
ГеВ, та наведемо характеристики мезонiв згiдно з [23]:
ρ
0мезон:M= 775.26МеВ,Γ = 149.1МеВ, кварковий склад u¯ u−d¯
d√2 ,
wмезон:M= 782.65МеВ,Γ=8.49МеВ, кварковий склад
u¯ u+d¯
d√2 ,
ρ
мезон:M= 1720МеВ,Γ = 250МеВ, кварковий склад u¯ u−d¯
d√2 ,
J/Ψмезон:M= 3096.916МеВ,Γ=0.0929МеВ, кварковий складc¯ c,
Ψ(2S)мезон:M= 3686.109МеВ,Γ=0.298МеВ, кварковий складc¯ c,
Υ(1S)мезон:M= 9460.3МеВ,Γ=0.054МеВ, кварковий складb¯
b,
Υ(2S)мезон:M= 10023.26МеВ,Γ=0.032МеВ, кварковий складb¯
b,
Υ(3S)мезон:M= 10355.2МеВ,Γ=0.020МеВ, кварковий складb¯
b.
Рис. 19.6.По осi ординат вiдкладено вiдношення σee+
→ ґадрони σee+
→µµ+ ,
по осi абсцис — повну енергiю в системi√
s(в ГеВ). Данi взяти з [23]
та arXiv:hep-ph/0312114.

Роздiл 19. Народження частинок приe−e +зiткненнях217
Завдання
1. Отримати спiввiдношення (19.10).
2. Отримати спiввiдношення (19.13)та(19.14).
3. Розглянути зворотний процес, а саме, утворенняee
+-пари парою
µµ +.
4. При теоретичному розрахунку утворення нових частинокчерез
вiртуальний фотон внаслiдокелектрон-фотонної анiгiляцiї по-
трiбно враховувати й можливiсть утворення нових частинокче-
рез вiртуальнийZ-бозон. Чому ми бачимо добре узгодження з
експериментом (див. рис.19.4та рис.19.5), де внесоквiдZ-
бозона не враховувався.
5. Пояснiть на якiсному рiвнi пiк на рис.19.6, що вiдповiдає народ-
женню Z-бозона. Якою дiаграмою можна описати даний процес?
Який вигляд повинен мати перерiз вiдповiдної реакцiї?

РОЗДIЛ 20
РозпадZ-бозона
Розглянемо розпадZ-бозона на всi можливi частинки та знайде-
мо повну ширину його розпаду в лабораторнiй системi вiдлiку, деZ-
бозон перебуває в станi спокою.ˆ
S-матриця цього процесу в першому
порядку теорiї збурень була розрахована в розд. 11 лише для випад-
ку розпаду бозона на електрон-позитронну пару. Очевидно, що вираз
для розпаду на iншу фермiон-антифермiонну паруf¯
fне змiниться.
Потрiбно лише пiдставити вiдповiднi значення константg
f
vтаg f
a i
врахувати, що за рахунокδ-функцiї, що виражає закон збереження
енергiї-iмпульсу,Z-бозон може розпастися лише на частинки, чиї ма-
си задовольняють умовуm
f≤M Z/2.
Враховуючи, що масаZ-бозона становить близько 91 ГеВ, прихо-
димо до висновку, що вiн може розпастися на всi фермiони СМ окрiм
розпаду на пару найважчих кваркiвt¯
t(m
t= 175ГеВ). Тобто можливi
розпади на всi типи нейтриноν
e¯ νe,ν µ¯ νµ,ν τ¯ ντ; на всi пари зарядже-
них лептонiвe¯ e,µ¯ µ,τ¯ τ; та на п’ять типiв кваркiвu¯ u,d¯
d,c¯ c,s¯ s,b¯
b
(насправдi розпадZ-бозона вiдбувається не на кварки, а на ґадрони,
однакми будемо цим нехтувати).
Згiдно з означеннями (1.34), (1.40) i виразом для матрицi розпаду
Z-бозона в першому порядку теорiї збурень (11.33) амплiтуда розпаду
Z-бозона має вигляд
M
fi =−B¯ υ fγµ(gf
v−g f
aγ5)υ−f λ1µ(
k),(20.1)
деk— початковий 4-iмпульсZ-бозону,λ— його поляризацiя.
Для знаходження|M
fi|2використаємо (14.3), (14.4):
|M
fi|2=B 2¯ υfγµ(gf
v−g f
aγ5)υ−f ¯ υ−f γν(gf
v−g f
aγ5)υfλ
µ(
k) ∗λ
ν(
k).(20.2)
Вважаючи комбiнацiю матрицьγ
µ(gf
v−g f
aγ5)якнову матрицюA µ,
отримаємо
¯ υ
f,α Aµ
αβ υ−f,β ¯ υ−f,γ Aν
γδυf,δ =A µ
αβ υ−f,β ¯ υ−f,γ Aν
γδυf,δ ¯ υf,α =/(4.9)/=
=/u
i,α ¯ ui,β =(ρ i)αβ /=Tr[A µρ−f Aνρf]=
=Tr[γ
µ(gf
v−g f
aγ5)ρ−f γν(gf
v−g f
aγ5)ρf].(20.3)

Роздiл 20. РозпадZ-бозона219
Нехай нас буде цiкавити ширина розпадуZ-бозона якнеполяризо-
ваної частинки на частинки в будь-якому станi поляризацiї. Провiвши
усереднення за поляризацiєюZ-бозона (Д4.1.17) та пiдсумувавши за
поляризацiями кiнцевих частинок (16.13), отримаємо
|M
fi|2→ |M fi|2=
µf,µ−f
3
λ=1
1
3|M fi|2=
=−B
2Tr[γ µ(gf
v−g f
aγ5)¯ρ−f γν(gf
v−g f
aγ5)¯ρf]13
g µν −k µkν
M 2
Z

=
=/¯ ρ
qf =q(m f+qp f)/=
=B
2
3Tr[γ
µ(gf
v−g f
aγ5)(m f−q f)γν(gf
v−g f
aγ5)(m f+p f)]
g µν −k µkν
M 2
Z

,
(20.4)
де 4-iмпульс фермiонаfми позначили лiтероюp, а антифермiона —
q. Ми опускаємо нижнiй iндексfпоблизу iмпульсуf-гофермiонадля
спрощення записiв, однак, маємо його на увазi.
Знайдемо значення виразу пiд знаком згортки
C
µν =Tr[γ µ(gf
v−g f
aγ5)(m f−q)γ ν(gf
v−g f
aγ5)(m f+p)].(20.5)
Перемноживши доданки пiд знаком згортки та вiдкинувши тi, зна-
чення згортки вiд яких дорiвнюють нулю (див. розд. 14), отримаємо
C
µν =Tr
m 2
f((g f
v)2−(g f
a)2)γµγν−q αpβ((g f
v)2+(g f
a)2)γµγαγνγβ−
−2q
αpβgf
vgf
aγ5γµγαγνγβ
=
=4
m
2
f((g f
v)2−(g f
a)2)gµν −((g f
v)2+(g f
a)2)(q µpν−g µνpq+p µqν)+
+i2q
αpβgf
vgf
aµαν β 
.(20.6)
То д i
C
µνgµν =4[4m 2
f((g f
v)2−(g f
a)2)+2pq((g f
v)2+(g f
a)2)],(20.7)
C
µνkµkν=4[m 2
fk2((g f
v)2−(g f
a)2)−[2(pk)(qk)−k 2(pq)]((g f
v)2+(g f
a)2)],
де ми врахували, що згортка з останнiм доданком у (20.6)дорiвнює
нулю.

220Частина 2. Приклади розрахункiв
Справдi, згортка антисиметричного тензора з метричним тензором
дорiвнює нулю µαν β gµν =0, оскiльки метричний тензор має ненульовi
лише дiагональнi елементи, а елементи антисиметричного тензора, в
якому хоча б два iндекси є однаковими, дорiвнюють нулю. Згортка з
компонентами 4-iмпульсуZ-бозона дорiвнює нулю з таких мiркувань:

αβ
kµk νµαν β =1 2 µν
!
kµkνµαν β +k µkνναµβ "
=
=1
2 µν
!
kµkνµαν β −k µkνµαν β "
=0,(20.8)
де ми спочатку розбили вираз на два доданки i перепозначили в дру-
гому доданку нiмi змiннi пiдсумовуванняµ↔ν, а потiм переставили
мiсцями в другому доданку iндексиµ, ν, використавши властивостi
антисиметричного тензора.
Згортки в (20.7) можна записати через маси частинок. Iз закону
збереження енергiї-iмпульсу маємоk=p+q. Пiдвiвши обидвi частини
до квадрата та врахувавши, що квадрати 4-iмпульсiв реальних части-
ноквiдповiдають квадратам їх мас отримаємоpq=M
2
Z/2−m 2
f.Ана-
логiчно, з рiвностейk−p=qтаk−q=pотримаємоpk=qk=M2
Z/2:
C
µνgµν =4[4m 2
f((g f
v)2−(g f
a)2)+(M 2
Z−2m 2
f)((g f
v)2+(g f
a)2)],(20.9)
C
µνkµkν=−8m 2
fM 2
Z(gf
a)2.
Остаточно вираз для амплiтуди розсiяння (20.4) набуває вигляду
|M fi|2=4B
2M 2
Z
3/
(g
f
v)2
,
1+2m 2
f
M 2
Z
-
+(g
f
a)2
,
1−4m 2
f
M 2
Z
-6
,(20.10)
а ймовiрнiсть розпаду (12.10)Z-бозона на двi частинки, одна з яких
має iмпульс p
fта поширюється в напрямку, що знаходиться у межах
тiлесного кутаdΩ
f:


f =1 25π2·|M fi|2| pf|dΩ f
M 2
Z =
=B
2
24π 2
/
(g
f
v)2
,
1+2m 2
f
M 2
Z
-
+(g
f
a)2
,
1−4m 2
f
M 2
Z
-6
| p
f|dΩ f,(20.11)

Роздiл 20. РозпадZ-бозона221
де iмпульс| p f|визначається iз закону збереження енергiї в системi
M
2
Z=(2E f)2=4m 2
f+4 p f2 iдорiвнює| p f|= MZ2
8
1− 4m 2
f
M2
Z.
Повна ширина розпадуZ-бозона на паруf¯
fотримується пiсля
iнтегрування за тiлесним кутом:
Γ

f =αM Z
3sin 22θw
/
(g
f
v)2
,
1+2m 2
f
M 2
Z
-
+(g
f
a)2
,
1−4m 2
f
M 2
Z
-67
1−4m
2
f
M 2
Z,
(20.12)
де ми використали, щоB=e/sin 2θ
wтаα=e 2/4π.
Повна ширина розпадуZ-бозону на всi можливi фермiоннi пари є
Γ=
Γ

f =[Γ νe¯ νe+Γ νµ¯ νµ+Γ ντ¯ ντ]+[Γ e¯ e +Γ µ¯ µ +Γ τ¯ τ]+
+3[Γ
νu¯ νu+Γ νd¯ νd+Γ c¯ νc+Γ s¯ s +Γ b¯
b],(20.13)
де коефiцiєнт 3 перед внеском вiд розпаду на кварк-антикварковi па-
ри пов’язаний з урахуванням кольорових iндексiв (можуть утвори-
тися три пари з кольорами: червоний-античервоний, синiй-антисинiй,
зелений-антизелений).
Коефiцiєнтиg
f
vтаg f
aвизначаються в СМ [5]:
g
f
v=t f
3−2q fsin 2θw,g f
a=−t f
3,(20.14)
деsin
2θw=0.231;t f
3— слабкий iзоспiн, що дорiвнює+1/2для кваркiв
(u, c, t)та нейтрино;−1/2для кваркiв(d, s, b)i заряджених лептонiв.
Вiдповiдно,
g
νe,νµ,ντ v =1/2;g e,µ,τ
v =−1/2−2(−1)0.231 =−0.038;
g
d,s,b
v =−1/2−2(−1/3)0.231 =−0.346;
g
u,c,t
v =1/2−2(2/3)0.231 = 0.192;
g
νe,νµ,ντ a =−1/2;g e,µ,τ
a =1/2;g d,s,b
a =1/2;g u,c,t
a =−1/2.(20.15)
Зазначенi частинки мають маси:
m
ν=0;m e=5.11·10 −4 Ге В;m µ=0.106Ге В;m τ=1.78Ге В;
m
u=0.003Ге В;m d=0.006Ге В;m c=1.3Ге В;
m
s=0.1Ге В;m b=4.3Ге В;M Z=91.2Ге В.(20.16)

222Частина 2. Приклади розрахункiв
Пiдставляючи (20.15), (20.16)у(20.13), отримаємоΓ=2.276Ге В .
Зазначимо, що пiдставивши в (20.13) нульовi маси всiх частинокре-
зультат для повної ширини розпаду майже не змiниться. Експеримен-
тальне значення ширини розпаду [23]Γ
exp =2.4952±0.0023ГеВ, тобто
час життяZ-бозонаτ=1/Γ
exp 0.4Ге В −1 /(0.13)/2.63·10 −25 с.
Вiдмiннiсть мiж отриманим нами результатом i даними експери-
менту пояснюється необхiднiстю врахування поправоквiд вищих по-
рядкiв теорiї збурень та врахуванням поправок квантової хромоди-
намiки (КХД), що враховують утворення ґадронiв з кваркiв. У цьо-
му сенсi цiкаво експериментальне значення ширини розпадуZ-бозона
на пару заряджених лептонiв (оскiльки їх можна вважати безмасо-
вими, то не має значення, на якi саме лептони вiдбувається розпад)
Γ

l,exp =83.984±0.086МеВ, а згiдно з (20.12)Γ l¯
l=78.492МеВ. Тоб-
то навiть без урахування поправокКХД вiдмiннiсть теоретичних та
експериментальних значень становить близько7%.
Зауважимо, що головний внесоку точнiсть проведених розрахун-
кiв дає врахування змiни константи тонкої структури внаслiдок по-
правоквищих порядкiв теорiї збурень, а саме [23]:α
−1 →α −1 (M Z)=
127.922. Використавши це значення, отримаємо згiдно з (20.12), (20.13):
Γ=2.438Ге В ,Γ
¯
ll =84.085ГеВ. Якбачимо, у цьому випадку ми
отримали майже iдеальний збiг теоретичних розрахункiв з експери-
ментальним значенням для ширини розпадуZ-бозону на пару заряд-
жених лептонiв, однакзбiг для повної ширини розпаду не є гарним,
що зумовлено, зокрема, необхiднiстю врахування поправок КХД для
врахування утворення ґадронiв.
На завершення зазначимо, що в даному роздiлi розрахунки були
проведенi в лабораторнiй системi вiдлiку. Перехiд до системи вiдлiку,
вякiйZ-бозон рухається зi швидкiстюvпризведе, згiдно з теорiєю
вiдносностi, до збiльшення часу життя бозона
τ
=τ 1−(v/c) 2,(20.17)
деc– швидкiсть свiтла.

Роздiл 20. РозпадZ-бозона223
Завдання
1. Отримати вираз (20.6).
2. Знайти числове значення часу життяZ-бозона, що перебуває в
станi з повздовжньою, поперечною поляризацiєю.
3. Розпад нерухомогоZ-бозона на пару кварк-антикваркt¯
tзаборо-
нений з енергетичних мiркувань. Чи змiниться ситуацiя, якщо
Z-бозон буде рухатися? Вiдповiдь обґрунтуйте.
4. Знайдiть час життя неполяризованогоW
±-бозона в аналiтично-
му виглядi та наведiть його числове значення.
5. Припустимо, що iснує нова нейтральна скалярна частинкаS
масоюM
S, чия взаємодiє з електромагнiтним полем задається
L
int = λγMSSF µνFµν. Знайдiть ширину розпадуΓ S→γγ .ЧомуS-
частинка в запропонованiй моделi повинна бути нейтральною?
6. Знайдiть ширину розпадуS-частинки на два глюониΓ
S→gg ,як-
що взаємодiя з глюонами буде задана за допомогою лагранжiа-
нуL
int = λSMSSG a
µνGa,µν ? ТензорG a
µν визначається якG a
µν =

µGa
ν−∂ νGa
µ+g sfabc Gb
µGc
ν,деf abc – структурнi константи групи
SU(3). Порiвняйте з результатом попередньої задачi.

РОЗДIЛ 21
Розпад мюона
На вiдмiну вiд електрона, мюон є нестабiльною частинкою. У цьо-
му роздiлi ми знайдемо час його життя у вiльному станi в першому
незникаючому наближеннi.
Iз закону збереження лептонного числа та електричного заряду
випливає, що розпад мюона має вiдбуватися за схемоюµ→X+ν
µ,
деX— будь-яка одна частинка з нульовим лептонним числом (на-
приклад, ґадрон) та електричним зарядомe, або декiлька частинок
(наприклад, лептон та вiдповiдне лептонне антинейтрино) з сумарним
нульовим лептонним числом та електричним зарядомe. Оскiльки ма-
са мюона становить лишеm
µ= 106МеВ, то розпади на ґадрони слiд
вiдкинути (найлегший ґадрон,π−-мезон, має масуm π= 140МеВ). Та-
кож слiд вiдкинути розпад мюона наτ-лептон та нейтрино (m
τ=1.78
ГеВ). Отже, залишається лише варiант розпаду мюона на найлегший
лептон — електрон (m
e=0.511МеВ) та електронне антинейтрино:
µ→e+¯ν
e+ν µ. Згiдно з лагранжiаном СМ даний процес описується
доданками (11.15) або дiаграмою Фейнмана з рис.21.1.



e

e_ pp
p
p12
3
4
W
Рис. 21.1.Розпад мюона на електрон, електронне антинейтрино
та мюонне нейтрино.
Наведенiй на рис.21.1дiаграмi вiдповiдає такий вираз дляˆ
S-
матрицi в другому порядку теорiї збурень (див. розд. 11):

Роздiл 21. Розпад мюона225
S(2)
fi =−iA 2(2π) 4δ(p 1−p 2−p 3−p 4) √2Vε 12Vε 22Vε 32Vε 4 Dξχ(p1−p 2)×
ׯ ν
µ,2 γχ(1−γ 5)µ1·¯ e4γξ(1−γ 5)νe,−3 ,(21.1)
деD
ξχ(k)вiдповiдає пропагаторуW-бозона (0.31), (Д4.1.16),A=
e/(2√
2sinθ w)та ми використали очевиднi позначення для функцiй
частинок. 4-iмпульси мюона, мюонного нейтрино, електронного анти-
нейтрино та електрона були позначенi якp
1,p2,p3,p4, вiдповiдно.
Амплiтуда процесу розпаду мюона згiдно з означеннями (1.34),
(1.40):
M
fi =−A 2Dξχ(p1−p 2)¯νµ,2 γχ(1−γ 5)µ1·¯ e4γξ(1−γ 5)νe,−3 .(21.2)
Розглянемо розпад мюона в лабораторнiй системi вiдлiку, тобто в
системi, де вiн перебуває в станiспокою. Оскiльки маса мюона на-
багато менша вiд масиW-бозона, то квадрат переданого iмпульсу в
пропагаторiW-бозона набагато менший за квадрат масиW-бозона:
(p
1−p 2)2M 2
W. У цьому випадку вираз для бозонного пропагатора
спрощується до
D
µν(k)=g µν − kµkν M2
W
M 2
W −k 2−i=/k
2M 2
W/=g µν
M 2
W.(21.3)
То д i
M
fi =−e
2
8M 2
Wsin 2θw¯ νµ,2 γξ(1−γ 5)µ1·¯ e4γξ(1−γ 5)νe,−3 ,(21.4)
або, згадавши визначення сталої Фермi
G
F=e
2
4√ 2M 2
Wsin 2θW ,(21.5)
отримаємо вираз для амплiтуди розпаду мюона у виглядi
1:
M
fi =−G F√2¯ ν µ,2 γξ(1−γ 5)µ1·¯ e4γξ(1−γ 5)νe,−3 .(21.6)
1Ми, фактично, зробили перехiд до низькоенергетичної теорiї слабких взає-
модiй – теорiї Фермi (див. наприклад, [5]).

226Частина 2. Приклади розрахункiв
Для знаходження|M fi|2використаємо (14.3), (14.4):
|M
fi|2=G
2
F
2¯ ν µ,2 γξ(1−γ 5)µ1¯ e4γξ(1−γ 5)νe,−3 ×
ׯ µ
1γχ(1−γ 5)νµ,2 ¯ νe,−3 γχ(1−γ 5)e4.(21.7)
Вважаючи комбiнацiю матрицьγ
τ(1−γ 5)якнову матрицюB τ,
легко побачити, що праву частину останнього виразу можна записати
через добутокзгорток:
(¯νµ,2 )α(B ξ)αβ(µ1)β(¯e4)δ(B ξ)δ (νe,−3 ) (¯µ1)ζ(B χ)ζη(νµ,2 )η(¯νe,−3 )κ(B χ)κλ(e4)λ=
[(B
ξ)αβ(µ1)β(¯µ1)ζ(B χ)ζη(νµ,2 )η(¯νµ,2 )α][(B ξ)δ (νe,−3 ) (¯νe,−3 )κ(B χ)κλ(e4)λ(¯e4)δ]
=Tr[B
ξµ1¯ µ1Bχνµ,2 ¯ νµ,2 ]·Tr[B ξνe,−3 ¯ νe,−3 Bχe4¯ e4].(21.8)
Тодi, використавши (4.9), вираз (21.7) можна представити як:
|M
fi|2=G
2
F
2Tr[γ
ξ(1−γ 5)ρµγχ(1−γ 5)ρνµ]×
×Tr[γ
ξ(1−γ 5)ρ−ν eγχ(1−γ 5)ρe].(21.9)
Надалi ми будемо розглядати розпад неполяризованого мюона на
частинки з усiма можливими поляризацiйними станами. Тобто нам
потрiбно усереднити за поляризацiйними станами мюона та пiдсуму-
вати за поляризацiйними станами iнших частинок
1:
|M
fi|2→ |M fi|2=1 2
2
λµ=12

λe,¯ ν
e,ν
µ =1
|M fi|2=/(16.13)/=
=G
2
F
4Tr[γ
ξ(1−γ 5)¯ρµγχ(1−γ 5)¯ρνµ]Tr[γ ξ(1−γ 5)¯ρ−ν eγχ(1−γ 5)¯ρe]=
=G
2
F
4Tr[γ
ξ(1−γ 5)(m µ+p 1)γχ(1−γ 5)p 2]×
×Tr[γ
ξ(1−γ 5)p 3γχ(1−γ 5)(m e+p 4)].(21.10)
1Ми проводимо пiдсумовування за двома спiральними станами нейтрино, незва-
жаючи на те, що в СМ нейтрино мають лише лiвий спiральний стан. Правий
спiральний стан не дасть внеску в амплiтуду реакцiї за рахунок множника(1−γ
5).

Роздiл 21. Розпад мюона227
Аналогiчно до (20.5) отримуємо:
Tr[γ
ξ(1−γ 5)(m µ+γ αp1,α )γχ(1−γ 5)γβp2,β ]=
=2p
1,α p2,β (Tr[γ ξγαγχγβ]+Tr[γ 5γξγαγχγβ]) =
=8[p
ξ
1pχ
2−g ξχ(p1p2)+p χ
1pξ
2−i ξαχβ p1,α p2,β ],(21.11)
Tr[γ
ξ(1−γ 5)p 3γχ(1−γ 5)(m e+p 4)] =
=8[p
3,ξ p4,χ −g ξχ(p3p4)+p 3,χ p4,ξ −i ξαχβ pα
3pβ
4].(21.12)
Зазначимо, що цi вирази були розрахованi точно i в них не ввiйшли
масовi доданки.
Пiдставивши (21.11), (21.12) у вираз для амплiтуди реакцiї (21.10),
отримаємо:
|M fi|2=64G 2
F(p1p3)(p 2p4),(21.13)
де ми використали спiввiдношення
ξχαβ ξχκλ =−2(δ α
κδβ
λ−δ α
λδβ
κ)[10]
та врахували, що

ξαχβ (p1,ξ p2,χ +p 1,χ p2,ξ )p3,α p4,β =0
за рахунокантисиметричностi тензора
Вираз для ширини розпаду мюона отримаємо за допомогою (1.43).
У нашому випадкуN
i=1,N f=3, тодi ймовiрнiсть переходу системи
з початкового стануiв кiнцевий станfза одиницю часу дорiвнюва-
тиме:
dW
i→f
T=G
2
Fδ4(p1−p 2−p 3−p 4)
23π5
(p1p3)(p 2p4)
E1E2E3E4 d3 p2d3 p3d3
p4.(21.14)
Для отримання ширини розпаду необхiдно виконати iнтегруван-
ня. Оскiльки маса мюона набагато бiльша за масу електрона, то, для
спрощення розрахункiв у подальшому будемо вважатиm
e=0.
Для початку виконаємо iнтегрування за iмпульсами нейтрино, вва-
жаючи iмпульс електрона сталим, а саме, необхiдно взяти такий iнте-
грал:

d
3 p2

d 3 p3p2,α p3,β
E2E3 δ4(p1−p 2−p 3−p 4)=I αβ .(21.15)

228Частина 2. Приклади розрахункiв
Очевидно, що тензорI αβ повинен мати розмiрнiсть квадрата енер-
гiї i його можна виразити лише через два 4-iмпульси, що залишаються
пiсля iнтегрування за p
2, p 3, тобто черезp 1таp 4.Зокрема,тензорI αβ
можна представити у виглядi суми двох ортогональних доданкiв:
I
αβ =A[q 2gαβ +2q αqβ]+B[q 2gαβ −2q αqβ],(21.16)
деq=p
1−p 4, а величиниAтаBє безрозмiрними. Переконаємось,
що:
[q
2gαβ +2q αqβ][q 2gαβ −2q αqβ]=0;
[q
2gαβ +2q αqβ][q 2gαβ +2q αqβ]=12q 4;(21.17)
[q
2gαβ −2q αqβ][q 2gαβ −2q αqβ]=4q 4.
То д i
I
αβ [q2gαβ +2q αqβ]=12q 4A, I αβ [q2gαβ −2q αqβ]=4q 4B.(21.18)
Для знаходження коефiцiєнтiв розкладуA, Bдомножимо (21.15)
на ортогональнi доданки:
I
αβ [q2gαβ −2q αqβ]=
d 3 p2

d 3 p3q2(p2p3)−2(p 2q)(p 3q)
E2E3 δ4(q−p 2−p 3);
(21.19)
I
αβ [q2gαβ +2q αqβ]=
d 3 p2

d 3 p3q2(p2p3)+2(p 2q)(p 3q)
E2E3 δ4(q−p 2−p 3).
Iз закону збереження енергiї iмпульсу маємоq=p
1−p 4=p 2+p 3,
вiдповiдно,q 2=2(p 2p3)та(p 2q)=(p 3q)=(p 2p3), де ми врахували
безмасовiсть нейтрино(p
22 =p 32 =0).Отже,
I
αβ [q2gαβ −2q αqβ]=4q 4B=0,вiдповiдноB=0,(21.20)
I
αβ [q2gαβ +2q αqβ]=12q 4A=
=q
4
d 3 p2

d 3 p3 1
E2E3δ4(q−p 2−p 3),(21.21)
де ми винеслиq
4з пiд знака iнтегрування, оскiльки зафiксували його
значення.

Роздiл 21. Розпад мюона229
Для знаходження останнього iнтеграла (позначимо йогоI)вико-
наємо спочатку iнтегрування заd 3
p3, що зафiксує закон збереження
iмпульсуq= p
2+
p 3. У результатi отримаємо
I=
d
3 p2 1
E2E3δ(q 0−E 2−E 3).(21.22)
Врахуємо, що для нейтрино
p
22 =E 22, тобтоdp 2=E 22dE 2sinθdθdϕ,
та
E
3= (
q− p 2)2=  q2+E 22 −2E 2|
q|cosθ,
деθ– кут мiж векторами
qта p
2. Отримаємо
I=

0

π
0
sinθdθ
E 22dE 2δ(q 0−E 2−  q2+E 22 −2E 2|
q|cosθ)
E2
q2+E 22 −2E 2|
q|cosθ.
(21.23)
Використавшиδ(f(x)) =
iδ(x−x i)/|f (xi)|,деx i– коренi функцiї
f(x), отримаємо
δ(q
0−E 2−  q2+E 22 −2E 2|
q|cosθ)=δ
E 2− q2
0−
q 2
2(q 0−|
q|cosθ)

1+ E2−|q|cosθ √
q2+E 22−2E 2|
q|cosθ
(21.24)
та, остаточно,
I=2π
π
0
sinθdθq
2
0−
q 2
2(q 0−|
q|cosθ) 2=2π,(21.25)
вiдповiдно, з (21.21) отримуємоA=π/6та з (21.17)
I
αβ =π 6[q
2gαβ +2q αqβ].(21.26)
Пiдставивши цей результат у (21.14), отримаємо диференцiйну шири-
ну розпаду неполяризованого мюона:

µ=G 2
F 1
236π 4

1pα
4[q2gαβ +2q αqβ]
E1E4 d3 p4=
=G
2
F 1
236π 4
q2(p1p4)+2(p 1q)(p 4q)
E1E4 d3 p4.(21.27)

230Частина 2. Приклади розрахункiв
Скалярнi добутки в останньому виразi легко отримуються, якщо
згадати, щоq=p
1−p 4:q 2=m 2
µ−2(p 1p4);(p 1q)=m 2
µ−(p 1p4);
(p
4q)=(p 1p4). У системi вiдлiку, де мюон покоїтьсяp 1=(m µ,
0),
вiдповiдноq 2=m 2
µ−2m µE4;(p 1q)=m 2
µ−m µE4;(p 4q)=m µE4.
Отже, вираз у чисельнику (21.31):
q
2(p1p4)+2(p 1q)(p 4q)=3m 3
µE4−4m 2
µE2
4.(21.28)
ОскiлькиE
4=| p 4|,тоd 3 p4=| p 4|2d| p 4|dΩ=E 2
4dE 4dΩ. У результатi
вираз для диференцiальної ширинирозпаду неполяризованого мюона
проiнтегрований за тiлесним кутом, дорiвнює

µ=G 2
F 4π
236π 4[3m 2
µE2
4−4m µE3
4]dE 4.(21.29)
Знайдемо дiапазон, в якому може знаходитись енергiя електро-
на. Нижня границя енергiї вiдповiдатиме випадку, коли сумарний iм-
пульс двох нейтрино p
2+ p 3=0, тодi з закону збереження iмпульсу
 p
2+ p 3+ p 4=0матимемо
p 4=0таE 4,min =0. Верхня границя енер-
гiї електрона вiдповiдатиме випадку, коли iмпульси двох нейтрино
будуть паралельнi один до одного та протилежнi iмпульсу електрона.
У цьому випадку сукупна енергiя двох нейтрино дорiвнюватиме енер-
гiї електрона та, з закону збереження енергiї,m
µ=E 4+2E ν=2E 4
випливатимеE 4,max =m µ/2.
В якостi безрозмiрного параметра введемо вiдношення енергiї елек-
трона до ї ї максимально можливого значенняε=2E
4/m µ:

µ
dε=G
2
Fm5
µ
96π 3[3−2ε]ε 2.(21.30)
Яквидно з рис.21.2, при розпадi неполяризованого мюона може
вилетiти електрон з довiльною енергiєю в дiапазонi0≤ε≤1.Мак-
симум розподiлу припадає на електрони з максимально можливою
енергiєюε=1.
Повна ширина розпаду неполяризованого мюона дорiвнює
Γ
µ=G
2
Fm5
µ
96π 3
1
0
dε ε 2[3−2ε]=G
2
Fm5
µ
192π 3.(21.31)
Пiдставивши значення сталої ФермiG
F 1.166×10 −5 Ге В −2 [23]
iмасимюонаm
µ=0.106ГеВ, отримаємо значення ширини розпаду

Роздiл 21. Розпад мюона231
Γµ =3.056·10 −19 ГеВ та, вiдповiдно, час життя неполяризованого
мюона (0.13)τ
µ =1/Γ µ =(0.13)=2.154·10 −6 с. Вимiряне з екс-
периментiв значення часу життя неполяризованого мюона становить
τ
µ=2.197·10 −6 с. Розбiжнiсть розрахованого часу життя з експери-
ментальними даними пояснюється необхiднiстю врахування радiацiй-
них поправок.
96
Gm 3
F5d!
d"
"
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 21.2.Диференцiальна ширина розпаду неполяризовано-
го мюона якфункцiя параметраε=2E
4/m µ(знезрозмiреної енергiї
електрона).
На завершення, пiдкреслимо важливiсть проведених нами розра-
хункiв, вiдзначивши, що експериментальне значення константи Фермi
визначається саме iз часу життя мюона.
Завдання
1. Отримати вирази (21.11)–(21.13).
2. Перевiрити розмiрнiсть ширини розпаду в (21.31).
3. Знайти час життя для мюона з лiвою, правою спiральнiстю.
4. Використовуючи (11.15), (11.29), довести, що процеси нейтрин-
ного розсiяння при невисоких енергiях (p
2M 2
Z,W ,деp– пере-
даний iмпульс) описуються точковими чотирифермiонними дiа-
грамами i такими ефективними лагранжiанами:

232Частина 2. Приклади розрахункiв
LW =−G F√2n=e,µ,τ
νnγµ(1−γ 5)en·¯ enγµ(1−γ 5)νn,(21.32)
L
Z=−√ 2G F

f
fγ µAf·
n=e,µ,τ
νnγµ(1−γ 5)νn.(21.33)
Врахувати, щоM
W =M Zcosθ w.
5. Використовуючи результат попередньої задачi, знайти вiдношен-
ня перерiзiв розсiяння рiзних типiв нейтрино на електронi
σ
eνe→eν e/σ eνµ→eν µтаσ eνe→eν e/σ eντ→eν τпри низьких енергiях ча-
стинок.

Додатки
Додаток 1. Рiзнi типи представлень
у квантовiй механiцi
Представлення Шредiнгера
У цьому представленнiоператори фiзичних величинˆ
Qне залежать
вiд часу. Змiна стану системи з часом описується змiною хвильової
функцiїψ, тобто
ˆ
Q

Q(t);ψ=ψ(x, t)=ψ
Sh(t).(Д1.1)
Часова залежнiсть хвильової функцiї визначається рiвнянням Шредiн-
гера
i∂ψ
Sh(t)
∂t=ˆ
Hψ Sh(t).(Д1.2)
Часову залежнiсть хвильової функцiї можна записати за допомогою
оператора часового зсувуˆ
R(t, t
0):
ψ
Sh(t)=ˆ
R(t, t 0)ψ Sh(t0).(Д1.3)
З умови нормування

ψ
+
Sh(x, t)ψ Sh(x, t)dx=
ψ +
Sh(x, t 0)ˆ
R +(t, t 0)ˆ
R(t, t 0)ψ Sh(x, t 0)dx=
=
ψ
+
Sh(x, t 0)ψ Sh(x, t 0)dx=1(Д1.4)
випливає, щоˆ
R(t, t
0)є унiтарним оператором:
ˆ
R
+(t, t 0)ˆ
R(t, t 0)=ˆ
1,(Д1.5)
а перетворення (Д1.3) є унiтарним перетворенням.
Пiдставимо (Д1.3)у(Д1.2) та отримаємо рiвняння, що визначати-
меˆ
R(t, t
0)з початковою умовоюˆ
R(t 0,t0)=1:
i∂ˆ
R(t, t
0)
∂t=ˆ

R(t, t 0),(Д1.6)

Д1. Рiзнi типи представлень у квантовiй механiцi415
Методом iтерацiй, вважаючи, щоˆ
H

H(t), можна знайти розв’язок
ˆ
R(t, t
0)=e −i(t−t 0)ˆ
H .(Д1.7)
Якщоˆ
Hзалежить вiд часу (що ми маємо у випадку гамiльтонiанiв в
теорiї поля), розв’язокдиференцiйного рiвняння має вигляд
1
ˆ
R(t, t 0)=ˆ
Te −it
t
odtˆ
H(t ).(Д1.8)
Незважаючи на те, що в представленнi Шредiнгера оператори фi-
зичних величин не залежать вiд часу, можна формально знайти похiд-
ну за часом вiд оператора, якщо припустити, що середнє вiд змiни з
часом деякого оператора дорiвнює змiнi з часом середнього значення
самого оператора, тобто
d
dtˆ
Q Sh =d dt ˆ
QSh .
То д i

ψ
+
Sh(x, t)d dtˆ
Q ShψSh(x, t)dx=d dt
ψ
+
Sh(x, t)ˆ
Q ShψSh(x, t)=
= 
∂ψ
+
Sh(x, t)
∂tˆ
Q ShψSh(x, t)+ψ +
Sh(x, t)ˆ
Q Sh ∂ψ Sh(x, t)
∂t+

+
Sh(x, t)∂ˆ
Q Sh
∂tψ Sh(x, t)-
dx=
=.
(Д1.1),∂ˆ
Q
Sh
∂t=0.
=/(Д1.2) ермiтово спряжене/=
=i


ψ
+
Sh(x, t)ˆ
H +ˆ
QShψSh(x, t)−ψ +
Sh(x, t)ˆ
Q Sh ˆ
Hψ Sh(x, t)dx
dx=
=+
ˆ
H
+=ˆ
H+
=1 i
ψ
+
Sh(x, t)[ˆ
Q Sh,ˆ
H] −ψSh(x, t)dx,(Д1.9)
або
id
dt ˆ
QSh =[ˆ
Q Sh,ˆ
H] −.(Д1.10)
1Розв’язок рiвняння (Д1.6) збiгається з наведеним детальним розв’язком рiв-
няння (1.9)уформi(1.19), див. розд.1.

416Додатки
Тобто середнi значення оператора, що явно не залежить вiд часу та
комутує з гамiльтонiаном, не будуть змiнюватися з часом, тобто бу-
дуть iнтегралами руху.
Представлення Гайзенберга
Спробуємо описати стан фiзичної системи таким чином, щоб не
хвильовi функцiї змiнювалися зчасом, а оператори фiзичних величин.
Визначимо хвильовi функцiї в представленнi Гайзенберга так, щоб
вони дорiвнювали хвильовим функцiям в представленнi Шредiнгера
в певний момент часу, наприклад,t=t
0:
ψ
H=ψ Sh(t0),(Д1.11)
тодi згiдно з (Д1.3) перехiд вiд хвильової функцiї в представленнi
Шредiнгера до хвильової функцiї в представленнi Гайзенберга можна
визначити унiтарним перетворенням
ψ
H=ˆ
R −1 (t, t 0)ψ Sh(t).(Д1.12)
Враховуючи, що середнє значення оператора фiзичної величини не
має залежати вiд вибору представлення
ˆ
Q=
ψ +
Sh(x, t)ˆ
Q ShψSh(x, t)=
=
ψ
+
H(x, t 0)ˆ
R(t, t 0)+ˆ
QSh ˆ
R(t, t 0)ψ H(x, t 0)=
=
ψ
+
H(x)ˆ
R(t, t 0)−1 ˆ
QSh ˆ
R(t, t 0)ψ H(x),(Д1.13)
визначимо оператор у представленнi Гайзенберга як
ˆ
Q
H(t)=ˆ
R(t, t 0)−1 ˆ
QSh ˆ
R(t, t 0).(Д1.14)
Тобто, якщо операторQ
Sh комутує з гамiльтонiаном (значення вiдпо-
вiдної фiзичної величини є iнтегралом руху), то вiн також буде кому-
тувати зR(t, t
0). У цьому випадкуQ Sh =Q H.Зокрема,небудезмiню-
ватися при переходi вiд представлення Шредiнгера до представлення
Гайзенберга оператор гамiльтонiана.
Продиференцюємо за часом (Д1.14):

Q
H
dt=∂ˆ
R
−1 (t, t 0)
∂tQ Sh ˆ
R(t, t 0)+R −1 (t, t 0)Q Sh ∂ˆ
R(t, t 0)
∂t.(Д1.15)

Д1. Рiзнi типи представлень у квантовiй механiцi417
Значення∂ˆ
R/∂tотримаємо з (Д1.6);∂ˆ
R −1 /∂ tможна отримати з ви-
разу, спряженого до (Д1.6), оскiлькиˆ
R −1 =ˆ
R +.Тодi

Q
H
dt=−1 iˆ
R
−1 (t, t 0)ˆ

Q Sh ˆ
R(t, t 0)+ˆ
R −1 (t, t 0)ˆ
Q Sh 1
iˆ

R(t, t 0).(Д1.16)
Використаємо умову комутацiї[ˆ
H,ˆ
R]
−=0, що випливає безпосеред-
ньо з визначення оператораˆ
R, та остаточно отримаємо рiвняння, що
визначає часову залежнiсть оператора в представленнi Гайзенберга:
idˆ
Q
H
dt=
ˆ
Q H,ˆ
H −.(Д1.17)
Представлення взаємодiї
Представлення взаємодiї зручно використовувати у випадку, ко-
ли фiзична система складається з декiлькох частин, а гамiльтонiан
системи можна записати у виглядi двох доданкiв
ˆ
H=ˆ
H
0+V,(Д1.18)
деˆ
H
0– гамiльтонiан системи без урахування взаємодiї мiж собою
окремих частин системи, аV– доданок, що описує взаємодiю.
Введемо нову хвильову функцiюψ
I(t):
ψ
I(t)=ˆ
R −1
0 (t, t 0)ψ Sh(t),(Д1.19)
де оператор часового зсувуˆ
R
0(t, t 0)збiгається з оператором часового
зсувуˆ
R(t, t
0)(Д1.6) для гамiльтонiана без взаємодiї, тобто:
i∂ˆ
R
0(t, t 0)
∂t=ˆ
H 0ˆ
R0(t, t 0)(Д1.20)
з початковою умовоюR
0(t0,t0)=1.
Враховуючи, що середнє значення оператора фiзичної величини
не має залежати вiд вибору представлення, аналогiчно (Д1.13) визна-
чимо оператор в представленнi взаємодiї як
ˆ
Q
I(t)=ˆ
R 0(t, t 0)−1 ˆ
QSh ˆ
R0(t, t 0).(Д1.21)

418Додатки
Продиференцюємо за часом (Д1.21):

Q
I
dt=∂ˆ
R
−1
0 (t, t 0)
∂tQ Sh ˆ
R0(t, t 0)+R −1
0 (t, t 0)Q Sh ∂ˆ
R 0(t, t 0)
∂t,(Д1.22)
та аналогiчно (Д1.15), отримаємо

Q
I
dt=−1 iˆ
R
−1
0 (t, t 0)ˆ
H 0ˆ
QSh ˆ
R0(t, t 0)+ˆ
R −1
0 (t, t 0)ˆ
Q Sh 1
iˆ

R 0(t, t 0)
(Д1.23)
та остаточно:
idˆ
Q
I
dt=
ˆ
Q I,ˆ
H 0

−.(Д1.24)
Тобто оператори в представленнi взаємодiї залежать вiд часу такса-
мо, якi гайзенберiвськi оператори в системi за вiдсутностi взаємодiї.
Вiзьмемо похiдну за часом вiд (Д1.19):
∂ψ
I(t)
∂t=∂ˆ
R
−1
0 (t, t 0)
∂tψ Sh(t)+R −1
0 (t, t 0)∂ψ Sh(t)
∂t=
=−1
iˆ
R
−1
0 (t, t 0)ˆ
H 0ψSh(t)+ˆ
R −1
0 (t, t 0)1iˆ
Hψ Sh(t)=
=1
iR
−1
0 (t, t 0)
ˆ
H−ˆ
H 0

ψ
Sh(t)=1 iˆ
R
−1
0 (t, t 0)VSh ˆ
R0(t, t 0)ψ I(t).
(Д1.25)
Використавши означення оператора в представленнi взаємодiї (Д1.21),
отримаємо
i∂ψ
I(t)
∂t=V IψI(t).(Д1.26)
Отже, змiна з часом хвильової функцiї в представленнi взаємодiї визнача-
ється лише взаємодiєю в системi.
Тобто, на вiдмiну вiд представлення Шредiнгера (хвильова функ-
цiя залежить вiд часу, а оператор – нi) та Гайзенберга (оператор за-
лежить вiд часу, а хвильова функцiя – нi), у представлення взаємодiї
i хвильова функцiя i оператор залежать вiд часу. У цьому розумiннi
представлення взаємодiї є промiжним мiж представленнями Гайзен-
берга та Шредiнгера.
Нагадаємо, що згiдно з означеннями в початковий момент часу
t=t
0оператори та хвильовi функцiї спiвпадають в усiх представлен-
нях.

Додаток 2. Перетворення Лоренца
для рiзних типiв полiв
Нагадаємо закони перетворення рiзних типiв полiв при переходi вiд
однiєї системи вiдлiку (полеUв точцix=(x 0,x 1,x 2,x 3))вiншу(поле
U в точцix =(x 0,x 1,x 2,x 3)) завдяки поворотам у 4-вимiрному
просторi та трансляцiям.
Скалярне поле не змiнюється:
φ
(x)=φ(x).(Д2.1)
Векторне поле перетворюється таким чином:






⎩A
µ(x)=∂x

∂x νAν(x),
A
µ(x)=∂x
ν
∂x µAν(x).(Д2.2)
Спiнорне поле:
a) при перетвореннях трансляцiї не змiнюється:Ψ
(x)=Ψ(x);
б) при просторових поворотах у площинiik(i, k=1,2,3), коли по-
вертаємо систему вiдлiку вiд ортаe
iдо ортаe kна кут| ϕ|(напрямок
вектора ϕспiвпадає з напрямком вектораe i×e k):

Ψ
(x)=Λ( ϕ)Ψ(x),¯
Ψ (x)=¯
Ψ(x)Λ −1 ( ϕ)
Λ(ϕ)=e
i
Σ·  ϕ2,Λ −1 (ϕ)=e −i
Σ·  ϕ2 ⇒(Д2.3)




⎩Ψ
(x)=Λ( ϕ)Ψ(x)=
cos | ϕ|2 +i ϕ| ϕ| ·
Σsin | ϕ|2

Ψ(x)
¯
Ψ
(x)=¯
Ψ(x)Λ −1 ( ϕ)=¯
Ψ(x)e −i
Σ·  ϕ2=¯
Ψ(x)
cos | ϕ|2 −i ϕ| ϕ| ·
Σsin | ϕ|2

(Д2.4)
в) при поворотах у площинi0,iна кут| ϕ|(лоренцевi бусти), коли
вiдбувається перехiд у систему вiдлiку, що рухається вiдносно почат-
кової системи вiдлiку зi швидкiстюV=thϕуздовж осii(напрямок
 ϕспiвпадає з напрямком просторового ортуe
i):

Ψ
(x)=Λ 0( ϕ)Ψ(x),¯
Ψ (x)=¯
Ψ(x)Λ −1
0 ( ϕ)
Λ
0(ϕ)=e − α·  ϕ2,Λ −1
0 (ϕ)=e α· ϕ2,α=γ 0γ⇒(Д2.5)

420Додатки




⎩Ψ (x)=Λ( ϕ)Ψ(x)=
cosh | ϕ|2 − ϕ| ϕ| · αsinh | ϕ|2

Ψ(x)
¯
Ψ
(x)=¯
Ψ(x)Λ −1 ( ϕ)=¯
Ψ(x)
cosh | ϕ|2 + ϕ| ϕ| · αsinh | ϕ|2

.(Д2.6)
Явний вигляд матриць
Σта αнаведено в перелiку позначень на
с.16-17. Перетворення координатx→x
при рiзних перетвореннях
Лоренца наведено в [10].

Додаток 3. Скалярнi поля
У цьому та наступних роздiлах наведено основнi рiвняння та ви-
рази для класичних i вторинно квантованих полiв, що розташованi в
обмеженому просторi об’ємуVта мають дискретний спектр
1.
Д3.1. Нейтральне скалярне поле
Лагранжiан класичного нейтрального скалярного поля
2:
L(x)=1
2∂ µϕ∂ µϕ−1 2m
2ϕ2.(Д3.1.1)
Польове рiвняння:
(∂
µ∂µ+m 2)ϕ(x)=0.(Д3.1.2)
Оператор вторинно квантованого поля
3:
ˆ ϕ(x)=
∞

k=−∞
1 2Vε
k

ˆ a

ke−ikx +ˆa +

keikx 


k=k 0=2 
k2+m 2,
(Д3.1.3)
деe
±ikx – функцiї, що вiдповiдають одночастинковому стану з 4-
iмпульсомk;ˆ a(ˆa +)– оператор знищення (народження) скалярних
частинокз 4-iмпульсомkта з комутацiйними спiввiдношеннями у
виглядi
[ˆa

k,ˆ a+

k]−=δ
k,
k ,[ˆa +

k,ˆ a+

k]−=0,[ˆa
k,ˆ a
k]−=0.(Д3.1.4)
1Дискретним спектром є
k n= 2πL(n1,n2,n3),k 0
n2 =
k n2 +m 2,деn i–цiлi
числа,L=V 1/3 . Для випадку необмеженого простору(V→∞)наведенi нижче
вирази залишаються в силi, якщо замiнити ∞

k=−∞
1√V→

−∞
d
k
(2π) 3/2 та замiнити
символи Кронекера в переставних спiввiдношеннях на дельта-функцiї.
2Пiд лагранжiаном тут i далi розумiється просторова густина лагранжiана
L(x0)=
dxL(x).3У(Д3.1.3) пiдсумовування ведеться лише за
k, оскiльки вектор
kповнiстю
визначаєk
0(k0=+ 
k2+m 2).

422Додатки
Причинна функцiя Грiна нейтрального скалярного поля (0.32):
D(x−x
)=i0|ˆ
Tˆ ϕ(x)ˆϕ(x )|0=
= lim
→+0
1
(2π) 4∞

−∞
d4k1m2−k 2−ie
−ik(x−x )
⇒D(k) = lim →+0
1
m2−k 2−i.(Д3.1.5)
Д3.2. Заряджене скалярне поле
Лагранжiан класичного зарядженого скалярного поля:
L(x)=∂
µφ∂ µφ∗−m 2φφ ∗.(Д3.2.1)
Польове рiвняння:
(∂
µ∂µ+m 2)φ(x)=0,(∂ µ∂µ+m 2)φ∗(x)=0.(Д3.2.2)
Оператори вторинно квантованих полiв:










⎩ˆ
φ(x)=
∞

k=−∞
1 2Vε
k

ˆ a

ke−ikx +ˆ
b +

keikx 
ˆ
φ
∗(x)=
∞

k=−∞
1 2Vε
k

ˆ a +

keikx +ˆ
b
ke−ikx ,ε
k=k 0=2 
k2+m 2,
(Д3.2.3)
деˆ a(ˆa
+)– оператор знищення (народження) скалярних частинок з
зарядомq=+1та чотири-iмпульсомk;ˆ
b(ˆ
b +)– оператор знищення
(народження) скалярних античастинок iз зарядомq=−1та 4-iмпуль-
сомk.
Комутацiйнi спiввiдношення:
[ˆa

k,ˆ a+

k]−=δ
k,
k ,[ˆ
b
k,ˆ
b+

k]−=δ
k,
k ,(Д3.2.4)
iншi варiанти комутаторiв двох операторiв iз числаˆ a,ˆ a
+,ˆ
b,ˆ
b +дорiв-
нюють нулю.

Д3. Скалярнi поля423
Причинна функцiя Грiна зарядженого скалярного поля
D(x−x
)=i0|ˆ

φ(x)ˆ
φ ∗(x )|0(Д3.2.5)
дорiвнює вiдповiднiй функцiї нейтрального скалярного поля (0.32),
(Д3.1.5). При цьому причинна функцiя Грiна побудована з двох од-
накових полiв (у сенсi спряжених або не спряжених) дорiвнює нулю:
i0|ˆ

φ(x)ˆ
φ(x
)|0=i0|ˆ

φ ∗(x)ˆ
φ ∗(x )|0=0.(Д3.2.6)

Додаток 4. Векторнi поля
Д4.1. Нейтральне масивне векторне поле
Лагранжiан класичного нейтрального векторного поля 1:
L(x)=−1
4F µνFµν +1 2m
2UµUµ,деF µν =∂ µUν−∂ νUµ.(Д4.1.1)
Польове рiвняння на компоненти поля має вигляд:

νFνµ +m 2Uµ(x)=∂ ν∂νUµ(x)−∂ ν∂µUν(x)+m 2Uµ(x)=0.(Д4.1.2)
Це рiвняння отримало назву рiвняння Прока.
Подiявши на рiвняння (Д4.1.2) оператором
µ∂µ, отримаємо умо-
ву∂
νUν(x)=0(в iмпульсному просторik νUν(
k)=0), що автоматично
фiксує калiбрування векторного поля.
Враховуючи калiбрування, отримаємо польове рiвняння на век-
торне поле
(∂
ν∂ν+m 2)U µ(x)=0,(µ=0,1,2,3).(Д4.1.3)
Нагадаємо основнi моменти теорiї векторного поля для кращого
розумiння фiзичного змiсту, наведеного нижче виразу оператора вто-
ринно квантованого поля. У класичнiй теорiї в лабораторнiй системi
вiдлiку частотний розклад поля має вигляд
U
µ(x)=
∞

k=−∞
1 2Vε
k

U
µ(
k)e −ikx +U ∗
µ(
k)e ikx 


k=k 0=2 
k2+m 2,
(Д4.1.4)
в якому компоненти4-вектораU(
k)можна записати у виглядi
U(
k)=
U
0,
U
=(1,
0)U 0(
k)+(0,ε 1)U 1(
k)+(0,ε 2)U 2(
k)+(0,ε 3)U 3(
k)=
=
3
µ=0
ε(µ)U µ(
k)=,
U 0,
3
i=1

εiUi(
k)-
,(Д4.1.5)
1У лiтературi можна зустрiти такожL(x)=− 12∂µUν∂µUν+ 12m2UµUµ,що
вiдрiзняється вiд лагранжiана (Д4.1.1) на 4-дивергенцiю вiд деякої функцiї. Тобто
зазначенi лагранжiани є еквiвалентними. За наявностi взаємодiї з iншими поля-
ми використання зазначених лагранжiанiв призводить до рiзних наслiдкiв. Якщо
векторне поле є полем в лагранжiанi стандартної моделi, перевагу слiд вiддати
означенню (Д4.1.1).

Д4. Векторнi поля425
деε(µ)утворюють 4 напрямнi вектори (орти) у лабораторнiй системi
вiдлiку:ε(0) = (1;
0),ε(i)=(0;ε i),ε i·ε k=δ i,k ,(i, k=1,2,3), або
в лоренц-iнварiантному записi:ε(0)
νε(0) ν=1,ε(i) νε(i) ν=−1, тобто
в загальному виглядi 3
ν=0 ε(µ) νε(µ) ν=δ µ,0 −δ µ,i ,деδ α,β – символ
Кронекера.
Однактакий запис призводить до того, що вираз для густини
енергiї системи не є додатно визначеним (див., наприклад, [3]). Щоб
позбутися цього недолiку потрiбно використати додаткову умову до
(Д4.1.3) i зробити перехiд у локальну систему вiдлiку, що прив’язана
до вектора розповсюдження плоскої хвилi
k,асаме,щобвiсьzбула
напрямлена вздовж напрямку вектора
k. Зробимо це за допомогою
просторового повороту
1та представимо третю компоненту у виглядi
(k
0/m)a 3,
k :
U
(
k)=(1,
0)a 0,
k +(0, 1)a1,
k +(0, 2)a2,
k +,
0,
k |
k|k
0
m-
a 3,
k =
=
3
λ=0
(
k, λ)a λ,
k ,(Д4.1.6)
деU
(
k)– 4-векторU(
k)у локальнiй системi вiдлiку,a µ,
k – його ком-
поненти,
i– одиничнi вектора перпендикулярнi до вектора
k, тобто
 i·
k=0, i· k=δ i,k ,(i, k=1,2).
У локальнiй системi вiдлiку (Д4.1.6) додаткова умова до рiвняння
(Д4.1.3)k
νUν(
k)=0дає
k
νaν(
k)=k 0a0−
k
k |
k|·k
0
ma 3=0⇒a 0=|
k| ma 3.(Д4.1.7)
Тодi полеU
(
k)можна розкласти лише по трьох (!)4-векторах
U
(
k)=(0, 1)a1,
k +(0, 2)a2,
k +,
|
k| m,
k |
k|k
0
m-
a 3,
k =
=
3
λ=1
λ(
k)a λ,
k =,
|
k| ma 3,
k ,
3
λ=1
λ(
k)a λ,
k
-
,(Д4.1.8)
1У загальному випадку можна перейти в систему вiдлiку, що буде рухатися
вiдносно лабораторної.

426Додатки
де λ(
k)=( λ
0(
k), λ(
k)),(λ=1,2,3)є чотиривимiрними ортогональ-
ними векторами поляризацiї:

1(
k)=(0; 1), 2(
k)=(0; 2), 3(
k)=,
|
k| m;
k |
k|k
0
m-
.(Д4.1.9)
Для них виконується
λ
˜ µ(
k) λ,˜ µ (
k)=−δ λ,λ , де сума ведеться за ком-
понентами 4-векторiв у локальнiй системi вiдлiку.
Однакми якспостерiгачi перебуваємо у лабораторнiй системi вiд-
лiку i потребуємо вираз для поля в нашiй системi вiдлiку. Тому за-
пишемо всi компоненти вектораU(
k)через компоненти вектораU
(
k)
(Д4.1.8):
U
µ(
k)=
3
λ=1

µ(
k)ˆa λ,
k ,(Д4.1.10)
де коефiцiєнти переходу
λ
µ(
k)визначаються векторами поляризацiї

λ(
k)та знаходяться однозначно за допомогою формул перетворень
4-векторiв вiд однiєї до iншої системи вiдлiку в загальнiй теорiї вiд-
носностi (Д2.2).
Пiдставивши явно вираз дляU(
k)(Д4.1.13) i спряжений до нього
вираз дляU
∗(
k)у визначення (Д4.1.4), отримаємо частотний розклад
класичного поляU(x), що вже має додатно визначену енергiю. Оста-
точно маємо
U
µ(x)=
3
λ=1∞


k=−∞
1 2Vε
k


µ(
k)a λ,
k e−ikx + ∗λ
µ (
k)a +
λ,
k eikx 
,
(Д4.1.11)
деU
µ(x)–µ-та компонента векторного поля в лабораторнiй системi
вiдлiку,a
λ,
k – компоненти векторного поля в локальнiй системi вiд-
лiку,
λ
µ(
k)– коефiцiєнти переходу вiд однiєї системи вiдлiку до iншої.
У вторинно квантованiй теорiїоператор поля має вигляд:
ˆ
U
µ(x)=
3
λ=1∞


k=−∞
1 2Vε
k


µ(
k)ˆa λ,
k e−ikx + ∗λ
µ (
k)ˆa +
λ,
k eikx 
,
(Д4.1.12)

Д4. Векторнi поля427
деε
k=k 0= 
k2+m 2, операторˆ a λ,
k (ˆa+
λ,
k )є оператором знищення
(народження) частинокз 4-векторомk. Числоλвизначає поляризацiю
поля.
Серед усiх можливих випадкiв поляризацiї зазвичай видiляють два
випадки поляризацiйних станiв для квантiв поля: стан з лiнiйною та
коловою поляризацiями.
У випадку лiнiйної поляризацiї

1=e 1, 2=e 2,(Д4.1.13)
деe
1,e 2є векторами, що направленi вздовж орт, перпендикулярних
до третьої осi (спiвпадає за напрямком з хвильовим вектором
k):e i·
e j=δ ij,e 1·
k=0,e 2·
k=0, тобто λ(
k)= ∗λ(
k). У цьому випадку
частинки не перебувають у станi з визначеною проекцiєю спiну на
напрямокруху, оскiльки вiдповiдний операторˆ
S
3не є дiагональним.
У випадку колової поляризацiї

1=e
1−ie 2 √2,
2=e
1+ie 2 √2(Д4.1.14)
з тими самими ортогональними векторамиe
1,e 2. У цьому випад-
куˆ a
λ,
k (ˆa+
λ,
k )є оператором знищення (народження) частинокз 4-
iмпульсомkта проекцiєю спiну на напрямок рухуS
3=+1,−1,0вiд-
повiдно доλ=1,2,3.
Комутацiйнi спiввiдношення для обох типiв поляризацiй:
[ˆa
λ,
k ,ˆ a+
λ,
k]−=δ
k,
k δλ, λ ,[ˆa +
λ,
k ,ˆ a+
λ,
k]−=0,[ˆa λ,
k ,ˆ aλ,
k]−=0.
(Д4.1.15)
Причинна функцiя Грiна нейтрального векторного поля (0.32):
D
µν(x−x )=−i0|ˆ

U µ(x)ˆ
U ν(x )|0=
= lim
→+0
1
(2π) 4∞

−∞
d4kg µν − kµkνm2
m2−k 2−ie
−ik(x−x )
⇒D µν(k) = lim →+0
gµν − kµkνm2
m2−k 2−i.(Д4.1.16)

428Додатки
Зазначимо, що набiр поляризацiйних векторiв λ(
k)(λ=1,2,3)
безумовно не є повним
3
λ=1

µ(
k) ∗λ
ν(
k)=−
g µν −k µkν
m2

,(Д4.1.17)
тому iнодi вводять додатково четвертий4-вектор

0(
k)=k m=(k
0,
k)
m,(Д4.1.18)
завдяки якому спiввiдношення повноти набуває стандартного вигляду
3
λ=0
gλλλ
µ(
k) ∗λ
ν(
k)=g µν.(Д4.1.19)
Д4.2. Заряджене масивне векторне поле
Лагранжiан класичного зарядженого векторного поля
1:
L(x)=−1
2F

µνFµν +m 2V∗
µVµ,(Д4.2.1)
деF
µν =∂ µVν−∂ νVµ,F ∗
µν =∂ µV∗
ν−∂ νV∗
µ.
Польове рiвняння на компоненти поля 2:
(∂
ν∂ν+m 2)Vµ(x)=0,(∂ ν∂ν+m 2)V ∗
µ(x)=0.(Д4.2.2)
При цьому завдяки вибору лагранжiана в формi (Д4.2.1) автоматично
виконуються умови∂
νVν(x)=0,∂ νV∗
ν(x)=0.
Оператори вторинно квантованих полiв:












⎩ˆ
V
µ(x)=
3
λ=1∞


k=−∞
1  2Vε
k

 λ
µ(
k)ˆa λ,
k e−ikx + ∗λ
µ (
k)ˆ
b +
λ,
k eikx 
ˆ
V

µ(x)=
3
λ=1∞


k=−∞
1 2Vε
k

 ∗λ
µ (
k)ˆa +
λ,
k eikx + λ
µ (
k)ˆ
b λ,
k e−ikx 
,
(Д4.2.3)
1Аналогiчно можнаL(x)=−∂ µV∗
ν∂µVν+m 2V∗
µVµ, див. примiтку (1) на с.425. 2Повнiстю аналогiчно, як i у випадку нейтрального масивного векторного поля,
накладається калiбрувальна умова∂ µVµ=∂ µV∗
µ=0.

Д4. Векторнi поля429
деε
k=k 0= 
k2+m 2, λ(
k)(λ=1,2,3)є чотири-вимiрними векто-
рами поляризацiї (Д4.1.9)з(Д4.1.13) або (Д4.1.14). У випадку колової
поляризацiїˆ a
λ,
k (ˆa+
λ,
k )є оператором знищення (народження) части-
нокiз зарядомq=+1,4-iмпульсомkта проекцiєю спiну на напрямок
рухуS
3=+1,−1,0вiдповiдно доλ=1,2,3;ˆ
b λ,
k (ˆ
b+
λ,
k )є оператором
знищення (народження) античастинокз зарядомq=−1, 4-iмпульсом
kта проекцiєю спiну на напрямок рухуS
3=−1,+1,0вiдповiдно до
λ=1,2,3.
Комутацiйнi спiввiдношення
[ˆa
λ,
k ,ˆ a+
λ,
k]−=δ
k,
k δλ, λ ,[ˆ
b λ,
k ,ˆ
b+
λ,
k]−=δ
k,
k δλ, λ .(Д4.2.4)
Усi iншi варiанти комутаторiв двох операторiв iз числаˆ a,ˆ a
+,ˆ
b,ˆ
b +
дорiвнюють нулю.
Причинна функцiя Грiна зарядженого векторного поля є такою ж,
якi для нейтрального поля (0.32), (Д4.1.16).
Д4.3. Безмасове векторне поле на прикладi
електромагнiтного поля
У класичнiй теорiї вiльне електромагнiтне поле описується рiвнян-
нями Максвелла

rot
E=−∂
0
H, rot
H=∂ 0
E,
div
H=0,div
E=0.(Д4.3.1)
Для симетричного та релятивiстсько-iнварiантного опису електро-
магнiтного поля вводиться4-вектор електромагнiтного потенцiалуA
ν
(ν=0, ...,3):
E
i=∂ iA0−∂ 0Ai=−∂ iA0−∂ 0Ai,H i=− ikl ∂kAl= ikl ∂kAl,
i, k, l=1,2,3,(Д4.3.2)
деε
ikl – антисиметричний тензорε 123 =1; або в бiльш звичний формi

E=−grad A
0−∂ 0
A,
H=rot
A.(Д4.3.3)
У позначеннях (Д4.3.3) рiвняння Максвелла набувають вигляду

νFνµ =∂ ν∂νAµ(x)−∂ ν∂µAν=0.(Д4.3.4)

430Додатки
Iз компонент4-вектора електромагнiтного потенцiалу можна по-
будувати антисиметричний тензор Максвелла
F
µν =∂ µAν−∂ νAµ⇒F µν =⎛


⎝0−E
x −E y −E z
Ex 0−H z Hy
Ey Hz 0−H x
Ez −H y Hx 0⎞


⎠.
(Д4.3.5)
Лагранжiан класичного безмасового векторного (електромагнiтного)
поля
1
L(x)=−1 2F µνFµν.(Д4.3.6)
При цьому, на вiдмiну вiд випадку масивного поля, не можна накласти
умову∂
νAν(x)=0безпосередньо з форми лагранжiана. Безумовно,
з даного лагранжiана вiдтворюються рiвняння на компоненти поля
(Д4.3.4).
Процедура введення4-потенцiалуA
µмiстить неоднозначностi, а
саме: компоненти тензора Максвелла (величини
E,
H) i рiвняння
Максвелла (Д4.3.1), (Д4.3.4) не змiняться, якщо зробити так званi
градiєнтнi перетворення другого роду
A
µ(x)→A 
µ(x)=A µ(x)+∂ µf,(Д4.3.7)
деf(x)– довiльна функцiя, для якої iснує перша та друга похiднi.
Зазначену неоднозначнiсть використовують для накладання пев-
ної додаткової умови, зазвичай, релятивiстсько-iнварiантної умови Ло-
ренца

νAν(x)=0.(Д4.3.8)
Тодi рiвняння на компоненти поля отримають вигляд

ν∂νAµ(x)=0.(Д4.3.9)
Умова Лоренца не повнiстю визначає потенцiалA
µ, оскiльки рiв-
няння (Д4.3.8), (Д4.3.9) залишаються iнварiантними вiдносно спецiалi-
зованих градiєнтних перетворень другого роду
A
µ(x)→A 
µ(x)=A µ(x)+∂ µf0,(Д4.3.10)
1Аналогiчно можнаL(x)=−∂ µAν∂µAν, див. примiтку на с.425.

Д4. Векторнi поля431
деf 0– довiльна функцiя, що задовольняє умову∂ ν∂νf0=0.
Цiєю умовою можна скористатися, щоб в конкретно обранiй ло-
ренцевiй системi вiдлiку занулити одну з компонентA
µ, зазвичайA 0,
тодi умова Лоренца запишеться якA
0=0,div
A=0.
Головний висновок, що випливає з розгляду неоднозначностi за-
дання4-потенцiалу полягає в тому, що з чотирьох компонентA
µлише
двi незалежнi.
Надалi будемо розглядати рiвняння (Д4.3.9) з умовою (Д4.3.8). У
класичнiй теорiї в лабораторнiй системi вiдлiку частотний розклад
поля має вигляд
A
µ(x)=
∞

k=−∞
1 2Vω
k

A
µ(
k)e −ikx +A ∗
µ(
k)e ikx 


k=k 0=|
k|,
(Д4.3.11)
де компоненти4-вектораA(
k)можна записати у виглядi
A(
k)=(1,
0)A
0(
k)+(0,ε 1)A 1(
k)+(0,ε 2)A 2(
k)+(0,ε 3)A 3(
k)=
=
3
µ=0
εµAµ(
k)=,
A 0,
3
i=1
εiAi(
k)-
,(Д4.3.12)
де
µ(µ=0, ...3)утворюють чотири напрямнi орти в лабораторнiй
системi вiдлiку 1:ε 0=(1;
0),ε i=(0;ε i),ε i·ε k=δ i,k ,(i, k=1,2,3).
Такий запис, як i в теорiї масивного векторного поля, призво-
дить до того, що вираз для енергiї системи не є додатно визначеним.
Щоб позбутися цього недолiку потрiбно використати додаткову умо-
ву (Д4.3.8) i перейти в локальну систему вiдлiку, що прив’язана до
хвильового вектора
k:
A(
k)=(1,
0)a
0,
k +(0, 1)a1,
k +(0, 2)a2,
k +,
0,
k |
k|-
a 3,
k =
3
λ=0
λ(
k)a λ,
k ,
(Д4.3.13)
деa
λ,
k – компоненти4-вектораU(
k)у локальнiй системi вiдлiку, i
– одиничнi вектора перпендикулярнi до вектора
k, тобто i·
k=0,
1Наприклад:ε 0= (1; 0; 0; 0),ε 1= (0; 1; 0; 0),ε 2= (0; 0; 1; 0),ε 3= (0; 0; 0; 1).

432Додатки
i· k=δ i,k ,(i, k=1,2). Тодi з умови Лоренцаk νAν(
k)=0випливає
k
νaν(
k)=k 0a0−
k
k |
k|a 3=0⇒a 0=a 3.(Д4.3.14)
Завдяки цьому у виразi для енергiї системи вiдбувається взаємне ско-
рочення внескiв вiд часових(a
0)i поздовжнiх(a 3)компонент елек-
тромагнiтного поля.
У вторинно квантованiй теорiї умоваЛоренца виконується лише
в середньомуΦ
∗∂νˆ
Aν(x)Φ = 0, що зводиться до умов(ˆa 0−ˆ a 3)Φ = 0та
Φ ∗(ˆa+
0−ˆ a +
3)=0,деΦ– амплiтуда стану. Тодi, якщо (Д4.3.13) у лабо-
раторнiй системi вiдлiку записати в операторнiй формi як
ˆ
A
µ(
k)= 1
µ(
k)ˆa 1,
k + 2
µ(
k)ˆa 2,
k +,
k µ
|
k|−δ 0,µ
-
ˆ a
3,
k +δ 0,µ ˆ a0,
k =
=
1
µ(
k)ˆa 1,
k + 2
µ(
k)ˆa 2,
k +k µ
|
k|ˆ a 3,
k +δ 0,µ (ˆa0,
k −ˆ a 3,
k ),(Д4.3.15)
то можна побачити, що при дiїˆ
A
µ(
k)на довiльний станΦдоданок
k
µˆ a3,
k Φ==k µΛΦ, тобто його можна занулити завдяки градiєнтному
перетворенню другого роду (Д4.3.7), а доданок(ˆa
0−ˆ a 3)Φ = 0згiдно з
визначенням. Тобто наявнiсть у системi часових i поздовжнiх фотонiв
(квантiв поля) не має впливати на спостережуванi величини.
Не заглиблюючись у деталi, скажемо, що, в принципi, в певному
станi системи може перебувати однакова кiлькiсть поздовжнiх i часо-
вих фотонiв, але внески вiд них в усi фiзичнi величини є взаємоком-
пенсуючими; такi стани системи повнiстю еквiвалентнi стану, коли в
системi загалом вiдсутнi поздовжнi та часовi фотони.
Тобто, хоча математичний розклад4-вектора вимагає чотирьох ба-
зисних векторiв, для розкладу потенцiалу електромагнiтного поля фi-
зично потрiбнi лише двi компоненти, поперечнi до вектора
k.
У вторинно квантованiй теорiї оператор поля має вигляд
ˆ
A
µ(x)=
2
λ=1∞


k=−∞
1 2Vω
k

 λ
µ(
k)ˆa λ,
k e−ikx + ∗λ
µ (
k)ˆa +
λ,
k eikx 
,
(Д4.3.16)
деω

k=k 0=|
k|, λ=(0, λ)(λ=1,2),а λвизначається як(Д4.1.13)
у випадку лiнiйної та як (Д4.1.14) у випадку колової поляризацiї, λ
µ

Д4. Векторнi поля433
єµ-та компонента поляризацiйного вектора λу лабораторнiй системi
вiдлiку 1.
У випадку колової поляризацiїˆ a
λ,
k (ˆa+
λ,
k )є оператором знищення
(народження) частинокз чотири-iмпульсомkта проекцiєю спiну на
напрямокрухуS
3=+1,−1вiдповiдно доλ=1,2.
Комутацiйнi спiввiдношення для обох типiв поляризацiй
[ˆa
λ,
k ,ˆ a+
λ,
k]−=δ
k,
k δλ, λ ,[ˆa +
λ,
k ,ˆ a+
λ,
k]−=0,[ˆa λ,
k ,ˆ aλ,
k]−=0.
(Д4.3.17)
Причинна функцiя Грiна електромагнiтного поля
2(0.32):
D
0
µν(x−x )=−i0|ˆ

A µ(x)ˆ
A ν(x )|0=
=−lim
→+0
1
(2π) 4∞

−∞
d4kg µν
k2+ie
−ik(x−x )
⇒D 0
µν(k)=−lim →+0
gµν
k2+i.(Д4.3.18)
Наведемо корисне спiввiдношення:
2
λ=1

µ(
k) ∗λ
ν(
k)=−g µν,(Д4.3.19)
яке можна ефективно використовувати при врахуваннi всiх можли-
вих поляризацiй реального фотона у випадку, коли вираз (Д4.3.19)
входить якскладова частина виразу для амплiтуди матрицi розсiян-
ня КЕД. У повному виглядi (див., наприклад, [26]) спiввiдношення
(Д4.3.19) мiстить доданки∼k
ν,kµ, якi не впливають на фiзичний ре-
зультат i можуть бути вiдкинутi згiдно з примiткою 2 внизу сторiнки.
У випадку, коли стан фотона не є чистим, для опису його поля-
ризацiї потрiбно використовувати матрицю густини фотона (див. [12],
§8 та [2]).
1Якщо лабораторна система вiдлiку переходить у локальну лише завдяки про-
сторовим поворотам, то, очевидно,ˆ
A
0=0й умова Лоренца отримає вигляд
divˆ

A=0. Вiншому випадку можуть бути ненульовими всi компонентиˆ
A
µ. 2Слiд зазначити, щоD 0
µν(k)не задано однозначно. Фiзичнi результати не змi-
няться, якщоD 0
µν(k)→D 0
µν(k)+k µkνD(k 2),деD(k 2)— довiльна функцiя. Вка-
зана неоднозначнiсть пов’язана з законом збереженням струму в електродинамицi

µjµ(x)=0(в iмпульсному представленнik µjµ=0), оскiльки у правила дiаграм-
ної технiки ФейнманаD 0
µν(k)входить у комбiнацiяхj µD0
µν(k)j ν.

434Додатки
Д4.4. Поляризацiйнi стани векторних полiв
У класичнiй електродинамицi електромагнiтна хвиля з певною по-
ляризацiєю отримується шляхом суперпозицiї двох лiнiйно поляризо-
ваних хвиль однiєї частоти, що поширюється в одному напрямку. Для
визначеностi вважатимемо, що напрямокхвильового вектора
kспiв-
падає з напрямкомe
z, коливання електричної компоненти
E 1першої
хвилi лежать у площинiXZ, компоненти
E
2другої хвилi – у площинi
YZi мiж хвилями iснує рiзниця фаз уπ/2:

E
1(z, t)=Re
e xE1e−i(ωt−k zz)
;
E
2(z, t)=Re
e yE2e−i(ωt−k zz±π/2) 
.
(Д4.4.1)
У результатi отримується два можливих варiанти електромагнiтної
хвилi з електричними компонентами

E
∓(z, t)=
E 1(z, t)+
E 2(z, t)=(E 1cos(ωt−k zz),∓E 2sin(ωt−k zz),0).
(Д4.4.2)
У площинiXYу фiксованiй точцi на осiZвектор електричної компо-
ненти кожної з цих двох хвиль буде обертатися по елiпсу, але в рiзнi
боки (див. рис. Д4.1).
а)
Джерело Z
Y X б) Джерело
Z
Y X E - E
Рис. Д4.1. Поширення електромагнiтної хвилi з елiптичною поля-
ризацiєю вздовж осiZ. Вектор електричної напруженостi може обертатися
навколо осiZу двох напрямках.
Нажаль iснують два протилежних визначення лiво- та правопо-
ляризованого електромагнiтного поля. В оптицi iсторично прийнято
таке визначення: якщо дивитися назустрiч хвильовому вектору
k(з
боку приймача свiтла) на площинуXYу фiксованiй точцiz,тоу
випадку, коли вектор електричної напруженостi повертається за го-
динниковою стрiлкою, то вважається, що електромагнiтна хвиля має

Д4. Векторнi поля435
праву поляризацiю (хвиля
E −у виразi (Д4.4.2)), а коли проти годин-
никової стрiлки — лiву поляризацiю (хвиля
E
+) (див. рис. Д4.2a). У
подальшому ми будемо використовувати саме це визначення поляри-
зацiї електромагнiтної хвилi.
а)б)
E E
Y
Y
X
X
E E E - E-
Рис. Д4.2. ПлощинаXYу фiксованiйточцiz. Повороти з часом век-
торiв електричної напруженостi електромагнiтної хвилi, що поширюється
внапрямку
e
z:а) якщо дивитися з боку приймача (вiсьZнапрямлена на
нас),б) якщо дивитися з боку джерела (вiсьZнапрямлена вiд нас).
Iснує й iнше визначення, що збiгається з вищенаведеним, але ди-
витися треба не назустрiч хвильовому вектору
k, а йому вслiд, тобто
з боку джерела свiтла (див. рис. Д4.2б). У зв’язку з цим може виник-
нути певна плутанина, тому потрiбно завжди уточнювати, яке саме з
означень мається на увазi.
Якщо виконується умова|
E
1|=|
E 2|=E, то в суперпозицiї полiв
вектор електричної напруженостi описує не елiпс, а коло. У цьому ви-
падку кажуть про колову поляризацiю. Вiдповiдно, замiсть (Д4.4.2),
матимемо

E
∓(z, t)=E(cos(ωt−k zz),∓sin(ωt−k zz),0).(Д4.4.3)
Згадаємо, яквиникають поляризацiйнi фотоннi стани в теорiї по-
ля. Як було зазначено, розклад електромагнiтного 4-потенцiалу за
компонентами з лiнiйною поляризацiєю (позначимо їх якa
1,
k таa 2,
k )
(Д4.3.13) приводить до того, що вираз для проекцiї спiну на напря-
мокруху стає недiагональним за зазначеними компонентами. Щоб
дiагоналiзувати вираз для проекцiї спiну на напрямок руху, викону-
ють перехiд до iнших величин, якi є лiнiйною комбiнацiєю попереднiх

436Додатки
(позначимо їх, наприклад,b 1,
k таb 2,
k ):
a
1,
k =b 1,
k +b 2,
k √2;a
+
1,
k =b
+
1,
k +b +
2,
k
√2;
a
2,
k =b 1,
k −b 2,
k
i√ 2;a
+
2,
k =b
+
1,
k −b +
2,
k
−i√ 2.(Д4.4.4)
Тодi початковий розклад за лiнiйними поляризацiями запишеться як
e
1a1,
k +e 2a2,
k =b 1,
k
e1−ie 2 √2+b 2,
k
e1+ie 2 √2=b 1,
k ε1+b 2,
k ε2,(Д4.4.5)
де поляризацiйнi вектори
ε
1,2 були визначенi в (Д4.1.14).
У цьому випадкуb
1,
k таb 2,
k компоненти 4-потенцiалу будуть обер-
татися в часi у площинi, поперечнiй до напрямку хвильового вектора

k. Справдi, якщо вiсьZнаправити вздовж
k, а одиничнi вектораe
1,
e
2направити вздовж осейXтаY, то отримаємо вирази
Re$
b
1,
k
e1−ie 2 √2e
−i(ωt−k zz)%
=b 1,
k√2(cos(ωt−k zz),−sin(ωt−k zz),0),
(Д4.4.6)
Re$
b
2,
k
e1+ie 2 √2e
−i(ωt−k zz)%
=b 1,
k√2(cos(ωt−k zz),sin(ωt−k zz),0),
(Д4.4.7)
що узгоджуються з отриманими ранiше виразами для випадку колової
поляризацiї (Д4.4.3).
Пiсля застосування процедури вторинного квантування величи-
ниb
1,
k таb 2,
k перейдуть в оператори знищення (народження) части-
нокз вектором поляризацiї
1(
k)та 2(
k), що мають проекцiю спi-
ну на напрямокрухуS
3=+1таS 3=−1, вiдповiдно (див. також
(Д4.3.16)). Оскiльки ми домовились дотримуватись визначення поля-
ризацiї прийнятого в оптицi, то називатимемо такi частинки частин-
ками з правою та лiвою поляризацiєю, вiдповiдно.
Усе сказане вище щодо електромагнiтного поля поширюється й
на випадокмасивних векторних полiв з одиничним спiном. У цьому

Д4. Векторнi поля437
випадку поляризацiю частинок буде визначати поперечна компонента
4-потенцiалу векторного поля. Зазначимо, що для квантiв векторних
полiв застосовують графiчне зображення, представлене на рис. Д4.3.
Рис. Д4.3. Схематичне зображення векторної частинки. Вказується
напрямок ї ї руху та, схематично, напрямок обертання поперечної компонен-
ти векторного поля, квантом якого вона є. Зокрема, тут зображена частинка
з лiвою поляризацiєю та, вiдповiдно, з проекцiєю спiну на напрямок руху
S
3=−1.
Д4.5. Вибiр калiбрування
Якбуло зазначено, лагранжiан векторного безмасового поля у
формi (Д4.3.6) є калiбрувально iнварiантним вiдносно замiниA
ν→
A 
ν =A ν+∂ νf,деf— довiльна функцiя. Для позбавлення неод-
нозначностi, в цьому випадку, накладалася умова Лоренца (Д4.3.8):

νAν(x)=0. У випадку масивного векторного поля лагранжiан не є
калiбрувально iнварiантним, однак умова∂
νAν(x)=0є безпосереднiм
наслiдком рiвнянь руху. Зауважимо також, що процедури вторинного
квантування в одному та iншому випадках принципово рiзнi i простою
замiноюm→0в усiх спiввiдношеннях не можна з масивної теорiї от-
римати безмасову. Наприклад, у пропагаторi масивного векторного
поля (Д4.1.16) не можна зробити перехiдm→0, щоб отримати про-
пагатор безмасового векторного поля (Д4.3.18).
Фiзична причина неможливостi такого переходу, полягає в тому,
що у випадку безмасового векторного поля ми маємо лише два ступе-
нi вiльностi (поперечнi складовi поля), а у випадку масивного вектор-
ного поля — три ступенi вiльностi (двi поперечнi та одну поздовжню).
Виявляється, що можна модифiкувати лагранжiани векторних по-
лiв таким чином, щоб масивна теорiя переходила в безмасову при
m→0.

438Додатки
Розглянемо спочатку випадок безмасового векторного поля. Вiд-
повiдний лагранжiан (Д4.3.6) є iнварiантним вiдносно калiбрувальних
перетворень. Дане поле можна представити у виглядi суми двох неза-
лежних компонент: поперечноїA
T
µ(у сенсi∂ µAT
µ=0,T– скорочення
вiд англ.transversal– поперечний) i поздовжньої складовоїA L
µ(L–
скорочення вiд англ.longitudinal– поздовжнiй):A
µ=A T
µ+A L
µ.На-
явнiсть поздовжньої частини визначається величиною∂ µAµ=χ
=0.
Спробуємо зафiксувати вибiр калiбрування шляхом додавання до
лагранжiана доданка, що явно порушує калiбрувальну iнварiантнiсть.
Явний вигляд цього доданка буде фiксувати калiбрування. Нехай мо-
дифiкований лагранжiан матиме вигляд
1
LmA=0 (x)=−1 4F µνFµν −1 2ξχ
2,(Д4.5.1)
деξ— довiльний додатний параметр (ξ>0),∂
µAµ=χ.
Рiвняння руху для лагранжiана (Д4.5.1), вiдповiдно буде:

νFνµ −1 ξ∂ µ(∂νAν)=∂ ν∂νAµ(x)−
1−1 ξ
∂ µχ=0.(Д4.5.2)
Подiявши на рiвняння (Д4.5.2) оператором
µ∂µ, отримаємо
ξ
−1 ∂µ∂µχ=0(Д4.5.3)
Тобто поздовжня частина векторного поля утворює скалярну вели-
чину∂
νAν=χ, яка задовольняє рiвнянню Клейна–Гордана для ска-
лярного поля з масоюm
χ=0. Безумовно, одним iз розв’язкiв цього
рiвняння є тривiальний розв’язокχ=∂ νAν=0, який являє собою
калiбрування Лоренца в немодифiкованiй теорiї. Однак величинаχне
обов’яково має бути нулем. Щоб дослiдити такий варiант детальнiше,
зручно розглянути випадокмасивного векторного поля з лагранжiа-
ном:
L
mA(x)=−1 4F µνFµν +1 2m
2
AAµAµ−1 2ξχ
2,(Д4.5.4)
що отримав назву лагранжiана Штюкельберга [6,16].
1Тут можна навести певну аналогiю з математичною процедурою пошуку екс-
тремуму функцiї з додатковою умовою. У нашому випадку, додаткова умова
(∂
µAµ)2=0, множник Лагранжа(2ξ) −1.

Д4. Векторнi поля439
Вiдповiдне рiвняння руху матиме вигляд

ν∂νAµ(x)+m 2
AAµ−
1−1 ξ
∂ µχ=0.(Д4.5.5)
Подiявши на рiвняння (Д4.5.5) оператором
µ∂µ, отримаємо
ξ
−1 (∂µ∂µ+ξm 2
A)(∂ νAν)=0.(Д4.5.6)
Тобто поздовжня частина векторного поля утворює скалярну вели-
чину∂
νAν=χ, яка задовольняє рiвнянню Клейна–Гордона для ска-
лярного поля з масоюm
ϕ=√ ξm A (змiст нижнього iндексуϕбуде
зрозумiлий пiзнiше). Саме для того, щоб така аналогiя справдi мала
мiсце, накладається умоваξ>0.
Отже, масивне векторне поле також можна представити як суму
двох незалежних компонент: поперечноїA
T
µ (у сенсi∂ µAT
µ =0)та
поздовжньоїA L
µскладової
A
µ=A T
µ+A L
µ,A T
µ=A µ+∂ µχ
m2
ϕ,A L
µ=−∂ µχ
ξm 2
A.(Д4.5.7)
Справдi, у таких позначеннях, враховуючи (Д4.5.6), для поперечної
складової автоматично виконується умова

µAT
µ=1 m2
ϕ(∂µ∂µ+m 2
ϕ)χ=0.(Д4.5.8)
Тобто саме компонентаA
T
µзадовольняє умову (Д4.5.6) та рiвнянням
руху (Д4.5.5).
Корисно записати лагранжiан (Д4.5.4) через поздовжню частину,
зробивши замiнуA
µ=A T
µ− ∂µχ ξm 2
A таχ=ξm Aϕ:
L
mA(x)=−1 4F
T
µνFT,µν +m
2
A
2A
T
µAT,µ +m
2
A
2m 4
φ∂µχ∂ µχ−1 2ξχ
2−1ξA
T
µ∂µχ=
=$
−1
4F
T
µνFT,µν +m
2
A
2A
T
µAT,µ %
+/
1
2∂
µϕ∂ µϕ−m
2
ϕ

2
6
−m
AAT
µ∂µϕ,
(Д4.5.9)

440Додатки
де вираз у перших квадратних дужках є лагранжiаном вiльного ма-
сивного векторного поляA T
µ, вираз у других квадратних дужках є
лагранжiаном вiльного скалярного поляϕ, а останнiй доданокмож-
на вiдкинути. Справдi,A
T
µ∂µϕ=∂ µ(A T
µϕ)−ϕ∂ µAT
µ, вiдповiдно пер-
ший доданокне дає внеску в дiю, а останнiй тотожно дорiвнює нулю
внаслiдок(Д4.5.8). Очевидно, що рiвняння руху (Д4.5.5) для поля
A
µ=A T
µ+A L
µдасть рiвняння на вiльнi векторне та скалярне поля:
(∂
µ∂µ+m 2
A)A T
ν=0,з додатковою умовою∂ µAT
µ=0(Д4.5.10)
(∂
µ∂µ+m 2
ϕ)ϕ=0(Д4.5.11)
Отже, якщо векторне полеA
µне задовольняє умовi Лоренца, то
воно являє собою суму безпосередньо векторного поля з калiбруваль-
ною умовою Лоренца (поперечна складова поляA
T
µ=A µ+m −1
A ∂µφ)
та похiдної вiд масивного, з масоюm
ϕ=√ ξm A, скалярного поляϕ
(поздовжня частина поляA L
µ=−m −1
A ∂µϕ). З iншого боку, дане ска-
лярне поле за визначенням визначається через комбiнацiю∂ µAµ(ϕ=
ξ −1 m−1
A ∂µAµ)i фiксує вибiр калiбрування. Той факт, що його маса та
амплiтуда залежать вiд калiбрувального параметраξвказує на нефi-
зичнiсть такого поля.
Можна показати, що значення параметраξне впливатиме на ве-
личини, що фiзично спостерiгаються; лагранжiани (Д4.5.1), (Д4.5.4)
будуть давати тi самi результати для фiзичних величин, що i вiд-
повiднi лагранжiани без модифiкацiї. Даний формалiзм є зручним,
оскiльки перебор всiх можливих обмежень для фiксацiї калiбрування
типу∂
µAµ=f(x)зводиться лише до вибору певного значення пара-
метраξ>0. Параметрξбуде характеризувати вибiр калiбрування в
загальному випадку.
Для лагранжiана (Д4.5.4) причинна функцiя Грiна поляA
µбуде 1:
D
µν(x−x )=−i0|ˆ
T[ˆ
A T
µ(x)−m −1
A ∂µφ(x)][ˆ
A T
ν(x )−m −1
A ∂νφ(x )]|0=
=−i0|ˆ

A
T
µ(x)ˆ
A T
ν(x )|0−im −2
A 0|ˆ
T∂ µφ(x)∂ νφ(x )|0
⇒D
µν(k)=g µν −k µkν/m 2
A
m2
A−k 2−i+k
µkν/m 2
A
m2
ϕ−k 2−i.(Д4.5.12)
1Див. примiтку 2 на с.433щодо виразiв (Д4.5.14), (Д4.5.12).

Д4. Векторнi поля441
Останнiй вираз краще записати у виглядi
D
µν(k, ξ)=1 m2
A−k 2−i
g µν +(1−ξ)k µkν
ξm 2
A−k 2−i
.(Д4.5.13)
Зазначимо, що приξ→∞(такзванеунiтарнекалiбрування) вiднов-
люється вираз для пропагатора у формi (Д4.1.16), котрий приk→∞
переходить у неспадну функцiю, що є катастрофiчним при обчислен-
нi радiацiйних поправок. Однакпри кiнцевих значеннях параметра
ξ(такзванеR
ξ-калiбрування, вiд англ.renormalization) матимемо
D
µν(k→∞,ξ)∼k −2 .R ξкалiбрування є дуже зручним при аналiзi
перенормованостi певної теорiї поля, див. детальнiше роздiл 24.
У виразi (Д4.5.13) можна зробити перехiдm
A=0, тодi отримаємо
D
0
µν(k, ξ)=−1 k2+i
g µν −(1−ξ)k µkν
k2+i
.(Д4.5.14)
Легко переконатися, що пропагатор (Д4.5.14) приξ→1переходить
1
у пропагатор безмасового векторного поля (Д4.3.18).
Випадокξ=1називаютькалiбруванням Фейнмана. У цьому калiб-
руваннi пропагатор векторного поля (як масивного так i безмасового)
має найбiльш простий вигляд.
Випадокξ=0називаютькалiбруванням Ландау. У цьому калiб-
руваннi пропагатори (Д4.5.13)та(Д4.5.14) набувають вигляду
D
Λ
µν(k, ξ=0)∼
g µν −k µkν
k2

(Д4.5.15)
i стають поперечними до 4-iмпульсуk, тобтоD
Λ
µνkν=k µDΛ
µν =0.
Видiленим також є випадокξ=3, котрий отримав назвукалiбру-
вання Йєннi та Фрiда. В цьому випадку масовий оператор електрона
допускає коректний перехiд до нульової маси фотона, див. детальнiше
роздiл 24.
У даному курсi, якщо явно не вказаний вибiр калiбрування, ми
будемо використовувати означення причинних функцiй Грiна у формi
(0.32).
1Саме для виконання коректних граничних переходiв у пропагаторах вектор-
них полiв до лагранжiанiв були доданi доданки∼χ 2,ане∼χ. До того ж, величи-
наχ 2має таку саму розмiрнiсть, як i розмiрнiсть лагранжiана ([m] 4), вiдповiдно
калiбрувальний параметрξу(Д4.5.1), (Д4.5.4) є безрозмiрним.

Додаток 5. Фермiони та фермiоннi поля
Рiвняння Дiрака для вiльної частинки:
(iγ
µ∂µ−mI)Ψ(x)=0,µ=0, ...,3,(Д5.1)
деΨ(x)– 4-компонентна хвильова функцiя частинки,I– одинична
матриця
14×4, а в якостiγвикористовуються чотири матрицi4×4,
що задовольняють таким спiввiдношенням 2:
γ
µγν+γ νγµ=2g µνI, γ µ+ =γ µ,(Д5.2)
з яких, зокрема, випливає, що
γ
µγµ=I, γ µγµ=g µµ I(µ— фiксоване число).(Д5.3)
Також будемо використовувати матрицюγ
5=iγ 0γ1γ2γ3зтакими
властивостями:
γ
5γµ+γ µγ5=0,γ 5γ5=I, γ 5+ =γ 5.(Д5.4)
Алгебра матриць Дiрака
Якщо розглянути всi можливi добутки рiзної кiлькостi матрицьγ µ,
то, використавши(Д5.2), можна побачити, що добутки бiльш нiж чоти-
рьохγ-матриць будуть зводитися або до однiєїγ-матрицi, або до добуткiв
двох, трьох чи чотирьохγ-матриць.
Матрицi рангу4мiстять4·4=16елементiв (можливо комплексних)
i, вiдповiдно, iснують лише 16 лiнiйно незалежних матриць, за допомогою
яких можна розкласти довiльну матрицю4×4. В якостi таких незалеж-
них матриць можна обрати:
I, γ
0,γ1,γ2,γ3,
γ 0γ1,γ 0γ2,γ 0γ3,γ 1γ2,γ 1γ3,γ 2γ3,
γ 0γ1γ2,γ 0γ2γ3,γ 0γ1γ3,γ 1γ2γ3,
γ 0γ1γ2γ3
(Д5.5)
або
I, γ
µ,γ5,iγ µγ5,σµν,σ µν =iγ µγν−γ νγµ
2,µ,ν=0, ...,3(Д5.6)
1Надалi одиничну матрицю не будемо записувати, але будемо мати ї ї на увазi.2Явний виглядγ-матриць наведено в перелiку позначень на с.16.

Д5. Фермiони та фермiоннi поля443
Матрицi(Д5.5),(Д5.6)можна пронумерувати в довiльному порядку i
позначити їх якΓ i,i=1, ...,16.МатрицiΓ iмають такi властивостi:
Tr[Γ
i]=0 (Γ i
=I),Γ iΓi=I, T r[Γ iΓj]=4δ ij.(Д5.7)
Тодi, очевидно, будь-яку матрицюA(4×4)можна розкласти як
A=
16
i=1
CiΓi,C i=1 4Tr[AΓ i].(Д5.8)
γ-матрицi в рiвняннi Дiрака не фiксуються однозначно умовами
(Д5.2). Зв’язокмiж рiзними варiантами виборуγ-матриць встанов-
люється за допомогоюлеми Паулi:якщо iснують два набори мат-
риць4×4γ
µтаγ µ,щозадовольняють(Д5.2),тоiснуєнеособлива
унiтарна матрицяSтака, щоγ µ =Sγ µS−1 ,S +S=1.
З аналiзу (Д5.1) випливає, що при змiнiγ→γ=SγS −1 хвильова
функцiя перетворюється якΨ→Ψ =SΨ. Отже, рiвняння Дiрака є
iнварiантним вiдносно перетворень
γ→γ
=SγS −1 ,Ψ→Ψ =SΨ.(Д5.9)
В якостi рiвняння на комплексно спряжену функцiю використо-
вується
i∂
µ¯
Ψγ µ+m¯
Ψ=0,або формально¯
Ψ(iγ µ∂µ+m)=0,(Д5.10)
де¯
Ψ=Ψ
+γ0отримала назву дiракiвськи-спряженої функцiї. Саме в
таких позначеннях рiвняння стає лоренц-iнварiантним.
Зауважимо, що рiвняння Дiрака часто зводять до форми рiвняння
Шредiнгера. Справдi, домноживши (Д5.1) злiва наγ
0, отримаємо
i∂
tΨ(x)=[γ 0γj(−i∂ j)+mγ 0]Ψ(x).(Д5.11)
Позначивши оператор iмпульсу якˆ
k
j=i∂ j=−i∂ j,(j=1,2,3)та
ввiвши новi матрицiα j=γ 0γj,β=γ 0, запишемо
i∂
tΨ(x)=[ αˆ

k+mβ]Ψ(x)=ˆ
HΨ(x),(Д5.12)
деˆ
H= αˆ

k+mβє гамiльтонiаном системи.
Корисно зазначити, що у випадку наявностi зовнiшнього електро-
магнiтного поля рiвняння Дiрака (Д5.1) модифiкується до вигляду
(iγ
µ(∂µ+ieA µ)−mI)Ψ(x)=0,µ=0, ...,3,(Д5.13)

444Додатки
або у виглядi рiвняння Шредiнгера
i∂
tΨ(x)=[ α(ˆ

k+e
A)−eA 0+mβ]Ψ(x)=ˆ
HΨ(x).(Д5.14)
В нерелятивiстському наближеннi дане рiвняння зводиться до рiвнян-
ня Паулi
i∂
tϕ(x)=⎡

⎣
ˆ

k+e
A
2
2m−eA 0−e 2mσ·
H⎤

⎦ϕ(x)=ˆ
Hϕ(x),(Д5.15)
де
H– магнiтне поле,σ– матрицi Паулi,ϕ– компонента хвильової
функцiїΨ(x)=
ϕ(x)
χ(x)
.
Величина
 µ=e
2mσ=gµ B
S(Д5.16)
отримала назву магнiтного моменту електрона, деµ
B=e/(2m)–еле-
ментарний магнiтний момент:магнетон Бора,
S=σ/2– спiн електро-
на,g– множникЛанде. В рамках КЕД, без врахування радiацiйних
поправок,g=2. Зазначимо також, що в системi СI
µ
B=e 2m.(Д5.17)
Для подальшої роботи корисно нагадати роз’язки рiвняння Дiрака
для вiльної частинки.
Д5.1. Розв’язки рiвнянняДiрака для вiльної частинки
Запишемо рiвняння (Д5.1) явно, вибравшиγ-матрицi впредстав-
леннi Дiрака(0.25):
,
i∂
0−miσ

−iσ
∂−i∂
0−m-
Ψ(x)=0,
∂=(∂ 1,∂ 2,∂ 3).(Д5.1.1)
Будемо шукати розв’язок рiвняння Дiрака (Д5.1) у виглядi суперпо-
зицiї
Ψ(x)=
k
fkυke−ikx ,υ k=
A k
Bk

,(Д5.1.2)

Д5. Фермiони та фермiоннi поля445
деA k,B k– двокомпонентнi спiнори,f k– константи розкладу, позна-
ченняkвiдповiдаєk µ=(E,
k),тодi
,
E−m−σ
k
σ
k−E−m-

A
k
Bk

=0або

(E−m)A
k+(−σ
k)B k=0
(σ
k)A
k+(−E−m)B k=0.(Д5.1.3)
Параметр енергiїE=±k
0(k0= 
k2+m 2) знаходиться з умови наяв-
ностi нетривiальних розв’язкiв системи однорiдних рiвнянь (Д5.1.3),
тобто з рiвностi нулю ї ї детермiнанту.
У випадкуE=+k
0з нижнього рiвняння (Д5.1.3)маємо
B
k=σ
k k0+mA k ⇒υ k=,
A k
σ
k
k0+m Ak
-
.(Д5.1.4)
У випадкуE=−k
0з верхнього рiвняння (Д5.1.3)маємо
A
(−k 0,
k) =−σ
k k0+mB (−k 0,
k) ⇒υ (−k 0,
k) =,
− σ
kk0+m B(−k 0,
k)
B(−k 0,
k)
-
.
(Д5.1.5)
То д i в (Д5.1.2) можна залишити лише суму за
k,оскiлькиk
0од-
нозначно виражається через
k(k
0= 
k2+m 2). Отримаємо
Ψ(x)=
∞

k=−∞

f
kυke−ik 0x0+i
k x +f (−k 0,
k) υ(−k 0,
k) e+ik 0x0+i
k x 
.
(Д5.1.6)
Щоб вираз був лоренц-iнварiантним, зробимо замiну в другому до-
данку
k→−
k,тодi
Ψ(x)=
∞

k=−∞
(Ψ k(x)+Ψ −k (x)) =
∞

k=−∞
!
fkυke−ikx +f −k υ−k e+ikx "
=
=
∞

k=−∞
,
f
k
,
A
k
σ
k
k0+m Ak
-
e
−ikx +f −k
, σ
kk0+m B−k
B−k
-
e
ikx
-
.(Д5.1.7)

446Додатки
ФункцiїA k,B −k у(Д5.1.7) не визначаються однозначно i можуть
мати по два незалежних розв’язки кожна. Отже, щоб мати змогу їх
класифiкувати, потрiбно ввести ще одне квантове число. Нагадаємо,
яквоно визначається.
Спочатку запишемо (Д5.1) для одночастинкових розв’язкiв з до-
датноюΨ
+k (x)=υ ke−ikx та вiд’ємною енергiямиΨ −k (x)=υ −k eikx :


µkµ−m)υ k=0
(−γ µkµ−m)υ −k =0(Д5.1.8)
або, позначивши згорткуγ
µkµ=kта узагальнивши:
(qk−m)υ
qk =0,q=±1,(Д5.1.9)
деq=1(−1)вiдповiдає за знакенергiї. З виразу (Д5.1.9)можна
формально визначити операторˆ
Q:
ˆ

qk =k mυ qk =qυ qk ,(Д5.1.10)
власнi значення якого будуть визначати приналежнiсть функцiї ча-
стинцi, чи, пiсля вiдповiдногоперетворення, античастинцi.
Тепер введемо ще одне квантове число. Позначимо йогоµ,авiд-
повiдний операторˆ
Q
1:
ˆ
Q
1υµ
qk =µυ µ
qk .(Д5.1.11)
Верхнiй iндексµтут не є символом коварiантної величини, а означає
квантове число. Накладемо умову, щоб дана величина спостерiгалася
одночасно з власним значенням оператораˆ
Q, тобто

Q,ˆ
Q
1]−=0.(Д5.1.12)
Цiй умовi, як легко переконатися, буде задовольняти операторˆ
Q

виглядiˆ
Q
1=γ 5χνγν=γ 5χ,деχ– деякий 4-вектор, скалярний добу-
токякого з 4-вектором iмпульсу дорiвнює нулю. Тобто
[k,ˆ
Q
1]−=[k, γ 5χ] −=2γ 5(χ νkν)=0.(Д5.1.13)
Накладемо умовуˆ
Q
2
1=−χ νχν=1, тодi невiдомий 4-векторχуформi
χ=(χ 0,α
k)буде однозначно визначатися умовами
χ
k=0таχ
2=−1.(Д5.1.14)

Д5. Фермiони та фермiоннi поля447
Векторχотримав назву 4-вектора поляризацiї. Домноживши (Д5.1.11)
злiва наˆ
Q
1та врахувавши те, щоˆ
Q 2
1=1, знайдемо власнi значення
даного оператора:
ˆ
Q
2
1υµ
qk =µˆ
Q 1υµ
qk =µ 2υµ
qk ⇒υ µ
qk =µ 2υµ
qk ⇒µ=±1.(Д5.1.15)
Отже, стан фермi-частинки описується за допомогою двох рiвнянь:

(qk−m)υ
µ
qk =0
(γ 5χ−µ)υ µ
qk =0.(Д5.1.16)
Розкриємо фiзичний змiст нової характеристики фермiонних роз-
в’язкiв. Розглянемо спочатку випадок, коли частинка перебуває в станi
спокою. Тодi ї ї 4-iмпульс будеk=(m,0). Вiдповiдно, 4-векторχмож-
на представити у виглядi:χ=(0,
ξ),де
ξ— довiльний одиничний век-
тор
ξ
2=1(χ 2=−1). У цьому випадку система (Д5.1.16) зведеться
до простого вигляду:

(qγ
0−1)υ µ
qk =0
(−γ
5γ
ξ−µ)υ µ
qk =0,(Д5.1.17)
з якого випливає
−γ
0γ5γ
ξυ µ
qk =qµυ µ
qk.(Д5.1.18)
Враховуючи, що спiнова матриця якв представленнi Дiрака (0.25),
такi в кiральному представленнi (0.28) визначається як

Σ=
σ0
0σ
=−γ
0γ5γ,(Д5.1.19)
вираз (Д5.1.18) остаточно запишеться як

1
2
Σ
ξ
υ
µ
qk =qµ 2υ
µ
qk.(Д5.1.20)
Отже, для частинок(q=1)числоµвизначає проекцiю спiну
(±1/2) на довiльний напрямок
ξ. Фiзично це означає, що для вiльної
частинки в станi спокою ми завжди можемо вибрати такий напря-
мок у просторi, на який проекцiя спiну частинки буде мати визначене
значення. Вiдповiдно, ми можемо побудувати двi незалежнi спiнорнi

448Додатки
функцiї, що будуть вiдрiзнятися лише значенням проекцiї спiну на
обрану нами вiсь (напрямокз проекцiєю спiну+1/2задається век-
тором
ξ). Отже просторова частина 4-векторуχвизначає напрямок
спiну частинки в системi спокою.
При переходi в систему вiдлiку, в якiй фермiон рухається в певно-
му (але довiльно обраному) напрямку i має певне значення 4-iмпульсу
k, проекцiя спiну на вiсь
ξвже не буде мати певного значення, оскiль-
ки гамiльтонiан частинки з певним 4-iмпульсомkне комутує з опера-
тором
Σ
ξ.
Однакбезпосередньо можна переконатися, що для випадку масив-
них фермiонiв квантове число спiральностi (тобто проекцiя спiну на
напрямокiмпульсу) є iнтегралом руху ([ˆ
H,
Σν]
−=0,деˆ
Hвизначаєть-
ся (Д5.12)), однакне є лоренц-iнварiантним. Справдi, перейшовши в
систему вiдлiку, що рухається вздовж напрямку руху частинки, але
з бiльшою швидкiстю, ми отримаємо, що проекцiя спiну на напрямок
руху змiнить знак.
З наведених мiркувань одразу випливає, що для безмасових ча-
стинок, що рухаються зi швидкiстю свiтла, ситуацiя змiнюється i зна-
чення квантового числа спiральностi буде лоренц-iнварiантним iнте-
гралом руху. Випадокнульової маси фермiонiв є особливим i ми його
детально розглянемо пiсля введення поняття кiральностi.
Перейдемо тепер в систему вiдлiку, в якiй фермiон рухається вздо-
вж вектора
ξi має 4-iмпульсk=(k
0,
k), тодi векторχматиме вигляд 1:
χ=,
|
k|
m,k
0
m
k |
k|-
.(Д5.1.21)
У цьому випадку система (Д5.1.16) зводиться до

(qk
0γ0−qγ
k−m)υ µ
qk =0

γ
5γ0|
k|m −γ 5γ
k k0
m|
k| −µ
υ µ
qk =0.(Д5.1.22)
Виразившиk
0з першого рiвняння та пiдставивши в друге, отримаємо
−γ
0γ5γνυ µ
qk =qµυ µ
qk,або
1 2
Σν
υ
µ
qk =qµ 2υ
µ
qk,(Д5.1.23)
1Альтернативно, 4-векторχможна шукати у виглядiχ=(χ 0,α
k),деχ 0таα
знаходяться з умов (Д5.1.14).

Д5. Фермiони та фермiоннi поля449
деν=
k/|
k|є одиничним вектором, що напрямлений вздовж напрям-
ку руху. Отже, для частинок(q=1)числоµвизначає проекцiю спiну
на напрямокруху (±1/2) i має назву квантового числа спiральностi
1.
Частинки зµ=+1називаються частинками з правою поляризацiєю,
азµ=−1— з лiвою поляризацiєю.
Так i має було бути, оскiльки, ми з самого початку направляли
вектор iмпульсу вздовж вектора спiну. За цiєї умови проекцiя спiну
на напрямокруху є чiтко визначеною.
У загальному ж випадку, зi стану спокою частинкиp=(m,0),χ=
(0,
ξ)ми можемо перейти в систему вiдлiку, де фермiон має 4-iмпульс
k, але вектор
kне є паралельним вектору
ξ. Виконавши перетворення
Лоренца, отримаємо
χ=,
(
k
ξ)
m,
ξ+
k(
k
ξ) m(m+k 0)-
.(Д5.1.24)
У цьому випадку квантове число спiральностi вже не буде влас-
ним значенням оператора спiральностi. Усереднене значення проекцiї
спiну на довiльний напрямок, у тому числi i на напрямок руху, можна
отримати за допомогою матрицi густиниρ(4.9)[12]:
s=1 4k 0Tr[ργ 0
Σ] =(−1) 4k 0Tr[ργ 5γ].(Д5.1.25)
За допомогою наведеної формули, можна явно переконатися в тому,
що, якщо зафiксувати напрямки спiну
ξ(у системi спокою) та iм-
пульсу (нехай
ξне паралельний
k), то проекцiя спiну на напрямок
руху буде залишатися постiйною (вона не буде дорiвнювати±1/2), а
на будь-який iнший напрямок буде змiнюватися зi змiною значення
модуля iмпульсу.
Тепер можна отримати явний вигляд функцiй фермiонного поля.
Ми це зробимо для фермiонних станiв з чiтко визначеним числом
спiральностi. Для цього потрiбно в (Д5.1.23) пiдставити шуканi функ-
цiїυ
µ
qk згiдно з (Д5.1.7) i знайти невiдомiA kтаB −k .
1Впринципi, замiсть числаµми могли ввести додаткове квантове числоλяк
власне значення оператора спiральностi
Σν. Цей оператор комутує як зQ,такiз
гамiльтонiаном системи (Д5.12).

450Додатки
У представленнi Дiрака 1функцiїΨ µ
qk (x)при нормуваннi на об’єм
записуються як
Ψ
µ
+k (x)=1 2Vε
kυµ
+k e−ikx ,υ µ
+k = ε
k+mω µ ε
k−m(σν)ω µ

,
(Д5.1.26)
Ψ
µ
−k (x)=1 2Vε
kυµ
−k eikx ,υ µ
−k =−µ ε
k−m(σν)ω −µ ε
k+mω −µ

,
(Д5.1.27)
деm– маса частинки,ε

k= m2+
k 2,µ– квантове число спiрально-
стi,ν=
k/|
k|, а функцiїω
µмають вигляд
ω
+1 =
cos(θ/2)e −iϕ/2
sin(θ/2)e iϕ/2

,ω −1 =
−sin(θ/2)e −iϕ/2
cos(θ/2)e iϕ/2

(Д5.1.28)
i властивостi, в яких легко явно переконатися:

µ)+ωµ=δ µ, µ ;(σν)ω µ=µω µ;iσ 2(ω µ)∗=−µω −µ ,
(Д5.1.29)
деθ, ϕзадають напрямоквектора
kу cферичнiй системi вiдлiку.
Зазначимо важливi спiввiдношення для одночастинкових розв’язкiв:
¯ υ
µ
qk υµ
qk=2mq δ q,q δµ,µ ,(Д5.1.30)

q,µ
qυ µ
qk, α ¯ υµ
qk, β =2mδ α,β ,(Д5.1.31)
деα, β– номер компоненти фермiонної функцiї.
Отже, загальний розв’язок(Д5.1.7) рiвняння Дiрака насправдi має
вигляд
Ψ(x)=
∞

k=−∞

µ=±1
1 2Vε
k
!
fk,µ υµ
ke−ikx +f −k,µ υµ
−k e+ikx "
(Д5.1.32)
i є суперпозицiєю розв’язкiв з рiзними частотами та рiзними значен-
нями числа спiральностi. Кожному окремому доданку зiставляється
1Для отримання функцiй у кiральному представленнi достатньо виконати пе-
ретворенняΨ
Кiр =SΨ Дiр ,деS-матриця задана на с.17.

Д5. Фермiони та фермiоннi поля451
одночастинковий розв’язок. Розв’язок з додатною енергiєю (q=+1)
вiдповiдає частинцi з 4–iмпульсомkта проекцiєю спiну на напрямок
рухуµ, наприклад, електронуΨ
ел(x)=Ψ
µ
+k (x). Розв’язку з вiд’ємною
енергiєю (q=−1), виконавши процедуру зарядового спряження, мож-
на зiставити розв’язокдля частинки зk
0>0i протилежним зарядом,
наприклад, позитрона
Ψ
поз(x)=ˆ

µ
−k (x)=ˆ
U C

Ψµ
−k (x) T,(Д5.1.33)
деˆ
C– оператор зарядового спряження, дiя якого на фермiонну функ-
цiю зводиться до добутку матричного оператораU
C на транспонова-
ну дiраковськи спряжену функцiю. У довiльному представленнiγ-
матриць матричний операторˆ
U
C має задовольняти таким властиво-
стям:
ˆ
U
C(γµ)Tˆ
UC−1 =−γ µ,ˆ
U +

UC=1.(Д5.1.34)
У стандартному та кiральному представленнiγ-матриць матричний
операторU
Cмає виглядˆ
U C=−iγ 2γ0,тодi
Ψ
поз(x)=−iγ
2γ0
Ψµ
−k (x) T=−iγ 2Ψ∗µ
−k (x)(Д5.1.35)
За допомогою спiввiдношень (Д5.1.29) можна явно виконати про-
цедуру зарядового спряження функцiй (Д5.1.27) i побачити, що пози-
троннi функцiї спiвпадають з електронними
1:
Ψ
поз(x)=ˆ

µ
−k (x)=Ψ µ
k(x).(Д5.1.36)
Отже, квантове число спiральностi дорiвнює знаку проекцiї спiну на
напрямокруху
2як для частинки, так i для античастинки.
Д5.2. Кiральнi стани фермiонiв
Якщо вибратиγ-матрицi в кiральному представленнi (0.28), (0.29),
то у фермiоннiй функцiї можна видiлити двi так званi двокомпонентнi
1Саме для цього в (Д5.1.27) був штучно введений фазовий множник−µвозна-
ченнiυ µ
−k . 2У випадку, коли iмпульс частинки дорiвнює нулю, все сказане залишається в
силi, але квантове числоµдорiвнює знаку проекцiї спiну не на напрямок руху, а
на довiльний, фiксований напрямок.

452Додатки
вейлевськi складовiΨ LтаΨ R:
Ψ(x)=
Ψ
L(x)
Ψ
R(x)
,(Д5.2.1)
що при перетвореннях неоднорiдної групи Лоренца (трансляцiї, про-
сторовi повороти та лоренцевi бусти) будуть перетворюватися неза-
лежно (не будуть змiшуватися мiж собою) внаслiдокдiагональностi
вiдповiдних матриць
Σта α(див. (Д2.4), (Д2.6)). В iнших представ-
ленняхγ-матриць функцiяΨ(x)також буде мiстити двi незалежнi в
такому сенсi компоненти, однак цей факт не буде таким очевидним.
У довiльному представленнiγ-матриць незалежнi компоненти фер-
мiонної функцiї можна видiлити за допомогою проекцiйних опера-
торiв
1
ˆ
PL=1−γ
5
2,ˆ
P R=1+γ
5
2,(Д5.2.2)
для яких виконуються спiввiдношення
ˆ
P
L+ˆ
P R=ˆ
I;ˆ
P Lˆ
PL=ˆ
P L;ˆ
P Rˆ
PR=P R;ˆ
P Lˆ
PR=ˆ
P Rˆ
PL=0.(Д5.2.3)
Тодi незалежними компонентами хвильової функцiї будутьΨ
L=ˆ
P LΨ,
таΨ
R=ˆ
P RΨ.
ФункцiїΨ
L(x)таΨ R(x)є власними функцiями оператора кiраль-
ностiγ 5.Якщоγ 5Ψ=−Ψ, то це функцiяΨ L(x)з лiвою кiральнiстю

P
+ΨL=0). Якщоγ 5Ψ=+Ψ, то це функцiяΨ R(x)з правою кiраль-
нiстю (ˆ
P
−ΨR =0).
У кiральному представленнi проекцiйнi оператори та функцiїΨ
L
таΨ Rмають вигляд:
ˆ
P
−=
I0
00

P +=
00
0I
;(Д5.2.4)
Ψ=
Ψ
L
ΨR


P
−Ψ=
Ψ L
0

P +Ψ=
0
Ψ R

.(Д5.2.5)
У представленнi Дiрака, вiдповiдно, маємо
ˆ
P
−=1 2
I−I
−II

P +=1 2
II
II
;(Д5.2.6)
1Зазначимо, що можна зустрiти альтернативне позначення для проекцiйних
операторiвˆ
P
−=ˆ
P L,ˆ
P +=ˆ
P R, що явно вказує на знак перед матрицеюγ 5.

Д5. Фермiони та фермiоннi поля453
Ψ=
Ψ 1
Ψ2


P
−Ψ=1 2
Ψ
1−Ψ 2
−(Ψ 1−Ψ 2)

P +Ψ=1 2
Ψ
1+Ψ 2
Ψ1+Ψ 2

.
(Д5.2.7)
Яклегко побачити, функцiїΨ
LтаΨ R в кожному з представлень
справдi є незалежними.
Зауважимо, що оператор кiральностi для масивних частинок не є
iнтегралом руху ([ˆ
H, γ
5]− =0), але його значення є лоренц-iнварiант-
ною величиною. Для безмасових частиноккiральнiсть є яклоренц-
iнварiантною величиною, такi iнтегралом руху ([ˆ
H, γ
5]− =0,деˆ
H
визначається згiдно з (Д5.12)).
Запишемо ряд корисних спiввiдношень для кiральних функцiй:
Ψ=Ψ
L+Ψ R,¯
Ψ=¯
Ψ L+¯
Ψ R,(Д5.2.8)
Ψ
L=ˆ
P −Ψ,Ψ R=ˆ
P +Ψ,(Д5.2.9)
¯
Ψ
L=(Ψ L)+γ0=Ψ +1−γ 5

0=Ψ +γ01+γ 5
2=¯
Ψˆ
P +,¯
Ψ R=¯
Ψˆ
P − (Д5.2.10)
¯
Ψ
LΨL=¯
Ψ RΨR=0⇒¯
ΨΨ =¯
Ψ RΨL+¯
Ψ LΨR,(Д5.2.11)
¯
Ψ
LγµΨR=¯
Ψ RγµΨL=0⇒¯
Ψγ µΨ=¯
Ψ RγµΨR+¯
Ψ LγµΨL,(Д5.2.12)
¯
Ψ
LΨR=¯
Ψˆ
P +ˆ
P+Ψ=¯
Ψˆ
P +Ψ,¯
Ψ RΨL=¯
Ψˆ
P −Ψ,(Д5.2.13)
¯
Ψ
LγµΨL=¯
Ψˆ
P +γµˆ
P−Ψ=¯
Ψγ µˆ
P−ˆ
P−Ψ=¯
Ψγ µˆ
P−Ψ,(Д5.2.14)
¯
Ψ
RγµΨR=¯
Ψγ µˆ
P+Ψ.(Д5.2.15)
Д5.3. Безмасовi фермiони. Нейтрино
Якщо зробити перехiдm→0у виразах (Д5.1.26), (Д5.1.27), то
отримаємо, що для безмасових фермiонiв iснують стани з додатною та
вiд’ємною енергiями та двома можливими значеннями проекцiї спiну в
кожному випадку. Однак експерименти за участi нейтрино
1вказують,
що у нейтрино спiральнiсть набуває лише одного значення(−1),ав
антинейтрино(+1). Це справедливо якдля електронного, такi для
1Довгий час нейтрино вважалася безмасовими частинками. Як безмасовi вони
входять у лагранжiан стандартної моделi. Однак у 1998 р. було експериментально
доведено наявнiсть у нейтрино дуже малої маси [22]. Сучасне обмеження на суму
мас електронного, мюонного таτнейтрино<0.4−1еВ[23]. У даному роздiлi
наведений теоретичний опис саме для безмасових частинок в рамках стандартної
моделi.

454Додатки
мюонного таτ-нейтрино. Цей факт знаходить своє вiдображення в
лагранжiанi стандартної моделi.
Щоб розiбратися в цьому, будемо шукати розв’язок рiвняння Дiра-
ка у виглядi суперпозицiї
Ψ(x)=
k
fkΨk(x)=
k
fkΨke−ikx ,(Д5.3.1)
деf
k– константи розкладу, та запишемо рiвняння (Д5.1) явно, вибрав-
шиγ-матрицi вкiральному представленнi:
,
−mi∂
0+iσ

i∂
0−iσ
∂−m-
Ψ k(x)=0,
∂=(∂ 1,∂ 2,∂ 3).(Д5.3.2)
У цьому представленнi видно, що приm→0рiвняння на вейлевськi
компоненти з лiвою та правою кiральнiстюΨ
k(x)=
ξ L,k
ηR,k

e
−ikx ,
(k
µ=(E,
k)) стають незалежними 23 :

(i∂
0+iσ
∂)η R,k e−ikx =0
(i∂
0−iσ
∂)ξ L,k e−ikx =0⇒
(E−σ
k)η
R,k e−ikx =0
(E+σ
k)ξ
L,k e−ikx =0,(Д5.3.3)
деE=±k
0=±|
k|.
Для розв’язкiв з додатною енергiєю(E=|
k|)отримаємо

σνη
R,k =+η k ⇒η R,k ∼ω (+)
σνξ L,k =−ξ L,k ⇒ξ L,k ∼ω (−) ,ν=
k |
k|.(Д5.3.4)
Отже, для нейтрино (у припущеннi, що вони безмасовi фермi частин-
ки) значення кiральностi та спiральностi частинки є однаковими
3.
Оскiльки спiральнiсть нейтрино в стандартнiй моделi(−1),торе-
алiзується лише нижнє рiвняння на компонентуξ
L,k ∼ω (−) , тобто
функцiя нейтрино з 4-iмпульсомkмає виглядΨ
ν(x)=Ψ L(x):
2Саме тому в безмасовому випадку, кiральнiсть є iнтегралом руху.3Незалежнi рiвняння на окремi компоненти безмасового спiнорного поля були
вперше отриманi Германом Вейлем в 1929 роцi. Кiральне представленняγ-матриць
також називають представленням Вейля.
3Визначення спiральностi залишається тим самим, що i в масивному випадку:
σνfµ
qk=qµf µ
qk

Д5. Фермiони та фермiоннi поля455
Ψν(x)=Ψ L(x)=Ψ µ=−1
k (x)=
ξ L,k
0
e −ikx =
=1
√2Vε

2εω (−)
k
0
e
−ikx =1 √2Vεν
−1
k e−ikx .(Д5.3.5)
Зазначимо, що для безмасових правих фермiонiв хвильова функцiя
матиме вигляд
Ψ
R(x)=Ψ µ=+1
k (x)=
0
η R,k

e −ikx =
=1
√2Vε
0
√ 2εω (+)
k

e −ikx =1 √2Vεν
+1
k e−ikx .(Д5.3.6)
В останнiх виразах ми використали нормування на об’єм, використа-
ли позначенняε=k
0та записали функцiю у виглядi, подiбному до
(Д5.1.26), (Д5.1.27).
Вiдомо, що спiральнiсть антинейтрино(+1). За аналогiєю з ма-
сивними фермiонами (див. (Д5.1.36)) функцiя антинейтрино має бути
отримана дiєю операцiї зарядового спряження на функцiю з вiд’ємною
енергiєю i має бути пропорцiйноюω
(+) . З двох наявних функцiй для
вiд’ємних енергiйΨ µ=±1
−k (x)функцiю антинейтрино можна отримати
зΨ µ=1
−k (x):
Ψ
µ=1
−k (x)=1 √2Vε

2εω (−)
k
0
e
+ikx =1 √2Vεν
+1
−k e+ikx ,
Ψ
˜ ν(x)=ˆ
CΨ µ=1
−k (x)=1 √2Vε
0
√ 2εω (+)
k

e −ikx ,(Д5.3.7)
де ми використали оператор зарядового спряженняˆ
CΨ(x)=−iγ
2Ψ∗(x)
з матрицеюγ 2у кiральному представленнi та спiввiдношення (Д5.1.29).
Слiд звернути увагу на те, що функцiя антинейтриноΨ
˜ ν(x)=
ˆ
CΨ µ=1
−k (x)мiстить лише нижню компоненту (є функцiєю з правою
кiральнiстю), а функцiя нейтрино – верхню (лiва кiральнiсть). А в ма-
сивнiй теорiї функцiї античастинок тотожно дорiвнювали функцiям
частинок(Д5.1.36). Тобто ми порушили iнварiантнiсть теорiї вiдносно
процедури зарядового спряження. Iнварiантнiсть теорiї буде вiднов-
лена по вiдношенню до одночасного перетворення зарядового спря-
ження та просторової iнверсiї. Справдi, враховуючи дiю оператора
просторової iнверсiїˆ
PΨ(x
0,x)=γ 0Ψ(x 0,−x)та (Д5.3.7), отримаємо

456Додатки
ˆ

CΨ µ=1
−k (x)=ˆ
P1 √2Vε
0
√ 2εω (+)
k

e −ikx =
=1
√2Vε

2εω (+)
k
0
e
−ik 0x0−i
k x (Д5.3.8)
та, змiнивши у вiдповiдному доданку в сумi (Д5.3.1)
k→−
k,
ˆ


µ=1
−k (x)=1 √2Vε

2εω (−)
k
0
e
−ikx =Ψ µ=−1
k (x).(Д5.3.9)
З явного вигляду функцiйΨ
µ=−1
k (x)таΨ µ=1
−k (x)видно, що для ней-
трино загальний розв’язок(Д5.3.1) складатиметься лише iз функцiй
з лiвою кiральнiстю:
Ψ
L(x)=
k

f
kΨµ=−1
k (x)+f −k Ψµ=1
−k (x)
=
=
k
[fkΨL,k (x)+f −k ΨL,−k (x)].(Д5.3.10)
Цей результат не залежить вiд вибору представленняγ-матриць.
Слiд зазначити, що отриманi функцiї (Д5.3.5), (Д5.3.7)можнабу-
ло отримати iз загального розв’язку рiвняння Дiрака для масивної
частинки, в якому слiд покластиm=0та подiяти на нього проекту-
вальним операторомˆ
P
L. Загальний розв’язок(Д5.3.10) для нейтрино
також дорiвнюєˆ
P
LΨ(x)/ m=0 ,деΨ(x)– загальний розв’язокдля ма-
сивних фермiонiв (Д5.1.32). У записi нейтринних функцiй черезˆ
P

певнi переваги, зокрема, ними можна оперувати згiдно зi спiввiдно-
шеннями (Д5.2.8)–(Д5.2.15).
Д5.4. Фермiонне поле
Масивне фермiонне поле
Функцiю Лагранжа для фермiонного поля ми будемо використо-
вувати у виглядi
L(x)=¯
Ψ(x)(iγ
µ∂µ−m)Ψ(x).(Д5.4.1)
Пiсля процедури вторинного квантування оператори фермiонного
поля можна записати у виглядi:

Д5. Фермiони та фермiоннi поля457










⎩ˆ
Ψ(x)=
µ=±1∞


k=−∞
1 2Vε
k

ˆ a

k,µ υµ
ke−ikx +ˆ
b +

k,µ υµ
−k eikx 
,
ˆ
¯
Ψ(x)=
µ=±1∞


k=−∞
1 2Vε
k

ˆ a +

k,µ ¯ υµ
keikx +ˆ
b
k,µ ¯ υµ
−k e−ikx 
,
(Д5.4.2)
деε

k=k 0= 
k2+m 2, функцiїυ µ
qk є одночастинковими розв’язками
рiвняння (Д5.1) i мають вигляд (Д5.1.26), (Д5.1.27). Операториˆ a +

k,µ
таˆ a
k,µ (ˆ
b+

k,µ таˆ
b
k,µ ) є вiдповiдно операторами народження та знищен-
ня частинки (античастинки) з iмпульсом
k, числом спiральностiµта
зарядомQ=1 (Q=−1).
Польовi оператори задовольняють антикомутацiйним спiввiдношен-
ням:
[ˆa

k,µ,ˆ a+

k,µ ]+=δ µ,µ δ
k,
k ,[ˆ
b
k,µ,ˆ
b+

k,µ ]+=δ µ,µ δ
k,
k .(Д5.4.3)
Усi iншi варiанти комутаторiв двох операторiв з числаˆ a,ˆ a
+,ˆ
b,ˆ
b +
дорiвнюють нулю.
Причинна функцiя Грiна фермiонного поля:
G
αβ (x−x )=i0|ˆ

Ψ α(x)ˆ
¯
Ψ β(x )|0=
= lim
→+0
1
(2π) 4∞

−∞
d4k(m+k) αβ
m2−k 2−ie
−ik(x−x )
⇒G αβ (k) = lim →+0
(m+k) αβ
m2−k 2−i,(Д5.4.4)
деα, β– номер компоненти фермiонної функцiї; перекреслений сим-
вол векторної величини означає згортку вiдповiдного вектора зγ-
матрицями, тобтоa=
3
ν=0
aνγν.
Ми будемо також використовувати факт, що вторинно квантованi
функцiї антикомутують наc-функцiю:

Ψ
α(x),ˆ
¯
Ψ β(x )]+=S αβ (x−x ).(Д5.4.5)

458Додатки
Безмасове поле нейтрино
Лагранжiан безмасового нейтринного поля можна отримати з ла-
гранжiана (Д5.4.1), в якому слiд занулити масу та накласти умо-
вуˆ
P
+Ψ=0(в теорiю будуть входити лише лiвi поля). Позначимо
ν(x)=ˆ
P
−Ψ(x)=Ψ L(x), тодi лагранжiан нейтринного поля матиме
вигляд
L(x)=¯ν(x)iγ
µ∂µν(x).(Д5.4.6)
Пiсля процедури вторинного квантування оператори нейтринного
поля можна записати у виглядi:










⎩ˆ ν(x)=
∞

k=−∞
1 2Vε
k

ˆ a

k,−1 ν−1
k e−ikx +ˆ
b +

k,+1 ν+1
−k eikx 
,
ˆ
¯ ν(x)=
∞

k=−∞
1 2Vε
k

ˆ a +

k,−1 ¯ ν−1
k eikx +ˆ
b
k,+1 ¯ ν+1
−k e−ikx 
,(Д5.4.7)
деε

k=k 0=|
k|;ν ±
±k визначенi в (Д5.3.5), (Д5.3.7); операториˆ a +

k,−1 та
ˆ a

k,−1 (ˆ
b+

k,+1 таˆ
b
k,+1 ) є операторами народження та знищення нейтрино
(антинейтрино) з iмпульсом
kта вiдповiдним числом спiральностi.
Польовi оператори задовольняють антикомутацiйним спiввiдношен-
ням (Д5.4.3). Вираз для причинної функцiї Грiна нейтринного поля
легко отримати, згадавши, щоˆ ν(x)=ˆ
Ψ
L(x)/ m=0 =ˆ
P −ˆ
Ψ(x)/ m=0 та
ˆ
¯ ν(x)=ˆ
¯
Ψ
L(x)/ m=0 ==ˆ
¯
Ψ(x)/ m=0 ˆ
P+,деˆ
Ψ(x),ˆ
¯
Ψ– вторинно квантованi
функцiї (Д5.4.2):
G
(ν)
αβ (x−x )=i0|ˆ
Tˆ ν α(x)ˆ
¯ ν β(x )|0=
=(ˆ
P
−)αα i0|ˆ

Ψ α(x)ˆ
¯
Ψ β(x )|0(ˆ
P +)ββ=(ˆ
P −G(x−x )ˆ
P +)αβ /m=0 .
(Д5.4.8)
деα, β– номер компоненти фермiонної функцiї,G(x−x
)– причинна
функцiя Грiна фермiонного поля (Д5.4.4).
Зауважимо, що замiнивши функцiїν(x)наˆ
P
−Ψ(x)/ m=0 та¯ ν(x)на
¯
Ψ(x)/
m=0 ˆ
P+, можна переписати лагранжiан через звичайнi функцiї
Ψ,¯
Ψ, а операториˆ
P
−,ˆ
P +просто модифiкують його явний вигляд.

Додаток 6. Стан вакууму та амплiтуда
стану в представленнi Фока
Стан вакууму
Розглянемо динамiчну систему, що складається з декiлькох типiв
квантованих невзаємодiючих полiв
1, для яких можна ввести вторин-
ноквантованi функцiї.
Визначимо амплiтуду стану вакууму|0для даної системи якста-
ну, в якому вiдсутнi частинки. Тодi енергiя та iмпульс вакууму мають
дорiвнювати нулю.
Дiя операторiв знищення призводить до зменшення енергiї в си-
стемi. Якщо ми домовимось, що енергiї, меншої вiд нульової в системi
не може бути, то ми приходимо до умови
a

k,i |0=0та спряженої до неї0|a +

k,i =0,(Д6.9)
деa

k,i (a+

k,i )— оператори народження (знищення) частинки з певним
значення iмпульсу
kта iншими квантовими числами (проекцiя спiну
на видiлену вiсь, поляризацiя i т.д.), сукупнiсть яких ми позначили
лiтероюi. Iнодi для спрощення запису ми позначатимемо стан
k, i
однiєю лiтероюi. Домовимось також вибрати нормування вакуумного
стану у виглядi
0|0=1.(Д6.10)
Рiвняння (Д6.9)та(Д6.10) повнiстю визначають вакуумний стан.
Амплiтуда одночастинкового стану
Амплiтуда стану для однiєї частинки, що перебуває в станi з визна-
ченим iмпульсом
k, енергiєю та iншими квантовими числамиi,буде
|1=a
+

k,i |0≡a +
i|0.(Д6.11)
при цьому для реальної частинки має виконуватись дисперсiйне спiввiд-
ношенняk
2=k 2
0−
k 2=m 2. Норма цього стану визначається стан-
дартним чином як1|1. Врахувавши, щоa
ia+
i=δ i,i±a +
iai(знак±
1Це справедливо для полiв у представленнi взаємодiї, процеси за участi яких
ми розглядали.

460Додатки
залежить вiд того, чи є частинка бозоном, чи фермiоном), i врахував-
ши (Д6.9), (Д6.10), отримаємо
1|1=0|a
ia+
i|0=0|δ i,i|0=1.(Д6.12)
Амплiтуда стану для однiєї частинки, що перебуває в станi, що є
суперпозицiєю станiв з визначеним iмпульсом
k, енергiєю та iншими
квантовими числамиi,буде
|1=

k,i
C(
k, i)a +

k,i |0,(Д6.13)
деC(
k, i)— коефiцiєнти розподiлу в суперпозицiї та для кожного
k
має виконуватисьk
2=m 2. Норма цього стану буде
1|1=

k,i,
k ,i
C∗(
k,i)C(
k, i)0|a
k,ia+

k,i |0=
=

k,i,
k ,i
C∗(
k,i)C(
k, i)δ
ki,
k i=

k,i
|C(
k, i)| 2.(Д6.14)
Вимагаючи, щоб норма амплiтуди стану дорiвнювала одиницi, отри-
маємо обмеження на коефiцiєнти функцiй у суперпозицiї


k,i
|C(
k, i)| 2=1.(Д6.15)
Вищенаведене стосувалося якбозонiв, такi фермiонiв. Однакдля
опису багаточастинкових станiв iснують певнi вiдмiнностi.
Амплiтуда багаточастинкового стану.
Випадок бозе-частинок
Зазначимо, що в одному квантовому станi не заборонено перебува-
ти декiльком бозе-частинкам. Якщо цей стан має визначений iмпульс,
енергiєю та iншi квантовi числа, то для описуNчастинокпотрiбно
подiятиNразiв оператором народження (для визначеностi будемо
бозоннi оператори позначати за допомогою лiтериb):
|N=βb
+
jb+
j...b +
j
? @A B N
|0,(Д6.16)

Д6. Представлення Фока461
деβнормувальний коефiцiєнт.
Норма стану
N|N=β
20|b jbj...b j ? @A B N
b+
jb+
j...b +
j
? @A B N
|0=β 2N!.(Д6.17)
Вiдповiдно, вимагаючи одиничної норми стану знаходимо
|N=1
√N!b
+
jb+
j...b +
j
? @A B N
|0.(Д6.18)
При такому визначеннi норми стану значення енергiї в системi, що
складається зNчастинокз iмпульсом
kта однаковими фiксованими
iншими квантовими числами, буде
E=N|ˆ
E|N=N|
i
εib+
ibi|N=
=1
N!0|b jbj...b j ? @A B N
,

i
εib+
ibi
-
b
+
jb+
j...b +
j
? @A B N
|0=Nε j,(Д6.19)
деε
j— енергiя однiєї частинки в станij≡
k, j, а також автоматично
(згiдно з комутацiйними правилами для бозонних операторiв) вико-
нуються такi спiввiдношення:
b
j|N j= Nj|N j−1;b +
j|N j= Nj+1|N j+1;ˆ
N|N j=N j|N j;
[b
jb+
j−b +
jbj]|N j=|N j,(Д6.20)
де|N
j—стансистемизN jоднакових частинок у станij(Д6.18);
ˆ
N=
kb+
kbk— оператор кiлькостi частинок у системi, а остання
рiвнiсть пiдтверджує комутацiйний закон перестановки для бозонних
операторiв.
Нехай ми маємо систему зNоднакових частинок, що перебувають
у станах з визначеними числамиi. При цьому в станi з певним кван-
товим числомiперебуваєN
iчастинок,N= iNi. Амплiтуда стану
такої системи буде
|N=
i
ˆ
Ai|0,ˆ
A i=1 √Ni!b
+
ib+
i...b +
i
? @A B Ni
,(Д6.21)

462Додатки
а енергiя системи буде сумою енергiй всiх частинок
E=N|ˆ
E|N=N|
i
εib+
ibi|N=
i
Niεi.(Д6.22)
Зазначимо, що порядокоператорiв у визначеннi (Д6.21) є довiль-
ним. Оскiльки бозоннi оператори комутують, то перестановка опера-
торiв народження не призведе до змiн у фiзичнiй системi.
У випадку, коли система мiститьNоднакових частинок, що не
перебувають у станi з визначеним iмпульсом та iншими квантовими
числами
|N=

k1,i1,
k2,i2,...,
k N,iN
F(
k 1,i1,
k2,i2,...,
k N,iN)b+

k
1,i1b+

k
2,i2...b +

k
N,iN|0,
(Д6.23)
деF(
k
1,i1,
k2,i2,...,
k N,iN)— вагова функцiя, що описує розподiл
частинокпо iмпульсах i має нормуватися згiдно з умовоюN|N=1.
Сума ведеться за всiма дозволеними значеннями iмпульсiв (k
2=m 2)
i за всiма iншими квантовими числами. Оскiльки це бозе-частинки, то
значення змiнних пiдсумовування можуть спiвпадати мiж собою для
рiзних операторiв у добутку.
Амплiтуда багаточастинкового стану.
Випадок фермi-частинок
Яквiдомо з принципу Паулi, у станiз однаковими квантовими чис-
лами може перебувати лише одна фермi-частинка. Завдяки тому, що
фермiоннi оператори народженняf
+
i (знищенняf i) антикомутують,
принцип Паулi виконується автоматично. Справдi, якщо ми захочемо
записати стан, з певними квантовими числамиi, в якому перебувають
два фермiони, то отримаємо
|2=f
+
if+
i|0=/[f +
i,f +
i]+=0/=−f +
if+
i|0,(Д6.24)
що вказує на неможливiсть iснування такого стану.
Для опису системиNфермiонiв, що не перебувають в одному станi
та мають невизначене значення енергiї-iмпульсу можна застосовувати
(Д6.23), в якому слiд замiнити бозоннi оператори на фермiоннi i ви-
ключати доданки, де два (або бiльше) фермiонiв будуть в однаковому
станi.

Д6. Представлення Фока463
Зауважимо, що порядокоператорiв у наведеному визначеннi станiв
не є зовсiм довiльним. Внаслiдокантикомутацiї фермiонних опера-
торiв змiна порядку операторiв може привести до змiни знака у визна-
ченнi стану. У випадку, коли усереднення вiд оператора певної фiзич-
ної величини (ˆ
F) береться за дiагональними станамиN|ˆ
F|Nможли-
ва змiна знака стану системи не приведе до змiни значення фiзичної
величини. У випадку, коли усередненнявiд оператора певної фiзичної
величини береться за недiагональними станамиN
|ˆ
F|Nрозташуван-
ня операторiв у станах|N та|Nмає бути таким, щоб виконувалась
умоваN |N=δ N,N .
Головне запитання, яке може виникнути, є таким. Наскiльки мають
вiдрiзнятися iмпульси двох фермiонiв, щоб вважати їх приналежними
до рiзних квантових станiв i не суперечити принципу Паулi? Згiдно з
(1.35), вiдповiднi проекцiї iмпульсiв мають вiдрiзнятися на2π/L,деL—
характерний розмiр системи, що визначає спектр фермiонiв.
Максимальна кiлькiсть станiв, що мають енергiю меншу вiдE,буде
очевидно,
G(E)=gV
(2π) 3

k(E)

k(E
min )d3

k=g4π 3V(2π) 3|

k(E)| 3,
де ми вважали, щоE=E(|

k|);g— фактор виродження (кiлькiсть спi-
нових станiв),V— об’єм системи. Фактично, це максимальна кiлькiсть
фермiонiв у системi, чия енергiя є меншою заE. Звертаємо увагу, що
ця величина прямо пропорцiйна об’єму системи та залежить вiд явного
вигляду дисперсiйного спiввiдношення.
Максимальна кiлькiсть станiв, що мають iмпульс менший за|
p|:
G(|
p|)=g4π
3V(2π) 3|
p| 3.
Корисною характеристикою системи є також максимальна густина
станiв поблизу iмпульсу|
p|по вiдношенню до об’єму системи:
g(
p
2)=1 VdG(|
p|) d|
p|=4πg (2π) 3|
p| 2.

464Лiтература
ЛIТЕРАТУРА
1.Ахиезер А.И.Квантовая электродинамика / А.И. Ахиезер, В.Б.
Берестецкий. – М.: Наука, 1981.
2.Блум К.Теория матрицы плотности и ее приложения / К. Блум;
пер. с англ. под ред. Д.Н. Зубарева. – М.: Мир, 1983.
3.Боголюбов Н.Н.Введение в теорию квантованных полей / Н.Н.
Боголюбов, Д.В. Ширков. – М.: Наука, 1976.
4.Боголюбов Н.Н.Квантовые поля / Н.Н. Боголюбов, Д.В. Шир-
ков. – М.: Наука, 1980.
5.Го р б у н о в Д . С .Введение в теорию ранней вселенной / Д.С. Гор-
бунов, В.А. Рубаков. – М.: изд-во ИЯИ РАН, 2007.
6.Ициксон К.Квантовая теория поля / К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер.
В 2 т. Т.I. – М.: Мир, 1984.
7.Казаков Д.И.Суммирование асимптотических рядов в кванто-
вой теории поля / Д.И. Казаков, Д.В. Ширков. – Дубна: ОИЯИ,
1980.
8.Казаков Д.И.Радиационные поправки, расходимости, регуля-
ризация, ренормировка, ренормгрупа и все-такое в примерах в
квантовой теории поля / Д.И. Казаков, Д.В. Ширков. – Дубна:
ОИЯИ, 2008.
9.Ландау Л.Д.Теоретическая физика. В 10 т. Т.I Класическая ме-
ханика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – М.: Физматлит, 1988.
10.Ландау Л.Д.Теоретическая физика. В 10 т. Т.II Теория поля /
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – М.: Физматлит, 1988.
11.Ландау Л.Д.Теоретическая физика. В 10 т. Т.III Квантовая ме-
ханика. Нерелятивистская теория / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.
– М.: Физматлит, 1988.
12.Ландау Л.Д.Теоретическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лиф-
шиц. В 10 т. Т.IV Квантовая електродинамика / В.Б. Берестец-
кий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. – М.: Физматлит, 1989.

Лiтература465
13.Наумов Д.В.Фейнмановские диаграмы для экспериментаторов
/ Д.В. Наумов. – Дубна: Лаборатория Ядерных проблем ОИЯИ,
2008.
14.Окунь Л.Б.Лептоны и кварки / Л.Б. Окунь. – М.: Физматлит,
1990.
15.Окунь Л.Б.Слабое взаимодействие элементарных частиц / Л.Б.
Окунь. – М.: Физматлит, 1963.
16.Пескин М.Е.Введение в квантовую теорию поля / М.Е. Пескин,
Д.В. Шрёдер. – Ижевск: РХД, 2001.
17.Ребенко О.Л.Основи сучасної теорiї взаємодiючих квантованих
полiв / О.Л. Ребенко. – К.:Наукова думка, 2007.
18.Райдер Л.Квантовая теория поля / Л. Райдер. – Волгоград:
ПЛАТОН, 1998.
19.Ситенко О.Г.Теорiя розсiяння / О.Г. Ситенко. – К.: Либiдь,
1993.
20.Строковский Е.А.Лекции по основам кинематики элементар-
ных процессов / Е.А. Строковский— М.: Университетская книга,
2010.
21.Швебер С.Введение в релятивистскую квантовую теорию поля
/ С. Швебер. – М.: изд-во Ин. Лит., 1963.
22.American Super-K[Електронний ресурс]. – Режим доступу:
http://neutrino.phys.washington.edu/
˜superk/
23.Particle Data Group[Електронний ресурс]. – Режим доступу:
http://pdg.lbl.gov
24.Bilenky S.M.Massive neutrinos and neutrino oscillations / S.M.
Bilenky and S.T. Petcov // Rew. Mod. Phys., 1987. – Vol.59, №3,
Part 1.
25.Greiner W.Quantum electrodynamics / W. Greiner and J.
Reinhardt // Springer, 2003.

466Лiтература
26.Greiner W. and Reinhardt J.Field quantization / W. Greiner and
J. Reinhardt // Springer, 1996.
27.Radovanovic V.Problem Book Quantum Field Theory / V.
Radovanovic // Springer, 2006.
X