ЕГЭ математика 12 проф

Формат документа: pdf
Размер документа: 1.16 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

Г О Т О В И М С Я К Е Г Э
С. А. Шестаков
ЕГЭ 2018. Математика
Производная и первообразная. Исследование функций
Задача 12 (профильный уровень)
Рабочая тетрадь
Под редакцией И. В. Ященко
Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС)
Москва
Издательство МЦНМО 2018

УДК 373:51
ББК 22.1я72Ш51
Ш51Шестаков С. А.
ЕГЭ 2018. Математика. Производная и первообраз-
ная. Исследование функций. Задача 12 (профильный
уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. —
М.: МЦНМО, 2018. — 112 с.
ISBN 978-5-4439-1212-7
Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 2018. Математика»
ориентирована на подготовку учащихся старшей школы к успеш ной
сдаче единого государственного экзамена по математике в 201 8 году
по базовому и профильному уровням. В рабочей тетради предст авле-
ны задачи по одной позиции контрольных измерительных матер иа-
лов ЕГЭ-2018. На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить
уровневый подход к организации повторения, осуществить ко нтроль
и самоконтроль знаний по теме «Производная и первообразная . Ис-
следование функций». Рабочая тетрадь ориентирована на оди н учеб-
ный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сро ки
восполнить пробелы в знаниях выпускника. Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителе й
математики, родителей.
Издание соответствует Федеральному государственному обр азо-
вательному стандарту (ФГОС).
ББК 22.1я72
Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Фе-
дерации Московский центр непрерывного математического об разо-
вания включен в перечень организаций, осуществляющих изда ние
учебных пособий, допущенных к использованию в образовател ьном
процессе.
12 +
ISBN 978-5-4439-1212-7 © Шестаков С. А., 2018.
© МЦНМО, 2018.

От редактора серии
Прежде чем вы начнете работать с тетрадями, дадим некоторые пояснения и советы.
Планируется, что в 2018 году у вас будет возможность выбрать уровень экзамена по
математике — базовый или профильный. Вариант базового уров ня будет состоять из
20 задач, проверяющих освоение Федерального государствен ного образовательного
стандарта на базовом уровне.
Вариант ЕГЭ профильного уровня состоит из двух частей. Перв ая часть содержит
8 заданий базового уровня сложности по основным темам школь ной программы,
включая практико-ориентированные задания с кратким ответ ом. Вторая часть состо-
ит из 11 более сложных заданий по курсу математики средней шк олы; из них четыре
с кратким ответом (задания 9 —
12) и семь с развернутым ответом (задания 13 —
19).
Рабочие тетради организованы в соответствии со структурой экзамена и позволят
вам подготовиться к выполнению всех заданий с кратким ответ ом, выявить и устра-
нить пробелы в своих знаниях.
Профильный уровень предназначен, в первую очередь, для тех , кому математика
требуется при поступлении в вуз. Если вы ориентируетесь на э тот уровень, то понима-
ете, что нужно уметь решать все задания с кратким ответом — ве дь на решение такой
задачи и вписывание ответа в лист на экзамене уйдет меньше вр емени, чем на задание
с развёрнутым решением; обидно терять баллы из-за ошибок в о тносительно простых
задачах. Кроме того, тренировка на простых задачах позволит вам избе жать технических
ошибок и при решении задач с полным решением.
Работу с тетрадью следует начать с выполнения диагностичес кой работы. Затем
рекомендуется прочитать решения задач, сравнить свои реше ния с решениями, приве-
дёнными в книге. Если какая-то задача или тема вызывает затр уднения, следует после
повторения материала выполнить тематические тренинги. Для завершающего контроля готовности к выполнению заданий соответствующей
позиции ЕГЭ служат диагностические работы, размещённые в к онце тетради.
Работа с серией рабочих тетрадей для подготовки к ЕГЭ по мате матике позволит
выявить и в кратчайшие сроки ликвидировать пробелы в знания х, но не может заме-
нить систематического изучения математики.
Желаем успеха!
3

Введение
Это пособие предназначено для подготовки к решению задач по теме «Производная
и первообразная. Исследование функций» и, в частности, зад ачи 12 (профильного
уровня) Единого государственного экзамена по математике. Задача представляет собой традиционное для школьных учебн иков задание на вы-
числение первообразных или исследование функций: нахожде ние точек экстремума,
экстремумов, наибольших и наименьших значений функций. Для того чтобы подготовку к ЕГЭ сделать максимально эффекти вной, в пособие
включены задания по указанным темам, соответствующие всем шести функциональ-
но-числовым линиям школьного курса: •целые рациональные функции (многочлены),
• дробно-рациональные функции,
• иррациональные функции,
• тригонометрические функции,
• показательная функция,
• логарифмическая функция.
Здесь под иррациональными функциями понимаются функции, з аданные форму-
лой, в которой переменная находится под знаком корня n-й степени или имеет дроб-
ный показатель степени. Такое построение пособия позволит , с одной стороны, вы-
явить существующие пробелы и проблемные зоны в подготовке с целью их устране-
ния и выработки устойчивых навыков решения задач базового у ровня и несколько
более сложных задач на вычисление производных и первообраз ных и исследование
функций, а с другой — использовать комплексный подход при ор ганизации и проведе-
нии обобщающего повторения. Кроме того, в пособие включен м атериал, связанный
с вычислением наибольших и наименьших значений функций без применения про-
изводной, разбитый на два пункта: «Применение свойств функ ций» и «Применение
стандартных неравенств». Материал второго пункта позволя ет лучше подготовиться
к решению задач 15, 17, 20 ЕГЭ по математике. Выпускники, для которых экзамен по
математике в выбранных ими вузах не является профильным, мо гут пропустить этот
пункт.
Пособие состоит из трех параграфов и включает 12 диагностич еских и 28 трениро-
вочных работ, а также разбор задач начальной диагностическ ой работы параграфа с
необходимыми методическими рекомендациями. Диагностиче ские работы состоят из
12 заданий (в параграфах 1 и 3 — по два на каждую из шести функци онально-числовых
линий школьного курса в соответствии с указанным выше поряд ком; в параграфе 2 за-
дачи диагностических и тренировочных работ сгруппированы по методам решения).
Тренировочные работы состоят из 10 задач для выработки или з акрепления навыков
решения по каждому типу заданий.
В начале работы с пособием целесообразно выполнить начальн ую диагностиче-
скую работу параграфа, определить, какие задачи вызывают з атруднения, и обратить-
4

Введение
ся при необходимости к разбору задач. После этого нужно потр енироваться в решении
задач каждого типа, выполнив тренировочные работы парагра фа. Для завершения
подготовки — сделать диагностические работы, размещенные в конце параграфа, по-
старавшись решить их без ошибок или с минимальным количеств ом ошибок. Жела-
тельно, чтобы время решения любой из диагностических и трен ировочных работ не
превышало одного часа. Подчеркнем, что в пособии рассматриваются задания, в значи тельной части отве-
чающие по уровню сложности заданию 12 (профильного уровня) ЕГЭ по математике.
Умение решать такие задачи является базовым: без него невоз можно продвинуться
в решении более сложных задач. Тем не менее, часть включенны х в пособие задач
несколько сложнее задачи 12 (профильного уровня) демоверс ии: их решение позволит
нарастить определенную «математическую мускулатуру» и чу вствовать себя на экза-
мене застрахованным от неприятных неожиданностей. При подготовке к решению задач Единого государственного эк замена с кратким
ответом нужно помнить следующее. Проверка ответов осущест вляется компьютером
после сканирования бланка ответов и сопоставления результ атов сканирования с пра-
вильными ответами. Поэтому цифры в бланке ответов следует п исать разборчиво
и строго в соответствии с инструкцией по заполнению бланка ( с тем, чтобы, например,
1 и 7, или 8 и В распознавались корректно). К сожалению, ошибк и сканирования
полностью исключить нельзя, поэтому если есть уверенность в задаче, за которую
получен минус, нужно идти на апелляцию. Ответом к задаче мож ет быть только целое
число или конечная десятичная дробь. Ответ, зафиксированн ый в иной форме, будет
распознан как неправильный. В этом смысле задание 14 не явля ется исключением: ес-
ли результатом вычислений явилась обыкновенная дробь, нап ример,3
4
, перед записью
ответа в бланк ее нужно перевести в десятичную, т. е. в ответе написать0,75 . Каждый
символ (в том числе запятая и знак «минус») записывается в от дельную клеточку, как
это показано на полях пособия.
5

Ответы:§ 1. Вычисление производных. Исследование
функций с применением производной
Диагностическая работа
1. Найдите точку максимума функции
1
y = x3
− 48 x+ 17.
2. Найдите наименьшее значение функции
2
y = x3
− 27 x на отрезке [0;4] .
3. Найдите точку минимума функции
3
y = 25 x
+
x+ 25.
4. Найдите наибольшее значение функции
4
y = x+ 9 x
на отрезке
[− 4;− 1] .
5. Найдите точку максимума функции
5
y = 7+ 6x − 2x 3 2
.
6. Найдите наименьшее значение функции
6
y = x3 2
− 3x + 1 на отрезке [1;9].
7. Найдите точку минимума функции
7
y = (0,5 − x) cos x+ sin x,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
8. Найдите наибольшее значение функции
8
y = 4p 2 cos
x+ 4x − + 4 на отрезке h
0; 2 i
.
9. Найдите точку максимума функции
9
y = (x 2
− 17 x− 17) e7
− x
.
10. Найдите наименьшее значение функции
10
y = (x − 13) ex
− 12
на отрезке [11;13] .
11. Найдите точку минимума функции
11
y = x− 5 ln x.
12. Найдите наибольшее значение функции
12
y = 5− 7x + 7 ln( x+ 3)
на отрезке [− 2,5 ;0] .
Образец написания:
6

Методические рекомендации
Методические рекомендации
Можно выделить следующие основные группы задач по теме, вын есенной в назва-
ние параграфа: •исследование функции на экстремумы;
• исследование функции на возрастание/убывание;
• исследование функции на наибольшие и наименьшие значения ( в том числе на
отрезке); •исследование функции с помощью графика ее производной (чте ние графика про-
изводной). Разница между первыми тремя и последней группами задач закл ючается лишь
в способе задания функции. В более традиционных для школьны х учебников задачах
(первые три группы задач) функция задана аналитически, для решения задачи нужно
найти производную, ее нули и промежутки знакопостоянства. Именно эти задачи
и будут рассматриваться в пособии. В менее традиционных зад ачах, ставших очень
популярными в последние годы (в том числе и благодаря ЕГЭ по м атематике), выводы
о промежутках возрастания и убывания (т. е. промежутках мон отонности), экстре-
мумах функции, ее наименьших или наибольших значениях нужн о сделать, исследуя
заданный график производной этой функции.
Для успешного решения задач по теме необходимо уверенное вл адение навыками
вычисления производных и решения неравенств. Исследовани е дифференцируемой
функции на возрастание (убывание) сводится к определению п ромежутков знакопо-
стоянства ее производной. Напомним соответствующие утвер ждения.
Если f ′
( x ) > 0в каждой точке интервала, то функция y =f( x ) возрастает на этом
интервале (достаточный признак возрастания функции ). Если f ′
( x ) < 0в каждой
точке интервала, то функция y =f( x ) убывает на этом интервале (достаточный
признак убывания функции ).
Решение задач на нахождение точек максимума и минимума (точ ек экстремума)
функции основывается на следующих утверждениях. Признак максимума. Если функция f непрерывна в точке x
0, f ′
( x ) > 0на ин-
тервале (a ; x
0)
и f ′
( x ) < 0на интервале (x
0;
b), то x
0— точка максимума функции
f (упрощенная формулировка :если в точке x
0производная меняет знак с плюса на
минус ,то x
0— точка максимума
).
Признак минимума. Если функция f непрерывна в точке x
0, f ′
( x ) < 0на интервале
( a ; x
0)
и f ′
( x ) > 0на интервале (x
0;
b), то x
0— точка минимума функции f
(упрощен-
ная формулировка :если в точке x
0производная меняет знак с минуса на плюс
,то x
0—
точка минимума ).
Условие непрерывности в точке x
0 является существенным. Если это условие не
выполнено, точка x
0 может не являться точкой максимума (минимума), даже если
функция fопределена в ней и производная меняет знак при переходе чере зx
0. В самом
7

§ 1. Вычисление производных. Исследование функций с применением производной
деле, рассмотрим функцию
f( x ) =
x2
при x6
= 0,
1 при x= 0.
Хотя эта функция определена в точке x= 0и в этой точке производная f′
( x ) = 2x
меняет знак с минуса на плюс, эта точка не является точкой мин имума.
Точками максимума и минимума являются лишь точки области оп ределения функ-
ции, и «ординат» эти точки иметь, разумеется, не могут. Тем н е менее, иногда учащи-
еся называют, например, точку минимума функции y= x2
+ 3не «точка 0», а «точка
(0 ;3) », подразумевая точку графика функции. Такое утверждение я вляется ошибоч-
ным. Значение функции в точке минимума называется минимумомфункции, а значение
в точке максимума — максимумомфункции.
Если функция возрастает (убывает) на каждом из двух промежу тков, то на их
объединении она далеко не всегда является возрастающей (уб ывающей). Например,
о функции y= tgx очень часто приводятся следующие ошибочные утверждения:
«функция y= tg xвозрастает на всей области определения», «функция y= tg xвоз-
растает на объединении промежутков вида 

2
+
k; 2
+
k
, k ∈ ». Если бы эти
утверждения были верны, то из неравенства 2> 1следовало бы, что tg 2>tg 1 , а это
не так. Аналогично обстоит дело с функцией y= 1
x
: вывод о том, что она убывает
на множестве (− ;0) ∪(0 ;+ ), является математической ошибкой. В самом деле,
из того, что 2> −3, отнюдь не следует, что 1
2
< 1 −
3, и, следовательно, функция
y= 1 x
не является убывающей на объединении промежутков (− ;0) ∪(0 ;+ ). Перечислять
промежутки возрастания лучше, используя точку, точку с зап ятой или союз «и», а не
знак объединения множеств. Впрочем, это совет скорее на буд ущее, на случай, если
задача на исследование функций когда-нибудь попадет во вто рую часть ЕГЭ по мате-
матике и будет требовать полного решения. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на
отрезке, нужно вычислить ее значения в точках экстремума, п ринадлежащих отрезку,
и значения на концах отрезка. Наибольшее (наименьшее) из вы численных значений
и будет наибольшим (соответственно наименьшим) значением функции на отрезке.
Для функции, непрерывной на интервале, аналогичное утверж дение справедливо да-
леко не всегда. В качестве примера рассмотрим функцию y= tg xна интервале (0;1) .
На этом интервале функция не имеет ни наибольшего, ни наимен ьшего значений.
Действительно, если предположить, что в точке x
0 функция достигает, например, наи-
большего значения, то это наибольшее значение равно y(x
0)
= x
0. Но тогда очевидно,
что в любой точке x
1 ∈
(x
0;
1) значение функции окажется больше, чем x
0, поскольку
функция y= tg xявляется возрастающей.
8

Методические рекомендации
Наибольшее и наименьшее значения функции y= f( x ) на отрезке [a ;b] обычно
обозначаются символами max
[ a ;b ] f
( x ) и min
[ a ;b ] f
( x ) соответственно.
Из теоремы о промежуточных значениях непрерывной на отрезк е функции следу-
ет, что если наибольшее и наименьшее значения функции на дан ном отрезке равны
числам mиM соответственно, то множеством значений функции на данном о трез-
ке является отрезок [m ;M ]. Поэтому к решению задачи на отыскание множества
значений функции, непрерывной на отрезке, также применим а лгоритм вычисления
наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.
Рассмотрим еще одну типичную ситуацию. При исследовании на монотонность
непрерывной и дифференцируемой на функции y= 3x4
− 4x3
в ответе нужно ука-
зать только два промежутка монотонности: (− ;1] , на котором функция убывает,
и [1 ;+ )— промежуток возрастания. Точка 0, хотя и является критичес кой, не будет
концом промежутка монотонности, так как производная в этой точке не меняет знак.
Напротив, при исследовании функции y= 1
x
2
− 2 x
в ответе должны быть указаны три
промежутка монотонности: (− ;0) и[1;+ )— промежутки возрастания, (0;1] —
промежуток убывания.
Значение в точке минимума функции, принадлежащей отрезку, вовсе не обяза-
тельно является наименьшим значением функции на этом отрез ке. Например, для
функции y= x3
− 3x наименьшим значением на отрезке [− 5;2] является вовсе не
y (1) =−2 (значение в точке минимума), а y(− 5) =−110 . Разумеется, аналогичное
замечание справедливо и для точек максимума. Для решения задачи 14 может оказаться полезным следующее св ойство непрерыв-
ных функций: если функция y =f( x ) имеет на промежутке I единственную точку экс-
тремума x 0и эта точка является точкой минимума
,то в ней достигается наимень-
шее значение функции на данном промежутке . Аналогичное утверждение справедливо
для точки максимума и наибольшего значения функции. Наприм ер, если функция
y = f( x ), непрерывная на отрезке [a ;b], имеет на промежутке (a ;b) единственную
точку экстремума x
0 и эта точка является точкой максимума функции, то наибольше
е
значение функции на отрезке [a ;b] равно f( x
0)
.
Иногда при решении задач на исследование функций оказывает ся, что на данном
промежутке точек экстремума нет. Такой ситуации не надо пуг аться: она означает,
что на этом промежутке производная принимает значения одно го знака, т. е. функция
является монотонной на нем. Остается заметить, что если фун кция возрастает на
отрезке, то наибольшее значение на нем достигается в правом конце отрезка, а наи-
меньшее — в левом; если функция убывает на отрезке, то наибол ьшее значение на
нем достигается в левом конце отрезка, а наименьшее — в право м. Например, пусть
требуется найти наибольшее значение функции
y= 6p
2 sin
x− 40
x
+ 49
9

§ 1. Вычисление производных. Исследование функций с применением производной
на отрезке h

4; 3 i
. Производная этой функции есть y′
= 6p 2 cos
x− 40
. Поскольку
< 4, получим, что 40

>
10 . Но 6p 2 cos
x= p 72 cos
x< p 81 cos
x, т. е.
6 p
2 cos
x< 9 cos x 9.
Поэтому y′
< 0при любом действительном значении аргумента. Значит, функ ция
y = 9 sin x− 40

x
+ 49 является убывающей на всей числовой прямой и своего наиболь -
шего значения на отрезке h

4; 3 i
достигает в точке x= 4
. Таким образом,
max


4;
3 
y
(x ) = y
4
= 6p 2
p 2
2
−40
 4
+
49 =45.
Особое место в ряду задач на вычисление наибольших и наимень ших значений
занимают «текстовые» задачи (как правило, с геометрически м содержанием). Обычно
в таких задачах требуется найти наибольшее или наименьшее в озможное значение
некоторой величины. При этом искомая величина рассматрива ется как функция неко-
торой другой величины. Так, например, если известен периме трpпрямоугольника,
то его площадь можно рассматривать как функцию S(x ) = xp
− 2x
2 , где
x— одна
из сторон прямоугольника. Исследовав эту функцию, можно ус тановить, какой из
всех возможных прямоугольников данного периметра имеет на ибольшую площадь.
Для рассматриваемой задачи это можно сделать и без применен ия производной, по-
скольку функция площади является квадратичной функцией с о трицательным коэффи-
циентом при второй степени аргумента. Поэтому наибольшее з начение достигается
в абсциссе вершины параболы, являющейся графиком функции, т. е. в точкеx= p
4
.
Следовательно, одна из сторон прямоугольника равна четвер ти периметра. Но тогда
и любая другая сторона будет равна p
4
. Таким образом, из всех прямоугольников дан-
ного периметра pнаибольшую площадь p
2
16 имеет квадрат. Другие задачи на вычисле-
ние наибольших и наименьших значений функции без применени я производной будут
рассмотрены в следующем параграфе.
10

Целые рациональные функции.
Решения задач 1 и 2 диагностической работы
1. Найдите точку максимума функции
y= x3
− 48 x+ 17.
Решение. Найдем производную данной функции:
y′
= 3x2
− 48.
Определим промежутки знакопостоянства производной, раз-
ложив полученное выражение на множители: 3x2
− 48 =3(x2
− 16) =3(x+ 4)( x− 4).
В точке x= −4 производная меняет знак с плюса на минус,
следовательно, эта точка и является единственной точкой
максимума.
+ +
y ′
( x )
y (x ) x

4
max 4
min
Ответ :− 4.
2. Найдите наименьшее значение функции
y= x3
− 27 x
на отрезке [0;4] .
Решение. Найдем производную функции
y= x3
− 27 x
и воспользуемся формулой разности квадратов: y′
= 3x2
− 27 , y′
= 3(x− 3)( x+ 3).
Производная меняет знак в точках x= −3 и x= 3. Отрезку
[0 ;4] принадлежит только точка x= 3, в которой производная
меняет знак с минуса на плюс. Таким образом, точка x= 3
является точкой минимума и единственной точкой экстрему-
ма на данном отрезке. Значит, своего наименьшего значения
на данном отрезке функция достигает именно в этой точке.
Найдем наименьшее значение:
y(3) =33
− 27 3 = −54.
Ответ :− 54 .
11

Ответы:Тренировочная работа 1
Т1.1. Найдите f′
(0) , если
Т1.1
f ( x ) = 3x4
− 15 x2
− 4x + 16.
Т1.2. Найдите f′
( − 1) , если
Т1.2
f ( x ) = x5
+ x7
+ x12
.
Т1.3. Найдите f′
(1) , если
Т1.3
f ( x ) = x3
x 4
x 7
.
Т1.4. Найдите f′
(4) , если
Т1.4
f ( x ) = (x − 5) 14
.
Т1.5. Найдите f′
( − 3) , если
Т1.5
f ( x ) = 3(x+ 4) 5
.
Т1.6. Найдите f′
(4) , если
Т1.6
f ( x ) = (3x− 11) 8
.
Т1.7. Найдите f′
( − 5) , если
Т1.7
f ( x ) = (x + 4) 6
+ (x + 6) 4
.
Т1.8. Найдите f′
( − 4) , если
Т1.8
f ( x ) = (x − 5)( x+ 5) 4
.
Т1.9. Найдите y′
( − 4) , если
Т1.9
y = (x + 3) 7
( x + 7) 3
.
Т1.10. Найдите f′
( − 3) , если
Т1.10
f ( x ) = (x + 1)( x+ 2)( x+ 3).
Образец написания:
12

Ответы:
Тренировочная работа 2
Т2.1. Найдите точку минимума функции Т2.1
y= x3
− 2x2
+ x− 2.
Т2.2. Найдите точку максимума функции Т2.2
y= 9− 4x + 4x2
− x3
.
Т2.3. Найдите точку минимума функции Т2.3
y= x3
− 3,5 x2
+ 2x − 3.
Т2.4. Найдите точку максимума функции Т2.4
y= x3
+ x2
− 8x − 7.
Т2.5. Найдите точку минимума функции Т2.5
y= x3
− 4x2
− 3x − 12.
Т2.6. Найдите точку максимума функции Т2.6
y= x3
+ 8x2
+ 16 x+ 3.
Т2.7. Найдите точку минимума функции Т2.7
y= x3
+ x2
− 16 x+ 5.
Т2.8. Найдите точку максимума функции Т2.8
y= x3
+ 4x2
+ 4x + 4.
Т2.9. Найдите точку минимума функции Т2.9
y= x3
− 4x2
− 8x + 8.
Т2.10. Найдите точку максимума функции Т2.10
y= x3
+ 5x2
+ 3x + 2.
13
Образец написания:

Ответы:Тренировочная работа 3
Т3.1. Найдите наименьшее значение функции
Т3.1
y = 3x2
− 2x3
+ 1
на отрезке [− 4;0] .
Т3.2. Найдите наибольшее значение функции
Т3.2
y = 4x2
− 4x − x3
на отрезке [1;3] .
Т3.3. Найдите наименьшее значение функции
Т3.3
y = x3
− 2x2
+ x+ 5
на отрезке [1;4] .
Т3.4. Найдите наибольшее значение функции
Т3.4
y = x3
+ x2
− 8x − 8
на отрезке [− 3;0] .
Т3.5. Найдите наименьшее значение функции
Т3.5
y = x3
− 4x2
− 3x − 11
на отрезке [0;6] .
Т3.6. Найдите наибольшее значение функции
Т3.6
y = −(x + 6)( x2
− 36)
на отрезке [− 4;3] .
Т3.7. Найдите наименьшее значение функции
Т3.7
y = (x − 3)( x+ 3) 2
на отрезке [− 2;2] .
Т3.8. Найдите наибольшее значение функции
Т3.8
y = 223 27
+
(x − 2) 2
+ (x − 2) 3
на отрезке [1;2] .
Т3.9. Найдите наименьшее значение функции
Т3.9
y = (1 −x)( x− 4) 2
на отрезке [0;3] .
Т3.10. Найдите наибольшее значение функции
Т3.10
y = (x − 10)( x2
− 11 x+ 10)
на отрезке [− 1;7] .
Образец написания:
14

Дробно-рациональные функции.
Решения задач 3 и 4 диагностической работы
3. Найдите точку минимума функции
y= 25
x
+
x+ 25.
Решение. Найдем производную данной функции:
y′
= −25
x
2
+
1.
Определим промежутки знакопостоянства производной, при-
ведя полученное выражение к общему знаменателю и разло-
жив числитель на множители: x2
− 25
x2
=(
x − 5)( x+ 5) x2
.
В точке x= 5производная меняет знак с минуса на плюс,
следовательно, эта точка и является единственной точкой ми -
нимума. Ответ : 5.
4. Найдите наибольшее значение функции y= x+ 9
x
на
отрезке [− 4;− 1] .
Решение. Найдем производную данной функции:
y′
= 1− 9
x
2
.
Приведем полученное выражение к общему знаменателю
и разложим числитель на множители: x2
− 9
x2
=(
x − 3)( x+ 3) x2
.
Отрезку [− 4;− 1] принадлежит только точка x= −3, в кото-
рой производная меняет знак с плюса на минус. Таким обра-
зом, точка x= −3 является точкой максимума и единствен-
ной точкой экстремума на данном отрезке. Значит, своего
наибольшего значения на данном отрезке функция достигает
именно в этой точке. Найдем наибольшее значение:
y(− 3) =−3+ 9

3 =
−6.
Ответ :− 6.
15

Ответы:Тренировочная работа 4
Т4.1. Найдите f′
− 1
2
, если
Т4.1
f ( x ) = 3x−
2
.
Т4.2. Найдите y′
(1) , если
Т4.2
y (x ) = 7 x
3
.
Т4.3. Найдите f′
3
4
, если
Т4.3
f ( x ) = 5x + 9x−
1
+ 8.
Т4.4. Найдите g′
( − 1) , если
Т4.4
g (x ) = 4
x2
+ 3x + 7 x .
Т4.5. Найдите y′
( − 10) , если
Т4.5
y = 8(x+ 9) −
10
.
Т4.6. Найдите g′
(7) , если
Т4.6
g (x ) = 7 (
x − 6) 5
.
Т4.7. Найдите f′
( − 4,5) , если
Т4.7
f ( x ) = x
− 4 x2
− 16 .
Т4.8. Найдите y′
(2) , если
Т4.8
y (x ) = 5 (4
x− 9) 3
.
Т4.9. Найдите g′
(2) , если
Т4.9
g (x ) = 5 4
x2
− 15 .
Т4.10. Найдите y′
( − 3) , если
Т4.10
y = 7
x + 2 2x + 7. Образец написания:
16

Ответы:
Тренировочная работа 5
Т5.1. Найдите точку минимума функции Т5.1
y= 16 −16 x

x.
Т5.2. Найдите точку максимума функции Т5.2
y= −x
2
+ 36 x .
Т5.3. Найдите точку минимума функции Т5.3
y= x
2
+ 64 x .
Т5.4. Найдите точку максимума функции Т5.4
y= 7− 0,5 x − 2 x
2
.
Т5.5. Найдите точку минимума функции Т5.5
y= 4 x
2
+
x+ 4.
Т5.6. Найдите точку максимума функции Т5.6
y= 27 x

0,5 x2
+ 6.
Т5.7. Найдите точку минимума функции Т5.7
y= 0,5 x2
+ 1 x
+
1,5.
Т5.8. Найдите точку максимума функции Т5.8
y= 16 x

x2
+ 9.
Т5.9. Найдите точку минимума функции Т5.9
y= x2
− 54 x
+
45.
Т5.10. Найдите точку максимума функции Т5.10
y= 128 x

x2
+ 100.
17
Образец написания:

Ответы:Тренировочная работа 6
Т6.1. Найдите наименьшее значение функции
Т6.1
y = x
2
+ 16 x на отрезке
[2;8].
Т6.2. Найдите наибольшее значение функции
Т6.2
y = x
2
+ 7x + 49 x
на отрезке [− 14 ;− 1] .
Т6.3. Найдите наименьшее значение функции
Т6.3
y = x
2
− 6x + 36 x
на отрезке [3;9] .
Т6.4. Найдите наибольшее значение функции
Т6.4
y = x
2
− 8x + 64 x
на отрезке [− 16 ;− 4] .
Т6.5. Найдите наименьшее значение функции
Т6.5
y = x
2
+ 10 x+ 100 x
на отрезке [1;20] .
Т6.6. Найдите наибольшее значение функции
Т6.6
y = x
3
+ x2
+ 9 x −
x2
на отрезке [− 9;− 1] .
Т6.7. Найдите наименьшее значение функции
Т6.7
y = x2
+ 25
+x2
− x3 x
на отрезке [1;10] .
Т6.8. Найдите наибольшее значение функции
Т6.8
y = 16
−x3 x
на отрезке [− 4;− 1] .
Образец написания:
18

Тренировочная работа 6Ответы:
Т6.9. Найдите наименьшее значение функции Т6.9
y= x
3
− 54 x
на отрезке [− 6;− 1] .
Т6.10. Найдите наибольшее значение функции Т6.10
y= 250
+50 x− x3 x
на отрезке [− 10 ;− 1] .
19
Образец написания:

Иррациональные функции.
Решения задач 5 и 6 диагностической работы
5. Найдите точку максимума функции
y= 7+ 6x − 2x 3
2
.
Решение. Найдем производную данной функции:
y′
= 6− 3x 1
2
, y′
= 3
2 − p x
.
Производная обращается в нуль, если p
x
= 2, т. е. x= 4. В точ-
ке x= 4производная меняет знак с плюса на минус, следова-
тельно, эта точка и является единственной точкой максимума .
Ответ : 4.
6. Найдите наименьшее значение функции
y= x3
2
− 3x + 1
на отрезке [1;9] .
Решение. Найдем производную данной функции:
y′
= 3
2
x1 2
− 3, y′
= 3 2
p x − 2
.
Производная обращается в нуль, если p
x
= 2, т. е. x= 4. В точ-
ке x= 4производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка
является единственной точкой минимума на данном отрезке,
и наименьшего значения на этом отрезке функция достигает
именно в этой точке. Найдем наименьшее значение:
y(4) =43
2
− 34 + 1= −3.
Ответ :− 3.
20

Ответы:
Тренировочная работа 7
Т7.1. Найдите f′
(9) , если Т7.1
f( x ) = 18 p x
.
Т7.2. Найдите g′
(8) , если Т7.2
g(x ) = 20 p x
+ 17.
Т7.3. Найдите f′
(2) , если Т7.3
f( x ) = p 4
x − 7.
Т7.4. Найдите y′
(5) , если Т7.4
y(x ) = 7p 6
x + 19.
Т7.5. Найдите y′
(1) , если Т7.5
y(x ) = 49 x5 7
.
Т7.6. Найдите g′
(18) , если Т7.6
g(x ) = x1 6
x 8 9
x 17 18
.
Т7.7. Найдите g′
(1) , если Т7.7
g(x ) = 48 8
p x 12
p x
.
Т7.8. Найдите f′
(1) , если Т7.8
f( x ) = 15 5
p x
+ 34 17
p x
.
Т7.9. Найдите g′
(1) , если Т7.9
g(x ) = x
7
,2
+ x2
,7 x 4
,5 .
Т7.10. Найдите y′
(1) , если Т7.10
y= x
2
,6
− 9 x1
,3
− 3.
21
Образец написания:

Ответы:Тренировочная работа 8
Т8.1. Найдите точку минимума функции
Т8.1
y = 4 3
xp x
− 6x + 1.
Т8.2. Найдите точку максимума функции
Т8.2
y = 2+ 3x − xp x
.
Т8.3. Найдите точку минимума функции
Т8.3
y = xp x
− 1,5 x + 2.
Т8.4. Найдите точку максимума функции
Т8.4
y = 7+ 8x − 4 3
xp x
.
Т8.5. Найдите точку минимума функции
Т8.5
y = (x − 9) p x
.
Т8.6. Найдите точку максимума функции
Т8.6
y = (6 −x)p x
.
Т8.7. Найдите точку минимума функции
Т8.7
y = (x − 12) p x
.
Т8.8. Найдите точку максимума функции
Т8.8
y = (15 −x)p x
.
Т8.9. Найдите точку минимума функции
Т8.9
y = xp x
− 3p x
+ 2.
Т8.10. Найдите точку максимума функции
Т8.10
y = 11 +6p x
− 2xp x
.
Образец написания:
22

Ответы:
Тренировочная работа 9
Т9.1. Найдите наименьшее значение функции Т9.1
y= (x − 12) p x
на отрезке [1;9] .
Т9.2. Найдите наибольшее значение функции Т9.2
y= 7− 6p x
− 5x3
на отрезке [1;4] .
Т9.3. Найдите наименьшее значение функции Т9.3
y= x3
+ 5p x
+ 7 на отрезке [4;16] .
Т9.4. Найдите наибольшее значение функции Т9.4
y= (7 −x)p x
+ 5 на отрезке [− 4;4] .
Т9.5. Найдите наименьшее значение функции Т9.5
y= (x − 11) p x
+ 1 на отрезке [0;8] .
Т9.6. Найдите наибольшее значение функции Т9.6
y= (10 −x)p x
+ 2 на отрезке [− 1;7] .
Т9.7. Найдите наименьшее значение функции Т9.7
y= (x − 15) p x
+ 12 +6 на отрезке [− 8;4] .
Т9.8. Найдите наибольшее значение функции Т9.8
y= (8 −x)p x
+ 4+ 1 на отрезке [− 3;5] .
Т9.9. Найдите наименьшее значение функции Т9.9
y= 2(x− 20) p x
+ 7+ 5 на отрезке [− 6;2] .
Т9.10. Найдите наибольшее значение функции Т9.10
y= 5− (x − 14) p x
+ 13 на отрезке [− 9;3] .
23
Образец написания:

Тригонометрические функции.
Решения задач 7 и 8 диагностической работы
7. Найдите точку минимума функции
y= (0,5 − x) cos x+ sin x,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Решение. Сначала найдем производную данной функции,
применив правило для вычисления производной произведе-
ния двух функций:
y′
= (0,5 − x)′
cos x+ (0 ,5 − x)(sin x)′
+ (cos x)′
,
т. е. y′
= −cos x− (0 ,5 − x) sin x+ cos x,
и, следовательно, y′
= −(0 ,5 − x) sin x, или y′
= (x − 0,5) sin x.
На промежутке 
0;
2 
производная обращается в нуль только
при x= 0,5 , поскольку sinx> 0при x∈ 
0;
2 
. В точке x= 0,5
производная меняет знак с минуса на плюс, и эта точка явля-
ется единственной точкой минимума на данном промежутке. Ответ :0,5 .
8. Найдите наибольшее значение функции
y= 4p
2 cos
x+ 4x − + 4
на отрезке h
0;
2 i
.
Решение. Найдем производную данной функции:
y′
= −4p
2 sin
x+ 4.
Производная обращается в нуль, если
4p
2 sin
x= 4, т. е. sinx= 1 p2.
Отрезку h
0;
2 i
принадлежит единственный корень x= 4
по-
лученного уравнения. В точке x=
4
производная меняет знак
с плюса на минус, эта точка является единственной точкой
максимума на данном отрезке, и наибольшего значения на
этом отрезке функция достигает именно в этой точке. Найдем
наибольшее значение:
y

4
= 4p 2 cos
4
+
4 4

+ 4, т. е. y
4
= 8.
Ответ : 8.
24

Ответы:
Тренировочная работа 10
Т10.1. Найдите f′
− 3

2 
, если Т10.1
f( x ) = 2 sin x+ 7 cos x.
Т10.2. Найдите y′
5
4 
, если Т10.2
y(x ) = 9p 2 sin
x− 7 tg x.
Т10.3. Найдите g′
5
6 
, если Т10.3
g(x ) = 9 tg x− 8 cos x.
Т10.4. Найдите y′
− 3

7 
, если Т10.4
y= 3 cos 7 x.
Т10.5. Найдите f′
1
13 
, если Т10.5
f( x ) = 3
sin(13
x).
Т10.6. Найдите y′
11
4 
, если Т10.6
y= 22 tg 
− x 11
.
Т10.7. Найдите g′
4
3 
, если Т10.7
g(x ) = 12 sin
x.
Т10.8. Найдите f′
5
6 
, если Т10.8
f( x ) = 18 cos
x.
Т10.9. Найдите y′

28 
, если Т10.9
y(x ) = sin 2
7 x − cos 2
7 x.
Т10.10. Найдите g′

36 
, если Т10.10
g(x ) = sin 24
x cos 12 x.
25 Образец написания:

Ответы:Тренировочная работа 11
Т11.1. Найдите точку максимума функции
Т11.1
y = xsin x+ cos x− 3 sin x+ 1,
принадлежащую промежутку 

2;

.
Т11.2. Найдите точку минимума функции
Т11.2
y = (x − 1,5) sin x+ cos x,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Т11.3. Найдите точку максимума функции
Т11.3
y = (6 −5x) sin x− 5 cos x+ 6,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Т11.4. Найдите точку минимума функции
Т11.4
y = 2 cos x− (1 −2x) sin x+ 1,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Т11.5. Найдите точку максимума функции
Т11.5
y = 2 cos x− (5 −2x) sin x+ 4,
принадлежащую промежутку 

2;

.
Т11.6. Найдите точку минимума функции
Т11.6
y = xsin x+ cos x− 3 4
sin
x,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Т11.7. Найдите точку максимума функции
Т11.7
y = sin x− 4 cos x− 4x sin x+ 5,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Образец написания:
26

Тренировочная работа 11Ответы:
Т11.8. Найдите точку минимума функции Т11.8
y= 3(x− 1,25) sin x+ 3 cos x+ 2,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Т11.9. Найдите точку максимума функции Т11.9
y= (2 −5x) sin x− 5 cos x+ 3,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Т11.10. Найдите точку минимума функции Т11.10
y= 4 sin x+ 2(5 −2x) cos x− 7,
принадлежащую промежутку 

2;

.
27
Образец написания:

Ответы:Тренировочная работа 12
Т12.1. Найдите наименьшее значение функции
Т12.1
y = 9+ p 3
− 3p 3
x − 6 cos x
на отрезке h
0;
2 i
.
Т12.2. Найдите наибольшее значение функции
Т12.2
y = 6 sin x− 36
x
+ 7
на отрезке h
− 5

6 ;
0 i
.
Т12.3. Найдите наименьшее значение функции
Т12.3
y = 5 cos x− 24
x
+ 9
на отрезке h
− 2

3 ;
0 i
.
Т12.4. Найдите наибольшее значение функции
Т12.4
y = 9 tg x− 8x + 7
на отрезке h

4
;
0 i
.
Т12.5. Найдите наименьшее значение функции
Т12.5
y = 4x − 5 tg x− 5 + 4
на отрезке h
3
4 ;5
4 i
.
Т12.6. Найдите наибольшее значение функции
Т12.6
y = 5 tg x− 4x + + 9
на отрезке h

4
; 4 i
.
Т12.7. Найдите наименьшее значение функции
Т12.7
y = p 3
3

− 2 cos x− p 3
x − 5
на отрезке h
0;
2 i
.
Т12.8. Найдите наибольшее значение функции
Т12.8
y = 2 sin x− p 3
x + p 3
6

+ 7
на отрезке h
0;
2 i
. Образец написания:
28

Тренировочная работа 12Ответы:
Т12.9. Найдите наименьшее значение функции Т12.9
y= 7 sin x+ 8 cos x− 17 x− 18
на отрезке h

2
;
0 i
.
Т12.10. Найдите наибольшее значение функции Т12.10
y= 4 sin x− 5 cos x+ 11 x− 13
на отрезке h
− 3

2 ;
0 i
.
29
Образец написания:

Показательная функция.
Решения задач 9 и 10 диагностической работы
9. Найдите точку максимума функции
y= (x 2
− 17 x− 17) e7
− x
.
Решение. Сначала найдем производную данной функции,
применив правило для вычисления производной произведе-
ния двух функций:
y′
= (x 2
− 17 x− 17) ′
e 7
− x
+ (x 2
− 17 x− 17)
e7
− x

,
т. е. y′
= (2x− 17) e7
− x
+ (x 2
− 17 x− 17)
− e7
− x
,
и, следовательно, y′
= −(x 2
− 19 x)e 7
− x
, или y′
= −x(x − 19) e7
− x
.
Производная обращается в нуль при x= 0и x= 19 , причем
меняет знак с плюса на минус в точке x= 19 . Эта точка и яв-
ляется единственной точкой максимума. Ответ : 19.
10. Найдите наименьшее значение функции
y= (x − 13) ex
− 12
на отрезке [11;13] .
Решение. Сначала найдем производную данной функции,
применив правило для вычисления производной произведе-
ния двух функций:
y′
= (x − 13) ′
e x
− 12
+(x − 13)( ex
− 12
)′
,
т. е. y′
= ex
− 12
+(x − 13) ex
− 12
,
и, следовательно, y′
= (x − 12) ex
− 12
. В точке x= 12 производ-
ная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является един-
ственной точкой минимума на данном отрезке, и наименьше-
го значения на этом отрезке функция достигает именно в этой
точке. Найдем наименьшее значение:
y(12) =(12 −13) e12
−12
=−1.
Ответ :− 1.
30

Ответы:
Тренировочная работа 13
Т13.1. Найдите f′
(2) , если Т13.1
f( x ) = 7
x ln 7 .
Т13.2. Найдите y′
( − 2) , если Т13.2
y= 2
x
5 x ln 10 .
Т13.3. Найдите f′
( − 6) , если Т13.3
f( x ) = 6
x
+ 8 ln 6 .
Т13.4. Найдите y′
( − 2) , если Т13.4
y= 9

x ln 9 .
Т13.5. Найдите f′
(14) , если Т13.5
f( x ) = 7
6 x 7
ln 6
.
Т13.6. Найдите y′
( − 2,5) , если Т13.6
y= e2
x+ 5
.
Т13.7. Найдите f′
( − 18) , если Т13.7
f( x ) = (x + 8) ex
+ 18
.
Т13.8. Найдите f′
(4) , если Т13.8
f( x ) = x
+ 3 ex
− 4 .
Т13.9. Найдите y′
(2) , если Т13.9
y= 7
3
x− 5 ln 7 .
Т13.10. Найдите y′
(5) , если Т13.10
y= 15
5
p 15 x
ln 15 .
31
Образец написания:

Ответы:Тренировочная работа 14
Т14.1. Найдите точку минимума функции
Т14.1
y = (x 2
− 5x + 5) ex
− 5
.
Т14.2. Найдите точку максимума функции
Т14.2
y = (x 2
− 8x + 8) ex
− 8
.
Т14.3. Найдите точку минимума функции
Т14.3
y = (x 2
− 15 x+ 15) ex
− 15
.
Т14.4. Найдите точку максимума функции
Т14.4
y = (x + 3) 2
e3
− x
.
Т14.5. Найдите точку минимума функции
Т14.5
y = −(x − 4) 2
e x
− 4
.
Т14.6. Найдите точку максимума функции
Т14.6
y = (x − 6) 2
e x
− 6
.
Т14.7. Найдите точку минимума функции
Т14.7
y = (4 −x)e5
− x
.
Т14.8. Найдите точку максимума функции
Т14.8
y = (x − 6) e7
− x
.
Т14.9. Найдите точку минимума функции
Т14.9
y = (x 2
− 3) ex
− 3
.
Т14.10. Найдите точку максимума функции
Т14.10
y = (x 2
+ 2x + 1) ex
+ 4
.
Образец написания:
32

Ответы:
Тренировочная работа 15
Т15.1. Найдите наименьшее значение функции Т15.1
y= 8+ (x − 7) ex
− 6
на отрезке [3;9] .
Т15.2. Найдите наибольшее значение функции Т15.2
y= (x − 11) e12
−x
+ 13
на отрезке [5;15] .
Т15.3. Найдите наименьшее значение функции Т15.3
y= 5− (x − 3) e4
− x
на отрезке [0;7] .
Т15.4. Найдите наибольшее значение функции Т15.4
y= (x − 4) 2
e x
− 2
на отрезке [1;3] .
Т15.5. Найдите наименьшее значение функции Т15.5
y= 2− (x − 3) 2
e5
− x
на отрезке [4;6] .
Т15.6. Найдите наибольшее значение функции Т15.6
y= 6+ (x − 7) 2
e x
− 5
на отрезке [4;6] .
Т15.7. Найдите наименьшее значение функции Т15.7
y= 4− (x − 4) 2
e x
− 2
на отрезке [1;3] .
Т15.8. Найдите наибольшее значение функции Т15.8
y= (x − 6) 2
e8
− x
на отрезке [7;9] .
Т15.9. Найдите наименьшее значение функции Т15.9
y= (x 2
− 5x + 5) ex
− 3
на отрезке [1;5] .
Т15.10. Найдите наибольшее значение функции Т15.10
y= (3 −x2
) e x
− 1
на отрезке [0;2] .
33
Образец написания:

Логарифмическая функция.
Решения задач 11 и 12 диагностической работы
11. Найдите точку минимума функции
y= x− 5 ln x.
Решение. Функция определена на (0;+ ). Найдем произ-
водную данной функции:
y′
= 1− 5
x
,
т. е. y′
= x
− 5 x .
Производная меняет знак в единственной точке x= 5, причем
знак производной в этой точке меняется с минуса на плюс.
Следовательно, эта точка и является единственной точкой
минимума данной функции. Ответ : 5.
12. Найдите наибольшее значение функции
y= 5− 7x + 7 ln( x+ 3)
на отрезке [− 2,5 ;0] .
Решение. Найдем производную данной функции:
y′
= −7+ 7
x
+ 3,
т. е. y′
= −7x
+ 2
x+ 3.
Производная меняет знак в единственной точке x= −2, при-
чем знак производной в этой точке меняется с плюса на ми-
нус. Эта точка является единственной точкой максимума на
данном отрезке, и наибольшего значения на этом отрезке
функция достигает именно в этой точке. Найдем наибольшее
значение:
y(− 2) =5− 7(− 2) +7 ln( −2+ 3) =19.
Ответ : 19.
34

Ответы:
Тренировочная работа 16
Т16.1. Найдите f′
(7) , если Т16.1
f( x ) = 28 ln x.
Т16.2. Найдите y′
( − 7) , если Т16.2
y= 15 ln( x+ 10).
Т16.3. Найдите f′
(5) , если Т16.3
f( x ) = ln(6 x− 5).
Т16.4. Найдите y′
(5) , если Т16.4
y= ln x
− 4 x+ 5.
Т16.5. Найдите f′
( − 4) , если Т16.5
f( x ) = 5x + 4 ln( x+ 6).
Т16.6. Найдите y′
(5) , если Т16.6
y= 3x ln( x− 4).
Т16.7. Найдите f′
( − 2) , если Т16.7
f( x ) = 4x2
ln( x+ 3).
Т16.8. Найдите f′
(2) , если Т16.8
f( x ) = ln(
x− 1) x+ 2 .
Т16.9. Найдите y′
(3) , если Т16.9
y= 6x + log
5(
x + 5) − x
2 48 ln 5 .
Т16.10. Найдите y′
(6) , если Т16.10
y= 5x2
+ x ln 7

6 log
7x
.
35
Образец написания:

Ответы:Тренировочная работа 17
Т17.1. Найдите точку максимума функции
Т17.1
y = 2 ln x− 5x + 7.
Т17.2. Найдите точку максимума функции
Т17.2
y = ln( x− 8) −x+ 5.
Т17.3. Найдите точку минимума функции
Т17.3
y = x− ln( x− 7) +7.
Т17.4. Найдите точку максимума функции
Т17.4
y = 4 ln( x− 3) −2x + 3.
Т17.5. Найдите точку минимума функции
Т17.5
y = 2x − 5 ln( x− 7).
Т17.6. Найдите точку максимума функции
Т17.6
y = 18 ln x− x2
.
Т17.7. Найдите точку минимума функции
Т17.7
y = 2x − 7 ln( x− 8) +5.
Т17.8. Найдите точку максимума функции
Т17.8
y = ln( x+ 5) −5x + 5.
Т17.9. Найдите точку минимума функции
Т17.9
y = (x − 3) 2
− 8 ln x.
Т17.10. Найдите точку максимума функции
Т17.10
y = 6 ln x− (x − 2) 2
.
Образец написания:
36

Ответы:
Тренировочная работа 18
Т18.1. Найдите наименьшее значение функции Т18.1
y= 5x − ln( x+ 5) 5
на отрезке [− 4,5 ;1] .
Т18.2. Найдите наибольшее значение функции Т18.2
y= 3 ln( x+ 2) −3x + 10 на отрезке [− 1,5 ;0] .
Т18.3. Найдите наименьшее значение функции Т18.3
y= −x2
+ 20 x− 18 ln xна отрезке [0,1 ;8 ,1] .
Т18.4. Найдите наибольшее значение функции Т18.4
y= 7− 7x + ln(7 x) на отрезке h
1 13 ;1 3i
.
Т18.5. Найдите наименьшее значение функции Т18.5
y= x2
− 2 ln x+ 1 на отрезке [0,3 ;3 ,3] .
Т18.6. Найдите наибольшее значение функции Т18.6
y= ln(13 x) − 13 x+ 13 на отрезке h
1 15 ;1 11 i
.
Т18.7. Найдите наименьшее значение функции Т18.7
y= 3x2
− 11 x+ 5 ln x+ 7 на отрезке h
11 12 ;13 12 i
.
Т18.8. Найдите наибольшее значение функции Т18.8
y= 7− ln x+ 5x − 2x2
на отрезке h
1 2; 7 6i
.
Т18.9. Найдите наименьшее значение функции Т18.9
y= 3x2
− 10 x+ 4 ln xна отрезке [0,8 ;1 ,2] .
Т18.10. Найдите наибольшее значение функции Т18.10
y= 3− x2
+ 7x − 5 ln xна отрезке h
1 8; 9 8i
.
37
Образец написания:

Ответы:Диагностическая работа 1
Д1.1. Найдите точку минимума функции
Д1.1
y = 7+ 12 x− x3
.
Д1.2. Найдите наибольшее значение функции
Д1.2
y = x3
− 3x + 4
на отрезке [− 2;0] .
Д1.3. Найдите точку максимума функции
Д1.3
y = 16 x
+
x+ 3.
Д1.4. Найдите наименьшее значение функции
Д1.4
y = x+ 36 x
на отрезке [1;9] .
Д1.5. Найдите точку минимума функции
Д1.5
y = 2 3
x3 2
− 2x + 1.
Д1.6. Найдите наибольшее значение функции
Д1.6
y = 3x − 2x 3 2
на отрезке [0;4] .
Д1.7. Найдите точку максимума функции
Д1.7
y = (2x− 3) cos x− 2 sin x+ 5,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Д1.8. Найдите наименьшее значение функции
Д1.8
y = 6 sin x− 9x + 5
на отрезке h
− 3

2 ;
0 i
. Образец написания:
38

Диагностическая работа 1Ответы:
Д1.9. Найдите точку минимума функции Д1.9
y= (x − 7) ex
+ 7
.
Д1.10. Найдите наибольшее значение функции Д1.10
y= (x − 9) e10
−x
на отрезке [− 11 ;11] .
Д1.11. Найдите точку максимума функции Д1.11
y= lnx− 2x.
Д1.12. Найдите наименьшее значение функции Д1.12
y= 4x − 4 ln x+ 5
на отрезке [0,5 ;5 ,5] .
39
Образец написания:

Ответы:Диагностическая работа 2
Д2.1. Найдите точку максимума функции
Д2.1
y = 5+ 4x − x
3 3 .
Д2.2. Найдите наибольшее значение функции
Д2.2
y = x3
− 6x2
на отрезке [− 3;3] .
Д2.3. Найдите точку минимума функции
Д2.3
y = 49 x
+
x+ 49.
Д2.4. Найдите наибольшее значение функции
Д2.4
y = x+ 4 x
+
4
на отрезке [− 4;− 1] .
Д2.5. Найдите точку максимума функции
Д2.5
y = 5+ 18 x− 4x 3 2
.
Д2.6. Найдите наибольшее значение функции
Д2.6
y = 6x − xp x
+ 1
на отрезке [9;25] .
Д2.7. Найдите точку минимума функции
Д2.7
y = 5 sin x− 5( x− 1) cos x+ 4,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Д2.8. Найдите наибольшее значение функции
Д2.8
y = 12 cos x+ 6p 3
x − 2p 3
+ 6
на отрезке h
0;
2 i
.
Д2.9. Найдите точку максимума функции
Д2.9
y = (x 2
− 17 x+ 17) e7
− x
.
Образец написания:
40

Диагностическая работа 2Ответы:
Д2.10. Найдите наибольшее значение функции Д2.10
y= 4+ (x − 5) e6
− x
на отрезке [1;8] .
Д2.11. Найдите точку минимума функции Д2.11
y= x− 7 ln x+ 6.
Д2.12. Найдите наибольшее значение функции Д2.12
y= 5 ln x− 5x + 7
на отрезке [0,7 ;1 ,7] .
41
Образец написания:

Ответы:Диагностическая работа 3
Д3.1. Найдите точку минимума функции
Д3.1
y = x
3 3 −
9x − 7.
Д3.2. Найдите наибольшее значение функции
Д3.2
y = 9x2
− x3
на отрезке [1;10] .
Д3.3. Найдите точку максимума функции
Д3.3
y = 9 x
+
x+ 9.
Д3.4. Найдите наименьшее значение функции
Д3.4
y = x+ 64 x
+
8
на отрезке [4;16] .
Д3.5. Найдите точку максимума функции
Д3.5
y = 2+ 5x − 2 3
xp x
.
Д3.6. Найдите наименьшее значение функции
Д3.6
y = xp x
− 12 x+ 11
на отрезке [36;81] .
Д3.7. Найдите точку минимума функции
Д3.7
y = 2 cos x+ sin x− xcos x,
принадлежащую промежутку 

2;

.
Д3.8. Найдите наибольшее значение функции
Д3.8
y = 11 x− 5 cos x+ 2
на отрезке h

2
;
0 i
.
Д3.9. Найдите точку максимума функции
Д3.9
y = (x + 8) e8
− x
.
Образец написания:
42

Диагностическая работа 3Ответы:
Д3.10. Найдите наименьшее значение функции Д3.10
y= (x + 4) ex
+ 5
на отрезке [− 9;9] .
Д3.11. Найдите точку минимума функции Д3.11
y= 2x − 5 ln x+ 3.
Д3.12. Найдите наибольшее значение функции Д3.12
y= ln( x+ 3) 3
− 3x
на отрезке [− 2,5 ;2 ,5] .
43
Образец написания:

Ответы:Диагностическая работа 4
Д4.1. Найдите точку максимума функции
Д4.1
y = x3
− 5x2
+ 7x − 5.
Д4.2. Найдите наименьшее значение функции
Д4.2
y = x3
− 3x2
+ 2
на отрезке [1;4] .
Д4.3. Найдите точку максимума функции
Д4.3
y = x
2
+ 225 x .
Д4.4. Найдите наибольшее значение функции
Д4.4
y = x
2
+ 25 x
на отрезке [− 10 ;− 1] .
Д4.5. Найдите точку минимума функции
Д4.5
y = 1 3
x3 2
− 3x + 5.
Д4.6. Найдите наибольшее значение функции
Д4.6
y = (27 −x)p x
на отрезке [1;16] .
Д4.7. Найдите точку максимума функции
Д4.7
y = 3− 4 sin x− (5 −4x) cos x,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Д4.8. Найдите наименьшее значение функции
Д4.8
y = 2 sin x+ 7x − 11
на отрезке [0;3 ].
Д4.9. Найдите точку минимума функции
Д4.9
y = (x + 5) ex
− 5
.
Образец написания:
44

Диагностическая работа 4Ответы:
Д4.10. Найдите наибольшее значение функции Д4.10
y= (8 −x)e x
− 7
на отрезке [3;10] .
Д4.11. Найдите точку максимума функции Д4.11
y= ln( x+ 2) −x+ 3.
Д4.12. Найдите наименьшее значение функции Д4.12
y= 2x − 2 ln( x+ 3) +3
на отрезке [− 2,5 ;1] .
45
Образец написания:

Ответы:Диагностическая работа 5
Д5.1. Найдите точку минимума функции
Д5.1
y = 7+ 12 x− x3
.
Д5.2. Найдите наибольшее значение функции
Д5.2
y = x3
− 3x + 4
на отрезке [− 2;0] .
Д5.3. Найдите точку максимума функции
Д5.3
y = 16 x
+
x+ 3.
Д5.4. Найдите наименьшее значение функции
Д5.4
y = x+ 36 x
на отрезке [1;9] .
Д5.5. Найдите точку минимума функции
Д5.5
y = 2 3
x3 2
− 2x + 1.
Д5.6. Найдите наибольшее значение функции
Д5.6
y = 3x − 2x 3 2
на отрезке [0;4] .
Д5.7. Найдите точку максимума функции
Д5.7
y = (2x− 3) cos x− 2 sin x+ 5,
принадлежащую промежутку 
0;
2 
.
Д5.8. Найдите наименьшее значение функции
Д5.8
y = 6 sin x− 9x + 5
на отрезке h
− 3

2 ;
0 i
.
Д5.9. Найдите точку минимума функции
Д5.9
y = (x − 7) ex
+ 7
.
Образец написания:
46

Диагностическая работа 5Ответы:
Д5.10. Найдите наибольшее значение функции Д5.10
y= (x − 9) e10
−x
на отрезке [− 11 ;11] .
Д5.11. Найдите точку максимума функции Д5.11
y= lnx− 2x.
Д5.12. Найдите наименьшее значение функции Д5.12
y= 4x − 4 ln x+ 5
на отрезке [0,5 ;5 ,5] .
47
Образец написания:

Ответы:§ 2. Вычисление наибольших и наименьших
значений функций без применения
производной
Диагностическая работа
1. Найдите наименьшее значение функции
1
y = p 2
x − 3+ p 3
x − 2.
2. Найдите наибольшее значение функции
2
y = log
2(1
−x− x2
).
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
3
y = 9x
− 23 x
на отрезке [− 1;2] .
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
4
y = 2 sin x− cos 2 x+ cos 2
x.
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
5
y = 4
x − 1 x2
− 2x + 2.
6. Найдите наибольшее значение функции
6
y = x
2
+ 1 2x2
+ x+ 1.
7. Найдите наименьшее значение функции
7
y = 32
x− 1
+ 43 3
− 2x
.
8. Найдите наименьшее значение функции
8
y = |x 2
− x|+ |x + 1|.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
9
y = sin 3 x+ cos 3 x− 2.
10. Найдите наименьшее значение функции
10
y = p (
x − 3) 2
+ 1+ p (
x − 2) 2
+ 4.
11. Найдите наибольшее значение функции
11
y = 2x + p 1
− 4x2
.
12. Найдите наименьшее значение функции
12
y = log
0,5 
p 4
x4
− 3x2
+ 9− p 4
x4
− 8x2
+ 9
x 
на интервале (0; ).
Образец написания:
48

Методические рекомендации
Методические рекомендации
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений не прерывной на от-
резке функции (как, впрочем, и любой другой алгоритм) не явл яется единственным
способом решения предложенной задачи. Можно, например, ис следовать функцию на
монотонность на данном отрезке и, исходя из этого исследова ния, найти наибольшее
и наименьшее значения. Для того чтобы найти наибольшее и наи меньшее значения
линейной или квадратичной функции на отрезке, вовсе не обяз ательно применять
алгоритм исследования функции с помощью производной: дост аточно ограничиться
известными свойствами линейной и квадратичной функций. Дл я функцииy= −7x + 3
наибольшим и наименьшим значениями на отрезке [− 1;2] будут соответственно чис-
ла y(− 1) =10 иy(2) =−11 , так как функция убывает на данном отрезке. При вычисле-
нии наибольшего и наименьшего значений функции y= x2
− 2x − 5на отрезке [0;7]
можно поступить следующим образом. Абсцисса x
0 =
1вершины параболы, являю-
щейся графиком квадратичной функции y= x2
− 2x − 5, принадлежит отрезку [0;7] ,
поэтому наименьшего значения эта функция достигает в точке x
0 =
1(это значение:
y (1) =−6) , а наибольшего — в том из концов отрезка [0;7] , который наиболее удален
от x
0, т. е. при
x= 7(это значение легко вычислить: y(7) =30) .
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y= 2 sin 3 x+ 1на от-
резке [2000;2011] , достаточно заметить, что длина данного отрезка больше пер иода
функции и, следовательно, наибольшее и наименьшее значени я на функции на дан-
ном отрезке равны соответственно 3 и −1— наибольшему и наименьшему значениям
функции на всей области определения. Решение задачи с приме нением алгоритма
в данном случае окажется существенно более долгим и сложным .
Найдем теперь наибольшее значение непрерывной на всей числ овой прямой функ-
ции
y= 3|x + 4| − 11|x − 5|+ |2 x − 17 | − 5x − 9.
Здесь нужно обратить внимание на то, что при x> 5второй модуль «раскрывается»
со знаком «плюс» и при любом «раскрытии» остальных модулей к оэффициент приx
будет отрицательным, так как ±3− 11 ±2− 5< 0. Аналогично при x< 5второй мо-
дуль «раскрывается» со знаком «минус», и при любом «раскрыт ии» остальных модулей
коэффициент при xбудет положительным, так как ±3+ 11 ±2− 5> 0. Значит, график
функции состоит из частей (отрезков или лучей) прямых y= k
ix
+ b
i, где
k
i>
0при
x < 5и k
i<
0при x> 5. Поэтому на промежутке (− ;5] данная функция возрастает,
а на промежутке [5;+ )убывает, и своего наибольшего значения она достигает в точ-
ке x= 5. Это значение равно y(5) =3|5 + 4| − 11|5 − 5|+ |2 5 − 17 | − 55 − 9= 0. Клю-
чом к решению этой задачи послужило то, что модуль коэффицие нта при переменной
49

§ 2. Вычисление наибольших и наименьших значений без производной
у одного из слагаемых оказался больше любой комбинации сумм и разностей осталь-
ных таких коэффициентов. Это позволило сделать вывод о пром ежутках возрастания
и убывания функции. В том случае, если знак такого коэффицие нта определяется
однозначно, решение может оказаться еще проще.
Прежде чем переходить к систематическому изложению методо в вычисления
наибольших и наименьших значений функции без применения пр оизводной, рас-
смотрим еще один пример: найдем наименьшее и наибольшее зна чения функции
y = 2|x − 2|+ 3|x − 3|+ 4|x − 4|+ 5|x − 5|+ 15 x+ 16 на отрезке [0;6] . Заметим, что при
любом «раскрытии» модулей коэффициент при переменной буде т положительным, так
как ±2± 3± 4± 5+ 15 >0. Значит, график функции состоит из частей (отрезков или
лучей) прямых y= k
ix
+ b
i, где
k
i>
0. Следовательно, данная функция возрастает на
всей числовой прямой и, в частности, на отрезке [0;6] . Поэтому
min [0 ;6] y
(x ) = y(0) =70 , max
[0 ;6] y
(x ) = y(6) =136.
50

Применение свойств функций. Решение задач 1—6 диагностической работы
Применение свойств функций.
Решение задач 1—6 диагностической работы
Монотонность и ограниченность
При вычислении наибольших и наименьших значений функций во многих случа-
ях можно обойтись без применения производной, используя св ойства монотонных и
ограниченных функций.
Пример 1 (задача 1 диагностической работы) .Найдите наименьшее значение
функции y= p
2
x − 3+ p 3
x − 2.
Решение. Область определения функции: D(y) = h
3
2;

. Данная функция являет-
ся возрастающей на D(y) как сумма двух возрастающих функций. Поэтому
y(x ) y
3
2
= q
5
2
.
Ответ :min y(x ) = y
3
2
= q
5
2
.
Пример 2 (задача 2 диагностической работы) .Найдите наибольшее значение
функции
y= log
2(1
−x− x2
).
Решение. Имеем1− x− x2
= 5
4
− 
x+ 1 2
2
5 4
. Функция
log
2t
является возрастаю-
щей на своей области определения, поэтому log
2(1
−x− x2
) log
25
4
на
D(y), причем
знак равенства достигается при x= −1
2
.
Ответ :max y(x ) = y
− 1
2
= log
25 4
.
Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y= 
1
2
sin

2cos
x
.
Решение. Имеем−
2
2
cos
x 2
, а на отрезке h
− 2
; 2 i
функция sintявляется
возрастающей, поэтому
sin

2
sin 
2 cos
x
sin 2
,
т. е. −1 sin 

2 cos
x
1. Функция 
1 2
z
является убывающей на , следовательно,
 1
2
1

1 2
sin

2cos
x

1
2
−1
= 2.
51

§ 2. Вычисление наибольших и наименьших значений без производной
При этом y(x ) = 1
2
, если
cosx= 1 ⇔ x= 2 k, k ∈ ; y(x ) = 2, если cosx= −1 ⇔
⇔ x= + 2 n,n ∈ .
Ответ :max y(x ) = 2достигается при x= + 2 n, n ∈ ;min y(x ) = 1
2
достигается
при x= 2 k,k ∈ .
Пример 4. Найдите наибольшее значение функции
y= p
5
− 2x − p 1
− 2x.
Решение. Имеем
y (x ) =
p
5
− 2x − p 1
− 2x
p 5
− 2x + p 1
− 2x p5 − 2x + p 1
− 2x =
(5
−2x)− (1 −2x) p5 − 2x + p 1
− 2x =
4 p5
− 2x + p 1
− 2x .
Имеем D(y) = 
− ;1
2i
и функция f( x ) = p 5
− 2x + p 1
− 2x является убывающей
на 
− ;1
2i
(как сумма двух убывающих функций), следовательно, f( x ) f
1 2
= 2
при x∈ 
− ;1
2i
. Поэтому функция y(x ) = 1 f
( x ) является возрастающей на
D(y)
и y(x ) 4
f
1 2
= 2при x∈ D(y).
Ответ :max y(x ) = y
1
2
= 2.
Пример 5. Найдите наибольшее значение выражения
z= sin 3
x + cos 3
y+ cos 7
x + sin 7
y.
Решение. Имеем:sin3
x sin 2
x, cos 3
y cos 2
y, cos 7
x cos 2
x, sin 7
y sin 2
y, поэто-
му z sin 2
x + cos 2
y + cos 2
x + sin 2
y = 2, причем знак равенства достигается, лишь
если






 sin
3
x = sin 2
x,
cos 7
x = cos 2
x,
sin 7
y = sin 2
x,
cos 3
y = cos 2
x ⇔ 






















sin x= 0,
sin x= 1,
 cos x= 0,
cos x= 1,
 sin y= 0,
sin y= 1,
 cos y= 0,
cos y= 1 ⇔ 






























sin x= 0,
cos x= 1,
 sin x= 1,
cos x= 0,





 
sin y= 0,
cos y= 1,
 sin y= 1,
cos y= 0 ⇔










x
= 2 n, n∈ ,
x =
2
+
2 k, k∈ ,

 y
= 2 l, l∈ ,
y =
2
+
2 m , m∈.
(Всего 4 серии пар решений.) Ответ :max z(x , y) = 2.
52

Применение свойств функций. Решение задач 1—6 диагностической работы
Замена переменной
Иногда наибольшее и наименьшее значения функции можно вычи слить, исполь-
зуя подходящую замену переменной. Найдем, например, наибо льшее и наименьшее
значения функции y= cos 2 x+ sin xна отрезке [0; ]. Воспользовавшись формулой
двойного аргумента, получим, что y= −2 sin 2
x + sin x+ 1. Пусть sinx= t. По условию
x ∈ [0 ; ], поэтому t∈ [0 ;1] . Таким образом, задача сводится к отысканию наибольше-
го и наименьшего значений квадратичной функции y= −2t2
+ t+ 1на отрезке [0;1] .
Графиком этой функции является парабола, ветви которой нап равлены вниз. Абсцисса
вершины параболы t
0 = 1
4
принадлежит отрезку
[0;1] . Поэтому наибольшее значение
достигается в точке t
0 , а наименьшее — в том из концов отрезка
[0;1] , который наи-
более удален от точки t
0 , т. е.
max [0 ;1] y
(t) = y
1
4
= 9 8
,
min
[0 ;1] y
(t) = y(1) =0.
Соответствующие значения xнаходятся из уравнений sinx= 1
4
и
sin x= 1при условии
x ∈ [0 ; ].
Аналогично нахождение множества значений функции y= 5 cos 2
x − 3 cos x+ 1
сводится к нахождению множества значений функции f(t) = 5t2
− 3t + 1на отрез-
ке [− 1;1] . Наибольшее и наименьшее значения функции f(t) достигаются в точках
t = −1 и t= 0,3 соответственно и равны f(− 1) =9и f(0 ,3) =0,55 . Таким образом,
множеством значений функции y= 5 cos 2
x − 3 cos x+ 1является отрезок [0,55 ;9] .
Вообще, с помощью подходящей замены переменной решение мно гих задач на
вычисление наибольших и наименьших значений функции может быть сведено к ис-
следованию квадратного трехчлена на некотором промежутке .
Пример 6 (задача 3 диагностической работы) .Найдите наибольшее и наимень-
шее значения функции y= 9x
− 23 x
на отрезке [− 1;2] .
Решение. Пустьt= 3x
. По условию −1 x 2, поэтому 1
3

t 9, y= t2
− 2t.
Таким образом, решение задачи сводится к вычислению наибол ьшего и наимень-
шего значений квадратичной функции f(t) = t2
− 2t на отрезке h
1
3;
9 i
. Ветви па-
раболы, являющейся графиком этой функции направлены вверх , а абсцисса вер-
шины t
0 =
1принадлежит отрезку h
1
3;
9 i
, поэтому min

1 3;
9 
y
(t) = y(1) =−1, а мак-
симальное значение достигается на том конце отрезка, котор ый наиболее удален
от t
0 , т. е.
max

1
3;
9 
f
(t) = f(9) =63 . Если t= 1, то x= 0; если t= 9, то x= 2. Поэтому
max
[ − 1;2] y
(x ) = y(2) =63 ,min
[ − 1;2] y
(x ) = y(0) =−1.
Ответ :max
[ − 1;2] y
(x ) = y(2) =63 ,min
[ − 1;2] y
(x ) = y(0) =−1.
53

§ 2. Вычисление наибольших и наименьших значений без производной
Пример 7 (задача 4 диагностической работы) .Найдите наибольшее и наимень-
шее значения функции
y= 2 sin x− cos 2 x+ cos 2
x.
Решение. Используя формулы cos 2x= 1− 2 sin 2
x, cos 2
x = 1− sin 2
x, получаем, что
y = sin 2
x + 2 sin x. Пусть t= sin x, − 1 t 1. Тогда решение задачи сводится к вы-
числению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функцииy= t2
+ 2t
на отрезке [− 1;1] . Пусть t
0 — абсцисса вершины параболы являющейся графиком
функции f(t) = t2
+ 2t, t
0 =
−1, ветви параболы направлены вверх и, следовательно,
на [− 1;1] функция f(t) = t2
+ 2t возрастает. Поэтому
min
[ − 1;1] f
(t) = f(− 1) =−1, max
[ − 1;1] f
(t) = f(1) =3.
Если t= −1, то sinx= −1 ⇔ x= −
2
+
2 n,n ∈ . Если t= 1, то sinx= 1 ⇔ x= 2
+
2 k,
k ∈ .
Ответ :max
y
(x ) = 3достигается при x=
2
+
2 k,k ∈ ,min
y
(x ) = −1 достигается
при x= −
2
+
2 n,n ∈ .
Пример 8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y= 6p
2
x− 3− 2x
на отрезке [2;8] .
Решение. Пустьt= p
2
x − 3. По условию 2 x 8, поэтому 1 t p 13
. При этом
2 x = t2
+ 3, т. е.
y= 6t− t2
− 3= −t2
+ 6t− 3.
Таким образом, задача сводится к вычислению наибольшего и н аименьшего значе-
ний квадратичной функции f(t) = −t2
+ 6t − 3на отрезке 
1;p
13

. Графиком этой
функции является парабола, ветви которой направлены вниз, абсциссаt
0 вершины
параболы равна 3. Так как t
0 ∈ 
1;p
13

, получаем, что
max
[1 ;p
13] f
(t) = f(3) =6,
а наименьшее значение достигается в том из концов отрезка 
1;p
13

, который наи-
более удален от t
0 , т. е.
min
[1 ;p
13] f
(t) = f(1) =2.
Если t= 3, то x= t
2
+ 3
2 =
6; если t= 1, то x= 2.
Ответ :min
[2 ;8] y
(x ) = y(2) =2,max
[2 ;8] y
(x ) = y(6) =6.
Пример 9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y= cos x+ 4p
2
− cos x− 6.
54

Применение свойств функций. Решение задач 1—6 диагностической работы
Решение. Пустьt= p
2
− cos x. Тогда
1 t p
3
, cos x= 2− t2
,
y = 2− t2
+ 4t− 6= −t2
+ 4t− 4= −(t − 2) 2
.
Решение задачи свелось к вычислению наибольшего и наименьш его значений квадра-
тичной функции f(t) = −(t − 2) 2
на отрезке 
1;p
3

. Графиком этой функции является
парабола, ветви которой направлены вниз. Абсцисса t
0 вершины параболы равна
2,
т. е. t
0 > p
3
. Поэтому на 
1;p 3

функция f(t) = −(t − 2)2
является возрастающей.
Следовательно,
min
[1 ;p
3] f
(t) = y(1) =−1, max
[1 ;p 3] f
(t) = y
p 3 
= −
p 3
− 2
2
= 4p 3
− 7.
Если t= 1, то cosx= 1 ⇔ x= 2 n, n ∈ . Если t= p
3
, то cosx= −1 ⇔ x= + 2 k,
k ∈ .
Ответ :min
y
(x ) = −1 достигается при x= 2 n, n ∈ ;max
y
(x ) = 4p
3
− 7достига-
ется при x= + 2 k,k ∈ .
Пример 10. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
y= 4x + 6|x − 2| − x2
на отрезке [− 1;3].
Решение. Имеем
y = −(x 2
− 4x + 4− 4) +6|x − 2|= −(x − 2) 2
+ 6|x − 2|+ 4.
Так как a2
= |a |2
, можем записать y= −| x− 2|2
+ 6|x − 2|+ 4. Пусть t= |x − 2|. По
условию −1 x 3, поэтому 0 t 3. При этом y= −t2
+ 6t + 4, и задача сво-
дится к вычислению наибольшего и наименьшего значений квад ратичной функции
f (t) = −t2
+ 6t+ 4на отрезке [0;3] . Графиком этой функции является парабола, ветви
которой направлены вниз, абсцисса t
0 вершины равна
3. Поэтому на отрезке [0;3]
функция f(t) = −t2
+ 6t+ 4возрастает, и, следовательно,
min [0 ;3] f
(t) = f(0) =4, max
[0 ;3] f
(t) = f(3) =13.
Если t= 0, то x= 2. Если t= 3, то |x − 2|= 3 ⇔
x= −1,
x = 5. Но по условию
x∈ [− 1;3] ,
поэтому остается только значение x= −1.
Ответ :min
[ − 1;3] y
(x ) = y(2) =4, max
[ − 1;3] y
(x ) = y(− 1) =13 .
Следует отметить, что замена переменной может существенно упростить решение
задачи и в тех случаях, когда без применения производной обо йтись уже невозможно.
Так, вычисление наибольшего и наименьшего значений функци иy= cos xsin 2 xна
55

§ 2. Вычисление наибольших и наименьших значений без производной
отрезке h

2
; 2 i
с помощью замены переменной t= sin xможно свести к вычисле-
нию наибольшего и наименьшего значений функции z= 2t− 2t3
на отрезке [− 1;1] .
И в том, и в другом случае нужно использовать стандартный алг оритм вычисления
наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на от резке, но для функции
z = 2t− 2t3
вычисления будут существенно проще.
Исследование множества значений функции
В некоторых случаях найти наибольшее (наименьшее) значени е функцииy= f( x )
удается, исследовав при помощи элементарных приемов множе ство значений функ-
ции. В таких случаях зависимость y= f( x ) рассматривают как уравнение относитель-
но переменной xс параметром yи находят наибольшее (наименьшее) значение y,
при котором это уравнение имеет решения.
Пример 11 (задача 5 диагностической работы) .Найдите наибольшее и наимень-
шее значения функции
y= 4
x − 1
x2
− 2x + 2.
(1)
Решение. Область определения функции: D(y) = . Рассмотрим (1) как уравнение
относительно переменной xс параметром y, переписав его в виде
y x 2
− 2( y+ 2) x+ 2y+ 1= 0. (2)
Если y= 0, то уравнение (2) становится линейным. При этом x= 1
4
. Пусть теперь
y 6
= 0. Уравнение (2) имеет решения в том и только в том случае, если его дискри-
минант Dнеотрицателен. Найдем D
4
=
(y + 2)2
− y(2 y+ 1) =−y2
+ 3y + 4 0, т. е.
y 2
− 3y − 4 0 ⇔ − 1 y 4. Таким образом, miny= −1, max y= 4. При этом D= 0
и x= y
+ 2
y . Если
y= −1, то x= −1; если y= 4, то x= 3 2
.
Ответ :min y(x ) = y(− 1) =−1; max y(x ) = y
3
2
= 4.
Пример 12 (задача 6 диагностической работы) .Найдите наибольшее значение
функции
y= x
2
+ 1
2x2
+ x+ 1.
(3)
Решение. Область определения функции: D(y) = . Рассмотрим (3) как уравнение
с переменной xи параметром y, переписав его в виде
(2 y− 1) x2
+ y x +y− 1= 0. (4)
При y= 1
2
уравнение (4) становится линейным. В этом случае
x= 1. Пусть y6
= 1 2
. Урав-
нение (4) имеет решения в том и только том случае, если 0 D, где D— дискриминант
56

Применение свойств функций. Решение задач 1—6 диагностической работы
этого уравнения, равный y2
− 4(2 y− 1)( y− 1) =−7y2
+ 12 y− 4. Имеем D 0, если
7 y2
− 12 y+ 4 0 ⇔ 6
− 2p
2
7

y 6
+ 2p
2
7
.
Очевидно, что 6
+ 2p
2
7
>1 2
. Поэтому
maxy= 6
+ 2p
2
7
. При этом
D= 0и x= − y 2(2
y− 1) ,
т. е.
x= − 3
+ p
2
5
+ 4p 2
=
− (3
+p
2)(5
−4p 2)
(5
+4p 2)(5
−4p 2)
=
1− p 2.
Ответ :max y(x ) = y(1 −p
2)
=6
+ 2p 2
7
.
Отметим, что использовать данный метод целесообразно в том случае, если полу-
ченное уравнение с параметром yимеет достаточно простой вид (например, является
квадратным относительно x).
Пример 13 (задача 12 диагностической работы) .Найдите наибольшее и наимень-
шее значения функции
y= 5 4
x − 9
x2
− 6x + 10
.
Решение. Пустьt= 4
x − 9
x2
− 6x + 10 . Найдем множество значений функции
t. Для этого
рассмотрим уравнение
t x2
− 2(3 t+ 2) x+ 10 t+ 9= 0. (5)
При t= 0уравнение (5) становится линейным. При этом x= 9
4
. Пусть
t6
= 0. Тогда
уравнение (5) имеет решения в том и только том случае, если D
4

0, где D— дис-
криминант этого уравнения. Найдем D
4
=
(3 t+ 2) 2
− t(10 t+ 9) =−t2
+ 3t+ 4. Поэтому
D
4
0 ⇔ t2
− 3t− 4 0 ⇔ − 1 t 4. Таким образом, maxt( x ) = 4,min t( x ) = −1. При
этом D
4
=
0и x= 3
t+ 2 t . Если
t= 4, то x= 7 2
; если
t= −1, то x= 1. Далее, функция 5t

возрастающая, поэтому 5−
1
5t
54
, т. е.
min y
(x ) = y(1) =1
5
,
max
y
(x ) = y
7 2
= 625.
Ответ :min
y
(x ) = y(1) =1
5
,
max
y
(x ) = y
7 2
= 625 .
57

Ответы:Тренировочная работа 1
Т1.1. Найдите наименьшее на отрезке [1;64] значение функ-
Т1.1
ции
y= 2p x
+ 33
p x
+ 4.
Т1.2. Найдите наибольшее значение функции
Т1.2
y = 4
x + 1 2x2
+ 3.
Т1.3. Найдите наименьшее значение функции
Т1.3
y = p x
2
+ 6x + 25.
Т1.4. Найдите наибольшее значение функции
Т1.4
y = 3 sin 3
x + 2 sin 2
x + sin x+ 1.
Т1.5. Найдите наибольшее значение функции
Т1.5
y = 33
+ 4x− 4x2
.
Т1.6. Найдите наименьшее значение функции
Т1.6
y = log
5(9
x2
− 12 x+ 29).
Т1.7. Найдите наибольшее значение функции
Т1.7
y = p x
+ 8− p x
− 8.
Т1.8. Найдите наименьшее значение функции
Т1.8
y = −4
x2
+ 4x + 7 4x2
+ 4x + 3.
Т1.9. Найдите наибольшее значение функции
Т1.9
y = cos 2
x − sin x+ 1.
Т1.10. Найдите наименьшее на отрезке [5;10] значение функ-
Т1.10
ции
y= log p
3
(
x − 4p x
− 2+ 5).
Образец написания:
58

Ответы:
Тренировочная работа 2
Т2.1. Найдите наибольшее значение функции Т2.1
y= p 8
x − x2
− 7.
Т2.2. Найдите наименьшее значение функции Т2.2
y= −2
x2
− 16 x+ 14 2x2
− 4x + 5 .
Т2.3. Найдите наименьшее значение функции Т2.3
y= 29 x
− 3x
+ 1
+ 1.
Т2.4. Найдите наименьшее значение функции Т2.4
y= 1 p4
x − 3− p 4
x − 7.
Т2.5. Найдите наибольшее значение функции Т2.5
y= p 2
x2
− 1− 4x2
.
Т2.6. Найдите наибольшее значение функции Т2.6
y= 8x3
− x6
на отрезке [1;7].
Т2.7. Найдите наибольшее значение функции Т2.7
y= p 2 lg
x− 1− lg x.
Т2.8. Найдите наименьшее на отрезке [1;6] значение функ- Т2.8
ции
y= 7|x − 3| − 2|x + 5| − | 4x − 3|+ 5.
Т2.9. Найдите наибольшее на отрезке [− 2;5] значение функ- Т2.9
ции
y= |5 x − 4|+ |4 x − 5| − 10x− 11.
Т2.10. Найдите наименьшее значение функции Т2.10
y= log
0,25 (
x 2
+ 2x + 5) +log
4(
x 2
− 2x + 7).
59
Образец написания:

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
Применение стандартных неравенств.
Решение задач 7—12 диагностической работы
Неравенство Коши для двух чисел
Напомним, что для любых двух неотрицательных чисел aи bсправедливо неравен-
ство, называемое неравенством между средним арифметическ им и средним геометри-
ческим этих чисел (неравенство Коши):
a+ b
2 p ab
(6)
(среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не мен ьше их среднего геомет-
рического). Это неравенство легко получить из очевидного н еравенства
p
a − p b

2
0,
выполнив возведение в квадрат и перенеся квадратный корень в правую часть. Знак
равенства в формуле (6) достигается в том и только том случае , когдаa= b.
Важным следствием неравенства Коши является следующее: дл я любых положи-
тельных чисел aи bи любого отличного от нуля действительного числа tвыполняется
неравенство

at
+ b
t



2p ab
, (7)
причем знак равенства достигается в том и только том случае, когдаat= b
t
, т. е.
t2
= b a
.
Докажем неравенство (7). Пусть t> 0. Тогда в силу неравенства (6) имеем
at +b
t

2q at
b t
,
т. е. at+ b
t

2p ab
приt> 0. (8)
Знак равенства достигается, если t= q
b
a
.
Пусть t< 0. Тогда −t> 0и в силу неравенства (8) имеем
a (− t) + b
(
− t)
2p ab
⇔ at+b t

−2p ab
приt< 0. (9)
Знак равенства достигается, если t= −q
b
a
. Неравенства (8) и (9) можно объединить
в одно неравенство (7). Пример 14 (задача 7 диагностической работы) .Найдите наименьшее значение
функции
y= 32
x− 1
+ 43 3
− 2x
.
60

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
Решение. Так как числа 3t
и 43 z
положительные при любых действительных
значениях tи z, применив неравенство (6), получим
y = 32
x− 1
+ 43 3
− 2x
2p
3
2
x− 1
4 3 3
− 2x
= 2p 3
2
4 = 12.
Таким образом, y(x ) 12 при любом действительном x, причем знак равенства
достигается, лишь если
32
x− 1
= 43 3
− 2x
⇔ 34
x− 4
= 4 ⇔ x= 4
+ log
34
4 .
Ответ :min
y
(x ) = y
4+ log
34
4 
= 12 .
Пример 15. Найдите наибольшее значение функции
y= 4x
2
− x+ 1
2x − 1 на интервале 
− ;1 2
.
Решение.
y= 4x
2
− x+ 1
2x − 1 =4
x2
− 4x + 4 2x − 1 =(2
x− 1) 2
+ 3 2x − 1 =
2x − 1+ 3 2
x − 1.
По условию x< 1
2
, поэтому
2x − 1< 0и 3 2
x − 1<
0. Воспользуемся неравенством (7) для
случая t< 0. Тогда
y= 2x − 1+ 3
2
x − 1
−2p 3
,
причем знак равенства достигается тогда и только тогда, ког да
(
2x − 1= 3
2
x − 1,
2 x − 1< 0.
Из последней системы находим x= 1
− p
3
2
.
Ответ :max

− ;1
2 
y
(x ) = y
1− p
3
2 
= −2p 3
.
Пример 16. Найдите наименьшее значение функции
y= 4 sin
2
x
2 sin x− 1 на интервале 
13 6
;17 6

.
Решение.
y = 4 sin
2
x − 1+ 1
2 sin x− 1 =(2 sin
x− 1)(2 sin x+ 1) +1 2 sin x− 1 =
= 2 sin x+ 1+ 1
2 sin
x− 1 =
2 sin x− 1+ 1 2 sin
x− 1+
2.
61

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
По условию 13
6
<
x< 17 6

, т. е. 6
+
2 < x< 5 6

+ 2 , а значит, sinx> 1 2
. Восполь-
зуемся неравенством (7) для случая t> 0:
y = 2 sin x− 1+ 1
2 sin
x− 1+
2 2q (2 sin
x− 1)  1 2 sin
x− 1+
2= 4.
Таким образом, y 4, причем знак равенства достигается тогда и только тогда,
когда (
(2 sin x− 1) 2
= 1,
sin x> 1
2 ⇔
sinx= 1.
С учетом того, что 13
6
<
x< 17 6

, получим x= 2
+
2 = 5 2

.
Ответ :min

13
6
;17 6 
y
= y
5 2 
= 4.
Пример 17. Найдите наибольшее значение функции
y= p
x
3
(2 −x3
).
Решение. Заметим, что D(y) = 
0; 3
p
2 
. При x∈ 
0; 3
p 2 
выполнены, очевидно,
неравенства x3
0,2 − x3
0. Применим неравенство (6):
y = p
x
3
(2 −x3
) x
3
+ 2− x3 2 =
1.
Поэтому y 1, причем знак равенства достигается, лишь если
(x3
= 2− x3
,
0 x 3
p
2 ⇔
x= 1.
Ответ :max y(x ) = y(1) =1.
Пример 18. Найдите наибольшее значение функции
y= log
3x
log
39
x
+
1 на[1;9].
Решение. Приx∈ [1 ;9] справедливы неравенства
log3x
0, log
39
x

0.
Воспользуемся неравенством (6), возводя обе его части в ква драт. Тогда
y = log
3x
log
39
x
+
1 
log 3x
+ log
39
x
2 
2
+ 1= 
log 39 2 
2
+ 1= 2.
62

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
Итак, y 2, причем знак равенства достигается, лишь если
(log 3x
= log
39
x
,
1 x 9 ⇔
x= 3.
Ответ :max
[1 ;9] y
(x ) = y(3) =2.
Заметим, что неравенство ab
a+ b
2 
2
справедливо для любых действительных
чисел aи b.
Неравенство |a |+ |b | |a + b|
Напомним, что для любых двух действительных чисел aи bсправедливо неравен-
ство
|a |+ |b | |a + b|, (10)
причем знак равенства достигается в том и только том случае, когдаab0.
Доказать неравенство (10) можно различными способами. При ведем один из них.
Из очевидного неравенства |a || b| ab (знак равенства достигается только в том случае,
когда числа aи bимеют одинаковые знаки, т. е. когда ab0) следует, что
2 |a || b| 2ab ⇒a2
+ b2
+ 2|a || b| a2
+ b2
+ 2ab ⇒ | a|2
+ 2|a || b|+ |b |2
a2
+ 2ab +b2

⇒ (|a |+ |b |) 2
(a + b)2
⇒ | a|+ |b | |a + b|,
что и требовалось. Рассмотрим несколько примеров на применение неравенства ( 10).
Пример 19 (задача 8 диагностической работы) .Найдите наименьшее значение
функции
y= |x 2
− x|+ |x + 1|.
Решение. В силу неравенства (10) имеем
y = |x 2
− x|+ |x + 1| |x 2
− x+ x+ 1|= |x 2
+ 1| = x2
+ 1 1.
Таким образом, y 1, причем знак равенства достигается только в том случае, ког да
одновременно выполнены равенства
|x 2
− x|+ |x + 1|= |x 2
+ 1| и x2
+ 1= 1, т. е. x= 0.
Ответ :min
y
(x ) = y(0) =1.
Пример 20. Найдите наименьшее значение функции
y= |x − 1|+ |x − 2|+ |x − 3|.
63

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
Решение. Имеем
y = |x − 1|+ |x − 2|+ |x − 3|= | − x+ 1|+ |x − 3|+ |x − 2|
| − x+ 1+ x− 3|+ |x − 2|= 2+ |x − 2| 2,
причем знак равенства достигается тогда и только тогда, ког да
| − x+ 1|+ |x − 3| = 2,
2 + |x − 2| = 2 ⇔
(1 −x)( x− 3) 0,
x = 2 ⇔
x= 2.
Ответ :min
y
(x ) = y(2) =2.
Пример 21. Найдите наименьшее значение функции
y= |log
2x
|+


log
24
x


+
log 2
2
(
x − 1).
Решение. Область определения функции: D(y) = (1 ; ). При x> 1имеем
y = |log
2x
|+


log
24
x


+
log 2
2
(
x − 1)


log
2x
+ log
24 x


+
log 2
2
(
x − 1) =2+ log 2
2
(
x − 1) 2,
причем знак равенства достигается тогда и только тогда, ког да


 |
log
2x
|+


log
24
x


=


log
2x
+ log
24 x


,
log 2
2
(
x − 1) =0 ⇔(
log 2x
log
24 x

0,
x = 2 ⇔
x= 2.
Ответ :min
(1 ; )y
(x ) = y(2) =2.
Неравенство |a sin t+ bcos t|
a
2
+ b2
Неравенство |a sin t+ bcos t| p
a
2
+ b2
(11)
может быть доказано разными способами, наиболее распростр аненным из которых
является введение вспомогательного угла :
sin = b
pa
2
+ b2 ,
cos = a pa
2
+ b2 .
64

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
При этом
| a sin t+ bcos t| = p
a
2
+ b2


a pa
2
+ b2 sin
t+ b pa
2
+ b2 cos
t


=
= p
a
2
+ b2
|sin tcos + cos tsin |= p a
2
+ b2
|sin( t+ )| p a
2
+ b2
.
Знак равенства достигается, лишь если
|sin( t+ )| = 1 ⇔ t+ =
2
+
k, k∈ , ⇔ t= 2

+ k, k∈ .
Таким образом, функция y(t) = asin t+ bcos tдостигает наибольшего значения,
равного p
a
2
+ b2
, при
t=
2

+ 2 k, k∈ ,
и наименьшего значения, равного −p
a
2
+ b2
, при t= − 2

+ 2 n, n ∈ , где
sin = b
pa
2
+ b2 ,
cos = a pa
2
+ b2 .
Пример 22 (задача 9 диагностической работы) .Найдите наибольшее и наимень-
шее значения функции y= sin 3 x+ cos 3 x− 2.
Решение. Применим неравенство (11) к данной функции:
−p
2
− 2 sin 3 x+ cos 3 x− 2 p 2
− 2.
Таким образом, max
y
(x ) = p
2
− 2. При этом
3 x =
2

arcsin 1 p2+
2 k, k∈ ,
т. е. x=
12
+2 3

k, k∈ .
Соответственно min
y
(x ) = −p
2
− 2. При этом
3 x = −
2

arcsin 1 p2+
2 n, n∈ ,
т. е. x= −
4
+ 2 3

n,n ∈ .
Ответ :max
y
(x ) = p
2
− 2достигается при x= 12
+2 3

k, k ∈ ;min
y
(x ) = −p 2
− 2
достигается при x= −
4
+ 2 3

n,n ∈ .
Пример 23. Найдите наибольшее значение функции y= sin x(sin x+ cos x)+ p
2 cos
x.
65

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
Решение. Из неравенства (11) следует, что sinx+ cos x p
2
. Но тогда
y = sin x(sin x+ cos x) + p
2 cos
x p 2 sin
x+ p 2 cos
x= p 2(sin
x+ cos x) p 2
p 2
= 2.
Таким образом, max
y
(x ) = 2. При этом
x =
2

arcsin 1 p2+
2 n, n∈ ,
т. e. x=
4
+
2 n,n ∈ .
Ответ :max
y
(x ) = 2достигается при x=
4
+
2 n,n ∈ .
Пример 24. Найдите наибольшее значение функции
y= sin 2 xp
cos 2
x+ cos 2 xp sin 2
x.
Решение. Для любого x∈ D(y) получим в соответствии с неравенством (11), что
y = sin 2 xp
cos 2
x+ cos 2 xp sin 2
x
p
(
p cos 2
x)2
+ (p sin 2
x)2
= p cos 2
x+ sin 2 x p p2
= 4
p 2.
Таким образом, maxy(x ) = 4
p
2
. При этом
2 x =
2

arcsin 1 p2+
2 n, n∈ ,
т. е. x=
8
+
n, n ∈ . Заметим, что эти значения x, очевидно, принадлежат области
определения функции. Ответ :max y(x ) = 4
p
2
достигается при x= 8
+
n,n ∈ .
Неравенство |#–
a |+ |#–
b | |#–
a + #–
b |
Неравенство |#–
a |+ |#–
b | |#–
a + #–
b | (12)
по существу представляет собой не что иное, как неравенство треугольника (см. рис.):
AB
C

a –
b
– a + –
b AB
=|#–
a |, BC =|#–
b |, AC=|#–
a + #–
b |, ACAB +BC .
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда вект оры#–
a и #–
b сонаправле-
ны, т. е. когда отношения их соответствующих координат равн ы между собой и равны
отношению их длин (модулей).
66

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
Пример 25 (задача 10 диагностической работы) .Найдите наименьшее значение
функции
y= p
(
x − 3) 2
+ 1+ p (
x − 2) 2
+ 4.
Решение. Введем векторы #–
a = {3 − x;1 } и #–
b = {x − 2;2 }. Тогда
| #–
a |= p
(
x − 3) 2
+ 1, |#–
b |= p (
x − 2) 2
+ 4,
#– a + #–
b = {1 ;3 }, |#–
a + #–
b |= p
1
2
+ 32
= p 10.
Используя неравенство |#–
a |+ |#–
b | |#–
a + #–
b |, получаем, что y(x ) p
10
. Знак равенства
достигается тогда и только тогда, когда #–
a ↑↑ #–
b , т. е. когда
3 − x
x− 2 = 1 2

6− 2x = x− 2 ⇔ x= 8 3
.
Ответ :min
y
(x ) = y
8
3
= p 10
.
Пример 26. Найдите наименьшее значение функции
y= p
(
x − 1) 2
+ (x − 6) 2
+ p (
x − 4) 2
+ (x − 2) 2
.
Решение. Введем векторы #–
a = {x − 1;6 − x} и #–
b = {4 − x; x − 2}. Тогда
#– a + #–
b = {3 ;4 }, |#–
a + #–
b |= p
3
2
+ 42
= 5
и в соответствии с неравенством (12) имеем |#–
a |+ |#–
b | 5. Поэтому y 5, причем знак
равенства достигается тогда и только тогда, когда #–
a ↑↑ #–
b , т. е. когда


 x
− 1
4− x = 6
− x x− 2,
x − 1
4− x >
0 ⇔


x
2
− 3x + 2= x2
− 10 x+ 24 ,
x − 1 4− x >
0 ⇔
x= 22 7
.
Ответ :min
y
(x ) = y
22
7 
= 5.
Пример 27. Найдите наименьшее значение функции
y= p
4
x
+ 1+ p (2
x
− 12) 2
+ 4.
Решение. Введем векторы #–
a = {2 x
; 1 } и #–
b = {12 −2x
; 2 }. Тогда (#–
a + #–
b )= {12 ;3 },
| #–
a + #–
b |= p
153
и в соответствии с неравенством (12) имеем |#–
a |+ |#–
b | p 153
. Поэтому
y (x ) p
153
=3p 17
, причем знак равенства достигается тогда и только тогда, ко гда
#– a ↑↑ #–
b , т. е. когда 12
−2x
2
x
=2 1

12−2x
= 22 x
⇔ 2x
= 4 ⇔ x= 2.
Ответ :min
y
(x ) = y(2) =3p
17
.
67

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
Заметим, что, вводя векторы #–
a и #–
b , следует выбирать их координаты таким об-
разом, чтобы координаты вектора #–
a + #–
b не зависели от переменной x. Кроме того,
если квадраты каких-то одноименных координат векторов #–
a и #–
b являются числами
(как в примерах 25 и 27), то знаки этих чисел должны выбиратьс я одинаковыми, для
того чтобы было выполнено условие сонаправленности вектор ов#–
a и#–
b . Если же любая
из координат векторов #–
a и #–
b зависит от x(как в примере 26), то следует наложить
ограничение на отношение двух одноименных координат: это о тношение должно быть
положительным.
Неравенство#–
a ·#–
b |#–
a | · | #–
b |
Неравенство #–
a #–
b |#–
a |  | #–
b | (13)
легко следует из определения скалярного произведения вект оров:
#– a #–
b = |#–
a |  | #–
b |cos(
#–
a ,#–
b ) |#–
a |  | #–
b |.
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда cos(
#–
a ,#–
b )= 1, т. е. угол между
векторами #–
a и#–
b равен 0 и, следовательно, #–
a ↑↑ #–
b . Неравенство (13), как правило,
применяется для вычисления наибольшего значения функции и используется при этом
в координатной форме.
Пример 28 (задача 11 диагностической работы) .Найдите наибольшее значение
функции y= 2x + p
1
− 4x2
.
Решение. Область определения функции: D(y) = h
− 1
2
; 1 2i
. Введем векторы
#– a = 
2 x;p
1
− 4x2
и #–
b = {1 ;1 }.
Тогда
|#–
a |= p
4
x2
+ 1− 4x2
= 1, |#–
b |= p 1
2
+ 12
= p 2
, #–
a #–
b = 2x + p 1
− 4x2
.
В силу неравенства (13) имеем #–
a #–
b 1p
2
, поэтому y(x ) p 2
, причем знак равен-
ства достигается тогда и только тогда, когда #–
a ↑↑ #–
b , т. е. когда


 p
1
− 4x2
1 =2
x 1 ,
2 x
1 >
0 ⇔
1− 4x2
= 4x2
,
x > 0 ⇔
x= 1
2p 2
.
Заметим, что 1
2p 2

D(y).
Ответ :max

− 1
2;
12 
y
(x ) = y
1 2p 2 
= p 2
.
68

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
Пример 29. Найдите наибольшее значение функции
y= x
p
1
− 9x2
+ 3p 4
− x2
.
Решение. Имеем
y= xp
1
− 9x2
+ 3xp 4
− x2
, D(y) = h
− 1 3
; 1 3i
.
Введем векторы #–
a = 
x;p
4
− x2
и #–
b = 
p 1
− 9x2
; 3 x
. Тогда
y = #–
a #–
b , |#–
a |= p
x
2
+ 4− x2
= 2, |#–
b |= p 1
− 9x2
+ 9x2
= 1
и в силу неравенства (13) имеем y(x ) 21 = 2, причем знак равенства достигается
тогда и только тогда, когда #–
a ↑↑ #–
b , т. е. когда


 p
1
− 9x2
x =3
x p4 − x2,
x > 0 ⇔

(1 −9x2
)(4 −x2
) = 9x4
,
x > 0 ⇔(
x2
= 4 37
,
x > 0 ⇔
x= 2 p37.
Заметим, что 2
p37<
2 p36=
1 3
, поэтому 2 p37∈
D(y).
Ответ :max

− 1
3;
13 
y
(x ) = y
2
p37
= 2.
Пример 30. Найдите наибольшее значение функции
y= |
2 x − 1|p
2
x − 1+ |x − 1|p 4
x − 1
x2
.
Решение. Область определения функции: D(y) = h
1
2;

. Введем векторы
#– a = 
|2 x − 1|; p
4
x − 1
и #–
b = 
p 2
x − 1;|x − 1|
.
Тогда
|#–
a |= q
|
2 x − 1|2
+ (p 4
x − 1) 2
= p 4
x2
= 2x,
| #–
b |= q
(
p 2
x − 1) 2
+ |x − 1|2
= p x
2
= x 
так как x 1 2
.
69

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
В силу неравенства (13) имеем #–
a #–
b |#–
a |  | #–
b |= 2x2
, поэтому y(x ) 2
x2
x
2
=
2, причем
знак равенства достигается тогда и только тогда, когда #–
a ↑↑ #–
b , т. е.


 |
2 x − 1|
p2 x − 1 =
2,
p
4 x − 1
|x − 1| =
2 ⇔ 


(2
x− 1) 2
2
x − 1 =
4,
4 x − 1
(x − 1) 2
=
4 ⇔
x= 5
2
.
Заметим, что при x= 1
2
векторы
#–
a и #–
b также являются сонаправленными.
Ответ :max

1
2;

y
(x ) = y
1 2
= y
5 2
= 2.
При использовании неравенства (13) векторы #–
a и #–
b следует вводить таким обра-
зом, чтобы либо |#–
a |и |#–
b |не зависели от переменной x(пример 28), либо отношение
модулей этих векторов было величиной постоянной. Кроме тог о, следует отметить,
что если в условии (или в условиях) сонаправленности приход ится выполнять деления
на выражение, содержащее неизвестную, нужно проверить, не являются ли векторы
сонаправленными и в том случае, когда это выражение обращае тся в нуль. Если этого
не сделать, то можно потерять решение (см. пример 30). Аналогично неравенству (13) можно доказать неравенство
#–a #–
b −| #–
a |  | #–
b |.
В самом деле, #–a #–
b = |#–
a |  | #–
b |  cos(
#–
a ;#–
b ) −| #–
a |  | #–
b |,
поскольку cos(
#–
a ;#–
b ) −1. Знак равенства достигается только в том случае, когда
cos(
#–
a ;#–
b )= −1, т. е. когда векторы #–
a и #–
b противоположно направлены. Полученное
неравенство можно использовать для нахождения наименьших значений некоторых
функций. Таким образом,
−|#–
a |  | #–
b | #–
a #–
b |#–
a |  | #–
b | или |#–
a #–
b | |#–
a |  | #–
b |.
Используя последнее неравенство, докажем в качестве приме ра неравенство (11). Вве-
дем векторы #–
m ={sin x;cos x} и #–
n = {a ;b}. Вычисление длин этих векторов не пред-
ставляет труда: |#–
m |= 1, |#–
n |= p
a
2
+ b2
. Так как −|#–
m |  | #–
n | #–
m #–
n |#–
m |  | #–
n |, получаем
− p
a
2
+ b2
asin x+ bcos x p a
2
+ b2
или |a sin x+ bcos x| p a
2
+ b2
.
70

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
Для неравенства asin x+ bcos x p
a
2
+ b2
знак равенства достигается, если векторы
#–
m и#–
n сонаправлены, т. е. отношение их соответственных координа т равно отноше-
нию длин этих векторов: sin
x
a =cos
x b = 1 pa
2
+ b2 , откуда
sin x= a
pa
2
+ b2 ,
cos x= b pa
2
+ b2 .
Для неравенства asin x+ bcos x −p
a
2
+ b2
знак равенства достигается, если векторы
#–
m и#–
n противоположно направлены, т. е. отношение их соответстве нных координат
равно отношению длин этих векторов, взятому со знаком «мину с»:
sin x
a =cos
x b =
− 1 pa
2
+ b2 ,
откуда sinx= − a
pa
2
+ b2 ,
cos x= − b pa
2
+ b2 .
Заметим, что такое доказательство неравенства (11) позвол яет избежать введения до-
полнительного угла.
Комбинирование приемов
В заключение рассмотрим ряд задач, решение которых требует применения не-
скольких из описанных выше приемов. К таким задачам относят ся, в частности, за-
дачи на вычисление наибольших и наименьших значений выраже ний (функций), за-
висящих более чем от одной переменной.
Пример 31 (задача 12 диагностической работы) .Найдите наименьшее значение
функции
y= log
0,5 
p
4
x4
− 3x2
+ 9− p 4
x4
− 8x2
+ 9
x 
на интервале (0; ).
Решение. Приx> 0выражение под знаком логарифма, положительно, что следует
из очевидного неравенства p
4x4
− 3x2
+ 9> p 4
x4
− 8x2
+ 9,
равносильного неравенству 5x2
> 0. Пусть
t = p
4
x4
− 3x2
+ 9− p 4
x4
− 8x2
+ 9
x =
= 5
x
p4x4
− 3x2
+ 9+ p 4
x4
− 8x2
+ 9 =
5
4
x2
+ 9 x
2 −
3+ 4
x2
+ 9 x
2 −
8.
71

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
В силу неравенства (8) имеем
4x2
+ 9
x
2

2q 4
x2
 9 x
2
=
12 ,
причем знак равенства достигается, лишь если 4x2
= 9
x
2
и
x= q
3
2
. Таким образом,
q
4 x2
+ 9 x
2

3+ q 4
x2
+ 9 x
2

8 p 12
−3+ p 12
−8= 5.
Отсюда t 1. Функция log
0,5 t
является убывающей, поэтому log
0,5 t
log
0,5 1
= 0.
Ответ :min
(0 ; )y
(x ) = y
q
3
2
= 0.
Пример 32. Найдите наименьшее значение выражения
z= p
(
x − 1) 2
+ (y − 1) 2
+ p (
x − y)2
+ y2
.
Решение. Введем векторы #–
a = {x − 1; y − 1} и #–
b = {y − x;− y}. Тогда
| #–
a |= p
(
x − 1) 2
+ (y − 1) 2
, |#–
b |= p (
x − y)2
+ y2
,
#– a + #–
b = {y − 1;− 1}, |#–
a + #–
b |= p
(
y − 1) 2
+ 1.
В силу неравенства (12) имеем |#–
a |+ |#–
b | |#–
a + #–
b |, причем знак равенства достигается,
лишь если #–
a ↑↑ #–
b . Таким образом, z p
(
y − 1) 2
+ 1 1, причем z= 1, если y= 1
и #–
a ↑↑ #–
b , следовательно, x= 1.
Ответ :min z(x ; y) = z(1 ;1) =1.
Пример 33. Найдите наименьшее значение выражения
z= |x + 2y|+ p
(
x − 3) 2
+ (y − 4) 2
.
Решение. Введем векторы #–
a = {x + 2y;0 }, #–
b = {3 − x; y− 4}. Тогда
| #–
a |= |x + 2y|, |#–
b |= p
(
x − 3) 2
+ (y − 4) 2
,
#– a + #–
b = {2 y + 3; y − 4},
| #–
a + #–
b |= p
(2
y+ 3) 2
+ (y − 4) 2
= p 5
y2
+ 4y+ 25.
В силу неравенства (12) имеем |#–
a |+ |#–
b | |#–
a + #–
b |, причем знак равенства достига-
ется, лишь если #–
a ↑↑ #–
b . Таким образом, z p
5
y2
+ 4y + 25 . Квадратный трехчлен
5 y2
+ 4y + 25 положителен при любом y(дискриминант меньше нуля и коэффициент
72

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
при y2
положителен) и достигает наименьшего значения при y= −
4
25 =
−2 5
. Это наи-
меньшее значение равно, как легко подсчитать, 121
5
. Поэтому
z q
121
5
, причем знак
равенства достигается, лишь если y= −2
5
и
#–
a ↑↑ #–
b , следовательно, x= 4 5
.
Ответ :min z(x ; y) = z
4
5;
− 2 5
= 11 p5.
Пример 34. Найдите наибольшее значение выражения
z= yp
1
− x2
+ xp 3
+ 2y− 2y2
.
Решение. Введем векторы #–
a = {y;p
3
+ 2y− 2y2
} и #–
b = {p 1
− x2
; x}. Тогда
z = #–
a #–
b , |#–
a |= p
y
2
+ 3+ 2y− 2y2
= p 4
− (1 −y)2
, |#–
b |= p 1
− x2
+ x2
= 1.
В силу неравенства (13) имеем #–
a #–
b |#–
a |  | #–
b |, причем знак равенства достигается,
лишь если #–
a ↑↑ #–
b . Таким образом,
z p
4
− (y − 1) 2
p 4
= 2,
причем знак равенства достигается, лишь если y= 1и #–
a ↑↑ #–
b , следовательно,
p
1 − x2
1 =x p3⇔
x 0,
3 − 3x2
= x2

x= p
3
2
.
Ответ :max z(x ; y) = z
p
3
2 ;
1 
= 2.
Пример 35. Найдите наибольшее значение выражения
z= sin x− 2 cos y+ sin( x+ y).
Решение. Имеем
z = sin x− 2 cos y+ sin xcos y+ cos xsin y= sin x(1 +cos y) + cos xsin y− 2 cos y.
В силу неравенства (11) получаем
sinx(1 +cos y) + cos xsin y p
(1
+cos y)2
+ sin 2
y,
т. е. sinx(1 +cos y) + cos xsin y p
2
+ 2 cos y. (14)
Поэтому z p
2
+ 2 cos y− 2 cos y. Пусть теперь t= p 2
+ 2 cos y, 0 t 2. Тогда
2 cos y= t2
− 2. Рассмотрим квадратный трехчлен f(t) = t− t2
+ 2на отрезке [0;2] . Вет-
ви параболы, являющейся графиком этого квадратного трехчл ена, направлены вниз
73

Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диагностической работы
и абсцисса t
0 вершины, равная 1
2
, принадлежит отрезку
[0;2] , следовательно,
max [0 ;2] f
(t) = f
1
2
= 9 4
.
Поэтому z 9
4
, причем знак равенства достигается в том и только том случае
, если
одновременно p
2
+ 2 cos y= 1 2
и неравенство (14) обращается в равенство. Отсюда


 p
2
+ 2 cos y= 1 2
,
sin x(1 +cos y) + cos xsin y= p
2
+ 2 cos y⇔ 







cos
y= −7
8
,



 sin
x1
8

cos xp
15
8
=1 2
,
sin x1
8
+
cos xp
15
8
=1 2 ⇔
⇔ 







cos
y= −7
8
,



 sin
x
x− arccos 1
8
= 1 2
,
sin x
x+ arccos 1
8
= 1 2 ⇔ 






(
y= arccos 7
8

+ 2 n, n∈ ,
x = arccos 1
8
+
(− 1) k
6 +
k, k∈ ,
( y= − arccos 7
8
+
2 l, l∈ ,
x = −arccos 1
8
+
(− 1) m
6 +
m , m∈.
Ответ :max z(x ; y) = 9
4
.
Рассмотренные примеры показывают, что довольно большое чи сло задач на вы-
числение наибольших и наименьших значений функций можно ре шить, не прибегая
к помощи производной, а в некоторых случаях только такой пут ь и приводит к успеху.
Отметим, что порой подобные задачи являются частью более сл ожных задач (напри-
мер, уравнений, в которых минимум левой части совпадает с ма ксимумом правой,
причем решение «стандартными» приемами не представляется возможным).
Такого рода уравнения, неравенства или системы уравнений в полне могут встре-
титься среди заданий С1, С3, C5 единого государственного эк замена по математике,
поэтому, решив тренировочные и диагностические работы пар аграфа, вы сможете
более уверенно чувствовать себя на экзамене.
74

Ответы:
Тренировочная работа 3
Т3.1. Найдите наименьшее значение функции Т3.1
y= 75
x− 2
+ 97 4
− 5x
− 41.
Т3.2. Найдите наименьшее значение функции Т3.2
y= |2 x − 3x2
|+ |2 x + 9|.
Т3.3. Найдите наименьшее значение функции Т3.3
y= p x
2
− 2x + 2+ p x
2
− 10 x+ 29.
Т3.4. Найдите наибольшее значение функции Т3.4
y= 3p 10
−3x + 4p 3
x + 26.
Т3.5. Найдите наименьшее значение функции Т3.5
y= log
2
0
,75 x
+ 1+ (log
0,75 x
− 3) 2
+ 9.
Т3.6. Найдите наибольшее значение функции Т3.6
y= 0,8 cos x(3 sin x+ 4 cos x) + 3 sin x.
Т3.7. Найдите наибольшее значение функции Т3.7
y= x
2p 16
−9x2
+ 3p 9
− 4x2
.
Т3.8. Найдите наименьшее значение выражения Т3.8
z= p (2
x− 1) 2
+ (3 y− 1) 2
+ p (2
x− 3y)2
+ 9y2
.
Т3.9. Найдите наибольшее значение выражения Т3.9
z= 2yp −
x2
− 2x + (x + 1) p 3
+ 4y− 8y2
.
Т3.10. Найдите наибольшее значение выражения Т3.10
z= 2 cos x− cos y+ cos( x− y).
75
Образец написания:

Ответы:Тренировочная работа 4
Т4.1. Найдите наименьшее значение функции
Т4.1
y = 3x2
+ 12 x
2
+ 1+
4.
Т4.2. Найдите наибольшее значение функции
Т4.2
y = p x
2
− 7p 13
−x2
.
Т4.3. Найдите наименьшее значение функции
Т4.3
y = p x
2
− 6x + 10 +p x
2
+ 10 x+ 50.
Т4.4. Найдите наибольшее значение функции
Т4.4
y = 5p 7
− 3x + 12 p 3
x + 29 +22.
Т4.5. Найдите наименьшее значение функции
Т4.5
y = p (
x − 1) 2
+ (x − 2) 2
+
+ p
(
x − 5) 2
+ (2 x+ 5) 2
− p 9
x2
− 42 x+ 65 +7.
Т4.6. Найдите наибольшее значение функции
Т4.6
y = p 4
x2
− 12 x+ 18 −p x
2
− 2x + 5− p x
2
− 4x + 5.
Т4.7. Найдите наименьшее значение функции
Т4.7
y = x2
+ 4x + |x 2
− 2|+ |x 2
− 5|.
Т4.8. Найдите наибольшее значение функции
Т4.8
y = 90
,5 + |4 x− 5|−| x2
− 3x+ 1|−| x2
+ x− 4|
.
Т4.9. Найдите наименьшее на отрезке [− 3;3] значение функ-
Т4.9
ции
y= x2
+ xp
x
2
+ 16 −9.
Т4.10. Найдите наименьшее значение выражения
Т4.10
z = |2 x − 3y|+ p 4
x2
+ (y + 1) 2
.
Образец написания:
76

Ответы:
Диагностическая работа 1
Д1.1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции Д1.1
y= 4x
+ 5x + 1 на отрезке [− 1;2] .
Д1.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции Д1.2
y= cos 2 x− 4 cos x+ 4.
Д1.3. Найдите наибольшее значение функции Д1.3
y= p 2
x − 1− p 2
x − 5.
Д1.4. Найдите наименьшее на отрезке h
0;
8 i
значение функ- Д1.4 ции
y= 3 sin x+ 4x + 5.
Д1.5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции Д1.5
y= sin x+ 4p 1
− sin x− 5.
Д1.6. Найдите наименьшее значение функции Д1.6
y= 2
x2
− 4|x |+ 11 2|x | − 1 на отрезке
[1;3].
Д1.7. Найдите наибольшее значение функции Д1.7
y= q log
2x
log
24 x
на отрезке h
3 2; 7 2i
.
Д1.8. Найдите наименьшее значение функции Д1.8
y= 75
x− 2
+ 97 4
− 5x
− 41.
Д1.9. Найдите наименьшее значение функции Д1.9
y= |log
5x
|+ |log
5x
− 3|+ log 4
7
(26
−x).
Д1.10. Найдите наименьшее значение функции Д1.10
y= log
2
0
,75 x
+ 1+ (log
0,75 x
− 3) 2
+ 9.
Д1.11. Найдите наименьшее и наибольшее значения выраже- Д1.11
ния
z= 3(sin x+ cos y) + 4(cos x+ sin y).
Д1.12. Найдите наименьшее и наибольшее значения выраже- Д1.12
ния
z= x
2
( y + 1) 2
(2
x2
− 2x + 1)(2 y2
+ 2y+ 1) .
77 Образец написания:

Ответы:Диагностическая работа 2
Д2.1. Найдите наименьшее на отрезке [5;8] значение функ-
Д2.1
ции
y= x− 2p
x
− 4+ 3.
Д2.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
Д2.2
y = 2x + 3+ 6|x − 1| − x2
на отрезке [− 2;2].
Д2.3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
Д2.3
y = 2 4
x − 5 x2
− 4x + 5
.
Д2.4. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
Д2.4
y = 3
q 4
x + 3
x2
+ 1.
Д2.5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
Д2.5
y = 1+ log
2(3 p 2
x − 1− x− 1) на отрезке [1;7].
Д2.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
Д2.6
y = 
1 3
2 cos x+ cos 2 x− cos 2
x
.
Д2.7. Найдите наименьшее значение функции
Д2.7
y = 7x
− 3
+ 75
− x
.
Д2.8. Найдите наибольшее значение функции
Д2.8
y = 5 sin 3 x− 12 cos 3 x+ 7.
Д2.9. Найдите наименьшее на отрезке [2,5 ;3 ,5] значение
Д2.9
функции
y= x2
− 3x + 4
x
2
− 3x + 2+
2.
Д2.10. Найдите наибольшее значение функции
Д2.10
y = 25
−| x2
− 6|−| x2
− 7|
.
Д2.11. Найдите наименьшее значение функции
Д2.11
y = lg(4 3 2
x+ 3
+ 39 1
− x
− 8).
Д2.12. Найдите наибольшее значение функции
Д2.12
y = xsin x+ p 9
− x2
cos x+ 4. Образец написания:
78

Ответы:
§ 3. Первообразная
Диагностическая работа
1. Найдите первообразную F(x ) для функции 1
f( x ) = 3
x + 2 5 ,
если F(4) =5. В ответе укажите значение F(1) .
2. Наименьшее значение первообразной F(x ) для функции 2
f( x ) = x2
− 2x − 3
на отрезке [0;6] равно −9. Найдите наибольшее значение
первообразной на этом отрезке.
3. Найдите первообразную F(x ) для функции 3
f( x ) = 3
x3
+ 2 x3
на промежутке (0;+ ), если F(1) =2. В ответе укажите зна-
чение F(0 ,5) .
4. График первообразной F(x ) для функции 4
f( x ) = − 6 x
2
на промежутке (− ;0) проходит через точку (− 2;− 3) . Реши-
те уравнение F(x ) = f( x ). Если уравнение имеет более одного
корня, в ответе запишите больший корень.
5. Найдите первообразную F(x ) для функции 5
f( x ) = 11 px+
2
на промежутке (0;+ ), если F(4) =−15 . В ответе укажите
значение F(9) .
6. Найдите первообразную F(x ) для функции 6
f( x ) = 2 3
3
p x
на промежутке (0;+ ), если график первообразной пересе-
кает прямую y= 2x − 3в точке с абсциссой 1. В ответе укажи-
те значение F(8) .
79
Образец написания:

Ответы:§ 3. Первообразная
7. График первообразной F(x ) для функции
7
f ( x ) = 3 sin x− 2 cos x
проходит через точку (− ;0) . В какой точке график первооб-
разной пересекает ось ординат? В ответе укажите ординату
этой точки.
8. Найдите первообразную F(x ) для функции
8
f ( x ) = 2+ sin 4 x,
если F

4
= −3 . В ответе укажите значение F
7 4 
.
9. Найдите первообразную F(x ) для функции
9
f ( x ) = ex
+ 4x + 3,
если F(1) =e. В ответе укажите значение F(0) .
10. Наибольшее значение первообразной F(x ) для функции
10
f ( x ) = ex
+ 2x + 1
на отрезке [0;2] равно e2
. Найдите наименьшее значение пер-
вообразной на этом отрезке.
11. В какой точке отрезка [12;22] первообразная F(x ) для
11
функции
f( x ) = −1− ln2
( x − 2)
достигает своего наименьшего значения на этом отрезке?
12. В какой точке отрезка h
4
3; 14 3 i
первообразная F(x ) для
12
функции
f( x ) = (x − 5) ln( x− 1)
достигает своего наибольшего значения на этом отрезке?
Образец написания:
80

Методические рекомендации
Методические рекомендации
Этот параграф посвящен повторению темы «Первообразная». Н апомним, что если
функция y= f( x ) непрерывна на некотором промежутке, то существует такая фу нкция
F (x ), что для всех значений переменной из этого промежутка F′
( x ) = f( x ). Функция
F (x ) называется первообразной для функции y= f( x ) на данном промежутке. Иногда
предлог «для» опускают и пишут или говорят, что F(x ) является первообразной функ-
ции f( x ).
В курсе школьной математики рассматриваются только функци и, которые непре-
рывны в любой точке своей области определения. Значит, для к аждой из них суще-
ствует первообразная, но нужно понимать, что если область о пределения функции
состоит, например, из двух промежутков (на каждом из которы х функция непрерыв-
на), то первообразные на этих промежутках могут иметь разли чный вид.
Из свойств производной следует, что если F(x ) — первообразная для функции
y = f( x ) и C— произвольное действительное число, то F(x ) + C также будет перво-
образной для функции y= f( x ), поскольку
( F (x ) + C)′
= F′
( x ) + C′
= f( x ).
Более того, в курсе математического анализа доказывается, что еслиF(x ) и G(x ) — две
различные первообразные для функции y= f( x ), то
G (x ) = F(x ) + C,
где C— некоторое действительное число, т. е. что любая первообра зная для функции
y = f( x ) имеет вид F(x ) + C. Это, в частности, означает, что график любой первообраз-
ной для данной функции может быть получен из графика любой др угой ее первообраз-
ной параллельным переносом вдоль оси ординат. Для того чтоб ы найти конкретную
первообразную, обычно задают дополнительное условие, нап ример, значение перво-
образной в некоторой точке или точку, через которую проходи т график первообразной
(что по сути то же самое, отличие только в формулировке). Можно выделить два основных типа задач на первообразную. К п ервому относятся
задачи, связанные с непосредственным вычислением первооб разных. Ко второму –
задачи, связанные с исследованием первообразной с помощью данной функции: ведь
она является производной для любой своей первообразной, и з начит, позволяет нахо-
дить промежутки монотонности и точки экстремума первообра зной, ее наименьшее
и наибольшее значение на отрезке. Вычисление самой первооб разной при этом иногда
даже не предполагается (и не требуется условием задачи), а п орой бывает попросту
невозможно: не для каждой непрерывной на промежутке функци и возможно в явном
виде написать первообразную.
Приведем таблицу первообразных для некоторых функций ( C— произвольное дей-
ствительное число).
81

§ 3. Первообразная
y= f( x ) F (x )
f( x ) = k, k— произвольное действительное число F(x ) = k x +C
f( x ) = xp
, p6
= −1 F(x ) = x
p
+ 1 p + 1+
C
f( x ) = 1 x F
(x ) = ln |x |+ C
f( x ) = p x F
(x ) = 2 3
xp x
+ C
f( x ) = 1 px F
(x ) = 2p x
+ C
f( x ) = 3
p x F
(x ) = 3 4
x
3
p x
+ C
f( x ) = 1 3
px F
(x ) = 3 23
p x
2
+ C
f( x ) = sin x F(x ) = −cos x+ C
f( x ) = cos x F(x ) = sin x+ C
f( x ) = ex F
(x ) = ex
+ C
f( x ) = ax
, a> 0, a6
= 1 F(x ) = a
x ln
a+
C
f( x ) = 1 p1
− x2 F
(x ) = arcsin x+ C
f( x ) = 1 1
+ x2 F
(x ) = arctg x+ C
Обратим внимание на то, что первообразные для функции f( x ) = 1 x
имеют различ-
ный вид в зависимости от промежутка, на котором рассматрива ется функция. Так, на
промежутке (0;+ )первообразная для функции f( x ) = 1
x
имеет вид
F(x ) = ln x+ C,
а на промежутке (− ;0) задается формулой F(x ) = ln( −x) + C (C — произвольное
действительное число). В тех случаях, когда функция y= f( x ) определена не на всей
числовой прямой, а на каком-то ее промежутке, этот промежут ок часто не указывает-
ся, а как бы считается «заданным по умолчанию»: так, область ю определения функции
f ( x ) = 1
pxявляется промежуток
(0;+ ), на котором она непрерывна, поэтому ее
первообразная F(x ) = 2p
x
+ C (C — произвольное действительное число) рассматри-
вается именно на этом промежутке. При вычислении первообразных иррациональных функций след ует помнить о том,
что корень нечетной степени 2
n+ 1
p
x
и степень с дробным показателем x1 2
n+ 1
имеют раз-
ные области определения (а значит, и непрерывности): первы й определен при любых
82

Методические рекомендации
действительных значениях переменной, вторая – только при н еотрицательных. Для
вычисления первообразных запись в виде степени, конечно же , более удобна, но ре-
зультат этого вычисления должен быть приведен в виде корня ( как и промежуточные
выкладки, если речь идет о задаче с полным решением; впрочем , эти выкладки мож-
но оставить в черновике). Именно поэтому в таблице наряду с т абличными указаны
первообразные для наиболее часто встречающихся иррациона льных функций.
Напомним теперь основные правила вычисления первообразны х. Пусть функции
F (x ) и G(x ) являются на некотором промежутке первообразными для функц ийf( x )
и g(x ) соответственно, и пусть k, b и C— произвольные действительные числа. Тогда
на рассматриваемом промежутке: 1.F(x ) + G(x ) и F(x ) − G(x ) являются соответственно первообразными для функ-
ций f( x ) + g(x ) и f( x ) − g(x ) (краткая формулировка: первообразная суммы (разно-
сти) двух функций равна сумме (разности) первообразных эти х функций);
2. k F (x ) является первообразной для функции kf(x ) (краткая формулировка: пер-
вообразная произведения функции на число равна произведен ию первообразной этой
функций на то же число);
3.1
k
F
(k x +b) является первообразной для функции f(k x +b) (здесь, разумеется,
k 6
= 0) .
Так, для функции
f( x ) = 3x2
− 4x + 7
первообразная имеет вид F(x ) = x3
− 2x2
+ 7x + C;
для функции f( x ) = cos(4 x+ 5) первообразной является
F (x ) = 1
4
sin(4
x+ 5) +C.
Формул для вычисления первообразной произведения или част ного двух функций
(в отличие от формул для вычисления производной произведен ия или частного двух
функций) не существует. Поэтому если требуется найти произ водную произведения
или частного функций, сначала следует сделать необходимые алгебраические преоб-
разования. Так, функцию f( x ) = x2
x 3
( x + 1) нужно привести к виду f( x ) = x6
+ x5
(первообразной будет функция F(x ) = x
7
7 + x
6 6 +
C), а функцию f( x ) = 3
x5
+ 2x4
+ x x2

к виду f( x ) = 3x3
+ 2x2
+ 1
x
(первообразной будет функция
F(x ) = x4
+ x3
+ ln |x |+ C);
здесь C— произвольное действительное число. Перейдем к примерам, разобрав зада-
ния диагностической работы — по два на каждую из шести функци онально-числовых
линий школьного курса математики.
83

Целые рациональные функции.
Решения задач 1 и 2 диагностической работы
1. Найдите первообразную F(x ) для функции f( x ) = 3
x + 2
5 ,
если F(4) =5. В ответе укажите значение F(1) .
Решение. Найдем первообразную, воспользовавшись таб-
лицей первообразных и их свойствами:
F(x ) = 0,3 x2
+ 0,4 x + C.
По условию F(4) =5, значит, 0,3 4 2
+ 0,4 4 + C= 5, откуда
C = −1,4 и F(1) =0,3 + 0,4 − 1,4 = −0,7 .
Ответ :F(x ) = 0,3 x2
+ 0,4 x − 1,4 ; F(1) =−0,7 .
2. Наименьшее значение первообразной F(x ) для функции
f ( x ) = x2
− 2x − 3на отрезке [0;6] равно −9. Найдите наи-
большее значение первообразной на этом отрезке.
Решение. Из определения первообразной и условия по-
лучаем, что F′
( x ) = f( x ) = x2
− 2x − 3. Корнями квадратно-
го трехчлена x2
− 2x − 3являются числа −1 и 3. Поэтому
F ′
( x ) = (x + 1)( x− 3) . Исследуем F(x ) на данном отрезке с по-
мощью производной.
+

F ′
( x )
F (x ) x
3
min
1 0
6
Значит, min
[0 ;6] F
(x ) = F(3) =−9, а наибольшее значение F(x )
принимает на одном из концов отрезка [0;6] . Теперь найдем
первообразную, воспользовавшись таблицей первообразных
и их свойствами: F(x ) = 1
3
x
3
− x2
− 3x + C. Следовательно,
F (3) =1
3

3 3
− 32
− 33 + C= −9+ C.
Поэтому −9+ C= −9, откуда C= 0и F(x ) = 1
3
x
3
− x2
− 3x.
Найдем значения F(x ) на концах отрезка [0;6] :
F (0) =0, F(6) =1
3

6 3
− 62
− 36 = 18.
Таким образом, max
[0 ;6] F
(x ) = F(6) =18 .
Ответ :18 .

Ответы:
Тренировочная работа 1
Т1.1. Найдите первообразную F(x ) для функции f( x ) = 4
x + 3
2 ,
Т1.1 еслиF(3) =2. В ответе укажите значение F(0) .
Т1.2. Найдите первообразную F(x ) для функции f( x ) = Т1.2
=x2
(4 x+ 3) , если известно, что график первообразной про-
ходит через точку (2;34) . В ответе укажите значение F(− 1) .
Т1.3. Найдите первообразную F(x ) для функции Т1.3
f( x ) = x(2 x− 1) 2
,
если F(0) =−1
6
. В ответе укажите значение
F(1) .
Т1.4. Один из двух нулей первообразной F(x ) для функции Т1.4
f( x ) = 5x − 1
равен −3. Найдите второй нуль.
Т1.5. График первообразной F(x ) для функции f( x ) = 4x + 6 Т1.5
пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми
равно2. В какой точке график первообразной пересекает ось
ординат? В ответе укажите ординату этой точки.
Т1.6. Найдите первообразную F(x ) для функции f( x ) = 4x + 2, Т1.6
если множеством значений первообразной является луч
[− 4;+ ). В ответе укажите значение F(− 2) .
Т1.7. В какой точке отрезка [0;8] первообразная F(x ) для Т1.7
функции f( x ) = x2
− 3x − 4достигает своего наименьшего на
этом отрезке значения?
Т1.8. В какой точке отрезка [− 7;13] первообразная F(x ) для Т1.8
функции f( x ) = 7x − x2
− 13 достигает своего наибольшего на
этом отрезке значения?
Т1.9. Наибольшее значение первообразной F(x ) для функции Т1.9
f( x ) = 3x2
− 14 x+ 11 на отрезке [0;2] равно 1. Найдите наи-
меньшее значение первообразной на этом отрезке.
Т1.10. Наименьшее значение первообразной F(x ) для функ- Т1.10
цииf( x ) = x2
− 2x + 18 на отрезке [3;6] равно 64. Найдите
наибольшее значение первообразной на этом отрезке.
85
Образец написания:

Дробно-рациональные функции.
Решения задач 3 и 4 диагностической работы
3. Найдите первообразную F(x ) для функции
f ( x ) = 3
x3
+ 2
x3
на промежутке (0;+ ), если F(1) =2. В ответе укажите зна-
чение F(0 ,5) .
Решение. Разделив почленно числитель на знаменатель,
получим, что f( x ) = 3+ 2x −
3
. Найдем первообразную, вос-
пользовавшись таблицей первообразных и их свойствами:
F (x ) = 3x − x−
2
+ C. По условию F(1) =2, значит, 2+ C= 2,
откуда C= 0и F(x ) = 3x − 1
x
2
. Поэтому
F (0 ,5) =30 ,5 − 1
0
,5 2
=
1,5 − 1 : 1 4
=
−2,5.
Ответ :F(x ) = 3x − 1
x
2
;
F(0 ,5) =−2,5 .
4. График первообразной F(x ) для функции
f ( x ) = − 6
x
2
на промежутке (− ;0) проходит через точку (− 2;− 3) . Реши-
те уравнение F(x ) = f( x ). Если уравнение имеет более одного
корня, в ответе запишите больший корень.
Решение. Запишем данную функцию в виде f( x ) = −6x−
2
и найдем первообразную, воспользовавшись таблицей перво-
образных и их свойствами: F(x ) = 6x−
1
+ C или F(x ) = 6
x
+
C.
Из условия следует, что F(− 2) =−3, откуда 6

2 +
C= −3 и,
следовательно, C= 0. Составим уравнение по условию зада-
чи: 6
x
=
− 6 x
2
. Поскольку
x6
= 0, домножив обе части уравнения
на x
2
6 , найдем
x= −1.
Ответ :− 1.

Ответы:
Тренировочная работа 2
Т2.1. Найдите первообразную F(x ) для функции Т2.1
f( x ) = 3 x
на промежутке (0;+ ), если F(2) =3 ln 2 +1. В ответе укажи-
те значение F(1) .
Т2.2. Найдите первообразную F(x ) для функции Т2.2
f( x ) = 4 x
на промежутке (− ;0) , если F(− 3) =4 ln 3 −2. В ответе ука-
жите значение F(− 1) .
Т2.3. Найдите первообразную F(x ) для функции Т2.3
f( x ) = 4 x
− 5
на промежутке (5;+ ), если F(9) =4 ln 4 +4. В ответе укажи-
те значение F(6) .
Т2.4. Найдите первообразную F(x ) для функции Т2.4
f( x ) = 3 x
− 4
на промежутке (− ;4) , если F(− 3) =3 ln 7 +9. В ответе ука-
жите значение F(3) .
Т2.5. Найдите первообразную F(x ) для функции Т2.5
f( x ) = 8 4
x + 3
на промежутке 
− 3
4
;
+ 
, если F(0) =2 ln 3 −5. В ответе ука-
жите значение F(− 0,5) .
Т2.6. Найдите первообразную F(x ) для функции Т2.6
f( x ) = 3 2
x2
на промежутке (0;+ ), если график первообразной проходит
через точку (0,5 ;5) . В ответе укажите значение F(3) .
Т2.7. Найдите первообразную F(x ) для функции Т2.7
f( x ) = 4
x2
− 3 x2
на промежутке (0;+ ), если F(0 ,25) =−11 . В ответе укажите
значение F(0 ,5) .
87
Образец написания:

Ответы:Тренировочная работа 2
Т2.8. График первообразной F(x ) для функции
Т2.8
f ( x ) = 15 x
2
,
заданной на промежутке (0;+ ), проходит через точку

1
3;
0 
. Решите уравнение F(x ) = 5f( x ) + 39 . Если уравнение
имеет более одного корня, в ответе запишите меньший ко-
рень.
Т2.9. В какой точке отрезка [− 3;12] первообразная F(x ) для
Т2.9
функции
f( x ) = x
2
− 16
x2
+ 16
достигает своего наименьшего значения на этом отрезке?
Т2.10. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т2.10
f ( x ) = 10
x 10x+ 1
10
x− 1 10
x
на промежутке (0,1 ;+ ), если график первообразной прохо-
дит через точку (1;1) . В ответе укажите значение F(0 ,5) .
Образец написания:
88

Иррациональные функции.
Решения задач 5 и 6 диагностической работы
5. Найдите первообразную F(x ) для функции
f ( x ) = 11
px+
2
на промежутке (0;+ ), если F(4) =−15 . В ответе укажите
значение F(9) .
Решение. Найдем первообразную, воспользовавшись таб-
лицей первообразных и их свойствами:
F(x ) = 2x + 22 p
x
+ C.
По условию F(4) =−15 , значит, 8+ 44 +C= −15 , откуда
C = −67 иF(9) =18 +66 −67 =17 .
Ответ :F(x ) = 2x + 22 p
x
− 67 ;F(9) =17 .
6. Найдите первообразную F(x ) для функции
f ( x ) = 2
3
3
p x
на промежутке (0;+ ), если график первообразной пересе-
кает прямую y= 2x − 3в точке с абсциссой 1. В ответе укажи-
те значение F(8) .
Решение. Найдем первообразную, воспользовавшись таб-
лицей первообразных и их свойствами:
F(x ) = 3
p
x
2
+ C.
Из условия следует, что график первообразной проходит че-
рез точку с абсциссой 1, лежащую на прямой y= 2x − 3, т. е.
через точку (1;− 1) . Значит, F(1) =−1, откуда 1+ C= −1 и,
следовательно, C= −2. Поэтому
F (8) =3
p
8
2
− 2= 2.
Ответ :F(x ) = 3
p
x
2
− 2; F(8) =2.

Ответы:Тренировочная работа 3
Т3.1. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т3.1
f ( x ) = 6p x
+ 5
на промежутке (0;+ ), если F(1) =9. В ответе укажите зна-
чение F(4) .
Т3.2. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т3.2
f ( x ) = 2 px+
1 на промежутке (0;+ ),
если F(4) =13 . В ответе укажите значение F(1) .
Т3.3. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т3.3
f ( x ) = 4− 11 px на промежутке
(0;+ ),
если F(25) =12 . В ответе укажите значение F(4) .
Т3.4. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т3.4
f ( x ) = 43
p x
+ 5,
если известно, что график первообразной проходит через точ -
ку (8;94) . В ответе укажите значение F(1) .
Т3.5. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т3.5
f ( x ) = 23 3
p x
5
p x
,
если F(− 1) =−3. В ответе укажите значение F(1) .
Т3.6. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т3.6
f ( x ) = 3p x
+ 43
p x
+ 5 на промежутке (0;+ ),
если F(8) =32 p
2
+ 92 . В ответе укажите значение F(1) .
Т3.7. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т3.7
f ( x ) = 21 x3
 5
p x
,
если график первообразной пересекает график функции y= 21 x5
 3
p
x
в точке с абсциссой 1. В ответе укажите значение F(− 1) .
Образец написания:
90

Тренировочная работа 3Ответы:
Т3.8. Найдите наименьшее значение на отрезке [1;8] перво- Т3.8
образнойF(x ) для функции
f( x ) = 83
p
x
+ 7,
если ее наибольшее значение на этом отрезке равно 96.
Т3.9. В какой точке отрезка [− 9;9] первообразная F(x ) для Т3.9
функции
f( x ) = x
2
− 11 x+ 10
43
p x 2
+ 5
достигает своего наибольшего на этом отрезке значения?
Т3.10. Найдите первообразную F(x ) для функции Т3.10
f( x ) = 21 x3
p x
,
если график первообразной пересекает график производной
этой функции f( x ) в точке с абсциссой −1. В ответе укажите
значение F(1) .
91
Образец написания:

Тригонометрические функции.
Решения задач 7 и 8 диагностической работы
7. График первообразной F(x ) для функции
f ( x ) = 3 sin x− 2 cos x
проходит через точку (− ;0) . В какой точке график первооб-
разной пересекает ось ординат? В ответе укажите ординату
этой точки. Решение. Найдем первообразную, воспользовавшись таб-
лицей первообразных и их свойствами:
F(x ) = −3 cos x− 2 sin x+ C.
По условию F(− ) = 0, значит, 3+ C= 0, откуда C= −3
и F(0) =−3− 3= −6.
Ответ :− 6.
8. Найдите первообразную F(x ) для функции
f ( x ) = 2+ sin 4 x,
если F

4
= −3 . В ответе укажите значение F
7 4 
.
Решение. Найдем первообразную, воспользовавшись таб-
лицей первообразных и их свойствами:
F(x ) = 2x − 1
4
cos 4
x+ C.
По условию F

4
= −3 , значит, 2
+ 1 4
+
C= −3 , откуда
C = −7

2 −1 4
и
F
7 4 
= 7
2 +1 4
− 7
2 −1 4
=
0.
Ответ :F(x ) = 2x − 1
4
cos 4
x− 7
2 −1 4
;
F
7 4 
= 0.

Ответы:
Тренировочная работа 4
Т4.1. Найдите первообразную F(x ) для функции Т4.1
f( x ) = 2 cos x, если F
− 2
= −5.
В ответе укажите значение F( ).
Т4.2. Найдите первообразную F(x ) для функции Т4.2
f( x ) = −3 sin x, если F(− )= 7.
В ответе укажите значение F

2
.
Т4.3. Найдите первообразную F(x ) для функции Т4.3
f( x ) = −8 cos 4 x, если F
24 
= 24.
В ответе укажите значение F

8
.
Т4.4. Найдите первообразную F(x ) для функции Т4.4
f( x ) = 6 sin 3 x, если F
9
= 9.
В ответе укажите значение F

3
.
Т4.5. График первообразной F(x ) для функции Т4.5
f( x ) = 3 sin x+ 4 cos xпроходит через точку 
− 2
;
2 
.
В какой точке график первообразной пересекает ось ординат?
В ответе укажите ординату этой точки.
Т4.6. Найдите первообразную F(x ) для функции Т4.6
f( x ) = 3− 2 cos 2 x, если F
2
= 3
4 .
В ответе укажите значение F

4
.
Т4.7. В какой точке отрезка [− 13 ;7] первообразная F(x ) для Т4.7
функции
f( x ) = 4 sin 50
x+ 5 cos 60
x+ 6
достигает своего наибольшего на этом отрезке значения?
93
Образец написания:

Ответы:Тренировочная работа 4
Т4.8. В какой точке отрезка [− 4;11] первообразная F(x ) для
Т4.8
функции
f( x ) = (x 2
− 36)(sin 2
x + 36)
достигает своего наименьшего на этом отрезке значения?
Т4.9. Наибольшее значение на отрезке h
− ;
2 i
первообраз-
Т4.9
ной F(x ) для функции
f( x ) = 2 cos x− 3
равно 9

2 . Найдите наименьшее значение первообразной на
этом отрезке.
Т4.10. Наименьшее значение на отрезке [0; ]первообразной
Т4.10
F (x ) для функции
f( x ) = 6 sin 3 x+ 25
равно −25 . Найдите наибольшее значение первообразной
на этом отрезке.
Образец написания:
94

Показательная функция.
Решения задач 9 и 10 диагностической работы
9. Найдите первообразную F(x ) для функции
f ( x ) = ex
+ 4x + 3, если F(1) =e.
В ответе укажите значение F(0) .
Решение. Найдем первообразную, воспользовавшись таб-
лицей первообразных и их свойствами:
F(x ) = ex
+ 2x2
+ 3x + C.
По условию F(1) =e, значит, e+ 2+ 3+ C= e, откуда C= −5
и F(0) =1− 5= −4.
Ответ :F(x ) = ex
+ 2x2
+ 3x − 5; F(0) =−4.
10. Наибольшее значение первообразной F(x ) для функ-
ции f( x ) = ex
+ 2x + 1на отрезке [0;2] равно e2
. Найдите
наименьшее значение первообразной на этом отрезке.
Решение. Из определения первообразной и условия по-
лучаем, что F′
( x ) = f( x ) = ex
+ 2x + 1. На данном отрезке
e x
+ 2x + 1> 0. Поэтому F′
( x ) > 0и функция y= F(x ) возрас-
тает на отрезке [0;2] .
Значит,
min[0 ;2] F
(x ) = F(0) , max
[0 ;2] F
(x ) = F(2) =e2
.
Теперь найдем первообразную, воспользовавшись таблицей
первообразных и их свойствами: F(x ) = ex
+ x2
+ x+ C.
Следовательно,
F(2) =e2
+ 4+ 2+ C = e2
+ 6+ C.
Поэтому e2
+ 6+ C= e2
, откуда C= −6 и F(0) =1− 6= −5.
Ответ :− 5.

Ответы:Тренировочная работа 5
Т5.1. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т5.1
f ( x ) = ex
, если F(ln 4) =5.
В ответе укажите значение F(0) .
Т5.2. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т5.2
f ( x ) = 2ex
− 3, если F(2) =2e2
+ 7.
В ответе укажите значение F(0) .
Т5.3. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т5.3
f ( x ) = 6e2
x
, если F(0 ,5) =3e + 4.
В ответе укажите значение F(0) .
Т5.4. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т5.4
f ( x ) = 5ex
+ 6, если F(1) =5e + 8.
В ответе укажите значение F(0) .
Т5.5. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т5.5
f ( x ) = 2x
ln 2 ,если F(2) =7.
В ответе укажите значение F(3) .
Т5.6. Найдите первообразную F(x ) для функции
Т5.6
f ( x ) = 2x
ln 2 ,если F(3) =5.
В ответе укажите значение F(1) .
Т5.7. Наибольшее значение на отрезке [1;2] первообразной
Т5.7
F (x ) для функции
f( x ) = 5x
ln 5 +4
равно 10. Найдите наименьшее значение F(x ) на этом отрезке.
Т5.8. Наименьшее значение на отрезке [1;4] первообразной
Т5.8
F (x ) для функции
f( x ) = 2x
ln 2 +2x + 1
равно −2. Найдите наибольшее значение F(x ) на этом отрезке.
Т5.9. В какой точке отрезка [− 3;3] первообразная F(x ) для
Т5.9
функции
f( x ) = (3x
− 3)( x− 4)
достигает своего наибольшего на этом отрезке значения?
Т5.10. В какой точке числовой оси первообразная F(x ) для
Т5.10
функции
f( x ) = (7x
− 49)( x2
− 4)
достигает своего наименьшего значения?
Образец написания:
96

Логарифмическая функция.
Решения задач 11 и 12 диагностической работы
11. В какой точке отрезка [12;22] первообразная F(x ) для
функции
f( x ) = −1− ln2
( x − 2)
достигает своего наименьшего значения на этом отрезке? Решение. Из определения первообразной и условия полу-
чаем, что F′
( x ) = f( x ) = −1− ln2
( x − 2). На данном отрезке
− 1 − ln2
( x − 2) <0. Поэтому F′
( x ) < 0и функция y= F(x )
убывает на отрезке [12;22] . Значит, своего наименьшего зна-
чения эта функция достигает в правом конце отрезка, т. е. при x = 22 .
Ответ :22 .
12. В какой точке отрезка h
4
3; 14 3 i
первообразная F(x ) для
функции f( x ) = (x − 5) ln( x− 1) достигает своего наибольше-
го значения на этом отрезке? Решение. Из определения первообразной и условия полу-
чаем, что F′
( x ) = f( x ) = (x − 5) ln( x− 1) . При любом значении
переменной x∈ h
4
3; 14 3 i
число x− 5отрицательно. Далее,
ln( x− 1) =0при x= 2; ln( x− 1) >0при x> 2; ln( x− 1) <0
при x< 2. Исследуем F(x ) на данном отрезке с помощью про-
изводной.
+

F ′
( x )
F (x ) x
2
max 43
14 3
Следовательно, max
 4
3;143 
F
(x ) = F(2) .
Ответ :2.

Ответы:Тренировочная работа 6
Т6.1. В какой точке отрезка [6;26] первообразная F(x ) для
Т6.1
функции
f( x ) = −ln x
достигает своего наименьшего значения на этом отрезке?
Т6.2. В какой точке отрезка [0,5 ;5] первообразная F(x ) для
Т6.2
функции
f( x ) = (x − 5) ln x
достигает своего наибольшего значения на этом отрезке?
Т6.3. К графику первообразной F(x ) для функции
Т6.3
f ( x ) = log
3(
x + 4)
проведена касательная в точке с абсциссой 5. Найдите угло-
вой коэффициент касательной.
Т6.4. К графику первообразной F(x ) для функции
Т6.4
f ( x ) = 8x + log
7(
x + 6)
проведена касательная в точке с абсциссой 1. Найдите угло-
вой коэффициент касательной.
Т6.5. К графику первообразной F(x ) для функции
Т6.5
f ( x ) = xlog
2x
проведена касательная в точке с абсциссой 8. Найдите тан-
генс угла, который эта касательная образует с положитель-
ным направлением оси абсцисс.
Т6.6. К графику первообразной F(x ) для функции
Т6.6
f ( x ) = 3 cos x+ 4 log
5(
x + 1)
проведена касательная в точке с абсциссой 0. Найдите тан-
генс угла, который эта касательная образует с положитель-
ным направлением оси абсцисс.
Т6.7. К графику первообразной F(x ) для функции
Т6.7
f ( x ) = log
11(
x 2
+ 2)
проведена касательная в точке с абсциссой 3. Найдите угол,
который эта касательная образует с положительным направ-
лением оси абсцисс. Ответ дайте в градусах.
Образец написания:
98

Тренировочная работа 6Ответы:
Т6.8. В скольких целых точках отрезка [11;21] значения пер- Т6.8
вообразнойF(x ) для функции
f( x ) = log
7(
x − 10)
меньше, чем ее значение в точке 17?
Т6.9. В скольких целых точках отрезка [− 2;4] значения пер- Т6.9
вообразнойF(x ) для функции
f( x ) = (x − 4) log
4(
x + 4)
больше, чем ее значение в точке 3?
Т6.10. Найдите точку максимума первообразной F(x ) для Т6.10
функции
f( x ) = (2x2
− 5x + 2) log
7(
x − 0,5).
99
Образец написания:

Ответы:Диагностическая работа 1
Д1.1. Найдите первообразную F(x ) для функции
Д1.1
f ( x ) = 4x + 3, если F(2) =15.
В ответе укажите значение F(− 1) .
Д1.2. Наименьшее значение первообразной F(x ) для функции
Д1.2
f ( x ) = 5+ 4x − x2
на отрезке [− 3;3] равно 1
3
. Найдите наибольшее значение
первообразной на этом отрезке.
Д1.3. Найдите первообразную F(x ) для функции
Д1.3
f ( x ) = 2
x2
+ 1 x2
на промежутке (0;+ ), если F(2) =5,5 . В ответе укажите зна-
чение F(0 ,5) .
Д1.4. График первообразной F(x ) для функции
Д1.4
f ( x ) = − 8 x
3
на промежутке (− ;0) проходит через точку (− 1;4) . Решите
уравнение F(x ) = f( x ). Если уравнение имеет более одного
корня, в ответе запишите больший корень.
Д1.5. Найдите первообразную F(x ) для функции
Д1.5
f ( x ) = 3 px+
4
на промежутке (0;+ ), если F(9) =55 . В ответе укажите зна-
чение F(4) .
Д1.6. Найдите первообразную F(x ) для функции
Д1.6
f ( x ) = 43
p x
,
если график первообразной пересекает параболу y= 2x2
+ 3x
в точке с абсциссой −1. В ответе укажите значение F(− 8) .
Д1.7. График первообразной F(x ) для функции
Д1.7
f ( x ) = 3 sin x+ 4 cos x
проходит через точку 

2
;
2 
. В какой точке график перво-
образной пересекает ось ординат? В ответе укажите ординату
этой точки.
Образец написания:
100

Диагностическая работа 1Ответы:
Д1.8. Найдите первообразную F(x ) для функции Д1.8
f( x ) = 4− 3 sin 3 x, если F
6
= 2
9 .
В ответе укажите значение F

9
.
Д1.9. Найдите первообразную F(x ) для функции Д1.9
f( x ) = 5ex
+ 6, если F(1) =5e + 8.
В ответе укажите значение F(0) .
Д1.10. Найдите наибольшее на отрезке [− 1;3] значение пер- Д1.10
вообразнойF(x ) для функции
f( x ) = 4x
ln 4 −52 x
ln 2 ,
если график этой первообразной проходит через начало коор-
динат.
Д1.11. В какой точке отрезка [5,5 ;15 ,5] первообразная F(x ) Д1.11
для функции
f( x ) = log
5(
x − 5)
достигает своего наименьшего значения на этом отрезке?
Д1.12. В скольких целых точках отрезка [− 7;7] значения пер- Д1.12
вообразнойF(x ) для функции
f( x ) = −log
3(11
−x)
меньше, чем ее значение в точке 2?
101
Образец написания:

Ответы:Диагностическая работа 2
Д2.1. Найдите первообразную F(x ) для функции
Д2.1
f ( x ) = 1+ 2x + 3x2
+ 13 x3
x 4
x 5
, если F(0) =1.
В ответе укажите значение F(− 1) .
Д2.2. Найдите первообразную F(x ) для функции
Д2.2
f ( x ) = x
4
− 16 x2
+ 4 ,
если график этой первообразной проходит через точку (− 3;6) .
В ответе укажите значение F(3) .
Д2.3. Найдите первообразную F(x ) для функции
Д2.3
f ( x ) = x
2
x 4
x 6 x
3
x 5
x 7
на промежутке (0;+ ), если F(1) =2,5 . В ответе укажите зна-
чение F(0 ,5) .
Д2.4. Найдите первообразную F(x ) для функции
Д2.4
f ( x ) = x
2
+ 4 x4
+ 4x2
на промежутке
(0;+ ),
если график этой первообразной проходит через точку
(0 ,25 ;5) . В ответе укажите значение F(1) .
Д2.5. Найдите первообразную F(x ) для функции
Д2.5
f ( x ) = 2 px+
5
x 1
4
4
на промежутке (0;+ ), если F(16) =50 . В ответе укажите
значение F(1) .
Д2.6. Найдите первообразную F(x ) для функции
Д2.6
f ( x ) = 13q x
4
 7
p x
2
 3
p x
,
если график этой первообразной проходит через точку
(8 ;12 ,25) . В ответе укажите значение F(1) .
Д2.7. Найдите первообразную F(x ) для функции
Д2.7
f ( x ) = sin xcos x, если F( 6
)
= 7 8
.
В ответе укажите значение F( ).
Образец написания:
102

Диагностическая работа 2Ответы:
Д2.8. Найдите первообразную F(x ) для функции Д2.8
f( x ) = cos 4
x − sin 4
x,
если график этой первообразной проходит через точку

12 ;5 4
. В ответе укажите значение F
− 4
.
Д2.9. Найдите первообразную F(x ) для функции Д2.9
f( x ) = 2x
3 x
5 x
ln 30 ,если F(2) =1000 .
В ответе укажите значение F(1) .
Д2.10. Найдите первообразную F(x ) для функции Д2.10
f( x ) = 2x
+ 3
3 x
+ 2
ln 6 ,
график этой первообразной проходит через точку (0;73) .
В ответе укажите значение F(− 1) .
Д2.11. В какой точке отрезка [− 1,5 ;2 ,5] первообразная F(x ) Д2.11
для функции
f( x ) = log
3(
x + 2)
достигает своего наименьшего значения на этом отрезке?
Д2.12. В какой точке отрезка [3,5 ;7 ,5] первообразная F(x ) Д2.12
для функции
f( x ) = (x − 4) log
0,7 (
x − 3)
достигает своего наибольшего значения на этом отрезке?
103
Образец написания:

Ответы
§ 1. Вычисление производных. Исследование функций с примен ением производной
Диагностическая работа
1. −4. 2.−54 . 3.5. 4.−6. 5.4. 6.−3. 7.0,5 . 8.8. 9.19. 10.−1. 11. 5. 12.19.
Тренировочная работа 1
Т1.1. −4. Т1.2. 0. Т1.3. 14. Т1.4. −14 . Т1.5. 15. Т1.6. 24. Т1.7. −2. Т1.8. −35 . Т1.9. 162.
Т1.10. 2.
Тренировочная работа 2
Т2.1. 1.Т2.2. 2.Т2.3. 2.Т2.4. −2.Т2.5. 3.Т2.6. −4.Т2.7. 2.Т2.8. −2.Т2.9. 4.Т2.10. −3.
Тренировочная работа 3
Т3.1. 1.Т3.2. 0.Т3.3. 5.Т3.4. 4.Т3.5. −29 . Т3.6. 256. Т3.7.−32 . Т3.8. 3.Т3.9. −4.
Т3.10. 108.
Тренировочная работа 4
Т4.1. 48.Т4.2. −21 .Т4.3. −11 .Т4.4. −3.Т4.5. 80.Т4.6. −35 .Т4.7. −4.Т4.8. −60 .Т4.9. −80 . Т4.10. 45.
Тренировочная работа 5 (Т5)
Т5.1. −4.Т5.2. 6.Т5.3. 8.Т5.4. 2.Т5.5. 2.Т5.6. −3.Т5.7. 1.Т5.8. −2. Т5.9. −3. Т5.10. −4.
Тренировочная работа 6
Т6.1. 8.Т6.2. −7. Т6.3. 6.Т6.4. −24 . Т6.5. 30.Т6.6. −6. Т6.7. 10.Т6.8. −12 . Т6.9. 27.
Т6.10. −25 .
Тренировочная работа 7
Т7.1. 3.Т7.2. 2.Т7.3. 2.Т7.4. 3.Т7.5. 35.Т7.6. 36.Т7.7. 10.Т7.8. 5.Т7.9. 0,9 .Т7.10. 1,3 .
Тренировочная работа 8
Т8.1. 9.Т8.2. 4.Т8.3. 1.Т8.4. 16.Т8.5. 3.Т8.6. 2.Т8.7. 4.Т8.8. 5.Т8.9. 1.Т8.10. 1.
Тренировочная работа 9
Т9.1. −16 . Т9.2. −4. Т9.3. 81.Т9.4. 16.Т9.5. −16 . Т9.6. 16.Т9.7. −48 . Т9.8. 17.
Т9.9. −103 .Т9.10. 59.
Тренировочная работа 10
Т10.1. −7. Т10.2. −23 . Т10.3. 16. Т10.4. 0. Т10.5. −39 . Т10.6. −4. Т10.7. 8. Т10.8. 12.
Т10.9. 14. Т10.10. 12.
Тренировочная работа 11
Т11.1. 3.Т11.2. 1,5 . Т11.3. 1,2 . Т11.4. 0,5 . Т11.5. 2,5 . Т11.6. 0,75 . Т11.7. 0,25 . Т11.8. 1,25 .
Т11.9. 0,4 . Т11.10. 2,5 .
104

Ответы
Тренировочная работа 12
Т12.1. 6.Т12.2. 34.Т12.3. 14.Т12.4. 7.Т12.5. −1. Т12.6. 14.Т12.7. −6. Т12.8. 8.
Т12.9. −10 . Т12.10. −18 .
Тренировочная работа 13
Т13.1. 49. Т13.2. 0,01 . Т13.3. 36. Т13.4. −81 . Т13.5. 36. Т13.6. 2. Т13.7. −9. Т13.8. −3.
Т13.9. 21. Т13.10. 45.
Тренировочная работа 14
Т14.1. 3.Т14.2. 0.Т14.3. 13.Т14.4. −1. Т14.5. 2.Т14.6. 4.Т14.7. 5.Т14.8. 7.Т14.9. 1.
Т14.10. −3.
Тренировочная работа 15
Т15.1. 7.Т15.2. 14.Т15.3. 4.Т15.4. 4.Т15.5. −2. Т15.6. 10.Т15.7. 0.Т15.8. 4.Т15.9. −1.
Т15.10. 2.
Тренировочная работа 16
Т16.1. 4.Т16.2. 5.Т16.3. 0,24 .Т16.4. 0,9 .Т16.5. 7.Т16.6. 15.Т16.7. 16.Т16.8. 0,25 .Т16.9. 6. Т16.10. 60.
Тренировочная работа 17
Т17.1. 0,4 .Т17.2. 9.Т17.3. 8.Т17.4. 5.Т17.5. 9,5 .Т17.6. 3.Т17.7. 11,5 .Т17.8. −4,8 . Т17.9. 4.Т17.10. 3.
Тренировочная работа 18
Т18.1. −20 . Т18.2. 13.Т18.3. 19. Т18.4. 6.Т18.5. 2.Т18.6. 12.Т18.7. −1. Т18.8. 10.
Т18.9. −7. Т18.10. 9.
Диагностическая работа 1
Д1.1. −2. Д1.2. 6.Д1.3. −4. Д1.4. 12.Д1.5. 4.Д1.6. 1.Д1.7. 1,5 . Д1.8. 5.Д1.9. 6.
Д1.10. 1.Д1.11. 0,5 . Д1.12. 9.
Диагностическая работа 2
Д2.1. 2.Д2.2. 0. Д2.3. 7.Д2.4. 0.Д2.5. 9.Д2.6. 33.Д2.7. 1.Д2.8. 12.Д2.9. 17.Д2.10. 5.
Д2.11. 7.Д2.12. 2.
Диагностическая работа 3
Д3.1. 3.Д3.2. 108.Д3.3. −3. Д3.4. 24.Д3.5. 25.Д3.6. −245 .Д3.7. 2.Д3.8. −3.
Д3.9. −7. Д3.10. −1. Д3.11. 2,5 . Д3.12. 6.
Диагностическая работа 4
Д4.1. 1.Д4.2. −2. Д4.3. −15 . Д4.4. −10 . Д4.5. 36.Д4.6. 54.Д4.7. 1,25 . Д4.8. −11 .
Д4.9. −6. Д4.10. 1. Д4.11. −1. Д4.12. −1.
Диагностическая работа 5
Д5.1. −2. Д5.2. 6. Д5.3. −4. Д5.4. 12. Д5.5. 4. Д5.6. 1. Д5.7. 1,5 . Д5.8. 5. Д5.9. 6.
Д5.10. 1. Д5.11. 0,5 . Д5.12. 9.
105

Ответы
§ 2. Вычисление наибольших и наименьших значений функций без применения производной
Диагностическая работа
1. min y(x ) = y
3
2
= q
5
2
.
2.max y(x ) = y
− 1 2
= log
25 4
.
3.max
[ − 1;2] y
(x ) = y(2) =63 ,min
[ − 1;2] y
(x ) =
= y(0) =−1. 4. max
y
(x ) = 3 достигается при x=
2
+
2 k, k∈ , min
y
(x ) = −1 до-
стигается при x= −
2
+
2 n, n∈ . 5. min y(x ) = y(− 1) =−1; max y(x ) = y
3 2
= 4.
6. max y(x ) = y(1 −p
2)
=6
+ 2p 2
7
.
7.min
y
(x ) = y
4+ log
34 4 
= 12 . 8. min
y
(x ) = y(0) =1.
9. max
y
(x ) = p
2
− 2 достигается при x= 12
+2 3

k, k∈ ; min
y
(x ) = −p 2
− 2 достигает-
ся при x= −
4
+ 2 3

n, n ∈ . 10. min
y
(x ) = y
8 3
= p 10
. 11. max

− 1
2;
12 
y
(x ) = y
1 2p 2 
= p 2
.
12. min
(0; )y
(x )= y
q
3
2
= 0.
Тренировочная работа 1
Т1.1. 9. Т1.2. 1. Т1.3. 4. Т1.4. 7. Т1.5. 9. Т1.6. 2. Т1.7. 4. Т1.8. −3. Т1.9. 2,25 . Т1.10. 2.
Тренировочная работа 2
Т2.1. 3. Т2.2. −1. Т2.3. −1
8
.
Т2.4. 0,5 . Т2.5. −15 8
.
Т2.6. 16. Т2.7. 0. Т2.8. −20 .
Т2.9. 36. Т2.10. −0,5 .
Тренировочная работа 3
Т3.1. 1. Т3.2. 9. Т3.3. 5. Т3.4. 30. Т3.5. 5. Т3.6. 5. Т3.7. 12. Т3.8. 1. Т3.9. 2. Т3.10. 9
4
.
Тренировочная работа 4
Т4.1. 13. Т4.2. 3. Т4.3. 10. Т4.4. 100.Т4.5. 7. Т4.6. 0. Т4.7. −1. Т4.8. 3. Т4.9. −15 .
Т4.10. 0,3 p
10
.
Диагностическая работа 1
Д1.1 min
[ − 1;2] y
(x ) = −3,75 ;max
[ − 1;2] y
(x ) = 27 . Д1.2 min
y
(x ) = 1; max
y
(x ) = 9. Д1.3. 2. Д1.4. 5.
Д1.5. max
y
(x ) = 4p
2
− 6; min
y
(x ) = −4. Д1.6. 3,4 . Д1.7. 1. Д1.8. 1. Д1.9. 3. Д1.10. 5.
Д1.11. maxz(x ; y) = 10 ;min z(x ; y) = −10 . Д1.12. maxz(x ; y) = 1; min z(x ; y) = 0.
Диагностическая работа 2
Д2.1 6. Д2.2 Д1.4. max
[ − 2;2] y
(x ) = 13; min
[ − 2;2] y
(x ) = 4. Д2.3 max
y
(x ) = 16;min
y
(x ) = 0,5 .
Д2.4 max
y
(x ) = 3
p
4
; min
y
(x ) = −1. Д2.5 max
[1 ;7] y
(x ) = 1+ log
23
; min
[1 ;7] y
(x ) = 1. Д2.6 max
y
(x ) =
= 9; min
y
(x )= 1
9
.
Д2.7 14. Д2.8 20. Д2.9 4. Д2.10 16. Д2.11 2. Д2.12 7.
106

Ответы
§ 3. Первообразная
Диагностическая работа
1. F(x ) = 0,3 x2
+ 0,4 x − 1,4 ; F(1) =−0,7 . 2. 18. 3. F(x ) = 3x − 1
x
2 ;
F(0 ,5) =−2,5 .
4. −1. 5. F(x ) = 2x + 22p
x
− 67; F(9) =17. 6. F(x ) = 3
p x 2
− 2; F(8) =2. 7. −6.
8. F(x ) = 2x − 1
4
cos 4
x− 7
2 −1 4
;
F
7 4 
= 0. 9.F(x ) = ex
+ 2x2
+ 3x − 5; F(0) =−4. 10. −5.
11. 22. 12. 2.
Тренировочная работа 1
Т1.1. F(x ) = x2
+ 1,5 x − 11,5 ; F(0) =−11 ,5 . Т1.2. F(x ) = x4
+ x3
+ 10; F(− 1) =10.
Т1.3. F(x ) = x4
− 4
x3
3 +x
2 2 − 1 6
;
F(1) =0. Т1.4. 3,4 . Т1.5. 2,5 . Т1.6. F(x ) = 2x2
+ 2x − 3,5 ;
F (− 2) =0,5 . Т1.7. 4. Т1.8. −7. Т1.9. −4. Т1.10. 154.
Тренировочная работа 2
Т2.1. F(x ) = 3 ln x+ 1; F(1) =1. Т2.2. F(x ) = 4 ln( −x) − 2; F(− 1) =−2.
Т2.3. F(x ) = 4 ln( x− 5) +4; F(6) =4. Т2.4. F(x ) = 3 ln(4 −x) + 9; F(3) =9.
Т2.5. F(x ) = 2 ln(4 x+ 3) −5; F(− 0,5) =−5. Т2.6. F(x ) = −3
2
x +
8; F(3) =7,5 .
Т2.7. F(x ) = 4x + 3
x

24 ;F(0 ,5) =−16 . Т2.8. 5. Т2.9. 4. Т2.10. F(x ) = x+ 1 100
x−
0,01 ;
F (0 ,5) =0,51 .
Тренировочная работа 3
Т3.1. F(x ) = 4xp
x
+ 5p x
; F(4) =52. Т3.2. F(x ) = x+ 4p x
+ 1; F(1) =6.
Т3.3. F(x ) = 4x − 22p
x
+ 22; F(4) =−6. Т3.4. F(x ) = 3x 3
p x
+ 5x + 6; F(− 1) =4.
Т3.5. F(x ) = 15 x15
p
x 8
+ 12;F(1) =27. Т3.6. F(x ) = 2xp x
+ 3x 3
p x
+ 5x + 4; F(1) =14.
Т3.7. F(x ) = 5x4 5
p
x
+ 16;F(− 1) =11. Т3.8. −43 . Т3.9. 1. Т3.10. F(x ) = 9x2 3
p x
− 19;
F (1) =−10 .
Тренировочная работа 4
Т4.1. F(x ) = 2 sin x− 3; F( ) = −3. Т4.2. F(x ) = 3 cos x+ 10; F

2
= 10.
Т4.3. F(x ) = −2 sin 4 x+ 25 ;F

8
= 23 . Т4.4. F(x ) = −2 cos 3 x+ 10 ;F
− 3
= 12 . Т4.5. 3.
Т4.6. F(x )= 3x − sin 2 x− 3

4 ;
F
4
= −1. Т4.7. 7. Т4.8. 6. Т4.9. 2. Т4.10. 0.
Тренировочная работа 5
Т5.1. F(x ) = ex
+ 1; F(0) =2. Т5.2. F(x ) = 2ex
− 3x + 13 ;F(0) =15 . Т5.3. F(x ) = 3e2
x
+ 4;
F (0) =7. Т5.4. F(x )= 5ex
+ 6x + 2; F(0) =7. Т5.5. F(x )= 2x
+ 3; F(3) =11 . Т5.6. F(x )= 2x
− 3;
F (1) =−1. Т5.7. −14 . Т5.8. 30. Т5.9. 1. Т5.10. −2.
Тренировочная работа 6
Т6.1. 26. Т6.2. 1. Т6.3. 2. Т6.4. 9. Т6.5. 24. Т6.6. 3. Т6.7. 45. Т6.8. 6. Т6.9. 5.
Т6.10. 1,5 .
107

Ответы
Диагностическая работа 1
Д1.1. F(x ) = 2x2
+ 3x + 1; F(− 1) =0. Д1.2. 27. Д1.3. F(x ) = 2x − 1
x
+
2; F(0 ,5) =1.
Д1.4. −2. Д1.5. F(x ) = 4x + 6p x
+ 1; F(4) =29 . Д1.6. F(x ) = 3x 3
p x
− 4; F(− 8) =44 . Д1.7. 3.
Д1.8. F(x ) = 4x + cos 3 x− 4

9 ;
F
9
= 0,5 . Д1.9. F(x ) = 5ex
+ 6x + 2; F(0) =7. Д1.10. 28
Д1.11. 6. Д1.12. 5.
Диагностическая работа 2
Д2.1. F(x ) = x+ x2
+ x3
+ x13
+ 1; F(− 1) =−1. Д2.2. F(x ) = x
3
3 −
4x + 3; F(3) =0.
Д2.3. F(x ) = − 1
2
x2
+
3; F(0 ,5) =1. Д2.4. F(x ) = −1 x
+
9; F(1) =8. Д2.5. F(x ) = 4p x
+ x5 4
+ 2;
F (1) =7. Д2.6. F(x ) = 0,75 x3
p
x
+ 0,25 ; F(1) =1. Д2.7. F(x ) = −0,25 cos 2 x+ 1;
F ( )= 0,75 . Д2.8. F(x ) = 0,5 sin 2 x+ 1; F

4
= 0,5 . Д2.9. F(x ) = 30 x
+ 100 ;F(1) =130 .
Д2.10. F(x )= 72 6 x
+ 1; F(− 1) =13 . Д2.11. −1. Д2.12. 3,5 .
108

Содержание
От редактора серии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§ 1. Вычисление производных. Исследование функций с примен ением производной 6
Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Методические рекомендации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Целые рациональные функции. Решения задач 1 и 2 диагностиче ской работы . . 11
Тренировочная работа 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Тренировочная работа 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Тренировочная работа 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Дробно-рациональные функции. Решения задач 3 и 4 диагности ческой работы . 15
Тренировочная работа 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Тренировочная работа 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Тренировочная работа 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Иррациональные функции. Решения задач 5 и 6 диагностическо й работы . . . . . 20
Тренировочная работа 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Тренировочная работа 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Тренировочная работа 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Тригонометрические функции. Решения задач 7 и 8 диагностич еской работы . . 24
Тренировочная работа 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Тренировочная работа 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Тренировочная работа 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Показательная функция. Решения задач 9 и 10 диагностическо й работы . . . . . . 30
Тренировочная работа 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Тренировочная работа 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Тренировочная работа 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Логарифмическая функция. Решения задач 11 и 12 диагностиче ской работы . . . . 34
Тренировочная работа 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Тренировочная работа 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Тренировочная работа 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Диагностическая работа 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Диагностическая работа 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Диагностическая работа 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Диагностическая работа 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
109

Содержание
Диагностическая работа 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 2. Вычисление наибольших и наименьших значений функций бе з применения
производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Методические рекомендации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Применение свойств функций. Решение задач 1—6 диагностиче ской работы . . . 51
Монотонность и ограниченность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Замена переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Исследование множества значений функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Тренировочная работа 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Тренировочная работа 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Применение стандартных неравенств. Решение задач 7—12 диа гностической
работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Неравенство Коши для двух чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Неравенство |a |+ |b | |a + b| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Неравенство |a sin t+ bcos t| p
a
2
+ b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Неравенство |#–
a |+ |#–
b | |#–
a + #–
b |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Неравенство #–
a #–
b |#–
a |  | #–
b | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Комбинирование приемов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Тренировочная работа 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Тренировочная работа 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Диагностическая работа 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Диагностическая работа 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
§ 3. Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Диагностическая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Методические рекомендации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Целые рациональные функции. Решения задач 1 и 2 диагностиче ской работы . . 84
Тренировочная работа 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Дробно-рациональные функции. Решения задач 3 и 4 диагности ческой работы . 86
Тренировочная работа 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Иррациональные функции. Решения задач 5 и 6 диагностическо й работы . . . . . 89
Тренировочная работа 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Тригонометрические функции. Решения задач 7 и 8 диагностич еской работы . . 92
Тренировочная работа 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Показательная функция. Решения задач 9 и 10 диагностическо й работы . . . . . . 95
110

Содержание
Тренировочная работа 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Логарифмическая функция. Решения задач 11 и 12 диагностиче ской работы . . . . 97
Тренировочная работа 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Диагностическая работа 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Диагностическая работа 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
111

Учебно-методическое пособиеСергей Алексеевич Шестаков
ЕГЭ 2018 .М. П . И .
З 12 ( ). Р
Под редакцией И. В. Ященко
Подписано в печать 30.06.2017 г. Формат 70×90 1
/ 16 . Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 7. Тираж 5000 экз. Заказ № .
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241–08–04.
Отпечатано с электронных носителей издательства.
ОАО «Тверской полиграфический комбинат». 170024, г. Тверь , пр-т Ленина, 5.
Телефон: (4822) 44–42-15, (495) 748–04–67, Телефон/факс: ( 4822) 55–42–15.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Мате матическая книга»,
Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (495) 745–80– 31. E-mail:biblio@mccme.ru
X