ЕГЭ по математике 2021 демо

Формат документа: pdf
Размер документа: 0.28 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 3 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки
Демонстрационный ZjbZgl
контрольных измерительных материалов
единого государст_ggh]h экзамена 2021 года
по МАТЕМАТИКЕ


Профильный уро_gv

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из дmo частей, dexqZxsbo в себя
19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким от_lhf базоh]h уроgy
сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким от_lhf поur_ggh]h уроgy
сложности и 7 заданий с
разzjgmluf от_lhf поur_ggh]h и ukhdh]h
уроg_c сложности.
На uiheg_gb_ экзаменационной работы по математике отh^blky 3 часа
55 минут (235 минут).
От_lu к заданиям 1–12 записыZxlky по при_^zgghfm ниже образцу

в b^_ целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля
от_lh\ в тексте работы, а затем перенесите их в бланк от_lh\ № 1.

От_l:
–0,8
_
.

При uiheg_gbb заданий 13–19 требуется записать полное решение
и от_l в бланке от_lh\ № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается
использоZgb_ гелеhc или капиллярной ручки.
При uiheg_gbb заданий можно пользоZlvky черноbdhf. Записи
в черноbd_, а также в тексте контрольных измерительных материалов
не учитываются при оцениZgbb работы.
Баллы, полученные Вами
за uiheg_ggu_ задания, суммируются.
Постарайтесь uihegblv как можно больше заданий и набрать наибольшее
количество баллов.
После за_jr_gby работы про_jvl_, чтобы от_l на каждое задание
в бланках от_lh\ № 1 и № 2 был записан под праbevguf номером.

Желаем успеха!


Спраhqgu_ материалы

()
()
22
22
sinαcosα1
sin 2α2sinαcosα
cos 2αcosαsinα
sinαβsinαcosβcosαsinβ
cosαβcosαcosβsinαsinβ +=
=⋅
=−
+= ⋅ + ⋅
+= ⋅ − ⋅
КИМ
Бланк
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 4 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки



От_lhf к заданиям 1–12 яey_lky целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле от_lZ в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 спраZ от номера соот_lklующего задания, начиная с перhc клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соот_lklии с при_^zggufb в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1

Поезд отпраbeky из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (j_fy москоkdh_)
и прибыл в Москm в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд
находился в пути?

От_l: ___________________________.

ИЛИ

В среднем за день h j_fy конференции расходуется 80 пакетиков чая.
Конференция длится 3 дня. В пачке чая 50 пакетиков. Какого наименьшего
количества пачек чая хZlbl на k_ дни конференции?


От_l: ___________________________.

ИЛИ

Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке
скидку 5%. Книга стоит 140 рублей. Сколько рублей заплатит держатель
дисконтной карты за эту книгу?


От_l: ___________________________.

ИЛИ

Весь первый этаж 16-этажного дома занимают магазины, а на каждом из
остальных этажей любого его подъезда расположено по 4 кZjlbju. На каком
этаже этого дома находится кZjlbjZ 165?

От_l: ___________________________.
1

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 5 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

На рисунке жирными точками показано суточное количестh осадков,
uiZ^Zших в Томске с 8 по 24 янZjy 2005 г. По горизонтали указаны числа
месяца; по _jlbdZeb — количестh осадков, uiZших
в соот_lklующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки
на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа
в Томске i_jые uiZeh роgh 1,5 миллиметра осадков.
8 9 10 11 12 13 14 15 2316 17 18 19 20 21 22
24 0,0 0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0 3,5 4,0


От_l: ___________________________.

ИЛИ

Мощность отопителя в аlhfh[be_ регулируется дополнительным
сопротивлением. При этом меняется сила тока в электрической цепи
электродb]Zl_ey: чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и быстрее
jZsZ_lky мотор отопителя. На графике показана зависимость силы тока
от _ebqbgu сопротиe_gby. На горизонтальной оси отмечено сопротиe_gb_
в омах; на _jlbdZevghc оси — сила тока в
амперах. Определите по графику,
на сколько омов у_ebqbehkv сопротиe_gb_ в цепи при уменьшении силы тока
с 12 ампер до 4 ампер.
00,5 0 2
4
6
8
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 10 12


От_l: ___________________________.


2
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 6 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки


ИЛИ

На диаграмме показана среднемесячная температура ha^moZ
h Владивостоке за каждый месяц 2013 г. По горизонтали указыZxlky месяцы;
по _jlbdZeb — температура в градусах Цельсия. Определите
по приведённой диаграмме, сколько было месяцев с отрицательной
среднемесячной температурой.
янв фев мар апр май июн июл авг сен окт ноя дек 0 8 16 24
20
12
4
–16 –8 –4
–12


От_l: ___________________________.

На клетчатой бумаге с размером клетки
11×

изображён треугольник. Найдите его площадь.



От_l: ___________________________.

ИЛИ
На клетчатой бумаге с размером
клетки 11× изображена трапеция.
Найдите длину средней линии этой
трапеции.


От_l: ___________________________.
3

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 7 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

В сборнике билетов по биологии k_]h 25 билетов. Только в двух билетах
klj_qZ_lky hijhk о грибах. На экзамене uimkdgbdm достаётся один случайно
u[jZgguc билет из этого сборника. Найдите _jhylghklv того, что в этом
билете будет hijhk о грибах. От_l: ___________________________.

ИЛИ

Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, раgZ 0,8,
а _jhylghklv того, что он прослужит более 2 лет, раgZ 0,6. КакоZ
_jhylghklv того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет? От_l: ___________________________.

ИЛИ

Стрелок при каждом uklj_e_ поражает мишень с _jhylghklvx 0,3,
незаbkbfh от результатов предыдущих uklj_eh\. КакоZ _jhylghklv того,
что он поразит мишень, сделав не более 3 uklj_eh\? От_l: ___________________________.

Найдите корень ураg_gby
5
381x−
=
.
От_l: ___________________________.

ИЛИ

Найдите корень ураg_gby
34910x+=
.

От_l: ___________________________.

ИЛИ

Найдите корень ураg_gby
()8
log 5 47 3x+=.


От_l: ___________________________.
4 5
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 8 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки


ИЛИ

Решите ураg_gb_
23x
x +=. Если корней окажется несколько, то в от_l
запишите наименьший из них.
От_l: ___________________________.
Треугольник
ABC ibkZg в окружность с центром .O Угол
BAC ра_g 32 .°

Найдите угол
BOC. Ответ дайте в градусах.
От_l: ___________________________.

ИЛИ

Площадь треугольника
ABC раgZ 24, DE — средняя линия, параллельная
стороне
AB. Найдите площадь треугольника CDE.


От_l: ___________________________.

ИЛИ

В ромбе
ABCD угол
DBA
ра_g 13°. Найдите угол
BCD. От_l дайте
в градусах.
От_l: ___________________________.

ИЛИ

Стороны параллелограмма раgu 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую
из этих сторон, раgZ 18. Найдите ukhlm, опущенную на бо
́льшую сторону
параллелограмма.

От_l: ___________________________.

6

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 9 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

На рисунке изображён график дифференцируемой функции
()
. yfx=
На оси абсцисс отмечены деylv точек:
1x,
2x, ...
9x.

xx xy= f(x)
xxy
xxxx
x
0
12 34 78 96 5

Найдите k_ отмеченные точки, в которых произh^gZy функции
()f
x
отрицательна. В от_l_ укажите количестh этих точек.

От_l: ___________________________.

ИЛИ
На рисунке изображены график функции
()
yfx= и касательная к нему
в точке с абсциссой
0x. Найдите значение произh^ghc функции
()f
x
в точке
0x.
x
y –3 1 4
1
6
2 0 y=f(x) 0x


От_l: ___________________________.
7
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 10 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

В перhf цилиндрическом сосуде уро_gv жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили h lhjhc цилиндрический сосуд, диаметр осноZgby которого в 2 раза больше диаметра осноZgby перh]h. На какой ukhl_ будет находиться уро_gv жидкости h lhjhf сосуде? От_l дайте в сантиметрах. От_l: ___________________________.
ИЛИ
Площадь бокоhc по_joghklb треугольной
призмы раgZ 24. Через среднюю линию
осноZgby призмы про_^_gZ плоскость,
параллельная бокоhfm ребру. Найдите площадь
бокоhc по_joghklb отсечённой треугольной
призмы.


От_l: ___________________________.

ИЛИ

Через точку, лежащую на ukhl_ прямого кругоh]h конуса и делящую её
в отношении 1: 2
,
считая от _jrbgu конуса, про_^_gZ плоскость,
параллельная его осноZgbx и делящая конус на д_ части. Каков объём той
части конуса, которая примыкает к его осноZgbx, если объём k_]h конуса
ра_g 54?
От_l: ___________________________.

Не забудьте перенести k_ от_lu в бланк от_lh\ № 1.
8

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 11 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Часть 2

Найдите sin 2α, если
cosα0, 6 =
и
πα2π. <<

От_l: ___________________________.


ИЛИ

Найдите значение ujZ`_gby
4
7
16 log 7 .


От_l: ___________________________.


ИЛИ

Найдите значение ujZ`_gby
19
510 416⋅.


От_l: ___________________________.
Локатор батискафа, раghf_jgh погружающегося _jlbdZevgh gba, испускает ультразmdhой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты сyaZgu соотношением
0
0,
f
f
vc
f
f −
=⋅
+
где 1500
c= м/с — скорость зmdZ в h^_,
0f— частота испускаемого сигнала
(в МГц),
f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту
отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
От_l: ___________________________.
9 10
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 12 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Весной катер идёт против течения реки в
2
1
3 раза медленнее, чем по течению.
Летом течение станоblky на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт
против течения в
1
1
2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость
течения весной (в км/ч).
От_l: ___________________________.
ИЛИ
Смешав 45-процентный и 97-процентный растhju кислоты и добаb\ 10 кг
чистой h^u, получили 62-процентный растhj кислоты. Если бы f_klh 10 кг
h^u добаbeb 10 кг 50-процентного растhjZ той же кислоты,
то получили бы 72-процентный растhj кислоты. Сколько килограммов
45-процентного растhjZ использоZeb для получения смеси?


От_l: ___________________________.
ИЛИ
Аlhfh[bev, дb`msbcky с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе,
обгоняет другой аlhfh[bev, дb`msbcky в ту же сторону с постоянной
скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими
аlhfh[beyfb через 15 минут после обгона? От_l: ___________________________.

ИЛИ
ПерZy труба наполняет бассейн на 48 минут дольше, чем lhjZy. Обе трубы,
работая одноj_f_ggh, наполняют тот же бассейн за 45 минут. За сколько
минут наполняет этот бассейн одна lhjZy труба?

От_l: ___________________________.
11

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 13 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Найдите наименьшее значение функции
()
99ln 117
yx x=− + +
на отрезке
[
]
10, 5; 0 −.

От_l: ___________________________.


ИЛИ
Найдите точку максимума функции
()
2
38
x
yx e

=+ ⋅.


От_l: ___________________________.


ИЛИ
Найдите точку минимума функции
2
256 x
y
x =−
+
.

От_l: ___________________________.


ИЛИ

Найдите точку максимума функции
()23cos 2sin 2 yx x x=− − + на промежутке
()0; 2π.



Не забудьте перенести k_ ответы в бланк от_lh\ № 1
в соот_lklии с инструкцией по uiheg_gbx работы.
Про_jvl_, чтобы каждый от_l был записан в строке с номером
соот_lklующего задания.

12
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 14 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

Для записи решений и от_lh\ на задания 13–19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер uihegy_fh]h задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обосноZggh_ решение и от_l. От_lu записыZcl_ чётко и разборчиh. а) Решите ураg_gb_
()
2sin cos 2 3 cos 1
3
x
xx π
++ = +.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

3;
2 
−π−


.



Все рёбра праbevghc треугольной призмы
111
ABCA B C имеют длину 6. Точки
M
и N— середины рёбер
1
AA и
11AC соот_lklенно.
а) Докажите, что прямые
BM
и
MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями
BMN и
1
ABB.

ИЛИ


D В праbevghc четырёхугольной пирамиде SABCD сторона
АВ осноZgby
раgZ 16, а ukhlZ пирамиды раgZ 4. На рёбрах
АВ, CD и
AS отмечены
точки
M
, N и
K соот_lklенно, причём 4
AMDN== и 3
AK=.
а) Докажите, что плоскости
MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M
до плоскости SBC.


Решите нера_gklо
()( )
()
22
11 11 11
log 8 7 log 1 log 7
5 x
xxx
x +− ++≥ +
+
.


Д_ окружности касаются g_rgbf образом в точке .
K
Прямая
AB касается
перhc окружности в точке
A, а lhjhc — в точке .
B Прямая
BK пересекает
перmx окружность в точке ,
D
прямая
AK пересекает lhjmx окружность
в точке .
C

а) Докажите, что прямые
AD
и
BC
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника
,
AKB
если из_klgh, что радиусы
окружностей раgu 4 и 1.

13 14 15 16

Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 15 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки


15 янZjy планируется aylv кредит в банке на шесть месяцев в размере
1 млн рублей. Услоby его haрата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг у_ebqbается на
r процентов
по сраg_gbx с концом предыдущего месяца, где
r —
целое
число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо uieZlblv часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соот_lklии со следующей таблицей.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг
(в млн рублей) 1,0 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Найдите наибольшее значение
r, при котором общая сумма uieZl будет
меньше 1,2 млн рублей.


ИЛИ

Строительстh ноh]h заh^Z стоит 75 млн рублей. Затраты на произh^klо x тыс. ед. продукции на таком заh^_ раgu
2
0, 5 7xx++
млн рублей в год.
Если продукцию заh^Z продать по цене
p тыс. рублей за единицу,
то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год состаbl
()
2
0, 5 7 px x x−++
.
Когда заh^ будет построен, фирма будет uimkdZlv продукцию в таком
количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем
значении
p строительстh заh^Z окупится не более чем за 3 года?





Найдите k_ положительные значения
a, при каждом из которых система

()
()
()
2
2
2
22549,
2 xy
xya 
−+−=


++=


имеет единст_ggh_ решение.


17 18
Демонстрационный ZjbZgl ЕГЭ 2021 г.

МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень. 16 / 30

© 2021 Федеральная служба по надзору в сфере образоZgby и науки

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали,
по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый
учащийся, писавший тест, набрал натуральное количестh баллов. Оказалось,
что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один
из учащихся, писавших тест, перешёл из
школы № 1 в школу № 2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2
также уменьшился на 10%. Мог ли перhgZqZevguc средний балл в школе № 2
раgylvky 7?
в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2
также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение перhgZqZevgh]h
среднего балла в школе № 2.

ИЛИ
На доске написаны десять попарно различных натуральных чисел, которые
удоe_lоряют дmf услоbyf: среднее арифметическое шести наименьших из
них раgh 5, а среднее арифметическое шести наибольших раgh 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел раgylvky 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех этих десяти чисел равняться 11?
в) Какоh наибольшее hafh`gh_ значение среднего
арифметического k_o
этих десяти чисел при данных услоbyo?


Про_jvl_, чтобы каждый от_l был записан рядом с номером
соот_lklующего задания.
19
X