лекционный материал на 21.11

Формат документа: pdf
Размер документа: 0.52 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

ИсследоZgb_nmgdpbbkihfhsvxijhbaодной
Достаточное услоb_озрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом
интервале.
Достаточное услоb_m[uания функции.


Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция f(x) убывает на этом интервале.
Определение:
x0 называется критической точкой функции f(x), если
1) x 0 – внутренняя точка области определения f(x) ;
2) f'(x 0)=0 или f'(x 0) не существует.
Необходимое услоb_wdklj_fmfZ:
Если x 0– точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой
данной функции.
Достаточное услоb_wdklj_fmfZ:
Если при переходе через точку x 0 производная функции меняет знак, то x 0 – точка
экстремума функции f(x).

Примеры экстремумо:

Схема исследоZgbynmgdpbb.
1. Найти область определения функции.
2. Про_jblvg_yляется ли функция четной или нечетной; про_jblvlZd`_g_
яey_lkyebhgZi_jbh^bq_kdhc.
3. Найти, если это hafh`ghlhqdbi_j_k_q_gby]jZnbdZnmgdpbbkhkyfb
координат и промежутки знакопостоянстZnmgdpbbBgh]^Z^eymlhqg_gby
построения графика следует найти д_ljb^hihegbl_evgu_lhqdb.
4. Найти произh^gmxnmgdpbbb__djblbq_kdb_lhqdb.
5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
6. Построить график функции, использ уя полученные результаты исследоZgby.
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на
отрезке [a; b].
1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;
2. Найти значения функции в тех критических точках, которые при надлежат интервалу
(a,b) ;
3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Рекомендации к теме
Проработав данную тему, Вы должны научиться применять производную для
исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших
и наим еньших значений функций. Рассмотрим решение подобных задач на следующих
примерах. Обратите внимание, что решение всегда начинается с нахождения
области определения исследуемой функции.
Примеры.
1. Найти промежутки убывания и возрастания функции

Решение:

4)
(для определения знаков производной использовали метод интервалов)
От_l: при функция убывает, при функция возрастает.

2. Исследовать функцию f(x)=x 3-3x 2+4 с помощью производной и построить ее график.
Решение:


4)
x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума.
5) f(0)=4; f(2)=0
Используя результаты исследования, строим график функции : f(x)=x 3-3x 2+4

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Решение:

3) Из чисел и 4 наибольшее , наименьшее 4.
От_l:


4.Найти длины сторон прямоугольника с периметром 20см, имеющего наименьшую
диагональ.

Решение:
Пусть а и в длины сторон прямоугольника, d - его диагональ. Тогда a+b=10. По теореме
Пифагора d 2=a 2+b 2. По условию задачи a>0,b>0. b=10 -a>0, значит 0 < a < 10.
d2=a 2+(10 -a)2=2a 2-20a+100, 0< a < 10.
Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения а, при котором
функция d(a)=2a 2-20a+100 принимает наименьшее значение на интервале 0 < a <10.
Найдем производную d'(a)=4a -20.
Критическая точка .

a=5 точка минимума. Следовательно, наименьшее значение функция d(a) на интервале
(0;10) принимает в точке a=5. При этом b=5.
От_l: 5см, 5см.


5.Иссл едоZlvbihkljhblv]jZnbdnmgdpbb
По схеме исследования функции, проведем исследование:
1. Найти область определения функции.
( )
2. Про_jblvg_yляется ли функция четной или нечетной; про_jblvlZd`_
не яey_lkyebhgZi_jbh^bq_kdhc.
( ) ( ) ( ) ( )
Функция четная
3. Найти, если это hafh`ghlhqdbi_j_k_q_gby]jZnbdZnmgdpbb с осями
координат и промежутки знакопостоянстZnmgdpbbBgh]^Z^eymlhqg_gby
построения графика следует найти д_ljb^hihegbl_evgu_lhqdb.
Точки пересечения с осью Ох:

Введем замену:

( ) ( )


( ) √



( ) √


Вернемся к замене:






√ – корня из отрицательного числа нет.
С осью Ох: (√ ) ( √ )

Точка пересечения с осью Оу: х=0 подставим 0, в нашу функцию f_klhobihemqbf
у


С осью Оу: ( )

4. Найти произh^gmxnmgdpbbb__djblbq_kdb_lhqdb.

( ) ( )
( )

или ( )
.
.
.

5. Найти промежутки hajZklZgby m[uания) и экстремумы функции.


( ) ( ).
Возрастает ( ) ( )
.
.
x ( ) -1 ( ) 0 ( ) 1 ( )
f’(x) + - + -
f(x) -4 -3 -4
max min max

6. Построить график функции, используя полученные результаты исследоZgby.


ЗАДАНИЕ ДЛЯ СА МОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Исследуйте и постройте график функции
X