Вербицкий В. И. - Математика (Справочник школьника. Все темы ОГЭ и ЕГЭ. 5-11 кл.) - 2017

Формат документа: pdf
Размер документа: 3.58 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

ÓÄÊ 373:51 ÁÁÊ 22.1ÿ721Â31
Âåðáèöêèé, Âèêòîð Èëüè÷.Ìàòåìàòèêà / Â. È. Âåðáèöêèé. — Ìîñêâà : Ýêñìî, 2017. — 336 ñ. —
(Ñïðà âî÷íèê øêîëüíèêà. Âñå òåìû ÎÃÝ è ÅÃÝ: 5—11 êëàññû).
ISBN 978-5-699-95851-1
Ñïðàâî÷íèê ñîäåðæèò ñâåäåíèÿ ïî âñåì òåìàì, ïðîâåðÿåìûì íà ÎÃÝ
è ÅÃÝ ïî ìàòåìàòèêå. Ïî êàæäîìó ðàçäåëó ïðèâîäÿòñÿ ïåðå÷åíü íåîáõî-
äèìûõ ïîíÿòèé, ôîðìóëû, äîñòóïíîå îáúÿñíåíèå òåì, à òàêæå âîïðîñû è òèïîâûå çàäàíèÿ ÎÃÝ è ÅÃÝ ñ îòâåòàìè.  êîíöå ðàñïîëîæåí ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü äëÿ óäîáíîãî ïîèñêà èíôîðìàöèè. Ñïðàâî÷íèê ïîìîæåò àêòóàëèçèðîâàòü çíàíèÿ äëÿ óñïåøíîé ñäà÷è ýê-
çàìåíîâ, à òàêæå ïîäãîòîâèòüñÿ ê ðàçëè÷íûì ôîðìàì òåêóùåãî êîíòðîëÿ â ïðîöåññå èçó÷åíèÿ ìàòåìàòèêè íà óðîêàõ. Èçäàíèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ó÷àùèõñÿ 5—11-õ êëàññîâ è ó÷èòåëåé.
ÓÄÊ 373:51 ÁÁÊ 22.1ÿ721
Â31
ISBN 978-5-699-95851-1 © Âåðáèöêèé Â.È., 2017© Îôîðìëåíèå. ÎÎÎ «Èçäàòåëüñòâî «Ýêñìî», 2017

3
СодЕржаниЕ
Предисловие
����������������������������������� 8
АлгебрА
1� Числа, корни и стеПени
������������������������������������������������������� 12
1�1� Целые и рациональные числа
����������������������������������������������� 12
1�1�1� разложение натурального числа на простые множители
�������������� 16
1�1�2� Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10
������������������������������������ 16
1�1�3� нахождение наименьшего общего кратного и наибольшего общего
делителя
���������������������������������������������������������������������� 17
1�1�4� разложение в десятичные дроби
��������������������������������������� 18
1�1�5� Представление десятичных дробей в виде обыкновенных
������������� 18
1�1�6� сложение и вычитание дробей
����������������������������������������� 19
1�1�7� Умножение и деление дробей
������������������������������������������ 19
1�2� Проценты
�������������������������������������������������������������������� 22
1�3� степени и корни
������������������������������������������������������������� 25
2� основы тригонометрии
������������������������������������������������������� 35
2�1� синус, косинус, тангенс, котангенс угла и числа� основные тождества�
Формулы приведения
����������������������������������������������������������� 35
2�2� тригонометрические функции суммы, разности, двойного угла
������������ 43
3� логариФмы
���������������������������������������������������������������������� 49
4� Преобразования выражений
������������������������������������������������� 54
4�1� Преобразования выражений, включающих арифметические операции,
степени и корни
����������������������������������������������������������������� 54
4�2� Преобразования тригонометрических и логарифмических выражений�
модуль числа
�������������������������������������������������������������������� 60
4�2�1� Преобразования тригонометрических выражений
�������������������� 61
4�2�2� Преобразования логарифмических выражений
����������������������� 64
4�2�3� геометрический смысл модуля
����������������������������������������� 67
5� квадратные, раЦиональные и ирраЦиональные Уравнения
������������� 68
5�1� решение квадратных уравнений
�������������������������������������������� 70
5�2� замена переменной в рациональных уравнениях
�������������������������� 74

4
содержание
5�3� иррациональные уравнения ������������������������������������������������ 75
5�3�1� основные методы решения иррациональных уравнений
�������������� 76
6� тригонометриЧеские, Показательные, логариФмиЧеские
Уравнения
�������������������������������������������������������������������������� 80
6�1� тригонометрические уравнения
�������������������������������������������� 80
6�1�1� решение простейших тригонометрических уравнений
���������������� 80
6�1�2� основные способы решения более сложных тригонометрических уравнений
�������������������������������������������������������������������� 82
6�2� Показательные уравнения
�������������������������������������������������� 88
6�2�1� решение простейших показательных уравнений
����������������������� 88
6�2�2� Приведение всех степеней к одному основанию
����������������������� 88
6�2�3� замена переменной в решении показательных уравнений
������������ 89
6�3� логарифмические уравнения
����������������������������������������������� 90
6�3�1� решение простейших логарифмических уравнений
������������������� 90
6�3�2� методы решения более сложных логарифмических уравнений
������� 91
7� системы Уравнений� равносильность Уравнений и систем� решение текстовых задаЧ
������������������������������������������������������� 94
7�1� основные методы решения систем уравнений
������������������������������ 97
7�1�1� метод подстановки
����������������������������������������������������� 97
7�1�2� метод алгебраического сложения
�������������������������������������� 97
7�1�3� введение новых переменных
������������������������������������������� 98
7�1�4� использование свойств и графиков функций при решении уравнений
������������������������������������������������������������������ 105
7�1�5� изображение на координатной плоскости множества решений
уравнений с двумя переменными и их систем
������������������������������ 107
7�2� Применение математических методов для решения
содержательных задач
��������������������������������������������������������� 109
8� неравенства
�������������������������������������������������������������������� 114
8�1� решение линейных неравенств
�������������������������������������������� 118
8�2� решение квадратных неравенств
������������������������������������������� 118
8�3� решение рациональных неравенств
��������������������������������������� 119
8�4� основные способы решения рациональных неравенств
������������������ 119
8�4�1� метод интервалов
����������������������������������������������������� 119
8�4�2� обобщённый метод интервалов
��������������������������������������� 122
8�4�3� замена переменной
��������������������������������������������������� 123
8�5� решение показательных неравенств
��������������������������������������� 124
8�5�1� замена переменной в показательных неравенствах
������������������ 125
8�6� логарифмические неравенства
�������������������������������������������� 126
8�6�1� замена переменной в решении логарифмических неравенств
������� 127
8�7� системы линейных неравенств
��������������������������������������������� 128
8�8� системы неравенств с одной переменной
��������������������������������� 129

5
содержание
8�9� решение совокупности неравенств ����������������������������������������� 129
8�10� использование свойств и графиков функций при решении неравенств ���� 130
8�10�1� использование графиков
�������������������������������������������� 132
8�10�2� изображение на координатной плоскости множеств решений
неравенств с двумя переменными и их систем
������������������������������ 135
9� ФУнкЦии и граФики
������������������������������������������������������������ 139
9�1� способы задания функции
������������������������������������������������� 141
9�1�1� аналитический способ
������������������������������������������������ 141
9�1�2� табличный способ
����������������������������������������������������� 142
9�1�3� графический способ
��������������������������������������������������� 143
9�2� обратная функция и её график
��������������������������������������������� 143
9�3� Преобразования графиков
������������������������������������������������� 145
10� Элементарное исследование ФУнкЦий� основные Элементарные ФУнкЦии
�������������������������������������������������������� 149
10�1� монотонность функций
��������������������������������������������������� 152
10�2� Чётность и нечётность функций
������������������������������������������� 153
10�3� Периодичность функций
�������������������������������������������������� 154
10�4� ограниченность функций
������������������������������������������������� 155
10�5� точки экстремума функции
������������������������������������������������ 156
10�6� наибольшее и наименьшее значения функции
��������������������������� 158
10�7� основные элементарные функции
���������������������������������������� 160
10�7�1� линейная функция
��������������������������������������������������� 160
10�7�2� Функция, описывающая обратно пропорциональную зависимость
���� 162
10�7�3� квадратичная функция
����������������������������������������������� 163
10�7�4� степенная функция
��������������������������������������������������� 166
10�7�5� тригонометрические функции
��������������������������������������� 169
10�7�6� обратные тригонометрические функции
���������������������������� 173
10�7�7� Показательная функция
���������������������������������������������� 176
10�7�8� логарифмическая функция
������������������������������������������� 177
11� Производная и интеграл
���������������������������������������������������� 181
11�1� Предел функции
����������������������������������������������������������� 184
11�2� Приращение функции
����������������������������������������������������� 185
11�3� Производная функции в точке
�������������������������������������������� 186
11�4� геометрический смысл производной
������������������������������������� 186
11�5� Физический смысл производной
����������������������������������������� 187
11�6� Уравнение касательной к графику функции
������������������������������� 188
11�7� Производные суммы, разности, произведения, частного
����������������� 189
11�8� Производная сложной функции
������������������������������������������� 189
11�9� исследование функций
��������������������������������������������������� 190
11�9�1� Промежутки монотонности
������������������������������������������ 190
11�9�2� Экстремумы функций
������������������������������������������������� 191

6
содержание
11�9�3� Построение графиков функций �������������������������������������� 191
11�9�4� наибольшие и наименьшие значения функций
���������������������� 193
11�10� Первообразная� неопределённый интеграл
����������������������������� 195
11�11� определённый интеграл
������������������������������������������������� 196
геометрия
13� треУгольник� ЧетырёхУгольник
�������������������������������������������� 202
13�1� треугольник
��������������������������������������������������������������� 208
13�1�1� основные свойства треугольников
���������������������������������� 208
13�1�2� Признаки равенства треугольников
���������������������������������� 209
13�1�3� Признаки равенства прямоугольных треугольников
���������������� 209
13�1�4� Подобие треугольников
���������������������������������������������� 210
13�1�5� теорема Пифагора
���������������������������������������������������� 213
13�1�6� свойство биссектрисы треугольника
�������������������������������� 215
13�1�7� решение треугольников
���������������������������������������������� 215
13�2� Четырёхугольник
���������������������������������������������������������� 218
13�2�1� Параллелограмм
����������������������������������������������������� 218
13�2�2� Прямоугольник
������������������������������������������������������� 219
13�2�3� ромб
������������������������������������������������������������������ 220
13�2�4� трапеция
������������������������������������������������������������� 220
14� окрУжность� многоУгольники
��������������������������������������������� 225
14�1� окружность
��������������������������������������������������������������� 229
14�1�1� основные свойства окружности
������������������������������������� 229
14�1�2� теорема о касательной и секущей
������������������������������������ 231
14�1�3� теорема о секущих
��������������������������������������������������� 231
14�1�4� окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная
около треугольника
��������������������������������������������������������� 233
14�2� многоугольники
���������������������������������������������������������� 236
15� Прямые и Плоскости в Пространстве
������������������������������������� 240
15�1� основные аксиомы стереометрии
���������������������������������������� 242
15�2� свойства прямых и плоскостей в пространстве
��������������������������� 242
15�3� Признак скрещивающихся прямых
��������������������������������������� 243
15�4� Параллельность прямых и плоскостей
������������������������������������ 243
15�4�1� свойства и признаки параллельности прямой и плоскости
���������� 243
15�4�2� Признаки параллельности плоскостей
������������������������������� 244
15�4�3� свойства параллельных плоскостей
��������������������������������� 244
15�5� Перпендикулярность прямых и плоскостей
������������������������������ 246
15�5�1� Признак перпендикулярности прямой и плоскости
����������������� 246
15�5�2� свойства перпендикуляров
������������������������������������������ 246
15�5�3� теорема о трёх перпендикулярах
������������������������������������ 246

содержание
15�5�4� свойства перпендикуляров и наклонных, проведённых
к плоскости из одной точки
������������������������������������������������� 246
15�5�5� Признаки перпендикулярности плоскостей
������������������������� 247
15�5�6� свойства перпендикулярных плоскостей
���������������������������� 247
16� многогранники
�������������������������������������������������������������� 252
16�1� Призма
�������������������������������������������������������������������� 254
16�1�1� свойства призмы
����������������������������������������������������� 254
16�1�2� свойства прямой призмы
�������������������������������������������� 254
16�1�3� свойства правильной призмы
��������������������������������������� 255
16�1�4� Построение перпендикулярного сечения в наклонной призме
����� 256
16�2� Пирамида
����������������������������������������������������������������� 258
16�2�1� Усечённая пирамида
������������������������������������������������� 258
17� тела и Поверхности вращения
��������������������������������������������� 262
17�1� Цилиндр
������������������������������������������������������������������� 264
17�2� конус
���������������������������������������������������������������������� 265
17�2�1� свойства прямого кругового конуса
��������������������������������� 265
17�2�2� свойства усечённого конуса
����������������������������������������� 267
17�3� шар
����������������������������������������������������������������������� 268
17�3�1� свойства шара
������������������������������������������������������� 268
18� измерение Углов, длин отрезков, ломаных, кривых
�������������������� 270
19� измерение Площадей
������������������������������������������������������� 278
20� выЧисление объёмов
�������������������������������������������������������� 286
21� координаты и векторы
������������������������������������������������������ 292
21�1� действия над векторами� сложение векторов
���������������������������� 297
Элементы комбинАторики, стАтистики
и теории вероятностей
22� Элементы комбинаторики
�������������������������������������������������� 302
22�1� Перестановки
������������������������������������������������������������� 304
22�2� размещения
��������������������������������������������������������������� 305
22�3� сочетания
����������������������������������������������������������������� 305
22�3�1� треугольник Паскаля
������������������������������������������������� 307
22�3�2� Формула бинома ньютона
�������������������������������������������� 307
22�4� решение простейших комбинаторных задач
������������������������������ 308
23� Элементы статистики
������������������������������������������������������� 312
24� Элементы теории вероятностей
������������������������������������������� 318
Предметный Указатель
���������������������������� 330

ПрЕдиСлоВиЕ
Уважаемый читатель! В ваших руках — справочник по математике, который ста-
нет помощником при обучении в 5–11 классах, поможет сдать экзамены, даст возможность без труда поступить в вуз. В этом справочнике вы найдёте теоретический материал
по всем темам, которые проверяются на ОГЭ и еГЭ. Для итого-
вого контроля при освоении каждой темы в справочнике при-
ведены типовые вопросы, организованные как задания в учеб-нике, на ОГЭ и еГЭ. Каждая тема включает в себя четыре основных блока:
•  «Правила, определения, законы» — ключевые понятия данной темы;
•  «Основные формулы» — набор самых важных формул данной темы;
•  «Объяснение и важные примеры» — изложение теорети-
ческого материала и примеры практической реализации теории;
•  «типовые задания» — образцы практических заданий,
которые дают представление о форме контроля в рамках школьных занятий, при проведении ОГЭ и еГЭ.
теоретический материал изложен ёмко и доступно. Разде-
лы, посвящённые различным темам, удобно структурированы
и позволяют быстро освежить в памяти содержание школьного
курса и успешно ответить на соответствующие вопросы. Для
удобства работы в пособии представлены соответствующие ри-сунки и таблицы. В конце справочника приведён тематический указатель,
который поможет легко найти интересующую вас информа-цию.

9
302 303
Элементы комбинаторики
22. Элементы комбинаторики
Правила и определения Перестановкой из n элементов называется любое упоря -
доченное множество, составленное из этих элементов (все
элементы входят в определённом порядке по одному разу).
Количество всех перестановок из n элементов обознача-
ется P
n.
 Факториалом натурального числа n называется произве-
дение всех натуральных чисел от 1 до n:
n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n .
По определению, 0! = 1.
 Размещением из n элементов по m называется любое упо-
рядоченное множество из m различных элементов данно-
го n-элементного множества.
Количество всех размещений обозначается
A nm
. Сочетанием из n элементов по m называется любое не-
упорядоченное множество из m различных элементов
данного n-элементного множества.
Количество всех сочетаний обозначается
C nm
. Правило суммы: если элемент a можно выбрать m способа -
ми, а элемент b — n способами, исключающими друг дру -
га, то выбор a или b можно осуществить ( m + n ) способами.

Правило произведения: если элемент a можно выбрать m
способами и после каждого такого выбора можно элемент b выбрать n способами, то выбор пары ( a; b) (в указанном
порядке) можно осуществить ( m ⋅ n ) способами.
основные формулы 
hЧисло перестановок из n элементов
P n
= n !
n
n!
0 1
1 1 2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040 8 40 320
9 362 880
10 3 628 800

hЧисло размещений из n элементов по m An
nm
n
m
=
! () !
; An nn m
n m
= +
() ...() . 11 
hЧисло сочетаний из n элементов по m Cn
mn m
n
m
=
!
!( )!;
C
nn
nm m nm
= +() ... ()
! . 11

hОсновные свойства числа сочетаний CCnm nnm
=
; CCnn n
0
1
= = ; CC n
nn n==
1
; CC C
n m
nm
nm+=
+ ++ 1
11 (если
n > m).
30 31
Числа, корни и  степени алгебра
Найти значение выражения 5
4 2
7
5
19aa a( )
, .
рРеРенР.
` Выражение имеет смысл при a > 0. Упростим
его:
55 55 4 2
7
5
19 1
4 2
7
5
19 1
4 2
7
5
19 1
2
aaa aaa aaa aa ()
= ( )
=
=

,, ,
() () () 77
5
19
a, =
=
= = =
+
5 55 5
05
14
19 05
14 19 0
aa a aa,,
, ,,
,
.
оОтР О.
` 5.
В ажное и интересное
А
лгоритм извлечения квадратного корня «в столбик»
и з любого полож нОРльеого чнсла, прР дсОатлРееого т тндР дРсяОнч-
е ой дробн, можео с  любой зада ееой ОочеосО ью (Оо РсО ь с  любым
кол нчРс Отом зе акот послР запя Оой) нзтлРчь ктадраОеый кор Реь.
рассмоОрнм алгор нОм нзтлРчРеня корея.
Ве ачал Р буд Рм сч нОаОь, чОо ч нсло a, н з ко Оорого нзтлР каРОся ко -
рРе ь, содР ржнО од еу нлн дтР цнфры пРрР д запяОой (Рго цРлая час Оь
мРеьеР 100). тогда у  коре я будРО од еа цнфра пРрРд запя Оой. най-
дём пРртую цнфру корея послР запя Оой. обозеачнм бук той b ц Рлую
часОь корея, a — пРртую цнфру послР запяОой:
ab = ,...;
ab =+ +
10...; ab =+ +


10 2
... ;
ab b
=+ + +
2 2
2 10 100 ...; abb
= + +
2 2
2 10 100 ...; 100(a – b2
) = 2 ⋅ 10 b ⋅ a  + a 2
+ …;
100( a – b2
) = (10 ⋅ 2 b + a ) ⋅ a  + … .
В  лРт ой час Он послРдеРго ратРес Ота сОо нО раз еосОь н сходеого чн-
сла н  ктадраОа Р го цРлой час Он, ум еож Рееая е а 100 (Р слн ч нсло a
цРлоР, О о к разеос Он доп нсытаР м дта еуля, Р слн дроб еоР, — О о сдтн-
га Рм запя Оую еа дта разряда тпрато). В  пРртой час Он сОо нО чнсло
()2 b α (получРееоР допнсытаенР м цнфры a к уд тоРее ому чн слу b),
ум еож РееоР еа a. поэО ому для е ахождРеня ц нфры a ч нсло (),2
b α
ум еож РееоР еа a, ратеялось 100( b – a2
) (нлн было еанболРР блнзко
к эОому чн слу слРта). напрнмРр, еайдём пРртую цнфру
2:
Определим 22. Число 2 иррационально. его разложение
в бесконечную десятичную дробь имеет вид:
21 41421356
= , ... Будем рассматривать числа 2 1
; 2 1,4
; 2 1,41
; 2 1,414
; 21,4142
;
2 1,41421
; … Это степени с рациональными показателями. При
неограниченном увеличении количества десятичных знаков эти числа будут неограниченно приближаться к одному опре-
делённому числу (то есть при большом количестве знаков бу-
дут практически равны ему). Это число и есть
22
. Оно прибли-
жённо равно 2,66514. При этом 2 1
 = 2; 1 1,4
≈ 2,63902; 2 1,41

≈ 2,65737; 2 1,414
≈ 2,66475; 2 1,4142
≈ 2,66512; 2 1,41421
≈ 2,66514;
2 1,414213
≈ 2,66514; 2 1,4142135
≈ 2,66514; …, то есть действительно
степени становятся практически равными между собой. Все свойства степени сохраняются для степеней с действи-
тельным показателем.
Типовые задания Найти значение выражения 21 –3,8
⋅ 3 –2,2
: 7 –5,8
.
рРеРенР.
` 21–3,8
⋅ 3 –2,2
: 7 –5,8
 = (3 ⋅ 7) –3,8
⋅ 3 –2,2
: 7 –5,8
 = 3 –3,8
⋅ 
⋅ 3 –2,2
⋅ 7 –3,8
: 7 –5,8
 = 3 –3,8–2,2
⋅ 7 –3,8+5,8
 = 3 –6
⋅ 7 2
 =
73 4972 92 6=
.
оОтР О.
` 49
72 9.
Найти значение выражения 2
a–6
⋅ (–4 a–4
b5
)–2
при a = 4;
b  = –1.
рРеРенР.
`
24 24 64
5262 4252
aa ba ab = = () ()() () = = = =

+
2 1 16 21 16 18 64
2526 8106 810
aa baab ab ()() ()
=
18 21 0
ab .
При a = 4; b = –1 получаем 18 1841 1 81612 21
02 10
ab
= ==
() .
оОтР О.
` 2.
как пользоваться справочником
вспоминаем определения Учим формулы
Пример решения задачи
из учебника Пример решения задачи огЭ Узнаём больше Пример решения
задачи егЭ

10
Предисловие
222 223
Треугольник. ЧеТырёхугольник геоме Трия
Пример 19. Основания равнобокой трапеции равны 11 см
и 21 см, боковая сторона равна 13 см. Найти длину диагонали.
рРеРенР.
  BC = 11; AD = 21; AB = CD  = 13 (рис. 13.41).
Поскольку трапеция равнобокая,
D AEB  = D DFC , то есть AE = FD . От-
сюда
21 = 11 + 2 AE ; AE  = 5; ED =
= EF + FD  = BC + AE  = 11 + 5  = 16.
Из DBEA по теореме Пифагора:
BE AB AE
= ==
22
22
13 51 2. Из DBED по теореме Пифагора:BD BE ED
=+ =+=
22
22
12 16 20. о ОтР О.
  20 см.
Т иповые задания
В треугольнике ABC биссектрисы BD и AE пересекаются
в точке O. Вычислить длину стороны AC, если AB = 12 см,
AO : OE  = 3 : 2, AD : DC  = 6 : 7 (рис. 13.42).
р Ре РенР.
` Воспользуемся свойством биссектрисы тре-
угольника:
AB : BC  = AD : DC . 12 : BC = 6 : 7;
BC = =
12
76 14. Воспользуемся тем же свойством для DABE :
AO : OE  = AB : BE .
12 : BE = 3 : 2;
BE = =
12
23 8; EC = BC – BE  = 14 – 8  = 6.
Наконец, воспользуемся тем же свойством для биссектрисы AE:
BE : EC  = AB : AC ; 8 : 6  = 12 : AC;
AC = =
12
68 9. оОтР О.
` 9 см. A
B
D
C
E
F
Рис. 13.41
A C
B
O
D E
Рис. 13.42
В
равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC
основание на 3 см длиннее боковой стороны,
sin.= A 3
5
Найти площадь треугольника. рРеРенР.
` Пусть AB = x (рис. 13.43).
тогда AC = x + 3;
AD x
= +32.
Из DABD : sin;=A 3 5 cos
si n;
221
=
AA
cos;= =


=
A AD
AB 1
3
5 4
5
2 xx+
=
32 45; 5(
x + 3)  = 8 x; 5 x + 15  = 8 x; x = 5.
AD AB = = =
4 5 45 54 ; AC
 = 2 ⋅ AD  = 2 ⋅ 4  = 8; BD AB AD
= ==
22
22
54 3 (по теореме Пифагора).
Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту (см. раздел 19):
SACBD
= ==
1
2 1
2 83
12. о ОтР О.
` 12 см2
.
В прямоугольной трапеции боковые стороны 3 см и 5 см,
а меньшая диагональ равна
58 см. Найти периметр тра-
пеции и острый угол при основании.
рРеРенР.
` AB = 3; CD = 5;
AC=58 (рис. 13.44).
Из DABC по теореме Пифагора:
BC AC AB
= ==
22
58 97; AE = BC  = 7; CE = AB  = 3;ED CD CE = ==
22
25 94
(из DCED по теореме Пифагора);
A
C
B
DРис. 13.43
A C
B
D EРис. 13.44
108 109
СиСтемы уравнений. равно Сильно Сть уравнений и  СиСтем. решение тек Стовых задач а лгебра
7.2. Применение математических методов
для  решения содержательных  задач
При решении текстовой задачи необходимо составить
её математическую модель, то есть записать условие задачи в виде уравнения или системы уравнений, и учесть реальные
ограничения (например, скорость, время, расстояние, объём работы и т. д. не могут быть отрицательными). В общем случае
математическая модель текстовой задачи представляет собой систему уравнений и неравенств.
Пример 23. Поезд прошёл 400 км. Пройдя половину пути
с постоянной скоростью, он был задержан на семафоре на
30 мин, после чего увеличил скорость на 20 км/ч и прибыл на
конечную станцию через 5 ч после отправления. С какой ско-
ростью поезд прошёл вторую половину пути?
рРеРенР.
  Пусть вторую половину пути поезд ехал со скоро-
стью x км/ч. тогда первую половину пути он ехал со скоро-
стью ( x – 20) км/ч. Напомним, что при движении с постоянной
скоростью s = v ⋅ t, где s — пройденный путь, v — скорость,
t — время. Значит,
t sv=
. Поэтому первую половину пути (200
км) поезд прошёл за 20 020
x − ч, а вторую половину пути — за 20 0x ч. Учитывая 1
2 ч задержки, получаем: 20 0
20 1
2 20
0
5xx ++ =; 200
20 20 092 xx
+= ; 20
02020 09 20 xx + =; 4004 00 2092 0
22 0 0
xx
xx
xx
+

=
() () () ;
9 x 2
– 980 x + 8000  = 0;
x ≠ 0; x ≠ 20; x
1 =
100;
x
2 88 9=
. Учтём реальное ограничение x > 20 (действительно, первую
половину пути поезд шёл со скоростью ( x – 20) км/ч, то есть
уравнения
xy = 12 (это гипербола). Они пересекаются в точках
(3; 4); (4; 3); (–3; –4); (–4; –3) (рис. 7.5).
y
x
xy
= 12
0 3
4 4
–3
–4
5
3
3
4
x2
+ y 2
= 5
рис. 7.5
о ОтР О.
  (3; 4); (4; 3); (–3; –4); (–4; –3).
Пример 22. Определить количество решений системы:
xyxy22
21
1
+== ;
lo g. рРеРенР.
  Построим графики обоих уравнений. График
уравнения x2
+ y2
 = 1 — единичная окружность с центром
в начале координат. Уравнение x – log
2
y = 1 преобразуем:
log 2
y  = x – 1; y = 2 x
–1
. Изобразим оба графика на рис. 7.6. Оче-
видно, графики пересекаются в двух точках ( A и B ), то есть
система имеет два решения.
y
x
0 1 x
2
+ y 2
= 1
y
= 2 x
–1
0,5B
A
рис. 7.6
о ОтР О.
  Два решения.
разбираем примеры
Проверяем себя название раздела
Повторяем теорию

АлгебрА

12
1. ЧислА, корни и степени
1.1. Целые и  рАЦионАльные ЧислА
правила и определения

 Натуральными числами называют числа, используемые
для счёта (1; 2; 3; ...).

 Целыми числами называют натуральные числа, нуль (0)
и целые отрицательные числа, то есть числа, противопо- ложные натуральным (–1; –2; –3; …).
Множество натуральных чисел обозначается N, множест-во целых чисел — Z.

 Натуральное число, не равное 1, называется простым,
если оно делится без остатка только на себя и на 1.

 Натуральное число, отличное от 1 и не являющееся про-стым, называется составным.
Число 1 не является ни простым, ни составным.
Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители.

 Наименьшим общим кратным натуральных чисел n
1;
n
2;
…; n
k (обозначение: НОК{
n
1;
n
2; …;
n
k}) называется наи-
меньшее натуральное число, делящееся на все эти числа без остатка.

 Наибольшим общим делителем (обозначение: НОД{n
1;
n 2; …;
n
k}) называется наибольшее натуральное число, на
которое делятся без остатка все указанные числа.

13
Числа, корни и  степени

 Числа m и n называются взаимно простыми , если
НОД{ m; n} = 1.

 Рациональное число — это дробь вида
m
n , где m — це-
лое, n — натуральное число. Число m называется числи-
телем , n — знаменателем .

 Дробь
m
n называется несократимой , если числа m и n
взаимно просты. В противном случае дробь можно сокра- тить, разделив числитель и знаменатель на их НОД.

 Дробь
m
n называется правильной, если –n < m < n . В про-
тивном случае дробь неправильная. Неправильную дробь
можно записать, выделив целую часть. Для этого следует разделить m на n с остатком:
m
n p q n =+
,
где p — частное , q — остаток , 0  q < n .

 Рациональные и иррациональные числа образуют множе- ство R действительных чисел.

 Иррациональное число представляет собой бесконечную
десятичную непериодическую дробь.
основные формулы свойства действий над целыми числами

hСвойства сложения
m + n  = n + m ;
( m + n ) + l = m + ( n + l);
n + 0  = n ;
m + (– m) = 0.

hСвойства вычитания
m – ( n + l)  = m – n – l;
( m + n ) – l = (m – l) + n  = m +  (n – l);
m – (n – l)  = (m – n) + l = (m +  l) – n;

14
алгебра
m – 0  = m ;
0 – m = – m;
n – m = –( m – n).

hСвойства умножения
mn = nm ;
( mn )l = m (nl );
( m + n )l = ml + nl ;
( m – n)l = ml – nl;
m ⋅ 1  = m ;
m ⋅ 0  = 0;
m m
=
1
1.

hСвойства деления
(m ⋅ n ) : l = m ⋅ ( n : l)  = (m : l) ⋅ n ;
( m + n ) : l = m : l + n : l;
( m – n) : l = m : l – n : l;
m : ( n ⋅ l)  = (m : n) : l = (m : l) : n;
m : ( n : l)  = (m : n) ⋅ l = (m ⋅ l) : n.
На нуль делить нельзя!

hСокращение дробей
km
kn
m
n = .

hПреобразование конечной десятичной дроби в обыкно- венную
0
10
12 12
, ... ...
,
aa aaa
a
n n
n
=
где aa
a n 12... — число из
n цифр, в котором a
k —
k-я циф -
ра (1  k  n ).

hПреобразование десятичной периодической дроби в обыкновенную
0
9000
11 11
1
, ... ... ... ... ...
... ...
aa
bb aa
bb aa mn mn
m
nm() =
ðà çð
 à
àç 
.

15
Числа, корни и  степени
В частности,
0 99 11
, ... ...
... .
bb bb n n
n () = ðàç


hСложение и вычитание дробей с одинаковыми знамена- телями
k
n
l
n kl
n ±= ±
.

hСложение и вычитание дробей с разными знаменателя- ми
k
m
l
n
kp ls
r ±= ± ,
где r = НОК{ m; n}; p r m =
; sr n =
.
В частности, если знаменатели взаимно просты, то
k
m
l
n
kn lm
mn ±= ± .

hУмножение и деление дробей
k
l m
n km
ln
=
; k
l
m
n
kn
lm
:. =
если среди дробей есть целое число
r, то его представляют
в виде
r
1.
Все свойства действий над целыми числами сохраняются для рациональных чисел. Кроме того,
p q p
q p
q
= =
;
=
p
q p
q .
объяснение и важные примеры
Для записи чисел используется десятичная система счи-
сления, в которой число представляется в виде суммы степеней числа 10 (о степенях см. с. 25).
Натуральное число
aa aa
nn − 11 0
...
, содержащее ( n + 1) цифру
( a
n — первая цифра,
a
n–1 — вторая цифра, …,
a
0 — последняя
числа) — это сумма
an
⋅ 10 n
+ a
n–1
⋅ 10 n
–1
+ … + a
1
⋅ 10 + a
0

16
алгебра
(например, 328 = 3 ⋅ 10 2
+ 2 ⋅ 10 + 8).
Дробное число
aa aa
n ...
, ...
01 2
−− — это сумма
a n
⋅ 10 n
+  … + a
0
+ a
–1
⋅ 10 –1
+ a
–2
⋅ 10 –2
+ …
(например, 27,365  = 2 ⋅ 10 + 7 + 3 ⋅ 10 –1
+ 6 ⋅ 10 –2
+ 5 ⋅ 10 3
;
0,042  = 4 ⋅ 10 –2
+ 2 ⋅ 10 –3
).
Любое рациональное число можно представить в виде ко-
нечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
если в разложении знаменателя несократимой дроби на про-стые множители нет множителей, отличных от 2 и 5, то дробь
будет конечной, в противном случае — бесконечной периоди-ческой.
1.1.1. Разложение натурального числа на простые
множители
Разложение натурального числа на простые множители
можно осуществить последовательным делением на простые числа «в столбик».
Пример 1. Разложить 360 на простые множители.
рееение.
 
360
18 0
90 45
15 5 2 22
33
360  = 2 3
⋅ 3 2
⋅ 5.
Здесь мы перебираем простые числа в порядке возрастания
до первого числа, на которое делится наше число. Затем делим
на это простое число и ту же процедуру повторяем для частно-го, и так до тех пор, пока частное не станет простым числом.
1.1.2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его послед-
няя цифра чётная. Число делится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сум-
ма его цифр делится на 3 (на 9). Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его послед-
няя цифра — 0 или 5.

17
Числа, корни и  степени
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его по-
следняя цифра 0.
Пример 2. Разложить на простые множители число 2835.
рееение.
  Используем признаки делимости на 3 и на 5.
2835
94 5
315
105 35 7 3 333
5 2 + 8 + 3 + 5  = 18; 9 + 4 + 5  = 18; 3 + 1 + 5  = 9;
1 + 0 + 5  = 6; 2835  = 3 4
⋅ 5 ⋅ 7.
1.1.3. Нахождение наименьшего общего кратного
и  наибольшего общего делителя
Для нахождения НОК и НОД следует разложить каждое из
чисел на простые множители. НОК равно произведению всех
образовавшихся простых чисел, каждое из которых возводится в наибольшую из степеней, в которых оно входит в разложе-
ния. НОД равен произведению всех простых множителей, об-
щих для всех чисел, каждый из которых возведён в наимень-
шую из степеней, в которых оно входит в разложения. если общих простых множителей нет, то НОД равен 1.
Пример 3. Найти:
а) НОК{12; 108; 162}; б) НОД{12; 108; 162}.
рееение.
  Разложим числа на простые множители:
12
6
3 2 2

108
54
27 9
3 2 2
33

162 81
27 9
3 2
3 33
12  = 2 2
⋅ 3 108  = 2 2
⋅ 3 3
162  = 2 ⋅ 3 4
Воспользуемся правилом нахождения НОК и НОД:
а) НОК{12; 108; 162}  = 2 2
⋅ 3 4
 = 324 (простые множители
только 2 и 3, причём 2 входит максимально в степени 2, а 3 — максимально в степени 4);

18
алгебра
б) НОД{12; 108; 162} = 2 ⋅ 3  = 6 (общие простые множите-
ли — 2 и 3, причём оба входят минимально в первой степени).
о т в е т.
  а) 324; б) 6.
1.1.4. Разложение в  десятичные дроби
Пример 4. Представить в виде десятичной дроби:
а)
5
16 ; б) 3
14 .
рееение.
  Преобразование обыкновенной дроби в десятич-
ную осуществляется путём деления в столбик и дописывания нуля к каждому ненулевому остатку: а)

−− −
50
48 16
0 312 5
20
16
4032
80 80
0, б) −
− −−
− −

30
28 14
02 14285 7
20
14
60
56
40 28
12 0
112
80
70
100 98
2
,
...
В случае (б) остатки начинают повторяться (начиная
с остатка 2), то есть получаем периодическую бесконечную
десятичную дробь 0,2142857142857…, которая записывается в виде 0,2(142857).
о т в е т.
  а) 0,3125; б) 0,2(142857).
1.1.5. Представление десятичных дробей в  виде
обыкновенных
Пример 5. Представить в виде обыкновенной дроби:
а) 0,145; б) 0,(27); в) 0,3(52).

19
Числа, корни и  степени
рееение.
  Используем правило перевода десятичной дроби
в обыкновенную:
а)
0145 14
5 1000
52 9
5200
29
200
,; ==
=
б) 02
7 27 99
93
91
1
3
11 ,( );== =
в) 03
52 352
3 990
349
990 ,( ).=
=
о т в е т.
  а) 29
200 ; б) 3
11 ; в) 349
990 .
1.1.6. С ложение и  вычитание дробей
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменате-
лями:
k
n
l
n kl
n ±= ± .
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями:
следует привести их к общему знаменателю и сложить (или
вычесть) числители. Общим знаменателем является НОК зна-менателей исходных дробей:
k
m
l
n
kp ls
r ±= ±
,
где r = НОК{ m; n}; p r m =
; sr n =
.
В частности, если знаменатели взаимно просты, то
k
m
l
n
kn lm
mn ±= ± .
1.1.7. Умножение и  деление дробей

hУмножение и деление дробей
k
l m
n km
ln
=
; k
l
m
n
kn
lm
:. =
если среди дробей есть целое число
r, то его представляют
в виде
r
1 .

20
алгебра
Все свойства действий над целыми числами сохраняются
для рациональных чисел. Кроме того,
p
q p
q p
q
=

= ;
=
p
q p
q .
Пример 6.
Вычислить: а) 2
3
5
7+ ; б) 1
9
5
6
7
8 + .
рееение.
  а) В данном случае знаменатели взаимно просты,
НОД{3; 7}  = 1, поэтому:
2
3
5
7
27 53
37
14 15
21
29
21 += +
= + = .
б) 9 = 3 2
; 6  = 2 ⋅ 3; 8  = 2 3
, НОК{9; 6; 8}  = 2 3
⋅ 3 2
 = 72.
1
9
5
6
7
8
18 5127 9
72
8606 3
72
5
72 + = + = + =.
о т в е т.
  а) 29
21 ; б) 5
72 .
Пример 7. Вычислить: а) 2
5 3
8

; б) 13
4 2
7
9 :; в) 6 3
7:.
рееение.
  а) 2
5 3
8 23
58 23
25 4 3
54 3
20
=
=
= = ;
б) 134 2 79
14
3
4
29 7
9
7
4
25
9
79
254
63
100 :: :; =+ +
== =
в) 63 7
6
1
3
7
67
31
32
7
3 27 14
:: .
== =
= =
о т в е т.
  а) 3
20 ; б) 63
100 ; в) 14.
Пример 8. Вычислить:








5
6 6
7 :.
рееение.
 







==
=
5
6 6
7 5
6 6
7 57
66 35 36
::
.
о т в е т.
  35
36 .

21
Числа, корни и  степени
Важное и интересное

 А
лгоритм Евклида
Деление с остатком можно использовать для нахождения наиболь-
еего общего делителя двух чисел (разложение на простые множи-
тели для достаточно больеих чисел может оказаться громоздким).
легко видеть, что если m = np + q (q  — остаток от деления m на n), то
ноД{ m; n } = ноД{ n; q }. Действительно, если число s является общим
делителем чисел m и  n, то есть m и  n делятся на s, то число q = m – np
также делится на s, то есть — общий делитель n и  q. наоборот, если
s  — общий делитель n и  q, то m делится на s, так как m = np + q , а зна -
чит, s — общий делитель m и  n. таким образом, все общие делители
этих двух пар (в том числе и наименьеий) совпадают. алгоритм евк -
лида состоит в последовательном применении этого правила вплоть
до получения нулевого остатка. последний делитель и будет ноД.
Пример 1. найти ноД{476; 1088}.
Решение .
−1088
952 476
2
136 − 476 408 136
3
68 − 136 136 68
2
0
последним делителем было число 68. Значит, ноД{476; 1088}  = 68.
 ОтеО.
  68.
Пример 2. найти ноД{357; 238; 138}.
Решение . очевидно, ноД{ m; n ; s} = ноД{ m; ноД{ m; ноД{ n; s}}.
найдём начала ноД{238; 138}:
− 238
138 138
1
100 − 138 100 100
1
38 − 100
76 38
2
24 − 38
24 24
1
14
− 24
14 14
1
10 − 14
10 10
1
4 − 10
8 4 2
2 − 4 4 2 2
0
ноД{238; 138}  = 2.
теперь найдём ноД{357; 2}:
− 357
356 2
178
1 − 2 2 1
2
0 ⇒ ноД{357; 2}  = 1.
таким образом, ноД{357; 238; 138}  = 1.
 ОтеО.
  1.

22
алгебра
1.2. проЦенты
правила и определения 
 Процентом от величины называется сотая часть этой ве-
личины:
1 100%. =x x
основные формулы

hПроцент от величины
px px
%. = 100
объяснение и важные примеры
Пример 9. Найти 4 % от 30.
рееение.
 
43 043
0 100
120
100 12 %, .
=
==
о т в е т.
  1,2.
Пример 10. Найти число, если 3 % от него составляет 27.
рееение.
 
3 % ⋅ x  =  27;
3
100 27
x
= ; 3x = 27 ⋅ 100; x =
=
27
100 3 900.
о т в е т.
  900.
Пример 11. Найти процент содержания соли в растворе,
если 50 кг раствора содержит 4 кг соли.
рееение.
  50 ⋅ x %  = 4;
50
100 4

=
x
; 50 ⋅ x  = 4 ⋅ 100; x =
=
4
100 50 8.
о т в е т.
  8 %.
Пример 12. Стоимость товара повысилась на 10 %, а затем
в результате акции снизилась на 15 %. На сколько процентов и в какую сторону изменилась стоимость товара?

23
Числа, корни и  степени
рееение.
  если начальная стоимость равнялась x, то после
повышения товар стал стоить:
xx xx
xx x
+ =+ =+ = 10 10 100 01
11 %, ,.
После акции товар стоит:
111511 11 15
11 100 11 0165
,% (,), ,
,,
= = =
xx xx xx
=
= = =
09 35 0065 65 100 65
,, ,
,%.
xx xx x xx
о т в е т.
  Cнизилась на 6,5 %.
типовые задания
Найти число x, если 3,6 % от него равны
1 2
1
3 1
3
4
21 5 16





:, ,.
рееение.
`
2 13 134 1 13
3
4
4
3
3
4
44
33
12
169
12
7
12 = ==

=
= ;
21 52 3 2
2
1
3
2
22
3
4
3 :,
:: ;
== =
=
7
12
4
3
73
41 2
73
44 3
7
44
7
16
:; =
= = = 17 16
9
16 =
;
9
16 169 16
16
10
9
1009 =
== ,, ; 3,6 % ⋅ x  = 0,9; 36
100 09
,,;
=
x
x
=
= == 09
100
36 9
100
36 100
4 25
,
, .
о т в е т.
` 25.
Вычислить
1
36 5
24 2
15 5
2
7
+



: и представить в виде де-
сятичной дроби. рееение.
` Разложим знаменатели дробей в выражении
в скобках на простые множители и найдём их НОК:

24
алгебра
36
18
9
3 2 2
3

24
12
6
3 2 22
15
5 3
36
 = 2 2
⋅ 3 2
24  = 2 3
⋅ 3 15  = 3 ⋅ 5
НОК{36; 24; 15}  = 2 3
⋅ 3 2
⋅ 5  = 360.
1
36
5
24
2
15
11 05 15224
360
10 75 48
360
37
360 + =+

= +
=;
37
360 5
2
7 37
360 57
2
7 37
360 37
7 37
7
37 360 7
360
:: :; = + ==
==
1
10
7
36
:;
==
7
36 01
94
= ,( );
7
360 0
019 4
= ,( ).
о т в е т.
` 0,019(4).

Партия учебников была закуплена торговой базой и по-
ставлена в магазин по оптовой цене на 30 % выше заку-
почной. Магазин установил розничную цену на учебник
на 20 % выше оптовой. При распродаже магазин снизил
цену на 10 %, в результате учебники были распроданы по
цене 351 рубль за книгу. Какова была закупочная цена учебника? рееение.
` если начальная цена была x рублей за учеб-
ник, то оптовая цена оказалась:
x + 30 % ⋅ x  = 1,3 ⋅ x ,
а розничная цена: 1,3x + 20 % ⋅ (1,3 ⋅ x ) = 1,2 ⋅ 1,3 ⋅ x  = 1,56 ⋅ x .
После снижения цена составила 1,56 ⋅ x – 10 % ⋅ (1,56 ⋅ x ) = 0,9 ⋅ 1,56 ⋅ x  = 1,404 ⋅ x .
− −
−70
36 36
01 944
34 0
32 4
160 14 4
160 ,
...
...

25
Числа, корни и  степени
таким образом:1,404 ⋅ x  = 351;
x == =
== 351
14 04 351 1000
1404 351 1000
351 4 1000
4 25
0
, .
о т в е т.
` 250 рублей.
1.3. степени и  корни
правила и определения

 Число b называется n-й степенью числа a (где число n —
натуральное), если оно получено умножением числа a
на себя n раз:
ba aa a
n
n
==

... .
ðà ç

По определению,
a1
 = a .

 Число a называется основанием степени, число n — по-
казателем степени.
Отметим, что при чётном n (– a)n
 = a n
, а при нечётном n (– a)n
 =
= – an
.
если a ≠ 0, то, по определению, a0
 = 1; 0 0
не определено;
a a
n
n

=1 при
a ≠ 0; 0 –
n
не определено.

 Корнем степени n ( n = 2; 3; 4; …) из числа a называется
число, n-я степень которого равна a.
Корень второй степени иначе называется квадратным,
третьей — кубическим .

 Арифметическим корнем степени n из неотрицательного
числа a называется такое неотрицательное число, n-я сте-
пень которого равна a.
Обозначение
an используется для арифметического кор-
ня чётной степени и для корня нечётной степени. По определению,
aa
m n m
n
= ,
где a  0; m ∈ Z; n ∈ N.

26
алгебра
основные формулы
aa aa nn
= ...
ðà ç
(
n ∈ N);
a 1
 = a ; a0
 = 1;
a a
n
n

=1
; aa
m
n m
n
= .

hСвойства степени
ap
⋅ a q
 = a p
+ q
;
a
a a
p
q pq
=
;
(a p
) q
 = a pq
;
( ab )p
 = a p
⋅ b p
;
a
b a
b
p
p
p



=
; a
b b
a
p
p
p



=

.
если 0 < a < b , то ar
< b r
при r > 0; ar
> b r
при r < 0.
если r > s , то ar
> a s
при a > 1; ar
< a s
при 0 < a < 1.

hСвойства корней
aan n() =
;
aan
n
=, если n нечётно; aan
n
=, если n чётно (| x| = – x,
если x < 0; | x| = x , если x  0);
ab ab
nn
n
= ;
a
b
a
b
n
n n
= , где а  0, b > 0 при чётном n; b ≠ 0 при нечётном n;
aan k
k
n() =
;
aamk
nk
m
n = (
a  0; k ∈ N);
aan
m
mn
= .

27
Числа, корни и  степени
объяснение и важные примерыПример 1. Вычислить: а) (–5) 3
; б) (–3) 4
; в)
2 3
5 2



.
рееение.
  а) (–5)3
 = (–5) ⋅ (–5) ⋅ (–5)  = –125;
б) (–3) 4
 = (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3)  = 81;
в)
2 3
5 13
5 13
5 169
25 6
19
25
22
2
2



=


==
=.
о т в е т.
  а) –125; б) 81; в) 61925 .
Чётная степень любого числа неотрицательна. Нечётная степень отрицательного числа отрицательна.
Пример 2.
Вычислить: а) 5 –2
; б)
1
6 1



; в)



2
3 3
.
рееение.
  а) 51 5
1
25
2
2

== ; б) 1
6 1
1
6 6
1


==

:;
в)



=


=
=

2
3 3
2 3
2 27
8
33
3
3
()
.
о т в е т.
  а) 1
25 ; б) 6; в) −
27
8 .
Объясним некоторые свойства степени. если показатель
натуральный, то
aa aa aaa aaaa
mn
mn mn
=
=
+
... ... ...
()
ðà çð àç



ð
ðà ç

=+
a mn
.
Например, 3 2
⋅ 3 3
 = 3 5
 = 243.
() ... ... ...
aa aaa aa
mn
mmn
=

ðà çð àç
ðà ç






=
=
aa aa
mn mn
... .
ðà ç
Например, (2 3
)4
 = 2 12
 = 4096.
Степень с ненатуральным показателем определяется так,
чтобы указанные свойства сохранялись. Именно, a0
⋅ a n
 = a n
,
поэтому a0
 = 1; a–
n
⋅ a n
 = a 0
 = 1, поэтому
a a
n
n

=1
; aa
m
n n
m () =,
поэтому
aa
m n m
n
= .

28
алгебра
Пример 3. Вычислить: а) 3 7
⋅ 3 –2
; б) 5 –3
: 5 –6
; в) 2
2
3 6
() .
рееение.
  а) 37
⋅ 3 –2
 = 3 7–2
 = 3 5
 = 243;
б) 5 –3
: 5 –6
 = 5 –3+6
 = 5 3
 = 125;
в)
22 21
2 1
16
2
3 6
2
3 6
4
4


() == ==.
о т в е т.
  а) 243; б) 125; в) 1
16 .
Пример 4.
Вычислить: а) 3432
44
⋅ ; б) −27
12 5
3
; в) 779
6
5
7
10
⋅ .
рееение.
  а) 3432 32 32 32 36 44 4
43
4
44
4
= = ==;
б) =
=
27
12 5 27
12 5 3
5
3
3
3 ;
в) 77
77 77 77 9
6
5
7
10
9
56
7
10
33
31
0
7
10
3
10
7
10
= = ==

= == 77 77 37
10
10
10
.
о т в е т.
  а) 6; б) −3
5 ; в) 7.
Пример 5. Вычислить: а)
1
34 3 1
3



; б) 8 2
3

; в) 8
12 5 1
1
3



.
рееение.
  а) 1
34 3 1
34 3 1
7
1
3 3


== ;
б) 88 1
8 1
2 1
4
2
3 2
3
322


==
()
== ;
в) 8
12 5 8
12 5 12
5
8 12
5
8 12
5
1
1
3 4
3 4
3 3 4



=


=


=


=
33
3 4
8



=
=


==
5
2 5
2 62
5
16
4
4 4 .
о т в е т.
  а) 1
7 ; б) 1
4 ; в) 62
5
16 .

29
Числа, корни и  степени
Пример 6. Представить в виде степени: xx x3
2
5
3
7 ⋅
:.
рееение.
  xx xxxx xx3
2
5
3
7 1
3 2
5 3
7 1
3 2
5 3
7 32
105 = = = +
:: .
о т в е т.
  x
32
105
.
Пример 7. Упростить: xx y
2
3 6
5 61
3 () :( ).
рееение.
 
xx yx xyx
xy x
y x
2
3 6
5 61
3 2
3 6
5 1
3 6
1
3 4
5
1
3 2 4
5 1
3
2 7
15() = ( ) =
==
:( ):
yy2
.
о т в е т.
  x
y 7
15
2 .
Пример 8.
Сократить дробь: 32
24
42
25
mn
mn .
рееение.
 
32
24
2
23
2
3
4
3
4
3
42
25 54
2
32 524
22
5 23
2
mn
mn
mn
mn
m
m
n
n mn m n = =
= =
33
.
о т в е т.
  4
3
2
3
m
n .
Пример 9.
Сравнить: а) 0,8 –0,2
и 0,9 –0,2
; б) 0,7 35
и 0,7 36
;
в)
5
1
4
и 5
2
3
.
рееение.
  а) Поскольку 0 < 0,8 < 0,9; –0,2 < 0, то 0,8 –0,2
> 0,9 –0,2
;
б) поскольку 0 < 0,7 < 1; 35 < 36, то 0,7 35
> 0,7 36
;
в) поскольку 5 > 1;
2
3
1
4 > , то 55
2
3 1
4
> .
Показатель степени может быть и иррациональным чи-
слом. Любое неотрицательное число можно возвести в любую
действительную степень. Объясним это на одном примере.

30
алгебра
Определим 2 2. Число 2 иррационально. его разложение
в бесконечную десятичную дробь имеет вид:
21 41421356
= , ...
Будем рассматривать числа 2 1
; 2 1,4
; 2 1,41
; 2 1,414
; 21,4142
;
2 1,41421
; … Это степени с рациональными показателями. При
неограниченном увеличении количества десятичных знаков эти числа будут неограниченно приближаться к одному опре-
делённому числу (то есть при большом количестве знаков бу-
дут практически равны ему). Это число и есть
2 2
. Оно прибли-
жённо равно 2,66514. При этом 2 1
 = 2; 1 1,4
≈ 2,63902; 2 1,41

≈ 2,65737; 2 1,414
≈ 2,66475; 2 1,4142
≈ 2,66512; 2 1,41421
≈ 2,66514;
2 1,414213
≈ 2,66514; 2 1,4142135
≈ 2,66514; …, то есть действительно
степени становятся практически равными между собой. Все свойства степени сохраняются для степеней с действи-
тельным показателем.
типовые задания Найти значение выражения 21 –3,8
⋅ 3 –2,2
: 7 –5,8
.
рееение.
` 21–3,8
⋅ 3 –2,2
: 7 –5,8
 = (3 ⋅ 7) –3,8
⋅ 3 –2,2
: 7 –5,8
 = 3 –3,8
⋅ 
⋅ 3 –2,2
⋅ 7 –3,8
: 7 –5,8
 = 3 –3,8–2,2
⋅ 7 –3,8+5,8
 = 3 –6
⋅ 7 2
 =
7
3
49
72 9
2 6=
.
о т в е т.
` 49
72 9.
Найти значение выражения 2
a–6
⋅ (–4 a–4
b5
)–2
при a = 4;
b  = –1.
рееение.
`
24 24 64
5262 4252
aa ba ab = = () ()() ()
= = = =

+
2 1 16 21 16
1
8
64
2526 8106 81 0
aa baab ab ()() ()
=
1 8 21
0
ab .
При a = 4; b = –1 получаем
1
8
1
8 41 1 8 16 12 21
02 10
ab
= ==
() .
о т в е т.
` 2.

31
Числа, корни и  степени
Найти значение выражения 5
4 2
7
5
19aa a ()
, .
рееение.
` Выражение имеет смысл при a > 0. Упростим
его:
55 55 4 2
7
5
19 1
4 2
7
5
19 1
4 2
7
5
19 1
2
aa
a
aa
a
aa
a
aa ()
= ( )
=
=

,, ,
() () ()
77
5
19
a , =
=
= = =
+
5 55 5
05
14
19 05
1419 0
aa a aa
,,
, ,,
,
.
о т в е т.
` 5.
В ажное и интересное

 А
лгоритм извлечения квадратного корня «в столбик»
из любого положительного числа, представленного в виде десятич-
ной дроби, можно с  любой заданной точностью (то есть с  любым
количеством знаков после запятой) извлечь квадратный корень.
рассмотрим алгоритм извлечения корня.
Вначале будем считать, что число a, из которого извлекается ко-
рень, содержит одну или две цифры перед запятой (его целая часть
меньее 100). тогда у  корня будет одна цифра перед запятой. най-
дём первую цифру корня после запятой. обозначим буквой b целую
часть корня, a — первую цифру после запятой:
ab = ,...;
ab =+ +
10 ...; ab =+ +


10 2
... ;
ab b
=+ + +
2 2
2 10 100
...; abb
= + +
2 2
2 10 100
...;
100(a – b2
) = 2 ⋅ 10 b ⋅ a  + a 2
+ …;
100( a – b2
) = (10 ⋅ 2 b + a ) ⋅ a  + … .
В  левой части последнего равенства стоит разность исходного чи-
сла и  квадрата его целой части, умноженная на 100 (если число a
целое, то к разности дописываем два нуля, если дробное, — то сдви-
гаем запятую на два разряда вправо). В  первой части стоит число
()2 b α (полученное дописыванием цифры a к удвоенному числу b),
умноженное на a. поэтому для нахождения цифры a  число
() ,
2 b α
умноженное на a, равнялось 100( b – a2
) (или было наиболее близко
к этому числу слева). например, найдём первую цифру
2:

32
алгебра
a = 2; b = 1 (поскольку 1 2
 = 1 < 2; 2 2
 = 4 > 2);
a 2
– b = 1; 100( a2
– b) = 100; 2 b = 2.
подбираем цифру a так, чтобы число
2 было как можно ближе
к 100 слева: 24 ⋅ 4  = 96 < 100; 25 ⋅ 5  = 125 > 100.
Значит, a = 4, то есть
21 4= ,...
Эти рассуждения можно оформить следующим образом:
× =

24
4
96 21
4
1
100 ,
....
аналогичным образом можно получить и дальнейеие цифры после
запятой. Для этого нужно на каждом еаге уже полученное число (не
учитывая запятой в нём) умножать на 2 и искать следующую цифру
после запятой по уже указанному правилу. например, найдём пер-
вые 4 цифры числа
2:
×24
4
96 =
21
4142
1
100 96
400281
11900 11296 60400,
...
×281
1
281
×281
1
281
× 2824
4
11296
× 28282
2
56564
если число a содержит более двух цифр перед запятой (целая часть
не меньее 100), то его можно разделить на такую степень числа 100,
что оно будет содержать не более двух цифр до запятой. при этом
корень разделится на ту же степень числа 10:
aa nn
:: ;
100 10 = a a
n n=
100 10.

33
Числа, корни и  степени
на практике это осуществляется следующим образом. если число a
дробное, то после запятой в  нём должно быть чётное количество
цифр (иначе допиеем в  конце 0). разбиваем число a в  направле-
нии справа налево на группы по две цифры (то есть представляем
в  виде суммы степеней 100; в  последней группе может быть одна
цифра) и извлекаем корень «в столбик».
Пример 1. Вычислить
2351, с четырьмя верными цифрами после
запятой.
Решение.
× 25
5
125
=


23
51 01 53329
1
135 125 1010 909
10100 9189
91100
61324
2 ,, ...
9
977600
× 303
3
909
× 3063
3
9189
× 30662
2
61324
× 306649
9
2759841
 ОтеО.
  15,3329.
если на некотором еаге извлечения корня «в  столбик» получился
нулевой остаток, то корень извлекается точно (то есть является це-
лым числом или конечной десятичной дробью). например,
×103
3
309
=
28 09 53
25
309 309 0 .
отметим, что существуют и  другие способы приближённого извле
-
чения квадратного корня. приведём без доказательства один из них.

алгебра
Для вычисления a построим следующую числовую последова-
тельность. В  качестве x
0 выберем любое положительное число,
а дальнейеие члены последовательности вычислим по формуле:
xx a
x nn n
+
=
+



1 1
2 ,
то есть xx a
x 10 0
1
2
=
+



; xx a
x 21 1
1
2
=
+



; … .
при достаточно больеом n число x
n будет очень близко к 
a
. Чем
ближе к 
a будет выбрано x
0, тем меньее еагов придётся делать
для достижения высокой точности.
Пример 2. Вычислить
2 с четырьмя верными цифрами после за-
пятой выееуказанным способом.
Решение. пусть x
0 =
1 (так как, очевидно,
12 2<< , и число 1 близко
к
2). тогда:
x 1 1 2 1
2 1 15
= +

= ,;
x
2 1
2 15
2
15 1
4167
= +


,
, ,;
x3 1
2 1
4167 2
1 4167 1
4143
= +


,
, ,;
x4 1
2 1
4143 2
1 4143 1
4142
= +


,
, ,;
x5 1
2 1
4142 2
1 4142 1
4142
= +




,
, ,.
У  всех
x
n, начиная с 
n =  4, первые четыре цифры после запятой не
отличаются. таким образом,
2 ≈ 1,4142.
 ОтеО.
  1,4142.

35
2. осноВы тригонометрии
2.1. синус, косинус, тАнгенс, котАнгенс углА и  ЧислА.
осноВные тождестВА. Формулы приВедения
правила и определения 
 Прямоугольный треугольник ABC — треугольник, в ко-
тором один угол равен 90 ° (рис. 2.1).
A
C B
рис. 2.1

 Синусом острого угла A в прямоугольном треугольнике
называется отношение противолежащего катета к гипо- тенузе:
sin.= A BC AC

 Косинусом острого угла A в прямоугольном треугольнике
называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

co s.=A AB AC

 Тангенсом угла A в прямоугольном треугольнике называ -
ется отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg .
= A BC AB

36
алгебра

 Котангенсом угла A в прямоугольном треугольнике на-
зывается отношение прилежащего катета к противоле- жащему:
ct g.= A AB BC

 Градусом (1°) называется угол, равный 1
360 полного обо-
рота.

 Радианом называется центральный угол окружности, со-
ответствующий дуге, по длине равной радиусу (рис. 2.2).
y
x
0
}R
R
рис. 2.2 . Угол 1 радиан
1 радиан  =
18 0
573
° °
,,
где число
p ≈ 3,14159 — отношение длины окружности
к длине её диаметра.

 Синусом ( косинусом, тангенсом, котангенсом) числа x
называется синус (косинус, тангенс, котангенс) угла, рав- ного x радиан.
основные формулы
tg sin
co s ;

=
ct g co
s
sin .

=
тангенс определён для всех

+ 2 n , котангенс — для
всех a ≠ p n ( n ∈ Z).

37
осноВы тригонометрии
cos(–a) = cos a;
sin(– a) = –sin a;
tg(– a) = –tg a;
ctg(– a) = –ctg a.
При n ∈ Z имеет место равенство:
sin(a + 2 pn ) = sin a;
cos( a + 2 pn ) = cos a;
tg( a + p n ) = tg a;
ctg( a +p n) = ctg a.

hЗначения основных тригонометрических функций
для некоторых углов
a , рад. a, ° sin a cos a tg a ctg a
0 0 °0 1 0 —

6
30° 1
2
3
2
3
3
3

4
45° 2
2
2
2
1 1

3 60 ° 3
2
1
2
3 3
3

2
90 ° 1 0 — 0

hОсновное тригонометрическое тождество
sin2
a + cos 2
a = 1.

hДругие тригонометрические тождества
1 1
2
2
+=
tg co s ;

1 1
2
2
+=
ct g sin ;

tg a ⋅ ctg a = 1.

38
алгебра

hФормулы приведения
sinc os ;
2 ±



=
co ss in
;
2 +



= co ss in
;
2



=
sin(
p + a ) = –sin a; sin( p – a) = sin a;
cos( p + a ) = –cos a; cos( p – a) = –cos a;
tg ct g; 2+



= tg
ct g; 2



=
ct gt
g; 2+



= ct gt
g; 2



=
tg(
p + a ) = tg a; tg( p – a) = –tg a;
ctg( p + a ) = ctg a; ctg( p – a) = –ctg a.
объяснение и важные примеры Для определения тригонометрических функций произволь-
ного угла рассмотрим единичную окружность (рис. 2.3).
y
x
M
(cos α; sin α)
0 1
α
рис. 2.3
Синусом и косинусом угла a называются соответственно
ордината и абсцисса точки M, полученной из точки (1; 0) пово-
ротом на угол a против часовой стрелки по окружности. если
a < 0, то точка (1; 0) поворачивается на угол (– a) по часовой
стрелке.
Тангенсом угла называется отношение синуса и косинуса,
а котангенсом — отношение косинуса и синуса.
Синус и косинус определены для любого угла и числа. Оче-
видно (см. рис. 2.2), |sin a|  1; |cos a|  1.

39
осноВы тригонометрии
Из теоремы Пифагора вытекает основное тригонометриче-
ское тождество:
sin2
a + cos 2
a = 1.
Поскольку
tg sin co
s ;

= ct g co
s sin ,

= тангенс определён
при тех значениях a, при которых cos a ≠ 0, то есть при

+ 2 n ( n ∈ Z), а котангенс — когда sin a ≠ 0, то есть a ≠ p n
( n ∈ Z). тангенс и котангенс могут принимать любые значения.
Очевидно, tg a ⋅ ctg a = 1.
Разделив основное тригонометрическое тождество на cos 2
a
и на sin 2
a соответственно, получаем:
1 1
2
2
+=
tg co s ;
1 1
2
2
+=
ct g sin .

Из основного тождества также вытекают формулы:
co ss in ; =±
1 2 sinc os
. =±
1 2
Знаки выбираются в зависимости от координатной четвер-
ти, в которой лежит угол.
таблица 2.1. Знаки основных тригонометрических функций
Четверть sin acos a tg a ctg a
I + + + +
II +
– – –
III – – + +
IV – +
– –
x
y
0
II I
III IV
рис. 2.4

40
алгебра
Пример 1. Упростить: 2 + cos 2
a – 2 sin 2
a .
рееение.
  2 + cos 2
a – 2 sin 2
a = 2 + cos 2
a – 2(1 – cos 2
a ) =
= 2 + cos 2
a – 2 + 2 cos 2
a = 3 cos 2
a .
о т в е т.
  3 cos2
a .
Пример 2. Доказать тождество:
sin 4
x + cos 4
x  = 1 – 2 sin 2
x ⋅ cos 2
x .
рееение.
 
sin 4
x + cos 4
x  = sin 4
x + cos 4
x + 2 sin 2
x cos 2
x –
– 2 sin 2
x cos 2
x  = (sin 2
x + cos 2
x )2
– 2 sin 2
x cos 2
x  =
= 1 – 2 sin 2
x ⋅ cos 2
x .
о т в е т.
  1 – 2 sin 2
x ⋅ cos 2
x .
Пример 3. Известно, что cos a  = 0,8;
3
2 2
<< . Найти:
sin a; tg a; ctg a.
рееение.
  Поскольку угол a лежит в IV четверти, sin a < 0
(см. таблицу 2).
si nc os ,, ;
= = =
11 06 40 6
2
tg sin
co s , ,
;


==
=
0608 3
4 ct g
tg .

== 14
3
о т в е т.
  –0,6; −34; − 43.
Пример 4.
Известно, что tg a = –2;

2 << . Найти: sin a;
cos a; ctg a.
рееение.
 
ct g
tg ;

== 11
2 1 1
2
2
+=
tg co s ;

1
14 5
2
co s ; =+ = co s;21
5 = si
nc os .
22 11 1
5
4
5
= = =
Поскольку угол a лежит во II четверти, sin a > 0; cos a < 0.

41
осноВы тригонометрии
Значит, sin;==
2
5 25
5 co s.= =
1
5 5
5
о т в е т.
  25
5 ; − 5 5 ; −12.
Пример 5.
Вычислить: cosc tgsi n. 10
3
3
4
5
6


рееение.
  По формулам приведения:
cosc tgsinc os ctg
10
3 3
4 5
6 2 34




=++









=



=

si nc osctgs incosc tg


6346 34
==
si n.
6 1
2 1 1 2 0
о т в е т.
  0.
Пример 6. Упростить выражение:
3 sin(3 p – x) + 2 sin(– x) – sin( p + x ).
рееение.
 
3 sin(3 p – x) + 2 sin(– x) – sin( p + x ) =
= 3 sin(2 p + p – x) – 2 sin x + sin x =
= 3 sin( p – x) – sin x = 3 sin x – sin x = 2 sin x.
о т в е т.
  2 sin x.
Пример 7. Упростить выражение:
tg() cos( )ctg .


+



5
2
рееение.
 
tg () cos( )ctg tg cos


+



= ++ 5
2
++



=
++



=
ct gt gcosctg
2 22


= ++ =
tg cost gc os.

о т в е т.
  cos a.

42
алгебра
типовые заданияИзвестно, что sin x + cos x = 1,1. Найти tg x + ctg x.
рееение.
` (sin x + cos x)2
 = sin 2
x + 2 sin x cos x + cos 2
x  =
=  1 + 2 sin x cos x; 1 + 2 sin x cos x = 1,21; 2 sin x cos x =
=  0,21; sin x cos x = 0,105;
tg ctg sin co
s
cos
sin
sinc os
sinc os sinc os xx x x
x
x
xx
xx xx +=
+= + ==
22
1
= == =
1
0 105 1000
105 20
0
21 9
11
21
, .
о т в е т.
` 9 11
21 .
В треугольнике
ABC угол C — прямой, sin ∠A = 0,6. Най-
ти tg ∠B.
рееение.
`
sinc os ;
= = B AC AB A co ss in
;
= = B BC AB A
tg co
s
sin (,
)
, ,
, ,
,
=

=

= == B A
A 10
6
06 10
36
06 06
4
06
2
, ,
. == = 08 064
3
A C B
о т в е т.
` 4
3.
Найдти значение выражения 4
84 2
si
nc os ()
sins in ,




++
++


если
tg a =  3.
рееение.
` По формулам приведения:
cos( a + p ) = –cos a;
sinc os ;


+



=
2

43
осноВы тригонометрии
4
84 24
84
si
nc os()
si ns in si
nc os
si nc os



++
++

=

+ =
=
+ =

+=


(s
in cos) :cos
(s in cos) :cos tg
tg
4
84 41
84 43
1
83



++=
4 11
28 .
о т в е т.
` 11
28 .
2.2. тригонометриЧеские ФункЦии суммы, рАзности,
дВойного углА
основные формулы

hСинус, косинус и тангенс суммы и разности углов
sin(a + b ) = sin a cos b + cos a sin b;
sin( a – b) = sin a cos b – cos a sin b;
cos( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b;
cos( a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg () tg tg
tg tg ;

+= +

1
tg () tg tg
tg tg .

=
+
1

hСинус, косинус и тангенс двойного угла
sin 2a = 2 sin a cos a;
cos 2 a = cos 2
a – sin 2
a ;
cos 2 a = 2 cos 2
a – 1;
cos 2 a = 1 – 2 sin 2
a ;
tg tg
tg .
2 2
1 2


=

объяснение и важные примеры
Пример 1. Вычислить: а) sin 75 °; б) sin 15 °.
рееение.
  а)
sins in() sinc os
75 4530 4530
°= °+°= °°+
+° °= +=+
co ss in ;
45 302 2
3
2
2
2
1
262
4

44
алгебра
б) sins in() sinc os coss in
15 4530 4530 4530 °= °°= °° °°=
= =
2 2
3
2
2
2
1
2 62
4 .
о т в е т.
  а) 62
4 + ; б) 62
4 − .
Пример 2. Вычислить: а) cos 74 ° ⋅ cos 14 ° + sin 74 ° ⋅ sin 14 °;
б)
co sc os sins in.
15 10 15 10
рееение.
  а) cos 74° ⋅ cos 14 ° + sin 74 ° ⋅ sin 14 ° =
= cos(74 ° – 14 °) = cos 60 ° =
1
2 ;
б) co
sc os sins in co sc os .


15 10 15 10 15 10 63
2

= +


==
о т в е т.
  а) 1
2; б) 3
2 .
Пример 3. Упростить выражение: sin( a – b) + sin( a + b ).
рееение.
  sin(a – b) + sin( a + b ) = sin a cos b – cos a sin b +
+ sin a cos b + cos a sin b = 2 sin a cos b.
о т в е т.
  2 sin a cos b.
Пример 4. Вычислить: а) tg 15 °; б) tg 75 °.
рееение.
  а)
tg tg() tg tg
tg tg
15
4530 45
30
14 53 0
°=
°°= °
°
+° ° =
=
+ =

+ =
()
+ () () =
=
1
3
3
11 3
3
33
33 33
33 33 12
63
6 23
2
;
б) tg tg() tg tg
tg tg
75
4530 45
30
14 53 01
3
3
11 3
3
°=
°+°= °+
°
° °=+
=

45
осноВы тригонометрии
=+
=
+ ()
() +()
=+
=+
33
33 33
33 33 12
63
6 23
2
.
о т в е т.
  а) 23−; б) 23+ .
Пример 5. Известно, что tg a  = 2; tg b  = 3; 0 2 <<
;
0 2 <<
. Найти ( a + b ).
рееение.
 
tg () tg tg
tg tg ;


+=
+
=
+
=
1 23
12 31 0
< a + b < p ;
+= 3 4 .
о т в е т.
  3
4 .
Пример 6.
Вычислить: а) sin 22,5 ° ⋅ cos 22,5 °; б) (sin 15 ° + 
+ cos 15 °)2
.
рееение.
  а)
sin, cos, sin, cos,
22 52 251 2 22
25 225
° °=° ° =
= °=°==
1 2 22
25 1 2 451 2
2
2
2
4 sin(
,)si n;
б) (sin 15 ° + cos 15 °)2
 = sin 2
15 ° + cos 2
15 ° + 2 sin 15 ° ⋅ cos 15 °  =
= 1 + sin 30 ° =
1 1 2 15
+=,.
о т в е т.
  а) 2
4 ; б) 1,5.
Пример 7. Вычислить: а)
co s;2
12 б) co
ss in. 22
88
рееение.
  а) cosc os ;
6 2 12 1
2 = 3
2 2 12 1
2 = co s;
2
12 3
2 1 23
2
2
co s;
=+ =+ co s;2
12 23
4

= +

46
алгебра
б) coss in co s. 22
88 4
2
2

= =
о т в е т.
  а) 23
4+ ; б) 2
2 .
Пример 8. Известно, что cos a = –0,8; 90 ° < a < 180 °. Вычи-
слить sin 2 a.
рееение.
  sin2
a = 1 – cos 2
a = 1 – 0,64  = 0,36.
Поскольку a — угол II четверти, sin a > 0. Поэтому
sin a = 0,6.
sin 2 a = 2 sin a cos a = 2 ⋅ 0,6 ⋅ (–0,8)  = –0,96.
о т в е т.
  –0,96.
Пример 9. Известно, что
co s;=1
10 3
2 2 << . Вычи-
слить tg 2 a.
рееение.
 
si nc os .
22
11 1
10 9
10

= = =
Поскольку a — угол IV четверти, sin a < 0. Значит,
sin.= 3
10
tg sin co
s ;

==
3 tg tg
tg .
2 2
1 6 83
4
2


=
=
=
о т в е т.
  3
4.
Пример 10. Упростить выражение: tg a + 2 ctg 2 a.
рееение.
 
tg ctgt g
tg tg
tg
tg





+=
+=+
=
22 2
2 2
2
1 2
=+
=+ =
tg tg
tg tg
ctgt gc tg.

1
2
о т в е т.
  ctg a.

47
осноВы тригонометрии
типовые заданияИзвестно, что sin a = 0,1; sin b = 0,2;
0 2 << ;

2 << .
Найти tg( a + b ).
рееение.
` cos2
a = 1 – sin 2
a = 1 – 0,01  = 0,99.
Поскольку
0 2 << , cos a > 0: co s, .
= =
09 9 31
1 10
cos2
b = 1 – sin 2
b = 1 – 0,04  = 0,96.
Поскольку

2 << , cos b < 0: co s, .
= =
09 6 26
5
sin( )sincosc os si n

+= += + =
1
10 26
5 31
1
10 1
5
=
31 12 6
50 ;
cos(
)coscoss insin

+= =

=
31
1
10 26
5 1
10 1
5
= +
66 61
50 ;
tg () sin(
)
cos( ) .


+=
+
+ =

+
26
311
66 61
о т в е т.
  26 311
66 61

+ .
Известно, что sin
x – cos x = 0,5. Найти sin 2 x.
рееение.
` (sin x – cos x)2
 = sin 2
x + cos 2
x – 2 sin x cos x =  
=  1 – sin 2 x;
sin 2 x = 1 – (sin x – cos x)2
 = 1 – 0,5 2
 = 0,75.
о т в е т.
` 0,75.
Важное и интересное 
 Синус и к
осинус тройного угла
sin 3 a = sin(2 a + a ) = sin 2 a cos a + cos 2 a sin a =
=  2 sin a cos 2
a  + (1 – 2 sin 2
a ) sin a =
=  2 sin a(1 – sin 2
a ) + (1 – 2 sin 2
a ) sin a = 3 sin a – 4 sin 3
a ;

алгебра
cos 3a = cos(2 a + a ) = cos 2 a cos a – sin 2 a sin a =
=  (2 cos 2
a  – 1) cos a – 2 sin 2
a  cos a =
=  (2 cos 2
a  – 1) cos a – 2(1 – cos 2
a ) cos a = 4 cos 3
a  – 3 cos a.
таким образом: sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3
a ;
cos 3 a = 4 cos 3
a  – 3 cos a.
Пример. известно, что sin a  = –0,6; << 3 2 . найти: sin  3
a; cos 3 a.
Решение. sin 3a = 3 ⋅ (–0,6) – 4 ⋅ (–0,6) 3
 = –1,8 + 0,864  = –0,936;
cos a < 0; cos 2
a = 1 – sin 2
a = 1 – (–0,6) 2
 = 0,64; cos a = –0,8;
cos 3 a = 4 ⋅ (–0,8) 3
– 3 ⋅ (–0,8)  = –2,048 + 2,4  = 0,352.
 ОтеО.
  –0,936; 0,352.

49
3. логАриФмы
правила и определения Пусть a > 0; b > 0, причём a ≠ 1.

 Логарифмом числа b по основанию a называется такое
число c, что ac
 = b :
c  = log
a
b , если ac
 = b .

 Десятичным логарифмом называется логарифм по осно-
ванию 10:
c = lg b, если 10 c
 = b .

 Натуральным логарифмом называется логарифм по осно-
ванию e, где число e ≈ 2,718:
c  = ln b, если ec
 = b .
основные формулы

hОсновное логарифмическое тождество
ab a b
lo g
.
=

hЛогарифм произведения, частного, степени, корня
lo g( )log lo g; aa a
bc bc
=+
lo gl oglo g; aa a
bc
bc =
lo
gl og ; a p a bp b
=
lo gl og ;
a p
a
b
p b
= 1
lo gl og
;
a pab
p b
= 1

50
алгебра
lo gl og;
a p p
a bb =
lo g.ap q
a q
p
=

 Частные случаи
loga 1
 = 0;
log a
a  = 1.
объяснение и важные примеры Основное логарифмическое тождество следует прямо из оп-
ределения логарифма. Объясним формулу для логарифма про- изведения:
aa ab c
a
b
ac
ab
ac
lo gl og logl og
;
+
= =
значит,
loga (
bc ) = log
a
b + log
a
c .
Аналогично объясняются остальные формулы.
Пример 1. Вычислить:
а)
lo gl og ; 21
3
64
32 7 − б) 58
21 9
23 lo
gl og.
+
рееение.
  а) 64 = 2 6
; значит, log 2 64
 = 6; 27 1
3 3
=


; значит,
lo g;1
3 27
3 = logl og ();
21
3
64
32 7633 15 = =
б) log
2 8
 = 3, поскольку 8  = 2 3
; lo g,3 19 2
= поскольку 1
9 3 2
=
;
58 21 9 53
22 11
23
lo
gl og ().
+= + =
о т в е т.
  а) 15; б) 11.
Пример 2. Вычислить:
423
lo g
.
рееение.
  42 23 9
22 2
32
32
23
2
2
lo gl og lo
g
() () .
= = = =
о т в е т.
  9.

51
логарифмы
Пример 3. Вычислить:
а) log 6 3
+ log
6 12; б) log
12 8
+ log
12 3
+ log
12 6.
рееение.
  а) log
6 3
+ log
6 12
 = log
6(3
⋅ 12)  = log
6 36
 = 2;
б) log 12 8
+ log
12 3
+ log
12 6
 = log
12(8
⋅ 3 ⋅ 6)  = log
12 144
 = 2.
о т в е т.
  а) 2; б) 2.
Пример 4. Вычислить: а) log
2 36 – log
2 18; б)
lo
gl og.
1
3 1
3
54
6 −
рееение.
  а) logl og logl og;
22 22 36 18 36
18 21 = ==
б) lo gl oglogl og .
1
3
1
3
1
3
1
3
54 654
6 92 = ==
о т в е т.
  а) 1; б) –2.
Пример 5. Вычислить: а)
lo g;42 б) lo g. 55
25
рееение.
  а) logl og lo g; 4
22 1
2 21
2
22 1 2 21 2
1
2
1
4 ==
==
б) logl og lo gl og
5 5
51 2 1
5 51
5 5
25 25
22521
5 25
== ==
==
2 5 2 4 5.
о т в е т.
  а) 1
4; б) 4
5.
Пример 6. Вычислить: lo g. 2
8 4
16 2
рееение.
  lo gl og log
2
8 4
21 2
2 3 4
1
4
25
2 17
4
16 22 22 = ( ) ==
=


=
17
4 5
2 17 :, .
о т в е т.
  –1,7.

52
алгебра
Пример 7. Вычислить: abc

3 2
3 , если lg a = 1,1; lg b = 0,3;
lg c = –6.
рееение.
 
lg lg lg lg ab ca bc () =+ +=
3
2
3 32
3
=+ =+=
lg lg lg ,,().
ab c
3 2
3 11
3032
3 66
Значит, a ⋅ b 3
⋅ c –3
 = 10 6
 = 1 000 000.
о т в е т.
  1 000 000.
типовые задания Упростить выражение: 2 lg( a + b ) + lg( a – b) – lg( a2
– b2
).
рееение.
` 2 lg(a + b ) + lg( a – b) – lg( a2
– b2
) = lg( a + b )2
+
+ lg( a – b) – lg( a2
– b2

= +
=
lg () () ab
ab
ab
2
22
= +

+ =+ lg()
()
() () lg () .
ab
ab
ab ab ab
2
о т в е т.
` lg(a + b ).
Вычислить:
lo gl og .
3 3
3
29
6 ()
рееение.
` lo gl oglogl og
3 3
33 3
33
29 629 6
9
3 = ==
==
== =

lo gl og lo g: .
3
1 22
3
3
1 2 2
3 1
3
1 2 1
3
3
3 33
1
3 1 2 2
3
о т в е т.
` − 23.
Важное и интересное

 Чис
ло e
рассмотрим последовательность
a n
n n
=+


1 1
.
a1 =
2; a
2 2
3
2 22
5
=


= ,; a
3 3
4
3 2
37037
=
,;

логарифмы
a4 4
5
4 2
44141
=
,; …
можно показать, что эта последовательность возрастает (каждый
следующий член больее предыдущего) и при больеих значениях n
практически не изменяется. например,
a1000  =
(1,001) 1000
≈ 2,71692;
a 2000  =
(1,005) 2000
≈ 2,71760;
a 10 000  =
(1,0001) 10 000
≈ 2,71815; …
при очень больеих n значения a
n становятся практически равными
числу, которое обозначается e:
e ≈ 2,71828.
Это число иррационально. оно часто встречается в прикладных за-
дачах естествознания, техники, экономики и т.  д.

54
4. преобрАзоВАния ВырАжений
4.1. преобрАзоВАния ВырАжений, ВклюЧАющих
АриФметиЧеские оперАЦии, степени и  корни
основные формулы

hОсновные свойства арифметических операций, исполь- зуемые для преобразований
() ;abcacbc
± =±
a
c
b
d
adbc
cd ±= ±
;
ab c
ab
c =
;
ab c
ac
b
:; =
ab
c
a
c
b
c
± =±
;
ac
bc
a
b =;
a
b
c
d
ac
bd = ;
a
b
c
d
ad
bc
:; =
1: .
a b
b
a =

55
преобраЗоВания Выражений

hОсновные формулы сокращённого умножения
(a – b) ⋅ ( a + b ) = a 2
– b2
;
( a ± b )2
 = a 2
± 2 ab + b 2
;
( a ± b )3
 = a 3
± 3 a2
b + 3 ab 2
± b 3
;
() () .
ab aabb ab ±+ =± 22 33


hВынесение множителя из-под знака корня
aa a
nm
n
m
n
+
= , где a > 0.

hВнесение множителя под корень
ab ab n
n
n
= , где a > 0; b > 0.
если a < 0, то эта формула верна при нечётном n, а при
чётном n:
ab ab n
n
n=
.

hИзбавление от корней в знаменателе
a
b
ab
b k
n nk
n
=

, где a > 0; b > 0;
a
bc
ab c
bc
± =
()

;
a
bc
ab bcc
bc
33 2
3
3 2
3
± =+()
±

.
объяснение и важные примеры
Пример 1. Упростить выражение:
ab
ab ab
ab a
b b
a
+

+



.
рееение.
 
ab
ab ab
ab a
b b
a ab
ab
ab ab a
+


+






= +

+
()
()
() ()
22 222
=
b
ab
= ++
+


=
=
aa
bb aabb
ab ab
ab ab
ab
ab ab
22
22
22 22 22
22
22
4
4 ()
() .
о т в е т.
  4.

56
алгебра
Пример 2. Упростить выражение:
11
1 1
1 1
11
+
+






++
x x x
x
x
x
:
и вычислить его значение при x = –0,2.
рееение.
 
1 1
1 1
1 1
11 1
1
1 1
+
+






++= +



+

x x x xx
x x
x
xx xx
x
:
()()
11
1
11







+
+=
x x
x
:
= +
+


+ +=
+ += +=
x
xx xx
xx
x x xx x
1
1 1
1 1
1 1
11 1
1 1
() ()
() ;
x
 = –0,2 ⇒ =1
5x .
о т в е т.
  − 1x; 5.
Пример 3. Упростить выражение:
xy
xy
xy
2
3 2
3
1
6 1
6 1
3 1
3

+
( ) +()
.
рееение.
 
xy
xy xy xy
xy xy
2
3 2
3
1
6 1
6 1
3 1
3 1
3 2
1
3 2
1
6 1
6 1
3 1
3

+
( ) +()
=
() ()
+ ( ) +( ))
=
= (
) +( )
+ ( ) +()
=
+ =
xy
xy
xy xy xy
xy x
1
3 1
3 1
3 1
3
1
6 1
6 1
3 1
3 1
3 1
3
1
6 1
6 1
6
(
() ( )
+ =
2
1
6 2
1
6 1
6
y
xy
= (
) +( )
+=
xy
xy
xy
xy
1
6 1
6 1
6 1
6
1
6 1
6 1
6 1
6 .
о т в е т.
  xy
1
6 1
6
− .

57
преобраЗоВания Выражений
Пример 4. Упростить выражение: xyxy
xy xy
06
1
3 16
20 4 4
3 06 ,,
,,
.
+
+

рееение.
 
xy xy
xy xy xy
xy
xy x
06
1
3 16
20 4 4
3 06 1
3 06 2
3
4
3 04
,,
,, ,
,
+
+ =

+ ( )



22
3 1
3 06
4
3 04 06 04
4
3 1
3
+
( )
=
==
+

y xy
xy y
x y
x
,
, ,,
.
о т в е т.
  y
x.
Пример 5. Упростить выражение: x
x
x
xx
15
15 15
15 3
3
3
3
3
18
9
,
, ,
,
+
+
+
и найти его значение при
x = 15
3
.
рееение.
 
x
x x
xx xx
x
15
15 15
15 315
21
52
15
3
3 3
3 18
9
33 ,
, ,
, ,,
,
()
()
(
+
+

+
=
++

333 15
)( )
,
+
x
= ++
+ + =
18 9
69 69
9
18
9 3 31
53 15 33
x
xx xx
xx
,,
=+ =
21
8
9
18
9
2
9
3
33 3
3
x
xx
x
x .
При x
= 15
3
: 2
9
215
15 9 5
3
3 x x
= =
.
о т в е т.
  2
9
3
3 x
x
− ; 5.
Пример 6. Вынести множитель из-под знака корня:
а)
37
4
; б) 45; в) ab23 17
5
⋅.
рееение.
  а) 333333 27
7
4
43
4
3
4
4
= == ;
б) 4595 35 = =;
в) ab abab ab ab
23
17
5
2015 32
5
4535 32 5
= = = ()()
=
ab ab 43 32 5
.
о т в е т.
  а) 327
4
; б) 35 ; в) ab ab43 32 5
⋅⋅ ⋅.

58
алгебра
Пример 7. Внести множитель под корень:
а)
253; б) 23 2 ab , если a < 0.
рееение.
  а)
2525 40
3
3
3
3
= =;
б) = = 2322 3264 22 ab ab ab .
о т в е т.
  а) 40
3
; б) 642 ab ⋅
.
Пример 8. Избавиться от корня в знаменателе:
а)
3
5 ; б) 3
7
3 .
рееение.
 
а)
3
5 35
5 15
5
2
=
= ;
б)
3 7 37
77 34
9
7 34
9
7
3 2
3
2
3 3
3
3 3
=
==
.
о т в е т.
  а) 15
5 ; б) 349
7
3
.
Пример 9. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
а)
11
53− ;
б) 2
233
3
+ .
рееение.
 
а)
11
53 11
53
53 53 11 53
25
3
=
+
()
() +()
=+ ()
=
=
+ () =+
11 53 22 53
2 ;
б) 2
23 22
233
23 2233
3
3 2
3
33
2
3
3 3
2
3
33
2
3
+ =

+ ()
+ () +()
=
=
+ ()
+ =
+ () 2469
23
24 69
5 3 33 3 33
.
о т в е т.
  а) 53
2+ ; б) 24 69
5 3 33 +() .

59
преобраЗоВания Выражений
типовые заданияУпростить выражение:
1
4 11
2 2
+
+

+













ab
ab ab
ab a
b :.
рееение.
`
1
4 11
2 2
+
+

+










=
ab
ab ab
ab a
b
:
=
++

+






=



1
4 11
1
4 2
2
22
22
ab
ab
ab ab a
b a
ab
()
() :



2


= = =
1 1 4
4
22
2 2
22 2
22 2
22 2
22 :
ab b
a
ab
b
ab
a
ab
b
ab
=
=
ab ab
22 22
1.
о т в е т.
` 1.
Избавиться от иррациональности в знаменателе:
2
13 +
.
рееение.
`
2
13 23
1
31 31 23
1
31 62
2
+ =

()
() +()
= ()
=

.
о т в е т.
` 62
2 − .
Упростить выражение: xx xx
x
1
3 1
3 3
1
3 1
3
2 3
1
+ () + ()
+
и вы-
числить его значение при x = 0,2.
рееение.
`
xx xx xxxx
1
3 1
3 3
1
3 3
1
3 2
1
3 1
3 1
3 2
1
3 3
33
+ () = () + () + () +() =
=++ + =+ ++ ()

xx xx xx x
x xx
33 1
3
2
3 1
3 1
3 2
3 1 1
3 1
3 ;

60
алгебра
xx xx
xx
1
3 1
3 3
1
3 1
3
2 3
1
+ () + ()
+ =

x
x xx xx
x
1
3 1
3 1
3 1
3
2
1
33
()
= ++
+
() + ()
++ = 1
=+




+ =
+
+ =
x
x x
xx x xx x
1
1 1
1 1
2 2
2
() () . При
x = 0,2: 1
5
x =.
о т в е т.
` 1
x; 5.
4.2. преобрАзоВАния тригонометриЧеских
и  логАриФмиЧеских ВырАжений. модуль ЧислА
основные формулы

hПреобразование суммы и разности тригонометрических функций
si ns in sinc os;
±= ± 2 22

cosc os cosc os;
+= + 2 22
cosc os sins in;
= + 2 22
tg tgsin(
)
co sc os;
±=±
ct
gc tg sin(
)
si ns in.
±=±

hПреобразование произведения тригонометрических функций
si ns in cos(
)cos () ;
= +
2
co sc os cos(
)cos () ;
= ++
2

61
преобраЗоВания Выражений
sinc os sin(
)sin () .
=+
+ 2

hОсновное логарифмическое тождество
ab a b
lo g
.
=

hПереход к новому основанию в логарифме
logb
a ⋅ log
a
x  = log
b
x ;
lo g lo
g
lo g ;
a b
b
x
x
a
=
lo
g
log .
a
b
b
a
=
1

hМодуль и его свойства
a aa
aa = <{
,;,.åñëèåñëè  00
aa = 2
; aa n
n
n = 2
2 () ;
N
| a | > 0, если a ≠ 0;
| x |  a тогда и только тогда, когда – a  x  a ;
| a ± b |  |a | + |b|;
|| a | – | b||  |a ± b |;
| ab | = |a | ⋅ | b|;
| a n
| = |a |n
;
a
b a
b
=
.
объяснение и важные примеры
4.2.1. Преобразования тригонометрических
выражений
Пример 1. Вычислить: sin 10 ° + sin 50 ° – sin 70 °.
рееение.
 
si ns insins in cos
10 50 70 210 50 2
50 10
2 °+
°°= °+° °°

62
алгебра
°=° °°= ° °= sins incoss in coss in
70 23 02 07 021 2 20
70
=° °=° ° °=° coss in cosc os () 20 70 20 9070
=° °=
() cosc os .
20 20 0
о т в е т.
  0.
Пример 2. Вычислить: sin 20 ° ⋅ sin 40 ° ⋅ sin 80 °.
рееение.
 
si ns insins inco
sc os
20 40 80 20 40
120 2 ° ° °=°°
°
=
= °°+ °



=
1
2 20
401
2 20
si nc os sin
= °°+ °



=
°==
1
2 1
2 60
201
2 20
1
4 60
1
4 3
2 3
8
(sin
sin) sins in .
о т в е т.
  3
8 .
Пример 3. Доказать тождество: sins in
co sc os tg
.


+
+ =
+
2
рееение.
 
si ns in
co sc os si
nc os
co sc os sin
c





+ +=
+
+
=
+ 2
22
2
22
2
o
os tg
,


+ =
+
2
2
что и требовалось доказать.
Пример 4.
Доказать:
coss in co s. 44
22
=
рееение.
 
co ss in coss in coss in
44
22 22
2222 22
=



+



=
=


=
co sc os ,
2
2 1

что и требовалось доказать.

63
преобраЗоВания Выражений
Пример 5. Доказать tgsi
n co s


21 = + и вычислить tg
8

без
помощи таблиц. рееение.
 
tg sin
co s si
nc os
co s sin
co s sin
co








2 2
2
2
22
2
2
2 2
1 2
2
1
2
==
=
+ =
+ ss,

что и требовалось доказать.
tg si
n
co s



8 4
1 4 2
2
1 2
2
2
22 22
2
22
22
= + =
+ =
+ =
()
+ () ()
=
= = = 22
2
42
22 2
2 21 .
о т в е т.
  21 − .
Пример 6. Упростить:
sinc os sin
cos .


222
12
1
2
4
+





рееение.
 
si nc os sin
cos



222
12
1
2
4
+




=
=++




=
si nc os sinc os sin
(s in)
22
2
2
22
2
22 2
11 2 1
2




= +
=++
= (sin)s in
sin
sins in sin
sin
12
2
1
2
12 2
2
1
2
2
2 2
2





=+
= +=
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
22 2
sin
si
ns in sin .


о т в е т.
  1
2 2 sin .a

64
алгебра
Пример 7. Упростить: tg
tg tg
tg tg
.



11 2
+
+
рееение.
 
tg
tg tg
tg tg
tg
(t g) tg(t g)
(t g)(t g)






11 2
11
11
+
+ =
++

+
=
== tgtg
tg tg tg tg
.
2 2
1 22 20 2




о т в е т.
  0.
Пример 8. Упростить:
sins in sins in
co sc os .



++ +

23
4 2
рееение.
 
si ns in sins in (sin sin)

++ +=++
23 44
++ = + +
(sin sin) sinc os
23 24
2 4
2


++ =+

=
2 32
2 32
2 2
5
2 3 22 si
nc os sinc os cos


= +

=
2 5 2 2 3
22 2
322
2 4 5 22 si
nc os coss incosc os;





si
ns in sins in
co sc os si n.


++ +
=
23
4
2
45
2
о т в е т.
  4 5 2 sin. a
4.2.2.
Преобразования логарифмических выражений
Пример 9. Вычислить: а)
log
lo g ;
5
5 7
49 б) log 4 3
⋅ log
27 256.
рееение.
 
а)
lo g
lo g lo g; 5
5 49
7
49 7
1
2
= =

65
преобраЗоВания Выражений
б) logl og lg
lg lg
lg lg
lg lg
()
lg ()
42
7 4
3
32
563
4 25
6
27 3
4 4
3
=
= =
()
() lg
lg 3
4 = =
44 33 4
3
lglg
.
о т в е т.
  а) 1
2; б) 4
3.
Пример 10. Вычислить: logl og . 92 7
15 51
5 9 −
рееение.
 
lo gl og logl og log
92 7
32
3 33 15 51
5 9 15 51
5 9
1
2 15
= =
=


=

1
3 51
5
9 15
51
5
9 15
9
515
33 1
2 3 1
3
31
2 1
3
1
3 1
6
lo
gl oglogl og==
=

=
==
lo
gl oglo g. 31
2 1
2 2
3
1
3 1
6 1
6 31
2 7
6
1
2 1
6 3
533
55
3
53
53 31
о т в е т.
  1.
Пример 11. Вычислить:
32
5
3
31
3 3
5
lo g lo
g
.
+
рееение.
 
33 333
2
5
3
31
3 3
5
235
3 1
3 35 2
3 35 1
3 35
lo g lo
g
log lo
gl oglog
+ =
==
= ==
()() .
lo
gl og
33 555
3 5 2
33 51
3 2
3 1
3
о т в е т.
  5.
Пример 12. Вычислить:
64 025
29
,l og . ⋅
рееение.
 
64 22 29 025
296
025
29 3
2 2
9
29 3
2 3
2
,l
og ,log lo
g
log
() ()


== == =
++
a

= =

66
алгебра
= () ==
93 27
1
2 3
3 .
о т в е т.
  27.
Пример 13. Вычислить: 0,1 lg 5 – 2
.
рееение.
 
01 10 10 10 10 100 5 20
52
1522 52 5
,( ): .
lg lg lg lg

== == =
о т в е т.
  20.
Пример 14. Вычислить:
593
2
3 5
310
lo
g
lo g lo
g
.
рееение.
 
59 53 23
3 3
3 5 33
2
5 10
22 10 10 2
lo
g
lo g lo
gl og lo
gl og
() () = = =
==
2100 02
2,.
о т в е т.
  0,02.
Пример 15. Известно, что log
6 3
 = a ; log
5 6
 = b . Найти log
8 45.
рееение.
  По формуле перехода к новому основанию:
log lo
g
lo g .
8 6
6
45
45
8
=
Разложим числа 8 и 45 на простые множители и пролога-
рифмируем по основанию 6:
lo gl og() logl og ;
66 2
66
45
3523 521
= =+ =+ a b
logl og logl og (log lo g) 66 3
66 66 82 3236 3 36 33 ==
== =
g)() ; 33 1
= a lo g
() () .
8 45 2
1
31 21
31
= +
=
+

a
b
a ab
ab
о т в е т.
  21
31 ab
ab
+
() .

67
преобраЗоВания Выражений
4.2.3. Геометрический смысл модуля
Модуль числа — это расстояние от этого числа до 0 на
числовой оси. Расстояние от точки a до точки b на оси равно
| a – b|.
Пример 16. Упростить:
aa aa
22 69 69 +
++ + и вы-
числить при | a|  3.
рееение.
 
aa aa aa 22 22 69 69 233
+ ++ +=+ +
++ += + +=++
aa aa aa 22 22
23 33 333
() () ;
aa  333
.
При этом a – 3  0; a + 3  0:
| a – 3| + |a + 3|  = –( a – 3) + ( a + 3)  = – a + 3 + a + 3  = 6.
о т в е т.
  |a – 3| + |a + 3|; 6.
типовые задания Доказать: cos 2
a – cos 2
b = sin( a + b ) ⋅ sin( b – a).
рееение.
`
co sc os (cos cos) (cos cos)
22
= +=
= + + =
2
22 2 22 co
sc os sins in
= ++ =
2 22 2 22 co ss in coss in


=+







=
si ns in
2
2 2
2


= sin( a + b ) ⋅ sin( b – a), что и требовалось доказать.
Вычислить:
lo gl og
lo gl og . 29
83
43
32 5
71 25


рееение.
`
lo gl og
lo gl og lo
gl og
lo gl og lo
g
29
83 43 2
32 2
8 73 3
32
5
71 2535
75

=
= 223 8735
75 =
lo
g
lo gl og
= = =
lo
g
lo g lo g. 2 8
2
5
5 83
о т в е т.
  3.

68
5. кВАдрАтные, рАЦионАльные
и иррАЦионАльные урАВнения
правила и определения

 Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax 2
+ bx + c  = 0,
где a, b, c — известные действительные числа, причём
a  ≠ 0.
если a = 1, то уравнение называется приведённым.

 Дискриминантом квадратного уравнения называется вы-
ражение b2
– 4 ac,
которое обозначается D.

 Корнем квадратного уравнения называется число, обра-
щающее это уравнение в верное равенство. Квадратное
уравнение имеет не более двух корней. При D > 0 урав-
нение имеет два различных корня; при D = 0 корни сов-
падают (фактически корень один); при D < 0 корней нет.

 Рациональной функцией называется частное двух мно-
гочленов, то есть функция вида
Px
Qx ax
ax a
bx bx b
n
n
nn
n
mm
m
()
() ...
... ,
= ++
+
++ +


01
1
01 1
где
a
0
≠ 0; b
0
≠ 0.
Многочлен также считается рациональной функцией.

 Рациональным уравнением называется уравнение вида
f (x ) = 0,
где f(x ) — рациональная функция.

69
кВаДратные, рациональные и  иррациональные УраВнения

 Иррациональное уравнение — это уравнение, которое
содержит переменную или рациональное выражение от переменной под знаком корня.
основные формулы

hКвадратное уравнение
ax2
+ bx + c  = 0, a ≠ 0.

hКорни квадратного уравнения
x bD
a 12 2 ; ,
= ±
где
D = b 2
– 4 ac.
если b — чётное число, то корни удобно искать по фор-
муле
x bb
ac a 12 2
22
; .
= ±





hПриведённое квадратное уравнение и его корни
x2
+ px + q  = 0;
x pD 12 2 ; ,
= ±
где
D = p 2
– 4 q.
если p — чётное число, то удобна формула
x pp
q
12 2
22
;
.
= ±




hТеорема Виета если x
1,
x
2 — корни уравнения
ax2
+ bc + c  = 0,
то
xx b a 12
+=
; xx c a 12
=
.

hОбратная теорема Виета если x
1
+ x
2 =
– p; x
1
⋅ x
2 =
q , то приведённое квадратное
уравнение с корнями x
1,
x
2 имеет вид:
x 2
+ px + q  = 0.

70
алгебра
объяснение и важные примеры5.1. решение кВАдрАтных урАВнений
Наиболее просто решаются неполные квадратные уравне-
ния вида ax2
+ b  = 0;
ax 2
 = – b;
x b a
2
= ; x b
a
12
; .

Корни существуют, если b
a 0.
Пример 1. Решить уравнение: 3 x2
– 4  = 0.
рееение.
 
x 2
4 3 =
; x
12 4
3 43
33 23
3
;
.
=± =±

о т в е т.
  ± 23 3 .
Без использования общей формулы решаются также не-
полные уравнения вида
ax2
+ bx  = 0; x(ax + b ) = 0.
Произведение равно 0 в случае, если один из сомножите-
лей обращается в 0:
x = 0 или ax + b  = 0.
Решение второго уравнения:
ax = – b;
x b a =
.
таким образом,
x1 =
0;
x b a 2
=
.
Пример 2. Решить уравнение: 2 x2
+ 3 x = 0.
рееение.
  x ⋅ (2 x + 3)  = 0; x
1 =
0; 2 x
2
+ 3  = 0; x
2 =
–1,5.
о т в е т.
  0; –1,5.

71
кВаДратные, рациональные и  иррациональные УраВнения
если уравнение полное (b ≠ 0; c ≠ 0), то используется фор-
мула корней квадратного уравнения.
Пример 3. Решить уравнения:
а) 2 x2
– 5 x + 2  = 0; б) 2 x2
+ 5 x + 4  = 0.
рееение.
  а) D = 25 – 16  = 9;
x
12 53
4 ; ;
= ±
x
1 53 4
1
2 = =
; x
2 53 4 2
= + = ;
б) D = 25 – 32  = –7 < 0 — корней нет.
о т в е т.
  а)
1
2 ; 2; б) корней нет.
Пример 4. Решить уравнение: 3 x2
– 4 x + 1  = 0.
рееение.
  Поскольку b = –4 — чётно,
x
12 24
3
3 21
3
;
;
= ±

x
1 21
3 1
3
= =
; x
2 21
3 1
= + = .
о т в е т.
  1
3; 1.
Пример 5. Решить уравнения:
а) x2
– 6 x + 8  = 0; б) x2
+ 4 x + 4  = 0; в) x2
+ 5 x – 14  = 0.
рееение.
 
а)
x12 39
831
; ;
=± =± x
1 =
3 – 1  = 2; x
2 =
3 + 1  = 4;
б)
x 12 24
42 0
; ;
= ± =± x
1 =
–2; x
2 =
–2;
в)
x 12 52
556 2 59
2 ; ;
= ±
+

x
1 59 2 7
= = ; x
2 59 2 2
= + = .
о т в е т.
  а) 2; 4; б) –2; в) –7; 2.

72
алгебра
теорему Виета и обратную к ней можно использовать для
решения квадратных уравнений.
Пример 6. Решить: x2
– 4 x + 3  = 0.
рееение.
  По теореме Виета: x
1
+ x
2 =
4; x
1
⋅ x
2 =
3.
Подбором находим: x
1 =
1; x
2 =
3.
Поскольку квадратное уравнение имеет не более двух кор-
ней, других корней нет.
о т в е т.
  1; 3.
В соответствии с обратной теоремой Виета приведённое
квадратное уравнение с корнями x
1,
x
2 имеет вид:
x 2
– ( x
1
+ x
2)
x + x
1
⋅ x
2 =
0.
Пример 7. Составить приведённое уравнение с корнями:
а)  x
1 =
–2; x
2 =
3; б) x
1;2  =
5.
рееение.
 
а) x
1
+ x
2 =
–2 + 3  = 1; x
1
⋅ x
2 =
–2 ⋅ 3  = –6; x2
– x – 6  = 0;
б) x
1
+ x
2 =
5 + 5  = 10; x
1
⋅ x
2 =
5 ⋅ 5  = 25; x2
– 10 x + 25  = 0.
о т в е т.
  а) x2
– x – 6  = 0; б) x2
– 10 x + 25  = 0.
Пример 8. Найти сумму кубов корней уравнения:
2x 2
– 7 x + 4  = 0.
рееение.
  D = 49 – 32  = 17. Корни иррациональны, поэтому
вычисление
xx1 3
23
+ громоздко. Воспользуемся теоремой Виета:
xx 12 7
2 += ; x
1
⋅ x
2 =
2.
По известной формуле сокращённого умножения:
xx xxxxxx
1 3
23
12 12
12 22
+= ++ =+ () ()
xxxxxx xx
12 12
12 22
1 23 =+ + + () ()(
22)
=
=+ + =








=
() (())
xx xx xx
12 12 2
12 2
3 7
2 7
2 32
=


=
==
7
2 49
4 6
7
2 25
4 175
8 21 87
5 ,.
о т в е т.
  21,875.

73
кВаДратные, рациональные и  иррациональные УраВнения
При решении рациональных уравнений следует учитывать
область допустимых значений (ОДЗ), то есть множество всех
тех значений переменной, при которых все выражения, входя-щие в уравнение, имеют смысл.
если в уравнении f(x ) = 0 левая часть разложена на множи-
тели, то следует учитывать, что произведение обращается в 0
в том и только в том случае, когда хотя бы один из сомножи-телей равен 0.
Пример 9. Решить уравнение: ( x – 2) 3
⋅ ( x + 3) 5
 = 0.
рееение.
  ОДЗ: x ∈ (– ∞; +∞ ). ( x – 2) 3
 = 0 ⇔ x – 2  = 0 ⇔ x  = 2;
( x + 3) 5
 = 0 ⇔ x + 3  = 0 ⇔ x  = –3.
о т в е т.
  2; –3.
Пример 10. Решить уравнение:
()()
() () .
xx
xx

+= 12
13 0
2
2
рееение.
  ОДЗ: x ≠ 1; x ≠ –3. Дробь обращается в 0, если
числитель обращается в 0:
(x – 1) 2
⋅ ( x – 2)  = 0; x
1 =
1; x
2 =
2.
Поскольку x
1 =
1 не входит в ОДЗ, окончательно получаем
x  = 2.
о т в е т.
  2.
Пример 11. Решить уравнение:
x
xx =
2 4
1 1.
рееение.
  ОДЗ: x ≠ 1; x ≠ 2.
Перенесём правую часть влево с противоположным знаком:
x
xx = 2
4
1 10 .
Приведём левую часть к общему знаменателю:
xx
xx x
xx
()
()()()
() () ;

=
14
21 2
21 0
x
(x – 1) – 4( x – 2) – ( x – 1)( x – 2)  = 0;
x 2
– x – 4 x + 8 – x2
+ 3 x – 2  = 0; –2 x + 6  = 0;
x  = 3, входит в ОДЗ.
о т в е т.
  3.

74
алгебра
Пример 12. Решить уравнение: x
x
x
x
+
+ + + =
2 53
3
4.
рееение.
  ОДЗ: x ≠ –5; x ≠ –3.
x
x
x
x
+ + + + =
2 53
3
4 0;
42
345353
45 3 0
()
() ()() ()
() () ;
xx
xxxx
xx
++
++ + +
++ =
4(
x + 2)( x + 3) + 4 x(x + 5) – 3( x + 5)( x + 3)  = 0;
4 x 2
+ 20 x + 24 + 4 x2
+ 20 x – 3 x2
– 24 x – 45  = 0;
5 x 2
+ 16 x – 21  = 0;
x
12 86
4105 5
81 3
5 ; ;
= ±
+

x
1 81
3
5 42
= = ,; x
2 81
3
5 1
= + = — входят в ОДЗ.
о т в е т.
  –4,2; 1.
5.2. зАменА переменной В  рАЦионАльных урАВнениях
Пример 13. Решить уравнение:
(x 2
+ 3 x + 1) ⋅ ( x2
+ 3 x + 3)  = –1.
рееение.
 
Обозначим t = x 2
+ 3 x + 2.
тогда x2
+ 3 x + 3  = t + 1; x2
+ 3 x + 1  = t – 1:
( t – 1) ⋅ ( t + 1)  = –1; t2
– 1  = –1; t2
 = 0; t = 0.
x 2
+ 3 x + 2  = 0;
x
12 39
8
2 31
2
;
;
= ±


x
1 31 2 2
=
=; x
2 31 2 1
= +
=.
о т в е т.
  –2; –1.
Пример 14. Решить уравнение: 4 x2
– 5 x2
+ 1  = 0.
рееение.
 
Обозначим t = x 2
. тогда x4
 = t 2
: 4 t2
– 5 t + 1  = 0.
t
12 52
516 8 53
8 ; ;
= ±
=± t
1 53 8
1
4 = =
; t
2 53 8 1
= + = .

75
кВаДратные, рациональные и  иррациональные УраВнения
x2
1 4
= x
12 1 2 ;
;
=± x 2
 = 1 ⇔ x
3;4  =
± 1.
о т в е т.
 
± 12;
± 1.
Пример 15. Решить уравнение: x4
+ 3 x2
– 10  = 0.
рееение.
  Обозначим t = x 2
. тогда x4
 = t 2
: t2
+ 3 t – 10  = 0.
t
12 39
40 2 37
2 ; ;
= ±
+
=± t
1 37 2 5
=
=; t
2 37 2 2
= +
=.
x2
 = –5 ⇔ x ∈ ∅ ; x2
 = 2 ⇔ x
12 2
; .

о т в е т.
  ± 2.
Уравнения, рассмотренные в примерах 14, 15, сводятся
к квадратным заменой t = x 2
. такие уравнения называются
биквадратными .
Пример 16. Решить уравнение:
x
x
x
x
2
2
2
22
+ ++
=.
рееение.
  ОДЗ: x ≠ –2; x ≠ 0. Обозначим t x x = +
2
2.
тогда
x
xt + = 21
2
: t t
+=
1
2; t
t
21
2
+
=;
t 2
+ 1  = 2 t;
t 2
– 2 t + 1  = 0;
t
12 11
11 01 ; .
=± =±=
x
x
2
2 1 + =; x 2
 = x + 2; x2
– x – 2  = 0; x
12 11
8 213
2 ; ;
= ±+

x
1 13 2 1
=
= ; x
2 13 2 2
= +
= — входят в ОДЗ.
о т в е т.
  –1; 2.
5.3. иррАЦионАльные урАВнения
При решении иррациональных уравнений следует учиты-
вать то, что корни чётной степени — арифметические, поэтому
и подкоренное выражение, и значение корня неотрицательны. Например, уравнение
x +=
23 корней не имеет.

76
алгебра
При наличии корней чётной степени решение иррацио-
нального уравнения необходимо начинать с нахождения ОДЗ.
При неравносильных преобразованиях уравнений (напри-
мер, при возведении обеих частей в чётную степень) могут
появиться посторонние корни (не удовлетворяющие данному
уравнению). Для исключения посторонних корней делается проверка решений.
Пример 17. Решить уравнение:
xx =2.
рееение.
 
ОДЗ: x  0. Возведём обе части в квадрат:
x  = (x – 2) 2
; x = x 2
– 4 x + 4; x2
– 5 x + 4  = 0;
x
12 52
516 2 53
2 ; ;
= ±
=± x
1 53 2 1
= = ; x
2 53 2 4
= + = .
Поскольку обе части возводились в квадрат (неравносиль-
ное преобразование), делаем проверку:
11 12 = ;
42 42 == ; x
1 =
1 — посторонний корень; x = 4.
о т в е т.
  4.
5.3.1. Основные методы решения иррациональных
уравнений
разложение на множители
Пример 18. Решить уравнение:
xx x
2
51 351
= .
рееение.
 
ОДЗ: 5 x – 1  0 ⇔
x≥1 5; xx
x2
51 35 10 =;
() ;
xx 2
35 10
= x 2
– 3  = 0 ⇔ x
12 3
; ;
=± 5 x – 1  = 0 ⇔ 

x
3 1 5 =
. x= 3 не входит в ОДЗ. Следовательно, урав-
нение имеет два корня:
x = 3; x=1 5.
о т в е т.
  1
5; 3.

77
кВаДратные, рациональные и  иррациональные УраВнения
Замена переменной
Пример 19. Решить уравнение:
xx xx22
41 42 07 +++ += .
рееение.
 
Обозначим t = x 2
+ 4 x – 1. тогда x2
+ 4 x + 20  = t + 21:
tt ++ =
21 7; tt+=
21 7; tt+= () 217 2
;
tt t
+= + 21 4914 ; 14280
t = ; t = 2; t  = 4.
x 2
+ 4 x – 1  = 4; x2
+ 4 x – 5  = 0;
x
12 24
52 3
; ;
= ±+ =±
x
1 =
–2 – 3  = –5; x
2 =
–2 + 3  = 1.
Проверка:
() () () () ;
+ + + += +=+=
54 51 545204 2525 7
22
14
11 141204 2525 7
22
+ + ++= +=+=.
о т в е т.
  –5; 1.
Отметим, что если в конце решения делается проверка, то
ОДЗ можно не определять.
изоляция корня
Пример 20. Решить уравнение:
xx ++=
51 36 .
рееение.
 
Изолируем один из корней, то есть перенесём другой ко-
рень в правую часть:
xx += 56 13.
Возведём обе части в квадрат:
xx x
+= + 536121 31 3; 2441213xx = ;
xx =
22 61 3.
ещё раз возведём в квадрат: x2
– 44 x + 484  = 468 – 36 x; x2
– 8 x +  16  = 0;
x
12 41
6164 04 ; .
=± =±=
Проверка: 451349 93 36 ++=+=+= .
о т в е т.
  4.

78
алгебра
типовые заданияРешить уравнение:
x
xx
2
22
1
1
2
9 2
+ + =
.
рееение.
`
ОДЗ: x2
≠ 1; x2
≠ 9, то есть x ≠ ± 1; x ≠ ± 3.
Замена переменной: t = x 2
.
t
tt +
+ =
1 1
2
9 2; ()
() ()() ()
() () ;
tt
tt t
tt +
=
19
2121 9
19 0
(
t + 1)(9 – t) + 2( t – 1) – 2( t – 1)(9 – t) = 0;
– t2
+ 8 t + 9 + 2 t – 2 + 2 t2
– 20 t + 18  = 0;
t 2
– 10 t + 25  = 0;
t
12 52
5255 05 ; ;
=± =±=
x2
 = 5; x
12 5
; =± — входят в ОДЗ.
о т в е т.
`
± 5.
Решить уравнение: 2
2
1
3 2 xx + = .
рееение.
`
ОДЗ: x ≠ 2; x ≠ 3.
2
2
1
3 20
xx + = ; 23 2223
23 0
()
()()
() () ;
xx
xx
xx +
=
2(
x – 3) + x – 2 – 2( x – 2)( x – 3)  = 0;
2 x – 6 + x – 2 – 2 x2
+ 10 x – 12  = 0;
–2 x2
+ 13 x – 20  = 0; 2 x2
– 13 x + 20  = 0;
x
12 13
169 160 4
133
4 ; ;
= ±

x
1 13
3 4 25
=
=,; x2 13
3 4 4
= +
= — входят в ОДЗ.
о т в е т.
` 2,5; 4.
Решить уравнение:
xx + =
32 55 .
рееение.
`
Перенесём один из корней в правую часть:
25 53
xx = .

кВаДратные, рациональные и  иррациональные УраВнения
Возведём обе части в квадрат:
252510 33
xx x = +;
25 2510 33 0
xx x
++= ;
xx +=
27 10 30 ; 10 327 xx = .
ещё раз возведём в квадрат: 100 x – 300  = 729 – 54 x + x 2
;
x 2
– 54 x + 729 – 100 x + 300  = 0; x2
– 154 x + 1029  = 0;
x
12 77
5929 102 97 77 0
; ;
=± =±
x
1 =
77 – 70  = 7; x
2 =
77 + 70  = 147.
Проверка:
73 2754 92 35 +=+ =+=;
1473 2147 51 442891217 295
+ =+ =+ = .
таким образом, остаётся один корень: x = 7.
о т в е т.
` 7.

80
6. тригонометриЧеские,
покАзАтельные,
логАриФмиЧеские урАВнения
основные формулы

hУниверсальная тригонометрическая подстановка
t x= tg
2 sin;x t t = +
2
1 2 co s.x t t = +
1
1 2
2

hВведение вспомогательного аргумента
ax bx ab x
si nc os sin();
+= ++
22

co s;=
+
a
ab
22
sin.=
+
b
ab
22

hФормулы понижения степени
si n co
s
;
2 12
2
=
co
s co
s
.
2 12
2
= +
объяснение и важные примеры
6.1. тригонометриЧеские урАВнения
6.1.1. Решение простейших тригонометрических
уравнений
1) sin x = a .
Уравнение имеет решение только при | a|  1:
x  = (–1) n
⋅ arcsin a + p n , n ∈ Z.

81
тригонометриЧеские, покаЗательные, логарифмиЧеские УраВнения
В частности, при a = 0: x = p n , n ∈ Z;
при a = 1:
xn n
=+
2 2,
;Z
при a = –1:
xn n
= +

2 2, .
Z
2) cos x = a .
Уравнение имеет решение только при | a|  1:
x  = ± arccos a + 2 pn , n ∈ Z.
В частности, при a = 0:
xn n
=+
2 ,; Z
при a = 1: x = 2 pn , n ∈ Z;
при a = –1: x = p + 2 pn , n ∈ Z.
3) tg x = a .
Уравнение имеет решение при любом a:
x  = arctg a + p n , n ∈ Z.
4) ctg x = a .
Уравнение имеет решение при любом a:
x  = arcctg a + p n , n ∈ Z.
При решении тригонометрических уравнений используют-
ся также формулы преобразования суммы и произведения три-
гонометрических функций (см. раздел 4) и формулы двойного (тройного) аргумента (см. раздел 2).
Пример 1. Решить уравнение:
sin. 2
3 3
2
x
+



=

рееение.
 
2 3 1 3 2
xn n
n
+= +

() arcsin ,; Z
2 3 1 3
xn n
n
+= +

() ,; Z 2 3 1 3
xn n
n
= + +


(),; Z
x n
n
n
= + (()) ,. 11 62

Z
о т в е т.
  (( )) ,. +
11 62
n n
n Z

82
алгебра
Пример 2. Решить уравнение: co s. x
24 0




=

рееение.
  x
nn
242 =+ ,; Z x
nn
2
3
4 =+ ,; Z
xn n
=+
3 2 2 ,. Z
о т в е т.
  3
2 2 + nn,. Z
Пример 3. Решить уравнение: tg .
x +



=

3 3
3
рееение.
  xn n
+= +

4
3
3 arct g, ; Z xn n
+= +

46 ,; Z
xn n
= +

12 ,. Z
о т в е т.
  +

12 nn,. Z
Пример 4. Решить уравнение: ct g. 2
31
x



=

рееение.
  2 3 1 xn n
= +

arct g, ;Z 2 34
xn n
=+ ,; Z
27
12xn n
=+ ,; Z xn
n
=+
7
24 2
,. Z
о т в е т.
  7
24 2
+ n n,. Z
6.1.2. Основные способы решения более сложных
тригонометрических уравнений
Замена переменной
Пример 5. Решить уравнение: cos 2 x + 2 sin 2
2 x – 1  = 0.
рееение.
  Воспользуемся основным тригонометрическим
тождеством:
cos2
a + sin 2
a = 1,

83
тригонометриЧеские, покаЗательные, логарифмиЧеские УраВнения
в силу которого sin2
2 x = 1 – cos 2
2 x.
cos 2 x + 2(1 – cos 2
2 x) – 1  = 0; cos 2 x + 2 – 2 cos 2
2 x – 1  = 0;
2 cos 2
2 x – cos 2 x – 1  = 0.
Обозначим t = cos 2 x: 2 t2
– t – 1  = 0; t
1 =
1;
t
2 1 2 =
.
если cos 2 x = 1, то 2 x = 2 pn , n ∈ Z ⇒ x  = p n , n ∈ Z.
если
co s,2 1 2 x
= то 2 2 3 2 xn n
=± + ,Z
xk k
=± +
3 ,. Z
о т в е т.
  pn ; ±+ 3 knk
,, .Z
Пример 6. Решить уравнение: 2 tg x + 3 ctg x = 5.
рееение.
  Обозначим t = tg x.
тогда
ct gx t = 1
: 2 3
5
t t
+= ; 2
t2
– 5 t + 3  = 0; t
1 =
1; t
2 3 2 =
.
если tg x = 1, то xn n
=+ 4,. Z
если tg
,
x =3 2 то xk k
=+
arct g, .
3 2
Z
о т в е т.
  4 + n; arct g;3
2 + k n , k ∈ Z .
Универсальная подстановка
Следует учитывать, что функция
tg x 2 не определена при
x  = p + 2 pk , k ∈ Z. Поэтому при применении универсальной
подстановки необходимо проверить, не являются ли указанные значения решениями уравнения.
Пример 7. Решить уравнение: 3 sin x – 2 cos x = 3.
рееение.
  Обозначим
tx
= tg . 2
Применим универсальную подстановку:
32 1 21 1 3
2 2
2
+ + =
t t
t
t ;

84
алгебра
6t – 2(1 – t2
) – 3(1 + t 2
) = 0;
t 2
– 6 t + 5  = 0; t
1 =
1; t
2 =
5.
если
tg ,
x 2 1
= то x
nn
24 =+

,; Z xn n
=+

2 2, .Z
если tg ,
x 2 5
= то x
k
2 5 =+ arct g, k ∈ Z;
x  = 2 arctg 5 + 2 pk , k ∈ Z.
если x = p + 2 pm , то 3 sin x – 2 cos x = 3 sin x – 2 cos p = 
= 0 – (–2)  = 2 ≠ 3, то есть числа p + 2 pm , m ∈ Z не являются
решениями исходного уравнения.
о т в е т.
 
2 2
+ n; 25 2
arct g; ,.
+ kn k
Введение вспомогательного аргумента
Пример 8. Решить уравнение: sin x + cos x = 1.
рееение.
  Используем введение вспомогательного аргумента:
axbx ab x
si nc os sin();
+= ++
22

co s;=
+
a
ab22
sin.=
+
b
ab22
В данном случае
a = 1; b = 1: co s;= 1
2 sin;= 1
2
= 4.
si nc os si n; xx x
+= +


2
4 sin; x
+



=

4 1
2
xn n
n
+= +
4 1 4 () ,; Z xn n
n
= + (()) ,. 11 4
Z
При n = 2 k: x = 2 pk , k ∈ Z. При n = 2 l + 1: xl l
=+ 2 2,.
Z
о т в е т.
  2pk ; 2 2
+ l; k , l ∈ Z.
Заметим, что последний пример можно было бы решить
и с помощью универсальной подстановки.

85
тригонометриЧеские, покаЗательные, логарифмиЧеские УраВнения
преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в  произведение
Пример 9. Решить уравнение:
cosc os si n. 32 2 xx x =
рееение.
  Воспользуемся формулой:
cosc os sins in.
= + 2 22
232 2
23
22 si
ns in si n; xx xx x
+
= =25 22
2 sins in si n; xx x
125 22 0
+


= si
ns in. xx
если 12 5 2 0 += sin, x то sin;5
2
1
2
x
=
5
2 1 6
1
x
nn
n
= +
+
() ,;

Z x n
n
n
= +
+
() ,. 1 15
2
5
1 Z
если sin, x
2 0
= то x
kk
2= ,; Z
x  = 2 pk , k ∈ Z.
о т в е т.
 
() ;
+
+
1 15
2
5
1
n n 2
pk ; n, k ∈ Z.
преобразование произведения тригонометрических функций в  сумму
Пример 10. Решить уравнение: sin 2 x sin 5 x = sin 3 x sin 4 x.
рееение.
  Воспользуемся формулой:
sins in (cos () cos( )).

= +
1 2
1
2 25
251 2 34
34
(c os () cos( )) (cos() cos( ));
xx xx xx xx += +
cos 3x – cos 7 x = cos x – cos 7 x; cos 3 x – cos x = 0;
2 3
2 3
2 0
si ns in ;
xx
xx + = –2 sin 2 x sin x = 0.
если sin 2 x = 0, то 2 x = p n , n ∈ Z;
x n
n = 2 ,. Z
если sin
x = 0, то x = p k , k ∈ Z.

86
алгебра
Заметим, что любое число pk , k ∈ Z можно представить как
2
2k

, то есть n
2

при n = 2 k. Поэтому вторая серия решений
содержится в первой, и окончательно:
x n
n =
2,. Z
о т в е т.
  n
n
2,.
Z
применение формул понижения степени
Пример 11. Решить уравнение:
sins insi n. 22 2
56 73
2
xx
x
++ =
рееение.
  Понижаем степень:
sin cos
;
2 12
2
= 11
0
2
112
2
114
2
3
2

+
+
=
co
sc os cos
;
xx
x
cos 10x + cos 12 x + cos 14 x = 0;
(cos 10 x + cos 14 x) + cos 12 x = 0.
Воспользуемся формулой:
co sc os cosc os .
+= + 2 22
2 cos 12 x cos 2 x + cos 12 x = 0; cos 12 x ⋅ (2 cos 2 x + 1)  = 0.
если cos 12 x = 0, то
12
2 xn n
=+ ,; Z xn
n
=+
2412 ,. Z
если 2 cos 2 x + 1  = 0, то co s;2 1
2
x
= 2 2
3 2xk =±
+ ;
xk k
=± +

3 ,. Z
о т в е т.
 
24 12 +n
; ±+

3 kn k
;, .Z
применение формул двойного и  тройного аргумента
Пример 12. Решить уравнение:
sins in.
43 2 xx =
рееение.
  Воспользуемся формулой: sin 2 a = 2 sin a cos x.
22 23 2
si nc os si n; xx x
= si nc os .
22 23 0
xx () =
если sin 2 x = 0, то 2 x = p n , n ∈ Z; x n
n = 2 ,. Z

87
тригонометриЧеские, покаЗательные, логарифмиЧеские УраВнения
если 22 30 co s, x = то co s;23 2 x
= 2 6 2 xk k
=± +
,; Z
xk k
=± +
12 ,. Z
о т в е т.
  n
2

; ±+ 12 knk
;, .Z
Пример 13. Решить уравнение: sinc os . 44 1
2
xx
+=
рееение.
  sin4
x + cos 4
x  = (sin 4
x + 2 sin 2
x cos 2
x + cos 4
x ) –
– 2 sin 2
x cos 2
x  = (sin 2
x + cos 2
x )2

=
12 21
1
2 2 22 (s
in cos) si n; xx x
11 2 2 1 2
2 = sin; x sin
2
2 x = 1; sin 2 x = ± 1; 2 2
xn n
=± +
,; Z
x n
n
=+
42 ,. Z
о т в е т.
 
42 + n
n,. Z
Пример 14. Решить уравнение: coss in . 44 1
2
xx
=
рееение.
  cos4
x – sin 4
x  = (cos 2
x – sin 2
x ) ⋅ (cos 2
x + sin 2
x ) = 
= cos 2
x – sin 2
x .
Воспользуемся формулой: cos 2 a = cos 2
a – sin 2
a .
co s;2 1 2 x
= 2 3 2 xn n
=± +
,; Z xn n
=± +

6 ,. Z
о т в е т.
  ±+

6 nn,. Z
Пример 15. Решить уравнение:
3 sin x – sin 3 x = 3 cos x + cos 3 x.
рееение.
  Воспользуемся формулами:
sin 3 a = 3 sin a – 4 sin 3
a ; cos 3 a = 4 cos 3
a – 3 cos a.
3 sin x – (3 sin x – 4 sin 3
x ) = 3 cos x + (4 cos 3
x – 3 cos x);
4 sin 3
x  = 4 cos 3
x ; sin 3
x  = cos 3
x ; sin x = cos x.

88
алгебра
Разделим обе части на cos x, поскольку cos x ≠ 0 (иначе
sin x не был бы равен cos x):
tg x = 1;
xn n
=+

4 ,. Z
о т в е т.
 

4+ nn,. Z
6.2.
покАзАтельные урАВнения
6.2.1. Решение простейших показательных уравнений
ax
 = b .
Уравнение имеет решение только при a > 0; a ≠ 1; b > 0:
x  = log
a
b .
При решении показательных используются свойства лога-
рифмов (см. раздел 3) и формулы перехода к другому основа- нию (см. раздел 3).
Пример 16. Решить уравнение:
23 x = .
рееение.
  x =lo g;23
x  = (log
2 3) 2
.
о т в е т.
  (log
2 3) 2
.
6.2.2. Приведение всех степеней к  одному основанию
Пример 17. Решить уравнение:
21
2
21
x x
=


.
рееение.
  2x
 = 2 –(2
x – 1)
; x = –(2 x – 1); x = 1 – 2 x; 3 x = 1; x =1
3 .
о т в е т.
  1
3.
Пример 18. Решить уравнение: 4 x
+ 4 x
+ 2
 = 136.
рееение.
  4x
+ 4 x
+ 2
 = 4 x
+ 4 x
⋅ 4 2
 = 4 x
+ 16 ⋅ 4 x
 = 17 ⋅ 4 x
;
17 ⋅ 4 x
 = 136; 4 x
 = 8.
x = = = =
lo gl og ,. 4
22 3
82 3 2 15
о т в е т.
  1,5.

89
тригонометриЧеские, покаЗательные, логарифмиЧеские УраВнения
Пример 19. Решить уравнение: (0,125) x
– 3
 = 32 ⋅ 4 x
+ 1
.
рееение.
  0,125 = 2 –3
; 32  = 2 5
; 4  = 2 2
.
(2 –3
)x
– 3
 = 2 5
⋅ (2 2
)x
+ 1
; 2 –3(
x – 3)
 = 2 5 + 2(
x + 1)
; –3( x – 3)  = 5 +
+ 2( x + 1); –3 x + 9  = 2 x + 7; 5 x = 2; x = 0,4.
о т в е т.
  0,4.
Пример 20. Решить уравнение: 2 ⋅ 3 x
 = 7 ⋅ 5 x
– 3
.
рееение.
  2 ⋅ 3 x
 = 7 ⋅ 5 –3
⋅ 5 x
;
23 7 12
5 5
= xx ; 525
0 7 3 xx
= ;
5
3 25
0
7



=
x
; x=lo g.5
3
25 0
7
о т в е т.
  lo g.5
3
25 0
7
6.2.3. З амена переменной в  решении показательных
уравнений
Пример 21. Решить уравнение: 9 x
– 10 ⋅ 3 x
+ 9  = 0.
рееение.
  Обозначим t = 3 x
.
тогда 9 x
 = t 2
: t2
– 10 t + 9  = 0; t
1 =
1; t
2 =
9.
если 3 x
 = 1, то x = 0. если 3 x
 = 9, то x = 2.
о т в е т.
  0; 2.
Уравнения вида
Aa BabC b x xx
x
+ + = 22
0 сводятся к ква-
дратному делением на ax
с последующей заменой переменной
t b a
x
=


.
Пример 22.
Решить уравнение: 25 x
– 4 ⋅ 10 x
+ 3 ⋅ 4 x
 = 0.
рееение.
  52
x
– 4 ⋅ 5 x
⋅ 2 x
+ 3 ⋅ 2 2
x
 = 0.
Разделим обе части на 5 2
x
:
14 2
5 3
2
5 0
2



+


= xx
.
Обозначим t x
=


2
5 : 3
t2
– 4 t + 1  = 0; t
1 =
1; t
2 1
3
=
.

90
алгебра
если 2
5 1



=
x
, то x = 0. если 2
5 1
3



=
x
, то 5
2 3


=
x
;
x = lo g.52 3
о т в е т.
  0; lo g.5
2 3
6.3.
логАриФмиЧеские урАВнения
6.3.1. Решение простейших логарифмических
уравнений
log a
x  = b .
Уравнение имеет решение только при a > 0; a ≠ 1:
x  = a b
.
При решении логарифмических уравнений используются
свойства логарифмов (см. раздел 3) и формулы перехода к дру- гому основанию (см. раздел 3).
Пример 23. Решить уравнение:
lo g.1
3
2
x =
рееение.
  x = ==

1
3
39
2 2 .
о т в е т.
  9.
Пример 24. Решить уравнение: log
x 2
 = 3.
рееение.
  ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. log
x 2
 = log
x
x 3
; x3
 = 2;
x = 2 3 —
входит в ОДЗ.
о т в е т.
 
2
3
.
Пример 25. Решить уравнение: log
3(9 x
– 6)  = x .
рееение.
  log
3(9 x
– 6)  = log
3 3 x
; 9 x
– 6  = 3 x
.
Обозначим t = 3 x
: t2
– 6  = t ; t2
– t – 6  = 0; t
1 =
3; t
2 =
–2.
если 3 x
 = 3, то x = 1. если 3 x
 = –2, то x ∈ ∅ .
о т в е т.
  1.

91
тригонометриЧеские, покаЗательные, логарифмиЧеские УраВнения
6.3.2. Методы решения более сложных
логарифмических уравнений
потенцирование
Используем свойства логарифмов:
loga
b + log
a
c  = log
a(
bc );
logl og lo g. aa a
bc b c =
Пример 26.
Решить уравнение: log
2(
x + 1) + log
2(
x + 7)  = 4.
рееение.
  ОДЗ: x > –1. log
2((
x + 1)( x + 7))  = 4;
( x + 1)( x + 7)  = 2 4
; ( x + 1)( x + 7)  = 16;
x 2
+ 8 x + 7  = 16; x2
+ 8 x – 9  = 0; x
1 =
1; x
2 =
–9.
В ОДЗ входит только x = 1.
о т в е т.
  1.
Пример 27. Решить уравнение: log
3(
x 2
+ 1) – log
3
x  = 1.
рееение.
  ОДЗ: x > 0.
lo g;3 2
1
1
x x
+
= x
x
2
1
1
3
+
= ;
x 2
+ 1  = 3 x;
x 2
– 3 x + 1  = 0;
x
12 35
2 ;= ± — входят в ОДЗ.
о т в е т.
 
35
2± .
переход к  другому основанию
Используем формулу:
lo g lo
g
lo g .
a b
b
c
c
a
=
Пример 28.
Решить уравнение: 1 + log
3
x  = log
x 9.
рееение.
  ОДЗ: x > 0; x ≠ 1. В выражении в правой части
перейдём к основанию 3:
lo g lo
g
lo gl og.
x xx 9 923
33
= =
Обозначим t = log
3
x : 1 2
+= t t; t + t 2
 = 2; t2
+ t – 2  = 0;
t 1 =
1; t
2 =
–2.

92
алгебра
если log3
x  = 1, то x = 3 1
 = 3. если log
3
x  = –2, то x ==
3 1
9
2
.
Оба значения входят в ОДЗ.
о т в е т.
 
1
9; 3.
логарифмирование
Метод логарифмирования обеих частей применяется обыч-
но при решении уравнений, содержащих показательно-степен- ные выражения, то есть выражения вида f(x )g
(x )
.
Пример 29. Решить уравнение:
x x
lo g . 2 16
=
рееение.
  ОДЗ: x > 0. Используем тождество:
log a(
b c
)  = c ⋅ log
a
b ( a > 0; a ≠ 1; b > 0).
Прологарифмируем обе части по основанию 2: log 2
x ⋅ log
2
x  = log
2 16; (log
2
x )2
 = 4; log
2
x  = ± 2;
x  = 2 ±2
;
x1 2
2 1 4
==

; x
2 =
2 2
 = 4 — входят в ОДЗ.
о т в е т.
 
1
4 ; 4.
типовые задания Решить уравнение:
logl og () .
39 2
18 52 xx
++ =
рееение.
` ОДЗ: x > 0. Приведём левую часть к основа-
нию 3:
lo gl og() logl og() log
39 2
332 2
3
18 18
xx xx x
++ =+ +=+
++ =+ += 1
2 181 2 18
3 2
32
32
lo g( )(logl og () )l xx xx
+= + 1
2 18
3 22 )l og
(( )); xx x
log
3(
x 2
(x 2
+ 18))  = 5; x2
⋅ ( x2
+ 18)  = 3 5
; x2
+ 18 x – 243  = 0;
x 1 =
9; x
2 =
–27.
Значение x = –27 не входит в ОДЗ. Значит, x = 9.
о т в е т.
` 9.

тригонометриЧеские, покаЗательные, логарифмиЧеские УраВнения
Решить уравнение: sin 2x + sin 3 x = sin 5 x.
рееение.
`
si ns in sinc os
23 223 2
32
2 xx xx xx += + =
=
2 5 22 si
nc os; xx sins inco s; 52 5 2
5
2 x xx =
2
5 22 25 2
5
2 si
nc os sinc os;
xx xx =
si
nc osco s; 5
22 5
2 0
xx
x



=
co
sc os sins in sins in;
xx xx
xx
xx 2
5
2 2 25
2 2
5
22
2 2 3 2 = +
=

si ns in si n. x xx =
3
2 5
2 0
если sin
x = 0, то x = p n , n ∈ Z.
если
sin,3
2 0
x
= то 3
2
x kk = ,; Z x k
k = 2
3
,. Z
если sin,5
2 0
x
= то 5
2
x mm = ,; Z x m
m = 2
5
,. Z
о т в е т.
` pn ; 2
3
k

; 2
5

m

; n , k, m ∈ Z.

94
7. системы урАВнений.
рАВносильность урАВнений
и систем. решение текстоВых зАдАЧ
правила и определения

 Равносильными уравнениями называют два уравнения,
если множества их корней совпадают (то есть каждый
корень одного из уравнений является корнем и друго-
го, и наоборот). Уравнения, не имеющие корней, также
считаются равносильными (множества их корней пусты). Равносильность обозначается:
f1(
x ) = g
1(
x ) ⇔ f
2(
x ) = g
2(
x ).

 Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными
fxyg xy
fx yg xy11
22(; )( ;) ;
(; )(
;)
=
=
{
называется пара чисел ( x; y), обращающая оба уравнения
в верные равенства.

 Система называется совместной, если она имеет хотя бы
одно решение, и несовместной, если не имеет решений.

 Равносильными системами называются две системы,
множества решений которых совпадают. В частности, две несовместные системы равносильны.

 Тождественные преобразования — это преобразования,
при которых уравнение (система) переходит в равносиль-ное ему уравнение (систему).

95
системы УраВнений. раВносильность УраВнений и систем. решение текстоВых ЗаДаЧ
объяснение и важные примерыОсновные тождественные преобразования:
1. Перестановка правой и левой частей уравнения. Например:
x2
 = x + 2 ⇔ x + 2  = x 2
.
2. Перенос одного или нескольких слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака. Например:
x2
 = x + 2 ⇔ x 2
– x = 2 ⇔ x 2
– x – 2  = 0.
3. Прибавление к обеим частям (или вычитание из них) одного и того же числа. Например:
x2
 = x + 2 ⇔ x 2
– 2  = x .
4. Прибавление к обеим частям (или вычитание из них) одной и той же функции, область определения которой содержит ОДЗ исходного уравнения. Например:
xx x += +1 x =1.
5. Умножение (или деление) обеих частей уравнения на
число, отличное от нуля. Например:
2x 2
– 2 x = 4 ⇔ x 2
– x = 2.
6. Умножение (или деление) обеих частей уравнения на отличную от нуля функцию, область определения кото- рой содержит ОДЗ исходного уравнения. Например:
x(x 2
+ 1)  = x 2
+ 1 ⇔ x  = 1.
Оба условия, накладываемые на функцию, важны.
Например, уравнение x = 1 (корень: 1) не равносильно
уравнению x2
 = x , полученному из исходного умножени-
ем на x (корни: 0; 1). Это связано с тем, что x обраща-
ется в 0 при x = 0. Уравнение
xx x
= 2 (корень: 0) не
равносильно уравнению x = –2 (корень: –2). Это связно
с тем, что ОДЗ уравнения x = –2 — вся действительная
ось (– ∞; +∞ ), а область определения функции
x — луч
[0; +∞), не содержащий корня уравнения x = –2.

96
алгебра
7. Возведение обеих частей уравнения в нечётную степень (или извлечение из обеих частей корня нечётной степе- ни). Например:
xx=+ 2 3 ⇔ x 3
 = x + 2.
Приведём примеры использования тождественных прео-
бразований для решения уравнений.
Пример 1. Решить уравнение:
32
4 xx = .
рееение.
  ОДЗ: x ≠ 0; x ≠ 4. На этой ОДЗ исходное уравне-
ние равносильно уравнениям:
32
4 0 xx = 34
2
4 0
()
() xx
xx

= x
xx
= 12 4 0
()
⇔ x – 12  = 0 ⇔ x  = 12 — входит в ОДЗ.
о т в е т.
  12.
Пример 2. Решить уравнение:
23 1xx =.
рееение.
  ОДЗ: 2x – 3  0; x  0. Это равносильно x  3 2.
На этой ОДЗ, очевидно, x −
10  . Поэтому возведение
обеих частей уравнения в квадрат будет равносильным пре- образованием (не возникнут посторонние корни):
23 12
xx = () 23 21
xx x = + 42=xx .
Поскольку x 0, корень уравнения должен удовлетво-
рять условию 4 – x  0, то есть x  4. С учётом ОДЗ: x ∈ [1,5; 4].
При этом возведение обеих частей в квадрат опять будет равно- сильным преобразованием:
(4 – x)2
 = 4 x ⇔ x 2
– 8 x + 16  = 4 x ⇔ x 2
– 12 x + 16  = 0 ⇔
⇔  
x
12 62
5
; .

Легко проверить, что только один из корней, а именно
x =
62 5153 ,, удовлетворяет условию x ∈ [1,5; 4].
о т в е т.
 
62 5
− .

97
системы УраВнений. раВносильность УраВнений и систем. решение текстоВых ЗаДаЧ
К равносильной системе приводят любые тождественные
преобразования каждого из уравнений системы, а также пе-
рестановка уравнений и прибавление к одному из уравнений,
умноженному на некоторое число, отличное от нуля, друго-
го уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля. Например:
xy xy+=
+=
{
23
25 4
; xy
xy xy
+=
+ +=
{
23
25 22 423
;
() () xy
y +=
=
{
23
2 ;

  () ();
xy y
y +
=
=
{
22
322
2 x y =
=
{
7 2
;
.
7.1. осноВные методы решения систем урАВнений
7.1.1. Метод подстановки
Суть метода — из одного уравнения выражают одну пе-
ременную через другую, затем подставляют полученное выра-
жение в другое уравнение. В результате получают уравнение
с одной переменной, решают его и находят соответствующее значение другой переменной.
7.1.2. Метод алгебраического сложения
В этом случае уравнения умножают на числа, отличные от
0, таким образом, чтобы коэффициенты при x или y совпадали
по абсолютной величине, но отличались знаками, а затем скла-
дывают. В результате получают уравнение с одной переменной.
Пример 3. Решить систему уравнений двумя способами:
2312
57 1
xy xy +==
{
;
.
рееение.
 
I способ (метод подстановки). Из первого уравнения:
y x
= 12 2
3 .
Подставляем во второе уравнение: 5 71
22 3 1
x x
= () ;

98
алгебра
15x – 7 ⋅ (12 – 2 x) = 3; 29 x – 84  = 3; 29 x = 87; x = 3.
Отсюда
y = =
12
23
3 2. x
y =
=
{
3
2 ;
.
II способ (метод алгебраического сложения).
Умножим первое уравнение на 5, а второе на (–2) и сло-
жим:
+ +=
+ ={
==
1015 60
10 14 2
29 58 2
xy
xy
yy
; ;
;.
Из первого уравнения: 2 x + 3 ⋅ 2  = 12; 2 x = 6; x = 3.
тогда
x y =
=
{
3
2 ;
.
о т в е т.
  (3; 2).
7.1.3. введ ение новых переменных
Во многих случаях при решении систем переходят к но-
вым переменным. Часто при решении систем указанные приёмы комбиниру-
ют, а также производят тождественные преобразования урав- нений системы, умножают, делят уравнения и т. д.
Пример 4. Решить систему:
xy
xy = += 16
8
;
.
рееение.
  Обозначим ux =; vy =. тогда x = u 2
; y = v 2
.
uv uv 22
16
8
=
+=



; ()
() ;
uv uv
uv +
=
+=
{
16
8 81 6
8
()
;
uv
uv =
+=
{
 
= += {
uv uv 2
8 ;
.
В последней системе сложим уравнения: 2 u = 10; u = 5.
Отсюда v = 3.
Вернёмся к исходным переменным:
x y =
=



5
3 ; x
y =
=
{
25
9 ;
.
о т в е т.
  (25; 9).

99
системы УраВнений. раВносильность УраВнений и систем. решение текстоВых ЗаДаЧ
Пример 5. Решить систему:
xy
xy
+=
=



;
si nc os .
1
4
рееение.
  Из первого уравнения: y = p – x.
Подставляем во второе уравнение:
si nc os() ; xx =
1
4 =
si nc os ;
xx 1
4 2 1
2
si
nc os .
xx =
По формуле синуса двойного угла: sin.2 1
2
x
=
21 6
1 xn n
n
= +
+
(),;
Z x n
n
n
= +
+
() ,. 1 12 2
1
Z
Подставим в первое уравнение:
yx n
n
n
= =
+
1
2 1
12
() ,. Z
x
n
y n
n
n
n
=
+
=


+




+
() ;
() ,.
1 122
1 2 1
12
1


Z
о т в е т.
  () ;(),.
+


+





+
1
122 1
2 1
12
1 nn nn
n


Z
Пример 6. Решить систему: sins in ;
co sc os .
xy
xy +=+= 3
1
рееение.
  Используем формулы суммы синусов и суммы ко -
синусов:
si ns in sinc os;
xy xy xy += + 2 22
co
sc os cosc os;
xy xy xy += + 2 22
si
nc os ;
co sc os .
xy
xy
xy xy
+
=
+ =


22
3
2
22 1
2

100
алгебра
Введём новые переменные: u xy =+ 2 ; v xy = 2 .
si
nc os ;
co sc os .
uv
uv =
=



3
2
1
2
Поскольку cos u cos v ≠ 0, можно разделить первое уравне-
ние на второе:
tg ;
u = 3 un n
=+
3 ,; co sc os .


3 1 2
+
=
nv
если n = 2 k, то
1
2
1
2
= co s;v cos
v = 1; v = 2 pm .
если n = 2 k – 1, то
=
12
1
2 co s;v cos
v = –1; v = p + 2 pm .
Отсюда:
xy k
xy m
+
=+
=



23
2
2 2

;
или
xy
k
xy m
+
= +
=+



2
2
3 2
2 2


;
.
Складываем и вычитаем уравнения:
xm k
yk m
=+
+
=+





3
2
3 2() ;
()
или
xm k
yk m
=+
+
=+





3
2
3
21 ()
;
() .
Любые два целых числа можно представить в виде (
m + k )
или ( m – k), m, k ∈ Z, если их сумма чётна, или в виде ( m + k )
и ( k – m – 1), m, k ∈ Z, если их сумма нечётна.

101
системы УраВнений. раВносильность УраВнений и систем. решение текстоВых ЗаДаЧ
Поэтому окончательно:
xn
ylnl
=+
=+





3
2
3 2 ;
;, .
Z
о т в е т.
 


3 2
32
++



nl nl ;;,. Z
Пример 7. Решить систему: xy
xy+=
+=


2
33 10
;
.
рееение.
 
Из первого уравнения: y = 2 – x. 3 x
+ 3 2–
x
 = 10;
3 9 3 10
x
x
+=
.
Замена: y = 3 x
. t t += 9
10; t 2
– 10 t + 9  = 0; t
1 =
1; t
2 =
9.
если 3 x
 = 1, то x = 0; y = 2 – x = 2.
если 3 x
 = 9, то x = 2; y = 2 – x = 0.
о т в е т.
  (0; 2); (2; 0).
Пример 8. Решить систему:
3312
99 72
xy
xy +=
=


;
.
рееение.
 
Обозначим u = 3 x
; v = 3 y
. тогда 9 x
 = u 2
; 9 y
 = v 2
:
uv uv +=
=


12
72
22 ; uv
uv uv
+=
+ =
{
12
72
;
() () uv
uv
+=
=
{
12
12 72
;
()
+= = {
uv uv 12
6 ;
.
Складывая и вычитая уравнения, получаем:
u v =
=
{
9
3 ; 39 33x
y =
=



; x
y =
=
{
2
1 ;
.
о т в е т.
  (2; 1).

102
алгебра
Пример 9. Решить систему: xy xy
yx
=
+=


16
16
22 ;
.
lo
gl og
рееение.
  ОДЗ: x > 0; y > 0. Представим второе уравнение
в виде:
() () ;
lo
gl og logl og
22 16
22
22
xy
yx += 22 16
22= lo
gl og
;
xy
28 22
lo
gl og
;
xy
= log
2
x ⋅ log
2
y  = 3.
Прологарифмируем первое уравнение по основанию 2: log2
x + log
2
y  = 4.
Замена: u = log
2
x ; v = log
2
y .
uv uv =
+=
{
3 4
;
; v  = 4  – u; u ⋅ (4 – u) = 3; u2
– 4 u + 3  = 0;
u 1 =
1; u
2 =
3. v
1 =
4 – 1  = 3; v
2 =
4 – 3  = 1.
lo g;
lo g2 2 1 3
x
y =
={ или lo g;
lo g.
2 2 3
1
x
y =
= { x y =
=
{
2
8 ; или x
y =
=
{
8
2 ;
.
Полученные решения входят в ОДЗ.
о т в е т.
  (2; 8); (8; 2).
Пример 10. Решить систему:
xxyy
xx yy22
42247
21
++
=
++ =
;
.
рееение.
 
Заметим, что x4
+ x 2
y 2
+ y4
 = (x4
+ 2 x2
y 2
+ y4
) – x2
y 2
 =  
= ( x2
+ y 2
)2
– ( xy)2
 = (x2
– xy + y 2
)( x2
+ xy + y 2
).
xx yy
xx yy xxyy
22
22 22
7
21
++
=
+ ++=


;
()
() xx yy
xx yy
22
22 7
72 1
++
=
+ =


; ()

  xx yy
xx yy22 22 7
3
++
=
+ =
;
.
Сложим и вычтем уравнения: xy xy 22
5
2 +=
=
;
.
Прибавим к первому уравнению и вычтем из него второе
уравнение, умноженное на 2:
xx yy
xx yy22 2229
21++ =
+ =



; ()
;
() ;
xy xy += =

2
2 9
1

103
системы УраВнений. раВносильность УраВнений и систем. решение текстоВых ЗаДаЧ
xy xy+==
{
3
1 ; или xy xy +==

{
3
1
; или xy xy +=

=
{
3
1 ; или xy xy
+=

=
{
3
1 ;
;
x y =
=
{
2
1 ; или x
y =
=
{
1 2 ; или x
y =
=
{
1
2 ; или x
y =
=
{
2
1 ;
.
о т в е т.
  (2; 1); (1; 2); (–1; –2); (–2; –1).
Заметим, что предыдущая система была симметрической,
то есть уравнения не изменялись при замене x на y, y на x.
если ( a; b) — решение симметрической системы, то ( b; a)
тоже будет её решением.
Пример 11. Решить систему:
xy xyxy
22
29
22 7
+=
++ =

;
.
рееение.
 
Заметим, что x2
+ y 2
 = (x2
+ 2 xy + y 2
) – 2 xy = (x + y )2
– 2 xy.
Обозначим u = x + y ; v = 2 xy :
uv uv2
29
27
=
+=
;
.
Сложим уравнения: u2
+ u  = 56.
u 2
+ u – 56  = 0; u
1 =
7; u
2 =
–8; v
1 =
27 – 7  = 20;
v 2 =
27 – (–8)  = 35.
xy
xy+=
=
{
7
22 0; или xy
xy+=

=
{
8
23 5 ;
; xy xy +=
=
{
7
10 ; или
xy xy+=

=


8
35
2 ;
.
Первая система имеет решения (2; 5) и (5; 2); вторая систе-
ма не имеет решений.
о т в е т.
  (2; 5); (5; 2).
если требуется решить однородную систему квадратных
уравнений, то есть систему вида:
ax axya yA
bx bxyb yB
02
12 2
0 2
12 2
++
=
++ =
;
,
то следует умножить первое уравнение на B, второе на (– A),
сложить их и в полученном уравнении сделать замену
t y x =
.

104
алгебра
Пример 12. Решить систему: xxyy
xx yy22
22 23 9
23
51 2
+
=
+ =
;
.
рееение.
  Умножим первое уравнение на 4, а второе — на 3
и сложим (числа 12 и 9 сразу сократим на 3):
+ +
=
+ =

+ =
48
1236
69 1536
10 30
22 22
22xx yy
xx yy
xx yy ;
;
.
Очевидно, x ≠ 0, иначе из последнего уравнения следовало
бы y = 0, а это не удовлетворяет системе. Поэтому можно раз-
делить последнее уравнение на x2
:
10 30
2
+


=
y
x
y
x .
Замена: t y x =
. 3t2
– t – 10  = 0; t
1 =
2; t
2 5 3 =
; y
x =2 или
y
x = 5 3.
xx yy
yx
22 23 9
2
+
=
=
; или
xx
yy
y x22 23
9
5
3
+
=
=


;
;
99
2
2
x yx
=
=


; или
38
3 9
5 3
2
x
y x
=
=



;
;
x y =
=
{
1 2 ; или x
y =
=
{
1
2 ; или
x
y =
=


3
114
38
5 114
38 ;
или
x
y =
=


3
114
38
5 114
38 ;
.
о т в е т.
  (1; 2); (2; 1); 3114
38 5
114
38 ;;






3
114
38 5
114
38 ;.

105
системы УраВнений. раВносильность УраВнений и систем. решение текстоВых ЗаДаЧ
7.1.4. Использование свойств и  графиков функций
при  решении уравнений
если решается уравнение f(x ) = g (x ) и обнаружилось, что
f (x )  a ; g(x )  a , то следует решить систему:
fx a
gx a
()
;
() .
=
=
{
если f(x )  a ; g(x )  b или f(x )  a ; g(x )  b , то уравнение
f (x ) + g (x ) = a + b равносильно системе:
fx a
gx b
()
;
() .
=
=
{
Пример 13. Решить уравнение: xx x
22 12
1
= .
рееение.
  xx x
22 12 1
= + () ; xx22
11 = () ;
x2 10 ; –(x – 1) 2
 0; x
x 2
2
10
10
=
=



;
() x x 2
1
1
=
=



;
x  = 1.
о т в е т.
  1.
Пример 14. Решить уравнение: cos x + 2 cos 4 x = 3.
рееение.
  cos x  1; 2 cos 4 x  2.
Поэтому cos x + 2 cos 4 x = 3 возможно лишь в случае, если:
co s;
co s.
x
x
=
=
{
1
24 2
co
s;
co sx
x=
={
1 41 xn
n
xk k =
=
{ 2
42

,;
, Z
Z
xn n
x k
k = =

2
2

,;
,. Z
Z
Очевидно, любое число вида 2 pn , n ∈ Z, можно представить
в виде
k
2

(при k = 4 n). Поэтому окончательно x = 2 pn , n ∈ Z.
о т в е т.
  2pn , n ∈ Z.
если f(x ) — монотонно возрастающая или монотонно убы-
вающая функция на промежутке, то уравнение f(x ) = a имеет
не более одного решения на этом промежутке (при любом зна- чении a).

106
алгебра
Пример 15. Решить уравнение: x3
+ x – 2  = 0.
рееение.
  Очевидно, функция f(x ) = x 3
+ x – 2 монотонно
возрастает на всей оси. Значит, уравнение имеет не более одно-
го корня. Очевидно, f(1)  = 1 3
+ 1 – 2  = 0. Значит, x = 1 — этот
корень.
о т в е т.
  1.
Пример 16. Решить уравнение:
12333
+=
x
x.
рееение.
  ОДЗ: x3
 33 ⇔ x 33
3
. 12 33 0
3
+ = x x .
Функция fx x
x
() =+ 12 333 монотонно возрастает при
x  33
3
. Подбором убеждаемся в том, что x = 2 — корень урав-
нения:
f () .
21 2332 14 50 23
=+ =+=
о т в е т.
  2.
Для графического решения уравнения f(x ) = g (x ) нужно по-
строить графики функций y = f (x ) и y = g (x ) и найти абсциссы
точек их пересечения.
Пример 17. Решить уравнение:
xx=18 2.
рееение.
  Строим графики функ-
ций
yx = и y = 18 – x2
. Они пере-
секаются в точке A(4; 2) (рис. 7.1).
Значит, уравнение имеет один ко- рень x = 4.
о т в е т.
  4.
Пример 18. Решить уравнение:
1
2 21

=+
x
x.
рееение.
  Строим графики функ-
ций
y x
=


1
2 и y = 2 x + 1. Они пере-
y
x
A
0 y
= 18 – x2

2
18 4
y x
=
рис. 7.1
y
x
A
0 y
= 2 x + 1
1
1 2 x
y  
=  
 
рис. 7.2

107
системы УраВнений. раВносильность УраВнений и систем. решение текстоВых ЗаДаЧ
секаются в одной точке A(0; 1) (рис. 7.2). Значит, уравнение
имеет один корень x = 0.
о т в е т.
  0.
Пример 19. Решить уравнение: log
2
x  = 3 – 3 x.
рееение.
  Строим графики y = log
2
x и y = 3 – 3 x. Они пере-
секаются в одной точке A(1; 0) (рис. 7.3). Значит, единствен-
ный корень: x = 1.
Пример 20. Решить уравнение: cos x = x 2
+ 1.
рееение.
  Строим графики y = cos x и y = x 2
+ 1. Они имеют
одну общую точку A(0; 1) (рис. 7.4). Значит, единственный
корень: x = 0.
о т в е т.
  0.
y
x
A
0 y
= log
2
x
3 1
y = 3 – 3 x
y
x
A
0 y
= x 2
+ 1
1
y = cos x
рис. 7.3 рис. 7.4
7.1.5. И зображение на координатной плоскости
множества решений уравнений с  двумя переменными и  их  систем
Для графического решения системы:
fx yg xy
fx yg xy11
22(; )( ;) ;
(; )(
;)
=
=
{
следует изобразить на координатной плоскости графики обоих уравнений системы и найти координаты их общих точек. Пример 21. Решить графически систему:
xy xy22
25
12
+=
=
;
.
рееение.
  Построим график уравнения x2
+ y2
 = 25 (это
окружность радиусом 5 с центром в начале координат) и график

108
алгебра
уравнения xy = 12 (это гипербола). Они пересекаются в точках
(3; 4); (4; 3); (–3; –4); (–4; –3) (рис. 7.5).
y
x
xy
= 12
0 3
4 4
–3
–4
5
3
3
4
x2
+ y 2
= 5
рис. 7.5
о т в е т.
  (3; 4); (4; 3); (–3; –4); (–4; –3).
Пример 22. Определить количество решений системы:
xy
xy
22
21
1
+=
=
;
lo
g.
рееение.
  Построим графики обоих уравнений. График
уравнения x2
+ y2
 = 1 — единичная окружность с центром
в начале координат. Уравнение x – log
2
y = 1 преобразуем:
log 2
y  = x – 1; y = 2 x
–1
. Изобразим оба графика на рис. 7.6. Оче-
видно, графики пересекаются в двух точках ( A и B), то есть
система имеет два решения.
y
x
0 1 x
2
+ y 2
= 1
y
= 2 x
–1
0,5B
A
рис. 7.6
о т в е т.
  Два решения.

109
системы УраВнений. раВносильность УраВнений и систем. решение текстоВых ЗаДаЧ
7.2. применение мАтемАтиЧеских методоВ
для  решения содержАтельных  зАдАЧ
При решении текстовой задачи необходимо составить
её математическую модель, то есть записать условие задачи
в виде уравнения или системы уравнений, и учесть реальные
ограничения (например, скорость, время, расстояние, объём
работы и т. д. не могут быть отрицательными). В общем случае
математическая модель текстовой задачи представляет собой систему уравнений и неравенств.
Пример 23. Поезд прошёл 400 км. Пройдя половину пути
с постоянной скоростью, он был задержан на семафоре на
30 мин, после чего увеличил скорость на 20 км/ч и прибыл на
конечную станцию через 5 ч после отправления. С какой ско-ростью поезд прошёл вторую половину пути?
рееение.
  Пусть вторую половину пути поезд ехал со скоро-
стью x км/ч. тогда первую половину пути он ехал со скоро-
стью ( x – 20) км/ч. Напомним, что при движении с постоянной
скоростью s = v ⋅ t, где s — пройденный путь, v — скорость,
t — время. Значит,
t s v =
. Поэтому первую половину пути (200
км) поезд прошёл за
20 0
20
x − ч, а вторую половину пути — за
20 0
x ч. Учитывая 1
2 ч задержки, получаем:
20 0
20 1
2 20
0
5
xx ++ =; 200
20 20 09
2 xx
+= ;
20
0
20
2009
2 0 xx + =;
4004 00 2092 0
22 0 0
xx
xx
xx
+

=
() ()
() ;
9 x 2
– 980 x + 8000  = 0;
x ≠ 0; x ≠ 20; x
1 =
100;
x
2 88 9 =
.
Учтём реальное ограничение x > 20 (действительно, первую
половину пути поезд шёл со скоростью ( x – 20) км/ч, то есть

110
алгебра
x – 20 > 0 ⇒ x > 20). таким образом, решение x =88 9 не удо-
влетворяет условию задачи, и остаётся x = 100.
о т в е т.
  100 км/ч.
Пример 24. Две бригады, работая вместе, могут выполнить
задание за 6 ч. Первая бригада, работая одна, выполняет за-
дание на 5 ч быстрее, чем вторая. Сколько часов необходимо каждой бригаде, чтобы выполнить задание?
рееение.
  Пусть первой бригаде для выполнения задания
необходимо x ч, тогда второй бригаде необходимо ( x + 5) ч.
Примем всю работу за 1. тогда за 1 ч первая бригада выполнит
1
x часть работы, а вторая бригада — 1
5
x + часть. За 6 ч они
выполнят
66
5
xx +
+


работы, что составляет 1:
66
5 1 xx + + =
; 66
5 10
xx + + = ; 65 65
5 0
()
()
() ;
xx
xx
xx
++
+
+ =
x
2
– 7 x – 30  = 0; x ≠ 0; x ≠ –5; x
1 =
10; x
2 =
–3.
Учтём реальное ограничение x > 0 (время работы не может
быть отрицательным). Значит, x = 10. тогда x + 5  = 15, то есть
первой бригаде необходимо 10 ч, а второй бригаде — 15 ч.
о т в е т.
  10 ч, 15 ч.
Пример 25. Площадь прямоугольника земельного участка
составляет 60 м 2
, причём длина на 4 м больше ширины. Чему
равна длина забора, ограждающего этого участок?
рееение.
  Пусть ширина участка x м.
тогда длина составит ( x + 4) м. Необходимо найти пери-
метр участка: P = 2( x + x + 4)  = 4 x + 8. Площадь прямоугольни-
ка равна произведению длины на ширину: x ( x + 4)  = 60; x2
+ 4 x – 60  = 0; x
1 =
6; x
2 =
–10.
Учитываем реальное ограничение x > 0.
Значит, x = 6. P = 4 ⋅ 6 + 8  = 32.
о т в е т.
  32 м.

111
системы УраВнений. раВносильность УраВнений и систем. решение текстоВых ЗаДаЧ
Пример 26. При смешении 6 %-ного и 10 %-ного растворов
соли получили 200 г 7 %-ного раствора. Сколько граммов каж- дого из растворов было использовано?
рееение.
  Пусть взяли x г 6 %-ного раствора и y г 10 %-ного
раствора. По условию задачи x + y  = 200. Общее количество
соли составляет (0,06 x + 0,1 y) г, но по условию оно равно
0,07 ⋅ 200  = 14 г.
Получаем систему уравнений:
xy xy
+=
+=
{
20
0
00 60 114
;
,, xy
xy
+=
+=
{
20
0
06 140
;
,
⇔  
xy
x
+=
=
{
20
0
04 60;
, x
y =
= {
150
50 ;
.
Решение удовлетворяет реальным ограничениям ( x  0;
y  0).
о т в е т.
  150 г 6 %-ного раствора и 50 г 10 %-ного раствора.
типовые задания Катер по течению реки проходит 150 кг на 1 час быстрее,
чем 189 км против течения реки. Найти собственную ско-рость катера, если скорость течения реки 3 км/ч. рееение.
` Пусть собственная скорость катера равна
x км/ч. тогда по течению реки он идёт со скоростью
( x + 3) км/ч, а против течения — со скоростью
( x – 3) км/ч. Значит, 150 км по течению он проплывает
за время
150 3
x+ ч, а 189 км против течения — за время
18 9
3
x − ч:
150
3
18 9
3 1 xx+ = ; 150
3
189
3 10
xx + += ;
150 3189 33 3
33 0
()
()()()
() () ;
xx
xx
xx ++
+ =
x
2
– 39 x – 1026  = 0; x
1 =
57; x
2 =
–18.

112
алгебра
Учитываем реальное ограничение x > 0: x = 57.
о т в е т.
` 57 км/ч.
Расстояние от пункта A до пункта B, равное 240 км, лег-
ковой автомобиль проезжает на 1 ч быстрее, чем грузо-
вой. Найти скорость грузового автомобиля, если она на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля.
рееение.
` Пусть скорость грузового автомобиля равна
x км/ч. тогда скорость легкового автомобиля равна
( x + 20) км/ч. Расстояние от пункта A до пункта B гру-
зовой автомобиль проезжает за
240
x ч, а легковой —
за
240 20
x+ ч:
240 240
20 1 xx + = ; 240 240
20 10
xx + = ;
240 20 240 20
20 1
() ()
() ;
xx
xx
xx
+
+
+ =
x
2
+ 20 x – 4800  = 0; x
1 =
60; x
2 =
–80.
Учитываем реальное ограничение x > 0: x = 60.
о т в е т.
` 60 км/ч.
Решить систему уравнений:
lo gl og ;
. xy yx
xy
+=
=
2
42
2
рееение.
` ОДЗ: x > 0; x ≠ 1; y > 0; y ≠ 1.
Обозначим log x
y  = t . тогда
lo g.y x t = 1
Первое уравнение: t t +=1
2. t2
– 2 t + 1  = 0; t
1;2  =
1;
log x
y  = 1; y = x .
Подставляем во второе уравнение: x2
– x – 42  = 0;
x 1 =
7; x
2 =
–6.
С учётом ОДЗ: x = 7; y = x  = 7.
о т в е т.
` (7; 7).

системы УраВнений. раВносильность УраВнений и систем. решение текстоВых ЗаДаЧ
Важное и интересное
 приведём пример использования геометрических соображений для
рееения системы.
Пример. рееить систему:
xy xy
xy 22 22
22
68 10
24 1
++
+ =
+=

()()
;
.
Решение. Заметим, что xy22 +  — это расстояние от точки
A(x ; y ) до
точки O(0; 0);
() ()
xy + 6822  — расстояние от точки
A(x ; y ) до точ-
ки B(6; 8). при этом расстояние от точки O(0; 0) до точки B(6; 8) равно
68 10
22
+= . поэтому первое уравнение означает: OA + AB  = OB .
Это значит, что точка A лежит на отрезке AB (рис. 7.7). таким образом,
точка A должна лежать на прямой, проходящей через точки O(0; 0)
и  B(6; 8), то есть на прямой
yx= 43 , и должно выполняться условие
0  x  6.
y
x
B
0
A 6
8
рис. 7.7
подставляем
yx=4 3 во второе уравнение системы:
xx 2 2
2 4 3 41
+
=
; xx2232
9 41 += ; 419 41
2
x = ;
x2
 = 9; x
1;2  =
± 3.
Условию 0  x  6 удовлетворяет только корень x = 3.
при этом
yx = = 4 3 4.
x y==
{
3
4 ;
.
 ОтеО.
  (3; 4).

114
8. нерАВенстВА
правила и определения

 Линейное неравенство — это неравенство, которое содер-
жит только линейные функции ( ax + b ) от неизвестной
переменной.

 Квадратное неравенство содержит квадратичные функ-
ции ( ax2
+ bx + c ) от переменной.

 Рациональное неравенство содержит только рациональ-
ные функции (частные многочленов) от переменной.

 Показательные неравенства содержат переменную (или
выражение от переменной) в показателе степени.

 Логарифмические неравенства содержат переменную
(или выражение от переменной) под знаком логарифма или в его основании.

 Систему неравенств образуют несколько неравенств в том
случае, если необходимо найти все значения переменной,
удовлетворяющие каждому неравенству системы. Сово-
купность всех таких значений переменной называется решением системы .

 Совокупность неравенств образуют несколько неравенств
в том случае, если необходимо найти все значения пере-
менной, удовлетворяющие хотя бы одному из неравенств.
Решением совокупности неравенств называется объеди-
нение всех решений, образующих совокупность.

 Равносильные неравенства — это два неравенства, реше-
ния которых совпадают. В частности, если оба неравенст-ва не имеют решений, то они равносильны.

115
нераВенстВа

 Равносильными системами неравенств называются две
системы неравенств, решения которых совпадают (в част- ности, если обе не имеют решений).
основные формулы

hРешение линейного неравенства
ax + b > 0.
При a > 0:
x b a >
. При a < 0: x b a <
.
ax + b  0.
При a > 0:
x b a 
− . При a < 0: x b a 
− .
ax + b < 0.
При a > 0:
x b a <
. При a < 0: x b a >
.
ax + b  0.
При a > 0:
x b a 
− . При a < 0: x b a 
− .

hРешение квадратного неравенства
Решения приводятся в таблице. Предварительно решаем
уравнение ax2
+ bx + c  = 0. если дискриминант D = b 2
– 4 ac  0,
то корни:
x bD
a 12 2 ; .
= ±
таблица 8.1.
рееения квадратных неравенств
Вид неравенства Решение неравенства
если a > 0; D > 0
ax 2
+ bx + c > 0 x ∈ (– ∞; x
1)
∪ (x
2;
+∞ )
ax 2
+ bx + c  0 x
∈ (– ∞; x
1]
∪ [x
2;
+∞ )
ax 2
+ bx + c < 0 x ∈ (x
1;
x
2)
ax 2
+ bx + c  0 x
∈ [x
1;
x
2]

116
алгебра
Окончание таблицы
Вид неравенства Решение неравенства если a > 0; D = 0
ax 2
+ bx + c > 0
x b a
b
a





+


;;
22
ax2
+ bx + c  0 x
∈ (– ∞; +∞ )
ax 2
+ bx + c < 0 x ∈ ∅ (нет решений)
ax 2
+ bx + c  0
x b a = 2
если
a > 0; D < 0
ax 2
+ bx + c > 0 x ∈ (– ∞; +∞ )
ax 2
+ bx + c  0 x
∈ (– ∞; +∞ )
ax 2
+ bx + c < 0 x ∈ ∅ (нет решений)
ax 2
+ bx + c  0 x
∈ ∅ (нет решений)
если a < 0, то умножением неравенства на (–1) с изменени-
ем знака на противоположный сводим его к случаю a > 0:
f (x ) > 0 ⇔ –f(x ) < 0;
f (x )  0 ⇔ –f(x )  0;
f (x ) < 0 ⇔ –f(x ) > 0;
f (x )  0 ⇔ –f(x )  0.

hРешение показательного неравенства
ax
> b ( a > 0; a ≠ 1).
если b  0, то x ∈ (– ∞; +∞ ).
если b > 0, то x > log
a
b при a > 1; x < log
a
b при a < 1.
Аналогично решаются неравенства ax
 b (знаки « >», « <»
меняются на « », « »); ax
< b (если b  0, то x ∈ ∅ ; если b > 0,
то x < log
a
b при a > 1; x > log
ab
при a < 1); ax
 b (знаки « >»,
« <» меняются на « », « »).

117
нераВенстВа

hРешение логарифмического неравенства
loga
x > b ( a > 0; a ≠ 1).
если a > 1, то x > a b
.
если a < 1, то 0 < x < a b
.
Аналогично решаются неравенства вида: loga
x  b ( x  a b
при a > 1; 0 < x  a b
при a < 1);
log a
x < b (0 < x < a b
при a > 1; x > a b
при a < 1);
log a
x  b (0 < x  a b
при a > 1; x  a b
при a < 1).
log a
f (x ) > log
a
g (x ) ( a > 0; a ≠ 1).
если a > 1, то f(x ) > g (x ) > 0.
если a < 1, то 0 < f (x ) < g (x ).
Аналогично решаются неравенства вида:
log a
f (x )  log
a
g (x ); log
a
f (x ) < log
a
g (x ); log
a
f (x )  log
a
g (x ).
объяснение и важные примеры Основные равносильные преобразования неравенств:
1. Перенос из одной части в другую слагаемого с противо-положным знаком.
2. Прибавление к обеим частям неравенства (вычитание
из обеих частей неравенства) функции, область опреде-
ления которой содержит ОДЗ неравенства, в частности прибавление (вычитание) числа.
3. Умножение (деление) обеих частей неравенства на любую функцию g(x ), сохраняющую знак и отличную
от нуля (при g(x ) > 0 знак неравенства сохраняется,
при g(x ) < 0 — меняется на противоположный), область
определения которой содержит ОДЗ неравенства.
4. Возведение обеих частей неравенства в нечётную степень (извлечение из обеих частей корня нечётной степени).
Равносильность обозначают знаком ⇔.
Например:
–x + 2  x – 3 ⇔ 2( x – 2)  2(3 – x)
(обе части умножили на (–2), поменяли знак);
2 x – 5 < 3 – x ⇔ (2 x – 5) – (3 – x) < 0 ⇔ 3x – 8 < 0 ⇔
⇔  3 x < 8 ⇔
x<22 3;
x 3
 27 ⇔ x  3.

118
алгебра
Равносильные преобразования неравенства системы, а так-
же перестановка неравенств приводят к равносильным системам.
Например:
xx
x

+> {
12
3
23 2  ; +
+> {
x
x 20
21 0  ; x
x
+> {
20
21 0  ;

x x  2
1 2
;
>




x  2.
8.1. решение линейных нерАВенстВ
Пример 1. Решить неравенство: 3 x + 5  12 x + 3.
рееение.
  3x + 5  12 x + 3 ⇔ (3 x + 5) – (12 x + 3)  0 ⇔
⇔  –9 x + 2  0 ⇔ 9x – 2  0 ⇔ 9x  2 ⇔
x 2 9.
о т в е т.
  2 9;.+



8.2.
решение кВАдрАтных нерАВенстВ
Пример 2. Решить неравенства:
а) x2
+ 4 x + 3 < 0; б) 2 x2
– 5 x + 2  7;
в) x2
– 6 x + 9  0; г) 4 x2
+ 3 x + 7  0.
рееение.
  а) x2
+ 4 x + 3 < 0; a = 1 > 0.
Решаем уравнение x2
+ 4 x + 3  = 0: x
1 =
1; x
2 =
3; x ∈ (1; 3).
б) 2 x2
– 5 x + 2  0; a = 2 > 0.
Решаем уравнение 2 x2
– 5 x + 2  = 0;
x
1 1
2
=
; x
2 =
2;
x ∈ (– ∞; 0,5] ∪ [2; +∞).
в) x2
– 6 x + 9  0; a = 1 > 0.
Решаем уравнение x2
– 6 x + 9  = 0: x
1;2  =
3 (здесь D = 0);
x  = 3.
г) 4 x2
+ 3 x + 7  0; a = 4 > 0.
Решаем уравнение 4 x2
+ 3 x + 7  = 0: x ∈ ∅ (здесь D = –103 < 0);
x ∈ ∅ .
о т в е т.
  а) (1; 3); б) (– ∞; 0,5] ∪ [2; +∞); в) 3; г) ∅.

119
нераВенстВа
Пример 3. Решить неравенство: – x2
+ 4 x – 5 < 0.
рееение.
  Здесь a = –1 < 0.
Изменим знак неравенства x2
– 4 x +  5 > 0.
Решим уравнение x2
– 4 x + 5  = 0: D = –4 < 0, x ∈ ∅ . Значит,
x ∈ (– ∞; +∞ ).
о т в е т.
  (–∞; +∞ ).
Пример 4. Решить неравенство: x2
+ x + 1 > 2 x + 3.
рееение.
  Переносим правую часть влево с противополож-
ным знаком:
x2
+ x + 1 – 2 x – 3 > 0; x2
– x – 2 > 0; a = 1 > 0.
Решаем уравнение x2
– x – 2  = 0; x
1 =
–1; x
2 =
2;
x ∈ (– ∞; –1)  ∪ (2; +∞).
о т в е т.
  (–∞; –1) ∪ (2; +∞).
8.3. решение рАЦионАльных нерАВенстВ
Рациональное неравенство имеет вид P
n(
x ) > 0 или
Px
Qx n
m
()
() >
0
(вместо знака « >» может быть знак « », « <», « »), где P
n(
x ),
Q m(
x ) — многочлены степеней n, m , то есть
P n(
x ) = a
0x n
+ a
1x n
–1
+ … + a
n;
a
0
≠ 0;
Q m(
x ) = b
0x
m
+ b
1x m
–1
+ … + b
m ;
b
0
≠ 0.
Постоянная считается многочленом нулевой степени.
8.4. осноВные способы решения рАЦионАльных
нерАВенстВ
8.4.1. Мет од интервалов
Пусть требуется решить неравенство
() ...( )
() ...( )
xa xa
xb xb n
n

>
1 1 0 (
 0, < 0,  0),
где числа a
1, …,
a
n,
b
1, …,
b
n попарно различны. Среди двучле-
нов могут быть выражения вида ( a – x) (вместо ( x – a)).

120
алгебра
Нанесём на действительную ось точки a
1, …,
a
n,
b
1, …,
b
n.
Эти точки разбивают ось на интервалы. На каждом интервале
левая часть неравенства сохраняет знак (только положительна
или только отрицательна). Поэтому для решения неравенст-
ва нужно взять объединение всех интервалов, на которых ле-
вая часть имеет соответствующий знак. Для этого достаточно
проверить знак в одной точке одного интервала и учесть, что
на соседних интервалах знаки противоположные, если числа a 1, …,
a
n,
b
1, …,
b
n попарно различны.
Аналогично решаются неравенства вида
(x – a
1)
⋅ … ⋅ ( x – a
n)
> 0 (  0, < 0,  0),
где числа a
1, …,
a
n попарно различны (на ось наносятся точки
a 1, …,
a
n).
Пример 5. Решить неравенство: ( x – 2)( x – 1)( x + 3) < 0.
рееение.
  Нанесём на ось точки, в которых сомножители
обращаются в 0, то есть x
1 =
–3, x
2 =
1; x
3 =
2 (рис. 8.1).


1
+
–3 +
2
рис. 8.1
При x = 0: ( x – 2)( x – 1)( x + 3)  = 6 > 0.
Поэтому на интервале (–3; 1) левая часть положительна
(знак « +»). Расставляем знаки на остальных интервалах (они
чередуются). Знак «–» соответствует интервалам (– ∞; –3)
и (1; 2); x ∈ (– ∞; –3) ∪ (1; 2).
о т в е т.
  (–∞; –3) ∪ (1; 2).
Пример 6. Решить неравенство:
()()
() () .
xx
xx +
+ 14
23 0

рееение.
  Нанесём на ось точки, в которых числитель и зна-
менатель обращаются в 0, то есть x
1 =
–3; x
2 =
–1; x
3 =
2; x
4 =
4
(рис. 8.2).
– –
2
+
–3 +
4 +
–1
рис. 8.2

121
нераВенстВа
При x = 0: () ()
() () .
xx
xx +
+ => 14
23 2
3 0
Поэтому на интервале (–1; 2) левая часть со знаком «
+».
Расставляем остальные знаки (они чередуются). Добавим точ- ки x
2 =
–1 и x
4 =
4, в которых левая часть обращается в 0:
x ∈ (–3; –1] ∪ (2; 4].
о т в е т.
  (–3; –1] ∪ (2; 4].
если среди сомножителей в числителе (знаменателе) есть
квадратные трёхчлены вида ( x2
+ px + q ) с отрицательным дис-
криминантом ( D = p
2 – 4
q < 0), то их можно не учитывать, по-
скольку они везде положительны. если есть квадратные трёх-
члены с положительным дискриминантом ( D = p 2
– 4 q > 0), то
их нужно разложить на линейные множители:
x2
+ px + q  = (x – x
1)(
x – x
2),
где x
1,
x
2 — корни трёхчлена.
если есть квадратные трёхчлены с нулевым дискриминан-
том ( D = p
2 – 4
q = 0), то их нужно представить в виде
xp xq xp
2 2
2
++
=+

и воспользоваться обобщённым методом
интервалов (см. далее).
Пример 7. Решить неравенство:
21
4
4
3
x
x
x
x
+
>+ + .
рееение.
  Перенесём правую часть влево:
21
4
4
3 0
x x
x
x
+
+ + > ; () () ()()
() () ;
21
34 4
43 0
xx
xx
xx ++ +
+ >
xx
xx 2
71 9
43 0
++
+ >
() () .
Дискриминант квадратного трёхчлена
x2
+ 7 x + 19 отри-
цателен: D = 7 2
– 4 ⋅ 19  = –27 < 0, то есть x2
+ 7 x + 19 > 0 для
всех x.
1
43 0
() () .
xx + >

122
алгебра
Наносим на ось нули знаменателя (рис. 8.3).
–4
+
–3 +
рис. 8.3
При x = 0:
1
43 1
12 0
() () .
xx + =
<
Расставляем знаки. x ∈ (– ∞; –3) ∪ (4; +∞).
о т в е т.
  (–∞; –3) ∪ (4; +∞).
Пример 8. Решить неравенство:
x
xx
+
++
2
11
1
3 .
рееение.
  x
xx +
+ +
2
11 1
3 0
 ; () () ()
() () ;
xx
x
xx
++ +
++
23
11
31 1 0

xx
xx 2
45
31 10
+
++
()
() .

Решим уравнение x2
+ 4 x – 5  = 0: x
1 =
–5; x
2 =
1.
x 2
+ 4 x – 5  = (x – 1)( x + 5);
() ()
()
() .
xx
xx +
++ 15
31 10

x ∈ (–11; –5] ∪ (–3; 1] (рис. 8.4).


–3
+
–11 +
1 + –5
рис. 8.4
о т в е т.
  (–11; –5] ∪ (–3; 1].
8.4.2. Обобщённый метод интервалов
если требуется решить неравенство вида:
() () ...()
() () ...()
xa xa xa
xb xb xb nn
kn
k
mm p



1
1
22
1 1
22
mm
p >
0 ( 0; < 0;  0),
где a
1, …,
a
k,
b
1, …,
b
p попарно различны;
n
1, …,
n
k,
m
1, …,
m p — произвольные натуральные числа, то метод интервалов
применяем со следующей оговоркой: при переходе через точку

123
нераВенстВа
ai (
b
j) меняем знак, если число
n
i (
m
j) нечётно, и сохраняем
знак, если чётно. Среди двучленов могут быть выражения вида ( a – x) (вместо ( x – a)).
Пример 9. Решить неравенство:
xx x
xx
23
4
5 31
24 0

+

()
()
() () .

рееение.
  При переходе через точки –1; 0 знак не меняется
(соответствующие показатели степеней чётны: 4; 2), при пере-
ходе через точки 2; 3; 4 знак меняется (показатели нечётны: 5; 3; 1).
При x = 1:
xx x
xx
23
4
5
31
24 12
8
3 0

+
=> () ()
() () .
таким образом,
x ∈ (2; 3] ∪ (4; +∞) (рис. 8.5).

2
+
–1
+
3
+
0
+

4
рис. 8.5
о т в е т.
  (2; 3] ∪ (4; +∞).
8.4.3. З амена переменной
Пример 10. Решить неравенство:
() .
xx xx
22
2 21
4 0
+
>
рееение.
  Замена: t = x 2
– x + 2:
x 2
– x – 4  = t – 6.
t
t
2
1
6 0

>
; () ()
.
tt
t
+
>
11
6 0
t
∈ (–1; 1) ∪ (6; +∞) (рис. 8.6).

1
+
–1 +
6

рис. 8.6
xx xx
xx 2 2
2 21
21
26
+
>
+ <

+ >



;
;
xx xx
xx 2 2
2 30
10
40 +> + <

>

;
;
.
(Квадратная скобка — совокупность неравенств.)

124
алгебра
Поскольку x2
– x + 1 > 0 при всех x ( D  = –3 < 0; a = 1 > 0),
система
xx xx 2 2 30
10 +> + <
; не имеет решений.
Остаётся решить неравенство: x2
– x – 4 > 0.
x
12 11 7
2 ; .
= ± x




+
+


;;11
7
2 11
7
2 (рис. 8.7).

+ +
1 17
2
+ 1 17
2

рис. 8.7
о т в е т.
 




+
+


;; .
11
7
2 11
7
2
8.5. решение покАзАтельных нерАВенстВ
Пример 11. Решить неравенства: а) 2 2
x –1
 2 3
x
;
б)
1
3 1
3 2


<
xx
.
рееение.
  а) 22
x –1
 2 3
x
⇔ 2x – 1  3 x ⇔ –x – 1  0 ⇔ x  –1;
б)
1
3 1
3 2



<


xx

x > x 2
⇔ x 2
– x < 0 ⇔ x ∈ (0; 1).
о т в е т.
  а) (–∞; –1); б) (0; 1).
Пример 12. Решить неравенство:
xxxx 2
2
−  .
рееение.
  ОДЗ: x > 0. При x = 1 неравенство, очевидно, вы-
полняется. При x > 1: x2
– 2  x ⇔ x 2
– x – 2  0 ⇔ 
⇔ x ∈ (– ∞; –1] ∪ [2; +∞).
С учётом условия x > 1: x ∈ [2; +∞).
При x < 1: x2
– 2  x ⇔ x 2
– x – 2  0 ⇔ x ∈ [–1; 2].
С учётом условия x < 1: x ∈ [–1; 1].
Окончательно: x ∈ [–1; 1] ∪ [2; +∞).
о т в е т.
  [–1; 1] ∪ [2; +∞).

125
нераВенстВа
Для решения неравенства: af
(x )
> b g
(x )
(вместо знака « >» мо-
жет быть « », « <», « ») обе части неравенства нужно привес-
ти к одному основанию.
Пример 13. Решить неравенство:
35 2xx
 .
рееение.
  53 3
3 5
35
xx x == ()
;
lo gl og 33 2
35
xx 

lo
g
⇔ x 2
 x ⋅ log
3 5
⇔ x ⋅ ( x – log
3 5)
 0 ⇔ x ∈ (– ∞; 0] ∪ [log
3 5;
+∞).
о т в е т.
  (–∞; 0] ∪ [log
3 5;
+∞).
8.5.1. З амена переменной в  показательных
неравенствах
Пример 14. Решить неравенство: 4 x
> 3 ⋅ 2 x
+ 4.
рееение.
  Замена: t = 2 x
, тогда 4 x
 = t 2
:
t 2
> 3 t + 4 ⇔ t 2
– 3 t – 4 > 0 ⇔ t ∈ (– ∞; –1) ∪ (4; +∞).
Поскольку t = 2 x
> 0 для всех x: t > 4. 2 x
> 4 ⇔ x > 2.
о т в е т.
  (2; +∞).
если неравенство имеет вид: a2
x
+ A ⋅ a x
⋅ b x
+ B ⋅ b 2
x
> 0 (  0; < 0;  0),
то его следует разделить на b2
x
:
a
b A
a
b B xx


+
+>
2
0
и выполнить замену ta
b x
=


.
Пример 15.
Решить неравенство: 4 x
– 6 x
+1
+ 5 ⋅ 9 x
> 0.
рееение.
  22
x
– 6 ⋅ 2 x
⋅ 3 x
+ 5 ⋅ 3 2
x
> 0.
Разделим на 3 2
x
:
2
3 6
2
3 50
2






+>xx
.
Замена: t x
=
2
3 .
t 2
– 6 t + 5 > 0 ⇔ t ∈ (– ∞; 1) ∪ (5; +∞).

126
алгебра
Поскольку tx
=


>
2
3 0 для всех
x: t ∈ (0; 1) ∪ (5; +∞).
если
2
3 1



<
x
, то x > 0. если 2
3 5



>
x
, то x < lo g.2
3 5
Окончательно: x
( ) +
;l og (;).
2
3 50
о т в е т.
  ( ) +
;l og (;).
2
3 50
8.6.
логАриФмиЧеские нерАВенстВА
Пример 16. Решить неравенства:
а) log 2
x < 3; б)
lo g;1 2 5
x  − в) logl og () .
1
3 4
2 10 x
− 
рееение.
  а) log
2
x < 3 ⇔ 0 < x < 2 3
⇔ 0 < x < 8;
б)
lo g
1 2 5
x  x 1 25





x  32;
в)
lo gl og()
1
3
4 2 10 x  01 1
4 2
<
lo g( )
x 
⇔   11 4
2<
x   25 2 < x  x
) (
52 25
;; .
о т в е т.
  а) (0; 8); б) [32; +∞); в)
) (
52 25
;; .
Пример 17. Решить неравенство: log( )log () .
1
3 1
3 12 3 xx +> +
рееение.
  lo g( )log () 1
3 1
3
12
3 xx+> + 0123
<+ <+
xx
⇔   x
xx+>
+> +
{
10
23 1
; x x
>>
{
1 2 ;
x > –1.
о т в е т.
  (–1; +∞).
Для решения неравенства вида log a
f (x ) > log
b
g (x ) (вместо
знака « >» может быть « », « <», « ») обе части неравенства
приводят к одному основанию.

127
нераВенстВа
Пример 18. Решить неравенство: log
2
x  log
4(
x + 2).
рееение.
  ОДЗ: x > 0.
lo gl og() log( ); 2
22 2
42
xx x
= = log
4(
x 2
)  log
4(
x + 2) ⇔
⇔  
xx x2
2
0

+
>



; xx x 2
20
0

>




;
⇔  
x x
+
+
{
(;
][;);
(; )
12
0 x ∈ [2; +∞).
о т в е т.
  [2; +∞).
Пример 19. Решить неравенство: log
x–2
x  2.
рееение.
  ОДЗ:
x xx>
>



0
20 21 ;
;
x ∈ (2; 3) ∪ (3; +∞).
При 2 < x < 3: x  (x – 2) 2
⇔ x 2
– 4 x + 4  x ⇔
⇔  x 2
– 5 x + 4  0 ⇔ x ∈ [1; 4].
С учётом условия 2 < x < 3: x ∈ (2; 3).
При x > 3: x  (x – 2) 2
⇔ x 2
– 5 x + 4  0 ⇔
⇔  x ∈ (– ∞; 1] ∪ [4; +∞).
С учётом условия x > 3: x ∈ [4; +∞).
Окончательно: x ∈ (2; 3) ∪ [4; +∞).
о т в е т.
  (2; 3) ∪ [4; +∞).
8.6.1. З амена переменной в  решении
логарифмических неравенств
Пример 20. Решить неравенство:
logl og() .
2
2
22 30 xx +

рееение.
  Решение. ОДЗ: x > 0. При этом log
2(
x 2
) = 2 log
2
x .
Замена: t = log
2
x . Итого:
t 2
+ 2 t – 3  0 ⇔ t ∈ [–3; 1] ⇔ –3  log
2
x  1 ⇔
⇔  2 –3
 x  2 1

1 8 2
 x .
о т в е т.
  1
8 2;.

128
алгебра
8.7. системы линейных нерАВенстВ
Множество решений системы является пересечением мно-
жеств решений неравенств, составляющих систему.
Пример 21. Решить систему неравенств:
2357
43
25
< <
+
{
x
xx ;
.

рееение.
  Перепишем систему таким образом:
352
35 7
34 32
5
x x
xxx
><
+



;
; ; .

Перенесём правые части влево:
37
0
31 20
70
32 0
x x
x
x ><





;
;
;


x x x x >
<



7
3
4
7 2
3
;
; ;
.

Пересечение решений неравенств системы:
7
3 47
2
3 7
3 42
1
3 4
;( ;)(;]; ;; +




+



=


=


.
о т в е т.
  2 1
3 4 ;.


Пример 22.
Решить систему неравенств: 235
32 17
x
x <
+ {
; .

рееение.
  Переносим правые части влево:
280
31 50
x
x <
{
;  x x <
{
4
5 ;
.

Пересечение решений неравенств системы: (– ∞; 4) ∪ [5; +∞) = ∅ .
о т в е т.
  Решений нет.

129
нераВенстВа
8.8. системы нерАВенстВ с  одной переменной
Пример 23. Решить систему неравенств:
11
3
2 1
2
xx
x
x 
;
.
+
+ >



рееение.
  Переносим правые части влево:
11
0
3 2 10
2
xx x
x
+
+ >




;

1
0
1 2 0
2
+
>


x
x
x 
;
.
Решение неравенства 1 0
2−x
x  : x ∈ (– ∞; 0) ∪ (0; 1].
Решение неравенства
1
2 0 x + > : x ∈ (–2; +∞).
Пересечение решений: x ∈ (–2; 0) ∪ (0; 1] (рис. 8.8).
1
0
–2
–2
01
рис. 8.8
о т в е т.
  (–2; 0) ∪ (0; 1].
8.9. решение соВокупности нерАВенстВ
Решением совокупности неравенств является объединение
решений неравенств, образующих совокупность.
Пример 24. Решить совокупность неравенств:
231
25
x
x +




; .
рееение.
  Переносим правые части влево:
220
30
x
x +
+




; x x





1 3 ;
x ∈ (– ∞; –3] ∪ [–1; +∞).
о т в е т.
  x ∈ (– ∞; –3] ∪ [–1; +∞).

130
алгебра
При решении неравенств часто приходится сводить их
к системам и совокупностям неравенств.
Пример 25. Решить неравенство:
xx
x
2
1
3 2
3 0


lo g( ).

рееение.
 
оДЗ:
x x
2
1
3 2
30
30
>




;
lo g( )
x x2 2
3
31
>



; x x 2 2
3
4
>


;
⇔  
x () () +
(; ); ;( ;) .
22 3322
Неравенство равносильно следующей совокупности систем
неравенств:
xx
x
xx x
2
1
3 2
2 1
3 20
30
0 30

>



<







;
lo g( );
;
lo g( )


x x
x x
x
0
1
31
01
31
2 2 ;
;
;
;


<



>




x x





(;
][;);
20 12
⇔ x ∈ (–2; 0] ∪ [1; 2).
С учётом ОДЗ:
x () () 23 32;; .
о т в е т.
  () () 23 32;; .
8.10. использоВАние сВойстВ и  грАФикоВ
ФункЦий при решении нерАВенстВ
если необходимо решить неравенство f(x )  g (x ) и при этом
известно, что для всех x из ОДЗ неравенства одновременно вы-
полняются неравенства f(x )  a ; g(x )  a , то исходное неравен-
ство равносильно системе уравнений:
fx a
gx a
()
;
() .
=
=
{
Пример 26. Решить неравенство: 22
si n
co s. x
x
рееение.
 
sin 2
x  0 ⇒
21 2
si n
;
x  cos
x  1.

131
нераВенстВа
Поэтому неравенство равносильно системе:
21
1
2
sin
;
co sx
x =
=

sin;
co s.
x
x =
=
{
0
1
если cos x = 1, то в силу основного тригонометрического
тождества:
sin2
x + cos 2
x  = 1; sin 2
x + 1  = 1; sin x = 0.
Поэтому последняя система равносильна уравнению: cos x = 1; x = 2 pn , n ∈ Z.
о т в е т.
  2pn , n ∈ Z.
если функция f(x ) монотонно возрастает, то неравенство
f (x ) < a равносильно неравенству x < b , где b — решение урав-
нения f(x ) = a , если число a принадлежит области значений
функции f(x ) (естественно, они равносильны на области опре-
деления f(x )). если число a больше любого значения f(x ), то
неравенство f(x ) < a выполняется для всех x из области опреде-
ления f(x ). если число a меньше любого значения f(x ), то нера-
венство не имеет решений. Последние два утверждения верны и для немонотонных функций.
Аналогично решаются неравенства f(x )  a (в этом случае
x  b ); f(x ) > a ( x > b ); f(x )  a ( x  b ).
В случае монотонно убывающей функции f(x ) неравенство
f (x ) < a имеет решение x > b ; f(x )  a — соответственно x  b ;
для f(x ) > a это x < b ; для f(x )  a это x  b .
Пример 27. Решить неравенства: а) x3
+ x  2; б)
arcco s.2 3 x <
рееение.
  а) Функция f(x ) = x 3
+ x монотонно возрастает, её
область определения — вся числовая ось (– ∞; +∞ ). Уравнение
x 3
+ x  = 2, очевидно, имеет корень x = 1. Поэтому решение не-
равенства: x  1.
б) Функция f(x ) = arccos 2 x монотонно убывает. Найдём её
область определения: –1  2 x  1 ⇔
x


1
2 1
2 ;.

132
алгебра
Уравнение arccos2 3 x= решаем так:
2 3 x = co
s 2 1 2 x = x
=1 4.
таким образом, решение неравенства: 1
4
1
2 <
x .
о т в е т.
  а) [1; +∞); б) 1
4 1
2;.


8.10.1.
Использование графиков
Для графического решения неравенства f(x ) > g (x ) (вместо
знака « >» может быть знак « », « <», « ») следует в одной ко-
ординатной плоскости изобразить графики функций f(x ) и g(x )
и определить те значения x, при которых выполняется нера-
венство, с учётом взаимного расположения графиков.
Пример 28. Решить неравенство: 2 |
x |
< x 2
.
рееение.
  Построим графики функций y = x2
и y = 2 |
x |

(рис. 8.9). Очевидно, график y = 2 |
x |
лежит ниже графика y = x 2

при –4 < x < –2 и при 2 < x < 4.
–4 –2 4
2
0
y
x
y = 2 |
x |
y = x 2
рис. 8.9
о т в е т.
  (–4; –2) ∪ (2; 4).
Графики тригонометрических функций можно использо-
вать для решения простейших тригонометрических неравенств.

133
нераВенстВа
Пример 29. Решить неравенства:
а)
sin;x  1 2 б) si
nc os ;
xx +< 2
2 в) cos 2 x  0.
рееение.
  а) Функция sin x имеет наименьший положитель-
ный период 2 p. Поэтому достаточно решить неравенство на
любом отрезке длины 2 p. Множество всех решений получим,
прибавив 2 pn ( n ∈ Z) к каждому из найденных на этом отрезке
решений (рис. 8.10).
Решим неравенство на отрезке [0; 2 p]. Уравнение
sin x=1 2
имеет на этом отрезке два корня:
x 1
6
= ; x
2 5
6
= . Из графика
видно, что
si n x  1 2 на этом отрезке при
6 5
6  x . Прибав-
ляем 2 pn :



6 2 5 6 2 ++
nx nn
 ,. Z
б) si nc os si nc os
xx xx += +



=
2 2
2 2
2
= +



=
+



2
44 2
4
si
nc os coss in si n; xx x


2
42
2
+



<
si n; x sin. x
+



<

4 1
2
Замена: tx =+
4; sin.t < 1 2
Рассмотрим график
y = sin t на отрезке



3 22 ; (рис. 8.11).
0
1
2
6 π 5

π

y
x
y
= sin x
0 t
y
1
2
6 π 2π 3
2π− 7


y = sin t
рис. 8.10 рис. 8.11

134
алгебра
Уравнение sint= 1 2 имеет на этом отрезке два корня:
t
= 7 6 ; t
=
6. Из графика видно, что sin t< 1 2 при <
<
7 66 t
:
< +<
7 64
6

x; < <
17 12 12 x
.
Прибавляем 2 pn : + <<+
17 12 2 12 2
nx nn ,. Z
в) Замена: t = 2 x. cos t  0. Функция cos t имеет наимень-
ший положительный период 2 p. Поэтому решаем неравенство
на любом отрезке длиной 2 p и прибавляем 2 pn ( n ∈ Z) к полу-
ченному решению.
На отрезке [0; 2 p] функция y = cos t имеет два корня:
t
1 2 =
;
t2 3 2 = .
Из графика (рис. 8.12) видно,
что cos t  0 при

2 3
2  t .
Прибавляем 2 pn :



2 2 3 2 2 ++
nt nn
 ,; Z



2 22 3 2 2 ++
nx nn
 ,; Z


4
3
4
++
nx nn
 ,. Z
о т в е т.
  а)


6 2 5 6 2 ++
nx nn
 ,; Z
б) + <<+
17 12 2 12 2
nx nn ,;
в) 4
3
4
++
nx nn
 ,. Z
Пример 30. Решить неравенства: а) tg x  3; б) ct g.x  − 3
рееение.
  а) Функция tg x имеет наименьший положитель -
ный период p. Поэтому достаточно решить неравенство
0
t
y

3
2 π 2
π
y = cos t
рис. 8.12

135
нераВенстВа
на интервале



22; и приба-
вить к результату pn ,
n ∈ Z (рис. 8.13).
На интервале




22; уравне-
ние tg x = 3 имеет один корень
x  = arctg 3. Очевидно, решение нера-
венства на этом интервале:
arct g.3 2  x< Прибавляем
pn :
arct g, .
3 2 +< +

nx nn
 Z
б) Функция ctg x имеет наимень-
ший положительный период p. Поэ-
тому достаточно решить неравенство
на интервале (0; p) и прибавить к ре-
зультату pn , n ∈ Z (рис. 8.14).
На интервале (0; p) уравнение
ct gx = 3 имеет один корень: x=5 6

. Очевидно, решение не-
равенства на этом интервале:
5
6

 x< .
Прибавляем pn :
5
6


+< + nx nn
 ,. Z
о т в е т.
  а) arct g, ;
3 2 +< +
nx nn
 Z
б) 5
6

+< + nx nn
 ,. Z
8.10.2. И зображение на координатной плоскости
множеств решений неравенств с двумя переменными и  их систем
Для графического решения системы неравенств с двумя
переменными следует в одной координатной плоскости из-
образить множество решений каждого из неравенств системы и взять их пересечение.
y
x 0 3 arctg
3 2π 2π−
y
= tg x
рис. 8.13
y
x
0
5

3

π
y = ctg x
рис. 8.14

136
алгебра
Пример 31. Изобразить на координатной плоскости реше-
ние системы:
xy xy 22
1
1
+
+




;
.
рееение.
  Изобразим на коорди-
натной плоскости графики уравне- ний x2
+ y 2
 = 1 (единичная окруж-
ность с центром в начале координат) и x + y  = 1 (прямая, проходящая
через точки (0; 1) и (1; 0)). Каждый
из этих графиков разбивает пло-скость на две части (рис. 8.15). Неравенству x2
+ y 2
 1 соответ-
ствует круг, ограниченный окруж-ностью x2
+ y 2
 = 1 (выбираем часть
плоскости, в которой есть точка, удовлетворяющая неравенст-ву; в данном случае это, например, начало координат (0; 0)). Неравенству x + y  1 соответствует часть плоскости над
прямой x + y  = 1 (точка (0; 0) не удовлетворяет неравенству, по -
этому выбираем часть плоскости, не содержащую (0; 0)).
о т в е т.
  Решение системы закрашено на рис. 8.15.
Пример 32. Изобразить на координатной плоскости реше-
ние системы (рис. 8.16):
xy xy
xy +
+




24
26
3



;
;
.
рееение.
  Изобразим на плоско-
сти графики уравнений: x + 2 y = 4 — прямая, проходя-
щая через точки (0; 2) и (4; 0); 2x + y  = 6 — прямая, проходя-
щая через точки (0; 6) и (3; 0); x – y = 3 — прямая, проходящая
через точки (0; –3) и (3; 0). Каждый из этих графиков раз-
бивает плоскость на две части.
1
1
0 y
x
2 21
x y + 
1 x y
+ 
рис. 8.15
26
0
–3 3
4
y
x – y
= 3
2 x + y
= 6
x + 2 y = 4
рис. 8.16

137
нераВенстВа
Решения первых двух неравенств содержат начало координат, решений третьего — не содержит. о т в е т.
  Решение системы показано штриховкой на рис. 8.16.
типовые задания Решить неравенство:
x
x+

1
2 3
 .
рееение.
` ОДЗ: x ≠ 2. Переносим правую часть влево:
x
x +

1
2 30
 xx
x
+
+

13
6
2 0
 +

27
2 0
x x 

  27
2 0
x x −
−  .
Наносим на ось нули числителя и знаменателя и мето- дом интервалов расставляем знаки:2x – 7  = 0 ⇔ x  = 3,5; x – 2  = 0 ⇔ x  = 2.

3,5
+
2 +
x ∈ (– ∞; –2) ∪ [3,5; +∞).
о т в е т.
` (–∞; –2) ∪ [3,5; +∞).
Найти наименьшее целое решение неравенства: (m + 6) 2
+ 15  (m – 3) 2
.
рееение.
` (m + 6) 2
+ 15  (m – 3) 2
⇔   
⇔ m 2
+ 12 m + 36 + 15  m 2
– 6 m + 9 ⇔
⇔  m 2
+ 12 m + 51  m 2
– 6 m + 9 ⇔
⇔  m 2
+ 12 m + 51 – m2
+ 6 m – 9  0 ⇔  
⇔ 18 m + 42  0 ⇔
m −2 1 3.
Наименьшее целое число, большее или равное −
2 1 3,
равно –2.
о т в е т.
` –2.

алгебра
Решить неравенство: log2
x + 2 log
4(
x + 1)  1.
рееение.
` ОДЗ:
x x>
+>
{
0
10 ;
x > 0.
Приводим к одному основанию: 2 log4(
x + 1)  = log
2 4
⋅ log
4(
x + 1)  = log
2(
x + 1).
log 2
x + log
2(
x + 1)  1 ⇔ log
2(
x (x + 1))  1 ⇔
⇔  0 < x (x + 1)  2 ⇔
xx xx()
;
.
+>
+

10
20 2 
С учётом ОДЗ достаточно решить второе неравенство. Решаем уравнение x2
+ x – 2  = 0: x
1 =
–2; x
2 =
1.
Методом интервалов решаем неравенство:
– 1
+
–2 +

x ∈ [–2; 1].
С учётом ОДЗ: x ∈ (0; 1].
о т в е т.
` (0; 1].

139
9. ФункЦии и грАФики
правила и определения

 Функция — это закономерность, отражающая связь меж-
ду элементами множеств. Величина y называется функ-
цией величины x, если каждому значению x из некото-
рого числового множества, называемого областью опре-
деления функции, соответствует единственное значение
величины y.

 Величина x называется аргументом, или независимой пе-
ременной, а элементы области определения — допусти-
мыми значениями аргумента.
Коротко слова «величина y есть функция величины x»
записывают так:
y = f (x ).
Запись f(a ) означает численное значение функции f(x ),
которое соответствует значению x = a .
Например, если
fx x () ,
= +
1
1
2 то f
() ;
1 1
11 1
2
2
= + =
f
()
()
=
+ =
2 1
21 1
5
2 и т. д.
Область определения функции y = f (x ) обычно обозначают
D (f ) или D(y ).

 Множеством значений функции y = f(x ) называют мно-
жество, состоящее из всех значений, которые принимает функция y при x ∈ D (f ).
Множество значений функции y = f (x ) обычно обозначают
E (f ) или E(y ).

140
алгебра

 Графиком функции называется множество точек на ко-
ординатной плоскости, у которых абсциссы являются до- пустимыми значениями аргумента x, а ординаты — соот-
ветствующими значениями функции y.
Иначе говоря, график функции y = f (x ) — это множество
всех точек ( x; f(x )), где x ∈ D (f ).

 если функция y = f(x ) принимает каждое своё значение
только один раз, то есть из равенства f(x
1)
 = f (x
2) следует
x 1 =
x
2, то величину
x можно представить как функцию
величины y: x = j (y ). Эта функция называется обратной
для функции f(x ).
Область определения обратной функции совпадает с мно-
жеством значений исходной функции, а множество зна-
чений обратной функции — с областью определения ис-ходной функции.
При записи обратной функции обычно меняют места-
ми аргумент и функцию, то есть в качестве обратной к y = f (x ) рассматривается функция y = j (x ).
объяснение и важные примеры Пример 1. Найти область определения функций:
а)
yx = 32 ; б) y x x =+
3
1 2
; в) y x x =
lg ()
sin .
1
рееение.
  а) Область определения состоит из тех значений
x , для которых можно вычислить значение y. Значит, область
определения состоит из тех x, для которых 3 x – 2  0 (по-
скольку подкоренное выражение в корне чётной степени долж- но быть неотрицательным):
3x – 2  0 ⇔
x 2 3; Dy
() ;.
=+



2
3
б) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным,
а знаменатель не должен обращаться в нуль:
x x +



30
10
2  ; x x 

± {
3
1 ;
⇔ D (f ) = [–3; –1) ∪ (–1; 1) ∪ (1; +∞).

141
фУнкции и  графики
в) Выражение под знаком логарифма должно быть положи-
тельным, а знаменатель не должен обращаться в нуль:
x x
>

{
10
0;
sin x xn n
>
{
1;
,;
Z
D(f ) = (1; p) ∪ (p; 2 p) ∪ … ∪ (pn ; p(n + 1)) ∪ …, n ∈ N.
о т в е т.
  а)
2
3;;+


б) [–3; –1)
∪ (–1; 1) ∪ (1; +∞);
в) (1; p) ∪ (p; 2 p) ∪ (2 p; 3 p) ∪ … ∪ (pn ; p(n + 1)) ∪ …, n ∈ N.
Пример 2. Найти множество значений функций:
а) y = 2 x
– 1; б)
y x = +
1
1 2 .
рееение.
  а) Определим, при каких значениях y существует
такое значение x, что y = 2 x
– 1:
2 x
 = y + 1 ⇔ x  = log
2(
y + 1); y + 1 > 0 ⇔ y > –1; E(y ) = (–1; +∞).
б)
y x = +
1
1 2 . x
y
2
1 1
+= x
y
2
1
1
= x
y


1
1.
1 10
y  0 < y  1. E(y ) = (0; 1].
о т в е т.
  а) (–1; +∞); б) (0; 1].
9.1. способы зАдАния ФункЦии
Правило, с помощью которого по значению x находят со-
ответствующее значение y, можно задавать различными спо-
собами. Основными способами задания функции являются: анали-
тический, табличный, графический.
9.1.1. Аналитический способ
При этом способе функцию задают формулой (например,
функции из предыдущих примеров). Функцию можно задать
и несколькими формулами, соответствующими разным непере-секающимся подмножествам области определения. Например, функция y = |x | может быть задана так:

142
алгебра
x xx
xx = <
{
,;
,.åñëè
åñëè 0
0

Аналитический способ задания функции часто использует-
ся при описании реальных процессов. Например, зависимость
пройденного пути от времени при равномерном движении со скоростью v описывается формулой: s = vt , а при равноуско-
ренном движении с ускорением a и начальной скоростью v
0 —
формулой:
sv tat
=+ 0 2 2 ,
где
s = s (t ) — путь, пройденный за время t.
9.1.2. Т абличный способ
его используют лишь в том случае, если область определе-
ния представляет собой конечное множество. Функция может
быть задана с помощью таблицы, в которой указывают все зна-чения x и соответствующие значения y.
таблица 9.2. пример задания функции табличным способом
x
1 2 3 4 5
y 0,2 0,3 0,5 0,7 0,1
Здесь y(1)  = 0,2; y(2)  = 0,3; y(3)  = 0,5; y(4)  = 0,7; y(5)  = 0,1.
табличный способ задания функции широко применяется
на практике. Например, зависимость температуры воздуха (из-
меряемой каждые 0,5 часа) от времени в период между полуно-чью и 4 часами утра можно задать с помощью таблицы.
таблица 9.3. Зависимость температуры воздуха от времени
t
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
T –2 –2,5 –3,1 –3,2 –3,4 –2,7 –1,9 0 0,1
Здесь t — время (в часах после полуночи), T — соответст-
вующая температура воздуха (в градусах по Цельсию). Наиболее наглядным способом задания функции является
графический.

143
фУнкции и  графики
9.1.3. Графический способ
При этом способе функцию задают графиком.
График может служить правилом, задающим функцию.
В этом случае для того, чтобы найти значение f(a ), нужно
определить ординату точки на графике, абсциссой которой яв-ляется a.
Для того чтобы кривая была графиком некоторой функ-
ции, необходимо и достаточно, чтобы каждая вертикальная
прямая пересекала её не более одного раза. так, кривая на рис. 9.1 определяет функцию, а на рис. 9.2 — не определяет.
0 x
y
y
0 x
рис. 9.1 рис. 9.2
Область определения функции является проекцией её гра-
фика на ось Ox, а множество значений — проекцией графика
на ось Oy.
Графический способ задания функций часто использует-
ся при описании реальных процессов. В частности, о величи- не и характере изменения характеристик физической систе-мы (напряжение в сети, сила тока, электрический потенциал и т. д.) делают выводы, наблюдая за графиками этих характе-ристик (как функций времени) на экранах приборов.
9.2. обрАтнАя ФункЦия и  её грАФик
Пример 3. Функция задана таблицей:
x
1 2 3 4 5
y 0,2 0,3 0,5 0,7 0,1
Определить обратную функцию.

144
алгебра
рееение.
  Обратная функция задаётся таблицей:
x
0,2 0,3 0,5 0,7 0,1
y 1 2 3 4 5
Можно, упорядочив значения аргумента, записать обрат-
ную функцию и в таком виде:
x 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7
y 5 1 2 3 4
Пример 4. Определить обратную функцию:
а) y = x 2
, D (y ) = [0; +∞); б) y = x 2
, D (y ) = (– ∞; 0];
в) y = 3 x + 1; г) y = lg sin x,
Dy () ;. =


0
2
рееение.
  а) Выражаем x через y: xy =± .
С учётом условия x  0: xy = .
Меняем местами переменные: yx = .
б) xy =± . С учётом условия x  0: xy = .
Меняем местами переменные: yx = .
в) Выражаем x через y: 3 x = y – 1 ⇔ x y
=
1 3 .
Меняем местами переменные: y x
= 1
3 .
г) Выражаем x через y: sin x = 10 y
.
С учётом условия
0 2 < x : x  = arcsin 10 y
.
Меняем местами переменные: y = arcsin 10 x
.
о т в е т.
  а)
x; б) − x; в) x−1
3 ; г) arcsin 10 x
.
Заметим, что функция y = x 2
при x ∈ (– ∞; +∞ ) не имеет
обратной, поскольку все свои положительные значения она принимает по два раза ( x2
 = y , если
xy =± ).
Для того чтобы у функции f(x ) была обратная, требует-
ся, чтобы каждая горизонтальная прямая пересекала график y  = f (x ) не более одного раза.

145
фУнкции и  графики
В этом случае для построения
графика обратной функции нуж-
но отразить график y = f (x ) симме-
трично относительно прямой y = x
(биссектрисы I–III координатных углов) (рис. 9.3).
В частности, обратная функ-
ция существует у строго монотон-ной функции, причём обратная
к возрастающей функции — воз-растающая, а к убывающей — убывающая.
9.3. преобрАзоВАния грАФикоВ
Пусть дан график функции y = f (x ). Стандартными преобра -
зованиями из этого графика можно получить графики таких функций: y = f (x ) + a ; y = f (x + a ); y = kf (x ); y = f (kx ); y = f (| x |);
y  = |f(x )|, где a, k — действительные числа, причём a ≠ 0; k ≠ 0;
k ≠ 1.
1. Для построения графика функции y = f (x ) + a необходи-
мо перенести график функции y = f (x ) параллельно оси
Oy вверх на a единиц, если a > 0, и вниз на – a единиц,
если a < 0 (рис. 9.4).
2. Для построения графика y = f(x + a ) необходимо пере-
нести график функции y = f(x ) параллельно оси Ox на
a единиц влево, если a < 0, и на – a единиц вправо, если
a < 0 (рис. 9.5).
0
x
y
= f (x )
y
= f (x ) + a ( a > 0)
y = f (x ) + b ( b < 0)
y
}
}
a
– b
0
x
y = f (x )
y = f (x + b ) (b < 0)
y
} a
–b }
y = f (x + a ) (a > 0)
рис. 9.4 рис. 9.5
x
y
y
= g (x )

y = f (x )
0
рис. 9.3

146
алгебра
3. Для получения графика функции y = kf (x ) при k > 1 необ -
ходимо произвести операцию растяжения графика от оси абсцисс в k раз: ординаты всех точек графика функции
y  = f (x ) должны быть умножены на k. При 0 < k < 1 орди -
наты всех точек графика y = f (x ) умножаются на k и полу -
чается сжатие графика к оси Ox в
1
k раза. если k < 0, то
сначала строится график функции y = – kf(x ), который
затем зеркально отражается относительно оси Ox. В част -
ности, если k = –1, то построение требуемого графика
( y  = – f(x )) сводится к зеркальному отражению графика
y  = f (x ) относительно оси Ox. Все возможные случаи изо -
бражены на рис. 9.6, а, б, в:
0
y
x
y = kf (x )
y = f (x )
y = – kf (x ) 0
y
x y = kf (x ) y = – kf (x )
y = f (x )
0
y
x
y = – f(x )
y
= f (x )
а ) k > 1 б) 0 < k < 1 в) k = –1
рис. 9.6
4. Для получения графика функции y = f(kx ) при k > 1
необходимо произвести сжатие графика функции y = f (x )
в k раз к оси Oy: абсциссы всех точек должны быть раз-
делены на k. При 0 < k < 1 абсциссы всех точек умножа-
ются на
1
k и получается растяжение графика от оси Oy
в
1
k раза. если k < 0, то сначала строится график
y  = f (– kx ), который затем зеркально отражается относи-
тельно оси Oy. В частности, при k = –1 требуемый гра-
фик y = f (– x) строится зеркальным отражением графика
y  = f (x ) относительно оси Oy. Все возможные случаи изо-
бражены на рис. 9.7, а, б, в.

147
фУнкции и  графики
y = – f(kx )
y
= f (kx )
y = f (x )
y
x
0
y = f (– kx )
y
= f (x )
y = f (kx )
y
x
0
y = f (–x )
y
= f (x )
y
x
0
а ) k > 1 б) 0 < k < 1 в) k = –1
рис. 9.7
5. Для получения графика функции y = f(| x |) необхо-
димо построить график функции y = f(x ) при x  0,
а затем отразить его симметрично относительно оси Oy (рис. 9.8). Пунктиром изображён график функции
y  = f (x ) при x < 0; график функции y = f (| x |) изображён
сплошной линией; при x  0 он совпадает с графиком
функции y = f (x ).
6. Для получения графика функции y = |f(x )| необходимо
построить график функции y = f (x ), а затем все его точ-
ки, расположенные ниже оси Ox, отразить симметрично
относительно оси Ox (рис. 9.9).
Пунктиром изображена часть графика y = f(x ), лежащая
ниже оси Ox; график функции y = |f(x )| изображён сплошной
линией; при тех x, при которых f(x )  0, он совпадает с гра-
фиком y = f (x ).
y
x
0 y
x
0
рис. 9.8
рис. 9.9

алгебра
типовые заданияНайти g(9), если g(x ) — обратная функция к функции
y  = (x + 1) 3
+ 1.
рееение.
` Выразим x через y:
( x + 1) 3
 = y – 1 ⇔
xy +=
11 3 xy = 11 3
.
Поменяем местами переменные:
gxx
() ;
= 11 3 g() .
99 11211
3
= = =
о т в е т.
` 1.
Построить график функции y = ||x| – 1|.
рееение.
` Строим график y = |x| (на рис. 9.10 изображён
пунктиром) и опускаем на 1 единицу. Получаем график y  = |x | – 1 (на рис. 9.10 изображён сплошной линией). Затем
переносим этот график на рис. 9.11 (часть ниже оси Ox изо -
бражена пунктиром) и часть, изображённую пунктиром, отражаем зеркально относительно оси Ox. Окончательный
график изображён сплошной линией на рис. 9.11.
y
x
0
–1
y
x
0
–1
1
рис. 9.10 рис. 9.11
Найти область определения функции:
y x
x
=

+
2
2
3
lg
()
.
рееение.
`
x
x x
2
20
3030

++




;
lg () ;
lg ()
x
x
2
20
30

+>




;
lg ()
⇔  
x x2
20
31

+>




; x x
( +
)

+

;;
;
(; )22
2 ⇔
⇔  
x ( +
) 22
2;; .
о т в е т.
` ( +
) 22
2;; .

149
10. ЭлементАрное исследоВАние
ФункЦий. осноВные
ЭлементАрные ФункЦии
правила и определения

 Функция называется монотонно неубывающей на проме-
жутке, если для любых двух точек x
1,
x
2 этого промежут-
ка, таких, что x
1
> x
2, выполняется
f(x
1)
 f (x
2).

 Возрастающей функцией называется неубывающая функ-
ция, для которой f(x
1)
> f (x
2) при
x
1
> x
2.
Аналогично определяются монотонно невозрастаю-
щая (f(x
1)
 f(x
2) при
x
1
> x
2) и
монотонно убывающая
( f (x
1)
< f (x
2) при
x
1
> x
2 функции.

 Функция называется монотонной, если она невозраста-
ющая или неубывающая, и строго монотонной, если она
убывающая или возрастающая.

 Промежутками монотонности функции называются про-
межутки, на которых она возрастает, и промежутки, на которых она убывает.

 Область определения функции симметрична относи-
тельно нуля , если для каждого числа x из области оп-
ределения число – x тоже входит в область определения
( x ∈ D (f ) ⇒ –x ∈ D (f )).

 Функция f(x ) называется чётной, если D(f ) симметрична
относительно нуля и для каждого x ∈ D (f ) верно равенст-
во f(– x) = f (x ).

150
алгебра

 Функция f(x ) называется нечётной, если D(f ) симметрич-
на относительно нуля и для каждого x ∈ D (f ) верно ра-
венство f(– x) = – f(x ).

 если функция не является ни чётной, ни нечётной, то она называется функцией общего вида .

 Периодической функцией называется функция f(x ), для
которой существует такое положительное число T, на-
зываемое периодом функции, что для каждого x ∈ D (f )
верно равенство f(x + T ) = f(x ). Каждое такое число T
называется периодом функции. Наименьшим периодом
называется наименьшее ( T
0) из всех периодов
T.
Множество всех периодов функции совпадает с множест-вом всех чисел вида nT
0, где
n ∈ N.

 Функция f(x ) называется ограниченной сверху на множе-
стве X ⊂ D (f ), если существует такое число C, что f(x )  C
для x ∈ X .

 Функция f(x ) называется ограниченной снизу на множе-
стве X ⊂ D (f ), если существует такое число C, что f(x )  C
для каждого x ∈  X.

 Функция f(x ) называется ограниченной на множестве,
если она ограничена на нём и сверху, и снизу.

 точка x
0 называется
внутренней точкой числового мно-
жества X, если существует такое число e > 0, что отрезок
[ x
0 –
e; x
0
+ e ] содержится во множестве X.

 точка x
0 называется
точкой минимума функции f(x ),
если она является внутренней точкой области определе-ния f(x ) и вблизи точки x
0 (то есть на некотором интерва-
ле, содержащем внутри точку x
0) при
x ≠ x
0 выполняется
неравенство f(x ) > f (x
0).

 точка x
0 называется
точкой максимума функции f(x ),
если она является внутренней точкой области определе-ния f(x ) и вблизи точки x
0 при
x ≠ x
0 выполняется нера-
венство f(x ) < f (x
0).

 точка x
0 называется
точкой экстремума функции f(x ),
если она является точкой максимума либо точкой мини-мума.

151
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции

 Экстремумом функции f(x ) называется значение, прини-
маемое ею в точке экстремума (максимум — в точке ма-
ксимума, минимум — в точке минимума).
Основные формулы

hЛинейная функция
y = kx + b ,
где k, b — действительные числа.

hОбратно пропорциональная зависимость
y k x =
,
где k — действительное число, k ≠ 0.

hКвадратичная функция
y = ax 2
+ bx + c ,
где a, b, c — действительные числа, причём a ≠ 0.

hСтепенная функция:
y = x p
,
где p — действительное число, p ≠ 0.

hОсновные тригонометрические функции
y = sin x; y = cos x;
y  = tg x; y = ctg x.
tg sin co
s ;
x xx = ct
g co
s sin .
x xx =

hОбратные тригонометрические функции
y = arcsin x; y = arccos x;
y  = arctg x; y = arcctg x.
y  = arcsin x ⇔ x  = sin y;

22  y ;
y = arccos x ⇔ x  = cos y; 0  y  p ;
y  = arctg x ⇔ x  = tg y;
< <
22 y ;
y = arcctg x ⇔ x  = ctg y; 0 < y < p;

152
алгебра
arcco sa rcsi n;
xx = 2
arcct ga rctg
. xx =
2

hПоказательная функция
y = a x
,
где a — действительное число, a > 0; a ≠ 1.

hЛогарифмическая функция
y = log
a
x ,
где a — действительное число, a > 0; a ≠ 1.
y  = log
a
x ⇔ x  = a y
.

hДесятичный логарифм
lg x = log
10
x .

hНатуральный логарифм
ln x = log
e
x , где e ≈ 2,718.
объяснение и важные примеры
10.1. монотонность ФункЦий
На рис. 10.1 изображены графики: а — монотонно неубы-
вающей функции, б — возрастающей, в — невозрастающей,
г — убывающей.
Функция, график которой изображён на рис. 10.2, возра-
стает на отрезке [ a; b] и убывает на отрезке [ b; c].
Можно сказать, что промежутки возрастания функции —
это участки оси Ox, на которых график идёт вверх (с увели-
чением x), а промежутки убывания — участки, на которых
график идёт вниз.
Пример 1. Указать промежутки монотонности функции,
график которой изображён на рис. 10.3.
рееение.
  Промежутки убывания: (– ∞; –2]; [1; 3]. Проме-
жутки возрастания: [–2; –1]; [3; +∞).

153
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
y
x
0
y
x
0
а
) б)
y
x
0
y
x
0
в
) г)
рис. 10.1
y
x
0 a b c y
x
0
–2 1
3
рис. 10.2 рис. 10.3
10.2. Чётность и  неЧётность ФункЦий
Пример 2. Определить, какие из указанных функций яв-
ляются чётными, какие — нечётными, а какие — функциями общего вида:
а) y = x 2
; б) y = |x |; в) y = cos x; г) y = x ;
д) y = x 3
; е) y = sin x; ж) y = x + 1; з) y = 2 x
.

154
алгебра
рееение.
  а) (–x)2
 = x 2
; б) |– x| = |x |; в) cos(– x) = cos x;
г) – x = – x; д) (– x)3
 = – x3
; е) sin(– x) = –sin x;
ж) – x + 1 ≠ x + 1; – x + 1 ≠ –( x + 1); з) 2 –
x
≠ 2 x
; 2 –
x
≠ –2 x
.
о т в е т.
  Функции а), б), в) — чётные; г), д), е) — нечётные;
ж), з) — общего вида.
График чётной функции симметричен относительно оси ор-
динат (рис. 10.4, а), а график нечётной функции симметричен
относительно начала координат (рис. 10.4, б).
y
x
0
y
x
0
а ) б)
рис. 10.4
10.3. периодиЧность ФункЦий
Функции sin x, cos x имеют наименьший период 2 p, функ-
ции tg x, ctg x имеют наименьший период p.
если наименьший период функции f(x ) равен T
0, то наи-
меньший период функции af(x ) + b тоже равен T
0, а наимень-
ший период функции f(ax + b ) равен
T
a 0 (
a, b — действитель-
ные числа, a ≠ 0).
Пример 3. Найти наименьший период функции
fx x
() tg .
=


+
2
3 41
рееение.
  Наименьший период функции f(x ) равен наи-
меньшему периоду функции
gx x
() tg =



3 4 (поскольку
f (x ) = 2 g(x ) + 1); g(x ) = tg( ax + b ), где a = –4;
b =
3. Наименьший

155
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
период функции tg x равен p. Поэтому искомый период:
T
0 44 =
= .
о т в е т.
 
4

.
График периодической функции с периодом T можно по-
строить таким образом: построив график на каком-либо проме- жутке вида [ a; a + T ), далее параллельно перенести его на T;
2 T ; 3 T; …. единиц вправо и влево вдоль оси Ox.
Пример 4. Построить график функции y = {x} (дробная часть
x ), где { x} = x – [ x] ([ x] — целая часть x, то есть наибольшее
целое значение, не превосходящее x).
рееение.
  Функция {x}, очевидно, периодическая; T
0 =
1. При
0  x < 1, очевидно, [ x] = 0, то есть { x} = x . Строим график y = x на
промежутке [0; 1) и параллельно переносим его на 1; 2; 3; … еди -
ницы вправо и влево вдоль оси Ox. Получаем график (рис. 10.5).
–3 –1 –2 0 1 2 3
... ... y
x
1
рис. 10.5
10.4. огрАниЧенность ФункЦий
Ограниченность функции на
всей области определения означает
ограниченность множества значений функции (то есть множество значе-ний функции содержится в некото-
ром отрезке [ a; b]). При этом график
функции заключён в некоторой по-
лосе между двумя горизонтальными прямыми (рис. 10.6).
y
x
0
y = a
y = b
рис. 10.6

156
алгебра
Пример 5. Выяснить, является ли функция fxx
() =
2 1 огра-
ниченной: а) на всей области определения; б) на промежутке (0; +∞).
рееение.
  а) D(f ) = (– ∞; 0) ∪ (0; +∞). Какое бы число C > 0
мы ни взяли, если
< <
1
0
2
lo
g ,
C x то 21

>
x C. Поэтому функ-
ция f(x ) не является ограниченной сверху на (– ∞; 0) и тем бо-
лее на D(f ). Значит, f(x ) является неограниченной на D(f ).
б) если x > 0, то
< 1
0x . Значит, 02 1
1 <<
x , то есть f(x )
ограничена на промежутке (0; +∞).
о т в е т.
  а) нет; б) да.
Пример 6. Доказать ограниченность на всей области опре-
деления функций: а) f(x ) = sin 3 x + 3 cos 5 x; б) f(x ) = log
2(3
+ sin x).
рееение.
  а) D(f ) = (– ∞; +∞ ).
Как известно, –1  sin a  1; –1  cos a  1 для лю-
бого a. Поэтому: –1  sin 3 x  1; –1  cos 5 x  1 ⇒
⇒  –3  3 cos 5 x  3 для любого x.
Сложим неравенства: –4  sin 3 x + 3 cos 5 x  4. Значит,
f (x ) ограничена на D(f ).
б) D(f ) = (– ∞; +∞ ), поскольку sin x  –1 ⇒ 3 + sin x  2 > 0,
то есть выражение log 2(3
+ sin x) имеет смысл при всех дейст-
вительных x.
–1  sin x  1 ⇒ 2  3 + sin x  4 ⇒ 1  log
2(3
+ sin x)  2.
Значит, f(x ) ограничена на D(f ).
10.5. тоЧки ЭкстремумА ФункЦии
На графике точки максимума соответствуют абсциссам
«пиков» графика, а точки минимума — абсциссам «впадин». Сами максимумы и минимумы функции соответствуют ор-
динатам «пиков» и «впадин» (рис. 10.7, а, б).
а) x
max — точка максимума;
f(x
max ) — максимум функции;
б) x
min — точка минимума;
f(x
min ) — минимум функции.

157
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
yx
0
f( x
max )
xmax
y
x
0
f (x
min )
xmin
а ) б)
рис. 10.7
Пример 7. Указать точки и значения экстремумов функции
y  = f (x ), график которой изображён на рис. 10.8:
y
x
0
–1 1 3
–2 4
1
2
4,5
рис. 10.8
рееение.
  x
1 =
–1 — точка максимума; f(x
1)
 = 2 — максимум
функции; x2 =
1 — точка минимума; f(x
2)
 = –2 — минимум функции;
x 3 =
3 — точка максимума; f(x
3)
 = 4,5 — максимум функции;
x 4 =
4 — точка минимума; f(x
4)
 = 1 — минимум функции.
если существует такое число d > 0, что функция f(x ) убы-
вает при x ∈ [ x
0 –
d; x
0] и возрастает при
x ∈ [ x
0;
x
0
+ d ], то
x 0 — точка локального минимума. если
f(x ) возрастает при
x ∈ [ x
0 –
d; x
0] и убывает при
x ∈ [ x
0;
x
0
+ d ], то x
0 — точка
локального максимума.
Пример 8. Указать точки и значения экстремумов функций:
а) y = x 2
– 4 x; б) y = x 4
– 4 x2
.
рееение.
  а) y = (x2
– 4 x + 4) – 4  = (x – 2) 2
– 4. Функция убы-
вает при x  2 и возрастает при x  2. таким образом, x
0 =
2 —
точка минимума; y(x
0)
 = –4 — минимум функции.

158
алгебра
б) y = (x2
– 2) 2
– 4. Функция убывает при x  − 2, возра-
стает при
− 20 x , убывает при 02 x и возрастает
при
x  2. таким образом, точки минимума: x 1 2
= ,
x
2 2
= , минимумы функции: y(x
1)
 = y (x
2)
 = –4; точка макси-
мума: x
3 =
0, ма ксимум функции: y(x
3)
 = 0.
о т в е т.
  а) x
0 =
2; y(x
0)
 = –4; б)
x
1 2
= ; x
2 2
= ;
y (x
1)
 = y (x
2)
 = –4; x
3 =
0; y(x
3)
 = 0.
Отметим, что элементарное исследование функции на мо-
нотонность и экстремумы можно провести лишь в простейших
случаях. Как правило, для такого исследования применяется производная (см. раздел 11).
10.6. нАибольшее и  нАименьшее знАЧения ФункЦии
если функция f(x ) непрерывна на отрезке [ a; b], то есть её
график представляет собой сплошную линию, то она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Для того чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение
непрерывной на отрезке [ a; b] функции f(x ), имеющей конечное
число максимумов (минимумов), нужно вычислить значение
функции в каждой точке максимума (минимума) и в точках a,
b и выбрать наибольшее (наименьшее) из полученных чисел.
Наибольшее значение функции f(x ) на отрезке [ a; b] обо-
значается
ma x( ),
[; ]
xa bfx
∈ наименьшее обозначается mi n( ).
[; ]
xa bfx

Наибольшее (наименьшее) значение может достигаться
в нескольких точках. Например, функция f(x ) = x 2
достигает
своего наибольшего значения на отрезке [–1; 1] в двух точках:
ma x( )()( ). [;]
x fx
ff
== = 1111
1
если функция f(x ) монотонно возрастает на отрезке [ a; b],
то она достигает наименьшего значения в точке a, а наиболь-
шего — в точке b.
если фукнция f(x ) монотонно убывает на отрезке [ a; b], то
она достигает наименьшего значения в точке b, а наибольше-
го — в точке a.

159
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
Пример 9. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции: а) f(x ) = 2 x2
– 6 x + 9, если x ∈ [–1; 2];
б) f(x ) = 3 –
x
, если x ∈ [1; 3];
в) f(x ) = x 2
+ x , если x ∈ [0; 1].
рееение.
 
а) f(x ) = 2( x2
– 3 x + 4,5)  = 2( x2
– 3 x + 1,5 2
+ 2,25)  =   2( x – 1,5) 2
+ 4,5.
Функция имеет точку минимума x = 1,5 на отрезке [–1; 2].
f (1,5)  = 4,5; f(–1)  = 17; f(2)  = 5.
Значит,
mi n( )( ,) ,; [;]
x fx
f
== 12 15
45 max( )( ). [;]
x fx
f
= = 12 11 7
б) Функция монотонно убывает на всей оси и тем более на
отрезке [1; 3]. Значит,
mi n( )( ); [;]
x fx
f
== 13 3
1 27 ma
x( )( ). [;]
x fx
f
== 13 1
1 3
в) Функция монотонно возрастает на отрезке [0; 1], поэтому:
mi
n( )( ); [;]
x fx
f
== 01 00 ma x( )( ). [;]
x fx
f
== 01 12
Ответ: а) min f(x ) = 4,5; max f(x ) = 17 для x ∈ [–1; 2];
б)
mi n( ); fx =1 27 ma
x( )
fx =1 3 для
x ∈ [1; 3];
в) min f(x ) = 0; max f(x ) = 2 для x ∈ [0; 1];
Наименьшее значение функции совпадает с ординатой наи-
низшей точки графика этой функции, а наибольшее — с орди-
натой наи высшей точки графика.
Пример 10. Найти наибольшее
и наименьшее значения функции,
график которой изображён на рис. 10.9.
рееение.
 
ma x( )()( ); (;)
x fx
ff
+ == = 121
mi n( )(
). (;)
x fx
f
+ == 00
о т в е т.
  max f(x ) = 1; min f(x ) = 0
для x ∈ (– ∞; +∞ ).
y
x
0 –1 2 1
рис. 10.9

160
алгебра
Отметим, что, как правило, кроме простейших случаев для
нахождения наибольшего и наименьшего значений функции необходимо воспользоваться производной (см. раздел 11).
10.7. осноВные ЭлементАрные ФункЦии
10.7.1. Линейная функция
Область определения функции y = kx + b — вся действи-
тельная ось: D(y ) = (– ∞; +∞ ). если k > 0, то функция монотонно
возрастает на всей оси, если k < 0, то убывает, а если k = 0, то
постоянна.
Множество значений функции при k ≠ 0 — вся действи-
тельная ось: E(y ) = (– ∞; +∞ ), при k = 0 — одно число: E(y ) = {b}.
При k ≠ 0; b ≠ 0 функция общего вида, при b = 0 — нечёт-
ная, при k = 0 — чётная.
График линейной функции — прямая. Построение графи-
ка производится по двум точкам: выбирают два произвольных значения аргумента и по ним находят значения функции.
Пример 11. Построить графики функций:
а) y = 2 x + 3; б) y = –3 x + 1.
рееение.
 
а)
x y
0 3
1 5
y
x
0
3
1
5
рис. 10.10

Проводим прямую через точки (0; 3) и (1; 5).
б) x y
0 1
1 –2
y
x
0
–2 1
1
рис. 10.11
Проводим прямую через точки (0; 1) и (1; –2).

161
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
Число k называется угловым коэффициентом прямой
и равно тангенсу угла, образуемого прямой (в направлении возрастания y) с положительным направлением оси Ox. Число
b совпадает с ординатой точки пересечения прямой с осью Oy.
Различные варианты расположения графика y = kx + b ука-
заны на рис. 10.12.
если b = 0, то соответствующая линейная функция y = kx на -
зывается прямой пропорциональной зависимостью . её график
проходит через начало координат. При k = 1 это биссе ктриса
I и III, при k = –1 — биссектриса II и IV координатных углов.
y
x
0
b
> 0
b = 0
b < 0
y
x
0
b > 0
b = 0
b < 0
y
x
0
b >
0
b < 0
b
= 0
а) k > 0 б) k < 0 в) k = 0
рис. 10.12
Пример 12. Найти точки пересечения графика функции
y  = –3 x + 2 с осями координат и указать промежутки, на кото-
рых функция сохраняет знак (положительна, отрицательна).
рееение.
  Абсцисса любой точки на оси Oy равна 0, ордина-
та любой точки на оси Ox равна 0. Поэтому точку пересечения
с осью Oy определяем, полагая x = 0: y = –3 ⋅ 0 + 2  = 2, точка
(0; 2).
точку пересечения с осью Ox определяем, полагая y = 0:
–3 x + 2  = 0 ⇔
x=2 3, точка 2
3 0;.


Решаем неравенство –3
x + 2 > 0: x <2 3.
Функция положительна при x
<2 3. Очевидно, при x
>2 3
функция отрицательна.

162
алгебра
о т в е т.
  точки (0; 2); 2
3 0;;

на интервале



; 2
3 функция
положительна; на интервале
2
3 ;
+


функция отрицательна.
10.7.2. Функция, описывающая обратно
пропорциональную зависимость
Область определения функции
y k x = (
k ≠ 0) совпадает со
множеством всех действительных чисел, отличных от 0: D(y ) = (– ∞; 0) ∪ (0; +∞).
таково же и множество значений: E(y ) = (– ∞; 0) ∪ (0; +∞).
При k > 0 функция монотонно убывает на каждом из про-
межутков (– ∞; 0) и (0; +∞), при k < 0 — возрастает. Функция
нечётна. График функции представляет собой гиперболу и состоит
из двух ветвей (рис. 10.13).
y
x
k
0 1
k
y
x
=
y
x
k
0 1
k
y
x
=
а)
k > 0 б) k < 0
рис. 10.13
Используя преобразования графиков, рассмотренных в раз-
деле 10, из графика
y x = 1 можно получить график любой дроб-
но-линейной функции:
y ax
b cxd = + + ,

163
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
где a, b, c, d — действительные числа, причём c ≠ 0; a2
+ b 2
≠ 0;
ad ≠ bc .
Действительно,
y ax
b
cx dax
b
a
cx d
c
a
c b
a d
c
x d
c
=
+
+ = +



+

=
+
+



1
=
=+

+
a
c bc
ad
c xd
c
2
1
.
Пример 13. Построить график: yx x = +
+
23
41 .
рееение.
 
Dy () ;; .
=




+



1
4 1
4
y x
x
xx
= +
+ =+


+ =+

+
23
41 2 434
21
4 1
1
4
1
2 5
8 1
1
4
2
(здесь a = 2; b = 3; c = 4; d = 1).
таким образом, гиперболу
y x = 1 следует сдвинуть влево на
1
4, сжать в 8
5 раза к оси
Ox
и сдвинуть вверх на
1
2. Оконча-
тельный вид графика изображён на рис. 10.14. Множество значений опреде-
ляем как проекцию графика на ось Oy:
Ey() ;; .
=


+



1
2 1
2
10.7.3. Кв адратичная функция
Область определения квадратичной функции y = ax 2
+ bx + c :
D (y ) = (– ∞; +∞ ).
y
x
0
3
2
− 1
4

1
2 2 3
4 1 x
y
x+
=
+
рис. 10.14

164
алгебра
Рассмотрим функцию y = ax 2
. Она, очевидно, чётная. её
график — парабола (рис. 10.15).
y
x
0
a
1
y
x
0
a 1
а ) a > 0 б) a < 0
рис. 10.15
В случае а говорят, что парабола обращена ветвями вверх,
в случае б — ветвями вниз. Ось координат является осью сим-
метрии графика. Парабола y = ax 2
проходит через начало ко-
ординат, которое является вершиной этой параболы (функция y  = ax 2
достигает наибольшего значения в точке x = 0 при a < 0
и наименьшего — при a > 0).
В общем случае для построения графика y = ax 2
+ bx + c
следует привести функцию к виду
ya xb
a xc
ax b
a b
a c
=+


+=
+





+= 2
2
2
2
24
=+


+


ax b a c
b a
24
2
2
.
такое преобразование называется выделением полного ква-
драта. таким образом, параболу y = ax 2
следует сдвинуть влево
на
b
a
2 и вверх на c b
a




2
4 (сдвиг на величину – d влево — это
сдвиг на d вправо). Получаем параболу с вершиной в точке



b
a c
b
a
24
2
;
и с тем же направлением ветвей, что у параболы
y  = ax 2
. Значит,
Ey cb
a
()
;
=



2
4 при a < 0; Ey cb
a
()
;
= +



2
4 при a > 0.

165
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
Пример 14. Построить графики функций: а) y = 3 x2
– 6 x + 5;
б) y = – x2
+ 4 x – 3.
рееение.
  а) a = 3; b = –6; c = 5. Координаты вершины:
x b a 0 2 1
= =; yc b a 02 4 2
= =.
таким образом, мы должны перенести вершину параболы
y  = 3 x2
в точку (1; 2) (рис. 10.16).
б) a = –1; b = 4; c = –3.
Координаты вершины:
x b a 0 2 2
= =; yc b a 02 4 1
= =.
таким образом, следует перенести вершину параболы
y  = – x2
в точку (2; 1) (рис. 10.17).
y
x
0 1
5
2
y
x
0
1
–3 2
рис. 10.16
рис. 10.17
Пример 15. Найти значение аргумента, при котором функ-
ция принимает наибольшее или наименьшее значение, и ука- зать это значение: а) y = 2 x2
– 6 x – 3; б) y = – x2
+ 3 x + 5.
рееение.
  а) Координаты вершины:
xb a 0 2
3
2 =
=; yc b a 02 4
15
2 =
=;
a = 2 > 0 — ветви вверх. При x
0 =
1,5 функция принимает наи-
меньшее значение, равное –7,5. б) Координаты вершины:
x b a 0 2
3
2 =
=; yc b a 02 4
29
4 =
=;

166
алгебра
a = –1 < 0 — ветви вниз. При x
0 =
1,5 функция принимает на-
ибольшее значение, равное 7,25.
о т в е т.
  а) min y = y (1,5)  = –7,5; б) max y = y (1,5)  = 7,25.
Пример 16. Указать значения аргумента x, при которых
квадратичная функция y = – x2
+ 4 x – 3: а) равна нулю; б) при-
нимает отрицательные значения; в) принимает положительные значения. Указать промежутки монотонности функции.
рееение.
  а) –x2
+ 4 x – 3  = 0; x
1 =
1; x
2 =
3;
б) y < 0 при x ∈ (– ∞; 1) ∪ (3; +∞), поскольку ветви параболы
обращены вниз; в) y > 0 при x ∈ (1; 3).
Абсцисса вершины: x
0 =
2 (см. рис. 10.17). Функция возра-
стает на промежутке (– ∞; 2] и убывает на промежутке [2; +∞).
10.7.4. Ст епенная функция
степенная функция с  натуральным показателем y = x n
, где n ∈ N.
При n = 1 получаем линейную функцию y = x , при n = 2 —
квадратичную функцию y = x 2
.
Область определения: D(y ) = (– ∞; +∞ ). Функция чётна, если
число n чётно, и нечётна, если n нечётно. При чётном n функ-
ция монотонно убывает при x  0 и возрастает при x  0;
E (y ) = [0; +∞). При нечётном n функция монотонно возрастает:
E (y ) = (– ∞; +∞ ).
На рис. 10.18 указаны различные варианты графика сте-
пенной функции с натуральным показателем при x  2.
y
x
0 1
1
y
x
1
1
0
а ) n чётно б) n нечётно
рис. 10.18

167
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
Для построения графиков функций вида y = k (x + a )n
+ b
необходимо использовать преобразования графиков.
Пример 17. Построить графики функций: а) y = 2( x – 1) 3
– 5;
б)
yx = +
3 1 2 2
4 () .
рееение.
  а) График функции y = x 3
сдвигаем на 1 единицу
вправо, растягиваем в 2 раза от оси Ox и сдвигаем на 5 единиц
вниз (рис. 10.19). б) График функции y = x 4
сдвигаем на 2 единицы влево,
сжимаем в 2 раза к оси Ox, отражаем зеркально относительно
оси Ox и сдвигаем на 3 единицы вверх (рис. 10.20).
y
x
1
–5 0
–7
y
x
0
3
–5
–2
рис. 10.19
рис. 10.20
степенная функция с  целым отрицательным показателем
yx x
nn == 1
, где n ∈ N.
При n = 1 получаем обратно пропорциональную зависи-
мость:
y x = 1
.
Область определения: D(y ) = (– ∞; 0) ∪ (0; +∞). Функция
чётна, если n чётно, и нечётна, если n нечётно. При чётном n
функция монотонно возрастает на промежутке (– ∞; 0) и убыва-
ет на промежутке (0; +∞); E(y ) = (0; +∞); при нечётном n функ-
ция убывает на обоих промежутках; E(y ) = (– ∞; 0) ∪ (0; +∞).

168
алгебра
На рис. 10.21 указаны различные варианты графика функ-
ции y = x –
n
.
y
x
1
0 1 y
x
1
0 1
а ) n чётно б) n нечётно
рис. 10.21
степенная функция с  нецелым положительным показателем
y  = x a
, где a — действительное число, a > 0, a ∉ N.
если a — рациональное число,
a m n =
, то yx m
n
= .
Область определения: D(y ) = [0; +∞). таково же множество
значений: E(y ) = [0; +∞). Функция монотонно возрастает.
На рис. 10.22 указаны различные варианты графика функ-
ции y = x a
.
степенная функция с  нецелым отрицательным показателем
yx x
aa == 1
, где a > 0, a ∉ N.
если a — рациональное число,
a m n =
, то y
xm
n
= 1
.
y
x
1
0 1 y
x
1
0 1
y
x
1 0
1
а ) 0 < a < 1 б) a > 1
рис. 10.22 рис. 10.23

169
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
Область определения: D(y ) = (0; +∞).
такова же область значений: E(y ) = (0; +∞). Функция моно-
тонно убывает. График изображён на рис. 10.23.
10.7.5. Тригонометрические функции
функция y = sin x
Основные свойства: 1. D(y ) = (– ∞; +∞ ).
2. E(y ) = [–1; 1].
3. Функция нечётная.
4. Функция периодическая; наименьший период равен 2 p.
5. Функция монотонно возрастает на каждом из отрезков
вида
+ +






2 2
22 nn; и убывает на


2 2
3
2 2 ++
nn
;,
n ∈ Z.
6. При x ∈ (2 pn ; p + 2 pn ), n ∈ Z, функция принимает поло-
жительные значения, при x ∈ ( p + 2 pn ; 2 p + 2 pn ) —
отрицательные; при x = p n функция обращается в нуль.
График функции y = sin x ( синусоида ) изображён на
рис. 10.24.
y
x
0 –1
1

– π π
2
π

2 π
3
2 π
рис. 10.24
функция y = cos x
Основные свойства: 1. D(y ) = (– ∞; +∞ ).
2. E(y ) [–1; 1].
3. Функция чётная.
4. Функция периодическая; наименьший период равен 2 p.

170
алгебра
5. Функция монотонно убывает на каждом из отрезков вида [2 pn ; p + 2 pn ) и возрастает на [ p + 2 pn ; 2 p + 2 pn ].
6. При
xn n
++





2 2
22
; функция принимает поло-
жительные значения, при
xn n
+ +






2 2
3
2 2
; —
отрицательные; при
xn =+ 2 , n ∈ Z функция обраща-
ется в нуль.
График функции y = cos x (он, как и предыдущий график,
по форме является синусоидой) изображён на рис. 10.25.
y
x
0
–1 1


π π

− 2 π
3
2 π
y
= cos x
рис. 10.25
функция y = tg x
Напомним, что
tg sin co
s .
x xx =
Основные свойства:
1. Область определения состоит из всех действительных
чисел, кроме чисел вида

2 +n, n ∈  Z.
2. E(y ) = (– ∞; +∞ ).
3. Функция нечётная.
4. Функция периодическая; наименьший период равен p.
5. Функция монотонно возрастает на каждом интервале
+ +






22 nn ;, n ∈ Z.

171
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
6. При xnn+




;
2 функция принимает положитель-
ные значения; при
xn n
+





2 ; — отрицательные;
при x = p n , n ∈ Z функция обращается в нуль.
График функции y = tg x изображён на рис. 10.26.
y
x
0

π
π 2π

2 π
3
2 π
3


... ...
рис. 10.26
функция y = ctg x
Напомним, что
ct g co
s sin .
x xx =
Основные свойства:
1. Область определения состоит из всех действительных
чисел, кроме чисел вида pn , n ∈ Z.
2. E(y ) = (– ∞; +∞ ).
3. Функция нечётная.
4. Функция периодическая; наименьший период равен p.
5. Функция монотонно убывает на каждом интервале (p n ; p + p n ), n ∈ Z.
6. При
xn n+




;
2 функция принимает положитель-
ные значения, при
xn n
+ +





2 ; — отрицатель-
ные; при
xn =+ 2 , n ∈ Z функция обращается в нуль.

172
алгебра
График функции y = ctg x изображён на рис. 10.27.
y
x
0

π π


2 π
3
2 π
...
... 2π
рис. 10.27
Пример 18. Построить график функции y = 3 – 2 cos 2 x.
Определить множество её значений.
рееение.
  Поскольку множеством значений функции
y  = cos 2 x является отрезок [–1; 1], множеством значений функ -
ции y = 3 – 2 cos 2 x является отрезок [1; 5], так как 3 – 2 ⋅ 1  = 1;
3 – 2 ⋅ (–1)  = 5.
В соответствии с правилами преобразования графиков (см.
раздел 10), график функции y = 3 – 2 cos 2 x получается из
графика y = cos x сжатием в 2 раза к оси Oy, растяжением
в 2 раза от оси Ox, зеркальным отражением относительно оси
Ox и сдвигом на 3 единицы вверх (рис. 10.28).
y
x

π
2
π
− 0 2 π
π 3
2 π 2
π
1
5
рис. 10.28
Пример 19. Построить график функции
yx=


tg
.
2
4
рееение.
  График функции yx x
=

=

tg tg
2
4 2
8 по-
лучается из графика y = tg x сжатием в 2 раза к оси Oy и сдви-
гом на

8

вправо (рис. 10.29).

173
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
yx
0
...
...
–1
5


3
8 π

8 π
− 8 π
3
8 π
5

7

рис. 10.29
10.7.6. Обр атные тригонометрические функции
функция y = arcsin x
Эта функция является обратной к функции y = sin x;
x



22 ;.
Основные свойства: 1. D(y ) = [–1; 1].
2.
Ey () ;. =



22
3. Функция нечётная.
4. Функция возрастающая.
5. Функция отрицательна при x ∈ [–1; 0), положительна при
x ∈ (0; 1] и обращается в нуль
при x = 0.
График функции y = arcsin x изо-
бражён на рис. 10.30.
таблица 10.8. Значения функции y = arcsin x для некоторых аргументов
x
–1 −3 2 − 2 2
−12
0 1
2
2
2
3
2
1
arcsin x
2 3 4 6
0
6

4

3

2
y
x
1
0
2 π
2 π

–1
рис. 10.30

174
алгебра
функция y = arccos x
Эта функция является обратной к функции y = cos x;
x ∈ [0; p].
arcco sa rcsi n.
xx =
2
Основные свойства: 1. D(y ) = [–1; 1].
2. E(y ) = [0; p].
3. Функция общего вида.
4. Функция убывающая.
5. Функция положительна при x ∈ [–1; 1) и обращается
в нуль при x = 1.
График функции y = arccos x изображён на рис. 10.31.
таблица 10.9. Значения функции y = arccos x для некоторых аргументов
x
–1 −3 2 −2 2
−12 0 1
2
2
2
3
2
1
arccos xp
5
6 34 23
2

3

4

6 0
функция y = arctg x
Эта функция является обратной к функции y = tg x;
x



22 ;.
Основные свойства: 1. D(y ) = (– ∞; +∞ ).
2.
Ey () ;. =

22
3. Функция нечётная.
4. Функция возрастающая.
5. Функция отрицательна при x < 0, положительна при
x > 0 и обращается в нуль при x = 0.
График функции y = arctg x изображён на рис. 10.32.

175
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
yx
1
0
2 π
–1
π
рис. 10.31
y
x
0
2 π


рис. 10.32
таблица 10.10. Значения функции y = arctg x для некоторых аргументов
x − 3 –1 − 3 3
0 3
3
1 3
arctg
x
3
4
6 0
6
4
3
функция y = arcctg x
Эта функция является обратной к функции y = ctg x;
x ∈ (0; p).
arcct ga rctg . xx =
2
Основные свойства: 1. D(y ) = (– ∞; +∞ ).
2. E(y ) = (0; p).
3. Функция общего вида.
4. Функция убывающая.
5. Функция всегда положительна.График функции y = arcctg x изобра-
жён на рис. 10.33. таблица 10.11. Значения функции y = arctg x для некоторых аргументов
x − 3 –1 − 3 3
0 3
3
1 3
arcctg
x 5
6 34 23
2

3

4

6
y
x
0
2 π
π
рис. 10.33

176
алгебра
Пример 20. Построить график
функции
y = arctg(2 x – 4).
рееение.
 
Поскольку y = arctg 2( x – 2),
график можно получить из графика y  = arctg x сжатием в 2 раза к оси
Oy и сдвигом на 2 единицы вправо
(рис. 10.34).
10.7.7. Показательная функция
y  = a x
, где a — действительное число; a > 0; a ≠ 1.
Область определения показательной функции — вся дей-
ствительная ось, а множество значений — все действительные положительные числа:
D(y ) = (– ∞; +∞ ); E(y ) = (0; +∞).
Функция общего вида, при a < 1 монотонно убывает, при
a > 1 — монотонно возрастает.
Графики функции y = a x
при различных значениях a изо-
бражены на рис. 10.35.
y
x
a 0
1
1
y
x 01 1
a
а ) a > 1 б) a < 1
рис. 10.35
Пример 21. Построить график функции y = 2 3–
x
+ 1.
рееение.
 
y x
=


+
8 1
2 1. График можно получить, приме-
нив к графику
y x
=


1
2 следующие преобразования: растяже-
ние в 8 раз от оси Ox и сдвиг вверх на 1 единицу (рис. 10.36).
y
x
0
2 π


2
рис. 10.34

177
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
Заметим, что этот же график можно было бы получить,
применив к графику y = 2 x
следующие преобразования: зер-
кальное отражение относительно оси Oy, сдвиг вправо на 3 еди-
ницы, сдвиг вверх на 1 единицу.
y
x
0
9
1
рис. 10.36
10.7.8. Логарифмическая функция
y = log
a
x ,
где a — действительное число; a > 0; a ≠ 1.
Эта функция является обратной к функции y = a x
.
D (y ) = (0; +∞); E(y ) = (– ∞; +∞ ).
Функция общего вида, при a < 1 монотонно убывает, при
a > 1 — возрастает.
Графики функции y = log
a x
при различных значениях a
изображены на рис. 10.37.
y
x
0
1
y
x
0
1
а ) a > 1 б) a < 1
рис. 10.37

178
алгебра
Пример 22. Построить график функции yx=+ log( ).
1
2
3
рееение.
  Для построения графика необходимо сдвинуть на
3 единицы влево график функции
yx = log
1
2 (рис. 10.38).
y
x
0
–2
–3
рис. 10.38
типовые задания Построить график функции
yx=+


24
3
ctg.
рееение.
` yx =+


24
12
ct g. График получаем из гра-
фика y = ctg x сжатием в 4 раза к оси Oy, сдвигом вле-
во на

12

и растяжением в 2 раза от оси Ox (рис. 10.39).
y
x
0
...
... 3π

5
24 π

12 π

2 3
3
24π 6π
7
24 π
5
12 π
рис. 10.39
Период функции равен

4

; y () ;
0 23 3 = y
24 0



=
.

179
Элементарное исслеДоВание фУнкций. осноВные Элементарные фУнкции
Построить график функции y = – x2
+ 6 x – 8, определить
промежутки монотонности и наибольшее значение, мно- жество значений функции.
рееение.
`
a = –1 < 0; b = 6; c = –8. Парабола ветвями вниз. Коор-
динаты вершины:
x b a 0
23
= =; yc b a 02
4 1
= =.
таким образом, вершина параболы y = – x2
переносится
в точку (3; 1). Корни: x
1 =
2; x
2 =
4 (рис. 10.40).
При x = 3 функция принимает наибольшее значение,
равное 1. При x ∈ (– ∞; 3] функция возрастает, при
x ∈ [3; +∞) — убывает. Множество значений: (– ∞; 1].
0
y
x
–8 1 2 3 4
рис. 10.40
Найти область определения функции y = arccos lg(2 x + 1).
рееение.
`
Поскольку функция arccos x определена на отрезке
[–1; 1], следует решить неравенство: –1  lg(2 x + 1)  1 ⇔ 10 –1
 2 x + 1  10 1
⇔  
⇔  0,1  2 x + 1  10 ⇔ –0,9  2 x  9 ⇔  
⇔ –0,45  x  4,5.
D (y ) = [–0,45; 4,5].
о т в е т.
` [–0,45; 4,5].
Важное и интересное 
 Э
лементарные функции
напомним, что если функция y = f( x ) определена на множестве X
и  принимает значения на множестве Y, а  функция u = g (y ) опреде-
лена на множестве Y и  принимает значения на множестве U, то их

алгебра
композиция  — это функция u = g (f( x )), которая определена на мно-
жестве X и принимает значения на множестве U. композиция иначе
называется сложной функцией. например, если y = x 2
+ 1; u = cos 3 y,
то их композиция: u = cos 3( x2
+ 1).
Для того чтобы область определения композиции была непуста,
необходимо и  достаточно, чтобы множество значений функции y  = f( x ) пересекалось с  областью определения функции u = g (y ):
E (y )  ∩  D (u ) ≠  ∅ .
Пример 23. найти область определения функций:
а)
yx =+ arctg( );
1
б) yx x
= +
22 ;
в) yx = lo g( ,) .
2 2
05
рееение.
а) поскольку квадратный корень можно извлечь только из неотри-
цательного числа, arctg( x + 1)  0 ⇔ x + 1  0
⇔ x  –1. D(y ) = [–1; +∞).
б)
20
20

{
x
x 
 ; x x
2 2; {
x  = 2. D(y ) = {2}.
в) поскольку логарифмировать можно только положительные чи-
сла, log 2(0,5 –
x2
) > 0 ⇔ 0,5 – x2
> 1 ⇔ x 2
< –0,5 ⇔ x ∈ ∅ . D (y ) = ∅ .
В  этом случае множество значений функции z = log
2(0,5 –
x2
):
E (z ) =
(– ∞; –1] не пересекается с  областью определения функции
y  =  log
2
z : D (y ) = (0; +∞).
 ОтеО.
  а) [–1; +∞); б) {2}; в) ∅.
Элементарной функцией называется любая функция, которую
можно получить из основных элементарных функций (постоянная,
степенная, показательная, логарифмическая, основные тригономе-
трические, обратные тригонометрические) с  помощью четырёх
арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деле-
ние) и операции композиции. например, функция
y x
= +
2 1
3
tg по-
лучается следующим образом: сложением степенной функции (с по-
казателем 1) и постоянной:
u = x + 1;
композиция с функцией z = tg u;
композиция с функцией y = 2z
.
функция y = |x| также является элементарной:
xx= () .
2 1
2

181
11. произВоднАя и интегрАл
правила и определения

 Число a называется пределом функции f (x ) при x, стре-
мящемся к x
0,
af x
xx =
li
m( ), 0
если для любого числа e > 0
найдётся такое число d > 0, что из неравенства
0 < |x – x
0|
< d вытекает | f(x ) – a| < e .

 Производной функции y = f (x ) в точке x
0 называется пре-
дел отношения приращения функции в точке x
0 к прира-
щению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю:
= +

fx
fx
xfx x x
()
lim ()
() ,
0
0 00



или
=

fx
fx fx
xx
xx
()
lim () () .
0
0 0
0

 если функция f(x ) непрерывна на отрезке [ a; b], то есть
если
li m( )( )
xx fx fx
=
0 0
для любой точки
x
0
∈ [ a; b], то она
достигает на этом отрезке своих наибольшего и наимень- шего значений.

 если x
0 — точка экстремума функции
f(x ), то либо
f ′( x
0)
 = 0, либо f′( x
0) не существует.

 если функция f(x ) дифференцируема на промежутке и на
всём промежутке f′( x ) > 0, то f(x ) монотонно возрастает
на этом промежутке, а если f′( x ) < 0, то f(x ) убывает.

182
алгебра

 Определённый интеграл непрерывной функции f(x )
в пределах от a до b равен приращению функции F(x ) на
отрезке [ a; b], где F(x ) — некоторая первообразная функ-
ции f(x ) на отрезке [ a; b]:
fx dx Fx FbFa
a
b
a
b
() () ()
() .
==

Эта формула называется формулой Ньютона — Лейб-
ница ; числа a и b называются соответственно нижним
и верхним пределами интегрирования .
основные формулы

hПроизводная функции в точке

= +

fx
fx
xfx
x x
()
lim ()
() ,
0
0 00

где
Dx — приращение аргумента x в точке x
0;

=


fx
fx fx
xx
xx
()
lim ()
() .
0
0 0
0

hУравнение касательной к графику функции y = f (x ) в точ-
ке с абсциссой x
0
y  = f (x
0)
+ f ′( x
0)
⋅ ( x – x
0).

hПроизводные суммы, разности, произведения, частного
(u + v )′ = u ′ + v ′;
( u – v)′ = u ′ – v′;
( u ⋅ v )′ = u ′v + uv ′;
u
v
uv uv
v



=

2 ;
(
C ⋅ u )′ = C ⋅ u ′.
Здесь u, v — функции; C — постоянная.
В частности,
1 2
v v
v



=
.

hПроизводная сложной функции
(u (v (x ))) ′ = u ′( v (x )) ⋅ v ′( x ).

183
проиЗВоДная и  интеграл

hПроизводные основных элементарных функций
Функция f(x ) Производная f′( x )
C ( C = const) 0
x a
axa
–1
a x
ax
⋅ ln a
e x
ex
log a
x
1
xa ⋅ln
ln x 1
x
sin x cos x
cos x –sin x
tg x
1
2
co s x
ctg x − 1
2sin x

hПервообразная функции F (x ) — первообразная функции f(x ), если F′( x ) = f (x ).

hНеопределённый интеграл
fx dx Fx C
() () ,=+
где
F(x ) — первообразная функции f(x ), C — произволь-
ная постоянная.

hСвойства неопределённого интеграла 1.
(( )( )) () () .
fx gxdx fxdx gxdx
±= ±
2. kfxd xk fxdx
() () . =
3. если fxdx Fx C
() () ,=+ то fk
xb dxFk
xb k C
() () ,
+= + +

k ≠ 0.
Здесь f, g — функции; k, b, C — постоянные.

184
алгебра

hНеопределённые интегралы основных элементарных функций
Функция f (x )
Интеграл fxdx
()
0 C
1 x + C
x a
, a ≠ –1
x
a C
a
+ + +
1
1
1
x ln | x| + C
aa a x >
10 ,
a
a C
x ln +
e
x
ex
+ C
sin x –cos x + C
cos x sin x + C
1
2
co s x tg x + C
1
2
sin x –ctg x + C

hПлощадь криволинейной трапеции
Sf xdx a
b
=
() .
объяснение и важные примеры
11.1. предел ФункЦии
Пусть функция f(x ) определена вблизи точки x
0, то есть не
-
который интервал ( x
0 –
A; x
0
+ A ), где A > 0, из которого удалена
сама точка x
0, содержится в области определения функции
f(x ):
( x
0 –
A; x
0)
∪ (x
0;
x
0
+ A ) ⊂ D (f ).

185
проиЗВоДная и  интеграл
Число a называется пределом функции f (x ) при x, стремя-
щемся к x
0,
af x
xx =
li
m( ),
0 если для любого числа e > 0 найдётся
такое число d > 0, что из неравенства 0 < | x – x
0|
< d вытекает
| f (x ) – a| < e . Иначе говоря, сделав x достаточно близким к x
0,
можно сделать f(x ) сколь угодно близким к a (если x мало от-
личается от x
0, то
f(x ) мало отличается от a).
На рис. 11.1 изображён гра-
фик функции y = f (x ), область оп-
ределения которой не содержит точку x
0, но предел в точке
x
0 су-
ществует,
li m( ), xx fx
a
=
0
а также
показано, как найти d по заданно-
му e.
Здесь d = min { d
1;
d
2} (меньшее
из чисел d
1;
d
2).
если 0 < |x – x
0|
< d , то | f(x ) – a| < e .
Предел суммы (разности) функций при x → x
0 равен сумме
(разности) пределов при x →  x
0, предел произведения (частно-
го) — произведению (частному) пределов.
11.2. прирАщение ФункЦии
Пусть функция f(x ) определена на некотором интервале,
содержащем точку x
0: (
x
0 –
Z; x
0
+ A ) ⊂ D (f ) ( A > 0), и пусть
x 1
∈ (x
0 –
A; x
0)
∪ (x
0;
x
0
+ A ).
Величина Dx = x
1 –
x
0 —
прира-
щение аргумента в точке x
0; величина
D y = D f(x
0)
 = f(x
1) –
f(x
0)
 = f(x
0
+ D x) –
– f(x
0) — приращение функции
y = f (x )
в точке x
0, соответствующее прираще-
нию аргумента, равному Dx (рис. 11.2).
В данном случае Dx > 0; Dy > 0.
Пример 1. Найти приращение функции f(x ) = 3 x2
+ 5 x:
а) в произвольной точке x
0 при произвольном
Dx;
б) при x
0 =
3; Dx = –0,2.
x
0 –
δ
1 x
0 x
0
+ δ
2
0 x
y
a
– ε
a
+ ε
a
рис. 11.1
x
y
f(x
1)
Dy
Dx
x 0
x
1
f(x
0)
рис. 11.2

186
алгебра
рееение.
  а) Df = f (x
0
+ D x) – f(x
0)
 = (3( x
0
+ D x)2
+ 5( x
0
+ D x)) –

() ()
35 36 35535
0 2
00 2
0 2 00 2
0
xx
xxxx xxxx +=+++ + =
= 6 x
0
⋅ D x + 3( Dx)2
+ 5 Dx = (6 x
0
+ 3 Dx + 5) ⋅ D x;
б) x
0 =
3; Dx = –0,2: Df = (6 ⋅ 3 + 3 ⋅ (–0,2) + 5) ⋅ (–0,2)  = –4,48.
о т в е т.
  а) (6x
0
+ 3 Dx + 5) ⋅ D x; б) –4,48.
11.3. произВоднАя ФункЦии В  тоЧке
Операция нахождения производной называется дифферен-
цированием . если функция имеет производную в точке x
0, то
она называется дифференцируемой в точке x
0.
Пример 2. Найти по определению производную функции
f (x ) = 3 x2
+ 5 x: а) в произвольной точке x
0; в) при
x
0 =
3.
рееение.
  а) В примере 1 найдено приращение f(x ):

== ++ =

fx
f x
xx
x
x xx
()
liml im
() 0
00 0
63
5



=+ +=+
li
m( ); x xx
x
0 00 63 565
б) f′(3)  = 6 ⋅ 3 + 5  = 23.
о т в е т.
  а) 6x
0
+ 5; б) 23.
если функция y = f(x ) дифференцируема в каждой точке
некоторого промежутка, то её производная представляет со-
бой функцию на рассматриваемом промежутке. Обозначают её f ′( x ). Например, если f(x ) = 3 x2
+ 5 x, то f′( x ) = 6 x + 5.
11.4. геометриЧеский смысл произВодной
если к графику функции y = f (x )
в точке с абсциссой x
0 можно прове-
сти касательную, не параллельную оси Oy, то угловой коэффициент
этой касательной равен f′( x
0):
f ′( x
0)
 = tg a.
x
0
f
= ( x)
0 x
y
a
рис. 11.3

187
проиЗВоДная и  интеграл
Пример 3. Найти f′(1) для функции f(x ), график которой
изображён на рис. 11.4.
рееение.
  В данном случае a  = 180 ° – 45 °  = 135 °;
f ′(1)  = tg 135 ° = –1.
0 x
y 1 45
°
рис. 11.4
Ответ: –1.
11.5. ФизиЧеский смысл произВодной
Производная функции является скоростью изменения этой
функции при изменении аргумента. если s = s(t ) — зависимость пройденного пути от време-
ни при прямолинейном движении, то зависимость скорости от времени выражается формулой: v = s ′( t ).
Мгновенная скорость в момент времени t
0 равна
s′( t
0).
Пример 4. Материальная точка движется по прямой по за-
кону s = t 3
+ 4 t2
+ 3 t + 1 ( s измеряется в метрах, t — в секунда).
Найти скорость в момент времени t = 3 с.
рееение.
  Используя таблицу производных (см. с. 183)
и правила дифференцирования, получаем:
v(t ) = s ′( t ) = (t3
)′ + 4 ⋅ ( t2
)′ + 3 ⋅ t ′ + 1 ′ =
=  3t2
+ 4 ⋅ 2 t + 3 ⋅ 1 + 0  =  3t2
+ 8 t + 3;
v (3)  = s ′(3)  = 3 ⋅ 3 2
+ 8 ⋅ 3 + 3  = 54.
о т в е т.
  54 м/с.
Пример 5. Зависимость пройденного пути от времени при
прямолинейном движении задана графиком на рис. 11.5. Най-ти скорость в момент времени t = 2 с.

188
алгебра
0x
y
2
45
°
рис. 11.5
рееение.
  Скорость в момент времени t = 2 с равна s′(2)
и совпадает с угловым коэффициентом касательной к графику при t = 2:
s′(2)  = tg 45 ° = 1.
о т в е т.
  1 м/с.
11.6. урАВнение кАсАтельной к  грАФику ФункЦии
если функция f(x ) дифференцируема при x = x
0, то к гра-
фику функции в точке с абсциссой x
0 можно построить каса-
тельную, не параллельную оси Oy.
Пример 6. Составить уравнение касательной к графику
функции
yx = в точке с абсциссой x
0 =
4.
рееение.
  Находим f′( x ):

= ()

= =

fx xx
x
()1
2 1
2 1
1
2 1
2 ; == f () .
4 1
24 1
4
Значение функции при x
0 =
4: fx() .
0 42 = =
Уравнение касательной: yx =+
2 1
4 4 () ; y
x =+
4 1.
о т в е т.
  y x =+
4 1.
Пример 7. Касательная к гиперболе y x =2 образует угол
135 ° с осью Ox. Определить координаты точки касания.

189
проиЗВоДная и  интеграл
рееение.
 
=
= =

=
yx xx x
xx
()
() ();
0 1
0 011
02
22
12
=
°
2
135
0 2
x tg
; =
2
1
0 2
x ; x
02
2
= ; x
0 2
=± .
точки 22; () и () 22;.
о т в е т.
  22 ;; () () 22;.
11.7. произВодные суммы, рАзности,
произВедения, ЧАстного
Пример 8. Найти производные функций:
а) y(x ) = x 2
⋅ ln x; б)
yx x x ()
;
= +
+1
32 2 в) yx x () si n .
= 1
рееение.
  Используем таблицу на с. 180 и свойства произ-
водных:
а)
=
+
= +=
yx xx xx xxx
x ()() ln (ln) ln
22
2
2 1
=+
=+
22 1
xx xx x
ln (ln) ;
б)
= +

+ ++
+ =
yx xx
xx
x
()
()
() () ()
()
13
21
32
32
22
22
=+
+
+ = +
+
32
61
32 36
2 32
2
22 2
22
xx
x
x xx
x
()
()
() ;
в) = =
yx x x
x
x ()(sin
) sin
cos
sin . 22
о т в е т.
  а) (l n) ; 21xx+ б) +
+
36
2 32
2
22
xx
x
() ; в) − co
ssin .
xx2
11.8.
произВоднАя сложной ФункЦии
Пример 9. Найти производные функций:
а) y(x ) = cos 2 x; б)
yx x
() ; =+ 2
1 в) y(x ) = 2 tg 3
x
.
рееение.
  Используем правило дифференцирования слож-
ной функции: а) y′( x ) = (cos 2 x)′ = –sin 2 x ⋅ (2 x)′ = –2 sin 2 x;

190
алгебра
б) =+ ()
=
+
+
=
+ =
yx
x
x
x
x
x
() ()
2
22 22 1
1
21
11
21
2
=
+ x
x
; 22 1
в) =
=
=
yx
x x x
xx x
() () ln
cos () ln cos .
tg tg tg
222 1 3 33
22 3
33
2 3
2
о т в е т.
  а) –2 sin 2 x; б) x
x2
1
+ ; в) 32
2
3
3
2
ln
co
s .
tg
⋅ x x
11.9.
исследоВАние ФункЦий
11.9.1. Промежутки монотонности
Для нахождения промежутков монотонности функции ис-
пользуем метод интервалов . Найдя производную, определяют
её нули и точки, в которых производная отсутствует. Найден- ные точки разбивают область определения функции на интер-
валы, на каждом из которых производная сохраняет знак. Для
определения знака производной на каждом интервале выбира-
ют по одной пробной точке и вычисляют в ней производную.
Интервалы, на которых производная положительна, являются
интервалами возрастания, а интервалы, на которых производ-ная отрицательна, — интервалами убывания.
Пример 10. Найти промежутки монотонности функции:
y = x 3
– 3 x2
+ 1.
рееение.
 
D (y ) = (– ∞; +∞ ). y′ = 3x2
– 6 x.
Приравниваем производную к нулю: 3 x 2
– 6 x = 0; x
1 =
0; x
2 =
2.
Производная существует везде. Поэтому на ось наносим
только точки 0 и 2 (рис. 11.6).
y
y

x 0 2
+
+

рис. 11.6

191
проиЗВоДная и  интеграл
Сверху обозначены знаки производной на промежутках
(– ∞; 0); (0; 2); (2; +∞). Снизу указан характер монотонности
функции на этих промежутках («
 » — возрастает; «  » —
убывает). таким образом, функция возрастает на промежутках (– ∞; 0] и [2; +∞), убывает на промежутке [0; 2].
11.9.2. Экстремумы функций
Производная функции в точке экстремума обязательно об-
ращается в нуль, если функция дифференцируема в этой точ-
ке. Однако обратное неверно: из того, что f′( x
0)
 = 0, не следует,
что x
0 — точка экстремума. Действительно, если
f′( x ) = x 3
, то
f ′(0)  = 0, но x = 0 — не точка экстремума.
Для определения точек экстремума следует исследовать
функцию на монотонность и найти точки, в которых функция
непрерывна и при переходе через которые меняется характер монотонности функции.
Пример 11. Найти точки экстремума и значения экстрему-
мов функции: y = x 3
– 3 x2
+ 1.
рееение.
  Функция исследована на монотонность в приме-
ре 10. В точке x = 0 возрастание сменяется убыванием, а в точ-
ке x = 2 убывание сменяется возрастанием. Поэтому x = 0 —
точка максимума, а x = 2 — точка минимума; y(0)  = 1; y(2)  = –3.
о т в е т.
  точка максимума: x = 0, значение максимума: y = 1;
точка минимума: x = 2, значение минимума: y = –3.
11.9.3. Построение графиков функций
Исследование функций и построение графиков проводят по
следующей схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика с координатными осями.
3. Исследовать функцию на чётность (нечётность), периодичность.
4. Найти производную и исследовать функцию на моно- тонность и экстремумы.

192
алгебра
5. Исследовать поведение функции в граничных точках области определения.
6. Построить график.
Пример 12. Исследовать функцию y = x 3
– 3 x2
+ 1 и постро-
ить её график.
рееение.
 
1. D(y ) = (– ∞; +∞ ).
2. y(0)  = 1, поэтому точка пересечения с осью Oy: (0; 1).
Найти точно абсциссы точек пересечения с осью Ox слож-
но, поскольку для этого нужно решить кубическое уравнение:
x3
– 3 x2
+ 1  = 0.
Приближённо можно будет их определить про графику (по-
сле его построения). 3. y(– x) = – x3
– 3 x2
+ 1; y(– x) ≠ y (x ); y(– x) ≠ – y(x ). Функция
общего вида. 4. Исследование функции на монотонность и экстремумы
проведено в примерах 10, 11. 5. Область определения не содержит граничных точек. От-
метим, что при достаточно больших значениях x > 0 функция
может принимать сколь угодно большие положительные зна- чения, а при достаточно больших (по модулю) x < 0 — сколь
угодно большие отрицательные значения. Это записывают так:
li m( );
x fx =
lim( ).
x fx + =+

6. График функции изображён на рис. 11.7. Отметим, что
функция имеет три корня, то есть обращается в нуль в трёх точках ( x
1
≈ –0,53; x
2
≈ 0,65; x
3
≈ 2,9).
y
x
0
–3 1
2
рис. 11.7

193
проиЗВоДная и  интеграл
11.9.4. Наибольшие и  наименьшие значения
функций
Напомним, что если функция f(x ) непрерывна на отрезке
[ a ; b], то есть если
li m( )( )
xx fx fx
=
0 0 для любой точки x
0
∈ [a; b],
то она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наи-
меньшего значений. Эти значения могут достигаться либо в граничных точках отрезка, то есть в точках a, b, либо во
внутренних точках, которые в этом случае будут точками экс-
тремума. В последнем случае производная в этой точке обра-щается в нуль либо не существует. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений не-
прерывной функции на отрезке следует: • найти производную функции;
•  найти точки внутри отрезка, в которых производная об-ращается в нуль либо не существует;
•  вычислить значения функции во всех найденных точках
и в граничных точках отрезка; наибольшее из них и бу-
дет наибольшим значением функции, а наименьшее — наименьшим.
Пример 13. Найти наибольшее и наименьшее значения
функций:
а) f(x ) = x 3
– 3 x2
+ 1, x ∈ [1; 3]; б)
fx x x ()
,
= + +
1
3 2
x ∈ [0; 2].
рееение.
  а) f′( x ) = 3 x2
– 6 x. Приравниваем производную
к нулю:
3x 2
– 6 x = 0; x
1 =
0; x
2 =
2.
точка x = 0 не принадлежит отрезку [1; 3], поэтому рассма-
триваем только точку x = 2:
f (1)  = 1 3
– 3 ⋅ 1 2
+ 1  = –1; f(2)  = 2 3
– 3 ⋅ 2 2
+ 1  = –3;
f (3)  = 3 3
– 3 ⋅ 3 2
+ 1  = 1.
mi n( )( ); [;]
x fx
f
== 13 23 max( )( ). [;]
x fx
f
== 13 31
б) = +
+
+ = +
+
fx
xx
x
x xx
x
()
()
() () .
2
22 2 22
32
1
3 23
3

194
алгебра
Приравниваем производную к нулю:
+
+ =
xx
x
2
2223
3 0
() ;
x 2
+ 2 x – 3  = 0; x
1 =
–3; x
2 =
1.
точка x = –3 не принадлежит отрезку [0; 2], поэтому рас-
сматриваем только точку x = 1:
f() ;
0 01 03
1
3 2
=
+
+ = f () ;
1 11 13
1
2 2
=
+
+ = f () .
2 21 23
3
7 2
=
+
+ =
mi n( )( ); [;]
x fx
f
== 02 0
1 3 ma
x( )( ). [;]
x fx
f
== 02 1
1 2
о т в е т.
  а) min f(x ) = f (2)  = –3; max f(x ) = f (3)  = 1 для x ∈ [1; 3];
б)
mi n( )( ); fx f
= = 0 1 3 ma
x( )( )
fx f
= = 1 1 2 для
x ∈ [0; 2].
Пример 14. Каких размеров должна быть комната объё-
мом V с квадратным полом для того, чтобы на её облицовку
ушло как можно меньше материала?
рееение.
  Пусть размеры комнаты x × x × y. тогда V = x 2
y , то
есть
y V x =
2.
По условию площадь полной поверхности комнаты, пред-
ставляющей собой прямоугольный параллелепипед, должна иметь наименьшее значение. Эта площадь равна:
Sx xyxV
x
=+ =+


22
22 22 ()
;
=


Sx
xV
x
()
.
22 2
2
Приравниваем производную к нулю:
22 2
0
2
x V x

=
; x 3
 = V ; xV = 3 .
Определим знаки производной при x > 0 (рис. 11.8).
S
S

x
0+
– 3V
рис. 11.8

195
проиЗВоДная и  интеграл
таким образом, при 03 <
xV функция S(x ) убывает,
а при
xV  3 — возрастает, то есть при xV = 3 достигает на-
именьшего значения. Итак,
xV = 3
; y V x V
= =
2 3
.
о т в е т.
  VVV
333 ××
.
Пример 15. Зависимость объёма добычи щебня y (т/ч) от
количества вложенного труда x (чел/ч) выражается форму -
лой
yx = 6. Цена щебня 200 руб/т, зарплата рабочего
100 руб/ч. Кроме зарплаты другие издержки не учитывают -
ся. При каком количестве рабочих прибыль от продажи бу -
дет наибольшей?
рееение.
  если число рабочих равно x, то прибыль равна
Px xx xx () ;
= =
20 06 100 1200 100 = Px
x
() .
600
100
Приравниваем производную к нулю:
600 100 0
x=
; x
=6; x  = 36.
Определяем знаки производной (очевидно, x  0):
P
P

x 0+
– 36
рис. 11.9
таким образом, функция P(x ) возрастает при 0  x  36
и убывает при x  36, то есть достигает наибольшего значения
при x = 36:
ma x( )( ). xPx
P0 36 3600 = =
о т в е т.
  36 рабочих.
11.10. перВообрАзнАя. неопределённый интегрАл
Пример 16. Найти неопределённые интегралы:
а)
x x dx +


3
2 1
2
co s ; б) 52
1
31 47
+
++



x x xd
x
co s.

196
алгебра
рееение.
  Используем таблицу (с. 183) и свойства неопреде-
лённого интеграла (с. 183–184).
а)
x x dx xdx x dx dx
+

= +=
3
2 13
1
2 1
2 1
2 2
co
sc os
= + += + +
xx
xC xx
xC
3
2 3
3
2
3 2
2 2
3 32
2
tg tg
;
б) 521
31 47
52 1
31
+
++



=
+
+ + xx
x xdxd x x dx
co s
+ =
+ + ++
47 52 2
31
3
47
7 cos ln
ln
sin
.
xd x xx C
x
о т в е т.
  а) 2
3
32
2
3xx
xC
+ +
tg
; б) 52
2
31
3
47
7
+ + ++
x xx C ln
ln
sin
.
11.11. определённый интегрАл
Пример 17. Вычислить: а)
xdx
2
2
3

; б) (s
in ).
xxdx

2
0
2
рееение.
  а) xdx x
2
2
3 3
2
3
33
3 3
3 2
3 9
8
3 35
3


==

=+ =
()
;
б) (sin) cos . xx
dxxx
= +



=


=

2
22
28 1 2128
1
0 2
2
2
0
22


о т в е т.
  а) 35
3 ; б) 2
8 1
.
Площадь S криволинейной трапеции (фигуры, ограничен-
ной графиком непрерывной на отрезке [ a; b] функции f(x ),
f (x )  0, осью Ox и прямыми x = a , x = b ) вычисляется по фор-
муле (рис. 11.10):
Sf xdx
a
b
= ()
.

197
проиЗВоДная и  интеграл
y = f (x )
y
y
b
a S
0
рис. 11.10
На рис. 11.11 показано вычисление площадей фигур, сво-
дящихся к криволинейным трапециям или их комбинациям:
а)
Sf xdxg xdx
a b
c
b
= () () ; б) Sfxdx
a b
= ()
;
в) Sf xdxg xdx
a c
c
b
=+ () () ; г) Sfxgxdx
a b
= ((
)( )).
y = f (x )
y
x
b
a
0
y = g (x )
c
y = f (x )
y
x
b
a
0
S
а ) б)
y = f (x )
y = f (x )
y
x
b
c
a
0
y = f (x )
y
x
b
a
S
0
y = g (x )
в ) г)
рис. 11.11

198
алгебра
Пример 18. Вычислить площади фигур, ограниченных:
а) линиями: y = sin x; y = 0; p  x  2 p;
б) линиями: y = x 2
; y = x + 2.
рееение.
  а) На рис. 11.12 заштрихована искомая площадь:
Sx dxx
= == ==
sin
cos cos cos ().




2
221
12
б) На рис. 11.13 заштрихована искомая площадь. Для оп-
ределения пределов интегрирования найдём абсциссы точек пересечения графиков:
x2
 = x + 2; x2
– x – 2  = 0; x
1 =
–1; x
2 =
2.
Sx xdx x
xx
=+ = +



=+







()
2
22
3 24
8
3
2
1
2
23
1
2

+



=
1
2 2
1
3 45 ,.
о т в е т.
  а) 2; б) 4,5.
y
x
0 π
2π y = x 2y
y
0 y
= x + 2
–1
–2 2
2
рис. 11.12 рис. 11.13
если тело совершает прямолинейное движение со скоро-
стью, зависящей от времени по закону v = v (t ), то путь, прой-
денный за время от момента t = t
1 до момента
t = t
2, вычисля-
ется по формуле:
sv tdt
t
t
= ()
.
1
2

199
проиЗВоДная и  интеграл
Пример 19. тело движется по прямой со скоростью
v (t ) = t 2
+ 3 t +  1 (м/с). Определить путь, пройденный за время от
t  = 0 с до t = 2 с.
рееение.
 
st ydttt
t
=+ +=++


=+
+=
()
.
2
0
2
32
0
2
31 33
2 8
3 62
102
3
о т в е т.
  10 2 3 м.
типовые задания Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x ; y = x 2
; x = 3.
рееение.
` На рис. 11.14 изображена соответствующая
фигура.
y = x 2
y
y
0 y
= x
3
1
рис. 11.14
Sx xdx xx
= =


=





=
() 2
1
3
32
13
32
32
32 3
3 3
2 1
3 1
2
=+ ==
9 2 1
6 14
3 4
2
3 .
о т в е т.
` 4 23.

алгебра
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x ) = x + cos 2 x на отрезке
0
4;.



рееение.
` f′( x ) = 1 – 2 sin 2 x. Приравниваем производ-
ную к нулю:
1 – 2 sin 2 x = 0;
sin;2 1 2 x
=
x


0
4 ;; 2 6 x= ; x=
12 .
f (0)  = 0 + cos 0  = 1;
f

12 12 612 3
2 11
3



=+ =+

co s, ;
f

44 2407
9



=+
=
co s, .
о т в е т.
` mi n( ); fx f
=


=
44 ma x( )
fx f
=
=+

12 12 3
2
для
x
0
4 ;.

Геометрия

202
13. треуГольник.
ЧетырёхуГольник
Правила и определения 
 Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из
трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрез- ков, попарно соединяющих эти точки.

 точки называются вершинами треугольника, а отрез-
ки — его сторонами. Стороны треугольника часто обо-
значают строчными буквами, которые соответствуют за-главным буквам противоположных вершин.

 если все три угла острые (рис. 13.1), то такой треуголь-ник называется остроугольным. если один из углов пря-
мой (рис. 13.2, ∠C), то это прямоугольный треугольник;
стороны a, b, образующие прямой угол, называются кате-
тами ; сторона c, противоположная прямому углу, назы-
вается гипотенузой . если один из углов тупой (рис. 13.3,
∠ C), то такой треугольник называется тупоугольным.
C A
B
a c
b C A
B
a c
b C A
B
a c
b
рис. 13.1 рис. 13.2 рис. 13.3

203
Треугольник. ЧеТырёхугольник

 треугольник ABC (рис. 13.4) называется равнобедрен-
ным , если две его стороны равны ( a = с ). Равные стороны
называются боковыми, третья сторона называется осно-
ванием треугольника.

 треугольник ABC (рис. 13.5) называется равносторонним
(правильным) , если все его стороны равны ( a = b  = c ).
C
A B
a
c
b
C
A B
a
c
b
рис. 13.4
рис. 13.5

 Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный
из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение).

 три высоты треугольника всегда пересекаются в одной
точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр
остроугольного треугольника (точка O, рис. 13.6) распо-
ложен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного
треугольника (точка O, рис. 13.7) — снаружи. Ортоцентр
прямоугольного треугольника совпадает с вершиной пря-мого угла.
C
A B E
F D
O
A
B
C
O D
F
E
рис. 13.6
рис. 13.7

204
геомеТрия
A
BC
FD
E O
A
B
C
FD
E A O
рис. 13.8 рис. 13.9

 Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий лю-
бую вершину треугольника с серединой противополож- ной стороны.

 три медианы треугольника пересекаются в одной точке (точка O, рис. 13.8), всегда лежащей внутри треугольни-
ка и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит
каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

 Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы
угла треугольника (то есть луча, делящего угол попо-
лам), соединяющий его вершину с точкой пересечения с противоположной стороной.три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (точка O, рис. 13.9), всегда лежащей внутри тре-
угольника и являющейся центром вписанной окружно-сти (см. раздел 14, тема «Окружность, вписанная в тре-
угольник, и окружность, описанная около треугольника»).

 Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая
через середину отрезка перпендикулярно к нему.три серединных перпендикуляра треугольника пересека -
ются в одной точке (точка O, рис. 13.10), являющейся
центром описанной окружности (см. раздел 14). В остро -
угольном треугольнике эта точка лежит внутри треуголь -
ника (рис. 13.10), в тупоугольном — снаружи (рис. 13.11), в прямоугольном — это середина гипотенузы (рис. 13.12).

 Средней линией треугольника называется отрезок, соеди-
няющий середины двух его сторон. Средняя линия тре-угольника параллельна одной из его сторон и равна по -
ловине этой стороны (рис. 13.13). KL — средняя линия.

205
Треугольник. ЧеТырёхугольник
B
K
A MC
L
O
B
K
A
M C L
O
B
A
M
C LO
O
L
рис. 13.10 рис. 13.11 рис. 13.12

 Равными называются треугольники, которые можно совме -
стить движением (поворотом и параллельным переносом).

 треугольники называются подобными, если они перево-
дятся один в другой с помощью преобразования подобия. Обозначение: DABC
" D A
1B
1C
1.

 Четырёхугольником называется фигура, состоящая из
четырёх точек (вершин) и четырёх последовательно со-
единяющих их отрезков (сторон). При этом никакие три
из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяю-щие их отрезки не пересекаются.

 Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся со-
седними, также называются противоположными.

 Четырёхугольники бывают выпуклые (рис. 13.14) и не-
выпуклые (рис. 13.15).

 Параллелограммом называется четырёхугольник, у ко-
торого противоположные стороны попарно параллельны ( AB || CD ; BC || AD , рис. 13.16). Расстояние между про-
тивоположными сторонами параллелограмма называется высотой (BE — между сторонами BC и AD , рис. 13.16).
A B
C
K L A
B
C
D A
B
C D
рис. 13.13 рис. 13.14 рис. 13.15

206
геомеТрия
AB C
D
E O A
B C
D AB C
D
рис. 13.16 рис. 13.17 рис. 13.18

 Отрезки AC, BD называются диагоналями.

 Прямоугольником называется параллелограмм, у кото-
рого все углы прямые (рис. 13.17).

 Ромбом называется параллелограмм, все стороны которо-
го равны (рис. 13.18).

 Квадратом называется прямоугольник с равными сторо-
нами, то есть одновременно прямоугольник и ромб (рис. 13.19).

 Трапецией называется четырёхугольник, у которого две
противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны (рис. 13.20).

 Параллельные стороны трапеции называются её основа-
ниями , а непараллельные — боковыми сторонами.

 Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, назы-вается средней линией . Она параллельна основаниям, её
длина равна их полусумме ( MN, рис. 13.20).

 трапеция называется равнобокой, если её боковые сторо-
ны равны.

 трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис. 13.21).
A
B C
D AB C
D
N
M A
B
C
D
рис. 13.19 рис. 13.20 рис. 13.21

207
Треугольник. ЧеТырёхугольник
основные формулы

hНахождение высот треугольника (рис. 13.22)
h a =
AD  = b ⋅ sin ∠C = c ⋅ sin ∠B;
h b =
BE  = c ⋅ sin ∠A = a ⋅ sin ∠C;
h c =
CF  = a ⋅ sin ∠B = b ⋅ sin ∠A.

hНахождение медиан треугольника (рис. 13.23)
mA Db cb cA a==
++ 1
2 2
22
co s;
mBEa ca cB b==
++ 1
2 2
22
co s;
mCFa ba bC c==
++ 1
2 2
22
co s.

hНахождение биссектрис треугольника
lA D bc bc
A
a ==
+
2 2 co s;
lB E ac ac
B
b ==
+
2 2 co s;
lC F ab ab
C
c ==
+ 2
2 co s.

hТеорема Пифагора (см. рис. 13.2)
c 2
 = a 2
+ b 2
,
где a, b — катеты прямоугольного треугольника, c — его
гипотенуза.

hСоотношения сторон прямоугольного треугольника
a = c ⋅ sin ∠A = c ⋅ cos ∠B;
b  = c ⋅ sin ∠B = c ⋅ cos ∠A;
a  = b ⋅ tg ∠A = b ⋅ ctg ∠B;
b  = a ⋅ tg ∠B = a ⋅ ctg ∠A (см. рис. 13.2). A
B
E
F
D
c
a
C
b
рис. 13.22
A B
E
F
D
C
рис. 13.23

AB
F
C
D
E
рис. 13.24

208
геомеТрия

hТеорема косинусов
c2
 = a 2
+ b 2
– 2 ab ⋅ cos ∠C,
где a, b, c — стороны треугольника; ∠C — угол между
сторонами a и b.

hТеорема синусов
ab c
R
si ns insin ,

==
=2
где a, b, c — стороны треугольника, a, b, g — углы, про-
тиволежащие этим сторонам; R — радиус описанной
окружности.

hФормулы для вычисления площадей см. в разделе 19.
объяснение и важные примеры 13.1. Треугольник
13.1.1. основные свойства треугольников
1. Против большей стороны в любом треугольнике лежит бо льший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
3. В равностороннем треугольнике все углы равны.
4. Сумма углов любого треугольника равна 180 °.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух дру- гих сторон и больше их разности.
Из свойств 3 и 4 следует, что каждый из углов в равносто-
роннем треугольнике равен 60 °.
Продолжив одну из сторон треугольника ( AC, рис. 13.25), по -
лучим внешний угол ∠ BCD — смежный с углом при вершине C;
∠ BCD  = 180 ° – ∠C.
A
B
C D
A
B
C D
A
B
C
D
а
) б)
рис. 13.25 рис. 13.26

209
Треугольник. ЧеТырёхугольник
Внешний угол треугольника равен сумме внутренних
углов, не смежных с ним:
∠BCD  = ∠ A +∠ B.
13.1.2. Признаки равенства треугольников
Два треугольника равны, если:
1) две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника;
2) сторона и два прилежащих к ней угла одного треуголь-
ника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника;
3) три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника.
Пример 1. Равны ли треугольники: а) по двум сторонами
и углу; б) по стороне и двум углам?
рРеРенР.
  а) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC,
в котором AB = AC (рис. 13.26, а). Очевидно, стороны AB и AD
треугольника ABD равны сторонам AC и AD треугольника ACD,
угол при вершине D для них общий. Вместе с тем CD > BD .
Значит, DABD ≠ D ACD .
б) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
(рис. 13.26, б), в котором ∠ACB  = 90 ° и AC ≠ BC , CD — вы-
сота. тогда CD — общая сторона треугольников ACD и BCD ;
∠ ADC  = ∠ BDC  = 90 °; ∠ ACD  = ∠ DBC  = 90 ° – ∠BAC , но DACD ≠ D BCD
(так как AC ≠ BC ).
о О т Р О.
  а) нет; б) нет.
13.1.3. Признаки равенства прямоугольных
треугольников
Два прямоугольных треугольника равны, если:
1) два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника;
2) катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника;

210
геомеТрия
3) гипотенуза и острый угол одного треугольника рав-ны соответственно гипотенузе и острому углу другого треугольника;
4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника;
5) катет и противолежащий острый угол одного треуголь- ника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого треугольника.
Пример 2. Дан равнобедренный DABC , AB  = BC , AD и CE —
его высоты (рис. 13.27). Доказать, что AD = CE .
рРеРенР.
  треугольники ADC и CEA — прямоугольные, так
как AD и CE — высоты DABC .
Рассмотрим прямоугольные треуголь -
ники ADC и CEA : AC — общая гипоте -
нуза, ∠A = ∠ C (как углы при основании
равнобедренного треугольника). Значит, D ADC  = AEC (по гипотенузе и острому
углу). Поэтому AD = CE , что и требовалось
доказать.
13.1.4. Подобие треугольников
Пусть на плоскости дана геометрическая фигура Ф (рис. 13.28).
Преобразование гомотетии фигуры Ф с центром в точке O и ко -
эффициентом k осуществляется следующим образом.
Из точки O через каждую точку A фигуры Ф проводит-
ся луч OA, на котором откладывается отрезок OA
1 так, что
OA 1 =
k ⋅ OA .
Все точки A
1, полученные таким обра-
зом, составляют фигуру Ф 1, гомотетичную
фигуре Ф относительно точки O с коэф-
фициентом k (на рис. 13.28 коэффициент
k > 1, точка O расположена вне фигуры Ф;
на самом деле k может принимать любое
положительное значение, а точка O может
быть расположена и в пределах фигуры). A
B
E
D
C
рис. 13.27

A
A 1 Ф Ф
1
O
рис. 13.28

211
Треугольник. ЧеТырёхугольник
Фигуры называются подобными, если одна из них может
быть получена из другой преобразованием гомотетии и движе- нием (то есть поворотом и параллельным переносом).
Прнзеакн подобня ОрРугольенкот
1. Два треугольника подобны, если два угла одного тре- угольника равны двум углам другого треугольника.
2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
3. Два треугольника подобны, если три стороны одного
треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника.
Прнзеакн подобня прямоугольеых ОрРугольенкот
1. Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по одному равному острому углу.
2. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного из них соответственно пропорциональны катетам другого.
3. Два прямоугольных треугольника подобны, если катет и гипотенуза одного из них соответственно пропорцио-нальны катету и гипотенузе другого.
Отметим, что треугольник с соответственно параллельны-
ми сторонами подобны (рис. 13.29). В подобных треугольниках соответствующие отрезки (вы-
соты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.
A B
CA1 B
1
C1
рис. 13.29 . DABC " D A
1B
1C
1

212
геомеТрия
Отношение площадей подобных треугольников равно ква-
драту коэффициента подобия:
S
S k
1
2
= , если AB
AB
AC
AC
BC
BC k
11
11 11
= = =.
Пример 3. Дано: DABC " D A
1B
1C
1;
A
1B
1 =
3 см; B
1C
1 =
7 см;
A 1C
1 =
5 см; BC = 14 см. Найти: AB и AC .
рРеРенР.
 
BC
BC 11 14
7 2
= = . Значит, AB
AB AC
AC
11 112
= = .
таким образом: AB = 2 ⋅ 3  = 6; AC = 2 ⋅ 5  = 10.
о О т Р О.
  6 см; 10 см.
Пример 4. Основание треугольника 7 см, а высота, проведён-
ная к этому основанию, 3 см. В треугольник вписан квадрат
так, что две его вершины лежат на основании, а две другие — на боковых сторонах. Найти сторону квадрата.
рРеРенР.
  Поскольку MN || AC (рис. 13.30), то DABC " D MBN .
тогда
AB
MB
AC
MN
BC
BN
BE
BD = = =. Пусть DE = MN  = x . тогда BD = 
= 3 – x; AC  = 7.
Поскольку
AC
MN
BE
BD = , 73
3 xx = . 7 ⋅ (3 – x) = 3 x; 21 – 7 x = 3 x;
10 x = 21; x = 2,1.
о О т Р О.
  2,1 см.
Пример 5. В треугольнике ABC с острым углом C проведены
высоты AD и BE . Доказать, что DABC " D DEC .
рРеРенР.
  У треугольников ABC и CED угол C общий
(рис. 13.31). Из DADC :
DC
AC =co s. Из DECB : EC
BC =co s.
таким образом, стороны, прилежащие к углу C, у этих тре-
угольников пропорциональны. Значит, DABC " D EDC (по двум
сторонам и углу), что и требовалось доказать.
Пример 6. Какую часть площади, считая от вершины, отсе-
кает средняя линия треугольника?

213
Треугольник. ЧеТырёхугольник
AED C
N
M
K
L B
AE
D
C
B
a
A
C
B
A
1 C
1
рис. 13.30 рис. 13.31 рис. 13.32
рРеРенР.
  Средняя линия отсекает от треугольника подоб-
ный ему треугольник ( DA
1BC
1
" D ABC ; рис. 13.32) с коэффици-
ентом
1
2 . Поэтому S
S AB
C
ABC

11
2
1 2 1
4
=



=
.
Ответ: 1
4 .
13.1.5.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы
равен сумме квадратов длин катетов.
обраОеая ОРорРма Пнфагора
если сумма квадратов длин двух сторон треугольника рав-
на квадрату длины третьей стороны, то этот треугольник пря- моугольный.
Пример 7. Один из катетов прямоугольного треугольника
на 10 см больше другого и на 10 см меньше гипотенузы. Найти длину гипотенузы.
рРеРенР.
  Пусть больший из катетов равен x см. тогда мень-
ший катет равен ( x – 10) см, а гипотенуза равна ( x + 10) см. По
теореме Пифагора:
(x – 10) 2
+ x 2
 = (x + 10) 2
; x2
– 20 x + 100 + x 2
 = x 2
+ 20 x + 100;
x 2
– 40 x = 0; x
1 =
0; x
2 =
40.
Очевидно (по смыслу задачи), x ≠ 0. Значит, x = 40;
x + 10  = 50.
о О т Р О.
  50 см.

214
геомеТрия
Пример 8. Катеты прямоугольного треугольника относят-
ся как 3 : 7, а высота, проведённая к гипотенузе, равна 42 см.
Найти отрезки, на которые высота делит гипотенузу.
рРеРенР.
  Площадь треугольника ABC (см. раздел 19) рав-
на, с одной стороны, половине произведения катетов, а с дру-
гой стороны, половине произведения гипотенузы на проведён-ную к ней высоту:
1
2
1
2 AC BC ABCD
= ; AC ⋅ BC  = AB ⋅ CD (рис. 13.33).
Пусть AC = 3 x; BC  = 7 x.
По условию CD = 42:
3 x ⋅ 7 x = AB ⋅ 42;
AB x
= 2 2 .
По теореме Пифагора:
() ()
;
37
2
22
2
2
xx x
+=

58 4
2 4
x x
= ;
x2
 = 232; AB x
= = 2 2 116.
Применим теорему Пифагора к
DADC и DBDC :
AD 2
+ CD 2
 = AC 2
; BD 2
+ CD 2
 = BC 2
.
Откуда: BD 2
– AD 2
 = BC 2
– AC 2
 = (7 x)2
– (3 x)2
 = 40 x2
 = 40 ⋅ 232;
( BD – AD ) ⋅ ( BD + AD ) = 40 ⋅ 232; ( BD – AD ) ⋅ 116  = 40 ⋅ 232;
BD – AD  = 80; BD + AD  = 116; AD = 18; BD = 98.
о О т Р О.
  18 см и 98 см.
Пример 9. Найти площадь треугольника, две стороны кото-
рого равны 6 см и 8 см, а медиана, заключённая между ними, равна 5 см.
рРеРенР.
  Пусть M — середина стороны BC (рис. 13.34);
AB  = 6; AC = 8; AM = 5. Достроим DABC до параллелограм-
ма ABDC . Диагонали параллелограмма делятся точкой пере-
сечения пополам. Значит, AD = 2 ⋅ 5  =  10. Поскольку AB = 6;
BD  = AC  = 8; AD  = 10, верно равенство AD2
 = AB 2
+ BD 2
. По обрат-
ной теореме Пифагора DABD — прямоугольный, а значит,
и DABC — прямоугольный, причём AB и BC — катеты.A
C
B
D
рис. 13.33

215
Треугольник. ЧеТырёхугольник
A
B M
D C
A
B
D
C
рис. 13.34 рис. 13.35
Значит,
S ABC
=
=
1 2 68
24.
о О т Р О.
  24 см2
.
13.1.6. Свойство биссектрисы треугольника
Биссектриса треугольника делит сторону на части, пропор-
циональные прилегающим сторонам (рис. 13.35):
BD
DC
AB
AC = .
Пример 10. В треугольнике ABC проведена биссектриса, ко-
торая делит сторону BC на части BD и DC. Найти BD и DC,
если AB = 5 см; AC = 7 см; BC = 6 см.
рРеРенР.
  По свойству биссектрисы:
BD
DC
AB
AC = =5 7.
Пусть
BD = 5 x; DC  = 7 x.
тогда BC = BD + DC  = 12 x. 12 x = 6; x = 0,5. 5 x = 2,5; 7 x = 3,5.
о О т Р О.
  2,5 см и 3,5 см.
13.1.7. решение треугольников
Основными элементами треугольника называются его сто-
роны и углы.
Решить треугольник означает по трём основным элементам
треугольника найти три других его основных элемента, причём среди заданных элементов должна быть хотя бы одна сторона. При решении треугольников используются теоремы коси-
нусов и синусов.

216
геомеТрия
Пример 11. В DABC : AB  = 5; ∠A = 45 °; ∠ B = 60 °.
Найти: AC; BC ; ∠ C.
рРеРенР.
  ∠A + ∠ B + ∠ C = 180 °;
∠ C = 180 ° – 45 ° – 60 ° = 75 °.
По теореме синусов:
AB
C
AC
B
BC
A
si ns insin . = =
Отсюда:
ACAB
B
C
=

=
°
°=
°+ °=
sin
sin sin
si ns in ()
560
75 5
3
2
45 30
=
° °+° ° =

+



53
24 53 04 530 53
2 2
2 3
2 2
2 1
2
(sin
cosc ossin) ==
=
+=
() = () 10
3
62 10
36 2
4 53 26
2
;
BC
AB
A
C
=

=
°
°=

+


=
sin
sin sin
sin
54
5
75 52
2 2
2 3
2 2
2 1
2
= +=
() = () =
() 102
62 10
26 2
4 10
23 2
4 53 1.
о О т Р О.
  53 26
2
() ; 53 1() ; 75°.
Пример 12. В DABC : AB  = 3; AC  = 5; BC  = 7. Найти: ∠A; ∠ B; ∠ C.
рРеРенР.
  По теореме косинусов:
AB 2
 = AC 2
+ BC 2
– 2 AC ⋅ BC ⋅ cos ∠C;
AC 2
 = AB 2
+ BC 2
– 2 AB ⋅ BC ⋅ cos ∠B;
BC 2
 = AB 2
+ AC 2
– 2 AB ⋅ AC ⋅ cos ∠A.
co s;= + =
C 57
3 257
13
14
22 2
co s;=+ =
B 37
5 237
11
14
22 2
co s.=+ =
A 35
7
23 5 1
2
222
A C
B
рис. 13.36

217
Треугольник. ЧеТырёхугольник
∠A = 120 °; = ° B arcco s;11
14 38 = ° Carcco s.13
14 22
Достаточно было бы вычислить два угла (например, ∠A
и ∠B), а третий угол:
∠C = 180 ° – ∠A – ∠B ≈ 22 °.
о О т Р О.
  120°; ≈ 38 °; ≈ 22 °.
Пример 13. В DABC : AB  = 5; AC = 8; ∠A = 60 °. Найти: BC;
∠ B; ∠ C.
рРеРенР.
  По теореме косинусов:
BC 2
 = AB 2
+ AC 2
– 2 AB ⋅ AC ⋅ cos ∠A;
BC 2
25 6425 81 2 49
=+ =; BC  = 7.
AC 2
 = AB 2
+ BC 2
– 2 AB ⋅ BC ⋅ cos ∠B;
64  = 25 + 49 – 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ cos ∠B;
co s;= B 1
7 = ° B arcco s;1
7 82
∠ C = 180 ° – ∠A – ∠B ≈ 38 °.
о О т Р О.
  7; ≈ 82 °; ≈ 38 °.
Пример 14. В DABC : AB  = 3; AC = 4; ∠C = 30 °. Найти: BC;
∠ A; ∠ B.
рРеРенР.
  По теореме синусов:
AB
C
AC
B
BC
A
si ns insin ; = = 3
30
4
sins insin ; °= =
B
BC
A
4
6
sin ; = B sin;=B 2 3 = ° B
arcsin ;
2 3 42
∠ A = 180 ° – ∠B – ∠C ≈ 108 °.
BC
A sin ; =
6 BC ≈ 6 ⋅ sin 108 ° ≈ 5,7.
о О т Р О.
  ≈ 5,7; ≈ 108 °; ≈ 42 °.

218
геомеТрия
13.2. ЧеТырёхугольник
13.2.1. Параллелограмм
СтойсОта параллРлограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма равны (AB  = CD ; AD  = BC ; см. рис. 13.16).
2. Противоположные углы параллелограмма равны (∠ A = ∠ C; ∠ B = ∠ D ).
3. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересече- ния пополам ( AO = OC ; BO  = OD ).
4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 °.
5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех сторон.
Прнзеакн параллРлограмма
1. если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то такой четырёхугольник явля- ется параллелограммом.
2. если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны ( AB = CD ; AD  = BC , см. рис. 13.14), то он
является параллелограммом.
3. если противоположные углы четырёхугольника
попарно равны ( ∠A = ∠ C; ∠B = ∠ D ), то он является
параллелограммом.
4. если диагонали четырёхугольника в точке пересечения делятся пополам ( AO = OC ; BO  = OD ), то он является
параллелограммом.
Пример 15. Найти большую диагональ параллелограмма
ABCD , если его стороны относятся как 2 : 3, а перпендикуляр
AM , проведённый к меньшей диагонали,
делит её на отрезки 8 см и 28 см.
рРеРенР.
  Пусть AB = 2 x; AD  = 3 x
(рис. 13.37).
По теореме Пифагора:
AM 2
+ BM 2
 = AB 2
; AM 2
+ MD 2
 = AD 2
.
Вычитаем первое равенство из второго: A
B
M
D C
рис. 13.37

219
Треугольник. ЧеТырёхугольник
MD2
– BM 2
 = AD 2
– AB 2
;
28 2
– 8 2
 = (3 x)2
– (2 x)2
;
5 x 2
 = 720; x2
 = 144.
По свойству 5 параллелограмма: 2(AB 2
+ AD 2
) = AC 2
+ BD 2
;
AB  = 2 x; AD  = 3 x; BD  = 8 + 28  = 36;
26 x2
 = AC 2
+ 36 2
;
AC 2
 = 26 ⋅ 144 – 36 2
 = 17 ⋅ 144;
AC =12 17.
о О т Р О.
  12 17 см.
13.2.2. Прямоугольник
СтойсОта прямоугольенка
1. Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
2. Диагонали прямоугольника равны.
3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме ква- дратов его сторон.
Очевидно, прямоугольник обладает также всеми свойства-
ми параллелограмма.
Прнзеакн прямоугольенка
1. если один из углов параллелограмма прямой, то это — прямоугольник.
2. если диагонали параллелограмма равны, то
это — прямо угольник.
Пример 16. Найти площадь прямоугольника, если длина
его диагонали 16 см, а угол между диагоналями 16 °.
рРеРенР.
 
∠ AOB  = 60 °; BD  = 16 см (рис. 13.38).
Рассмотрим DAOB . Поскольку диа-
гонали прямоугольника равны и делят-ся точкой деления пополам, AO = OB , то
есть DAOB — равно бедренный. Посколь-
ку ∠AOB  = 60 °, DAOB — равносторонний,
то есть AB
DC
O
рис. 13.38

220
геомеТрия
ABOB BD
= = =
1 2 8.
По теореме Пифагора:
AD
BDAB
= ==
22
22
16 88 3.
По формуле площади прямоугольника:
SABAD
= ==
88 36 43 .
о О т Р О.
  64 3 см2
.
13.2.3. ромб
СтойсОта днагоеалРй ромба
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются
биссектрисами углов ромба.
Пример 17. Диагонали ромба равны 24 см и 70 см. Найти
сторону ромба.
рРеРенР.
  Воспользуемся свойством ди-
агоналей ромба (рис. 13.39):
BO ^ OA ;
BO = =
1 2 24
12;
OA = =
1 2 70 35.
По теореме Пифагора:
AB
BOOA
=+ =+=
22
22
12 35 37.
о О т Р О.
  37 см.
Квадрат является прямоугольников и ромбом одновремен-
но, поэтому он обладает всеми их свойствами.
13.2.4. Трапеция
СтойсОта ОрапРцнн
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
A
B D
C
O
рис. 13.39

221
Треугольник. ЧеТырёхугольник
3. если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в трапецию можно вписать окружность.
И наоборот, если в трапецию можно вписать окруж-
ность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон. Радиус вписанной окружности равен половине высоты.
СтойсОта н  прнзеакн ратеобокой ОрапРцнн
1. трапеция равнобокая тогда и только тогда, когда углы при основании равны.
2. трапеция равнобокая тогда и только тогда, когда её диа- гонали равны.
3. трапеция равнобокая тогда и только тогда, когда её боковые стороны, продолженные до пересечения, обра-
зуют вместе с большим основанием равнобедренный треугольник.
4. трапеция равнобокая тогда и только тогда, когда её можно вписать в окружность.
Пример 18. В равнобокой трапеции диагональ является бис-
сектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 5 см и 10 см. Найти периметр трапеции.
рРеРенР.
 
∠ BAC  = ∠ CAD ; EK  = 5;
KF  = 10 (рис. 13.40).
Поскольку ∠DAC  = ∠ ACB (накрест
лежащие углы), ∠BAC  = ∠ ACB , то есть
D ABC — равнобедренный, AB = BC .
Из DABC : EK || BC , E — середина
AB . Значит, EK — средняя линяя
D ABC ,
EK BC
= 1 2 ;
BC  = 2 ⋅ 5  = 10.
Аналогично KF — средняя линия DACD , то есть
AD  = 2 ⋅ 10  = 20.
Поскольку AB = BC , AB  = 10. так как трапеция равнобокая,
CD  = AB  = 10. Итого: P = AB + BC + CD + AD  = 3 ⋅ 10 + 20  = 50.
о О т Р О.
  50 см. A
B
D
C
K
E F
рис. 13.40

222
геомеТрия
Пример 19. Основания равнобокой трапеции равны 11 см
и 21 см, боковая сторона равна 13 см. Найти длину диагонали.
рРеРенР.
  BC = 11; AD = 21; AB = CD  = 13 (рис. 13.41).
Поскольку трапеция равнобокая,
D AEB  = D DFC , то есть AE = FD . От-
сюда
21 = 11 + 2 AE ; AE  = 5; ED =
= EF + FD  = BC + AE  = 11 + 5  = 16.
Из DBEA по теореме Пифагора:
BE AB AE
= ==
22
22
13 51 2.
Из DBED по теореме Пифагора:
BD BEED
=+ =+=
22
22
12 16 20.
о О т Р О.
  20 см.
типовые задания В треугольнике ABC биссектрисы BD и AE пересекаются
в точке O. Вычислить длину стороны AC, если AB = 12 см,
AO : OE  = 3 : 2, AD : DC  = 6 : 7 (рис. 13.42).
рРеРенР.
` Воспользуемся свойством биссектрисы тре-
угольника:
AB : BC  = AD : DC . 12 : BC = 6 : 7;
BC = =
12
7 6 14.
Воспользуемся тем же свойством для DABE :
AO : OE  = AB : BE .
12 : BE = 3 : 2;
BE = =
12
2 3 8;
EC = BC – BE  = 14 – 8  = 6.
Наконец, воспользуемся тем же свойством для биссектрисы AE:
BE : EC  = AB : AC ; 8 : 6  = 12 : AC;
AC = =
12
6 8 9.
о О т Р О.
` 9 см. A
B
D
C
E
F
рис. 13.41
A C
B
O
D E
рис. 13.42

223
Треугольник. ЧеТырёхугольник
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC
основание на 3 см длиннее боковой стороны,
sin.= A 3
5
Найти площадь треугольника. рРеРенР.
` Пусть AB = x (рис. 13.43).
тогда AC = x + 3;
AD x
= +3
2 .
Из DABD : sin;=A 3 5
cos
si n;
22 1
=
AA
co s;= =


=
A AD
AB 1
3
5 4
5
2
x
x
+
=
3
2
4
5; 5(
x + 3)  = 8 x; 5 x + 15  = 8 x; x = 5.
AD AB = = =
4 5
4
5 54 ;
AC
 = 2 ⋅ AD  = 2 ⋅ 4  = 8; BD ABAD
= ==
22
22
54 3
(по теореме Пифагора).
Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту (см. раздел 19):
SACBD
= ==
1
2 1
2 83
12.
о О т Р О.
` 12 см2
.
В прямоугольной трапеции боковые стороны 3 см и 5 см, а меньшая диагональ равна
58 см. Найти периметр тра-
пеции и острый угол при основании.
рРеРенР.
` AB = 3; CD = 5;
AC = 58 (рис. 13.44).
Из DABC по теореме Пифагора:
BC AC AB
= ==
22
58 97 ;
AE = BC  = 7; CE = AB  = 3;
ED CDCE
= ==
22
25 94
(из DCED по теореме Пифагора);
A
C
B
D
рис. 13.43
A C
B
D E
рис. 13.44

геомеТрия
AD = AE + ED  = 7 + 4  = 11;
P  = AB + BC + CD + AD  = 3 + 7 + 5 + 11  = 26;
sin;= =
D CE CD
3
5
∠ D  = arcsin 0,6.
о О т Р О.
` 26 см; arcsin 0,6.
В ажное и интересное

 обраОнм тенмаенР еа еРсколько дополенОРльеых стойсОт чРОырёх­
угольенкот.
Свойство середин сторон четырёхугольника
СРрРднеы сОорое любого тыпуклого чРОырёхугольенка ятляюОся тРрен­
еамн параллРлограмма, площадь коОорого ратеа полотнеР площадн чР­
Оырёхугольенка (рнс. 13.45).
Прямая гаусса
еслн енкакнР сОороеы чРОырёхугольенка еР параллРльеы, Оо сРрРднеа оО­
рРзка, соРднеяющРго Оочкн пРрРсРчРеня проОнтоположеых сОорое, лРжнО
еа прямой, соРднеяющРй сРрРднеы днагоеалРй. ЭОа прямая еазытаРОся
прямой гаусса (рнс. 13.46).
Замечательное свойство трапеции
Точка пРрРсРчРеня днагоеалРй ОрапРцнн, Оочка пРрРсРчРеня продол­
жРенй бокотых сОорое н  сРрРднеы осеотаенй лРжаО еа одеой прямой (рнс. 13.47).
A C
B
D
L
K
M
N
A C
B
D
L
K E
H
F
A
B
D
L O
C
K
E
рис. 13.45
рис. 13.46

H  — сРрРднеа EF;
K  — сРрРднеа AC;
L  — сРрРднеа BD;
KL  — прямая гаусса рис. 13.47

K  — сРрРднеа BC;
L  — сРрРднеа AD

225
14. окружность.
мноГоуГольники
Правила и определения 
 Окружностью называется геометрическое
место точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром
окружности , на положительное расстоя-
ние, называемое её радиусом.
Пример окружности изображён на рис. 14.1. точка O является центром
окружности, отрезок OR — её радиусом.

 Радиусом окружности называется также отрезок, соеди-
няющий центр окружности с одной из её точек.

 Хордой называется отрезок, соединяющий две различ-
ные точки окружности.

 Диаметр — это хорда, проходящая через центр окруж-
ности.

 Любые две различные точки на окружности делят её
на две части. Каждая из этих частей называется дугой
окружности . Мерой дуги может служить мера соответст-
вующего ей центрального угла.

 Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соеди-
няющий её концы, является диаметром.

 Центральный угол, опирающийся на дугу окружности, по длине равную радиусу, принимается за 1 радиан.
R
r
O
рис. 14.1

226
геомеТрия
Длина единичной полуокружности обозначается p
( p = 3,14159…), то есть если принять диаметр окружности
за единицу, то длина окружности — это число p.

 Кругом называется геометрическое место точек плоско-
сти, расстояние от которых до данной точки ( центра)
не больше, чем заданное положительное число ( радиус).
Окружность является границей круга.

 Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой
и стягивающей её хордой.

 Сектором называется часть круга, ограниченная двумя
радиусами.

 Центральный угол — угол с вершиной в центре окруж-
ности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на
которую он опирается. Центральный угол изображён на рис. 14.2.

 Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на
окружности, а стороны пересекают эту окружность. Впи-санный угол изображён на рис. 14.3.

 Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .

 Касательной к окружности называется прямая, имеющая
с окружностью ровно одну общую точку ( точка касания,
рис. 14.4).

 Секущая — это прямая, проходящая через две различные
точки окружности.
O O O
M
рис. 14.2 рис. 14.3 рис. 14.4

 Касающимися называются две окружности, которые
имеют единственную общую точку (точку касания). Ка-
сание может осуществляться внутренним (рис. 14.5, а)
и внешним (рис. 14.5, б) образом.

227
окружноСТь. многоугольники
M M
а ) б)
рис. 14.5

 Окружность называется вписанной в многоугольник ,
если она касается всех его сторон. На рис. 14.6 изображе- на окружность, вписанная в треу-гольник.

 Окружность называется описан-
ной около многоугольника , если
она проходит через все его вер-шины. На рис. 14.7 изображена окружность, описанная около тре-угольника.

 Ломаной линией называется геоме -
трическая фигура, состоящая из n
( n  3) точек плоскости, попарно
соединённых непересекающимися отрезками ( звеньями ломаной), при
этом никакие два отрезка с общим концом не лежат на одной прямой.если вершины ломаной можно пе -
ренумеровать ( A
1,
A
2, …,
A
n) таким
образом, что все её отрезки — это отрезки A
1A
2,
A
2A
3, …,
A
n–1 A
n, то
такая ломаная называется простой
незамкнутой (рис. 14.8; здесь n = 5).
если все отрезки ломаной — это отрезки A
1A
2,
A
2A
3, …,
A
n–1 A
n,
A
nA
1,
то это простая замкнутая ломаная
(рис. 14.9; здесь n = 5).

 Многоугольником называется про-
стая замкнутая ломаная. Вершины C
B
A
O
рис. 14.6
A C
B
O
рис. 14.7
A 1 A
2
A3 A
4
A5
рис. 14.8
A 1 A
2
A 3
A
4
A 5
рис. 14.9

228
геомеТрия
ломаной называются вершинами многоугольника, а от-
резки — сторонами многоугольника.

 Многоугольником называют также часть плоскости, ог -
раниченную простой замкнутой ломаной линией. Саму ломаную называют границей многоугольника, а её
внутреннюю область — внутренней областью много-
угольника.

 Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по
одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторо-ну. На рис. 14.10 изображён выпуклый многоугольник (на рис. 14.9 многоугольник невыпуклый).

 Внешним углом многоугольника называется угол, смеж-
ный с углом многоугольника.

 Многоугольник называется правильным, если все его
стороны равны и все углы равны. На рис. 14.11 изобра-жён правильный шестиугольник.Отметим, что правильный треугольник — это равносто-ронний треугольник, а правильный четырёхугольник — это квадрат.
A 1 A
2
A3
A 4
A
5
рис. 14.10 рис. 14.11
основные формулы

hРадиус окружности, вписанной в треугольник
r S
p pa
pb pc
p
==


() ()
() ,
где pab
c
= ++
2 — полупериметр треугольника, S — его пло-
щадь, a, b, c — стороны.

229
окружноСТь. многоугольники

hРадиус окружности, описанной около треугольника
R aa bc
S
==
24sin ,
где a, b, c — стороны треугольника, a — угол, противоле-
жащий стороне a, S — площадь треугольника.

hПлощадь описанного многоугольника
S = P ⋅ r ,
где P — периметр многоугольника, r — радиус вписан-
ной окружности.

hСумма углов многоугольника

18 02 () n (в градусах);
=
()n 2 (в радианах).

hСумма внешних углов многоугольника

360
âí в градусах);
= 2
âí (в радианах).

hОсновные соотношения в правильном n-угольнике
a n r nn = 2t g; aR n nn=
2s in;

S na
r
nR n nr n na n
nn
nn n
==
= =
2
1
221
4
22 2
si nt gc tg ,


где a
n — сторона правильного
n-угольника, R
n,
r
n — ради-
усы описанной и вписанной окружностей, S — площадь.

hФормулы для длин линий и площадей фигур см. в разде -
ле 19.
объяснение и важные примеры
14.1. ОкружноСТь
14.1.1. основные свойства окружности
1. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стя- гиваемую ею дугу пополам.
2. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. Диаметр, перпендикулярный к хор- де, делит её пополам.

230
геомеТрия
A
B
D
C
A
B
D
C
M
A
B O
C
рис. 14.12
рис. 14.13 рис. 14.14
3. Равные хорды удалены от центра окружности на рав- ные расстояния и, наоборот, хорды, равноудалённые от центра, равны.
4. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны (рис. 14.12).
5. если две хорды AB и CD пересекаются в точке M, то
AM ⋅ MB  = CM ⋅ MD (рис. 14.13).
6. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
7. если A, B , C — точки на окружности (рис. 14.14), O —
центр окружности, то
= °
BA CB OC
18 0 1 2 .
8. Диаметр — это наибольшая хорда окружности.
9. Любая прямая имеет не более двух общих точек
с окружностью.
10. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести ровно одну окружность.
11. Касательная к окружности пер- пендикулярна радиусу, проведён-ному в точку касания.
12. точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры (рис. 14.15).
13. Геометрическим местом точек, из которых отрезок AB виден под пря -
мым углом, является окружность с диаметром AB (без точек A и B).
14. если прямые, проходящие через точку M, касаются окружности
в точках A и B, то MA = MB ,
∠ AMO  = ∠ BMO (рис. 14.16).
O
1 O
2
M
рис. 14.15

M
BA
O
рис. 14.16

231
окружноСТь. многоугольники
14.1.2. Теорема о  касательной и  секущей
если из точки, лежащей вне окружно-
сти, проведены касательная и секущая, то
квадрат длины касательной равен произ-ведению секущей на её внешнюю часть (рис. 14.17):
MA ⋅ MB  = MC 2
.
14.1.3. Теорема о  секущих
если из точки, лежащей вне окружно-
сти, проведены две секущие, то произведе-
ние одной секущей на её внешнюю часть
равно произведению другой секущей на её внешнюю часть (рис. 14.18):
MA ⋅ MB  = MC ⋅ MD .
Пример 1. AB и CD — две параллельные хорды, расположен -
ные по разные стороны от центра O окружности радиусом 15 см,
AB  = 18 см, CD = 24 см. Найти расстояние между хордами.
рРеРенР.
  Диаметр, перпендикулярный
хорде, делит её пополам. Через центр O окружности (рис.14.19)
проведём диаметр, перпендикулярный дан-
ным хордам. Он пересекает хорды AB и CD
в их серединах (соответственно M и N).
Искомое расстояние:
MN OM ON OB MBODND
=+ = +=
22 22
=
+ =+=
15 91 5121 29 21
22
22
.
о О т Р О.
  21 см.
Пример 2. Концы диаметра удалены от касательной
к окружности на 6 см и 18 см. Найти длину диаметра.
рРеРенР.
  Проведём из концов диаметра AB перпендикуля-
ры к касательной (рис. 14.20):
AK = 6; BM  = 18.
M
B AC
рис. 14.17

M
B
A
C
D рис. 14.18
MB
A
C D
NO
рис. 14.19

232
геомеТрия
В прямоугольной трапеции AKMB ра-
диус OL перпендикулярен стороне KM,
то есть параллельный основаниям. так как OL — проходит через середину AB,
OL — средняя линия. По свойству сред-
ней линии трапеции:
RO LAK
BM
== +
2 .
Значит диаметр D  = 2 ⋅ OL  = AK + BM  = 6 + 18  = 24.
о О т Р О.
  24 см.
Пример 3. Радиус окружности равен
2,5 см. Из точки, кратчайшее расстояние
от которой до окружности равно 4 см,
проведена касательная к окружности. Найти длину касательной (рис. 14.21).
рРеРенР.
 
CA  = 4; AO = OB  = 2,5;
CB  = 4 + 5  = 9.
По теореме о касательной и секущей:CM 2
= CA ⋅ CB  = 4 ⋅ 9  = 36; CM = 6.
о О т Р О.
  6 см.
Пример 4. Две хорды пересекаются
в точке E. Отрезки одной хорды равны
12 см и 7 см, один из отрезков другой
хорды равен 14 см. Найти другой отрезок (рис. 14.22).
рРеРенР.
 
AE  = 12; EB = 7; DE = 14.
По свойству пересекающихся хорд (см. свойство 5 в теме
«Основные свойства окружностей», раздел 14): AE ⋅ EB  = CE ⋅ ED ; 12 ⋅ 7  = CE ⋅ 14;
CE  = 6.
о О т Р О.
  6 см. M
B
A
C L
K
O
рис. 14.20
M
B
A
C O
рис. 14.21
D
B A
C
E
рис. 14.22

233
окружноСТь. многоугольники
14.1.4. Окружность, вписанная в  треугольник,
и  окружность, описанная около треугольника
Центр вписанной окружности — точ-
ка пересечения биссектрис треугольника (рис. 14.23). В любой треугольник можно вписать
только одну окружность.
Пример 5. В прямоугольном треу-
гольнике ABC (∠ C = 90 °) с катетами 3 см
и 4 см провели к гипотенузе AB высоту
CH (рис. 14.24). В получившиеся тре-
угольники ACH и BCH вписали две
окружности, которые касаются CH в точ-
ках K и L. Найти длину отрезка KL.
рРеРенР.
 
Пусть AC = 4; BC = 3.
тогда
AB =+ =
43 5
22
; BHBC AB = =2
9 5;
CH BC BH
= =
22
12 5 ; AH AB
BH
= =16 5 .
Обозначим
r
1 и
r
2 радиусы окружностей, вписанных соот-
ветственно в треугольники ACH и BCH .
тогда r
1 =
HK ; r
2 =
HL ; KL  = r
1 –
r
2. По формуле для радиу-
са вписанной окружности:
r 1 16
5 12
5
16
5
12
5 4 4
5
=
++ =
;
r
2 12
5 9
5
12
5
9
5 3 3
5
=
++ =
;
KL = =
4 5
3
5 02,.
о О т Р О.
  0,2 см.
Около любого треугольника можно описать ровно одну
окружность.
Центр описанной окружности — точка пересечения сере-
динных перпендикуляров к сторонам треугольника.
B
A C
O
рис. 14.23

D
B
A
C
B
H
K
L
рис. 14.24

234
геомеТрия
Пример 6. Две стороны треугольника рав-
ны 3 см и 5 см, угол между ними 120 °. Найти
радиус описанной окружности (рис. 14.25).
рРеРенР.
  AB = 3; BC = 5; ∠B = 120 °.
По теореме косинусов:
AC ABBC ABBC B 22 2 2
=+ =
co s
=+



=
92 52 35 1
2 49
; AC  = 7.
По формуле радиуса описанной окружности:
R AC
B
=
==
2 7
3
73
3
sin .
о О т Р О.
  73
3 см.
Пример 7. Пусть O — центр окружности, описанной око-
ло треугольника ABC (рис. 14.26). Найти угол OAC, если:
а) ∠B = 50 °; б) ∠B = 126 °.
рРеРенР.
  Вписанный угол равен половине соответствующе-
го центрального угла. а) Угловая величина дуги AC, не содержащей точки B, рав-
на 2 ⋅ 50 ° = 100 °. Поэтому ∠AOC  = 100 °. Поскольку DAOC рав-
нобедренный ( AO = OC ), то
= ° =° OA CA OC
1 2 18 04 0 () .
б) Угловая величина дуги
AC, не содержащей точки B, рав-
на 2 ⋅ 126 °  = 252 °. Поэтому ∠AOC  = 360 ° – 252 °  = 108 °;
= °° =° OAC 1 2 180 108 36() .
о О т Р О.
  а) 40°; б) 36 °.
B
A C
O
B
A
C
O
а
) б)
рис. 14.26
B
A
C
рис. 14.25

235
окружноСТь. многоугольники
Центр окружности, описанной около прямоугольного треуголь- ника, совпадает с серединой его гипотенузы.Пример 8. Гипотенуза прямоугольного
треугольника равна 4 см. Найти радиус опи-санной окружности (рис. 14.27).
рРеРенР.
  Поскольку центр окружности
совпадает с серединой гипотенузы, радиус окружности равен половине гипотенузы: R = 2.
о О т Р О.
  2 см.
Вокруг выпуклого четырёхугольни-
ка ABCD можно описать окружность в том
и только в том случае, когда ∠ABC + ∠ ADC  =
= ∠ BAD +∠ BCD  = 180 ° (рис. 14.28).
В частности, вокруг трапеции можно
описать окружность в том и только в том
случае, когда она равнобокая, а вокруг па-
раллелограмма — когда он является прямо-угольником. В выпуклый четырёхугольник ABCD
можно вписать окружность в том и толь-ко в том случае, когда AB + CD  = AD + BC
(рис. 14.29). В параллелограмм можно вписать окруж-
ность тогда и только тогда, когда он являет-ся ромбом.
Пример 9. Радиус окружности, вписанной в равнобокую
трапецию, равен 3 см, а боковая сторона трапеции равна 10 см. Найти радиус описанной окружности.
рРеРенР.
  Очевидно, высота трапеции совпадает с диаме-
тром вписанной окружности, то есть равна 6 см. Из DCFD по
теореме Пифагора:
FD CD CF = ==
22
22
10 68 .
B
A C O
рис. 14.27

B
A C
D
рис. 14.28
B
A C
D
рис. 14.29

236
геомеТрия
Поскольку трапеция равнобокая,
AE  = 8. так как в трапецию можно вписать
окружность (рис. 14.30),
AB + CD  = BC + AD . BC + AD  = 20.
Но AD = BC + AE + FD  = BC + 16;
2 BC + 16  = 20; BC = 2; AD = 18.
Окружность, описанная около трапе-
ции, совпадает с окружностью, описанной около DABD . Из
D BED по теореме Пифагора:
BD BEED
=+ =++=
22
22
62 8234
() .
По формуле площади треугольника:
SADBE
AB D
=
==
1 2
1
2 18 65 4.
По формуле радиуса описанной окружности:
R AB
BD AD
S
ABD
=
=
=
4 10
2341 8
45 4 53
4
3
.
о О т Р О.
  53 4
3 см.
14.2. Многоугольники
Пример 10. В выпуклом многоугольнике три угла по 80 °,
а остальные — по 150 °. Сколько углов в многоугольнике?
рРеРенР.
  Воспользуемся теоремой о сумме углов много-
угольника. Она равна 180 ° ⋅ ( n – 2), где n — количество сторон
(то есть и вершин, и углов). Значит, для нашего случая:
180(n – 2)  = 3 ⋅ 80 + 150( n – 3),
поскольку 3 угла про 80 ° и ( n – 3) угла по 150 °.
180 n – 360  = 240 + 150 n – 450; 30 n = 150; n = 5.
о О т Р О.
  5.
Правильный многоугольник является одновременно впи-
санным в окружность и описанным около окружности. Центры этих окружностей совпадают. B
A C
D
CF
EO
рис. 14.30

237
окружноСТь. многоугольники
Угол правильного n-угольника равен 18 02° ()
.n
n
Пример 11. Найти количество сто-
рон правильного многоугольника
(рис. 14.31), центральный угол которо-го равен: а) 120 °; б) 72 °; в) 60 °.
рРеРенР.
 
Центральный угол — это угол, обра-
зованный двумя радиусами. так как многоугольник правильный,
все его стороны равны и все треугольни -
ки, образованные центром многоугольника и его вершинами, равны. таким образом, все центральные углы также равны. Сумма всех центральных углов равна 360 °. Количество
сторон:
а)
360
120 3
= ; б) 360
72 5
= ; в) 360
60 6
= .
о О т Р О.
  а) 3; б) 5; в) 6.
типовые задания Радиус окружности равен 10 см.
Из точки, удалённой от центра окружности на расстояние 20 см,
проведены две касательные. Най-ти угол между касательными. рРеРенР.
`
Очевидно, ∠OBC  = ∠ OBD
(рис. 14.32). Поскольку BD — касательная, DOBD — прямоуголь-
ный ( ∠D  = 90 °). Значит,
sin,= == OB D OD OB
10
20
1
2 то есть
∠OBD  = 30 °;
∠ CBD  = 2 ⋅ 30 ° = 60 °.
о О т Р О.
` 60°. A
1
A2
A3
A 4
A 5
A
6
A
7
A
8
рис. 14.31
B
A
C
D
O
рис. 14.32

238
геомеТрия
Две окружности с радиусами 1 см
и 16 см касаются внешним обра-зом. Прямая касается окружно-
стей в точках A и B (рис. 14.33).
Найти длину AB.
рРеРенР.
`
Пусть D — точка касания окруж-
ностей. тогда O 1O
2 =
O
1D
+ DO
2 =
1 + 16  = 17.
Проведём через точку O
1 прямую
OC, параллельную
AB , до пересечения с BO
2.
Очевидно, CO
2 =
BO
2 –
AO
1 =
16 – 1  = 15.
Из DO
1CO
2 по теореме Пифагора:
OC OO
CO
11 22
222
2
17 15 8
= ==.
Из прямоугольника AO
1CB
: AB  = O
1C
 = 8.
о О т Р О.
` 8 см.
Радиус окружности, вписанной
в равнобокую трапецию, равен 5 см, а угол при основании ра-вен 30 °. Найти радиус описан-
ной окружности.
рРеРенР.
`
Очевидно, высота трапеции равна диаметру окружно-сти, то есть 10 см (рис. 14.34). Из DABE :
AB BE A = = °==
si ns in :.
10
30 10
1 2 20
Поскольку в трапецию можно вписать окружность, AB
+ CD  = AD + BC , откуда
AD + BC  = 40. AE + FD + EF + BC  = 40.
Но AE = FD ; EF  = BC .
Поэтому
ED EFFD
=+ ==
1 2 40
20.
Из DBED по теореме Пифагора:
BD BEED
=+ =+=
22
22
10 20 105.
B
A C
D
C
O 1 O
2
D
рис. 14.33
B
A
D
C F
E
рис. 14.34

окружноСТь. многоугольники
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана
и вокруг DABD . По формуле радиуса описанной окруж-
ности:
R BD A = = °= 2
10
5
23 0 105 sins in .
о О т Р О.
` 10 5 см.
В ажное и интересное

 ПРрРчнслнм еРкоОорыР дополенОРльеыР
свойства правильных
много угольников .
1. любыР дта пратнльеых n­угольенка подобеы друг другу. В  часОеосОн,
Рслн нх сОороеы ратеы, Оо n­угольенкн ОожР ратеы.
2. Днагоеалн пратнльеого еРсОнугольенка, проходящнР чРрРз Рго цРеОр,
разбнтаюО Рго еа еРсОь пратнльеых ОрРугольенкот.
3. Сумма рассОояенй оО любой Оочкн теуОрн пратнльеого меогоугольенка
до Рго сОорое еР затнснО оО положРеня Оочкн.
4. Теорема Паскаля: еслн еРсОнугольенк тпнсае т  окружеосОь н  проОн­
тоположеыР Рго сОороеы еР параллРльеы, Оо Оочкн пРрРсРчРеня про­
должРенй эОнх сОорое лРжаО еа одеой прямой.
5. Теорема Брианшона: еслн еРсОнугольенк опнсае около окружеосОн,
Оо прямыР, соРднеяющнР Рго проОнтоположеыР тРренеы, пРрРсРкаюО­
ся т одеой ОочкР.

240
15. Прямые и Плоскости
В ПространстВе
Правила и определения 
 Прямые называются параллельны-
ми , если они лежат в одной плоскости
и не имеют общих точек (рис. 15.1).

 если различные прямые имеют об- щую точку, то они пересекаются
(рис. 15.2).

 Прямые называются скрещивающи-
мися , если через них нельзя провести
плоскость. такие прямые не пересе-
каются и не параллельны (рис. 15.3).

 Расстоянием между скрещивающи-мися прямыми называется кратчай-
шее расстояние между точками этих прямых.

 Углом между скрещивающимися прямыми называется
величина угла между параллельными им пересекающи-мися прямыми.

 Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых
называется отрезок с концами на этих прямых, перпен-
дикулярный к каждой из этих прямых. Расстояние меж-
ду скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра (рис. 15.3).
рис. 15.1
рис. 15.2
рис. 15.3

241
Прямые и  ПлоСкоСТи В  ПроСТранСТВе

 Прямая и плоскость называются па-
раллельными , если они не имеют
общих точек (рис. 15.4).

 Плоскости называются параллель-
ными , если они не имеют общих то-
чек (рис. 15.5).

 Прямая и плоскость называются перпендикулярными , если прямая
перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в плоскости.

 Перпендикуляром, проведённым из
данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости
и лежащий на прямой, перпендику-лярной плоскости.

 Наклонной, проведённой из данной
точки к данной плоскости, называ-ется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости
и не являющийся перпендикуляром.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной . Отрезок, соединяющий основа-
ния перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной точки, называется ортогональной проекцией наклонной .

 Углом между наклонной и плоскостью называется угол
между этой наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость.На рисунке 15.6 AB — перпендикуляр к плоскости a,
AC — наклонная, CB — ортогональная проекция наклон-
ной на плоскость, C — основание наклонной, B — осно-
вание перпендикуляра, ∠ACB — угол между наклонной
AC и плоскостью a.

 Двугранным углом между плоскостями называется угол
между перпендикулярами, проведёнными в этих плоско-стях к линии пересечения плоскостей (рис. 15.7).
рис. 15.4
рис. 15.5
A
C B
α
рис. 15.6
a
b
a
рис. 15.7

242
геомеТрия

 Две плоскости называются перпендикулярными, если
двугранный угол между ними равен 90 °.

 Ортогональной проекцией фигуры на плоскость называ-
ется множество оснований всех перпендикуляров, про- ведённых из точек фигуры к плоскости.

 Параллельной проекцией точки A на
плоскость
a в направлении l называет-
ся точка пересечения прямой p, прохо-
дящей через точку A и параллельной
направлению проектирования, с пло- скостью проектирования a (рис. 15.8).
объяснение и важные примеры
15.1. оСновные акСиоМы СТереоМеТрии
1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, при- надлежащие ей, и точки, не принадлежащие ей.
2. если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
3. если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
15.2. СвойСТва ПряМых и  ПлоСкоСТей
в  ПроСТранСТве
1. Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит единственная плоскость.
2. если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки
прямой лежат в этой плоскости.
3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.
4. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.
5. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. a
A
1 A
p l
рис. 15.8

243
Прямые и  ПлоСкоСТи В  ПроСТранСТВе
15.3. ПриЗнак СкрещивающихСя
ПряМых
если прямая a лежит в плоско-
сти a, а прямая b пересекает эту пло-
скость в точке, не лежащей на пря- мой a, то a и b — скрещивающиеся
прямые (рис. 15.9).
15.4. ПараллельноСТь ПряМых
и  ПлоСкоСТей
15.4.1. Свойства и  признаки
параллельности прямой и  плоскости
1. если через прямую a, парал-
лельную плоскости a, провес-
ти плоскость b, пересекающую
плоскость a по прямой b, то
прямые a и b параллельны.
2. если прямые a и b параллель -
ны, а плоскость a, проходящая через прямую a, пере -
секается с плоскостью b, проходящей через прямую b,
то прямая пересечения плоскостей параллельна пря -
мым a и b.
3. если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то она парал-лельна этой плоскости (рис. 15.10).
4. если прямые скрещиваются, то найдётся плоскость,
параллельная обеим этим прямым (рис. 15.11).
Пример 1. Дан параллелограмм
ABCD (рис. 15.12). Стороны AB и CD
пересекают плоскость a в точках M
и K соответственно. Сторона AD па-
раллельна плоскости a; AM : MB  = 
= 3 : 5. Найти CK и KD , если AB =
=  24 см. a b
a
рис. 15.9
a
b a
рис. 15.10
α
β γ
b
a
a′
рис. 15.11
a
B
A C
D K
M
рис. 15.12

244
геомеТрия
рРеРенР.
 
Пусть AM = 3 x; MB  = 5 x. тогда AB = 3 x + 5 x = 8 x; 8 x = 24;
x  = 3. Отсюда AM = 9 см; MB = 15 см.
Поскольку AD || a, AD || MK . таким образом, AMKD — па-
раллелограмм. Значит, KD = 9 см; CK = 15 см.
о О т Р О.
  15 см; 9 см.
15.4.2. Признаки параллельности плоскостей
1. если две пересекающиеся прямые одной плоскости соот- ветственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
2. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, парал- лельны между собой.
15.4.3. Свойства параллельных плоскостей
1. если две плоскости содержат параллельные между собой прямые и пересекаются, то линия их пересечения параллельна этим прямым (рис. 15.13).
2. если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые пересечения параллельны (рис. 15.14).
3. если плоскость a содержит прямую a, параллельную
другой плоскости b, и пересекает эту плоскость, то линия
пересечения b параллельна этой прямой a (рис. 15.15).
4. если две пересекающиеся плоскости параллельны одной и той же прямой, то линия их пересечения параллельна этой прямой (рис. 15.16).
5. Отрезки параллельных прямых, заключённых между двумя параллельными плоскостями, равны (рис. 15.17):
AA1 =
BB
1.
α
c b
a
β α
β
a
b
b
b
a b
a
рис. 15.13 рис. 15.14 рис. 15.15

245
Прямые и  ПлоСкоСТи В  ПроСТранСТВе
a
a
b
b A 1 B
1
A B
A
1 B
1
K
b
B2
A
2 a
a
b
рис. 15.16 рис. 15.17 рис. 15.18
6. если плоскость a параллельна плоскости b, а плоскость
b параллельна плоскости g, то плоскость a параллельна
плоскости g.
7. Через точку вне данной плоскости можно провести пло-
скость, параллельную данной, и притом только одну.
Пример 2. Через точку K, не лежащую между параллель-
ными плоскостями a и b (рис. 15.18), проведены прямые a
и b. Прямая a пересекает плоскость a в точке A
1, а плоскость
b — в точке A
2, и прямая
b пересекает эти плоскости в точках
B 1 и
B
2 соответственно. Найти
KB
2, если
A
2B
2 :
A
1B
1 =
4 : 3;
KB 1 =
14 см.
рРеРенР.
  Через прямые a и b проведём плоскость, образо-
ванную этими пересекающимися прямыми. В этой плоскости лежат треугольники A
1KB
1 и
A
2KB
2. Эти треугольники подоб-
ны, т. к. ∠K у них общий, A
1B
1 ||
A
2B
2 (как линии пересечения
плоскости, образованной прямыми a и b, с параллельными
плоскостями a и b). Значит, KB
2 :
KB
1 =
A
2B
2 :
A
1B
1 =
4 : 3.
Отсюда
KB KB 21 4 3
4
3 14
182 3 = =
=.
о О т Р О.
  18 2 3 см.
Пример 3. Докажите, что отрезки параллельных прямых,
заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.

246
геомеТрия
рРеРенР.
  Пусть плоскости a и b параллельны, прямая a
пересекает их соответственно в точках A и B, а параллельная
ей прямая a
1 — в точках
A
1 и
B
1. Рассмотрим плоскость
g,
проходящую через параллельные прямые a и a
1. Она пересека-
ет параллельные плоскости a и b по прямым AA
1 и
BB
1. Зна-
чит, AA
1 ||
BB
1. Противоположные стороны четырёхугольника
AA 1B
1B
попарно параллельны, поэтому AA
1B
1B
— параллело-
грамм. Следовательно, AB = A
1B
1.
15.5. ПерПендикулярноСТь ПряМых и  ПлоСкоСТей
15.5.1. Признак перпендикулярности прямой
и  плоскости
если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна
двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она пер- пендикулярна плоскости.
15.5.2. Свойства перпендикуляров
1. Прямая, перпендикулярная одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой.
2. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.
3. если одна из двух параллельных прямых перпендику- лярна к плоскости, то и другая прямая перпендикуляр-на к этой плоскости.
4. Через любую точку пространства проходит ровно одна прямая, перпендикулярная к данной плоскости.
15.5.3. Теорема о  трёх перпендикулярах
Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной,
проведённой к этой плоскости, тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к её ортогональной проекции на эту плоскость.
15.5.4. Свойства перпендикуляров и  наклонных,
проведённых к  плоскости из одной точки
1. Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки.

247
Прямые и  ПлоСкоСТи В  ПроСТранСТВе
2. Равные наклонные имеют равные ортогональные проекции.
3. Большей наклонной соответствует большая ортогональ-
ная проекция.
Пример 4. Высота прямоугольного
треугольника ABC (рис. 15.19), опу-
щенная на гипотенузу, равна 9,6 см. Из вершины C прямого угла восстановлен
к плоскости DABC перпендикуляр CM,
причём CM = 28 см. Найти расстояние
от точки M до гипотенузы AB.
рРеРенР.
  Применим теорему о трёх
перпендикулярах. Пусть CK — высота
D ABC . тогда MK — наклонная к плоскости DABC , а CK — ор-
тогональная проекция этой наклонной на плоскость DABC . так
как CK ^ AB , то MK ^ AB (по теореме о трёх перпендикуля-
рах). Значит, расстояние от точки M до прямой AB равно дли-
не отрезка MK. Из прямоугольного DMCK по теореме Пифаго-
ра находим, что
MK CK CM
=+ =+=
22
22
96 28 29 6 ,, .
о О т Р О.
  29,6 см.
15.5.5. Признаки перпендикулярности плоскостей
1. Две пересекающиеся плоскости перпендикулярны, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересече-
ния этих плоскостей, пересекает их по перпендикуляр-ным прямым.
2. если прямая, лежащая в одной плоскости, пер- пендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
15.5.6. Свойства перпендикулярных плоскостей
1. если из точки, лежащей в одной из перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоско-
сти, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
C
A K B
M
рис. 15.19

248
геомеТрия
2. если в одной из двух перпендикулярных плоскостей
провести перпендикуляр к их линии пересечения, то
этот перпендикуляр будет перпендикулярен другой плоскости.
Пример 5. Дан перпендикуляр PA
к плоскости прямоугольника ABCD
(рис. 15.20). Докажите, что: а) плоскость APB перпендикулярна
плоскости APD;
б) плоскость APB перпендикулярна
плоскости BPC;
в) плоскость APD перпендикулярна
плоскости DPC.
рРеРенР.
  а) Прямая AP — общая прямая плоскостей
(рис. 15.20). Прямая AB — перпендикуляр к AP в плоскости
APB , прямая AD — перпендикуляр к AP в плоскости APD. По-
скольку AB ^ AD , плоскости перпендикулярны.
б) Прямая BP — общая прямая плоскотей; BC ^ BP (по-
скольку PA ^ BC , AB ^ BC ); прямая BC перпендикулярна к пло-
скости ABP. Значит, перпендикуляры, проведённые к прямой
BP в плоскостях APB и BPC , взаимно перпендикулярны. Зна-
чит, и плоскости перпендикулярны.
в) Прямая PD — общая прямая плоскостей; PD ^ DC , по -
скольку PA ^ DC , AD ^ DC ; любая прямая на плоскости APD пер-
пендикулярна к DC (т. к. DC перпендикулярна к APD). Поэтому
перпендикуляры к прямой PD в плоскостях APD и DPC взаимно
перпендикулярны. Значит, плоскости перпендикулярны.
Свойства параллельного проектирования 1. Параллельная проекция прямой на плоскость есть точ- ка или прямая.
2. если прямые пересекаются в точке K, то проекции пря-
мых пересекаются в проекции точки K.
3. Прямая, непараллельная направлению проектирования, переходит в прямую. C
A
D
B
P
рис. 15.20

249
Прямые и  ПлоСкоСТи В  ПроСТранСТВе
4. Пара параллельных прямых, непараллельных направ-лению проектирования, переходят в пару параллельных прямых или в одну прямую.
5. При параллельном проектировании сохраняется про- порциональное отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых.
Пример 6. Дана параллельная проекция треугольника
(рис. 15.21). Как построить проекции медиан этого треуголь-ника?
рРеРенР.
  При параллельном проектировании сохраняется
отношение отрезков прямой, поэтому середина стороны тре-
угольника проектируется в середину проекции этой стороны.
Следовательно, проекции медиан треугольника будут медиана-ми его проекций.
Пример 7. Дано изображение (параллельная проекция) треу -
гольника и центра описанной около него окружности (рис. 15.22). Постройте изображение ортоцентра этого треугольника.
рРеРенР.
  При параллельном проектировании сохраняется
отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на парал-
лельных прямых. Поэтому изображениями середин M и N сто-
рон AB и AC являются середины M
1 и
N
1 сторон
A
1B
1 и
A
1C
1.
C 1
B
1
A 1 D
1
A
B
C
D
B
1
H 1
A 1 C
1
M
1
M
B
C
A
N1
O
1
H
O
N
рис. 15.21 рис. 15.22

250
геомеТрия
Пусть H — ортоцентр DABC . тогда CH || OM и BH || ON , где
O — центр описанной окружности DABC . При параллельном
проектировании сохраняется параллельность прямых. Поэто- му C
1H
1 ||
O
1M
1,
B
1H
1 ||
O
1N
1, где
O
1 — изображение точки
O.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим середины M
1
и N
1 сторон
A
1B
1 и
A
1C
1. Через точки
C
1 и
B
1 проводим прямые,
параллельные O
1M
1 и
O
1N
1 соответственно. точка
H
1 пересече-
ния построенных прямых есть искомое изображение ортоцен-тра DABC .
типовые задания Прямая a параллельна плоскости a. Через точки A и B
прямой a проведены прямые, которые пересекают пло-
скость a в точках A
1 и
B
1 соответственно. Найти пло-
щадь четырёхугольника AA
1B
1B
, если A
1B
1 =
14 см, AA
1 =

= 13 см, A
1B
 = 15 см.
рРеРенР.
` Поскольку a || a, A
1B
1 ||
AB . Значит, AA
1B
1B

параллелограмм (рис. 15.23). Очевидно, его пло-щадь равна удвоенной площади DA
1BB
1. его стороны
A 1B
1 =
14; BB
1 =
AA
1 =
13; A
1B
 = 15.
A
1 B
1
A B
a
рис. 15.23
По формуле Герона (см. раздел 19):
Sp papb pc ABB

11 = ()
() () ,
где pab
c
= ++ 2 ;
a  = 14; b = 13; c = 15; p = 21;
S
AB B

11 21
78 68 4
= =.
Значит, S
AA BB
11 28
4168 = = .
о О т Р О.
` 168 см2
.

Прямые и  ПлоСкоСТи В  ПроСТранСТВе
В DABC ∠ C = 90 °; ∠ A = 30 °, больший катет равен 3 см. Из
вершины угла C проведён перпендикуляр CK = 2 см к пло-
скости DABC . Найти расстояние от точки K до прямой
AB .
рРеРенР.
` Построим высоту CD
треугольника ABC (рис. 15.24).
Она, очевидно, является орто-
гональной проекцией отрезка KD на плоскость ABC. По те-
ореме о трёх перпендикулярах KD ^ AB , то есть расстояние от
K до AB равно длине отрезка
KD . В DABC : AC  = 3 (больший
катет лежит напротив больше-го угла);
BC AC A
= =° =
tg tg ;
33 03
AB AC A
= =° == :cos :cos :. 33 03 3 223
Значит, S
AB
CD
CD
AB C
==
=
33 22 3, откуда
CD
=3 2. Из
DKCD (по теореме Пифагора):
KD KC CD
=+ =+==
22
49 4 5
2 25 ,.
о О т Р О.
` 2,5 см.
A
B
D
C
K
рис. 15.24

252
16. мноГоГранники
Правила и определения 
 Многогранник — поверхность, составленная из многоуголь -
ников, а также тело, ограниченное такой поверхностью.

 Многоугольники, ограничивающие поверхность тела, на- зываются гранями, стороны граней называются рёбрами,
вершины граней называются вершинами многогранника.

 Призмой называется многогранник, со-
стоящий из двух плоских многогранни-ков ( оснований призмы ), которые лежат
в разных плоскостях и совмещаются па-
раллельным переносом, и всех отрезков,
соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (рис. 16.1).

 Отрезки, соединяющие соответствую-
щие вершины оснований, называются боковыми рёбрами призмы. Все грани,
кроме оснований, называются боковыми
гранями призмы (это параллелограммы). Призма назы-
вается n-угольной , если её основания — n-угольники.

 Боковая поверхность призмы — объединение её боковых
граней.

 Полная поверхность призмы — объединение оснований
и боковой поверхности.

 Высота призмы — перпендикуляр, проведённый из ка-
кой-либо точки одного основания к плоскости другого основания (расстояние между плоскостями оснований).
A
B
C
D
K
N
M
L
рис. 16.1

253
многогранники

 Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две верши-
ны призмы, не принадлежащие одной грани.

 Параллелепипед — призма, в основании которой лежит
параллелограмм.

 Прямая призма — это призма, все боковые рёбра кото-
рой перпендикулярны основанию. Иначе призма называ- ется наклонной .

 Прямоугольный параллелепипед — прямой параллеле-
пипед, основаниями которого являются прямоугольники.

 Куб — прямоугольный параллелепипед, все рёбра кото-
рого равны.

 Правильная призма — прямая призма, основания кото-
рой — правильные многоугольники.

 Пирамидой называется многогранник, который состоит
из плоского многоугольника ( основания), точки, не лежа-
щей в плоскости основания ( вершины), и всех отрезков,
соединяющих вершину с точками основания. Все рёбра,
кроме сторон основания, называются боковыми рёбрами,
все грани, кроме основания, — боковыми гранями (это
треугольники).

 Пирамида называется n-угольной , если в её основании
лежит n-угольник.

 Высота пирамиды — перпендикуляр,
проведённый из её вершины к пло-скости основания.Пирамида изображена на рис. 16.2.

 Пирамида называется правильной,
если её основание — правильный
многоугольник, а основание высо-
ты совпадает с центром этого много-угольника. Апофемой называется
высота боковой грани правильной пирамиды, проведён-ная из её вершины.

 Боковая поверхность пирамиды — объединение её боко-
вых граней, полная поверхность — объединение основа-
ния и боковой поверхности.
A
B
C
D
S
рис. 16.2

254
геомеТрия

 Усечённой пирамидой называ-
ется многогранник, заключён-
ный между основанием пирами-
ды и секущей плоскостью, па-раллельной её основанию.

 Усечённая пирамида, образован-
ная из правильной пирамиды, также называется правильной.
Усечённая пирамида изображе-на на рис. 16.3.

 Сечением многогранника называется многоугольник,
сторонами которого являются отрезки, принадлежащие
граням многогранника, с концами на его рёбрах, полу-
ченный в результате пересечения многогранника секу-щей плоскостью.

 Диагональное сечение — сечение, проходящее через два
боковых ребра, не лежащих в одной грани.

 Перпендикулярное сечение призмы — сечение плоско-
стью, перпендикулярной её боковому ребру.
объяснение и важные примеры
16.1. ПриЗМа
16.1.1. Свойства призмы
1. Основания призмы — равные многоугольники, лежа- щие в параллельных плоскостях.
2. Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
3. Боковые грани призмы — параллелограммы.
16.1.2. Свойства прямой призмы
1. Боковые рёбра прямой призмы являются её высотами.
2. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Плоскости боковых граней перпендикулярны плоско- стям оснований.
A B
C
D
A
1 B
1 C
1
D 1
S
рис. 16.3 . ABCDA
1B
1C
1D
1 —
усРчёееая пнрамнда

255
многогранники
16.1.3. Свойства правильной призмы
1. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
2. Площадь боковой поверхности правильной n-угольной
призмы со стороной основания a и высотой h равна:
S бок  =
nah .
Отметим, что правильная четырёхугольная призма — это
прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат.
Пример 1. Диагональ правильной четырёхугольной призмы
равна 10 см и составляет с плоскостью основания угол 22,5 °.
Найти площадь боковой поверхности призмы.
рРеРенР.
  l = 10; b = 22,5 ° (рис. 16.4).
Основания призмы ABCD и A
1B
1C
1D
1 —
квадраты, боковые рёбра перпенди -
кулярны основаниям. Поскольку B 1B
^ ( ABCD ), BD — проекция диаго -
нали B
1D
на плоскость основания.
Значит, ∠B
1DB
 = 22,5 °; B
1D
 = 10;
S бок  =
P
ABCD
⋅ B
1B
(см. раздел 19).
Из DB
1DB
:
∠ B
1BD
 = 90 °; B
1B
 = B
1D
⋅ sin ∠B
1DB
 = 10 ⋅ sin 22,5 °;
BD  = B
1D
cos ∠B
1DB
 = 10 cos 22,5 °.
Из DABD :
∠ BAD  = 90 °; BD 2
 = AB 2
+ AD 2
 = 2 AB 2

AB BD
2 22
2 2
100225
2 50 225
== °
= ° cos,
cos,
AB = °
52 225
co s, .
SA BBB
áî ê =
= ° ° =
44 522251 02 25
1 cos
,s in,
= °°= ° =
20 02 2252 252002 1 2 45
co s, sin, sin
===
20 02 1
4 25
02 100.
о О т Р О.
  100 см2
. A
B
C
D
A
1
B1 C
1
D 1
l
b
рис. 16.4

256
геомеТрия
Пример 2. Боковое ребро наклонной треугольной призмы
равно 8 см, две боковые грани взаимно перпендикулярны, их площади равны 24 см 2
и 72 см 2
. Найти объём призмы.
рРеРенР.
 
(CAA
1)
^ ( BAA
1).
Через точку M на ребре AA
1 про-
ведём плоскость, перпендикулярную
этому ребру (рис. 16.5). Она пересекает прямые CC
1 и
BB
1, параллельные
AA
1
в точках P и N. Рассмотрим DMPN .
Поскольку AA
1
^ ( MPN ), AA
1
^ MP ,
AA 1
^ MN , то есть ∠PMN — линей-
ный угол двугранного угла при ребре AA 1. По условию
∠PMN  = 90 °. Значит, V = S
DPMN
⋅ AA
1 (см. раз-
дел 20). Боковая грань AA
1B
1B
— параллелограмм со стороной AA
1
и высотой MN. Поэтому
SA AMN
AA BB
11 1 = ; 8
⋅ MN  = 24;
MN  = 3.
Аналогично
SA AM P
AA CC
11 1 = ; 8
⋅ MP  = 72; MP = 9.
SM NMP
MN P
=
==
1 2
1
2 39 27 2 ; V
= = =
8 27 2 42
7108 .
о О т Р О.
  108 см2
.
16.1.4. Построение перпендикулярного сечения
в  наклонной призме
1. Через точку A на боковом ребре проводим к этому ребру
перпендикуляры AB и AC, лежащие на смежных боко-
вых гранях (рис. 16.6).
2. По признаку перпендикулярно- сти прямой и плоскости доказы-
ваем перпендикулярность пря-мой AD и плоскости ABC.
3. Используя свойство параллель- ных прямых, перпендикуляр-ных плоскости, доказываем, что ABC — искомое сечение.
A
B
C N
A 1 B
1
C 1
P
M
рис. 16.5
A
B
C
рис. 16.6

257
многогранники
осеотеыР пратнла посОроРеня сРчРенй
1. если даны (или уже построены) две точки плоскости на одной грани многогранника, то след сечения — прямая, проходящая через эти точки.
2. если дана (или уже построена) прямая пересечения пло- скости сечения с основанием многогранника (след на
основании) и есть точка на данной грани, то необходимо
определить точку пересечения следа с этой боковой гра-
нью (она будет точкой пересечения следа с общей пря-мой основания и данной боковой грани).
3. Общую точку плоскости сечения и основания можно опре -
делить как точку пересечения какой-либо прямой в пло -
скости сечения с её проекцией на плоскость основания.
Способы посОроРеня сРчРенй
Способ соответствия состоит в том, что для построения се-
чений необходимо сначала построить те точки одного из осно-
ваний многогранника, которые взаимно однозначно отвечают точкам искомого сечения.
Способ следов состоит в том, что в плоскости одного из
оснований выполняется построение следов (линий и точек пе-
ресечения секущей плоскости). С помощью этих следов выпол-
няется построение точек пересечения секущей плоскости с рё-
брами многогранника и линий пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.
Пример 3. Постройте сече-
ние куба ABCDA
1B
1C
1D
1 плоско-
стью, которая проходит через точки K ∈ B
1B
; E ∈ AD ; P ∈ DC
(рис. 16.7).
рРеРенР.
  Построим точки
пересечения плоскости ( KEP)
с гранями куба. Плоскость ( KEP ) пересекается с плоско-
стью ( ABCD) по прямой EP. Эта
прямая пересекает плоскость A
B
D
A
1
C
1 B1
D1
C
N E
L
F
P M
K
рис. 16.7

258
геомеТрия
BB1C
1C
в точке M, а плоскость AA
1B
1B
— в точке N. Проведя
прямую NK, получим точку L на ребре AA
1, а проведя прямую
KM на грани BB
1C
1C
, получим точку F — точку пересечения
прямой KM с ребром CC
1. таким образом, искомым сечением
является пятиугольник ELKFP.
16.2. ПираМида
Пример 4. Расстояние от основания высоты правильной че-
тырёхугольной пирамиды до её бокового ребра равно a, а боко-
вое ребро образует с плоскостью основания угол a. Найти боко-
вое ребро.
рРеРенР.
  SO ^ (ABCD ), OC — про-
екция бокового ребра на плоскость ( ABCD ), ∠SCO  = a (рис. 16.8). Про-
ведём OM ^ SC ; OM  = a .
Из DOMC :
OC a
= sin .
так как SO ^ ( ABCD ), SO ^ OC .
Из DSOC :
SC OC SC
O aa =
==
co ss incoss in .
2
2
о О т Р О.
  2
2
a
sin .a
16.2.1. усечённая пирамида
Пример 5. Стороны оснований
правильной треугольной усечённой
пирамиды 12 см и 3 см. Боковое ребро равно 6 см. Найти высоту пирамиды.
рРеРенР.
  O и O
1 — центры пра-
вильных треугольников ABC и A
1B
1C
1,
а OC и O
1C
1 — радиусы описанных
окружностей (рис. 16.9). В соответст-
вии с формулой для радиуса окруж-
ности, описанной около правильного треугольника:
A BC
D S
M
O
рис. 16.8
A B C
P
O
A 1
C1
B 1
O
1
рис. 16.9

259
многогранники
OCAB
=
=
3 3 43 ;
OC
AB
11 11
3 3 3
=
=.
Проведём C
1P
^ ( ABC ), C
1P
 = OO
1 — высота пирамиды:
PC OC
OC
= ==
11 43
333.
Из DC
1PC
:
CP CCPC
1 2
122
22
63 39 = = () =;
C
1P
 = 3.
о О т Р О.
  3 см.
типовые задания Построить сечение параллелепипеда ABCDA
1B
1C
1D
1
(рис. 16.10) плоскостью, проходящей через ребро AA
1
и точку M ребра CD.
рРеРенР.
` Через точку M
и прямую AA
1 можно прове-
сти единственную плоскость (обозначим её a). Найдём
линии и точки пересечения
с гранями и рёбрами паралле-лепипеда.так как точки A и M — общие
для плоскостей a и ( ABCD ),
то AM — прямая их пересечения. Соединим точки A
и M отрезком.
так как плоскости ( ABB
1A
1) и (
DCC
1D
1) параллельны,
то плоскость a пересекает их по параллельным пря-
мым. Через точку M параллельно ребру CC
1 проведём
прямую MM
1 (
M
1 — точка пересечения с ребром
C
1D
1).
так как точки A
1 и
M
1 — общие для плоскостей
a и ( A
1B
1C
1D
1), прямая
A
1M
1 — прямая пересечения
этих плоскостей. Со единим точки A
1 и
M
1.
Искомое сечение — параллелограмм AMM
1A
1.
A B
C
D M
A
1 B
1 C
1
D 1
M
1
рис. 16.10

260
геомеТрия
В правильной треугольной пира-
миде SABC проведена плоскость
через медиану CM грани ABC па-
раллельно ребру SA. Найти пло -
щадь сечения, если каждое ребро пирамиды равно a.
рРеРенР.
` Поскольку секущая
плоскость параллельна ре-бру SA, она пересекает пло-
скость SAB по прямой, парал-
лельной ребру SA. точка M
(рис. 16.11) — середина AB,
поэтому прямая пересечения MK — средняя линия DSAB ,
то есть точка K — середина
ребра SB. Секущая плоскость
пересекает ребро SB в точке
K , рёбра SC, AC и BC — в точ-
ке C, ребро AB — в точке B,
с ребром SA не пересекается.
таким образом, сечение — треугольник CMK.
Из DABS :
MK ASa
= = 1 22 . треугольник
BCS правиль-
ный, CK — его медиана (и одновременно высота).
CK SC CB aaa
=


=
=
2 2
22
1 24
3
2 .
Аналогично, CM
a
= 3 2 .
Из равнобедренного
DCMK (рис. 16.12):
CN CK MKaa
a
=


=
=
2 2
22
1
2 3
41 6 11
4 ;
SC
NMK aa
a
CM K
=
==
1 2
1
2
11
42
11
16
2
.
о О т Р О.
` a 2
11
16 .
A
B C
S
K
M рис. 16.11
M K
N
C
рис. 16.12

многогранники
Важное и интересное

 Правильные многогранники
меогограеенк еазытаРОся правильным, Рслн тсР Рго граен — ратеыР
друг другу пратнльеыР меогоугольенкн, к каждой Рго тРренеР прнмыкаРО
однеакотоР колнчРсОто граеРй н  дтуграееыР углы мРжду смРжеымн гра­
еямн однеакоты.
СущРсОтуРО ротео пяОь тндот пратнльеых тыпуклых меогограеенкот. ЭОо
ОРОраэдр (пратнльеая ОрРугольеая пнрамнда), гРксаэдр (куб), окОаэдр, до­ дРкаэдр, нкосаэдр.
В  осеотаенн ОРОраэдра, окОаэдра н  нкосаэдра лРжнО ОрРугольенк, т  осео­
таенн куба — ктадраО, т осеотаенн додРкаэдра — пяОнугольенк.
таблица 16.1. ПратнльеыР меогоугольенкн
название количество
граней количество
вершин количество
рёбер
ТРОраэдр 4 4 6 куб 6 8 12
окОаэдр 8 6 12
икосаэдр 20 12 30
ДодРкаэдр 12 20 30
ЗамРОнм, чОо сумма колнчРсОта граеРй н  колнчРсОта тРрене тыпуклого
меогограеенка тсРгда еа 2 больеР колнчРсОта рёбРр.
изобразнм общнй тнд пратнльеых меогограеенкот.
рис. 16.13 . ТРОраэдр рис. 16.14. куб рис. 16.15. окОаэдр
рис. 16.16. икосаэдр рис. 16.17. ДодРкаэдр

262
17. тела и ПоВерхности
Вращения
Правила и определения 
 Тела вращения — объёмные тела, образующиеся при
вращении плоской фигуры, ограниченной кривой, во- круг оси, лежащей в той же плоскости.

 При вращении контуров фигур возникают поверхности
вращения (например, сфера, образованная окружностью),
в то время как при вращении заполненных контуров воз-никают тела (как шар, образованный кругом).

 Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндри-
ческой поверхностью (то есть поверхностью, полученной та -
ким поступательным движением прямой, называемой обра-
зующей , в пространстве, что выделенная точка этой прямой
движется вдоль определённой плоской кривой, называемой
направляющей ) и двумя параллельны -
ми плоскостями, пересекающими её.

 Часть поверхности цилиндра, ограни -
ченная цилиндрической поверхностью, называется боковой поверхностью ци-
линдра. Параллельные плоскости огра-ничивают основания цилиндра.
Обычно под цилиндром понимают
прямой круговой цилиндр (рис. 17.1),
у которого направляющая — окруж-
ность и основания перпендикулярны
h
r
рис. 17.1

263
Тела и  ПоВерхноСТи Вращения
образующей. Высота такого цилиндра
совпадает с его образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

 Осевым сечением цилиндра называ-
ется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 17.2).

 Конус — тело, полученное объедине-
нием всех лучей, исходящих из одной точки ( вершины конуса) и проходя-
щих через заданную плоскую фигуру ( основание ). если эта фигура — круг,
то такой конус называется круго-
вым . если высота кругового конуса
(то есть перпендикуляр, опущенный
из вершины на плоскость основания)
проектируется в центр основания, то такой конус называется прямым кру-
говым (рис. 17.3). Прямой круговой
конус можно получить вращением
прямоугольного треугольника вокруг
прямой, содержащей катет (эта пря-мая называется осью конуса).

 Усечённым конусом называется часть
конуса, лежащая между основанием
и плоскостью, параллельной основа-
нию и находящейся между вершиной и основанием (рис. 17.4).

 Сфера — геометрическое место точек
в пространстве, удалённых на задан-
ное расстояние (называемое радиусом) от заданной точки (называемой цент-
ром ). Сфера изображена на рис. 17.5.

 Шар — это тело, ограниченное сфери-
ческой поверхностью. Шар можно по-
лучить, вращая полукруг вокруг ди-
аметра. Все плоские сечения шара — круги.
рис. 17.2
рис. 17.3
рис. 17.4
O
R
рис. 17.5

264
геомеТрия
O
M
рис. 17.6 рис. 17.7 рис. 17.8

 Шаровой сферический сегмент — часть шара, осекаемая
от него плоскостью (рис. 17.6).

 Шаровой сектор — тело, полученное вращением кругово-
го сектора с углом, меньшим 90 °, вокруг прямой, содер-
жащей один из ограничивающих круговой сектор радиу- сов (рис. 17.7).

 Касательной плоскостью к сфере называется плоскость,
имеющая со сферой только одну общую точку (рис. 17.8).
объяснение и важные примеры
17.1. Цилиндр
Пример 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см
и образует с плоскостью нижнего основания угол 45 °. Найти
объём цилиндра.
рРеРенР.
 
Поскольку основание осевого сечения
образует с высотой цилиндра прямой угол, то треугольник ADC, образованный диагональю
осевого сечения, высотой цилиндра и его ди-
аметром (рис. 17.9), — прямоугольный. Зна-чит, ∠ACD  = 45 ° (т. к. ∠CAD  = 45 °).
таким образом, DADC равнобедренный.
Значит, AD = DC . По теореме Пифагора:
AD 2
+ DC 2
 = 12 2
; AD 2
 = DC 2
 = 72;
AD DC
= = =
72 62 .
AB
C
D
рис. 17.9

265
Тела и  ПоВерхноСТи Вращения
По формуле объёма цилиндра (см. раздел 20):
VADDC
= = =
2 7262 4322 .
о О т Р О.
  43 22 см 3
.
Пример 2. Радиус основания цилиндра равен 10 см, высота
20 см, площадь сечения, параллельного оси, равна 300 см 2
. На
каком расстоянии от оси находится плоскость сечения?
рРеРенР.
  Пусть ABCD — сечение ци-
линдра; S
ABCD  =
300; OO
1 — ось цилиндра;
OO 1 =
AD  = 20; O
1A
 = O
1B
 = 10. так как
S ABCD  =
AB ⋅ AD , то
AB = =300 20 15. Расстоя-
ние между плоскостью ABC и прямой OO
1
(где OO
1 || (
ABC )) равно длине перпендику-
ляра, опущенного из точки O
1 на плоскость
( ABC ) (рис. 17.10).
Построим O
1E
^ AB . Очевидно,
O 1E
^ ( ABC ). Поскольку
AE EB AB
= = =
1 2
15
2 ,
из DAEO
1 получаем:
EO
AO AE
11 22
22
10 15
2 57
2
=
=


=
.
о О т Р О.
  57
2 см.
17.2. конус
17.2.1. Свойства прямого кругового конуса
1. Основание конуса — круг.
2. Основание высоты конуса — центр основания конуса.
3. Образующие конуса равны и составляют одинаковые углы с плоскостью основания конуса и одинаковые углы с высотой.
D
B
A
C
E O
1
O
рис. 17.10

266
геомеТрия
O O O
рис. 17.11 рис. 17.12 рис. 17.13
4. Осевое сечение конуса — равнобедренный треуголь- ник, основанием которого является диаметр основания
конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса (рис. 17.11).
5. Плоскость, проходящая через вершину конуса, пересе- кает его по равнобедренному треугольнику (рис. 17.12).
6. Плоскость, параллельная основанию, пересекает конус по кругу (рис. 17.13).
Пример 3. Через вершину конуса проведена плоскость, пе-
ресекающая его основание по хорде, которую видно из верши- ны под углом a, а из центра основания — под углом b. Найти
площадь боковой поверхности конуса, если расстояние от цен-тра его основания до середины образующей равно d.
рРеРенР.
  DSAB — сечение конуса; SA = SB ; M — середина
SA ; SO — высота; ∠ASB  = a ; ∠ AOB  = b . R  = OA ; L = SA . В пря-
моугольном DSOA : MO  = MA  = MS . Значит, SA = 2 d. Проведём
SN ^ AB . По теореме о трёх перпендикулярах ON ^ AB . По-
скольку SA = SB , биссектрисой ∠ASB является SN, ON — бис-
сектриса ∠AOB . Значит, AO = OB (рис. 17.14).
Из DSNA :
NA SA d
= =
si ns in .
2 2 2
Из DONA : OA NA
d
==
sin sin
sin .



2
2
2
2

267
Тела и  ПоВерхноСТи Вращения
SOASA d
áî ê =
=



4
2
2
2si n
si n
(по формуле площади боковой поверх- ности конуса; см. раздел 19. 2).
о О т Р О.
 
4
2
2
2


d
sin
sin .
17.2.2.
Свойства усечённого конуса
1. Основания — круги.
2. Отрезок, соединяющий центры оснований, перпендику- лярен плоскости оснований.
3. Образующие равны и составляют одинаковые углы с плоскостью основания.
4. Осевое сечение — равнобокая трапеция.
Пример 4. Радиусы оснований усечён-
ного конуса равны 7 см и 4 см, а образу- ющая — 5 см. Найти расстояние между диаметрами оснований.
рРеРенР.
  Общим перпендикуляром
двух диаметров оснований является отре-зок OO
1, где
O и O
1 — центры оснований.
Пусть ABCD — осевое сечение.
AO 1 =
7; BO = 4; AB = 5. ABCD — равнобо-
кая трапеция. Проведём BK ^ AD , тогда
BK  = OO
1 (рис. 17.15).
Из прямоугольного DABK :
BK AB AK AB AO BO
== ==
22
2
1 22
2
57 44 () ();
OO
1 =
BK  = 4.
о О т Р О.
  4 см. O
M
S
A
B
N
рис. 17.14
O
1
A
B
C
D O
K
рис. 17.15

268
геомеТрия
17.3. Шар
17.3.1. Свойства шара
1. Любое сечение шара — круг.
2. Сечения шара, одинаково удалённые от его центра, име- ют одинаковые радиусы.
3. Касательная плоскость к шару перпендикулярна к радиу- су, проведённому в точку касания.
Пример 5. В сферу вписан конус, образующая которого рав-
на l, а угол при вершине осевого сечения равен 60 °. Найти
площадь сферы.
рРеРенР.
  Площадь сферы найдём по формуле S = 4 pr2
, где
r — радиус сферы.
Поскольку в сферу вписан конус, проведём сечение через
вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольни- ком. Поскольку угол при его вершине равен 60 °, то треуголь-
ник равносторонний. Следовательно, радиус сферы равен ради-
усу окружности, описанной вокруг равностороннего треуголь- ника. Сторона треугольника равна l. тогда
Rl = 3
3 . Значит,
Sl l
=



=
4 3
3 4
3
2
2 .
о О т Р О.
  4
3 2
l .
типовые задания
Объём цилиндра равен 126 см 3
, а длина окружности,
огра ничивающей его основание, — 18 см. Найти площадь осевого сечения цилиндра.
рРеРенР.
` По формуле объёма цилиндра V = p R 2
H , где
R — радиус основания, H — высота цилиндра.
По формуле длины окружности l = 2 pR .
21 8
12 6
2

R
RH =
=


;
. R=9 ;





=
9
126
2
H ;

Тела и  ПоВерхноСТи Вращения
81126
H
=
; H == 126
81
14
9
.
Площадь осевого сечения: SR
H
îñ ==
=
22 91
4 9 28 .
о О т Р О.
` 28 см2
.
Образующая конуса равна 6 см.
Найти площадь сечения, прохо-дящего через две образующие ко-
нуса, угол между которыми ра-вен 30 °.
рРеРенР.
` Сечение — равнобедрен-
ный DSAB , где SA, SB — обра-
зующие; SA = SB  = 6; ∠S = 30 °
(рис. 17.16).Площадь сечения:
S SAB
=
°= =
1 2 66
301 2 661 2 9
si n.
о О т Р О.
` 9 см2
.
A B
S
рис. 17.16

270
18. измерение уГлоВ, длин
отрезкоВ, ломаных, криВых
Правила и определения 
 Углом в 1 ° (градус) называется центральный угол, опира-
ющийся на дугу окружности длиной в
1
360 её части.
Градус делится на 60 минут, а минута — на 60 секунд: 1 ° = 60 ′; 1 ′ = 60 ″.

 Углом в 1 радиан называется центральный угол, опира-
ющийся на дугу окружности, равную по длине радиусу.

 Углом между двумя пересекающимися прямыми назы-
вается меньший из углов, образованных при пересечении прямых.

 Углом между скрещивающимися прямыми называется
угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся.

 Две прямые называются перпендикулярными, если угол
между ними равен 90 °.

 Угол между параллельными пря-мыми считается равным нулю.

 Углом между прямой и не пер-
пендикулярной ей плоскостью
называется угол между этой пря-
мой и её проекцией на данную плоскость (рис. 18.1).
рис. 18.1

271
иЗмерение углоВ, Длин оТреЗкоВ, ломаных, криВых
Угол между взаимно перпендикулярными прямой и пло- скостью равен 90°.
если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным нулю.

 Углом между плоскостями называется угол между пер-
пендикулярами, проведёнными в этих плоскостях к ли-нии их пересечения.

 Отрезок прямой — это множество, состоящее из двух
различных точек и всех точек прямой, лежащих между ними.

 Длина отрезка — расстояние между его концами.

 Ломаная (ломаная линия) — геометрическая фигура,
состоящая из отрезков, последовательно соединённых
своими концами, причём никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой. Концы отрезков называются вершинами ломаной, а сами отрезки — звеньями лома-
ной (рис. 18.2).

 Простая ломаная линия — ломаная без самопересечений.

 Многоугольник — простая замкнутая ломаная линия
(то есть первая и последняя точки совпадают; рис. 18.3). его звенья называются сторонами.

 Длина ломаной равна сумме длин её звеньев.

 Периметр многоугольника — сумма длин его сторон (то
есть длина соответствующей ломаной).

 Расстоянием от точки до прямой называется длина пер-
пендикуляра, проведённого из этой точки на прямую. если точка лежит на прямой, то расстояние считаем равным 0.
A 1
A2 A
3
A 4 A
5 A
6
A1 A
2
A3 A
4 A
5
A 6
рис. 18.2 рис. 18.3

272
геомеТрия

 Расстояние между двумя параллельными прямыми —
длина их общего перпендикуляра.

 Расстояние от точки до плоскости — длина перпендику-
ляра, проведённого из этой точки на плоскость. если точ-
ка лежит на плоскости, то расстояние считаем равным 0.

 Расстояние между прямой и параллельной ей плоско-стью равно длине их общего перпендикуляра.

 Расстояние между двумя параллельными плоскостями
равно длине их общего перпендикуляра.

 Расстояние между скрещивающимися прямыми равно
длине их общего перпендикуляра.
основные формулы

hФормулы перехода от градусной меры к радианной и на-оборот
n =
°

18 0 ;
= ° 180 n
,
где a — градусная мера угла, n — радианная мера.
1 рад. ≈ 57 °17 ′45 ″; 1 ° ≈ 0,01745 рад.

hДлина отрезка в декартовых координатах
AA xx yyzz
12 212
21 2 21 2
= ++
() () () ,
где A
1(
x
1;
y
1;
z
1);
A
2(
x
2;
y
2;
z
2) — граничные точки отрезка.

hДлина окружности
L = 2pR ,
где l — длина окружности, R — радиус окружности, p —
число: p ≈ 3,14159.

hДлина дуги окружности
l = a R ,
где a — центральный угол дуги, рад.

273
иЗмерение углоВ, Длин оТреЗкоВ, ломаных, криВых
объяснение и важные примерыПример 1. Найти градусную меру угла 1,4 рад. с точностью
до 1 ′.
рРеРенР.
  1 рад. ≈ 57 °17 ′45 ″; 1,4 рад. ≈ 1,4 ⋅ 57 °17 ′45 ″ ≈
≈  80 °12 ′51 ″ ≈  80 °13 ′.
о О т Р О.
  80°13 ′.
Пример 2. В кубе ABCDA
1B
1C
1D
1 (рис. 18.4) найти угол
между прямыми A
1D
и D
1E
, где E — середина ребра CC
1.
рРеРенР.
  Пусть F — середина ре-
бра BB
1,
a — ребро куба, j — искомый
угол. так как A
1F
|| D
1E
, то j — угол
при вершине A
1 в треугольнике
A
1FD
.
Из DBFD имеем:
FD BDBF aa a
22 2222
2 1 4
9
4 =+
=+=.
Из DA
1B
1F
:
AF AB BFa aa 12
112
122
22
4 5
4 =+ =+=,
откуда AF a
1 5 2 =
.
Далее в DA
1FD
используем теорему косинусов:
FD 2
 = A
1D 2
+ A
1F 2
– 2 A
1D
⋅ A
1F
⋅ cos j;
9
4 2 5 4 22 5 2
2
22
a
aa
aa
=+ co
s; co s;= 1
10

=
arcco s. 1
10
о О т Р О.
  arcco s. 1
10
Пример 3. В правильной треугольной призме ABCA
1B
1C
1
(рис. 18.5), все рёбра которой равны 1, найдите угол между прямой AB
1 и плоскостью
AA
1C
1C
.
рРеРенР.
 
Пусть D — середина A
1C
1, тогда
B
1D
— перпендикуляр
к плоскости AA
1C
1C
, D — проекция точки B
1 на эту плоскость.
A
1 B
1
A D B CF D
1 C
1
E ϕ
рис. 18.4

274
геомеТрия
если j — искомый угол, то
sin,= BD
AB 1
1 где AB 1 2
= ; BD
1 3
2
=
(соответственно из DABB
1 и из
D A
1B
1D
), следовательно,
sin;= =
3
22 6
4 = arcsin .
6 4
о О т Р О.
  arcsin .
6 4
Пример 4.
Основание прямой четырёхугольной призмы
ABCDA 1B
1C
1D
1 — прямоугольник
ABCD (рис. 18.6), в котором
AB  = 5;
AD = 33. Найти угол между
плоскостью грани AA
1D
1 и плоско-
стью, проходящей через середину ре- бра CD перпендикулярно прямой B
1D
,
если расстояние между прямыми A
1C
1
и B
1D
равно
3.
рРеРенР.
  Угол между указанными
плоскостями можно найти как угол
между прямыми, перпендикулярными к указанным плоскостям. Это прямые DC и B
1D
.
Из DBB
1C
:
BC BBBC
11 22
33 36 =+ =+=.
Из DB
1DC
находим тангенс ∠B
1DC
: tg ,. = =
BD C
1 6 5 12

B
1DC
 = arctg 1,2.
о О т Р О.
  arctg 1,2.
Пример 5. В единичном кубе ABCDA
1B
1C
1D
1 (рис. 187) най-
ти расстояние от точки C
1 до плоскости
AB
1C
.
рРеРенР.
  так как прямая A
1C
1 параллельна
AC, то A
1C
1 па-
раллельна плоскости AB
1C
. Поэтому искомое расстояние h рав-
но расстоянию от произвольной точки прямой A
1C
1 до плоско-
сти AB
1C
(например, от точки O
1 до плоскости
AB
1C
).
A
B
C
B
1 C
1
A 1 D
ϕ
рис. 18.5
A
1 B
1
A D B
C
C
1
D 1
рис. 18.6

275
иЗмерение углоВ, Длин оТреЗкоВ, ломаных, криВых
Пусть E — основание перпенди-
куляра, проведённого из точки O
1 на
прямую B
1O
, где O — центр квадрата
ABCD . Прямая O
1E
лежит в плоско-
сти BB
1D
1D
, а прямая AC перпенди-
кулярна этой плоскости. Поэтому O 1E
^ AC . Значит, O
1E
— перпенди-
куляр к плоскости ABC; h = O
1E
.
так как
OB 11 2 2 =
; OO
1 =
1, то
OB
1 1
2 1
3
2
=+
=.
Выражая двумя способами площадь треугольника B
1O
1O
,
получим
h =
3
2 2
2 1,
откуда h
= 3 3 .
о О т Р О.
  3
3 .
Пример 6. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
(рис. 18.8), все рёбра которой равны 1, найти расстояние меж- ду прямыми BD и SA .
рРеРенР.
  Пусть E — основание перпендикуляра, проведён-
ного из точки O на ребро SA. так как
прямая BD перпендикулярна плоско-
сти AOS , то BD ^ OE . таким образом,
OE — общий перпендикуляр к скре-
щивающимся прямым BD и SA .
Площадь треугольника AOS:
SA OSOA SOE
AOS
= = 1
2
1
2 .
Следовательно,
OE AO
SO AS = ; AS  = 1;
A
1
B
1
AD
B CC
1 D
1
OO
1
E
рис. 18.7
A B
C
D
S
O
E
рис. 18.8

276
геомеТрия
AO=2 2 ; SO
=2 2 .
Значит, OE
=1 2.
о О т Р О.
  0,5.
типовые задания Найти длину дуги окружности радиусом 6 см, отвечаю- щей центральному углу 135 ° ( p ≈ 3,14).
рРеРенР.
`
Длина дуги равна aR , где a — угол в радианах, R —
радиус:
= 3 4 ;
R  = 6; l= =
3 4 6 9 2 14 13
,.
о О т Р О.
` 14,13 см.
точки A, B, C делят окружность на три дуги так, что
∪ AB : ∪BC : ∪CA  = 2 : 3 : 4 (рис. 18.9). Найти углы DABC .
рРеРенР.
`
Сумма центральных углов, соответ-
ствующих дугам, равна 360 °, и они
соотносятся как 2 : 3 : 4:∠ AOB  = 2 x; ∠ BOC  = 3 x; ∠ AOC  = 4 x.
2 x + 3 x + 4 x = 360; 9 x = 360; x = 40.
∠ AOB  = 80 °; ∠ BOC  = 120 °;
∠ AOC  = 160 °.
Угол, опирающийся на хорду, ра-
вен половине соответствующего центрального угла: ∠ C = 40 °; ∠ A = 60 °; ∠ B = 80 °.
о О т Р О.
` 40°; 60 °; 80 °.
Найти расстояние от точки K до плоскости равнобедрен-
ного DABC , зная, что AB = BC  = 39 см, AC = 30 см, точка
K равноудалена от каждой стороны на 26 см (рис. 18.10).
рРеРенР.
`
Поскольку точка K равноудалена от всех сторон DABC ,
точка O равноудалена от всех сторон DABC , то есть
A B
C
O
рис. 18.9

иЗмерение углоВ, Длин оТреЗкоВ, ломаных, криВых
является центром вписанной окружности, OE — её ра -
диус. Найдём S
DABC :
p
= ++
=
39 39
30 2 54;
S
ABC
=
=
54 54 39 54 39 54 30540
() () () (форму-
ла Герона);
OE rS
p
ABC
== =

10;
из DEOK :
KO 2
 = KE 2
– OE 2
 = 26 2
– 10 2
 =  
= 16 ⋅ 36;
KO  = 4 ⋅ 9  = 36.
о О т Р О.
` 36 см.
A
B
Ñ
E K
O N
S
рис. 18.10

278
19. измерение Площадей
Правила и определения 
 Площадь боковой поверхности конуса — это площадь
развёртки конуса (рис. 19.1, б).

 Прибавляя к площади боковой поверхности конуса пло-
щадь его основания, получаем площадь полной поверх-
ности конуса .

 Площадь боковой поверхности цилиндра — это площадь
развёртки цилиндра (рис. 19.2, б).
R
l
2πR l
l
а ) коеус б) разтёрОка коеуса
рис. 19.1
R
H 2
πR
H
а) Цнлнедр б) разтёрОка цнлнедра
рис. 19.2

279
иЗмерение ПлощаДей

 Прибавляя к площади боковой поверхности цилиндра площади двух оснований, получаем площадь полной по-
верхности цилиндра .

 Площадь сферы можно определить как предел отноше-
ния приращения объёма шара к приращению радиуса, когда приращение радиуса стремится к нулю.
основные формулы

hПлощадь треугольника 1)
S ah
= 2 ,
где a — сторона треугольника, h — опущенная на неё
высота. 2)
S ab
= sin
,
2
где a, b — две стороны, a — угол между ними.
3) Формула Герона (см. формулу 4):
Sp papb pc = ()() () ,
где
p ab
c
= ++
2 — полупериметр ( a, b, c — стороны), r —
радиус вписанной окружности. 4) S = p ⋅ r .
5)
S ab
c R = 4 ,
где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружно-
сти.

hПлощадь прямоугольного треугольника
S ab
= 2 ,
где a, b — катеты.

hПлощадь равностороннего треугольника
S a
=
2
3 4 ,
где a — сторона.

280
геомеТрия

hПлощадь выпуклого четырёхугольника
Sd d = 1
2 12si n,
где
d
1,
d
2 — диагонали,
a — угол между ними.

hПлощадь параллелограмма 1) S = ah ,
где a — сторона, h — проведённая к ней высота.
2) S = ab sin a,
где a, b — стороны, a — угол между ними.

hПлощадь прямоугольника1) S = ab ,
где a, b — стороны.
2)
Sd =1 2
2
si n,
где d — диагональ, a — угол между диагоналями.

hПлощадь ромба 1) S = a 2
⋅ sin a,
где a — сторона, a — угол между сторонами.
2)
S dd
= 12 2 ,
где d
1,
d
2 — диагонали.

hПлощадь квадрата 1) S = a 2
,
где a — сторона;
2)
S d
= 2
2 ,
где d — диагональ.

hПлощадь трапеции
Sl h ab
h
== +
() , 2
где a, b — стороны, l — средняя линия, h — высота.

hПлощадь круга
S = p R 2
,
где R — радиус; p ≈ 3,14159.

281
иЗмерение ПлощаДей

hПлощадь кругового сектора
S R
=
2 2 ,
где
R — радиус; a — радианная мера центрального угла.

hПлощадь боковой поверхности конуса
Sбок  =
p Rl ,
где R — радиус основания, l — длина образующей.

hПлощадь полной поверхности конуса
S = p R ⋅ ( R + l)
(см. предыдущую формулу).

hПлощадь боковой поверхности цилиндра
Sбок  =
2 pRH ,
где R — радиус основания, H — высота.

hПлощадь полной поверхности цилиндра
S = 2 pR ⋅ ( R + H )
(см. предыдущую формулу).

hПлощадь сферы
S = 4 pR 2
,
где R — радиус.
объяснение и важные примеры Пример 1. Найти площадь трапеции, вершины которой
имеют координаты (4; 4); (10; 4); (5; 9); (3; 9) (рис. 19.3).
рРеРенР.
 
Площадь трапеции равна
Sa bh = + 1
2 () ,
где a, b — стороны, h — высота.
a  = 5 – 3  = 2; b = 10 – 4  = 6;
h  = 9 – 4  = 5.
S = +=
1 2 26 52 0
() .
о О т Р О.
  20.
49
3 4 5 10
рис. 19.3

282
геомеТрия
Пример 2. Найти площадь че-
тырёхугольника (рис. 19.4).
рРеРенР.
  Разделим четырё-
хугольник горизонтальной ли-
нией на два треугольника с об-
щим основанием, равным 6 см.
Высоты этих треугольников рав-ны 2 см и 3 см. тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей треугольников:
SS S
=+ =+=
12 1 2 62
1 2 63
15.
Ответ: 15 см 2
.
Пример 3. Найти площадь сектора круга радиусом 1 см,
длина дуги которого равна 2 см (рис. 19.5).
рРеРенР.
  Площадь всего круга
p R 2
 = p , так как R = 1. Поскольку длина
всей окружности равна 2 pR  = 2 p, длина
дуги в p раз меньше длины окружности.
Угол, на который опирается эта дуга,
также в p раз меньше полного оборота (то
есть 360 °). Значит, и площадь сектора бу-
дет в p раз меньше площади круга:
S ==
1.
о О т Р О.
  1 см2
.
Пример 4. Образующая конуса в 2 раза больше образующей
цилиндра. Площадь основания конуса в 4 раза больше пло-
щади основания цилиндра. Найти площадь полной поверхно-
сти цилиндра, если площадь полной поверхности конуса равна 212 см 2
.
рРеРенР.
  Для конуса: S
полн 1  =
p R 2
+ p Rl .
Для цилиндра (радиус основания равен
R
2 , так как пло-
щадь основания равна
R 2
4

; образующая равна l
2).
1 см
рис. 19.4
1 1
2
рис. 19.5

283
иЗмерение ПлощаДей
SRR
lRRlS
ïîëí ïîëí
2 2
2
1
2
2 2
22 22 21
2
2 106
=
+
=+
== =

.
о О т Р О.
  106 см2
.
Пример 5. Даны четыре точки A, B , C, D , не лежащие в од-
ной плоскости. Сфера касается прямых AB и AD в точке A, пря-
мых BC и CD в точке C. Найти площадь сферы, если AB = 1,
BD  = 2, ∠ABC  = ∠ BAD  = 90 ° (рис. 19.6).
B
D O
A C
K
M
рис. 19.6
рРеРенР.
  Проведём плоскость через точки A, C и центр
сферы. Пусть O — центр сферы, r — её радиус. Рассмотрим
тет раэдр ABCD. Поскольку сфера касается его рёбер AB и AD
в точке A, прямая OA перпендикулярна прямым AB и AD,
а значит, и плоскости грани ABD. Следовательно, сфера каса-
ется плоскости ABD в точке A.
Аналогично сфера касается плоскости BCD в точке C. Зна-
чит, она вписана в двугранный угол, образованный плоскостя- ми ABD и BCD .
Пусть плоскость, проходящая через прямые OA и OC, пе-
ресекает ребро BD указанного двугранного угла в точке K. так
как OA — перпендикуляр к плоскости ABD, а OC — к BCD, то
прямая BD перпендикулярна прямым OA и OC плоскости AKC.
Значит, BD ^ AK ; BD ^ CK ; то есть AK и CK — высоты
треугольников ABD и CBD .
В DABD : BD  = 2; AB = 1, BD — гипотенуза, поэтому
∠ ADB  = 30 °;
AD =3; AK AD = =1 2
3
2 .
Касательные, проведённые к сфере из одной точки, равны:
BC = BA  = 1;
KC KA = = 3 2 .

284
геомеТрия
Пусть KM — высота DAKC .
тогда
AM CM AK AM
== ==
22
3
4 1
2 1
2 .
Обозначим
∠OKC  = a . Из DAKM и DAKO :
rA OA K AK AM
KM
==
=
=
=
tg 3
2 2
2
1
2
6
2
( r — радиус сферы).
Следовательно, площадь сферы равна
44 6
2 6
2

r =


=
.
Ответ: 6 p.
типовые задания Найти площадь треугольника, стороны которого равны 26 см; 28 см; 30 см. рРеРенР.
` По формуле Герона:
Sppapb pc = () () () ,
где pab
c
= ++
2 .
В данном случае: a = 26; b = 28; c = 30; p = ++ =
26
2830 2 42;
S= =
42 16 1412 336.
о О т Р О.
` 336 см2
.
В круговой сектор, градусная мера дуги которого равна 60 °, вписана окружность радиусом 12 см. Найти площадь
сектора.
рРеРенР.
` Поскольку окружность вписана в сектор,
она имеет общую с сектором касательную в точке A
(рис. 19.7). Значит, прямые OA и NA (O — центр секто-
ра, N — центр окружности) перпендикулярны к этой
касательной, то есть совпадают. таким образом, точки O , N и A лежат на одной прямой.

иЗмерение ПлощаДей
Из равных прямоугольных треугольников ONB и ONC :
∠ BON  = ∠ CON .
так как ∠BOC  = 60 °, то
∠ BON  = 30 °.
Из DBON :
ON BN
=° == :s in :; 30 12 1
2 24
OA
 = ON + NA  = 24 + 12  = 36.
По формуле площади кругового сектора:
S R
== =


22
26 36
2 108 .
о О т Р О.
` 108p см 2
.
Образующая конуса наклонена под углом 60 ° к плоско-
сти основания, а площадь осевого сечения равна
63 см 2
.
Найти площадь боковой поверхности конуса.
рРеРенР.
` Пусть DSAB — осевое се-
чение конуса. Поскольку ∠SAB  = 
= ∠ SBA  = 60 ° (рис. 19.8), тре-
угольник SAB правильный. если
R — радиус основания конуса,
l — образующая, то l = SA  = AB  =
=  2R .
По формуле площади правильно- го треугольника:
S l
R
SA B
=
=
2
2
3 4 3;
R2
36 3
= ; R =6; l=26 .
По формуле площади боковой поверхности конуса:
SR l
áî ê ==
=

62 61 2.
о О т Р О.
` 12p см 2
. A
B
O CN
рис. 19.7

O
B
AS
рис. 19.8

286
20. ВыЧисление объёмоВ
основные формулы

hОбъём куба
1) V = a 3
,
где a — ребро.
2)
V d
= 3 9 3,
где d — диагональ.

hОбъём прямоугольного параллелепипеда
V = abc ,
где a, b, c — рёбра.

hОбъём призмы
V = S
осн
⋅ H ,
где S
осн — площадь основания,
H — высота.

hОбъём пирамиды
VS H = 1
3 îñí ,
где
S
осн — площадь основания,
H — высота.

hОбъём цилиндра
V = S
осн
⋅ H ,
где S
осн — площадь основания,
H — высота.

hОбъём конуса
VS H = 1
3 îñ
í ,
где
S
осн — площадь основания,
H — высота.

287
ВыЧиСление объёмоВ

hОбъём шара
VR = 4 3
3
,
где R — радиус.
объяснение и важные примеры Пример 1. Диагональ куба равна 15 см. Найти объём куба.
рРеРенР.
 
По формуле объёма куба:
V d
= = =
33 9 3
15 9 3
375 3.
о О т Р О.
  375 3 см3
.
Пример 2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда
равна 13 см, а диагонали боковых граней равны
41 0 см и
317 см. Найти объём параллелепипеда.
рРеРенР.
 
Пусть ABCDA
1B
1C
1D
1 — прямо-
угольный параллелепипед (рис. 20.1);
B1D
 = 13;
AD
1 31
7
= ; CD
1 41
0
= .
Поскольку прямая A
1B
1 перпендику-
лярна плоскости ADD
1A
1,
A
1B
1
^ A
1D
.
Из DA
1B
1D
по теореме Пифагора:
AB BDAD
11 12
12
169 153 4
= ==.
Аналогично из DB
1C
1D
:
BC BDCD
11 12
12
169 160 3
= ==.
Из DC
1D
1D
:
DD CD CD CD AB
11 2
112
12
112
160 16 12
== ==.
По формуле объёма прямоугольного параллелепипеда:
V = 4 ⋅ 3 ⋅ 12  = 144.
о О т Р О.
  144 см3
.
A 1 B
1
A D
B
C
C
1
D 1
рис. 20.1

288
геомеТрия
Пример 3. Пусть DABC — правильная треугольная пирами-
да (рис. 20.2); AB = 3;
AD = 23 . Найти объём пирамиды.
рРеРенР.
  По формуле площади рав-
ностороннего треугольника:
S a
îñ í =
=
2
3
4 93
4 ( a — сторона).
По формуле радиуса описанной
окружности (так как пирамида и треу- гольник ABC — правильные):
AO Ra
= = =
3 3 3.
Из
DAOD по теореме Пифагора:
DO HA DAO
== = =
22
12 33 .
По формуле объёма пирамиды:
VSH
= ==
1 3
1
3
93
4 3 93
4 îñí .
о О т Р О.
  93
4 см 3
.
Пример 4. Длины всех рёбер правильной треугольной при-
змы (рис. 20.3) равны между собой. Найти объём призмы, если площадь её поверхности равна
23 12
+() см 2
.
рРеРенР.
  Пусть a — длина каж-
дого ребра призмы (и одновременно высота, так как призма правильная). Площадь основания:
S a
îñ í =
2
3
4
(как площадь правильного треуголь- ника). Площадь боковой поверхности:
S бок  =
3 a2
.
SS Sa a
ïîëí áîêî ñí
=+
=+

= +
() 23 3
2 63
2
2
2
.
A B
CD
O
рис. 20.2
A
B C
B
1 C
1
A
1
рис. 20.3

289
ВыЧиСление объёмоВ
a2
63
2 23 12
+ () =+ ;
a 2
 = 4; a = 2.
S
îñ í =
=
23 4 3
2
; H  = 2.
По формуле объёма призмы:
VS H
= =
îñ í 23 .
о О т Р О.
  23 см 3
.
Пример 5. В основании прямой призмы лежит прямоуголь-
ный треугольник с катетами 1 см и 4 см (рис. 20.4). Боковые
рёбра равны 2 см. Найти объём цилиндра, описанного около этой призмы.
рРеРенР.
  Объём цилиндра равен V = p R 2H ,
где R — радиус основания, H — высота.
Здесь H = 2, R — половина гипотенузы
основания (так как оно представляет собой прямоугольный треугольник).
R =+ =
1
2 14
17
2
22
;
V=


=

17
2 2
17
2
2
.
о О т Р О.
  17
2

см 3
.
Пример 6. В цилиндр вписаны шар и конус, причём высо-
та цилиндра равна диаметру его основания. Найти отношение объёма конуса к объёму: а) шара; б) цилиндра.
рРеРенР.
  Объём шара:
VR
øø = 4
3 3
;
объём цилиндра: VR H öö ö = 2
;
объём конуса: VR H êê ê
= 1 3
2
.
Высота цилиндра равна диаметру шара, то есть шар ка-
сается обоих оснований цилиндра в их центре. Поэтому H ц =
2 R
ш,
R
ц =
R
ш, откуда
O
2
O
1
рис. 20.4

290
геомеТрия
VR RR öø øø == 23
22 ; VRøø = 4 3
3
;
VR RR êê øø = =
1 3 2 2 3
23
.
Значит, V
V ê
ø =
1 2; V
V ê
ö =
1
3 .
о О т Р О.
  а) 1
2 ; б) 1
3 .
типовые задания
Основания равнобокой трапеции равны 2 см и 8 см, боко-
вая сторона равна 5 см. Найти объём тела, полученного вращением трапеции вокруг большего основания. рРеРенР.
` Искомое тело пред-
ставляет собой объединение
цилиндра, полученного враще-
нием прямоугольника ECDF
вокруг стороны EF, и двух ко-
нусов, полученных вращением D BCE вокруг катета BE, и DADF
вокруг катета AF (рис. 20.5).
AB  = 8; CD = 2; AD = BC  = 5.
Поскольку EF = CD  = 2,
D BEC  = D ADF , получаем
BE AF
== =
1 2 82
3
() .
Из DBEC : CE BC BE
= ==
22
22
53 4.
Значит, высота цилиндра равна EF = 2, радиус осно-
вания равен CE = 4. Объём V
ц =
p ⋅ 4 2
⋅ 2  = 32 p. Высота
конуса равна BE = AF  = 3, радиус основания равен 4.
Объём:
V ê =
=
1 3 43
16
2 .
Объём тела вращения:
V = V
ц
+ 2 V
к =
32 p + 2 ⋅ 16 p = 64 p.
о О т Р О.
` 64p см 3
.
A
B
D
C
E
F
рис. 20.5

ВыЧиСление объёмоВ
Длина стороны основания правильной четырёхугольной
призмы (рис. 20.6) равна 3 см. Диагональ призмы образу-
ет с плоскостью боковой грани угол 30°. Найти объём
призмы.
рРеРенР.
` Призма представляет
собой прямоугольный парал-
лелепипед с квадратом в осно-
вании. Ребро B
1C
1 перпенди-
кулярно плоскости CDD
1C
1, то
есть DB
1C
1D
— прямоуголь-
ный, ∠B
1DC
1 =
30 °; B
1C
1 =
3.
Значит,
CD 1 33
033
= °=
ct g.
Из прямоугольного DC
1CD
:
CC CDCD
11 22
2793 2
= ==.
По формуле объёма прямоугольного параллелепипеда
V= =
333 2272.
о О т Р О.
` 27 2 см3
.
A 1 B
1
A D
B
C
C
1
D 1
рис. 20.6

292
21. координаты и Векторы
Правила и определения 
 Прямоугольная система коорди-
нат на плоскости образуется дву-
мя взаимно перпендикулярными осями координат O
x и
O
y
(рис. 21.1).

 Оси координат пересекаются в точке O, называемой началом
координат . На каждой оси выбра -
но положительное направление.Четыре угла (I, II, III, IV), обра -
зованные осями координат, называются координатными углами, или квадрантами. Положение точки A на плоско -
сти определяется двумя координатами x и y. Координата
x равна длине отрезка OB (со знаком « +», если точка B
расположена правее оси O
y, «–» — если левее), координата
y — длине отрезка OC (со знаком « +», если точка C распо -
ложена выше оси O
x, «–» — если ниже) в выбранных еди
-
ницах измерения. точки B и C — проекции A на оси. Ко -
ордината x называется абсциссой точки, y — ординатой .

 Прямоугольная система координат в пространстве обра-
зуется тремя взаимно перпендикулярными осями коор-динат O
x,
O
y и
O
z (рис. 21.2). Оси координат пересекают-
ся в точке O (начало координат), на каждой оси выбра-
но положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях.
I IV
IIIII
O B
C
A
y
x
рис. 21.1

293
коорДинаТы и  ВекТоры
Положение точки A в простран-
стве определяется тремя коор- динатами x; y; z. Координаты x;
y ; z равны длинам отрезков OB,
OC и OD с соответствующими
знаками ( B, C, D — проекции
точки A на оси O
x,
O
y,
O
z).

 Вектором называется направ-
ленный отрезок (рис. 21.3):
aA B
= .
Направление на отрезке указы- вают стрелкой.

 Длина (модуль) вектора — дли-
на направленного отрезка. Обо- значается
a .

 Нулевой вектор ()0 — вектор, у которого начало и конец
совпадают;
00 = , направление не определено.

 Коллинеарными называются ненулевые векторы, лежа-
щие на одной прямой либо на параллельных прямых.

 Компланарными называются векторы в пространстве
(в количестве не менее трёх), расположенные в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

 Равными называются два вектора, если они коллинеар-
ны, одинаково направлены и равны по длине (рис. 21.4).

 Противоположными называются противоположно на-
правленные коллинеарные векторы равной длины. Они обозначаются
a и − a (рис. 21.5).

 Углом между векторами называется угол, образованный
векторами, равными данным и имеющими общее начало.
a b a a

рис. 21.4 рис. 21.5
A
D
B C
x y
z
рис. 21.2
A B
a
рис. 21.3

294
геомеТрия
a b+
a
b a
b
a b −
рис. 21.6 рис. 21.7

 Суммой векторов
a и b называется вектор () , ab+ нача-
ло которого совпадает с началом вектора
a , а конец —
с концом вектора
b , если совместить конец вектора a
и начало вектора
b (рис. 21.6).

 Разностью векторов
a и b называется вектор () , ab −
который при сложении с вектором
b даёт вектор a . Он
равен
ab +() (рис. 21.7).

 Произведением вектора
a на число k называется вектор
ka , длина которого равна ka ⋅ , сонаправленный с век-
тором
a при k > 0 и противоположно направленный при
k < 0.

 Скалярное произведение векторов — произведение их
длин на косинус угла между ними.
основные формулы

hРасстояние между точками M
1(
x
1;
y
1;
z
1) и
M
2(
x
2;
y
2;
z
2)
dx
xy yzz
= ++
() () () .
21 2
21 2 21 2

hУравнение сферы
(x – x
0)2
+ ( y – y
0)2
+ ( z – z
0)2
 = R 2
,
где ( x
0;
y
0;
z
0) — координаты центра;
R — радиус.

hДлина суммы векторов
ab ab ab
+= +
2
2 2c os
,

где a — угол между векторами.

295
коорДинаТы и  ВекТоры

hСвойства операций над векторами
ab ba +=+;
() () ;
ab ca bc ++ =+ +
ab ab
= +() ;
aa + =
() ;
0
() ();
kl ak la
=
() ;klak ala
+ =+
ka bk akb
+ =+
() ,
где a, b, c — векторы; k, l — числа.

hКоординаты вектора
AB xx yy zz BABA BA = (; ;) ,
где A(x
A;
y
A;
z
A) — начало вектора;
B(x
B;
y
B;
z
B) — конец
вектора.

hСкалярное произведение
ab xxyyzz
= ++ 12 1212,
где ax
yz
(; ;) ;
11 1 bxyz
(; ;) .
22 2

hСвойства скалярного произведения
aa a
= 2
0  ;
aa a
= =
00 ;
ab ba = ;
() () ;
ka bk ab
=
() ;
ab cacbc
+ =+
ab ab = 0,
где a, b, c — векторы, k — число.

hДействия над векторами, заданными своими координа- тами
ab cxxy yzz
+= ++ +
(; ;) ;
12 11 12
abcxxy yzz
=
(; ;) ;
12 11 12

296
геомеТрия
kackxk ykz= (; ;) ,
11 1
где axyz
(; ;) ;
11 1 bxyz
(; ;) ;
22 2 k — число.

hУгол между векторами
= ++
++ ++
arcco
s
() ()
,
xx
yyzz
xy zx
yz
121212
1 2
12
12
22
22
22
где ax
yz
(; ;) ;
11 1 bxyz
(; ;) ;
22 2 j — угол между векторами
a и b.

hУсловие перпендикулярности векторов
ab ^ , если x
1x
2
+ y
1y
2
+ z
1z
2 =
0,
где
ax yz
(; ;) ;
11 1 bxyz
(; ;) .
22 2

hУсловие коллинеарности векторов
ab  , если x
x y
y z
z
1
2 1
2 1
2
= =
,
где axyz
(; ;) ;
11 1 bxyz
(; ;) .
22 2
объяснение и важные примеры
Пример 1. Вычислить расстояние между точками A(2; –1; 3)
и B(4; 3; 2).
рРеРенР.
  По формуле расстояния между точками:
d= ++ =
() (())() .
42 31 2321
22
2
о О т Р О.
  21 .
Пример 2. Составить уравнение сферы с центром в точке

A (–2; 2; 0), проходящей через точку N(5; 0; –1).
рРеРенР.
  Уравнение сферы с центром в точке A имеет вид:
( x + 2) 2
+ ( y – 2) 2
+ z 2
 = R 2
.
Поскольку точка N принадлежит сфере,
(5 + 2) 2
+ (0 – 2) 2
+ (–1) 2
 = R 2
; R 2
 = 54.
Уравнение сферы: (x + 2) 2
+ ( y – 2) 2
+ z 2
 = 54.

297
коорДинаТы и  ВекТоры
21.1. дейстВия над Векторами. сложение ВектороВ
Правило треугольника. Для сложения векторов
a и b от
конца вектора
a откладываем вектор b. тогда вектор () ab +
направлен из начала вектора
a в конец
вектора
b (см. рис. 21.6).
Аналогично можно сложить более
двух векторов (правило многоугольника) (рис. 21.8). Правило параллелограмма. Для сло-
жения векторов
a и b совмещаем параллельным переносом их
начала. Затем строим на этих векторах
параллелограмм. тогда вектор
() ab + на-
правлен из общего начала векторов
a и b
по диагонали параллелограмма (рис. 21.9).
Отметим, что вектор
()ab − направ-
лен по диагонали из конца вектора
b
в конец вектора
a (см. рис. 21.7).
Пример 3. В параллелограмме ABCD (рис. 21.10) точка M —
точка пересечения диагоналей. Найти множитель k, если
AB CB MD kBD ++ =.
рРеРенР.
  Очевидно, CBDA
= . По правилу треугольника:
AB CB MD ABDA MD MD DAABMB
++ =++= ++=.
В соответствии с определением
умножения вектора на число и учи- тывая то, что точка пересечения ди-
агоналей параллелограмма делит их пополам, получаем:
MB BD
=
1 2 ; k
= 1 2.
о О т Р О.
  − 12.
Пример 4.
Найти координаты вектора AB, если A(2; 0; 1);
B (3; –3; 5).
a
b
c
+ +
рис. 21.8
a
b
a b+
рис. 21.9
AB C D
M
рис. 21.10

298
геомеТрия
рРеРенР.
  По правилу вычисления координат вектора по ко-
ординатам начала и конца:
ax =
3 – 2  = 1; a
y =
–3 – 0  = –3; a
z =
5 – 1  = 4;
AB (; ;) .
13 4

о О т Р О.
  (1; –3; 4).
Пример 5. Найти координаты вектора
ABBC
− 2, если
A (3; –2; 1); B(2; 0; 5); C(–1; 1; 4).
рРеРенР.
 
AB (; () ;) ;
23 02 51 −− −− BC(; ;) ,
−− −− 12 10 45
то есть AB(; ;) ;
− 12 4 BC(; ;) . −−31 1
По правилам действий над векторами, заданными своими
координатами:
aA BB C
= 2;
a
x =
–1 – 2 ⋅ (–3)  = 5; a
y =
2 – 2 ⋅ 1  = 0; a
z =
4 – 2 ⋅ (–1)  = 6.
о О т Р О.
  (5; 0; 6).
Пример 6. Доказать, что диагонали четырёхугольника
ABCD , где A(–4; –4; 4); B(–3; 2; 2); C(2; 5; 1); D(3; –2; 2), вза-
имно перпендикулярны.
рРеРенР.
  Диагоналям четырёхугольника соответствуют
векторы
AC и BD :
AC (( );() ;) ;
24 54 14 −− −− − BD(( ); ;) ,
33 22 22 −−−− −
то есть AC(; ;) ;
69 3
− BD (; ;) .
64 0

Проверим условие перпендикулярности:
AC BD
= ++ =
66 94 300
()() ,
то есть ACBD
^ , что и требовалось доказать.
Пример 7. Найти угол A в треугольнике ABC, где A(2; –1; 3);
B (1; 4; 2); C(3; 2; 5).
рРеРенР.
  Искомый угол — угол между векторами
AB
и
AC (рис. 21.11).
AB (; () ;) ;
12 41 23 −− −− AC(; () ;) ,
32 21 53 −− −−
то есть AB(; ;) ; −−15 1 AC(; ;) .
13 2

299
коорДинаТы и  ВекТоры
AB
C
рис. 21.11
По формуле угла между векторами:
=
+ +
+ ++ +=
A arcco s () ()
(( )( ))
()
1153 12
15 1132
22
22
22
=
=
== arccosa rccosa rccos
12
27 14 12
33 14 4
42
= °
arcco s.24 2
21 51 53
о О т Р О.
  51°53 ′.
Отметим, что угол между векторами острый, если их ска-
лярное произведение положительно, и тупой — если отрица- тельно.
типовые задания В плоскости треугольника ABC находится точка N, для
которой выполняется соотношение
NA NB NC
++= 0.
Доказать, что N — центр тяжести DABC .
рРеРенР.
`
NA NB NC ND += = ,
где точка D симметрична точ-
ке C относительно N. По пра-
вилу параллелограмма ND —
диагональ параллелограмма ANBD (рис. 21.12).
Поскольку диагонали парал-
лелограмма пересекаются по-середине, точка E — середина стороны AB, то есть N
лежит на медиане AE. Аналогично доказывается, что
N лежит на остальных медианах, а значит, является
A
D
B
C
N
E
рис. 21.12

геомеТрия
точкой пересечения медиан, то есть центром тяжести, что и требовалось доказать.
При каком значении параметра k векторы
ak(; )
23 +
и
bk (; )
52 1
− взаимно перпендикулярны?
рРеРенР.
` По условию перпендикулярности:
ab= 0; 2 ⋅ (5 – 2 k) + (3 + k ) ⋅ 1  = 0; 10 – 4 k + 3 + k  = 0;
13 – 3 k = 0;
k = =13 3 413.
о О т Р О.
` 4 13.
Даны координаты трёх вершин параллелограмма
ABCD:
A (2; 3; 1); B(3; –1; 2); C(4; 0; 4) (рис. 21.13). Найти коор-
динаты вершины D.
рРеРенР.
` Пусть (x; y; z) — не-
известные координаты. Вос- пользуемся тем, что
CD BA
= .
CD xy z
(; ;) ; −− 45
BA (; () ;) ,
23 31 12 −− −−
то есть
BA (; ;) . −−14 1
Значит:
x y
z =

=
=



41
4
51
;
;
;
x  = 3; y = 4; z = 4. D(3; 4; 4).
о О т Р О.
` (3; 4; 4).
AB C
D
рис. 21.13

Элементы
комбинаторики,
статистики
и теории
Вероятностей

302
22. ЭлеМенТы коМБинаТорики
Правила и определения 
 Перестановкой из n элементов называется любое упоря -
доченное множество, составленное из этих элементов (все
элементы входят в определённом порядке по одному разу).
Количество всех перестановок из n элементов обознача-
ется P
n.

 Факториалом натурального числа n называется произве-
дение всех натуральных чисел от 1 до n:
n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n .
По определению, 0! = 1.

 Размещением из n элементов по m называется любое упо-
рядоченное множество из m различных элементов данно-
го n-элементного множества.
Количество всех размещений обозначается
A nm
.

 Сочетанием из n элементов по m называется любое не-
упорядоченное множество из m различных элементов
данного n-элементного множества.
Количество всех сочетаний обозначается
Cnm .

Правило суммы: если элемент a можно выбрать m способа -
ми, а элемент b — n способами, исключающими друг дру -
га, то выбор a или b можно осуществить ( m + n ) способами.


Правило произведения: если элемент a можно выбрать m
способами и после каждого такого выбора можно элемент b выбрать n способами, то выбор пары ( a; b) (в указанном
порядке) можно осуществить ( m ⋅ n ) способами.

303
ЭлеменТы комбинаТорики
О сновные формулы

hЧисло перестановок из n элементов
P n
= n !
n
n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800

hЧисло размещений из n элементов по m
An
nm
n
m
=
! () !
;
An nn m
n m
= +
() ... () . 11

hЧисло сочетаний из n элементов по m
Cn
mn m
n
m
=
!
!( )!;
C
nn
nm m nm
= +() ... ()
! . 11

hОсновные свойства числа сочетаний
CCnm nnm
=
;
CCnn n
0
1
= = ;
CC n
nn n ==
1
;
CC C
n m
nm
nm +=
+ ++ 1
11
(если
n > m).

304
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей

hФормула бинома Ньютона
() ...
ab CabaCabCab
n mn
mm
m
n
nnn
nn
+= =++
+ +

= 0 11
222
+ +

Ca
bb
n nn n11 .
Число C
nm называется также биномиальными коэффици-
ентами.

hСумма биномиальных коэффициентов
CC CC n m
m n
nn n nn
=

=+
++=
0 01
2
... .
Объяснение и важные примеры
22.1. ПерестаноВки
Множество из трёх элементов можно упорядочить 6 спосо-
бами, а именно: поставить на первое место 1, 2 или 3 (3 спосо-
ба), одну из двух неиспользованных цифр поставить на второе
место (2 способа), третья цифра определится однозначно. Это можно проиллюстрировать следующей схемой:
1
1
1 1
1
1
3
3 3
3
3 3 2 2
2
2 2
2
P3
= 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6.
Аналогично P
n
= n ⋅ ( n – 1) ⋅ … ⋅ 1 = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ n = n !
Пример. Сколькими способами можно рассадить в ряд 6 че-
ловек?
рРеРенР.
  P
6
= 6! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 720.
о О т Р О.
  720.

305
ЭлеменТы комбинаТорики
22.2. размещения
Пусть множество содержит n элементов. то гда первый эле-
мент можно выбрать n способами, после этого второй — уже
только ( n – 1) способами (первый выбран и более не исполь-
зуется), третий — ( n – 2) способами, …., m-й — ( n – m + 1)
способами:
An nn mn
nm
n
m
= +=

()
...() ! () !. 11
если
m = n , то AA Pn nm
nn
n
= =
=!, то есть перестановки —
частный случай размещений.
Пример. Сколькими способами можно составить расписа-
ние экзаменов, если за 10 дней нужно сдать 4 экзамена, при- чём разные дисциплины сдаются в разные дни?
рРеРенР.
 
A
104
1098 7504 0
= =.
о О т Р О.
  5040.
22.3. соЧетания
Каждое m-элементное сочетание можно упорядочить m!
способами. Поэтому количество сочетаний по m элементов
в m! раз меньше количества размещений по m элементов:
C A
m nn
nm
m n
mn m
n
m
nm
==
+
=

! ()
...()
! !
!( )!.
11
Поскольку каждому сочетанию выбранных
m элементов
соответствует ровно одно сочетание невыбранных ( n – m) эле-
ментов, верна формула
CCnm nnm
=
.
Пример 1. В кодовом замке 10 кнопок, и он открывается
одновременным нажатием трёх кнопок. Сколько существует возможных кодов для такого замка?
рРеРенР.
 
C
103
10
98 12 3 120
=
= .
о О т Р О.
  120.

306
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей
Пример 2. Вычислить C
129
.
рРеРенР.
  CC C
12 9
1212
9
123
12 11
10 123 220
== =
=

.
о О т Р О.
  220.
Пример 3. На собрании присутствует 15 человек. Скольки-
ми способами можно выбрать председателя и актив, если ак- тив должен состоять из 3 человек?
рРеРенР.
  Председателя можно выбрать 15 способами. По-
сле этого актив можно выбрать
C 143
14 13
12 123 364
=
= способа-
ми (выбираем троих без учёта порядка из оставшихся 14 чело- век). Искомое количество по правилу произведения равно: 15 ⋅ 364 = 5460.
о О т Р О.
  5460.
Пример 4. Сколькими способами группу из 10 человек мож-
но рассадить в три ряда так, чтобы в первом ряду сидело 5 че-ловек, во втором — 3, а в третьем — 2?
рРеРенР.
  Выбираем 5 человек для первого ряда. Поскольку
порядок не важен, это можно сделать
C 105 способами. Затем
для второго ряда из оставшихся 5 человек следует выбрать
троих. Это можно сделать
C 53 способами. В третьем ряду авто-
матически останутся два человека. По правилу произведения:
CC105
53
10
55 5
32 10
532 10
98 76
12 312
=

=
=

=
!
!! !
!! !
!! ! 2
2520 .
о О т Р О.
  2520.
Рассмотрим множество, содержащее n элементов. Все m-эле -
ментные подмножества можно разбить на две группы: подмно -
жества, в которые входит некоторый элемент a, и подмножества,
в которые он не входит. Число подмножеств первой группы рав -
но
C nm
− −11 (они получаются присоединением элемента
a к некото -
рому не содержащему его ( m – 1)-элементному множеству), во
второй группе
C nm
−1 подмножеств. Поэтому
CC Cnm nm nm =+

1 1
1 или CC Cnm nm nm
+= +
++
1
11
.

307
ЭлеменТы комбинаТорики
22.3.1. Треугольник Паскаля
Запишем все числа
C nm (
m = 0; 1; 2; …; 0  m  n ) в виде
тре угольной таблицы:
C 00
C 10
C11
C 20
C21
C22
C 30
C31
C32
C33
C 40
C41
C42
C43
C44
… … … … … …
С учётом свойств числа сочетаний
(;CCnn n
0
1
= =
CC C
n m
nm
nm =+
1 1
1) таблица имеет следующий вид:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
… … … … … … … …
В первой строке таблицы ( n = 0) записана единица, во вто-
рой — по единице по сторонам от неё, в каждой последующей
строке первые и последние числа — единицы, а любое другое
число равно сумме двух ближайших к нему чисел сверху. Эта таблица называется треугольником Паскаля.
22.3.2. Формула бинома ньютона
В разложении ( a + b )n
содержится ровно ( n + 1) слагаемых,
имеющих вид
Ca bnmn mm
(0  m  n ). Коэффициенты Cnm
образуют n-ю строку треугольника Паскаля и иначе называют-
ся биномиальными коэффициентами.
Сумма биноминальных коэффициентов равна 2 n
:
CC C
nn
n nn n
01 11
2
++ += += ... () .

308
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей
Пример. Возвести в шестую степень x x +



1
.
рРеРенР.
  Воспользуемся треугольником Паскаля:
x
x xx
xx
x x
x x
+



=+
+


+


+
1
61
15 1
20 1
15
6
65 42
33
2


+
1
4
x
+
+
=+
++ +++
6 11
6152 015 61 56
64 2
24 6
x
xx xx
x
xx x.
22.4.
решение Простейших комбинаторных задаЧ
При решении комбинаторных задач следует определить
виды используемых комбинаций (перестановки, размещения, сочетания). При этом следует помнить, что: • перестановки отличаются друг от друга порядком распо-ложения элементов;
•  размещения отличаются или выбором элементов, или по-рядком их расположения;
•  сочетания отличаются только выбором элементов (но не порядком).
При выборе формулы можно пользоваться приводимой
ниже схемой.
учитывается ли порядок следования элементов
СочРОаеня
C n
mn m
nn nm
m
nm
=
=
=

+

!
!(
)!
() ...
()
...
11
12
Да ВсР лн элРмРеОы тходяО
нРО
Да
нРО
ПРрРсОаеоткн Pn
= n !
размРщРеня
A n
nm
nn nm
n
m
=
=
= +
!
()!
() ...
()
11

309
ЭлеменТы комбинаТорики
Основная часть комбинаторных задач решается с исполь-
зованием правила суммы и правила произведения. При выборе
правила учитываем, как выбираются элементы. если нужно
выбрать один из элементов взаимоисключающими способами (или a, или b), то используем правило суммы, а если два эле-
мента ( a и b), то правило произведения.
Типовые задания Сколько существует натуральных чисел, не превышаю-щих 1000, все цифры которых различны? рРеРенР.
` Подходящее число будет либо двузначным,
либо трёхзначным. если число двузначное, то первую цифру можно выбрать 9 способами (кроме 0), после
этого вторую — также 9 способами (кроме первой). По
правилу произведения, общее количество таких чисел
равно 9 ⋅ 9 = 81. если число трёхзначное, то первую
цифру можно выбрать 9 способами, вторую — также
9 способами, а третью — 8 способами (кроме первой и
второй). Всего таких чисел 9 ⋅ 9 ⋅ 8 = 648. По правилу
суммы находим искомое количество: 81 + 648 = 729.
о О т Р О.
` 729.
Сколькими способами можно расставить на полке 8 учеб-
ником, среди которых 3 учебника математики, таким образом, чтобы все учебники математики стояли рядом? рРеРенР.
` Существует 6 способов выбрать места для учеб-
ником математики (с 1-го по 3-е, со 2-го по 4-е, …, с 6-го по 8-е). На выбранных местах учебники математики можно расставить 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 способами. После это-
го на оставшихся 5 местах следует расставить осталь-
ные учебники. Это можно сделать 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 
= 120 способами. По правилу произведения искомое ко-
личество равно: 6 ⋅ 6 ⋅ 120 = 4320.
о О т Р О.
` 4320.

310
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей
Сколькими способами можно разложить 4 различных
шара по 7 ячейкам так, чтобы в каждой ячейке было не более одного шара?
рРеРенР.
` требуется выбрать номера заполненных яче-
ек, причём важен порядок следования номеров (в ка-
кой ячейке — 1-й шар, в какой 2-й и т. д.). Поэтому
искомое количество равно числу размещений по 4 из 7:
A 74
76 54 840
= = .
о О т Р О.
` 840.
в ажное и интересное

 комбинации с повторениями
рассмоОрнм комбнеацнн (пРрРсОаеоткн, размРщРеня, сочРОаеня) с потОо­ рРенямн, Оо РсОь ОакнР, срРдн элРмРеОот коОорых могуО быОь однеакотыР (т каком­Оо смыслР еРразлнчнмыР).
Перестановками с повторениями по k
1,
k
2, …,
k
m элРмРеОот еа меожРсОтР
нз N элРмРеОот ( N = k
1
+ k
2
+ … + k
m ) еазытаюО тсРтозможеыР упорядочРе­
еыР группы нз N элРмРеОот, срРдн коОорых ротео k
1 элРмРеО пРртого Онпа,
k 2 — тОорого Онпа, …,
k
m —
m­го Онпа. ЭлРмРеОы одеого Онпа мРжду собой
еР разлнчаюОся. колнчРсОто Оакнх пРрРсОаеоток обозеачаюО P(k
1,
k
2, …,
k
m ).
еслн разлнчаОь элРмРеОы пРртого Онпа, Оо, согласео пратнлу пронзтРдР­
еня, колнчРсОто пРрРсОаеоток утРлнчнОся т k
1! раз, Рслн далРР разлнчаОь
пРрРсОаеоткн тОорого Онпа — Рщё т k
2! раз, н О. д. ВсРго т
рРзульОаОР будРО
N ! пРрРсОаеоток (тсР пРрРсОаеоткн еа меожРсОтР нз N элРмРеОот). Такнм
образом, N! = P (k
1,
k
2, …
k
m )
⋅ k
1!
⋅ k
2!
⋅ … ⋅ k
m !
Pk
kk N
kk k
m
m
(,
,..., ) !
!! ...!
12
12
=

Пример. ЭмблРма еРкой оргаензацнн должеа сосОояОь нз размРщёееых
послРдотаОРльео 2 чёреых, 3 красеых н 4 зРлёеых полос. Сколькнмн спо­
собамн можео тыполенОь эмблРму?
Решение . СлРдуРО еайОн колнчРсОто пРрРсОаеоток с потОорРенямн по 2, 3, 4
элРмРеОа еа меожРсОтР нз 9 элРмРеОот (9 = 2 + 3 + 4; Онп полосы — Рё цтРО):
P (; ;) !
!! ! .
23 4
9
23 41260
=
=
 ОтеО.
1260.
размещениями с повторениями по m элРмРеОот еа меожРсОтР нз n элР­
мРеОот еазытаюО тсРтозможеыР упорядочРееыР группы, содРржащнР рот­ ео m элРмРеОот эОого меожРсОта, срРдн коОорых могуО быОь однеакотыР.

311
ЭлеменТы комбинаТорики
В сооОтРОсОтнн с пратнлом пронзтРдРеня колнчРсОто Оакнх размРщРенй
должео быОь ратео nm
, Оак как пРртый элРмРеО можео тыбраОь n способа­
мн, тОорой — ОакжР n способамн н О. д.
An
nmm
= .
Пример. Сколько сущРсОтуРО чРОырёхзеачеых чнсРл, тсР цнфры коОорых
еР мРеьеР 5?
Решение . Подходящнх цнфр 5 (оО 5 до 9). СлРдуРО еайОн чнсло размРщРенй
с потОорРенямн по 4 элРмРеОа нз 5:
A 544
5 625
= = .
 ОтеО. 625.
Сочетаниями с повторениями по m элРмРеОот еа меожРсОтР нз n элР­
мРеОот еазытаюОся тсРтозможеыР еРупорядочРееыР группы, содРржащнР
ротео m элРмРеОот эОого меожРсОта, срРдн коОорых могуО быОь однеако­
тыР. любая Оакая группа полеосОью опрРдРляРОся колнчРсОтом элРмРеОот нсходеого меожРсОта, содРржащнхся т еРй. напрнмРр, т сочРОаенн с по­
тОорРенямн по 5 элРмРеОот нз 3 могуО быОь 1 пРртый элРмРеО меожРсОта,
2 тОорых н 2 ОрРОьнх, можРО быОь 4 пРртых н 1 ОрРОнй н О. д. Для Оого чОобы
опрРдРлнОь колнчРсОто Оакнх сочРОаенй, посОатнм тмРсОР с m элРмРеОамн
( n – 1) указаОРлРй, оОлнчающнх, сколько 1 – x, 2 – x н О. д. элРмРеОот нсход­
еого меожРсОта тходнО т даееоР сочРОаенР. напрнмРр,
|x || x||
озеачаРО, чОо тходяО 1 пРртый элРмРеО, 2 тОорых н 2 ОрРОьнх, а
||||xx|
озеачаРО, чОо тходяО 4 пРртых элРмРеОа н 1 ОрРОнй (элРмРеОы: |; указаОРлн:  x).
Такнм образом, еа ( m + n – 1) мРсОР ( m элРмРеОот н ( n – 1) указаОРль) слРду­
РО оОмРОнОь мРсОа, еа коОорых сОояО указаОРлн (нлн мРсОа для элРмРеОот).
Прнходнм к обычеой задачР о чнслР сочРОаенй
CC C
n m
mnn
mnm
== +

+
1
1
1.
Пример.
Сколькнмн способамн можео распрРдРлнОь мРжду 3  людьмн
6 однеакотых прРдмРОот? а сколько способот сдРлаОь эОо Оак, чОобы каж­ дый получнл хоОя бы одне прРдмРО?
Решение. Для оОтРОа еа пРртый топрос еРобходнмо еайОн чнсло сочРОаенй
с потОорРенямн нз 3 по 6 (колнчРсОто групп нз 6 прРдмРОот, с указаенРм,
сколько нз енх прнеадлРжнО пРртому чРлотРку, сколько тОорому н сколь­
ко — ОрРОьРму):
CC C
3 6
361
31
82
87 2 28
== = =
+
.
Для оОтРОа еа тОорой топрос раздаднм каждому чРлотРку сразу по одеому
прРдмРОу. Тогда осОаеРОся распрРдРлнОь 3 прРдмРОа мРжду 3 людьмн.
CCC
3 6
331
31
52 54
2 10
== = =
+
.
 ОтеО. 28; 10.

312
23. ЭлеМенТы СТаТиСТики
Правила, определения, законы 
 Математическая статистика — раздел математики, по-
свящённый математическим методам систематизации и анализа данных, связанных с массовыми явлениями.

 Статистическое наблюдение — научно организованный
сбор массовых данных.

 Выборка — часть изучаемой совокупности, отобранная
специальным методом. Величина (объём) выборки — чи-
сло объектов выборки.

 Генеральная совокупность — вся совокупность, из кото-
рой делают выборку. Величина (объём) генеральной со-
вокупности — число её элементов.

 Вариационный ряд — числовые значения изучаемой ве-
личины, записанные в возрастающем порядке.

 Частота — число, показывающее, сколько раз данное
значение встречается в вариационном ряде. Относитель-
ная частота — отношение частоты к объёму выборки.

 Статистическое распределение — таблица, устанавлива-
ющая связь между значениями данных и соответствую-щими частотами (относительными частотами).

 Среднее значение выборки — среднее арифметическое
всех её значений. Обозначается
x.

 Мода выборки — значения, встречающиеся чаще всего
(если мод несколько, то каждое значение считается мо- дой). Моду обозначают M
0.

313
ЭлеменТы СТаТиСТики

 Медиана выборки — значение, находящееся в середи-
не вариационного ряда, если объём выборки нечётный,
и полусумма двух таких значений, если объём выборки чётный. Медиану обозначают M
в.
О сновные формулы

hОтносительная частота значения x
i:

p n n i i
= ,
где n
i — частота
x
i,
n — объём выборки.

hСреднее значение выборки:
xxx
x n
n
= ++
+
12 ...
,
где x
k (
k = 1, …, n) — все значения выборки, n — объём
выборки.
объяснение и важные примеры Вариационный ряд может быть дискретным (точечным)
и интервальным . В дискретном ряду указываются отдельные
значения, принимаемые признаком, и их количества, а в ин-
тервальном — интервалы, на которых находятся принимаемые значения и их количества. Для графического изображения дискретных статистиче-
ских распределений используются полигоны, а для интерваль-
ных распределений — гистограммы.
Для построения полигона частот (относительных частот)
на оси O
x откладывают значения изучаемого признака, а на
оси O
y — значения частот (относительных частот).
Пример 1 . При контроле знаний в классе 25 ученикам были
поставлены следующие оценки: 2; 3; 4; 3; 4; 5; 3; 5; 2; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 5; 2; 4; 3; 4; 4; 3; 2; 5; 3. Составить статистическое рас-
пределение, полигон частот, найти выборочное среднее, моду и медиану распределения.
рРеРенР.
  Сгруппируем данные и разместим их в порядке
возрастания признака (т. е. оценки): «2» — 5; «3» — 8; «4» — 8; «5» — 4; n = 25.

314
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей
x
i 2 3 4 5
n i 5 8 8 4
Построим полигон частот.
8 4
5
2 3 4
5x
y
0
Выборочное среднее:
x = + + + =
52
83 84 45 25 344,.
Выборка имеет две моды: 3 и 4 (встречаются одинаково
часто — по 8 раз). M
0 О {3; 4}.
Медиана: M
в
= 3 (находится на середине на 13-м месте).
Гистограммой частот (относительных частот) называют
ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основа-
ниями которых являются интервалы значений изучаемого
признака длины h, а высоты равны отношениям
n
h
i èëè p
h i

.
Площадь гистограммы частот равна объёму выборки, площадь гистограммы относительных частот равна 1.
Пример 2 . При изучении колебаний температуры в июне
в данной местности за 30 лет получены следующие результаты:
Среднемесячная температура, °С 15–17 17–19 19–21 21–23 23–25
Количество лет 2 5 10 7 6 Построить гистограмму частот.

315
ЭлеменТы СТаТиСТики
рРеРенР.
  если требуется оценить среднюю температуру за
30 лет, то интервальное распределение заменяют дискретным,
выбирая вместо каждого интервала значения признака его се-редину.
Получаем:
xi 16 18 20 22 24
n i 2 5 10 7 6
n = 30.
x = + +
++

16
21 85 2010 2272 46 30 2067 ,.
При этом M
0
= 20; M
в =
20 (в середине ряда будут два рав-
ных значения 20:
M â= + =
20 20 2 20
).
10
2
5
1517 19 21
n,
лет
0
6
7
2325
t, °С
Типовые задания
Дана выборка: 2; 7; 5; 4; 5; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 1; 3; 2; 6; 6;
8; 2; 7; 5. Упорядочить данные, найти частоты и относи-тельные частоты, построить полигон частот. рРеРенР.
` Упорядочим выборку и составим вариационный
ряд: 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8. Частоты:
x i 1 2 3 4 5 6 7 8
n i 1 4 2 3 5 2 2 1

316
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей
n = 20.
Относительные частоты:
p n n i i
= .
x
i 1 2 3 4 5 6 7 8
p i 0,05 0,2 0,1 0,15 0,25 0,1 0,1 0,05
45
23 4
5 x
n
0 1
1
2
3
6 78
Полнгое
Пять фирм выпускают однотипную продукцию по разным ценам. Стоимость единицы продукции первой фирмы со -
ставляет 380 руб., второй — 400 руб., третьей — 430 руб., четвёртой — 450 руб., пятой — 500 руб. При анализе по -
купаемости продукции выяснилось, что за неделю было
продано 50 изделий первой фирмы, 55 — второй. 63 — третьей, 45 — четвёртой и 12 — пятой. Составить стати -
стическое распределение частот (по признаку стоимости),
построить полигон частот и вычислить среднее значение
признака.
рРеРенР.
` Статистическое распределение частот:
x
i 380 400 430 450 500
n i 50 55 63 45 12
n = 50 + 55 + 63 + 45 + 12 = 225.

ЭлеменТы СТаТиСТики
63
380400 x
n
0
430450 500
55 50 45
12
Полнгое
Среднее значение:
x = +
++ +

38
05 04 0055 4306 34 5045 500 12 225 4192 9 ,.
Для выборки из задания 1 найти среднее значение, моду и медиану.
рРеРенР.
` Среднее значение:
x= +
+ +++++
=
11
24 324355 6272 81 2 43,.
M
0
= 5 (встречается наиболее часто — 5 раз).
В середине вариационного ряда стоят числа 4 и 5:
M â= + =
45 2 45,.
о О т Р О.
` x =43,; M
0 =
5; M
в
= 4,5.

318
24. ЭлеМенТы Теории
верояТноСТей
Правила, определения, законы 
 Случайное событие — это событие, которое может прои-
зойти или не произойти в результате опыта (испытания),
допускающего многократное повторение в одинаковых условиях.

 Элементарными исходами испытания называются собы-
тия, которые могут наступить в результате испытания,
причём при каждом повторении испытания происходит
только одно из этих событий и они равновероятны, т. е. наступают в среднем одинаково часто.

 События называются совместными, если могут наступать
в результате одного испытания.

 Достоверным называется событие, обязательно наступа-
ющее в результате испытания, а невозможным — обяза-
тельно не наступающее ни в одном испытании.

 Суммой событий A и B называется событие A + B , со-
стоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий ( A или B).

 Произведением событий A и B называется событие AB,
состоящее в том, что произошли оба события ( A и B).

 Событием, противоположным событию A, называется со -
бытие
A , состоящее в том, что событие A не произошло.
Действия над событиями графически изображены на рис. 24.1, 24.2, 24.3.

319
ЭлеменТы Теории ВерояТноСТей
A
B A
B
A
рис. 24.1. A + B рис. 24.2. AB
рис. 24.3. A

 Классическое определение вероятности :
Пусть при испытании возможно конечное число элементар -
ных исходов. Вероятностью события A называется отношение чи -
сла элементарных исходов, благоприятствующих событию A (при
которых A наступает), к общему числу элементарных исходов.
Вероятность невозможного события равна 0, вероятность
достоверного события равна 1. Вероятность любого события за- ключена между 0 и 1.

 Статистическое определение вероятности :
Пусть n — количество испытаний в некоторой серии испы-
таний, m — количество тех испытаний, в которых произошло
событие A. Отношение
m
n называется относительной частотой
события A в данной серии испытаний.
Известно, что при больших значениях n относительные
частоты в разных сериях испытаний практически совпадают и колеблются около некоторого числа P(A ), которое называют
статистической вероятностью события A.

 Геометрическая вероятность :
если точка случайным образом брошена на отрезок XY, то
вероятность её попадания на отрезок CD ⊂ XY равна отноше-
нию длин отрезков CD и XY .
События A и B называются независимыми , если вероят-
ность появления одного из них не зависит от того, произошло другое или нет. если события A и B зависимы, то условной вероятностью
события A называется вероятность события B (при условии что
A уже произошло).

320
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей
О сновные формулы

hКлассическое определение вероятности
PA m n ()
,
=
где P(A ) — вероятность события A; m — число элементарных
исходов, благоприятствующих событию A; n — число всех эле-
ментарных исходов опыта.

hСтатистическое определение вероятности
PA m n ()
,

где m — число испытаний, в которых произошло событие A;
n — число всех испытаний в серии, причём n велико.

hФормулы сложения
если события A и B несовместимы, то
P (A + B ) = P (A ) + P (B ),
где ( A и B) — сумма событий A и B.
если события A и B совместимы, то
P (A + B ) = P (A ) + P (B ) – P(AB ),
где ( AB) — произведение событий A и B.
если события A
1, …,
A
n независимы, то
P (A
1
+ … + A
n)
= 1 – (1 – P(A
1))
⋅ (1 – P(A
2))
⋅ … ⋅ (1 – P(A
n)).

hВероятность противоположного события
PA pA
() () ,
= 1
где A — событие, противоположное A.

hФормулы умножения
если события A и B независимы, то
P (AB ) = P (A ) ⋅ P (B ).
если события A и B зависимы, то
P (AB ) = P (A ) ⋅ P (B /A ),
где P(B /A ) — условная вероятность B относительно A.
объяснение и важные примеры При решении задач на классическое определение вероятно-
сти часто используются формулы комбинаторики.

321
ЭлеменТы Теории ВерояТноСТей
Пример 1. В урне лежит 10 шарфов, среди которых 6 бе-
лых, остальные — чёрные. Наугад извлекают два шарфа. Ка- кова вероятность того, что один из них окажется белым? рРеРенР.
  Общее количество элементарных исходов испыта -
ния (извлечение двух шарфов) равно числу сочетаний из 10 по 1, т. е.
C 102
. Количество благоприятных элементарных исходов рав -
но числу способов, которым можно извлечь 2 шарфа из 6 белых, т. е.
C 62
. По формуле классического определения вероятности:
PA m
n C
C
()
.
== =
=
6 2
10 2 65
2
21 09 1
3
о О т Р О.
  1
3.
Пример 2. В ящике лежат 12 деталей, среди которых
5 окрашенных. Наугад извлекают из ящика 4 детали. С какой вероятностью среди них хотя бы две окрашены?
рРеРенР.
  Интересующее нас событие A является суммой
трёх событий («окрашены 2 детали», «окрашены 3 детали»,
«окрашены 4 детали»). Проще перейти к противоположному событию
A («окрашено менее двух деталей») и рассмотреть его
как сумму двух несовместных событий: A
0 («окрашенных дета
-
лей нет») и A
1 («окрашена 1 деталь»). Общее количество эле
-
ментарных исходов испытания (извлечение 4 деталей) равно:
nC = 124
.
Количество исходов, благоприятствующих A
0, равно:
mC
07 4
= ,
поскольку неокрашенных деталей 7.
если окрашена одна деталь, то остальные три не окра -
шены. В соответствии с правилом произведения количест -
во элементарных исходов, благоприятствующих событию A
1,
равно:
mC C
15 1
37 = .
Всего:
mC CC =+

7 4
51
73
.

322
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей
В силу свойств числа сочетаний:
mC CC CC =+=+=

7 74
73
73
73
73
55 6.
Значит,
PA m
n C
C
()
.
==
=

=
66
765234
23 12 11 10 914
33
7
3
12 4
В соответствии с формулой вероятности противоположного
события:
PA PA () () .
= = =
11 14
33 19
33
о О т Р О.
  19
33 .
Использование статистического определения вероятности
позволяет оценить (приближённо) как величину генеральной совокупности, так и её отдельные признаки.
Пример 3. Количество рыб в озере неизвестно. Поймали
100 рыб, пометили и отпустили. Через некоторое время при
такой же погоде выловили 50 рыб, среди которых две оказа-лись помеченными. Оценить количество рыб в озере.
рРеРенР.
  Пусть x — количество рыб в озере. В соответст-
вии с классическим определением вероятности вероятность
того, что случайно выловленная рыба помечена, равна
100
x .
В соответствии со статистическим определением эта вероят- ность приближённо равна
2
50
1
25 = :
100 1
25
x ; x ≈ 2500.
о О т Р О.
  Приблизительно 2500 рыб.
Пример 4. Для контроля качества из партии в 1000 деталей
отобрали 100, среди которых 5 оказались бракованными. Оце- нить количество бракованных деталей в партии.

323
ЭлеменТы Теории ВерояТноСТей
рРеРенР.
  Вероятность брака приближённо равна 5
100 005
=,.
если количество бракованных изделий равно x, то вероятность
брака равна
x
1000 :
x
1000 00 5
,; x ≈ 50.
о О т Р О.
  Приблизительно 50 деталей.
При вычислении вероятностей сложенных событий часто
пользуются различными вариантами формул сложения и умно- жения.
Пример 5. Ученик знает ответы на 20 из 30 вопросов про-
граммы. С какой вероятностью он ответит на два наугад задан-ных вопроса? рРеРенР.
  1-й способ. Общее количество элементарных ис-
ходов испытания (заданы два вопроса) равно
C 302
, количество
благоприятствующих исходов равно
C 202
. таким образом,
PA m
n C C
()
.
== =
=
20 2
30 2 20
19 2
23 02 9 38
87
2-й способ. Пусть событие C: «ученик ответил на первый
вопрос». Очевидно,
PA () .
= = 20 30
2
3 Пусть также событие
B:
«ученик ответил на второй вопрос». При условии что C про-
изошло, осталось 29 вопросов, из которых ученик знает 19, т. к.
PB C
() .
/ =19 29 По формуле умножения для зависимых со-
бытий:
PA PBCP CPBC
() () ()() .
== ==
/ 2
3 19
29 38
87
о О т Р О.
  38
87 .

324
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей
Пример 6. три стрелка с вероятностями попадания в ми-
шень соответственно 0,7; 0,8; 0,9 делают по одному выстрелу
по мишени. С какой вероятностью: а) попадут все три; б) не по-
падёт ни один; в) попадёт хотя бы один; г) попадёт ровно один? рРеРенР.
  Очевидно, события A
k («
k-й стрелок попал»; k = 1;
2; 3) независимы. а) По формуле умножения для независимых событий:
P (A
1A
2A
3)
= P (A
1)
⋅ P (A
2)
⋅ P (A
3)
= 0,7 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 = 0,504.
б) Используем формулу вероятности противоположного со-
бытия и формулу умножения для независимых событий:
PA AA PA PA PA
() ()() () 1231 23 = =
= (1 – 0,7) ⋅ (1 – 0,8) ⋅ (1 – 0,9) = 0,3 ⋅ 0,2 ⋅ 0,1 = 0,006.
в) Пусть A — интересующее нас событие; A = A
1
+ A
2
+ A
3.
Противоположное событие
A : «ни один не попал». его вероят-
ность уже найдена (пункт «б»). Значит,
PA PA () () ,, .
= = =
11 0006 0994
тот же результат можно получить, используя формулу сло-
жения для независимых событий:
P(A
1
+ A
2
+ A
3)
= 1 – (1 – 0,7) ⋅ (1 – 0,8) ⋅ (1 – 0,9) = 0,994.
г) Интересующее нас событие
AA AA AAAA AA
=+ +
12 31 23 123.
Используем ранее рассмотренные формулы и формулу сложе- ния для несовместных событий: P(A ) = 0,7 ⋅ (1 – 0,8) ⋅ (1 – 0,9) + (1 – 0,7) ⋅ 0,8 ⋅ (1 – 0,9) +
+ (1 – 0,7) ⋅ (1 – 0,8) ⋅ 0,9 = 0,014 + 0,024 + 0,054 = 0,092.
о О т Р О.
  а) 0,504; б) 0,006; в) 0,994; г) 0,092.
Пример 7. Поезда в метро в часы пик идут с интервалом
2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный мо-
мент времени. С какой вероятностью ему придётся ждать не менее 1,5 минут?
рРеРенР.
  Время ожидания — любое число из отрезка [0; 2].
требуется определить вероятность того, что оно попало на отре-зок [1,5; 2]. В силу определения геометрической вероятности:
PA () ,, ,. =
==
21
5 20
05
2 025
о О т Р О.
  0,25.

325
ЭлеменТы Теории ВерояТноСТей
Типовые задания
На полке случайным образом расставлены 6 книг, среди которых 3 учебника математики. С какой вероятностью учебники математики стоят рядом? рРеРенР.
` Количество всех элементарных исходов испы-
тания (расстановка книг) равно количеству перестано-
вок на множестве из 6 элементов, т. е. n = 6! Для учеб-
ников математики можно выбрать места 4 способами
(с 1-го по 3-е, …, с 4-го по 6-е). На выбранных местах
их можно расставить 3! способами, остальные 3 книги на оставшихся местах также можно расставить 3! спо-собами. По правилу произведения m = 4 ⋅ 3! ⋅ 3!
таким образом,
PA () !!
! .
= =
=
43
3
6 42
323
23 4561
5
о О т Р О.
` 1
5 .
В ящике лежат белые и чёрные шары, всего 20 шаров.
Сколько среди них чёрных, если вероятность вынуть на-угад белый шар равна 0,8?
рРеРенР.
` Пусть количество чёрных шаров равно x, то-
гда белых (20 – x). Вероятность вынуть белый шар:
20
20 08
=
x ,; 20 –
x = 16; x = 4.
о О т Р О.
` 4.
Случайным образом выбран двоичный код (последова-
тельность нулей и единиц) длиной 5. С какой вероятно-стью он будет содержать ровно два нуля?
рРеРенР.
` Общее число элементарных исходов испы-
тания равно числу всех двоичных кодов длины 5. На
каждое место (с 1-го по 5-е) цифру можно поставить
двумя способами (0 или 1). По правилу произведения n = 2 5
= 32.

326
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей
Количество благоприятствующих элементарных исхо-
дов равно числу сочетаний из 5 по 2 (2 нуля на 5 ме- стах), т. е.
mC ==
=
5 2
54 2 10. таким образом,
PA
() .
= = 10 32
5
16
о О т Р О.
` 5
16 .
в ажное и интересное

 Формулы полной вероятности, Бейеса и Бернулли
Формула полной вероятности
ПусОь прн нспыОаенн еасОупаРО ротео одео нз n еРсотмРсОеых собыОнй:
H 1,
H
2, …,
H
n. Тогда тРрояОеосОь собыОня
A, стязаееого с ОРм жР нспыОаен­
Рм, ратеа:
P(A ) = P (H
1)
⋅ P (A /H
1)
+ P (H
2)
⋅ P (A /H
2)
+ … + P (H
n)
⋅ P (A /H
n).
ДРйсОтнОРльео, собыОнР A можео прРдсОатнОь как сумму n еРсотмРсОеых
собыОнй: A = AH
1
+ AH
2
+ … + AH
n.
По формулР сложРеня для еРсотмРсОеых собыОнй: P(A ) = P (AH
1)
+ P (AH
2)
+ … + P (AH
n).
По формулР умеожРеня для затнснмых собыОнй для тсРх k = 1, …, n:
P (AH
k)
= P (H
k)
⋅ P (A /H
k),
оОкуда н тыОРкаРО формула полеой тРрояОеосОн.
Пример 1. на складР нмРюОся одеоОнпеыР нздРлня Орёх прРдпрняОнй,
прнчём 30 % нздРлнй пронзтРдРеы пРртым прРдпрняОнРм, 20 % — тОорым
н 50 % — ОрРОьнм. ПроцРеО брака еа пРртом прРдпрняОнн сосОатляРО 3 %,
еа тОором — 2 % н еа ОрРОьРм — 1 %. Случайеым образом еа складР тыбн­
раюО нздРлнР. С какой тРрояОеосОью оео окажРОся бракотаееым?
Решение. В даееом нспыОаенн обязаОРльео еасОупаРО ротео одео нз Орёх
собыОнй H k: «нздРлнР пронзтРдРео
k­м прРдпрняОнРм» ( k = 1; 2; 3). очРтндео,
P (H
1)
= 0,3; P(H
2)
= 0,2; P(H
3)
=  0,5. еслн собыОнР A: «нзтлРчёееоР нздРлнР оказа ­
лось бракотаееым», Оо P(A /H
1)
= 0,03; P(A /H
2) 
= 0,02; P(A /H
3)
= 0,01.
По формулР полеой тРрояОеосОн: P (A ) = 0,3 ⋅ 0,03 + 0,2 ⋅ 0,02 + 0,5 ⋅ 0,01 = 0,009 + 0,004 + 0,005 = 0,018.
 ОтеО . 0,018.
Формула Бейеса
В услотнях формулы полеой тРрояОеосОн:
PH A PH PAH
PA
k
kk ()
() ()
()
/
/
=
, ( k = 1, …, n).

327
ЭлеменТы Теории ВерояТноСТей
ДРйсОтнОРльео, по формулР умеожРеня для затнснмых собыОнй, с  одеой
сОороеы, P(A H
k)
= P (A ) ⋅ P (H
k/
A ), а с другой сОороеы, P(AH
k)
=  P(H
k)
⋅ P (A /H
k),
оОкуда н тыОРкаРО формула бРйРса.
Формула бРйРса служнО для пРрРоцРекн нсходеых гнпоОРз послР протРдР­
еня нспыОаеня.
Пример 2. В услотнях прРдыдущРго прнмРра случайео нзтлРчёееоР нздР­
лнР оказалось бракотаееым. какота тРрояОеосОь Оого, чОо оео было про­
нзтРдРео пРртым прРдпрняОнРм?
Решение . ТрРбуРОся еайОн услотеую тРрояОеосОь P(H
1/
A ), прнчРм P(H
1)
= 0,3;
P (A /H
1)
= 0,03; P(A ) = 0,018 (см. ПрнмРр 1).
По формулР бРйРса:
PH APH
PAH
PA
()
()
()
() ,,
, ,. 1 11
03
003
0 018 05
/ /
= = =
 ОтеО . 0,5.
ЗамРОнм, чОо послР протРдРеня нспыОаеня тРрояОеосОь сущРсОтРеео нз­ мРенлась (теачалР тРрояОеосОь Оого, чОо еаугад нзтлРчёееоР нздРлнР про­
нзтРдРео пРртым прРдпрняОнРм, сосОатляла 0,3, а послР Оого, как тыясен­
лось, чОо оео бракотаееоР, тРрояОеосОь сОала сосОатляОь 0,5).
Формула Бернулли
ПронзтоднОся n еРзатнснмых нспыОаенй, т каждом нз коОорых собыОнР A
можРО еасОупнОь с тРрояОеосОью p. Тогда тРрояОеосОь Оого, чОо собыОнР A
еасОупнО ротео m раз т эОой сРрнн нспыОаенй, ратеа
Pm Cp q
nn mm
nm
() ,
=
гдР q = 1 – p.
ДРйсОтнОРльео, тРрояОеосОь одеого сложеого собыОня, сосОоящРго т Оом, чОо т m нспыОаенях (с фнкснротаееымн еомРрамн) собыОнР A пронзойдёО,
а т осОальеых ( n – m) нспыОаенях еР пронзойдёО (О. Р. пронзойдРО собыОнР
A, по формулР умеожРеня для еРзатнснмых собыОнй ратеа pm
⋅ q n
–m
. Такнх
сложеых собыОнй сОолько, сколькнмн способамн можео тыбраОь m фнксн­
ротаееых еомРрот нз n, О. Р.
Cnm
. Поскольку эОн сложеыР собыОня еРсот­
мРсОеы, нскомая тРрояОеосОь ратеа по формулР сложРеня для еРсотмРсО­ еых собыОнй
Cp q
n mm
nm
.
Пример 3. из уреы, т коОорой лРжаО 4 чёреых н 6 бРлых еарот, 5 раз еа­
угад нзтлРкаюО еар н тозтращаюО обраОео. С какой тРрояОеосОью ротео
2 раза будРО нзтлРчёе чёреый еар?
Решение . Поскольку еар каждый раз тозтращаРОся, тРрояОеосОь собы­
Оня  A («нзтлРчёе чёреый еар») прн каждом нспыОаенн еРнзмРееа н т снлу
класснчРского опрРдРлРеня тРрояОеосОн сосОатляРО
p = + = 4
46 04
,.

328
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей
ПротодящнРся нспыОаеня еРзатнснмы, прнчём n = 5; m = 2; p = 0,4;
q  =  1 – 0,4  = 0,6. По формулР бРреуллн:
PC
55 22
52
20 406 54 2 01
60 216 03456
() (,)( ,) ,, ,. == =

 ОтеО
. 0,3456.
Пример 4. игральеый кубнк подброеРе 6 раз. С какой тРрояОеосОью 6 оч­
кот тыпадРО болРР одеого раза?
Решение . ПротодящнРся нспыОаеня еРзатнснмы (тРрояОеосОь «еРсОёркн»
т каждом нз енх ратеа
1
6 н еР затнснО оО рРзульОаОот осОальеых нспыОа­
енй). иеОРрРсующРР еас собыОнР РсОь сумма пяОн еРсотмРсОеых собыОнй (2; 3; 4; 5; 6 тыпадРенй «еРсОёркн»). ПрощР пРрРйОн к проОнтоположеому
собыОню
A (0 нлн 1 тыпадРенР). В еаеРм случаР p = 1 6; q
= 5 6;
n = 6.
По формулР бРреуллн:
PC 66 006
6
0 1 6
5
6
5
6 ()
;
=

=
PC
66 115
55
1
1
6 5
6 6
1
6 5
6 5
6
()
;
=

=

=
PA
PP
() ()()
=+ =


+


=


=
66 65
5
01 5
6 5
6 5
6 11
6 3125
777 66 11
6 34 375
46 656 0
737
= ,;
PA PA() () ,. = 10 263
 ОтеО. ≈ 0,263.
В болРР сложеых задачах прнходнОся нспользотаОь сразу еРсколько фор­
мул. ПрнтРдём прнмРр Оакой комбненротаееой задачн.
Пример 5. Прнбор сосОонО нз Орёх еРзатнснмо рабоОающнх элРмРеОот, каж ­
дый нз коОорых за коеОрольеоР трРмя тыходнО нз сОроя с тРрояОеосОью 0,2.
Прн тыходР нз сОроя одеого элРмРеОа прнбор продолжаРО рабоОаОь с тРрояО ­
еосОью 0,7, прн тыходР нз сОроя дтух элРмРеОот — с тРрояОеосОью 0,3. опрР ­
дРлнОь тРрояОеосОь бРзоОказеой рабоОы прнбора за коеОрольеоР трРмя.
Решение . ПротРрку нспратеосОн прнбора можео рассмаОрнтаОь как по­
слРдотаОРльеосОь нз 3 еРзатнснмых нспыОаенй (нспыОаенР каждого элР­
мРеОа еа нспратеосОь). ПусОь собыОнР H
k: «
k элРмРеОот тыелн нз сОроя»
( k  = 0; 1; 2; 3). В каждом случаР n = 3; p = 0,2; q = 1 – 0,2  = 0,8.
По формулР бРреуллн:
PH C
() (,)( ,) ,; 03 00
3
02 08 0512
= =
PH C
() (,)( ,)
,;
13 11 2
02 08 0384
= =

ЭлеменТы Теории ВерояТноСТей
PH C
() (,)( ,) ,;
23 22 1
02 08 0096
= =
PH C
() (,)( ,)
,. 33 33
0
02 08 0008
= =
По услотню P(A /H
0)
= 1; P(A /H
1)
= 0,7; P(A /H
2)
= 0,3; P(A /H
3)
= 0
(здРсь A: «прнбор нспратРе»).
По формулР полеой тРрояОеосОн: P (A ) = 0,512 ⋅ 1 + 0,384 ⋅ 0,7 + 0,096 ⋅ 0,3 + 0,008 ⋅ 0 = 0,512 + 0,2688  + 0,0288  = 0,8096.
 ОтеО . 0,8096.

330Предметный указатель
Алгоритм • евклида 21
• извлечения квадратного корня «в столбик» 31
Апофема 253
Аргумент 139
• вспомогательный 80, 84
• допустимые значения 139
Биссектриса 204
Вариационный ряд 312
Векторы 293
• длина 293
• коллинеарные 293
• компланарные 293
• модуль 293
• нулевой вектор 293
• произведение вектора на число 294
• противоположные 293
• равные 293
• разность 294
• скалярное произведение 294, 295
• сложение 297
• сумма 294
• угол между векторами 293
• условие коллинеарности 296
• условие перпендикулярности 296
Вероятность • условная 319 Верхний предел
интегрирования 182
Выборка 312
• медиана 313
• мода 312
• среднее значение 312
Вычитание 13
Гипотенуза 202
Гистограмма 313
Градус 36
Двугранный угол 241
Деление 14
Делитель • наибольший общий 12
Диаметр 225
Дискриминант 68
Дроби 14
• неправильные 13
• несократимые 13
• правильные 13
• преобразование 14
• сложение и вычитание 15,
19
• сокращение 14
• умножение и деление 15,
19
Замена переменной 74, 82 , 89 ,
123 , 125 , 127
Знаменатель 13
• избавление от корней 55

331
ЭлеменТы Теории ВерояТноСТей ПреДмеТный укаЗаТель
Интеграл
• неопределённый 183, 195
• определённый 196
Катет 202
Квадрат 206
Конус 263, 265
• вершина 263
• круговой 263
• основание 263
• ось 263
• прямой круговой 265
• усечённый 263, 267
Координаты 292
• система координат 292
Корень 25, 26
Косинус 35, 36 , 38 , 43 , 47
Котангенс 35, 36 , 38
Круг 226, 268
Куб 253
Логарифм 49
• десятичный 49, 152
• натуральный 49, 152
• произведения, частного, степени, корня 49
Ломаная линия 227, 271
• длина 271
Медиана 204
Метод интервалов 119
• обобщённый 122
Методы решения уравнений • алгебраическое сложение 97, 98
• введение новых переменных 98
• подстановка 97
Многогранник 252
• вершины 252
• грани 252
• правильный 261
• рёбра 252
• сечение 254 Многоугольник
227, 228 , 236 ,
271 • внешний угол 228
• внутренняя область 228
• выпуклый 228
• граница 228
• невыпуклый 228
• периметр 271
• правильный 228
• стороны 271
Множитель • внесение под корень 55
• вынесение из-под корня 55
Модуль 61, 67
• геометрический смысл 67
Монотонность функций 152
Наименьшее общее кратное 12, 17
Наклонная 241, 246 , 247
• основание 241
Направляющая 262
Неравенство • графическое решение 132
• квадратное 114, 115 , 118
• линейное 114, 115 , 118 , 128
• логарифмическое 114, 117 ,
126 , 127
• показательное 114, 116 ,
124 , 125
• равносильные неравенства 114
• равносильные преобразования 117
• равносильные системы 115
• рациональное 114, 119
• система неравенств 114
• системы с одной переменной 129
• совокупность неравенств 114, 129
Нижний предел интергрирования 182

332
ЭлеменТы комбинаТорики, СТаТиСТики и Теории ВерояТноСТей ПреДмеТный укаЗаТель
Обратно пропорциональная
зависимость 151
Обратные тригонометрические функции 151
Объём • конуса 286
• куба 286
• пирамиды 286
• призмы 286
• прямоугольного параллелепипеда 286
• цилиндра 286
• шара 287
Ограниченность функций 155
Окружность 225, 229
• вписанная в многоугольник 227
• дуга 225
• касательная 226
• концентрическая 226
• описанная около многоугольника 227
• радиус 225
• центр 225
Ортогональная проекция 242
Ортоцентр 203
Основные тригонометрические функции 151
Остаток 13
Относительная частота значения 313
Отрезок 271
• длина 271
Параллелепипед 253
• прямоугольный 253
Параллелограмм 205, 218
• высота 205
• диагонали 206
Перестановка 302, 304
Перпендикуляр 241, 246
Пирамида 253, 258
• боковая поверхность 253
• высота 253 •
полная поверхность 253
• правильная 253
• усечённая 254, 258
Плоскости 241
• параллельные 241, 244
• перпендикулярные 242, 247
Площадь • боковой поверхности конуса 278, 281
• боковой поверхности цилиндра 278, 281
• выпуклого четырёхугольника 280
• квадрата 280
• криволинейной трапеции 184
• круга 280
• кругового сектора 281
• параллелограмма 280
• полной поверхности конуса 278, 281
• полной поверхности цилиндра 279, 281
• прямоугольника 280
• прямоугольного треугольника 279
• равностороннего треугольника 279
• ромба 280
• сферы 279, 281
• трапеции 280
• треугольника 279
Поверхность вращения 262
Полуокружность 225
Потенцирование 91
Правило • параллелограмма 297
• произведения 302
• суммы 302
• треугольника 297
Преобразование • выражений 54
• гомотетии 210

333
ЭлеменТы Теории ВерояТноСТей ПреДмеТный укаЗаТель
• графиков 145
• логарифмических выражений 64
• тождественное 94, 95
• тригонометрических выражений 61
• тригонометрических функций 60, 85
Приведение степеней к одному основанию 88
Призма 252, 254
• боковая поверхность 252
• боковые грани 252
• боковые рёбра 252
• высота 252
• диагональ 253
• наклонная 256
• полная поверхность 252
• правильная 253, 255
• прямая 253, 254
Признаки делимости 16
Проекция • паараллельная 248
• параллельная 242
Производная • геометрический смысл 186
• сложной функции 182, 189
• суммы, разности, произведения, частного 182
• физический смысл 187
• функции 181, 182
• элементарной функции 183
Промежутки монотонности 149, 190
Процент от величины 22
Прямая Гаусса 224
Прямоугольник 206, 219
Прямые 240
• параллельные 240, 270
• пересекающиеся 240
• перпендикулярные 241, 270
• скрещивающиеся 240, 243 Радиан
36, 225
Радиус 226
Размещение 302, 305
Расстояние • между двумя параллельными плоскостями 272
• между двумя параллельными прямыми 272
• между прямой и параллельной ей плоскостью 272
• между скрещивающимися прямыми 272
• от точки до плоскости 272
• от точки до прямой 271
Ромб 206, 220
Сегмент 226
Сектор 226
Секущая 226
Серединный перпендикуляр 204
Сечение 254, 257
• диагональное 254
• перпендикулярное 254, 256
• построение 257
Синус 35, 36 , 38 , 43 , 47
Сложение • 13
Событие • достоверное 318
• невозможное 318
• относительная частота 319
• случайное 318
• совместное 318
События • вероятность 319
• независимые 319
Сочетание 302, 305
Среднее значение выборки 313

334
ПреДмеТный укаЗаТель
Статистическое распределение 312
Степень 25, 26
• арифметический корень 25
• квадратный корень 25
• корень 25
• кубический корень 25
• основание 25
Стереометрия 242
Сфера 263
тангенс 35, 36 , 38 , 43
тело вращения 262
теорема • Брианшона 239
• Виета 69
• косинусов 208
• о касательной и секущей 231
• о секущих 231
• о трёх перпендикулярах 246
• Паскаля 239
• Пифагора 207, 213
• синусов 208
тождество • основное логарифмическое 49, 61
точка • внутренняя 150
• максимума 150
• минимума 150
• экстремума 150
точка касания 226
трапеция 206, 220
• боковые стороны 206
• основания 206
• прямоугольная 206
• равнобокая 206, 221
• средняя линия 206
треугольник 202
• боковые стороны 203
• вершина 202 •
высота 203
• основание 203
• остроугольный 202
• Паскаля 307
• правильный 203
• прямоугольный 35, 202
• равнобедренный 203
• равносторонний 203
• средняя линия 204
• стороны 202
• тупоугольный 202
• центр тяжести 204
тригонометрические • тождества 37
• уравнения 80, 81
Угловой коэффициент 161
Угол • в 1 градус 270
• в 1 радиан 270
• вписанный 226
• двойной 43
• между двумя пересекающимися прямыми 270
• между плоскостями 271
• между скрещивающимися прямыми 270
• тройной 47
• центральный 226
Умножение 14
• сокращённое 55
Универсальная подстановка 83
Уравнение • иррациональное 69, 75
• касательной 182
• касательной к графику функции 188
• квадратное 68, 69 , 70
• логарифмическое 90
• несовместная система 94
• показательное 88
• равносильная система 94
• рациональное 68, 74

ПреДмеТный укаЗаТель
• совместная система 94
• сферы 294
Факториал 302
Формула • бинома Ньютона 304, 307
• Герона 279
• двойного аргумента 86
• Ньютона — Лейбница 182
• понижения степени 80, 86
• приведения 38
• тройного аргумента 86
Функция 139
• аналитический способ задания 141
• возрастающая 149
• график 140, 191
• графический способ задания 143
• квадратичная 151, 163
• линейная 151, 160
• логарифмическая 152, 177
• множество значений 139
• монотонная 149
• наибольшее и наименьшее значение 158, 193
• нечётная 150
• область определения 139
• обратная 140, 143 , 173
• обратно пропорциональной зависимости 162
• общего вида 150
• ограниченная сверху 150
• ограниченная снизу 150
• первообразная 183, 195
• периодическая 150
• показательная 152, 176
• предел 181, 184
• приращение 185
• производная в точке 186
• рациональная 68
• степенная 151, 166 , 167 , 168 •
строго монотонная 149
• табличный способ задания 142
• тригонометрическая 169
• чётная 149
• элементарная 179, 180
Хорда 225
Цилиндр 262, 264
• боковая поверхность 262
• осевое сечение 263
• основание 262
• ось симметрии 263
• прямой круговой 262
Частное 13
Частота 312
Чётность и нечётность функций 153
Четырёхугольник 205, 218
• выпуклый 205
• невыпуклый 205
• свойство середин сторон 224
Числитель 13
Число • взаимно простое 13
• действительное 13
• иррациональное 13
• натуральное 12
• простое 12
• рациональное 13
• составное 12
• целое 12
Число e 52
Шар 263, 268
Шаровой сектор 264
Шаровой сферический сегмент 264
Экстремум 151, 191
• точки 156

Âñå ïðàâà çàùèùåíû. Êíèãà èëè ëþáàÿ åå ÷àñòü íå ìîæåò áûòü ñêîïèðîâàíà, âîñïðîèçâåäåíà â ýëåêòðîííîé èëè ìåõàíè÷åñêîé ôîðìå, â âèäå ôîòîêîïèè, çàïèñè â ïàìÿòü ÝÂÌ, ðåïðîäóêöèè èëè êàêèì-ëèáî èíûì ñïîñîáîì, à òàêæå èñïîëüçîâàíà â ëþáîé èíôîðìàöèîííîé ñèñòåìå áåç ïîëó÷åíèÿ ðàçðåøåíèÿ
îò èçäàòåëÿ. Êîïèðîâàíèå, âîñïðîèçâåäåíèå è èíîå èñïîëüçîâàíèå êíèãè èëè åå ÷àñòè áåç ñîãëàñèÿ èçäàòåëÿ ÿâëÿåòñÿ íåçàêîííûì è âëå÷åò óãîëîâíóþ, àäìèíèñòðàòèâíóþ è ãðàæäàíñêóþ îòâåòñòâåííîñòü.
Справочное изданиеанытамалы баспа
Для среднего школьного возраста
орта мектеп жасындаы балалара арналан
ÑÏÐÀÂÎ×ÍÈÊ ØÊÎËÜÍÈÊÀ. ÂÑÅ ÒÅÌÛ ÎÃÝ È ÅÃÝ: 5—11 ÊËÀÑÑÛ
Âåðáèöêèé Âèêòîð Èëüè÷ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ(орыс тілінде)
Îòâåòñòâåííûé ðåäàêòîð À. Æèëèíñêàÿ
Âåäóùèé ðåäàêòîð Ò. Ñóäàêîâà
Õóäîæåñòâåííûé ðåäàêòîð È. Ëàïèí
 îôîðìëåíèè îáëîæêè èñïîëüçîâàíà èëëþñòðàöèÿ: Elina Li / Shutterstock.com
Èñïîëüçóåòñÿ ïî ëèöåíçèè îò Shutterstock.com
Ñâåäåíèÿ î ïîäòâåðæäåíèè ñîîòâåòñòâèÿ èçäàíèÿ ñîãëàñíî çàêîíîäàòåëüñòâó ÐÔ
î òåõíè÷åñêîì ðåãóëèðîâàíèè ìîæíî ïîëó÷èòü ïî àäðåñó: http://eksmo.ru/certification/ ндірген мемлекет: Ресей. Сертификация арастырылан
Äàòà èçãîòîâëåíèÿ / Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 07.07.2017. Ôîðìàò 70x100 1
/ 16 .
Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 27,22. Òèðàæ ýêç. Çàêàç
ООО «Издательство «Эксмо»
123308, Москва, ул. Зорге, д. 1. Тел. 8 (495) 411-68-86.
Home page: www.eksmo.ru E-mail: info@eksmo.ru
ндіруші: «ЭКСМО» А7Б Баспасы, 123308, М<скеу, Ресей, Зорге к=шесі, 1 >й. Тел. 8 (495) 411-68-86.
Home page: www.eksmo.ru E-mail: info@eksmo.ru. Тауар белгісі: «Эксмо»
7азастан Республикасында дистрибьютор ж<не =нім бойынша арыз-талаптарды абылдаушыныB
=кілі «РДЦ-Алматы» ЖШС, Алматы ., Домбровский к=ш., 3«а», литер Б, офис 1.
Тел.: 8(727) 2 51 59 89,90,91,92, факс: 8 (727) 251 58 12 вн. 107; E-mail: RDC-Almaty@eksmo.kz
німніB жарамдылы мерзімі шектелмеген.
Сертификация туралы апарат сайтта: www.eksmo.ru/certifi cation
Оптовая торговля книгами «Эксмо»:
ООО «ТД «Эксмо». 142700, Московская обл., Ленинский р-н, г. Видное,
Белокаменное ш., д. 1, многоканальный тел. 411-50-74. E-mail: reception@eksmo-sale.ru
По вопросам приобретения книг «Эксмо» зарубежными оптовыми
покупателями обращаться в отдел зарубежных продаж ТД «Эксмо»
E-mail: international@eksmo-sale.ru
International Sales: International wholesale customers should contact Foreign Sales Department of Trading House «Eksmo» for their orders. international@eksmo-sale.ru
X