Тема 4. Аналитическая геометрия_на плоскости

Формат документа: pdf
Размер документа: 1.82 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

Основные уравнения прямой на плоскости
1 . Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку перпендикулярно заданному
вектору


2. Общее уравнение прямой
3. Уравнение прямой « в отрезках» ) ; ( 0 0 0 y x M 0 ) ( ) ( 0 0     y y B x x A 0    C By Ax ) ; ( 0 0 0 y x M 1  
b
y
a
x Y X a b ) , ( B A N  ) , ( B A N 

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку параллельно заданному вектору
- каноническое уравнение
- направляющий вектор
5. Параметрические уравнения
6. Уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки и ) ; ( 0 0 0 y x M n
y y
m
x x 0 0 

 ) ; ( 0 0 0 y x M 


 
 
0
0
y nt y
x mt x ) ; ( 1 1 1 y x M ) ; ( 2 2 2 y x M 1 2
1
1 2
1
y y
y y
x x
x x




 ) ; ( 1 1 1 y x M ) ; ( 2 2 2 y x M ) , ( n m s  ) , ( n m s  ) , ( n m s  2 1M M s 

7. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом






8. Уравнение прямой, проходящей через
заданную точку с угловым
коэффициентом
4 ) , ( 1 1 1 y x M k ) ( 1 1 x x k y y     tg k  b kx y   k

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно прямой .
Решение . Задано уравнение прямой общего вида
- вектор нормали
Сравнивая с заданным уравнением, получаем
Так как прямые параллельны, то их можно охарактеризовать
одним вектором нормали.
За основу берем уравнение ) 4;2(0 M 0 15 3 5    y x 0    C By Ax 0 ) ( ) ( 0 0     y y B x x A 0 ) 4 (3 ) 2 (5     y x 0 12 3 10 5     y x 0 2 3 5    y x 2 5 3   x y 3
2
3
5
  x y 3
5
 k Y X 3
2 5
2
 O ) , ( B A N  )3 ,5(   N

2. Составить уравнение прямой, проходящей через данную
точку параллельно прямой
Решение.
Из канонического уравнения заданной прямой можно определить
ее направляющий вектор
Т.к. для параллельных прямых можно взять один и тот же
направляющий вектор, возьмем за основу каноническое
уравнение
С помощью алгебраических преобразований найдем:
• вектор
нормали
• угловой
коэффициент :
• отрезки, отсекаемые
на осях ) 4;3 (0  M 5
3
2
1



 y x n
y y
m
x x 0 0 

 5
4
2
3



 y x ) 4 ( 2 )3 (5     y x )3 (
2
5
) 4 (     x y 2
5
  k 8 2 15 5     y x 0 7 2 5    y x )5 ,2(   s ) 2,5(  N 7 2 5   y x 1 7
2
7
5   
y x 1 2 7 5 7   
y x

3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно прямой .
Решение.
Прямая задана уравнением с угловым коэффициентом .
Все параллельные прямые имеют один угловой коэффициент.
Т.о. нам известна точка на прямой и угловой коэффициент.


Для построения прямой используем таблицу
x 0 -17/3
y 17 0
Возьмем уравнение 5 3   x y ) 2;5 ( A ) ( 0 0 x x k y y    )5 (3 2    x y 15 3 2    x y 17 3   x y 17 3/ 17  Y X 3  k

4 . Составить уравнение прямой, проходящей через
точку перпендикулярно прямой
Из рисунка видно, что вектор
нормали известной прямой
является направляющим для
искомой прямой, поэтому
используем каноническое
уравнение
Из канонического уравнения можно перейти к уравнениям в общем
виде и с угловым коэффициентом: ) 4;2(0 M 0 15 3 5    y x  3 ;5   N ) 4;2(0 M 0 15 3 5    y x n
y y
m
x x 0 0 

 3
4
5
2



 y x ) 4 (5 ) 2 (3     y x 20 5 6 3     y x 0 26 5 3    y x 4 ) 2 (
5
3
    y x 5
26
5
3
   x y ) 4 (5 ) 2 (3     y x

5. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку перпендикулярно прямой
Решение. Заданная прямая имеет угловой коэффициент
Из условия перпендикулярности прямых
можно найти угловой коэффициент перпендикулярной прямой:
Используя уравнение прямой с угловым коэффициентом и
подставляя координаты точки и значение углового коэффициента,
получим
Или - общее уравнение. ) 2;3(0 M 3
5
1
   x y 5
1
  k 1 2 1   k k 5
)5/ 1 (
1 1
1
2 

   
k
k ) ( 0 0 x x k y y    )3 (5 2    x y 15 5 2    x y 13 5   x y 0 13 5    y x

Задачи на взаимное расположение прямых dexqZxlke_^mxsb_
вопросы:
 Нахождение точки пересечения.
 Нахождение угла между прямыми.
 Проверка услоbciZjZee_evghklbbi_ji_g^bdmeyjghklb
прямых.
Для нахождения точки пересечения нужно решить систему,
составленную из уравнений этих прямых, например
метод Крамера
Точка пересечения 


  
  
0 1 2 3
0 4 5 2
y x
y x 3 )5 ( 8
2 1
5 4
     
 
  x 19 ) 15 ( 4
2 3
5 2
   

  14 ) 12 ( 2
1 3
4 2
   

  y 19
3 



 x x 19
14



 y y 




 
19
14
;
19
3
M

1. Если прямые заданы общими уравнениями , то угол между
прямыми – это угол между векторами нормалей



2. Если прямые заданы каноническими уравнениями , то угол
между прямыми – это угол между направляющими векторами



3. Если прямые заданы угловыми коэффициентами , то находят
тангенс угла

2 1
1 2
1 k k
k k
tg
 

  2
2
2
2
2
1
2
1
2 1 2 1
2 1
2 1 ) (
cos
B A B A
B B A A
N N
N N
  




  2
2
2
2
2
1
2
1
2 1 2 1
2 1
2 1 ) (
cos
n m n m
n n m m
s s
s s
  




 

1. Условия параллельности прямых
2. Условия перпендикулярности прямых 2
1
2
1
B
B
A
A
 2
1
2
1
n
n
m
m
 2 1 k k  0 2 1 2 1   B B A A 0 2 1 2 1   n n m m 0 1 2 1    k k 1
2
1
k
k  

Пример. Найти угол между прямыми и
Решение. Из уравнения первой прямой определим
нормальный вектор .
Запишем уравнение второй прямой в общем виде:


Нормальный вектор этой прямой .
Используем формулу
0 3 2    y x 4
9
5
4 

 y x 41 5
13
25 16 1 4
)5 ( )1 ( 4 2
cos


  
    
  0 3 2    y x )1 ,2(   N 4
9
5
4 

 y x ) 9 (5 ) 4 ( 4    y x 0 61 5 4    y x )5 ,4(   N 2
2
2
2
2
1
2
1
2 1 2 1
2 1
2 1 ) (
cos
B A B A
B B A A
N N
N N
  




 

Пример. Найти расстояние от точки
до прямой

Решение. Приведем уравнение прямой к общему
виду
Используем формулу
Расстояние от точки до прямой ) 4 ;1 (0   M 1
7 5
 
y x 35 5 7   y x 0 35 5 7    y x 74
62
74
62
5 7
35 ) 4 (5 )1 ( 7
2 2 2 2
1 1 



   


 

B A
C By Ax
d ) ; ( 1 1 1 y x M 0    C By Ax 2 2
1 1
B A
C By Ax
d

 


Уравнение кривой 2 -го порядка
Рассмотрим уравнения кривых, в которых отсутствует
произведение xy :
Окружность
Окружностью называется множество точек плоскости,
равноудаленных от одной точки, называемой центром.
- уравнение окружности со
смещенным центром
- уравнение окружности с центром
в начале координат
Канонические уравнения 0 2 2 2       F Ey Dx Cy Bxy Ax 0 2 2      F Ey Dx Cy Ax 2 2 2 R y x   ) ; ( 0 0
' y x O 2 2
0
2
0 ) ( ) ( R y y x x     X Y O ' O 0x 0y X Y O

1 . Построить окружности
2 . Построить кривую 9 2 2   y x 9 ) 2 ( )1 ( 2 2     y x 2 1 x y    2 2 2 ) 1 ( x y    2 2 1 x y   1 2 2   x y X X Y Y O ' O 1  2 3  R O 3 3 0  y

3 . Построить окружность
Каноническое уравнение:
центр окружности
радиус окружности 12 4 6 2 2     y y x x 2 2
0
2
0 ) ( ) ( R y y x x     12 ) 4 ( ) 6 ( 2 2     y y x x 12 ) 2 2 2 2 ( ) 3 3 3 2 ( 2 2 2 2 2 2           y y x x 12 ] 4 ) 2 [( ] 9 )3 [( 2 2       y x 12 4 9 ) 2 ( )3 ( 2 2       y x 25 ) 2 ( )3 ( 2 2     y x   ) 2;3 (' O   5 R Y X ' O 3  2 O

Эллипсом называется множество точек плоскости,
сумма расстояний которых до двух данных точек,
называемых фокусами, есть величина постоянная, равная
длине большой оси 2 a
Каноническое уравнение:
вершины эллипса
фокусы эллипса
- большая ось - малая ось
- фокусное расстояние
Эллипс ,1 2
2
2
2
 
b
y
a
x 1 F 2 F a a  b b  c  c X Y O 1 A 2 A 1 B 2 B ;) 0; (1 c F ) 0; (2 c F  ;) 0; (1 a A ) 0; (2 a A  ;) ;0(1 b B ) ;0(2 b B  a A A 2 2 1  b B B 2 2 1  c F F 2 2 1  2 2 2 c b a   ) ; ( y x M

Каноническое уравнение эллипса со
смещенным центром
Если в уравнении эллипса b>a ,
то большой осью будет ось
и фокусы эллипса будут лежать
на этой оси.
.
.
Пусть центр эллипса находится в точке 1
) ( ) (
2
2
0
2
2
0 



b
y y
a
x x ) ; ( 0 0
' y x O ' O Y X 0x 0y a a  b b  b B B 2 2 1  2 2 2 c a b   O a b b  a  1 B 2 B c c  1 F 2 F

1 . Построить эллипс
Центр эллипса:
Определим координаты центра и размеры полуосей
Полуоси:
Координаты вершин:
Расстояние между фокусами:
Координаты фокусов определяются параметром c :
A 1(2;0) A 2(-2;0)
Длина большой оси: 2 a=4
Длина малой оси: 1
2 4
2 2
 
y x ) 0;0( O 4 2  a ,2   a 2 2  b 2   b ,2 2 4 2 2 2      b a c 2   c 2 2 2  c X Y O 2 2  2 2  2 2  )2 0( )2 0( 2 1 ; B ; B 2 2 2 b ;0)2 ( ;0)2 ( 2 1   F F ,1 2
2
2
2
 
b
y
a
x

2 . Построить кривую
Приведем уравнение к каноническому виду:
Делим все члены уравнения на 45:
Определим центр и размеры полуосей:
- центр эллипса
- полуоси
Найдем параметр c :
Длина большой оси:
Длина малой оси:
Координаты фокусов:
- эллипс 45 5 9 2 2   y x 1
45
5
45
9 2 2
 
y x 1
9 5
2 2
 
y x ) 0;0( O 5 2  a , 5   a 9 2  b 3   b a b  3  3 5 5  Y X O 4 5 9 2 2 2 2 2 2         a b c c a b 2  c 2  5 2 2 a )2 0( )2 0( 2 1 ; F ; F 6 2 b 1F 2 F

3 . Построить кривую
Таким образом:
полуоси эллипса:
При построении необходимо учесть, что уравнение
определяет только правую половинку эллипса, так как по
условию
центр эллипса 2 4 9 1 y x     2 4 9 1 y x    2 2 4 9 )1 ( y x    1
9
4
9
)1 ( 2 2
 
 y x 1
4/ 9 9
)1 ( 2 2
 
 y x ) 0;1 ('  O 9 2  a ,3   a 4/ 9 2  b 2/ 3   b b a  1   x 9 4 )1 ( 2 2    y x 1  O ' O Y X a b

4 . Построить кривую
центр
полуоси 0 2 2 6 3 2 2     y y x x 0 ) ( 2 ) 2 (3 2 2     y y x x 0 ) ) 2/ 1( ) 2/ 1( 2/ 1 2 ( 2 ) 1 1 1 2 (3 2 2 2 2 2 2           y y x x 0 ] 4/ 1 ) 2/ 1 [(2 ]1 )1 [(3 2 2       y x 0 2/ 1 3 ) 2/ 1 ( 2 )1 (3 2 2       y x 2/ 7 ) 2/ 1 ( 2 )1 (3 2 2     y x 1
2/ 7
) 2/ 1 ( 2
2/ 7
)1 (3 2 2



 y x 1
4/ 7
) 2/ 1 (
6/ 7
)1 ( 2 2



 y x   ) 2/ 1;1 (' O , 6/ 7  a  
2
7
b 1  2/ 1 ' O O Y X a b 

Гиперболой называется множество точек плоскости,
разность расстояний которых до двух данных точек,
называемых фокусами, по абсолютной величине есть
величина постоянная, равная длине действительной
оси
действительная полуось
мнимая полуось
- каноническое уравнение
Фокусы гиперболы всегда лежат на действительной оси.
Гипербола 1 2
2
2
2
 
b
y
a
x  a  b 2 2 2 b a c   a 2

1. В системе координат строим прямоугольник с размерами
по осям OX и OY , соответственно.

2. Проводим диагонали этого прямоугольника - асимптоты .

3. На действительной оси отмечаем вершины гиперболы и
от них ведем ветви гиперболы к асимптотам. b a 2 2  1 2
2
2
2
 
b
y
a
x Y X a a  b b  c c 

Сопряженная гипербола
действительная полуось
мнимая полуось
Гипербола со смещенным центром 1 2
2
2
2
  
b
y
a
x  b  a 1
) ( ) (
2
2
0
2
2
0 



b
y y
a
x x ) ; ( 0 0
' y x O c  c Y X a b Y X a b ' O

1. Построить гиперболу
центр гиперболы
действительная полуось
мнимая полуось
расстояние между
фокусами 12 3 4 2 2   y x 1
12
3
12
4 2 2
 
y x 1
4 3
2 2
 
y x  ) 0;0( O 3 2  a    3 a 4 2  b    2 b , 7 4 3 2 2 2      b a c 7  c    7 2 2 c Y X 2 2  3 3 

2. Построить кривую
Возведем в квадрат обе части уравнения
мнимая полуось
Действительная полуось
Оставляем только нижнюю ветвь гиперболы, так как по
условию 4 2    x y 4 2 2   x y 4 2 2    y x 1
4 4
2 2
  
y x 4 2  a    2 a 4 2  b    2 b 0  y Y X 2 2 2  2 

3. Построить кривую
центр гиперболы
действительная
полуось
мнимая полуось y x y x 12 8 12 3 4 2 2     12 12 3 8 4 2 2     y y x x 12 ) 4 (3 ) 2 ( 4 2 2     y y x x 12 ) 2 2 2 2 (3 ) 1 1 1 2 ( 4 2 2 2 2 2 2           y y x x 12 ] 4 ) 2 [(3 ]1 )1 [(4 2 2       y x 12 12 ) 2 (3 4 )1 ( 4 2 2       y x 4 ) 2 (3 )1 ( 4 2 2     y x 1
3/ 4
) 2 (
1
)1 ( 2 2



 y x    ) 2 ;1 (' O   1 a   
3
2
3
4
b Y X ' O 1  2 

Параболой называется множество точек плоскости,
равноудаленных от одной точки, называемой фокусом,
и от данной прямой, называемой директрисой .
Виды парабол
Парабола с осью симметрии OX
Парабола c осью
симметрии OY px y 2 2   py x 2 2   px y 2 2   px y 2 2   py x 2 2   py x 2 2   Y Y X X

Парабола со смещенной вершиной
Парабола с осью симметрии OX Парабола c осью симметрии OY ) ( 2 ) ( 0
2
0 x x p y y     ) ( 2 ) ( 0
2
0 y y p x x     ) ; (' 0 0 y x O Y Y X X ' O ' O 0x 0x 0y 0y

1. Построить параболу
Данное уравнение является каноническим уравнением параболы,
так как отсутствует квадрат переменной . Поэтому осью
симметрии параболы будет ось OX.
Вершина параболы в точке
Ветви параболы направлены в
положительном направлении оси
OX, так как в правой части
уравнения
знак “плюс ”. )1 ( 4 ) 2 ( 2    x y x ) 2;1(' O p p 2
p 2 1 ' O X Y

2 . Построить кривую
вершина параболы
Ветви параболы направлены влево, так как в правой части уравнения
получился знак “ минус ” .
параметр параболы
Так как по условию , то уравнение определяет только
верхнюю ветвь параболы. x y    1 2 3 x y    1 2 3 ) 1( 4 )3 ( 2 x y    )1 ( 4 )3 ( 2     x y 3  y  )3;1(' O   2 p 3  y O ' O 1 3 Y X

3. Построить параболу
вершина параболы. 0 2 3 6 4 2     y x x 0 2 3
4
6
4 2    





 y x x 0 2 3 ) 4/ 3( ) 4/ 3(
4
3
2 4 2 2 2    





     y x x 0 2 3
16
9
4
3
4
2
   





 





 y x 0 2 3
4
9
4
3
4
2
    





 y x 





    






12
1
4
3
4
3
2
y x  






12
1
;
4
3
' O 0x 0y ' O Y X O
X