Методы решений тригонометрических уравнений. ЕГЭ. Математика

Формат документа: pdf
Размер документа: 2.8 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭМетоды решения
тригонометрических
уравнений

1
МФТИ
помогает готоblvky к ЕГЭ






ЕГЭ
Математика

Методы решений
тригонометрических
ураg_gbc








МоскZ 2010

2
УДК 373.167.1:51+51 (075.3)
ББК 22.1я721
K60

КолесникоZ С .И.
K60 Методы решений тригонометрических ураg_gbc.
ЕГЭ . Математика /
С .И . КолесникоZ . – МоскZ : ООО «Азбука -2000»,
2011. – _ _ _с .
( Серия «МФТИ помогает готоblvky к ЕГЭ », uimkd 2).

Книга адресоZgZ , прежде k_]h, старшеклассникам , которые
готоylky сдавать ЕГЭ или участвоZlv в математической олим -
пиаде . Также она будет полезна и учителям ср
едней школы .
В этом uimkd_ систематизироZgu самые эффектиgu_ ме -
тоды и способы решения иррациональных неравенств. В боль -
шинст_ задач дано два от_lZ (промежуток , число ). Для про-
фильных классов такие задачи можно отнести как к серии В,
так и к серии С. Для непрофильных классов они могут пока -
заться сложными – тогда их можн
о сразу отнести к серии С.
Так как в пособии при_^_gu подробные решения k_o задач ,
то любой учащийся или молодой учитель сможет разобраться в
такой непростой теме , как иррациональные нера_gkl\Z .

УДК 373.167.1:51+51 (075.3)
ББК 22.1я 721

По hijhkZf приобретения обращаться:
Телефон : (495) 787-24-95
E-mail: potential@potential.org.ru


ISBN 978-5-91333-011-6
© КолесникоZ С. И ., 2010
© ООО «Азбука -2000», 2010

3

В_^_gb_


Теперь тригонометрия перенесена в программу 10 класса. Поэтому
она официально будет oh^blv и в программу uimkdguo экзаменов .
Что глаgh_ в тригонометрии ? Конечно , знание формул . Все они
uодятся просто . Но почему – то не запоминаются . Здесь со_l один
– umqblv их наизусть .
Что Z`gh знать ? Многие плохо представляют себе, что такое си -
нус или что такое косин
ус произhevgh]h угла . Были синус и косинус
в треугольнике, а потом пояbebkv синус и косинус для произhev -
ных значений аргумента . Были понятные углы , измеряемые в граду -
сах , а пояbebkv радианы . Ничего не понятно …
Погоhjbf сначала об этом .

4
Часть I
п.1 Синус угла - определение
Ясно, что точка М на произhevghc окружности с центром в нача -
ле координат определяется однозначно дmfy координатами .
Если задана окружность единичного радиуса , то координаты но-
сят специальные назZgby : - это косинус угла
ϕ - угла АОМ , а - си -
нус этого угла – рис .1,

Рис .1

т . е.
cos , sin .
xy ϕ ϕ == Отсюда , в частности , немедленно следует так
назыZ_fh_ осноgh_ тригонометрическое тождестh :
22 cos sin 1. αα+ = (1)
Это тождестh применяется не только тогда , когда нужно сyaZlv
синус и косинус одного аргумента , но иногда с его помощью неодно-
родное ураg_gb_ удается сделать однородным, заменив 1 суммой
кZ^jZlh\ . Тогда гоhjyl, что использоZeb «тригонометрическую »
единицу .
На рис.1 угол
ϕ изменяется от 0 до 2π , а _^v косинус и синус
определены для любого угла .. Предстаbf себе, например , _ehlj_d
или циркоmx арену , радиус которой ра_g 1 единице некоторой дли -
ны. « Пристроимся » поблизости от конкретной точки трассы и будем
наблюдать за сореghанием: мимо проезжают участники, « наматы-
Zy круги ». Каждый круг – это угол, раguc
2π , а точка «наблюде -
ния » - одна и та же , и на к – ом круге имеет одни и те же координаты :
( ) ( ) 00 00 cos cos 2, sin sin 2, , xkykk ϕϕπ ϕϕπ =≡ + =≡ + ∈ Z где 0ϕ -

5
значение угла в момент начала сореghаний . Поэтому точке М соот -
_lklует не только отмеченный на рис .1 угол АОМ , обозначенный
как ,
ϕ но и любой другой угол b^Z 2, . kk ϕ π +∈ Z
Гоhjyl также , что поэтому функции
cos ϕ и sin ϕ - периодиче -
ские
с периодом 2. π
А как же треугольник? Посмотрим на координаты точки М , нахо-
дящейся в перhc чет_jlb .

Рис . 2
Отметим один из углов , синус которого ра_g OP, а косинус ра_g
ON, – острый угол .
α Этот угол находится в прямоугольном тре -
угольнике NOM. Поэтому отношение протиhe_`Zs_]h катета к ги -
потенузе
sin ,
MN MNOPy
OM α ==== а отношение прилежащего кате -
та к гипотенузе
cos ,
ON
ON x
OM α = == т. е. ноh_ определение коси -
нуса и синуса полностью соiZ^Z_l со старым в прямоугольном тре -
угольнике .

п .2 Периодичность функции

Можно дать общее определение периодичности ? Можно .
Определение . Функция
( ) f x назыZ_lky периодической , если суще -
стm_l такое отличное от 0 число Т , для которого uiheg_gu следующие
дZ условия :
1) если (),
x Df
∈ то () x TDf+ ∈ и (); x TDf
−∈
2) для любого () ( ) ( ),
f xfxT fxT
⇒=+=− т. е .
область определения периодична , а значения функции в точках , от -
стоящих друг от друга на длину периода , одинакоu .

6
Лемма 1. Если функция имеет период ,
T то любое число b^Z ,
nT
nZ ∈ – тоже период .
► Действительно , если - период , то ра_gklо () ( )
f xfxT = +=
()
f xT
=− uiheg_gh для любого x из области определения функ -
ции. В частности , uiheg_gh для
x T+ и x T− :
() ( )
() () ()( )( )()(2)(),
()( )( )()(2)(),f x T f x T T f x T T fx fx T fx
f x T f x T T f x T T fx fx T fx += ++= +−= ⇒ + =
−= −+= −−= ⇒ − =

т. е. для
2 n= _jgh . По индукции доказыZ_lky и справедливость
ут_j`^_gby для любого .
nZ∈ ◄
Поэтому , гоhjy о периоде функции , часто имеют в b^m
наи-
меньший положительный
( НПП ) период , если такоhc сущестm_l .
Из школы , например , из_klgh , что sin , cos
yxy x= = определены на
k_c числоhc оси и имеют наименьший положительный период
2. T π = Функции ytgx= и yctgx= определены не на k_c числоhc
оси . Однако их область определения яey_lky периодичной с перио -
дом
π- это интерZeu b^Z ;
22 kk ππ π π ⎛⎞
−+ +
⎜⎟
⎝⎠
и ( ) ;,
kk πππ + k∈Z
соот_lklенно . Функции
,
ytgxyctgx = = имеют наименьший поло -
жительный период
.
Tπ=
Из_klgh , что 2
π - период sin , x а какой наименьший период у
sin 3
x?
Лемма 2. Покажем , что , если число T яey_lky периодом функции
( ), f x то число T
a
±
яey_lky периодом функции () ( ). g xfax =
► Дейстbl_evgh ,
()()() ,
TT g x f ax fax T fax gx
aa ⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
±= ± = ±= =
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
т . е .
T
a
±
− период функции . g ◄
Это Z`gh_ сhcklо . Из него немедленно следует, например , что
sin13
x имеет период , раguc 2
,
13
π а 17
3
tg x
имеет период , раguc
3
,
17π и т . д .
А сущестmxl ли периодические функции , у которых нет наи -
меньшего периода ?

7
Да, такие тоже есть. Например , функция
() 2
1 11
sin cos 2
22
yx x x ==−
имеет наименьший период 2
,
2
Tπ π = =
функция
() 2
2 11
cos cos 2
22
yx x x
==+ имеет наименьший период
2
,
2
Tπ π ==
а их сумма ( ) 22 sin cos
yx x x=+ не имеет наименьшего
периода , т. к.
22 sin cos 1,
yxx= +≡ и её периодом яey_lky любое по -
ложительное действительное число .
Чем отличаются графики периодических функций от неперио -
дических ?
При построении графика периодической функции достаточно по -
строить его на любом отрезке, длина которого раgZ длине наимень -
шего периода , а далее продолжить периодически , т. е. сдb]Zlv гра -
фик ^hev оси абсцисс на длину периода .


Построим, например, график периодической функции ( ) f x, если
период ра_g 1, а на промежутке
[ ] 0;1 она описывается формулой
1
2
yx
=− - рис .2, 3.

Рис .2


Рис .3

8
А что можно сказать о периодичности () sinf xx= ?
ДаZcl_ подумаем . Область определения этой функции – полуось
0.
x ≥ Она не имеет периода : например , при любом 0 T> число 0
принадлежит области определения , а число 0T
− не принадлежит.
Поэтому
() sinf xx= не яey_lky периодической .
В школе , как праbeh , кроме стандартных тригонометрических ,
других периодических функций не встречается . Но мы kz-таки по -
знакомимся с задачами , относящимся не только к тригонометриче -
ским периодическим функциям .
1. (МГУ , 1996, геогр . ф -т ) Пусть ( ) f x – периодическая функция с
периодом
1
.
3
T
= Найти значение ()1,
f если из_klgh , что
() ()2 21
050 0
4
ff
−+= и ()2 10
4 1 4 35.
3
ff
⎛⎞
−− = ⎜⎟
⎝⎠

2
2 112 1
03 5 03 0,
334
1101
416 4 7 35
333
ff
ff

⎛⎞⎛⎞
+⋅ − +⋅ + =
⎜⎟⎜⎟

⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔ ⎨
⎛⎞⎛ ⎞

−+ ⋅ − − ⋅ =
⎜⎟⎜ ⎟
⎪ ⎝⎠⎝ ⎠

() ()
() ()2
2 41201210,
414135
ff
ff

−+=

⇔⇔ ⎨
−=

⎩ () ()
() 2 41201210,
16 1 56 ff
f

−+=
⎪ ⇔ ⎨
=


() ()
()2 41201210,
13,5
ff
f

−+=

⇔ ⎨
=


От_l
: 3,5. ◄
2. (МГУ , 2000, ф-т почво_^_gby ). Пусть ( ) f x – периодическая
функция с периодом 1, такая, что
( ) 2 f xx= при [ ] 0;1 .
x ∈ Решите
ураg_gb_
( ) ( ) 252 1.
fx fx ++ =
►В силу периодичности
( ), f x h -перuo , достаточно найти ре -
шения ураg_gby на любом отрезке длины 1, h -lhjuo,
()()251 2, f xfx+⋅ =
поэтому

9
( ) ( ) 252 1
fx fx ++ = ( ) ( ) 22 1.
fx fx ⇔ +=
22
02 1
421 x
xx ≤≤



+=

1
0
2
1
6
x
x
⎧ ≤ ≤



⎪ =


() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 25 2 17 2 1 2 11 21,
fx fx fx fx fx +=−+=−=−+=−
( ) ( ) 252 1
fx fx ++ = ( ) ( ) 212 1
fx fx ⇔ −+ =
() 2
2
02 11
21 2 1 x
xx
≤−≤


⇔ ⎨
−+ =

⎩ 2
1
1
2
640 x
xx

≤≤

⇔ ⎨

−=

1
1;
2
2.
3 x
x

≤≤



⎪ =


От_l
: 12
,,.
3
6 nnnZ
++∈ ◄
3. (МГУ , 1996, геогр. ф -т ). Пусть ()f x – периодическая функция с
периодом
2.
T = Найти значение ( ) 38,f если из_klgh , что
() ( ) 2 307 7240ff ++= и () () 2 20
23 8 0.
9
ff − ++=
п
.3 Чётность функций
Заметим, что функция cos yx= - чётная, а функции
sin , ,
yxytgxyctgx === - нечётные.
Определение . Функция
( ) f x назыZ_lky четной (нечетной ) на ,X
если uiheg_gh дZ условия :
1)
если , x X
∈ то и , x X − ∈
2)
для любых x X ∈ uiheg_gh () () f xfx
−= (( ) () f xfx− =−),
т . е. если , h -перuo , область определения симметрична относитель -
но начала координат , а, h -lhjuo , значения функции в симметрич -
ных точках раgu (( ) ()
f xfx− =− ).
Все остальные функции назыZxlky функциями общего b^Z на
.
X
Отсюда сразу следует , что , если область определения функции не
яey_lky симметричной относительно 0, то функция не является ни
чётной , ни нечётной , т. е . яey_lky функцией общего b^Z.

10
Если же функция рассматриZ_lky на множест_ ,X симметрич -
ном относительно 0, то надо про_jblv , uihegy_lky ли услоb_ 2
Теперь можно понять , какими сhcklами обладают графики
четных и нечетных функций.
Пусть функция задана для неотрицательных
x. Тогда , если отра-
зим график симметрично относительно оси ординат , то получим гра -
фик четной функции - рис.4.

X
Y
-3 -2 -1 123
-3 -2 -1 1
2 3
0 X
Y
-3 -2 -1 123
-3
-2 -1 1
2 3
0

Рис .4 Рис.5

а если отразим этот же график симметрично относительно начала коор -
динат , то получим график нечетной функции - рис .5.
А можно хотя бы перечислить сhcklа таких функций? Конечно.
1. Сумма или разность дmo четных (нечетных ) функций , имеющих
одну и ту же область определения , есть четная (нечетная) функция.
2. Произ_^_gb_ или частное двух четных или нечетных функций,
имеющих одну и ту же область определения , есть четная функция .

3. Произ_^_gb_ четной и нечетной функций есть нечетная функ-
ция .
Лемма 3. Любую функцию можно представить в b^_ суммы чет-
ной и нечетной функций .
► По
заданной функции ( ) f x можно построить две других -
чётную ()g x и нечётную ( ) hx :

() () ( )
2
fx f x
gx +−
=⇒ () ( ) ( ) () .
2 fx fx g xg x −+
−= =

11
()( ) ( )
2
fx f x
hx −−
=⇒ () ( ) ( ) () .
2 fx fx
hx hx −−
−= =−
Тогда
() () () f xgxhx=+= ( ) ( )
2
f xfx + − ( ) ( ) () .
2 fx f x f x −−
+≡ ◄
В школе мы приudZ_f иметь дело лишь с тригонометрическими
чётными или нечётными функциями, а сейчас порешаем задачи с
произhevgufb чётными или нечётными функциями.
1. Определить , яeyxlky ли чётными , нечётными или функциями
общего b^Z следующие функции :
а )
(2) 2,
yx = б ) (2) cos 4
, x y x = в) (2) 2
4sin
, x x
y
tg x

=
г ) (2)
11,
yx x =−−+ д ) (2) 2
31
,
961 x
y
xx−
=
−+
е )
( ) 2 ln 1 ,
yxx =++
ж )
3sin 2 1
.
1
xx
y
xx−
=

От_l
. а) общего b^Z; б) нечётная ; в) нечётная ; г) нечётная; д)
общего b^Z ; е) нечётная ; ж) чётная .
а ) Функция
2 yx= яey_lky функцией общего b^Z, т. к. ее об-
ласть определения не яey_lky симметричной .
б ) Функция
cos 4 x y x = яey_lky нечётной функцией , т. к. ее об-
ласть
определения (
()() cos 4
;0 0; x
D
x
⎛⎞ = −∞ ∪ +∞
⎜⎟
⎝⎠ ) симметрична и
( ) ( ). yx yx−=−
в ) Функция
2
4sin x x
y
tg x

= является нечётной функцией, т. к.
ее область определения (
2
4sin
:; ,
2 xx D xk kkZ
tg x π
ππ ⎛⎞ −
⎛⎞ ∈ +∈
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ) яey -
ется симметричной и
() () 2
4sin
. xx
yx yx
tg x
−+
−= =−

12
г) Функция 11 yx x= −− + яey_lky нечётной функцией , т. к. ее
область определения (
( ) 11 D xx R− −+ = ) яey_lky симметричной и
( ) ( ) 11 . yx x x yx −=−−−−+=−
д ) Функция
2
21
441x
y
x x

= − +
яey_lky функцией общего b^Z, т. к.
ее область определения (
2
21
441x
D
xx
⎛⎞
− = ⎜⎟
−+
⎝⎠ 11
;;
22
⎛⎞⎛ ⎞ −∞∪ +∞
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠ ) не
яey_lky симметричной .
е ) Любопытная задача. Большинство от_qZ_l на этот hijhk так –
« это функция общего b^Z ». Однако сраgbf
( ) yx с ( ) yx − :
() ( )
( )( )
()
() ()
22
2 2
2
2 11
ln 1 ln
1
1
ln ln 1 .
1 xx xx
yx x x
xx
xx yx
xx −+ + −− +
−= −+ += =
−− +

==−++=−
−− +

Что оказалось ? Функция
( ) 2 ln 1
yxx= ++ яey_lky нечётной .
ж ) Функция
3sin 2 1
1 x x
y
x
x
− =−
яey_lky чётной, т. к.
() () ()
() () ()
3sin 2 1
.
1
xx
yx yx
xx
−−−
−= =
−− −
Примечание
. Заметим, что на самом деле 2
21
441 x
y
xx− = =
−+
1, 2 1 0 ,
21
1, 2 1 0 .
21 x
x
x
x −≥


== ⎢
−−<

⎣ -
рис .6

13
X
Y
-3-2 -1 123
-2 -1 1 2
0

Рис .6
Обратили gbfZgb_ ? График симметричен относительно прямой
0, 5.
x =
Что значит, что график функции
( ) yfx= симметричен относи -
тельно прямой
x a= ?
Можно , конечно , дать определение .
Функция
( ) yfx= назыZ_lky ётной нечётной ) тносительно
прямой
, x a
= если uiheg_gu дZ условия :
1)
область определения симметрична относительно прямой
, x a
= т. е . если ( ), x Df
∈ то и ( ) ( ) ( ) 2, x ax Df
+−∈
2)
( ) ( ) ( ) 2 f xfx ax =+− (или ( ) ( ) ( ) 2 f xfxax=− + − ) при лю -
бом
( ), x Df
∈ т. е. значения функции раgu (или протиhiheh`gu
по знаку ) в точках , симметричных относительно точки
x a= - рис .6 .

Рис .__
Запомнить не очень просто ? Тогда лучше k_]h перенести начало
координат в точку ,
x a= т. е. сделать замену переменных
, txa xta=−⇔ =+ функция ( ) yfta= + будет уже «обычной» чёт-
ной (нечётной ) относительно 0
t= функцией .
Например , наша функция примет b^ :
() 1, 0 ,
1
1, 0 .
2 t
t
yx yt
t
t ≥

⎛⎞
=+== ⎜⎟ ⎢
− <
⎝⎠ ⎣

14
2. Нечетная функция ( ) yfx= определена на k_c числоhc пря -
мой . Для kydh]h неположительного значения переменной значение
этой функции соiZ^Z_l со значением функции
( ) ( ) 21. gx x x = +
Сколько корней имеет ураg_gb_
( ) 3 fx =− ?
► Нечетная функция
( ) yfx= определена на k_c числовой пря -
мой . Так как это перZy такая задача , нарисуем эскиз графика этой
функции – рис. Для kydh]h неположительного значения переменной
значение этой функции соiZ^Z_l со значением функции
() ( ) 21 gx x x =+ пунктирная линия на рис . Теперь , отразив эту кри -
mx симметрично относительно начала координат , получим график
нечётной функции
( ) yfx= - ky криZy на рис .8.
X
Y
-2 -1 12
-2 -1 1
2
0

Рис .8

Видно , что ураg_gb_
( ) 3 fx =− k_]^Z имеет одно решение .
От_l .
1. ◄
Примечание . Эту задачу можно немного усложнить , постаb\ , на -
пример , hijhk : Сколько корней имеет ураg_gb_
() 1
8 fx = ?
► Из эскиза ясно, что одно пересечение на отрицательной полу-
оси есть , но не соk_f ясно , пересекает прямая
1
8 y= криmx
() yfx= на положительной полуоси или нет . Что делать ? Очень

15
просто. Поступим «наоборот »: uykgbf , сколько решений имеет
ураg_gb_
() 1
8 gx =− на отрицательной полуоси:
() () () 2
2 11
2 1 16 8 1 4 1 0.
88
gx x x
x x x
=− ⇔ + =− ⇔ + + = + =
Ясно , что прямая
1
8 y=− касается криhc ( ), ygx= а , значит, на
положительной полуоси прямая
1
8 y= касается криhc ( ). yfx=
Итак, k_]h решений два. ◄
Теперь можно сформулироZlv что – то jh^_ праbeZ или рецепта
решений такого типа задач ? Яснее k_]h будет, если
прикинуть эски-
зы графиков
. А можно обойтись соk_f без графиков ?
3. Нечетная функция ( ) yfx= определена на k_c числоhc пря -
мой . Для kydh]h неотрицательного значения переменной значение
этой функции совпадает со значением функции
( ) ( )( )( ) 21 2 3. gx x x x x =+−− Сколько корней имеет ураg_gb_
() 0 fx = ?
► Многие не умеют строить эскиз графика функции
( )( )( ) 21 2 3. yxx x x=+−− Ч то делать ? Аlhju , b^bfh , имели в b -
ду , что , если
( ) 0, fx = то для четных и нечетных функций ( ) 0 fx − =
тоже , т. к. для них либо () ()0,
fx fx− == либо () ()0. fx fx− =− =
Отсюда следует , что обе они обращаются в ноль в
симметричных
точках , отличных от 0, и , может быть, в начале координат . Поэтому
достаточно определить количестh ненулеuo решений на той по-
луоси
, на которой задана функция , удвоить это количестh и приба -
blv 1, если корнем яey_lky число 0.
Попробуем решить :
() ( )( )( ) 0,
0, 2 1 2 3 0, 2,
00 3 x
gx x x x x x
xx x= ⎡
⎧⎧ =+−−=
⎪⎪ ⎢
⇔ ⇔=
⎨⎨

≥≥
⎪⎪
⎩⎩

= ⎣

Значит, корнями будут и числа 2, 3. xx=−=−

От_l .
5.

16
Примечание. Если kz -таки сначала прикинуть эскиз ( ) ygx= -
пунктир на рис .9, а затем продолжить его нечётным образом на отри -
цательную полуось , то получится эскиз графика
( ) yfx= - рис .9.
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
2 3 4 5 6 7
0

Рис . 9 ◄

4. Функции
( ) f x и ( ) g x определены на k_c числоhc оси , при
этом
()f x четная функция , а ( ) g x нечетная функция . Из_klgh , что
() () 2 2sin 3sin . f xgx x x+= − Найдите количестh решений уравне-
ния
() ()f xgx= на отрезке [ ] 2; 3 .

5. Нечетная функция ( ) yfx= определена на k_c числоhc пря -
мой . Для kydh]h неположительного значения переменной значение
этой функции совпадает со значением функции
() ( )( ) ( ) 21 2 3.
gx x x x x =+−− Сколько корней имеет ураg_gb_
( ) 0
fx =?
6. Найдите значение функции ( ) ( )
() ( )
32
23f xfx
y
gx g x − −
=
− −
в точке 0x, ес-
ли из_klgh , что функция
( ) yfx= четная, функция ( ) ygx= нечет -
ная,
( )0 5,
fx = ( )0 1.
gx=

17
7. Четная функция ( ) yfx= определена на k_c числоhc прямой .
Для kydh]h неотрицательного значения переменной значение этой
функции соiZ^Z_l со значением функции
( ) ( )( ) 23.
gx x x =− −
Сколько корней имеет ураg_gb_
( ) 6
fx =?
8. Найдите значение функции () ( )
() ( ) 32
3f xgx
y
g xfx
− −
=
+− в
точке
0,x если
из_klgh , что функция
( ) yfx= четная, функция ( ) ygx= нечетная ,
( )0 5,
fx = ()0 1.
gx=


9. Даны четная функция ( ) yfx= и нечетная функция ( ).
ygx =
Найдите сумму корней ураg_gby
( ) ( ), f xgx= если для k_o дейст -
bl_evguo
x uihegy_lky ра_gklо ( ) ( ) 2 86.
fx gx x x + =−−
10. Значение нечетной функции () yfx = для kydh]h отрицательно -
го значения переменной соiZ^Z_l со значением функции
( ) ( )( ) 21 2.
gx x x =+ − Сколько корней имеет ураg_gb_ ( ) 0
fx= ?
11. Найдите значение функции () ( )
() ( ) 32
23g xfx
y
g xfx
−−
= − −
точке 0,x если
из_klgh , что функция
( ) yfx= четная, функция ( ) ygx= нечетная ,
( )0 3,
fx =− ( )0 0, 5.
gx =
12. Найдите значение функции ( ) ( )
() ( )
3
2 3223f xfx
y
g xgx −−
= − −
в точке 0,x
если из_klgh , что функция
( ) yfx= нечетная функция, ( ) ygx=
четная,
( )0 3,
fx = ( )0 2.
gx=
13. Найдите значение функции ( ) ( )
() ()
3
2 13
log
3 f xgx
y
g xfx
−+
=
−− в точке
0x, если из_klgh , что функция ( ) yfx= нечетная функция , ( ) ygx=
четная,
( )0 3,
fx =− ( )0 1.
gx=
14. Нечетная функция ( ) yfx= определена на ( ) ( ) ;0 0; . −∞∪+∞
Для kydh]h отрицательного значения переменной значение этой

18
функции соiZ^Z_l со значением функции ( ) ( ) 2 9
gx x = −
()()() 245.
xxx +−− Найдите произ_^_gb_ корней ураg_gby
() 0.
fx =
15. Четная функция ( ) yfx= определена на ( ) ( ) ;0 0; . −∞∪+∞ Для
kydh]h положительного значения переменной значение этой функ -
ции соiZ^Z_l со значением функции
( ) ( )( )( ) 4121.
gx xx x x = +− −
Найдите произ_^_gb_ корней ураg_gby
( ) 0.
fx=
п .4 Осноgu_ формулы тригонометрии .
Вернёмся к тригонометрии и теперь kihfgbf осноgu_ формулы .
Формулы при_^_gby
Нас интересуют прежде k_]h так назыZ_fu_ формулы приведе -
ния . Погоhjbf о них . Они следуют непосредст_ggh из определения
тригонометрических функций. Самые простые формулы – это форму -
лы для углов b^Z
,
2 π α− когда k_ функции меняют только назZgb_
- функция заменяется «ко -функцией »: синус изменится на косинус ,
косинус на синус , тангенс на котангенс , котангенс на тангенс.


sin cos , cos sin ,22
,
22
tg ctg ctg tg ππ α ααα
ππ αα αα ⎛⎞ ⎛⎞−= −=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞ −= −=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ (2)

Все
остальные формулы сложнее – где – то меняется знак , где – то
не меняется:

sin cos , cos sin ,
22
,
22
tg
ctg ctg tg ππ α ααα
ππ
α ααα
⎛⎞ ⎛⎞ += +=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞ +=− +=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ (3)

19
( ) ( )
() ()
sin sin , cos cos ,
sin sin , cos cos π αα πα α
π ααπα α
−= −=−
+=− +=− (4)

Кажется
, что их неhafh`gh запомнить . Тогда помогут мнемониче -
ские праbeZ .

Праbeh Т 1.

 Если α прибаey_lky ( или uqblZ_lky) к нечетному количеству
,
2π т . е. аргумент функции имеет b^ ()21 ,
2
na π ⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠
то , h – перuo ,
функция изменится на «ко -функцию» ( синус изменится на косинус ,
косинус на синус , тангенс на котангенс , котангенс на тангенс); h –
lhjuo , знак перед ноhc функцией стаblky тот , который имеет за-
данная функция при исходном значении аргумента, считая , что
a -
острый угол , что на самом деле может быть hсе не так (при этом
удобно сначала исключить целое число периодов ).
Например ,
15 3
sin sin cos .
24 24 4 π ππππ ⎛⎞⎛⎞ += +=−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

Праbeh Т 2.

Если аргумент функции имеет b^ ,
k π α± то функция сохра -
нит свое название , а знак соiZ^Z_l со знаком заданной функции при
исходном значении аргумента (при этом удобно сначала исключить
целое число периодов ).
Теперь uibr_f не самые из_klgu_ формулы .

( )() ( )()
()() 1 sin 1 sin , sin 1 sin ,
cos 1 cos kk
k kkkπ ααπα α
πα α + +=− −=−
±=− (5)

Сложно ли их запомнить ?
Ведь ясно , что , если
k - чётное , то kπ - период , и его можно про -
сто отбросить .

20
Если же k - число нечётное , то ( ) 21,
km π π =+ а тогда
()( ) ( )
()() sin sin 2 sin sin ,
cos cos cos km
k π α ππα πα α
πα πα α+= ++= +=− ±= ±=− , ч
. т. д .
Например ,
sin 17 sin sin .
14 14 14 π ππ
ππ ⎛⎞⎛⎞ += +=−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
Осноgu_ формулы
ОсноgZy формула – для
( ) cos α β+ - доказыZ_lky в школьном
курсе , остальные uодятся из неё :


() ()
() () 1. cos cos cos sin sin ,
2. cos cos cos sin sin ,
3. sin sin cos sin cos , 4. sin sin cos sin cos . α βαβαβ
α βαβαβ
α βαββα
α βαββα
+= −
−= +
+= + −= − (6)
Как
следстb_ , получаем формулы для « дhcgh]h » угла :

22
22 2 22 2
1. sin 2 2 sin cos ;2. cos 2 cos sin , 2sin cos 2
3. 2 , cos 0,
cos sin 1
cos sin 1
4. 2 , sin 0.
2sin cos 2
xx
xxx xtgx
tg x x
xxtgx
xxctgx
ctg x x
xctgx =
=−
==≠ −−
−−
= =≠ (7)
«
Чемпионом » по количестm формул , сyaZgguf с ним , яey_lky
косинус «дhcgh]h » угла - cos 2
α :

()
()
22 2
22
2 cos 2 cos sin , cos 2 2 cos 1, 1cos2
cos 2 1 2 sin , cos * ,
2
1cos2
sin * * .
2 αααα α
α
ααα
α
α =− = −
+
== − =

= (8)

21
Следующая «серия формул »:

1. sin sin 2 sin cos , 22
2. sin sin 2 sin cos , 22
3. cos cos 2 cos cos , 22
4. cos cos 2 sin sin 22 α βαβ
αβ
α βαβ
αβ
α βαβ
αβ
α βαβ
αβ
+ −
+=
−+
−=
+ −
+=
+ −
−=− (9)
И
следстby из них – формулы , яeyxsb_ky не самыми «популяр -
ными »:


() () ()
() () ()
() () ()
() () ()
1
1. sin cos sin sin ,
2
1
2. cos cos cos cos ,
2
1
3. cos cos cos cos ,
2
1
4. sin sin cos cos
2 ab ab ab
ab ab ab
ab ab ab
ab ab ab =++− =++−
=++−
=−−+ (10)

Есть
ещё формулы для « тройного » угла , но запомнить их уже
сложнее – честно гоhjy , приходится пользоZlvky спраhqgbdhf или
uодить по мере необходимости .
Формулы (*), (**) назыZxlky часто формулами понижения степе -
ни, т. к. в них тригонометрические многочлены lhjhc степени u-
ражаются через тригонометрические многочлены перhc степени .

§ 1. Упрощение тригонометрических ujZ`_gbc

п.1 Множестh значений функций
1. Найдите значение функции 19
3 sin 2 sin
2 yt t π ⎛ ⎞ = +−⎜ ⎟ ⎝ ⎠ в точке 17
.
3
tπ =
►Преобразуем
заданные ujZ`_gby , используя формулы при_^_gby :

22
17 19 175
3 sin 2 sin 3 sin sin
323 3 6 ππ
ππππ π ⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
⋅+ − = ++ +=
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠
31
32.
22
−−=−
От_l .
2.− ◄
2.
Найдите значение функции 15
cos 2 3 sin
2
yt t π ⎛⎞ = −−
⎜⎟
⎝⎠ в
точке
11
.
6
tπ =
В заданиях 3 – 9 найдите произ_^_gb_ наименьшего значения
соот_lkl\mxs_c функции на наибольшее .
3.
2 15 3cos .
yx =− 4. 3 413sin .
yx =+ 5. 2 7,
ytgx =+ ;.
43
xπ π ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎣ ⎦
6. 2 31 ,
yctgx =+ ;.
64
xπ π ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 7. 2cos 1. yx=− 8. sin 2 ,yx =
3
;.
12 8
x π π ⎡⎤
∈ ⎢⎥
⎣⎦
9. 5cos.yx =+ 10. cos 0, 2
.
2 x y =−
Чтобы потренироZlvky в запоминании формул, займёмся упро-
щением тригонометрических ujZ`_gbc
п.2 Упрощение числоuo тригонометрических
ujZ`_gbc
Упростите ujZ`_gby 1 – 8.
1.
2 sin cos cos . 626 6 π ππ π ⎛⎞ ⎛ ⎞ −+
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
► Это простая задача , где мы применяем одну из формул при_ -
дения и используем осноgh_ тригонометрическое тождестh :
22 2 sin cos cos sin cos 1.
626666 ππππππ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞
−+ = + =
⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠
От_l .
1.◄

23
2. 2 7913
cos cos .
88824 ctg tg π ππ π ⎛⎞
⋅⋅− ⎜⎟
⎝⎠
► Задача более сложная – надо перейти к знакомым углам. По -
этому hkihevam_fky формулой понижения степени (*), формулами
при_^_gby и сyavx тангенса и котангенса :
2
2 791
cos 1 cos
8882 4 8 8
11222 1cos 1 ,
2422 4
7913 2212
cos cos 0, 5.
8882 4 422 ctg tg
ctg tg
ctg tg πππ π π π ππ
π
πππ π ⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⋅⋅=+ − += ⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎛⎞ +
⎛⎞
=− + =− + =− ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞
+
⎛⎞
⋅⋅− =− −−=− ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
От_l
. - 0,5. ◄
3.

22 sin 27 sin 63 .
sin18 cos18 −
⋅ oo
oo

►Решаем : в числителе «работает » формула при_^_gby и формула
для
cos 2 α , а в знаменателе формула для sin 2 α . Это практически
самые «глаgu_ » формулы : они применяются , пожалуй, чаще k_]h :
( ) 22
22 2 2 sin 27 sin 90 27
sin 27 sin 63 sin 27 cos 27
sin18 cos18 sin18 cos18 0, 5 sin 36
−−
−−= ==
⋅⋅
ooo
oo o o
oo oo o

( ) cos 90 36
cos 54 sin 36
2.
0, 5 sin 36 0, 5 sin 36 0, 5 sin 36 −−
−−
== ==− oo
oo
ooo

От_l .
- 2. ◄

4. 2sin31 cos31 .
sin38sin66 cos38sin24 ⋅
+ oo
oo oo

От_l .
1.
►Чтобы « с_jgmlv» знаменатель, hkihevam_fky формулой при -
_^_gby
( ) sin 24 sin 90 66 cos 66=−= ooo o :

() ()
()
2 sin 31 cos 31 sin 62
sin 38 sin 66 cos 38 sin 24 sin 38 sin 66 cos 38 cos 66
sin 90 28 cos 28
1.
cos 66 38 cos 28 ⋅ = =
++
− ==

oo o
oo oo oo o o
oo o
oo o

24
От_l. 1. ◄
5.
2 79
cos sin .
624 tg π ππ ⋅⋅ 6. 2 3
sin cos cos .
626 6 π ππ π ⎛⎞ ++
⎜⎟
⎝⎠
7.
75
4cos .
366 ctg tg π ππ ⋅⋅ 8. ( ) cos15 cos 50 sin 65 cos 65 sin 50 . − ooo oo
п.3 Упрощение бук_gguo тригонометрических
ujZ`_gbc
В этом пункте примеры более сложные, потому что придётся об -
ращать gbfZgb_ на область определения (ОДЗ ) oh^ysbo в ujZ`_ -
ния функций .
Когда два алгебраических ujZ`_gby
раgu ? Когда они имеют
одинакоu_ области определения (ОДЗ) и одинакоu_ законы , по ко -
торым каждому значению переменной соот_lklует значение ujZ -
жения .
В наших заданиях иногда ОДЗ будет указано в услоbb, а иногда
решающему самому придётся указать множестh , на котором задан -
ное ujZ`_gb_ соiZ^Z_l с преобразоZgguf . Будьте gbfZl_evgu . В
заданиях этого типа наши от_lu могу
т не соiZ^Zlv с теми , которые
даны в некоторых других методических пособиях (в них не обраща -
ется gbfZgb_ на ОДЗ ).
Упростите ujZ`_gby 1 - 23
1. ( ) 22 5sin 4 5 1 cos . aa−+ +
► Заданное ujZ`_gb_ определено на k_c числоhc оси – по -
этому
( ) 22 5sin 4 5 1 cos 1 5 6. aa−+ + =+=
От_l. 6.◄
2. () sin 2 sin ,
2 x tgx x π
π⎛⎞
++⋅ + ⎜⎟
⎝⎠ если cos 0 x ≠ ..
► В этом примере уже задано , что упростить ujZ`_gb_ надо при
условии , что
cos 0. x ≠ Это значит, что tgx сущестm_l , а потому
() sin 2 sin sin cos 2 sin .
2 x tgx x x tgx x x π
π⎛⎞
++⋅ += +⋅ = ⎜⎟
⎝⎠
От_l
. 2sin . x◄
3.
( ) ( ) 22270 sin 180 . tg a a ++oo

25
► В отличие от предыдущего задания , здесь в условии
присутстm_l тангенс (хотя по сущесту , это котангенс ), но условие
его сущестhания не заданы . Поэтому мы должны обратить на это
gbfZgb_ :
( ) ( ) ( ) 22 22270 sin 180 90 sin tg a a tg a a + += + = oo o
22 2 sin cos , sin 0. ctg a a a a== ≠
У нас sin
a сократился, он исчез из знаменателя , а поэтому ОДЗ
полученного ujZ`_gby не соiZ^Z_l с ОДЗ заданного – область
определения ujZ`_gby , полученного после упрощения , шире , и это
необходимо отметить . Если не отметить в от_l_ то , что
sin 0a ≠ , то ,
например , при
,
ann π= ∈Z в от_l_ мы получаем число 1, в то j_fy
как заданное ujZ`_gb_ при этих значениях просто не сущестm_l . Итак,

От_l . 2 cos ,a sin 0, a≠ ◄
4. sin 2
sin ,
sin 2 a
a
a π⎛⎞
−+ ⎜⎟
⎝⎠ 5.
422 cos sin cos
,
0, 5
aaa
ctga
+
6. () 2 cos sin 1
,
cos sin aa
tga a a+−
− cos 0.
a ≠
7.
() 2
2
,
cos sin tga ctga ctga
tga ctga
tga ctga
aa+⋅
+ −
+
+
( ) sin 2 sin cos 0. aa a + ≠
8.

422 2 cos sin cos .
sin aaa
a+ 9. cos 4 cos 6 cos 2 sin 4 sin 6 . aa a aa + +
10. 57
2sin cos sin6 .
22xx x ⋅−
Следующие задачи приспособлены для про_jdb компьютером –
числоu_ от_lu здесь ujZ`Zxlky рациональными числами. Одна -
ко , чтобы не забыZlv об ОДЗ , в некоторых заданиях ограничения
должны быть записаны в от_lZo . В этом случае , если иметь в b^m
только компьютерную про_jdm, то k_ ограничения надо записать в
условии . В других заданиях ограничения записаны в ус
ловии – тогда
от_l сразу может быть про_j_g компьютером .
11. () 2
2 cos sin .
sin 4 aa
a
π
+
⎛⎞ +
⎜⎟
⎝⎠ 12. 2 1cos2
,
1cos2 a tg a
a + ⋅
− sin 2 0. a≠

26
13. 2
1cos:
sin a
a + () 2
2 1cos
1,
sin a
a ⎛⎞ +
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ sin 0. a≠
14.
sin cos 1 .
11sincos aa
ctgatgaaa +−
++ +
15.
( ) ( ) ( ) cos 180 2 sin 180 2 90 . aa tga ++ + +ooo
16.
( ) ( ) ( ) cos 180 2 sin 180 2 90 , aa ctga −−+− − ooo cos 0. a ≠
17.

3
4sin cos
2.
sin cos 22 aa
aa π ⎛⎞ ⎛⎞
++ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
18. ( ) 22 cos 2 sin 2
,
3
cos 4 sin 4
2
bb
bb
π
− ⎛⎞
−− ⎜⎟
⎝⎠ cos 4 0.
b ≠
19.
2sin sin
44 .
sin 2
yy
y ππ
π ⎛⎞⎛⎞⎛⎞
++ −
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞+
⎜⎟
⎝⎠
20. ( ) 5sin2. tgx ctgx x +
21.
3
cos sin 2
2 ,
9
sin 0, 5 cos
22 aa
aaπ
ππ ⎛⎞ −+
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞
−− −
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎝⎠
1
cos sin 0.
2
aa
⎛⎞− ≠
⎜⎟
⎝⎠
22. ( ) ( ) 66 44 10 sin cos 15 sin cos . aa aa+− + 23. ( ) 44
66 9cos sin 1 .
sin cos 1 aa
aa + −
+−
п
.4 Вычисление значений тригонометрических
ujZ`_gbc при дополнительных услоbyo
1. Найдите cosa , если 2 4sin 3cos 3 0aa − −= и 0.
2 a π− <<

► Это же просто – для ujZ`_gby cosa через sin aнадо
hkihevahаться «тригонометрической единицей»:
22 sin cos 1. aa + =
Тогда :
2 4sin 3cos 3 0aa−−= ( ) 2 4 1 cos 3 cos 3 0 aa ⇔ −−−=⇔

27
2 1
cos ,
4 cos 3 cos 1 0 4
cos 1 a
aa
a
⎡= ⎢
⇔+−=⇔

=−
⎣ . Так
как
0
2 a π− <<
, то
cos 0, 25 a= .
От_l. 0,25. ◄
2. Найдите 3
cos cos ,
22
aa
если 3
cos .
5
a=
► И что делать ? Здесь работает одна из не самых популярных
формул - формула 2 из (10)):
() () ()1
cos cos cos cos .
2
ab ab ab
=++−
Тогда
() () 2 31 1
cos cos cos 2 cos 2 cos 1 cos 0,16.
222 2
aa
aa a a
=+= −+=

Ответ . 0,16. ◄
3. Найдите 33 sin cos ,aa− если sin cos 0, 4.aa−=
►Тригонометрические ураg_gby сложны ещё и тем , что , прежде ,
чем «добраться » до применения собст_ggh формул тригонометрии,
приходится пользоZlvky формулами алгебры. Преобразуем заданное
ujZ`_gb_ , kihfgb\ формулу для разности кубов, которая , кстати ,
нередко «заменяется » формулой для куба разности:
() ( )
() () ()
33 22
22 sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos 0, 4 1 sin cos . aaaaa
a
aa a a αα
α ααα
−=− + + =
−++=+

Теперь найдём 1sin cos α α + :
( )2
33 sin cos 0, 4 sin cos 0,16 1 2 sin cos 0,16
sin cos 0, 42 sin cos 0, 4 1, 42 0, 568. aa aa aa
aa a a−=⇒ − =⇔− =⇔
=⇒ − =⋅=
От_l
. 0, 568.◄
4. Найдите ,tga если 13
sin , .
2
5
aa π π =− < <

5. Найдите sin ,a если 24 3
,2.
72
tga
a π π =− < <
6. Найдите 2 2cos 1,x − если 2 sin 0, 3.x=
7. Вычислите cos 2 , α если 1
sin .
5 α =

28
8. Вычислите cos 2 , α если 1
cos .
8 α =−
9. Вычислите ( ) cos , π α− если 1
sin .
2 5 α =−
10. Вычислите ( ) cos 3 , π α+ если 3
cos .
25 α =−
11. Найдите sin 2 cos 2 ,aa − если 2.ctga =
12. Найдите sin 2 cos 2 ,aa + если 3.tga =
13. Найдите sin 2 , x если () 5
sin cos .
2
xx
+=
14. Найдите sin ,a если 2 12 cos sin 11 0 aa − −= и .
2 a π π < <

15. Найдите 2 4sin2,a если 21.
ctga = +
16. Найдите 2,tg a если 12.
ctga =−
17. Найдите 2 4sin ,a если 7.
2
a
ctg =
18. Найдите 3
7sin ,
2
tga aπ ⎛⎞
⋅− ⎜⎟
⎝⎠
если 7
sin .
5
a
=
19.
Найдите sin sin
,
cos sin cos sin αα
α ααα +
−+ если 25.ctg α =
20. Найдите
55
33 sin cos sin ,
sin 2 cos ϕ ϕϕ
ϕϕ ++
+
если 2.tg ϕ =
21.
Найдите ( ) sin cos 3
,
sin cos αα
αα+
− если 13
sin 2 , 2 2 .
72 π α απ =− < <
§ 2. Методы решений тригонометрических уравнений
Раньше, доhevgh даgh , тригонометрия в школе была отдельным
предметом . Сейчас тригонометрия яey_lky одной из тем алгебры . Ско -
рость , с которой проходится тема тригонометрии , не дает hafh`ghklb
даже понять , например , что такое радианная мера . Отголоски тригономет -
рии прямоугольного треугольника еще работают - что такое
cos12 o
школьники представляют , но что такое cos 2, уже нет : быZ_l , что они
уверенно гоhjyl, что cos 2 не сущестm_l . Тригонометрия имеет сhb

29
особенности. Например , мы не можем «решить », т. е. найти конкретные
числа , преjZsZxsb_ в тождестh даже самое элементарное тригономет -
рическое уравнение
1
sin .
3
x=
Оно имеет бесконечное множестh реше -
ний , и мы догоhjbebkv лишь о том , как описать это множестh . Но и тут
нет единогласия - это множестh может быть описано со_jr_ggh не по -
хожими друг на друга формулами .

Пример .
Решите ураg_gb_ 1
sin .
2
x=
От_l
. () 1,.
6n nn π π −+∈ Z
Перuc
способ – самый простой, с точки зрения любого учителя .
Воспользуемся из_klghc формулой :
() 1
sin 1 , .
26 n xx nn π π =⇔=− + ∈ Z
Второй способ .
Отметим углы на тригонометрическом круге, синус которых ра_g
1
,
2
и добаbf период. Тогда 2, ,
1 6
sin
5
2
2,
6
xnn
x
xnn ππ
π π ⎡=+ ∈

=⇔ ⎢

= +∈


Z
Z

От_l .
5
2, 2, .
66 nnn ππ
ππ ++∈ Z
Третий способ .
Так решают немногие школьники. Тем не менее , «насмотреrbkv »
на многообразие формул , некоторые применяют именно те формулы ,
о которых речь пойдёт ниже . Заметим , что
1
sin ,
26 π = и hkihevam_f -
ся формулой разности синусов:
1
sin sin sin 0 2 sin cos 0
2621 2212
sin 0, 2, ,
,,
212 6
212
5
,2 ,
cos 0
212 2 6
212 xx
xx
x x
xnn
nn
x
x
nn x nn πππ
π π
π
π
π
ππ π
π
ππ ⎛⎞⎛⎞
=⇔ − =⇔ − + =⇔ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎡ ⎛⎞


−= =+ ∈
−= ∈
⎜⎟



⎝⎠
⎢ ⇔⇔ ⎢

⎢ ⎛⎞ ⎢

+ =+ ∈ = + ∈
+=
⎢ ⎜⎟




⎝⎠

Z
Z
ZZ

30
От_l. 5
2, 2, .
66 nnn ππ
ππ ++∈ Z

Чет_jluc
способ
Попадаются «любители » уни_jkZevghc тригонометрической под -
станоdb:

()
22
2
2
11
sin 2 sin cos 4 sin cos
222222
cos 0 ;2
sin cos
22 410
22
410 23
22 2
2232, x xxx
x
x
xx
xx
tg tg
xx x
tg tg tg x
arctg n n
π
=⇔ =⇔ =
⎡=⇔∅

=+ ⇔ ⇔ ⎢

−+=


−+=⇔=±⇔=
=±+∈ Z
От_l
. ( ) 2232,.arctg n n π ± +∈ Z
Четыре способа – два одинакоuo от_lZ , третий легко сводится к
этим дmf , а hl чет_jluc способ дает соk_f другой по форме от -
_l , который , конечно, тоже сводится к предыдущим, но посложнее .
Сейчас мы будем изучать осноgu_ приёмы решений тригоно -
метрических ураg_gbc. Начнём с самых простых . При этом мы не
будем стремитьс
я так постаblv задачи, чтобы от_lu получались в
b^_ не более чем десятичных дробей (чтобы можно было от_l про -
_jylv компьютером ). Это сделано для того , чтобы учащийся научил -
ся решать тригонометрические ураg_gby , а уж если потребуется , то
« хорошие » корни он сумеет отобрать .

п .1 Решение элементарных уравнений
Решите ураg_gby 1 - 10
1.
2
cos .
32x
=−

Перuc способ

31
► Некоторых «смущает » .
3x Тогда попробуем так : сначала сдела -
ем замену переменных
,
3 x
t = затем решим ураg_gb_ 2
cos .
2
t
=−

На тригонометрическом круге b^gh , что
3
2, .
4
tnnZπ
π =±+ ∈ Те -
перь ha\jZsZ_fky к старым переменным :

39 2, 6, .
34 4
x
nn Z x nn Zππππ =± + ∈ ⇔ =± + ∈
От_l . 9
6, .
4 nnπ
π ±+ ∈ Z◄
Второй способ
► Можно сразу записать :
23
cos 2 ,
3234 xx
n π π =− ⇔ =± +
9
6, .
4
nZ x nnZπ
π ∈⇔=± + ∈
От_l .
9
6, .
4 nnπ
π ±+ ∈ Z◄
2. cos 2 1. x=− 3. 1
cos 2 .
2
x =−
4. 5
2sin 3 0.
2 xπ ⎛⎞ − −=
⎜⎟
⎝⎠
5. 5
2cos 7 1 0.
2xπ ⎛⎞ − −=
⎜⎟
⎝⎠ 6. 1.
2
tg x π⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠
7.
2 3 3.
2
ctg xπ ⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠ 8. () 2
sin 5 .
4
x π+=

В предыдущих заданиях k_]^Z получалось , что значение триго -
нометрической функции оказыZehkv знакомым числом . В этом при-
мере угол , синус которого ра_g
2
,
4
никому не из_kl_g , т. е. значе -
ние
2
4
для синуса яey_lky незнакомым значением, хотя и сущест -
mxsbf , т. к.
2
1.
4< Как быть ? Как теперь записать от_l ? Для этого
надо познакомиться с « арками».

32
Что такое arcsin , a arccos , , aarctgaarcctga ?

Всем из_kl_g график функции sin yx = – так назыZ_fZy сину-
соида - рис . 10.
X
Y
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-2 -11
2
0

Рис .10
Про_^_f прямую ,ya
= 1.
a≤
Хорошо b^gh , что прямая пересекает график в бесконечном числе
точек, т. е. ураg_gb_
[ ] sin , 1;1xaa=∈− имеет бесконечно много ре -
шений. Как записать от_l ? Как описать это бесконечное множестh
решений уравнения ?
Рассмотрим теперь sinyx
= не на k_c числоhc оси, а только на той
ее части, которая ближе k_]h к 0x
= и на которой синус принимает k_
значения от –1 до 1: каждый скажет , что это отрезок
;.
22π π ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Чем замечательна эта часть синусоиды - рис .11?

Рис .11

33
Это уже не синусоида , а функция () sin , ;
22
yxDy π π ⎡ ⎤
==−
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
(рис .11)! И она замечательна тем , что любая прямая
[ ] ,1;1
yaa =∈−
пересекает
график этой функции в единст_gghc точке , т. е. ураg_gb_
sin x a
= на отрезке ;
22π π ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎣ ⎦ k_]^Z имеет единственное решение .
Математики догоhjbebkv это единст_ggh_ решение обозначать
симhehf – «слоhf »
arcsin .a Решение ураg_gby так именно обо -
значается , потому что конкретное значение для конкретного
a u -
числяется , за редким исключением, по формулам ukr_c математи -
ки. Эти uqbke_ggu_ с определенной степенью точности значения
заложены в калькуляторах .

arcsin a - это единст_ggh_ решение ураg_gby
[ ] sin , 1;1xaa=∈− на
отрезке
;
22π π ⎡⎤ −
⎢⎥
⎣⎦
Итак
, если ;,
22
xπ π ⎡ ⎤
∈−
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
то sin xa = ⇔ arcsin . x a =

Рис .12
Из определения
arcsina немедленно следуют тождестZ :
[ ] sin arcsin , 1;1aaa≡∈− и
arcsin sin , x x
≡ если ;.
22
xπ π ⎡ ⎤
∈−
⎢ ⎥ ⎣ ⎦

34
Эти тождества , как и осноgh_ логарифмическое , относительные ,
потому что они имеет место не для k_o
x, а лишь для ;,
22
xπ π ⎡ ⎤
∈−
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
не для k_o ,a а лишь для
[ ] 1; 1 .
a ∈− С решением ураg_gby на
;
22π π ⎡⎤ −
⎢⎥
⎣⎦
ситуация прояснилась , а как быть с остальными решениями
ураg_gby sin
x a
= ?
Теперь можно рассмотреть синусоиду или тригонометрический
круг . Рассмотрим круг . Будем решать ураg_gb_
sin x a= : одно ре -
шение из_klgh – это
1 arcsin x a = ( угол АОВ ), b^gh и другое – это
2 arcsin x a π=− ( угол АОС ). В силу периодичности синуса с перио -
дом 2,
π k_ множестh решений описыZ_lky формулами :
1 arcsin 2 , x ak π =+ 2 arcsin 2 x am π π = −+≡ ( ) arcsin 2 1 ,am π −++
,.
km ∈Ζ Обе формулы могут быть объединены в одну
() 1arcsin , ,n xan n π =− + ∈Ζ которая и описывает kz множестh ре-
шений ураg_gby sin .
x a=
« Мнемоническое » определение
arcsina : арксинус a - это угол ,
принадлежащий промежутку
;,
22π π ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎣ ⎦
синус которого ра_g a. По -
этому принято угол из промежутка
;,
22π π ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎣ ⎦
синус которого ра_g
a, тоже назыZlv арксинусом .a
Аналогично определяются

arccos a - это единственное решение ураg_gby
[] cos , 1;1xaa=∈− на отрезке [ ] 0;π
arc tga - это единст_ggh_ решение ураg_gby ,tgx a a
= ∈ на
интерZe_
;
22π π ⎛⎞ −
⎜⎟
⎝⎠
arc ctga - это единст_ggh_ решение ураg_gby ,ctgx a a = ∈ на
интерZe_
( ) 0;π

35
Теперь из тригонометрического круга b^gh , что решение про -
стейших элементарных ураg_gbc имеют b^:


() 1. sin 1 arcsin , ,
2. cos arccos 2 , ,
3. , ,
4. , n xa x a nn
xa x a nn
tgxa xarctga nn ctgx a x arcctga n n π
π
π π =⇔=− + ∈
=⇔=± + ∈
=⇔= + ∈ =⇔= + ∈ Z
Z
Z Z
(11)

Под элементарными уравнениями мы будем понимать те , в кото -
рых практически не требуется делать преобразоZgbc , упрощающих
ураg_gb_ .
Решаем заданное ураg_gb_

() 22
sin 5 sin 5
44 xx π+= ⇔ =−⇔
() 1 2
5 1 arcsin ,
4 n xn n π + ⇔=− + ∈ Z ◄
9. 17 1 2
sin 15 .
22 xπ −
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠ 10. ( )70,1. tg x −= 11. 2 3
sin .
32 x π ⎛⎞ +=
⎜⎟
⎝⎠

п . 2 КZ^jZlgu_ уравнения относительно sinx или . cos x

Самыми популярными и наиболее часто klj_qZxsbfbky , пожа -
луй , яeyxlky кZ^jZlgu_ ураg_gby относительно одной тригоно -
метрической функции и ураg_gby b^Z cos 2 cos 0
axbxc + += или
cos 2 sin 0,
axbxc ++= которые , в силу формул (8), k_]^Z сh^ylky
к
кZ^jZlguf относительно cos x или sin x соот_lklенно .
Решите ураg_gby 1 – 9
1.
3cos 2 11sin 7. xx+=
► Применим одну из формул (8):
( )
()
2
2 3 cos 2 11sin 7 3 1 2 sin 11sin 7 6sin 11sin 4 0 1
sin 1 ,
26
n
xx x x
xx
xx nn
π π
+=⇔− +=⇔
⇔−+=⇔
=⇔=− + ∈
Z

36
От_l. () 1,.
6n nn π π −+∈ Z ◄
2. 2 4cos 8cos 3 0. xx++= 3. 2 4cos 8sin 7 0. xx− −=
4. 2 cos cos 2 0. xx+−= 5. 2 2sin 3cos 0. xx+ =
6. 2 sin 2 cos 2 . x x =
7. cos 2 sin . x x
= 8. 2 1
cos 2 .
6
xtgx − =
9. ( ) 3cos 2 2 3 3 cos 3 3 0. x−+ ++ =


п .3 Уравнения b^Z sina cosb 0xx + = (или 0 tgax ctgbx + = )
Решите ураg_gby 1 - 3
1.
sin 9 cos 29 0. xx−=
► Такие ураg_gby особенно часто klj_qZxlky при разложении
на множители . Здесь Z`gh , что спраZ
стоит 0 , а коэффициенты ,
стоящие при функции и « ко – функции »,
одинаковые . В таком случае
надо одну функцию с помощью формул при_^_gby преобразоZlv в
другую , а затем hkihevahаться формулами суммы или разности – в
результате получится , что произ_^_gb_ раgh 0. Например ,
sin cos 0
ax bx +=⇔ sin sin 0 2 ax bx π⎛⎞ + −=⇔
⎜⎟
⎝⎠
() () 22
2sin cos 0.
22 abx abx ππ ⎛⎞⎛⎞ −+ +−
⎜⎟⎜⎟
⇔= ⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
Итак ,
sin 9 cos 29 0xx−=⇔ sin 9 sin 29 0
2 xx π⎛⎞ − −=⇔
⎜⎟
⎝⎠

37
2sin 19 cos 10 044
xx ππ ⎛⎞⎛⎞
−−=⇔
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
sin 19 0,
4
cos 10 0 4 x
x π π ⎡ ⎛⎞
−=
⎜⎟

⎝⎠

⇔ ⎢ ⎛⎞
−=
⎢ ⎜⎟
⎝⎠

19 ,
4
10 , 42 xk
xk kZ π
π
ππ π ⎡⎛⎞
−=
⎜⎟

⎝⎠

⇔ ⎢ ⎛⎞
−=+ ∈
⎢ ⎜⎟
⎝⎠

3
,,.
19 76 40 10 kk x xkZ ππ ππ= +=+∈

Ответ . 3
,,.
19 76 40 10 kk
kZ ππππ ++∈ Все просто . ◄
2. sin 7 cos19 0. xx−= 3. sin 3 cos 2 . x x =

п . 4 Разложение на множители.
При решении тригонометрических ураg_gbc очень Z`gh уметь
преобразоZlv его к одному или нескольким простейшим b^Zf . Для
этого необходимо знать формулы тригонометрии . При этом прихо -
дится kihfbgZlv не только тригонометрию, но и формулы сокра -
щённого умножения .
Самый распространенный метод решения тригонометрических
ураg_gbc – предстаe_gb_ ураg_gby в таком b^_ , чтобы произ_ -
дение доhevgh несложных ujZ`
ений было бы раgh 0. Этот метод
назыZ_lky
разложением на множители. При этом надо помнить , что
такое предстаe_gb_ не единственно – многое заbkbl от того , какие
формулы будут применены .

Решите ураg_gby 1 – 16
1.
() 11
cos 2 sin 4 13 .
2
xxπ π ⎛⎞
−= +
⎜⎟
⎝⎠
В перhf способе после применения формул приведения hkihev -
зуемся формулой синуса дhcgh]h угла , а h lhjhf - формулой для
разности синусов .
Перuc способ

38
► Применим формулу дhcgh]h угла для синуса:
()
() 11
cos 2 sin 4 13 sin 2
2
sin 4 2 sin 2 cos 2 sin 2 0
,,
2
sin 2 2 cos 2 1
,
6 x xx
xxxx n
xn
xx
xnn ππ
π π π ⎛⎞−= +⇔− =
⎜⎟
⎝⎠
=− ⇔ − = ⇔
⎡ =∈

−⇔ ⎢

=± + ∈

⎣ Z

Z

От_l . ,,.
26 n
nn ππ π ±+ ∈ Z ◄
Второй способ
► Воспользуемся формулой для разности синусов :
() 11 3
cos 2 sin 4 13 cos 2 sin 4 sin 2
22
,
sin 4 sin 4 sin 2 0 sin cos 3 0 32
,
63 x xxxx xn
xxx xx xn
xn n
x ππ π
ππ π
π ππ ⎛⎞ ⎛⎞
−= +⇔ −=−⇔−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
=


=− ⇔ − = ⇔ = ⇔ ⇔
⎢ =+

=



⎢=+


От_l .
,,.
63 n
nnππ
π +∈Ζ

Примечание .
СпрашиZ_lky, разные или одинакоu_ от_lu ? На-
несем решения первого и lhjh]h способов на тригонометрический
круг – рис . Видно , что множестZ решений соiZ^Zxl .

39
Это быZ_l часто при решении тригонометрических ураg_gbc –
разные методы решений приh^yl к разным по b^m от_lZf, но опре -
деляющим, конечно , одно и то же множестh решений. ◄
2. 1
cos 2 sin .
32
xx π ⎛⎞
−− =
⎜⎟
⎝⎠
Перuc способ
►Уравнение классическое . Кажется не очень сложное . Похоже ,
что придется применить формулу для косинуса разности. Вспомним
обе формулы :
( )
()
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin α βαβαβ
α βαβαβ
−= +
+= −
Многие забыZxl , где «плюс », а где «минус ».
Запомнить легко . Во -первых , у суммы - минус , у разности, наобо-
рот , плюс . Во -lhjuo , если углы раgu, то косинус разности пре-
jZsZ_lky в
22 cos 0 cos sin 1 αα = +≡ ; если углы раgu, то косинус
суммы преjZsZ_lky в косинус дhcgh]h угла:
22 cos 2 cos sin . α αα =−
1
cos 2 sin
32
xx π ⎛⎞
−− =
⎜⎟
⎝⎠ 131
cos 2 sin 2 sin
222
xx x ⇔ ⋅+ ⋅ − = ⇔

( ) 2 3 sin cos sin sin sin 3 cos sin 1 0
sin 0,
sin 0,
311
3cos sin 1 0 cos sin
222
sin 0 ,
1
cos .
62 36 xx x x x x x
x
x
xx xx
xxn xx k
π
πππ π
⇔−=⇔ −−=⇔
=

=


⇔⇔⇔ ⎢

−−= −=



=⇔ =


⇔ ⎛⎞
⎢ +=⇔=±−+
⎜⎟
⎢ ⎝⎠

От_l
. ,2,
36
nn ππ π π ±−+ .
n ∈Z ◄
Второй способ

40
►Можно поступить по -другому – представить 1
2 как cos
3 π :
() () 1
11
cos 2 sin cos 2 sin
32 32
sin 0,
cos 2 cos sin 2sin sin sin 1
sin
33 3
32
,, ,,
1, 1 ,
36 36
nn
xx x x
x
xxxxx x
xnn xnn
xnnx nn ππ
ππ π π
ππ
ππ ππ ππ
+
⎛⎞ ⎛⎞−− =⇔ −−= ⇔
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
=

⎛⎞ ⎛⎞

−− = ⇔ −= ⇔ ⇔ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎢−=
⎝⎠ ⎝⎠
⎜⎟
⎢ ⎝⎠

=∈ =∈
⎡⎡
⎢⎢

⎢⎢ −=− + ∈ = +− − ∈
⎣⎣
ZZ
ZZ

От_l. () 1 ,1 ,.
36 n nn nππ
ππ + +− − ∈ Z
От_lu разные ? Они соiZ^Zxl по сущестm .
В перhf способе
,2, 2,
62
nn nππ π ππ +−+
то же самое h lhjhf :
,2 2,2,.
3662
nnnnnππππ
ππππ −− = − −− ∈ Z ◄
3. sin sin 1. xtgx x tgx⋅+ − =
► Хорошая задача:

( )( ) sin sin 1 1 sin 1 0 1,. 4
xtgx x tgx tgx x
tgx x n n
π π
⋅+ − =⇔ + −=⇔
⇔=−⇔=−+ ∈
Z
А где решение sin 1
x= ?
Потому и хорошая – решается в одну строчку . А уравнение
sin 1 x= не имеет решений, потому что при этом cos 0x = и tgx не
сущестm_l .
Но _^v на это надо было обратить gbfZgb_ ?
Тем и хороши раghkbevgu_ преобразоZgby, что ничего писать не
надо . Кто понимает , что преобразоZgb_ раghkbevgh , тот hijhku не
задает, а gbfZl_evgh про себя про_jy_l , так ли это . Если кто – то не
хочет или не умеет пользоZlvky раghkbevgufb преобразоZgbyfb,
то это его п
роблемы – он будет оформлять эту задачу по – другому :
найдет k_ решения и будет делать про_jdm .◄

41
4. 33 1
sin cos sin 2 1.
2
xx x
−= + 5. 32 2sin cos 2 sin . x xx
+=
6. 32 2 cos 4 cos 2 16 cos . x xx
−=−
7.
cos sin cos 3 sin 3 6 cos . x xxx x
++ + =−
8.
sin sin 4 sin 5sin 2 cos 3 0. xx x x + −=
►Здесь надо применить одну из не самых популярных формул
(10):
()() ()1
sin sin cos cos .
2 α βαβαβ =−−+
Тогда получим :
sin sin 4 sin 5 sin 2 cos 3 0 cos 3 cos 5
cos 7 cos 3 2 cos 3 0 cos 5 cos 7 0
,,
12 6
cos 6 cos 0
,
2 x xxx xx
xx x xx
n
xn
xx
xnn
ππ
π π
+−=⇔−−
−+− =⇔−− =⇔
⎡=+ ∈

⇔=⇔ ⎢

=+ ∈


Z
Z

От_l . ,,.
12 6 2 n
nn πππ π ++∈ Z ◄
9. cos cos 2 sin . x xx
+= 10. 22 3
sin cos 1.
22xx + =
11. cos 4 sin sin 3 0.
xxx+=
12. 42 sin 2 cos 3 cos 1. xxx++= 13. sin cos 4 cos 2 sin 5 . x xxx + =−
14. 42 4 cos 4 cos cos sin 2 sin .
22xx x xx
=+−
15. 5 sin 3 sin . x x
= 16. cos 3 sin 2 cos 0. xxx + −=
17.
22 44 2 .
tg x tgx ctg x ctgx −=− −
п.5 Уравнения b^Z , sin cos 0
aaxb ax += .0
ab ≠
Решите ураg_gby 1 - 2
1.
13sin 4 7 cos 4 0. xx−=
►Очень простое на b^ ураg_gb_ , но что с ним делать – коэффи -
циенты разные – не сложишь даже после применения формул при_ -
дения .
Зато аргументы одинакоu_ ! Эти ураg_gby часто klj_qZxlky
как промежуточные при решении сложных. Здесь Z`gh , что спраZ
стоит 0, а аргументы у « ко –функций » одинакоu_ . Надо спокойно

42
переходить к тангенсу , т. к. эти «ко –функции » одного аргумента од -
ноj_f_ggh в 0 не обращаются , ибо 22 sin cos 1. xx + ≡ Поэтому
sin cos 0 .
b
arctg k
b a
axb x tgx x
a
π
αα α α
−+
+=⇔=−⇔=
Решаем :
13sin 4 7 cos 4 0xx − =
7
7 13
4.
13 4
arctg k
tg x x π +
⇔=⇔=

От_l . 17
,.
4134 k
arctg k Z π + ∈ ◄
2.
4sin 3 7cos3 0. xx−=
п.6
Ураg_gby b^Z . sin cos +=xxa
1. Решите при k_o a , 2
a ≤ уравнение sin cos . x xa + =
От_l .
arccos 2 , .
4 2
a
nn π π ±+∈ Z
Это ураg_gb_ можно решить , по крайней мере, тремя способами .
Перuc способ .
►Воспользуемся той идеей , что при «ко–функциях » одинаковые
коэффициенты – значит, их можно сложить . А так как переменная
oh^bl в ноu_ слагаемые с разными знаками, то в произ_^_gbb ос-
танется один множитель :
sin cos sin sin 2 sin cos
244
cos arccos 2 ,
44 22
xxa x xa xx a
aa
xx n n πππ
ππ π⎛⎞⎛⎞
+=⇔+ −=⇔ −=⇔ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞ −= ⇔=± + ∈
⎜⎟
⎝⎠ Z

От_l .
arccos 2 , .
4 2
a
nn π π ±+∈ Z ◄
Второй способ (дающий тот же от_l … или другой ).
► Разделим обе части на
2. Тогда
sin cos 1 1
cos sin cos
4
22 2 22 2 x xa aa
xx x π + ⎛⎞
=⇔ + =⇔ −= ⎜⎟
⎝⎠
arccos 2 , .
4 2
a
xn n π
π ⇔= ± + ∈ Z
Можно и так записать :

43

()
sin cos1 1
sin cos sin
4
22 2 22 2
1arcsin ,
4 2
n
xxa aa
xx x
a
xn n π
π π + ⎛⎞
=⇔ + =⇔ +=⇔ ⎜⎟
⎝⎠
=− + − + ∈
Z

Получился другой
От_l. () 1arcsin , .
4 2n a
nn π π−+− + ∈ Z
Как быть ? Никак. От_l _jguc. В тригонометрии это часто быZ -
ет : одно и тоже множестh углов можно охарактеризоZlv разными
тригонометрическими функциями – hl и получаются разные по
форме от_lu . Мы уже об этом гоhjbeb : чтобы от_lu были одина -
коu_ , надо специально стаblv hijhk задачи . ◄
Третий способ (получается от_l другого b^Z ).


Уравнение сведем к кZ^jZlghfm , однородному относительно
cos , sin
22 x x:
sin cos xxa+=⇔
22 22 2sin cos cos sin cos sin
22 2 2 2 2xx x x x x
a⎛⎞ + −= + ⇔
⎜⎟
⎝⎠
() () 22 1cos 1sin 2sin cos 0
2222xxxx
aa −++− =
() ()
()
()
22
22
2 2 1sin 2sin cos 1cos 0
222 2
cos 2 cos 22
sin
21
12 12
22 ,
21 1
xxx x
aa
xxa
x
a
a
xa
tg x arctg n n
aa
π
+− +− =⇔
±−
⇔= ⇔ +
±− ±−
=⇔= +∈
++ Z
Получаем от_l, со_jr_ggh не похожий на предыдущий .
От_l.
2 12
22 ,.
1 a
arctg n n
a π ±− + ∈
+ Z

И каким же способом решать ?
Тем, который кажется Zf самым удобным , хотя и есть задачи, в
которых способ Z`_g . ◄

44
2. Решите ураg_gb_ 33 sin cos sin 0.
4
xxx π ⎛⎞ + −+=
⎜⎟
⎝⎠
От_l .
() () 1
,arcsin22 ,.
42 2n n
nn ππ π −
−+ − + ∈Z

33 sin cos sin 0
4
xxx π ⎛⎞
+−+=⇔ ⎜⎟
⎝⎠
() () ()
() 22 1
cos cos sin sin cos cos sin cos 0
2
1,
2
cos cos 1 sin cos 0
2sin 2 2 2
xx xxx x xx
tgx
xx xx
x
+−+−+=⇔
=−
⎛⎞ ⎡
+− −=⇔ ⎜⎟ ⎢
⎜⎟
=−

⎝⎠
От_l
. () () 1
,arcsin22 ,.
42 2n n
nn ππ π −
−+ − + ∈Z ◄

п. 7. Ураg_gb_ , однородное относительно
cos , sinkx mx
Ураg_gb_ b^Z ( ) sin , cos 0
Fmxkx = назыZ_lky однородным
степени n относительно cos , sinkx mx , если
( ) sin , cos F tkxt mx =
()sin , cos ntF kx mx
= при любом . t
Это ураg_gb_ приh^blky к уравнению с одним неиз_klguf за-
меной переменных
cos
sin kx
y
mx
= (
или sin
cos mx
y
kx
= ),
где предZjbl_evgh
про_jy_lky , не яey_lky ли решением sin 0mx
= (или cos 0 kx = ).
Откуда это следует ? Возьмем в качест_ t дробь
1
sin
t
mx
=
(или
1
cos
t
kx
=
). Тогда 11
sin , cos
sin sin F kx mx
kx kx
⎛⎞ ⋅ ⋅=
⎜⎟
⎝⎠
()() 1
sin,cos 0 sin,cos 0.
sin n
Fkxmx Fkxmx
kx
⎛⎞
== ⇔=
⎜⎟
⎝⎠
Но
11 cos sin , cos 1,
sin sin sinmx
FkxmxF
kx kx kx
⎛⎞
⎛⎞
⋅⋅=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ , поэтому
() cos
sin , cos 0 1, 0
sinmx
Fkxmx F
kx
⎛⎞
=⇔ =⇔ ⎜⎟
⎝⎠ ( ) 0.
fy=

45

Решите ураg_gby 1 - 12
1.
32 2 3 cos cos cos 7 cos cos 7 cos 7 0.xxxxx x+++=
От_l. ,,.
8463 kk
k ππππ ++∈ Z
► Уравнение является однородным степени 3, т. к. если f_klh
cos
x подстаblv cos ,tx f_klh cos 7 x подстаblv cos 7 ,
tx то t в 3 –
ей степени можно ug_k_lky за скобку , а ураg_gb_ останется преж -
ним :
()()( )()( )( )
()
32 2 3
33 2 2 33
22 3 cos cos cos 7 cos cos 7 cos 7
cos cos cos 7 cos cos 7 cos 7 0 cos
cos cos 7 cos cos 7 cos 7 0.
txtxtxtxtxtx
txxxxx x x
xx x x x+++≡
+++=⇔+
++ +=
1) Про_jbf прежде k_]h , не яey_lky ли решением cos 0x
= .
Если
cos 0 , ,
2
xx kk π
π = ⇔= + ∈ Z то и
() 7 7
cos 7 1 cos 0.
22 k k ππ π⎛⎞ + =− ≡
⎜⎟
⎝⎠
Итак ,
,
2
xkk π
π= +∈ Z - решение .
2) Теперь рассматриZ_f случай , когда
cos 0,x ≠ а , значит , урав -
нение можно разделить на
3 cos . x Тогда
32 2 3
23 2
23 2 cos cos cos 7 cos cos 7 cos 7 0
cos 7 cos 7 cos 7 cos 7 cos 7
10110
cos cos cos cos cos
,,
84
cos 7 cos 0 cos 4 cos 3 0
,
63
xxxxx x
xxx x x
xxx x x
k
xk
xx xx k
xk
ππ
ππ
+++=⇔ ⎛⎞
⎛⎞
++ + =⇔ + +=⇔ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎡ =+ ∈

+=⇔ =⇔ ⎢

=+ ∈

⎣ Z
Z
Объединяем оба случая и получаем
От_l. ,
2 k π π+ ,,.
8463 kk
k ππππ + +∈Z

46
Примечание. Кубическое относительно cos 7
cos x
x ураg_gb_ реша-
лось отдельно :
( )( ) 23 2 1011010 .
tt t t t t
++ + = ⇔ + + = ⇔ + = ◄
2. 22 2 cos 3cos cos 2 cos 2 0. xxx x−+=
От_l. 213
2 , , arccos 2 , .
32n
nn nπ
ππ − ± +∈ Z

Это ураg_gb_ однородное 2 –ой степени .
► 1) Про_jbf прежде k_]h , не яey_lky ли решением cos 2 0 x
= :
если cos 2 0, x= то и cos 0, x
= что неhafh`gh , т. к. тогда
22 1
cos 2 0 2 cos 1 0 cos 0.
2
xx x
=⇔ −=⇔ = ≠
2) Если cos 2 0,x
≠ то
22 2 cos 3 cos cos 2 cos 2 0 xxx x−+= cos cos 1
10
cos 2 cos 2 2 xx
xx
⎛⎞⎛ ⎞ ⇔ −−=
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
2
2
2
2 cos cos 2 cos 2 cos 1, 2cos cos2 2cos 2cos 1
13
2cos cos 1 0 cos ,
4
13
2 cos 2 cos 1 0 cos
2
xxx x
xx x x
xx x
xx x

=⇔= −
⇔⇔ ⎢
=⇔ = −


±

−−=⇔ =


⇔ ±

−−=⇔=



47
cos 1,2 , ;
12
cos , 2 , ;
23
13 13
cos arccos 2 ,
2 2
xxn
n
xxn n
x xn n π
π π
π




==∈




⇔=−⇔=±+∈ ⎢



− −


=
=±+∈


⎣ ⎣Z
Z
Z
2
3
2sin sin 0,
22
2cos 2cos 1 0 xx
xx

=

⇔⇔

−−=


3
,
2
,
2
13
cos
2
x
k
x n
x π π ⎡ =



= ⇔




=


2
,,
3
2, ,
13
arccos 2 ,
2
k
xk
xnn
xn n π
π π ⎡=∈


=∈




=± + ∈

⎣ Z
Z
Z
От_l
. 21 3
2, 2,arccos 2, .
32
nn nnπ
ππ π −
±+ ± + ∈ Z◄
Примечание 1. КZ^jZlgh_ однородное ураg_gb_ можно решать
по – другому , не используя яgh однородность : его можно решать как
кZ^jZlgh_ относительно одного из аргументов , считая lhjhc «псев -
допараметром ». Преимущестh состоит в том , что не надо ничего
предZjbl_evgh про_jylv .
Как ? Решаем как обычное кZ^jZlgh_ ураg_gb_ :
2
22 3 cos 2 cos 2
2 cos 3 cos cos 2 cos 2 0 cos
4
xx
xxx x x ±
−+=⇔= ⇔
cos cos 2 , 2cos cos2 xx
x x
=
⎡⇔ ⎢
=

2
,,
3
2, ,
13
arccos 2 ,
2
k
xk
xnn
xn n π
π π ⎡=∈


=∈




=±+∈

⎣ Z
Z
Z

48
От_l. 213
2 , , arccos 2 , .
32n
nn nπ
ππ − ± +∈ Z
Проще ? ◄
Примечание 2. Кстати, неоднородное кZ^jZlgh_ ураg_gb_ b^Z 22 cos sin sin 2
axbxcxd ++ = сh^blky к однородному с помощью ос -
ноgh]h тригонометрического тождестZ :
() () ()
22 22
22 2 2 cos sin sin cos cos sin sin cos
cos sin cos sin cos sin 0.
axbxcxxdaxbxcxx
dx xadxcxxbdx ++ =⇔ ++ =
+⇔− + +− =
3. 2
sin cos19 cos . x x π
π +=
От_l . 2,2 2, .
2
narctg nn π
ππ π ++∈ Z
►На перuc a]ey^ , ураg_gb_ не похоже на однородное . При-
смотримся gbfZl_evg_c , перейдём к « полоbgghfm » углу:
2 224
sin cos19 cos sin 1 cos sin cos 2 cos
22 2
2, ,
cos 0,
2 2,2 2 ,
2
22,
2
22 xx x
xxxx
x xnn
xnarctgnn
x xarctg nn
tg π
πππ
ππ π
ππ π
π
π π +=⇔−=⇔ − ⇔
⎡ =+ ∈
= ⎡
⎢ ⎧⎫

⇔⇔∈++∈

⎨⎬
⎢ =+∈ ⎩⎭

= ⎣

⎣ Z
Z
Z

От_l . 2,2 2, .
2
narctg nn π
ππ π ++∈ Z◄
4. 2cos3 3sin cos . x xx
=+
► Применим сначала не часто klj_qZxsmxky формулу косинуса
тройного угла :
( ) 3
3 2cos3 3sin cos 2 4cos 3cos 3 sin cos 8 cos 3 sin 7 cos . x xx x x
x xxxx
=+⇔ − =
=+⇔ =+
Что делать дальше ? Заметим, что слева стоит тригонометрический
многочлен 3 –ей степени , а спраZ однородный тригонометрический
многочлен 1 – ей степени . Поэтому сделаем kz ураg_gb_ однород -
ным 3 – ей степени , умножив праmx часть на тригонометрическую
единицу . Тогда

49
( )
() () ()
33
22 2
32 8 cos 3sin 7 cos 8 cos 3sin 7 cos sin cos 8 3 7 1
1,,,
4
37 310 27
27
,
3
3
xx x x x x
xx tgxtgx
tgxxтm
tg x tg x tgx tgxxarctg тm
π
π
π
=+ ⇔ = +
+⇔=+ +⇔

=− =− + ∈


⎢ ⎢
++−=⇔ ⇔
−±

−±

=

= +∈
⎣ ⎢
⎣ Z
Z
От_l . 27
,, .
43 т
arctg тm π
ππ −±
−+ + ∈Z

5. 2 3 3sin 2 cos sin cos 5 cos 2 cos 5 cos10 sin 6 cos 5 0.xxxxxxxx x−+− +−=
6. 22 2 cos 3 cos cos 2 cos 2 0. xxx x++=
7.
22 sin 3cos sin 2 cos 0. xxx x−+=
8. 22 2sin sin cos2 cos 2 0. xxx x−−= 9. 3 2sin cos . x x
=
10. 33 2 5 cos sin 4 sin cos . x xxx
−= 11. 33 sin 37 cos cos 0. xxx − +=

п .8 . Не k_ формулы тригонометрии
яeyxlky тождестZfb !
Решите ураg_gby 1 - 4
1.
2 91.
4
tg x ctg x π ⎛⎞
+=− −
⎜⎟
⎝⎠
Перuc способ (доhevgh опасный !)
Многие школьники так решают это ураg_gb_ .
► Воспользуемся формулой для тангенса сум-
мы :
() .
1 tga tgb
tg a b
tga tgb+
+=
−⋅
Тогда
2 91
4
tg x ctg x π ⎛⎞
+=− −
⎜⎟
⎝⎠ 2 4
91
1 4
tgx tg
ctg x
tgxtg
π
π
+
⇔ =− − ⇔

2 1
91
1 tgx
ctg x
tgx +
=− − ⇔

2
19 1
1 tgx
tgx tg x+=−−⇔

2
2 19
1 tgx tg x
tgx tg x++=−⇔

32 2 3 99 0
1
tg x tg x tg x tgx tg x
tgx
+++−−
⇔= ⇔
− 2 299 0
1
tg x tgx
tgx
−+ ⇔ =⇔


50
3,
2
3
tgx
tgx

=


=
⎣ 3
,
.
2
3,
xarctg k
x arctg k k Z
π
π ⎡ =+


⎢=+∈
⎣ ◄

0 От_l
не_jguc .
Почему ? Как – то в школе не обращается gbfZgb_ на то , что не
k_ формулы тригонометрии яeyxlky тождестZfb . При решении
ураg_gbc , например , очень “ опасно ” бездумно пользоваться форму -
лой тангенса суммы:
() .
1 tga tgb
tg a b
tga tgb+
+=
−⋅
Почему ? Потому что она не яey_lky тождестhf , ибо леZy и
праZy части имеют разные области определения : левая часть опреде -
лена , если
( ) cos 0,ab+≠ а праZy – если ( ) cos 0ab + ≠ и , кроме это -
го , если cos cos 0.ab⋅≠
Не очень понятно, почему? Хорошо .
3 Посмотрим на uод формулы:
() ()
() sin sin cos sin cos
cos cos cos sin sin ab
ab ba
tg a b
ab a b a b+
+
+= = =
+−
,cos cos 0
1 tga tgb
ab
tgatgb +
=⋅≠
− ,
т. к. разделили числитель и знаменатель
на произ_^_gb_ cos cos .ab

() ,cos cos 0
1 tga tgb
tg a b a b
tgatgb +
+= ⋅ ≠
− (11)

Услоb_
, что ( ) cos 0, ab + ≠ необходимое для сущестhания
( ),
tg a b + остается необходимым и для праhc части формулы . Но в
праhc части hagbdeh ноh_ ограничение : сущестhание tga и ,tgb
которое совершенно не требуется для сущестhания
( ).
tg a b + По -
этому , прежде , чем применять эту формулу , необходимо про_jblv ,
не яey_lky ли решением cos cos 0.ab
⋅ = Это условие часто забыZxl
про_jblv . В нашем примере
cos 0.
4 π ≠ Теперь про_jbf, что да -
ет cos 0 x= :
cos 0 0 ,
2
xctgx x nn π
π =⇔ =⇔ = + ∈Ζ и

51
1.
24 4
tg n ctg ππ π
π⎛⎞++ =− ≡−
⎜⎟
⎝⎠ Это значит, что ,
2
xnn π
π= +∈Ζ -
решение . Именно это решение и было потеряно . Только после этого
можно hkihevahаться формулой тангенса суммы.
Не яeyxlky тождестZfb и следующие формулы:


22 2
22 2
22 2
22 2
22 2
22 2
2sin cos 2
1. sin 2 , cos 0;
sin cos 1
2sin cos 2
1*. sin 2 , sin 0;
sin cos 1
cos sin 1
2. cos 2 , cos 0;
sin cos 1
cos sin 1
3. cos 2 , sin 0
sin cos 1 xx tgx
xx
xxtgx
xx ctgx
xx
xxctgx
xxtgx
xx
xxtgx
xxctgx
xx
xxtgx
==≠
++
= =≠
++
−−
==≠
++
−−
== ≠
++ (12)

Можно
ли сделать так , чтобы не терять решений ? Можно – тогда
не надо применять формулу тангенса суммы.
Второй способ (без применения формулы тангенса суммы)
► Лучше k_]h не пользоZlvky формулой тангенса суммы, а сра -
зу перейти к синусам и косинусам :

2 91
4
tg x ctg x π ⎛⎞
+=− −
⎜⎟
⎝⎠ 2 sin cos
91
cos sin xx
ctg x
xx + ⇔ =− − ⇔

2
32 1,
1
91
1 199 1ctgx
ctgx
ctg x
ctgx ctgx ctg x ctg x ctgx≠

+
=− − ⇔ ⇔

− +=− + −+

( ) 2 9920
ctgx ctg x ctgx −+=⇔
0,
93 18
ctgx
ctgx
=


⇔ ±
⎢ =

,,
2
2
3
1
3
xnn
ctgx
ctgx π π ⎡=+ ∈Ζ



= ⇔


⎢ =



52
,,
2
2,,
3
1 ,
3
xnn
x arcctg n n
x arcctg n n π
π
π
π ⎡ =+ ∈Ζ


⎢ =+∈Ζ


⎢ =+∈Ζ


Как b^bf , ничего не теряем .
От_l. 21
,,,.
233 n arcctg n arcctg n n π
πππ +++∈ Ζ
Можно как- нибудь просто объяснить , почему k_ – таки формулы
для тангенсов не являются тождестZfb ? Это потому , что
tgx и ctgx
яeyxlky просто частными , а переход к частному , как из_klgh , hafh -
жен только для тех
x, при которых знаменатель не обращается в 0 – это
и есть дополнительные ограничения. ◄
2. sin
21.
1cos 2 x x
tg
x =−
+ 3. cos sin 1 0.
2 x xxtg− ⋅+=
4. () 22 1sin11 0.
22xx
tg x tg ⎛⎞
−+ ++ = ⎜⎟
⎝⎠
п.9 . Ураg_gb_ b^Z ( ) sin 2 , sin cos 0
fxxx ± =
Примеры такого типа klj_qZxlky не часто .
Ураg_gb_ b^Z
( ) sin 2 , sin cos 0
fxxx ± = сh^blky к уравнению с
одной переменной с помощью замены переменных
sin cos .
txx= ±
Например , пусть дано ураg_gb_
( ) ( ) sin 2 , sin cos 0.
Fxxx − = Так как
( ) ( ) 22 sin cos 1 sin 2 sin 2 1 sin cos , x xxxxx
−=−⇔=−− то , едя пере-
менную sin cos , txx
= − получим уравнение
( ) ( ) 2 sin 2 , sin cos 1 , 0,
FxxxFtt −≡−=
т . е. ураg_gb_ с одной перемен -
ной t. Если задано ураg_gb_
( ) ( ) sin 2 , sin cos 0,
Fxxx + = то , так как
() () 22 sin cos 1 sin 2 sin 2 sin cos 1,xx x x xx+=+⇔=+− то с помощью
замены
sin cos
txx =+ ураg_gb_ приh^blky к b^m
( ) ( ) 2 sin 2 , sin cos 1, 0.
FxxxFtt +≡−=
Решите ураg_gby 1 - 12
1.
1 sin cos sin 2 . x xx
−= −

53
► 1 sin 2 cos sin x xx
+=+⇔
()( ) 2 1sin2 cos sin 1 cos sin 1 cos sin x xx xx xx
+=+⇔+ + −=+⇔
() 2 1,
cos sin 0,
cos sin cos sin 1
sin
cos sin 1
42
tgx
xx
xx xx
x
xx
π
=−

+=


+=+⇔ ⇔ ⇔ ⎛⎞


+=
+=
⎣ ⎜⎟
⎢ ⎝⎠



()
,,
4
,
4 2, ;
2
1
2,
44
n
xkk
xn xkk
xn xkk ππ
π π
ππ
ππ π
π ⎡ =−+ ∈Ζ



=− +


⇔ =+ ∈Ζ


⎢ +=− + ⎢
⎢ =∈Ζ




От_l
. 2, 2, , .
24
kk kk ππ
ππ π + −+ ∈Ζ ◄
2. 3sin 2 2 sin 2 sin cos 1. xxxx
−=−+−−
► Пусть sin cos
txx =− , тогда () 2
2 sin 2 1 sin cos 1 , x xx t
=− − =−
и ураg_gb_ примет b^:
( ) ( )
() ()( ) () ()( )
()( )
()()()( )
()
()( ) ()
()
()( )
()( )
()
()( )
22 22
22
2
2
232
2 31221 312 3 31 123,
31 123
12 3 0
13 1 12 3 0, 12 4 3 6 0, 12 3 0
12 3 0
1,
12230,
2,
12 3 0 3
2
ttt ttt
ttt
ttt
tt
t t tt tttt tt
tt
t
tt t
t
tt
t
−= −+−⇔ −= +−⇔
⎧−=− +

−=− + ⇔ ⇔

−+≥


⎧ ⎧
−+−−+= −+−−=
⎪⎪

⎨⎨
−+≥
⎪− + ≥ ⎪



⎢=
⎧ ⎢
−+ −=

⇔⇔ ⎢=−


−+≥


⎢=


Вернемся к старым переменным:
() sin cos 1 2 sin 1 1 , ,
444 n xx x x nn πππ
π ⎛⎞
−=⇔ −=⇔=+−+∈ ⎜⎟
⎝⎠ Z

54
sin 1, 2 ,
sin cos 2 ,
cos 1 sin 2 1xxn
xx
xn π
π =− =
⎧⎧
−=−⇔ ⇔ ⇔∅ ⎨⎨
=≠ −
⎩⎩
() 33
sin cos sin 1 , ,
24243 n xx x x nn πππ π ⎛⎞
−=⇔ −=⇔=+−+∈ ⎜⎟
⎝⎠ Z
От_l. () 1
44n n ππ π +− + , () 1,.
43n nn ππ π + −+∈ Z ◄
3. 33 1sin cos 3sincos. x xxx
++ =

33 1sin cos 3sincos x xxx
++ = ⇔
() ( )
()( )
()()
()
22
22 1 sin cos sin sin cos cos 3sin cos
1 sin cos 1 sin cos 3 sin cossin cos sin cos
11
1sin cos 1 3
22 22
xx xxx x xx
x x xx xx
xx xx
xx
⇔+ + − + = ⇔
⇔+ + − = ⇔
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
++
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⇔+ + − − =−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
Пусть sin costxx =+ , тогда ураg_gb_ примет b^:
() ()
22
32
2 11
11 3 3350
22
1,
25 1 0
16
tt
tt tt
t
tt t
t
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞−−
+− = ⇔+−−=⇔ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
=−

⇔+− +=⇔ ⎢
=− ±

ВозjZsZ_fky к старым переменным :
13
sin cos 1 cos 2 ,
444 2
3 2, ,
44
xx x x nn
xn n πππ
π
ππ π ⎛⎞
+=−⇔ −=−⇔−=±+ ∈⇔ ⎜⎟
⎝⎠
=± + ∈ Z
Z
16
sin cos 1 6 cos ,
4 2
xx
x π −±
⎛⎞
+=−±⇔ −= ⇔∅ ⎜⎟
⎝⎠
так как
16 2 6 216322 322 16 2
−+ ∨ ⇔ ∨ + ⇔ ∨ + ⇔ > ⇔−+ > .
От_l. 3
2,
44 nn ππ
π ±+ ∈ Z .◄
4. 3sin 2 2sin 2 sin cos 1. xxxx
−=−−+− 5. 3sin 2 2sin 2 sin cos 1. xxxx = ++ −
6. 3sin 2 2 sin 2 sin cos 1. xxxx=−−− 7. 2 sin 2 sin cos 1.xx x + +=
8. 2sin2 5sin 5cos 4.xx x−= − 9. 33 sin cos sin 2 1. xxx+−=

55
10. 33 sin cos 3sin cos 1.xx xx−= − 11. 3sin 2 7 7 sin 7 cos . x xx + =+
12. sin 2 cos sin 1. xxx=−−

п .10 Уравнение b^Z sin cos ,
axb xc + = 0
abc≠ В_^_gb_ kihfh -
гательного угла

Рассмотрим ураg_gb_ b^Z

sin cos ,
axb xc + = 0
abc≠ (1)
Первый способ (решение с помощью уни_jkZevghc тригономет -
рической подстаноdb).
►Воспользуемся тригонометрической единицей , чтобы с_klb за-
данное ураg_gb_ к однородному :
sin cos
axb xc +=⇔
22 22 2sin cos cos sin cos sin
22 2 2 2 2xx x x x x
ab c ⎛⎞⎛⎞
+−=+⇔ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
() () 22 2sin cos cos sin 0
22 2 2xx x x
abcbc +− −+ =
- однородное ураg_gb_
степени 2.
Ураg_gb_ можно разделить на
2 cos x или 2 sin , x т. к. ни уравне -
ние cos 0, x= ни ураg_gb_ sin 0x
= не имеют решений . Разделим на
2 cos , x тогда получим кZ^jZlgh_ , если ,
bc ≠− или линейное , если
,
bc =− ураg_gb_ относительно
2
x tg:
() () 2 sin cos 20.
22 xx
axb xc bctg atg bc +=⇔+ −−−= ◄
Второй способ (решение с помощью едения kihfh]Zl_evgh]h угла ).
►Рассмотрим в
ыражение sin cos ,
axb x + 0,
ab≠ умножим и разде -
лим его на
22ab + :
( ) sin cos
yx a x b x = +≡
22
22 22 sincos
ab
ab x x
ab ab
⎛⎞
≡+ +
⎜⎟
++
⎝⎠ .
Заметим, что
22
22 22
1
ab
ab ab
⎛⎞⎛⎞
+≡
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠.
Этому условию удоe_lоряют 8 точек на единичной окружности
– рис .

56


Это точки с координатами :
22 22 ,,
ab
ab ab
⎛⎞
±±
⎜⎟
++
⎝⎠ 22 22 ,,
ba
ab ab
⎛⎞
±±
⎜⎟
++
⎝⎠
22 22 ,,
ab
ab ab
⎛⎞
±
⎜⎟
++
⎝⎠m 22 22 ,
ba
ab ab
⎛⎞
±
⎜⎟
++
⎝⎠m , и каждая пара ко -
ординат может быть принята за косинус и синус соот_lklующего
угла .
При этом k_]^Z найдутся две пары положительных чисел , а, зна-
чит, угол в перhc чет_jlb, который может быть записан в b^_ лю-
бого “арка ”.
При необходимости или желании можно u[jZlv любую пару,
преобразоZ\ соот_lklенно заданное ujZ`_gb_ .
Положим , н
апример,
22 22 cos , sin .
ab
ab ab α α ==
++
Тогда
( ) sin cos
yx a x b x =+ =
() () 22 22 cos sin sin cossin
ab x x ab x αα α ++≡++ .
А можно сделать не так :
положим
22 22 sin , cos
ab
ab ab ϕ ϕ ==
++ .
Тогда
( ) sin cos
yx a x b x =+ =
() () 22 22 sin sin cos coscos
ab x x ab x ϕ ϕϕ ++≡+− .

57
Можно u[jZlv так : 22 22 cos ,sin .
ab
ab ab φ φ =− =
++ Тогда
() () () 22 22 sin coscos sin sin cos sin
yx a xb x ab x x ab x φ φφ =+ =+ − ≡+ −
и т. д .
Итак , можно u[jZlv , например , любое из таких b^h\ :
sin cos
axb x
+
() () () 22 22 22 sincos sin .
ab x ab x ab x α ϕφ =+ +=+ −=+ − (2)
Тогда ураg_gb_ sin cosaxb xc
+ = примет , например , простей -
ший b^ :

() 22 sin cos sin .
c
axb xc x
ab α +=⇔+=+ (3)

Рассмотрим ещё один b^ ураg_gby
sin cos sin cos ,
axb xcxd x
α αβ β + =+ 22 2 2 .
ab cd +=+ (4)
Покажем, что оно упрощается с помощью \_^_gby kihfh]Zl_ev -
ного угла и распадается на два простейших тригонометрических
ураg_gby :
( ) ( )
() ()
cos 0,
2
sin cos sin cos
sin0,
2
x
axb xcxd x x αβ γδ
ααβ β αβ γδ ⎡+++ = ⎢

+=+ ⇔
⎢−+−

= ⎣
где
22 2222 22 cos , sin , cos , sin .
abcd
ab ab ab ab γ γδδ === =
+++ +
►Дейстbl_evgh , разделим обе части ураg_gby на
22 2 2 ,
ab cd += + тогда ураg_gb_ примет b^:
22 22 2 22 2 sincos sincos
ab c d x xx x
ab ab cd cd αα β β +=+ ⇔
++ + +

58
() ( ) ( ) ( )
()
() () ()
() ()
() ()
()
()
sin sin sin sin 0
2cos sin 0
22
cos 0,
2, ,
2
2,
sin 0
2
xx xx
xx
x xn n
xn n
x αγ βδ αγ βδ
αβ γδ αβ γδ
αβ γδ αβ γδ π π
αβ γδ π
αβ γδ += +⇔ +− +=⇔
+++ −+− =⇔
⎡ +++
=


+ ++ = + ∈
⎢ ⇔⎢
⎢ −+−= ∈
−+−


⎢ =
⎣ Z
Z
, где
22 2222 22 cos , sin , cos , sin ,
abcd
ab ab ab ab γ γδδ ====
++++
ч . т . д .. ◄
С помощью \_^_gby kihfh]Zl_evgh]h угла мы будем решать
ураg_gby , находить наибольшее и наименьшее значение специаль -
ного b^Z функций . Но и в том , и в другом случае можно было обой -
тись и без этого. Вопрос – а где ещё эффектиgh работает этот метод ?
« Лирическое отступление ».

► Всем и
з_klgh , что , с одной стороны , гармонические колебания
описыZxlky формулой
( ) cos ,
yA x ω α =+ а , с другой стороны , урав -
нением
2 0.
yy ω ′′
+=
Немногие в школе понимают сyav одного с другим. А _^v гармо -
нические колебания можно описать и формулой
( ) sin .
yA x ω β =+
Не поленитесь и быстро про_jvl_ , что функции cosyx
ω = и
sin
yx
ω = обращают ураg_gb_ гармонических колебаний в тождест-
h . Теперь подстаvl_ в ураg_gb_
12cos sin
yC xC x ω ω = + , где 1C и
2C произhevgu_ константы. Что получилось?
Все сократилось , то есть ураg_gb_ преjZlbehkv в тождестh –
значит,
12cos sin
yC xC x ω ω =+ - тоже решение этого ураg_gby . Еще
одна формула описыZ_l гармонические колебания? Не слишком ли ?
И как теперь в этих формулах разбираться ? Сейчас разберемся – k_
это разные формы записи решения ураg_gby
2 0
yy ω ′′+ = . Из_klgh
( доказательстh этого факта uoh^bl за рамки средней школы ), что
формулой
12cos sin
yC xC x ω ω =+ исчерпывается kz множестh ре -
шений ураg_gby . А теперь займемся преобразоZgb_f этой форму -
лы .

59
Будем одить kihfh]Zl_evguc угол:
22
12
12 12 2222
12 12 cos sin cossin .
CC
yC xC x C C xx
CC CC ωω ω ω
⎛⎞
⎜⎟
=+=+ +
⎜⎟++
⎝⎠

Если \_klb kihfh]Zl_evguc угол
α, положив
12
22 22
12 12 cos, sin ,
CC
CC CC αα == −
++
и обозначу 22
12CC + букhc
A , то гармонические колебания описыZxlky формулой
( ) cos .
yA x ω α =+
А если ести другой kihfh]Zl_evguc угол, положив
12
22 22
12 12 sin, cos ,
CC
CC CC ββ == ++
и опять обозначить 22
12CC +
букhc A , то гармонические колебания будут описыZlvky форму -
лой
( ) sin .
yA x ω β =+
Вспомогательные углы отличаются друг от друга, не считая пе -
риода , на
,
2π что хорошо b^gh и на тригонометрическом круге . Ну ,
hl, - формулы jh^_ бы разные , но , если решать конкретную задачу ,
то константы ,,A
α β определятся , и решение у k_o будет одно и то
же .
Прояснилось что -нибудь в гармонических колебаниях ? ◄

Решите ураg_gby 1 - 6
1.
3sin 4 cos 2. xx−=
Перuc способ
►Решим ураg_gb_ первым способом:
22 22
222 3sin 4 cos 2 3sin cos 2 cos sin cos sin 22 2 2 2 2
321
321 1 330
22222 22
321
22 ,
2 xx x x x x
xx
xxxxx x
tg tg tg tg tg tg
xarctg nn
π
⎛⎞⎛⎞
−=⇔ − − = + ⇔ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
−±
⎛⎞⎛⎞
−− =+ ⇔ + −=⇔ = ⇔ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
−±
=+∈
Z
От_l . 321
22 ,.
2
arctg
n n π −± + ∈Z ◄

60
В некоторых задачах такая замена не очень удачна . Сейчас мы
рассмотрим lhjhc метод решения .
Второй способ

► Попробуем решить lhjuf методом :
() ()
()
34 2
3sin 4 cos 2 5 sin cos 2 cos sin sin cos
55 5
22
sin 1 arcsin ,
55
32
arccos 1 arcsin ,
55
n
n
xx x x x x
xx nn
xnn αα
αα π π ⎛⎞
−=⇔ − =⇔ − =⇔ ⎜⎟
⎝⎠
−=⇔=+− + ∈⇔
=+− +∈ Z
Z .
От_l
. () 32
arccos 1 arcsin , .
55 n nnπ + −+∈ Z ◄
Примечание 1 . Так как 34
cos , sin ,
55 α α == то угол определяется в
круге однозначно , но k_ -таки почему мы не записали , что

3
arccos 2 ,
5nn απ =+∈ Z?
Очень просто : этот период яey_lky перио -
дом k_]h аргумента, поэтому там и учитыZ_lky .
Примечание 2. РаghijZны ли эти два метода ? Конечно . Но k_ -
таки иногда приходится u[bjZlv. Если надо просто решить уравне -
ние и больше нет необходимости работать с корнями, то можно ре -
шать любым способом . При решении lhjuf способом часто от_lu
записыZxlky очень громоздко . Однако hagbdZxl разные задачи , и
иногда приходится u[bjZlv только один из дmo способов .
2. 3sin 2 4 cos 2 5cos 26 . x xx
−=
► 3sin 2 4 cos 2 5 cos 26 x xx
−= 34
sin 2 cos 2 cos 26
55 x xx ⇔ −=⇔
() cos 2 cos 26 x ax
−+= ⇔ ( ) cos 2 cos 26 0 xa x + +=⇔
4
arccos
5 ,;
28 28 14
2 cos 14 cos 12 0
4
22
arccos
5 ,
24 24 12 n
xn
aa
xx
n
xn
ππ
ππ


= −+∈Ζ

⎛⎞⎛⎞ ⎢
+−=⇔
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

= ++∈Ζ



61
От_l.
44
arccos arccos
55 ,, .
28 28 14 24 24 12 nn
n
ππππ −+++∈ Z ◄
Примечание . Если бы спраZ был другой коэффициент , задача бы
практически не решалась .
3. Найдите произ_^_gb_ наибольшего и наименьшего значений
функции
( ) 3sin 2006 4 cos 2006 17.
yx x x =− −
►Одиннадцатиклассники сразу захотят найти произh^gmx
( ) yx.
Мы обойдемся без произh^guo . В примерах такого рода едение
kihfh]Zl_evgh]h угла очень упрощает решение задачи:
()
() ()
34
3sin 2006 4 cos 2006 17 5 sin 2006 cos 2006 17
55
5 sin 2006 17 22 5 sin 2006 17 12 yx x x x x
xx
ϕϕ
⎛⎞
=− −= − −= ⎜⎟
⎝⎠
−−⇒−≤ −−≤−
,
причем , значения -22 и -12 достигаются в точках , где
( ) sin 2006 1, x ϕ−=− а ( ) sin 2006 1 x ϕ− = соот_lklенно . Поэтому
max min 22 12 264.
yy =− ⋅− =
От_l .
264.
Это так просто ? Да , так просто . Без kydh]h дифференцироZgby ! ◄
3. 3cos sin 2. xx
−+=−
4. sin 7 2 cos 7 3 cos 5 2 sin 5 . x xxx
+= −
5. ( ) sin 3 3 cos 3 2 cos 5 sin 5 . x xxx
+= −
6. 2sin5 3cos5 1,1.xx−=
7. cos 7 3 sin 7 2 cos 5 . x xx
+=
8. 3cos sin 2. xx
−+=− 9. sin 3 2 sin18 sin 3 2 cos 3 2 cos . x xx x x
−⋅=−+
10. Найдите наименьший положительный корень (в градусах )
ураg_gby
( ) sin 8 cos 6 3 sin 6 cos 8 . x xxx
−= +
11. Найдите k_ значения параметра ,
a при каждом из которых
ураg_gb_
() sin 3 3 1 cos 3 2 3
ax a xa + −=− имеет роgh три решения
на отрезке
[] ;.π π −
12. Найдите произ_^_gb_ наибольшего и наименьшего значений
функции
( ) 9 sin13 12 cos13 4.
yx x x= −+ 13. Найдите произ_^_gb_
наибольшего и наименьшего значений функции
( ) 7 sin 47 5 cos 47 1.
yx x x =−−

62
14. Найдите произ_^_gb_ наибольшего и наименьшего значений
функции
( ) 5sin 26 12 cos 26 11.
yx x x =− +

15.
Найдите наибольшее значение функции
( ) , 6 sin cos 2 sin sin 3cos . f xy x y x y x=++

п .11 Выбор метода решения.
1.
Найдите сумму тангенсов при k_o ( ) ;
xπ π ∈− таких, что
3sin 2 12 cos 2 4. xx+=−

Первый
способ

 Любопытная задача - ураg_gb_ легко решается методом
едения kihfh]Zl_evgh]h угла:
3sin 2 12cos 2 4
3sin 2 12cos 2 4
153 153
34
sin 2 arccos arccos 2 ,
153 153
xx
xx
xn n
π
+
+=−⇔ =−⇔
⎛⎞⎛⎞ +=±−+∈
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
Z
.
Но тогда не ясно : как решить постаe_ggmx задачу ?
Второй способ
►Редкий случай , когда необходимо переходить сразу к танген -
сам:
( )
()()()
22
22 2 2
2 3sin 2 12 cos 2 4 6 sin cos 12 cos sin 4 cos sin 6 12 1 4 1
4380 x xxxxx
x x tgx tg x tg x
tg x tgx +=−⇔ + −=
=− + ⇔ + − =− + ⇔
⇔−−=⇒

 Значит, 12 3
4
tgx tgx + =
?
0 Не_jgh . Посмотрите на тригонометрический круг – _^v каж -
дое значение тангенс принимает в дmo точках !
☺ Поэтому , если

63
3137,
8
3137 8
tgx
tgx

+
=


⎢ −
=

⎣ ,
то это значит, что 1, 2
3,4 3137 ,
8
3 137 8
tgx
tgx

+
=


⎢ −
=

⎣ ,
а тогда
12 34 3 137 3 137 3
22 .
882
tgx tgx tgx tgx
+−
+++ =⋅ +⋅ =
От_l. 1,5. ◄
2. Решите ураg_gb_ 23cos
1.
2sin 5cos x
xx +
=

Перuc способ
►Попробуем решить:
23cos 2sin 5cos,
23cos 1 5
2sin 5 cos 2sin 5 cos 0
2
xx x
x
xx xxtgx

+=−
+ ⎪
=⇔ ⎨
− −≠⇔≠


Теперь решим осноgh_ ураg_gb_ :
( )
()
2 3 cos 2 sin 5 cos 2 sin 3 5 cos 2
2sin 3 5 cos 2
18 6 5 18 6 5 xx x x x
xx
+=− ⇔−+ =⇔
−+ =
++ , где

2
cos
18 6 5 α =+ , а
35
sin
18 6 5 α +
=
+
Что мы получили ? Очень интересно !
( )
()
2 sin 3 5 cos 2 cos sin sin cos cos
sin sin 2 sin cos 0
22 424
xx xx
xx
x αα α
πππ
αα α −+ =⇔⇔ − = ⇔
⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
⇔−= −⇔ − +−=⇔ ⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠
sin 0,
2, , 2, ,
24 22
,22,
cos 0
24 2 2
24
x
xnn xnn
x
x
nn xnn π
ππ
ππ
ππ π
π
απ αππ
α ⎡ ⎛⎞
⎡⎡
−= =+ ∈ =+ ∈
⎜⎟

⎢⎢
⎝⎠

⇔ ⇔⇔
⎢⎢
⎢ ⎛⎞
⎢⎢
+−=+ ∈ +− =+ ∈
+− =
⎜⎟

⎢⎢
⎣⎣
⎝⎠

ZZ
ZZ

64
2, ,
2
22, 2
xnn
xn
n π
π
π
απ ⎡ =+ ∈


⎢ =++ ∈

⎣ Z
Z


Видно , что перZy серия не обращает знаменатель в 0.

Про_jbf lhjmx :
() () 2sin225cos222cos25sin2
22nn ππ
απ απ α α ⎛⎞⎛⎞ ++ − ++ = + =
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
( ) ( ) 523 5 2 28 18 6 5 6 5 10
4
22 1 0
18 6 5 18 6 5 18 6 5
⋅+ ⋅ −− + +
⎛⎞
=⋅ −+ ==
⎜⎟
++ +
⎝⎠
От_l
. 2,
2 nn π
π +∈ Z.◄
Второй способ (с_^_gb_ к однородному ураg_gbx ).
► Теперь решим по -другому :
23cos
1
2sin 5 cos x
xx + = ⇔

() ()
() ()
22 22
22
2
2
2 2cos sin 3cos sin
23cos 22 22
11
2sin 5 cos 4 sin cos 5 cos sin
22 2 2
15 4 5 5 22 0
54 5 22
23 1
5,
22 55
1
2
235
23 5
1,
2 15 15 5
xx xx
x
xx x x
xx
xx
tg tg
xx
tg tg
xx
tg tg
x
tg
x
tg ⎛⎞⎛⎞
++ −
⎜⎟⎜⎟
+ ⎝⎠⎝⎠
= ⇔= ⇔
⎛⎞

−−⎜⎟
⎝⎠
++−+ =⇔
+−
−±

≠⇔≠−


⇔=

−± + −± +


=== ⎢

++ −

⎩ .
От_l
. 2,
2 nn π
π +∈ Z.

65
Какое решение удачнее ? Некоторые не задумыZxlky над спосо-
бом решения – решил , и ладно . Но теперь _^v b^gh , что lhjhc спо -
соб как-то понятней. Так ?
3. Сколько решений имеет ураg_gb_ 1
cos cos 2 cos 3
2
xxx + +=−
на
отрезке
[]0; 2 π ? От_l . 6.

() 1
cos cos 2 cos 3 2 2 cos 1 cos 2 1
2
xxx x x
++=−⇔ + +=
( )( ) 2 02cos14cos 210 xx
=⇔ + − +=
А что дальше ?
Пусть
[ ] 2cos , 2;2xtt=∈− , тогда ураg_gb_ примет b^:
() ( ) 23 2 1210 210
tt ttt +−+=⇔+−−=
( ) 322 210 1 21
tt t tt t +− −=⇔ += +











Рис. 645

Ураg_gb_ не имеет «хороших » корней . Поэтому будем _klb ис -
следование графически . Построим эскизы графиков функций
( ) 2
1 1
ytt =+ и 2 21
yt= + . Пересечений три. Остается про_jblv , при -
надлежат ли корни отрезку
[ ] 2; 2
− . Для этого uqbkebf значения
функций в точках 2 и -2:
( ) ( ) 1 2421 4,
y− =−+=− ( ) 2 2413
y− =− + =− ;
() ( )1242112
y =+= , ( ) 225
y = - отсюда следует , что корни принадле -

66
жат отрезку [] 2; 2
− . Так как 2cos cos , 1;2;3
2 i
ia
xa x i =⇔ = = , то ре -
шений будет 6, если ни одно из чисел не раgh 1 или -1. Про_jbf
это :
()()211412 10⋅± + ⋅ − + ≠ Значит, корней 6. ◄
4. Решите ураg_gb_ 1
cos cos 2 cos 3
2
xxx + +=− .
►Как же мы будем решать это ураg_gb_ , если из предыдущей за-
дачи ясно, что получающееся уравнение третьей степени «нереша -
бельно »?
Именно поэтому поступим по – другому : kihfgbf стандартный
метод с_^_gby суммы cos cos 2 cos 3 ... cos
x xx nx + +++ к произ_^_ -
нию при любом n. Для этого умножим и разделим сумму на
2sin
2 x,
что hafh`gh , если
2sin 0 2 , .
2x
xnn π ≠ ⇔≠ ∈ Z В этом случае сумма
раgZ
n. Итак , если 2sin 0 2 , ,
2x
xnn π ≠ ⇔≠ ∈ Z то
()cos cos 2 cos 3 ... cos 2 sin
2
cos cos 2 cos 3 ... cos
2sin2
sin sin sin 2 sin 2 ... sin sin 22 2 2 2 2
2sin2
sin sin 22 x
xxx nx
xxx nx x
xx x x x x
x x x x nx nx
x
xx
nx ++++
++++= =
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
+− −+ +− −++ +− −
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎝⎠
=
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
+−
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

() 1
cos sin
22
2sin sin
22 nx
nx
xx +

⎠ =

67
Воспользуемся полученным результатом для нашего примера :
3
cos 2 sin 13
2
cos cos 2 cos 3 2 cos 2 sin sin
222
sin
2
7
sin sin sin
22 2
77 2
sin 0 , , 7 ,
22 7 x
x xx
xxx x
x
xx x
xx n nx n nkk
π
π
++= =−⇔ =−⇔
⇔−=−⇔
⇔=⇔=⇔= ∈≠∈
ZZ
☺Получилось ! И как быстро ! От_l. 2
,,7,.
7 n
nnkkπ ∈ ≠∈ ZZ
Примечание . Можно от_lblv и на hijhk предыдущего задания :
на отрезке
[ ] 0; 2 π находятся корни
222222
,2 ,3 ,4 ,5 ,6
777777π ππ πππ ⋅⋅ ⋅⋅⋅ - k_]h 6.
Вот так u[hj способа решения eby_l на результат !◄
5. Решите ураg_gb_ 1 2 sin cos 2 sin 1 cos 2 x xx x
−+++=
Первый способ

Раскроем модуль .
Если
12sin cos 0 xx
−+≥ , то

2 1 2 sin cos 2 sin 1 cos 2 2 cos cos 3
cos 1 2 , xx x x xx
xx nn
ππ
−+++= ⇔ −−⇔ =− ⇔ = + ∈
Z .

Если 12sin cos 0
xx
− +<
, то
1 2 sin cos 2 si n 1 cos 2 4 sin cos cos 2 0
cos 0 2 ,
33 2
8sin cos 2 cos cos 0 cos 4 sin cos 0
3
22 2 2 2 2 2
4sin cos 0
22 xx x x xx x
x
x n
xx xx x x x
xx π π
−+ − + + = ⇔ − − = ⇔
⎡=⇔= +

⎛⎞
−=⇔−=⇔ ⎢
⎜⎟
⎝⎠ ⎢
−=



68
3
22 3 32 3
4 sin cos 0 4 sin 4 cos 3 cos 0
22 2 2 2
4 sin 3 cos sin cos 4 cos 0 4 3 4 1 0 2222 2 222 xx x x x
xxxx x xxx tg tg tg−=⇔− + =⇔
⎛⎞ ⎛⎞
++−= ⇔++−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
. Сделаем, для удобства , замену переменных
2
x
tg t= . Ураg_gb_ при -
мет b^


3243410tt t++−= и не решается . Перепишем его 324314tt t+ =−
и исследуем графически: построим эскизы
( ) 243, 14 yt t y t= +=− -
рис .






¼ х



Видно , что есть решение при
1
4 t< . Ничего не ясно – преобразуем
условие

2
12sin cos 0
1
2cos 4sin cos 0 1 2 0
222 2 22 xx
xxx x x tg tg −+<⇔
−<⇔−<⇔> .
Значит, урав-
нение в этом случае не имеет решений . Поэтому
От-
_l .
2, nn π π +∈ Z. ◄
Второй способ
►Преобразуем сначала ураg_gb_:
( ) 1 2 sin cos 2 sin 1 cos 2 1 2 sin cos 2 sin 1 sin x xx x xx xx −+++= ⇔−+=− +
. Рассмотрим
нетрадиционное решение ураg_gby – uykgbf сначала,

69
при каких xсущестm_l решение , т. е. исследуем, при каких xпраZy
часть неотрицательна :
() sin 1,
2sin sin 1 0
sin 0 x
xx
x=−

−+≥⇔ ⎢

⎣ .
Тогда , если
sin 1 x= , то

12sin cos 2sin 1 cos2 3cos 0 xx x x x −+++= ⇔+=⇔∅
Если
sin 0x= , то

1 2 sin cos 2 sin 1 cos 2 1 cos 1 1 cos 1 2 x xx x x x x n π π −+++= ⇔++=⇔=−⇔=+
Если же sin 0
x<
, то
()
()
2
2
2
2
12sin cos 2sin 1 cos2 sin 0, sin 0,
2cos 2sin 2sin sin 1 , 2 2cos 2sin 2sin
2
0 2 cos 2 sin 2 sin sin 1 0
2
sin 0, 1
2 cos cos 3 0 cos xx x x
x x
x
xxx
x
x x
x xxx
x xx x
−+++= ⇔ <


<


⎪ ⎪
−=− +

⇔ ⎨⎨ − =−

⎪⎪


⎪ <−= +≤⇔∅



<
−−=⇔ =
5
4


⇔∅
⎨ ±



От_l . 2, nn π π +∈ Z. ◄
6. Найдите сумму тангенсов при k_o ( ) ; x π π ∈− таких, что
5sin 2 12cos 2 4 xx+=− .
7.
Найдите сумму тангенсов при k_o ( ) ; x π π ∈− таких, что
sin 2 5 cos 2 3
xx+= .

8. Найдите сумму тангенсов при k_o ( ) ; x π π ∈− таких, что
4sin 2 9cos 2 3
xx+= .
9.
Решите ураg_gb_ 12cos sin 2cos 1cos2 0. xx x x − ++ ++ =

п.12 Нестандартные ураg_gby
Ураg_gby b^Z cos cos
axbxab α β ± =+,
cos sin 1, 2, 2
nm xxnmαα +=>> .cos cos 1 xxα β =±.

70
Многие из берущихся за решение ураg_gb_ b^Z
cos cos
axbxab α β ± =+ , 0, 0 ab>>
решают его _jgh . Но , как b^gh из литературы , даже не k_ учи -
теля могут просто объяснить , почему , например ,
sin 3 1,
sin 3 2 cos 2 3
cos 2 1
x
xx
x=

−=⇔ ⎨
=−
⎩ .

Глаgh_ в этом ураg_gbb то , что сумма коэффициентов при си-
нусе и косинусе (без учета знака перед ними) раgZ сh[h^ghfm чле -
ну . Поэтому предстаbf сh[h^guc член в b^_ суммы коэффициен -
тов , перенесем k_ члены в одну сторону и сгруппируем слагаемые с
одинакоufb коэффициентами – тогда k_f станет kz абсолютно
ясно . В каждой скобке полу
чится или сумма 1cos2 x + или разность
1cos2 x − , которые принимают только неотрицательные значения
при k_o
x∈ .
Например , рассмотрим ураg_gb_
cos cos , 0, 0
axbxabab α β − =+ > > .
Преобразуем его:
( )( ) cos cos 1 cos 1 cos 0.axbxaba xb x αβ α β −=+⇔−++= Но
1 cos 0,1 cos 0
xxα β −≥+≥ при k_o x∈ . Поэтому

cos 1,
cos cos
cos 1.
x
axbxabα
αβ
β = ⎧
−=+⇔ ⎨
=−

А если там сумма ? Тогда рассмотрим похожее уравнение :
()() cos 1,
cos cos 1 cos 1 cos 0
cos 1, x
axbxaba xb x

αβ α β
β = ⎧
+=+⇔−+−=⇔ ⎨
= ⎩
cos 1,
cos cos , 0, 0
cos 1.
x
axbxabab

αβ
β = ⎧
+=+>>⇔ ⎨
= ⎩
()() sin 1,
sin sin 1 sin 1 sin 0
sin 1. x
axbxaba xb x

αβ α β
β =

−=+⇔−++=⇔ ⎨
=−

Итак ,
sin 1,
sin sin , 0, 0
sin 1
x
axbxabab

αβ
β = ⎧
−=+>>⇔ ⎨
=−

Аналогично получается , что

71
sin 1,
sin sin , 0, 0
sin 1. x
axbxabab

αβ
β = ⎧
+=+>>⇔ ⎨
= ⎩
( )
()
sin cos , 0, 0 1 sin
sin 1,
1cos 0
cos 1,
axb xabab a x
x
xb
x αβ α
α
β
β +=+>>⇔−+
=

+− =⇔ ⎨
=
⎩ т
. е .
sin 1,
sin cos , 0, 0
cos 1.x
axb xabab
x
α
αβ
β = ⎧
+=+>>⇔ ⎨
= ⎩ и
т. д .

Ураg_gby b^Z
cos sin 1, 2, 2 nm xxnmαα + => > .

Рассмотрим ураg_gb_ b^Z
22 sin cos 1, , kmxxkm ++ + =∈Ν .
► Заменим 1 тригонометрической единицей:
22 sin cos 1 kmxx ++ +=⇔
22 sin cos kmx x ++ += 22 sin cos x x + ⇔
( ) ( ) 22 sin 1 sin cos 1 cos 0 km xxx x−+ − =⇔ ( )
() 2
2 sin 1 sin 0,cos 1 cos 0 k
m xxxx

−=

⇔ ⎨
−=


22 sin 0 cos 1,
1cos 0; cos 1,
sin 1
sin 1 cos 0,
00
m m
k
k
xx
x x
x
xx

⎧ =⇒ =

⎢ ⎨

−=
= ⎪


⇔⎢

= ⎢

=⇒ =



⎢ =

⎣ .
Ясно , что теперь k_ заbkbl от четности
m и k. ◄
Уравнения b^Z cos cos 1 xb x
α β =±
Теперь рассмотрим ураg_gby b^Z
cos cos 1, sin cos 1, xx xx
α βαβ =±=±
Прежде чем решать такие ураg_gby , удобней преобразоZlv про -
из_^_gb_ в сумму
– тогда корни отбирать будет проще .

72
Например, если решать ураg_gb_ cos cos 1 x x α β = , то
cos 1,
cos 1;
cos cos 1
cos 1,
cos 1,x
x
xx
x
x α β
αβ
α
β ⎡ =



=


=⇔

=−

⎢ ⎨
=−


⎣ т.
е. придётся решать две системы .
Если же преобразоZlv произ_^_gb_ в сумму , то
() () ( )
()
cos 1,
cos cos 1 cos cos 2
cos 1,x
xx x x
x αβ
αβ αβ αβ
αβ ⎧ + =

=⇔ + + − = ⇔ ⎨
− =

⎩ т
. е . в этом случае будем решать только одну систему .
При решении таких уравнений hagbdZ_l необходимость решать
системы с одним неиз_klguf. При этом можно заметить , что часто
не надо решать k_ ураg_gby , а достаточно решить одно , более про -
стое ураg_gb_ , а его решения подстаbl в остальные ураg_gby . На-
пример , при решении си
стемы
( )
2
2 430,
sin 2 2 0 xx
xx
π
⎧−+=


−−=


удобно снача -
ла решить кZ^jZlgh_ ураg_gb_ , а его корни подстаblv h lhjh_
ураg_gb_ :

( )
2
2 1;
430,
3.
3,
sin 2 2 0 sin 0
x
xx
x
x
xx
π π
=⇒∅

⎧ −+=
⎪ ⎢
⇔ ⇔=
=



−−= ⎨


⎩ ≡

⎣ От_l
. 3.
Решите уравнения 1 - 18

1. 4sin5 3sin 7 7xx−= .

► Решаем:

2 ,,
sin 5 1, 10 5
4sin5 3sin 7 7
714 7 4
sin 7 1
sin sin 1
10 5 10 5 n
xn
x
xx nn
x ππ
ππ ππ ⎧=+ ∈

=


−=⇔ ⇔ ⎨⎨
=− ⎛⎞⎛⎞
⎩ ⎪
+= +=−
⎜⎟⎜⎟
⎪ ⎝⎠⎝⎠
⎩ Z

Теперь надо отобрать
n:

73
() ()
74278520532 21
10 5 2
251
52 1 3 2 10 2 2 5 1 2 ,
10 5 2
n
kn kknkl
l
lnlnlnx llππ π π
π
ππ
π+=−+⇔+=−+⇔−=⇒=+⇒
+
+−= ⇔ += ⇔ +=⇒= + = + ∈
Z

От_l .
2,
2 ll π
π +∈ Z.◄
2. 2 7
2sin sin 4 1.
42 14 x
x ππ⎛⎞⎛ ⎞+− −=−
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

2 7
2 sin sin 4 1 1 cos 7 sin 4 1
42 14 214
sin 7 1,
sin 7 sin 4 2 sin 4 1
14
14
42 ,, 14 2 7 2 7
7
sin 7 sin 1
72 2 x
xx x
x
xx x
nn
xnxnx
nn ππππ
π π
π π ππ ππ
π
ππ π⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ +− −=−⇔− +− −=−⇔
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
=−


⎛⎞
−−=−⇔ ⇔ ⎨⎛⎞
⎜⎟
−=
⎝⎠ ⎜⎟

⎝⎠

⎧ =++ ⇔=+ ∈ =+




⎛⎞
⎪ +≡− =−
⎜⎟
⎪ ⎝⎠
⎩ Z
()
,,
2
7
sin 1
222
,,
72
71
sin 1 7 1 4
22 n
n
n
xn
n nm
πππ
ππ π
π






⎛⎞
⎪ +−=
⎜⎟
⎪ ⎝⎠

⎧ =+ ∈



⎛−⎞
⎪ +=⇒−=
⎜⎟
⎪ ⎝⎠
⎩ Z
Z

( ) ( ) 714 7 14 20 14, 27, 41 nmn m nlm lnl −= ⇔ + − + = ⇒ += + = = −
( ) 41
5
2.
72 14 l x l π
ππ π −
=+ =− + Ответ . 5
2.
14 lπ π −+

3.
22 sin cos 1 mnx x
+= , , , 1, 1mn m n ∈Ν> > .
► Неужели можно решить с произhevgufb m и n?
Попробуем разобраться :

74
()()
22 2222222
2222 22
222 sin cos 1 sin cos sin cos
sin 0 1 cos 0;
sin 1 sin cos 1 cos 0
1sin 0 cos 0
,
2 mn mn
n
mn
mxx xxxx
xx
xxxx
xx
k
xk
π

−−

+=⇔+=+⇔
⎡=⇔− =
−+− =⇔ ⇔ ⎢
−=⇔=

⇔= ∈ Z

От_l . ,
2 k
k π ∈Ζ .◄
4. sin sin 5 1 x x= .


() ()
cos 4 1,
sin sin 5 1 cos 4 cos 6 2
cos 6 1
, 21
2 ,
22
cos 3 1 2 1 x
xx x x
x
n
x k
xk k
nnk
π ππ
π
π
=

=⇔ − = ⇔ ⇔ ⎨
=−

⎧ = +

⇔ ==+∈


=− ⇒ = +
⎩ Z

От_l
. ,
2 kk π
π +∈ Z.◄
5. sin cos 4 2 xx+= . 6. cos cos 6 1xx =−.
7. ( ) 52 31
sin cos 2 2
xx
x ππ −+ + =. 8. () 52 sin cos 3 1 2
2x
xx ππ + −+= .
9. sin 6 cos 4 2xx+=− . 10. 2 5
2cos 4 sin 3 1
41 6
xx ππ⎛⎞⎛ ⎞ − −−=−
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠ .
11. 44 sin cos 1 x x
+= . 12. 221 sin cos 1 mkx x+ + =, 1, 1mk >≥ .
13.
21 21 sin cos 1 mk x x ++ += ,1,1mk ≥≥ . 14. 85 sin cos 1.xx − =
15. 66 sin cos 1 x x
+= . 16. 15 15 sin cos 1 x x + =.
17. 21 2 sin cos 1 mk x x + += , 1, 1
mk ≥≥ . 18. 814 sin cos 1 x x + = .


п.13
Оценка множестZ значений

14.
() ( ) 3sin 4 cos 20 12 sin 5 cos 2 143 xx x x+++= .
►/ Странное , громоздкое , со_jr_ggh незнакомое ураg_gb_ .
³ Но заметим , что:

75
() 3sin 4cos3 4
55 co s5 ,s in ,c o s
55 5
xx
x ααα +
⎛⎞ = −≤ = =
⎜⎟
⎝⎠ , причем ,
3
3sin 4cos 5 2 , sin
5
xxx kk x απ +=⇔=+∈⇒=
Z. Кроме того ,
()20 12 sin 5 cos 2 x x
++ = () ( ) 2 20 12 sin 5 1 2 sin xx + +− =
2 12
10 sin sin 25
10
xx
⎛⎞
−−+= ⎜⎟
⎝⎠
2
2 32 9 9 3 143 143
10 sin sin 25 10 sin
52525 555
xx
x

⎛⎞ ⎛⎞
−−+−+=−−+≤ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ,
причем ра_gklо uihegy_lky лишь при
3
sin
5
x= .
Поэтому :
( )( )
()
3sin 4 cos 20 12 sin 5 cos 2 143
3sin 4 cos 5, 3
sin
143
5
20 12 sin 5 cos 2
5
3
1arcsin ,
5
n
xx x x
xx x
xx
xn nZ
π
+ ++ ≤⇔
+=


⇔⇔=⇔ ⎨
++ =


⇔=− + ∈ ,
Отсюда следует
От_l: () 3
1arcsin ,
5 n nn Zπ − +∈ .◄
15. 3
2cos 3sin sin
4x x x
+=.
► РаскрыZlv модуль ? Это бесполезно . Не b^gh , что делать
дальше … Так как синус и косинус oh^yl с одним и тем же аргумен -
том , то hkihevam_fky методом едения kihfh]Zl_evgh]h угла . Но
здесь есть и синус другого аргумента .
Это так. Но мы будем считать
3
sin
4x псе^hiZjZf_ljhf . Поэтому
22
3
3sin sin cos
32 4
2 cos 3 sin sin
4 33
3sin 1 3sin 1
44 x x x
x
xx
xx−
+= ⇔ =
++.
Так

76
как 23
3sin 1 2
4x
+≤ , то леZy часть ураg_gby
2
2
1
3
3sin 1
4x

+ ,
а
праZy часть
()
2
3
3sin sin cos
4 sin 1
3
3sin 1
4
x
xx
x
x
α

= −≤
+ .
СледоZl_evgh ,
()
2
22 2
23
sin 1,
4
3
3sin sin cos
2 3
4
3sin sin cos
4
33
1
3sin 1 3sin 1
3
44
3sin 1
4
33 24
sin 1 , ,
442 33
3sin cos 2
1sin 1 2 2
266 23
2 4, 3
3 x
x xx
xxx
xx
x
xx n
nn x
xx xxnxn
xkknk
ππ π
π
πππ π ππ
π π
⎧ =




=⇔ ⇔ −


=
++

+


⎧ =⇔ = + ∈Ζ⇔ = +




− ⎛⎞

=⇔ − =⇔= + + ⇔= +⎜⎟
⎪ ⎝⎠

⇔= + ∈Ζ =
От_l :
2
4,
3 kkπ
π +∈Ζ . ◄
16. 4
2cos cos sin
3x x x
+=.

17. () ( ) 5 sin 12 cos 100 48 cos 13 cos 2 1757 xx x x++−= .
18. () ( ) 8 sin 15 cos 53 32 sin 17 cos 2 1318xx x x+++= .
19. () ( ) 24 sin 7 cos 75 28 cos 25 cos 2 2598xx x x++−= .
20. 2
12sin
6
1sin6
2 x
x π
π
⎛⎞
+= + ⎜⎟
⎛⎞ ⎝⎠
++ ⎜⎟
⎝⎠ .
п
.14 Разные уравнения
Решите ураg_gby 1 -42

77
1. cos sin 1 0xx++= .

Первый способ .

()
() ()
()
2
cos sin 0,
cos sin 1 0 cos sin 1 cos sin 1
,
2
cos sin 0,
42,
sin 2 0
cos sin 0
41
22
42 12 , ,
2
41 2,
22 xx
xx xx xx
n
x
xx
nk
nn
x
nk
k
xk k
k
xk k
π
ππ
π π
π π
π
+≤


++=⇔ + =−⇔ ⇔ ⎨
+=


⎧ =

+≤
⎧ ⎪
⇔⇔
⎨⎨
=+

=
⎩ ⎪
+≤⇒

=−



+

==+∈





==−+


Z
Z

От_l . 2, 2,
2
nnn π
ππ π +−+ ∈ Z.◄
Второй способ .

1
cos sin 1 0 cos cos 1 cos
242
33 2, 2,
44 44
xx x x x
xnnxnn ππ
ππ ππ ππ⎛⎞ ⎛⎞
++=⇔ + −=−⇔ −=−⇔ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
−=± + ∈⇔=± + ∈
ZZ

От_l .
2, 2,
2
nnn π
ππ π +−+ ∈ Z .◄
Третий способ .
► Попробуем еще одним способом :
2 cos 0,
2
cos sin 1 0 2 cos 2 sin cos 0
222 1
2
2, ,
2,
2 x
xxx
xx
x
tg
xnn
xnn
ππ π π
⎡ =

+ +=⇔ + ⋅ =⇔ ⇔ ⎢

=−


=+ ∈



⎢=− + ∈

Z
Z

78
Примечание. Обратите gbfZgb_ – ураg_gb_ cos 0
2x = имеет
ре -
шение !
От_l . 2, 2,
2
nnn π
ππ π +−+ ∈ Z .◄
2. 2 22cos25tg x x += . 3. 2 sin cos
3sin 2 cos 2
cos xx x xtgx
x
+
+=+ .
4.
52 7.
4
ctg x tg x π⎛⎞
−= +
⎜⎟
⎝⎠ 5. () 7
cos 2 sin 4 3
2
xxπ π ⎛⎞
−= +
⎜⎟
⎝⎠ .
6. 11 4
431
2 tg x
ctg x tgx
ctgxπ ⎛⎞
⎛⎞
−+= − ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠. 7. 23 7
tgx ctgx + = .
8.
sin cos 1
2 x
xxctg +− =− .
9. 240 tg x tg x += . 10.
2
2 cos 1 0
sin 2 cos 3sin 2 x
xx x − = +− −
.
11. 1
1
1
tgx
tgx −
=−
+ . 12. 1
cos 2 cos
32
xx π ⎛⎞ + +=−
⎜⎟
⎝⎠ .
13.
sin 3 cos 2 1 x x
+= .
14. 4cos5ctgx tg x x =+ . 15. sin 2 x ctgx = .
16. 23
2 cos 6 sin 2 sin 2 sin
512 512 5 3 5 6 xxxx π πππ ⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
−− −= + − +
⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ .
17. ( ) ( ) cos 4 sin cos 4 cos x x
= . 18. ( ) 22 1sin1tg x x tg x
−= + .
19.
2 2cos sin
2
sin 2
xx
tg x
ctgx x +
=
− . 20. 2 sin 2 cos 2 2 2 sin x xx
−= .

21. ()
4 3cos4 8cos 1 4cos sin sin xx
x xx
+−
=
+ .
22.
33 33 4 cos sin cos sin 1 2 cos 2
3sin 2
8cos 8cos
44 x xxx x
x xx ππ
−++−=
⎛⎞ ⎛⎞ +−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ .
23.
35 7
sin sin sin sin 2sin sin 2 1
22 22
cos cos 4 cos 4 cos 3 cos cos 3 5 cos xx xx
xx
x xxxxxx−=− .

79
24. 34sin
tgx tg x x += . 25. cos 2 sin 2 1xx + =− .
26. cos 2 cos
2
sin 2 xx
tg x
xtgx +
=
− . 27. 2
3sin cos 2 ctgx tgx
ctg x
xx −
=
+ .
28. 2
cos 3 cos 2 ctgx tgx
ctg x
xx −
=
+ .
29. cos 5 sin sin 4 0
xx x+⋅ = .
►Здесь придётся hkihevahаться одной из формул (10):
Поэтому
cos 5 sin sin 4 0 cos 4 cos sin 4 sin sin sin 4 0
,,
2
cos cos 4 0
,
84
xx x xx xxx x
xnn
xx n
xn
π π
ππ
+⋅ =⇔ − +⋅ =⇔ ⎡=+ ∈

=⇔ ⎢

=+ ∈


Z
Z
Ответ . ,,
284 n
nn πππ π ++∈Ζ .◄
30.
57
2 sin cos sin 6 0
22xx
x
⋅−= . 31. sin sin 5 sin 2 sin 4 x xxx= .
32. cos14 cos15 cos16 cos17 x xxx= .
33.
cos 5 cos 3 sin 3 sin 5 2sin 2
cos 2
xx xx x x

=.
34.
34cos
ctgx ctg x x += . 35. 2 31
ctgx ctg x ctg x +=+ .
36. sin 1 cos 2 sin sin cos x xxxx
−− =+ .
37.
cos sin sin 4 cos 2 x xx x
++ =− .
38. sin cos sin 4 cos 2 x xx x
++ = .
39.
() sin cos cos 5 cos 2 5 9 sin 0 22 2
xx
xxx π
π ⎛⎞ + +−+ + = ⎜⎟
⎝⎠.
40. cos 3 cos 2 3 cos cos 4 x xxx
+= − .
41. 11
2sin 5cos cos2 4
2 5
xxxa
rc tg
⎛⎞
⎛⎞
−+ = +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠.
42. 31
sin 2 cos cos 2 sin 2
44
xx xx
+= +− .

80

Методы решений тригонометрических уравнений

В_^_gb_
§ 1. Упрощение тригонометрических ujZ`_gbc
п.1 Множестh значений функций
п .2 Упрощение числовых тригонометрических ujZ`_gbc
п .3 Упрощение бук_gguo тригонометрических ujZ`_gbc
п .4 Вычисление значений тригонометрических ujZ`_gbc при до -
полнительных условиях

§ 2. Методы решений тригонометрических уравнений
п.1 Решение элементарных ураg_gbc
п . 2 КZ^jZlgu_ ураg_gby относительно sin
x или cos x
п . 3 . Ураg_gby b^Z sin cos 0ax bx
+ =(аналогично 0
tgax ctgbx + = )
п . 4 Разложение на множители.
п . 5 Ураg_gby b^Z sin cos 0,axb x
α α + = 0.
ab ≠
п . 6 Ураg_gby b^Z sin cos .
x xa + =
п . 7 Ураg_gb_ , однородное относительно cos , sinkx mx
п . 8 Не k_ формулы тригонометрии яeyxlky тождестZfb !
п . 9 Ураg_gb_ b^Z
( ) sin 2 , sin cos 0
fxxx ± =
п . 10 Ураg_gb_ b^Z sin cos axb xc
+ =, 0ab ≠ . Метод едения
kihfh]Zl_evgh]h угла
п . 11 Роль едения kihfh]Zl_evgh]h угла
п . 12 Выбор метода решения .
п .13 Нестандартные ураg_gby
п .14 Разные ураg_gby
X