Тригонометрические системы, неравенства, обратные функции. Отбор корней. ЕГЭ. Математика

Формат документа: pdf
Размер документа: 1.81 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

FNLBihfh]Z_l]hlhblvkyd?=W

1МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ





ЕГЭ
Математика
Тригонометрические системы,
неравенства, обратные функции.
Отбор корней





Москва 2016

УДК 373.167.1:51+51 (075.3)
ББК 22.1я721
K60
Колесникова С.И.
K60Тригонометрические системы,неравенства,обратные
функции.Отбор корней. / С.И.Колесникова. – Москва:
ООО «Азбука-2000», 2016. – 110 с. (выпуск 12)
(Серия «МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ»).
УДК 373.167.1:51+51 (075.3)
ББК 22.1я721
По вопросам приобретения обращаться:
Телефон: (495) 787-24-95
E-mail: potential@potential.org.ru
ISBN 978-5-91333-036-9 © Колесникова С.И., 2016
©ООО «Азбука-2000», 2016

3
Часть I. Примеры и задачи
§ 1. Отбор корней в тригонометрических
уравнениях
Иррациональные уравнения мы решали,корни там отбирали.По-
чему теперь такие задачи стоят отдельно?Чем отличаются задачи от-
бора корней в алгебраическом или тригонометрическом уравнениях?
Это разве не одна и та же задача?
Во-первых,отбирать корни нам придётся не только при решении
иррациональных уравнений,но и при решении классических нестан-
дартных уравнений,ка
к,например:
sin 5 cos13 2.xx−=
Во-вторых,отбор корней в тригонометрическом уравнении
осуществлять труднее,чем в алгебраическом:в алгебраическом
уравнении несколько корней,подставил каждый корень прямо в
уравнение,вычислил и получил ответ.В тригонометрическом
уравнении решением является бесконечное множество,часто опи-
сываемое не очень удобными формулами,которые подставлять в
уравнение,мягко говоря,затруднительно,хотя и возможно.Ча
ст
о
отбор производится в зависимости от знака некоторой тригономет-
рической функции,и знак приходится проверять намножестве
решений,аненаконкретномрешении.Поэтому выборспособа
проверки играет важную роль.
В-третьих,ОДЗ алгебраического уравнения – это некоторый
промежуток,описываемый алгебраическим неравенством (или систе-
мой неравенств),который чаще всего (но не в
сегда!) находится (хотя
в этом при решенииуравнения,за редким исключением,нетнеобхо-
димости).В тригонометрическом уравнении ОДЗ описывается триго-
нометрическимнеравенством,и его нахождение зачастую является
более сложной задачей,чем решение самого уравнения.Поэтому
здесь особенно важнопросто записатьОДЗ,но не надо тратить вре-
мя на его нахождение.

41.Как записывать ответ – с одинаковыми или разными
буквами?Система уравненийс одним неизвестным
Решите уравнения 1 – 2
1.
sin 3 cos17 0.xx=
►Очень просто – решаем:
,,
sin 3 0,
3
sin3 cos17 0
cos17 0
,.
34 17т
xm
x
xx
xm
xm π
ππ ⎡
=∈

=

=⇔ ⇔


=


=+ ∈

⎣Z
Z
Ответ. ,,.
33417тm
m πππ +∈Z
Случайно или специально написано одно и то же m ?
Большинство об этом просто не задумываются ,а некоторых все -
гда мучает вопрос :писать разные буквы или одинаковые ?
Ответ прост :если мучает ,пиши разные – не ошибёшься .Давайте
разберём этот вопрос тогда
,когда на нём споткнёмся .В нашей задаче
можно писать одно и то же
, mт.к.выписываются множества ,никак
не связанные между собой
,и неважно ,пересекаются эти множества
или нет
.◄
2.
()
2
2 cos 2 1 2 sin 0.xx+− =
► Задача потрудней предыдущей ,но не очень сложная .Обычно
школьники решают её так
:
()
()
2
2 ,,
cos 2 0,
42
cos 2 1 2 sin 0
12sin 0
1,.
4
m
m
xm
x
xx
x
xmm ππ
π
π ⎧ =+ ∈ ⎪ = ⎧
⎪⎪ +− =⇔ ⇔ ⎨⎨−=⎪

⎪ =− + ∈ ⎪
⎩Z
Z
Таккак x   ! ,приравняем их :

5
()
() ()
2,
2
200;
42 4
1
21,
42 4
21
21 0 0;
42 4
m
mk
k
kk m
m
m
mk
k
kkm
πππ
π
ππ π
π
π
ππ
π
⎡=





+=+⇔=⇔=



+=− +⇔

=+




+ ⎨
+=−++⇔=⇔=




Отсюда следует,что решение как бы единственное: 4 x
π= .◄
0Ответ неправильный.
Почему?Это как-то связано с тем,что написано одно и то же
m при решении разных уравнений?Да.Существует неписаное
правило:если ты решаешь одно тригонометрическое уравнение
или совокупность уравнений с одним неизвестным и потом тебе
ничегоненадоделатьскорнями,то можешь писать одинаковые
буквы в формулах.Поэтому первый пример решён верно.Во вто-
ром примере решается система с одним неизвестным,икорн
ипер-
вого и второго уравнений необходимосравнивать – вэтомслучае
надо писатьразныебуквы:речь идёт омножествахчисел опреде-
лённого вида.
Например,при решении уравнения
cos 1x=− можно записать от-
вет в виде
2, xkk ππ=+ ∈Z ,аможноиввиде 2, : xkk ππ =− + ∈Z в
том и другом случае множество решений
– это множество нечётно -
го «количества » π.Если же их надо сравнить ,чтобы узнать ,сов-
падают
ли этимножества
,необходимо в одном из выражений
заменить букву на другую
,например ,на n.Если не заменять ,то
получится
,что
()()21 21 .kk ππ += −⇔∅
Если заменить ,то
( ) ( ) ( ) 21 21 22 0 1.nk nkkn ππ += −⇔+ − =⇔=+
Суть этого «явления »легко понять ,если рассмотреть множество
нечётных чисел
.Любое нечётное число m можно записать в виде
21 mk=+ ,а можно в виде 21 mk=− (можно в виде 23 mk=+ ит .д.):
«
буква » m простоупорядочиваетмножество нечётных чисел ,но в
разных записях одно и то же нечётное число может иметь разные но
-
мера -« места » – таблица 1.

6
Таблица 1
k
12 3… …k…
2k+1 3 5 7 … … 2k+1 …
2k-1 13 5… … 2k-1 …
Поэтому естественно,что при приравнивании формул с одним и
тем же индексом получается пустое множество:
2121kk+= −⇔∅ -
на месте с конкретным номером стоят разные числа.Если записать,
как положено,разные индексы,то
2121 1nkkn+= −⇔ = + ,что озна-
чает,что множество
{ } 21k− просто сдвинуто вправо по отношению
к множеству
{ } 21k+ на 1.
Школьник пробует доделать задачу :
() ()
2,, ,,
cos 2 0,
242
12sin 0
1, 1,.
44
nn
m
xmm x m
x
x
xnnxnn πππ
π
ππ
ππ ⎧⎧
=+ ∈ =+ ∈
⎪⎪
=

⎪⎪ ⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨
−=


⎪⎪
=−+∈ =−+∈
⎪⎪
⎩⎩ZZ
ZZ
Теперь многие совсем не представляют ,что делать :очень слож -
ное сравнение предстоит .
3 Давайте мы обсудим другой вопрос .Решается система содним
неизвестным
,но решается очень не рационально ,а потому школьник
«налетает »на дополнительную сложную задачу .Не надо «бросаться »
на решениеобоихуравнений в системе с одним неизвестным !Доста -
точно решить одно – то ,которое проще ,а найденные корниподста -
витьв остальные уравнения .Кроме того ,на то и существуют форму -
лы тригонометрии ,чтобыупрощатьрешения .
Правильное решение .
►В нашем случае
()
() () ()
2
2
2 cos 2 0,
12sin 0,
cos 2 1 2 sin 0
12sin 0
12sin 0
12sin12sin 0,
12sin 0 1 , .
4
12sin 0
n
x x
xx
x
x
xx
xx nn
x
π
π
= ⎧=

⎪⎪
+−=⇔⇔⇔
⎨⎨
−=
−=





−+=

⇔⇔−=⇔=−+∈


−=
⎩Z
Ответ. () 1,
4n nn π
π −+∈Z.
Класс !? И никаких сравнений !◄

72.Отбор корней при решении уравнений,
содержащих дроби
При решении тригонометрических уравнений,левая часть кото-
рых представлена в виде дроби,приходится писать ограничение –
знаменатель не равен 0. Поэтому как бы возникает необходимость
решить это неравенство.Однако не надо спешить!Ведь решить это
неравенство – практически означает решить еще одно уравнение,а
затем «отбросить»его корни.Поэтому сначала желательно по-
смотреть на знаменатель – нельзя ли его выразить через функции,
которые «работают»вчислителе.Тогда найдём их значения,аза-
тем подставим в знаменатель,чтобы отобрать те,которые не об-
ращают знаменатель в 0. Честно говоря,просто словами здесь
трудно ограничиться.Рассмотрим лучше примеры.
Решите уравнения 1 – 8

1. sin 3
0.
cos 6x
x=
Первый способ (так чаще всего решают и школьники ,и учителя )

,
sin 3 0,
sin 3
3
0
cos 6 0
cos 6
12 6n
x
x
x
x k
x
x
π
ππ ⎧
=

=


=⇔ ⇔⇒
⎨⎨



≠+


412.
3126nk
nk πππ ⇔≠+⇔≠+
Так можно оставить ?Обычно так не оставляют ,потому что в дан -
ном случае условие 412nk≠+ не описываетявномножествоцелых
чисел
. nПосмотрите внимательней :условие 412nk≠+ выполнено
прилюбом
, nт.к.4n – чётное ,а12k+ – нечётное число ,поэтому
ограничение излишне
.
Ответ. ,.
3n
n π ∈Z
Можно избежать сравнений ?◄

8
Второй способ
►3При решении даже простейших тригонометрических уравне-
ний вида
sin
0
cosax
bx= всегда возникают смешанные системы – уравне -
ние и неравенство : sin 0,
sin
0
cos 0.
cosax
ax
bx
bx=

=⇔



Самыйпростойспособ – решить уравнение ,а найденные корни
подставитьв неравенство
.В нашем случае
,
sin 3 0,
sin 3
3
0
cos 6 0
cos 6
cos 6 1 0.
3 n
x
x
x
xn
x π
π ⎧
=

=


=⇔ ⇔
⎨⎨



⋅=≠


Ответ. ,.
3n
n π ∈Z
Вот и всё !Как проще ?◄
Третий способ
(где ничего не надо проверять ).
Очень часто в таких примерах знаменатель как -то выражается че -
рез числитель .Надо это сделать ,а тогда будет ясно ,обращается он в
0или нет .
В данном примере :
2
sin 3 sin 3
00sin30,.
cos 6 1 2 sin 3 3xx n
xx n
x x
π =⇔ =⇔ =⇔ = ∈
− Z
(очевидно ,что знаменатель при обращении в 0 числителя не об -
ращается в 0).
Ответ. ,.
3n
n π ∈Z
Коротко ,а,главное ,всё ясно .Так ?◄
2.
cos
2
0.
sin
3 x
x=

9
Первый способ
►На вид – очень простое уравнение.Попробуем решить:
()
2, ,
cos 0,
cos
2
2
0
21
sin 0.
sin
sin 0
3
3
3 x x
xnn
n
x
x ππ
π ⎧
=+ ∈

=

⎪⎪
=⇔ ⇔
⎨⎨+

⎪⎪



⎩Z
О!Кажется ,понятно ,что делать дальше : ()21
sin 0,
3n π +
≠ значит ,
21
3 n+ не является целым числом ,т.е.213,nk+≠ ачтодальше ?
Так как 213nk+≠ 31 1
22 kk
nk−−
⇔≠ =+, а нам интересно ,каким
целымчислам не равно
, n т. е. 1
2 k− должно быть целым :
1
21, .
2 k
mk m m −
=⇔= + ∈Z
Отсюда следует ,что 31, .nm m ⇔≠ + ∈ Z
Иногда ответ так и записывают :
Ответ. 2 n ππ+ , , 3 1, .nnmm∈≠+∈ ZZ
Примечание.Тот ,кто понимает ,что речь идет о целых числах ,
при делении на 3 дающих в остатке 0 или 2, может записать ответ в
другом виде
:
Ответ. ( ) 23 2m ππ++ , 23,mm ππ+⋅ ∈ Z.
Заметив ,что ()()() ( ) 23 2 6 5 6 11mm m ππππ++=+=+− ,ответ
можно записать одним выражением
:
Ответ. ()61,nn π ±∈ Z.◄
Второй способ
► Попробуем использовать то
,что углы в числителе и знаменателе
кратны
:
6x
2
2 cos 4 cos 3
cos 3
cos
31
66
6
2
00coscos
64 32
sin sin 2 2 sin cos
3666 x x
x
x
xx
xxxx ⎛⎞ −
⋅ ⎜⎟
⎝⎠
=⇔ = =⇔ = ⇔ = ⇔


10
() 2, 6 1, .
33 x nn x n n π
ππ ⇔=±+ ∈⇔= ± ∈ZZ
Ответ. ()61,nn π ±∈Z .
Зря многие не любят формулу тройного угла!◄
3.
7sin cos2 3
0.
cos 2 5 3 cos 7xx
xx−−
=
++
► Многие решают так :
7sin cos2 3 0,
7sin cos2 3
0
cos 2 5 3 cos 7
cos 2 5 3 cos 7 0. x x
xx
xx
xx−−=

−−

=⇔

++
++≠


Решается сначала уравнение :
() 2
2 7sin cos2 3 0 7sin 1 2sin 3 0
1
2 sin 7 sin 4 0 sin .
2 xx x x
xx x −−=⇔−− −=⇔
⇔+−=⇔=
Теперь берутся за решение неравенства .Неравенство довольно слож -
ное – решают его отдельно .
Стоп !Стоп !Как показывает практика ,решить правильно такое
неравенство сложнее
,чем решить всю задачу :могут появиться ариф -
метические ошибки или неправильно выписанный ответ .Поэтому
сравнение решений и ограничений может оказаться неверным
.Мы
много раз говорили
,что при решении уравнений ОДЗ пишем ,ноне
тратимвремя на его нахождение
– мы потомпроверяемкорни .
Поэтому не будем пока выписывать корни уравнения 1
sin
2 x=,
т.к.подстановка их в неравенство будет довольно громоздка .Вместо
этого подставим в неравенство
1
sin
2 x=:
1153
1 2 5 3 cos 7 5 3 cos 0 cos
422xx x −⋅ + + = + ≠ ⇔ ≠−.
Теперь всё ясно :рисуем тригонометрический круг ,отмечаем на
нём углы
,у которых 1
sin
2 x= ( рис . 1).

11
Рис. 1
Таких,как известно,два.Угол,у которого косинус отрицатель-
ный,помечаем большой «дыркой», а угол,у которого косинус поло-
жительный,жирной точкой – и записываем:
Ответ.
2, .
6kk π
π +∈Z ◄
4.
tg tg11 .x x = 5. sin 2
0.
cos 3x
x= 6. 11sin 3 cos 2 7
0.
cos 2 3 3 cos 5xx
xx−+
=
−−
7. 5sin cos 2 2
0.
cos 2 5 3 cos 7xx
xx++
=
−+ 8. 4sin 2cos2 1
0.
cos 2 3 cos 2xx
xx−−
=
+−
3.Задачи с отбором корней в уравнении,
содержащем модуль
Решите уравнения 1 – 11
1.
9
cos 3 sin 1.
2 xxπ ⎛⎞ +=
⎜⎟
⎝⎠
► 9
cos 3 sin 1
2 xxπ ⎛⎞
−+=⇔
⎜⎟
⎝⎠

12
cos 0,
1
cos 3 cos 1 cos 1 ;
13
cos 0,
1
cos 3 cos 1 cos
13
1
arccos 2 , .
13 x
xx x
x
xx x
xnn
π
⎡≥





−=⇔=<−⇔∅





<


⇔⇒



−− =⇔ =− ⇔


+




⎛⎞

⇔=±−+∈

⎜⎟
+


⎝⎠



Ответ. 13
arccos 2 , .
2nn π −
±+∈ ◄
2.
()1cos
35cos 1
5.
5 x x
xx−
− ⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

►Решаем:
()
()
1cos
35cos 1
5 3 5 cos 1 cos .
5 x x
xx
x xx x

− ⎛⎞
=⇔−=−−
⎜⎟
⎝⎠
Теперь рассмотрим отдельно различные случаи.Прежде всего,
раскроем модуль косинуса,т.к.это сложнее.
1.Если
cos 0x≥ ,то
()
() ()
3 5 cos 1 cos 3 5 cos
cos 0,
1cos
35 1x xx x x x
x
xx
xx −=−− ⇔−=
=

=− − ⇔ ⇔

−=− −

,,
2
10,
,.
2
35 1 ,
35 1 xnn
x
xnn
xx
xx π
π
π
π ⎡
=+ ∈


−≤


⇔⇔=+∈


−=−+⇒∅






−= −⇒∅


⎣Z
Z
2.
Если cos 0x< ,то

13
()
()
3 5 cos 1 cos 3 5 cos
10,
2,
1cos 3 5 1
35 1,
1, 5 .
35 1 xxx xxx
x
x
xxxx
xx
x
xx −=−− ⇔−=
−≥

=


=− ⇔ −=−⇔ ⇔
−=−



=



−=−+


Теперь проверяем условие cos 0x< .Что такое cos 2 или cos1, 5 ?
Многих этот вопрос ставит в тупик.Посмотрим ещё раз на тригоно-
метрический круг – рис. 2. Что такое cos
α ?
Рис. 2
Это абсцисса точкиА – конца вектораОА,который составляет
угол
α с положительным направлением осиОх.Этот угол может из-
меряться или в градусах,или в радианах.Когда угол измеряется в
градусах,вопросов,как правило,не возникает.С радианами сложнее,
новажнее:ведь аргументом тригонометрической функции является
численноезначениерадиан угла .
α Вспомним,что такое радиан:
один радиан – это центральный угол,опирающийся на дугу,длина
которой равна радиусу окружности,т.е.
1радиан =
360 180
57, 3
2
ππ =≅

градуса .
Поэтому cos 2 – это примерно cos114 ,  cos1, 5− это примерно cos 80 . 
Значит cos1, 5 0,> аcos 2 0.< Поэтому подходит только 2. Итак ,
Ответ. 2; , .
2kk π
π +∈Z ◄
3.
cos 2 sin cos 0. xxx++=

14
► При решении тригонометрических уравнений,как и всяких
других,возникают вопросы,счегоначатьрешать.В данном примере
удобней воспользоваться не стандартным способом раскрытия моду-
ля,а другим способом решения уравнения типа
() () fx gx= :

() ()()
() ()
() ()
0,
,
. gx
f x gx f x gx
fx gx ⎧≥


=⇔⎡=



=−




Поэтому
()
cos 0,
cos 2 sin cos
cos 2 sin cos ,
cos 2 sin cos
cos 0,
cos 0,
21, ;
sin 0;
cos sin 0,
3
cos 0,
2, .
sin 0
4
tg 1x
xx x
xx x
xxx
x
x
xnn
x
xx
x
xnn
x
x
π
π
π
−≥


+=−⇔ ⇔
+=−




+=









⎡=+∈
=
⎪⎩


⇔⇔⇔
+=





=+ ∈





=

⎣⎨

=−


⎣Z
Z
Ответ. () 3
21, 2, .
4 nnnπ
ππ ++ ∈Z ◄
4.
cos 2 sin . x x =− 5. sin sin cos . x xx =
6. ()
()sin
2sin 22. xx
xx− = 7. () 1cos 5 cos 82. xx x x −+ + =
8. ()
() 1
sin
7sin
2
33.xx
xx +
− = 9. 2 cos sin sin 0. xx x++=
10. cos 2 sin cos 0. xxx−+= 11. 2cos sin sin 0. xx x−+=
4.Задачи с отбором корней в
иррациональном уравнении
Решите уравнения 1 – 26
1.
cos 2 sin
2 x x= .

15
►Решаем:
()
2
22
sin 0,
2
cos 2 sin
2
cos 2 sin
2
sin 0,
1
2
sin 1 2 ,
22 3
1 2 sin 2 sin
22
n
x
x
x
x
x
x
x
xnn
xx
π
π




=⇔ ⇔


=






⇔⇔=⇔=−+∈


−=

⎩. Z
И никаких проверок !
Ответ. () 12, .
3n nn π
π −+ ∈Z ◄
2.
() sin cos 2 .xx=+
Первый способ
►Решаем
:
() ()
sin 0,
sin 0,
sin cos 2
sin sin 2 0 sin cos 2
2 x
x
xx
xx xx
π




⎪⎪
=+⇔ ⇔ ⇔
⎨⎨
⎛⎞
−−−= =+

⎜⎟


⎝⎠

sin 0,
2cos 1 sin 1 0
44 x
x
ππ



⇔⇔

⎛⎞⎛ ⎞
−−+=
⎜⎟⎜ ⎟

⎝⎠⎝ ⎠

()
1, ,
4
sin 1 1 sin 1 0 2 1,
44
n
xnn
nmm π
π
ππ
π ⎧
=−+ ∈




⎛⎞ ⎛⎞

−+ =− − ≥⇒+∈
⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠
⎩Z
Z
() 121, ,
4 xmm π
π ⇔= −+ + ∈Z
ибо sin 1 0.
4 π⎛⎞
−<
⎜⎟
⎝⎠
Ответ. 5
12 , .
4 mm π
π −+ ∈ Z ◄

16
Второй способ
►Попробуем решить по-другому:
() ()
()
sin 0,
sin cos 2
sin cos 2
sin 0,
sin 0,
1sin2tg cos2
sin cos cos 2 sin sin 2
sin 0,
cos 2
arctg 2 , .
cos 2
1sin2
tg 0
1sin2x
xx
xx
x
x
x
xx x
x
xnn
x
ππ



=+⇔ ⇔

=+







⇔⇔⇔
⎨⎨
+=
=−






⇔⇔=++∈

+
=<

+
⎩Z
Ответ. cos 2
arctg 2 ,
1sin2nn ππ++∈
+Z. ◄
Но это же совершенно другой ответ
!Как быть ?
Во -первых ,это обычное явление в тригонометрических урав -
нениях .Однако можно проверить ,что это одно и то же множество .
Так как
2
sin 2 2 sin 1 cos 1 sin 1
cos 2
2444
tg 1
1sin2 4
1cos 2 2cos 1 cos 1
244 ππππ
π
πππ⎛ ⎞ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
−−−−
⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎛⎞
⎝ ⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
== ==−
⎜⎟
+
⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎝⎠
+− − −
⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠,
то
cos 2
tg tg 1 1 .
1sin2 4 4 x xn ππ
π⎛⎞
= = −⇔=−+
⎜⎟
+
⎝⎠ Но sin 0,x≥ поэтому
5
12 , .
4 xmmπ
π =−+ ∈Z
Ответ. 5
12 , .
4mmπ
π −+ ∈Z ◄
3.
2 cos 2 sin 2 cos 2 0.xx x−− = 4. 2 2cos 3 2 sin 0.xx−+ =
5. 2 2cos 2 2 sin 0.xx−+ = 6. 2 2cos 3 2 sin 0.xx−− =
7. 51
510sin .
2cos tgx x
x += + 8. 742sin 2cos 2tg. x xx −=−
9. 2
12 6 2 3sin .
cos tgx x
x −=− 10. 2 7
3sin sin cos .
2 x xx −=+

17
11. 2 3
cos sin cos .
2 x xx +=− 12. 5
cos 2 tg 0.
3xx −+=
13. 5sin cos 2 2cos . x xx +=− 14. () sin 2 3 cos sin 3.xxx=+−
15. sin sin 2 . x xx x +=− 16. 13
cos 2 ctg 0.
3xx ++=
17. 2 cos 1 sin 0.xx++ =
18. 7 cos 6 cos 2 4 sin . x xx −− =
19. 2
1 cos 2 2 sin cos .
3 xxx⎛⎞
−= ⋅−
⎜⎟
⎝⎠
20. sin cos sin cos .
22 x x
xx −+ = −
21. 2 2cos 2 2 sin 0.xx−− =
22. . 2 sin 7 2 cos sin 6x x x− =
23.
13
8sin 2cos 2tg .
3 x xx += +
24. sin 2 cos 2 2 cos 2 0.xx x+− =
25. cos 2 cos 2 2 cos 2 0.xx x−+ =
26. cos 2 cos 2 2 cos 2 0.xx x −− + =
5.Отбор корней,принадлежащих заданному промежутку
Задачи по отбору корней ,принадлежащих заданному промежутку ,
можно разделить на две группы .
1)
Если длина промежутка ,на котором надо найти корни ,не пре -
восходит 2,π то проще всего находить корни ,отмечая их на триго -
нометрическом круге .
2)
Если же длина промежутка ,на котором надо найти корни ,пре -
восходит 2,π то лучше всего сначала найти формулы корней ,а затем
или записать неравенства
,которым они должны удовлетворять по
условию
,или нанести на числовую ось заданный промежуток ,а затем
на нём расположить найденные корни
.

18
3)Самые аккуратные школьники могут нарисовать график соот-
ветствующей тригонометрической функции и по нему отобрать нуж-
ное множество корней.
Укажите количество корней уравнений 1 – 2
1.
() 22
2 12sin log 4 0.
2x
x ⎛⎞
−−=
⎜⎟
⎝⎠
►Сначала ,конечно ,решим уравнение :
()()
2
2
2
22
2
2 log 4 0,
40,
12sin log 4 0
2
12sin 0
2 x
x
x
x
x ⎡
−=

⎛⎞


−>
−−=⇔ ⇔
⎜⎟


⎝⎠


−=




() ()
3;
3;
2; 2 ,
2; 2 ,
cos 0
,.
2 x
x
x
x
x
xnn
π
π






⎧∈−

⇔⇔

∈−

⎪⎪

⎨⎨


=
=+ ∈






⎣Z
Теперь надо отобрать корни .Промежуток симметричный ,длины 4,
корни расположены довольно «далеко »друг от друга .Поэтому устно
можно определить
,что
3,
.
2 x
x
π







Ответ. 4. ◄
2.
() 1sin 3 3. xxx+−=
3.Найдите ( в градусах ) сумму корней уравнения
sin cos 3 cos 0xx x+= ,принадлежащих отрезку [] π2 ; 0 .
► sin cos 3 cos 0 cos 0 , .
2 xx x x x nn π
π +=⇔=⇔=+ ∈Z
Задачу проще всего решать на тригонометрическом круге – рис . 3.

19
Рис. 3
3
2.
22 ππ
π +=
Ответ. 360 .◄
Сколько корней имеют уравнения из заданий 4 – 19
на указанных промежутках?
4.
2 7 sin 3 7 cos− = −x x, 6
0, 4 ;
7 xπ
π ⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠.
►Решим сначала уравнение :
cos 7 3 sin 7 2xx−=−⇔
13 2
cos 7 sin 7
22 2 ⇔− =−⇔xx
23
cos 7 7 2 ,
3234xxnn πππ
π⎛⎞
⇔+=−⇔+=±+ ∈⇔
⎜⎟
⎝⎠
32 52
,,
28 21 7 84 7
32 132
,.
28 21 7 84 7nn
xxn
kk
xxkππ π π π
ππ π π π ⎡⎡
=−+ =+ ∈
⎢⎢
⇔⇔
⎢⎢
−−
⎢⎢
=−+ = + ∈
⎢⎢
⎣⎣ 

Формулы корней громоздкие – проще всего теперь определить n,
при которых корни принадлежат данному промежутку ,рассматривая
неравенства
.
Рассмотрим отдельно первый и второй корни :

20
⇔ < <
7 6
5 2 1
π π x 2
125
6 2
125
5 14
= ⇔ − < < −n n;
⇔ + < < + ⇔ < <
1213
6 2
1213
5 14
7 6
5 2 2 k x π π 3 2≤ ≤k.
Отсюда следует,что на промежутке

⎠ ⎞

⎝ ⎛
7 6
; 4 , 0 π
π расположено 3 корня:
n= 2,k= 2,k= 3
35 53 59
,,
84 84 84 πππ ⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠.
Ответ. 3. ◄
5.
cos cos
6 x x π ⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠, x∈[] 13 ; 3 . ππ −
► cos cos cos cos 0
66 xxxx ππ ⎛⎞ ⎛⎞ −= ⇔ −− =⇔ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
2sin sin 0 , .
12 12 12 xxnn ππ π
π ⎛⎞ ⇔−=⇔=+∈ ⎜⎟
⎝⎠Z
Теперь определим n,при которых корни принадлежат данному
промежутку
:
1
13 3 13 3
12 12 π
πππ − ≤+≤⇔−≤+≤⇔nn
11
13 3 13, 12, ..., 0, 1, 2.
12 12nn ⇔− − ≤ ≤ −⇒=− −
Ответ. 16. ◄
6.
cos 2 2 sin 1,xx+= x[] 3; 2 . −
7. cos cos ,
6 x x π ⎛⎞ −= ⎜⎟
⎝⎠ x∈ 7
;.

π ⎡⎤−⎢⎥
⎣⎦
8. 15
cos tg 0,
4 x x
π
π ⋅= 1
;8 .
2 x⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
9. cos 3 sin 2 ,xx−= x[] 2;2 .ππ −
10. 3cos sin 2,xx+= x ;2 .
44 ππ
π ⎡⎤
−+
⎢⎥
⎣⎦

21
11. 1
sin cos cos sin ,
88 882 xx xx ππ ππ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎠ + + ⎠ + =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
x∈ 3
;.

π ⎡⎤

⎢⎥
⎣⎦
12. 2 3 cos 10 cos 3 0,xx−+= x() ;3 .ππ−
13. 42 4sin 12cos 7,xx+= x() ;3 .ππ−
14. ctg3 sin 6 cos 6 cos12 0,xx x x−− = x[]0; 2 . π
15. ()21sin 3 3,xxx+−= x ;.
22ππ ⎡⎤

⎢⎥
⎣⎦
16. () sin log 3 cos 1, x x= x[]0; 5 . π
17. ()21cos 1,xxx−+= x[]0; .π
18. () () 12
2 log 2 sin log 3 cos 1,xx+=− x[]0; 5 . π
19. () () 31
3 log 3 sin log cos 1,xx+= x[]0; 5 . π
В заданиях 20 – 29 найдите (вградусах)сумму корней
соответствующих уравнений на указанных промежутках
20.
() 2 sin cos 1 sin cos , x xxx +=+ []0; 2 . x π ∈
21. 2 3
cos 2 sin ,
4 xx+= x[]0; 2 . π
22. cos ctg 3 cos 3ctg 0xx x x⋅+ + =, x∈[] ;.ππ−
23.
() ()
() cos tg sin
2
3,
3
cos 2 cos
2 xxx
xx π
ππ
π
π⎛⎞
−⋅ + ⋅ −
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
x∈ 3
;.
22 ππ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
24. ()( ) 13sin 13 cos 77 12,xx+− − =  x∈ 400 ; 0 . ⎡⎤−⎣⎦ 
25. ()() 22 1sin 3tg 1 0,xx −−= x[]0; 2 . π
26. 2 2sin 3cos 3 0xx−−=, x∈[ ] 0; .π

22
27. 5cos ctg 15cos 15ctg 0xx x x⋅− − =, x∈[] ;.ππ−
28. 15 cos ctg 5 cos 5ctg 0,xx x x⋅+ + = x[] ;.ππ−
29. 21 cos ctg 7 cos 7ctg 0,xx x x⋅− − = x[] ;.ππ−
30.
Найдите ( в градусах ) наибольшее решение уравнения
tg tg3x x −=, принадлежащее промежутку [ ) 0; .π
31.Найдите ( в градусах ) наименьшее решение уравнения
tg tg7x x −=−, принадлежащее промежутку ;.
22ππ ⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠
32.Найдите ( в градусах ) наименьшее решение уравнения
tg tg5 ,x x −=− принадлежащее промежутку ;.
22ππ ⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠
33.Найдите ( в градусах ) наибольшее решение уравнения
tg tg5 ,x x −= принадлежащее промежутку [ ) 0; . π
34.
Найдите произведение корней уравнения
() 22 2
2 cos log 5 4 4 cos 4 sin .
22 x x
xx x ππ
π −+ − =
35.Найдите (в градусах )наименьший положительный корень
уравнения
() sin 8 cos 6 3 sin 6 cos 8 . x xxx −= +
Укажите сумму корней уравнений 36 – 37
36.
() () 22
1
2 1sin 3 log 5 6 cos6 . x xx x ππ +⋅−−=
37. () () 22
1
3 2 sin 4 log 11 4 7 cos 8 1.xxx x ππ ⋅−−=−

23
§ 2.Обратные тригонометрические функции
1.Что такое arcsina ?
Напомним,что такое a arcsin.
Всем хорошо известен график функции
x ysin = ( рис.4 ) – так
называемая синусоида.Проведём прямую
, ya= 1. a≤
Рис. 4
Хорошо видно,что прямая пересекает график в бесконечном
числе точек,т.е.уравнение
[] sin , 1; 1 ,xaa=∈− имеет беско-
нечно много решений.Надо как-то описать эту структуру.Обра-
тимся опять к синусоиде.Рассмотрим теперь
x ysin =не на всей
числовой оси,а только на той ее части,котораяближевсего к
0 x= и на которой синус принимаетвсезначения от –1 до 1: каж-
дый скажет,что это отрезок

⎦ ⎤

⎣ ⎡

2 ;
2
π π .
Чем замечательна эта часть синусоиды (рис. 5)?
Рис. 5

24
Это уже не синусоида,а функция () ⎥
⎦ ⎤

⎣ ⎡
− = =
2 ;
2 , sin
π π y D x y !
И она замечательна тем,чтолюбаяпрямая
[ ] ,1;1 yaa=∈− пересе-
кает графикэтойфункции в единственной точке,т.е.уравнение
a x= sin на отрезке ⎥
⎦ ⎤

⎣ ⎡ −
2 ;
2 π π всегдаимеет единственноерешение.
Математики договорились этоединственноерешениеобозначать
символом – «словом»
a arcsin.Решение уравнения так именно обо-
значается,потому что конкретное значение для конкретного
a вы-
числяется,за редким исключением,по формулам высшей математи-
ки.Эти вычисленные с определённой степенью точности значения
заложены в калькуляторах.
a arcsin – это единственное решение уравнения
[] sin , 1; 1 ,xaa=∈− на отрезке ;
22 ππ ⎡⎤−⎢⎥
⎣⎦
Итак,если ;
22 x ππ ⎡⎤
∈−
⎢⎥
⎣⎦ ,то ⇔ =a x sin arcsin . x a = Из опреде-
ления
a arcsin немедленно следуют тождества:
[] sin arcsin , 1; 1aaa≡∈− и x x≡ sin arcsin,если ;
22 x ππ ⎡⎤ ∈− ⎢⎥
⎣⎦ .
Эти тождества,как и основное логарифмическое,относительные,
потому что они имеет место не для всех
x,алишьдля
;
22 x ππ ⎡⎤ ∈− ⎢⎥
⎣⎦ ,не для всех a,алишьдля [] 1; 1 a∈− .
С решением уравнения на
;
22 ππ ⎡⎤−⎢⎥
⎣⎦ ситуация прояснилась,акак
быть с остальными решениями уравнения
a x= sin?
Теперь можно рассмотреть всю синусоиду или тригонометриче-
ский круг.Рассмотрим круг.Будем решать уравнение
a x= sin:одно
решение известно – это
a xarcsin 1= (уголАОВ–рис. 6), видно и
другое – это
a xarcsin 2 − = π (уголАОС).

25
Рис. 6
В силу периодичности синуса с периодом
2,π всё множество ре-
шений описывается формулами:
, 2 arcsin 1 k a xπ + =≡+ − =m a x π π2 arcsin 2 () 1 2 arcsin+ + −m a π ,
,. km∈
Обе формулы могут быть объединены в одну
() 1arcsin ,n xann π =− + ∈ ,
которая иописываетвсё множество решений уравнения
a x= sin.
2.Функция . arcsin yx= = Свойства.График
Основные тригонометрические функции являются периодически -
ми .Всякая периодическая функция принимает каждое своё значение
бесконечно много раз
, так как для любого
() ( ) :,, xXfx fxkT k∈=+∈ поэтому периодическая функция
не может осуществлять взаимно однозначного соответствия
,азначит ,
не имеет обратной .
Но функция () sin , ;
22 yxDy ππ ⎡⎤
==−
⎢⎥
⎣⎦ возрастает , то есть
строго монотонна на области определения
,поэтому имеет обратную :
() [] () arcsin , arcsin 1;1 , arcsin ;
22 xyDy Ey ππ ⎡⎤
==−=−
⎢⎥
⎣⎦.
Обратная функция тоже монотонно возрастает ,её графиком явля -
ется кривая ,симметричная кривой () sin , ;
22 yxDy ππ ⎡⎤
==−
⎢⎥
⎣⎦ отно -
сительно биссектрисы .y x=

26
Обычно независимую переменную обозначают ,x азависимую . y
Поэтому более привычно записать
() [] () ⎥
⎦ ⎤

⎣ ⎡
− = − = =
2 ;
2 , 1 ; 1 , arcsin
π π y E y D x y – рис. 7.
Рис.7

Если говорить о функции
x yarcsin =,то этонеугол,а числовое
значение этого угла,выраженное в радианах. «Мнемоническое»
определение
a arcsin:арксинус a – это угол,принадлежащий про-
межутку

⎦ ⎤

⎣ ⎡ − 2 ;
2
π π ,синус которого равен . aПоэтому принято угол
из промежутка

⎦ ⎤

⎣ ⎡ − 2 ;
2
π π ,синус которого равен a,тоже называть
арксинусом
a.
Аналогично определяются функции:
() [] () [] arccos , arccos 1;1 , arccos 0; yxDx Ex π ==−= −рис. 8.

27
Рис.8
() () arctg , arctg , arctg ;
22 yxDxEx ππ ⎛⎞
===−
⎜⎟
⎝⎠  ,см.рис. 9.
Рис.9
() ()() arcctg , arcctg , arcctg 0; yxDxREx π === −рис .10.
Рис . 10

28
Как запомнить графики «арков»? Как быстро прикинуть эскизы
графиков этих функций?
Конечно,прежде всего необходимо знать основные свойства этих
функций:все они строго монотонны,каждая имеет свою область
определения и своё множество значений.Как их не спутать один с
другим?Для этого достаточно сделать табличку для трёх основных
точек – ихарактергр
афика «всплывёт»впамяти.
x −1 0 1
x yarcsin = 2
π− 0 2
π
x −1 0 1
x yarccos = π 2
π 0
x ∞ − 0 ∞
arctg yx=
2
π− 0 2
π
x ∞ − 0 ∞
arctg yx= π 2
π 0
Некоторые полезные соотношения на «заметку»
Так как

⎦ ⎤

⎣ ⎡
− ∈
2 ;
2 arcsin
π π a ,то косинус этих углов неотрица-
тельный.Поэтому
0 arcsin cos≥ a и
2 2 1 arcsin sin 1 arcsin cosa a a− = − =
Аналогично рассуждая,получаем:
[] arccos 0; sin arccos 0aa π ∈⇒≥ и

29
22 sin arccos 1 cos arccos 1 .aaa=− =−
2 sin 2 arcsin 2 sin arcsin cos arcsin 2 1 .aaaaa=⋅=−
УголАОВ – это a arcsin,уголАОС – это () a − arcsin – рис.11.
Видно,что
() arcsin arcsin .aa −=−
Рис.11
Аналогично получаем,что
() arc tg arc tg .aa −=− Кстати,это же
следует и из нечётности функций
x yarcsin = и arctg . yx=
С () a − arccos и () arcctga − – другая «история».
УголАОВ – это
a arccos,а уголАОС – это () a− arccos – рис.12.
Видно,что
() = − a arccosa arccos − π .Аналогично с () arcctg .a −
Рис.12
Итак,
() ()
() () arcsin arcsin ; arctg arctg ;
arccos arccos ; arcctg arcctg .aaaa
aaaa
ππ
−=− −=−
−=− −=−

303.Вычисление тригонометрических функций от
«арков»положительных чисел
Заметим,что все «арки»положительных чисел – это углы,лежа-
щие в первой четверти,т.е.острые углы.Поэтому их можно найти в
прямоугольном треугольнике.
Например,
3 2
arcsin −это угол в треугольнике,синус которого
равен
3 2,т.е.противолежащий катет относится к гипотенузе,как 2:3.
Вот и построим треугольник с катетом,равным 2, и гипотенузой,
равной 3 – рис. 13.
Рис. 13
По теореме Пифагора находим второй катет.Теперь без всяких
формул и дополнительных вычислений с рисунка можно «снять»зна-
чениелюбойтригонометрической функции этого «арка»:
22
tg arcsin
3
5= , 25
ctg arcsin
32= , 35
3 2
arcsin cos= .
Найдите значение выражений 1 – 11
1.
2
2 13 cos arct
3g ⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠ .
►Многих учащихся задача ставит в тупик.
Так как
0
3 2
>,то 2
arctg
3 α = −это угол в треугольнике,тангенс
которого равен
3 2,т.е.противолежащий катет относится к прилежаще-
му как 2:3. Построим треугольник с катетами 2 и 3 −рис. 14.

31
Рис. 14
По теореме Пифагора находим гипотенузу.Теперь находим
23 2
cos arctg 2 13 cos arctg 6.
33
13 =⇒=
Ответ. 6. ◄
2.а)
1
3tg arcsin
7,б) 2 2
tg 2 arcsin
3 ⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠ .
При вычислении значений тригонометрических функций от «ар-
ков»отрицательных чиселполезныформулы:
() tg arcsin tg arcsin ,aa −=−
() ( ) tg arccos tg arccos tg arccos ,aaa π −= − =−
() tgarctg tgarctg ,aa −=−
() ( ) tgarctg tg arcctg tgarcctg ,aaa π −= − =−
() ( ) cos arcsin cos arcsin cos arcsin ,aaa −= − =
() ( ) cos arctg cos arctg cos arctg ,aaa −= − =
() ( ) cos arcct cos arcctg cos arcctg . g aaa π −= − =
ит .д
3.
1
2tg arccos
3 ⎛⎞
⎛⎞

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ .
► 1
tg arccos
3 ⎛⎞
⎛⎞

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ 11
tg arccos tg arccos 2 2
33 π⎛⎞
= − =− =−
⎜⎟
⎝⎠.
Ответ.− 4. ◄
4.
() 10 cos arctg 3 .

32
5. ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛

⎠ ⎞

⎝ ⎛
− +
53
arcsin
2 sin 5
π .
6.
()() () 12 tg 2arctg2 ctg 2arctg 2+ .
7.
11
10 sin arctg cos arctg
33 ⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
+
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠ .
8.

⎠ ⎞

⎝ ⎛
+

⎠ ⎞

⎝ ⎛
53
arcsin 2 cos
5 4
arcsin 2 sin.
9.
11
27 sin 3 arcsin cos 3 arccos
33 ⎛⎞
⎛⎞⎛ ⎞ − ⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎝⎠ .
10.
12 12
3 tg arcsin ctg arcsin
13 13 ⎛⎞
⎛⎞⎛⎞ + ⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠ .
11.
()() sin 2arctg3 cos 2arctg3+ .
4.Как найти () arcsin sina , () arccos cosa ,
() arctg tga , () arcctg ctga ?
Что значит «найти () a sin arcsin »? Это значит,что надо найти
угол
ϕ,принадлежащий отрезку ;,
22ππ ⎡⎤

⎢⎥
⎣⎦ такой ,что sin sin .a ϕ=
Если ;,
22 a ππ ⎡⎤∈−⎢⎥
⎣⎦ то arcsin(sin ) . aa =
Если ;
22 a ππ ⎡⎤∉−⎢⎥
⎣⎦ ,то прежде всего необходимо из числа a выде -
лить целое число периодов синуса так ,чтобы оставшаяся разность (а
это сделать проще всего
) k aπ2 − принадлежала отрезку [ ] 0; 2 . π
Теперь отметим на тригонометрическом круге угол 2. akπ −

33
Рис.15
1)Если разность
k aπ2 − попадет впервуючетверть – (угол
АОВ),то
() ( ) () arcsin sin arcsin sin 2aak π =− , 2k a π − = т.к.
02 .
2 ak π
π ≤− ≤
2) Если 2 akπ − попадет вовторуючетверть ( уголАОС ),то надо
перейти к углуАОВ
,т.к.их синусы равны ,но уголАОВлежит в пер -
вой четверти .При этом () 2. AOB AOC a k πππ ∠=−∠ =−−
Поэтому
() ( ) () arcsin sin arcsin sin 2aak π =− () 22 , ak k a ππππ=− − = +−
т.к.02
2 ka π
ππ ≤+−≤.
3)
Если разность 2 akπ − попадает втретьючетверть (угол
ВОМ
),то надо перейти к отрицательному углуАОЕ =
()() () 22 ak akπππ π =− − − = − −, т.к.их синусы равны .При этом
() ( ) () arcsin sin arcsin sin 2aak π =−=
() () () () arcsin sin 2 2 2ak ak k a ππππππ =−−=−−=+−,
так как
20.
2ka π
ππ−≤ +−≤
4)
Если разность 2 akπ − попала вчетвертуючетверть (угол
АОЕ
), то надо опять перейти к отрицательному углуАОЕ =
() ()22.akππ =− − − Поэтому

34
() ( ) () arcsin sin arcsin sin 2aak π =−=
() () () () () () () arcsin sin 2 2 2 2 2 1ak aka k ππ ππ π = − −− =− −− =− + ,
т.к.
() 0 1 2
2≤ + − ≤ −k a π π .
Отсюда следует,что график
() arcsin sin yx= имеет вид,пред-
ставленный на рис.16.
Рис.16
Что значит «найти
() arccos cos » ?a
Это значит,что надо найти угол ϕ,принадлежащий отрезку []0; ,π
такой ,что cos cos .a ϕ=
Если []0; , aπ ∈ то () arccos cos .aa=
Если []0; , aπ ∉ то прежде всего необходимо из числа a выделить
целое число периодов косинуса так
,чтобы оставшаяся разность (аэто
сделать проще всего
) 2 akπ − принадлежала отрезку []0; 2 . π
Затем отметим полученный угол на тригонометрическом круге .
Рис .17

35
1)Если 02 ,ak ππ ≤− ≤ т.е.угол принадлежитпервой или вто-
ройчетверти,то
arccos cos 2 .aa k π =−
2)Если 3
2,
2 akπ
ππ ≤− ≤ т.е.уголАОМпринадлежиттретьей
четверти,то надо перейти к углуАОС,который равен
() 22akππ −− ,при этом
() ⇒ ≤ − + ≤ π π π a k1 2
2 () ( ) arccos cos 2 2 .aak ππ =−−
3)если 3
22,
2akπ
ππ ≤− ≤ т.е.уголАОТпринадлежитчетвер-
тойчетверти,то надо перейти к углуАОВ,который равен
() 22akππ −− ,при этом () 02 1
2 ka π π ≤+−≤ и

() ( ) arccos cos 2 2aak ππ =−− .
График функции
x ycos arccos = имеет вид,представленный на
рис. 18.
Рис.18
Что значит «найти
() arctg tg » ?a
Это значит ,что надо найти угол ,ϕ принадлежащий промежутку
;
22ππ ⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠, такой ,что tg tg a ϕ = .
Если ;
22 aππ ⎛⎞
∈−
⎜⎟
⎝⎠, то () arctg tg .aa =

36
Рис.19
Если
;,
22 aππ ⎛⎞
∉−
⎜⎟
⎝⎠ то надо выделить целое число π ⊂⇔∪ ,чтобы
0.ak ππ ≤− ≤
Затем :
•если 0
2 ak π
π ≤− < т.е.угол впервойчетверти ,то
() arctg tg ;aa k π =−

если ,
2ak π
ππ <− ≤ т.е.угол вовторойчетверти ,то надо пе -
рейти к отрицательному углуАОМ ,который равен
() () () 1, ak a k ππ π −−− =− + т.к. () 10,
2ak π
π−<− +≤ и
() ( ) arctg tg 1 .aa k π =− + ( Т 16)
Что значит «найти () arcctg ctga»?
Это значит ,что надо найти угол ,ϕ принадлежащий промежутку
()0;π ,такой ,что ctg ctg .a ϕ=
Рис . 20
Если ()0; aπ ∈, то () arcctg ctg .aa=

37
Если ()0; aπ ∉, то выделим целое число π ⊂⇔∪ , чтобы
0,ak ππ ≤− ≤ тогда для π π < −
() arcctg ctg .aa k π =−
Найдите значения выражений 1 – 6
1.
() arcsin sin 2003, 5 . π
2. () arcsin sin 17 .
3. () arccos cos 35, 4 .
4. () arccos cos 24 .
5. () arctg tg18 .
6. () arcctg ctg 23 .
5.Упрощение выражений,содержащих обратные
тригонометрические функции
Найдите значения выражений 1 – 11
1.
() ( ) arccos sin 7 arcsin cos 7 .+

Первый способ
► Проще всего начать решение с того
,что перейти к arccos(cos) и
arcsin(sin) ,а затем воспользоваться рекомендациями предыдущего
пункта и тригонометрическим кругом
:
() ( ) arccos sin 7 arcsin cos 7
arccos cos 7 arcsin sin 7
22
arccos cos 7 2 arcsin sin 7 2
22
72 72 5 14
22
ππ
ππ
ππ
ππ
πππ
+=
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=−+−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=−++−+=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
=−+ +−+ = −

38
(угол 72
2 π
π −+ принадлежит первой четверти ).
Ответ. 5 14.π− ◄
Это решение может оказаться понятным не всем .
Предлагаем совсем другой ,второй способ .
Второй способ
► Обозначим один угол буквой
,α а другой – буквой ,β найдём
эти углы
,а затем их сумму .
Пусть () arccos sin 7 . α= Тогда :
()
[]0; , 0; ,
2
arccos sin 7
cos sin 7 0 0;
cos cos 7
2
2 π
απ α
α
π
π αα
α ⎧
⎡⎞

∈∈



⎪⎪⎣⎠
=⇔ ⇔ ⇔
⎨⎨
⎡⎞
=>⇒∈
⎛⎞
⎟ ⎪⎪

=−
⎜⎟
⎣⎠


⎝⎠

0; ,
2
72 ,
2
72

α
π
απ
π
απ ⎧
⎡⎞




⎣⎠



⇔⇔

=−+





=− + +



⎩n
n
72 , ,
2
71 7
072 1,
22242
72 , ,
2
17 17
072
224222
72.
2nn
nnn
nn
nn π
απ
ππ
π
ππ
π
απ
ππ
π
ππ
π
απ ⎡

=−+ ∈







≤−+ < ⇔ −≤<⇒=







=− + + ∈







≤− + + < ⇔ − ≤ < −⇒∅




⇔=−+Z
Z
Пусть теперь () arcsin cos 7 . β= Тогда

39
()
sin 7 sin ,
0cos7sin,
2
arcsin cos 7
0
0
2
2 π
β
β
β
π
β
π
β ⎧ ⎛⎞
−=
<=

⎜⎟

⎪⎪
⎝⎠
=⇔ ⇔ ⇔
⎨⎨
<≤
⎪⎪
<≤



72 ,
2
72
2
0
2n
n π
βπ
π
βπ
π
β ⎧

=−+





⎛⎞

⇔⇔=− − +

⎜⎟

⎝⎠



<≤


72 , ,
2
71 7
072 1;
22242
27,,
2
71 17
02 7
222422
72.
2nn
nnn
nn
nn π
βπ
ππ
π
ππ
π
βπ
ππ
π
ππ
π
βπ ⎡

=−+ ∈







<−+ ≤ ⇔ −≤≤ ⇔=







=−+∈







< − +≤ ⇔− +≤≤−⇒∅




⇔=−+Z
Z
Складываем: 72 72 5 14
22 ππ
αβ π π π += −+ + −+ = − .
Ответ.
514π−
Длиннее,но понятней.
2.
() ( ) arctg ctg 4 arcctg tg 4 +− .

() ( ) arctg ctg 4 arcctg tg 4 arctg tg 4
2 π ⎛⎞
⎛⎞
+−= −+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
arcctg ctg 4 arctg tg 4
22
arcctg ctg 4 4 4
222 ππ
π
πππ
ππππ ⎛⎞⎛ ⎞
⎛⎞ ⎛ ⎞
++=−++
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎝⎠⎝ ⎠
⎛⎞
⎛⎞
++−=−+++−=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

40
(угол 4
2 π
π −+ принадлежит первой четверти ,а угол 4
2 π
π +− при -
надлежит второй четверти ).
Ответ. .π ◄
3.
13 4
arctg3 arctg arcctg .
93⎛⎞
++−
⎜⎟
⎝⎠
4. () ( ) arccos sin 5 arcsin cos 5 .+
5. () ( ) arccos sin 6 arcsin cos 6 .+
6. () ( ) arccos sin 9, 5 arcsin cos 9, 5 .+
7. 2 ()() arccos sin 9, 25 arcsin cos 9, 25 .+
8. () ( ) arccos sin 9, 7 arcsin cos 9, 7 .+
9. 13 4
arctg3 arctg arctg
93 ⎛⎞ ++− ⎜⎟
⎝⎠ .
10. 23 5
arctg6 arctg arctg
27 3 ⎛⎞ ++− ⎜⎟
⎝⎠ .
11. 23 5
arctg6 arctg arcctg
27 3 ⎛⎞ ++− ⎜⎟
⎝⎠ .
12.Найдите наибольшее значение функции
() () () arctg 3 cos 8 arcctg sin 3 fx x x=+
ивсе ,x при которых оно достигается .
►Так как 1cos8 1 x −≤ ≤ , 33cos8 3x −≤ ≤, 1sin3 1,x −≤ ≤
arctgt
монотонно возрастающая функция ,а arcctgt монотонно убы -
вающая на всей числовой оси ,то
() arctg 3 arctg 3 cos 8 arctg 3
33 x ππ−=− ≤ ≤ = и
arcctg1
4 π =≤ () () arcctg sin 3 arcctg 1 x ≤− 3
4π =.
Отсюда следует ,что () 313
3 4 12 3 4 12 fx ππ π π π π−+ =− ≤ ≤ + =, т.е.функ -
ция ограничена сверху числом 13
12 π .Но это ещё не значит ,что число

41
13
12 π является наибольшим значением функции.Проверим,принима-
ет ли заданная функция значение
13
12 π .
()
() arctg 3 cos 8 ,
13
3
3 12
arcctg sin 3
4 x
fx
x π
π
π ⎧
=


=⇔ ⇔


=


cos 8 1,
sin 3 1x
x=



=−

2
,,
63
2
cos 8 1
63k
xk
k ππ
ππ ⎧
=− + ∈


⇔⇔

⎛⎞

−+ =
⎜⎟

⎝⎠
⎩
2
,,
63
41
cos4 1413
3
41 1
13,
33k
xk
k
kn
kk
nk kmm ππ
π ⎧
=− + ∈




⎛⎞
=⇒−= ⇔

⎜⎟
⎝⎠


−−
⇔= =+ ∈⇒−= ∈

⎩

() () 43 1 4 1
,
66 2mm
xmππ
π ++
⇔=− + = ∈ .
Отсюда следует ,что 13
12 π действительно является наибольшим
значением и принимается в точках
()41
,
2 m
xm π +
=∈ .
Ответ. ()14
13
,.
212m
fm π
π⎛+⎞
=∈
⎜⎟
⎝⎠ ◄
13.Сравнить числа
2
5π и 103
arccos .
Первый способ
►Найдём
2
cos
5π .
Заметим ,что
233
sin sin sin
555πππ
π ⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠ ⇔

42
22
2 2 sin cos sin 3 4 sin 2 cos 3 4 1 cos
55 5 5 5 5
15
4cos 2cos 1 0 cos
55 54 ππ π π π π
ππ π ⎛⎞ ⎛⎞
⇔=−⇔=−−⇔
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
+
⇔−−=⇔=⇒
251 2 332 3
cos cos cos arccos arccos
54 5 10105 10ππ π −
⇒=⇒>≡⇒< .
Ответ.
32
arccos
10 5 π >. ◄
Второй способ
►Заметим
,что 13
arccos arccos
23 102 ππ=< <⇒
535
5 arccos
3102ππ ⇒<<⇔ 3
2 5 arccos 2
3102 ππ
ππ−< < +.
Угол 3
5arccos
10 расположен в четвёртой или в первой четверти .
Найдем синус этого угла−тогда будет ясно ,в какой именно четверти
находится угол
3
5 arccos .
10
Обозначим 3
arccos
10 =x ивычислим x 5 sin.
() 22
sin 5 sin 4 cos sin cos 4
2 cos 2 2 sin cos sin 2 cos 2 1xxxxx
xxxx x =+=
=⋅ + −=
() () ()
2
22 91 9 91
42cos 1 22cos 1 1
10 100 10 xx =−⋅⋅+⋅ −−=
2
2 91 82 9 82
421
10 100 10 100⎛⎞
⎛⎞
=⋅− + −=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ 91 41 9 41 41
1
10 50 25 50 25⎛⎞
⎛⎞
−⋅ + −=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
() 91 41 16 25 25
10 25 25⋅− ⋅
==
⋅⋅ 91 31
0.
10 25 25⋅
>
⋅⋅

43
Так как sin 5 0,x> ,то 3
5arccos
10 находится в первой четверти ,
т.е. 3
5arccos 2 .
10 π >
Отсюда следует ,что 23
2 5 5 arccos
510π
π =⋅ < ⇔ 23
arccos .
510π <
Ответ. 32
arccos .
10 5 π > ◄
14.Сравнить числа
3
10π и 4
arcsin .
5
6.Решение уравнений,содержащих обратные
тригонометрические функции
Решите уравнения 1 – 20
1.
7
2 arccos arccos
3 x x =.
Поучительный пример для тех ,кто не обращает внимания на то ,
что даже единственное решение уравнения -следствия может оказать -
ся не решением .Кроме того ,пример показывает ,что при решении
такого типа уравнений важно обращать внимание на множество зна
-
чений входящих в уравнение функций .
Первый способ

Многие решают задачу так
:
()
()2
22
77
2 arccos arccos cos 2 arccos cos arccos
33
7
2 cos arccos 1
3
3
,
77111
2
21 6 730 .
1
3123
3 xx x x
xx
x
xxxx x x
x =⇒=⇔
⇔−=⇔

=

±
⇔−=⇔−−=⇔= ⇔⇒=−


=−



44
Неверно!Почему?
Во-первых,потому,что решалось не равносильное уравнение,а
лишь следствие из заданного – поэтому полученное значение надо
подставить в уравнение.Подставляем.Но уже
1
2arccos ,
3 π ⎛⎞
−>
⎜⎟
⎝⎠ вто
время как
7
0 arccos
3x π ≤≤ – равенства нет !Нет и решений .
Во -вторых , « арки »различных функций изменяются в разных пре -
делах ,и их множество значений необходимо учитывать .◄
Второй способ
► Заметим
,что
[] 7
arccos 0;
3x π ∈⇒ [] 2 arccos 0;x π ∈⇔ [] arccos 0; 0;1
2 xx π ⎡⎤∈ ⇒ ∈ ⎢⎥
⎣⎦ ,
7
2 arccos arccos
3 x x = ⇒
() 2 77
cos 2 arccos cos arccos 2 1
33 x xx x ⇒ =⇔−=⇔
2
3
,
711
2
6730
1
12
.
3 x
xx x
x⎡
=

±
⇔−−=⇔= ⇔


=−


Решений нет ,т.к. 3
arccos
2 не существует ,а [] 1
0;1
3 −∉, да и
1
arccos 0; .
32 π ⎛⎞⎡ ⎤−∉⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎣ ⎦
Ответ.Решений нет .◄
2.
arctg3 arccos 8 x x =.
Многиесовершенно не представляют ,как подойти к этой задаче .
В первом способе мы воспользуемся опытом предыдущей задачи ,
а второй способ откроет совершенно другой подход к решению задач
такого типа
.

45
Первый способ

Мы знаем,что множеством значений arctg3 x является
промежуток
;
22ππ ⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠, а множеством значений arccos 8 x – отрезок
[]0; .π
Следовательно ,общим множеством значений является промежу -
ток 0; .
2π ⎡⎞


⎣⎠ Поэтому решением могут быть только те ,x для которых
значения
arctg3 и arccos 8 x x принадлежат 0;
2π ⎡⎞


⎣⎠ ,а там значения
аргументов неотрицательные
.
Тогда
arctg3 arccos 8 x x =⇒
2 164
tgarctg3 arccos 8 3
8x
xtg x x
x

=⇔=⇔
22 1
164 24
72 xxx −=⇔=±⇒ 12
12
62 x== .
Ответ. 2
12.◄
Второй способ
►Можно решать такие уравнения совсемпо
-другому . Пусть
arctg3 arccos 8 , 0; .
2 xx π
ϕϕ ⎡⎞
==∈


⎣⎠ Тогда уравнение примет вид
системы
:
2 3cos 8tg , 3cos 8sin ,
3tg,
cos cos
8cos, , ,
88
0;
0; 0;
2
22 x
xx x ϕϕ ϕ ϕ ϕ
ϕϕ
ϕ
π
ππ
ϕ
ϕϕ
⎧⎧

⎪⎪
==

=
⎪⎪

⎪⎪ ⎪
=⇔= ⇔=
⎨⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪
⎡⎞
⎪⎪ ⎪

⎡⎞ ⎡⎞


∈∈
⎪⎪⎟⎪⎟
⎣⎠
⎢⎢

⎣⎠ ⎣⎠
⎩⎩

46
2 3sin 8 sin 3 0,
1
sin ,
cos
3
,
8
2
12
0;
2 x
x ϕϕ
ϕ
ϕ
π
ϕ


+−=


=

⎪⎪
⇔= ⇔
⎨⎨
⎪⎪
=
⎪⎪
⎡⎞


⎪⎟

⎣⎠

Ответ. 2
12.
Только сразу не ясно,что лучше.Нужна практика.Ещё Цицерон
говорил: «Практика – лучший учитель».
Только тогда поймёшь,что тебе больше подходит.◄
3.
() 67
arcsin 2 .
21x x x π −
=−

►НайдёмОДЗ :
67
1,
21
2
2 x
x
x
π
π








−≤

⎩ 13
;,
22
3
2
35
;;
22 x
x
x ⎧
⎛⎤




⎪⎝ ⎦
⇔⇔=

⎡⎤


⎢⎥

⎣⎦
⎩.
Оказывается ,что уравнение существует в единственной точке .
Проверим ,является ли оно в этой точке тождеством ,т.е.является ли
3
2 x= его решением .Подставляем 3
2 x= в уравнение :
3
67
3
2
arcsin 2
3
222
21
2
ππ
π ⋅−
⎛⎞
=−⇔≡
⎜⎟
⎝⎠
⋅−.
Ответ. 3
2. ◄
4.
2 arcsin 2 arccos 7 . x x =
► [] arccos 7 0; x π ∈ ⇒ [] 2arcsin 2 0; x π ∈⇔
[] 1
arcsin 2 0; 2 0;1 0 7 1 0;
27 xx xx π ⎡⎤ ⎡⎤
⇔∈⇒∈⇒≤≤⇒∈
⎢⎥ ⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦.

47
2 arcsin 2 arccos 7 x x = () cos 2 arcsin 2 cos arccos 7 x x ⇒=⇔
()2 12sin arcsin2 7 x x ⇔− = ⇔ 2 79
8710
16 xx x−±
+−=⇔=⇒ 1
8 x= .
Ответ.
1
.
8◄
5.
21
arctg arcsin
2 x
x
x
π −
+= .
6. arcsin 5 arcctg6 .
x x =
7. 1
arcctg arccos 2 .
22 x
x
x
π −
+=
8. 1
arctg arcsin 3 .
32 x
x
x
π −
+=
9. 31
arcctg arccos .
2x
x
x
π −
+=
10. 37
arcsin 2 .
12x x
x
π
π +
=+
+
11. () ( ) 2
2 arcsin 3 8 3 arccos 11 120 xx
x
π −− − = .
12.
() sin 5arcctg 1. x=
13. () arcsin 2 arcsin 2xx=.
14. arc sin arcctg 0xx−=.
15. () () arctg 1 arctg arctg 1 arctg3 x xx x −+ + + =.
16. () 6 arctg tg6 cos 7x xx =+ .
17.
() 5arcctgctg5cos8.x xx =+
18.Найдите x,если известно ,что числа () 1, 2 , s i n a r c s i n x x −+,
взятые в указанном порядке ,образуют геометрическую прогрессию .
19.Найти все значения параметра a,при каждом из которых
сумма арктангенсов корней уравнения


() 2 12 4 0 xaxa+− +−=
больше ,чем 4
π .

48
►Дискриминант уравнения
() ( ) 2
2 12 4 164 8 170, ; . Daa aa a=− − += −+> ∈−∞+∞
Поэтому уравнение имеет два разных корня .
По теореме Виета 12 12 21, 4. xx a xx a+= − =−
Для любых 12,x x имеем 12 arctg , arctg .
222 2xx πππ π−< < −< <
По условию 12 arctg arctg
4 xx π +>, отсюда следует , что
12 arctg arctg
4xx π
π <+ < и существует котангенс суммы
() 12 arctg arctg x x +. Кроме того , на этом промежутке
12 1 212 arctg arctg tgarct tgarctg 2 1 0.xx gx xxxa>−⇒>−⇒+= −> Тогда :
()()( )
()( )
()
12
12
12
12
12 1 tg arctg tg arctg
ctg arctg arctg
tg arctg tg arctg
14
1
21xx
xx
xx
a
xx
xx a−
+= =
+
−−

== =
+−
536
102
21 21aa
a
aa−−
=<⇔ >⇔>
−−, т.к.210a−> .
Ответ. ()2;+∞ ◄
20.
Найти все значения параметра
, a при каждом из которых
сумма арктангенсов корней уравнения


() 2 21 60 xaxa+−−−=
больше ,чем 4
π .

49
§ 3. Тригонометрические системы
Чем отличаются способы решения систем от решения отдельных
уравнений?По существу,ничем.Не умея решать уравнения,нельзя
решить и систему.Просто здесь возникает естественная связь между
решениями отдельных уравнений и поэтому при приписывании пери-
одов необходимо использовать разные буквы.
Решите системы уравнений 1 – 19
1.
()
() sin 0,
sin 0.xy
xy ⎧
+=


−=


► ()
() ()
()
,
sin 0,
,,
2
,
sin 0
,,
2 xkn
xy
xy kk
xy nn
xy
yknkn π
π
ππ ⎧
=+

⎧+=
+= ∈

⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨
−= ∈
−=




=− ∈

⎩ Z
Z
Z
Ответ. () () ,,,
22nk nk nk ππ⎧⎫
+− ∈
⎨⎬
⎩⎭Z. ◄
2.
()
() 2
2 sin cos ,
cos sin . x yx
x yx ⎧
+=


+=


► ()
()()
() () 2
2
2 sin cos ,
sin cos ,
cos 1 sin
cos sinxy x
xy x
xy xy
xy x⎧
⎧ +=
+= ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ +=− +
+= ⎪



() 2 sin cos ,
1
cos
4
2 xy x
xy
π

+=

⇔⇔

⎛⎞
−− =

⎜⎟
⎝⎠

() 2 sin cos ,
2
44
2, ;
2,
2 xy x
xy n
xy nn
xy nn
ππ
π
π
π
π

+=


−− =± +


+= ∈






+= + ∈


⎩Z
Z


50
()
()
2
2
2, ,
,
2
cos 0 , ;
2, ;
2
2
2, ,
,,
2
2, ,
cos 1 ,
2 xy n
xkk
xx kk
ynkn
xy n
xkk
ynkn
xxkk π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π ⎡

⎡+= ∈

=+ ∈









=⇔= + ∈



=− + − ∈




⇔⇔





+= + ∈
=∈











=+ − ∈
=⇔ = ∈




⎣ Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Ответ. () () ,2,,2,,
22 2knkknkkn ππ π
ππ ππ ⎧⎫⎛⎞⎛⎞
+−+− +− ∈
⎨⎬
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎩⎭Z .
Примечание.При решении совокупности уравнений использова-
ние одинаковых букв допустимо.◄
3.
22 32 cos cos 8,
8cos sin 3.xy
xy ⎧
−=

+=
⎩ 4.
3
sin cos ,
4
1
cos sin .
4 xy
xy ⎧ =




=−


5.
() 1
sin sin cos ,
2
1
sin sin .
4 x xy x
xy ⎧
+=




=


6. 2
sin sin 2 ,
cos 2 sin . x y
x y =


=

7.
22 12 sin sin 3,
6sin cos 2.xy
xy ⎧
−=

+=−
⎩ 8.
cos cos 1,
.
3 xy
xy
π
−=



−=



9.
1
,
3
.
3 tgxtgy
xy
π
⎧ = ⎪



+= ⎪

10. sin cos 1,
cos 2 cos 2 1.xy
xy +=


−=

11. sin cos 2 sin cos ,
2sin 2 sin 2 1. x xyy
xy +=++


+=
⎩ 12. sin sin 1,
cos cos 1.xy
xy−=


−=

13. ()
() sin sin cos ,
sin cos sin . y xxy
y xy x ⎧
=−


+=

⎩ 14. ()( )
() 88 2
2cos2 1 1 sin sin 2 ,
8 cos 2 cos sin 1 25 cos . x tgx y x
x xx y ⎧=− + +


−+=



51
15. () ()
() ()
3 cos 4 2 2 cos 2 2 ,
2sin 3sin . x yxy
xy yx ⎧
−= −


+= −

⎩ 16. ()
() sin sin cos ,
sin cos sin . y xxy
y xy x ⎧
=+


+=


17.
2 4sin 6 2 cos 5 4cos ,
cos 2 0. y xy
x ⎧
−=+


=

⎩ 18.
1
sin cos ,
4
1
cos sin ,
4
,
22
.
22xy
xy
x
y
ππ
ππ

=



=−



−≤≤



−≤≤


19.
sin 255 1,
sin 257 1,
sin 3765 1,
sin 3767 1.x
x
x
x=−


=


=


=−


52
§ 4. Тригонометрические неравенства
Эта тема труднее предыдущих,потому что недостаточно просто
знать формулы решений элементарных уравнений – надо знать всё
поведение тригонометрических функций.
Решите неравенств 1 – 22
1. («Покори Воробьёвы горы», 2011)
sin sin 1755 sin 2011 1.xx x≥
►Нередко,всилутого,что sin α и cos α ограничены числом 1,
неравенства на самом деле оказываются равносильны уравнениям.
В нашем случае,так как
sin 1 α ≤ при любом ,α
sin sin1755 sin 2011 1 sin sin1755 sin 2011 1≥⇔ =⇔ xx x xx x
sin 1 2 ,
2
sin1755 2 sin 877 1,
22
sin 2011 2 sin 1005 1;
22
sin 1 2 ,
2
sin1755 2 sin 877 sin 1,
222
sin 2011 2
2 xx n
n
n
xx n
n
n π
π
ππ
ππ
ππ
ππ
π
π
πππ
πππ
π
π ⎧
=⇔ = +



⎛⎞⎛ ⎞
+= +=−

⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠


⎛⎞⎛ ⎞
+= +=−

⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

=− ⇔ =− +
⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
−+ = − − =− + =
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
2, .
2
sin 1005 1
2xnn π
π
π
π









⇔= + ∈














⎛⎞

=− −=⇒∅

⎜⎟

⎝⎠

⎣
Ответ. 2, .
2nn π
π +∈ ◄
2.
cos 2 3 cos 2.xx<+
►При решении тригонометрических неравенств удобно ис -
пользовать тригонометрический круг .

53
()
2 cos 2 3 cos 2 2 cos 3 cos 3 0
3
cos 3 cos 0
2
355
cos 2 ; 2 , .
266 xx xx
xx
xx nnn
ππ
ππ
<+⇔−−<⇔
⎛⎞
⇔− +<⇔
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⇔>−⇔∈−+ + ∈
⎜⎟
⎝⎠Z
Рис. 21
Ответ.
55
2; 2 ,
66nnnππ
ππ ⎛⎞
−+ + ∈
⎜⎟
⎝⎠Z. ◄
3.
5 sin 12 cos 13.xx+≥
4. () () 22
33 927 927
3 log 27 2 8 cos 8 cos 7 log .
91 91xx x x ππ ⎛−−⎞
+≤ + −
⎜⎟
⎝⎠
5. 2
25 7
cos cos
44
0
35 xx
xx−−


+− −.
► Не вспоминается ,чтобы раньше встречалось такого типа нера -
венство .Судя по всему ,оно появилось потому ,что теперьвсятриго -
нометрия входит в программу выпускных экзаменов .
Первый способ ,более привычный :давайте сначала найдём ОДЗ *.
2 50 5 5 3 30. xxxx−≥⇔− ≤≤ ⇒ >− ⇔ + >
Теперь ,по крайней мере ,ясно ,что ,во -первых ,в решении не бу -
дет участвовать период косинусов ,а,во -вторых ,уйдёт корень из зна -
менателя ,если мы его умножим на положительное сопряжённое вы -
ражение .Перепишем неравенство :

54
() ()( ) 2
2
2
312 2 312 2
25 7
2 sin sin 2 sin sin
cos cos
88 88
44
00.
12
35
35x xxx x x
xx
xx
xx−+ −+
−−


⇔≤⇔≥
++
+−+
+− −
Так как 55x −≤≤, то 35 12 3 12 35 12
888x −− − −
≤≤ инаэтом
промежутке
312
sin 0.
8 x−
< Поэтому на этом промежутке
()( ) ()( )
312 2 2
2sin sin sin
88 8
00.
12 12 xx x
xx xx−+ +
≥⇔ ≤
++ ++
Атаккак 52 2 52
888x −+ + +
≤≤, то 2
sin
8 x+ меняет знак при
переходе аргумента через
0. Поэтому рассмотрим два случая отдельно .
Если 52 2
0
88x −+ +
≤≤, то 2
sin 0
8 x+
≤ и неравенство сведется к
виду
() ) 10 ;1 5;2 xx x⎡
+< ⇔ ∈−∞−⇒∈− −
⎣.
Если же
252 2
0sin0
88 8 xx++ +
≤≤ ⇒ ≥,
то () 10 2;1 xx+< ⇒ ∈− −.
Получили
Ответ.
) () 5; 2 2; 1 ⎡
−−∪−−
⎣. ◄
Второй способ (для школьников нестандартный).
Так
как
[] 55 2 5 55 55 55
;;0,
444 44 π ⎡⎤
−− − − −− −
≤≤⇒⊂−
⎢⎥
⎣⎦ x
[] 25 7 7 25 7 25 725 7
;;0
444 4 4 π ⎡⎤
−− − − −− −
≤≤⇒⊂−
⎢⎥
⎣⎦ x
,
то косинус на этом промежутке монотонно возрастает ,а потому знак
разности
cos cosu−v совпадает со знаком разности ()u−v .Значит ,

55
()() ()()
()()
2
25 7 25 7
cos cos
2
44 44
000
21 21
35
;2 2;1 xx xx
x
xx xx
xx
x −− −−
−−
+
≤⇔ ≤⇔ ≤⇔
++ ++
+− −
⇔∈−∞− ∪−−
.
Учтём ОДЗ и получим
Ответ.
) () 5; 2 2; 1 ⎡
−−∪−−
⎣. ◄
6.
2
sinx x π ≥.
7. () () 22
22 47 8 47 8
9 log 36 4 8 cos 8 cos 7 log .
45 45xx x x ππ ⎛−−⎞
+≤ + +
⎜⎟
⎝⎠
8. () () 22
22 813 813
9 log 9 2 8 cos 8 cos 7 log .
18 18xx x x ππ ⎛−−⎞
+≤ + +
⎜⎟
⎝⎠
9. () () 22
55 25 131 25 131
9 log 36 4 8 cos 8 cos 7 log .
72 72xx x x ππ ⎛++⎞
+≤ + −
⎜⎟
⎝⎠
10. 22 10
tg ctg .
3 xx+<
11.
2 35
0.
27 5
cos cos
44xx
xx −− −

−−

12.
2 410
0.
225
sin sin
88xx
xx−− −

−−

13. 2
225
sin sin
88
0.
410 xx
xx++


+− −
14. 47cos4
2cos .
2x x −
>−
15. 2 2sin 1 6sin 6sin 12xxx−≤ − −.

56
16. 222
cos 1
cos
2 51
log cos log cos cos 14
4 x
x xxxxx −
⎛⎞
≥−−−−
⎜⎟
⎝⎠.
17. () cos
2 12 3sin
23log
81 2cos
1cos . x x
x
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
−⋅
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠

18.
() 2
sin
2 3cos
12 log
8cos 2
1sin . x tgx x
x
x
x
⎛⎞+⎜⎟ −⋅ ⎜⎟ − ⎝⎠ ≤
19. 1
sin sin
2 xx⋅≥−.
20.При неких значенияхxпараметраанеравенство
22 5sin 2 sin cos cos 1 6 xa x xa+⋅+ ++≤
выполнено для всехх ?
21. 2sin 1.x<
22.При неких значениях xпараметраанеравенство
22 3sin 2 sin cos cos 3.xa x xa+⋅+ +≤
выполнено для всехх ?
23.Найдите все решения неравенства 93cos2
tg ,
3sin 2 2 x x x

>

удовлетворяющие условию .
82x ππ ≤<
24.Найдите все решения неравенства 5cos2 7
ctg ,
5sin 2 4x
x
x
+
>

удовлетворяющие условию .
12 2x ππ ≤<
25.Найдите все решения неравенства 4cos2 2
ctg ,
4sin 2 3x
x
x
+
<
+
удовлетворяющие условию .
28x ππ−<≤−
26.Найдите все решения неравенства 2cos2
tg ,
2sin 2 1 x x x

<
+
удовлетворяющие условию 5
0.
12xπ ≤<
27.Найдите все решения неравенства sin 2 cos sin , x xx <−
удовлетворяющие условию . xπ<

57
Часть II. Ответы и решения
§ 1. Отбор корней в тригонометрических
уравнениях
1.Как записывать ответ – с одинаковыми или разными
буквами?Система уравнений с одним неизвестным.
1. ,,.
33417тm
m πππ +∈Z 2. () 1,.
4n nn π
π −+ ∈Z
2.Отбор корней при решении уравнений,
содержащих дроби
1. ,.
3n
n π ∈Z 2. ()61, .nn π ±∈Z 3. 2, .
6kk π
π +∈Z
4. ,,
10n
n π ∈Z 10 5. nm≠+
►Решаем :
()
sin10
tg tg11 0
cos11 cos
sin 10
0
cos cos10 cos sin 10 sin
,,
sin10 0 cos10 1,
10
cos 0
cos 0 2 1, .
10 5 x xx
xx
x
xxx xx
n
xn
xx
xnn
mm
π
π
=⇔ =⇔
=⇔


=∈

=⇒=±



⎨⎨



≠⇔ ≠ + ∈

⎩Z
Z
5. ,.nnπ ∈Z ◄
►Этотпример сложнее
,потому что ,думаю ,многие не помнят
формулу 3 cos 3 4 cos 3 cos . x xx =− Но всё -таки надо помнить ,что в ней
в обоих слагаемых есть
cos . x Поэтому сразу становится ясно ,что
есть общие множители у числителя и знаменателя
– значит ,формула
нужна
!Подставим её в знаменатель :
sin 2 2 sin cos
00sin0,.
cos 3 cos (4 cos 2 3)xxx
xxnn
xxx π ⋅
=⇔ =⇔ =⇔ = ∈
−Z

58
Некоторым может показаться,что в решении не хватает неравен-
ства
cos 0x≠ . «Продвинутые»школьники понимают,что это усло-
вие выполнено автоматически – очевидно,что
cos 0x≠ ,когда
sin 0.x=
►Если кому-то кажется,что условия не хватает,могут оформить
решение по-другому:
() 2
cos 0,
sin 2 2 sin cos
00
sin 0
cos 3
cos 4 cos 3x
xxx
x
x
xx≠

=⇔ =⇔ ⇔

=


,,
,
cos 0,xnn
xnn
n π
π
π=∈

⇔⇔=∈


⎩Z
Z. ◄
6.
2, .
6kk π
π−+ ∈Z
► 11sin 3 cos 2 7 0,
11sin 3 cos 2 7
0
cos 2 3 3 cos 5
cos 2 3 3 cos 5 0xx
xx
xx
xx−+=⎧ −+ ⎪ =⇔ ⇔ ⎨ −−
−−≠ ⎪

()
() 2
2 11sin 3 1 2 sin 7 0,
12sin 33cos 5 0 ⎧
−− +=

⇔⇔

−− −≠

⎩xx
xx
2 1
6 sin 11sin 4 0 sin ,
2
2,
6
13
133cos50 cos
22xx x
xkk
xx
π
π

++=⇔=−


⇔⇔=−+∈


−− −≠⇔− ≠

⎩Z

7.
7
2,
6kkπ
π +∈ Z. 8. 5
2,
6kkπ
π +∈ Z.
3.Задачи с отбором корней в уравнении,
содержащем модуль
1. 13
arccos 2 , .
2nn π −
±+∈ 2. 2; , .
2kkπ
π +∈ Z
3. () 3
21, 2, .
4 nnnπ
ππ ++ ∈ Z
4. () 1 1
1arcsin , .
5 n nnπ + −+∈Z 5. πn, n .∈

59
6. 4
,, .
3kk π ∈Z 7. 2; ,
2kkπ
π −+ ∈Z.
8. 8; , .kk π −∈Z. 9. 7
2, 2, .
24nnn ππ
ππ−+ + ∈ Z
10. () 3
12 , 2 , .
4 nnnπ
ππ +−+ ∈Z 11. 5
2, 2, .
24nnn ππ
ππ−+ + ∈ Z
4.Задачи с отбором корней в
иррациональном уравнении
1. () 12, .
3n nn π
π −+ ∈ Z . 2. 5
12 , .
4mmπ
π −+ ∈ Z
3. () () 51
, 1 , 1 arcsin , .
64 nn nn nn π
ππ π −
−+ − + ∈Z
► 2
cos 2 0,
2 cos 2 sin 2 cos 2 0
2cos2 sin 2cos 2 .x
xx x
x xx ≥
⎧ −− =⇔ ⎨ −= ⎩
Решим получившееся уравнение отдельно : 22 2 cos 2 sin 2 cos 2 4 cos 2 sin sin 0xx x xxx−= ⇔ −=⇔
() ()() 3
2
sin 0,
sin 0,
41 2sin sin 1 0
2sin 2 2sin 1 0 x
x
xx
xx =
=⎡
⎡ ⇔⇔ ⇔ ⎢
⎢ −−=
−+= ⎢⎢


( )()() () 2
sin 0,
sin 0;
1
sin ,
2 sin 1 2 sin 2 sin 1 0
2
15
sin .
4 x
x
x
xxx
x


= ⎢ = ⎡


⇔⇔= ⎢ −+−= ⎢


−± ⎢ = ⎢

Не будем спешить с нахождением .x Все преобразования равно -
сильны .Осталось выбрать среди них те ,для которых выполнено
условие
cos 2 0.x≥ Так как в решении мы получили пока значения
синусов
,а не углов ,то выразим косинус двойного угла через синусы : 2 cos 2 1 2 sin . x x =−
Теперь выберем решения :если sin 0,x= то cos 2 0;x≥
если 1
sin
2 x=, то cos 2 0x≥ ;если 15
sin
4 x−+
=,

60
то ()
2 15
cos 2 1 2 0;
16 x−+
=− ⋅ >
если же 15
sin ,
4 x−−
= то ()
2 15
cos 2 1 2 0.
16 x−−
=− ⋅ <
Следовательно ,
()
()
,;
2cos2 sin 2 cos2 0 1 , ;
6
51
1arcsin , .
4
n
n
xnn
xx x x nn
xnn π
π
π
π


=∈


−− =⇔=− + ∈




=− + ∈

⎣Z
Z
Z

4.
11
2, 2,, .
12 12nknk ππ
ππ−+ − + ∈
►Уравнение стандартное ,иррациональное :
()
2
22
1
2 sin 0,
2cos 3 2 sin 0
2cos 3 2sin
sin 0,
23
1arcsin , .
23
4
sin
4
n
x
xx
xx
x
xnn
x
π +
≤ ⎧
⎪ −+ =⇔ ⇔ ⎨ −= ⎪

≤ ⎧ − ⎪ ⇔⇔=− +∈ ⎨ −
= ⎪
⎩Z
Ответ. () 1 23
1arcsin , .
4 n nnπ + −
−+∈Z ◄
Второй способ
►Поступим немного по
-другому – перейдём к двойному углу :
2
22 sin 0,
2cos 3 2 sin 0
2cos 3 2sin
sin 0,
sin 0,
3
cos 2
12
2 x
xx
x x
x
x
xn
x
π
π
≤ ⎧
⎪ −+ =⇔ ⇔ ⎨ −= ⎪

≤ ⎧ ≤ ⎧
⎪⎪
⇔⇔ ⇔ ⎨⎨ =± +
= ⎪⎪



61
()
() 1
,
12
sin 1 sin 0 2 1;
12 12
,
12
sin 1 sin 0 2
12 12
n
n
xn
nnm
xn
nnm π
π
ππ
π
π
π
ππ
π
+


=+





⎛⎞


+=− ≤⇒=−
⎜⎟


⎝⎠


⇔⇔


=− +






⎛⎞

−+ =− ≤⇒=
⎜⎟


⎝⎠


()21, ,
12
2, .
12 xmm
xmm π
π
π
π ⎡
=+ − ∈




=− + ∈

⎣Z
Z
Ответ. 11
2, 2,, .
12 12nknk ππ
ππ−+ − + ∈
Странно ?Ответы не совпадают .Ничего странного .Если подумать ,то
2
3
1cos
1
23
6
2
arcsin arcsin arcsin arcsin sin
42 2 1212 π
ππ −


== ==.
Многим первый способ кажется удобней – проще и короче ,и
никаких двойных углов
.
Тем более ,что нам ничего не надо делать с получившимися угла -
ми .Вот ,если бы с этими углами надо было бы что -то ещё делать ,то
удобнее было бы решать вторым способом
.◄
5.
7
2, 2,, .
88nknk ππ
ππ−+ − + ∈ 6. 11
2, 2,, .
12 12nknk ππ
ππ ++ ∈
7. 11
arccos 2 , arccos , .
55kkk ππ +− + ∈Z 8. ,.
3kk π
π−+ ∈ Z
9. 11
arccos , arccos 2 , .
33kkk ππ π+− + ∈Z
10. 2 , arctg5 2 , .
4nnn π
ππ π +−+∈ Z

62
11. 3
2 , arctg3 2 , .
4nnnπ
ππ π +−+∈Z 12. arctg 2 , .nn π −+∈Z
13. 5
2, .
6nnπ
π +∈Z 14. 2, 2, .
2 kkk π
ππ +∈Ζ
► () ()
cos sin 1,
sin 2 3 cos sin 3
sin 2 3 cos sin 3.xx
xxx
xxx+≥


=+−⇔

=+−


Решим уравнение :
sin 2 3(cos sin ) 3xxx==−⇔
()()
() 2 cossin 13cossin 30
31
cos sin
2 xx xx
xx ⇔+ −− ++=⇔
±
⇔+=⇒
cos sin 2 ,
1
cos
cos sin 1
4
2
22 xx
x
xx π +=⇔∅

⎛⎞

⇒⇔−=⇔
+
⎜⎟

=
⎝⎠


2,
2,
44
2,
2k
xkkx
kkπ
ππ
π
π
π⎡

⇔− =± + ∈ ⇔=

+∈
⎣ Z
Z

15.
24
,2,2,,0.
33 nnnnnππ
πππ ++∈≥ Z
► sin 0,
sin sin 2
sin sin 2 xx
xxx x
x xx x +≥

+=− ⇔

+=−

,, sin 0,
sin 2 sin cos 0
2
1
2,
cos
3
2xnn x
xxx
xnn
x π
π
π=∈ = ⎡



+=⇔ ⇔ ⎢
⎢ =± + ∈
=− ⎢

⎣Z
Z
sin 0 1 sin x xxx +≥⇔≥≥−⇒
а) 2 1210
3 xnn π
π ≥⇒+≥⇒≥
б) 2
21 1

π −+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ nn
() 244
222 2 1 2,0
333nnkkπππ
πππ π π ⇒ −+ +−= + −⇔ + ≥ ◄

63
16. 1
arctg , .
5nn π −+∈Z
►Решаем :
() 22
2
42
22 13 13 cos
cos 2 ctg 0 cos sin
83sin
ctg 0,
ctg 0,
13 1 tg 1
10tg 13tg 3 0
31tg tgx
xx x x
x
x
x
x
xx
xx ++=⇔+ − =−⇔





⇔⇔ ⇔

⎨⎨
+=
+−=


+

2
ctg 0,
11
tg arctg , .
1
tg
55
5 x
xx nn
x
π



⇔⇔=−⇔=−+∈

=

⎩Z
Возникает два вопроса .Во -первых ,как это так быстро перешли к
тангенсам
?Да ,мы воспользовались довольно « опасной » формулой 2
2 1tg
cos 2
1tg x x x

=
+. Но « про себя »просчитали ,что если cos 0x= ,то это
не даёт решения
.◄
17.
5
2, 2,
26nnn ππ
ππ−+ + ∈Z.

() 2
cos 0,
2cos 1 sin 0 1 sin 2cos
1sin 21sin≤


++ =⇔+ =− ⇔ ⇔

+=−

⎩x
xx x x
xx
cos 0,
2, ,
sin 1,
2
5
1
2, .
sin
6
2 x
xnn
x
xnn
x π
π
π
π ≤


=− + ∈



=−

⇔⇔





=+ ∈

=




⎩Z
Z

18.
3
2 , arccos 2 , .
4 nnn ππ ⎛⎞−+ ∈⎜⎟
⎝⎠
19. 1
, arccos 2 , .
3 nnn ππ ⎛⎞ −−+∈ ⎜⎟
⎝⎠
► 2
1cos2 2sin cos
3 xxx ⎛⎞ −= ⋅−⇔ ⎜⎟
⎝⎠

64
2
2sin cos 2sin
3 x xx ⎛⎞
⇔=− ⇔
⎜⎟
⎝⎠
sin 0,
sin 0;
sin 0,
1
cos
3 x
x
x
x ⎡




=



⇔⇔
<





=−




,;
1
arccos 2 , .
3 xnn
xnn π
π=∈Ζ


⎛⎞

=− − + ∈Ζ
⎜⎟

⎝⎠


20.
() 22 1,kkπ +∈ Z.
► sin cos 0,
sin cos sin cos
22
22
cos 1 ⎧
−≥

−+ = − ⇔ ⇔


=
⎩xx
xx
xx
x
()() 1
2, ,
22 1,
sin cos 1 0 2 1
n
xnn
xkk
nn nk π
π
ππ
+
=∈


⇔⇔=+∈

−=−≥⇒=+

⎩Z
Z

21.
() 1,.
8n nn π
π −+ ∈
22. 1
arccos 2 , , .
3nnn ππ −+ ∈
► 6sin cos2 7sin 2xx x=− ⇔ () 2
sin 2 0,
sin 6 cos 7 cos 3 0x
xxx≤⎧
⎪ ⇔ ⎨ +−= ⎪

sin 0;
sin 2 0,
1
cos sin 0
3 x
x
xx=⎡

≤ ⎧
⎢ ⇔⇔ ⎪


= ⇒ ≤ ⎢



,
1
arccos 2 , .
3 xn
xnn π
π= ⎡


=− + ∈ ⎣

23.
2, .
6nn π
π±+ ∈ Z
► 2
cos tg 0,
13
8sin 2cos 2tg
3
3
cos ,
46 xx
xxx
xx nn
π
π
+≥


+= + ⇔ ⇔

=⇔=±+ ∈

⎩Z

65
()
,,
6
33
cos tg 1 0 2 , .
66 23
n
xnn
nn nkk π
π
ππ
ππ ⎧ = + ⎪




⎛⎞⎛⎞

±+ + ±+ ≡− ± ≥⇒=∈
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠
⎩Z
Z

24.
() () 1 15
, 1 , 1 arcsin , .
64 nn nn nn π
ππ π+ −
−+− +∈Z
25. 215
, 2 , arccos 2 , .
23 4nn nn ππ
ππ π −
+±+ ± + ∈Z
26. 51
, 2 , arccos 2 , .
23 4nn nn ππ
ππ π −
+±+ ± + ∈Z
Отбор корней,принадлежащих
заданному промежутку
1. 4. 2. 1. 3. 360 . 4. 3. 5. 16. 6. 2.
► 2 cos 2 2 sin 1 1 2 sin 2 sin 1 0+=⇔−+−=⇔ xx xx
()
sin 0,
,,
1
sin
1,.
2
4
n
x
xnn
x
xnn π
π
π =
=∈ ⎡



⇔⇔


=
=− + ∈


⎣Z
Z
() 32
32 0 0
322 0
44
3
322.
4nnnx
nn x
n π
ππ
ππ
π
π
π ⎡
−≤ ≤ ⇔− ≤ ≤⇒=⇒=


⎛⎞

⇔−≤ + ≤⇒=⇒=
⎜⎟

⎝⎠


−≤ + ≤⇒∅



7.
3.
► cos cos cos cos 0
66 ππ ⎛⎞ ⎛⎞ −= ⇔ −− =⇔ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠xxxx
2sin sin 0
12 12
7
,
12 12 6x
xnn n ππ
πππ
πππ ⎛⎞⎛⎞
⇔− − − = ⇔
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⇔= + ∈⇒−≤ + ≤ ⇔ Z

66
13 13
1; 0 ; 1 .
12 12nn ⇔− ≤ ≤⇒=− ◄
8. 11.
► Решаем:
15
15
,,
tg 0,
4
4
15
1
cos tg 0
cos 0,
,
4
2
15
15
cos 0
cos 0.
4
24 xn
n
x
x
x
xnn
x
x
n π
π
π
π
π
π ⎡
=∈


=





⋅=⇔ ⇔
=
=+ ∈




⎪⎪

⎢ ⎨⎨



⎪⎪





+

⎣Z
Z
Какие -то странные корни .Как их отобрать ?Здесь промежуток до -
вольно «длинный ». В таком случае лучше воспользоваться «универ -
сальным »способом – найти все , nпри которых корни принадлежат
заданному промежутку
.Для этого надо решить двойные неравенства
для каждой серии корней
.
Если 15
4 x
n = ,то 115 15 15
8 2 15 32
24 32 2nnn
n ≤≤⇔≤≤ ⇔≤≤. Так
как
n −число целое ,то 17n ≤≤ и 15
, 1; 2; ..., 7
4 xn
n== – 7 корней .
Если 1
2 x n =+ ,то 11
8 0 7, 5 0;1;...; 7.
22nnn≤+≤⇔≤≤ ⇒ =
Теперь надо среди них выбрать те
,для которых 15
cos 0.
24n π ≠
+
Первый способ
(отбор корней ,для которых 15
cos 0
24
n
π ≠
+ ).
►Попробуем :
15 15 5
0 cos 0; 1 cos cos 0; 2
262 nn n πππ = ⇒ == ⇒ === ⇒

67
()
15 3 15 5
cos cos 0; 3 cos 0; 4 cos 0, 5
10 2 14 2 3
15 15 15
cos 0, 6 cos 0, 7 cos 0.
21 2 211 215nnn
nn
n ππ π π
πππ ⇒===⇒≠=⇒≠=⇒

⇒≠=⇒≠=⇒=
+⋅⋅
Поэтому подходят лишь 4 значения n: 1
,3;4;5;6.
2 xnn=+ =
Всего 11 корней .
Второй способ (отбор корней ,для которых 15
cos 0
24
n
π ≠
+).
Теперь отберём по -другому :
()
15 15
cos 0
24 24 2
15 1 15 1
24 2 212 2
15 1 2 7
.
24 12k
nn
kk
nn
nn
kk
nn πππ
π ≠⇔ ≠ + ⇔
++
⇔≠+⇔ −≠⇔
++
−− −
⇔≠⇔≠
++
Подставимнайденные 0;1;...; 7 n= в выражение 7
.
12n
n −
+
Получим :
77
0;1;2
12 12nn
nnn
nn −−
= ⇒ ∈= ⇒ ∈= ⇒ ++ ZZ
77 7
;7 ;3,4,5,6 .
12 12 12nn n
nn
nn n −− − ⇒ ∈= ⇒ ∈= ⇒ ∉
++ + ZZ Z ◄
Примечание
. Задача отбора подходящих значений n −это от -
дельная задача ,и решается она многими способами .Главное здесь –
практика .
9. 4.
►Решаем :
cos 3 sin 2 2
cos
22 32
2, ,
12
7
2, .
12 xx
x
xnn
xnn π
π
π
π
π − ⎛⎞ =⇔ +=⇔ ⎜⎟
⎝⎠

=− + ∈ ⎢ ⇔ ⎢

=− + ∈ ⎢
⎣Z
Z

68
Сразу со всеми корнями трудно разобраться – поэтому распишем
серии отдельно:
222010;1,
12nnn π
πππ −≤−+ ≤ ⇔≤≤⇒=
7
222010;1.
12nnnπ
πππ −≤−+ ≤⇔≤≤⇒=
Итого четыре корня .◄
10.
3.
► 3cos sin 2 2
cos
22 62xx
x π +
⎛⎞
=⇔ −=⇔
⎜⎟
⎝⎠
5
2, ,
12
2,
12 xnn
xnnπ
π
π
π ⎡
=+ ∈

⇔⇒


=− + ∈

⎣Z
Z 5
220;
412 4
220;1.
412 4nn
nn ππ π
ππ
ππ π
ππ−≤ + ≤ +⇒=
−≤− + ≤ +⇒=

11.
4.
► 1
sin cos cos sin
88 882 ππ ππ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−⋅ + + −⋅ + =⇔
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠xx xx
,,
1
12
sin 2
5
2
,.
12 xnn
x
xnn π
π
π
π ⎡ =+ ∈ ⎢ ⇔=⇔ ⎢

=+ ∈ ⎢
⎣Z
Z
31911
1; 0 ,
212 12 12nnnππ
ππ −≤+≤⇔−≤≤ ⇒ =−
35 23 7
1; 0 .
212 12 12nnnππ
ππ −≤ +≤⇔−≤≤ ⇒ =− ◄
12.
4
13. 8.
► ()() 2
42 4 sin 12 cos 7 1 cos 2 6 1 cos 2 7+=⇔−++=⇔ xx x x
cos 2 0 ,
42n
xx n ππ ⇔=⇔=+ ∈ ⇒ Z

69
51
3 5 2; 1 0;1;...; 5.
42 2 2n
nn ππ
ππ ⇒−≤ + ≤ ⇔− ≤+≤⇒=− − − ◄
14. 6.

()
sin 3 0,
ctg3 sin 6 cos 6 cos12 0
cos 3 cos 3 cos 9 0x
xx x x
xx x≠


−− =⇔ ⇔

−=


sin 3 0,
,
cos 3 0
63 x
n
xn
x ππ ≠

⇔⇔=+∈⇒

=
⎩Z
11
0 2 5 0,1,..., 5.
63 2 2n
nn ππ
π≤+ ≤ ⇔−≤≤ ⇒ = ◄
15.
2.
16. 3.
► () sin
cos 0,
log 3 cos 1 0 sin 1,
3cos sin
x
x
xx
x x ⎧
>

=⇔ < < ⇔


=

2.
3 x n π
π=+ ◄
17.
2.
18. 3.
► () () 12
2 log 2 sin log 3 cos 1xx+=−⇔
() () 22 log 2 sin log 3 cos 1xx ⇔− + =− ⇔

2
sin 0,
cos 0,
3cos
log 1
2sin x
x
x
x > ⎧

> ⎪

⎛⎞

=− ⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠


sin 0,
cos 0,
l
ctg
3 x
x
x > ⎧

> ⎪


= ⎪

2
3 x n π
π ⇔= + ⇒
151147
025 0;1;2
362663nn n π
ππ ⇒ ≤+ ≤ ⇔−≤≤−= = ⇒ =◄
19.
3.
► () () 31
3 log 3 sin log cos 1+=⇔ xx

3
sin 0,
cos 0,
3sin
log 1
cos x
x
x
x >


>


⎛⎞

=
⎜⎟

⎝⎠

sin 0,
cos 0, 2
4
tg 1.x
x n
x π
π > ⎧

⇔>⇔+⇔ ⎨

= ⎩

70
119
025 0;1;2
488nnn π
ππ ⇔≤ + ≤ ⇔−≤≤⇒= ◄
20.900.

() 2 sin cos 1 sin cos+=+ ⇔ x xxx
,;
sin 0,
sin cos 0
cos 0
,.
2 xnn
x
xx
x
xnn π
π
π=∈

=


=⇔ ⇔


=
=+ ∈

⎣Z
Z
3
25.
22 ππ
πππ ++ + =
Ответ. 900.
Можно
итакрешить :
() 2 sin cos 1 sin cos+=+ ⇔ x xxx
sin cos 0 sin 2 0 ,
2n
xx x x n π =⇔ =⇔ = ∈ ⇒ Z
[] 33
0, , , , 2 0; 2 2 5 .
22 2 2 ππ π π
ππ π π ππ ⎧⎫
⇒∈⇒++ + =
⎨⎬
⎩⎭ ◄
21.
720.
► 2222 333
cos 2 sin cos sin sin cos
442 xx xxx x+=⇔ −+=⇔=±.
Проведя на тригонометрическом круге вертикали 3
2 x=±, сразу
видим
,что корней 4.
Рис. 1

71
5711
4.
66 6 6 πππ π
π +++ = ◄
22. –150.

()
sin 0,
cos ctg 3 cos 3ctg 0
cos 3 sin 3 cos 0x
xx x x
xx x≠


⋅+ + =⇔ ⇔

++ =


cos 0;
,
sin 0,
2
5
cos 3 sin 3
.
6
22 x
x
x
xx
x π
π =








⇔⇒





+
=−

=−





55
22 6 6 ππ π π−+ − =−, или 150 − .◄
23.
210.

() ()
() cos tg sin
2
3
3
cos 2 cos
2 xxx
xx π
ππ
π
π⎛⎞
−⋅ + ⋅ −
⎜⎟
⎝⎠
=⇔
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
2
2 cos ctg sin cos sin
33
cos sin cos sinxx x x x
x xxx −⋅⋅ − ⋅
⇔=⇔=⇔
−⋅ −⋅ ctg 3.x=
Так как промежуток лежит внутри тригонометрического круга ,то
решения легко на нём находятся
.Тогда сумма корней равна .
6 π
π + ◄
24.
283.
► ()( ) 13sin 13 cos 77 12+− − =⇔  xx
()( )
()( )
()() 13sin 13 cos 90 13 12
13sin 13 cos 90 13 12
13sin 13 sin 13 12xx
xx
xx ⇔+−−+=⇔
⇔+−−−=⇔
⇔+−+=⇔ 


() sin 13 1 13 90 360 77 360 , .xx mxmm ⇔+=⇔+=+ ⇔=+ ∈  Z ◄
25. 720. 26. 300. 27. −120. 28. 150.
29. − 60 30. 135. 31. −60 .

72
32.−45.

tg 0,
tg 0,
tg tg5
sin 5 cos sin cos 5
tg tg5
0
cos cos 5 x
x
xx
xx x x
xx
xx ≤




−=− ⇔ ⇔ ⇔
⎨⎨

=
=



tg 0,
tg 0,
sin 4 0, , .
44
cos cos 5 0
cos cos 5 0x
x
n
xxnx
xx
xx
ππ





⎪⎪
⇔=⇔=∈⇒=−
⎨⎨
⎪⎪




⎩Z

33.
150 .

tg 0,
tg 0,
tg tg5
sin 5 cos cos 5 sin
tg tg5
0
cos cos 5 x
x
xx
xx xx
xx
xx ≤⎧ ≤ ⎧
⎪ −= ⇔ ⇔ ⇔ ⎨⎨ +
−=
= ⎩


tg 0,
tg 0,
5
sin 6 0, , 150 .
66
cos cos 5 0
cos cos 5 0x
x
n
xx
xx
xx
ππ





⎪⎪
⇔=⇔=⇒=
⎨⎨
⎪⎪





◄
34.
3.
► () () () 2
2 1cos
log 5 4 4 cos 2 1 cos
2 π
ππ +
−+ − = − ⇔ x
xx x x
() () () 2
2 1cos log 5 4 41cosxxx x ππ ⇔+ − + = + ⇔
() () ()
()
2
2
2
2
2 540,
cos 1;
1cos log 5 4 4 0
log 5 4 4xx
x
xxx
xx
π
π


−+ >


=−
⇔+ − + − =⇔ ⇔



−+ =


()
2
1; 5 ,
1,
2, ;
3.
5416x
x
xnn
x
xx
πππ

⎧∈−

=



⇔⇔
=+ ∈




=


−+ = ⇔∅
⎣Z
Ответ. 3. ◄
35.
15.
► sin8 3cos8 3sin6 cos6
sin 8 sin 6 0
22 36 ππ −+
⎛⎞⎛⎞
=⇔−−+=⇔
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ xx xx
xx

73
,,
4
2sin cos 7 0 .
412 12
,
12 7 xnn
xx x
n
xn π
π
ππ π
ππ ⎡
=+ ∈

⎛⎞⎛ ⎞
⇔− −=⇔⇒=

⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

=+ ∈

⎣Z
Z

36. 5.

() () 22
1
2 1sin 3 log 5 6 cos6 ππ +⋅−−=⇔ x xx x
() () 22
1
2 1 cos 6 sin 3 log 5 6 0 xxxxππ ⇔− + ⋅ − − = ⇔
() ()
()
()
22
1
2
2
1
2
2
2 sin 3 log 5 6 2 0
log 5 6 2 0,
560,
sin 3 0xxx
xx
xx
x π
π ⎛⎞
⇔⋅−−+=⇔
⎜⎟
⎝⎠

−−+=


⇔⇔

−−>




=



()
()
2
2
2
1
2 560,
7
2; 3 ,
,
sin 3 0;
78
3
5.
3,;
8
33
56
564
log 0
3
4 xx
x
x
x
xnn
xx
x
xx
π
ππ


−−>


⎧∈



=

=




⇔⇔⇔⇒+=
=∈





−−



=
−−=⇔∅
=




⎣Z

37.
2,75.
► () () 22
1
3 2 sin 4 log 11 4 7 cos 8 1 ππ ⋅−−=−⇔ xxx x
() ()
()
()
2
1
3
22
2
1
3
2 log 11 4 7 1 0,
2 sin 4 log 11 4 7 1 0
11 4 7 0,
sin 4 0xx
xxx
xx
x
π
π

−−+=

⎛⎞

⇔⋅−−+=⇔ ⇔
⎜⎟

−−>


⎝⎠


=




74
() 2
1
3 11 4 7
log 0 ,
3
5
,
5311
4
7
.
1; ,
3
42 4
4
2
4xx
x
x
x
n
x ⎡
−−

=⇔∅


=



⎛⎞
⇔⇔⇒+=
⎢⎢

⎜⎟

⎢⎢

⎝⎠
=






=






75
§2. Обратные тригонометрические функции.
3.Вычисление тригонометрических функций от «арков»
положительных чисел
1. 6.2.а) 0,25; б) 80. 3.−4. 4. 5.5. 4.
6.–25.7. 4. 8. 1,24.
9. 46. 10. 8,45. 11.–0,2.
4.Как найти () , arcsin sin α () , arcos cos α () , arctg tg α () ? arcctg ctg α
1. 2
π− .
►Выделим целое число 2:π
3
2003, 5 1001 2

ππ =⋅+⇒
() () 3
arcsin sin 2003, 5 arcsin sin arcsin 1 .
22ππ
π ⎛⎞
⇒==−=−
⎜⎟
⎝⎠ ◄
2. 517π− .
► Заметим ,что
() ( ) () () arcsin sin17 arcsin sin 17 4 arcsin sin 17 4 ππ =−=− .
Угол 17 4 π − принадлежит третьей четверти , поэтому
arcsin sin 17 () () () arcsin sin 17 4 17 4 5 17. ππππ =−=−−−=− ◄
3.12 35, 4. π−
► () ( ) () arccos cos 35, 4 arccos cos 35, 4 10 π =−=
() 2 35, 4 10 12 35, 4πππ =− − = − (угол 35, 4 10 π − принадлежиттре-
тьейчетверти
).◄
4.824.π−
► () ( ) () () arccos cos 24 arccos cos 24 6 2 24 6 8 24 ππ ππ =−=−−=−
(угол 24 6 π − принадлежитчетвёртойчетверти ).◄
5. π6 18− .
► () ( ) () () () arctg tg18 arctg tg 18 5 18 5 18 6 ππ π π =−=−−−=−

76
(угол 18 5 π − принадлежит второй четверти).◄
6.
23 7 π − .

() ( ) () arcctg ctg 23 arcctg ctg 23 7 23 7 ,т.к.0 23 7 .
2 π
ππ π = − =− <− < ◄
5.Упрощение выражений,содержащих обратные
тригонометрические функции
1. 5 14.π− 2. .π 3. 3
.

►Найдём
13
3
13 40 4
9
tg arctg3 arctg
13
9303
13
9 +
⎛⎞
+ = =− =−
⎜⎟
⎝⎠
−⋅.
Теперь заметим ,что 13
0 arctg3 arctg ,
9 π ≤+ <
но 13
tg arctg3 arctg 0
9 ⎛⎞
+<
⎜⎟
⎝⎠ −значит , 13
arctg3 arctg .
29 π
π <+ <
Поэтому
13 4
arctg3 arctg arctg
93
13 4 13 4
arctg3 arctg arcctg arctg3 arctg arcctg
93 9 3 π
π ⇒++−=
⎛⎞ ⎛⎞
=+ + −=+ +− =
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
44 3
2 arctg arcctg 2
33 22 ππ
ππ ⎛⎞
⎛⎞
−+ =−=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ◄
4.

► () ( ) arccos sin 5 arcsin cos 5 arccos cos 5 arcsin sin 5
22 ππ ⎛⎞⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
+= −+ −=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
arccos cos 5 2 arcsin sin 5 2
22 ππ
ππ ⎛⎞⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=−++−+=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎝⎠

77
52 52 .
22 ππ
ππ π π ⎛⎞
⎛⎞
=−+ + − −+ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ◄
5.

► () ( ) arccos sin 6 arcsin cos 6 arccos cos 6 arcsin sin 6
22 ππ ⎛⎞⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
+= −+ −=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
arccos cos 6 2 arcsin sin 6 2
22 ππ
ππ ⎛⎞⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=−++−+=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
62 62 .
22 ππ
ππ π π ⎛⎞
⎛⎞
=−+ + − −+ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ◄
6.
19 6 . π −
► () ( ) arccos sin 9, 5 arcsin cos 9, 5+=
() () () () arccos sin 9, 5 4 arcsin cos 9, 5 4
arccos cos 9, 5 4 arcsin sin 9, 5 4
22 ππ
ππ
ππ =−+−=
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=−++−+=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
2 9,5 4 9,5 4 19 6 .
22 ππ
ππ πππ ⎛⎞
⎛⎞⎛⎞ =− − + − − + −=− ⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠ ◄
7.
0.
► ()() arccos sin 9, 25 arcsin cos 9, 25+=
() () () () arccos sin 9, 25 4 arcsin cos 9, 25 4
arccos cos 9, 25 4 arcsin sin 9, 25 4
22 ππ
ππ
ππ =−+−=
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
=−++−+=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
2 9,25 4 2 9,25 4 0.
22 ππ
ππππ ⎛⎞
⎛⎞⎛⎞ =− − + − − − + = ⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠ ◄
8.
19, 4 6 . π −
► () ( ) arccos sin 9, 7 arcsin cos 9, 7+=
() () () () arccos sin 9, 7 4 arcsin cos 9, 7 4 ππ =−+−=

78
arccos cos 9, 7 4 arcsin sin 9, 7 4
22 ππ
ππ ⎛⎞⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=−++−+=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
2 9, 7 4 9, 7 4 19, 4 6 .
22 ππ
ππ πππ⎛⎞⎛ ⎞
=− − + − − +−= −
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠ ◄
9.
4 2arctg .
3 π−

13 13
tgarctg3 tgarctg 3
13 40 4
99
tg arctg3 arctg .
13 13
9303
1 tgarctg3 tgarctg 1 3
99 ++
⎛⎞
+= ==−=−
⎜⎟
⎝⎠
−⋅ −⋅
13 13 4
0 arctg3 arctg arctg3 arctg arctg ,
993 ππ ≤+ ≤⇒+=−
13 4 4
arctg3 arctg arctg 2arctg
93 3 π ⎛⎞
++−=−
⎜⎟
⎝⎠. ◄
10.
5
2arctg .
3 π−
11. 3
.

► 23
0 arctg6 arctg ;
27 π ≤+ <
23
6
23 5 23
27
tg arctg6 arctg arctg6 arctg
23
27 3 2 27
16
27
23 5
arctg6 arctg arctg ,
27 3
π
π
π +
⎛⎞
+==−⇒<+ <⇒
⎜⎟
⎝⎠
−⋅
⇒+=−
23 5
arctg6 arctg arcctg
27 3
553
arctg arcctg 2 ,
3322
ππ
ππ π
⎛⎞
++−=
⎜⎟
⎝⎠
=− +− = − =
т.к. 55
arctg arcctg .
332 π += ◄
12.
()14
13
,.
212m
fmZ π
π⎛+⎞
=∈
⎜⎟
⎝⎠

79
13. 32
arccos .
10 5 π >
14. 43
arcsin .
510 π >
►С одной стороны , 32
sin sin 3 sin 3 4 sin .
10 10 10 10πππ π ⎛⎞ ⎛ ⎞
=⋅= −
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
С другой стороны ,
2 3
sin sin cos cos 2 1 2 sin .
10 2 5 5 10 10πππ π π π ⎛⎞ ⎛⎞
=−==⋅=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
Откуда получаем уравнение
22 3
sin sin cos sin 3 4 sin 1 2 sin
10 2 5 5 10 10 10πππ ππ π π ⎛⎞ ⎛ ⎞
=−== − =− ⇔
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
32
2
2 4sin 2sin 3sin 1 0
10 10 10
sin 1 4sin 2sin 1 0
10 10 10
51 3 51
sin sin cos 1 2
10 4 10 5 4 πππ
πππ
πππ ⇔−−+=⇔
⎛⎞⎛ ⎞
−+−=⇔
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎛⎞
−−
⇔= ⇔ ==− =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
154 43
arcsin .
45 510 π +
=<⇒> ◄
6.Решение уравнений,содержащих обратные
тригонометрические функции
1.
Решений нет . 2. 2
12. 3. 2 3
. 4. 8 1
.
5. 5 4
.
Первый способ
►Решаем
: 21
arctg arcsin
2x
x
x
π −
+= 21
arctg arcsin
2x x x
π −
⇔=−⇔

80
1,
arcsin ,
22 2
21
tg arctg tg arcsin
2 x
x
x
x
x
ππ π
π





⇔− ≤ − ≤ ⇔




⎛⎞⎛ ⎞
=−
⎜⎟⎜ ⎟

⎝⎠⎝ ⎠

()
2
1,
arcsin 0,
21 1
ctg arcsin x
x
xx
x
xx ⎧




⇔≥ ⇔


−−

=≡


2
1,
0,
4
arcsin 0,
5
21 1x
x
x
x
xx ⎧≤



⇔=




−= −
⎩.
Второй способ
►Решим по
-другому :
21 21
arctg arcsin arctg arcsin
22
2cos 1
21
tg ,
tg ,
cos
cos , cos ,
0; 0; .
22x x
xx
xx
x
x
xx ππ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ππ
ϕϕ −−
+=⇔ =−=⇔

⎧⎧

=
=
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⇔= ⇔=
⎨⎨
⎪⎪
⎡⎤ ⎡⎤
⎪⎪
∈∈
⎢⎥ ⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦ ⎣⎦
⎩⎩
Решим отдельно уравнение : 2cos 1 sin ,
cos 0, ϕϕ
ϕ
−=





22 22
2
2
2 tg 1;
2
2 cos sin cos sin 2 sin cos
1
22 22 22
tg ,
23
1tg
2
cos 0 1 tg 0.
2
1tg
2 ϕ
ϕϕ ϕϕ ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ⎧
⎡ =− ⎪

⎛⎞⎛⎞

⇔−−+= ⇔ ⎢
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠


= ⎪




− ⎪ =≠⇔−≠ ⎪

+ ⎩
14
tg cos .
23 5x ϕ
ϕ =⇒== ◄

81
6. 5
.
15
7. 2
5.

1
arcctg arccos 2
22x
x
x
π −
+= 1
arcctg arccos 2
22x x x
π −
⇔=−⇒
1
ctg arcctg ctg arccos 2
22x
x
x π −
⎛⎞⎛ ⎞
⇒=− ⇔
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠ 2 114
22xx
x x −−
=⇔
22
0,
10,
12 14x
x
xx x ⎧


⇔−≥ ⇔


−+=−

2
0,
2
10,
5
520x
xx
xx ⎧


−≥ ⇔ =


−=
⎩.

8.
1
5. 9. 3
5.
10.

3.
►Найдём ОДЗ :
[]
37
1,
3
1
0,
37 1
1,
2
1
0, 3.
1
2,
5; 3
22
2
22 x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
ππ
π
ππ
π
+



+

+



++


≥−

+

+
⇔≥⇔=−
⎨⎨
+
⎪⎪
+≤
⎪⎪
∈− −
⎪⎪


+≥−

23
arcsin 2
22 π
π −−
=+
−− верно .◄
11.
2.
►Найдём ОДЗ : 13 81,
111 120 1 x
x ⎧
−≤ − ≤



−≤ − ≤

⎩73 9,
119 11 121 x
x ⎧
≤≤



≤≤

⎩ 2 x=.
Оказывается ,что уравнение существует в единственной точке .Про -
верим ,является ли оно в этой точке тождеством ,т.е.является ли
2 x= его решением . Подставляем 2 = x в уравнение :
() ( )22 2
2 arcsin 3 8 3 arccos 11 120 0 .

ππ −− − = ⇔−≡ ◄

82
12. 9
0; ctg ; ctg .
10 10 ππ ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
► () 5arcctg 2 , ,
sin 5arcctg 1
2
0 arcctgxnn
x
x π
π
π ⎧
=+ ∈

=⇔ ⇔


<<
⎩Z
ctg ,
210
arcctg , ,
10 5
ctg 0,
151 2
0;1; 2
9
424
ctg .
10 x
n
xn
x
nn
x π
ππ
π
π ⎡
=



=+ ∈



⇔⇔==



−<< −⇒=




=

⎣ Z

13.
0.
► ()
()
2
arcsin arcsin 2 ,
224 4
11
arcsin 2 arcsin 2 2 ,
22
2212xx
xx x
xx x πππ π ⎧
−≤ ≤⇒−≤ ≤



=⇔−≤≤ ⇔



=⋅−


22
2
11
11
,
,
22
22
0.
0,
0,
71
16 7
122 12
16 4 x
x
x
x
x
xx
x⎧

−≤≤

−≤≤



⇔⇔ ⇔=
=

⎨⎨
=


⎪⎪


⎪⎪
=⇔ = >⇒∅
=⋅−






14.
51
2−
.

( ]
2
arc sin 0; 0;1 ,
2
arc sin arcctg 0
1
1 xx
xx
x
x π ⎧
⎛⎤ ∈ ⇒ ∈ ⎜


⎝⎦ ⎪
−=⇔ ⎨

= ⎪ + ⎩
( ]
()22
0;1 ,
51
.
2
11 x
x
xx ⎧



⇔⇔=

+=




83
15. 1
,0 .
2 ⎧⎫
±
⎨⎬
⎩⎭
► () () arctg 1 arctg arctg 1 arctg3 x xx x −+ + + = ⇔
() ()
()
()
()
()
22
222
arctg 1 arctg arctg3 arctg 1
131
21 21
11131 1331
1
,
2
331 14 20xxxx
xxxx
xx
xx xx xx x x
x
xx xx x x ⇔−+=−+⇒
−+ − +
−−
⇒=⇔−=⇔
−− + + −− + +

=

⇔⇔

++=−++⇔ + =


() ()
1
,
2
1133
arctg arctg arctg arctg ;
1
2222
,
2
0,
0,
arctg 1 arctg0 arctg 1 arctg0;
1
1
2
,
2
3113
arctg arctg arctg arctg
2222 x
x
x
x
x
x ⎡

=





⎛⎞


−+ + ≡
⎜⎟



⎝⎠

=



=



⇔=⇒⇔



−+ + ≡





=−




=−





⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞


−+ −+ ≡ −
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟


⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠


1
,0 .
2 x⎧⎫
⇔∈±
⎨⎬
⎩⎭ ◄
16.
,.
14 14 ππ ⎧⎫−⎨⎬
⎩⎭
► () 6,
6 arctg tg6 cos 7
22
tg6 tg6 cos 7x
xxx
x xx
ππ ⎧
−< <

=+⇔ ⇔


=+


84
,
12 12
,.
14 14
cos 7 0
14 7 x
x
n
xx ππ
ππ
ππ ⎧
−<<


⎧⎫
⇔⇔∈−
⎨⎨⎬
⎩⎭

=⇔ = +



17.
3
,.
16 16 ππ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
18.– 1.
►Числа
() 1, 2 , s i n a r c s i n , x x −+ взятые в указанном порядке ,
образуют геометрическую прогрессию тогда и только тогда ,когда
() ()
2
2 1,
2 1 sin arcsin 1
53
2
2 x
xx x
xxx ⎧≤

+=−⋅ ⇔ ⇔=−

−±
+=−⇔=


(
т.к. x x≡ arcsin sin).◄
19.
() +∞ ; 2 . 20. () ;2. −∞ −

85
§ 3. Тригонометрические системы
1. () () ,,,
22nk nk nk ππ⎧⎫
+− ∈
⎨⎬
⎩⎭Z.
2. () () ,2,,2,,
22 2knkknkkn ππ π
ππ ππ ⎧⎫
⎛⎞⎛⎞
+−+− +− ∈
⎨⎬
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎩⎭Z.
3. 2, 2 , 2, 2 ,, .
32 32kn knkn ππ ππ
ππ ππ ⎧⎫
⎛⎞⎛ ⎞
+−+ −+−+ ∈
⎨⎬
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎩⎭

22 32 cos cos 8,
8cos sin 3xy
xy ⎧
−=


+=
⎩ () 2
2 3sin
cos 8,
2
8cos sin 3y
y
xy ⎧


−=



+=

22 96sin sin 2cos 16 0,
8cos sin 3yy y
xy ⎧
−+− −=
⇔⇔

+=
⎩ 2 sin 2 sin 3 0,
8cos sin 3yy
xy ⎧
−−=


+=

sin 1,
1
cos
2 y
x=−


⇔⇔

=

⎩ 2, ,
3
2, .
2 xkk
ynn π
π
π
π ⎧ =± + ∈ ⎪



=− + ∈ ⎪
⎩Z
Z
Ответ: 2, 2 , 2, 2 ,, .
32 32kn knknZ ππ ππ
ππ ππ ⎧⎫
⎛⎞⎛ ⎞
+−+ −+−+ ∈
⎨⎬
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎩⎭ ◄
4.
() () 1;1 ,.
12 2 4 12 2 4nn nk nkk ππ π ππ π
ππ ⎧⎫−+++−+−− ∈⎨⎬
⎩⎭

()()
()()
33
sin cos , sin sin ,
42
11
cos sin sin sin
42 xy xy xy
xy xy xy ⎧⎧ =++−= ⎪⎪
⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨
⎪⎪
=− + − − =− ⎪⎪
⎩⎩
()
()()
1
sin 1 ,
sin ,
6
2
sin 1
2.
2 n x yn
xy
xy
xy k π
π
π
π ⎧
⎧ += − + ⎪ += ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨
⎪⎪
−=
−= + ⎩


() () 1;1 ,,.
12 2 4 12 2 4nn nk nknk ππ π ππ π
ππ ⎧⎫ ⇔− +++ − +−− ∈ ⎨⎬
⎩⎭

86
5.

2; , 2; ,,
666 6mk m mk mkm πππ π
πππ ππ π ⎧⎫
⎛⎞⎛ ⎞
++ + −++ −+ ∈
⎨⎬
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎩⎭Z .
() () 1
sin 2 cos sin ,
sin sin cos ,
2
1
1
sin sin
sin sin
4
4 ⎧
⎧+=
+=

⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
⎪⎪
=


⎩xy x y
xxy x
xy
xy
() ()() () sin sin sin , sin 0,
4 sin sin 1 4 sin sin 1xy xy xy xy
xy xy ⎧⎧
+= +− − −=
⎪⎪
⇔⇔⇔
⎨⎨
==
⎪⎪
⎩⎩
()
()()
2
,
4sin sin 1
2,
,
2,
1
21 cos2 1
cos 2
41sin 1 2
2
,
6
2.
6
n
xy n
yn y
xy k
xy n
xy k
y
y
ynk
ym
xmk π
π
π
π
π
π
π
π
ππ −=


⇔⇔

+=


−=

−=

−=

⎪⎪⎪
⇔⇔⇔⇔
⎨⎨⎨
−=
=
−=⇒=







=± +





=± + +


Ответ. 2; ,
66 ππ
πππ⎛⎞
++ +
⎜⎟
⎝⎠mk m
2; ,, .
66mk m km ππ
ππ π ⎧⎫⎛⎞
−+ + −+ ∈
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎩⎭Z ◄
6.
2; , 2; ,, .
36 3 6тkтkmk ππ π π
ππ π π ⎧⎫
⎛⎞⎛ ⎞
++−+−+ ∈
⎨⎬
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎩⎭Z
► 2
sin sin 2 ,
sin sin 2 ,
cos 1 cos 2
cos 2 sinxy
xy
x y
xy=
=

⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ =−
= ⎩

22
sin sin 2 ,
cos 1 cos 2 ,
1 sin 2 1 2 cos 2 cos 2xy
xy
y yy ⎧
=

⇔=− ⇔


=+− +


87
sin sin 2 ,
sin sin 2 ,
1
cos 1 cos 2 , cos ,
2
1
1
cos 2
cos 2
2
2 xy
xy
xyx
y
y ⎧


=

=



⇔=− ⇔=⇔
⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪
=
=



2,
3
,
6
sin 2 sin 2
36 xт
yk
тk π
π
π
π
ππ
ππ ⎧
=± +



⇔=±+ ⇔



⎛⎞⎛⎞
±+ = ±+
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠

2,
3
,
6
sin sin
33
2; , 2; ,, .
36 3 6 xт
yk
тkтkmk π
π
π
π
ππ
ππ π π
ππ π π ⎧
=± +



⇔=±+



⎛⎞ ⎛⎞
±= ±
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠

⎧⎫
⎛⎞⎛ ⎞
⇔+ + −+ −+ ∈
⎨⎬
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎩⎭Z
Ответ. 2; , 2; ,, .
36 3 6тkтkmk ππ π π
ππ π π ⎧⎫
⎛⎞⎛ ⎞
+ + −+ −+ ∈
⎨⎬
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎩⎭Z ◄
7.
() 1 1;2,,.
6n nkkn π
ππ+ ⎧⎫
⎛⎞
−+ ∈
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎩⎭Z
► () 22
22 12 sin 1 cos 3,
12 sin sin 3,
6sin cos 2
6sin cos 2xy
xy
xy
xy ⎧
−− =

−=

⇔⇔
⎨⎨
+=−
+=−



() () 2
2
2 12 sin 1 4 1 3sin 3,
2sin sin 0,
6sin cos 2
6sin cos 2xx
xx
xy
xy ⎧
−− + =

+=

⇔⇔⇔
⎨⎨
+=−


+=−


88
1
sin ,
2
cos 1x
y ⎧
=−

⇔⇔


=

() 1 1,,
6
2,n xnn
ykk π
π
π+ ⎧
=− + ∈




=∈
⎩Z
Z
.
Ответ:
() 1 1;2,,.
6n nkkn π
ππ+ ⎧⎫
⎛⎞
−+ ∈
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎩⎭Z ◄
8.
2
2; 2 , .
33nnn ππ
ππ ⎛⎞
−+ − + ∈
⎜⎟
⎝⎠Z

1
cos cos 1, 2 sin 1,
cos cos 1,
326
3
33 yy y
xy
xy
xy xy ππ
π
ππ ⎧⎧
⎛⎞ ⎛⎞
+− = −⋅ +=
−=

⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎪⎪ ⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⇔⇔⇔
⎨⎨ ⎨
−=
⎪⎪ ⎪
−= −=

⎪⎪
⎩⎩
2
sin 1,
2, 2,
6
62 3
2
33
3
2
2; 2 , .
33y
ynyn
xy x n
xy
nnn π
ππ π
ππ
ππ
π
π
ππ
ππ ⎧
⎛⎞
⎧⎧
+=−
+=−+ =− +
⎜⎟

⎪⎪
⎪⎪ ⎪
⎝⎠
⇔⇔ ⇔⇔
⎨⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪
−= =− +
−=
⎪⎪

⎩⎩

⎛⎞
⇔− + − + ∈
⎜⎟
⎝⎠Z
Ответ. 2
2; 2 , .
33nnn ππ
ππ ⎛⎞−+ − + ∈⎜⎟
⎝⎠Z ◄
9.
,,.
66nnn ππ
ππ⎛⎞ +− ∈ ⎜⎟
⎝⎠Z

sin sin 1
1
,
3sin sin cos cos ,
tg tg ,
cos cos 3
3
3
3
3 xy
xy x y
xy
xy
xy
xy
xy
π
π
π


=
=
=



⎪⎪ ⎪
⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨
+=
⎪⎪ ⎪
+=
+=






89
() () () ()
() () ()
3 cos 3 cos cos cos ,
3
cos 2 cos 0, cos 1,
33 xy xy xy xy
xy
xy xy xy
xy xy
π
ππ
⎧−− + = ++ −

⇔⇔

+=


⎧⎧−− + = − =
⎪⎪
⇔⇔⇔
⎨⎨
+= +=
⎪⎪
⎩⎩
2
,,.
66
3 xy n
nnn
xyπ
ππ
ππ
π −=


⎛⎞
⇔⇔+−∈

⎜⎟
+=
⎝⎠

⎩Z

10.
() 1,2,,.
63n nknk ππ
ππ ⎧⎫
−+±+ ∈
⎨⎬
⎩⎭Z
► 22
sin cos 1,
sin cos 1, sin cos 1,
1
cos 2 cos 2 1 1 cos 2 cos 2 1 1
sin cos
2 xy
xy xy
xy xy
xy+=

+= +=
⎧⎧

⇔⇔⇔
⎨⎨ ⎨
−= −++=
+=
⎩⎩


()
()
2
2
2
1
cos ,
sin cos 1,
sin cos 1,
2
1
4sin 4sin 1 0
2sin 2 1 sin 1
sin
2
1,,
6
2, .
3
n
y
xy
xy
xx
xx
x
xnn
ykk
π
π
π
π

=
+=


+=

⎪⎪
⇔⇔⇔⇔
⎨⎨⎨
−+=
+− =




=



=− + ∈





=± + ∈

⎩Z
Z
Ответ. () 1,2,,.
63n nknk ππ
ππ ⎧⎫ ++ ⎫ ⎨⎬
⎩⎭Z ◄
11.
() () 1 22 2
1arcsin , 1 arcsin , , .
34 34 kn knnk ππ
ππ + ⎧⎫⎛⎞
⎪⎪
−−+−−+∈
⎜⎟
⎨⎬
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠
⎩⎭Z .
► sin cos 2 sin cos ,
2 sin 2 sin 2 1+=++



+=
⎩xx y y
xy

90
()() ()()
()( )
22
22
sin cos 2 sin cos ,
2sin cos 1 sin cos 1 1
sin cos 2 sin cos ,
2 sin cos sin cos 4 x xyy
xx y y
xx y y
xx y y +=++ ⎧⎪
⇔⇔

+−++ −=


+=++


⇔⇔

+++ =


()()
()() 22
2
sin cos 2 sin cos ,
22sincos sincos 4
3sin cos 8sin cos 4 0
sin cos 2 ,
2
sin cos ,
3
4
sin cos
3 xx y y
yy yy
yy yy
yy
yy
xx⎧ +=++


⇔++ + + =⇔


++++=


+=−⇔∅




+=−

⇔⇔






+=



()
() 1
2
22
2sin ,
1arcsin , ,
43
34
4
2
2sin
1arcsin , .
43
34 n
n y
xkk
x
ynn π
π
π
π
π
π
+


⎛⎞
+=−
=− − + ∈
⎜⎟


⎪⎝⎠ ⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎛⎞
⎪⎪
+=
=− − + ∈
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠

⎩Z
Z
Ответ.
() () 1 22 2
1arcsin , 1 arcsin , , .
34 34 kn knnk ππ
ππ + ⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
−−+−−+∈
⎜⎟
⎨⎬
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠
⎩⎭Z ◄
12.
2 ; 2 , 2 ; 2 ,,, .
22knm nknm ππ
ππ π π π ⎧⎫
⎛⎞⎛⎞
++ −+ ∈
⎨⎬
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎩⎭Z

()( ) 22
sin 1 sin ,
sin sin 1,
cos 1 cos ,
cos cos 1
1sin 1cos 1xy
xy
xy
xy
yy ⎧
=+

−=


⇔=+ ⇔
⎨⎨
−=


+++ =


sin 1 sin ,
cos 1 cos ,
sin cos 1xy
xy
yy=+


⇔=+ ⇔ ⎨

+=− ⎩

91
sin 1 sin ,
cos 1 cos ,
3
2cos 1 2
444
2cos1,
2;
2
2,
2
sin 0,
cos 1 2 .xy
xy
y yn
yny
xk
yn
x
xxm πππ
π
ππ
π
π
π
π
π


=+


⇔=+ ⇔


⎛⎞

−=−⇔−=±+
⎜⎟

⎝⎠

⎡=+⇒=−





=+







=− +




=



=⇒=





Ответ. 2 ; 2 ,2 ; 2 ,,, .
22knm nknm ππ
ππ π π π ⎧⎫
⎛⎞⎛⎞
++ −+ ∈
⎨⎬
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎩⎭Z ◄
13.
() ,,, nknk ππ ∈Z.
► ()
()()
()
2
sin sin cos ,
sin sin cos ,
sin cos sin
sin cos sin ⎧=+
⎧=+
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+=
+=



⎩yxxy
yxxy
yxy x
x xy x
()
()()()
() ()()
2
sin 0,
,,,;
sin 0;
sin 0,
sin 0,
sin 1 sin ,
sin sin cos ,
cos 1
,,,;
sin 0,
,,
1sin 1sin sin 0,
m
mm
x
xnyknk
y
x
x
mx x
yxxy
xy m
xy
xnyknk
x
xnyk
xxx
xy m ππ
π
π
ππ
ππ
π ⎡
=

== ∈



=








⇔⇔ ⇔≠⎪


−=−




=+




+=




+=


== ∈





⇔⇔==⎪

−− = − ⇔ =




+=

⎣Z
Z
,. nk∈Z
Ответ. () ,,, . nknk ππ ∈Z ◄

92
14. 123 3
; arccos , ; , , , , .
4 2 25 12 2 8 2ml
nk nkml πππππ
ππ⎛⎞
⎛⎞ ⎛ ⎞
+± −+ ±+ ±+ ∈
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎝⎠
► ()( )
() 88 2
2 cos 2 1 tg 1 sin sin 2 ,
8 cos 2 cos sin 1 25 cos x xyx
x xx y
⎧ =− + +



−+=


()()()( )
()()() 44 22 22 2
2 cos sin cos sin cos cos sin 1 sin sin 2 ,
cos 0,
8 cos 2 cos sin cos sin cos sin 1 25 cosxx xxx xx y x
x
x xx xx xx y ⎧
+−=−++


⇔≠ ⇔


+−++=


()
2
2
22 2
cos sin cos 2 0,
1
cos ;
25
2cos 1 sin ,
4cos21cos2 125cosxx x
y
xy
x xy ⎡
=⇒=





=



⇔⇔


=+




++=




()()
2
22 2
tg 1,
1
cos ;
25
cos 2 sin ,
4cos21cos2 1251cos2x
y
xy
xx x ⎡=





=



⇔⇔

=





++=−



2
tg 1,
23
cos 2 ;
25
cos 2 sin ,
3
cos 2
4 x
y
xy
x ⎡=





=−





=





=




123
, arccos , , ;
4225
3
,,,.
12 2 8 2 xny knk
ml
xynl π
ππ
ππ ππ ⎡
⎛⎞
=+ =± − + ∈
⎜⎟

⎝⎠



=± + =± + ∈

⎣

Ответ. 123
; arccos ,
42 25nk π
ππ⎛⎞
⎛⎞
+± −+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
3
;,,,,.
12 2 8 2ml
nk ml ππ ππ ⎛⎞
±+ ± + ∈
⎜⎟
⎝⎠ ◄
15.
1232
arccos ; arccos .
24242kn π
ππ ⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
±−+±−++
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠

93
►Мы собираемся умножить почленно первое уравнение на вто-
рое – поэтому рассмотрим сначала систему:
() ()
()
()
() 3 cos 4 2 2 cos 2 2 ,
sin 0,
sin 0
,
,, .
3cos 3 2 cos 2 2xy xy
xy
yx
xy kk
xy nkn
nk n
π
π
ππ π

−= −


+= ⇔


−=



+= ∈

⇔−= ∈⇒∅


+≠ ≡
⎩

Теперь рассмотрим систему : () ()
() ()
3 cos 4 2 2 cos 2 2 ,
2sin 3sin 0xy xy
xy yx ⎧
−= −



+= −≠


()()()()
() ()
cos 4 2 sin cos 2 2 sin ,
2sin 3sinxy xy xy yx
xy yx ⎧−+=− −

⇔⇔

+= −


()( )()( )
() ()
sin 5 sin 3 3 sin sin 3 3 ,
2sin 3sinxy x y xy x y
xy yx ⎧−+ −+ = −+ −+

⇔⇔

+= −


()()
() ()
sin 5 sin 0,
2 sin 3 sinxy xy
xy yx ⎧−− − =

⇔⇔

+= −

⎩ ()
() ()
sin 2 cos 3 0,
2sin 3sinxxy
xy yx ⎧−=



+= −


()
() ()
sin cos cos 3 0,
2sin 3sin .xx xy
x yyx ⎧−=



+= −


Теперь рассмотрим 3 случая отдельно .
1.
() () () ()
sin 0,
2 0 cos 1 sin 3 sin 1 cos 0 sin 0x
yyy yy =




⋅+±⋅ = ⋅±−⋅⇔=


() sin 0 ;xy ⇒+=⇒∅
2.
()() () ()
cos 0,
2 1 cos 0 sin 3 sin 0 cos 1 cos 0x
yy y y y =




±⋅ +⋅ = ⋅+ ⋅± ⇔ =



94
() sin 0 ;xy ⇒+=⇒∅
3.
() cos 3 0 3 , ,
2
2sin 4 3sin 2
22 xy xy nn
xn xn π
π
ππ
ππ ⎧
−=⇔−=+ ∈




⎛⎞⎛⎞

−− = −−
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠
⎩
() ()
3,,
2
2cos 4 3cos 2xnyn
xx π
π ⎧
−− = ∈

⇔⇔


=
⎩
() () 2
3,,
2
2 2 cos 2 1 3 cos 2 xnyn
xx π
π ⎧
−− = ∈




−=
⎩
3,
2
35
cos 2
22 yx n
x π
π ⎧
=−−


⇔⇔

±

=

⎩ 3,
2
2
cos 2
4 yx n
x π
π ⎧ =−− ⎪

⇔ ⎨

=− ⎪

12
arccos , ,
24
32
arccos , .
242 xkk
ymm π
π
π ⎧
⎛⎞ =± − + ∈ ⎪
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠
⇔ ⎨
⎛⎞

=± − + + ∈ ⎜⎟

⎜⎟
⎝⎠
⎩

Ответ. 1232
arccos ; arccos
24 242kn π
ππ ⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
±−+±−++
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠. ◄
16.
() , nm ππ , , .nm∈ 
► ()
() sin sin cos ,
sin cos sin y xxy
y xy x ⎧
=+


+=


()
()
2
sin sin cos ,
sin cos sinyxxy
x xy x
⎧ =+ ⎪ ⇔⇔ ⎨ += ⎪

()
()
2
sin sin cos ,
sin 0,
cos 1. y xxy
x
xy ⎧ =+
⎪ = ⇔ ⎡



+= ⎣

Рассмотрим 3 случая отдельно .

95
1. sin 0,
,,,.
sin 0x
xkynkn
y ππ =

⇔= = ∈

=
⎩
2.
() ( )
sin sin 2 ,
cos 1 sin sin 2yx xyk
xy x kx π
π =+=
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+= = −
⎪⎪
⎩⎩
() 2,
,2,,.
sin 0xy k
xny knkn

ππ += ⎧ ⇔⇔==−∈ ⎨ = ⎩
3. () ( )
sin sin 2 ,
cos 1 sin sin 2yxxy k
xy x kx ππ
ππ =− + = +
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+=− =− + −
⎪⎪
⎩⎩
() 2,
,21,,
sin sin sin 0xy k
xny k nkn
xxx ππ
ππ +=+ ⎧ ⇔⇔==+−∈Ζ ⎨ =− ⇔ = ⎩
.
Ответ. () , nm ππ , , nm∈Ζ .◄
17.
() () 33
2; 1 , 2; 1 .
4646 mm nmnm ππππ
ππππ ⎧⎫
⎛⎞⎛⎞ −+ − + + − + ⎨⎬
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎩⎭

2 4sin 6 2 cos 5 4cos ,
cos 2 0.yx y
x ⎧
−=+



=


2
2
2
2
2 4 sin 4 sin 6 9 0,
4sin 6 2 cos 5 4cos ,
1
cos
cos 2 0 2 cos 1 0
2
28
4sin 4sin 15 0 sin ,
4
1
cos ;
2
24 1
4sin 4sin 3 0 sin sin ,
42
1
cos
2yy
yx y
x
xx
yy y
x
yy y y
x⎧
+−=

−=+
⎪⎪
⇔⇔⇔
⎨⎨

=⇔ −=





−±

+−=⇔= ⇔∅







=




⇔⇔
−±


+−=⇔= ⇔=







=−



⎣ ∓
() () () 33
; 2 ;1 , 2 ;1 .
4646 mm xy nmnm ππππ
ππππ ⎧⎫
⎛⎞⎛⎞ ⇔∈−+−+ +−+ ⎨⎬
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎩⎭ ◄

96
18. () 55
;;,;.
12 12 12 12 xy ππ π π ⎧⎫
⎛⎞⎛ ⎞
∈− −
⎨⎬
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎩⎭

1
sin cos ,
4
,.
1
222 2
cos sin ,
4 xy
xy
xy
πππ π

⋅=


−≤≤ −≤≤


⋅=−


()()
()()
11
sin cos , sin sin ,
42
11
cos sin sin sin
42 xy xy xy
xy xy xy ⎧⎧
=++−=
⎪⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
=− + − − =−
⎪⎪
⎩⎩
()
()
()
sin 0 ,
1
sin 1
26
m
xy xy n
xy xy m π
π
π ⎧+=⇔+=

⇔⇔

−=⇔−=− +


()
()
1,
2122
1.
2122m
m nm
x
nm
yπππ
πππ ⎧ =+− + ⎪
⎪ ⇔⇔ ⎨

=−− − ⎪

() ()
() ()
()
11
11 11,
55
66
;;,;.
11
12 12 12 12
11 11
66mm
mm nm
xy
nm ππ π π
⎧−−− ≤ + ≤ −−⎪
⎧⎫

⎛⎞⎛ ⎞ ⇔⇔∈−− ⎨⎨⎬
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎩⎭

−+− ≤ − ≤ +−⎪


19.
2, .
2nn π
π +∈Z
()
sin 255 1,
sin 257 1 sin 255 2
sin 255 cos 2 cos 255 sin 2 cos 2 1,
sin 3765 1,
sin 3767 1 sin 3765 cos 2 cos 3765 sin 2 cos 2 1.x
xxx
xx xx x
x
xxxxxx=−


=⇒+=


=+=−= ⇔


=

=−⇒+==


т.к.cos 3765 0.x=

97
() 1
,
2
sin 255 sin 127 255
cos 2 1,
22
sin 255 1,
sin 1 1 2 ,
sin 3765 1
2
sin 3765 2 sin 1882 1
22
k
xk
kk
x
x
kkn
x
n π
π
ππ
πππ
π
ππ
ππ
ππ
+

=+


⎛⎞⎛ ⎞

+= ++ =
=−

⎜⎟⎜ ⎟

⎝⎠⎝ ⎠
⎪⎪
⇔=−⇔ ⇔
⎨⎨
⎛⎞
⎪⎪
=++=−=−⇔=
=
⎜⎟


⎝⎠

⎛⎞⎛ ⎞

+= +=
⎜⎟⎜ ⎟

⎝⎠⎝ ⎠

2, .
2 xnn π
π ⇔= + ∈Z ◄

98
§ 4. Тригонометрические неравенства
1. 2,
2nn . π
π +∈
2. 55
2; 2 , .
66nnnππ
ππ ⎛⎞
−+ + ∈
⎜⎟
⎝⎠Z
3. 1
2arctg 2 , .
5nn π ±+∈ Z
► 22 22 5 2 sin cos 12 cos sin 13 cos sin
22 2 2 2 2xx x x x x
⎛⎞⎛⎞
+−≥+⇔
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
22
22 cos 0 12 sin 13 sin sin 0 ;
2222
cos 0,
2
10 tg 12 1 tg 13 1 tg
22 2 x xxx
x
xx x ⎡
=⇔− ≥ ⇔ =⇔∅





⇔⇔





⎛⎞⎛⎞


+− ≥+
⎜⎟⎜⎟


⎝⎠⎝⎠


222
2 10 tg 12 1 tg 13 1 tg 25tg 10 tg 1 0
22 222
1
tg 0
25
11 1
tg tg arctg ,
25 2 5 2 5 x xxxx
x
xxx
nn
π
⎛⎞⎛⎞ ⎜++⎜ +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
⇔−≤⇔
⎜⎟
⎝⎠
⇔=⇔=±⇔=± + ∈⇔Z
1
2arctg 2 , .
5 xnn π ⇔=± + ∈Z ◄
4.
1/27, 27.
Что -то очень всё громоздко .Однако неравенство является квад -
ратным как относительно косинуса ,так и относительно логарифма .
Первый способ

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно
() 927
cos , 1
91x
ttπ −
=≤, а 3 log x будет играть роль «псевдопараметра »:
22
3333 16 log 16 log 14 log 3 log 27 0.txtx x x+−−−≥

99
Вычислим () 2
33 48 log log 3
4 D
xx =+. Видно ,что и решение нера -
венства (т.к. 3 log x стоит при старшей степени )зависит от знака
3 log . x Рассмотрим три случая отдельно .
1)
Если 3 log 0,x= то ,как видно ,неравенство не выполнено .
2)
Если 3 log 0,x< то ветви параболы направлены вниз ,адискри -
минант 0 D≤.Значит , решение существует только тогда , когда
() 2
3 11
0log 3 21 0 .
27 2 Dxxt t =⇔ =−⇔ = ⇒ +≤⇔=−
3) Если 3 log 0x > ,то ветви параболы направлены вверх , 0. D>
Решение при 1 t≤существует ,если для
() 22
3333 16 log 16 log 14 log 3 log 27 yt t x t x x x=+−−−
выполнены условия
()
()
()() 2
33
3
2
33
2 10,
3log 18log 27 0,
log 3 27
10
3 log 14 log 27 0
20 2 1 0 1 1. y
xx
xx
y
xx
tt t t t t ⎡≥

−+≤
⇔⇔=⇔=⇒


−≥
++≤⇔∅




⇒+− ≥ ⇔ + − ≥⇒≥⇔=
Второй способ

Теперь будем рассматривать уравнение как квадратное отно
-
сительно 3 log x,а выражение () () 2927 927
8cos 8cos 7
91 91xxππ −−
+−
будет играть роль «псевдопараметра ». Обозначим его ,для удобства ,
буквойа : () () 2927 927
8cos 8cos 7
91 91xx
aππ −−
=+−. Тогда неравен -
ство примет компактный вид :2
33 3 log 2 log 27 0xa x−+≤.
Когда такое неравенство имеет хотя бы одно решение ?
Такое неравенство имеет хотя бы одно решение тогда и только то -
гда ,когда дискриминант квадратного трёхчлена неотрицательный ,
т.е.если ()() 2 81 0 9 9 0. aaa−≥⇔ − +≥
Обозначим аргумент косинуса какой -нибудь буквой ,например ,пусть
() 927
,
91 x t π −
= тогда 2 8cos 8cos 7 att=+−, и ()() 990 aa−+≥⇔

100
()()
()()
()()()()
()
22
22
22
2
2
2 8cos 8cos 7 9 8cos 8cos 7 9 0
4 cos 4 cos 1 cos cos 2 0
2 cos 1 cos 2 cos 1 0 2 cos 1 sin 0
2cos 1 sin 0tt tt
tt tt
ttt tt
tt ⇔+−+ +−−≥⇔
⇔++ +−≥⇔
⇔+ + −≥⇔+ ≤⇔
⇔+ =⇔
cos 1,
9;
2cos 1 0, cos 1,
sin 0 cos 1 7;
1
cos ,
2
9. t
a
tt
tta
t
a ⎡

=



=



+= =−
⎡⎧

⇔⇒



= ⇔ =± =−
⎣⎩



=−





=−



Теперь подставим найденные значения в заданное неравенство 2
33 3 log 2 log 27 0.xa x−+≤
Если cos 1,t= то
2
33 3 log 2 log 27 0xa x−+≤⇔
() 2
2
33 3 3 log 6 log 9 0 log 3 0 log 3 0 27.xx x x x ⇔− +≤⇔ −≤⇔−=⇔=
Если cos 1t=− ,то
2
33 3 log 2 log 27 0xa x−+≤ 2
33 3 log 14 log 27 0xx ⇔+ +≤⇔∅.
Если 1
cos
2 t=−, то
2
33 11
3log 2 8 8 7 log 27 0
42 xx⎛⎞
−⋅−⋅− +≤⇔
⎜⎟
⎝⎠
() 2
33 1
log 3 0 log 3 0 .
27 xxx ⇔+≤⇔+=⇔= ◄
5. ) () 5; 2 2; 1 ⎡
−−∪−−
⎣.
6. ;
22ππ ⎡⎤−⎢⎥
⎣⎦ .

101
►Неравенство решаем графически.Из рисунка видно,что реше-
нием неравенства является отрезок
;.
22ππ ⎡⎤

⎢⎥
⎣⎦ ◄
Рис . 2
7. 1/4; 4. 8. 1/2; 2. 9. 1/25; 25.
10. ;;,.
36 63nn nnn ππ ππ
ππ ππ ⎛⎞⎛⎞
−+ −+ ∪ + + ∈
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠Z

42
22 2
22 10 1 10 3tg 10tg 3
tg tg 0 0
3tg3 tgxx
xctgx x
xx−+
+<⇔+−<⇔ <⇔
()
() ()
22
2
2 1
tg 3 tg
3
0
tg
11
tg 3 tg 3 tg tg
33
0
11
tg 3; ; 3
33 xx
x
xx x x
tg x
x⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
⇔<⇔
⎛⎞⎛⎞
−+ − +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⇔<⇔
⎛⎞⎛⎞
⇔∈− − ∪ ⇔
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
;;,.
36 63 xnnnnn ππ ππ
ππ ππ ⎛⎞⎛⎞ ⇔∈− + − + ∪ + + ∈ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠Z ◄
11.
[ ) ( 1; 2 2 ; 5 .⎤

⎦ 12. [ ) ( 1; 3 3; 1 0 .⎤

⎦ 13. ) () 10; 3 3; 1 . ⎡
−−∪−−

14. 33
2; 2 , .
44 nnn ππ
ππ ⎛⎞−+ + ∈⎜⎟
⎝⎠Z

102
► 4
4
cos 0,
7cos4 0;
7cos4
2cos
cos 0,
2
7cos4
16 cos
2 x
x
x
x
x
x
x

>



−≥




>− ⇔ ⇔







>




() 2
cos 0,
cos 0,
7 cos 4 8 1 cos 2 x
x
xx >




⇔⇔




−>+



() 22
cos 0,
cos 0,
7 2cos2 1 8cos2 16cos2 8x
x
xxx >




⇔⇔




− −>++



() 2
cos 0,
cos 0,
cos 0,
cos 0,
cos 0,
cos 0,
10 cos 2 16 cos 2 0
cos 2 0
2cos 1 0 x
x
x
x
x
x
xx
x
x >
>

>







⇔⎧⇔⇔ ⇔







⎨⎨⎨



+<
<
−<







cos 0,
33
22,.
1
cos 0
44
2x
nx nn
x ππ
ππ >


⇔⇔−+<<+∈

−< ≤

⎣Z

15.
2, .
2nn π
π−+ ∈Z
►Пусть sin , 1.xtt=≤ Тогда неравенство примет вид :
( ][ ) 2
2
22
1
210 1 ,
2
20 ;1 2; ;
21 6 612
1
1,
2
4416612tt
tt t
ttt
t
tt tt ⎡

−< ⇔−≤ <





−− ≥ ⇔∈−∞− ∪ +∞


−≤ − − ⇔ ⇔



≤≤





−+≤ −−




103
2
1
1
1,
12,.
2
2
22130 t
t
tx nn
tt
π
π
=−




≤≤
⇔⇔=⇔=−+∈





−− ≥⇒∅

⎣Z

16.
[ ) 57 11
;1 2; ;2 4; 13;4 .
333 3 πππ π
ππππ ⎛⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
−−∪− − ∪− − ∪− − ∪−−
⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎝⎦⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
► 222
cos 1
cos
2 51
log cos log cos cos 14
4 x
x xxxxx −
⎛⎞
≥−−−−⇔
⎜⎟
⎝⎠
[]
22
1
cos
2
2
22
2 51
2 log cos cos 14
4
111
cos 1 0 cos ,
222
51 1
cos cos 14 cos
42
1
cos 1,
2
14 13 0 13; 1
57
;1 2; ;2
333
x xxxx
xx
xxxx x
x
xx x
x
πππ
ππ

⎛⎞
⇔≥ − − − − ⇔
⎜⎟
⎝⎠

<<⇔<−<


⇔⇔

⎛⎞

−−−−≥ −
⎜⎟

⎝⎠


<<

⇔⇔


++≤⇔∈−−

⎛⎤⎛ ⎞⎛ ⎞
⇔∈− − ∪− − ∪− − ∪
⎜⎜⎟⎜⎟

⎝⎦⎝ ⎠⎝ ⎠
[ ) 11
4; 13;4 .

ππ ⎛⎞∪− − ∪− −⎜⎟
⎝⎠ ◄
17.
323
; ; , , 0,1, 2, ...
24 3 3 4 nn m mnm ππ π π
ππ π π ⎧⎫ ⎛ ⎤ ⎡ ⎞ ∪+ + ∪ + + ∈ = ⎨⎬
⎜⎟
⎥⎢
⎩⎭ ⎝ ⎦ ⎣ ⎠
► () ()
cos
2 12 3sin
23log
81 2cos
cos
2 123sin
1cos 2 3log 0
81 2cos x x
x
x
x x
xx
x ⎛⎞
+
⎜⎟
−⋅
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠ ⎛⎞
+
⎜⎟
≤⇔−⋅≤⇔
⎜⎟

⎝⎠

104
()
()
()
2
22
2
2
230,
3
230 ,
2
cos 0 sin 1, cos 1 sin 0,
123sin 8161 sin
123sin
10
81 2cos
8161 sin
01,
333
sin ,
28
16 2 3 9
00
11
21
22 x
xx
xxxx
xx
x
x
x
t
tt
tx
tt
t
tt −=







−> ⇔ >



⇔⇔


≠⇔ ≠ ≠⇔ ≠




+−+−

+

≥⇔ ≥



−−



<<
⎛⎞⎛ ⎞
−+
⎜⎟⎜ ⎟
=
−−
⎝⎠⎝ ⎠
≤⇔ ≤

−⎛⎞⎛⎞
−+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
13
;
2
2 t ⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟


⎜⎟

⎜⎟


⎜⎟

⎜⎟


⎜⎟
⎜⎟
⎛⎤
⎜⎟
⇔∈



⎜⎟
⎝⎦
⎝⎠
3
,
2
3
230 ,
2
13
sin
2
2 x
xx
x ⎡
=




−> ⇔ >
⇔⇔







<≤




3
,
2
23
; ; , , 0,1, 2,...
43 3 4 x
xnn mmnm
ππ π π
ππ π π

=



⎛⎤⎡ ⎞

∈+ + ∪ + + ∈ =
⎜⎟
⎥⎢

⎝⎦⎣ ⎠
⎣
18. 123
; ; , 1, 2,..., 1, 2,...
24 3 3 4nn k kn k ππ π π
ππ π π ⎧⎫ ⎡ ⎞ ⎛ ⎤
∪+ + ∪ + + =−− =−−
⎨⎬
⎟⎜
⎢⎥
⎩⎭ ⎣ ⎠ ⎝ ⎦

()
()
2
sin
2 3cos
12 log
2
8cos 2
sin
2 sin 0, sin 1,
1sin
3tg cos
12 log 0
8cos 2
x tgx x
x
x
x xx
x
xx
x
x ⎛⎞
+
⎜⎟
−⋅
⎜⎟

⎝⎠ ⎧
≠≠


⎛⎞
≤⇔ ⇔
+

−⋅ ≤
⎜⎟

⎜⎟


⎝⎠


105
()
()
2
2
2
1
,
1
,
2
2
11
,,
22
sin 0, sin 1, sin 0, sin 1,
3tg
3tg cos
1
1
8cos 2
821 tg x
x
xx
xx xx
x
xx
x
x ⎡
=


=









<<




⇔⇔⇔




⎪⎪

≠≠ ≠≠
⎨⎨


⎪⎪

+
+

⎪⎪




⎪⎪



−+





()
() ()
2
2
1
,
1
2
,
2
1
,
2
11
,,
1
22
,
2
sin 0, sin 1, sin 0, sin 1,
1tg 3
3
2tg tg 3
tg 1 tg
0
2
tg 3
0
tg 3 tg 3 x
x
x
xx
x
xx xx
x
xx
xx
x
xx ⎡
=


=








=








<<





⇔⇔⇔



<

⎪⎪


≠≠ ≠≠

⎨⎨ ⎨



⎪⎪ ⎪

≤<


⎛⎞

+−

⎪⎪
−+

⎜⎟


⎪⎪
⎝⎠







−+




123
; ; , 1,2,..., 1,2,...
24 3 3 4 xnnkknk ππ π π
ππ π π ⎧⎫ ⎡ ⎞ ⎛ ⎤
⇔∈ ∪ + + ∪ + + =−− =−−
⎨⎬
⎟⎜
⎢⎥
⎩⎭ ⎣ ⎠ ⎝ ⎦ ◄
19.
[ ) ;;00;,.
44 4nn n ππ π
ππ ⎡⎤⎡⎞
−− − ∪− ∪ +∞ ∈

⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎠

2
2
0,
1
sin ;
1
2
sin sin
2
0,
2sin 1 1 cos 2 1 cos2 0x
xx
xx
x
xxx ⎡






≥− ⇔ ∈



⋅≥−⇔ ⇔

<




≤⇔− ≤⇔ ≥

⎣
0,
0,
,
44 x
x
nx nn
ππ
ππ



<


⇔⇔



−+ ≤≤ + ∈



⎣Z

106
[ ) ;;00;,.
44 4nn n ππ π
ππ ⎡⎤⎡⎞
⇔− − − ∪− ∪ +∞ ∈

⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎠ ◄
20.
24
;0 .
5 ⎡⎤

⎢⎥
⎣⎦
► 22 5sin 2 sin cos cos 1 6xax x xa+⋅+++≤⇔
()
222
222
21 cos2 sin2 2 6
2cos2 sin 2 4 6
2cos2 sin 2 4 6,
2cos2 sin 2 4 6
2cos2 sin 2 10 10 24
1,
5
444
2cos2 sin 2 2 2
10
444xa xa
xa xa
xa xa
xa xa
xa x a a
a
aaa
xa x a a
a
aaa ⇔− + ++≤⇔
⇔−−−≤⇔
−−−≤

⇔⇔

−−−≥−

−++

≤⇒≥⇔ ≥−

+++


⇔⇔


−−−

≥⇒≤− ⇔ ≤

+++

24
;0 .
5 a ⎡⎤ ⇔∈− ⎢⎥
⎣⎦ ◄
21.
5
2;25 2 2 .
66 nn n n π
ππππ ⎡⎞⎛ ⎞ +∪ + + ⎟⎜ ⎟

⎣⎠⎝ ⎠
22. 12
;0 .
5 ⎡⎤−⎢⎥
⎣⎦
► 22 3sin 2 sin cos cos 3xax x xa+⋅++≤⇔
()1 cos 2 2 sin cos 1 3
cos2 sin2 2 3 cos2 sin2 2 3
cos 2 sin 2 5 0,
cos 2 sin 2 1 0xax x a
xa xa xa xa
xa xa
xa xa ⇔− + ⋅ ++≤⇔
⇔− + ++ ≤⇔ − −− ≤⇔
−−−≤

⇔⇔

−−+≥


107
222
222
cos 2 sin 2 5 5 12
11,
5
111
cos 2 sin 2 1 1
10
111xa x a a
a
aaa
xa x a a
a
aaa−++

−≤ ≤⇒≥⇔ ≥−

+++

⇔⇔

−−−

≥⇒≤− ⇔ ≤

+++

12
;0 .
5 a⎡⎤
⇔∈−
⎢⎥
⎣⎦ ◄
23.
35
arctg ; .
22 π ⎛⎞
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
► ()()
() 22
2 91 tg 31 tg
93cos2
tg tg
3sin 2 2
6tg 2 1 tg xx
x
xx
x
xx +−−

>⇔> ⇔

−+
() ()
232 23
22
2
32
2
0 6tg 2tg 2tg 6 12tg 6tg 2tg 2tg 6
00
6tg 2 2tg 6tg 2 2tg
tg 3 tg 1
tg 3tg tg 3
00
tg 3tg 1
35 35
tg tg
22
tg 3 3 5
0tg
2
35 35
tg tg
22
tgx
xx x x x xx
xx xx
xx
xxx
xx
xx
x
x
xx
>
−− −− − − −−
⇔>⇔>⇔
−− −−
++
+++
⇔>⇔ >⇔
−+
⎛⎞⎛⎞
−+
−−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
++
⇔>⇔>
⎛⎞⎛⎞
−+
−−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
1
1
21
2
tg ;
1
8
21
1
2
π −

⇔= =
+
+
2135 35
arctg ; .
222
21 x π ⎛⎞ −+ +
< ⇒ ∈⎜⎟
⎜⎟ + ⎝⎠

24.
1
; arcctg 2 arcctg ; .
222 ππ⎡⎞⎛ ⎞ ∪⎟⎜ ⎟

⎣⎠⎝ ⎠
►Пусть ctg , 0txt=>. Тогда
2
22 ctg 1 2ctg
cos 2 , sin 2
1ctg 1tg x x
xx
x x

==
++
и неравенство примет вид :

108
()()
()
() ()
()
() ()
22
32
2
2
2
00
2
0
12 5171
4422
0
10 4 4
10 4 1
12 1
1
00
1
252
2
2
11
0; 2; ; 2;
2122
tt
tctg
tt
ttt
t
tt
tt
tt
tt
tt
tttg
π
π
>>
<≤
−+ +
++ +
>⇔<⇔
−−
−+
++
⇔>⇔>⇔
−+⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞ ⎡ ⎞
⇔∈ ∪ +∞ ⇔ ∈ ∪ +∞⇒
⎜⎟ ⎟

⎝⎠ ⎣ ⎠
1
; arcctg 2 arcctg ;
12 2 2 x ππ⎡⎞⎛ ⎞
⇒∈∪
⎟⎜ ⎟

⎣⎠⎝ ⎠ ◄
25.
47 3 47
arctg ; arctg arctg ;
32 38 π ⎛⎞⎡⎞
+−+
−−∪ −
⎜⎟⎟

⎜⎟⎟
⎝⎠⎣⎠ .
26.
arctg 2; .
12 π ⎛⎞−−⎜⎟
⎝⎠
27. 7
;0;.
12 2 12ππ π ⎛⎤⎡⎞−−∪⎜⎟
⎥⎢
⎝⎦⎣⎠
► () 2
cos sin 0,
sin 2 cos sin sin 2 cos sin ,
sin 2 0 xx
xxx x xx
x−> ⎧

<−⇔ < − ⇔ ⎨

≥ ⎩
()()
() 22
2
cos sin 0,
1 cos sin cos sin ,
1cos sin 0xx
xx xx
xx ⎧
−>


⇔− − < − ⇔


−− ≥


111
cos sin 1 sin
24
22 x
xx x
π π < ⎛⎞ ⇔< − ≤⇔< −≤⇔ ⎜⎟
⎝⎠
7
;0;.
12 2 12 x
x
π ππ π < ⎛⎤⎡⎞ ⇔∈− − ∪ ⎜⎟
⎥⎢
⎝⎦⎣⎠ ◄

109
Оглавление
Часть I. Примеры и задачи .......................................................................................... 3
1.Отбор корней в тригонометрических уравнениях .................................................... 3
1.Как записывать ответ−с одинаковыми или разными буквами?Система
уравнений с одним неизвестным .......................................................................... 4
2.Отбор корней при решении уравнений,содержащих дроби .......................... 7
3.Задачи с отбором корней в уравнении,содержащем модуль ......................... 11
4.Задачи с отбором корней в иррациональном уравнении ................................ 14
5.Отбор корней,принадлежащих заданному промеж
утку................................. 17
2.Обратные тригонометрические функции .................................................................. 23
1.Что такое arcsin ?
α ............................................................................................. 23
2.Функция
arcsin . yx= Свойства .График ......................................................... 25
3.
Вычисление тригонометрических функций от «арков »положительных чисел . 30
4.
Как найти () arcsin sina , () arccos cosa , () arctg tga , () arcctg ctga ? ................ 32
5.
Упрощение выражений ,содержащих обратные тригонометрические
функции
. .................................................................................................................. 37
6.
Решение уравнений ,содержащих обратные тригонометрические функции 43
3.
Тригонометрические системы .................................................................................... 49
4.
Тригонометрические неравенства .............................................................................. 52
Часть II. Ответы и решения ........................................................................................ 57

МФТИ помогает готовится к ЕГЭ

ЕГЭ
Математика
Тригонометрические системы,
неравенства, обратные функции.
Отбор корней
Подписано в печать 20.09.16, Формат 62х94 1/ 16.
Бумага офсетная,печать офсетная.
Тираж 1000 Заказ № 59
Отпечатано в типографии ООО «Азбука-2000»
109544, г.Москва,ул.Рабочая,д. 84
X