МАТЕМАТИКА ПОЛНЫЙ СПРАВОЧНИК ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ

Формат документа: pdf
Размер документа: 4.18 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

УДК 373:51
ББК 22.1я721
М52
Мерзляк, А.Г.
М52 Математика : Новый полный справочник для
подготовки к ЕГЭ / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский,
М.С. Якир. — Москва : АСТ, 2017. — 559,[1] с.: ил.
ISBN
978&5&17&102613&4 (Новый полный справочник для подготовки к ЕГЭ)
ISBN 978&5&17&102611&0 (Самый популярный справочник для подготовки к ЕГЭ)
Справочник содержит материал курса «Математика» в
объёме, проверяемом на едином государственном экзамене.
Структура книги соответствует современному кодификато&
ру элементов содержания по предмету, на основе которого фор&
мируются экзаменационные задания — контрольные измери&
тельные материалы ЕГЭ.
Справочник состоит из двух глав. Первая глава «Арифме&
тика. Алгебра» соответствует содержанию курсов математики
5–6 классов, алгебры 7–9 классов, алгебры и начал анализа
10–11 классов; вторая глава «Геометрия» — содержанию курса
планиметрии 7–9 классов и стереометрии 10–11 классов.
Помимо теоретического материала в справочнике представ&
лено значительное количество разобранных примеров, иллюст&
рирующих основные методы и приёмы решения задач. Ко всем
заданиям в конце пособия даны ответы для самопроверки.
Работа с пособием позволит повторить все основные темы
курса математики за 5–11 классы и успешно подготовиться к
сдаче ЕГЭ.
УДК 373:51
ББК 22.1я721
ISBN 978&5&17&102613&4 (Новый полный справочник для подготовки к ЕГЭ)
ISBN 978&5&17&102611&0 (Самый популярный справочник для подготовки к ЕГЭ)
© Мерзляк А.Г., Полонский В.Б.,
Якир М.С.
© ООО «Издательство АСТ»

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ГЛАВА I
АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
§ 1. Натуральные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. Десятичная запись натуральных чисел . . . . . . . . . . . . 17
1.2. Арифметические действия
над натуральными числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Делимость натуральных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Признаки делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5. Простые и составные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6. Наибольший общий делитель.
Наименьшее общее кратное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7. Деление с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Примеры заданий № 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§ 2. Дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби.
Сравнение дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Арифметические действия
с обыкновенными дробями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей . . . 33
2.4. Представление обыкновенной дроби в виде
десятичной. Бесконечные периодические
десятичные дроби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Округление чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Примеры заданий № 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6. Проценты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7. Нахождение процентов от величины
и величины по её процентам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8. Отношение. Процентное отношение . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9. Пропорции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Примеры заданий № 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 3. Числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1. Понятие о множестве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2. Числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
3.3. Координатная прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4. Модуль действительного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Примеры заданий № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§ 4. Целые выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1. Буквенное выражение (выражение с переменными).
Алгебраические выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2. Степень с натуральным показателем и её свойства . . . 59
4.3. Одночлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4. Многочлен. Степень многочлена.
Корень многочлена с одной переменной . . . . . . . . . . . . 62
4.5. Сложение, вычитание и умножение многочленов . . . . 64
4.6. Формулы сокращённого умножения. . . . . . . . . . . . . . . 65
4.7. Разложение многочленов на множители . . . . . . . . . . . 67
Примеры заданий № 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§ 5. Дробные выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.1. Алгебраические (рациональные) дроби . . . . . . . . . . . . 72
5.2. Тождество.
Тождественные преобразования выражений . . . . . . . . 73
5.3. Основное свойство рациональной дроби.
Сокращение дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4. Действия с алгебраическими дробями . . . . . . . . . . . . . 75
Примеры заданий № 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.5. Степень с нулевым и целым отрицательным
показателями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6. Стандартный вид числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Примеры заданий № 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§ 6. Корень n#й степени.
Степень с действительным показателем
. . . . . . . . 85
6.1. Корень n&й степени и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2. Преобразование выражений, содержащих корни . . . . 87
Примеры заданий № 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3. Степень с рациональным показателем . . . . . . . . . . . . . 94
6.4. Преобразование выражений,
содержащих степень
с рациональным показателем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.5. Степень с действительным показателем . . . . . . . . . . . . 97
Примеры заданий № 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 7. Формулы тригонометрии.
Преобразование тригонометрических
выражений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.1. Радианная мера угла. Угол поворота . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота . . 105
7.3. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса . . . . . 108
7.4. Основные тригонометрические тождества . . . . . . . . . . 109
7.5. Синус, косинус и тангенс суммы и разности
двух углов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.6. Формулы приведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.7. Формулы двойного угла.
Формулы понижения степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.8. Формулы половинного угла. Выражение синуса
и косинуса через тангенс половинного угла . . . . . . . . . 116
7.9. Сумма и разность синусов (косинусов) . . . . . . . . . . . . . 117
7.10. Формулы преобразования произведения
тригонометрических функций в сумму . . . . . . . . . . . 119
7.11. Арксинус, арккосинус, арктангенс
и арккотангенс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Примеры заданий № 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
§ 8. Логарифмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1. Логарифм числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2. Свойства логарифмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Примеры заданий № 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 9. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.1. Понятие функции. Область определения
и область значений функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2. Способы задания функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.3. График функции. Чтение графиков функций,
отображающих реальные процессы . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.4. Нули функции. Промежутки знакопостоянства.
Возрастание и убывание функции . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.5. Чётные и нечётные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.6. Периодические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7. Точки максимума и точки минимума функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
Ограниченные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.8. Обратная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.9. Преобразования графиков функций . . . . . . . . . . . . . . 146

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
9.10. Линейная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.11. Функция y = , где k  0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.12. Квадратичная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Примеры заданий № 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.13. Степенная функция с натуральным показателем
(y = x
n, n N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.14. Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.15. Функции y = sinx и y = cosx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.16. Функции y = tgx и y = ctgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.17. Показательная функция (y = a
x, a > 0, a 1) . . . . . . . 175
9.18. Логарифмическая функция (y = log
ax, a > 0, a 1). . 176
Примеры заданий № 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
§ 10. Уравнения с одной переменной . . . . . . . . . . . . . . 182
10.1. Общие сведения об уравнениях
с одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.2. Линейное уравнение с одной переменной. . . . . . . . . . 184
10.3. Квадратное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.4. Теорема Виета. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.5. Квадратный трёхчлен. Разложение квадратного
трёхчлена на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.6. Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Примеры заданий № 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.7. Метод замены переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.8. Уравнения, содержащие знак модуля . . . . . . . . . . . . 196
10.9. Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Примеры заданий № 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.10. Простейшие тригонометрические уравнения . . . . . . 203
10.11. Основные методы решения
тригонометрических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Примеры заданий № 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.12. Показательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.13. Логарифмические уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Примеры заданий № 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.14. Уравнения с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Примеры заданий № 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
k
x
yx n

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 11. Уравнения с двумя переменными
и их системы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.1. Решение уравнения с двумя переменными.
График уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.2. Системы уравнений с двумя переменными.
Решение систем уравнений
графическим методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
11.3. Методы решений системы двух уравнений
с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Примеры заданий № 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
§ 12. Применение математических методов
для решения прикладных задач
. . . . . . . . . . . . . 246
12.1. Решение прикладных задач
с помощью уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Примеры заданий № 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
12.2. Решение прикладных задач
с помощью систем уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Примеры заданий № 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
12.3. Решение прикладных задач
арифметическим способом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Примеры заданий № 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
§ 13. Неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
13.1. Общие сведения о неравенствах
с одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
13.2. Числовые промежутки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
13.3. Линейные неравенства с одной переменной.
Системы линейных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
13.4. Квадратные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
13.5. Метод интервалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Примеры заданий № 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
13.6. Показательные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.7. Логарифмические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13.8. Использование свойств функций
при решении уравнений и неравенств . . . . . . . . . . . . 279
13.9. Неравенство с двумя переменными и его график . . . 284
13.10. Система неравенств с двумя переменными. . . . . . . . 286
Примеры заданий № 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 14. Числовые последовательности . . . . . . . . . . . . . . . 291
14.1. Понятие последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
14.2. Способы задания последовательности . . . . . . . . . . . . 292
14.3. Арифметическая прогрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
14.4. Сумма n первых членов
арифметической прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14.5. Геометрическая прогрессия.
Формула сложных процентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.6. Сумма n первых членов
геометрической прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.7. Сумма бесконечной геометрической прогрессии,
модуль знаменателя которой меньше единицы . . . . . 300
Примеры заданий № 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
§ 15. Элементы комбинаторики, теории
вероятностей, описательной статистики
. . . . . . 303
15.1. Комбинаторные правила суммы и произведения. . . . 303
15.2. Перестановки, размещения, сочетания . . . . . . . . . . . 305
15.3. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
15.4. Представление данных в виде таблиц, диаграмм,
графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Примеры заданий № 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
15.5. Статистика. Статистические характеристики . . . . . . 317
15.5. Частота и вероятность случайного события . . . . . . . . 319
15.7. Достоверные и невозможные события.
Равновозможные события.
Классическое определение вероятности . . . . . . . . . . . 320
15.8. Вычисление вероятностей
с помощью правил комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . 322
Примеры заданий № 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
§ 16. Производная и её применение . . . . . . . . . . . . . . . . 329
16.1. Понятие производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
16.2. Геометрический и физический смысл
производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
16.3. Правила вычисления производных.
Производные основных элементарных функций . . . . 333
16.4. Уравнение касательной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Примеры заданий № 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
16.5. Признаки возрастания и убывания функции . . . . . . 342

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
16.6. Точки экстремума функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
16.7. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
16.8. Вторая производная и её физический смысл . . . . . . . 349
16.9. Исследование свойств функции
и построение её графика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Примеры заданий № 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
§ 17. Первообразная и интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
17.1. Понятие первообразной.
Неопределённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
17.2. Правила нахождения первообразной . . . . . . . . . . . . . 357
17.3. Площадь криволинейной трапеции.
Определённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Примеры заданий № 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
ГЛАВА ІІ
ГЕОМЕТРИЯ
§ 18. Треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
18.1. Виды треугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
18.2. Признаки равенства треугольников . . . . . . . . . . . . . . 372
18.3. Свойства равнобедренного треугольника . . . . . . . . . . 373
18.4. Признаки равнобедренного треугольника . . . . . . . . . 374
18.5. Сумма углов треугольника.
Свойства внешнего угла треугольника . . . . . . . . . . . . 376
18.6. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Свойства прямоугольного треугольника . . . . . . . . . . 377
18.7. Терема Фалеса.
Теорема о пропорциональных отрезках . . . . . . . . . . . 379
18.8. Свойства высот, медиан и биссектрис
треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
18.9. Средняя линия треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
18.10. Подобные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
18.11. Признаки подобия треугольников . . . . . . . . . . . . . . 384
Примеры заданий № 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
18.12. Метрические соотношения
в прямоугольном треугольнике . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

10 ОГЛАВЛЕНИЕ
18.13. Теорема Пифагора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
18.14. Синус, косинус, тангенс и котангенс
острого угла прямоугольного треугольника . . . . . . . . 392
18.15. Синус, косинус, тангенс и котангенс
угла от 0
до 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
18.16. Теорема косинусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
18.17. Теорема синусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
Примеры заданий № 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
§ 19. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
19.1. Свойства элементов окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
19.2. Касательная и секущая к окружности . . . . . . . . . . . . 403
19.3. Окружность, описанная около треугольника. . . . . . . 404
19.4. Окружность, вписанная в треугольник . . . . . . . . . . . 406
19.5. Центральные и вписанные углы.
Градусная мера дуги окружности . . . . . . . . . . . . . . . . 408
19.6. Длина окружности. Площадь круга
и площадь сектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
Примеры заданий № 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
§ 20. Многоугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
20.1. Параллелограмм и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
20.2. Признаки параллелограмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
20.3. Прямоугольник, ромб, квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
Примеры заданий № 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
20.4. Трапеция. Средняя линия трапеции. . . . . . . . . . . . . . 424
20.5. Четырёхугольник, вписанный в окружность. . . . . . . 426
20.6. Четырёхугольник, описанный около окружности . . 427
20.7. Сумма углов выпуклого многоугольника . . . . . . . . . . 428
20.8. Правильные многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Примеры заданий № 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
§ 21. Площадь многоугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
21.1. Понятие площади многоугольника.
Площадь прямоугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
21.2. Площадь параллелограмма.
Площадь трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
21.3. Формулы для нахождения
площади треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
21.4. Площади подобных многоугольников . . . . . . . . . . . . 439
Примеры заданий № 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

ОГЛАВЛЕНИЕ 11
§ 22. Параллельность в пространстве . . . . . . . . . . . . . . 445
22.1. Взаимное расположение двух прямых
в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
22.2. Параллельность прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . 447
22.3. Параллельность плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Примеры заданий № 37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
§ 23. Перпендикулярность в пространстве . . . . . . . . . 453
23.1. Угол между прямыми в пространстве . . . . . . . . . . . . 453
23.2. Перпендикулярность прямой и плоскости . . . . . . . . 455
23.3. Расстояния в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
23.4. Теорема о трёх перпендикулярах . . . . . . . . . . . . . . . . 459
23.5. Угол между прямой и плоскостью . . . . . . . . . . . . . . . 461
23.6. Двугранный угол. Угол между двумя плоскостями . . . 462
23.7. Перпендикулярные плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
Примеры заданий № 38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
§ 24. Многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
24.1. Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
24.2. Параллелепипед . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
Примеры заданий № 39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
24.3. Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
24.4. Усечённая пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
24.5. Правильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
Примеры заданий № 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
§ 25. Круглые тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
25.1. Цилиндр. Комбинации цилиндра с призмой . . . . . . . 487
25.2. Конус. Усечённый конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
25.3. Комбинации конуса и усечённого конуса
с пирамидой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
Примеры заданий № 41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
25.4. Сфера и шар. Взаимное расположение сферы
и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
25.5. Многогранники, вписанные в сферу . . . . . . . . . . . . . 500
25.6. Многогранники, описанные около сферы . . . . . . . . . 502
Примеры заданий № 42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
§ 26. Объёмы тел. Площадь сферы . . . . . . . . . . . . . . . . 505
26.1. Объём тела. Формулы для вычисления объёмов
многогранников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
Примеры заданий № 43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

12 ОГЛАВЛЕНИЕ
26.2. Объёмы тел вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
26.3. Площадь сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
Примеры заданий № 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
§ 27. Координаты и векторы в пространстве . . . . . . . . 515
27.1. Декартовы координаты точки в пространстве.
Формула расстояния между двумя точками.
Координаты середины отрезка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
27.2. Уравнение фигуры. Уравнение сферы . . . . . . . . . . . . 516
27.3. Векторы в пространстве. Координаты вектора . . . . . 518
27.4. Сложение и вычитание векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . 521
27.5. Умножение вектора на число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
27.6. Компланарные векторы. Разложение вектора
по трём некомпланарным векторам . . . . . . . . . . . . . . 527
27.7. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . 528
27.8. Уравнение плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
Примеры заданий № 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
Ответы к примерам заданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

ВВЕДЕНИЕ
На единый государственный экзамен (ЕГЭ) по матема&
тике выносятся темы, рассматриваемые в курсах мате&
матики 5–6 классов, алгебры 7–9 классов, алгебры и на&
чал анализа 10–11 классов, планиметрии 7–9 классов,
стереометрии 10–11 классов. Основой подготовки к ЕГЭ
является организация систематического повторения ма&
териала, изученного в 5–11 классах. Существует целый
ряд способов реализации этой задачи. Например, можно
использовать школьные учебники. Неудобства такого
подхода очевидны: во&первых, надо иметь под рукой все
школьные учебники по математике соответствующих
этапов её изучения; во&вторых, поиск необходимого ма&
териала может привести к немалой потере времени. Го&
раздо удобней использовать пособие, в котором в крат&
кой форме изложены базовые факты: определения, теоре&
мы, формулы, свойства математических объектов и т. п.
Именно такую книгу вы держите в руках. Она представ&
ляет собой справочник для подготовки к ЕГЭ по матема&
тике.
Это пособие содержит не только теоретический мате&
риал, необходимый для решения вариантов ЕГЭ, но и
значительное количество разобранных примеров, ил&
люстрирующих основные методы и приёмы решения за&
дач.
Данный справочник выполняет также и свою тради&
ционную роль — позволяет быстро найти нужную ин&
формацию: какими свойствами обладает степень с це&
лым показателем, чему равна сумма n первых членов
геометрической прогрессии, как найти дробь от числа,
по какой формуле можно вычислить площадь трапеции
и т. п.
Справочник состоит из двух глав. Первая глава
«Арифметика. Алгебра» соответствует содержанию кур&

14 ВВЕДЕНИЕ
сов математики 5–6 классов, алгебры 7–9 классов, алгеб&
ры и начал анализа 10–11 классов; вторая глава «Геомет&
рия» — содержанию курса планиметрии 7–9 классов и
стереометрии 10–11 классов. Каждая из глав разбита на
параграфы. Их содержание отвечает кодификатору, на
основании которого формируются задания для проведе&
ния ЕГЭ по математике.
Понятно, что для успешного написания ЕГЭ необхо&
димо уметь решать задачи. Поэтому в справочник вклю&
чён обширный дидактический материал. Каждый пара&
граф содержит одну или две (в зависимости от объёма ма&
териала) проверочные работы в рубрике «Примеры зада&
ний». Такое название рубрики связано с тем, что
большинство представленных в ней задач аналогичны
или близки по содержанию и форме к заданиям, предла&
гавшимся в разные годы на ЕГЭ по математике.
Большинство проверочных работ состоят из двух час&
тей. Задания второй части более сложные. Поэтому сове&
туем приступать к их решению после того, как будут вы&
полнены задания первой части.
Некоторые задания первой части представляют собой
задачи, решение которых заключается в выборе одного
правильного ответа из четырёх предложенных. Для та&
ких задач в рубрике «Ответы к примерам заданий» ука&
зан номер правильного ответа.
Желаем вам успешной сдачи единого государственно&
го экзамена по математике.

ГЛАВА I
АРИФМЕТИКА.
АЛГЕБРА

§ 1. Натуральные числа
1.1. Десятичная запись натуральных чисел
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т. д., исполь&
зуемые при счёте предметов, называют натуральными.
Все натуральные числа, записанные в порядке возрас&
тания, образуют ряд натуральных чисел (или натураль&
ный ряд). Первым числом натурального ряда является
число 1, вторым — число 2, третьим — число 3 и т. д.
В натуральном ряде за каждым числом следует ещё
одно число, большее предыдущего на единицу. Поэтому
в натуральном ряде нет последнего числа. Следователь&
но, среди натуральных чисел есть наименьшее число —
это число 1, но нет наибольшего.
Натуральные числа записывают с помощью специаль&
ных знаков, которые называют
цифрами . Этих цифр десять:
0, 1 , 2 , 3, 4, 5 , 6, 7, 8 , 9.
В записи числа в зависимости от места, занимаемого
цифрой, она может обозначать разные числа. Например,
в числе 172 цифра 7 обозначает число семьдесят, а в чис&
ле 7549 — обозначает число семь тысяч.
Место, занимаемое цифрой в записи числа, называют
разрядом.
Если считать справа налево, то первое место в записи
числа называют разрядом единиц, второе — разрядом де#
сятков, третье — разрядом сотен и т. д. Например, в числе
7049 имеем 9 единиц разряда единиц, 4 единицы разряда
десятков, 0 единиц разряда сотен и 7 единиц разряда тысяч.
Запись натуральных чисел, которой мы пользуемся,
называют десятичной. Такое название связано с тем, что
10 единиц каждого разряда составляют одну единицу
следующего, старшего разряда.

18 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
1.2. Арифметические действия
над натуральными числами
Если по двум данным числам по некоторому правилу
определяют третье число, то этот процесс в математике
называют действием.
Действия сложения, вычитания, умножения и деле&
ния называют арифметическими действиями.
В равенстве a + b = c числа a и b называют слагаемы#
ми, число c и запись a+b — суммой.
В равенстве a–b=c число a называют уменьшаемым,
число b — вычитаемым, число c и запись a–b — разно#
стью.
В равенстве a
b=c числа a и b называют множителя#
ми, а число с и запись a
b — произведением.
В равенстве a:b= с число a называют делимым, чис&
ло b — делителем, число c и запись a:b —
частным.
Арифметические действия обладают следующими
свойствами.
1.Переместительное свойство сложения. От переста&
новки слагаемых сумма не меняется:
a+b=b+a.
2.Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме
двух чисел прибавить третье число, можно к первому
числу прибавить сумму второго и третьего чисел:
(a+b)+c=a+(b+c).
3.Переместительное свойство умножения. От пере&
становки множителей произведение не меняется:
ab = ba.
4.Сочетательное свойство умножения. Чтобы произ&
ведение двух чисел умножить на третье число, можно
первое число умножить на произведение второго и треть&
его чисел:
(ab)c=a(bc).
5.Распределительное свойство умножения относи#
тельно сложения. Чтобы число умножить на сумму двух

§ 1. Натуральные числа 19
чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое
и полученные произведения сложить:
a(b+c)=ab+ac.
З а д а ч а. Вычислите удобным способом:
1) 25
867 4; 2) 329 754 + 329 246; 3) 125 24 283.
Р е ш е н и е. 1) Используем переместительное, а затем
сочетательное свойства умножения:
25
867 4 = 867 (25 4) = 867 100 = 86 700.
2) Имеем: ab+ac=a(b+c). Тогда:
329
754 + 329 246 = 329 (754 + 246) = 329 1000 =
= 329 000.
3) 125
24 283 = 125 8 3 283 = (125 8) (3 283) =
=1000
849 = 849 000.
1.3. Делимость натуральных чисел
Если натуральное число a делится нацело на нату&
ральное число b, то число a называют кратным числа b,
число b— делителем числа а.
Например, числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 являются де&
лителями числа 30, а число 30 является кратным каждо&
го из этих чисел.
Если каждое из натуральных чисел a и b делится
нацело на число k, то и сумма a+b также делится нацело
на число k.
Например, каждое из чисел 21 и 36 делится нацело на 3.
Тогда сумма чисел 21 и 36 также делится нацело на 3.
Если число a делится нацело на число k, а число b
не делится нацело на число k, то сумма a+b также не де&
лится нацело на число k.
Например, число 35 делится нацело на число 7, а чис&
ло 17 на число 7 не делится нацело. Тогда сумма 35 + 17
также не делится нацело на число 7.
Задача 1. Целые числа x и y таковы, что 6x + 11y
делится нацело на 31. Докажите, что x + 7y делится
нацело на 31.

20 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Решение. Запишем:
x+7y=31(x+2y) – 5 (6x+11y). Из условия следует,
что 5 (6x + 11y) делится нацело на 31. Кроме того,
31 (x+2y) делится нацело на 31. Тогда рассматривае&
мая разность 31 (x+2y) – 5 (6x+11y) делится нацело
на 31.
З а д а ч а 2. Решите в натуральных числах уравнение
x
2 + xy – x – y = 5.
Р е ш е н и е. Разложим левую часть уравнения на мно&
жители. Имеем: x(x + y) – (x + y) = 5; (x + y)(x – 1) = 5.
Отсюда получаем, что значения выражений x + y и
x– 1 являются делителями числа 5. Тогда возможны
два случая.
1) Отсюда
2) Отсюда
Поскольку по условию х и y — натуральные числа, то
условию удовлетворяют лишь х = 2 и y = 3.
Ответ: (2; 3).
1.4. Признаки делимости
Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3,
5, 7, 9 — нечётными.
Признак делимости на 2. Если запись натурального
числа оканчивается чётной цифрой, то это число делится
нацело на 2. Если запись натурального числа оканчивает&
ся нечётной цифрой, то это число не делится нацело на 2.
Признак делимости на 10. Если запись натурального
числа оканчивается цифрой 0, то это число делится на&
цело на 10. Если запись натурального числа оканчивает&
ся любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится
нацело на 10.
Признак делимости на 5. Если запись натурального
числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится
x + y = 5,
x – 1 = 1. y = 3,
x = 2.
x + y = 1,
x – 1 = 5. y = –5,
x = 6.

§ 1. Натуральные числа 21
нацело на 5. Если запись натурального числа оканчива&
ется любой цифрой, отличной от 0 или 5, то это число не
делится нацело на 5.
Признак делимости на 3. Если сумма цифр числа де&
лится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.
Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само
число не делится нацело на 3.
Например, число 7854 делится нацело на 3, так как
сумма его цифр, равная 24, делится нацело на 3. Число
3749 не делится нацело на 3, так как сумма его цифр,
равная 23, не делится нацело на 3.
Признак делимости на 9. Если сумма цифр числа де&
лится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.
Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само
число не делится нацело на 9.
З а д а ч а 1. Докажите, что значение выражения
10
10 + 2 делится нацело на 3.
Р е ш е н и е. Значение данного выражения имеет вид
100…02. Сумма цифр этого числа равна 3. Поэтому
оно делится нацело на 3.
З а д а ч а 2. Запись десятизначного натурального чис&
ла состоит из десяти различных цифр. Может ли это
число быть степенью числа 2?
Р е ш е н и е. Сумма цифр данного числа равна 45. Сле&
довательно, это число кратно 9. Однако ни одна сте&
пень двойки не делится нацело на 9. Значит, данное
число не может быть степенью двойки.
1.5. Простые и составные числа
Натуральное число называют простым, если оно име&
ет только два натуральных делителя: единицу и само это
число.
Например, числа 2, 7, 11, 13 являются простыми.
Число 2 — наименьшее простое число. Это единствен&
ное чётное простое число.
Простых чисел бесконечно много.

22 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Натуральное число, имеющее больше двух натураль&
ных делителей, называют составным.
Например, числа 6, 15, 49, 1000 являются составными.
Поскольку число 1 имеет только один делитель, его не
относят ни к простым, ни к составным.
Любое составное число можно представить в виде
произведения простых чисел, т. е. разложить на простые
множители.
Например, 10 = 2
5; 18 = 2 3 3; 30 = 2 3 5; 81 =
=3
33 3; 200 = 2 2 2 5 5.
Любые два разложения данного числа на простые
множители могут отличаться только порядком следова&
ния множителей.
Обычно произведение одинаковых множителей в раз&
ложении числа на простые множители заменяют степе&
нью. Например, пишут: 18 = 2 · 3
2; 80 = 2 4·5; 81 = 3 4;
200 = 2
3 · 5 2.
З а д а ч а 1. Разложите на простые множители число
3150.
Р е ш е н и е. 1) 3150 кратно 2, 3150 : 2 = 1575;
2) 1575 не кратно 2, но кратно 3, 1575 : 3 = 525;
3) 525 кратно 3, 525 : 3 = 175;
4) 175 не кратно 3, но кратно 5, 175 : 5 = 35;
5) 35 кратно 5, 35 : 5 = 7.
Следовательно, 3150 = 2
1575 = 2 3 525 = 2 3

3 175 = 2 3 3 5 35 = 2 3 3 5 5 7 = 2 · 3 2 · 5 2 · 7.
Результат вычислений можно представить в виде сле&
дующей таблицы:
3150 2
1575 3
525 3
175 5
35 5
77
1

§ 1. Натуральные числа 23
З а д а ч а 2. Известно, что квадрат каждого отличного
от 1 делителя числа n больше, чем n. Докажите, что
число n — простое.
Решение.
Пусть число n — составное. Тогда n = k1 k2,
где k 1> 1 и k 2 > 1. По условию k 12 > n и k 22 > n. От&
сюда (k
1 k2)2 > n 2, т. е. k 1 k2 > n. Получили проти&
воречие.
1.6. Наибольший общий делитель.
Наименьшее общее кратное
Наибольшее натуральное число, на которое делится
нацело каждое из двух данных натуральных чисел, на&
зывают наибольшим общим делителем этих чисел.
Наибольший общий делитель чисел a и b обозначают
так: НОД (a;b).
Например, НОД (28; 42) = 14.
З а д а ч а 1. Найдите НОД (180; 840).
Р е ш е н и е. Представим разложение данных чисел на
простые множители в виде произведения степеней.
Имеем: 180 = 2
2 32 51, 840 = 2 3 31 51 71.
Будем искать НОД по такому правилу.
1) Определим степени, основания которых являются
общими простыми делителями данных чисел (в рас&
сматриваемом примере это основания 2, 3, 5).
2) Из каждой пары степеней с одинаковыми основани&
ями выберем степень с меньшим показателем (в рас&
сматриваемом примере это 2
2, 3 1, 5 1).
3) Перемножим выбранные степени. Полученное про&
изведение является искомым наибольшим общим де&
лителем.
Получаем: НОД (180; 840) = 2
2 31 51 = 60.
Если наибольший общий делитель двух натуральных
чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.

24 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Например, числа 585 и 616 взаимно простые, по&
скольку НОД (585; 616) = 1.
Если число a — делитель числа b, то НОД (a;b) = a.
Например, НОД (250; 3000) = 250.
З а д а ч а 2. Из 156 жёлтых, 234 белых и 390 красных
роз составляли букеты. Какое наибольшее количество
одинаковых букетов можно составить, если необходи&
мо использовать все цветы?
Р е ш е н и е. Поскольку букеты одинаковые, то роз од&
ного цвета во всех букетах одинаковое количество.
Тогда количество букетов является общим делителем
чисел 156, 234 и 390. Количество букетов должно
быть наибольшим, поэтому искомая величина равна
НОД (156; 234; 390).
Имеем: 156 = 2 2 · 3 · 13, 234 = 2 · 3 2 · 13, 390 = 2 · 3 · 5 · 13.
Отсюда НОД (156; 234; 390) = 2 · 3 · 13 = 78.
О т в е т: 78 букетов.
Наименьшее натуральное число, которое делится на&
цело на каждое из двух данных натуральных чисел, на&
зывают наименьшим общим кратным этих чисел.
Наименьшее общее кратное чисел a и b обозначают
так: НОК (a; b).
Например, НОК (4; 6) = 12.
З а д а ч а 3. Найдите НОК (84; 90).
Р е ш е н и е. Имеем: 84 = 2
2 31 71, 90 = 2 1 32 51.
Будем искать НОК по такому правилу.
1) Выберем степени, основания которых встречаются
только в одном из разложений (в рассматриваемом
примере это 7
1 и 5 1).
2) Из каждой пары степеней с одинаковыми основани&
ями выберем степень с б
oльшим показателем (в рас&
сматриваемом примере это 2
2 и 3 2).
3) Перемножим выбранные степени. Полученное произве&
дение является искомым наименьшим общим кратным
.
Получаем: НОК (84; 90) = 2 2 · 3 2 · 5 1 · 7 1 = 1260.

§ 1. Натуральные числа 25
Если число a — делитель числа b, то НОК (a;b)=b.
Например, НОК (250; 3000) = 3000.
Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел
равно их произведению.
Например, НОК (8; 15) = 120.
1.7. Деление с остатком
Если натуральное число a не делится нацело на нату&
ральное число b, то можно выполнить деление с остат#
ком. Например, при делении числа 47 на 5 в частном по&
лучаем 9, а в остатке 2. Пишут: 47 : 5 = 9 (ост 2) или
47 = 5
9 + 2, и говорят, что число 47 при делении на 5
даёт в остатке число 2.
Для любых натуральных чисел a и b существует
единственная пара целых неотрицательных чисел q и r
таких, что a = bq + r, где 0
r < b.
Число r называют остатком при делении числа а на
число b. Если r
0, то число q называют неполным част#
ным при делении числа а на число b.
Например:
для чисел a = 92, b = 17 существует пара q = 5 и r = 7
такая, что 92 = 17
5 + 7;
для чисел a = 2, b = 7 существует пара q = 0 и r = 2 та&
кая, что 2 = 7
0 + 2.
Остаток всегда меньше делителя. Например, если де&
литель равен 3, то остаток может принимать только та&
кие значения: 0, 1 и 2. Отсюда следует, что любое нату&
ральное число х может быть представлено только одним
из трёх равенств: x = 3n, x = 3n + 1, x = 3n + 2, где n —
натуральное число или 0.
З а д а ч а 1. Известно, что при делении натурального
числа m на 18 остаток равен 11. Найдите остаток при
делении числа m: 1) на 2; 2) на 3; 3) на 6.
Решение. Данное натуральное число х можно пред&
ставить в виде x = 18m + 11.

26 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Имеем:
x = 18m + 11 = 18m + 10 + 1 = 2 (9m + 5) + 1 = 2t + 1,
где t — натуральное число;
x = 18m + 11 = 18m + 9 + 2 = 3 (6m + 3) + 2 = 3p + 2,
где p — натуральное число;
x = 18m + 11 = 18m + 6 + 5 = 6 (3m + 1) + 5 = 6s + 5,
где s — натуральное число.
Следовательно, данное натуральное число при деле&
нии на 2 даёт в остатке 1, при делении на 3 даёт в
остатке 2 и при делении на 6 даёт в остатке 5.
З а д а ч а 2. Найдите все такие натуральные числа n,
что числа n + 1, n + 11, n+27 являются простыми.
Р е ш е н и е. Так как разность никаких двух данных
чисел не делится нацело на 3, то все они дают разные
остатки при делении на 3. Следовательно, одно из
этих чисел, будучи простым, кратно 3, значит, оно
равно 3. Это может быть только число n + 1. Отсюда
n= 2. Тогда n + 11 = 13, n + 27 = 29.
Примеры заданий № 1
Часть 1
1.На уроке физкультуры все 26 учеников класса по&
строились в одну шеренгу. Известно, что Пётр стоял
четырнадцатым, считая слева направо, а Елена —
двадцатой, считая справа налево. Сколько учеников
стояло между Петром и Еленой?
2.На переменке ученики школы выстроились в очередь
в буфет. Ольга стояла впереди Виктора, а между ни&
ми было 3 человека. Позади Ольги стояло 6 человек,
а перед Виктором — 7 человек. Сколько всего учени&
ков стояло в очереди?
3.Воспитанники детского сада шли парами на прогул&
ку в парк. Полина насчитала перед собой 8 пар детей,
а позади себя — 6 пар. Сколько всего детей шло на
прогулку?

§ 1. Натуральные числа 27
4.Дома на улице пронумерованы подряд числами от 1
до 25. Сколько раз цифра 2 встречается в нумера&
ции?
5.Установите соответствие между числами, записанны&
ми в левом столбце, и цифрами из правого столбца,
которые можно поставить вместо звёздочки, чтобы
данные числа делились нацело на 9.
В таблице под каждой буквой, соответствующей чис&
лу, укажите номер цифры, которую можно поставить
в запись этого числа.
6.Какую одну и ту же цифру надо приписать слева и
справа к числу 25, чтобы полученное число было
кратно 6?
7.Какую цифру надо поставить вместо звёздочки в за&
писи 5*2, чтобы полученное число делилось нацело
на 3 и на 4?
8.Какую цифру надо поставить вместо звёздочки в за&
писи 2736*, чтобы полученное число делилось нацело
на 9, но не делилось нацело на 6?
9.Какую цифру надо поставить вместо звёздочки в за&
писи 111*6, чтобы полученное число делилось нацело
на 9 и на 4?
10.Какую цифру надо поставить вместо звёздочки в
записи 2344*, чтобы полученное число было крат&
но 45?
11.Какое наименьшее натуральное число надо приба&
вить к числу 931, чтобы полученная сумма была
кратной одновременно числам 3 и 5? ЧИСЛА ЦИФРЫ
А) 617* 1) 0
Б) 46*46 2) 4
В) 6*48 3) 7
Г) 8*05 4) 5
АБВ Г

28 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
12.Сколько простых чисел содержится среди чисел 1, 2,
5, 8, 9, 14, 19, 23, 31, 35, 37, 39, 42, 67, 78, 83, 91, 99?
13.Найдите наибольший общий делитель чисел 840 и 784.
14.Из 280 мандаринов, 252 пачек печенья и 588 конфет
приготовили одинаковые подарки для учеников
класса. Сколько в классе учеников, если известно,
что их больше 20?
15.В саду растут только яблони и вишни. Количество ви&
шен относится к количеству яблонь как 5 : 6. Сколь&
ко деревьев растёт в саду, если их общее количество
больше 90, но меньше 100?
16.В ящике лежат яблоки. Известно, что их можно разло&
жить в 5 рядов, или в 8 рядов, или в 12 рядов так, что
в каждом ряду будет поровну яблок. Какое наимень&
шее количество яблок может быть в этом ящике?
17.Найдите наименьшее общее кратное чисел 10, 16 и 28.
18.Какое наименьшее количество метров ткани должно
быть в рулоне, чтобы его можно было продать без
остатка отрезами по 8 м, или по 10 м, или по 12 м?
19.Два теплохода заходят в порт после каждого рейса. Пер&
вый теплоход выполняет рейс за 4 дня, а второй — за
6 дней. Однажды они встретились в порту в среду. Через
сколько дней они опять встретятся в порту в среду?
20.На длинной ленте через каждые 8 см делают отметку
красным карандашом, а через каждые 6 см — синим
карандашом. На каком расстоянии (в сантиметрах)
от начала ленты впервые совпадут красная и синяя
отметки?
21.Чему равен остаток при делении числа 47 на 3?
22.Чему равен остаток при делении числа 1484 на 10?
23.Чему равен остаток при делении числа 972 на 9?
24.Чему равен остаток при делении на 7 значения выра&
жения (15n + 8) – (8n + 2), где n — любое натуральное
число?
25.Известно, что при делении натурального числа m на 20
остаток равен 7. Найдите остаток при делении числа
3m на 5.

§ 2. Дроби 29
26.Известно, что при делении натурального числа m на 20
остаток равен 7. Найдите остаток при делении числа
3m на 12.
27.В каждом подъезде на каждом этаже 9&этажного до&
ма расположено по 8 квартир. Найдите номер этажа,
на котором находится квартира № 173.
Часть 2
28.Известно, что натуральное число n не кратно 3. Дока&
жите, что значение выражения n
2 + 2 кратно 3.
29.Докажите, что при любом натуральном n значение
выражения n
3 + 5n кратно 6.
30.При каких натуральных значениях n значение выра&
жения n
4 + n 2 + 1 является простым числом?
31.Найдите все такие простые числа p, что числа p+14
и p+ 40 также являются простыми.
32.Решите в натуральных числах уравнение
x
2 – 4xy + 3y 2 = 3.
§ 2. Дроби
2.1. Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби.
Сравнение дробей
Дробные числа возникают, когда один предмет (ябло&
ко, арбуз, торт, буханку хлеба, лист бумаги) или едини&
цу измерения (метр, час, килограмм, градус) делят на не&
сколько равных частей.
Половина, четверть, треть, одна сотая, полтора — это
примеры дробных чисел.
Дробные числа можно записывать с помощью обык#
новенных дробей.
Записи вида , , , , являются примерами
обыкновенных дробей или короче — дробей.
1
2 1
4 1
3 3
10 17
24

30 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Обыкновенные дроби записывают с помощью двух на&
туральных чисел и черты дроби.
Число, записанное над чертой, называют числителем
дроби; число, записанное под чертой, называют знамена#
телем дроби.
Знаменатель дроби показывает, на сколько равных
частей разделили нечто целое, а числитель — сколько та&
ких частей взяли.
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, на&
зывают правильной.
Дробь, у которой числитель больше знаменателя или
равен ему, называют неправильной.
Например, дроби , , — правильные; дроби ,
, — неправильные.
Такие суммы, как 2 + , 4 + , принято записывать
короче: 2 + = 2 , 4 + = 4 . Число 2 читают: «две
целых пять седьмых».
Число 2 называют смешанным числом. В смешанном
числе 2 натуральное число 2 называют целой частью
смешанного числа, а дробь — его дробной частью. Дроб&
ная часть смешанного числа — это правильная дробь.
Чтобы неправильную дробь, числитель которой наце&
ло не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное
число, надо числитель разделить на знаменатель; получен&
ное неполное частное записать как целую часть смешанного
числа, а остаток — как числитель его дробной части.
Если числитель неправильной дроби делится нацело
на знаменатель, то эта дробь равна натуральному числу.
Например, = 4 , = 7 , = 1.
1
2 7
12 17
584 7
5
3
3 31
15
5
7 1
5
5
7 5
7 1
5 1
5 5
7
5
7
5
7
5
7
29
7 1
7 67
9 4
9 17
17

§ 2. Дроби 31
Чтобы преобразовать смешанное число в неправиль&
ную дробь, надо целую часть числа умножить на знамена&
тель дробной части и к полученному произведению приба&
вить числитель дробной части; эту сумму записать как
числитель неправильной дроби, а в знаменатель записать
знаменатель дробной части смешанного числа.
Например, 5 = = .
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями
больше та, у которой числитель больше, а меньше та,
у которой числитель меньше.
Например, > ; < ; > .
Все правильные дроби меньше единицы, а непра&
вильные — больше или равны единице.
Каждая неправильная дробь больше любой пра&
вильной дроби, а каждая правильная дробь меньше лю&
бой неправильной дроби.
Следующее утверждение выражает основное свойство
дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или
разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то по&
лучим дробь, равную данной:
= .
Если числитель и знаменатель дроби — натуральные
числа, то деление числителя и знаменателя на их общий
делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.
Например, равенство = означает, что дробь
сократили на 7.
Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно
простые числа, называют несократимой.
Например, дробь является несократимой.
4
9 59 4
9
49
9
5
9 1
9 2
17 5
17 11
7 5
7
a
b an
bn
35
14 5
2 35
14
12
25

32 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
С помощью основного свойства дроби любые две дроби
можно привести к общему знаменателю. Например,
приведём дроби и к общему знаменателю. Имеем:
= = (здесь числитель и знаменатель дроби
умножили на число 3, которое называют дополнитель#
ным множителем); = = (дополнительный мно&
житель 2).
Чтобы привести дроби к наименьшему общему
знаменателю, надо:
1) найти НОК знаменателей данных дробей;
2) найти дополнительные множители для каждой из
дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели
данных дробей;
3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби
на её дополнительный множитель.
Например,
= , = .
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателя&
ми, надо привести их к общему знаменателю, а затем
применить правило сравнения дробей с равными знаме&
нателями.
Например, поскольку < , то < .
2.2. Арифметические действия
с обыкновенными дробями
Следующие равенства выражают правила сложения и
вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
+ = , – = .
3
4 5
6
3
4 33
43
9
12
5
6 52
62
10
12
7
8\3 21
24 11
12 \2 22
24
21
24 22
24 7
8 11
12
a
c b
c ab
c
a
c b
c ab
c

§ 2. Дроби 33
Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными зна&
менателями, надо привести их к общему знаменателю, а
затем применить правило сложения (вычитания) дробей
с равными знаменателями.
Например, + = + = = .
Произведением двух дробей является дробь, чис&
литель которой равен произведению числителей, а зна&
менатель — произведению знаменателей:

= .
Например,
= .
Два числа, произведение которых равно 1, называют
взаимно обратными.
Например, числа и являются взаимно обратными.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо дели&
мое умножить на число, обратное делителю:
: =
.
Например, : =
= .
З а д а ч а. Выполните действие: 5 – 2 .
Решение. 5 – 2 = 5 – 2 = 4 – 2 = 2.
2.3. Десятичная дробь.
Сравнение десятичных дробей
Для дробей, знаменатели которых являются степеня&
ми числа 10, используют «одноэтажную» форму записи.
3
8\3 1
6\4 9
24 4
24 94
24
13
24
a
b c
d ac
bd
4
7 2
3 8
21
4
9 9
4
a
b c
d a
b d
c
6
35 2
5 6
35 5
2 3
7
1
6 4
9
1
6 4
9 3
18 8
18 21
18 8
18 13
18

34 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Например, = 0,7 (запись 0,7 читают: «ноль целых
семь десятых»); = 0,12 (запись 0,12 читают: «ноль
целых двенадцать сотых»); 2 = 2,973 (запись 2,973
читают: «две целых девятьсот семьдесят три тысяч&
ных»); = 4 = 4,3 (запись 4,3 читают: «четыре це&
лых три десятых»); = 0,03 (запись 0,03 читают: «ноль
целых три сотых»); 2 = 2,0508 (запись 2,0508 чи&
тают: «две целых пятьсот восемь десятитысячных»).
Такую форму записи дробей называют десятичной.
Дроби, записанные в такой форме, называют десятичны#
ми дробями.
В записи десятичной дроби запятая отделяет целую
часть числа от дробной. Считают, что целая часть пра&
вильной дроби равна 0. Запись дробной части десятичной
дроби содержит столько цифр, сколько нулей в записи
знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.
Например, 6 = 6,003; = 0,017; 3 = 3,527.
В десятичной записи натурального числа единица млад&
шего разряда в 10 раз меньше единицы соседнего старшего
разряда. Таким же свойством обладает и запись десятич&
ных дробей. Поэтому сразу после запятой идет разряд деся#
тых, далее разряд сотых, затем разряд тысячных ит.д.
Если к десятичной дроби справа приписать любое
количество нулей, то получится дробь, равная данной.
Например, 0,3 = 0,30 = 0,300.
Значение дроби, оканчивающейся нулями, не из&
менится, если последние нули в её записи отбросить.
Из двух десятичных дробей больше та, у которой
целая часть больше. 7
10
12
100
973
1000
43
10 3
10
3
100
508
10 000
3
1000 17
1000 527
1000

§ 2. Дроби 35
Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными це&
лыми частями и различным количеством цифр после за&
пятой, надо с помощью приписывания нулей справа
уравнять количество цифр в дробных частях, после чего
сравнить полученные дроби.
З а д а ч а. Запишите несколько чисел, каждое из кото&
рых больше 2,35, но меньше 2,36.
Р е ш е н и е. Имеем: 2,35 = 2,350; 2,36 = 2,360. Следо&
вательно, числами, удовлетворяющими условию, бу&
дут, например: 2,351; 2,352; 2,353. Учитывая, что
2,35 = 2,3500 и 2,36 = 2,3600, можем указать ещё не&
сколько искомых чисел: 2,3501; 2,3576; 2,3598 и т. д.
2.4. Представление обыкновенной дроби
в виде десятичной. Бесконечные периодические
десятичные дроби
Несократимую дробь можно преобразовать в конеч&
ную десятичную только тогда, когда разложение знамена&
теля b на простые множители не содержит чисел, отличных
от 2 и 5. Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в деся&
тичную, можно её числитель разделить на знаменатель.
Преобразуем, например, дробь в десятичную. Име&
ем = 3 : 16. Теперь выполним деление «уголком»: a
b
3
16
3
16
3
30 16
01, 875
16
140
128
120
112
80
80
0

36 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
В силу сформулированного выше свойства дробь
преобразовать в конечную десятичную нельзя. Выпол&
ним деление «уголком» числа 5 на число 11:
Это деление можно продолжать бесконечно. Частное
имеет вид 0,454545... . В этой записи точки означают,
что цифры 4 и 5, стоящие рядом, периодически повторя&
ются бесконечно много раз.
Число 0,454545... называют бесконечной периоди#
ческой десятичной дробью, или периодической дробью.
Полученную периодическую дробь принято записывать
так: 0,(45) и читать: «нуль целых и сорок пять в периоде».
Группу цифр (45) называют периодом дроби 0,(45).
Можно записать: = 0,454545 ... = 0,(45).
При делении натурального числа на натуральное
число можно получить один из трёх результатов: нату&
ральное число, конечную десятичную дробь или беско&
нечную периодическую десятичную дробь.
2.5. Округление чисел
Для того чтобы десятичную дробь округлить до
единиц, десятых, сотых и т. д., надо все следующие за
этим разрядом цифры отбросить; если при этом первая
из отбрасываемых цифр равна 0, 1, 2, 3 или 4, то послед&
5
11
5
50 11
04, 545
44
60
55
50
44
60
55
5...
5
11

§ 2. Дроби 37
няя из оставшихся цифр не изменяется; если же первая
из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то послед&
няя из оставшихся цифр увеличивается на единицу.
Например:
0,12
0,1 (округление до десятых);
3,85741
3,86 (округление до сотых);
1,004483
1,004 (округление до тысячных).
При округлении натуральных чисел до какого&ли&
бо разряда вместо всех следующих за ним цифр младших
разрядов пишут нули. При этом, если первая из цифр,
следовавших за этим разрядом, была равной 0, 1, 2, 3
или 4, то цифра в данном разряде не изменяется; если
первая из цифр, следовавших за этим разрядом, была
равной 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в данном разряде увели&
чивается на единицу.
Например:
234
230 — округление до десятков;
8763
8800 — округление до сотен;
984
1000 — округление до сотен;
965348
970 000 — округление до десятков тысяч.
Округлять можно и бесконечные периодические деся&
тичные дроби, «отсекая» в определенном месте «беско&
нечный хвост». Например:
0,(6) = 0,6|66...
0,7 (округление до десятых);
1,3(4) = 1,34|44...
1,34 (округление до сотых);
2,(17) = 2,171|717...
2,172 (округление до тысячных).
Примеры заданий № 2
Часть 1
1.Деревянное бревно распилили на два бревна, длины
которых относятся как 3 : 7. Какую часть исходного
бревна составляет меньшее из полученных брёвен?
2.Какое наибольшее натуральное число удовлетворяет
неравенству n < ?
94
15

38 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
3.В корзинке лежали яблоки и груши. Съели половину
яблок и треть груш. Какое из утверждений верно?
1) осталась половина фруктов
2) осталась треть фруктов
3) осталось больше половины фруктов
4) осталось меньше половины фруктов
4.Установите соответствие между значениями x, запи&
санными в левом столбце, и неравенствами, которым
удовлетворяют эти значения, записанными в правом
столбце.
В таблице под каждой буквой, соответствующей зна&
чению x, укажите номер неравенства, которому это
значение удовлетворяет.
5.Найдите значение выражения
18.
6.Найдите значение выражения
9.
7.Найдите значение выражения 4
1 + 1 : .
8.Вычислите значение выражения

2. ЗНАЧЕНИЯ xНЕРАВЕНСТВА
А) 1,2 1) 0,75 < x < 1
Б) 0,(6)2) < x <
В)
3) 2,2 < x < 2,3
Г) 4) < x <
АБВ Г
3
7 3
4
15
18
20
9 15
13 14
11
21
4 32
3
13
19 15
38 1
2
1
2 23
25 3
20
62
7 31
3 11
9 210
21 13
25

§ 2. Дроби 39
9.Бассейн можно наполнить за 3 ч, а слить из него воду —
за 5 ч. Сколько часов потребуется для наполнения
бассейна, если не закрывать сливное отверстие?
10.Расстояние между двумя городами легковой автомо&
биль проезжает за 2 ч, а грузовой — за 3 ч. Через
сколько часов после начала движения они встре&
тятся, если выедут одновременно из этих городов на&
встречу друг другу?
11.Первый рабочий изготавливает одну деталь за 2 мин,
а второй рабочий такую деталь — за 3 мин. За сколь&
ко минут они вместе изготовят 30 таких деталей?
12.Теплоход проходит расстояние между двумя приста&
нями по течению реки за 4 ч, а против течения — за
6 ч. За сколько часов проплывёт это расстояние
плот?
13.Чему равна половина одной сотой?
14.Найдите значение выражения + .
15.Килограмм огурцов стоит 55 р. Купили 1 кг 200 г
огурцов. Сколько рублей сдачи должны получить со
100 р.?
16.Пакет сока стоит 36 р. 80 коп. Какое наибольшее ко&
личество пакетов сока можно купить на 200 р.?
17.Чему равна сумма 3,4 т + 700 кг? Ответ запишите
в тоннах.
18.Масса полного ведра с водой равна 12,5 кг. Когда из
ведра вылили половину воды, то масса ведра с остав&
шейся водой стала равной 6,5 кг. Сколько килограм&
мов составляет масса пустого ведра?
19.Какое наименьшее количество банок ёмкостью 0,3 л
требуется, чтобы разлить в них 5 л варенья?
20.Найдите значение выражения .
21.Найдите значение выражения .
22.Найдите значение выражения 0,2432 : 0,4 – 0,18
0,02.
4
100 7
1000
27
22 5
06
08
1 1
9

40 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
23.Установите соответствие между выражениями, запи&
санными в левом столбце, и их значениями, записан&
ными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой, соответствующей вы&
ражению, укажите номер его значения.
24.Грузовой автомобиль за один рейс может перевезти
не более 1,5 т груза. Масса каждого контейнера, в ко&
торый упакован груз, — 400 кг. Какое наименьшее
количество автомобилей необходимо, чтобы перевез&
ти 5,6 т?
25.У мальчика было 56 тетрадей, из них составляли
тетради в клеточку. Сколько у него было тетрадей в
клеточку?
26.Пётр поймал 6 рыб и ещё улова. Сколько рыб пой&
мал Пётр? ВЫРАЖЕНИЯ ЗНАЧЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ
А)
1) 0,8
Б) 2,1 : – 2,1

2) 5,5
В)
3) 9
Г)
4) 4
АБВ Г
25 15
6 12
3
7 3
7
3
4 1
6
1
2 1
3
251
1
4 1
5
251
1
4 1
5
4
7
3
5

§ 2. Дроби 41
27.Масса детали на кг больше своей массы. Сколько
килограммов составляет масса детали?
28.В бочку налили 28 л воды, что составляет её объ&
ёма. Сколько литров воды помещается в бочку?
29.За первый день трёхдневной гонки велосипедисты
проехали всего маршрута, за второй — всего
маршрута, а за третий — 90 км. Сколько километров
проехали велосипедисты за 3 дня?
30.За 2 дня рабочий изготовил некоторое количество де&
талей. За первый день он изготовил всех деталей,
а за второй — на 9 деталей меньше, чем за первый.
Сколько деталей изготовил рабочий за 2 дня?
31.Округлите число 18,486 до десятых.
32.Высоту ящика измерили в миллиметрах. Округлив
результат до сантиметров, получили 15 см. Какой мо&
жет быть высота ящика в миллиметрах?
1) 156 мм 2) 146 мм 3) 155 мм 4) 144 мм
33.Сколько из обыкновенных дробей , , , , ,
можно записать в виде конечной десятичной
дроби?
2.6. Проценты
На практике люди часто пользуются сотыми частями
величин. Например, сотая часть гектара — 1 ар (1 сотка),
сотая часть века — 1 год, сотая часть рубля — 1 копейка,
сотая часть метра — 1 сантиметр.
Для сотой части величины или числа придумали спе&
циальное название — один процент (от латинского pro
centum — на сто) и обозначение 1%.
5
6 5
6
4
7
4
15 2
5
9
16
7
8 9
17 1
6 5
15 6
30
19
32

42 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Чтобы найти 1% от величины, надо её значение
разделить на 100.
Например, 1% от 300 кг равен 3 кг.
Если 1% составляет величины, то, например, 3%
составляют величины.
Так, 3% от 1 км составляют километра, т. е. 30 м.
100% величины составляют величины, т. е. 100%
величины — это вся сама величина.
Любое количество процентов можно записать в ви&
де десятичной дроби или натурального числа. Для этого
нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на
100.
Например, 23% = 0,23; 80% = 0,80 = 0,8; 300% = 3.
Можно выполнить обратное преобразование, т. е.
записать десятичную дробь или натуральное число в про&
центах. Для этого нужно число умножить на 100 и к ре&
зультату приписать знак %.
Например, 1,4 = 140%, 0,02 = 2%, 7 = 700%.
2.7. Нахождение процентов от величины
и величины по её процентам
Задача 1. Клубника содержит в среднем 6% сахара.
Сколько килограммов сахара содержится в 15 кг
клубники?
Р е ш е н и е. Запишем 6% в виде десятичной дроби:
6% = 0,06. Тогда:
15
0,06 = 0,9 (кг) — количество сахара в 15 кг клуб&
ники.
Ответ: 0,9кг.
1
100
3
100
3
100
100
100

§ 2. Дроби 43
Решив эту задачу, мы выяснили, сколько составляют
6% от числа 15. Поэтому такую задачу называют зада#
чей на нахождение процентов от числа.
Чтобы найти проценты от числа, можно представить
проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.
З а д а ч а 2. В бочку налили 84 л воды. Какой объём
этой бочки, если оказалось, что заполнено 70% её объ&
ёма?
Р е ш е н и е. Запишем 70% в виде десятичной дроби:
70% = 0,7. Следовательно, 84 л составляет 0,7 объёма
всей бочки. Имеем:
84 : 0,7 = 120 (л) — объём бочки.
Ответ: 120л.
В этой задаче мы нашли число 350, зная, что число 49
составляет от искомого числа 14%. Поэтому такую зада&
чу называют задачей на нахождение числа по его про#
центам.
Чтобы найти число по его процентам, можно пред&
ставить проценты в виде дроби и разделить значение про&
центов на эту дробь.
2.8. Отношение. Процентное отношение
Частное двух чисел a и b, отличных от нуля, называ&
ют отношением чисел a и b или отношением числа a к
числуb.
Например,
16 : 4 — отношение числа 16 к числу 4;
: — отношение числа к числу .
Отношение чисел a и b можно записать двумя спо&
собами: или a:b.
Основное свойство отношения выражается следую&
щим правилом: отношение не изменится, если его члены
2
3 1
7 2
3 1
7
a
b

44 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
умножить или разделить на одно и то же число, не рав&
ное нулю.
Например,
= = ; : = : = 6 : 7 ;
1 : 0,25 = : (0,25
4) = 6 : 1.
Эти примеры иллюстрируют следующее: отношение
дробных чисел можно заменить отношением натураль&
ных чисел.
Отношение чисел a и b показывает, во сколько раз
число a больше числа b, или какую часть число a состав&
ляет от числа b.
Примеры использования отношений:
скорость — отношение длины пройденного пути ко
времени, за которое пройден этот путь;
цена — отношение стоимости товара к количеству
единиц его измерения (килограммов, литров, мет&
ров, коробок и др.);
плотность — отношение массы вещества к её объёму;
производительность труда — отношение объёма вы&
полненной работы к времени, за которое была вы&
полнена эта работа.
Процентное отношение двух чисел — это их отноше&
ние, выраженное в процентах. Оно показывает, сколько
процентов одно число составляет от другого.
Например, если в классе учатся 12 девочек и
20 мальчиков, то процентное отношение количества де&
вочек к количеству мальчиков равно
100 = 60 (%).
Оно показывает, что количество девочек составляет 60%
от количества мальчиков.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел,
надо их отношение умножить на 100 и к результату до&
писать знак процента.
12
25
12 10
25 10
12
25 2
3 7
9 2
3 9 7
9 9
1
2 11
2 4
12
20

§ 2. Дроби 45
2.9. Пропорции
Равенство двух отношений называют пропорцией.
В буквенном виде пропорцию можно записать так:
a:b = c:d или = .
Приведённые записи читают: «отношение a к b равно от&
ношению c к d», или «a относится к b как c относится к d».
Числа a и d называют крайними членами пропорции,
а числа b и c — средними членами пропорции.
Произведение крайних членов пропорции равно
произведению её средних членов.
Это означает, что если = , то ad = bc.
Это свойство называют основным свойством пропорции.
Верно и такое утверждение.
Если a, b, c и d — числа, отличные от нуля, и ad = bc,
то отношения и равны и могут образовать пропор&
цию = .
З а д а ч а. Сколько стоят 3,2 м ткани, если за 4,2 м
этой ткани заплатили 630 р.?
Р е ш е н и е. Пусть 3,2 м ткани стоят x р. Запишем
кратко условие задачи в следующем виде:
3,2 м – x р .;
4,2 м – 630 р.
Отношения и равны, поскольку каждое из
них показывает, сколько стоит 1 м данной ткани.
Тогда = .
Отсюда x = = = 16
30 = 480.
Ответ: 480 р.
a
b c
d
a
b c
d
a
b c
d
a
b c
d
x
32 630
42
x
32 630
42
32 630
42
32 30
02

46 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Примеры заданий № 3
Часть 1
1.На представлении в цирке всех зрителей состав&
ляли дети. Сколько процентов всех зрителей состав&
ляли дети?
2.После уценки новая цена шкафа составила 0,62 ста&
рой. На сколько процентов уменьшилась цена шкафа
в результате уценки?
3.В супермаркете проводится акция. Коробка конфет не&
которого вида стоит 360 р. При покупке двух таких ко&
робок на вторую коробку предоставляется скидка в раз&
мере 45%. Сколько рублей придётся заплатить за по&
купку двух коробок конфет в период действия акции?
4.Положительное число a увеличили на 500%. Во
сколько раз полученное число больше числа a?
5.Банк начисляет на срочный вклад 8% годовых.
Вкладчик положил на счёт 14 000 р. Сколько рублей
будет на этом счёте через год, если никаких опера&
ций, кроме начисления процентов, со счётом прово&
диться не будет?
6.В сплаве меди с оловом 45% составляет медь. Сколь&
ко килограммов олова содержит отливок такого спла&
ва массой 18 кг?
7.Стоимость проезда в электропоезде от станции A до стан&
ции B составляет 125 р. Школьникам предоставляется
скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для
группы, состоящей из 23 школьников и 2 учителей?
8.В саду растут яблони и вишни, причём яблони состав&
ляют 52% всех деревьев. Вишен растёт на 8 деревьев
меньше, чем яблонь. Сколько деревьев растёт в саду?
9.Товар на распродаже уценили на 16%, при этом он
стал стоить 1260 р. Сколько рублей стоил товар до
распродажи?
10.Цену товара дважды повышали на 20%. На сколько
процентов увеличилась его цена по сравнению с пер&
воначальной?
16
25

§ 2. Дроби 47
11.После двух последовательных снижений цены, пер&
вое из которых было на 20%, а второе — на 10%, стул
стал стоить 1080 р. Сколько рублей составляла перво&
начальная цена стула?
12.Цену на некоторый товар сначала снизили на 10%,
затем ещё на 25%, а через некоторое время повысили
на 20%. На сколько процентов изменилась первона&
чальная цена товара?
13.Автобусы составляют 60% всех единиц транспорта,
имеющегося в автопарке, грузовые автомобили —
70% остальных единиц транспорта. Ещё в автопарке
имеется 18 легковых автомобилей. Сколько всего
единиц транспорта в автопарке?
14.Для приготовления тефтелей взяли мясной фарш и
рис в отношении 13 : 7. Сколько процентов массы
тефтелей составляет масса риса?
15.Товар стоил 140 р. Через некоторое время его цена
увеличилась на 35 р. На сколько процентов повыси&
лась цена товара?
16.Сколько процентов часа составляют 24 мин?
17.Каково процентное содержание соли в растворе, если
400 г раствора содержат 36 г соли?
18.Установите соответствие между солевыми раствора&
ми, записанными в левом столбце, и массами соли, ко&
торую они содержат, записанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер. СОЛЕВОЙ РАСТВОР МАССЫ СОЛИ
А) 30 г 9&процентного раствора 1) 2,4 г
Б) 40 г 8&процентного раствора 2) 2,7 г
В) 50 г 6&процентного раствора 3) 3 г
Г) 60 г 4&процентного раствора 4) 3,2 г
АБВ Г

48 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
19.К 8 кг 60&процентного раствора соли долили 4 кг во&
ды. Каким после этого стало процентное содержание
соли в растворе?
20.Чему равен неизвестный член пропорции = ?
21.Решите уравнение = .
22.Из 80 кг свежих слив получают 28 кг сушёных.
Сколько килограммов свежих слив надо взять, чтобы
получить 42 кг сушёных?
23.Расстояние между пунктами A и B на местности рав&
но 420 км, а на карте — 5,6 см. Сколько километров
составляет расстояние между пунктами C и D на
местности, если расстояние между ними на этой кар&
те равно 3,6 см?
§ 3. Числовые множества
3.1. Понятие о множестве
Часто в повседневной жизни объединённые по некото&
рому признаку объекты мы называем группой, объеди&
нением, коллекцией, совокупностью и т. п. Для этих
слов в математике существует синоним — множество.
Приведём несколько примеров множеств:
множество учеников вашей школы;
множество городских округов Алтайского края.
Отдельным важнейшим множествам присвоены об&
щепринятые названия и обозначения:
множество точек плоскости — геометрическая фи#
гура;
множество точек, обладающих заданным свойст&
вом, — геометрическое место точек (ГМТ);
множество натуральных чисел, которое обозначают
буквой N;
x
18 13
45
6
11 9
2x1

§ 3. Числовые множества 49
множество целых чисел, которое обозначают бук&
вой Z;
множество рациональных чисел, которое обознача&
ют буквой Q.
Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут:
a
A (читают: «a принадлежит множеству A»). Если эле&
мент b не принадлежит множеству A, то пишут: b
A
(читают: «b не принадлежит множеству A»).
Множество, не содержащее ни одного элемента, назы&
вают пустым и обозначают символом
.
Например, множество корней уравнения = –1 яв&
ляется пустым.
Два множества A и B называют равными, если они со&
стоят из одних и тех же элементов, т. е. каждый элемент
множества A принадлежит множеству B и, наоборот, каж&
дый элемент множества B принадлежит множеству A.
Если множества A и B равны, то пишут A=B.
Множество B называют подмножеством множества A,
если каждый элемент множества B является элементом
множества A. Это записывают так: B
A или A B (чи&
тают: «множество B — подмножество множества A» или
«множество A содержит множество B
»).
На рисунке 3.1 изображены множество A (больший
круг) и множество B (меньший круг, полностью содер&
жащийся в большем). Эта схема означает, что B
A. x
A
B
Рис. 3.1

50 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
3.2. Числовые множества
Натуральные числа — это первые числа, которыми
начали пользоваться люди. С ними вы познакомились в
детстве, когда учились считать предметы. Все натураль&
ные числа образуют множество натуральных чисел, ко&
торое обозначают буквой N.
Практические потребности людей привели к возник&
новению дробных чисел. Позже появилась необходи&
мость рассматривать величины, для характеристики ко&
торых положительных чисел оказалось недостаточно.
Так возникли отрицательные числа.
Все натуральные числа, противоположные им числа и
число нуль образуют множество целых чисел, которое
обозначают буквой Z.
Например, –2
Z, 0 Z, 5 Z.
Множество натуральных чисел является подмножест&
вом множества целых чисел, т. е. N
Z.
Целые и дробные (как положительные, так и отри&
цательные) числа образуют множество рациональных
чисел, которое обозначают буквой Q. Например,
Q,
–0,2
Q, 0 Q, –3 Q, 15 Q.
Понятно, что Z
Q. Схема, изображённая на рисун&
ке 3.2, показывает, как соотносятся множества N, Z и Q.
2
3
Q
Z
N
Рис. 3.2

§ 3. Числовые множества 51
Каждое рациональное число можно представить в виде
отношения , где m — целое число, а n — натуральное.
Например, 5 = ; –3 = ; 0,2 = ; 0 = ; –5,3 = .
С возможностью такого представления связано название
«рациональное число»: одним из значений латинского
слова ratio является «отношение».
Каждое рациональное число можно представить в ви&
де конечной десятичной дроби или в виде бесконечной
периодической десятичной дроби. Для дроби такое
представление можно получить, выполнив деление чис&
ла m на число n.
Например, = 0,625; = 0,454545... .
Число записано в виде конечной десятичной дроби,
а число — в виде бесконечной периодической десятич&
ной дроби.
Заметим, что любую конечную десятичную дробь и
любое целое число можно представить в виде бесконеч&
ной периодической десятичной дроби. Например,
0,625 = 0,6250000... = 0,625(0);
2 = 2,000... = 2,(0).
Каждое рациональное число можно представить в
виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Каждая бесконечная периодическая десятичная
дробь является записью некоторого рационального числа.
Установлено, что
= 1,4142135623730950488016887242097... .
Число представлено в виде бесконечной неперио#
дической десятичной дроби. Это число не является рацио&
нальным, поскольку любое рациональное число пред&
m
n
5
1 3
1
1
5 0
7 53
10
m
n
5
8 5
11
5
8
5
11
2
2

52 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
ставляется в виде конечной десятичной дроби или беско&
нечной периодической десятичной дроби. Число —
это пример иррационального числа.
Число
, равное отношению длины окружности к диа&
метру, также является иррациональным:
= 3,141592653589793238462643383279502884197... .
Иррациональные числа возникают не только в ре&
зультате извлечения квадратных корней. Их можно
конструировать, строя бесконечные непериодические де&
сятичные дроби.
Например, число 0,10100100010000100000... (после за&
пятой записываются последовательно степени числа 10)
является иррациональным. Действительно, если предпо&
ложить, что рассматриваемая десятичная дробь имеет
период, состоящий из n цифр, то с некоторого места этот
период будет полностью состоять из нулей, т. е. начиная
с этого места в записи не должно быть ни одной единицы,
что противоречит конструкции числа.
Находя длину окружности и площадь круга, исполь&
зуют приближённое значение числа
( 3,14). Анало&
гично при решении практических задач, где необходимо
выполнить действия с действительными числами, эти
числа заменяют их приближёнными значениями. Напри&
мер, для числа пользуются такими приближёнными
равенствами:
1,414 или 1,415. Первое из них
называют приближённым значением числа по недо#
статку с точностью до 0,001, второе — приближённым
значением числа по избытку с точностью до 0,001.
Все рациональные и иррациональные числа вместе
образуют множество действительных чисел, которое
обозначают буквой R.
Таким образом, между числовыми множествами вы&
полняется соотношение: N
Z Q R.2
2
2 2
2
2

§ 3. Числовые множества 53
Над действительными числами можно выполнять че&
тыре арифметических действия (кроме деления на ноль),
в результате будем получать действительное число. Эти
действия обладают такими свойствами:
a + b = b + a — переместительное свойство сложения;
ab = ba — переместительное свойство умножения;
(a + b) + c = a + (b + c) — сочетательное свойство сло&
жения;
(ab)c = a(bc) — сочетательное свойство умножения;
a(b + c) = ab + ac — распределительное свойство умно&
жения.
Положительные действительные числа можно срав&
нивать, используя правила сравнения десятичных дро&
бей, т. е., сравнивая цифры в соответствующих разря&
дах. Например, 7,853126... < 7,853211... .
Любое положительное действительное число боль&
ше нуля и любого отрицательного действительного чис&
ла. Любое отрицательное действительное число меньше
нуля. Из двух отрицательных действительных чисел
больше то, у которого модуль меньше.
3.3. Координатная прямая
Прямую, на которой выбрали начало отсчёта, единичный
отрезок и направление, называют
координатной прямой .
Например, на рисунке 3.3 изображена координатная
прямая с началом отсчёта в точке О и единичным отрез&
ком ОМ.
На рисунке 3.3 точка N изображает число –1, которое
называют координатой точки N и записывают N(–1).
Аналогично записывают O(0), M(1), K(–2), D(–2,5),
E(–3), F(–4). Луч OA задаёт положительное направле#
–4 –3 –2,5 –2 –1 0 1
B A F E D K N O M
Рис. 3.3

54 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
ние на координатной прямой АВ, а луч OB — отрица#
тельное направление. Положительное направление ука&
зывают стрелкой.
На координатной прямой из двух чисел большее чис&
ло расположено правее меньшего.
Например, точка A(2) расположена правее, чем точка
B(–7) (рис. 3.4). Поэтому 2 > –7.
3.4. Модуль действительного числа
Модулем числа a называют расстояние от точки,
изображающей число a на координатной прямой, до на&
чала отсчёта.
Модуль числа a обозначают так: |a|.
Из определения модуля следует, что
|a|=
Следовательно, чтобы найти модуль числа (или, как
ещё говорят, «раскрыть модуль»), надо знать знак числа.
Например, |
– 3 | = – 3, так как > 3.
|
– 4 | = 4 – , так как < 4.
| x
2 + 1 | = x 2 + 1, так как x 2 + 1 > 0 при любом значе&
нии x.
З а д а ч а. Раскройте модуль | 2x – 1 |.
Р е ш е н и е. Из определения модуля числа следует, что
| 2x – 1| =
–7 –1 0 1 2BA
Рис. 3.4
a, если a 0,
–a, если a < 0.
2x – 1, если x  ,
1 – 2x, если x < . 1
2
1
2

§ 3. Числовые множества 55
Свойства модуля:
1) модуль произвольного числа a принимает только
неотрицательные значения, т. е. | a |  0;
2) модули противоположных чисел равны, т. е. | a | = | – a |;
3) если | a | = | b |, то a = b или a = –b;
4) если | a | = b, то b  0 и a = b или a = –b;
5) если b  0 и a = b или a = –b, то | a | = b;
6) | ab | = | a | | b|;
7) | a + b || a | + | b|.
Расстояние между точками A(a) и B(b) координатной
прямой равно |a–b| (рис. 3.5).
Примеры заданий № 4
Часть 1
1.Укажите верные утверждения.
1) –7 — целое число
2) –7 — неположительное число
3) –7 — неотрицательное число
4 ) –7 — рациональное число
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных утверждений без пробелов, запятых и дру&
гих дополнительных символов.
2.На координатной прямой отметили число a (рис. 3.6).
Какое число обозначили буквой a?
a bB A
|a – b|
a < b
b aA B
|a – b|
a > b
Рис. 3.5
Рис. 3.6

56 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
3.На координатной прямой (рис. 3.7) точки A, B, C и D
соответствуют числам –0,46; –0,23; –0,205; –0,018.
Установите соответствие между указанными точка&
ми и числами.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
4.Сколько целых чисел расположено на координатной
прямой между числами –72 и 52?
5.Какое число имеет наименьший модуль?
6.Чему равно значение выражения | –8 | + | 8 | ?
7.Решите уравнение | |x| – 8 | = 2. Если уравнение имеет
более одного корня, запишите в ответ произведение
корней.
8.Укажите верные неравенства.
1) 3,1 < –3,8 3) –6,5 < –6,4
2) –1,5 > –2 4) –2,9 > –2,7
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных неравенств без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
9.Найдите сумму всех целых чисел, расположенных на
координатной прямой между числами –43,7 и 40,2. ТОЧКИ ЧИСЛА
А) A1) –0,46
Б) B2) –0,018
В) C3) –0,23
Г) D4) –0,205
АБВ Г
D ABC
Рис. 3.7

§ 3. Числовые множества 57
10.Найдите значение выражения
2,64 + (–7,36) + (–4,64) + 7,36.
11.Найдите значение выражения –7,2 – a, если a = –3 .
12.На координатной прямой отмечено число a (рис. 3.8).
Какие из приведённых утверждений являются вер&
ными?
1) 3 – a > 0 3) a – 4 > 0
2) a – 5 < 0 4) –2 + a > 0
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных утверждений без пробелов, запятых и дру&
гих дополнительных символов.
13.Из последовательности чисел –9, –7, – 6, 2, 3, 5 вы&
брали два числа и нашли их произведение. Какое
наибольшее значение может принимать это произве&
дение?
14.На координатной прямой отмечены числа a и b
(рис. 3.9). Укажите неверные утверждения.
1) ab > 0 3) a
2b3 > 0
2) a – b > 0 4) a + b > 0
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных утверждений без пробелов, запятых и дру&
гих дополнительных символов.
15.Найдите значение выражения 0,8
(–10) 2 – 90.
16.Найдите значение выражения
(–7) – 20 .
1
4
0 1 a
Рис. 3.8
b a0
Рис. 3.9
1
7
2 1
7

58 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
17.Найдите значение выражения .
18.Решите уравнение x(x + 3,4)(1,4 – x) = 0. Если урав&
нение имеет более одного корня, запишите в ответ его
меньший корень.
19. Найдите значение выражения –0,5 a 20 b, если a =
=–2 ,
b = –1 .
20.Найдите значение выражения
–3
6,3 – 6,3 + 6,3 1.
21.Вычислите значение выражения 4,2 : (–0,6) + 1,2.
22.Вычислите значение выражения (–2,16 – 4,24) : (–16).
23.Найдите значение выражения
4 – 3
–11 – (–3,6) : .
§ 4. Целые выражения
4.1. Буквенное выражение
(выражение с переменными).
Алгебраические выражения
Записывая формулы и составляя уравнения, нам при&
ходится обозначать числа буквами, конструируя буквен#
ные выражения.
Например, записи a
2, (x + y) 2, 2(a+b), , abc,
являются буквенными выражениями.
Выражение, составленное из одной буквы, считают
буквенным выражением.
Если в буквенное выражение вместо букв подставить
числа, то получим числовое выражение.
8
19 17
38 34
5
1
3 1
14
3
14 110
21 1
6
3
5 3
23 4
9 9
35
xyz
2
m
n

§ 4. Целые выражения 59
Поскольку буквы можно заменять различными чис&
лами, то эти буквы называют переменными, а само бук&
венное выражение — выражением с переменными (или
с переменной, если она одна).
Рассмотрим выражение 2x+3. Если переменную x за&
менить, например, числом , то получим числовое выра&
жение 2
+ 3. При этом говорят, что — значение пе#
ременной x, а число 4 — значение выражения 2x+3 при
x = .
Числовые выражения и выражения с переменными
называют алгебраическими выражениями.
4.2. Степень с натуральным показателем
и её свойства
Степенью числа a с натуральным показателем n, боль&
шим 1, называют произведение n множителей, каждый
из которых равен a:
a
n = , где n>1.
Степенью числа a с показателем 1 называют само это
число:
a
1 = a.
Например, 3
5 = 3 3 3 3 3=243, 5 3 = 5 5 5 = 125.
Вторую степень числа называют квадратом числа. На&
пример, запись a
2 читают «a в квадрате». Третью степень
числа называют кубом числа, и запись a
3 читают «a в кубе».
Свойства степени
1. Для любого числа a и любых натуральных чисел m
и n справедливо равенство:
a
man = a m+n .
1
2
1
2 1
2
1
2
aa · ... · a
n множителей

60 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Тождество a man = a m+n выражает основное свойство
степени.
Аналогичное свойство имеет место для произведения
трёх и более степеней. Например,
3
2 33 37 = (3 2 33) 37 = 3 2+3 37 = 3 (2 + 3) + 7 = 3 2+3+7 = 3 12.
2. Для любого числа a, отличного от нуля, и любых
натуральных чисел m и n таких, что m>n, справедливо
равенство:
a
m:a n=a m–n .
3. Для любого числа a и любых натуральных чисел m
и n справедливо равенство:
(a
m)n=a mn .
4. Для любых чисел a и b и любого натурального числа
n справедливо равенство:
(ab)
n=a nbn.
Аналогичное свойство имеет место и для произведе&
ния трёх и более множителей. Например, (abc)
n =
=((ab)
c) n =(ab) n cn = a nbncn.
З а д а ч а 1. Какой цифрой оканчивается значение вы&
ражения 2
100 ?
Р е ш е н и е. Имеем: 2
100 = (2 4)25 = 16 25.
Если число оканчивается цифрой 6, то любая его сте&
пень оканчивается цифрой 6.
Ответ: 6.
З а д а ч а 2. Сравните значения выражений:
1) (–11)
14 (–11) 3 и (–11) 16;3) 5 30 и 9 20;
2) (–12)
19 и (–12) 15;4) 16 3 и 65 2.
Р е ш е н и е. 1) Имеем: (–11)
14 (–11) 3 = (–11) 17 < 0,
(–11)
16 > 0.
Следовательно, (–11)
14 (–11) 3 < (–11) 16.
2) Так как |(–12)
19| > |(–12) 15|, а сравниваемые числа
отрицательные, то (–12)
19 < (–12) 15.

§ 4. Целые выражения 61
3) Так как 5 30 = (5 3)10 = 125 10 и 9 20 = (9 2)10 = 81 10, то
5
30 >9 20.
4) Имеем: 16
3 = (4 2)3 = (4 3)2 = 64 2. Следовательно,
16
3<65 2.
4.3. Одночлен
Алгебраическое выражение, представляющее собой
произведение чисел, переменных и их степеней, называ&
ют одночленом.
Например, выражения 2b; xy
2; –ab; m 3 3k 5;
(3,14)
2pq 3 (–7)r 2t4 являются примерами одночленов.
Одночленами также считают все числа, любые пе&
ременные и их степени.
Одночлен, который содержит только один числовой
множитель, отличный от нуля, стоящий на первом мес&
те, и все остальные множители которого являются степе&
нями с различными основаниями, называют одночленом
стандартного вида.
Примеры одночленов стандартного вида:
–xy; 2,8a
3; 7x 2yz 3t5.
К одночленам стандартного вида также относят
числа, отличные от нуля, переменные и их степени. Так,
–2; 3
2; x; b 3 — одночлены стандартного вида.
Число 0, а также одночлены, тождественно равные
нулю, например 0x
2, 0ab и т. д., называют нуль#од#
ночленами. Их не относят к одночленам стандартного
вида.
Числовой множитель одночлена, записанного в стан&
дартном виде, называют коэффициентом одночлена.
Например, коэффициенты одночленов –3a
2bc и 0,07x
соответственно равны –3 и 0,07.
1
3
1
8

62 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Рассмотрим одночлены x 3yz и –2zx 3y. У них одина&
ковые буквенные части. Такие одночлены называют по#
добными. К подобным одночленам также относят и чис&
ла. Например, 7 и –5 — подобные одночлены.
Степенью одночлена называют сумму показателей
степеней всех переменных, входящих в него. Степень од&
ночлена, который является числом, отличным от нуля,
считают равной нулю.
Считают, что нуль&одночлен степени не имеет.
Например, степень одночлена –3,8m
2xy 7 равна 10, а
степени одночленов x
3 и 9 равны соответственно 3 и 0.
З а д а ч а 1. Преобразуйте выражение 0,2a
2b4 (–5a 3b)2
в одночлен стандартного вида.
Р е ш е н и е. Имеем: 0,2a
2b4 (–5a 3b)2= 0,2a 2b4 (–5) 2

(a3)2b2 = 0,2a 2b4 25a 6b2 = 0,2 25a 2a6b4b2 = 5a 8b6.
З а д а ч а 2. Значения переменных a и b таковы, что
4a
3b4= 7. Найдите значение выражения –a 6b8.
Р е ш е н и е. Имеем:
–a
6b8 = – 16a 6b8 = – (4a 3b4)2 = – 72 =
= –
49 = – .
4.4. Многочлен. Степень многочлена.
Корень многочлена с одной переменной
Алгебраическое выражение, которое является сум&
мой нескольких одночленов, называют многочленом.
Примеры многочленов: 7xy + y – 11; x
4 – 2x 3 + 5x 2 –
–x + 1; 3a – a + b; 11x – 2x.
Одночлены, из которых составлен многочлен, назы&
вают членами многочлена. Так, членами многочлена
7xy + y – 11 являются одночлены 7xy; y; –11.
2
3
2
7
2
7 1
56 1
56 1
56
1
56 7
8

§ 4. Целые выражения 63
Многочлен, состоящий из двух членов, называют
двучленом, а из трёх членов — трёхчленом. Договори&
лись рассматривать одночлен как частный случай много&
члена. Считают, что такой многочлен состоит из одного
члена.
Если среди одночленов, составляющих многочлен, есть
подобные, то их называют подобными членами многочле#
на. Например, в многочлене
подобные члены подчёркнуты одинаковым количеством
чёрточек.
Используя правило приведения подобных слагаемых
(чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их
коэффициенты и полученный результат умножить на об&
щую буквенную часть), упростим этот многочлен:
7a
2b – 3a + 4 – a 2b – 1 + a + b = 6a 2b – 2a + b + 3.
Такое упрощение называют приведением подобных
членов многочлена.
Многочлен, состоящий из одночленов стандартного
вида, среди которых нет подобных, называют многочле#
ном стандартного вида.
Многочлены xy
2 + x 2y, 2a 2b, 5 являются примерами
многочленов стандартного вида.
Степенью многочлена стандартного вида называют
наибольшую из степеней одночленов, из которых этот
многочлен составлен.
Приведём примеры:
степень многочлена 3x 2 – xy + 5y 2 равна двум;
степень многочлена 3x 4y2 равна шести;
степень многочлена 3 равна нулю.
Число 0, а также многочлены, тождественно равные
нулю (например, 0a+0b, x–x и т. п.), называют нуль#
многочленами. Их не относят к многочленам стандарт&
ного вида.
Считают, что нуль&многочлен степени не имеет.7a
2b – 3 a + 4 – a 2b – 1 + a + b

64 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Корнем многочлена с одной переменной называют
значение переменной, при котором значение многочлена
равно нулю.
Например, число –1 является корнем многочлена
2x
3 – 5x 2 – 6x + 1.
4.5. Сложение, вычитание и умножение
многочленов
Чтобы сложить многочлены, надо записать после&
довательно все их члены с их знаками и привести подоб&
ные члены, если они есть.
Например,
(3xy
2 + 5x 2y2 – 7xy + x + 11) + (–2xy 2 + x 2y2 + 2xy + y – 2) =
= =
= xy 2 + 6x 2y2 – 5xy + x + y + 9.
Чтобы вычесть из одного многочлена другой, надо
записать уменьшаемое, а затем записать последователь&
но все члены вычитаемого с противоположными знаками
и привести подобные слагаемые, если они есть.
Например,
(3xy
2 + 5x 2y2 – 7xy + x + 11) – (–2xy 2 + x 2y2 + 2xy + y – 2) =
= =
= 5xy 2 + 4x 2y2 – 9xy + x – y + 13.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, можно
умножить этот одночлен на каждый член многочлена и
полученные произведения сложить.
Например, = 2x  3x + 2x  2y – 2x  5 =
= 6x
2 + 4xy – 10x.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно
каждый член одного многочлена умножить на каждый
член другого и полученные произведения сложить.
3xy 2 + 5 x2y2 – 7 xy + x + 11 – 2 xy 2 + x2y2 + 2 xy + y – 2
3xy 2 + 5 x2y2 – 7 xy + x + 11 + 2 xy 2 – x2y2 – 2 xy – y + 2
2x (3x + 2y – 5)

§ 4. Целые выражения 65
З а д а ч а. Представьте в виде многочлена выражение
(a+2)(a–5)(a+ 3).
Решение.
(a+2)(a–5)(a+ 3) = (a
2 – 5a + 2a – 10)(a + 3) =
= (a
2 – 3a – 10)(a + 3) = a 3 + 3a 2 – 3a 2 – 9a – 10a – 30 =
= a
3 – 19a – 30.
4.6. Формулы сокращённого умножения
Квадрат суммы двух выражений
(a + b)
2 = a 2 + 2ab + b 2.
Квадрат разности двух выражений
(a – b)
2 = a 2 – 2ab + b 2.
Разность квадратов двух выражений
a
2 – b 2 = (a – b)(a + b).
Сумма кубов двух выражений
a
3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2).
Разность кубов двух выражений
a
3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2).
Куб суммы двух выражений
(a + b)
3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3.
Куб разности двух выражений
(a – b)
3 = a 3 – 3a 2b + 3ab 2 – b 3.
З а д а ч а 1. Выполните умножение многочленов:
1) (2a – 5b)(2a + 5b); 2) (y
2 + 3x 4)(3x 4 – y 2);
3) (–4mn – p)(4mn – p).
Решение.
1) (2 a – 5 b)(2 a + 5 b) = (2 a)2 – (5 b)2 = 4 a2 – 25 b2.
2) (y 2 + 3x 4)(3x 4 – y 2) = (3x 4 + y 2)(3x 4 – y 2) =
=(3x
4)2 – (y 2)2 = 9x 8 – y 4.
3) (–4mn – p)(4mn – p) = (–p – 4mn)(–p + 4mn) =
=(–p)
2 – (4mn) 2 = p 2 – 16m 2n2.

66 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Задача 2. Докажите, что выражение x 2 – 4x + 5
принимает положительные значения при любых зна&
чениях x. Какое наименьшее значение принимает вы&
ражение и при каком значении x?
Р е ш е н и е. Преобразуем данное выражение:
x
2 – 4x + 5 = x 2 – 4x + 4 + 1 = (x – 2) 2 + 1.
Представление выражения в виде суммы, одним из
слагаемых которой является квадрат (в нашем приме&
ре это (x–2)
2), называют выделением полного квад#
рата из этого выражения.
Так как (x–2)
20 при любых значениях x, то выра&
жение (x–2)
2+ 1 принимает только положительные
значения. Также понятно, что (x–2)
2+1 1. Отсюда
наименьшее значение, равное 1, данное выражение
принимает при x=2.
Задача 3.
Упростите выражение (4 y– 1)(16 y2+4 y+1)
и найдите его значение при y = .
Решение. Имеем: (4y–1)(16y
2+4y+ 1) = (4y) 3 – 1 =
= 64y
3 – 1.
При y = :
64y
3 – 1 = 64 – 1 = 64 – 1 = 8 – 1 = 7.
Задача 4.
Докажите, что значение выражения 25 3 – 1
делится нацело на 24.
Р е ш е н и е. Применив формулу разности кубов, по&
лучим:
25
3 – 1 = (25 – 1)(25 2 + 25 + 1) = 24 (25 2 + 26).
Данное выражение представлено в виде произведения,
один из множителей которого равен 24, а другой —
натуральное число. Следовательно, значение этого
выражения делится нацело на 24.
1
2
1
2
1
2 3 1
8

§ 4. Целые выражения 67
З а д а ч а 5. Решите в целых числах уравнение
x
2 – y 2 = 14.
Р е ш е н и е. Имеем: (x + y)(x – y) = 14. Значения вы&
ражений x+y и x–y всегда имеют одинаковую чёт&
ность (либо оба чётные, либо оба нечётные), следова&
тельно, их произведение является либо числом нечёт&
ным, либо числом, кратным 4.
Число 14 таковым не является. Поэтому рассматрива&
емое уравнение не имеет решений в целых числах.
4.7. Разложение многочленов на множители
Представление многочлена в виде произведения не&
скольких многочленов называют разложением много#
члена на множители.
1. Вынесение общего множителя за скобки.
В основе этого приёма лежит распределительное
свойство умножения: ac + bc = c(a + b).
З а д а ч а 1. Представьте в виде произведения много&
членов выражение x(c – d) + y(d – c).
Р е ш е н и е. Имеем:
x(c – d) + y(d – c) = x(c – d) + y
(–1) (c – d) =
= x(c – d) – y(c – d) = (c – d)(x – y).
2. Метод группировки.
З а д а ч а 2. Разложите на множители многочлен
ax + bx + ay + by.
Р е ш е н и е. Имеем: ax + bx + ay + by =
= (ax +
bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b).
Мы получили выражение, в котором оба слагаемых
имеют множитель (a + b). Вынесем его за скобки:
x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y).
Исходный многочлен удалось разложить на множите&
ли благодаря тому, что мы выгодным способом объ&
единили в группы его члены. Поэтому описанный
приём называют методом группировки.

68 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
3. Применение известных формул.
З а д а ч а 3. Разложите на множители многочлен
x
2 + 4xy + 4y 2 – 16.
Р е ш е н и е. Имеем:
x
2 + 4xy + 4y 2 – 16 = (x 2 + 4xy + 4y 2) – 16 = (x + 2y) 2 – 16 =
= (x + 2y – 4)(x + 2y + 4).
З а д а ч а 4. Представьте в виде произведения выра&
жение (m–4)
3+216.
Р е ш е н и е. Применив формулу суммы кубов, полу&
чим:
(m–4)
3+216 = (m–4) 3+6 3 =
= (m – 4 + 6)((m – 4)
2 – 6(m – 4) + 36) =
= (m + 2)(m
2 – 8m + 16 – 6m + 24 + 36) =
= (m + 2)(m
2 – 14m + 76).
Задача 5. Разложите на множители многочлен
2x
3 + 3x 2 + 3x + 1.
Р е ш е н и е. Имеем:
2x
3 + 3x 2 + 3x + 1 = x 3 + x 3 + 3x 2 + 3x + 1 =
= x
3 + (x + 1) 3 = (x + x + 1)(x 2 – x(x + 1) + (x + 1) 2) =
= (2x + 1)(x
2 – x 2 – x + x 2 + 2x + 1) =
= (2x + 1)(x
2 + x + 1).
З а д а ч а 6. Разложите на множители многочлен
x
4 + 4y 4.
Р е ш е н и е. Так как x
4 = (x 2)2, 4y 4 = (2y 2)2, то, при&
бавляя к данному многочлену одночлен 4x
2y2 (удво&
енное произведение одночленов x
2 и 2y 2) и вычитая из
него такой же одночлен, получим:
x
4 + 4y 4 = x 4 + 4x 2y2 + 4y 4 – 4x 2y2 =
= (x
2 + 2y 2)2 – 4x 2y2 =
= (x
2 + 2y 2 – 2xy)(x 2 + 2y 2 + 2xy).

§ 4. Целые выражения 69
Примеры заданий № 5
Часть 1
1.Вычислите значение выражения m + n, если m = 35,
n = –18.
2.Найдите значение выражения (4,8 – 5,1)
3 : .
3.Укажите количество неверных утверждений.
1) 0 < (–4,2)
2
2) < 0
3) (–7)
11 > (–6) 4
4) 8 8 > (–8) 8
4.Установите соответствие между выражениями, запи&
санными в левом столбце, и тождественно равными
им выражениями, записанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
5.Чему равны 20% от числа 5
5?
6.Чему равно значение выражения 27
4 : 3 10?
7.Найдите значение выражения .
8.Найдите значение выражения . А) a
10 : a 2 a1) a 24
Б) (a 3)3 a3 2) a 18
В) (a 3)8 : a 6 3) a 12
Г) (a 4)3 (a 2)6 4) a 9
АБВ Г
1
5 1
3
11
2 2
11
17
3
45 16 6
810
45 3
75 2

70 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
9.Установите соответствие между выражениями, запи&
санными в левом столбце, и тождественно равными
им одночленами, записанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
10.Известно, что 2a
2b3 = 3. Найдите значение выраже&
ния 15a
4b6.
11.Укажите равенства, являющиеся тождествами.
1) (12xy – 2y
2 + 6x 2) – (–3x 2 – 2y 2 + 8xy) = 9x 2 + 20xy
2) a (a + 2b) – b(3a – 4b) = a
2 – ab + 4b 2
3) (x – 4) 2 – (x – 5)(x + 5) = –9
4) c
3 + c 2 – 3c – 3 = (c 2 – 3)(c + 1)
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных равенств без пробелов, запятых и других до&
полнительных символов.
12.Чему равно значение выражения 3a
2 – 12a – 2, если
a
2 – 4a + 2 = 6?
13.Решите уравнение (x – 6)(x + 2) – x
2 = 8.
14.Найдите значение выражения
(x + 7)(x – 3) – (x – 6)(x + 2), если x = –1,5. ВЫРАЖЕНИЯ ОДНОЧЛЕНЫ
А) 8a
2b4 0,5a 5b2 1) 4a 10b6
Б) (2a 5b3)2 2) 16a 8b10
В) 54ab
3) 4a 7b6
Г) (6ab 2)4
4) 2a 7b4
АБВ Г
1
3a2b3
1
9a2b2

§ 4. Целые выражения 71
15.Найдите значение выражения (7 – b) 2 – b (b + 4) при
b=– .
16.Найдите корень уравнения (x – 8)
2 = (11 – x) 2.
17.Остаток при делении некоторого натурального числа
на 9 равен 4. Чему равен остаток при делении на 9
квадрата этого числа?
18.Найдите значение выражения
(a – 2)
2 + 2(a – 2)(2a + 3) + (2a + 3) 2, если a = – .
19.Найдите значение выражения (5a + 2)(25a
2 – 10a + 4),
если a = .
20.Решите уравнение 4y
2 – 3y = 0. Если уравнение имеет
более одного корня, запишите в ответ его меньший
корень.
21.Найдите значение выражения
4
5 – 1 4 + 6 4 – 7 1.
Часть 2
22.Какой цифрой оканчивается значение выражения 9
2n,
где n — произвольное натуральное число?
23.Известно, что x
2 + y 2 = 6, xy = 2. Чему равно значение
выражения x
4+x 2y2+y 4?
24.Известно, что 4x
6 – y 4 = 8, x 3y2 = 3. Чему равно зна&
чение выражения 16x
12 + y 8 – 4x 6y4?
25.Известно, что 2a + b = –2. Найдите значение выраже&
ния 4a
2 – 8a + b 2 + 4ab – 4b.
26.Известно, что x + y = 6, xy = 4. Найдите значение вы&
ражения x
3 + y 3.
27.Решите в целых числах уравнение 9x
2 – y 2 = 6.
28.Решите в целых числах уравнение x
2 – 4y 2 = 5.
1
9
1
3
1
5
5
6 4
9 1
6 1
7 5
9 5
6 6
7 1
6

72 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
§ 5. Дробные выражения
5.1. Алгебраические (рациональные) дроби
Дробные выражения характеризуются тем, что со&
держат деление на выражение с переменными.
Примеры дробных выражений:
2x + , (x–y):(x+y), , .
Целые и дробные выражения называют рациональ#
ными выражениями.
Допустимыми значениями переменных, входящих в
рациональное выражение, называют все значения пере&
менных, при которых это выражение имеет смысл.
Например, в выражении 2 + допустимыми зна&
чениями переменной a являются все числа, кроме 1.
Допустимыми значениями переменных, входящих
в целое выражение, являются все числа.
Отдельным видом рационального выражения являет&
ся рациональная дробь. Это дробь, числитель и знамена&
тель которой — многочлены. Так, рациональные выра&
жения
, , ,
являются примерами рациональных дробей.
Рациональная дробь может быть как целым выраже&
нием, так и дробным.
Знаменатель рациональной дроби не может быть ну&
левым многочленом.
Допустимыми значениями переменных, входящих
в рациональную дробь, являются все те значения пере&
менных, при которых значение знаменателя дроби не
равно нулю.
a
b
a
b
c
d
5
x
a2
a1
x
7 x2 2xy
xy
12
a ab
5

§ 5. Дробные выражения 73
5.2. Тождество.
Тождественные преобразования выражений
Выражения, соответствующие значения которых рав&
ны при любых допустимых значениях входящих в них
переменных, называют тождественно равными.
Равенство, которое выполняется при любых допусти&
мых значениях входящих в него переменных, называют
тождеством.
Например, равенство = 1 является тождеством,
так как оно выполняется при всех допустимых значени&
ях a, т. е. при всех a, кроме a=2.
Замену одного выражения другим, тождественно рав&
ным ему, называют тождественным преобразованием
выражения.
Для доказательства тождеств используют такие при&
ёмы:
тождественно преобразуют одну из частей данного
равенства, получая другую часть;
тождественно преобразуют каждую из частей дан&
ного равенства, получая одно и то же выражение;
показывают, что разность левой и правой частей
данного равенства тождественно равна нулю.
5.3. Основное свойство рациональной дроби.
Сокращение дробей
Если числитель и знаменатель рациональной дро&
би умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то
получим дробь, тождественно равную данной.
Это свойство называют основным свойством рацио#
нальной дроби и записывают:
= , где A, B и C — многочлены, причём много&
члены B и C ненулевые.
a2
a2
A
B AC
BC

74 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
В соответствии с этим свойством выражение
можно заменить на тождественно равную дробь . Такое
тождественное преобразование называют сокращением
дроби на множитель C.
Из основного свойства дроби следует, что
= и = .
Каждую из дробей и можно записать в виде вы&
ражения – , т. е.
= = – .
Задача 1. Сократите дробь .
Решение. = = = – .
З а д а ч а 2. Приведите дробь к знаменателю
15ab
3c5.
Решение. Так как 15ab
3c5=5bc 3 3ab 2c2, то новый
знаменатель отличается от знаменателя данной дроби
множителем 3ab
2c2. Следовательно, числитель и зна&
менатель данной дроби надо умножить на дополни#
тельный множитель 3ab
2c2. Имеем:
=
= .
Задача 3. Постройте график функции y = .
AC
BC
A
B
A
B A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B A
B
4a20
5aa 2
4a20
5aa 2 4a5
a5a
4a5
aa5
4
a
a2
5bc 3
a2
5bc 3 a2
5bc 3 3ab 2c2
3ab 2c2 3a 3b2c2
15ab 3c5
x2 1
x1

§ 5. Дробные выражения 75
Решение. Областью определе&
ния данной функции является
множество всех чисел, кроме 1.
Имеем: = =
=x + 1, т. е. y = x + 1, где x
1.
Следовательно, искомым графи&
ком является прямая y=x+1
за исключением одной точки, абсцисса которой равна 1
(рис. 5.1).
5.4. Действия с алгебраическими дробями
Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковы&
ми знаменателями, нужно сложить их числители, а зна&
менатель оставить тем же.
Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковы&
ми знаменателями, нужно из числителя первой дроби
вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить
тем же.
З а д а ч а 1. Выполните вычитание – .
Решение. – = – =
= + = = .
Применяя основное свойство рациональной дроби,
можно сложение и вычитание дробей с разными знаме&
нателями свести к сложению и вычитанию дробей с оди&
наковыми знаменателями.
З а д а ч а 2. Упростите выражение:
1) + ; 2) – .
Рис. 5.1 x
2 1
x1
x1 x1
x1
4
2a1 2a3
12a
4
2a1 2a3
12a
4
2a1 2a3
2a1
4
2a1 2a3
2a1
42a3
2a1
2a1
2a1
10n14
n2 49
6
7n 2a
25 10aa 2 1
3a15

76 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Решение. 1) + = – =
= = = =
= = .
2) – = – =
= – = = .
Произведением двух рациональных дробей являет&
ся рациональная дробь, числитель которой равен произ&
ведению числителей данных дробей, а знаменатель —
произведению их знаменателей.
Частным двух рациональных дробей является ра&
циональная дробь, числитель которой равен произведе&
нию числителя делимого и знаменателя делителя, а зна&
менатель — произведению знаменателя делимого и чис&
лителя делителя.
Чтобы возвести рациональную дробь в натураль&
ную степень, нужно возвести в эту степень числитель и
знаменатель. Первый результат записать как числитель,
а второй — как знаменатель дроби:
= , где n — натуральное число.
З а д а ч а 3. Выполните действие: : .
Решение. : =
=
= .
10n14
n2 49
6
7n 10n14
n7 n7
6\n7
n7
10n14 6n7
n7 n7
10n14 6n42
n7 n7
4n28
n7 n7
4n7
n7 n7
4
n7
2a
25 10aa 2 1
3a15 2a
5a 2 1
3a5
2a \3
a5 2 1\a5
3a5
6aa5
3a5 2 5a5
3a5 2
A
B n An
Bn
a2 2ab
a9
a2 4b 2
3a27
a2 2ab
a9
a2 4b 2
3a27
aa2b
a9
3a9
a2b a2b
3a
a2b

§ 5. Дробные выражения 77
З а д а ч а 4. Упростите выражение
: – .
Р е ш е н и е. 1) = – =
= = ;
2) : =
=
=
= = ;
3) – = = =
= = a.
Ответ: a.
Преобразование рационального выражения можно
выполнять не по отдельным действиям, а «цепочкой».
З а д а ч а 5. Докажите, что при всех допустимых зна&
чениях переменной значение выражения
+
не зависит от значения a.
Решение. +
= + 

= + = – = =
= = 3.
Следовательно, при всех допустимых значениях a
значение данного выражения равно 3.
3a
a2 6a
a 2 4a4
a4
a2 4
2a 2 8a
a2
3a
a2 6a
a 2 4a4
3a \a2
a2
6a
a2 2
3a 2 6a 6a
a2 2 3a 2 12a
a2 2
3a 2 12a
a2 2 a4
a2 4
3a 2 12a
a2 2 a2 4
a4
3aa4
a2 2 a2 a2
a4
3aa2
a2
3a 2 6a
a2
3a 2 6a
a2
2a 2 8a
a2
3a 2 6a2a 2 8a
a2
a2 2a
a2
aa2
a2
3a
a3 a5
18 6a
54a
5aa 2
3a
a3 a5
18 6a
54a
5aa 2 3a
a3 a5
63a
54a
a5a 3a
a3 9
3a 3a
a3 9
a3 3a9
a3
3a3
a3

78 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
З а д а ч а 6. Найдите все натуральные значения n, при
которых значение выражения является
целым числом.
Р е ш е н и е. Представим данную дробь в виде разно&
сти целого и дробного выражений:
= + – = 2n + 3 – .
Выражение 2n+ 3 принимает натуральные значения
при любом натуральном n. Поэтому выражение
2n+ 3 – принимает целые значения, если значе&
ния выражения являются целыми числами. Это
возможно только при таких натуральных значениях n:
1, 3, 5, 15.
О т в е т: 1, 3, 5, 15.
Примеры заданий № 6
Часть 1
1.При каком значении переменной не имеет смысла
выражение ?
2.Укажите равенства, являющиеся тождествами.
1) = 3) – = a + 6
2) = 4) – =
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных равенств без пробелов, запятых и других до&
полнительных символов.
2n 2 3n15
n
2n 2 3n15
n
2n 2
n
3n
n 15
n 15
n
15
n
15
n
3x12
4x16
4a 3b10
8a 9b2 b8
2a 6 a2 5a
a6
36 5a
a6
6x 2 3xy
3xy
3xy
y
1
ab b 2 1
a2 ab
1
ab

§ 5. Дробные выражения 79
3.Найдите значение выражения , если a = 2,5.
4.Сумма чисел a и b, отличных от нуля, равна их про&
изведению. Чему равно значение выражения + ?
5.Известно, что = 3. Найдите значение выражения
.
6.Найдите значение выражения – , если
m=10,28, n = – .
7.Найдите значение выражения x – , если
x=140, y = –26.
8.Укажите равенства, являющиеся тождествами.
1) 24m
3n2 = 3) =
2)
= 4) : (4a 2c) =
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных равенств без пробелов, запятых и других до&
полнительных символов.
9.Найдите значение выражения
, если
m= 24, n = 5.
10.Найдите значение выражения : , если
x = 6, y = –1,2.
11.Найдите значение выражения (c + 8) : ,
если c = 12.
a2 49
2a14
1
a 1
b
a
b
2a3b
a
1
9m 9mn
9mn
1
3
x2 7y
x
n4
8m 6 3n 8
m2 2a 2
c3
5 32a 10
c15
k2 4k4
k3
k3
k2 4
k2
k2
28a
c3 7
ac2
7m
mn mn n 2
14m
5xy 2
x2 36y 2 xy
x6y
c2 16c64
c8

80 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
12.Найдите значение выражения
: , если m = –2,8, n=3,46.
13. Найдите значение выражения ( c3 – 400 c) ,
если c = –1,5.
14.Найдите значение выражения : ,
если a = 2 , b = 2 .
Часть 2
15.Сократите дробь .
16.Найдите значение выражения , если
p(a) = .
17.Упростите выражение – + .
18.Упростите выражение : .
19.Упростите выражение
.
20.Упростите выражение –
.
21.Упростите выражение : .
22.Упростите выражение

.
2m7n
2m 2 7mn
1
m n
7n2m
1
c20 1
c20
25a 2 b2
5ab
1
b 1
5a
3
11 4
11
a2 36
ab6b 30 5a
pa
p1
a
a 12
a 12a 1
a
a6
a2 3a
a3
a
a
a3
x
x 2 8x16
x6
x2 16
x12
x2 16
7
x3 x 3 3x
x2 8x16
5b
b3 b6
2b6
90
b2 6b
a3
a2 1
1
a2 a
3a3
a2 a
2x1
x2 2x4
1
x2 9x6
x3 8
x2 4
9

§ 5. Дробные выражения 81
23.Известно, что 2x – = 8. Найдите значение выраже&
ния 4x
2 + .
24.Найдите значение выражения 29a – 13b + 27, если
= 4.
25.Известно, что = 3. Найдите значение выраже&
ния .
26.Найдите все натуральные значения n, при которых
значение выражения является целым
числом.
27.Докажите тождество
: – = a.
28. Докажите, что при всех допустимых значениях перемен&
ной значение выражения – :
: не зависит от значения а.
5.5. Степень с нулевым и целым отрицательным
показателями
Для любого числа a, не равного нулю, и натураль&
ного числа n
a
–n = .
Например, 2
–3 = = , (–4) –2 = = , (0,3) –1 =
= = .
1
x
1
x2
3a5b6
8a2b7
2ab
a3b
a2 5ab10b 2
20b 2 a2 4ab
5n 2 3n 6
n
2a
a3 4a
a 2 6a9
a1
a2 9
a2 9a
a3
a
a2 a
a2 4
a
a 2 4a4
2a
2a 2
1
an
1
23 1
8 1
42 1
16
1
03 10
3

82 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Для любого числа a, не равного нулю, a 0=1.
Например, 5
0= 1, (–17) 0=1, = 1, 0 = 1.
Выражение 0
n при целых n, меньших или равных
нулю, не имеет смысла.
Степень с целым показателем обладает следующими
свойствами.
1. Для любого a
0 и любых целых m и n выполняют&
ся равенства:
a
m an = a m + n ;
a m : a n = a m – n ;
(a m)n = a mn .
2. Для любых a
0 и b 0 и любого целого n выполня&
ются равенства:
(ab)
n = a nbn;
= .
З а д а ч а 1. Найдите значение выражения

.
Решение.
= =
=
= = =
= = .
З а д а ч а 2. Представьте выражение (a – b)
–2(a–2 – b –2)
в виде рациональной дроби.
Решение. (a – b)
–2(a–2 – b –2) = =
=
= = =
=.
4
3 0
a
bn an
bn
111
25 8 5
6 3 5
111
25 8 5
6 3 5 36
25 8 5
6 15
6
5 2 8 5
6 15 6
5 16 5
6 15 6
5 16 6
5 15
6
5 1 5
6
1
ab 2 1
a2 1
b2
1
ab 2 b2 a2
a2b2 1
ba 2 ba ba
a2b2 ba
a2b2ba
ba
a2b3 a3b2

§ 5. Дробные выражения 83
5.6. Стандартный вид числа
Стандартным видом числа называют его запись в ви&
де произведения a
10 n, где 1 a<10 и n — целое число.
Число n называют порядком числа, записанного в
стандартном виде.
З а д а ч а. Запишите в стандартном виде число и ука&
жите его порядок: 1) 564 000 000; 2) 0,0036.
Решение. 1) 564 000 000 = 5,64
100 000 000 =
=5,64
10 8. Порядок числа равен 8.
2) 0,0036 = 3,6
0,001 = 3,6 = 3,6 =
=3,6
10 –3. Порядок числа равен –3.
Примеры заданий № 7
Часть 1
1.Найдите значение выражения .
2.Чему равно значение выражения 5
–5 : 25 –2?
3.Найдите значение выражения m
–2n3 40m 3n–4 при
m = , n = .
4.Найдите значение выражения .
5.Найдите значение выражения .
6.Площадь территории Красноярского края составляет
2340 тыс. км
2. Определите порядок этого числа.
7.Определите порядок числа 0,0046.
8.Порядок числа b равен –5. Определите порядок числа
1000b.
1
1000 1
103
74 77
714
1
8
1
6 1
12
01 3 001 5
1000 2
21 5 38
63 2 77

84 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
9.В таблице приведены запасы некоторых веществ в
минеральных ресурсах мира. Запасы какого из этих
веществ наибольшие?
1) алюминий 3) олово
2) марганец 4) цинк
10.В таблице приведены массы атомов некоторых хими&
ческих элементов. Масса атома какого из этих эле&
ментов наименьшая?
1) азот 2) гелий 3) золото 4) медь
11.Найдите значение выражения (4,3
10 –2) (6 10 –3).
Часть 2
12.Представьте в виде дроби выражение
(x
–2 + y –2)(x 2 + y 2)–1.
13.Упростите выражение 1a
6b–9 .
14.Преобразуйте выражение
(a –4b)4 так, чтобы
оно не содержало степеней с отрицательным показа&
телем.
15.Сократите дробь .
16.Найдите стандартный вид значения частного
(1,3
10 –6) : (6,5 10 –2).
Вещество Алюми&
нийМарганец Олово Цинк
Запасы, т 1,1 10 9 6,35 10 8 4,76 10 6 1,12 10 8
Элемент Азот Гелий Золото Медь
Масса
атома, кг 2,32
10 –26 6,64
10 –27 3,27
10 –25 1,05
10 –25
9
16 11
4ab 3 3
a6
b5
2
24 n
23n2 3n1

§ 6. Корень n&й степени... 85
§ 6. Корень nEй степени.
Степень с действительным показателем
6.1. Корень nEй степени и его свойства
Корнем n#й степени из числа a, где n N, n > 1, на&
зывают такое число, n&я степень которого равна a.
Например, корнем пятой степени из числа 32 являет&
ся число 2, так как 2
5= 32; корнем третьей степени из
числа –64 является число –4, так как (–4)
3=–64; корнями
четвёртой степени из числа 81 являются числа 3 и –3,
так как 3
4= 81 и (–3) 4= 81.
Если n — нечётное натуральное число, большее 1,
то корень nй степени из любого числа существует, при&
чём только один.
Корень нечётной степени n, n > 1, из числа a обозна&
чают так: (читают: «корень n&й степени из a»). На&
пример, = 2, = –4, = 0.
Знак называют знаком корня n#й степени или ра#
дикалом. Выражение, стоящее под радикалом, называ&
ют подкоренным выражением.
Корень третьей степени также принято называть ку#
бическим корнем. Например, запись читают: «куби&
ческий корень из числа 2».
Выражение , k
N, определено при любом a.
При любом a выполняется равенство
= a.
Например, = 2; = –0,1.
Если n — чётное натуральное число, то при a < 0
корень nй степени из числа a не существует; при a = 0
корень n&й степени из числа a равен 0; при a>0 сущест&
an
325 64 3 07
n
23
a 2k1
a 2k1 2k1
23 3 01 7 7

86 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
вуют два противоположных числа, которые являются
корнями nй степени из числа a.
Арифметическим корнем n#й степени из неотрица#
тельного числа a, где n
N, n > 1, называют такое неот&
рицательное число, n&я степень которого равна a.
Арифметический корень n&й степени из неотрица&
тельного числа a при n > 2 обозначают так: . Ариф&
метический корень второй степени из числа a называют
арифметическим квадратным корнем и обозначают .
Например, = 3, так как 3
 0 и 3 4 = 81;
= 2, так как 2
 0 и 2 6 = 64;
= 0, так как 0
 0 и 0 10 = 0.
Если b
 0 и b n = a, где n N, n > 1, то = b.
Обратим внимание на то, что для обозначения ариф&
метического корня n&й степени из неотрицательного чис&
ла a и корня нечётной степени n из числа a используют
одну и ту же запись: . Запись , k
N, используют
только для обозначения арифметического корня. Корень
чётной степени из числа a не имеет обозначения.
Из определения арифметического корня n&й степе&
ни следует, что:
1)
 0, где a  0;
2) = a, где a
 0.
Например,
 0 и = 7.
Свойства корня n#й степени
1. Для любого a
R и k N выполняются равенства:
= a;
.a
n
a
814
646
0 10
an
an a 2k
an
an n
76 76 6
a2k1 2k1
a2k
2k a

§ 6. Корень n&й степени... 87
2. Если a  0 и b  0, n N, n > 1, то
.
3. Если a
 0 и b > 0, n N, n > 1, то
= .
4. Если a
 0, n N, k N, n > 1, то
.
5. Если a
 0, n N, k N, n > 1, k > 1, то
.
6. Если a
 0, n N, k N, n > 1, то
.
6.2. Преобразование выражений,
содержащих корни
З а д а ч а 1. Вынесите множитель из&под знака корня:
1) ; 2) ; 3) ; 4) , если a<0.
Решение. 1) .
2) Поскольку подкоренное выражение должно быть
неотрицательным, то из условия следует, что b
0.
Тогда
.
3) Из условия следует, что b
0. Тогда
.
4) Поскольку подкоренное выражение должно быть
неотрицательным, а a
0, то из условия следует, что
b
0. Тогда .ab
n an bn
a
bn an
bn
an k ak
n
ak n a nk
ak
nk an
72a 8 b35 b35 a2b3
72a 8 36a 8 2 6a 4 26a 4 2
b35 b34bb 17 bb 17 b
b35 b34 b b17 b b17 b
a2b3 a2b2babb ab b

88 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
З а д а ч а 2. Внесите множитель под знак корня:
1) ; 2) .
Решение. 1) .
2) Если a
0, то ; если a<0,
то .
З а д а ч а 3. Упростите выражение: 1) ; 2) ;
3) .
Р е ш е н и е. 1) Из условия следует, что a
 0. Тогда
.
2) .
3) .
З а д а ч а 4. Докажите тождество

= .
Решение.
=
= =
=
=
= = =
= .
27 a7
27 4 7 28
a7a 2 7 7a 2
a7a 2 7 7a 2
a3
12 a12
4
a2
6
a3
12 a3
3 4 a4
a12
4 a34
4 a3
a2
6 a2
3 a 3
a
ab b
ab 2ab
ba a ab b
ab ab
a
ab b
ab 2ab
ba a ab b
ab
aa b ba b 2ab
ab ab a ba b
ab
aababb2ab
ab ab
a2ab b ab
ab
ab 2 ab
ab ab
ab

§ 6. Корень n&й степени... 89
Задача 5. Сократите дробь .
Решение. Разложив числитель данной дроби на
множители, получаем:
= = = .
З а д а ч а 6. Сократите дробь .
Р е ш е н и е. Из условия следует, что числа a и b одно&
го знака. Рассмотрим два случая.
Первый случай: a > 0 и b > 0. Имеем:
= = =
=
Второй случай: a < 0, b < 0. Имеем:
= = =
= .
Примеры заданий № 8
Часть 1
1.При каком значении y верно равенство = 0,4?
2.Чему равно значение выражения ?
b3 1
b6 1
b3 1
b6 1
b6 2 1
b6 1
b6 1 b6 1
b6 1
b6 1
ab 10 b5
ab 10
ab 10 b5
ab 10
a 10 b 10 b 10 2
a 10 b 10
b 10 a 10 b 10
a 10 b 10
a 10 b 10
a 10
ab 10 b5
ab 10
a 10 b 10 b 10 2
a 10 b 10
b 10 a 10 b 10
a 10 b 10
a 10 b 10
a 10
y3
1
3 27 2

90 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
3.Вычислите значение выражения .
4.Найдите значение выражения .
5.Каждому из четырёх уравнений в левом столбце соот&
ветствует одно множество в правом столбце, являю&
щееся множеством корней этого уравнения. Устано&
вите соответствие между уравнениями и множества&
ми их корней.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
6.Каждой из четырёх функций в левом столбце соот&
ветствует одно множество в правом столбце, являю&
щееся областью определения этой функции. Устано&
вите соответствие между функциями и их областями
определения. УРАВНЕНИЯ МНОЖЕСТВА КОРНЕЙ
А) x
3 = 3
1)
Б) x
3 = –32)
В) x 6 = 9
3)
Г) x
6 = –9
4)
АБВ Г
ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
А) y = 1) (–
; –3)  (–3; + )
Б) y = 2) (–
; + )
В) y =
3) (–3; +
)
Г) y =
4) [–3; +
)
323 3 64
4
325 4 2
4
33 33
33
33
x33
62x4
1
3x9
6
1
18 6x
5

§ 6. Корень n&й степени... 91
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
7.Найдите значение выражения .
8.Чему равно значение выражения ?
9.Найдите значение выражения .
10.Найдите значение выражения .
11.Чему равно значение выражения ?
12.Чему равно значение выражения ?
13.Вычислите значение выражения
.
14.Чему равно значение выражения
?
15.Укажите верные равенства.
1) 4) =
2) = 5) =
3) = 6)
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных равенств без пробелов, запятых и других до&
полнительных символов.
16.Чему равно значение выражения ?
17.Найдите значение выражения
.
АБВ Г
13 18
6
36 0 49
43 36 3
37 2 35 4
192
3
63
2
494 1256 494 1256
62 64 24 64 24
12 2 32 82 10
25
3 2253
6
3 33 18
27
4 634
15 5
5 15 1 24 3 27
32 2 24
36 28 32 2108

92 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
18.Найдите значение выражения при
.
19.Чему равно значение выражения
?
20.Найдите значение выражения .
21.Какие из данных равенств являются тождествами?
1) 3) =
2) 4) =
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных равенств без пробелов, запятых и других до&
полнительных символов.
22.Укажите верные неравенства.
1) > 7 3)
2) 4)
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных неравенств без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
23.В каком случае числа , и 5 расположены в
порядке возрастания?
1) , , 5 3) 5, ,
2) , , 5 4) , 5,
Часть 2
24.Освободитесь от иррациональности в знаменателе
дроби .a 2 2a5 3
a53
31 2 23 43
743 23 2
m15
3 m5 x16
x4 4
x4 4
aa4 5 a 10 a3 1
a3 2a6 1
a6 1
a6 1
43 317 3 4
5296 323 533
33 42
33 42 33 42
42 33 33 42
7
36
3 63 1

§ 6. Корень n&й степени... 93
25.Упростите выражение , если a < 0 и
b < 0.
26.Упростите выражение .
27.Найдите значение выражения .
28.Вычислите сумму
.
29.Представьте в виде дроби выражение .
30.Упростите выражение : .
31.Упростите выражение : .
32.Докажите тождество : = 2.
33.Чему равно значение выражения
?
34.Вычислите значение выражения
.
35.Найдите значение выражения
.
36.Какое из чисел больше: 3 + или ?
37.Какое из чисел меньше: или 10?
38.Упростите выражение
. ab 8
8 9b 2
31
31
31
31
827 827 2
1
37 1
711 1
11 15 1
27 31
a
a1 a4
a4 1
mmn 4
m
m2mn 4 n
mn4
m2
m2
8m
m4 m2
m2m
a4 5
a4 5
a4 5
a4 5
10a 4
25a
5263 49 20 66
87 6
6 27 4
4
19 6 10 19 6 10
5 86
26 24
a2 2 8a a2 2 8a

94 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
6.3. Степень с рациональным показателем
Степенью положительного числа a с рациональным
показателем r, представленным в виде , где m
Z, n N,
n > 1, называют число , т. е.
a
r = = .
Например, ; ; 0,4
0,3 =
= = .
Степень с основанием, равным нулю, определяют
только для положительного рационального показателя.
= 0, где m
N, n N.
Заметим, что, например, запись не имеет смысла.
Свойства степени с рациональным показателем
1. Для любого a > 0 и любых рациональных чисел p и q
выполняется равенство
a
p aq = a p + q .
2. Для любого a > 0 и любого рационального числа p
выполняется равенство
a
–p = .
3. Для любого a > 0 и любых рациональных чисел p и q
выполняется равенство
a
p : a q = a p – q .
4. Для любого a > 0 и любых рациональных чисел p и q
выполняется равенство
(a
p)q = a pq.
m
n
am
n
a
m
n
am
n
5
3
7
53
7 3
1
5
3
15 3 1 5
04
3
10
04 3 10
0
m
n
0
1
2
1
ap

§ 6. Корень n&й степени... 95
5. Для любых a > 0 и b > 0 и любого рационального
числа p выполняются равенства:
(ab)
p = a pbp;
= .
З а д а ч а. Постройте график функ&
ции f(x) = .
Решение. Областью определе&
ния функции f является множе&
ство (0; +
). Данную функцию
можно задать такими условиями:
f(x) = x, D(f) = (0; +
). График функции изображён на
рисунке 6.1.
6.4. Преобразование выражений, содержащих
степень с рациональным показателем
З а д а ч а 1. Упростите выражение:
1) (3a
0,3 + b 0,2 )(a 0,3 – 4b 0,2 ) – (a 0,3 + 2b 0,2 ) (a 0,3 – 2b 0,2 );
2) .
Р е ш е н и е. 1) Раскроем скобки, используя правило
умножения многочленов, формулу разности квадра&
тов, а затем приведём подобные слагаемые:
(3a
0,3 + b 0,2 )(a 0,3 – 4b 0,2 ) – (a 0,3 + 2b 0,2 ) (a 0,3 – 2b 0,2 ) =
=
= 2a
0,6 – 11a 0,3 b0,2 .
a
bp ap
bp
Рис. 6.1
x
1
3 3
a
1
12
b
1
12
a
1
6
a
1
12
b
1
12
b
1
6
a
1
8
b
1
82
3a 0,6 – 12a 0,3 b0,2 + a 0,3 b0,2 – 4b 0,4 – a 0,6 + 4b 0,4 =

96 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
2) Имеем: =
= =
= = .
З а д а ч а 2. Разложите на множители выражение
, используя формулу: 1) разности квадратов;
2) разности кубов.
Решение.
1) = .
2) = = .
Задача 3. Сократите дробь: 1) ; 2) ;
3) .
Р е ш е н и е. 1) Разложим знаменатель дроби на мно&
жители, вынеся за скобки общий множитель, и сокра&
тим дробь:
= = . a
1
12
b
1
12
a
1
6
a
1
12
b
1
12
b
1
6
a
1
8
b
1
82
a
1
12 3
b
1
12 3
a
1
82
2a
1
8
b
1
8
b
1
82
a
1
4
b
1
4
a
1
4
2a
1
8
b
1
8
b
1
4
2a
1
4
2a
1
8
b
1
8
a
1
2
b
3
4
a
1
2
b
3
4
a
1
42
b
3
82
a
1
4
b
3
8
a
1
4
b
3
8
a
1
2
b
3
4
a
1
63
b
1
43
a
1
6
b
1
4
a
1
3
a
1
6
b
1
4
b
1
2
4a
1
3
a
1
2
a
1
3 b
5
6
3b
1
2
c
1
4
b
2
3
9c
1
2
32
1
3
16
1
3
4
1
3
2
1
3
4a
1
3
a
1
2
a
1
3 4a
1
3
a
1
3
a
1
6
1
4
a1
6
1

§ 6. Корень n&й степени... 97
2) Разложив числитель и знаменатель дроби на мно&
жители, получаем:
= = .
3) Имеем: = = = = = 2.
З а д а ч а 4. Упростите выражение
– – .
Р е ш е н и е. Выполним замену = y. Тогда данное
выражение принимает вид:
.
Это выражение легко упростить. Завершите решение
самостоятельно.
Ответ: .
6.5. Степень с действительным показателем
Разъяснение понятия степени положительного числа
с действительным показателем начнём с частного слу&
чая. Выясним, что понимают под степенью числа 2 с по&
казателем
.
b
5
6
3b
1
2
c
1
4
b
2
3
9c
1
2
b
1
2
b
1
3
3c
1
4
b
1
3
3c
1
4
b
1
3
3c
1
4
b
1
2
b
1
3
3c
1
4
32
1
3
16
1
3
4
1
3
2
1
3
16
1
3
2
1
3
1
2
1
3
2
1
3
1
16
1
3
2
1
3 16
2
1
3
8
1
3
x
1
3
2
x
1
3
2
x
1
3
2
x
1
3
2
16
x2
3
4
x
1
3
y2
y2
y2
y2
16
y2 4
8
x1
3
2

98 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Иррациональное число можно представить в виде
бесконечной непериодической десятичной дроби:
= 3,1415... .
Рассмотрим последовательность рациональных чисел
3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ... . (1)
С возрастанием номера члена последовательности раз&
ность между числом
и членом последовательности стано&
вится всё меньше и меньше и может стать меньше любого
наперёд заданного положительного числа. В этом случае
говорят, что эта последовательность сходится к числу
.
В соответствии с последовательностью (1) построим по&
следовательность степеней с рациональными показателями:
23, 2 3,1 , 2 3,14 , 2 3,141 , 2 3,1415 , ... . (2)
Члены последовательности (2) с увеличением номера схо&
дятся к некоторому положительному числу. Это число и на&
зывают степенью числа 2 с показателем
и обозначают 2 .
Если с достаточной точностью вычислить приближён&
ные значения членов последовательности (2), то можно
получить последовательность чисел, являющихся при&
ближёнными значениями числа 2
. Имеем:
2
3 =8,
2
3,1 = 8,5…,
2
3,14 = 8,81…,
2
3,141 = 8,821…,
2
3,1415 = 8,8244…,

На самом деле, 2
= 8,82497… .
Аналогично можно действовать в общем случае, опре&
деляя смысл выражения b
, где b > 0, — любое дей&
ствительное число. Для числа
строят сходящуюся к нему
последовательность рациональных чисел
1, 2, 3, ... .
Далее рассматривают последовательность , , , ...b
1 b 2 b 3

§ 6. Корень n&й степени... 99
степеней с рациональными показателями. Эта последо&
вательность сходится к положительному числу c, кото&
рое не зависит от выбора сходящейся к
последователь&
ности рациональных чисел
1, 2, 3, ... . Число c назы&
вают степенью положительного числа b с действитель&
ным показателем
и обозначают b .
Если основание b равно единице, то 1
= 1 для всех
действительных
.
Если основание b равно нулю, то степень 0
определя&
ют только для
> 0 и считают, что 0 =0. Например,
= 0, 0
= 0, а выражение не имеет смысла.
При b < 0 выражение b
, где — иррациональное чис&
ло, не имеет смысла.
Степень с действительным показателем обладает теми
же свойствами, что и степень с рациональным показате&
лем.
В частности, для x > 0, y > 0 и любых действительных
и справедливы такие равенства:
1) x
x = x + ;
2) x
: x = x – ;
3) (x
) = x ;
4) (xy)
= x y ;
5) = .
Примеры заданий № 9
Часть 1
1.Установите соответствие между степенями, записан&
ными в левом столбце, и тождественно равными им
иррациональными выражениями, записанными в
правом столбце. 0
2 0 3
x
y x
y

100 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
2.Вычислите значение выражения .
3.Какие из данных равенств являются тождествами?
1) 4) m
–2,4 : m 0,6 = m –3
2) : = 5) c 0,6 c4,4 c–3 = c 2
3) 6) (m –0,4 )7 : m –0,8 = m –3,2
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных равенств без пробелов, запятых и других до&
полнительных символов.
4.Чему равно значение выражения (2
–0,7 )3 2–0,9 ?
5.Чему равно значение выражения (5
0,6 )–0,6 (0,2) –2,36 ?
6. Вычислите значение выражения 81 0,25 – + (0,5) –2.
СТЕПЕНИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
А) 1)
Б) 2)
В) 3)
Г) 4)
АБВ Г
a
3
2
a2
3
a
2
3
a3
a
3
2 1
a
2
3
a
2
3 1
a
3
8
1
3
36
1
2
p
1
6
p
1
3
p
1
2
p
1
3
p
1
8
p
8
3
x
2
36
x 3
1
9
1
2

§ 6. Корень n&й степени... 101
7.Найдите значение выражения 16 –0,75 .
8.Найдите значение выражения .
9.Какие из данных равенств являются тождествами?
1) =
2) =
3) =
4) =
5) =
6) =
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных равенств без пробелов, запятых и других до&
полнительных символов.
10.Чему равно значение выражения при a = 5? 8
5
12
4
5
8
125
25
9
625 225 25
2
3
bb3
b3 b
4
3
m
1
2
n
1
4
m
1
2
n
1
4
mn
1
2
aa
2
7
a
5
7
1
a
2
7
1
a
1
3
25
a
1
6
5
a
1
6
5
m
1
2
6m
1
4
9
m
1
2
9
m
1
4
3
m
1
4
3
a27
a
1
3
3
a
2
3
9
3a
1
3
a
2
3
2a
1
3

102 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Часть 2
11.Представьте в виде степени с рациональным показа&
телем выражение .
12.Найдите значение выражения при a = 6, b = 9.
13.Упростите выражение .
14.Чему равно значение выражения ?
15.Упростите выражение
16.Сократите дробь .
17.Упростите выражение .
18.Упростите выражение : .a
1
4
aa3
a6b
1
21
4
a
1
2
b
9
8
a
3
4
a
1
2
a
5
12 a
5
6
a
1
6
3
8
1
2
9
4
3
27
1
9
4
1
4
1
a7a
1
8
a
7
8
7
a
1
4
b
1
4
a
1
8
b
1
8
a9a
1
2
a
3
4
3a
1
2
4x
1
2
8
4x4x
1
2
1
2x
1
2
1
x
1
2
2
m
1
3
m
1
6
n
1
6
m
1
3 m
1
3
2m
1
6
n
1
6
n
1
3
m
1
6
n
1
6

§ 7. Формулы тригонометрии... 103
§ 7. Формулы тригонометрии.
Преобразование тригонометрических
выражений
7.1. Радианная мера угла. Угол поворота
Углом в один радиан называют
центральный угол окружности,
опирающийся на дугу, длина кото&
рой равна радиусу окружности.
На рисунке 7.1 изображён цент&
ральный угол AOB, опирающийся
на дугу АВ, длина которой равна
радиусу окружности. Величина уг&
ла АОВ равна одному радиану. Пи&
шут:
AOB = 1 рад или AOB = 1. Также говорят, что ра&
дианная мера дуги AB равна одному радиану. Пишут:
AB = 1 рад.
Связь между радианной и градусной мерами уста&
навливают следующие равенства:
1 рад = ,
1
= рад.
В таблице приведены градусные и радианные меры
часто встречающихся углов:
На координатной плоскости рассмотрим окружность
единичного радиуса с центром в начале координат. Та&
кую окружность называют единичной.
Пусть точка P, начиная движение от точки P
0(1; 0),
перемещается по единичной окружности против часовой
Градусная
мера угла 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Радианная
мера угла 0
Рис. 7.1
180
180
6 4 3 2
2
3
3
4
5
6

104 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
стрелки. В некоторый момент времени она займёт поло&
жение, при котором
P0OP= = 120 (рис. 7.2).
Будем говорить, что точка P получена в результате
поворота точки P
0 вокруг начала координат на угол
(на угол 120
).
Пусть теперь точка P переместилась по единичной
окружности по часовой стрелке и заняла положение, при
котором
P0OP==120 (рис. 7.3). Будем говорить,
что точка P получена в результате поворота точки P
0 во&
круг начала координат на угол – (на угол –120
).
Когда рассматривают движение точки по окруж&
ности против часовой стрелки (рис. 7.2), то угол пово&
рота считают положительным, а по часовой стрелке
(рис. 7.3) — отрицательным.
Угол поворота как в радианах, так и в градусах мо&
жет выражаться любым действительным числом.
2
3
2
3
Рис. 7.2 Рис. 7.3
2
3
2
3

§ 7. Формулы тригонометрии... 105
7.2. Синус, косинус, тангенс и котангенс
угла поворота
Косинусом и синусом угла поворота называют соот&
ветственно абсциссу x и ординату y точки P(x;y) единич&
ной окружности, которая получена в результате поворота
точки P
0(1; 0) вокруг начала координат на угол (рис. 7.4).
Пишут: cos
=x, sin =y.
Так как абсциссы и ординаты точек единичной ок&
ружности принимают все значения от –1 до 1 включи&
тельно, то синус и косинус принимают все значения из
промежутка [–1; 1].
Задача 1. Найдите все углы поворота
, при кото&
рых: 1) sin
=0; 2) cos =0.
Р е ш е н и е. 1) Ординату, равную нулю, имеют только
две точки единичной окружности: P
0 и B (рис. 7.5).
Эти точки получены в результате поворотов точки P
0
на такие углы:
0, 2
, –2 , 4 , –4 , … и
, – , 3 , –3 , … .
Все эти углы можно получить с помощью формулы
= k, где k Z. Следовательно, sin =0 при = k,
где k
Z.
Рис. 7.4 Рис. 7.5

106 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
2) Абсциссу, равную нулю, имеют только две точки еди&
ничной окружности: A и C (рис. 7.5). Эти точки получе&
ны в результате поворотов точки P
0 на такие углы:
, + 2
, – 2 , + 4 , – 4 , … и

, + , – 3 , + 3 , … .
Все эти углы можно получить с помощью формулы
=+ k, где k Z. Следовательно, cos =0 при
=+ k, где k Z.
Тангенсом угла поворота
, + k, где k Z, на&
зывают отношение синуса этого угла к его косинусу:
tg
= .
Котангенсом угла поворота
, k, где k Z, назы&
вают отношение косинуса этого угла к его синусу:
ctg
= .
Тангенс и котангенс могут принимать любые дейст&
вительные значения.
Имеют место следующие равенства:
sin
=sin( +2 n),n Z;
cos
=cos( +2 n), n Z;
tg
=tg( + n),n Z;
ctg
=ctg( + n), n Z;
cos (–
)=cos ;
sin (–
)=–sin ;
tg(–
)=–tg ;
ctg(–
)=–ctg .
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
sin
cos
cos
sin

§ 7. Формулы тригонометрии... 107
Значения тригонометрических функций некоторых
аргументов:
З а д а ч а 2. Найдите наибольшее и наименьшее зна&
чения выражения 1 – 4cos
.
Р е ш е н и е. Так как –1
 cos  1, то –4  –4cos  4,
–3
 1 – 4cos  5. Следовательно, наименьшее значе&
ние данного выражения равно –3; выражение прини&
мает его при cos
= 1. Наибольшее значение данного
выражения равно 5; выражение принимает его при
cos
= –1.
sin cos tg ctg
0010—
=
= =
11
10—0

––
––1 –1
––

0–10 —
–1 0 — 0
6
1
2 3
2 1
3 3
3 3
4
1
2 2
2 1
2 2
2
3 3
2 1
2 3 3
3
2
2
3 3
2 1
2 3 3
3
3
4 2
2 2
2
5
6
1
2 3
2 3
3 3
3
2

108 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
7.3. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Пусть точка P получена в результате поворота точки
P
0(1; 0) вокруг начала координат на угол . Если точка P
принадлежит I координатной четверти, то говорят, что
является углом I четверти. Аналогично можно гово&
рить об углах ІІ, ІІІ и IV четвертей.
Если
— угол I четверти, то sin >0, cos >0.
Если
— угол ІІ четверти, то sin >0, cos <0.
Если
— угол ІІІ четверти, то sin <0, cos <0.
Если
— угол IV четверти, то sin <0, cos >0.
Знаки значений синуса и косинуса схематически по&
казаны на рисунке 7.6.
Тангенсы и котангенсы углов I и ІІІ четвертей явля&
ются положительными, а углов ІІ и IV четвертей — отри&
цательными (рис. 7.7).
З а д а ч а 1. Какой знак имеет: 1) sin 280
; 2) tg (–140 );
3) tg 2?
Р е ш е н и е. 1) Поскольку 280
является углом IV чет&
верти, то sin 280
<0.
2) Поскольку –140
является углом ІІІ четверти, то
tg (–140
)>0.
3) Поскольку < 2 <
, то 2 рад является углом ІІ чет&
верти. Следовательно, tg 2 < 0.
Рис. 7.6 Рис. 7.7
2

§ 7. Формулы тригонометрии... 109
З а д а ч а 2. Определите знак выражения
cos 123
tg 231 sin 312 .
Решение. Поскольку 123
— угол ІІ четверти,
231
— угол ІІІ четверти, 312 — угол IV четверти, то
cos 123
<0, tg231 >0, sin312 <0. Поэтому рас&
сматриваемое произведение положительно.
7.4. Основные тригонометрические тождества
Имеют место следующие тождества:
sin
2 + cos 2 = 1;
1 + tg
2 = ;
1 + ctg
2 = ;
tg
ctg =1.
З а д а ч а 1. Докажите тождество:
1) = tg
ctg ;
2) cos
2 + sin 2 sin 2 + sin 2 cos 2 = 1.
Р е ш е н и е. 1) = : =
= : = = tg
ctg .
2) cos
2 + sin 2 sin 2 + sin 2 cos 2 = cos 2 + sin 2 

(sin 2 + cos 2 ) = cos 2 + sin 2 = 1.
Задача 2. Найдите cos
, tg , ctg , если sin = –
и
< < .
Р е ш е н и е. Имеем:
cos
2 = 1 – sin 2 = 1 – = 1 – = .
12 cos
12 sin
tg ctg
ctg tg
tg ctg
ctg tg tg 1
tg 1
tg tg
tg tg 1
tg
1tg tg
tg
tg
tg
7
25
3
2
7
25 2 49
625 576
625

110 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Так как < <, то cos < 0, следовательно,
cos
= = ; tg = = : = ;
ctg
= = .
7.5. Синус, косинус и тангенс суммы и разности
двух углов
Синус суммы двух углов:
sin (
+ )=sin cos +cos sin .
Синус разности двух углов:
sin (
– )=sin cos –cos sin .
Косинус суммы двух углов:
cos (
+ )=cos cos –sin sin .
Косинус разности двух углов:
cos (
– )=cos cos +sin sin .
Тангенс суммы двух углов:
tg (
+ )= .
Тангенс разности двух углов:
tg (
– )= .
З а д а ч а 1. Упростите выражение:
1) sin (
+ 45 )cos( – 45 ) – cos ( + 45 )sin( – 45 );
2) .
Р е ш е н и е. 1) Заменим данное выражение на синус
разности аргументов
+ 45 и – 45 . Получаем:
sin (
+ 45 )cos( – 45 ) – cos ( + 45 )sin( – 45 ) =
= sin ((
+ 45 ) – ( – 45 )) = sin ( + 45 – + 45 ) =
= sin 90
= 1.
3
2
576
625 24
25 sin
cos
7
25 24
25 7
24
1
tg 24
7
tg tg
1tg tg
tg tg
1tg tg
3sin 2 60 cos
260sin 3 cos

§ 7. Формулы тригонометрии... 111
2) Имеем: =
= =
= = =
= = ctg
.
Задача 2.
Докажите тождество sin – cos tg = tg .
Решение. sin – cos tg = sin – =
= = = = tg .
Задача 3.
Найдите значение выражения
.
Р е ш е н и е. Используя формулу тангенса суммы уг&
лов 70 и 65 , получаем: = =
= = ctg 135 = ctg (180 – 45 ) = –ctg 45 = –1.
7.6. Формулы приведения
Каждый угол из промежутка [0; 2 ] можно предста&
вить в виде
, или , или , где 0   . На&
пример, =
– , = + .
3sin 2 60 cos
260sin 3 cos
3sin 2 60 cos cos 60 sin sin
260sin cos 60 cos sin 3cos
3sin 21
2 cos3
2 sin
23
2 cos1
2 sin 3cos
3sin cos 3 sin
3cos sin 3 cos
cos
sin
2 2
2
cos 2 sin
2 cos
sin 2 cos cos 2 sin
2 cos
2 sin
2 cos
2 sin
2 cos 2
1tg70 tg 65
tg 70 tg 65
1tg70 tg 65
tg 70 tg 65
1
tg 70
65
1
t g 135
2
3
2 2
2
3 3
5
3
3
2 6

112 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Вычисление синуса или косинуса (тангенса или ко&
тангенса) углов вида
, , можно свести к
вычислению синуса или косинуса (тангенса или котан&
генса) угла
. Формулы, позволяющие проводить такие
вычисления, называют формулами приведения.
Эти формулы даны в следующей таблице:
Проанализировав записанные 24 формулы приведе&
ния, можно заметить закономерности, которые делают
заучивание этих формул не обязательным.
Для того чтобы записать любую из формул приве&
дения, можно руководствоваться такими правилами.
1. В правой части равенства ставят тот знак, который
имеет левая часть при условии, что 0<
<.
2. Если в левой части формулы угол имеет вид

или , то синус заменяют на косинус, тангенс — на
котангенс, и наоборот. Если угол имеет вид
, то за&
мена функции не происходит.
Покажем, как действуют эти правила для выражения
sin .
Угол t

+ – + – +
sin tcos cos sin –sin –cos –cos
cos tsin –sin –cos –cos –sin sin
tg tctg –ctg –tg tg ctg –ctg
ctg ttg –tg –ctg ctg tg –tg
2
3
2
2 2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
2

§ 7. Формулы тригонометрии... 113
Предположив, что 0 < < , приходим к выводу: –
является углом ІІІ четверти. Тогда sin < 0. По
первому правилу в правой части равенства должен сто&
ять знак «–».
Поскольку аргумент имеет вид –
, то по второму
правилу следует заменить синус на косинус.
Следовательно, sin = –cos
.
З а д а ч а 1. Упростите выражение: 1) cos
2 ;
2) ctg(
– 90 ).
Р е ш е н и е. 1) Имеем: cos
2 = =
= (–sin
)2=sin 2 .
2) ctg (
– 90 )= –ctg(90 – ) = –tg .
З а д а ч а 2. Вычислите: 1) sin 930
; 2) cos (–480 ).
Решение.
1) sin 930 = sin (360 2 + 210 ) = sin 210 =
= sin (180 + 30 ) = –sin 30 = – .
2) cos (–480
) = cos 480 = cos (360 + 120 ) = cos 120 =
= cos (90
+ 30 ) = –sin 30 = – .
З а д а ч а 3. Упростите выражение:
ctg – cos sin (
– ).
Р е ш е н и е. Имеем: sin = –sin .
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2 2 cos 2
1
2
1
2
4 sin
4 sin
5
4 2
4 4

114 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Поскольку + = , то sin =
= cos . Следовательно,
ctg – cos sin (
– ) =
=
+ sin (–sin ) =
= –tg
– sin 2 = 1 – sin 2 = cos 2 .
7.7. Формулы двойного угла.
Формулы понижения степени
Следующие формулы соответственно называют фор#
мулами косинуса, синуса и тангенса двойного угла:
cos 2
=cos 2 –sin 2 ;
sin 2
=2 sin cos ;
tg 2
= .
Поскольку cos
2 =1–sin 2 и sin 2 =1–cos 2 , то из
формулы cos 2
=cos 2 –sin 2 получаем ещё две формулы:
cos 2
=1–2sin 2 ;
cos 2
=2cos 2 –1.
Следующие две формулы называют формулами пони#
жения степени:
sin
2 = ;
cos
2 = .
4 4 2 4
4
sin 4
4 sin
5
4 2
4 sin
4 cos
ctg 4
4 ctg 4
2tg
1tg 2
12 cos
2
12 cos
2

§ 7. Формулы тригонометрии... 115
З а д а ч а 1. Упростите выражение:
1) ; 2) ; 3) cos
4 – sin 4 ;
4) 1 – 8sin
2 cos 2 .
Р е ш е н и е. 1) Применяя формулу косинуса двойного
угла cos 2x = cos
2x – sin 2x и формулу разности квад&
ратов, получаем:
= =
= = – .
2) Применяя формулу синуса двойного угла, получаем:
= = = tg .
3) cos
4 – sin 4 = (cos 2 – sin 2 )(cos 2 + sin 2 ) = cos 2 .
4) 1 – 8sin
2 cos 2 = 1 – 2 4sin 2 cos 2 = 1 – 2sin 22 =
=cos4
.
Задача 2. Вычислите .
Р е ш е н и е. Применяя формулу тангенса двойного уг&
ла, получаем:
= 2
= = = 2.
cos
2 sin 2 cos
sin
2
2
2 cos
cos
2 sin 2 cos
2
2 cos 2
2 sin
2 sin 2 cos
2 cos 2 sin 2 cos 2 sin
2 sin 2 cos 2 cos 2 sin
sin
2
2
2 cos
2 2 sin 2 cos
2
2
2 cos
2 sin
2 cos 2
1tg 2
8
tg 8
1tg 2
8
tg 8
1tg 2
8
2tg 8
2
tg 2
8
2
tg
4

116 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
З а д а ч а 3. Упростите выражение
2sin
2(45 – ) + sin 2 .
Р е ш е н и е. Применим формулу понижения степени
для синуса, а затем формулу приведения. Полу&
чаем:
2sin
2(45 – ) + sin 2 = 1 – cos (90 – 2 ) + sin 2 =
= 1 – sin 2
+ sin 2 = 1.
7.8. Формулы половинного угла. Выражение синуса
и косинуса через тангенс половинного угла
Следующие формулы называют соответственно
формулами синуса, косинуса и тангенса половинного
угла:
= ;
= ;
= .
Задача. Дано: tg3
= 3 , 60 < <90 . Найдите
sin , cos , tg .
Решение. Имеем: = 1 + tg
23 = 1 + =
=; cos
23 = .
Так как 60
< <90 , то 180 <3 <270 . Следова&
тельно, cos 3
< 0. Тогда cos 3 = – .
2 sin 1 cos
2
2 cos 1 cos
2
tg 2
1 cos
1 cos
3
7
3
2
3
2
3
2
1
3
2 cos
24
7 2
625
49 49
625
7
25

§ 7. Формулы тригонометрии... 117
Так как 90 < < 135 , то sin > 0, а cos < 0.
Тогда:
sin = = = ,
cos = = = ,
tg = = .
Следующие формулы выражают sin
и cos через tg :
sin
= ;
cos
=.
7.9. Сумма и разность синусов (косинусов)
Формула суммы синусов:
sin
+sin =2sin cos .
Формула разности синусов:
sin
–sin =2sin cos .
Формула суммы косинусов:
cos
+cos =2cos cos .
Формула разности косинусов:
cos
–cos =–2sin sin .
3
2
3
2
3
2
3
2
13 cos
2
1
217
25 4
5
3
2
13 cos
2
1
2 17
25 3
5
3
2
3
2 sin
3
2 cos
4
3
2
2tg 2
1tg 2
2
1tg 2
2
1tg 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2

118 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
З а д а ч а 1. Преобразуйте в произведение:
1) sin
+ cos ; 2) cos – sin ; 3) .
Решение. 1) sin
+ cos = sin + sin =
= 2sin cos = 2sin cos =
=.
2) Перейдём к разности косинусов:
cos – sin = cos – cos = cos – cos =
= –2sin sin = 2sin sin =
= 2sin sin .
3) = 2 = 2 =
= 2
2sin cos = 4sin cos .
З а д а ч а 2. Докажите тождество:
sin 4
– sin 5 – sin 6 + sin 7 = –4sin sin sin .
Р е ш е н и е. Сгруппируем первое с четвёртым и вто&
рое с третьим слагаемые, а затем применим формулу
суммы синусов:
sin 4
– sin 5 – sin 6 + sin 7 =
= (sin 4
+ sin 7 ) – (sin 5 + sin 6 ) =
= 2sin cos – 2sin cos =
=2sin .
8 7 32 sin
2
2
2
2
2 4 4
2 4 cos
8 7 8 2 7 8
5
14
8
5
14
2
8
5
14
2
27
56
2
13
56
2
27
112
13
112
32 sin 3
2 sin 3 sin sin
3
2
3
2 6 2 6 2
2
11
2
11
2
3
2
11
2 2
11
2
3
2 cos 2 cos

§ 7. Формулы тригонометрии... 119
Преобразуем разность косинусов, стоящую в скобках,
в произведение:
2sin =
= 2sin = –4sin sin
sin .
7.10. Формулы преобразования произведения
тригонометрических функций в сумму
Следующие формулы называют формулами преобра#
зования произведения тригонометрических функций в
сумму:
sin x cos y=(sin (x–y)+sin (x+y));
cos x cos y=(cos (x–y)+cos (x+y));
sin x sin y=(cos(x–y)–cos(x+y)).
З а д а ч а. Преобразуйте произведение в сумму:
1) cos
cos 3 ; 2) 2sin ( + )cos( – ).
Решение.
1) cos cos 3 = (cos ( – 3 ) + cos ( + 3 )) =
= (cos 2 + cos 4 ).
2) 2sin ( + )cos( – ) =
= 2
(sin ( + – + ) + sin ( + + – )) = sin 2 + sin 2 .
7.11. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс
Арксинусом числа b, где | b |1, называют такое число
из промежутка , синус которого равен b.
11
2
3
2 cos 2 cos
11
2 2
3
2 2
2 sin
3
2 2
2 sin 11
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2

120 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Для арксинуса числа b используют обозначение arcsinb.
Например,
arcsin = , так как
и sin = ;
arcsin = , так как и sin = ;
arcsin 0 = 0, так как 0 и sin 0 = 0;
arcsin (–1) = , так как
и sin = –1.
Вообще, arcsinb=
, если и sin =b.
Для любого x
[–1; 1] выполняется равенство
arcsin (–x)=–arcsin x.
Например, arcsin = –arcsin = .
Арккосинусом числа b, где |b|
 1, называют такое
число
из промежутка [0; ], косинус которого равен b.
Для арккосинуса числа b используют обозначение
arccos b.
Например,
arccos = , так как
[0; ] и cos = ;
arccos = , так как
[0; ] и cos = ;
arccos 0 = , так как
[0; ] и cos = 0;
arccos (–1) =
, так как [0; ] и cos =–1.
Вообще, arccos b=
, если [0; ] и cos =b.
Для любого x
[–1; 1] выполняется равенство
arccos (–x)=
– arccos x.
Например, arccos =
– arccos = – = .
1
2
6 6 2 2 6
1
2
3
2
3 3 2 2 3
3
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
3
2 3
2
3
1
2
3 3 3
1
2
2
2 3
4
3
4
3
4
2
2
2 2 2
2
2 2
2
4
3
4

§ 7. Формулы тригонометрии... 121
Арктангенсом числа b называют такое число из про&
межутка , тангенс которого равен b.
Для арктангенса числа b используют обозначение arctg b.
Например,
arctg = , так как
и tg = ;
arctg(–1) = – , так как –
и tg = –1;
arctg 0 = 0, так как 0
и tg 0 = 0.
Вообще, arctg b=
, если и tg =b.
Для любого x
R выполняется равенство
arctg (–x)=–arctg x.
Например, arctg = –arctg = – .
Арккотангенсом числа b называют такое число
из
промежутка (0;
), котангенс которого равен b.
Для арккотангенса числа b используют обозначение
arcctg b.
Например,
arcctg = , так как
(0; ) и ctg = ;
arcctg (– ) = , так как
(0; ) и ctg = – ;
arcctg 0 = , так как
(0; ) и ctg = 0.
Вообще, arcctg b=
, если (0; ) и ctg =b.
Для любого x
R выполняется равенство
arcctg (–x)=
– arcctg x.
Например, arcctg (– ) =
– arcctg = – = .
2 2
3 3 3 2 2 3 3
4 4 2 2 4
2 2
2 2
3
3 3
3
6
3
3
3 3 3
3
3
3 5
6
5
6
5
6 3
2 2 2
3 3 6
5
6

122 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Примеры заданий № 10
Часть 1
1.Найдите наименьшее значение выражения 3sin
– 4.
2.Какие из данных неравенств являются верными?
1) cos 110
< sin 20 3) ctg 90 > sin 80
2) tg 40 > ctg 170 4) sin 200 > sin 1
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных неравенств без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
3.Найдите наименьшее целое решение неравенства
xsin 4 < sin 4. Если такое решение не существует, за&
пишите в ответ число 100.
4.Найдите cos
, если tg = и < < .
5.Найдите значение выражения , если
tg
= 0,5.
6.Какие из данных равенств являются тождествами?
1) (1 – cos
)(1 + cos ) = –sin 2
2) ctg sin = cos
3) cos 8 cos 2 – sin 8 sin 2 = cos 6
4) sin 4 cos – sin cos 4 = sin 3
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных равенств без пробелов, запятых и других до&
полнительных символов.
7.Установите соответствие между выражениями, запи&
санными в левом столбце, и тождественно равными
им выражениями, записанными в правом столбце.
А) sin1) sin
Б) cos
2) –sin
В) sin (4 + )3) cos
Г) cos (5 – )4) –cos
4
3 3
2
2 sin 3 2 cos
2 sin
5
2
2

§ 7. Формулы тригонометрии... 123
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
8.Упростите выражение tg tg (
+ ).
9.Установите соответствие между выражениями, запи&
санными в левом столбце, и их значениями, записан&
ными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
10.Чему равно значение cos 2
, если cos 2 = ?
11.Установите соответствие между выражениями, запи&
санными в левом столбце, и их значениями при
=,
записанными в правом столбце.
АБВ Г
ВЫРАЖЕНИЯ ЗНАЧЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ
А) sin 1)
Б) cos 240
2) –
В) cos
3)
Г) sin 300
4) –
АБВ Г
ВЫРАЖЕНИЯ ЗНАЧЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ
А) 2 sin
cos 1)
Б) cos
2 – sin 2 2) –
В) 1 – 2cos
2 3)
Г)
4)
2
2
3
1
2
1
2
5
3 3
2
3
2
3
8
12
3
2
3
2
1
2
2tg
1tg 2 3
3

124 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
12.Известно, что sin
– cos = 0,4. Найдите значение
выражения 1 – sin 2
.
13.Установите соответствие между выражениями, запи&
санными в левом столбце, и тождественно равными
им выражениями, записанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
14.Установите соответствие между выражениями, запи&
санными в левом столбце, и их значениями, записан&
ными в правом столбце.
АБВ Г
А)
1) 2cos 2
Б)
2) 2cos 3
В)
3) –2sin 5
Г)
4) 2sin 2
АБВ Г
ВЫРАЖЕНИЯЗНАЧЕНИЯ
ВЫРАЖЕНИЙ
А) tg1)
Б) cos2) 0
В) cos3) –
Г) sin 4)
4 sin
2
sin
5 sin sin
3 cos
4 cos 2 cos
cos
7 cos 3 cos
2 sin
arc 3
2 cos 1
2
arc 3
2 sin
arc 3
2 sin a r c 3
2 cos 1
2
arctg 3
3 3
3

§ 7. Формулы тригонометрии... 125
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
Часть 2
15.Упростите выражение (1 + tg
)2 + (1 – tg )2.
16.Упростите выражение ctg
+ .
17.Упростите выражение .
18.Вычислите значение выражения
.
19.Упростите выражение .
20.Упростите выражение
cos cos (
– ) + sin sin ( + ).
21.Чему равно значение выражения sin (2
– 3 ), если
sin
= –0,6 и < < ?
22.Упростите выражение .
23.Упростите выражение .
24.Упростите выражение .
25.Упростите выражение
26.Упростите выражение (1 + cos ( + 2 )) tg .
АБВ Г
sin
1
cos
2cos 2 45 cos
245sin 2 sin
43 17 cos cos 43 sin 17 sin
37 sin 23 cos 37 cos 23 sin
2sin cos sin
cos 2 sin sin
2
3
2
3
2
3 sin
sin
3 cos
cos
2 2 cos t g
2 cos 2 sin
3 sin sin 2 2 sin
3 cos cos 2 2 cos
8 sin 2 sin 2 cos 8 cos
16 cos
3
2

126 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
27.Найдите наибольшее значение выражения
12sin
– 5cos .
28.Упростите выражение ,
если <
< .
29.Докажите тождество
(sin
+ sin )2 + (cos + cos )2 =4cos 2 .
30.Докажите тождество:
=
= –sin 4
.
31.Упростите выражение
32.Докажите тождество = tg 4 .
33.Вычислите значение выражения
sin 20
cos 70 + sin 2110 cos 2250 + sin 2290 cos 2340 .
34.Докажите тождество
cos
2 – cos 2 = sin 4 .
35.Докажите тождество
cos
2 + cos 2 – cos ( + )cos( – ) =1.
36.Докажите, что
cos + cos + cos + ... + cos = .
37.Докажите, что arctg + arctg = .
38.Найдите значение выражения tg .ctg
2 tg 2 2 cos t g 2
4 2
2
3 sin3 2 cos 2 3 sin cos
1 2 cos
22 2 cos 1
2ctg 4 2 4 2 2 cos
22 sin 4 2 sin
22 sin 4 2 sin 4
4 2 4 2
19
3
19
5
19
17
19
1
2
1
3 1
2
4
1
2arc 5
13 sin

§ 8. Логарифмы 127
§ 8. Логарифмы
8.1. Логарифм числа
Логарифмом положительного числа b по основанию a,
где a > 0 и a
1, называют показатель степени, в которую
надо возвести число a, чтобы получить число b.
Например:
log
2 = –3, так как 2 –3 = ;
log
255 = , так как = 5;
log
1717 = 1, так как 17 1 = 17;
log
100 1 = 0, так как 100 0 = 1.
Из определения логарифма следует, что при a > 0, a
1
и b > 0 выполняется равенство
.
Его называют основным логарифмическим тождест#
вом.
Например, ; .
Также из определения логарифма следует, что при a > 0
и a
1
log
a1 = 0;
log
aa = 1.
Логарифм по основанию 10 называют десятичным ло#
гарифмом. Вместо log
10b пишут lgb.
Используя это обозначение и основное логарифми&
ческое тождество, для каждого b > 0 можно записать:
10
lgb = b.
З а д а ч а 1. Вычислите значение выражения:
1) 10
2 + 2lg7 ; 2) .
1
8 1
8
1
2 25
1
2
a ba log b
7 37 log 3 03 503 log 5
9 4053 log

128 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Р е ш е н и е. 1) Применяя свойства степени и основное
логарифмическое тождество, получаем:
10
2 + 2lg7 = 10 2 10 2lg7 = 100 (10 lg7 )2 = 100 72 = 4900.
2) Имеем: = = : (3 2)0,5 =
= : 3 = 4 2 : 3 = .
З а д а ч а 2. Постройте график функции
f(x) = .
Р е ш е н и е. Данная функ&
ция определена на множест&
ве D(f)=(3; +
). Так как
= x – 3 для всех
значений x
D(f), то прихо&
дим к выводу, что графиком
функции f является часть
прямой y = x – 3 (рис. 8.1).
8.2. Свойства логарифмов
1. Если x > 0, y > 0, a > 0 и a 1, то выполняется ра&
венство
log
axy = log ax + log ay.
Коротко формулируют: логарифм произведения ра&
вен сумме логарифмов.
2. Если x > 0, y > 0, a > 0 и a
1, то выполняется ра&
венство
log
a = log ax – log ay.
Коротко формулируют: логарифм частного равен раз&
ности логарифмов.
3. Если x > 0, a > 0 и a
1, то для любого R выпол&
няется равенство
log
ax = log ax.
9 4053 log 32 4053 log 32 43 log
3 43 log 2 16
3
5 x35 log
Рис. 8.1
5 x35 log
x
y

§ 8. Логарифмы 129
4. Если a > 0, a 1, b > 0, c > 0, с 1, то выполняется
равенство
log
ab = .
5. Если a > 0, a
1, b > 0, b 1, то выполняется ра&
венство
log
ab = .
6. Если a > 0, a
1, b > 0, то для любого 0 выпол&
няется равенство
= log
ab.
З а д а ч а 1. Вычислите значение выражения:
1) log
220 + log 212 – log 215; 2) log 369 + log 368.
Решение. 1) Имеем:
log
220 + log 212 – log 215 = log 2(20 12) – log 215 =
=log
2 = log 216 = 4.
2) Имеем: log
369 + log 368 = log 3632 + log 3623 =
=
2log 363 + 3log 362 = log 363 + log 362 = log 366 = .
З а д а ч а 2. Известно, что lg 2 = a, log
27 = b. Найдите
lg 56.
Р е ш е н и е. Имеем: lg 56 = lg (8
7) = lg 8 + lg 7 =
= lg2
3 + = 3 lg2 + log 27 lg 2 = 3a + ab.
Примеры заданий № 11
Часть 1
1.Найдите значение выражения log
3 .
bc log
a
c log
1
a
b log
ba log 1
1
2 1
3
20 12
15
1
2 1
3 1
2 1
3
1
2 1
3 1
2
72 log
10
2 log
1
27

130 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
2.Вычислите значение выражения log 0,4 .
3.Чему равно значение выражения lg(sin
2x + cos 2x)?
4.Вычислите значение выражения .
5.Чему равно значение выражения log
736 + 2log 7 ?
6.Вычислите значение выражения log
2640 – log 25.
7.Чему равно значение выражения log
5(25b), если
log
5b= 5?
8.Вычислите значение выражения
.
9.Вычислите значение выражения .
10.Найдите значение выражения .
11.Чему равно значение выражения ?
12.Вычислите значение выражения .
13.Вычислите значение выражения log
2 .
Часть 2
14.Чему равно значение выражения ?
15.Вычислите значение выражения .
16.Найдите значение выражения .
17.Чему равно значение выражения log
4log 9 ?
18.Найдите значение выражения .2
6 sin
3 116 log 2 116 log
7
6
122 log 3 2 log 9 89 log lg3
121 911 log
125 1002 log
83 log 3 2 log
32 6 log 27 6 log
1288 log 2 8 log
35 log
9
5 log
81
1
2 129 log
623 6 log
5
43 5 log1
2 45 log
25
2
5
3 log
814
5 2lg196 2lg2 lg7

§ 9. Функции 131
19.Известно, что log 52 = a, log 53 = b. Выразите log 34
через a и b.
20.Известно, что log
ab = 3. Найдите значение выраже&
ния log
abb.
21.Вычислите значение выражения
log
45 log 56 log 67 log 732.
22.Изобразите на координатной плоскости множество
точек, координаты которых (x;y) удовлетворяют ра&
венству log
2xy = log 2(–x) + log 2(–y).
§ 9. Функции
9.1. Понятие функции. Область определения
и область значений функции
В повседневной жизни нам часто приходится наблю&
дать процессы, в которых изменение одной величины
(независимой переменной) влечёт за собой изменение
другой величины (зависимой переменной).
Пусть X — множество значений независимой пере&
менной, Y — множество значений зависимой перемен&
ной. Функция — это правило, с помощью которого по
каждому значению независимой переменной из множе&
ства X можно найти единственное значение зависимой
переменной из множества Y.
Другими словами: функция — это правило, которое
каждому элементу множества Х ставит в соответствие
единственный элемент множества Y.
Например, пусть X — множество учащихся вашего
класса, Y — множество, элементами которого являются
дни недели. Каждому учащемуся поставим в соответ&
ствие день недели, в который он родился. Описанное пра&
вило позволяет по каждому элементу множества X найти
единственный элемент множества Y. Следовательно, это
правило является функцией.

132 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Обычно независимую переменную обозначают буквой x,
зависимую — буквой y, функцию (правило) — буквой f.
Если переменная y функционально зависит от перемен&
ной x, то этот факт обозначают так: y = f(x) (читают: «иг&
рек равен эф от икс»).
Независимую переменную ещё называют аргументом
функции.
Все значения аргумента образуют множество, которое
называют областью определения функции. Так, в приве&
дённом выше примере областью определения функции
является множество учащихся класса. Область опреде&
ления функции f обозначают так: D(f).
Значение зависимой переменной ещё называют значе#
нием функции. Значение функции f, которое соответ&
ствует значению х
0 аргумента х, обозначают f(x 0). На&
пример, f(7) — это значение функции при x = 7.
Запись f(a)=b означает, что значению a аргумента со&
ответствует значение b функции.
Все значения зависимой переменной образуют мно&
жество, которое называют областью значений функции.
Так, в приведённом выше примере областью значений
функции является множество дней недели. Область зна&
чений функции f обозначают так: Е(f).
9.2. Способы задания функции
Функцию считают заданной, если указаны её область
определения и правило, с помощью которого можно по
каждому значению независимой переменной найти зна&
чение зависимой переменной.
Функцию можно задать одним из следующих способов:
описательно;
с помощью формулы;
с помощью таблицы;
графически.
Вам не раз приходилось формулировать различные
правила. Поскольку функция — это правило, то её мож&

§ 9. Функции 133
но задать словами. Такой способ задания функции назы&
вают описательным.
Рассмотрим такой пример. Пусть независимая пере&
менная принимает любые значения. Значения зависи&
мой переменной находим по следующему правилу: каж&
дое значение независимой переменной умножим на два
и из полученного произведения вычтем единицу. Оче&
видно, что таким способом значение зависимой пере&
менной находится однозначно. Следовательно, мы зада&
ли некоторую функцию f, областью определения кото&
рой является множество действительных чисел. Напри&
мер, f(2) = 2
2 – 1 = 3, f = 2 – 1 = 0, f(–13,4) =
=(–13,4)
2 – 1 = –27,8 и т. п.
Рассмотрим самый распространённый способ задания
функции: задание функции с помощью формулы.
Если в рассмотренном выше примере независимую пере&
менную обозначить буквой
x, а зависимую — буквой y, ука&
зать область определения — множество действительных чи&
сел, то формула
y=2 x– 1 задаёт вышеописанную функцию.
Если функция задана формулой и при этом не ука&
зана область определения, то считают, что областью оп&
ределения функции является область определения выра&
жения, входящего в формулу. Например, если функция
задана формулой f(x) = , то её областью определе&
ния является область определения выражения , т. е.
промежуток (1; +
).
Рассмотрим функцию f(x) = x – 2x
2, областью определе&
ния которой является множество –1; 0; ; 1; 3 . Имеем:
f(–1) = –3; f(0) = 0; f = 0; f(1) = –1; f(3) = –15.
1
2 1
2
1
x1
1
x1
1
2 3
1
2

134 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Полученные результаты занесём в таблицу:
Множество чисел, записанных в первой строке этой
таблицы, является областью определения данной функ&
ции f. Таблица позволяет по указанному значению аргу&
мента найти соответствующее значение функции. Следо&
вательно, эта таблица — ещё один способ задания функ&
ции f. Его называют табличным.
Этот способ удобно использовать в тех случаях, когда
область определения функции представляет собой мно&
жество, состоящее из нескольких чисел.
9.3. График функции. Чтение графиков функций,
отображающих реальные процессы
Графиком функцииf называют геометрическую фигу&
ру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной
плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента,
а ординаты — соответствующим значениям функции f.
Если какая&то фигура является графиком функции f,
то выполняются два условия:
1) если x
0 — некоторое значение аргумента, а f(x 0) —
соответствующее значение функции, то точка с коорди&
натами (x
0; f(x 0)) обязательно принадлежит графику;
2) если ( x0; y0) — координаты произвольно выбранной
точки графика
, то x0 и y0 — соответствующие значения неза&
висимой и зависимой переменных функции
f, т. е. y0=f (x0).
Графиком функции не обязательно является линия.
На рисунке 9.1 изображён график функции, заданной
таблицей:
Он состоит из двух точек.
x –1 0 1 3
f(x) –3 0 0 –1 –15
x 1–2
y 30
1
2

§ 9. Функции 135
Рассмотрим пример построения графика функции,
заданной описательно.
Область определения данной функции — множество
действительных чисел. Для каждого положительного ар&
гумента значение функции равно 1; для каждого отрица&
тельного аргумента значение функции равно –1; если ар&
гумент равен нулю, то значение функции равно нулю.
График этой функции изображён на рисунке 9.2. Он
состоит из трёх частей: точки O(0; 0) и двух лучей, у
каждого из которых «выколото» начало.
Не всякая фигура, изображённая на координатной
плоскости, может являться графиком функции. Напри&
мер, окружность не может являться графиком функции,
потому что по заданному значению переменной x не всегда
однозначно находится значение переменной y (рис. 9.3).
Рис. 9.1 Рис. 9.2
y
x x 1
y1
y2
x
0x 0
f(x 0) y
Рис. 9.3 Рис. 9.4

136 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Фигура, изображённая на координатной плоскос&
ти, может являться графиком функции, если любая пря&
мая, перпендикулярная оси абсцисс, имеет с этой фигу&
рой не более одной общей точки. Пусть Х — множество
абсцисс точек такой фигуры. Можно говорить, что эта
фигура задаёт функцию с областью определения Х. Та&
кой способ задания функции называют графическим.
Если функция f задана графически, то значение
функции по заданному значению x
0 аргумента можно
найти по следующему правилу: через точку (x
0; 0) про&
вести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, а затем
найти ординату точки пересечения этой прямой с графи&
ком. Найденная ордината равна f(x
0) (рис. 9.4).
Рисунок, схема, фотография какого&то объекта или
процесса дают о нём наглядное представление. Ту же
роль играет для функции её график. Так, изучая график
функции, изображённый на рисунке 9.5, можно, напри&
мер, найти:
1) область определения функции: множество таких
чисел x, что –3
 x  6;
2) область значений функции: множество таких чисел y,
что –2
 y  4;
x 0 y –3
–24
1
16
Рис. 9.5

§ 9. Функции 137
3) значения аргумента, при которых значение функ&
ции равно нулю: x = –3 или x = 1;
4) значения аргумента, при которых функция прини&
мает положительные значения: множество таких чисел x,
что 1 6;
5) значения аргумента, при которых функция прини&
мает отрицательные значения: множество таких чисел x,
что –3 На рисунке 9.6 изображён график изменения темпе&
ратуры раствора во время химического опыта. С помо&
щью этого графика можно, например, установить:
1) какой была начальная температура раствора (от&
вет: 10
);
2) какой была температура раствора через 30 мин после
начала опыта (ответ: 30
); через полтора часа (ответ: 15 );
3) какой была самая высокая температура раствора и
через сколько минут после начала опыта (ответ: 45
че&
рез 60 мин);
4) через сколько минут после начала опыта температура
раствора была 35
С (ответ: через 40 мин и через 70 мин).
0
50
10 20 30 40
20 40 60 80 100Время,
мин
Температура,
°С
Рис. 9.6

138 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
9.4. Нули функции. Промежутки знакопостоянства.
Возрастание и убывание функции
На рисунке 9.7 изображён график некоторой функ&
ции y=f(x).
Её областью определения является промежуток [–4; 7],
а областью значений — промежуток [–4; 4].
Значение аргумента, при котором значение функции
равно нулю, называют нулём функции.
Так, числа –3, 1, 5 являются нулями данной функции f.
Для нахождения нулей функции y=f(x) надо решить
уравнениеf(x) =0.
Промежуток, на котором функция принимает значе&
ния одного знака, называют промежутком знакопосто#
янства функции f.
Например, на промежутках [–4; –3) и (1; 5) данная
функция f принимает положительные значения, а на
промежутках (–3; 1) и (5; 7] — отрицательные (рис. 9.7).
x
0 y –4 –3 –1
–4–2 3 4
3 157
Рис. 9.7

§ 9. Функции 139
Для нахождения промежутков знакопостоянства функ&
ции y=f(x) надо решить каждое из неравенств f(x) > 0 и
f(x) < 0.
З а м е ч а н и е. При поиске промежутков знакопосто&
янства функции принято указывать промежутки макси&
мальной длины, на которых функция обладает указан&
ным свойством. Например, промежуток (–2; –1) являет&
ся промежутком знакопостоянства функции f (рис. 9.7),
но в ответ следует включить промежуток (–3; 1), содер&
жащий промежуток (–2; –1).
Функцию f называют возрастающей на некотором
промежутке, если для любых двух значений аргумента
x
1 и x 2 из этого промежутка таких, что x 2 > x 1, выпол&
няется неравенство f(x
2) > f(x 1).
Например, функция f (рис. 9.7) возрастает на проме&
жутке [–1; 3].
Функцию f называют убывающей на некотором про#
межутке, если для любых двух значений аргумента x
1 и
x
2 из этого промежутка таких, что x 2 > x 1, выполняется
неравенство f(x
2) < f(x 1).
Например, функция f (рис. 9.7) убывает на каждом из
промежутков [–4; –1] и [3; 7].
Часто используют и такие формулировки.
Функцию называют возрастающей на некотором про#
межутке, если для любых значений аргумента из этого
промежутка большему значению аргумента соответству&
ет большее значение функции.
Функцию называют убывающей на некотором проме#
жутке, если для любых значений аргумента из этого про&
межутка большему значению аргумента соответствует
меньшее значение функции.
Если функция возрастает на всей области определения,
то её называют возрастающей. Если функция убывает на
всей области определения, то её называют убывающей.
В задачах на поиск промежутков возрастания и убы&
вания функции принято указывать промежутки макси&
мальной длины.

140 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
9.5. Чётные и нечётные функции
Функцию f называют чётной, если для любого x из об&
ласти определения выполняется равенство f(–x)=f(x).
Функцию f называют нечётной, если для любого x из об&
ласти определения выполняется равенство f(–x)=–f(x).
Например, функция f(x)=x
2 — чётная, а функция
g(x)=x
3 — нечётная.
Выполнение равенства f(–x)=f(x) или равенства
f(–x)=–f(x) для любого x
D(f) означает, что область оп&
ределения функции f имеет такое свойство: если
x
0 D(f), то –x 0 D(f). Такое множество называют сим#
метричным относительно начала координат.
Ось ординат является осью симметрии графика
чётной функции.
Начало координат является центром симметрии
графика нечётной функции.
Задача 1. Докажите, что функция f(x)=x
3–x яв&
ляется нечётной.
Решение.
Так как D(f)= R, то область определения
функции
f симметрична относительно начала координат.
Для любого x D(f) имеем: f(–x)=(–x) 3–(–x) =
=–x
3+x=–f(x).
Следовательно, функция f — нечётная.
З а д а ч а 2. Исследуйте на чётность функцию
f(x) = + .
Р е ш е н и е. Имеем: D(f)=(–
; –1)  (–1; 1)  (1; + ).
Следовательно, область определения функции f сим&
метрична относительно начала координат.
Для любого x
D(f) имеем:
f(–x) = + = + = f(x).
Следовательно, функция f — чётная.
x2
1x
x2
1x
x 2
1x
x 2
1x
x2
1x
x2
1x

§ 9. Функции 141
9.6. Периодические функции
Функцию f называют периодической, если существу&
ет такое число T
0, что для любого x из области опреде&
ления функции f выполняются равенства
f(x–T)=f(x)=f(x+T).
Число T называют периодом функции f.
Выполнение записанных равенств для любого x из
области определения означает, что область определения
периодической функции f имеет такое свойство: если
x
0 D(f), то (x 0–T) D(f) и (x 0+T) D(f).
Если функция f имеет период T, то любое число вида
nT, где n
Z, n 0, также является её периодом.
Если среди всех периодов функции f существует наи&
меньший положительный период, то его называют глав#
ным периодом функции f.
Главным периодом функций y=sinx и y=cosx яв&
ляется число 2
; главным периодом функций y=tgx и
y=ctgx является число
.
Главным периодом функций y = sin (kx + b) и
y=cos(kx + b), где k
0, является число ; главным пе&
риодом функций y = tg (kx + b) и y = ctg (kx + b), где k
0,
является число .
З а д а ч а. Найдите значение выражения: 1) sin 660
;
2) sin ; 3) tg 135
.
Решение. 1)sin660
=sin(720 –60 )=
= sin (– 60
+360 2) = sin (–60 )=–sin60 = .
2) sin = –sin = –sin =
= –sin = –sin = – .
3) tg 135
=tg(–45 +180 )=tg(–45 )=–1.
2
k
k
13
3
3
2
13
3
13
3 4 3
22 3 3
3
2

142 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
9.7. Точки максимума и точки минимума функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
Ограниченные функции
Промежуток (a; b), содержащий точку x 0, называют
окрестностью точки x
0.
Точку x
0 называют точкой максимума функции f, если
существует окрестность точки x
0 такая, что для всех x из
этой окрестности выполняется неравенство f(x
0)  f(x).
Например, точка x
0 = является точкой максимума
функции y = sinx (рис. 9.8). Пишут: x
max =.
На рисунке 9.9 изображены графики функций, для
которых x
0 является точкой максимума, т. е. x max = x 0.
Точку x
0 называют точкой минимума функции f, если
существует окрестность точки x
0 такая, что для всех x из
этой окрестности выполняется неравенство f(x
0)f(x).
2
2
Рис. 9.8
Рис. 9.9

§ 9. Функции 143
Например, точка x 0 = – является точкой минимума
функции y = sinx (рис. 9.8). Пишут: x
min = – .
На рисунке 9.10 изображены графики функций, для
которых x
0 является точкой минимума, т. е. x min = x 0.
Точки максимума и минимума имеют общее назва&
ние: их называют точками экстремума функции (от ла&
тинского extremum — крайний).
На рисунке 9.11 изображён график
некоторой функции f, которая на про&
межутке [x
1; x 2] является константой.
Точка x
1 является точкой максимума,
точка x
2 — минимума, а любая точка
интервала (x
1; x 2) является одновре&
менно как точкой максимума, так и
точкой минимума функции f.
Число f(x0) называют наибольшим значением функции f
на множестве M D(f), если существует такое число x0 M ,
что для всех
x M выполняется неравенство f(x0)  f(x).
Обозначают:
Число f(x
0) называют наименьшим значением функ#
ции f на множестве M
D(f), если существует такое чис&
ло x
0 M, что для всех x M выполняется неравенство
f(x
0)  f(x).
2
2
Рис. 9.10
Рис. 9.11
max f(x) = f(x 0). M

144 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Обозначают:
Для функции и множества M=[0;4] име&
ем: (рис. 9.12).
Для функции и множества M=[–1;2] име&
ем: (рис. 9.13).
Если c — некоторое число и f(x)= c для любого x M ,
то число c является и наибольшим и наименьшим значе&
ниями функции f на множестве M.
Если функция f возрастает на промежутке [a;b], то
(рис. 9.14).
Если функция f убывает на промежутке [a; b], то
(рис. 9.15).min f(x) = f(x
0). M
fx x
min f(x) = f(0) = 0,[0; 4] max f(x) = f(4) = 2 , [0; 4]
fx x
min f(x) = f(0) = 0,[–1; 2] max f(x) = f(2) = 2,[–1; 2]
Рис. 9.12 Рис. 9.13
min f(x) = f(a),[a;b] max f(x) = f(b)[a;b]
min f(x) = f(b),[a;b] max f(x) = f(a)[a;b]
Рис. 9.14 Рис. 9.15

§ 9. Функции 145
Функцию f называют ограниченной, если существует
число М такое, что для любого x
D(f) выполняется не&
равенство |f(x)|
 M.
Функции y = sinx и y = cosx являются ограниченны&
ми, а функции y = tg x и y = ctg x ограниченными не яв&
ляются.
9.8. Обратная функция
Функцию y=f(x) называют обратимой, если для лю&
бого y
0 E(f) существует единственное x 0 D(f) такое,
что y
0=f(x 0).
Функции y=x, y= , y= являются примерами
обратимых функций (рис. 9.16).
Функция y=x
2 не является обратимой. Например,
значению функции, равному 4, соответствуют два значе&
ния аргумента x
1=–2 и x 2=2.
Если функция является возрастающей (убываю&
щей), то она обратима.
Функции f и g называют взаимно обратными, если:
1) D(f)=E(g) и E(f)=D(g);
2) для любого x
0 D(f) из равенства f(x 0)=y 0 следует,
что g(y
0)=x 0, т. е. g(f(x 0)) =x 0.
Также говорят, что функция g является обратной к
функции f, а функция f — обратной к функции g.
1
x x
Рис. 9.16

146 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Если функция f не является обратимой, то не су&
ществует функции, обратной к ней. Любая обратимая
функция имеет обратную.
З а д а ч а. Найдите функцию, обратную к функции
y=2x–1.
Р е ш е н и е. Чтобы задать функцию, обратную дан&
ной, надо указать правило, позволяющее по каждому
значению переменной y найти такое значение пере&
менной x, что y=2x– 1. Для этого в записанном ра&
венстве выразим переменную х через переменную y.
Имеем: 2x=y+1; x= .
Последнее равенство задаёт функцию с аргументом y
и зависимой переменной x.
Традиционно независимую переменную обозначают
буквой x, а зависимую — буквой y. Придерживаясь
таких обозначений, можно сказать, что мы получили
функцию, которая задаётся формулой y= . Она и
является искомой.
Графики взаимно об&
ратных функций симмет&
ричны относительно прямой
y=x (рис. 9.17).
Если функция f являет&
ся возрастающей (убываю&
щей), то обратная к ней функ&
ция g является также возрас&
тающей (убывающей).
9.9. Преобразования графиков функций
1. График функции y=kf(x) можно получить, заме&
нив каждую точку графика функции y=f(x) на точку с
той же абсциссой и с ординатой, умноженной на k.
y1
2
x1
2
Рис. 9.17

§ 9. Функции 147
На рисунках 9.18, 9.19 показано, как построить гра&
фики функций y = и y = .
2. График функции y = f(kx), где k > 0, можно полу&
чить, заменив каждую точку графика функции y = f(x)
на точку с той же ординатой и с абсциссой, разделённой
на k.
На рисунке 9.20 показано, как построить графики
функций и y = .
1
3 x 3
x
Рис. 9.18
Рис. 9.19
y2x x
2

148 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
3. График функции y=f(x)+b можно получить в ре&
зультате параллельного переноса графика функции
y=f(x) вдоль оси ординат на b единиц вверх, если b>0,
и на –b единиц вниз, если b<0.
На рисунках 9.21, 9.22 показано, как построить гра&
фики функций и y= – 1.
4. График функции y=f(x+a) можно получить в ре&
зультате параллельного переноса графика функции
y=f(x) вдоль оси абсцисс на a единиц влево, если a>0,
и на –a единиц вправо, если a<0.
На рисунках 9.23, 9.24 показано, как построить гра&
фики функций и y = .
Рис. 9.20
yx3 1
x
Рис. 9.21
yx3 1
x1

§ 9. Функции 149
Рис. 9.22
Рис. 9.23
Рис. 9.24

150 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
5. Построение графика функции y=|f(x) | можно про&
водить так:
1) ту часть графика функции y=f(x), точки которой
имеют неотрицательные ординаты, оставить без измене&
ний;
2) построить фигуру, симметричную относительно
оси абсцисс той части графика функции y=f(x), точки
которой имеют отрицательные ординаты.
Объединение этих двух построенных фигур и составит
график функции y=|f(x)|.
На рисунке 9.25 показано, как с помощью графика
функции y=(x–1)
2– 2 построен график функции
y=|(x – 1)
2–2|.
6. Построение графика функции y = f(|x|) можно про&
водить так:
1) построить ту часть графика функции y=f(x), точки
которой имеют неотрицательные абсциссы;
2) построить фигуру, симметричную полученной от&
носительно оси ординат.
Объединение двух построенных фигур является гра&
фиком функции y=f(|x|).
На рисунке 9.26 показано, как с помощью графика функ&
ции y=(x–2) 2 построен график функции y=(|x|–2) 2.
Рис. 9.26 Рис. 9.25

§ 9. Функции 151
9.10. Линейная функция
Функцию, которую можно задать формулой вида
y=kx+b, где k и b — некоторые числа, x — независимая
переменная, называют линейной.
Примеры линейных функций: y = –2x +1; y = 1 – x;
y = 5x; y = 2.
Областью определения и областью значений ли&
нейной функции является множество R.
Графиком линейной функции является прямая. Эта
прямая не может быть вертикальной, т. е. прямой, пер&
пендикулярной оси абсцисс, так как вертикальная пря&
мая не может служить графиком функции.
Поскольку прямая однозначно задаётся любыми
двумя своими точками, то для построения графика ли&
нейной функции достаточно выбрать два произвольных
значения аргумента и составить таблицу значений функ&
ции, имеющую лишь два столбца.
Задача. Постройте график функ&
ции y=–3x+2.
Решение. Составим таблицу зна&
чений данной функции для двух
произвольных значений аргумента:
Отметим на координатной плоскос&
ти точки (0; 2) и (1; –1) и проведём
через них прямую (рис. 9.27). Эта прямая является
графиком линейной функции y=–3x+2.
Если k > 0, то линейная функция y=kx+b являет&
ся возрастающей; если k < 0, то линейная функция
y=kx+b является убывающей. Например, функция
y=–3x+2 является убывающей.
Если k = 0, то линейная функция принимает вид y=b.
Эта функция не является ни возрастающей, ни убываю&
x01
y2–1
Рис. 9.27

152 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
щей. Она принимает постоянное значение, равное b. Та&
кую функцию называют стационарной.
Графиком функции y= 0 является ось абсцисс. Гра&
фиком функции y=b, где b
0, является прямая, парал&
лельная оси абсцисс.
9.11. Функция y = , где k 0
Функцию, которую задают формулой y = , где k 0,
называют обратной пропорциональностью.
Областью определения и областью значений обрат&
ной пропорциональности является множество (–
;0) 

(0; + ).
Фигуру, являющуюся графиком функции y = , где
k
0, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух
частей — ветвей гиперболы. На рисунке 9.28 изображе&
на гипербола y = , где k> 0; на рисунке 9.29 изображе&
на гипербола y = , где k<0.
Если k> 0, то ветви гиперболы расположены в I и
ІІІ четвертях, а если k< 0 — то во ІІ и ІV четвертях.
С увеличением модуля абсциссы расстояние от точки
графика функции y = до оси абсцисс уменьшается и
может стать сколь угодно малым, но никогда не будет
равным нулю. Действительно, чем больше модуль аргу&
мента, тем меньше модуль соответствующего значения
функции.
Аналогично с уменьшением модуля абсциссы рассто&
яние от точек графика до оси ординат уменьшается и мо&
жет стать сколь угодно малым, но никогда не будет рав&
ным нулю.
Если k>0, то функция y = убывает на каждом из
промежутков (–
;0) и (0;+ ) (рис. 9.28). k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x

§ 9. Функции 153
Если k<0, то функция y = возрастает на каждом
из промежутков (–
; 0) и (0; + ) (рис. 9.29).
k
x
0
1x y
1
y = k
, k > 0 x–
0
1x y
1
y = k
, k < 0 x–
Рис. 9.28
Рис. 9.29

154 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
9.12. Квадратичная функция
Функцию, которую можно задать формулой вида
y=ax
2+bx+c, где x — независимая переменная, a, b и
c — некоторые числа, причём a
0, называют квадра#
тичной.
Рассмотрим частный случай квадратичной функции,
когда b = c = 0. Имеем: y=ax
2.
На рисунке 9.30 изображены графики функций
y=ax
2 при некоторых значениях a. Каждый из этих гра&
фиков называют параболой. Точка (0; 0) является вер#
шиной каждой из этих парабол. Вершина параболы де&
лит её на две симметричных относительно оси ординат
фигуры. Эти фигуры называют ветвями параболы.
Если a> 0, то ветви параболы направлены вверх, если
a< 0, то ветви параболы направлены вниз.
Графиком квадратичной функции y=ax
2 + bx + c
является парабола, равная параболе y=ax
2.
Вершина параболы y=ax
2 + bx + c расположена
в точке с абсциссой x = – .
Ветви параболы y=ax
2 + bx + c направлены так
же, как и ветви параболы y=ax
2: если a> 0, то ветви па&
раболы направлены вверх, если a< 0, то ветви параболы
направлены вниз.
Количество нулей квадратичной функции опре&
деляется количеством корней квадратного трёхчлена
ax
2+ bx + c: если D< 0, то квадратичная функция нулей
не имеет; если D= 0, то квадратичная функция имеет
один нуль; если D> 0, то квадратичная функция имеет
два нуля.
Общее представление о графике квадратичной функ&
ции дают координаты вершины параболы и направление
её ветвей. Это представление будет тем полнее, чем боль&
ше точек, принадлежащих графику, мы будем знать.
b
2a

§ 9. Функции 155
График квадратичной функции можно построить
по такой схеме:
1) найти абсциссу вершины параболы по формуле
x
0=– ;
0
1x y
1
y = 3x
2
y =
x
2
y = 1,5x
2
y = 0,1x
2
y = –1
x
2
4–
y = –3x
2
y = –x
2
y = –1,5x
2
y = –0,1x
2
y = 1
x
2
4–
Рис. 9.30
b
2a

156 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
2) найти ординату вершины параболы по формуле 1
y0= = –, где D — дискриминант квадратного
трёхчлена ax
2+bx+c, и отметить на координатной
плоскости вершину параболы;
3) определить направление ветвей параболы;
4) найти координаты ещё нескольких точек, принад&
лежащих искомому графику (в частности, координаты
точек пересечения параболы с осью y и с осью х, если они
существуют);
5) отметить на координатной плоскости найденные
точки и соединить их плавной линией.
З а д а ч а. Постройте график функции f(x) = x
2 + 4x – 5.
Используя график функции, найдите область её зна&
чений, промежутки возрастания и убывания, проме&
жутки знакопостоянства, наименьшее и наибольшее
значения функции.
Р е ш е н и е. Данная функция является квадратичной
функцией y = ax
2 + bx + c, где a = 1, b = 4, c = –5. Её
графиком является парабола. Поскольку a > 0, то вет&
ви параболы направлены вверх.
Абсцисса вершины параболы x
0 = – = – = –2, ор&
дината вершины y
0=f(x 0) = f(–2) = 4 – 8 – 5 = –9.
Следовательно, вершина параболы — точка (–2; –9).
Найдём точки пересечения параболы с осью абсцисс:
x
2 + 4x – 5 = 0;
x
1 = –5, x 2 = 1.
1Формулу y 0 = – запоминать не обязательно. Достаточно
вычислить значение функции y=ax
2 + bx + c в точке с абсциссой
x
0=– .D
4a b
2a
4ac b 2
4a
D
4a
b
2a 4
2

§ 9. Функции 157
Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точ&
ках (–5; 0) и (1; 0).
Найдём точку пересечения параболы с осью ординат:
f(0) = –5. Парабола пересекает ось ординат в точке
(0; –5).
Отметим найденные четыре точки параболы на коор&
динатной плоскости (рис. 9.31).
Теперь понятно, что удобно найти значения данной
функции в точках –1, –3, –4 и, отметив соответству&
ющие точки на координатной плоскости, провести че&
рез все найденные точки график данной функции.
Имеем: f(–3) = f(–1) = –8; f(–4) = f(0) = –5.
Искомый график изображён на рисунке 9.32.
Область значений функции E(f) = [–9; +
).
Функция возрастает на промежутке [–2; +
) и убыва&
ет на промежутке (–
; –2].
f(x) > 0 при x < –5 или x > 1; f(x) < 0 при –5 < x < 1.
Наименьшее значение функции равно –9, наибольше&
го значения не существует.
01x y
1 –5 –2
–5
–9 0
1x y
1 –5 –2
–5
–9
Рис. 9.31 Рис. 9.32

158 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Примеры заданий № 12
Часть 1
1.Функция задана формулой f(x) =x
2 – 4. Найдите f(–3).
2.Найдите f(5), если f(x – 2) = 3
10 –x .
3.Дана функция f(x) =
Найдите f.
4.Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляют по
формуле P = I
2R, где I — сила тока (в амперах), R —
сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой,
найдите сопротивление R, если мощность тока равна
15,21 Вт, а сила тока — 1,3 А.
5.Областью определения функции y=f(x) является про&
межуток [–2; 6]. Установите соответствие между фун&
кциями, записанными в левом столбце, и их областя&
ми определения, записанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
6.Областью значений функции y=f(x) является проме&
жуток [2; 8]. Установите соответствие между функ&
циями, записанными в левом столбце, и их областя&
ми значений, записанными в правом столбце. ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
А) y=f(x – 3) 1) [–4; 4]
Б) y=f(x + 2) 2) [1; 9]
В) y= f
3) [–4; 12]
Г) y=f(| x |) 4) [–6; 6]
АБВ Г
x2, если 0  x  1,
2x – 1, если x > 1.
1
2
x
2

§ 9. Функции 159
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
7.После того как вода в чайнике закипела, его выклю&
чили. На рисунке 9.33 изображён график изменения
температуры воды в чайнике. За сколько минут тем&
пература воды снизилась с 60
до 40 ?
8.На рисунке 9.34 изображены графики движения ве&
лосипедиста (отрезок OA) и пешехода (отрезок OB).
Во сколько раз путь, который проехал велосипедист
за 2 ч, больше пути, пройденного за то же время пе&
шеходом? ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ
А) y=2f(x) 1) [1; 4]
Б) y=f(2x)2) [4; 16]
В) y= f(x)
3) [4; 10]
Г) y=f(x) + 2 4) [2; 8]
АБВ Г
1
2
0
10 20 30 40 50 60Время,
мин
Температура,
°С
100
80
60
40
20
Рис. 9.33

160 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
9.На рисунке 9.35 изображён график изменения тем&
пературы воздуха в один мартовский день. Пользу&
ясь графиком, поставьте в соответствие каждому
интервалу времени характеристику температуры
воздуха.
О1 2 3 4 5t,ч
s,км
40
30
20
10
A
B
Рис. 9.34
Температура,
°С
8
6
4
2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
–2
–4
–6
–8 Время, ч
Рис. 9.35

§ 9. Функции 161
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
10.На рисунке 9.36 изображён график движения мото&
циклиста. Пользуясь графиком, поставьте в соответ&
ствие каждому интервалу времени характеристику
движения мотоциклиста на этом интервале. ИНТЕРВАЛЫ
ВРЕМЕНИХАРАКТЕРИСТИКИ
А) 0–12 ч 1) температура повышалась
Б) 0–4 ч 2) температура понижалась
В) 12–24 ч3) температура была выше
нуля
Г) 4–18 ч4) температура была ниже
нуля
АБВ Г
0
1 2 3 4 5 6t,ч
s,км
120
90
60
30
Рис. 9.36

162 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
11.Сколько нулей имеет функция y = x
4 – x 2 – 2?
12.На рисунке 9.37 изображён график функции, опреде&
лённой на промежутке [–4; 2]. Сколько промежутков
возрастания имеет эта функция?
13.График нечётной функции проходит через точку
A(2; –7). Чему равно значение f(–2)? ИНТЕРВАЛЫ
ВРЕМЕНИХАРАКТЕРИСТИКИ
А) 0–2 ч1) мотоциклист сделал оста&
новку
Б) 2–3 ч2) мотоциклист ехал со ско&
ростью 90 км/ч
В) 3–4 ч3) мотоциклист ехал со ско&
ростью 60 км/ч
Г) 5,5–6 ч4) мотоциклист ехал со ско&
ростью 45 км/ч
АБВ Г
01
x y
1
–4 2
Рис. 9.37

§ 9. Функции 163
14.Установите соответствие между свойствами функций
и графиками, которыми заданы функции, определён&
ные на промежутке [–1; 1] и обладающие соответ&
ствующим свойством.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
А) Функция является чётной
Б) Функция является нечётной
В) Функция возрастает на промежутке [–1; 1]
Г) Функция убывает на промежутке [–1; 1]
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
15.Периодом функции y = f(x) является число 4. Чему
равно значение выражения 3f(6) – 2f(–2), если f(2) = 1?
16.Найдите cos .
17.Найдите tg (–945
).
18.Установите соответствие между функциями, запи&
санными в левом столбце, и числами, записанными в
правом столбце, которые равны главным периодам
данных функций.
АБВ Г
1) 2) 3) 4)
37
3

164 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
19.На рисунке 9.38 изображён график функции, опреде&
лённой на промежутке [–7; 7] . Сколько точек экстре&
мума имеет эта функция?
20.Установите соответствие между функциями, запи&
санными в левом столбце, и обратными к ним функ&
циями, записанными в правом столбце. ФУНКЦИИ ГЛАВНЫЕ ПЕРИОДЫ
А) y = sin 2x1) 3
Б) y = cos
2)
В) y = tg
3) 4
Г) y = ctg 3x4)
АБВ Г
x
2
x
3
3
02467
x y
1 3
–7–6
–4 –2
–2
–4
Рис. 9.38

§ 9. Функции 165
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
21.Установите соответствие между преобразованиями
графика функции y = , записанными в левом
столбце, и функциями, графики которых получены в
результате этих преобразований, записанными в пра&
вом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер. ФУНКЦИЯ ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
А) y = x + 41) y =
Б) y = 2) y = x
В) y =
3) y = x – 4
Г) y = 4x4) y =
АБВ Г
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
А) график перенесли вдоль оси x
на 4 единицы влево1) y =
Б) график перенесли вдоль оси x
на 4 единицы вправо2) y =
В) график перенесли вдоль оси y
на 4 единицы вверх 3) y =
Г) график перенесли вдоль оси y
на 4 единицы вниз4) y =
АБВ Г
14x
x
1
x4 1
4
x4
x4
4x4
x1
x
x4
x4
x4
x4

166 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
22.На рисунках изображены графики функций вида
y=kx + b. Установите соответствие между графика&
ми функций и коэффициентами k и b.
ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) k > 0, b < 0 3) k = 0, b > 0
2) k < 0, b = 0 4) k < 0, b < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
23.При каком значении k график функции y = прохо&
дит через точку A; –6 ?
24. Найдите абсциссу вершины параболы y = 0,3 x2 + 6 x – 2.
25.На рисунках изображены графики квадратичных
функций y = ax
2 + bx + c. Установите соответствие
между графиками функций и знаками коэффициен&
тов a и c.
ГРАФИКИ
АБВ Г
А) Б) В) Г)
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
k
x
2
3
А) Б) В) Г)
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0

§ 9. Функции 167
КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) a > 0, c > 0 3) a < 0, c > 0
2) a > 0, c < 0 4) a < 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
26. Найдите наименьшее значение функции y = x2 – 2 x + 19.
27.При каком значении a наибольшее значение функ&
ции y = –2x
2 – 8x + a равно 19?
Часть 2
28.Найдите область определения функции
y = + .
29.Найдите область определения функции
y = + .
30.Найдите область определения функции f(x) = .
31.График функции y = kx + b проходит через точки
C(1; 1) и D(–2; 10). Найдите значения k и b.
32.Постройте график функции y = x
2 + 2x – 3. Пользу&
ясь графиком, найдите:
а) область значений функции;
б) при каких значениях x функция принимает поло&
жительные значения.
33.Постройте график функции y =
Пользуясь графиком, укажите промежутки возраста&
ния и промежутки убывания функции.
АБВ Г
4
3x15
6
8
x6
6xx 2 3
x3
10
2x
4
, если x  –1,
1 – x, если x > –1 2
x

168 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
34.Постройте график функции y = – .
35.Постройте график функции y = и определите,
при каких значениях k прямая y=kx имеет с графи&
ком ровно одну общую точку.
36.Постройте график функции y = – 2 и опреде&
лите, при каких значениях b прямая y=b не имеет
с графиком ни одной общей точки.
37.Постройте график функции y = |x
2 + 2x – 8 |. Какое наи&
большее количество общих точек может иметь постро&
енный график с прямой, параллельной оси абсцисс?
38.Постройте график функции y = x
2 – 6|x| + 5. Какое
наибольшее количество общих точек может иметь
построенный график с прямой, параллельной оси
абсцисс?
39.Постройте график функции y = |x
2 – 2|x| – 3 |. Какое
наибольшее количество общих точек может иметь
построенный график с прямой, параллельной оси
абсцисс?
40.Постройте график функции y = x
2 – | 4x + 4 | и опре&
делите, при каких значениях b прямая y = b имеет
с графиком ровно три общие точки.
41.Постройте график функции f(x) = + 2.
42.Постройте график функции y = .
43.Постройте график функции y =
и определите, при каких значениях b прямая y = b
имеет с графиком ровно одну общую точку.
x2 8x16
x4
3xx 2
x
8x8
xx 2
x3
x2 3x
x3
x4
4
x4 3x 2 4
x2 4
, если |x| > 2,
–x
2, если |x|  2
8
x

§ 9. Функции 169
44.При каких значениях a и b график функции
y = ax 2 + bx + 1 проходит через точки C(–1; 3) и D(2; 7)?
45.Найдите координаты вершины параболы, проходя&
щей через точки A(0; –7), B(1; –2) и C(7; –14).
46.Периодическая функция y = f(x) с периодом T=8
определена на множестве действительных чисел. На
промежутке (–3; 5] функция задана формулой
f(x)=12 – x
3. Найдите f(12).
47.Какое наибольшее значение принимает функция
f(x)=6x
2 – x 4 – 6?
48.Найдите наибольшее и наименьшее значения функ&
ции y = –x
2 + 6x – 4 на промежутке [4; 5].
49.Найдите наименьшее значение функции
f(x)=x
2 + | 2x + 1 | на промежутке [–1; 0].
9.13. Степенная функция
с натуральным показателем (
y = x n, n N )
В таблице приведены свойства функции y = x n, n N.
n — чётное
натуральное числоn — нечётное
натуральное число
Область
определенияRR
Область значений [0; +
)R
Нули функцииx = 0x = 0
Промежутки
знакопостоянстваy > 0 на каждом
из промежутков
(–
; 0) и (0; + ) y < 0 на промежутке
(–
; 0),
y > 0 на промежутке
(0; +
)
Чётность Чётная Нечётная
Возрастание /
убываниеУбывает на проме&
жутке (–
; 0],
возрастает на про&
межутке [0; +
)Возрастающая

170 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
На рисунке 9.39 изображён график функции y = x n,
где n — чётное натуральное число. На рисунке 9.40 изо&
бражён график функции y = x
n, где n — нечётное нату&
ральное число, n > 1.
9.14. Функция y =
В таблице приведены свойства функции y = .
n — чётное
натуральное числоn — нечётное
натуральное число,
n > 1
Область
определения[0; + )R
Область значений [0; +
)R
Нули функцииx = 0x = 0
Промежутки
знакопостоянстваy > 0 на промежутке
(0; +
) y < 0 на промежутке
(– ; 0),
y > 0 на промежутке
(0; +
)
ЧётностьНе является ни чёт&
ной, ни нечётнойНечётная
Возрастание /
убываниеВозрастающая Возрастающая
Рис. 9.39 Рис. 9.40
xn
xn

§ 9. Функции 171
На рисунке 9.41 изображён график функции y = ,
k
N. На рисунке 9.42 изображён график функции
y=, k
N.
9.15. Функции y = sinx и y = cosx
В таблице приведены свойства функции y = sinx.
Область определенияR
Область значений [–1; 1]
ПериодичностьПериодическая с главным периодом,
равным 2
Нули функции
Числа вида n, n Z
Промежутки
знакопостоянстваsin x > 0 на каждом из промежутков
вида (2
n; + 2 n), n Z
sin x < 0 на каждом из промежутков
вида (
+ 2 n; 2 + 2 n), n Z
Чётность Нечётная
Возрастание /
убываниеВозрастает на каждом из промежутков
вида , n
Z
Убывает на каждом из промежутков
вида , n
Z
x 2k
x 2k1
Рис. 9.41 Рис. 9.42
2 2 n 2 2 n
2 2 n 3
2 2 n

172 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
На рисунке 9.43 изображён график функции y = sinx.
В таблице приведены свойства функции y = cosx.
Окончание таблицы
Наибольшее и наи&
меньшее значенияНаибольшее значение, равное 1, прини&
мает в точках вида + 2 n, n Z
Наименьшее значение, равное –1, при&
нимает в точках вида – + 2
n, n Z
Область определенияR
Область значений [–1; 1]
ПериодичностьПериодическая с главным периодом,
равным 2
Нули функцииЧисла вида + n, n Z
Промежутки
знакопостоянстваcosx > 0 на каждом из промежутков
вида , n
Z
cosx < 0 на каждом из промежутков
вида , n
Z
Чётность Чётная
2
2
Рис. 9.43
2
2 2 n 2 2 n
2 2 n 3
2 2 n

§ 9. Функции 173
На рисунке 9.44 изображён график функции y = cosx.
9.16. Функции y = tgx и y = ctgx
В таблице приведены свойства функции y = tgx.
Окончание таблицы
Возрастание /
убываниеВозрастает на каждом из промежутков
вида [ + 2 n; 2 + 2 n], n Z
Убывает на каждом из промежутков
вида [2
n; + 2 n], n Z
Наибольшее и наи&
меньшее значенияНаибольшее значение, равное 1,
принимает в точках вида 2
n, n Z
Наименьшее значение, равное –1,
принимает в точках вида
+ 2 n, n Z
Область определенияx
R | x + n, n Z
Область значенийR
ПериодичностьПериодическая с главным периодом,
равным
Нули функции Числа вида n, n Z
Промежутки
знакопостоянстваtgx > 0 на каждом из промежутков
вида , n
Z
tgx < 0 на каждом из промежутков
вида , n
Z
Рис. 9.44
2
n 2 n
2 n n

174 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
На рисунке 9.45 изображён график функции y = tgx.
В таблице приведены свойства функции y = ctgx.
Окончание таблицы
Чётность Нечётная
Возрастание /
убываниеВозрастает на каждом из промежутков
вида , n
Z
Наибольшее и наи&
меньшее значенияНаибольшего и наименьшего значений
не принимает
Область определения {x
R | x n, n Z}
Область значенийR
ПериодичностьПериодическая с главным периодом,
равным
Нули функцииЧисла вида + n, n Z
Промежутки
знакопостоянстваctgx > 0 на каждом из промежутков
вида , n
Z
ctgx < 0 на каждом из промежутков
вида , n
Z
2 n 2 n
Рис. 9.45
2
n 2 n
2 n n

§ 9. Функции 175
На рисунке 9.46 изображён график функции y = ctgx.
9.17. Показательная функция ( y = ax, a > 0, a 1)
В таблице приведены свойства функции y = a x, где
a>0, a
1.
На рисунках 9.47 и 9.48 изображены графики показа&
тельной функции для случаев a>1 и 0 ственно.
Окончание таблицы
Чётность Нечётная
Возрастание /
убываниеУбывает на каждом из промежутков
вида (
n; + n), n Z
Наибольшее и наи&
меньшее значенияНаибольшего и наименьшего значений
не принимает
Область определенияR
Область значений (0; +
)
Нули функции –
Промежутки
знакопостоянстваy > 0 на R
Возрастание /
убываниеЕсли a > 1, то функция возрастающая;
если 0 < a < 1, то функция убывающая
Рис. 9.46

176 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
9.18. Логарифмическая функция
(
y = log ax, a > 0, a 1)
В таблице приведены свойства функции y = log ax, где
a > 0, a
1.
На рисунках 9.49 и 9.50 изображены графики логарифми&
ческой функции для случаев
a > 1 и 0 < a < 1 соответственно.
Область определения (0; + )
Область значенийR
Нули функцииx = 1
Промежутки
знакопостоянстваЕсли a > 1, то y < 0 на промежутке (0; 1),
y > 0 на промежутке (1; +
);
если 0 < a < 1, то y < 0 на промежутке
(1; +
), y > 0 на промежутке (0; 1)
Возрастание /
убываниеЕсли a > 1, то функция возрастающая;
если 0 < a < 1, то функция убывающая
Рис. 9.47 Рис. 9.48
Рис. 9.49 Рис. 9.50

§ 9. Функции 177
Примеры заданий № 13
Часть 1
1.Чему равно наибольшее значение функции y = x
3 на
промежутке [–2; 2]?
2.Чему равно наименьшее значение функции y = x
4 на
промежутке [–10; –3]?
3.Установите соответствие между функциями, запи&
санными в левом столбце, и их областями значений,
записанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
4.На каком из рисунков изображён график функции
y= cos (
– x)? ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ
А) f(x) = 3sinx – 2 1) (–
; + )
Б) f(x) = 3sin
2x – 22) [–2; + )
В) f(x) = 3tgx – 2 3) [–2; 1]
Г) f(x) = 3tg
2x – 24) [–5; 1]
АБВ Г
x
0
y
1
–1
x
0
y
1
–1
2–
x
0
y
1
–1
2–
x 0
y
1
–1
1)
2)3)
4)

178 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
5.На каком из рисунков изображён график функции
y= tg ?
6.При каком значении a график функции y = 3
x прохо&
дит через точку A?
7.Какое наибольшее значение принимает функция
?
8.К каждому началу предложения, записанному в ле&
вом столбце, подберите окончание из записанных в
правом столбце, чтобы образовалось верное утверж&
дение.
2 x
x 0 y 2 –– 2 – 2– x
0 y
2 –– 2 – 2–
1)
2)3)
4)
x
0 y 2 –– 2 – 2– x
0 y 2 –– 2 – 2–
a 1
27
fx 5 x2 sin 3x 2 cos

§ 9. Функции 179
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
9.На рисунке 9.51 изображён график убывающей
функции y = f(x), определённой на множестве дей&
ствительных чисел. Сколько корней имеет уравнение
f(x) = log
4x?
10.Найдите ординату точки пересечения графика функ&
ции y = log
6(x + 6) с осью y.
11.Найдите абсциссу точки пересечения графика функ&
ции y = lg(x – 2) с осью x.
12.Найдите наибольшее целое решение неравенства
(x – 4)log
0,1 5 > 0. Если такое решение не существует,
запишите в ответе число 100. НАЧАЛО ПРЕДЛОЖЕНИЯ ОКОНЧАНИЕ
А) областью значений функции
y = 2
x – 1 является промежуток1) [0; + )
Б) функция y = 2
|x| возрастает
на промежутке2) (– ; 2)
В) функция y = 0,2
x–1 убывает
на промежутке3) (–1; + )
Г) областью значений функции
y = 2 – 0,2
x является промежуток4) (– ; + )
АБВ Г
0x y
y = f(x)
Рис. 9.51

180 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
13.Установите соответствие между функциями, запи&
санными в левом столбце, и их областями определе&
ния, записанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
14.Установите соответствие между функциями, запи&
санными в левом столбце, и их областями определе&
ния, записанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
Часть 2
15.Найдите область определения функции y = . ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
А) y = 1) (2; +
)
Б) y = 2) [2; +
)
В) y = log
2(x – 2)
3) (2; 3) (3; + )
Г) y =
4) (–
; + )
АБВ Г
ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
А) y =
1) (–
; 2)
Б) y = 2) (–
;2) (2; + )
В) y = log
0,2 (2 – x)
3) (– ; 2]
Г) y = 4) [1; 2)
АБВ Г
x23
x24
1
x2
2 log
2
2x 4
42 x
2x 02 log
x2 2x
4x1 4

§ 9. Функции 181
16.Постройте график функции f(x) = .
17.Постройте график функции f(x) = cosx – .
18.Постройте график функции f(x) = ctgx|sinx| .
19.Постройте график функции f(x) = + 1.
20.Найдите область определения функции
f(x) = .
21.При каких значениях параметра a число
является
периодом функции f(x) = ?
22.Найдите область определения функции y = log
.
23.Найдите область определения функции
f(x) = .
24.Найдите область определения функции
f(x) = .
25.Найдите область определения функции
f(x) = log
x+4 (9 – 8x – x 2).
26.Найдите область значений функции f(x) = 3
sinx .
27.Найдите область значений функции y = .
28.Постройте график функции y = .
29.Постройте график функции y = log
0,1 (–x).
30.Постройте график функции y = log
xx.
31.Постройте график функции f(x) = .
32.Постройте график функции f(x) = log
2(x – 2) log x–2 2.
33.Постройте график функции f(x) = .
x sin
x sin
x2 cos
x cos 1
x sin 4x 2
x sin
axcos
23x
x3
lg 5 4x x2
x2
x4 3x
lgx 2 1
2 x sinx cos 2
3 x3 log
3x 27
27 3 x
x2
2 log
x
2 log

182 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
34.Постройте график функции f(x) = .
35.При каких значениях параметра a функция y = f(x + a)
является чётной, если f(x) = 2
x + ?
36.При каких значениях параметра a функция
f(x) = ln является нечётной?
§ 10. Уравнения с одной переменной
10.1. Общие сведения об уравнениях
с одной переменной
Пусть заданы две функции y=f(x) и y=g(x) и постав&
лена задача найти множество значений аргумента x, при
которых значения функций f и g равны. В таком случае
говорят, что надо решить уравнение f(x)=g(x).
Корнем уравнения называют значение переменной,
обращающее уравнение в верное числовое равенство.
Решить уравнение — это значит найти множество его
корней.
Областью определения уравнения f(x)=g(x) называ&
ют множество значений переменной x, при которых име&
ют смысл обе части уравнения.
Например:
областью определения линейного уравнения, то
есть уравнения вида ax=b, является множество R;
областью определения уравнения = 0 являет&
ся множество всех действительных чисел, кроме
числа –2.
Несмотря на то, что уравнение x
2=–2 не имеет кор&
ней, его областью определения является множество R. lgx cos
4
2x
a2 x2 x
x2 4
x2

§ 10. Уравнения с одной переменной 183
Уравнения f 1(x)=g 1(x) и f 2(x)=g 2(x) называют рав#
носильными, если множества их корней равны.
Например, уравнения x
2=4 и |x|=2 являются рав&
носильными.
Множество корней каждого из уравнений x
2=–5 и
|x| = –3 является пустым, то есть множества корней этих
уравнений равны. Следовательно, по определению, эти
уравнения являются равносильными.
Если к обеим частям данного уравнения прибавить
(или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то по&
лучим уравнение, равносильное данному.
Если какое&либо слагаемое перенести из одной части
уравнения в другую, изменив при этом его знак на противо&
положный, то получим уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить (разделить) на
одно и то же отличное от нуля число, то получим уравне&
ние, равносильное данному.
Если множество корней уравнения f2(x)= g2(x) содержит
множество корней уравнения
f1(x)= g1(x), то уравнение
f2(x)= g2(x) называют следствием уравнения f1(x)= g1(x).
Например, уравнение x 2= 25 является следствием
уравнения + x
2 = 25 + .
На рисунке 10.1 определение уравнения&следствия
проиллюстрировано с помощью диаграммы Эйлера. 1
x5 1
x5
Множество корней
уравнения-следствия
Множество
корней
уравнения
Рис. 10.1

184 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Те из корней уравнения&следствия, которые не явля&
ются корнями данного уравнения, называют посторон#
ними корнями данного уравнения.
Например, уравнение (x + 2) = 0 является
следствием уравнения 2x – 1 = 0. Уравнение&следствие
имеет два корня: x
1 = , x 2 = –2, а данное уравнение име&
ет один корень x = . В этом случае корень x = –2 — по&
сторонний корень данного уравнения 2x – 1 = 0.
Так как пустое множество является подмножеством
любого множества, то следствием уравнения, не имею&
щего корней, является любое уравнение с той же пере&
менной. Например, следствием уравнения x
2=–5 явля&
ется уравнение 4x
2 + 12x + + = 47.
10.2. Линейное уравнение с одной переменной
Уравнение вида ax=b, где x — переменная, a и b —
некоторые числа, называют линейным уравнением с од#
ной переменной.
Примеры линейных уравнений: x = 7; –0,4x = 2,8;
–x = 0.
Если a
0, то, разделив обе части уравнения ax = b на a,
получим x = . Отсюда следует: если a
0, то уравнение
ax = b имеет единственный корень, равный .
Если же a = 0, то линейное уравнение приобретает такой
вид: 0x = b. Здесь возможны два случая: b = 0 или b
0.
В первом случае получаем уравнение 0x = 0. Отсюда,
если a = 0 и b = 0, то уравнение ax = b имеет бесконечно
много корней: любое число является его корнем.x
1
2
1
2
1
2
12
x 4
x2
1
2
b
a
b
a

§ 10. Уравнения с одной переменной 185
Во втором случае, когда b 0, при любом значении x
получим неверное равенство 0x = b. Отсюда, если a = 0 и
b
0, то уравнение ax = b корней не имеет.
Следующая таблица подытоживает приведённые рас&
суждения.
10.3. Квадратное уравнение
Квадратным уравнением называют уравнение вида
ax
2+bx+c=0, где x — переменная, a, b, c — некоторые
числа, причём a
0.
Числа a, b и c называют коэффициентами квадратно#
го уравнения. Число a называют первым, или старшим,
коэффициентом, число b — вторым коэффициентом,
число c — свободным членом.
Например, квадратное уравнение –2x
2+5x+3=0
имеет следующие коэффициенты: a=–2, b=5, c=3.
Квадратное уравнение, первый коэффициент которо&
го равен 1, называют приведённым.
Например, x
2 + x – 1 = 0, x 2–4=0, x 2+3x=0 —
это приведённые квадратные уравнения.
Если в квадратном уравнении ax
2+bx+c=0 хотя бы
один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое
уравнение называют неполным квадратным уравне#
нием.
Существует три вида неполных квадратных уравне&
ний.
1. При b=c=0 имеем: ax
2=0.
2. При c=0 и b
0 имеем: ax 2+bx=0.
3. При b=0 и c
0 имеем: ax 2+c=0.
Уравнение
ax=ba 0a = 0, b = 0a = 0, b 0
x =
x — любое число корней нет
b
a
2

186 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Связь между корнями неполного квадратного уравне&
ния и его коэффициентами показана в следующей таблице:
Число D=b
2–4ac называют дискриминантом квад#
ратного уравнения ax
2+bx+c=0.
Если D< 0, то квадратное уравнение корней не
имеет.
Если D=0, то квадратное уравнение имеет один
корень x = – .
Если D>0, то квадратное уравнение имеет два кор&
ня x
1 и x 2:
x
1 = , x 2 = .
Применяют также краткую форму записи: x = .
Эту запись называют формулой корней квадратного
уравнения ax
2+bx+c=0.
Если второй коэффициент квадратного уравнения пред&
ставить в виде 2k, то можно пользоваться другой форму&
лой, которая во многих случаях облегчает вычисления:
x = , где D
1=k 2 – ac.
Значения
коэффициентов b и cУравнение Корни
b=c=0
ax 2=0x=0
b
0, c=0
ax 2+bx=0x 1=0, x 2 = –
b=0, – < 0
ax
2+c=0корней нет
b=0, – > 0
ax
2+c=0x 1=, x 2 =
b
a
c
a
c
a c
a c
a
b
2a
b D
2a
b D
2a
b D
2a
k D1
a

§ 10. Уравнения с одной переменной 187
З а д а ч а. Решите уравнение:
1) x2 + 5 x – 3 = 0; 2) 5 x2 – 16 x + 3 = 0; 3) x2 – 6 x + 11 = 0;
4) –0,5x 2 + 2x – 2 = 0.
Решение. 1) D = 5
2 – 4 1 (–3) = 25 + 12 = 37.
Уравнение имеет два корня:
x
1 = ; x 2 = .
Ответ: .
2) Представим данное уравнение в виде
5x
2 + 2 (–8)x + 3 = 0 и применим формулу для урав&
нения вида ax
2+2kx+c=0:
D
1 = (–8) 2 – 5 3 = 49;
x
1 = = ; x 2 = = 3.
Ответ: ; 3.
3) D = (–6)
2 – 4 1 11 = 36 – 44 = –8 < 0.
Следовательно, уравнение не имеет корней.
О т в е т: корней нет.
4) D = 2
2 – 4 (–0,5) (–2) = 4 – 4 = 0.
Следовательно, данное уравнение имеет один корень:
x = = 2.
Ответ: 2.
10.4. Теорема Виета
Теорема Виета. Если x 1 и x 2 — корни квадратного
уравнения ax
2+bx + c=0, то
x
1 + x 2 = ; x 1x2 = .
5 37
2
5 37
2
5 37
2
87
5
1
5 87
5
1
5
2 0
1
b
a c
a

188 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Теорема Виета справедлива и тогда, когда D=0. В этом
случае считают, что x
1 = x 2 = .
Если x
1 и x 2 — корни приведённого квадратного
уравнения x
2+bx + c=0, то
x
1 + x 2 = –b,
x
1x2 = c,
то есть сумма корней приведённого квадратного уравне&
ния равна второму коэффициенту, взятому с противопо&
ложным знаком, а произведение корней равно свободно&
му члену.
Теорема, обратная теореме Виета. Если числа
и
таковы, что + = и =, то эти числа являются
корнями квадратного уравнения ax
2+bx + c=0.
Если числа
и таковы, что + =–b и =c, то
эти числа являются корнями приведённого квадратного
уравнения x
2+bx + c=0.
Задача 1. Известно, что x
1 и x 2 — корни уравнения
2x
2 – 3x – 9 = 0. Не решая уравнение, найдите значе&
ние выражения + .
Решение. По теореме Виета x
1+x 2= , x 1x2= .
Тогда имеем: + = = : = .
Ответ: .
З а д а ч а 2. Составьте квадратное уравнение с целы&
ми коэффициентами, корни которого равны и
.
b
2a
b
a c
a
1
x
2
1
x
1
3
2 9
2
1
x
2
1
x
1
x1 x2
x1x2
3
2 9
2 1
3
1
3
67
2
67
2

§ 10. Уравнения с одной переменной 189
Решение. Пусть x 1 = и x 2 = . Тогда
x
1+x 2 = + = 6, x 1x2 = =
= = .
Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета,
числа x
1 и x 2 являются корнями уравнения
x
2 – 6x + = 0. Отсюда находим искомое уравнение
4x
2 – 24x + 29 = 0.
10.5. Квадратный трёхчлен.
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Квадратным трёхчленом называют многочлен вида
ax
2+bx + c, где x — переменная, a, b и c — некоторые
числа, причём a
0.
Примеры многочленов, являющихся квадратными
трёхчленами:
2x
2 – 3x + 5; x 2 + 7x; x 2 – 5; 3x 2.
Корнем квадратного трёхчлена называют значение
переменной, при котором значение квадратного трёхчле&
на равно нулю.
Например, число 2 является корнем квадратного
трёхчлена x
2–6x+8.
Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ax
2+bx+c,
надо решить соответствующее квадратное уравнение
ax
2+bx+c=0.
Число D=b
2–4ac называют дискриминантом квад#
ратного трёхчлена ax
2+bx + c.
Если D< 0, то квадратный трёхчлен корней не
имеет; если D= 0, то квадратный трёхчлен имеет один
корень; если D>0 — то два корня.
67
2
67
2
67
2
67
2
67
2
67
2
36 7
4
29
4
29
4

190 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Если дискриминант квадратного трёхчлена
ax 2+bx + c положителен, то данный трёхчлен можно
разложить на множители:
ax
2+bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),
где x
1 и x 2 — корни квадратного трёхчлена.
Если дискриминант квадратного трёхчлена отри&
цателен, то данный трёхчлен нельзя разложить на ли&
нейные множители.
З а д а ч а. Сократите дробь .
Решение. Разложим на множители квадратный
трёхчлен, являющийся числителем данной дроби:
6a
2 – a – 1 = 0;
a
1 = ; a 2 = ;
6a
2 – a – 1 = 6 = 3 =
= (3a + 1)(2a – 1).
Тогда имеем:
= = .
Ответ: .
10.6. Рациональные уравнения
Уравнение, левая и правая части которого являются ра&
циональными выражениями, называют рациональным.
Рассмотрим рациональное уравнение вида = 0, где
A и B — многочлены.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числи&
тель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому,
6a 2 a 1
9a 2 1
1
3 1
2
a 1
3 a 1
2 a 1
3 2a 1
2
6a 2 a 1
9a 2 1
3a1 2a1
3a1 3a1
2a1
3a1
2a1
3a1
A
B

§ 10. Уравнения с одной переменной 191
чтобы решить уравнение вида = 0, нужно потребовать
одновременного выполнения двух условий: A=0 и B
0.
Это значит, что при решении уравнений указанно&
го вида следует руководствоваться таким правилом:
решить уравнение A=0;
проверить, какие из найденных корней удовлетво&
ряют условию B
0;
корни, удовлетворяющие условию B 0, включить
в ответ.
Таким образом, решение уравнения вида = 0 сво&
дится к решению уравнения A=0 и проверке условия
B
0. В таких случаях говорят, что уравнение = 0 рав&
носильно системе
З а д а ч а. Решите уравнение + = .
Р е ш е н и е. Имеем:
+ – = 0;
= 0.
Полученное уравнение равносильно системе
Перепишем эту систему так:
Отсюда
Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
О т в е т: корней нет.
A
B
A
B
A
B
A = 0,
B
0.
3x5
6x3
1
4x2 1
x
2x1
3x5
32x1
1
2x1
2x1
x
2x1
4x2
32x1 2x1
4x – 2 = 0,
3(2x –1)(2x +1)
0.
4x – 2 = 0,
x
0,5,
x
–0,5.
x = 0,5,
x
0,5,
x
–0,5.

192 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Примеры заданий № 14
Часть 1
1.Найдите корень уравнения –4 – 3x = 2x – 6.
2.Найдите корень уравнения = .
3.Решите уравнение 3 (–10 – 3x) = –3x + 12.
4.Решите уравнение (3x + 1)
2 + (x – 7) 2 = 10x 2.
5.Решите уравнение x
2 + 35 = 0. Если уравнение
имеет более одного корня, в ответ запишите меньший
корень.
6.Решите уравнение 27x – x
2 = 0. Если уравнение
имеет более одного корня, в ответ запишите больший
корень.
7.При каком значении c уравнение 6x
2 – 6x + c = 0 име&
ет один корень?
8.Решите уравнение x
2 + 16 = 10x. Если уравнение
имеет более одного корня, в ответ запишите модуль
разности корней.
9.Решите уравнение 3x
2 + x + 29 = (x + 5) 2. Если урав&
нение имеет более одного корня, в ответ запишите
больший корень.
10.Уравнение x
2 + px + q = 0 имеет корни –7 и 9. Найди&
те q.
11.Уравнение x
2 + px + q = 0 имеет корни –3 и 17. Най&
дите p.
12.Чему равно произведение корней уравнения
x
2 – 10x + 3 = 0?
13.Чему равна сумма корней уравнения x 2 – 21x – 10 = 0?
14.Квадратный трёхчлен разложен на множители:
5x
2 – 23x – 10 = 5(x – 5)(x – a). Найдите значение a.
15.Решите уравнение = 0. Если уравнение имеет
более одного корня, в ответ запишите больший ко&
рень.
9
x5 3
4
5
7
1
3
x2 25
x5

§ 10. Уравнения с одной переменной 193
16.Решите уравнение = .
17.Решите уравнение x – = 3. Если уравнение имеет
более одного корня, в ответ запишите меньший ко&
рень.
18.Решите уравнение = 1. Если уравнение
имеет более одного корня, в ответ запишите больший
корень.
19.Решите уравнение = . Если уравнение
имеет более одного корня, в ответ запишите меньший
корень.
Часть 2
20.При каких значениях b уравнение 3x
2 – bx + 12 = 0
имеет один корень?
21.Решите уравнение x
2 – 12x + = 45 + .
22.Решите уравнение x
2 – 7x + = + 8.
23.Решите уравнение (x
2 – 4) 2 + (x 2 + x – 2) 2 = 0.
24.Решите уравнение + |x
2 – 3x – 10 | = 0.
25.Сократите дробь .
26.Сократите дробь .
27.При каком значении a разложение на линейные мно&
жители трёхчлена 2x
2 + ax – 3 содержит множитель
2x – 3?
9
x5 5
x9
18
x
3x 2 10x3
x2 9
x2 6x
x2
16
x2
10
x3 10
x3
2x 2x
x2 2x 8
4a 2 a3
a2 1
a3 27
5a 2 16a3

194 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
28.Известно, что x 1 и x 2 — корни уравнения
4x
2 – 5x – 13 = 0.
Найдите значение выражения x
1x2– 2x 1 – 2x 2.
29.Известно, что x
1 и x 2 — корни уравнения
x
2 – 10x + 12 = 0.
Найдите значение выражения + .
30.Число –3 является корнем уравнения 2x
2 + 3x + a = 0.
Найдите другой корень уравнения и значение a.
31.Корни x
1 и x 2 уравнения x 2 + 6x + c = 0 удовлетворя&
ют условию 3x
1 – 2x 2 = 17. Найдите значение c.
32.Составьте квадратное уравнение, корни которого боль&
ше соответствующих корней уравнения x
2 + 4x – 9 = 0
на единицу.
33.Решите уравнение + = 2.
34.Решите уравнение + = .
35.Решите уравнение – = .
36. Решите уравнение ( x – 3)( x – 8)(9 – x) = ( x – 1)( x – 3)( x – 8).
37.Решите уравнение x 3 = x 2 + 42x.
38.Решите уравнение x
3 + 2x 2 = 36x + 72.
39.Решите уравнение (x – 2)(x
2 + 6x + 9) = 14(x + 3).
10.7. Метод замены переменной
З а д а ч а 1. Решите уравнение x 4 – 13x 2 + 36 = 0.
Решение. Обозначим x
2=t. Тогда x 4=t 2. Получим
квадратное уравнение с переменной t:
t
2 – 13t + 36 = 0.
x2
x1
x1
x2
2
x5 5
x2
4x4
x
x2 4
x2 x
6x
x1
4
x 2 10x25
10
x2 25
1
x5

§ 10. Уравнения с одной переменной 195
Решая это уравнение, находим: t 1=4, t 2=9. По&
скольку t=x
2, то решение исходного уравнения сво&
дится к решению двух уравнений:
x
2 = 4 и x 2 = 9.
Отсюда x
1 = –2, x 2 = 2, x 3 = –3, x 4 = 3.
Ответ:
2, 3.
Уравнение вида ax
4+bx 2+c=0, где x — переменная,
a, b и c — некоторые числа, причём a
0, называют би#
квадратным уравнением.
Заменой x
2=t биквадратное уравнение сводится к
квадратному уравнению at
2+bt+c=0. Такой способ ре&
шения уравнений называют методом замены перемен#
ной.
Метод замены переменной можно использовать не
только при решении биквадратных уравнений.
Задача 2.
Решите уравнение (2 x – 1) 4 + (2 x – 1) 2 – 2 = 0.
Решение. Выполним замену (2x – 1) 2 = t. Исходное
уравнение сводится к квадратному уравнению
t
2 + t – 2 = 0.
Отсюда t
1 = –2, t 2 = 1.
Теперь надо решить следующие два уравнения:
(2x – 1)
2 = –2 и (2x – 1) 2 = 1.
Первое из них корней не имеет. Из второго уравнения
получаем: 2x– 1 = –1 или 2x–1=1.
Отсюда x
1=0, x 2 = 1.
Ответ: 0; 1.
З а д а ч а 3. Решите уравнение 6x + + 1 = 0.
Решение. Пусть . Тогда x = t
2. Имеем:
6t
2 + 5t + 1 = 0. Отсюда t 1 = , t 2 = .
5x
xt
1
3 1
2

196 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Получаем два уравнения:
= и = .
Так как
 0, то эти уравнения корней не имеют,
а следовательно, и исходное уравнение корней не
имеет.
О т в е т: корней нет.
З а д а ч а 4. Решите уравнение
– = – 2.
Решение. Пусть = t. Тогда = .
Получаем уравнение t – = –2, равносильное системе
Отсюда t
1=–4, t 2=2.
Теперь решение исходного уравнения сводится к ре&
шению двух уравнений:
1) = –4;
2) = 2.
Решив эти уравнения, получим ответ.
Ответ: –3; –1; 2; 6.
10.8. Уравнения, содержащие знак модуля
Если a 0, то уравнение вида | f(x) | = a равносиль&
но совокупности
x 1
3 x 1
2
x
x2 3x 6
x
8x
x 2 3x 6
x2 3x 6
x
8x
x 2 3x 6
8
t
8
t
t2 + 2t – 8 = 0,
t
0.
x2 3x 6
x
x2 3x 6
x
f(x) = a,
f(x) = –a.

§ 10. Уравнения с одной переменной 197
Уравнение вида | f(x) | = g(x) равносильно системе
З а д а ч а 1. Решите уравнение | x – 1 | = 2.
Р е ш е н и е. Данное уравнение равносильно совокуп&
ности уравнений
Отсюда
Ответ: –1; 3.
З а д а ч а 2. Решите уравнение | 2x – 1 | = 3x + 1.
Р е ш е н и е. Данное уравнение равносильно системе
Отсюда
Последняя система имеет единственное решение x=0.
Ответ: 0.
З а д а ч а 3. Решите уравнение | x + 1 | + | x – 2 | = 3.
Р е ш е н и е. Числа –1 и 2 разбивают область определе&
ния уравнения на три промежутка: (–
; –1), [–1; 2],
(2; +
), на каждом из которых значения выражений
x+1 и x– 2 сохраняют постоянный знак.
На промежутке (–
; –1) значения выражений x + 1 и
x – 2 отрицательны. На промежутке [–1; 2] выра&
жение x + 1 принимает неотрицательные значения,
g(x)  0,
f(x) = g(x),
f(x) = –g(x).
x – 1 = 2,
x – 1 = –2.
x = 3,
x = –1.
3x + 1  0,
2x – 1 = 3x + 1,
2x – 1 = –3x – 1.
x  ,
x = –2,
x = 0. 1
3

198 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
а выражение x– 2 — неположительные. На проме&
жутке (2; +
) значения выражений x+1 и x – 2 по&
ложительны. Следовательно, исходное уравнение
равносильно совокупности трёх систем.
1) Отсюда
Эта система решений не имеет.
2) Отсюда
Множеством решений этой системы является проме&
жуток [–1; 2].
3) Отсюда
Эта система решений не имеет.
Ответ: [–1;2].
10.9. Иррациональные уравнения
Уравнения, содержащие переменную под знаком кор&
ня, называют иррациональными.
Примеры иррациональных уравнений: = 2;
; .
Если обе части уравнения возвести в нечётную сте&
пень, то получим уравнение, равносильное данному.
При возведении обеих частей уравнения в чётную сте&
пень получаем уравнение, являющееся следствием данного.
З а д а ч а 1. Решите уравнение = x.
Р е ш е н и е. Возводя обе части уравнения в квадрат,
получим уравнение, которое является следствием
данного:
4 + 3x = x
2;
x
2 – 3x – 4 = 0;
x
1 = –1, x 2 = 4.
x < –1,
–(x + 1) – (x – 2) = 3. x < –1,
x = –1.
–1  x  2,
(x + 1) – (x – 2) = 3. –1  x  2,
0x = 0.
x > 2,
(x + 1) + (x – 2) = 3. x > 2,
x = 2.
x3
x2x 4 1 0 3x 2x3
43x

§ 10. Уравнения с одной переменной 199
Проверка показывает, что число –1 — посторонний
корень, а число 4 удовлетворяет данному уравнению.
Ответ: 4.
З а д а ч а 2. Решите уравнение .
Р е ш е н и е. Возведём обе части данного уравнения в
квадрат:
2x – 3 + + 4x + 1 = 16.
Отсюда = 9 – 3x.
Переходя к уравнению&следствию, получаем:
8x
2 – 10x – 3 = 81 – 54x + 9x 2;
x 2 – 44x + 84 = 0;
x
1 = 42, x 2 = 2.
Проверка показывает, что число 42 — посторонний
корень, а число 2 удовлетворяет данному уравнению.
Ответ: 2.
Уравнение вида равносильно системе
Уравнение вида = g(x) равносильно системе
Если для любого x
M выполняются нера&
венства f(x)
 0 и g(x)  0, то уравнения f(x) = g(x) и
(f(x)) 2k = (g(x)) 2k, k N, равносильны на множестве M.
Задача 3. Решите уравнение = .
Р е ш е н и е. Данное уравнение равносильно системе
Отсюда x = 2 + .
Ответ: 2 + .
2x3 4x1 4
22x3 4x1
2x3 4x1
fx gx
f(x) = g(x),
f(x)
 0.
fx
f(x) = (g(x)) 2,
g(x)
 0.
x2 3x x1
x2 – 3x = x – 1,
x
 1.
x = 2 + ,
x = 2 – ,
x
 1;3
3 3
3

200 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
З а д а ч а 4. Решите уравнение = x – 3.
Р е ш е н и е. Данное уравнение равносильно системе
Отсюда x = .
Ответ: .
З а д а ч а 5. Решите уравнение
+ = .
Решение.
Областью определения данного уравнения
является множество
M = ; + . Обе части данного урав&
нения на этом множестве принимают неотрицательные
значения. Поэтому данное уравнение на множестве
M рав&
носильно уравнению .
Отсюда = 4 – x.
Переходим к равносильной системе:
Отсюда
Ответ: .
x7
x + 7 = (x – 3) 2,
x – 3
 0.
x2 – 7x + 2 = 0,
x
 3;
x = ,
x = ,
x
 3;
741
2
741
2
741
2
741
2
2x5 x2 2x1
5
2
2x5 x2 2 2x1 2
22x5 x2
4(2x – 5)(x + 2) = (4 – x) 2,

 x  4. 5
2
7x 2 + 4x – 56 = 0,

 x  4; 5
2
x = ,
x = ,

 x  4.
2611
7
2611
7
5
2
2611
7

§ 10. Уравнения с одной переменной 201
Примеры заданий № 15
Часть 1
1.Решите уравнение x
4 + 5x 2 – 36 = 0. Если уравнение
имеет более одного корня, в ответ запишите больший
корень.
2.Сколько корней имеет уравнение |x
2 + 1 | = –x 2 – 1?
3.Решите уравнение |x – 2 | = 3. Если уравнение имеет бо&
лее одного корня, запишите в ответ меньший корень.
4.Решите уравнение | | x | – 4 | = 2. Сколько корней име&
ет данное уравнение?
5.Решите уравнение = –4.
6.Решите уравнение = 3.
7. Сколько корней имеет уравнение ( x + 3)( x – 6) = 0?
8.Найдите сумму корней уравнения
(15 – 14x – x
2) = 0.
Часть 2
9.Решите уравнение (x – 5)
4 + 2(x – 5) 2 – 8 = 0.
10.Решите уравнение (x
2 – 3x – 1)(x 2 – 3x – 3) = 15.
11.Решите уравнение (x
2 – 4x – 2) 2 + 3x 2 – 12x – 46 = 0.
12.Решите уравнение – – 10 = 0.
13.Решите уравнение + = 5.
14.Решите уравнение – = 1.
15.Решите уравнение + = 8.
16.Решите уравнение – = .x
3
2x3
x1
x2 3x 28 4
1
x6 2 3
x6
3x2
x2
4x2
3x2
x2 5x3
3
4
3x 2 15x9
x2 4x10
x
7x
x 2 4x10
4
x 2 2x8
3
x 2 2x3
1
2

202 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
17.Решите уравнение x| x | – 6x – 5 = 0.
18.Решите уравнение x
2 + – 32 = 0.
19.Решите уравнение | 3 – 4x | = | 2x + 1 |.
20.Решите уравнение | x + 2 | = 4x – 1.
21.Решите уравнение | x – 2 | + | x – 4 | = 3.
22.Решите уравнение | 4 – x | + | 2x – 2 | = 5 – 2x.
23.Решите уравнение | x | – 2 | x + 1 | = 5.
24.Решите уравнение | x + 2 | – | x – 3 | = 5.
25.Решите уравнение x
2 + | x + 4 | = 4.
26.Решите уравнение x
2 – 5x – 14 = 0.
27.Решите уравнение | x
2 – 2x | = 3 – 2x.
28.Решите уравнение .
29.Решите уравнение = x.
30.Решите уравнение = –x.
31.Решите уравнение = 3 – x.
32.Решите уравнение = 2.
33.Решите уравнение + – 6 = 0.
34.Решите уравнение + = 2.
35.Решите уравнение + = 2.
36.Решите уравнение
= 3 .
37.Решите уравнение – = 2.
38.Решите уравнение = 12 + 3x – x
2.
39.Решите уравнение + = 4.
40.Решите уравнение – = 1.4x
2
x2
x2
x2 x 6 2x
2x
3x 2 7x4
31x 2
x1 x15
x x4
1
x
4 1
3
x
4 1
4
x
3 2
x3 3
5
2x
x3
x3
2x
1
3
8
6x 6x
3x 2 9x 26
x2 3x2
x2 2x3

§ 10. Уравнения с одной переменной 203
41.Решите уравнение
+ = + .
42.Решите уравнение + = 6.
10.10. Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнение sin x = b
Формулу корней уравнения sinx = b, | b |
 1, мож&
но записать или в виде совокупности:
или одной записью:
x = (–1)
k arcsin b + k, k Z.
Для частных случаев, когда b = 1, b = 0, b = –1, имеем:
З а д а ч а 1. Решите уравнение: 1) sin = – ;
2) sin = – .
Р е ш е н и е. 1) Можно записать:
= (–1)
n arcsin + n, n Z.
Далее получаем: = (–1)
n + n;
= –(–1)
n + n;
= (–1)
n + 1 + n; x = (–1) n + 1 + 2 n.
Ответ: (–1)
n + 1 + 2 n, n Z.
sinx = 1 sinx = 0 sinx = –1
x = + 2
n, n Z
x = n, n Zx = – + 2 n, n Z
8x1 3x5 7x4 2x2
x23 x6
x = arcsinb + 2 n,
x =
– arcsinb + 2 n, n Z,
2 2
x
2 1
2
3 3x 3
2
x
2 1
2
x
2
6
x
2
6
x
2
6 3
3

204 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
2) Перепишем данное уравнение в виде
–sin = – .
Тогда sin = ;
3x – = (–1)
n arcsin + n, n Z;
3x – = (–1)
n + n; 3x = (–1) n + + n;
x = (– 1 )
n + + .
Ответ: (–1)
n + + , n Z.
Уравнение cosx = b
Формулу корней уравнения cosx = b, | b |
 1, мож&
но записать так:
x =
arccosb + 2 n, n Z.
Для частных случаев, когда b = 1, b = 0, b = –1, имеем:
З а д а ч а 2. Решите уравнение: 1) cos 4x = – ;
2) cos = 0.
Решение. 1) Можно записать:
4x =
arccos + 2 n, n Z.
Далее получаем: 4x =
+ 2 n; x = + .
Ответ:
+ , n Z.
cos x = 1 cos x = 0 cos x = –1
x = 2
n, n Zx = + n, n Z
x = + 2 n, n Z
3x 3
3
2
3x 3
3
2
3
3
2
3 3 3 3
9 9
n
3
9 9
n
3
2
2
2
5 7x
2
2
3
4
3
16
n
2
3
16
n
2

§ 10. Уравнения с одной переменной 205
2) Перепишем данное уравнение в виде cos = 0.
Имеем:
7x – = +
n, n Z.
Тогда 7x = + +
n; 7x = + n; x = + .
Ответ: + , n
Z.
Уравнение tgx = b
Формулу корней уравнения tgx = b можно запи&
сать так:
x = arctgb +
n, n Z.
З а д а ч а 3. Решите уравнение tg = – .
Р е ш е н и е. Имеем: = arctg +
k, k Z;
x = – +
k; x = – + k.
Ответ: – +
k, k Z.
Уравнение ctgx = b
Формулу корней уравнения ctgx = b можно запи&
сать так:
x = arcctgb
+
n, n Z.
З а д а ч а 4. Решите уравнение ctg = –1.
Р е ш е н и е. Имеем: ctg = 1;
x – = arcctg 1 +
k, k Z;
x – = +
k; x = + k.
Ответ:
+ k, k Z.
7x 5
5 2
2 5
7
10 10
n
7
10
n
7
2x
3 3
2x
3 3
2
3
3 2
3
2
2
3
2
2
3 x
x 2
3
2
3
2
3 4
11
12
11
12

206 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
10.11. Основные методы решения
тригонометрических уравнений
Тригонометрические уравнения, сводящиеся
к алгебраическим
Рассмотрим тригонометрические уравнения, которые
можно свести к простейшим, введя новую переменную и
решив полученное алгебраическое уравнение.
З а д а ч а 1. Решите уравнение 2sin
2x + cos 4x – 2 = 0.
Решение.
Можно записать: 1 – cos 2 x + 2cos 22x –1–2 = 0.
Отсюда 2cos 22x – cos 2 x – 2 = 0. Сделаем замену cos 2 x = t.
Тогда последнее уравнение принимает вид 2t 2 – t – 2 = 0.
Решив его, получаем t
1 = , t 2 = .
Поскольку > 1, а [–1; 1], то исходное
уравнение равносильно уравнению cos 2
x = , отсюда
x = arccos + k, k Z.
О т в е т: arccos +
k, k Z.
Уравнение вида
a
0sin nx + a 1sin n – 1 xcosx + ... + a n – 1 sinxcos n – 1 x +
+a
ncos nx = 0,
где a
0, a 1, ..., a n — действительные числа, одновременно
не равные нулю, n N, называют однородным тригономет#
рическим уравнением
n#й степени относительно sin x и cos x.
Например, уравнение 2 sinx – 3 cosx = 0 — одно&
родное тригонометрическое уравнение первой степе&
ни, а уравнения sin
2x – 5 sinxcosx + 2 cos 2x = 0 и
2sin 2x – cos 2x = 0 — однородные тригонометрические
уравнения второй степени.
117
4
117
4
117
4
117
4
117
4
1
2 117
4
1
2 117
4

§ 10. Уравнения с одной переменной 207
З а д а ч а 2. Решите уравнение
7sin 2x – 8sinx cos x – 15cos 2x = 0.
Решение. Если cosx = 0, то из данного уравнения
следует, что sinx = 0. Однако sinx и cosx не могут од&
новременно быть равными нулю, поскольку имеет
место равенство sin
2x + cos 2x = 1. Следовательно,
множество корней данного уравнения состоит из та&
ких чисел x, при которых cosx
0.
Разделив обе части данного уравнения на cos 2x, полу&
чим равносильное уравнение:
– – = 0;
7tg
2x – 8tgx – 15 = 0.
Отсюда
Ответ: – +
n, arctg + n, n Z.
Решение тригонометрических уравнений методом
разложения на множители
З а д а ч а 3. Решите уравнение sin 2x+cosx=0.
Р е ш е н и е. Имеем: 2sinxcosx+cosx=0;
cosx(2sinx+1)=0;

Ответ: +
n, (–1) n+1 + n, n Z.
7x 2 sin
x
2 cos
8x sinx cos
x
2 cos
15x 2 cos
x
2 cos
tgx = –1,
tgx = ;
15
7
x = – + n,
x = arctg +
n, n Z.
4
15
7
4
15
7
cosx = 0,
2sinx + 1 = 0; cosx = 0,
sinx = – ;
1
2
x = + n,
x = (–1)
n+1 + n, n Z.
2
6
2 6

208 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
З а д а ч а 4. Решите уравнение
sin
2x + sin 22x + sin 23x = 1,5.
Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулами пониже&
ния степени, запишем:
+ + = .
Далее имеем: cos 4x + (cos 2x + cos 6x) = 0;
cos 4x + 2cos 4xcos 2x = 0; 2cos 4x + cos 2x = 0.
Получаем совокупность
Отсюда
О т в е т: + , +
n, n Z.
Введение вспомогательного угла
З а д а ч а 5. Решите уравнение cos x + sin x = 2.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
cosx + sinx = 1.
Так как = sin , а = cos , то можно записать:
sin cosx + cos sinx = 1.
Используя формулу синуса суммы, получаем:
sin + x = 1.
Отсюда + x = + 2
n, n Z.
Ответ: + 2
n, n Z.
12x cos
2
14x cos
2
16x cos
2
3
2
1
2
cos 4x = 0,
cos 2x = – .
1
2
x = + ,
x = +
n, n Z.
8
n
4
3
8
n
4
3
3
3
2 1
2
3
2
3
1
2
3
3 3
3
3 2
6

§ 10. Уравнения с одной переменной 209
Применение ограниченности тригонометрических
функций
З а д а ч а 6. Решите уравнение cos = x
2 + 1.
Р е ш е н и е. Так как при любом значении x выполня&
ются неравенства cos
 1 и x 2 + 1  1, то корня&
ми данного уравнения являются те значения перемен&
ной x, при которых значения его левой и правой час&
тей одновременно равны 1. Следовательно, данное
уравнение равносильно системе
Второе уравнение системы имеет единственный ко&
рень x= 0. Он также удовлетворяет первому уравне&
нию системы.
Ответ: 0.
О равносильных переходах при решении
тригонометрических уравнений
Если в ходе преобразований уравнения происходит
расширение области его определения, то возможно появ&
ление посторонних корней. Это следует учитывать при
решении тригонометрических уравнений.
З а д а ч а 7. Решите уравнение = 0.
Р е ш е н и е. Перейдём к равносильной системе:

x2 8x
5
x2 8x
5
cos = 1,
x
2 + 1 = 1.
x2 8x
5
x2 cosx cos
1x sin
cosx = 0,
cosx = 1,
sinx
1;
x = + k, k Z,
x = 2
n, n Z,
x
+ 2 l, l Z.
2
2

210 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Очевидно, что при чётных значениях k решения перво&
го уравнения совокупности не удовлетворяют системе.
При k = 2m – 1, m
Z, получаем: x = + (2m – 1) =
=– + 2
m, m Z.
Ответ: – + 2
m, m Z, 2 n, n Z.
З а д а ч а 8. Решите уравнение cosx = 0.
Р е ш е н и е. Перейдём к равносильной системе:

При x = +
k имеем: cos 2x = cos ( + 2 k) = –1 < 0.
Ответ: + , n
Z.
Примеры заданий № 16
Часть 1
1.Установите соответствие между уравнениями, запи&
санными в левом столбце, и их корнями, записанны&
ми в правом столбце.
УРАВНЕНИЯ КОРНИ УРАВНЕНИЙ
А) cos x = –1 1)
+ 2 k, k Z
Б) ctg x = 12) +
k, k Z
В) | sin x | = 13) +
k, k Z
Г) | tg x | = 14) + , k
Z
2
2
2
2x cos
cosx = 0,
cos 2x = 0,
cos 2x
 0;
x = + k, k Z,
x = + , n
Z,
cos 2x
 0.
2
4
n
2
2
4
n
2
2
4
4
k
2

§ 10. Уравнения с одной переменной 211
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
2.Установите соответствие между уравнениями, запи&
санными в левом столбце, и их корнями, записанны&
ми в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
3.Установите соответствие между уравнениями, запи&
санными в левом столбце, и множествами их корней,
принадлежащих промежутку [0; 2
], которые запи&
саны в правом столбце.
АБВ Г
УРАВНЕНИЯ КОРНИ УРАВНЕНИЙ
А) 2cosx = 11) + 2
k, k Z
Б) 2cos = 1
2) 4
k, k Z
В) cos 2x = 13) + 4
k, k Z
Г) cos = 1
4)
k, k Z
АБВ Г
УРАВНЕНИЯ МНОЖЕСТВА КОРНЕЙ
А) sin 2x = 01)
Б) 2cos 2x = 2 2) {0;
; 2 }
В) cos 2x = 03) 0; ;
; ; 2
Г) tg = 1
4) ; ; ;
3
x
2
2
3
x
2
2
2
3
2
x
2
4
3
4
5
4
7
4

212 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
4.Для каждого утверждения, записанного в левом столб&
це, укажите уравнение, записанное в правом столбце,
для которого это утверждение является верным.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
5.Для каждого уравнения, записанного в левом столб&
це, укажите равносильное ему уравнение, записан&
ное в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
АБВ Г
УТВЕРЖДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
А) уравнение не имеет корней
1) sinx = 0,1
2
Б) уравнение имеет один корень
2) cosx = x 2 + 1
В) уравнение имеет два корня
3) sinx = (x – 2)
2
Г) уравнение имеет бесконечно
много корней4) cosx = –x 2
АБВ Г
А) = 0
1) sinx = –1
Б) = 0
2) cosx = 0
В) = 0
3) cosx = –1
Г) = 0
4) cosx = 2
АБВ Г
x cos
x sin 2
x cos
x sin 1
x sin
x cos 1
x sin 1
x cos

§ 10. Уравнения с одной переменной 213
6.Для каждого уравнения, записанного в левом столб&
це, в правом столбце указано количество его корней,
принадлежащих промежутку . Установите со&
ответствие между уравнениями и количествами их
корней.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
Часть 2
7.Решите уравнение 3cos
2x + 7sinx – 5 = 0.
8.а) Решите уравнение 2cos
2x + cos 2x = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежа&
щие промежутку .
9.а) Решите уравнение cos 2x + 3sinx = 2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежа&
щие промежутку –
; .
10.Найдите корни уравнения sinx – cosx = 0.
11.Решите уравнение sin
2x + 4sinxcosx + 3cos 2x = 0.
12.Найдите корни уравнения
sin
2x + sin 2x – cos 2x = 0 . УРАВНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ
А) tg 3x = 4 1) четыре корня
Б) tg 2x = 2 2) три корня
В) tg = 0
3) два корня
Г) | tg 2x | = 1 4) один корень
АБВ Г
2 2
x
4
3
2
5
2
3
3 3

214 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
13.а) Решите уравнение 6sin 2x – 3sinxcosx – 5cos 2x = 2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежа&
щие промежутку –
; .
14.Найдите корни уравнения sinx + sin 2x + sin 3x = 0.
15.Найдите корни уравнения cos 2x = cosx.
16.Решите уравнение sin
2x + sinxcosx = 0.
17.а) Решите уравнение 1 – cos 8x = sin 4x.
б) Сколько корней данного уравнения принадлежат
промежутку – ; 0 ?
18.а) Решите уравнение 1 + sin 2x = (sin 2x – cos 2x)
2.
б) Найдите наибольший отрицательный корень дан&
ного уравнения.
19.а) Решите уравнение cos
2x – 0,5sin 2x = 1.
б) Найдите наименьший положительный корень дан&
ного уравнения.
20.а) Решите уравнение cos
22x + cos 26x = 1.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежа&
щие промежутку 0; .
21.Решите уравнение sin
2x + sin 22x = cos 23x + cos 24x.
22.Решите уравнение sin 2x + sinx = 2cosx + 1.
23.Решите уравнение cos 9x – cos 5x = sin 2x.
24.а) Решите уравнение = 2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежа&
щие промежутку [–
; ].
25.Решите уравнение cosx – sinx = 2sin 3x.
26.Решите уравнение sin 2x + cos 2x = sin 3x.
27.Решите уравнение cos 7xcos 3x = cos 4x.
28.Решите уравнение 2sinx – 3cosx = 2.
3
2
3
2
4
3
5x sinx cos
3x sinx cos
3
2

§ 10. Уравнения с одной переменной 215
29.а) Решите уравнение = 0.
б) Сколько корней данного уравнения принадлежат
промежутку – ; ?
30.Решите уравнение (4 – 5cosx – 2sin
2x) = 0.
31.Решите уравнение = .
32.Найдите корни уравнения cos 3x + cos = 2.
33.Найдите корни уравнения = cosx + sinx.
34.Найдите корни уравнения sin 2x + tg 2x = – ctgx.
10.12. Показательные уравнения
Уравнения, в которых переменная содержится только
в показателе степени, называют показательными урав#
нениями.
Примеры показательных уравнений: 2 x = 8; 3 x 3x – 1 = 4;
.
Если a > 0 и a
1, то уравнение
a
f(x) = a g(x)
равносильно уравнению
f(x) = g(x).
З а д а ч а 1. Решите уравнение (0,125)
x = 128.
Р е ш е н и е. Представим каждую из частей уравнения
в виде степени с основанием 2. Имеем: 0,125 = =
=2
–3 и 128 = 2 7. Запишем:
(2
–3)x = 2 7; 2 –3x = 2 7.
Это уравнение равносильно уравнению
–3x = 7.
3x cosx cos
1x sin
2 2
x sin
2x sin 2x cos 52x sin 6x sin
5x
2
2x cos
8
3
03 x4 03 x2
1
8

216 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Отсюда x = – .
Ответ: – .
З а д а ч а 2. Решите уравнение
2
12x–1 – 4 6x–1 + 8 4x–1 – 16 3x–1 = 1280.
Р е ш е н и е. Имеем:
2
12x–1 – 2 12x–2 + 2 12x–3 – 2 12x–4 = 1280;
2
12x–4 (23 – 2 2 + 2 1 – 1) = 1280; 2 12x–4 5 = 1280;
2
12x–4 = 256; 2 12x–4 = 2 8; 12x – 4 = 8; x=1.
Ответ: 1.
З а д а ч а 3. Решите уравнение
2
3x+2 – 3 x+1 = 5 x+1 + 4 5x.
Решение. Имеем: 3
x(2 32 – 3) = 5 x(5 + 4); 3 x 15 =
= 5
x 9; = ; = ; x=1.
Ответ: 1.
З а д а ч а 4. Решите уравнение 25
x + 4 5x – 5 = 0.
Р е ш е н и е. Поскольку 25
x = (5 2)x = 5 2x = (5 x)2, то
данное уравнение удобно решать методом замены пе&
ременной.
Пусть 5
x = t. Тогда данное уравнение можно перепи&
сать так:
t
2 + 4t – 5 = 0.
Отсюда t = 1 или t = –5.
Если t = 1, то 5
x = 1. Отсюда 5 x = 5 0; x = 0.
Если t = –5, то 5
x = –5. Так как 5 x > 0 при любом x,
то уравнение 5
x = –5 не имеет корней.
Ответ: 0.
З а д а ч а 5. Решите уравнение 4
22x –6 x=18 32x.
Р е ш е н и е. Имеем: 4
22x –2 x 3x–18 32x =0.
7
3
7
3
3
5x 9
15 3
5x 3
5

§ 10. Уравнения с одной переменной 217
Поскольку 3 2x 0 при любом x, то, разделив обе части
уравнения на 3
2x, получим уравнение, равносильное
данному:
4
– – 18 = 0. Отсюда 4 – – 18 = 0.
Пусть =t. Тогда можно записать:
4t
2–t–18=0.
Отсюда Имеем:
Поскольку > 0 при любом x, то первое уравне&
ние совокупности решений не имеет. Второе уравне&
ние совокупности перепишем так:
= .
Отсюда x=–2.
Ответ: –2.
10.13. Логарифмические уравнения
Пусть a > 0, a 1. Уравнение вида log a f(x) =
=log
a g(x) равносильно любой из систем
или
22x
32x 2x
3x 2x
3x
2 2x
3x
2
3 x
t = –2,
t = .
9
4
= –2,
= . 2
3 x
2
3 x 9
4
2
3 x
2
3 x 2
3 2
f(x) = g(x),
f(x) > 0
f(x) = g(x),
g(x) > 0.

218 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Задача 1. Решите уравнение lg ( x2 – 4 x + 2) = lg (2 x – 3).
Р е ш е н и е. Данное уравнение равносильно системе
Имеем: Отсюда x = 5.
Ответ: 5.
З а д а ч а 2. Решите уравнение
log
3(2x – 1) + log 3(x – 2) = 3.
Р е ш е н и е. Данное уравнение равносильно системе
Отсюда
Получаем x = 5.
Ответ: 5.
З а д а ч а 3. Решите уравнение = 10
2+lgx .
Решение. Так как на области определения уравне&
ния, т. е. на множестве (0; +
), обе его части прини&
мают положительные значения, то можем записать
уравнение, равносильное данному:
lg = lg10
2+lgx .
Отсюда
lgx = 2 + lgx.
x2 – 4x + 2 = 2x – 3,
2x – 3 > 0.
x2 – 6x + 5 = 0,
x > ;
3
2
x = 1,
x = 5,
x > .
3
2
log 3((2x – 1)(x – 2)) = 3,
2x – 1 > 0,
x – 2 > 0.
(2x – 1)(x – 2) = 3 3,
x > 2; 2x 2 – 5x – 25 = 0,
x > 2;
x = 5,
x = – ,
x > 2.
5
2
x
lgx23
x
lgx23
lgx2
3

§ 10. Уравнения с одной переменной 219
Пусть lgx = t. Тогда = 2 + t. Получаем
Поэтому исходное уравнение равносильно совокуп&
ности Отсюда
О т в е т: 0,01; 1000.
З а д а ч а 4. Решите уравнение = 3.
Р е ш е н и е. Перейдём к логарифмам по основанию 2:
+ = 3.
Поскольку из условия следует, что x > 0, то log
2x2 =
=2log
2x. Далее имеем:
+ = 3.
Пусть log
2x = t, тогда получим + = 3.
Отсюда t = 2 или t = – . Имеем:

Ответ: 4; .
Примеры заданий № 17
Часть 1
1.Каждому уравнению, записанному в левом столбце,
поставьте в соответствие число, записанное в правом
столбце, которое является корнем этого уравнения.
t2 t
3 t = –2,
t = 3.
lgx = –2,
lgx = 3. x = 10 –2,
x = 103;
x = 0,01,
x = 1000.
16
2x log 64 2x log
162 log
x
2
2 log
642 log
2x
2 log
4
2x
2 log
6
2
2 logx 2 log
2
t 6
1t
1
3
log 2x = 2,
log
2x = – ; 1
3
x = 2 2,
x = .21
3
2
1
3

220 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
2.Решите уравнение
2x = .
3.Решите уравнение = .
4.Решите уравнение
9x = 27 .
5.Известно, что
4x 4y = 64 . Чему равно значение выра&
жения x + y?
6.Решите уравнение
10 2–x = 1000 .
7.Решите уравнение
= .
8.Решите уравнение
32–x = 11 2–x .
9.Найдите корень уравнения 0,125 x = 2 4x.
10.Решите уравнение = 216.
11.Решите уравнение
3x 4x = (12 x+1 )6.
12.Решите уравнение log 0,2 (2x – 3) = –1.
13.Решите уравнение log
2log 2log 3x = 0.
Часть 2
14.Решите уравнение = .
15.Решите уравнение
3x 5x–2 = 0,04 15 8–3x .
УРАВНЕНИЯ КОРНИ УРАВНЕНИЙ
А) 3
x = 2 1)
Б) 2 x = 3 2)
В) log x3 = 2 3) log 23
Г) log x2 = 3 4) log 32
АБВ Г
3
23
1
8
5
7x 7
5
2
3x 9
16 x 3
8
1
6 4x3
27 9 x2 1
33x2

§ 10. Уравнения с одной переменной 221
16.Решите уравнение 7x+2 – 2 7x+1 + 5 7x = 280.
17.Решите уравнение
2 3x + 3x–2 = 57.
18.Решите уравнение
22x+3 + 4x= 72.
19.Решите уравнение 36
x – 4 6x – 12 = 0.
20.Решите уравнение
32x+1 – 10 3x + 3 = 0.
21.Решите уравнение 6
x + 6 1–x = 7.
22.Решите уравнение – = 2.
23.Решите уравнение = 11.
24.Решите уравнение
4 9x – 7 12 x + 3 16 x = 0.
25. Решите уравнение .
26.Решите уравнение .
27.Решите уравнение log
0,3 (5x 2 – 8) = log 0,3 (–3x).
28.Решите уравнение 4log
2 + log 2 = –1.
29.Решите уравнение log
6(x – 2) + log 6(x – 11) = 2.
30.Решите уравнение log
3(4x – 3) + log 3(4x – 1) = 1.
31.Решите уравнение log
5(5x – 4) = 1 – x.
32.Решите уравнение lo – 0,25log
0,5 x4 = 2.
33.Решите уравнение + = 1.
34.Решите уравнение lg10x
lg0,1x = 3.
35.Решите уравнение lg(lgx) + lg(lgx
4 – 3) = 0.
36.Решите уравнение lg
2100x – 5lgx = 6.
37.Решите уравнение = 1.
38.Решите уравнение lo (4x) + log
2 = 8.
39.Решите уравнение log
x9x 2 lox = 4.
6
4x 2
5
4x 1
10 x2 sin 10 x2 cos
5
14x
2 sinx
2 cos
24 5 2 x cos
5 0
524 x 524 x 10
x3 1
x
g052 x
1
5lgx 2
1lgx
2lgx
lg 5x4
g2 2 x2
8
g3
2

222 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
40.Решите уравнение x lgx–2 = 1000.
41.Решите уравнение
lg
2(x + 1) = lg(x + 1)lg(x – 1) + 2lg 2(x – 1).
42.Решите уравнение 2
lox + = 1024.
43.Решите уравнение log
2xx2 – log 4xx = 0.
44.Решите уравнение log
3(3x 2 – 4x + 4) = log 3x3 + log 3xx.
45.Решите уравнение 2log
82x + log 8(x2 – 6x + 9) = .
10.14. Уравнения с параметрами
Рассмотрим линейное уравнение ax = 1.
Если a = 0, то данное уравнение корней не имеет. Если
a
0, то уравнение имеет единственный корень x = .
Решая это уравнение, мы придавали буквам a и x раз&
ный смысл: буква x играла роль неизвестного числа, а
буква a — роль известного числа. В таких случаях гово&
рят, что a является параметром, а само уравнение назы&
вают уравнением с параметром.
З а д а ч а 1. Решите уравнение = x – a.
Р е ш е н и е. Имеем: = 0;
= 0; = 0.
Полученное уравнение равносильно системе:
Отсюда
Если a= 1, то уравнение системы становится таким:
0x= 0, и его корнем является любое число. С учётом
ограничения x
–2 приходим к выводу, что при a=1
множеством корней исходного уравнения являются
все числа, кроме –2.
g2 2 x x2 log
4
3
1
a
x2 ax2
x2
x2 ax2x2 xa
x2
x2 ax2x 2 ax2x2a
x2
2ax2x2a2
x2
2ax – 2x + 2a – 2 = 0,
x
–2.
x (a – 1) = 1 – a,
x
–2.

§ 10. Уравнения с одной переменной 223
Если a 1, то получаем:
Отсюда x = –1.
Ответ: если a = 1, то корнем уравнения является лю&
бое число, кроме –2; если a
1, то x = –1.
З а д а ч а 2. При каких значениях параметра b имеет
единственный корень уравнение:
1) 2x
2 – bx + 18 = 0; 2) (b + 6)x 2 – (b – 2)x + 1 = 0 ?
Р е ш е н и е. 1) Данное уравнение является квадрат&
ным. Оно имеет единственный корень, если его диск&
риминант равен нулю. Имеем:
D = b
2 – 4 2 18 = b 2 – 144;
b
2 – 144 = 0;
b = –12 или b = 12.
Ответ: b = –12 или b = 12.
2) Обратим внимание на распространённую ошибку:
считать такое уравнение квадратным. На самом деле
это уравнение степени не выше второй.
При b= –6 получаем линейное уравнение 8x+1=0,
имеющее один корень.
При b
–6 данное уравнение является квадратным;
оно имеет единственный корень, если его дискрими&
нант равен нулю:
D = (b – 2)
2 – 4 (b + 6) = b 2 – 4b + 4 – 4b – 24 = b 2 – 8b – 20.
Имеем: b
2 – 8b – 20 = 0, отсюда b = –2 или b = 10.
Ответ: b = –2, или b = 10, или b = –6.
З а д а ч а 3. При каких значениях параметра a сумма
квадратов корней уравнения x
2 + ax + a = 0 равна 3?
Решение. Пусть x
1 и x 2 — корни данного уравнения.
По условию = 3, т. е. (x
1 + x 2)2 – 2x 1x2 = 3. При&
меняя теорему Виета, можно записать: (–a)
2 – 2a = 3;
a
2 – 2a – 3 = 0. Отсюда a = –1 или a=3.
x = ,
x
–2;
1a
a1 x = –1,
x
–2.
x
1 2 x2
2

224 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Ошибочно считать, что решение завершено. Данное
квадратное уравнение имеет корни не при всех значе&
ниях параметра a. Существование корней определяет&
ся условием D
0; для данного уравнения D=a 2–4a.
Следовательно, найденные значения a = –1 и a = 3
должны удовлетворять неравенству a
2–4a 0. Легко
установить, что подходит только a=–1.
Ответ: a = –1.
З а д а ч а 4. При каких значениях параметра a урав&
нение | 2| x | – 1 | = x – a имеет три корня?
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию f(x) = | 2|x| – 1 |.
Проведём построение её графика по такой схеме:
y=x
y=x–1 y = 2x–1 y=2|x|–1 y =
=| 2|x| – 1 |.
График функции f изображён на рисунке 10.2.
Рассмотрим функцию g(x)=x–a. Её графиком явля&
ется прямая.
Задача сводится к тому, чтобы найти такое положе&
ние прямой g(x) = x – a, при котором графики функ&
ций f и g имеют три общие точки.
Рис. 10.2

§ 10. Уравнения с одной переменной 225
Это условие будет выполнено только тогда, когда пря&
мая g(x) = x – a пройдёт через точку – ; 0 или через
точку (0; 1) (рис. 10.2). Найдём значения параметра а,
соответствующие этим положениям прямой. Имеем:

Ответ: a = – или a = –1.
З а д а ч а 5. При каких значениях параметра a модуль
разности корней уравнения x
2 – 6x + 12 + a 2 – 4a = 0
принимает наибольшее значение?
Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение так:
(x– 3)
2 + (a – 2) 2 = 1.
Его графиком в системе координат xa является окруж&
ность (рис. 10.3).
Если прямая a = a
0 пересекает окружность в точках A
и B, то модуль разности корней уравнения равен дли&
не отрезка AB (рис. 10.3). Следовательно, надо найти
такое положение прямой a = a
0, при котором хорда
AB имеет наибольшую длину. Это условие выполняет&
ся тогда, когда хорда AB является диаметром окруж&
ности. Отсюда a = 2.
Ответ: a = 2.
1
2
– – a = 0 ,
0 – a = 1;
1
2 a = – ,
a = –1. 1
2
1
2
y
x x 1 x2
a0
2
3
AB
Рис. 10.3

226 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Задача 6. Определите количество корней уравне&
ния cosx = b на промежутке 0; в зависимости от
значения параметра b.
Р е ш е н и е. Изобразим график функции y = cosx на
промежутке 0; (рис. 10.4). Количество корней
определяется количеством точек пересечения прямой
y=b с выделенной частью графика функции y=cosx.
Обратим внимание на то, что точка (0; 1) принадле&
жит выделенной кривой, а точка ; – — не при&
надлежит.
Рассматривая различные положения прямой y = b,
получаем такие результаты:
если b < –1, то корней нет;
если b = –1, то один корень;
если –1 < b < – , то 2 корня;
если –
 b  1, то один корень;
если b > 1, то корней нет.
Ответ: если b < –1 или b > 1, то корней нет;
5
4
5
4
x y 2 0
4 5
1
22
Рис. 10.4
5
4
2
2
2
2
2
2

§ 10. Уравнения с одной переменной 227
если b = –1 или –  b  1, то один корень;
если –1 < b < – , то 2 корня.
З а д а ч а 7. При каких значениях параметра a урав&
нение 4
x – (a + 3) 2 x + 4a – 4 = 0 имеет единственный
корень?
Решение. Пусть 2
x = t. Имеем: t 2 – (a + 3)t + 4a –
– 4 = 0. Отсюда t
1 = 4, t 2= a – 1. Следовательно, ис&
ходное уравнение равносильно совокупности:
Первое уравнение совокупности имеет единственный
корень, равный 2. Второе уравнение совокупности
при каждом значении параметра a или имеет один ко&
рень, или вообще не имеет корней.
Для выполнения условия задачи второе уравнение со&
вокупности либо должно не иметь корней, либо долж&
но иметь единственный корень, равный 2.
Если a
 1, т. е. a – 1  0, то уравнение 2 x = a – 1 кор&
ней не имеет.
Число 2 является корнем второго уравнения совокуп&
ности, если 2
2 = a – 1. Отсюда a = 5.
Ответ: a
 1 или a = 5.
Примеры заданий № 18
Часть 2
1.При каких значениях параметра a уравнение
= 0 имеет единственное решение?
2
2
2
2
2x = 4,
2x = a – 1.
x2 3ax2a 2 a1
x1

228 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
2.Сколько решений имеет уравнение
(x
2 – (3 + a)x + 3a) = 0
в зависимости от значения параметра a ?
3.При каких значениях параметра a уравнение
( – a)(9x – 16) = 0
имеет единственное решение?
4.При каких значениях параметра a уравнение
( – a)(3x
2 + x – 2) = 0 имеет единственное решение?
5.При каких значениях параметра a уравнение
= 0 не имеет корней?
6.При каких значениях параметра a уравнение
= 0 имеет единственное решение?
7.При каких значениях параметра a уравнение
x – = 0 имеет единственное решение?
8.При каких значениях параметра a уравнение
имеет два различных
корня?
9.Найдите наименьшее целое значение параметра a,
при котором уравнение (x – 4a + 12) lgx = 0 имеет два
различных корня.
10.Сколько решений имеет уравнение
(log
2(x + 1) – 3) = 0
в зависимости от значения параметра a?
11.При каких значениях параметра a уравнение
(x – a)log
2(3x – 7) = 0 имеет единственное решение?
12.Найдите все значения параметра a, при которых урав&
нение log
x(ax – 4) = 2 имеет единственное решение.
13.Найдите наименьшее значение параметра a, при ко&
тором уравнение имеет решение.x1
x
x
x2 2ax a 2 1
x2 1
x2 2a2 x6a3
2xx 2
xa 4
x
xa 32x 43 x 3 0
xa
23x ax

§ 10. Уравнения с одной переменной 229
14.Найдите все положительные значения a, при которых
не имеет корней уравнение – (a – 1) = a.
15.Найдите наименьшее целое значение параметра a, при
котором уравнение (x + 2) = 0
имеет два различных корня.
16.Найдите значение параметра a, при котором корень
уравнения lg (sin 5
x) = принадлежит
промежутку (1,5; 2).
17.Найдите все значения параметра a, при которых сумма
корней уравнения x
2 – (a 2 – 5a)x + 4a – 1 = 0 равна –6.
18.При каких значениях параметра a сумма квадратов
корней уравнения x
2 – ax + 4a = 0 равна 9?
19.При каких значениях параметра a корни уравнения
x
2 + 2(a + 1)x + 2a + 5 = 0 имеют разные знаки?
20.Числа x
1 и x 2 — корни уравнения
x
2 – (2a – 3)x + a 2 – 3 = 0.
Найдите значения a, при которых выполняется ра&
венство 2x
1 + 2x 2 = x 1x2.
21.При каких значениях параметра a уравнение
x
2 + (2a – 1)x + a 2 – 3a = 0
имеет два различных положительных корня?
22.Сколько решений в зависимости от значения пара&
метра a имеет уравнение |x + 5 | + |x – 3 | = a?
23.Сколько корней имеет уравнение |x
2 – 4 |x|| = a в за&
висимости от значения параметра a?
24.Определите количество корней уравнения | 2 |x| – 1 | = a
в зависимости от значения параметра a.
25.Найдите все значения параметра a, при которых
уравнение ax + = 0 имеет один корень.
26.Определите количество решений уравнения
в зависимости от значения параметра a.
27.При каких значениях параметра a уравнение
|2|x| – 3 | = x + a имеет три решения?
4x1
xa
4x1
xa
x2 5x49 ax
16ax
x4
1x2 a

230 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
28.При каких значениях параметра a уравнение
x 4 – (a – 1)x 2 + a 2 – 4 = 0 имеет три корня?
29.Найдите все значения параметра a, при которых
уравнение a
2cos + ax 2 = 1 имеет единственное ре&
шение.
30.При каких значениях параметра a уравнение
25
x + (a – 1) 5x + a – 2a 2 = 0 имеет два различных
действительных корня?
31.При каких значениях параметра a уравнение
16
x – (a + 1) 4x + 4a – 12 = 0 имеет единственное ре&
шение?
32.Найдите наименьшее значение параметра a, при ко&
тором имеет корни уравнение
sin
2x – 4(a + 1) sinx – 4(2a + 3) = 0.
33.При каких значениях параметра a уравнение
sin
2x – a + sinx + = 0 имеет на промежутке
0; три корня?
34.При каких значениях параметра a уравнение
cos
22x – acos 2x = 0 имеет на промежутке ;
два корня?
35.Определите количество корней уравнения
cosx + (sinx – a) = 0 на промежутке [0; 2
) в за&
висимости от значения параметра a.
36.Определите количество корней уравнения sinx = a на
промежутке – ; в зависимости от значения па&
раметра a.
37.При каких значениях параметра a промежуток [0;a]
содержит не менее трёх корней уравнения
2cos
2x + cosx = 0?
x
2
1
2 a
2
5
4
4
3
4
1
2
6
2
3

§ 11. Уравнения с двумя переменными и их системы 231
38.При каких значениях параметра a уравнение
(x – a)(tgx – 1) = 0 имеет единственный корень на
промежутке 0; ?
39.Определите, при каких значениях параметра a урав&
нения sinx + = 0 и sinx + sinx – = 0 рав&
носильны.
§ 11. Уравнения с двумя переменными
и их системы
11.1. Решение уравнения с двумя переменными.
График уравнения
Выражения x 2 + y 2, , (x – 1)(y + 2), x – 3y явля&
ются примерами выражений с двумя переменными x и y.
Выражение с переменными x и y обозначают так:
F(x;y) (читают: «эф от икс и игрек»).
Равенство F(x;y) = 0 является уравнением с двумя пе&
ременными x и y.
Например, если F(x; y) = ax + by + c, то равенство
F(x;y) = 0 является линейным уравнением с двумя пере&
менными.
Пару чисел (x
0;y 0) называют решением уравнения
F(x;y) = 0, если F(x
0;y 0) = 0 — правильное числовое ра&
венство.
Решить уравнение F(x;y) = 0 — это значит найти мно&
жество его решений.
З а д а ч а. Решите уравнение x
2 + y 2 + 2 = 2x – 2y.
2
1
2 1
2 a
2
xy
xy

232 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Р е ш е н и е. Имеем:
x
2 – 2x + y 2 + 2y + 2 = 0;
x
2 – 2x + 1 + y 2 + 2y + 1 = 0;
(x – 1)
2 + (y + 1) 2 = 0.
Поскольку (x – 1)
2  0 и (y + 1) 2  0, то левая часть
уравнения обращается в нуль только при одновремен&
ном выполнении условий: x – 1 = 0 и y + 1 = 0. Отсюда
пара чисел (1; –1) — единственное решение данного
уравнения.
Ответ: (1; –1).
Графиком уравнения с двумя переменными называ&
ют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и
только тех точек координатной плоскости, координаты
которых (пары чисел) являются решениями данного
уравнения.
Например, графиком уравнения x
2 + y 2 + 2 = 2x – 2y
является единственная точка M(1; –1) (рис. 11.1).
На рисунке 11.2 изображён график функции y = 2x – 1.
Поскольку формула, задающая линейную функцию, яв&
ляется уравнением с двумя переменными, то также мож&
но сказать, что на рисунке 11.2 изображён график урав&
нения y = 2x – 1.
y
x 0
1
1
M
y
x 0
1
1
Рис. 11.1 Рис. 11.2

§ 11. Уравнения с двумя переменными и их системы 233
На рисунке 11.3 изображена гипербола, являющаяся
графиком уравнения xy = 12. На рисунке 11.4 изображена
окружность, являющаяся графиком уравнения x
2 + y 2 = 4.
Если какая&то фигура является графиком уравне&
ния, то выполняются два условия:
1) все решения уравнения являются координатами то&
чек, принадлежащих графику;
2) координаты любой точки, принадлежащей графи&
ку, — это пара чисел, которая является решением данно&
го уравнения.
11.2. Системы уравнений с двумя переменными.
Решение систем уравнений графическим методом
Если требуется найти все общие решения нескольких
уравнений, то говорят, что нужно решить систему урав#
нений.
Систему уравнений записывают с помощью фигурной
скобки.
Так, запись
является примером системы двух уравнений с двумя пе#
ременными.
y
x 011
y
x 0
1
1
Рис. 11.3 Рис. 11.4
x2 + y 2 = 4,
y = x2 – 4

234 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Решением системы уравнений с двумя переменными
называют пару значений переменных, обращающую
каждое уравнение в верное равенство.
Например, пара чисел (–2; 0) является решением сис&
темы
Однако нахождение одного решения не означает, что
данная система решена.
Решить систему уравнений — значит найти множест&
во её решений.
Пусть стоит задача решить систему уравнений
На рисунке 11.5 изображены графики уравнений
–6x+5y=9 и 4x+3y= 13. Они пересекаются в точке
M(1; 3). Эта точка принадлежит каждому из графиков.
Следовательно, пара чисел (1; 3) является общим реше&
нием данных уравнений.
Других общих точек графики уравнений не имеют, а
следовательно, не имеет других решений и сама система.
Вывод: пара чисел (1; 3) — единственное решение данной
системы.
x2 + y 2 = 4,
y = x2 – 4.
–6x + 5y = 9,
4x + 3y = 13.
Рис. 11.5

§ 11. Уравнения с двумя переменными и их системы 235
Описанный метод решения системы уравнений назы&
вают графическим. Его суть состоит в следующем:
построить на одной координатной плоскости графи&
ки уравнений, входящих в систему;
найти координаты всех точек пересечения постро&
енных графиков;
полученные пары чисел и будут искомыми решени&
ями.
Графический метод эффективен в тех случаях, когда
требуется определить количество решений системы. На&
пример, на рисунке 11.6 изображены графики функций
y=f(x) и y=g(x). Эти графики имеют три общие точки.
Это позволяет нам утверждать, что система
имеет три решения.
З а д а ч а 1. Решите графически систему уравнений
Р е ш е н и е. Первое уравнение системы равносильно
такому: y=x
2–4x+ 3. Его графиком является пара&
бола, изображённая на рисунке 11.7.
Графиком второго уравнения является прямая, кото&
рая пересекает построенную параболу в двух точках:
(1; 0) и (4; 3) (рис. 11.7).
y = f(x),
y = g(x)
0x y
y = f(x)
y = g(x)
Рис. 11.6
x2 – 4x – y + 3 = 0,
y – x + 1 = 0.

236 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Проверка подтверждает, что пары чисел (1; 0) и
(4; 3) действительно являются решениями данной
системы.
О т в е т: (1; 0), (4; 3).
З а д а ч а 2. Определите количество решений системы
уравнений
Р е ш е н и е. Графиком первого уравнения системы
является окружность радиуса 3 с центром (0; 0).
Второе уравнение равносильно такому: y = . Гра&
фиком этого уравнения является гипербола.
Изобразим окружность и гиперболу на одной коорди&
натной плоскости (рис. 11.8). Мы видим, что графики
пересекаются в четырёх точках. Следовательно, дан&
ная система имеет четыре решения.
Ответ: 4 решения.
y
x
0
1
1
34
y
x 01
1
3
Рис. 11.7 Рис. 11.8
x2 + y 2 = 9,
xy = .
7
2
35
x

§ 11. Уравнения с двумя переменными и их системы 237
11.3. Методы решений системы двух уравнений
с двумя переменными
В пункте 11.2 мы решили графическим методом сис&
тему уравнений
Решим эту систему методом подстановки.
Выразим переменную y через переменную x во втором
уравнении системы:
y= x – 1.
Подставим в первое уравнение вместо y выражение
x–1:
x
2 – 4x – (x – 1) + 3 = 0.
Получили уравнение с одной переменной. Упростив
его, получим квадратное уравнение x
2 – 5x + 4 = 0. От&
сюда x
1 = 1, x 2 = 4.
Значения y, которые соответствуют найденным значени&
ям
x, найдём из уравнения y = x – 1. Имеем: y1 = 1 – 1 = 0,
y2 = 4 – 1 = 3.
О т в е т: (1; 0), (4; 3).
В пункте 11.2 мы графическим методом определили
количество решений системы уравнений
Решим эту систему методом сложения.
Умножим второе уравнение рассматриваемой систе&
мы на 2:
Сложим почленно левые и правые части уравнений. По&
лучаем: x
2 + y 2 + 2xy = 16. Отсюда (x + y) 2 = 16; x + y = 4
или x + y = –4.
Для решения данной системы достаточно решить две
более простые системы.
x2 – 4x – y + 3 = 0,
y – x + 1 = 0.
x2 + y 2 = 9,
xy = .
7
2
x2 + y 2 = 9,
2xy = 7.

238 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
О т в е т: ; , ; ,
; , ; .
В пункте 10.7 был рассмотрен метод замены перемен#
ных при решении уравнений. Этот метод применяется и
для решения целого ряда систем уравнений.
З а д а ч а 1. Решите систему уравнений
Решение. Пусть = t. Тогда = .
Теперь первое уравнение системы можно записать
так:
t + = . 1)
Решив второе уравнение
этой системы, получим:
x
1 = , x 2 = .
Тогда y
1 = ,
y
2 = .2)
Решив второе уравнение
этой системы, получим:
x3 = , x4 = .
Тогда y 3 = ,
y
4 = .
x + y = 4,
2xy = 7;
y = 4 – x,
2x(4 – x) = 7;
y = 4 – x,
2x
2 – 8x + 7 = 0.
42
2
42
2
42
2
42
2
x + y = –4,
2xy = 7;
y = –4 – x,
2x(–4 – x) = 7;
y = –4 – x,
2x
2 + 8x + 7 = 0.
4 2
2
4 2
2
4 2
2
4 2
2
42
2
42
2
42
2
42
2
4 2
2
4 2
2
4 2
2
4 2
2
+ = ,
x
2 + y 2 = 10.
xy
xy
xy
xy
5
2
xy
xy
xy
xy
1
t
1
t 5
2

§ 11. Уравнения с двумя переменными и их системы 239
Отсюда 2t 2 – 5t + 2 = 0; t 1 = 2, t 2 = .
Для решения исходной системы достаточно решить
две более простые системы.
О т в е т: (3; 1), (–3; –1), (–3; 1), (3; –1).
З а д а ч а 2. Решите систему уравнений

Р е ш е н и е. Заметим, что данная система не изменит&
ся, если заменить x на y, а y на x. В таких случаях мо&
жет оказаться эффективной замена x+y=u, xy=v.
Перепишем данную систему так:
Выполним указанную замену. Получим систему:1)
Из второго уравнения по&
лучаем:
y
1 = 1, y 2 = –1.
Тогда x
1 = 3, x 2 = –3.2)
Из второго уравнения по&
лучаем:
y
3 = 1, y 4 = –1.
Тогда x
3 = –3, x 4 = 3.
1
2
= 2,
x
2 + y 2 = 10;
xy
xy
x + y = 2x – 2y,
x
2 + y 2 = 10;
x = 3y,
10y
2 = 10.
= ,
x
2 + y 2 = 10;
xy
xy
1
2
2x + 2y = x – y,
x
2 + y 2 = 10;
x = –3y,
10y
2 = 10.
2x + 2y + xy = 8,
x2 + y 2 + 3x + 3y = 14.
2(x + y) + xy = 8,
(x + y) 2 – 2xy + 3(x + y) = 14.
2u + v = 8,
u
2 – 2v + 3u = 14.

240 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Её можно решить методом подстановки (сделайте это
самостоятельно). Получаем:
или
Остаётся решить две системы:
и
Каждую из них можно решить методом подстановки.
Однако здесь удобнее воспользоваться теоремой, об&
ратной теореме Виета. Так, для системы
можно считать, что x и y — корни квадратного урав&
нения t
2 – 3t + 2 = 0. Отсюда t 1 = 1, t 2 = 2. Следова&
тельно, пары чисел (1; 2) и (2; 1) являются решения&
ми этой системы.
Используя эту же идею, легко убедиться (сделайте это
самостоятельно), что система реше&
ний не имеет.
О т в е т: (1; 2), (2; 1).
З а д а ч а 3. Решите систему уравнений
Р е ш е н и е. Имеем:
Пусть = u, = v. Получаем:

u = 3,
v = 2 u = –10,
v = 28.
x + y = 3,
xy = 2 x + y = –10,
xy = 28.
x + y = 3,
xy = 2
x + y = –10,
xy = 28
,
3x + 2y = 4. 2xy1 xy 1
,
2x + y + 1 + x + y = 5. 2xy1 xy 1
2xy1 xy
u – v = 1,
u2 + v 2 = 5.

§ 11. Уравнения с двумя переменными и их системы 241
Отсюда
Поскольку u
 0 и v  0, то исходная система равно&
сильна такой:
Отсюда
Ответ: (2;–1).
Многочлен, все члены которого имеют одну и ту же
степень, называют однородным многочленом.
Например,
x – 2y— однородный многочлен пер&
вой степени,
x
2 – 3xy – y 2 — однородный многочлен вто&
рой степени,
3x
3 – 2xy 2 + x 2y – y 3— однородный многочлен тре&
тьей степени.
Для решения систем вида где F(x; y)
и G(x;y) — однородные многочлены, эффективной явля&
ется замена = t.
З а д а ч а 4. Решите систему уравнений
Р е ш е н и е. Очевидно, что пара чисел вида (x
0;0)
не является решением данной системы. Тогда можно
выполнить замену = t. Отсюда x = yt.
u = 2,
v = 1,
u = –1,
v = –2.
,
= 1. 2xy12
xy
2x + y + 1 = 4,
x + y = 1; x = 2,
y = –1.
F(x; y) = a,
G(x; y) = b,
x
y
x3 – y 3 = 7,
x 2y + xy 2 = 6.
x
y

242 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Имеем: Отсюда = ;
= ;
6t
3 – 7t 2 – 7t – 6 = 0;
6t
3 – 12t 2 + 5t 2 – 10t + 3t – 6 = 0;
6t
2(t – 2) + 5t(t – 2) + 3(t – 2) = 0;
(t – 2)(6t
2 + 5t + 3) = 0;
t = 2.
Исходная система равносильна такой:
Решив эту систему методом подстановки, получаем
ответ.
Ответ: (2; 1).
Примеры заданий № 19
Часть 1
1.Для уравнения 7x – 2y = –16 найдите значение x, со&
ответствующее значению y, равному –2,5.
2.Известно, что пара чисел (–3; 2) является решением
уравнения 4x + by = 30. Найдите значение b.
3.Найдите сумму координат точки пересечения графи&
ка уравнения 5x – 8y = 80 с осью ординат.
4.При каком значении a график уравнения 7x – 9y =
=a + 6 проходит через начало координат?
5.Установите соответствие между утверждениями, за&
писанными в левом столбце, и системами уравнений,
записанными в правом столбце.
y3t3 – y 3 = 7,
y 3t3 + y 3t = 6. y3t3 y3
y3t2 y3t
7
6
y3t3 1
y3t2 t
7
6
= 2,
x
3 – y 3 = 7 .
x
y

§ 11. Уравнения с двумя переменными и их системы 243
В таблице под каждой буквой укажите номер соот&
ветствующей системы уравнений.
Часть 2
6.Решите уравнение x
2 + 14y – 4x = –y 2 – 53.
7.Постройте график уравнения x
2 + y 2 – 6x + 4y + 13 = 0.
8.Постройте график уравнения |y – x| = |x + 1 |.
9.Постройте график уравнения = 0.
10.Решите графически систему уравнений
11.Определите графически количество решений систе&
мы уравнений
12.Определите графически количество решений систе&
мы уравнений УТВЕРЖДЕНИЯСИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
А) система уравнений не имеет
решений1)
Б) система уравнений имеет
одно решение2)
В) система уравнений имеет
два решения3)
Г) система уравнений имеет
бесконечное множество решений4)
АБВ Г
x + y = 0,
x2 + y 2 = 0
x + y = 0,
x2 – y 2 = 0
x – y = 0,
x2 – y 2 = 1
x – y = 1,
x2 + y 2 = 1
yx 2
x1 2 y1 2
x2 + y 2 = 4,
x – y = 2.
x2 + y 2 = 25,
xy = 9.
x2 + y 2 = 16,
y = 4 – x2.

244 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
13.Решите систему уравнений
14.При каких значениях параметра a система уравнений
имеет бесконечно много решений?
15.При каких значениях параметра a система уравне&
ний не имеет решений?
16.Решите систему уравнений
17.Решите систему уравнений
18.Решите уравнение
|x
2 + 3y – 22 | + x 2 + 10xy + 25y 2 = 0.
19.Решите систему уравнений
20.Решите систему уравнений
21.Решите систему уравнений
22.Решите систему уравнений
23.Найдите координаты точек пересечения прямой
2x – y + 2 = 0 и параболы y = 2x
2 + 5x – 7.
24.Решите систему уравнений
25.Решите систему уравнений
x – 3y = –14,
+ = –2,5.
x
2 y3
5
2x + ay = –2,
ax + 8y = –4
3x + ay = 5,
ax + 12y = a + 4
y2 – xy = 12,
3y – x = 10.
x – 2y = 6,
x2 – xy + y 2 = 12.
2x 2 – 7y 2 = 22,
10x 2 – 35y 2 = –22x.
(x – 6)(y + 2) = 0,
= 2.
y3
xy9
x2 + y 2 = 65,
xy = 8.
x2 + 10xy + 25y 2 = 9,
x – 5y = 7.
5x 2 – y = 39,
3x2 + y = 33.
3x + 2xy = 6,
y – 2xy = –15.

§ 11. Уравнения с двумя переменными и их системы 245
26.Решите систему уравнений
27.Решите систему уравнений
28.Решите систему уравнений
29.Решите систему уравнений
30.Решите систему уравнений
31.Решите систему уравнений
32.Решите систему уравнений
33.Для каждого значения параметра a найдите количе&
ство решений системы уравнений
34.При каких значениях параметра a система уравне&
ний имеет два решения?
35.При каких значениях параметра a система уравне&
ний имеет три решения?
36.Найдите все значения параметра a, при которых сис&
тема уравнений имеет четыре реше&
ния. x – y + xy = 9,
x – y – xy = –1.
x2 + y 2 = 17,
x + xy + y = 9.
– = – ,
4y – 3x = 13.x
y y
x 8
3
– = 1,
x
2 – 5xy + 2y 2 = 32.
x
y 2y
x
xy – = 6,
3xy + = 28. x
y
2x
y
4x 2 – 2xy + y 2 = 4,
6x 2 – 3xy – y 2 = –4.
|x – 2 | + y 2 = 2 – x,
y = x 2 + 2x – 15.
x + y = 6,
x2 + y 2 = a.
x – y = 4,
x2 + y 2 = a
x2 + (y – 2) 2 = 1,
y = |x| + a
|x| + |y| = 2,
x2 + y 2 = a

246 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
§ 12. Применение математических методов
для решения прикладных задач
12.1. Решение прикладных задач
с помощью уравнений
Часто условие задачи представляет собой описание
какой&то реальной ситуации. Составленное по этому ус&
ловию уравнение называют математической моделью
этой ситуации.
При решении задач на составление уравнений
пользуются следующей схемой:
1) по условию задачи составить уравнение (сконстру&
ировать математическую модель задачи);
2) решить уравнение, полученное на первом шаге;
3) выяснить, соответствует ли найденный корень
смыслу задачи, и дать ответ.
Задача 1. Из пункта A выехал велосипедист, а через
45 мин после этого в том же направлении выехал гру&
зовик, догнавший велосипедиста на расстоянии 15 км
от пункта A. Найдите скорость велосипедиста и ско&
рость грузовика, если скорость грузовика на 18 км/ч
больше скорости велосипедиста.
Решение.
Пусть скорость велосипедиста равна xкм/ч,
тогда скорость грузовика составляет (x+18) км/ч. Ве&
лосипедист проезжает 15 км за ч, а грузовик — за
ч. Поскольку грузовик проехал 15 км на
45 мин, т. е. на ч, быстрее, чем велосипедист, то по&
лучаем уравнение – = .
15
x
15
x18
3
4
15
x 15
x18 3
4

§ 12. Применение математических методов... 247
Решим это уравнение:
– = ;
– = ;
= 0;
Решив квадратное уравнение системы, получим:
x= 12 или x= –30.
Корень –30 не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч,
а скорость грузовика составляет 12 + 18 = 30 (км/ч).
О т в е т: 12 км/ч, 30 км/ч.
Задача 2. Одна бригада работала на ремонте дороги
7 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада.
Через 2 ч их совместной работы ремонт был завершён.
За сколько часов может отремонтировать дорогу каж&
дая бригада, работая самостоятельно, если первой для
этого требуется на 4 ч больше, чем второй?
Р е ш е н и е. Пусть первая бригада может самостоя&
тельно отремонтировать дорогу за xч, тогда второй
для этого нужно (x– 4) ч. За 1 ч первая бригада ремон&
тирует часть дороги, а вторая — часть дороги.
Первая бригада работала 9 ч и отремонтировала до&
роги, а вторая бригада работала 2 ч и отремонтирова&
ла соответственно дороги. Поскольку в результа&
те была отремонтирована вся дорога, то + = 1.
15
x 15
x18 3
4
15
x 15
x18 1
4
20x360 20xx 2 18x
4xx18
x2 + 18x – 360 = 0,
x  0,
x  –18.
1
x 1
x4
9
x
2
x4
9
x 2
x4

248 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Полученное уравнение имеет два корня x 1=12 и
x
2= 3 (убедитесь в этом самостоятельно). Второй ко&
рень не удовлетворяет условию задачи, поскольку
тогда вторая бригада должна была бы отремонтиро&
вать дорогу за 3 – 4 = –1 (ч), что не имеет смысла.
Ответ: 12ч, 8ч.
Задача 3. Водный раствор соли содержал 120 г во&
ды. После того как к раствору добавили 10 г соли, его
концентрация увеличилась на 5%. Сколько граммов
соли содержал раствор сначала?
Р е ш е н и е. Пусть исходный раствор содержал xг со&
ли. Тогда его масса была равна (x+ 120) г, а масса со&
ли составляла часть массы всего раствора.
После того как к раствору добавили 10 г соли, её масса
в растворе составила (x+ 10) г, а масса раствора —
(x+ 130) г. Теперь соль составляет часть рас&
твора, что на 5%, т. е. на , больше, чем . От&
сюда получаем: – = .
Полученное уравнение имеет два корня: x
1= 30 и
x
2= –280 (убедитесь в этом самостоятельно), из кото&
рых второй корень не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, раствор содержал сначала 30 г соли.
О т в е т: 30 г.
Примеры заданий № 20
Часть 1
1.В магазине спортивной одежды действует акция: при
покупке любых двух одинаковых футболок за одну
из них платят на 30% меньше, чем за другую. За две
x
x120
x10
x130
1
20 x
x120
x10
x130
x
x120 1
20

§ 12. Применение математических методов... 249
одинаковые футболки, купленные в этом магазине во
время акции, Михаил заплатил 4250 р. Сколько руб&
лей заплатит Михаил, если он купит только одну
футболку?
2.Для проведения химического опыта требуется пяти&
процентный раствор соли. В лаборатории имеется
800 г двадцатипроцентного раствора этой соли. Сколь&
ко килограммов воды надо долить в этот раствор, что&
бы получить раствор необходимой концентрации?
3.Из двух городов, расстояние между которыми 76 км,
одновременно навстречу друг другу выехали два ве&
лосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый
велосипедист сделал остановку на 39 мин, а затем
продолжил движение до встречи со вторым велосипе&
дистом. Скорость первого велосипедиста составляет
10 км/ч, а второго — 12 км/ч. Найдите расстояние от
города, из которого выехал второй велосипедист, до
места встречи. Ответ дайте в километрах.
Часть 2
4.Из села A в село B, расстояние между которыми рав&
но 30 км, велосипедист проехал с некоторой скоро&
стью, а возвращался со скоростью на 3 км/ч большей
и потратил на 30 мин меньше, чем на путь из села A
в село B. Найдите первоначальную скорость велоси&
педиста.
5.Из села на станцию вышел пешеход. Через 36 мин
после него из этого села выехал в том же направлении
велосипедист, который догнал пешехода на расстоя&
нии 6 км от села. Найдите скорость пешехода, если
она на 9 км/ч меньше скорости велосипедиста.
6.Из города A в город B выехал велосипедист. Через 3 ч
из города A выехал мотоциклист, прибывший в город B
одновременно с велосипедистом. Найдите скорость
мотоциклиста, если она на 45 км/ч больше скорости
велосипедиста, а расстояние между городами A и B
составляет 60 км.

250 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
7.Расстояние от пункта A до пункта B по шоссе равно
120 км, а по железной дороге — 150 км. Автомобиль
из пункта A выехал на 25 мин позже, чем поезд, и
прибыл в пункт B на 35 мин раньше. Найдите ско&
рость автомобиля, если она на 20 км/ч больше скоро&
сти поезда.
8.Первую половину пути, составляющую 20 км, вело&
сипедист двигался со скоростью на 5 км/ч большей,
чем скорость, с которой он преодолел остальные
20 км. С какой скоростью проехал велосипедист вто&
рую половину пути, если на весь путь он потратил
3ч20мин?
9.Из пункта A в пункт B выехали одновременно два ав&
томобиля. Первый автомобиль проехал весь путь с
постоянной скоростью. Второй проехал первую поло&
вину пути со скоростью 66 км/ч, а вторую половину
пути — со скоростью, меньшей скорости первого ав&
томобиля на 5 км/ч. Автомобили прибыли в пункт В
одновременно. Найдите скорость первого автомоби&
ля, если известно, что она больше 50 км/ч.
10.Лодка проплыла 5 км по течению реки и 3 км против
течения, затратив на весь путь 40 мин. Скорость те&
чения составляет 3 км/ч. Найдите скорость движе&
ния лодки по течению.
11.Катер проходит 4 км против течения реки и 15 км по те&
чению за то же время, которое требуется плоту, чтобы
проплыть 2 км по этой реке. Найдите скорость течения,
если собственная скорость катера равна 18 км/ч.
12.Катер прошел 15 км по течению реки и 4 км по озеру,
затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную ско&
рость катера, если скорость течения реки составляет
4км/ч.
13.Турист проплыл на моторной лодке 25 км против те&
чения реки и вернулся назад на плоту. Найдите ско&
рость течения реки, если на плоту турист плыл на
10 ч больше, чем на лодке, а собственная скорость
лодки составляет 12 км/ч.

§ 12. Применение математических методов... 251
14.Расстояние между пристанями А и В равно 63 км. От
пристани А к пристани В по течению реки отправился
плот, а через 2 ч вслед за ним отправилась моторная
лодка, которая, приплыв к пристани В, тотчас поверну&
ла обратно и возвратилась к пристани А. К этому време&
ни плот проплыл 20 км. Найдите собственную скорость
лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
15.Для перевозки 30 т грузовому автомобилю надо было
сделать несколько рейсов, но груз пришлось перево&
зить на автомобиле, имеющем грузоподъёмность на
2 т большую, чем планировалось. Из&за этого для пе&
ревозки груза понадобилось на 4 рейса меньше, чем
планировалось. Найдите грузоподъёмность автомо&
биля, перевёзшего груз.
16.Первый рабочий изготавливает 96 одинаковых дета&
лей на 2 ч быстрее, чем второй 112 таких же деталей.
Сколько деталей в час изготавливает первый рабо&
чий, если он делает за час на 2 детали больше, чем
второй?
17.Во время строительства нового театра бригада рабо&
чих должна была смонтировать 420 мест для зрителей.
Задание было выполнено на день раньше запланиро&
ванного срока, поскольку монтировали на 10 мест в
день больше, чем было запланировано. Сколько мест
в день монтировала бригада?
18.Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч.
Первая бригада может самостоятельно вспахать это
поле на 12 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов
может вспахать это поле самостоятельно вторая бри&
гада?
19.Первая бригада работала на ремонте дороги 9 ч, после
чего к ней присоединилась другая бригада. Через 6 ч
совместной работы оказалось, что отремонтирована
половина дороги. За сколько часов может отремон&
тировать дорогу каждая бригада, работая самостоя&
тельно, если первой бригаде для этого надо на 9 ч
больше, чем второй?

252 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
20.Водно&солевой раствор содержал 4 кг соли. Через не&
которое время 4 кг воды испарилось, вследствие чего
концентрация соли в растворе увеличилась на 5%.
Какой была первоначальная масса раствора?
21.К сплаву магния и алюминия, содержавшему 8 кг
алюминия, добавили 6 кг магния, после чего процент&
ное содержание магния в сплаве увеличилось на
30%. Сколько килограммов магния содержал исход&
ный сплав?
12.2. Решение прикладных задач
с помощью систем уравнений
З а д а ч а 1. Из двух пунктов, расстояние между кото&
рыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу
друг другу два туриста и встретились через 2 ч. С ка&
кой скоростью шёл каждый турист, если для прохож&
дения всего расстояния между пунктами одному из
них нужно на 54 мин больше, чем другому?
Р е ш е н и е. Пусть скорость первого туриста равна
xкм/ч, а второго — y км/ч, x < y. До встречи первый
турист прошел 2x км, а второй — 2y км. Вместе они
прошли 18 км. Тогда 2x + 2y = 18.
Расстояние между пунктами первый турист проходит
за ч, а второй — за ч. Так как первому туристу
для прохождения этого расстояния нужно на 54 мин =
= ч = ч больше, чем второму, то – = .
Получаем систему уравнений
Тогда
18
x 18
y
54
60 9
10 18
x 18
y 9
10
2x + 2y = 18,
– = .
18
x 18
y 9
10
x + y = 9,
– = ;
2
x 2
y 1
10
x = 9 – y,
– = .
2
9y 2
y 1
10

§ 12. Применение математических методов... 253
Решив второе уравнение последней системы, получа&
ем: y
1 = 5, y 2 = –36. Корень –36 не подходит по смыс&
лу задачи. Следовательно, y = 5, x = 4.
О т в е т: 4 км/ч, 5 км/ч.
З а д а ч а 2. Два рабочих могут вместе выполнить про&
изводственное задание за 10 дней. После 6 дней сов&
местной работы одного из них перевели на другое за&
дание, а второй продолжал работать. Через 2 дня са&
мостоятельной работы второго оказалось, что сделано
всего задания. За сколько дней каждый рабочий мо&
жет выполнить это производственное задание, рабо&
тая самостоятельно?
Решение. Пусть первый рабочий может выполнить
всё задание за x дней, а второй — за y дней. За 1 день
первый рабочий выполняет часть задания, а за
10 дней — часть задания. Второй рабочий за 1 день
выполняет часть задания, а за 10 дней — часть
задания. Так как за 10 дней совместной работы они
выполняют всё задание, то + = 1.
Первый рабочий работал 6 дней и выполнил часть
задания, а второй работал 8 дней и выполнил часть
задания. Так как в результате было выполнено за&
дания, то + = .
Получили систему уравнений
2
3
1
x
10
x
1
y 10
y
10
x 10
y
6
x
8
y
2
3
6
x 8
y 2
3
+ = 1,
+ = . 10
x 10
y
6
x 8
y 2
3

254 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Сделав замену = u, = v, решите эту систему само&
стоятельно. Пара чисел x = 15, y = 30 является её ре&
шением. Следовательно, первый рабочий может вы&
полнить задание за 15 дней, а второй — за 30 дней.
О т в е т: 15 дней, 30 дней.
З а д а ч а 3. При делении двузначного числа на про&
изведение его цифр получим неполное частное 5 и
остаток 2. Разность этого числа и числа, полученно&
го перестановкой его цифр, равна 36. Найдите это
число.
Р е ш е н и е. Пусть искомое число содержит x десят&
ков и y единиц. Тогда оно равно 10x + y. Так как при
делении этого числа на число xy получаем неполное
частное 5 и остаток 2, то 10x + y = 5xy + 2.
Число, полученное перестановкой цифр данного, рав&
но 10y + x. По условию (10x + y) – (10y + x) = 36.
Получаем систему уравнений
решениями которой являются две пары чисел: x = 6;
y = 2 или x = 0,2; y = –3,8. Но вторая пара не подходит
по смыслу задачи.
Следовательно, искомое число равно 62.
Ответ: 62.
Примеры заданий № 21
Часть 2
1.Имеем два сплава меди и цинка. Первый сплав содер&
жит 9%, а второй — 30% цинка. Сколько надо взять
килограммов первого сплава и сколько килограммов
второго, чтобы получить сплав массой 300 кг,
содержащий 23% цинка?
1
x 1
y
10x + y = 5xy + 2,
(10x + y) – (10y + x) = 36,

§ 12. Применение математических методов... 255
2.Двое рабочих могут выполнить задание, работая вмес&
те, за 2 дня. За сколько дней может выполнить это за&
дание каждый рабочий самостоятельно, если одному из
них для выполнения задания надо на 3 дня меньше,
чем другому для выполнения задания?
3.Вкладчик положил в банк на два разных счёта общую
сумму 150 000 р. По первому из них банк выплачива&
ет 7% годовых, а по второму — 10% годовых. Через
год вкладчик получил 12 000 р. процентных денег.
Сколько рублей он положил на первый счёт?
4.Известно, что 4 кг огурцов и 3 кг помидоров стоили
340 р. После того как огурцы подорожали на 50%, а
помидоры подешевели на 20%, за 2 кг огурцов и 5 кг
помидоров заплатили 360 р. Найдите первоначаль&
ную цену 1 кг огурцов и 1 кг помидоров.
5.Из города A в город B, расстояние между которыми рав&
но 320 км, выехал грузовой автомобиль. Через 3 ч после
этого из города B в город A выехал легковой автомо&
биль, который встретился с грузовым через 1 ч после
своего выезда. Легковой автомобиль преодолевает рас&
стояние между городами A и B на 1 ч 20 мин быстрее,
чем грузовой. Найдите скорость легкового автомобиля.
6.Две бригады работали на сборе яблок. В первый день
первая бригада работала 2 ч, а вторая — 3 ч, причём
вместе они собрали 23 ц яблок. На следующий день
первая бригада за 3 ч собрала на 2 ц больше, чем вто&
рая за 2 ч. Сколько центнеров яблок в час собирала
каждая бригада?
7.Из села A в село B, расстояние между которыми рав&
но 70 км, выехал мотоциклист. За 10 мин до этого на&
встречу ему из села B выехал велосипедист, который
встретился с мотоциклистом через 1 ч после своего
выезда. Найдите скорость каждого из них, если мото&
циклист за 2 ч проезжает на 104 км больше, чем ве&
лосипедист за 4 ч.
1
3
2
3

256 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
8.Бассейн можно наполнить водой через две трубы, от&
крыв их одновременно, за 4 ч 48 мин. В течение 7 ч
бассейн наполняли водой через первую трубу, а затем
открыли и вторую трубу. Через 2 ч после этого бас&
сейн был наполнен. За сколько часов можно напол&
нить бассейн через первую трубу?
12.3. Решение прикладных задач
арифметическим способом
Составление уравнений и их систем — это не единст&
венный способ решения текстовых задач. Также эффек&
тивным приёмом является «решение задач по действи&
ям», т. е. арифметическим способом, когда в определён&
ной последовательности находят значения числовых вы&
ражений и в конечном итоге получают ответ. Здесь
переводом задачи из реальной жизни на математический
язык является запись одного или нескольких числовых
выражений.
З а д а ч а 1. Велосипедист проезжает расстояние меж&
ду сёлами Солнечное и Счастливое за 2 ч, а пешеход
проходит это расстояние за 6 ч. Велосипедист и пеше&
ход одновременно отправились из этих сёл навстречу
друг другу. Через сколько часов после начала движе&
ния они встретятся?
Р е ш е н и е. Расстояние между сёлами примем за еди&
ницу. За 1 ч велосипедист проезжает этого расстоя&
ния, а пешеход проходит расстояния.
1) + = + = = (расстояния) — преодолеют
велосипедист и пешеход за 1 ч вместе.
2) 1 : = 1
= = 1,5 (ч) — время, за которое вело&
сипедист и пешеход преодолеют всё расстояние.
1
2
1
6
1
2 1
6 3
6 1
6 4
6 2
3
2
3 3
2 3
2

§ 12. Применение математических методов... 257
Таким образом, они встретятся через 1,5 ч.
Ответ: 1,5ч.
З а д а ч а 2. Свежие грибы содержат 90% воды, а су&
хие — 12%. Сколько требуется свежих грибов для
приготовления 5 кг сухих грибов?
Решение.
Пусть масса сухих грибов составляет 100%.
Тогда масса сухого вещества в них составляет 100 – 12 =
= 88 (%) или 0,88.
1) 5
0,88 = 4,4 (кг) — сухого вещества содержится
как в сушёных, так и в свежих грибах.
Пусть масса свежих грибов составляет 100%. Тогда мас&
са сухого вещества в них составляет 100 – 90 = 10 (%)
или 0,1.
2) 4,4 : 0,1 = 44 (кг) — требуется свежих грибов.
Ответ: 44 кг.
Задача 3. Первую половину пути автомобиль про&
ехал со скоростью 72 км/ч, а вторую — со скоростью
48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути.
Р е ш е н и е. Пусть длина половины пути равна s км.
Тогда первую половину пути автомобиль проехал за
ч, а вторую — за ч. Всего он проехал 2s км за
ч. Следовательно, его средняя скорость состав&
ляет = 2 : = = 57,6 (км/ч).
О т в е т: 57,6 км/ч.
Примеры заданий № 22
Часть 1
1.Старые часы отстают каждый час на 20 с. На сколько
минут отстанут часы через 24 ч после того, как время
на них будет выставлено точно?
s
72 s
48
s
72 s
48
2s
s
72
s
48
1
72 1
48 27248
72 48

258 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
2.Велосипедист проехал 20 км со скоростью 10 км/ч и
15 км со скоростью 5 км/ч. Найдите среднюю ско&
рость движения велосипедиста. Ответ дайте в кило&
метрах в час.
3.Объём бака автомобиля составляет 40 л, а расход топ&
лива на каждые 100 км — 10 л. Какое наименьшее
количество раз водителю придётся заехать на заправ&
ку, если ему надо проехать 1300 км, а бак в начале
движения был заполнен наполовину?
4.Кирилл купил 5 тетрадей, после чего у него осталось
260 р. Для покупки 8 тетрадей ему не хватало 160 р.
Сколько рублей стоит одна тетрадь?
5.На первый автомобиль погрузили 36 мешков с карто&
фелем, а на второй автомобиль — 24 мешка с картофе&
лем. Все мешки с картофелем имели одинаковую мас&
су. На второй автомобиль погрузили на 192 кг карто&
феля меньше, чем на первый. Сколько килограммов
картофеля погрузили на оба автомобиля вместе?
6.Предприятие выпустило 30 000 акций. Работники
предприятия купили 40% всех акций, а остальные
акции приобрели три фирмы&инвесторы A, B и C, раз&
делив их между собой в отношении 2 : 3 : 4 соответ&
ственно. Сколько акций приобрела фирма B?
7.Моторная лодка проплыла 36 км по течению реки за
3 ч и 36,8 км против течения за 4 ч. Какова скорость
течения реки? Ответ дайте в километрах в час.
8.Между правым и левым берегами реки курсирует па&
ром, который начинает первый рейс в 8:00 от правого
берега, а затем каждые 30 мин отправляется в новый
рейс от одного берега к другому, перевозя каждый
раз не более 75 пассажиров. Татьяна заняла очередь
на правом берегу в 11:50 и была в очереди сто двад&
цать шестой. Через сколько минут после этого она от&
правится на пароме на левый берег?
9.В олимпиаде по математике каждую школу представ&
ляли два или три учащихся. Всего в олимпиаде уча&
ствовали 60 учащихся из 24 школ. Какое количество
школ направили на олимпиаду по 3 учащихся?

§ 12. Применение математических методов... 259
Часть 2
10.Между железнодорожной станцией и аэропортом го&
рода A курсирует один электропоезд без промежуточ&
ных остановок. Электропоезд первый раз отходит от
железнодорожной станции в 8:00. Время движения
от железнодорожной станции до аэропорта составляет
20 мин, а время движения в обратном направлении —
15 мин. Время стоянки электропоезда на каждой
остановке составляет 10 мин. Екатерина купила би&
лет на электропоезд на железнодорожной станции в
13:15. Через сколько минут она приедет в аэропорт?
11.Машинист пассажирского поезда, двигавшегося со
скоростью 56 км/ч, заметил, что встречный товар&
ный поезд, двигавшийся навстречу со скоростью
34 км/ч, прошёл мимо него за 15 с. Сколько метров
составляет длина товарного поезда?
12.Поезд, двигаясь со скоростью 28 км/ч, проезжает ми&
мо пешехода, идущего параллельно путям со скоро&
стью 4 км/ч в направлении движения поезда, за 90 с.
Найдите длину поезда в метрах.
13.Было 300 г пятипроцентного раствора соли. Через не&
которое время 50 г воды испарили. Сколько процентов
составило после этого содержание соли в растворе?
14.Васе надо 40 мин, чтобы добраться до стадиона и вер&
нуться домой, если туда он идёт пешком,
а возвращается на автобусе. Если он едет на автобусе
в оба конца, то на весь путь тратит 16 мин. Сколько
минут ему надо, чтобы пешком добраться до стадиона
и вернуться домой?
15.Прокат лодки стоит 80 р. за первый час или его часть.
Каждый следующий час проката или его часть стоит
60 р. Василий взял лодку в 9 ч 40 мин, а вернул в 13 ч
15 мин того же дня. Сколько рублей заплатил Васи&
лий за прокат лодки?
16.Первые 280 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч,
следующие 216 км — со скоростью 72 км/ч, а послед&
ние 80 км — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля на протяжении всего пути.

260 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
17.Первая и вторая бригады, работая вместе, могут от&
ремонтировать дорогу за 6 ч, вторая и третья бригада
могут отремонтировать эту дорогу за 12 ч, а первая и
третья — за 8 ч. За сколько минут отремонтируют
эту дорогу три бригады, работая вместе?
18.Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные —
30%. Сколько килограммов высушенных фруктов
получили из 42 кг свежих фруктов?
§ 13. Неравенства
13.1. Общие сведения о неравенствах
с одной переменной
Пусть заданы две функции y=f(x) и y=g(x) и поставле&
на задача найти множество значений аргумента
x, при ко&
торых значения функции
f больше (либо меньше) соответ&
ствующих значений функции
g. В таком случае говорят,
что надо решить неравенство
f(x)> g(x) (либо f(x)< g(x)).
Решением неравенства с одной переменной называют
значение переменной, которое обращает его в верное чис&
ловое неравенство.
Так, каждое из чисел 15,1; 20; 10 является реше&
нием неравенства 14 + 2x>44, а число 10 не является
его решением.
Решить неравенство означает найти все его решения
или доказать, что решений не существует.
Все решения неравенства образуют множество реше#
ний неравенства. Если неравенство решений не имеет, то
множество его решений является пустым.
Можно сказать, что решить неравенство означает
найти множество его решений.
Например, в задаче «решите неравенство x
2> 0» ответ
будет таким: «все действительные числа, кроме числа 0».3

§ 13. Неравенства 261
Неравенство |x| < 0 решений не имеет, т. е. множест&
вом его решений является пустое множество.
Неравенства называют равносильными, если они име&
ют равные множества решений.
Неравенства x
20 и |x| 0 равносильны. Действи&
тельно, каждое из них имеет единственное решение
x=0.
Неравенства x
2>–1 и |x| > –2 равносильны, так как
множеством решений каждого из них является множе&
ство действительных чисел.
Так как каждое из неравенств < –1 и 0x<–3 ре&
шений не имеет, то они также являются равносильными.
Правила, которые применяют при решении нера&
венств с одной переменной:
если какое&либо слагаемое перенести из одной час&
ти неравенства в другую, изменив при этом его знак
на противоположный, то получим неравенство,
равносильное данному;
если обе части неравенства умножить (разделить)
на одно и то же положительное число, то получим
неравенство, равносильное данному;
если обе части неравенства умножить (разделить)
на одно и то же отрицательное число, изменив при
этом знак неравенства на противоположный, то по&
лучим неравенство, равносильное данному.
13.2. Числовые промежутки
Таблица обозначений и изображений числовых про&
межутков.
НеравенствоПроме#
жутокИзображение Читают
x > a(a; + )промежуток от a
до плюс бесконеч&
ности
x
a

262 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
13.3. Линейные неравенства с одной переменной.
Системы линейных неравенств
Неравенства вида ax>b, ax переменная, a и b — некоторые числа, называют линей#
ными неравенствами с одной переменной.
Окончание таблицы
НеравенствоПроме#
жутокИзображение Читают
x < a(– ; a)промежуток от
минус бесконеч&
ности до a
x
 a[a; + )промежуток от a
до плюс бесконеч&
ности, включая a
x
 a(– ; a]промежуток от
минус бесконеч&
ности до a, вклю&
чая a
a
 x  b[a; b]промежуток от a
до b, включая
a и b
a < x < b(a; b)промежуток
от a до b
a < x
 b(a; b]промежуток от a
до b, включая b
a
 x < b[a; b)промежуток от a
до b, включая a
Любое нера&
венство с одной
переменной,
верное при всех
значениях этой
переменной(–
;+ )промежуток от
минус беско&
нечности до плюс
бесконечности,
или вся числовая
прямая
a
a
a
a b
a b
a b
a b

§ 13. Неравенства 263
З а д а ч а 1. Решите неравенство +  .
Р е ш е н и е. Запишем цепочку равносильных нера&
венств:
6
+ 6  6 ;
3x – 3 + 2x
 1;
5x
 4;
x
 .
Ответ: –
; .
Задача 2.
Решите неравенство 3 (2 x – 1) + 7  2(3 x + 1).
Р е ш е н и е. Имеем:
6x – 3 + 7
 6x + 2;
6x – 6x
 2 – 4;
0x
 –2.
Последнее неравенство при любом значении x превра&
щается в верное числовое неравенство 0
 –2. Следо&
вательно, искомое множество решений совпадает с
множеством всех чисел.
Ответ: x — любое число.
Этот ответ можно записать иначе: (–
;+ ).
Задача 3. Решите неравенство 4(x – 2) – 1 < 2 (2x – 9).
Р е ш е н и е. Имеем:
4x – 8 – 1 < 4x – 18;
4x – 4x < 9 – 18;
0x < –9.
Полученное неравенство при любом значении x пре&
вращается в неверное числовое неравенство 0 < –9.
Ответ:
.
Если требуется найти все общие решения двух или не&
скольких неравенств, то говорят, что надо решить систе#
му неравенств.
x1
2
x
3 1
6
x1
2
x
3 1
6
4
5
4
5

264 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Систему неравенств записывают с помощью фигурной
скобки. Так, для нахождения области определения фун&
кции y = + надо решить систему нера&
венств
(*)
Решением системы неравенств с одной переменной
называют значение переменной, которое обращает каж&
дое неравенство системы в верное числовое неравенство.
Например, числа 2, 3, 4, 5 являются решениями сис&
темы (*), а число 7 не является её решением.
Решить систему неравенств — означает найти все её
решения или доказать, что решений нет.
Все решения системы неравенств образуют множе#
ство решений системы неравенств. Если система реше&
ний не имеет, то множество её решений является пус&
тым.
Можно сказать, что решить систему неравенств
означает найти множество её решений.
Например, в задаче «Решите систему неравенств
» ответ будет таким: «множество действитель&
ных чисел».
Очевидно, что множество решений системы
состоит из единственного числа 5.
Система решений не имеет, т. е. множеством
её решений является пустое множество.
З а д а ч а 4. Решите систему неравенств
Р е ш е н и е. Имеем: 2x1
5x
2x – 1  0,
5 – x
 0.
0x  –1,
| x |
 0
x  5,
x
 5
x 5,
x
5
4x – 3 1,
3 – x
 5.
4x 4,
–x
 2;
x 1,
x
 –2 .

§ 13. Неравенства 265
С помощью координатной пря&
мой найдём пересечение проме&
жутков (–
; 1) и [–2; + ), являю&
щихся множествами решений
неравенств данной системы (рис. 13.1). Искомое пересе&
чение состоит из всех чисел, удовлетворяющих нера&
венству –2
x<1.
Ответ: [–2;1).
З а д а ч а 5. Найдите область определения функции
y= + .
Решение. Искомая область
определения — это множество
решений системы
Имеем:
Изобразим на координатной прямой пересечение про&
межутков (1; +
) и [–5; + ) (рис. 13.2). Этим пересе&
чением является промежуток (1; +
).
Ответ: (1;+
).
13.4. Квадратные неравенства
Неравенства вида ax 2+bx+c>0, ax 2+bx+c<0,
ax
2+bx+c 0, ax 2+bx+c 0, где x — переменная, a, b
и c — некоторые числа, причём a
0, называют квадрат#
ными.
Схематическое расположение параболы
y=ax
2+bx+c относительно оси абсцисс в зависимости
от знаков чисел a и D отображено в таблице (D — диск&
риминант квадратного трёхчлена ax
2+bx+c, x 1 и x 2 —
нули функции y=ax
2+bx+c, x 0 — абсцисса вершины
параболы):
–2 1
Рис. 13.1
1
x1
x5
–5 1
Рис. 13.2 x – 1 0,
x + 5
 0.
x 1,
x
 –5.

266 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Разъясним, как эту таблицу можно использовать для
решения квадратных неравенств.
Пусть, например, надо решить неравенство
ax
2+bx+c>0, где a<0 и D> 0. Этим условиям соответ&
ствует ячейка
❹ таблицы. Тогда ясно, что ответом будет
промежуток (x
1;x 2), на котором график соответствующей
квадратичной функции расположен над осью абсцисс.
З а д а ч а 1. Решите неравенство 2x
2 – x – 1 > 0.
Р е ш е н и е. Для квадратного трёх&
члена 2x
2 – x – 1 имеем: a=2>0,
D= 9 > 0. Этим условиям соответству&
ет ячейка
❶ таблицы. Решим уравне&
ние 2x
2– x – 1 = 0. Получим x 1 = – ,
x2= 1. Тогда схематически график функции y=2 x2–x–1
можно изобразить так, как показано на рисунке 13.3.
Из рисунка 13.3 видно, что соответствующая квадра&
тичная функция принимает положительные значе&
ния на каждом из промежутков –
; – и (1; + ).
Ответ: –
; – (1; + ).
D > 0D = 0D < 0
a > 0
a < 0
x x1 x2
1
x x0
2
x
3
x x1 x2
4
x
x0
5
x
6
x 1 1
2 ––
Рис. 13.3
1
2
1
2
1
2

§ 13. Неравенства 267
З а д а ч а 2. Решите неравенство –9x 2 +6x – 1 < 0.
Решение. Имеем: a=–9, D=0.
Этим условиям соответствует ячей&
ка
❺ таблицы. Устанавливаем, что
x
0= . Тогда схематически график
функции y=–9x
2 + 6x – 1 можно изобразить так, как
показано на рисунке 13.4.
Из рисунка 13.4 видно, что решениями неравенства
являются все числа, кроме .
Ответ: –
;  ; + .
З а д а ч а 3. Решите неравенство 3x
2 – x + 1 < 0.
Р е ш е н и е. Имеем: a = 3 > 0, D = –11 < 0. Этим усло&
виям соответствует ячейка
❸ таблицы. В этом случае
график функции y = 3x
2 – x + 1 не имеет точек с от&
рицательными ординатами.
О т в е т: решений нет.
З а д а ч а 4. Решите неравенство 0,2x
2 + 2x + 5  0.
Р е ш е н и е. Так как a = 0,2, D = 0, то данному случаю
соответствует ячейка
❷ таблицы, причём x 0 = –5. Но
в этом случае квадратичная функция принимает толь&
ко неотрицательные значения. Следовательно, данное
неравенство имеет единственное решение –5.
Ответ: –5.
13.5. Метод интервалов
Графиком функции f (рис. 13.5) является непрерыв#
ная кривая, а график функции g (рис. 13.6) таким свой&
ством не обладает. Говорят, что функция f непрерывна в
каждой точке области определения, или, как ещё приня&
то говорить, непрерывна на D(f), а функция g в точке
x
0 D(g) имеет разрыв.
x 1
3–
Рис. 13.4 1
3
1
3
1
3 1
3

268 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Если функция f непрерывна на некотором проме&
жутке и не имеет на нём нулей, то она на этом промежут&
ке сохраняет постоянный знак.
Например, функция y=x
2– 1 непрерывна на каждом
из промежутков (–
; –1), (–1; 1), (1; + ) и не имеет на
них нулей. Поэтому рассматриваемая функция на ука&
занных промежутках сохраняет знак (рис.13.7).
З а д а ч а 1. Решите неравенство (x+3)(x–1)(x–2)>0.
Решение. Числа –3, 1 и 2
являются нулями функции
f(x)=(x+3)(x–1)(x–2),
непрерывной на D(f)=R.
Поэтому эти числа разбива&
ют множество R на промежутки знакопостоянства
функции f: (–
; –3), (–3; 1), (1; 2), (2; + ) (рис. 13.8).
С помощью «пробных точек» определим знаки функ&
ции f на указанных промежутках. В качестве пробной
точки можно взять любое число из промежутка знако&
постоянства.
Имеем:
3
(2; + ); f(3) > 0, поэтому f(x)>0 при любом
x
(2; + );
(1; 2); f <0, поэтому f(x)<0 при любом x (1; 2);
0 (–3; 1); f(0) > 0, поэтому f(x)>0 при любом
x
(–3; 1);
–4
(– ; –3); f(–4) < 0, поэтому f(x)<0 при любом
x
(– ; –3).
y
x
x
1 x2 x3
y = f (x) y
x
x
1 x2 x3 x0
y = g (x)
y
x
0
1 –1
Рис. 13.5 Рис. 13.6 Рис. 13.7
–3 1 2
Рис. 13.8
3
2
3
2

§ 13. Неравенства 269
Результаты исследования
знака функции f показаны
на рисунке 13.9.
О т в е т: (–3; 1)
(2; + ).
Описанный метод решения неравенства называют ме#
тодом интервалов.
З а д а ч а 2. Решите неравенство + < 1.
Р е ш е н и е. Имеем: < 0;
< 0.
Областью определения функции f(x)= яв&
ляется множество (–
; –2) (–2; 2) (2; + ). Функция f
нулей не имеет. Так как функция f непрерывна на каж&
дом из промежутков (–
; –2), (–2; 2), (2; + ), то эти про&
межутки являются промежутками знакопостоянства.
На рисунке 13.10 показан ре&
зультат исследования знака
функции f на каждом из ука&
занных промежутков.
Ответ: (–
; –2) (2; + ).
С помощью метода интервалов можно решать и
нестрогое неравенство f(x)
 0 (либо f(x)  0). Множество
решений такого неравенства — это объединение множес&
тва решений неравенства f(x) > 0 (либо f(x)<0) и мно&
жества корней уравнения f(x)=0.
З а д а ч а 3. Решите неравенство
 0.
Р е ш е н и е. Советуем, если это возможно, многочлены,
записанные в числителе и знаменателе дроби, раскла&
дывать на множители. Тогда намного удобнее исследо&
вать знак функции на промежутках знакопостоянства.
–3 1 2
++
––
Рис. 13.9
1
2x 5
2x
2x10 5x4x 2
2x 2x
x2 4x8
2x 2x
x2 4x8
2x 2x
–2 2
+
––
Рис. 13.10
4x 2 4x1
x2 2x3

270 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Имеем:  0.
Устанавливаем (рис. 13.11),
что множество (– ; –3) (1; + )
является множеством реше&
ний неравенства > 0.
Уравнение = 0 имеет единственный ко&
рень x = – .
Объединив множества решений уравнения и нера&
венства, получим ответ.
Ответ: (–
; –3) (1; + ) .
Примеры заданий № 23
Часть 1
1.Найдите наибольшее целое решение неравенства
6–3x
 10.
2.Установите соответствие между неравенствами, за&
писанными в левом столбце, и множествами их реше&
ний, записанными в правом столбце.
НЕРАВЕНСТВАМНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ
НЕРАВЕНСТВ
А) –2x + 6 < 0 1) (–
; + )
Б) 3 (2x – 1) < 2 (3x + 1) 2) (–
; 3)
В) > 1
3) (3; +
)
Г) < 1
4) (0; 3)
–3 1 ++
–– 1
2 ––
Рис. 13.11
2x1 2
x3 x1
2x1 2
x3 x1
2x1 2
x3 x1
1
2
1
2
3
x
x
3

§ 13. Неравенства 271
В таблице под каждой буквой, соответствующей не&
равенству, укажите номер его множества решений.
3.Установите соответствие между системами нера&
венств, записанными в левом столбце, и множества&
ми их решений, записанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой, соответствующей систе&
ме неравенств, укажите номер её множества решений.
4.Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее
системе неравенств
5.Установите соответствие между неравенствами, за&
писанными в левом столбце, и множествами их реше&
ний, записанными в правом столбце.
АБВ Г
СИСТЕМЫ
НЕРАВЕНСТВМНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ
СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ
А) 1) (–
; 4]
Б) 2) [4; 5]
В) 3) {4}
Г) 4)
АБВ Г
НЕРАВЕНСТВАМНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ
НЕРАВЕНСТВ
А) x
2  161) (– ; –4] [4; + )
Б) x
2  162) [–4; 4]
В) x
2  –163) (– ; + )
Г) x
2  –164)
x  4,
x
 5
x  4,
x
 4
x  4,
x
 5
x  4,
x
 5
2x + 14  0,
x + 6
 3.

272 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
В таблице под каждой буквой, соответствующей не&
равенству, укажите номер его множества решений.
6.Сколько целых чисел содержит множество решений
неравенства (x + 2)(3 – x) > 0?
7.Установите соответствие между неравенствами, за&
писанными в левом столбце, и множествами их реше&
ний, записанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой, соответствующей не&
равенству, укажите номер его множества решений.
8. Найдите сумму целых решений неравенства  0.
Часть 2
9.Найдите наибольшее целое решение неравенства
x – – < 2.
10.Сколько целых решений имеет система неравенств
АБВ Г
НЕРАВЕНСТВАМНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ
НЕРАВЕНСТВ
А) x
2 – 4 < 01) (–2; 0) (0; 2)
Б) < 02) (–
;–2) (0; 2)
В) < 0
3) (0; 2)
Г) < 0
4) (–2; 2)
АБВ Г
x2 4
x
x2 4
x2
x2
x
4x20
x7
x1
2
x3
4
3x + 14  4 – x,

 3x – 2? 5x1
4
x1
2

§ 13. Неравенства 273
11.Найдите наибольшее целое решение неравенства
–2
 < 5.
12.Решите неравенство (2x – 1)
2 – (x – 1)(x + 7)  5.
13.Решите неравенство
 0.
14.Решите неравенство (3x – 7)
2  (7x – 3) 2.
15.Решите неравенство x
2(–x 2 – 100)  100(–x 2 – 100).
16.Сколько целых решений имеет неравенство
(3x – 8)(3x + 8)
 6x – 40?
17.При каких значениях параметра a уравнение
x
2 + 5ax + 5a = 0 не имеет корней?
18.При каких значениях параметра b уравнение
2x
2 – bx + 8 = 0 имеет два различных корня?
19.Решите систему неравенств
20.Решите систему неравенств
21.Решите систему неравенств

22. Найдите все значения параметра a, при которых мно&
жество решений системы неравенств
содержит ровно три целых числа.
23.Решите неравенство (x 2 – 2x)  0.
24.При каких значениях параметра a множеством реше&
ний системы неравенств яв&
ляется числовой отрезок, длина которого равна 4?
25.Найдите множество решений неравенства
(x
2 + x – 2)  0.
72x
3
25
x6 2 7
 0,
4 – 6x
 16 – 4x.
15 3x
475x 2
3 + 5x – 2x 2 > 0,
x – 2
 0.
8(3x + 2) – 6(4x + 2) > 2x,
(x – 5)(x + 7) < 0.
x2 – x – 12 < 0,
x < a.
3x
2 10x3
(x – a + 7)(x – a)  0,
x
 3
9x
2

274 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
26.Найдите все значения параметра a, при которых не&
равенство (a – 3)x
2 – (2a – 6)x + 2a – 7  0 выполня&
ется для всех действительных значений x.
27.При каких значениях параметра a неравенство
x
2 – (3a – 4)x + (a – 1)(2a – 3) > 0 выполняется при
всех положительных значениях x?
28.Найдите решения неравенства (a
2 – 1)x  a – 1 в за&
висимости от значения параметра a.
29.Найдите все значения параметра a, при которых функ&
ция y = определена на мно&
жестве действительных чисел.
30.Решите неравенство (x
2 – x – 2)  0.
31.Решите неравенство (x + 2)
2(x – 3)(8 – x) < 0.
32.Какое число является наименьшим решением нера&
венства (x + 2)
2(x – 3,5)(x – 6)  0?
33.Сколько целых чисел содержит множество решений
неравенства x
2(x + 1)(x – 4) < 0?
34.Решите неравенство
 0.
35.Решите неравенство
 0.
36.Укажите наибольшее целое решение неравенства

 0.
37. Найдите множество решений неравенства < 0.
38.Решите неравенство  .
39. Найдите множество решений неравенства  0.
40.Решите неравенство  0. a3
x2 62a x5
x3
x1
x1
x2 4x4
x7 x3
x2
x2 3x
4x
x2 2x1
x1
1
x 1
2
x2 x20
x2 6x9
x2 8x16
x2 4

§ 13. Неравенства 275
41.Решите неравенство  0.
42.Решите неравенство +
 1.
43.Решите неравенство
 .
44.Решите неравенство
 2x.
13.6. Показательные неравенства
Неравенства, содержащие переменную только в показа&
теле степени, называют показательными неравенствами.
Если a > 1, то неравенство a
f(x) > a g(x) равносильно
неравенству f(x)>g(x); если 0 < a < 1, то неравенство
a
f(x) > a g(x) равносильно неравенству f(x) < g(x).
Задача 1. Решите неравенство 8
23x – 1 < (0,5) –1.
Р е ш е н и е. Имеем: 2
3 23x – 1 < (2 –1)–1; 2 3x + 2 < 2 1.
Так как основание степеней 2
3x + 2 и 2 1 больше едини&
цы, то последнее неравенство равносильно такому:
3x + 2 < 1.
Отсюда 3x < –1; x < – .
Ответ: –
; – .
Задача 2. Решите неравенство

 .
Р е ш е н и е. Имеем:
 ;

 ;  ;  .
x2 2x 1
x2 2x8
3
x2 4
x
6xx 2
2x5
6xx 2
x4
x2 x 12
x3
1
3
1
3
2
72x 147
20 x 81
625 x
4
49 x 147
20 x 81
625 x
4
49 147
20 x 81
625 x 3
5x 3
54x 3
5x 3
54x

276 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Так как 0 < < 1, то последнее неравенство равно&
сильно такому: x
 4x. Отсюда x  0.
Ответ: [0; +
).
Задача 3. Решите неравенство
4
x – 2 2(x–1) + > 52.
Р е ш е н и е. Перепишем данное неравенство так:
2
2x – 2 2x – 2 + 2 2x – 4 > 52.
Отсюда 2
2x – 4 (24 – 2 2 + 1) > 52; 2 2x – 4 13 > 52;
2
2x – 4 > 4; 2 2x – 4 > 2 2; 2x – 4 > 2; x > 3.
Ответ: (3; +
).
Задача 4. Решите неравенство – 7
2–x – 4 < 0.
Р е ш е н и е. Имеем: – 7
2–x – 4 < 0;
2
–2x + 1 – 7 2–x – 4 < 0; 2 2–2x – 7 2–x – 4 < 0.
Пусть 2 –x = t. Тогда 2t 2 – 7t – 4 < 0.
Решив это неравенство, получим: – –<2
–x <4.
Так как 2
–x > 0, то 2 –x > – при всех x. Поэтому до&
статочно решить неравенство 2
–x < 4.
Имеем: 2 –x < 2 2; –x < 2; x > –2.
Ответ: (–2; +
).
Задача 5. Решите неравенство 4
x – 2 52x + 10 x > 0.
Решение. Имеем: 2 2x – 2 52x + 2 x 5x > 0. Так как
5 2x > 0 при любом x, то, разделив обе части последнего
неравенства на 5 2x, получаем равносильное неравен&
ство – 2 + > 0.
3
5
8
2x2 3
4
x 1
2
22 x 1
2
1
2
1
2
1
2
2
5 2x 2
5 x

§ 13. Неравенства 277
Пусть = t. Тогда t 2 + t – 2 > 0. Решив это нера&
венство, получаем: Отсюда:
Из неравенства > 1 находим, что x < 0. Неравен&
ство < –2 не имеет решений.
Ответ: (–
;0).
13.7. Логарифмические неравенства
Если a > 1, то неравенство log af(x) > log ag(x) равно&
сильно системе
Если 0 < a < 1, то неравенство log
af(x) > log ag(x)
равносильно системе
З а д а ч а 1. Решите неравенство log
2x > 3.
Решение. Поскольку 3 = log
223, то можно записать:
log
2x > log 223.
Это неравенство равносильно такому: x > 2
3. Отсюда
x > 8.
Ответ: (8; +
).
2
5 x
t > 1,
t < –2
.
> 1,
< –2. 2
5 x
2
5 x
2
5 x
2
5 x
f(x) > g(x),
g(x) > 0.
f(x) < g(x),
f(x) > 0.

278 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
З а д а ч а 2. Решите неравенство log 0,3 x  1.
Р е ш е н и е. Имеем: log
0,3 x  log 0,3 0,3.
Это неравенство равносильно системе
Ответ: (0; 0,3].
З а д а ч а 3. Решите неравенство
.
Р е ш е н и е. Данное неравенство равносильно системе
Отсюда x > 2.
Ответ: (2; +
).
З а д а ч а 4. Решите неравенство
log – log
2–1(x – 1) – 5 > 0.
Р е ш е н и е. Так как областью определения данного
неравенства является промежуток (1; +
), то выпол&
няется равенство log
2(x – 1) 2 = 2log 2(x – 1).
Тогда данное неравенство можно переписать так:
4log + log
2(x – 1) – 5 > 0.
Пусть log
2(x – 1) = t. Получаем: 4t 2 + t – 5 > 0;
Имеем:

Ответ: 1; 1 +
(3; + ).
x  0,3,
x > 0.
3x4
1
2 logx2 1
2 log
3x – 4 > x – 2,
x – 2 > 0.
x > 1,
x > 2;
x1
22
2
x12
2
t < – ,
t > 1. 5
4
log 2(x – 1) < – ,
log
2(x – 1) > 1;
5
4
log 2(x – 1) < log 2 ,
log
2(x – 1) > log 22;2
5
4
0 < x – 1 < ,
x – 1 > 2;2
5
4 1 < x < 1 + ,
x > 3. 1
32
4
1
32
4

§ 13. Неравенства 279
З а д а ч а 5. Решите неравенство log x3 – – log > 0.
Решение. Имеем: – + log
3x > 0.
Пусть log
3x = t. Тогда – + t > 0. Отсюда
> 0; > 0 .
Воспользовавшись методом интервалов (рис. 13.12),
получаем:
Далее,
Ответ: (1; )
(9; + ).
13.8. Использование свойств функций
при решении уравнений и неравенств
Чаще всего при решении уравнений вида f(x)=g(x)
вам приходилось выполнять преобразования левой и
правой частей, сводя уравнение к более простому. Одна&
ко в ряде случаев ответ можно получить, не упрощая
уравнение, а используя свойства функций f и g.
Если функция f — возрастающая, а функция g —
убывающая, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одно&
го корня (рис. 13.13).
5
2 x1
3
1
x
3 log
5
2
1
t 5
2
2t2 5t2
2t
2t1 t2
2t
02++
–– 1
2–
Рис. 13.12
0 < t < ,
t > 2. 1
2
0 < log 3x < ,
log
3x > 2;
1
2 1 < x < ,
x > 9.3
3

280 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Рассмотрим примеры.
З а д а ч а 1. Решите уравнение x
2 + = 2.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию f(x)=x
2 + .
Её областью определения является промежуток ; + .
Пусть x 1 и x 2 — произвольные значения аргумента
функции f из промежутка
; + , причём x 1 По свойству числовых неравенств можно записать:
2x
1–1<2x 2–1. Поскольку функция y = является
возрастающей, то . С учётом того,
что , верным является следующее неравенство:
. Следовательно, функ&
ция f является возрастающей, а значит, каждое своё
значение принимает только в одной точке.
Нетрудно заметить, что f(1) = 2, т. е. число 1 является
корнем данного уравнения. Функция f, будучи воз&
растающей, принимает значение 2 только в одной точ&
ке. Следовательно, число 1 — единственный корень
данного уравнения.
Ответ: 1.
x
0x 0
f(x) y y =
g(x) y =
Рис. 13.13
2x1
2x1
1
2
1
2
t
2x 1 1 2x 2 1
x1 2 x2
2
x1
2 2x 1 1 2x 2 1 x2 2

§ 13. Неравенства 281
В следующем примере свойства функций используют&
ся при решении системы уравнений.
З а д а ч а 2. Решите систему уравнений
Р е ш е н и е. Перепишем данную систему так:
Рассмотрим функцию f(t)=t
7+t. Тогда первое урав&
нение записанной системы можно представить так:
f(x)=f(y). Функция f является возрастающей (убеди&
тесь в этом самостоятельно). Следовательно, x=y. По&
лучаем систему
Решив эту систему, получим пары чисел (2; 2) и (–2; –2).
О т в е т: (2; 2), (–2; –2).
З а д а ч а 3. Решите уравнение 2
x + 5 x = 7 x.
Р е ш е н и е. Очевидно, что x = 1 — корень данного
уравнения. Покажем, что этот корень единственный.
Разделив обе части исходного уравнения на 7
x, полу&
чим:
+ = 1.
Рассмотрим функцию f(x) = + . Так как функ&
ции y = и y = убывающие, то функция f так&
же является убывающей, а следовательно, каждое
своё значение она принимает только один раз. Поэто&
му уравнение f(x) = 1 имеет единственный корень.
Ответ: 1.
x7 – y = y 7 – x,
x 2 + xy + y 2 = 12.
x7 + x = y 7 + y,
x 2 + xy + y 2 = 12.
x = y,
x2 + xy + y 2 = 12.
2
7x 5
7x
2
7x 5
7x
2
7x 5
7x

282 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
На рисунке 13.14 изображён гра&
фик возрастающей на R функции f,
имеющей один нуль х=а. Тогда ре&
шением неравенства f(x)>0 явля&
ется промежуток (a;+
).
З а д а ч а 4. Решите неравенство .
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию
f(x) = – 4, определённую на проме&
жутке ; +
. Тогда нам надо решить неравенство
f(x) > 0. Нетрудно заметить, что f(2) = 0. Функция f
является возрастающей (докажите это самостоятель&
но). Следовательно, если x>2, то f(x)>f(2) = 0, а если

 x < 2, то f(x) ответом является промежуток (2; +
).
З а д а ч а 5. Решите неравенство log
3(x + 7) < 4 – x.
Р е ш е н и е. Имеем: log
3(x + 7) + x – 4 < 0.
Рассмотрим функцию f(x) = log
3(x + 7) + x – 4. Она
возрастает на D(f)=(–7; +
). Заметим, что f(2) = 0.
Следовательно, при x > 2 получим, что f(x) > f(2) = 0,
а при –7 < x < 2 получим, что f(x) < f(2) = 0.
Ответ: (–7; 2).
Пусть для любого x
D(f)  D(g) выполняются не&
равенства f(x)
 A и g(x)  A, тогда уравнение f(x)=g(x)
равносильно системе
Рисунок 13.15 иллюстрирует сказанное.
x
0af(x) y
y =
Рис. 13.14
2x3 4x1 4
2x3 4x1
3
2
3
2
f(x) = A,
g(x) = A.

§ 13. Неравенства 283
Задача 6. Решите уравнение | x+ 1 | + | x–1 |= .
Решение. Рассмотрим функции f(x)=| x+ 1 | + | x–1 |
и g(x)= .
Поскольку 4 –х
2  4, то  2. Тогда для любого
x
D(g) выполняется неравенство g(x)  2.
Рассмотрим на координатной прямой точки А(х), В(–1)
и С(1) (рис. 13.16). Тогда значение выражения
|x+1|+|x– 1 | равно сумме АВ + АС. Поскольку
ВС =2, то при любом положении точки А на коорди&
натной прямой выполняется неравенство АВ + АС
2,
т. е. |x+1|+|x–1|
 2. Тогда для любого x D(f) вы&
полняется неравенство f(x)
 2.
Получаем, что исходное уравнение равносильно сис&
теме:
Второе уравнение системы имеет единственный ко&
рень x= 0, который также является корнем первого
уравнения системы.
Ответ: 0.
З а д а ч а 7. Решите уравнение
(1 – 4x
2 + 4x) log 3(sin 2 x + 2) = 2.
Р е ш е н и е. Имеем: (2 – (2x – 1)
2) log 3(sin 2 x + 2) = 2.
4x 2
x y x0
y = g (x)
y = f (x)
A y = A
0
Рис. 13.15
x –1 1 AB C
Рис. 13.16
4x 2
4x 2
|x+1|+|x–1| = 2,
= 2. 4x
2

284 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Поскольку 2 – (2x – 1) 2  2 и 0 < log 3(sin 2 x + 2)  1,
то (2 – (2x – 1)
2) log 3(sin 2 x + 2)  2.
В этом неравенстве равенство достигается только при
условии Отсюда x = .
Ответ: .
13.9. Неравенство с двумя переменными
и его график
Неравенства 2x – y > 1, y  x2, x 2 + y 2 < 4 являются
примерами неравенств с двумя переменными.
Пару значений переменных, обращающую неравен&
ство с двумя переменными в правильное числовое нера&
венство, называют решением неравенства с двумя пере#
менными.
Так, для неравенства 2x – y > 1 каждая из пар чисел
(3; –1), (0; –2), (1; 0) является его решением, а, напри&
мер, пара (0; 0) не является его решением.
Графиком неравенства с двумя переменными назы&
вают геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и
только тех точек координатной плоскости, координаты
которых являются решениями данного неравенства.
Линейным неравенством с двумя переменными назы&
вают неравенство вида ax + by > c или ax + by < c, где x
и y — переменные, a, b и c — некоторые числа.
Если числа а и b не равны нулю одновременно, т. е.
a
2 + b 2 0, то графиком линейного неравенства является
одна из открытых полуплоскостей (полуплоскость без её
границы), на которые прямая ax + by = c разбивает коор&
динатную плоскость xy.
Если a
2 + b 2 = 0, то при с = 0 графиком линейного
неравенства является вся координатная плоскость, а при
с
0 — пустое множество.
2 – (2x – 1) 2 = 2,
log
3(sin 2 x + 2) = 1. 1
2
1
2

§ 13. Неравенства 285
Неравенства вида ax + by  c и ax + by  c также
считают линейными. Графиком каждого из неравенств
ax+by
 c и ax + by c, где a 2 + b 2 0, является полу&
плоскость.
З а д а ч а 1. Постройте график неравенства y > x
2.
Р е ш е н и е. Парабола y = x
2 разбивает координатную
плоскость на две области, изображённые на рисунке
13.17. Искомым графиком является множество то&
чек, лежащих выше параболы y = x
2.
З а д а ч а 2. Постройте график неравенства x
2 + y 24.
Р е ш е н и е. Графиком уравнения x
2 + y 2 = 4 является
окружность радиуса 2 с центром в начале координат.
Эта окружность разбивает координатную плоскость
на две области (рис. 13.18). Решениями данного нера&
венства являются координаты тех и только тех точек,
которые удалены от начала координат на расстоя&
ние, не большее 2. Поэтому искомым графиком яв&
ляется круг радиуса 2 с центром в начале координат
(рис. 13.18).
Графиком неравенства x
2 + y 2 > 4 является множе&
ство точек координатной плоскости, не принадлежа&
щих кругу радиуса 2 с центром в начале координат
(рис. 13.19).
x
0
y
x
y
02
y
02 x
Рис. 13.17 Рис. 13.18 Рис. 13.19

§ 13. Неравенства 287
З а д а ч а 2. Изобразите график неравенства
.
Р е ш е н и е. Данное неравенство равносильно систе&
ме
Графиком первого неравенства системы является от&
крытая полуплоскость с границей x + y = 0, показан&
ная на рисунке 13.21 вертикальной штриховкой; гра&
фиком второго — внутренняя область круга радиуса 1
с центром в начале координат.
Следовательно, графиком данного неравенства является
открытый полукруг, показанный на рисунке 13.21
двойной штриховкой.
Примеры заданий № 24
Часть 1
1.Найдите наибольшее целое решение неравенства
0,2
x–2 > 0,008. Если такое решение не существует,
запишите в ответе число 1000.
2.Найдите наименьшее целое решение неравенства
. Если такое решение не существует, запи&
шите в ответе число –1000.
3.Установите соответствие между неравенствами, за&
писанными в левом столбце, и множествами их реше&
ний, записанными в правом столбце.
НЕРАВЕНСТВАМНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ
НЕРАВЕНСТВ
А) 1 < 4
x < 641) (0; 3)
Б) 0,5
x < 0,1252) (1; 3)
В) 3 < 3
x < 273) (– ; 3)
Г) 0,1
x > 0,0014) (3; + )
1x 2 y2xy 0
x + y > 0,
1 – x 2 – y 2 > 0.
3
8 x 8
3

288 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
В таблице под каждой буквой, соответствующей не&
равенству, укажите номер его множества решений.
4.Чему равна сумма целых решений неравенства
< 6
3–x  36?
5.Сколько целых чисел принадлежат множеству реше&
ний неравенства log
2(x – 3) < log 29? Если таких чисел
бесконечно много, запишите в ответе число 1000.
6.Установите соответствие между неравенствами, за&
писанными в левом столбце, и множествами их реше&
ний, записанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой, соответствующей не&
равенству, укажите номер его множества решений.
Часть 2
7.Решите неравенство .
АБВ Г
НЕРАВЕНСТВАМНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ
НЕРАВЕНСТВ
А) 1
 log 5x  2
1) [1; 5]
Б) 0
 log 0,2 x  1
2) ;
В) 0
 log 5x  1
3) ; 1
Г) 1
 log 0,2 x  2
4) [5; 25]
АБВ Г
1
6
1
25 1
5
1
5
4
5 6x9x 2 16
25

§ 13. Неравенства 289
8.Решите неравенство .
9.Решите неравенство
 1.
10.Решите неравенство
 .
11.Решите неравенство 7
x+2 – 14 7x  5.
12.Решите неравенство 5
x+1 – 3 5x–2 < 122.
13.Решите неравенство 4
x – 6 2x + 8  0.
14.Решите неравенство 0,25
x – 12 0,5 x + 32  0.
15.Решите неравенство 8
x – 7 4x + 7 2x+1 – 8 > 0.
16.Решите неравенство 3
2x+1 – 8 15 x + 5 2x+1  0.
17.Решите неравенство
.
18.Решите неравенство
 0.
19.Для каждого значения параметра a решите неравен&
ство
 0.
20.Найдите множество решений неравенства
log
8(2x + 3) > log 8(x – 1).
21.Решите неравенство > –2.
22.Решите неравенство log
6(x + 1) + log 6(2x + 1)  1.
23.Найдите область определения функции
f(x) = .
24.Решите неравенство lg
2100x – 7lgx  8.
25.Решите неравенство log + log
2  8. 9
x 27 3x 3x
06
x2 7x6x3
tg 12
3x2x5 tg 12
7
x5
32x2 x2 52x2 x 1 52x2 x1 32x2 x 1
2x1 1 x2 2x8
2x a x3
2x51
3 log
x1
x5 03 log
42
1
2 x x2
8

290 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
26.Решите неравенство 1 + 2log x+2 5  log 5(x + 2).
27.Решите неравенство log
3(10 – 3 x)  .
28.Решите неравенство log > –1.
29.Решите неравенство log
x(4 + 3x) > 2.
30.Решите уравнение x
3 + 2x = 12.
31.Решите уравнение 5
x + 12 x = 13 x.
32.Решите уравнение .
33.Решите уравнение |x – 1 | + |x + 2 | = .
34.Решите уравнение 4
x – (19 – 3x) 2x + 34 – 6x = 0.
35.Решите уравнение log + (x – 1)log
2x = 6 – 2x.
36.Решите неравенство 3
x + 4 x  5x.
37.Постройте график неравенства 3x + 2y < 6.
38.Постройте график неравенства 2x – y
 0.
39.Постройте график неравенства y
 1 – x 2.
40.Постройте график неравенства x
2 – 4x + y 2 – 4y + 4 < 0.
41.Постройте на координатной плоскости множество то&
чек, координаты которых (x;y) удовлетворяют нера&
венству log
x(4 – y 2)  2.
42.Изобразите на координатной плоскости множество
решений системы неравенств
43.Изобразите на координатной плоскости множество
решений системы неравенств
44.Изобразите на координатной плоскости множество
решений системы неравенств 5
2x5 log
x1
2x2 log1
3
x1
32x 2 x2 9
9x 2
x2
2
–x + 2y < –2,
x – y > 1.
2x – y  1,
2x – y < 2.
y  –x 2 + 1,
x 2 + (y – 1) 2  1.

§ 14. Числовые последовательности 291
§ 14. Числовые последовательности
14.1. Понятие последовательности
Объекты, которые пронумерованы подряд натураль&
ными числами 1, 2, 3, ... , n, ... , образуют последова#
тельности.
Так, можно говорить о последовательности страниц
книги, букв слова, этажей дома и т. д.
Объекты, образующие последовательность, называют
членами последовательности. Каждый член последова&
тельности имеет свой номер. Например, январь — это
первый член последовательности месяцев года, число 3 —
второй член последовательности простых чисел. Вооб&
ще, если член последовательности имеет номер n, то его
называют n#м членом последовательности.
Если членами последовательности являются числа, то
такую последовательность называют числовой.
Примеры числовых последовательностей:
1, 2, 3, 4, 5, ... — последовательность натуральных
чисел;
2, 4, 6, 8, 10, ... — последовательность чётных чисел;
0,3; 0,33; 0,333; ... — последовательность десятичных
приближений дроби ;
19, 38, 57, 76, 95 — последовательность двузначных
чисел, кратных 19;
–1, –2, –3, –4, –5, ... — последовательность отрица&
тельных целых чисел.
Последовательности бывают конечными и бесконеч#
ными. Например, последовательность чётных натураль&
ных чисел — это бесконечная последовательность, а по&
следовательность двузначных чисел, кратных 19, — это
конечная последовательность.
Для обозначения членов последовательности исполь&
зуют буквы с индексами:
a
1, a 2, a 3, ... , a n, ... .
1
3

292 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Индекс указывает порядковый номер члена последо&
вательности. Для обозначения самой последовательно&
сти используют запись (a
n). Например, если (p n) — по&
следовательность простых чисел, то p
1=2, p 2=3, p 3=5,
p
4=7, p 5=11 и т.д.
14.2. Способы задания последовательности
Рассмотрим последовательность, у которой первый
член равен 1, а каждый следующий член на 3 больше
предыдущего. Такой способ задания последовательности
называют описательным. Его можно проиллюстриро&
вать с помощью записи с тремя точками, выписав не&
сколько первых членов последовательности в порядке
возрастания номеров:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... .
Если последовательность является конечной, то её
можно задать с помощью таблицы. Например, следую&
щая таблица задаёт последовательность кубов однознач&
ных натуральных чисел:
Последовательности можно задавать с помощью фор#
мул. Например, равенство x
n=2 n, где переменная n при&
нимает все натуральные значения, задаёт последователь&
ность (x
n) натуральных степеней числа 2:
2, 4, 8, 16, 32, ... .
В таких случаях говорят, что последовательность зада&
на с помощью формулы n#го члена последовательности.
Рассмотрим несколько примеров.
Формула a
n=2n– 1 задаёт последовательность нату&
ральных нечётных чисел:
1, 3, 5, 7, 9, ... .
n123456789
a
n 1 8 27 64 125 216 343 512 729

§ 14. Числовые последовательности 293
Формула y n=(–1) n задаёт последовательность (y n),
в которой все члены с нечётными номерами равны –1,
а члены с чётными номерами равны 1:
–1, 1, –1, 1, –1, ... .
Формула c
n= 7 задаёт последовательность (c n), все
члены которой равны числу 7:
7, 7, 7, 7, 7, ... .
Рассмотрим равенства a
1 = 1, a n + 1 = 3a n.
Эти равенства указывают первый член последователь&
ности и правило, с помощью которого по каждому члену
последовательности можно найти следующий за ним
член:
a
1 = 1,
a
2 = 3a 1 = 3,
a
3 = 3a 2 = 9,
a
4 = 3a 3 = 27,
и т. д.
Формулу, выражающую член последовательности
через один или несколько предыдущих членов, называют
рекуррентной формулой (от лат. recurro — возвращать&
ся). В приведённом примере это формула a
n + 1 = 3a n.
Условия, определяющие первый или несколько первых
членов, называют начальными условиями. В рассмат&
риваемом примере начальное условие — это равенство
a
1 = 1.
При рекуррентном способе задания последователь&
ности первый или несколько первых членов последова&
тельности заданы, а все остальные вычисляют друг за
другом.
З а д а ч а. Последовательность (c
n) задана формулой
n&го члена c
n = 37 – 3n. Является ли членом этой по&
следовательности число: 1) 19; 2) –7? В случае утвер&
дительного ответа укажите номер этого члена.

294 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Р е ш е н и е. 1) Если число 19 является членом данной
последовательности, то существует такое натуральное
значение n, при котором выполняется равенство
37 – 3n = 19. Таким значением является n = 6. Следо&
вательно, число 19 является шестым членом последо&
вательности (c
n).
2) Имеем: 37 – 3n = –7; 3n = 44; n = 14 . Так как чис&
ло 14 не является натуральным, то число –7 не яв&
ляется членом данной последовательности.
14.3. Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называют последова&
тельность, каждый член которой, начиная со второго,
равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же
числом.
Примеры арифметических прогрессий:
2, 7, 12, 17, 22, 27, ... ;
1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; ... ;
3, 1, –1, –3, –5, –7, ... .
Число, равное разности последующего и предыдущего
членов последовательности называют разностью ариф#
метической прогрессии и обозначают буквой d (первой
буквой латинского слова differentia — разность).
Если (a
n) — арифметическая прогрессия с раз&
ностью d, то
d = a
2 – a 1 = a 3 – a 2 = a 4 – a 3 = ... ,
т. е. для любого натурального n выполняется равенство
a
n + 1 – a n = d. Отсюда
a
n + 1 = a n + d.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, надо ука&
зать её первый член и разность. Таким образом, арифме&
тическую прогрессию можно задать рекуррентно:
a
1 = a, a n + 1 = a n + d.
2
3
2
3

§ 14. Числовые последовательности 295
Формула n#го члена арифметической прогрессии
имеет вид:
a
n = a 1 + d(n – 1).
Любой член арифметической прогрессии, кроме пер&
вого, равен среднему арифметическому двух соседних
с ним членов
1:
a
n = .
З а д а ч а. Докажите, что последовательность (a
n), за&
данная формулой n&го члена a
n = 9n – 2, является
арифметической прогрессией.
Р е ш е н и е. Рассмотрим разность двух произвольных
последовательных членов последовательности:
a
n + 1 – a n = 9 (n + 1) – 2 – (9n – 2) = 9n + 9 – 2 – 9n + 2 = 9.
Следовательно, при любом натуральном n выполняет&
ся равенство a
n + 1 = a n + 9, т. е. каждый член данной
последовательности, начиная со второго, равен пре&
дыдущему члену, к которому прибавлено одно и то же
число 9. Таким образом, данная последовательность
является арифметической прогрессией.
14.4. Сумма n первых членов
арифметической прогрессии
Сумму n первых членов арифметической прогрессии
вычисляют по формулам:
S
n = n,
S
n = n.
1Если арифметическая прогрессия является конечной последо&
вательностью, то понятно, что её последний член таким свойством
не обладает.
an1 an1
2
a1 an
2
2a 1 dn1
2

296 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Последней формулой удобно пользоваться тогда, ког&
да заданы первый член и разность прогрессии.
З а д а ч а 1. Найдите сумму всех трёхзначных чисел,
кратных 6.
Р е ш е н и е. Данные числа образуют арифметическую
прогрессию, первый член которой a
1 = 102, а разность
d = 6. Тогда a
n = 102 + 6 (n – 1) = 6n + 96. Найдём ко&
личество членов этой прогрессии. Так как a
n < 1000,
то имеем:
6n + 96 < 1000;
6n < 904;
n < 150 .
Следовательно, n = 150. Тогда искомая сумма S
150 =
=
150 = 82 350.
О т в е т: 82 350.
З а д а ч а 2. Сумма семидесяти пяти первых членов
арифметической прогрессии равна 450. Найдите
тридцать восьмой член прогрессии.
Р е ш е н и е. Пусть первый член прогрессии и её раз&
ность равны a
1 и d соответственно. Тогда сумма семи&
десяти пяти первых членов S
75 = 75 =
=75( a1 + 37 d) = 450. Отсюда a38 = a1 + 37 d = 450 : 75 = 6.
Ответ: 6.
14.5. Геометрическая прогрессия.
Формула сложных процентов
Геометрической прогрессией называют последователь&
ность с отличным от нуля первым членом, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему члену,
умноженному на одно и то же не равное нулю число.
2
3
2 102 6 150 1
2
2a 1 74d
2

§ 14. Числовые последовательности 297
Примеры геометрических прогрессий:
1, 3, 9, 27, 81, 243, ... ,
2, 1, , , , , ... ,
5; –0,5; 0,05; –0,005; 0,0005; ... .
Число, равное отношению последующего и предыду&
щего членов последовательности, называют знаменате#
лем геометрической прогрессии и обозначают буквой q
(первой буквой французского слова quotient — частное).
Если (b
n) — геометрическая прогрессия со знаменате&
лем q, то
q = = = = ... ,
т. е. для любого натурального n выполняется равенство
= q.
Чтобы задать геометрическую прогрессию, надо ука&
зать её первый член и знаменатель. Таким образом, гео&
метрическую прогрессию можно задать рекуррентно:
b
1 = b, b n + 1 = b nq.
Формула n#го члена геометрической прогрессии име&
ет вид:
b
n = b 1qn – 1 .
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, кроме
первого, равен произведению двух соседних с ним членов
1:
bn2 = b n – 1 bn + 1 .
Если все члены геометрической прогрессии (b
n) поло&
жительны, то равенство b
n2 = b n – 1 bn + 1 можно перепи&
сать так:
b
n = .
1Если геометрическая прогрессия является конечной последо&
вательностью, то понятно, что её последний член таким свойством
не обладает.
1
2 1
4 1
8 1
16
b2
b1
b3
b2
b4
b3
bn1
bn
bn1 bn1

298 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Каждый член такой последовательности, кроме пер&
вого, является средним геометрическим двух соседних с
ним членов.
Задача 1. В геометрической прогрессии (b
n) со зна&
менателем q = найдите b
1, если b 6 = .
Р е ш е н и е. Так как b
6 = b 1q5, то b 1 = b 6 : q 5 = :
: =
35 =5 3 = 15.
О т в е т: 15.
З а д а ч а 2. Найдите четвёртый член и знаменатель
геометрической прогрессии (b
n), если b 3 = 36, b 5 = 49.
Р е ш е н и е. По свойству геометрической прогрессии
b
42 = b 3b5, отсюда b 4 = = = 6 7 = 42
или b
4 = – = –42.
Если b
4 = 42, то знаменатель прогрессии q = b 4 : b 3 =
= = ; если b
4 = –42, то q = – .
Ответ: b
4 = 42, q = или b 4 = –42, q = – .
Рассмотрим задачу, которую часто приходится ре&
шать банковским работникам, а также тем, кто хранит
деньги в банке под проценты.
Пусть вкладчик положил в банк сумму a
0 под p% го&
довых. Какая сумма будет на его счёте через n лет при
условии, что вкладчик в течение этого срока не снимает
денег со счёта?
В конце первого года первоначальный капитал увели&
чится на и будет равным
a
1 = a 0 + = a 0 1 + ,
т. е. увеличится в 1 + раз.
1
3 5
81
5
81
1
35 5
34
b3b5 36 49
b3b5
42
36 7
6 7
6
7
6 7
6
a0 p
100
a0 p
100
p
100
p
100

§ 14. Числовые последовательности 299
В конце второго года сумма снова вырастет в
1 + раз и станет равной
a
2 = a 1 1 + = a 0 1 + 2.
Применяя формулу n&го члена геометрической про&
грессии, можно записать:
a
n = a 0 1 + n.
Полученную формулу называют формулой сложных
процентов.
14.6. Сумма n первых членов
геометрической прогрессии
Сумму n первых членов геометрической прогрессии
при q
1 вычисляют по формуле:
S
n = .
Если q= 1, то все члены прогрессии равны первому
члену. Тогда S
n = nb 1.
З а д а ч а. При любом натуральном n сумма n первых
членов геометрической прогрессии вычисляется по
формуле S
n = 10 (2 n – 1). Найдите первый член и зна&
менатель этой прогрессии.
Решение. Пусть b
1 — первый член данной прогрес&
сии, q — её знаменатель. Тогда b
1 = S 1 = 10 (2 – 1) = 10;
b
1 + b 2 = S 2 = 10 (2 2 – 1) = 30. Отсюда b 2 = 30 – b 1 =
=20; q = = 2.
Ответ: b
1 = 10, q = 2.
p
100
p
100 p
100
p
100
b1qn 1
q1
b2
b1

300 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
14.7. Сумма бесконечной геометрической
прогрессии, модуль знаменателя которой
меньше единицы
Если дана бесконечная геометрическая прогрессия
с первым членом b
1 и знаменателем, равным q, таким,
что |q| < 1, то её сумму можно вычислить по формуле
S = .
З а д а ч а. Представьте бесконечную десятичную дробь
0,2(54) в виде обыкновенной дроби.
Р е ш е н и е. Имеем:
0,2(54) = 0,2545454... = 0,2 + 0,0545454... =
= 0,2 + 0,054 + 0,00054 + 0,0000054 + ... .
Бесконечную периодическую десятичную дробь
0,0545454... можно рассматривать как сумму беско&
нечной геометрической прогрессии, первый член ко&
торой равен b
1 = 0,054, а знаменатель q = 0,01. Тогда
0,0545454... = = = = .
Отсюда 0,2(54) = 0,2 + 0,0(54) = 0,2 + = + = .
Ответ: .
Примеры заданий № 25
Часть 1
1.Дана арифметическая прогрессия (a
n), разность кото&
рой равна –4,2; a
1 = –1,8. Найдите a 8.
2.Выписаны первые несколько членов арифметической
прогрессии: –15, –11, –7, ... . Найдите 46&й член этой
прогрессии.
b1
1q
0054
1001
0 054
099
54
990 3
55
3
55 1
5 3
55 14
55
14
55

§ 14. Числовые последовательности 301
3.Выписаны несколько последовательных членов ариф&
метической прогрессии: ..., –8, x, –2, 1, ... . Найдите x.
4.Найдите номер члена арифметической прогрессии
11,8; 12,4; 13; ..., равного 20,8.
5.Арифметическая прогрессия (a
n) задана условиями:
a
1 = 27, a n+1 = a n – 16. Найдите сумму восьми пер&
вых её членов.
6.Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b
n),
если b
6 = , b 7 = 1,4.
7.Выписаны первые несколько членов геометрической
прогрессии: –6; 15; –37,5; ... . Найдите её четвёртый
член.
8.Выписаны несколько последовательных членов гео&
метрической прогрессии: ..., 5, x, 45, –135, ... . Най&
дите x.
9.Предприниматель взял в банке кредит в размере
400 000 р. на два года под 20% годовых. Какую сум&
му (в рублях) он должен будет вернуть банку через
2 года?
10.Геометрическая прогрессия (b
n) задана условиями:
b
1= –8, b n+1 = –2b n. Найдите сумму шести первых её
членов.
11.Вычислите сумму пяти первых членов геометриче&
ской прогрессии (b
n), если b 3= 18, а знаменатель q= 3.
12.Вычислите сумму пяти первых членов геометриче&
ской прогрессии (b
n), если b 1= 12, b 4= 324.
13.Найдите сумму бесконечной геометрической прогрес&
сии, первый член которой b
1= 18, а знаменатель q= .
14.Чему равен знаменатель бесконечной геометриче&
ской прогрессии, первый член которой равен 15, а
сумма равна 75?
Часть 2
15.Какой номер имеет член арифметической прогрессии
6; 14; 22; ... , равный 214?
14
15
2
3

302 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
16.Сколько положительных членов содержит арифмети&
ческая прогрессия 30; 26; 22; …?
17. В кинотеатре в каждом следующем ряду на 4 места боль&
ше, чем в предыдущем, а всего мест в зале — 640. Сколь&
ко рядов в кинотеатре, если в первом ряду 10 мест?
18.Вычислите сумму пятнадцати первых членов ариф&
метической прогрессии, если её шестой член равен
2,2, а разность равна 2,4.
19.Найдите разность арифметической прогрессии, пер&
вый член которой равен 10, а сумма четырнадцати
первых членов равна 1050.
20.Найдите первый член арифметической прогрессии,
разность которой равна 4, а сумма пятидесяти пер&
вых членов равна 5500.
21.Найдите сумму всех положительных членов арифме&
тической прогрессии 4,6; 4,2; 3,8; ... .
22.При любом n сумму n первых членов некоторой ариф&
метической прогрессии можно вычислить по форму&
ле S
n= 6n – n 2. Найдите разность этой прогрессии.
23.Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6,
которые меньше 250.
24.Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые
кратны 12.
25.Какие два числа надо поставить между числами 1,4 и
175, чтобы они вместе с данными числами образова&
ли геометрическую прогрессию?
26.В течение года завод дважды увеличивал еженедель&
ный выпуск продукции на одно и то же количество
процентов. На сколько процентов увеличивался каж&
дый раз выпуск продукции, если в начале года завод
выпускал 1200 изделий еженедельно, а в конце года —
1587 изделий?
27.Найдите сумму бесконечной геометрической прогрес&
сии (b
n), если b 2– b 4= 1,5 и b 1– b 3= 3.
28.Какие три числа надо вставить между числами 5 и
1280, чтобы они вместе с данными числами образова&
ли геометрическую прогрессию?

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 303
29.При каком значении x значения выражений 2x – 1,
x+3, x + 15 являются последовательными членами
геометрической прогрессии?
30.Найдите сумму шести первых членов геометрической
прогрессии (b
n), если b 4= 24, а знаменатель q= –2.
31.Найдите сумму бесконечной геометрической прогрес&
сии 125; –25; 5; ... .
32.Найдите четвёртый член бесконечной геометриче&
ской прогрессии со знаменателем , сумма которой
равна –81.
33.Запишите в виде обыкновенной дроби число 0,3(27).
34.Запишите в виде обыкновенной дроби число 0,4(12).
§ 15. Элементы комбинаторики, теории
вероятностей, описательной статистики
15.1. Комбинаторные правила суммы
и произведения
В основе решения большинства комбинаторных задач
лежат два правила: правило суммы и правило произведе&
ния.
Правило суммы. Если множество A состоит из m эле&
ментов, а множество B — из k элементов, причём эти
множества не имеют общих элементов, то выбор «a или b»,
где a
A, b B, можно осуществить m + k способами.
Правило суммы можно обобщить для трёх и более
множеств. Например, если множества A, B и C состоят
соответственно из m, k и n элементов, причём ни у каких
двух из этих множеств нет общих элементов, то выбор
«a или b или c», где a
A, b B, c C, можно осущест&
вить m + k + n способами.
Правило произведения. Если элемент a можно вы&
брать m способами и после каждого такого выбора эле&
1
3

304 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
мент b можно выбрать k способами, то выбор «a и b» в
указанном порядке можно осуществить mk способами.
Правило произведения также можно обобщить. На&
пример, если элемент a можно выбрать m способами,
после каждого такого выбора элемент b можно выбрать k
способами и после того, как выбраны элементы a и b, эле&
мент c можно выбрать n способами, то выбор «a и b и c»
можно осуществить mkn способами.
З а д а ч а 1. Из класса, в котором учатся 28 человек,
надо выбрать трёх дежурных по одному на каждый из
трёх этажей школы. Сколькими способами это можно
сделать?
Р е ш е н и е. Существует 28 способов выбрать дежур&
ного по первому этажу. После того как этот выбор бу&
дет сделан, останется 27 учеников, каждый из кото&
рых может стать дежурным по второму этажу. После
выбора дежурных для первого и второго этажей де&
журного по третьему этажу можно выбрать 26 спосо&
бами.
Таким образом, по правилу произведения количество
способов выбора трёх дежурных равно 28
27 26 =
=19656.
О т в е т: 19 656 способов.
З а д а ч а 2. На рисунке 15.1 показана схема дорог, ве&
дущих из города A в город B. Сколькими способами
можно проехать из города A в город B?
A B M
N
Рис. 15.1

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 305
Р е ш е н и е. Воспользовавшись правилом произведе&
ния, устанавливаем, что из города A в город B через
город M можно попасть 3
2 = 6 способами, а через го&
род N — 4
3 = 12 способами. Тогда по правилу суммы
общее количество способов равно 6 + 12 = 18 способов.
О т в е т: 18 способов.
15.2. Перестановки, размещения, сочетания
Перестановкой конечного множества M называют
любое упорядоченное множество, образованное из всех
элементов множества M.
Например, существует 6 перестановок множества
M={a, b, c}:
(a; b; c), (a; c; b), (b; a; c), (b; c; a), (c; a; b), (c; b; a).
Перестановки данного конечного множества отли&
чаются только порядком следования элементов.
Количество перестановок n&элементного множества
обозначают символом P
n, используя первую букву фран&
цузского слова permutation — перестановка. Например,
рассматривая множество M={a, b, c}, мы установили,
что P
3=6.
Для любого натурального n справедлива формула
P
n=n (n–1) (n–2) ... 2 1.
Произведение первых n натуральных чисел обознача&
ют так: n! (читают: «n факториал»). Например,
3! = 1
2 3 = 6. Считают, что 1! = 1. Также считают, что
0! = 1.
Таким образом, справедлива формула
P
n=n!.
Любое k&элементное упорядоченное подмножество
данного n&элементного множества называют размещени#
ем из n элементов по k элементов.
Количество всех возможных размещений из n элемен&
тов по k элементов обозначают символом , используя
An k

306 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
первую букву французского слова arrangement — разме&
щение.
Для любых натуральных n и k таких, что k
 n,
справедливы формулы:
=n(n–1)(n–2)
... (n–k+1);
=.
Любое k&элементное подмножество заданного n&эле&
ментного множества называют сочетанием (комбинаци#
ей) из n элементов по k элементов.
Количество всех возможных сочетаний из n элемен&
тов по k элементов обозначают символом , используя
первую букву французского слова combinaison — комби&
нация.
Для любых натуральных n и k таких, что k
 n,
справедливы формулы:
= ;
= .
З а д а ч а 1. Сколько существует правильных дробей,
числитель и знаменатель которых — простые числа,
меньшие 30?
Р е ш е н и е. Множество {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
состоит из всех простых чисел, меньших 30. Количе&
ство 2&элементных упорядоченных подмножеств это&
го множества равно количеству обыкновенных дро&
бей, отличных от единицы, числитель и знаменатель
которых — указанные простые числа. Половина из
этих дробей — правильные. Следовательно, искомое
число равно = 45.
Ответ: 45.
An k
An k n
nk
Cn k
Cn k An k
Pk
Cn k n
nk k
1
2A10 2

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 307
З а д а ч а 2. Сколькими способами в классе, в котором
30 учащихся, можно назначить двух дежурных?
Р е ш е н и е. Надо определить количество 2&элемент&
ных подмножеств 30&элементного множества. Каждое
из таких подмножеств является сочетанием из 30 эле&
ментов по 2 элемента, т. е. искомое количество равно
. Имеем: = = 435.
Ответ: 435.
15.3. Бином Ньютона
Имеет место такая формула:
(a + b)
n =
=.
Эту формулу называют формулой бинома Ньютона, а
коэффициенты — биномиальными коэффициентами.
В формуле бинома Ньютона выражение (a + b)
n
представлено как сумма n + 1 слагаемого, где (k + 1)&е
слагаемое имеет вид
.
Если в формуле бинома Ньютона вместо b подставить – b,
то получим формулу
(a – b)
n = +
+ .
З а д а ч а 1. Раскройте скобки в выражении (a + b)
5.
Р е ш е н и е. Поскольку = 5, = 10, = 10,
= 5, то можно записать:
(a + b)
5 = a 5 + 5a 4b + 10a 3b2 + 10a 2b3 + 5ab 4 + b 5.
C30 2 C30
2 30
28 2
Cn 0an Cn
1an1 b1 Cn 2an2 b2 Cn n1 a1bn1 Cn nbn
Cn
k
Tk1 Cn kank bk
Cn 0an Cn
1an1 b1
Cn 2an2 b2 Cn 3an3 b3 1 nCn nbn
C5 1 C5
2 C5
3
C5 4

308 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
З а д а ч а 2. Выражение разложили по
формуле бинома Ньютона. Найдите член разложения,
не зависящий от x.
Решение. Запишем (k + 1)&й член разложения:
T
k+1 = =
=.
Слагаемое T
k+1 не будет зависеть от x, если
–(40 – k) + 3k = 0. Отсюда k = 8 и .
Ответ: .
15.4. Представление данных в виде таблиц,
диаграмм, графиков
Собранную информацию удобно представлять в виде
таблиц.
Ниже представлена таблица среднегодовых темпера&
тур воздуха в отдельных городах России.
ГородТемпература, CГородТемпература, C
Екатеринбург 2,7 Оренбург 5,0
Казань 4,1 Пермь 2,3
Краснодар 11,4 Тула 5,2
Мурманск 0,3 Хабаровск 2,2
Нижний Нов&
город4,4 Челябинск 2,9
5
x
3
4 2x 340
C40 k 5
x
3
4
40k 2x 3k
C40 k50 40k 2kx
3
440k 3k
3
4 T9 C40 853228
T9 C40
853228

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 309
Графическое представление статистических данных с
помощью геометрических фигур называют диаграмма#
ми. Так, данные, приведённые выше в таблице, можно
подать в виде столбчатой диаграммы (рис. 15.2). Здесь
высота каждого столбика показывает среднегодовую
температуру в соответствующем городе.
Когда хотят сопоставить части какой&то величины, то
применяют круговые диаграммы.
Круговая диаграмма на рисунке 15.3 иллюстрирует
соотношение между площадями шести крупнейших го&
сударств.
Рис. 15.2
Рос с ия
27,3%
Канад а
16,0%
Китай
15,4% СШ А
15,4% Бразил ия
13,6%Авс трал ия
12,3% Рос с ия
Канад а
Китай
СШ А
Бразил ия
Ав с трал ия
Рис. 15.3

310 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Информацию также можно представлять в виде гра#
фиков. На рисунке 15.4 изображён график ежегодного
процентного роста количества пользователей Интернета
в мире в течение 2007–2014 гг.
Примеры заданий № 26
Часть 1
1.В меню столовой имеется 3 первых блюда, 6 вторых
блюд и 4 третьих блюда. Сколькими способами мож&
но выбрать обед, содержащий по одному блюду каж&
дого вида?
2.В конкурсе эрудитов участвуют 10 человек. Сколь&
ко есть вариантов распределения трёх первых мест?
3.Сколько чётных пятизначных чисел, все цифры ко&
торых различны, можно записать, используя цифры
3, 4, 5, 7 и 9?
21,3
25,432,6
37,14452,6
57,1
67,5
10 20 30 40 50 60
70
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
Процент населения,
пользующегося Интернетом
Рис. 15.4

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 311
4.Сколькими способами можно расставить на полке
5 разных книг?
5.В школе есть два одиннадцатых класса. В 11&А клас&
се учится 12 юношей и 8 девушек, а в 11&Б — 9 юно&
шей и 15 девушек. Из учащихся этих двух классов
необходимо выбрать двух ведущих праздничного ве&
чера, причём юноша должен быть из 11&А класса,
а девушка — из 11&Б класса. Сколько существует ва&
риантов выбора таких пар ведущих?
6.На плоскости отметили 9 точек, никакие 3 из кото&
рых не лежат на одной прямой. Сколько можно про&
вести отрезков, концами которых были бы эти точ&
ки?
7.В чайном киоске имеется в продаже расфасованный в
коробки листовой чай восьми видов, среди которых
есть вид «Чёрная жемчужина». Покупатель хочет
приобрести в этом киоске для подарочного набора три
коробки чая трёх разных видов, среди которых обя&
зательно должен быть вид «Чёрная жемчужина».
Сколько всего у покупателя есть вариантов приобре&
тения трёх коробок чая для набора из имеющихся в
киоске?
8.На кодовом замке для входных дверей подъезда име&
ется 10 кнопок с написанными на них цифрами 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Сколько существует разных кодов
(наборов из разных кнопок) для этого замка, состоя&
щих из трёх цифр? (При наборе кода кнопки нажима&
ются одновременно.)
9.Выражение (x + 5y)
8 представили в виде многочлена
стандартного вида. Сколько одночленов содержит
этот многочлен?
10.В таблице указаны страны, команды которых стано&
вились чемпионами мира по футболу, а также коли&
чество завоёванных этими командами вторых и тре&
тьих мест.

312 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Определите с помощью таблицы, сколько раз стано&
вилась чемпионом команда, занимавшая второе мес&
то наибольшее количество раз.
11.Строительная фирма планирует купить 150 000 кир&
пичей у одного из трёх поставщиков. Цены на кир&
пич и условия доставки, предлагаемые поставщика&
ми, приведены в таблице.
Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую
покупку с доставкой?
СтранаКоличество
первых местКоличество
вторых местКоличество
третьих мест
Бразилия 5 2 2
Италия 4 2 1
Германия444
Уругвай 2 0 0
Арген&
тина230
Англия 1 0 0
Франция112
Испания 1 0 0
Постав#
щикСтоимость
кирпича
(р. за
1штуку)Стоимость
доставки
(р.)Дополнительные условия
А 7,4 90 000 Нет
Б7,580 000При заказе товара на сум&
му свыше 1 200 000 р. до&
ставка бесплатная
В7,880 000При заказе товара на сум&
му свыше 1 100 000 р. до&
ставка бесплатная

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 313
12.В альпинизме нормативом для присвоения звания
«Снежный барс России» является совершение вос&
хождения на 10 высочайших горных вершин Россий&
ской Федерации. На диаграмме (рис. 15.5) приведе&
ны данные о высоте этих десяти вершин (в метрах).
Какое место по высоте занимает Джангитау?
13.На диаграмме, изображённой на рисунке 15.6, указа&
но количество пирожных, пирожков, сочников и бу&
тербродов, проданных в школьном буфете за день.
Известно, что больше всего было продано пирожков,
меньше всего — бутербродов, а пирожных — больше,
чем сочников. На сколько больше было продано пи&
рожных, чем бутербродов?
450650 855204 5034
46885151 5025 5100 50685642
4000 4200 4400 4600 4800 5000 5200 5400 5600 5800
Белуха
Джангитау
Дыхтау
Казбек
Ключевская
сопка
Коштантау
Мижирги
Пик
Пушкина
Шхара
Эльбрус
Рис. 15.5
20
40
60
Количество
проданных
изделий 0
80
Рис. 15.6

314 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
14.На рисунке 15.7 жирными точками отмечены годо&
вые минимумы площади поверхности арктического
льда, наблюдавшиеся в период с 2004 г. по 2014 г.
(для наглядности точки соединены отрезками).
Пользуясь приведённой информацией, определите
из указанного периода год, в котором величина го&
дового минимума площади поверхности льда наи&
более изменилась по сравнению с предыдущим го&
дом.
15.На круговой диаграмме (круг разделён пунктирными
линиями на равные секторы) показано распределе&
ние количества столов, проданных магазином в тече&
ние месяца (рис. 15.8). Общее количество проданных
столов за этот период составило 108. Сколько среди
них было журнальных столов?
3 3,54 4,55 5,56 6,5
2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Рис. 15.7
Письменные столы
Журнальные столы
Кухонные столы
Рис. 15.8

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 315
Часть 2
16.Сколько всего существует дробей вида , где m и n —
натуральные числа, меньшие 20, причём число m не&
чётное, а число n кратно 4?
17.Сколько всего существует пар чисел вида (m; n), где
m и n — натуральные числа от 1 до 100 включитель&
но, таких, что первое число пары кратно 4, а второе —
кратно 9?
18.Сколько нечётных семизначных чисел, все цифры
которых различны, можно записать с помощью цифр
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
19.Сколько трёхзначных чисел можно записать с помо&
щью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
20.Рассматриваются четырёхзначные числа, в записи
которых присутствуют две цифры 5, стоящие рядом,
и по одному разу каждая из цифр 6 и 0. Сколько су&
ществует таких чисел?
21.Имеется 6 разных цветков. Сколько существует
способов составить из них букет с 3 цветками или с
5 цветками?
22.Прямые a и b параллельны. На прямой a отметили
9 точек, а на прямой b — 12 точек. Сколько сущест&
вует четырёхугольников с вершинами в отмеченных
точках?
23.Сколько существует способов выбрать из 12 человек
председателя, секретаря и трёх членов комиссии?
24.В 11&А классе обучается 30 учащихся, а в 11&Б —
32 учащихся. Для участия в школьной конференции
каждый класс делегирует трёх учащихся. Сколько
существует способов сформировать делегацию от
этих двух классов?
25.Чтобы составить код для сейфа, надо выбрать четыре
разные буквы из 30 букв или четыре разные цифры
из 10 цифр. При использовании кода его символы на&
бираются последовательно по одному в выбранном
порядке. Сколько существует способов составления
такого кода?
m
n

316 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
26.Найдите коэффициент четвёртого члена разложения
выражения (x
2 – y) 6 по формуле бинома Ньютона.
27.Чему равен в разложении выражения по
формуле бинома Ньютона коэффициент слагаемого,
содержащего переменную x в первой степени?
28.Какой по счёту член разложения выражения
по формуле бинома Ньютона не содержит
переменную x?
29.В библиотеке имеются только учебники, словари, спра&
вочники и произведения художественной литературы.
Процентное распределение количества этих книг в биб&
лиотеке отображено на диаграмме (рис. 15.9).
а) Определите общее количество книг в этой библио&
теке, если количество учебников равно 84.
б) Сколько учебников надо приобрести дополнительно,
чтобы полученное после этого их суммарное количест&
во относилось к количеству справочников как 4 : 1?
30.Диаграмма, изображённая на рисунке 15.10, со&
держит информацию о количестве электроэнергии
(в кВт
ч), потреблённой некоторой семьёй в каждом
месяце 2016 года.2x
1
x 5
2
x
4 x30
Учебники
Словари
Художественная
литература
75%
Справочники
5%
8%
Рис. 15.9

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 317
а) Во сколько раз в декабре было потреблено больше
электроэнергии, чем в июле?
б) На сколько меньше киловатт&часов электроэнер&
гии было потреблено за все летние месяцы, чем за все
весенние месяцы?
в) Сколько киловатт&часов электроэнергии в среднем
потребляли за один осенний месяц?
15.5. Статистика. Статистические характеристики
Статистика (от латинского status — состояние) — это
наука о сборе, обработке и анализе количественных дан&
ных, которые характеризуют массовые явления.
Статистическое исследование состоит из нескольких
этапов:
0 50 100 150 200
250
январь
февраль
март
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь Количество электроэнергии,
кВт ч
Рис. 15.10
Сбор данных
Обработка данных и их
представление в удобной
форме
Анализ данных
Выводы и рекомендации

318 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Совокупность объектов, на основании которых прово&
дят исследование, называют выборкой.
Если выборка состоит из числовых данных, то раз&
ность между наибольшим и наименьшим значениями
данных выборки называют размахом выборки.
Пусть выборка состоит из числовых данных x
1, x 2, ...,
x
n. Средним значением этой выборки (выборочным
средним) называют число = .
Рассмотрим выборку, состоящую из таких данных,
которые можно сравнивать друг с другом. Если коли&
чество данных нечётно и они упорядочены так, что
x
1x2  ...  x2n–1 , то медианой данной выборки назы&
вают x
n, т. е. то из данных, которое в списке x 1, x 2, ...,
x
2n–1 расположено посередине.
Если выборка состоит из чётного количества данных:
x
1x2  ...  x2n , то медианой данной выборки называ&
ют любое из данных x
n или x n+1 , т. е. те два данных, ко&
торые расположены посередине в списке x
1, x 2, ..., x 2n.
Если исследуемыми данными являются числа, то в
случае чётного количества данных x
1x2  ...  x2n ме&
дианой выборки считают величину .
Пусть выборка состоит из данных x
1, x 2, ..., x n. Мо#
дой данной выборки называют те данные, которые встре&
чаются в списке x
1, x 2, ..., x n чаще всего. Если таких
частых данных несколько, то каждое из них является
модой данной выборки.
З а д а ч а. Найдите размах, среднее значение, медиану
и моду выборки 7, 3, 2, 7, 5, 3, 14, 7.
Р е ш е н и е. Расположим числа данной выборки в по&
рядке возрастания: 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 14.
Размах выборки: 14 – 2 = 12.x
x1 x2 xn
n
xn xn1
2

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 319
Среднее значение выборки: = = 6.
Медиана выборки: = 6.
Мода: 7.
15.6. Частота и вероятность случайного события
Результат наблюдения, опыта, эксперимента будем
называть событием.
Случайным событием называют такой результат на&
блюдения или эксперимента, который при соблюдении
данного комплекса условий может произойти, а может и
не произойти.
Например, при подбрасывании монеты случайным со&
бытием является выпадение герба. Обнаружение письма
при проверке почтового ящика также является случай&
ным событием.
В результате многочисленных наблюдений и экспери&
ментов было подмечено, что многие события происходят
с той или иной постоянной частотой.
Частотой случайного события называют величину,
вычисляемую по формуле:
частота = .
Для того чтобы по частоте случайного события можно
было оценивать его вероятность, количество испытаний
должно быть достаточно большим. Частота случайного
события позволяет лишь приближённо оценить вероят&
ность случайного события.
Такую оценку вероятности случайного события назы&
вают статистической.
Начиная с ХVІІІ в. многие исследователи проводили
серии испытаний с подбрасыванием монеты. В получен&
ных ими результатах прослеживалась закономерность:
при многократном подбрасывании монеты частота появ&
x 232 573 14
8
57
2
число появлений данного события
общее число экспериментов

320 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
ления герба незначительно отклоняется от числа 0,5.
Следовательно, можно считать, что вероятность события
«выпадение герба» приблизительно равна 0,5.
Вероятность события обозначают буквой P (первой
буквой французского слова probabilit
e — вероятность).
Если событие «выпадение герба» обозначить буквой A, то
P(A) 0,5.
15.7. Достоверные и невозможные события.
Равновозможные события.
Классическое определение вероятности
Событие, которое при данном комплексе условий обя&
зательно состоится при любом испытании, называют
достоверным. Вероятность такого события считают рав&
ной 1, т. е.:
если A — достоверное событие, то
P(A) = 1.
Событие, которое при данном комплексе условий не
может состояться ни при каком испытании, называют
невозможным. Вероятность такого события считают рав&
ной 0, т. е.:
если A — невозможное событие, то
P(A) = 0.
З а д а ч а 1. Пусть в коробке лежат 10 красных ша&
ров. Какова вероятность того, что взятый наугад шар
будет красного цвета? жёлтого цвета?
Р е ш е н и е. При заданных условиях любой взятый
наугад шар будет красного цвета. Следовательно, со&
бытие «взятый наугад шар будет красного цвета» яв&
ляется достоверным и его вероятность равна 1.
Поскольку в коробке нет шаров жёлтого цвета, то
взять шар жёлтого цвета нельзя. Следовательно, со&
бытие «взятый наугад шар будет жёлтого цвета» яв&
ляется невозможным и его вероятность равна 0.

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 321
Рассмотрим эксперимент, в котором однородную моне&
ту подбрасывают один раз. В этом опыте можно получить
только один из двух результатов (исходов): выпадение чис&
ла или выпадение герба, причём ни один из них не имеет
преимуществ. Такие результаты называют равновозмож#
ными, а соответствующие случайные события — равнове#
роятными. Считают, что вероятность каждого из событий
«выпадение герба» и «выпадение числа» равна .
Если испытание может закончиться одним из n равно&
возможных результатов, из которых m приводят к на&
ступлению события A, то вероятностью события A назы&
вают отношение .
Такое определение вероятности называют классиче#
ским.
З а д а ч а 2. В коробке лежат 15 бильярдных шаров,
пронумерованных числами от 1 до 15. Какова вероят&
ность того, что вынутый наугад шар будет иметь но&
мер, кратный 3?
Р е ш е н и е. В этом испытании можно получить один
из 15 равновозможных результатов: вынуть шар с но&
мером 1, вынуть шар с номером 2 и т. д. Из них на&
ступлению события «вынутый шар имеет номер,
кратный 3» способствуют 5 результатов: вынутый
шар имеет номер 3, или 6, или 9, или 12, или 15. По&
этому искомая вероятность равна = .
З а д а ч а 3. Подбрасывают одновременно две одина&
ковые монеты. Какова вероятность того, что хотя бы
один раз выпадет герб?
Р е ш е н и е. Чтобы создать в данном эксперименте
комплекс условий, при которых все его результаты
станут равновозможными, будем различать монеты,
предварительно их пронумеровав. Тогда можно полу&
чить четыре равновозможных результата (рис. 15.11).
1
2
m
n
5
15 1
3

322 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
В первых трёх из этих результатов хотя бы один раз
выпал герб. Эти результаты являются благоприятны&
ми. Поэтому вероятность того, что при одновремен&
ном подбрасывании двух монет хотя бы один раз вы&
падет герб, равна .
15.8. Вычисление вероятностей
с помощью правил комбинаторики
Применение правил комбинаторики — эффективный
приём для вычисления вероятностей событий в испыта&
ниях с равновозможными исходами.
З а д а ч а 1. В двух урнах лежат шары, которые отли&
чаются только цветом. В первой урне лежат два белых
и три чёрных шара, а во второй — три белых и два
чёрных шара. Из каждой урны наугад достают по од&
ному шару. Какова вероятность того, что хотя бы
один из двух шаров окажется белым?
Рис. 15.11
3
4

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 323
Р е ш е н и е. В результате рассматриваемого опыта
можно получить три результата: оба вытянутых шара
белые, или оба чёрные, или один шар белый, а другой —
чёрный. Однако эти результаты не являются равно&
возможными. Для того чтобы иметь возможность рас&
сматривать равновозможные результаты, пронумеру&
ем все 10 шаров.
Поскольку в каждой урне лежит по 5 шаров, то из них
можно составить 5
5 = 25 таких пар, шары в которых
взяты из разных урн. Так как шары пронумерованы,
то мы можем считать, что все 25 пар шаров различны.
Шары из урн берут наугад. Поэтому в этом экспери&
менте есть 25 равновозможных результатов.
Поскольку в первой урне лежат 3 чёрных шара, а во
второй — 2 чёрных, то существует 3
2 = 6 пар шаров
чёрного цвета. Поэтому количество пар шаров, среди
которых есть хотя бы один белый, равно 25 – 6 = 19.
Значит, количество результатов, благоприятных для
события «хотя бы один из шаров окажется белым»
(событие A), равно 19.
Следовательно, P(A) = .
З а д а ч а 2. Бросают четыре игральных кубика. Най&
дите вероятность того, что:
1) выпадет ровно одна шестёрка (событие A);
2) выпадут четыре разные цифры (событие B);
3) не выпадет ни одной шестёрки (событие C);
4) выпадет хотя бы одна шестёрка (событие D).
Р е ш е н и е. Пронумеруем кубики числами от 1 до 4.
Любой результат эксперимента будем записывать в
виде (a; b; c; d), где a, b, c и d — количество очков, вы&
павших соответственно на первом, втором, третьем и
четвёртом кубиках.
Всего может образоваться 6
6 6 6 = 6 4 таких четвё&
рок. Ни один из результатов не имеет преимуществ.
Поэтому в данном эксперименте есть 6
4 равновозмож&
ных результата.
19
25

324 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
1) Единственная выпавшая шестёрка может стоять на
любом из четырёх мест. Пусть, например, она стоит
на первом месте. На остальных трёх местах стоят лю&
бые цифры от 1 до 5. Тогда количество четвёрок вида
(6; b; c; d) равно 5
5 5 = 5 3. Общее количество благо&
приятных результатов равно 4
53. Следовательно,
P(A) = = .
2) В этом случае любые четыре различные выпавшие
цифры — это 4&элементное упорядоченное подмно&
жество множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Следовательно, ко&
личество результатов, благоприятных для наступле&
ния события B, равно . Отсюда Р(B) = =
= = .
3) На каждом из четырёх мест может стоять любая из
цифр от 1 до 5. Отсюда количество результатов, бла&
гоприятных для наступления события C, равно
5
5 5 5 = 5 4. Получаем: Р(C) = = .
4) Количество всех результатов равно 6
4. Количество
всех результатов, где нет ни одной шестёрки, равно 5
4.
Тогда 6
4 – 5 4 — это количество всех результатов, со&
держащих хотя бы одну шестёрку. Отсюда Р(D) =
= = .
З а д а ч а 3. Контролёр в партии из 20 деталей наугад
выбирает 5 деталей для проверки. Если среди выбран&
ных деталей нет ни одной бракованной, то он прини&
мает всю партию. Какова вероятность того, что конт&
ролёр примет партию деталей, содержащую 7 брако&
ванных?
45 3
64 125
324
A6 4 A6 4
64
6543
64 5
18
54
64 625
1296
64 54
64 671
1296

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 325
Р е ш е н и е. Так как контролёр выбирает из 20 дета&
лей 5 деталей наугад, то данный эксперимент имеет
равновозможных результата.
Пусть в партии из 20 деталей есть 7 бракованных.
Тогда качественных изделий в ней 13. Контролёр про&
пускает партию из 20 деталей (событие A), если 5 де&
талей будут выбраны из 13 качественных деталей.
Следовательно, количество результатов, благоприят&
ных для наступления события A, равно . Отсюда
Р(A) =
8%.
Примеры заданий № 27
Часть 1
1.На графике, изображённом на рисунке 15.12, отра&
жены объёмы продажи ручек в магазине канцтоваров
в течение 6 месяцев. Сколько в среднем продавали
ручек за один месяц?
C20 5
C13 5
C13 5
C20
5
120 Количество проданных
ручек, шт.
Июль
150 180 210 240 270 300 330
Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
Рис. 15.12

326 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
2.В выборке, состоящей из 10 чисел, число 4 встречает&
ся 5 раз, число 5 — 3 раза, число 6 — 2 раза. Найдите
среднее значение этой выборки.
3.В таблице приведены данные о посещении художест&
венной выставки в течение недели:
Чему равен размах данной выборки?
4.Среднее значение выборки 7, 10, y, 14 равно 11. Чему
равен y?
5.В коробке лежат 10 белых и 5 красных шаров. Какое
наименьшее количество шаров надо вынуть наугад из
коробки, чтобы вероятность того, что среди них обя&
зательно будут 2 белых шара, была равной 1?
6.Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет
плохо или не пишет, равна 0,06. Виталий купил одну
шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта
ручка пишет хорошо.
7.На подносе лежат одинаковые на вид пирожки: 14 пи&
рожков с вишней, 8 пирожков с яблоком, 13 пирожков
со сливой. Наугад берут один пирожок. Найдите веро&
ятность того, что пирожок окажется с вишней.
8.На экзамене было 24 билета. Иван не выучил три из
них. Найдите вероятность того, что ему попадётся
выученный билет.
9.В коробке лежат 40 карандашей, из них 18 каранда&
шей — красные, 10 карандашей — синие, а осталь&
ные — зелёные. Какова вероятность того, что наугад
взятый карандаш не будет ни красным, ни синим?
День недели Количество посетителей
Понедельник 120
Вторник 200
Среда 210
Четверг 180
Пятница 300
Суббота 440
Воскресенье 410

§ 15. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 327
10.В среднем из 120 электрических лампочек, поступив&
ших в продажу, шесть неисправных. Найдите веро&
ятность того, что выбранная наугад в магазине лам&
почка окажется исправной.
11.Из слова «математика» наугад выбирают одну букву.
Какова вероятность того, что выберут букву «а»?
12.В ящике лежат 50 карточек, пронумерованных чис&
лами от 1 до 50. Какова вероятность того, что номер
выбранной наугад карточки будет кратным числу 5?
13.На 20 карточках записаны натуральные числа от 1
до 20. Какова вероятность того, что число, записан&
ное на наугад выбранной карточке, не делится наце&
ло ни на 3, ни на 5?
14.В магазине канцтоваров имеется в продаже 200 ру&
чек: 46 красных, 56 чёрных, 64 синих, а остальные —
зелёные. Найдите вероятность того, что при случай&
ном выборе одной ручки будет выбрана чёрная или
зелёная ручка.
15.В лотерее разыгрывается 16 денежных и 20 вещевых
призов. Всего выпустили 1800 лотерейных билетов.
Какова вероятность, купив один билет, не выиграть
ни одного приза?
16.Выпустили партию из 300 лотерейных билетов. Веро&
ятность того, что наугад выбранный из этой партии
билет будет выигрышным, равна 0,2. Сколько биле&
тов без выигрыша среди этих 300 билетов?
Часть 2
17.Дана выборка 1, 3, 2, 4, 5, 2, 3, 4, 1, 6. Определите:
а) среднее значение выборки;
б) медиану выборки.
18.По результатам тестирования по алгебре 25 учащих&
ся 11 класса составили таблицу, в которой отобрази&
ли количество ошибок, сделанных каждым из уча&
щихся:
Количество ошибок 0 1 2 3 4
Количество учащихся 5 4 6 8 2

328 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Найдите:
а) моду выборки;
б) среднее значение выборки.
19.Учащиеся 11 класса проходили тестирование по ма&
тематике, где оценка выставлялась по 100&балль&
ной шкале. Средняя оценка 10 учащихся составила
81 балл. Какой должна быть средняя оценка осталь&
ных 20 учащихся класса, чтобы средняя оценка все&
го класса была 85 баллов?
20.В ящике лежат четыре карточки, на которых написа&
ны числа 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что
сумма чисел, записанных на двух наугад вынутых
карточках, будет нечётным числом?
21.В коробке лежат зелёные и синие шары. Сколько в
коробке синих шаров, если зелёных в ней 18, а веро&
ятность того, что выбранный наугад шар окажется
синим, равна ?
22.Бросают две монеты. Какова вероятность того, что
выпадет один герб и одна цифра?
23.Дважды бросают монету. Какова вероятность того,
что оба раза выпадет герб?
24.В ящике лежат 12 чёрных и 8 белых шаров. Из ящи&
ка наугад выбирают друг за другом два шара. Первый
вынутый шар оказался чёрным. Какова вероятность
того, что второй шар будет белым?
25.В коробке лежат пять пронумерованных кубиков.
Какова вероятность того, что все кубики, последова&
тельно вынутые друг за другом, будут идти в порядке
возрастания их номеров?
26.На 7 карточках написали буквы А, Б, В, Г, К, Р, Я.
Какова вероятность того, что из букв, написанных на
взятых последовательно трёх карточках, образова&
лось слово «РАК»?
27.В ящике лежат 8 жёлтых и 12 синих шаров. Какова
вероятность того, что из выбранных наугад пяти ша&
ров три будут жёлтыми?
2
5

§ 16. Производная и её применение 329
28.Для лотереи подготовили 100 билетов, из них 15 яв&
ляются выигрышными. Какова вероятность того, что
из трёх наугад выбранных билетов все окажутся вы&
игрышными?
29.Десять карточек пронумерованы числами от 1 до 10.
Наугад выбирают две из них. Какова вероятность то&
го, что произведение номеров выбранных карточек
будет нечётным числом?
30.Опыт состоит в подбрасывании четырёх игральных
кубиков. Какова вероятность того, что выпадут четы&
ре одинаковые цифры?
§ 16. Производная и её применение
16.1. Понятие производной
Рассмотрим функцию y=f(x). Пусть x 0 — фиксиро&
ванная точка из области определения функции f.
Если x — произвольная точка области определения
функции f такая, что x
x0, то разность x–x 0 называют
приращением аргумента функции f в точке x
0 и обозна&
чают
x (читают: «дельта икс») 1. Имеем: x=x–x 0. От&
сюда
x=x
0+ x.
Говорят, что аргумент х получил приращение
x в
точке x
0.
Отметим, что приращение аргумента может быть как
положительным, так и отрицательным: если x>x
0, то
x>0; если x 1Говоря о приращении аргумента функции f в точке x0, здесь и да&
лее будем предполагать, что в любом промежутке вида (
x0 – ; x0 + )
есть точки области определения функции f, отличные от x 0.

330 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Если аргумент в точке x 0 получил приращение x,
то значение функции f изменилось на величину
f(x
0+ x)–f(x 0). Эту разность называют приращением
функции f в точке x
0 и обозначают f (читают: «дельта
эф»).
Имеем:
f=f(x 0+ x)–f(x 0) или
f=f(x)–f(x 0).
Для приращения функции y=f(x) также принято
обозначение
y, т. е.
y=f(x)–f(x 0) или y=f(x 0+ x)–f(x 0).
Приращение
x аргумента в точке x 0 и соответст&
вующее приращение
f функции показаны на рисун&
ке 16.1.
Производной функции f в точке x
0 называют число,
равное пределу отношения приращения функции f в
точке x
0 к соответствующему приращению аргумента
при условии, что приращение аргумента стремится к
нулю.
Рис. 16.1

§ 16. Производная и её применение 331
Производную функции y=f(x) в точке x 0 обозначают
так: f
(x0) или y (x0). Можно записать:
=
или
= .
Производную функции f в точке x
0 можно вычислить
по такой схеме:
1) придав в точке x
0 аргументу приращение x, найти
соответствующее приращение
f функции:
f=f(x 0+ x)–f(x 0);
2) найти отношение ;
3) выяснить, к какому числу стремится отношение
при
x 0, т. е. найти предел .
З а д а ч а. Найдите производную функции f(x)= в
точке x
0=1.
Р е ш е н и е. Придерживаясь вышеприведённой схе&
мы, запишем:
1)
f=f(x 0+ x)–f(x 0)= – = – =
=;
2) = – ;
3) при
x 0 значения выражения – стремятся
к числу –1, т. е. f
(1) = = –1.
Ответ: –1.f
x0 x0lim fx 0 x fx 0
x
f x0 x0lim f
x
f
x
f
x x0lim f
x
1
x
1
x
0 x
1
x
0
1
1
x
1
1
x
1 x
f
x
1
1
x
1
1
x
x0lim 1
1
x

332 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Если функция f имеет производную в точке x 0, то эту
функцию называют дифференцируемой в точке x
0.
Если функция f дифференцируема в каждой точке не&
которого множества M, то говорят, что она дифференци#
руема на множестве M.
Если функция f дифференцируема на D(f), то её назы&
вают дифференцируемой.
Нахождение производной функции f называют диф#
ференцированием функции f.
16.2. Геометрический и физический смысл
производной
Угловой коэффициент касательной, проведённой к
графику функции f в точке с абсциссой x
0, равен произ&
водной функции f в точке x
0, т. е.
k(x
0)=f (x0).
Это равенство выражает геометрический смысл про#
изводной.
Если y=s(t) — закон движения материальной точ&
ки по координатной прямой, то её мгновенная скорость
в момент времени t
0 равна производной функции y=s(t)
в точке t
0, т. е.
v(t
0)= s (t0).
Это равенство выражает физический смысл производ#
ной.
З а д а ч а. Найдите формулу для вычисления углового
коэффициента касательной к графику функции
f(x)=–x
2 в точке с абсциссой x 0. Какой угол с поло&
жительным направлением оси абсцисс образует каса&
тельная, проведённая к этому графику в точке с абс&
циссой x
0=– ? 1
2

§ 16. Производная и её применение 333
Р е ш е н и е. Имеем: k(x 0)= f (x0) = –2x 0. Формула
k(x) = –2x позволяет вычислить угловой коэффициент
касательной к параболе y=–x
2 в любой точке, в част&
ности в точке с абсциссой x
0=– .
Имеем: k = –2
= 1.
Пусть касательная к параболе в
точке с абсциссой x
0=– образует
угол
с положительным направле&
нием оси абсцисс (0
 < и ).
Тогда её угловой коэффициент ра&
вен tg
. Выше мы установили, что
k = 1. Отсюда tg
=1. Посколь&
ку 0
 < , то = (рис. 16.2).
16.3. Правила вычисления производных.
Производные основных элементарных функций
1. Производная суммы. В тех точках, в которых диф&
ференцируемы функции y=f(x) и y=g(x), также являет&
ся дифференцируемой функция y=f(x)+g(x), причём
для всех таких точек выполняется равенство
(f(x)+g(x))
=f (x)+g (x).
Коротко говорят: производная суммы равна сумме
производных.
Также принята такая упрощённая запись:
(f+g)
=f +g .
2. Производная произведения. В тех точках, в кото&
рых дифференцируемы функции y=f(x) и y=g(x), так&
1
2
1
2 1
2
Рис. 16.2 1
2
2
1
2
4

334 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
же является дифференцируемой функция y=f(x)g(x),
причём для всех таких точек выполняется равенство
(f(x)g(x))
=f (x) g(x)+g (x) f(x).
Также принята такая упрощённая запись:
(fg)
=f g+g f.
В тех точках, в которых дифференцируема функция
y=f(x), также является дифференцируемой функция
y=kf(x), где k — некоторое число, причём для всех та&
ких точек выполняется равенство
(kf(x))
=kf (x).
Коротко говорят: постоянный множитель можно вы&
носить за знак производной.
Также принята такая упрощённая запись:
(kf)
=kf .
3. Производная частного. В тех точках, в которых
функции y=f(x) и y=g(x) дифференцируемы и значение
функции g не равно нулю, функция y= также явля&
ется дифференцируемой, причём для всех таких точек
выполняется равенство
= .
Также принята такая упрощённая запись:
= .
4.Производная сложной функции. Если функция
t=g(x) дифференцируема в точке x
0, а функция y=f(t)
дифференцируема в точке t
0, где t 0=g(x 0), то сложная
функция y=f(g(x)) является дифференцируемой в точке
x
0, причём
y
(x0)=f (t0) g(x0).
fx
gx
fx
gx
f xgx g xfx
gx 2
f
g fgg f
g2

§ 16. Производная и её применение 335
Производные элементарных функций:
З а д а ч а 1. Найдите производную функции:
1) y= – sin x+4x
2; 2) y= (5x–3); 3) y=x 3 cos x;
4) y= .
Решение. 1) y
= = – (sinx) +
+4
(x 2) = – – cos x+4 2x= – – cos x+8x.
c = 0, где c — константа
(x
) = x –1
(ex) = e x
(ax) = a xlna
(ln
x) =
(log
ax) =
(sinx)
= cosx
(cosx)
= –sinx
(tgx)
=
(сtgx)
= –
= –
=
1
x
1
xaln
1
x2 cos
1
x2 sin
1
x 1
x2
x 1
2x
1
x x
1
2
2x 2 1
3x2
1
x x sin 4x 2 1
x
1
x2 1
x2

336 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
2) y = = (5x–3)+(5x–3) =
= (5x–3)+5 = + = =
=.
3) y
=(x 3 cos x) =(x 3) cos x+(cos x) x3=
=3x
2 cos x–sin x x3=3x 2 cos x–x 3 sin x.
4) y
= = =
= = =
=.
З а д а ч а 2. Найдите значение производной функции
в точке x
0: 1)y=(3x–7) 6, x 0=2; 2) y= ,
x
0=0; 3) y=sin , x 0= .
Р е ш е н и е. 1) Данная функция y=(3x–7)
6 являет&
ся сложной функцией y=f(g(x)), где f(t)=t
6,
g(x)=3x–7. Поскольку f
(t) = 6t 5, а g (x)=3, то
можно записать:
y
(x) = f (t)g (x) = 6t 5 3 при t = 3x – 7,
т. е.
y
(x) = 6(3x – 7) 5 3 = 18(3x – 7) 5;
y
(2) = 18 (3 2–7) 5=–18.
Решение этой задачи можно оформить и так:
y
= ((3x–7) 6)=6(3x–7) 5 (3x–7) =
= 6 (3x–7)
5 3=18(3x–7) 5; y (2) = –18.
x
1
2
5x3 x
1
2
x
1
2
1
2x
3
2
x
1
2
35x
2x 3
5
x 35x10x
2x 3
35x
2x 3
2x 2 1
3x2
2x 2 1 3x2 3x2 2x 2 1
3x2 2
4x3x2 32x 2 1
3x2 2 12x 2 8x 6x 2 3
3x2 2
6x 2 8x 3
3x2 2
4x 2 1
x
2

§ 16. Производная и её применение 337
2) y =( ) = (4x 2 + 1) = =
= ; y
(0) = 0.
3) y
= = = cos ; y ()= cos =0.
16.4. Уравнение касательной
Если функция f дифференцируема в точке x 0, то урав#
нение касательной, проведённой к графику функции f в
точке с абсциссой x
0, имеет вид:
y=f
(x0)(x–x 0)+f(x 0).
З а д а ч а 1. Составьте уравнение касательной к гра&
фику функции f(x)=2–4x–3x
2 в точке с абсциссой
x
0=–2.
Р е ш е н и е. Имеем:
f(x
0)=f(–2) = 2 – 4 (–2) – 3 (–2) 2=–2;
f
(x)=–4–6x;
f
(x0)=f (–2) = –4 – 6 (–2) = 8.
Подставив найденные числовые значения в уравне&
ние касательной, получаем: y=8(x+2)–2, т. е.
y=8x+14.
Ответ: y=8x+14.
З а д а ч а 2. Составьте уравнение касательной к гра&
фику функции f(x)=2x
2–6x в точке его пересечения
с осью абсцисс.
Р е ш е н и е. Решив уравнение 2x
2–6x=0, найдём абс&
циссы точек пересечения графика функции f с осью
абсцисс. Имеем: 2x(x–3)=0; x= 0 или x=3.
Запишем уравнение касательной в каждой из найден&
ных точек.
4x 2 1 1
24x
2 1
8x
24x
2 1
4x
4x
2 1
x
2 sin x
2 cos x
2 1
2 x
2 1
2
2

338 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
1) Если x 0=0, то f(0) = 0; f (x)=4x–6; f (0) = –6. Тог&
да уравнение касательной имеет вид y=–6x.
2) Если x
0=3, то f(3) = 0; f (3) = 4 3–6=6. Тогда
уравнение касательной имеет вид y=6(x–3), т. е.
y=6x–18.
Ответ: y=–6x, y=6x–18.
З а д а ч а 3. Найдите уравнение касательной к графи&
ку функции f(x) = , если эта касательная парал&
лельна прямой y=–2x+4.
Р е ш е н и е. Имеем:
f
(x) = = =
=.
Если касательная параллельна прямой y=–2x+4, то
её угловой коэффициент k равен –2.
Поскольку f
(x0)=k, где x 0 — абсцисса точки касания
искомой прямой с графиком функции f, то f
(x0)=–2,
т. е. – = –2. Отсюда
(x
0–4) 2=4;
Следовательно, на графике функции f(x)= су&
ществуют две точки, касательные в которых парал&
лельны данной прямой.
При x
0=6 имеем: f(x 0) = 5. Тогда уравнение касатель&
ной имеет вид y=–2(x–6)+5; y=–2x+17.
При x
0=2 получаем: f(x 0) = –3. Тогда уравнение ка&
сательной имеет вид y=–2(x–2)–3; y=–2x+1.
Ответ: y=–2x+17 и y=–2x+1.
x4
x4
x4 x4 x4 x4
x4 2 x4 x4
x4 2
8
x4 2
8
x
0 42
x0 – 4 = 2,
x
0 – 4 = –2;
x0 = 6,
x
0 = 2.
x4
x4

§ 16. Производная и её применение 339
З а д а ч а 4. Найдите абсциссу точки графика функ&
ции f(x) = , в которой проведённая к нему ка&
сательная образует с положительным направлением
оси абсцисс угол 45
.
Решение. Имеем: f
(x) = (2x–1) =
== .
Так как касательная образует угол 45
с положитель&
ным направлением оси абсцисс, то её угловой коэффи&
циент k равен tg 45
, т. е. k=1. Пусть x 0 — абсцисса
точки касания. Тогда f
(x0)=1.
Получаем: = 1. Отсюда = 1;
2x
0–1=1; x 0=1.
Ответ: 1.
Примеры заданий № 28
Часть 1
1.Найдите значение производной функции f(x) = x
2 – 3x
в точке x
0 = –1.
2.Найдите значение производной функции f(x) = xcosx
в точке x
0 = .
3.Найдите значение производной функции f(x) =
вточке x
0 = –3.
4.Найдите значение производной функции f(x) = tg 5x
вточке x
0 =.
5.Найдите значение производной функции f(x) = sin
вточке x
0 = 2 .
2x1
1
22x1
2
22x1 1
2x1
1
2x
0 1 2x 0 1
x1
x2
15
x
2

340 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
6. Найдите значение производной функции f(x) =
в точке x 0 = 0.
7.Найдите значение производной функции f(x) =
вточке x
0 = 1.
8.Чему равен угловой коэффициент касательной
к графику функции f(x) = в точке с абсцис&
сой x
0 = 7,5?
9.Чему равен угловой коэффициент касательной к
графику функции f(x) = ln (2x + 1) в точке с абсцис&
сой x
0 = 1,5?
10.Найдите абсциссу точки графика функции
f(x) = x
2 – 4x, в которой касательная к этому графику
параллельна прямой y = 6x + 2.
11.Прямые a и b, изображённые на рисунке 16.3, парал&
лельны, причём прямаяa является касательной к гра&
фику функции y = f(x) в точке с абсциссой x
0, а урав&
нение прямой b имеет вид 2x – y + 3 = 0. Найдите f
(x0).
12.Тело движется по координатной прямой по закону
s(t) = 2t
2 – 3t + 1 (перемещение s измеряется в мет&
рах, время t — в секундах). Найдите скорость тела че&
рез 3 с после начала движения. Ответ дайте в метрах
за секунду.e
4x ex2
x ln
x
2x1
Рис. 16.3

§ 16. Производная и её применение 341
13.Материальная точка движется прямолинейно по за&
кону s(t) = 3t
2 – 12t + 18 (время t измеряется в секун&
дах, перемещение s — в метрах). Через сколько се&
кунд после начала движения точка остановится?
Часть 2
14.Найдите абсциссу точки, в которой касательная
к графику функции f(x) = x
3 – 3x 2 – 8x + 9 наклонена
к оси абсцисс под углом
= .
15.Найдите уравнение касательной к графику функции
f(x) = (x
2 + 2x – 1) 4 в точке с абсциссой x 0 = 0.
16.Составьте уравнение касательной к графику функ&
ции f(x) = cos
2x в точке с абсциссой x 0 = .
17.Найдите уравнение горизонтальной касательной к
графику функции f(x) = x
2 – 4x + 7.
18.Найдите уравнение касательной к графику функции
f(x) = 0,4x
2 + 3x – 9, которая параллельна прямой
y=7x – 8.
19.Вычислите площадь треугольника, образованного
осями координат и касательной к графику функции
f(x) = в точке с абсциссой x
0 = 3.
20.Найдите уравнение касательной к графику функции
f(x) = , проходящей через точку O(0; 0).
21.Прямая y = 6x – 7 касается параболы y = x
2 + bx + c
в точкеM(2; 5). Найдите уравнение параболы.
22.На параболе y = x
2 выбраны две точки с абсциссами
x = 1 и x = 3. Через эти точки проведена прямая. Най&
дите уравнение касательной к параболе, которая па&
раллельна этой прямой.
4
2
x3
x2
x4
x3

342 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
16.5. Признаки возрастания и убывания функции
Признак возрастания функции. Если для всех x из
промежутка I выполняется неравенство f
(x)>0, то фун&
кция f возрастает на этом промежутке.
Признак убывания функции. Если для всех x из про&
межутка I выполняется неравенство f
(x)<0, то функция f
убывает на этом промежутке.
З а д а ч а 1. Найдите промежутки возрастания и убы&
вания функции f(x)=x
2–2x.
Р е ш е н и е. Имеем: f
(x)=2x–2. Решив неравенства
2x–2>0 и 2x– 2 < 0, приходим к такому: f
(x)>0 на
промежутке (1; +
); f (x) < 0 на промежутке (– ; 1).
Следовательно, функция f возрастает на промежутке
(1; +
) и убывает на промежутке (– ; 1).
На рисунке 16.4 изображён график
функции f. Из рисунка видно, что
на самом деле функция f возрастает
на промежутке [1; +
) и убывает на
промежутке (–
; 1].
При записи ответа руководствуют&
ся таким правилом: если функция f
непрерывна в каком&то из концов
промежутка возрастания (убывания), то эту точку
присоединяют к этому промежутку. В нашем примере
функция f(x)=x
2–2x непрерывна в точке x= 1, по&
этому эту точку присоединили к промежуткам (1; +
)
и (–
; 1).
О т в е т: возрастает на промежутке [1; +
), убывает на
промежутке (–
; 1].
З а д а ч а 2. Найдите промежутки возрастания и убы&
вания функции: 1)f(x)=x
3+3x 2–9x+1;
2) f(x)= –x
4+4x 3–6x 2+5; 3) f(x)= .
Решение. 1) Имеем:
f
(x)=3x 2+6x–9=3(x+3)(x–1).
Рис. 16.4
3
4
x2 4x1
x1

§ 16. Производная и её применение 343
Исследуем знак производной методом интервалов
(рис. 16.5) и учтём непрерывность функции f в точках
x=–3 и x= 1. Получаем, что функция f возрастает на
каждом из промежутков (–
; –3] и [1; + ) и убывает
на промежутке [–3; 1].
2) Имеем: f
(x)=–3x 3+12x 2–12x=–3x(x 2–4x+4)=
=–3x(x–2)
2.
Исследовав знак производной (рис. 16.6), приходим к
выводу, что функция возрастает на промежутке (–
; 0]
и убывает на промежутке [0; +
).
3) Имеем: D(f) = (–
;1) (1; + ). Найдя производную
функции f, получаем: f
(x) = = .
Исследуем знак функции
y=f
(x) (рис. 16.7). Следо&
вательно, данная функция
возрастает на каждом из
промежутков (–
; –1] и
[3; +
) и убывает на каж&
дом из промежутков [–1; 1) и (1; 3].
16.6. Точки экстремума функции
Если x0 — точка экстремума функции f, то либо f(x0)=0,
либо функция f не является дифференцируемой в точке x 0.
Внутренние точки области определения функции, в
которых производная равна нулю или не существует, на&
зывают критическими точками функции.
Рис. 16.5 Рис. 16.6
x
2 2x 3
x1 2 x1 x3
x1 2
Рис. 16.7

344 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Например, точка x0= 0 является критической точкой
функций
y=x3 (рис. 16.8) и y=| x | (рис. 16.9); точка
x0= является критической точкой функции y=sin x
(рис. 16.10).
Каждая точка экстремума функции является её кри&
тической точкой, но не каждая критическая точка явля&
ется точкой экстремума. Иными словами, точки экстре&
мума следует искать среди критических точек. Этот
факт проиллюстрирован на рисунке 16.11.
Признак точки максимума. Пусть функция f диффе&
ренцируема на промежутке (a; b) и x
0— некоторая точка
этого промежутка. Если для всех x
(a; x 0] выполняется
неравенство f
(x)  0, а для всех x [x 0; b) выполняется
неравенство f
(x)  0, то точка x 0 является точкой макси&
мума функции f (рис. 16.12).
2
Рис. 16.8 Рис. 16.9 Рис. 16.10
Рис. 16.11 Рис. 16.12 Рис. 16.13

§ 16. Производная и её применение 345
Признак точки минимума. Пусть функция f диффе&
ренцируема на промежутке (a; b) и x
0— некоторая точка
этого промежутка. Если для всех x
(a; x 0] выполняется
неравенство f
(x)  0, а для всех x [x 0; b) выполняется
неравенство f
(x)  0, то точка x 0 является точкой мини&
мума функции f (рис. 16.13).
Упрощённо эти два признака формулируют так:
если при переходе через точку x
0 производная меняет
знак с плюса на минус, то x
0 — точка максимума; если
производная меняет знак с минуса на плюс, то x
0 — точ&
ка минимума.
Для функции f точки экстремума можно искать по
такой схеме.
1) Найти f
(x).
2) Исследовать знак производной в окрестностях кри&
тических точек.
3) Пользуясь соответствующими признаками, для
каждой критической точки выяснить, является ли она
точкой экстремума.
З а д а ч а. Найдите точки экстремума функции:
1) f(x)=2x
3–3x 2–12x; 2) f(x)=2x 2–x 4;
3) f(x)= .
Решение. 1) Имеем:
f
(x)=6x 2–6x–12=6(x 2–x–2)=
= 6 (x+1)(x–2).
Методом интервалов исследуем
знак производной в окрестностях
критических точек x
1 = –1 и x 2 = 2 (рис. 16.14). По&
лучаем, что x
max =–1, x min =2.
2) f
(x) = 4x – 4x 3 = –4x(x 2 – 1) = –4x(x + 1)(x – 1).
Исследовав знак производной (рис. 16.15), получаем:
x
max = –1, x min = 0 и x max = 1.
x2 x4
x1
Рис. 16.14

346 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
3) Имеем: f (x) = =
= = = .
Исследуем знак производной в окрестностях крити&
ческих точек x
1 = –1 и x 2 = 3 (рис. 16.16). Получаем,
что x
max = –1, x min = 3.
16.7. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
Непрерывная на промежутке [a; b] функция дости&
гает на этом промежутке свои наибольшее и наименьшее
значения или на концах отрезка, или в точках экстрему&
ма (рис. 16.17).
Поэтому для такой функции поиск наибольшего и на&
именьшего значений на промежутке [a; b] можно прово&
дить, пользуясь такой схемой.
Рис. 16.15 Рис. 16.16
x
2 x4 x1 x1 x2 x4
x1 2
2x1 x1 x2 x4
x1 2 x2 2x 3
x1 2 x1 x3
x1 2
Рис. 16.17

§ 16. Производная и её применение 347
1) Найти критические точки функции f, принадлежа&
щие промежутку [a; b].
2) Вычислить значения функции в найденных крити&
ческих точках и на концах рассматриваемого отрезка.
3) Из всех найденных значений выбрать наибольшее и
наименьшее.
Этот алгоритм можно реализовать только тогда, когда
рассматриваемая функция f имеет конечное количество
критических точек на промежутке [a; b].
З а д а ч а 1. Найдите наибольшее и наименьшее зна&
чения функции f(x)=4x
3–9x 2–12x+ 6 на проме&
жутке [–2; 0].
Р е ш е н и е. Найдём критические точки данной функ&
ции. Имеем:
f
(x)=12x 2–18x–12.
Теперь решим уравнение 12x
2–18x–12=0. Получа&
ем: 2x
2–3x –2=0; x= 2 или x=– .
Следовательно, функция f имеет две критические точ&
ки, а промежутку [–2; 0] принадлежит одна: x=– .
Имеем: f = , f(–2) = –38, f(0) = 6.
Следовательно, f(x)= f = , f(x)=
=f(–2) = –38.
Ответ: ; –38.
З а д а ч а 2. Найдите стороны прямоугольника, впи&
санного в окружность радиуса R, если площадь пря&
моугольника принимает наибольшее значение.
Р е ш е н и е. Рассмотрим прямоугольник ABCD, впи&
санный в окружность радиуса R (рис. 16.18). Пусть
AB=x, тогда BC= = . Отсюда 1
2
1
2
1
2 37
4
max [–2; 0]
1
2 37
4 min [–2; 0]
37
4
AC 2 AB 2 4R 2 x2

348 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
площадь прямоугольника ABCD
равна x. Из условия
задачи следует, что значения пе&
ременной x удовлетворяют нера&
венству 0 лежат промежутку (0; 2R). Та&
ким образом, задача свелась к
нахождению наибольшего значе&
ния функции S(x)=x на промежутке (0; 2R).
Рассмотрим непрерывную функцию f(x)=x,
D(f)=[0;2R], и будем искать её наибольшее значение
на промежутке [0; 2R].
Найдём критические точки функции f:
f
(x)=(x) +x (4R 2–x 2)=
= – = = .
С учётом области определения функции f получаем,
что эта функция имеет одну критическую точку
x=.
Имеем: f()=2R
2, f(0) =f(2R) = 0. Следовательно,
f(x)=f()=2R
2.
Отсюда получаем, что функция S(x)= x на
промежутке (0; 2
R) принимает наибольшее значение при
x=. Тогда AB =, BC = = .
Следовательно, среди прямоугольников, вписанных в
окружность радиуса R, наибольшую площадь имеет
квадрат со стороной .
Рис. 16.18
4R 2 x2
4R 2 x2
4R 2 x2
4R 2 x2 1
24R
2 x2
4R 2 x2 x2
4R 2 x2
4R 2 x2 x2
4R 2 x2
4R 2 2x 2
4R 2 x2
R2
R2
max [0; 2R] R2
4R 2 x2
R2 R2 4R 2 2R 2 R2
R2

§ 16. Производная и её применение 349
16.8. Вторая производная и её физический смысл
Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую на
некотором множестве M. Тогда её производная также яв&
ляется некоторой функцией, заданной на этом множест&
ве. Если функция f
дифференцируема в некоторой точке
x
0 M, то производную функции f в точке x 0 называют
второй производной функции y=f(x) в точке x
0 и обо&
значают f
(x0) или y (x0). Саму функцию f называют
дважды дифференцируемой в точке x
0.
Функцию, которая числу x
0 ставит в соответствие
число f
(x0), называют второй производной функции
y=f(x) и обозначают f
или y .
Например, если y = sinx, то y
= –sinx.
Если функция f дважды дифференцируема в каждой
точке множества M, то её называют дважды дифферен#
цируемой на множестве M. Если функция f дважды диф&
ференцируема на D(f), то её называют дважды диффе#
ренцируемой.
Пусть материальная точка движется по закону y=s(t)
по координатной прямой. Тогда мгновенная скорость v(t)
в момент времени t определяется по формуле v(t) = s
(t),
а ускорение — по формуле a(t) = v
(t). Отсюда a(t) = v (t)=
= (s
(t)) . Тогда ускорение материальной точки можно
найти по следующей формуле:
a(t) =
s
(t).
Это равенство выражает физический смысл второй
производной.
16.9. Исследование свойств функции
и построение её графика
Исследование свойств функции проводят по такому
плану.
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на чётность.
3. Найти нули функции.

350 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
4. Найти промежутки знакопостоянства.
5. Найти промежутки возрастания и убывания.
6. Найти точки экстремума и значения функции в
точках экстремума.
7. Выявить другие особенности функции (периодич&
ность функции, поведение функции в окрестностях от&
дельных важных точек и т. п.).
З а д а ч а. Исследуйте функцию f(x)= x
2 – x 3 и
постройте её график.
Р е ш е н и е. 1. Функция определена на множестве
действительных чисел, т. е. D(f)=R.
2. Имеем: f(–x)= (–x)
2– (–x) 3 = x 2 + x 3 . Отсю&
да f(–x)
f(x) и f(–x) –f(x), т. е. функция y=f(–x)
не совпадает ни с функцией y=f(x), ни с функцией
y=–f(x). Таким образом, данная функция не являет&
ся ни чётной, ни нечётной.
3–4. Имеем: f(x)=x
2 – x 3= (6 –x). Числа 0 и 6
являются нулями функции f. Применив метод интер&
валов (рис. 16.19), находим промежутки знакопосто&
янства функции f, а именно: устанавливаем, что
f(x)>0 при x
(– ; 0)  (0; 6) и f(x)<0 при x (6; + ).
5–6. Имеем: f
(x)=3x– = (4 –x). Исследовав
знак производной (рис. 16.20), приходим к выводу,
что функция f возрастает на промежутке [0; 4], убы&
вает на каждом из промежутков (–
; 0] и [4; + ),
x
max =4, x min =0. Имеем: f(4) = 8, f(0) = 0.
3
2 1
4
3
2 1
4 3
2 1
4
3
2 1
4 x2
4
3x 2
4
3x
4
Рис. 16.19 Рис. 16.20

§ 16. Производная и её применение 351
Учитывая полученные результаты, строим график
функции (рис. 16.21).
Примеры заданий № 29
Часть 1
1.Сколько критических точек имеет функция
f(x) = x
3 – x?
2.Сколько критических точек на промежутке [a;b]
имеет функция, график которой изображён на рисун&
ке 16.22?
Рис. 16.21
1
3
Рис. 16.22

352 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
3.Функция y = f(x) определена на промежутке [a;b] и
имеет производную в каждой точке области опреде&
ления. На рисунке 16.23 изображён график функции
y = f
(x). Сколько точек экстремума имеет функция
y= f(x)?
4.Функция y = f(x) определена на промежутке [– 4; 4] и
имеет производную в каждой точке области опреде&
ления. На рисунке 16.24 изображён график функции
y = f
(x). Найдите точки максимума функции y = f(x).
5.Материальная точка движется по координатной пря&
мой по закону s(t) = 2t
3 – 7t 2 + 6 (перемещение изме&
ряется в метрах, время — в секундах). Найдите её
ускорение в момент времени t
0 = 3 с. Ответ дайте в
метрах за секунду в квадрате.
Часть 2
6.Функция y = f(x), график
которой изображён на ри&
сунке 16.25, определена
на промежутке [–3; 3].
Укажите множество зна&
чений аргумента функ&
ции, при которых f
(x)  0.
Рис. 16.23 Рис. 16.24
Рис. 16.25

§ 16. Производная и её применение 353
7.Найдите промежутки убывания функции
f(x) = –x
3 – x 2 + 2x – 6.
8.Найдите промежутки возрастания функции
f(x) = 2x
4 – 2x 3 – x 2 + 2.
9.Найдите промежутки убывания функции f(x) = .
10.Найдите промежутки возрастания функции
f(x) = (2x – 1)e
3x.
11.Найдите точку минимума функции
f(x) = x
3 – 2,5x 2 + 6x – 1.
12.Найдите точку максимума функции f(x) = x
4 – 4x 2.
13.Найдите промежутки возрастания и убывания и точ&
ки экстремума функции f(x) = .
14.Найдите промежутки возрастания и убывания и точ&
ки экстремума функции f(x) = .
15.Найдите промежутки возрастания и убывания и точ&
ки экстремума функции f(x) = .
16.Найдите промежутки возрастания и убывания и точ&
ки экстремума функции f(x) = .
17.Найдите промежутки возрастания и убывания и точ&
ки экстремума функции f(x) = .
18.Найдите промежутки возрастания и убывания и точ&
ки экстремума функции f(x) = (x – 1) .
19.Найдите промежутки возрастания и убывания и точ&
ки экстремума функции f(x) = x
2 + .
1
3 1
2
54x
x2
1
3
xe
x
2
x2 1
x2 1
x2 6x
x2
x2
x2 5
x
x2 4
x
2
x

354 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
20.Найдите промежутки возрастания и убывания и точ&
ки экстремума функции f(x) = .
21.Чему равно наименьшее значение функции
f(x) = 2 + 3x
2 – x 3 на промежутке [–1; 1] ?
22.Найдите наибольшее значение функции y = x + на
промежутке [1; 3].
23.Число 60 представьте в виде суммы двух положитель&
ных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наи&
меньшей.
24.Найдите наибольшее и наименьшее значения функ&
ции f(x) = –x
3 + 3x|x – 3 | на промежутке [0; 4].
25.Исследуйте функцию f(x) = 3x – x
3 – 2 и постройте её
график.
26.Исследуйте функцию f(x) = x
4 – 2x 2 + 1 и постройте
её график.
27.Исследуйте функцию f(x) = и постройте её гра&
фик.
28.Исследуйте функцию f(x) = и постройте её гра&
фик.
29.Сколько критических точек на промежутке [0; 1]
имеет функция f(x) = – в зависимости от зна&
чения параметра a?
30.Сколько критических точек на промежутке [–a; a]
имеет функция f(x) = – – 2x в зависимости от
значения параметра a (a > 0)?
31.При каких значениях параметра a функция
f(x) = 4lnx + ax – 3 не имеет критических точек?
x
x ln
4
x
2
x2 1
x
4x 2
x3
3
ax 2
2
x3
3
x2
2

§ 17. Первообразная и интеграл 355
32.При каких значениях параметра a функция
f(x) = x
3 – ax 2 + 3ax + 1 возрастает на всей числовой
прямой?
33. Найдите все значения параметра a, при которых функ&
ция
f(x) = ( a – 12) x3 + 3( a – 12) x2 + 6 x + 7 возрастает на R.
34.В зависимости от значения параметра a найдите точ&
ку минимума функции f(x) = – x
2 + ax – 7.
35.При каких значениях параметра a функция
f(x) = – (a – 1) – 2(a – 1)x – 9 имеет положитель&
ную точку минимума?
§ 17. Первообразная и интеграл
17.1. Понятие первообразной.
Неопределённый интеграл
Функцию F называют первообразной функцией (или,
коротко, первообразной) функции f на промежутке I, ес&
ли для всех x
I выполняется равенство
F
(x)=f(x).
Например, функция F(x)=x
2 является первообраз&
ной функции f(x)=2x на промежутке (–
; + ), посколь&
ку на этом промежутке выполняется равенство (x
2)=2x.
Основное свойство первообразной. Если функция F яв&
ляется первообразной функции f на промежутке I и C —
любое число, то функция
y=F(x)+С
также является первообразной функции f на промежутке I.
Любую первообразную функции f на промежутке I
можно представить в виде y=F(x)+C, где C — некоторое
число.
x3
3
a1
2
x3
3
x2
2

356 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Если функция F является первообразной функции f
на промежутке I, то запись F(x)+C, где C — любое чис&
ло, называют общим видом первообразных функции f на
промежутке I.
Совокупность всех первообразных функции y=f(x) на
промежутке I называют её неопределённым интегралом
и обозначают
(читают: «интеграл эф от икс де икс»).
Таблица первообразных:
Функция fПервообразная функции f
k (постоянная)kx
x
, –1
ln | x |
2
sin x–cos x
cos xsin x
tg x
–ctg x
e
x ex
ax, a > 0, a 1
fx x d
x 1
1
1
x
1
x x
xn n
n1 xn1 n
1
x2 cos
1
x2 sin
ax
a ln

§ 17. Первообразная и интеграл 357
З а д а ч а 1. Найдите общий вид первообразных функ&
ции f(x)=x
5.
Р е ш е н и е. Одной из первообразных функции
f(x)=x
5 является функция F(x) = . Тогда запись
+C, где C — любое число, является общим видом
первообразных данной функции.
Можно записать:
= + C, где С — любое число.
З а д а ч а 2. Для функции f(x)=2cosx найдите пер&
вообразную, график которой проходит через точку
M; 3 .
Решение. Функция y=2sinx является одной из пер&
вообразных функции f(x)=2cosx. Следовательно, ис&
комая первообразная имеет вид F(x)=2sinx+C, где
C — некоторое число. Найдём это число.
Из условия следует, что F =3. Тогда 2sin + C=3.
Отсюда
C=2.
Таким образом, искомая первообразная имеет вид
F(x)=2sinx+2.
17.2. Правила нахождения первообразной
1. Если функции F и G являются соответственно пер&
вообразными функций f и g на промежутке I, то на этом
промежутке функция y=F(x)+G(x) является первооб&
разной функции y=f(x)+g(x).
= F(x) + G(x) + C,
где C— любое число.
x6
6
x6
6
x5 x d x6
6
5
6
5
6
5
6
fx gx dx f x x d gx x d

358 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
2. Если функция F является первообразной функции f
на промежутке I и k — некоторое число, то на этом про&
межутке функция y=kF(x) является первообразной
функции y=kf(x).
= = kF(x) + C,
где C — любое число.
3. Если функция F является первообразной функции f
на промежутке I и k — некоторое число, отличное от ну&
ля, то на этом промежутке функция y= F(kx + b) явля&
ется первообразной функции y=f(kx + b).
= F(kx + b) + C,
где C — любое число.
З а д а ч а 1. Найдите общий вид первообразных функ&
ции f(x) = + на промежутке (0; +
).
Решение. Функция y = является первообраз&
ной функции y = x
на промежутке (0; + ). Посколь&
ку на данном промежутке выполняется равенство
= , то функция y = , т. е. функция
y= , является первообразной для функции
y= на промежутке (0; +
).
Поскольку = x
–2, то функция y = , т. е. функ&
ция y= – , является первообразной функции y= kf x
x d kfx x d
1
k
fkx b x d 1
k
x 2
x2
x 1
1
x x
1
2
x
1
2 1
1
2 1
2
3 x3
x
1
x2 x 2 1
2 1
1
x 1
x2

§ 17. Первообразная и интеграл 359
на промежутке (0; + ). Тогда функция y=– являет&
ся первообразной функции y=.
Получаем, что функция y = – является пер&
вообразной заданной в условии функции f. Тогда за&
пись – +C, где С — любое число, является об&
щим видом первообразных функции f.
Решение можно записать и так:
= + =
= + = + 2
+ C =
= – + C, где С — любое число.
Задача 2. Для функции f(x) = найдите перво&
образную на промежутке –
; , график которой
проходит через точку M; 2 .
Решение. Запись ln | 4x–3 |+C, где C — любое
число, является общим видом первообразных функ&
ции f на данном промежутке.
На промежутке –
; искомая первообразная имеет
вид F(x)= ln(3–4x)+C, где C — некоторое число.
2
x
2
x2
2
3 x3 2
x
2
3 x3 2
x
x 2
x
2 x d xxd 2
x
2dx
x
1
2
x d 2x 2dx x
1
2 1
1
2 1
x 2 1
2 1
2
3 x3 2
x
1
4x3
3
4
1
2
1
4
3
4
1
4

360 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Из условия следует, что F=2. Тогда
ln 3 – 4
+C=2, отсюда C=2.
Следовательно, F(x)= ln(3–4x)+2.
17.3. Площадь криволинейной трапеции.
Определённый интеграл
Рассмотрим функцию f, которая непрерывна на про&
межутке [a; b] и принимает на нём неотрицательные зна&
чения. Фигуру, ограниченную графиком функции f и
прямыми y=0, x=a и x=b, называют криволинейной
трапецией.
На рисунке 17.1 приведены примеры криволинейных
трапеций.
Площадь S криволинейной трапеции, ограничен&
ной графиком функции y=f(x) и прямыми y=0, x=a
и x=b (a S=F(b)–F(a),
где F — любая первообразная функции f на промежутке
[a; b].
Пусть F — первообразная функции f на промежутке I,
числа a и b, где a ность F(b)–F(a) называют определённым интегралом
функции f на промежутке [a; b].
1
2
1
4 1
2
1
4
Рис. 17.1

§ 17. Первообразная и интеграл 361
Определённый интеграл функции f на промежутке [a; b]
обозначают (читают: «интеграл от a до b эф от
икс де икс»). Таким образом,
= F(b) – F(a),
где F — произвольная первообразная функции f на про&
межутке I.
Это равенство называют формулой Ньютона—Лейбница .
При вычислении определённых интегралов разность
F(b) – F(a) обозначают .
Формула Ньютона—Лейбница позволяет устано&
вить связь между определённым интегралом и площадью
S криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции y=f(x) и прямыми y=0, x=a и x=b (a Можно записать:
S = .
Задача 1. Вычислите .
Решение.
Имеем: = =
= + – 2 2 – + – 2 1 = 6 .
З а д а ч а 2. Найдите площадь S фигуры, ограничен&
ной графиком функции f(x)=sinx и прямыми y=0,
x= и x= .fx
x d
ab
fx x d
ab
Fx a b
fx x d
ab
x4 x2 2
1
2
dx
x
4 x2 2
12
dx x5
5
x3
3 2x
1 2
25
5
23
3
15
5
13
3
8
15
3 2

362 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Р е ш е н и е. На рисунке 17.2 изображена криволиней&
ная трапеция, площадь которой требуется найти. Име&
ем: S= = = –cos + cos = .
Если функции f и g непрерывны на промежутке
[a; b] и для всех x
[a;b] выполняется неравенство
f(x)
g(x), то площадь S фигуры, ограниченной графика&
ми функций f и g и прямыми x=a и x=b, можно вычис&
лить по формуле
S= .
З а д а ч а 3. Найдите площадь S фигуры, ограничен&
ной графиками функций f(x)=–x
2+6x–6 и
g(x)=x
2–2x.
Р е ш е н и е. Решив уравнение f(x)=g(x), устанавли&
ваем, что графики функций f и g пересекаются в двух
точках с абсциссами x=1 и x= 3. На рисунке 17.3
x sinx d
3
2
x cos
3
2
2 3
1
2
fx gx x d
ab
Рис. 17.2 Рис. 17.3

§ 17. Первообразная и интеграл 363
изображена фигура, площадь которой требуется най&
ти. Тогда искомая площадь равна:
S = = =
= = – + 4
32 – 6 3 –
– – + 4
12 – 6 1 = .
Примеры заданий № 30
Часть 1
1.Каждой функции, записанной в левом столбце, по&
ставьте в соответствие её первообразную, записанную
в правом столбце.
В таблице под каждой буквой, соответствующей
функции, укажите номер соответствующей ей перво&
образной.
ФУНКЦИИ ПЕРВООБРАЗНЫЕ
А) y = , x (0; + )1) y =
Б) y = –
2) y =
В) y =
3) y =
Г) y = 4) y = lnx
АБВ Г
fx gx x d
1 3
2x 2 8x6 x d
1 3
2x 3
3 4x 2 6x
1 3
23 3
3
21 3
3
8
3
1
x 1
x
1
x2 2xx
1
x 2x
3x

364 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
2.Вычислите интеграл .
3.Вычислите интеграл .
4.Вычислите интеграл .
5.Вычислите интеграл .
6.Каждой заштрихованной фигуре, изображённой на
рисунке в левом столбце, поставьте в соответствие
число, записанное в правом столбце и равное площа&
ди этой фигуры.
ФИГУРЫ ПЛОЩАДИ ФИГУР
А)
1)
2) 1
3) 2
4) 6
Б) 5x 4 x d
1 3
1 2
dx
x3
2x1 x d
1
2
5x
1 3 5dx ln
2
3
1
3
1
3
1
3

§ 17. Первообразная и интеграл 365
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
7.Вычислите площадь заштрихованной фигуры, изо&
бражённой на рисунке 17.4.
Часть 2
8.Найдите общий вид первообразных функции
f(x) = cos 5x + – . В)
Г)
АБВ Г
Рис. 17.4
2
2x
2 sin
4
x5

366 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
9.Найдите первообразную функции f(x) = 8x 3 + 3x 2 – 2,
график которой проходит через точку A(–1; 2).
10.Найдите первообразную функции f(x) = + cos ,
график которой проходит через начало координат.
11. Найдите первообразную функции f(x) = sin + 4cos 4 x,
график которой проходит через точку A( ; 3).
12.Найдите первообразную функции f(x) = , гра&
фик которой проходит через точку A; 3 .
13.Найдите первообразную функции f(x) = 6x
2 + e 4x,
график которой проходит через точку A; .
14.Найдите первообразную функции f(x) = cos 2xcosx,
график которой проходит через точку M; .
15.Вычислите интеграл – xdx.
16.Вычислите интеграл – xdx.
17.Вычислите интеграл 3sin 3x – cosdx.
18.Вычислите интеграл .
1
3x1 x
2
1
3 x
3
6
6x
2 cos
18 3
1
2 e2
4
2
1
12
1 3
4
x
0 1
6
3x1
0
2
1
2 x
2
4x3 3 x d
0 1

§ 17. Первообразная и интеграл 367
19.Вычислите интеграл .
20.Вычислите интеграл dx.
21.Вычислите интеграл , если
.
22.Вычислите площадь фигуры, ограниченной парабо&
лой y = 8 – x
2 и прямой y = 4.
23.Вычислите площадь фигуры, ограниченной парабо&
лой y = x
2 – 6x + 9 и прямой y = 5 – x.
24.Вычислите площадь фигуры, ограниченной парабо&
лой y = 4 – x
2 ипрямой y = x + 2.
25.Вычислите площадь фигуры, ограниченной парабо&
лами y = x
2 и y = 4x – x 2.
26.Вычислите площадь фигуры, ограниченной гипербо&
лой y = и прямыми y = 4 и x = 4.
27.Вычислите площадь фигуры, ограниченной гипербо&
лой y = и прямыми y = 4x + 1 и x = 2.
28.Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
y = 2x – x
2, касательной, проведённой к данной пара&
боле в точке с абсциссой x
0 = 2, и осью ординат.
29.При каком значении a прямая x=a делит фигуру,
ограниченную графиком функции y = и прямыми
y = 0, x = 2, x = 8, на две равновеликие части?e
3x x d
2 ln3 ln
2 3
x9 1
x6 x3 1
2x3fx x d
2
1
fx x d
2
1
10
4
x
5
x
8
x

368 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
30.На рисунке 17.5 изображён график квад&
ратичной функции f(x) = ax
2 + bx + 5.
Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной линиями y=f(x), y = 0,
x=0 и x = 1, равна 21. Найдите сумму
a + b.
31.Вычислите интеграл .
32.Вычислите интеграл .
33.Вычислите интеграл .
Рис. 17.5 2
3
4x 2 x d
2
2
2xx 2 x d
1 2
x2 x d
0 5

ГЛАВА II
ГЕОМЕТРИЯ

§ 18. Треугольник
18.1. Виды треугольников
Треугольник, у которого все углы острые, называют
остроугольным. Треугольник, у которого один из углов
прямой, называют прямоугольным. Треугольник, у ко&
торого один из углов тупой, называют тупоугольным
(рис. 18.1).
Треугольник, у которого две стороны равны, называ&
ют равнобедренным.
На рисунке 18.2 изображён равнобедренный треуголь&
ник ABC, у которого AB = BC.
Равные стороны равнобедренного треугольника назы&
вают боковыми сторонами, а третью сторону — основа#
нием равнобедренного треугольника. Вершиной равно#
бедренного треугольника называют общую точку его бо&
ковых сторон (точка B на рисунке 18.2).
Треугольник, у которого все стороны равны, называ&
ют равносторонним.
На рисунке 18.3 изображён равносторонний треуголь&
ник ABC.
Остроугольный
треугольникПрямоугольный
треугольникТупоугольный
треугольник
Рис. 18.1

372 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Если в треугольнике длины всех сторон различны, то
такой треугольник называют разносторонним.
18.2. Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников: по двум
сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол
между ними одного треугольника равны соответственно
двум сторонам и углу между ними другого треугольника,
то такие треугольники равны.
На рисунке 18.4 AB = A
1B1, BC = B 1C1, B = B1, по&
этому
ABC = A1B1C1.
Второй признак равенства треугольников: по стороне
и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два
боковая сторона
основание
боковая сторона
AB
C A
B
C
Рис. 18.2 Рис. 18.3
B
C
A
B1
C1 A1
B
C
A
B1
C1 A1
B
C
A
B1
C1 A1
Fйя. 18.4 Fйя. 18.5 Fйя. 18.6

§ 18. Треугольник 373
прилежащих к ней угла одного треугольника равны со&
ответственно стороне и двум прилежащим к ней углам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
На рисунке 18.5 AC = A
1C1, A = A1, C = C1, по&
этому
ABC = A1B1C1.
Третий признак равенства треугольников: по трём
сторонам. Если три стороны одного треугольника равны
соответственно трём сторонам другого треугольника, то
такие треугольники равны.
На рисунке 18.6 AB = A
1B1, BC = B 1C1, CA = C 1A1, по&
этому
ABC = A1B1C1.
З а д а ч а. На рисунке 18.7
точка O — середина отрезка
BD,
ABO = CDO. Докажи&
те, что BC = AD.
Р е ш е н и е. Рассмотрим тре&
угольники AOB и COD. Так
как точка O — середина отрез&
ка BD, то BO = OD. По условию
ABO = CDO. Углы
AOB и COD равны как вертикальные. Следовательно,
AOB = COD по стороне и двум прилежащим углам.
Отсюда AB = CD как соответственные стороны равных
треугольников. Заметим, что отрезок ВD — общая
сторона треугольников АВD и CDB. Также по условию
ABD = CDB. Следовательно, треугольники АВD и
CDB равны по двум сторонам и углу между ними.
Отсюда BC = AD.
18.3. Свойства равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике: 1) углы при осно&
вании равны; 2) биссектриса, высота и медиана, прове&
дённые из его вершины, совпадают.
В равностороннем треугольнике: 1) все углы рав&
ны; 2) биссектриса, высота и медиана, проведённые из
одной вершины, совпадают.
BC
A D
O
Рис. 18.7

374 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
В треугольнике против равных сторон лежат рав&
ные углы.
Задача. Отрезок AD — медиана
равнобедренного треугольника
ABC, проведённая к основанию.
На сторонах AB и AC отмечены
соответственно точки M и K так,
что BM = CK. Докажите равен&
ство треугольников AMD и AKD.
Р е ш е н и е. Имеем:
AB = AM + BM, AC = AK + CK
(рис. 18.8).
Так как AB = AC и BM = CK, то
AM = AK.
Углы BAD и CAD равны, поскольку медиана равно&
бедренного треугольника, проведённая к основанию,
является его биссектрисой.
Отрезок AD — общая сторона треугольников AMD и
AKD.
Следовательно, треугольники AMD и AKD равны по
двум сторонам и углу между ними.
18.4. Признаки равнобедренного треугольника
1. Если медиана треугольника является его высотой,
то этот треугольник равнобедренный.
На рисунке 18.9 отрезок BM — медиана и высота, по&
этому AB = BC.
2. Если биссектриса треугольника является его высо&
той, то этот треугольник равнобедренный.
На рисунке 18.10 отрезок BL — биссектриса и высота,
поэтому AB = BC.
3. Если медиана треугольника является его биссект&
рисой, то этот треугольник равнобедренный.
На рисунке 18.11 отрезок BM — медиана и биссект&
риса, поэтому AB = BC.
BA
C D MK
Рис. 18.8

§ 18. Треугольник 375
4. Если в треугольнике два угла равны, то этот тре&
угольник равнобедренный.
На рисунке 18.12
A = C, поэтому AB = BC.
Задача. В треугольнике ABC проведена биссектриса
BM (рис. 18.13),
BAK = 70 , AKC = 110 . Докажи&
те, что BM
AK.
Р е ш е н и е. Так как углы BKA и AKC смежные, то
BKA = 180 – 110 = 70 . Следовательно, в треуголь&
нике ABK получаем, что
BAK = BKA = 70 .
Тогда треугольник ABK — равнобедренный с основа&
нием AK и его биссектриса BO (O — точка пересече&
ния отрезков AK и BM) является также высотой, т. е.
BM
AK.
A
B
C
M A
B
C
L
Рис. 18.9 Рис. 18.10 Рис. 18.11
A
B
C
Рис. 18.12 Рис. 18.13

376 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
18.5. Сумма углов треугольника.
Свойства внешнего угла треугольника
Сумма углов треугольника равна 180 .
Среди углов треугольника хотя бы два угла острые.
Внешним углом треугольника называют угол, смеж&
ный с углом этого треугольника.
На рисунке 18.14 углы 1, 2, 3 яв&
ляются внешними углами треуголь&
ника ABC.
Внешний угол треугольника
равен сумме двух углов треугольни&
ка, не смежных с ним.
На рисунке 18.14
1 — внеш&
ний угол треугольника АВС, поэто&
му
1 = 5 + 6.
Внешний угол треугольника больше каждого из уг&
лов треугольника, не смежных с ним.
Задача 1. Медиана CM треугольника ABC равна по&
ловине стороны AB. Докажите, что треугольник ABC
прямоугольный.
Решение.По условию AM = CM (рис. 18.15). Тогда
в треугольнике AMC углы A и ACM равны.
Аналогично BM = CM, и в треугольнике BMC углы B
и BCM равны.
В
ACB имеем: A + B + ACB = 180 . Тогда ACM +
+
BCM + ACB = 180 . Учитывая, что ACM +
+
BCM = ACB, получаем: 2 ACB = 180 ; ACB = 90 .
Следовательно, треугольник ABC прямоугольный.
B
C
A 145
6 2
3
Рис. 18.14
C
B A
M
A
BCO
Рис. 18.15 Рис. 18.16

§ 18. Треугольник 377
Задача 2. В треугольнике ABC известно, что A = .
Биссектрисы углов B и C пересекаются в точке O. До&
кажите, что
BOC= 90 + .
Р е ш е н и е. Для треугольника ABС имеем:
A +
+
ABC + ACB = 180 . Тогда ABC + ACB = 180 – .
Поскольку лучи ВО и СО — биссектрисы соот&
ветственно углов АВС и АСВ (рис. 18.16), то
OBC +
+
OCB = (180 – ) = 90 – .
Для треугольника ВОС имеем:
OBC + OCB + BOC =
= 180
. Тогда BOC = 180 – ( OBC + OCB) = 180 –
–90
– = 90 + .
18.6. Признаки равенства прямоугольных
треугольников. Свойства прямоугольного
треугольника
Признак равенства прямоугольных треугольников по
гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного пря&
моугольного треугольника соответственно равны гипоте&
нузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по
двум катетам. Если катеты одного прямоугольного тре&
угольника соответственно равны катетам другого, то та&
кие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по
катету и прилежащему острому углу. Если катет и при&
лежащий к нему острый угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны катету и прилежа&
щему к нему острому углу другого, то такие треугольни&
ки равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по
катету и противолежащему острому углу. Если катет и
противолежащий ему острый угол одного прямоугольно&
2
1
2
2
2 2

378 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
го треугольника соответственно равны катету и противо&
лежащему ему острому углу другого, то такие треуголь&
ники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по
гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый
угол одного прямоугольного треугольника соответствен&
но равны гипотенузе и острому углу другого, то такие
треугольники равны.
Рассмотрим некоторые свойства прямоугольного тре&
угольника.
Катет, лежащий против угла, величина которого
равна 30
, равен половине гипотенузы.
На рисунке 18.17
ACB = 90 , BAC = 30 , поэтому
BC = AB.
Если катет равен половине гипотенузы, то угол, ле&
жащий против этого катета, равен 30
.
На рисунке 18.17
ACB = 90 , BC = AB, поэтому
BAC = 30 .
Медиана прямоугольного треугольника, проведён&
ная к гипотенузе, равна её половине.
На рисунке 18.18 отрезок СМ — медиана, проведён&
ная к гипотенузе, поэтому CM = AB.
1
2
1
2
1
2
BA
C
C
B
A M
Рис. 18.17 Рис. 18.18

§ 18. Треугольник 379
З а д а ч а. Докажите равенство прямоугольных тре&
угольников по острому углу и биссектрисе, проведён&
ной из вершины этого угла.
Решение. В треугольниках ABC и A
1B1C1
(рис. 18.19) C = C1 = 90 , BAC = B1A1C1, отрез&
ки AD и A
1D1 — соответственно биссектрисы тре&
угольников ABC и A
1B1C1, AD = A 1D1.
Имеем:
CAD = BAC = B1A1C1 = C1A1D1. По&
скольку AD = A
1D1, то прямоугольные треугольники
ACD и A
1C1D1 равны по гипотенузе и острому углу.
Отсюда AC = A
1C1, и так как BAC = B1A1C1, то пря&
моугольные треугольники ABC и A
1B1C1 равны по ка&
тету и прилежащему острому углу.
18.7. Терема Фалеса.
Теорема о пропорциональных отрезках
Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересе&
кающие стороны угла, отсекают на одной его стороне
равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на
другой его стороне.
На рисунке 18.20 OA
1 = A 1A2 = A 2A3 = A 3A4, A 1B1 || A 2B2,
A
2B2 || A 3B3, A 3B3 || A 4B4, поэтому OB 1 = B 1B2 = B 2B3 =
=B
3B4.
C DB
A C1
D1
B1
A1
Рис. 18.19
1
2
1
2

380 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Теорема о пропорциональных отрезках. Если парал&
лельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки,
образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональ&
ны соответствующим отрезкам, образовавшимся на дру&
гой стороне угла.
На рисунке 18.21 стороны угла MON пересечены па&
раллельными прямыми AA
1 и BB 1, поэтому:
1) ; 2) ; 3) .
З а д а ч а. На стороне BC треугольника ABC выбрана
точка N так, что BN:NC = 2 : 3. В каком отношении
медиана BM делит отрезок AN?
Р е ш е н и е. Через точку N проведём NK || BM, точка K
принадлежит стороне AC (рис. 18.22). Имеем: =
= = ; MK = KC. Отсюда MK = MC. Так как
MC=MA, то MK=AM, т. е. = . Имеем: =
= = .
AA
1
A2
A3
A4
O
B B
1
B2
B3
B4
MA
1
O
N
B1 A
B
M ON A
B
KC
Рис. 18.20 Рис. 18.21 Рис. 18.22
OA
OA
1
AB
A
1B1
OA
OA
1
OB
OB
1
OB
OB
1
AB
A
1B1
MK
KC
BN
NC 2
3 2
3 2
5
2
5 AM
MK 5
2 AO
ON
AM
MK 5
2

§ 18. Треугольник 381
18.8. Свойства высот, медиан и биссектрис
треугольника
Прямые, содержащие высоты треугольника, пере&
секаются в одной точке (рис. 18.23).
Три медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1,
считая от вершины треугольника (рис. 18.24).
Биссектрисы углов треугольника пересекаются в
одной точке (рис. 18.25).
Биссектриса треугольника делит сторону, к кото&
рой она проведена, на отрезки, пропорциональные при&
лежащим к ним сторонам.
На рисунке 18.26 отрезок BL — биссектриса треуголь&
ника ABC, поэтому .
Рис. 18.23
B
C
A L
Рис. 18.24 Рис. 18.25 Рис. 18.26
AL
AB LC
BC

382 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Задача. В треугольнике АВС
стороны АВ, ВС и АС соответ&
ственно равны 8 см, 12 см и
15 см. Отрезок ВD — биссект&
риса треугольника АВС. Най&
дите отрезки АD и DC.
Р е ш е н и е. По свойству бис&
сектрисы треугольника можно
записать: (рис. 18.27). Кроме того,
АD+DC = 15 см. Получаем, что DC + DC = 15. От&
сюда DC = 9 см. Тогда АD = 6 cм.
О т в е т: 6 см, 9 см.
18.9. Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называют отрезок, со&
единяющий середины двух его сторон.
На рисунке 18.28 отрезки MN, NE, EM — средние ли&
нии треугольника ABC.
Средняя линия треугольника, соединяющая сере&
дины двух его сторон, параллельна третьей стороне и
равна её половине.
На рисунке 18.29 отрезок MN — средняя линия тре&
угольника ABC, поэтому MN||AC и MN = AC.
B
C A
D
Рис. 18.27
AD
DC
AB
BC 2
3
2
3
MN
A
B
EC
MN
A
B
C
Рис. 18.28 Рис. 18.29
1
2

§ 18. Треугольник 383
З а д а ч а. Докажите, что середи&
ны сторон четырёхугольника
являются вершинами паралле&
лограмма.
Р е ш е н и е. В четырёхугольни&
ке ABCD точки M, N, K и P —
середины сторон AB, BC, CD и
AD соответственно (рис. 18.30).
Отрезок MN — средняя линия
треугольника ABC. По свойству
средней линии MN||AC и MN = AC.
Отрезок PK — средняя линия треугольника ADC. По
свойству средней линии PK||AC и PK = AC.
Так как MN||AC и PK||AC, то MN||PK.
Из того, что MN = AC и PK = AC, получаем:
MN=PK= AC.
Следовательно, в четырёхугольнике MNKP стороны
MN и PK равны и параллельны, а значит, четырёх&
угольник MNKP — параллелограмм.
18.10. Подобные треугольники
Два треугольника называют подобными, если их уг&
лы соответственно равны и стороны одного треугольника
пропорциональны соответственным сторонам другого
треугольника.
На рисунке 18.31 изображены треугольники ABC
иA
1B1C1, у которых A = A1, B = B1, C = C1
и = = = k. Эти треугольники подобны.
Пишут:
ABC
A1B1C1 (читают: «треугольник ABC
подобен треугольнику A
1B1C1»).
MN
A
B
C
D PK
Рис. 18.30
1
2
1
2
1
2 1
2
1
2
AB
A
1B1
BC
B
1C1
CA
C
1A1

384 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Число k, которому равно отношение соответственных
сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что
треугольник ABC подобен треугольнику A
1B1C1 с коэффи&
циентом подобия, равным k. Пишут:
ABC A1B1C1.
Прямая, параллельная стороне треугольника и пе&
ресекающая две другие его стороны, отсекает от данного
треугольника ему подобный.
На рисунке 18.32 отрезок A
1C1 параллелен стороне AC,
поэтому
A1BC 1
ABC.
З а д а ч а. Докажите, что отношение периметров по&
добных треугольников равно коэффициенту подобия.
Р е ш е н и е. Пусть треугольник A
1B1C1 подобен тре&
угольнику ABC с коэффициентом подобия k. Тогда
= = = k, откуда A
1B1=k AB,
B
1C1=k BC, A 1C1=k AC.
Обозначим P
1 — периметр треугольника A 1B1C1, P —
периметр треугольника ABC. Имеем: P
1=A 1B1+B 1C1 +
+A
1C1=k AB+k BC+k AC=k (AB + BC + AC) =kP,
т. е. = k.
18.11. Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников: по двум
углам. Если два угла одного треугольника равны двум
B
C
AB
1
C1
A1 B
C
A
C1 A1
Рис. 18.31 Рис. 18.32

k
A1B1
AB
B1C1
BC
A1C1
AC
P1
P

§ 18. Треугольник 385
углам другого треугольника, то такие треугольники
подобны.
На рисунке 18.33
A = A1, B = B1, поэтому
ABC
A1B1C1.
Второй признак подобия треугольников: по двум сто#
ронам и углу между ними. Если две стороны одного тре&
угольника пропорциональны двум сторонам другого тре&
угольника и углы, образованные этими сторонами, рав&
ны, то такие треугольники подобны.
На рисунке 18.34 = и
B = B1, поэтому
ABC
A1B1C1.
Третий признак подобия треугольников: по трём сто#
ронам. Если три стороны одного треугольника пропорци&
ональны трём сторонам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
На рисунке 18.35 = = , поэтому
ABC
A1B1C1.
З а д а ч а 1. Средняя линия трапеции ABCD (BC||AD)
равна 24 см, а её диагонали пересекаются в точке O,
AO:OC= 5 : 3. Найдите основания трапеции.
B
C
A
B1
C1 A1
B
C
A
B1
C1 A1
B
C
A
B1
C1 A1
Fйя. 18.33 Fйя. 18.34 Fйя. 18.35
AB
A
1B1
BC
B
1C1
AB
A
1B1
BC
B
1C1
CA
C
1A1

386 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Р е ш е н и е. Рассмотрим треугольники AOD и COB
(рис. 18.36). Углы AOD и BOC равны как вертикальные,
углы
CAD и ACB равны как накрест лежащие при парал&
лельных прямых
AD и BC и секущей AC . Следовательно,
треугольники
AOD и COB подобны по двум углам.
Тогда = = .
Пусть BC=3xсм, тогда AD=5xсм.
Так как средняя линия трапеции равна 24 см, то
BC+AD=48см.
Имеем: 3x+5x=48. Отсюда x=6.
Следовательно, BC=18см, AD=30см.
О т в е т: 18 см, 30 см.
З а д а ч а 2. Докажите, что отрезок, соединяющий ос&
нования двух высот остроугольного треугольника, от&
секает от данного треугольника ему подобный.
Р е ш е н и е. На рисунке 18.37 отрезки AA
1 и CC 1 —
высоты треугольника ABC. Докажем, что
ABC
A1BC 1.
В прямоугольных треугольниках ABA
1 и CBC 1 острый
угол B — общий. Следовательно, треугольники ABA
1
и CBC 1 подобны по первому признаку подобия тре&
угольников. Отсюда = . Тогда = .
Угол B — общий для треугольников ABC и A
1BC 1.
Следовательно, треугольники ABC и A
1BC 1 подобны
по второму признаку подобия треугольников.
AD
BC AO
CO 5
3
D AB
OC
Рис. 18.36
C A
1
AB
C
1
Рис. 18.37
AB
BC BA 1
BC 1
AB
BA
1
BC
BC
1

§ 18. Треугольник 387
Примеры заданий № 31
Часть 1
1.Сколько пар равных треугольников изображено на
рисунке 18.38?
2.Отрезок BK — биссектриса треугольника ABC, изо&
бражённого на рисунке 18.39. Чему равен периметр
треугольника ABC? Ответ дайте в сантиметрах.
3.На рисунке 18.40 изображён равнобедренный тре&
угольник ABC с основанием AC, периметр которого
равен 18 см. Периметр треугольника ABM, где точка
M — середина отрезка AC, равен 12 см. Найдите ме&
диану BM. Ответ дайте в сантиметрах.
4. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , ABC = 98 .
Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
5.Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 6. Чему рав&
на сумма наибольшего и наименьшего углов тре&
угольника? Ответ дайте в градусах.
6.На рисунке 18.41 BC || AD,
A = 25 , B = 55 . Найди&
те угол CMD. Ответ дайте в градусах.
7.Чему равна градусная мера угла C, изображённого на
рисунке 18.42?
8.Какова градусная мера угла
, изображённого на ри&
сунке 18.43, если
= 130 , = 100 ?
9.Треугольник ABC, изображённый на рисунке 18.44, —
прямоугольный равнобедренный. Лучи BD, BE, BF
и BK делят прямой угол треугольника на 5 равных
углов. Какова градусная мера угла
?
A
B
C
M
Рис. 18.38 Рис. 18.39 Рис. 18.40

388 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
10.Параллельные прямые BC и DE пересекают стороны
угла A, изображённого на рисунке 18.45, AB=6,
AC=4, CE= 2. Найдите отрезокBD.
11.В треугольнике ABC известно, что AB=12см,
BC=16см, AC=20см, точкаD — середина стороны
AB, точка E — середина стороны AC. Найдите периметр
четырёхугольника BDEC. Ответ дайте в сантиметрах.
12. Из точки D, принадлежащей гипотенузе AB прямоуголь&
ного треугольника
ABC , изображённого на рисунке
18.46, опущен перпендикуляр
DE на катет AC . Найдите
длину этого перпендикуляра. Ответ дайте в сантиметрах.
13.По данным, приведённым на
рисунке 18.47, найдите высоту
дерева. Ответ дайте в метрах.
14° 26°
52°
B AF
DE
C
Рис. 18.41 Рис. 18.42 Рис. 18.43
BA C
D
E
F
K
Рис. 18.44 Рис. 18.45 Рис. 18.46
20 м 16 м 2м
Рис. 18.47

§ 18. Треугольник 389
14.Стороны треугольника относятся как 8 : 7 : 3. Найди&
те меньшую сторону подобного ему треугольника,
б
oльшая сторона которого равна 32 см. Ответ дайте
в сантиметрах.
15.В определённый момент времени тень колокольни
Иван Великий на территории Московского Кремля
равна 20 м 25 см, а длина тени фонарного столба, сто&
ящего около колокольни, — 1 м 50 см. Сколько мет&
ров составляет высота колокольни, если высота стол&
ба равна 6 м?
16.По данным, приведённым на рисунке 18.48, найдите
отрезок CD.
17.По данным, приведённым на рисунке 18.49, найдите
отрезок AE. Ответ дайте в сантиметрах.
18.Основания трапеции равны 8 см и 18 см, а одна из бо&
ковых сторон — 5 см. На сколько сантиметров надо
продолжить эту сторону, чтобы она пересекла пря&
мую, содержащую другую боковую сторону трапеции?
19.В треугольник ABC вписан ромб CDEF так, как пока&
зано на рисунке 18.50. Найдите сторону BC тре&
угольника, если AC= 15 см, а сторона ромба равна
10 см. Ответ дайте в сантиметрах.
Часть 2
20.Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC,
AB=24см, BC=20см, отрезок AD на 3 см больше от&
резка CD. Найдите сторону AC.
E A
BD
C
18
1520
Рис. 18.48 Рис. 18.49 Рис. 18.50

390 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
21.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием
AC точка пересечения медиан удалена от вершины B
на 6 см. Найдите расстояние от середины боковой
стороны треугольника до его основания.
22.На стороне BC треугольника ABC отметили точку M
так, что BM:MC= 3 : 10. В каком отношении отре&
зок AM делит медиану BK треугольника ABC?
23.Отрезки AD и BM — соответственно медиана и бис&
сектриса треугольника ABC, AD
BM, AD=BM=
= 16 см. Найдите стороны треугольника ABC.
24.Из точки к прямой проведены две наклонные, длины
которых равны 15 см и 20 см. Найдите расстояние от
данной точки до прямой, если разность проекций на&
клонных на эту прямую равна 7 см.
25.На стороне BC треугольника ABC отметили точкуK
так, что
CAK = ABC, BK=12см, KC=4см. Най&
дите сторону AC.
26.Отрезки AB и CD лежат на параллельных прямых, а
отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите
отрезок CM, если AB=17см, CD=51см, AC=48см.
27.Основания AD и BC трапеции ABCD равны соответ&
ственно 96 см и 6 см, AC= 24 см. Докажите, что тре&
угольники ACD и ABC подобны.
28.В окружности проведены хорды AB и CD, которые пе&
ресекаются в точке M. Найдите отрезок AC, если
CM=3см, BM=9см, BD=12см.
29.В треугольнике ABC отрезок BK — высота, отрезок
AM — биссектриса, BK=26см, AB:AC=6:7. Из
точки M опущен перпендикуляр MD на сторону AC.
Найдите отрезок MD.
18.12. Метрические соотношения
в прямоугольном треугольнике
Квадрат высоты прямоугольного треугольника,
проведённой к гипотенузе, равен произведению проек&
ций катетов на гипотенузу.

§ 18. Треугольник 391
На рисунке 18.51 отрезок CD — высота прямоугольного
треугольника ABC (
ACB=90 ), поэтому CD 2 = AD DB.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы
и проекции этого катета на гипотенузу.
На рисунке 18.51 имеем: AC
2 = AB AD, BC 2 = AB DB.
Задача. Отрезок СМ — высота прямоугольного тре&
угольника АВС, проведённая к гипотенузе АВ. Изве&
стно, что AM:MB = 1 : 3 (рис. 18.52). Найдите углы
треугольника ABC.
Решение. Пусть AM = x, тогда MB = 3x. Имеем:
AC
2=AM AB, т. е. AC 2=x 4x. Отсюда AC=2x. По&
лучили, что в прямоугольном треугольнике ABC ка&
тет AC в 2 раза меньше гипотенузы. Следовательно,
ABC=30 , BAC = 60 .
18.13. Теорема Пифагора
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
На рисунке 18.53 изображён прямоугольный тре&
угольник ABC (
ACB =90 ). Имеем: AB 2 = AC 2 + BC 2.
Если в прямоугольном треугольнике длины катетов
равны a и b, а длина гипотенузы равна c, то теорему Пи&
фагора можно выразить следующим равенством:
c
2 = a 2 + b 2.
C
A B
D CA B
M
Рис. 18.51 Рис. 18.52

392 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
З а д а ч а. Биссектриса СD прямоугольного треуголь&
ника АВС делит гипотенузу АВ на отрезки АD и ВD,
соответственно равные 40 см и 30 см (рис. 18.54). Най&
дите катеты треугольника АВС.
Р е ш е н и е. По свойству биссектрисы треугольника
= = . Пусть АС = 4x см, тогда ВС = 3х см. По
теореме Пифагора можно записать: АС
2 + ВС 2 = АВ 2.
Имеем: 16х
2 + 9х 2 = 70 2.
Отсюда х = 14. Тогда АС = 56 см, ВС = 42 см.
О т в е т: 42 см, 56 см.
18.14. Синус, косинус, тангенс и котангенс
острого угла прямоугольного треугольника
Синусом острого угла прямоугольного треугольника
называют отношение противолежащего катета к гипоте&
нузе.
Синус угла A обозначают так: sinA (читают: «синус А»).
Для острых углов A и B прямоугольного треугольника
ABC (рис. 18.55) имеем:
sinA = ; sinB = .
Косинусом острого угла прямоугольного треугольни&
ка называют отношение прилежащего катета к гипоте&
нузе.
Косинус угла A обозначают так: cosA (читают: «коси&
нус А»).
C
A B CA B
D
Рис. 18.53 Рис. 18.54
AC
BC
AD
BD 4
3
BC
AB AC
AB

§ 18. Треугольник 393
Для острых углов A и B прямоугольно&
го треугольника ABC (рис. 18.55) имеем:
cosA = ; cosB = .
Тангенсом острого угла прямоуголь&
ного треугольника называют отноше&
ние противолежащего катета к приле&
жащему.
Тангенс угла A обозначают так: tgA
(читают: «тангенс А»).
Для острых углов A и B прямоугольного треугольника
ABC (рис. 18.55) имеем:
tgA = ; tgB = .
Котангенсом острого угла прямоугольного треуголь&
ника называют отношение прилежащего катета к проти&
волежащему.
Котангенс угла A обозначают так: ctgA (читают: «ко&
тангенс А»).
Для острых углов A и B прямоугольного треугольника
ABC (рис. 18.55) имеем:
ctgA = ; ctgB = .
Для прямоугольного треугольника,
изображённого на рисунке 18.56, имеем:
sin
= , sin = , cos = , cos = ,
tg
= , tg = , ctg = , ctg = .
Для острого угла
имеют место
такие равенства:
cos (90
– ) = sin ,
sin (90
– ) = cos ,
tg (90
– ) = ctg ,
ctg (90
– ) = tg .
A
B
C
Рис. 18.55 AC
AB
BC
AB
BC
AC AC
BC
AC
BC BC
AC
Рис. 18.56
ab c
a
c b
c b
c a
c
a
b b
a b
a a
b

394 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса
для углов 30
, 45 и 60 приведены в следующей таблице:
З а д а ч а. Основание АС и высота
ВD равнобедренного треугольника
АВС соответственно равны см и
3 см. Найдите углы треугольника
АВС.
Р е ш е н и е. Поскольку треуголь&
ник АВС равнобедренный, то отре&
зок ВD — его медиана (рис. 18.57).
Тогда DC = см.
Для прямоугольного треугольника ВDC можно запи&
сать: tg
BCD = = = . Отсюда BCD =60 .
Следовательно, треугольник АВС равносторонний
икаждый его угол равен 60
.
Катет прямоугольного треугольника равен произ&
ведению гипотенузы и синуса угла, противолежащего
этому катету.
Катет прямоугольного треугольника равен произ&
ведению гипотенузы и косинуса угла, прилежащего
к этому катету.
30 45 60
sin
cos
tg 1
ctg 1
1
2 2
2 3
2
3
2 2
2 1
2
3
3 3
3 3
3
A
B
C
D
Рис. 18.57
23
3
BD
DC 3
3 3

§ 18. Треугольник 395
Катет прямоугольного треугольника равен произ&
ведению второго катета и тангенса угла, противолежа&
щего первому катету.
Катет прямоугольного треугольника равен произ&
ведению второго катета и котангенса угла, прилежащего
к первому катету.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
частному от деления катета на синус противолежащего
ему угла.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
частному от деления катета на косинус прилежащего к
нему угла.
18.15. Синус, косинус, тангенс и котангенс
угла от 0
до 180
В верхней полуплоскости координатной плоскости
рассмотрим полуокружность с центром в начале коорди&
нат, радиус которой равен 1 (рис. 18.58). Такую полу&
окружность называют единичной.
Будем говорить, что углу
(0   180 ) соответству#
ет точка M единичной полуокружности, если
MOA= ,
где точки O и A имеют соответственно координаты (0; 0)
и (1; 0) (рис. 18.58). Например, на рисунке 18.58 углу,
равному 90
, соответствует точка C; углу, равному 180, —
точка B; углу, равному 0
, — точка A.
y
x 1
–1
1
M
A
BC
O
y
x 1
–1
1 O
M
Рис. 18.58 Рис. 18.59

396 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Косинусом и синусом угла (0   180 ) называют
соответственно абсциссу и ординату точки M единичной
полуокружности, соответствующей углу
(рис. 18.59).
Например: sin 0
=0, cos0 =1, sin90 =1, cos90 =0,
sin 180
=0, cos180 =–1.
Тангенсом угла
, где 0  180 и 90 , называ&
ют отношение , т. е.
tg
= .
Поскольку cos 90
=0, то tg не определён для =90 .
Котангенсом угла
, где 0 < <180 , называют отно&
шение , т. е.
ctg
= .
Поскольку sin 0
=sin180 =0, то ctg не определён
для
=0 и =180 .
Для угла
(0   180 ) имеют место такие ра&
венства:
sin (180
– ) = sin ,
cos (180
– ) = –cos ,
sin 2 + cos 2 = 1.
Последнее равенство называют основным тригоно#
метрическим тождеством.
Для угла
(0   180 , 90 ) имеет место такое
равенство:
tg (180
– ) = –tg .
Для угла (0 < < 180 ) имеет место такое равенство:
ctg (180 – ) = –ctg .
Для угла
(0 < < 180 , 90 ) имеет место такое
равенство:
tg
ctg = 1.
sin
cos
sin
cos
cos
sin
cos
sin

§ 18. Треугольник 397
З а д а ч а. Найдите sin 120 , cos 120 , tg 120 , ctg 120 .
Решение.
Имеем: sin 120 = sin (180 – 60 ) = sin 60 =
=;
cos 120
= cos (180 – 60 ) = –cos 60 = ;
tg 120
= tg (180 – 60 ) = –tg 60 = ;
ctg 120
= ctg (180 – 60 ) = – ctg 60 = .
18.16. Теорема косинусов
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника ра&
вен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон и косинуса угла между ними.
Если длины сторон треугольника обозначить а, b и с,
а угол между сторонами, равными b и с, обозначить
, то
теорему косинусов можно записать в виде следующего
равенства:
a
2 = b 2 + c 2 – 2bccos .
Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, при&
чём a — длина его наибольшей стороны. Если a 2 то треугольник остроугольный. Если a 2>b 2+c 2, то тре&
угольник тупоугольный. Если a 2=b 2+c 2, то треугольник
прямоугольный.
Задача. В треугольнике ABC сторона AB на 4 см
больше стороны BC,
B=120 , AC=14см. Найдите
стороны AB и BC.
Р е ш е н и е. По теореме косинусов
AC
2=AB 2+BC 2–2AB BC cosB.
Пусть BC=xсм, x>0, тогда AB=(x+4)см.
Имеем:
14
2 = (x + 4) 2 + x 2 – 2x (x + 4) cos120 ;
196 = x
2 + 8x + 16 + x 2 – 2x(x + 4) ;
3
2
1
2
3
3
3
1
2

398 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
196 = 2x 2 + 8x + 16 + x (x + 4);
3x
2 + 12x – 180 = 0;
x
2 + 4x – 60 = 0;
x
1 = 6; x 2 = –10.
Корень –10 не удовлетворяет условию x>0.
Следовательно, BC=6см, AB=10см.
О т в е т: 10 см, 6 см.
18.17. Теорема синусов
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорцио&
нальны синусам противолежащих углов.
Если длины сторон треугольника АВС обозначить а, b
и с, то теорему синусов можно записать в виде следующе&
го равенства:
= = .
Задача 1. В треугольнике ABC известно, что
AС=см, BC=1см,
B=45 . Найдите угол A.
Р е ш е н и е. По теореме синусов = . Тогда
sinA = = = : = .
Поскольку BC A< B. Следовательно, угол
A — острый. Отсюда, учитывая, что sin A=, полу&
чаем
A=30 .
Ответ: 30
.
Задача 2. В треугольнике ABC известно, что
AС=см, BC=1см,
A=30 . Найдите угол B.
Р е ш е н и е. Имеем: = ; sinB = =
=.
a
A sin b
B sin c
C sin
2
BC
A sin AC
B sin
BC Bsin
AC 145 sin
2
2
2 2 1
2
1
2
2
BC
A sin AC
B sin AC Asin
BC
2
2

§ 18. Треугольник 399
Так как BC быть как острым, так и тупым. Отсюда
B=45 или
B=180 – 45 = 135 .
Ответ: 45
или 135 .
Примеры заданий № 32
Часть 1
1.Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, ес&
ли один из его катетов равен 8 см, а проекция этого ка&
тета на гипотенузу — 4 см. Ответ дайте в сантиметрах.
2.Точка H является основанием высоты, проведённой
из вершины прямого угла B треугольника ABC к ги&
потенузе AC. Найдите отрезок AC, если BH = ,
AH=7.
3.Найдите боковую сторону равнобедренного треуголь&
ника, основание которого равно 16 см, а высота, про&
ведённая к основанию, — 15 см. Ответ дайте в санти&
метрах.
4.На рисунке 18.60 изображены
треугольники ABC и BCD та&
кие, что
ACB = CBD = 90 .
Найдите отрезок CD. Ответ
дайте в сантиметрах.
5.Найдите периметр прямоугольного треугольника, ги&
потенуза которого на 7 больше одного из катетов, а
другой катет равен 21.
6.Катет прямоугольного треугольника равен 2 см, а его
гипотенуза — см. Найдите тангенс меньшего ост&
рого угла этого треугольника.
7.В треугольнике ABC известно, что
C = 90 ,
AC=8см, BC=6см. Чему равен sinA?
73
Рис. 18.60
5

400 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
8.Катет прямоугольного треугольника равен 15 см, а ко&
синус прилежащего к нему угла равен 0,3. Найдите
гипотенузу треугольника. Ответ дайте в сантиметрах.
9.Доску длиной 3 м приставили к стене дома под углом
30
к земле так, что она опирается на подоконник окна
первого этажа. На какой высоте находится этот подо&
конник? Ответ дайте в метрах.
10.На рисунке 18.61 изображён
прямоугольный треугольник
ABC с гипотенузой AB, отрезок
CD — высота данного тре&
угольника,
ACD = 30 , AC = 3.
Найдите отрезокAB.
11.Из точки A, лежащей вне пря&
мой m, проведены к этой пря&
мой наклонные AC и AD, которые образуют с ней уг&
лы 45
и 60 соответственно. Найдите проекцию на&
клонной AD на прямую m, если AC = .
12.Медиана равностороннего треугольника равна .
Найдите сторону данного треугольника.
13.В треугольнике ABC известно, что AC = см,
BC=7 см,
C = 45 . Найдите сторону AB. Ответ дайте
в сантиметрах.
14.Два угла треугольника равны 30
и 45 . Найдите сто&
рону, противолежащую углу 30
, если сторона, про&
тиволежащая углу 45
, равна .
15.В треугольнике ABC известно, что AC=BC, AB = ,
BAC=30 , отрезок AD — биссектриса треугольни&
ка. Найдите отрезок AD.
Часть 2
16.В равнобедренном треугольнике высота, проведённая
к боковой стороне, равна 6 см и делит её на две части,
одна из которых, прилежащая к вершине равнобед&
ренного треугольника, равна 8 см. Найдите основа&
ние треугольника.
C
A B
D
Рис. 18.61
46
83
32
32
22

§ 18. Треугольник 401
17.Основание равнобедренного треугольника относится
к его боковой стороне как 6 : 5. Найдите периметр
треугольника, если его высота, проведённая к осно&
ванию, равна 8 см.
18.Боковая сторона равнобедренного треугольника рав&
на 40 см, а высота, проведённая к основанию, —
4 см. Найдите расстояние между точками пересе&
чения биссектрис углов при основании треугольника
с его боковыми сторонами.
19.Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и
24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведён&
ную из вершины его меньшего острого угла.
20.Высота CK треугольника ABC делит сторону AB на
отрезки AK и BK. Найдите сторону BC, если
AC=6см, BK=3см,
A=60 .
21.Острый угол прямоугольного треугольника с гипоте&
нузой c равен
. Найдите высоту треугольника, про&
ведённую к его гипотенузе.
22.В четырёхугольнике ABDC,
изображённом на рисунке
18.62, AB = BD = a,
A =
=
D = 15 . Найдите пери&
метр четырёхугольника
ABDC, если
ACD = 90 .
23.Две стороны треугольника относятся как 1 : 2 и
образуют угол в 30
. Третья сторона треугольника
равна см. Найдите неизвестные стороны тре&
угольника.
24.Одна из сторон треугольника на 10 см меньше дру&
гой, а угол между этими сторонами равен 60
. Найди&
те б
oльшую из этих сторон, если третья сторона тре&
угольника равна 14 см.91
A
C
D B
aa
Рис. 18.62
3
27

402 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
25.В треугольнике ABC известно, что C = 90 , AB=10 см,
AC= 8 см. На продолжении катета AC за точку C отме&
тили точку M так, что CM = 6 см. Найдите отрезок BM.
26.Основание и боковая сторона равнобедренного тре&
угольника равны 24 см и 40 см соответственно. Най&
дите биссектрису треугольника, проведённую из вер&
шины угла при его основании.
§ 19. Окружность
19.1. Свойства элементов окружности
Диаметр окружности, перпендикулярный хорде,
делит эту хорду пополам.
На рисунке 19.1 изображена окружность с центромO,
M — точка пересечения диаметра CD и хорды AB, отлич&
ной от диаметра окружности, CD
AB. Поэтому AM = MB.
Диаметр окружности, делящий пополам хорду, от&
личную от диаметра, перпендикулярен этой хорде.
На рисунке 19.1 диаметр СD делит пополам хорду АВ,
отличную от диаметра. Поэтому CD
AB.
Свойство пересекающихся хорд. Если хорды AB и
CD окружности пересекаются в точке M, то AM
MB =
=DM
MC (рис. 19.2).
A B
O
D MC AE
DK C
Рис. 19.1 Рис. 19.2 Рис. 19.3

§ 19. Окружность 403
Задача. Точка K делит хорду AC окружности попо&
лам, а хорду DE — на отрезки длиной 2 см и 32 см
(рис. 19.3). Найдите хорду AC.
Решение. Пусть АK = KС = х см. По свойству пере&
секающихся хорд выполняется равенство AK
KС =
=DK
KЕ. Отсюда х 2 = 64; х = 8. Получаем, что АС =
=2х = 16 (см).
Ответ: 16 см.
19.2. Касательная и секущая к окружности
Прямую, имеющую с окружностью только одну об&
щую точку, называют касательной к окружности.
На рисунке 19.4 прямая а — касательная к окружно&
сти с центром в точке O, А — точка касания.
Свойства касательной
1. Касательная к окружности перпендикулярна ради&
усу, проведённому в точку касания.
На рисунке 19.5 изображена окружность с центром O,
A — точка касания прямой a и окружности. Поэтому
OA
a.
2. Если через данную точку к окружности проведены
две касательные, то отрезки касательных, соединяющих
данную точку с точками касания, равны.
На рисунке 19.6 изображена окружность с центром O.
Прямые AB и AC — касательные, B и C — точки касания.
Поэтому AB = AC.
A
a O
A
a O
Рис. 19.4 Рис. 19.5 Рис. 19.6

404 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Признак касательной к окружности. Если прямая,
проходящая через точку окружности, перпендикулярна
радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая явля&
ется касательной к данной окружности.
На рисунке 19.5 изображена окружность с центром O,
отрезок OA — её радиус, точка A принадлежит прямой a,
OA
a. Поэтому прямая a — касательная к окружности.
Свойство касательной и секущей. Если через точку A
к окружности проведены касательная AM (M — точка
касания) и прямая (секущая), пересекающая окруж&
ность в точках B и C, то AM
2 = AC AB (рис. 19.7).
Задача. Через точку A, лежащую вне окружности,
проведены две прямые, одна из которых касается окруж&
ности в точке B, а другая пересекает окружность в точ&
ках C и D (точка C лежит между точками A и D),
AB =18см, AC :CD = 4 : 5 (рис. 19.8). Найдите отрезок AD.
Решение. Пусть АС = 4х см, тогда АD = 9х см. По
свойству касательной и секущей выполняется равен&
ство AВ
2=АС АD. Отсюда 36х 2 = 18 2, 6х = 18, х = 3.
Получаем, что АD = 9х = 27 (см).
Ответ: 27 см.
19.3. Окружность, описанная около треугольника
Окружность называют описанной около треугольни#
ка, если она проходит через все его вершины.
На рисунке 19.9 изображена окружность, описанная
около треугольника. В этом случае также говорят, что
треугольник вписан в окружность.
A
B
CD
Рис. 19.7 Рис. 19.8

§ 19. Окружность 405
На рисунке 19.9 точка O —
центр окружности, описанной око&
ло треугольника ABC. Отрезки OA,
OB и OC — радиусы этой окруж&
ности, поэтому OA = OB = OC. Сле&
довательно, центр описанной ок&
ружности треугольника равноуда&
лён от всех его вершин.
Около любого треугольника
можно описать окружность.
Центр окружности, описанной около треугольни&
ка, — это точка пересечения серединных перпендикуля&
ров сторон треугольника.
Если треугольник остроугольный, то центр его
описанной окружности расположен внутри треугольни&
ка; если треугольник тупоугольный, то центр его описан&
ной окружности расположен вне треугольника; если тре&
угольник прямоугольный, то центром его описанной
окружности является середина гипотенузы.
Формулы для вычисления радиуса описанной окруж&
ности треугольника:
R = , где а — длина стороны треугольника,

величина угла, противолежащего этой стороне;
R = , где а, b и с — длины сторон треугольника, S —
его площадь.
Задача. Отрезок BD — биссектриса треугольника
ABC,
B=30 , C=105 . Найдите радиус окружно&
сти, описанной около треугольника ABC, если радиус
окружности, описанной около треугольника BDC, ра&
вен см.
Решение. Пусть R
1 — радиус окружности, описан&
ной около треугольника BDC (рис. 19.10), R
1 = см.
CBD= ABC = 15 .
A
B
C
O
Рис. 19.9
a
2
sin
abc
4S
86
86
1
2

406 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Из BDC:
BDC = 180 – ( CBD + C)=
= 180
– (15 + 105 ) = 60 .
Тогда = R
1, отсюда
BC=2R
1sin BDC =
=2
sin 60 = 24 (см).
Из
ABC:
A = 180 – ( ABC + C) = 180 – (30 + 105 ) = 45 .
Пусть R — искомый радиус окружности, описанной
около треугольника ABC. Тогда R = = =
=24 (см).
Ответ: 24 см.
19.4. Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называют вписанной в треугольник, ес&
ли она касается всех его сторон.
На рисунке 19.11 изображена окружность, вписанная
в треугольник. В этом случае также говорят, что тре#
угольник описан около окружности.
На рисунке 19.11 точка O — центр окружности, впи&
санной в треугольник ABC, отрезки OM, ON, OP — ради&
усы, проведённые в точки касания, OM
AB, ON BC,
OP
AC. Поскольку OM = ON = OP, то центр вписанной
окружности треугольника равноудалён от всех его сто&
рон.
A B
C
D
Рис. 19.10 BC
2BDC
sin
86 2
BC
2A sin 24 2
245
sin
A C
B
O
MN
P
Рис. 19.11

§ 19. Окружность 407
В любой треугольник можно вписать окружность.
Центр окружности, вписанной в треугольник, —
это точка пересечения биссектрис треугольника.
Формула для вычисления радиуса вписанной окруж#
ности треугольника:
r = , где S — площадь треугольника, p — его полу&
периметр.
З а д а ч а. Докажите, что ра&
диус окружности, вписанной
в прямоугольный треуголь&
ник, можно найти по формуле
r = , где r — радиус
вписанной окружности, a и b —
длины катетов, c — длина ги&
потенуза.
Решение. В треугольнике ABC имеем:
ACB = 90 ,
BC = a, AC = b, AB = c, точка O — центр вписанной ок&
ружности, M, E и K — точки касания вписанной ок&
ружности со сторонами BC, AC и AB соответственно
(рис. 19.12).
Отрезок OM — радиус окружности, проведённый в
точку касания. Тогда OM
BC.
Так как точка O — центр вписанной окружности, то луч
CO — биссектриса угла ACB , следовательно, OCM = 45 .
Тогда треугольник CMO — равнобедренный прямо&
угольный. Отсюда CM = OM = r.
Используя свойство отрезков касательных, проведён&
ных к окружности через одну точку, получаем, что
CE
= CM . Поскольку CM = r, то CE = r. Тогда AK = AE =
= b – r, BK = BM = a – r.
Так как AK + BK = AB, то b – r + a – r = c. Отсюда
2r = a + b – c; r = .
S
p
A
CBO
M E
K
Рис. 19.12 abc
2
abc
2

408 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
19.5. Центральные и вписанные углы.
Градусная мера дуги окружности
Центральным углом окружности называют угол
с вершиной в центре окружности.
На рисунке 19.13 угол AOB — центральный.
Каждая дуга окружности, как и вся окружность, име&
ет градусную меру. Градусную меру всей окружности
считают равной 360
. Если центральный угол MON опи&
рается на дугу MN (рис. 19.14), то градусную меру дуги
MN считают равной градусной мере угла MON и записы&
вают
MN= MON (читают: «градусная мера дуги MN
равна градусной мере угла MON»). Градусную меру дуги
MEN (рис. 19.14) считают равной 360
– MON.
Вписанным углом окружности называют угол, вер&
шина которого лежит на окружности, а стороны пересе&
кают окружность.
На рисунке 19.15 угол ABC — вписанный.
Градусная мера вписанного угла равна половине
градусной меры дуги, на которую он опирается.
На рисунке 19.15 угол ABC — вписанный, поэтому
ABC = AC.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же ду&
гу, равны (рис. 19.16).
Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полу&
окружность), — прямой (рис. 19.17).
B O
A
NO
M E
C B A
Рис. 19.13 Рис. 19.14 Рис. 19.15 Рис. 19.16 Рис. 19.17
1
2

§ 19. Окружность 409
З а д а ч а 1. Хорды AB и CD окружности пересекают&
ся в точке M (рис. 19.18). Докажите, что
AMC =
=(
AC + BD).
Решение. Угол AMC является внешним для тре&
угольника AMD. Тогда
AMC = DAB + ADC =
=
DB+ AC = ( AC + BD).
Задача 2. Хорды AB и CD окружности не пересе&
каются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M
(рис. 19.19). Докажите, что
AMC=( AC– BD).
Решение. Угол ADC является внешним для тре&
угольника ADM . Тогда ADC = DAM + AMD . Отсюда
AMD = ADC – DAM = AC – BD = ( AC – BD ).
19.6. Длина окружности.
Площадь круга и площадь сектора
Для всех окружностей отношение длины окруж&
ности к диаметру есть одно и то же число. Это число при&
нято обозначать греческой буквой
(читают: «пи»).
Из равенства =
, где С — длина окружности, R —
её радиус, получаем формулу для вычисления длины ок&
ружности:
C = 2
R.
Число
иррациональное, а значит, оно может быть
представлено в виде конечной десятичной дроби лишь
1
2
1
2 1
2 1
2
A
CBMD
A
CB
M
D
Рис. 19.18 Рис. 19.19
1
2
1
2 1
2 1
2
C
2R

410 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
приближённо. Обычно при решении задач в качестве
приближённого значения
принимают число 3,14.
Длину l дуги в n
окружности радиуса R вычисля&
ют по формуле
l = .
Площадь S круга радиуса R вычисляют по формуле
S =
R2.
Площадь S сектора круга радиуса R, содержащего
дугу окружности в n
, вычисляют по формуле
S = .
Задача 1. Длина дуги окружности, радиус которой
25 см, равна
см. Найдите градусную меру дуги.
Решение.
Из формулы l = получаем n = . Сле&
довательно, искомая градусная мера
n = = 7,2 .
Ответ: 7,2 .
Задача 2. В окружность с
центром O, радиус которой ра&
вен 8 см, вписан правильный
восьмиугольник ABCDEFMK
(рис. 19.20). Найдите площадь
сектора, содержащего дугу AB.
Решение. Угол AOB — цен&
тральный угол правильного
восьмиугольника,
AOB =
= = 45
.
Тогда искомая площадь сектора равна S = =
=8
(см 2).
Ответ: 8
см 2.
Rn
180
R2n
360
Rn
180 180l
R
180
25
Рис. 19.20 360 8
82 45
360

§ 19. Окружность 411
Примеры заданий № 33
Часть 1
1.Каждая из хорд AB и BC окружности, изображённой
на рисунке 19.21, равна 6 см,
ABC=120 . Чему ра&
вен радиус окружности? Ответ дайте в сантиметрах.
2.Точка O — центр окружности, изображённой на ри&
сунке 19.22,
ABC=56 , OAB=34 . Найдите гра&
дусную меру угла OCB.
3.В окружности, радиус которой равен 20, проведена
хорда на расстоянии 12 от центра окружности. Чему
равна длина этой хорды?
4.На рисунке 19.23 изображена окружность с центром O.
Через точку A к этой окружности проведена
касательная AB (B— точка касания). Найдите рас&
стояние от точки A до точки B, если радиус окруж&
ности равен 7 см, а расстояние от точки A до центра
окружности — 25 см. Ответ дайте в сантиметрах.
AC
B
A
CB
O
Рис. 19.21 Рис. 19.22
A
B
O
Рис. 19.23
B A
O M
20 °
Рис. 19.24

412 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
5.Через точку M к окружности с центром O, изобра&
жённой на рисунке 19.24, проведены касательные
MA и MB, AиB — точки касания,
BAO=20 . Най&
дите градусную меру углаAMB.
6.Отрезок AB — диаметр окружности, AB=24см. Точ&
ка A удалена от касательной к этой окружности на
4 см. Найдите расстояние от точки B до этой каса&
тельной. Ответ дайте в сантиметрах.
7.Окружности с центрами O
1, O 2 и O 3 попарно касают&
ся так, как показано на рисунке 19.25. Чему равен
периметр треугольника O
1O2O3, если радиус окруж&
ности с центром O
1 равен 8?
8.Две окружности касаются так, как показано на ри&
сунке 19.26. Диаметр одной окружности равен 24, а
другой — 16. Чему равно расстояние между центра&
ми этих окружностей?
9.Найдите радиус окружности, описанной около тре&
угольника ABC, если BC = см,
A=45 . Ответ
дайте в сантиметрах.
10.Чему равен радиус вписанной окружности треуголь&
ника, площадь которого равна 48 см
2, а периметр ра&
вен 24 см? Ответ дайте в сантиметрах.
O1
O2
O3
Рис. 19.25 Рис. 19.26
12 2

§ 19. Окружность 413
11.Концы хорды окружности делят её на две дуги, гра&
дусная мера одной из которых в пять раз больше гра&
дусной меры другой. Найдите градусную меру боль&
шей из этих дуг.
12.В колесе 24 спицы. Углы между соседними спицами
равны. Найдите величину угла (в градусах), который
образуют две соседние спицы.
13.Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая
стрелки в 19:00?
14.Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка
за 28 мин?
15.Точка O — центр окружности, изображённой на ри&
сунке 19.27. Найдите градусную меру угла AOC.
16.Точка O — центр окружности, изображённой на ри&
сунке 19.28. Чему равна градусная мера угла AOC?
17.На рисунке 19.29 изображены равные прямо&
угольные треугольники ABC и ABD собщей гипоте&
нузой AB, вписанные в окружность. Градусная мера
дуги CD равна 100
. Чему равен угол ? Ответ дайте
в градусах.
18.Длина обода первого колеса равна 64 см, а второго —
80 см. Какое наименьшее расстояние должны прока&
титься эти колёса, чтобы каждое из них сделало це&
лое количество оборотов? Ответ дайте в метрах.
19.Радиус окружности равен . Найдите длину дуги
этой окружности, градусная мера которой составляет
108
.
A
C B
O
26 °
A
CB
O 110 ° A
C
B D
Рис. 19.27 Рис. 19.28 Рис. 19.294

414 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
20.На рисунке 19.30 изображены четы&
ре окружности, радиус каждой из
которых равен . Каждая окруж&
ность касается двух других окруж&
ностей. Какова длина выделенной
линии?
21.Длина окружности, ограничивающей первый круг, в
4 раза больше длины окружности, ограничивающей
второй круг. Во сколько раз площадь первого круга
больше площади второго круга?
Часть 2
22.В угол, величина которого составляет 60
, вписаны
две окружности, касающиеся друг друга внешним об&
разом. Найдите радиус большей из них, если радиус
меньшей равен 6 см.
23.На хорде AB окружности отметили точку M. Докажи&
те, что MA
MB = R 2 – d 2, где R — радиус окружности,
d — расстояние от точкиM до центра окружности.
24.Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе
прямоугольного треугольника, касается большего
катета и проходит через вершину противолежащего
острого угла. Найдите радиус окружности, если кате&
ты равны 5 см и 12 см.
25.Две окружности, расстояние между центрами кото&
рых равно 17 см, имеют внешнее касание. Найдите
радиусы этих окружностей, если расстояние между
точками касания окружностей с их общей внешней
касательной равно 15 см.
26.Две окружности с центрами O
1 и O 2, радиусы кото&
рых равны 10 см и 16 см соответственно, касаются
внешним образом в точке C. Прямая, проходящая че&
рез точку C, пересекает окружность с центром O
1 в
точке A, а другую окружность — в точке B. Найдите
хорды AC и BC, если AB=39см.
Рис. 19.30 3

§ 19. Окружность 415
27.На продолжении стороны AC треугольника ABC за
точку C отметили точкуD так, что
ADB=30 . Най&
дите радиус окружности, описанной около треуголь&
ника ABD, если
ACB=45 , а радиус окружности,
описанной около треугольника ABC, равен см.
28.Высота равнобедренного тупоугольного треугольни&
ка, проведённая к его основанию, равна 8 см, а ради&
ус описанной около него окружности — 13 см. Най&
дите боковую сторону треугольника.
29.Биссектриса AM треугольника ABC (
C=90 ) де&
лит катет BC на отрезки длиной 6 см и 10 см. Най&
дите радиус окружности, проходящей через точки A,
C и M.
30.Стороны треугольника равны 6 см, 25 см и 29 см.
Найдите радиус вписанной окружности данного тре&
угольника.
31.Точка касания окружности, вписанной в прямо&
угольный треугольник, делит один из катетов на от&
резки длиной 2 см и 8 см, считая от вершины прямого
угла. Найдите периметр треугольника.
32.Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и
15 см. Найдите расстояние от вершины большего
острого угла треугольника до центра вписанной
окружности.
33.Радиус окружности, вписанной в равнобедренный
треугольник ABC (AB=BC), равен 12 см, а расстоя&
ние от центра этой окружности до вершины B —
20 см. Найдите периметр данного треугольника.
34.Одна из сторон треугольника равна 25 см, а другая
сторона делится точкой касания вписанной окруж&
ности на отрезки длиной 22 см и 8 см, считая от кон&
ца первой стороны. Найдите радиус вписанной ок&
ружности.
35.Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается
стороны AB в точкеD, BD=1см, AD=5см,
ABC =
=120
. Найдите отрезок CD.82

416 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
36.Основание равнобедренного треугольника равно 40 см,
а высота, проведённая к нему, — 15 см. Найдите рас&
стояние между точками касания окружности, вписан&
ной в треугольник, с его боковыми сторонами.
37.Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на
её диаметр, делит диаметр на два отрезка, один из ко&
торых на 27 см больше другого. Найдите длину
окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см.
38.Найдите площадь круга, описанного около треуголь&
ника со сторонами 7 см, 8 см и 9 см.
§ 20. Многоугольник
20.1. Параллелограмм и его свойства
Параллелограммом называют четырёхугольник, у кото&
рого каждые две противолежащие стороны параллельны.
На рисунке 20.1 изображён параллелограмм ABCD:
AB||CD, BC||AD.
Высотой параллелограмма называют перпендику&
ляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей
сторону параллелограмма, на прямую, содержащую про&
тиволежащую сторону.
На рисунке 20.2 каждый из отрезков AF, QE, BM, CK,
PN является высотой параллелограмма ABCD.
A
C
B
D
AC B
D
Q
E
F MP
KN
Рис. 20.1 Рис. 20.2

§ 20. Многоугольник 417
Свойства параллелограмма
1. У параллелограмма противолежащие стороны равны.
На рисунке 20.1 изображён параллелограмм ABCD,
поэтому АВ = CD, BC = AD.
2. У параллелограмма противолежащие углы равны.
На рисунке 20.1 изображён параллелограмм ABCD,
поэтому
A = C, B = D.
3. У параллелограмма диагонали точкой пересечения
делятся пополам.
На рисунке 20.3 изображён параллелограмм ABCD,
диагонали которого пересекаются в точке O, поэтому
АO = OC, BO = OD.
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма рав&
на сумме квадратов его сторон.
Имеем: BD
2 + AC 2 = 2AB 2 + 2BC 2 (рис. 20.3).
З а д а ч а. Биссектриса тупого угла параллелограмма
делит сторону в отношении 2 : 1, считая от вершины
острого угла. Найдите стороны параллелограмма, ес&
ли его периметр равен 60 см.
Р е ш е н и е. Пусть биссектриса тупого угла B парал&
лелограмма ABCD (рис. 20.4) пересекает сторону AD в
точке M. По условию AM:MD=2:1.
Углы ABM и CBM равны по условию.
Углы CBM и AMB равны как накрест лежащие при
BC||AD и секущей BM.
Тогда
ABM= AMB. Следовательно, треугольник
BAM равнобедренный, отсюда AB=AM.
A
C
B
D
O
Рис. 20.3
A
C
B
D
M
Рис. 20.4

418 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Пусть MD=xсм, тогда AB=AM=2xсм, AD=3xсм.
Периметр параллелограмма равен 2(AB+AD). Учи&
тывая условие, получаем:
2(2x + 3x) = 60;
x = 6.
Следовательно, AB=12см, AD=18см.
О т в е т: 12 см, 18 см.
20.2. Признаки параллелограмма
1. Если в четырёхугольнике каждые две противоле&
жащие стороны равны, то этот четырёхугольник — па&
раллелограмм.
На рисунке 20.5 изображён четырёхугольник ABCD,
у которого АВ = CD и BC = AD, поэтому четырёхугольник
ABCD — параллелограмм.
2. Если в четырёхугольнике две противолежащие сто&
роны равны и параллельны, то этот четырёхугольник —
параллелограмм.
На рисунке 20.5 изображён четырёхугольник ABCD,
в котором BC = AD и BC||AD, поэтому четырёхугольник
ABCD — параллелограмм.
3. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересе&
чения делятся пополам, то этот четырёхугольник — па&
раллелограмм.
На рисунке 20.6 изображён четырёхугольник ABCD,
в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке O,
причём AO = OC и BO = OD, поэтому четырёхугольник
ABCD — параллелограмм.
A
C
B
D
A
C
B
D
O
Рис. 20.5 Рис. 20.6

§ 20. Многоугольник 419
4. Если в четырёхугольнике каждые два противоле&
жащих угла равны, то этот четырёхугольник — паралле&
лограмм.
На рисунке 20.5 изображён четырёхугольник ABCD,
в котором
A = C, B = D, поэтому четырёхугольник
ABCD — параллелограмм.
З а д а ч а. Две стороны треугольника равны 23 см и
30 см, а медиана, проведённая к большей из извест&
ных сторон, — 10 см. Найдите третью сторону тре&
угольника.
Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике ABC AC=23см,
BC=30см, отрезок AM — медиана, AM=10см.
На продолжении отрезка AM за точку M отложим от&
резок MD, равный медиане AM (рис. 20.7). Тогда
AD=20см.
В четырёхугольнике ABDC диагонали AD и BC точкой
M пересечения делятся пополам (BM=MC по усло&
вию, AM=MD по построению). Следовательно, четы&
рёхугольник ABDC — параллелограмм.
По свойству диагоналей параллелограмма имеем:
AD
2 + BC 2 = 2 (AB 2 + AC 2).
Тогда 20
2 + 30 2 = 2 (AB 2 + 23 2);
400 + 900 = 2 (AB
2 + 529);
AB
2 = 121;
AB = 11 см.
Ответ: 11 см.
Рис. 20.7

420 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
20.3. Прямоугольник, ромб, квадрат
Прямоугольником называют параллелограмм, у кото&
рого все углы прямые.
На рисунке 20.8 изображён прямоугольник ABCD.
Диагонали прямоугольника равны.
На рисунке 20.9 изображён прямоугольник ABCD.
Его диагонали AC и BD равны.
Если один из углов параллелограмма прямой, то
этот параллелограмм — прямоугольник.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот
параллелограмм — прямоугольник.
Ромбом называют параллелограмм, у которого все
стороны равны.
На рисунке 20.10 изображён ромб ABCD.
Диагонали ромба перпендикулярны и являются
биссектрисами его углов.
На рисунке 20.11 изображён ромб ABCD, диагонали
которого пересекаются в точке O. Поэтому BO
AC и
ABO = CBO.
AC B
D A
C B
D
Рис. 20.8 Рис. 20.9
AC B
D A
C B
D
O
Рис. 20.10 Рис. 20.11

§ 20. Многоугольник 421
Если диагонали параллелограмма перпендикуляр&
ны, то этот параллелограмм — ромб.
Если диагональ параллелограмма является биссек&
трисой его угла, то этот параллелограмм — ромб.
Квадратом называют прямоуголь&
ник, у которого все стороны равны.
На рисунке 20.12 изображён квад&
рат ABCD.
Квадрат — это ромб, у которого
все углы равны.
Квадрат является отдельным ви&
дом и прямоугольника, и ромба.
Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и
являются биссектрисами его углов.
Примеры заданий № 34
Часть 1
1.Чему равна б
oльшая из сторон параллелограмма, ес&
ли она на 8 см больше другой стороны, а периметр па&
раллелограмма равен 40см? Ответ дайте в санти&
метрах.
2.Один из углов параллелограмма равен 45
. Его высо&
та, проведённая из вершины тупого угла, равна 3 и
делит сторону параллелограмма пополам. Найдите
эту сторону параллелограмма.
3.Величины двух углов параллелограмма относятся
как 7 : 11. Найдите градусную меру меньшего угла
параллелограмма.
4.Найдите градусную меру острого угла параллело&
грамма ABCD, изображённого на рисунке 20.13, если
биссектриса угла BAD образует со стороной BC угол,
равный 37
.
AC B
D
Рис. 20.12

422 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
5.Из четырёх равных прямоугольников составлен пря&
моугольник ABCD так, как это показано на рисунке
20.14. Чему равен периметр прямоугольникаAMKE,
если периметр прямоугольника ABCD равен 24 см?
Ответ дайте в сантиметрах.
6.На диагонали BD прямоугольника ABCD, изобра&
жённого на рисунке 20.15, отметили точку E так,
что BE=ED. Во сколько раз периметр прямоуголь&
ника MBKE меньше периметра прямоугольника
ABCD?
7.Биссектриса угла A прямоугольника ABCD пересека&
ет сторону BC в точкеK, BK=4, KC=8. Найдите пе&
риметр прямоугольника.
8. На рисунке 20.16 изображён прямоугольник ABCD , в ко&
тором
BOC =128 . Какова градусная мера угла BAO ?
9.В прямоугольник ABCD, изображённый на рисунке
20.17, вписана полуокружность с диаметром AD. Во
сколько раз сторона BC больше стороны AB?
10.Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Чему
равна градусная мера тупого угла ромба?
AC B
D AC B
D
K
E M
Рис. 20.13 Рис. 20.14
Рис. 20.15
A
C B
D
O
Рис. 20.16

§ 20. Многоугольник 423
11.Угол между высотой ромба, проведённой из вершины
тупого угла, и его меньшей диагональю равен 20
.
Какова градусная мера меньшего из углов ромба?
12.В ромбе ABCD, изображённом на рисунке 20.18,
CBD=65 . Какова градусная мера угла A?
13.Периметр ромба равен 40 см, а одна из диагоналей —
12 см. Сколько сантиметров составляет длина другой
диагонали ромба?
14.Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O,
AO= 12. Найдите отрезок BD.
15.На рисунке 20.19 изображён квадрат ABCD, AE = 2EO.
Чему равен угол DAE? Ответ дайте в градусах.
16.Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна
.
Часть 2
17.Одна из сторон параллелограмма равна 12 см, б
oль&
шая диагональ — 28 см, а тупой угол — 120
. Найди&
те периметр параллелограмма.
18.Стороны треугольника равны 8 см, 9 см и 13 см. Най&
дите медиану треугольника, проведённую к его наи&
большей стороне.
19.Медиана CM треугольника ABC образует со сторона&
ми AC и BC углы
и соответственно, BC=a. Най&
дите медиану CM.
20.Высота BH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки
CH=10 см и DH= 16 см. Найдите высоту ромба.
AC
B
D
Рис. 20.17 Рис. 20.18
AC B
D
O
E
Рис. 20.19
42

424 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
21.Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения
диагоналей ромба на его сторону, делит её на отрезки
длиной 3 см и 12 см. Найдите б
oльшую диагональ
ромба.
22.Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения
диагоналей ромба на его сторону, делит её на два от&
резка, один из которых на 5 см больше другого. Най&
дите периметр ромба, если длина этого перпендику&
ляра равна 6 см.
23. На стороне CD квадрата ABCD отметили точку K так,
что
ABK =60 . Найдите отрезок AK , если BC = см.
20.4. Трапеция. Средняя линия трапеции
Трапецией называют четырёхугольник, у которого
две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Каждый из четырёхугольников, изображённых на ри&
сунке 20.20, является трапецией.
Параллельные стороны трапеции называют основания#
ми, а непараллельные — боковыми сторонами (рис. 20.21).
Высотой трапеции называют перпендикуляр, опу&
щенный из любой точки прямой, содержащей одно из ос&
нований, на прямую, содержащую другое основание.
На рисунке 20.22 каждый из отрезков BM, EF, DK, PQ
является высотой трапеции ABCD.
На рисунке 20.23 изображена трапеция ABCD, в кото&
рой боковые стороны AB и CD равны. Такую трапецию
называют равнобокой или равнобедренной.6
A
C B
D M
EP N
боковая
сторона боковая
сторона
основаниеоснование
Рис. 20.20 Рис. 20.21

§ 20. Многоугольник 425
Если боковая сторона трапеции является её высотой, то
такую трапецию называют прямоугольной (рис. 20.24).
Средней линией трапеции называют отрезок, соеди&
няющий середины её боковых сторон.
На рисунке 20.25 отрезок MN — средняя линия тра&
пеции ABCD.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям
и равна их полусумме.
Имеем: MN||AD и MN = (рис. 20.25).
В равнобокой трапеции:
1) углы при каждом основании равны;
2) диагонали равны;
3) высота трапеции, проведённая из вершины тупого
угла, делит основание трапеции на два отрезка, меньший
из которых равен полуразности оснований, а больший —
полусумме оснований (средней линии трапеции).
AM PFCKQ BE
D
Рис. 20.22
A
C B
D
Рис. 20.23
A
C B
D
A
C B
D
N M
Рис. 20.24 Рис. 20.25
BC AD
2

426 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
З а д а ч а. В равнобокой тра&
пеции основания равны 21 см
и 9 см, а боковая сторона —
10 см. Найдите диагональ
трапеции.
Решение. Проведём высоту
BM равнобокой трапеции
ABCD (рис. 20.26). Известно,
что AM = , MD = . Имеем: AM=6см,
MD=15см.
Из треугольника ABM получаем: BM = =
= = 8 (см).
Из треугольника MBD получаем: BD = =
= = 17 (см).
О т в е т: 17 см.
20.5. Четырёхугольник, вписанный в окружность
Четырёхугольник называют вписанным, если сущест&
вует окружность, которой принадлежат все его вершины.
На рисунке 20.27 изображён вписанный четырёх&
угольник ABCD. В этом случае также говорят, что
окружность описана около четырёхугольника.
Если четырёхугольник является вписанным, то
сумма его противолежащих углов равна 180
.
На рисунке 20.27 углы A и C — противолежащие
углы вписанного четырёхугольника ABCD. Поэтому
A+ C=180 .
Если в четырёхугольнике сумма противолежащих
углов равна 180
, то он является вписанным.
Например, прямоугольник и равнобокую трапецию
можно вписать в окружность.
A
C B
D
M
Рис. 20.26
AD BC
2
BC AD
2
AB 2 AM 2
10 2 62
BM 2 MD 2
82 15 2

§ 20. Многоугольник 427
З а д а ч а. Из произвольной точки M катета AC прямо&
угольного треугольника ABC опущен перпендикуляр
MK на гипотенузу AB. Докажите, что
MKC= MBC.
Решение. Имеем:
BCA = 90 , MKB = 90
(рис. 20.28), тогда BCA + MKB = 180 . Следовательно,
около четырёхугольника
CBKM можно описать окруж&
ность. Углы
MKC и MBC являются вписанными, опира&
ющимися на одну дугу
CM . Отсюда MKC = MBC .
20.6. Четырёхугольник,
описанный около окружности
Четырёхугольник называют опи#
санным, если существует окруж&
ность, касающаяся всех его сторон.
На рисунке 20.29 изображён опи&
санный четырёхугольник ABCD . В этом
случае также говорят, что окружность
вписана в четырёхугольник.
Если четырёхугольник является
описанным, то суммы его противолежащих сторон равны.
На рисунке 20.29 в четырёхугольник ABCD вписана
окружность. Поэтому AB+CD=BC+AD.
Если в выпуклом четырёхугольнике суммы проти&
волежащих сторон равны, то этот четырёхугольник яв&
ляется описанным.
Например, описанным четырёхугольником является
ромб.
C
A D B CM A B
K
Рис. 20.27 Рис. 20.28
C
A
B
D
Рис. 20.29

428 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
20.7. Сумма углов выпуклого многоугольника
Сумма углов выпуклого
n&угольника равна 180
(n–2).
На рисунке 20.30 изображён вы&
пуклый
n&угольник A1A2...An–1An.
Угол 1 является смежным с уг&
лом 2 многоугольника. Угол 1
называют внешним углом при
вершине A
1 выпуклого много&
угольника A
1A2...A n.
Сумма внешних углов выпуклого n&угольника,
взятых по одному при каждой вершине, равна 360
.
З а д а ч а. Существует ли многоугольник, каждый
угол которого равен 100
?
Р е ш е н и е. Предположим, что такой многоугольник
существует и количество его углов равно n. Тогда сум&
ма его углов равна 100
n. Эта сумма также равна
180
(n– 2). Получаем уравнение 180 (n– 2) = 100n. От&
сюда 2n = 9. Поскольку n должно быть натуральным
числом, то такого многоугольника не существует.
20.8. Правильные многоугольники
Многоугольник называют правильным, если у него
все стороны равны и все углы равны.
Например, равносторонний треугольник — это пра&
вильный треугольник, квадрат — это правильный четы&
рёхугольник. На рисунке 20.31 изображены правильные
пятиугольник и восьмиугольник.
Рис. 20.30
Рис. 20.31

§ 20. Многоугольник 429
Любой правильный многоугольник является как
вписанным, так и описанным, причём центры его опи&
санной и вписанной окружностей совпадают.
Точку, которая является центром описанной и впи&
санной окружностей правильного многоугольника, на&
зывают центром правильного многоугольника.
На рисунке 20.32 изображён фрагмент правильного
n&угольника с центром O и стороной AB. Угол AOB на&
зывают центральным углом правильного многоуголь#
ника,
AOB= .
Если длину стороны правильного n&угольника
обозначить a
n, то радиусы R n и r n соответственно описан&
ной и вписанной окружностей можно вычислить по фор&
мулам
R
n = ,
r
n = .
Подставив в эти формулы вместо n числа 3, 4, 6, по&
лучим формулы для нахождения радиусов описанной и
360
n
Рис. 20.32
an
2180 n sin
an
2tg180 n

430 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
вписанной окружностей для правильных треугольника,
четырёхугольника и шестиугольника со стороной a:
З а д а ч а. В окружность вписан
правильный треугольник со
стороной 18 см. Найдите сторо&
ну правильного шестиугольни&
ка, описанного около этой ок&
ружности.
Р е ш е н и е. Радиус окружно&
сти, описанной около правиль&
ного треугольника, вычисляет&
ся по формуле R
3 = , где a — длина стороны тре&
угольника (рис. 20.33). Следовательно, R
3 = =
= (см).
По условию радиус окружности, вписанной в пра&
вильный шестиугольник, равен радиусу окружно&
сти, описанной около правильного треугольника, т. е.
r
6 = R 3 = см. Так как r 6 = , где b — длина сто&
роны правильного шестиугольника, то b = =
= = 12 (см).
Ответ: 12 см.
Количество сторон правиль&
ного n&угольникаn = 3n = 4n = 6
Радиус описанной окруж&
ностиR
3 = R 4 = R 6 = a
Радиус вписанной окруж&
ностиr
3 = r 4 =
r 6 =
a3
3 a2
2
a3
6 a
2 a3
2
a b
Рис. 20.33
a3
3
18 3
3
63
63 b3
2
2r 6
3
263
3

§ 20. Многоугольник 431
Примеры заданий № 35
Часть 1
1.Сумма двух углов равнобокой трапеции равна 86
. Най&
дите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
2.Прямая BM параллельна боковой стороне CD трапе&
ции ABCD, изображённой на рисунке 20.34. Найдите
градусную меру угла D трапеции.
3.Чему равен меньший из углов равнобокой трапеции,
если один из них в 5 раз больше другого? Ответ дайте
в градусах.
4.Известно, что AD — большее основание трапеции
ABCD. Через вершинуB проведена прямая, которая
параллельна стороне CD и пересекает основание AD в
точкеM. Периметр трапеции ABCD равен 24, а осно&
вание BC — 6. Найдите периметр треугольника ABM.
5.Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 3 см
и 5 см, а меньшая диагональ — см. Чему равен
периметр трапеции? Ответ дайте в сантиметрах.
6.Найдите высоту равнобокой трапеции, основания ко&
торой равны 9 и 19, а боковая сторона — 13.
7.Основания трапеции относятся как 3 : 7, а её средняя
линия равна 40 см. Найдите большее основание тра&
пеции. Ответ дайте в сантиметрах.
8.Прямые MK и NP, пересекающие стороны треуголь&
ника ABC, изображённого на рисунке 20.35, парал&
лельны стороне BC, AK = KP = PC, MK = 6 см. Чему
равна длина стороны BC треугольника? Ответ дайте в
сантиметрах.
BNA
C K
M
P
Рис. 20.34 Рис. 20.35
58

432 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
9.Средняя линия равнобокой трапеции, в которую
можно вписать окружность, равна 12. Найдите боко&
вую сторону трапеции.
10.Сумма углов выпуклого многоугольника равна
1800
. Чему равно количество его сторон?
11.Найдите наименьший из углов четырёхугольника,
если они пропорциональны числам 8, 9, 7 и 6. Ответ
дайте в градусах.
12.В угол A, изображённый на рисунке
20.36, вписана окружность, которая
касается сторон угла в точках B и C.
Найдите угол BOC, если
A=112 .
Ответ дайте в градусах.
13.Найдите градусную меру угла правильного двадцати&
угольника.
14.Сколько сторон имеет правильный многоугольник,
угол которого равен 140
?
15.Чему равен радиус окружности, вписанной в пра&
вильный треугольник со стороной см? Ответ
дайте в сантиметрах.
16.Около окружности описан правильный шестиуголь&
ник со стороной . Найдите сторону квадрата,
вписанного в эту окружность.
17.Пять правильных шестиугольников расположены
так, как показано на рисунке 20.37. Длина окруж&
ности, описанной около одного из шестиугольников,
равна 12
см. Чему равна длина выделенной линии?
Ответ дайте в сантиметрах.
18.Фигура, изображённая на рисунке 20.38, составлена
из правильных многоугольников. Диаметр окруж&
ности, описанной около правильного шестиуголь&
ника, изображённого на этом рисунке, равен 4 см.
Рис. 20.36
18 3
86

§ 20. Многоугольник 433
Чему равна длина выделенной линии? Ответ дайте в
сантиметрах.
Часть 2
19.Меньшее основание равнобокой трапеции равно её
боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боко&
вой стороне. Найдите углы данной трапеции.
20.В равнобокой трапеции диагональ является биссект&
рисой острого угла и делит среднюю линию трапеции
на отрезки длиной 6 см и 12 см. Найдите периметр
трапеции.
21.Меньшая диагональ прямоугольной трапеции делит
её тупой угол пополам, а другую диагональ делит в
отношении 5 : 2, считая от вершины острого угла.
Найдите периметр трапеции, если её меньшая боко&
вая сторона равна 12 см.
22.Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна бо&
ковой стороне, а основания равны 28 см и 100 см. Най&
дите длины отрезков, на которые высота трапеции, про&
ведённая из вершины тупого угла, делит диагональ.
23.Большее основание трапеции равно 20 см, а расстоя&
ние между серединами её диагоналей — 6 см. Найди&
те длину меньшего основания трапеции.
24.Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции
перпендикулярны, то её высота равна средней линии
трапеции.
25.Докажите, что точка пересечения биссектрис углов,
прилежащих к боковой стороне трапеции, принадле&
жит прямой, содержащей её среднюю линию.
Рис. 20.37 Рис. 20.38

434 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
26.Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB тра&
пеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите рас&
стояние от точки O до прямой AB, если AB=20см,
BO=16см.
27.Углы при одном из оснований трапеции равны 74
и
16
, а отрезки, соединяющие середины противолежа&
щих сторон трапеции, равны 6 см и 2 см. Найдите ос&
нования трапеции.
28.Центр окружности, описанной около трапеции, ле&
жит на её большем основании. Найдите радиус этой
окружности, если боковая сторона трапеции
равна 2 см, а высота трапеции — 1,6 см.
29.В трапеции ABCD известно, что BC||AD, AD=8см,
CD= см. Окружность, проходящая через точки A,
B и C, пересекает отрезок AD вточке K,
AKB=60 .
Найдите отрезок BK.
30.Найдите радиус окружности, описанной около трапе&
ции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диаго&
наль — 20 см.
31.Чему равен угол BAD четырёхугольника ABCD, впи&
санного в окружность, если
ACD=37 , ADB=43 ?
32.Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диа&
метром его описанной окружности, M — точка пересе&
чения его диагоналей,
ABD=32 , CBD=64 . Най&
дите угол BMC.
33.Отрезки AA
1 и BB 1 — высоты остроугольного тре&
угольника ABC. Докажите, что
ABB 1 = AA 1B1.
34.В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что
ACB= ADB. Докажите, что CAD= CBD.
35.Точка касания окружности, вписанной в прямо&
угольную трапецию, делит её большее основание на
отрезки длиной 20 см и 25 см. Вычислите периметр
трапеции.
36.Как относится сторона правильного шестиугольника,
вписанного в окружность, к стороне правильного шес&
тиугольника, описанного около этой окружности?43

§ 21. Площадь многоугольника 435
§ 21. Площадь многоугольника
21.1. Понятие площади многоугольника.
Площадь прямоугольника
Площадью многоугольника называют положительную
величину, которая обладает следующими свойствами:
1) равные многоугольники имеют равные площади;
2) если многоугольник составлен из нескольких мно&
гоугольников, то его площадь равна сумме площадей
этих многоугольников;
3) за единицу измерения площади принимают еди&
ничный квадрат, т. е. квадрат со стороной, равной еди&
нице измерения длины.
Измерить площадь многоугольника — это значит
сравнить его площадь с площадью единичного квадрата.
В результате получают числовое значение площади дан&
ного многоугольника. Это число показывает, во сколько
раз площадь данного многоугольника отличается от пло&
щади единичного квадрата.
Площадь S прямоугольника вычисляют по формуле
S=ab,
где a и b — длины его соседних сторон.
Многоугольники, имеющие равные площади, называ&
ют равновеликими.
Из определения площади (свойство 1) следует, что все
равные фигуры равновелики. Однако не все фигуры,
имеющие равные площади, являются равными. Напри&
мер, на рисунке 21.1 изображены два многоугольника,
каждый из которых составлен из 7 единичных квадра&
тов. Эти многоугольники равновелики, но не равны.
Рис. 21.1

436 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
21.2. Площадь параллелограмма.
Площадь трапеции
Площадь параллелограмма равна произведению
его стороны и высоты, соответствующей этой стороне.
На рисунке 21.2 изображён параллелограмм ABCD,
площадь которого равна S. Отрезки BM и CN — высоты
параллелограмма. Поэтому S=AD
BM = AD CN.
Площадь S параллелограмма можно вычислить по
формуле
S = absin
,
где a и b — длины соседних сторон параллелограмма,

величина угла между ними (рис. 21.3).
Площадь трапеции равна произведению полусум&
мы её оснований и высоты.
На рисунке 21.4 изображена
трапеция ABCD (AD||BC), пло&
щадь которой равна S. Отрезок
CN — её высота. Поэтому S =
=(BC + AD)
CN.
Обозначим длины оснований
трапеции и её высоты соответ&
ственно буквами a, b и h. Тогда площадь S трапеции вы&
числяют по формуле
S =
h.
A
C
B
D
MN A
C
B
D
b a
Рис. 21.2 Рис. 21.3
AC B
D N
Рис. 21.4 1
2
ab
2

§ 21. Площадь многоугольника 437
Площадь трапеции равна произведению её средней
линии и высоты.
З а д а ч а. Диагональ равнобокой
трапеции делит её тупой угол попо&
лам. Меньшее основание трапеции
равно 3, периметр равен 42. Найдите
площадь трапеции.
Решение. Пусть BC и AD— осно&
вания трапеции ABCD, BC= 3, CA—
биссектриса угла BCD (рис. 21.5).
Поскольку
CAD= BCA= DCA,
то треугольник ACD равнобедренный. Поэтому
AD=CD=AB= = 13.
Из вершины C опустим перпендикуляр CK на основа&
ние AD. Тогда
DK= = = 5,
CK= = = 12.
Следовательно, S
ABCD =(AD+BC) CK= 96.
Ответ: 96.
21.3. Формулы для нахождения
площади треугольника
1. Площадь треугольника равна половине произведе&
ния его стороны и проведённой к ней высоты.
Если длины сторон треугольника обозначить a, b и с,
длины проведённых к ним высот — соответственно h
a,
h
b, h c, то можно записать: S = ah a = bh b = ch c, где S —
площадь треугольника.
2. Площадь прямоугольного треугольника равна по&
ловине произведения его катетов.
A
C B
D
K
Рис. 21.5
42 3
3
AD BC
2
13 3
2
CD 2 KD 2 13 2 52
1
2
1
2 1
2 1
2

438 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
3. Площадь треугольника равна произведению его по&
лупериметра и радиуса вписанной окружности:
S=pr,
где S — площадь данного треугольника, p — его полупе&
риметр, r — радиус вписанной окружности.
4. Площадь треугольника равна половине произведе&
ния двух его сторон и синуса угла между ними.
Пусть площадь треугольника АВС равна S, ВС = а,
АС = b и
C = . Имеем:
S = absin
.
5. Формула Герона. Площадь S треугольника можно
вычислить по формуле
S = ,
где a, b, c — длины сторон треугольника, p — его полу&
периметр.
6. Площадь S треугольника можно вычислить по фор&
муле
S = ,
где a, b, c — длины сторон треугольника, R — радиус его
описанной окружности.
З а д а ч а. Стороны треугольника равны 17 см, 65 см и
80 см. Найдите наименьшую высоту треугольника,
радиусы его вписанной и описанной окружностей.
Решение. Пусть a=17см, b=65см, c=80см.
Полупериметр треугольника p = = 81 (см),
его площадь S = =
= = =
= 9
8 4 = 288 (см 2).
Наименьшей высотой треугольника является высота h,
проведённая к его наибольшей сторонеc.
1
2
pp a pb pc
abc
4R
17 65 80
2
pp a pb pc
81 81 17 81 65 81 80 81 64 16

§ 21. Площадь многоугольника 439
Так как S = ch, то h = = = 7,2 (см).
Радиус вписанной окружности r = = = (см).
Радиус описанной окружности R = = =
= = (см).
Ответ: 7,2см, см, см.
21.4. Площади подобных многоугольников
Отношение площадей подобных многоугольников
равно квадрату коэффициента подобия.
Задача. Пусть отрезок CD —
высота прямоугольного тре&
угольника ABC (
C=90 ).
Найдите радиус r вписанной
окружности треугольника ABC,
если радиусы окружностей,
вписанных в треугольники
ACD и BCD, соответственно равны r
1 и r 2.
Р е ш е н и е. Так как угол A — общий для прямо&
угольных треугольников ACD и ABC (рис. 21.6), то
эти треугольники подобны. Пусть коэффициент по&
добия равен k
1. Очевидно, что k 1 = . Аналогично
BCD
ABC с коэффициентом k 2 = .
Обозначим площади треугольников ACD, BCD и ABC
соответственно S
1, S 2 и S. Имеем:
= = ; = = .
1
2 2S
c 2 288
80
S
p 288
81 32
9
abc
4S 17 65 80
4288
17 65 5
418
5525
72
32
9 5525
72
Рис. 21.6
r
1
r
r2
r
S1
S k1 2 r1 2
r2
S2
S k2 2 r2 2
r2

440 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Отсюда = = 1.
Получаем, что , т. е. .
Примеры заданий № 36
Часть 1
1.На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изобра&
жена фигура (рис. 21.7). Найдите её площадь.
2.Найдите площадь параллелограмма, сторона которо&
го равна 14 см, а высота, проведённая к ней, — 6 см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
3.Вычислите площадь параллелограмма, две стороны
которого равны 5 и , а угол между ними — 45
.
4.На рисунке 21.8 изображён параллелограмм ABCD,
площадь которого равна 40, M — некоторая точка
стороны AD. Найдите площадь треугольникаBMC.
5.Найдите площадь прямоугольника ABCD, изображён&
ного на рисунке 21.9, если площадь треугольника BOC
равна 6 см
2. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
r1 2 r2
2
r2
S1 S2
S
r2 r1 2 r2
2 rr 1
2 r2
2
Рис. 21.7
42

§ 21. Площадь многоугольника 441
6.Вычислите площадь ромба ABCD, если AC=12см,
BD= 8 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
7.На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изобра&
жён треугольник (рис. 21.10). Найдите его площадь.
8.Вычислите площадь равнобедренного треугольника,
боковая сторона которого равна 13, а основание — 10.
9.Один из катетов прямоугольного треугольника равен
15, а радиус описанной около этого треугольника
окружности — 8,5. Вычислите площадь данного тре&
угольника.
10.Вычислите (в квадратных сантиметрах) площадь тре&
угольника со сторонами 4 см и см и углом 120
между ними.
A
C
B
D
M A
C B
D
O
Рис. 21.8 Рис. 21.9
Рис. 21.10
23

442 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
11.Точка M — середина стороны AB треугольника ABC,
точка K — середина стороны AC. Площадь треуголь&
ника AMK равна 12. Чему равна площадь четырёх&
угольника BMKC?
12.Чему равна площадь изображённого на рисунке 21.11
четырёхугольника ABCD, если площадь одной клетки
равна 1 см
2? Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
13.Найдите площадь закрашенной фигуры, изображённой
на рисунке 21.12, если четырёхугольник ABCD — пря&
моугольник.
14.В квадрат ABCD вписаны четыре равные окружности
радиуса 5 см так, как показано на рисунке 21.13.
Сколько квадратных сантиметров составляет пло&
щадь квадрата ABCD?
15.На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изобра&
жена фигура (рис. 21.14). Найдите её площадь.
Рис. 21.11 Рис. 21.12
C
A B
D
Рис. 21.13 Рис. 21.14

§ 21. Площадь многоугольника 443
16.Чему равна площадь трапеции, средняя линия кото&
рой равна 12, а высота — 6?
17.Найдите площадь равнобедренного прямоугольного
треугольника, гипотенуза которого равна 8.
18.Меньшее основание прямоугольной трапеции равно
6 см, а боковые стороны — 8 см и 10 см. Найдите
площадь трапеции. Ответ дайте в квадратных санти&
метрах.
Часть 2
19.Стороны параллелограмма равны 12 см и 20 см, а
угол между его высотами, проведёнными из вершины
тупого угла, — 60
. Найдите площадь параллело&
грамма.
20.Через середину диагонали AC прямоугольника ABCD
проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD
прямоугольника в точках M и K соответственно,
АС=15см, AK=4см, KD= 8 см. Вычислите пло&
щадь четырёхугольникаAMCK.
21.Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его
сторону в отношении 3 : 7, считая от вершины остро&
го угла, равного 45
. Вычислите площадь паралле&
лограмма, если его периметр равен 52 см.
22.Б
oльшая диагональ ромба равна d, а острый угол — .
Найдите площадь ромба.
23.Длины диагоналей ромба относятся как : 2. Най&
дите площадь ромба, если его периметр равен 36 см.
24.Высота CD треугольника ABC делит сторону AB на от&
резки AD и BD такие, что AD=8см, BD= 12 см. Най&
дите площадь треугольника ABC, если
A=60 .
25.Высота равнобедренного треугольника, проведённая
к основанию, равна 20 см, а высота, проведённая к
боковой стороне, — 24 см. Найдите площадь этого
треугольника.
26.Найдите площадь прямоугольного треугольника, ес&
ли биссектриса острого угла делит противолежащий
катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.5

444 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
27.Боковая сторона равнобедренного треугольника точ&
кой касания вписанной окружности делится в отно&
шении 12 : 25, считая от вершины угла при основа&
нии треугольника. Найдите площадь треугольника,
если радиус вписанной окружности равен см.
28.Площадь треугольника ABC равна 40 см
2. На медиа&
не AM отметили точкуP такую, что AP:PM=2:3.
Найдите площадь треугольника BPM.
29.Основания равнобокой трапеции равны 1 см и 17 см,
а диагональ делит её тупой угол пополам. Найдите
площадь трапеции.
30.Б
oльшая диагональ прямоугольной трапеции делит
высоту, проведённую из вершины тупого угла, на от&
резки длиной 20 см и 12 см. Б
oльшая боковая сторо&
на трапеции равна её меньшему основанию. Найдите
площадь трапеции.
31.Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны со&
ответственно 13 см и 12 см, BC= 4 см. Биссектриса
угла BAD проходит через середину стороны CD. Най&
дите площадь трапеции.
32.Основания трапеции равны 15 см и 36 см, а боковые
стороны — 13 см и 20 см. Найдите площадь трапе&
ции.
33.Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапе&
цию, равен 6 см, а одно из оснований на 10 см больше
другого. Найдите площадь трапеции.
34.Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна
боковой стороне и образует с основанием трапеции
угол 30
. Найдите площадь трапеции, если радиус
окружности, описанной около неё, равен R.
35.Б
oльшая боковая сторона прямоугольной трапеции
равна 16 см, а острый угол — 30
. Найдите площадь
этой трапеции, если в неё можно вписать окруж&
ность.
36.Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапе&
цию, равен R, а один из углов трапеции — 45
. Най&
дите площадь трапеции.
120
7

§ 22. Параллельность в пространстве 445
37.В равнобокую трапецию вписана окружность с ради&
усом 12 см. Одна из боковых сторон точкой касания
делится на два отрезка, больший из которых равен
16 см. Найдите площадь трапеции.
38.Отрезок CM — медиана треуголь&
ника ABC, изображённого на ри&
сунке 21.15, отрезок DE — сред&
няя линия треугольника MBC.
Чему равна площадь четырёх&
угольника MDEC, если площадь
треугольника ABC равна 48 см
2?
39.Площадь треугольника ABC равна 24 см
2. На стороне
AB отметили точкиD и F так, что AD = BF = AB, а на
стороне BC — точки P и M так, что CM = BP = BC.
Найдите площадь четырёхугольника DFPM.
40.В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу
AB опустили высотуCM. Площадь треугольника
ACM равна 6 см
2, а площадь треугольникаBCM —
54 см
2. Найдите гипотенузу треугольника ABC.
§ 22. Параллельность в пространстве
22.1. Взаимное расположение двух прямых
в пространстве
Две прямые в пространстве называют пересекающи#
мися, если они имеют общую точку.
Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости.
Две прямые в пространстве называют параллельны#
ми, если они лежат в одной плоскости и не пересека&
ются.
Если прямые a и b параллельны, то записывают: a||b.
Рис. 21.15
1
4
1
4

446 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Две прямые в пространстве на&
зывают скрещивающимися, если
они не лежат в одной плоскости.
Например, на рисунке 22.1
прямые AB и DC — параллель&
ные, а прямые AA
1 и DC — скре&
щивающиеся.
Сказанное иллюстрирует схе&
ма, приведённая на рисунке 22.2.
Через две параллельные прямые проходит плос&
кость и притом только одна.
Через точку в пространстве, не принадлежащую
данной прямой, проходит прямая, параллельная данной
прямой, и притом только одна.
Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а дру&
гая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей
первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся.
На рисунке 22.3 a
и b  =M, причём M a, по&
этому прямые a и b — скрещивающиеся.
Рис. 22.1
Рис. 22.2
Рис. 22.3

§ 22. Параллельность в пространстве 447
22.2. Параллельность прямой и плоскости
Прямую и плоскость называют параллельными, если
они не имеют общих точек.
Если прямая a и плоскость
параллельны, то записы&
вают: a||
.
Например, прямая, содержащая ребро A
1B1 куба
ABCDA
1B1C1D1, параллельна плоскости ABC (рис. 22.4).
Признак параллельности прямой и плоскости. Если
прямая, не принадлежащая данной плоскости, парал&
лельна какой&либо прямой, лежащей в этой плоскости,
то данная прямая параллельна самой плоскости.
Свойства прямой, параллельной плоскости
1. Если плоскость проходит через данную прямую, па&
раллельную другой плоскости, и пересекает эту плос&
кость, то прямая пересечения плоскостей параллельна
данной прямой.
На рисунке 22.5 a||
, a ,  =b, поэтому a||b.
2. Если прямая параллельна плоскости, то в этой
плоскости существует прямая, параллельная данной
прямой.
3. Если через каждую из двух параллельных прямых
проведена плоскость, причём эти плоскости пересекают&
ся по прямой, отличной от двух данных, то эта прямая
параллельна каждой из двух данных прямых.
Рис. 22.4 Рис. 22.5

448 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
На рисунке 22.6 a||b, a ,
b
,  =c, поэтому a||c и
b||c.
4. Две прямые, параллель&
ные третьей прямой, парал&
лельны между собой.
22.3. Параллельность плоскостей
Две плоскости называют параллельными, если они не
имеют общих точек.
Если плоскости
и параллельны, то записывают:
|| .
Например, плоскости ABC и A
1B1C1, содержащие ос&
нования призмы, параллельны (рис. 22.7).
Признак параллельности двух плоскостей. Если две
пересекающиеся прямые одной плоскости соответствен&
но параллельны двум прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.
На рисунке 22.8 изображён прямоугольный па&
раллелепипед ABCDA
1B1C1D1. Имеем: AA 1||DD 1 и
A
1B1||D 1C1. Тогда по признаку параллельности двух
плоскостей AA
1B1||DD 1C1.
Рис. 22.6
Рис. 22.7 Рис. 22.8

§ 22. Параллельность в пространстве 449
Свойства параллельных плоскостей
1. Через точку в пространстве, не принадлежащую
данной плоскости, проходит плоскость, параллельная
данной плоскости, и притом только одна.
2. Если прямая пересекает одну из двух параллель&
ных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.
3. Все прямые, проходящие через данную точку вне
данной плоскости и параллельные ей, лежат в одной
плоскости.
4. Прямые пересечения двух параллельных плоскос&
тей третьей плоскостью параллельны.
На рисунке 22.9
|| ,  =a,  =b, поэтому a||b.
5. Отрезки параллельных прямых, заключённые
между параллельными плоскостями, равны.
На рисунке 22.10
|| , AB || A 1B1, причем A ,
A
1 , B , B 1 , поэтому AB=A 1B1.
Примеры заданий № 37
Часть 1
1.Пять точек не лежат в одной плоскости. Какое наи&
большее количество этих точек может лежать на од&
ной прямой?
B
A A1
1
B
Рис. 22.9 Рис. 22.10

450 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
2.На рисунке 22.11 изображён
куб ABCDA
1B1C1D1. Устано&
вите соответствие между пря&
мыми, записанными в левом
столбце, и параллельными им
прямыми, записанными в пра&
вом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
3.На рисунке 22.12 изображена
призма ABCA
1B1C1, точки M и
K — середины рёбер AC и BC
соответственно. Установите со&
ответствие между парами пря&
мых, записанными в левом
столбце, и взаимными распо&
ложениями этих прямых, за&
писанными в правом столбце. А) AB1) B
1C1
Б) AD2) AA 1
В) CC 1 3) A 1D
Г) B
1C4) C 1D1
АБВ Г
ПАРЫ ПРЯМЫХВЗАИМНЫЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ
ПРЯМЫХ
А) CC
1 и B 1K
1) прямые параллельны
Б) MK и A
1B1 2) прямые скрещивающиеся
В) A
1C и B 1K3) прямые пересекаются в точке,
принадлежащей плоскости ABB 1
Г) C 1M и AA 1 4) прямые пересекаются в точке,
принадлежащей плоскости BCC
1
B
A
C
D
A1
B1 C1
D1
Рис. 22.11
A
C
B
A1
B1
C1
M
K
Рис. 22.12

§ 22. Параллельность в пространстве 451
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
4.На рисунке 22.13 изображён
куб ABCDA
1B1C1D1. Каждой
прямой, записанной в левом
столбце, поставьте в соответ&
ствие одну из плоскостей, за&
писанных в правом столбце,
которая параллельна данной
прямой.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
5.Укажите верные утверждения.
1) Через две пересекающиеся прямые можно провес&
ти только одну плоскость.
2) Если каждая из двух плоскостей параллельна од&
ной и той же прямой, то данные плоскости парал&
лельны.
3) Через точку, не принадлежащую плоскости, мож&
но провести бесконечное количество прямых, парал&
лельных данной плоскости.
4) Если прямые a и b параллельны, то через прямую
a можно провести только одну плоскость, параллель&
ную прямой b.
АБВ Г
ПРЯМЫЕ ПЛОСКОСТИ
А) B
1C1 1) ABB 1
Б) AC2) CC 1D
В) AB
1 3) BCD 1
Г) CD 1 4) A 1B1D1
АБВ Г
B
A
C
D
A1
B1 C1
D1
Рис. 22.13

452 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
В ответе запишите в порядке возрастания номера вы&
бранных утверждений без пробелов, запятых и дру&
гих дополнительных символов.
6.На рисунке 22.14 изображе&
на пирамида MABCD. Диа&
гонали основания ABCD пе&
ресекаются в точке O. Точки
E, F и K — середины отрез&
ков MO, MD и AD соответ&
ственно. Установите соответ&
ствие между прямыми и
плоскостями, записанными
в левом столбце, и их взаимными расположениями,
указанными в правом столбце.
В таблице под каждой буквой укажите соответствую&
щий номер.
7.Точки E, F и K являются се&
рединами рёбер AB, CC
1 и
AD куба ABCDA
1B1C1D1 со&
ответственно (рис. 22.15).
Сколько рёбер куба пересе&
кает плоскость EFK? А) прямые EF и OK1) прямые параллельны
Б) прямые EF и BD2) прямые
скрещивающиеся
В) прямая EF и плоскость
ABC3) прямая и плоскость
пересекаются
Г) прямая KE и плоскость
BMC4) прямая и плоскость
параллельны
АБВ Г
B
A
C
D M
O
F
E
K
Рис. 22.14
Рис. 22.15

§ 23. Перпендикулярность в пространстве 453
8.Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная пря&
мой AB, пересекает сторону AC в точке M, а сторону
BC — в точке K. Какова длина отрезка MK, если точ&
ка M — середина стороны AC и AB=12?
9.Через точку пересечения медиан треугольника ABC
параллельно прямой AB проведена плоскость, пере&
секающая стороны AC и BC в точках M и K соответ&
ственно. Найдите отрезок MK, если AB=24см. От&
вет дайте в сантиметрах.
Часть 2
10.Плоскости
и параллельны. Из точки O, не принад&
лежащей этим плоскостям и не находящейся между
ними, проведены два луча. Один из них пересекает
плоскости
и в точках A 1 и B 1, а другой — в точках
A
2 и B 2 соответственно. Найдите отрезок A 1A2, если он
на 6 см меньше отрезка B
1B2, OB 2 = 18 см, A 2B2 = 8 см.
11.Даны треугольник ABC и плоскость
, не пересекающая
его. Через вершины треугольника ABC и середину O его
медианы AM проведены параллельные прямые, пересе&
кающие плоскость
в точках A 1, B 1, C 1 и O 1 соответ&
ственно. Найдите отрезок AA
1, если BB 1 = 12 см, CC 1 =
=18 см, OO
1 = 17 см.
§ 23. Перпендикулярность в пространстве
23.1. Угол между прямыми в пространстве
Углом между двумя пересекающимися прямыми на&
зывают величину того из углов, образовавшихся при их
пересечении, который не превосходит 90
.
Если
— угол между двумя пересекающимися пря&
мыми, то 0
< 90 .

454 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Угол между двумя параллельными прямыми счи&
тают равным 0. Поэтому, если
— угол между двумя
прямыми, лежащими в одной плоскости, то 0
 90 .
Углом между двумя скрещивающимися прямыми на&
зывают угол между пересекающимися прямыми, соот&
ветственно параллельными данным скрещивающимся
прямым.
Пусть прямые a и b скрещивающиеся. Через точку M
пространства проведём прямые a
1 и b 1 так, что a 1||a,
b
1||b (рис. 23.1). По определению угол между скрещива&
ющимися прямыми a и b равен углу между пересекаю&
щимися прямыми a
1 и b 1.
Две прямые в пространстве называют перпендикуляр#
ными, если угол между ними равен 90
.
Если прямые a и b перпендикулярны, то записывают:
a
b.
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и мо&
гут быть скрещивающимися.
Например, прямые AD и DD
1, содержащие рёбра куба
ABCDA
1B1C1D1 (рис.23.2), перпендикулярны и пересе&
каются, а прямые AD и CC
1 перпендикулярны и являют&
ся скрещивающимися.
Угол между двумя пересекающимися прямыми равен
углу между двумя другими пересекающимися прямыми,
соответственно параллельными данным.
b
a a
1
b1
M
Рис. 23.1

§ 23. Перпендикулярность в пространстве 455
Задача. Точки E, F, M и K — середины соответ&
ственно рёбер AB, BC, AD и BD тетраэдра DABC
(рис. 23.3). Найдите угол между прямыми EF и MK,
если
BAC= .
Р е ш е н и е. Поскольку отрезок МK — средняя линия
треугольника АDB, то МK || АВ. Тогда искомый угол ра&
вен величине угла между прямыми АВ и ЕF. С учётом
того, что АС || ЕF, искомый угол равен
или 90 – .
23.2. Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямую называют перпендикулярной плоскости, ес&
ли она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой
плоскости (рис. 23.4).
Если прямая a перпендикулярна плоскости
, то за&
писывают: a
.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся
B
A
C
D
A1
B1 C1
D1
Рис. 23.2
A C
B
E F D
M
K
Рис. 23.3
a c
Ob
a
Рис. 23.4 Рис. 23.5

456 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна
самой плоскости.
На рисунке 23.5 прямая c перпендикулярна прямым
a и b, лежащим в плоскости
и пересекающимся в точке
O, поэтому c
.
Свойства прямых, перпендикулярных плоскости
1. Если одна из двух параллельных прямых перпен&
дикулярна плоскости, то и другая прямая перпендику&
лярна этой плоскости.
На рисунке 23.6 прямые a и b параллельны, причём
a
, поэтому b .
2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же
плоскости, то они параллельны.
На рисунке 23.6 a
и b , поэтому a||b.
3. Через данную точку можно провести прямую, пер&
пендикулярную данной плоскости, и притом только одну.
З а д а ч а. Через вершину A прямоугольного треуголь&
ника ABC (
ACB=90 ) проведена прямая AF, перпен&
дикулярная плоскости ABC (рис. 23.7). Докажите,
что прямая BC перпендикулярна плоскости AFC.
Решение. Поскольку АF
АВС, то ВС AF. Кроме
того, ВС
АС. Таким образом, прямая ВС перпенди&
кулярна двум пересекающимся прямым АF и АС
плоскости AFC. Следовательно, прямая BC перпенди&
кулярна плоскости AFC.
b a
CB
A
F
Рис. 23.6 Рис. 23.7

§ 23. Перпендикулярность в пространстве 457
23.3. Расстояния в пространстве
Пусть даны плоскость и не принадлежащая ей точка A.
Через точку A проведём прямую a, перпендикулярную
плоскости
. Пусть a  =B (рис. 23.8). Отрезок AB на&
зывают перпендикуляром, опущенным из точки A на
плоскость
, точку B — основанием перпендикуляра.
Основание B перпендикуляра AB — это проекция точки A
на плоскость
.
Отметим на плоскости
какую&нибудь точку C, от&
личную от точки B. Проведём отрезок AC (рис. 23.8). От&
резок AC называют наклонной, проведённой из точки A
к плоскости
, точку C — основанием наклонной. Отре&
зок BC является проекцией наклонной AC.
Если из одной точки проведены к плоскости пер&
пендикуляр и наклонная, то наклонная больше перпен&
дикуляра.
На рисунке 23.8 отрезки АВ и АС — соответственно пер&
пендикуляр и наклонная к плоскости
. Поэтому АС > АВ.
Если точка не принадлежит плоскости, то расстояни#
ем от точки до плоскости называют длину перпендику&
ляра, опущенного из точки на плоскость. Если точка
принадлежит плоскости, то считают, что расстояние от
точки до плоскости равно нулю.
Расстоянием от прямой до параллельной ей плоско#
сти называют расстояние от любой точки этой прямой до
плоскости.
a
B
CA
Рис. 23.8

458 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Расстоянием между двумя параллельными плоско#
стями называют расстояние от любой точки одной плос&
кости до другой плоскости.
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся
прямых называют отрезок, который перпендикулярен
этим прямым и концы которого лежат на этих прямых.
На рисунке 23.9 отрезок MN — общий перпендику&
ляр скрещивающихся прямых a и b.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми на&
зывают длину общего перпендикуляра этих прямых.
Длина общего перпендикуляра скрещивающихся
прямых равна расстоянию между параллельными плос&
костями, содержащими эти прямые.
Если а и b — скрещивающиеся прямые, причём а
,
точка О и прямая b
1 — соответственно проекции прямых
а и b на плоскость
, то расстояние между скрещиваю&
щимися прямыми а и b равно расстоянию от точки О до
прямой b
1, т. е. длине отрезка ОН (рис. 23.10).
З а д а ч а. Прямоугольная трапеция АВСD (
A = B =
=90
) является основанием четырёхугольной пирами&
ды SАВСD. Известно, что АВ = SB, AS=а,
SBC =90
(рис. 23.11). Найдите расстояние между прямыми AD
и СМ, где точка М — середина ребра SD.
Решение. Имеем: СВ
АВ, СВ SВ, следовательно,
СВ
АSВ. Поскольку AD || СВ, то AD АSВ.
b
a N
M
b a
b1 OB B1
H
Рис. 23.9 Рис. 23.10

§ 23. Перпендикулярность в пространстве 459
Пусть точка K — середина реб&
ра AS. Тогда отрезок МK —
средняя линия треугольника
ASD. Отсюда AD || МK. По&
скольку AD
АSВ, то
МK
АSВ.
Проекцией прямой АD на
плоскость ASВ является точка
А, проекцией прямой СМ —
прямая ВK. Поскольку отре&
зок ВK — медиана равнобедренного треугольника
АВS, проведённая к его основанию, то AK
ВK. Сле&
довательно, длина отрезка АK является расстоянием
между скрещивающимися прямыми AD и СМ. Име&
ем: АK = AS = .
23.4. Теорема о трёх перпендикулярах
Теорема о трёх перпендикулярах. Если прямая, при&
надлежащая плоскости, перпендикулярна проекции
наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и
самой наклонной. И наоборот, если прямая, принадле&
жащая плоскости, перпендикулярна наклонной к этой
плоскости, то она перпендикулярна и проекции на&
клонной.
На рисунке 23.12 прямая a, принадлежащая плоско&
сти
, перпендикулярна проекции BC наклонной AC, по&
этому a
AC.
B
A
C
D S
K
M
Рис. 23.11
1
2
a
2
a B
CA
Рис. 23.12

460 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
На рисунке 23.12 прямая a, принадлежащая плоско&
сти
, перпендикулярна наклонной AC, поэтому a ВС,
где ВС — проекция наклонной АС.
Задача. Точка M не при&
надлежит плоскости выпук&
лого многоугольника и рав&
ноудалена от всех прямых,
содержащих его стороны.
Проекцией точки M на
плоскость многоугольника
является точка O, принад&
лежащая многоугольнику. Докажите, что точка O —
центр вписанной окружности многоугольника.
Р е ш е н и е. Проведём доказательство для треуголь&
ника. Для других многоугольников доказательство
будет аналогичным.
Опустим из точки O перпендикуляры ON, OK и OE со&
ответственно на прямые AB, BC и CA (рис. 23.13). Со&
единим точку M с точками E, K и N.
Отрезок ON является проекцией наклонной MN на
плоскость ABC. По построению ON
AB. Тогда по тео&
реме о трёх перпендикулярах получаем, что MN
AB.
Аналогично можно доказать, что MK
BC и
ME
CA. Следовательно, длины отрезков MN, MK и
ME — расстояния от точки M до прямых AB, BC и CA
соответственно. По условию
MN=MK=ME.
В прямоугольных треугольниках MON, MOK, MOE
катет MO — общий, гипотенузы равны, следователь&
но, эти треугольники равны по катету и гипотенузе.
Из равенства этих треугольников следует, что
ON=OK=OE.
Длины отрезков ON, OK и OE являются расстояния&
ми от точки O до прямых, содержащих стороны тре&
угольника ABC. Мы показали, что эти расстояния
равны. Поскольку точка О принадлежит треугольни&
ку АВС, то O — центр вписанной окружности тре&
угольника ABC.
A C
B
M
O
NE
K
Рис. 23.13

§ 23. Перпендикулярность в пространстве 461
23.5. Угол между прямой и плоскостью
Если прямая параллельна плоскости или принадле&
жит ей, то угол между прямой и плоскостью считают
равным 0
.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол
между прямой и плоскостью считают равным 90
.
Если прямая пересекает плоскость и не перпендику&
лярна ей, то углом между прямой и плоскостью назы&
вают угол между прямой и её проекцией на плоскость
(рис. 23.14).
Из определения следует, что если
— угол между
прямой и плоскостью, то 0
90 .
З а д а ч а. Докажите, что если из одной точки к плос&
кости провести наклонные, образующие равные углы
с плоскостью, то проекция данной точки на плоскость
равноудалена от оснований наклонных.
Решение. Пусть MA и MB — наклонные, образую&
щие с плоскостью
равные углы, отрезки OA и OB —
проекции этих наклонных (рис. 23.15). Докажем, что
OA=OB.
Прямая OA является проекцией прямой MA на плос&
кость
. Поскольку угол MAO острый, то он равен уг&
лу между прямыми OA и MA. Следовательно, величи&
на угла MAO равна углу между наклонной MA и плос&
костью
. Аналогично можно доказать, что величина
угла MBO равна углу между наклонной MB и плос&
костью
. По условию MAO= MBO.
BOA
M
Рис. 23.14 Рис. 23.15

462 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Поскольку , то = =90 . Получа&
ем, что прямоугольные треугольники
и
равны по катету и противолежащему острому углу.
Отсюда
= .
23.6. Двугранный угол.
Угол между двумя плоскостями
На рисунке 23.16 изображена фигура, состоящая из
двух полуплоскостей, имеющих общую границу. Эта фи&
гура делит пространство на две части (рис. 23.17). Каж&
дую из этих частей вместе с полуплоскостями называют
двугранным углом. Полуплоскости называют гранями
двугранного угла, а их общую границу — ребром дву#
гранного угла.
Отметим на ребре
двугранного угла произволь&
ную точку
(рис. 23.18). Через точку в гранях дву&
гранного угла проведём лучи
и перпендикулярно
ребру
. Угол , образованный этими лучами, на&
зывают линейным углом двугранного угла.
Величиной двугранного угла называют величину его
линейного угла.
Биссектором двугранного угла называют полуплос&
кость, границей которой является ребро двугранного
угла, делящая его на два равных двугранных угла
(рис. 23.19).
Рис. 23.16 Рис. 23.17 Рис. 23.18

§ 23. Перпендикулярность в пространстве 463
Углом между двумя пересекающимися плоскостями
называют величину того из образовавшихся двугранных
углов, который не превосходит 90
.
Угол между двумя параллельными плоскостями счи&
тают равным 0
.
Если
— угол между двумя плоскостями, то
0
 90 .
З а д а ч а. Равнобедренные треугольники ABC и ABD
имеют общее основание AB, равное 16 см. Точка D
не принадлежит плоскости ABC (рис. 23.20). Извест&
но, что DB=17см, BC=10см, DC = см. Найди&
те двугранный угол с ребром AB, грани которого со&
держат данные треугольники.
Решение. Пусть точка M — середина отрезка AB
(рис. 23.20). Соединим точку M с вершинами D и C.
Поскольку треугольники ABC и ABD — равнобедрен&
ные с общим основанием AB, то DM
AB и CM AB.
Следовательно, угол CMD — линейный угол искомого
двугранного угла.
Для стороны DM прямоугольного треугольника DMB
можно записать: DM = . Поскольку МВ=
= 8 см, DB =17см, то DM = = = 15 (см).
Для стороны CM прямоугольного треугольника CMB
можно записать: CM = . Отсюда CM =
= = = 6 (см).
Рис. 23.19
B A
C M
D
Рис. 23.20
339
DB 2 MB 2
289 64 225
BC 2 MB 2
100 64 36

464 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Для стороны DC треугольника DMC запишем теорему
косинусов: DC
2 = DM 2 + CM 2 – 2DM CMcos DMC.
Имеем: 351 = 225 + 36 – 180 cos
DMC. Отсюда
cos
DMC = –. Тогда DMC=120 .
Ответ: 120
.
23.7. Перпендикулярные плоскости
Две плоскости называют перпендикулярными, если
угол между ними равен 90
.
Если плоскости
и перпендикулярны, то записыва&
ют:
.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если одна
из двух плоскостей проходит через прямую, перпендику&
лярную другой плоскости, то эти плоскости перпендику&
лярны.
На рисунке 23.21 плос&
кость
проходит через пря&
мую a, перпендикулярную
плоскости
, поэтому .
Свойства перпендикуляр#
ных плоскостей
1. Если две плоскости пер&
пендикулярны, то прямая,
проведённая в одной плоскости
перпендикулярно прямой пе&
ресечения плоскостей, перпен&
дикулярна другой плоскости.
На рисунке 23.22 перпендикулярные плоскости
и
пересекаются по прямой a. В плоскости проведена пря&
мая AB перпендикулярно прямой a, где B
a, поэтому
AB
.
2. Если две плоскости перпендикулярны и через точ&
ку одной из плоскостей проведена прямая перпендику&
лярно другой плоскости, то эта прямая принадлежит
первой плоскости.
1
2
a
Рис. 23.21

§ 23. Перпендикулярность в пространстве 465
3. Если каждая из двух пересекающихся плоскостей
перпендикулярна третьей плоскости, то прямая их пере&
сечения перпендикулярна этой плоскости.
На рисунке 23.23
 = a, , , поэтому a .
Задача. Плоскости ABD и CBD
перпендикулярны плоскости ABC
(рис. 23.24). Двугранный угол с реб&
ром BD, грани которого содержат
треугольники ABD и CBD, равен
120
. Известно, что AD=20см,
CD=13см, BD= 12 см. Найдите
расстояние между скрещивающи&
мися прямыми BD и AC.
Р е ш е н и е. Поскольку плоскости
АВD и СВD перпендикулярны плоскости АВС, то пря&
мая BD их пересечения перпендикулярна плоскости
АВС. Тогда BD
AB и BD BC. Следовательно, угол
ABC — линейный угол двугранного угла, о котором го&
ворится в условии задачи. По условию
ABC=120 .
Проведём высоту BE треугольника ABC. Поскольку
BD
ABC и BE ABC, то BD BE. Следовательно, отре&
зок BE — общий перпендикуляр скрещивающихся пря&
мых BD и AC. Значит, его длина является искомым рас&
стоянием. Имеем: AB = = =
=16 (см); BC = = = 5 (см).
BA C
a
Рис. 23.22 Рис. 23.23
A
D
C B
E
Рис. 23.24
AD 2 BD 2 400 144
CD 2 BD 2 169 144

466 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Для стороны AC треугольника ABC запишем теорему
косинусов: AC
2 = AB 2 + BC 2 – 2AB BCcos ABC.
Отсюда AC
2 = 256 + 25 – 160 = 361; AC=19см.
Выразим высоту треугольника ABC, проведённую из
вершины B, через длины его сторон. Для этого найдём
площадь треугольника ABC двумя способами. С одной
стороны, S
ABC = AB BC sin ABC = 16 5 =
= 20 (см
2). С другой стороны, S ABC = AC BE =
=BE. Приравняв полученные результаты, запи&
шем: BE = 20 , откуда BE = см.
Ответ: см.
Примеры заданий № 38
Часть 1
1.На рисунке 23.25 изображён куб ABCDA
1B1C1D1.
Найдите угол между прямыми A
1B и DD 1. Ответ дай&
те в градусах.
1
2
1
2 1
2 3
2
3 1
2
19
2
19
2 3 40 3
19
40 3
19
B
A
C
D
A1
B1 C1
D1
B
A
C
D
A1
B1 C1
D1
Рис. 23.25 Рис. 23.26

§ 23. Перпендикулярность в пространстве 467
2.На рисунке 23.26 изображён куб ABCDA 1B1C1D1.
Найдите угол между прямыми AB
1 и A 1D. Ответ дай&
те в градусах.
3.Точка M удалена от плоскости
на 15см. Из этой
точки проведена к плоскости
наклонная MK. Най&
дите длину этой наклонной, если её проекция на
плоскость
равна 8 см. Ответ дайте в сантиметрах.
4.Точка M — середина отрезка AB, не пересекающего
плоскость
. Точка A удалена от плоскости на 6 см,
а точка M — на 14 см. Чему равно расстояние от точ&
ки B до плоскости
? Ответ дайте в сантиметрах.
5.Из точки A к плоскости
провели наклонные AB и
AC, AB=10, AC= 17. Найдите проекцию наклонной
AC на плоскость
, если проекция наклонной AB рав&
на 6.
6.Точка D находится на расстоянии 4 см от каждой вер&
шины правильного треугольника ABC, сторона кото&
рого равна 6 см. Найдите расстояние от точки D до
плоскости ABC. Ответ дайте в сантиметрах.
7.Ребро куба ABCDA
1B1C1D1 равно . Найдите рас&
стояние между прямыми AC и DD
1.
8.Из точки B к плоскости
проведена наклонная BM,
образующая с плоскостью угол 30
. Найдите расстоя&
ние от точки B до плоскости
, если проекция на&
клонной BM на эту плоскость равна .
9.Прямая KO перпендикулярна плоскости ромба DLTF,
изображённого на рисунке 23.27. Расстояние от точ&
ки K до плоскости ромба равно 6 см, DF=TD =4см.
Найдите угол между прямой KF и плоскостью ромба.
Ответ дайте в градусах.
10.Точка A лежит в одной из граней двугранного угла,
изображённого на рисунке 23.28. Из точкиA опущен
перпендикуляр AB на ребро двугранного угла и пер&
пендикуляр AC на другую грань угла, AB=14см,
AC= 7 см. Найдите градусную меру данного двугран&
ного угла.2
53

468 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
11.Плоскости квадратов ABCD и ABEF перпендикулярны,
AB = . Найдите расстояние между точками C и E.
Часть 2
12.Каждое ребро тетраэдра DABC
равно , точки М и K — се&
редины рёбер АВ и СD соот&
ветственно (рис. 23.29).
а) Докажите, что MK
AB и
MK
CD.
б) Найдите отрезок MK.
13.Точки E, F, M и K — середины соответственно рёбер
AB, AD, CD и BC тетраэдра DABC, AC=12см,
BD=16см, FK= см.
а) Докажите, что четырёхугольник EFMK — парал&
лелограмм.
б) Найдите угол между прямыми AC и BD.
14.В тетраэдре DABC известно, что AB=AC,
BAD=
=
CAD.
а) Докажите, что AD
BC.
б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC, ес&
ли AD=5см, а точки A
и D удалены от прямой BC на
3 см и 4 см соответственно.
LDF TK O
B A
C
Рис. 23.27 Рис. 23.28
52
A C
B
M
K D
Рис. 23.29
22
213

§ 23. Перпендикулярность в пространстве 469
15.Из точки A к плоскости проведены наклонные AB и
AC, длины которых равны 15 см и 20 см соответствен&
но. Найдите расстояние от точки A до плоскости
, ес&
ли проекции наклонных на эту плоскость относятся
как 9 : 16.
16.Из точки D, не принадлежащей плоскости
, проведе&
ны к этой плоскости наклонные DK и DB, образующие
с ней углы 45
и 60 соответственно. Найдите проекцию
наклонной DK на плоскость
, если DB= см.
17.Из точки A к плоскости
проведены наклонные AB и
AC, которые образуют с плоскостью углы по 60
.
Найдите расстояние между точками B и C, если
BAC=90 , а расстояние от точки A до плоскости
равно 3 см.
18.Точка A находится на расстоянии 9 см от плоскости
.
Наклонные AB и AC образуют с плоскостью
углы
45
и 60 , а угол между проекциями наклонных на
плоскость
равен 150 . Найдите расстояние между
точками B и C.
19.Треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный
с прямым углом C
и гипотенузой 4 см. Отрезок CM
перпендикулярен плоскости треугольника и равен
2 см. Найдите расстояние от точки M до прямой AB.
20.Точка M находится на расстоянии 12 см от плоскости
треугольника ABC и равноудалена от его вершин.
Найдите расстояние от точки M до вершин треуголь&
ника ABC, если
ACB=90 , AC=8см, BC=6см.
21.Точка M равноудалена от сторон квадрата ABCD и на&
ходится на расстоянии см от его плоскости. Най&
дите расстояние от точки M до сторон квадрата, если
его сторона равна 4 см.
22.Через вершину C ромба ABCD к его плоскости прове&
дён перпендикуляр CM. Точка M удалена от диагона&
ли BD на 5 см. Найдите расстояние от точки M до
плоскости ромба, если BD=4см, AB= см.10 3
23
25

470 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
23.Угол между плоскостями треугольников ABC и ABD
равен 45
. Треугольник ABC — равносторонний со
стороной см, треугольник ABD — равнобедрен&
ный, AD = BD = см. Найдите отрезок CD.
24.Равнобедренные треугольники ADB и ACB имеют об&
щее основание AB. Найдите угол между плоскостями
данных треугольников, если BC =17см, BD = см,
AB=30см, DC= см.
25.Через вершину A прямоугольника ABCD проведён
перпендикуляр MA к плоскости прямоугольника.
Угол между прямой MC и плоскостью прямоугольни&
ка равен 30
, AD= см, CD= 2 см. Найдите угол
между плоскостями ABC и MDC.
26.Через сторону квадрата проведена плоскость, кото&
рая образует с его диагональю угол 30
. Найдите угол
между плоскостью квадрата и проведённой плоскос&
тью.
27.Из точки к плоскости проведены две наклонные, ко&
торые образуют с плоскостью углы по 60
. Найдите
косинус угла между наклонными, если угол между
их проекциями на эту плоскость равен 90
.
§ 24. Многогранники
24.1. Призма
Многогранник, две грани которого — равные n&угольни&
ки, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные
n гра&
ней — параллелограммы, называют
n#угольной призмой .
На рисунке 24.1 показаны основные элементы призмы.
Высотой призмы называют перпендикуляр, опущен&
ный из какой&либо точки плоскости одного основания на
плоскость другого основания (рис. 24.2).43
14
10 3
19
2

§ 24. Многогранники 471
Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
Призму называют прямой, если её боковые рёбра пер&
пендикулярны плоскости основания. Если призма не яв&
ляется прямой, то её называют наклонной.
Призму называют правильной, если она является
прямой и её основание — правильный многоугольник.
Например, куб является частным случаем правиль&
ной четырёхугольной призмы.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна
произведению периметра её основания и бокового ребра
призмы:
S
бок =P осн b,
S
бок =P осн h,
где P
осн — периметр основания прямой призмы, b — дли&
на бокового ребра, h — длина высоты призмы.
Боковое
ребро
ОснованиеБоковая
грань Ребро
основания
Основание
Рис. 24.1
Рис. 24.2

472 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
З а д а ч а. В наклонной приз&
ме проведено сечение, пере&
секающее все боковые рёбра
призмы и перпендикуляр&
ное им. Докажите, что пло&
щадь боковой поверхности
призмы равна произведению
периметра сечения и боково&
го ребра.
Решение. Доказательство
проведём для треугольной призмы. Для других n&уголь&
ных призм, где n> 3, доказательство будет аналогич&
ным.
Пусть треугольник MPN — сечение, о котором гово&
рится в условии задачи (рис. 24.3). Докажем, что
S
бок =P MPN AA 1. Имеем: AA 1 MPN. Следователь&
но, AA
1 MP. Тогда отрезок MP — высота паралле&
лограмма AA
1B1B. Аналогично можно доказать, что
отрезки PN и NM — соответственно выс
оты паралле&
лограммов CC
1B1B и CC 1A1A.
Поскольку площадь параллелограмма равна произве&
дению высоты и стороны параллелограмма, к которой
проведена высота, то можно записать:
Sбок =MP AA 1+PN BB 1+NM CC 1. Поскольку AA 1=
=BB 1=CC 1, то S бок =MP AA 1+N AA 1+NM AA 1=
=(MP+PN+NM)
AA 1 = P MPN AA 1.
24.2. Параллелепипед
Параллелепипедом называют призму, основания ко&
торой являются параллелограммами.
На рисунке 24.4 изображён параллелепипед
ABCDA
1B1C1D1.
Любая грань параллелепипеда является параллело&
граммом.
A C
BA
1
B1
C1
M
N
Рис. 24.3

§ 24. Многогранники 473
Параллелепипед называют прямым, если его бо&
ковые рёбра перпендикулярны плоскости основания.
У прямого параллелепипеда все боковые грани являют&
ся прямоугольниками, а основания — параллелограм&
мами.
Прямой параллелепипед называют прямоугольным,
если его основаниями являются прямоугольники.
На рисунке 24.5 изображён прямоугольный паралле&
лепипед ABCDA
1B1C1D1.
Все грани прямоугольного параллелепипеда являют&
ся прямоугольниками.
Правильная четырёхугольная призма является част&
ным видом прямоугольного параллелепипеда.
Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда,
выходящих из одной вершины, называют измерениями
прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед называют кубом, ес&
ли его измерения равны. Все грани куба являются квад&
ратами.
Связь между параллелепипедами и их частными вида&
ми иллюстрирует схема, изображённая на рисунке 24.6.
Свойства параллелепипеда
1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной
точке и делятся этой точкой пополам.
2. Квадрат любой диагонали прямоугольного парал&
лелепипеда равен сумме квадратов его измерений.
B
A
C
D
A1
B1 C1 D1
B
A
C
D
A1
B1 C1
D1
Рис. 24.4 Рис. 24.5

474 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
З а д а ч а. Докажите, что диагональ А 1С параллелепи&
педа ABCDA
1B1C1D1 пересекает плоскость DC 1B в точке
пересечения медиан треугольника DC
1B (рис. 24.7).
Р е ш е н и е. Пусть диагонали нижнего основания па&
раллелепипеда пересекаются в точке О. Тогда отрезок
С
1О является медианой треугольника DC 1B (рис. 24.7).
Пусть диагональ А
1С пересекает плоскость DC 1B в
точке М.
Рассмотрим параллелограмм AA
1C1С (рис. 24.8). По&
скольку OC = A
1C1, то треугольники ОМС и С 1МА 1
подобны с коэффициентом . Отсюда С 1М = 2MO.
Значит, М является точкой пересечения медиан тре&
угольника DC
1B.
Параллелепипеды
Прямые параллелепипеды
Прямоугольные
параллелепипеды
Правильные
четырёхугольные
призмыКубы
Рис. 24.6
A
C
BA
1
B1 C1
DD
1
O
M
O A C A
1 C1
M
Рис. 24.7
Рис. 24.8
1
2
1
2

§ 24. Многогранники 475
Примеры заданий № 39
Часть 1
1.Какое наименьшее количество граней может иметь
призма?
2.Вычислите площадь боковой поверхности прямой
призмы, основание которой — треугольник со сторо&
нами 10 см, 12 см и 13 см, а боковое ребро равно 8 см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
3.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1B1C1D1
известно, что AB=3, AD=4, AA 1=18. Найдите пло&
щадь сечения параллелепипеда плоскостью, прохо&
дящей через вершины A, C и C
1.
4.На рисунке 24.9 изображён куб
ABCDA
1B1C1D1, ребро которого
равно . Найдите расстояние
от вершины A до прямой B
1C1.
5.Найдите площадь полной поверхности куба, диаго&
наль которого равна см. Ответ дайте в квадрат&
ных сантиметрах.
6.Сторона основания правильной пятиугольной приз&
мы равна 3 см, а периметр её боковой грани — 22 см.
Найдите площадь боковой поверхности данной приз&
мы. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
7.Боковое ребро правильной призмы ABCDA
1B1C1D1 рав&
но 24, AC
1 = 26. Найдите площадь сечения данной приз&
мы плоскостью, проходящей через точки B, B
1 и D.
Часть 2
8.Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 10 см
и 24 см. Меньшая диагональ призмы равна 26 см. Вы&
числите площадь боковой поверхности призмы.
B
A
C
D
A1
B1 C1
D1
Рис. 24.9
2
23

476 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
9. Вычислите площадь полной поверхности правильной че&
тырёхугольной призмы, диагональ которой равна см
и наклонена к плоскости основания под углом 45 .
10.Площадь основания правильной призмы
ABCDA
1B1C1D1 равна 4 см 2, а площадь сечения приз&
мы плоскостью AB
1C — см 2. Найдите площадь
полной поверхности призмы.
11.Через диагональ BD основания прямоугольного парал&
лелепипеда ABCDA
1B1C1D1 проведена плоскость, пе&
ресекающая ребро CC
1 в точке M. Расстояние от точки
M до прямой BD равно см, AD=4см, AB=3см.
Найдите угол между плоскостями ABC и BMD.
12.Сторона основания правильной призмы ABCA
1B1C1
равна см, а её боковое ребро — 10 см. Точка D —
середина ребра A
1B1.
а) Докажите, что плоскости ABC
1 и CDC 1 перпенди&
кулярны.
б) Найдите угол между плоскостями ABC
1 и ABB 1.
13. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 6 см
и образует с плоскостью одной боковой грани угол 30 ,
а другой — угол 45
. Найдите площадь боковой по&
верхности параллелепипеда.
14.Основание прямой призмы — равнобедренный прямо&
угольный треугольник, катет которого равен см.
Угол между диагоналями равных боковых граней, ко&
торые проведены из одной вершины верхнего основа&
ния, равен 60
. Вычислите площадь боковой поверх&
ности призмы.
15.Основание прямой призмы – ромб с острым углом
,
площадь которого равна S. В призме проведено диа&
гональное сечение, которое проходит через меньшую
диагональ основания. Диагональ этого сечения на&
клонена к плоскости основания под углом
. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.82
6
83
5
53
22

§ 24. Многогранники 477
16.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1B1C1D1
проведено сечение AB 1C1D. Известно, что площади
четырёхугольников ABCD и AB
1C1D равны 12 см 2 и
20 см
2 соответственно. Найдите площадь грани
BB
1C1С.
17.В правильной треугольной призме ABCA
1B1C1 сторо&
на основания равна 8 см, а боковое ребро – 2 см. Че&
рез сторону AC нижнего основания и середину сторо&
ны A
1B1 верхнего проведена плоскость. Найдите пло&
щадь сечения.
18.В основании параллелепипеда лежит ромб с острым
углом 60
. Боковое ребро, которое выходит из верши&
ны острого угла основания, образует со сторонами
этого угла углы по 45
. Найдите высоту параллелепи&
педа, если его боковое ребро равно 6 см.
19.Основанием прямой призмы ABCA
1B1C1 является
равнобедренный треугольник, в котором AB=BC=
=15см, AC= 24 см. Боковое ребро призмы равно
см. Точка D — середина ребра BB
1.
а) Найдите угол между плоскостями ADC и A
1B1C1.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости ADC.
20.Все рёбра правильной призмы ABCDEFA
1B1C1D1E1F1
равны.
а) Докажите, что плоскости AA
1D1 и AC 1E1 перпенди&
кулярны.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AC
1E1.
21.Сторона основания правильной призмы
ABCDEFA
1B1C1D1E1F1 равна 4 см, а боковое ребро —
см.
а) Докажите, что AC
1 CD.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью,
проходящей через точки A
1, C и D. 18 3
46

478 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
22.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1B1C1D1
известно, что AD=12см, AB=18см, AA 1=24см. На
ребре BB
1 отметили точку E так, что BE:B 1E=1:3.
Точка F — середина ребра C
1D1.
а) В каком отношении плоскость A
1EF делит отрезок
CC
1, считая от точки C?
б) Найдите угол между плоскостями A
1EF и A 1B1C1.
24.3. Пирамида
Многогранник, одна грань
которого — n&угольник, а осталь&
ные грани — треугольники,
имеющие общую вершину, на&
зывают n#угольной пирамидой.
На рисунке 24.10 показаны
основные элементы пирамиды.
Высотой пирамиды называ&
ют перпендикуляр, опущенный
из вершины пирамиды на плос&
кость основания (рис. 24.11).
Пирамиду называют правильной, если её основание —
правильный многоугольник и основание высоты пира&
миды является центром этого многоугольника.
Правильную треугольную пирамиду, у которой все
грани равны, называют правильным тетраэдром.
Свойства правильной пирамиды
Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, все
боковые грани правильной пирамиды — равные равно&
бедренные треугольники
Апофемой правильной пирамиды называют высоту
боковой грани, проведённую из вершины пирамиды.
На рисунке 24.12 отрезок EK, где точка K — середина
ребра DC, является апофемой правильной четырёхуголь&
ной пирамиды EABCD.
Рис. 24.10

§ 24. Многогранники 479
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
равна половине произведения периметра её основания и
апофемы:
S
бок = P осн d,
где P
осн — периметр основания пирамиды, d — длина
апофемы правильной пирамиды.
Если боковые рёбра пирамиды равны или боковые
рёбра образуют равные углы с плоскостью основания, то
проекцией вершины пирамиды на плоскость основания
является центр описанной окружности многоугольника,
служащего основанием пирамиды.
Если в основании пирамиды лежит выпуклый мно&
гоугольник, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах
основания равны, то проекцией вершины пирамиды на
плоскость основания является центр вписанной окруж&
ности многоугольника, служащего основанием пирамиды.
З а д а ч а 1. Основанием пирамиды является равно&
бедренный треугольник, боковая сторона которого
равна см, а основание — 6 см. Высота пирами&
ды равна 5 см, а её боковые рёбра равны. Найдите бо&
ковое ребро пирамиды.
Решение. Пусть DABC — данная пирамида, у кото&
рой СА = СВ = см, АВ = 6 см (рис. 24.13). Отрезок
DO — высота пирамиды, DO = 5 см. Поскольку все бо&
ковые рёбра пирамиды равны, то точка О — центр
описанной окружности треугольника АВС, отрезок
ОС — её радиус.
A
C B
D OK E
Рис. 24.11 Рис. 24.12
1
2
310
310

480 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Радиус описанной окружно&
сти треугольника АВС вы&
числим по формуле R = .
Отрезок СK — высота тре&
угольника АВС. Имеем:
АK =
KВ = 3 см, CK =
=
= =
= 9 (см). Тогда площадь S треугольника АВС равна
AB
CK = 27 см 2.
Имеем: R = = 5 (см).
Ребро DC найдём из прямоугольного треугольника DOC.
Имеем: DC = = = (см).
Ответ: см.
З а д а ч а 2. Пусть в основании пирамиды лежит вы&
пуклый многоугольник, а все двугранные углы пира&
миды при рёбрах основания равны
. Докажите, что
площадь боковой поверхности пирамиды можно най&
ти по формуле S
бок = .
Р е ш е н и е. Доказательство проведём для треуголь&
ной пирамиды. Для других n&угольных пирамид до&
казательство будет аналогичным.
На рисунке 24.14 отрезок
DO — высота пирамиды
DABC. Треугольники АОВ,
ВОС и СОА являются соот&
ветственно ортогональными
проекциями на плоскость ос&
нования пирамиды треуголь&
ников ADB, BDC и СDA.
A C
B
D
O
K
Рис. 24.13 abc
4S BC 2 BK 2 90 9
1
2
3 10 3 10 6
427
DO 2 OC 2 25 25 52
52
Sосн
cos
A C
B
D
O
Рис. 24.14

§ 24. Многогранники 481
Воспользуемся теоремой о площади ортогональной
проекции многоугольника:
площадь проекции выпуклого многоугольника равна
произведению его площади и косинуса угла
между
плоскостью многоугольника и плоскостью проекции,
где 0
 < 90 .
Можно записать: S
AOB = S ADB cos , S BOC = S BDC cos
и S COA = S CDA cos . Сложив почленно правые и левые
части этих равенств, получим S
осн = S бок cos . Отсю&
да S
бок = .
24.4. Усечённая пирамида
Пересечём произвольную пирамиду плоскостью, па&
раллельной основанию пирамиды (рис. 24.15). Эта плос&
кость разбивает данную пирамиду на два многогранни&
ка: один многогранник является пирамидой, другой на&
зывают усечённой пирамидой.
На рисунке 24.16 показаны основные элементы усе&
чённой пирамиды.
Высотой усечённой пирамиды называют перпендику&
ляр, опущенный из какой&либо точки плоскости одного
основания на плоскость другого основания.
Sосн
cos
Боковое
ребро
Боковая
грань
Ребро
основания
Основание
Основание
Рис. 24.15 Рис. 24.16

482 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Если правильную пирамиду пересечь плоскостью, па&
раллельной основанию, то образовавшуюся усечённую
пирамиду называют правильной усечённой пирамидой.
Основаниями правильной усечённой n&угольной пи&
рамиды являются правильные n&угольники, а боковыми
гранями — равнобокие трапеции.
Апофемой правильной усечённой пирамиды называ&
ют отрезок, соединяющий середины рёбер оснований,
принадлежащих одной грани.
На рисунке 24.17 изобра&
жена правильная четырёх&
угольная усечённая пирамида
ABCDA
1B1C1D1. Её основани&
ями являются квадраты ABCD
и A
1B1C1D1. Точки O и O 1 —
их центры. Отрезок OO
1 —
высота усечённой пирамиды.
Соединим середины M и M
1 рёбер CD и C 1D1 соответ&
ственно. Отрезок MM
1 —апофема правильной четырёх&
угольной усечённой пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой
пирамиды равна произведению полусуммы периметров
её оснований и апофемы:
S
бок =(P осн + p осн )d,
где P
осн и p осн — периметры оснований, d — длина апо&
фемы правильной усечённой пирамиды.
24.5. Правильные многогранники
Выпуклый многогранник называют правильным, ес&
ли все его грани — равные правильные многоугольники
и в каждой вершине сходится одно и то же количество
рёбер.
Существует только пять видов правильных много&
гранников (рис. 24.18).
A
C B
D OM
B1 A1
C1
D1
O1 M1
Рис. 24.17
1
2

§ 24. Многогранники 483
Рис. 24.18 Изображение
НазваниеТетраэдр Гексаэдр Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр
Количество граней4681220
ГраньТреугольник Квадрат Треугольник Пятиугольник Треугольник
Количество рёбер,
сходящихся в од#
ной вершине33435

484 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Примеры заданий № 40
Часть 1
1.Какое наименьшее количество граней может иметь
пирамида?
2.Вычислите площадь боковой поверхности правиль&
ной шестиугольной пирамиды, сторона основания
которой равна 8 см, а апофема — 12 см. Ответ дайте
в квадратных сантиметрах.
3.Высота правильной четырёхугольной пирамиды рав&
на 3, а сторона её основания — 12. Найдите боковое
ребро пирамиды.
4.Высота правильной четырёхугольной пирамиды рав&
на 4 см, а её апофема — 5 см. Найдите косинус угла
между плоскостью боковой грани и плоскостью осно&
вания пирамиды.
5.Боковое ребро правильной четырёхугольной пирами&
ды равно 17 см, а диагональ основания — 16 см. Най&
дите площадь диагонального сечения пирамиды. От&
вет дайте в квадратных сантиметрах.
6.Расстояние от вершины правильной треугольной пи&
рамиды до середины стороны основания равно 6 см.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна 36 см
2.
Найдите сторону основания пирамиды. Ответ дайте
в сантиметрах.
7.На каком расстоянии от плоскости основания пира&
миды находится плоскость сечения, которая парал&
лельна плоскости основания, если периметр сечения
в 3 раза меньше периметра основания, а высота пира&
миды равна 18?
Часть 2
8.Сторона основания правильной треугольной пирами&
ды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоско&
сти основания под углом 30
. Найдите площадь пол&
ной поверхности пирамиды.

§ 24. Многогранники 485
9.Основание пирамиды — квадрат со стороной 9 см, а
две соседние боковые грани перпендикулярны плос&
кости основания. Вычислите площадь боковой поверх&
ности пирамиды, если среднее по длине боковое ребро
равно 15 см.
10.Высота правильной треугольной пирамиды равна
15 см, а апофема — 17 см. Вычислите площадь пол&
ной поверхности пирамиды.
11.Боковое ребро правильной четырёхугольной пирами&
ды равно 16 см и образует с плоскостью основания
угол 60
. Найдите площадь боковой поверхности пи&
рамиды.
12.Основание пирамиды — треугольник со сторонами
13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь сечения, кото&
рое проходит параллельно плоскости основания и де&
лит высоту пирамиды в отношении 1 : 2, считая от
вершины пирамиды.
13.Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Найдите
площадь его сечения, которое проходит через верши&
ну D и середины рёбер AB иBC.
14.Стороны оснований правильной усечённой треуголь&
ной пирамиды равны 12 см и 18 см, а боковая грань
наклонена к плоскости нижнего основания под углом
45
. Найдите высоту усечённой пирамиды.
15.Основанием пирамиды является параллелограмм
со сторонами 20 см и 36 см, площадь которого рав&
на 360 см
2. Высота пирамиды проходит через точ&
ку пересечения диагоналей основания и равна
12 см. Найдите площадь боковой поверхности пи&
рамиды.
16.Основание пирамиды — ромб, тупой угол которого
равен 120
. Две боковые грани, содержащие стороны
этого угла, перпендикулярны плоскости основания, а
две другие грани наклонены к плоскости основания
под углом 30
. Найдите площадь боковой поверхно&
сти пирамиды, если её высота равна 4 см.

486 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
17.Площадь основания правильной четырёхугольной
пирамиды равна 16 см
2, а площадь диагонального се&
чения — см
2.
а) Докажите, что угол между боковым ребром пира&
миды и плоскостью основания равен 60
.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
18.Площадь полной поверхности правильной пирамиды
MABCD равна 144 см
2, а площадь боковой поверхно&
сти — 108 см
2. Точка K — середина ребра CD, отрезок
MO — высота пирамиды.
а) Найдите угол между плоскостями MKO и AMC.
б) Вычислите площадь диагонального сечения пира&
миды.
19.В пирамиде MABC известно, что AC=BC=MA=MB=
=26 см, AB =MC = 20 см, точка D — середина ребра AB .
а) Докажите, что плоскости ABC и CDM перпендику&
лярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и MC.
20.Основанием пирамиды KMNF является прямоуголь&
ный треугольник MNF,
F=90 , M=30 ,
MN=12см. Боковая грань MKF перпендикулярна
плоскости основания, а две другие наклонены к ней
под углом 45
. Найдите ребро KF.
21.Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна 12 см. Угол между её боковыми гранями равен
90
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
22.Стороны оснований правильной четырёхугольной
усечённой пирамиды равны 3 см и 9 см, а боковое реб&
ро образует с плоскостью большего основания угол
45
. Найдите высоту данной усечённой пирамиды.
23.Сторона основания правильной пирамиды MABCD
равна 4 см. Точка K — середина бокового ребра MC,
отрезок MO — высота пирамиды. Котангенс угла
между прямыми AM и BK равен .
а) Докажите, что
BOK=90 .
б) Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.83
5

§ 25. Круглые тела 487
24.В пирамиде DABC известно, что боковые грани ABD
и CBD перпендикулярны плоскости основания,
AB=BC=6см, AC= см, DB = см. Точки M,
E и F — середины рёбер DB, AB и BC соответственно.
Найдите расстояние от точки B до плоскости MEF.
25.В правильной шестиугольной пирамиде через середи&
ны двух соседних боковых рёбер проведено сечение,
которое параллельно высоте пирамиды. Найдите
площадь сечения, если сторона основания пирамиды
равна 6 см, а высота пирамиды — 8 см.
§ 25. Круглые тела
25.1. Цилиндр. Комбинации цилиндра с призмой
Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное
в результате вращения прямоугольника вокруг прямой,
содержащей его сторону.
На рисунке 25.1 изображён цилиндр, полученный
вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой AB.
При вращении стороны CD образуется боковая поверх&
ность цилиндра, а при вращении сторон BC и AD — осно&
вания цилиндра.43
23
A B
C
D
OO
1
Основания Образующие
Боковая
поверхность
Рис. 25.1 Рис. 25.2

488 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
На рисунке 25.2 показаны основные элементы ци&
линдра.
Прямую, проходящую через центры оснований ци&
линдра, называют осью цилиндра. На рисунке 25.2 пря&
мая OO
1 — ось цилиндра.
Если пересечь цилиндр плоскостью,
проходящей через его ось, то в сечении об&
разуется прямоугольник, две стороны ко&
торого — диаметры оснований цилиндра,
а две другие — образующие цилиндра
(рис. 25.3). Такое сечение называют осе#
вым сечением цилиндра.
Высотой цилиндра называют перпен&
дикуляр, опущенный из любой точки
плоскости одного основания на плоскость
другого основания.
Любые две образующие цилиндра параллельны и
равны его высоте.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляют
по формуле
S
бок = 2 rh,
где r — радиус основания цилиндра, h — длина высоты
цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляют
по формуле
S
полн = 2 rh + 2 r2.
Призму называют вписанной в цилиндр, если её осно&
вания вписаны в основания цилиндра (рис. 25.4). При
этом цилиндр называют описанным около призмы.
Призму называют описанной около цилиндра, если её
основания описаны около оснований цилиндра (рис. 25.5).
При этом цилиндр называют вписанным в призму.
Вписать в цилиндр можно такую прямую призму,
основания которой являются вписанными многоуголь&
никами.
Рис. 25.3

§ 25. Круглые тела 489
Описать около цилиндра можно такую прямую
призму, основания которой являются описанными мно&
гоугольниками.
Задача. Точки A и B лежат на окружностях разных
оснований цилиндра так, что прямая AB образует с
плоскостью основания угол, равный 60
. Через точку
A провели осевое сечение AA
1D1D (рис. 25.6). Найдите
расстояние между прямыми AB и D
1D, если радиус
основания цилиндра равен 5 см и AB=16см.
Р е ш е н и е. Проведём образующую BK цилиндра.
Поскольку образующие цилиндра параллельны, то
точки A, A
1, B и K принадлежат одной плоскости.
Имеем: DD
1||BK. Значит, DD 1||AA 1B. Тогда расстояние
между скрещивающимися прямыми AB и D
1D равно
расстоянию между прямой D
1D и плоскостью AA 1B. По&
этому достаточно найти длину перпендикуляра, опущен&
ного из любой точки прямой D
1D на плоскость AA 1B.
Соединим точки D и K. Вписанный угол DKA опира&
ется на диаметр AD. Следовательно, DK
AK. По&
скольку BK
ADK, то BK DK. Получили, что пря&
мая DK перпендикулярна двум пересекающимся пря&
мым плоскости AA
1B. Следовательно, DK AA 1B.
Значит, длина отрезка DK — искомое расстояние.
A1
O O
1 B
AD
K D 1
Рис. 25.4 Рис. 25.5 Рис. 25.6

490 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Прямая AK является проекцией прямой AB на плос&
кость основания цилиндра. Следовательно, угол BAK —
угол между прямой AB и плоскостью основания. По
условию
BAK=60 .
Из треугольника ABK (
AKB=90 ):
AK=ABcos 60
= 8 (см).
Из треугольника ADK (
AKD=90 ):
DK = = = 6 (см).
Ответ: 6 см.
25.2. Конус. Усечённый конус
Конус можно рассматривать как тело, полученное в
результате вращения прямоугольного треугольника во&
круг прямой, содержащей его катет.
На рисунке 25.7 изображён конус, полученный вра&
щением прямоугольного треугольника ABC вокруг пря&
мой AC. При вращении гипотенузы AB образуется боко&
вая поверхность конуса, а при вращении катета CB — ос&
нование конуса.
На рисунке 25.8 показаны основные элементы ко&
нуса.
Прямую, проходящую через вершину конуса и центр
его основания, называют осью конуса. На рисунке 25.7
прямая AC — ось конуса.
AD 2 AK 2 100 64
A
B C
ОснованиеОбразующие
Боковая
поверхность
Вершина
O
Рис. 25.7 Рис. 25.8

§ 25. Круглые тела 491
Если пересечь конус плоскостью, про&
ходящей через его ось, то в сечении обра&
зуется равнобедренный треугольник, бо&
ковые стороны которого — образующие
конуса, основание — диаметр основания
конуса (рис. 25.9). Такое сечение называ&
ют осевым сечением конуса.
Высотой конуса называют отрезок, со&
единяющий вершину конуса с центром его
основания.
Все образующие конуса равны и со&
ставляют равные углы с плоскостью осно&
вания.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляют по
формуле
S
бок = rl,
где r — радиус основания конуса, l — длина образующей
конуса.
Площадь полной поверхности конуса вычисляют по
формуле
S
полн = rl + r2.
Секущая плоскость, параллельная основанию конуса,
делит конус на два тела. Одно из них является конусом,
другое называют усечённым конусом (рис. 25.10).
Рис. 25.9
Рис. 25.10

492 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
На рисунке 25.11 показаны основные элементы усе&
чённого конуса.
Высотой усечённого конуса называют перпендику&
ляр, опущенный из какой&либо точки плоскости одного
основания на плоскость другого основания.
Площадь боковой поверхности усечённого конуса вы&
числяют по формуле
S
бок = (r + r 1) l,
где r и r
1 — радиусы оснований, l — длина образующей.
З а д а ч а. В основании конуса
с вершиной K проведены хор&
да АВ и диаметр АD. Найдите
угол между образующей KD и
хордой АВ, если АВ = KD.
Решение. Проведём диа&
метр ВМ основания конуса
(рис. 25.12). Диагонали четы&
рёхугольника АВDM точкой
пересечения делятся попо&
лам. Следовательно, этот четырёхугольник — парал&
лелограмм. Отсюда АВ = МD. Поскольку АВ || МD, то
искомый угол равен углу МDK.
Рассмотрим треугольник MKD. Поскольку АВ = KD и
АВ = МD, то треугольник MKD равносторонний. Сле&
довательно, искомый угол равен 60
.
Ответ: 60
.
O
Основания
ОбразующиеБоковая
поверхность O1
Рис. 25.11
K
A
B
D M
Рис. 25.12

§ 25. Круглые тела 493
25.3. Комбинации конуса и усечённого конуса
с пирамидой
Пирамиду называют вписанной в конус, если её осно&
вание вписано в основание конуса, а вершина совпадает
с вершиной конуса (рис. 25.13). При этом конус называ&
ют описанным около пирамиды.
Пирамиду называют описанной около конуса, если её
основание описано около основания конуса, а вершина
совпадает с вершиной конуса (рис. 25.14). При этом ко&
нус называют вписанным в пирамиду.
Пирамиду можно вписать в конус, если около осно&
вания этой пирамиды можно описать окружность, а вер&
шина этой пирамиды проектируется в центр описанной
окружности основания.
Пирамиду можно описать около конуса, если в ос&
нование этой пирамиды можно вписать окружность, а
вершина этой пирамиды проектируется в центр вписан&
ной окружности основания.
На рисунке 25.15 изображена пирамида, вписанная в
конус, которую пересекли плоскостью, параллельной
основанию. В результате образовались две комбинации
тел: пирамида, вписанная в конус, и усечённая пирами#
да, вписанная в усечённый конус. При этом усечённый
конус называют описанным около усечённой пирамиды.
Рис. 25.13 Рис. 25.14

494 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
На рисунке 25.16 изображена пирамида, описанная
около конуса, которую пересекли плоскостью, парал&
лельной основанию. В результате образовались две ком&
бинации тел: пирамида, описанная около конуса, и усе#
чённая пирамида, описанная около усечённого конуса.
При этом усечённый конус называют вписанным в усе#
чённую пирамиду.
З а д а ч а. Конус, радиус основания которого равен 3 см,
а образующая — 5 см, вписан в четырёхугольную пи&
рамиду KABCD. Основанием пирамиды является рав&
нобокая трапеция ABCD (AD||BC), боковая сторона
которой равна 10 см. Найдите площадь боковой по&
верхности пирамиды.
Р е ш е н и е. Вершина данной пирамиды проектиру&
ется в центр вписанной окружности основания. В та&
кой пирамиде двугранные углы при рёбрах основа&
ния равны. Проведём радиус OM в точку касания ок&
ружности, вписанной в трапецию, со стороной АD.
Отрезок KM — образующая конуса (рис. 25.17). По&
скольку OM
AD, то по теореме о трёх перпендику&
лярах KM
AD. Следовательно, угол KMO — ли&
нейный угол двугранного угла при ребре AD. Пусть
KMO= . Имеем: cos = = .
Рис. 25.15 Рис. 25.16
OM
KM 3
5

§ 25. Круглые тела 495
Можно записать:
Sбок = . Найдём площадь
основания пирамиды, т. е.
площадь трапеции
АВСD .
Высота данной трапеции
равна диаметру вписанной
окружности, т. е. 6 см. По&
скольку в данную трапецию
можно вписать окружность,
то AD + BC = AB + DC =
=2AB= 20 см. Имеем:
Sосн = 2OM = 60 см 2.
Таким образом,
Sбок = = 100 (см 2).
О т в е т: 100 см
2.
Примеры заданий № 41
Часть 1
1.Диагональ осевого сечения цилиндра равна 17, а его
высота — 15. Найдите радиус основания цилиндра.
2.Диаметр основания цилиндра равен 4, а его образую&
щая — . Найдите площадь боковой поверхности ци&
линдра.
3.Длина окружности основания цилиндра равна 18, а
его высота — 5. Найдите площадь боковой поверхно&
сти цилиндра.
4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16 см 2.
Найдите площадь его осевого сечения. Ответ дайте в
квадратных сантиметрах.
5.Угол между образующей и плоскостью основания ко&
нуса равен 60
, высота конуса — см. Найдите об&
разующую конуса. Ответ дайте в сантиметрах.
O AK
MB
C
D
Рис. 25.17
Sосн
cos
AD BC
2
60
cos
9
93

496 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
6.Высота конуса равна , а угол при вершине осевого
сечения — 120
. Найдите радиус основания конуса.
7.Диаметр основания конуса равен 48 см, а его образу&
ющая — 25 см. Найдите площадь осевого сечения ко&
нуса. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
8.Найдите площадь боковой поверхности конуса, ради&
ус основания которого равен , а образующая — 5.
9.Площадь основания конуса равна 48. Прямая, парал&
лельная плоскости основания конуса, делит его высо&
ту в отношении 1 : 3, считая от вершины конуса. Най&
дите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Часть 2
10.Параллельно оси цилиндра, радиус основания кото&
рого равен 8 см, проведена плоскость, пересекающая
основание цилиндра по хорде, которая стягивает ду&
гу 120
. Найдите площадь сечения, если его диаго&
наль равна 16 см.
11.Отрезок, соединяющий центр верхнего основания ци&
линдра с точкой окружности нижнего основания, ра&
вен 6 см. Найдите площадь боковой поверхности ци&
линдра, если его высота равна диаметру основания.
12.Высота цилиндра равна 8 см, радиус основания —
5 см. На расстоянии 4 см от оси цилиндра параллель&
но ей проведено сечение. Найдите площадь этого се&
чения.
13.Хорду нижнего основания цилиндра видно из центра
этого основания под углом
. Отрезок, соединяющий
центр верхнего основания с серединой данной хорды,
наклонён к плоскости основания под углом
. Найди&
те площадь боковой поверхности цилиндра, если об&
разующая цилиндра равнаl.
14.Радиус основания цилиндра равен 10 см, а образую&
щая — 18 см. Отрезок AB — хорда нижнего основа&
ния цилиндра, отрезок CD — хорда верхнего основа& 73
3

§ 25. Круглые тела 497
ния, AB||CD, AB=12см, CD= 16 см. Расстояние
между прямыми AB и CD равно 2 см.
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат
по разные стороны от плоскости ABC.
б) Найдите угол между плоскостью ABC и плоскостью
основания цилиндра.
15.Через точки A и B, которые лежат на окружностях
разных оснований цилиндра и не лежат на одной об&
разующей, проведена плоскость, параллельная оси
цилиндра. Расстояние от центра нижнего основания
до этой плоскости равно 2 см. Площадь образовавше&
гося сечения цилиндра равна см
2, а площадь
боковой поверхности цилиндра — см
2. Най&
дите отрезок AB.
16.Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и об&
разует с плоскостью его основания угол 30
. Найдите
площадь боковой поверхности правильной четырёх&
угольной призмы, вписанной в цилиндр.
17.Основание прямой призмы – прямоугольный тре&
угольник с гипотенузой 12 см и острым углом 30
.
Диагональ боковой грани, которая содержит катет,
противолежащий углу 30
, наклонена к плоскости
основания под углом 45
. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра, описанного около призмы.
18.Высота конуса равна 10 см, а угол между образующей
конуса и плоскостью основания равен 45
. Найдите
площадь полной поверхности конуса.
19.Через вершину конуса проведена плоскость, пересека&
ющая основание по хорде, длина которой равна 14 см.
Эта хорда стягивает дугу в 90
. Угол между образую&
щими в сечении равен 60
. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.
20.В основании конуса проведена хорда CD на расстоя&
нии см от центра O основания. Отрезок SO —
высота конуса, SO = см. Найдите расстояние от
точки O до плоскости CSD.130
60 2
20 30
25
23

498 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
21.Сечение конуса, которое проходит через его верши&
ну, пересекает основание конуса по хорде, которую
видно из центра основания под углом
. Плоскость се&
чения образует с высотой конуса угол
. Найдите пло&
щадь боковой поверхности конуса, если его высота
равна H.
22.Основание пирамиды – прямоугольник, одна из сто&
рон которого равна 6 см и образует с диагональю пря&
моугольника угол 30
. Все боковые рёбра пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом 60
.
Найдите боковую поверхность конуса, описанного
около данной пирамиды.
23.Двугранный угол при ребре основания правильной
треугольной пирамиды равен 60
, а расстояние от
центра основания до боковой грани — см. Най&
дите площадь боковой поверхности конуса, вписан&
ного в данную пирамиду.
24.Радиусы нижнего и верхнего оснований усечённого
конуса равны 8 см и 6 см соответственно, а его обра&
зующая наклонена к плоскости нижнего основания
под углом 60
. Найдите площадь боковой поверхно&
сти данного усечённого конуса.
25.Высота усечённого конуса равна 4 см. Радиус одного
его основания в 2 раза больше радиуса другого осно&
вания, а сумма площадей оснований равна площади
боковой поверхности. Найдите радиус большего осно&
вания усечённого конуса.
25.4. Сфера и шар.
Взаимное расположение сферы и плоскости
Сферой называют геометрическое место точек про&
странства, расстояния от которых до заданной точки
равны данному положительному числу.
Заданную точку называют центром сферы. На рисун&
ке 25.18 точка O — центр сферы.33

§ 25. Круглые тела 499
Любой отрезок, соединяющий
точку сферы с её центром, называ&
ют радиусом сферы. На рисунке
25.18 отрезок OX — радиус сферы.
Шаром называют ГМТ про&
странства, расстояние от которых
до заданной точки не более данного
положительного числа.
Заданную точку называют цент#
ром шара, данное число — радиусом шара.
Сфера, у которой центр совпадает с центром шара, а
радиус равен радиусу данного шара, называют поверх#
ностью шара.
Пусть радиус данной сферы равен r, а расстояние от
центра O сферы до данной плоскости
равно d, d 0.
случай. Если d>r, то сфера и плоскость не имеют об&
щих точек (рис. 25.19).
II случай. Если d кости является окружность (рис. 25.20).
III случай. Если d=r, то сфера и плоскость имеют
только одну общую точку (рис. 25.21).
Плоскость, имеющую со сферой (с шаром) только од&
ну общую точку, называют касательной плоскостью к
сфере (шару). Эту общую точку называют точкой каса#
ния. На рисунке 25.21 точка A — точка касания.
X
O
Рис. 25.18
O O
Рис. 25.19 Рис. 25.20

500 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Касательная плоскость к сфере (шару) перпендику&
лярна радиусу, проведённому в точку касания.
Если плоскость проходит через центр шара, то круг,
образовавшийся в сечении, называют большим кругом
шара.
Если сфера касается граней двугранного угла, то
центр сферы принадлежит биссектору двугранного угла.
З а д а ч а. Пересечением шара радиуса 13 см и плоско&
сти является круг, площадь которого равна 25
см 2.
Найдите расстояние от центра шара до плоскости се&
чения.
Решение. Пусть отрезок О
1А — радиус сечения ша&
ра плоскостью (рис. 25.22), отрезок ОА — радиус шара.
Поскольку площадь сечения равна 25
см 2, то О 1А =
=5 см. Длина отрезка О
1О равна расстоянию от
центра шара до плоскости сечения. Имеем: OO
1 =
= = = 12 (см).
Ответ: 12 см.
25.5. Многогранники, вписанные в сферу
Многогранник называют вписанным в сферу, если
все его вершины принадлежат сфере. При этом сферу на&
зывают описанной около многогранника.
O
A
Рис. 25.21
O
O1 A
Рис. 25.22
OA 2 O1A2 169 25

§ 25. Круглые тела 501
Если для данного многогранника
существует точка, равноудалённая от
всех его вершин, то вокруг этого мно&
гогранника можно описать сферу.
На рисунке 25.23 изображён пря&
моугольный параллелепипед, впи&
санный в сферу.
Каждая грань многогранника, впи&
санного в сферу, является многоуголь&
ником, вписанным в окружность.
Если около оснований прямой призмы можно опи&
сать окружности, то такую призму можно вписать в сферу.
Около любого тетраэдра можно описать сферу.
Около правильной призмы и около правильной пи&
рамиды можно описать сферу.
Задача. В правильной треуголь&
ной пирамиде боковое ребро равно
b, а высота равна h. Найдите радиус
сферы, описанной около пирамиды.
Решение. Пусть DABC — дан&
ная треугольная пирамида, точка
O
1 — центр основания ABC
(рис. 25.24). По условию DB = b,
DO 1 = h. Пусть радиус сферы равен R.
Прямая DO 1 проходит через центр
сферы и пересекает её в двух точ&
ках: в точке D и в некоторой точке D
1 (рис. 25.24). Тогда
отрезок DD
1 — диаметр сферы. Плоскость DD 1B, прохо&
дя через центр сферы, пересекает шар, ограниченный
этой сферой, по большому кругу. Тогда треугольник
DD
1В является вписанным в большой круг с диаметром
DD 1. Следовательно, DBD 1=90 . Используя метричес&
кие соотношения в прямоугольном треугольнике, можно
записать:
DB 2 = DO 1 DD 1. Отсюда b2 = h 2R; R = .
Ответ: .
Рис. 25.23
A
CB D
O
1
D1
Рис. 25.24
b2
2h
b2
2h

502 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
25.6. Многогранники, описанные около сферы
Многогранник называют описанным около сферы, ес&
ли все его грани касаются сферы. При этом сферу назы&
вают вписанной в многогранник.
Если для данного выпуклого многогранника сущест&
вует точка, равноудалённая от всех его граней, то в этот
многогранник можно вписать сферу.
На рисунке 25.25 изображена
сфера, вписанная в куб.
Если все биссекторы двугран&
ных углов при рёбрах выпуклого
многогранника имеют общую
точку, то в этот многогранник
можно вписать сферу.
Если в прямую призму мож&
но вписать сферу, то в основание
призмы можно вписать окружность с радиусом, равным
радиусу сферы, а высота призмы равна диаметру сферы.
В любой тетраэдр можно вписать сферу.
В правильную пирамиду можно вписать сферу.
В правильную призму, высота которой равна диа&
метру окружности, вписанной в основание призмы, мож&
но вписать сферу.
З а д а ч а. Найдите радиус сфе&
ры, вписанной в правильную
четырёхугольную пирамиду
SABCD, у которой ребро осно&
вания равно a, а высота — h.
Р е ш е н и е. Поскольку дан&
ная пирамида правильная, то
центр O вписанной сферы при&
надлежит высоте SH пирами&
ды, где H — точка пересечения диагоналей квадрата
ABCD (рис. 25.26). Тогда отрезок OH — радиус впи&
санной сферы. Пусть OH=r.
Рис. 25.25
A
C B
D OK S
HM
Рис. 25.26

§ 25. Круглые тела 503
В грани DSC проведём апофему SM. Имеем: SH DC,
SM
DC. Следовательно, DC HSM. В плоскости HSM
проведём OK
SM, точка K принадлежит апофеме SM.
Поскольку DC
HSM и OK HSM, то DC OK. Име&
ем: OK
SM, OK DC. Следовательно, OK DSC. Зна&
чит, отрезок OK — радиус вписанной сферы, OK=r.
Прямоугольные треугольники HSM и KSO имеют об&
щий острый угол. Следовательно, эти треугольники
подобны. Тогда можно записать: = . Имеем:
SO = h – r, HM = , SM = , т. е.
SM= = .
Получаем: = . Отсюда r =
=ah – ar; r = .
Ответ: .
Примеры заданий № 42
Часть 1
1.В шаре с центром O, изображён&
ном на рисунке 25.27, проведено
сечение с центром O
1 на расстоя&
нии 12 от центра шара. Найдите
радиус шара, если радиус сечения
равен 9.
OK
HM SO
SM
a
2 HM 2 SH 2
a2
4 h2 1
2 a2 4h 2
r
a
2 hr
1
2 a2 4h 2 a2 4h 2
ah
aa
2 4h 2
ah
aa
2 4h 2
O
O1 A
Рис. 25.27

504 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
2.Сечением сферы является окружность, длина кото&
рой равна 16
. Радиус сферы равен 10. Найдите рас&
стояние от центра сферы до плоскости сечения.
3.Через конец радиуса шара проведено сечение, кото&
рое образует с этим радиусом угол 60
. Найдите ради&
ус шара, если площадь сечения равна 36
см 2. Ответ
дайте в сантиметрах.
4.Вершины равностороннего треугольника со стороной
см лежат на поверхности шара, а расстояние от
центра шара до плоскости треугольника равно 12 см.
Найдите радиус шара. Ответ дайте в сантиметрах.
Часть 2
5.В шар радиуса R вписана правильная четырёхуголь&
ная призма, диагональ которой наклонена к плоско&
сти основания под углом
. Найдите сторону основа&
ния призмы.
6.Стороны основания прямоугольного параллелепипе&
да равны 12 см и 16 см, а диагональ параллелепипеда
образует с плоскостью основания угол 60
. Найдите
радиус шара, описанного около данного параллеле&
пипеда.
7.В шар, радиус которого равен 7 см, вписана призма.
Основанием призмы является прямоугольный тре&
угольник с острым углом 30
, а диагональ боковой
грани, которая содержит катет, прилежащий к дан&
ному углу, образует с плоскостью основания угол 45
.
Найдите высоту призмы.
8.Боковое ребро правильной треугольной пирамиды
равно b и образует с плоскостью основания угол
.
Найдите радиус сферы, описанной около данной пи&
рамиды.
9.Сторона основания правильной четырёхугольной пи&
рамиды равна 6 см, а двугранный угол пирамиды при
ребре основания — 60
. Найдите радиус шара, опи&
санного около данной пирамиды.53

§ 26. Объёмы тел. Площадь сферы 505
10.Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а
двугранный угол пирамиды при ребре основания —
.
Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.
11.Апофема правильной четырёхугольной пирамиды
равна h, а двугранный угол пирамиды при ребре ос&
нования —
. Найдите радиус сферы, вписанной в эту
пирамиду.
12.В правильную четырёхугольную пирамиду вписан
шар. Расстояние от центра шара до вершины пирами&
ды равно 4 см, а двугранный угол пирамиды при реб&
ре основания — 60
. Найдите площадь боковой по&
верхности пирамиды.
§ 26. Объёмы тел. Площадь сферы
26.1. Объём тела. Формулы для вычисления
объёмов многогранников
Объёмом тела называют положительную величину,
которая обладает следующими свойствами:
1) равные тела имеют равные объёмы;
2) если тело составлено из нескольких других тел, то
его объём равен сумме объёмов этих тел;
3) за единицу измерения объёма тела принимают еди&
ничный куб, т. е. куб с ребром, равным единице измере&
ния длины.
Объём V призмы с высотой, равной h, и основанием,
площадь которого равна S, вычисляют по формуле
V = Sh.
Объём призмы равен произведению площади сечения,
перпендикулярного боковым рёбрам, и бокового ребра.
Объём V пирамиды с высотой, равной h, и основани&
ем, площадь которого равна S, вычисляют по формуле
V = Sh.
1
3

506 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Объём V усечённой пирамиды с высотой, равной h, и
основаниями, площади которых равны S
1 и S 2, вычисля&
ют по формуле
V = h.
Объём V многогранника, в который вписан шар ради&
уса r, можно найти по формуле
V = Sr, где S — площадь поверхности многогранника.
Задача.
Основанием четырёхугольной пирамиды
МАВСD является прямоугольник АВСD. Боковая
грань АМВ перпендикулярна плоскости основания.
Найдите объём пирамиды, если АВ = 10 см, ВС = 12 см,
МА=МВ= 13 см.
Решение. Проведём высоту MK треугольника АМВ
(рис. 26.1). Поскольку АМВ
АВС, то MK АВС. Сле&
довательно, отрезок MK — высота данной пирамиды.
Так как МА = МВ, то отрезок МK является медианой
треугольника АМВ. Отсюда AK = KВ = 5 см.
Из прямоугольного треугольника МKА получаем:
MK = = 12 (см).
Площадь прямоугольника АВСD равна 120 см
2.
Теперь можем найти объём V пирамиды:
V =
12 120 = 480 (см 3).
Ответ: 480 см
3.
1
3 S1 S1S2 S2
1
3
B
A
C
D K M
Рис. 26.1
13 2 52
1
3

§ 26. Объёмы тел. Площадь сферы 507
Примеры заданий № 43
Часть 1
1.Сторона основания правильной треугольной призмы
равна 4 см, а её боковое ребро — см. Вычислите
объём призмы. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
2.Вычислите объём призмы, основанием которой явля&
ется парал