50 олимпиадных задач по физике_Кузнецов Мельников Савин Шевцов_2006 -60с.PDF

Формат документа: pdf
Размер документа: 1.8 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

А .П . Кузнецов , С .П . Кузнецов ,
Л .А . Мельников , А .В . Саbg , В .Н . Шеph\

50
ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ
ПО ФИЗИКЕ

А .П . Кузнецов , С .П . Кузнецов ,
Л .А . Мельников , А .В . Саbg , В .Н . Шеph\





50
ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ
ПО ФИЗИКЕ














Саратов
Издательстh « Научная книга »
2006
2

УДК 530.77
К89


Кузнецов А.П ., Кузнецов С.П ., Мельников Л .А., Саbg А.В., Шеph\ В.Н .
50 олимпиадных задач по физике . – Саратов : изд -h « Научная книга »,
2006, 60 с.
ISBN 5-9758-0110-9

Сборник содержит 50 оригинальных задач физических олимпиад , которые
будут полезны будущим исследоZl_eyf . Ко k_f задачам даны подроб -
ные решения .
Сборник будет полезен учащимся , заинтересоZgguf в глубоком изучении
физики , и их учителям .







Оригинал -макет подготоe_g А .В. Саbguf

Иллюстрации С.П . КузнецоZ


© А .П . Кузнецов , С.П . Кузнецов , Л.А . Мельников ,
А .В. Саbg , В.Н . Шеph\ , 2006

ISBN 5-9758-0110-9
3

П Р Е Д И С Л О В И Е

… О далеком будущем с его колоссальными
проблемами , которые мы сейчас не в
состоянии разрешить , но можем постаblv ,
о будущем , которое предстает перед нами ,…
как _ebdhe_iguc , но грозный мир чело_q_kdh]h
духа , озаряемый молниями _ebdbo задач и дел …
А .Стругацкий , Б.Стругацкий

… ОказыZ_lky , кроме нашего приuqgh]h
мира с метрикой Римана , принципом
неопределенности , физическим Zdmmfhf
и пьяницей Брутом , сущестmxl и другие
миры с ярко ujZ`_gghc реальностью …
А .Стругацкий , Б.Стругацкий

Профессия ученого -исследоZl_ey очень уe_dZl_evgZ . Она дает ha -
можность почуklоZlv себя “ магом ”, который раскрыZ_l тайны и загад -
ки природы . Если Вы – настоящий исследоZl_ev , то для Вас , наряду с
обычным миром проблем и катаклизмов , сущестm_l и другой : мир науки .
Мир очень интересный , а глаgh_ , iheg_ реальный и _kvfZ населенный .
Как попасть в этот мир ? Опыт показыZ_l , что для этого нужно тре -
нироZlv сhb тhjq_kdb_ hafh`ghklb , нужны упорстh и желание до -
биться сh_c цели . Очень Z`gh попасть в какую -либо научную школу , ко -
торая актиgh работает и занимается исследоZgbyfb . Атмосфера такой
школы , ее традиции и gmlj_ggb_ законы разblby сделают из Вас учено -
го .
Однако перuf шагом в научный мир может стать решение физиче -
ских задач поur_gghc трудности , или олимпиадных задач . Каждая такая
задача – это маленькая проблема , которую Вы должны решить самостоя -
тельно . Олимпиадные задачи – это сh_]h рода модели тех научных задач ,
которые klj_qZxlky в работе ученых .
Заметим , что преимущестh олимпиадного задачника в том , что Вы
можете посylblv одной задаче много j_f_gb (хоть целый месяц !) в от -
личие от самой олимпиады , где на пять задач отh^blky обычно четыре ча -
4

са . А _^v именно так происходит в реальном научном тhjq_klе , когда
одну задачу решают иногда даже не месяцы , а годы . Кроме того , Вы може -
те обсуждать задачи с друзьями , и решать их f_kl_ методом « мозгоh]h
штурма », а это очень интересно и тоже принято в науке !
В наст оящий сборник dex чены нек оторые зада чи , приду манные ав -
торами для олимпиад , провод ивш ихс я в Сара то_ в разные год ы. Ко k ем
зада чам прив едены решения и от веты. Мы рек оменду ем познак омиться с
решениями в любо м случае – даж е ес ли Вы у_j_gu , чт о решили зада чу ,
_ дь k ег да могут быть опре деленные « то нкости», с которыми по ле зно по -
знак омиться . Те м бо лее эт о ст оит сдела ть, ес ли по сле прило женных усилий
зада чу решить не уд алось. Даж е в эт ом случае упорная тренироd а со j_ -
менем поukbl Ваш уров ень .
Ав торы хо тели бы ujZablv благ одарно сть профе ссорам Сара тоkd о-
го го сударственного уни_jkbl_l а А .С. Ша пов алов у, Б.С. Дмит риев у,
Ю .И . Леbgm , М .Н . Ку ликову, С.Б. Венигу , h зглаe явш им в разные год ы
оргк омитет по пров едению олимпиад . Ав торы та кже благ одарны В.П . Веш -
нев у, В.Л. Дербов у, А .И . Жб анову, А .А . Князев у, А .Б. Осину ,
М .И . Пер ченк о, А .Г. Рож неву, Е.П . Се лезневу, М .М . Стольницу ,
Г.Н . Татарк ов у, k ем членам оргк омитет а за ув лек ательные диск уссии , в хо -
де которых част о ро ждались идеи зада ч. Отметим благ ожела тельную по д-
держк у со ст ороны Е.И . Прилуцк ого, который был бо льшим энт узиаст ом
олимпиад шк ольник ов .
Мы будем рады , если юные читатели этого сборника придут со j_ -
менем в научные лаборатории . Желаем успехов k_f , кто интересуется
наукой !
Аlhju

5

ЧАСТЬ I.

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ

… Но я был один , и я решил рискнуть ,
а заодно и попрактикоZlvky …
А .Стругацкий , Б.Стругацкий






6

1. Балда uimklbe зайца одно -
j_f_ggh с тем , как бесенок побежал
“по берегу морскому ” ( см . рис .1). Заяц
побежал по кратчайшему расстоянию ,
раghfm 2 _jklZf , “ в лесок до дому ”
со скоростью 30 _jkl /час . ВозjZsZ -
ясь , бесенок b^_e зайца , мелькнуr_ -
го за перufb дереvyfb леса , но не
придал этому значения . Найдите ско -
рость , разbаемую бесенком , если
из_klgh , что при беге он может смот -
реть только i_j_^ , а радиус “ моря ”
ра_g 2 _jklZf .

Рис . 1

2. Знайка жи_l в доме , стоящем около дороги между останоdZfb A
и B на расстоянии 800 м от A. В напраe_gbb от A к B по дороге каждый
день проезжают аlh[mk со скоростью 40 км /ч и трамZc со скоростью
20 км /ч. На останоdm B они приезжают одноj_f_ggh в 8 часов утра . В
какое самое позднее j_fy должен uclb из дома Знайка , чтобы успеть уе -
хать на аlh[mk_ ? на трамZ_ ? Знайка ходит со скоростью 4,8 км /ч, рас -
стояние между останоdZfb 2 км . Время , которое транспорт стоит на оста -
ноd_ , очень мало .

3. Крокодил Гена ездит на работу в зоопарк на аlh[mk_ , который
k_]^Z ходит точно по расписанию . Домик Гены стоит около дороги между
останоdZfb A и B на расстоянии l от останоdb A. Аlh[mk едет в направ -
лении от A к B с постоянной скоростью V. Найдите , за какой минимальный
промежуток j_f_gb до прибытия аlh[mkZ на останоdm B Гена должен
uoh^blv из дома , чтобы успеть на него , если крокодил ходит со скоро -
стью U , а j_fy , в течение которого аlh[mk стоит на останоd_ , пренеб -
режимо мало . Расстояние между останоdZfb раgh L.

4. Когда хhkl ползущего УдаZ пораgyeky с пальмой , под которой
сидела Мартышка , она , решив измерить длину УдаZ , побежала ^hev него
и положила банан рядом с его голоhc . Затем Мартышка побежала обратно
и положила lhjhc банан рядом с кончиком хhklZ УдаZ . Потом пришел
7

Попугай и измерил расстояния от пальмы до каждого из бананов , которые
оказались раgufb 16 и 48 попугаев . Найдите длину УдаZ в попугаях , а
также определите , h сколько раз быстрее бегает Мартышка , чем ползает
Удав .

5. На бесконечной прямой дороге расположено бесконечное количе -
стh с_lhnhjh\ так , что расстояние между соседними с_lhnhjZfb раgh
L. Каждый с_lhnhj в течение j_f_gb T показыZ_l красный с_l , затем в
течение j_f_gb T – зеленый , затем опять красный и т.д., причем на дmo
соседних с_lhnhjZo в любой момент j_f_gb горит разный ц_l . ДZ ав -
томобиля одноj_f_ggh начинают дb`_gb_ с постоянными скоростями от
дmo с_lhnhjh\ , расположенных на расстоянии 2 L друг от друга , в тот
момент , когда на них загорается зеленый ц_l . “ Задний ” аlhfh[bev едет с
максимально hafh`ghc скоростью , позheyxs_c проезжать k_ с_lhnh -
ры без останоhd . “ Передний ” аlhfh[bev дb`_lky с постоянной скоро -
стью v. Он мгно_ggh останаebается , если подъезжает к с_lhnhjm с го -
рящим красным с_lhf , и также мгно_ggh набирает скорость v после за -
горания зеленого с_lZ . Определите , догонит ли “ задний ” аlhfh[bev “ пе -
редний ” ( и если да , то за какое j_fy ), если ur_i_j_qbke_ggu_ праbeZ
дb`_gby не нарушаются , а переключение с_lhnhjh\ происходит мгно -
_ggh .

6. Лабораторией профессора А .А . Выбегалло
предложена ноZy система измерения скорости аlh -
мобиля , использующая инноZpbhggu_ ukhdhlhqgu_
технологии и состоящая в следующем . На обод одного
из колес аlhfh[bey крепится датчик . Устаноe_gguc
на аlhfh[be_ бортоhc компьютер с большой точностью фиксирует по -
ложение этого датчика через раgu_ промежутки j_f_gb τ. Затем опреде -
ляется угол ϕ между дmfy последоZl_evgufb положениями датчика (см .
рис . 2), по нему рассчитыZ_lky углоZy скорость jZs_gby колеса как
ω=ϕ/τ и затем скорость дb`_gby аlhfh[bey . При испытаниях системы
оказалось , что при устаноd_ датчиков на передние колеса модели полу -
чаемые значения скорости хорошо соiZ^Zxl с истинными iehlv до _ -
личины 10 м/с, после чего измеряемые предложенным способом значения
станоylky сущест_ggh меньше истинных . После устаноdb датчика на
ϕ
t+ τ t

Рис . 2
8

заднее колесо значение скорости , при котором начинается расхождение ре -
зультатов , у_ebqbehkv до 15 м/с. Объясните причину плохой работы сис -
темы при больших скоростях . Найдите диаметр заднего колеса и интерZe
j_f_gb τ, если диаметр переднего колеса модели ра_g 10 см . Считайте ,
что колеса модели в процессе дb`_gby не проскальзыZxl .

7. ПолиZy грядки из шланга , садоgbd напраey_l тонкую струю h -
ды под углом α к горизонту . Считая , что в ha^mo_ струя не распадается на
капли , определите ее диаметр в _jog_c точке траектории , если gmlj_g -
ний диаметр шланга ра_g d0. Сопротиe_gb_f ha^moZ пренебречь , диа -
метр шланга считайте малым по сраg_gbx с дальностью полета струи .

8. Определите , каким образом должна изменяться со j_f_g_f угло -
Zy скорость jZs_gby _^ms_c катушки магнитофона для того , чтобы ли -
нейная скорость дb`_gby ленты была постоянна и раgZ v. Радиус катуш -
ки R, толщина ленты d. Считайте , что dá R, а в начальный момент j_f_gb
ky лента намотана на другую катушку .

9. Прибор для измерения плотности жидкости – ареометр – в про -
стейшем случае предстаey_l собой цилиндрическое тело , gmljb нижней
части которого закреплен груз , обеспечиZxsbc устойчиh_ плаZgb_
ареометра в _jlbdZevghf положении , а на бокоmx по_joghklv нанесена
шкала плотностей так , что при плаZgbb ареометра в однородной жидко -
сти он погружается точно до отметки , соот_lklующей ее плотности . В
широкий и глубокий сосуд с h^hc по_jo нее налит слой бензина толщи -
ной h=10 см . Какую плотность покажет ареометр массой M =10 грамм ,
опущенный в этот сосуд ? Как изменятся его показания , если толщину слоя
бензина у_ebqblv ^ое ? Считайте , что диаметр ареометра намного
меньше диаметра сосуда . Плотность h^u 1,0 г/см 3, бензина 0,75 г/см 3,
площадь поперечного сечения ареометра 1 см 2.

10 . На один конец легкого тонкого стержня нанизан шарик из сbg -
ца , на другой – шарик из алюминия . Стержень опирается серединой на
острие и находится в горизонтальном раghесии в h^_ , при этом рас -
стояние между центрами шариков l=20 см и они расположены симметрич -
но относительно точки опоры . В какую сторону и на какое расстояние
9

нужно будет сдbgmlv алюминиеuc шарик для сохранения раghесия в
ha^mo_ ? Плотность сbgpZ ρ1=11300 кг /м3,алюминия ρ2=2700 кг /м3, h^u
ρ=1000 кг /м3.

11 . Согласно одной из средне_dhых моделей мира , Земля лежит на
спине кита , плаZxs_]h в океане . Оцените характерные размеры этого ки -
та . Землю считайте полусферой радиуса R=6400 км , плотность земных по -
род ρз=5,5 г/см 3, плотность кита – ρК=0,9 г/см 3.
Указание : кита можно предстаblv в b^_ цилиндра , диаметр которо -
го в несколько (например , в 10) раз меньше его длины .

12 . Оцените длину шкурки , которую снимают , почистив килограмм
картошки . Килограмм какой картошки можно быстрее почистить : крупной
или мелкой ? Отдельно рассмотрите предельный переход к случаю очень
мелкой картошки .

13 . Открытый с_jom цилиндрический бак полностью наполнялся
h^hc из крана за j_fy t1. Со j_f_g_f в его дне образоZehkv небольшое
от_jklb_ , через которое ky h^Z из полностью наполненного бака при за -
крытом кране uebается за j_fy t2. Теперь пустой бак постаbeb под от -
крытый кран на промежуток j_f_gb , много больший как t2 ,так и t1. За ка -
кое j_fy uev_lky ky h^Z из бака , если кран закрыть ? Скорость истече -
ния h^u из крана постоянна .


Рис . 3
14. На рис . 3 показана схема из_klgh]h опыта ,
демонстрирующего инертность тел . Начиная с неко -
торого момента j_f_gb , нижнюю нить тянут с посто -
янной силой f. В заbkbfhklb от _ebqbgu силы р_l -
ся либо нижняя , либо _jogyy нить . Найдите услоby ,
при которых реализуются эти ситуации . Считайте , что
разрыв нити наступает при натяжении T; iehlv до
разрыZ нить имеет постоянный коэффициент жестко -
сти k. Масса груза M , нить не_khfZ .

10

15 . Тело массой m =2 кг дb`_lky ^hev оси x по
гладкой горизонтальной плоскости . График заbkbfhklb
vх от x показан на рис . 4. Постройте график заbkbfhklb
модуля силы , дейстmxs_c на тело , от j_f_gb .
0 1 2 3 4 5
x,м 0
1
2
3
4
5 vx,м/c
Рис . 4


16. Горизонтальная балка прямоугольного сечения жестко заделана
одним концом в стену . К другому концу балки проложена сила F (см .
рис . 5). Смещение у конца балки заbkbl от силы F, длины l, ширины а и
толщины балки b, а также от модуля Юнга E – коэффициента с размерно -
стью Н /м2, характеризующего материал балки . Ниже при_^_gh шесть Z -
риантов этой заbkbfhklb , причем _jguf яey_lky только один из них .
Какой ?

1) y Fl
Eab
= 4 3
3,
2) y Fl
Eab
= 4 5
,
3) y Fl
E ab
= 4 22
22 3,
4) y Fl
Eab
= 4 3
2 2,
5) y Fb
Eal
= 4 3
3,
6) y Fl
Eab
= 4 2
.
Рис . 5.

17 . К наклонной стенке , состаeyxs_c малый угол α с _jlbdZevx ,
под_r_g на не_khfhc нерастяжимой нити тяжелый ша -
рик . Его от_eb e_о на малый угол β, больший α ( см .
рис . 6), и отпустили . Удары шарика о стенку такоu , что
отношение кинетической энергии шарика сразу после
удара к кинетической энергии шарика сразу перед ударом
раgh K (0< K<1). Определите последоZl_evghklv макси -
мальных отклонений шарика e_о .
αβ

Рис . 6

11

18 . К [blhfm в стену гha^x на не_khfhc нерастяжимой нити дли -
ны L под_r_g маленький тяжелый груз . Под гha^_f на
расстоянии l от нижнего положения груза ( l один гha^v . Груз отклоняют ijZо так , что нить образует
острый угол α с _jlbdZevx ( см . рис . 7), и отпускают без
начальной скорости . Перечислите k_ hafh`gu_ качест -
_ggh различные типы по_^_gby этой системы и изобрази -
те соот_lklующие им области на плоскости безразмер -
ных параметров (l/L , cos α). Потерями энергии пренебречь .
L
l
α

Рис . 7

19. На доске массы M ле -
жит небольшой брусок массы m
(см . рис . 8). Коэффициент тре -
ния между доской и бруском ра -
_g µ1, а между доской и по -
_joghklvx – µ2. К бруску приложена горизонтальная сила F. Укажите k_
hafh`gu_ качест_ggh различные ZjbZglu по_^_gby системы и изобра -
зите на плоскости параметров (µ1, µ2) соот_lklующие им области .
Рис . 8

20. ПерекидыZy легкую нить с приyaZggufb к ее концам грузами
через блок , ученик заметил , что она находится в раghесии , если массы
грузов различаются не более чем в 2 раза , и соскальзыZ_l в протиghf
случае . Определите коэффициент трения нити по блоку .

21. На столе лежит книга размером l×l. Наименьшая работа , необхо -
димая для того , чтобы раскрыть ее на середине , раgZ А. Сколько _kbl
книга ?

22. Резкий порыв _ljZ uaал по k_fm озеру почти кZ^jZlghc
формы со стороной L=10 км систему heg длины λ около 50 см и с ампли -
тудой a примерно 10 см . Оцените потенциальную энергию этой системы
heg относительно раghесного положения h^u . Оцените , насколько
может подняться температура h^u , когда hegu затухнут . Возрастет или
уменьшится изменение температуры для озера той же глубины , но с
12

бóльшими сторонами ? Глубина озера h=10 м, теплоемкость h^u
c=4,2 ⋅10 3 Дж /(кг ·К).

23. Определите максимальное ускорение , с которым заднеприh^guc
аlhfh[bev с расстоянием между осями L=1,2 м, центр тяжести которого
расположен на ukhl_ h=1 м от земли посередине между осями , может на -
чать дb]Zlvky , если он находится а) на льду , б) на асфальте . Коэффициент
трения скольжения колес по льду 0,1; по асфальту 0,7.

A C
H B
Рис . 9
24. Шарнирная конструкция в b^_ кZ^jZlZ
лежит на гладком горизонтальном столе и скрепле -
на с ним в _jrbg_ А (см . рис . 9). Шарниры В и С
соединены пружиной жесткости k. Найдите период
малых колебаний системы , если массами пружин ,
стержней , шарниров В и С по сраg_gbx с массой m
шарнира Н можно пренебречь , а трение kx^m от -
сутстm_l .

25. Математический маятник в b^_ не_khfh]h стержня с грузом
массы m находится [ebab _jog_]h (неустойчиh]h ) положения раghе -
сия ( рис . 10 а). Маятник может со_jrZlv дb`_gby только в плоскости ,
перпендикулярной рисунку . Его прикрепляют к дmf пружинам жесткости
k так , как показано на рис . 10 б. Пружины не деформироZgu , когда маят -
ник находится точно в _jog_f положении раghесия . Маятник смещают
на очень малое расстояние перпендикулярно плоскости рисунка и отпус -
кают ( рис . 10 в). Найдите размах колебаний маятника . Считайте , что сме -
щение маятника мало по сраg_gbx с его длиной L и длинами недеформи -
роZgguo пружин l.
m
L

k k
l l

α
x

а) б) в)
Рис . 10
13

(Указание . Используйте , что при малых x и α спра_^ebы соотно -
шения (1+ x)a≈1+ ax и cos α≈ 1– α2/2).

26. Центр тяжести шарика радиуса r находится на расстоянии h от
его геометрического центра . Шарик устаноe_g на
gmlj_ggxx по_joghklv неподb`gh закреплен -
ной сферы радиуса R так , что его центр тяжести
находится над геометрическим центром ( см .
рис . 11). На плоскости безразмерных параметров
(h/r, R/r) изобразите область устойчиhklb такого
положения раghесия .
Рис . 11

27. Модель популярной в физических зада -
чах игрушки “ Ванька -klZgvdZ ” предстаey_l со -
бой легкую т_j^mx сферу радиуса r, gmljb ко -
торой на расстоянии h от центра закреплен не -
большой тяжелый груз . Определите период ма -
лых колебаний такой модели , устаноe_gghc на
_jrbgm полусферы радиуса R (см . рис . 12). Полусфера неподb`gZ отно -
сительно земли , модель не проскальзыZ_l по полусфере .
Рис . 12

28. В теплоизолироZgguc сосуд , содержащий h^m массы M при
температуре T°C, бросили кусок льда массы m при температуре – t°C. Ка -
кие качест_ggh различные состояния системы hafh`gu после установ -
ления теплоh]h раghесия ? Изобразите на плоскости (T, t) области , соот -
_lklующие каждому из этих состояний . Каким точкам на этой плоскости
соот_lklует нулеZy конечная температура ?

29 . Небольшой алюминиеuc шарик с приyaZgghc
к нему легкой ниткой fhjh`_g в ледышку массой
М 0=100 г. Сh[h^guc конец нити прикреплен ко дну теп -
лоизолироZggh]h цилиндрического сосуда , в который
налита h^Z (см . рис . 13) массой m 0=0,5 кг , имеющая тем -
пературу t0=20 °С. Температура льда и шарика 0 °С, на -
чальная сила натяжения нити Т=0,08 Н . КакоZ будет тем -
пература h^u в тот момент , когда сила натяжения нити станет раghc ну -

Рис . 13
14

лю ? Удельная теплоемкость h^u с=4200 Дж /(кг ⋅°С). Плотность h^u
ρ=1000 кг /м3, льда ρ1=900 кг /м3, алюминия ρ2=2700 кг /м3, удельная теплота
плаe_gby льда λ=330 кДж /кг Считайте , что теплоh_ раghесие в h^_
устанаebается мгно_ggh .

30 . Экспериментатор набрал на улице мокрого снега , имеющего тем -
пературу 0 °С, поместил его в морозильную камеру и начал через раgu_
промежутки j_f_gb измерять его температуру , занося данные в журнал
(перZy запись была сделана сразу после начала эксперимента ). Однако
ihke_^klии журнал был испорчен , так что удалось прочитать только
значения температуры , соот_lklующие десятой и одиннадцатой записям :
–0,5 °С и –4 °С соот_lklенно . Определите по этим данным массоmx до -
лю h^u в мокром снеге . Удельная теплоемкость льда 2,1·10 3Дж /(кг ·°С),
удельная теплота плаe_gby льда 3,35·10 5 Дж /кг .

31 . Проточный нагреZl_ev h^u Винтика и
Шпунтика состоит из трубы длины L=1 м, попереч -
ное сечение которой предстаey_l собой прямо -
угольник размерами a×d. Стенки размера L×a сдела -
ны из металла , а размера L×d – из диэлектрика ( см .
рис . 14). Нагрев прокачиZ_fhc по трубе h^u осу -
щестey_lky электрическим током , для чего к металлическим стенкам при -
кладыZ_lky постоянное напряжение . Определите , каким должно быть это
напряжение , чтобы устройстh обеспечиZeh нагрев 600 литров h^u в час
от 10 °С до 60 °C, если a=20 см , d=1 см . Используемая в нагреZl_e_ h^Z
имеет следующие характеристики : плотность 10 3 кг /м3, удельная теплоем -
кость 4,2·10 3 Дж /(кг ⋅°С), удельное сопротиe_gb_ 10 Ом ⋅м. Теплоемкостью
трубы и потерями тепла пренебречь .
a
d
Рис . 14

32. Однажды _q_jhf школьники решили приготоblv чай , для чего
опустили кипятильник мощностью P0=300 Вт в трехлитроmx банку с h -
дой и закрыли ее крышкой . Через достаточно длительное j_fy они с
удиe_gb_f заметили , что h^Z не закипает , а ее температура раgZ 80 °C и
не изменяется . Смогут ли они этим же кипятильником kdbiylblv h^m в
дmoebljhой банке ? В литроhc ? Если нет , то укажите , до какой макси -
15

мальной температуры нагреется h^Z , если да , то оцените , за какое j_fy
она закипит . Считайте , что k_ банки геометрически подобны и заполня -
ются h^hc полностью , начальная температура h^u раgZ 20 °С и соiZ^Z -
ет с температурой ha^moZ в комнате . Удельная теплоемкость h^u
c=4200 Дж /(кг ·К), теплоемкостью пустой банки можно пренебречь .

33 . Домашний акZjbmf в b^_ полусферы диаметром 30 см был на -
лит h^hc почти до краев и постаe_g в комнате . Через дh_ суток уро_gv
h^u в нем понизился на 1 см . Считая , что температура и eZ`ghklv ha -
духа в комнате постоянны , найдите j_fy , за которое h^Z из акZjbmfZ
полностью испарится .

34. С идеальным газом со_jrZxl цикл 1–2–3–4–5–1–2–6–5–1 ( см .
рис . 15). Найдите работу
газа за цикл . Масштаб
при_^_gghc диаграммы
считайте из_klguf ,

Рис . 15







Рис . 16
35 . Теплоhc дb]Zl_ev работает по цик -
лу , состоящему из дmo изохор и дmo адиабат
(см . рис . 16). Температура рабочего тела (одно -
атомного идеального газа ) в точках 1, 2 и 4 рав -
на соот_lklенно Т1=524 К, Т2=786 К и
Т4=300 К. Найдите температуру в точке 3 и ко -
эффициент полезного дейстby дb]Zl_ey .

36 . В _jlbdZevgh расположенном цилиндрическом сосуде с площа -
дью осноZgby S под поршнем массы M находится 1 моль идеального од -
ноатомного газа . В начальном состоянии поршень находится на ukhl_ 2 h
от дна сосуда . Газ медленно охлаждают до тех пор , пока поршень не опус -
16

тится до ukhlu h, а затем медленно нагреZxl до достижения поршнем
исходной ukhlu . Определите среднюю теплоемкость газа в процессе на -
греZgby , если между поршнем и стенками сосуда дейстm_l сила сухого
трения скольжения F. Атмосферное даe_gb_ p0.

37 . В _jlbdZevgh стоящем цилиндрическом сосуде с площадью ос -
ноZgby S под поршнем массы M находится 1 моль идеального одноатом -
ного газа . Сосуд начинают медленно раghf_jgh нагреZlv . Определите
теплоемкость системы “ сосуд -газ ” в процессе расширения газа , если сум -
марная теплоемкость сосуда и поршня постоянна и раgZ C, а между
поршнем и стенками сосуда дейстm_l сила сухого трения F. Ускорение
сh[h^gh]h падения g. Атмосферное даe_gb_ раgh р0. Теплообменом с
g_rg_c средой пренебречь .

38. В каждой части горизонтально расположенного цилиндрического
сосуда длины 2 l, разделенного пополам поршнем массы m , находится по 1
молю насыщенного h^ygh]h пара . Сосуд поддержиZ_lky при постоянной
температуре T0.
а) Определите период малых колебаний поршня .
б) Как изменятся эти колебания , если немного нагреть сосуд ? Не -
много охладить ?
в) Каким будет период колебаний , если при температуре T0 в каждой
части сосуда находится по 1 молю h^u и насыщенного h^ygh]h пара ?
Насыщенного h^ygh]h пара и ha^moZ ? Молярная масса h^u M h^u , ha -
духа M ha^ , трением пренебречь .

39. ЭлектронагреZl_ev плоской формы рассчитан на напряжение
220 В. По сле того , как слеZ от нагреZl_ey на небольшом расстоянии по -
стаb ли пл ос кое идеально отражающее зеркало , оказалось hafh`guf
уменьшить питающее напряжение ; при этом показание термометра , уста -
ноe_ggh]h [ebab нагреZl_ey спраZ от него , не изменилось . Найдите
ноh_ значение питающего напряжения .

17

40. Исследуя заbkbfhklv тока , протекающего
через некоторый электрический элемент , от прило -
женного к нему напряжения , ученик Вася получил
изображенный на рис . 17 график . Какая теплоZy мощ -
ность будет u^_eylvky на этом элементе , если его
подключить к источнику постоянного напряжения 5 В?
Как изменится эта мощность , если к источнику под -
ключить последоZl_evgh дZ таких элемента ? Внут -
ренним сопротиe_gb_f источника пренебречь .

Рис . 17

41. Найдите ЭДС и gmlj_gg__ сопротиe_gb_ сложного источника с
бесконечным числом з_gv_\ (см . рис . 18). ЭДС и gmlj_gg__ сопротиe_ -
ние каждого отдельного элемента раgu соот_lklенно , и R.

Рис . 18
42. Имеется цепь , состоящая из источника постоянного тока напря -
жением U , сопротиe_gby R, конденсатора C и неоноhc лампы N (см .
рис . 19). НеоноZy лампа обладает следующими сhcklами : она загорает -
ся , когда напряжение на ней больше , чем некоторое значение U 1 (U 1 гаснет , когда напряжение на ней меньше некоторо -
го значения U 2 ( U 2 лампы раgh R0 (R0 << R), сопротиe_gb_ потухшей
лампы бесконечно _ebdh . Рассчитайте среднекZ^ -
ратичное значение тока , протекающего через лампу
за j_fy её горения , если между дmfy последоZ -
тельными моментами ее зажигания и погасания
проходит j_fy τ.
U C N
R
Рис . 19

43. На стеклянный стержень , покрытый непроh^ys_c смазкой , на -
дета заряженная бусинка с зарядом q. В пространст_ создано постоянное
h j_f_gb электрическое поле , у которого параллельная стержню состав -
18

ляющая напряженности заbkbl от координаты ^hev стержня по закону
E=E 0sin( kx ), где E0 и k – постоянные . Частице толчком сообщают некото -
рую скорость ^hev стержня . Вследстb_ потерь на yadh_ трение частица
останоblky . В каких точках можно обнаружить останоbшуюся частицу ?

44. Исследуется сила aZbfh^_cklия металлического шара и точеч -
ной положительно заряженной частицы , находящейся на постоянном рас -
стоянии от шара . Когда на шар поместили некоторый положительный за -
ряд , то оказалось , что шар и частица притягиZxlky с силой f1,а когда за -
ряд удhbeb – с силой f2. КакоZ будет сила aZbfh^_cklия , если заряд
шара утроить ?

45. Три среды с показателями прелом -
ления n1, n2 и n3 (n1>n2>n3>1) располагаются
так , как показано на рисунке 20. ДZ луча
идут параллельно друг другу , при этом луч 1
проходит только через среды I и III, а луч 2 –
через среды II и III. Определите угол между
этими лучами в среде III.
1 2
I II
III
n=1
n1 n2
n3
Рис . 20

46 . Болельщик на стадионе делает снимок финиша забега на 100 мет -
ров , находясь сбоку от дорожки на расстоянии 10 м от фотографируемого
спортсмена . Оцените u^_j`dm , с которой он должен фотографироZlv ,
чтобы при печати с негатиZ фотоснимка размером 10 ×15 см он получился
резким . Размеры кадра фотопленки 24 ×36 мм , расстояние от объектиZ до
фотопленки 30 мм , разрешающая способность используемой фотопленки
120 лин /мм . Из_klgh , что глаз способен различить дZ объекта , угол меж -
ду напраe_gbyfb на которые состаey_l одну углоmx минуту , а снимок
рассматриZ_lky с расстояния наилучшего зрения 25 см .

47. Трюмо в комнате Знайки состоит из
трех одинакоuo зеркал , дZ из которых закреп -
лены под углом 45° к третьему (см . рис . 21). От
j_f_gb центральное зеркало испортилось и пе -
рестало отражать с_l . Сколько сhbo изображений сможет уb^_lv Знай -
ка , если он находится на оси симметрии трюмо на расстоянии a от цен -
45° 45°
Рис . 21
19

трального зеркала ? Постройте k_ изображения Знайки в зеркалах трюмо .
Длина каждого зеркала l, ukhlZ больше роста Знайки .

48. Идеальная собирающая тонкая линза с фокусным расстоянием F
имеет форму диска диаметра d и заключена в опраm с g_rgbf диаметром
D . За линзой на расстоянии F от ее оптического центра перпендикулярно
глаghc оптической оси расположен плоский экран достаточно большой
площади . Перед линзой на ее глаghc оптической оси размещен точечный
источник с_lZ . Получите формулу заbkbfhklb площади тени , отбрасы -
Z_fhc опраhc на экран , от расстояния l между источником и оптическим
центром линзы , если F
49. В центре собирающей линзы с фокусным
расстоянием F1 uj_aZgh кругоh_ от_jklb_ и в него
klZлена собирающая линза с меньшим фокусным
расстоянием F2 ( см . рис . 22). Постройте изображение
предмета , показанного на рисунке , в этой “ дhcghc ”
линзе .
F2 F1 2F2 2F1
Рис . 22

50. В пустом акZjbmf_ устаноe_gu изготоe_ggZy из стекла дhy -
коuimdeZy линза и предмет , находящийся в ее фокусе . АкZjbmf запол -
няют h^hc . Постройте (качест_ggh ) изображение предмета в линзе .
20

21

Часть II.

РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ


… А в попугаях я k_ -таки длиннее !…
Из мультфильма





22

1. От_l : 150 _jkl /час .
Решение : Из услоby задачи ul_dZ_l , что в тот момент , когда перuc заяц
достиг опушки леса (точка В), Бесенок должен был находиться в точке А
(см . рис . 23). При этом в прямоугольном треугольнике АОВ угол АОС ра -
_g 60 °, так как ОС =ВС =ОА =R . Заяц , пробежав путь СВ =R со скоростью
v, затратил j_fy t=R/ v. За такое же
j_fy Бесенок проделал путь по дуге
СА окружности .

Рис . 23
Длина пути Бесенка
3
5 Rπ )
3
2(R SБ = π − π =
Так как j_f_gZ бега зайца и Бесенка
одинакоu , то
RR
vv
= 5
3
π
Б
.
Отсюда находим скорость Бесенка :
vv 5
Б== ≈ π π
3
50 150 _jkl /ч.

2. От_l : чтобы успеть на аlh[mk , Знайка должен uclb в 7.47, а чтобы
успеть на трамZc – в 7.45.
Решение : У Знайки есть дZ ZjbZglZ по_^_gby : идти к останоd_ A или к
останоd_ B, соот_lklенно , он должен u[jZlv тот из них , который тре -
бует меньше j_f_gb , чтобы попасть на останоdm B.
Пусть Знайка хочет успеть на аlh[mk . Если он пойдет на останоdm В, то
он должен uclb за (2 км –0,8 км )/4,8 км /ч=15 мин . до 8 часов . Если же он
пойдет на останоdm A, то чтобы успеть на аlh[mk , ему необходимо прий -
ти туда не к 8.00, а на 2 км /40 км /ч=3 мин раньше , поэтому ему надо uclb
за 0,8 км /4,8 км /ч+3 мин =13 мин до 8.00. Поэтому в этом случае для Знайки
u]h^g__ идти к останоd_ A и нужно uclb из дома в 7.47.
Аналогичные рассуждения для случая , когда Знайка хочет успеть на трам -
Zc , приh^yl к следующему результату : если Знайка идет к останоd_ B,
то он должен uclb за 15 минут до 8.00, а если к A – за 16 минут до 8.00,
поэтому Знайка должен uclb в 7.45 и пойти к останоd_ B.

23

3. От_l : за
V
L
U
l t + = при
2
/ 1 V U
L
l − < и за
U
l L t − = при
2
/ 1 V U
L
l − > .
Решение : Если Гена идет к останоd_ A, то он должен uclb за j_fy t=l/U
до прибытия аlh[mkZ на эту останоdm , т.е. за j_fy
V
L
U
l t + =1 до прибы -
тия аlh[mkZ на останоdm B. Если он идет к останоd_ B, то ему надо uc -
ти за j_fy
U
l L t − =2 .
Для от_lZ на hijhk задачи нужно u[jZlv минимальное j_fy из t1 и t2.
Пусть t1>t2, т.е.
U
l L
V
L
U
l − > + . Решая это нера_gklо , находим :
1
2
U l V
L

> .
При значениях параметров , удоe_lоряющих этому услоbx , Гена дол -
жен идти ко lhjhc останоd_ (B), в протиghf случае – к перhc (A).

4. От_l : 38,4 попугая . В 5 раз .
Решение : Пусть L – длина УдаZ , v – скорость бегущей Мартышки , u –
скорость ползущего УдаZ , t1 – j_fy забега Мартышки до голоu УдаZ , t2
– j_fy забега в обратном напраe_gbb . Тогда в системе отсчета , сyaZg -
ной с ползущим Удаhf , для прямого и обратного забега Мартышки мож -
но состаblv следующие дZ ураg_gby :
() () . ,
2 1 t
L u
t
L u = = − +v v
Аналогичные ураg_gby , записанные в системе отсчета , сyaZgghc с паль -
мой , будут иметь b^ :
. ,
2
2 1
1
1
t
x x
t
x − = = v v
Здесь x1=48 и x2=16 – координаты перh]h и lhjh]h бананов , ujZ`_ggu_
в Попугаях . Решая эту систему четырех ураg_gbc , получим , что L=38,4
попугая , v/u =5.

24

5. От_l :
⎪⎪




⎪⎪





≥ ∞

− < ≤

− ≥
< ≤
< ≤

=
.
...
,
)1 (
)2 (
)2 (
)3 ( 4 ,
,
2 3
3
,
3
0 2
T
L v при
T n
L n v
T n
L n при n nT
T
L v
T
L при T
T
L v при
v LT
LT
t
Решение : Решим данную задачу графическим способом .
u
2
3
4
1
t
l
Рис . 24
На при_^_gghc диаграмме ( рис . 24) изображена “ пространст_ggh -
j_f_ggZy картина дороги ” ( по горизонтальной оси отложено j_fy , по
_jlbdZevghc – расстояние ). Жирным обозначены точки , соот_lklующие
красному с_lm на с_lhnhj_ в данной точке дороги в данный момент j_ -
мени . Дb`_gb_ аlhfh[bey изображается в b^_ прямой линии , тангенс
угла наклона которой к оси j_f_gb ра_g его скорости . Если линия долж -
на пересечь жирный отрезок (“ закрытый с_lhnhj ”), то она прерыZ_lky и
hah[ghляется под тем же углом с праh]h конца данного отрезка (аlh -
мобиль останоbeky и дождался dexq_gby зеленого с_lZ ). Пересечение
дmo изображающих линий соот_lklует klj_q_ аlhfh[be_c .
Очеb^gh , что по услоbyf задачи “ задний ” аlhfh[bev дb`_lky со ско -
ростью u=L/T , поскольку это максимально hafh`gZy скорость , при кото -
рой изображающая линия не пересечет жирных отрезков (т.е. аlhfh[bev
25

не останаebается на с_lhnhjZo ).
Для дb`_gby lhjh]h аlhfh[bey можно рассмотреть несколько “ погра -
ничных ” изображающих линий .
1) Линия 1.
Соот_lklующая скорость v1=L /3 T. При этом аlhfh[bev подъедет к сле -
дующему с_lhnhjm в тот момент , когда на нем загорается зеленый с_l , и
в этот момент его и догонит “задний ” аlhfh[bev . При меньших скоростях
обгон произойдет еще раньше и его j_fy очеb^guf образом определится
как t= 2L/(u- v)=2LT /(L- vT).
2) Линия 2.
Соот_lklующая скорость v2=L/ 2T. Обгон произойдет в точке 3 L в мо -
мент j_f_gb 3 T, так как перuc аlhfh[bev будет ugm`^_g останоblv -
ся на с_lhnhj_ . Таким образом , для k_o скоростей между линиями 1 и 2
t= 3T.
Аналогично для скоростей между линиями 2 и 3 ( соот_lklующая ско -
рость v=2L/ 3T) t= 4T, и т.д.
3) Линия 4, соот_lklующая скорость v=L/T=u .
При скоростях больше , чем данная , lhjhc аlhfh[bev не сможет догнать
перuc , поскольку средняя скорость их обоих будет раgZ u.

6. От_l : 30 мс , 15 см .
Решение : Причина рас хождения по лучаемых зна чений ск оро сти с истин -
ными заклю чает ся в том , чт о при опис анно м мет оде наб людения нев оз-
мо жно опре делить , на ка кой именно уг ол пов ерну лось ко лесо за j_fy τ: ϕ
или ϕ+2 πn, гд е n – цело е число . Соо тветств енно праbevgZy (прав да , нео д-
нозна чная ) фор мула для уг лов ой ск оро сти ко леса имеет b^ ω=( ϕ+2 πn)/τ,
то гда ск оро сть дb` ения ав томобиля опре деляет ся по фор муле
v=ωr=r(ϕ+2 πn)/τ, гд е r – радиус ко леса. При испо льз овании пре дло женног о
проф . Выб ега лло мет ода фак тиче ски пре дпо лагает ся n=0, соо т_l ст_ggh
праbevgu_ ре зуль таты он дает лишь при небо льших ск оро ст ях , для ко то-
рых эт о дейстbl_evgh та к.
“Гранично е” зна чение ск оро сти соот ветствуе т ϕ=2 π, из чег о по лучаем
τ=πd/v≈30 мс . Из ана логичног о соо тношения для заднег о ко леса по лучаем
зна чение ег о диамет ра 15 см .

26

7. От_l : α = cos /0d d
Решение : Расход h^u (объем h^u , проходящий через поперечное сечение
струи в единицу j_f_gb ) одинаков в любом месте струи (услоb_ непре -
рыghklb ). Поэтому можно записать : πv0d02/4= πvd2/4, где d – искомый
диаметр , v0 и v – скорость струи при uoh^_ из шланга и в _jog_c точке
траектории соот_lklенно .
Поскольку дb`_gb_ любого малого объема h^u после uoh^Z из шланга
яey_lky дb`_gb_f тела , брошенного под углом к горизонту , то скорость
струи в _jog_c точке траектории определится как v=v0cos α. Тогда иско -
мый диаметр α = cos /0d d .

8. От_l :
π
+
= ω
vtd R
v t
2
) (
Решение : Для того , чтобы линейная скорость ленты была постоянна , необ -
ходимо , чтобы в любой момент j_f_gb uihegyehkv ра_gklо ωr=v. Яв -
ный b^ заbkbfhklb радиуса катушки с намотанной лентой от j_f_gb
проще k_]h найти из следующих соображений : пусть через j_fy t после
начала дb`_gby радиус катушки с намотанной лентой ра_g r. Тогда на
катушке намотана лента объемом V=π(r2–R2)l, где l – ширина ленты . В то
же j_fy этот же объем ленты прошел мимо считыZxs_c голоdb со ско -
ростью v, поэтому V= vtld . Прираgbая эти ujZ`_gby , находим
π
+ = vtd R t r 2 ) ( . Тогда углоZy скорость jZs_gby
π
+
= ω
vtd R
v t
2
) (.

9. От_l : 0,8 г/см 3; 0,75 г/см 3.
Решение : В_^_f обозначения L – длина ареометра , x – ukhlZ , на кото -
рую он uklmiZ_l над по_joghklvx жидкости ( см .
рис . 25), S – площадь его поперечного сечения . Тогда при
погружении в однородную жидкость плотностью ρ имеет
место очеb^gh_ соотношение M= ρS(L–x), из которого
получаем градироhqgh_ соотношение
S
M L
ρ
− = xρ . Оно
L
x
рис . 25
27

фактически определяет , на каком расстоянии от _jog_]h края ареометра
должна быть нанесена отметка , соот_lklующая плотности ρ.
Из этой формулы следует , что в чистый бензин ареометр погрузился бы
на L–x=13 см , следоZl_evgh , при толщине слоя 2 h>13 см
ареометр плаZ_l только в бензине и, естест_ggh , пока -
зыZ_l его плотность . Если же толщина слоя h<13 см , то
часть ареометра погружена в h^m ( см . рис . 26). В этом
случае услоb_ плаZgby имеет b^ M =S( ρбh+ρв(L–h–x1)),
откуда имеем
L
x
h
Рис . 26
S
M h
в
б
ρ

ρ
L x ρ − ) 1( − =1 .
В то же j_fy в соот_lklии с градироhqguf соотношением ареометр
показыZ_l такую плотность ρx, что
S
M L x

− =1 . Прираgbая эти ujZ -
жения , получаем
M hS
M
б в
в x + ρ − ρ
ρ = ρ
) (
. Подстаeyy числоu_ значения ,
имеем ρx=0,8 г/см 3.
Заметим , что при удh_gghc толщине слоя бензина эта формула дает
очеb^gh непраbevguc от_l 0,66 г/см 3.

10. От_l : на 3,1 см ближе к сbgphому .
Решение : Запишем услоb_ раghесия системы в h^_ ( т.к. стержень
опирается на острие серединой , то моменты дейстmxsbo на него сил тя -
жести и Архимеда можно не учитыZlv ):
() ( )
2 2 2 1 2 1
l F g m l F g m A A − = − .
Здесь g V F g V F V m V m A A 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 , , , ρ = ρ = ρ = ρ = . СледоZl_evgh , усло -
b_ раghесия в h^_ можно предстаblv в b^_ : ( )( ) g V g V 2 2 1 1 ρ − ρ = ρ − ρ .
Отсюда получаем , что
ρ− ρ
ρ− ρ =
2
1
1
2
V
V .
Для сохранения раghесия системы в ha^mo_ передbg_f алюминие -
uc шарик ближе к сbgphому на некоторое расстояние х. Тогда услоb_
раghесия в ha^mo_ запишется в b^_ : ⎟

⎞ ⎜

⎛ − = x l g m l g m
2 2 2 1 .
28

Так как , то 2 2 2 1 1 1 , V m V m ρ = ρ = ⎟

⎞ ⎜

⎛ − ρ = ρ x l V l V
2 2 2 2 1 1 и для соотношения
объемов шариков получим :


⎞ ⎜

⎛ − ρ
ρ =
x l
l
V
V
2
2 2
1
1
2 .
Из записанных соотношений находим ,
2
2 2
1
2
1
ρ − ρ
ρ − ρ =


⎞ ⎜

⎛ − ρ
ρ
x l
l откуда по -
лучаем ()
( )
1,3
2 1 2
2 1 ≈
ρ − ρ ρ
ρ − ρ ρ = l x см .

11. От_l : длина кита должна быть не менее 175000 км .
Решение : Обозначим длину Кита L, тогда его радиус r=L/20. В соот_lkl -
bb со предстаe_gbyfb того j_f_gb предположим , что Кит и Земля на -
ходятся в однородном граblZpbhgghf поле (как объяснить hagbdghение
этого поля , в рамках данной задачи нас не интересует ). Тогда сущестhа -
ние описанной конструкции hafh`gh , если суммарная масса Кита и Зем -
ли не больше массы h^u в объеме Кита , что можно ujZablv следующим
услоb_f :
B r r r r R ρ π ≤ ρ π + πρ Κ 2 2 33 3 20 20
3
2 ,
откуда несложно получить 8700
) ( 30 3 3 3 ≈
ρ − ρ
ρ ≥
Κ
R r
B
км . Тогда длина Кита
должна быть не меньше 174000 км . В дейстbl_evghklb эта оценка не -
сколько занижена , т.к. для устойчиh]h плаZgby необходимо , чтобы Кит
не полностью погружался в h^m .

12 . От_l : примерно 10 м.
Решение : gZqZe_ проанализируем задачу в общем b^_ . Пусть картофели -
ны имеют форму шаров радиуса R и плотности ρ, а ширина снимаемой
шкурки раgZ h. Тогда длина шкурки , снимаемой с одной картофелины ,
определится как L0=4 πR2/h, а с одного килограмма картофеля как
Rh
L
R
L
ρ
=
ρπ
= 3
)3/4(
1
0 3 . ( Здесь плотность нужно брать в кг /м3, а R и h – в
метрах , тогда длина также получится в метрах .)
29

Таким образом , b^gh , что длина снимаемой с 1 кг картофеля шкурки об -
ратно пропорциональна радиусу ( т.е. характерному размеру ) картофелин ,
поэтому килограмм мелкой картошки очистить дольше , чем крупной . Из
этой же формулы следует , что в случае очень мелкой картошки длина сни -
маемой шкурки должна станоblvky бесконечно большой 1.
Для оценки длины шкурки можно использоZlv следующие численные
значения : ρ≈1000 кг /м3, R≈3 см , h≈1 см . Тогда получаем L≈10 м.

13 . От_l : ky h^Z ul_q_l за j_fy t22/2 t1 при t2<2 t1 и за j_fy t2 в про -
тиghf случае .
Решение : Пусть ukhlZ бака раgZ H , его площадь осноZgby – S, а пло -
щадь от_jklby – S0. Сy`_f эти параметры с данными услоby . Из_klgh ,
что скорость истечения h^u из от_jklby под дейстb_f столба ukhlhc h
определяется формулой gh V 2 = . Тогда объемная скорость истечения h -
ды из бака определяется формулой
gh S
dt
dh S
dt
dV u 2 0 2 = = .
Поскольку за j_fy t2 ul_deZ ky h^Z , имеем следующее ра_gklо :
∫∫ =
0
0 0
2
2
H
t
dtg
h
dh
S
S , (1)
откуда получаем следующее соотношение :
2
0
2 2 gt H
S
S = (2)
Пусть u1 – объемная скорость истечения h^u из крана , тогда имеет место
следующее очеb^gh_ соотношение :
SH =u1t1 (3).
Очеb^gh , что за j_fy , много большее t1 и t2, в системе устаноblky рав -
но_kb_ , т.е. бак наполнится h^hc до того уроgy , при котором скорость
истечения h^u через от_jklb_ будет раgZ скорости u1, т.е. 1 0 2 u gh S = .

1 Сле дует заметить , чт о при оч ень мелк ой картошк е прив еденный ана лиз ст аноbl ся
нек оррек тным , по ск ольк у, h -перuo , ширина снимаемой шк урки на чинает заbk еть от
радиу са картошки , а h -вторых , ст аноbl ся сраgbfhc с радиу сом картофеля толщина
шк урки , чт о суще ств енно e ияет на проце сс оч истки.
30

Из этого ра_gklа с использоZgb_f (2) и (3) находим : 2
1
2
2 0
4t
t
H h = .
Теперь несложно определить j_fy t3 , за которое uev_lky h^Z , налитая в
бак до уроgy h0: ∫ ∫ =
3
0
0
0
2
t
H
dtg
h
dh
S
S .
Откуда находим от_l :
1
2
2 3 2t
t
t = . Очеb^gh , что k_ при_^_ggu_ рассуж -
дения спра_^ebы лишь в том случае , когда бак с от_jklb_f не наполня -
ется полностью , то есть h0 няется и искомое j_fy раgh t2.

14 . Решение : Прежде k_]h отметим ,
что если f>Т, то р_lky нижняя нить .
Обсудим теперь , что будет происхо -
дить , если f<Т. В этом случае сила
натяжения нижней нити раgZ f
(нить не_khfZ ). В рамках предло -
женной в услоbb модели мы при -
ходим к ситуации , когда имеется
груз на пружинке , который потяну -
ли gba с силой f. Такая система бу -
дет со_jrZlv колебания около по -
ложения раghесия по гармоническому закону . По такому же закону бу -
дет изменяться и сила натяжения около среднего положения fср=f+Mg с ам -
плитудой f. Нить пор_lky , если максимальная сила натяжения f+fср=2 f+Mg
преukbl Т, и не пор_lky при uiheg_gbb протиhiheh`gh]h услоby .
Различные hafh`gu_ случаи иллюстрируются рис . 27.

Рис . 27

15 . От_l : см . рис . 28.
Решение : Согласно 2 закону Ньютона
x x a m F ⋅ = .
По определению ускорения :
x t
x
x t
a x x x x x ∆
∆⋅ =

∆⋅

∆ =

∆ = v v v v .
31

Поэтому
x
m F x x x ∆
∆⋅ = v v . Из графика b^gh ,
что const
x
x =

∆v . Поэтому график заbkbfh -
сти от xF x также будет линейным (см . рис .
29). Остается произ_klb пересчет коорди -
нат в моменты j_f_gb . По определению
скорости имеем :
Рис . 28
t
x
x ∆
∆ = v .
Рис . 30.

Рис . 29
Отсюда x t
x
∆ = ∆
v
1 , то есть промежуток j_f_gb численно ра_g площади
под графиком заbkbfhklb обратной скорости от координаты x. Такой
график предстаe_g на рис . 30. Пользуясь этим графиком , подсчитыZy
площади узких трапеций , находим промежутки j_f_gb , затраченные на
прохождение каждого отрезка 5,0 = ∆x м. Результаты заносим в таблицу и
по ее дmf последним колонкам строим требуемый график заbkbfhklb
силы от j_f_gb (рис . 28).

Таблица :
x, м 1vxм/с ∆t, с. t, с. Fx, Н
0 1,0 – 0 1,5
0,5 0,7 ()1
2 1 07 05 0425 +⋅ = ,, , 0,425 2
32

1,0 0,55 ()1
2 07 055 05 03125 ,, , , +⋅ = 0,7375 2,5
1,5 0,45 ()1
2 05 5 045 05 025 ,, , , +⋅ = 0,9875 3
2,0 0,38 ()1
2 045 038 05 0207 5 ,, , , +⋅ = 1,195 3,5
2,5 0,34 ()1
2 03 8 034 05 018 ,, , , +⋅ = 1,375 4
3,0 0,30 ()1
2 03 4 030 05 016 ,, , , +⋅ = 1,535 4,5
3,5 0,26 ()1
2 03 0 026 05 014 ,, , , +⋅ = 1,675 5
4,0 0,24 ()1
2 026 024 05 0125 ,, , , +⋅ = 1,800 5,5
4,5 0,21 ()1
2 024 021 05 01125 ,, , , +⋅ = 1,9125 6
5,0 0,20 ()1
2 021 020 05 01025 ,, , , +⋅ = 2,015 7,4

16 . От_l : Верной яey_lky перZy формула y Fl
Eab
= 4 3
3.
Решение : Формулы 2, 3 и 6 не подходят из соображений размерности .
Формула 5 дает яgh непраbevgmx заbkbfhklv смещения у от длины
балки l: смещение не может убыZlv с ростом l при фиксироZgghc на -
грузке . Формула 4 дает симметричную заbkbfhklv от а и b, что не_jgh –
балку , по_jgmlmx на ребро , деформироZlv значительно труднее . Таким
образом , остается формула 1.

17 .От_l : 2 20 ) 1( α − + β = β n n n k k .
Решение : Пусть длина нити l, масса шарика m . Тогда потенциальная энер -
гия шарика при максимальном отклонении e_о состаey_l U
лев .=2 mgl sin 2(β/2), а ijZо U прав .=2 mgl sin 2(α/2), или , учитыZy малость уг -
лов α и β, U лев .=mg β2/2, U пр.=mg α2/2. Тогда после перh]h удара о стенку
шарик будет иметь энергию U 1=kmgl (β2–α2)/2 и после этого шарик откло -
нится e_о на такой угол β1, что mgl β12/2= U 1, т.е. β12=kβ02+(1– k)α2.
Проh^y аналогичные рассуждения для lhjh]h , третьего и последующих
33

ударов , несложно получить общую формулу : 2 20 ) 1( α − + β = β n n n k k .
Видно , что α → βn при ∞ →n за исключением случая абсолютно упруго -
го удара (k=1), при котором βn=α при k_o n.

18 . Решение : Сразу очеb^gu три качест_ggh различных ситуации : когда
нить закручиZ_lky hdjm] нижнего гha^y , при этом грузик дb`_lky по
окружности ; когда грузик со_jrZ_l колебания и нить k_ j_fy остается
натянутой и “промежуточный ” ZjbZgl .
Нить k_ j_fy остается натянутой , если отклонение грузика e_о не
преurZ_l 90 °. Тогда по закону сохранения энергии mgL (1–cos α)< mgl , от -
куда получаем услоb_ l/L >1–cos α.
Для того , чтобы грузик закручиZeky hdjm] нижнего гha^y и нить k_
j_fy остаZeZkv натянутой , необходимо , чтобы сила натяжения нити в
_jog_c точке траектории была больше нуля , т.е. m v2/l>mg , тогда по закону
сохранения энергии mgL (1–cos α)> mgl/ 2+ mgl , откуда l/L<2/5(1–cos α).
Промежуточный случай требует более подробного рассмотрения . Если
грузик отклоняется ijZо на угол , больший 90 °, но
его энергии не хZlZ_l для дb`_gby по окружности ,
то в некоторый момент натяжение нити станоblky
раguf нулю . Пусть в этот момент угол между нитью
и горизонталью состаey_l β (см . рис . 31). Из услоby
ра_gklа нулю силы натяжения нити получим m v2/l=mg sin β. В то же j_ -
мя по закону сохранения энергии m v2/2= mgL (1–cos α)– mgl (1+sin β), откуда
получим ujZ`_gb_ для угла β: sin β=2/3( L/l (1–cos α)–1).
β
l
v
Рис . 31
Дальнейшее дb`_gb_ грузика в течение некоторого j_f_gb можно
рассматриZlv как полет тела , брошенного под углом к горизонту . Воз -
можны д_ качест_ggh различных ситуации : когда грузик проходит над
нижним гha^_f (в этом случае нить наматыZ_lky на гha^v , но траекто -
рия грузика не яey_lky окружностью ), и когда грузик проходит ниже это -
го гha^y , при этом нить не наматыZ_lky , а грузик со_jrZ_l сложные
дb`_gby . Найдем услоb_ , разграничиZxs__ эти ситуации .
Пусть грузик оказыZ_lky на одной _jlbdZeb с гha^_f через j_fy t.
Тогда vsin β t=lcos β, откуда t=lcos β/vsin β. Грузик пройдет ur_ гha^y и
нить намотается на гha^v , если lsin β+vcos βt–gt 2/2>0. Подстаb\ t и про_ -
34

дя некоторые преобразоZgby с использоZgb_f ранее полученных соот -
ношений , получим следующее нера_gklо : l/L < )3 2/(2 + (1–cos α).
Таким образом , окончательно имеем 4 раз -
личных ситуации : I – колебания по дуге ок -
ружности ; II – сложное дb`_gb_ без закру -
чиZgby нити hdjm] гha^y ; III – нить за -
кручиZ_lky hdjm] гha^y , шарик дb`_lky
по сложной криhc ; IV – шарик дb`_lky по
спирали , нить закручиZ_lky hdjm] гha^y .
Соот_lklующие им области предстаe_gu
на рис . 32
cos α
l/L
I II
III
IV
1
1
0
2/5
3 2
2
+
Рис . 32

19. От_l : см . рис . 33.
Решение : Брусок либо скользит по
доске , либо нет . В перhf случае при -
ложенная сила F больше , чем макси -
мальная сила трения покоя между
бруском и доской Fтр.1=µ1mg , h lh -
ром – меньше . Если брусок скользит ,
то по III закону Ньютона на доску в
напраe_gbb силы F дейстm_l сила
трения скольжения Fтр.1, если нет – то
сила трения покоя , раgZy F. Если эта сила меньше , чем максимальная си -
ла трения покоя между доской и по_joghklvx Fтр.1=µ2(m +M )g, то доска
скользит по по_joghklb , если нет , то доска покоится . Таким образом ,
hafh`gu четыре различные ситуации :
4
3
2
1
µ1
µ2
0
mg
F
g M m
F
) ( +
Рис . 33
1) Брусок и доска скользят относительно друг друга .
В этом случае F> µ1mg и µ1mg > µ2(m +M )g, т.е.
mg
F < µ1 ,
M m
m
+
µ < µ 1 2 .
2) Брусок скользит по доске , доска покоится относительно по_joghklb .
При этом F> µ1mg и µ1mg <µ2(m +M )g, т.е.
mg
F < µ1 ,
M m
m
+
µ > µ 1 2 .
3) Брусок неподb`_g относительно доски , доска скользит
Это соот_lklует F< µ1mg и F> µ2(m +M )g, или
mg
F > µ1 ,
M m
m
+
µ < µ 1 2 .
35

4) Брусок и доска неподb`gu .
F< µ1mg и F< µ2(m +M )g, или
mg
F > µ1 ,
M m
m
+
µ > µ 1 2 .
Соот_lklующие этим ситуациям области на плоскости параметров при -
_^_gu на рис . 33.

20 . От_l : коэффициент трения ра_g 0,22.
Решение : Из_klgh , что если угол охZlZ легкой нитью блока ра_g ϕ, то
отношение сил натяжения на ее концах ujZ`Z_lky формулой T1/T2=eµϕ ,
где µ– коэффициент трения нити по блоку .
В состоянии покоя силы натяжения раgu силам тяжести , дейстmxsbf на
под_r_ggu_ к концам грузы . Тогда можно записать eµϕ =2, откуда
µ=(ln2)/ π≈ 0,22.

21 . От_l : 4 A/gl.
Решение : Минимальная работа , необходимая для раскрытия книги посере -
дине , раgZ работе подъема полоbgu массы книги на ukhlm l2:
2 2
l g m A = . Отсюда находим массу книги : m =4 A/gl.

22 . От_l : 2,5·10 9 Дж , 6·10 –7 К, не изменится .
Решение : Примем за нулеhc уро_gv h^u h iZ^bg_ hegu , тогда урав -
нение по_joghklb h^u в hafms_gghf состоянии имеет b^
) 2 sin 1( ) (
λ
π + = x a x y .
Избыточная потенциальная энергия , которой обладает h^Z на одном пе -
риоде hegu , определяется ujZ`_gb_f , которое несложно uqbkeblv 2:
2
0
2
4
1
2
1 ) (
2
1 a L g al g dx x y L g E p λ ρ = λ ρ − ρ = ∆ ∫
λ
,
где ρ – плотность h^u .
Поскольку длина и ширина озера намного больше длины hegu , то можно
считать , что на длине озера укладыZ_lky целое число длин heg , раgh_

2 Вычисление оп ределен ного интегр ала мо жно заменить uqbke_gb_f пло щади по д график ом, аппрок -
симиров ав профи ль hegu пр ямо угольник ами , треугольник ами или др угими пр остыми фигур ами . По лу-
чаемые пр и этом результаты соiZ^Zx т с точным по порядк у _ebqbgu .
36

L/ λ. Тогда несложно подсчитать полную избыточную потенциальную
энергию 9 2 2 10 5,2
4
1 ⋅ = ρ = ∆ a L g E p Дж .
Будем считать , что ky избыточная потенциальная энергия при затухании
heg пойдет на нагрев h^u . Тогда изменение температуры можно опреде -
лить по формуле : 7 2
2
2 2
10 6
4
− ⋅ ≈ =
ρ
ρ =

= ∆
ch
ga
h L cg
a L g
cm
E
T p К.
Поскольку окончательный результат не заbkbl от длины и ширины озера ,
для озера с бóльшими сторонами изменение температуры будет таким же .

23 . От_l : а)1 м/с2, б) 6 м/с2.
Решение : На аlhfh[bev дейстmxl
сила тяжести M g, приложенная к его
центру масс , и силы реакции опоры на
передние и задние колеса N 1 и N 2 соот -
_lklенно ( рис . 34). Кроме того , на
задние колеса дейстm_l сила трения
Fтр, яeyxsZyky силой трения покоя и
напраe_ggZy по напраe_gbx дb`_gby
аlhfh[bey (это станоblky очеb^guf , если заметить , что нижняя точка
колеса неподb`gZ относительно земли , а дейстmxsbc на колесо со сто -
роны дb]Zl_ey момент сил стремится сдbgmlv ее против напраe_gby
дb`_gby аlhfh[bey ). Именно эта сила трения покоя и дb`_l аlhfh -
биль i_j_^ . В то же j_fy на переднее колесо не дейстmxl ни сила тре -
ния покоя , ни сила трения скольжения , т.к. оно катится без проскальзыZ -
ния и не приh^blky h jZs_gb_ мотором .
Mg
N1
N2
Fтр
A
h
L
a
Рис . 34
Записав lhjhc закон Ньютона в проекциях на _jlbdZevgmx и горизон -
тальную ось и ураg_gb_ моментов относительно т.A, яeyxs_cky точкой
пересечения про_^_gghc через центр тяжести горизонтали и про_^_gghc
через ось заднего колеса _jlbdZeb (см . рис . 34), получим систему ураg_ -
ний , описыZxsmx дb`_gb_ аlhfh[bey :



⎪⎪


= +
= +
=
2 1
2 1
max
L Mg h F L N
Mg N N
Ma F
тр
тр
. (1)
37

УчитыZy , что сила трения покоя Fтр≤µ N2, можно прийти к системе не -
ра_gkl\ , ограничиZxsbo значение ускорения :





− ≤
µ ≤
h
L g
M
N a
M
N a
)
2
( 2
2
. (2)
При нарушении перh]h услоby системы (2) задние колеса начнут про -
скальзыZlv , а при нарушении lhjh]h услоby нарушится третье ураg_ -
ние системы (1), суммарный момент сил N 1 и Fтр преukbl момент силы
тяжести и аlhfh[bev опрокинется назад .
Поскольку праu_ части нера_gkl\ системы (2) прямо пропорциональ -
ны силе N2, то максимальное ускорение достигается при ее максимальном
значении . Очеb^gh , что оно раgh значению силы тяжести , тогда (2) при -
нимает b^
⎪⎩




µ ≤
g
h
L a
g a
2
.
Непосредст_gguf uqbke_gb_f несложно убедиться , что при µ=0,1
сущест_gguf оказыZ_lky перh_ нера_gklо , а при µ=0,7 – lhjh_ .

24 . От_l : T m
k
= 2π .

Рис . 35
Решение : Воспользуемся законом
сохранения механической энергии
при гармонических колебаниях .
Пусть в некоторый момент j_ -
мени масса m смещена из сh_]h
перhgZqZevgh]h положения к
центру кZ^jZlZ на х=O Н ( см .
рис . 35) и имеет скорость x&. При
этом д_ смежные с Н _jrbgu
смещены на расстояния ∆у, кото -
рые находим из теоремы Пифаго -
ра : 2 2 2 )
2
( )
2
( x a y a a − + ∆ + = .
38

Проh^y тождест_ggu_ преобразоZgby и пренебрегая _ebqbghc
как бесконечно малой lhjh]h порядка , получим ( ) ∆y 2 ∆y x = . СледоZ -
тельно , в этот момент j_f_gb пружина деформироZgZ на _ebqbgm
∆∆l y x = = 2 2 . Полная механическая энергия системы складыZ_lky из ки -
нетической энергии точки m и потенциальной энергии упругой деформа -
ции пружины :
( ) . 2
2
2 2
const kx x m = + = & ( ) ( )
2
2
2
2 2 x k x m W + = &
Беря произh^gmx от W , получим :
0 4
2
2 = + x kx xx m & &&& ,
или , после очеb^guo преобразоZgbc :
0 4 = + x
m
k x&& .
Это ураg_gb_ гармонических колебаний , кругоZy частота которых удов -
летhjy_l услоbx
m
k4 2
0 = ω . Поэтому искомый период определится как
k
m
k
m T π = π =
ω
π =
4
2 2
0
.

25 . От_l :
kL
mg l 2
Решение : При малом отклонении от положения
раghесия на маятник дейстmxl силы тяжести ,
сила реакции опоры со стороны стержня и силы
упругости со стороны пружин . Поскольку откло -
нения малы , то можно считать , что пружины ос -
таются горизонтальными .
Раgh^_cklующую сил тяжести и реакции
стержня несложно найти аналогично стандартной
задаче о математическом маятнике : T1=mgx/L , ( см .
рис . 36), обратите gbfZgb_ на отсутстb_ знака “–” перед смещением x.
N 1
mg
T1
x
L

Рис . 36.
(Вид сбоку )
39

Определим раgh^_cklующую сил упругости со
стороны пружин (см . рис . 37). Удлинение каждой из
пружин
l
x l x l l
2
2 2 2 ≈ − + = ∆ .Тогда из очеb^guo
геометрических соображений с учетом малости от -
клонения имеем 2
3
2 l
kx T − = .
l
x
T2
Fупр Fупр
Рис . 37.
(Вид с_jom )
Считая , что силы T1 и T2 дейстmxl ^hev одной прямой , запишем u -
ражение для силы , hagbdZxs_c при малом отклонении от положения
раghесия :
2
3
) (
l
x k
L
x mg x F − = .
При очень малых значениях x преобладает перh_ слагаемое и сила
стремится у_ebqblv отклонение , поэтому цен -
тральное положение x=0 яey_lky неустойчиuf .
При дальнейшем у_ebq_gbb отклонения lhjh_
слагаемое hajZklZ_l быстрее , чем перh_ , и при
kL
mg l x =0 сила станоblky раghc нулю . Это
еще одно положение раghесия маятника , при -
чем оно устойчиh . Это станоblky очеb^guf из графика заbkbfhklb
потенциальной энергии маятника от отклонения ( рис . 38), аналитический
b^ которого несложно получить интегрироZgb_f ujZ`_gby для силы
(константу интегрироZgby , раgmx значению потенциальной энергии при
x=0, положим раghc нулю ):
Ep
x
0 0 2x
x0 –x0
0 2x −
Рис . 38
2
4 2
4 2 l
x k
L
x mg Ep + − =
Поскольку система консерZlbна , маятник пройдет положение раgh -
_kby и продолжит отклоняться до тех пор , пока его потенциальная энер -
гия не достигнет перhgZqZevgh]h значения . Несложно b^_lv , что это про -
изойдет при 0 2x x= . Затем процесс поlhjblky в обратном порядке .

40

26 . См . рис . 39.
Решение : Пусть шарик отклонился
ijZо от положения раghесия так ,
что угол между прямой , соединяющей
его центр O с центром сферы O 1, и _j -
тикалью ( ∠ AO 1B на рис . 40) ра_g ϕ,
ϕ<<1. Очеb^gh , что положение раgh -
_kby будет устойчиuf , если _jlb -
каль , про_^_ggZy из центра тяжести
шарика C, пройдет ле__ точки касания
шарика со сферой B, и неустойчиuf в
протиghf случае .
h/r
0
R/r
Рис . 39
O 1
O
A
B D
F
E
N
C
Рис . 40
Пусть D – точка по_joghklb шарика , касаrZyky
сферы в состоянии раghесия . Поскольку шарик
катится по сфере без проскальзыZgby , дуги AB и
DB раgu , поэтому Rϕ=rϕ' ( где ϕ' – _ebqbgZ
∠ DOB). Подсчитаем расстояние от центра шара до
т. F – точки пересечения прямой OC и _jlbdZeb ,
про_^_gghc через т. B.
Несложно b^_lv , что ∠ OFB= ∠ EOC= ∠ DOB– ∠ DON== ϕ'–ϕ=ϕ(R/r–1). Из
треугольника OFB по Т. синусов r/OF=[sin ϕ(R/r–1)] /sin ϕ. УчитыZy , что
при малых углах sin ϕ≈ϕ , услоb_ устойчиhklb раghесия OF> h можно
переписать в b^_ r/h>R/r–1. На плоскости (h/r, R/r) это услоb_ задает об -
ласть , ограниченную координатными осями и гиперболой R/r=1/( h/r+1),
при этом необходимо учесть естест_ggu_ услоby h/r §1, R/r¥1 ( см .
рис . 39).

27 . От_l :
g
r
r R r h
h r T 2
2
) (
) ( 2
− +
− π = .
Решение : Т.к. сфера легкая , а груз тяжелый , то можно считать , что ky
масса модели сосредоточена в точке размещения груза C, яeyxs_cky ее
центром тяжести .
Пусть модель отклонилась от положения раghесия так , что соединяю -
щая центры модели и полусферы прямая образует малый угол ϕ с _jlbdZ -
лью ( угол OO 1E на рис . 41). В_^_f следующие обозначения : O – центр
41

модели , O 1 – центр полусферы , А – точка ка -
сания модели и полусферы , B – точка по -
_joghklb модели , касающаяся полусферы в
положении раghесия ; _ebqbgm угла AOC
обозначим ϕ'.
В данном положении на модель дейстmxl
силы тяжести и реакции опоры со стороны
полусферы . В любой момент j_f_gb дb -
жение модели можно предстаblv как jZ -
щение hdjm] мгно_gghc оси , проходящей через точку опоры A перпен -
дикулярно плоскости рисунка . Поскольку сила реакции опоры приложена
в этой точке , ее момент ра_g нулю и при отклонении от положения рав -
но_kby на модель дейстm_l только момент силы тяжести относительно
т. A (точнее , оси , проходящей через т. А перпендикулярно плоскости ри -
сунка ). В заbkbfhklb от геометрии системы (а именно , проходит ли про -
_^_ggZy из т. C _jlbdZev слеZ или спраZ от т. A) он либо haращает
систему в перhgZqZevgh_ положение , либо уh^bl еще дальше от него .
Очеb^gh , что колебания hafh`gu только в перhf случае .
O 1
O
E
B
A
C
D
Mg
Рис . 41
Поскольку при дb`_gbb модели ось , проходящая через т. A перпенди -
кулярно плоскости рисунка , дb`_lky поступательно и остается парал -
лельной оси , проходящей через центр масс , то ураg_gb_ дb`_gby отно -
сительно нее можно записыZlv в обычном b^_ : 2
2
dt
dI M ϕ = .
Пусть D – точка пересечения про_^_gghc из т. A _jlbdZeb с радиусом
OB. Тогда момент силы тяжести относительно рассматриZ_fhc оси
M =mg ·CD·sin ∠ ADO = mg ·CD·sin( ϕ+ϕ')
В силу отсутстby проскальзыZgby при дb`_gbb модели длина дуги
EA раgZ длине дуги BA, т.е. Rϕ=rϕ'. С учетом этого соотношения , мало -
сти угла ϕ и Т. синусов для треугольника ODA
) sin( sin ϕ′ + ϕ
=
ϕ
OA OD можно
найти
R r
r OD
+
=
2
. Тогда ujZ`_gb_ для момента силы тяжести примет b^
) ) 1( ( r
r
R h mg M − + ϕ = .

42

Момент инерции модели относительно той же оси определится как
I=m CA 2=m (r2+h2–2 rh cos ϕ')≈m (r–h)2
(здесь учтено , что косинус малого угла ра_g 1 с точностью до lhjh]h по -
рядка малости ), и окончательно ураg_gb_ дb`_gby модели примет b^ :
0
) (
) 1(
2 2
2
= ϕ

− +
+ ϕ g
h r
r
r
R h
dt
d .
Несложно b^_lv , что полученное ураg_gb_ описыZ_l гармонические
колебания с периодом
g
r
r R r h
h r T 2
2
) (
) ( 2
− +
− π = .
Обратим gbfZgb_ , что знаменатель полученной формулы обращается в
ноль при h=r2/(r+R) и станоblky меньше нуля при меньших значениях h.
Несложно сообразить , что такая ситуация соот_lklует потере рассматри -
Z_fuf положением раghесия устойчиhklb .

28 .От_l : см . рис . 42
Β
λ α
c
то лько h да
то лько лед
h да и лед
Λ
λ α
c
T
t
Рис . 42
Решение : Очеb^gh , что
могут реализоuаться
следующие состояния :
1) в сосуде останется
только лед . Соот_lkl -
mxs__ услоb_ имеет b^
cвMT+ λM 2) в сосуде останется
только h^Z . Услоb_ име -
ет b^ cвMT>c лmt+ λM
3) промежуточная ситуация : есть одноj_f_ggh и лед , и h^Z при нулеhc
температуре .
Поделив эти нера_gklа на M , заметим , что задача имеет три физических
параметра : T, t и α=m/M .
Соот_lklующие области на плоскости параметров ( T, t) изображены на
рис . 42, при этом прямые , яeyxsb_ky границами областей , параллельны ,
а их углоhc коэффициент ра_g α.


43

29. От_l : 7,6 °С.
Решение : Сила натяжения нити станет раghc нулю , когда часть льда рас -
тает и уменьшится ulZedbающая сила . Из услоby раghесия системы в
исходном состоянии находим массу m шарика :
()
()
()
, 1 1
,0
, ,
,
,0
1
0
2
2 1
0 0
2
2
1
0 1
2 1
A 0
T g M mg
g m M g m M T
m V M V
g V V F
F g m M T
A
−⎟⎟


⎜⎜

⎛ −
ρ
ρ =⎟⎟


⎜⎜


ρ
ρ −
= ρ⎟⎟


⎜⎜


ρ
+
ρ
− + +
ρ
=
ρ
=
ρ + =
= − + +

9,4
1
1
2
1
0
=
⎟⎟


⎜⎜


ρ
ρ −
−⎟⎟


⎜⎜

⎛ −
ρ
ρ
= g
T M
m г.
Сила натяжения нити ( g m M g m M T + − ⎟⎟


⎜⎜


ρ
+
ρ
ρ = 0
2 1
0 ) обратится в ноль , ес -
ли масса льда уменьшится до некоторого значения М 1, удоe_lоряющего
услоbx :() ,
2 1
1 1 ⎟⎟


⎜⎜


ρ
+
ρ
ρ = + m M m M откуда
0278,0
1
1
1
2 1 =
⎟⎟


⎜⎜

⎛ −
ρ
ρ
⎟⎟


⎜⎜


ρ
ρ −
=
m
M кг .
Значит , для исчезно_gby натяжения силы натяжения должно быть рас -
плаe_gh 072 ,0 0278,0 1,0 1 0 = − = − = ∆ M M M кг льда . Так как он уже на -
ходится и емпературе лавления ля этого необходимо
Q
пр т п д
1=∆М λ=0,238 ⋅10 5 Дж . Эта энергия будет получена за счет охлаждения h -
ды . В итоге в системе устаноblky теплоh_ раghесие при температуре t2,
определяемой из ураg_gby теплоh]h баланса :
() ( )( ). 0 2 1 0 1 2 0 0 C t M M c Q t t cm ° − − + = −
44

Отсюда находим
[ ]
. 6,7
0
1 00 2 C
M m c
Q t cm t ° ≅
∆ +
− =

30 . От_l : 19%.
Решение : Пусть интерZe j_f_gb , через который произh^blky изме -
рение температуры , ра_g T, тогда , в соот_lklии с записями в журнале ,
температура стала раghc t1=–0,5 °С через 9 T, а t2=–4 °С – через 10 T. В те -
чение перh]h интерZeZ j_f_gb ky имеrZyky в мокром снеге h^Z за -
мерзла . Тогда , считая мощность отъема тепла в морозильной камере по -
стоянной , запишем ураg_gby теплоh]h баланса :
От начала эксперимента до 10- го измерения : 9 TP =φm λ+cm |t1|;
от 10- го до 11- го измерения : TP =cm (|t2|–| t1|), где P – мощность отъема
тепла , m – масса снега , φ – массоZy доля h^u в мокром снеге . Из полу -
ченных ураg_gbc несложно найти
φ=c(9| t2|–10| t1|)/ λ
Подстаeyy численные значения , получаем ϕ≈ 0,19.

31 . От_l : 132 В.
Решение : Очеb^gh , что ток , идущий между дmfy горизонтальными пла -
стинами , нагреZ_l h^m . Рассмотрим небольшой объем h^u размерами
a×d×dl. В этом объеме u^_ey_lky теплоZy мощность
d
dl a U
R
U P
γ
⋅ = =
2 2
.
Пренебрегая теплопроh^ghklvx h^u , можно найти энергию , полученную
этим объемом за k_ j_fy его нахождения в нагреZl_e_ :
v
L
d
dl a U Q ⋅
γ
⋅ =
2
.
Тогда температура этого объема у_ebqbeZkv на
v d
L U T 2
2
γρ
= ∆ , где v – ско -
рость течения h^u , сyaZggZy с ее объемным расходом t V k ∆ ∆ = / оче -
b^guf соотношением k=da v. Необходимое напряжение ujZablky фор -
мулой
La
T cd k U ∆ ργ = ,подстаноdZ в которую численных значений дает
U ≈132 В.


45

32 . От_l : дmoebljhая банка нагреется до 98,6 °С, литроZy закипит за 30
минут .
Решение : Поскольку температура h^u в банке не поднимается ur_
T3=80 °С несмотря на работающий кипятильник , то ky его мощность ухо -
дит на потери в окружающую среду . Будем считать , что потери происходят
через теплообмен с ha^mohf ( крышка закрыта , потерями на излучение
можно пренебречь ). Мощность потока тепла через некоторую по_joghklv
пропорциональна ее площади и разности температур по_joghklb и окру -
жающей среды , поэтому можно записать
P0=kS 3(T3 –T 0), (1)
где k – некоторый постоянный коэффициент , S3 – площадь по_joghklb
трехлитроhc банки .
Аналогичные (1) ураg_gby можно записать для дmoebljhой и литроhc
банок . УчитыZy , что объем пропорционален кубу линейных размеров , а
площадь по_joghklb – кZ^jZlm , несложно сообразить , что площадь по -
_joghklb дmoebljhой банки в (3/2) 2/3 ≈1,3104 раза меньше площади по -
_joghklb трехлитроhc банки , а литроhc – в 3 2/3 ≈2,0803 раза . Тогда ,
сраgbая соот_lklующие ураg_gby с (1), получим , что температура ,
при которой наступает динамическое раghесие , состаey_l T2≈98,6 °С для
дmoebljhой банки и T1≈114,8° С. Поэтому дmoebljhую банку нагреть
до кипения не удастся , а литроZy банка kdbibl .
Чтобы оценить j_fy , за которое литроZy банка закипит , рассмотрим бо -
лее подробно процесс нагреZ : в любой момент j_f_gb поступающее от
кипятильника тепло идет на нагрев h^u и теплообмен с окружающей сре -
дой :
P0 d t=cm dT+kS (T–T 0). (2)
Разделяя переменные и интегрируя , получим ujZ`_gb_ для j_f_gb на -
греZ
) 100(
ln
0 0
0
T C kS P
P
kS
cm t
− ° −
=
Выражая _ebqbgm kS из (1) и учитыZy найденный ранее коэффициент
32/3 , получим t≈1790 °С≈30 мин .



46

33 . От_l : за 30 суток .
Решение : Считаем , что процесс происходит кZabklZlbq_kdb и темпе -
ратура h^u со j_f_g_f не меняется . Тогда масса h^u dm , испариrZyky
за очень малый промежуток j_f_gb dt , при постоянных температуре и
eZ`ghklb ha^moZ и отсутстbb _ljZ (акZjbmf стоит в комнате ) заbkbl
только от площади по_joghklb h^u :
dm =αSdt ,
где α – некоторый коэффициент . Изменение уроgy h^u dh сyaZgh с dm
очеb^guf соотношением
dm =ρSdh ,
где ρ – плотность жидкости . Поэтому
dh =( α/ρ)dt .
Поскольку услоby испарения постоянны , то изменение уроgy h^u ли -
нейно заbkbl от j_f_gb и не заbkbl от других параметров , в частности ,
от формы сосуда . Тогда если за дh_ суток уро_gv понизился на 1 см , то
ky h^Z испарится за 15·2 суток =30 суток .

34 . От_l : 2 p0V0.
Исходный цикл разбиZ_lky на дZ : 1–2–3–4–5–1 и 1–2–6–5–1. Работа в
перhf раgZ 2 p0V0, а h lhjhf — нулю . Поэтому суммарная работа есть
2p0V0.

35 . От_l : 450 К, 43%.
Решение : Из ураg_gbc адиабат 2–3 и 4–1: , полу -
чаем :
pV pV pV pV 22 3 3 44 11 γγ γ = , γ =
.
1
2
4
3
p
p
p
p = ( 1)
Согласно ураg_gbx Клапейрона для изохорных участков 1–2 и 3–4 име -
ем :
, ,
1
2
1
2
1
1
2
2
T
T
p
p
T
p
T
p = ⇒ = ( 2)
. ,
4
3
4
3
4
4
3
3
T
T
p
p
T
p
T
p = ⇒ = ( 3)
Подстаb\ (2) и (3) в (1), найдем температуру Т3:
47

450
524
786 300
1
2 4 3 = = =
T
T T T К.
Для определения к. п.д. дb]Zl_ey нужно uqbkeblv работу А, со_jrZ_ -
мую газом за цикл , и количестh теплоты Q 1, получаемое газом от нагреZ -
теля .
() () ( [] )
() ( ) [] .
2
3
2
3
1 4 3 2
4 1 2 3 41 23 41 23
T T T T R
T T T T R U U A A A
− + − ν =
= − + − ν − = ∆ + ∆ − = + =

Газ нагреZ_lky , получая энергию от нагреZl_ey на участке 1–2. Поэтому
() .
2
3
1 2 12 1 T T R U Q − ν = ∆ =
К.п.д. дb]Zl_ey
() ( ) []
()
() ( )
()
43,0 1
2
3
2
3
1 2
4 3
1 2
4 3 1 2
1 2
1 4 3 2


− − =

− − − =
− ν
− + − ν
= η
T T
T T
T T
T T T T
T T R
T T T T R
.

36 . От_l : R
Mg S p
F
Mg S p
F
C
2 6
5 11
0
0
+
+
+
+ =
Решение : Т.к. охлаждение газа
проh^blky медленно , то дb`_gb_
поршня gba происходит кZabklZ -
тически и сумма сил , дейстmxsbo
на него , раgZ нулю . Это услоb_
запишется в b^_ p1S=p0S+Mg –F
(см . рис . 43). Здесь p1 – даe_gb_
газа под поршнем . Очеb^gh , что
даe_gb_ p1 будет под поршнем и в момент начала нагреZgby .
Mg
F
v
p1
p0
Mg
F v
p2
p0
Рис . 43 Рис . 44
Для того , чтобы поршень дb]Zeky ерх , необходимо , чтобы даe_gb_
под ним удоe_lоряло соотношению p 2S=p0S+Mg +F(см . рис . 44). Таким
образом , процесс нагреZgby состоит из дmo : изохорного нагреZgby , при
котором даe_gb_ у_ebqbается от p1 до p2, и изобарного нагреZgby , при
котором объем у_ebqbается в дZ раза .
48

Пусть температура газа перед началом нагреZgby T1. Тогда по закону
Гей -Люссака изменение температуры в изохорном процессе состаbl
∆T1=T1((p0S+Mg +F)/( p0S+Mg –F)–1)=2 FT 1/(p0S+Mg –F),
а газ получит количестh теплоты Q 1=CV∆T1.
Т.к. в изобарном процессе объем газа у_ebqbeky ^ое , то и темпера -
тура также у_ebqbeZkv ^ое , поэтому изменение температуры в изобар -
ном процессе
∆T2=T1+∆T1= T 1((p0S+Mg +F)/( p0S+Mg –F),
а газ получил количестh теплоты Q 2=Cp∆T2.
По определению , средняя теплоемкость газа в процессе нагреZgby
раgZ C=( Q 1+Q 2)/( ∆T1+∆T2). Подстаb\ найденные значения и про_^y не -
обходимые преобразоZgby , а также учтя соотношение Майера , получим
1 3
) 3(
0
0
+
+
+ +
+
+
=
Mg S p
F
R C
Mg S p
F R C
C
V V

УчитыZy , что для идеального одноатомного газа CV=3R, это соотно -
шение можно упростить , придя к окончательному от_lm .

37 . От_l :
⎟⎟




⎜⎜




+

+ +
+ + + =
C R
R
F S p Mg
S p Mg C R c
2
5 1 )
2
3(
0
0
Решение : Процесс расширения начнется тогда , когда сила даe_gby
газа сможет сдbgmlv поршень с места , т.е. pS =Mg +F+p0S, где S – площадь
поршня . Пусть скорость подh^Z тепла к системе в процессе нагреZ раgZ
q. Оно идет на у_ebq_gb_ gmlj_gg_c энергии газа и со_jr_gb_ им рабо -
ты по подъему поршня , а также на нагрев сосуда (т.к. процесс происходит
медленно , то кинетической энергией , приобретаемой поршнем , можно
пренебречь ). Запишем ураg_gb_ теплоh]h баланса для бесконечно малых
изменений температуры , учитыZy , что работа по подъему поршня скла -
дыZ_lky из трех частей : работы по у_ebq_gbx его потенциальной энер -
гии (Mg dl), работы против силы g_rg_]h даe_gby (p0Sdl) и работы про -
тив силы трения (Fdl): qdt=cVdt+( Mg +p0S+F)d l+CdT, где d T и d l – измене -
ние температуры и смещение поршня за бесконечно малое j_fy d t.
49

Работа против сил трения , в сhx очередь , рассеиZ_lky в b^_ тепла ,
т.е. идет на нагреZgb_ рассматриZ_fhc системы , что можно записать
следующим образом: Fdl=cVdT' +CdT' +( Mg +p0S)d l'+ Fdl', где d l' и dT' – “ до -
полнительные ” смещение поршня и изменение температуры . Сyav между
ними можно получить из ураg_gby состояния одного моля идеально о га -
за : pS dl'= RdT' . Тогда
г
R
pS
F S p Mg C c pS
FR dT Td
V
+ + + +
=′
0
1 .
Поlhjyy эти рассуждения , можно прийти к uоду , что общее поu -
шение температуры d T0 от перhgZqZevgh]h нагреZ qdt определяется как
сумма геометрической прогрессии с перuf членом d T и знаменателем
R
pS
F S p Mg C c pS
FR
V
+ + + +
= ϕ
0
1 , т.е. d T0=d T/(1- ϕ). Тогда итогоh_ ураg_ -
ние энергетического баланса за малое j_fy d t запишется в b^_ :
qdt=( cV+C)d T0+( Mg +p0S)d l0, или 0
0
dT
R
pS
F S p Mg C c
qdT
V
ϕ
+ + + +
= , откуда
по определению теплоемкости после несложных преобразоZgbc , учиты -
Zy услоby Mg + F + p0S = pS и cV = 3/2 R, получаем окончательный от_l .

38 . От_l : а) 0 2/ 2 RT ml T π = .
б) при уменьшении температуры колебаний нет , при у_ebq_gbb период
уменьшается в 2 раз .
в) при раguo количестZo h^u и пара колебаний не будет , при раguo
количестZo ha^moZ и пара период уменьшится в 2/3 раза .
Решение : а) Даe_gb_ насыщенного пара , в отличие от даe_gby идеально -
го газа , заbkbl только от температуры . Поэтому при смещении перего -
родки даe_gb_ в меньшей части останется неизменным (“ лишний ” пар
сконденсируется в h^m ), а в большей части пар перестанет быть насыщен -
ным (в этом случае его можно рассматриZlv как идеальный газ ).
Пусть длина сосуда 2 l, а перегородка сместилась на малое расстояние x
e_о . Тогда слеZ от перегородки даe_gb_ газа раgh перhgZqZevghfm
pлев =p0, а даe_gb_ спраZ определится по закону Бойля -Мариотта :
50

pпр(l+x )= p0l. Тогда дейстmxsZy на перегородку сила F=( pлев –pпр)S=
=p0x/(x+l)≈p0Sx /l, где S – площадь поперечного сечения сосуда . ЗаписыZy
ураg_gb_ дb`_gby и применяя ураg_gb_ состояния идеального газа , по -
лучим период малых колебаний 0 2/ 2 RT ml T π = .
б) Если сосуд охладить , то даe_gb_ пара станет больше даe_gby на -
сыщенного пара , и часть пара сконденсируется . Остаrbcky пар по -
прежнему яey_lky насыщенным , однако теперь в сосуде присутстm_l
также h^Z . Поэтому при смещении перегородки слеZ “ лишний ” пар
сконденсируется , а спраZ при уменьшении даe_gby часть h^u испарит -
ся , поэтому даe_gb_ как слеZ , так и спраZ останется раguf даe_gbx
насыщенного пара при данной температуре (по крайней мере при настоль -
ко малых колебаниях , что h^u спраZ хZlbl для компенсации падения
даe_gby ). Поэтому при понижении температуры колебаний hh[s_ не бу -
дет .
При у_ebq_gbb температуры пар перестанет быть насыщенным , и к
нему можно применять законы идеального газа (при столь малых колеба -
ниях , что пар не станоblky насыщенным ke_^klие сжатия ). Тогда ана -
логичными п.а) рассуждениями можно получить 0 2 2/ 2 RT ml T π = .
в) Если в обеих частях сосуда находится , кроме пара , h^Z , то , проh^y
аналогичные предыдущему пункту рассуждения , можно убедиться , что ко -
лебаний не будет .
Если в обеих частях сосуда находятся раgu_ количестZ ha^moZ и па -
ра , то при смещении перегородки e_о pпара лев .=pпара 0, pha^ . лев .(l–x)= pha^ . 0l,
pправ .(l+x )= p0l ( здесь pправ . – суммарное даe_gb_ пара и ha^moZ ). Тогда ,
учитыZy закон Дальтона , F= (pлев .–pправ .)S=1,5 p0Sx /l. Тогда период колеба -
ний 0 2 3/ 2 2 RT ml T π = .

39 . От_l : 156 В.
Решение : Для электронагреZl_ey , работающего без зеркала , теплоZy
мощность , уходящая ijZо , состаey_l полоbgm потребляемой от сети ,
т.е. ( с учетом закона Джоуля -Ленца ): ,
2
1 20 0 R
U P = где U 0 = 220 В.
51

После устаноdb зеркала ijZо будет уходить ky потребляемая мощ -
ность :P U
R
x 0
2
= , где U x — ноh_ рабочее напряжение . Разделив lhjh_
ураg_gb_ на перh_ , получим : U U
x== 0
2
156 В.
40 . От_l : 30 мВт , уменьшится в 12 раз .
Решение : Непосредст_ggh по графи -
ку несложно определить , что при
подключении к источнику напряже -
нием 5 В через элемент течет ток 6 мА ,
поэтому u^_eyxsZyky на нем теп -
лоZy мощность определится по за -
кону Джоуля -Ленца : P1=U 1I1=30 мВт .
От_lblv на lhjhc hijhk задачи
немного сложнее .

U, В
I,мА
0 5
1
6
одиноч ный эл -т
дZ элемен та
Рис . 45
Поскольку подключаемые последоZl_evgh элементы одинакоu , то и па -
дение напряжения на них будет одинакоh , так что на каждом из элемен -
тов будет падать напряжение 2,5 В. Определим ток , текущий через элемент
в этом случае . Для этого надо по имеющемуся графику построить график
заbkbfhklb тока от напряжения ( т.н. hevl -амперную характеристику ,
или ВАХ ) для дmo последоZl_evgh подключенных элементов .
Поскольку при последоZl_evghf подключении ток , текущий через эле -
менты , одинаков , а напряжения на них складыZxlky , то одному и тому же
значению тока для дmo последоZl_evgh соединенных элементов соот_l -
стm_l в дZ раза большее значение напряжения , чем для одного элемента .
Поэтому ВАХ для дmo последоZl_evgh соединенных элементов можно
получить , умножая на 2 значения напряжения ВАХ одиночного элемента
(см . рис . 45).
По полученной ВАХ несложно определить , что при приложенном напря -
жении 5 В через элементы течет ток 1 мА , поэтому на одном элементе u -
делится тепловая мощность P2=2,5 В·1 мА =2,5 Вт , что в 12 раз меньше мощ -
ности , u^_eyxs_cky в перhf случае .
Заметим , что если бы элемент был линейным , то мощность уменьшилась
бы k_]h в 4 раза .

52

41 . Задача приh^blky к простейшей
схеме , предстаe_gghc на рис . 46.

Рис . 46
Для нее несложно получить :
() () 2 5 5 R Rx + = ,2 5 5 x ε + = ε .

42 . От_l : ) (
2 2 1 . . U U
R
C I кв ср −
τ
= .
Решение : Сразу после подключения источника питания в цепи течет ток
зарядки конденсатора , лампа не горит и ее сопротиe_gb_ раgh бесконеч -
ности . При достижении напряжением на конденсаторе значения U 1 лампа
загорается , ее сопротиe_gb_ резко падает и через нее начинает разряжать -
ся конденсатор . Так как R<< R0, то процесс разрядки происходит намного
быстрее процесса заряда конденсатора от источника питания , и зарядом ,
пришедшим от источника за это j_fy , можно пренебречь . Когда напря -
жение на конденсаторе падает до значения U 2, лампа гаснет и опять начи -
нается процесс зарядки конденсатора . Таким образом , в схеме происходит
периодический процесс , поэтому достаточно определить _ebqbgm средне -
кZ^jZlbqgh]h значения тока за j_fy горения лампы на одном периоде
процесса . Определим эту _ebqbgm из энергетических соображений . Перед
началом разрядки конденсатора в нем была запасена энергия
2
21 1
CU W = ,
после окончания процесса разрядки энергия конденсатора стала раgZ
2
22 2
CU W = . Разность этих энергий u^_ebeZkv в b^_ тепла при протека -
нии тока через лампу , поэтому 2 1 W W P − =τ , где P – средняя мощность ,
u^_eyxsZyky на лампе . По аналогии с ujZ`_gb_f для мгно_gghc мощ -
ности можно записать ujZ`_gb_ для средней мощности R I P 2 = , где 2I
– среднее значение кZ^jZlZ тока через лампу . Тогда
2 2
22 21 2 CU CU R I − =τ ,
откуда ) (
2 2 1 2 . . U U
R
C I I кв ср −
τ
= = .

53

43 . От_l : Бусинка останоblky в точках : )
2
1 ( 2 0 + π = n x при q > 0,
при q < 0. n x π = 2 0
Решение : Так как в системе сущестm_l не сухое , а yadh_ трение , то час -
тица будет останаebаться только в точках , в которых напряженность
электрического поля раgZ нулю Е = 0. В рассматриZ_fhc системе суще -
стmxl такие точки дmo типов , для одного (а) силоu_ линии поля oh^yl
в нее , а для другого (б) – uoh^yl . Поэтому при анализе останоdb бусинки
необходимо устаноblv , устойчиuf или неустойчиuf будет раghесие
в точке останоdb .
Для бусинки с зарядом q > 0 устойчиuf будет положение в точках типа а,
так при таком знаке заряда F ↑↑ E. Для бусинки с зарядом q < 0 устойчи -
uf будет положение в точках типа б, так при таком знаке заряда F ↑↓↑ E.
Точкам типа а соот_lklуют точки , в которых функция sin x меняет знак с
"+" на "-", следоZl_evgh )
2
1 ( 2 0 + π = n x . Точкам типа б соот_lklуют по -
ложения , где n – целое число . n x π = 2 0

44 . От_l : F3=2 F2–F1.
Решение : Если шар не заряжен , то частица и шар притягиZxlky из -за на -
личия на по_joghklb шара индуцироZggh]h заряда . Пусть _ebqbgZ этой
силы Fинд . Если теперь сообщить шару заряд q, 2 q, 3 q, то hagbdg_l еще
сила отталкиZgby . Она пропорциональна сообщенному заряду , потому
что он распределится раghf_jgh по по_joghklb шара . В_^_f для сил
отталкиZgby обозначения F, 2 F, 3 F, соот_lklенно . По принципу супер -
позиции F1=Fинд –F, F 2=Fинд –2 F, F3=Fинд –3 F. Отсюда находим : F3=2 F2–F1.
Отметим , что сила F3 может быть как силой притяжения , так и силой от -
талкиZgby .

n1 n2
n3
n=1 α α
β1 β2
γ1 γ1

Рис . 47
45 . От_l : лучи в среде III останутся па -
раллельными .
Решение : В соот_lklии с законом пре -
ломления можно записать (см . рис . 47):
2
3
2
2
1
3
1
1 2
2
1
1 sin
sin,
sin
sin,
sin
sin,
sin
sin
n
n
n
n n n =
γ
β =
γ
β =
β
α =
β
α
54

Отсюда следует
2
3
1 sin
sin
sin
sin
γ
α = =
γ
α n , т.е. γ1=γ2.

46. От_l : 1/2000 с.
Решение : Т.к. спортсмен дb`_lky , то за j_fy срабатыZgby затhjZ
фотоаппарата он успеZ_l сместиться , и каждая точка тела спортсмена
отображается на фотопленке и, соот_lklенно , отпечатке снимка в b^_
пятна .
Если снимок рассматриZlv с расстояния наилучшего зрения 25 см , то
для того , чтобы снимок казался резким , размер пятна должен быть меньше ,
чем 25 см ·1/60/57 рад ≈0,07 мм .
Т.к. коэффициент у_ebq_gby при печати фотоснимка с негатиZ со -
стаey_l 10 см /24 мм ≈4,16, то на фотопленке размер пятна не должен пре -
urZlv ∆=0,07/4,16 ≈0,017 мм . Заметим , что это больше размера зерна фо -
топленки 1/120 мм , так что получить снимок требуемого качестZ hafh` -
но .
Построив ход лучей в фотообъекти_ , несложно убедиться , что если L –
расстояние от объекта до фотообъектиZ , а d – от объектиZ до фотоплен -
ки , то при скорости спортсмена v и u^_j`d_ τ размер пятна определяется
по формуле
∆/d=vτ/L.
Подстаeyy найденные ранее и данные значения и учитыZy , что ско -
рость бегуна на 100 метров состаey_l примерно 10 м/с, получаем
τ=(0,017 мм ⋅10 м)/(30 мм ⋅10 м/с) ≈6⋅10 -4 с≈1/2000 с.

47 . От_l : при
1 2
1 2
2 −
+ > l a сущестm_l три изображения , в протиghf
случае – 2, k_ они мнимые , при )
2
1 2 (
2
2 − < < l a l Знайка b^bl 2 изо -
бражения , в протиghf случае – ни одного .
Решение : В_^_f следующие обозначения ( см . рис . 48): ABCD – трюмо ,
S – положение Знайки , O – точка пересечения продолжений сторон трюмо
AB и CD, F – осноZgb_ перпендикуляра , опущенного из точки S на AB,
E – середина BC. Несложно b^_lv , что изображения Знайки в зеркалах AB
и CD сущестmxl k_]^Z ( они обозначены S 1 и S 2 соот_lklенно ). По -
55

скольку ∠ OFS= ∠ OFS 1, то оба
изображения S 1 и S 2 находятся на
прямой , про_^_gghc через т. O
параллельно BC, и S 1O=S 2O=SO.
В то же j_fy уb^_lv изображе -
ние можно не k_]^Z , а лишь ко -
гда отраженные от зеркала лучи
попадут в точку , в которой нахо -
дится наблюдатель . Так , сh_ изо -
бражение в зеркалах AB и CD
Знайка сможет уb^_lv , только
если точка F лежит на отрезке AB
(а не на его продолжении ). Это
hafh`gh , если он находится ме -
жду точками K и N, перпендикуляры , опущенные из которых на AB, попа -
дают в точки B и A соот_lklенно . Несложные uqbke_gby показыZxl ,
что )2/1 2 ( ,2/2 − = = l EN l EK .
S12
S
S1 S2
A
B C
D
N
K
L
E
F
M O

Рис . 48
Кроме этих изображений , может образоZlvky изображение мнимого пред -
мета S 1 в зеркале CD и, наоборот , мнимого предмета S 2 в зеркале AB. Фи -
зически это соот_lklует тому , что после отражения от зеркала AB луч
сначала попадет на зеркало CD, а затем уйдет из системы . ( Заметим , что
более чем дmdjZlguo отражений в данной системе hagbdgmlv не может ).
Оба полученных таким образом изображения располагаются в т. S 12
(OS=OS 12), причем их ориентация также соiZ^Z_l , поэтому фактически
изображение одно .
Это изображение может образоZlvky , если луч , " исходящий " из т. S 1 и
прошедший через отрезок AB, попадет на отрезок CD, т.е. если прямая BD
пересечет прямую S 1S2 на отрезке OS 1. Соот_lklующее услоb_ проще
k_]h записать в b^_ OM>OS 1. Несложно переписать это услоb_ в b^_
ES>( l/2)ctg ∠ CBD. ∠ CBD=22,5 °, поэтому окончательно услоb_ запишется
в b^_ :
1 2
1 2
2 −
+ > l ES .
Даже если это изображение сущестm_l , Знайка не сможет его уb^_lv . Это
можно пояснить следующим рассуждением : k_ лучи с_lZ , образующие
56

это изображение , должны казаться uoh^ysbfb из точки S 12. В то же j_ -
мя они обязательно должны uoh^blv из одного из бокоuo зеркал трюмо
AB или CD, поскольку после отражения от них луч больше нигде не изме -
няет сh_]h напраe_gby . Поэтому область , из которой b^gh изображение
S12, ограничена лучами S 12A и S 12B и лучами S 12C и S 12D ( на рис . 48 эти
области окрашены серым ). Видно , что никакая точка оси симметрии зерка -
ла не принадлежит этим областям . ( Если же сойти с центральной оси , то
это изображение дейстbl_evgh можно уb^_lv . Рекомендуется проделать
соот_lklующий эксперимент ).

48 . От_l : ⎟⎟


⎜⎜


− + π = 2
2
2 2
2
2) (
4
r
l
F R
l
F l S .
Решение : Ход лучей в рассматриZ_fhc
системе при_^_g на рис . 49, области тени
отмечены серым ц_lhf . Тень от опраu
линзы на экране имеет форму кольца ,
g_rgbc диаметр которого определяется
из простых геометрических соображений :
D
l
F l DT
+ = . Внутренний диаметр тенеh -
го кольца определяется аналогичных обра -
зом d
L
F d
L
F L
T ) 1( − = − = d , где L – рас -
стояние от линзы до дейстbl_evgh]h
изображения источника , которое опреде -
ляется по формуле тонкой линзы :
F l
Fl L
F L l −
= ⇒ = + 1 1 1 . Тогда gmlj_ggbc
диаметр тени d
l
F = dT и ее площадь оп -
ределяется по формуле ⎟⎟


⎜⎜


− + π = − π = 2
2
2 2
2
2 2 2 ) (
4
) (
4
d
l
F D
l
F l d D S T T .
l L
F
Рис . 49
l
S
4
2 Dπ
F
Рис . 50
57

График этой заbkbfhklb при_^_g на рис . 50. Заметим , что при у_ebq_ -
нии расстояния l до бесконечности площадь тени стремится к значению
πD 2/4, т.к. изображение источника находится на экране и имеет нулеmx
площадь .

49 . От_l : см . рис . 51.
Решение : Каждая линза дает изображение k_]h предмета , поэтому в дан -
ной системе hagbdg_l дZ
изображения , каждое из
которых строится по
обычным праbeZf .
F1 F2 2F 1 2F 2 2F 1 2F 2 F1 F 2
Рис . 51






50 . От_l : см . рис . 52. Получается прямое мнимое у_ebq_ggh_ изображе -
ние предмета .
F F'

Рис . 52
Решение : Дhydhыпуклая стеклянная линза в ha^mo_ яey_lky собираю -
щей . Поскольку предмет находится в фокусе линзы , то в пустом акZjbmf_
его изображение будет находиться на бесконечности . Однако при заполне -
нии акZjbmfZ h^hc оптическая сила линзы изменяется , т.к. преломление
с_lZ на границе раздела “ h^Z -стекло ” происходит иначе , чем на границе
раздела “ ha^mo -стекло ”. Поскольку показатель преломления стекла боль -
ше , чем h^u , то линза останется собирающей , но ее фокусное расстояние
58

у_ebqblky . ( Это несложно понять с помощью следующего качест_ggh]h
рассуждения : если бы показатели преломления линзы и h^u были одина -
коufb , то преломления бы не было hh[s_ , оптическая сила такой линзы
была бы нулеhc , а фокусное расстояние – бесконечно большим . Поэтому
при уменьшении разности показателей преломления среды и линзы ее фо -
кусное расстояние у_ebqbается .)
Таким образом , в акZjbmf_ с h^hc предмет оказыZ_lky между соби -
рающей линзой и ее фокусом и дает прямое у_ebq_ggh_ мнимое изобра -
жение , получаемое по обычным праbeZf (см . рис . 52).








« Окно в науку »
www.sgtnd.narod.ru/wts/rus


59

О Г Л А В Л Е Н И Е

Ст р.
Пре дислоb_ 3
Часть I. Олимпиадные зада чи 5
Часть II. От_lu и решения 21


АlhjZfb изданы также и другие книги , посys_ggu_ как олимпиадным
задачам , так и « неформальной » физике (оценки , метод размерностей , ком -
пьютерное моделироZgb_ , исследоZl_evkdZy работа школьников и т.д.).
В электронном ZjbZgl_ эти книги можно найти в сети Internet по адресам :
http://www.sgtnd.narod.ru/publ/rus/m ain.htm #other
http://www.sgtnd.narod.ru /wts/rus/olimprobl.htm
http://www.sgtnd.narod.ru/wts/rus/krdf.htm

60

Учебное издание



Кузнецов Александр Петроbq
Кузнецов Сергей Петроbq
Мельников Леонид Аркадьеbq
Саbg Алексей Владимироbq
Шеph\ Владимир Николаеbq




50 ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ






Пособие издано в аlhjkdhc редакции .
От_lklенный за uimkd А .В. Саbg .

Подписано в печать 28.04.2006 г.
Формат 60 х84 1/16. Бумага Снегурочка . Гарнитура Times New Roman.
Усл . печ . л. 3,712 (4,00). Тираж 100 экз .

Издательстh « Научная книга »
410054, Саратов , ул . Б. СадоZy , 127.
61
X