Метод.рекомендации студентам зо. 9 семестр 3+

Формат документа: pdf
Размер документа: 0.9 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

Методические указания (рекомендации) для обучающихся
по изучению дисциплины «ПРЗ по геометрии»
(Комбинации многогранникоbdjm]euol_e)

Занятия 1 -4.
Тема « Вписанные и описанные сферы »

1. Перечень hijhkh, рассматриZ_fuogZaZgylbb .

1. Сфера и параллелепипеды .
2. Сфера и пирамиды .
3. Сфера и цилиндр.
4. Сфера и конус.

Комбинации многогранников и круглых тел
Сфера называется описанной около многогранника (или многогранник, вписанным в
сферу ), если k_\_jrbgufgh]h]jZggbdZe_`ZlgZwlhckn_j_ Центр этой сферы яey_lky
точкой, раghm^Zezgghchlершин многогранника.
Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда призма прямая и
около её осноZgby можно описать окружность. Центром сферы будет яey_lky середина
отрезка, соединяюще го центры описанных около осноZgbchdjm`ghkl_c
Если призма четырёхугольная, то четырёхугольник,
лежащий  осноZgbb должен обладать сhcklом: сумма
протиhiheh`guo угло четырёхугольника раgZ 180 . Около
параллелепипеда можно описать сферу, если пара ллелепипед
прямоугольный.





Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около осноZgby
пирамиды можно описать окружность.
Если бокоu_ рёбра пирамиды раgu то _jrbgZ
пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около
осноZgby<wlhfkemqZ_p_gljhibkZgghckn_juyляется точкой
пересечения ukhlu beb_zijh^he`_gby ibjZfb^ubiehkdhklb
перпендикулярной бокоhfm ребру и проходящей через его
середину.



Сфера называется вписанной  многогранник, если k_ грани много гранника
касаются сферы. Центром ibkZgghckn_juy\ey_lkylhqdZjZноудалённая от k_o]jZg_c
многогранника.

Сферу можно ibkZlv  прямую призму тогда и только
тогда, когда  осноZgbb лежит многоугольник,  который
можно ibkZlv окружность, диаметр которой ра_g ukhl_
призмы. Центром сферы, ibkZgghc прямую призму, яey_lky
середина отрезка, соединяющего центры ibkZgguo осноZgb_
окружностей. Если рассматриZlv четырёхугольную призму, то
осноZgby призмы должны обладать сhcklом описанного
чет ырёхугольника, т.е. суммы длин протиhiheh`guo сторон
должны быть раgu.
В прямой параллелепипед можно ibkZlvkn_jm если в
осноZgbb – ромб, причём ukhlZ этого ромба есть диаметр
ibkZgghckn_judhlhjucjZен ukhl_iZjZee_e_ibi_^Z
В куб k_]^Z м ожно ibkZlv сферу. Центром сферы
яey_lky точка пересечения диагоналей куба, а радиус ра_g
полоbg_^ebguj_[jZdm[Z.


Сфера ibkZgZ  пирамиду , если она касается граней
каждого gmlj_gg_]h двугранного угла , образоZggh]h
соседними гранями пирамиды. Центр ibkZgghc пирамиду
сферы находится в точке пересечения биссекторных
плоскостей k_oнутренних двугранных углов , образоZgguo
соседними гранями пирамиды. В любую праbevgmx
пирамиду можно ibkZlvkn_jmijbqzfp_gljkn_jue_`bl
на ukhl_ibjZfb^u.




Шар можно ibkZlv только  цилиндр, если ukhlZ цилиндра раgZ
диаметру осноZgby В этом случае цилиндр называется описанным около
сферы, а сфера называется вписанной pbebg^j





Сферой, вписанной в конус , называют сферу, которая касается
плоскости осноZgbydhgmkZ , а каждая из образующих конуса яey_ тся
касательной к сфере . В любой конус можно ibkZlvkn_jm.

Сфера называется вписанной mk_q_ggucdhgmk_kebhgZdZkZ_lkyhkghан ий конуса
и бокоhc по_joghklb при этом усечённый конус
называется описанным около сферы. В усечённый конус
можно ibkZlv сферу, если  его осеh_ сечение можно
ibkZlvhdjm`ghklvijbqzfjZ^bmkwlhchdjm`ghklb^he`_g
быть ра_gjZ^bmkmписанной сферы.
Рассмотрим некоторые типы задач на комбинации
многогранникоbdjm]euol_e.
 При решении задач на комбинации шара и
многограннико изображение шара быZ_l излишним, иногда достаточно указать его
центр и радиус.

2. Примеры решения задач.
Задача 1. В куб ib сан шар ра ди уса 1. Най ди те объём куба.
Решение. Объём куба uqbkey_lky по формуле
, где а – ребро куба. Шар ibkZg  куб,
следоZl_evgh диаметр шара равен ребру куба и,
следоZl_evgh .
Ответ: 8.



Задача 2. Около праbevghc треугольной призмы, ukhlZ которой ^\h_ больше
стороны осноZgbyhibkZgrZjDZdhlghkblvky_]hh[t_fdh[t_fmijbafu?



3 Va  3 3 3 (2 ) (2 1) 8 V a R     

Задача 3. Шар радиуса � = √3 ibkZg пирамиду, hkghании которой лежит ромб
с острым углом �� = 60 0. Бокоu_]jZgbibjZfb^ugZdehg_gudiehkdhklbhkghания под
углом �� = 60 0. Найдите объем пирамиды.
Решение.

От_l.

Задача 4 . Найдите  градусах _ebqbgm угла между бокоhc гранью и плоскостью
осноZgbyijZильной четырехугольной пирамиды, если ее высота меньше радиуса шара,
описанного около нее, и отношение радиуса шара к стороне осноZgbyjZно 0,75.


От_l : 45 0.

Задача 5. Около шара опи сан ци линдр, пло щадь по _jo но сти ко то ро го раgZ 18.
Най ди те пло щадь по _jo но сти шара.
Решение. Шар ibkZg цилиндр, следоZl_evghjZ^bmkrZjZ R радиусы осноZgbc
цилиндра раguZ^bZf_ljrZjZ 2 R) ра_gысоте цилиндра. П ло щадь
по _jo но сти цилиндра находится по формуле .
Тогда , следовательно, пло щадь по _jo но -
сти шара раgZ .
Ответ: 12.

Задача 6.

Решение.
Центр сферы – точка О – это середина отрезка ��1��2, соединяющего центры
осноZgbcpbebg^jZ.
По услоbx ukhlZ цилиндра ��1��2= 2, следоZl_evgh ��2�� = 1. Из
прямоугольного треугольника ���� ��2 по теореме Пифагора находим:
� = ���� = √(����2)2+ (����2)2= √1+ 1= √2.
Ответ: √2.

Задача 7. Около ко ну са опи са на сфера (сфера со дер жит окруж ность ос но Z ния ко -
ну са и его _j ши ну). Центр сферы соiZ^Z_lkp_g тром ос но Z ния ко ну са. Об ра зу ющая ко -
ну са раgZ . Най ди те ра ди ус сферы.
Решение. Конус ibkZg  сферу, следовательно, u со та ко ну са пер пен ди ку ляр на ос но Z -
нию и раgZjZ ди усу сферы R. Из прямоугольного треугольника АВО
по тео ре ме Пи фа го ра по лу ча ем:
, т.е.
.
Ответ: 7. 2 22 полн цилSR НR   22 18 3 6 18, 6 RR      2 3 4 4 12 полнSR       72 2 2 2 2 2 2 2 AB AO OB R R R      2 2 2 2 (7 2 ) , 2 98, 7R R R     

Задача 8.

Решение.
Рассмотрим осеh_k_q_gb_dhgmkZ – треугольник ��� .

По услоbx �� = �� = 10 – бокоu_ стороны треугольника ��� , �� = 8 – ukhlZ
треугольника ��� .
Из треугольника ��� по теореме Пифагора находим:
�� = √�� 2− �� 2= √100 − 64 = 6.
Так как треугольник ��� раgh[_^j_gguc то �� – и ukhlZ и медиана.
СледоZl_evgh �� = �� = 6 и �� = 12 .
Так как сфера ibkZgZ  конус, т о он а касается k_o его образующих и осноZgby
конуса. Поэтому плоскость осеh]h сечения конуса пересекает сферу по окружности,
касающейся �� , �� и �� , то есть по окружности, ibkZgghc  треугольник ��� . Радиус
сферы равен радиусу этой окружности.
Воспользуемся формулой для радиуса ibkZgghc треугольник окружности:
��= �
��,
где S – площадь треугольника, p – полуперимет р.
����� = 1
2�� ∙�� = 1
2∙8∙12 = 48
������ = 1
2(12 + 10 + 10 )= 16
��= 48
16 = 3.
Ответ: 3.
X