МАТЕМАТИКА проф ЕГЭ 2021 ДЕМО OLIVER

Формат документа: pdf
Размер документа: 0.44 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

ПРОЕКТ

Единый государст_gguc экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный ZjbZgl
контрольных измерительных материалов
единого государст_ggh]h экзамена 2021 года
по математике

Профильный уро_gv

подготоe_g Федеральным государст_gguf бюджетным
научным учреждением

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»


Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 2 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки


Единый государст_gguc экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Пояснения к демонстрационному ZjbZglm
контрольных измерительных материалов единого государст_ggh]h
экзамена 2021 года по МАТЕМАТИКЕ

Профильный уро_gv

При ознакомлении с демонстрационным ZjbZglhf контрольных
измерительных материалов (КИМ) единого государст_ggh]h экзамена (ЕГЭ)
2021 г. следует иметь в b^m, что задания, dexqzggu_ в него, не отражают
k_o элементов содержания,
которые будут про_jylvky с помощью ZjbZglh\
КИМ в 2021 г. Полный перечень элементов содержания, которые могут
контролироZlvky на едином государст_gghf экзамене 2021 г., при_^zg в
кодификаторе элементов содержания и требоZgbc к уроgx подготоdb
uimkdgbdh\ образоZl_evguo организаций для про_^_gby единого
государст_ggh]h экзамена 2021 г. по математике.

В демонстрационном ZjbZgl_ предстаe_gu конкретные примеры
заданий, не исчерпывающие k_]h многообразия hafh`guo формулироhd заданий на каждой позиции ZjbZglZ экзаменационной работы.

Назначение демонстрационного ZjbZglZ заключается в том, чтобы дать
hafh`ghklv любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить
предстаe_gb_ о структуре будущих КИМ, количестве заданий,
об их форме и уроg_ сложности. При_^zggu_ критерии оценки uiheg_gby
заданий с разzjgmluf от_lhf, dexqzggu_ в этот ZjbZgl, дают
предстаe_gb_ о требоZgbyo к полноте и праbevghklb записи
разzjgmlh]h
от_lZ.
В демонстрационном ZjbZgl_ предстаe_gh по несколько примеров
заданий на некоторые позиции экзаменационной работы. В реальных
ZjbZglZo экзаменационной работы на каждую позицию будет предложено
только одно задание.
Эти сведения позheyl uimkdgbdZf ujZ[hlZlv стратегию подготоdb
к ЕГЭ в 2021 г.

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 3 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки
Демонстрационный ZjbZgl
контрольных измерительных материалов
единого государст_ggh]h экзамена 2021 года
по МАТЕМАТИКЕ


Профильный уро_gv

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из дmo частей, dexqZxsbo в себя
19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким от_lhf базоh]h уроgy
сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким от_lhf поur_ggh]h уроgy
сложности и 7 заданий с
разzjgmluf от_lhf поur_ggh]h и ukhdh]h
уроg_c сложности.
На uiheg_gb_ экзаменационной работы по математике отh^blky 3 часа
55 минут (235 минут).
От_lu к заданиям 1–12 записыZxlky по при_^zgghfm ниже образцу

в b^_ целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля
от_lh\ в тексте работы, а затем перенесите их в бланк от_lh\ № 1.

От_l:
–0,8
_
.

При uiheg_gbb заданий 13–19 требуется записать полное решение
и от_l в бланке от_lh\ № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается
использоZgb_ гелеhc или капиллярной ручки.
При uiheg_gbb заданий можно пользоZlvky черноbdhf. Записи
в черноbd_, а также в тексте контрольных измерительных материалов
не учитываются при оцениZgbb работы.
Баллы, полученные Вами
за uiheg_ggu_ задания, суммируются.
Постарайтесь uihegblv как можно больше заданий и набрать наибольшее
количество баллов.
После за_jr_gby работы про_jvl_, чтобы от_l на каждое задание
в бланках от_lh\ № 1 и № 2 был записан под праbevguf номером.

Желаем успеха!


Спраhqgu_ материалы

()
()
22
22
sinαcosα1
sin 2α2sinαcosα
cos 2αcosαsinα
sinαβsinαcosβcosαsinβ
cosαβcosαcosβsinαsinβ +=
=⋅
=−
+= ⋅ + ⋅
+= ⋅ − ⋅
КИМ
Бланк
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 4 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки



От_lhf к заданиям 1–12 яey_lky целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле от_lZ в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 спраZ от номера соот_lklующего задания, начиная с перhc клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соот_lklии с при_^zggufb в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1

Поезд отпраbeky из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (j_fy москоkdh_)
и прибыл в Москm в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд
находился в пути?

От_l: ___________________________.

ИЛИ

В среднем за день h j_fy конференции расходуется 80 пакетиков чая.
Конференция длится 3 дня. В пачке чая 50 пакетиков. Какого наименьшего
количества пачек чая хZlbl на k_ дни конференции?


От_l: ___________________________.

ИЛИ

Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке
скидку 5%. Книга стоит 140 рублей. Сколько рублей заплатит держатель
дисконтной карты за эту книгу?


От_l: ___________________________.

ИЛИ

Весь первый этаж 16-этажного дома занимают магазины, а на каждом из
остальных этажей любого его подъезда расположено по 4 кZjlbju. На каком
этаже этого дома находится кZjlbjZ 165?

От_l: ___________________________.
1

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 5 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

На рисунке жирными точками показано суточное количестh осадков,
uiZ^Zших в Томске с 8 по 24 янZjy 2005 г. По горизонтали указаны числа
месяца; по _jlbdZeb — количестh осадков, uiZших
в соот_lklующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки
на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа
в Томске i_jые uiZeh роgh 1,5 миллиметра осадков.
8 9 10 11 12 13 14 15 2316 17 18 19 20 21 22
24 0,0 0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0 3,5 4,0


От_l: ___________________________.

ИЛИ

Мощность отопителя в аlhfh[be_ регулируется дополнительным
сопротивлением. При этом меняется сила тока в электрической цепи
электродb]Zl_ey: чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и быстрее
jZsZ_lky мотор отопителя. На графике показана зависимость силы тока
от _ebqbgu сопротиe_gby. На горизонтальной оси отмечено сопротиe_gb_
в омах; на _jlbdZevghc оси — сила тока в
амперах. Определите по графику,
на сколько омов у_ebqbehkv сопротиe_gb_ в цепи при уменьшении силы тока
с 12 ампер до 4 ампер.
00,5 0 2
4
6
8
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 10 12


От_l: ___________________________.


2
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 6 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки


ИЛИ

На диаграмме показана среднемесячная температура ha^moZ
h Владивостоке за каждый месяц 2013 г. По горизонтали указыZxlky месяцы;
по _jlbdZeb — температура в градусах Цельсия. Определите
по приведённой диаграмме, сколько было месяцев с отрицательной
среднемесячной температурой.
янв фев мар апр май июн июл авг сен окт ноя дек 0 8 16 24
20
12
4
–16 –8 –4
–12


От_l: ___________________________.

На клетчатой бумаге с размером клетки
11×

изображён треугольник. Найдите его площадь.



От_l: ___________________________.

ИЛИ
На клетчатой бумаге с размером
клетки 11× изображена трапеция.
Найдите длину средней линии этой
трапеции.


От_l: ___________________________.
3

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 7 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

В сборнике билетов по биологии k_]h 25 билетов. Только в двух билетах
klj_qZ_lky hijhk о грибах. На экзамене uimkdgbdm достаётся один случайно
u[jZgguc билет из этого сборника. Найдите _jhylghklv того, что в этом
билете будет hijhk о грибах. От_l: ___________________________.

ИЛИ

Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, раgZ 0,8,
а _jhylghklv того, что он прослужит более 2 лет, раgZ 0,6. КакоZ
_jhylghklv того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет? От_l: ___________________________.

ИЛИ

Стрелок при каждом uklj_e_ поражает мишень с _jhylghklvx 0,3,
незаbkbfh от результатов предыдущих uklj_eh\. КакоZ _jhylghklv того,
что он поразит мишень, сделав не более 3 uklj_eh\? От_l: ___________________________.

Найдите корень ураg_gby
5
381x−
=
.
От_l: ___________________________.

ИЛИ

Найдите корень ураg_gby
34910x+=
.

От_l: ___________________________.

ИЛИ

Найдите корень ураg_gby
()8
log 5 47 3x+=.


От_l: ___________________________.
4 5
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 8 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки


ИЛИ

Решите ураg_gb_
23x
x +=. Если корней окажется несколько, то в от_l
запишите наименьший из них.
От_l: ___________________________.
Треугольник
ABC ibkZg в окружность с центром .O Угол
BAC ра_g 32 .°

Найдите угол
BOC. Ответ дайте в градусах.
От_l: ___________________________.

ИЛИ

Площадь треугольника
ABC раgZ 24, DE — средняя линия, параллельная
стороне
AB. Найдите площадь треугольника CDE.


От_l: ___________________________.

ИЛИ

В ромбе
ABCD угол
DBA
ра_g 13°. Найдите угол
BCD. От_l дайте
в градусах.
От_l: ___________________________.

ИЛИ

Стороны параллелограмма раgu 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую
из этих сторон, раgZ 18. Найдите ukhlm, опущенную на бо
́льшую сторону
параллелограмма.

От_l: ___________________________.

6

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 9 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

На рисунке изображён график дифференцируемой функции
()
. yfx=
На оси абсцисс отмечены деylv точек:
1x,
2x, ...
9x.

xx xy= f(x)
xxy
xxxx
x
0
12 34 78 96 5

Найдите k_ отмеченные точки, в которых произh^gZy функции
()f
x
отрицательна. В от_l_ укажите количестh этих точек.

От_l: ___________________________.

ИЛИ
На рисунке изображены график функции
()
yfx= и касательная к нему
в точке с абсциссой
0x. Найдите значение произh^ghc функции
()f
x
в точке
0x.
x
y –3 1 4
1
6
2 0 y=f(x) 0x


От_l: ___________________________.
7
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 10 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

В перhf цилиндрическом сосуде уро_gv жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили h lhjhc цилиндрический сосуд, диаметр осноZgby которого в 2 раза больше диаметра осноZgby перh]h. На какой ukhl_ будет находиться уро_gv жидкости h lhjhf сосуде? От_l дайте в сантиметрах. От_l: ___________________________.
ИЛИ
Площадь бокоhc по_joghklb треугольной
призмы раgZ 24. Через среднюю линию
осноZgby призмы про_^_gZ плоскость,
параллельная бокоhfm ребру. Найдите площадь
бокоhc по_joghklb отсечённой треугольной
призмы.


От_l: ___________________________.

ИЛИ

Через точку, лежащую на ukhl_ прямого кругоh]h конуса и делящую её
в отношении 1: 2
,
считая от _jrbgu конуса, про_^_gZ плоскость,
параллельная его осноZgbx и делящая конус на д_ части. Каков объём той
части конуса, которая примыкает к его осноZgbx, если объём k_]h конуса
ра_g 54?
От_l: ___________________________.

Не забудьте перенести k_ от_lu в бланк от_lh\ № 1.
8

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 11 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Часть 2

Найдите sin 2α, если
cosα0, 6 =
и
πα2π. <<

От_l: ___________________________.


ИЛИ

Найдите значение ujZ`_gby
4
7
16 log 7 .


От_l: ___________________________.


ИЛИ

Найдите значение ujZ`_gby
19
510 416⋅.


От_l: ___________________________.
Локатор батискафа, раghf_jgh погружающегося _jlbdZevgh gba, испускает ультразmdhой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты сyaZgu соотношением
0
0,
f
f
vc
f
f −
=⋅
+
где 1500
c= м/с — скорость зmdZ в h^_,
0f— частота испускаемого сигнала
(в МГц),
f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту
отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
От_l: ___________________________.
9 10
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 12 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Весной катер идёт против течения реки в
2
1
3 раза медленнее, чем по течению.
Летом течение станоblky на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт
против течения в
1
1
2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость
течения весной (в км/ч).
От_l: ___________________________.
ИЛИ
Смешав 45-процентный и 97-процентный растhju кислоты и добаb\ 10 кг
чистой h^u, получили 62-процентный растhj кислоты. Если бы f_klh 10 кг
h^u добаbeb 10 кг 50-процентного растhjZ той же кислоты,
то получили бы 72-процентный растhj кислоты. Сколько килограммов
45-процентного растhjZ использоZeb для получения смеси?


От_l: ___________________________.
ИЛИ
Аlhfh[bev, дb`msbcky с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе,
обгоняет другой аlhfh[bev, дb`msbcky в ту же сторону с постоянной
скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими
аlhfh[beyfb через 15 минут после обгона? От_l: ___________________________.

ИЛИ
ПерZy труба наполняет бассейн на 48 минут дольше, чем lhjZy. Обе трубы,
работая одноj_f_ggh, наполняют тот же бассейн за 45 минут. За сколько
минут наполняет этот бассейн одна lhjZy труба?

От_l: ___________________________.
11

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 13 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Найдите наименьшее значение функции
()
99ln 117
yx x=− + +
на отрезке
[
]
10, 5; 0 −.

От_l: ___________________________.


ИЛИ
Найдите точку максимума функции
()
2
38
x
yx e

=+ ⋅.


От_l: ___________________________.


ИЛИ
Найдите точку минимума функции
2
256 x
y
x =−
+
.

От_l: ___________________________.


ИЛИ

Найдите точку максимума функции
()23cos 2sin 2 yx x x=− − + на промежутке
()0; 2π.



Не забудьте перенести k_ ответы в бланк от_lh\ № 1
в соот_lklии с инструкцией по uiheg_gbx работы.
Про_jvl_, чтобы каждый от_l был записан в строке с номером
соот_lklующего задания.

12
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 14 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Для записи решений и от_lh\ на задания 13–19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер uihegy_fh]h задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обосноZggh_ решение и от_l. От_lu записыZcl_ чётко и разборчиh. а) Решите ураg_gb_
()
2sin cos 2 3 cos 1
3
x
xx π
++ = +.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

3;
2 
−π−


.



Все рёбра праbevghc треугольной призмы
111
ABCA B C имеют длину 6. Точки
M
и N— середины рёбер
1
AA и
11AC соот_lklенно.
а) Докажите, что прямые
BM
и
MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями
BMN и
1
ABB.

ИЛИ


D В праbevghc четырёхугольной пирамиде SABCD сторона
АВ осноZgby
раgZ 16, а ukhlZ пирамиды раgZ 4. На рёбрах
АВ, CD и
AS отмечены
точки
M
, N и
K соот_lklенно, причём 4
AMDN== и 3
AK=.
а) Докажите, что плоскости
MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M
до плоскости SBC.


Решите нера_gklо
()( )
()
22
11 11 11
log 8 7 log 1 log 7
5 x
xxx
x +− ++≥ +
+
.


Д_ окружности касаются g_rgbf образом в точке .
K
Прямая
AB касается
перhc окружности в точке
A, а lhjhc — в точке .
B Прямая
BK пересекает
перmx окружность в точке ,
D
прямая
AK пересекает lhjmx окружность
в точке .
C

а) Докажите, что прямые
AD
и
BC
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника
,
AKB
если из_klgh, что радиусы
окружностей раgu 4 и 1.

13 14 15 16

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 15 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки


15 янZjy планируется aylv кредит в банке на шесть месяцев в размере
1 млн рублей. Услоby его haрата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг у_ebqbается на
r процентов
по сраg_gbx с концом предыдущего месяца, где
r —
целое
число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо uieZlblv часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соот_lklии со следующей таблицей.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг
(в млн рублей) 1,0 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Найдите наибольшее значение
r, при котором общая сумма uieZl будет
меньше 1,2 млн рублей.


ИЛИ

Строительстh ноh]h заh^Z стоит 75 млн рублей. Затраты на произh^klо x тыс. ед. продукции на таком заh^_ раgu
2
0, 5 7xx++
млн рублей в год.
Если продукцию заh^Z продать по цене
p тыс. рублей за единицу,
то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год состаbl
()
2
0, 5 7 px x x−++
.
Когда заh^ будет построен, фирма будет uimkdZlv продукцию в таком
количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем
значении
p строительстh заh^Z окупится не более чем за 3 года?





Найдите k_ положительные значения
a, при каждом из которых система

()
()
()
2
2
2
22549,
2 xy
xya 
−+−=


++=


имеет единст_ggh_ решение.


17 18
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 16 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали,
по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый
учащийся, писавший тест, набрал натуральное количестh баллов. Оказалось,
что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один
из учащихся, писавших тест, перешёл из
школы № 1 в школу № 2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2
также уменьшился на 10%. Мог ли перhgZqZevguc средний балл в школе № 2
раgylvky 7?
в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2
также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение перhgZqZevgh]h
среднего балла в школе № 2.

ИЛИ
На доске написаны десять попарно различных натуральных чисел, которые
удоe_lоряют дmf услоbyf: среднее арифметическое шести наименьших из
них раgh 5, а среднее арифметическое шести наибольших раgh 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел раgylvky 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех этих десяти чисел равняться 11?
в) Какоh наибольшее hafh`gh_ значение среднего
арифметического k_o
этих десяти чисел при данных услоbyo?


Про_jvl_, чтобы каждый от_l был записан рядом с номером
соот_lklующего задания.
19

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 17 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Система оцениZgby экзаменационной работы по математике
(профильный уро_gv)
Каждое из заданий 1–12 считается uiheg_ggufb _jgh, если
экзаменуемый дал _jguc от_l в b^_ целого числа или конечной десятичной
дроби. Верный от_l на каждое задание оцениZ_lky 1 баллом.

Праbevguc ответ
Номер
задания
Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4
1 8 5 133 13 2 9 2 4 3 6 6 4 0,08 0,2 0,657 5 9 17 93 3 6 64 6 154 16 7 4 –
1,75
8 4 12 52 9 –
0,96 4 16
10 751 11 5 15 7,5 72 12 –
83 –
6 16 1,5
Решения и критерии оцениZgby uiheg_gby заданий с разzjgmluf
от_lhf
Количестh баллов, uklZ\e_gguo за uiheg_gb_ заданий 13–19, заbkbl
от полноты решения и праbevghklb ответа.
Общие требоZgby к uiheg_gbx заданий с разzjgmluf от_lhf:
решение должно быть математически грамотным, полным; k_ hafh`gu_
случаи должны быть рассмотрены.
Методы решения, формы его записи
и формы записи от_lZ могут быть разными. За решение, в котором
обосноZggh получен праbevguc от_l, uklZ\ey_lky максимальное
количестh баллов. Праbevguc ответ при отсутстbb текста решения
оцениZ_lky 0 баллов.
Эксперты про_jyxl только математическое содержание
представленного решения, а особенности записи не учитыZxl.
При uiheg_gbb задания могут использоZlvky без доказательстZ
и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных
пособиях, oh^ysbo в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых
к использоZgbx при реализации имеющих государст_ggmx аккредитацию
образоZl_evguo программ среднего общего образоZgby.
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 18 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

а) Решите ураg_gb_
()
2sin cos 2 3 cos 1
3
x
xx
π
++ = +
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

3;
2
−π−

.

Решение.
а) Запишем исходное ураg_gb_ в b^_:
2
sin 3 cos 1 2 sin 3 cos 1
x
xxx
++−=+
;
2
sin 2 sin 0
x
x
−=
;
()
sin 2 sin 1 0xx⋅−=.
Значит, sin 0
x=, откуда π
x
k =, k∈
, или
1
sin
2 x=, откуда
π

6
x
n =+, n∈
,
или


6
x
m =+, m∈
.
б) С помощью числоhc окружности отберём
корни, принадлежащие отрезку

3;
2
−π−

.
Получим числа: 3π −; 2π −;
11π
6 −.
Ответ:
а) πk, k∈
; π

6n +, n∈
;
От_l:



6m +, m∈
;
От_l: б) 3π −; 2π −; 11π
6 −.



Содержание критерия Баллы
ОбосноZggh получены _jgu_ от_lu в обоих пунктах 2 ОбосноZggh получен _jguc от_l в пункте а,
ИЛИ
получены не_jgu_ от_lu из-за uqbkebl_evghc ошибки, но при этом
имеется _jgZy последоZl_evghklv k_o шагов решения обоих
пунктов: пункта а и пункта б 1 Решение не соот_lklует ни одному из критериев, перечисленных
ur_ 0
Максимальный балл 2

13
6 11π
– —– –2π
– —3π
2

3π 0

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 19 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки



Все рёбра праbevghc треугольной призмы
111
ABCA B C имеют длину 6. Точки
M
и N— середины рёбер
1
AA и
11AC соот_lklенно.
а) Докажите, что прямые
BM
и
MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями
BMN и
1
ABB.
Решение.
а) Пусть точка
H — середина
AC. Тогда
()
2
22 2 2
33 6 63 BN BH NH=+ = +=
.
Вместе с тем
222222
(3 6 ) (3 3 ) 63 BM MN+=+++=,
тогда по теореме, обратной теореме Пифагора,
треугольник
BMN яey_lky прямоугольным с прямым
углом
M
.
б) Про_^zf перпендикуляр NP к прямой
11AB. Тогда
11
NP A B⊥
и
1
NP A A⊥
. СледоZl_evgh,
1
NP ABB⊥
.
Поэтому
MP — проекция
MN на плоскость
1
ABB
.
Прямая
BM
перпендикулярна
MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах
BMMP

. СледоZl_evgh, угол
NMP
— линейный угол искомого угла.
Длина
NP
раgZ полоbg_ ukhlu треугольника
11 1ABC
, т.е.
33
2 NP=
.
Поэтому
33 3
sin
23 2 8 NP
NMP
MN ∠== =
⋅.
СледоZl_evgh,
3
arcsin
8 NMP ∠=.
Ответ:
б)
3
arcsin
8.

14
C
BN
P
BA CM
H
11 1
A

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 20 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки


ИЛИ
В праbevghc четырёхугольной пирамиде
SABCD
сторона
АВ осноZgby
раgZ 16, а ukhlZ пирамиды раgZ 4. На рёбрах
АВ, CD
и
AS отмечены
точки
M
, N и
K соот_lklенно, причём 4
AMDN==
и 3
AK=
.
а) Докажите, что плоскости
MNK
и
SBC
параллельны.
б) Найдите расстояние от точки
M
до плоскости
SBC
.

Решение.
а) Пусть
O
— центр осноZgby пирамиды. Тогда
82
AO=
,
22
12
AS AO SO
=+=
. Следовательно, : : 1: 4
AMAB AKAS==
, поэтому
прямые
SB
и KM
параллельны. Кроме того,
MBCN
– прямоугольник, поэтому
прямые
MN
и BC
также параллельны. Отсюда следует, что плоскости
MNK
и
SBC
параллельны.

б) Пусть
P, Q, R — середины отрезков
AD
, MN
и
BC
соот_lklенно. Тогда плоскость
SPR
перпендикулярна прямой
BC
, а по доказанному
в п. а) плоскости
MNK
и
SBC
параллельны,
поэтому искомое расстояние раgh расстоянию
от точки
Q
до плоскости
SBC
. Про_^zf из
точки
Q перпендикуляр
QH
к прямой
SR
. Тогда 22 412
sin 12 .
5
48 SO
QH QR QRH QR
SR =⋅∠ =⋅ =⋅ =
+

Ответ:
б)
12
5
.

Содержание критерия Баллы
ОбосноZggh получены _jgu_ от_lu в пунктах
а и б 2
Выполнен только один из пунктов –
а или
б 1
Решение не соот_lklует ни одному из критериев, при_^zgguo
ur_ 0
Максимальный балл 2

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 21 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки


Решите нера_gklо
()( )
()
22
11 11 11
log 8 7 log 1 log 7
5
x
xxx
x
+− ++≥ +
+
.

Решение.
Правая часть нера_gklа определена при 5
x<−
и
35
8
x>−
.
Поскольку при любых значениях

x ujZ`_gb_
2
87x
+
принимает
положительные значения, при 5
x<−
и
35
8
x>−
неравенстh принимает b^:
2
2
87835
5
1xx
x x
x++

+
++
;
()
()
()
()
32 32
22
8407358434335
51 51 xxx xxx
xxx xxx+++ +++

+++ +++;
()
() 2
2
336
0
51xx
xxx+

+++
;
()
() ()
2
312
0
51xx
xxx+

+++,
откуда 12
x≤−; 5 0
x
−< ≤. УчитыZy ограничения 5
x<− и
35
8 x>−,
получаем: 12
x≤−;
35
0
8x −<≤.
Ответ:
(
]
;12 −∞ −
; (
35
;0
8



.



Содержание критерия Баллы
ОбосноZggh получен _jguc от_l 2 ОбосноZggh получен от_l, отличающийся от _jgh]h
исключением точек 12− и/или 0,
ИЛИ
получен не_jguc от_l из-за uqbkebl_evghc ошибки, но при этом
имеется _jgZy последоZl_evghklv k_o шагов решения 1 Решение не соот_lklует ни одному из критериев, перечисленных
ur_ 0
Максимальный балл 2

15
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 22 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

AB C D
HK
M O
1
O2

Д_ окружности касаются g_rgbf образом в точке .
K
Прямая
AB касается
перhc окружности в точке
A, а lhjhc — в точке .
B Прямая
BK пересекает
перmx окружность в точке ,D прямая
AK пересекает lhjmx окружность
в точке .C

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника
AKB
, если из_klgh, что радиусы
окружностей раgu 4 и 1.

Решение.
а) Обозначим центры
окружностей 1O
и
2O
соот_lklенно.
Пусть общая касательная, про_^zggZy
к окружностям в точке ,K
пересекает
AB
в точке .
M
По сhcklу касательных,
про_^zgguo из одной точки,
AMKM=

и .
KMBM= Треугольник AKB, у которого
медиана раgZ полоbg_ стороны,
к которой она про_^_gZ, прямоугольный.
Вписанный угол
AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр .
AD Значит,
.
ADAB⊥ Аналогично получаем, что .
BCAB⊥ Следовательно, прямые AD
и BC параллельны.
б) Пусть, для определённости, перZy окружность имеет радиус 4,
а lhjZy — радиус 1.
Треугольники
BKC и
AKD
подобны,
4 AD
BC=. Пусть ,
BKCSS= тогда
16 .
AKDSS=

У треугольников AKD и AKB общая ukhlZ, следоZl_evgh,
,
AKD
AKBSDKAD
SKBBC==
т.е.
4.
AKBSS
=
Аналогично,
4.
CKDSS
=
Площадь трапеции
ABCD раgZ 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Про_^zf к
AD перпендикуляр
2
, OH
раguc ukhl_ трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника
21OHO
:
22
2121
4 OH OO OH=−=.
Тогда 20
2
ABCD
AD BC
SAB+
=⋅=.
СледоZl_evgh, 25 20S=, откуда 0,8 S=
и 43,2.
AKBSS==
Ответ:
3,2.

16

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 23 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Содержание критерия Баллы
Имеется _jgh_ доказательстh ут_j`^_gby пункта а, и обосноZggh
получен _jguc от_l в пункте б 3 Получен обосноZgguc от_l в пункте б,
ИЛИ
имеется _jgh_ доказательстh ут_j`^_gby пункта а, и при
обосноZgghf решении пункта б получен не_jguc от_l из-за
арифметической ошибки 2 Имеется _jgh_ доказательстh ут_j`^_gby пункта а,
ИЛИ
при обосноZgghf решении пункта б получен не_jguc от_l из-за
арифметической ошибки,
ИЛИ
обосноZggh получен _jguc от_l в пункте б с использоZgb_f
ут_j`^_gby пункта а, при этом пункт а не uiheg_g 1 Решение не соот_lklует ни одному из критериев, при_^zgguo ur_ 0
Максимальный балл3

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 24 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

15-го янZjy планируется aylv кредит в банке на шесть месяцев
в размере 1 млн рублей. Услоby его haрата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг у_ebqbается на r процентов
по сраg_gbx с концом предыдущего месяца, где
r —
целое
число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо uieZlblv часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соот_lklии со следующей таблицей.
Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг
(в млн рублей) 1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0
Найдите наибольшее значение
r, при котором общая сумма uieZl будет
меньше 1,2 млн рублей.


Решение.
По услоbx, долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого
месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:
1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.
Пусть 1
100r
k=+
, тогда долг на 1-е число каждого месяца равен:
k; 0, 6k; 0, 4k; 0, 3k; 0, 2k; 0,1k.
СледоZl_evgh, uieZlu со 2-го по 14-е число каждого месяца состаeyxl:
0, 6 k−; 0, 6 0, 4k−; 0, 4 0, 3k−; 0, 3 0, 2k−; 0, 2 0,1k−; 0,1k.
Общая сумма uieZl составляет:
()()
()( ) ()1 0, 6 0, 4 0, 3 0, 2 0,1 0, 6 0, 4 0, 3 0, 2 0,1
1 1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 1 2,6 1 1. k
kk +++++ − ++++ =
=− + + + + + += −+

По услоbx, общая сумма uieZl будет меньше 1,2 млн рублей, значит,
()
2, 6 1 1 1, 2k−+<;
2, 6 1 1, 2
100r
⋅+<
;
9
7
13 r<.
Наибольшее целое решение этого нера_gklа — число 7. Значит, искомое
число процентов — 7.
Ответ:
7.


ИЛИ
Строительстh ноh]h заh^Z стоит 75 млн рублей. Затраты на произh^klо x тыс. ед. продукции на таком заh^_ раgu
2
0, 5 7xx++
млн рублей в год.
Если продукцию заh^Z продать по цене
p тыс. рублей за единицу,
то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год состаbl
()
2
0, 5 7 px x x−++
.
Когда заh^ будет построен, фирма будет uimkdZlv продукцию в таком
количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем
значении
p строительстh заh^Z окупится не более чем за 3 года?



17

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 25 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Решение
. Прибыль фирмы (в млн рублей) за один год ujZ`Z_lky как
()
()
22
0, 5 7 0, 5 1 7 px x x x p x−++=−+−−
.
Это ujZ`_gb_ яey_lky квадратным трёхчленом и достигает своего
наибольшего значения при 1
x
p =−. Наибольшее значение раgh
()
21
7
2 p−

.
Строительстh заh^Z окупится не более чем за 3 года, если
()
21
75
7
23 p−
−≥
; ()
2164 p−≥
; ()()
970 pp−+≥,
то есть при 9
p≥, поскольку цена продукции не может быть отрицательной.
Таким образом, наименьшее значение 9
p=.
От_l: 9
p=.




Содержание критерия Баллы ОбосноZggh получен _jguc от_l 3 Верно построена математическая модель, решение с_^_gh
к исследоZgbx этой модели и получен результат:
— не_jguc от_l из-за uqbkebl_evghc ошибки;
— _jguc от_l, но решение недостаточно обосноZgh 2 Верно построена математическая модель, решение с_^_gh
к исследоZgbx этой модели, при этом решение может быть
не за_jr_gh 1 Решение не соот_lklует ни одному из критериев, перечисленных
ur_ 0
Максимальный балл3
Найдите k_ положительные значения a, при каждом из которых система

()
()
()
2
2
2
22549,
2 xy
xya

−+−=


++=



имеет единст_ggh_ решение.





Решение.
Если 0
x≥, то ураg_gb_
()
()
2
2549 xy−+− = задаёт окружность


с центром в точке
()15; 4 C радиусом 3, а если 0
x<, то оно задаёт окружность

с центром в точке
()2
5; 4
C−
таким же радиусом
(см. рисунок).
При положительных значениях
a ураg_gb_
()
2
222
x
ya ++=
задаёт
окружность ω с центром в точке
()
2; 0
C−
радиусом
a. Поэтому задача
состоит в том, чтобы найти k_ значения
a, при каждом из которых окружность
ω имеет единст_ggmx общую точку с объединением окружностей
1ω и
2ω.
18
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 26 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

ω ω
ω
1
ω2
C1
C2
C
A1
A2
B1
B2
x
y
4
5 0 –2 –5

Из точки
C про_^zf луч
1
CC
и обозначим через
1A и
1B точки его
пересечения с окружностью

, где
1A лежит между
C и
1C
. Так как
()
2
2
1
52 4 65 CC=++=
, то
11
65 3, 65 3 CA CB=− =+
.
При
1
aCA<
или
1
aCB>
окружности ω и
1ω не пересекаются.
При
11
CA a CB<<
окружности ω и
1ω имеют две общие точки.
При
1
aCA=
или
1
aCB=
окружности ω и
1ω касаются.
Из точки
C про_^zf луч
2
CC
и обозначим через
2A и
2B
точки его
пересечения с окружностью
2ω, где
2A лежит между
C и
2C
. Так как
()
2
2
2
52 4 5 CC=−+ + =, то
22
53 2, 538 CA CB=−= =+=.
При
2
aCA< или
2
aCB> окружности ω и
2ω не пересекаются.
При
22
CA a CB<< окружности ω и
2ω имеют две общие точки.
При
2
aCA=
или
2
aCB=
окружности ω и

касаются.
Исходная система имеет единст_ggh_ решение тогда и только тогда, когда
окружность ω касается роgh одной из дmo окружностей

и

и не
пересекается с другой. Так как
21 2 1
CA CA CB CB<< <, то услоbx задачи
удоe_lоряют только числа 2a= и
65 3 a=+.
Ответ:
2; 65 3+.

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 27 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки


Содержание критерия Баллы
ОбосноZggh получен _jguc от_l 4 С помощью _jgh]h рассуждения получены оба _jguo значения
параметра, но
– или в от_l dexq_gu также и одно-дZ не_jguo значения;
– или решение недостаточно обосноZgh 3 С помощью _jgh]h рассуждения получено хотя бы одно _jgh_
значение параметра 2 Задача сведена к исследоZgbx:
– или aZbfgh]h расположения трёх окружностей;
– или дmo кZ^jZlguo ураg_gbc с параметром 1 Решение не соот_lklует ни одному из критериев, перечисленных
ur_ 0
Максимальный балл4


В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали,
по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый
учащийся, писавший тест, набрал натуральное количестh баллов. Оказалось,
что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один
из учащихся, писавших тест, перешёл из
школы № 1 в школу № 2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2
также уменьшился на 10%. Мог ли перhgZqZevguc средний балл в школе № 2
раgylvky 7?
в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2
также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение перhgZqZevgh]h
среднего балла в школе № 2.


19
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 28 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Решение.
а) Пусть в школе № 1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал
1 балл, а lhjhc набрал 19 баллов и перешёл в школу № 2. Тогда средний балл
в школе № 1 уменьшился в 10 раз.
б) Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, средний балл раgyeky
B,
а перешедший в неё учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:
()
0, 9 1 umBmB=+−;
()
10 9umB=−.
Если 7
B=, то
()9mB − не делится на 10, а 10u делится на 10. Но это
неhafh`gh, поскольку
()
10 9umB=−.
в) Пусть в школе № 1 средний балл раgyeky
A. Тогда получаем:
() ()90,98 umA mA=− − −;
()()
10 18 9umAmB=− =−.
Заметим, что если 1
B=
или 3
B=
, то
()
10 9umB
=−
не делится на 10. Если
2
B=
или
4
B=
, то 4m
=
. В перhf случае 14 10
A=
, а h lhjhf 14 20
A=
.
Значит, ни один из этих случаев не hafh`_g.
При 5
B=
и 3m
=
получаем 3u
=
и 2
A=
. Этот случай реализуется, например,
если в школе № 1 писали тест 6 учащихся, 3 из них набрали
по 1 баллу, а 3 — по 3 балла, в школе № 2 писали тест 3 учащихся и каждый
набрал по 5 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося —
3 балла.
Ответ:
а) да; б) нет; в) 5.
ИЛИ

На доске написаны десять попарно различных натуральных чисел, которые
удоe_lоряют дmf услоbyf: среднее арифметическое шести наименьших из
них раgh 5, а среднее арифметическое шести наибольших раgh 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел раgylvky 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех этих десяти чисел равняться 11?
в) Какоh наибольшее hafh`gh_ значение среднего
арифметического k_o
этих десяти чисел при данных услоbyo?

Решение.
а) Наименьшее число не может раgylvky 3, так как в протиghf
случае сумма шести наименьших чисел будет не меньше
34567833
+++++=
, а их среднее арифметическое — не меньше
33
5
6
>
, что
протиhj_qbl услоbx.

б) Пусть
12 10, ,..., aa a
— написанные на доске числа, расположенные в порядке
hajZklZgby. Тогда из услоby ul_dZxl ра_gklа 12 6 56 10
... 30, ... 90 aa a a a a+++= +++ =
.
Если среднее арифметическое k_o чисел раgh 11, то
12 10
... 110 aa a
+++ =
,
откуда

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 29 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

()( )( )
56 1 6 5 10 1 10
... ... ... 30 90 110 10, aaaaa aaa
+= ++ + ++ − ++ =+− =

что неhafh`gh, так как
5
5 a≥
и
6
6 a≥
.
в) Покажем, что
56
15 aa
+≥
. Дейстbl_evgh, если
56
14 aa
+≤
, то
1234
30 14 16 aa a a+++≥−=
,
но тогда
4
6 a≥
(так как иначе
1234
234514 aa a a
+++≤+++=
) и поэтому
56
14 7 8 15aa ≥+≥+=
— протиhj_qb_.
Таким образом, получаем
()
12 10 56
... 120 105 aa a a a
+++ = − + ≤
,
а значит, среднее арифметическое k_o 10 чисел не преhkoh^bl значения 10,5.
Это значение реализуется: k_ услоby задачи uiheg_gu для чисел
2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 21, 22, 23,
а их среднее арифметическое раgh как раз 10,5.
Ответ:
а) нет; б) нет; в) 10,5.


Содержание критерия Баллы
Верно получены k_ перечисленные (см. критерий на 1 балл)
результаты 4 Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл)
результатов 3 Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл)
результатов 2 Верно получен один из следующих результатов:
– обоснованное решение пункта а;
– обоснованное решение пункта б;
– искомая оценка в пункте в;
– пример в пункте в, обеспечиZxsbc точность предыдущей оценки 1 Решение не соот_lklует ни одному из критериев, перечисленных
ur_ 0
Максимальный балл 4
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 30 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

В соот_lklии с Порядком про_^_gby государст_gghc итогоhc
аттестации по образоZl_evguf программам среднего общего образоZgby
(приказ Минпрос_s_gby России и Рособрнадзора от 07.11.2018 № 190/1512,
зарегистрироZg Минюстом России 10.12.2018 № 52952),
«82. <…> По результатам перhc и lhjhc проверок эксперты незаbkbfh
друг от друга uklZляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной
работы ЕГЭ с раз_jgmluf от_lhf
. <…>
В случае существенного расхождения в баллах, uklZленных дmfy
экспертами, назначается третья про_jdZ. Сущест_ggh_ расхождение в баллах
определено в критериях оцениZgby по соот_lklующему учебному предмету.
Эксперту, осущестeyxs_fm третью про_jdm, предостаey_lky
информация о баллах, uklZ\e_gguo экспертами, ранее про_jyшими
экзаменационную работу».
Существенными считаются следующие расхождения.
1. Расхождение между баллами, uklZленными дmfy экспертами за
uiheg_gb_
любого из заданий 13–19, составляет 2 или более балла. В этом
случае третий эксперт про_jy_l только те от_lu на задания, которые были
оценены со столь сущест_gguf расхождением.
2. Расхождения между баллами, uklZленными дmfy экспертами за
uiheg_gb_ хотя бы дmo из заданий 13–19. В этом случае третий эксперт
про_jy_l от_lu на k_ задания работы.
X