Сборник уроков по математике (видеоуроки для ЕГЭ)

Формат документа: pdf
Размер документа: 1.17 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

Îò àâòîðà
Âñåì ïðèâåò! Ñ âàìè ñíîâà Áîðèñ Òðóøèí )
ß óæå òðè ãîäà âåäó youtube-êàíàëyoutube.com/trushinbvïî îêîëî-
øêîëüíîé ìàòåìàòèêå è çíàþ, ÷òî ìíîãèå ó÷èòåëÿ è øêîëüíèêè èñïîëü-
çóþò åãî êîíòåíò â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî (à èíîãäà è îñíîâíîãî) òåî-
ðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà. Îäíàêî, íà þòóáå íå î÷åíü óäîáíàÿ íàâèãàöèÿ, è
ñëîæíî ïîíÿòü ïî êàêèì òåìàì óæå åñòü ðîëèêè. Ïîýòîìó äëÿ óäîáñòâà
ÿ ñäåëàë ýòó áðîøþðêó. Â íåé ñîáðàíû âñå îñíîâíûå òåìû øêîëüíîé ìà-
òåìàòèêè, à âîçëå êàæäîé òåìû åñòü êëèêàáåëüíàÿ ññûëêà íà ðàçáîð
ñîîòâåòñòâóþùåé òåìû (ñîäåðæàíèå òîæå êëèêàáåëüíî).
Óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ:
HARD  ñëîæíàÿ òåìà/ðàçäåë/çàäà÷à;
BEST  ññûëêà íà ïîïóëÿðíûé ðîëèê;
NEW  íîâûå òåìû/ðàçäåëû/çàäà÷è (òå,êîòîðûõ íå áûëî â ïðåäûäóùåé
âåðñèè áðîøþðû).
Êðîìå òîãî, â áðîøþðå åñòü ñáîðíèê çàäàíèé ÅÃÝ (íà äàííûé ìîìåíò
òîëüêî 1319 çàäàíèÿ). Âñå çàäà÷è ñîäåðæàò ññûëêè íà îòâåòû è ïîäðîá-
íûå âèäåîðàçáîðû.
Áðîøþðà áóäåò îáíîâëÿòüñÿ è ïîïîëíÿòüñÿ. Àêòóàëüíûå âåðñèþ ìîæíî
íàéòè ïî ññûëêåtrushinbv.ru/book. Âû ñìîòðèòå âåðñèþ 2.1 îò 22.04.2020.
Êàê óëó÷øèòü áðîøþðó:
X Íàøëè îøèáêó/îïå÷àòêó/ñëîìàííóþ ññûëêó  ïèøèòå îá ýòîì â
êîììåíòàðèÿõ ïî ññûëêåtrushinbv.ru/book;
X Çíàåòå âàæíîå âèäåî, êîòîðîå çàáûëè äîáàâèòü  ïèøèòå â þòóáå
â êîììåíòàðèÿõ ïîä íèì îá ýòîì, ñîïðîâîäèâ õåøòåãîì #book;
X Õîòèòå ïîìî÷ü ñ îïèñàíèåì òåì (ñåé÷àñ îíî åñòü äàëåêî íå ó âñåõ)
 ïèøèòå ýòî îïèñàíèå â þòóáå â êîììåíòàðèÿõ ïîä ñîîòâåòñòâóþ-
ùèì ðîëèêîì, ñîïðîâîäèâ õåøòåãîì #book.
Èíòåðåñíîãî âàì ¾÷òåíèÿ¿ ))
2

Ñîäåðæàíèå Ñîäåðæàíèå
Ñîäåðæàíèå
Ÿ1. Òåîðèÿ5 1.1. Ìàòåìàòèêà. 57 êëàññ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2. Àëãåáðà. 89 êëàññ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.3. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. 89 êëàññ. . . . . . . . . . . . . . . .7
1.4. Ïëàíèìåòðèÿ. 89 êëàññ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.5. Òðèãîíîìåòðèÿ. 1011 êëàññ. . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.6. Ñòåðåîìåòðèÿ. 1011 êëàññ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.7. Íåðàâåíñòâà. 1011 êëàññ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.8. Íà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. 1011 êëàññ. . . . . . . .11
1.9. Òåîðèÿ ÷èñåë. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.10. Êëàññè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.11. HARD
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ15 2.13. Çàäàíèå 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.14. Çàäàíèå 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2.15. Çàäàíèå 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.16. Çàäàíèå 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.17. NEW
Çàäàíèå 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.18. NEW
Çàäàíèå 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.19. NEW
Çàäàíèå 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
3

Ñîäåðæàíèå Ñîäåðæàíèå
Ÿ3. Îòâåòû39
4

Ÿ1. Òåîðèÿ
Ÿ1. Òåîðèÿ
1.1. Ìàòåìàòèêà. 57 êëàññ 1.1.1.
BEST
Ïî÷åìó ìèíóñ íà ìèíóñ äà¼ò ïëþñ?
Ïî÷åìó â ðåçóëüòàòå ïðîèçâåäåíèÿ îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë ïîëó÷àåòñÿ
ïîëîæèòåëüíî ÷èñëî. 1.1.2.
Ìîæíî ëè äåëèòü íà íîëü? 1.1.3.
Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà 1.1.4.
Ïðîöåíòû 1.1.5.
Êàê íàó÷èòüñÿ ñ÷èòàòü áåç êàëüêóëÿòîðà 1.1.6.
Êàê ðåøàòü óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Êàê ðåøàòü óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà íå ðóêîâîäñòâóÿñü øàáëîíàìè
¾ïåðåíåñåì ñëåâà íàïðàâî, ïîìåíÿâ çíàê¿, ¾ïåðåìíîæèì
êðåñò-íàêðåñò¿, ¾äîìíîæèì íà ( 1) íåðàâåíñòâî, ïîìåíÿâ åãî çíàê¿, à
äåéñòâèòåëüíî ïîíèìàòü, ïî÷åìó ìîæíî äåëàòü ýòè äåéñòâèÿ. 1.1.7.
Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü 1.1.8.
Çàäà÷è íà ñîâìåñòíóþ ðàáîòó
1.2. Àëãåáðà. 89 êëàññ 1.2.1.
Èððàöèîíàëüíîñòü ÷èñëà
0 ;123456789101112131415 : : :1.2.2.
Ãåîìåòðè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà èððàöèîíàëüíîñòè
p 2
è p 3
Î íàãëÿäíîé èððàöèîíàëüíîñòè
5

1.2. Àëãåáðà. 89 êëàññ Ÿ1. Òåîðèÿ
1.2.3.
Êàê ðåøàòü óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
Êàê ðåøàòü óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà íå ðóêîâîäñòâóÿñü øàáëîíàìè
¾ïåðåíåñåì ñëåâà íàïðàâî, ïîìåíÿâ çíàê¿, ¾ïåðåìíîæèì
êðåñò-íàêðåñò¿, ¾äîìíîæèì íà ( 1) íåðàâåíñòâî, ïîìåíÿâ åãî çíàê¿, à
äåéñòâèòåëüíî ïîíèìàòü, ïî÷åìó ìîæíî äåëàòü ýòè äåéñòâèÿ. 1.2.4.
Êâàäðàòíûé òð¼õ÷ëåí. Ôîðìóëà äëÿ êîðíåé è
òåîðåìà Âèåòà
Âûâîä ôîðìóëû äëÿ êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ è äîêàçàòåëüñòâî
òåîðåìà Âèåòà 1.2.5.
Êâàäðàòíûé òð¼õ÷ëåí. Ôîðìóëà ÷åòíîãî
êîýôôèöèåíòà 1.2.6.
Ïàðàáîëà
Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè 1.2.7.
Êâàäðàòíûé òð¼õ÷ëåí. Óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåñÿ ê
êâàäðàòíûì
Áèêâàäðàòíûå è âîçâðàòíûå óðàâíåíèÿ 1.2.8.
Êâàäðàòíûé òð¼õ÷ëåí. Êâàäðàòíûå íåðàâåíñòâà
Êàê ðåøàòü êâàäðàòíûå íåðàâåíñòâà 1.2.9.
Ìåòîä èíòåðâàëîâ
Ðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà 1.2.10.
Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü 1.2.11.
Çàäà÷è íà ñîâìåñòíóþ ðàáîòó 1.2.12.
Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 11 1.2.13.
Àðèôìåòè÷åñêàÿ è ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèè
6

1.3. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. 89 êëàññ Ÿ1. Òåîðèÿ
1.2.14.
BEST
Áèíîì Íüþòîíà
Ïðî ôàêòîðèàë, ïåðåñòàíîâêè, èãðó â ñëîâà, áèíîì Íüþòîíà è
áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû 1.2.15.
Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ
Ïðî ÷èñëà ñî÷åòàíèé, òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ è áèíîì Íüþòîíà 1.2.16.
HARD
Ñóììà n-ûõ ñòåïåíåé
Êàê íàéòè ñóììó 1n
+ 2 n
+ 3 n
+ 4 n
+ : : :
1.3. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. 89 êëàññ 1.3.1.
Êàê íàó÷èòüñÿ ðåøàòü çàäà÷è íà âåðîÿòíîñòü 1.3.2.
Êàê íàó÷èòüñÿ ðåøàòü çàäà÷è íà âåðîÿòíîñòü. ×àñòü 2 1.3.3.
HARD
Îòëè÷èå äîñòîâåðíîñòè è 100% âåðîÿòíîñòè
Î òîì, ÷òî 100% âåðîÿòíîñòü íå âñåãäà ãàðàíòèÿ òîãî, ÷òî ñîáûòèå
ïðîèçîéäåò.
1.4. Ïëàíèìåòðèÿ. 89 êëàññ 1.4.1.
Êàê ïðîêà÷àòü ãåîìåòðèþ 1.4.2.
Ñâîéñòâà è ïðèçíàêè ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà
 ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ðàâíû ìåäèàíû/âûñîòû/áèññåêòðèñû,
èñõîäÿùèå èç ðàâíûõ óãëîâ.
Åñëè â òðåóãîëüíèêå ðàâíû äâå ìåäèàíû/âûñîòû, òî ýòîò òðåóãîëüíèê
ÿâëÿåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì. 1.4.3.
HARD
Òåîðåìà Øòåéíåðà  Ëåìóñà
Åñëè â òðåóãîëüíèêå ðàâíû äâå áèññåêòðèñû, òî ýòîò òðåóãîëüíèê
ÿâëÿåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì.
7

1.4. Ïëàíèìåòðèÿ. 89 êëàññ Ÿ1. Òåîðèÿ
1.4.4.
Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà
×åòûðå çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà: òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí;
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ; òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò; òî÷êà
ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ 1.4.5.
Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Âñå, ÷òî íóæíî çíàòü ïðî ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê 1.4.6.
Òåîðåìû ñèíóñîâ è êîñèíóñîâ 1.4.7.
Ôîðìóëà Ãåðîíà 1.4.8.
Ôîðìóëà Ãåðîíà. Ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî 1.4.9.
Òåîðåìà ïðî òàíãåíñû
Åñëè ñóììà òð¼õ óãëîâ ðàâíà 180 ãðàäóñîâ, òî ñóììà èõ òàíãåíñîâ
ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ èõ òàíãåíñîâ 1.4.10.
Òåîðåìà î áèññåêòðèñå óãëà òðåóãîëüíèêà 1.4.11.
Äëèíû áèññåêòðèñû, ìåäèàíû è âûñîòû
òðåóãîëüíèêà 1.4.12.
Òåîðåìà Ìåíåëàÿ 1.4.13.
Òåîðåìà Âàðèíüîíà
×åòûð¼õóãîëüíèê, âåðøèíû êîòîðîãî ñîâïàäàþò ñ ñåðåäèíàìè ñòîðîí
ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà, ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì,
ñòîðîíû êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû äèàãîíàëÿì èñõîäíîãî
÷åòûð¼õóãîëüíèêà. 1.4.14.
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è äèàãîíàëÿìè
ïàðàëëåëîãðàììà
Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ âñåõ åãî ñòîðîí
8

1.5. Òðèãîíîìåòðèÿ. 1011 êëàññ Ÿ1. Òåîðèÿ
1.4.15.
Óáåæàòü îò òðàïåöèè
Êàê çàäà÷ó ïðî òðàïåöèþ ñâåñòè ê çàäà÷å ïðî òðåóãîëüíèê èëè
ïàðàëëåëîãðàìì 1.4.16.
Áèññåêòðèñû òðàïåöèè 1.4.17.
Îêðóæíîñòü
Âñå, ÷òî íóæíî çíàòü ïðî îêðóæíîñòü 1.4.18.
Âïèñàííûå è öåíòðàëüíûå óãëû
Âïèñàííûé óãîë â äâà ðàçà ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîãî;
âïèñàííûå óãëû, îïèðàþùèåñÿ íà îäíó äóãó, ðàâíû; óãîë ìåæäó
êàñàòåëüíîé è õîðäîé ðàâåí âïèñàííîìó óãëó, îïèðàþùåìóñÿ íà õîðäó. 1.4.19.
Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïðÿìîóãîëüíûé
òðåóãîëüíèê 1.4.20.
Äâå êàñàþùèåñÿ îêðóæíîñòè
Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ðàäèóñàìè è îòðåçêàìè êàñàòåëüíûõ ó äâóõ
îêðóæíîñòåé, êàñàþùèõñÿ âíåøíèì îáðàçîì 1.4.21.
HARD
Òåîðåìà Äåçàðãà 1.4.22.
HARD
Òåîðåìà Áðèàíøîíà
Åñëè øåñòèóãîëüíèê îïèñàí îêîëî îêðóæíîñòè, òî òðè äèàãîíàëè,
ñîåäèíÿþùèå ïðîòèâîïîëîæíûå âåðøèíû ýòîãî øåñòèóãîëüíèêà,
ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó òî÷êó
1.5. Òðèãîíîìåòðèÿ. 1011 êëàññ 1.5.1.
BEST
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôîðìóëû
Âñÿ òðèãîíîìåòðèÿ ñ íóëÿ äî óðàâíåíèé 1.5.2.
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôîðìóë
Êàê óâèäåòü åñòåñòâåííîñòü ôîðìóë ñèíóñà/êîñèíóñà ñóììû/ðàçíîñòè
9

1.6. Ñòåðåîìåòðèÿ. 1011 êëàññ Ÿ1. Òåîðèÿ
1.5.3.
Àðê-ôóíêöèè. Ïðîñòåéøèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
óðàâíåíèÿ 1.5.4.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ
Êàê ðåøàòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ 1.5.5.
Ââåäåíèå âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà
1.6. Ñòåðåîìåòðèÿ. 1011 êëàññ 1.6.1.
Ïðèçíàê ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè
Åñëè ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì,
ëåæàùèì â îäíîé ïëîñêîñòè, òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè 1.6.2.
Òåîðåìà î òð¼õ ïåðïåíäèêóëÿðàõ
Ïðÿìàÿ, ïðîâåä¼ííàÿ â ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíà íåêîòîðîé
íàêëîííîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðîåêöèè
íàêëîííîé íà ýòó ïëîñêîñòü 1.6.3.
Ïðèíöèï Êàâàëüåðè
Êàê íàéòè îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïðèçìû, öèëèíäðà, òåòðàýäðà,
ïèðàìèäû, êîíóñà è øàðà 1.6.4.
BEST
Êàê ðåøàòü çàäà÷è ïî ñòåðåîìåòðèè
Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè, ðàññòîÿíèå ìåæäó
ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó ïåðïåíäèêóëÿðíûìè
ïðÿìûìè, óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè è ïëîùàäü ñå÷åíèÿ
1.7. Íåðàâåíñòâà. 1011 êëàññ 1.7.1.
Êâàäðàòíûé òð¼õ÷ëåí. Êâàäðàòíûå íåðàâåíñòâà
Êàê ðåøàòü êâàäðàòíûå íåðàâåíñòâà 1.7.2.
Ìåòîä èíòåðâàëîâ
Ðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà
10

1.8. Íà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. 1011 êëàññ Ÿ1. Òåîðèÿ
1.7.3.
BEST
ÎÄÇ
×òî íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé â
íåðàâåíñòâàõ 1.7.4.
BEST
Ìåòîä ðàöèîíàëèçàöèè
1.8. Íà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. 1011 êëàññ 1.8.1.
Ñòåïåíü ñ äåéñòâèòåëüíûì ïîêàçàòåëåì
Î òîì, ÷òî òàêîå âîçâåäåíèå â èððàöèîíàëüíóþ ñòåïåíü 1.8.2.
BEST
Ñòåïåíü ñ äåéñòâèòåëüíûì ïîêàçàòåëåì 2.0 1.8.3.
Ëîãàðèôì
Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, ãðàôèê ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè,
ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ãðàôèê ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè 1.8.4.
Âñå ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ 1.8.5.
Êàê îöåíèòü ëîãàðèôì 1.8.6.
×èñëà e,  è äðóãèå èððàöèîíàëüíîñòè 1.8.7.
BEST
×èñëî e
Îòêóäà âçÿëèñü ñâîéñòâà ÷èñëà e1.8.8.
HARD
Èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà 1.8.9.
×òî áîëüøå e
èëè e
? 1.8.10.
HARD
Ïðî ñ÷åòíûå ìíîæåñòâà è êîíòèíóóì
Öåëûõ, ðàöèîíàëüíûõ è äàæå àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë (íóëåé
ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè) ñ÷¼òíîå êîëè÷åñòâî, òî åñòü
èõ ¾ñòîëüêî æå¿, ñêîëüêî è íàòóðàëüíûõ. Äåéñòâèòåëüíûõ æå ÷èñåë
áîëüøå,  èõ êîíòèíóóì. Íî ìîæíî ëè ¾ïîùóïàòü¿ ýòîò êîíòèíóóì?
11

1.8. Íà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. 1011 êëàññ Ÿ1. Òåîðèÿ
1.8.11.
Àñèìïòîòà 1.8.12.
Ïðîèçâîäíàÿ 1.8.13.
Êàñàòåëüíàÿ
×òî òàêîå êàñàòåëüíàÿ, ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé, óðàâíåíèå
êàñàòåëüíîé 1.8.14.
Ïðîèçâîäíàÿ ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî 1.8.15.
Ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè è ïðîèçâîäíàÿ
îáðàòíîé ôóíêöèè
Ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè; ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé ôóíêöèè;
ïðîèçâîäíàÿ ïîêàçàòåëüíîé è ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèé; ïðîèçâîäíàÿ
àðê-ôóíêöèé 1.8.16.
HARDBEST
Ýêñòðåìóì
Ïðî òî, êàê ìîæåò âûãëÿäåòü ãðàôèê ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè òî÷åê
ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà 1.8.17.
HARD
Ýêñòðåìóì 2.0
Ïðî òî, êàê ìîæåò âûãëÿäåòü ãðàôèê ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè òî÷åê
ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà 1.8.18.
BEST
Èíòåãðàë
×òî òàêîå ïåðâîîáðàçíàÿ è îïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ôîðìóëà
Íüþòîíà-Ëåéáíèöà 1.8.19.
HARD
Âèä óðàâíåíèé êðèâûõ, ïîñëå ïîâîðîòà íà
íåêîòîðûé óãîë
Êàê çàïèñàòü óðàâíåíèå ïàðàáîëû è ãèïåðáîëû, ïîâåðíóòûõ íà
íåêîòîðûé óãîë. 1.8.20.
HARD
Ýëëèïñ, ïàðàáîëà è ãèïåðáîëà
Ïðî êîíè÷åñêèå ñå÷åíèÿ
12

1.9. Òåîðèÿ ÷èñåë Ÿ1. Òåîðèÿ
1.9. Òåîðèÿ ÷èñåë
1.9.1.
Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 11 1.9.2.
Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà
Åñëè p ïðîñòîå ÷èñëî, à n öåëîå ÷èñëî, òî np
näåëèòñÿ íà p. 1.9.3.
HARD
Îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè
Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî áîëüøåå åäèíèöû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ÷èñåë, ïðè÷åì òàêîå ïðåäñòàâëåíèå
åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè ñîìíîæèòåëåé. 1.9.4.
Íåëèíåéíûå äèîôàíòîâû óðàâíåíèÿ
Êàê ðåøàòü óðàâíåíèÿ âèäà Am+Bn =C mn . 1.9.5.
Àðèôìåòèêà îñòàòêîâ. Ñðàâíåíèå ïî ìîäóëþ 1.9.6.
Ïðèçíàêè äåëèìîñòè. Ñðàâíåíèå ïî ìîäóëþ 1.9.7.
Çàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî äåëèìîñòè. Ìàëàÿ òåîðåìà
Ôåðìà 1.9.8.
HARD
Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà è òåîðåìà Ýéëåðà 1.9.9.
HARD
Ïðèìåíåíèå òåîðèè ÷èñåë â êðèïòîãðàôèè
Î òîì, íà êàêèõ èäåÿõ ñòîèò ñîâðåìåííàÿ êðèïòîãðàôèÿ.
1.10. Êëàññè÷åñêèå íåðàâåíñòâà 1.10.1.
Íåðàâåíñòâà. Ââåäåíèå
Ïðî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå, ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå, ñðåäíåå
êâàäðàòè÷íîå, ñðåäíåå ãàðìîíè÷åñêîå, ñðåäíåå ñòåïåííîå è ñâÿçü ìåæäó
íèìè
13

1.11.
HARD
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà Ÿ1. Òåîðèÿ 1.10.2.
Íåðàâåíñòâî î ñðåäíèõ
Íåðàâåíñòâî ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì, ñðåäíèì
ãåîìåòðè÷åñêèì è ñðåäíèì ãàðìîíè÷åñêèì äëÿ n÷èñåë:
a 1 +
: : : +a
n n
>
n
p a
1 : : : a
n> 
a
1
1 +
: : : +a
1
n n

1 1.10.3.
Íåðàâåíñòâî Êîøè  Áóíÿêîâñêîãî
1.11. HARD
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà 1.11.1.
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ââåäåíèå 1.11.2.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
Ôîðìóëà Ìóàâðà 1.11.3.
HARDBEST
Ôîðìóëà Êàðäàíî
Êàê ðåøàòü êóáè÷åñêèå óðàâíåíèÿ 1.11.4.
HARD
Ôîðìóëà Ôåððàðè
Êàê ðåøàòü óðàâíåíèÿ ÷åòâ¼ðòîé ñòåïåíè 1.11.5.
HARD
Ñòåïåíü ñ êîìïëåêñíûì ïîêàçàòåëåì
14

Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ
Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ
2.13. Çàäàíèå 13
Çàäà÷à 2.13.1. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
à) Ðåøèòå óðàâíåíèå log
7(
x + 2) = log
49x4
.
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó 
log 61 7
; log
635 
.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.13.2. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà)
à) Ðåøèòå óðàâíåíèå 2 (log
2(2 sin
x)) 2
5 log
2(2 sin
x) + 2 = 0 :
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó h
 2
; 2
i
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.13.3. (ÅÃÝ-2018. Äîñðî÷íàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
à) Ðåøèòå óðàâíåíèå p x
3
4x 2
10x+ 29 = 3 x.
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó 
p 3;
p 30

.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.13.4. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
à) Ðåøèòå óðàâíåíèå x 3p x
1 + 1 = 0
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó 
p 3;
p 20

.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.13.5. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
à) Ðåøèòå óðàâíåíèå sin
x sin
2
x 2
= 4 cos
2
x 2
.
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó 
9
 2
;
3 
.
ÎòâåòÐåøåíèå
15

2.13. Çàäàíèå 13 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ
Çàäà÷à 2.13.6.
(ÅÃÝ-2018. Äåìîâåðñèÿ)
à) Ðåøèòå óðàâíåíèå cos 2x= 1 cos 
 2

x
.
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó 
5
 2
;

.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.13.7. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
à) Ðåøèòå óðàâíåíèå 8x
92x
+1
+ 2 5
x
= 0 .
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó [log
52; log
520]
.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.13.8. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
à) Ðåøèòå óðàâíåíèå cos2
( x) sin 
x + 3
 2

= 0 .
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó 
5 2
; 4

.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.13.9. (ÅÃÝ-2016. Îñíîâíàÿ âîëíà)
à) Ðåøèòå óðàâíåíèå 8 sin2
x + 2 p 3 cos

3 2

x
= 9 .
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó 
5
 2
;

.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.13.10. (ÅÃÝ-2016)
à) Ðåøèòå óðàâíåíèå 2 (log
3(2 cos
x)) 2
5 log
3(2 cos
x) + 2 = 0 .
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó 
 ; 5
 2

:
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.13.11. à) Ðåøèòå óðàâíåíèå
sin x+ 
cos x 2

sin x 2
 
cos x 2
+ sin
x 2

= 0 :
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó 
 ; 5
 2

.
ÎòâåòÐåøåíèå
16

2.14. Çàäàíèå 14 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ
Çàäà÷à 2.13.12.
à) Ðåøèòå óðàâíåíèå log
4(sin
x+ sin 2 x+ 16) = 2 .
á) Óêàæèòå êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó 
4 ; 5
 2

.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.13.13. à) Ðåøèòå óðàâíåíèå 
1 49

sin x
= 7 2 sin 2
x
.
á) Óêàæèòå êîðíè íà 
3 2
; 3

.
ÎòâåòÐåøåíèå
2.14. Çàäàíèå 14
Çàäà÷à 2.14.1. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
 ïðÿìîì êðóãîâîì êîíóñå ñ âåðøèíîé Sè öåíòðîì îñíîâàíèÿ Oðàäèóñ
îñíîâàíèÿ ðàâåí 13, à âûñîòà ðàâíà 3p 41
. Òî÷êè AèB  êîíöû îáðà-
çóþùèõ, M ñåðåäèíà S A,N  òî÷êà â ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ òàêàÿ, ÷òî
ïðÿìàÿ M Nïàðàëëåëüíà ïðÿìîé S B.
à) Äîêàæèòå, ÷òî óãîë AN Oïðÿìîé.
á) Íàéäèòå óãîë ìåæäó M Bè ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ, åñëè äîïîëíèòåëü-
íî èçâåñòíî, ÷òî AB= 10 .
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.14.2. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà âîëíà)
 òðåóãîëüíîé ïèðàìèäå S AB C S B=S C =AC =AB =p 17
; S A =
BC = 2p 5
.
à) Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå BCèS A ïåðïåíäèêóëÿðíû.
á) Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè BCèS A .
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.14.3. (ÅÃÝ-2018. Äîñðî÷íàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
 ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìå ABC A
1B
1C
1âñå ðåáðà ðàâíû
2. Òî÷êà
M  ñåðåäèíà ðåáðà AA
1.
à) Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå M BèB
1C
ïåðïåíäèêóëÿðíû.
á) Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè M BèB
1C
.
ÎòâåòÐåøåíèå
17

2.14. Çàäàíèå 14 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ
Çàäà÷à 2.14.4.
(ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Íà îêðóæíîñòè îäíîãî èç îñíîâàíèé êðóãîâîãî ïðÿìîãî öèëèíäðà îòìå-
÷åíû òî÷êè AèB, à íà îêðóæíîñòè äðóãîãî îñíîâàíèÿ òî÷êè B
1 è
C
1.
Ïðè ýòîì BB
1 îáðàçóþùàÿ öèëèíäðà, à îòðåçîê
AC
1ïåðåñåêàåò îñü
öèëèíäðà.
à) Äîêàæèòå, ÷òî óãîë C
1BA
ïðÿìîé.
á) Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Bäî AC
1, åñëè
AB= 12 ,BB
1= 4
è
B 1C
1= 3
.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.14.5. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Äàíà ïðàâèëüíàÿ ÷åòûðåõóãîëüíàÿ ïðèçìà ABC DA
1B
1C
1D
1. Íà ðåáðå
AA 1îòìå÷åíà òî÷êà
Kòàê, ÷òî AK:K A
1=
1 : 2 . Ïëîñêîñòü ïðîõîäèò
÷åðåç òî÷êè BèK ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé AC. Ýòà ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò
ðåáðî DD
1â òî÷êå
M.
à) Äîêàæèòå, ÷òî DM:M D
1= 2 : 1
.
á) Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ, åñëè AB= 4,AA
1= 6
.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.14.6. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Äëèíà äèàãîíàëè êóáà ABC DA
1B
1C
1D
1ðàâíà 3. Íà ëó÷å
A
1C
îòìå÷åíà
òî÷êà Pòàê, ÷òî A
1P
= 4 .
à) Äîêàæèòå, ÷òî ãðàíü P BDC
1 ïðàâèëüíûé òåòðàýäð.
á) Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà AP.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.14.7. (ÅÃÝ-2016. Îñíîâíàÿ âîëíà)
 ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìå ABC A
1B
1C
1ñòîðîíà îñíîâàíèÿ
AB=
6 , à áîêîâîå ðåáðî AA
1= 3
. Íà ðåáðå ABîòìå÷åíà òî÷êà Kòàê, ÷òî
AK = 1. Òî÷êè MèL ñåðåäèíû ðåáåð A
1C
1 è
B
1C
1 ñîîòâåòñòâåííî.
Ïëîñêîñòü
ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé ACè ñîäåðæèò òî÷êè KèL.
à) Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ M Bïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè
.
á) Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Cäî ïëîñêîñòè
.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.14.8. (ÅÃÝ-2016. Îñíîâíàÿ âîëíà)
 ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäå S AB C DñòîðîíàABîñíîâà-
íèÿ ðàâíà 2p 3
, à âûñîòà S Hïèðàìèäû ðàâíà 3. Òî÷êè MèN  ñåðåäèíû
18

2.15. Çàäàíèå 15 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ
ðåáåð
C DèAB , ñîîòâåòñòâåííî, à N T âûñîòà ïèðàìèäû N S C Dñ âåð-
øèíîé Nè îñíîâàíèåì S C D.
à) Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà Tÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé S M.
á) Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó N TèS C .
ÎòâåòÐåøåíèå
2.15. Çàäàíèå 15
Çàäà÷à 2.15.1. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 4
x
2
+ x 4
0;5 2
x 2
2x 1 0
;2 5x
1 6
0:
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.15.2. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà)
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 9
x
+ 2 3x
117 3
x
27 6
1.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.15.3. (ÅÃÝ-2018. Äîñðî÷íàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
BEST Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 3x
2
5x
1
> 3.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.15.4. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log
11(8
x2
+ 7) log
11(
x 2
+ x+ 1) >log
11
x x
+ 5 + 7
.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.15.5. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 2x
+1
+ 0 ;5 x
3
> 17.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.15.6. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 6
x
43x x
2x
52x
4x + 20 6
1 x
5.
ÎòâåòÐåøåíèå
19

2.16. Çàäàíèå 16 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ
Çàäà÷à 2.15.7.
(ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (9x
23x
)2
62 (9 x
23x
) 63 >0.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.15.8. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log2
2 (25
x2
) 7 log
2(25
x2
) + 12 >0.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.15.9. (ÅÃÝ-2016. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 25
x
5x
+2
+ 26 5
x
1 +
25
x
75x
+ 1 5
x
7 6
25x
24.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.15.10. (ÅÃÝ-2016. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 2 log
(x 2
8x +17) 2
(3
x2
+ 5) 6log
x2
8x +17 (2
x2
+ 7 x+ 5) .
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.15.11. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 4
log 4sin 3
x
2
+ 8 log 2sin
x> 1.
ÎòâåòÐåøåíèå
2.16. Çàäàíèå 16
Çàäà÷à 2.16.1. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà)
BESTHARD Òî÷êèMèN  ñåðåäèíû ñîîòâåòñòâåííî áîêîâûõ ñòîðîí AB
è C D òðàïåöèè ABC D. Îêðóæíîñòü ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè BèC
ïåðåñåêàåò îòðåçêè M BèC N â òî÷êàõ PèQ ñîîòâåòñòâåííî.
à) Äîêàæèòå, ÷òî M,P ,Q èN ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè.
á) Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà QN, åñëè BC= 4;5 , AD = 21 ;5 , AB = 26 ,
C D = 25 , à óãîë C P D ïðÿìîé.
ÎòâåòÐåøåíèå
20

2.16. Çàäàíèå 16 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ
Çàäà÷à 2.16.2.
(ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
Äâå îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíåøíèì îáðàçîì â òî÷êå K. Ïðÿìàÿ ABêà-
ñàåòñÿ ïåðâîé îêðóæíîñòè â òî÷êå A, à âòîðîé  â òî÷êå B. Ïðÿìàÿ BK
ïåðåñåêàåò ïåðâóþ îêðóæíîñòü â òî÷êå D, ïðÿìàÿ AKïåðåñåêàåò âòî-
ðóþ îêðóæíîñòü â òî÷êå C.
à) Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå ADèBC ïàðàëëåëüíû.
á) Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABK, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ðàäèóñû
îêðóæíîñòåé ðàâíû 4è 1.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.16.3. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Îêðóæíîñòü âûñåêàåò íà âñåõ ñòîðîíàõ òðàïåöèè ABC Dðàâíûå îòðåç-
êè.
à) Äîêàæèòå, ÷òî áèññåêòðèñû âñåõ óãëîâ òðàïåöèè ïåðåñåêàþòñÿ â îä-
íîé òî÷êå.
á) Ïóñòü îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò áîêîâóþ ñòîðîíó ABâ òî÷êàõ KèL
òàê, ÷òî AK= 23 ,K L = 4 èLB = 2. Íàéäèòå âûñîòó òðàïåöèè.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.16.4. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
Òî÷êà E ñåðåäèíà ñòîðîíû BCêâàäðàòà ABC D. Ñåðåäèííûå ïåðïåí-
äèêóëÿðû ê îòðåçêàì AEèE C ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O.
à) Äîêàæèòå, ÷òî \AOE = 90
.
á) Íàéäèòå BO:OD .
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.16.5. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
 òðåóãîëüíèêå ABCòî÷êè A
1B

C
1  ñåðåäèíû ñòîðîí
BC; ACèAB
ñîîòâåòñòâåííî, AH âûñîòà, \BAC = 60
, \ BC A = 45
.
à) Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè A
1,
B
1,
C
1 è
H ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè.
á) Íàéäèòå A
1H
, åñëè BC= 2p 3
.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.16.6. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Òî÷êà M ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû ABòðåóãîëüíèêà ABC. Ñåðåäèííûé
ïåðïåíäèêóëÿð ê ãèïîòåíóçå ïåðåñåêàåò êàòåò BCâ òî÷êå N.
21

2.16. Çàäàíèå 16 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ
à) Äîêàæèòå, ÷òî
\C AN =\C M N .
á) Íàéäèòå îòíîøåíèå ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé, îïèñàííûé îêîëî òðåóãîëü-
íèêîâ AN BèC BM , åñëè tg\BAC =4 3
.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.16.7. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
 òðåóãîëüíèêå ABCóãîëBòóïîé, H òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò, óãîë
AH C ðàâåí 60
.
à) Äîêàæèòå, ÷òî óãîë ABCðàâåí 120
.
á) Íàéäèòå BH, åñëè AB= 7,BC = 8.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.16.8. (ÅÃÝ-2016. Îñíîâíàÿ âîëíà)
 òðåóãîëüíèêå ABCïðîâåäåíû âûñîòû AKèC M . Íà íèõ èç òî÷åê M
è K îïóùåíû ïåðïåíäèêóëÿðû M EèK H ñîîòâåòñòâåííî.
à) Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå AHèAC ïàðàëëåëüíû;
á) Íàéäèòå îòíîøåíèå E H:AC , åñëè óãîë ABCðàâåí 30
:
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.16.9. (ÅÃÝ-2016. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Êâàäðàò ABC Dâïèñàí â îêðóæíîñòü. Õîðäà C Eïåðåñåêàåò åãî äèàãî-
íàëü BDâ òî÷êå K.
à) Äîêàæèòå, ÷òî C KC E =AB C D .
á) Íàéäèòå îòíîøåíèå C KêK E , åñëè \E C D = 15
.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.16.10. (ÅÃÝ-2016)
Äàí ïàðàëëåëîãðàìì ABC D. Îêðóæíîñòè, âïèñàííûå â òðåóãîëüíèêè
ABD èBC D , êàñàþòñÿ äèàãîíàëè BDâ òî÷êàõ MèN ñîîòâåòñòâåííî.
Îêðóæíîñòè, âïèñàííûå â òðåóãîëüíèêè ABCèAC D , êàñàþòñÿ äèàãî-
íàëè ACâ òî÷êàõ PèQ ñîîòâåòñòâåííî.
à) Äîêàæèòå, ÷òî M P N Q ïðÿìîóãîëüíèê.
á) Íàéäèòå ïëîùàäü ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ADAB = 4,
à óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâåí 30
.
ÎòâåòÐåøåíèå
22

2.17.
NEW
Çàäàíèå 17 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ 2.17.
NEW
Çàäàíèå 17
Çàäà÷à 2.17.1. (ÅÃÝ-2019 è ÅÃÝ-2016. Äîñðî÷íàÿ âîëíà)
 èþëå 2020 ãîäà ïëàíèðóåòñÿ âçÿòü êðåäèò â áàíêå íà ÷åòûðå ãîäà â
ðàçìåðå Sìëí. ðóáëåé, ãäå S íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Óñëîâèÿ âîçâðàòà
òàêîâû:
 êàæäûé ÿíâàðü äîëã óâåëè÷èâàåòñÿ íà 15% ïî ñðàâíåíèþ ñ êîíöîì
ïðåäûäóùåãî ãîäà;
 ñ ôåâðàëÿ ïî èþíü êàæäîãî ãîäà íåîáõîäèìî âûïëàòèòü ÷àñòü äîëãà;
 â èþëå êàæäîãî ãîäà äîëã äîëæåí ñîñòàâëÿòü ÷àñòü êðåäèòà â ñîîòâåò-
ñòâèè ñî ñëåäóþùåé òàáëèöåé. Ìåñÿö è ãîä 07.20 07.21 07.22 07.23 07.24
Äîëã (â ìëí. ðóáëåé) S 0
;8 S 0
;5 S 0
;1 S 0
Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
S, ïðè êîòîðîì îáùàÿ ñóììà âûïëàò áóäåò
ìåíüøå 50 ìëí. ðóáëåé.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.17.2. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
Ñòðîèòåëüñòâî íîâîãî çàâîäà ñòîèò 220 ìëí. ðóáëåé. Çàòðàòû íà ïðîèç-
âîäñòâî xòûñ. åä. ïðîäóêöèè íà òàêîì çàâîäå ðàâíû 0;5 x 2
+ x+ 7 ìëí.
ðóáëåé â ãîä. Åñëè ïðîäóêöèþ çàâîäà ïðîäàâàòü ïî öåíå pòûñ. ðóáëåé çà
åäèíèöó, òî ïðèáûëü ôèðìû (â ìëí. ðóëåé) çà îäèí ãîä áóäåò ñîñòàâëÿòü
px (0;5 x 2
+ x+ 7) .
Êîãäà çàâîä áóäåò ïîñòðîåí, ôèðìà áóäåò âûïóñêàòü ïðîäóêöèþ â òàêîì
êîëè÷åñòâå, ÷òîáû ïðèáûëü áûëà íàèáîëüøåé.  ïåðâûé ãîä, ïîñëå çà-
ïóñêà çàâîäà, ïðîäóêöèþ çàïëàíèðîâàëè ïðîäàâàòü ïî p= 9 òûñ. ðóáëåé
çà åäèíèöó, à êàæäûé ñëåäóþùèé ãîä öåíó áóäóò ïîâûøàòü íà 1 òûñ.
ðóáëåé çà åäèíèöó. Çà ñêîëüêî ëåò îêóïèòñÿ ñòðîèòåëüñòâî çàâîäà?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.17.3. (ÅÃÝ-2019. Äåìîâåðñèÿ; ÅÃÝ-2016. Îñíîâíàÿ âîëíà)
15-ãî ÿíâàðÿ ïëàíèðóåòñÿ âçÿòü êðåäèò â áàíêå íà 1 ìëí. ðóáëåé íà 6 ìå-
ñÿöåâ. Óñëîâèÿ åãî âîçâðàòà òàêîâû:
 1-ãî ÷èñëà êàæäîãî ìåñÿöà äîëã âîçðàñòàåò íà öåëîå ÷èñëî rïðîöåíòîâ
ïî ñðàâíåíèþ ñ êîíöîì ïðåäûäóùåãî ìåñÿöà;
23

2.17.
NEW
Çàäàíèå 17 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ  ñî 2-ãî ïî 14-å ÷èñëî êàæäîãî ìåñÿöà íåîáõîäèìî âûïëàòèòü ÷àñòü äîë-
ãà;
 15-ãî ÷èñëà êàæäîãî ìåñÿöà äîëã äîëæåí ñîñòàâëÿòü íåêîòîðóþ ñóììó
â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäóþùåé òàáëèöåé: Äàòà 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Äîëã (â ìëí. ðóá.) 1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0
Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
r, ïðè êîòîðîì îáùàÿ ñóììà âûïëàò áóäåò
ñîñòàâëÿòü ìåíåå 1,2 ìëí. ðóáëåé.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.17.4. (ÅÃÝ-2018. Äîñðî÷íàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
 ðåãèîíå Añðåäíåìåñÿ÷íûé äîõîä íà äóøó íàñåëåíèÿ â 2014 ãîäó ñî-
ñòàâëÿë 43 740 ðóáëåé è åæåãîäíî óâåëè÷èâàëñÿ íà 25%.  ðåãèîíå B
ñðåäíåìåñÿ÷íûé äîõîä íà äóøó íàñåëåíèÿ â 2014 ãîäó ñîñòàâëÿë 60 000
ðóáëåé.  òå÷åíèå òð¼õ ëåò ñóììàðíûé äîõîä æèòåëåé ðåãèîíà Bóâåëè-
÷èâàëñÿ íà 17% åæåãîäíî, à íàñåëåíèå óâåëè÷èâàëîñü íà m% åæåãîäíî.
 2017 ãîäó ñðåäíåìåñÿ÷íûé äîõîä íà äóøó íàñåëåíèÿ â ðåãèîíàõ AèB
ñòàë îäèíàêîâûì. Íàéäèòå m.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.17.5. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
 èþëå 2018ãîäà ïëàíèðóåòñÿ âçÿòü êðåäèò â áàíêå íà ÷åòûðå ãîäà â
ðàçìåðå Sìëí. ðóáëåé, ãäå S íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Óñëîâèÿ âîçâðàòà
òàêîâû:
 êàæäûé ÿíâàðü äîëã óâåëè÷èâàåòñÿ íà 20% ïî ñðàâíåíèþ ñ êîíöîì
ïðåäûäóùåãî ãîäà;
 ñ ôåâðàëÿ ïî èþíü êàæäîãî ãîäà íåîáõîäèìî âûïëàòèòü ÷àñòü äîëãà.
Ñêîëüêî ðóáëåé íåîáõîäèìî âçÿòü â áàíêå, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êðåäèò
áóäåò ïîëíîñòüþ ïîãàøåí ÷åòûðüìÿ ðàâíûìè ïëàòåæàìè, è áàíêó áóäåò
âûïëà÷åíî 311 040 ðóáëåé?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.17.6. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
Çàâèñèìîñòü îáúåìà Q(â øò.) êóïëåííîãî ó ôèðìû òîâàðà îò öåíû P(â
24

2.17.
NEW
Çàäàíèå 17 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ ðóá. çà øò.) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
Q= 15000 P,1000 6P6 1500 . Äî-
õîä îò ïðîäàæè òîâàðà ñîñòàâëÿåò P Qðóáëåé. Çàòðàòû íà ïðîèçâîäñòâî
Q åäèíèö òîâàðà ñîñòàâëÿþò 3000Q+ 5000000 ðóáëåé. Ïðèáûëü ðàâíà
ðàçíîñòè äîõîäà îò ïðîäàæè òîâàðà è çàòðàò íà åãî ïðîèçâîäñòâî. Ñòðå-
ìÿñü ïðèâëå÷ü âíèìàíèå ïîêóïàòåëåé, ôèðìà óìåíüøèëà öåíó òîâàðà íà
20%, îäíàêî å¼ ïðèáûëü íå èçìåíèëàñü. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñëåäóåò
óâåëè÷èòü ñíèæåííóþ öåíó, ÷òîáû äîáèòüñÿ íàèáîëüøåé ïðèáûëè?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.17.7. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Ïåíñèîííûé ôîíä âëàäååò öåííûìè áóìàãàìè, êîòîðûå ñòîÿò t2
òûñ. ðóá-
ëåé â êîíöå ãîäà t(t = 1; 2; : : :). Â êîíöå ëþáîãî ãîäà ïåíñèîííûé ôîíä
ìîæåò ïðîäàòü öåííûå áóìàãè è ïîëîæèòü äåíüãè íà ñ÷¼ò â áàíêå, ïðè
ýòîì â êîíöå êàæäîãî ñëåäóþùåãî ãîäà ñóììà íà ñ÷¼òå áóäåò óâåëè÷è-
âàòüñÿ â (1 +r) ðàç. Ïåíñèîííûé ôîíä õî÷åò ïîëó÷èòü îò ñâîèõ öåííûõ
áóìàã ìàêñèìàëüíóþ âûãîäó: ïðîäàòü èõ â òàêîé ìîìåíò, ÷òîáû â êîíöå
äâàäöàòü ïÿòîãî ãîäà ñóììà íà åãî ñ÷åòå áûëà íàèáîëüøåé (âûêóïèòü èõ
îáðàòíî îí íå ìîæåò).
Ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ ìàêñèìàëüíîé âûãîäû öåííûå áóìàãè íóæíî
ïðîäàòü ñòðîãî â êîíöå äâàäöàòü ïåðâîãî ãîäà. Ïðè êàêèõ ïîëîæèòåëü-
íûõ çíà÷åíèÿõ rýòî âîçìîæíî?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.17.8. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Âàäèì ÿâëÿåòñÿ âëàäåëüöåì äâóõ çàâîäîâ â ðàçíûõ ãîðîäàõ. Íà çàâîäàõ
ïðîèçâîäÿòñÿ àáñîëþòíî îäèíàêîâûå òîâàðû ñ èñïîëüçîâàíèåì îäèíàêî-
âûõ òåõíîëîãèé. Åñëè ðàáî÷èå íà îäíîì èç çàâîäîâ òðóäÿòñÿ ñóììàðíî
t 2
÷àñîâ â íåäåëþ, òî çà ýòó íåäåëþ îíè ïðîèçâîäÿò tåäèíèö òîâàðà. Çà
êàæäûé ÷àñ ðàáîòû íà çàâîäå, ðàñïîëîæåííîì â ïåðâîì ãîðîäå, Âàäèì
ïëàòèò ðàáî÷åìó 200ðóáëåé, à íà çàâîäå ðàñïîëîæåííîì âî âòîðîì ãî-
ðîäå  300ðóáëåé. Âàäèì ãîòîâ âûäåëÿòü 1 200 000 ðóáëåé â íåäåëþ íà
îïëàòó òðóäà ðàáî÷èõ. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî åäèíèö ïðîäóêöèè
ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ ìîæíî ïðîèçâåñòè çà íåäåëþ íà ýòèõ äâóõ çàâîäàõ?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.17.9. (ÅÃÝ-2016. Îñíîâíàÿ âîëíà)
 èþëå 2016 ãîäà ïëàíèðóåòñÿ âçÿòü êðåäèò â áàíêå íà ïÿòü ëåò â ðàçìå-
ðå Sòûñ. ðóáëåé. S íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Óñëîâèÿ åãî âîçâðàòà òàêîâû:
25

2.18.
NEW
Çàäàíèå 18 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ  êàæäûé ÿíâàðü äîëã âîçðàñòàåò íà 20% ïî ñðàâíåíèþ ñ êîíöîì ïðåäû-
äóùåãî ãîäà;
 ñ ôåâðàëÿ ïî èþíü êàæäîãî ãîäà íåîáõîäèìî âûïëàòèòü ÷àñòü äîëãà;
 â èþëå 2017, 2018 è 2019 äîëã îñòà¼òñÿ ðàâíûì Sòûñ. ðóáëåé;
 âûïëàòû â 2020 è 2021 ãîäàõ ðàâíû ïî 360 òûñ. ðóáëåé;
 ê èþëþ 2021ãîäà äîëã äîëæåí áûòü âûïëà÷åí ïîëíîñòüþ.
Íàéäèòå îáùóþ ñóììó âûïëàò çà ïÿòü ëåò â òûñ. ðóáëåé.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.17.10.  äâóõ îáëàñòÿõ åñòü ïî 160 ðàáî÷èõ, êàæäûé èç êîòî-
ðûõ ãîòîâ òðóäèòüñÿ ïî 5 ÷àñîâ â ñóòêè íà äîáû÷å àëþìèíèÿ èëè íèêåëÿ.
 ïåðâîé îáëàñòè îäèí ðàáî÷èé çà ÷àñ äîáûâàåò 0,1 êã àëþìèíèÿ èëè 0,1
êã íèêåëÿ. Âî âòîðîé îáëàñòè äëÿ äîáû÷è xêã. àëþìèíèÿ â äåíü òðåáóåò-
ñÿ x2
÷åëîâåêî-÷àñîâ òðóäà, à äëÿ äîáû÷è yêã. íèêåëÿ â äåíü òðåáóåòñÿ y2
÷åëîâåêî-÷àñîâ òðóäà. Äëÿ íóæä ïðîìûøëåííîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü
èëè àëþìèíèé, èëè íèêåëü, ïðè÷¼ì 1 êã àëþìèíèÿ ìîæíî çàìåíèòü 1 êã
íèêåëÿ. Êàêóþ íàèáîëüøóþ ìàññó ìåòàëëîâ ìîæíî çà ñóòêè ñóììàðíî
äîáûòü â äâóõ îáëàñòÿõ?
ÎòâåòÐåøåíèå
2.18. NEW
Çàäàíèå 18
Çàäà÷à 2.18.1. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
BEST Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå
cos x+ 2 sin x= a
èìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ íà îòðåçêå 
 4
;
3
 4

?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.2. (ÅÃÝ-2019. Äåìîâåðñèÿ)
Íàéäèòå âñå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà
(
(jx j 5)2
+ ( y 4)2
= 9;
( x + 2) 2
+ y2
= a2
èìååò ðîâíî îäèí êîðåíü.
ÎòâåòÐåøåíèå
26

2.18.
NEW
Çàäàíèå 18 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ Çàäà÷à 2.18.3.
(ÅÃÝ-2019. Îñíîâíàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå
x 2
a(a + 1) x+ a3 p
2 +
x x2 = 0
èìååò äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.4. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ íàèìåíüøåå çíà÷åíèå
ôóíêöèè f(x ) = axa 1 + jx 2
4x + 3 jìåíüøå, ÷åì 2.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.5. (ÅÃÝ-2018. Äîñðî÷íàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
BEST Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé
( x2
+ y2
= a2
;
xy =a2
3a
èìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.6. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
BEST Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé
( x2
+ y= j2 a 4j;
x 4
+ y2
= a2
èìååò ðîâíî ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.7. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå



x
+ a
2 x
+ 1


+


x
+ a
2 x

1


= 2
èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü?
ÎòâåòÐåøåíèå
27

2.18.
NEW
Çàäàíèå 18 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ Çàäà÷à 2.18.8.
(ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé
( (x + ay 4)( x+ ay 4a ) = 0;
x 2
+ y2
= 9
èìååò ðîâíî ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.9. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé
( x4
y4
= 10 a 24;
x 2
+ y2
= a
èìååò ðîâíî ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.10. (ÅÃÝ-2018. Äîñðî÷íàÿ âîëíà)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé
( ((x + 5) 2
+ y2
a2
) ln(9 x2
y2
) = 0;
(( x + 5) 2
+ y2
a2
)( x + y a+ 5) = 0
èìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.11. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé
( (y 2
xy +x 3y + 2) p x
+ 3 = 0;
a x y= 0
èìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
ÎòâåòÐåøåíèå
28

2.18.
NEW
Çàäàíèå 18 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ Çàäà÷à 2.18.12.
(ÅÃÝ-2017)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà
( jx j j aj 6 4;
x 2
+ 8 x < 16a+ 48
èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü íà îòðåçêå [ 1; 0] .
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.13. (ÅÃÝ-2017)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå
ln(4 x 1)p x
2
6x + 6 a a2
= 0
èìååò ðîâíî îäèí êîðåíü íà îòðåçêå [0; 3].
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.14. (ÅÃÝ-2017)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà
8
>
<
>
: ax
>2;
p x
1> a ;
3 x 6 2a + 11
èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü íà îòðåçêå [3; 4].
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.15. (ÅÃÝ-2017)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå
p 2
x 1 ln(4 x a) = p 2
x 1 ln(5 x+ a)
èìååò ðîâíî îäèí êîðåíü íà îòðåçêå [0; 1].
ÎòâåòÐåøåíèå
29

2.18.
NEW
Çàäàíèå 18 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ Çàäà÷à 2.18.16.
(ÅÃÝ-2016)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé
( x(x 2
+ y2
y 2) = jx j( y 2);
y = a+ x
èìååò ðîâíî òðè ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.17. (ÅÃÝ-2016)
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå
p x
4
x2
+ a2
= x2
+ x a
èìååò ðîâíî òðè ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.18. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâ-
íåíèå jlog
5(
x 2
) aj j log
5x
+ 2 aj = (log
5x
)2
èìååò ðîâíî ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.19. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâ-
íåíèå
(jx 2j + jx aj) 2
+ ( a 30)( jx 2j + jx aj) + 90 a 12a2
= 0
èìååò íå ìåíåå ÷åòûðåõ ðàçëè÷íûõ êîðíåé.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.20. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâ-
íåíèå 5x + j2 x j x+ ajj = 10 jx + 1 j
èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü.
ÎòâåòÐåøåíèå
30

2.18.
NEW
Çàäàíèå 18 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ Çàäà÷à 2.18.21.
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâ-
íåíèå p x
+ p 2
a x= aèìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.22. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâ-
íåíèå
jx a2
+ a+ 2 j+ jx a2
+ 3 a 1j = 2 a 3
èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü, íî íè îäèí èç êîðíåé íå ïðèíàäëåæèò ïðî-
ìåæóòêó (4; 19).
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.23. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñè-
ñòåìà (
(ay ax + 2)( y x+ 3 a) = 0;
j xy j= a
èìååò ðîâíî øåñòü ðàçëè÷íûõ êîðíåé.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.24. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâ-
íåíèå x2
2a sin(cos x) + a2
= 0
èìååò ðîâíî îäèí êîðåíü.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.25. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ íàè-
ìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè f(x ) = 4 x2
4ax +a2
+ 2 a+ 2 íà ìíîæåñòâå
j x j> 1íå ìåíüøå 6.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.18.26. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ íàè-
ìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè f(x ) = 2 ax+jx 2
8x + 7 jáîëüøå 1.
ÎòâåòÐåøåíèå
31

2.19.
NEW
Çàäàíèå 19 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ Çàäà÷à 2.18.27.
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ íåðà-
âåíñòâî


x
2
+ ax + 1 x
2
+ x+ 1


<
3ñïðàâåäëèâî ïðè âñåõ x.
ÎòâåòÐåøåíèå
2.19. NEW
Çàäàíèå 19
Çàäà÷à 2.19.1. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ, ðåçåðâíûé äåíü)
Ñêëàä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, äëèíû ðåáåð
êîòîðîãî ðàâíû öåëîìó ÷èñëó ìåòðîâ, à êîíòåéíåðû ïðÿìîóãîëüíûå ïà-
ðàëëåëåïèïåäû ðàçìåðà 1 1 3ìåòðà. Êîíòåéíåðû íà ñêëàäå ìîæíî
êëàñòü òàê, ÷òîáû ñòåíêè êîíòåéíåðîâ áûëè ïàðàëëåëüíû ñòåíàì ñêëà-
äà.
à) Ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî ïîëíîñòüþ çàïîëíèòü ñêëàä ðàçìåðîì
120 êóáîìåòðîâ íåëüçÿ?
á) Ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî ñêëàä îáúåìîì 100 êóáîìåòðîâ íå óäàñò-
ñÿ ïîìåñòèòü 33 êîíòåéíåðà?
â) Ïóñòü îáúåì ñêëàäà ðàâåí 800êóáîìåòðîâ. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷å-
ñòâî ïðîöåíòîâ îáúåìà òàêîãî ñêëàäà óäàñòñÿ ãàðàíòèðîâàíî çàïîëíèòü
êîíòåéíåðàìè ïðè ëþáûõ ïàðàìåòðàõ ñêëàäà?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.2. (ÅÃÝ-2019. Äîñðî÷íàÿ âîëíà)
Âàñÿ è Ïåòÿ ðåøàþò çàäà÷è èç ñáîðíèêà. Îíè íà÷àëè ðåøàòü çàäà÷è
â îäèí è òîò æå äåíü, è ðåøèëè â ýòîò äåíü õîòÿ áû ïî îäíîé çàäà÷å
êàæäûé. Ïðè ýòîì êàæäûé ñëåäóþùèé äåíü Âàñÿ ðåøàë íà îäíó çàäà÷ó
áîëüøå, ÷åì â ïðåäûäóùèé äåíü, à Ïåòÿ  íà äâå çàäà÷è áîëüøå, ÷åì â
ïðåäûäóùèé äåíü.  èòîãå êàæäûé èç íèõ ðåøèë âñå çàäà÷è èç ñáîðíè-
êà.
à) Ìîãëî ëè áûòü òàê, ÷òî â ïåðâûé äåíü îíè ðåøèëè îäèíàêîâîå êîëè-
÷åñòâî çàäà÷ è ïðè ýòîì Ïåòÿ ïðîðåøàë âåñü ñáîðíèê çà ïÿòü äíåé?
á) Ìîãëî ëè áûòü òàê, ÷òî â ïåðâûé äåíü îíè ðåøèëè îäèíàêîâîå êîëè-
÷åñòâî çàäà÷ è ïðè ýòîì Ïåòÿ ïðîðåøàë âåñü ñáîðíèê çà òðè äíÿ?
â) Íàéäèòå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî çàäà÷ â ñáîðíèêå, åñëè èçâåñòíî, ÷òî
êàæäîìó èç íèõ ïîòðåáîâàëîñü áîëüøå 7 äíåé íà ðåøåíèå âñåõ çàäà÷, à
êîëè÷åñòâî çàäà÷, ðåøåííûõ â ïåðâûé äåíü îòëè÷àëîñü íà 1.
ÎòâåòÐåøåíèå
32

2.19.
NEW
Çàäàíèå 19 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ Çàäà÷à 2.19.3.
(ÅÃÝ-2018. Äîñðî÷íàÿ, ðåçåðâíûé äåíü)
à) Ñóùåñòâóþò ëè äâóçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà mèn òàêèå, ÷òî


m n
p 2


6 1 100
?
á) Ñóùåñòâóþò ëè äâóçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà mèn òàêèå, ÷òî



m
2 n
2
2


6 1 10000
?
â) Íàéäèòå âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà nïðè êàæäîì
êîòîðûõ çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ


n
+ 10 n
p 2



áóäåò íàèìåíüøèì.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.4. (ÅÃÝ-2018. Îñíîíàÿ âîëíà, ðåçåðâíûé äåíü)
à) Ìîæíî ëè âû÷åðêíóòü íåñêîëüêî öèôð èç ÷èñëà 123456789 òàê, ÷òîáû
ïîëó÷èëîñü ÷èñëî, êðàòíîå 72?
á) Ìîæíî ëè âû÷åðêíóòü íåñêîëüêî öèôð èç ÷èñëà 846927531 òàê, ÷òîáû
ïîëó÷èëîñü ÷èñëî, êðàòíîå 72?
â) Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî öèôð ìîæíî âû÷åðêíóòü èç ÷èñëà 124875963
òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü ÷èñëî, êðàòíîå 72?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.5. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
 øêîëàõ #1 è #2 ó÷àùèåñÿ ïèñàëè òåñò.  êàæäîé øêîëå òåñò ïèñàëè
ïî êðàéíåé ìåðå äâà ó÷àùèõñÿ, à ñóììàðíî òåñò ïèñàëè 37 ó÷àùèõñÿ.
Êàæäûé ó÷àùèéñÿ, ïèñàâøèé òåñò, íàáðàë íàòóðàëüíîå êîëè÷åñòâî áàë-
ëîâ. Îêàçàëîñü, ÷òî â êàæäîé øêîëå ñðåäíèé áàëë áûë öåëûì ÷èñëîì.
Ïîñëå ýòîãî, îäèí èç ó÷àùèõñÿ, ïèñàâøèõ òåñò, ïåðåøåë èç øêîëû #1 â
øêîëó #2, à ñðåäíèå áàëëû çà òåñò áûëè ïåðåñ÷èòàíû â îáåèõ øêîëàõ.
à) Ìîã ëè ñðåäíèé áàëë â øêîëå #1 âûðàñòè â äâà ðàçà?
á) Ñðåäíèé áàëë â øêîëå #1 âûðîñ íà 5% ñðåäíèé áàëë â øêîëå #2 òàê-
æå âûðîñ íà 5%. Ìîã ëè ïåðâîíà÷àëüíûé áàëë â øêîëå #2 ðàâíÿòüñÿ 1?
â) Ñðåäíèé áàëë â øêîëå #1 âûðîñ íà 5% ñðåäíèé áàëë â øêîëå #2 òàêæå
âûðîñ íà 5%. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ïåðâîíà÷àëüíîãî ñðåäíåãî
áàëëà â øêîëå #2.
ÎòâåòÐåøåíèå
33

2.19.
NEW
Çàäàíèå 19 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ Çàäà÷à 2.19.6.
(ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
 æèâîì óãîëêå ÷åòûðå ó÷åíèêà êîðìÿò êðîëèêîâ. Êàæäûé êîðìèò íåñ-
êîëüêî (õîòÿ áû îäíîãî) êðîëèêîâ, íî íå âñåõ. Ïåðâûé ó÷åíèê äàåò ïîð-
öèþ ïî 100 ãðàìì, âòîðîé  ïî 200 ãðàìì, òðåòèé  ïî 300 ãðàìì, à
÷åòâåðòûé  ïî 400 ãðàìì.
à) Ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî êðîëèêîâ áûëî 15 è âñå îíè ïîëó÷èëè
îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî êîðìà?
á) Ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî êðîëèêîâ áûëî 15 è âñå îíè ïîëó÷èëè
ðàçíîå êîëè÷åñòâî êîðìà?
â) Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî êðîëèêîâ ìîãëî áûòü â æèâîì óãîëêå,
åñëè êàæäûé ó÷åíèê íàñûïàë êîðì ðîâíî ÷åòûðåì êðîëèêàì è âñå êðî-
ëèêè ïîëó÷èëè ðàçíîå êîëè÷åñòâî êîðìà?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.7. (ÅÃÝ-2018/2017/2016. Äåìîâåðñèÿ)
Íà äîñêå íàïèñàíî áîëåå 40, íî ìåíåå 48 öåëûõ ÷èñåë. Ñðåäíåå àðèôìåòè-
÷åñêîå ýòèõ ÷èñåë ðàâíî ( 3) , ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ïîëîæèòåëüíûõ
èç íèõ ðàâíî 4, à ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âñåõ îòðèöàòåëüíûõ èç íèõ
ðàâíî ( 8) .
à) Ñêîëüêî ÷èñåë íàïèñàíî íà äîñêå?
á) Êàêèõ ÷èñåë íàïèñàíî áîëüøå: ïîëîæèòåëüíûõ èëè îòðèöàòåëüíûõ?
â) Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ìîæåò áûòü ñðå-
äè íèõ?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.8. (ÅÃÝ-2018. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Íà äîñêå íàïèñàíî 10 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñðåäíåå àðèôìåòè-
÷åñêîå øåñòè íàèìåíüøèõ èç íèõ ðàâíî 7, ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå øåñòè
íàèáîëüøèõ èç íèõ ðàâíî 12.
à) Ìîæåò ëè íàèìåíüøåå ÷èñëî áûòü ðàâíî 5?
á) Ìîæåò ëè ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âñåõ ÷èñåë áûòü ðàâíûì 10?
â) Êàêîå íàèáîëüøåå ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ìîæåò áûòü ó âñåõ ÷èñåë,
íàïèñàííûõ íà äîñêå?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.9. (ÅÃÝ-2018. Äîñðî÷íàÿ âîëíà)
Íà äîñêå íàïèñàíû ÷èñëà a
1; a
2; : : : ; a
nêàæäîå èç êîòîðûõ íå ìåíüøå 50
34

2.19.
NEW
Çàäàíèå 19 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ è íå áîëüøå 150. Êàæäîå èç ÷èñåë
a
i óìåíüøèëè íà
r
i%
òàê, ÷òîáû ëèáî
r i = 2
, ëèáî ÷èñëî a
i óìåíüøèëîñü íà 2.
à) Ìîæåò ëè ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ÷èñåë r
i áûòü ðàâíûì 5?
á) Ìîãëî ëè òàê ïîëó÷èòüñÿ, ÷òî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ÷èñåë r
i áîëüøå
2, è ïðè ýòîì ñóììà ÷èñåë a
i óìåíüøèëàñü áîëåå ÷åì íà
2n ?
â) Ïóñòü n= 30 , à ïîñëå âûïîëíåíèÿ îïèñàííîé îïåðàöèè èõ ñóììà
óìåíüøèëàñü íà 40. Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå ñðåäíåãî
àðèôìåòè÷åñêîãî ÷èñåë r
i.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.10. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Íà äîñêå íàïèñàíî íåñêîëüêî (áîëåå îäíîãî) ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷è-
ñåë, ïðè÷åì ëþáûå äâà èç íèõ îòëè÷àþòñÿ íå áîëåå ÷åì â òðè ðàçà.
à) Ìîæåò ëè íà äîñêå áûòü 5 ÷èñåë, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 47?
á) Ìîæåò ëè íà äîñêå áûòü 10 ÷èñåë, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 94?
â) Ñêîëüêî ìîæåò áûòü ÷èñåë íà äîñêå, åñëè èõ ïðîèçâåäåíèå ðàâíî 8000?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.11. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Êàæäûé èç 28 ñòóäåíòîâ ïèñàë èëè îäíó èç äâóõ êîíòðîëüíûõ ðàáîò,
èëè íàïèñàë îáå êîíòðîëüíûå ðàáîòû. Çà êàæäóþ ðàáîòó ìîæíî áûëî
ïîëó÷èòü öåëîå ÷èñëî áàëëîâ îò 0 äî 20 âêëþ÷èòåëüíî. Ïî êàæäîé èç
äâóõ êîíòðîëüíûõ ðàáîò â îòäåëüíîñòè ñðåäíèé áàëë ñîñòàâèë 15. Çàòåì
êàæäûé ñòóäåíò íàçâàë íàèâûñøèé èç ñâîèõ áàëëîâ (åñëè ñòóäåíò ïèñàë
îäíó ðàáîòó, òî îí íàçâàë áàëë çà íåå). Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå íàçâàí-
íûõ áàëëîâ ðàâíî S.
à) Ìîæåò ëè áûòü, êîãäà S <15?
á) Ìîãëî ëè çíà÷åíèå Sáûòü ðàâíûì 5?
â) Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ìîãëî ïðèíèìàòü S, åñëè îáå êîíòðîëü-
íûå ðàáîòû ïèñàëè 10 ñòóäåíòîâ?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.12. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Íà äîñêå íàïèñàíî 30 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü
êàæäîãî èç êîòîðûõ îêàí÷èâàåòñÿ èëè íà öèôðó 2, èëè íà öèôðó 6.
Ñóììà íàïèñàííûõ ÷èñåë ðàâíà 2454.
à) Ìîæåò ëè íà äîñêå áûòü ïîðîâíó ÷èñåë, îêàí÷èâàþùèõñÿ íà 2 è íà 6?
35

2.19.
NEW
Çàäàíèå 19 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ á) Ìîæåò ëè ðîâíî îäíî ÷èñëî íà äîñêå îêàí÷èâàåòñÿ íà 6?
â) Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ÷èñåë, îêàí÷èâàþùèõñÿ íà 6, ìîæåò
áûòü çàïèñàíî íà äîñêå?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.13. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Çàäóìàíî íåñêîëüêî (íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íûõ) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Ýòè ÷èñëà è èõ âñå âîçìîæíûå ñóììû (ïî 2, ïî 3 è ò.ä.) âûïèñûâàþò
íà äîñêó ïîðÿäêå íåóáûâàíèÿ. Åñëè êàêîå-òî ÷èñëî n, âûïèñàííîå íà
äîñêó, ïîâòîðÿåòñÿ íåñêîëüêî ðàç, òî íà äîñêå îñòàâëÿåòñÿ îäíî òàêîå
÷èñëî n, à îñòàëüíûå ÷èñëà, ðàâíûå n, ñòèðàþòñÿ. Íàïðèìåð, åñëè çàäó-
ìàíû ÷èñëà 1, 3, 3, 4, òî íà äîñêå áóäåò çàïèñàí íàáîð 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
10, 11.
à) Ïðèâåäèòå ïðèìåð çàäóìàííûõ ÷èñåë, äëÿ êîòîðûõ íà äîñêå áóäåò çà-
ïèñàí íàáîð 2, 4, 6, 8, 10.
á) Ñóùåñòâóåò ëè ïðèìåð òàêèõ çàäóìàííûõ ÷èñåë, äëÿ êîòîðûõ íà äîñ-
êå áóäåò çàïèñàí íàáîð 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
â) Ïðèâåäèòå âñå ïðèìåðû çàäóìàííûõ ÷èñåë, äëÿ êîòîðûõ íà äîñêå áó-
äåò çàïèñàí íàáîð 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.14. (ÅÃÝ-2017. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Íà äîñêå íàïèñàíî íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïðîèçâåäå-
íèå ëþáûõ äâóõ áîëüøå 40 è ìåíüøå 100.
à) Ìîæåò ëè íà äîñêå áûòü 5 ÷èñåë?
á) Ìîæåò ëè íà äîñêå áûòü 6 ÷èñåë?
â) Êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò ïðèíèìàòü ñóììà ÷èñåë íà äîñêå,
åñëè èõ 4?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.15. (ÅÃÝ-2016. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîèò èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïðè÷¼ì êàæäûé ÷ëåí
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áîëüøå ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî ñîñåäíèõ (ñòîÿ-
ùèõ ðÿäîì ñ íèì) ÷ëåíîâ.
à) Ïðèâåäèòå ïðèìåð òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîñòîÿùåé èç ÷åòûð¼õ
÷ëåíîâ, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 50.
á) Ìîæåò ëè òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîÿòü èç øåñòè ÷ëåíîâ è ñî-
äåðæàòü äâà îäèíàêîâûõ ÷èñëà?
36

2.19.
NEW
Çàäàíèå 19 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ â) Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ìîæåò ïðèíèìàòü ñóììà ÷ëåíîâ òàêîé ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîñòîÿùåé èç äåñÿòè ÷ëåíîâ?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.16. (ÅÃÝ-2016. Îñíîâíàÿ âîëíà)
Íà äîñêå íàïèñàíû ÷èñëà 2 è 3. Çà îäèí õîä èç íèõ ìîæíî ïîëó÷èòü
÷èñëà (a + b) è (2 a 1) èëè ÷èñëà (a + b) è (2 b 1) (íàïðèìåð, èç ÷èñåë
2 è 3 ìîæíî ïîëó÷èòü ÷èñëà 5 è 3 èëè 5 è 5).
à) Ïðèâåäèòå ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè õîäîâ, ïîñëå êîòîðûõ îäíî èç
÷èñåë, íàïèñàííûõ íà äîñêå îêàæåòñÿ ÷èñëîì 19.
á) Ìîæåò ëè ïîñëå 100 õîäîâ îäíî èç äâóõ ÷èñåë, íàïèñàííûõ íà äîñêå,
îêàçàòüñÿ ÷èñëîì 200?
â) Ñäåëàëè 1007 õîäîâ, ïðè÷åì íà äîñêå íèêîãäà íå áûëî ðàâíûõ ÷è-
ñåë. Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ìîæåò ïðèíèìàòü ðàçíîñòü áîëüøåãî è
ìåíüøåãî èç ïîëó÷åííûõ ÷èñåë?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.17. Èìåþòñÿ 8 êàðòî÷åê. Íà íèõ çàïèñûâàþò ïî îäíîìó
êàæäîå èç ÷èñåë:
11 ;12 ;13 ; 14 ; 15 ;17 ; 18 ;19 :
Êàðòî÷êè ïåðåâîðà÷èâàþò è ïåðåìåøèâàþò. Íà èõ ÷èñòûõ ñòîðîíàõ çà-
íîâî ïèøóò ïî îäíîìó êàæäîå èç ÷èñåë:
11 ;12 ;13 ; 14 ; 15 ;17 ; 18 ;19 :
Ïîñëå ýòîãî ÷èñëà íà êàæäîé êàðòî÷êå ñêëàäûâàþò, à ïîëó÷åííûå âîñåìü
ñóìì ïåðåìíîæàþò.
à) Ìîæåò ëè â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòüñÿ 0?
á) Ìîæåò ëè â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòüñÿ 123?
â) Êàêîå íàèìåíüøåå öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ìîæåò â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷èòüñÿ?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.18. Ìîæíî ëè ïðèâåñòè ïðèìåð ïÿòè ðàçëè÷íûõ íàòóðàëü-
íûõ ÷èñåë, ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ðàâíî 1008 è
à) ïÿòü;
37

2.19.
NEW
Çàäàíèå 19 Ÿ2. Çàäà÷è èç ÅÃÝ á) ÷åòûðå;
â) òðè
èç íèõ îáðàçóþò ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ?
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.19. ×èñëîSòàêîâî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Sâ
âèäå ñóììû ïîëîæèòåëüíûõ ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå ïðåâîñ-
õîäèò 1, ýòè ñëàãàåìûå ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóïïû òàê, ÷òî êàæäîå
ñëàãàåìîå ïîïàäàåò òîëüêî â îäíó ãðóïïó è ñóììà ñëàãàåìûõ â êàæäîé
ãðóïïå íå ïðåâîñõîäèò 17.
à) Ìîæåò ëè ÷èñëî Sáûòü ðàâíûì 34?
á) Ìîæåò ëè ÷èñëî Sáûòü áîëüøå 331 18
?
â) Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå âîçìîæíîå çíà÷åíèå S.
ÎòâåòÐåøåíèå
Çàäà÷à 2.19.20. Ðàññìàòðèâàþòñÿ êîíå÷íûå íåïîñòîÿííûå àðèôìåòè-
÷åñêèå ïðîãðåññèè, ñîñòîÿùèå èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå íå èìåþò
ïðîñòûõ äåëèòåëåé, îòëè÷íûõ îò 2 è 3.
à) Ìîæåò ëè â ýòîé ïðîãðåññèè áûòü òðè ÷èñëà?
á) Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ÷ëåíîâ ìîæåò áûòü â ýòîé ïðîãðåññèè?
ÎòâåòÐåøåíèå
38

Ÿ3. Îòâåòû
Ÿ3. Îòâåòû
2.13.1. à) x= 1, x = 2 ; á) x= 1.2.13.2. à) x=  4
+ 2
k,x = 3
 4
+ 2
k,
k 2 Z; á) x= 3
 4
.2.13.3. à)
x= 2 ,x = 2; á) x= 2 .2.13.4. à) x= 2 ,x = 5 ;
á) x= 2 .2.13.5. à) x= + 2 k,x =  2
+ 2
k,k 2 Z; á) x= 7
 2
,
x = 3 .
2.13.6. à) x= k ,x =  6
+ 2
k,x = 5
 6
+ 2
k,k 2 Z; á) x= 2 , x = 11
 6
,
x = 7
 6
.2.13.7. à)
x= 2 ,x = 1 2
; á)
x= 1 2
.2.13.8. à)
x=  2
+
k ,
x = + 2 k,k 2 Z; á) x= 5
 2
,
x = 3 , x = 7
 2
.2.13.9. à)
x=  3
+ 2
k,
x = 2
 3
+ 2
k,k 2 Z; á) 7
 3
.2.13.10. à)
x=  6
+ 2
k,k 2 Z; á) x= 11
 6
,
x = 13
 6
.2.13.11. à)
x=  4
+
k ,k 2 Z; á) 7
 4
.2.13.12. à)
x= k ,
x = 2
 3
+ 2
k,k 2 Z; á) x= 4 , x = 10
 3
,
x = 3 , x = 8
 3
.
2.13.13. à) x= k ,x =   3
+ 2
k,k 2 Z; á) x= 2 , x = 8
 3
,
x = 3 .
2.14.1. á) 45
.2.14.2. á) 7.2.14.3. á) 6 5
.2.14.4. á)
60.2.14.5. á) 384.
2.14.6. á) p 11
.2.14.7. á) 3 4
.2.14.8. á) p 15
5
.
2.15.1. x2 
1 ; 3 2

[ 
1; 3 2

.2.15.2. x2 [2; 3) .
2.15.3. x2 (1 ; log
35
1] [[1; + 1).2.15.4. x2 (1 ; 12] [
35 8
; 0 
.
2.15.5. x2 (1 ; 1] [[3; + 1).2.15.6. x2 [0; 2) [(2; 5) .
2.15.7. x2 f 0g [ [2; + 1).2.15.8. x2
5; p 17

[ [ 3; 3] [
p 17; 5

.
2.15.9. x2 (1 ; 0) [[1; log
57)
.2.15.10. x2 [0; 4) [(4; 7] .
2.15.11. x2 
2k ; 6
+ 2
ki
[ 
5 6
+ 2
k; 2 k
,k 2 Z.2.16.1. á) 7;28 .
2.16.2. á) 3;2 .2.16.3. á) 20.2.16.4. á) 3.2.16.5. á) 1.2.16.6. á) 5 4
.
2.16.7. á) 13.2.16.8. á) 3 4
.2.16.9. á)
2.2.16.10. á) 4.2.17.1. 36.
2.17.2. 5.2.17.3. 7.2.17.4. 4%.2.17.5. 201 300.2.17.6. 12,5.
2.17.7. 43 441
< r <
41 400
.2.17.8. 100.2.17.9. 1050.2.17.10. 120 êã.
2.18.1. a2 
1 p
2
; p 5

.2.18.2. a2 f 2;p 65 + 3
g.
2.18.3. a2 ( 1; 0) [(0; 1) [(1; p 2)
.2.18.4. a2 
1 ; 1 2

[(4; + 1).
39

Ÿ3. Îòâåòû
2.18.5.
a2 f 2; 6 g.2.18.6. a2 
4 2p 2;
4 3

[
4; 4 + 2 p 2

.
2.18.7. a2 
1 2
;
1 2

.2.18.8. a2
3 p
7
;
p 7
3
#
[ "
p 7
3
; 1 !
[
1; 3 p
7

.
2.18.9. a2 (2; 4) [(6; + 1).2.18.10. a2 (1; 2] [[8; 9) .
2.18.11. a2 ( 4; 2] [ f 0g.2.18.12. a2 (8 8p 2; 4)
.
2.18.13. a2 
1 4
;
1 2

[ 
11 2
;
23 4

.2.18.14. a2 
1 2
; p 3

.
2.18.15. a2 
5 2
;
1 2

[
1 4
; 2 
.2.18.16. a2 f 1 p 2
g [ [0; 2) [(2; 2 p 2)
.
2.18.17. a2 (1 ; 1) [( 1; 0) .2.18.18. a2 
1 12
; 0 
[
0; 1 12

.
2.18.19. a2 
1 2
;
30 7

[
30 7
;
32 5

.2.18.20. a2 (1 ; 2] [[4; + 1).
2.18.21. a2 [2; 4) .2.18.22. a2 
3 2
; 3 
[ [6; + 1].
2.18.23. a2 
0; 4 9

[(1; + 1).2.18.24. a2 f 0; 2 sin 1 g.
2.18.25. a2 f 0g [ [2; + 1).2.18.26. a2 
1 2
; 4 + p 6

.2.18.27. a2 ( 1; 5) .
2.19.1. a) íåò; á) äà; â) 99.2.19.2. a) äà; á) íåò; â) 88.2.19.3. a) äà; á) íåò;
â) 24.2.19.4. a) äà; á) íåò; â) 5.2.19.5. a) íåò; á) íåò; â) 3.2.19.6. a) äà;
á) íåò; â) 9.2.19.7. a) 44; á) îòðèöàòåëüíûõ; â) 17.2.19.8. a) íåò; á) íåò;
â) 9,5.2.19.9. a) íåò; á) äà; â) 8 3
.2.19.10. a) äà; á) íåò; â) 3.
2.19.11. a) äà; á) íåò; â) 85.2.19.12. a) íåò; á) íåò; â) 11.2.19.13. a) äà;
á) íåò; â) 7, 8, 10, 16.2.19.14. a) äà; á) íåò; â) 35.2.19.15. a) 1, 12, 17, 20;
á) 1, 12, 20, 20, 12, 1; â) 70.2.19.16. à) (2; 3),(5; 5) ,(10; 9) ,(19; 19) ; á) íåò;
â) 2.2.19.17. a) íåò; á) íåò; â) 4.2.19.18. a) íåò; á) íåò; â) äà.
2.19.19. a) íåò; á) íåò; â) 331 18
.2.19.20. a) äà; á) 4.
40
X