Лекция-1-ТЕХМАШ-ЗО

Формат документа: pdf
Размер документа: 1.17 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

Лекция №1. Матрицы. Определители. Обратная матрица. СЛУ.
§1. Осноgu_hij_^_e_gby.
МАТРИЦЕЙ размера m .n называется прямоугольная таблица чисел

,
содержащая m строк и n столбцов. Каждый элемент матрицы аik имеет два индекса: i – номер
строки и k – номер столбца. Краткая форма записи матрицы: А = ( аik)m,n
Матрица называется КВАДРАТНОЙ порядка n, если она состоит из n строк, и n столбцов.
Матрица размера 1 .n называется МАТРИЦЕЙ -СТРОКОЙ , а матрица размера m.1 -
МАТРИЦЕЙ -СТОЛБЦОМ .
НУЛЕВОЙ матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны
нулю.
ТРЕУГОЛЬНОЙ матрицей n-го порядка называется квадратная матрица, все элементы которой,
расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:
.
ЕДИНИЧНОЙ называется квадратная матрица n-го порядка, у которой элементы главной
диагонали равны единице, а в се остальные элементы – нули:
.
Матрицы А = ( аik)m,n и В = ( вik)m,n называются РАВНЫМИ , если аik = в ik i = 1,…, m
k = 1,…, n.
§2. Линейные операции над матрицами.
СУММОЙ матриц А = ( аik)m,n и В = ( вik)m,n называются матрица А + В = ( аik + вik)m,n.
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = ( аik)m,n на число  называется матрица А = ( аik)m,n.
Для любых матриц одинакового размера и любых чисел  и  выполняются свойства:
1) А + В = В +А 2) А + (В + С) = (А + В) + С
3) А + 0 = А 4) (А) = ( )А
5) (А + В) = А + В 6) (  + )А = А + А
ТРАНСПОНИРОВАННОЙ для матрицы А называется матрица АТ, строки которой являются
столбцами матрицы А, а столбцы – строками матрицы А.
ПРИМЕР 1. Даны матрицы
и
Построить матрицу С = 2А – 3В + А Т.
РЕШЕНИЕ .
- + = .
§3. Умножение матриц. 












mn m m
n
n
a a a
a a a
a a a
A




2 1
2 22 21
1 12 11 

















nn
n
n
n
a
a a
a a a
a a a a





0 0 0
0 0
0
3 33
2 23 22
1 13 12 11 











1 0 0
0 1 0
0 0 1



 









 


5 1 3
4 3 1
2 0 5
A 












1 4 2
3 5 0
2 1 4
B 









 


10 2 6
8 6 2
4 0 10
C 











3 12 6
9 15 0
6 3 12 









 

5 4 2
1 3 0
3 1 5 









  

 
12 6 14
0 6 2
1 2 3

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = ( аik)m,р на матрицу В = ( вik)р,n называется матрица D размера
m.n с элементами Иными словами, для получения элемента, стоящего в i-ой
строке результирующей матрицы и в k-ом ее столбце, следует вычислить сумму попарных
произведений элементов i-ой строки матрицы А на k-ый столбец матрицы В.
ПРИМЕР 2. Найти произведение матриц и .
РЕШЕНИЕ.
.
§4. Определители lhjh]hb[he__ысоких порядко
Пусть - квадратная матрица 2 -го порядка.
Определителем 2 -го порядка (матрицы а) называется число (А) = .
Пример 1 . Вычислить определитель матрицы .
Решение . (А) = .
Пусть - матрица 3 -го порядка.
Определителем 3 -го порядка (матрицы А) называется число
(А) =
Правило Саррюса (треугольника)
Минором элемента aik называется определитель М ik, составленный из элементов, оставшихся
после вычеркивания из матрицы А i-ой строки и k-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aik называется число .
Определителем 3 -го порядка (матрицы А) называется сумма произведений элементов первой
строки матрицы на их алгебраические дополнения: 

n
j jk ij ik b a d
1 









 


3 2 2
1 0 4
2 1 3
A 










 

4 4 1
2 3 0
1 2 1
B 









                    
              
                 
 
4 )3 ( 2 2 )1 )(2 ( )4 ( )3 ( 3 2 )2 ( 2 1)3 ( 0 2 1)2 (
4 1 2 0 )1 ( 4 )4 ( 1 3 0 )2 ( 4 1 1 0 0 1 4
4 2 2 )1 ( )1 ( 3 )4 ( 2 3 )1 ( )2 ( 3 1 2 0 )1 ( 1 3
B A 









 


 
6 22 5
0 12 5
3 17 5
B A 





22 21
12 11
a a
a a A 21 12 22 11
22 21
12 11 a a a a
a a
a a
  12 5
4 11  A 152 5 4 12) 11 ( 12 5
4 11        










33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A 11 23 32 33 12 21 13 22 31
13 32 21 31 23 12 33 22 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
  
   









   
  
      
  
    ik ki ik M A    )1 (

(А) =
Пример 2 . Вычислить определитель

= = =
= .

Определителем n-го порядка называется число
.
§5. Сhcklа определителей.
1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. (А Т) =  (А). Поэтому в дальнейшем
большинство свойств формулируется и доказывается для строк.
2. Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак.
3. Если все элементы како й-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
4. Если все элементы какой -либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно
вынести за знак определителя.
5. Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорцио нальны, то
определитель равен нулю.
6. Определитель не изменяется, если к элементам какой -либо строки (столбца) прибавить
элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
7. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои а лгебраические дополнения
равна самому определителю. Сумма произведений любой строки (столбца) на алгебраические
дополнения другой строки (столбца) равно 0.
8. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали .
§6. Обратная матрица.
Матрица А -1 называется обратной к квадратной матрице А, если
А.А-1 = А -1.А = Е.
ТЕОРЕМА. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она
была невыраженной, т.е. чтобы (А)  0.
Алгоритм построения обратной матрицы.
1) Вычислить определитель матрицы А. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не
существует.
2) Если определитель матрицы не равен нулю, то составить из алгебраических дополнений
соответствующих элементов матрицы А матрицу .
3) Транспонируя матрицу , пол учить присоединенную матрицу .
4) По формуле (2) составить обратную матрицу .
5) По формуле (1) проверить вычисления.
, (1) . (2) .13 13 12 12 11 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
A a A a A a
a a a
a a a
a a a
   n n
nn n n
n
n
A a A a A a
a a a
a a a
a a a
1 1 12 12 11 11
2 1
2 22 21
1 12 11






     A 2 2 4
0 1 2
3 4 1


 ))4 ( )2 ( )2 ( 2 0 1 4 1 3( 2 )2 ( 3 0 )4 ( 4 )2 ( 1 1                   10 4 14 ) 16 0 12( 0 12 2            A A A~ 1A   1 A A E A A   1 A
A
A ~ 1 1   

§7 . Системы линейных ураg_gbc( СЛУ).
Матричный метод решения.
Запишем заданную систему в матричном виде:
Если матрица невырождена , то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную
матрицу . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу,
поэтому домножим последнее равенство на матрицу слева:

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу надо найти обратную матрицу к матрице системы и
умножить ее справа на вектор -столбец свободных коэффициентов.
Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым
определителем основной матрицы.
Теорема К рамера . Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система
совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
где - определитель матрицы системы, - определитель матрицы системы, где
вместо -го столбца стоит столбец правых частей.
Метод Гаусса. Метод Гаусса - Метод последоZl_evgh]h исключения неиз_klguo.
Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то
есть получение нулей под главной диагональю) и об ратный (получение нулей над главной
диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный -
методом Гаусса -Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения
переменных.
Пример 1. Решить систему матричным способом.

Решение: Решим систему линейных уравнений матричным методом.
Обозначим
Тогда данную систему можно записать в виде: АХ=В.
Т.к. матрица невырожденная ( Δ= – 2), то X = A-1B.

Тогда A-1 = . .
1
8
2
, ,
1 1 4
3 1 1
1 1 3
3
2
1











 





















   B
x
x
x
X A 2 1 9 4 12 1 3 1 1 1 )3 ( 3 1 4 )1 ( 1 )3 ( 1 4 1 1 1 1 )1 ( 3
1 1 4
3 1 1
1 1 3
                            A ,4 1 3 1 1
1 3 )1 ( , 10 )1 9 ( 1 3 1
1 3 )1 ( ,2 1 3 3 1
1 1 )1 (
,1 )4 3( 1 1 4
1 3 )1 ( ,1 4 3 1 4
1 3 )1 ( ,0 0 1 1 1
1 1 )1 (
,5 4 1 1 4
1 1 )1 ( , 13 ) 12 1( 1 1 4
3 1 )1 ( ,2 3 1 1 1
3 1 )1 (
33 33 23 32 13 31
32 23 22 22 12 21
31 13 21 12 11 11
                     
                  
                     
  
  
  
А А А
А А А
А А А 










 

 
4 1 5
10 1 13
2 0 2
2
1 1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2,
3 8,
4 1.
x x x
x x x
x x x





  
   
  

Получим X = A-1B = .
От_l: х1 = –1, х 2 = 4, х 3 = 1.
Пример 2. Решить систему по формулам Крамера.
Решение : Решим систему по формулам Крамера.
, значит, система имеет
единственное решение.



От_l : x1 = 5, x 2 = -1, x 3 = 1.
Пример 3. Исследовать систему и решить ее методом Гаусса, если она совместна

Решение : Дана неоднородная линейная система из 4 -х уравнений с 4 -мя неизвестными ( m=n=4).
1) Определим, совместна или нет система (*). Вычисляем для этого ранги расширенной и
основной матриц системы: Rg(A,B) и RgA.


(привели матрицу (A,B) к матрице (A ,B ), имеющую ступенчатую форму).
Итак , Rg( A, B) = Rg(A , B ) = 4, RgA= RgA  = 4  RgA= Rg(A,B) = 4. Следовательно система (*)
совместна. Т.к. Rg A= n (n = 4)  система имеет единственное решение. 





















  










 
  
 
 










 











 

 
1
4
1
2
8
2
2
1
4 8 10
10 8 26
2 0 4
2
1
1
8
2
4 1 5
10 1 13
2 0 2
2
1 


  
  
  
. 10 2
,9 2 4 3
, 21 4 2 3
3 2 1
3 2 1
3 2 1
х х х
х х х
х х х 0 60 ) 66 6( 1 6 11
6 1 )1 ( )1 (
1 1 2
6 0 11
6 0 1
1 1 2
2 4 3
4 2 3
D 23      
   
 



 


  , 300 ) 294 6 ( 1 6 49
6 1 )1 ( )1 (
1 1 10
6 0 49
6 0 1
1 1 10
2 4 9
4 2 21
D 23 1         
 
 
 


  ;5 60
300
D
D 1 1  
   х , 60 ) 61 121 ( 1 11 1
61 11 )1 ( )1 (
1 10 2
0 11 1
0 61 11
1 10 2
2 9 3
4 21 3
D 33 2         

  

   ;1 60
60
D
D 2 2     х , 60 ) 11 49 ( 1 49 11
1 1 )1 ( )1 (
10 1 2
49 0 11
1 0 1
10 1 2
9 4 3
21 2 3
D 23 3        





  ;1 60
60
D
D 3 3  
   х 





   
   
    
   
(*)
22 9 4
3 4 2
3 5 3 2
3 5 2 3
4 3 2 1
4 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x x
x x x
x x x x
x x x x ~
63 26 7 1 0
25 13 4 3 0
47 13 9 1 0
22 9 4 1 1
~
3 1 5 2 3
3 4 0 2 1
3 5 1 3 2
22 9 4 1 1
~
22 9 4 1 1
3 4 0 2 1
3 5 1 3 2
3 1 5 2 3
) , (












 
 
  
 












 
 
 
 












 
 
 
 
 B A ) , (
754 377 0 0 0
54 26 1 0 0
47 13 9 1 0
22 9 2 2 1
~
110 39 16 0 0
54 26 1 0 0
47 13 9 1 0
22 9 2 2 1
~
110 39 16 0 0
166 52 31 0 0
47 13 9 1 0
22 9 2 2 1
~ B A   













  
 












 

  
 












 
 
  
 

Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем к следующей
эквивалентной системе. ,где все неизвестные - базисные.
Решая систему (**), как систему из 4 -х уравнений с 4 -мя неизвестными, найдем x1, x2, x3, x4. Из
последнего уравнения имеем x4 = 2. Тогда из третьего уравнения найдем x3 = 26х 4 – 54 =
=52 − 54= − 2.Из второго уравнения найдем x2 = 9х 3 − 13 x4 + 47 = − 18 – 26 + 47= − 44 + 47 = 3.
Из первого уравнения находим х 1 = x2 + 4 x3 − 9x4 + 22 = 3 − 8 – 18 + 22 = − 1.
Про_jdZ Подставим найденные значения неизвестных во все уравнения системы (*).
 решение найдено верно.
От_l х1 = − 1, х 2 = 3, х 3 = − 2, х 4 = 2.








  
    
   
(**)
, 754 377
, 54 26
, 47 13 9
, 22 9 4
4
4 3
4 3 2
4 3 2 1
x
x x
x x x
x x x x 


















 
22 22
3, – 3 –
3, – 3 –
3, 3
22= 18 8+3 – 1 –
3, – =8 – 6+1 –
3, – = 10 2 – 9 – 2 –
3,=2+ 2) – ( 5 – 3 2 – 1) – 3(
X