Биофизика Тиманюк, Животова

Формат документа: pdf
Размер документа: 4.45 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÇÄÐÀÂÎÎÕÐÀÍÅÍÈß ÓÊÐÀÈÍÛ
ÍÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÉ ÔÀÐÌÀÖÅÂÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Õàðüêîâ
Èçäàòåëüñòâî ÍÔÀÓ
«Çîëîòûå ñòðàíèöû»
2003
Ó×ÅÁÍÈÊ
äëÿ ñòóäåíòîâ ôàðìàöåâòè÷åñêèõ
è ìåäèöèíñêèõ âóçîâ

ÓÄÊ 577.3(075.8)
ÁÁÊ 28.901ÿ73
Ò 41
© Â. À. Òèìàíþê, Å. Í. Æèâîòîâà, 2003
© Íàöèîíàëüíûé ôàðìàöåâòè÷åñêèé
óíèâåðñèòåò, 2003
Òèìàíþê Â. À., Æèâîòîâà Å. Í.
Ò41 Áèîôèçèêà: Ó÷åáíèê äëÿ ñòóä. âóçîâ.— Õ.: Èçä-âî ÍÔÀÓ;
Çîëîòûå ñòðàíèöû, 2003.— 704 ñ.: èë.
ISBN 966-615-190-1.
ISBN 966-8032-78-0.
Ó÷åáíèê âêëþ÷àåò òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë, ïðèìåðû ðåøåíèÿ òèïî-
âûõ çàäà÷, çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ è âîïðîñû òåñòîâîãî êîí-
òðîëÿ ïî âñåì ðàçäåëàì êóðñà «Áèîôèçèêè». Îòëè÷àåòñÿ ÿñíûì è ëîãè÷åñ-
êèì èçëîæåíèåì ìàòåðèàëà. Îñîáîå âíèìàíèå óäåëåíî ñâÿçè áèîôèçèêè ñ
ôàðìàöåâòè÷åñêèìè è ìåäèöèíñêèìè íàóêàìè.
Ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ ôàðìàöåâòè÷åñêèõ è ìåäèöèíñêèõ âóçîâ.
ÁÁÊ 28.901ÿ73
ÓÄÊ 577.3(075.8)
ISBN 966-615-190-1
ISBN 966-8032-78-0
Óòâåðæäåíî
Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû
(ïèñüìî ¹ 1/11-2124 îò 27.05.2003 ã.)
Ðåöåíçåíòû:
Î. Â. ×ÀËÛÉ, äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþ-
ùèé êàôåäðîé ìåäèöèíñêîé è áèîëîãè÷åñêîé ôèçèêè Íàöèîíàëüíîãî ìå-
äèöèíñêîãî óíèâåðñèòåòà èì. Î. Î. Áîãîìîëüöà;
Ý. È. ËÈ×ÊÎÂÑÊÈÉ, êàíäèäàò òåõíè÷åñêèõ íàóê, äîöåíò, çàâåäóþùèé
êàôåäðîé áèîôèçèêè Ëüâîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ìåäèöèíñêîãî óíè-
âåðñèòåòà èì. Äàíèëà Ãàëèöêîãî;
Ì. È. ÌÎÉÑÅÅÍÊÎ, äîêòîð áèîëîãè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþ-
ùèé êàôåäðîé áèîôèçèêè, èíôîðìàòèêè è ìåäèöèíñêîé àïïàðàòóðû
Èâàíî-Ôðàíêîâñêîé ãîñóäàðñòâåííîé ìåäèöèíñêîé àêàäåìèè

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ
Áèîôèçèêà — íàóêà, èçó÷àþùàÿ ôèçè÷åñêèå è ôèçèêî-õèìè-
÷åñêèå ÿâëåíèÿ â æèâûõ îðãàíèçìàõ. Òðàäèöèîííî áèîôèçèêó ðàç-
äåëÿþò íà ìîëåêóëÿðíóþ, îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ êîòîðîé ÿâëÿ-
þòñÿ áèîëîãè÷åñêèå ìîëåêóëû, áèîôèçèêó êëåòêè, èçó÷àþùóþ
íàäìîëåêóëÿðíûå ñòðóêòóðû æèâîé êëåòêè, è áèîôèçèêó ñëîæíûõ
ñèñòåì, ðàññìàòðèâàþùóþ ðàçëè÷íûå óðîâíè îðãàíèçàöèè æèâûõ
ñèñòåì — ñîîáùåñòâà êëåòîê, òêàíè, îðãàíèçìû, ïîïóëÿöèè.
Âûäàþùèéñÿ ñîâåòñêèé áèîôèçèê Ã. Ì. Ôðàíê ñêàçàë: «Áèî-
ôèçèêà íå èìååò ïðèñóùåãî òîëüêî åé îáúåêòà èëè ïðåäìåòà èñ-
ñëåäîâàíèÿ, êàê, íàïðèìåð, ìèêðîáèîëîãèÿ (íàóêà, èçó÷àþùàÿ
ìèêðîîðãàíèçìû) èëè ýíòîìîëîãèÿ (ðàçäåë çîîëîãèè, èçó÷àþùèé
íàñåêîìûõ). Ýòà íàóêà ñêîðåå õàðàêòåðíà òîëüêî åé ïðèñóùèì
ôèçè÷åñêèì ïîäõîäîì ê èçó÷åíèþ øèðîêîãî êðóãà æèçíåííûõ
ÿâëåíèé... îñîáåííî òåñíà ñâÿçü, ñêîðåå äàæå «âçàèìîïðîðàùèâà-
íèå», áèîôèçèêè è áèîõèìèè. È åñëè èçîáðàæàòü ãðàôè÷åñêè âçà-
èìîîòíîøåíèÿ áèîõèìèè è áèîôèçèêè, íåëüçÿ íè â êîåì ñëó÷àå
ðèñîâàòü ÷åðòó ðàçäåëà ìåæäó íèìè. Ýòî áóäóò ñêîðåå øèðîêèå
êðèâûå «ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïåòåíòíîñòè» ñ ìàêñèìóìàìè, ñäâèíó-
òûìè ïî îòíîøåíèþ äðóã ê äðóãó». Ïîäîáíûå âçàèìîîòíîøåíèÿ
ñâÿçûâàþò áèîôèçèêó è ñ äðóãèìè íàóêàìè — ôèçèîëîãèåé, ìîëå-
êóëÿðíîé áèîëîãèåé, ôàðìàêîëîãèåé è äð.
Èñòîðèþ ðàçâèòèÿ áèîôèçèêè ìîæíî íà÷àòü ñ âûäâèíóòîé
Ì. Â. Ëîìîíîñîâûì òåîðèè î öâåòíîì çðåíèè. Äàëüíåéøèé âêëàä
âíåñëè îïûòû Ë. Ãàëüâàíè ïî èçó÷åíèþ «æèâîòíîãî ýëåêòðè÷å-
ñòâà»; îòêðûòèÿ Ã. Ãåëüìãîëüöà â îáëàñòè áèîëîãè÷åñêîé îïòèêè;
èññëåäîâàíèÿ ôðàíöóçñêîãî ôèçèîëîãà è ôèçèêà, îñíîâàòåëÿ ïåð-
âîé êàôåäðû áèîôèçèêè Ä’àðñîíâàëÿ â îáëàñòè âîçäåéñòâèÿ ïåðå-
ìåííûõ òîêîâ íà áèîëîãè÷åñêèå îáúåêòû (÷òî ïîëîæèëî íà÷àëî
ìåòîäó «ä’àðñîíâàëèçàöèè» — ëå÷åíèþ èìïóëüñíûì òîêîì âûñî-
êîé ÷àñòîòû, âûñîêîãî íàïðÿæåíèÿ è ìàëîé ñèëû òîêà). Ñðåäè
âûäàþùèõñÿ äîñòèæåíèé áèîôèçèêè XX âåêà ñëåäóåò âûäåëèòü

4 Áèîôèçèêà
ðàñøèôðîâêó ïðîñòðàíñòâåííûõ ñòðóêòóð áåëêà Ë. Ïîëèíãîì
è äâîéíîé ñïèðàëè ÄÍÊ Äæ. Óîòñîíîì è Ô. Êðèêîì.
Áèîôèçèêà â ñâîèõ èññëåäîâàíèÿõ øèðîêî èñïîëüçóåò ôèçè-
÷åñêèå, õèìè÷åñêèå, à â ïîñëåäíåå âðåìÿ — è âû÷èñëèòåëüíûå
ìåòîäû. Áèîôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ ëåæàò â îñíîâå ìíîãèõ òåðàïåâ-
òè÷åñêèõ è äèàãíîñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
Íåîáõîäèìîñòü âñåñòîðîííåãî ðàçâèòèÿ ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñ-
òè ìåäèöèíû è ôàðìàöèè èçâåñòíà óæå äàâíî. Åùå â íà÷àëå
XVIII âåêà øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê Äàíèèë Áåðíóëëè
ïèñàë Ëåîíàðäó Ýéëåðó â Ðîññèþ: «ß æåëàë áû, ÷òîáû â Ïåòåðáóð-
ãå áûëè ìåäèêè, çíàþùèå íà÷àëà ìàòåìàòèêè, â îñîáåííîñòè æå —
ìåõàíèêó è ãèäðàâëèêó». Ïåðâûé êóðñ ïî áèîôèçèêå áûë ïðî÷è-
òàí îñíîâàòåëåì ïåðâîãî â Ðîññèè Èíñòèòóòà áèîëîãè÷åñêîé ôè-
çèêè Ï. Ï. Ëàçàðåâûì äëÿ âðà÷åé â 1922 ãîäó ïðè êëèíèêå Ìîñ-
êîâñêîãî óíèâåðñèòåòà, çàòåì áûë ïðî÷èòàí ðÿä êóðñîâ äëÿ âðà÷åé
ïðè Ãîñóäàðñòâåííîì èíñòèòóòå ôèçèîëîãèè è îðòîïåäèè.
Áóðíîå ðàçâèòèå ôàðìàöèè, íàáëþäàþùååñÿ çà ïîñëåäíèå äåñÿ-
òèëåòèÿ, âûÿâèëî íåîáõîäèìîñòü ïîäãîòîâêè âûñîêîêâàëèôèöèðî-
âàííûõ ñïåöèàëèñòîâ, íå òîëüêî îáëàäàþùèõ ãëóáîêèìè çíàíèÿìè
â îáëàñòè ïðîôåññèîíàëüíî-îðèåíòèðîâàííûõ äèñöèïëèí, íî
èìåþùèõ ôóíäàìåíòàëüíóþ òåîðåòè÷åñêóþ è ïðàêòè÷åñêóþ ïîäãî-
òîâêó â îáëàñòè ôèçèêè, õèìèè, áèîëîãèè è ñìåæíûõ ñ íèìè äèñ-
öèïëèí; ñïåöèàëèñòîâ, ñïîñîáíûõ ïðîâîäèòü íàó÷íûå èññëåäîâà-
íèÿ, ïðèâëåêàÿ äëÿ ýòîãî ôèçè÷åñêèå, õèìè÷åñêèå, áèîôèçè÷åñêèå
è áèîõèìè÷åñêèå ìåòîäû; ñïåöèàëèñòîâ ýðóäèðîâàííûõ, äóìàþùèõ,
ñïîñîáíûõ ñîâåðøåíñòâîâàòü è óãëóáëÿòü ñâîè çíàíèÿ ñàìîñòîÿòåëü-
íî ïîñëå îêîí÷àíèÿ âóçà â ïðîöåññå ïðàêòè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè.
Îäíèì èç îñíîâîïîëàãàþùèõ êóðñîâ, îòâå÷àþùèõ óêàçàííûì
òðåáîâàíèÿì, ÿâëÿåòñÿ «Áèîôèçèêà». Àâòîðû ñ÷èòàþò çàäà÷åé äàí-
íîãî êóðñà íå òîëüêî òðàäèöèîííîå óñâîåíèå îòäåëüíûõ òåîðåòè-
÷åñêèõ ïîëîæåíèé è ïðàêòè÷åñêèõ óìåíèé è íàâûêîâ, à è ðàçâè-
òèå ó ñòóäåíòîâ ñïîñîáíîñòè àíàëèçèðîâàòü, îáîáùàòü, óãëóáëÿòü
è ýôôåêòèâíî ïðèìåíÿòü íà ïðàêòèêå ïîëó÷åííûå çíàíèÿ.
Ó÷åáíèê îõâàòûâàåò øèðîêèé ñïåêòð ïðîáëåì áèîôèçèêè. Îñî-
áîå âíèìàíèå óäåëåíî âîïðîñàì, èìåþùèì íåïîñðåäñòâåííîå îò-
íîøåíèå ê ïðàêòè÷åñêîé è íàó÷íîé äåÿòåëüíîñòè ïðîâèçîðîâ: ìà-
òåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ ôàðìàêîêèíåòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ,
ìîëåêóëÿðíîé áèîôèçèêå, òðàíñïîðòó âåùåñòâ ÷åðåç áèîëîãè÷åñ-
êèå ìåìáðàíû, áèîôèçèêå íåðâíîãî èìïóëüñà, êðîâîîáðàùåíèÿ,
ìåòîäàì àíàëèçà ëåêàðñòâåííûõ ñðåäñòâ è äð.
 íàñòîÿùåì ó÷åáíèêå èñïîëüçîâàíû ìàòåðèàëû îïóáëèêîâàí-
íûõ ðàíåå ó÷åáíèêà «Ôèçèêà» (Â. À. Òèìàíþê) è ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ
«Á³îôèçèêà» (Â. À. Òèìàíþê è Å. Í. Æèâîòîâà).  ñâÿçè ñ òåì, ÷òî
â ó÷åáíûõ ïëàíàõ ñïåöèàëüíîñòåé «Êëèíè÷åñêàÿ ôàðìàöèÿ», «Òåõ-

5 Ïðåäèñëîâèå
íîëîãèÿ ïàðôþìåðíî-êîñìåòè÷åñêèõ ñðåäñòâ», «Áèîòåõíîëîãèÿ»,
«Ëàáîðàòîðíàÿ äèàãíîñòèêà», äëÿ êîòîðûõ ïðåäíàçíà÷åí äàííûé
êóðñ «Ôàðìàöèÿ», îòñóòñòâóåò îòäåëüíûé êóðñ îáùåé ôèçèêè,
à óñâîåíèå öåëîãî ðÿäà âîïðîñîâ áèîôèçèêè íåâîçìîæíî áåç ýòèõ
çíàíèé, àâòîðû ñî÷ëè íåîáõîäèìûì âêëþ÷èòü â ó÷åáíèê òåìû,
òðàäèöèîííî èçó÷àåìûå â êóðñå îáùåé ôèçèêè (ãëàâû 2, 4, 7, 9, 13
è 15).
Ââåäåíèå â êóðñ ãëàâû «Ôèçè÷åñêèå ìåòîäû àíàëèçà» îáóñëîâ-
ëåíî íåîáõîäèìîñòüþ îçíàêîìëåíèÿ ñòóäåíòîâ ñ ñîâðåìåííûìè
ôèçè÷åñêèìè ìåòîäàìè, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðàçðàáîòêå,
ïðîèçâîäñòâå è àíàëèçå íîâûõ ëåêàðñòâåííûõ ñðåäñòâ. Îñîáîå âíè-
ìàíèå óäåëåíî ðàññìîòðåíèþ ôèçè÷åñêèõ ïðèíöèïîâ, ëåæàùèõ
â îñíîâå êàæäîãî ìåòîäà, ÷òî ïîçâîëÿåò ðàñøèðèòü ïðåäñòàâëåíèÿ
î ôóíêöèîíàëüíûõ âîçìîæíîñòÿõ ñîâðåìåííûõ ìåòîäîâ àíàëèçà.
Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, èñïîëüçóåìûé â ó÷åáíèêå, íå âûõî-
äèò çà ðàìêè èçó÷àåìîãî êóðñà «Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà è ìåòðîëî-
ãèÿ»; êðîìå òîãî, â Ïðèëîæåíèÿõ ïðèâåäåíû êðàòêèå ñâåäåíèÿ èç
âûñøåé ìàòåìàòèêè, ÷òî ñóùåñòâåííî îáëåã÷àåò ïðîöåññ èçó÷åíèÿ
êóðñà.
Ðÿä òåîðåòè÷åñêèõ âûâîäîâ, ïîëåçíûõ äëÿ ñòóäåíòîâ, æåëàþ-
ùèõ óãëóáèòü ñâîè çíàíèÿ ïî äàííîìó âîïðîñó, âûäåëåí ìåëêèì
øðèôòîì.
Óñïåøíîå óñâîåíèå òåîðèè â ëþáîé åñòåñòâåííîé äèñöèïëèíå
ïðîâåðÿåòñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷. Â ñâÿçè ñ íåîáõîäèìîñòüþ âûíå-
ñåíèÿ ðÿäà âîïðîñîâ íà ñàìîñòîÿòåëüíîå èçó÷åíèå êàæäàÿ ãëàâà
ó÷åáíèêà çàâåðøàåòñÿ ïðèìåðàìè ðåøåíèÿ òèïîâûõ çàäà÷, êîìïëåê-
òîì çàäà÷ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ è âîïðîñàìè òåñòîâîãî
êîíòðîëÿ. Òèïû è ñòåïåíü ñëîæíîñòè çàäà÷ è òåñòîâ, ïðèâåäåííûõ
â ó÷åáíèêå, â ïîëíîé ìåðå ñîîòâåòñòâóþò óðîâíþ ýêçàìåíàöèîííûõ
âîïðîñîâ. Ïîýòîìó, âûïîëíÿÿ óêàçàííûå çàäàíèÿ, ñòóäåíò â ñîñòî-
ÿíèè íå òîëüêî îáîáùèòü è óãëóáèòü óñâîåííûå çíàíèÿ, íî è îöå-
íèòü ñòåïåíü ñâîåé ãîòîâíîñòè ê ýêçàìåíó.
Çíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü ñòóäåíòîâ Íàöèîíàëüíîãî ôàðìàöåâòè÷å-
ñêîãî óíèâåðñèòåòà ñîñòàâëÿþò èíîñòðàííûå ñòóäåíòû, íå âëàäåþ-
ùèå óêðàèíñêèì ÿçûêîì, ÷òî ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé ïðè÷èíîé
âûõîäà íàñòîÿùåãî èçäàíèÿ íà ðóññêîì ÿçûêå.
Àâòîðû âûðàæàþò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ïðîôåññîðó êàôåä-
ðû ôèçèêè ÍÔàÓ, äîêòîðó ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Íèêîëàþ
Ãðèãîðüåâè÷ó Êîêîäèþ, äîöåíòàì êàôåäðû, êàíäèäàòàì ôèçèêî-
ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Àðêàäèþ Âèêòîðîâè÷ó Êëî÷êî, Àíàòîëèþ
Åãîðîâè÷ó Êàáàíîâó, Âèêòîðó Àëåêñàíäðîâè÷ó Áàãóëå, ñòàðøåìó
ïðåïîäàâàòåëþ Íèêîëàþ Áîðèñîâè÷ó Òþêèíó, äîöåíòó êàôåäðû
áèîëîãè÷åñêîé è ìåäèöèíñêîé ôèçèêè Õàðüêîâñêîãî íàöèîíàëü-
íîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Â. Í. Êàðàçèíà, êàíäèäàòó ôèçèêî-ìà-

6 Áèîôèçèêà
òåìàòè÷åñêèõ íàóê Ýëëå Àëåêñååâíå Ðîìîäàíîâîé çà âíèìàòåëü-
íîå ïðî÷òåíèå ðóêîïèñè è ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ; ñòàðøåìó íàó÷íî-
ìó ñîòðóäíèêó ÃÍÖËÑ, êàíäèäàòó õèìè÷åñêèõ íàóê Ëåîíèäó Âèê-
òîðîâè÷ó Èâàíîâó çà öåííûå ñîâåòû ïðè íàïèñàíèè ãëàâ 10 è 11.
Àâòîðû áóäóò ïðèçíàòåëüíû âñåì, êòî ñî÷òåò íåîáõîäèìûì
âûñêàçàòü ñâîè çàìå÷àíèÿ è ïîæåëàíèÿ êàê ïî ñòðóêòóðå ó÷åáíè-
êà, ïîäà÷å ìàòåðèàëà êóðñà, òàê è ïî ìåòîäèêå èçëîæåíèÿ.
Äàííûé ó÷åáíèê ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ ôàðìàöåâòè÷å-
ñêèõ âóçîâ è ôàêóëüòåòîâ. Àâòîðû âûðàæàþò íàäåæäó, ÷òî îí ìî-
æåò áûòü ïîëåçåí ñòóäåíòàì è àñïèðàíòàì ìåäèöèíñêèõ, áèîëîãè-
÷åñêèõ è ñåëüñêîõîçÿéñòâåííûõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ, à òàêæå âñåì,
êòî èíòåðåñóåòñÿ áèîôèçèêîé.

Ãëàâà 1
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÁÈÎÔÈÇÈÊÀ
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà èçó÷àåò áèîëîãè÷åñêèå ñèñòåìû
ìåòîäàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå èññëåäóåìûå ïðîöåññ
èëè ÿâëåíèå. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ïðèìåíÿþòñÿ ñèñòåìû äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ è èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé è ìåòîäû ìàòåìàòè÷å-
ñêîé ñòàòèñòèêè. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íàõîäèò ïðèìå-
íåíèå íà ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ îðãàíèçàöèè áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåì: îò
ìîëåêóëÿðíîãî äî ïîïóëÿöèîííî-áèîöåíîòè÷åñêîãî. Íèæå áóäóò
ðàññìîòðåíû ìîäåëè âçàèìîäåéñòâèÿ áèîëîãè÷åñêèõ âèäîâ è êèíå-
òèêè ðàñïðåäåëåíèÿ ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà â îðãàíèçìå.
§ 1.1. ÌÎÄÅËÜ «ÕÈÙÍÈÊ—ÆÅÐÒÂÀ»
 1931 ãîäó èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê Â. Âîëüòåððà ïîñòðîèë ìà-
òåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü âçàèìîäåéñòâèÿ âèäîâ — ìîäåëü «õèùíèê—
æåðòâà». Äîïóñòèì, ÷òî íà îïðåäåëåííîé òåððèòîðèè îáèòàþò çàé-
öû (æåðòâû) è ðûñè (õèùíèêè). Îáîçíà÷èì ÷èñëåííîñòü çàéöåâ x,
à ÷èñëåííîñòü ðûñåé — y. Çàéöû ïèòàþòñÿ ðàñòèòåëüíîé ïèùåé,
èìåþùåéñÿ â èçîáèëèè, ïîýòîìó ñêîðîñòü èõ ðàçìíîæåíèÿ çàâè-
ñèò òîëüêî îò ÷èñëà îñîáåé:
v
ðàçìí = ε 1x, (1.1.1)
ãäå ε
1 — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
Íåîãðàíè÷åííîå ðàçìíîæåíèå çàéöåâ íåâîçìîæíî, òàê êàê ó íèõ
åñòü åñòåñòâåííûå âðàãè. Äàííàÿ ìîäåëü ïðåäïîëàãàåò, ÷òî èç ìíî-
æåñòâà âåðîÿòíûõ õèùíèêîâ èìååòñÿ òîëüêî îäèí, íàïðèìåð ðûñè.
Óáûëü çàéöåâ áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì âûøå âåðîÿòíîñòü èõ âñòðå÷è
ñ ðûñÿìè, à ýòà âåðîÿòíîñòü, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðîïîðöèîíàëüíà
÷èñëåííîñòè êàê ðûñåé, òàê è çàéöåâ. Òîãäà ñêîðîñòü óáûëè çàé-
öåâ îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì:

8
vóáûëü = γ 1xy, (1.1.2)
ãäå γ
1 — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, óðàâ-
íåíèå îáùåé ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ÷èñëåííîñòè çàéöåâ èìååò âèä:
=ε −γ 11 d
dx
xxy
t . (1.1.3)
Åñòåñòâåííîé ñìåðòüþ çàéöåâ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ñ÷èòàÿ òàêèå
ñëó÷àè î÷åíü ðåäêèìè.
Ñêîðîñòü ðàçìíîæåíèÿ ðûñåé çàâèñèò îò íàëè÷èÿ ïèùè (çàé-
öåâ), òî åñòü òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ âñòðå÷è ðûñåé è çàé-
öåâ (êîíñòàíòà γ
2). Óáûâàíèå ÷èñëåííîñòè ðûñåé îáúÿñíÿåòñÿ èõ
åñòåñòâåííîé ñìåðòíîñòüþ (êîíñòàíòà ε
2) è ïðîïîðöèîíàëüíî êî-
ëè÷åñòâó îñîáåé. Òîãäà ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ÷èñëåííîñòè ðûñåé
îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì:
=γ −ε 22 d
dy
xy y
t . (1.1.4)
Ðåøèì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìîäåëè «õèù-
íèê—æåðòâà».

=ε −γ




=γ −ε

 11
22 d
;
d
d
.
dx
xxy
t
y
xy y
t
(1.1.5)
Ïóñòü ÷èñëî æåðòâ è õèùíèêîâ â ñèñòåìå íå èçìåíÿåòñÿ (ñòà-
öèîíàðíûé ñëó÷àé), òî åñòü
= d
0
dx
t ; = d
0
dy
t .
Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.1.5) ñâåäåòñÿ ê âèäó:
ε−γ =


γ−ε=
11
22()0;
()0, xy
yx (1.1.6)
ãäå
x
è y
— ñòàöèîíàðíûå çíà÷åíèÿ ÷èñëåííîñòè æåðòâ è õèù-
íèêîâ.
Èç ñèñòåìû (1.1.6) ïîëó÷àåì ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå:
ε
=
γ2
2 x ; ε
=
γ1
1 y (1.1.7) Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

9
(ðåøåíèå x
= 0 è y
= 0 íå ðàññìàòðèâàåì).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ñèñòåìå ïðîèçîøëè ìàëûå îòêëîíåíèÿ îò
ñòàöèîíàðíûõ çíà÷åíèé ÷èñëåííîñòè æåðòâ
ξ è õèùíèêîâ η:
=+ξ


=+η
;
. xx
yy (1.1.8)
Ïîäñòàâèì ñèñòåìó (1.1.8) â (1.1.5), ó÷èòûâàÿ, ÷òî
= d
0
dx
t ; = d
0
dy
t ,
ξ

= ε +ξ −γ +ξ +η



η

= γ +ξ +η −ε +η

 11
22 d
()()( );
d
d
()()()
dxxy
t
xy y
t
(1.1.9)
è ïðåîáðàçóåì ê âèäó:
ξ

= +ξ ε −γ −γ η−γ ξη



η

=+ηγ−ε+γξ+γξη

 11 1 1
222 2 d
()( ) ;
d
d
()( ) .
dxyx
t
yx y
t
(1.1.10)
 ïðàâûõ ÷àñòÿõ ñèñòåìû óðàâíåíèé (1.1.10) ïåðâûå ñëàãàåìûå
îáðàùàþòñÿ â íóëü [ñì. (1.1.6)], à ïîñëåäíèå ÿâëÿþòñÿ ÷ëåíàìè
âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, êîòîðûìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà
ξ

=−γ η



η

=γ ξ

 1
2 d
;
d
d
.
dx
t
y
t
(1.1.11)
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ñèñòåìó óðàâíåíèé (1.1.11) ïî âðåìåíè

ξη
=−γ ⋅



ηξ

=γ ⋅

 2
1
2
2
2dd
;
d
d
dd
ddx
t
t
y
tt
(1.1.12)
è ïîäñòàâèì âìåñòî
η d
dt è ξ d
dt âûðàæåíèÿ èç ñèñòåìû (1.1.11): § 1.1. Ìîäåëü «õèùíèê—æåðòâà»

10
Ðèñ. 1.1.1. Çàâèñèìîñòü ÷èñëåííîñòè õèùíèêîâ ó
è æåðòâ õ îò âðåìåíè t

ξ
=−γλ ξ



η

=−γ γ η

 2
12
2
2
12
2d
;
d
d
.
dxy
t
xy
t
(1.1.13)
Ó÷èòûâàÿ ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (1.1.7), ñèñòåìà (1.1.13) ñâî-
äèòñÿ ê âèäó:

ξ
+ε ε ξ =



η

+ε ε η=

 2
12
2
2
12
2d
0;
d
d
0.
dt
t
(1.1.14)
Ìû ïîëó÷èëè ñèñòåìó îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, ðåøåíèå êîòîðûõ èìååò âèä:
ξ=ξ ω +ϕ


η=η ω+ ϕ 
max 1
max 2 sin( );
sin( ),t
t
(1.1.15)
ãäå
ω= ε ε 12 . (1.1.16)
Ïîäñòàâèâ ðåøåíèå (1.1.15) â âûðàæåíèÿ (1.1.8), ïîëó÷àåì ñè-
ñòåìó, îïèñûâàþùóþ ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàòåëüíûå ïðîöåññû (ïîä-
ðîáíåå î êîëåáàíèÿõ ñì. â § 2.3):
=+ξ ω+ϕ


=+
η ω+ ϕ 
max 1
max 2 sin( );
sin( ). xx t
yy t
(1.1.17)
Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëåííîñòè æåðòâ è õèùíèêîâ ñîâåðøàþò ãàðìî-
íè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé
ω= ε ε 12 è ñìåùåíû
îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà
ïî ôàçå íà âåëè÷èíó
∆ϕ=ϕ −ϕ 21 (ðèñ. 1.1.1).
Ýòîò ïðîöåññ ìîæíî íà-
ãëÿäíî îïèñàòü äðóãèì
ñïîñîáîì. Â êàæäûé ìî-
ìåíò âðåìåíè ðàññìàò-
ðèâàþòñÿ äâå ïåðåìåí-
íûå — õ è ó, ïîýòîìó
óäîáíî ââåñòè ñèñòåìó Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

11
êîîðäèíàò è íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè îòìå÷àòü òî÷êè, ñîîòâåò-
ñòâóþùèå îïðåäåëåííûì çíà÷åíèÿì õ è ó. Êàæäàÿ òàêàÿ òî÷êà
Ì(õ, y) ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîìó ñîñòîÿíèþ ñèñòåìû è íàçû-
â à å ò ñ ÿ è ç î á ð à æ à þ ù å é, èëè ï ð å ä ñ ò à â ë ÿ þ ù å é ò î ÷ ê î é,
à êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü — ô à ç î â î é ï ë î ñ ê î ñ ò ü þ. Çíà÷å-
íèÿ õ è ó èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè, è, ñëåäîâàòåëüíî, èçìåíÿåòñÿ
ïîëîæåíèå èçîáðàæàþùåé òî÷êè. Åå äâèæåíèå ïî ôàçîâîé ïëîñ-
êîñòè íàçûâàåòñÿ ô à ç î â î é ò ð à å ê ò î ð è å é, èëè è í ò å ã-
ð à ë ü í î é ê ð è â î é. Çíà÷åíèÿ õ è ó èìåþò îïðåäåëåííûé
áèîëîãè÷åñêèé èëè õèìè÷åñêèé ñìûñë (÷èñëåííîñòü îñîáåé, êîí-
öåíòðàöèÿ âåùåñòâà). Êàê ïðàâèëî, îíè íå ìîãóò ïðèíèìàòü îòðè-
öàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïîýòîìó îáëàñòü èõ çíà÷åíèé ëåæèò â ïåðâîé
êîîðäèíàòíîé ÷åòâåðòè.
Êàæäîìó íàáîðó ïàðàìåòðîâ ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ôàçîâàÿ òðàåê-
òîðèÿ, òî åñòü êàæäàÿ ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ îïèñûâàåò âñå âîçìîæ-
íûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ïðè ïîñòîÿííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ
(êîíñòàíò). Ïî òåîðåìå Êîøè, ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ôàçîâîé ïëîñ-
êîñòè ìîæåò ïðîõîäèòü òîëüêî îäíà ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ. Ôàçîâàÿ
ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ âñåõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé. Äëÿ
ðåàëüíûõ ñèñòåì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ êîëåáëþòñÿ â óçêîì äèàïà-
çîíå, è ôàçîâûå òðàåêòîðèè çàíèìàþò òîëüêî ÷àñòü ôàçîâîé ïëîñ-
êîñòè. Èçîáðàæåíèå ðåàëüíûõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé íà ôàçîâîé ïëîñ-
êîñòè íàçûâàåòñÿ ôàçîâûì ïîðòðåòîì ñèñòåìû.
Ôàçîâûé ïîðòðåò ìîäåëè (çàâèñèìîñòü ÷èñëåííîñòè õèùíèêîâ
îò ÷èñëåííîñòè æåðòâ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíöåíòðè÷åñêèå ýë-
ëèïñû. Åñëè â ñèñòåìå îòñóòñòâóþò ïðèòîê è îòòîê îñîáåé (çàìê-
íóòàÿ ñèñòåìà), òî êîëåáàíèÿ ÷èñëåííîñòè õèùíèêîâ è æåðòâ áó-
äóò îïðåäåëÿòüñÿ òîëüêî èõ âçàèìîäåéñòâèåì è îïèñûâàòüñÿ
ñîáñòâåííîé ôàçîâîé òðàåêòîðèåé. Ïðè èçìåíåíèè ÷èñëåííîñòè,
âûçâàííîì âíåøíèìè ôàêòîðàìè,
íàïðèìåð ìèãðàöèåé æèâîòíûõ, óñ-
òàíàâëèâàåòñÿ íîâîå ñîñòîÿíèå ñè-
ñòåìû, îïèñûâàåìîå äðóãîé ôàçîâîé
òðàåêòîðèåé.
Êàæäóþ ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ
ìîæíî ðàçäåëèòü íà ÷åòûðå ÷àñòè,
ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì ñòàäè-
ÿì âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó õèùíèêà-
ìè è æåðòâàìè (ðèñ. 1.1.2). Êàê âèä-
íî èç ðèñóíêà, íà ýòàïå I êîëè÷åñòâî
æåðòâ óìåíüøàåòñÿ, à êîëè÷åñòâî
õèùíèêîâ óâåëè÷èâàåòñÿ (ñòàäèÿ âûåäàíèÿ æåðòâû). Íà ýòàïå II
êîëè÷åñòâî æåðòâ óìåíüøàåòñÿ íàñòîëüêî, ÷òî íà÷èíàåò ñîêðàùàòüñÿ
ïîïóëÿöèÿ õèùíèêîâ (ñòàäèÿ âûìèðàíèÿ õèùíèêà). Íà ýòàïå III
Ðèñ. 1.1.2. Ôàçîâûé ïîðòðåò ìîäå-
ëè «õèùíèê—æåðòâà»
§ 1.1. Ìîäåëü «õèùíèê—æåðòâà»

12
êîëè÷åñòâî êàê õèùíèêîâ, òàê è æåðòâ ñòîëü ìàëî, ÷òî âåðîÿò-
íîñòü èõ âñòðå÷è êðàéíå íèçêà. Êîëè÷åñòâî æåðòâ íà÷èíàåò ïîñòå-
ïåííî óâåëè÷èâàòüñÿ (ñòàäèÿ âûõîäà æåðòâ èç-ïîä êîíòðîëÿ õèù-
íèêà), à êîëè÷åñòâî õèùíèêîâ ïðîäîëæàåò óìåíüøàòüñÿ. Íà ýòàïå
IV êîëè÷åñòâî æåðòâ íà÷èíàåò èíòåíñèâíî óâåëè÷èâàòüñÿ, ÷òî âû-
çûâàåò òàêæå óâåëè÷åíèå, íî áîëåå ìåäëåííîå, ïîïóëÿöèè õèùíè-
êîâ.
Ìîäåëü Âîëüòåððà ñîîòâåòñòâóåò ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì ÷èñ-
ëåííîñòåé ðûñåé è çàéöåâ â Êàíàäå çà ðàçíûå ãîäû (ðèñ. 1.1.3),
Ðèñ. 1.1.3. Êðèâûå ÷èñëåííîñòè çàéöà (1) è ðûñè (2) â Êàíàäå
îäíàêî äëÿ áîëåå òî÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ â ìîäåëü ââîäèòñÿ ðÿä ïî-
ïðàâîê, íàïðèìåð ó÷èòûâàþùèõ åñòåñòâåííóþ ãèáåëü æåðòâ.
Ìîäåëüþ «õèùíèê—æåðòâà» ìîæåò áûòü îïèñàíî âçàèìîäåé-
ñòâèå ëþáûõ äâóõ ïîïóëÿöèé, åñëè îäíà èç íèõ ñíèæàåò ÷èñëåí-
íîñòü äðóãîé. Íàïðèìåð, â èììóíîëîãèè ïðè èçó÷åíèè ïðîòèâî-
îïóõîëåâîãî èììóíèòåòà â êà÷åñòâå æåðòâ ìîäåëèðóþò îïóõîëåâûå
êëåòêè, à â êà÷åñòâå õèùíèêîâ — óíè÷òîæàþùèå èõ ëèìôîöèòû.
§ 1.2. ÌÅÒÎÄ ÈÇÎÊËÈÍ
Ïîëó÷åííóþ â § 1.1 ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1.1.5)
â îáùåì âèäå ìîæíî çàïèñàòü òàê:

=




=

d
(, );
d
d
(, ).
dx
Px y
t
y
Qx y
t(1.2.1)
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

13
Òàê êàê ïðàâûå ÷àñòè îáîèõ óðàâíåíèé íå çàâèñÿò ÿâíî îò âðåìåíè,
òî, ðàçäåëèâ âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà ïåðâîå, ïîëó÷àåì äèôôåðåí-
öèàëüíîå óðàâíåíèå, íå ñîäåðæàùåå âðåìÿ t â ÿâíîì âèäå:
= d(,)
.
d(,)yQxy
xPxy(1.2.2)
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä ó = f(x, C), ãäå Ñ — ïîñòîÿííàÿ
èíòåãðèðîâàíèÿ. Ðåøàÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî èí-
òåãðàëüíûõ êðèâûõ. Ñëåäóåò ïðè ýòîì èìåòü â âèäó, ÷òî àíàëèòè÷åñêîå
ðåøåíèå óðàâíåíèé ìîäåëè âîçìîæíî äàëåêî íå âñåãäà. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ôàçîâîãî ïîðòðåòà îáû÷íî ïðèìåíÿþò êà÷åñòâåííûå ìåòîäû. Îäíèì èç
íèõ ÿâëÿåòñÿ
ìåòîä èçîêëèí .
Èçîêëèíàìè íàçûâàþòñÿ ëèíèè, êîòîðûå ïåðåñåêàþòñÿ èíòåãðàëüíû-
ìè êðèâûìè ïîä îäíèì è òåì æå óãëîì. Òàê êàê ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå
ìíîæåñòâî óãëîâ, òî ñóùåñòâóåò è áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî èçîêëèí.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèé èçîêëèí èñïîëüçóþò óðàâíåíèå (1.2.2). Åñëè
dy/dx = A, ãäå À — îïðåäåëåííàÿ ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, òî À ÿâëÿåòñÿ
òàíãåíñîì óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ôàçîâîé òðàåêòîðèè. Òîãäà óðàâíå-
íèå èçîêëèíû áóäåò èìåòü âèä:

=(, )
(, ) Qx y
A
Pxy. (1.2.3)
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôàçîâîãî ïîðòðåòà íóæíî ïî-
ñòðîèòü êàê ìèíèìóì äâå èçîêëèíû. Îáû÷íî
âûáèðàþòñÿ òàê íàçûâàåìûå ã ë à â í û å è ç î-
ê ë è í û: îíè ïåðåñåêàþò èíòåãðàëüíûå êðèâûå
â òî÷êàõ, êàñàòåëüíûå â êîòîðûõ íàêëîíåíû ïîä
óãëîì 0° è 90° ê êîîðäèíàòíûì îñÿì (ðèñ. 1.2.1).
Ïðè dy/dx = 0 (tgα = 0, α = 0°), ïîëó÷åííàÿ èçî-
êëèíà ÿâëÿåòñÿ èçîêëèíîé ãîðèçîíòàëüíûõ êà-
ñàòåëüíûõ ê ôàçîâûì òðàåêòîðèÿì; åå óðàâíåíèå Q(x, y) = 0. Åñëè dy/dx = ∞
(tgα = ∞, α = 90°), òî ìû èìååì èçîêëèíó âåðòèêàëüíûõ êàñàòåëüíûõ, óðàâ-
íåíèå êîòîðîé Ð(x, y) = 0.
Ñóùåñòâóåò òî÷êà, â êîòîðîé îäíîâðåìåííî îáðàùàþòñÿ â íîëü ïðî-
èçâîäíûå õ è ó ïî âðåìåíè. Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ îñîáîé. Äëÿ íåå âûïîë-
íÿåòñÿ óñëîâèå:
== d(,)0
d(,)0yQxy
xPxy , (1.2.4)
ãäå (
x, y
) — êîîðäèíàòû îñîáîé òî÷êè.
Èç óðàâíåíèÿ (1.2.2) ìîæíî îïðåäåëèòü åäèíñòâåííóþ êàñàòåëüíóþ
ê äàííîé èíòåãðàëüíîé êðèâîé â óêàçàííîé òî÷êå. Íî òàê êàê â îñîáîé
òî÷êå ïðîèçâîäíàÿ íå îïðåäåëåíà, òî â íåé íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü íà-
ïðàâëåíèå êàñàòåëüíîé. Ïîýòîìó â îñîáîé òî÷êå ïåðåñåêàþòñÿ âñå èçî-
êëèíû.
Ðèñ. 1.2.1. Ãëàâíûå èçî-
êëèíû (æèðíûå ëèíèè) íà
ôàçîâîì ïîðòðåòå è îñî-
áàÿ òî÷êà Î
§ 1.2. Ìåòîä èçîêëèí

14
 ñëó÷àå, êîãäà
== dd
0
ddxy
tt, õ è ó ïðèíèìàþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ:
x(t) = const, y(t) = const. Òàêîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ ñ ò à ö è î-
í à ð í û ì, èëè ñîñòîÿíèåì ðàâíîâåñèÿ. Êîëè÷åñòâî ñòàöèîíàðíûõ ñî-
ñòîÿíèé îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì ïåðåñå÷åíèé ãëàâíûõ èçîêëèí èëè äâóõ
ëþáûõ äðóãèõ èçîêëèí.
Ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ è îòðàæàþùèå èõ ãðàôè÷åñêè îñîáûå òî÷êè
áûâàþò óñòîé÷èâûìè è íåóñòîé÷èâûìè. Åñëè ñèñòåìà, âûâåäåííàÿ èç ñòà-
öèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ, ñàìîïðîèçâîëüíî âîçâðàùàåòñÿ â íåãî, òî òàêîå
ñîñòîÿíèå íàçûâàåòñÿ ó ñ ò î é ÷ è â û ì. Åñëè æå ïðè îòêëîíåíèè îò ñòà-
öèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ âîçíèêàþò ñèëû, åùå áîëåå îòêëîíÿþùèå òî÷êó îò
ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî òàêîå ñîñòîÿíèå íàçûâàåòñÿ í å ó ñ ò î é ÷ è â û ì.
Ðàññìîòðèì ìåòîä Ïóàíêàðå—Ëÿïóíîâà äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâî-
ñòè ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ. Äîïóñòèì, ÷òî ñèñòåìà âûøëà èç ñîñòîÿ-
íèÿ ðàâíîâåñèÿ. Åå íîâîå ïîëîæåíèå íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè áóäåò îïðåäå-
ëÿòüñÿ êîîðäèíàòàìè
õ =
x+ ξ; ó = y+ η, (1.2.5)
ãäå ξ è η — ñìåùåíèå èçîáðàæàþùåé òî÷êè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ,
êîîðäèíàòû êîòîðîãî —
x, y. Ïîäñòàâèâ íîâûå êîîðäèíàòû â ñèñòåìó
óðàâíåíèé (1.2.1), ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:
ξ

+ = +ξ +η



η

+ = +ξ +η

dd
(, );
dd
dd
(, ),
ddx
Px y
tt
y
Qx y
tt(1.2.6)
ãäå d
x/dt = d y/dt = 0.
Ðàçëîæèâ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (1.2.6) â ðÿä Òåéëîðà ïî ïåðåìåí-
íûì ξ è η, îòáðîñèì íåëèíåéíûå ÷ëåíû. Òîãäà ñèñòåìà ïðèìåò âèä:
ξ

=ξ+η



η

=ξ+ η

d
;
d
d
,
dab
t
cd
t(1.2.7)
ãäå

=

, xy
P
a
x; ∂
=

, xy
P
b
y; ∂
=

, xy
Q
c
x; ∂
=

,
xy
Q
d
y.
Ìû ïîëó÷èëè òàê íàçûâàåìóþ ëèíåàðèçîâàííóþ ñèñòåìó, èëè ñèñòå-
ìó ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Äàííàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ «ãðóáîé», òàê êàê
äëÿ íåå ïðè ìàëûõ èçìåíåíèÿõ îñòàåòñÿ íåèçìåííûì õàðàêòåð ôàçîâûõ
òðàåêòîðèé. Äëÿ òàêèõ ñèñòåì äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü ëèíåàðèçîâàííûå
óðàâíåíèÿ, ÷òîáû óñòàíîâèòü, áóäåò ëè äàííîå ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ óñ-
òîé÷èâûì. Êðîìå òîãî, èññëåäîâàíèå ýòèõ óðàâíåíèé ïîçâîëÿåò îïðåäå-
ëèòü õàðàêòåð ôàçîâîãî ïîðòðåòà â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè.
Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (1.2.7) íàõîäÿò â âèäå:
ξ = À åxp (λt); η = B exp (λt), (1.2.8)
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

15
ãäå λ — êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1.2.10).
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (1.2.8) â ñèñòåìó (1.2.7), ïîëó÷àåì:
λA = aA + bB; λB = cA + dB. (1.2.9)
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà óðàâíåíèé áûëà íå âûðîæäåííîé, òî åñòü
èìåëà íåíóëåâîå ðåøåíèå, åå îïðåäåëèòåëü äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ:
−λ
=
−λ0 ab
cd,
èëè
λ
2 – (a + d)λ + (ad – bc) = 0. (1.2.10)
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì. Åãî ðåøåíèå
èìååò ñëåäóþùèé âèä:
++
λ= ± + − 2
1,2 ()
24 ad ad
bc ad. (1.2.11)
Ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ (1.2.11) îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (1.2.7) çàïèøåò-
ñÿ â âèäå:
ξ = Ñ
11 . åõð (λ 1t) + Ñ 12 . åõð (λ 2t);
η = Ñ
21 . åõð (λ 1t) + Ñ 22 . åõð (λ 2t),(1.2.12)
ãäå Ñ11, Ñ 12, Ñ 21, Ñ 22 — êîíñòàíòû.
Ïåðåìåííûå ξ è η ïîçâîëÿþò ñóäèòü î ïîâåäåíèè èçîáðàæàþùåé òî÷-
êè âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, î õàðàêòåðå è íàïðàâ-
ëåíèè ôàçîâîé òðàåêòîðèè.  çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé λ
1 è λ 2, îïðåäåëÿ-
þùèõ ξ è η, ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî âèäîâ îñîáûõ òî÷åê.
 ñëó÷àå, êîãäà λ
1 è λ 2 äåéñòâèòåëüíû è ïîëîæèòåëüíû, îñîáàÿ òî÷êà
íàçûâàåòñÿ í å ó ñ ò î é ÷ è â û ì ó ç ë î ì (ðèñ. 1.2.2, à). Ôàçîâûå òðà-
åêòîðèè â ýòîì ñëó÷àå âûõîäÿò èç íåå. Òàêîå ðàâíîâåñèå ÿâëÿåòñÿ íåóñ-
òîé÷èâûì, ïîñêîëüêó åñëè ïî êàêîé-ëèáî ïðè÷èíå ñèñòåìà áûëà âûâåäå-
íà èç ðàâíîâåñèÿ, òî îíà óæå íå ìîæåò ñàìîïðîèçâîëüíî âåðíóòüñÿ â òàêîå
ñîñòîÿíèå. Åñëè æå λ
1 è λ 2 äåéñòâèòåëüíû è îòðèöàòåëüíû, òî èìååì
ó ñ ò î é ÷ è â û é ó ç å ë (ðèñ. 1.2.2, á), â êîòîðîì ôàçîâûå òðàåêòîðèè
ñõîäÿòñÿ. Òàêîå ñîñòîÿíèå óñòîé÷èâî, è åñëè ñèñòåìà, âûâåäåííàÿ èç ðàâ-
Ðèñ. 1.2.3. Îñîáàÿ òî÷êà
òèïà «ñåäëî» àá Ðèñ. 1.2.2. Íåóñòîé÷èâûé (à) è óñòîé÷èâûé (á) óçëû
§ 1.2. Ìåòîä èçîêëèí

16
íîâåñèÿ, íå óäàëèëàñü èç îáëàñòè âëèÿíèÿ äàííîé îñîáîé òî÷êè, òî, ïðå-
äîñòàâëåííàÿ ñàìîé ñåáå, îíà âíîâü âåðíåòñÿ ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ.
Åñëè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ äåéñòâèòåëüíû, íî èìå-
þò ðàçíûå çíàêè, òî îñîáàÿ òî÷êà íîñèò íàçâàíèå «ñåäëà» (ðèñ. 1.2.3). Òà-
êîå ñîñòîÿíèå âñåãäà íåóñòîé÷èâî.
Åñëè ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå â óðàâíåíèè (1.2.11) îòðèöàòåëüíî, òî
λ
1 è λ 2 ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.  ýòîì ñëó÷àå îñîáàÿ òî÷êà
íàçûâàåòñÿ ôîêóñîì, à ôàçîâûå òðàåêòîðèè èìåþò ôîðìó ñïèðàëåé. Óñ-
òîé÷èâîñòü èëè íåóñòîé÷èâîñòü ôîêóñà îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì äåéñòâèòåëü-
íîé ÷àñòè λ
1 è λ 2: åñëè îíè îòðèöàòåëüíû, òî ôîêóñ óñòîé÷èâ (ðèñ. 1.2.4, à);
åñëè ïîëîæèòåëüíû — òî íåóñòîé÷èâ (ðèñ. 1.2.4, á).
Ïðè ðàâåíñòâå äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè λ íóëþ îñîáàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ
ö å í ò ð î ì. Èíòåãðàëüíûå êðèâûå â ýòîì ñëó÷àå èìåþò ôîðìó ýëëèï-
ñîâ, è íè îäíà èç íèõ íå ïðîõîäèò ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó (ðèñ. 1.2.5). Îñîáàÿ
òî÷êà òèïà «öåíòð» ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâîé, òàê êàê íè ïðè êàêèõ óñëî-
âèÿõ ñèñòåìà, ïðåäîñòàâëåííàÿ ñàìîé ñåáå, íå áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê ïîëîæå-
íèþ ðàâíîâåñèÿ. Äîïóñòèì, ÷òî èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà â êàêîé-òî ìîìåíò
âðåìåíè íàõîäèëàñü â ïîëîæåíèè Ì. Åñëè åå âûâåñòè èç ýòîãî ñîñòîÿíèÿ
(íàïðèìåð, êàê äëÿ ìîäåëè Âîëüòåððà, îòñåëèòü êàêîå-òî êîëè÷åñòâî õèù-
íèêîâ ∆ó èç ïîïóëÿöèè), òî èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ïåðåéäåò â ïîëîæåíèå
Ì'. Òîãäà ñèñòåìà áóäåò ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ ñ íåñêîëüêî ìåíüøåé àìï-
ëèòóäîé, íî ñàìîïðîèçâîëüíî ïðèáëèæàòüñÿ ê îñîáîé òî÷êå íå áóäåò.
§ 1.3. ÀÍÀËÈÇ ÌÎÄÅËÈ «ÕÈÙÍÈÊ—ÆÅÐÒÂÀ»
Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÌÅÒÎÄÀ ÈÇÎÊËÈÍ
Èññëåäóåì ñ ïîìîùüþ ìåòîäà èçîêëèí ìîäåëü «õèùíèê—æåðòâà»,
îïèñûâàåìóþ ñèñòåìîé óðàâíåíèé:

=ε −γ




=γ −ε

 11
22 d
;
d
d
.
dx
xxy
t
y
xy y
t(1.3.1)
àá
Ðèñ. 1.2.4. Óñòîé÷èâûé (à) è íåóñòîé÷èâûé (á) ôîêóñûÐèñ. 1.2.5. Îñîáàÿ òî÷êà
òèïà «öåíòð»
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

17
Íàéäåì óðàâíåíèÿ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, äëÿ ÷åãî ðàçäåëèì âòîðîå óðàâ-
íåíèå ñèñòåìû (1.3.1) íà ïåðâîå:
γ−ε
=
ε−γ22
11()
d
d( )yx
y
xx y, (1.3.2)
èëè ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ:
ε−γ γ −ε
=11 2 2 dd yx
yx
yx. (1.3.3)
Ïðîèíòåãðèðîâàâ äàííîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì:
γ
2x – ε 2 ln x + γ 1y – ε 1 ln y =C , (1.3.4)
ãäå Ñ — êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå (1.3.4) ïîçâîëÿåò, çàäàâàÿ çíà÷åíèå Ñ, ïîñòðî-
èòü ñåìåéñòâî ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, íî èõ âèä òðóäíî ïðåäñêàçàòü çàðàíåå.
Äàííàÿ çàäà÷à óïðîñòèòñÿ, åñëè ìû íàéäåì óðàâíåíèÿ èçîêëèí, êîîðäè-
íàòû îñîáûõ òî÷åê è îïðåäåëèì èõ òèï.
Èç ôîðìóëû (1.3.2) ñëåäóþò óðàâíåíèÿ âåðòèêàëüíûõ
=0 x;
ε
=
γ2
2 x(1.3.5)
è ãîðèçîíòàëüíûõ èçîêëèí:
=0 y ; ε
=
γ1
1 y. (1.3.6)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîîðäèíàò îñîáûõ òî÷åê ïðèðàâíÿåì ÷èñëèòåëü è çíà-
ìåíàòåëü óðàâíåíèÿ (1.3.2) íóëþ:
x(ε
1 – γ 1y) = 0;y(γ 2x – ε 2) = 0,
îòêóäà ïîëó÷àåì:
=1 0 x; =1 0 y; ε
=
γ2
2
2 x; ε
=
γ1
2
1 y. (1.3.7)
Îïðåäåëèì òèï îñîáûõ òî÷åê, äëÿ ÷åãî íàéäåì ñëåäóþùèå ÷àñòíûå
ïðîèçâîäíûå:

=ε −γ
∂ 11 P
y
x; ∂
=−γ
∂ 1 P
x
y; ∂

∂ 2 Q
y
x; ∂
=γ −ε
∂ 22 Q
x
y.
Òîãäà äëÿ ïåðâîé îñîáîé òî÷êè

==ε
∂ 1
, xy P
a
x; ∂
==

,
0
xy
P
b
y; ∂
==

, 0 xy
Q
c
x;
§ 1.3. Àíàëèç ìîäåëè «õèùíèê—æåðòâà» ñ ïîìîùüþ ìåòîäà èçîêëèí

18
Ðèñ. 1.3.1. Ôàçîâûé ïîðòðåò ìîäåëè «õèùíèê—æåðòâà»:
à — êà÷åñòâåííûé; á — ðåàëüíûé

==−ε
∂ 2
, xy Q
d
y; ε−ε ε−ε
λ= ± +εε 2
12 12
1,2 1 2 ()
24.
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ âèäíî, ÷òî λ
1 > 0, λ 2 < 0, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò
îñîáîé òî÷êå «ñåäëî».
Äëÿ âòîðîé îñîáîé òî÷êè

==

, 0 xy
P
a
x; ∂
==−ε
∂ 2 , xy
P
b
y; ∂
==ε
∂ 1
, xy Q
c
x; ∂
==

,
0
xy
Q
d
y;
λ=±−εε1,2 1 2 ,
÷òî ñîîòâåòñòâóåò îñîáîé òî÷êå òèïà «öåíòð».
Òåïåðü ìîæíî ïðåäñòàâèòü îáùóþ êàðòèíó ðàñïîëîæåíèÿ ôàçîâûõ òðà-
åêòîðèé (ðèñ. 1.3.1, à). Íà ñàìîì äåëå âñå ðåàëüíûå ôàçîâûå òðàåêòîðèè
ðàñïîëàãàþòñÿ òîëüêî â ïåðâîì êâàäðàíòå. Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî
ôàçîâûå òðàåêòîðèè äàííîé ìîäåëè îãðàíè÷åíû ïðÿìîé, óðàâíåíèå êîòî-
ðîé õ + ó = N. Ðåàëüíûé ôàçîâûé ïîðòðåò ìîäåëè «õèùíèê—æåðòâà»
ïðèâåäåí íà ðèñ. 1.3.1, á.
§ 1.4. ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß
ÔÀÐÌÀÊÎÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ øèðîêî ïðèìåíÿþò-
ñÿ â ôàðìàöèè. Ïðè ïîñòðîåíèè êàêîé-ëèáî ìàòåìàòè÷åñêîé ìî-
äåëè íåâîçìîæíî ó÷åñòü âñå ôàêòîðû ñèñòåìû. Ìàòåìàòè÷åñêîå
ìîäåëèðîâàíèå ïðåäïîëàãàåò íåêîòîðîå óïðîùåíèå ñèñòåìû è ïðå-
íåáðåæåíèå äåòàëÿìè, íåçíà÷èòåëüíî âëèÿþùèìè íà ïðîöåññ.Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

19
Ïðåäìåòîì ðàññìîòðåíèÿ ôàðìàêîêèíåòèêè ÿâëÿåòñÿ èçìåíåíèå âî
âðåìåíè êîíöåíòðàöèè âåùåñòâà â êëåòêå, îðãàíå, òêàíè èëè öå-
ëîì îðãàíèçìå. Ïðè ýòîì îáû÷íî íå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðè÷èíû
óìåíüøåíèÿ èëè óâåëè÷åíèÿ êîíöåíòðàöèè ïðåïàðàòà, òî åñòü
ìîëåêóëÿðíûå ìåõàíèçìû ìåìáðàííîãî òðàíñïîðòà, ñâÿçûâàíèÿ
è ðàçðóøåíèÿ âåùåñòâà.
Ïðè ðàññìîòðåíèè öåëîãî îðãàíèçìà èëè êàêîãî-ëèáî îðãàíà
â êà÷åñòâå åäèíèöû ñèñòåìû áûëî áû ðàçóìíî âûáðàòü êëåòêó. Îä-
íàêî êîëè÷åñòâî êëåòîê â öåëîì îðãàíèçìå è äàæå â îòäåëüíîì
îðãàíå òàê âåëèêî, ÷òî ðàññìàòðèâàòü êàæäóþ èç íèõ íå ïðåäñòàâ-
ëÿåòñÿ âîçìîæíûì.  ôàðìàêîêèíåòèêå îáû÷íî çà åäèíèöó ñèñòå-
ìû ïðèíèìàåòñÿ êàìåðà. Ôàðìàêîêèíåòè÷åñêîé êàìåðîé íàçûâàåò-
ñÿ ÷àñòü ñèñòåìû, â êîòîðîé ðàñïðåäåëåíèå ïðåïàðàòà ìîæíî ñ÷èòàòü
ðàâíîìåðíûì.  çàâèñèìîñòè îò ðåøàåìîé çàäà÷è â êà÷åñòâå êà-
ìåðû ìîæåò âûñòóïàòü êëåòêà, îðãàí, òêàíü è äàæå âåñü îðãàíèçì.
Ïðåäïîëîæåíèå î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ïðåïàðàòà â êà-
ìåðå ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèîëîãèè íåäîïóñòèìî. Îäíàêî åñëè ïðî-
âåðêà ïîêàçàëà àäåêâàòíîñòü ìîäåëè äàííîìó ïðîöåññó, òî äîïîë-
íèòåëüíîå ââåäåíèå íîâûõ åäèíèö â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó, òî
åñòü ðàçáèåíèå ôàðìàêîêèíåòè÷åñêîé êàìåðû íà íåñêîëüêî êàìåð,
íå áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü ïîâûøåíèþ òî÷íîñòè ðåçóëüòàòîâ. Ââå-
äåíèå íîâûõ êàìåð ìîæåò áûòü îáóñëîâëåíî òîëüêî íåñîîòâåòñòâè-
åì ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðåàëüíûì ïðîöåññàì, ïðîèñõîäÿùèì
â ñèñòåìå.  çàâèñèìîñòè îò êîëè÷åñòâà êàìåð ôàðìàêîêèíåòè÷å-
ñêèå ìîäåëè ðàçäåëÿþòñÿ íà îäíîêàìåðíûå, äâóõêàìåðíûå è ìíî-
ãîêàìåðíûå.
§ 1.5. ÎÄÍÎÊÀÌÅÐÍÀß ÔÀÐÌÀÊÎÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ
Äîïóñòèì, ïàöèåíòó áûë
ââåäåí íåêîòîðûé ïðåïàðàò
â êîëè÷åñòâå Ì
0. Ðàññìîòðèì
ìîäåëü åãî âûâåäåíèÿ èç îð-
ãàíèçìà. Îðãàíèçì ïðåäñòàâèì
â âèäå êàìåðû À, à îêðóæàþ-
ùóþ ñðåäó — â âèäå êàìåðû Â
(ðèñ. 1.5.1). Êàìåðà Â èìååò
áåñêîíå÷íî áîëüøîé îáúåì,
ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü ïðîíèê-
íîâåíèÿ ââåäåííîãî ïðåïàðàòà
îáðàòíî â êàìåðó À ìàëà, è ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âåñü ïðåïàðàò
ïåðåìåñòèòñÿ â êàìåðó Â. Äàííàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ î ä í î ê à ì å ð-
í î é, òàê êàê âåñü îðãàíèçì ïðåäñòàâëåí â âèäå îäíîé êàìåðû.
Ðèñ. 1.5.1. Îäíîêàìåðíàÿ ìîäåëü:
Ì è M' — êîëè÷åñòâî ïðåïàðàòà â êàìåðàõ À è Â
ñîîòâåòñòâåííî; k el — êîíñòàíòà ýëèìèíàöèè
ÌM'
ÀÂ k
el
§ 1.5. Îäíîêàìåðíàÿ ôàðìàêîêèíåòè÷åñêàÿ ìîäåëü

20
Êîëè÷åñòâî ïðåïàðàòà áóäåò óáûâàòü ñî âðåìåíåì âñëåäñòâèå
ïðîöåññîâ ýëèìèíàöèè. Ýëèìèíàöèåé íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü
ïðîöåññîâ, ñïîñîáñòâóþùèõ óìåíüøåíèþ êîíöåíòðàöèè ïðåïàðà-
òà â îðãàíèçìå. Ê òàêèì ïðîöåññàì îòíîñÿòñÿ: âûâåäåíèå ïðåïàðà-
òà ïî÷êàìè, êèøå÷íèêîì, ëåãêèìè (â ñëó÷àå ëåòó÷èõ âåùåñòâ);
õèìè÷åñêèå ïðåâðàùåíèÿ è íåîáðàòèìîå ñâÿçûâàíèå, ïðèâîäÿùèå
ê óòðàòå áèîëîãè÷åñêîé àêòèâíîñòè.
Ïðåïàðàò áóäåò âûâîäèòüñÿ â îêðóæàþùóþ ñðåäó ñî ñêîðîñòüþ
d
dM
t , ïðîïîðöèîíàëüíîé êîëè÷åñòâó ïðåïàðàòà Ì â äàííûé ìî-
ìåíò:
=− d
d el M
kM
t , (1.5.1)
ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè k
el — êîíñòàíòà ýëèìèíà-
öèè. Ñêîðîñòü èìååò îòðèöàòåëüíûé çíàê, òàê êàê êîëè÷åñòâî ïðå-
ïàðàòà ñî âðåìåíåì óìåíüøàåòñÿ.
Ïîëó÷åííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíè-
åì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â íà÷àëüíûé
ìîìåíò âðåìåíè t = 0 âåñü ïðåïàðàò áûë ñîñðåäîòî÷åí â êàìåðå À
(îðãàíèçìå) â êîëè÷åñòâå Ì
0, à ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè t åãî êîëè-
÷åñòâî óìåíüøèëîñü è äîñòèãëî Ì, ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ
çàïèøåì:
=− ∫∫
0 0
d
d Mt
el
M M
kt
M ;
=−0 0 ln Mt
el
M Mkt ;
=−
0
ln el M
kt
M ;
− = 0e elkt MM . (1.5.2)
Ñ òîé æå ñêîðîñòüþ, ñ êîòîðîé ïðåïàðàò âûâîäèëñÿ èç êàìå-
ðû À, îí áóäåò ââîäèòüñÿ â êàìåðó Â (îêðóæàþùóþ ñðåäó). Îáî-
çíà÷èâ êîëè÷åñòâî ïðåïàðàòà âî âòîðîé êàìåðå Ì', ïîëó÷àåì ñêî-
ðîñòü åãî óâåëè÷åíèÿ â êàìåðå Â:

= d
d el M
kM
t . (1.5.3) Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

21
Çäåñü ñêîðîñòü èìååò ïîëîæèòåëüíûé çíàê, òàê êàê êîëè÷åñòâî
ïðåïàðàòà â êàìåðå  óâåëè÷èâàåòñÿ. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.5.3)
íàéäåì èñõîäÿ èç óñëîâèÿ, ÷òî ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî ïðåïàðàòà
â îáåèõ êàìåðàõ îñòàåòñÿ íåèçìåííûì è ðàâíûì

=+ 0 MMM . (1.5.4)
Òîãäà
− ′
=−= − 00 (1 e ) elkt MMMM . (1.5.5)
Ðèñ. 1.5.2. Çàâèñèìîñòü êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà â êà-
ìåðàõ À (à) è Â (á) âî âðåìåíè t àá
Ðèñ. 1.5.3. Çàâèñèìîñòü
êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà
â êàìåðå À îò âðåìåíè t
â ïîëóëîãàðèôìè÷åñêèõ
êîîðäèíàòàõ
Èç óðàâíåíèé (1.5.2) è (1.5.5) âèäíî, ÷òî ïðè t = 0 Ì = Ì 0,
Ì' = 0, à ïðè t → ∞, íàîáîðîò, Ì = 0, à Ì' = Ì
0. Ãðàôèêè ôóíêöèé
(1.5.2) è (1.5.5) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1.5.2.
Ïðîëîãàðèôìèðîâàâ (1.5.2), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
ln M = ln M
0 – k elt. (1.5.6)
Äàííîå óðàâíåíèå ïîçâîëÿåò ïåðåéòè îò ýêñïîíåíöèàëüíîé
çàâèñèìîñòè ê ëèíåéíîé (ðèñ. 1.5.3) è âû÷èñëèòü êîíñòàíòó ñêî-
ðîñòè ýëèìèíàöèè (èëè ëþáîãî äðóãîãî ïðîöåññà), åñëè èçâåñòíû
íà÷àëüíîå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà è êîëè÷åñòâî âåùåñòâà â íåêîòî-
ðûé ìîìåíò âðåìåíè t:
= 0 1
ln el M
k
tM . (1.5.7)
Äîïóñòèì, ÷òî ïåðåãîðîäêà ìåæäó êàìåðàìè À è Â ïðîïóñêàåò
ïðåïàðàò â îáå ñòîðîíû, íî ñ ðàçíîé ñêîðîñòüþ (â êà÷åñòâå êàìåð
À è  â äàííîì ñëó÷àå âûñòóïàþò íå îðãàíèçì è îêðóæàþùàÿ ñðå- § 1.5. Îäíîêàìåðíàÿ ôàðìàêîêèíåòè÷åñêàÿ ìîäåëü

22
äà, à, íàïðèìåð, îðãàí è êðîâü). Óðàâíåíèå èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâà
ïðåïàðàòà â êàìåðå À ïðèìåò âèä:
=− + A
AB A BA B d
d M
kM kM
t , (1.5.8)
ãäå Ì
À è Ì Â — êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà â ñîîòâåòñòâóþùåé êàìåðå;
k
ÀÂ — êîíñòàíòà ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ïðåïàðàòà èç êàìåðû À
â êàìåðó Â; k
ÂÀ — êîíñòàíòà ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ïðåïàðàòà èç
êàìåðû Â â êàìåðó À.
Ïî èñòå÷åíèè íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè ìåæäó êàìåðà-
ìè óñòàíîâèòñÿ ðàâíîâåñèå, òî åñòü êîíöåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà â îáåèõ
êàìåðàõ íå áóäåò èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè:
= A d
0
d M
t .
Èç ýòîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò ðàâåíñòâî
∞∞= AB A BA BkM kM , (1.5.9)
ãäå

A M è ∞
B M — êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà â êàìåðàõ À è Â, ñîîòâåò-
ñòâåííî, ïîñëå íàñòóïëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Èç óðàâíåíèÿ (1.5.9) ìîæíî
ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ êîíñòàíòû ðàâíîâåñèÿ Ê:


== AB B
BA
AkM
K
k
M . (1.5.10)
Êàê âèäèì, íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ïðåïàðàò ìîæåò ïðîíèêàòü â
îáå ñòîðîíû, åãî êîëè÷åñòâî â êàìåðàõ À è  íå óðàâíÿåòñÿ ââèäó
íåðàâåíñòâà êîíñòàíò ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ âåùåñòâà â ïðîòèâî-
ïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.
Îò êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà Ì óäîáíåå ïåðåéòè ê åãî êîíöåíòðà-
öèè ñ:
M(t) = Vñ(t), (1.5.11)
ãäå V — êàæóùèéñÿ îáúåì ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåïàðàòà. Êàæóùèéñÿ
îáúåì íå ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíîìó îáúåìó òêàíè, à ÿâëÿåòñÿ ëèøü
êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó êîëè÷åñòâîì ïðåïà-
ðàòà è åãî êîíöåíòðàöèåé â òåñò-òêàíè
1. Âåëè÷èíó V ìîæíî âû-
1 Òåñò-òêàíü — òêàíü, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ êîíöåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà â õîäå
èññëåäîâàíèÿ. ×àùå âñåãî òåñò-òêàíüþ ÿâëÿåòñÿ êðîâü.
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

23
÷èñëèòü, ðàçäåëèâ êîëè÷åñòâî ïðåïàðàòà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè
íà êîíöåíòðàöèþ â ýòîò æå ìîìåíò. Óäîáíåå V âû÷èñëÿòü ïðè
t = 0:
= 0
0 M
V
c , (1.5.12)
ãäå ñ
0 — êîíöåíòðàöèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.
Åñëè âåñü ââåäåííûé ïðåïàðàò ïîñòóïàåò â ðàññìàòðèâàåìóþ
êàìåðó, òî Ì
0 ðàâíî äîçå ïðåïàðàòà.
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (1.5.11) â ñîîòíîøåíèå (1.5.1):
d
d el Vc
kVc
t=− . (1.5.13)
Ñîêðàòèâ íà ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó V, ïîëó÷àåì
=− d
d el c
kc
t . (1.5.14)
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ
ln c = ln c
0 — k elt, (1.5.15)
èëè
− = 0 () e elkt ct c . (1.5.16)
Âàæíûì ïàðàìåòðîì ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ ïåðèîä ïîëóâûâåäåíèÿ
ïðåïàðàòà t
1/2 , òî åñòü âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî êîíöåíòðàöèÿ
ïðåïàðàòà â êàìåðå ñíèæàåòñÿ âäâîå. Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (1.5.15)
âìåñòî êîíöåíòðàöèè c êîíöåíòðàöèþ c
0/2:
ln c
0/2 = ln c 0 – k elt1/2 ,
îòêóäà ïîëó÷àåì
=≅ 1/2 ln 2 0, 693
el el
t
kk . (1.5.17)
Äðóãèì ïàðàìåòðîì, õàðàêòåðèçóþùèì ïðîöåññ, ÿâëÿåòñÿ êëè-
ðåíñ C
l, êîòîðûé ðàâåí îáúåìó òåñò-òêàíè, îñâîáîæäàþùåìóñÿ îò
ïðåïàðàòà çà åäèíèöó âðåìåíè. Âåëè÷èíà êëèðåíñà ðàâíà ïðîèçâå-
äåíèþ êàæóùåãîñÿ îáúåìà íà êîíñòàíòó ýëèìèíàöèè:
C
l = Vk el. (1.5.18)
Êðèòåðèÿìè ïðèìåíèìîñòè îäíî÷àñòåâîé ìîäåëè äëÿ èçó÷å-
íèÿ ôàðìàêîêèíåòèêè ïðåïàðàòà ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ëèíåàðè-
çàöèè äàííûõ â êîîðäèíàòàõ «ln c — t», «dc/dt — c» èëè «ln dñ/dt — t». § 1.5. Îäíîêàìåðíàÿ ôàðìàêîêèíåòè÷åñêàÿ ìîäåëü

24
§ 1.6. ÔÀÐÌÀÊÎÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÀß
ÌÎÄÅËÜ
Ñ ÏÎÄÊÀÌÅÐÎÉ
Ëåêàðñòâåííûå ïðåïàðàòû ÷àñòî ââîäÿò
íå íåïîñðåäñòâåííî â êðîâü, à â äðóãèå òêà-
íè. Íî â êà÷åñòâå òåñò-òêàíè ïî-ïðåæíåìó
èñïîëüçóåòñÿ êðîâü.  ýòîì ñëó÷àå êîíöåí-
òðàöèÿ ïðåïàðàòà â êðîâè äîñòèãàåò ìàê-
ñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ íå ñðàçó, à ëèøü ÷å-
ðåç íåêîòîðîå âðåìÿ. Ïîýòîìó ãðàôèê
çàâèñèìîñòè êîíöåíòðàöèè ïðåïàðàòà îò
âðåìåíè â ïîëóëîãàðèôìè÷åñêèõ êîîð-
äèíàòàõ èìååò ëèíåéíûé õàðàêòåð ëèøü
ïîñëå äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëüíîé êîíöåíò-
ðàöèè (ðèñ. 1.6.1).
Äëÿ òàêèõ ïðîöåññîâ êðîìå
îñíîâíîé êàìåðû, ìîäåëèðóþ-
ùåé êðîâü è îñòàëüíûå òêàíè,
â êîòîðûå ïðîíèêàåò ïðåïàðàò,
ââîäÿò ï î ä ê à ì å ð ó, êîòîðàÿ
ìîäåëèðóåò òêàíü — ìåñòî ââå-
äåíèÿ ïðåïàðàòà (ðèñ. 1.6.2).
Äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññà óæå òðåáóåòñÿ ñèñòåìà èç ÷åòûðåõ óðàâ-
íåíèé:

′′

′′
=−



′′
=−


′′′

=

d
;
d
d
;
d
d
,
d in
in el
el M
kM
t
M
kM kM
t
M
kM
t
(1.6.1)
ãäå Ì'', Ì è Ì''' — êîëè÷åñòâî ïðåïàðàòà â ïîäêàìåðå (À), îñíîâ-
íîé êàìåðå (Â) è îêðóæàþùåé ñðåäå (Ñ) ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì
M"+M+M''' = M
0 (Ì 0 — êîëè÷åñòâî ââåäåííîãî ïðåïàðàòà); k in —
êîíñòàíòà âñàñûâàíèÿ ïðåïàðàòà èç ïîäêàìåðû â îñíîâíóþ êàìå-
ðó; k
el— êîíñòàíòà ýëèìèíàöèè ïðåïàðàòà èç îñíîâíîé êàìåðû.
Ïðîèíòåãðèðîâàâ ñèñòåìó (1.6.1) ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé
(Ì''(0) = Ì
0, Ì(0) = 0), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâà
ïðåïàðàòà â îñíîâíîé êàìåðå:
Ðèñ. 1.6.1. Àïïðîêñèìàöèÿ
äàííûõ ôàðìàêîêèíåòèêè öå-
ôàëåêñèíà â ñûâîðîòêå êðîâè
ìûøåé, ïîëó÷àâøèõ ïðåïàðàò
âíóòðü â äîçå 400 ìã/êã, îä-
íî÷àñòåâîé ìîäåëüþ ñî âñàñû-
âàíèåì (k
in = 4,60 ÷ –1, k el =
= 0,90 ÷ –1)
M''M M'''
ABC k in kel
Ðèñ. 1.6.2. Îäíîêàìåðíàÿ ìîäåëü
ñ ïîäêàìåðîé
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

25
−− =−
− 0 () (e e )
() el inkt kt
in
in el Mk
Mt
kk . (1.6.2)
Òàê êàê
M = cV,
ãäå c — êîíöåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà â îñíîâíîé êàìåðå, V — åå êàæó-
ùèéñÿ îáúåì, òî çàâèñèìîñòü êîíöåíòðàöèè îò âðåìåíè èìååò ñëå-
äóþùèé âèä:
−− =−
− 0 () (e e )
() el inkt kt
in
in el Mk
ct
Vk k . (1.6.3)
Çíàÿ ïàðàìåòðû k
in, k el,
V è Ì
0, ïî ôîðìóëå (1.6.3)
ìîæíî ðàññ÷èòàòü êîíöåí-
òðàöèþ ïðåïàðàòà â ëþáîé
ìîìåíò âðåìåíè.
Ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé
Ì'', Ì è Ì''' îò âðåìåíè
ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1.6.3.
Êàê âèäíî, êîíöåíòðàöèÿ
ïðåïàðàòà â îñíîâíîé êàìå-
ðå â íåêîòîðûé ìîìåíò âðå-
ìåíè (t
max ) äîñòèãàåò ñâîå-
ãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ

max ), ïîñëå ÷åãî íà÷èíàåò
óìåíüøàòüñÿ.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
=
− 0
()
in
in el Mk
B
Vk k .
Òîãäà óðàâíåíèå (1.6.3) çàïèøåòñÿ â âèäå:
−− =−
() (e e ) el inkt kt ct B . (1.6.4)
 ñëó÷àå, êîãäà âñàñûâàíèå ïðåïàðàòà ïðîèñõîäèò íàìíîãî áûñò-
ðåå åãî âûâåäåíèÿ (k
in>>k el), ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ t ÷ëåíîì óðàâ-
íåíèÿ åõð (–k
int) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà óðàâíåíèå (1.6.4) óïðî-
ùàåòñÿ:
− ≈
() e elkt ct B . (1.6.5)
 ýòîì ñëó÷àå íèñõîäÿùàÿ ÷àñòü çàâèñèìîñòè (ðèñ. 1.6.1) õà-
ðàêòåðèçóåò â îñíîâíîì ýëèìèíàöèþ ïðåïàðàòà. Åñëè æå, íàîáî-
Ðèñ. 1.6.3. Çàâèñèìîñòü êîëè÷åñòâ ïðåïàðàòà
â ïîäêàìåðå M", îñíîâíîé êàìåðå M è îêðó-
æàþùåé ñðåäå M''' îò âðåìåíè t
§ 1.6. Ôàðìàêîêèíåòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñ ïîäêàìåðîé

26
ðîò, ñêîðîñòü âñàñûâàíèÿ íàìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòè âûâåäåíèÿ
(k
in << k el), óðàâíåíèå (1.6.4) ñâîäèòñÿ ê âèäó:
− ≈
() e inkt ct B , (1.6.6)
à íèñõîäÿùàÿ ÷àñòü êðèâîé õàðàêòåðèçóåò â îñíîâíîì ïðîöåññ âñà-
ñûâàíèÿ.
Åñëè æå êîíñòàíòû âñàñûâàíèÿ è âûâåäåíèÿ èìåþò îäèíàêî-
âûé ïîðÿäîê, òî îáå ÷àñòè êðèâîé õàðàêòåðèçóþò êàê ýëèìèíà-
öèþ, òàê è âñàñûâàíèå ïðåïàðàòà.
Îïðåäåëèì âðåìÿ t
max , â òå÷åíèå êîòîðîãî äîñòèãàåòñÿ ìàêñè-
ìàëüíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ñ
max , äëÿ ÷åãî ïðîäèôôåðåíöèðóåì âûðà-
æåíèå (1.6.4):
() −− =− + d
ee
d el inkt kt
el in c
Bk k
t .
Ïðèðàâíÿâ ýòî âûðàæåíèå íóëþ, îïðåäåëèì ìàêñèìàëüíîå çíà-
÷åíèå ôóíêöèè:
−− =− + = max max d
ee0
d el inkt kt
el in c
kk
t ,
îòêóäà ïîëó÷àåì t
max :



=

max
ln in
el
in elk
k
t
kk
. (1.6.7)
Èç óðàâíåíèÿ (1.6.7) âèäíî, ÷òî âðåìÿ äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëü-
íîé êîíöåíòðàöèè íå çàâèñèò îò äîçû ââåäåííîãî ïðåïàðàòà, à öå-
ëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ êîíñòàíòàìè âñàñûâàíèÿ è âûâåäåíèÿ. Ïîä-
ñòàâèâ (1.6.7) â (1.6.3), ìîæíî îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíóþ êîíöåíò-
ðàöèþ ïðåïàðàòà â îñíîâíîé êàìåðå.
§ 1.7. ÌÍÎÃÎÊÀÌÅÐÍÛÅ ÔÀÐÌÀÊÎÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ
ÌÎÄÅËÈ
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìíîãîêàìåðíûõ ìîäåëåé òðåáóåòñÿ ñîñòàâèòü
ñèñòåìó èç íåñêîëüêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Êîíöåíò-
ðàöèÿ ïðåïàðàòà â êàêîì-ëèáî îðãàíå çàâèñèò îò ñêîðîñòåé íå-
ñêîëüêèõ ïðîöåññîâ:
1) ñêîðîñòè âñàñûâàíèÿ ïðåïàðàòà èç ìåñòà ââåäåíèÿ (íàïðè-
ìåð èç êèøå÷íèêà) â êðîâü, åñëè îòñóòñòâóåò íåïîñðåäñòâåííîå
ââåäåíèå ëåêàðñòâà â êðîâåíîñíîå ðóñëî (ýòîò ïðîöåññ õàðàêòåðè-
çóåòñÿ êîíñòàíòîé k
12);Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

27
2) ñêîðîñòè òðàíñïîðòà ïðåïàðàòà èç êðîâè â îðãàí (êîíñòàíòà
k
23);
3) ñêîðîñòè îáðàòíîãî ïðîöåññà: òðàíñïîðòà ïðåïàðàòà èç îðãà-
íà â êðîâü (êîíñòàíòà k
32);
4) ñêîðîñòè âûâåäåíèÿ ïðåïàðàòà èç îðãàíèçìà âûäåëèòåëüíîé
ñèñòåìîé (êîíñòàíòà k
4)1.
Êàæäûé îðãàí, â êîòîðîì ìîæåò íàõîäèòüñÿ ïðåïàðàò (êèøå÷-
íèê, êðîâü, îðãàí-ìèøåíü è äð.), ïðåäñòàâèì â âèäå îòäåëüíûõ
áëîêîâ (êàìåð) (ðèñ. 1.7.1), â êàæäîì èç êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèå
ïðåïàðàòà îäíîðîäíî.
Íà äàííîì ýòàïå ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè óæå ìîæíî
ñîñòàâèòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ
óêàçàííûé ïðîöåññ.  íàøåì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ çàïèøóòñÿ â âèäå:

=−



=− + + +



=−

 1
12 1
2
4232323121
3
23 2 32 3d
;
d
d
() ;
d
d
,
dc
kc
t
c
kkckckc
t
c
kc kc
t
(1.7.1)
ãäå ñ
1, ñ 2 è ñ 3 — êîíöåíòðàöèÿ âåùåñòâà â ïåðâîì, âòîðîì è òðåòüåì
áëîêàõ.
Íà ñëåäóþùåì ýòàïå òðåáóåòñÿ ðåøèòü ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ,
÷òî íå âñåãäà âîçìîæíî â îáùåì âèäå.  òàêîì ñëó÷àå èõ ðåøàþò
ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ.
Èíîãäà ÷èñëî ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ìîæíî ñîêðàòèòü. Âñå
ïðîöåññû ðàçäåëÿþòñÿ íà áûñòðûå, ñðåäíèå è ìåäëåííûå. Äàííîå
ðàçäåëåíèå óñëîâíî. Äîïóñòèì, ìû íàáëþäàåì çà ïðîöåññîì â òå-
Ðèñ. 1.7.1. Ñõåìà ïåðåìåùåíèÿ ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà â îðãàíèçìå
Îðãàí-
ìèøåíü
Èíàêòèâàöèÿ
è âûâåäåíèå
ïðåïàðàòàÊðîâü
k
4
ÏðåïàðàòÊèøå÷íèê, êîæà,
ìûøöûk 12
k32
k23
1 Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îòñóòñòâóåò èíàêòèâàöèÿ è íåîáðàòèìîå ñâÿçûâàíèå ïðå-
ïàðàòà â îðãàíèçìå.
§ 1.7. Ìíîãîêàìåðíûå ôàðìàêîêèíåòè÷åñêèå ìîäåëè

28
÷åíèå íåñêîëüêèõ ÷àñîâ.  òàêîì ñëó÷àå ïðîöåññû, ñîâåðøàþùèå-
ñÿ â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ìèíóò, áóäóò ÿâëÿòüñÿ áûñòðûìè, íåñêîëü-
êèõ ÷àñîâ — ñðåäíèìè, íåñêîëüêèõ ñóòîê — ìåäëåííûìè. Òîãäà
ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî, íàáëþäàÿ çà ïðîöåññîì íåñêîëüêî ÷àñîâ, ìû íå
óñïåâàåì ïðîñëåäèòü çà ìåäëåííûìè ðåàêöèÿìè, è ïåðåìåííûå,
îïèñûâàþùèå èõ, îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè â òå÷åíèå ïåðèîäà íà-
áëþäåíèÿ. Â òî æå âðåìÿ áûñòðûå ïðîöåññû óñïåâàþò ïðîéòè â ñà-
ìîì íà÷àëå ïåðèîäà íàáëþäåíèÿ è äàëåå òàêæå îñòàþòñÿ ïîñòîÿí-
íûìè. Ïîýòîìó ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå â ñîñòàâ óðàâíåíèé áûñòðûõ
ïðîöåññîâ, ìîæíî çàìåíèòü íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè, à ïåðåìåí-
íûå, âõîäÿùèå â ñîñòàâ óðàâíåíèé ìåäëåííûõ ïðîöåññîâ,— ñòàöèî-
íàðíûìè. Äàííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ñîêðàòèòü ÷èñëî äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé è ÷èñëî ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, â ïðèâåäåííîé
ñèñòåìå óðàâíåíèé (1.7.1) êîíöåíòðàöèþ ñ
2 â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ
ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé.
§ 1.8. ÌÎÄÅËÜ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎÃÎ ÂÂÅÄÅÍÈß ÏÐÅÏÀÐÀÒÀ
Ïðè ââåäåíèè êàêîãî-ëèáî ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà ÷àñòî
òðåáóåòñÿ çíàòü âðåìåííîé õàðàêòåð (êèíåòèêó) åãî ðàñïðåäåëåíèÿ
â îðãàíèçìå. Åñëè ëåêàðñòâî áûëî ââåäåíî â íåäîñòàòî÷íîé äîçå
èëè æå î÷åíü áûñòðî ðàçðóøàåòñÿ èëè âûâîäèòñÿ èç îðãàíèçìà, òî
íå áóäåò äîñòèãíóò åãî ëå÷åáíûé ýôôåêò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç-
ëèøíå áîëüøàÿ äîçà ìîæåò âûçâàòü íåæåëàòåëüíûå ïîáî÷íûå ýô-
ôåêòû. Ìîäåëü, êîòîðàÿ áóäåò ðàññìîòðåíà íèæå, ïîçâîëÿåò âû-
áðàòü îïòèìàëüíûå äîçó è ïåðèîäè÷íîñòü ââåäåíèÿ ïðåïàðàòà.
Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ ïðîáëåìîé ïîä-
äåðæàíèÿ ïîñòîÿííîé êîíöåíòðàöèè ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà
â îðãàíèçìå. Äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ íåïðåðûâíî ñ ïîñòîÿííîé ñêî-
ðîñòüþ ââîäèòü âíóòðèâåííî èëè âíóòðèàðòåðèàëüíî ïðåïàðàò (ïðî-
ùå ãîâîðÿ — ïîñòàâèòü êàïåëüíèöó) (ðèñ. 1.8.1, à). Ïðè ââåäåíèè
(èíôóçèè) ïðåïàðàòà ñî ñêîðîñòüþ v åãî êîëè÷åñòâî M â êðîâè
áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñîãëàñíî óðàâíåíèþ
Ïðåïàðàòv
c(t)
Êðîâü

kel
Ðèñ. 1.8.1. Ââåäåíèå ïðåïàðàòà:
à — ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ; á — ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v è íàãðóçî÷íîé äîçîé M í
Ïðåïàðàòv
c(t)
Êðîâü kel
àá
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

29
=− d
d el M
vkM
t , (1.8.1)
ãäå k
el — êîíñòàíòà ñêîðîñòè âûâåäåíèÿ ïðåïàðàòà èç êðîâè.
Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî óðàâíåíèå â ïðåäåëàõ âðåìåíè îò 0 äî t
è êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà îò 0 äî Ì:
=
− ∫∫00
d
d Mt
el M
t
vkM ;
−− = 00
1
ln( ) Mt
el
el vkM t
k ;

=−
ln el
el vkM
kt
v .
Âûðàçèì èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ M:
=−−
[1 e x p ( ) ] el
el v
Mkt
k . (1.8.2)
Äàëåå ïåðåéäåì îò êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà ê åãî êîíöåíòðàöèè,
äëÿ ÷åãî ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà êàæóùèéñÿ îáúåì V:
=−−
() [1 exp( )] el
el v
ct k t
Vk . (1.8.3)
Êàê âèäíî èç óðàâíåíèÿ (1.8.3), êîíöåíòðàöèÿ âåùåñòâà ñ òå÷å-
íèåì âðåìåíè âîçðàñòàåò è àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàåòñÿ ïðè t→∞
ê ïîñòîÿííîìó çíà÷åíèþ êîíöåíòðàöèè
∞=
el
v
c
Vk (1.8.4)
(ðèñ. 1.8.2, êðèâàÿ 2). Èç âûðàæåíèÿ (1.8.4) ìîæíî ïîëó÷èòü çíà-
÷åíèå ñêîðîñòè, ñ êîòîðîé ñëåäóåò ââîäèòü ïðåïàðàò äëÿ òîãî, ÷òî-
áû åãî êîíöåíòðàöèÿ â êðîâè ðàâíÿëàñü òðåáóåìîé (ñ*):
=
* el vcVk .(1.8.5)
Äëÿ òîãî ÷òîáû êàê ìîæíî áûñòðåå äîñòèãíóòü æåëàåìîãî ýô-
ôåêòà, â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òðåáóåòñÿ ââåñòè íåêîòîðóþ
äîçó ïðåïàðàòà (òàê íàçûâàåìóþ íàãðóçî÷íóþ M
í ðèñ. 1.8.1, á), à ïîñ-
ëå ýòîãî íåïðåðûâíî ââîäèòü ïðåïàðàò ñî ñêîðîñòüþ v (òî åñòü
ñäåëàòü ïàöèåíòó óêîë è ïîñòàâèòü êàïåëüíèöó). Òîãäà â óðàâíå-
íèå èçìåíåíèÿ êîíöåíòðàöèè âî âðåìåíè (1.8.3) äîáàâèòñÿ ñëà-
ãàåìîå, îïðåäåëÿåìîå íàãðóçî÷íîé äîçîé M
í: § 1.8. Ìîäåëü íåïðåðûâíîãî ââåäåíèÿ ïðåïàðàòà

30
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß
=−−+ −= н ( ) [1 exp( )] exp( ) el el
el M
v
ct kt kt
Vk V

=− − −

 н 1
exp( ) el
el el vv
Mkt
Vk V k . (1.8.6)
Òàê êàê ïðè t→∞ ìíîæèòåëü
exp (–k
elt) → 0, òî êîíå÷íàÿ êîí-
öåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà ïî-ïðåæíå-
ìó ðàâíÿåòñÿ ñ* = v/Vk
el, òî åñòü
íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû íàãðó-
çî÷íîé äîçû. Êîíöåíòðàöèÿ ïðè-
áëèæàåòñÿ ê ñ*, åñëè âòîðîå
ñëàãàåìîå â óðàâíåíèè (1.8.6)
ðàâíÿåòñÿ íóëþ, à ýòî, â ñâîþ
î÷åðåäü, ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî
ëèáî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïðè
(v/k
el – M í) ≠ 0, ëèáî ìãíîâåííî
ïðè (v/k
el – M í) = 0 (ðèñ. 1.8.2,
êðèâàÿ 3). Îòñþäà ìîæíî ïîëó-
÷èòü âûðàæåíèå äëÿ íàãðóçî÷íîé
äîçû (M
í*), ïðè ââåäåíèè êîòî-
ðîé íåîáõîäèìûé óðîâåíü êîí-
öåíòðàöèè ïðåïàðàòà áóäåò äîñ-
òèãíóò ìãíîâåííî:
M
í* = v/k el = c*V.
Òàêèì îáðàçîì, äàííàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ìãíîâåí-
íóþ íàãðóçî÷íóþ äîçó ëåêàðñòâà M
í* è ñêîðîñòü åãî ââåäåíèÿ v
â îðãàíèçì.
Ðèñ. 1.8.2. Êèíåòèêà èçìåíåíèÿ êîí-
öåíòðàöèè ïðåïàðàòà â êðîâè:
1 — ïðè îäíîêðàòíîì ââåäåíèè; 2 — ïðè èí-
ôóçèè ïðåïàðàòà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ;
3 — ïðè ñî÷åòàíèè ââåäåíèÿ íàãðóçî÷íîé
äîçû è èíôóçèè ñ öåëüþ ìãíîâåííîãî ñîçäà-
íèÿ â êðîâè æåëàåìîé êîíöåíòðàöèè ïðåïà-
ðàòà — ñ*
ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×
Çàäà÷à 1.1. Ïåðâîíà÷àëüíàÿ êîíöåíòðàöèÿ â êðîâè íåêîòîðîãî ïðåïà-
ðàòà ðàâíÿëàñü c
0 = 50 ìêã/ìë, à ÷åðåç t = 10 ÷ óìåíüøèëàñü äî c = 20 ìêã/ìë.
Ðàññ÷èòàéòå êîíñòàíòó ýëèìèíàöèè k
el ýòîãî ïðåïàðàòà è âðåìÿ åãî ïîëó-
âûâåäåíèÿ t
1/2. Ïðîöåññ ýëèìèíàöèè îïèñûâàåòñÿ îäíîêàìåðíîé ìîäåëüþ.
Ðåøåíèå. Êîíñòàíòó ýëèìèíàöèè âû÷èñëÿåì èç ëèíåàðèçîâàííîãî
óðàâíåíèÿ äëÿ êîíöåíòðàöèè (1.5.15):
1
0 ln ( / ) ln (50 /20)
0, 092 ч .
10 ч el cc
k
t − == =
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

31
Âðåìÿ ïîëóâûâåäåíèÿ ïðåïàðàòà:
− == = 1/2
1 ln 2 0, 693
7, 5 ч.
0, 092 ч
el t
k
Çàäà÷à 1.2. Ïàöèåíòó áûëî ââåäåíî âíóòðèìûøå÷íî M
0 = 220 ìêã ïðå-
ïàðàòà. Âû÷èñëèòå:
à) êîíöåíòðàöèþ c ïðåïàðàòà â êðîâè ÷åðåç t = 3 ÷ ïîñëå ââåäåíèÿ;
á) ñêîðîñòü åãî âûâåäåíèÿ v ÷åðåç t = 3 ÷ ïîñëå ââåäåíèÿ;
â) âðåìÿ t
max , ïî èñòå÷åíèè êîòîðîãî êîíöåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà â êðîâè
äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ;
ã) ìàêñèìàëüíóþ êîíöåíòðàöèþ c
max ;
ä) ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü âûâåäåíèÿ v
max .
Êîíñòàíòû âñàñûâàíèÿ è âûâåäåíèÿ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî k
in = 2 ÷ –1
è k el = 0,5 ÷ –1. Êàæóùèéñÿ îáúåì êðîâè ïðèíÿòü ðàâíûì V = 4,5 ë.
Ðåøåíèå. Òàê êàê ïðåïàðàò ââîäèòñÿ íå íåïîñðåäñòâåííî â êðîâü,
à â äðóãóþ òêàíü, òî äàííûé ïðîöåññ áóäåò îïèñûâàòüñÿ îäíîêàìåðíîé
ìîäåëüþ ñ ïîäêàìåðîé. Êîíöåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà â îñíîâíîé êàìåðå â ïðî-
èçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñîñòàâëÿåò:
−− =−=
− 0 () (e e )
() el inkt kt
in
in el Mk
ct
Vk k
=
)) 1
11
11 220 мкг 2 ч
exp(0,5 ч3 чexp(2 ч3 ч 14,4 мкг/л.
4, 5 л (2 ч 0, 5 ч ) −
−−
−− ⋅

−⋅−−⋅=


Ñêîðîñòü âûâåäåíèÿ ïðåïàðàòà ðàâíà ïåðâîé ïðîèçâîäíîé êîíöåíò-
ðàöèè ïî âðåìåíè
() 0 d
ee
d( ) el inkt kt
in
el in
in el cMk
kk
tVk k −− =−+
−. (1.1)
Çíàê «–» óêàçûâàåò íà òî, ÷òî êîíöåíòðàöèÿ ñî âðåìåíåì óáûâàåò.
×åðåç 3 ÷ ïîñëå ââåäåíèÿ ñêîðîñòü âûâåäåíèÿ ñîñòàâèò:
)) 1
1111
11 d 220 мкг 2 ч
0,5 чexp(0,5 ч 3 ч 2 чexp(2 ч 3 ч
d
4, 5 л (2 ч 0, 5 ч ) c
t −
−−−−
−− ⋅

=−−⋅+−⋅=


=− ⋅6, 95 мкг/(л ч).
Âðåìÿ äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëüíîé êîíöåíòðàöèè âû÷èñëÿåì ïî óðàâ-
íåíèþ (1.6.7):
1
1
max
11 2 ч
ln
ln
0, 5 ч
0, 92 ч 55 мин.
2 ч 0, 5 ч in
el
in elk
k
t
kk −

−− 




  
== ==


Òîãäà ìàêñèìàëüíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ñîñòàâèò:
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

32
max max 0
max (e e )
() el inkt kt
in
in el Mk
c
Vk k −− =−=

=
мкг ч
чч чч
лч ч 1
11
11 220 2
exp ( 0, 5 0, 92 ) exp ( 2 0, 92 )
4, 5 (2 0, 5 ) −
−−
−− ⋅

−⋅ −−⋅ =


30, 8 мкг/л. =
Îïðåäåëèì ìîìåíò âðåìåíè t*, â êîòîðûé ñêîðîñòü âûâåäåíèÿ äîñòè-
ãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, äëÿ ÷åãî âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ êîíöåíòðà-
öèè ïî âðåìåíè ïðèðàâíÿåì íóëþ:
2
**
22
0
2d
(e e )0
()
d el inkt kt
in
el in
in el cMk
kk
Vk k
t −− =−=
− ,
îòêóäà
1
1
11 2 ч
2ln
2ln
0, 5 ч
*
2 ч 0, 5 ч in
el
in elk
k
t
kk −

−− 




  
==


= 1,84 ÷.
Ïîäñòàâèâ t* â âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè (1.1), ïîëó÷èì:
**
0 d
(e e )
d( ) el inkt kt
in
el in
in el cMk
kk
tVk k −− =−+=

1
11 11
11 220 мкг 2 ч
0,5 ч exp( 0,5 ч 1,84 ч) 2 ч exp( 2 ч 1,84 ч)
4, 5 л (2 ч 0, 5 ч ) −
−− −−
−− ⋅

=−−⋅+−⋅=


24, 4 мкг/(л ч). =− ⋅
ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
1.1. Âû÷èñëèòå âðåìÿ ïîëóâûâåäåíèÿ t 1/2 íàëüáóôèíà, åñëè åãî êîíñ-
òàíòà ýëèìèíàöèè ñîñòàâëÿåò k
el = 0,17 ÷ –1.
1.2. Âû÷èñëèòå êîíñòàíòó ýëèìèíàöèè k
el ëþìèíàëà, åñëè åãî âðåìÿ
ïîëóâûâåäåíèÿ ñîñòàâëÿåò t
1/2 = 3 ñóòîê.
1.3. Ïàöèåíòó ââåëè âíóòðèâåííî ïðåïàðàò m
0 = 200 ìêã. Âû÷èñëèòå
ìàññó m ïðåïàðàòà â êðîâè ÷åðåç t = 2 ÷ ïîñëå ââåäåíèÿ. Êîíñòàíòà ýëè-
ìèíàöèè äàííîãî ïðåïàðàòà k
el = 0,17 ÷ –1. Ïðîöåññ ýëèìèíàöèè îïèñû-
âàåòñÿ îäíîêàìåðíîé ìîäåëüþ.
1.4. Îïðåäåëèòå âðåìÿ ïîëóâûâåäåíèÿ t
1/2 ïðåïàðàòà, åñëè çà âðåìÿ
t = 3 ÷ íàáëþäåíèÿ çà ïàöèåíòîì êîíöåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà â êðîâè óìåíü-
øèëàñü ñ ñ
0 = 100 äî ñ = 30 ìêã/ë. Ïðîöåññ ýëèìèíàöèè îïèñûâàåòñÿ îä-
íîêàìåðíîé ìîäåëüþ.
1.5. Íàéäèòå íà÷àëüíóþ êîíöåíòðàöèþ ñ
0 ïðåïàðàòà â êðîâè, åñëè
÷åðåç âðåìÿ t = 10 ÷ ïîñëå âíóòðèâåííîãî ââåäåíèÿ åãî êîíöåíòðàöèÿ ñî-
ñòàâëÿëà ñ = 30 ìêã/ë. Âðåìÿ ïîëóâûâåäåíèÿ äàííîãî ïðåïàðàòà t
1/2 = 8 ÷.
Ïðîöåññ ýëèìèíàöèè îïèñûâàåòñÿ îäíîêàìåðíîé ìîäåëüþ.
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

33
1.6. ×åðåç êàêîå âðåìÿ t êîíöåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà â êðîâè óìåíüøèòñÿ
â 4 ðàçà, åñëè âðåìÿ ïîëóâûâåäåíèÿ t
1/2 = 6 ÷. Ïðîöåññ ýëèìèíàöèè îïè-
ñûâàåòñÿ îäíîêàìåðíîé ìîäåëüþ.
1.7. ×åðåç êàêîå âðåìÿ t ïîñëå ââåäåíèÿ êîíöåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà â êðî-
âè ñîêðàòèòñÿ íà 40 %, åñëè âðåìÿ ïîëóâûâåäåíèÿ ñîñòàâëÿåò t
1/2 = 10 ÷.
Ïðîöåññ ýëèìèíàöèè îïèñûâàåòñÿ îäíîêàìåðíîé ìîäåëüþ.
1.8. Ïàöèåíòó ïîñòàâèëè êàïåëüíèöó è ââîäÿò ïðåïàðàò ñ ïîñòîÿííîé
ñêîðîñòüþ v = 2 ìêã/ìèí. Âû÷èñëèòå ìàññó m ïðåïàðàòà â êðîâè ÷åðåç
âðåìÿ t = 1 ÷, åñëè êîíñòàíòà ýëèìèíàöèè äëÿ íåãî k
el = 0,25 ÷ –1.
1.9. Ïàöèåíòó ïîñòàâèëè êàïåëüíèöó è ââîäÿò ïðåïàðàò ñ ïîñòîÿííîé
ñêîðîñòüþ v = 1,5 ìêã/ìèí. Âû÷èñëèòå íàèáîëüøóþ âîçìîæíóþ êîíöåí-
òðàöèþ ñ* ïðåïàðàòà â êðîâè è âåëè÷èíó íàãðóçî÷íîé äîçû Ì
í, êîòîðóþ
íåîáõîäèìî ââåñòè ïàöèåíòó, ÷òîáû êîíöåíòðàöèÿ ñ* áûëà äîñòèãíóòà
ìãíîâåííî. Êîíñòàíòà ýëèìèíàöèè äàííîãî ïðåïàðàòà k
el = 0,46 ÷ –1, êà-
æóùèéñÿ îáúåì êðîâè — V = 4,5 ë.
ÂÎÏÐÎÑÛ ÒÅÑÒÎÂÎÃÎ ÊÎÍÒÐÎËß
1.1. Ìîäåëü «õèùíèê—æåðòâà» îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:
à)

=ε +γ




=γ +ε

 11
22 d
,
d
d
;
dx
yxy
t
y
xy y
tã) 22
11
22
22 d
,
d
d
;
dx
yx
t
y
xy
t 
=ε −γ




=γ −ε


á)
11
22 d
,
d
d
;
dx
yxy
t
y
xy x
t 
=ε −γ




=γ −ε

ä) 
=ε −γ




=γ −ε

 11
22 d
,
d
d
.
dx
xxy
t
y
xy y
t
â)
1
2 d
,
d
d
;
dx
xy
t
y
xy
t 





=−γ


1.2.  ìîäåëè «õèùíèê–æåðòâà» îñîáûå òî÷êè îòíîñÿòñÿ ê òèïó:
à) «ñåäëî» è íåóñòîé÷èâûé ôîêóñ;
á) óñòîé÷èâûé è íåóñòîé÷èâûé ôîêóñû;
â) óñòîé÷èâûé óçåë è «öåíòð»;
ã) óñòîé÷èâûé è íåóñòîé÷èâûé óçëû;
ä) «öåíòð» è «ñåäëî».
1.3. Â îäíîêàìåðíîé ìîäåëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, îïèñûâà-
þùåå èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà â êàìåðå, èìååò ñëåäóþùèé âèä:
à)
=− d
d el M
vkM
t;ã) = d
d in M
kM
t;
á)
=− d
d el M
kM
t;ä) =− d
d in M
vkM
t.
â)
′′
=− d
d in el M
kM kM
t;
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

34
1.4. Èçìåíåíèå êîíöåíòðàöèè ïðåïàðàòà â êðîâè â ñëó÷àå îäíîêðàò-
íîãî ââåäåíèÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì:
à)
0 () e elkt ct c − =+ ;ã) 0 () e elkt ct c − = ;
á)
0 () e elkt ct c= ;ä) 2
0 () e elkt ct c − = .
â)
0 () e elkt ct c=− ;
1.5. Âðåìÿ ïîëóâûâåäåíèÿ ïðåïàðàòà ñîñòàâëÿåò:
à)
1/2 1
ln
2 el tk= ;ã) 1/2 2
el t
k =
;
á)
1/2 ln 2
el t
k =
;ä) 1/2 ln 2el tk= .
â)
1/2 lg 2
el t
k =
;
1.6. Ïðåïàðàò ââîäèòñÿ âíóòðèìûøå÷íî, îòêóäà âñàñûâàåòñÿ â êðîâü
ñ êîíñòàíòîé k
1, à âûâîäèòñÿ èç êðîâåíîñíîãî ðóñëà ñ êîíñòàíòîé k 2. Ñî-
ñòàâüòå ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ êîíöåíò-
ðàöèþ ïðåïàðàòà â ìûøå÷íîé òêàíè (ñ
1) è êðîâè (ñ 2):
à)

=−




=−

 1
12
2
22 11d
,
d
d
;
dc
kc
t
c
kc kc
tã) 
=−




=+

 1
21
2
21 2 11d
,
d
d
;
dc
kc
t
c
kc kkc
t
á)

=




=−

 1
12
2
22 22d
,
d
d
;
dc
kc
t
c
kc kc
tä) 
=




=+

 1
11
2
11 2 2d
,
d
d
.
dc
kc
t
c
kc k c
t
â)

=−




=−

 1
11
2
11 2 2d
,
d
d
;
dc
kc
t
c
kc k c
t
1.7. Ïðåïàðàò ââîäèòñÿ âíóòðèìûøå÷íî. Åãî êîíöåíòðàöèÿ â êðîâè
â ìîìåíò âðåìåíè t îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì:
à)
0 () (e e )
() el inkt kt
in
in el Mk
ct
Vk k −− =−
−;ã) 0 () (e e )
() in elkt kt
el
el in Mk
ct
kk =−
−;
á)
0 () (e e )
() el inkt kt
in
el in Mk
ct
kk −− =−
−;ä) 0 () (e e )
() el inkt kt
in
in el Mk
ct
Vk k =+
+.
â)
0 () (e e )
() in elkt kt
el
in el Mk
ct
Vk k =−
−;
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà

35
1.8. Ïðåïàðàò ââîäèòñÿ âíóòðèìûøå÷íî. Âðåìÿ äîñòèæåíèÿ åãî ìàê-
ñèìàëüíîé êîíöåíòðàöèè â êðîâè ñîñòàâëÿåò:
à)



=

max
ln el
in
in elk
k
t
kk;ã) 


=

max
ln in
el
in elk
k
t
kk;
á)

=


 max
ln
in el
in
elkk
t
k
k;ä) −
=


 max
ln
el in
in
elkk
t
k
k.
â)



=
− 2
max
ln el
in
el ink
k
t
kk;
1.9. Â ìîäåëè íåïðåðûâíîé èíôóçèè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå,
îïèñûâàþùåå èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà â êàìåðå, èìååò ñëåäóþ-
ùèé âèä:
à)
=− d
d el M
kM
t;ã) = d
d in M
kM
t;
á)
=− d
d in M
vkM
t;ä) =− d
d el M
vkM
t.
â)
′′
=− d
d in el M
kM kM
t;
1.10. Â ìîäåëè, îïèñûâàþùåé íåïðåðûâíóþ èíôóçèþ ïðåïàðàòà, ñ òå-
÷åíèåì âðåìåíè åãî êîíöåíòðàöèÿ:
à) óìåíüøàåòñÿ ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó;
á) ëèíåéíî âîçðàñòàåò;
â) îñòàåòñÿ íåèçìåííîé;
ã) âîçðàñòàåò è àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàåòñÿ ê ïîñòîÿííîìó çíà÷å-
íèþ ñ*;
ä) óâåëè÷èâàåòñÿ äî íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ t
max , à ïîòîì ñíèæàåòñÿ.
1.11. Âûðàæåíèå äëÿ íàãðóçî÷íîé äîçû Ì
í, ïðè ââåäåíèè êîòîðîé
íåîáõîäèìûé óðîâåíü êîíöåíòðàöèè ñ* ïðåïàðàòà áóäåò äîñòèãíóò ìãíî-
âåííî, èìååò âèä:
à)

=н *
el
cVv
M
k;ã) ∗
=н *
el
c
M
Vk;
á)

=н *
el
cV
M
k;ä) ∗
=н *
el
cV
M
vk.
â) ∗
=
н * McV;
1.12. Ñêîðîñòü ââåäåíèÿ ïðåïàðàòà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû åãî
êîíöåíòðàöèÿ â êðîâè áûëà ïîñòîÿííîé è ðàâíÿëàñü ñ, ñîñòàâëÿåò:
à) v = c
2Vk el;ã) v = cVk elkin;
á) v = cVk
el;ä) v = cV 2kel.
â) v = –2cVk
el;
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

Ãëàâà 2
ÌÅÕÀÍÈÊÀ
Ìåõàíèêà çàíèìàåò öåíòðàëüíîå ìåñòî â ôèçèêå è ñâÿçàíà ñî
âñåìè åå ðàçäåëàìè. Ìåõàíèêà èçó÷àåò äâèæåíèå, ðàâíîâåñèå òåë
è ïðîèñõîäÿùèå ìåæäó íèìè âçàèìîäåéñòâèÿ. Îñíîâíûìè ðàçäå-
ëàìè ìåõàíèêè ÿâëÿþòñÿ ñòàòèêà
1 — ó÷åíèå î ðàâíîâåñèè òåë ïîä
äåéñòâèåì ñèë; êèíåìàòèêà — ó÷åíèå î äâèæåíèè òåë áåç ó÷åòà èõ
ìàññ è äåéñòâóþùèõ íà íèõ ñèë; äèíàìèêà — ó÷åíèå î äâèæåíèè
òåë ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ê íèì ñèë.
Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ñâÿçàíà ñ êîëåáàòåëü-
íûìè è âîëíîâûìè ïðîöåññàìè.  ôèçèêå ðàçëè÷àþò ìåõàíè÷åñêèå
è ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ è âîëíû. Çàêîíû, îïèñûâàþùèå
ìåõàíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ è âîëíû, ëåæàò â îñíîâå òàêèõ áèîëîãè÷å-
ñêèõ ïðîöåññîâ, êàê áèåíèå ñåðäöà, ðàñïðîñòðàíåíèå íåðâíîãî
èìïóëüñà è ïóëüñîâîé âîëíû.
§ 2.1. ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ
Äâèæåíèå êàêîãî-ëèáî òåëà ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê èçìåíåíèå
åãî ïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî äðóãîãî, íàçûâàåìîãî òåëîì îòñ÷å-
òà. Ê òåëó îòñ÷åòà ïðèâÿçûâàåòñÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, êîòîðàÿ âìåñòå
ñî ñïîñîáàìè ñîãëàñîâàííîãî èçìåðåíèÿ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè, ðàñ-
ñòîÿíèé è óãëîâ íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé îòñ÷åòà.
Àáñîëþòíî òâåðäûì òåëîì â ìåõàíèêå íàçûâàåòñÿ òåëî, ðàñ-
ñòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè êîòîðîãî íå èçìåíÿåòñÿ
â ïðîöåññå äâèæåíèÿ è ïîä äåéñòâèåì ñèë. Ýòî ïîíÿòèå ïðèìå-
íÿåòñÿ è â ñëó÷àå, êîãäà èçìåíåíèåì ðàçìåðîâ è ôîðì òåëà ìîæíî
ïðåíåáðå÷ü.
Åñëè ïðè äâèæåíèè àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿ-
þùàÿ ëþáûå äâå òî÷êè, îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíîé ñàìîé ñåáå, òî òà-
1 Ñòàòèêà íå ðàññìàòðèâàåòñÿ â äàííîì ó÷åáíèêå.

37
êîå äâèæåíèå òåëà íàçûâàåòñÿ ï î ñ ò ó ï à ò å ë ü í û ì. Ïðè ïî-
ñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè âñå òî÷êè òåëà îïèñûâàþò îäèíàêîâóþ
òðàåêòîðèþ, ïîýòîìó ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì äâèæå-
íèÿ îäíîé òî÷êè.
Åñëè ïðè äâèæåíèè àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿ-
ùàÿ ÷åðåç êàêóþ-ëèáî òî÷êó, îñòàåòñÿ íåïîäâèæíîé, òî òàêîå äâè-
æåíèå íàçûâàåòñÿ â ð à ù å í è å ì òåëà îòíîñèòåëüíî ýòîé ïðÿ-
ìîé — îñè âðàùåíèÿ.
Ëþáîå äâèæåíèå òåëà â êàæäûé
ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ïðåäñòàâèòü
êàê ñóììó ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæå-
íèÿ è âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî îñè,
êîòîðàÿ ìîæåò èçìåíÿòü ñâîå ïîëî-
æåíèå îòíîñèòåëüíî òåëà è ñèñòå-
ìû îòñ÷åòà ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.
Äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
îïðåäåëåíî, åñëè èçâåñòåí çàêîí åå
äâèæåíèÿ, òî åñòü çàêîí, ïî êîòîðî-
ìó èçìåíÿåòñÿ ïîëîæåíèå òî÷êè
â ïðîñòðàíñòâå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.
Ïîëîæåíèå òî÷êè â ïðîñòðàí-
ñòâå ìîæåò áûòü çàäàíî ðàäèóñ-âåê-
òîðîì
r
r, ïðîâåäåííûì îò íà÷àëà
êîîðäèíàò âûáðàííîé ñèñòåìû îò-
ñ÷åòà ê ýòîé òî÷êå (ðèñ. 2.1.1), èëè ïîñðåäñòâîì ïðîåêöèé
,xr ,yr
zr ðàäèóñ-âåêòîðà íà êîîðäèíàòíûå îñè x, y, z. Ýòè ïðîåêöèè îä-
íîâðåìåííî ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè, òàê ÷òî
, xrx= , yry=
zrz= .
Çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îäíîãî âåê-
òîðíîãî óðàâíåíèÿ:

= rr
() rrt (2.1.1)
èëè òðåõ ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé:
===
(); (); (). xxt yyt zzt (2.1.2)
Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå. Ïóñòü
çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè
∆= − 21 tt t
òî÷êà ïåðåìåñòèòñÿ èç ïîëîæåíèÿ,
îïðåäåëÿåìîãî ðàäèóñ-âåêòîðîì r1r,
â ïîëîæåíèå, îïðåäåëÿåìîå r2r
(ðèñ. 2.1.2).
Âåêòîð
∆= −rr r 21 rr r íàçûâàåòñÿ
ïåðåìåùåíèåì òî÷êè. Íåïðåðûâíàÿ Ðèñ. 2.1.2. Òðàåêòîðèÿ ∆S è ñîîò-
âåòñòâóþùåå ïåðåìåùåíèå ∆ r
r
Ðèñ. 2.1.1. Ðàäèóñ-âåêòîð r
r íà
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè
§ 2.1. Êèíåìàòèêà

38
ëèíèÿ, îïèñûâàåìàÿ êîíöîì ðàäèóñ-âåêòîðà, íàçûâàåòñÿ òðàåêòî-
ðèåé òî÷êè. Äëèíà ó÷àñòêà ∆S òðàåêòîðèè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ òî÷-
êà, íàçûâàåòñÿ ïóòåì òî÷êè è ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì. Âåëè÷èíû
∆r
r
è ∆S ñîâïàäàþò ëèøü â ñëó÷àå ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ.  ÑÈ 1
ïåðåìåùåíèå è ïóòü èçìåðÿþòñÿ â ìåòðàõ: [][ ] м rS ∆=∆ =r.
Ñêîðîñòüþ (ëèíåéíîé ñêîðîñòüþ) íàçûâàåòñÿ âåêòîð, íàïðàâ-
ëåííûé â êàæäîé òî÷êå òðàåêòîðèè ïî êàñàòåëüíîé ê íåé è ðàâ-
íûé ïðîèçâîäíîé ðàäèóñ-âåêòîðà ïî âðåìåíè.
 âåêòîðíîé ôîðìå
∆→

==
∆rr
r
0
d
lim ,
d
t
rr
v
tt (2.1.3)
â ñêàëÿðíîé ôîðìå
=d
.
dS
v
t (2.1.4)
Åäèíèöà èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè — ìåòð â ñåêóíäó:
[] = vì/ñ.
Ïðîèçâîäíàÿ ñêîðîñòè ïî âðåìåíè íàçûâàåòñÿ óñêîðåíèåì.
 âåêòîðíîé ôîðìå
∆→

===
∆rr r
r 2
2
0 dd
lim ,
d
d
t
vv r
a
tt
t (2.1.5)
â ñêàëÿðíîé ôîðìå
==
2
2 dd
.
d
d vS
a
t
t (2.1.6)
Åäèíèöà èçìåðåíèÿ óñêîðåíèÿ — ìåòð â ñåêóíäó â êâàäðà-
òå:
[] = aì/ñ 2 .
Åñëè èçâåñòíû çàâèñèìîñòè óñêîðåíèÿ è ñêîðîñòè îò âðåìåíè,
à òàêæå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè è ðàäèóñ-âåêòîðà â íåêîòîðûé ìîìåíò
âðåìåíè
1t, òî çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè è ðàäèóñ-âåêòîðà â ìîìåíò âðå-
ìåíè
2t îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíûõ ôîðìóë:
=+ ∫
rr r 2
1
21() () ()d,
t
t
vt vt at t (2.1.7)
2
1
21() () ()d.
t
t
rt rt vt t=+ ∫
rr r
(2.1.8) Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà
1 Äàëåå åäèíèöû èçìåðåíèÿ âñåõ ââîäèìûõ âåëè÷èí ïðèâåäåíû â ÑÈ áåç
óêàçàíèÿ íà ýòî.

39
Ïóòü, ïðîéäåííûé òåëîì çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆= − 21 tt t ,
ðàâåí
∆= ∫
2
1
()d.
t
t
Svtt (2.1.9)
Ðàâíîìåðíîå ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè
óðàâíåíèÿìè â âåêòîðíîé ôîðìå:
0
0;
const;
, a
v
rr vt=
=
−= r
r
rr r
(2.1.10)
ãäå
0rr — ðàäèóñ-âåêòîð â ìîìåíò âðåìåíè t = 0; rr — ðàäèóñ-
âåêòîð â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t.
Ðàâíîïåðåìåííîå ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþ-
ùèìè óðàâíåíèÿìè â âåêòîðíîé ôîðìå:
=
=+
−= + r
rr r
rr r r
0
2
00
const;
;
1
,
2 a
vv at
rr vt at
(2.1.11)
ãäå
0vr — âåêòîð ñêîðîñòè â ìîìåíò âðåìåíè t=0; r
v — ìãíîâåííîå
çíà÷åíèå ñêîðîñòè â ìîìåíò âðåìåíè t.
Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå. Ïóñòü òî÷êà âðà-
ùàþùåãîñÿ òåëà îïèñûâàåò äóãó

S îêðóæíî-
ñòè ðàäèóñà
R. Öåíòð îêðóæíîñòè ëåæèò íà îñè
âðàùåíèÿ. Ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè ïðè ýòîì îïè-
ñûâàåò óãîë
∆ϕ (ðèñ. 2.1.3). Çàêîíû âðàùàòåëü-
íîãî äâèæåíèÿ ïðèìåíèìû ê îïèñàíèþ äâè-
æåíèÿ âäîëü ëþáîé ïëîñêîé êðèâîé. Äëÿ ýòîãî
âûáèðàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûé åå ó÷àñòîê dS,
íà êîòîðîì ñòðîèòñÿ ñîïðèêàñàþùàÿñÿ îêðóæ-
íîñòü. Åå ðàäèóñ íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì êðèâèçíû äàííîé òî÷êè êðè-
âîé, à öåíòð — öåíòðîì êðèâèçíû. Ðàäèóñ êðèâèçíû îïðåäåëÿåòñÿ
âûðàæåíèåì d'R = dS/dϕ, ãäå dϕ —óãîë, îïèñûâàåìûé ðàäèóñîì-
âåêòîðîì ïðè äâèæåíèè âäîëü êðèâîé íà ó÷àñòêå dS. Ìåæäó äóãîé

S , ðàäèóñîì R è óãëîì ∆ϕ ñóùåñòâóåò ñîîòíîøåíèå:
∆=∆ ϕ SR . (2.1.12)
Ïðîèçâîäíàÿ óãëà ïîâîðîòà ïî âðåìåíè íàçûâàåòñÿ óãëîâîé ñêî-
ðîñòüþ:
∆→
∆ϕ ϕ
ω= =

0
d
lim
d
t tt . (2.1.13) § 2.1. Êèíåìàòèêà
Ðèñ. 2.1.3. Äâèæåíèå
òî÷êè ïî îêðóæíîñòè

40
Óãëîâàÿ ñêîðîñòü õàðàêòåðèçóåò áûñòðîòó âðàùåíèÿ òåëà. Åäèíè-
öà èçìåðåíèÿ óãëîâîé ñêîðîñòè — ðàäèàí â ñåêóíäó:
[]ω = ðàä/ñ 2.
Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñâÿçàíà ñ ëèíåéíîé ñëåäóþùèì ñîîòíîøå-
íèåì:
∆→ ∆→ ∆→
∆∆ϕ∆ϕϕ
== = ==ω
∆∆∆
00 0
d
lim lim lim .
d
tt t
S
vRRRR
tttt (2.1.14)
Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîâåêòî-
ðîì, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî çàâèñèò îò íà-
ïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ è îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ïðàâèëó ïðàâîãî âèíòà (ðèñ. 2.1.4).
Áûñòðîòà èçìåíåíèÿ óãëîâîé ñêîðîñòè
õàðàêòåðèçóåòñÿ óãëîâûì óñêîðåíèåì:

∆→
∆ω ω ϕ
ε= = =
∆ 2
2
0 dd
lim .
d
d
t tt
t (2.1.15)
Åäèíèöà èçìåðåíèÿ óãëîâîãî óñêîðåíèÿ —
ðàäèàí â ñåêóíäó â êâàäðàòå:
[]ε= ðàä/ñ 2.
Óãëîâîå óñêîðåíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîâåêòîðîì, íàïðàâëå-
íèå êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè
ïðè óñêîðåííîì äâèæåíèè èëè ïðîòèâîïîëîæíî åé ïðè çàìåäëåí-
íîì.
Ðàâíîìåðíîå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ñîâåðøàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé
óãëîâîé ñêîðîñòüþ è îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè:
ε=
ω=
ϕ=ϕ +ω
0
0,
const,
, t
(2.1.16)
ãäå
ϕ0 — íà÷àëüíîå çíà÷åíèå óãëà ïîâîðîòà (ïðè =
0 t ).
Ðàâíîïåðåìåííîå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ñîâåðøàåòñÿ ñ ïîñòî-
ÿííûì óãëîâûì óñêîðåíèåì è îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíå-
íèÿìè
ε=
ω=ω +ε
ε
ϕ=ϕ +ω +
0
2
00
const,
,
,
2 t
t
t
(2.1.17)
ãäå
ω0 — íà÷àëüíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü (ïðè =
0 t ).
Âðåìÿ T, â òå÷åíèå êîòîðîãî ñîâåðøàåòñÿ îäèí îáîðîò, íàçû-
âàåòñÿ ïåðèîäîì âðàùåíèÿ. ×àñòîòà âðàùåíèÿ â åäèíèöó âðåìåíè
îáîçíà÷àåòñÿ ν. Î÷åâèäíî, ÷òî
Ðèñ. 2.1.4. Íàïðàâëåíèå
âåêòîðà (ïñåâäîâåêòîðà)
óãëîâîé ñêîðîñòè
Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

41
ν=1
T . (2.1.18)
Óãëîâàÿ ñêîðîñòü
ω è ÷àñòîòà ν ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
π
ω= πν =2
2
T. (2.1.19)
Ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè òî÷êè ïî
îêðóæíîñòè ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ
òîëüêî ïî íàïðàâëåíèþ. Óñêîðåíèå ïðè
ýòîì íàïðàâëåíî ïî ðàäèóñó ê öåíòðó îê-
ðóæíîñòè è íàçûâàåòñÿ öåíòðîñòðåìèòåëü-
íûì, èëè íîðìàëüíûì óñêîðåíèåì:
==ω=ω
2
2
nv
aRv
R . (2.1.20)
Ïðè íåðàâíîìåðíîì äâèæåíèè òî÷êè
ïî îêðóæíîñòè ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ íå
òîëüêî ïî íàïðàâëåíèþ, íî è ïî àáñîëþò-
íîìó çíà÷åíèþ.  ýòîì ñëó÷àå âåêòîð
ï î ë í î ã î ó ñ ê î ð å í è ÿ ñîñòîèò èç äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ: öåíò-
ðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ
na è òàíãåíöèàëüíîãî óñêîðåíèÿ ta,
íàïðàâëåííîãî ïî êàñàòåëüíîé âäîëü ñêîðîñòè ïðè óñêîðåííîì äâè-
æåíèè èëè ïðîòèâ — ïðè çàìåäëåííîì è õàðàêòåðèçóþùåãî èçìå-
íåíèå òîëüêî ìîäóëÿ ñêîðîñòè òî÷êè:
=εtaR . (2.1.21)
Ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè
=
0ta .
Èç ðèñ. 2.1.5. âèäíî, ÷òî ìîäóëü âåêòîðà ïîëíîãî óñêîðåíèÿ
=+ 22
nt aaa . (2.1.22)
Õàðàêòåðèñòèêè è óðàâíåíèÿ êèíåìàòèêè ïîñòóïàòåëüíîãî
è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé ñîïîñòàâëåíû â òàáë. 2.1.1.
§ 2.2. ÄÈÍÀÌÈÊÀ
 äèíàìèêå êàæäîå òåëî õàðàêòåðèçóåòñÿ ìàññîé. Ìàññà òåëà
îïðåäåëÿåò èíåðöèîííûå è ãðàâèòàöèîííûå ñâîéñòâà ìàòåðèè.
Îáùàÿ ìàññà ñèñòåìû òåë ðàâíà ñóììå ìàññ ñîñòàâëÿþùèõ åå òåë.
Ðèñ. 2.1.5. Íàïðàâëåíèÿ
âåêòîðîâ íîðìàëüíîãî rna,
òàíãåíöèàëüíîãî rta è ïîë-
íîãî r
a óñêîðåíèé
§ 2.2. Äèíàìèêà

42
Ò à á ë è ö à 2.1.1
Êèíåìàòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè è óðàâíåíèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî
è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé
Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå
rr — ðàäèóñ-âåêòîð
Sr — ïóòü =ϕ SR ϕr— óãîë
vr — ñêîðîñòü =ω vR ωr
— óãëîâàÿ ñêîðîñòü
ar — óñêîðåíèå =εtaR ; =ω 2
n aR εr— óãëîâîå óñêîðåíèå
Ôîðìà óðàâíåíèÿ
Äèôôåðåí-
ÈíòåãðàëüíàÿÄèôôåðåí-
Èíòåãðàëüíàÿ
öèàëüíàÿ öèàëüíàÿ
() rtr 0
0 () d
t
rt r v t=+ ∫ rrr ()t ϕr 0
0 () d
t
tt ϕ=ϕ+ω ∫ rrr
d
()
dr
vt
t =r
r 0
0 () d
t
vt v a t=+ ∫ rrr d
()
d t
t ϕ
ω=r
r 0
0 () d
t
tt ω=ω+ε ∫ rrr
2
2 dd
()
d
d vr
at
t
t ==rr
r () atr 2
2 dd
()
d
d t
t
t ωϕ
ε= =rr
r ()t εr
Ðàâíîìåðíîå
0 rr vt=+ rr 0 t ϕ=ϕ +ωrr r
Ðàâíîïåðåìåííîå
0 vv at=+ rr r 0 t ω=ω +εrr r
2
00 1
2 rr vt at=+ + rr r r 2
00 1
2 tt ϕ=ϕ +ω + εrr r r
Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì â êëàññè÷åñêîé è íåðåëÿòèâèñò-
ñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå.
Íåìàëîâàæíóþ ðîëü èãðàþò è äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè òåë, íà-
ïðèìåð ðàçìåð, ôîðìà è èõ èçìåíåíèå ïðè ðàçëè÷íûõ âçàèìîäåé-
ñòâèÿõ. Êîãäà òàêîâûå íå ñóùåñòâåííû, óäîáíî ââîäèòü ïîíÿòèå
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, òî åñòü îáúåêòà, ëèøåííîãî ðàçìåðîâ è ôîð-
Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

43
ìû, íî èìåþùåãî ìàññó. Ðàçáèâàÿ óñëîâíî êàæäîå òåëî íà ÷àñòè,
ðàçìåðû êîòîðûõ ïðåíåáðåæèìî ìàëû, ìîæíî ïðåäñòàâèòü òåëî
êàê ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Êîëè÷åñòâåííîé ìåðîé âçàèìîäåéñòâèÿ òåë ÿâëÿåòñÿ ñèëà. Ñèëà
ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé âåëè÷èíîé è õàðàêòåðèçóåòñÿ çíà÷åíèåì, íà-
ïðàâëåíèåì è òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ. Åñëè ê ìàòåðèàëüíîé òî÷êå ïðè-
ëîæåíî íåñêîëüêî ñèë
12, , ... , , n FF Frr r òî èõ äåéñòâèÿ ìîæíî çàìå-
íèòü äåéñòâèåì ñèëû r
, F êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé
è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîðíóþ ñóììó äàííûõ ñèë:
=
=+++ = ∑
rrr r r
L
12
1 n
ni
i FFF F F . (2.2.1)
Åñëè ìû èìååì äåëî íå ñ òî÷êîé, à ñ ìàòåðèàëüíûì òåëîì, òî
äåéñòâèå íåñêîëüêèõ ñèë â îáùåì ñëó÷àå íåëüçÿ ñâåñòè ê äåéñòâèþ
îäíîé ñèëû. Îäíàêî ýòî äåéñòâèå ìîæíî ñâåñòè ê äåéñòâèþ îäíîé
ñèëû è îäíîé ïàðû ñèë (ìîìåíòà ñèëû), âûçûâàþùèõ ïîñòóïà-
òåëüíîå è âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ñîîòâåòñòâåííî.
Òåëà âçàèìîäåéñòâóþò ïîñðåäñòâîì ñèëîâûõ ïîëåé. Ñèëîâîå
ïîëå — ýòî îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé íà òåëî
äåéñòâóåò ñèëà, çàâèñÿùàÿ îò ñâîéñòâ òåëà.
Ìåòîäû èçìåðåíèÿ ìàññû è ñèëû ñëåäóþò èç îñíîâíûõ çàêî-
íîâ äèíàìèêè. Âèä îñíîâíûõ óðàâíåíèé äèíàìèêè çàâèñèò îò ñè-
ñòåìû îòñ÷åòà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå.
Çàêîíû äèíàìèêè ôîðìóëèðóþòñÿ äëÿ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì, õà-
ðàêòåðèçóþùèõñÿ òåì, ÷òî â òàêèõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà òåëî ñîõðàíÿ-
åò ñîñòîÿíèå ïîêîÿ èëè ðàâíîìåðíîãî ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ,
ïîêà íà íåãî íå ïîäåéñòâóåò êàêàÿ-ëèáî ñèëà. Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè
=r 0 F èëè = ∑
r
0,
iF òî = r
const v èëè 0. v= r (2.2.2)
Ýòî îïðåäåëåíèå èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ ç à ê î í î ì
èíåðöèè, èëè ïåðâûì çàêîíîì Íüþòîíà.
Îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè ôîðìóëèðóåòñÿ âî â ò î ð î ì ç à -
ê î í å Í ü þ ò î í à: óñêîðåíèå, êîòîðîå ïðèîáðåòàåò ìàòåðèàëü-
íàÿ òî÷êà ìàññîé m ïîä äåéñòâèåì ñèëû
r
, F ïðÿìî ïðîïîðöèî-
íàëüíî ñèëå è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ìàññå òî÷êè:
==r
r
r
2
2d1
.
dr
aF
m
t (2.2.3)
Ñîãëàñíî ò ð å ò ü å ì ó ç à ê î í ó Í ü þ ò î í à, ïðè âçàèìî-
äåéñòâèè äâóõ òåë ñèëû, äåéñòâóþùèå íà íèõ, ðàâíû ïî çíà÷åíèþ
è ïðîòèâîïîëîæíû ïî íàïðàâëåíèþ: § 2.2. Äèíàìèêà

44
=− rr 12 21FF . (2.2.4)
Èçìåðèâ óñêîðåíèÿ, ïîëó÷åííûå òåëàìè ïðè âçàèìîäåéñòâèè,
ìîæíî ïîëó÷èòü îòíîøåíèÿ èõ ìàññ, òî åñòü ñðàâíèòü ëþáóþ ìàñ-
ñó ñ ýòàëîííîé. Â ÑÈ ýòàëîíîì ìàññû ÿâëÿåòñÿ êèëîãðàìì (êã).
Èçìåðÿÿ óñêîðåíèÿ, ïðèäàâàåìûå îäíîé è òîé æå ìàññå ðàçëè÷-
íûìè ñèëàìè, ìîæíî èçìåðÿòü ñèëû. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà òðåõ
çàêîíîâ Íüþòîíà ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü âñå âõîäÿùèå â íèõ íåêè-
íåìàòè÷åñêèå âåëè÷èíû, ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé è ïîëíîé.
Çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ ñèëû ïðèíÿò íüþòîí (Í) — ñèëà, êîòî-
ðàÿ ìàññå 1 êã ïðèäàåò óñêîðåíèå 1 ì/ñ
2: []F = Í = êã•ì/ñ 2.
Èìïóëüñîì òåëà ìàññîé m, äâèæóùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ rv, íàçû-
âàåòñÿ âåêòîð
= r
r
Pmv . (2.2.5)
Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà,
d( ) dmv F t=r
r (2.2.6)
èëè
∆= − = ∫
rr r r 2
1
21() () d
t
t
PPt Pt Ft , (2.2.7)
ãäå
∆r
P — èçìåíåíèå èìïóëüñà òåëà; ∫
r2
1
d
t
t
Ft — èìïóëüñ ñèëû, äåéñò-
âóþùèé íà òåëî çà âðåìÿ
∆= − 21 tt t . Åäèíèöà èçìåðåíèÿ èìïóëü-
ñà:
[]P = êã•ì/ñ.
Èìïóëüñîì ñèñòåìû òåë íàçûâàåòñÿ âåêòîðíàÿ ñóììà èìïóëüñîâ
âñåõ òåë, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó:
11 2 2
1 n
nn i i
i Mv m v m v m v m v
=
=+ +…+ = ∑ rr r r r . (2.2.8)
 ñèñòåìå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ìàññàìè
… 12,,, n mm m ñóùåñòâóåò
òî÷êà, êîòîðîé ìîæíî ïðèïèñàòü ïîëíóþ ìàññó ñèñòåìû
=∑ i Mm
è ïîëíûé èìïóëüñ ii
i Mv m v= ∑ rr . Òàêàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ öåíòðîì
ìàññ, èëè öåíòðîì èíåðöèè ñèñòåìû. Åñëè ðàäèóñ-âåêòîð i-é òî÷êè
ðàâåí
rir, òî ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ìàññ ðàâåí:
ii
i
c
i
imr
r
m = ∑
∑ r
r
. (2.2.9)Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

45
Ç à ê î í ñ î õ ð à í å í è ÿ è ì ï ó ë ü ñ à: åñëè íà ñèñòåìó òåë
íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû (òàêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ çàìêíó-
òîé), òî âíóòðåííèå ñèëû íå ìîãóò èçìåíèòü èìïóëüñ ñèñòåìû,
è îí îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì:
ïðè
= r
0 F const ii
i PMv mv== = ∑
r
rr . (2.2.10)
Åñëè òåëî äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû
r
F, òî ðàáîòîé, ñîâåð-
øàåìîé ñèëîé r
F ïðè ïåðåìåùåíèè íà âåëè÷èíó r ∆r, íàçûâàåòñÿ
ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ñèëû è ïåðåìåùåíèÿ:
cos AF r F r=⋅∆=⋅∆⋅ αr
r , (2.2.11)
ãäå
α — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r
F è r
S.
Ðàáîòà ñèëû r
F çà âðåìÿ ∆= − 21 tt t ñîñòàâëÿåò:
=∫
r
r2
1
d
t
t
AFr . (2.2.12)
Åäèíèöåé èçìåðåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ äæîóëü
(Äæ) — ðàáîòà, êîòîðóþ ñîâåðøàåò ñèëà â 1 Í íà ïóòè â 1 ì:
[]A =
= Äæ = Í•ì.
Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ñèëîé
r
F â åäèíèöó âðåìåíè, íàçûâàåòñÿ
ìîùíîñòüþ
dd( ) d
cos
dd dAFSFS
NFvFv
tt t⋅
== = =⋅=⋅⋅αrr
rr
r
r , (2.2.13)
ãäå
α — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r
F è r
v.
Åäèíèöåé ìîùíîñòè ÿâëÿåòñÿ âàòò (Âò). Ýòî ìîùíîñòü, ïðè
êîòîðîé çà 1 ñ ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà â 1 Äæ:
[] = N Âò = Äæ/ñ.
Êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé äâèæóùåãîñÿ òåëà íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíàÿ
âåëè÷èíà
2
кин
2 mv
E= . (2.2.14)
Èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè òåëà çà âðåìÿ
∆= − 21 tt t
ðàâíî ðàáîòå A ñèë, äåéñòâóþùèõ íà íåãî çà ýòî âðåìÿ:
2
1 22
21
кин
d
22
t
t mv t mv t
AFr E==−=∆

r
r . (2.2.15)
Ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé òåëà èëè ñèñòåìû òåë íàçûâàåòñÿ ýíåð-
ãèÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ âçàèìîäåéñòâó- § 2.2. Äèíàìèêà

46
þùèõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òåëà èëè òåë, ñîñòàâëÿþùèõ ýòó ñèñòå-
ìó, è îò èõ ïîëîæåíèÿ âî âíåøíåì ñèëîâîì ïîëå (íàïðèìåð, ãðà-
âèòàöèîííîì, ýëåêòðîìàãíèòíîì è ò. ï.). Åñëè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåð-
ãèÿ íàçûâàåòñÿ ýíåðãèåé äâèæåíèÿ, òî ïîòåíöèàëüíàÿ — ýíåðãèåé
ïîëîæåíèÿ.
Ïîíÿòèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè èìååò ìåñòî òîëüêî äëÿ ñèñ-
òåì, â êîòîðûõ äåéñòâóþò òàê íàçûâàåìûå êîíñåðâàòèâíûå ñèëû.
Êîíñåðâàòèâíûìè íàçûâàþòñÿ ñèëû, ðàáîòà êîòîðûõ íå çàâèñèò îò
ïóòè, ïî êîòîðîìó ÷àñòèöà ïåðåõîäèò èç îäíîãî ïîëîæåíèÿ â äðó-
ãîå, òî åñòü ðàáîòà ýòèõ ñèë íà ëþáîì çàìêíóòîì ïóòè ðàâíà íóëþ.
Ïðèìåðîì êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ñëóæèò ñèëà òÿæåñòè, íåêîíñåðâà-
òèâíûõ — ñèëà òðåíèÿ.
Óìåíüøåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
потЕ òåëà ïðè åãî ïåðå-
ìåùåíèè èç îäíîãî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå â äðóãîå ÷èñëåííî
ðàâíî ðàáîòå, êîòîðóþ ñîâåðøàþò ïðè ýòîì äåéñòâóþùèå íà íåãî
êîíñåðâàòèâíûå ñèëû:
() ( ) пот 1 пот 2ЕrЕr A−= rr . (2.2.16)
Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó â êàæäîé òî÷êå ïîëÿ, ñâÿçàíà
ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé ÷àñòèöû â ýòîé òî÷êå ïîëÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
пот grad FЕ=− r . (2.2.17)
Ôîðìóëà (2.2.17) ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåð-
ãèþ ñèñòåìû â ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ. Íàïðèìåð, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåð-
ãèÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè ñîñòàâëÿåò
потЕmgh= ,
à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãîé äåôîðìàöèè —
2
пот
2 kx
Е= , (2.2.18)
ãäå
m — ìàññà òåëà; g — óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ; h —
âûñîòà òåëà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà îòñ÷åòà;
k — êîýôôèöèåíò óï-
ðóãîñòè;
x— ñìåùåíèå òåëà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ãäå пот 0 Е=.
Èç ôîðìóëû (2.2.17) âèäíî, ÷òî ê âåëè÷èíå
потЕ ìîæåò áûòü
äîáàâëåíà ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, è ýòî íå èçìåíèò çíà÷åíèå
ñèëû
r
F. Ïîýòîìó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íå ìîæåò áûòü îïðå-
äåëåíà îäíîçíà÷íî. Íåîïðåäåëåííîñòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
óñòðàíÿþò, çàäàâ òàêîå ïîëîæåíèå ñèñòåìû, â êîòîðîì åå ïîòåí-
öèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óñëîâíî ðàâíà íóëþ.Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

47
Ïðèðàâíÿâ ôîðìóëû (2.2.15) è (2.2.16), ïîëó÷àåì
() () () ( )
22
21
пот 1 пот 2
22 mv t mv t
ЕrЕr −= −rr , (2.2.19)
èëè
() ()() ()
22
12
пот 1 пот 2
22 mv t mv t
Еr Еr +=+rr . (2.2.20)
Äàííûå ôîðìóëû âûðàæàþò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ì åõ à-
í è ÷ å ñ ê î é ý í å ð ã è è: ñóììà êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèé òåëà ñîõðàíÿåòñÿ:
кин пот const EE+= . (2.2.21)
Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé
ýíåðãèè âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî ïðè îòñóòñòâèè ñèë òðåíèÿ â ñèñòåìå.
Íàëè÷èå ñèë òðåíèÿ âûçûâàåò äèññèïàöèþ ýíåðãèè — óìåíüøå-
íèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè è ïðåâðàùåíèå åå âî âíóòðåííþþ ýíåð-
ãèþ, òî åñòü â òåïëî.
Åñëè äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñóùåñòâóåò ñâÿçü, íå ïîçâîëÿþ-
ùàÿ åé óäàëèòüñÿ íà ðàññòîÿíèå, áîëüøåå, ÷åì
r
R, îò öåíòðà âðà-
ùåíèÿ, òî îíà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè.
Öåíòðîñòðåìèòåëüíîé ñèëîé íàçûâàåòñÿ ñèëà
r
nF , ñîçäàþùàÿ
öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå (2.1.20)
=
2
nv
a
R , íåîáõîäèìîå äëÿ
òîãî, ÷òîáû ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé
m äâèãàëàñü ïî îêðóæíî-
ñòè ðàäèóñîì
R ñî ñêîðîñòüþ v.
Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà,
== =ω
2
2
nnv
Fmam mR
R . (2.2.22)
Ðàâíàÿ öåíòðîñòðåìèòåëüíîé ñèëå è ïðîòèâîïîëîæíî åé íà-
ïðàâëåííàÿ ñèëà, ñ êîòîðîé ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, ñîãëàñíî òðåòüå-
ìó çàêîíó Íüþòîíà, äåéñòâóåò íà ñâÿçü, íàçûâàåòñÿ öåíòðîáåæíîé
ñèëîé.
Ïðè öåíòðèôóãèðîâàíèè ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà íåêîòîðûé ìà-
ëûé îáúåì V æèäêîñòè ñî ñòîðîíû îêðóæàþùåé æèäêîñòè, ðàâíà
2
11 ddFRV=ρω , (2.2.23)
ãäå
ρ1 — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; ω — óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ;
R — ðàññòîÿíèå îò ÷àñòèöû äî îñè âðàùåíèÿ. § 2.2. Äèíàìèêà

48
Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó, çàíèìàþùóþ äàííûé îáúåì dV,
2
22 ddFRV=ρ ω , (2.2.24)
ãäå
ρ2 — ïëîòíîñòü âåùåñòâà ÷àñòèöû.
Ïðè
>12FF ÷àñòèöû ïåðåìåùàþòñÿ ê îñè âðàùåíèÿ, à ïðè
<12FF — îò îñè âðàùåíèÿ.
Ýôôåêòèâíîñòü öåíòðèôóãèðîâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ ñèë
dF
1 è dF 2:
2
ц2121 ddd( )dFFF RV=−=ρ−ρω , (2.2.25)
òî åñòü ýôôåêò òåì áîëüøå, ÷åì â áoëüøåé ñòåïåíè îòëè÷àþòñÿ
ïëîòíîñòè ñåïàðèðóåìûõ ÷àñòèö è îêðóæàþùåé æèäêîñòè è ÷åì
áîëüøå óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ öåíòðèôóãè.
Âðàùåíèå òåëà ïðîèñõîäèò ïîä äåéñòâèåì ñèëû
r
F, ïðèëîæåí-
íîé ê òî÷êå òåëà, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè r
r îò îñè âðàùåíèÿ.
Ïðè ýòîì âîçíèêàåò ìîìåíò ñèëû, èëè âðàùàþùèé ìîìåíò r
M:
MrF

 rr
r (2.2.26)
èëè â ñêàëÿðíîé ôîðìå:
=αsin MrF , (2.2.27)
ãäå α — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r
r è r
F. Åñëè r
r è r
F âçàèìíî ïåð-
ïåíäèêóëÿðíû, òî
α= sin 1 è =
MrF .
Ïðè äåéñòâèè íåñêîëüêèõ âðàùàþùèõ ìîìåíòîâ
12, , ..., n MM Mrr r
èõ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ìîìåíòîì, ðàâíûì âåêòîðíîé ñóììå
äàííûõ ìîìåíòîâ:
12
1 ...
n
ni
i
MM M M M
=
=+++ = ∑
rr r r r
. (2.2.28)
Ìîìåíòîì èìïóëüñà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íàçûâàåòñÿ âåêòîð
r
L:
LrP

 rr
r , (2.2.29)
ãäå r
P — èìïóëüñ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè; r
r— ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
äî îñè âðàùåíèÿ.
Òàê êàê
= r
r
Pmv è [] vr=ω× rr
r , òî
2 [][] LrP mrvmr I=× = ×= ω=ω rr
rrr
rr . (2.2.30)
Èç ôîðìóëû (2.2.30) âèäíî, ÷òî íàïðàâëåíèå âåêòîðà ìîìåíòà
èìïóëüñà ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè.
Âåëè÷èíà
= 2 Imr íàçûâàåòñÿ ìîìåíòîì èíåðöèè ìàòåðèàëü-
íîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ. Ìîìåíò èíåðöèè ñëóæèò
ìåðîé èíåðòíîñòè òåëà ïðè âðàùåíèè âîêðóã íåêîòîðîé îñè, òàê
æå êàê ìàññà ñëóæèò ìåðîé èíåðòíîñòè ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâè-
æåíèè [ñðàâíèòå ôîðìóëû (2.2.5) è (2.2.30)].Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

49
Åñëè ðàññìàòðèâàòü òâåðäîå òåëî, âðàùàþùååñÿ âîêðóã îñè, êàê
ñîâîêóïíîñòü ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê
im , êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàõî-
äèòñÿ íà ðàññòîÿíèè
ir îò îñè âðàùåíèÿ, òî ìîìåíò èíåðöèè ýòîãî
òåëà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
2
ii
i Imr= ∑ , (2.2.31)
èëè
=∫ 2d
V
Irm . (2.2.32)
ãäå V — îáúåì òåëà.
Åäèíèöà èçìåðåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè:
[] = Iêã•ì 2.
Ìîìåíòû èíåðöèè îäíîðîäíûõ òåë ïðàâèëüíîé ôîðìû îòíî-
ñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ:
øàðà ðàäèóñîì R —
= 2 2
5 ImR ; (2.2.33)
öèëèíäðà ñ âíóòðåííèì r è âíåøíèì R (îñü âðàùåíèÿ ñîâïàäà-
åò ñ ãåîìåòðè÷åñêîé îñüþ öèëèíäðà) ðàäèóñàìè —
() =+ 22 1
2 ImrR ; (2.2.34)
òîíêîñòåííîãî öèëèíäðà (

Rr ) —
= 2 Imr ; (2.2.35)
ñïëîøíîãî öèëèíäðà (
=
0 r ) —
= 2 1
2 ImR ; (2.2.36)
òîíêîãî ñòåðæíÿ äëèíîé l (îñü âðàùåíèÿ ïðîõîäèò ïåðïåíäè-
êóëÿðíî ñòåðæíþ ÷åðåç åãî ñåðåäèíó) —
= 2 1
12 Iml . (2.2.37)
Ñîãëàñíî ò å î ð å ì å Ã þ é ã å í ñ à—Ø ò å é í å ð à, ìîìåíò èíåð-
öèè I îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
=+ 2
0 II md , (2.2.38)
ãäå I
0 — ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
öåíòð ìàññ òåëà è ïàðàëëåëüíîé çàäàííîé; m — ìàññà òåëà; d —
ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè. Ýòà òåîðåìà ñâîäèò âû÷èñëåíèå ìîìåíòà
èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè ê âû÷èñëåíèþ ìîìåíòà
èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ òåëà. § 2.2. Äèíàìèêà

50
Îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, èëè
âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ:
= r
r
d
dL
M
t , (2.2.39)
èëè
ω
==εr
r
r d
d MI I
t , (2.2.40)
ãäå I — ìîìåíò èíåðöèè;
εr — óãëîâîå óñêîðåíèå; r
M — ìîìåíò
ñèëû.
Èç îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
ñëåäóåò ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ: åñëè
ðàâíîäåéñòâóþùàÿ âñåõ ìîìåíòîâ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê òåëó
==∑
rr
0
i MM , òî const ω=r èëè 0 ω=r è ç à ê î í ñ î õ ð à í å í è ÿ
ì î ì å í ò à è ì ï ó ë ü ñ à: ìîìåíò èìïóëüñà çàìêíóòîé ñèñòåìû
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì:
= r
d
0
dL
t , èëè = r
const L . (2.2.41)
Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ:
=− rr 12 21MM . (2.2.42)
Ïðè âðàùåíèè òåëà âíóòðåííèå ñèëû ðàáîòû íå ñîâåðøàþò.
Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ïðè ïîâîðîòå íà ìàëûé óãîë
dϕ ðàâíà
=ϕd z AM , (2.2.43)
ãäå M
z — ïðîåêöèÿ ìîìåíòà ñèë íà îñü âðàùåíèÿ.
Òîãäà ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ïðè ïîâîðîòå òåëà íà óãîë
∆ϕ=ϕ −ϕ 21 ðàâíà
ϕ
ϕ
=ϕ=∆ϕ ∫
2
1
dzz AM M . (2.2.44)
Ìîùíîñòü N â ñëó÷àå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
ϕ
== =ωdd
dd zz A
NMM
tt . (2.2.45)
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà ïðè âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè
2
кин
2 I

= . (2.2.46)Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

51
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåë, ñîâåðøàþùèõ îäíîâðåìåííî ïî-
ñòóïàòåëüíîå è âðàùàòåëüíîå äâèæåíèÿ, ðàâíà àðèôìåòè÷åñêîé
ñóììå ýíåðãèé îáîèõ òèïîâ äâèæåíèé:
22
кин
22 mv I

=+ . (2.2.47)
Õàðàêòåðèñòèêè è óðàâíåíèÿ äèíàìèêè ïîñòóïàòåëüíîãî è âðà-
ùàòåëüíîãî äâèæåíèé ñîïîñòàâëåíû â òàáë. 2.2.1.
Ò à á ë è ö à 2.2.1
Õàðàêòåðèñòèêè è óðàâíåíèÿ äèíàìèêè ïîñòóïàòåëüíîãî
è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé
Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå
Ìàññà m Ìîìåíò èíåðöèè I
Ñèëà r
F Ìîìåíò ñèëû r
M
Èìïóëüñ Pr Ìîìåíò èìïóëüñà Lr
Ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà
const v= r èëè 0 v= r ïðè = ∑
r
0
iFconst ω=r
èëè 0ω=r
ïðè = ∑
r
0
iM
Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà
=

r
r
iFma=ε ∑
r
r
iMI
Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà
=− rr
12 21FF=− rr 12 21MM
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñàÇàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà
èìïóëüñà
const P= r = r
const L
Ðàáîòà
AFr=∆r AM=∆ϕr
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
2
кин
2 mv
E=
2
кин
2 I

=
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
2
пот const
2 mv
E += 2
пот const
2 I
E ω
+=
Ìîùíîñòü
A
NFv
t ==r
r A
NM
t ==ωr
r
§ 2.2. Äèíàìèêà

52
§ 2.3. ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß
Ìåõàíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè, èëè êîëåáàòåëüíûì äâèæåíèåì,
íàçûâàþòñÿ äâèæåíèÿ òåë, õàðàêòåðèçóþùèåñÿ òîé èëè èíîé ñòå-
ïåíüþ ïîâòîðÿåìîñòè ÷åðåç îïðåäåëåííûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè.
Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè êîëåáàíèé ââîäÿòñÿ ñëåäóþùèå âåëè÷èíû:
1) îòêëîíåíèå, èëè ñìåùåíèå x, îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ:
==+
(), ( ), xft xftT (2.3.1)
ãäå
() ft — ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè;
2) àìïëèòóäà À êîëåáàíèÿ — ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå îò ïî-
ëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ;
3) ïåðèîä Ò — äëèòåëüíîñòü îäíîãî ïîëíîãî êîëåáàíèÿ;
4) ÷àñòîòà
ν — ÷èñëî êîëåáàíèé â åäèíèöó âðåìåíè,
ν=1
;
T (2.3.2)
5) êðóãîâàÿ, èëè öèêëè÷åñêàÿ, ÷àñòîòà:
π
ω= πν =2
2
T ; (2.3.3)
5) ôàçà êîëåáàíèÿ:
ϕ=ω + ϕ0 t . (2.3.4)
ãäå
ϕ0 — íà÷àëüíàÿ ôàçà ïðè =
0 t .
Ôàçà îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî ñëàãàåìîãî,
êðàòíîãî 2π. Ïîýòîìó îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ϕ
0, ëåæà-
ùèå â ïðåäåëàõ îò –π äî +π.
Åäèíèöû èçìåðåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí: ÷àñòîòà
ν [] = Ãö = ñ —1 ; ïå-
ðèîä
[]T = ñ; öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà ω [] = ðàä/ñ; àìïëèòóäà è ñìå-
ùåíèå
= [] []Ax = ì.
Íèæå áóäóò ðàññìîòðåíû òàê íàçûâàåìûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëå-
áàíèÿ, òî åñòü êîëåáàíèÿ, ïðè êîòîðûõ êîëåáëþùàÿñÿ âåëè÷èíà
èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó ñèíóñà èëè êîñèíóñà.
Íåçàòóõàþùèå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëå-
áàíèÿ ñîâåðøàþòñÿ ïîä äåéñòâèåì óïðóãèõ èëè êâàçèóïðóãèõ
1 ñèë,
îïèñûâàåìûõ çàêîíîì Ãóêà:
=−
Fkx , (2.3.5)
1 Êâàçèóïðóãèìè íàçûâàþòñÿ ñèëû, íåóïðóãèå ïî ïðèðîäå, íî àíàëîãè÷íûå ïî
ñâîéñòâàì óïðóãèì, âîçíèêàþùèå ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ óïðóãèõ òåë.  êà÷å-
ñòâå ïðèìåðà êâàçèóïðóãèõ ñèë ìîæíî ïðèâåñòè ñèëû, ïîä äåéñòâèåì êîòîðûõ
êîëåáëåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê.
Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

53
ãäå F — âîçâðàùàþùàÿ ñèëà; x — ñìåùåíèå îò ïîëîæåíèÿ ðàâ-
íîâåñèÿ (ãäå
=
0 x ); k— êîýôôèöèåíò êâàçèóïðóãîé ñèëû, èëè
æåñòêîñòü. Çíàê «—» óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ñòðå-
ìèòñÿ âåðíóòü òåëî â èñõîäíîå ïîëîæåíèå, òî åñòü íàïðàâëåíà ïðî-
òèâ ñìåùåíèÿ.
Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, óðàâíåíèå (2.3.5) ìîæåò
áûòü ïðîáðàçîâàíî ó âèäó
=−
ma kx , (2.3.6)
ãäå ò — ìàññà êîëåáëþùåãîñÿ òåëà.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
2
2d
dx
a
t = , è ââåäÿ îáîçíà÷åíèå ω=2 k
m,
ïîëó÷àåì
2
2
2d
0
dx
x
t+ω = . (2.3.7)
Óðàâíåíèå (2.3.7) ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì
íåçàòóõàþùèõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Åãî ðåøåíèå èìååò âèä
() ( ) 0 cos xt A t=ω+ϕ , (2.3.8)
èëè
() ( ) 0 sin xt A t=ω+ϕ .
Äëÿ ëþáûõ íåçàòóõàþùèõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñïðàâåä-
ëèâû ôîðìóëû:
ω=k
m ; ν=
π 1
2k
m ; =π
2m
T
k . (2.3.9)
Ïåðèîäû êîëåáàíèé äëÿ ïðîñòåéøèõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì:
ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà — ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ïîäâåøåí-
íîé íà íèòè,
π
==π
ω 2
2l
T
g , (2.3.10)
ãäå l — äëèíà ìàÿòíèêà; g — óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ;
ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà — ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ïîäâåøåííîé íà ïðó-
æèíå,

2m
T
k , (2.3.11)
ãäå k — æåñòêîñòü ïðóæèíû; § 2.3. Ìåõàíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ

54
ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà — òâåðäîãî òåëà, ñîâåðøàþùåãî ïîä äåé-
ñòâèåì ñèëû òÿæåñòè êîëåáàíèÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè ïîä-
âåñà,
=π2I
T
mgl ,
ãäå I — ìîìåíò èíåðöèè ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî îñè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ïîäâåñà; l — ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êîé
ïîäâåñà è öåíòðîì òÿæåñòè ìàÿòíèêà.
Ñêîðîñòü è óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïðè ãàðìîíè÷å-
ñêîì êîëåáàíèè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:
() () ==−ωω+ϕ= 0 d
sin
dx
vt A t
t
ππ

=ω ω+ϕ+ = ω+ϕ+

 0max 0 cos cos
22 At v t ; (2.3.12)
() () ===−ω ω+ϕ=
2
2
0
2dd
cos
d
dxv
at A t
t
t
()() = ω ω+ϕ+π= ω+ϕ+π 2
0max 0cos cos At a t , (2.3.13)
ãäå
=ω maxvA — ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü (àìïëèòóäà ñêîðîñòè);
=ω 2
max aA — ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå (àìïëèòóäà óñêîðåíèÿ).
Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü è óñêîðåíèå, òàê æå êàê è ñìåùåíèå,
èçìåíÿþòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó. Ñðàâíèâ âûðàæåíèÿ (2.3.8),
(2.3.12) è (2.3.13) çàìå÷àåì, ÷òî ñêîðîñòü îïåðåæàåò ñìåùåíèå ïî
ôàçå íà
π
2 , à óñêîðåíèå — íà π, òî åñòü ñìåùåíèå è óñêîðåíèå
íàõîäÿòñÿ â ïðîòèâîôàçå (ðèñ. 2.3.1).
Ðèñ. 2.3.1. Ãðàôè÷åñêèå çàâèñèìîñòè ñìåùåíèÿ x, ñêîðîñòè v è óñêîðåíèÿ a
Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

55
Êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëå-
áàíèé ðàâíû:
() 2222
кин 0 11
sin
22 EmvmA t==ωω+ ϕ , (2.3.14)
() 222
пот 0 11
cos
22 EkxkA t== ω+ ϕ . (2.3.15)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
2 k
m ω=, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáà-
íèé ðàâíà:
22 22 2 111 1
222 2 Emv kx mA kA=+=ω= . (2.3.16)
Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé
ñîõðàíÿåòñÿ:
кин пот cons t EE E=+= , â òî âðåìÿ êàê êèíåòè÷åñêàÿ
è ïîòåíöèàëüíàÿ èçìåíÿþò-
ñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêî-
íó, âçàèìíî ïðåâðàùàÿñü
äðóã â äðóãà (ðèñ. 2.3.2).
Çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ.
 ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ñèñ-
òåìàõ, ó÷àñòâóþùèõ â êîëå-
áàòåëüíîì äâèæåíèè, âñåãäà
ïðèñóòñòâóþò ñèëû ñîïðî-
òèâëåíèÿ, äåéñòâèå êîòîðûõ
óìåíüøàåò ýíåðãèþ ñèñòåìû.
Óìåíüøåíèå ýíåðãèè ïðîÿâëÿåòñÿ â çàòóõàíèè êîëåáàíèé.
Ïðè íå î÷åíü áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ è àìïëèòóäàõ êîëåáàíèé ñèëà
ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà:
=− =−d
dc x
Fr rv
t , (2.3.17)
ãäå r — êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ èëè âÿçêîãî òðåíèÿ. Òàê êàê
âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà ñìåùåíèþ, òî èç âòîðîãî
çàêîíà Íüþòîíà
=− −
2
2dd
d
dxx
mkxr
t
t (2.3.18)
ñëåäóåò äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé:
+β +ω =
2
2
0
2dd
20
d
dxx
x
t
t , (2.3.19)
Ðèñ. 2.3.2. Çàâèñèìîñòè êèíåòè÷åñêîé Å êèí ,
ïîòåíöèàëüíîé Å
ïîò è ïîëíîé ýíåðãèè Å ñèñ-
òåìû îò âðåìåíè t
ïîò êèí
§ 2.3. Ìåõàíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ

56
ãäå β=
2r
m — êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ, õàðàêòåðèçóþùèé ñòåïåíü
çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé;
ω=0 k
m — ñîáñòâåííàÿ êðóãîâàÿ ÷àñòîòà
êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû, òî åñòü ÷àñòîòà, ñ êîòîðîé ñîâåðøàëèñü áû
ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû â îòñóòñòâèå ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû
(ïðè
=
0 r ).
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðè ñëàáîì çàòóõàíèè β < ω
0 ñëåäóþ-
ùåå:
() 0 ecos t xA t −β =ω+ ϕ , (2.3.20)
ãäå A
0 — àìïëèòóäà êîëåáà-
íèé â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðå-
ìåíè (t=0);
ω= ω −β 22
0 —
êðóãîâàÿ ÷àñòîòà çàòóõàþùèõ
êîëåáàíèé. Ãðàôèê ôóíê-
öèè (2.3.20) ïðèâåäåí íà
ðèñ. 2.3.3.
Äâèæåíèå ñèñòåìû ìîæ-
íî ðàññìàòðèâàòü êàê ãàðìî-
íè÷åñêîå êîëåáàíèå ñ ÷àñòî-
òîé ω è àìïëèòóäîé À,
èçìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè
ïî çàêîíó:
() 0e t AAt A −β == . (2.3.21)
Ïåðèîä çàòóõàþùåãî êîëåáàíèÿ
π
=
ω−β
22
0
2
T . (2.3.22)
Çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ïðèíÿòî õàðàêòåðèçîâàòü äåêðåìåíòîì
çàòóõàíèÿ
()
() eT At
At T β =
+ (2.3.23)
èëè ëîãàðèôìè÷åñêèì äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ
()
() λ= =β
+ lnAt
T
At T . (2.3.24)
Ðèñ. 2.3.3. Çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ( 0 β<ω )
Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

57
Ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ λ òàê æå êàê è êîýô-
ôèöèåíò çàòóõàíèÿ β, õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü óáûâàíèÿ àìïëèòó-
äû êîëåáàíèé.
Åñëè çàòóõàíèå â ñèñòåìå çíà÷èòåëüíî
β>ω 0 () , òî â ýòîì ñëó-
÷àå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïåðèîäè÷åñêèì (àïåðèîäè÷åñêèì). Ñèñ-
òåìà âîçâðàùàåòñÿ â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, íå ñîâåðøàÿ êîëåáà-
íèé. Âîçìîæíû äâà âàðèàíòà òàêîãî âîçâðàùåíèÿ. Åñëè âûâåäåííîé
èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìå ñîîáùàþò äîñòàòî÷íî ñèëüíûé
òîë÷îê (â ñòîðîíó ðàâíîâåñèÿ) òàê, ÷òî âîçâðàùåíèå ê èñõîäíîìó
ñîñòîÿíèþ ïðîèñõîäèò ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé óñ-
ëîâèåì
() >β+β−ω 22
00 0 x v , (2.3.25)
ãäå
0x — ñìåùåíèå îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî ïðîöåññ îïè-
ñûâàåòñÿ êðèâîé 1 (ðèñ. 2.3.4). Åñëè æå âîçâðàùåíèå ê ïîëîæå-
íèþ ðàâíîâåñèÿ ïðîèñõîäèò ñà-
ìîïðîèçâîëüíî — áåç òîë÷êà
èëè ñîïðîâîæäàåòñÿ òîë÷êîì
íåäîñòàòî÷íîé ñèëû äëÿ âûïîë-
íåíèÿ óñëîâèÿ (2.3.25),— òî
äâèæåíèå îïèñûâàåòñÿ êðèâîé
2 (ðèñ. 2.3.4).
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Äëÿ
ïîëó÷åíèÿ íåçàòóõàþùèõ êîëåáà-
íèé íåîáõîäèìî âîçäåéñòâèå
âíåøíåé ñèëû, ðàáîòà êîòîðîé
âîñïîëíÿëà áû âûçâàííîå ñèëà-
ìè ñîïðîòèâëåíèÿ óìåíüøåíèå
ýíåðãèè êîëåáëþùåéñÿ ñèñòåìû.
Òàêèå êîëåáàíèÿ íàçûâàþòñÿ âû-
íóæäåííûìè.
Åñëè êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà
ïîäâåðãàåòñÿ äåéñòâèþ âíåøíåé
ñèëû ñ àìïëèòóäîé
0F , èçìåíÿ-
þùåéñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çà-
êîíó c ÷àñòîòîé ω,
в=ω 0cos FF t , (2.3.26)
òî èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà
в =+ +
2
2d
d c x
mFFF
t (2.3.27)
Ðèñ. 2.3.4. Äâà âîçìîæíûõ ñïîñîáà âîç-
âðàùåíèÿ ñèñòåìû ê ïîëîæåíèþ ðàâ-
íîâåñèÿ ïðè àïåðèîäè÷åñêîì äâèæåíèè
(
0 β>ω )
§ 2.3. Ìåõàíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ

58
ñëåäóåò äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé:
+β +ω = ω
2
2
00
2dd
2cos
d
dxx
xf t
t
t , (2.3.28)
ãäå
β=
2r
m ; ω=2
0 k
m ; = 0
0F
f
m .
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(2.3.28) ñîñòîèò èç äâóõ
ñëàãàåìûõ. Îäíî èç íèõ
ñîîòâåòñòâóåò ïðîöåññó
óñòàíîâëåíèÿ êîëåáàíèé
(ðèñ. 2.3.5), ñî âðåìåíåì
èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü;
âòîðîå — óñòàíîâèâøèì-
ñÿ êîëåáàíèÿì.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(2.3.28), îòâå÷àþùåå óñ-
òàíîâèâøèìñÿ êîëåáàíè-
ÿì, èìååò âèä:
() =ω−αcos xA t , (2.3.29)
ãäå
()
=
ω−ω +βω 0
2
22 22
0
4 f
A
; (2.3.30)
ωβ
α=
ω−ω
22
0
2
arctg . (2.3.31)
×àñòîòà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ðàâíà ÷àñòîòå ω âûíóæäàþ-
ùåé ñèëû F
â. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñäâèíóòû ïî ôàçå îòíîñè-
òåëüíî âûíóæäàþùåé ñèëû.
Èç ôîðìóëû (2.3.30) âèäíî, ÷òî àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëå-
áàíèé ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà àìïëèòóäå âûíóæäàþùåé ñèëû
0F
0
0F
f
m 
=

 è ñëîæíûì îáðàçîì çàâèñèò îò êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ
β, ñîáñòâåííîé êðóãîâîé ÷àñòîòû ω
0 è âíåøíåé ω. Ïðè íåêîòîðîì
çíà÷åíèè ω àìïëèòóäà äîñòèãíåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ.
ßâëåíèå äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëüíîé àìïëèòóäû íàçûâàåòñÿ ðåçî-
íàíñîì, à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòîòà ω
ðåç — ðåçîíàíñíîé.
Ðèñ. 2.3.5. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ
Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

59
Àìïëèòóäà äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, êîãäà çíàìåíà-
òåëü âûðàæåíèÿ (2.3.30) äîñòèãàåò ìèíèìàëüíîãî. Ïðîäèôôåðåí-
öèðîâàâ åãî ïî ω, ïðèðàâíÿâ íóëþ è ðåøèâ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
îòíîñèòåëüíî ω, ïîëó÷àåì çíà÷åíèå ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû:
резω=ω−β 22
0 2 . (2.3.32)
Ïîäñòàâèâ (2.3.32) â (2.3.30), ïîëó÷àåì çíà÷åíèå àìïëèòóäû ïðè
ðåçîíàíñå:
рез =
βω −β 0
22
0
2f
A
. (2.3.33)
Èç ôîðìóëû (2.3.32) âèäíî, ÷òî ÷åì ìåíüøå êîýôôèöèåíò çà-
òóõàíèÿ β, òåì áëèæå ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà ω
ðåç ê ñîáñòâåííîé ω 0.
 ïðåäåëå ïðè
β→
0 резω→ω 0 è рез →∞ A . Ïðè î÷åíü áîëüøîì
çàòóõàíèè (
β>ω22
0 2 ) âûðàæåíèå (2.3.32) ñòàíîâèòñÿ ìíèìûì è ðå-
çîíàíñ íå íàáëþäàåòñÿ. Ïðè
ýòîì ñ óâåëè÷åíèåì âíåøíåé
÷àñòîòû àìïëèòóäà âûíóæ-
äåííûõ êîëåáàíèé ìîíîòîí-
íî óìåíüøàåòñÿ (ñì. íèæ-
íþþ êðèâóþ íà ðèñ. 2.3.6).
Ãðàôè÷åñêèå çàâèñèìîñòè
àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ
êîëåáàíèé
A îò âíåøíåé
÷àñòîòû ω, ñîîòâåòñòâóþùèå
ðàçëè÷íûì çíà÷åíèÿì êîýô-
ôèöèåíòà çàòóõàíèÿ β, ïðè-
âåäåíû íà ðèñ. 2.3.6. Òàêèå
êðèâûå íàçûâàþòñÿ ð å ç î-
íàíñíûìè.
 æèâûõ îðãàíèçìàõ íàáëþäàåòñÿ ìíîæåñòâî êîëåáàòåëüíûõ
ïðîöåññîâ (áèåíèå ñåðäöà, ïóëüñàöèÿ êðîâåíîñíûõ ñîñóäîâ, à òàê-
æå ñëó÷àéíûå ìåõàíè÷åñêèå ñîòðÿñåíèÿ). Äëÿ áèîëîãè÷åñêèõ îáúåê-
òîâ ðåçîíàíñ ìîã áû áûòü êðàéíå îïàñåí è âûçûâàòü ñèëüíûå ðàç-
ðóøåíèÿ, îäíàêî êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ âíóòðåííèõ îðãàíîâ
äîñòàòî÷íî âåëèê, ÷òîáû ýòî íå ïðîèñõîäèëî. Òåì íå ìåíåå ÿâëå-
íèå ðåçîíàíñà â æèâûõ îðãàíèçìàõ íàáëþäàåòñÿ è èíîãäà ïðèâî-
äèò ê âðåäíûì âîçäåéñòâèÿì. Íàïðèìåð, ðåçîíàíñ, ïî-âèäèìîìó,
ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ïðè÷èí âðåäíîãî âîçäåéñòâèÿ èíôðàçâóêà
1 è âèá-
ðàöèé íà îðãàíèçì.
Ðèñ. 2.3.6. Ðåçîíàíñíûå êðèâûå
1 ×àñòîòà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé òåëà ÷åëîâåêà â ïîëîæåíèè ëåæà ñîñòàâëÿåò
3...4 Ãö, â ïîëîæåíèè ñòîÿ — 5...12 Ãö; ÷àñòîòà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ãðóäíîé
êëåòêè — 5...8 Ãö, áðþøíîé ïîëîñòè — 3...4 Ãö, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò èíôðàçâóêîâîìó
äèàïàçîíó.
§ 2.3. Ìåõàíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ

60
§ 2.4. ÓÏÐÓÃÈÅ ÂÎËÍÛ. ÇÂÓÊ
Êîëåáëþùååñÿ òåëî ðàñõîäóåò ÷àñòü ýíåðãèè, âîâëåêàÿ â êîëå-
áàòåëüíîå äâèæåíèå îêðóæàþùóþ óïðóãóþ ñðåäó. Ïðîöåññ ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé â ïðîñòðàíñòâå, ñîïðîâîæäàþùèéñÿ ïåðåíî-
ñîì ýíåðãèè, íàçûâàåòñÿ âîëíîé. Âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ
â óïðóãîé ñðåäå (òâåðäîé, æèäêîé, ãàçîîáðàçíîé), íàçûâàþòñÿ
ó ï ð ó ã è ì è. Ïðè ýòîì ÷àñòèöû òîé ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñò-
ðàíÿåòñÿ âîëíà, íå âîâëåêàþòñÿ â ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå, à ëèøü
êîëåáëþòñÿ îêîëî ñâîåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïîýòîìó ðàñïðî-
ñòðàíåíèå âîëíû íå ñîïðîâîæäàåòñÿ ïåðåíîñîì âåùåñòâà.
Âîëíîâîé ïðîöåññ õàðàêòåðèçóåòñÿ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ (ñêîðîñ-
òüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû) v, äëèíîé âîëíû λ, ÷àñòîòîé ν èëè
ïåðèîäîì êîëåáàíèé Ò. Äëèíîé âîëíû íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèå, íà
êîòîðîå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà çà âðåìÿ, ðàâíîå ïåðèîäó êîëåáà-
íèé ÷àñòèö ñðåäû. Î÷åâèäíî, ÷òî
λ= =
ν v
vT ,
òîãäà ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû:
λ
=λν=
v
T. (2.4.1)
Âîëíû ìîãóò áûòü äâóõ òèïîâ: ïîïåðå÷íûå è ïðîäîëüíûå. Ïðè
âîçáóæäåíèè ï î ï å ð å ÷ í û õ âîëí êîëåáàíèÿ ÷àñòèö ïåðïåíäè-
êóëÿðíû íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, à ïðè âîçáóæäå-
íèè ï ð î ä î ë ü í û õ âîëí ñîâïàäàþò ñ íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñò-
ðàíåíèÿ âîëíû.
Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ ÷àñòèö, êîëåáëþùèõñÿ ñ îäèíàêî-
âîé ôàçîé, íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì ôðîíòîì. Åñëè âîëíîâîé ôðîíò
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêîñòü, öèëèíäð èëè ñôåðó, âîëíó íàçûâà-
þò ïëîñêîé, öèëèíäðè÷åñêîé èëè ñôåðè÷åñêîé ñîîòâåòñòâåííî.
Âûâåäåì óðàâíåíèå ïëîñêîé âîëíû. Äëÿ ýòîãî íàïðàâèì îñü x âäîëü
íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Âñå òî÷êè, ëåæàùèå â êàæäîé ïëîñ-
êîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè x, êîëåáëþòñÿ îäèíàêîâî. Âûäåëèì íà îñè x
òî÷êó ñ êîîðäèíàòîé
=0 x (èñòî÷íèê âîëíû). Ïóñòü âñå ÷àñòèöû, íàõîäÿ-
ùèåñÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè x è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
=0 x , ñîâåðøàþò êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó
() =ω+ϕ 0 () cos St A t. (2.4.2)
Âîçáóæäåíèå äîñòèãíåò ïëîñêîñòè ñ ïðîèçâîëüíîé êîîðäèíàòîé x ÷å-
ðåç âðåìÿ
τ=/ xv , ãäå v — ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Êîëåáàíèÿ
òî÷åê ñ êîîðäèíàòîé x çàïàçäûâàþò è ñîâåðøàþòñÿ ïî çàêîíó
Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

61
() [] 

= ω −τ +ϕ = ω − +ϕ =
 

 00 ,cos() cosx
Sxt A t A t
v
ω

=ω−+ϕ

 0 cos Atx
v . (2.4.3)
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû
èìååò âèä:
() ω

=ω−+ϕ

 0 ,cos Sxt A t x
v , (2.4.4)
èëè
() ω

=ω−+ϕ

 0 ,sin Sxt A t x
v , (2.4.5)
ãäå S — ñìåùåíèå ÷àñòèö ñ êîîðäèíàòîé õ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå-
ñèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t; õ — ðàññòîÿíèå äî èñòî÷íèêà êîëåáàíèÿ;
À — àìïëèòóäà (ïîëàãàåì, ÷òî âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ áåç çàòóõà-
íèÿ, ïîýòîìó A = const).
Èíîãäà óðàâíåíèå ïëîñêîé âîëíû çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:
() ( ) =ω−+ϕ 0 ,cos Sxt A t kx , (2.4.6)
ãäå
ωπ
==
λ 2
k
v — âîëíîâîå ÷èñëî.
Êàê âèäèì, óðàâíåíèå ïëîñêîé âîëíû âêëþ÷àåò äâå ïåðåìåí-
íûå — êîîðäèíàòó õ è âðåìÿ t:
=
(,) Sfxt . Íà ðèñ. 2.4.1. ïðèâåäå-
íû çàâèñèìîñòè
=
() Sfx è =
() Sft .
Óðàâíåíèÿ (2.4.4) è (2.4.5) ñïðàâåäëèâû êàê äëÿ ïîïåðå÷íûõ,
òàê è ïðîäîëüíûõ âîëí è ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì äèôôåðåí-
öèàëüíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
22
222 1 SS
xvt ∂∂
=
∂∂ . (2.4.7) § 2.4. Óïðóãèå âîëíû. Çâóê
Ðèñ. 2.4.1. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïëîñêîé âîëíû:
à — çàâèñèìîñòü ñìåùåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ òî÷åê ñ ðàçëè÷íûìè êîîðäèíàòàìè x
â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè; á — çàâèñèìîñòü ñìåùåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ òî÷åê
ñ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé êîîðäèíàòîé x â ðàç-ëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè (λ — äëèíà âîëíû;
Ò — ïåðèîä)
àá

62
Åñëè â ñðåäå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íåñêîëüêî âîëí, òî ïðîèñõîäèò
èõ ñëîæåíèå. Èíòåðôåðåíöèåé íàçûâàåòñÿ ÿâëåíèå ñëîæåíèÿ êîãå-
ðåíòíûõ âîëí, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî íàáëþäàåòñÿ óñèëåíèå èõ àìï-
ëèòóäû â îäíèõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà è îñëàáëåíèå â äðóãèõ. Ïîä
êîãåðåíòíûìè ïîíèìàþòñÿ âîëíû, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ îäèíà-
êîâîé ÷àñòîòîé ω è íå çàâèñÿùåé îò âðåìåíè ðàçíîñòüþ ôàç ∆ϕ,
2
xx
v ωπ
∆ϕ = ∆ = ∆
λ , (2.4.8)
∆õ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ õîäà âîëí.
Óñëîâèå ìàêñèìàëüíîãî óñèëåíèÿ âîëí —
λ
∆=
2
2 xn; ∆ϕ=π
2n , (2.4.9)
à èõ ìàêñèìàëüíîãî îñëàáëåíèÿ —
() λ
∆= +
21
2 xn; () ∆ϕ = + π21n , (2.4.10)
ãäå n = 0, ±1, ±2, …
Ïîäðîáíåå ÿâëåíèå èíòåðôåðåíöèè áóäåò ðàññìîòðåíî â ïàðà-
ãðàôå 13.2.
Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëíû ñîïðîâîæäàåòñÿ ïåðåíîñîì ýíåðãèè,
âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ êîëåáëþùèõñÿ ÷àñòèö
è ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ óïðóãîé äåôîðìàöèè. Èç âûðàæåíèÿ
(2.3.16) ñëåäóåò, ÷òî ñðåäíÿÿ ïî âðåìåíè îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåð-
ãèè (ýíåðãèÿ åäèíèöû îáúåìà), ïåðåíîñèìîé âîëíîé, ðàâíà
==ω =ωρ 22 22 d1 d1
d2 d2Em
wA A
VV , (2.4.11)
ãäå dE — ýíåðãèÿ, çàêëþ÷åííàÿ â îáúåìå dV; À — àìïëèòóäà êîëå-
áàíèÿ ÷àñòèö; ω — èõ öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà:
ρ=
d/dmV — ïëîò-
íîñòü ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà.
Ïîòîêîì ýíåðãèè âîëíû íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïåðå-
íîñèìîé ÷åðåç íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü çà åäèíèöó âðåìåíè:
Φ= =d
dE
wSv
t , (2.4.12)
ãäå v — ñêîðîñòü âîëíû.
Ïîòîê ýíåðãèè, ïðèõîäÿùèéñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè ïîâåðõíî-
ñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ðàñïðîñòðàíåíèþ âîëíû, íàçûâàåòñÿ èí-
òåíñèâíîñòüþ:
Φ
===ρω 22 d1
d2 IwvAv
t . (2.4.13)Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

63
Åäèíèöà èçìåðåíèÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè — äæîóëü íà
ìåòð â êóáå:
[]w = Äæ/ì 3; ïîòîêà ýíåðãèè — âàòò: [Ô] = Âò; èíòåí-
ñèâíîñòè — âàòò íà ìåòð â êâàäðàòå: [I] = Âò/ì 2.
Âûðàæåíèå (2.4.14) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âåêòîðíîé ôîðìå:
= r
r
Iwv . (2.4.14)
Âåêòîð r
I íàçûâàþò âåêòîðîì Óìîâà. Âåêòîð Óìîâà ïîêàçûâàåò
íàïðàâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû è ðàâåí êîëè÷åñòâó ýíåðãèè,
ïåðåíîñèìîé çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíèöó ïëîùàäè ïîâåðõ-
íîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû.
Ïðîäîëüíûå óïðóãèå âîëíû ñ ÷àñòîòàìè îò 16 äî 20 000 Ãö,
âîñïðèíèìàåìûå îðãàíàìè ñëóõà ÷åëîâåêà, íàçûâàþòñÿ çâóêîâûìè
âîëíàìè. Êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé ν > 20 000 Ãö íàçûâàþòñÿ óëüòðà-
çâóêîì, à ñ ν < 16 Ãö — èíôðàçâóêîì. Ñêîðîñòü çâóêà â âîçäóõå ïðè
t = 0°Ñ ðàâíà
=0 331, 6 v ì/ñ. Ýíåðãåòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêîé çâó-
êà, êàê è ëþáîé âîëíû, ÿâëÿåòñÿ èíòåíñèâíîñòü. Íà ÷àñòîòå 1000 Ãö
÷åëîâåê ñïîñîáåí âîñïðèíèìàòü çâóêè â äèàïàçîíå èíòåíñèâíîñòè
îò I
0 = 10 –12 Âò/ì 2 äî I max = 10 Âò/ì 2, ãäå I 0 — ïîðîã ñëûøèìîñòè
(íàèìåíüøàÿ èíòåíñèâíîñòü çâóêà, ïðè êîòîðîé çâóê åùå âîñïðè-
íèìàåòñÿ îðãàíàìè ñëóõà); I
max — ïîðîã áîëåâîãî îùóùåíèÿ (íàè-
áîëüøàÿ èíòåíñèâíîñòü çâóêà, ïðè êîòîðîé âîñïðèÿòèå çâóêà îðãà-
íàìè ñëóõà åùå íå âûçûâàåò áîëåâîãî îùóùåíèÿ). Ïîðîã
ñëûøèìîñòè è ïîðîã áîëåâîãî îùóùåíèÿ çàâèñÿò îò ÷àñòîòû âîñ-
ïðèíèìàåìîãî çâóêà (ðèñ. 2.4.2) è ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ó ðàçíûõ ëþ-
äåé. Êàê ïðàâèëî, ñ âîçðàñòîì ïîðîã ñëûøèìîñòè óâåëè÷èâàåòñÿ,
à ïîðîã áîëåâîãî îùóùåíèÿ — óìåíüøàåòñÿ.
Òàê êàê äèàïàçîí èíòåíñèâíîñòåé çâóêîâ, âîñïðèíèìàåìûõ
÷åëîâåêîì, î÷åíü âåëèê, òî äëÿ ñðàâíåíèÿ èíòåíñèâíîñòåé çâóêà
óäîáíî èñïîëüçîâàòü ëîãàðèôìè÷åñêèå åäèíèöû è ëîãàðèôìè÷å-
ñêóþ øêàëó:
Б=
0
lgI
L
I , (2.4.15)
ãäå I
0 = 10 –12 Âò/ì 2 — ñòàíäàðòíûé ïîðîã ñëûøèìîñòè íà ÷àñòîòå
ν = 1 êÃö; L
Á — óðîâåíü èíòåíñèâíîñòè çâóêà. Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî
L
Á — áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà, äëÿ åå ÷èñëîâîãî çíà÷åíèÿ ïðèíÿòà
åäèíèöà áåë (Á).
Êàê ïðàâèëî, óðîâåíü èíòåíñèâíîñòè çâóêà èçìåðÿåòñÿ íå â áå-
ëàõ, à â äåöèáåëàõ
1 (1 äÁ = 0,1 Á). Óðîâåíü èíòåíñèâíîñòè çâóêà
â äåöèáåëàõ âûðàæàåòñÿ êàê
1 Óðîâåíü èíòåíñèâíîñòè çâóêà ïðèíÿòî èçìåðÿòü â äåöèáåëàõ, òàê êàê â ïðî-
ìåæóòî÷íîì äèàïàçîíå ÷àñòîò è èíòåíñèâíîñòåé çâóêîâ ìèíèìàëüíîå çàìåòíîå
ðàçëè÷èå â óðîâíå èíòåíñèâíîñòè çâóêà, âîñïðèíèìàåìîå óõîì ÷åëîâåêà, ñîîòâåò-
ñòâóåò ïðèìåðíî 1 äÁ.
§ 2.4. Óïðóãèå âîëíû. Çâóê

64
Ðèñ. 2.4.2. Êðèâûå ðàâíîé ãðîìêîñòè — çàâèñèìîñòü óðîâíÿ èíòåíñèâíîñòè îò
÷àñòîòû ïðè çàäàííîé ãðîìêîñòè. Íèæíÿÿ êðèâàÿ ñîîòâåòñòâóåò ïîðîãó ñëûøè-
ìîñòè; âåðõíÿÿ — ïîðîãó áîëåâîãî îùóùåíèÿ
дБ =
0
10 lgI
L
I . (2.4.16)
Ïî ìåðå ðàñïðîñòðàíåíèÿ â ñðåäå çâóêîâàÿ âîëíà âûçûâàåò åå
ñãóùåíèå è ðàçðåæåíèå, êîòîðûå ñîçäàþò äîáàâî÷íûå èçìåíåíèÿ
äàâëåíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê åãî ñðåäíåìó çíà÷åíèþ â ñðåäå. Ïîýòî-
ìó çâóê èíîãäà îöåíèâàþò â åäèíèöàõ çâóêîâîãî äàâëåíèÿ, êîòî-
ðîå ñâÿçàíî ñ èíòåíñèâíîñòüþ çâóêà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
=
ρ
2
2p
I
v , (2.4.17)
ãäå p — ñðåäíÿÿ àìïëèòóäà çâóêîâîãî äàâëåíèÿ; ρ — ïëîòíîñòü
ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ çâóê; v — ñêîðîñòü çâóêà.
Íà ÷àñòîòå 1000 Ãö ïîðîãó ñëûøèìîñòè ñîîòâåòñòâóåò äàâëåíèå
p
0 = 2•10 –5 Ïà, ïîðîãó áîëåâîãî îùóùåíèÿ — p max = 60 Ïà.
Òàê æå êàê è èíòåíñèâíîñòü çâóêà, çâóêîâîå äàâëåíèå óäîáíî
âûðàæàòü â ëîãàðèôìè÷åñêèõ åäèíèöàõ:Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

65
дБ ==
2
2
00
10 lg 20 lgpp
L
pp . (2.4.18)
Ãðîìêîñòüþ çâóêà íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ çâó-
êîâîå îùóùåíèå äëÿ äàííîãî çâóêà. Ãðîìêîñòü ñëîæíûì îáðàçîì
çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè çâóêà (à ñëåäîâàòåëüíî, è çâóêîâîãî äàâ-
ëåíèÿ) è ÷àñòîòû.
Ñîãëàñíî ç à ê î í ó  å á å ð à — Ô å õ í å ð à, óâåëè÷åíèå
ðàçäðàæåíèÿ â ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè âûçûâàåò óâåëè÷åíèå
åãî îùóùåíèÿ â àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Ïîýòîìó ãðîìêîñòü
èçìåðÿåòñÿ â ëîãàðèôìè÷åñêèõ åäèíèöàõ (ôîíàõ):
=
0
lgI
Ek
I , (2.4.19)
ãäå k — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, çàâèñÿùèé îò ÷àñòî-
òû è èíòåíñèâíîñòè çâóêà. Óñëîâíî ïðèíèìàþò, ÷òî íà ÷àñòîòå
1000 Ãö
=
1 k , ïîýòîìó íà óêàçàííîé ÷àñòîòå óðîâåíü ãðîìêîñòè
ñîâïàäàåò ñ óðîâíåì èíòåíñèâíîñòè (ðèñ. 2.4.2).
Ãðîìêîñòü — ñóáúåêòèâíàÿ âåëè÷èíà, íî, òåì íå ìåíåå, ãðîì-
êîñòü çâóêà äàííîé ÷àñòîòû ìîæåò áûòü îöåíåíà ïóòåì ñðàâíåíèÿ
ñ ãðîìêîñòüþ ÷èñòîãî òîíà ÷àñòîòîé 1000 Ãö. Íà îñíîâàíèè ñðåä-
íèõ äàííûõ, ïîëó÷åííûõ ó ëþäåé ñ íîðìàëüíûì ñëóõîì, áûëè
ïîñòðîåíû êðèâûå ðàâíîé ãðîìêîñòè (ðèñ. 2.4.2), ïîçâîëÿþùèå
îïðåäåëèòü ñâÿçü ìåæäó ãðîìêîñòüþ è èíòåíñèâíîñòüþ çâóêà íà
ðàçíûõ ÷àñòîòàõ.
Èçìåíåíèå ÷àñòîòû çâóêîâûõ êîëåáàíèé, ñâÿçàííîå ñ îòíîñè-
òåëüíûì äâèæåíèåì èñòî÷íèêà è íàáëþäàòåëÿ, íàçûâàåòñÿ àêó-
ñòè÷åñêèì ýôôåêòîì Äîïëåðà. Êîãäà èñòî÷íèê è ïðèåìíèê çâóêà
ñáëèæàþòñÿ, ÷àñòîòà çâóêà ïîâûøàåòñÿ (òàê êàê ïðè ýòîì íàáëþäà-
òåëü âñòðå÷àåò çà îäèí è òîò æå èíòåðâàë âðåìåíè áîëüøå âîëí, ÷åì
ïðè îòñóòñòâèè äâèæåíèÿ), à åñëè îíè óäàëÿþòñÿ, — ïîíèæàåòñÿ.
Ïðè îäíîâðåìåííîì äâèæåíèè íàáëþäàòåëÿ è èñòî÷íèêà ÷àñ-
òîòà çâóêà, âîñïðèíèìàåìàÿ íàáëþäàòåëåì, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
н
и ±
ν=ν
m0
0
0vv
vv , (2.4.20)
ãäå ν
0 — ÷àñòîòà çâóêà, ïîñûëàåìîãî èñòî÷íèêîì; v è — ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà çâóêà; v
í — ñêîðîñòü äâèæåíèÿ íàáëþäàòåëÿ;
v
0 — ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêà â äàííîé ñðåäå. Â ýòîé ôîð-
ìóëå âåðõíèå çíàêè ñîîòâåòñòâóþò âçàèìíîìó ñáëèæåíèþ èñòî÷-
íèêà è íàáëþäàòåëÿ, à íèæíèå — óäàëåíèþ. § 2.4. Óïðóãèå âîëíû. Çâóê

66
Ýôôåêò Äîïëåðà ïîçâîëÿåò èçìåðÿòü ñêîðîñòü äâèæåíèÿ îáúåê-
òîâ. Â ìåäèöèíå îí èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè êðî-
âîòîêà, ñêîðîñòè äâèæåíèÿ êëàïàíîâ è ñòåíîê ñåðäöà.
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß
ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×
Çàäà÷à 2.1. ×èñëî îáîðîòîâ ðîòîðà öåíòðèôóãè äîñòèãàåò n = 2•10 4 îá/ìèí.
Ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ äâèãàòåëÿ âðàùåíèå ïðåêðàùàåòñÿ ÷åðåç t
1 = 8 ìèí.
Îïðåäåëèòå óãëîâîå óñêîðåíèå ε, çàâèñèìîñòü óãëà ïîâîðîòà öåíòðèôóãè
îò âðåìåíè ϕ(t) è ÷èñëî îáîðîòîâ N, ñäåëàííîå ðîòîðîì äî ïîëíîé îñòà-
íîâêè, ñ÷èòàÿ äâèæåíèå ðàâíîçàìåäëåííûì.
Ðåøåíèå. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðè ðàâíîçàìåäëåííîì äâèæåíèè îïèñû-
âàåòñÿ óðàâíåíèåì:
ω=ω−ε
0 ()tt ,
ãäå ε — óãëîâîå óñêîðåíèå; ω=π 0 2n— íà÷àëüíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü.
Ïðè t = t
1 ðîòîð îñòàíàâëèâàåòñÿ è ω(t 1) = 0, òîãäà
ω
π
ε= =0
11 2n
tt .
Ïåðåâåäÿ äàííûå âåëè÷èíû â ñèñòåìó åäèíèö ÑÈ (n = 333 îá/ñ;
t
1 = 480 ñ), ïîëó÷àåì:
рад/с π⋅
ε= = 2 2 333
4, 36
480 .
Çàâèñèìîñòü óãëà ïîâîðîòà ðîòîðà îò âðåìåíè ïðè ðàâíîçàìåäëåííîì
äâèæåíèè
ε
ϕ=ω−2
0 ()
2t
tt .
Çà âðåìÿ t 1, ïðîøåäøåå ñ ìîìåíòà âûêëþ÷åíèÿ äî ïîëíîé îñòàíîâêè,
ðîòîð ïîâåðíåòñÿ íà óãîë
ε
ϕ=ω −2
1
101
2t
t ,
èëè, ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå äëÿ óãëîâîãî óñêîðåíèÿ,
ωω
ϕ=ω − = =π 2
01 01
101 1
1
22 tt
tnt
t .Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

67
Êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ ðîòîðà çà ýòîò ïðîìåæóòîê âðåìåíè ñîñòàâèò:
ϕπ

== = = ≈⋅
ππ 4
111 333 480
810
22 2 2nt nt
N îá.
Çàäà÷à 2.2.  öåíòðèôóãå ïðîèçâîäèòñÿ ñåïàðàöèÿ ÿäåð êëåòîê ïå÷å-
íè, äèàìåòð êîòîðûõ d = 8 ìêì, ïëîòíîñòü ρ
1 = 1,3•10 3 êã/ì 3. Ðàäèóñ
ðîòîðà öåíòðèôóãè R = 0,05 ì, ÷àñòîòà âðàùåíèÿ ν = 2 êÃö. Íàéäèòå
ñèëó F, äåéñòâóþùóþ íà ýòè ÷àñòèöû.
Ðåøåíèå. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà îáúåì æèäêîñòè V ïðè öåíòðèôóãè-
ðîâàíèè ñî ñòîðîíû îêðóæàþùåé æèäêîñòè,
=ω =ρ ω
22
00 FmR VR ,
ãäå ρ 0 — ïëîòíîñòü æèäêîñòè (âîäà); 3 1
6 Vd=π — îáúåì ÷àñòèöû;
ω= πν2 — óãëîâàÿ ñêîðîñòü; R — ðàññòîÿíèå îò ÷àñòèöû äî îñè âðàùåíèÿ
(ðàäèóñ ðîòîðà öåíòðèôóãè).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, öåíòðîñòðåìèòåëüíàÿ ñèëà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ óäåð-
æàíèÿ ÷àñòèöû íà ðàññòîÿíèè R îò îñè âðàùåíèÿ, ðàâíà
=ω =ρω
22
11 1 FmR VR ,
ãäå ρ 1 — ïëîòíîñòü ÷àñòèöû.
Òàê êàê ρ
1 > ρ 0, òî F 1 > F 0, òîãäà ÷àñòèöà äâèæåòñÿ îò îñè âðàùåíèÿ ïîä
äåéñòâèåì ñèëû
=− =πρ−ρπν 32
10 10 1
()2
6 FFF d R .
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå äàííûå, â åäèíèöàõ ÑÈ (d=8•10 –6 ì), èìååì:
− =π⋅ ⋅ −⋅ π⋅⋅ ≈ 63 3 3 32 1
(8 10 ) (1, 3 10 1 10 )(2 2 10 ) 0, 05
6 F
− ≈⋅ = 9 634 10 Н 634 нН.
Çàäà÷à 2.3. Îïðåäåëèòå ðàçíîñòü ôàç ∆ϕ â ïóëüñîâîé âîëíå ìåæäó äâó-
ìÿ òî÷êàìè àðòåðèè, ðàñïîëîæåííûìè íà ðàññòîÿíèè ∆x = 20 ñì äðóã îò
äðóãà, ñ÷èòàÿ ñêîðîñòü ïóëüñîâîé âîëíû ðàâíîé v = 10 ì/ñ, êîëåáàíèÿ
ñåðäöà — ãàðìîíè÷åñêèìè ñ ÷àñòîòîé ν = 1,2 Ãö.
Ðåøåíèå. Ôàçà âîëíû â òî÷êå, ðàñïîëîæåííîé íà ðàññòîÿíèè x â ìî-
ìåíò âðåìåíè t:
1 2
2 tx t x
vv ωπν
ϕ=ω− = πν− . Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

68
Äëÿ òî÷êè, ðàñïîëîæåííîé íà ðàññòîÿíèè (x + ∆x) â òîò æå ìîìåíò
âðåìåíè,
2 2
2()txx
vπν
ϕ= πν− +∆ .
Òîãäà ðàçíîñòü ôàç ñîñòàâèò:
πν πν πν
∆ϕ=ϕ−ϕ = πν− − πν+ +∆ = ∆ 12 22 2
22()txt xx x
vv v .
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå äàííûå â åäèíèöàõ ÑÈ (∆x= 0,2 ì), èìååì:
π⋅
∆ϕ = = π21,2
0, 2 0, 48 .
10
ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
2.1. Êîëåñî ðàäèóñîì R = 0,1 ì âðàùàåòñÿ ñîãëàñíî çàêîíó ϕ= + + 2 ABtCt,
ãäå  = 14 ðàä/ñ; Ñ = 2 ðàä/ñ 2. Îïðåäåëèòå ëèíåéíóþ ñêîðîñòü v òî÷åê íà
îáîäå êîëåñà â êîíöå òðåòüåé ñåêóíäû ïîñëå íà÷àëà âðàùåíèÿ.
2.2. Êîëåñî âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óãëîâûì óñêîðåíèåì. Íàéäèòå
ðàäèóñ êîëåñà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ê êîíöó äåñÿòîãî îáîðîòà ïîñëå íà÷àëà
âðàùåíèÿ åãî îáîä âðàùàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 2,24 ì/ñ, èñïûòûâàÿ òàí-
ãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå a
t = 0,1 ì/ñ 2.
2.3. Òî÷êà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 0,3 ì ñ ïîñòîÿííûì
óãëîâûì óñêîðåíèåì ε = 1 ðàä/ñ
2. Íàéäèòå ïîëíîå óñêîðåíèå a òî÷êè ê êîí-
öó âòîðîé ñåêóíäû ïîñëå íà÷àëà âðàùåíèÿ.
2.4. Îäíîðîäíûé äèñê ðàäèóñîì R = 20 ñì è ìàññîé m = 2 êã âðàùà-
åòñÿ ñîãëàñíî çàêîíó ϕ= + +
2 ABtCt, ãäå Ñ = 3 ðàä/ñ 2. Íàéäèòå êàñàòåëü-
íóþ ñèëó F, ïðèëîæåííóþ ê åãî îáîäó.
2.5. Äðàæå ìàññîé m = 0,2 ã êàòèòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 0,5 ì/ñ. Íàéäè-
òå åãî êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ Å
êèí .
2.6. Ëèçîñîìû îñàæäàþò â öåíòðèôóãå. Íàéäèòå äåéñòâóþùóþ íà íèõ
ñèëó F, åñëè èçâåñòíî, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðîòîðà
ω = 2π•10
3 ðàä/ñ, åãî ðàäèóñ R = 0,1 ì, ïëîòíîñòü âåùåñòâà ëèçîñîì
ρ = 1200 êã/ì3, ðàäèóñ ëèçîñîìû r = 0,7 ìêì.
2.7. Íàïèøèòå óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé
A = 5 ñì, ïåðèîäîì T = 1 ñ è íà÷àëüíîé ôàçîé ϕ
0 = π/4.
2.8. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé m = 1 ã ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå
êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó õ=
ππ

+

 3cos
43t ñì. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñèëó
F
max , äåéñòâóþùóþ íà òî÷êó.
2.9. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå çàäà÷è 2.8, íàéäèòå ïîëíóþ ýíåðãèþ Å êîëåá-
ëþùåéñÿ òî÷êè.
Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

69
2.10. Ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿò-
íèêà λ = 0,093. Çà ñêîëüêî âðåìåíè àìïëèòóäà êîëåáàíèé ìàÿòíèêà óìåíü-
øàåòñÿ â 2 ðàçà, åñëè åãî äëèíà l = 1 ì.
2.11. Òî÷êà, îòñòîÿùàÿ îò èñòî÷íèêà âîëíû íà ðàññòîÿíèè
λ
=
8 x, ñî-
âåðøàåò êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé A = 10 ñì. Îïðåäåëèòå åå ñìåùåíèå S îò
ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ìîìåíò âðåìåíè
4 T
. Íà÷àëüíàÿ ôàçà ðàâíà íóëþ.
2.12. Óðàâíåíèå íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé èìååò âèä: =π5cos2 xt, ãäå
[x] = ñì. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå a òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè
x = 100 ì îò èñòî÷íèêà âîëíû, â ìîìåíò âðåìåíè
=1 t ñ ïîñëå íà÷àëà åå
ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Ñêîðîñòü âîëíû v = 300 ì/ñ.
2.13. Äâå òî÷êè, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ∆x = 1 ì, ëåæàò íà ïðÿ-
ìîé, âäîëü êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà ñî ñêîðîñòüþ v = 200 ì/ñ.
Ïåðèîä êîëåáàíèé T = 0,04 ñ. Íàéäèòå ðàçíîñòü ôàç ∆ϕ êîëåáàíèé ýòèõ
äâóõ òî÷åê.
2.14. Ìàêñèìàëüíàÿ ÷àñòîòà çâóêà, âîñïðèíèìàåìîãî ÷åëîâå÷åñêèì
óõîì, ν = 20 êÃö. Íàéäèòå äëèíó âîëíû λ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîé ÷àñòîòå,
åñëè ñêîðîñòü çâóêà â âîçäóõå ðàâíà v = 340 ì/ñ.
2.15. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ çâóêà ÷åðåç ïåðåãîðîäêó åãî èíòåíñèâíîñòü
óìåíüøèëàñü â 1000 ðàç. Íà ñêîëüêî óìåíüøèëàñü åãî ãðîìêîñòü, åñëè
÷àñòîòà çâóêà ν = 1 êÃö?
ÂÎÏÐÎÑÛ ÒÅÑÒÎÂÎÃÎ ÊÎÍÒÐÎËß
2.1. Ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ:
à) âòîðîé ïðîèçâîäíîé óñêîðåíèÿ ïî âðåìåíè;
á) ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïåðåìåùåíèÿ ïî âðåìåíè;
â) âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïåðåìåùåíèÿ ïî âðåìåíè;
ã) ïåðâîé ïðîèçâîäíîé èìïóëüñà ïî âðåìåíè;
ä) ïåðâîé ïðîèçâîäíîé èìïóëüñà ïî êîîðäèíàòå.
2.2. Ðàâíîïåðåìåííîå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþ-
ùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé:
à) ε=


ω=ω +ε


ϕ=ϕ +ω

0
00
const,
,
; t
tã) ε=


ω=ω +ε +ε


ϕ=ϕ +ω

2
0
00
const,
2,
; tt
t
á) ε=


ω=


ϕ=ϕ +ω

0
0,
const,
; tä)
0
2
0
0,
,
2. t
t 
ε=

ω=ω +ε


ϕ=ϕ +ε

â)

ε=

ω=ω +ε


ϕ=ϕ +ω +ε

0
2
00
const,
,
2; t
tt
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

70
2.3. Ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü v ñâÿçàíà ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω ñëåäóþùèì
ñîîòíîøåíèåì:
à) =ω
2 vR;á) ω=vR;ã) π
ω=2
v;â) ω= π2v;ä) =ω vR.
2.4. Íîðìàëüíîå óñêîðåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì:
à) =ω
naR;á) = 2
nv
a
R;â) ω
=2
2 n I
a;ã) =ε naR;ä) ω
=2
n a
R.
2.5. Òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå íàïðàâëåíî:
à) ïî ðàäèóñó ê öåíòðó;
á) ïî ðàäèóñó îò öåíòðà;
â) ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè âðàùåíèÿ (íàïðàâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ
ïî ïðàâèëó ïðàâîãî âèíòà);
ã) ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè âðàùåíèÿ (íàïðàâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ
ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè);
ä) ïî êàñàòåëüíîé âäîëü ñêîðîñòè (ïðè óñêîðåííîì äâèæåíèè) èëè
ïðîòèâ (ïðè çàìåäëåííîì).
2.6. Ìîìåíò èìïóëüñà ðàâåí:
à)
LrP
=⋅ rr
r ;á) ω
=r
r
2 I
L;â) LFr
=⋅ rr
r ;ã) =ε r
r
LI;ä) = r r LIv.
2.7. Îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ èìååò
âèä:
à)
ω
=r
r
2 I
M;á) MrP=⋅ rr
r ;â) =ω r
r
MI;ã) Mr=⋅ε r
r
r ;ä) =ε r
r
MI.
2.8. Ìîìåíò èíåðöèè ñïëîøíîãî øàðà ðàäèóñà R ðàâåí:
à)
= 2 1
3 ImR;ã) = 2 1
12 ImR;
á)
= 2 1
2 ImR;ä) = 2 2
5 ImR.
â)
= 2 ImR ;
2.9. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âðàùàþùåãîñÿ òåëà ðàâíà:
à)
кинEIv=;ã) 2
кин
2 I

=;
á)
кинEI=ε;ä)
2
кин
2 I

=
.
â)
2
кин
2 Iv
E=;
2.10. Ìîùíîñòü â ñëó÷àå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå:
à) =ε NI;á)
ω
=2
2 I
N;â) NFv= ;ã) =ω NM;ä) = 2
2 Iv
N.
Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

71
2.11. Ñêîðîñòü êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè:
à) îïåðåæàåò ñìåùåíèå íà π/2;
á) íàõîäèòñÿ â ïðîòèâîôàçå ñìåùåíèþ;
â) îòñòàåò îò ñìåùåíèÿ íà π/2;
ã) ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñî ñìåùåíèåì;
ä) èçìåíÿåòñÿ íå ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó.
2.12. Óðàâíåíèå çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé èìååò âèä:
à)
2
0 ecos( ) t xA t −ω =β+ϕ ;ã) =ωω+ϕ 22
0 1
cos ( )
2 xmA t;
á)
() =ω+ϕ 0 cos xA t;ä) =ω ω+ϕ 2
0 cos ( ) xA t.
â)
2
0 ecos( ) t xA t −β =β+ϕ ;
2.13. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé èìååò
âèä:
à)
+β +ω = 2
2
0
2dd
20
d
dxx
x
t
t;ã) +ω = 2
2
0
2d
0
dx
x
t;
á)
+ω = ω 2
2
00
2d
cos
dx
xf t
t;ä) +β +ω = ω 2
2
00
2dd
2cos
d
dxx
xf t
t
t.
â)
β+ω= 2
0 d
20
dx
x
t;
2.14. Óðàâíåíèå ïëîñêîé âîëíû èìååò âèä:
à) =ω+ϕ
0 (,) cos( ) Sxt A t;
á)
0 (,) e cos t Sxt A t x
v −β ω

=ω−+ϕ

;
â) =ω−π+ϕ
0 (,) cos( 2 ) Sxt A x t;
ã)
ω

=ω−+ϕ

 0 (,) cos Sxt A t x
v ;
ä)
0 (,) e cos( ) t Sxt A t −β =ω+ϕ .
2.15. Óðîâåíü èíòåíñèâíîñòè çâóêà èçìåðÿåòñÿ:
à) â ãåðöàõ; ã) âàòòàõ;
á) ôîíàõ; ä) âàòòàõ íà ñåêóíäó â êâàäðàòå.
â) äåöèáåëàõ;
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

Ãëàâà 3
ÁÈÎÔÈÇÈÊÀ ÌÛØÅ×ÍÎÃÎ
ÑÎÊÐÀÙÅÍÈß
 äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ìîëåêóëÿðíûå îñíîâû ìû-
øå÷íîãî ñîêðàùåíèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ìûøö. Áåç ïîíè-
ìàíèÿ ýòèõ âîïðîñîâ íåâîçìîæíî èçó÷åíèå ìåõàíèçìîâ äåéñòâèÿ
öåëîãî ðÿäà ëåêàðñòâåííûõ ïðåïàðàòîâ: ñïàçìîëèòè÷åñêèõ, à òàê-
æå ïðåïàðàòîâ, ñòèìóëèðóþùèõ ìûøå÷íóþ äåÿòåëüíîñòü, íàïðè-
ìåð ñîêðàùåíèå ñåðäå÷íîé ìûøöû.
Âñå ìûøöû îðãàíèçìà ðàçäåëÿþòñÿ íà ãëàäêèå è ïîïåðå÷íîïî-
ëîñàòûå. Ñðåäè ïîñëåäíèõ ðàçëè÷àþò äâà òèïà: ñêåëåòíûå è ñåð-
äå÷íàÿ. Íèæå áóäóò ðàññìîòðåíû òîëüêî ñêåëåòíûå ìûøöû.
§ 3.1. ÑÒÐÎÅÍÈÅ ÌÛØÅ×ÍÎÃÎ ÂÎËÎÊÍÀ
Ìåìáðàíà ìûøå÷íûõ êëåòîê — ñàðêîëåììà — òàêæå, êàê
è ìåìáðàíà íåðâíûõ êëåòîê, ýëåêòðîâîçáóäèìà è ñïîñîáíà ïðîâî-
äèòü ïîòåíöèàë äåéñòâèÿ. Ýòè ïðîöåññû â ìûøå÷íûõ êëåòêàõ ïðî-
èñõîäÿò ïî òîìó æå ïðèíöèïó, ÷òî è â íåðâíûõ. Ïîòåíöèàë ïîêîÿ
(V
0) ìûøå÷íîãî âîëîêíà ñîñòàâëÿåò ïðèáëèçèòåëüíî –90 ìÂ, ÷òî
íèæå òàêîâîãî â íåðâíîì âîëîêíå (–70 ìÂ), à êðèòè÷åñêàÿ äåïî-
ëÿðèçàöèÿ (V
ê), ïî äîñòèæåíèè êîòîðîé âîçíèêàåò ïîòåíöèàë äåé-
ñòâèÿ, èìååò îäèíàêîâîå çíà÷åíèå ñ íåðâíûì. Ïîýòîìó âîçáóäè-
ìîñòü ìûøå÷íîãî âîëîêíà íåñêîëüêî íèæå, ÷åì íåðâíîãî, òàê êàê
êëåòêó òðåáóåòñÿ äåïîëÿðèçîâàòü íà áîëüøóþ âåëè÷èíó.
∆V
ì > ∆V í,
ãäå ∆V = V
ê – V 0, èíäåêñû «ì» è «í» îòíîñÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî
ê ìûøå÷íûì è íåðâíûì êëåòêàì.
Îòâåòîì ìûøå÷íîãî âîëîêíà íà âîçáóæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ñîêðà-
ùåíèå, êîòîðîå ñîâåðøàåò ñîêðàòèòåëüíûé àïïàðàò êëåòêè — ìèî-
ôèáðèëëû. Îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òÿæè, ñîñòîÿùèå èç äâóõ âèäîâ
íèòåé: òîëñòûõ — ì è î ç è í î â û õ, è òîíêèõ — à ê ò è í î â û õ.

73
Òîëñòûå íèòè (äèàìåòðîì 15 íì è äëèíîé 1,5 ìêì) èìåþò â ñâîåì
ñîñòàâå òîëüêî îäèí áåëîê — ìèîçèí; òîíêèå (äèàìåòðîì 7 íì
è äëèíîé 1 ìêì) ñîäåðæàò òðè âèäà áåëêîâ: àêòèí, òðîïîìèîçèí
è òðîïîíèí.
Àêòèí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äëèííóþ áåëêîâóþ íèòü, îäíàêî åãî
íåëüçÿ îòíåñòè ê ôèáðèëëÿðíûì áåëêàì. Îí ñîñòîèò èç îòäåëüíûõ
ãëîáóëÿðíûõ áåëêîâ, ñöåïëåííûõ ìåæäó ñîáîé òàêèì îáðàçîì, ÷òî
âñÿ ñòðóêòóðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûòÿíóòóþ öåïü. Ìîëåêóëû ãëî-
áóëÿðíîãî àêòèíà (G-àêòèíà) èìåþò áîêîâûå è êîíöåâûå öåíòðû
ñâÿçûâàíèÿ ñ äðóãèìè òàêèìè æå ìîëåêóëàìè. Â ðåçóëüòàòå îíè
îáúåäèíÿþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî îáðàçóþò ñòðóêòóðó, êîòîðóþ
÷àñòî ñðàâíèâàþò ñ äâóìÿ íèòêàìè áóñ, ñîåäèíåííûõ âìåñòå
(ðèñ. 3.1.1). Îáðàçîâàííàÿ èç ìîëåêóë G-àêòèíà ëåíòà çàêðó÷åíà
â ñïèðàëü. Òàêàÿ ñòðóêòóðà
íàçûâàåòñÿ ôèáðèëëÿð-
íûì àêòèíîì (F-àêòè-
íîì). Øàã ñïèðàëè (äëè-
íà âèòêà) ñîñòàâëÿåò
38 íì, íà êàæäûé âèòîê
ñïèðàëè ïðèõîäèòñÿ 7 ïàð
G-àêòèíà. Ïîëèìåðèçà-
öèÿ G-àêòèíà, òî åñòü îá-
ðàçîâàíèå F-àêòèíà, ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò ýíåðãèè ÀÒÔ, è, íàîáî-
ðîò, ïðè ðàçðóøåíèè F-àêòèíà âûäåëÿåòñÿ ýíåðãèÿ.
Âäîëü ñïèðàëüíûõ æåëîáêîâ àêòèíîâûõ ôèëàìåíòîâ (íèòåé)
ðàñïîëàãàåòñÿ áåëîê òðîïîìèîçèí (ãðå÷. trope — ïîâîðà÷èâàòü,
mys — ìûøöà). Êàæäàÿ íèòü òðîïîìèîçèíà, èìåþùàÿ äëèíó 41 íì,
ñîñòîèò èç äâóõ èäåíòè÷íûõ α-öåïåé, âìåñòå çàêðó÷åííûõ â ñïè-
ðàëü ñ äëèíîé âèòêà 7 íì. Âäîëü îäíîãî âèòêà F-àêòèíà ðàñïî-
ëîæåíû äâå ìîëåêóëû òðîïîìèîçèíà. Êàæäàÿ òðîïîìèîçèíîâàÿ
ìîëåêóëà ñîåäèíÿåòñÿ, íåìíîãî ïåðåêðûâàÿñü, ñî ñëåäóþùåé, â ðå-
çóëüòàòå òðîïîìèîçèíîâàÿ íèòü ïðîñòèðàåòñÿ âäîëü àêòèíà íåïðå-
ðûâíî (ðèñ. 3.1.2).
Ðèñ. 3.1.1. Îáúåäèíåíèå îòäåëüíûõ ãëîáóë
G-àêòèíà â F-àêòèí
Ðèñ. 3.1.2. Ñòðîåíèå òîíêîé íèòè ìèîôèáðèëëû
 êëåòêàõ ïîïåðå÷íîïîëîñàòûõ ìûøö â ñîñòàâ òîíêèõ íèòåé
êðîìå àêòèíà è òðîïîìèîçèíà âõîäèò åùå è áåëîê òðîïîíèí. Íà
êàæäûé øàã ñïèðàëè F-àêòèíà ïðèõîäèòñÿ äâå ìîëåêóëû òðîïîíè- § 3.1. Ñòðîåíèå ìûøå÷íîãî âîëîêíà

74
íà. Ýòîò ãëîáóëÿðíûé áåëîê èìååò ñëîæíîå ñòðîåíèå. Îí ñîñòîèò
èç òðåõ ñóáúåäèíèö, êàæäàÿ èç êîòîðûõ âûïîëíÿåò ñâîþ ôóíêöèþ
â ïðîöåññå ñîêðàùåíèÿ.
Òîëñòàÿ íèòü ñîñòîèò èç áîëüøîãî ÷èñëà ìîëåêóë ìèîçèíà, ñî-
áðàííûõ â ïó÷îê. Êàæäàÿ ìîëåêóëà ìèîçèíà äëèíîé îêîëî 155 íì
è äèàìåòðîì 2 íì
ñîñòîèò èç øåñòè
ïîëèïåïòèäíûõ íè-
òåé: äâóõ äëèííûõ
è ÷åòûðåõ êîðîòêèõ
(ðèñ. 3.1.3). Äëèí-
íûå öåïè âìåñòå
çàêðó÷åíû â ñïè-
ðàëü ñ øàãîì 7,5 íì
è îáðàçóþò ôèáðèë-
ëÿðíóþ ÷àñòü ìèî-
çèíîâîé ìîëåêóëû. Íà îäíîì èç êîíöîâ ìîëåêóëû ýòè öåïè ðàñêðó-
÷èâàþòñÿ è îáðàçóþò ðàçäâîåííûé êîíåö. Êàæäûé èç ýòèõ êîíöîâ
îáðàçóåò êîìïëåêñ ñ äâóìÿ êîðîòêèìè öåïÿìè, òî åñòü íà êàæäîé
ìîëåêóëå èìåþòñÿ äâå ãîëîâ-
êè. Ýòî ãëîáóëÿðíàÿ ÷àñòü ìè-
îçèíîâîé ìîëåêóëû. Â ìèîçè-
íå âûäåëÿþò äâà ôðàãìåíòà:
ëåãêèé ìåðîìèîçèí (ËÌÌ)
è òÿæåëûé ìåðîìèîçèí (ÒÌÌ),
ìåæäó íèìè íàõîäèòñÿ øàð-
íèð. ÒÌÌ ñîñòîèò èç äâóõ ñóá-
ôðàãìåíòîâ: S
1 è S 2. ËÌÌ
è ôðàãìåíò S
2 ÒÌÌ âëîæåíû
â ïó÷îê íèòåé, à ñóáôðàãìåíò S
1 âûñòóïàåò íàä ïîâåðõíîñòüþ.
Ýòîò âûñòóïàþùèé êîíåö (ìè-
îçèíîâàÿ ãîëîâêà) ñïîñîáåí
ñâÿçûâàòüñÿ ñ àêòèâíûì öåíò-
ðîì íà àêòèíîâîé íèòè è èç-
ìåíÿòü óãîë íàêëîíà ê ïó÷êó
ìèîçèíîâûõ íèòåé.
Îáúåäèíåíèå îòäåëüíûõ
ìîëåêóë ìèîçèíà â ïó÷îê
(ðèñ. 3.1.4) ïðîèñõîäèò, ñêî-
ðåå âñåãî, çà ñ÷åò ýëåêòðîñòà-
òè÷åñêèõ âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó ËÌÌ. Öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü íèòè
(îêîëî 300 íì) íå èìååò ãîëîâîê. Âåñü êîìïëåêñ ìèîçèíîâûõ ìî-
ëåêóë ïðîñòèðàåòñÿ íà 1,5 ìêì. Ýòî îäíà èç ñàìûõ áîëüøèõ áèîëî-
ãè÷åñêèõ ìîëåêóëÿðíûõ ñòðóêòóð, èçâåñòíûõ â ïðèðîäå.
Ðèñ. 3.1.3. Ñòðîåíèå ìîëåêóëû ìèîçèíà
Ðèñ. 3.1.4. Ñõåìà àãðåãàöèè ìîëåêóë ìèî-
çèíà
Ãëàâà 3. Áèîôèçèêà ìûøå÷íîãî ñîêðàùåíèÿ

75
Ïðè ðàññìàòðèâàíèè
â ïîëÿðèçàöèîííûé ìèêðî-
ñêîï ïðîäîëüíîãî ñðåçà ïî-
ïåðå÷íîïîëîñàòîé ìûøöû
âèäíû ñâåòëûå è òåìíûå ó÷à-
ñòêè. Òåìíûå ó÷àñòêè (äèñ-
êè) ÿâëÿþòñÿ àíèçîòðîïíû-
ìè: â ïîëÿðèçîâàííîì ñâåòå
îíè âûãëÿäÿò ïðîçðà÷íûìè â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè è íåïðî-
çðà÷íûìè — â ïîïåðå÷íîì, îáîçíà÷àþòñÿ áóêâîé À. Ñâåòëûå ó÷àñ-
òêè ÿâëÿþòñÿ èçîòðîïíûìè è îáîçíà÷àþòñÿ áóêâîé I (ðèñ. 3.1.5).
Äèñê I âêëþ÷àåò â ñåáÿ òîëüêî
òîíêèå íèòè, äèñê À — è òîë-
ñòûå, è òîíêèå. Â ñåðåäèíå äèñ-
êà À âèäíà ñâåòëàÿ ïîëîñà, íà-
çûâàåìàÿ Í-çîíîé. Îíà íå èìååò
òîíêèõ íèòåé. Äèñê I ðàçäåëåí
òîíêîé ïîëîñîé Z, êîòîðàÿ ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé ìåìáðàíó, ñîäåð-
æàùóþ ñòðóêòóðíûå ýëåìåíòû,
ñêðåïëÿþùèå ìåæäó ñîáîé êîí-
öû òîíêèõ íèòåé. Ó÷àñòîê ìåæ-
äó äâóìÿ Z-ëèíèÿìè íàçûâàåòñÿ
ñàðêîìåðîì.
Êàæäàÿ òîëñòàÿ íèòü îêðóæå-
íà øåñòüþ òîíêèìè, à êàæäàÿ
òîíêàÿ — òðåìÿ òîëñòûìè. Òà-
êèì îáðàçîì, â ïîïåðå÷íîì ñðå-
çå ìûøå÷íîå âîëîêíî èìååò ïðàâèëüíóþ ãåêñàãîíàëüíóþ ñòðóêòó-
ðó (ðèñ. 3.1.6).
§ 3.2. ÑÎÊÐÀÙÅÍÈÅ ÌÛØÖÛ
Ïðè ñîêðàùåíèè ìûøöû äëèíà àêòèíîâûõ è ìèîçèíîâûõ ôè-
ëàìåíòîâ íå èçìåíÿåòñÿ. Ïðîèñõîäèò ëèøü èõ ñìåùåíèå îòíîñè-
òåëüíî äðóã äðóãà: òîíêèå íèòè çàäâèãàþòñÿ â ïðîìåæóòêè ìåæäó
òîëñòûìè. Ïðè ýòîì äëèíà äèñêà À îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, à äèñê I
óêîðà÷èâàåòñÿ, ïîëîñà Í ïî÷òè èñ÷åçàåò. Òàêîå ñêîëüæåíèå îêàçû-
âàåòñÿ âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ ñóùåñòâîâàíèþ ïîïåðå÷íûõ ìîñòè-
êîâ (ìèîçèíîâûõ ãîëîâîê) ìåæäó òîëñòûìè è òîíêèìè íèòÿìè.
Ïðè ñîêðàùåíèè âîçìîæíî èçìåíåíèå äëèíû ñàðêîìåðà ïðèáëè-
çèòåëüíî îò 2,5 äî 1,7 ìêì.
Ðèñ. 3.1.6. Ïîïåðå÷íûé ñðåç ìèîôèá-
ðèëëû:
1 — ìèîçèíîâûå íèòè, 2 — àêòèíîâûå íèòè
Ðèñ. 3.1.5. Ñòðóêòóðà ìèîôèáðèëëû (ïîïå-
ðå÷íûé ñðåç)
1
2
§ 3.2. Ñîêðàùåíèå ìûøöû

76
êîÿùåéñÿ ìûøå÷íîé êëåòêå ýòè öåíòðû ñâÿçûâàíèÿ ïðèêðûòû
ìîëåêóëàìè òðîïîìèîçèíà, ÷òî ïðåïÿòñòâóåò îáðàçîâàíèþ ñâÿçè
ìåæäó òîíêèìè è òîëñòûìè íèòÿìè.
Äëÿ òîãî ÷òîáû àêòèí è ìèîçèí ìîãëè âçàèìîäåéñòâîâàòü, íå-
îáõîäèìî ïðèñóòñòâèå èîíîâ êàëüöèÿ. Â ïîêîå îíè íàõîäÿòñÿ â ñàð-
êîïëàçìàòè÷åñêîì ðåòèêóëóìå. Ýòà îðãàíåëëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
îãðàíè÷åííûå ìåìáðàíàìè ïîëîñòè, ñîäåðæàùèå êàëüöèåâûé íà-
ñîñ, êîòîðûé çà ñ÷åò ýíåðãèè ÀÒÔ òðàíñïîðòèðóåò èîíû êàëüöèÿ
âíóòðü ñàðêîïëàçìàòè÷åñêîãî ðåòèêóëóìà. Åãî âíóòðåííÿÿ ïîâåðõ-
íîñòü ñîäåðæèò áåëêè, ñïîñîáíûå ñâÿçûâàòü Ñà
2+, ÷òî íåñêîëüêî
óìåíüøàåò ðàçíîñòü êîíöåíòðàöèé ýòèõ èîíîâ ìåæäó öèòîïëàç-
ìîé è ïîëîñòüþ ñàðêîïëàçìàòè÷åñêîãî ðåòèêóëóìà. Ðàñïðîñòðàíÿ-
þùèéñÿ ïî êëåòî÷íîé ìåìáðàíå ïîòåíöèàë äåéñòâèÿ àêòèâèðóåò
áëèçêî ðàñïîëîæåííóþ ê ïîâåðõíîñòè êëåòêè ìåìáðàíó ñàðêî-
ïëàçìàòè÷åñêîãî ðåòèêóëóìà è âûçûâàåò âûõîä Ñà
2+ â öèòîïëàçìó.
Ìîëåêóëà òðîïîíèíà îáëàäàåò âûñîêèì ñðîäñòâîì ê êàëüöèþ.
Ïîä åãî âëèÿíèåì îíà èçìåíÿåò ïîëîæåíèå òðîïîìèîçèíîâîé íèòè
íà àêòèíîâîé òàêèì îáðàçîì, ÷òî îòêðûâàåòñÿ àêòèâíûé öåíòð,
ðàíåå ïðèêðûòûé òðîïîìèîçèíîì. Ê îòêðûâøåìóñÿ àêòèâíîìó
öåíòðó òåïåðü ìîæåò ïðèñîåäèíèòüñÿ ïîïåðå÷íûé ìîñòèê. Ýòî
ïðèâîäèò ê âçàèìîäåéñòâèþ àêòèíà ñ ìèîçèíîì (ðèñ. 3.2.2, à, á).
Ïîñëå îáðàçîâàíèÿ ñâÿçè ìèîçèíîâàÿ ãîëîâêà, ðàíåå ðàñïîëîæåí-
íàÿ ïî÷òè ïîä ïðÿìûì óãëîì ê íèòÿì, íàêëîíÿåòñÿ è ïðîòàñêèâà-
åò àêòèíîâóþ íèòü îòíîñèòåëüíî ìèîçèíîâîé ïðèáëèçèòåëüíî íà
10 íì (ðèñ. 3.2.2, â).
Îáðàçîâàâøèéñÿ àêòèí-ìèîçèíîâûé êîìïëåêñ ïðåïÿòñòâóåò
äàëüíåéøåìó ñêîëüæåíèþ íèòåé îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà, ïîýòî-
Ðèñ. 3.2.1. Ñòðîåíèå ïîïåðå÷íîïîëîñàòîé ìûøöû (ïðîäîëüíûé ñðåç):
1 — òîëñòàÿ (ìèîçèíîâàÿ) íèòü; 2 — òîíêàÿ (àêòèíîâàÿ) íèòü; 3 — ïîïåðå÷íûå ìîñòèêè, îáåñ- ïå÷èâàþùèå ñâÿçü ìåæäó àêòèíîâûìè è ìèîçèíîâûìè íèòÿìè
Êàê óæå óêàçûâàëîñü, ìèîçèíîâàÿ íèòü èìååò íà ñåáå ìíîæå-
ñòâî ãîëîâîê, êîòîðûìè îíà ìîæåò ñâÿçûâàòüñÿ ñ àêòèíîì. Àêòè-
íîâàÿ æå íèòü, â ñâîþ î÷åðåäü, èìååò ó÷àñòêè (àêòèâíûå öåíòðû),
ê êîòîðûì ìîãóò ïðèêðåïëÿòüñÿ ãîëîâêè ìèîçèíà (ðèñ. 3.2.1).  ïî-Ãëàâà 3. Áèîôèçèêà ìûøå÷íîãî ñîêðàùåíèÿ

77
ìó íåîáõîäèìî åãî ðàçúåäèíåíèå. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî çà ñ÷åò
ýíåðãèè ÀÒÔ. Ìèîçèí îáëàäàåò ÀÒÔ-àçíîé àêòèâíîñòüþ, òî åñòü
ñïîñîáåí âûçûâàòü ãèäðîëèç ÀÒÔ. Âûäåëÿþùàÿñÿ ïðè ýòîì ýíåð-
ãèÿ ðàçðûâàåò ñâÿçü ìåæäó àêòèíîì è ìèîçèíîì (ðèñ. 3.2.2, ã),
è ìèîçèíîâàÿ ãîëîâêà ñïîñîáíà âçàèìîäåéñòâîâàòü ñ íîâûì ó÷àñò-
êîì ìîëåêóëû àêòèíà. Ðàáîòà ìîñòèêîâ ñèíõðîíèçèðîâàíà òàêèì
à
á
â
ã 4
2 3
5 1
Ðèñ. 3.2.2. Ñîêðàùåíèå ñàðêîìåðà:
1 — ìèîçèíîâàÿ íèòü; 2 — àêòèâíûé öåíòð; 3 — àêòèíîâàÿ íèòü; 4 — ìèîçèíîâàÿ ãîëîâêà;
5 — Z-ëèíèÿ;
à — âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó òîíêèìè è òîëñòûìè íèòÿìè îòñóòñòâóåò; á — â ïðèñóòñòâèè Ñà
2+
ìèîçèíîâàÿ ãîëîâêà ñâÿçûâàåòñÿ ñ àêòèâíûì öåíòðîì íà àêòèíîâîé íèòè; â — ïîïåðå÷íûå
ìîñòèêè íàêëîíÿþòñÿ è ïðîòàñêèâàþò òîíêóþ íèòü îòíîñèòåëüíî òîëñòîé, âñëåäñòâèå ÷åãî
äëèíà ñàðêîìåðà óìåíüøàåòñÿ; ã — ñâÿçè ìåæäó íèòÿìè ðàçðûâàþòñÿ çà ñ÷åò ýíåðãèè ÀÒÔ,
ìèîçíîâûå ãîëîâêè ãîòîâû âçàèìîäåéñòâîâàòü ñ íîâûìè àêòèâíûìè öåíòðàìè
§ 3.2. Ñîêðàùåíèå ìûøöû

78
îáðàçîì, ÷òî ñâÿçûâàíèå, íàêëîí è ðàçðûâ âñåõ ìîñòèêîâ îäíîé
íèòè ïðîèñõîäèò îäíîâðåìåííî.
Ïðè ðàññëàáëåíèè ìûøöû àêòèâèçèðóåòñÿ ðàáîòà êàëüöèåâîãî
íàñîñà, ÷òî ïîíèæàåò êîíöåíòðàöèþ Ñà
2+ â öèòîïëàçìå; ñëåäîâà-
òåëüíî, ñâÿçè ìåæäó òîíêèìè è òîëñòûìè íèòÿìè óæå íå ìîãóò
îáðàçîâûâàòüñÿ. Â ýòèõ óñëîâèÿõ ïðè ðàñòÿæåíèè ìûøöû íèòè
áåñïðåïÿòñòâåííî ñêîëüçÿò îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà. Îäíàêî òàêàÿ
ðàñòÿæèìîñòü âîçìîæíà òîëüêî â ïðèñóòñòâèè ÀÒÔ. Åñëè â êëåòêå
îòñóòñòâóåò ÀÒÔ, òî àêòèí-ìèîçèíîâûé êîìïëåêñ íå ìîæåò ðàçî-
ðâàòüñÿ. Íèòè îñòàþòñÿ æåñòêî ñöåïëåííûìè ìåæäó ñîáîé. Ýòî
ÿâëåíèå íàáëþäàåòñÿ ïðè òðóïíîì îêî÷åíåíèè.
Ñóùåñòâóåò äâà ðåæèìà ñîêðàùåíèÿ ìûøöû: èçîòîíè÷åñêîå
(èçìåíÿåòñÿ äëèíà âîëîêíà, à íàïðÿæåíèå îñòàåòñÿ íåèçìåííûì)
è èçîìåòðè÷åñêîå (êîíöû ìûøöû íåïîäâèæíî çàêðåïëåíû, âñëåä-
ñòâèå ÷åãî èçìåíÿåòñÿ íå äëèíà, à íàïðÿæåíèå).
§ 3.3. ÌÎÙÍÎÑÒÜ È ÑÊÎÐÎÑÒÜ ÑÎÊÐÀÙÅÍÈß ÌÛØÖÛ
Âàæíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ðàáîòû ìûøöû ÿâëÿþòñÿ ñèëà
è ñêîðîñòü ñîêðàùåíèÿ. Óðàâíåíèÿ, âûðàæàþùèå ýòè õàðàêòåðèñ-
òèêè, áûëè ýìïèðè÷åñêè ïîëó÷åíû À. Õèëëîì è âïîñëåäñòâèè ïîä-
òâåðæäåíû êèíåòè÷åñêîé òåîðèåé ìûøå÷íîãî ñîêðàùåíèÿ (ìîäåëü
Äåùåðåâñêîãî).
Ó ð à â í å í è å Õ è ë ë à, ñâÿçûâàþùåå ìåæäó ñîáîé ñèëó è ñêî-
ðîñòü ñîêðàùåíèÿ ìûøöû, èìååò ñëåäóþùèé âèä:
0max ()()( )( )Pavb P abav b++=+= + , (3.3.1)
ãäå v — ñêîðîñòü óêîðî÷åíèÿ ìûø-
öû; Ð — ìûøå÷íàÿ ñèëà èëè ïðèëî-
æåííàÿ ê íåé íàãðóçêà (âíåøíÿÿ
ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ìûøöó);
v
max — ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü óêî-
ðî÷åíèÿ ìûøöû (v = v
max ïðè P = 0);
P
0 — ñèëà, ðàçâèâàåìàÿ ìûøöåé
â èçîìåòðè÷åñêîì ðåæèìå ñîêðàùå-
íèÿ, òî åñòü ïðè òàêîé íàãðóçêå, ïðè
êîòîðîé íå ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå
äëèíû ìûøöû (P = P
0 ïðè v = 0);
a è b — êîíñòàíòû. Ïðèâåäåííîå
óðàâíåíèå èìååò âèä ãèïåðáîëû
(ðèñ. 3.3.1).
Ðèñ. 3.3.1. Çàâèñèìîñòü îòíîñè-
òåëüíîé ñêîðîñòè óêîðî÷åíèÿ
ìûøöû îò îòíîñèòåëüíîé ñèëû
Ãëàâà 3. Áèîôèçèêà ìûøå÷íîãî ñîêðàùåíèÿ

79
Ïðè ñîêðàùåíèè çà âðåìÿ t ìûøöà ñîâåðøàåò ðàáîòó À:
APvt= . (3.3.2)
Âûðàçèâ v èç óðàâíåíèÿ Õèëëà (3.3.1), ïîëó÷àåì:
0PP
AbP t
Pa−
=
+ . (3.3.3)
 ïðîöåññå ñîêðàùåíèÿ ìûøöû âûäåëÿåòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷å-
ñòâî òåïëîòû Q. Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ òåïëîïðîäóêöèåé. Êàê
ïîêàçàë Õèëë, òåïëîïðîäóêöèÿ çàâèñèò òîëüêî îò èçìåíåíèÿ äëè-
íû õ ìûøöû è íå çàâèñèò îò íàãðóçêè Ð:
Qax= . (3.3.4)
Îáùàÿ ìîùíîñòü
N , ðàçâèâàåìàÿ ìûøöåé, îïðåäåëÿåòñÿ
ñêîðîñòÿìè âûïîëíåíèÿ ìûøöåé ðàáîòû è âûäåëåíèÿ òåïëîòû:
dd d
dd dAQ Q
NPv
tt t =+ =+  . (3.3.5)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (3.3.4) â (3.3.5), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå:
d
()
dx
NPva Pav
t =+ =+  , (3.3.6)
èëè, êàê ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ Õèëëà,
=+ = общ () NPav
=− 0() bP P , (3.3.7)
òî åñòü çàâèñèìîñòü ìîùíîñ-
òè
N îò íàãðóçêè P ÿâëÿ-
åòñÿ ëèíåéíîé (ðèñ. 3.3.2).
Êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî
äåéñòâèÿ ìûøöû η çàïèñûâà-
åòñÿ â âèäå:
η= =
+
общ
APv
AQ N , (3.3.8)
ãäå
Pv N=  — ïîëåçíàÿ ìîù-
íîñòü. ÊÏÄ ìûøöû η ñîõðà-
íÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå
(îêîëî 40 %) â äèàïàçîíå çíà-
÷åíèé ñèëû îò 0,2Ð
0 äî 0,8Ð 0.
Ðèñ. 3.3.2. Çàâèñèìîñòü ñóììàðíîé ìîù-
íîñòè ïîðòíÿæíîé ìûøöû ëÿãóøêè îò
íàãðóçêè ïðè òåòàíè÷åñêîì èçîòîíè÷å-
ñêîì ñîêðàùåíèè
§ 3.3. Ìîùíîñòü è ñêîðîñòü ñîêðàùåíèÿ ìûøöû

80
Êîíñòàíòû à è b èìåþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ äëÿ äàííîé ìûø-
öû. Êîíñòàíòà à èìååò ðàçìåðíîñòü ñèëû, à b — ñêîðîñòè. Êîí-
ñòàíòà b â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû, íàïðè-
ìåð, ïðè íàãðåâàíèè íà 10 °Ñ âáëèçè 0 °Ñ b óäâàèâàåòñÿ. Êîíñòàíòà à
íàõîäèòñÿ â äèàïàçîíå çíà÷åíèé îò 0,25Ð
0 äî 0,4Ð 0. Ïî ýòèì äàí-
íûì ëåãêî îöåíèòü ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ñîêðàùåíèÿ äëÿ äàí-
íîé ìûøöû. Òàê êàê (ñëåäóåò èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà óðàâíåíèÿ
Õèëëà)
0
maxP
vb
a = , (3.3.9)
òî, ñëåäîâàòåëüíî, v
max ïðåâûøàåò êîíñòàíòó b â 2,5—4 ðàçà.
ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×
Çàäà÷à 3.1. Äëÿ íåêîòîðîé ìûøöû ïðè íàãðóçêå P = 0,3 Í ñêîðîñòü
ñîêðàùåíèÿ ñîñòàâëÿåò v = 24 ìì/ñ. Íàãðóçêà â èçîìåòðè÷åñêîì ðåæèìå
ñîêðàùåíèÿ ðàâíà P
0 = 1,1 Í, ïîñòîÿííàÿ à ðàâíà 0,2 Í. Âû÷èñëèòå ìàê-
ñèìàëüíóþ ñêîðîñòü v
max ñîêðàùåíèÿ.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå Õèëëà:
0max ()()( )( )Pavb P abav b++=+= + .
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íàéäåì v max :
0
maxP
vb
a = ,
à èç ïåðâîãî — êîíñòàíòó b:
0
() vP a
b
PP+
=
− .
Òîãäà
0
max
0 ()P
vP a
v
PPa+
=
− .
Ïîäñòàâèâ ÷èñëîâûå äàííûå (â åäèíèöàõ ÑÈ v = 24•10 –3 ì/ñ), ïîëó÷àåì:
3
3
max 24 10 (0, 3 0, 2) 1,1
82, 5 10 м/с 82, 5 мм/с.
1, 1 0 , 3 0 , 2 v −
− ⋅⋅+
=⋅=⋅=

Çàäà÷à 3.2. Ìûøöà, ñîêðàùàÿñü ñî ñêîðîñòüþ v = 6 ìì/ñ, ðàçâèâàåò
îáùóþ ìîùíîñòü N
îáù = 2,7 ìÂò. Íàãðóçêà â èçîìåòðè÷åñêîì ðåæèìå ñî-
êðàùåíèÿ äëÿ ýòîé ìûøöû ñîñòàâëÿåò P
0 = 0,8 Í, êîíñòàíòà b ðàâíà
23 ìì/ñ. Âû÷èñëèòe ðàáîòó A, ïðîèçâåäåííóþ ìûøöåé çà t = 0,5 ñ.
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß
Ãëàâà 3. Áèîôèçèêà ìûøå÷íîãî ñîêðàùåíèÿ

81
Ðåøåíèå. Ðàáîòà ìûøöû ðàâíà
APvt=
.
Íàãðóçêó P íàéäåì èç ôîðìóëû äëÿ ìîùíîñòè:
0() NbPP=−  ,
îòêóäà
0bP N
P
b −
=  .
Òîãäà
0bP N
Avt
b −
=  .
Ïîäñòàâèâ ÷èñëîâûå äàííûå (â åäèíèöàõ ÑÈ N îáù = 2,7•10 –3 Âò,
b = 23•10 –3 ì/ñ, v = 6•10 –3 ì/ñ), ïîëó÷àåì:
33
33
3 23 10 0, 8 2, 7 10
6 10 0, 5 2, 0 10 Д ж 2, 0 м Дж.
23 10 A −−
−−
− ⋅⋅−⋅
=⋅⋅=⋅=

ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
3.1. Êàêîâà áûëà áû òåìïåðàòóðà t 1 ìûøöû, åñëè áû îíà ðàáîòàëà êàê
òåïëîâàÿ ìàøèíà ñ ÊÏÄ η = 40 % ïðè òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû
t
2 = 20 °Ñ?
3.2.  èçîòîíè÷åñêîì ðåæèìå ìûøöà ïîäíèìàåò ãðóç ìàññîé m = 100 ã
íà âûñîòó h = 20 ñì. Âû÷èñëèòå òåïëîïðîäóêöèþ Q ìûøöû, åñëè åå ÊÏÄ
η = 40 %.
3.3. Êàêîé ìàêñèìàëüíûé ãðóç ìîæåò ïîäíÿòü ìûøöà íà âûñîòó h = 1 ì
çà ñ÷åò ýíåðãèè Q = 1 êÄæ? ÊÏÄ ìûøöû η = 30 %.
3.4. Ïðè ñîêðàùåíèè ìûøöû çà âðåìÿ t = 0,3 ñ âûäåëèëîñü Q = 5,5 êÄæ
òåïëîòû. Âû÷èñëèòå ïîëåçíóþ ìîùíîñòü N
ïîë , ðàçâèâàåìóþ ìûøöåé, åñëè
åå ÊÏÄ η = 45 %.
3.5. Ìàêñèìàëüíàÿ îáùàÿ ìîùíîñòü, ðàçâèâàåìàÿ ìûøöåé, ñîñòàâ-
ëÿåò N
îáù. max = 10 Âò, à íàãðóçêà â èçîìåòðè÷åñêîì ðåæèìå ñîêðàùåíèÿ
P
0 = 300 Í. Âû÷èñëèòå îáùóþ ìîùíîñòü N îáù ìûøöû ïðè íàãðóçêå
â P = 180 Í.
3.6. Â ýêñïåðèìåíòàõ íà ïîðòíÿæíîé ìûøöå ëÿãóøêè áûëî îïðåäåëå-
íî, ÷òî íàãðóçêà â èçîìåòðè÷åñêîì ðåæèìå ñîêðàùåíèÿ ðàâíÿëàñü
P
0 = 0,65 Í, ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ñîêðàùåíèÿ v max = 50 ìì/ñ, à ïðè
íàãðóçêå P = 0,3 Í ñêîðîñòü ñîêðàùåíèÿ ñîñòàâèëà v = 10 ìì/ñ. Âû÷èñ-
ëèòå çíà÷åíèå êîíñòàíò a è b äëÿ äàííîé ìûøöû.
ÂÎÏÐÎÑÛ ÒÅÑÒÎÂÎÃÎ ÊÎÍÒÐÎËß
3.1.  ñîñòàâ òîíêèõ íèòåé ìûøå÷íîãî âîëîêíà âõîäÿò:
à) àêòèí è òðîïîíèí;
á) àêòèí, ìèîçèí è òðîïîìèîçèí;
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

82
â) ìèîçèí;
ã) àêòèí, òðîïîìèîçèí è òðîïîíèí;
ä) àêòèí è ìèîçèí.
3.2.  ñîñòàâ òîëñòûõ íèòåé ìûøå÷íîãî âîëîêíà âõîäÿò:
à) àêòèí è òðîïîíèí;
á) àêòèí, ìèîçèí è òðîïîìèîçèí;
â) ìèîçèí;
ã) àêòèí, òðîïîìèîçèí è òðîïîíèí;
ä) àêòèí è ìèîçèí.
3.3. Ïðè èçîòîíè÷åñêîì ñîêðàùåíèè:
à) äëèíà âîëîêíà èçìåíÿåòñÿ, íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî;
á) íàïðÿæåíèå èçìåíÿåòñÿ, äëèíà âîëîêíà ïîñòîÿííà;
â) äëèíà è íàïðÿæåíèå íåèçìåííû;
ã) äëèíà è íàïðÿæåíèå èçìåíÿþòñÿ.
3.4. Ïðè èçîìåòðè÷åñêîì ñîêðàùåíèè:
à) äëèíà âîëîêíà èçìåíÿåòñÿ, íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî;
á) íàïðÿæåíèå èçìåíÿåòñÿ, äëèíà âîëîêíà ïîñòîÿííà;
â) äëèíà è íàïðÿæåíèå íåèçìåííû;
ã) äëèíà è íàïðÿæåíèå èçìåíÿþòñÿ.
3.5. Óðàâíåíèå Õèëëà èìååò ñëåäóþùèé âèä:
à)
0max ()()( )( )Pavb P abav b++=+= +;
á)
0
max()
()()
()Pba
Pavb
bv b−
++=
−;
â)
0
max ()
() ( )
()vb
Pa P ab
av b+
+=+
−;
ã)
0
max()
()()
()Pba
Pavb
bv b+
++=
+;
ä)
0max ()()Pavb P abav++=−=.
3.6. Îáùàÿ ìîùíîñòü
N , ðàçâèâàåìàÿ ìûøöåé, ðàâíà:
à)
d
dQ
NaP
t =−  ;ã) d
dQ
Nav
t =+  ;
á)
d
dQ
NbP
t =−  ;ä) 0 ()( ) NPavbPP=+ = −  .
â)
общ 0 () NPavbPP=− = + ;
3.7. ÊÏÄ ìûøöû ðàâíî:
à)
Nv
P η= ;ã) Pv
N η=
 ;
á)
PN
v η=  ;ä) N
Pv η= .
â)
2Pv
N η=
 ;
Ãëàâà 3. Áèîôèçèêà ìûøå÷íîãî ñîêðàùåíèÿ

Ãëàâà 4
ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ
È ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ
Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà èçó÷àåò ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà, ñòðîåíèå
è àãðåãàòíûå ñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà íà îñíîâå ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè-
÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé. Ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ áûëè ñôîðìóëèðîâàíû
Ì. Â. Ëîìîíîñîâûì è çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì: âåùåñòâî ñîñòî-
èò èç ÷àñòèö (àòîìîâ èëè ìîëåêóë); ÷àñòèöû íàõîäÿòñÿ â íåïðå-
ðûâíîì õàîòè÷åñêîì äâèæåíèè, èíòåíñèâíîñòü è õàðàêòåð êîòî-
ðîãî çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû è àãðåãàòíîãî ñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà;
÷àñòèöû â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè âçàèìîäåéñò-
âóþò äðóã ñ äðóãîì ÷åðåç ñèëû ïðèòÿæåíèÿ èëè îòòàëêèâàíèÿ.
Òåðìîäèíàìèêà ðàññìàòðèâàåò ìàêðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû áåç
ó÷åòà èõ ìîëåêóëÿðíîãî ñòðîåíèÿ, èçó÷àåò ïðîöåññû ïðåâðàùåíèÿ
ýíåðãèè è íàïðàâëåíèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Ïîíÿòèÿ
è çàêîíû òåðìîäèíàìèêè øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â õèìè÷åñêèõ
è áèîëîãè÷åñêèõ äèñöèïëèíàõ, â îñîáåííîñòè â áèîõèìèè è ìîëå-
êóëÿðíîé áèîôèçèêå.
 äàííîé ãëàâå òàêæå ðàññìàòðèâàþòñÿ ÿâëåíèÿ ïåðåíîñà, ïî-
íèìàíèå êîòîðûõ íåîáõîäèìî äëÿ èçó÷åíèÿ ïðîöåññîâ òðàíñïîðòà
âåùåñòâ ÷åðåç ìåìáðàíó è ìåõàíèçìîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ëåêàðñòâåí-
íûõ âåùåñòâ â îðãàíèçìå.
§ 4.1. ÎÑÍÎÂÛ ÌÎËÅÊÓËßÐÍÎ-ÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ
ÒÅÎÐÈÈ ÃÀÇÎÂ
Âåùåñòâî ñîñòîèò èç îãðîìíîãî êîëè÷åñòâà ìèêðî÷àñòèö, ïðè-
íèìàþùèõ ó÷àñòèå â õàîòè÷åñêîì òåïëîâîì äâèæåíèè, õàðàêòåð
êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ àãðåãàòíûì ñîñòîÿíèåì. Èç èçâåñòíûõ àã-
ðåãàòíûõ ñîñòîÿíèé íèæå áóäóò ðàññìîòðåíû òðè ñîñòîÿíèÿ âåùå-
ñòâà: æèäêîå, ãàçîîáðàçíîå è òâåðäîå. Ïðîùå âñåãî íà÷èíàòü ðàñ-
ñìîòðåíèå ïðèëîæåíèé ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ê ãàçàì,

84
íàõîäÿùèìñÿ â óñëîâèÿõ, áëèçêèõ ê íîðìàëüíûì, òî åñòü òàêèõ,
êîòîðûå ñóùåñòâóþò âáëèçè ïîâåðõíîñòè çåìëè.
Ãàçîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå, íåñìîòðÿ íà åãî âûñîêóþ ðàçðåæåí-
íîñòü ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ñîñòîÿíèÿìè âåùåñòâà (ïðè íîð-
ìàëüíûõ óñëîâèÿõ âîçäóõ èìååò ïëîòíîñòü 1,29 êã/ì
3), ïðåäñòàâ-
ëÿåò ñîáîé ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç îãðîìíîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Òàê,
â îäíîì êóáè÷åñêîì ñàíòèìåòðå âîçäóõà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâè-
ÿõ ñîäåðæèòñÿ 2,7•10
19 ìîëåêóë, ïðè ýòîì ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó
ìîëåêóëàìè ïðèìåðíî â 10 ðàç ïðåâûøàåò èõ äèàìåòð. Áîëüøîå
ðàññòîÿíèå ìåæäó ìîëåêóëàìè ãàçà ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ðàçìåðàìè
äàåò âîçìîæíîñòü ïðåíåáðå÷ü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé âçàèìîäåé-
ñòâèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè è ñ÷èòàòü, ÷òî âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà
îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ýíåðãèåé õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë.
Ãàçû, ïîä÷èíÿþùèåñÿ ýòèì óñëîâèÿì è íàõîäÿùèåñÿ â ðàâíîâåñ-
íîì ñîñòîÿíèè, íàçûâàþòñÿ èäåàëüíûìè.
Ðàâíîâåñíûì ñîñòîÿíèåì íàçûâàåòñÿ òàêîå ñîñòîÿíèå, ïðè êîòî-
ðîì â êàæäîì ýëåìåíòå îáúåìà ãàçà äàâëåíèå, òåìïåðàòóðà è äðóãèå
òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû îäèíàêîâû è íå èçìåíÿþòñÿ âî âðå-
ìåíè. Åñëè ãàç íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè, òî õàðàêòåð
õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ íå çàâèñèò îò ìåñòà, â êîòîðîì îíî ïðîèñ-
õîäèò, òî åñòü ïî õàðàêòåðó õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ íåâîçìîæíî îò-
ëè÷èòü îäíó îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, çàíèìàåìîãî ãàçîì, îò äðóãîé.
Îäíèì èç ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè è òåð-
ìîäèíàìèêè ÿâëÿåòñÿ òåìïåðàòóðà. Òåìïåðàòóðà àññîöèèðóåòñÿ ñ ïî-
íÿòèÿìè òåïëîòû è õîëîäà, êîòîðûå èìåþò ñóáúåêòèâíûé õàðàêòåð.
Ïåðåõîä îò ñóáúåêòèâíûõ îöåíîê òåïëîâûõ ãðàäàöèé ê îáúåêòèâíîìó
èçìåðåíèþ òåìïåðàòóðû ïðîèçîøåë ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî. Ñîâðå-
ìåííàÿ øêàëà Öåëüñèÿ áûëà ïðåäëîæåíà â 1742 ã. Ñîãëàñíî ýòîé
øêàëå, òî÷êà çàìåðçàíèÿ âîäû ñîîòâåòñòâóåò 0 °Ñ, à òî÷êà êèïåíèÿ
âîäû — 100 °Ñ. Â íåêîòîðûõ ñòðàíàõ èñïîëüçóþòñÿ òåìïåðàòóðíûå
øêàëû Ôàðåíãåéòà è Ðåîìþðà
1. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó øêàëàìè Ôà-
ðåíãåéòà è Öåëüñèÿ ñëåäóþùèå:
() °= °−
°= °+5
F32;
9
9
F32,
5 tt
ttC
C
(4.1.1)
1 Ïî øêàëå Ôàðåíãåéòà òåìïåðàòóðà ñìåñè ñíåãà ñ íàøàòûðåì ñîîòâåòñòâóåò
0°F, à òî÷êà êèïåíèÿ âîäû ïðè íîðìàëüíîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè — +212°F.
Ïåðâîíà÷àëüíî â êà÷åñòâå âòîðîé ðåïåðíîé (ïîñòîÿííîé) òî÷êè áûëà âûáðàíà
òåìïåðàòóðà òåëà ÷åëîâåêà (+96°F). Ïî øêàëå Ðåîìþðà 0°R ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà
òàÿíèÿ ëüäà, à 80°R — òî÷êà êèïåíèÿ âîäû.
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

85
ãäå t °C — òåìïåðàòóðà ïî øêàëå Öåëüñèÿ; t °F — òåìïåðàòóðà ïî
øêàëå Ôàðåíãåéòà.
Äëÿ øêàë Öåëüñèÿ è Ðåîìþðà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíî-
øåíèÿ:
;
, °= °
°= °5
4
4
5 tt
ttCR
RC
(4.1.2)
ãäå t °R — òåìïåðàòóðà ïî øêàëå Ðåîìþðà.
Âûáîð òåìïåðàòóðíûõ øêàë áûë äîâîëüíî ïðîèçâîëüíûì. Âïî-
ñëåäñòâèè îáíàðóæèëîñü, ÷òî, íåñìîòðÿ íà ðàâíîìåðíîñòü äåëåíèÿ
øêàëû ìåæäó òî÷êàìè êèïåíèÿ è çàìåðçàíèÿ âîäû íà 100 ÷àñòåé,
ãðàäóñ îêîëî 20 °Ñ îòëè÷àëñÿ îò ãðàäóñà âáëèçè 100 °Ñ â ñèëó íåëè-
íåéíîñòè êîýôôèöèåíòà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîñòåé, èñïîëü-
çóåìûõ â êà÷åñòâå ðàáî÷åãî âåùåñòâà òåðìîìåòðîâ. Èññëåäîâàíèÿ
ãàçîâ äàëè âîçìîæíîñòü èçãîòîâèòü òåðìîìåòð ñ áîëåå ðàâíîìåðíîé
øêàëîé, êîòîðûé ìîæåò ðàáîòàòü â î÷åíü øèðîêîì äèàïàçîíå òåì-
ïåðàòóð. Äåëî â òîì, ÷òî ãàçû ïåðåõîäÿò â æèäêîå ñîñòîÿíèå ïðè
î÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ è ïðè ìàëûõ ïëîòíîñòÿõ â ðàçëè÷íûõ
òåìïåðàòóðíûõ äèàïàçîíàõ âåäóò ñåáÿ ïî÷òè îäèíàêîâî.
Ñîãëàñíî ç à ê î í ó Ã å é-Ë þ ñ ñ à ê à, îáúåì ãàçà ëèíåéíî çà-
âèñèò îò òåìïåðàòóðû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
0(1 ) VV t=+α , (4.1.3)
ãäå t — òåìïåðàòóðà â °Ñ; α = 1/273,15 — êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî
ðàñøèðåíèÿ;
0V — îáúåì, çàíèìàåìûé ãàçîì ïðè òåìïåðàòóðå 0 °Ñ.
Òàêèì îáðàçîì, èçìåðÿÿ îáúåì ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè,
ìîæíî óòî÷íèòü ãðàäóèðîâêó òåðìîìåòðîâ, â êîòîðûõ â êà÷åñòâå
ðàáî÷åãî âåùåñòâà èñïîëüçóþòñÿ æèäêîñòè.
Äðóãèì âàæíûì ñëåäñòâèåì çàêîíà Ãåé-Ëþññàêà ÿâëÿåòñÿ òî,
÷òî ïðè òåìïåðàòóðå t = –273,15 °Ñ âñå ãàçû, íåçàâèñèìî îò èõ
íà÷àëüíîãî îáúåìà V
0, äîëæíû èìåòü îáúåìû, ðàâíûå íóëþ. Íà
îñíîâàíèè ýòîãî áûëà ââåäåíà íîâàÿ øêàëà òåìïåðàòóð, â êîòîðîé
íóëåì ÿâëÿåòñÿ òåìïåðàòóðà –273,15 °Ñ. Òàêàÿ øêàëà òåìïåðàòóð
íàçûâàåòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé, èëè èäåàëüíî-ãàçîâîé, è áûëà ïðåä-
ëîæåíà Óèëüÿìîì Êåëüâèíîì.  êà÷åñòâå åäèíèöû èçìåðåíèÿ
â ýòîé øêàëå èñïîëüçóåòñÿ êåëüâèí (Ê). 1 Ê ïðàêòè÷åñêè èäåíòè-
÷åí 1 °Ñ. Ñîîòíîøåíèå ìåæäó øêàëàìè Öåëüñèÿ è òåðìîäèíàìè-
÷åñêîé ñëåäóþùåå:
273,15 tT=− ° , (4.1.4)
ãäå t — òåìïåðàòóðà â ãðàäóñàõ Öåëüñèÿ; Ò — â êåëüâèíàõ. § 4.1. Îñíîâû ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ

86
Òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ øêàëà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðå
0 Ê èëè –273,15 °Ñ îáúåì èäåàëüíîãî ãàçà äîëæåí ñòàòü ðàâíûì íóëþ,
íóëåâûì äîëæíî ñòàòü òàêæå è äàâëåíèå ãàçà p íà ñòåíêè ñîñóäà,
â êîòîðîì îí íàõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî ç à ê î í ó Ø à ð ë ÿ,
0(1 ) pp t=+α , (4.1.5)
ãäå α — òîò æå ñàìûé êîýôôèöèåíò, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ â çàêî-
íå Ãåé-Ëþññàêà, à p
0 — äàâëåíèå ïðè òåìïåðàòóðå 0 °Ñ.
Ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ óñòàíàâëèâàåò, ÷òî ýíåðãèÿ
õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ïðîïîðöèîíàëüíà òåðìîäèíàìè-
÷åñêîé òåìïåðàòóðå, ÷òî ïîäòâåðæäàåòñÿ òàêæå öåëûì ðÿäîì ýêñ-
ïåðèìåíòîâ. Èç îïûòà ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñðåäíèå êèíåòè÷åñêèå ýíåð-
ãèè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ðàçíûõ ãàçîâ, íàõîäÿùèõñÿ
ïðè îäèíàêîâîé òåìïåðàòóðå, ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî åñòü
22 2
11 2 2
22 2
nn mv m v m v
==…= , (4.1.6)
ãäå
im — ìàññû ãàçîâ (i = 1, 2, …, n); 2
iv — ñðåäíèå êâàäðàòû
ñêîðîñòåé ìîëåêóë ãàçà.
Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóë. Ýíåðãèÿ êàæäîé ìîëåêóëû â ñàìîì
îáùåì ñëó÷àå ñêëàäûâàåòñÿ èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïîñòóïàòåëü-
íîãî äâèæåíèÿ, êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
è ýíåðãèè êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, òî åñòü
22
22 k
k mv Iω
ε= + + ε ∑ , (4.1.7)
ãäå m — ìàññà ìîëåêóëû; v — ñêîðîñòü ìîëåêóëû; I — ìîìåíò
èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ; ω — óãëîâàÿ ñêîðîñòü; ε
k —
ýíåðãèÿ êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ k-ãî íîðìàëüíîãî êîëåáàíèÿ
ìîëåêóëû.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåé ýíåðãèè ìîëåêóëû íåîáõîäèìî ââåñ-
òè ïîíÿòèå î ñòåïåíÿõ ñâîáîäû. ×èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ìåõàíè-
÷åñêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí, ñ ïî-
ìîùüþ êîòîðûõ ìîæåò áûòü çàäàíî ïîëîæåíèå ñèñòåìû.
Íàïðèìåð, îäíîàòîìíàÿ ìîëåêóëà, êîòîðóþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, îáëàäàåò òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, òàê êàê
åå ïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ òðåìÿ êîîð-
äèíàòàìè (ðèñ. 4.1.1, à). Ïðè èçìåíåíèè êîîðäèíàò òî÷êà ñîâåð-
øàåò ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå, ïîýòîìó ýòè òðè ñòåïåíè ñâîáîäû
íàçûâàþòñÿ ïîñòóïàòåëüíûìè. Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

87
Ìíîãîàòîìíàÿ ìîëåêóëà ìîæåò ñîâåðøàòü íå òîëüêî ïîñòóïà-
òåëüíîå, íî è âðàùàòåëüíîå è êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. Âðàùà-
òåëüíîå äâèæåíèå ìîëåêóëû êàê öåëîãî îïðåäåëÿåòñÿ óãëàìè ïî-
âîðîòà âîêðóã òðåõ êîîðäèíàòíûõ îñåé (ðèñ. 4.1.1, â), ïîýòîìó òàêàÿ
ìîëåêóëà èìååò òðè âðàùàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû. Àòîìû, ñìå-
ùàÿñü îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà, ñîâåðøàþò êîëåáàòåëüíîå äâèæå-
íèå. Ïîñêîëüêó êàæäûé àòîì, êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, îáëàäàåò
â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, òî ìîëåêó-
ëà èç Ê àòîìîâ â öåëîì èìååò 3Ê ñòåïåíåé ñâîáîäû. Èç íèõ òðè
ïðèõîäÿòñÿ íà ïîñòóïàòåëüíîå è òðè — íà âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå
æåñòêîé ìîëåêóëû, òàê ÷òî íà êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå îñòàåòñÿ
колеб 36 nK=− (4.1.8)
ñòåïåíåé ñâîáîäû.
Äëÿ ëèíåéíûõ ìîëåêóë íà âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ïðèõîäèòñÿ
òîëüêî äâå ñòåïåíè ñâîáîäû, òàê êàê èõ âðàùåíèå âîêðóã îäíîé èç
êîîðäèíàòíûõ îñåé íå èìååò ñìûñëà (ðèñ. 4.1.1, á). Äëÿ òàêèõ ìî-
ëåêóë ÷èñëî êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî
колеб 35 nK=− . (4.1.9)
Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå âçàèìíîå ïåðåìåùåíèå àòîìîâ â ìîëå-
êóëå îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ñóììîé F
íåçàâèñèìûõ êîëåáàíèé. Ýòî òàê íàçûâàåìûå íîðìàëüíûå êîëå-
áàíèÿ.
Îäíîàòîìíàÿ ìîëåêóëà îáëàäàåò òðåìÿ ïîñòóïàòåëüíûìè ñòå-
ïåíÿìè ñâîáîäû; äâóõàòîìíàÿ — òðåìÿ ïîñòóïàòåëüíûìè, äâóìÿ
âðàùàòåëüíûìè è îäíîé êîëåáàòåëüíîé ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òðåõ-
àòîìíàÿ ìîëåêóëà, åñëè âñå àòîìû íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, èìååò
ïî òðè ïîñòóïàòåëüíûõ, âðàùàòåëüíûõ è êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíè
ñâîáîäû.
x
y
z
x
y
z
x
y
z
à
áâ
Ðèñ. 4.1.1. Îïðåäåëåíèå ñòåïåíåé ñâîáîäû îäíîàòîìíûõ (à), äâóõàòîìíûõ (á)
è ìíîãîàòîìíûõ íåëèíåéíûõ (â) ìîëåêóë
§ 4.1. Îñíîâû ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ

88
Áîëüöìàí è Ìàêñâåëë äîêàçàëè ò å î ð å ì ó î ð à â í î ð à ñ-
ï ð å ä å ë å í è è ý í å ð ã è è ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû ìîëåêóë, ñî-
ãëàñíî êîòîðîé: åñëè îïèñûâàåìàÿ êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìå-
õàíèêîé ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè ïðè òåðìîäèíàìè÷åñêîé
òåìïåðàòóðå Ò, òî íà êàæäóþ ñòåïåíü ñâîáîäû îäíîé ìîëåêóëû ïðè-
õîäèòñÿ â ñðåäíåì îäèíàêîâàÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ
1
2kT ε= , (4.1.10)
ãäå k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà (k = 1,38•10
–23 Äæ/Ê).
Íåîáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî ïîñòóïàòåëüíîå è âðàùàòåëüíîå äâè-
æåíèå ìîëåêóëû ñâÿçàíî òîëüêî ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé ýòîé
ìîëåêóëû, à êîëåáàòåëüíîå — è ñ êèíåòè÷åñêîé, è ïîòåíöèàëüíîé,
ñðåäíèå âåëè÷èíû êîòîðûõ ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûìè. Ïîýòîìó íà
êàæäóþ êîëåáàòåëüíóþ ñòåïåíü ñâîáîäû ïðèõîäèòñÿ âäâîå áîëü-
øàÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ kT.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû ñîñòàâëÿåò:
2i
kT ε= , (4.1.11)
ãäå
пост вр колеб 2 in n n=++ — ñóììà ÷èñëà ïîñòóïàòåëüíûõ, âðàùà-
òåëüíûõ è óäâîåííîãî ÷èñëà êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû.
Äâóõàòîìíàÿ ìîëåêóëà, â çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðû, ìîæåò
èìåòü ñðåäíþþ ýíåðãèþ:
3
2kT ε= , 5
2kT ε= èëè 7
2kT ε= .
Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî êîëåáàòåëüíûå è âðàùàòåëüíûå ñòåïåíè
ñâîáîäû âîçáóæäàþòñÿ â ðàçëè÷íîé ñòåïåíè ïðè ðàçíûõ òåìïåðà-
òóðàõ. Ïðè÷èíîé ýòîãî, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿåòñÿ êâàíòîâûé õà-
ðàêòåð ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ìîëåêóë.
Ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ìîæåò ïðèíèìàòü
ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, à êîëåáàòåëüíàÿ è âðàùàòåëüíàÿ ýíåðãèè
êâàíòîâàíû. Äëÿ òîãî ÷òîáû ìîëåêóëà ïåðåøëà ñ îäíîãî âðàùàòåëü-
íîãî (êîëåáàòåëüíîãî) óðîâíÿ ýíåðãèè íà äðóãîé âðàùàòåëüíûé (êî-
ëåáàòåëüíûé) óðîâåíü, îíà äîëæíà îáëàäàòü äîïîëíèòåëüíîé ýíåð-
ãèåé, ðàâíîé ðàçíîñòè ýòèõ óðîâíåé. Èíòåðâàëû ìåæäó äèñêðåòíûìè
êîëåáàòåëüíûìè óðîâíÿìè íà ïîðÿäîê áîëüøå, ÷åì èíòåðâàëû ìåæäó
äèñêðåòíûìè âðàùàòåëüíûìè óðîâíÿìè.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ìîëåêóëû ãàçà â îñ-
íîâíîì èìåþò ýíåðãèþ, ñâÿçàííóþ ñ ïîñòóïàòåëüíûì äâèæåíèåì.
Ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû íà÷èíàþò âîçáóæäàòüñÿ âðàùàòåëüíûå, à çà-
òåì — êîëåáàòåëüíûå óðîâíè ýíåðãèè.Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

89
Ñîãëàñíî ðèñ. 4.1.2, äëÿ âîäîðîäà ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ïðè
òåìïåðàòóðàõ äî 70 Ê ðàâíî 3 (ó÷àñòîê 1—1'), îò 200 Ê äî 700 Ê
i= 5 (ó÷àñòîê 2—2'), à ïðè òåìïåðàòóðå ñâûøå 2000 Ê i = 7 (ó÷àñ-
òîê 3—3'). Â ïðîìåæóòêàõ ìåæäó ýòèìè òåìïåðàòóðàìè òåïëîåì-
êîñòü ðàñòåò ìîíîòîííî. Ïðè ýòîì ïîñòåïåííî âñå áîëüøå è áîëü-
øå ìîëåêóë âêëþ÷àåòñÿ ñíà÷àëà âî âðàùàòåëüíîå (ó÷àñòîê 1'—2),
à çàòåì â êîëåáàòåëüíîå (ó÷àñòîê 2'—3) äâèæåíèå.
Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå çàêîí ðàâíîðàñïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè
ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû, òî äëÿ ñðåäíåé ýíåðãèè ïîñòóïàòåëüíîãî
äâèæåíèÿ îäíîé ìîëåêóëû ìîæíî ïîëó÷èòü
пост2
2 3
222mv
mv
kT ε= = = , (4.1.12)
ãäå
2v — ñðåäíèé êâàäðàò ñêîðîñòè (îáðàòèòå âíèìàíèå:
2
2 vv≠ ).
Ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà. Ìîëåêóëû ãàçà ó÷àñòâóþò â íåïðå-
ðûâíîì õàîòè÷åñêîì äâèæåíèè. Ñêîðîñòè ìîëåêóë íåîäèíàêîâû
è íåïðåðûâíî èçìåíÿþòñÿ ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ. Ìàêñâåëë âûâåë çà-
êîí ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì, ñîãëàñíî êîòîðîìó ïëîò-
íîñòü âåðîÿòíîñòè äëÿ ñêîðîñòè
222
xyz vvvv=++ ðàâíà
Íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î õàðàêòåðå âîçáóæäåíèÿ ñòåïåíåé
ñâîáîäû ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû äàåò ïðèâåäåííûé íà ðèñ. 4.1.2 ãðà-
ôèê òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè âîäîðîäà.
Ðèñ. 4.1.2. Êðèâàÿ çàâèñèìîñòè ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè âîäîðîäà îò òåìïåðàòóðû.
Òåïëîåìêîñòü äàåòñÿ â åäèíèöàõ R/2, ãäå R = 8,31 Äæ/(ìîëü•Ê)
§ 4.1. Îñíîâû ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ

90
3/2
2
2
() 4 exp
22mmv
fv v
kT kT

=π −



π

 , (4.1.13)
ãäå m — ìàññà ìîëåêóëû; T — òåìïåðàòóðà ãàçà.
 îñíîâå ýòîãî çàêîíà ëåæèò íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ
ïðîåêöèé ñêîðîñòåé ìîëåêóë íà äåêàðòîâûå îñè êîîðäèíàò. Ãðà-
ôèê ôóíêöèè
() fv ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 4.1.3.
Óìíîæèâ ôóíêöèþ (4.1.13) íà
dv , ïîëó÷àåì âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî ìîäóëü ñêîðîñòè ïðîèçâîëüíîé ìîëåêóëû çàêëþ÷àåòñÿ â èí-
òåðâàëå îò v äî v + dv.
Ðèñ. 4.1.3. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìî-
ëåêóë ãàçà ïî ñêîðîñòÿìÐèñ. 4.1.4. Êðèâûå ðàñïðåäåëåíèÿ
ìîëåêóë îäíîãî è òîãî æå ãàçà ïî
ñêîðîñòÿì äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ òåì-
ïåðàòóð
Ôóíêöèè () fv äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóð ïðåäñòàâëåíû
íà ðèñ. 4.1.4, ãäå ïîêàçàíî, ÷òî ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû ìàêñèìóì
êðèâîé ðàñïðåäåëåíèÿ óìåíüøàåòñÿ è ñìåùàåòñÿ â ñòîðîíó áîëü-
øèõ ñêîðîñòåé. Ïðè äàëüíåéøåì ðîñòå òåìïåðàòóðû áóäåò óâåëè-
÷èâàòüñÿ ðàçìûòèå êðèâîé è óìåíüøàòüñÿ ìàêñèìóì. Òàê êàê ïëî-
ùàäü ïîä êðèâîé
() fv äîëæíà ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå, òî
0
()d 1 fv v

= ∫ .
Ìàêñèìóìó ôóíêöèè
() fv ñîîòâåòñòâóåò íàèáîëåå âåðîÿòíàÿ
ñêîðîñòü:
вер 2kT
v
m = , (4.1.14)
ãäå m — ìàññà îäíîé ìîëåêóëû ãàçà; k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà.
Óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü âûðàæåíèÿ (4.1.14) íà ÷èñëî
Àâîãàäðî (N
A = 6,023•10 23ìîëü –1), ðàâíîå ÷èñëó ìîëåêóë, ñîäåðæà-
ùèõñÿ â îäíîì ìîëå âåùåñòâà. Ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà Àâîãàäðî íà
ïîñòîÿííóþ Áîëüöìàíà äàåò êîíñòàíòó R, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ óíè-
âåðñàëüíîé ãàçîâîé ïîñòîÿííîé R = 8,31 Äæ/(ìîëü•Ê), òî åñòü Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

91
AN Rk= . (4.1.15)
Ïðîèçâåäåíèå ìàññû îäíîé ìîëåêóëû ãàçà íà ÷èñëî Àâîãàäðî
ðàâíî ìîëÿðíîé ìàññå ýòîãî ãàçà (
AN mM= ). Òîãäà âûðàæåíèå
(4.1.14) ñâîäèòñÿ ê áîëåå óäîáíîìó äëÿ âû÷èñëåíèÿ âèäó:
вер 2RT
v
M = . (4.1.16)
Àñèììåòðèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî
íàèáîëåå âåðîÿòíàÿ ñêîðîñòü íå ðàâíà ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé ñêî-
ðîñòè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:
0
88
()dkT RT
vvfvv
mM ∞
===
ππ∫ . (4.1.17)
Ñðåäíþþ êâàäðàòè÷íóþ ñêîðîñòü ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ ñî-
îòíîøåíèÿ (4.1.12), èç êîòîðîãî ñëåäóåò
2
ср. кв 33kT RT
vv
mM == = . (4.1.18)
Äëÿ çíà÷åíèé íàèáîëåå âåðîÿòíîé, ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé
è ñðåäíåé êâàäðàòè÷íîé ñêîðîñòåé ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâî
вер ср. квvvv<< (4.1.19)
è ñîîòíîøåíèå
вер ср. кв : : 1, 4 1 : 1, 6 0 : 1, 7 3 vvv= . (4.1.20)
Äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåãî ÷èñëà ìîëåêóë, ñêî-
ðîñòè êîòîðûõ ëåæàò â îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîì èíòåðâàëå ñêîðî-
ñòåé, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåì:
() 12
12
2 vv
NNf vv
+

∆= −



 . (4.1.21)
 ýòîé ôîðìóëå ñêîðîñòè v
1 è v 2 îïðåäåëÿþò ãðàíèöû èíòåðâà-
ëà, âíóòðè êîòîðîãî ëåæàò ñêîðîñòè ìîëåêóë, ÷èñëî êîòîðûõ îïðå-
äåëÿåòñÿ.
Îñíîâíîå óðàâíåíèå êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî
÷åì âûøå òåìïåðàòóðà ãàçà è ÷åì áîëüøå êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë n, § 4.1. Îñíîâû ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ

92
òåì áîëüøå äàâëåíèå p ãàçà íà ñòåíêè ñîñóäà, êîòîðîå îïðåäåëÿåò-
ñÿ ñóììàðíûì èçìåíåíèåì èìïóëüñà ìîëåêóë, óäàðÿþùèõñÿ î ïî-
âåðõíîñòü ïëîùàäüþ 1 ì
2 â 1 ñ. Òàêèì îáðàçîì, äàâëåíèå ãàçà íà
ñòåíêè ñîñóäà ìîæíî îáúÿñíèòü óäàðàìè ìîëåêóë, ïðè÷åì äàâëå-
íèå ïðîïîðöèîíàëüíî ñðåäíåìó êâàäðàòó ñêîðîñòè:
2 1
3 pnmv= , (4.1.22)
ãäå ð — äàâëåíèå;
/ nNV= — êîíöåíòðàöèÿ, òî åñòü êîëè÷åñòâî
ìîëåêóë N ãàçà â åäèíèöå îáúåìà V,
[]n = ì –3; ò — ìàññà ìîëåêó-
ëû ãàçà; 2v — ñðåäíèé êâàäðàò ñêîðîñòè.
Èç ñîîòíîøåíèé (4.1.22) è (4.1.12) ñëåäóåò îñíîâíîå óðàâíåíèå
êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ:
пост 2
3 pn=ε , (4.1.23)
ãäå
постε — ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ãàçà, êîí-
öåíòðàöèÿ êîòîðûõ ðàâíà n.
Èç ñîîòíîøåíèÿ (4.1.23) ñëåäóåò, ÷òî, åñëè èìååòñÿ ñìåñü k
ãàçîâ ñ êîíöåíòðàöèÿìè
1n, 2n , … , kn , òî
[] пост пост пост 12 2
3 k pn n n=ε+ε++ε
K ,
òî åñòü
12k pp p p=+++
K , (4.1.24)
÷òî ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ç à ê î í à Ä à ë ü ò î í à: äàâëåíèå ñìå-
ñè ãàçîâ ðàâíî ñóììå ïàðöèàëüíûõ äàâëåíèé. Ïàðöèàëüíûì äàâëåíèåì
íàçûâàåòñÿ äàâëåíèå, ïðè êîòîðîì íàõîäèëñÿ áû ýòîò ãàç, åñëè èç
ñìåñè áûëè áû óäàëåíû âñå îñòàëüíûå ãàçû, à îáúåì è òåìïåðàòóðà
îñòàëèñü áû ïðåæíèìè.
Óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà-Êëàïåéðîíà. Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå,
÷òî
пост 3
2kT ε= , ñîîòíîøåíèå (4.1.23) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó:
pnkT= . (4.1.25)
Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà îáúåì ãàçà V, ïîëó÷àåì
ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
pV VnkT NkT== ,
ãäå N — ÷èñëî ìîëåêóë ãàçà â îáúåìå V. Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

93
Óìíîæèâ è ðàçäåëèâ ïðàâóþ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ íà
÷èñëî Àâîãàäðî N
A, è, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî
NA
N
=ν , (4.1.26)
ãäå ν — êîëè÷åñòâî âåùåñòâà â ìîëÿõ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
AN pV kT=ν . (4.1.27)
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (4.1.15), ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ ñîñòîÿ-
íèÿ èäåàëüíîãî ãàçà — óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà—Êëàïåéðîíà:
pV RT=ν . (4.1.28)
Óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà—Êëàïåéðîíà ñûãðàëî âàæíåéøóþ ðîëü
â ñòàíîâëåíèè è ðàçâèòèè ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè. Îíî
ÿâèëîñü ïðîòîòèïîì öåëîãî ðÿäà
áîëåå ñëîæíûõ óðàâíåíèé ñîñòî-
ÿíèÿ, ïðèìåíèìûõ ê ðåàëüíûì
ãàçàì.
Ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà.
Ãàç, íàõîäÿùèéñÿ â ïîëå ñèë òÿ-
ãîòåíèÿ, îêàçûâàåò äàâëåíèå íà
íèæåëåæàùèå ñëîè, â ðåçóëüòà-
òå ÷åãî ïëîòíîñòü ãàçà è äàâëå-
íèå çàâèñÿò îò âûñîòû. Åñëè
òåìïåðàòóðà ãàçà âñþäó îäèíàêî-
âà (èçîòåðìè÷åñêèé ãàç), òî çà-
âèñèìîñòü äàâëåíèÿ ãàçà îò âû-
ñîòû äàåòñÿ áàðîìåòðè÷åñêîé
ôîðìóëîé
0expMgh
pp
RT 
=−

 , (4.1.29)
ãäå M — ìîëÿðíàÿ ìàññà ãàçà; g — óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè; R —
óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ; Ò — òåìïåðàòóðà; h — âûñîòà
íàä óðîâíåì ìîðÿ; p
0 — äàâëåíèå íàä óðîâíåì ìîðÿ ( 0 h=). Ãðàôè-
êè ôóíêöèè (4.1.29) äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóð ïðèâåäåíû íà
ðèñ. 4.1.5.
Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî
pnkT= , à
пE
Mgh mgh
RT kT kT== ,
Ðèñ. 4.1.5. Ãðàôèêè ôóíêöèè (4.1.29)
(áàðîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëà) äëÿ äâóõ
ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóð
§ 4.1. Îñíîâû ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ

94
ãäå m — ìàññà ìîëåêóëû ãàçà; k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà;
потEmgh= — ýíåðãèÿ ìîëåêóëû ãàçà â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, òî ôîð-
ìóëà (4.1.29) ïðåîáðàçóåòñÿ â áîëåå îáùóþ ôîðìóëó (ðàñïðåäåëåíèå
Áîëüöìàíà):
пот
0 expE
nn
kT 
=−

 . (4.1.30)
Ñîîòíîøåíèå (4.1.30) ìîæíî îáîáùèòü, ñ÷èòàÿ åãî ñïðàâåäëè-
âûì äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñèëîâûõ ïîëåé.
§ 4.2. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ.
ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÊÎÍ ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ
Òåðìîäèíàìèêà ÿâëÿåòñÿ ðàçäåëîì ôèçèêè, â êîòîðîì ðàññìàò-
ðèâàþòñÿ ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå âî Âñåëåííîé, ñ ñàìûõ îáùèõ
ïîçèöèé. Â òåðìîäèíàìèêå íå èñïîëüçóþòñÿ â ÿâíîì âèäå êàêèå-
ëèáî ôèçè÷åñêèå îáðàçû èëè ìîäåëè, à óñòàíàâëèâàþòñÿ ñîîòíî-
øåíèÿ ìåæäó òàêèìè âåëè÷èíàìè, êàê âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, òåïëî,
ýíòðîïèÿ, ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ è äð. Òåðìîäèíàìèêà îïåðèðóåò òà-
êèìè ïîíÿòèÿìè, êàê òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, òåðìîäèíàìè-
÷åñêèå ïàðàìåòðû, òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ.
Òåðìîäèíàìèêà èçó÷àåò ìàêðîñêîïè÷åñêèå ïðîöåññû îáìåíà
è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè â ñèñòåìå áåç ó÷åòà ìèêðîñêîïè÷åñêîãî
ñòðîåíèÿ òåë, ñîñòàâëÿþùèõ äàííóþ ñèñòåìó. Ïðè ýòîì ðàçìåðû
ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì è âðåìÿ èõ ñóùåñòâîâàíèÿ äîñòàòî÷íû
äëÿ ïðîâåäåíèÿ íîðìàëüíûõ ïðîöåññîâ èçìåðåíèÿ. Òàêîãî ðîäà
ñèñòåìû ñîñòîÿò èç áîëüøîãî ÷èñëà ìàòåðèàëüíûõ ÷àñòèö (íàïðè-
ìåð ìîëåêóë, àòîìîâ, ýëåêòðîíîâ è ò. ï.); ñèñòåìû ñ ìàëûì ÷èñëîì
÷àñòèö â òåðìîäèíàìèêå íå ðàññìàòðèâàþòñÿ.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìèêè. Åñëè èçó÷àåòñÿ ÷àñòü ñèñòå-
ìû, òî îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü íàçûâàåòñÿ îêðóæàþùåé ñðåäîé. Îêðóæà-
þùóþ ñðåäó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåðìîñòàò, êîòîðûé íàëà-
ãàåò íåêîòîðûå óñëîâèÿ íà èçó÷àåìóþ ÷àñòü ñèñòåìû (íàïðèìåð,
óñëîâèÿ ïîñòîÿíñòâà òåìïåðàòóðû, äàâëåíèÿ è ïð.).
 òåðìîäèíàìèêå ðàçëè÷àþò òðè âèäà ñèñòåì: è ç î ë è ð î â à í-
í û å — íå îáìåíèâàþòñÿ ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé íè âåùåñòâîì, íè
ýíåðãèåé; ç à ê ð û ò û å — îáìåíèâàþòñÿ ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé
ýíåðãèåé, íî íå âåùåñòâîì; è î ò ê ð û ò û å — îáìåíèâàþòñÿ
ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé è âåùåñòâîì, è ýíåðãèåé. Èçîëèðîâàííûõ
ñèñòåì â ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò, òàê êàê íåâîçìîæíî èçãîòîâèòü
àáñîëþòíî òåïëîèçîëèðóþùóþ îáîëî÷êó. Òàêîâûìè ìîæíî ëèøüÃëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

95
ñ íåêîòîðûì ïðèáëèæåíèåì ñ÷èòàòü äîñòàòî÷íî òåïëîèçîëèðîâàí-
íûå ñèñòåìû, íî òîëüêî â òå÷åíèå îïðåäåëåííîãî ïðîìåæóòêà âðå-
ìåíè.
Âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå ñîñòîÿíèå òåðìîäèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû (íàïðèìåð, äàâëåíèå p, óäåëüíûé è ìîëÿðíûé îáúåì V,
òåìïåðàòóðà T), íàçûâàþòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè. Ñî-
âîêóïíîñòü âñåõ çíà÷åíèé òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, íåîá-
õîäèìûõ äëÿ îïèñàíèÿ ñèñòåìû, îïðåäåëÿåò òåðìîäèíàìè÷åñêîå
ñîñòîÿíèå. Âñÿêàÿ èçîëèðîâàííàÿ ñèñòåìà ñî âðåìåíåì ïðèõîäèò
ê ñîñòîÿíèþ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ, â êîòîðîì ïðåêðàùà-
þòñÿ âñå íåîáðàòèìûå ïðîöåññû; òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû
íå èçìåíÿþòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, è îòñóòñòâóþò èõ ãðàäèåíòû.
Ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ôèçè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñ-
òèêà ñèñòåìû, èçìåíåíèå êîòîðîé ïðè ïåðåõîäå ñèñòåìû èç îäíî-
ãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ íà-
÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèé è íå çàâèñèò îò òîãî, êàêèì
îáðàçîì ñîâåðøàåòñÿ ýòîò ïåðåõîä. Ôóíêöèÿìè ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿ-
þòñÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, ýíòàëüïèÿ, ýíòðîïèÿ, ñâîáîäíàÿ ýíåð-
ãèÿ Ãåëüìãîëüöà, òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà, õèìè÷å-
ñêèé è ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàëû.
Óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîå ñîîòíîøå-
íèå ìåæäó òåðìîäèíàìè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè ñèñòåìû, íàõîäÿ-
ùåéñÿ â ðàâíîâåñèè.
Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåíåíèå ñî-
ñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Åñëè íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå áûëî ðàâíîâåñíûì, òî
ïðîöåññ ìîæåò áûòü âûçâàí òîëüêî èçìåíåíèåì âíåøíèõ óñëîâèé.
Ðàâíîâåñíûé, èëè êâàçèñòàòè÷åñêèé òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ
ïðîèñõîäèò â òîì ñëó÷àå, åñëè âíåøíèå óñëîâèÿ èçìåíÿþòñÿ òàê
ìåäëåííî, ÷òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ñèñòåìó ìîæíî ñ÷èòàòü
ðàâíîâåñíîé. Ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ î á ð à ò è ì û ì, åñëè îí ìî-
æåò áûòü ïðîâåäåí â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè, ïðè÷åì ñèñòåìà áóäåò
ïðîõîäèòü â îáðàòíîì ïîðÿäêå ÷åðåç òå æå ñîñòîÿíèÿ, ÷òî è ïðÿ-
ìîì ïðîöåññå; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ í å î á-
ð à ò è ì û ì. Îáðàòèìûå ïðîöåññû ÿâëÿþòñÿ êâàçèñòàòè÷åñêèìè,
íî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå âñåãäà âåðíî. Íàïðèìåð, áåñêîíå÷íî
ìåäëåííîå ðàñøèðåíèå ãàçà â ïóñòîòó ÿâëÿåòñÿ êâàçèñòàòè÷åñêèì,
íî íåîáðàòèìûì ïðîöåññîì. Âñå ðåàëüíûå ïðîöåññû íåîáðàòèìû;
îáðàòèìûå ïðîöåññû ÿâëÿþòñÿ ôèçè÷åñêîé èäåàëèçàöèåé.
Òåðìîäèíàìè÷åñêèì êîíòàêòîì íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ñâÿçü ìåæäó
ñèñòåìàìè, ïðè êîòîðîé âîçìîæåí õîòÿ áû îäèí èç ñëåäóþùèõ
òèïîâ âçàèìîäåéñòâèé.
1. Ìåõàíè÷åñêîå âçàèìîäåéñòâèå — âçàèìîäåéñòâèå, ïðè êîòî-
ðîì îäíà ñèñòåìà ñîâåðøàåò ðàáîòó íàä äðóãîé ñèñòåìîé ñ ïîìî-
ùüþ ìåõàíè÷åñêèõ, ýëåêòðîìàãíèòíûõ èëè èíûõ ñèë.
§ 4.2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìèêè. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè

96
2. Òåïëîâîå âçàèìîäåéñòâèå — âçàèìîäåéñòâèå, êîòîðîå ïðèâî-
äèò ê èçìåíåíèþ ýíåðãèè è ïðîèñõîäèò â ôîðìå ïåðåäà÷è òåïëîòû
ïîñðåäñòâîì òåïëîïðîâîäíîñòè èëè òåïëîâîé ðàäèàöèè.
3. Ìàòåðèàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå — âçàèìîäåéñòâèå, êîòîðîå ïðè-
âîäèò ê îáìåíó âåùåñòâîì ìåæäó äâóìÿ ñèñòåìàìè, íàïðèìåð âçà-
èìîäåéñòâèå ÷åðåç ïîëóïðîíèöàåìóþ ìåìáðàíó èëè ïîâåðõíîñòü
òåëà ÷åëîâåêà.
Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè ÿâëÿåòñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè. Îí ãëàñèò: òåïëîòà, ñîîáùåííàÿ ñèñòåìå, ðàñõîäóåòñÿ íà
ïðèðàùåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ñèñòåìû è ñîâåðøåíèå ñèñòåìîé ðà-
áîòû íàä âíåøíèìè òåëàìè.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàïèñü ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè èìååò
ñëåäóþùèé âèä:
d QUA δ= +δ , (4.2.1)
ãäå
Q δ,A δ — ôóíêöèîíàëû (ìàëûå èçìåíåíèÿ) òåïëîòû è ðàáîòû;
dU — ïîëíûé äèôôåðåíöèàë âíóòðåííåé ýíåðãèè, ÿâëÿþùåéñÿ
ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ. Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò
çàâèñåòü îò ìíîãèõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, íàïðèìåð:
(, , ) UfpVT= ; äëÿ èäåàëüíûõ ãàçîâ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò
òîëüêî îò òåìïåðàòóðû, òî åñòü
() UfT= . Ñèìâîëû δ óêàçûâàþò
íà òî, ÷òî òåïëîòà è ðàáîòà íå ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ñîñòîÿíèÿ, òî
åñòü çàâèñÿò îò âèäà òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà è íå ÿâëÿþòñÿ
â îáùåì ñëó÷àå ïîëíûìè äèôôåðåíöèàëàìè. Äðóãèìè ñëîâàìè,
â äàííîì òåðìîäèíàìè÷åñêîì ñî-
ñòîÿíèè ñèñòåìà îáëàäàåò îïðå-
äåëåííûì çíà÷åíèåì âíóòðåííåé
ýíåðãèè, â òî âðåìÿ êàê ðàáîòà
è òåïëîòà õàðàêòåðèçóþò ïåðåõîä
ìåæäó äâóìÿ ñîñòîÿíèÿìè.
Ðàáîòà ðàñøèðåíèÿ ãàçà. Âû-
÷èñëèì ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ ãà-
çîì ïðè èçìåíåíèè åãî îáúåìà.
Ïóñòü ãàç, íàõîäÿùèéñÿ ïîä ïîð-
øíåì (ðèñ. 4.2.1), èçîáàðè÷åñêè
(ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè) ðàñ-
øèðÿåòñÿ îò îáúåìà
1V äî 2V . Ãàç
äåéñòâóåò íà ïîðøåíü ñ ñèëîé
FpS= (ãäå p — äàâëåíèå, îêà-
çûâàåìîå ãàçîì íà ïîðøåíü ïëî-
ùàäüþ S) è ïåðåìåùàåò åãî íà ðàññòîÿíèå
21 ll l ∆= − . Òîãäà ðàáî-
òà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì ïî ïåðåìåùåíèþ ïîðøíÿ, ðàâíà
AFl pSl pV=∆= ∆=∆ , (4.2.2)
ãäå
21 VSlVV ∆=∆= − — èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà.
l1
l2
l
Ðèñ. 4.2.1. Ðàñøèðåíèå ãàçà, íàõîäÿ-
ùåãîñÿ â öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ïîä
ïîðøíåì
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

97
 òîì ñëó÷àå, åñëè â ïðîöåññå ðàñøèðåíèÿ äàâëåíèå èçìåíÿåò-
ñÿ, ôîðìóëà (4.2.2) ñòàíîâèòñÿ íåïðèãîäíîé äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàáî-
òû.  ýòîì ñëó÷àå âûáèðàþò äîñòàòî÷íî ìàëîå èçìåíåíèå îáú-
åìà
dV , êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå äàâëåíèÿ.
Òîãäà ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ñîñòàâèò:
d ApV δ= . (4.2.3)
Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì, ïðè êîíå÷íîì èç-
ìåíåíèè îáúåìà íà
21 VV V ∆= − ðàâíà ñóììå ýëåìåíòàðíûõ ðàáîò,
òî åñòü èíòåãðàëó â ïðåäåëàõ îò
1V äî 2V :
2
1
d
V
V
ApV= ∫ . (4.2.4)
Ïðè ýòîì ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ïðè ðàñøèðåíèè ãàçà
(
0 V ∆>) ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì, ïîëîæèòåëüíà, à ïðè ñæàòèè
(
0 V ∆<) — îòðèöàòåëüíà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàáîòà âíåøíèõ ñèë
íàä ãàçîì ïðè åãî ðàñøèðåíèè îòðèöàòåëüíà, à ïðè ñæàòèè — ïî-
ëîæèòåëüíà.
Åñëè èçîáðàçèòü ïðîöåññ ðàñøèðåíèÿ (ñæàòèÿ) ãàçà â êîîðäè-
íàòàõ p, V (ðèñ. 4.2.2), òî èç ôîðìóëû (4.2.4) ñëåäóåò, ÷òî ðàáîòà
÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé îñüþ V, êðèâîé
p=f(V) è ïðÿìûìè V
1 è V 2.
p
V V
2 V1
A
B p
1
p2
p
V V
2 V1
A
B p
1
p2
àá
Ðèñ. 4.2.2. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì, ïðè ðàçëè÷íûõ ñïîñîáàõ ïåðåõîäà èç ñîñ-
òîÿíèÿ À â ñîñòîÿíèå Â
Èç ãðàôèêîâ, ïðèâåäåííûõ íà ðèñ. 4.2.2, à è á, âèäíî, ÷òî âå-
ëè÷èíà ðàáîòû çàâèñèò îò òîãî, êàêèì îáðàçîì ñèñòåìà ïåðåõîäè-
ëà èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. Ýòî èëëþñòðèðóåò òîò ôàêò, ÷òî
ðàáîòà íå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ.
Òåïëîåìêîñòü ãàçîâ. Òåïëîåìêîñòüþ òåëà íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà,
÷èñëåííî ðàâíàÿ êîëè÷åñòâó òåïëîòû, êîòîðîå íåîáõîäèìî ñîîá-
§ 4.2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìèêè. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè

98
ùèòü ýòîìó òåëó, ÷òîáû íàãðåòü åãî íà îäèí êåëüâèí. Åäèíèöåé
èçìåðåíèÿ òåïëîåìêîñòè ÿâëÿåòñÿ äæîóëü íà êåëüâèí (Äæ/Ê).
Íà ïðàêòèêå óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü òåïëîåìêîñòü îäíîãî
ìîëÿ — ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü,
[]Cµ = Äæ/(ìîëü•Ê), èëè òåïëî-
åìêîñòü åäèíèöû ìàññû — óäåëüíóþ òåïëîåìêîñòü,
[]mC = Äæ/
(êã•Ê).
m CCmC µ ==ν , (4.2.5)
ãäå
ν — êîëè÷åñòâî âåùåñòâà â ìîëÿõ; ò — ìàññà â êèëîãðàììàõ.
Òåïëîåìêîñòü ñèñòåìû çàâèñèò îò òîãî, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ
ïðîèñõîäèò òåïëîïåðåäà÷à.
Òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå
VC ñîîòâåòñòâóåò íà-
ãðåâàíèþ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå,
òî åñòü
d V
V Q
C
T δ

=

 . (4.2.6)
Ïîäñòàâèì â ôîðìóëó (4.2.6) âûðàæåíèå äëÿ ïåðâîãî çàêîíà
òåðìîäèíàìèêè (4.2.1) ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ (4.2.3):
dd d d d
ddddd V
VVVVV QUpV UpV U
C
TTTTT δ+
    
== =+ =
    
     (4.2.7)
(
d0V= ïðè V = const).
Èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè èäåàëüíîãî ãàçà çàâèñèò òîëü-
êî îò òåìïåðàòóðû. Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî
dd V UC T= , (4.2.8)
èëè — ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ —
V UCT= . (4.2.9)
Ìîëåêóëû èäåàëüíîãî ãàçà íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé
(òî åñòü ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà íóëþ), ïî-
ýòîìó âíóòðåííþþ ýíåðãèþ èäåàëüíîãî ãàçà ìîæíî ïðåäñòàâèòü
êàê ïðîèçâåäåíèå ñðåäíåé ýíåðãèè îäíîé ìîëåêóëû
2i
kT ε= [ñì.
(4.1.11)] íà ÷èñëî ìîëåêóë ãàçà
AN N=ν .
AN
22ii
UN kT RT=ε=ν =ν . (4.2.10)
Ñðàâíåíèå ôîðìóë (4.2.10) è (4.2.9) äàåò, ÷òîÃëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

99
2 V i
CR=ν , (4.2.11)
òîãäà ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå ðàâíà
2 V i
CR µ= . (4.2.12)
Òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè
pC ñîîòâåòñòâóåò íà-
ãðåâàíèþ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè
dd
dd d p
pp p QU V
Cp
TT T δ
  
==+
  
   . (4.2.13)
Èç óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà—Êëàïåéðîíà (4.1.28) ñëåäóåò, ÷òî
ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå
dd pV R T=ν . Òîãäà ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ
(4.2.8) ïîëó÷àåì:
2
2 pV i
CC R R+
=+ν= ν , (4.2.14)
èëè äëÿ îäíîãî ìîëÿ:
pVCC R µµ=+ . (4.2.15)
Òàêèì îáðàçîì, ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâ-
ëåíèè ðàâíà
2
2 p i
CR µ +
= . (4.2.16)
Ñîîòíîøåíèå (4.2.15) íàçûâàåòñÿ ñ î î ò í î ø å í è å ì Ì à é-
å ð à , êîòîðîå ðàñêðûâàåò ôèçè÷åñêèé ñìûñë óíèâåðñàëüíîé ãàçî-
âîé ïîñòîÿííîé: óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R ðàâíà ðàáî-
òå, ïðîèçâîäèìîé îäíèì ìîëåì èäåàëüíîãî ãàçà ïðè èçîáàðè÷åñêîì
ïðîöåññå, åñëè òåìïåðàòóðà ãàçà ïîâûøàåòñÿ íà îäèí Êåëüâèí.
Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè ê èäå-
àëüíûì ãàçàì.
Èçîáàðè÷åñêèé ïðîöåññ. Ïðè èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå äàâëåíèå
ïîñòîÿííî, à ïåðåìåííûìè âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ îáúåì V è òåì-
ïåðàòóðà Ò. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (4.2.3) è (4.2.8), èç ïåðâîãî
çàêîíà òåðìîäèíàìèêè ïîëó÷àåì:
ddV QC T pV δ= + . (4.2.17)
Èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè â ýòîì ïðîöåññå ðàâíî
§ 4.2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìèêè. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè

100
V UCT ∆= ∆ , (4.2.18)
à ñîâåðøàåìàÿ ðàáîòà, ïîñêîëüêó äàâëåíèå ïîñòîÿííî, ñîñòàâëÿåò
ApV=∆ . (4.2.19)
Äëÿ èçîáàðè÷åñêîãî ïðîöåññà ìîæíî
çàïèñàòü, ÷òî
VR
Tpν
= , èëè const V
T=
(óðàâíåíèå èçîáàðû, çàêîí Ãåé-
Ë þ ñ ñ à ê à). Ãðàôè÷åñêè ýòîò ïðîöåññ ëó÷-
øå âñåãî ïðåäñòàâèòü â êîîðäèíàòàõ V—T
(ðèñ. 4.2.3).
Èçîõîðè÷åñêèé ïðîöåññ. Åñëè îáúåì ãàçà
íå èçìåíÿåòñÿ (
const V= ), òî ñ ïîâûøå-
íèåì òåìïåðàòóðû âîçðàñòàåò äàâëåíèå.
Ðàáîòà â ýòîì ñëó÷àå íå ïðîèçâîäèòñÿ, òî
åñòü
0 A=,
è, çíà÷èò,
dV QC T δ= . (4.2.20)
Äëÿ èçîõîðè÷åñêîãî ïðîöåññà
RT
p
V ν
= , èëè const p
T= (óðàâ-
íåíèå èçîõîðû, çàêîí Øàðëÿ), è, ñëåäîâàòåëüíî, äàâëåíèå èçìå-
íÿåòñÿ ëèíåéíî ïðè èçìåíåíèè òåìïåðà-
òóðû (ðèñ. 4.2.4).
Èçîòåðìè÷åñêèé ïðîöåññ. Ïðîèñõîäèò
ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå (
const T= ),
à ïåðåìåííûìè âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ
îáúåì V è äàâëåíèå p.  èçîòåðìè÷åñêîì
ïðîöåññå äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà âíóòðåííÿÿ
ýíåðãèÿ íå èçìåíÿåòñÿ:
d0U= ,
ïîýòîìó âñÿ ïîãëîùåííàÿ òåïëîòà ðàñõî-
äóåòñÿ íà ñîâåðøåíèå ðàáîòû:

d QApV δ=δ= . (4.2.21)
Âûðàçèì äàâëåíèå èç óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà—Êëàïåéðîíà
è ïîäñòàâèì åãî â ôîðìóëó (4.2.21):
Ðèñ. 4.2.3. Èçîáàðà â êî-
îðäèíàòàõ V, T
Ðèñ. 4.2.4. Èçîõîðà â êî-
îðäèíàòàõ p,T
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

101
d RT
QA V
V ν
δ=δ= . (4.2.22)
Èíòåãðèðîâàíèå â ïðåäåëàõ èçìåíåíèÿ îáúåìà äàåò
2
1 2
1 d
ln V
V V
V
QA RT RT
VV ==ν =ν
∫ , (4.2.23)
ãäå V
1 è V 2 — íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé îáúåìû ãàçà.
 èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå âñÿ òåïëîòà, ïîãëîùåííàÿ ñèñòå-
ìîé, ïðåîáðàçóåòñÿ â ðàáîòó, ïîýòîìó â óêàçàííîì ïðîöåññå èäå-
àëüíûé ãàç ïðîèçâîäèò íàèáîëüøóþ ðà-
áîòó.
Äëÿ èçîòåðìè÷åñêîãî ïðîöåññà
const pV= (óðàâíåíèå èçîòåð-
ìû, çàêîí Áîéëÿ—Ìàðèîòòà).
Ãðàôèê èçîòåðìè÷åñêîãî ïðîöåññà ïðè-
âåäåí íà ðèñ. 4.2.5.
Àäèàáàòè÷åñêèé ïðîöåññ. Ïðè àäèàáà-
òè÷åñêîì ïðîöåññå ñèñòåìà òåïëîèçîëèðî-
âàíà, òî åñòü
0 Q δ=, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

dd V pV C T=− (4.2.24)
è ïðîèçâîäèìàÿ ñèñòåìîé ðàáîòà ðàâíà óáûëè âíóòðåííåé ýíåðãèè
()21 V ACTT=− − , (4.2.25)
ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà èäåàëüíîãî ãàçà ïîíèæàåòñÿ. Åñëè èäåàëü-
íûé ãàç àäèàáàòè÷åñêè ñæèìàòü, òî áóäåò ïðîèçâîäèòüñÿ ðàáîòà
íàä ãàçîì è åãî òåìïåðàòóðà ïîâûñèòñÿ.
Èç ñîîòíîøåíèÿ (4.2.24) è óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà—Êëàïåéðîíà
(4.1.28) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå àäèàáàòû (óðàâíå-
íèå Ïóàññîíà):
const pV γ= , (4.2.26)
ãäå
γ ,
:
2 p
VC
i
Ci+
γ= = . (4.2.27)
Óðàâíåíèå (4.2.26) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü, ïîëó÷èâ çàâèñèìîñòü
ìåæäó îáúåìîì è òåìïåðàòóðîé:
Ðèñ. 4.2.5. Èçîòåðìà â êî-
îðäèíàòàõ p,V
§ 4.2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìèêè. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè

102
1 TV γ− =const. (4.2.28)
Ãðàôèê àäèàáàòè÷åñêîãî ïðîöåññà
(àäèàáàòà) îòëè÷àåòñÿ îò èçîòåðìû òåì,
÷òî åñëè èç îäíîé òî÷êè ñíà÷àëà ïîéòè
ïî èçîòåðìå, à çàòåì ïî àäèàáàòå, òî ïîñ-
ëåäíÿÿ ïîéäåò êðó÷å, òî åñòü äëÿ òî÷-
êè Ñ (ðèñ. 4.2.6) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå:
0
dd
dd
QT
pp
VV
∆=
 
>
 
  . (4.2.29)
§ 4.3. ÖÈÊË ÊÀÐÍÎ. ÂÒÎÐÎÉ ÇÀÊÎÍ ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ
Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê ðàññìîòðåíèþ âòîðîãî çàêîíà òåð-
ìîäèíàìèêè, óäîáíî ðàññìîòðåòü ïðèíöèï äåéñòâèÿ òåïëîâûõ ìà-
øèí. Òåïëîâàÿ ìàøèíà âêëþ÷àåò â ñåáÿ ðàáî÷åå òåëî — âåùåñòâî,
íàä êîòîðûì îñóùåñòâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ, è äâà òåðìî-
ñòàòà: îäèí, èìåþùèé áîëåå âûñîêóþ òåìïåðàòóðó T
1, — íàãðåâà-
òåëü; äðóãîé, èìåþùèé áîëåå íèçêóþ òåìïåðàòóðó T
2, — õîëîäèëü-
íèê, èëè òåïëîïðèåìíèê. Äëÿ îïèñàíèÿ óñòðîéñòâà òåïëîâûõ ìàøèí
èñïîëüçóþò òåðìîäèíàìè÷åñêèå öèêëû. Öèêëîì, èëè êðóãîâûì ïðî-
öåññîì, íàçûâàþò ïðîöåññ, ïî çàâåðøåíèè êîòîðîãî ñèñòåìà âîç-
âðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå.
Êàê ïðàâèëî, òåðìîäèíàìè÷å-
ñêèå öèêëû èçîáðàæàþòñÿ ãðàôè-
÷åñêè â âèäå çàìêíóòîé êðèâîé íà
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè p—V
(ðèñ. 4.3.1). Ïóñòü ñèñòåìà ïåðå-
õîäèò èç ñîñòîÿíèÿ À â ñîñòîÿíèå Â
÷åðåç òî÷êó Ñ, à çàòåì âîçâðàùà-
åòñÿ îáðàòíî â ñîñòîÿíèå À ÷åðåç
òî÷êó D, òî åñòü ñîâåðøàåò îáõîä
êðèâîé ACBD ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå
(òàê íàçûâàåìûé ï ð ÿ ì î é
ö è ê ë). Â ïðîöåññå ÀÑÂ ãàç ðàñøèðÿåòñÿ, ïðè ýòîì ñîâåðøàåìàÿ
ðàáîòà ïîëîæèòåëüíà è ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ôèãóðû V
1ACBV 2.
Âîçâðàùåíèå èç ñîñòîÿíèÿ Â â ñîñòîÿíèå À ñîïðîâîæäàåòñÿ ñæà-
òèåì ãàçà, òî åñòü ñîâåðøåíèåì ãàçîì îòðèöàòåëüíîé ðàáîòû èëè
ïîëîæèòåëüíîé íàä ãàçîì, ÷èñëåííî ðàâíîé ïëîùàäè ôèãóðû
V
2BDAV 1. Òîãäà ñóììàðíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ñè-
Ðèñ. 4.2.6. Àäèàáàòà (1) è èçî-
òåðìà (2) â êîîðäèíàòàõ p—V
Ðèñ. 4.3.1. Öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

103
ñòåìîé çà îäèí öèêë, ðàâíà ïëîùàäè ôèãóðû AÑÂDA. Ìàøèíà,
ðàáîòàþùàÿ ïî ïðÿìîìó öèêëó, íàçûâàåòñÿ òåïëîâîé, åå ðàáî÷åå
òåëî ñîâåðøàåò ïîëîæèòåëüíóþ ðàáîòó çà ñ÷åò ïåðåäà÷è òåïëà îò
íàãðåâàòåëÿ ê õîëîäèëüíèêó.
Âîçìîæåí òàêæå î á ð à ò í û é ö è ê ë, ïðè êîòîðîì îáõîä êðè-
âîé îñóùåñòâëÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè ADBÑA (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåë-
êè).  ýòîì ñëó÷àå ñîâåðøàåòñÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ðàáîòà ðàñøèðå-
íèÿ íà ó÷àñòêå AD è îòðèöàòåëüíàÿ ðàáîòà ñæàòèÿ íà ó÷àñòêå
BÑA. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ðàáî÷èì òåëîì çà öèêë, çäåñü îòðèöà-
òåëüíà, òåïëîòà îòáèðàåòñÿ îò áîëåå õîëîäíîãî òåëà è ïåðåäàåòñÿ
áîëåå ãîðÿ÷åìó. Òàêîé ïðîöåññ íåâîçìîæåí ñàì ïî ñåáå è îñóùå-
ñòâëÿåòñÿ òîëüêî çà ñ÷åò ðàáîòû âíåøíèõ ñèë. Ìàøèíà, ðàáîòàþ-
ùàÿ ïî ýòîìó ïðèíöèïó, íàçûâàåòñÿ õîëîäèëüíîé.
Ñàäè Êàðíî ïðåäëîæèë öèêë èäåàëüíîé òåïëîâîé ìàøèíû. Íà
îñíîâàíèè ðàññìîòðåíèÿ ðàáîòû ýòîé ìàøèíû áûëè ïîëó÷åíû âàæ-
íåéøèå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñîîò-
íîøåíèÿ. Ðàáî÷èé öèêë ìàøèíû
ñîñòîèò èç äâóõ îáðàòèìûõ èçîòåð-
ìè÷åñêèõ è äâóõ îáðàòèìûõ àäèà-
áàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ.  ìàøèíå
îòñóòñòâóþò ïîòåðè íà ëó÷åèñïóñ-
êàíèå, òðåíèå è ò. ï. Ðàññìîòðèì
ðàáîòó òåïëîâîé ìàøèíû ïî öèêëó
Êàðíî, èñïîëüçóÿ äèàãðàììó, ïðåä-
ñòàâëåííóþ íà ðèñ. 4.3.2.
Ìàøèíà ñîñòîèò èç öèëèíäðà,
çàïîëíåííîãî ðàáî÷èì âåùåñòâîì
(èäåàëüíûì ãàçîì). Ïîðøåíü öè-
ëèíäðà, ïåðåìåùàÿñü, ñîâåðøàåò
ðàáîòó. Òî÷êà 1 íà äèàãðàììå ñî-
îòâåòñòâóåò òåïëîâîìó êîíòàêòó öèëèíäðà ñ íàãðåâàòåëåì, ïðè ýòîì
ïðîèñõîäèò èçîòåðìè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ïðè òåìïåðàòóðå T
1, ñî-
îòâåòñòâóþùåå ó÷àñòêó 1—2.  òî÷êå 2 öèëèíäð òåïëîèçîëèðóåòñÿ
è íà÷èíàåòñÿ àäèàáàòè÷åñêîå ðàñøèðåíèå (ó÷àñòîê 2—3), â êîíöå
êîòîðîãî òåìïåðàòóðà ïîíèæàåòñÿ äî òåìïåðàòóðû õîëîäèëüíèêà T
2.
Çàòåì öèëèíäð ïðèâîäèòñÿ â ñîñòîÿíèå êîíòàêòà ñ õîëîäèëüíèêîì
è íà÷èíàåòñÿ èçîòåðìè÷åñêîå ñæàòèå (ó÷àñòîê 3—4). Òî÷êà 4 ñîîò-
âåòñòâóåò òåïëîèçîëÿöèè öèëèíäðà è íà÷àëó àäèàáàòè÷åñêîãî ñæà-
òèÿ (ó÷àñòîê 4—1). Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå çàâåðøåíèÿ öèêëà òåï-
ëîâàÿ ìàøèíà ñîâåðøàåò ðàáîòó, ðàâíóþ ïëîùàäè, îãðàíè÷åííîé
êðèâûìè, è ïðèâîäèòñÿ â èñõîäíîå ïîëîæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå
òî÷êå 1.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàáîòû, ïðîèçâîäèìîé ìàøèíîé çà îäèí öèêë, ìîæ-
íî ïðîñóììèðîâàòü ðàáîòû, ñîâåðøàåìûå íà êàæäîì èç ó÷àñòêîâ äèà-
Ðèñ. 4.3.2. Öèêë Êàðíî
§ 4.3. Öèêë Êàðíî. Âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè

104
ãðàììû, òî åñòü
12 23 34 41 AA A A A =+++. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òî, ÷òî
ðàáîòû íà àäèàáàòíûõ ó÷àñòêàõ ïîä÷èíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèþ
23 41AA =−,
äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü
12A è 34A .  äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèÿõ îòêàæåìñÿ
îò ïîíÿòèé òåïëîòû è ðàáîòû êàê àëãåáðàè÷åñêèõ âåëè÷èí (òî åñòü òàêèõ,
êîòîðûå ìîãóò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíûìè, òàê è îòðèöàòåëüíûìè) è áó-
äåì ó÷èòûâàòü òîëüêî èõ àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4.2.23), äëÿ èçîòåðìè÷åñêèõ ó÷àñòêîâ 1—2 è 3—4
ìîæíî çàïèñàòü:
2
112 1
1 lnV
QA RT
V == ν , (4.3.1)
3
234 2
4 lnV
QA RT
V == ν , (4.3.2)
ãäå Q 1 — êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîãëîùåííîé ðàáî÷èì òåëîì îò íàãðåâàòå-
ëÿ; Q
2 — êîëè÷åñòâî òåïëîòû, îòäàííîé ðàáî÷èì òåëîì õîëîäèëüíèêó.
Èç óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (4.2.26) äëÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ (ó÷àñ-
òêè 2—3 è 4—1) ñëåäóåò, ÷òî
22 33pV pV γγ=, (4.3.3)
11 4 4pV p V γγ=. (4.3.4)
Ðàçäåëèì (4.3.3) íà (4.3.4)
22 33
11 4 4pV pV
pV p V γγ
γγ
=
è ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì:
()
() ()
() 11
22 33
23
11
11 4 4
14 pV V pV V
pV V p V V γ− γ−
γ− γ−
= . (4.3.5)
Äëÿ èçîòåðìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ (ó÷àñòêè 1—2 è 3—4) âûïîëíÿþòñÿ
óñëîâèÿ
22 11pV pV = è 33 4 4pV pV =. Òîãäà èç ôîðìóëû (4.3.5) ïîëó÷àåì:
23
14VV
VV =. (4.3.6)
Âûðàæåíèå (4.3.2) â ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä:
1
234 2
2 lnV
QA RT
V == ν . (4.3.7)
Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ çà âåñü öèêë, ðàâíà ðàçíîñòè òåïëîòû
1Q ,
ïîãëîùåííîé ðàáî÷èì òåëîì îò íàãðåâàòåëÿ, è òåïëîòû Q
2, îòäàí-
íîé ðàáî÷èì òåëîì õîëîäèëüíèêó, è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì âû-
ðàæåíèåì:Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

105
() 2
12 12
1 lnV
AQ Q RTT
V =− =ν − . (4.3.8)
Êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ òåïëîâîé ìà-
øèíû — áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ òåïëîâîé ýíåð-
ãèè, ïðåîáðàçîâàííîé â ðàáîòó, êî âñåìó êîëè÷åñòâó òåïëà, ïîãëî-
ùåííîìó ìàøèíîé, òî åñòü
12
11QQ
A
QQ−
η= = . (4.3.9)
Ôîðìóëû (4.3.8) è (4.3.1) äàþò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü âàæíåé-
øåå ñîîòíîøåíèå òåðìîäèíàìèêè:
12 12
11QQ TT
QT−−
η= = . (4.3.10)
Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî
äåéñòâèÿ èäåàëüíîé òåïëîâîé ìàøèíû íå çàâèñèò îò ñâîéñòâ ðàáî-
÷åãî âåùåñòâà è îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî òåìïåðàòóðàìè íàãðåâàòåëÿ
è õîëîäèëüíèêà. Ýòî ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü àáñîëþòíóþ òåìïåðà-
òóðíóþ øêàëó, íå çàâèñÿùóþ îò ñâîéñòâ òåðìîìåòðè÷åñêîãî òåëà.
Ñîîòíîøåíèå (4.3.10) îïðåäåëÿåò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé ÊÏÄ
òåïëîâîé ìàøèíû è óêàçûâàåò, ÷òî îí áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì áîëü-
øå ðàçíîñòü òåìïåðàòóð ìåæäó íàãðåâàòåëåì è õîëîäèëüíèêîì. Ýòî
íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ïðè êîíñòðóêöèè òåïëîâûõ ìàøèí.
Åñëè öèêë Êàðíî îáðàòèòü, òî åñòü íà÷àòü äâèãàòüñÿ ïî äèà-
ãðàììå, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 4.3.2, ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, òî
â äàííîì ñëó÷àå âíåøíèå ñèëû áóäóò ñîâåðøàòü ðàáîòó íàä ìàøè-
íîé, ïðè ýòîì áóäåò îòáèðàòüñÿ òåïëîòà îò õîëîäèëüíèêà è ïåðå-
äàâàòüñÿ íàãðåâàòåëþ. Òàêîé ðåæèì ðàáîòû ñîîòâåòñòâóåò õîëîäèëü-
íîé ìàøèíå.
Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè îáðàòèìûå ïðîöåññû, â êîòîðûõ
îòñóòñòâóþò òåïëîâûå ïîòåðè. Âñå ðåàëüíûå ïðîöåññû íåîáðàòè-
ìû, â íèõ ÷àñòü ýíåðãèè, êîòîðàÿ ìîãëà áû áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ
ñîâåðøåíèÿ ðàáîòû, ðàññåèâàåòñÿ â òåïëîâóþ ýíåðãèþ õàîòè÷å-
ñêîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë. Èç ñîîòíîøåíèÿ (4.3.10) ñëåäóåò, ÷òî åñëè
ïðè ðàáîòå òåïëîâîé ìàøèíû ïðîèñõîäÿò ïîòåðè, òî
12 12
21QQ TT
QT−−
< . (4.3.11)
Èç íåðàâåíñòâà (4.3.11) âûòåêàþò äâå ôîðìóëèðîâêè âòîðîãî
çàêîíà òåðìîäèíàìèêè. Äîïóñòèì, ÷òî â öèêëå íå ïðîèçâîäèòñÿ § 4.3. Öèêë Êàðíî. Âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè

106
ðàáîòà ( 12 0 AQ Q=− =), òî åñòü âñå òåïëî, ïîãëîùåííîå îò íàãðå-
âàòåëÿ, ïåðåäàåòñÿ õîëîäèëüíèêó, òîãäà
12
1 0 TT
T−
> è 12TT > . Òà-
êèì îáðàçîì, òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ âñåãäà áîëüøå òåìïåðàòóðû
õîëîäèëüíèêà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íåâîçìîæåí ñàìîïðîèçâîëüíûé
ïåðåõîä òåïëà îò òåë ñ áîëåå íèçêîé òåìïåðàòóðîé ê òåëàì ñ áîëåå
âûñîêîé òåìïåðàòóðîé (ôîðìóëèðîâêà Êëàóçèóñà).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåïëîòà
1Q , ïåðåäàííàÿ ðàáî÷åìó òåëó îò
íàãðåâàòåëÿ, áåç ïîòåðü ðàñõîäóåòñÿ íà ñîâåðøåíèå ðàáîòû ðàáî-
÷èì òåëîì (ò. å.
2 0 Q=).  ýòîì ñëó÷àå íåðàâåíñòâî (4.3.11) ñâî-
äèòñÿ ê âèäó
2
1 11T
T <− . Îäíàêî åãî âûïîëíåíèå íåâîçìîæíî, òàê
êàê
2 0 T>, 1 0 T> è 21TT< . Îòñþäà ñëåäóåò âòîðàÿ ôîðìóëèðîâêà
âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè (ô î ð ì ó ë è ð î â ê à Ò î ì ñ î í à):
íåâîçìîæíî ñîçäàíèå âå÷íîãî äâèãàòåëÿ âòîðîãî ðîäà, òî åñòü òà-
êîãî öèêëè÷åñêîãî ïðîöåññà, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî âñå ïîãëîùåííîå
ñèñòåìîé òåïëî ðàñõîäîâàëîñü áû íà ñîâåðøåíèå ýòîé ñèñòåìîé ðà-
áîòû.
 ñàìîì îáùåì ñëó÷àå, îáúåäèíèâ ñîîòíîøåíèå (4.3.10) è íå-
ðàâåíñòâî (4.3.11), ìîæíî çàïèñàòü:
12 12
11QQ TT
QT−−
≤ . (4.3.12)
Çíàê ðàâåíñòâà ñîîòâåòñòâóåò èäåàëüíîìó öèêëó Êàðíî, à çíàê
íåðàâåíñòâà — íåîáðàòèìîìó öèêëè÷åñêîìó ïðîöåññó. Òàêèì îá-
ðàçîì, ÊÏÄ íåîáðàòèìûõ ìàøèí âñåãäà ìåíüøå ÊÏÄ îáðàòèìûõ.
Èòàê, ðàññìîòðåíèå ðàáîòû òåïëîâîé ìàøèíû ïîêàçûâàåò, ÷òî åå
ÊÏÄ íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå, òî åñòü âñÿ òåïëîòà, çàáðàííàÿ îò
íàãðåâàòåëÿ, íå ìîæåò ïðåâðàòèòüñÿ â ðàáîòó. Èç îïûòà èçâåñòíî, ÷òî
ïîëíîå ïðåîáðàçîâàíèå ðàáîòû â òåïëîòó, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, ïðîèñ-
õîäèò âñåãäà. Òàêèì îáðàçîì, íàïðàâëåíèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïðî-
öåññîâ â ïðèðîäå ñîîòâåòñòâóåò ðàññåÿíèþ ïîëåçíîé ýíåðãèè è ïðå-
âðàùåíèþ åå â ýíåðãèþ õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ìèêðî÷àñòèö.
Ñîîòíîøåíèå (4.3.12) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â ñëåäóþùåì âèäå:
12
12 0 QQ
TT−≤. (4.3.13)
Îòíîøåíèå ïîãëîùåííîé èëè îòäàííîé òåïëîòû â èçîòåðìè-
÷åñêîì ïðîöåññå ê òåìïåðàòóðå, ïðè êîòîðîé ïðîèçâîäèòñÿ òåïëî-
îáìåí, íàçûâàåòñÿ ï ð è â å ä å í í û ì ê î ë è ÷ å ñ ò â î ì ò å ï-
ëîòû.Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

107
Ïðîèçâîëüíûé öèêë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû áåñêîíå÷-
íî ìàëûõ öèêëîâ, â êîòîðûõ íà èçîòåðìè÷åñêèõ ó÷àñòêàõ ïîãëîùà-
þòñÿ èëè âûäåëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûå êîëè÷åñòâà òåïëîòû
iQ δ.
Èñïîëüçóÿ òàêîé ïðèåì, ñîîòíîøåíèå (4.3.13) ìîæíî ïåðåïèñàòü â
ñëåäóþùåì âèäå:
0 i
iQ
T δ
≤ ∑ . (4.3.14)
Ïðè íåïðåðûâíîì èçìåíåíèè ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ðà-
áî÷åå òåëî âñòóïàåò â òåïëîîáìåí ñ íåïðåðûâíûì ðÿäîì òåïëîîòäàò-
÷èêîâ è òåïëîïðèåìíèêîâ ñ ïîñòîÿííî èçìåíÿþùåéñÿ òåìïåðàòóðîé.
Òîãäà ñóììà â íåðàâåíñòâå (4.3.14) çàìåíÿåòñÿ èíòåãðàëîì
δ
≤∫  0 Q
T. (4.3.15)
Ýòî ñîîòíîøåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì âòî-
ðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè, íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì Êëàóçèóñà.
Èç ñîîòíîøåíèÿ (4.3.15) ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ
ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, íàçâàííîé Êëàóçèóñîì ýíòðîïèåé è îáîçíà÷à-
åìîé S. Ýíòðîïèåé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, äèô-
ôåðåíöèàë êîòîðîé â áåñêîíå÷íî ìàëîì îáðàòèìîì ïðîöåññå ðà-
âåí îòíîøåíèþ áåñêîíå÷íî ìàëîãî êîëè÷åñòâà òåïëà, ñîîáùåííîãî
ñèñòåìå, ê àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå ïîñëåäíåé:
dQ
S
T δ
= , (4.3.16)
ãäå äèôôåðåíöèàë dSÿâëÿåòñÿ ïîëíûì.
Åäèíèöåé èçìåðåíèÿ ýíòðîïèè â
ñèñòåìå ÑÈ ÿâëÿåòñÿ Äæ/Ê.
 ñëó÷àå îáðàòèìîãî ïåðåõîäà
ñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿ-
íèå 2 ñóììà ïðèâåäåííûõ êîëè÷åñòâ
òåïëîòû ðàâíà èçìåíåíèþ ýíòðîïèè
â ýòîì ïðîöåññå:

2
21
1 Q
SS S
T δ
∆= − = ∫ . (4.3.17)
Ðàññìîòðèì öèêë, ñîñòîÿùèé èç
íåîáðàòèìîãî 1—A—2 è îáðàòèìîãî
2—B—1 ïðîöåññîâ (ðèñ. 4.3.3). Åñëè õîòÿ áû îäèí ó÷àñòîê öèêëà
íåîáðàòèì, òî è âåñü öèêë íåîáðàòèì, òî åñòü
Ðèñ. 4.3.3. Íåîáðàòèìûé öèêë
§ 4.3. Öèêë Êàðíî. Âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè

108
необр обр δδ
δ
=+<
∫∫ ∫ 
21
12
0 QQ
Q
TT T. (4.3.18)
Äëÿ îáðàòèìîãî ó÷àñòêà öèêëà ìîæíî çàïèñàòü:
обр 1
12
2Q
SS
T δ
=−
∫ .
Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â ñîîòíîøåíèå (4.3.18):
необр 2
12
1 0 Q
SS
T δ
+− < ∫
è âûðàçèì èçìåíåíèå ýíòðîïèè â íåîáðàòèìîì ïðîöåññå:
необр 2
21
1Q
SS S
T δ
∆= − >
∫ . (4.3.19)
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïðîöåññà
2
21
1 Q
SS S
T δ
∆= − ≥ ∫ , (4.3.20)
ãäå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî äëÿ îáðàòèìîãî ïðîöåññà, à íåðàâåíñòâî —
äëÿ íåîáðàòèìîãî.
Äëÿ èçîëèðîâàííûõ ñèñòåì (δQ= 0), ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî
d0S≥ . (4.3.21)
Òàêèì îáðàçîì, ýíòðîïèÿ èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû ëèáî âîçðàñ-
òàåò (â íåîáðàòèìûõ ïðîöåññàõ), ëèáî îñòàåòñÿ íåèçìåííîé (â îáðà-
òèìûõ ïðîöåññàõ). Äðóãèìè ñëîâàìè, ýíòðîïèÿ èçîðâàííîé ñèñòå-
ìû íå ìîæåò óáûâàòü, ÷òî ÿâëÿåòñÿ åùå îäíîé ôîðìóëèðîâêîé
âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè, à âûðàæåíèå (4.3.21) — åãî ìàòå-
ìàòè÷åñêîé çàïèñüþ.
Ïðîöåññ ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2 íå ìîæåò áûòü
ðåàëèçîâàí, åñëè íàðóøàåòñÿ íåðàâåíñòâî (4.3.20).Åñëè ñèñòåìà
íå íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ, òî îíà áóäåò ñàìîïðîèç-
âîëüíî ïðèáëèæàòüñÿ ê ýòîìó ñîñòîÿíèþ ðàâíîâåñèÿ, ïðè÷åì ýí-
òðîïèÿ åå áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ, äîñòèãàÿ ìàêñèìóìà â ïîëîæåíèè
ðàâíîâåñèÿ.
Áîëüöìàí ïîêàçàë, ÷òî ýíòðîïèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû
îïðåäåëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì âåñîìèëè òåðìîäèíàìè÷åñêîé âå-
ðîÿòíîñòüþ W, ðàâíîé ÷èñëó ðàâíîâåðîÿòíûõ ìèêðîñîñòîÿíèé
ñèñòåìû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ äàííîå ìàêðî-Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

109
ñîñòîÿíèå ýòîé ñèñòåìû. Ñîãëàñíî Áîëüöìàíó, ñâÿçü ìåæäó òåðìî-
äèíàìè÷åñêîé âåðîÿòíîñòüþ W è ýíòðîïèåé S èìååò âèä:
ln SkW= , (4.3.22)
ãäå k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà. Âûðà-
æåíèå (4.3.22) íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû
Áîëüöìàíà.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð.
Ïóñòü â íåêîòîðîì îáúåìå, ðàçäåëåííîì
íà äâà îòñåêà (ðèñ. 4.3.4), ìîãóò íàõî-
äèòüñÿ ÷åòûðå ìîëåêóëû ãàçà: a, b, c è d.
 òàáë. 4.3.1 ïîêàçàíû âîçìîæíûå ñïî-
ñîáû èõ ðàñïðåäåëåíèÿ ìåæäó îòñåêàìè. Ëþáîé èç ýòèõ ñïîñîáîâ
îïðåäåëÿåò ìèêðîñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Êàæäîå ìèêðîñîñòîÿíèå ðàâ-
íîâåðîÿòíî. À ïîñêîëüêó îáùåå ÷èñëî òàêîâûõ ðàâíî 16, òî âåðî-
ÿòíîñòü ðåàëèçàöèè ëþáîãî èç íèõ ðàâíà 1/16. Ñîñòîÿíèå, â êîòî-
à

b
Ðèñ. 4.3.4. Ðàñïðåäåëåíèå ìî-
ëåêóë ïî äâóì îòñåêàì
Ò à á ë è ö à 4.3.1.
Ìàêðî- è ìèêðîñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû
ÌàêðîñîñòîÿíèåÌèêðîñîñòîÿíèÿ
(ñïîñîáû ðåàëèçàöèè
äàííîãî ìàêðîñîñòîÿíèÿ)Ðåàëèçàöèÿ äàííîãî
ìàêðîñîñòîÿíèÿ
(òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ
âåðîÿòíîñòü)
×èñëî ìîëåêóë Ìîëåêóëû, ðàñïîëîæåííûå
÷èñëî
ñïîñîáîââåðîÿòíîñòü
ñëåâà ñïðàâà ñëåâà ñïðàâà
04 —a b c d11/16
Âñåãî ñïîñîáîâ: 16 40a b c d— 1 1/16 31a b c
a b d
a c d
b c dd
c
b
a44/16 22a b
a c
a d
b c
b d
c dc d
b d
b c
a d
a c
a b66/16 13a
b
c
db c d
a c d
a b d
a b c44/16
§ 4.3. Öèêë Êàðíî. Âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè

110
ðîì â êàæäîì èç îòñåêîâ íàõîäèòñÿ îïðåäåëåííîå ÷èñëî ìîëåêóë
(íå âàæíî êàêèõ), ÿâëÿåòñÿ ìàêðîñîñòîÿíèåì äàííîé ñèñòåìû.
Íàïðèìåð, ìàêðîñîñòîÿíèå, â êîòîðîì ñëåâà íàõîäèòñÿ îäíà ìî-
ëåêóëà, à ñïðàâà — òðè, ðåàëèçóåòñÿ ÷åòûðüìÿ ñïîñîáàìè, à âåðî-
ÿòíîñòü åãî ðåàëèçàöèè ðàâíà 4/16. Ïîíÿòíî, ÷òî íàèáîëåå âåðîÿò-
íûì ìàêðîñîñòîÿíèåì (âåðîÿòíîñòü 6/16) áóäåò ñîñòîÿíèå
ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì ÷àñòèö (ïî äâà â êàæäîì îòñåêå).
Äëÿ ñèñòåìû èç k-îòñåêîâ è îáùåãî ÷èñëà ìîëåêóë N, òåðìîäè-
íàìè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü ìàêðîñîñòîÿíèÿ ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîð-
ìóëå
12
!
! ! ... !
k
N
W
NN N = , (4.3.23)
ãäå
1N , 2N , …, kN — êîëè÷åñòâî ìîëåêóë â ñîîòâåòñòâóþùåì
îòñåêå.
Èç ôîðìóë (4.3.23) è (4.3.22) ñëåäóåò, ÷òî íàèáîëåå âåðîÿòíîìó
ìàêðîñîñòîÿíèþ îòâå÷àåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ýíòðîïèè.  ýòîì
ñîñòîÿíèè ÷àñòèöû ðàñïðåäåëåíû íàèáîëåå õàîòè÷íî, òî åñòü ïî-
ðÿäîê â ñèñòåìå ìèíèìàëüíûé. Äëÿ èçîëèðîâàííûõ ñèñòåì ñ î÷åíü
ìàëûì ÷èñëîì ÷àñòèö (êàê â ïðèâåäåííîì ïðèìåðå) âåðîÿòíîñòü
îòêëîíåíèÿ îò íàèáîëåå âåðîÿòíîãî ìàêðîñîñòîÿíèÿ íå òàê óæ ìàëà,
òî åñòü âîçìîæíî ñàìîïðîèçâîëüíîå óìåíüøåíèå ýíòðîïèè. Ïî-
ýòîìó äëÿ ñèñòåì ñ ìàëûì ÷èñëîì ÷àñòèö âòîðîé çàêîí òåðìîäèíà-
ìèêè íåïðèìåíèì. Ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà ÷àñòèö âåðîÿòíîñòü ñëó-
÷àéíîãî îòêëîíåíèÿ îò íàèáîëåå âåðîÿòíîãî ìàêðîñîñòîÿíèÿ
óìåíüøàåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíîé äëÿ ÷èñëà
÷àñòèö ïîðÿäêà ÷èñëà Àâîãàäðî. Ïîýòîìó ñîñòîÿíèå ñ ìàêñèìàëü-
íîé ýíòðîïèåé ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñíûì, òàê êàê íå ñïîñîáíî ñàìî-
ïðîèçâîëüíî èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè.
Òàêèì îáðàçîì, ýíòðîïèÿ ÿâëÿåòñÿ ìåðîé íåóïîðÿäî÷åííîñòè
ñèñòåìû, è åå âîçðàñòàíèå â èçîëèðîâàííîé ñèñòåìå óêàçûâàåò íà
ñòðåìëåíèå ñèñòåìû ïåðåéòè èç óïîðÿäî÷åííîãî â õàîòè÷åñêîå
ñîñòîÿíèå. Êëàññè÷åñêàÿ òåðìîäèíàìèêà óòâåðæäàåò, ÷òî ñàìîïðî-
èçâîëüíûé ïåðåõîä èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû îò õàîñà ê ïîðÿäêó
íåâîçìîæåí.
Ñîñòîÿíèå ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì õàðàêòåðèçóåòñÿ òåðìî-
äèíàìè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè. Ïðè ýòîì â ìàëûõ îáúåìàõ ïðîñòðàí-
ñòâà, çàíèìàåìîãî ñèñòåìîé, âîçìîæíî ñëó÷àéíîå óâåëè÷åíèå èëè
óìåíüøåíèå ïëîòíîñòè, äàâëåíèÿ, òåìïåðàòóðû è òàê äàëåå ïî ñðàâ-
íåíèþ ñî ñðåäíèìè âåëè÷èíàìè óêàçàííûõ ïàðàìåòðîâ äëÿ âñåé
ñèñòåìû. Òàêèå îòêëîíåíèÿ (ôëóêòóàöèè) ÿâëÿþòñÿ êðàòêîâðåìåí-
íûìè è íåçíà÷èòåëüíûìè.
Êëàóçèóñ îáîáùèë âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè íà âñþ Âñå-
ëåííóþ, ñ÷èòàÿ åå èçîëèðîâàííîé ñèñòåìîé, â êîòîðîé ñî âðåìå-Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

111
íåì äîëæíî ïðîèçîéòè âûðàâíèâàíèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðà-
ìåòðîâ è ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âåùåñòâà. Òåîðèÿ Êëàóçèóñà
ïîëó÷èëà íàçâàíèå òåîðèè «òåïëîâîé ñìåðòè» Âñåëåííîé. Ñ ñàìî-
ãî íà÷àëà îíà ïîäâåðãàëàñü êðèòèêå è íà äàííûé ìîìåíò îïðîâåð-
ãíóòà. Âî-ïåðâûõ, åñëè Âñåëåííàÿ äîëæíà ïðèéòè â ñîñòîÿíèå ðàâ-
íîâåñèÿ, òî âîçíèêàåò âîïðîñ, ïî÷åìó ýòî íå ïðîèçîøëî äî ñèõ
ïîð. Âî-âòîðûõ, Âñåëåííàÿ ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ÷àñòèö,
è äëÿ íåå íåâîçìîæíî óêàçàòü íàèáîëåå ðàâíîâåðîÿòíîå ìàêðîñî-
ñòîÿíèå.
Ïåðâûé è âòîðîé çàêîíû òåðìîäèíàìèêè ìîæíî îáúåäèíèòü
â îñíîâíîì óðàâíåíèè òåðìîäèíàìèêè:
dd TS U A≥+δ . (4.3.23)
Åñëè ðàáîòà âûïîëíÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì ðàñøèðåíèÿ ãàçà ïðî-
òèâ âíåøíèõ ñèë, òî îñíîâíîå óðàâíåíèå òåðìîäèíàìèêè ïðèîá-
ðåòàåò âèä:
dd d TS U pV≥+ . (4.3.24)
 çàêëþ÷åíèå óêàæåì, ÷òî ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè óñòà-
íàâëèâàåò êîëè÷åñòâåííîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó òåïëîòîé, ðàáîòîé
è èçìåíåíèåì âíóòðåííåé ýíåðãèè òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, íî
íå îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Ïåðâûé
çàêîí âûïîëíÿåòñÿ âñåãäà äëÿ ëþáûõ ñèñòåì. Âòîðîé çàêîí òåðìî-
äèíàìèêè ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì çàêîíîì è ñïðàâåäëèâ äëÿ ñè-
ñòåì ñ áîëüøèì, íî êîíå÷íûì ÷èñëîì ÷àñòèö. Ýòîò çàêîí óêàçûâàåò
íàèáîëåå âåðîÿòíîå íàïðàâëåíèå ïðîöåññîâ, è åñëè óòâåðæäàåòñÿ,
÷òî äàííûé ïðîöåññ íåâîçìîæåí, òî ñëåäóåò ïîíèìàòü, ÷òî âåðîÿò-
íîñòü åãî ñîâåðøåíèÿ ñóùåñòâóåò, íî íè÷òîæíî ìàëà.
§ 4.4. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÎÒÅÍÖÈÀËÛ
Ïðîâåäåíèå ëþáûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ íåâîçìîæíî
áåç èñïîëüçîâàíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ. Òåðìîäèíà-
ìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ, èçìåíåíèå
êîòîðîé â íåêîòîðîì ïðîöåññå, ïðîòåêàþùåì ïðè ïîñòîÿííûõ
çíà÷åíèÿõ îïðåäåëåííîé ïàðû òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ,
ðàâíî ïîëåçíîé ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèñòåìîé.
Òåðìîäèíàìè÷åñêèìè ïîòåíöèàëàìè ÿâëÿþòñÿ óæå èçâåñòíàÿ
âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ U, à òàêæå ýíòàëüïèÿ H, ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ
Ãåëüìãîëüöà F, òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà G, õèìè-
÷åñêèé ïîòåíöèàë µ è ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë
µ%. § 4.4. Òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû

112
Ïîëíàÿ ðàáîòû ñèñòåìû δA ðàâíà ñóììå ðàáîòû ïðîòèâ âíåø-
íåãî äàâëåíèÿ ðdV è ïîëåçíîé ðàáîòû δÀ
ï (ðàáîòû, ñîâåðøàåìîé
ïðîòèâ äðóãèõ âíåøíèõ ñèë):
δÀ = δA
ï + ðdV. (4.4.1)
Îáúåäèíèì çàïèñè ïåðâîãî è âòîðîãî çàêîíîâ òåðìîäèíàìèêè
äëÿ îáðàòèìûõ ïðîöåññîâ (ïðè ýòîì TdS = δQ):
TdS = dU + δA . (4.4.2)
Ïîäñòàâèâ ôîðìóëó (4.4.1) â óðàâíåíèå (4.4.2), âûðàçèì ïîëåç-
íóþ ðàáîòó:
–δÀ
ï = dU + ðdV — TdS. (4.4.3)
Äàííîå âûðàæåíèå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ïîëåçíóþ ðàáîòó
â óñëîâèÿõ ïîñòîÿíñòâà òîé èëè èíîé ïàðû òåðìîäèíàìè÷åñêèõ
ïàðàìåòðîâ. Íàïðèìåð, ïðè ïîñòîÿííûõ òåìïåðàòóðå è îáúåìå ïî-
ëåçíàÿ ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ èçîõîðíî-èçîòåðìè-
÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, èëè ñâîáîäíîé ýíåðãèè Ãåëüìãîëüöà F:
dF = –δÀ
ï = dU — TdS . (4.4.4)
Ïîëåçíàÿ ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ñèñòåìîé â ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ,
ïðåäñòàâëåíà â òàáë. 4.4.1.
Ïðîöåññû, ïðîòåêàþùèå â áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, ÷àùå âñå-
ãî ñîâåðøàþòñÿ ïðè ïîñòîÿííûõ òåìïåðàòóðå è äàâëåíèè. Ïîýòî-
Ò à á ë è ö à 4.4.1
Òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû
Óñëîâèå
ðàâíîâåñèÿ Ïîñòîÿí-
íûå
ïàðàìåòðûÍàçâàíèå ïîòåíöèàëà Âèä ôóíêöèè
T, PÒåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåí-
öèàë Ãèááñà, èëè èçîáàðíî-
èçîòåðìè÷åñêèé ïîòåíöèàëdG = dU +
+ ðdV — TdSG = G min
T, VÑâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ Ãåëüì-
ãîëüöà, èëè èçîõîðíî-
èçîòåðìè÷åñêèé ïîòåíöèàëdF = dU — TdSF = F min
P, SÝíòàëüïèÿ, èëè èçîáàðíî-
èçîýíòðîïèéíûé ïîòåíöèàëdH = dU + pdV
H = H min
V, SÂíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, èëè
èçîõîðíî-èçîýíòðîïèéíûé
ïîòåíöèàëdUU = U min
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

113
ìó ïîëåçíàÿ ðàáîòà â áèîñèñòåìàõ îïðåäåëÿåòñÿ èçìåíåíèåì òåð-
ìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà Ãèááñà 1:
dG = –δÀ
ï = dU + ðdV — TdS = dH — TdS . (4.4.5)
ãäå dH = dU + ðdV — èçìåíåíèå ýíòàëüïèè.
Ïðè ýòîì ñëàãàåìîå dH îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè ñèñòåìû, à ñëàãàåìîå TdS — òó ÷àñòü ýíåðãèè ñèñòåìû,
êîòîðàÿ íå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà íà ñîâåðøåíèå ïîëåçíîé ðà-
áîòû, ñëåäîâàòåëüíî, õàðàêòåðèçóåò íåîáðàòèìîñòü ïðîöåññà. Ïðè
TdS = 0 ïðîöåññ îáðàòèì.
 ðåàëüíûõ íåîáðàòèìûõ ïðîöåññàõ
TdS > δQ. (4.4.6)
Èñïîëüçóÿ äàííîå âûðàæåíèå, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðîöåññû
âñåãäà ïðîòåêàþò â òîì íàïðàâëåíèè, ïðè êîòîðîì ñâîáîäíàÿ ýíåð-
ãèÿ Ãåëüìãîëüöà è òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà óìåíü-
øàþòñÿ. Òàê êàê ýòè âåëè÷èíû âñåãäà ñòðåìÿòñÿ ê ìèíèìàëüíîìó
çíà÷åíèþ, òî â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ
F = F
min ; (4.4.7)
G = G
min . (4.4.8)
§ 4.5. ÐÅÀËÜÍÛÅ ÃÀÇÛ
Óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà—Êëàïåéðîíà ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ
äîñòàòî÷íî ðàçðåæåííûõ ãàçîâ, òàê êàê äëÿ íèõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü,
âî-ïåðâûõ, ñóììàðíûì îáúåìîì ìîëåêóë, îí äîëæåí áûòü ïðåíåá-
ðåæèìî ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùèì îáúåìîì, çàíèìàåìûì ãàçîì
â ñîñóäå (òî åñòü ñ÷èòàòü, ÷òî îáúåì, äîñòóïíûé äëÿ äâèæåíèÿ ìî-
ëåêóë ãàçà, ðàâåí îáùåìó îáúåìó ñîñóäà); âî-âòîðûõ, ìåæìîëåêó-
ëÿðíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ýòè óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ ïðè ñðåäíèõ
òåìïåðàòóðàõ è íèçêèõ äàâëåíèÿõ.
Ïðè ïîíèæåíèè òåìïåðàòóðû è óâåëè÷åíèè äàâëåíèÿ (òî åñòü
ñ ðîñòîì ïëîòíîñòè ãàçà) íà÷èíàþò ñêàçûâàòüñÿ ñèëû ìåæìîëåêó-
ëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî óðàâíåíèå Ìåíäåëåå-
âà—Êëàïåéðîíà óæå íåïðèãîäíî äëÿ îïèñàíèÿ òàêèõ ãàçîâ. Íåêî-
òîðûå ãàçû, íàïðèìåð âîäîðîä è ãåëèé, ïîä÷èíÿþòñÿ çàêîíó
Áîéëÿ—Ìàðèîòòà â äîâîëüíî øèðîêîì äèàïàçîíå äàâëåíèé è òåì-
ïåðàòóð, äðóãèå ãàçû, íàïðèìåð óãëåêèñëûé, óæå ïðè òåìïåðàòóðå
250 Ê äàþò çíà÷èòåëüíûå îòêëîíåíèÿ îò çàêîíà Áîéëÿ—Ìàðèîòòà.
1 Èíîãäà â ëèòåðàòóðå òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà íàçûâàþò ñâî-
áîäíîé ýíåðãèåé Ãèááñà èëè ïðîñòî — ñâîáîäíîé ýíåðãèåé.
§ 4.5. Ðåàëüíûå ãàçû

114
Ñ óâåëè÷åíèåì äàâëåíèÿ ìîëåêóëû ñáëèæàþòñÿ.  ðåçóëüòàòå
ðîñòà ñèë ìåæìîëåêóëÿðíîãî ïðèòÿæåíèÿ ìîëåêóëû ãàçà èñïûòû-
âàþò áîëüøåå äàâëåíèå ïî ñðàâíåíèþ ñ äàâëåíèåì ãàçà íà ñòåíêè
ñîñóäà, â êîòîðîì îí íàõîäèòñÿ. Êðîìå òîãî, ñ óâåëè÷åíèåì ïëîò-
íîñòè óìåíüøàåòñÿ ñâîáîäíûé îáúåì, äîñòóïíûé äëÿ äâèæåíèÿ
ìîëåêóë ãàçà. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåàëüíûõ ãàçîâ íåîáõîäèìî ââî-
äèòü ïîïðàâêè â óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî
óëó÷øàòü ñîâïàäåíèå ðåàëüíûõ èçîòåðì ñ òåîðåòè÷åñêèìè.
Íàèáîëåå ïðîñòûì óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ ðåàëüíîãî ãàçà ÿâëÿ-
åòñÿ óðàâíåíèå Âàí-äåð-Âààëüñà, êîòîðîå ñîäåðæèò âñåãî äâå äîïîë-
íèòåëüíûå êîíñòàíòû:
()
2
2a
pVbRT
V 
ν
+−ν=ν


 , (4.5.1)
ãäå p — äàâëåíèå; V — îáúåì; ν — ÷èñëî ìîëåé ìîëåêóë ãàçà; à è b —
êîíñòàíòû Âàí-äåð-Âààëüñà, îïðåäåëÿåìûå ýêñïåðèìåíòàëüíî
äëÿ êàæäîãî ãàçà. Åäèíèöû èçìåðåíèÿ êîíñòàíò à è b ñëåäóþùèå:
[]a= Í•ì 4/ìîëü 2; []b= ì3/ìîëü.
Ñëàãàåìîå 22/ aV +ν îïðåäåëÿåò çíà÷åíèå äîïîëíèòåëüíîãî äàâ-
ëåíèÿ, êîòîðîå ñâÿçàíî ñ ñèëàìè ìåæìîëåêóëÿðíîãî âçàèìîäåé-
ñòâèÿ; ñëàãàåìîå
b −ν äàåò ïîïðàâêó, ó÷èòûâàþùóþ ñóììàðíûé
îáúåì ìîëåêóë.
Î÷åâèäíî, ÷òî ìèíèìàëüíûé îáúåì, çàíèìàåìûé îäíèì ìîëåì
ãàçà, íåñêîëüêî áîëüøèé, ÷åì N
AV0, ãäå N A — ÷èñëî Àâîãàäðî;
V
0 — îáúåì îäíîé ìîëåêóëû. Íàèáîëåå ïðîñòîé ðàñ÷åò, â êîòîðîì
ìîëåêóëà ñ÷èòàåòñÿ ñôåðè÷åñêîé, äàåò ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå äëÿ
êîíñòàíòû b:
A0 4N bV≈ . (4.5.2)
Èçîòåðìû, ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèþ Âàí-äåð-Âààëüñà
(ðèñ. 4.5.1, à), ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò
ñ èçîòåðìàìè èäåàëüíîãî ãàçà, îäíàêî ñ ïîíèæåíèåì òåìïåðàòóð
íàðàñòàþò îòêëîíåíèÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê ïðèíöèïèàëüíîìó îò-
ëè÷èþ èçîòåðì ðåàëüíîãî ãàçà îò èçîòåðì èäåàëüíîãî ãàçà. Ïîÿâ-
ëÿþòñÿ îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè ãàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå ñî-
îòâåòñòâóþò ñîñóùåñòâîâàíèþ æèäêîé è ãàçîîáðàçíîé ôàç, òî åñòü
ïðè îïðåäåëåííûõ äàâëåíèÿõ è òåìïåðàòóðàõ ýêñïåðèìåíòàëüíî
íàáëþäàåòñÿ ïåðåõîä èç ãàçîîáðàçíîãî â æèäêîå ñîñòîÿíèå.
Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èçîòåðìû (ðèñ. 4.5.1, á) ðåàëüíûõ ãàçîâ
íåñêîëüêî îòëè÷àþòñÿ îò èçîòåðì, ïîñòðîåííûõ ïî óðàâíåíèþ Âàí-
äåð-Âààëüñà (ðèñ. 4.5.1, à). Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò.
Ãàç, íàõîäÿùèéñÿ â çàêðûòîì ñîñóäå ïîä ïîðøíåì, íà÷èíàþò ñæè-Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

115
ìàòü. Ñ óìåíüøåíèåì îáúåìà ãàçà åãî äàâëåíèå âîçðàñòàåò (ó÷àñ-
òîê AB íà ðèñ. 4.5.2, á). Ïðè äîñòèæåíèè äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî
ïàðà (òî÷êà Â) íà÷èíàåòñÿ ïðîöåññ êîíäåíñàöèè ãàçà â æèäêîñòü.
Íà ó÷àñòêå ÂF âñå áîëüøå ìîëåêóë ãàçà ïåðåõîäèò â æèäêîå ñîñòî-
ÿíèå, ïðè ýòîì äàâëåíèå îñòàâøåãîñÿ ãàçà íå èçìåíÿåòñÿ è îñòàåò-
ñÿ ðàâíûì äàâëåíèþ íàñûùåííîãî ïàðà. Ïîñëå òîãî êàê ãàç ïîë-
íîñòüþ êîíäåíñèðóåòñÿ, äàâëåíèå âíîâü íà÷èíàåò âîçðàñòàòü
(ó÷àñòîê FG), íî óæå çíà÷èòåëüíî áûñòðåå, ÷åì íà ó÷àñòêå ÀÂ, òàê
êàê æèäêîñòè ñëàáî ñæèìàþòñÿ. Ó÷àñòêè À è FG ýêñïåðèìåí-
òàëüíîé èçîòåðìû õîðîøî ñîâïàäàþò ñ àíàëîãè÷íûìè ó÷àñòêàìè
èçîòåðìû Âàí-äåð-Âààëüñà (ðèñ. 4.5.2, à).
Ðèñ. 4.5.1. Èçîòåðìû ðåàëüíûõ ãàçîâ:
à — ïîñòðîåííûå ïî óðàâíåíèþ Âàí-äåð-Âààëüñà; á — ýêñïåðèìåíòàëüíûå èçîòåðìû óãëåêèñ-
ëîãî ãàçà; Ê — êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà; p ê — êðèòè÷åñêîå äàâëåíèå; V ê — êðèòè÷åñêèé îáúåì; Ò ê —
êðèòè÷åñêàÿ òåìïåðàòóðà; ñîîòíîøåíèå ìåæäó òåìïåðàòóðàìè, ïðè êîòîðûõ ïîëó÷åíû èçîòåð-
ìû: T
1 > T2 > Tê > T3 > T4 > T5; êðèâîé ïóíêòèðíîé ëèíèåé ïîêàçàíà îáëàñòü îäíîâðåìåííîãî
ñîñóùåñòâîâàíèÿ æèäêîãî è ãàçîîáðàçíîãî ñîñòîÿíèé
Ðèñ. 4.5.2. Èçîòåðìà, ðàññ÷èòàííàÿ ïî óðàâíåíèþ Âàí-äåð-Âààëüñà (à), è ýêñïåðè-
ìåíòàëüíàÿ èçîòåðìà (á) ðåàëüíîãî ãàçà
§ 4.5. Ðåàëüíûå ãàçû

116
Ïðÿìîìó ó÷àñòêó BF ýêñïåðèìåíòàëüíîé èçîòåðìû ñîîòâåòñòâóåò
ïåòëÿ BCDÅF èçîòåðìû Âàí-äåð-Âààëüñà (ðèñ. 4.5.2, à è á), à äàâ-
ëåíèþ íàñûùåííîãî ïàðà — òðè çíà÷åíèÿ îáúåìà (óðàâíåíèå Âàí-
äåð-Âààëüñà ÿâëÿåòñÿ êóáè÷åñêèì îòíîñèòåëüíî îáúåìà). Ó÷àñòêè
BC è EF èíîãäà íàáëþäàþòñÿ â ýêñïåðèìåíòå. Ó÷àñòîê ÂÑ ñîîò-
âåòñòâóåò ïåðåñûùåííîìó ïàðó — ñîñòîÿíèþ ãàçà, íàõîäÿùåãîñÿ ïðè
äàâëåíèè, ïðåâûøàþùåì äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà; òàêîå ñî-
ñòîÿíèå âîçíèêàåò ïðè îòñóòñòâèè â ãàçå öåíòðîâ êîíäåíñàöèè (ïû-
ëèíîê òâåðäîãî âåùåñòâà, ìåëêèõ êàïåëåê æèäêîñòè, ýëåêòðè÷åñ-
êè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö). Ó÷àñòîê EF ñîîòâåòñòâóåò ïåðåãðåòîé
æèäêîñòè, òî åñòü íåêèïÿùåé æèäêîñòè, íàõîäÿùåéñÿ ïðè òåìïå-
ðàòóðå âûøå òåìïåðàòóðû êèïåíèÿ. Ýòî ñîñòîÿíèå ðåàëèçóåòñÿ â õî-
ðîøî î÷èùåííîé æèäêîñòè, â êîòîðîé îòñóòñòâóþò öåíòðû êèïå-
íèÿ (ïåñ÷èíêè, ïóçûðüêè ãàçîâ). Ñîñòîÿíèÿ ïåðåñûùåííîãî ïàðà
è ïåðåãðåòîé æèäêîñòè ÿâëÿþòñÿ ìåòàñòàáèëüíûìè. Ñîñòîÿíèå, ñî-
îòâåòñòâóþùåå ó÷àñòêó CDE èçîòåðìû Âàí-äåð-Âààëüñà, ïðàêòè-
÷åñêè íåîñóùåñòâèìî, òàê êàê íà ýòîì ïðîìåæóòêå óìåíüøåíèå
îáúåìà äîëæíî áûëî áû ñîïðîâîæäàòüñÿ óìåíüøåíèåì äàâëåíèÿ.
Ãîðèçîíòàëüíûå ó÷àñòêè íà èçîòåðìàõ (ðèñ. 4.5.1, á, ðèñ. 4.5.2, á)
ñîîòâåòñòâóþò ðàâíîâåñèþ æèäêîñòè è íàñûùåííîãî ïàðà. Ãðàíè-
öû ýòèõ ó÷àñòêîâ îòâå÷àþò îáúåìàì ãàçîîáðàçíîé (V
ã) è æèäêîé
(V
æ) ôàç. Ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû ó÷àñòîê èçîòåðìû, ñîîò-
âåòñòâóþùèé äâóõôàçíîé îáëàñòè, ñóæàåòñÿ è, íàêîíåö, ïðè îïðå-
äåëåííîé òåìïåðàòóðå ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ êðè-
òè÷åñêîé (ðèñ. 4.5.1, òî÷êà K). Òåìïåðàòóðà T
ê, ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ýòîé òî÷êå, íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé. Ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå èñ÷å-
çàåò ðàçëè÷èå ìåæäó æèäêèì è ãàçîîáðàçíûì ñîñòîÿíèåì âåùå-
ñòâà, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ è êîýôôèöèåíò ïîâåðõ-
íîñòíîãî íàòÿæåíèÿ îáðàùàþòñÿ â íóëü. Ïðè òåìïåðàòóðå âûøå
êðèòè÷åñêîé íèêàêèì ñæàòèåì íåâîçìîæíî ïåðåâåñòè ãàç â æèä-
êîå ñîñòîÿíèå.
Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà õàðàêòåðèçóåòñÿ êðèòè÷åñêèìè ïàðàìåòðà-
ìè Ò
ê, p ê, V ê. Ñîñòîÿíèå âåùåñòâà, â êîòîðîì òåðìîäèíàìè÷åñêèå
ïàðàìåòðû ðàâíû êðèòè÷åñêèì, íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì ñîñòîÿ-
íèåì. Èç óðàâíåíèÿ Âàí-äåð-Âààëüñà ìîæíî ïîëó÷èòü çíà÷åíèÿ
êðèòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, â êîòîðûå âõîäÿò â ðàçëè÷íûõ êîìáèíà-
öèÿõ êîíñòàíòû à è b:
к 8
27a
T
Rb = ; (4.5.3)
к
2 27a
p
b = ; (4.5.4) Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

117
к 3 Vb= . (4.5.5)
ãäå V
ê — êðèòè÷åñêèé îáúåì îäíîãî ìîëÿ ãàçà.
Ïîëó÷èâ â ýêñïåðèìåíòå çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ âå-
ùåñòâà Ò
ê è ð ê èëè ëþáóþ äðóãóþ ïàðó êðèòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ,
ìîæíî îïðåäåëèòü êîíñòàíòû Âàí-äåð-Âààëüñà à è b.
Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ðåàëüíîãî ãàçà âêëþ÷àåò â ñåáÿ êèíå-
òè÷åñêóþ ýíåðãèþ E
êèí äâèæåíèÿ ìîëåêóë è ïîòåíöèàëüíóþ
ýíåðãèþ Å
ïîò èõ âçàèìîäåéñòâèÿ. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò
òîëüêî îò òåìïåðàòóðû ãàçà (
кинVECT µ =ν , ãäå VC µ — ìîëÿðíàÿ
òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå), à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ —
îò îáúåìà, ïîñêîëüêó âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ìîëåêóëàìè ãàçà çà-
âèñèò îò ñðåäíåãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè, êîòîðîå, â ñâîþ î÷å-
ðåäü, îïðåäåëÿåòñÿ îáúåìîì. Äîáàâî÷íîå ìîëåêóëÿðíîå äàâëåíèå,
îïðåäåëÿþùåå ìåæìîëåêóëÿðíîå âçàèìîäåéñòâèå,
22 paV′
=ν [ñì.
ôîðìóëó (4.5.1)], ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïðè èçìåíåíèè îáúåìà ãàçà
âûïîëíÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ðàáîòà ìîëåêóëÿðíûõ ñèë, ðàâíàÿ èç-
ìåíåíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè:
2
пот
dconsta
EApV
V −ν

== = + ∫ .
Òàêèì îáðàçîì, âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ðåàëüíîãî ãàçà ñ òî÷íîñ-
òüþ äî êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíà
2
Va
UCT
V µ −ν
=ν − . (4.5.6)
Àäèàáàòè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ðåàëüíîãî ãàçà â îïðåäåëåííûõ
óñëîâèÿõ ìîæåò ïðèâîäèòü êàê ê ïîâûøåíèþ, òàê è ê ïîíèæåíèþ
åãî òåìïåðàòóðû. Ýòî çàâèñèò îò òîãî, êàêèå ñèëû, ïðèòÿæåíèÿ èëè
îòòàëêèâàíèÿ, ïðåîáëàäàþò â äàííûõ óñëîâèÿõ. Åñëè ìîëåêóëû ðàñ-
ïîëàãàþòñÿ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà, òî ïðåîáëàäàþò
ñèëû ïðèòÿæåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ðàñøèðåíèå ãàçîâ ïðèâîäèò ê óâå-
ëè÷åíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðèòÿæåíèÿ è óìåíüøåíèþ êè-
íåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìîëåêóë, à ñëåäîâàòåëüíî, — ê óìåíüøåíèþ
òåìïåðàòóðû ãàçà. Ïðè çíà÷èòåëüíîì ñáëèæåíèè ñèëû îòòàëêèâà-
íèÿ ïðåîáëàäàþò íàä ñèëàìè ïðèòÿæåíèÿ. Ðàñøèðåíèå ãàçà â ýòèõ
óñëîâèÿõ ñîïðîâîæäàåòñÿ óìåíüøåíèåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
îòòàëêèâàíèÿ è óâåëè÷åíèåì êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, òî åñòü ïîâû-
øåíèåì òåìïåðàòóðû.
Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà ïðè ñòàöèîíàðíîì àäèàáàòè÷å-
ñêîì ïðîòåêàíèè åãî ÷åðåç ïîðèñòóþ ïåðåãîðîäêó íàçûâàåòñÿ ýô-
ôåêòîì Äæîóëÿ—Òîìñîíà. Â ýòîì ïðîöåññå ãàç, êîòîðûé ïåðâîíà-
÷àëüíî çàíèìàë îáúåì V
1 ïðè òåìïåðàòóðå Ò 1 è âûñîêîì äàâëåíèè
p
1, ïåðåòåêàåò ÷åðåç ïîðèñòóþ ïåðåãîðîäêó â îáëàñòü ñ ìàëûì äàâ- § 4.5. Ðåàëüíûå ãàçû

118
ëåíèåì p 2, çàíèìàÿ ïîñëå ïåðåõîäà îáúåì V 2 è ïðèíèìàÿ òåìïåðà-
òóðó Ò
2.
 àäèàáàòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ ðåçóëüòèðóþùàÿ ðàáîòà (p
1V1—p 2V2),
ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì, ìîæåò ïîéòè òîëüêî íà èçìåíåíèå åãî âíóò-
ðåííåé ýíåðãèè
211122UU pV pV−= − . (4.5.7)
Èç ñîîòíîøåíèÿ (4.5.7) ñëåäóåò, ÷òî ýíòàëüïèÿ â âûøåîïèñàí-
íîì ïðîöåññå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé:
HU pV=+ , (4.5.8)
Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû â ýôôåêòå Äæîóëÿ—Òîìñîíà îïðåäå-
ëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
21 1
11 2
p
ba
TT T RT
CVbV
µ

νν
∆= − = −

−ν
 , (4.5.9)
ãäå
pVCC R µµ=+ — ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâ-
ëåíèè; ν — êîëè÷åñòâî âåùåñòâà. Ñîîòíîøåíèå (4.5.9) ïîëó÷åíî
â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
21VV .
Åñëè èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû â ïðîöåññå Äæîóëÿ—Òîìñîíà
ìåíüøå íóëÿ (
21 0 TT T ∆= − <), òî ýôôåêò ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëü-
íûì è ãàç îõëàæäàåòñÿ. Ýòî íàáëþäàåòñÿ ïðè íåáîëüøèõ çíà÷å-
íèÿõ äàâëåíèÿ p
1, êîãäà ïðåîáëàäàþò ñèëû ïðèòÿæåíèÿ. Â îòðèöà-
òåëüíîì ýôôåêòå Äæîóëÿ—Òîìñîíà òåìïåðàòóðà ãàçà ïîâûøàåòñÿ
(
0 T ∆>), ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ äàâëåíèÿ p 1, êîãäà
ïðåîáëàäàþò ñèëû îòòàëêèâàíèÿ.
Çíàê ýôôåêòà Äæîóëÿ—Òîìñîíà îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæèòåëåì
â óðàâíåíèè (4.5.9):
1
11 2 ba
RT
VbV 


−ν
 . (4.5.10)
Åñëè âûðàæåíèå (4.5.10) ìåíüøå íóëÿ, òî
T ∆ òàêæå ìåíüøå
íóëÿ è ýôôåêò Äæîóëÿ—Òîìñîíà ïîëîæèòåëåí, òî åñòü
1
1
1 2( )aV b
T
RbV−ν
< . (4.5.11)
Ïðè îòðèöàòåëüíîì ýôôåêòå Äæîóëÿ—Òîìñîíà
1
1
1 2( )aV b
T
RbV−ν
> . (4.5.12) Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

119
Èç ñîîòíîøåíèé (4.5.11) è (4.5.12) ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå
1
1
1 2( )aV b
T
RbV−ν
= (4.5.13)
äàåò ñîîòíîøåíèå ìåæäó íà÷àëüíûìè òåìïåðàòóðîé è îáúåìîì,
ïðè êîòîðûõ èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû íå ïðîèñõîäèò (â ýòîì ñëó-
÷àå ñèëû ïðèòÿæåíèÿ è îòòàëêèâàíèÿ âçàèìíî êîìïåíñèðóþòñÿ).
Êðèâàÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ äàí-
íîìó óðàâíåíèþ, ïðèâåäåíà íà
ðèñ. 4.5.3. Îáëàñòü íàä êðèâîé
ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíîìó
ýôôåêòó Äæîóëÿ—Òîìñîíà
(
0 T ∆>), îáëàñòü ïîä êðèâîé —
ïîëîæèòåëüíîìó ýôôåêòó
(
0 T ∆<). Òî÷êè êðèâîé ñî-
îòâåòñòâóþò òåìïåðàòóðå, ïðè
ïåðåõîäå ÷åðåç êîòîðóþ çíàê
ýôôåêòà Äæîóëÿ—Òîìñîíà èç-
ìåíÿåòñÿ. Ýòà òåìïåðàòóðà íà-
çûâàåòñÿ òåìïåðàòóðîé èíâåð-
ñèè. Êðèâàÿ, âûðàæàåìàÿ óðàâíåíèåì (4.5.13), ïðè
1V→∞ ,
àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìèòñÿ ê çíà÷åíèþ
инв 2a
T
Rb = . (4.5.14)
Ýòî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû, ïðè êîòîðîé âîçìîæ-
íî èçìåíåíèå çíàêà ýôôåêòà Äæîóëÿ—Òîìñîíà. Âûøå ýòîé òåì-
ïåðàòóðû ýôôåêò âñåãäà îòðèöàòåëåí.
Ñ ïîìîùüþ ýôôåêòà Äæîóëÿ—Òîìñîíà ìîæíî ïîíèæàòü òåì-
ïåðàòóðó ãàçà âïëîòü äî òåìïåðàòóð, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäèò ïðå-
âðàùåíèå ãàçà â æèäêîñòü. Óêàçàííûé ïðîöåññ ïðèìåíÿåòñÿ â ïðî-
ìûøëåííîì ïðîèçâîäñòâå ñæèæåííûõ ãàçîâ.
Æèäêèå ãàçû è íèçêèå òåìïåðàòóðû, ïðè êîòîðûõ îíè íàõî-
äÿòñÿ, ïîëó÷èëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ìåäèöèíå. Íàïðèìåð,
æèäêèé àçîò èñïîëüçóåòñÿ â àâòîíîìíûõ êðèîõèðóðãè÷åñêèõ àïïà-
ðàòàõ (êðèîäåñòðóêòîðàõ), ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ ëå÷åíèÿ òêàíåâûõ
ïàòîëîãèé ìåòîäîì áåñêðîâíîé êðèîõèðóðãèè. Íåêîòîðûå ïðèáî-
ðû íå òðåáóþò äîñòóïà æèäêèõ õëàäàãåíòîâ, à íåïîñðåäñòâåííî
èñïîëüçóþò äëÿ ïîëó÷åíèÿ æèäêèõ ãàçîâ ýôôåêò Äæîóëÿ—Òîìñî-
íà: ïðåäâàðèòåëüíî ñæàòûé ãàç îõëàæäàåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ æèäêèì
íåïîñðåäñòâåííî â íàêîíå÷íèêå ïðèáîðà. Òàêîå èñïîëüçîâàíèå ýô-
ôåêòà Äæîóëÿ—Òîìñîíà óñòðàíÿåò ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ ïîëó-
÷åíèåì, òðàíñïîðòèðîâêîé è õðàíåíèåì æèäêèõ õëàäàãåíòîâ.
Ðèñ. 4.5.3. Êðèâàÿ, îïðåäåëÿþùàÿ çíàê
ýôôåêòà Äæîóëÿ—Òîìñîíà
§ 4.5. Ðåàëüíûå ãàçû

120
Êðèîìåòîäû, ïðèìåíÿåìûå â ìåäèöèíå, çàêëþ÷àþòñÿ â ðàçðó-
øåíèè ïàòîëîãè÷åñêèõ êëåòîê ïðè èõ çàìîðàæèâàíèè äî íèçêèõ
òåìïåðàòóð, íàïðèìåð òåìïåðàòóðû æèäêîãî àçîòà (–196 °Ñ), è øè-
ðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ãèíåêîëîãèè äëÿ ëå÷åíèÿ ïàòîëîãèé øåéêè
ìàòêè; îòîëàðèíãîëîãèè — äëÿ ëå÷åíèÿ õðîíè÷åñêîãî ðèíèòà, ôà-
ðèíãèòà, òîíçèëëèòà è ðîíõîïàòèè (õðàïà); äåðìàòîëîãèè è êîñ-
ìåòîëîãèè — äëÿ ëå÷åíèÿ ìíîæåñòâåííûõ êîíäèëîì, óäàëåíèÿ
áîðîäàâîê è ïàïèëëîì; ïðîêòîëîãèè — äëÿ ëå÷åíèÿ ãåìîððîÿ; îí-
êîëîãèè — äëÿ ëå÷åíèÿ íîâîîáðàçîâàíèé ðàçëè÷íîãî ïðîèñõîæ-
äåíèÿ.
Êðèîòåðàïåâòè÷åñêèå ìåòîäû îáëàäàþò ðÿäîì ïðåèìóùåñòâ:
ëîêàëüíûì çàìîðàæèâàíèåì ïàòîëîãè÷åñêè èçìåíåííûõ êëåòîê áåç
ïîâðåæäåíèÿ çäîðîâûõ êëåòîê; ìèíèìàëüíûìè áîëåâûìè îùóùå-
íèÿìè (òàê êàê õîëîä çàìîðàæèâàåò è íåðâíûå îêîí÷àíèÿ); îòñóò-
ñòâèåì ïîòðåáíîñòè â àíåñòåçèè; ïîëíîé áåçîïàñíîñòüþ, èñêëþ-
÷àþùåé òðàâìó ïàöèåíòà; îòñóòñòâèåì êðîâîòå÷åíèÿ (õîëîäîâîå
âîçäåéñòâèå áëîêèðóåò ìåëêèå è ñðåäíèå àðòåðèàëüíûå è âåíîç-
íûå ñîñóäû); áûñòðûì çàæèâëåíèåì îïåðàöèîííîé ðàíû áåç îáðà-
çîâàíèÿ ãðóáûõ ðóáöîâ è ñïàåê; îáû÷íî òðåáóþò ãîñïèòàëèçàöèè
ïàöèåíòîâ.
§ 4.6. ÔÀÇÎÂÛÅ ÏÅÐÅÕÎÄÛ
 òåðìîäèíàìèêå ôàçîé íàçûâàåòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêè ðàâíî-
âåñíîå ñîñòîÿíèå âåùåñòâà, îòëè÷àþùååñÿ ïî ôèçè÷åñêèì ñâîé-
ñòâàì îò äðóãèõ âîçìîæíûõ ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé (äðóãèõ ôàç)
òîãî æå âåùåñòâà. Àãðåãàòíûìè ñîñòîÿíèÿìè íàçûâàþòñÿ ñîñòîÿ-
íèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ñòðóêòóðîé è õàðàêòåðîì òåïëî-
âîãî äâèæåíèÿ ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ (àòîìîâ, ìîëåêóë, èîíîâ
è ò. ï.). Ñóùåñòâóåò òîëüêî òðè àãðåãàòíûõ ñîñòîÿíèÿ
1 äàííîãî âå-
ùåñòâà: òâåðäîå, æèäêîå è ãàçîîáðàçíîå, à êîëè÷åñòâî ôàç ìîæåò
áûòü è áoëüøèì. Íàïðèìåð, àëìàç è ãðàôèò ÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷íûìè
òâåðäûìè ôàçàìè óãëåðîäà.
Ïåðåõîä âåùåñòâà èç îäíîé ôàçû â äðóãóþ íàçûâàþò ôàçîâûì
ïåðåõîäîì. Ðàçëè÷àþò ôàçîâûå ïåðåõîäû ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà.
Ôàçîâûå ïåðåõîäû ïåðâîãî ðîäà âñåãäà ñâÿçàíû ñ âûäåëåíèåì èëè
ïîãëîùåíèåì íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû, íàçûâàåìîé òåïëî-
òîé (èëè ñêðûòîé òåïëîòîé) ôàçîâîãî ïåðåõîäà. Ê òàêèì ïåðåõîäàì
îòíîñÿòñÿ èñïàðåíèå, ïëàâëåíèå, ñóáëèìàöèÿ, ìíîãèå ïåðåõîäû
òâåðäûõ òåë èç îäíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ìîäèôèêàöèè â äðóãóþ.
1 Èíîãäà ÷åòâåðòûì àãðåãàòíûì ñîñòîÿíèåì íàçûâàþò ïëàçìó.
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

121
Òåïëîòà ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ âòîðîãî ðîäà âñåãäà ðàâíà íóëþ. Ïðè-
ìåðîì òàêîãî ïåðåõîäà ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä îáû÷íîãî ïðîâîäíèêà
â ñâåðõïðîâîäÿùåå ñîñòîÿíèå. Ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ôà-
çîâûõ ïåðåõîäîâ ïåðâîãî ðîäà.
Ïåðåõîä æèäêîñòè â ãàçîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå íàçûâàåòñÿ èñïà-
ðåíèåì. Â ïðîöåññå èñïàðåíèÿ æèäêîñòü ïîêèäàþò íàèáîëåå áûñò-
ðûå ìîëåêóëû, îáëàäàþùèå íàèáîëüøåé ýíåðãèåé, âñëåäñòâèå ÷åãî
òåìïåðàòóðà æèäêîñòè ïîíèæàåòñÿ. Äëÿ ïîääåðæàíèÿ ïðîöåññà
èñïàðåíèÿ ïðè îäíîé è òîé æå òåìïåðàòóðå íåîáõîäèìî ñîîáùèòü
æèäêîñòè îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, íàçûâàåìîå òåïëî-
òîé èñïàðåíèÿ èëè ïàðîîáðàçîâàíèÿ. Òåïëîòà èñïàðåíèÿ
испQ îïðå-
äåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
испQrm= , (4.6.1)
ãäå m — ìàññà èñïàðèâøåãîñÿ âåùåñòâà; r — óäåëüíàÿ òåïëîòà èñ-
ïàðåíèÿ, ÷èñëåííî ðàâíàÿ êîëè÷åñòâó òåïëîòû, íåîáõîäèìîãî äëÿ
èñïàðåíèÿ 1 êã ýòîãî âåùåñòâà ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå,
[]r = Äæ/êã.
Òåïëîòà èñïàðåíèÿ çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû, ïðè êîòîðîé ïðîèñ-
õîäèò óêàçàííûé ïðîöåññ.
Ïàð, íàõîäÿùèéñÿ â ñîñòîÿíèè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ
ñî ñâîåé æèäêîñòüþ (èëè òâåðäûì òåëîì — ñì. ÿâëåíèå ñóáëèìà-
öèè), íàçûâàåòñÿ íàñûùåííûì ïàðîì.  ðàâíîâåñèè ÷èñëî ìîëåêóë,
ïåðåõîäÿùèõ èç æèäêîñòè (òâåðäîãî òåëà) â ïàð â åäèíèöó âðåìåíè,
ðàâíî ÷èñëó ìîëåêóë ïàðà, âîçâðàùàþùèõñÿ â æèäêîå (òâåðäîå)
ñîñòîÿíèå çà òî æå âðåìÿ. Äàâëåíèå, ïðè êîòîðîì íàáëþäàåòñÿ
ðàâíîâåñèå, íàçûâàåòñÿ äàâëåíèåì íàñûùåííîãî ïàðà. Ñ ïîâûøåíè-
åì òåìïåðàòóðû äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà âîçðàñòàåò.
Òâåðäûå òåëà ìîãóò ïåðåõîäèòü â ãàçîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå, ìè-
íóÿ æèäêîå. Òàêîé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ñóáëèìàöèåé. Òàê æå, êàê
è äëÿ èñïàðåíèÿ, äëÿ ïîääåðæàíèÿ ïðîöåññà ñóáëèìàöèè ïðè äàí-
íîé òåìïåðàòóðå òðåáóåòñÿ ïðèòîê òåïëà (òåïëîòû ñóáëèìàöèè).
Ñóáëèìàöèè ïîäâåðæåíû âñå òâåðäûå òåëà, íî îäíè èç íèõ ïðè
îáû÷íûõ òåìïåðàòóðàõ ñóáëèìèðóþò ñ äîâîëüíî âûñîêîé ñêîðîñ-
òüþ (íàïðèìåð óãëåêèñëîòà), à äðóãèå — êðàéíå ìåäëåííî.
Ïðîöåññ, îáðàòíûé èñïàðåíèþ èëè ñóáëèìàöèè, íàçûâàåòñÿ êîí-
äåíñàöèåé. Ïðè êîíäåíñàöèè òåïëîòà, çàòðà÷åííàÿ íà èñïàðåíèå
(ñóáëèìàöèþ), ïåðåäàåòñÿ îáðàòíî â îêðóæàþùóþ ñðåäó. Ïîýòîìó
êîíäåíñàöèÿ âñåãäà ñîïðîâîæäàåòñÿ âûäåëåíèåì òåïëà. Òåïëîòà
êîíäåíñàöèè ðàâíà òåïëîòå èñïàðåíèÿ (ñóáëèìàöèè) ïðè äàííîé
òåìïåðàòóðå.
Òåìïåðàòóðà, ïðè êîòîðîé ïðîèñõîäèò ôàçîâûé ïåðåõîä èç
æèäêîãî ñîñòîÿíèÿ â ãàçîîáðàçíîå ïðè äàííîì çíà÷åíèè äàâëå-
íèÿ, íàçûâàåòñÿ òåìïåðàòóðîé êèïåíèÿ. Òåìïåðàòóðà êèïåíèÿ ðàâ- § 4.6. Ôàçîâûå ïåðåõîäû

122
íà òåìïåðàòóðå êîíäåíñàöèè è îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé â òå÷åíèå ïðî-
öåññà ôàçîâîãî ïåðåõîäà.
 òâåðäîì êðèñòàëëè÷åñêîì òåëå ìîëåêóëû âåùåñòâà êîëåáëþòñÿ
îòíîñèòåëüíî ñâîèõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ. Åñëè òàêîìó òåëó ñî-
îáùèòü íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, òî êîëåáàíèÿ óñèëÿòñÿ,
è êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà ìîæåò ðàçðóøèòüñÿ. Ôàçîâûé ïåðåõîä
êðèñòàëëè÷åñêîãî òåëà â æèäêîå ñîñòîÿíèå íàçûâàåòñÿ ïëàâëåíèåì
è ïðè äàííîì çíà÷åíèè äàâëåíèÿ ïðîèñõîäèò ïðè îïðåäåëåííîé
äëÿ êàæäîãî âåùåñòâà òåìïåðàòóðå, íàçûâàåìîé òåìïåðàòóðîé ïëàâ-
ëåíèÿ. Çàòðà÷åííîå ïðè ýòîì ïåðåõîäå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q
ïë íà-
çûâàåòñÿ òåïëîòîé ïëàâëåíèÿ è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
плQm=λ , (4.6.2)
ãäå m — ìàññà ðàñïëàâëåííîãî âåùåñòâà; λ — óäåëüíàÿ òåïëîòà
ïëàâëåíèÿ, ÷èñëåííî ðàâíàÿ êîëè÷åñòâó òåïëîòû, íåîáõîäèìîãî äëÿ
òîãî, ÷òîáû ïðåâðàòèòü 1 êã òâåðäîãî âåùåñòâà â æèäêîå ñîñòîÿíèå
ïðè òåìïåðàòóðå ïëàâëåíèÿ [λ] = Äæ/êã.
Îáðàòíûé ïëàâëåíèþ ïðîöåññ êðèñòàëëèçàöèè ñîïðîâîæäàåòñÿ
âûäåëåíèåì òàêîãî æå êîëè÷åñòâà òåïëîòû Q
êð, êîòîðîå ïîãëîùà-
åòñÿ ïðè ïëàâëåíèè. Òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ ñîâïàäàåò ñ òåìïåðà-
òóðîé êðèñòàëëèçàöèè è îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé â òå÷åíèå âñåãî ïðî-
öåññà ïëàâëåíèÿ èëè êðèñòàëëèçàöèè.
Êðèâûå íàãðåâàíèÿ (çàâèñè-
ìîñòè òåìïåðàòóðû òåëà îò âðå-
ìåíè ïðè ïîñòîÿííîé ñêîðîñòè
ïðèòîêà òåïëà) êðèñòàëëè÷åñêèõ
è àìîðôíûõ òåë (ñì. § 7.4) îò-
ëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà (ðèñ.
4.6.1). Åñëè ê êðèñòàëëè÷åñêî-
ìó òåëó, íàõîäÿùåìóñÿ ïðè òåì-
ïåðàòóðå íèæå òåìïåðàòóðû
ïëàâëåíèÿ, ïîäâîäèòü òåïëî
ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, òî ñ òå-
÷åíèåì âðåìåíè òåìïåðàòóðà
òåëà áóäåò ïîâûøàòüñÿ, ïîêà íå äîñòèãíåò òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ
(òî÷êà À íà êðèâîé 1). Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà, òåìïåðàòóðà òåëà
ïåðåñòàåò èçìåíÿòüñÿ. Íà ó÷àñòêå À êðèâîé 1 ñîîáùàåìîå òåïëî
ðàñõîäóåòñÿ íå íà ïîâûøåíèå òåìïåðàòóðû òåëà, à íà ðàçðóøåíèå
êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè è ïðåâðàùåíèå êðèñòàëëà â æèäêîñòü.
Òåìïåðàòóðà âíîâü íà÷íåò ïîâûøàòüñÿ òîëüêî, êîãäà âåñü êðèñ-
òàëë ðàñïëàâèòñÿ. Ïðîöåññ êðèñòàëëèçàöèè ïðîèñõîäèò â îáðàò-
íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Ðèñ. 4.6.1. Êðèâûå íàãðåâàíèÿ êðèñòàë-
ëè÷åñêîãî (1) è àìîðôíîãî (2) òåë
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

123
Àìîðôíûå òåëà íå èìåþò ïðàâèëüíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåò-
êè, ïîýòîìó èì íå òðåáóåòñÿ ýíåðãèÿ äëÿ åå ðàçðóøåíèÿ. Âñå ïîä-
âîäèìîå òåïëî ðàñõîäóåòñÿ íà óâåëè÷åíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
ìîëåêóë àìîðôíîãî òåëà, ïîñòåïåííîå åãî ðàçìÿã÷åíèå è ïðåâðà-
ùåíèå â æèäêîå ñîñòîÿíèå (ðèñ. 4.6.1, êðèâàÿ 2). Äëÿ àìîðôíûõ
òåë íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü òî÷íîå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû ïëàâëå-
íèÿ. Êàê ïðàâèëî, óêàçûâàþò òåìïåðàòóðíûé èíòåðâàë, â òå÷åíèå
êîòîðîãî ïðîèñõîäèò ðàçìÿã÷åíèå.
Òåìïåðàòóðà êèïåíèÿ çàâèñèò îò äàâëåíèÿ, óâåëè÷èâàÿñü ñ åãî
ïîâûøåíèåì, òî åñòü êàæäîìó çíà÷åíèþ äàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò
îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû êèïåíèÿ. Åñëè èçîáðàçèòü ýòè
çíà÷åíèÿ íà êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè p—T, òî ïîëó÷èì òàê
íàçûâàåìóþ êðèâóþ èñïàðåíèÿ
(ðèñ. 4.6.2). Ýòà êðèâàÿ ñëóæèò
ãðàíèöåé ìåæäó æèäêèì è ãà-
çîîáðàçíûì ñîñòîÿíèÿìè âåùå-
ñòâà, à êàæäàÿ åå òî÷êà ñîîòâåò-
ñòâóåò ðàâíîâåñèþ æèäêîñòè
è ãàçà â äàííûõ óñëîâèÿõ. Êðè-
âàÿ èñïàðåíèÿ îáðûâàåòñÿ
â êðèòè÷åñêîé òî÷êå Ê, òàê êàê
ïðè áîëåå âûñîêîé òåìïåðàòó-
ðå íåâîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå
æèäêîãî ñîñòîÿíèÿ (ñì. § 4.5).
Òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ âå-
ùåñòâà òàêæå çàâèñèò îò äàâëå-
íèÿ. Äëÿ áîëüøèíñòâà âåùåñòâ
ñ ðîñòîì äàâëåíèÿ òåìïåðàòóðà
ïëàâëåíèÿ ïîâûøàåòñÿ, à äëÿ íåêîòîðûõ (íàïðèìåð äëÿ âîäû) —
ïîíèæàåòñÿ. Ñîâîêóïíîñòü çíà÷åíèé òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ è ñî-
îòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ îáðàçóþò êðèâóþ ïëàâëåíèÿ
(ðèñ. 4.6.2). Êðèâàÿ ïëàâëåíèÿ ñëóæèò ãðàíèöåé ìåæäó òâåðäûì
è æèäêèì ñîñòîÿíèÿìè âåùåñòâà, à êàæäàÿ åå òî÷êà ñîîòâåòñòâóåò
ðàâíîâåñèþ æèäêîñòè è òâåðäîãî òåëà. Êðèâàÿ, îïðåäåëÿþùàÿ ðàâ-
íîâåñèå òâåðäîãî è ãàçîîáðàçíîãî ñîñòîÿíèé, íàçûâàåòñÿ êðèâîé
ñóáëèìàöèè (ðèñ. 4.6.2).
Íà ðèñ. 4.6.2. ïðåäñòàâëåíà òàê íàçûâàåìàÿ äèàãðàììà ñîñòîÿ-
íèÿ. Êðèâûå ïëàâëåíèÿ, èñïàðåíèÿ è ñóáëèìàöèè ðàçáèâàþò êîîð-
äèíàòíóþ ïëîñêîñòü ð—T íà òðè îáëàñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå æèä-
êîìó, òâåðäîìó èëè ãàçîîáðàçíîìó ñîñòîÿíèþ äàííîãî âåùåñòâà.
Êàæäàÿ òî÷êà äèàãðàììû ñîñòîÿíèÿ èçîáðàæàåò ðàâíîâåñèå ìåæäó
Ðèñ. 4.6.2. Äèàãðàììà ñîñòîÿíèÿ âåùå-
ñòâà:
Òð — òðîéíàÿ òî÷êà; Ê — êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà;
ôàçû: Òâ — òâåðäàÿ; Æ — æèäêàÿ; Ã — ãàçîîá-
ðàçíàÿ
§ 4.6. Ôàçîâûå ïåðåõîäû

124
äâóìÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ôàçàìè. Âñå òðè êðèâûå ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé òî÷êå, òàê íàçûâàåìîé òðîéíîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ðàâíîâå-
ñèþ òðåõ ñîñòîÿíèé. Äëÿ äàííîãî âåùåñòâà êàæäîé òðîéíîé òî÷êå
1
ñîîòâåòñòâóåò òîëüêî îäíî îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû
è äàâëåíèÿ.
Çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû ôàçîâîãî ïåðåõîäà îò äàâëåíèÿ îïè-
ñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Êëàïåéðîíà—Êëàóçèóñà:
21
12()
d
dTV V
T
pq−
= , (4.6.3)
ãäå
12q — óäåëüíàÿ òåïëîòà ôàçîâîãî ïåðåõîäà èç ôàçû 1 â ôàçó 2;
1V è 2V — óäåëüíûå îáúåìû (îáúåìû åäèíèöû ìàññû âåùåñòâà)
ïåðâîé è âòîðîé ôàç.
Óðàâíåíèå Êëàïåéðîíà—Êëàóçèóñà ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî
ôàçîâîãî ïåðåõîäà ïåðâîãî ðîäà äëÿ ÷èñòîãî âåùåñòâà. Íàïðèìåð,
äëÿ ïðîöåññà êèïåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü:
кип кип г ж d()
d TTVV
pr−
= , (4.6.4)
à äëÿ ïðîöåññà ïëàâëåíèÿ —
пл пл ж тв d()
dTTVV
p−
=
λ , (4.6.5)
ãäå
кипT è плT — òåìïåðàòóðû êèïåíèÿ è ïëàâëåíèÿ; r è λ —
óäåëüíûå òåïëîòû êèïåíèÿ è ïëàâëåíèÿ;
гV , жV è твV — óäåëüíûå
îáúåìû ãàçà, æèäêîñòè è òâåðäîãî òåëà.
Èç óðàâíåíèÿ Êëàïåéðîíà—Êëàóçèóñà (4.6.3) ñëåäóåò, ÷òî òåì-
ïåðàòóðà ôàçîâîãî ïåðåõîäà áóäåò ïîâûøàòüñÿ èëè ïîíèæàòüñÿ
ñ ðîñòîì äàâëåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêàÿ èç ôàç îáëàäàåò
áîëüøèì óäåëüíûì îáúåìîì. Íàïðèìåð, äëÿ áîëüøèíñòâà âåùåñòâ
óäåëüíûé îáúåì òâåðäîé ôàçû ìåíüøå óäåëüíîãî îáúåìà æèäêîé
ôàçû (
жтв 0 VV−>), ïîýòîìó ñ ðîñòîì äàâëåíèÿ òåìïåðàòóðà ïëàâ-
ëåíèÿ âîçðàñòàåò (
пл d/d0Tp> ), à äëÿ íåêîòîðûõ, íàïðèìåð âîäû
(
жтв 0 VV−<), íàîáîðîò, ïîíèæàåòñÿ ( пл d/d0Tp< ).
Óðàâíåíèå Êëàïåéðîíà — Êëàóçèóñà ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü óäåëü-
íûå òåïëîòû ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ, åñëè ýêñïåðèìåíòàëüíîå îïðåäå-
ëåíèå ýòèõ âåëè÷èí âûçûâàåò çàòðóäíåíèÿ.
1 Âåùåñòâî ìîæåò èìåòü íå îäíó, à íåñêîëüêî òðîéíûõ òî÷åê, êàæäàÿ èç êîòî-
ðûõ ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîâåñèþ êàêèõ-ëèáî òðåõ ôàç (íàïðèìåð, æèäêîé è äâóõ
êðèñòàëëè÷åñêèõ ìîäèôèêàöèé). Ðàâíîâåñèå áîëåå ÷åì òðåõ ôàç îäíîãî è òîãî æå
âåùåñòâà íåâîçìîæíî.
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

125
§ 4.7. ßÂËÅÍÈß ÏÅÐÅÍÎÑÀ
Åñëè òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â íåðàâíîâåñíîì
ñîñòîÿíèè, òî ïðîñòðàíñòâåííàÿ íåîäíîðîäíîñòü çíà÷åíèé ïàðà-
ìåòðîâ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî â òàêîé ñèñòåìå ïðîèñõîäèò ïåðåíîñ
ýíåðãèè, èìïóëüñà, âåùåñòâà è ò. ï. Íàïðèìåð, íåîäíîðîäíîñòü
êîíöåíòðàöèè â ñèñòåìå âûçûâàåò ïåðåíîñ âåùåñòâà â ñòîðîíó óáû-
âàíèÿ êîíöåíòðàöèè (äèôôóçèþ); íåîäíîðîäíîñòü òåìïåðàòóðû —
ïåðåíîñ òåïëà â ñòîðîíó óáûâàíèÿ òåìïåðàòóðû (òåïëîïðîâîäíîñòü).
Ýòè ÿâëåíèÿ, íàçûâàåìûå ÿâëåíèÿìè ïåðåíîñà, îáóñëîâëåíû ñòðåì-
ëåíèåì òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïåðåéòè â ðàâíîâåñíîå ñî-
ñòîÿíèå. Â èçîëèðîâàííîé ñèñòåìå ýòè ÿâëåíèÿ ïðèâîäÿò ê ïîñòå-
ïåííîìó âûðàâíèâàíèþ çíà÷åíèé òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ;
è ñèñòåìà ñî âðåìåíåì ïåðåõîäèò ê ðàâíîâåñíîìó ñîñòîÿíèþ.
Ïðè ðàññìîòðåíèè ÿâëåíèé ïåðåíîñà ââîäÿò òàêèå ïîíÿòèÿ,
êàê ïîòîê è ïëîòíîñòü ïîòîêà. Ïîòîêîì íåêîòîðîé âåëè÷èíû íà-
çûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî ýòîé âåëè÷èíû, ïåðåíîñèìîå â åäèíèöó âðå-
ìåíè ÷åðåç íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü. Îòíîøåíèå ïîòîêà âåëè÷èíû
ê ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè, ÷åðåç êîòîðóþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåíîñ,
íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ïîòîêà.
Ïîòîêè è ïëîòíîñòè ïîòîêîâ ïåðåíîñèìûõ âåëè÷èí ïðîïîð-
öèîíàëüíû ãðàäèåíòàì ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ ïåðåíîñ òîé èëè
èíîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû. Äëÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà
Aj r ïåðåíîñè-
ìîé âåëè÷èíû À ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå
grad AjK H=− r , (4.7.1)
ãäå Ê — êîýôôèöèåíò ïåðåíîñà âåëè÷èíû À; Í — ïàðàìåòð, îïðå-
äåëÿþùèé ïåðåíîñ (íàïðèìåð, êîíöåíòðàöèÿ â ñëó÷àå äèôôóçèè,
òåìïåðàòóðà â ñëó÷àå òåïëîïðîâîäíîñòè). Çíàê «–» ïåðåä ãðàäèåí-
òîì Í óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ïåðåíîñ ïðîèñõîäèò â íàïðàâëåíèè,
ïðîòèâîïîëîæíîì
gradH , òî åñòü â ñòîðîíó óáûâàíèÿ ïàðàìåò-
ðà H. Åñëè ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà H èçìåíÿåòñÿ òîëüêî âäîëü êàêî-
ãî-ëèáî îäíîãî íàïðàâëåíèÿ, íàïðèìåð îñè õ, òîãäà ïëîòíîñòü
ïîòîêà ñîñòàâëÿåò:
d
grad
d Ax H
jK HKi
x =− =− rr , (4.7.2)
ãäå
d/dHx — ãðàäèåíò âåëè÷èíû H â íàïðàâëåíèè îñè õ; ir—
åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåííûé âäîëü îñè x.
×àñòî âñòðå÷àåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà ãðàäèåíòû ïàðàìåòðîâ ñèñ-
òåìû íå èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîêè ôèçè- § 4.7. ßâëåíèÿ ïåðåíîñà

126
÷åñêèõ âåëè÷èí òàêæå ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè âî âðåìåíè, ïðè ýòîì
òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé.
Êîýôôèöèåíòû ïåðåíîñà Ê çàâèñÿò îò ñðåäíåé äëèíû ñâîáîäíîãî
ïðîáåãà ìîëåêóë
λ , òî åñòü ñðåäíåé äëèíû ïóòè, ïðîõîäèìîãî
÷àñòèöåé ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ñòîëêíîâåíèÿìè. Äëÿ
ãàçîâ ñðåäíÿÿ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ðàâíà
2
1
2dn λ=
π , (4.7.3)
ãäå d — ýôôåêòèâíûé äèàìåòð ìîëåêóë (ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå,
íà êîòîðîå ìîãóò ñáëèçèòüñÿ öåíòðû äâóõ ìîëåêóë); ï — êîíöåíò-
ðàöèÿ ìîëåêóë,
[]n = ì –3 (êîëè÷åñòâî ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà).
Äèôôóçèÿ. Ïåðåíîñ âåùåñòâà, îïðåäåëÿåìûé ãðàäèåíòîì êîí-
öåíòðàöèé, íàçûâàåòñÿ äèôôóçèåé, êîòîðàÿ äëÿ ñòàöèîíàðíîãî
ïåðåíîñà ìîëåêóë îïèñûâàåòñÿ ïåðâûì óðàâíåíèåì Ôèêà:
grad NjDn=− r , (4.7.4)
ãäå
Nj — ïëîòíîñòü ïîòîêà ÷èñëà ìîëåêóë, [ Nj ] = ì –2•ñ –1; ï —
êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë; D — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè,
[]D = ì 2/ñ.
Êîýôôèöèåíò äèôôóçèè äëÿ ãàçîâ ðàâåí
1
3 Dv=λ , (4.7.5)
ãäå
λ — ñðåäíÿÿ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë; v — ñðåä-
íÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü.
Ïëîòíîñòü ïîòîêà ìàññû ðàâíà:
d
d m с
jD
x =−. (4.7.6)
ãäå ñ — ìàññîâàÿ êîíöåíòðàöèÿ, [ñ] = êã/ì
3; d
dc
x — ãðàäèåíò êîí-
öåíòðàöèè â íàïðàâëåíèè îñè õ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðåíîñèìîé ìàññû íåîáõîäèìî óìíîæèòü
óðàâíåíèå (4.7.4) íà ïëîùàäü
S ∆, ÷åðåç êîòîðóþ ïåðåíîñèòñÿ ìàñ-
ñà è íà èíòåðâàë âðåìåíè
21 tt t ∆= − , â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñõî-
äèò ïåðåíîñ, ïîñëå ÷åãî ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:
d
d x с
MDSt
x ∆=− ∆∆ . (4.7.7) Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

127
ßâëåíèå äèôôóçèè èãðàåò âàæíóþ ðîëü â áèîëîãè÷åñêèõ ïðî-
öåññàõ è ðàñïðåäåëåíèè ëåêàðñòâåííûõ âåùåñòâ â îðãàíèçìå. Ýòîò
âîïðîñ áóäåò èçëîæåí ïîäðîáíåå â ãëàâå 11.
Âÿçêîñòü. Ðàññìîòðèì äâà ñîïðèêàñàþùèõñÿ ñëîÿ ãàçà, ïåðåìå-
ùàþùèõñÿ ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè. Ñëîé, èìåþùèé áîëüøóþ
ñêîðîñòü è, ñëåäîâàòåëüíî, áîëüøèé èìïóëüñ, áóäåò ïåðåäàâàòü åãî
ñëîþ, èìåþùåìó ìåíüøóþ ñêîðîñòü è ìåíüøèé èìïóëüñ. Â ðå-
çóëüòàòå ýòîãî áîëåå áûñòðûé ñëîé áóäåò çàìåäëÿòüñÿ, à áîëåå ìåä-
ëåííûé — óñêîðÿòüñÿ, îò áîëåå áûñòðîãî ñëîÿ áóäåò ïåðåíîñèòüñÿ
èìïóëüñ ê áîëåå ìåäëåííîìó.
Ïåðåíîñ èìïóëüñà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
d
dv
PSt
x ∆=−η ∆∆ (4.7.8)
è îïðåäåëÿåò ñèëó âíóòðåííåãî òðåíèÿ (
/ FPt=∆ ∆ )
d
d x v
FS
x ∆=− η ∆ , (4.7.9)
ãäå v — ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ñëîÿ æèäêîñòè èëè ãàçà, ïåðåìåùàþùå-
ãîñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè õ, íàïðèìåð âäîëü îñè ó;
d
dv
x — ãðàäè-
åíò ñêîðîñòè â íàïðàâëåíèè îñè õ; η — êîýôôèöèåíò âíóòðåííåãî
òðåíèÿ (âÿçêîñòè),
[]η = ; S ∆ — ïëîùàäü ñîïðèêàñàþùèõñÿ
ñëîåâ. Óðàâíåíèå (4.7.9) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Íüþòîíà äëÿ âÿç-
êîñòè.
Óðàâíåíèå (4.7.8) ìîæíî ïðèâåñòè ê ñòàíäàðòíîìó âèäó:
d
d y
pxv
j
x =−η , (4.7.10)
ãäå
pxj — ïëîòíîñòü ïîòîêà èìïóëüñà âäîëü íàïðàâëåíèÿ x (êàñà-
òåëüíîå íàïðÿæåíèå âÿçêîñòè).
Êîýôôèöèåíò âíóòðåííåãî òðåíèÿ η äëÿ ãàçîâ ðàâåí
1
3v η= λ ρ , (4.7.11)
ãäå ρ — ïëîòíîñòü ãàçà.
Ïîäñòàâèâ â ôîðìóëó (4.7.11) âûðàæåíèÿ äëÿ ñðåäíåé äëèíû
ñâîáîäíîãî ïðîáåãà (ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî
/ npkT= , ãäå p — äàâëå-
íèå), ñðåäíåé ñêîðîñòè è ïëîòíîñòè
pM
RT ρ= , ïîëó÷àåì § 4.7. ßâëåíèÿ ïåðåíîñà

128
2
2
18 2
3
3
2kT RT pM k TM
MRT R
d
dp η= ⋅ =
ππ
π π . (4.7.12)
Òàêèì îáðàçîì, èç ñîîòíîøåíèÿ (4.7.12) ñëåäóåò, ÷òî êîýô-
ôèöèåíò âíóòðåííåãî òðåíèÿ η äëÿ ãàçîâ íå çàâèñèò îò äàâëåíèÿ
è ïðîïîðöèîíàëåí
T . Â ñàìîì äåëå, ñ ïîíèæåíèåì äàâëåíèÿ óâå-
ëè÷èâàåòñÿ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà, íî îäíîâðåìåííî óìåíüøà-
åòñÿ ïëîòíîñòü. Ýòè äâà ôàêòîðà âçàèìíî êîìïåíñèðóþò äðóã äðó-
ãà, è â ðåçóëüòàòå êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè îñòàåòñÿ íåèçìåííûì.
Îäíàêî ýòî ñïðàâåäëèâî äî òåõ ïîð, ïîêà
λ ìàëî ïî ñðàâíåíèþ
ñ ðàçìåðàìè çàçîðà, â êîòîðîì òå÷åò ãàç (íàïðèìåð ïî ñðàâíåíèþ
ñ äèàìåòðîì òðóáû). Ïî ìåðå òîãî êàê ýòî óñëîâèå ïåðåñòàåò âûïîë-
íÿòüñÿ, η íà÷èíàåò âñå â áîëüøåé ñòåïåíè çàâèñåòü îò äàâëåíèÿ,
óìåíüøàÿñü ñ åãî ïîíèæåíèåì. Ïðè âåëè÷èíå
λ , áîëüøåé ðàññòî-
ÿíèÿ ìåæäó ñòåíêàìè çàçîðà, ñðåäíÿÿ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà íå
çàâèñèò îò äàâëåíèÿ è îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî âåëè÷èíîé ýòîãî ðàññòî-
ÿíèÿ, íî òàê êàê ñ óìåíüøåíèåì äàâëåíèÿ ïëîòíîñòü ïðîäîëæàåò
óìåíüøàòüñÿ, òî óìåíüøàåòñÿ è êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè. Â ýòîì ñëó-
÷àå ñîîòíîøåíèÿ (4.7.11) è (4.7.12) ñòàíîâÿòñÿ íåïðèìåíèìûìè.
Òåïëîïðîâîäíîñòü. Ïðè íàëè÷èè â ñðåäå ãðàäèåíòà òåìïåðàòó-
ðû ïðîèñõîäèò ïåðåíîñ òåïëà. Òåïëîâîé ïîòîê, êàê ïîêàçûâàåò
îïûò, ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ôóðüå:
d
dT
QSt
x =−κ ∆ ∆ , (4.7.13)
ãäå Q — êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïðîøåäøåå çà èíòåðâàë âðåìåíè
t ∆
÷åðåç ïëîùàäêó ïëîùàäüþ S ∆, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè õ; ddTx —
ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû â íàïðàâëåíèè îñè õ;
κ — êîýôôèöèåíò òåï-
ëîïðîâîäíîñòè,
[]κ =Âò/(ì•Ê), êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ñ êîýôôèöè-
åíòîì âÿçêîñòè ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:
1
3 Vm VmCvC κ=η = λ ρ , (4.7.14)
ãäå C
Vm — óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå.
Èç ñîîòíîøåíèé (4.7.14) è (4.7.12) ñëåäóåò, ÷òî ïðè òåõ óñëîâè-
ÿõ, êîãäà êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè íå çàâèñèò îò äàâëåíèÿ, êîýôôè-
öèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè òàêæå íå çàâèñèò îò äàâëåíèÿ, òî åñòü
~T κ ; åñëè æå λ áîëüøå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñòåíêàìè ñîñóäà,
â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ãàç, òî êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ïî-
íèæàåòñÿ ñ ïîíèæåíèåì äàâëåíèÿ. Âîò ïî÷åìó äàâëåíèå ìåæäó íà-
ðóæíîé è âíóòðåííåé ñòåíêàìè êîëáû òåðìîñà ñòàðàþòñÿ ñäåëàòü
êàê ìîæíî ìåíüøèì, à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè — êàê ìîæíî
áoëüøèì.Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

129
ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×
Çàäà÷à 4.1.  êîëáó âìåñòèìîñòüþ V = 1 ë, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ âîç-
äóõ ïðè òåìïåðàòóðå T = 300 Ê è äàâëåíèè p = 100 êÏà, çàëèâàåòñÿ
V
õë = 0,7 ñì 3 õëîðîôîðìà, ïîñëå ÷åãî îíà çàêðûâàåòñÿ ïðîáêîé. Óäåðæèò-
ñÿ ëè ïðîáêà â ãîðëîâèíå êîëáû ïîñëå ïîëíîãî èñïàðåíèÿ õëîðîôîðìà,
åñëè äèàìåòð ãîðëîâèíû ðàâåí d = 2,5 ñì, à óñèëèå, êîòîðîå íåîáõîäèìî
ïðèëîæèòü, ÷òîáû âûíóòü ïðîáêó, ðàâíî F = 9 Í? Ïëîòíîñòü õëîðîôîðìà
CHCl
3 ρ = 1,498 ã/ñì 3. Òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû T = 300 Ê. Äàâ-
ëåíèå ñíàðóæè p = 100 êÏà.
Ðåøåíèå. Ïîñëå òîãî êàê ïîëíîñòüþ èñïàðèòñÿ õëîðîôîðì è óñòàíî-
âèòñÿ òåìïåðàòóðà 300 Ê, â êîëáå ñîçäàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå äàâëåíèå,
ðàâíîå ïàðöèàëüíîìó äàâëåíèþ ïàðîâ õëîðîôîðìà:
xл xлpnkT=, (4.1)
ãäå n
xë — êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë õëîðîôîðìà, ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíàÿ

xлN
n
V =, (4.2)
ãäå N
xë — îáùåå ÷èñëî ìîëåêóë õëîðîôîðìà, à V — âìåñòèìîñòü êîëáû.
×èñëî ìîëåêóë õëîðîôîðìà îïðåäåëèì èç ñîîòíîøåíèÿ
AN mN
M=
,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
xл A

xлN m
N
M =
, (4.3)
ãäå m
xë — ìàññà õëîðîôîðìà, à M xë — åãî ìîëÿðíàÿ ìàññà.
Îïðåäåëèì ìàññó õëîðîôîðìà:
xл xл xлmV=ρ, (4.4)
ãäå ρ
xë — ïëîòíîñòü õëîðîôîðìà, à V xë — åãî îáúåì â æèäêîì ñîñòîÿíèè.
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (4.4) â ôîðìóëó (4.3), ïîëó÷àåì
xл xл A

xл N V
N
M ρ
=
.
Ðàçäåëèâ ÷èñëî ìîëåêóë õëîðîôîðìà íà âìåñòèìîñòü êîëáû, îïðåäå-
ëèì èç ôîðìóëû (4.2) êîíöåíòðàöèþ ïàðîâ õëîðîôîðìà â êîëáå:
xл xл A

xл N V
n
MV ρ
=
.
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

130
Òîãäà, ñîãëàñíî ôîðìóëå (4.1), ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðîâ õëîðî-
ôîðìà ðàâíî
xл xл A

xл N V
pkT
MV ρ
=
,
èëè — ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ
AN kR= —
xл xл

xлVRT
p
MV ρ
=. (4.5)
Òåïåðü ìîæíî îïðåäåëèòü îáóñëîâëåííóþ ýòèì äàâëåíèåì ñèëó, äåé-
ñòâóþùóþ íà ïðîáêó:
xл FpS=, (4.6)
ãäå
2
4 d

= — ïëîùàäü ãîðëîâèíû êîëáû.
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (4.5) è ôîðìóëó äëÿ S â âûðàæåíèå (4.6), ïîëó-
÷àåì
2
xл xл

4 VRT
d
F
MV ρ
π
=⋅ .
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ýòî óðàâíåíèå,
è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìîëÿðíàÿ ìàññà õëîðîôîðìà M
xë = 119,5•10 –3 êã/ìîëü,
â ÑÈ V = 1•10 –3 ì 3, V õë = 0,7•10 –6 ì 3, d = 2,5•10 –2 ì, ρ = 1498 êã/ì 3,
ïîëó÷àåì:
() 2
2
6
33 2, 5 1 0
1498 0, 7 10 8, 31 300
10, 7 Н
4
119, 5 10 1 10 F −

−− π⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
=⋅=
⋅⋅⋅ .
Ñëåäîâàòåëüíî, ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ïðîáêó, áîëüøå óñèëèÿ, êîòî-
ðîå íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü äëÿ èçâëå÷åíèÿ ïðîáêè èç ãîðëîâèíû êîëáû,
ïîýòîìó ïðîáêà íå óäåðæèòñÿ è áóäåò âûòîëêíóòà.
Çàäà÷à 4.2.  ñîñóäå âìåñòèìîñòüþ V = 0,5 ë ñîäåðæèòñÿ âîçäóõ ñ ïðè-
ìåñüþ ìîëåêóë ôåíàöåòèíà C
10H13NO 2, êîíöåíòðàöèÿ êîòîðûõ ñîñòàâëÿ-
åò n = 10 20 ì–3. Òåìïåðàòóðà âíóòðè ñîñóäà t = 27 °C. Îïðåäåëèòå ñðåäíåå
÷èñëî ∆N ìîëåêóë ôåíàöåòèíà, ñêîðîñòè êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â èíòåðâàëå
ñêîðîñòåé îò v
1 = 200 äî v 2 = 210 ì/ñ.
Ðåøåíèå. Ñêîðîñòè ìîëåêóë ïîä÷èíÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ìàêñâåëëà,
ñîãëàñíî êîòîðîìó ÷èñëî ìîëåêóë, ñêîðîñòè êîòîðûõ çàêëþ÷åíû â èíòåð-
âàëå dv, ðàâíî
3
2
2
2
d4 exp d
22MMv
NN v v
RT RT

=π −



π

.
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

131
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ìàëûé èíòåðâàë ñêîðîñòåé, ìîæíî äëÿ ðàñ÷å-
òà ñðåäíåãî ÷èñëà ìîëåêóë âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèáëèæåííîé ôîðìóëîé:
22 4
exp( ) NNu uu ∆= − ∆
π ,
ãäå ∆N — ÷èñëî ìîëåêóë, ñêîðîñòè êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â èíòåðâàëå îò v 1
äî v 2; N — îáùåå ÷èñëî ÷àñòèö â ñîñóäå NnV= ; в 12
()/2vv
u
v +
= — îòíîñè-
òåëüíàÿ ñêîðîñòü;
в 2RT
v
M = — íàèáîëåå âåðîÿòíàÿ ñêîðîñòü ìîëåêóë;
в 21
vv
u
v−
∆= — èíòåðâàë îòíîñèòåëüíûõ ñêîðîñòåé, ìàëûé ïî ñðàâíåíèþ ñî
ñêîðîñòüþ u.
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ìîëÿðíàÿ ìàññà ôåíàöåòèíà 179•10
–3 êã/ìîëü,
V = 0,5•10 –3 ì3, T = 300 Ê è ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå äàííûå, ïîëó÷àåì
N = 10
20•0,5•10 –3 = 5•10 16;
в
3 28,31300
179 10 v − ⋅⋅
=
⋅ = 167 ì/ñ;
(200 210) / 2
167 u+
= = 1,23;
210 200
167 u−
∆= = 0,06,
òîãäà
16 2 2 15 4
5 10 1,23 exp( 1,23 ) 0,06 2,26 10 N ∆= ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅
π .
Çàäà÷à 4.3. Ïðè ïðåññîâàíèè òàáëåòîê àñïèðèíà C
9H8O4 ìàññîé
m = 0,5 ã èõ òåìïåðàòóðà âîçðàñòàåò íà ∆t = 20 °Ñ. Ñ÷èòàÿ ìîëÿðíóþ òåï-
ëîåìêîñòü àñïèðèíà ïîñòîÿííîé è ðàâíîé C
µ = 20R, îïðåäåëèòå ðàáîòó
ïðåññîâàíèÿ. Âû÷èñëèòå ýíåðãèþ W, íåîáõîäèìóþ äëÿ ðàáîòû ïðåññà çà
ñìåíó (t = 8 ÷), åñëè åãî ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ðàâíà 10 000 òàáëåòîê â ÷àñ,
à ÊÏÄ ïðåññà ñîñòàâëÿåò η = 80 %.
Ðåøåíèå. Ïðè ïðåññîâàíèè ïðàêòè÷åñêè âñÿ ðàáîòà ïðåâðàùàåòñÿ â òåï-
ëîòó, òî åñòü Q ≈ A, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
m ACmT=∆ ,
ãäå C
m — óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü.
Âû÷èñëèì óäåëüíóþ òåïëîåìêîñòü ïî ôîðìóëå
m C
C
Mµ = ,
ãäå C
µ — ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü.
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

132
Òàêèì îáðàçîì ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ïðè ïðåññîâàíèè îäíîé òàáëåòêè,
C
AmT
Mµ =∆ .
Ðàáîòà, ïðîèçâîäèìàÿ ïðåññîì çà ñìåíó,
см C
ANtANtmT
Mµ == ∆ ,
ãäå N — ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ïðåññà; t — äëèòåëüíîñòü ñìåíû.
Ýíåðãèÿ, íåîáõîäèìàÿ äëÿ ðàáîòû ïðåññà, ñîñòàâëÿåò
см NtC m T
A
W
M µ ∆
==
ηη .
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ìîëÿðíàÿ ìàññà àñïèðèíà
M =180•10
–3 êã/ìîëü, m = 0,5•10 –3 êã, ∆t = ∆T = 20 K è ïîäñòàâëÿÿ
÷èñëåííûå äàííûå, ïîëó÷àåì:
/( )
/ 13
3 10 000 ч 8 ч 20 8,31 Дж моль К 0,5 10 кг 20 К
180 10 кг моль 0, 8 W −−
−⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅
==
⋅⋅
= 0,923•10 6 Äæ = 0,923 ÌÄæ.
Çàäà÷à 4.4.  òåïëîèçîëèðîâàííîì ñîñóäå ïðè òåìïåðàòóðå 800 Ê íà-
õîäèòñÿ ν = 1 ìîëü óãëåêèñëîãî ãàçà è ν = 1 ìîëü âîäîðîäà. Ïðîèñõîäèò
õèìè÷åñêàÿ ðåàêöèÿ:
CO
2 + H 2 = CO + H 2O – 40,1 êÄæ/ìîëü.
Âî ñêîëüêî ðàç âîçðàñòåò äàâëåíèå â ñîñóäå ïîñëå îêîí÷àíèÿ ðåàê-
öèè?
Ðåøåíèå. Äî ðåàêöèè äàâëåíèå â ñîñóäå ðàâíÿëîñü ñóììå ïàðöèàëü-
íûõ äàâëåíèé ÑÎ
2 è Í 2, òî åñòü
νν ν
=+= + =
22 CO H11 1
1 2 RT RT RT
pp p
VV V ,
ãäå ν — êîëè÷åñòâî âåùåñòâà ÑÎ
2 è Í 2; T 1 — òåìïåðàòóðà äî ðåàêöèè; V —
âìåñòèìîñòü ñîñóäà.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ ïîñëå ðåàêöèè íåîáõîäèìî ó÷åñòü òåïëî-
åìêîñòè ãàçîâ è òî, ÷òî ïðîöåññ ïðîèñõîäèò ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå, òî
åñòü
() µµ µ 
ν=ν⋅ +ν⋅ + −
 2 VHO VCO 1()2 () 21 QC C TT ,
ãäå Ò
2 — òåìïåðàòóðà ïîñëå ðåàêöèè; 2 VHO()C µ è VCO()C µ — ñîîòâåòñòâóþùèå
ìîëÿðíûå òåïëîåìêîñòè âåùåñòâ ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå; Q
µ — êîëè-
÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëèâøåéñÿ ïðè ðåàêöèè. Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ñëå-
äóåò, ÷òî ïîñêîëüêó ν
1 = ν 2, òî
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

133
µ
µµ =−
+
2 VHO VCO 21
() ()
Q
TT
CC
.
Ìîëåêóëû ÑÎ èìåþò òðè ïîñòóïàòåëüíûå è äâå âðàùàòåëüíûå ñòåïå-
íè ñâîáîäû, è, ñëåäîâàòåëüíî,
µ = VCO() 5
2 CR , ìîëåêóëû Í 2Î èìåþò òðè
ïîñòóïàòåëüíûå è òðè âðàùàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû, òî åñòü
µ = 2 VHO() 3 CR , è, ñëåäîâàòåëüíî,
21 2
11Q
TT
Rµ =+ .
Ïðèíÿâ âî âíèìàíèå òî, ÷òî â ïðîäóêòàõ ðåàêöèè îáðàçóþòñÿ ãàçû,
êîëè÷åñòâî êîòîðûõ îäèíàêîâî, ìîæåì çàïèñàòü:
νν ν
=+= + = 2HO CO22 2
2 2 RT RT RT
pp p
VV V .
Îòíîøåíèå äàâëåíèé ðàâíî
22
11 1 2
1
11Q
pT
pT RTµ ==+ .
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ Q
µ = 40,1•10 3 Äæ/ìîëü, èìååì:
3
2
1 240,110
12,1.
11 8, 31 800 p
p⋅⋅
=+ =
⋅⋅
Çàäà÷à 4.5. Âû÷èñëèòå ñðåäíþþ äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà λ, ñðåäíåå
âðåìÿ τ ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ñòîëêíîâåíèÿìè è ñðåäíåå ÷èñ-
ëî ñòîëêíîâåíèé ν â åäèíèöó âðåìåíè ìîëåêóë õëîðîôîðìà ÑÍCl
3 ïðè
íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ. Ýôôåêòèâíûé äèàìåòð ìîëåêóë õëîðîôîðìà ðàâåí
0,46 íì.
Ðåøåíèå. Äëÿ ãàçîâ ñðåäíÿÿ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ðàâíà:
21
2dn λ=
π ,
ãäå d — ýôôåêòèâíûé äèàìåòð ìîëåêóë; ï — êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë.
Êîíöåíòðàöèþ ìîëåêóë âûðàçèì èç ôîðìóëû (4.1.25)
p
n
kT =
è ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå äëÿ λ:
2 2kT
dp λ=
π .
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

134
Òîãäà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ (T= 273 Ê; ð = 101325 Ïà) ñðåäíÿÿ äëè-
íà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë õëîðîôîðìà ñîñòàâèò
23
8
92 1, 38 10 273
410
2 (0, 46 10 ) 101325 −

− ⋅⋅
λ= = ⋅
π⋅ ì.
Ñðåäíåå âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ñòîëêíîâåíèÿìè ìî-
ëåêóë îïðåäåëèì, ðàçäåëèâ ñðåäíþþ äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë
íà èõ ñðåäíþþ ñêîðîñòü:
v λ
τ= .
Ñðåäíþþ ñêîðîñòü âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå (4.1.17), ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìî-
ëÿðíàÿ ìàññà õëîðîôîðìà ðàâíà 119,5•10
–3 êã/ìîëü
3 888,31273
119, 5 10 RT
v
M − ⋅⋅
== =
π
π⋅ ⋅220 ì/ñ.
Òîãäà
8 410
220 − ⋅
τ= = 1,82•10 –6 c.
Ñðåäíåå ÷èñëî ñòîëêíîâåíèé â åäèíèöó âðåìåíè îáðàòíî ïðîïîðöèî-
íàëüíî ñðåäíåìó âðåìåíè ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ñòîëêíîâåíè-
ÿìè:
1
ν= =
τ 5,5•10 5 c–1.
ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
4.1. Íàéäèòå ÷èñëî n êîë êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû
àñïèðèíà Ñ
9Í8Î4.
4.2. Ñêîëüêî ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà ñîäåðæèòñÿ â ïðîáèðêå âìåñòè-
ìîñòüþ V = 10 ñì
3 ïðè íîðìàëüíîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè è òåìïåðàòó-
ðå t = 20 °Ñ?
4.3. Âû÷èñëèòå ïëîòíîñòü ρ àçîòà ïðè òåìïåðàòóðå t = 25 °Ñ è íîð-
ìàëüíîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè.
4.4. Âû÷èñëèòå ñðåäíþþ ýíåðãèþ E
ïîñò ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìî-
ëåêóë ãàçà, çàíèìàþùåãî îáúåì V = 5 ë ïðè äàâëåíèè p = 100 êÏà.
4.5. Íåêîòîðûé ãàç íàõîäèòñÿ ïðè íîðìàëüíîì àòìîñôåðíîì äàâëå-
íèè è èìååò ïëîòíîñòü ρ = 1,3 êã/ì
3. Âû÷èñëèòå íàèáîëåå âåðîÿòíóþ ñêî-
ðîñòü v
âåð äâèæåíèÿ åãî ìîëåêóë.
4.6. Íà êàêîé âûñîòå h àòìîñôåðíîå äàâëåíèå â äâà ðàçà ìåíüøå äàâ-
ëåíèÿ íàä óðîâíåì ìîðÿ? Òåìïåðàòóðó âîçäóõà ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé è ðàâ-
íîé 0°Ñ.
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

135
4.7. Âû÷èñëèòå ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü Ñ
Vµ êèñëîðîäà ïðè ïîñòîÿí-
íîì îáúåìå.
4.8. Âû÷èñëèòå óäåëüíóþ òåïëîåìêîñòü Ñ
pm õëîðîôîðìà CHCl 3 ïðè
ïîñòîÿííîì äàâëåíèè.
4.9. Êèñëîðîäíàÿ ïîäóøêà âìåñòèìîñòüþ V = 10 ë ñîäåðæèò ãàç ïîä
äàâëåíèåì p = 1013,25 êÏà (10 àòì). Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q íåîáõî-
äèìî ñîîáùèòü, ÷òîáû íàãðåòü êèñëîðîä îò t
1 = 0 äî t 2 = 37 °Ñ?
4.10. Óãëåêèñëûé ãàç ìàññîé m = 6,6 ã èçîáàðè÷åñêè íàãðåâàþò íà
∆t = 24°Ñ. Îïðåäåëèòå ðàáîòó A ðàñøèðåíèÿ ãàçà.
4.11. Íåêîòîðîìó ãàçó ìàññîé m = 10 ã â èçîòåðìè÷åñêèõ óñëîâèÿõ
ïåðåäàþò Q = 740 Äæ òåïëîòû. Âî ñêîëüêî ðàç ðàñøèðèòñÿ ãàç, åñëè ïðè
äàííîé òåìïåðàòóðå ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ñêîðîñòü v
ñð. êâ åãî ìîëåêóë ñî-
ñòàâëÿåò 400 ì/ñ?
4.12. Äâóõàòîìíûé ãàç àäèàáàòè÷åñêè ðàñøèðèëñÿ â 3 ðàçà. Âî ñêîëü-
êî ðàç ïðè ýòîì èçìåíèëàñü åãî òåìïåðàòóðà?
4.13. Ìàøèíà, ðàáîòàþùàÿ ïî îáðàòèìîìó öèêëó Êàðíî, çà îäèí öèêë
ñîâåðøàåò ðàáîòó A = 1 êÄæ è îòäàåò õîëîäèëüíèêó Q
2 = 5,7 êÄæ òåïëà.
Îïðåäåëèòå ÊÏÄ η öèêëà.
4.14. Èäåàëüíàÿ òåïëîâàÿ ìàøèíà ðàáîòàåò ïî öèêëó Êàðíî. Òåìïåðà-
òóðà íàãðåâàòåëÿ ðàâíà 100 °Ñ. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ ÊÏÄ öèêëà,
åñëè òåìïåðàòóðó õîëîäèëüíèêà T
2 ñíèçèòü ñ 0 äî –100°Ñ?
4.15. Âû÷èñëèòå èçìåíåíèå ýíòðîïèè ∆S ïðè ïëàâëåíèè m = 200 ã
ëüäà. Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà ñîñòàâëÿåò λ = 335 êÄæ/êã.
4.16. Âû÷èñëèòå èçìåíåíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè Ãèááñà ∆G â ðåàêöèè
ñãîðàíèÿ ýòèëîâîãî ñïèðòà ïðè òåìïåðàòóðå 25 °Ñ, åñëè â ýòèõ óñëîâèÿõ
ýíòàëüïèÿ óìåíüøàåòñÿ íà ∆H = 1368 êÄæ/ìîëü, à ýíòðîïèÿ óâåëè÷èâà-
åòñÿ íà ∆S = 476 Äæ/(ìîëü•Ê).
4.17. Â ñîñóäå âìåñòèìîñòüþ V = 1 ë íàõîäèòñÿ ν = 4 ìîëü óãëåêèñ-
ëîãî ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå 20 °Ñ. Âû÷èñëèòå äàâëåíèå p â ñîñóäå, ïîëü-
çóÿñü óðàâíåíèÿìè Ìåíäåëååâà—Êëàïåéðîíà è Âàí-äåð-Âààëüñà. Ïî-
ñòîÿííûå Âàí-äåð-Âààëüñà äëÿ óãëåêèñëîãî ãàçà: a = 0,361 Í•ì
4/ìîëü;
b = 4,28•10 –5 ì3/ìîëü.
4.18. Íà ñêîëüêî íåîáõîäèìî ïîíèçèòü äàâëåíèå, ÷òîáû òåìïåðàòóðà
ïëàâëåíèÿ ëüäà ïîâûñèëàñü íà 1 Ê? Ïëîòíîñòü âîäû ïðè òåìïåðàòóðå 0 °Ñ
ρ
1 = 1000 êã/ì 3; ëüäà — ρ 2 = 917 êã/ì 3; óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà
λ = 335 êÄæ/êã.
4.19. Îïðåäåëèòå ñðåäíþþ äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà λ êèñëîðîäà ïðè
òåìïåðàòóðå t = 20 °Ñ è äàâëåíèè p = 100 êÏà. Ýôôåêòèâíûé äèàìåòð
ìîëåêóëû êèñëîðîäà d = 0,36 íì.
4.20. Ïðè êàêîé òåìïåðàòóðå t íàõîäèòñÿ àçîò, åñëè ïðè äàâëåíèè
p = 50 êÏà åãî êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ñîñòàâëÿåò D = 1,31•10
–5 ì2/ñ?
4.21. Îïðåäåëèòå ñðåäíåå ÷èñëî ñòîëêíîâåíèé ν â åäèíèöó âðåìåíè
ìîëåêóë ãåëèÿ ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ. Ýôôåêòèâíûé äèàìåòð ìîëåêó-
ëû ãåëèÿ d = 0,22 íì.
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

136
4.22. Îïðåäåëèòå êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè η âîçäóõà ïðè íîðìàëüíûõ
óñëîâèÿõ. Ýôôåêòèâíûé äèàìåòð ìîëåêóë âîçäóõà d = 0,27 íì.
4.23. Ìåæäó äâóìÿ ðàìàìè îêíà, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè d = 5 ñì,
à èõ ïëîùàäü S = 3 ì
2, íàõîäèòñÿ âîçäóõ. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q
òåðÿåò ïîìåùåíèå çà t = 1 ÷ çà ñ÷åò òåïëîïðîâîäíîñòè âîçäóõà, åñëè òåì-
ïåðàòóðà âíóòðè ïîìåùåíèÿ t
1 = 20 °Ñ, à ñíàðóæè t 2 = –10 °Ñ? Òåìïåðà-
òóðó âîçäóõà ìåæäó ðàìàìè ñ÷èòàòü ðàâíîé ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó
ìåæäó âíóòðåííåé è íàðóæíîé òåìïåðàòóðàìè. Ýôôåêòèâíûé äèàìåòð
ìîëåêóëû âîçäóõà d = 0,27 íì.
ÂÎÏÐÎÑÛ ÒÅÑÒÎÂÎÃÎ ÊÎÍÒÐÎËß
4.1. Ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ìîëåêóë ãàçà ðàâíà:
à)
3
2 vkT= ;ã) vMkT= ;
á)
8RT
v
M =
π ;ä) 2RT
v
M = .
â)
vMkT= ;
4.2. Äëÿ ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé
v, ñðåäíåé êâàäðàòè÷íîé ср кв..v è íà-
èáîëåå âåðîÿòíîé
верv ñêîðîñòåé ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:
à)
ср. кв вер vv v
<< ;ã) вер ср. квvvv<< ;
á)
вер ср. кв vv v<< ;ä) ср. кв верvvv<< .
â)
вер ср. квvv v<< ;
4.3. Îñíîâíîå óðàâíåíèå êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ èìååò âèä:
à)
3
2 pkT= ;ã) пост nkT ε= ;
á)
pRT=ν ;ä) пост 2
3 pn=ε .
â)
пост 3
2pV ε= ;
4.4. Ìîëÿðíûå òåïëîåìêîñòè ãàçîâ ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå è ïîñòî-
ÿííîì äàâëåíèè ñâÿçàíû ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:
à)
pVCC Rµµ=+ ;ã) VpCCR µµ=+ ;
á)
3
2 pVCCµµ= ;ä) 3
2 VpCC µµ= .
â)
2 pVCCRµµ=+ ;
4.5. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ èäåàëüíûì ãàçîì ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ðàñ-
øèðåíèè, ðàâíà:
à)
ApV=∆ ;ã) 2
1 lnV
ART
V =ν ;
á)
V ACT µ =−ν ∆ ;ä) 0 A=.
â)
p ACT µ =ν ∆ ;
Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

137
4.6. Óðàâíåíèå àäèàáàòû èäåàëüíîãî ãàçà èìååò âèä:
à)
const pV= ;ã) const V
T= ;
á)
const pV γ= ;ä) const pT= .
â)
const p
T= ;
4.7. ÊÏÄ îáðàòèìîãî öèêëà Êàðíî ðàâåí:
à)
21
1TT
T−
η= ;ã) 12
1TT
T−
η= ;
á)
2
12T
TT η=
− ;ä) 1
21T
TT η=
− ,
â)
21
2TT
T−
η= ;
ãäå
1T — òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ; 2T — òåìïåðàòóðà õîëîäèëüíèêà.
4.8. Íàçîâèòå âåðíóþ ôîðìóëèðîâêó âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè:
à) ñàìîïðîèçâîëüíûå ïðîöåññû âñåãäà ñîïðîâîæäàþòñÿ óáûâàíèåì ýí-
òðîïèè;
á) ýíòðîïèÿ îòêðûòîé ñèñòåìû ëèáî óìåíüøàåòñÿ (â íåîáðàòèìûõ ïðî-
öåññàõ), ëèáî îñòàåòñÿ íåèçìåííîé (â îáðàòèìûõ ïðîöåññàõ);
â) íè ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íåâîçìîæíî óâåëè÷åíèå ýíòðîïèè òåðìîäè-
íàìè÷åñêîé ñèñòåìû;
ã) ýíòðîïèÿ èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû ëèáî âîçðàñòàåò (â íåîáðàòèìûõ
ïðîöåññàõ), ëèáî îñòàåòñÿ íåèçìåííîé (â îáðàòèìûõ ïðîöåññàõ);
ä) âñå ïðèâåäåííûå â ïóíêòàõ (à—ã) ôîðìóëèðîâêè ñîäåðæàò îøèáêè
èëè íåòî÷íîñòè.
4.9. Îáúåäèíåííàÿ çàïèñü ïåðâîãî è âòîðîãî çàêîíîâ òåðìîäèíàìèêè
(îñíîâíîå ñîîòíîøåíèå òåðìîäèíàìèêè) èìååò âèä:
à)
ddSTQ≥ ;ã) ddSTQ≤ ;
á)
dd TS U A≥+δ ;ä) ddQUA≤+δ .
â)
d0S≥ ;
4.10. Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà îïðåäåëÿåò ïîëåçíóþ
ðàáîòó ïðîöåññà, ïðîòåêàþùåãî ïðè ïîñòîÿííûõ çíà÷åíèÿõ:
à) îáúåìà è ýíòðîïèè; ã) äàâëåíèÿ è òåìïåðàòóðû;
á) îáúåìà è òåìïåðàòóðû; ä) äàâëåíèÿ è ýíòðîïèè.
â) îáúåìà è äàâëåíèÿ;
4.11. Óðàâíåíèå Âàí-äåð-Âààëüñà (óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ðåàëüíîãî ãàçà)
èìååò âèä:
à)
pV RT=ν ;ã) pnkT= ;
á)
() 2
2a
pVbRT
V 
ν
+−ν=ν


 ;ä) V pC T µ =∆ .
â)
() 2
2a
pbV RT
V 
ν
−ν + = ν


 ;
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

138
4.12. Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ðåàëüíîãî ãàçà çàâèñèò:
à) îò òåìïåðàòóðû è îáúåìà;
á) òîëüêî îò òåìïåðàòóðû;
â) òîëüêî îò äàâëåíèÿ;
ã) òîëüêî îò îáúåìà;
ä) òîëüêî îò òåìïåðàòóðû ïðè t íèæå òåìïåðàòóðû èíâåðñèè; îò òåì-
ïåðàòóðû è äàâëåíèÿ ïðè t âûøå òåìïåðàòóðû èíâåðñèè.
4.13. Êðèòè÷åñêèì ñîñòîÿíèåì íàçûâàåòñÿ:
à) ñîñòîÿíèå ñ íàèáîëüøåé òåìïåðàòóðîé, ïðè êîòîðîé åùå âîçìîæíî
èçìåíåíèå çíàêà ýôôåêòà Äæîóëÿ—Òîìñîíà;
á) ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì îòñóòñòâóþò ðàçëè÷èÿ ìåæäó æèäêèì è ãàçî-
îáðàçíûì ñîñòîÿíèÿìè âåùåñòâà;
â) ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì òðè ôàçû îäíîãî è òîãî æå âåùåñòâà íàõîäÿò-
ñÿ â ðàâíîâåñèè;
ã) ñîñòîÿíèå ïåðåñûùåííîãî ïàðà;
ä) ñîñòîÿíèå ïåðåãðåòîé æèäêîñòè.
4.14. Òðîéíîé òî÷êîé íàçûâàåòñÿ:
à) ñîñòîÿíèå ñ íàèáîëüøåé òåìïåðàòóðîé, ïðè êîòîðîé åùå âîçìîæíî
èçìåíåíèå çíàêà ýôôåêòà Äæîóëÿ—Òîìñîíà;
á) ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì îòñóòñòâóþò ðàçëè÷èÿ ìåæäó æèäêèì è ãàçî-
îáðàçíûì ñîñòîÿíèÿìè âåùåñòâà;
â) ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì òðè ôàçû îäíîãî è òîãî æå âåùåñòâà íàõîäÿò-
ñÿ â ðàâíîâåñèè;
ã) ñîñòîÿíèå ïåðåñûùåííîãî ïàðà;
ä) ñîñòîÿíèå ïåðåãðåòîé æèäêîñòè.
4.15. Ñóáëèìàöèåé íàçûâàåòñÿ ïåðåõîä:
à) èç ãàçîîáðàçíîãî â æèäêîå ñîñòîÿíèå;
á) èç ãàçîîáðàçíîãî â òâåðäîå ñîñòîÿíèå;
â) èç æèäêîãî â òâåðäîå êðèñòàëëè÷åñêîå ñîñòîÿíèå;
ã) èç æèäêîãî â ãàçîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå;
ä) èç òâåðäîãî êðèñòàëëè÷åñêîãî â ãàçîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå.
4.16. Ïëîòíîñòüþ ïîòîêà êàêîé-ëèáî âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ:
à) êîëè÷åñòâî äàííîé âåëè÷èíû, ïåðåíîñèìîå çà åäèíèöó âðåìåíè
÷åðåç åäèíèöó ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè;
á) êîëè÷åñòâî äàííîé âåëè÷èíû, ïåðåíîñèìîå çà åäèíèöó âðåìåíè
÷åðåç íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü;
â) êîëè÷åñòâî äàííîé âåëè÷èíû, ïåðåíîñèìîå çà íåêîòîðîå âðåìÿ ÷å-
ðåç åäèíèöó ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè;
ã) êîëè÷åñòâî äàííîé âåëè÷èíû â åäèíèöå îáúåìà;
ä) êîëè÷åñòâî äàííîé âåëè÷èíû â åäèíèöå îáúåìà ïðè íîðìàëüíûõ
óñëîâèÿõ.
4.17. Ñðåäíåé äëèíîé ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë íàçûâàåòñÿ:
à) ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå ìîãóò ñáëèæàòüñÿ ìîëåêóëû;
á) ñðåäíåå ðàññòîÿíèå, ïðîõîäèìîå ìîëåêóëîé ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäî-
âàòåëüíûìè ñòîëêíîâåíèÿìè;
â) ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè â ìîëåêóëå;
ã) àìïëèòóäà êîëåáàíèé ÷àñòèö â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè;
ä) ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó óçëàìè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè. Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

139
4.18. Êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ãàçîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåé ôîð-
ìóëå:
à)
RT
D
M = ;ã) 1
3 Dv=λ ρ ;
á)
1
3 Dv=λ ;ä) 3
2 DkT= .
â)
8RT
D
M =
π ;
4.19. Óðàâíåíèå Íüþòîíà, îïðåäåëÿþùåå ñèëó âÿçêîãî òðåíèÿ ìåæäó
äâóìÿ ñëîÿìè ãàçà èëè æèäêîñòè, â îäíîìåðíîì ñëó÷àå èìååò âèä:
à)
1
3 Fv=λ ;ã) 12
2
0
4qq
F
r =
πε ε ;
á)
Fma= ;ä) d
d x v
Ft
x =η .
â)
d
d x v
FS
x =−η ;
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

Ãëàâà 5
ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ ÁÈÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÕ
ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
Îäíèì èç óñëîâèé íîðìàëüíîãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ îòäåëüíîé
êëåòêè è öåëîãî îðãàíèçìà ÿâëÿåòñÿ ïîääåðæàíèå ïîñòîÿíñòâà èõ
ïàðàìåòðîâ (êîíöåíòðàöèé âåùåñòâ, ýëåêòðè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ
è äðóãèõ) è â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè èçìåíåíèå èõ â íóæíîì íà-
ïðàâëåíèè. Ýòî òðåáóåò îáìåíà âåùåñòâîì è ýíåðãèåé ñ îêðóæàþ-
ùåé ñðåäîé, ïðåâðàùåíèÿ îäíèõ âèäîâ ýíåðãèè â äðóãèå, êàê, íà-
ïðèìåð, â ñëó÷àå ïðîöåññîâ ìûøå÷íîãî ñîêðàùåíèÿ, ïåðåäà÷è
íåðâíîãî èìïóëüñà, çðèòåëüíîãî è ñëóõîâîãî âîñïðèÿòèÿ è äð.
Èçó÷åíèåì ýòèõ âîïðîñîâ çàíèìàåòñÿ òåðìîäèíàìèêà, çàêîíû
êîòîðîé ñïðàâåäëèâû êàê äëÿ íåæèâîé, òàê è æèâîé ïðèðîäû. Òåð-
ìîäèíàìèêó ïîäðàçäåëÿþò íà äâà ðàçäåëà: êëàññè÷åñêóþ (ðàâíîâåñ-
íóþ) è òåðìîäèíàìèêó íåîáðàòèìûõ ïðîöåññîâ (íåðàâíîâåñíóþ).
Ðàâíîâåñíàÿ òåðìîäèíàìèêà èçó÷àåò â îñíîâíîì èçîëèðîâàííûå
è çàêðûòûå ñèñòåìû, íàõîäÿùèåñÿ â òåðìîäèíàìè÷åñêîì ðàâíîâå-
ñèè èëè ñòðåìÿùèåñÿ ê íåìó (âîïðîñû êëàññè÷åñêîé òåðìîäèíà-
ìèêè ðàññìàòðèâàëèñü â ãëàâå 4). Áèîëîãè÷åñêàÿ ñèñòåìà ââèäó åå
ñëîæíîñòè íå ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîäîáíûõ
ïðèáëèæåíèé. Ïîýòîìó ïðè èçó÷åíèè áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ
èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû íåðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìèêè.
§ 5.1. ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÁÈÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÕ ÎÁÚÅÊÒÎÂ
ÊÀÊ ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ
Êàæäàÿ êëåòêà è âåñü æèâîé îðãàíèçì â öåëîì ÿâëÿþòñÿ îò-
êðûòûìè ñèñòåìàìè, è ëèøü â îòäåëüíûõ ÷àñòÿõ êëåòêè èìåþòñÿ
óñëîâèÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ çàêðûòûõ è èçîëèðîâàííûõ ñèñòåì.
Ïðîöåññû, ïðîòåêàþùèå â áèîñèñòåìàõ, êàê è â ëþáûõ äðóãèõ ñè-
ñòåìàõ, íåîáðàòèìû (íåðàâíîâåñíû), òî åñòü ïðè ïåðåõîäå ñèñòå-
ìû èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå îáðàòíûé ïåðåõîä â íà÷àëüíîå

141
ñîñòîÿíèå íåâîçìîæåí áåç äîïîëíèòåëüíîãî ïðèòîêà ýíåðãèè èç-
âíå.
Ôóíäàìåíòàëüíûì ïîíÿòèåì êëàññè÷åñêîé òåðìîäèíàìèêè ÿâ-
ëÿåòñÿ ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, â êîòîðîì òåðìîäèíàìè-
÷åñêèå ïàðàìåòðû (îáúåì, äàâëåíèå, òåìïåðàòóðà è äðóãèå) èìåþò
îäèíàêîâîå çíà÷åíèå âî âñåõ òî÷êàõ ñèñòåìû è íå ìîãóò ìåíÿòüñÿ
ñàìîïðîèçâîëüíî âî âðåìåíè. Ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå äëÿ æèâîãî
îðãàíèçìà íåäîïóñòèìî, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå íåâîçìîæíî ïðî-
õîæäåíèå íèêàêèõ íàïðàâëåííûõ ïðîöåññîâ, êðîìå ñëó÷àéíûõ îò-
êëîíåíèé îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïîýòîìó â òåðìîäèíàìèêå
áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ îñíîâíûì ïîíÿòèåì ÿâëÿåòñÿ ñòàöèî-
íàðíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ïàðàìåòðû
òàêæå íå ìåíÿþòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, íî ìîãóò îòëè÷àòüñÿ â ðàç-
ëè÷íûõ ÷àñòÿõ ñèñòåìû, òî åñòü â òàêèõ ñèñòåìàõ ñóùåñòâóþò è ïî-
ñòîÿííî ïîääåðæèâàþòñÿ ãðàäèåíòû ïàðàìåòðîâ. Ýòî âîçìîæíî
òîëüêî çà ñ÷åò ïðèòîêà ýíåðãèè èëè âåùåñòâà èç îêðóæàþùåé ñðå-
äû. Òàêèì îáðàçîì, â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ìîãóò íàõîäèòüñÿ
òîëüêî îòêðûòûå è çàêðûòûå ñèñòåìû.
Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû íà ïðèìåðå èîí-
íîãî áàëàíñà êëåòêè. Êîíöåíòðàöèÿ èîíîâ êàëèÿ âíóòðè êëåòîê
òåïëîêðîâíûõ â 15—50 ðàç âûøå, ÷åì ñíàðóæè, à êîíöåíòðàöèÿ
èîíîâ íàòðèÿ — â 10—15 ðàç íèæå. Ðàçíîñòü êîíöåíòðàöèé èîíîâ Ê
+
ïîääåðæèâàåòñÿ íàëè÷èåì îòðèöàòåëüíîãî ïîòåíöèàëà íà âíóòðåí-
íåé ñòîðîíå ìåìáðàíû, êîòîðûé ïðåïÿòñòâóåò âûõîäó êàòèîíîâ èç
êëåòêè. Ýòî, à òàêæå ãðàäèåíò êîíöåíòðàöèé ñïîñîáñòâóþò ïðîñà-
÷èâàíèþ èîíîâ íàòðèÿ âíóòðü êëåòêè, íåñìîòðÿ íà íèçêóþ ïðîíè-
öàåìîñòü äëÿ íèõ öèòîïëàçìàòè÷åñêîé ìåìáðàíû. Ïîääåðæàíèå
ðàçíîñòè êîíöåíòðàöèé Na
+ òðåáóåò çàòðàò ýíåðãèè. Èîíû íàòðèÿ
âûêà÷èâàþòñÿ èç êëåòêè Na-K-íàñîñàìè, ðàáîòàþùèìè çà ñ÷åò
ýíåðãèè, âûäåëÿþùåéñÿ ïðè ãèäðîëèçå ÀÒÔ. Ýíåðãèè îäíîé ìî-
ëåêóëû ÀÒÔ äîñòàòî÷íî äëÿ âûâîäà èç êëåòêè 3Na
+ è ââîäà 2Ê +.
Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ëþáîé æèâîé îðãàíèçì ïîñòîÿííî
ðàçâèâàåòñÿ è èçìåíÿåòñÿ è ïîýòîìó â öåëîì íå ÿâëÿåòñÿ ñòàöèî-
íàðíîé ñèñòåìîé. Îäíàêî â òå÷åíèå íåáîëüøîãî èíòåðâàëà âðåìåíè
ñîñòîÿíèå íåêîòîðûõ åãî ó÷àñòêîâ ïðèíèìàþò çà ñòàöèîíàðíîå.
§ 5.2. ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÊÎÍ ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ
 ÕÈÌÈÈ È ÁÈÎËÎÃÈÈ
Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè èìååò âèä:
d QUA δ= +δ , (5.2.1) § 5.2. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè â õèìèè è áèîëîãèè

142
ãäå Q — êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå ñèñòåìîé; U — âíóòðåí-
íÿÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû; A — ðàáîòà (åñëè òàêîâàÿ ñîâåðøàåòñÿ íàä
ñèñòåìîé, òî
0 A δ>; åñëè ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ ñàìîé ñèñòåìîé, òî
0 A δ<).
Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ñèñòåìû (ñì. § 4.2), ñîâåðøàåìàÿ ïðîòèâ
âíåøíåãî äàâëåíèÿ ð, ðàâíà
d ApV δ= , (5.2.2)
ãäå
dV — èçìåíåíèå îáúåìà.
Òîãäà
dd QUpV δ= + . (5.2.3)
Äàííîå óðàâíåíèå ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü êîëè÷åñòâî âûäåëèâ-
øåéñÿ òåïëîòû äëÿ ïðîöåññîâ, ïðîòåêàþùèõ â èçîõîðè÷åñêèõ èëè
èçîáàðè÷åñêèõ óñëîâèÿõ. Ïðè
const V=
d QU δ= ; (5.2.4)
ïðè
const p= —
ddd( )d QUpV UpV H δ= + = + = , (5.2.5)
ãäå Í — ýíòàëüïèÿ — ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ, îïðåäåëÿþùàÿ êîëè÷å-
ñòâî âûäåëèâøåéñÿ òåïëîòû â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå.
Âûøåñêàçàííîå ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü ïåðâûé çàêîí òåðìî-
äèíàìèêè äëÿ õèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ (ç à ê î í à å ñ ñ à): òåïëîâîé
ýôôåêò õèìè÷åñêîé ðåàêöèè íå çàâèñèò îò ïóòè ðåàêöèè, à îïðåäåëÿ-
åòñÿ ëèøü òîëüêî ðàçíîñòüþ âíóòðåííèõ ýíåðãèé èñõîäíûõ âåùåñòâ è
ïðîäóêòîâ ðåàêöèè (ïðè
const V= ) èëè ðàçíîñòüþ ýíòàëüïèé (ïðè
const p= ).  áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ïðîöåññû ñîâåðøàþòñÿ ïðè
ïîñòîÿííîì äàâëåíèè, ñëåäîâàòåëüíî, òåïëîâîé ýôôåêò áèîõèìè-
÷åñêèõ ðåàêöèé ðàâåí èçìåíåíèþ ýíòàëüïèè â õîäå ðåàêöèè.
Ñóùåñòâîâàíèå æèâîãî îðãàíèçìà òðåáóåò ïîääåðæàíèÿ åãî â íå-
ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè, à ýòî íåâîçìîæíî áåç ïðèòîêà ýíåðãèè
èçâíå. Æèâîòíûå â êà÷åñòâå èñòî÷íèêà ýíåðãèè èñïîëüçóþò ïèùó,
òî÷íåå õèìè÷åñêóþ ýíåðãèþ, çàêëþ÷åííóþ â íåé. Ýòà ýíåðãèÿ âû-
ñâîáîæäàåòñÿ ïðè îêèñëåíèè âåùåñòâ, ÷òî ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîòðåá-
ëåíèåì êèñëîðîäà è âûäåëåíèåì óãëåêèñëîãî ãàçà.
 1780 ãîäó Àíòóàí Ëàâóàçüå è Ïüåð Ëàïëàñ äîêàçàëè ñïðàâåä-
ëèâîñòü ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ áèîëîãè÷åñêèõ îáúåê-
òîâ. Îíè èçìåðÿëè êîëè÷åñòâà òåïëîòû (ïî ñêîðîñòè òàÿíèÿ ëüäà)
è óãëåêèñëîãî ãàçà, âûäåëÿåìûõ ìîðñêîé ñâèíêîé â ïðîöåññå æèç-
íåäåÿòåëüíîñòè, è ñðàâíèâàëè ýòè âåëè÷èíû ñ òåïëîâûì ýôôåê-
òîì ðåàêöèè ñæèãàíèÿ ïîòðåáëåííûõ ïðîäóêòîâ äî ÑÎ
2. Ïîëó÷åí- Ãëàâà 5. Òåðìîäèíàìèêà áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

143
íûå ðåçóëüòàòû ïîêàçàëè ðàâåíñòâî âíóòðåííåé ýíåðãèè ïðîäóê-
òîâ ïèòàíèÿ è âûäåëÿåìîé òåïëîòû. Ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî æèâûå
îðãàíèçìû íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûì èñòî÷íèêîì ýíåðãèè, à òîëüêî
îñóùåñòâëÿþò ïðåâðàùåíèå îäíèõ âèäîâ ýíåðãèè â äðóãèå.
§ 5.3. ÂÒÎÐÎÉ ÇÀÊÎÍ ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ
ÄËß ÎÒÊÐÛÒÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó òåðìîäèíàìèêè, èçìåíåíèå ýíòðî-
ïèè (dS) áîëüøå èëè ðàâíî ïîãëîùåííîé ñèñòåìîé ýëåìåíòàðíîé
ïðèâåäåííîé òåïëîòû:
dQ
S
T δ
≥ . (5.3.1)
Äëÿ èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû (
0 Q δ=) âòîðîé çàêîí òåðìîäè-
íàìèêè ïðèíèìàåò âèä:
d0S≥ . (5.3.2)
 îáðàòèìûõ (ðàâíîâåñíûõ) ïðîöåññàõ ýíòðîïèÿ îñòàåòñÿ íåèç-
ìåííîé (çíàê «=»), â íåîáðàòèìûõ — âîçðàñòàåò äî ìàêñèìàëüíîãî
çíà÷åíèÿ (çíàê «>»). Ýòî ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì ýâîëþöèè êëàññè÷å-
ñêîé òåðìîäèíàìèêè (êðèòåðèé Êëàóçèóñà): èçîëèðîâàííàÿ
ñèñòåìà ñòðåìèòñÿ äîñòèãíóòü êîíå÷íîãî ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ
ñ ìàêñèìàëüíîé ýíòðîïèåé. Ïðè ýòîì äàæå, åñëè â ðåçóëüòàòå ñëó-
÷àéíûõ ôëóêòóàöèé ýíòðîïèÿ óìåíüøèòñÿ íà íåêîòîðóþ âåëè÷è-
íó, òî â ñèñòåìå ñàìîïðîèçâîëüíî ïðîèçîéäóò òàêèå ïðîöåññû,
êîòîðûå âåðíóò åå â ñîñòîÿíèå ñ ìàêñèìàëüíîé ýíòðîïèåé. Òàêèì
îáðàçîì, âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè óêàçûâàåò íàïðàâëåíèå õîäà
ïðîöåññîâ â ñèñòåìå.
 ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ æèâîé ñèñòåìû âîçìîæíû ñëå-
äóþùèå ñèòóàöèè: óðîâåíü îðãàíèçàöèè ñèñòåìû óìåíüøàåòñÿ,
îñòàåòñÿ íà íåèçìåííîì óðîâíå (ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå) èëè âîç-
ðàñòàåò. Ïîñëåäíèå äâà ñëó÷àÿ, íà ïåðâûé âçãëÿä, íå ñîãëàñóþòñÿ
ñî âòîðûì çàêîíîì òåðìîäèíàìèêè, òàê êàê â ñòàöèîíàðíîì ñî-
ñòîÿíèè çíà÷åíèå ýíòðîïèè ïîääåðæèâàåòñÿ íà ïîñòîÿííîì óðîâ-
íå è îòëè÷íî îò ìèíèìàëüíîãî, à ïðè ïîâûøåíèè óðîâíÿ îðãàíè-
çàöèè ýíòðîïèÿ óìåíüøàåòñÿ.
Ðàçâèòèå æèâûõ ñèñòåì îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ òîìó,
÷òî âñå îíè ÿâëÿþòñÿ îòêðûòûìè è ìîãóò îáìåíèâàòüñÿ ñ îêðóæà-
þùåé ñðåäîé è âåùåñòâîì, è ýíåðãèåé. Ïîýòîìó îáùåå èçìåíåíèå
ýíòðîïèè dS â íèõ ïðîèñõîäèò êàê çà ñ÷åò âûäåëåíèÿ òåïëîòû â ðå- § 5.3. Âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè äëÿ îòêðûòûõ ñèñòåì

144
çóëüòàòå íåîáðàòèìûõ ïðîöåññîâ â ñàìîé ñèñòåìå δQ i, òàê è çà ñ÷åò
ïðèòîêà òåïëîòû èçâíå 1 δQ e:
ddd ei
eiQQ
SSS
TT δδ
=+=+ , (5.3.3)
ãäå d
eS – èçìåíåíèå ýíòðîïèè, âûçâàííîå âçàèìîäåéñòâèåì ñèñòå-
ìû ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé; d
iS — èçìåíåíèå ýíòðîïèè â ñàìîé ñè-
ñòåìå â õîäå íåîáðàòèìûõ ïðîöåññîâ âíóòðè íåå.
 ñëó÷àå îáðàòèìûõ ïðîöåññîâ
d0iS= , â ñëó÷àå íåîáðàòèìûõ —
d0iS> . Åñëè ñèñòåìà èçîëèðîâàíà, òî d0eS= . Â ïîñëåäíåì ñëó-
÷àå âûðàæåíèå (5.3.3) ñâîäèòñÿ ê âèäó:
d0iS≥ , (5.3.4)
òî åñòü ê ôîðìóëèðîâêå âòîðîãî çàêîíà â êëàññè÷åñêîé òåðìîäè-
íàìèêå.
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ âûðàæåíèå (5.3.3) ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì:
dd
d
dddeiSS
S
ttt=+ . (5.3.5)
Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè îòêðûòîé ñèñ-
òåìû ðàâíà ñóììå ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè çà ñ÷åò âçàèìî-
äåéñòâèÿ ñèñòåìû ñ âíåøíåé ñðåäîé è ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ýíòðî-
ïèè, âûçâàííîãî íåîáðàòèìûìè ïðîöåññàìè âíóòðè ñèñòåìû.
Íåîáðàòèìûå ïðîöåññû, ïðîòåêàþùèå âíóòðè ñèñòåìû, âûçû-
âàþò ïîâûøåíèå ýíòðîïèè, ïîýòîìó âñåãäà
dd 0iSt> . Îäíàêî îá-
ùàÿ ýíòðîïèÿ ñèñòåìû ìîæåò êàê âîçðàñòàòü, òàê è óáûâàòü çà ñ÷åò
òîãî, ÷òî ÷ëåí
ddeSt ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíûì, òàê è îò-
ðèöàòåëüíûì.  ñëó÷àå
dd0eSt< ýíòðîïèÿ ïðîäóêòîâ, ïîñòóïà-
þùèõ â ñèñòåìó, ìåíüøå ýíòðîïèè ïðîäóêòîâ, âûõîäÿùèõ èç ñèñ-
òåìû, è íàîáîðîò. Âîçìîæíû ñëåäóþùèå òðè ñëó÷àÿ:
1)
d
0
dS
t> , åñëè d
0
deS
t> èëè åñëè d
0
deS
t< è dd
ddeiSS
tt< ; (5.3.6)
2)
d
0
dS
t< , åñëè d
0
deS
t< è dd
ddeiSS
tt> ; (5.3.7)
3)
d
0
dS
t= , åñëè d
0
deS
t< è dd
ddeiSS
tt= . (5.3.8)
1 Èíäåêñû «i» è «e» ïðîèñõîäÿò îò àíãë. internal — âíóòðåííèé è external —
âíåøíèé.
Ãëàâà 5. Òåðìîäèíàìèêà áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

145
Ïåðâûé ñëó÷àé ( d/d 0St> ) ñîîòâåòñòâóåò ïàòîëîãè÷åñêîìó ñî-
ñòîÿíèþ îðãàíèçìà, òàê êàê ïðè ýòîì óìåíüøàåòñÿ ñòåïåíü óïî-
ðÿäî÷åííîñòè ñèñòåìû. Ýòî íàáëþäàåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè ðàçëîæåíèè
òêàíåé, íàëè÷èè îíêîëîãè÷åñêèõ çàáîëåâàíèé (â ïîñëåäíåì ñëó÷àå
ïðîèñõîäèò íåêîíòðîëèðóåìûé íåóïîðÿäî÷åííûé ðîñò êëåòîê). Âòî-
ðîé ñëó÷àé (
d/d 0St< ) ñîîòâåòñòâóåò ïîâûøåíèþ óðîâíÿ îðãàíè-
çàöèè îðãàíèçìà (ðîñòó, ôîðìèðîâàíèþ îðãàíîâ, òêàíåé, ñèñòåì);
òðåòèé ñëó÷àé (
d/d 0St= ) — óñòàíîâëåíèþ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿ-
íèÿ â ñèñòåìå.
Îáùèé ýíåðãîîáìåí æèâûõ îðãàíèçìîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñîëíå÷íûé ñâåò, ïîãëîùåííûé ðàñòèòåëü-
íûìè îðãàíèçìàìè, ýíåðãåòè÷åñêè îáåñïå÷èâàåò ñèíòåç óãëåâîäîâ
èç Í
2Î è ÑÎ 2 (ôîòîñèíòåç). Îêèñëåíèå ñèíòåçèðîâàííûõ óãëåâî-
äîâ â ïðîöåññå äûõàíèÿ ñîïðîâîæäàåòñÿ âûäåëåíèåì ýíåðãèè, êî-
òîðóþ èñïîëüçóþò äëÿ ñâîåé æèçíåäåÿòåëüíîñòè ðàñòåíèÿ è æè-
âîòíûå. Ïîãëîùåíèå ñâåòà âûçûâàåò ïîíèæåíèå ýíòðîïèè â æèâîì
îðãàíèçìå, îäíàêî îäíîâðåìåííî èäåò ïîâûøåíèå ýíòðîïèè íà
Ñîëíöå â ïðîöåññå ÿäåðíûõ ðåàêöèé, êîòîðîå ïî ìîäóëþ ïðåâû-
øàåò ïîíèæåíèå ýíòðîïèè íà Çåìëå. Â öåëîì â ñèñòåìå Çåìëÿ—
Ñîëíöå ýíòðîïèÿ ïîâûøàåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðàçâèòèå æèâûõ
îðãàíèçìîâ ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ óïîðÿäî÷åííîñòè îêðó-
æàþùåé ñðåäû.
§ 5.4. ÈÇÌÅÍÅÍÈÅ ÑÒÀÍÄÀÐÒÍÎÉ ÑÂÎÁÎÄÍÎÉ ÝÍÅÐÃÈÈ.
ÕÈÌÈ×ÅÑÊÈÉ È ÝËÅÊÒÐÎÕÈÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÏÎÒÅÍÖÈÀËÛ
Êðèòåðèåì ñïîñîáíîñòè ñèñòåìû ñîâåðøèòü òî èëè èíîå òåð-
ìîäèíàìè÷åñêîå ïðåâðàùåíèå ÿâëÿåòñÿ çíàê ïðèðàùåíèÿ òåðìî-
äèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, ñîîòâåòñòâóþùåãî óñëîâèÿì ïðîòå-
êàíèÿ ïðîöåññà. Áèîýíåðãåòè÷åñêèå ïðîöåññû, êàê ïðàâèëî,
õàðàêòåðèçóþòñÿ èçìåíåíèåì ïîòåíöèàëà Ãèááñà ∆G. Ïðè ∆G < 0
(èëè dF < 0) ïðîöåññ ïðîèñõîäèò ñàìîïðîèçâîëüíî ñ âûäåëåíèåì
ýíåðãèè, òàê êàê ïðè ýòîì ýíåðãèÿ êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ ìåíüøå
ýíåðãèè íà÷àëüíîãî. Èçìåíåíèÿ â ñèñòåìå áóäóò ïðîèñõîäèòü äî
òåõ ïîð, ïîêà òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà íå ïðèìåò
ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå [ñì. (4.4.7) è (4.4.8)]. Õèìè÷åñêèå ðåàêöèè,
ïðîòåêàþùèå ñ óìåíüøåíèåì òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, íà-
çûâàþòñÿ ýêçåðãîíè÷åñêèìè. Åñëè æå ñîâåðøåíèå êàêîãî-ëèáî òåð-
ìîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà òðåáóåò óâåëè÷åíèÿ ýíåðãèè (∆G > 0),
òî òàêîé ïðîöåññ ñàìîïðîèçâîëüíî ïðîèçîéòè íå ìîæåò è òðåáóåò
ïðèòîêà ýíåðãèè èç îêðóæàþùåé ñðåäû. Õèìè÷åñêèå ðåàêöèè, ïðî-
òåêàþùèå ñ óâåëè÷åíèåì òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, íàçû-
âàþòñÿ ýíäåðãîíè÷åñêèìè. § 5.4. Èçìåíåíèå ñòàíäàðòíîé ñâîáîäíîé ýíåðãèè

146
Èçìåíåíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè çàâèñèò îò óñëîâèé ïðîòåêàíèÿ
ïðîöåññà (òåìïåðàòóðû, äàâëåíèÿ, ðÍ, êîíöåíòðàöèé ðåàãèðóþùèõ
âåùåñòâ). Ïîýòîìó â õèìèè ââîäèòñÿ ïîíÿòèå èçìåíåíèÿ ñòàíäàðò-
íîé ñâîáîäíîé ýíåðãèè õèìè÷åñêîé ðåàêöèè ∆G
0, òî åñòü èçìåíåíèÿ
ñâîáîäíîé ýíåðãèè õèìè÷åñêîé ñèñòåìû, êàæäûé èç ðåàãåíòîâ
êîòîðîé, âñòóïàþùèõ â õèìè÷åñêóþ ðåàêöèþ, íàõîäèòñÿ â êîí-
öåíòðàöèè 1 ìîëü/ë â ñòàíäàðòíûõ óñëîâèÿõ (ð = 101,325 êÏà (1 àòì),
ðÍ = 7,0, Ò = 298 Ê).
Èçìåíåíèå ñòàíäàðòíîé ñâîáîäíîé ýíåðãèè â õîäå õèìè÷åñêîé
ðåàêöèè ñâÿçàíî ñ êîíñòàíòîé õèìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ K ýòîé ðåàê-
öèè ñëåäóþùèì îáðàçîì:
0 ln GRTK ∆=− , (5.4.1)
ãäå R — óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ; T — òåìïåðàòóðà. Çà-
âèñèìîñòü (5.4.1) ïîçâîëÿåò ïðè èçâåñòíîì çíà÷åíèè êîíñòàíòû
ðàâíîâåñèÿ õèìè÷åñêîé ðåàêöèè îïðåäåëèòü èçìåíåíèå ñâîáîä-
íîé ýíåðãèè â íåé.
Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà îäíîãî ìîëÿ âåùåñòâà
íàçûâàåòñÿ õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì µ (â ñëó÷àå íåçàðÿæåííûõ ÷àñ-
òèö) èëè ýëåêòðîõèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì
µ% (â ñëó÷àå çàðÿæåííûõ
÷àñòèö).
Èçìåíåíèå ýëåêòðîõèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ðàâíî
G ∆
∆µ =
ν , (5.4.2)
ãäå ν — êîëè÷åñòâî ìîëåé çàðÿæåííûõ ÷àñòèö.
Èçìåíåíèå õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà àíàëîãè÷íî (5.4.2):
G ∆
∆µ =
ν % , (5.4.3)
ãäå ν — êîëè÷åñòâî ìîëåé íåçàðÿæåííûõ ÷àñòèö.
Åñëè ñèñòåìà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ êîìïîíåíòîâ, òî ýëåêòðî-
õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë i-òîãî êîìïîíåíòà
µ%i îïðåäåëÿåòñÿ êàê
i
i
iG ∆
∆µ =
ν % , (5.4.4)
ãäå ν
i — êîëè÷åñòâî ìîëåé i-òîãî êîìïîíåíòà; ∆G i — òåðìîäèíà-
ìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà i-òîãî êîìïîíåíòà.
Äëÿ ðàçáàâëåííûõ ðàñòâîðîâ íåçàðÿæåííûõ ÷àñòèö õèìè÷åñêèé
ïîòåíöèàë ðàâåí
0 ln ii i RT c µ =µ + , (5.4.5)
ãäå ñ
i — ìîëÿðíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ðàñòâîðà; µ 0i — ñòàíäàðòíûé õèìè-
÷åñêèé ïîòåíöèàë i-òîãî êîìïîíåíòà, ÷èñëåííî ðàâíûé õèìè÷åñêî-Ãëàâà 5. Òåðìîäèíàìèêà áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

147
ìó ïîòåíöèàëó ýòîãî êîìïîíåíòà ïðè åãî êîíöåíòðàöèè â ðàñòâîðå
1 ìîëü/ë.
Ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ðàçáàâëåííûõ ðàñòâîðîâ ðàâåí
0 ln ii i i zF RT c zF µ =µ + ϕ=µ ++ ϕ % , (5.4.6)
ãäå z — çàðÿä èîíà,
AN Fe= = 9,65•10 4 Êë/ìîëü — ÷èñëî Ôàðàäåÿ
(çàðÿä îäíîãî ìîëÿ îäíîâàëåíòíûõ èîíîâ); ϕ — ýëåêòðè÷åñêèé
ïîòåíöèàë.
Çàïèøåì èçìåíåíèå ýëåêòðîõèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà
∆µ% äëÿ
÷àñòèö îäíîãî ñîðòà ïðè ïåðåõîäå ñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿ-
íèå 2:
01 02 2 1 2 1 ln( / ) ( ) RT c c zF ∆ µ=µ −µ ++ ϕ −ϕ % . (5.4.7)
Èçìåíåíèå ýëåêòðîõèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà èìååò ôèçè÷åñêèé
ñìûñë ðàáîòû, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü, ÷òîáû:
1) âûçâàòü õèìè÷åñêîå ïðåâðàùåíèå îäíîãî ìîëÿ ñîåäèíåíèÿ
ïðè ïåðåõîäå èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2 (ïåðâîå ñëàãàåìîå, îï-
ðåäåëÿþùåå õèìè÷åñêóþ ðàáîòó);
2) èçìåíèòü ìîëÿðíóþ êîíöåíòðàöèþ îò ñ
1 äî ñ 2 (âòîðîå ñëàãà-
åìîå, îïðåäåëÿþùåå îñìîòè÷åñêóþ ðàáîòó);
3) ïðåîäîëåòü ñèëû ýëåêòðè÷åñêîãî îòòàëêèâàíèÿ, âîçíèêàþ-
ùèå ïðè ïåðåíîñå âåùåñòâà èç îáëàñòè ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîòåí-
öèàëîì ϕ
1 â îáëàñòü ñ ïîòåíöèàëîì ϕ 2 (òðåòüå ñëàãàåìîå, îïðåäå-
ëÿþùåå ýëåêòðè÷åñêóþ ðàáîòó).
§ 5.5. ÑÊÎÐÎÑÒÜ ÂÎÇÐÀÑÒÀÍÈß ÝÍÒÐÎÏÈÈ
È ÄÈÑÑÈÏÀÒÈÂÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
 îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìèêè òåð-
ìîäèíàìèêà íåîáðàòèìûõ ïðîöåññîâ ðàññìàòðèâàåò èçìåíåíèå òåð-
ìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ âî âðåìåíè. Îñîáîå çíà÷åíèå çäåñü
èìååò ñêîðîñòü âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè. Èíôîðìàöèÿ îá ýòîé âåëè-
÷èíå ïîçâîëÿåò îöåíèòü ñêîðîñòü äèññèïàöèè ðàçëè÷íûõ âèäîâ
ýíåðãèè, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðåâðàùåíû â ðàáîòó, â òåïëîâóþ
ýíåðãèþ, çà ñ÷åò êîòîðîé ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå ñîâåðøå-
íèå ðàáîòû íåâîçìîæíî.
Èçìåíåíèå ýíòðîïèè â îòêðûòîé ñèñòåìå ñîñòàâëÿåò:
dd d ei SSS=+ , (5.5.1)
ïðè÷åì
de Q
S
T δ
= , à dd QUpV δ= + . Îòñþäà § 5.5. Ñêîðîñòü âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè è äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ

148
ddi Q
SS
T δ
=− , (5.5.2)
dd d
d i TS U pV
S
T −−
= . (5.5.3)
Âûðàæåíèå â ÷èñëèòåëå ÿâëÿåòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèì ïîòåíöèà-
ëîì Ãèááñà, âçÿòûì ñ îáðàòíûì çíàêîì.
dd d d TS U pV G−− =− . (5.5.4)
Ñ ó÷åòîì ôîðìóë (5.5.4) è (5.3.4) âûðàæåíèå (5.5.3) ïðèìåò âèä:
d
d0 i G
S
T =− > (5.5.5)
(çíàê «>» óêàçûâàåò íà íåîáðàòèìîñòü ïðîöåññîâ). Òîãäà ñêîðîñòü
èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè ñîñòàâèò:
d
1d
0
ddiS
G
tTt=− ⋅ > . (5.5.6)
Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè â ñàìîïðîèç-
âîëüíûõ íåîáðàòèìûõ ïðîöåññàõ ïðè ïîñòîÿííûõ òåìïåðàòóðå
è äàâëåíèè ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè óìåíüøåíèÿ òåðìî-
äèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà Ãèááñà.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé ñêîðîñòü ïðî-
äóêöèè ýíòðîïèè ñîñòàâëÿåò
d
0
diS
Av
tT=> , (5.5.7)
ãäå v — ñêîðîñòü õèìè÷åñêîé ðåàêöèè; À — õèìè÷åñêîå ñðîäñòâî,
èëè äâèæóùàÿ ñèëà õèìè÷åñêîé ðåàêöèè, ïðè÷åì
ii
i An=− µ ∑ , (5.5.8)
ãäå µ
i, n i — ñîîòâåòñòâåííî õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë è ñòåõèîìåòðè-
÷åñêèé êîýôôèöèåíò i-òîãî ðåàãåíòà èëè ïðîäóêòà. Õèìè÷åñêîå
ñðîäñòâî èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë ðàçíîñòè õèìè÷åñêèõ ïîòåíöè-
àëîâ íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèé (
A= µ −µ   ) ïðè n i = 1.
Åñëè â ñèñòåìå ïðîòåêàþò íåñêîëüêî íåîáðàòèìûõ ðåàêöèé, òî
ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè â ýòîé ñèñòåìå ñîñòàâèò:Ãëàâà 5. Òåðìîäèíàìèêà áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

149
d
1
0
di
kk
kS
Av
tT=> ∑ , (5.5.9)
ãäå A
k è v k — ñîîòâåòñòâåííî ñêîðîñòü è õèìè÷åñêîå ñðîäñòâî k-
òîé õèìè÷åñêîé ðåàêöèè.
 òåðìîäèíàìèêå íåîáðàòèìûõ ïðîöåññîâ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå äèñ-
ñèïàòèâíîé ôóíêöèè
1 β:
d
d iS
T
t β= . (5.5.10)
Èç ôîðìóëû (5.5.7) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íåîáðàòèìûõ ïðîöåññîâ
β > 0. (5.5.11)
Äëÿ èäåàëüíûõ îáðàòèìûõ ïðîöåññîâ β = 0.
Äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëÿþùàÿ ñêîðîñòü âîçðàñòàíèÿ
ýíòðîïèè â ñèñòåìå, â êîòîðîé ïðîòåêàþò íåîáðàòèìûå ïðîöåññû,
ÿâëÿåòñÿ ìåðîé ðàññåÿíèÿ ýíåðãèè ñèñòåìû â òåïëî. ×åì áîëüøå âå-
ëè÷èíà äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè, òåì áûñòðåå ýíåðãèÿ âñåõ âèäîâ
ïðåâðàùàåòñÿ â òåïëîâóþ. Äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ òàêæå îïðåäå-
ëÿåò âîçìîæíîñòü ñàìîïðîèçâîëüíîãî ïðîòåêàíèÿ òîãî èëè èíîãî
ïðîöåññà: ïðè β > 0 ïðîöåññ âîçìîæåí, ïðè β < 0 — íåò.
§ 5.6. ÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ
 ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåì ïðîèñ-
õîäÿò êàê ýêçåðãîíè÷åñêèå ïðîöåññû, â õîäå êîòîðûõ âûñâîáîæ-
äàåòñÿ ýíåðãèÿ (∆G < 0), òàê è ýíäåðãîíè÷åñêèå, â õîäå êîòîðûõ
çàòðà÷èâàåòñÿ ýíåðãèÿ (∆G > 0). Ïîñëåäíèå ïðîöåññû òåðìîäèíà-
ìè÷åñêè íåâûãîäíû è íå ìîãóò ñîâåðøàòüñÿ áåç äîïîëíèòåëüíîãî
ïðèòîêà ýíåðãèè, èñòî÷íèêîì êîòîðîé â æèâîì îðãàíèçìå ñëóæàò
ýêçåðãîíè÷åñêèå ïðîöåññû. Åñëè ýíåðãèÿ, âûäåëÿþùàÿñÿ â õîäå
êàêîãî-ëèáî ýêçåðãîíè÷åñêîãî ïðîöåññà, ïðåâûøàåò ýíåðãèþ, íå-
îáõîäèìóþ äëÿ ñîâåðøåíèÿ ýíäåðãîíè÷åñêîãî ïðîöåññà, òî ïåð-
âûé ïðîöåññ ìîæåò ýíåðãåòè÷åñêè îáåñïå÷èòü âòîðîé. Ïðè ýòîì
ñóììàðíîå èçìåíåíèå ïîòåíöèàëà Ãèááñà îñòàåòñÿ îòðèöàòåëüíûì.
ßâëåíèå, ïðè êîòîðîì îäèí ïðîöåññ ýíåðãåòè÷åñêè îáåñïå÷èâàåò
ïðîòåêàíèå âòîðîãî, íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåíèåì. Ïðîöåññ, ÿâëÿþùèé-
1 ×àñòî â ëèòåðàòóðå äèññèïàòèâíîé ôóíêöèåé íàçûâàþò ñêîðîñòü ïðîäóê-
öèè ýíòðîïèè σ â åäèíèöå îáúåìà V. Â ñèëó âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè
d
d0
diS
V
t=σ ≥ ∫ .
§ 5.6. Ñîïðÿæåííûå ïðîöåññû

150
ñÿ èñòî÷íèêîì ýíåðãèè, íàçûâàåòñÿ ñîïðÿãàþùèì, à ïðîöåññ, íà
êîòîðûé çàòðà÷èâàåòñÿ ýíåðãèÿ, — ñîïðÿæåííûì. Ðàññìîòðèì ýòî
ÿâëåíèå ïîäðîáíåå íà ïðèìåðå ñîïðÿæåííûõ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé.
Ïóñòü â ñèñòåìå îäíîâðåìåííî ïðîòåêàþò äâå íåîáðàòèìûå
ðåàêöèè. Èç ôîðìóëû (5.5.9) ñëåäóåò:
11 2 2 d
0
d iS
TAvAv
t β==+> . (5.6.1)
Ýòî óñëîâèå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ â äâóõ ñëó÷àÿõ:
1) A
1v1 > 0 , A 2v2 > 0 ; (5.6.2)
2) A
1v1 > 0 , A 2v2 < 0 , åñëè |A 1v1| > |A 2v2|. (5.6.3)
 ïåðâîì ñëó÷àå îáå ðåàêöèè ÿâëÿþòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêè âû-
ãîäíûìè, òàê êàê â õîäå êàæäîé ïðîèñõîäèò óâåëè÷åíèå ýíòðîïèè
[ñì. ñîîòíîøåíèå (5.5.9)], è òîãäà, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (5.5.6) —
óìåíüøåíèå òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà Ãèááñà. Ýòè ðåàê-
öèè ìîãóò ñîâåðøàòüñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà.
Âî âòîðîì ñëó÷àå ðåàêöèÿ 1) ÿâëÿåòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêè âûãîä-
íîé, à ðåàêöèÿ 2) — òåðìîäèíàìè÷åñêè íåâûãîäíîé (d
iS/dt < 0,
dG/dt > 0). Âòîðàÿ ðåàêöèÿ (ñîïðÿæåííàÿ) ìîæåò áûòü ñîâåðøåíà
òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè áóäåò ñîïðÿæåíà ñ ïåðâîé (ñîïðÿãàþùåé).
 õîäå ñîïðÿæåíèÿ ýòèõ äâóõ ðåàêöèé ñóììàðíàÿ ýíòðîïèÿ ñèñòå-
ìû óâåëè÷èòñÿ, à ñóììàðíûé ïîòåíöèàë Ãèááñà — óìåíüøèòñÿ.
Èç àíàëèçà âûøåñêàçàííîãî è ôîðìóëû (5.5.10) ñëåäóåò, ÷òî
êðèòåðèåì âîçìîæíîñòè ñîïðÿæåíèÿ äâóõ èëè íåñêîëüêèõ ïðîöåñ-
ñîâ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè äëÿ
ñóììàðíîãî ïðîöåññà.
Èç óñëîâèÿ (5.6.1) ìîæíî íàéòè ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ñîïðÿ-
æåííîé ðåàêöèè:
11
2max
2Av
vv
A =< . (5.6.4)
Ðàññìîòðèì ÿâëåíèå ñîïðÿæåíèÿ íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Íà-
÷àëüíàÿ ðåàêöèÿ ãëèêîëèçà — ôîñôîðèëèðîâàíèå ãëþêîçû — ÿâ-
ëÿåòñÿ ýíäåðãîíè÷åñêîé ðåàêöèåé è ïðîòåêàåò ïî ñõåìå:
Ãëþêîçà + Ô = Ãëþêîçà-6-ôîñôàò + Í
2Î, 0
1G ∆ = 13,4 êÄæ/ìîëü,
ãäå Ô — ôîñôàòíàÿ êèñëîòà.
Ïîâûøåíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè â ýòîì ñëó÷àå êîìïåíñèðóåòñÿ
ñîïðÿæåíèåì ñ ðåàêöèåé ãèäðîëèçà àäåíîçèíòðèôîñôàòíîé êèñ-
ëîòû (ÀÒÔ), ÿâëÿþùåéñÿ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé ñîïðÿãàþ-
ùåé õèìè÷åñêîé ðåàêöèåé â æèâûõ ñèñòåìàõ:Ãëàâà 5. Òåðìîäèíàìèêà áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

151
ÀÒÔ + Í 2Î = ÀÄÔ + Ô, 0
2G ∆ = –30,5 êÄæ/ìîëü,
ãäå ÀÄÔ — àäåíîçèíäèôîñôàòíàÿ êèñëîòà.
Òàêèì îáðàçîì, îáùåå èçìåíåíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè â õîäå ýòèõ
äâóõ ðåàêöèé ñîñòàâëÿåò
00
12 GG G ∆=∆ +∆ = 13,4 êÄæ/ìîëü + (–30,5 êÄæ/ìîëü) =
= –17,1 êÄæ/ìîëü.
ßâëåíèå õèìè÷åñêîãî ñîïðÿæåíèÿ îáåñïå÷èâàåò ïðåâðàùåíèå
ýíåðãèè îäíèõ õèìè÷åñêèõ ñâÿçåé â ýíåðãèþ äðóãèõ, ñíèæàÿ òàêèì
îáðàçîì ïîòåðè ýíåðãèè â âèäå òåïëà. Â îòñóòñòâèå ñîïðÿæåíèÿ
âåëè÷èíà äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè âûøå, ÷åì â ñëó÷àå íàëè÷èÿ ñî-
ïðÿæåíèÿ. ×åì ìåíüøå çíà÷åíèå äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè, òåì
ýíåðãåòè÷åñêè ýêîíîìè÷íåå ðàáîòàåò ñèñòåìà.
§ 5.7. ÏÎËÎÆÅÍÈß ËÈÍÅÉÍÎÉ ÍÅÐÀÂÍÎÂÅÑÍÎÉ
ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÎÍÇÀÃÅÐÀ
Ëèíåéíàÿ íåðàâíîâåñíàÿ òåðìîäèíàìèêà èçó÷àåò ïðîöåññû,
ïðîòåêàþùèå âáëèçè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ. Ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî â ýòèõ óñëîâèÿõ ìåæäó îáîáùåííûì ïîòîêîì J (ñêî-
ðîñòüþ ïðîöåññà) è îáîáùåííîé ñèëîé Õ (ïðè÷èíîé ïðîöåññà),
åãî âûçûâàþùåé, ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü:
J = LX, (5.7.1)
ãäå L — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
Ïðèìåðîì ëèíåéíîãî ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ çàêîí Îìà:
(1 / ) IRU= ,
ãäå â ðîëè ïîòîêà âûñòóïàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê I, äâèæóùåé ñèëû —
íàïðÿæåíèå U, à êîýôôèöèåíòà ïðîïîðöèîíàëüíîñòè — âåëè÷èíà
1/R, îáðàòíàÿ ýëåêòðè÷åñêîìó ñîïðîòèâëåíèþ (ïðîâîäèìîñòü).
Íåêîòîðûå ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîöåññîâ ïðèâåäåíû â òàáë. 5.7.1.
Äîïóñòèì, â ñèñòåìå ñîâåðøàåòñÿ äâà ïðîöåññà, ñîïðÿæåííûõ
äðóã ñ äðóãîì.  òàêîì ñëó÷àå ïîòîê ïåðâîãî ïðîöåññà J
1 áóäåò
çàâèñåòü êàê îò ñîáñòâåííîé äâèæóùåé ñèëû Õ
1 (êîýôôèöèåíò
ïðîïîðöèîíàëüíîñòè L
11), òàê è îò äâèæóùåé ñèëû âòîðîãî ïðî-
öåññà Õ
2 (êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè L 12). Àíàëîãè÷íûå
ðàññóæäåíèÿ ïðèìåíÿåì è äëÿ âòîðîãî ïîòîêà J
2. Âûðàæåíèÿ äëÿ
ïîòîêîâ â ñëó÷àå ñîïðÿæåííûõ ïðîöåññîâ íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè
Îíçàãåðà:
1111122
2211222 ;
. JLXLX
JLXLX=+


=+
 (5.7.2) § 5.7. Ïîëîæåíèÿ ëèíåéíîé íåðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìèêè

152
Òàáëèöà 5.7.1
Ëèíåéíûå ïðîöåññû è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîïðÿæåííûå ïîòîêè è ñèëû
Ïðèìå÷àíèå: D — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè; c — ìîëÿðíàÿ êîíöåíòðàöèÿ âåùåñòâà;µ% — ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë; u — ïîäâèæíîñòü èîíîâ; σ — óäåëüíàÿ ýëåê-
òðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü; κ — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè; r — ðàäèóñ òðóá-
êè; η — êîýôôèöèåíò äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòè.
Ïðîöåññ Ïîòîê JÎáîáùåííàÿ ñèëà XÇàêîí
ÄèôôóçèÿÏëîòíîñòü ïîòîêà J
íåçàðÿæåííûõ
÷àñòèöÃðàäèåíò
êîíöåíòðàöèè
(dc/dx)Çàêîí Ôèêà
d
dc
JD
x =−
Ýëåêòðî-
äèôôóçèÿÏëîòíîñòü ïîòîêà J
èîíîâÃðàäèåíò ýëåêòðîõè-
ìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà
(d
µ/dx)Óðàâíåíèå
Òåîðåëëà d
d Jcu
x µ
=−%
Ýëåêòðè-
÷åñêèé
òîêÏëîòíîñòü
ýëåêòðè÷åñêîãî
òîêà jÃðàäèåíò ýëåêòðè÷å-
ñêîãî ïîòåíöèàëà
(dϕ/dx)Çàêîí Îìà
d
d j
x ϕ
=−σ
Òå÷åíèå
æèäêîñòèÎáúåìíàÿ
ñêîðîñòü Q
æèäêîñòè ÷åðåç
òðóáêóÃðàäèåíò ãèäðîñòàòè-
÷åñêîãî äàâëåíèÿ
(dp/dx)Ôîðìóëà
Ïóàçåéëÿ
4 d
8drp
Q
x π
=− ⋅
η
Òåïëî-
ïðîâîä-
íîñòüÏëîòíîñòü ïîòîêà J
òåïëàÃðàäèåíò òåìïåðàòóðû
dÒ/dxÇàêîí Ôóðüå
d
dT
J
x =−κ
Êîýôôèöèåíòû L 12 è L 21 íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè âçàèì-
íîñòè Îíçàãåðà è îòðàæàþò ÿâëåíèå ñîïðÿæåíèÿ ïðîöåññîâ: ïîòîê
ïåðâîãî ïðîöåññà çàâèñèò îò äâèæóùåé ñèëû âòîðîãî è íàîáîðîò —
ïîòîê âòîðîãî ïðîöåññà çàâèñèò îò äâèæóùåé ñèëû ïåðâîãî. Êî-
ýôôèöèåíòû L
12 è L 21 ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ñîîòíîøåíèåì âçà-
èìíîñòè Îíçàãåðà:
L
12 = L 21, (5.7.3)
òî åñòü âîçäåéñòâèå îäíîãî ïðîöåññà íà âòîðîé âûçûâàåò òàêóþ æå
îòâåòíóþ ðåàêöèþ ñî ñòîðîíû âòîðîãî ïðîöåññà íà ïåðâûé.Ãëàâà 5. Òåðìîäèíàìèêà áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

153
 âûðàæåíèè (5.7.7) ñðîäñòâî ðåàêöèè À èãðàåò ðîëü äâèæóùåé
ñèëû ðåàêöèè, à ñêîðîñòü v — ðîëü ïîòîêà. Ïî àíàëîãèè ñ ôîð-
ìóëîé (5.5.7), ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå (5.5.10), ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
â îáùåì ñëó÷àå
d
0
diS
TJX
t β= = > . (5.7.4)
Äëÿ ñèñòåìû, â êîòîðîé îäíîâðåìåííî ïðîòåêàþò n ñîïðÿæåí-
íûõ ëèíåéíûõ ïðîöåññîâ, âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå:
d
0
di
kk
kS
TJX
t β== > ∑ . (5.7.5)
Ñèñòåìà óðàâíåíèÿ (5.7.2) ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáûõ äâóõ âçàèìî-
ñâÿçàííûõ ïðîöåññîâ, íàïðèìåð, ñîïðÿæåííûõ õèìè÷åñêèõ ðåàê-
öèé, äèôôóçèè êàêîãî-ëèáî âåùåñòâà è ñâÿçàííîãî ñ ýòèì ïåðåíî-
ñà òåïëîòû, ïåðåíîñà ÷åðåç ìåìáðàíó âîäû è ñîïðÿæåííîãî ïåðåíîñà
ðàñòâîðåííîãî â íåé âåùåñòâà. Â æèâûõ îðãàíèçìàõ îäíèì èç ñàìûõ
ðàñïðîñòðàíåííûõ ñîïðÿæåííûõ ïðîöåññîâ ÿâëÿåòñÿ àêòèâíûé
òðàíñïîðò, òî åñòü ïåðåíîñ âåùåñòâà èç îáëàñòè ñ ìåíüøåé åãî êîí-
öåíòðàöèè â îáëàñòü ñ áîëüøåé êîíöåíòðàöèåé. Òàêîé ïðîöåññ ñà-
ìîïðîèçâîëüíî íå ïðîòåêàåò, èáî ñîïðîâîæäàåòñÿ óâåëè÷åíèåì ñòå-
ïåíè óïîðÿäî÷åííîñòè ñèñòåìû è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîíèæåíèåì
ýíòðîïèè. Àêòèâíûé òðàíñïîðò òðåáóåò çàòðàòû ýíåðãèè è ìîæåò ñî-
âåðøàòüñÿ òîëüêî â ñëó÷àå ñîïðÿæåíèÿ ñ äðóãèì ïðîöåññîì — èñ-
òî÷íèêîì ýíåðãèè.  êà÷åñòâå ñîïðÿãàþùåãî ïðîöåññà ìîæåò âû-
ñòóïàòü, íàïðèìåð, ðåàêöèÿ ãèäðîëèçà ÀÒÔ, òðàíñïîðò êàêèõ-ëèáî
äðóãèõ âåùåñòâ. Ïîäðîáíåå ÿâëåíèå àêòèâíîãî òðàíñïîðòà áóäåò ðàñ-
ñìîòðåíî â ãëàâå 11.
Åñëè ïîòîê è äâèæóùàÿ ñèëà ñîïðÿæåííîãî ïðîöåññà ðàâíû ñî-
îòâåòñòâåííî J
1 è X 1, à ñîïðÿãàþùåãî — J 2 è X 2, òî J 1X1 < 0, J 2X2 > 0.
Êîëè÷åñòâåííî ñòåïåíü ñîïðÿæåíèÿ q îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøå-
íèåì:
12
11 22L
q
LL = , (5.7.6)
êîòîðàÿ èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ –1 ≤ q ≤ 1.
Ïðè q = 0, L
12 = L 21 = 0. Òîãäà óðàâíåíèÿ (5.7.2) ñâîäÿòñÿ
ê âèäó:
J
1 = L 11X1; (5.7.7)
J
2 = L 22X2, (5.7.8) § 5.7. Ïîëîæåíèÿ ëèíåéíîé íåðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìèêè

154
òî åñòü ïðîöåññû ïîëíîñòüþ íå çàâèñÿò äðóã îò äðóãà è êàæäûé èç
ïîòîêîâ îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî «ñîáñòâåííîé» äâèæóùåé ñèëîé.
Ïðè q = ±1 ïîòîêè ïîëíîñòüþ ñîïðÿæåíû. Åñëè q < 0 (òî åñòü
L
12 < 0), òîãäà, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (5.7.2), óâåëè÷åíèå äâèæó-
ùåé ñèëû îäíîãî ïðîöåññà áóäåò ñîïðîâîæäàòüñÿ óìåíüøåíèåì
ïîòîêà ñîïðÿæåííîãî ñ íèì äðóãîãî ïðîöåññà.
 ïðîöåññå ñîïðÿæåíèÿ íå âñÿ ýíåðãèÿ, âûäåëÿþùàÿñÿ â õîäå
ñîïðÿãàþùåãî ïðîöåññà, ïåðåäàåòñÿ ñîïðÿæåííîìó: ÷àñòü ýíåðãèè
ïåðåõîäèò â òåïëî. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÊÏÄ ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè
ââîäÿò ïîíÿòèå ýôôåêòèâíîñòè ñîïðÿæåíèÿ:
11
22JX
JX η= , (5.7.9)
ãäå J
1, X 1 è J 2, X 2 — ñîîòâåòñòâåííî ïîòîêè è äâèæóùèå ñèëû ñî-
ïðÿæåííîãî è ñîïðÿãàþùåãî ïðîöåññîâ. Äëÿ áèîëîãè÷åñêèõ ïðî-
öåññîâ ýôôåêòèâíîñòü ñîïðÿæåíèÿ äîâîëüíî âûñîêà è ìîæåò äîñ-
òèãàòü 80—90 %.
§ 5.8. ÊÐÈÒÅÐÈÈ ÄÎÑÒÈÆÅÍÈß È ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ
 êëàññè÷åñêîé òåðìîäèíàìèêå óâåëè÷åíèå ýíòðîïèè äî íåêî-
òîðîãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì óñòàíîâëåíèÿ
â ñèñòåìå ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ; çíàê èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè, òà-
êèì îáðàçîì, îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå õîäà ïðîöåññà. Íåðàâíîâåñ-
íàÿ òåðìîäèíàìèêà ðàññìàòðèâàåò ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ. Àíà-
ëîãè÷íîé ïðîáëåìîé çäåñü ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î ïðåäñêàçàíèè
óñòàíîâëåíèÿ â ñèñòåìå ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ïî õàðàêòåðó
èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè çà ñ÷åò âíóòðåííèõ ïðîöåññîâ.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, â êîòîðîé îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäÿò äâà
ñîïðÿæåííûõ ïðîöåññà: íàïðèìåð, ïîòîê òåïëà J
1, âûçâàííûé ãðà-
äèåíòîì òåìïåðàòóð (äâèæóùåé ñèëîé X
1), è ïîòîê âåùåñòâà J 2,
âûçâàííûé ðàçíîñòüþ êîíöåíòðàöèé (äâèæóùåé ñèëîé X
2). Âáëè-
çè ïîëîæåíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ äëÿ íèõ ñïðàâåä-
ëèâû óðàâíåíèÿ Îíçàãåðà:
J
1 = L 11X1 + L 12X2; (5.8.1)
J
2 = L 21X1 + L 22X2. (5.8.2)
Ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (5.7.5), äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ â ýòîì
ñëó÷àå çàïèøåòñÿ â âèäå:
β = J
1X1 + J 2X2 > 0. (5.8.3) Ãëàâà 5. Òåðìîäèíàìèêà áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

155
Ñ ó÷åòîì óðàâíåíèé Îíçàãåðà è ñîîòíîøåíèÿ (5.7.3) ïîëó÷àåì:
β = J
1X1 + J 2X2 = (L 11X1 + L 12X2)X 1 + (L 21X1 + L 22X2)X 2 =
= L
11X12 + (L 12 + L 21)X 1X2 + L 22X22 = (5.8.4)
= L
11X12 + 2L 12X1X2 + L 22X22 > 0.
Äîïóñòèì, â ñèñòåìå óñòàíîâèëîñü ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå,
â êîòîðîì êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, âõîäÿùåãî â ñèñòåìó, ðàâíî êîëè-
÷åñòâó âåùåñòâà, ïîêèäàþùåãî ñèñòåìó, òî åñòü J
2 = 0, à ïîòîê òåï-
ëîòû ñîâåðøàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ñîîòíîøåíèå (5.8.4) ïî X
2 ïðè X 1 = const
è ïðèðàâíÿåì íóëþ:
12 1 22 2 2
2 2( ) 2 0LX L X J
X ∂β
=+==
∂ . (5.8.5)
Äàííîå óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò ýêñòðåìóì ôóíêöèè, îïèñûâàå-
ìîé óðàâíåíèåì (5.8.4).
Òàê êàê âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ
2
22
2
2
20L
X ∂β
=>
∂ (5.8.6)
ïîëîæèòåëüíà (ïðè L
22 > 0), òî äàííàÿ ýêñòðåìàëüíàÿ òî÷êà ñîîò-
âåòñòâóåò ìèíèìóìó äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè.
Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïðè J
1 = 0
1
1 2J
X ∂β
=
∂ . (5.8.7)
Ñêàçàííîå ìîæíî îáîáùèòü è íà ëþáîå ÷èñëî ñîïðÿæåííûõ
ïðîöåññîâ â ñèñòåìå âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Âûðàæåíèÿ
(5.8.5) èëè (5.8.7) ïîçâîëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü îäèí èç îñíîâíûõ
ïðèíöèïîâ íåðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìèêè ëèíåéíûõ ïðîöåññîâ
(ò å î ð å ì ó Ï ð è ã î æ è í à): ïðè ïîñòîÿííûõ âíåøíèõ óñëîâèÿõ
â ñèñòåìå, íàõîäÿùåéñÿ âáëèçè ïîëîæåíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâ-
íîâåñèÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè, ñêîðîñòü âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè
çà ñ÷åò âíóòðåííèõ íåîáðàòèìûõ ïðîöåññîâ, îïðåäåëÿåìàÿ âåëè÷èíîé β,
ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå ìèíèìàëüíîå, îòëè÷íîå îò íóëÿ ïîëîæèòåëü-
íîå çíà÷åíèå.
Òàêèì îáðàçîì, ïî èçìåíåíèþ âî âðåìåíè ñêîðîñòè âîçðàñòà-
íèÿ ýíòðîïèè çà ñ÷åò âíóòðåííèõ íåîáðàòèìûõ ïðîöåññîâ ìîæíî
ñóäèòü î òîì, ïðèâåäóò ëè äàííûå ïðîöåññû ñèñòåìó â ñòàöèîíàð-
íîå ñîñòîÿíèå èëè íåò. Åñëè ñêîðîñòü âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè óìåíü-
øàåòñÿ, òî åñòü
§ 5.8. Êðèòåðèè äîñòèæåíèÿ è óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé

156
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß
d
0
dt β
< , (5.8.8)
òî ñèñòåìà ñòðåìèòñÿ ê ñîñòîÿíèþ ñ ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòüþ ïðî-
äóêöèè ýíòðîïèè, à èìåííî ê ñòàöèîíàðíîìó ñîñòîÿíèþ. Âûðà-
æåíèå (5.8.8) îïðåäåëÿåò êðèòåðèé ýâîëþöèè îòêðûòîé ñèñòåìû
ê ñòàöèîíàðíîìó ñîñòîÿíèþ âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Êàê âèäíî èç ãðàôèêà íà ðèñ. 5.8.1,
äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ β ìîíîòîííî
óìåíüøàåòñÿ äî ìèíèìàëüíîãî çíà÷å-
íèÿ, òî åñòü ñèñòåìà ñòðåìèòñÿ ê ñòà-
öèîíàðíîìó ñîñòîÿíèþ. Òàêàÿ ñèñòå-
ìà íå ìîæåò ñàìîñòîÿòåëüíî âûéòè èç
ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ, ïîñêîëüêó
óâåëè÷åíèå β ïðèâîäèò ê âîçðàñòàíèþ
ñêîðîñòè ïðîäóêöèè ýíòðîïèè. Åñëè
ñèñòåìà â ñèëó êàêèõ-ëèáî ôëóêòóàöèé
âñå-òàêè âûøëà èç ñòàöèîíàðíîãî ñî-
ñòîÿíèÿ, òî â íåé âîçíèêàþò ñèëû,
ñòðåìÿùèåñÿ ñâåñòè ñêîðîñòü âîçðàñ-
òàíèÿ ýíòðîïèè ê ìèíèìóìó. Òàêîå
ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå ÿâëÿåòñÿ óñ-
òîé÷èâûì (îòêëîíåíèå îò íåãî ïðèâî-
äèò ê óâåëè÷åíèþ äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè). Òàêèì îáðàçîì, êðè-
òåðèåì óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå:
dβ > 0. (5.8.9)
Ïðè çíà÷èòåëüíûõ èçìåíåíèÿõ âíåøíèõ óñëîâèé ñèñòåìà âû-
õîäèò èç îäíîãî ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ è ïåðåõîäèò â äðóãîå.
Ýòî íàáëþäàåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè ïðîâåäåíèè íåðâíîãî èìïóëüñà
èëè ïðè ìûøå÷íîì ñîêðàùåíèè. Ñìåíà îäíîãî ñòàöèîíàðíîãî
ñîñòîÿíèÿ íà äðóãîå ïðè èçìåíåíèè âíåøíèõ óñëîâèé îçíà÷àåò
ïðèñïîñîáëåíèå (àäàïòàöèþ) ê íèì îðãàíèçìà. Íåñïîñîáíîñòü
àäàïòèðîâàòüñÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê ãèáåëè.
Ðèñ. 5.8.1. Çàâèñèìîñòü äèññè-
ïàòèâíîé ôóíêöèè β îò äâèæó-
ùèõ ñèë îêîëî ñòàöèîíàðíîé
òî÷êè Õ
ñòàö
ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×
Çàäà÷à 5.1. Âíóòðèêëåòî÷íàÿ êîíöåíòðàöèÿ èîíîâ Na + ñîñòàâëÿåò
ñ= 0,015 ìîëü/ë, à âíåêëåòî÷íàÿ — ñ
î= 0,15 ìîëü/ë, âíóòðèêëåòî÷íûé
ïîòåíöèàë ðàâåí ϕ
i= –60 ì îòíîñèòåëüíî íàðóæíîãî, ðàâíîãî íóëþ. Òåì-
ïåðàòóðà êëåòêè t = 37 °Ñ. Ðàññ÷èòàéòå îñìîòè÷åñêóþ À
îñì , ýëåêòðè÷åñêóþ
Ãëàâà 5. Òåðìîäèíàìèêà áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

157
ðàáîòó À
ýë, à òàêæå èçìåíåíèå ýëåêòðîõèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ∆µ% ïðè
ïåðåíîñå èîíîâ íàòðèÿ ÷åðåç ìåìáðàíó íåðâíîé êëåòêè íàðóæó.
Ðåøåíèå. Îñìîòè÷åñêàÿ ðàáîòà ïðè ïåðåíîñå èîíîâ â îáëàñòü ñ êîí-
öåíòðàöèåé ñ
o èç îáëàñòè ñ êîíöåíòðàöèåé ñ i ðàâíà:
À
îñì = 0, 15
ln 8, 31 310 ln
0, 015 o
ic
RT
c=⋅⋅
= 5932 Äæ/ìîëü ≈ 5,9 êÄæ/ìîëü.
Ýëåêòðè÷åñêàÿ ðàáîòà ïðè ïåðåíîñå èîíîâ â îáëàñòü ñ ïîòåíöèàëîì ϕ
î èç îáëàñòè ñ ïîòåíöèàëîì ϕ i ñîñòàâëÿåò:
À
ýë = 43 ()19,6510(06010)oi zF − ϕ−ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
= 5790 Äæ/ìîëü ≈ 5,8 êÄæ/ìîëü.
Òàê êàê ñ Na
+ íå ïðîèñõîäèò íèêàêèõ õèìè÷åñêèõ èçìåíåíèé, òî
∆µ
0 = 0. Òîãäà èçìåíåíèå ýëåêòðîõèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà
∆µ% = ∆µ 0 + A îñì + A ýë = 0 + 5,9 êÄæ/ìîëü + 5,8 êÄæ/ìîëü =
= 11,7 êÄæ/ìîëü.
Èçìåíåíèå ýëåêòðîõèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ïîëîæèòåëüíî, òî åñòü
äàííûé ïðîöåññ íåâûãîäåí è ìîæåò ñîâåðøàòüñÿ òîëüêî çà ñ÷åò ïðèòîêà
ýíåðãèè, â äàííîì ñëó÷àå — çà ñ÷åò ýíåðãèè ÀÒÔ.
Çàäà÷à 5.2. Ðàññ÷èòàéòå èçìåíåíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè ∆G
0 ðåàêöèè
èçîïðîïàíîë + ÍÀÄ
+ 12 àöåòîí + ÍÀÄÍ + Í +,
ãäå ÍÀÄ — íèêîòèíàìèäàäåíèíäèíóêëåîòèä; ÍÀÄÍ — âîññòàíîâëåííûé
íèêîòèíàìèäàäåíèíäèíóêëåîòèä. Êîíöåíòðàöèè âåùåñòâ ñëåäóþùèå:
[èçîïðîïàíîë] = 8,49•10
–2 ìîëü/ë, [ÍÀÄ +] = 6,00•10 –5 ìîëü/ë; [àöå-
òîí] = 1,54•10 –2 ìîëü/ë; [ÍÀÄÍ] = 4,51•10 –5 ìîëü/ë, pH ñðåäû 7,28, òåì-
ïåðàòóðà t = 25 °C.
Ðåøåíèå. Èçìåíåíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè ðåàêöèè çàâèñèò îò êîíñòàí-
òû ðàâíîâåñèÿ ðåàêöèè ñëåäóþùèì îáðàçîì:
0 ln GRTK ∆=− . (5.1)
Êîíñòàíòà ðàâíîâåñèÿ äàííîé ðåàêöèè:
[][]
[] НАДН H
НАД K +
+ 

=

 

  . (5.2)
Êîíöåíòðàöèþ èîíîâ âîäîðîäà îïðåäåëèì èç óðàâíåíèÿ
pH lg[H ]
+ =−,
îòêóäà
pH [H ] 10 +− =. (5.3)
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

158
Ïîäñòàâèì (5.3) â (5.2):
[][]
[] pH НАДН 10
НАД K −
+ ⋅
=

 

  , (5.4)
à çàòåì (5.4) â (5.1):
[][]
[] pH
0 ацетон НАДН 10
ln
изопропанол НАД GRT −
+ ⋅
∆=−

 .
Òåìïåðàòóðà ðåàêöèè ïî øêàëå Êåëüâèíà 298 Ê. Ïîäñòàâèì ÷èñëîâûå
çíà÷åíèÿ:
257,28
0
25 1, 54 10 4, 51 10 10
8, 31 298 ln 46445 /
8, 49 10 6, 00 10 G −−−
−− ⋅⋅⋅⋅
∆=− ⋅ ⋅ =
⋅⋅ ⋅
 ≈
≈ 46,4 êÄæ/ìîëü.
Çàäà÷à 5.3. Ñèíòåç ñàõàðîçû îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:
Ãëþêîçà + ôðóêòîçà + ÀÒÔ → Ñàõàðîçà + ÀÄÔ + Ô, ∆G
0 =
= –6,3 êÄæ/ìîëü.
Îïðåäåëèòå êîíñòàíòó ðàâíîâåñèÿ ýòîé ðåàêöèè.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì:
0 ln GRTK ∆=−,
îòêóäà
0 expG
K
RT 

=−


 .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∆G
0 = –6300 Äæ/ìîëü, à òåìïåðàòóðà â ñòàíäàðòíûõ
óñëîâèÿõ Ò = 298 Ê, âû÷èñëèì:
6300
exp
8, 31 298 K−

=−


 = 12,7.
Çàäà÷à 5.4. Âû÷èñëèòå ýôôåêòèâíîñòü η ñîïðÿæåíèÿ ñèíòåçà ñàõàðî-
çû ñ ðåàêöèåé ãèäðîëèçà ÀÒÔ (∆G
0
ÀÒÔ = –30,5 êÄæ/ìîëü), èñïîëüçóÿ ñõå-
ìó çàäà÷è 5.3.
Ðåøåíèå. Ýôôåêòèâíîñòü ñîïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå
ïîëåçíîé ðàáîòû (â äàííîì ñëó÷àå — ýíåðãèè, êîòîðóþ íåîáõîäèìî çà-
òðàòèòü íà ñèíòåç ñàõàðîçû,
0
сахG ∆ ) ê çàòðà÷åííîé ýíåðãèè ( 0
АТФG ∆ ):
00 0
сах АТФ
00
АТФ АТФ 30, 5 кДж/моль ( 6, 3 кДж/моль)
30, 5 кДж/моль GGG
GG ∆∆−∆− −−
η= = =

∆∆= 0,79.
Òàêèì îáðàçîì, ýôôåêòèâíîñòü ñîïðÿæåíèÿ ñîñòàâëÿåò 79 %.
Ãëàâà 5. Òåðìîäèíàìèêà áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

159
ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
5.1. Âû÷èñëèòå îáùåå èçìåíåíèå ýíòðîïèè ∆S â îòêðûòîé ñèñòåìå,
åñëè èçâåñòíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå íåîáðàòèìûõ ïðîöåññîâ âíóòðè íåå âûäå-
ëèëîñü Q
i = 1240 êÄæ òåïëîòû, 25 % êîòîðîé ïåðåäàëîñü â îêðóæàþùóþ
ñðåäó. Òåìïåðàòóðà ñèñòåìû ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííîé è ðàâíà 37 °Ñ.
5.2. Âû÷èñëèòå èçìåíåíèå ñòàíäàðòíîé ñâîáîäíîé ýíåðãèè ðåàêöèè,
êîíñòàíòà ðàâíîâåñèÿ êîòîðîé Ê = 10.
5.3. Äëÿ ðåàêöèè
22
4 фумарат NH аспартат −+ −+12
èçìåíåíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè ∆G 0 = –15565 Äæ/ìîëü ïðè òåìïåðàòóðå
t = 37 °Ñ. Îïðåäåëèòå êîíñòàíòó ðàâíîâåñèÿ Ê ðåàêöèè.
5.4. Ôåðìåíò ìàëàòäåãèäðîãåíàçà êàòàëèçèðóåò ñëåäóþùóþ ðåàêöèþ:
22 -малат НАД оксалоацетат НАДН H L −+ − ++++12 .
Ïðè pH = 8,81 è òåìïåðàòóðå t = 25 °Ñ êîíöåíòðàöèè âåùåñòâ, îïðå-
äåëåííûå â ýêñïåðèìåíòå, ñëåäóþùèå: [L-ìàëàò] = 5,27•10
–3 ìîëü/ë,
[ÍÀÄ +] = 32,4•10 –5 ìîëü/ë, [îêñàëîàöåòàò] = 2,82•10 –5 ìîëü/ë; [ÍÀÄÍ] =
= 2,82•10 –5 ìîëü/ë. Âû÷èñëèòå èçìåíåíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè ∆G 0 ðåàêöèè.
5.5. Îñìîòè÷åñêàÿ ðàáîòà À
îñì , çàòðà÷åííàÿ íà ïåðåíîñ 3 íìîëü èîíîâ
õëîðà èç ãèãàíòñêîãî àêñîíà êàëüìàðà íàðóæó, ñîñòàâèëà 8,7 ìêÄæ ïðè
òåìïåðàòóðå t = 27 °Ñ. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå êîíöåíòðàöèé c
o/ci ñíàðó-
æè è âíóòðè êëåòêè.
5.6. Ïðè ïåðåíîñå 5 íìîëü èîíîâ êàëèÿ èç ìûøå÷íîãî âîëîêíà ëÿ-
ãóøêè â ìåæêëåòî÷íóþ ñðåäó ðàáîòà, çàòðà÷åííàÿ íà ïðåîäîëåíèå ñèë
ýëåêòðè÷åñêîãî îòòàëêèâàíèÿ, ñîñòàâèëà À
ýë = 42,24 ìêÄæ. Âû÷èñëèòå ðàç-
íîñòü ïîòåíöèàëîâ ∆ϕ íà öèòîïëàçìàòè÷åñêîé ìåìáðàíå.
5.7. Âû÷èñëèòå èçìåíåíèå ýëåêòðîõèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà
∆µ% ïðè
ïåðåíîñå èîíîâ íàòðèÿ â êëåòêó èç âíåêëåòî÷íîé ñðåäû, åñëè èçâåñòíî,
÷òî êîíöåíòðàöèÿ ýòèõ èîíîâ ñíàðóæè â 10 ðàç áîëüøå, ÷åì âíóòðè êëåò-
êè, à âíóòðåííÿÿ ñòîðîíà ìåìáðàíû êëåòêè èìååò ïîòåíöèàë ϕ
i = –70 ìÂ
(íàðóæíûé ïîòåíöèàë ïðèíÿò ðàâíûì íóëþ). Òåìïåðàòóðà t = 37 °Ñ.
5.8. Â ðåçóëüòàòå íåîáðàòèìîãî ïðîöåññà âíóòðè ñèñòåìû ýíòðîïèÿ
âîçðàñòàåò íà ∆
iS = 8,5 êÄæ/Ê çà âðåìÿ t = 10 ñ. Âû÷èñëèòå äèññèïàòèâ-
íóþ ôóíêöèþ β ýòîãî ïðîöåññà, åñëè ñèñòåìà ïîääåðæèâàåòñÿ ïðè òåìïå-
ðàòóðå Ò = 300 Ê.
5.9. Èçìåíåíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè â ïðîöåññå ïåðåíîñà äâóõ ýëåêò-
ðîíîâ îò âîññòàíîâëåííîãî íèêîòèíàìèäàäåíèíäèíóêëåîòèäà íà êèñëî-
ðîä ñîñòàâëÿåò
0G ∆ = –220 êÄæ/ìîëü. Ýòîò ïðîöåññ ñîïðÿæåí ñ ñèíòåçîì
òðåõ ìîëåêóë ÀÒÔ ( 0G ∆ = –30,5 êÄæ/ìîëü). Âû÷èñëèòå ýôôåêòèâíîñòü
η ñîïðÿæåíèÿ.
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

160
ÂÎÏÐÎÑÛ ÒÅÑÒÎÂÎÃÎ ÊÎÍÒÐÎËß
5.1. Ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè. Ïðè ýòîì:
à) òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû ïîñòîÿííû âî âðåìåíè è îäèíàêîâû
âî âñåõ ÷àñòÿõ ñèñòåìû, ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé èëè çàêðûòîé;
á) òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû íå èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè, íî ìî-
ãóò îòëè÷àòüñÿ â ðàçëè÷íûõ ÷àñòÿõ ñèñòåìû, ñèñòåìà èçîëèðîâàíà;
â) ñèñòåìà íå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè, â íåé ïîääåðæèâàþòñÿ ïîñòî-
ÿííûå ãðàäèåíòû ïàðàìåòðîâ, ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé èëè çà-
êðûòîé;
ã) òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû ïîñòîÿííû âî âðåìåíè è îäèíàêî-
âû âî âñåõ ÷àñòÿõ ñèñòåìû, ñèñòåìà èçîëèðîâàíà;
ä) òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè, ñèñòåìà
ÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé.
5.2. Ñòåïåíü óïîðÿäî÷åííîñòè îòêðûòîé ñèñòåìû óâåëè÷èâàåòñÿ
d
0
dS
t 
<

, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå:
à)
d
0
deS
t< è dd
ddeiSS
tt>;ã) d
0
deS
t=;
á)
d
0
deS
t>;ä) d
0
deS
t< è dd
ddeiSS
tt=.
â)
d
0
deS
t< è dd
ddeiSS
tt<;
5.3. Îñìîòè÷åñêàÿ ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ñèñòåìîé ïðè èçìåíåíèè êîí-
öåíòðàöèè îò ñ
1 äî ñ 2, ñîñòàâëÿåò:
à) zF(c
2 – c 1); ã) pV(c 2/c1);
á) PV(c
2 – c 1); ä) RÒ ln (c 2/c1).
â) RT(c
2 – c 1);
5.4. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ñèñòåìîé ïðè ïåðåíîñå âå-
ùåñòâà èç îáëàñòè ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì ϕ
1 â îáëàñòü ñ ïîòåíöè-
àëîì ϕ
2, ñîñòàâëÿåò:
à) zF(ϕ
2 – ϕ 1); ã) RT ln (ϕ 2 – ϕ 1);
á) RT ln (ϕ
2/ϕ1); ä) PV(ϕ 2/ϕ1).
â) PV(ϕ
2 – ϕ 1);
5.5. Ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë i-é êîìïîíåíòû ñèñòåìû ðàâåí:
à)
ii i HTS µ= −%
;ã) ii i i UpVTS µ= − +%
;
á) ln
ii RT K µ=−%
;ä) iii JX µ= ∑ %
.
â)
0 ln ii i i RT c zF µ=µ + + ϕ%
;
5.6. Èçìåíåíèå ñòàíäàðòíîé ñâîáîäíîé ýíåðãèè â õîäå õèìè÷åñêîé
ðåàêöèè ñâÿçàíî ñ êîíñòàíòîé õèìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ K ýòîé ðåàêöèè
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ãëàâà 5. Òåðìîäèíàìèêà áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

161
à) ∆G
0 = cRK 3;ã) ∆G 0 = mRK 2;
á) ∆G 0 = –RT ln K;ä) ∆G 0 = RK∆T.
â) ∆G 0 = –RT ∆K;
5.7. Äëÿ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé ñêîðîñòü ïðîäóêöèè ýíòðîïèè ñîñòàâ-
ëÿåò:
à)
2 d
0
diS
Av
tK=>;ã) d
0
diS
AK
tT=>;
á)
d
0
diS
Kv
tT=>;ä) d
0
diSAvK
tT=> ,
â)
d
0
diS
Av
tT=>;
ãäå À — ñðîäñòâî õèìè÷åñêîé ðåàêöèè; v — åå ñêîðîñòü; Ê — êîíñòàíòà
õèìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ.
5.8. Â ñèñòåìå ïðîèñõîäèò n ñîïðÿæåííûõ ëèíåéíûõ ïðîöåññîâ, õà-
ðàêòåðèçóåìûõ ïîòîêàìè J
i è äâèæóùèìè ñèëàìè X i. Äèññèïàòèâíàÿ ôóíê-
öèÿ ðåçóëüòèðóþùåãî ïðîöåññà ðàâíà:
à)
ii
iJX β=∑ ;ã) 2
ii
i JX β= ∑ ;
á)
1 i
i
iX
J β= ∑ ;ä) ii
iJX β= ∑ .
â)
2
ii
iJX β= ∑ ;
5.9. Ñîãëàñíî òåîðåìå Ïðèãîæèíà, â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ïðè
ôèêñèðîâàííûõ âíåøíèõ ïàðàìåòðàõ ñêîðîñòü ïðîäóêöèè ýíòðîïèè îò-
êðûòîé ñèñòåìû:
à) íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò;
á) ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå, îòëè÷íîå îò íóëÿ ïîëîæèòåëüíîå çíà÷å-
íèå;
â) íåîãðàíè÷åííî óáûâàåò;
ã) ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå;
ä) ðàâíà íóëþ.
5.10. Ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè îòêëîíå-
íèå îò íåãî ïðèâîäèò:
à) ê âîçðàñòàíèþ âíóòðåííåé ýíåðãèè ñèñòåìû;
á) ñíèæåíèþ âíóòðåííåé ýíåðãèè ñèñòåìû;
â) óâåëè÷åíèþ äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè;
ã) ñíèæåíèþ äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè;
ä) â ïðèâåäåííûõ ïóíêòàõ ïðàâèëüíîãî îòâåòà íåò.
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

Ãëàâà 6
ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÁÈÎÔÈÇÈÊÀ
Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà èçó÷àåò ñòðóêòóðó áèîëîãè÷åñêè âàæíûõ
ìîëåêóë, ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû, ëåæàùèå â îñíîâå èõ ôóíêöèî-
íèðîâàíèÿ, ñâÿçü ñòðóêòóðû è ñâîéñòâ ìîëåêóë ñ èõ áèîëîãè÷åñêîé
ôóíêöèåé. Îáúåêòàìè èññëåäîâàíèÿ ìîëåêóëÿðíîé áèîôèçèêè ÿâ-
ëÿþòñÿ áåëêè è íóêëåèíîâûå êèñëîòû, ôîðìèðóþùèå îñíîâó âñå-
ãî æèâîãî.
Ìîëåêóëÿðíàÿ ìàññà áåëêîâ è íóêëåèíîâûõ êèñëîò ñîñòàâëÿåò
îò 10
3 äî 10 10 à. å. ì. Ïîýòîìó èõ íàçûâàþò ìàêðîìîëåêóëàìè. Áåë-
êè è íóêëåèíîâûå êèñëîòû ñîñòîÿò èç áîëüøîãî ÷èñëà îäíîòèï-
íûõ çâåíüåâ: áåëêè — èç àìèíîêèñëîò; íóêëåèíîâûå êèñëîòû — èç
íóêëåîòèäîâ.
Âñå áèîëîãè÷åñêèå ìàêðîìîëåêóëû ÿâëÿþòñÿ äèíàìè÷íûìè
ñèñòåìàìè. Áëàãîäàðÿ âîçìîæíîñòè ïîâîðîòîâ âîêðóã åäèíè÷íûõ
ñâÿçåé è íàëè÷èÿ áîëüøîãî ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû, êàæäàÿ ìàê-
ðîìîëåêóëà èìååò îãðîìíîå ÷èñëî êîíôîðìàöèé. Ýòè êîíôîðìà-
öèè íå ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåðîÿòíûìè èç-çà âîçìîæíîñòè âîçíèêíî-
âåíèÿ íåâûãîäíûõ ìåæàòîìíûõ âçàèìîäåéñòâèé, ÷òî íàêëàäûâàåò
îãðàíè÷åíèÿ íà êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ â äàííûõ óñëîâèÿõ êîí-
ôîðìàöèé.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìàêðîìîëåêóë èñïîëüçóþò ìíîæåñòâî ôèçè-
÷åñêèõ ìåòîäîâ: ðåíòãåíîñòðóêòóðíûé àíàëèç, ßÌÐ- è ÝÏÐ-ñïåê-
òðîñêîïèþ, ñïåêòðîôîòîìåòðèþ, ÈÊ-ñïåêòðîñêîïèþ è äð. Â ïî-
ñëåäíåå âðåìÿ, áëàãîäàðÿ ïîÿâëåíèþ ìîùíûõ ÝÂÌ, äëÿ èçó÷åíèÿ
ñòðóêòóðû ìàêðîìîëåêóë øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ âû÷èñëèòåëüíûå
ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ðàññ÷èòàòü íàèáîëåå
âûãîäíûå â äàííûõ óñëîâèÿõ êîíôîðìàöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå ìè-
íèìóìó ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ìîëåêóëû.
§ 6.1. ÂÈÄÛ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÉ Â ÌÀÊÐÎÌÎËÅÊÓËÀÕ
Ñâÿçè, ñòàáèëèçèðóþùèå áèîëîãè÷åñêèå ìàêðîìîëåêóëû, ìîæíî
óñëîâíî ðàçäåëèòü íà ñèëüíûå è ñëàáûå. Ê ñèëüíûì âçàèìîäåé-
ñòâèÿì îòíîñÿòñÿ êîâàëåíòíûå ñâÿçè, îáðàçóþùèåñÿ ïðè âçàèì-

163
íîì ïåðåêðûâàíèè ýëåêòðîííûõ îáëàêîâ äâóõ ñîñåäíèõ àòîìîâ.
Ýíåðãèÿ êîâàëåíòíûõ ñâÿçåé ñîñòàâëÿåò 200—800 êÄæ/ìîëü, íà-
ïðèìåð, ýíåðãèÿ Ñ–Ñ-ñâÿçè ðàâíà 348,6 êÄæ/ìîëü, Ñ–N-ñâÿçè —
336 êÄæ/ìîëü.
Îäíàêî, êàê ìû óâèäèì äàëåå, ìàêðîìîëåêóëû íå ïðåäñòàâëÿ-
þò ñîáîé æåñòêóþ, çàñòûâøóþ ñòðóêòóðó. Íàîáîðîò, âûïîëíåíèå
èõ áèîëîãè÷åñêîé ôóíêöèè íåâîçìîæíî áåç íàëè÷èÿ ìîëåêóëÿð-
íîé ïîäâèæíîñòè. Ïîýòîìó, êðîìå ñèëüíûõ êîâàëåíòíûõ ñâÿçåé,
ìàêðîìîëåêóëû ñòàáèëèçèðîâàíû è âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðó-
ãîì èëè ñ íàäìîëåêóëÿðíûìè ñòðóêòóðàìè (íàïðèìåð ñ ìåìáðàíà-
ìè) è ñ ïîìîùüþ ñëàáûõ ñâÿçåé, ê êîòîðûì îòíîñÿòñÿ èîííûå,
èîí-äèïîëüíûå, âàí-äåð-âààëüñîâûå, âîäîðîäíûå è ãèäðîôîáíûå.
Èîííûå ñâÿçè îáðàçóþòñÿ ìåæäó çàðÿæåííûìè àòîìàìè. Ýíåð-
ãèÿ èîííîé ñâÿçè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
12
0
4qq
W
r =−
πε ε
 , (6.1.1)
ãäå q
1 è q 2 — çàðÿäû âçàèìîäåéñòâóþùèõ èîíîâ; ε 0 = 8,85•10 –12 Ô/ì —
ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ; ε — îòíîñèòåëüíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ
ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû; r — ðàññòîÿíèå ìåæäó èîíàìè.
Ìíîãèå áîêîâûå ãðóïïû àìèíîêèñëîò, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ áåë-
êîâ, çàðÿæåíû. Ìåæäó ïðîòèâîïîëîæíî çàðÿæåííûìè ãðóïïàìè
âîçíèêàþò èîííûå ñâÿçè, èëè ñîëåâûå ìîñòèêè, íàïðèìåð, ìåæäó
NH
3 +-ãðóïïîé ëèçèíà è ÑÎÎ –-ãðóïïîé ãëóòàìèíîâîé êèñëîòû.
Èîííûå ñâÿçè òàêæå îáðàçóþòñÿ ìåæäó ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííû-
ìè ôîñôàòíûìè ãðóïïàìè íóêëåèíîâûõ êèñëîò è êàòèîíàìè.
Ýíåðãèÿ èîííîé ñâÿçè çàâèñèò îò äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàå-
ìîñòè ñðåäû. Òàê, â âîäå (ε = 80) ñâÿçü áóäåò ìåíåå êðåïêîé, ÷åì
âíóòðè áåëêîâîé ãëîáóëû (ε = 2÷5). Ýíåðãèÿ èîííîé ñâÿçè ñîñòàâ-
ëÿåò îò 40 äî 400 êÄæ/ìîëü.
Èîí-äèïîëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ âîçíèêàþò ìåæäó èîíàìè è ìî-
ëåêóëàìè èëè àòîìíûìè ãðóïïàìè, îáëàäàþùèìè äèïîëüíûì ìî-
ìåíòîì, íàïðèìåð, ìåæäó èîíàìè Na
+ è ìîëåêóëàìè âîäû. Ýíåð-
ãèÿ èîí-äèïîëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé ñîñòàâëÿåò îò 4 äî 40 êÄæ/ìîëü.
Àòîìû, íàõîäÿùèåñÿ íà íåáîëüøîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà,
âçàèìîäåéñòâóþò çà ñ÷åò âàí-äåð-âààëüñîâûõ ñâÿçåé, êîòîðûå âêëþ-
÷àþò îðèåíòàöèîííûå, èíäóêöèîííûå è äèñïåðñèîííûå âçàèìî-
äåéñòâèÿ.
Îðèåíòàöèîííûå (äèïîëü-äèïîëüíûå) ñâÿçè âîçíèêàþò ìåæäó ìî-
ëåêóëàìè, îáëàäàþùèìè äèïîëüíûì ìîìåíòîì (ñì. § 9.1). Ýíåð-
ãèÿ äèïîëü-äèïîëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà:
22
12
6
0
6pp
W
kTr =−
πε ε , (6.1.2) § 6.1. Âèäû âçàèìîäåéñòâèé â ìàêðîìîëåêóëàõ

164
ãäå ð 1 è ð 2 — äèïîëüíûå ìîìåíòû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìîëåêóë;
k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà; Ò — òåìïåðàòóðà.
Ìîëåêóëà, èìåþùàÿ ïîñòîÿííûé äèïîëüíûé ìîìåíò, ñïîñîá-
íà èíäóöèðîâàòü åãî â ñîñåäíåé ìîëåêóëå. Ýíåðãèÿ èíäóêöèîííîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà:
2
6
0
2p
W
r α
=−
πε ε
 , (6.1.3)
ãäå α – ïîëÿðèçóåìîñòü ìîëåêóëû èëè àòîìíîé ãðóïïû [ñì. (9.3.4)].
Ýíåðãèÿ îðèåíòàöèîííûõ è èíäóêöèîííûõ ñâÿçåé ñîñòàâëÿåò
0,4—4 êÄæ/ìîëü. Ôîðìóëû (6.1.2) è (6.1.3) ñïðàâåäëèâû òîëüêî äëÿ
òî÷å÷íûõ äèïîëåé.
Äèñïåðñèîííûå âçàèìîäåéñòâèÿ âîçíèêàþò ìåæäó íåéòðàëüíû-
ìè èëè íåïîëÿðíûìè ãðóïïàìè è èìåþò êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêóþ
ïðèðîäó. Èõ ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
12 1 2
6
122
3( )II
W
II
r αα
=− ⋅
+ , (6.1.4)
ãäå I
1 è I 2 — ïîòåíöèàëû èîíèçàöèè ãðóïï (ñì. § 15.1); α 1 è α 2 —
ïîëÿðèçóåìîñòè ãðóïï. Ýíåðãèÿ äèñïåðñèîííûõ ñâÿçåé ðàâíà 4—
40 êÄæ/ìîëü.
Âîäîðîäíûå ñâÿçè îáðàçóþòñÿ ìåæäó ãðóïïàìè, ñîäåðæàùèìè
àòîì âîäîðîäà (ΖÍ, N–H, F–H, Cl–H), è àòîìàìè O, N, F, Cl
çà ñ÷åò ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ è âàí-äåð-âààëüñîâûõ âçàèìîäåéñòâèé.
Âîäîðîäíàÿ ñâÿçü ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåííîé è îáðàçóåòñÿ òîëüêî â òîì
ñëó÷àå, åñëè âñå òðè àòîìà, ó÷àñòâóþùèå â åå îáðàçîâàíèè, ëåæàò
íà îäíîé ïðÿìîé. Ýíåðãèÿ âîäîðîäíûõ ñâÿçåé ñîñòàâëÿåò îò 4 äî
30 êÄæ/ìîëü. Êàê ìû óâèäèì â äàëüíåéøåì, âîäîðîäíûå ñâÿçè âî
ìíîãîì îïðåäåëÿþò ñòðîåíèå è ñâîéñòâà âîäû, èãðàþò âàæíåéøóþ
ðîëü â ôîðìèðîâàíèè ñòðóêòóðû áåëêîâ è ÄÍÊ.
Ãèäðîôîáíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ñïîñîáñòâóþò îòòàëêèâàíèþ äðóã
îò äðóãà íåïîëÿðíûõ íåçàðÿæåííûõ ãðóïï è ìîëåêóë âîäû. Ýòè
ñèëû îïðåäåëÿþò ôîðìèðîâàíèå ñòðóêòóðû áèîëîãè÷åñêèõ ìåìá-
ðàí è ãëîáóëÿðíûõ áåëêîâ. Ïîäðîáíåå î ãèäðîôîáíûõ âçàèìîäåé-
ñòâèÿõ áóäåò ðàññêàçàíî íèæå.
§ 6.2. ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÂÎÄÛ È ÃÈÄÐÎÔÎÁÍÛÅ
ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈß
Áèîëîãè÷åñêèå ìàêðîìîëåêóëû ôóíêöèîíèðóþò â âîäíîé ñðå-
äå, èõ ïðîñòðàíñòâåííîå ñòðîåíèå âî ìíîãîì îïðåäåëÿåòñÿ âîä-Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

165
íûì îêðóæåíèåì. Ïîýòîìó îäíîé èç ñàìûõ âàæíûõ ïðîáëåì ìîëå-
êóëÿðíîé áèîôèçèêè ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î ñòðóêòóðå âîäû.
Âîäó íàçûâàþò àíîìàëüíîé æèäêîñòüþ.  îòëè÷èå îò äðóãèõ
ãèäðèäîâ VI ãðóïïû òàáëèöû Ìåíäåëååâà (H
2Po, H 2Te, H 2Se, H 2S)
âîäà èìååò ñëèøêîì âûñîêèå òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ è êèïåíèÿ,
à òàêæå áîëüøîé òåìïåðàòóðíûé äèàïàçîí ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíà-
ìè. Ñîïîñòàâëåíèå òåìïåðàòóð ïëàâëåíèÿ è êèïåíèÿ ãèäðèäîâ
IV ãðóïïû ïîêàçûâàåò, ÷òî âîäà äîëæíà ïëàâèòüñÿ ïðè òåìïåðàòó-
ðå –95 °Ñ, à çàêèïàòü ïðè òåìïåðàòóðå –80 °Ñ, òî åñòü ñóùåñòâî-
âàòü â æèäêîì âèäå â äèàïàçîíå âñåãî ëèøü 15 °Ñ.
Ïðè ïîíèæåíèè òåìïåðàòóðû âîäà, êàê è âñå æèäêîñòè, ñæè-
ìàåòñÿ, îäíàêî óìåíüøåíèå óäåëüíîãî îáúåìà ïðîäîëæàåòñÿ òîëü-
êî äî 4 °Ñ. Íèæå óêàçàííîé òåìïåðàòóðû âîäà íà÷èíàåò ðàñøè-
ðÿòüñÿ. Ïîýòîìó ìàêñèìàëüíàÿ ïëîòíîñòü âîäû äîñòèãàåòñÿ ïðè
4 °Ñ è ñîñòàâëÿåò 1•10
3 êã/ì 3 (äëÿ ñðàâíåíèÿ: ïðè 0 °Ñ ïëîòíîñòü
âîäû — 0,9167•10 3 êã/ì 3). Ïëîòíîñòü ëüäà îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå
ïëîòíîñòè âîäû, áëàãîäàðÿ ÷åìó ëåä íå òîíåò â âîäå, à ïëàâàåò íà
ïîâåðõíîñòè. Ýòî ñâîéñòâî âîäû ïðåïÿòñòâóåò ïîëíîìó âûìåðçà-
íèþ âîäîåìîâ çèìîé è ñîõðàíÿåò æèçíü â íèõ. Äàæå â ñàìûå ñèëü-
íûå ìîðîçû òåìïåðàòóðà ïðèäîííûõ ñëîåâ íå îïóñêàåòñÿ íèæå 4 °Ñ.
Âîäà èìååò àíîìàëüíî âûñîêèå òåïëîåìêîñòü, óäåëüíóþ òåïëî-
òó ïëàâëåíèÿ è êèïåíèÿ, äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü. Ïî-
ñëåäíÿÿ âåëè÷èíà äëÿ âîäû ðàâíà 80, â òî âðåìÿ êàê äëÿ áîëüøèí-
ñòâà äðóãèõ âåùåñòâ — ìåíüøå 10.
Áîëüøèíñòâî âûøåîïèñàííûõ àíîìàëüíîñòåé ìîæíî îáúÿñíèòü,
ïðåäïîëîæèâ â âîäå íàëè÷èå ñâÿçåé, ñêðåïëÿþùèõ ìåæäó ñîáîé
îòäåëüíûå ìîëåêóëû. Òàêèìè ñâÿçÿìè ÿâëÿþòñÿ âîäîðîäíûå ñâÿ-
çè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîíÿòü, êàêèì îáðàçîì âîäà îáðàçóåò ðàçâåòâ-
ëåííóþ ñèñòåìó âîäîðîäíûõ ñâÿçåé, ðàññìîòðèì ñòðîåíèå åå ìî-
ëåêóëû.
 ìîëåêóëå âîäû àòîìû ðàñïîëîæåíû íåëèíåéíî. Óãîë, îáðà-
çóåìûé ìåæäó ñâÿçÿìè ΖÍ, ñîñòàâëÿåò 104,5°. Àòîì êèñëîðîäà
èìååò íà âíåøíåé îáîëî÷êå ÷åòûðå ýëåêòðîíà, äâà èç êîòîðûõ îá-
ðàçóþò êîâàëåíòíûå ñâÿçè ñ äâóìÿ àòîìàìè âîäîðîäà. Ýëåêòðîíû
âîäîðîäà îêàçûâàþòñÿ ñìåùåííûìè â ñòîðîíó àòîìà êèñëîðîäà.
Íåïîäåëåííàÿ ïàðà ýëåêòðîíîâ êèñëîðîäà, â ñâîþ î÷åðåäü, ñòðå-
ìèòñÿ óäàëèòüñÿ îò ýëåêòðîíîâ âîäîðîäà. Ïîýòîìó ýëåêòðîííûå
îðáèòàëè íåïîäåëåííîé ïàðû ñèëüíî âûòÿíóòû â ïðîòèâîïîëîæ-
íóþ îò âîäîðîäà ñòîðîíó. Â ðåçóëüòàòå àòîì êèñëîðîäà îêàçûâàåò-
ñÿ ðàñïîëîæåííûì â öåíòðå òåòðàýäðà, â äâóõ âåðøèíàõ êîòîðîãî
íàõîäÿòñÿ àòîìû âîäîðîäà. Ïî íàïðàâëåíèþ ê äâóì äðóãèì âåð-
øèíàì òåòðàýäðà ðàñïîëàãàþòñÿ îðáèòàëè íåïîäåëåííîé ýëåêòðîí-
íîé ïàðû êèñëîðîäà. Ýòè ýëåêòðîíû ñîçäàþò ëîêàëüíûé îòðèöà-
òåëüíûé çàðÿä, â òî âðåìÿ êàê àòîìû âîäîðîäà — ïîëîæèòåëüíûé. § 6.2. Ñòðóêòóðà âîäû è ãèäðîôîáíûå âçàèìîäåéñòâèÿ

166
Áëàãîäàðÿ òàêîìó ñòðîåíèþ ìîëåêóëà âîäû ÿâëÿåòñÿ äèïîëåì ñ äî-
âîëüíî áîëüøèì äèïîëüíûì ìîìåíòîì 1 (6•10 –30 Êë•ì).
Ýëåêòðîííàÿ ñòðóêòóðà âîäû îïðåäåëÿåò åå ñïîñîáíîñòü âûñòó-
ïàòü îäíîâðåìåííî è äîíîðîì, è àêöåïòîðîì ïðè îáðàçîâàíèè
âîäîðîäíîé ñâÿçè: êàæäûé àòîì âîäîðîäà îäíîé ìîëåêóëû ñâÿçû-
âàåòñÿ ñ àòîìîì êèñëîðîäà äðóãîé ìîëåêóëû, à àòîì êèñëîðîäà
äàííîé ìîëåêóëû — ñ äâóìÿ àòîìàìè âîäîðîäà äðóãèõ ìîëåêóë.
Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ ìîëåêó-
ëà âîäû ñâÿçàíà âîäîðîäíûìè
ñâÿçÿìè ñ ÷åòûðüìÿ ñîñåäíèìè
ìîëåêóëàìè (ðèñ. 6.2.1), òî åñòü
êîîðäèíàöèîííîå ÷èñëî âîäû
â òâåðäîé ôàçå ðàâíî 4. Êîìï-
ëåêñû òåòðàýäðîâ îáðàçóþò ãåê-
ñàãîíàëüíóþ êðèñòàëëè÷åñêóþ
ðåøåòêó ëüäà. Òàê êàê ïðè ýòîì
ìåæäó ìîëåêóëàìè îñòàåòñÿ
áîëüøîå ñâîáîäíîå ïðîñòðàí-
ñòâî, òî ëåä èìååò îòíîñèòåëü-
íî íèçêóþ ïëîòíîñòü.
×òî êàñàåòñÿ ñòðóêòóðû æèä-
êîé âîäû, òî ïî ýòîìó âîïðîñó
íåò åäèíîãî ìíåíèÿ. Âî âðåìÿ
ïëàâëåíèÿ êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðå-
øåòêà ÷àñòè÷íî ðàçðóøàåòñÿ
è ÷àñòü âîäû îêàçûâàåòñÿ íåñâÿ-
çàííîé. Îäíàêî, êàê ïîêàçàëè äàííûå ðåíòãåíîãðàôè÷åñêîãî àíà-
ëèçà, â âîäå ñîõðàíÿþòñÿ ïðèçíàêè óïîðÿäî÷åííîé ñòðóêòóðû.
Îáðàçîâàíèå óïîðÿäî÷åííîé ñòðóêòóðû âîäû âûçûâàåò óìåíü-
øåíèå ýíòðîïèè ñèñòåìû (∆S < 0), ÷òî òåðìîäèíàìè÷åñêè íåâû-
ãîäíî. Îäíàêî ýòî ÿâëåíèå ñîïðîâîæäàåòñÿ îáðàçîâàíèåì ÷åòûðåõ
âîäîðîäíûõ ñâÿçåé, ÷òî ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ýíòàëüïèè
(∆H < 0), ïðè÷åì |∆H| > |T∆S|. Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå èçìåíåíèå
òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà Ãèááñà îòðèöàòåëüíî:
∆G = ∆H – T ∆S < 0, (6.2.1)
òî åñòü äàííûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíûì.
Íàëè÷èå âîäîðîäíûõ ñâÿçåé â ñòðóêòóðå ëüäà îáúÿñíÿåò âûñî-
êîå çíà÷åíèå óäåëüíîé òåïëîòû ïëàâëåíèÿ ëüäà, à èõ ïðèñóòñòâèå
1 Âûñîêîå çíà÷åíèå äèïîëüíîãî ìîìåíòà ìîëåêóë âîäû îáúÿñíÿåò áîëüøóþ
äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü ýòîé æèäêîñòè.  æèäêîé âîäå äèïîëè îðèåíòè-
ðîâàíû õàîòè÷íî, è ðåçóëüòèðóþùåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå èìè, ðàâíî
íóëþ. Âî âíåøíåì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå äèïîëè âûñòðàèâàþòñÿ òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû èõ ñîáñòâåííîå ïîëå îñëàáëÿëî âíåøíåå. Áëàãîäàðÿ âûñîêîìó äèïîëüíîìó
ìîìåíòó ìîëåêóë âîäû âíåøíåå ïîëå îñëàáëÿåòñÿ â 80 ðàç.
Ðèñ. 6.2.1. Òåòðàýäðè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà
âîäû. Äëèíû ñâÿçåé âûðàæåíû â ïèêî-
ìåòðàõ
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

167
â æèäêîé âîäå — åå âûñîêèå òåïëîåìêîñòü è òåïëîòó ïàðîîáðàçî-
âàíèÿ, òàê êàê ðàçðóøåíèå âîäîðîäíûõ ñâÿçåé, ïðîèñõîäÿùåå âî
âðåìÿ ïëàâëåíèÿ ëüäà èëè íàãðåâàíèÿ âîäû, òðåáóåò âûñîêèõ çà-
òðàò ýíåðãèè.
Ñîãëàñíî îäíîé èç ìîäåëåé æèäêîé âîäû, ìîäåëè ìåðöàþùèõ
êëàñòåðîâ, â âîäå èìåþòñÿ óïîðÿäî÷åííûå îáëàñòè, ñõîäíûå ñî
ñòðóêòóðîé ëüäà,— êëàñòåðû — è íåóïîðÿäî÷åííûå îáëàñòè, ïðåä-
ñòàâëÿþùèå ñîáîé íå ñâÿçàííûå âîäîðîäíûìè ñâÿçÿìè ìîëåêóëû
(ðèñ. 6.2.2). Êëàñòåðû è íåñòðóêòóðèðîâàííûå îáëàñòè ïîñòîÿííî
Ðèñ. 6.2.2. Ìîäåëü ìåðöàþùèõ êëàñòåðîâ
îáìåíèâàþòñÿ ìîëåêóëàìè. Ñîãëàñíî ðàñ÷åòàì Ã. Íåìåòè è Õ. Øå-
ðàãà, ïðè òåìïåðàòóðå 20 °Ñ äîëÿ ìîëåêóë, îáúåäèíåííûõ â êëàñ-
òåðû, ñîñòàâëÿåò 70 %, à ñâîáîäíûõ ìîëåêóë — 30 %. Ñ ïîâûøåíè-
åì òåìïåðàòóðû âñå áîëüøå ìîëåêóë ïåðåõîäèò â íåñâÿçàííîå
ñîñòîÿíèå, à ñðåäíèé ðàçìåð êëàñòåðîâ è èõ êîëè÷åñòâî óìåíüøà-
þòñÿ.
 êëàñòåðàõ íå âñåãäà ñîõðàíÿåòñÿ ïðàâèëüíàÿ êðèñòàëëè÷åñêàÿ
ðåøåòêà, ñâîéñòâåííàÿ ëüäó. Ñîãëàñíî ìîäåëè Ñàìîéëîâà, ïëàâëå-
íèå ëüäà, ñîïðîâîæäàþùååñÿ ÷àñòè÷íûì ðàçðóøåíèåì êðèñòàëëè-
÷åñêîé ðåøåòêè, ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ÷àñòü ìîëåêóë, óòðàòèâøèõ § 6.2. Ñòðóêòóðà âîäû è ãèäðîôîáíûå âçàèìîäåéñòâèÿ

168
âîäîðîäíûå ñâÿçè, ðàñïîëàãàåòñÿ â ïîëîñòÿõ òåòðàýäðîâ, ôîðìèðóþ-
ùèõ êðèñòàëëè÷åñêóþ ðåøåòêó. Ðàçìåð òåòðàýäðà òàêîâ, ÷òî â åãî
ïîëîñòè ìîæåò ðàçìåñòèòüñÿ îäíà ìîëåêóëà âîäû, íå ðàçðóøàÿ è íå
çàäåâàÿ âîäîðîäíûõ ñâÿçåé, ôîðìèðóþùèõ äàííûé òåòðàýäð. Ýòèì
îáúÿñíÿåòñÿ ïîâûøåíèå ïëîòíîñòè âîäû ïðè ïëàâëåíèè ëüäà. Îä-
íàêî ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû âîçðàñòàåò òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ ìî-
ëåêóë, è, ñëåäîâàòåëüíî, óâåëè÷èâàåòñÿ àìïëèòóäà èõ êîëåáàíèé,
÷òî óìåíüøàåò ïëîòíîñòü âîäû. Ïðè òåìïåðàòóðå íèæå 4 °Ñ ïðå-
îáëàäàþùèì ÿâëÿåòñÿ ïåðâûé ôàêòîð (çàïîëíåíèå ïîëîñòåé ðå-
øåòêè), à ïðè áîëåå âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ — âòîðîé (óâåëè÷åíèå
àìïëèòóäû êîëåáàíèé), òî åñòü ìàêñèìàëüíàÿ ïëîòíîñòü âîäû äî-
ñòèãàåòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå 4 °Ñ.
Ïðè íàðóøåíèÿõ ïðàâèëüíîé ãåêñàãîíàëüíîé ñòðóêòóðû âîäû
óâåëè÷èâàåòñÿ ÷èñëî ñîñåäíèõ ìîëåêóë, îêðóæàþùèõ äàííóþ ìî-
ëåêóëó. Ïîýòîìó êîîðäèíàöèîííîå ÷èñëî âîäû â æèäêîé ôàçå âûøå,
÷åì â êðèñòàëëè÷åñêîé, è ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî 4,4.
Ìîëåêóëû âîäû, íàõîäÿñü â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè
èëè îáðàçóÿ óïîðÿäî÷åííóþ ñòðóêòóðó â æèäêîé âîäå, ñîâåðøàþò
êîëåáàíèÿ âîêðóã ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñ ïåðèîäîì τ
êîëåá ≈ 2•10 –13 ñ
è âðàùåíèÿ (τ
âð ≈ 10 –5 ñ äëÿ ëüäà è 10 –11 ñ äëÿ æèäêîé âîäû). Åñëè
âðåìÿ íàáëþäåíèÿ τ íàìíîãî ìåíüøå âðåìåíè êîëåáàòåëüíîé äèô-
ôóçèè (
колеб ττ ), òî âîçíèêàåò ìãíîâåííàÿ, èëè Ì-ñòðóêòó-
ðà (ðèñ. 6.2.3, à); ïðè óñëîâèè
колеб врτττ — êîëåáàòåëüíî-
óñðåäíåííàÿ, èëè Ê-ñòðóêòóðà (ðèñ. 6.2.3, á); ïðè
ττ

äèôôóçèîííî-óñðåäíåííàÿ, èëè Ä-ñòðóêòóðà (ðèñ. 6.2.3, â). Ìîëå-
êóëû ñïîñîáíû ñîâåðøàòü è òðàíñëÿöèîííûå ïåðåõîäû, íî â êðè-
àáâ
Ðèñ. 6.2.3. Ñòðóêòóðà âîäû:
à – ìãíîâåííàÿ (Ì-ñòðóêòóðà); á – êîëåáàòåëüíî-óñðåäíåííàÿ (Ê-ñòðóêòóðà); â – äèôôóçèîí-
íî-óñðåäíåííàÿ (Ä-ñòðóêòóðà)
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

169
ñòàëëå èõ ÷àñòîòà î÷åíü ìàëà, à â æèäêîì ñîñòîÿíèè — óæå çíà÷è-
òåëüíà, ïîýòîìó Ä-ñòðóêòóðà æèäêîé âîäû ðàçìûòà.
Âîêðóã ðàñòâîðåííûõ â âîäå ìàêðîìîëåêóë è èîíîâ îáðàçóåòñÿ
òàê íàçûâàåìàÿ ñîëüâàòíàÿ, èëè ãèäðàòíàÿ, îáîëî÷êà. Ñâîéñòâà âîäû,
îáðàçóþùåé ýòó îáîëî÷êó, îòëè÷àþòñÿ îò ñâîéñòâ îáû÷íîé âîäû.
Òàê, ñðåäíåå âðåìÿ îñåäëîé æèçíè ìîëåêóëû óâåëè÷èâàåòñÿ â íå-
ñêîëüêî ðàç.
 çàâèñèìîñòè îò ñòåïåíè ðàñòâîðèìîñòè â âîäå ðàçëè÷àþò ãèä-
ðîôèëüíûå è ãèäðîôîáíûå ñîåäèíåíèÿ. Äëÿ êîëè÷åñòâåííîãî îïèñà-
íèÿ ãèäðîôèëüíîñòè èëè ãèäðîôîáíîñòè ñîåäèíåíèÿ èñïîëüçóþò
âåëè÷èíó èçìåíåíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà Ãèááñà ∆G
0
ïðè ïåðåíîñå ñîåäèíåíèÿ èç íåïîëÿðíîãî ðàñòâîðèòåëÿ â ïîëÿð-
íûé, íàïðèìåð èç ýòàíîëà â âîäó. ×åì ìåíüøå âåëè÷èíà ∆G 0, òåì
ëó÷øå ðàñòâîðèìîñòü ñîåäèíåíèÿ. Ãèäðîôèëüíûìè, êàê ïðàâèëî,
ÿâëÿþòñÿ ïîëÿðíûå ñîåäèíåíèÿ, à ãèäðîôîáíûìè – íåïîëÿðíûå,
îäíàêî èìåþòñÿ íåêîòîðûå èñêëþ÷åíèÿ. Íàïðèìåð, ïîëÿðíàÿ àìè-
íîêèñëîòà àðãèíèí è íåïîëÿðíàÿ àëàíèí èìåþò îäèíàêîâîå çíà-
÷åíèå ∆G
0 (3070 Äæ/ìîëü), çà ñ÷åò òîãî, ÷òî â ñîñòàâ àðãèíèíà
âõîäèò áîëüøîé óãëåâîäîðîäíûé îñòàòîê.
Êà÷åñòâåííàÿ êàðòèíà âçàèìîäåéñòâèÿ ðàñòâîðåííûõ âåùåñòâ
ñ âîäîé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Âîêðóã ðàñòâîðåííîãî ñîåäèíå-
íèÿ ñðåäíåå âðåìÿ îñåäëîé æèçíè ìîëåêóë âîäû óâåëè÷èâàåòñÿ, äîëÿ
ìîëåêóë, îáðàçóþùèõ óïîðÿäî÷åííûå îáëàñòè, âîçðàñòàåò ïî ñðàâ-
íåíèþ ñ èõ äîëåé â îñòàëüíîì ðàñòâîðå. Â ðåçóëüòàòå ýíòðîïèÿ ñè-
ñòåìû óìåíüøàåòñÿ (∆S < 0). Îáðàçîâàíèå áîëüøåãî ÷èñëà âîäîðîä-
íûõ ñâÿçåé ñíèæàåò ýíòàëüïèþ ñèñòåìû (∆Í < 0), íî â ñëó÷àå
ðàñòâîðåíèÿ íåïîëÿðíûõ ñîåäèíåíèé â âîäå |∆H| < |T ∆S|, òî åñòü
∆G = ∆H – T∆S > 0, (6.2.2)
÷òî è îïðåäåëÿåò ýíåðãåòè÷åñêóþ íåâûãîäíîñòü ýòîãî ïðîöåññà.
Íåïîëÿðíûå ñîåäèíåíèÿ âûòàëêèâàþòñÿ èç âîäíîãî îêðóæå-
íèÿ è àññîöèèðóþò äðóã ñ äðóãîì (ðèñ. 6.2.4). Òàêèå âçàèìîäåé-
1 2
3
4
Ðèñ. 6.2.4. Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå âîçíèêíîâåíèÿ ãèäðîôîáíûõ âçàèìîäåéñòâèé:
1, 2 — ìîëåêóëû ñ íåïîëÿðíûìè îáëàñòÿìè; 3, 4 — óïîðÿäî÷åííûé ó÷àñòîê âîäû
§ 6.2. Ñòðóêòóðà âîäû è ãèäðîôîáíûå âçàèìîäåéñòâèÿ

170
ñòâèÿ íàçûâàþòñÿ ã è ä ð î ô î á í û ì è. Èç âûøåñêàçàííîãî ñëå-
äóåò, ÷òî ýòè âçàèìîäåéñòâèÿ âîçíèêàþò íå â ñèëó êàêèõ-ëèáî ñïå-
öèôè÷åñêèõ ñèë ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó íåïîëÿðíûìè ñîåäèíåíèÿìè,
à öåëèêîì îïðåäåëÿþòñÿ ñâîéñòâàìè âîäû.
§ 6.3. ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ È ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÁÈÎÏÎËÈÌÅÐÎÂ
Ñòðóêòóðà ìàêðîìîëåêóë èìååò íåñêîëüêî óðîâíåé îðãàíèçà-
öèè. Ïåðâè÷íîé ñòðóêòóðîé íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîíî-
ìåðîâ, îáðàçóþùèõ ïîëèìåðíóþ öåïü; â áåëêàõ ýòî ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü àìèíîêèñëîò, â íóêëåèíîâûõ êèñëîòàõ – íóêëåîòèäîâ.
Ïåðâè÷íàÿ ñòðóêòóðà ñòàáèëèçèðîâàíà êîâàëåíòíûìè ñâÿçÿìè, â òî
âðåìÿ êàê âñå îñòàëüíûå óðîâíè îðãàíèçàöèè – â îñíîâíîì ñëàáû-
ìè ñâÿçÿìè (âîäîðîäíûìè, ãèäðîôîáíûìè, ýëåêòðîñòàòè÷åñêèìè
è äð.). Ïîä âòîðè÷íîé ñòðóêòóðîé ïîíèìàåòñÿ ðåãóëÿðíîå ðàñïî-
ëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòîâ öåïè, íàïðèìåð, âòîðè÷íàÿ
ñòðóêòóðà íóêëåèíîâûõ êèñëîò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïèðàëü. Òðå-
òè÷íîé ñòðóêòóðîé íàçûâàåòñÿ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå â ïðîñòðàí-
ñòâå ðåãóëÿðíûõ è íåðåãóëÿðíûõ ýëåìåíòîâ öåïè, õîòÿ íà ñàìîì
äåëå ðàçëè÷èå ìåæäó âòîðè÷íîé è òðåòè÷íîé ñòðóêòóðîé ÿâëÿåòñÿ
óñëîâíûì. Íåêîòîðûå ìàêðîìîëåêóëû ñîñòîÿò èç íåñêîëüêèõ öå-
ïåé, íàçûâàåìûõ ñóáúåäèíèöàìè. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ñóáú-
åäèíèö íàçûâàåòñÿ ÷åòâåðòè÷íîé ñòðóêòóðîé áèîïîëèìåðà.
Ïîëèìåðû, ñèíòåçèðóåìûå â æèâîì îðãàíèçìå, îáëàäàþò ñâîé-
ñòâîì õèðàëüíîñòè. Áîëüøèíñòâî ñëîæíûõ îðãàíè÷åñêèõ ìîëåêóë
àñèììåòðè÷íû, òî åñòü íå èìåþò íè ïëîñêîñòè, íè öåíòðà ñèììåò-
ðèè. Òàêèå ìîëåêóëû ñóùåñòâóþò â äâóõ ôîðìàõ — ïðàâîé è ëå-
âîé — è ÿâëÿþòñÿ çåðêàëüíûì îòðàæåíèåì äðóã äðóãà. Òåðìèí «õè-
ðàëüíîñòü» ïðîèçîøåë îò äðåâíåãðå÷åñêîãî ñëîâà «õåéð» — ðóêà,
òàê êàê íàøè ëàäîíè òàêæå ÿâëÿþòñÿ çåðêàëüíî-ñèììåòðè÷íûìè.
Ëåâóþ è ïðàâóþ ôîðìû îäíîé ìîëåêóëû, êîòîðûå îáû÷íî íàçûâà-
þò ñòåðåîèçîìåðàìè, íåëüçÿ ñîâìåñòèòü äðóã ñ äðóãîì íèêàêèì ïî-
âîðîòîì ñèñòåìû êàê öåëîãî â ïðîñòðàíñòâå (òàê, íàïðèìåð, ïðà-
âóþ ïåð÷àòêó íåëüçÿ íàäåòü íà ëåâóþ ðóêó).
 ïðèðîäå îáû÷íî ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ àñèììåòðè÷íûì
àòîìîì óãëåðîäà (â õèìè÷åñêèõ ôîðìóëàõ îí ïîìå÷àåòñÿ çâåçäî÷-
êîé). Òàêîé àòîì ñâÿçàí ñ ÷åòûðüìÿ ðàçíûìè ãðóïïàìè (Ñ*XYZR).
Åñëè õîòÿ áû äâå ãðóïïû èç ÷åòûðåõ ÿâëÿþòñÿ îäèíàêîâûìè, òî
òàêàÿ ìîëåêóëà èìååò ïëîñêîñòü ñèììåòðèè, òî åñòü íå ÿâëÿåòñÿ
õèðàëüíîé. Òàê, â ìîëåêóëå ÑÕ
2YZ òàêîé ïëîñêîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ïëîñ-
êîñòü ÑYZ. Õèðàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âñå àìèíîêèñëîòû (çà èñêëþ÷å-
íèåì ãëèöèíà), óãëåâîäû, íóêëåèíîâûå êèñëîòû. Àçîòèñòûå îñíî-Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

171
âàíèÿ ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàþò, ïîýòîìó õèðàëüíîñòü íóêëåè-
íîâûõ êèñëîò îïðåäåëÿåòñÿ óãëåâîäíîé êîìïîíåíòîé.
Ôèçè÷åñêîé ñòîðîíîé õèðàëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ñïîñîáíîñòü ðà-
ñòâîðà îäíîãî ñòåðåîèçîìåðà äàííîãî ñîåäèíåíèÿ âðàùàòü ïëîñ-
êîñòü ïîëÿðèçàöèè ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà (ñì. § 18.7). Îäíè
ñòåðåîèçîìåðû âðàùàþò ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè âëåâî (ïðîòèâ ÷à-
ñîâîé ñòðåëêè äëÿ íàáëþäàòåëÿ, ñìîòðÿùåãî íàâñòðå÷ó ëó÷ó), îíè
íàçûâàþòñÿ ë å â î â ð à ù à þ ù è ì è, è ïåðåä íèìè ñòàâÿò çíàê «–»;
äðóãèå âðàùàþò ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè âïðàâî (ïî ÷àñîâîé ñòðåë-
êå) è íàçûâàþòñÿ ï ð à â î â ð à ù à þ ù è ì è («+»). Ðàñòâîð, ñî-
ñòîÿùèé èç îäíîãî ñòåðåîèçîìåðà õèðàëüíîãî ñîåäèíåíèÿ, ÿâëÿåò-
ñÿ îïòè÷åñêè àêòèâíûì, òî åñòü ñïîñîáåí âðàùàòü ïëîñêîñòü
ïîëÿðèçàöèè. Ñìåñü äâóõ ñòåðåîèçîìåðîâ, âçÿòûõ â ðàâíûõ êîëè-
÷åñòâàõ, îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòüþ íå îáëàäàåò.
Îáû÷íî ñòåðåîèçîìåðû ðàçëè÷àþò íå ïî íàïðàâëåíèþ âðàùå-
íèÿ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè, à ñðàâíèâàþò ñ íåêèì ýòàëîíîì, êî-
òîðûì äëÿ îðãàíè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé ÿâëÿåòñÿ ãëèöåðàëüäåãèä
(ðèñ. 6.3.1). Ðàçëè÷àþò D- è L-ñòåðåîèçîìåðû (ðèñ. 6.3.1).
Ðèñ. 6.3.1. Ðàçëè÷íûå êîíôèãóðàöèè ãëèöåðàëüäåãèäà è àëàíèíà:
à — D-ãëèöåðàëüäåãèä; á — L-ãëèöåðàëüäåãèä; â — D-àëàíèí; ã — L-àëàíèí
 ëàáîðàòîðíûõ óñëîâèÿõ íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü âåùåñòâî, ñî-
ñòîÿùåå èç îäíîãî ñòåðåîèçîìåðà. Ïîëó÷åííûé ðàñòâîð áóäåò ñî-
äåðæàòü 50 % ëåâîãî èçîìåðà è 50 % ïðàâîãî, òî åñòü áóäåò ÿâëÿòü-
ñÿ ðàöåìè÷åñêîé ñìåñüþ. Òàêîå ñîîòíîøåíèå îòâå÷àåò ìàêñèìàëüíîé
ýíòðîïèè. Ñòåðåîèçîìåðû îáëàäàþò îäèíàêîâîé õèìè÷åñêîé àê-
òèâíîñòüþ, îäíàêî â æèâîé ïðèðîäå õèðàëüíûå ñîåäèíåíèÿ ñóùå-
ñòâóþò îáû÷íî â êàêîé-ëèáî îäíîé ôîðìå. Îðãàíèçì ðàçëè÷àåò L-
è D-èçîìåðû ïðè ïîãëîùåíèè èçâíå (òàê íåêîòîðûå ñîåäèíåíèÿ
ÿâëÿþòñÿ ÿäîâèòûìè â îäíîé êîíôèãóðàöèè è áåçâðåäíûìè — â äðó-
ãîé; ôàðìïðåïàðàò ôåíàìèí â L-ôîðìå îêàçûâàåò â 25 ðàç áîëü-
øåå âëèÿíèå íà äâèãàòåëüíóþ àêòèâíîñòü ìûøåé, ÷åì â D-ôîðìå)
è ñèíòåçèðóåò ñîåäèíåíèÿ â îäíîé ñòåðåîêîíôèãóðàöèè. Â æèâûõ
îðãàíèçìàõ àìèíîêèñëîòû ïðèñóòñòâóþò â L-ôîðìå, à óãëåâîäû —
â D-ôîðìå.
Âîêðóã îäèíàðíûõ àòîìíûõ ñâÿçåé â ìîëåêóëå âîçìîæíî âðà-
ùåíèå. Ñ ïîìîùüþ ôèçè÷åñêèõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèé (â ÷àñòíî-
ñòè, ñïåêòðîñêîïèè è ßÌÐ) áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî íå âñå çíà÷å- § 6.3. Ñòðóêòóðà è ñâîéñòâà áèîïîëèìåðîâ

172
íèÿ óãëîâ ïîâîðîòà ðàâíîâåðî-
ÿòíû. Òàê, â ìîëåêóëå ýòàíà íàè-
áîëåå âåðîÿòíû çíà÷åíèÿ óãëîâ
ïîâîðîòà îäíîé ãðóïïû ÑÍ
3 îò-
íîñèòåëüíî äðóãîé, êðàòíûå 120°.
 ýòîì ñëó÷àå ìîëåêóëà íàõîäèòñÿ
â òðàíñ-êîíôîðìàöèè (ðèñ. 6.3.2, à).
Óãëû, îòâå÷àþùèå öèñ-êîíôîðìà-
öèè (60, 180 è 300°, ðèñ. 6.3.2, á),
íàèìåíåå âåðîÿòíû. Çàâèñèìîñòü
ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ýòàíà
è äðóãèõ ìîëåêóë, èìåþùèõ îñåâóþ
ñèììåòðèþ Ñ
3, ïðèáëèæåííî îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
0 1
(1 c o s 3 )
2 UU=−ϕ , (6.3.1)
ãäå
0U — âûñîòà ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà ìåæäó äâóìÿ òðàíñ-ñî-
ñòîÿíèÿìè (äëÿ ýòàíà
0U = 12,5 êÄæ/ìîëü); — óãîë ïîâîðîòà âîêðóã
Ñ–Ñ-ñâÿçè (îòñ÷åò âåäåòñÿ îò òðàíñ-êîíôîðìàöèè). Ãðàôè÷åñêè
çàâèñèìîñòü U(ϕ) ïðèâåäåíà íà ðèñ. 6.3.3.
Ïðè÷èíû, ïî êîòîðûì òðàíñ-
êîíôîðìàöèÿ ÿâëÿåòñÿ áîëåå
âûãîäíîé, ÷åì öèñ-, èìåþò êâàí-
òîâî-ìåõàíè÷åñêóþ ïðèðîäó
è çàêëþ÷àþòñÿ â îòòàëêèâàíèè
áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ âàëåíò-
íî íå ñâÿçàííûõ àòîìîâ (â äàí-
íîì ñëó÷àå àòîìîâ âîäîðîäà
îäíîé ãðóïïû ÑÍ
3 îò àòîìîâ
âîäîðîäà äðóãîé ãðóïïû ÑÍ
3),
à òàêæå âî âçàèìîäåéñòâèÿõ ñâÿ-
çåé, ïðèìûêàþùèõ ê îñè âðàùåíèÿ (òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò îðè-
åíòàöèè ñâÿçåé).
Ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ r ìåæäó àòîìà-
ìè è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì ñèë îòòàëêèâàíèÿ è ïðèòÿæåíèÿ.
Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë (6.1.2), (6.1.3) è (6.1.4), ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ,
îïðåäåëÿåìàÿ îðèåíòàöèîííûìè, èíäóêöèîííûìè è äèñïåðñèîí-
íûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà r
6. Íà áëèçêèõ
ðàññòîÿíèÿõ ñòàíîâèòñÿ çíà÷èòåëüíîé ýíåðãèÿ îòòàëêèâàíèÿ, îá-
ðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíàÿ r
12. Ïîýòîìó ïîëíóþ ýíåðãèþ âàí-äåð-âà-
àëüñîâûõ âçàèìîäåéñòâèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
12 6 ()AB
Ur
rr =− , (6.3.2)
Ðèñ. 6.3.2. Ìîëåêóëû ýòàíà â òðàíñ-(à)
è öèñ- (á) êîíôîðìàöèè (ïðîåêöèè
äàíû íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿð-
íóþ Ñ–Ñ-ñâÿçè)
Ðèñ. 6.3.3. Çàâèñèìîñòü ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè U îò óãëà ïîâîðîòà ϕ äëÿ ýòàíà
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

173
ãäå U(r) — ïîòåíöèàë «6—12»
Ëåííàðäà—Äæîíñà; À è Â —
ýìïèðè÷åñêèå êîíñòàíòû. Íà
ðèñ. 6.3.4 ïðèâåäåí âèä ñîîòâåò-
ñòâóþùåé êðèâîé.
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ âûðà-
æåíèå U(r), ìîæíî ïîëó÷èòü
çíà÷åíèå r, íà êîòîðîì ýíåðãèÿ
âçàèìîäåéñòâèÿ ìèíèìàëüíà, òî
åñòü ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ðàâ-
íîâåñèè
6
02A
r
B = , (6.3.3)
òîãäà ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñîñòàâëÿåò:
2
min
4B
U
A =− . (6.3.4)
Äëÿ ìîëåêóë, íå îáëàäàþùèõ êîàêñèàëüíîé ñèììåòðèåé, çàâè-
ñèìîñòü âíóòðåííåé ýíåðãèè îò óãëà ïîâîðîòà âîêðóã îäèíàðíîé
ñâÿçè ïðèíèìàåò áîëåå ñëîæíûé õàðàêòåð, ÷åì
â óðàâíåíèè (6.3.1).
Íàïðèìåð, âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ äëÿ í-áóòà-
íà (ðèñ. 6.3.5) â çàâèñèìîñòè îò óãëà ïîâîðîòà
âîêðóã ñâÿçè ìåæäó äâóìÿ ãðóïïàìè Ñ
2Í5, òàê
æå êàê è äëÿ ýòàíà, èìååò òðè ìèíèìóìà
(ðèñ. 6.3.6). Îäíàêî îíè èìåþò íåîäèíàêîâóþ ãëóáèíó. Ýòî îáúÿñ-
íÿåòñÿ òåì, ÷òî äëÿ ìîëåêóëû áóòàíà êîíôîðìàöèè, ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ìèíèìóìó ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà,
â òî âðåìÿ êàê äëÿ ýòàíà îíè îäèíàêîâû. Íà ðèñ. 6.3.6 ñõåìàòè÷å-
ñêè ïðåäñòàâëåíû òðè íàèáîëåå âûãîäíûå êîíôîðìàöèè í-áóòàíà.
Ðèñ. 6.3.4. Çàâèñèìîñòü ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ îò ìåæìîëåêó-
ëÿðíîãî ðàññòîÿíèÿ
Ðèñ. 6.3.5. í-Áóòàí
Ðèñ. 6.3.6. Çàâèñèìîñòü âíóòðåííåé ýíåð-
ãèè U îò óãëà ïîâîðîòà ϕ äëÿ í-áóòàíà è
åãî êîíôîðìàöèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ
ìèíèìóìó ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
(ñïëîøíûìè ëèíèÿìè îáîçíà÷åíû ñâÿ-
çè áëèæàéøåé ãðóïïû Ñ
2Í5; øòðèõî-
âûìè — äàëüíåé ãðóïïû; ÷åðíûìè
êðóæêàìè îáîçíà÷åíû ãðóïïû ÑÍ
3; ïðî-
åêöèè äàíû íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêó-
ëÿðíóþ öåíòðàëüíîé Ñ–Ñ-ñâÿçè).
§ 6.3. Ñòðóêòóðà è ñâîéñòâà áèîïîëèìåðîâ

174
Íàèáîëåå ãëóáîêèé ìèíèìóì ýíåðãèè îòâå÷àåò òðàíñ-êîíôîðìà-
öèè, à äâà äðóãèõ — òàê íàçûâàåìûì ñâåðíóòûì, èëè ãîø-êîíôîð-
ìàöèÿì.
Ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíûå êîíôîðìàöèè, âîçíèêàþùèå ïðè ïî-
âîðîòàõ âîêðóã åäèíè÷íûõ ñâÿçåé, íàçûâàþòñÿ ïîâîðîòíûìè èçî-
ìåðàìè. Ìîëåêóëà áóäåò ïåðåõîäèòü èç îäíîé âûãîäíîé êîíôîð-
ìàöèè â äðóãóþ ñî ñêîðîñòüþ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûñîòîé
ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà, îòäåëÿþùåãî ýòè êîíôîðìàöèè. Òàê, ïðè
âûñîòå ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà îêîëî 12,5 êÄæ/ìîëü âðåìÿ ïðå-
âðàùåíèÿ îäíîãî ïîâîðîòíîãî èçîìåðà â äðóãîé ñîñòàâëÿåò 10
–10 ñ.
Ìàêðîìîëåêóëû îáëàäàþò íåñêîëüêèìè âèäàìè èçîìåðèè. Ðàç-
ëè÷íûå èçîìåðû îäíîãî è òîãî æå ñîåäèíåíèÿ, ïåðåõîä ìåæäó êî-
òîðûìè âîçìîæåí òîëüêî ïðè óñëîâèè ðàçðûâà è îáðàçîâàíèÿ íî-
âûõ êîâàëåíòíûõ ñâÿçåé, íàçûâàþòñÿ ê î í ô è ã ó ð à ö è ÿ ì è ýòîãî
ñîåäèíåíèÿ. Ïðèìåðîì êîíôèãóðàöèé ÿâëÿþòñÿ L- è D-èçîìåðû.
Åñëè æå ïåðåõîä èç îäíîãî èçîìåðà â äðóãîé îñóùåñòâëÿåòñÿ çà
ñ÷åò ïîâîðîòà âîêðóã îäèíàðíûõ êîâàëåíòíûõ ñâÿçåé áåç èõ ðàç-
ðûâà, òî òàêèå èçîìåðû íàçûâàþòñÿ êîíôîðìàöèÿìè.
§ 6.4. ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÁÅËÊÎÂ
 ñîñòàâå ïðèðîäíûõ áåëêîâ âñòðå÷àþòñÿ 20 àìèíîêèñëîò. Âñå
îíè ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîäíûìè êàðáîíîâûõ êèñëîò, ó êîòîðûõ ê àòî-
ìó óãëåðîäà, íàõîäÿùåìóñÿ â α-ïîëîæåíèè
(ðèñ. 6.4.1), ïðèñîåäèíåíà àìèíîãðóïïà (–NH
2).
Êàê âèäíî èç îáùåé ôîðìóëû (ðèñ. 6.4.1), àìèíî-
êèñëîòû îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ðàäèêàëîì R,
êîòîðûé ìîæåò ñîäåðæàòü àëèôàòè÷åñêèå, àðîìà-
òè÷åñêèå, ãèäðîêñèëüíûå, êàðáîêñèëüíûå ãðóïïû
è âêëþ÷àòü àòîìû óãëåðîäà, âîäîðîäà, êèñëîðîäà,
àçîòà è ñåðû. Îáðàçîâàíèå áåëêîâîé öåïè èç íåñêîëüêèõ àìèíî-
êèñëîò ïðîèñõîäèò ïóòåì îáðàçîâàíèÿ êîâàëåíòíîé ïåïòèäíîé ñâÿçè
(ðèñ. 6.4.2). Öåïü èç íåñêîëüêèõ àìèíîêèñëîò íàçûâàåòñÿ ïîëèïåï-
òèäîì. Îïðåäåëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àìèíîêèñëîò â öåïè
ñîñòàâëÿåò ïåðâè÷íóþ ñòðóêòóðó áåëêà.
Ðèñ. 6.4.1. α-Àìè-
íîêèñëîòà
Ðèñ. 6.4.2. Îáðàçîâàíèå ïåïòèäíîé ñâÿçè (îáîçíà÷åíà ïóíêòèðíîé ëèíèåé)
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

175
Ïðè îáðàçîâàíèè ïåïòèäíîé ñâÿçè N–C-ñâÿçü ïðèîáðåòàåò ÷à-
ñòè÷íî äâîéíîé õàðàêòåð (åå äëèíà ñîñòàâëÿåò 0,132 íì, ÷òî ìåíü-
øå äëèíû îäèíàðíîé ñâÿçè è áîëüøå äëèíû äâîéíîé ñâÿçè),
à Ñ=Î-ñâÿçü — ÷àñòè÷íî îäèíàðíûé (ïðè ýòîì åå äëèíà óâåëè÷è-
âàåòñÿ îò 0,121 äî 0,124 íì). Âñëåäñòâèå ñîïðÿæåíèÿ N–C- è Ñ=Î-
ñâÿçåé âðàùåíèå âîêðóã N–C-ñâÿçè íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó âñå ÷å-
òûðå àòîìà O, C, N, H, ó÷àñòâóþùèõ â îáðàçîâàíèè ïåïòèäíîé
ñâÿçè, à òàêæå ñâÿçàííûå ñ íèìè êîâàëåíòíî äâà ñîñåäíèõ àòîìà
C
α ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâà êîíôîð-
ìàöèé ìàêðîìîëåêóë îáåñïå÷èâàåòñÿ âîçìîæíîñòüþ âðàùåíèÿ âîê-
ðóã Ñ–Ñ
α- (íà óãîë ψ) è C α–N-ñâÿçåé (íà óãîë ϕ) (ðèñ. 6.4.3).
Ðèñ. 6.4.3. Ðàñïîëîæåíèå ïåïòèäíûõ ãðóïï áåëêîâîé ìîëåêóëû
Íå âñå çíà÷åíèÿ óãëîâ ϕ è ψ äîïóñòèìû âñëåäñòâèå âîçìîæíîãî
ñòåðè÷åñêîãî íåñîîòâåòñòâèÿ äâóõ ñîñåäíèõ àìèíîêèñëîòíûõ îñ-
òàòêîâ. Èíäèéñêèé ó÷åíûé
Ã. Ðàìà÷àíäðàí ðàññ÷èòàë äî-
ïóñòèìûå çíà÷åíèÿ óãëîâ ϕ è ψ
(óãëû îòñ÷èòûâàþòñÿ îò ïëîñ-
êîé òðàíñ-êîíôîðìàöèè ïî-
ëèïåïòèäíîé öåïè) è ïîñòðî-
èë ñòåðè÷åñêèå êàðòû, íà
êîòîðûõ ïî îñè àáñöèññ îòêëà-
äûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ óãëîâ ϕ îò
0 äî 360°, à ïî îñè îðäèíàò —
çíà÷åíèÿ óãëîâ ψ. Íà êàðòå îò-
ìå÷àþòñÿ ïîëíîñòüþ ðàçðå-
øåííûå (ïðè îáû÷íûõ
ìåæàòîìíûõ ðàññòîÿíèÿõ)
è ÷àñòè÷íî ðàçðåøåííûå (ïðè
ìèíèìàëüíûõ ìåæàòîìíûõ
ðàññòîÿíèÿõ) îáëàñòè çíà÷å-
íèé ýòèõ óãëîâ (ðèñ. 6.4.4).
Ìîëåêóëû áåëêîâ ñòðåìÿò-
ñÿ íàõîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè
ñ ìèíèìàëüíîé âíóòðåííåé
ýíåðãèåé. Ýòî äîñòèãàåòñÿ çà
Ðèñ. 6.4.4. Ñòåðè÷åñêàÿ êàðòà äëÿ ïîëè-
L-àëàíèíà.
Ñïëîøíûå ëèíèè îáîçíà÷àþò ãðàíèöû
ïîëíîñòüþ ðàçðåøåííûõ îáëàñòåé; ïóíê-
òèðíûå – ÷àñòè÷íî ðàçðåøåííûõ. Íà êàðòå
óêàçàíû îáëàñòè çíà÷åíèé óãëîâ ϕ è ψ äëÿ
ïàðàëëåëüíîé (β
ï) è àíòèïàðàëëåëüíîé (β à)
β-ôîðì, ñïèðàëè áåëêà êîëëàãåíà (Ê),
ïðàâîé (α
R) è ëåâîé (α L) α-ñïèðàëåé.
§ 6.4. Ñòðóêòóðà áåëêîâ

176
ñ÷åò ïðîñòðàíñòâåííîé ñòàáèëèçàöèè õèìè÷åñêèõ ãðóïï âîäîðîä-
íûìè ñâÿçÿìè. Òàêèì îáðàçîì, îáðàçóåòñÿ íåêàÿ óïîðÿäî÷åííàÿ
ñèñòåìà, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âòîðè÷íîé ñòðóêòóðîé áåëêà. Êàê óñòà-
íîâèëè Ïîëèíã è Êîðè, ïîëèïåïòèäíûå öåïè ìîãóò îáðàçîâûâàòü
ñïèðàëüíûå è ñêëàä÷àòûå ñòðóêòóðû.
α-Ñïèðàëè áûâàþò ëåâîçàêðó÷åííûìè (ϕ = 228°, ψ = 237°) è ïðà-
âîçàêðó÷åííûìè (ϕ = 132°, ψ = 123°). Âîäîðîäíûå ñâÿçè, ñòàáèëè-
çèðóþùèå òàêóþ ñòðóêòóðó, îáðàçóþòñÿ ìåæäó
Ñ=Î-ãðóïïîé i-é àìèíîêèñëîòû è N–H-ãðóï-
ïîé (i + 4)-é àìèíîêèñëîòû (ðèñ. 6.4.5). Êàæäûé
ìîíîìåð ïîâîðà÷èâàåòñÿ âîêðóã îñè ñïèðàëè íà
100° è ïåðåìåùàåòñÿ âäîëü îñè íà 0,15 íì. Òàêèì
îáðàçîì, íà êàæäûé âèòîê ñïèðàëè ïðèõîäèòñÿ
3,6 ïåïòèäíûõ åäèíèöû, à äëèíà âèòêà ñîñòàâëÿåò
0,54 íì. Ñóùåñòâóþò ñïèðàëüíûå ñòðóêòóðû ñ ïà-
ðàìåòðàìè, îòëè÷íûìè îò âûøåïðèâåäåííûõ, íà-
ïðèìåð êîëëàãåíîâàÿ ñïèðàëü. Íåêîòîðûå ñïèðà-
ëè çàêðó÷èâàþòñÿ îäíà âîêðóã äðóãîé, îáðàçóÿ
ñóïåðñïèðàëüíûå ñòðóêòóðû, íàïðèìåð, â áåëêàõ
òðîïîìèîçèí è òðîïîêîëëàãåí.
Äðóãèì òèïîì êîíôîðìàöèé ÿâëÿåòñÿ β-ôîðìà
(ðèñ. 6.4.6). Òàêàÿ ñòðóêòóðà îáðàçóåòñÿ ñîâîêóïíî-
ñòüþ íåñêîëüêèõ ïîëèïåïòèäíûõ öåïåé (ðèñ. 6.4.7)
èëè èç îäíîé öåïè, íåñêîëüêî ðàç èçîãíóòîé
(êðîññ-β-ôîðìà) (ðèñ. 6.4.8), è ñòàáèëèçèðóåòñÿ
âîäîðîäíûìè ñâÿçÿìè, âîçíèêàþùèìè ìåæäó ðÿ-
äîì ðàñïîëîæåííûìè öåïÿìè. Â ðåçóëüòàòå îáðà-
çóåòñÿ ñòðóêòóðà òèïà ñêëàä÷àòîãî ñëîÿ. Îòäåëüíûå
öåïè â òàêîé ñòðóêòóðå ìîãóò ðàñïîëàãàòüñÿ ïàðàëëåëüíî è àíòè-
Ðèñ. 6.4.5. Ðàñïî-
ëîæåíèå âîäî-
ðîäíûõ ñâÿçåé
â α-ñïèðàëè áåëêà
Ðèñ. 6.4.6. Ðàñ-
ïîëîæåíèå âî-
äîðîäíûõ ñâÿçåé
â β-ôîðìåÐèñ.6.4.7. β-Ñëîé èç íåñêîëüêèõ ïîëè-
ïåïòèäíûõ öåïåéÐèñ. 6.4.8.
Êðîññ-β-ôîðìà
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

177
ïàðàëëåëüíî. Â ïàðàëëåëüíîé β-ôîðìå óãëû ϕ è ψ ñîñòàâëÿþò 61°
è 239°, à â àíòèïàðàëëåëüíîé — 380° è 325° ñîîòâåòñòâåííî.
 áåëêàõ âñòðå÷àþòñÿ è íåóïîðÿäî÷åííûå ó÷àñòêè, íà êîòîðûõ
óãëû ϕ è ψ èìåþò çíà÷åíèÿ, îòëè÷íûå îò òåõ, êîòîðûå áûëè óêàçà-
íû âûøå. Äîëÿ íåóïîðÿäî÷åííûõ ó÷àñòêîâ â íåêîòîðûõ áåëêàõ
ìîæåò ñîñòàâëÿòü äî 50—60 %. Òàê, íàïðèìåð, â ãåìîãëîáèíå 75 %
ïîëèïåïòèäíûõ öåïåé íàõîäÿòñÿ â âèäå α-ñïèðàëè, à îñòàâøèåñÿ
25 % ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåóïîðÿäî÷åííûå ó÷àñòêè. Ïîñëåäíèå
îáåñïå÷èâàþò èçãèáû öåïåé â ïðîñòðàíñòâå, â ÷àñòíîñòè, òàêèå
ó÷àñòêè íàõîäÿòñÿ â ìåñòå èçãèáà êðîññ-β-ôîðìû.
Âåðîÿòíîñòü âñòðåòèòü òó èëè èíóþ àìèíîêèñëîòó â α-, β-ôîð-
ìàõ èëè íåóïîðÿäî÷åííûõ ó÷àñòêàõ ðàçëè÷íà. Òàê, íàïðèìåð,
â α-ñïèðàëÿõ ÷àùå âñåãî âñòðå÷àþòñÿ òàêèå àìèíîêèñëîòû, êàê
ãëóòàìèíîâàÿ êèñëîòà, àëàíèí, ëåéöèí; â β-ôîðìàõ — ìåòèîíèí,
âàëèí, èçîëåéöèí; â íåóïîðÿäî÷åííûõ ó÷àñòêàõ — ãëèöèí è ïðî-
ëèí (ïîñëåäíèé íå ñïîñîáåí îáðàçîâûâàòü âîäîðîäíûõ ñâÿçåé, òàê
êàê íà ñàìîì äåëå ÿâëÿåòñÿ íå àìèíî-, à èìèíîêèñëîòîé). Çíàÿ
÷àñòîòó âñòðå÷àåìîñòè àìèíîêèñëîò â ðàçëè÷íûõ âèäàõ êîíôîðìà-
öèé áåëêà, ìîæíî íà îñíîâàíèè èíôîðìàöèè î ïåðâè÷íîé ñòðóê-
òóðå ñ âåðîÿòíîñòüþ äî 70 % ïðåäñêàçàòü âòîðè÷íóþ.
Ïîëèïåïòèäíàÿ öåïü ñòàáèëèçèðóåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå íå òîëü-
êî âîäîðîäíûìè ñâÿçÿìè, íî è ãèäðîôîáíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè,
èîííûìè è äèñóëüôèäíûìè (–S–S–) ñâÿçÿìè; êîòîðûå ìîãóò
îáðàçîâûâàòüñÿ ìåæäó àìèíîêèñëîòíûìè îñòàòêàìè, äàëåêî îòñòî-
ÿùèìè äðóã îò äðóãà â öåïè. Â ðåçóëüòàòå ýòèõ âçàèìîäåéñòâèé
áåëêîâàÿ öåïü îêàçûâàåòñÿ óëîæåííîé â íåêóþ êîìïàêòíóþ ñòðóê-
òóðó, â êîòîðîé ÷åðåäóþòñÿ óïîðÿäî÷åííûå è íåóïîðÿäî÷åííûå
ó÷àñòêè (òðåòè÷íàÿ ñòðóêòóðà áåëêà).
Íåêîòîðûå áåëêîâûå ìîëåêóëû ñîäåðæàò â ñâîåì ñîñòàâå íå
îäíó, à íåñêîëüêî ïîëèïåïòèäíûõ öåïåé (ñóáúåäèíèö). Êàæäàÿ öåïü
èìååò ñâîþ òðåòè÷íóþ ñòðóêòóðó è ñâÿçàíà ñ äðóãèìè öåïÿìè íå-
êîâàëåíòíûìè ñâÿçÿìè.  ðåçóëüòàòå ôîðìèðóåòñÿ ÷åòâåðòè÷íàÿ
ñòðóêòóðà. Áåëêè, îáëàäàþùèå ÷åòâåðòè÷íîé ñòðóêòóðîé, èìåþò
â ñâîåì ñîñòàâå ñòðîãî îïðåäåëåííîå ÷èñëî ñóáúåäèíèö, íàïðè-
ìåð, â ãåìîãëîáèíå èõ ÷åòûðå.
Ñâÿçè, ñòàáèëèçèðóþùèå âòîðè÷íóþ, òðåòè÷íóþ è ÷åòâåðòè÷-
íóþ ñòðóêòóðû, ÿâëÿþòñÿ ñëàáûìè (êðîìå êîâàëåíòíûõ äèñóëü-
ôèäíûõ). Ïîýòîìó èçìåíåíèå óñëîâèé îêðóæàþùåé ñðåäû ìîæåò
ïðèâåñòè ê èõ ðàçðûâó è îáðàçîâàíèþ íîâûõ ñâÿçåé. Îáðàçóåòñÿ
íîâàÿ êîíôîðìàöèÿ, ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíàÿ â äàííûõ óñëîâèÿõ,
òî åñòü ïðîèñõîäèò êîíôîðìàöèîííûé ïåðåõîä.
Ñðåäè àìèíîêèñëîò, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ áåëêîâ, åñòü êàê ãèäðî-
ôèëüíûå (àðãèíèí, àñïàðàãèí, ãèñòèäèí, ãëóòàìèí, ëèçèí, ñåðèí,
òèðîçèí è òðåîíèí), òàê è ãèäðîôîáíûå (îñòàëüíûå 12). Â ñîñòàâ
îäíîãî è òîãî æå áåëêà âõîäÿò, êàê ïðàâèëî, è òå, è äðóãèå àìèíî- § 6.4. Ñòðóêòóðà áåëêîâ

178
êèñëîòû. Áåëêîâàÿ ìîëåêóëà â âîäå (ïîëÿðíîì ðàñòâîðèòåëå) ñòðå-
ìèòñÿ ñâåðíóòüñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû åå ãèäðîôèëüíûå àìèíî-
êèñëîòû êîíòàêòèðîâàëè ñ íèì, à ãèäðîôîáíûå áûëè «ñïðÿòàíû»
âíóòðè. Â ðåçóëüòàòå âíóòðè ìîëåêóëû îáðàçóåòñÿ ãèäðîôîáíîå ÿäðî,
ïîêðûòîå ñâåðõó ãèäðîôèëüíîé îáîëî÷êîé. Òàêàÿ ñòðóêòóðà íàçû-
âàåòñÿ áåëêîâîé ãëîáóëîé (îò ëàò. globulus — øàðèê). Åå îáðàçîâàíèå
îáåñïå÷èâàåò ôîðìèðîâàíèå êîìïàêòíîé ñòðóêòóðû ïðè áîëüøîé
ìîëåêóëÿðíîé ìàññå.
Îñíîâíóþ ðîëü â ôîðìèðîâàíèè áåëêîâîé ãëîáóëû èãðàþò
èìåííî ãèäðîôîáíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, ñïîñîáñòâóþùèå âûòàëêè-
âàíèþ íåïîëÿðíûõ àìèíîêèñëîò èç âîäíîé ñðåäû, à íå âûèãðûø
ýíåðãèè ïðè îáðàçîâàíèè âîäîðîäíûõ ñâÿçåé ìåæäó ïîëÿðíûìè
àìèíîêèñëîòàìè è âîäîé, òàê êàê ïðèìåðíî òàêîå æå êîëè÷åñòâî
ýíåðãèè âûäåëÿåòñÿ è ïðè ôîðìèðîâàíèè âîäîðîäíûõ ñâÿçåé ìåæ-
äó àìèíîêèñëîòàìè â áåëêå.
Ôîðìà ãëîáóëû îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì ÷èñëà ïîëÿðíûõ
è íåïîëÿðíûõ àìèíîêèñëîòíûõ îñòàòêîâ. Åñëè â áåëêå b = b
s (ãäå
b — îòíîøåíèå ÷èñëà ïîëÿðíûõ îñòàòêîâ ê íåïîëÿðíûì; b
s — îò-
íîøåíèå îáúåìà ãèäðîôèëüíîé ôàçû ê îáúåìó ãèäðîôîáíîãî ÿäðà),
òî ãëîáóëà áóäåò ñòðåìèòüñÿ îáðàçîâàòü ñôåðó. Ïðè b > b
s, òî åñòü
ïîëÿðíûõ îñòàòêîâ áîëüøå, ÷åì íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïîêðûòü ñôå-
ðè÷åñêîå ãèäðîôîáíîå ÿäðî, ãëîáóëà ïðèìåò âûòÿíóòóþ ôîðìó.
Ïðè b < b
s ïîëÿðíûõ îñòàòêîâ íå õâàòàåò è ÷àñòè ãèäðîôîáíîãî
ÿäðà ïðèõîäèòñÿ êîíòàêòèðîâàòü ñ âîäîé. Âî èçáåæàíèå ýòîãî íå-
ñêîëüêî òàêèõ ìîëåêóë îáðàçóþò êîìïëåêñ äðóã ñ äðóãîì. Íà
ðèñ. 6.4.9 ïðèâåäåíû âîçìîæíûå ôîðìû áåëêîâûõ ãëîáóë â çàâè-
ñèìîñòè îò ïàðàìåòðà b.
§ 6.5. ÏÅÐÅÕÎÄÛ ÑÏÈÐÀËÜ — ÊËÓÁÎÊ
Âòîðè÷íàÿ ñòðóêòóðà ìàêðîìîëåêóë ÿâëÿåòñÿ ñòàáèëüíîé ëèøü
â îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ. Èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû, ðàñòâîðèòåëÿ,
ðÍ, èîííîãî ñîñòàâà ñðåäû ìîæåò ïðèâåñòè ê ðàçðóøåíèþ ñëàáûõ
Ãèäðîôèëüíàÿ îáîëî÷êà
Ãèäðîôîáíîå ÿäðî
àá â
Ðèñ. 6.4.9. Ðàçëè÷íûå ôîðìû áåëêîâîé ãëîáóëû:
à — ñôåðà (b = b
s); á — ýëëèïñîèä (b > b s); â — íàäìîëåêóëÿðíûå ñòðóêòóðû (b < b s)
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

179
âîäîðîäíûõ ñâÿçåé è ïðåâðàùåíèþ óïîðÿäî÷åííîé ñòðóêòóðû â êëó-
áîê, õàðàêòåðèçóþùèéñÿ ñëó÷àéíûì ðàñïîëîæåíèåì ýëåìåíòîâ
öåïè. Ïðîèñõîäèò òàê íàçûâàåìûé ïåðåõîä ñïèðàëü — êëóáîê. Òà-
êîé ïåðåõîä ñõîäåí ñ ôàçîâûì ïåðåõîäîì, ïîýòîìó èíîãäà ýòîò
ïðîöåññ íàçûâàþò ïëàâëåíèåì.
Êðèâàÿ ïëàâëåíèÿ èìååò S-îáðàçíóþ ôîðìó, òàê êàê ïëàâëåíèå
áåëêà íîñèò êîîïåðàòèâíûé õàðàêòåð. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ðàñïîëîæå-
íèåì âîäîðîäíûõ ñâÿçåé â α-ñïèðàëè áåëêà. Ñâÿçè ìåæäó i-òûì
è (i + 4)-ì ìîíîìåðîì ôèêñèðóþò ïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå
(i + 1)-ãî, (i + 2)-ãî è (i + 3)-ãî ìîíîìåðîâ. Ïîýòîìó äëÿ ðàçðóøåíèÿ
îäíîãî ó÷àñòêà ñïèðàëüíîé ñòðóêòóðû òðåáóåòñÿ ðàçîðâàòü ïîäðÿä
êàê ìèíèìóì òðè âîäîðîäíûå ñâÿçè. Òîëüêî â ñëó÷àå òàêèõ êîîïå-
ðàòèâíûõ ðàçðûâîâ ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû áóäåò óìåíüøàòüñÿ.
Ïëàâëåíèå ñïèðàëè ïðîèñõîäèò ïðè óñëîâèè ðàâåíñòâà ñâîáîä-
íîé ýíåðãèè Ãèááñà α-ñïèðàëè G
α è îáðàçóþùåãîñÿ êëóáêà G êë:
GHTSH TS Gαα α=− = − =      , (6.5.1)
èëè
0 GG G HT S α ∆= − =∆ − ∆=   . (6.5.2)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
H
T
S ∆
=
∆  . (6.5.3)
Ââåäåì ïàðàìåòð θ, îáîçíà÷àþùèé äîëþ ñïèðàëèçîâàííûõ çâå-
íüåâ â öåïè (θ = 1 äëÿ ïîëíîñòüþ ñïèðàëèçîâàííîé öåïè, θ = 0
äëÿ ïîëíîñòüþ ðàñïëàâëåííîé öåïè):
1
n
ns
s θ=
+ , (6.5.4)
ãäå n — ïàðàìåòð, îïðåäåëÿþùèé äëèíó êîîïåðàòèâíîñòè
(
1nN << , N — ÷èñëî çâåíüåâ α-ñïèðàëè);
expG
s
RT∆

=−

 (6.5.5)
ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé ðàâíîâåñèÿ ïðîöåññà îáðàçîâàíèÿ âîäîðîä-
íîé ñâÿçè â çâåíå, ñëåäóþùèì çà óæå ñâÿçàííûì çâåíîì.
Ïðè áîëüøîé äëèíå êîîïåðàòèâíîñòè (
1 n) âîçìîæíû íå-
ñêîëüêî ñëó÷àåâ:
0 θ≈ ïðè 1 s<, 0, 5 θ= ïðè 1 s= (òî åñòü ïðè
0 G ∆=) è 1 θ= ïðè 1 s>. § 6.5. Ïåðåõîäû ñïèðàëü — êëóáîê

180
Óñëîâèå 1 n âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âåëèêà
ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ, íåîáõîäèìàÿ äëÿ ðàçðûâà îäíîé âîäîðîäíîé
ñâÿçè. Ýòî â ñâîþ î÷åðåäü ïðîèñõîäèò, åñëè ìàëà êîíñòàíòà ðàâíî-
âåñèÿ σ äëÿ òàêîãî ïðîöåññà
expG
RT 
σ= −



. (6.5.6)
Ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî
1
n≈
σ , (6.5.7)
ãäå σ — ïàðàìåòð êîîïåðàòèâíîñòè, îïðåäåëÿþùèé êðóòèçíó êðè-
âîé ïëàâëåíèÿ. Äëèíà êîîïåðà-
òèâíîñòè ìàêñèìàëüíà (
nN→ )
ïðè
G→∞

è 0 σ→ è ìè-
íèìàëüíà (
1 n→) 0 G→

è 1 σ→.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå
ïîëó÷àåì:
1s
s θ=
+ . (6.5.8)
Íà ðèñ. 6.5.1 ïðèâåäåíû òå-
îðåòè÷åñêèå êðèâûå
()s θ ïðè
ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ σ.
§ 6.6. ÔÅÐÌÅÍÒÍÛÉ ÊÀÒÀËÈÇ
Îäíîé èç îñíîâíûõ ôóíêöèé áåëêîâ ÿâëÿåòñÿ ôåðìåíòàòèâ-
íàÿ. Áåëêè-ôåðìåíòû ñïîñîáíû óñêîðÿòü áèîõèìè÷åñêèå ðåàêöèè
â 10
8–10 10 ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ òåì, åñëè áû ýòè ðåàêöèè ïðîèñõî-
äèëè áû áåç ó÷àñòèÿ ôåðìåíòîâ.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå Àððåíèóñà, êîíñòàíòà ñêîðîñòè ðåàêöèè ðàâíà
expE
kA
RT 
=−

   , (6.6.1)
ãäå À — êîíñòàíòà, îïðåäåëÿþùàÿ ÷àñòîòó ñòîëêíîâåíèé ðåàãèðó-
þùèõ ìîëåêóë; Å
àêò — ýíåðãèÿ àêòèâàöèè — âûñîòà ïîòåíöèàëüíî-
ãî áàðüåðà, êîòîðûé äîëæíà ïðåîäîëåòü ñèñòåìà äëÿ îñóùåñòâëå-
íèÿ ðåàêöèè; R — óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ; T —
Ðèñ. 6.5.1. Çàâèñèìîñòü äîëè θ ñïèðàëè-
çîâàíûõ çâåíüåâ îò êîíñòàíòû s ïðè ðàç-
ëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ σ
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

181
òåìïåðàòóðà; ìíîæèòåëü expE
RT 


   îïðåäåëÿåò äîëþ ìîëåêóë,
ýíåðãèÿ êîòîðûõ ïðåâûøàåò ýíåðãèþ àêòèâàöèè.
Ôåðìåíòû íèêîãäà íå ñäâèãàþò õèìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå â ðåàê-
öèÿõ, îïðåäåëÿåìîå ðàçíîñòüþ ñâîáîäíûõ ýíåðãèé ïðîäóêòà è ñóá-
ñòðàòà. Ýòè ðåàêöèè ñîâåðøàþòñÿ è â îòñóòñòâèå ôåðìåíòà, íî ñî
çíà÷èòåëüíî ìåíüøåé ñêîðîñòüþ. Ðîëü ôåðìåíòîâ ñâîäèòñÿ ê óìåíü-
øåíèþ ýíåðãèè àêòèâàöèè äàííîé ðåàêöèè, à ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñ-
íî ôîðìóëå (6.6.1), — óâåëè÷åíèþ êîíñòàíòû ñêîðîñòè ðåàêöèè.
Ôåðìåíòû îáëàäàþò âûñîêîé ñïåöèôè÷íîñòüþ è, êàê ïðàâèëî,
êàòàëèçèðóþò òîëüêî îïðåäåëåííûå ðåàêöèè èëè ðåàêöèè ñ ó÷àñ-
òèåì óçêîãî êëàññà ñîåäèíåíèé. Ïåðâîé ìîäåëüþ, îáúÿñíÿþùåé
ñïåöèôè÷íîñòü ôåðìåíòà, ÿâèëàñü ìîäåëü Ôèøåðà, ñîãëàñíî êî-
òîðîé ñóáñòðàò ñòåðè÷åñêè ñîîòâåòñòâóåò àêòèâíîìó öåíòðó ôåð-
ìåíòà (ó÷àñòêó ôåðìåíòà, ê êîòîðîìó ïðèñîåäèíÿåòñÿ ñóáñòðàò).
Ýòà ìîäåëü ïîëó÷èëà íàçâàíèå êëþ÷—çàìîê. Ñîãëàñíî áîëåå ïîçä-
íåé ìîäåëè Êîøëàíäà — ìîäåëè èíäóöèðîâàííîãî ñîîòâåòñòâèÿ, —
ïðèñîåäèíåíèå îïðåäåëåííîãî ñóáñòðàòà âûçûâàåò êîíôîðìàöè-
îííûå ïåðåñòðîéêè â ôåðìåíòå, â ðåçóëüòàòå ÷åãî åãî êàòàëèòè÷å-
ñêèå ãðóïïû îðèåíòèðóþòñÿ â ïðîñòðàíñòâå òàêèì îáðàçîì, ÷òî
îêàçûâàþòñÿ ñïîñîáíûìè îñóùåñòâèòü ïðåâðàùåíèå ñóáñòðàòà
â ïðîäóêò. Ýòà ìîäåëü îáúÿñíÿåò òîò ôàêò, ÷òî ïðèñîåäèíåíèå ê ôåð-
ìåíòó íåêîòîðûõ âåùåñòâ, ñòðóêòóðíî ïîõîæèõ íà ñóáñòðàò, íå óñêî-
ðÿåò èõ õèìè÷åñêîå ïðåâðàùåíèå.
Ðàññìîòðèì êèíåòèêó ôåðìåíòàòèâíûõ ðåàêöèé. Â ïðîñòåéøåì
ñëó÷àå ïðèñîåäèíåíèå ñóáñòðàòà ê ñâîáîäíîìó ôåðìåíòó Å
0 ïðè-
âîäèò ê îáðàçîâàíèþ ôåðìåíò-ñóáñòðàòíîãî êîìïëåêñà [ES] ñ êîí-
ñòàíòîé ñêîðîñòè ðåàêöèè k
1, èç êîòîðîãî îáðàçóåòñÿ ïðîäóêò Ð
(êîíñòàíòà k
2) èëè êîìïëåêñ ðàñïàäàåòñÿ íà ñóáñòðàò è ôåðìåíò
(êîíñòàíòà k
–1):
1
2
00
1k
k
k ES ES EP

→
+→+
←   . (6.6.2)
Îáùàÿ êîíöåíòðàöèÿ ôåðìåíòà â ýòîì ñëó÷àå ðàâíà
0 [] [ ] [ ]EE ES=+ . (6.6.3)
Ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ êîíöåíòðàöèè ôåðìåíò-ñóáñòðàòíîãî êîì-
ïëåêñà ñîñòàâëÿåò:
11012 d[ ]
[][]( )[ ]
dES
vkESkkES
t − == −+ , (6.6.4) § 6.6. Ôåðìåíòíûé êàòàëèç

182
èëè ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (6.6.3)
11 12 d[ ]
{[ ] [ ]}[ ] ( )[ ]
dES
vkEESSkkES
t − ==− −+ . (6.6.5)
Åñëè â ñèñòåìå êîíöåíòðàöèÿ ñóáñòðàòà íàìíîãî ïðåâûøàåò
êîíöåíòðàöèþ ôåðìåíòà (
[] [ ]SE ), òî ÷èñëî ñóùåñòâóþùèõ â êàæ-
äûé ìîìåíò ôåðìåíò-ñóáñòðàòíûõ êîìïëåêñîâ îñòàåòñÿ ïîñòîÿí-
íûì (
1 0 v=), òî åñòü ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿ-
íèè.  ýòîì ñëó÷àå èç ôîðìóëû (6.6.5) ïîëó÷àåì êîíöåíòðàöèþ
ôåðìåíò-ñóáñòðàòíîãî êîìïëåêñà
1
121 12 1[][]
[][] [][]
[]
[] ( )/ [] []
m
kE S
ES ES
ES
kkkS kkkSk S
−−
== =
++ + + + , (6.6.6)
ãäå
12
1 mkk
k
k− +
= — (6.6.7)
êîíñòàíòà Ìèõàýëèñà.
Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (6.6.6) ñêîðîñòü ôåðìåíòàòèâíîé ðåàêöèè
ðàâíà
22 d[ ] [ ][ ]
[]
d[]
m
PES
vkESk
tkS == =
+ . (6.6.8)
Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ôåð-
ìåíòàòèâíîé ðåàêöèè îò êîí-
öåíòðàöèè ñóáñòðàòà ïðèâåäåíà
íà ðèñ. 6.6.1. Ïðè óâåëè÷åíèè
êîíöåíòðàöèè ñóáñòðàòà ñêî-
ðîñòü ñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîìó
ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åíèþ:
max 2
[] lim [ ]S vvkE →∞ == . (6.6.9)
Òîãäà âûðàæåíèå (6.6.8) ïðè-
ìåò âèä (ó ð à â í å í è å Ì è õ à-
ýëèñà—Ìåíòåí)
max []
[]
m
vS
v
kS =
+ . (6.6.10)
Êàê âèäèì, êîíñòàíòà Ìèõàýëèñà ÷èñëåííî ðàâíà êîíöåíòðà-
öèè ñóáñòðàòà, ïðè êîòîðîé ñêîðîñòü ðåàêöèè ðàâíà ïîëîâèíå
ìàêñèìàëüíîé.
Ðèñ. 6.6.1. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè v ôåð-
ìåíòàòèâíîé ðåàêöèè îò êîíöåíòðàöèè
ñóáñòðàòà [S]
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

183
Äëÿ ÷èñëåííîãî îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí k m è maxv ïî ìåòîäó Ëàé-
íóèâåðà—Áåðêà óðàâíåíèå (6.6.10) ïðåîáðàçóþò ê âèäó:
max max
11 1
[] mk
vv v S=+⋅ . (6.6.11)
Ãðàôèê óðàâíåíèÿ (6.6.11) ïðèâåäåí íà ðèñ. 6.6.2. Ïðè
1
0
[]S=
ïîëó÷àåì
max
11
vv= , âåëè÷èíà k m îïðåäåëÿåòñÿ êàê òàíãåíñ óãëà íà-
êëîíà ïðÿìîé.
Íåêîòîðûå âåùåñòâà, ñâÿçûâàÿñü ñ ôåðìåíòîì, óìåíüøàþò ñêî-
ðîñòü ôåðìåíòàòèâíîé ðåàêöèè (èíãèáèòîðû) èëè óâåëè÷èâàþò (àê-
òèâàòîðû).  êà÷åñòâå èíãèáèòîðîâ èëè àêòèâàòîðîâ, èìåþùèõ
îáùåå íàçâàíèå ìîäèôèêàòîðîâ, ìîãóò âûñòóïàòü åñòåñòâåííûå
ôèçèîëîãè÷åñêèå âåùåñòâà, ðåãóëèðóþùèå ôåðìåíòàòèâíóþ àêòèâ-
íîñòü, à òàêæå öåëûé ðÿä ëåêàð-
ñòâåííûõ ïðåïàðàòîâ.
Ðàçëè÷àþò êîíêóðåíòíûå
è íåêîíêóðåíòíûå èíãèáèòîðû.
Êîíêóðåíòíûå èíãèáèòîðû ñâÿçû-
âàþòñÿ ñ àêòèâíûì öåíòðîì ôåð-
ìåíòà, îáðàçóÿ êîìïëåêñ ôåð-
ìåíò-èíãèáèòîð ÅI, íî â ïðîäóêò
íå ïðåâðàùàþòñÿ.
 ñëó÷àå ïðèñóòñòâèÿ â ñèñ-
òåìå êîíêóðåíòíîãî èíãèáèòîðà,
ñîãëàñíî ñõåìå, ïðèâåäåííîé íà
ðèñ. 6.6.3, à, ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ
êîíöåíòðàöèè êîìïëåêñîâ ôåðìåíò-ñóáñòðàò ES è ôåðìåíò-èíãè-
áèòîð EI ïðèìóò âèä ñîîòâåòñòâåííî:
11012 d[ ]
[][]( )[ ]
dES
vkESkkES
t − == −+ ; (6.6.12)
2303 d[ ]
[][] [ ]
dEI
vkEIkEI
t − == − , (6.6.13)
à îáùàÿ êîíöåíòðàöèÿ ôåðìåíòà ñîñòàâèò:
0 [] [ ] [ ] [ ]EE ESEI=+ + . (6.6.14)
Ðåøàÿ ñîâìåñòíî óðàâíåíèÿ (6.6.12), (6.6.13) è (6.6.14) ïðè óñ-
ëîâèè óñòàíîâëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ (v
1=0, v 2=0 ïðè
Ðèñ. 6.6.2. Ãðàôèê Ëàéíóèâåðà—Áåðêà
§ 6.6. Ôåðìåíòíûé êàòàëèç

184
[S]> > E è [I]> > E) âûðàçèì êîíöåíòðàöèþ ôåðìåíò-ñóáñòðàòíîãî
êîìïëåêñà â ïðèñóòñòâèè êîíêóðåíòíîãî èíãèáèòîðà:
[][]
[]
[] []
mmi
ES
ES
kSkkI =
++ , (6.6.15)
ãäå k
i = k 3/k–3.
Îòñþäà ñêîðîñòü ôåðìåíòàòèâíîé ðåàêöèè â ïðèñóòñòâèè êîí-
êóðåíòíîãî èíãèáèòîðà ñîñòàâèò:
2
2[][]
d[ ]
[]
d[][]
mmi
kES
P
vkES
tkSkkI == =
++ . (6.6.16)
 ýòîì ñëó÷àå ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ðåàêöèè íå èçìåíÿåòñÿ
ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòüþ â îòñóòñòâèå êîíêóðåíò-
íîãî èíãèáèòîðà:
max 2
[] lim [ ]S vvkE →∞ == . (6.6.17)
Îäíàêî ïðè ìàëûõ êîíöåíòðàöèÿõ ñóáñòðàòà ñêîðîñòü ðåàêöèè
óìåíüøàåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ òîé, êîòîðàÿ áûëà â îòñóòñòâèå êîí-
êóðåíòíîãî èíãèáèòîðà (ðèñ. 6.6.4). Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî
ïðè âûñîêèõ êîíöåíòðàöèÿõ ñóáñòðàòà (
[]S→∞ ) ôåðìåíò ñâÿçû-
âàåòñÿ ïðåèìóùåñòâåííî ñ íèì, à íå ñ èíãèáèòîðîì, êîíöåíòðà-
öèÿ êîòîðîãî îêàçûâàåòñÿ çíà÷èòåëüíî íèæå êîíöåíòðàöèè ñóá-
ñòðàòà (
[] [ ]IS ). Ïðè ñðàâíèìûõ ñ êîíöåíòðàöèåé èíãèáèòîðà
êîíöåíòðàöèÿõ ñóáñòðàòà
[] [ ]IS≈ ôåðìåíò îáðàçóåò êîìïëåêñû êàê
ñ ñóáñòðàòîì, òàê è ñ èíãèáèòîðîì, ÷òî óìåíüøàåò ñêîðîñòü ðåàê-
öèè.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ äîñòèæåíèÿ ñêîðîñòè, ñîñòàâëÿþùåé ïîëî-
âèíó ìàêñèìàëüíîé, êîíöåíòðàöèþ ñóáñòðàòà íóæíî óâåëè÷èòü
â
(1 [ ] ) ikI + ðàç.
 êîîðäèíàòàõ Ëàéíóèâåðà—Áåðêà óðàâíåíèå (6.6.16) ïðèìåò
âèä:
Ðèñ. 6.6.3. Ñõåìû ïðîöåññîâ ñ êîíêóðåíòíûì (à) è íåêîíêóðåíòíûì (á) èíãèáèðî-
âàíèåì
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

185
max max max max
[]
11 1
[] [] mmi mkkkI k
vv v S v v S′
+
=+ =+ , (6.6.18)
ãäå
(1 [ ] ) mm ikk kI′
=+ — êîíñòàíòà Ìèõàýëèñà â ïðèñóòñòâèè êîí-
êóðåíòíîãî èíãèáèòîðà (ðèñ. 6.6.5, êðèâàÿ 2).
Íåêîíêóðåíòíûé èíãèáèòîð ñâÿçûâàåòñÿ ñ ôåðìåíò-ñóáñòðàòíûì
êîìïëåêñîì, îáðàçóÿ íåàêòèâíûé êîìïëåêñ ESI.  ýòîì ñëó÷àå,
ñîãëàñíî ñõåìå, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 6.6.3, á, ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ
êîíöåíòðàöèè êîìïëåêñîâ ôåðìåíò-ñóáñòðàò ES è ôåðìåíò-èíãè-
áèòîð EI ñîñòàâëÿþò ñîîòâåòñòâåííî:
1101244 d[ ]
[][]( )[ ] [ ]
dES
vkESkkkIESkESI
t −− == −++ + ; (6.6.19)
244 d[ ]
[][] [ ]
d ESI
v k ES I k ESI
t − == − , (6.6.20)
à îáùàÿ êîíöåíòðàöèÿ ôåðìåíòà
0 [] [ ] [ ] [ ]EE ESESI=+ + . (6.6.21)
Òîãäà ñêîðîñòü ôåðìåíòàòèâíîé ðåàêöèè â ñòàöèîíàðíîì ñî-
ñòîÿíèè â ïðèñóòñòâèè íåêîíêóðåíòíîãî èíãèáèòîðà ñîñòàâèò:
2
2[][]
d[ ]
[]
d[][][]
mi
kES
P
vkES
tkSkSI == =
++ , (6.6.22)
ãäå k
i = k 4/k–4.
Ðèñ. 6.6.4. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ôåð-
ìåíòàòèâíîé ðåàêöèè îò êîíöåíòðàöèè
ñóáñòðàòà â îòñóòñòâèå (1) è ïðèñóòñòâèå
(2) êîíêóðåíòíîãî èíãèáèòîðàÐèñ. 6.6.5. Ãðàôèê Ëàéíóèâåðà—Áåðêà:
1 — áåç èíãèáèòîðà; 2 — â ïðèñóòñòâèè
êîíêóðåíòíîãî èíãèáèòîðà; 3 — â ïðè-
ñóòñòâèè íåêîíêóðåíòíîãî èíãèáèòîðà
§ 6.6. Ôåðìåíòíûé êàòàëèç

186
 ýòîì ñëó÷àå ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ðåàêöèè áóäåò ðàâíà
2
max
[][]
lim
1
S
i
kE
vv
kI
→∞ ==
+ , (6.6.23)
òî åñòü óìåíüøèòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòüþ â îò-
ñóòñòâèå íåêîíêóðåíòíîãî èíãèáèòîðà â
(1 [ ] ) ikI + ðàç (ðèñ. 6.6.5,
êðèâàÿ 3).
Ñóùåñòâóåò ðÿä ôåðìåíòîâ, êèíåòèêà êîòîðûõ íå ïîä÷èíÿåòñÿ
óðàâíåíèþ Ìèõàýëèñà—Ìåíòåí. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ôåðìåí-
òàòèâíîé ðåàêöèè îò êîíöåíòðàöèè ñóáñòðàòà äëÿ íèõ èìååò âèä,
îòëè÷íûé îò ãèïåðáîëû.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ýòî ÿâëåíèå ìîæ-
íî îáúÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Íåêîòîðûå ôåðìåíòû ñîñòîÿò èç íåñêîëüêèõ ñóáúåäèíèö
è èìåþò íåñêîëüêî öåíòðîâ ñâÿçûâàíèÿ ñóáñòðàòà. Ïðèñîåäèíåíèå
ñóáñòðàòà ê îäíîìó èç öåíòðîâ ñâÿçûâàíèÿ âûçûâàåò òàêèå êîí-
ôîðìàöèîííûå ïåðåñòðîéêè â ôåðìåíòå, êîòîðûå îáëåã÷àþò ïðè-
ñîåäèíåíèå ñóáñòðàòà ê ñëåäóþùåìó öåíòðó (òàê íàçûâàåìûé êîî-
ïåðàòèâíûé ýôôåêò).  ýòîì ñëó÷àå çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè
ôåðìåíòàòèâíîé ðåàêöèè îò êîíöåíòðàöèè ñóáñòðàòà èìååò S-îá-
ðàçíûé âèä.
Ðàññìîòðèì ÿâëåíèå êîîïåðàòèâíîñòè íà ïðèìåðå áåëêà ãåìî-
ãëîáèíà, ñîñòîÿùåãî èç ÷åòûðåõ ñóáúåäèíèö è ÷åòûðåõ öåíòðîâ ñâÿ-
çûâàíèÿ, è ñðàâíèì åãî êèíåòèêó ñ ìèîãëîáèíîì, ìîíîìåðíûì áåë-
êîì ñ îäíèì öåíòðîì ñâÿçûâàíèÿ. Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ýòè áåëêè
ÿâëÿþòñÿ íå ôåðìåíòàìè, à òðàíñïîðòíûìè áåëêàìè, ñíàáæàþùè-
ìè îðãàíèçì êèñëîðîäîì, êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ íèõ ñõîäíû
ñ óðàâíåíèÿìè äëÿ ôåðìåíòîâ, ïðîÿâëÿþùèõ ñâîéñòâî êîîïåðàòèâ-
íîñòè, êàê ãåìîãëîáèí, èëè íå ïðîÿâëÿþùèõ, êàê ìèîãëîáèí.
Ðåàêöèþ îáðàçîâàíèÿ êîìïëåêñà ëèãàíäà L ñ ìîíîìåðíûì áåë-
êîì E ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
k EL EL→
+
←  , (6.6.24)
ãäå k — êîíñòàíòà ñâÿçûâàíèÿ, ðàâíàÿ
[]
[][ ]EL
k
LE = . (6.6.25)
Çàïèøåì ñòåïåíü íàñûùåíèÿ áåëêà ëèãàíäîì, òî åñòü îòíîøå-
íèå çàíÿòûõ öåíòðîâ ñâÿçûâàíèÿ ê èõ îáùåìó ÷èñëó:
[]
[] [ ]EL
Y
EEL =
+ , (6.6.26) Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

187
èëè ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (6.6.25)
[ ][] []
[] [][] 1 []kE L kL
Y
EkEL kL ==
++ . (6.6.27)
Óðàâíåíèå (6.6.27), ïîäîáíî óðàâíåíèþ Ìèõàýëèñà—Ìåíòåí,
è ãðàôè÷åñêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãèïåðáîëó (ðèñ. 6.6.6, êðèâàÿ 1).
Äëÿ îïèñàíèÿ ñòåïåíè íàñûùåíèÿ ãåìîãëîáèíà èñïîëüçóþò
óðàâíåíèå, ïðåäëîæåííîå Õèëëîì:
[]
1[] h
h
h
h kL
Y
kL =
+ , (6.6.28)
ãäå k
h — êîíñòàíòà ñâÿçûâàíèÿ; h — ïàðàìåòð êîîïåðàòèâíîñòè.
Ïðè h = 1 êîîïåðàòèâíîñòü îòñóòñòâóåò è óðàâíåíèå (6.6.28) ñâî-
äèòñÿ ê âèäó óðàâíåíèÿ (6.6.27). Ïðè h > 1 êîîïåðàòèâíîñòü ïîëî-
æèòåëüíà, òî åñòü ïðèñîåäèíå-
íèå îäíîãî ëèãàíäà ê öåíòðó
ñâÿçûâàíèÿ îáëåã÷àåò ñâÿçûâà-
íèå ñ îñòàëüíûìè, ïðè h < 1 êî-
îïåðàòèâíîñòü îòðèöàòåëüíà.
Äëÿ ãåìîãëîáèíà h = 2,8. Íà
ðèñ. 6.6.6 ïðèâåäåíà çàâèñè-
ìîñòü íàñûùåíèÿ ìèîãëîáèíà
è ãåìîãëîáèíà â çàâèñèìîñòè îò
ïàðöèàëüíîãî äàâëåíèÿ êèñëî-
ðîäà ðÎ
2, ïðîïîðöèîíàëüíîãî
åãî êîíöåíòðàöèè.
 îðãàíèçìå ïàðöèàëüíîå
äàâëåíèå êèñëîðîäà ìåíÿåòñÿ
â íåáîëüøèõ ïðåäåëàõ, îäíàêî
êîîïåðàòèâíûå ñâîéñòâà ãåìî-
ãëîáèíà, ïðîÿâëÿþùèåñÿ â S-îáðàçíîé ôîðìå êðèâîé, ïðèâîäÿò
ê òîìó, ÷òî äàæå ïðè íåáîëüøèõ èçìåíåíèÿõ ïàðöèàëüíîãî äàâëå-
íèÿ êèñëîðîäà çíà÷èòåëüíî ìåíÿåòñÿ ñòåïåíü íàñûùåíèÿ èì ãå-
ìîãëîáèíà. Åñëè áû ãåìîãëîáèí íå ïðîÿâëÿë ñâîéñòâî êîîïåðà-
òèâíîñòè, òî îòùåïëåíèå êèñëîðîäà â òêàíÿõ ïðîèñõîäèëî áû íå
ñòîëü èíòåíñèâíî.
§ 6.7. ÁÈÎÔÈÇÈÊÀ ÍÓÊËÅÈÍÎÂÛÕ ÊÈÑËÎÒ
Ñòðîåíèå è ñâîéñòâà íóêëåèíîâûõ êèñëîò îïðåäåëÿþòñÿ èõ
ôóíêöèåé â îðãàíèçìå: õðàíåíèåì è ïåðåäà÷åé ãåíåòè÷åñêîé èí-
ôîðìàöèè.
Ðèñ. 6.6.6. Êðèâûå íàñûùåíèÿ êèñëî-
ðîäîì ìèîãëîáèíà (1) è ãåìîãëîáèíà (2)
â çàâèñèìîñòè îò ïàðöèàëüíîãî äàâëå-
íèÿ êèñëîðîäà ð(Î
2)
§ 6.7. Áèîôèçèêà íóêëåèíîâûõ êèñëîò

188
 öåïè äåçîêñèðèáîíóêëåèíîâîé êèñëîòû (ÄÍÊ) ÷åðåäóþòñÿ
â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå ìîíîìåðû è íóêëåîòèäû, ñâÿçàííûå ìåæäó
ñîáîé êîâàëåíòíûìè ôîñôîäèýôèðíûìè ñâÿçÿìè ôîñôàòíûõ ãðóïï
ñ óãëåâîäàìè. Êàæäûé èç íóêëåîòèäîâ èìååò â ñâîåì ñîñòàâå äåçî-
êñèðèáîçó è îñòàòîê ôîñôîðíîé êèñëîòû è îòëè÷àåòñÿ îò äðóãèõ àçî-
òèñòûì îñíîâàíèåì, êîòîðûõ â ÄÍÊ èìååòñÿ ÷åòûðå âèäà: àäåíèí
(À), ãóàíèí (Ã), òèìèí (Ò) è öèòîçèí (Ö). Ïåðâûå äâà — (À) è (Ã) —
ÿâëÿþòñÿ ïóðèíîâûìè, à âòîðûå — (Ò) è (Ö) — ïèðèìèäèíîâûìè
îñíîâàíèÿìè. Îïðåäåëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóêëåîòèäîâ â öå-
ïè ñîñòàâëÿåò ïåðâè÷íóþ ñòðóêòóðó íóêëåèíîâîé êèñëîòû.
Âòîðè÷íàÿ ñòðóêòóðà ÄÍÊ áûëà ðàñøèôðîâàíà ñ ïîìîùüþ ðåíò-
ãåíñòðóêòóðíîãî àíàëèçà â 1952 ãîäó Ð. Ôðàíêëèí, Ô. Êðèêîì,
Äæ. Óîòñîíîì è Ì. Óèëêèíçîì. Ìîëåêóëà ÄÍÊ, êàê ïðàâèëî, ñî-
ñòîèò èç äâóõ íóêëåîòèäíûõ öåïåé, è ëèøü â íåêîòîðûõ âèðóñàõ
âñòðå÷àþòñÿ îäíîöåïî÷å÷íûå ìîëåêóëû ÄÍÊ. Äâå öåïè ÄÍÊ ñâÿ-
çàíû äðóã ñ äðóãîì ÷åðåç àçîòèñòûå îñíîâàíèÿ âîäîðîäíûìè ñâÿ-
çÿìè, ïðè÷åì àäåíèí âñåãäà îáðàçóåò ïàðó ñ òèìèíîì, à ãóàíèí —
ñ öèòîçèíîì (ðèñ. 6.7.1), òî åñòü àäåíèí êîìïëåìåíòàðåí òèìèíó,
à ãóàíèí — öèòîçèíó, îäíà öåïü ÄÍÊ êîìïëåìåíòàðíà äðóãîé.
Ýòî îáúÿñíÿåò ïðàâèëà ×àðãîôôà, êîòîðûå áûëè ñôîðìóëèðîâàíû
ðàíüøå îòêðûòèÿ ñòðóêòóðû ÄÍÊ:
Ðèñ. 6.7.1. Ó÷àñòîê öåïè ÄÍÊ:
ϕ — óãîë ìåæäó ïåðïåíäèêóëÿðîì ê îñè ñïèðàëè è ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèé, ãðàä
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

189
1) =
 ; 2) =  ; 3) 1
T+
=
+ 
; 4) 1 +
=
+ 
. (6.7.1)
Êðîìå âîäîðîäíûõ ñâÿçåé ìåæäó, ïàðàìè îñíîâàíèé ñòàáèëè-
çàöèÿ ñòðóêòóðû ÄÍÊ äîñòèãàåòñÿ òàêæå ìåæïëîñêîñòíûìè âçàè-
ìîäåéñòâèÿìè îñíîâàíèé (ñòýêèíã-âçàèìîäåéñòâèÿìè). Êàæäàÿ
êîìïëåìåíòàðíàÿ ïàðà íóêëåîòèäîâ ïîâîðà÷èâàåòñÿ îòíîñèòåëüíî
ïðåäûäóùåé íà íåêîòîðûé óãîë âîêðóã îñè ñïèðàëè, â ðåçóëüòàòå
îáðàçóåòñÿ âòîðè÷íàÿ ñòðóêòóðà ÄÍÊ — äâîéíàÿ ñïèðàëü.
Ìîäåëü Óîòñîíà—Êðèêà îáúÿñíèëà ÿâëåíèå ñàìîóäâîåíèÿ
ÄÍÊ — ðåäóïëèêàöèþ. Â ïðîöåññå ðåäóïëèêàöèè â ÄÍÊ ðàçðûâà-
þòñÿ âîäîðîäíûå ñâÿçè ìåæäó îñíîâàíèÿìè, è íà êàæäîé èç äâóõ
öåïåé ñòðîèòñÿ íîâàÿ, ïðè ýòîì êàæäàÿ ìàòåðèíñêàÿ öåïü èñïîëü-
çóåòñÿ êàê ìàòðèöà äëÿ äî÷åðíåé. Íîâûå íóêëåîòèäû ïðèñîåäèíÿ-
þòñÿ ïî ïðèíöèïó êîìïëåìåíòàðíîñòè, òî åñòü ê àäåíèíó ïðèñî-
åäèíÿåòñÿ òèìèí, ê ãóàíèíó — öèòîçèí, ê òèìèíó — àäåíèí,
ê öèòîçèíó — ãóàíèí. Òàêàÿ ìîäåëü ðåäóïëèêàöèè íàçûâàåòñÿ ïî-
ëóêîíñåðâàòèâíîé, òàê êàê êàæäàÿ íîâàÿ ìîëåêóëà ÄÍÊ âêëþ÷àåò
â ñåáÿ îäíó ìàòåðèíñêóþ è îäíó äî÷åðíþþ öåïè.
Öåïè ÄÍÊ ìîãóò áûòü ëèíåéíûìè èëè êîëüöåâûìè. Ó ïîñëåä-
íèõ êîíöû ìîëåêóë êîâàëåíòíî çàìêíóòû. Äâå íóêëåîòèäíûå öåïè
îäíîé ìîëåêóëû ÄÍÊ âñåãäà ðàñïîëàãàþòñÿ àíòèïàðàëëåëüíî: îäíà
öåïü — îò 3' — ê 5' -êîíöó, âòîðàÿ — íàîáîðîò (ðèñ. 6.7.1).
Äâîéíàÿ ñïèðàëü ÄÍÊ ìîæåò ñóùåñòâîâàòü â ðàçëè÷íûõ êîí-
ôîðìàöèÿõ, ïåðåõîä ìåæäó êîòîðûìè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè èçìåíå-
íèè âëàæíîñòè êðèñòàëëè÷åñêèõ ïðåïàðàòîâ ÄÍÊ, ñîëè ÄÍÊ è ðÿäà
Òàáëèöà 6.7.1
Ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ÄÍÊ â ðàçëè÷íûõ ôîðìàõ
Na, À-ôîðìà 75 11 2,82 0,255 32,7 20
Na, Â-ôîðìà 92 10 3,46 0,346 36 2
Li, Â-ôîðìà 66 10 3,37 0,337 36 2
Li, Ñ-ôîðìà 66 9,3 3,10 0,332 39 6
Ñîëü ÄÍÊ
Âëàæíîñòü,
%
×èñëî çâåíüåâ
íà âèòîê
ñïèðàëè
Øàã
ñïèðàëè, íì
Ïåðåìåùåíèå
íà îäèí
íóêëåîòèä, íì
Ïîâîðîò íà
íóêëåîòèä,
ãðàä
Óãîë ϕ ìåæäó
ïåðïåíäèêóëÿðîì
ê îñè ñïèðàëè è
ïëîñêîñòüþ
îñíîâàíèé, ãðàä
§ 6.7. Áèîôèçèêà íóêëåèíîâûõ êèñëîò

190
äðóãèõ óñëîâèé, à òàêæå ìîæåò
áûòü âûçâàí âçàèìîäåéñòâèåì
ÄÍÊ ñ áåëêàìè. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî
ôèçèîëîãè÷åñêèì óñëîâèÿì îò-
âå÷àåò Â-ôîðìà ÄÍÊ. Õàðàêòå-
ðèñòèêè À-, Â- è Ñ-ôîðì ÄÍÊ
ïðèâåäåíû â òàáë. 6.7.1, ñõå-
ìàòè÷åñêèå èçîáðàæåíèÿ À-
è Â-ôîðì ÄÍÊ — íà ðèñ. 6.7.2.
 Â-ôîðìå öåíòðû òÿæåñòè ïàð
îñíîâàíèé íàõîäÿòñÿ íà îñè
ñïèðàëè, à â À-ôîðìå ñäâè-
íóòû ê ïåðèôåðèè, ïîýòîìó
â öåíòðå îñòàåòñÿ îòâåðñòèå
îêîëî 4 íì.
À-, Â- è Ñ-ôîðìû ÄÍÊ ÿâ-
ëÿþòñÿ ïðàâûìè. Â 1978 ãîäó
áûëà ïîëó÷åíà ëåâàÿ ñïèðàëü
ÄÍÊ — ìîëåêóëà ñèíòåòè÷å-
ñêîãî ïîëèìåðà ïîëèäåçîê-
ñè-ÃÖ. Åãî ñàõàðîôîñôàòíûé
îñòîâ èìååò çèãçàãîîáðàçíûé
âèä. Ïîýòîìó òàêàÿ êîíôîð-
ìàöèÿ ÄÍÊ ïîëó÷èëà íàçâàíèå
Z-ôîðìà. Z-Ôîðìà ìîæåò áûòü
ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíà òîëüêî
â òîì ñëó÷àå, åñëè öåïü ÄÍÊ
îáðàçîâàíà ÷åðåäîâàíèåì ïóðè-
íîâûõ è ïèðèìèäèíîâûõ àçî-
òèñòûõ îñíîâàíèé, íàïðèìåð — Ã è Ö. Òàêèì îáðàçîì, ïîâòîðÿþ-
ùåéñÿ åäèíèöåé â òàêîé ñòðóêòóðå ÿâëÿþòñÿ äâå ïàðû íóêëåîòèäîâ:
Z-Ôîðìà èìååò 12 ïàð îñíîâàíèé íà âèòîê ñïèðàëè, òî åñòü
ïîâîðîò ïàðû íóêëåîòèäîâ îòíîñèòåëüíî ïðåäûäóùåé ïàðû âîê-
ðóã îñè ñïèðàëè ðàâåí 30°.
Äëÿ ëþáîé êîíôîðìàöèè ÄÍÊ, êðîìå Z-ôîðìû, õàðàêòåðíî
íàëè÷èå øèðîêîé è óçêîé áîðîçäêè íà ïîâåðõíîñòè ñïèðàëè.
Ìîëåêóëà ðèáîíóêëåèíîâîé êèñëîòû (ÐÍÊ) òàê æå, êàê è ÄÍÊ, îá-
ðàçîâàíà îïðåäåëåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íóêëåîòèäîâ, íî, êàê
ïðàâèëî, ñîñòîèò èç îäíîé öåïè. Ìîëåêóëà ñàõàðà â ÐÍÊ ïðåäñòàâëåíà
ðèáîçîé, è âìåñòî òèìèíà â åå ñîñòàâ âõîäèò ïèðèìèäèíîâîå îñíîâà-
Ðèñ. 6.7.2. Ñõåìà ñòðîåíèÿ À- è Â-ôîðì
ÄÍÊ: ² — Â-ôîðìà, ²² — À-ôîðìà;
à — âèä ñâåðõó; á — âèä ñáîêó
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

191
íèå — ãóàíèí. Âî âðåìÿ ñèíòåçà ìàòðè÷íîé ÐÍÊ (òðàíñêðèïöèè) ãå-
íåòè÷åñêàÿ èíôîðìàöèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ íà îïðåäåëåííîì ó÷àñòêå
ÄÍÊ, ïî ïðèíöèïó êîìïëåìåíòàðíîñòè ïåðåõîäèò íà ÐÍÊ, íà êîòî-
ðîé êàê íà ìàòðèöå ïðîèñõîäèò ñèíòåç áåëêà (òðàíñëÿöèÿ) â ðèáîñî-
ìàõ. Ïðèñîåäèíåíèå íóæíûõ àìèíîêèñëîò ê ñèíòåçèðóþùåéñÿ ïîëè-
ïåïòèäíîé öåïè îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ òðàíñïîðòíîé ÐÍÊ.
Òàêèì îáðàçîì, ÐÍÊ ÿâëÿåòñÿ ïîñðåäíèêîì ìåæäó ÄÍÊ è áåëêîì,
à â íåêîòîðûõ âèðóñàõ – íîñèòåëåì ãåíåòè÷åñêîé èíôîðìàöèè.
Ðàçëè÷íûå êîíôîðìàöèè ïîëèíóêëåîòèäíîé öåïè äîñòèãàþòñÿ
áëàãîäàðÿ âîçìîæíîñòè ïîâîðîòîâ âîêðóã íåêîòîðûõ ñâÿçåé
(ðèñ. 6.7.3). Êîíôîðìàöèÿ íóêëåèíîâûõ êèñëîò â çíà÷èòåëüíîé ñòå-
ïåíè îïðåäåëÿåòñÿ êîíôîðìà-
öèåé äåçîêñèðèáîçû â ÄÍÊ èëè
ðèáîçû â ÐÍÊ. Ìîëåêóëà óãëå-
âîäà ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé.
 çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêîé èç
àòîìîâ óãëåðîäà (Ñ2' èëè Ñ3') íà-
õîäèòñÿ âíå ïëîñêîñòè îñòàëü-
íûõ ÷åòûðåõ àòîìîâ, ðàçëè÷àþò
ñëåäóþùèå êîíôîðìàöèè. Åñëè
àòîì Ñ2' èëè Ñ3' íàõîäèòñÿ ñ òîé
æå ñòîðîíû îò ïëîñêîñòè, ÷òî
è àòîì Ñ5', òî òàêàÿ êîíôîðìàöèÿ
íàçûâàåòñÿ ýíäî-, åñëè ñ äðóãîé
ñòîðîíû, òî — ýêçîêîíôîðìàöèÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî, âîçìîæíû ÷åòû-
ðå ñëó÷àÿ: Ñ2'-ýíäî, Ñ3'-ýíäî-, Ñ2'-ýêçî- è Ñ3'-ýêçîêîíôîðìàöèè
(ðèñ. 6.7.4).  çàâèñèìîñòè îò êîíôîðìàöèè óãëåâîäà, ðàçëè÷àþò äâà
ñåìåéñòâà êîíôîðìàöèé ÄÍÊ: À-ñåìåéñòâî (Ñ3'-ýíäîêîíôîðìà-
öèÿ, À-ôîðìà ÄÍÊ) è Â-ñåìåéñòâî (Ñ2'-ýíäîêîíôîðìàöèÿ, Â-, Ñ-
è Ò-ôîðìû ÄÍÊ). Èç ðèñ. 6.7.4 âèäíî, ÷òî â Ñ
2'-ýíäî- è Ñ 3'-
ýêçîêîíôîðìàöèÿõ óãîë ϕ íåâåëèê (ñîñòàâëÿåò 2—6°), ïîýòîìó
â Â-ñåìåéñòâàõ ÄÍÊ íóêëå-
îòèäíûå ïàðû ðàñïîëîæå-
íû ïî÷òè ïåðïåíäèêóëÿðíî
ê îñè ñïèðàëè, äëÿ Ñ
3'-ýíäî-
êîíôîðìàöèè ϕ = 20°. Êîí-
ôîðìàöèîííûå ïåðåõîäû
ÄÍÊ âíóòðè îäíîãî ñåìåé-
ñòâà îñóùåñòâëÿþòñÿ ïëàâíî,
à ïåðåõîä èç À- â Â-ñåìåé-
ñòâà — ñêà÷êîîáðàçíî, ñî-
ïðîâîæäàÿñü èçìåíåíèåì
êîíôîðìàöèè óãëåâîäà îò
Ñ
3'-ýíäî ê Ñ 2'-ýêçî.
Ðèñ. 6.7.3. Óãëû ïîâîðîòà â çâåíå ïîëè-
íóêëåîòèäíîé öåïè
Ðèñ. 6.7.4. ×åòûðå íàèáîëåå óñòîé÷èâûå êîí-
ôîðìàöèè ñàõàðíîãî êîëüöà â íóêëåîòèäå
§ 6.7. Áèîôèçèêà íóêëåèíîâûõ êèñëîò

192
1 Ýòîò ìåòîä òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè èçìåðåíèè ñòåïåíè ñïèðàëüíî-
ñòè áåëêîâ, îäíàêî ìàêñèìóì èõ ïîãëîùåíèÿ ëåæèò â äàëåêîé óëüòðàôèîëåòîâîé
îáëàñòè (200 íì), ÷òî óñëîæíÿåò ñïåêòðîôîòîìåòðè÷åñêèå èçìåðåíèÿ.
Ìîëåêóëû ÄÍÊ ÿâëÿþòñÿ ñàìûìè áîëüøèìè â ïðèðîäå. Íà-
ïðèìåð, êîëüöåâûå ÄÍÊ ôàãà Ò2 èìåþò äëèíó 49 ìêì, à ÄÍÊ
E. coli — 400 ìêì, ìîëåêóëÿðíàÿ ìàññà ïîñëåäíåé ñîñòàâëÿåò 10
9.
Êàæäàÿ õðîìîñîìà ñîäåðæèò òîëüêî îäíó ìîëåêóëó ÄÍÊ, êîòîðàÿ
èìååò äëèíó îò íåñêîëüêèõ ìèëëèìåòðîâ äî íåñêîëüêèõ ñàíòèìåò-
ðîâ. Ñóììàðíàÿ äëèíà âñåõ ìîëåêóë ÄÍÊ îäíîé êëåòêè ÷åëîâåêà
ñîñòàâëÿåò îêîëî äâóõ ìåòðîâ.
Îãðîìíûå ðàçìåðû ìîëåêóë íóêëåèíîâûõ êèñëîò òðåáóþò èõ
îñîáîé óêëàäêè â ïðåäåëàõ ìàëûõ ðàçìåðîâ êëåòîê èëè âèðóñîâ.
Ýòî äîñòèãàåòñÿ çà ñ÷åò âîçìîæíîñòè îáðàçîâàíèÿ â ìîëåêóëå ÄÍÊ
ïåðåãèáîâ, ïåòåëü, ñóïåðñïèðàëåé, ÷òî ôîðìèðóåò åå òðåòè÷íóþ
ñòðóêòóðó.
Îñîáîå ñòðîåíèå ìîëåêóëû ÄÍÊ — ïëîòíàÿ óïàêîâêà àçîòèñ-
òûõ îñíîâàíèé, ñâÿçàííûõ ñèëüíûìè è ñëàáûìè âçàèìîäåéñòâèÿ-
ìè, — îáåñïå÷èâàåò âûñîêóþ ñîõðàííîñòü ãåíîâ äàæå ïðè çíà÷è-
òåëüíûõ âàðèàöèÿõ óñëîâèé îêðóæàþùåé ñðåäû. Êîìïëåìåíòàðíûå
ïàðû îñíîâàíèé ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì âîäîðîäíûìè ñâÿçÿìè, êî-
òîðûå îòíîñÿòñÿ ê ñëàáûì âçàèìîäåéñòâèÿì. Íàïðèìåð, äëÿ ×Ö-
ïàð ýíåðãèÿ ñâÿçè Å
ñâ ñîñòàâëÿåò âñåãî ëèøü 5 êÄæ/ìîëü, à êîí-
ñòàíòà äèññîöèàöèè Ê, ñîãëàñíî óðàâíåíèþ Áîëüöìàíà, —
5000 1
exp exp 0,14
8, 3 1 3 0 9 7 E
K
RT

=− =− ==




  , (6.7.2)
òî åñòü â îäíîìîëÿðíîì ðàñòâîðå íà êàæäûå 7 ïàð îñíîâàíèé ïðè-
õîäèòñÿ îäíà ðàçîðâàííàÿ. Äëÿ äâóõ ïàð îñíîâàíèé êîíñòàíòà äèñ-
ñîöèàöèè ñîñòàâëÿåò (1/7)
2 = 1/49. Äëÿ öåïè èç íåñêîëüêèõ òûñÿ÷
ïàð íóêëåîòèäîâ êîíñòàíòà äèññîöèàöèè óæå íàñòîëüêî ìàëà, ÷òî
ðàâíîâåñèå ïî÷òè ïîëíîñòüþ ñìåùåíî â ñòîðîíó îáðàçîâàíèÿ êîì-
ïëåêñîâ ïàð îñíîâàíèé.
Âòîðè÷íàÿ ñòðóêòóðà ÄÍÊ ÿâëÿåòñÿ ñòàáèëüíîé ëèøü â îïðåäå-
ëåííûõ óñëîâèÿõ. Èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû, ðàñòâîðèòåëÿ, ðÍ, èîí-
íîãî ñîñòàâà ñðåäû ìîæåò ïðèâåñòè ê ðàçðóøåíèþ ñëàáûõ âîäîðîä-
íûõ ñâÿçåé ìåæäó ïàðàìè íóêëåîòèäîâ è îáðàçîâàíèþ âìåñòî
äâîéíîé ñïèðàëè ÄÍÊ èëè äâóñïèðàëüíûõ ó÷àñòêîâ ÐÍÊ îòäåëü-
íûõ íóêëåîòèäíûõ öåïåé, ñâîðà÷èâàþùèõñÿ â êëóáîê. Ýòîò ïðîöåññ
íàçûâàåòñÿ äåíàòóðàöèåé èëè ïëàâëåíèåì íóêëåèíîâûõ êèñëîò.
 ïðîöåññå ïëàâëåíèÿ ÄÍÊ ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå âÿçêîñòè
ðàñòâîðà, à â îáëàñòè ìàêñèìàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ (260 íì) – óâåëè-
÷åíèå îïòè÷åñêîé ïëîòíîñòè (ãèïîõðîìèçì). Ïîýòîìó ÿâëåíèå ïëàâ-
ëåíèÿ ëåãêî îáíàðóæèòü ïî ñïåêòðó ïîãëîùåíèÿ ÄÍÊ (ðèñ. 6.7.5).
Èçìåíåíèå ïîãëîùåíèÿ ÄÍÊ ïðè ïåðåõîäå ñïèðàëü—êëóáîê äàåò
êîëè÷åñòâåííóþ îöåíêó ñïèðàëüíîñòè ÄÍÊ
1. Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

193
Ðèñ. 6.7.5. Çàâèñèìîñòü îïòè÷åñêîé ïëîòíî-
ñòè D îò äëèíû âîëíû λ äëÿ ñïèðàëüíîé (1)
è êëóáêîîáðàçíîé (2) êîíôîðìàöèé ÄÍÊ òè-
ìóñà òåëåíêà â òÿæåëîé âîäåÐèñ. 6.7.6. Ïåðåõîä ñïèðàëü—êëó-
áîê â ÄÍÊ:
θ — äîëÿ ñïèðàëèçîâàííûõ çâåíüåâ;
θ = 1 äëÿ ïîëíîñòüþ ñïèðàëèçîâàííîé
ÄÍÊ; θ = 0 äëÿ ïîëíîñòüþ ðàñïëåòåí-
íîé ÄÍÊ
ÄÍÊ õàðàêòåðèçóåòñÿ íå îïðåäåëåííîé òåìïåðàòóðîé ïëàâëå-
íèÿ, à íåêîòîðûì òåìïåðàòóðíûì èíòåðâàëîì, â êîòîðîì ïðîèñ-
õîäèò ïåðåõîä ñïèðàëü—êëóáîê. S-îáðàçíûé âèä êðèâîé ïëàâëå-
íèÿ (ðèñ. 6.7.6) ñâèäåòåëüñòâóåò î êîîïåðàòèâíîñòè ýòîãî ïðîöåññà.
Òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ äâîéíîé ñïèðàëè ÄÍÊ çàâèñèò îò ñî-
îòíîøåíèÿ ÀÒ- è ÃÖ-ïàð. Àäåíèí ñâÿçàí ñ òèìèíîì äâóìÿ âîäî-
ðîäíûìè ñâÿçÿìè, à ãóàíèí ñ öèòîçèíîì — òðåìÿ. Ïîýòîìó, ÷åì
áîëüøå â ñîñòàâå ÄÍÊ ÃÖ-ïàð, òåì âûøå åå òåìïåðàòóðà ïëàâëå-
íèÿ. Òàê, äëÿ ñèíòåòè÷åñêîãî ïîëèìåðà ïîëè-ÀÒ òåìïåðàòóðà ïëàâ-
ëåíèÿ ñîñòàâëÿåò 65 °Ñ, à äëÿ ïîëè-ÃÖ — 104 °Ñ.
Çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ íóêëåèíîâûõ êèñëîò çàâèñèò
òàêæå îò êîíöåíòðàöèè êàòèîíîâ â ðàñòâîðå: ÷åì îíà âûøå, òåì
âûøå òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ (çàâèñèìîñòü áëèçêà ê ëîãàðèôìè-
÷åñêîé). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî â ðàñòâîðå ïðîèñõîäèò äèññîöè-
àöèÿ ôîñôàòíîé êèñëîòû. Îáðàçóþùèåñÿ îòðèöàòåëüíûå çàðÿäû
îòòàëêèâàþò äðóã îò äðóãà êîìïëåìåíòàðíûå öåïè. Êàòèîíû â ýòîì
ñëó÷àå êîìïåíñèðóþò îòðèöàòåëüíûé çàðÿä è óìåíüøàþò ñèëû
îòòàëêèâàíèÿ.
ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×
Çàäà÷à 6.1. Ïðè ïåðåíîñå ýòàíà èç áåíçîëà â âîäó ïðè òåìïåðàòóðå
t = 25 °Ñ ýíòàëüïèÿ H óìåíüøèëàñü íà 9240 Äæ/ìîëü, à ýíòðîïèÿ S —
íà 84 Äæ/(ìîëü•Ê). Ðàññ÷èòàéòå èçìåíåíèå ïîëíîãî òåðìîäèíàìè÷åñêî-
ãî ïîòåíöèàëà ∆G â ýòîì ïðîöåññå. Áóäåò ëè áåíçîë ðàñòâîðÿòüñÿ â âîäå?
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

194
Ðåøåíèå. Èçìåíåíèå ïîëíîãî òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ñîñòà-
âèò:
GHTS ∆=∆ −∆ ,
∆G = –9240 – 298•(–84) ≈ 15,8•10
3 Äæ/ìîëü = 15,8 êÄæ/ìîëü.
Òàê êàê ∆G > 0, òî áåíçîë ñëàáî ðàñòâîðèì â âîäå.
Çàäà÷à 6.2. Ïðè íåôåðìåíòàòèâíîì ðàçëîæåíèè ïåðåêèñè âîäîðîäà
ýíåðãèÿ àêòèâàöèè ðåàêöèè ñîñòàâëÿåò Å
àêò. í = 75 êÄæ/ìîëü, à ïðè ó÷àñ-
òèè ôåðìåíòà êàòàëàçû ñíèæàåòñÿ äî Å
àêò. ô = 8 êÄæ/ìîëü. Ðàññ÷èòàéòå,
âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èòñÿ ñêîðîñòü ôåðìåíòàòèâíîé ðåàêöèè ïî ñðàâíå-
íèþ ñ íåôåðìåíòàòèâíîé ïðè òåìïåðàòóðå t = 25 °Ñ.
Ðåøåíèå. Îòíîøåíèå ñêîðîñòåé ðåàêöèè ðàâíî îòíîøåíèþ êîíñòàíò
ýòèõ ðåàêöèé:
22
11vk
vk=,
èëè, ñîãëàñíî óðàâíåíèþ Àððåíèóñà,
.
..
. exp
exp
expE
EE
v
RT
E
vRT
RT 





==





  
   

 

,
ãäå v
ô è v í — ñêîðîñòè; . E  è . E  — ýíåðãèè àêòèâàöèè ôåðìåíòà-
òèâíîé è íåôåðìåíòàòèâíîé ðåàêöèé ñîîòâåòñòâåííî. Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñ-
ëåííûå äàííûå, ïîëó÷àåì:
33 75 10 8 10
exp
8, 81 298 v
v
⋅−⋅
=



 
 = 5,6•10 11.
Çàäà÷à 6.3. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå çàäà÷è (6.2), ðàññ÷èòàéòå, ïðè êàêîé
òåìïåðàòóðå ñðåäû t
2 ñêîðîñòü íåôåðìåíòàòèâíîé ðåàêöèè áóäåò ðàâíà
ñêîðîñòè ôåðìåíòàòèâíîé ïðè òåìïåðàòóðå t
1 = 25 °Ñ.
Ðåøåíèå. Ïðè óñëîâèè, ÷òî v
í = v ô, èç óðàâíåíèÿ Àððåíèóñà ïîëó÷àåì:
акт. ф
акт. н
21 exp expE
E
RT RT  
−=−
 
 ,
îòêóäà
1.
2
.TE
T
E =  
  .
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå äàííûå, ïîëó÷àåì:
3
1акт. н
2
3
акт. ф 298 75 10
810 TE
T
E⋅⋅
==
⋅= 2794 Ê,
2t≈ 2500 °Ñ.
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

195
ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
6.1. Â ýíåðãèþ âîäîðîäíîé ñâÿçè îñíîâíîé âêëàä âíîñèò ýíåðãèÿ ýëåê-
òðîñòàòè÷åñêîãî ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó àòîìîì âîäîðîäà è àòîìàìè O, N, F
èëè Cl. Ñ÷èòàÿ, ÷òî âçàèìîäåéñòâóþùèå àòîìû íåñóò äðîáíûé çàðÿä, ðàâ-
íûé ïîëîâèíå ýëåìåíòàðíîãî, è íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè r = 0,17 íì,
âû÷èñëèòå ýíåðãèþ âîäîðîäíîé ñâÿçè â âîäå (ε = 80) è áåëêå (ε = 3,5).
Ñðàâíèòå ïîëó÷åííûé îòâåò ñ ýíåðãèåé òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ( ~kT) ïðè
òåìïåðàòóðå Ò = 300 Ê.
6.2. Èîí Na
+ è ãðóïïà 4 PO − − íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè r =1 íì. Êàêóþ
ðàáîòó À íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü, ÷òîáû óâåëè÷èòü ýòî ðàññòîÿíèå âäâîå?
Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû ε = 80.
6.3. Âû÷èñëèòå ýíåðãèþ äèïîëü-äèïîëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë
ýòèëîâîãî ñïèðòà, íàõîäÿùèõñÿ â âîäíîì ðàñòâîðå (ε = 80) íà ðàññòîÿíèè
r = 1,2 íì ïðè òåìïåðàòóðå t = 17 °C. Äèïîëüíûé ìîìåíò ìîëåêóëû ýòè-
ëîâîãî ñïèðòà ð = 5,67•10
–30 Êë•ì.
6.4. Ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë âîäû è êèñëîðîäà íà ðàññòîÿíèè
r = 0,3 íì ðàâíà F = 0,06 ïÍ. Âû÷èñëèòå ïîëÿðèçóåìîñòü α ìîëåêóë êèñ-
ëîðîäà. Äèïîëüíûé ìîìåíò âîäû ð = 6,1•10
–30 Êë•ì; äèýëåêòðè÷åñêàÿ
ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû ε = 80.
6.5. Ïðè ïåðåíîñå íåïîëÿðíîãî ñîåäèíåíèÿ èç ïîëÿðíîãî ðàñòâîðèòå-
ëÿ â âîäó ïðè òåìïåðàòóðå t = 25 °Ñ ýíòàëüïèÿ ïîíèæàåòñÿ íà
H ∆ = –8,3 êÄæ/ìîëü, à ýíòðîïèÿ — íà S ∆ = –68 Äæ/(ìîëü•Ê). Âû÷èñ-
ëèòå èçìåíåíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè Ãèááñà 0G ∆ â ýòîì ïðîöåññå.
6.6. Ïðè ïåðåíîñå íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà íåïîëÿðíîãî ñîåäèíåíèÿ èç
íåïîëÿðíîãî ðàñòâîðèòåëÿ â âîäó ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ Ãèááñà óâåëè÷èëàñü
íà 3,85 êÄæ, ýíòàëüïèÿ è ýíòðîïèÿ óìåíüøèëèñü, ñîîòâåòñòâåííî íà 2,7
è 22,5 Äæ/Ê. Âû÷èñëèòå òåìïåðàòóðó t ðàñòâîðà.
6.7. Ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð ïåðåõîäà ìîëåêóë ýòàíà èç îäíîé òðàíñ-
êîíôîðìàöèè â äðóãóþ ÷åðåç öèñ-ôîðìó ïðè ïîâîðîòå âîêðóã Ñ–Ñ-ñâÿ-
çè íà óãîë ϕ = 120
î ðàâåí U 0 = 12,5 êÄæ/ìîëü. Ðàññ÷èòàéòå ïîòåíöèàëü-
íóþ ýíåðãèþ ìîëåêóë ýòàíà ïðè çíà÷åíèÿõ óãëà ϕ = 0, 30, 60, 120, 180, 240
è 360
î.
6.8. Îïðåäåëèòå ýôôåêòèâíûé ðàäèóñ r
0 âàí-äåð-âààëüñîâîãî âçàèìî-
äåéñòâèÿ àòîìîâ óãëåðîäà è àçîòà. Ýìïèðè÷åñêèå êîíñòàíòû ïîòåíöèàëà
Ëåííàðäà—Äæîíñà ðàâíû À = 907,2•10
–9 è  = 1537,2•10 –6 êÄæ•íì 6/ìîëü.
6.9. Ýôôåêòèâíûé ðàäèóñ r
0 âàí-äåð-âààëüñîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ
àòîìîâ êèñëîðîäà ðàâåí 0,32 íì. Âû÷èñëèòå ìèíèìàëüíóþ ýíåðãèþ èõ
âçàèìîäåéñòâèÿ, åñëè êîíñòàíòà ïîòåíöèàëà Ëåííàðäà—Äæîíñà ðàâíà
À = 609•10
–9 êÄæ•íì 12/ìîëü.
6.10. Äåíàòóðàöèÿ íåêîòîðîãî áåëêà ïðîèñõîäèò ïðè òåìïåðàòóðå
t = 45 °C è ñîïðîâîæäàåòñÿ èçìåíåíèåì ýíòàëüïèè íà âåëè÷èíó
∆Í = 175 êÄæ/ìîëü. Âû÷èñëèòå èçìåíåíèå ýíòðîïèè ∆S.
6.11. Ñêîðîñòü õèìè÷åñêîé ðåàêöèè óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïîâûøåíèåì òåì-
ïåðàòóðû. Ýòîò ýôôåêò õàðàêòåðèçóåòñÿ òåìïåðàòóðíûì êîýôôèöèåíòîì,
ðàâíûì îòíîøåíèþ ñêîðîñòè ïðè òåìïåðàòóðå (t + 10°) ê ñêîðîñòè ïðè
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

196
òåìïåðàòóðå t. Âû÷èñëèòå ýíåðãèþ àêòèâàöèè E
 ðåàêöèè, äëÿ êîòîðîé
ïðè òåìïåðàòóðå t = 27° òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ðàâåí 2.
6.12. Ïðè êîíöåíòðàöèè ñóáñòðàòà [S] = 3 ììîëü/ë ôåðìåíòàòèâíàÿ
ðåàêöèÿ ïðîòåêàåò ñî ñêîðîñòüþ v = 12 ììîëü/ìèí. Êîíñòàíòà Ìèõàýëè-
ñà k
m = 3,7 ììîëü/ë. Âû÷èñëèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü maxv ýòîé ðåàê-
öèè. Ïðè êàêîé êîíöåíòðàöèè ñóáñòðàòà
[]S′ ñêîðîñòü ðåàêöèè ðàâíà
ïîëîâèíå ìàêñèìàëüíîé?
6.13. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå çàäà÷è (6.12), âû÷èñëèòå ñêîðîñòè ðåàêöèè v
ê è v í â ïðèñóòñòâèè êîíêóðåíòíîãî è íåêîíêóðåíòíîãî èíãèáèòîðîâ, âçÿ-
òûõ â îäèíàêîâîé êîíöåíòðàöèè [I] = 2 ììîëü/ë. Êîíñòàíòà èíãèáèðîâà-
íèÿ k
i = 0,4 ììîëü/ë.
6.14. Ðàññ÷èòàéòå êîíñòàíòó äèññîöèàöèè íóêëåîòèäíîé öåïè, ñîñòî-
ÿùåé èç ÷åòûðåõ ïàð íóêëåîòèäîâ, åñëè êîíñòàíòà äèññîöèàöèè îäíîé
ïàðû íóêëåîòèäîâ ðàâíà 1/7.
ÂÎÏÐÎÑÛ ÒÅÑÒÎÂÎÃÎ ÊÎÍÒÐÎËß
6.1. Ýíåðãèÿ âàí-äåð-âààëüñîâîãî ïðèòÿæåíèÿ îáðàòíî ïðîïîðöèî-
íàëüíà:
à) r;á) r
2;â) r 6;ã) r 8;ä) r 12,
ãäå r — ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè.
6.2. Êîîðäèíàöèîííîå ÷èñëî âîäû â ñòðóêòóðå ëüäà ñîñòàâëÿåò:
à) 1; á) 2; â) 3; ã) 4; ä) 5.
6.3. Êîîðäèíàöèîííîå ÷èñëî âîäû â æèäêîì ñîñòîÿíèè ñîñòàâëÿåò
îêîëî:
à) 2,3; á) 3; â) 4; ã) 4,4; ä) 5,7.
6.4. Ïðè îáðàçîâàíèè óïîðÿäî÷åííîé ñòðóêòóðû âîäû:
à) ∆S < 0, ∆H < 0, ∆G < 0; ã) ∆S < 0, ∆H > 0, ∆G < 0;
á) ∆S > 0, ∆H > 0, ∆G > 0; ä) ∆S < 0, ∆H > 0, ∆G > 0.
â) ∆S > 0, ∆H < 0, ∆G > 0;
6.5. Ïðè ðàñòâîðåíèè â âîäå ãèäðîôîáíîãî ñîåäèíåíèÿ:
à) ∆S > 0, ∆H > 0, ∆G < 0; ã) ∆S < 0, ∆H > 0, ∆G < 0;
á) ∆S > 0, ∆H > 0, ∆G > 0; ä) ∆S < 0, ∆H < 0, ∆G > 0.
â) ∆S < 0, ∆H < 0, ∆G < 0;
6.6. Çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ìîëåêóë, èìåþùèõ îñåâóþ ñèììåòðèþ Ñ
3,
îò óãëà ïîâîðîòà ϕ ïðèáëèæåííî îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
à) U = 1/2U
0 (1 – sin3ϕ); ã) U = 1/3U 0 (1 + cos3ϕ);
á) U = 1/2U
0 (1 – cos3ϕ); ä) U = 1/4U 0 (1 – cos2ϕ).
â) U = 1/3U
0 (1 + sin2ϕ);
6.7. Â áåëêàõ êîâàëåíòíûìè ñâÿçÿìè ñòàáèëèçèðîâàíû ïðåèìóùåñò-
âåííî:
à) òîëüêî ïåðâè÷íàÿ ñòðóêòóðà;
á) ïåðâè÷íàÿ è âòîðè÷íàÿ ñòðóêòóðû;
â) ïåðâè÷íàÿ, âòîðè÷íàÿ è òðåòè÷íàÿ ñòðóêòóðû;
ã) òîëüêî ÷åòâåðòè÷íàÿ ñòðóêòóðà;
ä) âñå òèïû îðãàíèçàöèè áåëêà.
Ãëàâà 6. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà

197
6.8. Åñëè â áåëêå îòíîøåíèå ÷èñëà ïîëÿðíûõ îñòàòêîâ ê íåïîëÿðíûì
(b) ïðåâûøàåò îòíîøåíèå îáúåìà ãèäðîôèëüíîé ôàçû ê îáúåìó ãèäðî-
ôîáíîãî ÿäðà (b
s), òî ãëîáóëà áóäåò ñòðåìèòüñÿ:
à) ïðèíÿòü ñôåðè÷åñêóþ ôîðìó;
á) ïðèíÿòü âûòÿíóòóþ ôîðìó;
â) îáðàçîâàòü íàäìîëåêóëÿðíóþ ñòðóêòóðó;
ã) ïðàâèëüíûé îòâåò íå ïðèâåäåí.
6.9. Äåéñòâèå ôåðìåíòîâ ñâîäèòñÿ:
à) ê óâåëè÷åíèþ ñâîáîäíîé ýíåðãèè êîíå÷íîãî ïðîäóêòà;
á) óìåíüøåíèþ ñâîáîäíîé ýíåðãèè êîíå÷íîãî ïðîäóêòà;
â) óâåëè÷åíèþ ýíåðãèè àêòèâàöèè êàòàëèçèðóåìîé ðåàêöèè;
ã) óìåíüøåíèþ ýíåðãèè àêòèâàöèè êàòàëèçèðóåìîé ðåàêöèè;
ä) èçìåíåíèþ õèìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ â ðåàêöèÿõ.
6.10. Óðàâíåíèå Ìèõàýëèñà—Ìåíòåí èìååò âèä:
à)
max []
[]
m
vS
v
kS+
=;ã) max
2
[] m
v
v
kS =
+;
á)
max
[] mkS
v
v+
=;ä) max []
[]
m
vS
v
kS =
+.
â)
max
max
[] m
v
v
kSv =
+;
6.11. Â ïðèñóòñòâèè êîíêóðåíòíîãî èíãèáèòîðà:
à) ñêîðîñòü ðåàêöèè íå èçìåíÿåòñÿ;
á) ñêîðîñòü ðåàêöèè óâåëè÷èâàåòñÿ;
â) ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ðåàêöèè íå èçìåíÿåòñÿ;
ã) ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ðåàêöèè óìåíüøàåòñÿ;
ä) ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ðåàêöèè óâåëè÷èâàåòñÿ.
6.12. Â ïðèñóòñòâèè íåêîíêóðåíòíîãî èíãèáèòîðà:
à) ñêîðîñòü ðåàêöèè íå èçìåíÿåòñÿ;
á) ñêîðîñòü ðåàêöèè óâåëè÷èâàåòñÿ;
â) ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ðåàêöèè íå èçìåíÿåòñÿ;
ã) ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ðåàêöèè óìåíüøàåòñÿ;
ä) ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ðåàêöèè óâåëè÷èâàåòñÿ.
6.13. ßâëåíèå ãèïîõðîìèçìà ÄÍÊ çàêëþ÷àåòñÿ:
à) â óâåëè÷åíèè îïòè÷åñêîé ïëîòíîñòè â îáëàñòè 260 íì ïðè ïåðåõîäå
ñïèðàëü—êëóáîê;
á) óâåëè÷åíèè âÿçêîñòè;
â) çíà÷èòåëüíîì ñäâèãå ìàêñèìóìà ñïåêòðà ïîãëîùåíèÿ â êîðîòêî-
âîëíîâóþ îáëàñòü;
ã) óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà âîäîðîäíûõ ñâÿçåé ìåæäó íóêëåîòèäàìè;
ä) óìåíüøåíèè êîíñòàíòû äèññîöèàöèè íóêëåîòèäíûõ ïàð.
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

Ãëàâà 7
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÆÈÄÊÎÑÒÅÉ
È ÒÂÅÐÄÛÕ ÒÅË
Æèäêîñòè ñîñòàâëÿþò íàèáîëüøóþ ÷àñòü ëþáîãî æèâîãî îðãà-
íèçìà, ïðåäñòàâëÿÿ ñîáîé ñðåäó, â êîòîðîé ðàñòâîðåíû âåùåñòâà,
ðàñïîëàãàþòñÿ ìàêðîìîëåêóëû, îðãàíåëëû, êëåòêè. Æèäêîñòè ïðè-
íèìàþò íåïîñðåäñòâåííîå ó÷àñòèå â îáìåíå âåùåñòâ è ðàñïðåäå-
ëåíèè ëåêàðñòâ â îðãàíèçìå. Çíàíèå èõ ìîëåêóëÿðíîé ñòðóêòóðû,
çàêîíîâ ïåðåìåùåíèÿ, òàêèõ ñâîéñòâ, êàê âÿçêîñòü, ïîâåðõíîñòíîå
íàòÿæåíèå, íåîáõîäèìî ïðè èçó÷åíèè çàêîíîâ êðîâîîáðàùåíèÿ
è ðÿäà äðóãèõ áèîôèçè÷åñêèõ ïðîáëåì.
Èíôîðìàöèÿ î ñòðóêòóðå è ñâîéñòâàõ òâåðäûõ òåë ïîçâîëÿåò
èçó÷àòü ðàáîòó îïîðíî-äâèãàòåëüíîãî àïïàðàòà, ïðîöåññû äåôîð-
ìàöèè òêàíåé, îðãàíîâ, êëåòîê.
§ 7.1. ÑÒÐÎÅÍÈÅ ÆÈÄÊÎÑÒÅÉ
Ïðè ïîíèæåíèè òåìïåðàòóðû è óìåíüøåíèè îáúåìà ãàç ïåðå-
õîäèò â æèäêîå ñîñòîÿíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòî÷íûì ìåæ-
äó ãàçîîáðàçíûì è òâåðäûì. Îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ æèäêîñòè
îãðàíè÷åíà ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ôàçîâûì ïåðåõîäîì â òâåð-
äîå ñîñòîÿíèå (êðèñòàëëèçàöèÿ), à ïðè âûñîêèõ — â ãàçîîáðàçíîå
(èñïàðåíèå).
Ðàññòîÿíèå ìåæäó ìîëåêóëàìè âåùåñòâà, íàõîäÿùåãîñÿ â æèä-
êîì ñîñòîÿíèè, ñóùåñòâåííî ìåíüøå, ÷åì ìåæäó ìîëåêóëàìè ãàçà,
ïîýòîìó â æèäêîñòÿõ áîëüøîå çíà÷åíèå èìåþò ñèëû ìåæìîëåêó-
ëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðûå óäåðæèâàþò ìîëåêóëû æèäêî-
ñòè äðóã âîçëå äðóãà çíà÷èòåëüíîå âðåìÿ. Îáëàäàÿ äîâîëüíî âûñî-
êîé ïîäâèæíîñòüþ è ïîñòîÿííî ïåðåìåùàÿñü èç îäíîãî ïîëîæåíèÿ
â äðóãîå, ìîëåêóëû æèäêîñòè ñîâåðøàþò õàîòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.
 æèäêîñòè ñóùåñòâóþò èçìåíÿþùèåñÿ ñêîïëåíèÿ (êëàñòåðû)
àòîìîâ è ìîëåêóë, îáëàäàþùèå îïðåäåëåííîé óïîðÿäî÷åííîñòüþ.

199
Ðåíòãåíîâñêèå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ìèêðîñòðóêòóðà æèä-
êîñòè çíà÷èòåëüíî áëèæå ê òâåðäûì òåëàì, ÷åì ê ãàçàì.  æèäêî-
ñòÿõ íå òîëüêî îáðàçóþòñÿ è ðàçðóøàþòñÿ êëàñòåðû, íî è ïðîèñõî-
äÿò ôëóêòóàöèè äâèæåíèÿ ìàññû â ìèêðîîáúåìàõ æèäêîñòè, äàæå
â òîì ñëó÷àå, åñëè ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ æèäêîñòè êàê öåëî-
ãî ðàâíà íóëþ.
Äëÿ æèäêîñòåé õàðàêòåðåí òàê íàçûâàåìûé áëèæíèé ïîðÿäîê
ðàñïîëîæåíèÿ ÷àñòèö, à èìåííî ÷àñòèöû, íàõîäÿùèåñÿ íà íåáîëü-
øîì, ñðàâíèìîì ñ ìåæìîëåêóëÿðíûì, ðàññòîÿíèè îò çàäàííîé
÷àñòèöû, ðàñïîëîæåíû â òîé èëè èíîé ñòåïåíè óïîðÿäî÷åííî ïî
îòíîøåíèþ ê íåé. Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ðàññòîÿíèÿ ýòîò ïîðÿäîê
èñ÷åçàåò, â òî âðåìÿ êàê äëÿ êðèñòàëëè÷åñêèõ òåë óïîðÿäî÷åííîñòü
ñîõðàíÿåòñÿ â çíà÷èòåëüíûõ îáúåìàõ (òàê íàçûâàåìûé äàëüíèé ïî-
ðÿäîê).
Âñå ýòî â öåëîì îáóñëîâëèâàåò ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà
æèäêîñòè, òàêèå, êàê òåêó÷åñòü, ìàëàÿ ñæèìàåìîñòü, áîëüøàÿ ñà-
ìîäèôôóçèÿ è ò. ï.
Ïî ìåðå óìåíüøåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè æèäêîñòè
áûñòðî âîçðàñòàþò ñèëû îòòàëêèâàíèÿ, è ïîýòîìó êîýôôèöèåíò
ñæèìàåìîñòè
1d
dV
K
Vp =− ⋅ (7.1.1)
î÷åíü ìàë. ×èñëîâîå çíà÷åíèå K äëÿ áîëüøèíñòâà æèäêîñòåé ïî-
ðÿäêà 0,2—1,5 ÃÏà
–1. Ïîýòîìó â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ æèäêîñòü
ìîæíî ñ÷èòàòü íåñæèìàåìîé.
Æèäêîñòè èìåþò îáùèå ñâîéñòâà è ñ ãàçàìè, è ñ òâåðäûìè òåëà-
ìè. Ïîäîáíî ãàçàì, æèäêîñòè ïðèíèìàþò ôîðìó ñîñóäà, â êîòîðîì
íàõîäÿòñÿ, íå èìåþò äàëüíåãî ïîðÿäêà ðàñïîëîæåíèÿ ÷àñòèö; ïîäîáíî
òâåðäûì òåëàì, çàíèìàþò îïðåäåëåííûé îáúåì, èìåþò áîëüøóþ
ïëîòíîñòü è ìàëóþ ñæèìàåìîñòü, ñîõðàíÿþò óïîðÿäî÷åííîñòü â ðàñ-
ïîëîæåíèè ÷àñòèö, íî òîëüêî íà íåáîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ.
 öåëîì ïðîáëåìà ñòðîåíèÿ æèäêîñòåé èçó÷åíà åùå íåäîñòà-
òî÷íî. Äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè îòñóòñòâóåò ñòðîãàÿ è îáùåïðèç-
íàííàÿ òåîðèÿ ýòîãî âîïðîñà. Îò÷àñòè ýòî âûçâàíî ïðîìåæóòî÷-
íûì ïîëîæåíèåì æèäêîñòåé ìåæäó ãàçàìè è òâåðäûìè òåëàìè.
Ñîãëàñíî íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé òåîðèè ß. È. Ôðåíêåëÿ, âäàëè
îò êðèòè÷åñêîé òî÷êè ìîëåêóëû æèäêîñòè ñîâåðøàþò íåðåãóëÿð-
íûå êîëåáàíèÿ ñî ñðåäíåé ÷àñòîòîé 1/τ
0 (áëèçêîé ê ÷àñòîòàì êîëå-
áàíèé ÷àñòèö â êðèñòàëëàõ) îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, âðåìÿ
îò âðåìåíè ïåðåñêàêèâàÿ â íîâîå ïîëîæåíèå íà ðàññòîÿíèå δ, ðàâ-
íîå ñðåäíåìó ðàññòîÿíèþ ìåæäó ñîñåäíèìè ÷àñòèöàìè: § 7.1. Ñòðîåíèå æèäêîñòåé

200
3
3
A 1
NM
n δ≈ =

ρ, (7.1.2)
ãäå n — êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë æèäêîñòè (÷èñëî ÷àñòèö â åäèíèöå
îáúåìà); M — åå ìîëÿðíàÿ ìàññà; N
A — ÷èñëî Àâîãàäðî; ρ — ïëîò-
íîñòü æèäêîñòè. Ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû δ ðàâíî ðàçìåðó ñàìèõ ìî-
ëåêóë (
10 ~10 − δ ì).
Êàæäûé ñêà÷îê ïðîèñõîäèò ïðè ñîîáùåíèè ìîëåêóëå ýíåðãèè
àêòèâàöèè
актE , äîñòàòî÷íîé äëÿ ðàçðûâà ñâÿçåé ñ îêðóæàþùèìè
ìîëåêóëàìè è ïåðåõîäà â îêðóæåíèå äðóãèõ ìîëåêóë. Ñðåäíåå âðå-
ìÿ æèçíè ìîëåêóëû âî âðåìåííîì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ, òàê
íàçûâàåìîå âðåìÿ ðåëàêñàöèè, ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî ïî ôîðìóëå,
âûòåêàþùåé èç ðàñïðåäåëåíèÿ Áîëüöìàíà:
акт
0 expE
kT 
τ=τ

 , (7.1.3)
ãäå τ
0 — ñðåäíèé ïåðèîä êîëåáàíèé ìîëåêóëû îêîëî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ â äàííûõ óñëîâèÿõ ( 12
0 ~10 − τ ñ); k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüö-
ìàíà; Ò — òåìïåðàòóðà. Âåëè÷èíà τ ñîñòàâëÿåò 12 11 10 – 10 −− ñ äëÿ
íèçêîìîëåêóëÿðíûõ æèäêîñòåé è óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì ìîëåêó-
ëÿðíîé ìàññû.
Èñòî÷íèêîì ýíåðãèè àêòèâàöèè ÿâëÿåòñÿ òåïëîâîå äâèæåíèå
ñîñåäíèõ ìîëåêóë, ïîýòîìó ÷àñòîòà ïåðåñêîêîâ ðåçêî âîçðàñòàåò
ñ óâåëè÷åíèåì òåìïåðàòóðû, ÷òî âëå÷åò çà ñîáîé çíà÷èòåëüíîå
óìåíüøåíèå âÿçêîñòè æèäêîñòè. Òàê, äëÿ âîäû ïîâûøåíèå òåìïå-
ðàòóðû îò 0 äî 70 °Ñ âûçûâàåò ïîíèæåíèå âÿçêîñòè â 4,5 ðàçà.
 ðåçóëüòàòå áîëüøîãî ÷èñëà ïåðåñêîêîâ ìîëåêóë â æèäêîñòÿõ
ïðîèñõîäèò ñàìîäèôôóçèÿ, îïèñûâàåìàÿ çàêîíîì Ôèêà. Êîýôôè-
öèåíò äèôôóçèè äëÿ æèäêîñòè çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû T, ðàçìå-
ðîâ äèôôóíäèðóþùèõ ìîëåêóë è âÿçêîñòè ñðåäû η. Äëÿ ñôåðè÷å-
ñêèõ ìîëåêóë êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïî
ôîðìóëå:
6kT
D
R =
πη , (7.1.4)
ãäå R — ðàäèóñ äèôôóíäèðóþùèõ ìîëåêóë.
Êîýôôèöèåíò äèôôóçèè â æèäêîñòÿõ íà ÷åòûðå-ïÿòü ïîðÿäêîâ
ìåíüøå, ÷åì â ãàçàõ. Ýòî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ñðåäíÿÿ äëèíà ñâî-
áîäíîãî ïðîáåãà â æèäêîñòÿõ ïðèìåðíî íà òðè ïîðÿäêà, à ñðåäíÿÿ
ñêîðîñòü
/ v=δ τ — íà îäèí-äâà ïîðÿäêà ìåíüøå, ÷åì â ãàçàõ.
Òåïëîåìêîñòü æèäêîñòè ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò òåïëîåìêîñòè òâåð-
äîé ôàçû âáëèçè òî÷êè ïëàâëåíèÿ è çàâèñèò îò ìîëåêóëÿðíîé ñòðóê-
òóðû. Æèäêîñòè ñ áîëüøèì ìîëåêóëÿðíûì âåñîì îáëàäàþò îáû÷-Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

201
íî áîëüøèìè çíà÷åíèÿìè òåïëîåìêîñòåé. Îñîáåííî îò÷åòëèâî ýòî
ïðîÿâëÿåòñÿ äëÿ îðãàíè÷åñêèõ æèäêîñòåé, ìîëåêóëû êîòîðûõ ñî-
ñòîÿò èç áîëüøîãî ÷èñëà àòîìîâ ëåãêèõ ýëåìåíòîâ Í, Î, Ñ, N.
Òåïëîåìêîñòè òàêèõ æèäêîñòåé ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò òåìïåðà-
òóðû. Äëÿ îðãàíè÷åñêèõ æèäêîñòåé ýòà çàâèñèìîñòü èìååò âèä:
Cabt=+ , (7.1.5)
ãäå à è b — êîýôôèöèåíòû, îäèíàêîâûå äëÿ äàííîãî êëàññà æèä-
êîñòåé; t — òåìïåðàòóðà, [t] = °Ñ.
Ñóùåñòâóþò òâåðäûå òåëà, íàçûâàåìûå àìîðôíûìè (íàïðèìåð,
ñòåêëî, ñìîëû), êîòîðûå ïî ñâîèì ñâîéñòâàì áîëåå áëèçêè ê æèä-
êîñòÿì, ÷åì ê òâåðäûì òåëàì. Ïî ñóòè àìîðôíûå òåëà ÿâëÿþòñÿ
ïåðåîõëàæäåííûìè æèäêîñòÿìè ñ î÷åíü íèçêèìè çíà÷åíèÿìè êî-
ýôôèöèåíòà âÿçêîñòè è áîëüøèìè âåëè÷èíàìè âðåìåí ðåëàêñàöèè.
Êàê ïðàâèëî, æèäêîñòè èçîòðîïíû, òî åñòü èõ ñâîéñòâà îäèíà-
êîâû ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò òàê íàçûâà-
åìûå æèäêèå êðèñòàëëû — æèäêîñòè, ñîñòîÿùèå èç óäëèíåííûõ,
óïîðÿäî÷åííî îðèåíòèðîâàííûõ ìîëåêóë, âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå
êîòîðûõ, òàê æå, êàê è â îáû÷íûõ æèäêîñòÿõ, íå îáíàðóæèâàåò
äàëüíåãî ïîðÿäêà. Ïîäðîáíåå ÿâëåíèÿ èçîòðîïèè è àíèçîòðîïèè
ðàññìîòðåíû â § 7.4.
§ 7.2. ÃÈÄÐÎÑÒÀÒÈÊÀ È ÃÈÄÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ
Ãèäðîñòàòèêîé íàçûâàåòñÿ ðàçäåë ãèäðîìåõàíèêè, â êîòîðîì
èçó÷àåòñÿ ðàâíîâåñèå æèäêîñòè è âîçäåéñòâèå ïîêîÿùåéñÿ æèä-
êîñòè íà ïîãðóæåííûå â íåå òåëà.
Ç à ê î í Ï à ñ ê à ë ÿ ãëàñèò: äàâëåíèå, îêàçûâàåìîå íà æèä-
êîñòü â êàêîé-ëèáî åå òî÷êå (ñèëà òÿæåñòè ïðè ýòîì íå ó÷èòûâàåò-
ñÿ), ïåðåäàåòñÿ ýòîé æèäêîñòüþ îäèíàêîâî âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ.
Äàâëåíèå, îêàçûâàåìîå íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ íà ãëóáèíå h
â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, ðàâíî:
pgh= ρ , (7.2.1)
ãäå ρ — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; g —óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè.
Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ç à ê î í À ð õ è ì å ä à: íà òåëî,
ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü (ãàç), äåéñòâóåò âûòàëêèâàþùàÿ (ïîäúåì-
íàÿ) ñèëà F
â, ÷èñëåííî ðàâíàÿ âåñó æèäêîñòè (ãàçà) â îáúåìå, âû-
òåñíåííîì òåëîì:
вFgV= ρ , (7.2.2) § 7.2. Ãèäðîñòàòèêà è ãèäðîäèíàìèêà

202
ãäå V — îáúåì æèäêîñòè (ãàçà), âûòåñíåííûé òåëîì; ρ — ïëîòíîñòü
æèäêîñòè (ãàçà).
Ãèäðîäèíàìèêîé íàçûâàåòñÿ ðàçäåë ãèäðîìåõàíèêè, â êîòîðîì
èçó÷àåòñÿ äâèæåíèå íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé è èõ âçàèìîäåéñòâèå
ñ òâåðäûìè òåëàìè.
Ðàññìîòðèì îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè èäåàëüíîé æèä-
êîñòè. Èäåàëüíîé æèäêîñòüþ íàçûâàåòñÿ íåñæèìàåìàÿ è íå èìåþ-
ùàÿ âÿçêîñòè æèäêîñòü. Â äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè ìîæíî âûäåëèòü
ëèíèè òîêà — êðèâûå, êàñàòåëüíûå â êàæäîé òî÷êå êîòîðûõ ñî-
âïàäàþò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà ñêîðîñòè ÷àñòèö â ýòèõ òî÷êàõ.
Ïîâåðõíîñòü, îáðàçîâàííàÿ ëèíèÿìè òîêà, ïðîâåäåííûìè ÷åðåç
âñå òî÷êè ìàëîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà, íàçûâàåòñÿ òðóáêîé òîêà.
Äâèæåíèå æèäêîñòè íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ æèäêîñòè â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà åå òå÷åíèÿ íå
èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå äâèæåíèå æèäêîñòè
íåñòàöèîíàðíî.
Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ çàêîíîâ ãèäðîäèíàìèêè óäîáíî ââåñòè ïî-
íÿòèÿ ëèíåéíîé è îáúåìíîé ñêîðîñòè òå÷åíèÿ æèäêîñòè. Ëèíåé-
íîé ñêîðîñòüþ v íàçûâàåòñÿ ïóòü, ïðîõîäèìûé ÷àñòèöàìè æèäêî-
ñòè çà åäèíèöó âðåìåíè. Îáúåìíîé ñêîðîñòüþ Q, èëè ïîòîêîì
æèäêîñòè, íàçûâàåòñÿ îáúåì æèäêîñòè, ïðîòåêàþùèé ÷åðåç ïîïå-
ðå÷íîå ñå÷åíèå òðóáêè òîêà çà åäèíèöó âðåìåíè. Ëèíåéíàÿ è îáúåì-
íàÿ ñêîðîñòè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ïðîñòûì ñîîòíîøåíèåì:
QvS= , (7.2.3)
ãäå S — ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðóáêè òîêà.
Åñëè òå÷åíèå æèäêîñòè ñòàöèîíàðíî, òî ÷åðåç ïðîèçâîëüíîå
ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå îäíîé è òîé æå òðóáêè òîêà ïðîòåêàåò îäèíà-
êîâûé îáúåì íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â åäèíèöó âðåìåíè, òî åñòü
const QvS== . (7.2.4)
Âûðàæåíèå (7.2.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóùíîñòü òåîðåìû î íå-
ðàçðûâíîñòè ñòðóè.
Ïðè ñòàöèîíàðíîì äâèæåíèè èäåàëüíîé æèäêîñòè â ïîëå ñèë
òÿãîòåíèÿ âäîëü òðóáêè òîêà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíà:
2
const
2v
gh p ρ
+ρ + = , (7.2.5)
ãäå ρ — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; v — ñêîðîñòü ýëåìåíòà îáúåìà æèä-
êîñòè; g — óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè; h — âûñîòà ðàñïîëîæåíèÿ
ýëåìåíòà îáúåìà æèäêîñòè, èçìåðåííàÿ îòíîñèòåëüíî íåêîåãî óðîâ-
íÿ îòñ÷åòà; ð — äàâëåíèå.Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

203
Ñîîòíîøåíèå (7.2.5) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Áåðíóëëè. Ïåðâûé
÷ëåí â ýòîì óðàâíåíèè — ãèäðîäèíàìè÷åñêîå äàâëåíèå, âòîðîé —
ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå, à òðåòèé — ñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå, ñæè-
ìàþùåå ÷àñòèöó æèäêîñòè.
Ñëàãàåìûå, âõîäÿùèå â óðàâíåíèå Áåðíóëëè, èìåþò è äðóãîé
ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Ïåðâîå èç íèõ ðàâíî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
åäèíèöû îáúåìà æèäêîñòè; ñóììà äâóõ âòîðûõ — ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè åäèíèöû îáúåìà. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå Áåðíóëëè
îòðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ïîòîêà
èäåàëüíîé æèäêîñòè.
Òåîðåìà î íåðàçðûâíîñòè ñòðóè è óðàâíåíèå Áåðíóëëè áûëè
äîêàçàíû äëÿ òå÷åíèÿ èäåàëüíûõ æèäêîñòåé â óçêèõ òðóáêàõ òîêà.
Îäíàêî ýòè çàêîíû ïðèìåíèìû è äëÿ òå÷åíèÿ ðåàëüíûõ æèäêîñòåé
ïî òðóáàì â òîì ñëó÷àå, åñëè: 1) â êàæäîé òî÷êå ïðîèçâîëüíîãî ñå-
÷åíèÿ òðóáû ñêîðîñòè òå÷åíèÿ æèäêîñòè ìàëî îòëè÷àþòñÿ, è äëÿ
êàæäîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ìîæíî çàäàòü îäíî çíà÷åíèå ñêîðî-
ñòè è 2) ñæèìàåìîñòü è âÿçêîñòü æèäêîñòè íåâåëèêè, è â äàííûõ
óñëîâèÿõ èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Äî ñèõ ïîð ìû íå ó÷èòûâàëè òàêîå âàæíîå ñâîéñòâî æèäêîñòè,
êàê âÿçêîñòü, èëè âíóòðåííåå òðåíèå. Èäåàëüíàÿ æèäêîñòü, â êî-
òîðîé îòñóòñòâóåò âÿçêîñòü, ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ôèçè÷åñêèõ àáñò-
ðàêöèé. Ñâîéñòâî âÿçêîñòè ïðèñóùå âñåì ðåàëüíûì æèäêîñòÿì.
Âÿçêîñòü æèäêîñòåé ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû è äàâ-
ëåíèÿ. Ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû âÿçêîñòü æèäêîñòåé áûñòðî
óìåíüøàåòñÿ [ñì. § 4.6], ñ óâåëè÷åíèåì äàâëåíèÿ — âîçðàñòàåò.
Âÿçêîñòü çàâèñèò îò ìîëÿðíîãî îáúåìà æèäêîñòè ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì:
c
Vb
µ
η=
− , (7.2.6)
ãäå
Vµ — ìîëÿðíûé îáúåì æèäêîñòè; b — êîíñòàíòà â óðàâíåíèè
Âàí-äåð-Âààëüñà (ñì. § 4.4); ñ — ïîñòîÿííàÿ.
Îñíîâíûì çàêîíîì âÿçêîãî òå÷åíèÿ æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ ôîð-
ìóëà Íüþòîíà:
d
dv
FS
x =−η , (7.2.7)
ãäå F — ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâ âåêòîðà ñêîðî-
ñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ãðàäèåíòó; η — êîýôôèöèåíò äèíàìè÷å-
ñêîé âÿçêîñòè,
[]η = ; v — ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ñëîÿ æèäêîñòè
èëè ãàçà, ïåðåìåùàþùåãîñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè õ;
d/dvx —
ãðàäèåíò ñêîðîñòè â íàïðàâëåíèè îñè õ; S — ïëîùàäü ñîïðèêàñà-
þùèõñÿ ñëîåâ æèäêîñòè. § 7.2. Ãèäðîñòàòèêà è ãèäðîäèíàìèêà

204
Æèäêîñòè, òå÷åíèå êîòîðûõ ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ (7.2.7),
íàçûâàþòñÿ íüþòîíîâñêèìè. Äëÿ íèõ êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè ÿâëÿ-
åòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé ïðè äàííûõ òåìïåðàòóðå è äàâëåíèè
è íå çàâèñèò îò óñëîâèé òå÷åíèÿ æèäêîñòè, à ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ
ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ãðàäèåíòó ñêîðîñòè (
~d /d Fvx ).
Äëÿ íåêîòîðûõ, òàê íàçûâàåìûõ íåíüþòîíîâñêèõ, æèäêîñòåé
êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè çàâèñèò íå òîëüêî îò òåìïåðàòóðû è äàâëå-
íèÿ, íî è îò ãðàäèåíòà ñêîðîñòè, à çàâèñèìîñòü ñèëû âÿçêîãî òðå-
íèÿ îò ãðàäèåíòà ñêîðîñòè íåëèíåéíà [
()~d /d n Fvx , ãäå n — íå-
êèé ïàðàìåòð, çàâèñÿùèé îò óñëîâèé òå÷åíèÿ æèäêîñòè]. Äëÿ òàêèõ
æèäêîñòåé ââîäèòñÿ ïîíÿòèå óñëîâíîãî êîýôôèöèåíòà âÿçêîñòè,
õàðàêòåðèçóþùåãî âÿçêîñòü æèäêîñòè â îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ
òå÷åíèÿ. Íåíüþòîíîâñêèìè æèäêîñòÿìè ÿâëÿþòñÿ ðàñòâîðû èç
êðóïíûõ è ñëîæíûõ ìîëåêóë, ñóñïåíçèè, â ÷àñòíîñòè, êðîâü.
Äëÿ ìåäèöèíû îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò òå÷åíèå âÿçêîé
æèäêîñòè ïî òðóáàì, òàê êàê òàêèì îáðàçîì ìîæíî ñìîäåëèðîâàòü
òå÷åíèå êðîâè ïî êðîâåíîñíûì ñîñóäàì. Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ïóà-
çåéëÿ, îáúåìíàÿ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ æèäêîñòè ÷åðåç òðóáó ðàäèóñîì
R è äëèíîé l ðàâíà
4
8R
Qp
l π
=∆
η , (7.2.8)
ãäå ∆p — ðàçíîñòü äàâëåíèé íà êîíöàõ òðóáû.
Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (7.2.8), ïîòîê æèäêîñòè ïðîïîðöèîíà-
ëåí âåëè÷èíå ïåðåïàäà äàâëåíèÿ, ïðèõîäÿùåãîñÿ íà åäèíèöó äëè-
íû (
/ pl ∆ ), ÷åòâåðòîé ñòåïåíè ðàäèóñà òðóáû è îáðàòíî ïðîïîð-
öèîíàëåí êîýôôèöèåíòó âÿçêîñòè æèäêîñòè. Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî
ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ ñïðàâåäëèâà òîëüêî äëÿ ëàìèíàðíîãî (ñì. íèæå)
òå÷åíèÿ ãîìîãåííîé æèäêîñòè ïî æåñòêèì òðóáêàì.
Ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ (7.2.8) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â ñëåäóþ-
ùåì âèäå:
p
Q
X ∆
=, (7.2.9)
ãäå âåëè÷èíà
4
8l
X

=
π (7.2.10)
íàçûâàåòñÿ ãèäðàâëè÷åñêèì, èëè ãèäðîäèíàìè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì.
Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ â ãèäðîäèíàìèêå àíàëîãè÷-
íà çàêîíó Îìà â ýëåêòðîäèíàìèêå: îáúåìíàÿ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ñî-
îòâåòñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîìó òîêó, à ïåðåïàä äàâëåíèé íà êîíöàõ
òðóáû — ýëåêòðè÷åñêîìó íàïðÿæåíèþ íà ó÷àñòêå öåïè. ÏîäîáíàÿÃëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

205
àíàëîãèÿ ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ïî-
ñëåäîâàòåëüíî èëè ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ òðóá òàê æå, êàê âû-
÷èñëÿåòñÿ ñîïðîòèâëåíèå â ïîñëåäîâàòåëüíûõ è ïàðàëëåëüíûõ ýëåêò-
ðè÷åñêèõ öåïÿõ:
123 XXXX=++
K ; (7.2.11)
123
1111
XXXX=++K


, (7.2.12)
ãäå Õ
ïîñë è Õ ïàðàë — ñóììàðíîå ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ïî-
ñëåäîâàòåëüíî è ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ òðóáîê ñîîòâåòñòâåííî.
Ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ ëåæèò â îñíîâå îäíîãî èç ìåòîäîâ îïðåäå-
ëåíèÿ âÿçêîñòè æèäêîñòè
1 — êàïèëëÿðíîãî ìåòîäà. Ïðîïóñêàÿ
æèäêîñòü ÷åðåç êàïèëëÿð èçâåñòíîãî ðàäèóñà è èçìåðÿÿ ïåðåïàä
äàâëåíèé è îáúåìíóþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ìîæíî âû÷èñëèòü âÿç-
êîñòü äàííîé æèäêîñòè.
Îäíèì èç ïðîÿâëåíèé ñâîéñòâà âÿçêîñòè ÿâëÿåòñÿ ñîïðîòèâëå-
íèå æèäêîñòåé ïðîäâèæåíèþ òåë â íèõ. Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ñëîæ-
íûì îáðàçîì çàâèñèò îò ñêîðîñòè è ãåîìåòðèè äâèæóùåãîñÿ òåëà.
Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ è íåáîëüøèõ ðàçìåðàõ òåë, òî åñòü ïðè íå-
áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ðåéíîëüäñà (ñì. íèæå), ñèëà ñîïðîòèâ-
ëåíèÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà âÿçêîñòè æèäêîñòè, ðàçìåðàì òåëà
è ñêîðîñòè åãî ïðîäâèæåíèÿ, à êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñ-
òè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìîé òåëà.
Òàê, äëÿ òåë ñôåðè÷åñêîé ôîðìû ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæå-
íèþ â âÿçêîé æèäêîñòè ðàâíà
сопр 6 FRv=− πη r
r , (7.2.13)
ãäå η — êîýôôèöèåíò äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòè æèäêîñòè; R — ðà-
äèóñ òåëà;
vr — ñêîðîñòü òåëà. Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ сопрFr íàçû-
âàåòñÿ ñèëîé Ñòîêñà, à âûðàæåíèå (7.2.13) — ôîðìóëîé Ñòîêñà.
Ôîðìóëà Ñòîêñà ëåæèò â îñíîâå äðóãîãî ìåòîäà âèñêîçèìåòðèè —
ìåòîäà Ñòîêñà.
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà òå÷åíèÿ æèäêîñòåé: ëàìèíàðíîå è òóðáó-
ëåíòíîå. Ëàìèíàðíûì (îò ëàò. lamina — ïëàñòèíêà, ïîëîñêà) íàçû-
âàåòñÿ òàêîå òå÷åíèå æèäêîñòè, ïðè êîòîðîì åå ÷àñòèöû äâèæóòñÿ
âäîëü ïëàâíûõ òðàåêòîðèé, íå ïåðåìåøèâàÿñü. Ïðè ëàìèíàðíîì
òå÷åíèè æèäêîñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñëîåâ, ñêîëüçÿ-
ùèõ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà. Òàêîå äâèæåíèå ñòàöèîíàðíî. Ïðè
ýòîì ñîñåäíèå ñëîè, äâèæóùèåñÿ ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè, èñïû-
1 Ñîâîêóïíîñòü ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ âÿçêîñòè æèäêîñòåé íàçûâàåòñÿ âèñêî-
çèìåòðèåé.
§ 7.2. Ãèäðîñòàòèêà è ãèäðîäèíàìèêà

206
òûâàþò äåéñòâèå êàñàòåëüíûõ ñèë, îáóñëîâëåííûõ ñèëàìè âíóò-
ðåííåãî òðåíèÿ.
Ïðè ëàìèíàðíîì òå÷åíèè ñêîðîñòü ñëîåâ æèäêîñòè èçìåíÿåò-
ñÿ ñ ðàññòîÿíèåì îò îñè òðóáû ïî ïàðàáîëè÷åñêîìó çàêîíó
2
0
2
() 1r
vr v
R 
=−


 , (7.2.14)
ãäå v — ñêîðîñòü ñëîÿ, íàõîäÿùåãîñÿ íà ðàññòîÿíèè r îò îñè òðó-
áû; R — ðàäèóñ òðóáû; v
0 — îñåâàÿ (ìàêñèìàëüíàÿ) ñêîðîñòü òå÷å-
íèÿ. Ïðîôèëü ñêîðîñòåé ïðè ëàìèíàðíîì òå÷åíèè ïðèâåäåí íà
ðèñ. 7.2.1, à.
Òóðáóëåíòíûì (îò ëàò. turbulentus — áóðíûé, áåñïîðÿäî÷íûé)
íàçûâàåòñÿ òàêîå òå÷åíèå æèäêîñòè, ïðè êîòîðîì åå ñêîðîñòü
è äàâëåíèå áûñòðî è íåðåãóëÿðíî èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì, ÷òî
ïðèâîäèò ê èíòåíñèâíîìó ïå-
ðåìåøèâàíèþ ìåæäó ñëîÿìè
æèäêîñòè. Òóðáóëåíòíîå òå÷å-
íèå ñâÿçàíî ñ äîïîëíèòåëüíû-
ìè çàòðàòàìè ýíåðãèè. Íå-
ñìîòðÿ íà íåðåãóëÿðíîñòü, ïðè
íåèçìåííûõ âíåøíèõ óñëîâè-
ÿõ ñðåäíÿÿ ïî âðåìåíè ñêî-
ðîñòü â êàæäîé òî÷êå ñå÷åíèÿ
òðóáû îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.
Ïðîôèëü îñðåäíåííîé ñêîðîñòè ïðè òóðáóëåíòíîì òå÷åíèè (ðèñ.
7.2.1, á) îòëè÷àåòñÿ îò ïàðàáîëè÷åñêîãî ïðîôèëÿ, õàðàêòåðíîãî äëÿ
ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ.
Ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ëàìèíàðíîå òå÷åíèå ñòàíîâèòñÿ
íåóñòîé÷èâûì. Õàðàêòåð òå÷åíèÿ æèäêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíè-
åì áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíû:
Revl ρ
=
η , (7.2.15)
íàçûâàåìîé ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà. Çäåñü ρ — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; v —
ñðåäíÿÿ ïî ïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ ñêîðîñòü ïîòîêà; l — õàðàêòåð-
íûé ðàçìåð, óêàçûâàþùèé ïîïåðå÷íûé ðàçìåð òðóáû, ïî êîòîðîé
òå÷åò æèäêîñòü, èëè ïîïåðå÷íûé ðàçìåð îáòåêàåìîãî æèäêîñòüþ
òåëà; η — äèíàìè÷åñêàÿ âÿçêîñòü æèäêîñòè. Îòíîøåíèå äèíàìè-
÷åñêîé âÿçêîñòè æèäêîñòè ê åå ïëîòíîñòè íàçûâàåòñÿ êèíåìàòè-
÷åñêîé âÿçêîñòüþ:
η
ν=
ρ, (7.2.16)
Ðèñ. 7.2.1. Ïðîôèëü îñðåäíåííîé ñêîðîñ-
òè ïðè ëàìèíàðíîì (à) è òóðáóëåíòíîì (á)
òå÷åíèè
Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

207
[ν] = ì 2/ñ. Òîãäà ôîðìóëó (7.2.15) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:
Revl
=
ν . (7.2.17)
Ïðè âåëè÷èíàõ Re, ìåíüøèõ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ, íàçûâàåìî-
ãî êðèòè÷åñêèì (
кр Re Re< ), òå÷åíèå æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ ëà-
ìèíàðíûì; ïðè
кр Re Re> — òóðáóëåíòíûì. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå òå-
÷åíèÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â òðóáå êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ñ l,
ðàâíûì äèàìåòðó
1 òðóáû, кр Re 2300≈ . Êàê âèäíî èç ôîðìóëû
(7.2.15), ÷åì áîëüøå âåëè÷èíà l, òåì ïðè áîëåå ìåíüøåé ñêîðîñòè
òå÷åíèå ïåðåõîäèò èç ëàìèíàðíîãî â òóðáóëåíòíîå.
§ 7.3. ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÛÅ ßÂËÅÍÈß
Ìîëåêóëû æèäêîñòè ðàñïîëîæåíû íà äîâîëüíî áëèçêèõ ðàññòî-
ÿíèÿõ, â ñâÿçè ñ ÷åì ìåæäó íèìè âîçíèêàþò çíà÷èòåëüíûå ñèëû
ïðèòÿæåíèÿ. Ðàññìîòðèì ìîëåêó-
ëó, íàõîäÿùóþñÿ âíóòðè æèäêî-
ñòè (ðèñ. 7.3.1, à). Òàê êàê äàííàÿ
ìîëåêóëà ñèììåòðè÷íî îêðóæåíà
äðóãèìè ìîëåêóëàìè, òî ðàâíî-
äåéñòâóþùàÿ âñåõ ñèë âçàèìîäåé-
ñòâèÿ, èñïûòûâàåìûõ åþ, ðàâíà
íóëþ. Äëÿ ìîëåêóëû, íàõîäÿùåé-
ñÿ íà ïîâåðõíîñòè, ïîäîáíàÿ ñèì-
ìåòðèÿ íàðóøàåòñÿ (ðèñ. 7.3.1, á),
â ðåçóëüòàòå ÷åãî íà íåå äåéñòâó-
åò ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, íàïðàâ-
ëåííàÿ âíóòðü æèäêîñòè. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïîâåðõíîñòíûé
ñëîé æèäêîñòè ñòðåìèòñÿ ñîêðàòèòüñÿ, âûçûâàÿ ïîÿâëåíèå ñèëû ïî-
âåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ:
Fl=σ , (7.3.1)
ãäå σ — êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ
[]σ = Í/ì; l —
äëèíà ýëåìåíòà ãðàíèöû «æèäêîñòü—îêðóæàþùàÿ ñðåäà», ïåðïåí-
äèêóëÿðíî êîòîðîé äåéñòâóåò ñèëà
F.
Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå îáóñëîâëåíî ïîâûøåííîé ýíåðãèåé
ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ ìîëåêóë æèäêîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñ ýíåðãèåé
1 Åñëè â êà÷åñòâå õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà l âçÿòü íå äèàìåòð, à ðàäèóñ òðóáû, òî
êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ÷èñëà Ðåéíîëüäñà áóäåò â äâà ðàçà ìåíüøå.
Ðèñ. 7.3.1. Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ìî-
ëåêóëó, íàõîäÿùóþñÿ âíóòðè (à) è íà
ïîâåðõíîñòè (á) æèäêîñòè
§ 7.3. Ïîâåðõíîñòíûå ÿâëåíèÿ

208
ìîëåêóë, íàõîäÿùèõñÿ â ãëóáèíå æèäêîñòè. Ïîýòîìó æèäêîñòü
â îòñóòñòâèå âíåøíèõ ñèë, ñòðåìÿñü ìàêñèìàëüíî óìåíüøèòü ýíåð-
ãèþ, ïðèíèìàåò ôîðìó ñ ìèíèìàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ, òî åñòü ôîðìó
øàðà. Ýòî æå ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî íà ñîçäàíèå ïîâåðõíîñòè æèä-
êîñòè íåîáõîäèìî çàòðàòèòü ýíåðãèþ, êîòîðàÿ ìîæåò çàòåì ïðå-
âðàòèòüñÿ â ðàáîòó, ñîâåðøàåìîé æèäêîñòüþ ïðè óìåíüøåíèè ïëî-
ùàäè ïîâåðõíîñòè, òî åñòü σ — ýòî âåëè÷èíà ñâîáîäíîé ýíåðãèè
åäèíèöû ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íà-
òÿæåíèÿ ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü êàê îòíîøåíèå ðàáîòû À, çàòðà-
÷åííîé íà óâåëè÷åíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè íà åäèíè-
öó ïëîùàäè:
A
S σ=
∆ , (7.3.2)
ãäå
S ∆ — èçìåíåíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Ñ ïîâûøå-
íèåì òåìïåðàòóðû σ óìåíüøàåòñÿ è â êðèòè÷åñêîé òî÷êå îáðàùà-
åòñÿ â íóëü.
Íåêîòîðûå âåùåñòâà, íàçûâàåìûå ïîâåðõíîñòíî-àêòèâíûìè,
ïðè äîáàâëåíèè â æèäêîñòü èçìåíÿþò åå ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæå-
íèå. Òàêèìè âåùåñòâàìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, ìûëà è æèðíûå êèñ-
ëîòû.
Íà ãðàíèöå ðàçäåëà æèäêîñòè è òâåðäîãî òåëà èëè äâóõ æèäêî-
ñòåé ìîãóò íàáëþäàòüñÿ ÿâëåíèÿ ñìà÷èâàíèÿ èëè íåñìà÷èâàíèÿ,
êîòîðûå îáóñëîâëåíû ñèëàìè âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë ýòèõ âåùåñòâ
ìåæäó ñîáîé, à òàêæå ñ ìîëåêóëàìè îêðóæàþùèõ ãàçîâ. Ïîìåñòèì
êàïëþ æèäêîñòè íà ïîâåðõíîñòü òâåðäîãî òåëà. Óãîë ìåæäó ïîâåðõ-
íîñòüþ òâåðäîãî òåëà è ïëîñêîñòüþ, êàñàòåëüíîé ê ïîâåðõíîñòè
æèäêîñòè, ãðàíè÷àùåé ñ òåëîì, íàçûâàåòñÿ êðàåâûì óãëîì θ
(ðèñ. 7.3.2). Êðàåâîé óãîë
õàðàêòåðèçóåò ñèëû âçàè-
ìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë æèä-
êèõ, òâåðäûõ è ãàçîîáðàç-
íûõ âåùåñòâ ìåæäó ñîáîé
è, ñëåäîâàòåëüíî, ñëóæèò
ìåðîé ñìà÷èâàíèÿ.
Åñëè
090<θ< ° , òî æèäêîñòü ñìà÷èâàåò âåùåñòâî.  ýòîì ñëó-
÷àå ñèëû ñöåïëåíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè æèäêîñòè è òâåðäîãî òåëà
áîëüøå ñèë ñöåïëåíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè òâåðäîãî òåëà è ãàçà, ïî-
ýòîìó æèäêîñòü ðàñòåêàåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 7.3.2, à). Ýòî ÿâ-
ëåíèå íàçûâàåòñÿ ñìà÷èâàíèåì, à ïîâåðõíîñòü — ëèîôèëüíîé. Ïðè
0 θ= æèäêîñòü íåîãðàíè÷åííî ðàñòåêàåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè òâåðäîãî
òåëà (ÿâëåíèå ïîëíîãî ñìà÷èâàíèÿ). Ïðè
90 180°<θ< ° (ðèñ. 7.3.2, á)
èìååò ìåñòî íåñìà÷èâàíèå. Ìîëåêóëàì òâåðäîãî òåëà ýíåðãåòè÷åñêè
âûãîäíåå âçàèìîäåéñòâîâàòü ñ ìîëåêóëàìè ãàçà, ÷åì ñ ìîëåêóëàìè
æèäêîñòè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî æèäêîñòü îòòàëêèâàåòñÿ îò ïîâåðõíîñ-
Ðèñ. 7.3.2. ×àñòè÷íîå ñìà÷èâàíèå (à) è íåñìà-
÷èâàíèå (á)
Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

209
òè òâåðäîãî òåëà, êîòîðàÿ â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ ëèîôîáíîé. Ïðè
180 θ= ° èìååò ìåñòî ïîëíîå íåñìà÷èâàíèå.
Ñòðåìëåíèå èñêðèâëåííîé ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè ê ñîêðàùå-
íèþ ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ äàâëåíèÿ ∆ð, äîïîëíèòåëüíîãî
ê âíåøíåìó. Âåëè÷èíà èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ ∆ð îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå Ëàïëàñà:
12
11
p
RR 
∆=σ +

 , (7.3.3)
ãäå
1R è 2R — ðàäèóñû êðèâèçíû äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿð-
íûõ ñå÷åíèé ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Äëÿ ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñ-
òè
12RR R== è, ñëåäîâàòåëüíî:
1
2
p

∆= . (7.3.4)
Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ âñåãäà íàïðàâ-
ëåíà ê öåíòðó êðèâèçíû. Ïîýòîìó â ñëó÷àå âîãíóòîé ââåðõ ïîâåðõ-
íîñòè èçáûòî÷íîå äàâëåíèå
îòðèöàòåëüíî, à â ñëó÷àå âû-
ïóêëîé ââåðõ — ïîëîæèòåëü-
íî (ðèñ. 7.3.3).
ßâëåíèå ïîâåðõíîñòíîãî
íàòÿæåíèÿ îáóñëîâëèâàåò òàê
íàçûâàåìûé êàïèëëÿðíûé ýô-
ôåêò — èçìåíåíèå âûñîòû
óðîâíÿ æèäêîñòè â óçêèõ
òðóáêàõ (êàïèëëÿðàõ) èëè çàçîðàõ. Ýôôåêò ñìà÷èâàíèÿ (íåñìà÷èâà-
íèÿ) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè â êàïèëëÿðå, îïó-
ùåííîì â ñîñóä, èìååò âîãíóòóþ (âûïóêëóþ) ôîðìó. Òàêèå èçîãíó-
òûå ïîâåðõíîñòè íàçûâàþò ìåíèñêàìè.  ïåðâîì ñëó÷àå ñèëû
èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ íàïðàâëåíû ââåðõ (ê öåíòðó êðèâèçíû) è îáåñ-
ïå÷èâàþò ïîäíÿòèå æèäêîñòè â êàïèëëÿðå ïî ñðàâíåíèþ ñ óðîâíåì
æèäêîñòè â ñîñóäå (ðèñ. 7.3.4, à), à âî âòîðîì — âíèç, â ñâÿçè ñ ÷åì
óðîâåíü æèäêîñòè â êàïèëëÿðå ïîíèæàåòñÿ (ðèñ. 7.3.4, á).
 ðàâíîâåñèè èçáûòî÷íîå äàâëåíèå ∆ð óðàâíîâåøèâàåòñÿ ãèä-
ðîñòàòè÷åñêèì äàâëåíèåì
ghρ :
2
gh

ρ= , (7.3.5)
ãäå ρ — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; h — ðàçíîñòü óðîâíåé æèäêîñòè â ñî-
ñóäå è êàïèëëÿðå; σ — ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå íà ãðàíèöå «æèä-
êîñòü — ãàç»; R — ðàäèóñ êðèâèçíû ìåíèñêà.
Ðèñ.7.3.3. Äàâëåíèå íàä ïðÿìîé è èçîãíóòû-
ìè ïîâåðõíîñòÿìè ðàçäåëà «æèäêîñòü—ãàç»:
p0 — äàâëåíèå íàä ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ; ∆p —
âåëè÷èíà èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ, äîïîëíèòåëüíî-
ãî ê òîìó, êîòîðîå èñïûòûâàåò æèäêîñòü ñ ïëîñ-
êîé ïîâåðõíîñòüþ
§ 7.3. Ïîâåðõíîñòíûå ÿâëåíèÿ

210
Èç ðèñ. 7.3.4 âèäíî, ÷òî cosr
R=
θ . Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå
â ôîðìóëó (7.3.5) è âûðàçèâ h, ïîëó÷àåì:
2cos
h
gr σθ
=
ρ . (7.3.6)
Ðèñ. 7.3.4. Êàïèëëÿðíûé ýôôåêò â ñëó÷àå ñìà÷èâàíèÿ (à) è íåñìà÷èâàíèÿ (á) æèä-
êîñòüþ ñòåíîê êàïèëëÿðà
Ýòî âûðàæåíèå èçâåñòíî êàê ôîðìóëà Æþðåíà.
Òàê êàê ïðè ñìà÷èâàíèè
090<θ< ° , òî cos 0θ> è 0 h> (æèä-
êîñòü ïîäíèìàåòñÿ); ïðè íåñìà÷èâàíèè
90 180°<θ< °, òîãäà
cos 0θ< è 0 h< (æèäêîñòü îïóñêàåòñÿ). Åñëè 90 θ= ° , òî èçìåíå-
íèå óðîâíÿ æèäêîñòè íå ïðîèñõîäèò (
0 h=).
Êàïèëëÿðíûé ýôôåêò èãðàåò âàæíóþ ðîëü â ñíàáæåíèè ðàñòå-
íèé âîäîé è ïåðåäâèæåíèè âîäû â ïî÷âå è ïîðèñòûõ òåëàõ. Íàëè-
÷èå èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ ó èñêðèâëåííîé ïîâåðõíîñòè îáúÿñíÿ-
åò îïàñíîñòü ïîïàäàíèÿ ïóçûðüêîâ âîçäóõà â êðîâåíîñíûå ñîñóäû.
Ðàññìîòðèì ïóçûðåê, íàõîäÿùèéñÿ â êðîâåíîñíîì ñîñóäå (äèà-
ìåòðû ïóçûðüêà è êðîâåíîñíîãî ñîñóäà ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíû).
Åñëè ïåðåìåùåíèå êðîâè îòñóòñòâóåò, òî äâå ñòîðîíû ïóçûðüêà
èìåþò îäèíàêîâûå ðàäèóñû êðèâèçíû è ñîîòâåòñòâåííî îäèíàêî-
âûå âåëè÷èíû èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ, êîìïåíñèðóþùèå äðóã äðó-
ãà. Äàâëåíèå, ïîä äåéñòâèåì êîòîðîãî êðîâü äâèæåòñÿ ïî ñîñóäàì,
ïðèâîäèò ê èñêðèâëåíèþ ïîâåðõíîñòåé ïóçûðüêà, âñëåäñòâèå ÷åãî
ðàçíîñòü èçáûòî÷íûõ äàâëåíèé ñ ðàçíûõ ñòîðîí ïóçûðüêà ñòàíî-
âèòñÿ îòëè÷íîé îò íóëÿ, ÷òî ìîæåò âîñïðåïÿòñòâîâàòü äâèæåíèþ
êðîâè è âûçâàòü çàêóïîðêó ñîñóäà. Âîçíèêàþùåå ïðè ýòîì çàáîëå-
âàíèå íàçûâàåòñÿ ýìáîëèåé.Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

211
§ 7.4. ÑÒÐÎÅÍÈÅ ÒÂÅÐÄÛÕ ÒÅË
Òâåðäûìè òåëàìè íàçûâàþòñÿ òåëà, ñîõðàíÿþùèå ñâîþ ôîðìó
è îáúåì. Ðàçëè÷àþò êðèñòàëëè÷åñêèå è àìîðôíûå òâåðäûå òåëà.
Êðèñòàëëè÷åñêèå òâåðäûå òåëà èìåþò ïðàâèëüíîå ïåðèîäè÷å-
ñêîå ðàñïîëîæåíèå ñîñòàâëÿþùèõ èõ ÷àñòèö, îáðàçóþùèõ êðèñòàë-
ëè÷åñêóþ ðåøåòêó.  ðàñïîëîæåíèè ÷àñòèö êðèñòàëëè÷åñêîãî òåëà
èìååò ìåñòî äàëüíèé ïîðÿäîê.  äàííîì ñëó÷àå ýíåðãèÿ âçàèìî-
äåéñòâèÿ ÷àñòèö íàìíîãî ïðåâûøàåò ýíåðãèþ èõ òåïëîâîãî äâèæå-
íèÿ
kT , êîòîðîé õâàòàåò ëèøü íà êîëåáàíèå ÷àñòèö îêîëî ïîëî-
æåíèé ðàâíîâåñèÿ (òàê íàçûâàåìûõ óçëîâ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè,
ãäå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèö ìèíèìàëüíà), íî íåäîñòàòî÷íî
äëÿ ðàçðóøåíèÿ ïðàâèëüíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ñòðóêòóðû.
Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ êðèñòàëëè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ÿâ-
ëÿåòñÿ àíèçîòðîïèÿ (îò ãðå÷. ànisos — íåðàâíûé è trîpos — íàïðàâ-
ëåíèå) — çàâèñèìîñòü ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ (ìåõàíè÷åñêèõ, òåïëî-
âûõ, ýëåêòðè÷åñêèõ, ìàãíèòíûõ, îïòè÷åñêèõ) îò íàïðàâëåíèÿ. Òåëà,
ïðîÿâëÿþùèå ñâîéñòâî àíèçîòðîïèè, íàçûâàþòñÿ àíèçîòðîïíûìè;
íå ïðîÿâëÿþùèå — èçîòðîïíûìè. Èçîòðîïíûìè òåëàìè ÿâëÿþòñÿ
ãàçû, æèäêîñòè (çà èñêëþ÷åíèåì æèäêèõ êðèñòàëëîâ), à òàêæå àìîðô-
íûå òåëà.
Ïðè÷èíà àíèçîòðîïèè êðèñòàëëîâ êðîåòñÿ â óïîðÿäî÷åííîì
ðàñïîëîæåíèè ñîñòàâëÿþùèõ èõ ÷àñòèö. Íàïðèìåð, êðèñòàëëû
ñëþäû ìîæíî ðàññëîèòü íà ïëàñòèíêè òîëüêî âäîëü îïðåäåëåííîé
ïëîñêîñòè, òàê êàê ïàðàëëåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè ñèëû ñöåïëåíèÿ
ìåæäó ÷àñòèöàìè ñëþäû íàèìåíüøèå.
 äåéñòâèòåëüíîñòè áîëüøèíñòâî êðèñòàëëè÷åñêèõ òåë íå ïðî-
ÿâëÿåò ñâîéñòâî àíèçîòðîïèè, òàê êàê ñîñòîÿò èç áîëüøîãî ÷èñëà
ñðîñøèõñÿ, áåñïîðÿäî÷íî îðèåíòèðîâàííûõ êðèñòàëëèêîâ. Àíè-
çîòðîïèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ òîëüêî â ïðåäåëàõ ýòèõ êðèñòàëëèêîâ. Ñîç-
äàâ ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ êðèñòàëëèçàöèè, ìîæíî ïîëó÷èòü òàê
íàçûâàåìûå ìîíîêðèñòàëëû — êðèñòàëëû, èìåþùèå âî âñåì îáúåìå
åäèíóþ êðèñòàëëè÷åñêóþ ðåøåòêó.
Ïî õàðàêòåðó ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ, òèïó ñâÿçè è òîìó, êàêèå
÷àñòèöû ðàñïîëîæåíû â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, ðàçëè÷à-
þò ñëåäóþùèå òèïû êðèñòàëëè÷åñêèõ òâåðäûõ òåë.
Èîííûå êðèñòàëëû.  óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ðàñïîëî-
æåíû ïðàâèëüíî ÷åðåäóþùèåñÿ ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå
èîíû. Èîííàÿ (ãåòåðîïîëÿðíàÿ) ñâÿçü îñóùåñòâëÿåòñÿ â îñíîâíîì
ýëåêòðîñòàòè÷åñêèìè âçàèìîäåéñòâèÿìè. Òèïè÷íûì ïðèìåðîì
èîííûõ êðèñòàëëîâ ÿâëÿþòñÿ êðèñòàëëû ïîâàðåííîé ñîëè.
Àòîìíûå êðèñòàëëû.  óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè íàõî-
äÿòñÿ íåéòðàëüíûå àòîìû, âçàèìîäåéñòâóþùèå çà ñ÷åò êîâàëåíò- § 7.4. Ñòðîåíèå òâåðäûõ òåë

212
íûõ (ãîìåîïîëÿðíûõ) ñâÿçåé, èìåþùèõ êâàíòîâîìåõàíè÷åñêóþ
ïðèðîäó. Ñâÿçü ìåæäó êàæäûìè äâóìÿ àòîìàìè âîçíèêàåò çà ñ÷åò
âçàèìîäåéñòâèÿ èõ âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ, îáðàçóþùèõ îáùóþ ýëåê-
òðîííóþ ïàðó. ×èñëî ñâÿçåé, â êîòîðûõ ìîæåò ó÷àñòâîâàòü êàæäûé
àòîì, ðàâíî ÷èñëó åãî âàëåíòíûõ èîíîâ. Ïðèìåðàìè àòîìíûõ êðè-
ñòàëëîâ ÿâëÿþòñÿ àëìàç è ãðàôèò, à òàêæå òèïè÷íûå ïîëóïðîâîä-
íèêè — ãåðìàíèé è êðåìíèé.
Ìåòàëëè÷åñêèå êðèñòàëëû.  óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè
ðàñïîëîæåíû ïîëîæèòåëüíûå èîíû, îáðàçîâàâøèåñÿ ïðè îòùåï-
ëåíèè îò àòîìîâ âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ. Ïîñëåäíèå ñîâåðøàþò
áåñïîðÿäî÷íîå äâèæåíèå ìåæäó óçëàìè ðåøåòêè, îáðàçóÿ ãàç ñâî-
áîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Ìåòàëëè÷åñêàÿ ñâÿçü îáóñëîâëåíà ýëåêòðîñòà-
òè÷åñêèì è îáìåííûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ìåòàëëè÷åñêèå ðåøåòêè
õàðàêòåðíû äëÿ ìåòàëëîâ.
Ìîëåêóëÿðíûå êðèñòàëëû.  óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè
íàõîäÿòñÿ îïðåäåëåííûì îáðàçîì îðèåíòèðîâàííûå íåéòðàëüíûå
ìîëåêóëû. Ñèëàìè âçàèìîäåéñòâèÿ â ìîëåêóëÿðíûõ êðèñòàëëàõ ÿâ-
ëÿþòñÿ ñèëû Âàí-äåð-Âààëüñà, èìåþùèìè òó æå ïðèðîäó, ÷òî
è ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè ãàçîâ, ïðèâîäÿùèå ê èõ
îòêëîíåíèþ îò èäåàëüíîñòè. Ìîëåêóëÿðíûå êðèñòàëëû îáðàçóþò
âîäà, óãëåêèñëûé ãàç, àçîò, âîäîðîä, êèñëîðîä.
Êðèñòàëëû îáðàçóþòñÿ òàêæå èç òàêèõ ñëîæíûõ âåùåñòâ, êàê
áåëêè, íóêëåèíîâûå êèñëîòû è äàæå âèðóñû. Áèîëîãè÷åñêèå êðèñ-
òàëëû èìåþò áîëüøèå ïåðèîäû êðèñòàëëè÷åñêèõ ðåøåòîê, ÷òî ïî-
çâîëÿåò èçó÷àòü èõ ìåòîäàìè ýëåêòðîííîé ìèêðîñêîïèè. Ñïîñîá-
íîñòü áèîëîãè÷åñêèõ ìîëåêóë ê êðèñòàëëèçàöèè äåëàåò âîçìîæíûì
ïðèìåíåíèå ðåíòãåíîñòðóêòóðíîãî àíàëèçà äëÿ èõ èññëåäîâàíèÿ.
Àìîðôíûìè íàçûâàþòñÿ âåùåñòâà, íå îáëàäàþùèå â êîíäåíñè-
ðîâàííîì ñîñòîÿíèè êðèñòàëëè÷åñêèì ñòðîåíèåì. Èõ ñòðóêòóðà
áëèçêà ê ñòðóêòóðå æèäêîñòåé: äëÿ àìîðôíûõ òåë, êàê è äëÿ æèä-
êîñòåé, õàðàêòåðíû áëèæíèé ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ ÷àñòèö
è îòñóòñòâèå àíèçîòðîïèè. Àìîðôíûå òåëà äåëÿòñÿ íà äâå ãðóïïû:
ïðîñòûå àìîðôíûå âåùåñòâà (íèçêîìîëåêóëÿðíûå æèäêîñòè, íåîð-
ãàíè÷åñêèå ñòåêëà, ïëàâëåíûé êâàðö è ò. ï.( è âûñîêîïîëèìåðíûå
ñîåäèíåíèÿ (êàó÷óêè, ðåçèíà, îðãàíè÷åñêèå ñòåêëà, ñìîëû).
§ 7.5. ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÒÂÅÐÄÛÕ ÒÅË
Óïðóãèå ñâîéñòâà. Âíåøíèå ñèëû èçìåíÿþò ôîðìó è îáúåì ðå-
àëüíîãî òåëà, òî åñòü äåôîðìèðóþò åãî. Ïðè äåôîðìàöèè ïðîèñõî-
äèò îòíîñèòåëüíîå ñìåùåíèå ýëåìåíòîâ òåëà (åãî àòîìîâ èëè ìî-
ëåêóë). Äåôîðìàöèè, èñ÷åçàþùèå ñ ïðåêðàùåíèåì äåéñòâèÿ ñèëû,Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

213
íàçûâàþòñÿ óïðóãèìè. Ïðè ïðåâûøåíèè ïðåäåëà óïðóãîñòè â êðè-
ñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå âîçíèêàþò íåîáðàòèìûå èçìåíåíèÿ: ïðîèñ-
õîäèò ïëàñòè÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ òåëà, îíî íå âîçâðàùàåòñÿ ê èñ-
õîäíîé ôîðìå ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ äåéñòâèÿ âíåøíèõ ñèë.
 ñëó÷àå óïðóãîé äåôîðìàöèè ïðîäîëüíîãî ðàñòÿæåíèÿ (èëè
îäíîñòîðîííåãî ñæàòèÿ) ñòåðæíÿ îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå åãî
äëèíû, ñîãëàñíî ç à ê î í ó Ã ó ê à, ðàâíî
1 lF
lES ∆
=⋅ , (7.5.1)
èëè
E σ= ε , (7.5.2)
ãäå F — ðàñòÿãèâàþùàÿ (ñæèìàþùàÿ) ñèëà; S — ïëîùàäü ïîïåðå÷-
íîãî ñå÷åíèÿ; l — íà÷àëüíàÿ äëèíà ñòåðæíÿ; ∆l — èçìåíåíèå äëèíû
ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû; Å — ìîäóëü óïðóãîñòè, èëè ìîäóëü
Þíãà, [E]= Í/ì
2 = Ïà; / FS σ= — íàïðÿæåíèå, [σ]=Í/ì 2 =Ïà;
/ ll ε=∆ — îòíîñèòåëüíàÿ ïðîäîëüíàÿ äåôîðìàöèÿ.
Ìåõàíè÷åñêîå ðàñòÿæåíèå â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè, êðîìå
óäëèíåíèÿ, âûçûâàåò ïîïåðå÷íîå ñæàòèå òåëà. Îòíîñèòåëüíîå èç-
ìåíåíèå òîëùèíû ñòåðæíÿ ïðè ïðîäîëüíîì ðàñòÿæåíèè ðàâíî
dl
dl ∆∆
=−µ , (7.5.3)
ãäå d — ïîïåðå÷íûé ðàçìåð òåëà; ∆d — èçìåíåíèå ïîïåðå÷íîãî
ñå÷åíèÿ; µ — êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà.
Äëÿ çàêðó÷èâàíèÿ ñòåðæíÿ (ïðîâîëîêè) íà íåêîòîðûé óãîë ϕ
íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü ìîìåíò ïàðû ñèë
4
2 GR
M
l πϕ
= , (7.5.4)
ãäå Ì — ìîìåíò ïàðû ñèë, [Ì] = Í•ì; R — ðàäèóñ ñòåðæíÿ; l — äëèíà
ñòåðæíÿ; G — ìîäóëü ñäâèãà ìàòåðèàëà ñòåðæíÿ, [G] = Í/ì
2 = Ïà.
Ìîäóëü óïðóãîñòè, êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà è ìîäóëü ñäâèãà
ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì:
() 1
1
2 GE=+µ . (7.5.5)
Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå. Ïðè íàãðåâàíèè òâåðäûõ òåë àìïëèòóäà
êîëåáàíèé ìîëåêóë óâåëè÷èâàåòñÿ, ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè âîçðà-
ñòàåò, è òåëî óâåëè÷èâàåòñÿ â ñâîåì îáúåìå.
Äëÿ ëèíåéíîãî òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ â õîðîøåì ïðèáëèæå-
íèè ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà § 7.5. Ñâîéñòâà òâåðäûõ òåë

214
1 ll t ∆= α∆ è () 21 1 ll t=+α∆ , (7.5.6)
ãäå l
1 — íà÷àëüíàÿ äëèíà òåëà ïðè òåìïåðàòóðå t 1; l2 — êîíå÷íàÿ
äëèíà òåëà ïðè òåìïåðàòóðå t
2; 21 ll l ∆= − — óäëèíåíèå òåëà;
21 tt t ∆= − — ðàçíîñòü òåìïåðàòóð; α — òåìïåðàòóðíûé êîýôôè-
öèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ, [α] = Ê –1.
Äâóìåðíîå ðàñøèðåíèå òâåðäîãî òåëà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ëèíåéíîå ðàñøèðåíèå â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ:
1 2 SS t ∆= ⋅α∆ èëè () 21 12 SS t=+α∆ , (7.5.7)
ãäå S
1 — ïëîùàäü òåëà ïðè òåìïåðàòóðå t 1; S 2 — ïëîùàäü òåëà ïðè
òåìïåðàòóðå t
2; 21 SS S ∆= − — èçìåíåíèå ïëîùàäè òåëà.
Îáúåìíîå ðàñøèðåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíîå ðàñ-
øèðåíèå â òðåõ íàïðàâëåíèÿõ:
1 3 VV t ∆= ⋅α∆ è () 21 13 VV t=+α∆ , (7.5.8)
ãäå
1V — íà÷àëüíûé îáúåì òåëà ïðè òåìïåðàòóðå 1t; 2V — êîíå÷-
íûé îáúåì òåëà ïðè òåìïåðàòóðå
2t; 21 VV V ∆= − — èçìåíåíèå
îáúåìà òåëà.
Êàæäûé ìàòåðèàë õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì
êîýôôèöèåíòà ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ α. Ïðè îõëàæäåíèè ðàçíîñòü
òåìïåðàòóð ∆t îòðèöàòåëüíà.
Òåïëîåìêîñòü. Îòíîøåíèå ïîäâåäåííîãî ê òåëó êîëè÷åñòâà òåï-
ëîòû ê äîñòèãíóòîé ðàçíîñòè òåìïåðàòóð íàçûâàåòñÿ òåïëîåìêîñ-
òüþ äàííîãî òåëà:
Q
C
t =
∆ , (7.5.9)
èëè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå
dQ
C
t δ
= . (7.5.10)
Îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòè òåëà ê åãî ìàññå íàçûâàåòñÿ óäåëüíîé
òåïëîåìêîñòüþ âåùåñòâà äàííîãî òåëà:
ñ
m = Ñ/ò, (7.5.11)
ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (7.5.9) è (7.5.10), ïîëó÷àåì
m Q
c
mt =
∆ èëè 1
d m Q
c
mtδ
=⋅ . (7.5.12) Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

215
Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ðàâíà êîëè÷åñòâó òåïëîòû, êîòîðîå íå-
îáõîäèìî ïîäâåñòè ê îäíîìó êèëîãðàììó âåùåñòâà, äëÿ òîãî ÷òî-
áû íàãðåòü åãî íà îäèí ãðàäóñ: [ñ
m] = Äæ/(êã•Ê).
Ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòüþ íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êî-
òîðîå íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ê îäíîìó ìîëþ âåùåñòâà, äëÿ òîãî ÷òîáû
íàãðåòü åãî íà îäèí ãðàäóñ. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü Ñ
µ ñâÿçàíà
ñ óäåëüíîé ñëåäóþùèì îáðàçîì:
m CMcµ=⋅ , (7.5.13)
ãäå M — ìîëÿðíàÿ ìàññà âåùåñòâà. Åäèíèöà ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñ-
òè: [Ñ
µ] = Äæ/(ìîëü•Ê).
Ïðè íå î÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ (âûøå òåìïåðàòóðû Äåáàÿ,
ïðè êîòîðîé âîçáóæäàþòñÿ âñå íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ ðåøåòêè)
äëÿ õèìè÷åñêè ïðîñòûõ òâåðäûõ òåë ñïðàâåäëèâ ç à ê î í Ä þ ë î í-
ãà è Ïòè:
325 CR µ=≈ Äæ/(ìîëü•Ê), (7.5.14)
ãäå Ñ
µ — ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü âñåõ õèìè÷åñêè ïðîñòûõ òâåðäûõ
òåë; R = 8,31 Äæ/(ìîëü•Ê) — óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Òåïëîîáìåí, óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà. Åñëè äâà òåëà c ðàç-
ëè÷íûìè òåìïåðàòóðàìè ïîìåùåíû â òåðìîñòàò è ïðèâåäåíû
â ñîïðèêîñíîâåíèå, ìåæäó íèìè ïðîèñõîäèò òåïëîîáìåí, êîòî-
ðûé ïðèâîäèò ê âûðàâíèâàíèþ òåìïåðàòóð òåë. Ïî ç à ê î í ó Ð è õ-
ìàíà:
12QQ= ,
èëè
()( ) 11 1 2 2 2cm T T c m T T−=− − общ общ , (7.5.15)
ãäå Q
1 — êîëè÷åñòâî òåïëîòû, îòäàâàåìîå òåëîì; Q 2 — êîëè÷åñòâî
òåïëîòû, âîñïðèíèìàåìîå äðóãèì òåëîì;
1c, 1m , 1t è 2c , 2m , 2t —
óäåëüíûå òåïëîåìêîñòè, ìàññû è íà÷àëüíûå òåìïåðàòóðû òåë 1 è 2;
t — êîíå÷íàÿ ðàâíîâåñíàÿ òåìïåðàòóðà îáîèõ òåë.
Åñëè â òåïëîîáìåíå ó÷àñòâóþò áîëåå äâóõ òåë, òî ïðè äîñòèæå-
íèè òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå:
() 1
0
n
ii i
i
mc T T
=
−= ∑ общ . (7.5.16)
Ïðè èçìåíåíèè â ïðîöåññå òåïëîîáìåíà àãðåãàòíîãî ñîñòîÿ-
íèÿ îäíîãî èç êîìïîíåíòîâ íåîáõîäèìî ó÷åñòü âûñâîáîäèâøååñÿ
ïðè ýòîì êîëè÷åñòâî òåïëîòû.
Òåïëîïðîâîäíîñòü. Òåïëîïðîâîäíîñòü òåëà îïðåäåëÿåò åãî ñïî-
ñîáíîñòü ïðîâîäèòü òåïëîòó. Òåïëîïðîâîäíîñòü íàçûâàåòñÿ ñòà- § 7.5. Ñâîéñòâà òâåðäûõ òåë

216
öèîíàðíîé, åñëè âûçûâàþùàÿ åå ðàçíîñòü òåìïåðàòóð ∆Ò ñîõðàíÿ-
åòñÿ íåèçìåííîé âî âðåìåíè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò î íå-
ñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè. Äëÿ îäíîðîäíîãî ñòåðæíÿ, êîí-
öû êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå Ò
1 è Ò 2 ,
T
QSt
l ∆
=−κ ∆ , (7.5.17)
ãäå Q — ïåðåäàâàåìîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû; S — ïëîùàäü ïîïåðå÷-
íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ; t — ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïðîöåññà òåïëîïå-
ðåäà÷è;
∆ ∆∆ ∆
∆T — ðàçíîñòü òåìïåðàòóð íà êîíöàõ ñòåðæíÿ; l — äëèíà
ñòåðæíÿ; κ — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ìàòåðèàëà ñòåðæíÿ.
 ñëó÷àå íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè
grad QStT=−κ ∆ , (7.5.18)
ãäå grad Ò — ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû.
Îòíîøåíèå
Q
t Φ=
∆ (7.5.19)
íàçûâàåòñÿ òåïëîâûì ïîòîêîì, [Ô] = Âò, à îòíîøåíèå
QI
S Φ
= — (7.5.20)
ïëîòíîñòüþ òåïëîâîãî ïîòîêà, [I
Q] = Âò/ì 2.
 ñîîòâåòñòâèè ñ îòíîøåíèåì (7.5.19) ôîðìóëà (7.5.17) ìîæåò áûòü
çàïèñàíà â âèäå:
T
ST T
lR κ∆ ∆
Φ=− =−, (7.5.21)
ãäå âåëè÷èíà
T l
R
S =
κ — (7.5.22)
òåïëîâîå ñîïðîòèâëåíèå. Åäèíèöà òåïëîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ: [R
T] = Ê/Âò.
Êàê âèäèì, ÿâëåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè è ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ôîð-
ìàëüíî àíàëîãè÷íû äðóã äðóãó. Ïî àíàëîãèè ñ çàêîíîì Îìà — /IUR=,
çàêîí äëÿ ó÷àñòêà òåïëîïðîâîäÿùåé öåïè èìååò âèä:
T
T
R ∆
Φ=−. (7.5.23)
Òåïëîâîå ñîïðîòèâëåíèå ìîæåò ñîñòîÿòü èç ðÿäà îòäåëüíûõ
ñîïðîòèâëåíèé, âêëþ÷åííûõ ïàðàëëåëüíî èëè ïîñëåäîâàòåëüíî. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ ïðàâè-
ëàìè âû÷èñëåíèÿ ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

217
ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×
Çàäà÷à 7.1. Íà àïòå÷íûé ñêëàä ïîñòóïèë ýòèëîâûé ñïèðò â êîëè÷åñòâå
m = 200 êã. Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ëàáîðàòîðíûõ ðàáîò áûëî âûäàíî íà êàôåäðû
V = 200 ë ñïèðòà. Îïðåäåëèòå îñòàâøååñÿ íà ñêëàäå êîëè÷åñòâî ñïèðòà,
åñëè îí âûäàâàëñÿ ïðè òåìïåðàòóðå 20 °Ñ? Êàê èçìåíèëñÿ áû îñòàòîê
ñïèðòà, åñëè áû òåìïåðàòóðà âî âðåìÿ âûäà÷è ñîñòàâëÿëà 30 °Ñ?
Ðåøåíèå. Êàê ïðàâèëî, ïîëó÷àåìûé ñïèðò ñîäåðæèò 96 % îáúåìíûõ
äîëåé ÷èñòîãî ñïèðòà. Ïî ñïðàâî÷íèêó íàõîäèì ïëîòíîñòü 96 %-íîãî ñïèðòà
ïðè òåìïåðàòóðå 20 °Ñ. Îíà ðàâíà 808,7 êã/ì
3.
Îïðåäåëèì ìàññó âûäàííîãî ñïèðòà ïðè òåìïåðàòóðå 20 °Ñ.
выд выд =ρ . 2 020 mV ,
ãäå V
âûä — îáúåì âûäàííîãî ñïèðòà; ρ 20 — ïëîòíîñòü ñïèðòà ïðè òåìïåðà-
òóðå 20 °Ñ. Ïîäñòàíîâêà ÷èñëåííûõ äàííûõ äàåò:
выд− =⋅⋅= . 2 03 808,7 200 10 161,7 m êã.
Òàêèì îáðàçîì, îñòàòîê ñïèðòà íà ñêëàäå ñîñòàâëÿåò:
m
20 = 200 — 161,7 = 38,3 êã,
èëè îáúåì ñïèðòà, ðàâíûé
20
20
20 38, 3
0, 0474
808, 7 m
V== =
ρ ì 3 = 47,4 ë.
Ðàññìîòðèì äðóãîé âàðèàíò, êîãäà ñïèðò âûäàâàëñÿ ïðè òåìïåðàòóðå
30 °Ñ. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðå 30 °Ñ ïëîòíîñòü ñïèðòà ñòàíåò åùå
ìåíüøå.
Îïðåäåëèì ïëîòíîñòü ñïèðòà ïðè òåìïåðàòóðå 30 °Ñ. Êîýôôèöèåíò
îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ β ñïèðòà â èíòåðâàëå òåìïåðàòóð 0—39 °Ñ ðàâåí
0,745•10
–3 Ê –1. Îáúåì ñïèðòà, ðàâíûé 1 ì 3 è èìåþùèé ìàññó, ðàâíóþ
808,7 êã, ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû íà 10 Ê ñòàíåò ðàâíûì
30 20 20 20VV VVV T=+∆=+ β∆ ,
ãäå V
20 è V 30 — îáúåìû ñïèðòà ïðè òåìïåðàòóðàõ 20 °Ñ è 30 °Ñ ñîîòâåò-
ñòâåííî. Ïëîòíîñòü ñïèðòà ïðè òåìïåðàòóðå 30 °Ñ ñîñòàâèò:
20 20
30
30 20 20 /
11mV
mm
VVVTTTρ
ρ= = = = =
+β∆ +β∆ +β∆
=
3 808, 7
10,74510 10 − +⋅⋅= 802,7 êã/ì
3.
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

218
Ìàññà ñïèðòà, âûäàííîãî ïðè òåìïåðàòóðå 30 °Ñ, áóäåò ðàâíà
− =ρ = ⋅ ⋅ = . 3 03
выд 30 выд 802, 7 200 10 160, 5 кг, mV
à îñòàòîê åãî ñîñòàâèò:
m
30 = 200 — 160,5 = 39,5 êã.
Èç ðåøåíèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî åñëè âûäàâàòü ñïèðò ïðè áîëåå âûñî-
êîé òåìïåðàòóðå, òî ðàçíèöà ïðè âûäà÷å 200 ë ñïèðòà ïðè 30 °Ñ ïî ñðàâ-
íåíèþ ñ 20 °Ñ ñîñòàâèò:
∆m = 39,5 — 38,3 = 1,2 êã.
Çàäà÷à 7.2. Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ íàñòîåê èç ëåêàðñòâåííûõ òðàâ èñïîëüçóåò-
ñÿ, êàê ïðàâèëî, 70 %-íûé (ïî îáúåìó) ðàñòâîð ýòèëîâîãî ñïèðòà. ×åìó ðàâ-
íû îáúåìû 96 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà è âîäû, íåîáõîäèìûå äëÿ ïîëó÷åíèÿ
10 ë 70 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà? Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü 70 %-íîãî ðàñòâîðà
ñïèðòà. Ïëîòíîñòü ÷èñòîãî ýòèëîâîãî ñïèðòà ñîñòàâëÿåò ρ
c = 796,3 êã/ì 3,
ïëîòíîñòü âîäû — ρ
â = 999 êã/ì 3.
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì îáúåì 96 %-íîãî ñïèðòà, íåîáõîäèìîãî äëÿ ïðè-
ãîòîâëåíèÿ ðàñòâîðà, ÷åðåç V
x. Òîãäà îáúåì ÷èñòîãî ñïèðòà áóäåò ðàâåí
0, 96
x VV=.
Åñëè îáîçíà÷èòü îáùèé îáúåì 70 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà ÷åðåç V
70,
òî ìîæíî ñîñòàâèòü óðàâíåíèå:
70 0, 7 0, 96 x VV=,
îòêóäà ïîëó÷àåì:
70 0, 7
0, 96 x V
V=.
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, èìååì:
0, 7 10 л
7, 29 л.
0, 96 xV⋅
==
Òàêèì îáðàçîì, îáúåì 96 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà ðàâåí 7,29 ë, à îáúåì
âîäû òîãäà ñîñòàâëÿåò:
10 ë – 7,29 ë = 2,71 ë.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîòíîñòè ïîëó÷åííîãî ðàñòâîðà îïðåäåëèì ìàññó
ñïèðòà è ìàññó âîäû:
cп cп cпmV=ρ;
вввmV=ρ,
ãäå ρ
ñï, ρ â — ïëîòíîñòè ñïèðòà è âîäû ñîîòâåòñòâåííî.
Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

219
Îáùàÿ ìàññà ñìåñè ðàâíà:
cп cп в в mV V=ρ +ρ,
à ïëîòíîñòü ñìåñè ìîæíî âû÷èñëèòü, ðàçäåëèâ ìàññó ñìåñè íà åå îáúåì
V
î, òî åñòü
cп cп в в
0VV
V ρ+ρ
ρ=.(7.1)
Ïîäñòàâèâ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì
33
3
3 796, 3 7, 29 10 999 2, 71 10
851 кг/м
10 10 −−
− ⋅⋅+⋅⋅
ρ= =
⋅.
Ýòîò ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ, åñëè ñóììà îáúåìîâ ñïèðòà è âîäû ðàâíà
îáúåìó ñìåñè. Â äåéñòâèòåëüíîñòè îáúåì ñìåñè áóäåò íåñêîëüêî ìåíü-
øèì è, ñëåäîâàòåëüíî, èñòèííàÿ ïëîòíîñòü ðàñòâîðà áóäåò íåñêîëüêî áîëü-
øå âû÷èñëåííîé, à äëÿ ïîëó÷åíèÿ 10 ë ðàñòâîðà íåîáõîäèìî âçÿòü áoëüøèå
îáúåìû êîìïîíåíòîâ.  ñîîòâåòñòâóþùåé ñïðàâî÷íîé ëèòåðàòóðå ïðèâî-
äÿòñÿ îáúåìíûå è ìàññîâûå ñîîòíîøåíèÿ. Òàê, íàïðèìåð, äëÿ 70 %-íîãî
ðàñòâîðà ρ
70 = 889 êã/ì 3 ìàññîâàÿ äîëÿ ñïèðòà ω 70 = 0,624. Èñïîëüçóÿ ýòè
äàííûå, ïåðåñ÷èòàåì îáúåìû ñìåøèâàåìûõ ñïèðòà è âîäû. Îïðåäåëèì
äëÿ íà÷àëà ìàññó ñìåñè:
70 70 70mV=ρ.
Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ðàñòâîðà íóæíî 62,4 % ÷èñòîãî ñïèðòà ïî ìàññå. Òîã-
äà ìàññà ñïèðòà â 70 %-íîì ðàñòâîðå ñîñòàâèò:
c
70 70 70mV=ρ ω.
Òàêàÿ æå ìàññà ñïèðòà, íî â 96 %-íîì ðàñòâîðå, ðàâíà
c
96 96 96mV=ρ ω,
ãäå ρ
96, V 96, ω 96 — ñîîòâåòñòâåííî ïëîòíîñòü, îáúåì è ìàññîâàÿ äîëÿ
96 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà.
Ïðèðàâíÿâ äâà ïîñëåäíèõ óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì:
70 70 70
96
96 96V
Vρω
=
ρω.
Èç òàáëèö íàõîäèì çíà÷åíèÿ ρ
96 = 811,7 êã/ì 3, ω 96 = 0,939. Ïîäñòàâèâ
÷èñëåííûå äàííûå, ïîëó÷àåì îáúåì 96 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà, íåîáõî-
äèìûé äëÿ ïîëó÷åíèÿ 10 ë 70 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà:
3
3
96 889, 6 10 10 0, 624
7, 28 10
811, 7 0, 939 V −
− ⋅⋅ ⋅
==⋅
⋅ì 3 = 7,28 ë.
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

220
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îáúåìà âîäû ó÷òåì, ÷òî ìàññîâàÿ äîëÿ âîäû ñîñòàâëÿåò:
ω
â = 1 — ω 70,
òî åñòü ìàññà âîäû ðàâíà
в
70 70 70 (1 ) mV=ρ −ω.
Îáúåì âîäû V
â îïðåäåëèì, ðàçäåëèâ ìàññó âîäû íà åå ïëîòíîñòü:
в
в 70 70 70 (1 ) V
Vρ−ω
=
ρ.
Ïîäñòàâèâ ÷èñëåííûå äàííûå, ïîëó÷àåì:
в3
3 889, 6 10 10 (1 0, 624)
3, 3 5 1 0
999 V −
− ⋅⋅ ⋅−
==⋅ ì 3 = 3,35 ë.
Ïëîòíîñòü 70 %-íîãî ðàñòâîðà, ñîãëàñíî ôîðìóëå (7.1):

33
3
3 811, 7 7, 28 10 999 3, 35 10
925, 6 кг/м
10 −−
− ⋅⋅+⋅⋅
ρ= =
.
Ñóììà îáúåìîâ 96 %-íîãî ðàñòâîðà ñïèðòà è âîäû òîãäà ñîñòàâèò
10,63 ë. Òàêèì îáðàçîì, ïðàâèëüíûé îòâåò: îáúåì 96 %-íîãî ðàñòâîðà
ñïèðòà ðàâåí 7,28 ë, îáúåì âîäû — 3,35 ë.
Çàäà÷à 7.3. Ñîãëàñíî íåêîòîðûì òåõíè÷åñêèì óñëîâèÿì, àìïóëû äîëæ-
íû ñîäåðæàòü V = 10 ìë ðàñòâîðà ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà ïðè òåìïåðà-
òóðå 20 °Ñ. Çàïîëíåíèå àìïóë ïðîèñõîäèò ðàñòâîðîì, èìåþùèì òåìïåðàòó-
ðó 40 °Ñ. ×åìó äîëæåí áûòü ðàâåí îáúåì ðàñòâîðà ïðè çàïîëíåíèè àìïóëû,
åñëè êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ ðàñòâîðà β = 91•10
–5 Ê–1?
Ðåøåíèå. Ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ðàñòâîðà åãî îáúåì óâåëè÷èâà-
åòñÿ. Èçìåíåíèå îáúåìà ñ èçìåíåíèåì òåìïåðàòóðû äîëæíî ïðîèñõîäèòü
ëèíåéíî, òî åñòü ïðîïîðöèîíàëüíî ïåðâîíà÷àëüíîìó îáúåìó V è èçìåíå-
íèþ òåìïåðàòóðû ∆T:
VVT ∆=β∆,
ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè β — êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñ-
øèðåíèÿ.
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ∆T = 20 Ê, V = 10 ìë, β = 91•10
–5 Ê–1,
ïîëó÷àåì:
∆V = 91•10
–5 Ê –1•10 ìë•20 Ê = 0,182 ìë.
Òàêèì îáðàçîì, îáúåì çàïîëíåííûõ àìïóë ïðè òåìïåðàòóðå 40 °Ñ äîë-
æåí áûòü ðàâåí
V=V+∆V= 10 ìë + 0,182 ìë = 10,182 ìë.
Çàäà÷à 7.4. Óêñóñíàÿ êèñëîòà ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè ïëàâèòñÿ ïðè
òåìïåðàòóðå t = 16,6 °Ñ. Ðàçíîñòü óäåëüíûõ îáúåìîâ æèäêîé è òâåðäîé ôàç
Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

221
óêñóñíîé êèñëîòû ∆V = 0,16 ñì
3/ã. Òî÷êà ïëàâëåíèÿ óêñóñíîé êèñëîòû ñìå-
ùàåòñÿ íà ∆Ò = 1 Ê ïðè èçìåíåíèè äàâëåíèÿ íà ∆ð = 4,153 ÌÏà. Îïðåäå-
ëèòå óäåëüíóþ òåïëîòó ïëàâëåíèÿ λ óêñóñíîé êèñëîòû.
Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ Êëàóçèóñà—Êëàïåéðîíà,
пл TV
T
p ∆∆
=
∆λ,
ãäå Ò
ïë — òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ.
Îòñþäà óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ñîñòàâèò:
плTVp
T ∆∆
λ=
∆.
Ñîãëàñíî óñëîâèþ,
∆ð = 4,153•10
6 Ïà;
Ò
ïë = 16,6 °Ñ = 16,6 + 273,15 = 289,75 Ê;
∆V = 0,16 ñì
3/ã = 0,16•10 –3 ì3/êã.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì:
36 289, 75 0,16 10 4,153 10
1 − ⋅⋅⋅ ⋅
λ== 192,5•10 3 Äæ/êã.
Çàäà÷à 7.5. Îïðåäåëèòå ïîñòîÿííóþ d êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè êà-
ìåííîé ñîëè NaCl, çíàÿ åå ìîëÿðíóþ ìàññó M è ïëîòíîñòü (ρ = 2,165 ã/ñì
3).
Êðèñòàëëû êàìåííîé ñîëè îáëàäàþò ïðîñòîé êóáè÷åñêîé ñòðóêòóðîé.
Ðåøåíèå. Ìîëÿðíàÿ ìàññà êàìåííîé ñîëè Ì ≈ 58,5•10
–3 êã/ìîëü,
à ìîëÿðíûé îáúåì
M
V µ=
ρ. Â ýòîì îáúåìå èìååòñÿ 2N A èîíîâ, ãäå N A —
÷èñëî Àâîãàäðî. Òîãäà îáúåì, ïðèõîäÿùèéñÿ íà îäèí èîí, ðàâåí
A 2NM
V′
=
ρ.
Òàê êàê êðèñòàëëû êàìåííîé ñîëè îáëàäàþò ïðîñòîé êóáè÷åñêîé ñòðóê-
òóðîé, òî ðàññòîÿíèå d ìåæäó èîíàìè îïðåäåëèì èç óñëîâèÿ
3 Vd′
= , òî
åñòü
3
3
A
2NM
dV′
==
ρ.
Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå äàííûå â åäèíèöàõ ÑÈ, ïîëó÷àåì:
3
9
3
323 58, 5 10
0, 282 10
2 2,165 10 6, 02 10 d −
− ⋅
==⋅
⋅⋅⋅⋅ì = 0,282 íì.
Ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè êàìåííîé ñîëè d
0 = 0,564 íì, òàê êàê ýëåìåí-
òàðíàÿ ÿ÷åéêà ñîñòîèò èç äâóõ àòîìîâ.
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

222
ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
7.1. Ê ïîðøíþ ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîãî øïðèöà ïðèëîæåíà ñèëà
F = 10 Í. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü v èñòå÷åíèÿ ëåêàðñòâà èç èãëû øïðèöà,
åñëè ïëîòíîñòü ëåêàðñòâà ρ = 1050 êã/ì
3, äèàìåòð ïîðøíÿ d = 7 ìì, ïðè-
÷åì åãî ïëîùàäü íàìíîãî áîëüøå ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ èãëû.
7.2. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ v âñïëûâàåò ïóçûðåê âîçäóõà äèàìåòðîì
d = 4 ìì â ñîñóäå, íàïîëíåííîì ãëèöåðèíîì? Êèíåìàòè÷åñêàÿ âÿçêîñòü
ãëèöåðèíà ν = 1,17•10
–3 ì2/ñ, åãî ïëîòíîñòü íàìíîãî áîëüøå ïëîòíîñòè
âîçäóõà.
7.3. Ïî òðóáå òå÷åò âîäà ñ îáúåìíîé ñêîðîñòüþ Q = 2,5•10
–4 ì3/ñ.
Âû÷èñëèòå íàèìåíüøèé äèàìåòð òðóáû d
min , ïðè êîòîðîì òå÷åíèå âîäû
åùå îñòàåòñÿ ëàìèíàðíûì. Ïëîòíîñòü âîäû ρ = 1000 êã/ì 3; äèíàìè÷åñêàÿ
âÿçêîñòü η = 1 ìÏà•ñ. Êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ÷èñëà Ðåéíîëüäñà ðàâíî
Re
êð = 2300 (äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà â êà÷åñòâå õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà âçÿò äèà-
ìåòð òðóáû).
7.4. ×òîáû âûäóòü ìûëüíûé ïóçûðü, áûëà çàòðà÷åíà ýíåðãèÿ E = 0,5 ìÄæ.
Âû÷èñëèòå äèàìåòð d ïóçûðÿ, åñëè êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿ-
æåíèÿ ìûëüíîãî ðàñòâîðà σ = 43 ìÍ/ì.
7.5. Ãëèöåðèí äîçèðóþò êàïëÿìè ñ ïîìîùüþ ïèïåòêè âíóòðåííèì
äèàìåòðîì d = 1 ìì. Âû÷èñëèòå ìàññó îäíîé êàïëè, åñëè êîýôôèöèåíò
ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ãëèöåðèíà σ = 62 ìÍ/ì. Äèàìåòð øåéêè â ìî-
ìåíò îòðûâà ñ÷èòàòü ðàâíûì âíóòðåííåìó äèàìåòðó ïèïåòêè.
7.6. Âû÷èñëèòå ðàçíîñòü ∆p ìåæäó äàâëåíèåì âíóòðè ïóçûðüêà âîçäó-
õà äèàìåòðîì d = 0,5 ìì, ïîïàâøåãî â êðîâåíîñíûé ñîñóä, è àòìîñôåð-
íûì äàâëåíèåì, íå ó÷èòûâàÿ ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå êðîâè. Ïîâåðõ-
íîñòíîå íàòÿæåíèå êðîâè σ = 58 ìÍ/ì.
7.7. Îïðåäåëèòå êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ σ êðîâè, åñëè
â êàïèëëÿðå äèàìåòðîì d = 1 ìì îíà ïîäíèìàåòñÿ íà âûñîòó h = 2,25 ñì.
Ïëîòíîñòü êðîâè ρ = 1050 êã/ì
3. Ñìà÷èâàíèå ñ÷èòàòü ïîëíûì.
7.8. Ê êîñòè ïðèëîæåíà íàãðóçêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàññå m = 5 êã.
Ðàññ÷èòàéòå óäëèíåíèå ∆l êîñòè, åñëè åå íà÷àëüíàÿ äëèíà l
0 = 20 ñì, äèà-
ìåòð ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ d = 8 ìì, ìîäóëü óïðóãîñòè E = 1 ÃÏà.
7.9. Èìååòñÿ æåëåçíûé ñòåðæåíü äèàìåòðîì ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ
d = 5 ìì. Êàêóþ ñèëó F íóæíî ê íåìó ïðèëîæèòü, ÷òîáû âûçâàòü òàêîå æå
óäëèíåíèå, êàê è ïðè íàãðåâàíèè íà ∆t = 50 °Ñ? Òåìïåðàòóðíûé êîýôôè-
öèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ æåëåçà α = 1,2•10
–5 Ê –1, ìîäóëü Þíãà
E = 196 ÃÏà.
7.10. Îäèí êîíåö ìåäíîãî ñòåðæíÿ äëèíîé l = 25 ñì íàõîäèòñÿ ïðè
òåìïåðàòóðå t
1 = 0 °Ñ, à äðóãîé — ïðè òåìïåðàòóðå t 2 = 50 °Ñ. Âû÷èñëèòå
ïëîòíîñòü òåïëîâîãî ïîòîêà I
Q, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ñòåðæåíü, íå ó÷èòûâàÿ
ïîòåðè òåïëà ÷åðåç ñòåíêè ñòåðæíÿ. Êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ìåäè
κ = 390 Âò/(ì•Ê).
7.11. Âû÷èñëèòå óäåëüíóþ òåïëîåìêîñòü c ïëàòèíû.
Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

223
ÂÎÏÐÎÑÛ ÒÅÑÒÎÂÎÃÎ ÊÎÍÒÐÎËß
7.1. Èäåàëüíîé æèäêîñòüþ íàçûâàåòñÿ:
à) æèäêîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîðîäíûõ íåäåôîðìèðóþùèõñÿ ÷àñòèö;
á) æèäêîñòü, ìîëåêóëû êîòîðîé íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé;
â) æèäêîñòü, òå÷åíèå êîòîðîé ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ Íüþòîíà;
ã) íåñæèìàåìàÿ è íå èìåþùàÿ âÿçêîñòü æèäêîñòü;
ä) æèäêîñòü, êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè êîòîðîé íå çàâèñèò îò òåìïåðà-
òóðû è äàâëåíèÿ.
7.2. Âÿçêîñòü æèäêîñòåé:
à) óìåíüøàåòñÿ ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû è íå çàâèñèò îò äàâëåíèÿ;
á) óìåíüøàåòñÿ ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû è óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïîâû-
øåíèåì äàâëåíèÿ;
â) óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïîâûøåíèåì äàâëåíèÿ è íå çàâèñèò îò òåìïåðà-
òóðû;
ã) óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû è óìåíüøàåòñÿ ñ ïîâû-
øåíèåì äàâëåíèÿ;
ä) óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ.
7.3. Ñèëà Ñòîêñà ðàâíà:
à)
СFgV=ρ;ã) С 4
3 Fv=ρη;
á)
СFvS=;ä) СFgh=ρ.
â)
С 6 FRv=πη;
7.4. Òóðáóëåíòíûì íàçûâàåòñÿ òàêîå òå÷åíèå æèäêîñòè, ïðè êîòîðîì:
à) ïî âñåìó îáúåìó ïîòîêà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì ãèäðîäèíàìè÷åñêîå
äàâëåíèå;
á) ñëîè æèäêîñòè ñêîëüçÿò îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà, íå ñìåøèâàÿñü;
â) âñå ÷àñòèöû æèäêîñòè èìåþò ïîñòîÿííóþ ñêîðîñòü;
ã) ïðîèñõîäèò èíòåíñèâíîå ïåðåìåøèâàíèå ìåæäó ñëîÿìè æèäêîñòè;
ä) ïðîôèëü ñðåäíèõ ïî âðåìåíè ñêîðîñòåé èìååò ïàðàáîëè÷åñêóþ
ôîðìó.
7.5. Ðàáîòà, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü äëÿ óâåëè÷åíèÿ ïëîùàäè
ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè íà âåëè÷èíó
S ∆, ðàâíà:
à) AS=ρη∆;ã)
g
A
S ρ
=
∆;
á)
A
S σ
=
∆;ä) S
Aρ∆
=
η.
â) AS=σ∆;
7.6. Âûñîòà ïîäíÿòèÿ (îïóñêàíèÿ) æèäêîñòè â êàïèëëÿðå ðàâíà:
à)
2cos
h
gr σθ
=
ρ;ã) 2 6
cos h
grσρ
=
θ;
á)
Vl

=
η;ä) 4
8R
hp
l π
=∆
η.
â) 2hR=πσρ;
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

224
7.7.  óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ðàñïîëîæåíû ïîëîæèòåëüíûå
èîíû, îáðàçîâàâøèåñÿ ïðè îòùåïëåíèè îò àòîìîâ âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ,
êîòîðûå îáðàçóþò ýëåêòðîííûé ãàç. Ñâÿçü ìåæäó ýëåìåíòàìè ðåøåòêè
îáóñëîâëåíà ýëåêòðîñòàòè÷åñêèì è îáìåííûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ýòî õà-
ðàêòåðíî äëÿ:
à) èîííûõ êðèñòàëëîâ; ã) ìîëåêóëÿðíûõ êðèñòàëëîâ;
á) àòîìíûõ êðèñòàëëîâ; ä) àìîðôíûõ òåë.
â) ìåòàëëè÷åñêèõ êðèñòàëëîâ;
7.8.  óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè íàõîäÿòñÿ îïðåäåëåííûì îáðà-
çîì îðèåíòèðîâàííûå íåéòðàëüíûå ìîëåêóëû, âçàèìîäåéñòâóþùèå ñ ïî-
ìîùüþ ñèë Âàí-äåð-Âààëüñà. Ýòî õàðàêòåðíî äëÿ:
à) èîííûõ êðèñòàëëîâ; ã) ìîëåêóëÿðíûõ êðèñòàëëîâ;
á) àòîìíûõ êðèñòàëëîâ; ä) àìîðôíûõ òåë.
â) ìåòàëëè÷åñêèõ êðèñòàëëîâ;
7.9. Ñîãëàñíî çàêîíó Ãóêà, íàïðÿæåíèå
σ, ìîäóëü Þíãà E è îòíîñè-
òåëüíàÿ ïðîäîëüíàÿ äåôîðìàöèÿ ε ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì:
à)
E σ=⋅ε;ã) 2 E σ=ε;
á)
E
σ=
ε;ä) E σ=ε.
â)
2E
σ=
ε;
7.10. Îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå òîëùèíû ñòåðæíÿ ïðè ïðîäîëüíîì
ðàñòÿæåíèè ðàâíî:
à)
dl
dl ∆∆
=−µ;ã) d
cm T
d ∆
=∆;
á)
d
l
d ∆
=−α∆;ä) 2 d
E
d ∆
=ε.
â)
dF
dS ∆
=;
7.11. Ëèíåéíîå òåïëîâîå ðàñøèðåíèå òâåðäûõ òåë îïèñûâàåòñÿ ðàâåí-
ñòâîì:
à)
1l
l
t α
∆=
∆;ã) 1 llt ∆=α ∆;
á)
1 llt ∆=α ∆;ä) 2
1l
l
t ∆=
α∆.
â)
1 l
ltα
∆=
∆;
7.12. Çàêîí Äþëîíãà è Ïòè èìååò âèä:
à)
2 mR σ=;ã) 3t σ=α∆;
á) 3CR
µ≈;ä) 3CkT µ=.
â)
T
QSt
l ∆
∆= ∆;
Ãëàâà 7. Ñâîéñòâà æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë

Ãëàâà 8
ÁÈÎÔÈÇÈÊÀ ÑÈÑÒÅÌÛ
ÊÐÎÂÎÎÁÐÀÙÅÍÈß
Êðîâü èãðàåò ïåðâîñòåïåííóþ ðîëü â ðàñïðåäåëåíèè ëåêàðñòâåí-
íûõ âåùåñòâ â îðãàíèçìå. Äåéñòâèå ìíîãèõ ëåêàðñòâåííûõ ïðåïà-
ðàòîâ â ñâîþ î÷åðåäü íàïðàâëåíî íà èçìåíåíèå ðåîëîãè÷åñêèõ (íà-
ïðèìåð âÿçêîñòè) è ãåìîäèíàìè÷åñêèõ (íàïðèìåð êðîâÿíîãî
äàâëåíèÿ) ïàðàìåòðîâ êðîâè.
 äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ãåìîðåîëîãèè (ó÷å-
íèè î äåôîðìàöèè è òåêó÷åñòè êðîâè), ãåìîäèíàìèêè (ó÷åíèè
î òå÷åíèè êðîâè ïî êðîâåíîñíûì ñîñóäàì), íåêîòîðûå ìàòåìàòè÷å-
ñêèå ìîäåëè êðîâîîáðàùåíèÿ. Îñîáîå âíèìàíèå óäåëåíî ôèëüòðà-
öèè è ðåàáñîðáöèè âåùåñòâ â êàïèëëÿðíîé ñåòè, òàê êàê ýòè ïðî-
öåññû ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûì ñïîñîáîì ïîñòóïëåíèÿ ëåêàðñòâåííûõ
âåùåñòâ â îðãàíèçì è âûâåäåíèÿ èõ èç íåãî. Îñíîâîé äëÿ èçëîæå-
íèÿ ýòèõ ñâåäåíèé ñëóæàò îáñóæäàâøèåñÿ â ãëàâå 7 ýëåìåíòû ãèä-
ðîäèíàìèêè è ðåîëîãèè.
§ 8.1. ÐÅÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ È ÃÅÌÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÅ
ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÈ ÊÐÎÂÈ
Êðîâü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóñïåíçèþ ôîðìåííûõ ýëåìåíòîâ
(ýðèòðîöèòîâ, ëåéêîöèòîâ è òðîìáîöèòîâ) â ïëàçìå. Êîíöåíòðàöèÿ
ýðèòðîöèòîâ â êðîâè ñîñòàâëÿåò (4…6)•10
6 ìì –3, êîíöåíòðàöèÿ ëåé-
êîöèòîâ — (4…10)•10 3 ìì –3, à òðîìáîöèòîâ — (1,5…3,0)•10 5 ìì –3.
×àñòü îáúåìà êðîâè, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà äîëþ ýðèòðîöèòîâ, — ãåìà-
òîêðèò — ñîñòàâëÿåò â íîðìå 0,44…0,46 ó âçðîñëûõ ìóæ÷èí
è 0,41…0,43 ó æåíùèí. Ââèäó ìàëîé êîíöåíòðàöèè ëåéêîöèòîâ
è òðîìáîöèòîâ (èõ ñóììàðíàÿ îáúåìíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ñîñòàâëÿåò 1 %)
îíè íå îêàçûâàþò òàêîãî ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà ìåõàíè÷åñêèå
ñâîéñòâà êðîâè, êàê ýðèòðîöèòû.  äàëüíåéøåì â êà÷åñòâå óïðî-
ùåííîé ìîäåëè ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êðîâü êàê ñóñïåíçèþ ýðèò-

226
ðîöèòîâ â ïëàçìå.  ïëàçìå êðîâè ÷åëîâåêà ñîäåðæèòñÿ 900…910 ã/ë
âîäû, 65…80 ã/ë áåëêà (àëüáóìèí, ãëîáóëèíû, ôèáðèíîãåí) è 20 ã/ë
íèçêîìîëåêóëÿðíûõ ñîåäèíåíèé.  öåëîì ïëàçìó êðîâè ñ÷èòàþò
íüþòîíîâñêîé æèäêîñòüþ, õîòÿ íåêîòîðûå îòêëîíåíèÿ îò ýòîãî ñâîé-
ñòâà íàáëþäàþòñÿ çà ñ÷åò áîëüøîãî ñîäåðæàíèÿ êðóïíûõ áåëêîâûõ
ìîëåêóë. Âÿçêîñòü ïëàçìû ñîñòàâëÿåò 1,9…2,3 ìÏà•ñ.
Êðîâü ïî ñîñòàâó ãåòåðîãåííà è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ íåíüþòîíîâ-
ñêîé æèäêîñòüþ, âÿçêîñòü êîòîðîé çàâèñèò îò ãðàäèåíòà ñêîðîñòè
(ñêîðîñòè ñäâèãà) (ðèñ. 8.1.1). Êðîìå òîãî, âÿçêîñòü êðîâè çàâèñèò
îò êîíöåíòðàöèè ôîðìåííûõ ýëåìåíòîâ (ðèñ. 8.1.2, êðèâàÿ 1)
è â ìåíüøåé ñòåïåíè — îò êîíöåíòðàöèè áåëêîâ ïëàçìû, à òàêæå
îò ðàçìåðîâ (ðàäèóñà è äëèíû) ñîñóäîâ, ïî êîòîðûì îíà òå÷åò.
Ðèñ. 8.1.1. Çàâèñèìîñòü ýôôåêòèâíîé âÿçêî-
ñòè êðîâè η
ý îò ãðàäèåíòà ñêîðîñòè â ëîãà-
ðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå (1). Äëÿ ñðàâíåíèÿ
ïðèâåäåíà àíàëîãè÷íàÿ çàâèñèìîñòü âÿçêîñ-
òè íåêîòîðîé íüþòîíîâñêîé æèäêîñòè (2):
âÿçêîñòü íüþòîíîâñêîé æèäêîñòè âçÿòà ðàâíîé
ïðåäåëüíîé âÿçêîñòè êðîâè
Ðèñ. 8.1.2. Çàâèñèìîñòü âÿçêîñòè îò
êîíöåíòðàöèè ñóñïåíçèè ýðèòðîöè-
òîâ ñîáàêè â íîðìå (1) è æåñòêèõ
ýðèòðîöèòîâ (2):
η/η â — îòíîñèòåëüíàÿ âÿçêîñòü êðîâè â ëî-
ãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå; η â — âÿçêîñòü
âîäû; ñ — ãåìàòîêðèò. Ãðàäèåíò ñêîðîñòè
ñîñòàâëÿåò 230 ñ
–1
Òå÷åíèå êðîâè ïî êðóïíûì è ìåëêèì ñîñóäàì è ïî êàïèëëÿðàì
îòëè÷àåòñÿ ïî íåêîòîðûì õàðàêòåðèñòèêàì.  êðóïíûõ ñîñóäàõ
ýðèòðîöèòû îáðàçóþò àãðåãàòû â âèäå ìîíåòíûõ ñòîëáèêîâ. Äèà-
ìåòð îòäåëüíûõ ýðèòðîöèòîâ ñîñòàâëÿåò d
ýð ≈ 8 ìêì, à ðàçìåð àãðå-
ãàòà — ïðèáëèçèòåëüíî â 10 ðàç áîëüøå. Ãðàäèåíò ñêîðîñòè òå÷å-
íèÿ êðîâè çäåñü îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîé, è âÿçêîñòü êðîâè
ñîñòàâëÿåò η = 5 ìÏà•ñ. Ïðè íåêîòîðûõ ïàòîëîãèÿõ (ñì. íèæå)Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

227
òåíäåíöèÿ ýðèòðîöèòîâ ê àãðåãàöèè ìîæåò íàñòîëüêî âîçðàñòàòü,
÷òî òðåáóþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå çàòðàòû ýíåðãèè äëÿ ïðîäâèæåíèÿ
êðîâè.
Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ãðàäèåíòà ñêîðîñòè è óìåíüøåíèè äèà-
ìåòðà êðîâåíîñíûõ ñîñóäîâ àãðåãàòû ýðèòðîöèòîâ ðàñïàäàþòñÿ íà
îòäåëüíûå êëåòêè, ÷òî âûçûâàåò óìåíüøåíèå âÿçêîñòè êðîâè. Ýô-
ôåêò ñíèæåíèÿ âÿçêîñòè êðîâè â ìåëêèõ ñîñóäàõ íàçûâàåòñÿ ôåíî-
ìåíîì ñèãìà, èëè ýôôåêòîì Ôàðåóñà—Ëèíäêâèñòà. Îí íàáëþäà-
åòñÿ â ñîñóäàõ äèàìåòðîì ìåíåå 500 ìêì è îñîáåííî ñèëüíî
â êàïèëëÿðàõ, ãäå âÿçêîñòü êðîâè ñíèæàåòñÿ ïî÷òè âäâîå ïî ñðàâíå-
íèþ ñ êðóïíûìè ñîñóäàìè, ïðèáëèæàÿñü, òàêèì îáðàçîì, ê çíà÷å-
íèþ âÿçêîñòè ïëàçìû. Îäíèì èç îáúÿñíåíèé ýòîãî ýôôåêòà ÿâëÿ-
åòñÿ òåîðèÿ ðåæóùåãî öèëèíäðà.
Ñîãëàñíî ýòîé òåîðèè, åñëè ìûñëåííî ïîãðóçèòü ïîëûé öè-
ëèíäð â ñóñïåíçèþ ýðèòðîöèòîâ, òî åãî ñòåíêà «ðàçðåæåò» íåêîòî-
ðûå ÷àñòèöû (ðèñ. 8.1.3, à), â òî âðåìÿ êàê ïðîòåêàíèå òîé æå ñóñ-
ïåíçèè ïî ýòîìó öèëèíäðó íå áóäåò ñîïðîâîæäàòüñÿ ðàçðåçàíèåì
Ðèñ. 8.1.3. Ðàñïðåäåëåíèå ñôåðè÷åñêèõ ÷àñòèö â ñîñóäå ïî òåîðèè ðåæóùåãî öè-
ëèíäðà:
à — ïîãðóæåíèå ïîëîãî öèëèíäðà â ñóñïåíçèþ (öèëèíäð «ðàçðåçàåò» ÷àñòèöû); á — ðåàëüíîå
ðàñïîëîæåíèå ÷àñòèö â öèëèíäðå (êðîâåíîñíîì ñîñóäå); â — çàâèñèìîñòü îáúåìíîé êîíöåíòðà-
öèè ñ ÷àñòèö îò ðàññòîÿíèÿ l âäîëü ðàäèóñà öèëèíäðà
§ 8.1. Ðåîëîãè÷åñêèå è ãåìîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè êðîâè

228
÷àñòèö (ðèñ. 8.1.3, á). Òàêèì îáðàçîì, êîíöåíòðàöèÿ ýðèòðîöèòîâ
íåïîñðåäñòâåííî âîçëå ñòåíêè öèëèíäðà ðàâíà íóëþ è âîçðàñòàåò
ïî ìåðå ïðîäâèæåíèÿ ê öåíòðó öèëèíäðà äî òåõ ïîð, ïîêà ðàññòî-
ÿíèå îò ñòåíêè íå ñòàíåò ðàâíûì äèàìåòðó ÷àñòèö (ðèñ. 8.1.3, â).
Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö âîçðàñòàåò è âÿçêîñòü
êðîâè. Åñëè óïðîñòèòü ìîäåëü è ïðåäñòàâèòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ
æèäêîñòü ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé — ïëàçìû âîçëå ñòåíîê öèëèíäðà
è îäíîðîäíîé ñóñïåíçèè ýðèòðîöèòîâ â öåíòðå, òî, ñîãëàñíî ðàñ-
÷åòàì, ðàäèóñ ñåðäöåâèíû ñîñòàâèò R — 0,76r, ãäå R — ðàäèóñ öè-
ëèíäðà, r — ðàäèóñ ñôåðè÷åñêîé ÷àñòèöû.
Ñ óìåíüøåíèåì ðàäèóñà öèëèíäðà âîçðàñòàåò îòíîøåíèå òîë-
ùèíû ïðèñòåíî÷íîãî ñëîÿ, çàíèìàåìîãî ïëàçìîé, ê ðàäèóñó öè-
ëèíäðà, à ïîñêîëüêó âÿçêîñòü ïëàçìû ïðèáëèçèòåëüíî â äâà ðàçà
íèæå âÿçêîñòè öåëüíîé êðîâè, òî âÿçêîñòü æèäêîñòè â öåëîì ñíè-
æàåòñÿ. Ïðè óìåíüøåíèè ðàäèóñà ïðîñâåòà ñîñóäà äî âåëè÷èíû,
ðàâíîé 1,76r, ðàäèóñ ñåðäöåâèíû ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì ðàäèóñó îò-
äåëüíûõ ýðèòðîöèòîâ, êîòîðûå â ýòîì ñëó÷àå âûñòðàèâàþòñÿ â öå-
ïî÷êó è ïåðåäâèãàþòñÿ ïî êàïèëëÿðó ïîäîáíî «çìåå» â îáîëî÷êå
èç ïëàçìû (ðèñ. 8.1.4, à). Ñ óâåëè÷åíèåì ñêîðîñòè êðîâîòîêà ýðèò-
Ðèñ. 8.1.4. Ïðèîñåâàÿ öåïî÷êà ýðèòðîöèòîâ â êàïèëëÿðå ïðè íèçêîé (à) è âûñîêîé (á)
ñêîðîñòè êðîâîòîêà
ðîöèòû äåôîðìèðóþòñÿ (ðèñ. 8.1.4, á), ÷òî âûçûâàåò óâåëè÷åíèå
òîëùèíû ïðèñòåíî÷íîãî ñëîÿ è åùå áîëüøåå óìåíüøåíèå âÿçêîñ-
òè êðîâè. Òàêèå ñïîñîáû ïåðåäâèæåíèÿ ýðèò-
ðîöèòîâ â êàïèëëÿðàõ íàáëþäàþòñÿ ïîä ìèê-
ðîñêîïîì.
Ýðèòðîöèòû îáëàäàþò âûñîêîé ýëàñòè÷íî-
ñòüþ. Áëàãîäàðÿ ñâîåé ôîðìå äâîÿêîâîãíóòî-
ãî äèñêà, îíè ñïîñîáíû ñèëüíî äåôîðìèðî-
âàòüñÿ è ïðîíèêàòü â êàïèëëÿðû äèàìåòðîì
îêîëî 3 ìêì (ðèñ. 8.1.5), ÷òî óëó÷øàåò îáìåí-
íûå ïðîöåññû, òàê êàê ïðè ýòîì óâåëè÷èâàåò-
ñÿ ïëîùàäü ñîïðèêîñíîâåíèÿ ìåìáðàíû ýðèò-
ðîöèòîâ ñî ñòåíêàìè êàïèëëÿðîâ, è ñíèæàåò
Ðèñ. 8.1.5. Äåôîðìà-
öèÿ ýðèòðîöèòà â êà-
ïèëëÿðå
Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

229
âÿçêîñòü êðîâè ïî ñðàâíåíèþ ñ òåì, åñëè áû ýðèòðîöèòû áûëè
æåñòêèìè ñòðóêòóðàìè (ðèñ. 8.1.2, êðèâàÿ 2). Áëàãîäàðÿ îòíîñè-
òåëüíî íåâûñîêîé âÿçêîñòè êðîâè, â ñèñòåìå ìèêðîöèðêóëÿöèè
ñíèæàþòñÿ íàãðóçêè íà ñåðäöå. Ïðè íåêîòîðûõ ïàòîëîãè÷åñêèõ
ñîñòîÿíèÿõ ýëàñòè÷íîñòü ñòåíîê ýðèòðîöèòîâ óìåíüøàåòñÿ è êàê
ñëåäñòâèå — óõóäøàåòñÿ êðîâîîáðàùåíèå.
Âÿçêîñòü êðîâè âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì êîíöåíòðàöèè ýðèò-
ðîöèòîâ. Òàê, âÿçêîñòü êðîâè â êðóïíûõ ñîñóäàõ â íîðìå ñîñòàâëÿ-
åò 4…6 ìÏà•ñ; ïðè àíåìèè (óìåíüøåíèè ñîäåðæàíèÿ ýðèòðîöè-
òîâ) — 2…3 ìÏà•ñ; ïðè ïîëèöèòåìèè (óâåëè÷åíèè ñîäåðæàíèÿ
ýðèòðîöèòîâ) — 15…20 ìÏà•ñ.
Çàâèñèìîñòü âÿçêîñòè êðîâè îò ãåìàòîêðèòà ìîæíî ïðèáëèçè-
òåëüíî îïèñàòü ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèåé
2
0e,c η=η (8.1.1)
ãäå η
0 — âÿçêîñòü ïëàçìû; ñ — ãåìàòîêðèò (â îòíîñèòåëüíûõ åäè-
íèöàõ).
Òå÷åíèå êðîâè ïî ñîñóäàì, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿåòñÿ ëàìèíàðíûì
è ïåðåõîäèò â òóðáóëåíòíîå ëèøü â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ: â ïðîêñè-
ìàëüíûõ îòäåëàõ àîðòû è ëåãî÷íîãî ñòâîëà ïðè âûòàëêèâàíèè êðî-
âè èç æåëóäî÷êîâ; â êðóïíûõ àðòåðèÿõ ïðè âîçðàñòàíèè ñêîðîñòè
êðîâîòîêà (íàïðèìåð ïðè èíòåíñèâíîé ìûøå÷íîé ðàáîòå) èëè
ñíèæåíèè âÿçêîñòè êðîâè (íàïðèìåð ïðè ðåçêî âûðàæåííîé àíå-
ìèè).  âûøåïåðå÷èñëåííûõ ñëó÷àÿõ ÷èñëî Ðåéíîëüäñà ïðåâûøà-
åò êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå (2000…2400). Øóìû, ñîïðîâîæäàþùèå
òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå, èíîãäà áûâàþò íàñòîëüêî ñèëüíû, ÷òî èõ
ìîæíî âûñëóøàòü äàæå áåç ñòåòîñêîïà. Òîíû Êîðîòêîâà, âîçíèêà-
þùèå ïðè íåïðÿìîì ìåòîäå èçìåðåíèÿ àðòåðèàëüíîãî äàâëåíèÿ,
òàêæå âûçâàíû òóðáóëåíòíûì òå÷åíèåì êðîâè.  ìåñòàõ ðàçâåòâëå-
íèé è ëîêàëüíûõ ñóæåíèé ñîñóäîâ (íàïðèìåð ïðè îáðàçîâàíèè
òðîìáîâ), à òàêæå â îáëàñòè êðóòûõ èçãèáîâ îáðàçóþòñÿ ëîêàëüíûå
çàâèõðåíèÿ. ×èñëî Ðåéíîëüäñà ïðè ýòîì ïðåâûøàåò 400. Òóðáó-
ëåíòíîå òå÷åíèå òðåáóåò áîëüøèõ çàòðàò ýíåðãèè ïî ñðàâíåíèþ
ñ ëàìèíàðíûì è óñèëèâàåò íàãðóçêó íà ñåðäöå.
Ðàññìîòðèì ãåìîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè êðîâè — äàâëå-
íèå è ñêîðîñòü êðîâîòîêà. Ñîãëàñíî òåîðåìå î íåðàçðûâíîñòè ñòðóè,
ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ æèäêîñòè v îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà
ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñîñóäà S. Àîðòà ðàçâåòâëÿåòñÿ íà
àðòåðèè, àðòåðèè — íà àðòåðèîëû è çàòåì íà êàïèëëÿðû. Êàæäîå
ðàçâåòâëåíèå ñîïðîâîæäàåòñÿ óìåíüøåíèåì äèàìåòðà îòäåëüíûõ
ñîñóäîâ è óâåëè÷åíèåì ñóììàðíîé ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ
âñåõ ñîñóäîâ äàííîãî êëàññà. Ñàìûì óçêèì îòäåëîì ñîñóäèñòîãî
ðóñëà ÿâëÿåòñÿ àîðòà, ïîýòîìó ñêîðîñòü êðîâîòîêà â íåé ìàêñè- § 8.1. Ðåîëîãè÷åñêèå è ãåìîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè êðîâè

230
ìàëüíà è ñíèæàåòñÿ â íàïðàâëåíèè îò àîðòû ê êàïèëëÿðàì. Ñóì-
ìàðíàÿ ïëîùàäü ïðîñâåòà êàïèëëÿðîâ â 500…600 ðàç ïðåâûøàåò
ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ àîðòû, ñîîòâåòñòâåííî ñêîðîñòü
êðîâîòîêà â íèõ â 500…600 ðàç ìåíüøå ñêîðîñòè â àîðòå. Çíà÷è-
òåëüíîå ñíèæåíèå ñêîðîñòè êðîâîòîêà â êàïèëëÿðàõ ñïîñîáñòâóåò
óëó÷øåíèþ îáìåíà âåùåñòâ ìåæäó êðîâüþ è òêàíÿìè, ÷òî ÿâëÿåò-
ñÿ åùå îäíîé ïðè÷èíîé
òîãî, ÷òî îáìåííûå ïðîöåñ-
ñû â îñíîâíîì ïðîòåêàþò
â êàïèëëÿðíîé ñåòè. Êàïèë-
ëÿðû îáúåäèíÿþòñÿ â âåíû,
ñóììàðíûé ïðîñâåò äàííî-
ãî îòäåëà êðîâåíîñíîãî ðóñ-
ëà ñóæèâàåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ
ñ êàïèëëÿðíîé ñåòüþ, à ëè-
íåéíàÿ ñêîðîñòü êðîâîòîêà
âîçðàñòàåò. Ðàñïðåäåëåíèå
ëèíåéíîé ñêîðîñòè êðîâî-
òîêà â ðàçíûõ ÷àñòÿõ ñîñó-
äèñòîé ñèñòåìû ãðàôè÷åñêè
ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 8.1.6.
Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ðàññìîòðåíèþ êðîâÿíîãî äàâëåíèÿ, ââå-
äåì ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ. Ðàçíîñòü äàâëåíèé íà âíóòðåííþþ (p
â)
è íàðóæíóþ (p
í) ñòåíêè ñîñóäà íàçûâàþò òðàíñìóðàëüíûì äàâëåíèåì:
твн . ppp=− (8.1.2)
Òðàíñìóðàëüíîå äàâëåíèå óâåëè÷èâàåò èëè óìåíüøàåò äèàìåòð
êðîâåíîñíûõ ñîñóäîâ.
Ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ñîçäàåòñÿ ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâ-
ëåíèå êðîâè:
г , pgh= ρ (8.1.3)
ãäå ρ — ïëîòíîñòü êðîâè; g — óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ; h —
âûñîòà ñòîëáà æèäêîñòè. Ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå âëèÿåò íà ðàñ-
ïðåäåëåíèå êðîâè â ñîñóäèñòîé ñèñòåìå ÷åëîâåêà, ñïîñîáñòâóÿ îò-
òîêó êðîâè èç âåðõíåé ÷àñòè è ïðèòîêó â íèæíþþ ÷àñòü òåëà âåð-
òèêàëüíî ñòîÿùåãî ÷åëîâåêà. Òàêèì îáðàçîì, ýòî äàâëåíèå îêàçûâàåò
âëèÿíèå, õîòÿ è íåñóùåñòâåííîå íà òå÷åíèå êðîâè. Íà óðîâíå ñåðä-
öà ãèäðîñòàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ êðîâÿíîãî äàâëåíèÿ ðàâíà íóëþ.
Ïîýòîìó èçìåðåíèå êðîâÿíîãî äàâëåíèÿ îáû÷íî ïðîèçâîäÿò â îá-
ëàñòè ïëå÷à.
Îñíîâíîé äâèæóùåé ñèëîé êðîâîòîêà ÿâëÿåòñÿ êðîâÿíîå äàâ-
ëåíèå, îáóñëîâëåííîå ïðåâûøåíèåì äàâëåíèÿ, âûçâàííîãî ðàáî-
Ðèñ. 8.1.6. Ðàñïðåäåëåíèå ëèíåéíîé ñêîðîñ-
òè êðîâîòîêà â ðàçíûõ îòäåëàõ ñîñóäèñòîãî
ðóñëà
Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

231
òîé ñåðäöà, íàä àòìîñôåðíûì äàâëåíèåì. Äëÿ îòäåëüíî âçÿòîãî
ñîñóäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òîê æèäêîñòè îáåñïå÷èâàåòñÿ ðàçíî-
ñòüþ äàâëåíèé íà âõîäå è íà âûõîäå ñîñóäà.
Ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ êðîâè â ñîñóäèñòîé ñèñòåìå ñ íåêîòî-
ðûì ïðèáëèæåíèåì ìîæíî îïèñàòü, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé
Ïóàçåéëÿ:
4
,
8Rp
Qp
lX π∆
=∆=
η (8.1.4)
îòêóäà
η
=
π
4
8l
X
R (8.1.5)
X — ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå; R — ðàäèóñ ïðîñâåòà ñîñóäà; η —
äèíàìè÷åñêàÿ âÿçêîñòü êðîâè; l — äëèíà ó÷àñòêà ñîñóäà; ∆p — ïå-
ðåïàä äàâëåíèé íà ýòîì ó÷àñòêå.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ðàäèóñû ïðîñâåòîâ àîðòû R
àîð , àðòåðèé R àðò , àð-
òåðèîë R
àðë è êàïèëëÿðîâ R êàï îòíîñÿòñÿ äðóã ê äðóãó êàê
R
àîð : R àðò : R àðë : R êàï = 3000 : 500 : 7 : 1,
òî, ñîãëàñíî ôîðìóëå (8.1.5), ìèíèìàëüíûì ãèäðàâëè÷åñêèì ñî-
ïðîòèâëåíèåì îáëàäàåò àîðòà, à ìàêñèìàëüíûì — êàïèëëÿðû.
Îäíàêî ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ îòäåëüíî âçÿòûõ
ñîñóäîâ. Âñå ñîñóäû äàííîé ÷àñòè ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ âêëþ-
÷åíû â òîê êðîâè ïàðàëëåëüíî. Ýòî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü èõ ñóì-
ìàðíîå ñîïðîòèâëåíèå ïî ôîðìóëå:
123
1
,
1/ 1/ 1/ X
XX X =
++K (8.1.6)
ãäå X
1, X 2, X 3 — ãèäðàâëè÷åñêèå ñîïðîòèâëåíèÿ êàæäîãî ñîñóäà äàí-
íîãî îòäåëà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ.
×åì áîëüøå ñîñóäîâ äàííîãî òèïà âñòðå÷àåòñÿ â îðãàíèçìå, òåì
â áîëüøåé ñòåïåíè ñóììàðíîå ñîïðîòèâëåíèå äàííîãî ó÷àñòêà ñîñó-
äèñòîé ñèñòåìû óìåíüøàåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ñîïðîòèâëåíèåì îò-
äåëüíî âçÿòîãî ñîñóäà. Áëàãîäàðÿ îãðîìíîìó êîëè÷åñòâó êàïèëëÿ-
ðîâ, ñóììàðíîå ñîïðîòèâëåíèå êàïèëëÿðíîé ñåòè ìåíüøå ñóììàðíîãî
ñîïðîòèâëåíèÿ àðòåðèîë è òåì áîëåå àîðòû. Òàêèì îáðàçîì, íàè-
áîëüøèì ãèäðàâëè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì ñðåäè âñåõ ó÷àñòêîâ
ñîñóäèñòîé ñèñòåìû îáëàäàåò ñîâîêóïíîñòü àðòåðèîë (ðèñ. 8.1.7).
Èçìåíåíèå èõ ïðîñâåòà èãðàåò ãëàâíóþ ðîëü â ðåãóëÿöèè äàâëåíèÿ
êðîâè.
Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû Ïóàçåéëÿ (8.1.4), ãèäðàâëè÷åñêîå ñî-
ïðîòèâëåíèå ó÷àñòêà ñîñóäèñòîãî ðóñëà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî § 8.1. Ðåîëîãè÷åñêèå è ãåìîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè êðîâè

232
ïàäåíèþ äàâëåíèÿ íà ýòîì
ó÷àñòêå, òî åñòü ÷åì áîëüøå
ñîïðîòèâëåíèå, òåì áîëü-
øóþ ñèëó íåîáõîäèìî ïðè-
ëîæèòü äëÿ ïðîòàëêèâàíèÿ
êðîâè ïî ñîñóäó. Ñîãëàñíî
ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàí-
íûì, ïàäåíèå äàâëåíèÿ
â êðóïíûõ è ñðåäíèõ àðòå-
ðèÿõ ñîñòàâëÿåò 10 %, à â àð-
òåðèîëàõ è êàïèëëÿðàõ —
85 %. Òî åñòü 85 % ýíåðãèè,
ñîîáùàåìîé êðîâè ïðè ñî-
êðàùåíèè æåëóäî÷êà, ðàñ-
õîäóåòñÿ íà ïðîäâèæåíèå
êðîâè ïî àðòåðèîëàì è êàïèëëÿðàì. Íà ðèñ. 8.1.8 ïðèâåäåíî ðàñ-
ïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ â ðàçíûõ ÷àñòÿõ ñîñóäèñòîé ñèñòåìû.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ïóàçåéëÿ (8.1.4), ïàäåíèå äàâëåíèÿ îáðàòíî
ïðîïîðöèîíàëüíî ÷åòâåðòîé ñòåïåíè ðàäèóñà ñîñóäà, òî åñòü äàæå
1947
27
4
3
0 10
20 30 40
50
Àðòåðèè
Àðòåðèîëû
Êàïèëëÿðû
Âåíóëû
ÂåíûÑîïðîòèâëåíèå,%
Ðèñ. 8.1.7. Ïðîöåíòíîå ñîîòíîøåíèå ãèäðàâ-
ëè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ â ðàçëè÷íûõ îòäå-
ëàõ ñîñóäèñòîãî ðóñëà
Ðèñ. 8.1.8. Ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ (ïðåâûøåíèå íàä àòìîñôåðíûì) â ðàçíûõ
÷àñòÿõ ñîñóäèñòîé ñèñòåìû:
øòðèõîâêîé îáîçíà÷åíî êîëåáàíèå äàâëåíèÿ â ñèñòîëó è äèàñòîëó, ïóíêòèðîì — ñðåäíåå
äàâëåíèå; äàâëåíèå: 1 — â àîðòå; 2 — â êðóïíûõ àðòåðèÿõ; 3 — â ìåëêèõ àðòåðèÿõ; 4 — â
àðòåðèîëàõ; 5 — â êàïèëëÿðàõ; 6 — â âåíóëàõ; 7 — â âåíàõ; 8 — â ïîëîé âåíå (îòðèöàòåëü-
íîå çíà÷åíèå äàâëåíèÿ îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî äàâëåíèå çäåñü ìåíüøå àòìîñôåðíîãî)
Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

233
íåáîëüøîå èçìåíåíèå ðàäèóñà ñîñóäà ìîæåò çíà÷èòåëüíî îòðàçèòüñÿ
íà âåëè÷èíå êðîâÿíîãî äàâëåíèÿ. Èìåííî ïîýòîìó ïðèðîäíûå
ìåõàíèçìû íåðâíîé è ãóìîðàëüíîé ðåãóëÿöèè êðîâÿíîãî äàâëå-
íèÿ, à òàêæå äåéñòâèå ëåêàðñòâåííûõ ïðåïàðàòîâ, íîðìàëèçóþùèõ
äàâëåíèå, ñâÿçàíû ñ èçìåíåíèåì ïðîñâåòà ñîñóäîâ.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèå Ïóàçåéëÿ (8.1.4) ñïðàâåäëèâî
1) äëÿ æåñòêèõ íåâåòâÿùèõñÿ òðóáîê ñ êðóãëûì ïîïåðå÷íûì ñå÷å-
íèåì; 2) ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ; 3) ãîìîãåííûõ æèäêîñòåé; 4) îäíî-
íàïðàâëåííîãî ïîòîêà. Â êðîâåíîñíîé ñèñòåìå íå îäíî èç ýòèõ
òðåáîâàíèé ñòðîãî íå âûïîëíÿåòñÿ. Âî-ïåðâûõ, ñîñóäû ýëàñòè÷íû
è âåòâÿòñÿ; âî-âòîðûõ, â íåêîòîðûõ ó÷àñòêàõ ñîñóäèñòîé ñèñòåìû
íàáëþäàåòñÿ òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå êðîâè; â-òðåòüèõ, êðîâü íå ÿâ-
ëÿåòñÿ ãîìîãåííîé æèäêîñòüþ; â-÷åòâåðòûõ, èíîãäà ïðîèñõîäèò
êðàòêîâðåìåííûé îáðàòíûé (àíòåðîãðàäíûé) êðîâîòîê, íàïðèìåð,
â àîðòå è ïåðèôåðè÷åñêèõ àðòåðèÿõ âî âðåìÿ äèàñòîëû. Êàæäûé èç
ýòèõ ôàêòîðîâ óâåëè÷èâàåò ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ïî ñðàâ-
íåíèþ ñ òåîðåòè÷åñêèì, âû÷èñëåííûì èç óðàâíåíèÿ Ïóàçåéëÿ.
Òàêèì îáðàçîì, îïèñàíèå êðîâîòîêà òðåáóåò ó÷åòà âñåõ âûøåïåðå-
÷èñëåííûõ ôàêòîðîâ, ÷òî, îäíàêî, íå âñåãäà âîçìîæíî.
§ 8.2. ÑÊÎÐÎÑÒÜ ÎÑÅÄÀÍÈß ÝÐÈÒÐÎÖÈÒÎÂ
Ïëîòíîñòü ýðèòðîöèòîâ (1096 êã/ì 3) áîëüøå ïëîòíîñòè ïëàç-
ìû (1027 êã/ì 3), ÷òî âûçûâàåò èõ îñåäàíèå. Ýòî ÿâëåíèå ìîæåò
îòðàæàòüñÿ íà ìåõàíèêå òå÷åíèÿ êðîâè è çàòðóäíÿòü èçìåðåíèå
âÿçêîñòè êðîâè.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ìîäåëü. Íà òâåðäóþ ñôåðè÷åñêóþ ÷àñòè-
öó, äâèæóùóþñÿ â æèäêîñòè â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, äåéñòâóþò ñëåäóþ-
ùèå ñèëû: ñèëà òÿæåñòè ρ
÷Vg, âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà (ñèëà Àðõèìåäà)
ρ
æVg è ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ (ñèëà Ñòîêñà) 6πηrv, ãäå ρ ÷ — ïëîòíîñòü
÷àñòèöû; V — îáúåì ÷àñòèöû; ρ
æ — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; η — âÿçêîñòü
æèäêîñòè; r — ðàäèóñ ÷àñòèöû; v — ñêîðîñòü îñåäàíèÿ ÷àñòèöû. Ïðè
ðàâíîìåðíîì îñåäàíèè ÷àñòèöû (v = v
0 = const) ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ýòèõ
ñèë ðàâíà íóëþ:
чж0 60. Vg Vg rv ρ −ρ −π η = (8.2.1)
Ïîäñòàâèâ â âûðàæåíèå (8.2.1) ôîðìóëó äëÿ îáúåìà ñôåðû ðà-
äèóñîì r (
3 4
3 Vr=π ), ïîëó÷àåì ñêîðîñòü îñåäàíèÿ ñôåðè÷åñêîé
÷àñòèöû:
чж 2
0 2( )
9rg
vρ−ρ
=
η , (8.2.2)
ãäå ρ
÷ > ρæ. § 8.2. Ñêîðîñòü îñåäàíèÿ ýðèòðîöèòîâ

234
×àñòèöà, äâèæóùàÿñÿ â æèäêîñòè èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ, áóäåò
ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàòü ñêîðîñòü îñåäàíèÿ (ïðè ýòîì ñèëà Ñòîêñà
âîçðàñòàåò) äî òåõ ïîð, ïîêà äåéñòâèå ñèëû òÿæåñòè íå áóäåò ñêîì-
ïåíñèðîâàíî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè ñèëàìè Àðõèìåäà
è Ñòîêñà. Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà, ÷àñòèöà áóäåò îñåäàòü ñ ïîñòî-
ÿííîé ñêîðîñòüþ v
0. Ïðèáëèæåííàÿ çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè v ÷àñ-
òèöû îò âðåìåíè èìååò âèä:
() /
0 1e , t vv −τ =− (8.2.3)
ãäå τ — ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè ïðîöåññà, êîòîðàÿ ïðÿìî ïðîïîðöèî-
íàëüíà ïëîòíîñòè ÷àñòèöû è êâàäðàòó åå ðàäèóñà è îáðàòíî ïðî-
ïîðöèîíàëüíà âÿçêîñòè æèäêîñòè:
2
ч
~r ρ
τ
η . (8.2.4)
Åñëè âðåìÿ íàáëþäåíèÿ çà ïðîöåññîì îñåäàíèÿ ÷àñòèö çíà÷è-
òåëüíî ïðåâûøàåò ïîñòîÿííóþ âðåìåíè (
tτ  ), òî 0. vv→ Ïðè
3 t=τ ñêîðîñòü îñåäàíèÿ ñîñòàâëÿåò 95 % îò v 0. Äëÿ òâåðäîé ñôå-
ðè÷åñêîé ÷àñòèöû, äèàìåòð êîòîðîé ðàâåí äèàìåòðó ýðèòðîöèòà
(8 ìêì),
− τ≈ ⋅ 5 510 ñ, òî åñòü ÷àñòèöà äîñòèãíåò ñêîðîñòè 0,95v 0 ÷å-
ðåç 1,5•10 –4 ñ.
Äàííàÿ ìîäåëü íå ñîâñåì àäåêâàòíî îïèñûâàåò ïðîöåññ îñåäà-
íèÿ ýðèòðîöèòîâ, òàê êàê îíè, âî-ïåðâûõ, íå ÿâëÿþòñÿ òâåðäûìè
ñôåðàìè, à âî-âòîðûõ, èìåþò òåíäåíöèþ ê àãðåãàöèè â âèäå ìî-
íåòíûõ ñòîëáèêîâ. Òåì íå ìåíåå ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ ñ íåêîòî-
ðûì ïðèáëèæåíèåì ïðèãîäíû äëÿ îïèñàíèÿ îñåäàíèÿ îäèíî÷íûõ
ýðèòðîöèòîâ.
Ñêîðîñòü îñåäàíèÿ ýðèòðîöèòîâ (ÑÎÝ) øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ
â ìåäèöèíñêîé ïðàêòèêå â êà÷åñòâå äèàãíîñòè÷åñêîãî òåñòà. Äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ÑÎÝ ïî ìåòîäó Âåñòåðãðåíà êðîâü ñ äîáàâëåííûì
àíòèêîàãóëÿíòîì ïîìåùàþò â îòãðàäóèðîâàííóþ êîëáó. ÑÎÝ ÷èñ-
ëåííî ðàâíà ðàññòîÿíèþ, íà êîòîðîå ñìåùàåòñÿ âåðõíÿÿ ãðàíèöà ýðèò-
ðîöèòîâ çà ïåðâûé ÷àñ
1.  íîðìå ýòà âåëè÷èíà ñîñòàâëÿåò 3—6 ìì ó
ìóæ÷èí è 8—10 ìì ó æåíùèí.
Íåêîòîðûå ïàòîëîãèè, òàêèå, êàê âîñïàëèòåëüíûå ïðîöåññû, îïó-
õîëè, ñîïðîâîæäàþùèåñÿ ðàçðóøåíèåì òêàíåé, ïîâûøàþò òåíäåí-
öèþ ýðèòðîöèòîâ ê àãðåãàöèè. Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ
1 ÑÎÝ íå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, òàê êàê àãðåãàöèÿ ýðèòðîöèòîâ
ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñî âðåìåíåì ñêîðîñòü èõ îñåäàíèÿ â âåðõíåé ÷àñòè òðóáêè
óìåíüøàåòñÿ, à â íèæíåé — óâåëè÷èâàåòñÿ.
Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

235
þùåé íà ñîñòàâëÿþùèå åãî ýðèòðîöèòû, ÷òî âûçûâàåò óâåëè÷åíèå
ÑÎÝ.
ÑÎÝ çàâèñèò îò áåëêîâîãî ñîñòàâà êðîâè. Òàê, ÑÎÝ ñíèæàåòñÿ
ïðè óâåëè÷åíèè ñîäåðæàíèÿ â ïëàçìå àëüáóìèíà è ïîâûøàåòñÿ
ïðè óâåëè÷åíèè êîíöåíòðàöèè ãëîáóëèíîâ è îñîáåííî ôèáðèíî-
ãåíà. Íàïðèìåð, ïðè áåðåìåííîñòè ïåðåä ðîäàìè ñîäåðæàíèå ôèá-
ðèíîãåíà âîçðàñòàåò â äâà ðàçà, ÷òî âûçûâàåò óâåëè÷åíèå ÑÎÝ äî
çíà÷åíèé 40—50 ìì/÷àñ. Î ñàìîì ìåõàíèçìå ïîâûøåíèÿ àãðåãà-
öèè ýðèòðîöèòîâ ãëîáóëèíàìè íåò åäèíîãî ìíåíèÿ. Âîçìîæíî, ÷òî
ãëîáóëèíû ñíèæàþò ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ýðèòðîöèòîâ è òåì ñà-
ìûì óìåíüøàþò ýôôåêò ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî îòòàëêèâàíèÿ.
ÑÎÝ òàêæå çàâèñèò îò êîíöåíòðàöèè ýðèòðîöèòîâ. Òàê, ïðè
çíà÷èòåëüíîì óìåíüøåíèè ãåìàòîêðèòà óìåíüøàåòñÿ âÿçêîñòü êðî-
âè, è, êàê ñëåäñòâèå, âîçðàñòàåò ÑÎÝ; ïðè óâåëè÷åíèè ãåìàòîêðè-
òà íàáëþäàåòñÿ îáðàòíàÿ êàðòèíà. Ïðè íåêîòîðûõ çàáîëåâàíèÿõ
(íàïðèìåð ñåðïîâèäíîêëåòî÷íîé àíåìèè) èçìåíÿåòñÿ ôîðìà ýðèò-
ðîöèòîâ, ÷òî ñíèæàåò òåíäåíöèþ ýðèòðîöèòîâ ê àãðåãàöèè è óìåíü-
øàåò ÑÎÝ. Ìíîãèå ñòåðîèäíûå ãîðìîíû (íàïðèìåð, ýñòðîãåíû,
ãëþêîêîðòèêîèäû) è ëåêàðñòâåííûå âåùåñòâà (íàïðèìåð ñàëèöè-
ëàòû) ïîâûøàþò ÑÎÝ.
§ 8.3. ÌÎÄÅËÜ ÔÐÀÍÊÀ. ÏÓËÜÑÎÂÀß ÂÎËÍÀ
Âî âðåìÿ ñèñòîëû (ñîêðàùåíèÿ ñåðäöà) êðîâü âûáðàñûâàåòñÿ
èç ëåâîãî æåëóäî÷êà â àîðòó è îòõîäÿùèå îò íåå êðóïíûå àðòåðèè.
Ïðè ýòîì ÷àñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè êðîâè ðàñõîäóåòñÿ íà ðàñ-
òÿæåíèå ýëàñòè÷íûõ ñòåíîê ñîñóäîâ è çàïàñàíèå åå â âèäå ïîòåí-
öèàëüíîé ýíåðãèè óïðóãîé äåôîðìàöèè. Âî âðåìÿ äèàñòîëû (ðàñ-
ñëàáëåíèÿ) æåëóäî÷êîâ àîðòàëüíûé êëàïàí çàêðûâàåòñÿ è ïðèòîê
êðîâè îò ñåðäöà â êðóïíûå ñîñóäû ïðåêðàùàåòñÿ. Ðàñòÿíóòûå ñòåíêè
àðòåðèè ïðè ýòîì ñîêðàùàþòñÿ, îáåñïå÷èâàÿ ïðèòîê êðîâè â êà-
ïèëëÿðû âî âðåìÿ äèàñòîëû.
Âïåðâûå èäåÿ î òàêîì ñïîñîáå ïðîäâèæåíèÿ êðîâè áûëà âû-
äâèíóòà ñåëüñêèì ñâÿùåííèêîì Õåéëñîì
1 â 1733 ãîäó, à â 1899 —
Ôðàíê ñîçäàë ñâîþ ãèäðîäèíàìè÷åñêóþ ìîäåëü, îïèñûâàþùóþ âðå-
ìåííûå èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ è îáúåìíîé ñêîðîñòè êðîâîòîêà â àð-
òåðèÿõ.
 ìîäåëè Ôðàíêà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå êðóïíûå ñîñóäû àð-
òåðèàëüíîé ÷àñòè áîëüøîãî êðóãà êðîâîîáðàùåíèÿ îáúåäèíåíû
â îäíó êàìåðó ñ ýëàñòè÷íûìè ñòåíêàìè è ïðåíåáðåæèìî ìàëûì ãèä-
1 Õåéëñ ê òîìó æå ïåðâûì èçìåðèë êðîâÿíîå äàâëåíèå.
§ 8.3. Ìîäåëü Ôðàíêà. Ïóëüñîâàÿ âîëíà

236
ðàâëè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì,
à âñå ìåëêèå ñîñóäû — â æåñò-
êóþ òðóáêó ñ ïîñòîÿííûì ãèä-
ðàâëè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì.
×àñòü êðîâè, ïðèòåêàþùàÿ
èç ñåðäöà â óïðóãóþ êàìåðó,
îñòàåòñÿ â íåé è ðàñòÿãèâàåò
åå, à äðóãàÿ ÷àñòü âûòåêàåò
â æåñòêóþ òðóáêó (ðèñ. 8.3.1).
Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî
c d
,
dV
QQ
t =+ (8.3.1)
ãäå Q
c — îáúåìíàÿ ñêîðîñòü
ïðèòîêà êðîâè èç ñåðäöà; Q —
îáúåìíàÿ ñêîðîñòü îòòîêà
êðîâè â æåñòêóþ òðóáêó;
dV/dt — ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ
îáúåìà óïðóãîé êàìåðû.
Èçìåíåíèå îáúåìà êàìåðû ïðîïîðöèîíàëüíî èçìåíåíèþ äàâ-
ëåíèÿ â íåé:
dd,VCp= (8.3.2)
ãäå C — ýëàñòè÷íîñòü êàìåðû.
Îáúåìíàÿ ñêîðîñòü êðîâîòîêà ÷åðåç ïåðèôåðè÷åñêèå ñîñóäû,
ìîäåëèðóåìûå æåñòêîé òðóáêîé, ñîãëàñíî óðàâíåíèþ Ïóàçåéëÿ
(8.1.4), ðàâíà
в, pp
Q
X −
= (8.3.3)
ãäå X — ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå æåñòêîé òðóáêè (îáùåå ñî-
ïðîòèâëåíèå ïåðèôåðè÷åñêîé ÷àñòè ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ); p —
äàâëåíèå â óïðóãîé êàìåðå; p
â — âåíîçíîå äàâëåíèå, êîòîðîå ìî-
æåò áûòü ïðèíÿòî ðàâíûì íóëþ (ñì. ðèñ. 8.1.8).
Òîãäà
. p
Q
X = (8.3.4)
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ (8.3.2) è (8.3.4) â óðàâíåíèå (8.3.1):
c=+d
dpp
QC
tX (8.3.5)
Ðèñ.8.3.1. Ìîäåëü Ôðàíêà
Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

237
è óìíîæèì åãî íà dt:
cdd d.p
QtCp t
X =+ (8.3.6)
Ïðîèíòåãðèðóåì äàííîå óðàâíåíèå â ïðåäåëàõ âðåìåíè, ðàâíî-
ìó îäíîìó ïåðèîäó ïóëüñà (îò
=1 0 t äî п =2tT ), ÷åìó ñîîòâåòñòâó-
þò îäèíàêîâûå âåëè÷èíû äàâëåíèÿ, ðàâíûå ìèíèìàëüíîìó äèàñ-
òîëè÷åñêîìó äàâëåíèþ (ðèñ. 8.3.2):
Ðèñ. 8.3.2. Ïóëüñ ñîííîé àðòåðèè
д
пп
д
c
00 1
dd d. p
TT
p
QtC p pt
X =+∫∫∫ (8.3.7)
Èíòåãðàë ñ ðàâíûìè ïðåäåëàìè ðàâåí íóëþ:
д
д
d0,
p
p
Cp= ∫
òîãäà
пп
c
00 1
dd. TT
Qt pt
X =∫∫ (8.3.8) § 8.3. Ìîäåëü Ôðàíêà. Ïóëüñîâàÿ âîëíà

238
Èíòåãðàë
п
0
d
T
pt∫ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ðàâåí ïëîùàäè ôèãó-
ðû, îãðàíè÷åííîé êðèâîé p(t) è îñüþ t (ðèñ. 8.3.2). Èíòåãðàë â ëå-
âîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óäàðíûé îáúåì êðîâè â áîëü-
øîì êðóãå êðîâîîáðàùåíèÿ, òî åñòü îáúåì êðîâè, âûòàëêèâàåìûé
ëåâûì æåëóäî÷êîì â àîðòó çà îäíî ñîêðàùåíèå. Ýòîò îáúåì ìîæåò
áûòü îïðåäåëåí ýêñïåðèìåíòàëüíî. Çíàÿ çíà÷åíèå èíòåãðàëîâ, ïî
ôîðìóëå (8.3.8) ìîæíî íàéòè âåëè÷èíó îáùåãî ãèäðàâëè÷åñêîãî
ñîïðîòèâëåíèÿ ïåðèôåðè÷åñêîé ÷àñòè ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ.
Âî âðåìÿ äèàñòîëû â ïåðèîä Ò
ä ïðèòîê êðîâè îò ñåðäöà ïðå-
êðàùàåòñÿ (Q
c = 0), ñòåíêè àðòåðèé ñæèìàþòñÿ (ðèñ. 8.3.1) è âû-
òàëêèâàþò êðîâü â ïåðèôåðè÷åñêèå ñîñóäû (æåñòêóþ òðóáêó). Äëÿ
ýòîé ôàçû óðàâíåíèå (8.3.6) èìååò ïðîñòîå àíàëèòè÷åñêîå ðå-
øåíèå:
0d d.p
Cp t
X =+ (8.3.9)
Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå
d1
d p
t
pCX=− (8.3.10)
è ïðîèíòåãðèðóåì â ïðåäåëàõ îò ìàêñèìàëüíîãî ñèñòîëè÷åñêîãî
äàâëåíèÿ, ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíò âðåìåíè t = 0, äî íåêîòîðîãî
ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ p, ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíò
âðåìåíè t:
0
d1
d;
c
p
t
p p
t
pCX=− ∫∫
0
ln ; c
t
p
p t
p
CX =−
c
ln ;pt
pCX=−
cexp .t
pp
CX 
=−

 (8.3.11)
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ â óïðóãîé
êàìåðå îò âðåìåíè â ïåðèîä äèàñòîëû. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (8.3.4),
ìîæíî ïîëó÷èòü âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü îáúåìíîé ñêîðîñòè òîêà
êðîâè â ïåðèôåðè÷åñêèõ ñîñóäàõ äëÿ ýòîé ôàçû ñåðäå÷íîãî öèêëà:Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

239
сист exp ,t
QQ
CX 
=−

 (8.3.12)
ãäå Q
ñèñò = p c/X — îáúåìíàÿ ñêîðîñòü êðîâîòîêà â êîíöå ñèñòîëû
(â íà÷àëå äèàñòîëû).
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ êðîâîîáðàùåíèÿ î÷åíü ÷àñòî
èñïîëüçóþòñÿ àíàëîãîâûå ýëåêòðè÷åñêèå ñõåìû. Äåëî â òîì, ÷òî
êàæäîé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé âåëè÷èíå ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ýëåêòðè-
÷åñêàÿ âåëè÷èíà.  ãëàâå 5 óæå óïîìèíàëàñü àíàëîãèÿ ìåæäó ôîð-
ìóëîé Ïóàçåéëÿ è çàêîíîì Îìà, èç êîòîðûõ âèäíî, ÷òî, ïîäîáíî
òîìó êàê ïåðåïàä äàâëåíèé íà ó÷àñòêå ñîñóäèñòîãî ðóñëà âûçûâàåò
òîê êðîâè, ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ âûçûâàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê,
à êîýôôèöèåíòàìè ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíà-
ìè ñëóæàò ãèäðàâëè÷åñêîå è ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèÿ ñîîò-
âåòñòâåííî. Ñïîñîáíîñòü ýëàñòè÷íûõ êðîâåíîñíûõ ñîñóäîâ ê íà-
êàïëèâàíèþ ïîðöèé êðîâè è äàëüíåéøåìó åå âûòàëêèâàíèþ
àíàëîãè÷íî çàðÿäêå è ðàçðÿäêå êîíäåíñàòîðà, à èíåðöèÿ êðîâè è âû-
çûâàåìàÿ åþ ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ èíäóêòèâíîñòü — èíåðöèè ýëåêò-
ðîíîâ è ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêòèâíîñòè.
Òàêèì îáðàçîì ïðîöåññû, îïèñûâàåìûå ìîäåëüþ Ôðàíêà, ìî-
ãóò áûòü òàêæå ñìîäåëèðîâàíû ñ ïîìîùüþ ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû
(ðèñ. 8.3.3). Ñõåìà ñîñòîèò èç èñòî÷-
íèêà ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ U
(àíàëîãà ñåðäöà), âûïðÿìèòåëÿ Â
(àíàëîãà ñåðäå÷íîãî êëàïàíà), êîí-
äåíñàòîðà C (àíàëîãà ýëàñòè÷íîãî ðå-
çåðâóàðà), çàðÿæàþùåãîñÿ îò èñòî÷-
íèêà íàïðÿæåíèÿ è ðàçðÿæàþùåãîñÿ
íà ðåçèñòîð R (àíàëîãà æåñòêîé òðóá-
êè). Èñòî÷íèê ïåðåìåííîãî íàïðÿ-
æåíèÿ ñîçäàåò êîëåáàíèÿ òîêà â öåïè,
à âûïðÿìèòåëü ïðîïóñêàåò òîê, òå-
êóùèé òîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè.
Ïîäîáíî åìó, ñåðäå÷íûé êëàïàí ïðîïóñêàåò êðîâü, âûòåêàþùóþ
èç æåëóäî÷êà â àîðòó, è íå äîïóñêàåò îáðàòíîãî òîêà êðîâè. Êîí-
äåíñàòîð ñãëàæèâàåò êîëåáàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, ïðîòåêàþ-
ùåãî ÷åðåç ðåçèñòîð, ïîäîáíî òîìó êàê ýëàñòè÷íûå àðòåðèè ñãëà-
æèâàþò êîëåáàíèÿ äàâëåíèÿ â ìåëêèõ ñîñóäàõ.
 ìîäåëè Ôðàíêà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ìîìåíò âûòàëêèâàíèÿ
êðîâè èç ëåâîãî æåëóäî÷êà âñå êðóïíûå ñîñóäû àðòåðèàëüíîãî ðóñëà
áîëüøîãî êðóãà êðîâîîáðàùåíèÿ ðàñòÿãèâàþòñÿ îäíîâðåìåííî, à çà-
òåì âî âðåìÿ äèàñòîëû òàê æå îäíîâðåìåííî ñæèìàþòñÿ è âûòàë-
êèâàþò êðîâü â æåñòêèå ñîñóäû. Íà ñàìîì äåëå âûòàëêèâàíèå êðî-
âè èç æåëóäî÷êà â ïåðâûé ìîìåíò ñîïðîâîæäàåòñÿ ðàñòÿæåíèåì
Ðèñ. 8.3.3. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà
äëÿ ìîäåëè Ôðàíêà
§ 8.3. Ìîäåëü Ôðàíêà. Ïóëüñîâàÿ âîëíà

240
òîëüêî áëèæàéøåãî ê íåìó îò-
äåëà àîðòû è âîçðàñòàíèåì íà-
ïðÿæåíèÿ â åå ñòåíêàõ (ðèñ.
8.3.4, à). Ïî ìåðå ñíèæåíèÿ ñêî-
ðîñòè èçãíàíèÿ êðîâè èç ñåðä-
öà äàâëåíèå â ðàñòÿíóòîì ó÷àñò-
êå íà÷èíàåò ñíèæàòüñÿ, à ðàñ-
òÿíóòûå ñòåíêè ñòÿãèâàþòñÿ
è âîçâðàùàþòñÿ â ïîëîæåíèå
ðàâíîâåñèÿ, ïðîòàëêèâàÿ ïðè
ýòîì êðîâü äàëüøå ïî ðóñëó
è âûçûâàÿ ðàñòÿæåíèå ñëåäóþ-
ùåãî ó÷àñòêà àîðòû (ðèñ. 8.3.4, á).
Ýòîò ïðîöåññ ïðîäîëæàåòñÿ
(ðèñ. 8.3.4, â), ïîñòåïåííî çà-
òóõàÿ, äî îáëàñòè êîíöåâûõ ðàç-
âåòâëåíèé àðòåðèé è àðòåðèîë,
ãäå ïóëüñèðóþùèé ïîòîê ïîñòåïåííî ñìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíûì.
Òàêèì îáðàçîì, ïî ñîñóäàì ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ êîëåáàíèÿ äàâëå-
íèÿ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ïóëüñîâîé âîëíîé. ×åì â áîëüøåé ñòåïå-
íè ýëàñòè÷íà ñòåíêà è ÷åì áîëüøå âÿçêîñòü êðîâè, òåì áûñòðåå
îñëàáåâàåò ïóëüñîâàÿ âîëíà. Òàêæå åå îñëàáëåíèþ ñïîñîáñòâóåò
ñóæåíèå àðòåðèé è âåòâëåíèå àðòåðèàëüíîãî äåðåâà.
Ïóëüñîâàÿ âîëíà íå ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé. Îäíàêî ëþáîå
ñëîæíîå êîëåáàíèå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî íà íåêîòîðîå êîëè÷å-
ñòâî ñîñòàâëÿþùèõ (ãàðìîíèê) è âîññòàíîâëåíî çàòåì ïóòåì èõ
ñóììèðîâàíèÿ (ðèñ. 8.3.5). Ýòîò ìåòîä íàçûâàåòñÿ àíàëèçîì Ôóðüå.
Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïóëüñîâîé âîëíû îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ñëåäóþùåé ôîðìóëå:
, Eh
v
d =
ρ (8.3.13)
ãäå E — ìîäóëü óïðóãîñòè (ìîäóëü Þíãà) ñòåíêè ñîñóäà; h — òîë-
ùèíà ñòåíêè ñîñóäà; d — åãî âíóòðåííèé äèàìåòð; ρ — ïëîòíîñòü
êðîâè.
Òàêèì îáðàçîì, ÷åì áîëüøå ìîäóëü óïðóãîñòè ñîñóäà, òåì âûøå
ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïóëüñîâîé âîëíû â íåì. Òàê, ñêîðîñòü
ïóëüñîâîé âîëíû â àîðòå ñîñòàâëÿåò 4…6 ì/ñ, à â ìåíåå ýëàñòè÷-
íûõ àðòåðèÿõ ìûøå÷íîãî òèïà (íàïðèìåð â ëó÷åâîé) — 8…12 ì/ñ.
 âåíàõ, êîòîðûå îáëàäàþò áîëüøîé ýëàñòè÷íîñòüþ, ñêîðîñòü ïóëü-
ñîâîé âîëíû ìåíüøå: íàïðèìåð, â ïîëîé âåíå — îêîëî 1 ì/ñ. Ñ âîç-
ðàñòîì ýëàñòè÷íîñòü ñîñóäîâ óìåíüøàåòñÿ (êîýôôèöèåíò óïðóãîñ-
òè âîçðàñòàåò â 2—3 ðàçà) è, êàê ñëåäñòâèå, óâåëè÷èâàåòñÿ ñêîðîñòü
ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïóëüñîâîé âîëíû. Ê òàêîìó æå ýôôåêòó ïðèâî-
Ðèñ. 8.3.4. Ñõåìà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïóëü-
ñîâîé âîëíû:
à — àîðòàëüíûé êëàïàí îòêðûò; á è â — àîð-
òàëüíûé êëàïàí çàêðûò
Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

241
äèò ïîâûøåíèå êðîâÿíîãî äàâëåíèÿ, òàê êàê ïðè ýòîì ñòåíêè ñî-
ñóäîâ íàõîäÿòñÿ â ðàñòÿíóòîì ñîñòîÿíèè, ÷òî óìåíüøàåò èõ ñïî-
ñîáíîñòü ê äàëüíåéøåìó ðàñøèðåíèþ. Óïðóãèå ñâîéñòâà ñîñóäîâ
ìîãóò òàêæå êðàòêîâðåìåííî èçìåíÿòüñÿ ïîä âëèÿíèåì àêòèâíîñ-
òè ñîñóäîäâèãàòåëüíûõ íåðâîâ èëè äåéñòâèÿ ëåêàðñòâåííûõ ïðå-
ïàðàòîâ. Ôîðìóëà (8.3.13) ïîçâîëÿåò ñóäèòü îá óïðóãèõ ñâîéñòâàõ
àðòåðèé ñ ïîìîùüþ îòíîñèòåëüíî ïðîñòîãî ñïîñîáà — èçìåðåíèÿ
ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïóëüñîâîé âîëíû.
Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïóëüñîâîé âîëíû (6…12 ì/ñ) â 20—
40 ðàç áîëüøå ñêîðîñòè êðîâîòîêà (0,3…0,5 ì/ñ). Òàê, ïóëüñîâàÿ
âîëíà äîñòèãàåò àðòåðèîë ñòîïû çà 0,2 ñ, â òî âðåìÿ êàê ÷àñòèöû
âûáðîøåííîé æåëóäî÷êîì êðîâè çà ýòî æå âðåìÿ äîñòèãàþò òîëü-
êî íèñõîäÿùåé àîðòû. Ïîìèìî ïóëüñîâûõ âîëí (êîëåáàíèé äàâëå-
íèÿ), ïî êðîâåíîñíûì ñîñóäàì ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ çâóêîâûå âîëíû
ñî ñêîðîñòüþ 1500 ì/ñ.
§ 8.4. ÏÅÐÅÍÎÑ ÂÅÙÅÑÒ  ÊÀÏÈËËßÐÍÎÉ ÑÅÒÈ
Îñíîâíîé ôóíêöèåé ñåðäå÷íî-ñîñóäèñòîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ
äîñòàâêà êèñëîðîäà è ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ â òêàíè îðãàíèçìà
è âûâåäåíèå ïðîäóêòîâ îáìåíà èç íåãî. Ïðîöåññû îáìåíà ìåæäó
Ðèñ. 8.3.5. Ðàçëîæåíèå èìïóëüñà äàâëåíèÿ â áåäðåííîé àðòåðèè ñîáàêè
íà ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå:
1, 3 è 5 — ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé 1, 2 è 3 Ãö; 2 — ïîñòîÿííàÿ ñî-
ñòàâëÿþùàÿ; 4 — ñóììà ãàðìîíèê (ñïëîøíàÿ êðèâàÿ) è ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷å-
íèÿ äàâëåíèÿ (êðóæî÷êè); ð — äàâëåíèå â îòíîñèòåëüíûõ åäèíèöàõ; t — âðåìÿ
§ 8.4. Ïåðåíîñ âåùåñòâ â êàïèëëÿðíîé ñåòè

242
êðîâüþ è òêàíÿìè â îñíîâíîì ïðîòåêàþò â êàïèëëÿðíîé ñåòè.
Òðàíñïîðò âåùåñòâ ÷åðåç êàïèëëÿðû, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿåòñÿ ïàñ-
ñèâíûì. Îáìåí âåùåñòâ ÷åðåç êàïèëëÿðíóþ ñòåíêó îñóùåñòâëÿåò-
ñÿ äâóìÿ ñïîñîáàìè: äèôôóçèîííûì è êîíâåêòèâíûì.
Äèôôóçèîííûé ñïîñîá îáóñëîâëåí ðàçíîñòüþ êîíöåíòðàöèé âå-
ùåñòâ â ïëàçìå è ìåæêëåòî÷íîé æèäêîñòè è îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì
Ôèêà. Ñêîðîñòü äèôôóçèè î÷åíü âûñîêà: çà âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ
êðîâè ÷åðåç êàïèëëÿðû æèäêîñòü ïëàçìû óñïåâàåò 40 ðàç ïîëíîñ-
òüþ îáìåíÿòüñÿ ñ ìåæêëåòî÷íîé æèäêîñòüþ. Ïðè ýòîì ÷èñëî ìî-
ëåêóë, âûøåäøèõ èç ïëàçìû, ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî ÷èñëó ìîëå-
êóë, ïðîíèêøèõ â íåå, òî åñòü îáúåì ïëàçìû íå èçìåíÿåòñÿ. ×åðåç
ñòåíêó êàïèëëÿðîâ ëåãêî ïðîõîäÿò ìîëåêóëû êèñëîðîäà è óãëå-
êèñëîãî ãàçà, à òàêæå æèðîðàñòâîðèìûå ìîëåêóëû, íàïðèìåð ýòè-
ëîâûé ñïèðò. Âîäîðàñòâîðèìûå âåùåñòâà (íàïðèìåð, èîíû Na
+ è
Cl –, ãëþêîçà) äèôôóíäèðóþò òîëüêî ÷åðåç çàïîëíåííûå âîäîé ïîðû,
ïðè÷åì ÷åì áîëüøå ðàçìåð ìîëåêóëû, òåì íèæå åå êîýôôèöèåíò
ïðîíèöàåìîñòè. Íàïðèìåð, êîýôôèöèåíò ïðîíèöàåìîñòè äëÿ ãëþ-
êîçû â 1,7, à êîýôôèöèåíò ïðîíèöàåìîñòè äëÿ àëüáóìèíà â 10 000
ðàç íèæå, ÷åì äëÿ âîäû. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî ïðèâîäèò ê òî-
ìó, ÷òî êîíöåíòðàöèÿ àëüáóìèíà â ïëàçìå çíà÷èòåëüíî âûøå åãî
êîíöåíòðàöèè â ìåæêëåòî÷íîé æèäêîñòè, ÷òî, êàê ìû óâèäèì
â äàëüíåéøåì, èãðàåò âàæíóþ ðîëü â ôèëüòðàöèîííî-ðåàáñîðáöè-
îííûõ ïðîöåññàõ. Ïîìèìî òðàíñïîðòà ÷åðåç ïîðû, êðóïíûå ìîëå-
êóëû ïðîíèêàþò ÷åðåç ñòåíêó êàïèëëÿðà òàêæå ïóòåì ïèíîöèòîçà.
Êîíâåêòèâíûì ñïîñîáîì íàçûâàåòñÿ ïåðåíîñ âåùåñòâà âìåñòå
ñ æèäêîñòüþ ÷åðåç êàïèëëÿðíûå ïîðû ïîä äåéñòâèåì ãðàäèåíòà ãèä-
ðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ. Ðàçëè÷àþò ôèëüòðàöèþ (âûõîä âåùåñòâà
èç ïëàçìû â ìåæêëåòî÷íîå ïðîñòðàíñòâî) è ðåàáñîðáöèþ (ïîñòóïëå-
íèå âåùåñòâà â êðîâü). Ñîãëàñíî òåîðèè Ñòàðëèíãà, ìåæäó ýòèìè
äâóìÿ ïðîöåññàìè ñóùåñòâóåò äèíàìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå. Âûäåëÿ-
þò ÷åòûðå ôàêòîðà, âëèÿþùèõ íà ôèëüòðàöèîííî-ðåàáñîðáöèîí-
íûé ïðîöåññ. Ïîä äåéñòâèåì ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ â êàïèë-
ëÿðàõ (p
ãê) è îíêîòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ 1 òêàíåâîé æèäêîñòè (p îò)
æèäêîñòü âûõîäèò èç êàïèëëÿðîâ â òêàíè, à ïîä äåéñòâèåì ãèäðî-
ñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ â òêàíåâîé æèäêîñòè (p
ãò) è îíêîòè÷åñêîãî
äàâëåíèÿ ïëàçìû (p
îê) æèäêîñòü äâèæåòñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè.
Òîãäà îáúåìíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ æèäêîñòè ÷åðåç ñòåíêè êàïèë-
ëÿðîâ ñîñòàâèò:
q = K(p
ãê + p îò – p ãò – p îê), (8.4.1)
èëè
q = K[(p
ãê – p ãò) – (p îê – p îò)], (8.4.2)
1 Îíêîòè÷åñêèì äàâëåíèåì íàçûâàåòñÿ êîëëîèäíî-îñìîòè÷åñêîå äàâëåíèå áåëêîâ.
Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

243
ãäå K — êîýôôèöèåíò ôèëüòðàöèè (êîýôôèöèåíò ïðîíèöàåìîñòè),
îïðåäåëÿåìûé âÿçêîñòüþ ôèëüòðóþùåéñÿ æèäêîñòè, ðàçìåðàìè ïîð
è èõ êîëè÷åñòâîì. Ïðè q > 0 (ðàçíîñòü ãèäðîñòàòè÷åñêèõ äàâëåíèé
êðîâè è òêàíåé ïðåâûøàåò ðàçíîñòü îñìîòè÷åñêèõ) ïðîèñõîäèò ôèëü-
òðàöèÿ; ïðè q < 0 — ðåàáñîðáöèÿ.
Ñòåíêè êàïèëëÿðîâ îòíîñèòåëüíî ñâîáîäíî ïðîïóñêàþò íåáîëü-
øèå ìîëåêóëû, ÷òî ïðèâîäèò ê âûðàâíèâàíèþ èõ êîíöåíòðàöèé
ïî îáå ñòîðîíû ñòåíêè êàïèëëÿðà, à ñëåäîâàòåëüíî, è îñìîòè÷å-
ñêèõ äàâëåíèé, ñîçäàííûõ ýòèìè ìîëåêóëàìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
êàê óæå óêàçûâàëîñü âûøå, êðóïíûå áåëêîâûå ìîëåêóëû ïî÷òè íå
ïðîíèêàþò ÷åðåç ñòåíêó êàïèëëÿðà
1 è âûðàâíèâàíèå èõ êîíöåíòðà-
öèé íèêîãäà íå ïðîèñõîäèò. Òðàíñêàïèëëÿðíûé ïåðåíîñ æèäêîñòè
âûçûâàåò ïîÿâëåíèå îñìîòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ áåëêîâ (îíêîòè÷åñêîãî
äàâëåíèÿ).
Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî îíêîòè÷åñêèå äàâëåíèÿ ïëàçìû è òêàíåâîé æèä-
êîñòè, à òàêæå ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå òêàíåâîé æèäêîñòè íå
èçìåíÿþòñÿ âäîëü êàïèëëÿðà îò àðòåðèàëüíîãî êîíöà ê âåíîçíîìó
è ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî (äëÿ ñêåëåòíîé ìûøöû): p
îê = 25 ìì ðò. ñò.;
p
îò = 5 ìì ðò. ñò.; p ãò = 3 ìì ðò. ñò., à ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå
êðîâè ( p
ãê) ðàâíîìåðíî ñíèæàåòñÿ îò âåëè÷èíû 32,5 ìì ðò. ñò.
(àðòåðèàëüíûé êîíåö) äî 15 ìì ðò. ñò. (âåíîçíûé êîíåö). Èç
ðèñ. 8.4.1. âèäíî, ÷òî ïî ìåðå ïðîäâèæåíèÿ êðîâè ïî êàïèëëÿðó
ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè ïîñòåïåííî ñíèæàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà ðàç-
íîñòü îñìîòè÷åñêèõ äàâëåíèé íå ïðåâûñèò ðàçíîñòü ãèäðîñòàòè-
÷åñêèõ. Ñ ýòîãî ìîìåíòà íà÷èíàåòñÿ ïðîöåññ ðåàáñîðáöèè. Òî÷êà,
â êîòîðîé ôèëüòðàöèÿ è ðåàáñîðáöèÿ óðàâíîâåøèâàþò äðóã äðóãà,
íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ôèëüòðàöèîííî-ðåàáñîðáöèîííîãî ðàâíîâåñèÿ.
Íà àðòåðèàëüíîì êîíöå êàïèëëÿðà ýôôåêòèâíîå ôèëüòðàöè-
îííîå äàâëåíèå ñîñòàâëÿåò:
p
ýô. à = (p ãê – p ãò) – (p îê – p îò) = (32,5 – 3) – (25 – 5) = 9,5 ìì ðò. ñò.,
à íà âåíîçíîì êîíöå ýôôåêòèâíîå ðåàáñîðáöèîííîå äàâëåíèå
p
ýô. â = (p îê – p îò) – (p ãê – p ãò) = (25 – 5) – (15 – 3) = 8 ìì ðò. ñò.
Òàêèì îáðàçîì, ôèëüòðàöèÿ íåìíîãî ïðåâûøàåò ðåàáñîðáöèþ.
Ïîä äåéñòâèåì ýôôåêòèâíîãî ôèëüòðàöèîííîãî äàâëåíèÿ 0,5 %
1 Ïðîíèöàåìîñòü êàïèëëÿðíûõ ñòåíîê äëÿ áåëêîâ íåîäèíàêîâà è çàâèñèò îò
óëüòðàñòðóêòóðû êàïèëëÿðà, ðàçëè÷íîé â ðàçíûõ îðãàíàõ îðãàíèçìà. Íàïðèìåð,
ïðîíèöàåìîñòü êàïèëëÿðîâ ïå÷åíè â 6 ðàç âûøå ïðîíèöàåìîñòè êàïèëëÿðîâ êîæè,
à êàïèëëÿðû êîñòíîãî ìîçãà, ñèíóñîâ ïå÷åíè è ñåëåçåíêè èìåþò îòâåðñòèÿ, ÷åðåç
êîòîðûå ìîãóò ïðîõîäèòü íå òîëüêî êðóïíûå áåëêîâûå ìîëåêóëû, íî è êëåòêè
êðîâè. Áåëêè, ïðîíèêøèå èç ïëàçìû â ìåæêëåòî÷íîå ïðîñòðàíñòâî, óäàëÿþòñÿ
ñèñòåìîé ëèìôàòè÷åñêèõ ñîñóäîâ.
§ 8.4. Ïåðåíîñ âåùåñòâ â êàïèëëÿðíîé ñåòè

244
îáúåìà ïëàçìû ïåðåõîäèò â ìåæêëåòî÷íóþ æèäêîñòü, à ïîä äåé-
ñòâèåì áîëåå íèçêîãî ýôôåêòèâíîãî ðåàáñîðáöèîííîãî äàâëåíèÿ
ëèøü 90 % ýòîãî îáúåìà ðåàáñîðáèðóåòñÿ â âåíîçíîì êîíöå êàïèë-
ëÿðà. Îñòàâøèåñÿ 10 % æèäêîñòè óäàëÿåòñÿ ñèñòåìîé ëèìôàòè÷å-
ñêèõ ñîñóäîâ (ðèñ. 8.4.1). Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè âî âñåõ
Ðèñ. 8.4.1. Ñõåìà îáìåíà æèäêîñòüþ ìåæäó êðîâåíîñíûì êàïèëëÿðîì è ìåæêëå-
òî÷íûì ïðîñòðàíñòâîì â ñêåëåòíîé ìûøöå:
ïðè (p ãê – p ãò) > (p îê – p îò) ïðîèñõîäèò ôèëüòðàöèÿ; ïðè (p ãê – p ãò) < (p îê – p îò) — ðåàáñîðáöèÿ;
òî÷êà Î ñîîòâåòñòâóåò ôèëüòðàöèîííî-ðåàáñîðáöèîííîìó ðàâíîâåñèþ. Äðîáè îçíà÷àþò îòíî-
ñèòåëüíîå êîëè÷åñòâî æèäêîñòè, ðåàáñîðáèðóåìîé êàïèëëÿðîì è óäàëÿåìîé ëèìôàòè÷åñêèì
ñîñóäîì
êàïèëëÿðàõ îðãàíèçìà ñîñòàâëÿåò îêîëî 14 ìë/ìèí, èëè 20 ë æèä-
êîñòè â ñóòêè; ñêîðîñòü ðåàáñîðáöèè — 12,5 ìë/ìèí, èëè 18 ë
â ñóòêè; ïî ëèìôàòè÷åñêèì ñîñóäàì îòòåêàåò 2 ë â ñóòêè.
Ôèëüòðàöèîííî-ðåàáñîðáöèîííîå ðàâíîâåñèå çàâèñèò îò ÷åòû-
ðåõ ïàðàìåòðîâ: p
ãê, p ãò, p îê è p îò (ñì. ðèñ. 8.4.2). Èçìåíåíèå ëþáîãî Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

245
Ðèñ. 8.4.2. Ñõåìà ôèëüòðàöèè è ðåàáñîðáöèè â êàïèëëÿðàõ â íîðìå è ðàçëè÷íûõ
ïàòîëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ.
 çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ âåëè÷èí (p ãê – p ãò) è (p îê – p îò) ôèëüòðàöèîííî-ðåàáñîðáöèîí-
íîå ðàâíîâåñèå â êàïèëëÿðàõ ñìåùàåòñÿ â ñòîðîíó ïîâûøåíèÿ ëèáî ôèëüòðàöèè (á, â, ã, å),
ëèáî ðåàáñîðáöèè (ä, æ)
§ 8.4. Ïåðåíîñ âåùåñòâ â êàïèëëÿðíîé ñåòè

246
èç íèõ ñäâèãàåò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Òàê, ñäâèã ôèëüòðàöèîí-
íî-ðåàáñîðáöèîííîãî ðàâíîâåñèÿ â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ ôèëüòðà-
öèè è óìåíüøåíèÿ ðåàáñîðáöèè ïðîèñõîäèò ïðè âîçðàñòàíèè ãèä-
ðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ â êàïèëëÿðå (íàïðèìåð ïðè îáùåì
óâåëè÷åíèè êðîâÿíîãî äàâëåíèÿ) (ðèñ. 8.4.2, á); ïîâûøåíèè âå-
íîçíîãî äàâëåíèÿ (íàïðèìåð ïðè ñåðäå÷íîé íåäîñòàòî÷íîñòè), (ðèñ.
8.4.2, â); ðàñøèðåíèè ñîñóäîâ (íàïðèìåð ïðè èíòåíñèâíîé ìû-
øå÷íîé ðàáîòå, ïåðåãðåâå òåëà, ïðèåìå ñîñóäîðàñøèðÿþùèõ ïðå-
ïàðàòîâ, îáùåì óâåëè÷åíèè îáúåìà êðîâè âñëåäñòâèå âëèâàíèé
ðàçëè÷íûõ ðàñòâîðîâ) (ðèñ. 8.4.2, ã); ñíèæåíèè îíêîòè÷åñêîãî äàâ-
ëåíèÿ ïëàçìû (íàïðèìåð ïðè íåïîëíîöåííîì ïèòàíèè, íåäîñòà-
òî÷íîì ïðîèçâîäñòâå áåëêîâ ïðè çàáîëåâàíèÿõ ïå÷åíè, ïðè íåôðîçå,
õàðàêòåðèçóþùåìñÿ ïîðàæåíèåì ïî÷å÷íûõ êàíàëüöåâ, â ðåçóëüòàòå
÷åãî ïðîèñõîäèò âûäåëåíèå áåëêîâ ñ ìî÷îé) (ðèñ. 8.4.2, å); ïîâû-
øåíèè îíêîòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ ìåæêëåòî÷íîé æèäêîñòè (íàïðè-
ìåð ïðè íàêîïëåíèè â íåé îñìîòè÷åñêè àêòèâíûõ âåùåñòâ).
Âñå ýòè ôàêòîðû ìîãóò áûòü ïðè÷èíîé èçáûòî÷íîãî íàêîïëå-
íèÿ æèäêîñòè â ìåæêëåòî÷íîì âåùåñòâå è ïðèâîäèòü ê îáðàçîâà-
íèþ èíòåðñòèöèàëüíîãî îòåêà. Ýòîìó ïðåïÿòñòâóåò, âî-ïåðâûõ,
ìàëàÿ ðàñòÿæèìîñòü èíòåðñòèöèàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, à âî-âòî-
ðûõ, ñïîñîáíîñòü ëèìôàòè÷åñêèõ ñîñóäîâ áûñòðåå óäàëÿòü ìåæ-
êëåòî÷íóþ æèäêîñòü ïðè åå èçëèøíåì íàêîïëåíèè (ïðè ýòîì
âûâîäÿòñÿ áåëêè, ÷òî ñíèæàåò îíêîòè÷åñêîå äàâëåíèå ïëàçìû è óñè-
ëèâàåò ïðîöåññû ðåàáñîðáöèè).
Íàîáîðîò, ñäâèã ðàâíîâåñèÿ â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ ðåàáñîðá-
öèè è óìåíüøåíèÿ ôèëüòðàöèè ïðîèñõîäèò ïðè ñóæåíèè ïðåêà-
ïèëëÿðíûõ ñîñóäîâ (âàçîêîíñòðèêöèÿ), â ðåçóëüòàòå ÷åãî äàâëåíèå
â êàïèëëÿðå ñíèæàåòñÿ (ðèñ. 8.4.2, ä); äåãèäðàòàöèè, ïðèâîäÿùåé
ê óâåëè÷åíèþ îíêîòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ â ïëàçìå (ðèñ. 8.4.2, æ);
óìåíüøåíèè îíêîòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ ìåæêëåòî÷íîé æèäêîñòè.
Ïîìèìî äàâëåíèÿ, íà ôèëüòðàöèîííî-ðåàáñîðáöèîííîå ðàâ-
íîâåñèå âëèÿåò ïðîíèöàåìîñòü êàïèëëÿðíîé ñòåíêè äëÿ áåëêîâ.
Íàïðèìåð, çíà÷èòåëüíîå óâåëè÷åíèå ïðîíèöàåìîñòè âûçûâàåò äåé-
ñòâèå êèíèíîâ, ãèñòàìèíà è äðóãèõ âåùåñòâ, âûäåëÿþùèõñÿ ïðè
âîñïàëåíèè, àëëåðãèè, îæîãàõ, ðàíåíèÿõ. Âñå ýòè âåùåñòâà âûçû-
âàþò óâåëè÷åíèå ðàäèóñà òðàíñêàïèëëÿðíûõ ïîð.  ðåçóëüòàòå ïðî-
èñõîäèò óìåíüøåíèå êîíöåíòðàöèè áåëêîâûõ ìîëåêóë â ïëàçìå
è ïîâûøåíèå åå â ìåæêëåòî÷íîé æèäêîñòè. Îáà ýòè ôàêòîðà ñäâè-
ãàþò ðàâíîâåñèå â ñòîðîíó ôèëüòðàöèè è âûçûâàþò îòåêè òêàíåé.
Ïðè íîðìàëüíûõ ôèçèîëîãè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ ðàäèóñîâ òðàíñ-
êàïèëëÿðíûõ ïîð îáúåìíàÿ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ êðîâè ïî êàïèëëÿðó
çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò îáúåìíóþ ñêîðîñòü êðîâîòîêà ÷åðåç êà-
ïèëëÿðíóþ ñòåíêó. Â ýòèõ óñëîâèÿõ îáîñíîâàíî ïðåäïîëîæåíèå
î ëèíåéíîì õàðàêòåðå èçìåíåíèÿ ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ â êà-Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

247
ïèëëÿðå (ðèñ. 8.4.1). Íà ñàìîì äåëå ïðè ñòðîãîì ðàññìîòðåíèè
ôèëüòðàöèîííî-ðåàáñîðáöèîííûõ ïðîöåññîâ âèäíî, ÷òî ãðàäè-
åíò ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ íåïîñòîÿíåí. Òàê, ôèëüòðàöèÿ
æèäêîñòè ñ îáúåìíîé ñêîðîñòüþ q ñîïðîâîæäàåòñÿ óìåíüøåíèåì
îáúåìíîé ñêîðîñòè Q êðîâîòîêà ïî êàïèëëÿðó, à ðåàáñîðáöèÿ,
íàîáîðîò,— óâåëè÷åíèåì. Èçìåíåíèå Q âûçûâàåò íåëèíåéíîå ïðî-
ñòðàíñòâåííîå èçìåíåíèå ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, êîòîðîå,
â ñâîþ î÷åðåäü, îïðåäåëÿåò âåëè÷èíó q.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ çàâèñèìîñòè p(x) ââåäåì ñëåäóþùèå ïðåäïî-
ëîæåíèÿ: êàïèëëÿð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé æåñòêóþ òðóáêó ñ ïîðàìè
îäèíàêîâîãî ðàäèóñà è ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ;
ïóëüñàöèÿ êðîâîòîêà îòñóòñòâóåò.
Óìåíüøåíèå îáúåìíîé ñêîðîñòè êðîâîòîêà ïî êàïèëëÿðó íà
äëèíå dx ðàâíà îáúåìíîé ñêîðîñòè òå÷åíèÿ êðîâè ÷åðåç ïîðû:
d
,
dQ
q
x −= (8.4.3)
ãäå Q — îáúåìíàÿ ñêîðîñòü êðîâîòîêà âäîëü êàïèëëÿðà, [Q] = ì
3/ñ;
q — îáúåìíàÿ ñêîðîñòü êðîâîòîêà ÷åðåç âñå ïîðû êàïèëëÿðà, ðàñ-
ïîëîæåííûå íà åäèíèöå åãî äëèíû,
мм
см с ==
⋅32
[]q .
Ñäåëàííûå âûøå äîïóùåíèÿ ïîçâîëÿþò âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâ-
íåíèåì Ïóàçåéëÿ äëÿ îïèñàíèÿ ñêîðîñòåé êðîâîòîêà.
Ñêîðîñòü êðîâîòîêà â êàïèëëÿðå:
ê
1d
,
dp
Q
Xx =− ⋅ (8.4.4)
ãäå
гк гт() pp p=− — ðåçóëüòèðóþùåå ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå;
к η
=
π
4
8
X
R — óäåëüíîå ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå åäèíèöû äëè-
íû êàïèëëÿðà; η — êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè êðîâè (ïðåäïîëàãàåòñÿ
ïîñòîÿííûì â äàííûõ óñëîâèÿõ); R — ðàäèóñ êàïèëëÿðà.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû q òðåáóåòñÿ çíàòü ãèäðàâëè÷åñêîå
ñîïðîòèâëåíèå òðàíñêàïèëëÿðíûõ ïîð. Ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâ-
ëåíèå îäíîé ïîðû ñîñòàâëÿåò:
п
4 8
, l
X
r η

=
π (8.4.5)
ãäå l — òîëùèíà ñòåíêè êàïèëëÿðà; r — ðàäèóñ ïîðû (ðèñ. 8.4.3).
Òàê êàê ïîðû «ïîäñîåäèíåíû» äðóã ê äðóãó ïàðàëëåëüíî, òî,
ñîãëàñíî ôîðìóëå (8.1.6), ìîæíî çàïèñàòü: § 8.4. Ïåðåíîñ âåùåñòâ â êàïèëëÿðíîé ñåòè

248
п. общ п
11
, nS
XX=

ãäå S — ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñòåíêè êàïèëëÿðà äëèíîé L; n —
ïëîòíîñòü ðàñïîëîæåíèÿ ïîð (êîëè÷åñòâî ïîð íà åäèíèöå ïëîùà-
äè ïîâåðõíîñòè êàïèëëÿðà). Òîãäà
п
п. общX
X
nS′
= , (8.4.6)
ãäå
2, SRL=π (8.4.7)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ(8.4.5) è (8.4.7) âôîðìóëó (8.4.6), ïîëó-
÷àåì:
п. общ
24 4
. l
X
nr RLη
=
π (8.4.8)
Òîãäà ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå âñåõ ïîð íà ïîâåðõíîñòè
êàïèëëÿðà åäèíè÷íîé äëèíû ñîñòàâèò:
п
24 4
. l
X
nr Rη
=
π (8.4.9)
Ñêîðîñòü òðàíñêàïèëëÿðíîãî êðîâîòîêà ðàâíà
о
п, pp
q
X−
= (8.4.10)
ãäå p
î = ( p îê – p îò) — ðåçóëüòèðóþùåå îíêîòè÷åñêîå äàâëåíèå.
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ óðàâíåíèå (8.4.4) ïî x, ïðèðàâíÿâ ïîëó-
÷åííîå ôîðìóëàì (8.4.3) è (8.4.10) è ââåäÿ îáîçíà÷åíèå
2r
p
â
l
Q(x)
2R Ãèäðàâëè÷åñêàÿ ïîðà
qx()
qx()
L

0
Ðèñ. 8.4.3. Ìîäåëü êàïèëëÿðà
Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

249
п
к2
2 ,
2 XR l
XNR
r λ= =
π (8.4.11)
ïîëó÷àåì ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿä-
êà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñ ïðàâîé ÷àñòüþ:
о 2
22 2 d
.
dp pp
x−=−
λλ (8.4.12)
Îáùåå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä:
о //
12 eexx pC C p λ−λ =+ + . (8.4.13)
Êîíñòàíòû C
1 è C 2 ìîæíî îïðåäåëèòü èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé:
â íà÷àëå êàïèëëÿðà (x = 0) ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå ðàâíî àðòå-
ðèàëüíîìó ( p = p
à), à â êîíöå (x = L) — âåíîçíîìó ( p = p â).
Ðàñïðåäåëåíèå ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ è ñâÿçàííîé ñ íèì
ñêîðîñòè êðîâîòîêà â êàïèëëÿðå äëÿ ïîð ðàçëè÷íîãî ðàäèóñà ïðè-
âåäåíî íà ðèñ. 8.4.4. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, ïðè ìàëûõ âåëè÷èíàõ
ðàäèóñîâ ïîð çàâèñèìîñòü p(x) áëèçêà ê ëèíåéíîé (ñðàâíèòå
ñ ðèñ. 8.4.1), à îáúåìíàÿ ñêîðîñòü êðîâîòîêà ïîñòîÿííà. Íàîáîðîò,
ïðè áîëüøèõ ðàäèóñàõ ïîð çàâèñèìîñòè p(x) è Q(x) ñèëüíî íåëè-
íåéíû, óâåëè÷èâàåòñÿ òàêæå îáëàñòü ôèëüòðàöèîííî-ðåàáñîðáöè-
îííîãî ðàâíîâåñèÿ.
Ðèñ. 8.4.4. Ðàñïðåäåëåíèå ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè êðîâîòîêà â êà-
ïèëëÿðå äëÿ ïîð ðàäèóñîì 10 è 200 íì (ðàñ÷åòíûå äàííûå):
pà = 32,5 ìì ðò. ñò.; p â = 14 ìì ðò. ñò.; p î = 23 ìì ðò. ñò.; r = 3 ìêì; η = 1 ìÏà•ñ;
l = 0,6 ìêì; n = 1,5•10 12 ì–2.
Äàííàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ôóíêöèè p(x), Q(x) è q(x)
ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ãèäðîñòàòè÷åñêèõ, îíêîòè÷åñêèõ äàâëå-
íèé è ðàäèóñîâ ïîð, óêàçàòü íàïðàâëåíèå ôèëüòðàöèîííî-ðåàá-
ñîðáöèîííûõ ïðîöåññîâ, êîëè÷åñòâåííî èçó÷èòü ìåõàíèçìû ôîðìè-
ðîâàíèÿ ðÿäà ïàòîëîãè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé, â ÷àñòíîñòè îòåêîâ òêàíåé. § 8.4. Ïåðåíîñ âåùåñòâ â êàïèëëÿðíîé ñåòè

250
ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×
Çàäà÷à 8.1. Ìèíóòíûé îáúåì êðîâè â ïîêîå ñîñòàâëÿåò Q 1 = 5 ë/ìèí,
à ïðè èíòåíñèâíîé ôèçè÷åñêîé ðàáîòå ìîæåò âîçðàñòàòü äî Q
2 = 25 ë/ìèí.
Îïðåäåëèòå òèï òå÷åíèÿ êðîâè â àîðòå äëÿ ýòèõ äâóõ ñëó÷àåâ. Äèàìåòð
àîðòû D = 2 ñì, âÿçêîñòü êðîâè η = 5 ìÏà•ñ, ïëîòíîñòü ρ = 1050 êã/ì
3,
êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ÷èñëà Ðåéíîëüäñà Re
êð = 2000.
Ðåøåíèå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òèïà òå÷åíèÿ êðîâè âû÷èñëèì çíà÷åíèå
÷èñëà Ðåéíîëüäñà äëÿ êàæäîãî ñëó÷àÿ
Re .Dvρ
=
η(8.1)
Ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü v ñâÿçàíà ñ îáúåìíîé Q ñëåäóþùèì îáðàçîì:
2
4 D
QvS vπ
==,(8.2)
ãäå
π
= 2
4 D
S— ïëîùàäü ñå÷åíèÿ àîðòû äèàìåòðîì D.
Âûðàçèì ëèíåéíóþ ñêîðîñòü v èç óðàâíåíèÿ (8.2) è ïîäñòàâèì â ôîð-
ìóëó (8.1):
4
Re .Q
D ρ
=
πη
Äëÿ âû÷èñëåíèé ïåðåâåäåì ìèíóòíûé îáúåì êðîâè (îáúåìíóþ ñêî-
ðîñòü êðîâîòîêà) â åäèíèöû ÑÈ:
Q
1= 5 ë/ìèí = 8,3•10 –5 ì3/ñ; Q 2= 25 ë/ìèí = 41,7•10 –5 ì3/ñ.
Ïîäñòàâèâ ÷èñëåííûå äàííûå, ïîëó÷àåì çíà÷åíèå ÷èñëà Ðåéíîëüäñà
â ïîêîå:
покой−
− ⋅⋅⋅
==
π⋅ ⋅ ⋅ 5
3 41050 8,310
Re 1110
510 0,02
è ïðè ôèçè÷åñêîé íàãðóçêå
нагр−
− ⋅⋅⋅
==
π⋅ ⋅ ⋅ 5
3 41050 41,510
Re 5578
510 0,02.
Òàêèì îáðàçîì, â ïîêîå òå÷åíèå êðîâè ïî àîðòå ëàìèíàðíîå (Re < Re
êð),
à ïðè èíòåíñèâíîé ôèçè÷åñêîé íàãðóçêå ìîæåò ïåðåéòè â òóðáóëåíòíîå
(Re > Re
êð).
Çàäà÷à 8.2. Âû÷èñëèòå îòíîøåíèå X
à/Xê ñóììàðíîãî ãèäðàâëè÷åñêîãî
ñîïðîòèâëåíèÿ àðòåðèîë è êàïèëëÿðîâ, åñëè ñðåäíÿÿ äëèíà àðòåðèîëû
ñîñòàâëÿåò l
à = 1 cì, ðàäèóñ R à = 15 ìêì, îáùåå êîëè÷åñòâî ýòèõ ñîñóäîâ
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß
Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

251
â îðãàíèçìå N
à = 10 8, äëÿ êàïèëëÿðîâ óêàçàííûå âåëè÷èíû ðàâíû ñîîò-
âåòñòâåííî l
ê = 1 ìì, R ê = 3 ìêì è N ê = 10 10. Ñðàâíèòå ïîëó÷åííûé îòâåò
ñ îòíîøåíèåì ñîïðîòèâëåíèÿ X
0 à/X0 ê åäèíè÷íîé àðòåðèîëû è åäèíè÷íî-
ãî êàïèëëÿðà.
Ðåøåíèå. Ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå îäíîãî ñîñóäà ðàâíî
0
4 8
. l
X

=
π
Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè N îäèíàêîâûõ ñîñóäîâ èõ îáùåå ñî-
ïðîòèâëåíèå ñîñòàâëÿåò:
0
11
; n
XX=
èëè
0
4 8
. Xl
X
N
NRη
==
π
Òîãäà îòíîøåíèå ñóììàðíûõ ãèäðàâëè÷åñêèõ ñîïðîòèâëåíèé àðòåðè-
îë è êàïèëëÿðîâ ðàâíî
акак
кака4 . XNl
R
XNlR
=


Ïîäñòàâèì ÷èñëåííûå äàííûå:
а
к−−
−− 
⋅⋅
==


⋅⋅
 4
10 2 6
83 6 10 10 3 10
10 10 15 10 X
X1,6.
Îòíîøåíèå ãèäðàâëè÷åñêèõ ñîïðîòèâëåíèé åäèíè÷íûõ ñîñóäîâ ðàâíî
àê
êà4
4
26

36
0к 10 3 10 1
0, 016
62, 5
10 15 10 XlR
XlR−−
−−


== ==





.
Òàêèì îáðàçîì, ñóììàðíîå ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå àðòåðèîë
â 1,6 ðàçà ïðåâûøàåò ñóììàðíîå ñîïðîòèâëåíèå êàïèëëÿðíîé ñåòè, â òî
âðåìÿ êàê ñîïðîòèâëåíèå îäíîé àðòåðèîëû ïî÷òè â 63 ðàçà ìåíüøå ñî-
ïðîòèâëåíèÿ îäíîãî êàïèëëÿðà.
Çàäà÷à 8.3. Èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî â ðåçóëüòàòå îòëîæåíèé õîëå-
ñòåðèíà â àîðòå ïàöèåíòà òîëùèíà åå ñòåíêè óâåëè÷èëàñü â 1,5 ðàçà, âíóò-
ðåííèé äèàìåòð óìåíüøèëñÿ íà 25 %, à ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïóëü-
ñîâîé âîëíû âîçðîñëà â 1,9 ðàçà. Êàê èçìåíèëñÿ ïðè ýòîì ìîäóëü óïðóãîñòè
ñòåíêè ïî îòíîøåíèþ ê íîðìå?
Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïóëüñîâîé âîëíû îïðåäåëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå:
, Eh
v
d =
ρ
Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

252
îòêóäà ìîæíî âûðàçèòü ìîäóëü óïðóãîñòè
2 . vd
E

=
Ó äàííîãî ïàöèåíòà òîëùèíà h àîðòû, åå âíóòðåííèé äèàìåòð d è ñêî-
ðîñòü v ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïóëüñîâîé âîëíû â íîðìå è ïðè ïàòîëîãèè ñîîò-
íîñÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
пн=1, 5 hh; пн= d0,75d; пн 1, 9 vv=.
Òîãäà îòíîøåíèå êîýôôèöèåíòîâ óïðóãîñòè â íîðìå è ïðè ïàòîëîãèè
ñîñòàâèò:
2
пппн н нн
22
н
ннп нн н2d(1,9)0,75d
1, 8 .
dd1,5 Evh v h
E
vh v h⋅
== =

Òàêèì îáðàçîì, â ðåçóëüòàòå ðàçâèòèÿ àòåðîñêëåðîçà, êîýôôèöèåíò
óïðóãîñòè àîðòû óâåëè÷èëñÿ â 1,8 ðàçà.
ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
8.1. Âû÷èñëèòå âÿçêîñòü êðîâè η ïðè íîðìàëüíîì ãåìàòîêðèòå
(c = 45 %), åñëè âÿçêîñòü ïëàçìû ñîñòàâëÿåò η
0 = 2,0 ìÏà•ñ.
8.2. Âû÷èñëèòå ìàêñèìàëüíûé ìèíóòíûé îáúåì Q
max êðîâè, ïðè êî-
òîðîì òå÷åíèå êðîâè â àîðòå îñòàåòñÿ ëàìèíàðíûì. Äèàìåòð àîðòû d = 2 ñì,
âÿçêîñòü êðîâè η = 5 ìÏà•ñ, ïëîòíîñòü ρ = 1050 êã/ì
3, êðèòè÷åñêîå çíà-
÷åíèå ÷èñëà Ðåéíîëüäñà Re
êð = 2000.
8.3. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü êðîâîòîêà â àîðòå ñîñòàâëÿåò v
àîð = 0,45 ì/ñ,
à â êàïèëëÿðàõ — v
êàï = 0,5 ìì/ñ. Âî ñêîëüêî ðàç ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî
ñå÷åíèÿ àîðòû ìåíüøå ñóììû ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé êàïèëëÿðîâ?
8.4. Âû÷èñëèòå ãèäðàâëè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå X àîðòû, åñëè åå äèà-
ìåòð ñîñòàâëÿåò D = 2,4 ñì, äëèíà l = 40 ñì, âÿçêîñòü êðîâè η = 5 ìÏà•ñ.
8.5. Âû÷èñëèòå ñêîðîñòü v îñåäàíèÿ åäèíè÷íûõ ýðèòðîöèòîâ, ñ÷èòàÿ
èõ ñôåðè÷åñêèìè ÷àñòèöàìè äèàìåòðîì d = 7 ìêì. Âÿçêîñòü ïëàçìû ñî-
ñòàâëÿåò η = 2,2 ìÏà•ñ, ïëîòíîñòü ýðèòðîöèòîâ ρ
ýð = 1080 êã/ì 3, ïëîò-
íîñòü ïëàçìû ρ
ïë = 1027 êã/ì 3.
8.6. Â ðåçóëüòàòå ëàáîðàòîðíîãî èçìåðåíèÿ ÑÎÝ îêàçàëîñü ðàâíûì
v = 10 ìì/÷àñ. Èñïîëüçóÿ èñõîäíûå äàííûå çàäà÷è 8.5, âû÷èñëèòå ñðåä-
íåå ÷èñëî N ýðèòðîöèòîâ â àãðåãàòå, åñëè ñðåäíèé îáúåì åäèíè÷íîãî ýðèò-
ðîöèòà ðàâåí V
0 = 100 ìêì 3.
8.7. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïóëüñîâîé âîëíû ïî àðòåðèè ñîñòàâ-
ëÿåò v = 10 ì/ñ. Îïðåäåëèòå ìîäóëü óïðóãîñòè E àðòåðèè, åñëè òîëùèíà
åå ñòåíêè h = 0,7 ìì, âíóòðåííèé äèàìåòð d = 8 ìì, ïëîòíîñòü êðîâè
ρ = 1050 êã/ì
3.
Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

253
ÂÎÏÐÎÑÛ ÒÅÑÒÎÂÎÃÎ ÊÎÍÒÐÎËß
8.1. Âÿçêîñòü êðîâè:
à) â ìåëêèõ ñîñóäàõ áîëüøå, ÷åì â êðóïíûõ;
á) â ìåëêèõ ñîñóäàõ ìåíüøå, ÷åì â êðóïíûõ;
â) ïîñòîÿííà âî âñåõ îòäåëàõ ñîñóäèñòîãî ðóñëà.
8.2. Ñ óâåëè÷åíèåì ãåìàòîêðèòà âÿçêîñòü êðîâè:
à) âîçðàñòàåò; â) íå èçìåíÿåòñÿ.
á) óáûâàåò;
8.3. Â êàêèõ ñîñóäàõ áîëüøå âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ òóðáóëåíò-
íîãî òå÷åíèÿ?
à) â êðóïíûõ; â) âîçíèêíîâåíèå òóðáóëåíòíîñòè
á) ìåëêèõ; íå çàâèñèò îò äèàìåòðà ñîñóäà.
8.4. Òå÷åíèå êðîâè ïî ñîñóäàì ÿâëÿåòñÿ:
à) âñåãäà ëàìèíàðíûì;
á) âñåãäà òóðáóëåíòíûì;
â) ïðåèìóùåñòâåííî ëàìèíàðíûì è ëèøü â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òóðáó-
ëåíòíûì;
ã) ïðåèìóùåñòâåííî òóðáóëåíòíûì è ëèøü â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ëà-
ìèíàðíûì.
8.5. Â êàêîì îòäåëå ñîñóäèñòîãî ðóñëà ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü êðîâîòîêà
ìèíèìàëüíà?
à) â àîðòå; ã) êàïèëëÿðàõ;
á) àðòåðèÿõ; ä) âåíàõ.
â) àðòåðèîëàõ;
8.6. Îñíîâíîé äâèæóùåé ñèëîé êðîâîòîêà ÿâëÿåòñÿ:
à) ñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå;
á) òðàíñìóðàëüíîå;
â) ãèäðîñòàòè÷åñêîå;
ã) êðîâÿíîå, îáóñëîâëåííîå ïðåâûøåíèåì äàâëåíèÿ, âûçâàííîãî ðà-
áîòîé ñåðäöà, íàä àòìîñôåðíûì äàâëåíèåì;
ä) ñèëà òÿæåñòè.
8.7. Êàêîé îòäåë ñîñóäèñòîãî ðóñëà îáëàäàåò íàèáîëüøèì ãèäðàâëè-
÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì?
à) àîðòà; ã) êàïèëëÿðû;
á) àðòåðèè; ä) âåíû.
â) àðòåðèîëû;
8.8. Óâåëè÷åíèå òåíäåíöèè ýðèòðîöèòîâ ê àãðåãàöèè âûçûâàåò:
à) âîçðàñòàíèå ÑÎÝ; â) íå îòðàæàåòñÿ íà ÑÎÝ.
á) ñíèæåíèå ÑÎÝ;
8.9. Âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü äèàñòîëè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, âû÷èñëåííàÿ
â ìîäåëè Ôðàíêà, èìååò âèä:
à)
()c ; pptXC=+ã) c ; t
pp
XC =+
á)
c ; ppCXt=+ä) cln .t
pp
XC =
â)
cexp ;t
pp
CX 
=−


Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

254
8.10. Ýëàñòè÷íîñòü êðîâåíîñíûõ ñîñóäîâ èìååò ñëåäóþùèé ýëåêòðè-
÷åñêèé ýêâèâàëåíò:
à) ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåíöèàë; ã) ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü;
á) ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå; ä) ýëåêòðè÷åñêèé òîê.
â) èíäóêòèâíîñòü;
8.11. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïóëüñîâîé âîëíû îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ñëåäóþùåé ôîðìóëå:
à)
; Eh
v
d =
ρã) 1
; v
Ed =
á)
; gh

=
ηä) . h
v

=
η
â)
2
; E
v
d 
=

ρ

8.12. Ïóëüñîâîé âîëíîé íàçûâàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàíèÿ:
à) ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÷àñòèö;
á) ëèíåéíîé ñêîðîñòè êðîâîòîêà;
â) îáúåìíîé ñêîðîñòè êðîâîòîêà;
ã) ñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ;
ä) êðîâÿíîãî äàâëåíèÿ, òî åñòü ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ âäîëü êðîâåíîñ-
íûõ ñîñóäîâ.
8.13. Ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÷àñòèö êðîâè (
кv), ïóëüñîâîé âîëíû
(
пv) è çâóêîâîé âîëíû ( зv) â êðîâè ñîîòíîñÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
à)
пкз ; vvv<<ã) пзк ; vvv<<
á)
кпз ; vvv<<ä) зкп . vv v<<
â)
зпк ; vv v<<
8.14. Ôèëüòðàöèè êðîâè ñïîñîáñòâóþò:
à) ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå â êàïèëëÿðàõ è îíêîòè÷åñêîå äàâëåíèå
ïëàçìû;
á) ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå â êàïèëëÿðàõ è îíêîòè÷åñêîå äàâëåíèå
òêàíåâîé æèäêîñòè;
â) ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå â òêàíåâîé æèäêîñòè è îíêîòè÷åñêîå
äàâëåíèå ïëàçìû;
ã) ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå â òêàíåâîé æèäêîñòè è îíêîòè÷åñêîå
äàâëåíèå òêàíåâîé æèäêîñòè.
8.15.  íîðìàëüíûõ ôèçèîëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ â êàïèëëÿðíîé ñåòè:
à) ôèëüòðàöèÿ íåìíîãî ïðåâîñõîäèò ðåàáñîðáöèþ;
á) ðåàáñîðáöèÿ íåìíîãî ïðåâîñõîäèò ôèëüòðàöèþ;
â) ðåàáñîðáöèÿ ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóåò ôèëüòðàöèþ.
Ãëàâà 8. Áèîôèçèêà ñèñòåìû êðîâîîáðàùåíèÿ

Ãëàâà 9
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå ÿâëåíèÿ, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèòñÿ
ñòàëêèâàòüñÿ ÷åëîâåêó, ñâÿçàíû ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì âçàèìîäåé-
ñòâèåì. Òàêîå âçàèìîäåéñòâèå ðàññìàòðèâàåòñÿ â ðàçäåëå ôèçèêè,
íàçûâàåìîì ýëåêòðîäèíàìèêîé.
Öåëûé ðÿä ÿâëåíèé, íà ïåðâûé âçãëÿä íå èìåþùèõ îòíîøåíèÿ
ê ýëåêòðîìàãíåòèçìó, íàïðèìåð: óïðóãîñòü, ñèëû òðåíèÿ, ðàáîòà
ðàçëè÷íûõ îðãàíîâ ÷óâñòâ æèâîòíûõ è ÷åëîâåêà, îáúÿñíÿåòñÿ ýëåê-
òðîìàãíèòíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Îñîáóþ ðîëü ýòî âçàèìîäåéñòâèå
èãðàåò â ðàçëè÷íûõ áèîôèçè÷åñêèõ è áèîõèìè÷åñêèõ ïðîöåññàõ,
êîòîðûå íåâîçìîæíî èçó÷èòü, íå èìåÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðåäñòàâ-
ëåíèé î çàêîíàõ ýëåêòðîäèíàìèêè. Ïîëó÷èòü îñíîâàòåëüíûå çíà-
íèÿ â îáëàñòè âçàèìîäåéñòâèÿ õèìè÷åñêèõ âåùåñòâ ñ æèâûìè îðãà-
íèçìàìè ìîæíî òîëüêî ïðè ãëóáîêîì èçó÷åíèè ýëåêòðîìàãíåòèçìà.
§ 9.1. ÝËÅÊÒÐÎÑÒÀÒÈÊÀ
Ýëåêòðîñòàòèêîé íàçûâàåòñÿ ðàçäåë ýëåêòðîäèíàìèêè, â êî-
òîðîì ðàññìàòðèâàþòñÿ ñâîéñòâà è âçàèìîäåéñòâèå íåïîäâèæíûõ
â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûõ òåë èëè
÷àñòèö.
Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ðàâåí öåëîìó ÷èñëó ýëåìåíòàðíûõ çàðÿ-
äîâ, íîñèòåëÿìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûå ÷à-
ñòèöû — ýëåêòðîíû è ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûå — ïðîòîíû. Ýëå-
ìåíòàðíûå çàðÿäû ïðîòîíîâ è ýëåêòðîíîâ ðàâíû ïî ìîäóëþ, òî
åñòü
peqq= = å = 1,602•10 –19 Êë. Çàðÿä â ÑÈ èçìåðÿåòñÿ â êóëî-
íàõ (Êë). 1 êóëîí = 1 àìïåð-ñåêóíäà [À•ñ].
 öåëîì ôèçè÷åñêèå îáúåêòû (òåëà) ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíû,
÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ç à ê î í à ñ î õ ð à í å í è ÿ ç à ð ÿ ä à, êî-
òîðûé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: â èçîëèðîâàí-
íîé ñèñòåìå ñóììàðíûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ðàâåí íóëþ, òî åñòü

256
= ∑ 0 iq . (9.1.1)
Åñëè ýëåêòðè÷åñêàÿ íåéòðàëüíîñòü òåëà íàðóøåíà, òî îíî ÿâ-
ëÿåòñÿ íàýëåêòðèçîâàííûì. Òàêîå òåëî ñàìî ïî ñåáå óæå íå ìîæåò
áûòü èçîëèðîâàííûì íè ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ. Äëÿ ýëåêòðèçàöèè
òåëà íåîáõîäèìî, ÷òîáû íà íåì áûë ñîçäàí èçáûòîê (íåäîñòàòîê)
ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ òîãî èëè äðóãîãî çíàêà. Ýëåêòðè÷åñêèå çà-
ðÿäû ðàçëè÷íîãî çíàêà ïðèòÿãèâàþòñÿ, à îäíîèìåííûå — îòòàë-
êèâàþòñÿ.
Ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷å÷íûìè çàðÿäàìè, òî åñòü
çàðÿäàìè, ëèíåéíûå ðàçìåðû êîòîðûõ íàìíîãî ìåíüøå ðàññòîÿ-
íèÿ ìåæäó íèìè, îïðåäåëÿåòñÿ ç à ê î í î ì Ê ó ë î í à:
=
πε εr
r 1212
12
3
012
4qq r
F
r ; (9.1.2)
èëè â ñêàëÿðíîé ôîðìå
=
πε ε r 12
12
2
012
4qq
F
r , (9.1.3)
ãäå q
1 è q 2 — âçàèìîäåéñòâóþùèå çàðÿäû; r12r — ðàäèóñ-âåêòîð,
ïðîâåäåííûé îò çàðÿäà 1 ê çàðÿäó 2; r
12F — ñèëà, äåéñòâóþùàÿ ñî
ñòîðîíû çàðÿäà q
1 íà çàðÿä q 2; ε0— ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ, ε0 =
= 8,85•10 –12 Ô/ì; ε — îòíîñèòåëüíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàå-
ìîñòü ñðåäû, ïîêàçûâàþùàÿ, âî ñêîëüêî ðàç â äàííîé ñðåäå ñèëà
âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó çàðÿäàìè óìåíüøàåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ñè-
ëîé âçàèìîäåéñòâèÿ â âàêóóìå. Ïðîèçâåäåíèå
εε=ε0a , (9.1.4)
íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ñðåäû.
Ñèëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.  ïðîñòðàíñòâå,
îêðóæàþùåì ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû, ñóùåñòâóåò ìàòåðèàëüíàÿ ñðåäà,
íàçûâàåìàÿ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì, ïîñðåäñòâîì êîòîðîãî îñóùåñòâ-
ëÿåòñÿ âçàèìîäåéñòâèå çàðÿäîâ. Êîëè÷åñòâåííîé ñèëîâîé õàðàêòå-
ðèñòèêîé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ åãî íàïðÿæåííîñòü, êîòî-
ðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà êàê ñèëà,
äåéñòâóþùàÿ íà åäèíè÷íûé ïîëîæèòåëüíûé òî÷å÷íûé çàðÿä:
=r
r (,,)
(,,)xyz
xyzF
E
q . (9.1.5)
Ëþáîé çàðÿä ñîçäàåò âîêðóã ñåáÿ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, à ëþáîé
çàðÿä, ïîìåùåííûé â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, èñïûòûâàåò äåéñòâèåÃëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

257
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, è ñàì èçìåíÿåò åãî. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òî-
÷å÷íûé çàðÿä q äîñòàòî÷íî ìàë, íå ó÷àñòâóåò â ñîçäàíèè ýëåêòðè-
÷åñêîãî ïîëÿ è íå èñêàæàåò åãî. Òàêîé çàðÿä íàçûâàþò ïðîáíûì.
Èç ôîðìóë (9.1.5) è (9.1.2) ñëåäóåò, ÷òî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ,
ñîçäàâàåìîãî òî÷å÷íûì çàðÿäîì q, ðàâíà
=
πε εr
r 3
0 4qr
E
r , (9.1.6)
èëè â ñêàëÿðíîé ôîðìå
=
πε ε 2
0 4q
E
r . (9.1.7)
ãäå
rr — ðàäèóñ-âåêòîð, ïðèâåäåííûé èç çàðÿäà q â èññëåäóåìóþ
òî÷êó ïîëÿ
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â ÑÈ èçìåðÿåòñÿ â âîëüòàõ íà ìåòð (Â/ì).
Äëÿ ãðàôè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé èñïîëü-
çóåòñÿ ïîíÿòèå ñèëîâûõ ëèíèé ïîëÿ. Ñèëîâûìè ëèíèÿìè ýëåêòðè÷å-
ñêîãî ïîëÿ íàçûâàþòñÿ êðèâûå, êàñàòåëüíûå ê êîòîðûì â ëþáîé
òî÷êå ñîâïàäàþò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè
r
E â ýòîé
òî÷êå. Ãóñòîòà ëèíèé âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû êîëè÷åñòâî ëèíèé,
ïðîíèçûâàþùèõ åäèíè÷íóþ,
ïåðïåíäèêóëÿðíóþ èì ïëî-
ùàäêó, áûëî ÷èñëåííî ðàâíî
âåêòîðó
r
E. Çà ïîëîæèòåëü-
íîå íàïðàâëåíèå ñèëîâîé ëè-
íèè ïðèíÿòî ñ÷èòàòü íàïðàâ-
ëåíèå âåêòîðà
r
E. Òàêèì
îáðàçîì, ñèëîâûå ëèíèè âû-
õîäÿò èç ïîëîæèòåëüíûõ çà-
ðÿäîâ è âõîäÿò â îòðèöàòåëü-
íûå (ðèñ. 9.1.1). Ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íèãäå, êðîìå çàðÿäîâ,
íå íà÷èíàþòñÿ è íå çàêàí÷èâàþòñÿ.
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöèè ýëåêòðè÷åñêèõ
ïîëåé, íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñèñòåìû íåïîäâèæíûõ
òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ q
1, q 2, …, q n ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå íàïðÿæåííîñ-
òåé, ñîçäàâàåìûõ â äàííîé òî÷êå êàæäûì èç ýòèõ çàðÿäîâ â îòäåëü-
íîñòè, òî åñòü
=
=∑
rr
1 n
i
i
EE . (9.1.8)
Ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç ìà-
ëóþ ïîâåðõíîñòü ïëîùàäüþ ∆S ðàâåí
() E ES Φ= ⋅∆r
r , (9.1.9)
Ðèñ. 9.1.1. Ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïî-
ëîæèòåëüíîãî è îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäîâ
§ 9.1. Ýëåêòðîñòàòèêà

258
ãäå ∆
S — ïñåâäîâåêòîð, ìîäóëü êîòîðîãî ðàâåí ïëîùàäè ∆S, à íà-
ïðàâëåíèå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âíåøíåé íîðìàëè 
n. Ðàçìåð
ýëåìåíòà ïîâåðõíîñòè ∆S âûáèðàåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà-
ïðÿæåííîñòü ïîëÿ áûëà ïðèìåðíî îäèíàêîâà â êàæäîé òî÷êå ∆S.
Ïîòîê âåêòîðà

E÷åðåç ïîâåðõíîñòü S ðàâåí ñóììå ïîòîêîâ ÷å-
ðåç êàæäûé åå ýëåìåíò ∆S
i, òî åñòü
()() Е=
∆→
=
→∞Φ= ∆ = ∑



0
1 lim di
in
ii
S
i
S
n
ES ES . (9.1.10)
Òåîðåìà Ãàóññà äëÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé:
ïðîèçâåäåíèå àáñîëþòíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû è ïî-
òîêà âåêòîðà

E ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S ðàâíî àëãåáðàè÷å-
ñêîé ñóììå çàðÿäîâ, íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè ýòîé ïîâåðõíîñòè:
() εε ⋅ = ∑



 0 d i
S ES q , (9.1.11)
ãäå q
i — ñâîáîäíûå çàðÿäû, íàõîäÿùèåñÿ âíóòðè çàìêíóòîé ïîâåðõ-
íîñòè.
Åñëè ââåñòè âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè
1 
D
=ε ε 
0 DE , (9.1.12)
òî òåîðåìà Ãàóññà (9.1.11) ïðèìåò âèä:
=∑



 d i
S DS q . (9.1.13)
Òåîðåìà Ãàóññà ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñ-
êîãî ïîëÿ çàðÿæåííûõ òåë ðàçëè÷íîé êîíôèãóðàöèè.
 ñëó÷àå áåñêîíå÷íîé îäíîðîäíî çàðÿæåííîé ïëîñêîñòè ëèíèè
íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàïðàâëåíû ïåðïåíäèêóëÿð-
íî ïëîñêîñòè (åñëè ïëîñêîñòü çàðÿæåíà ïîëîæèòåëüíî, òî ëèíèè
íà íåé íà÷èíàþòñÿ; åñëè îòðèöàòåëüíî, òî — çàêàí÷èâàþòñÿ) è
ðàñïðåäåëåíû â ïðîñòðàíñòâå ðàâíîìåðíî (ðèñ. 9.1.2). Ïîýòîìó ïîëå,
ñîçäàâàåìîå áåñêîíå÷íîé ïëîñêîñòüþ, îäíîðîäíî è ðàâíî
σ
=
εε
02 E , (9.1.14)
ãäå
σ — ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà, òî åñòü çàðÿä åäèíèöû
ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè,
σ=q
S , σ= [] Êë/ì 2.
1 Ýëåêòðè÷åñêóþ èíäóêöèþ ÷àñòî íàçûâàþò ýëåêòðè÷åñêèì ñìåùåíèåì.
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

259
 ñëó÷àå äâóõ áåñêîíå÷íûõ ðàçíîèìåííî çàðÿæåííûõ ïàðàëëåëü-
íûõ ïëîñêîñòåé (ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà) âñå ïîëå ñîñðåäîòî÷åíî
â ïðîìåæóòêå ìåæäó íèìè. Ýòî ïîëå îäíîðîäíî è ðàâíî
σ
=
εε
0
E , (9.1.15)
â òî âðåìÿ êàê ðåçóëüòèðóþùàÿ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âíå ïëîñêî-
ñòåé ðàâíà íóëþ (ðèñ. 9.1.3).
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, ñîçäàííîãî áåñêîíå÷íîé ïðÿìîëèíåéíîé
ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé íèòüþ, ñîñòàâëÿåò íà ðàññòîÿíèè α îò íåå:
τ
=
πε ε
0 2 E
d , (9.1.16)
ãäå
τ — ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà íà íèòè — çàðÿä åäèíèöû äëè-
íû,
τ=q
l , τ= [] Êë/ì.
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, ñîçäàííîãî çàðÿæåííûì øàðîì ðàäèóñà
R:
=
πε ε 2
0 4q
E
r , (9.1.17)
ãäå
q — çàðÿä øàðà; r — ðàññòîÿíèå îò öåíòðà øàðà äî òî÷êè,
â êîòîðîé òðåáóåòñÿ íàéòè íàïðÿæåííîñòü, ïðè÷åì
>
rR .
Ðèñ. 9.1.2. Ïîëå áåñêîíå÷íîé
îäíîðîäíî çàðÿæåííîé (ïîëî-
æèòåëüíî) ïëîñêîñòè:
σ — ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà
Ðèñ. 9.1.3. Ïîëå äâóõ áåñêîíå÷íûõ ðàçíî-
èìåííî çàðÿæåííûõ ïëîñêîñòåé:
ñïëîøíûìè ëèíèÿìè ïîêàçàíî ïîëå ïîëîæèòåëüíî
çàðÿæåííîé ïëîñêîñòè; ïóíêòèðíûìè — îòðèöàòåëü-
íî çàðÿæåííîé
§ 9.1. Ýëåêòðîñòàòèêà

260
Ýíåðãåòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Åñëè íà çà-
ðÿä q â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå äåéñòâóåò ñèëà
= 
FqE , òî, ïåðåìåùàÿ
çàðÿä èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2 íà ðàññòîÿíèå 
l, ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
ñîâåðøàåò ðàáîòó, ðàâíóþ
==∫∫

 22
12
11
dd AFlqEl , (9.1.18)
ãäå

dl — íàïðàâëåíèå ýëåìåíòàðíîãî ïåðåìåùåíèÿ.
Ïóñòü çàðÿä ñîâåðøàåò ïåðåìåùåíèå ïî çàìê-
íóòîé òðàåêòîðèè 1-À-2-Â-1 (ðèñ. 9.1.4). Ïðè ýòîì
ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò
âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ çàðÿäîâ è îò èõ ïîëî-
æåíèÿ âî âíåøíåì ñèëîâîì ïîëå, íå èçìåíÿåò-
ñÿ, à ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà íå ñîâåðøàåò ðàáî-
òó, òî åñòü ðàáîòà ñèë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ
ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäà íà çàìêíóòîé òðàåêòî-
ðèè ðàâíà íóëþ:
==+=
∫∫∫



21
12
ddd0 A q El qEl qEl, (9.1.19)
îòêóäà
21
12
qEdl qEdl=−∫∫

 . (9.1.20)
Èç ôîðìóëû (9.1.20) ñëåäóåò, ÷òî ðàáîòà ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäà èç
ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2 ðàâíà âçÿòîé ñ îáðàòíûì çíàêîì ðàáîòå ïî
ïåðåìåùåíèþ ýòîãî çàðÿäà â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè.
Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà ïåðåìåùåíèÿ çàðÿäà íå çàâèñèò îò òðà-
åêòîðèè äâèæåíèÿ çàðÿäà, à îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ïîëîæåíèåì íà-
÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê. Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
ÿâëÿåòñÿ ïîëåì êîíñåðâàòèâíûõ ñèë (ñì. § 2.2) è ìîæåò áûòü îõà-
ðàêòåðèçîâàíî ïîòåíöèàëîì.
Ïîòåíöèàë ïîëÿ â äàííîé òî÷êå ìîæíî îïðåäåëèòü ðàáîòîé
ïåðåìåùåíèÿ ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà èç ýòîé òî÷êè íà áåñêîíå÷-
íîñòü
1, äåëåííîé íà çíà÷åíèå ýòîãî çàðÿäà, òî åñòü
∞ ϕ=A
q . (9.1.21)
Èñõîäÿ èç ôîðìóëû (9.1.21), ðàáîòà ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäà èç
òî÷êè 1 â òî÷êó 2 ðàâíà
1 Ïîòåíöèàë ïîëÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåí òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëü-
íîé ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû. Íåîïðåäåëåííîñòü ïîòåíöèàëà óñòðàíÿþò, çàäàâ ïî-
ëîæåíèå, â êîòîðîì ïîòåíöèàë óñëîâíî ðàâåí íóëþ. Òàê, â òåîðåòè÷åñêèõ çàäà÷àõ
íóëþ ðàâåí ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê, à íà ïðàêòèêå — ïîòåíöèàë
ïðîâîäíèêîâ, ñîåäèíåííûõ ñ Çåìëåé (çàçåìëåíèå).
Ðèñ. 9.1.4. Ê ïîÿñíåíèþ
ðàáîòû ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

261
() =ϕ−ϕ= 12 1 2Aq qU , (9.1.22)
ãäå
ϕ1 è ϕ2 — ïîòåíöèàëû ïîëÿ â òî÷êàõ 1 è 2; 12 U= ϕ −ϕ —
ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ èëè íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå 1—2.
Âû÷èñëèì ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû
(9.1.21), (9.1.18) è (9.1.7), çàïèøåì:
3
0
11 dd
4 Aqr
El l
q
r
∞∞

ϕ= =
πε ε =
∫∫
r
rr
r
.
Íàïðàâëåíèÿ ðàäèóñ-âåêòîðà r
r è ýëåìåíòàðíîãî ïåðåìåùåíèÿ r
dl
ñîâïàäàþò, ñëåäîâàòåëüíî, dd rl rl= r
r è = ddlr. Òîãäà
0
0 d
4
1qq
r
r
r2

ϕ= =
πε ε
4πε ε
∫ .
Òàêèì îáðàçîì, ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà â îäíîðîäíîì
äèýëåêòðèêå ñ îòíîñèòåëüíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ
ε
íà ðàññòîÿíèè r îò çàðÿäà ðàâåí:
ϕ=
πε ε
0 4q
r . (9.1.23)
Ñâÿçü ìåæäó ïîòåíöèàëîì è íàïðÿæåííîñòüþ ïîëÿ îïðåäåëÿ-
åòñÿ ñîîòíîøåíèåì [ñì. (2.2.17)]:
=− ϕ r
grad E , (9.1.24)
òî åñòü
; ; xyzEEE
xyz ∂ ϕ ∂ϕ ∂ϕ =− =− =−
∂∂∂ .
Åäèíèöåé èçìåðåíèÿ ïîòåíöèàëà â ÑÈ ÿâëÿåòñÿ âîëüò (Â),
1 Â = 1 Äæ/Êë.
Ïîòåíöèàë ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé èääàòèâíîé âåëè÷èíîé. Ïîòåí-
öèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ñèñòåìîé çàðÿäîâ, ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóì-
ìå ïîòåíöèàëîâ, ñîçäàâàåìûõ êàæäûì èç çàðÿäîâ â îòäåëüíîñòè.
Ïîòåíöèàëû â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ íà-
ãëÿäíî ïðåäñòàâëÿþò â âèäå ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé —
ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåñòà òî÷åê, èìåþùèõ îäèíàêîâûé ïîòåíöèàë
(ðèñ. 9.1.6).
Ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëü — ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ æåñòêî ñâÿ-
çàííûõ îäèíàêîâûõ ïî çíà÷åíèþ, íî ïðîòèâîïîëîæíûõ ïî çíàêó
òî÷å÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ +q è –q, ñìåùåííûõ îòíîñè- § 9.1. Ýëåêòðîñòàòèêà

262
òåëüíî äðóã äðóãà íà âåêòîð 
l (ïëå÷î äèïîëÿ), íàïðàâëåííûé îò
îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäà ê ïîëîæèòåëüíîìó, ïðè÷åì ðàññòîÿíèå
l
çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ äî òåõ òî÷åê, â êîòîðûõ îïðåäåëÿ-
åòñÿ ïîëå äèïîëÿ.
Âåêòîð
pql=
 (9.1.25)
íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì ìîìåíòîì äèïîëÿ, [Ð] = Êë•ì.
Ïîòåíöèàë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýëåêòðè÷åñêèì
äèïîëåì, ðàâåí
3
0 4pr
r ⋅
ϕ=
πε ε , (9.1.26)
èëè â ñêàëÿðíîé ôîðìå
2
0 4p
r ϕ=
πε ε , (9.1.27)
ãäå

r — ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåäåííûé èç òî÷êè, ãäå íàõîäèòñÿ äè-
ïîëü, â òî÷êó, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ïîòåíöèàë ïîëÿ.
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýëåêòðè÷åñêèì äèïîëåì
â òî÷êå, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè

rl , ðàâíà
() 2
5
0 3
4 pr r rp
E
r ⋅−
=
πε ε  
 . (9.1.28)
Èç ôîðìóëû (9.1.28) ñëåäóåò, ÷òî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, ñîçäàâà-
åìîãî äèïîëåì â òî÷êàõ, ðàñïîëîæåííûõ âäîëü ïðÿìîé, ïðîõîäÿ-
ùåé ÷åðåç çàðÿäû (óãîë ìåæäó

r è 
p â ýòîì ñëó÷àå ðàâåí 0 èëè π),
ðàâíà
||
3
0 2p
E
r =
πε ε . (9.1.29)
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âäîëü ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâ-
ëåíèþ

p è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ñèñòåìû çàðÿäîâ äèïîëÿ (óãîë
ìåæäó 
r è 
p â ýòîì ñëó÷àå ðàâåí π/2), ñîñòàâëÿåò:
3
0 4p
E
r ⊥=−
πε ε . (9.1.30)
Çíàê «—» îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîðó

E è 
p àíòèïàðàëëåëüíû.
Íà äèïîëü, ïîìåùåííûé â îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
íàïðÿæåííîñòüþ

E, äåéñòâóåò ïàðà ñèë 
1F è 
2F (ðèñ. 9.1.5), ðàâ-
íûõ ïî âåëè÷èíå
== = 12 FF F qE è ïðîòèâîïîëîæíûõ ïî íà-Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

263
ïðàâëåíèþ. Óìíîæèâ ìîäóëü
ñèëû íà ïëå÷î ïàðû ñèë
α sin l,
îïðåäåëèì ìîìåíò ïàðû ñèë,
äåéñòâóþùèõ íà äèïîëü:
=α=α
sin sin MqEl pE ,
ãäå α — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
r
p
è r
E. Â âåêòîðíîé ôîðìå
=× rr
r
[] MpE . (9.1.31)
Òàêèì îáðàçîì, íà ýëåê-
òðè÷åñêèé äèïîëü, ïîìå-
ùåííûé â îäíîðîäíîå ýëåê-
òðè÷åñêîå ïîëå, äåéñòâóåò
ìîìåíò ñèë (âðàùàþùèé
ìîìåíò), ñòðåìÿùèéñÿ ðàç-
âåðíóòü äèïîëüíûé ìîìåíò
âäîëü íàïðàâëåíèÿ ýëåêòðè-
÷åñêîãî ïîëÿ.
Ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ äè-
ïîëÿ ïîêàçàíî íà ðèñ. 9.1.6.
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
äèïîëÿ âî âíåøíåì ýëåêò-
ðè÷åñêîì ïîëå íàïðÿæåííî-
ñòüþ
r
E ðàâíà
=−r
r
WpE . (9.1.32)
Ôîðìóëà (9.1.32) ñïðàâåäëèâà êàê äëÿ îäíîðîäíîãî, òàê è íå-
îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
§ 9.2. ÏÐÎÂÎÄÍÈÊÈ Â ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÌ ÏÎËÅ.
ÝÍÅÐÃÈß ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÎËß
Åñëè ïðîâîäíèê ðàñïîëîæèòü â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå íàïðÿæåí-
íîñòüþ r
E, òî ïîä åãî äåéñòâèåì ïîëîæèòåëüíûå íîñèòåëè çàðÿäîâ
ñìåùàþòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà r
E, à îòðèöàòåëüíûå — ïðî-
òèâ. Ñìåùåííûå, òàê íàçûâàåìûå èíäóöèðîâàííûå çàðÿäû ñàìè ÿâ-
ëÿþòñÿ èñòî÷íèêàìè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, âåêòîð íàïðÿæåííîñòè
êîòîðîãî íàïðàâëåí ïðîòèâîïîëîæíî âíåøíåìó ïîëþ. Ïåðåðàñï-
Ðèñ. 9.1.5. Äèïîëü â îäíîðîäíîì ýëåêò-
ðè÷åñêîì ïîëå
Ðèñ. 9.1.6. Ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ýëåêò-
ðè÷åñêîãî ïîëÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ýêâè-
ïîòåíöèàëüíûå ïîâåðõíîñòè (ïóíêòèð-
íûå ëèíèè) ïîëÿ äèïîëÿ
§ 9.2. Ïðîâîäíèêè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå

264
ðåäåëåíèå çàðÿäîâ áóäåò ïðîèñõîäèòü äî òåõ ïîð, ïîêà âíóòðåííåå
ïîëå íå óðàâíîâåñèò âíåøíåå 1. Òàêèì îáðàçîì, â ðàâíîâåñèè ïîëå
âíóòðè ïðîâîäíèêà ðàâíî íóëþ, à ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåíöèàë âíóò-
ðè ïðîâîäíèêà ïîñòîÿíåí [ñì. ôîðìóëó (9.1.24)], ëèíèè íàïðÿæåí-
íîñòè ïîëÿ âíå ïðîâîäíèêà ïåðïåíäèêóëÿðíû åãî ïîâåðõíîñòè, òî
åñòü ïîâåðõíîñòü ïðîâîäíèêà ýêâèïîòåíöèàëüíà; èíäóöèðîâàííûå
çàðÿäû ðàñïîëàãàþòñÿ íà ïîâåðõíîñòè. Ïðè ýòîì íå èìååò çíà÷å-
íèÿ, ÿâëÿåòñÿ ëè ïðîâîäíèê ñïëîøíûì èëè ïîëûì.
Íà ýòîì ïðèíöèïå îñíîâàíà ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ çàùèòà îáúåê-
òîâ îò ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé. Îáúåêò, íóæäàþùèéñÿ â çàùèòå, îêðó-
æàþò ìåòàëëè÷åñêèì ýêðàíîì (ñïëîøíûì èëè â âèäå ñåòêè). Òîã-
äà èíäóöèðîâàííûå âíåøíèì ïîëåì çàðÿäû íà ïîâåðõíîñòè ýêðàíà
êîìïåíñèðóþò (ýêðàíèðóþò) âíåøíåå ïîëå.
Åñëè ïðîâîäíèêó, íàõîäÿùåìóñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, ñîîá-
ùèòü çàðÿä q, òî ýòîò äîïîëíèòåëüíûé çàðÿä ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî
ïîâåðõíîñòè òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëå âíóòðè ïðîâîäíèêà ïî-
ïðåæíåìó áûëî ðàâíî íóëþ. Óâåëè÷åíèå çàðÿäà âûçûâàåò ñîîòâåò-
ñòâóþùåå óâåëè÷åíèå íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Òîãäà,
ñîãëàñíî ôîðìóëå (9.1.18), âîçðàñòàåò ðàáîòà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ ïå-
ðåíîñà çàðÿäà íà áåñêîíå÷íîñòü, òî åñòü ïîâûøàåòñÿ ïîòåíöèàë
ïðîâîäíèêà [ñì. ôîðìóëó (9.1.21)]. Òàêèì îáðàçîì, çàðÿä ïðîâîä-
íèêà q ïðîïîðöèîíàëåí ïîòåíöèàëó
= ϕ qC , (9.2.1)
ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè Ñ íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîåìêîñ-
òüþ, êîòîðàÿ çàâèñèò òîëüêî îò ãåîìåòðèè ïðîâîäíèêà è äèýëåêò-
ðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ. Åäèíèöåé
èçìåðåíèÿ ýëåêòðîåìêîñòè ÿâëÿåòñÿ ôàðàäà (Ô); 1 Ô = 1 Êë/Â.
Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ýëåêòðè÷åñêè èçîëèðîâàííûõ äðóã
îò äðóãà ïðîâîäíèêîâ (îáêëàäîê), íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì êîí-
äåíñàòîðîì. Êîíäåíñàòîðû êîíñòðóèðóþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
ïîëå, ñîçäàâàåìîå èìè, áûëî ñîñðåäîòî÷åíî âíóòðè êîíäåíñàòîðà.
Ñóùåñòâóþò ïëîñêèå (äâå áëèçêîðàñïîëîæåííûå ïëàñòèíû), öè-
ëèíäðè÷åñêèå (äâà êîàêñèàëüíûõ öèëèíäðà) è ñôåðè÷åñêèå (äâå
êîíöåíòðè÷åñêèå ñôåðû) êîíäåíñàòîðû. Çàðÿä ýëåêòðè÷åñêîãî êîí-
äåíñàòîðà ðàâåí
() =ϕ−ϕ= 12 qC CU , (9.2.2)
ãäå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ
ϕ −ϕ 12 íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì U íà
êîíäåíñàòîðå.
1 Íîñèòåëè çàðÿäîâ â ïðîâîäíèêå ñïîñîáíû ïåðåìåùàòüñÿ ïîä äåéñòâèåì ñêîëü
óãîäíî ìàëîé ñèëû.
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

265
Ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ðàâíà
εε
=0S
C
d , (9.2.3)
ãäå d — ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè; S — ïëîùàäü ïëàñòèíû; ε —
îòíîñèòåëüíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü âåùåñòâà, çàïîë-
íÿþùåãî çàçîð ìåæäó îáêëàäêàìè.
Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè êîíäåíñàòîðîâ èõ ïîëíàÿ åì-
êîñòü ðàâíà ñóììå åìêîñòåé îòäåëüíûõ êîíäåíñàòîðîâ:
пар=
= =∑1 in
i
i
CC , (9.2.4)
à ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ñêëàäûâàþòñÿ âåëè÷èíû, îá-
ðàòíûå åìêîñòè
посл=
=
=∑1
11 in
i
i
CC . (9.2.5)
Ýëåêòðè÷åñêèé êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ, çàðÿæåííûé äî ðàç-
íîñòè ïîòåíöèàëîâ U, ïðèîáðåòàåò ýíåðãèþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
=
2
2 CU
W . (9.2.6)
Ïîëå âíóòðè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà îäíîðîäíî è ðàâíî:
=U
E
d . (9.2.7)
Èç ôîðìóë (9.2.3), (9.2.6) è (9.2.7) âûòåêàåò, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêò-
ðè÷åñêîãî ïîëÿ ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ðàâíà:
εε
= 2
0
2E
WV , (9.2.8)
èëè
=
2 ED
WV , (9.2.9)
ãäå V — îáúåì, çàíèìàåìûé îäíîðîäíûì ïîëåì íàïðÿæåííîñòüþ Å.
Òîãäà îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè — ýíåðãèè åäèíèöû îáú-
åìà, êîòîðàÿ â ñëó÷àå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïëîñêîãî êîíäåíñàòî-
ðà ðàâíà:
=
2 ED
w . (9.2.10) § 9.2. Ïðîâîäíèêè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå

266
Åäèíèöà èçìåðåíèÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè: [w] = Äæ/ì 3.
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû íåïîäâèæíûõ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ
q
1, q 2, …, q n ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû

=ϕ ∑1
2 ij
ij Wq . (9.2.11)
§ 9.3. ÄÈÝËÅÊÒÐÈÊÈ Â ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÌ ÏÎËÅ
Ä è ý ë å ê ò ð è ê è (èçîëÿòîðû) îòëè÷àþòñÿ îò ïðîâîäíèêîâ
òåì, ÷òî íå èìåþò ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ è ïîýòîìó íå ñïîñîáíû ïðî-
âîäèòü ýëåêòðè÷åñêèé òîê.  ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ïðîèñõîäèò ïî-
ëÿðèçàöèÿ äèýëåêòðèêà — îí ñòàíîâèòñÿ ïîëÿðíûì. Ñóùåñòâóåò òðè
âèäà ïîëÿðèçàöèè.
1. Ýëåêòðîííàÿ (äåôîðìàöèîííàÿ) ïîëÿðèçàöèÿ õàðàêòåðíà äëÿ
âåùåñòâ, ìîëåêóëû êîòîðûõ íå èìåþò äèïîëüíûé ìîìåíò â îòñóò-
ñòâèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (âîäîðîä, êèñëîðîä, àçîò). Òàêèå âåùå-
ñòâà íàçûâàþòñÿ íåïîëÿðíûìè. Âñëåäñòâèå ñèììåòðèè «öåíòðû òÿ-
æåñòè» ïîëîæèòåëüíîãî (ÿäðà) è îòðèöàòåëüíûõ (ýëåêòðîíîâ)
çàðÿäîâ ñîâïàäàþò
1.  ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåí-
íûå ÿäðà àòîìîâ ñäâèãàþòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ñèëîâûõ ëèíèé ïîëÿ,
à ýëåêòðîíû — ïðîòèâ.
2. Îðèåíòàöèîííàÿ ïîëÿðèçàöèÿ. Íåêîòîðûå âåùåñòâà, òàê íà-
çûâàåìûå ïîëÿðíûå (íàïðèìåð, H
2O, HCl), ñîñòîÿò èç ìîëåêóë,
èìåþùèõ äèïîëüíûå ìîìåíòû 2 äàæå â îòñóòñòâèå âíåøíåãî ýëåê-
òðè÷åñêîãî ïîëÿ. Òàêèå âåùåñòâà, ïîìåùåííûå â ýëåêòðè÷åñêîå
ïîëå, ïîëÿðèçóþòñÿ â ðåçóëüòàòå ðàçâîðîòà äèïîëüíûõ ìîìåíòîâ
ìîëåêóë âäîëü ñèëîâûõ ëèíèé ïîëÿ (ðèñ. 9.3.1). Ýòîò òèï ïîëÿðè-
çàöèè íàçûâàåòñÿ îðèåíòàöèîííîé ïîëÿðèçàöèåé.
3. Èîííàÿ ïîëÿðèçàöèÿ õàðàêòåðíà äëÿ êðèñòàëëè÷åñêèõ äèýëåê-
òðèêîâ (íàïðèìåð, NaCl, CsCl è äðóãèå), èìåþùèõ èîííûå êðèñ-
òàëëè÷åñêèå ðåøåòêè.  ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ïîëîæèòåëüíûå èîíû
ðåøåòêè ñìåùàþòñÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ ïîëÿ, à îòðèöàòåëüíûå —
ïðîòèâ. Èíûìè ñëîâàìè, ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííàÿ «ïîäðåøåòêà»
ñìåùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííîé «ïîäðåøåòêè».
Âñëåäñòâèå íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ êðèñ-
òàëë ïîëÿðèçóåòñÿ.
1 Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå äèïîëüíîãî ìîìåíòà ìîëåêóëû ìîæåò áûòü îòëè÷íûì
îò íóëÿ, îäíàêî âñëåäñòâèå áûñòðîãî âðàùåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïî îðáèòå ñðåäíèé
äèïîëüíûé ìîìåíò çà ðàññìàòðèâàåìûå íàìè ïðîìåæóòêè âðåìåíè ðàâåí íóëþ.
2 Ïîäðîáíåå î ôîðìèðîâàíèè äèïîëüíîãî ìîìåíòà ìîëåêóë âîäû ñì. â § 6.2.
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

267
 ðåçóëüòàòå ïîëÿðèçàöèè äèýëåêòðèê ïðèîáðåòàåò äèïîëüíûé
ìîìåíò r
p. Äèïîëüíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà äèýëåêòðèêà íà-
çûâàåòñÿ ïîëÿðèçîâàííîñòüþ. Äëÿ èçîòðîïíîé ñðåäû
=r
r
p
P
V ; (9.3.1)
â ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé ïîëÿðèçàöèè
= ∑
r
r
1
i
i Pp
V , (9.3.2)
ãäå
∑ ri
ip — ñóììàðíûé ýëåêòðè÷åñêèé ìîìåíò îáúåìà V äèýëåêò-
ðèêà.
Åäèíèöåé ïîëÿðèçîâàííîñòè ÿâëÿåòñÿ êóëîí íà êâàäðàòíûé ìåòð
(Êë/ì
2).
Äëÿ áîëüøèíñòâà èçîòðîïíûõ äèýëåêòðèêîâ (êðîìå ñåãíåòî-
ýëåêòðèêîâ
1) ïîëÿðèçîâàííîñòü ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà íàïðÿæåí-
íîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ýòîé òî÷êå:
=ε χ rr 0 PE , (9.3.3)
ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè χ íàçûâàåòñÿ äèýëåêòðè-
÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ.
Ðèñ. 9.3.1. Îðèåíòàöèîííàÿ ïîëÿðèçàöèÿ:
à — ðàñïîëîæåíèå ìîëåêóë ïîëÿðíîãî äèýëåêòðèêà â îòñóòñòâèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ;
á — â ïðèñóòñòâèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ; Er — íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ; ipr — äè-
ïîëüíûé ìîìåíò i-é ìîëåêóëû
1 Ñåãíåòîýëåêòðèêè — êðèñòàëëè÷åñêèå äèýëåêòðèêè, îáëàäàþùèå â îïðåäå-
ëåííîì èíòåðâàëå òåìïåðàòóð ñïîíòàííîé (ñàìîïðîèçâîëüíîé) ïîëÿðèçàöèåé.
Ñåãíåòîýëåêòðèêè ñîõðàíÿþò îñòàòî÷íóþ ïîëÿðèçàöèþ äàæå ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ
äåéñòâèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
§ 9.3. Äèýëåêòðèêè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå

268
Îòíîøåíèå äèýëåêòðè÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòè ê êîíöåíòðà-
öèè ìîëåêóë äèýëåêòðèêà íàçûâàåòñÿ ïîëÿðèçóåìîñòüþ:
χ
α=
n. (9.3.4)
Ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
ìåæäó äèïîëüíûì ìîìåíòîì îäíîé ìîëåêóëû è âåëè÷èíîé íàïðÿ-
æåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ:
=ε αr
r 0 pE . (9.3.5)
Ïîëÿðèçóåìîñòü èìååò ðàçìåðíîñòü îáúåìà: [α] = ì
3.
Äèýëåêòðè÷åñêàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü è îòíîñèòåëüíàÿ äèýëåêò-
ðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü äèýëåêòðèêà ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ïðî-
ñòûì ñîîòíîøåíèåì
ε= + χ 1 . (9.3.6)
Îáå ýòè âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ áåçðàçìåðíûìè. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ
âîñïðèèì÷èâîñòü, äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è ïîëÿðèçóå-
ìîñòü õàðàêòåðèçóþò ñïîñîáíîñòü äèýëåêòðèêà ê ïîëÿðèçàöèè è îï-
ðåäåëÿþòñÿ ìîëåêóëÿðíûì ñòðîåíèåì âåùåñòâà. Îíè íå çàâèñÿò îò
íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, íî â ïåðåìåííûõ ýëåêòðè÷å-
ñêèõ ïîëÿõ çàâèñÿò îò ÷àñòîòû ïîëÿ.  ñëó÷àå îðèåíòàöèîííîé
ïîëÿðèçàöèè óñòàíîâëåíèþ äèïîëüíûõ ìîìåíòîâ âäîëü ñèëîâûõ
ëèíèé ïîëÿ ïðåïÿòñòâóåò òåïëîâîå äâèæåíèå ìîëåêóë, ïîýòîìó äè-
ýëåêòðè÷åñêàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü âåùåñòâà, ñîñòîÿùåãî èç ïîëÿð-
íûõ ìîëåêóë, â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû.
Âûâåäåì âûðàæåíèå äëÿ èíäóêöèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â äè-
ýëåêòðèêå. Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (9.1.12) è (9.3.6),
=ε +χ =ε +ε χ rrrr 000(1 ) DEEE . (9.3.7)
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (9.3.3), ïîëó÷àåì, ÷òî èíäóêöèÿ ýëåêò-
ðè÷åñêîãî ïîëÿ ñâÿçàíà ñ íàïðÿæåííîñòüþ è ïîëÿðèçîâàííîñòüþ
ñîîòíîøåíèåì
=ε + rrr 0 DEP . (9.3.8)
Ïðè ïîëÿðèçàöèè äèýëåêòðèêà íà îäíîé åãî ñòîðîíå ïîÿâëÿþò-
ñÿ ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû, à íà äðóãîé — îòðèöàòåëüíûå, êàê ïîêà-
çàíî íà ðèñ. 9.3.1 íà ïðèìåðå îðèåíòàöèîííîé ïîëÿðèçàöèè. Ýòè
çàðÿäû âõîäÿò â ñîñòàâ ìîëåêóë (èëè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè —
â ñëó÷àå èîííîé ïîëÿðèçàöèè) è ïðî÷íî ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì.
Ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàçíîèìåííûå çàðÿ-Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

269
äû ëèøü íåìíîãî ñìåùàþò-
ñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòî-
ðîíû, íî ïîêèíóòü ïðåäåëû
ìîëåêóëû (èëè óçëà êðèñ-
òàëëè÷åñêîé ðåøåòêè) íå ìî-
ãóò. Ïîýòîìó òàêèå çàðÿäû
íàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè.
 ñëó÷àå èçîòðîïíîãî
äèýëåêòðèêà ïîâåðõíîñòíàÿ
ïëîòíîñòü ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ σ
ñâ ðàâíà ïðîåêöèè ïîëÿðèçîâàííî-
ñòè íà âíåøíþþ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà (ðèñ. 9.3.2):
свσ= = α
cos nPP . (9.3.9)
Ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ, òàê æå êàê è ïî-
ëÿðèçîâàííîñòü, õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè äèýëåêòðèêà.
Äëÿ áèîëîãè÷åñêèõ òêàíåé õàðàêòåðíû âñå âèäû ïîëÿðèçàöèè.
Ðîëü ïîëÿðèçàöèè ïðè âîçäåéñòâèè âíåøíèõ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé
íà æèâûå îðãàíèçìû ïîäðîáíåå îïèñàíà â § 16.2.
§ 9.4. ÏÎÑÒÎßÍÍÛÉ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÎÊ
Ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì íàçûâàåòñÿ ëþáîå óïîðÿäî÷åííîå (íà-
ïðàâëåííîå) äâèæåíèå ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö èëè çà-
ðÿæåííûõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë â ïðîñòðàíñòâå ïîä äåéñòâèåì
ñèëîâûõ ïîëåé. Íàïðàâëåííîå äâèæåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ
â ïðîâîäÿùèõ ñðåäàõ (ìåòàëëû, ïîëóïðîâîäíèêè, ýëåêòðîëèòû,
èîíèçèðîâàííûå ãàçû) ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàçû-
âàåòñÿ ò î ê î ì ï ð î â î ä è ì î ñ ò è. Óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå ìàê-
ðîñêîïè÷åñêèõ çàðÿæåííûõ òåë (íàïðèìåð äâèæåíèå çàðÿæåííûõ
êàïåëü äîæäÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè) âûçûâàåò òàê íàçûâàåìûé ê î í-
â å ê ö è î í í û é ò î ê. Åñëè çàðÿæåííûå ÷àñòèöû — ýëåêòðîíû
èëè èîíû — äâèæóòñÿ íåçàâèñèìî îò ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë â âà-
êóóìå, òî ãîâîðÿò î òîêå â âàêóóìå.
Çà íàïðàâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ïðèíèìàþò íàïðàâëåíèå
äâèæåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäîâ, òî åñòü íàïðàâëåíèå âåêòîðà
íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
r
E. Â ìåòàëëàõ ïåðåíîñ çàðÿ-
äà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñâîáîäíûìè ýëåêòðîíàìè, ïîýòîìó òîê â íèõ
íàïðàâëåí ïðîòèâîïîëîæíî äâèæåíèþ ýëåêòðîíîâ.
Êîëè÷åñòâåííî ýëåêòðè÷åñêèé òîê õàðàêòåðèçóåòñÿ ñêàëÿðíîé
âåëè÷èíîé — ñèëîé òîêà I, â îáùåì ñëó÷àå ðàâíîé ýëåìåíòàðíîìó
çàðÿäó dq, ïðîõîäÿùåìó ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà çà
ýëåìåíòàðíîå âðåìÿ dt:
Ðèñ. 9.3.2. Íàïðàâëåíèå âåêòîðà ïîëÿðèçîâàí-
íîñòè è åãî ïðîåêöèè íà âíåøíþþ íîðìàëü
§ 9.4. Ïîñòîÿííûé ýëåêòðè÷åñêèé òîê

270
=d
dq
I
t . (9.4.1)
Ïðè ïîñòîÿííîé ñêîðîñòè ïðîõîæäåíèÿ çàðÿäà q ÷åðåç ïîïå-
ðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà âåëè÷èíà òîêà ñî âðåìåíåì íå èçìå-
íÿåòñÿ. Òàêîé òîê íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííûì:
=q
I
t . (9.4.2)
Çà åäèíèöó ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ïðèíèìàþò òàêîé òîê, ïðè
êîòîðîì ÷åðåç ëþáîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà çà îäíó ñå-
êóíäó ïðîòåêàåò çàðÿä â îäèí êóëîí. Ýòà åäèíèöà íàçûâàåòñÿ àì-
ïåðîì (À).
Îòíîøåíèå ñèëû òîêà ñêâîçü ìàëûé ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè, íîð-
ìàëüíûé ê íàïðàâëåíèþ òîêà, ê ïëîùàäè ýòîãî ýëåìåíòà íàçûâà-
åòñÿ ïëîòíîñòüþ òîêà:
=d
dI
j
S . (9.4.3)
 îäíîðîäíîì ïðîâîäíèêå ïëîòíîñòü ïîñòîÿííîãî òîêà îäèíà-
êîâà ïî âñåìó ïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ ïðîâîäíèêà, ïîýòîìó
=I
j
S . (9.4.4)
Ïëîòíîñòü òîêà ñâÿçàíà ñ êîíöåíòðàöèåé n ñâîáîäíûõ íîñèòå-
ëåé çàðÿäîâ è ñêîðîñòüþ v èõ íàïðàâëåííîãî äâèæåíèÿ ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì:
jqnv= , (9.4.5)
èëè â âåêòîðíîé ôîðìå
jqnv= r
r . (9.4.6)
Âåêòîð
r
j íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê ëèíèÿì òîêà. Ýòè ëè-
íèè ñòðåìÿòñÿ ïî òàêèì æå ïðàâèëàì, êàê è ëèíèè ëþáîãî âåêòîð-
íîãî ïîëÿ, íàïðèìåð ýëåêòðè÷åñêîãî. Ëèíèè ïîñòîÿííîãî ýëåêò-
ðè÷åñêîãî òîêà çàìêíóòû.
Òàêèì îáðàçîì, ïëîòíîñòü òîêà ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé âåëè÷èíîé
è õàðàêòåðèçóåò ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ïî ñå÷åíèþ
ïðîâîäíèêà, à òàêæå îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå òîêà â ïðîñòðàíñòâå.
Ïëîòíîñòü òîêà èçìåðÿåòñÿ â àìïåðàõ íà êâàäðàòíûé ìåòð (À/ì
2).
Äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ è ñóùåñòâîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà íå-
îáõîäèìî, êðîìå íàëè÷èÿ ñâîáîäíûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, èìåòüÃëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

271
êèìè ñèëàìè ÿâëÿþòñÿ ñèëû ñî ñòîðîíû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ 
E,
êîòîðîå ìîæåò ñîçäàâàòüñÿ íå òîëüêî íåïîäâèæíûìè çàðÿäàìè êàê
êóëîíîâñêîå (ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå) ïîëå
кул

E (ñì. § 9.1), íî è èìåòü
íåýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïðîèñõîæäåíèå, òàê íàçûâàåìîå ï î ë å ñ ò î ð-
îííèõ ñèë
ст

E . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé òî÷êè âíóòðè ïðî-
âîäíèêà
кул ст =+  
EE E . (9.4.7)
Ïîëå
кул

E ñîâåðøàåò ðàáîòó íà íåêîòîðîì ó÷àñòêå ýëåêòðè÷åñêîé
öåïè 1—2 ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà è
ñâÿçàíî ñ ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ ∆ϕ, èëè ïàäåíèåì íàïðÿæåíèÿ U,
íà ýòîì ó÷àñòêå (ñì. § 9.1) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
кул =∆ϕ= ∫

 2
1
d El U , (9.4.8)
ãäå

dl — äëèíà ýëåìåíòàðíîãî ó÷àñòêà ïðîâîäíèêà.
Ïîä äåéñòâèåì ýòîãî ïîëÿ ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû ïåðåìåùàþò-
ñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ∆ϕ íà êîíöàõ ó÷àñòêà
1—2 íå ñòàíåò ðàâíîé íóëþ. Òàêîå ïåðåðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ ïðè-
âîäèò ê èñ÷åçíîâåíèþ è ñàìîãî ïîëÿ
кул

E .
Äëÿ ïîääåðæàíèÿ ïîñòîÿííîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, à ñëåäî-
âàòåëüíî, è ïîñòîÿííîãî òîêà â öåïè, íåîáõîäèìî íàëè÷èå ñèë
íåýëåêòðîñòàòè÷åñêîé ïðèðîäû, ñïîñîáíûõ îñóùåñòâëÿòü ðàçäåëå-
íèå ðàçíîèìåííûõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Ïîëå ñòîðîííèõ ñèë
â öåïè
ст

E ñîçäàåòñÿ èñòî÷íèêàìè òîêà (ãàëüâàíè÷åñêèìè ýëåìåí-
òàìè, àêêóìóëÿòîðàìè, ýëåêòðè÷åñêèìè ãåíåðàòîðàìè). Ïåðåìå-
ùàÿ ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû, ñòîðîííèå ñèëû ñîâåðøàþò ðàáîòó çà
ñ÷åò ýíåðãèè èñòî÷íèêà òîêà. Ðàáîòà ñòîðîííèõ ñèë ïðè ïåðåìå-
ùåíèè åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà íà ó÷àñòêå 1—2, ñîäåð-
æàùåì èñòî÷íèê òîêà, íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé èñòî÷-
íèêà òîêà (ÝÄÑ):
2
ст
1
d El = ∫


. (9.4.9)
Ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ ñóììàðíîé ðàáîòå êóëî-
íîâñêèõ è ñòîðîííèõ ñèë ïî ïåðåíîñó åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî
çàðÿäà íà ó÷àñòêå 1—2, ñîäåðæàùåì ÝÄÑ, íàçûâàåòñÿ ïàäåíèåì íà-
ïðÿæåíèÿ èëè ïðîñòî íàïðÿæåíèåì íà ýòîì ó÷àñòêå:
2
12
1
()d UEElU=+ =+∫


кул ст . (9.4.10) § 9.4. Ïîñòîÿííûé ýëåêòðè÷åñêèé òîê
E
E

272
Âàæíåéøåé õàðàêòåðèñòèêîé ïðîâîäÿùåé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ çà-
âèñèìîñòü òîêà îò íàïðÿæåíèÿ — âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà
() IU . Äëÿ ìåòàëëîâ è ýëåêòðîëèòîâ äëÿ ëþáîãî ïðîèçâîëüíîãî
ó÷àñòêà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èìååò ìåñòî ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü
I(U), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ç à ê î í î ì Î ì à:
() =+
0
1
IU
RE . (9.4.11)
Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
γ= 0 1R íàçûâàåòñÿ ïðîâî-
äèìîñòüþ, à âåëè÷èíà R
0, îáðàòíàÿ ïðîâîäèìîñòè,— ñîïðîòèâëå-
íèåì ýëåêòðè÷åñêîìó òîêó ýòîãî ó÷àñòêà öåïè:
=+0RRr , (9.4.12)
ãäå R — ñîïðîòèâëåíèå âíåøíåãî ïî îòíîøåíèþ ê èñòî÷íèêó òîêà
ó÷àñòêà öåïè, íà êîòîðîì äåéñòâóþò êóëîíîâñêèå ñèëû; r — âíóò-
ðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà òîêà, íà êîòîðîì äåéñòâóþò ñòî-
ðîííèå ñèëû.
Òîãäà çàêîí Îìà â îáùåì ñëó÷àå äëÿ ó÷àñòêà öåïè ïðèíèìàåò
âèä:
+
=
+ U
I
RrE . (9.4.13)
Èç ñîîòíîøåíèÿ (9.4.13) ñëåäóþò ÷àñòíûå ñëó÷àè:
1) åñëè íà ðàññìàòðèâàåìîì ó÷àñòêå íåò èñòî÷íèêîâ òîêà, òî
åñòü
0 = E è =
0 r , òî ãîâîðÿò î çàêîíå Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè, íå
ñîäåðæàùåì ÝÄÑ:
=U
I
R ; (9.4.14)
2) åñëè öåïü çàìêíóòà, òî÷êè 1 è 2 ñîâïàäàþò è
∆ϕ==
0 U , òî
ãîâîðÿò î çàêîíå Îìà äëÿ ïîëíîé öåïè:
=
+ I
RrE . (9.4.15).
Êîíñòàíòà R — ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà — îïðåäåëÿåòñÿ ðàñ-
ñåÿíèåì ýëåêòðîííûõ âîëí íà ðàçëè÷íûõ äåôåêòàõ êðèñòàëëè÷å-
ñêîé ðåøåòêè ìåòàëëà (ãðàíèöû çåðåí, äèñëîêàöèè, òåïëîâûå êî-
ëåáàíèÿ ðåøåòêè — ôîíîíû, âàêàíñèè, ïðèìåñè è ò. ï.). Äëÿ
îäíîðîäíîãî ïðîâîäíèêà äëèíîé l è ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷å-
íèÿ S ñîïðîòèâëåíèå ðàâíîÃëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

273
=ρl
R
S , (9.4.16)
ãäå ρ — óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà.
Âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ óäåëüíîìó ñîïðîòèâëåíèþ, íàçûâàåòñÿ
óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòüþ:
σ=
ρ 1 . (9.4.17)
 ÑÈ ñîïðîòèâëåíèå èçìåðÿåòñÿ â îìàõ (Îì); ïðîâîäèìîñòü —
â ñèìåíñàõ (Ñì); óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå — â îì-ìåòðàõ (Îì•ì);
óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü — â ñèìåíñàõ íà ìåòð (Ñì/ì).
Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ïðîâîäíèêîâ îáùåå ñîïðî-
òèâëåíèå ðàâíî ñóììå ñîïðîòèâëåíèé îòäåëüíûõ ïðîâîäíèêîâ:
=
=∑1 n
i
i
RR , (9.4.18)
ãäå R
i — cîïðîòèâëåíèå îòäåëüíîãî ïðîâîäíèêà; n — ÷èñëî ïðî-
âîäíèêîâ íà äàííîì ó÷àñòêå öåïè.
Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ïðîâîäíèêîâ îáðàòíîå çíà÷å-
íèå ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ðàâíî ñóììå îáðàòíûõ ñîïðîòèâëå-
íèé îòäåëüíûõ ïðîâîäíèêîâ:
=
=∑1
11 n
i
i
RR . (9.4.19)
 îïðåäåëåííîì èíòåðâàëå òåìïåðàòóð èìååò ìåñòî ëèíåéíàÿ
çàâèñèìîñòü óäåëüíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ìåòàëëîâ îò òåìïåðàòóðû:
() ρ=ρ +α 01t , (9.4.20)
ãäå t — òåìïåðàòóðà â ãðàäóñàõ Öåëüñèÿ; ρ
0 — óäåëüíîå ñîïðîòèâ-
ëåíèå ïðè
=
0 t °Ñ; α — òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëå-
íèÿ ìåòàëëîâ, [α] = Ê –1.
Èç óðàâíåíèé (9.4.3), (9.4.8), (9.4.16) è (9.4.17) ìîæíî ïîëó÷èòü
ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó ïëîòíîñòüþ òîêà
r
j è íàïðÿæåííî-
ñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ r
E — çàêîí Îìà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîð-
ìå, îïèñûâàþùóþ ïëîòíîñòü òîêà â ýëåìåíòàðíî ìàëîé îáëàñòè
ïðîâîäíèêà (â «òî÷êå»):
=σr
r
jE . (9.4.21) § 9.4. Ïîñòîÿííûé ýëåêòðè÷åñêèé òîê

274
Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ òîêîâ íà âñåõ ó÷àñòêàõ ñëîæíîé (ðàçâåòâëåí-
íîé) öåïè ïî çàäàííûì ñîïðîòèâëåíèÿì ýòèõ ó÷àñòêîâ è ïðèëîæåí-
íûì ê íèì ÝÄÑ ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ï ð à â è ë Ê è ð õ ã î ô à.
Ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ I
k, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå, ðàâíà íóëþ:
=
= ∑1
0
n
k
k
I , (9.4.22)
ãäå ï — ÷èñëî òîêîâ, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå.
Âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì çàêîíà Îìà íà
ðàçâåòâëåííûå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè: â ëþáîì çàìêíóòîì êîíòóðå
àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ
kkIR íà îòäåëüíûõ
ó÷àñòêàõ öåïè ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ÝÄÑ
kE , äåéñòâóþùèõ
â ýòîì êîíòóðå:
==
= ∑∑11 nm
kk k
kk
IRE , (9.4.23)
ãäå ï — ÷èñëî îòäåëüíûõ ó÷àñòêîâ, íà êîòîðûå ðàçáèâàåòñÿ êîí-
òóð; ò — ÷èñëî äåéñòâóþùèõ â êîíòóðå ÝÄÑ.
Ìîùíîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà Ð íàçûâàåòñÿ åãî ðàáîòà çà
åäèíèöó âðåìåíè:
=A
P
t . (9.4.24)
Èç ôîðìóëû (9.4.2) âûðàçèì
=
qIt è ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå
(9.1.22):
=
AIUt . (9.4.25)
Òîãäà ìîùíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ñîñòàâèò:
=
PIU . (9.4.26)
Òîê â öåïè ïîääåðæèâàåòñÿ â ðåçóëüòàòå ðàáîòû ñòîðîííèõ ñèë,
êîòîðàÿ èç-çà âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ñ ðàçëè÷íûìè äåôåêòà-
ìè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ðàñõîäóåòñÿ íà íàãðåâàíèå ïðîâîä-
íèêà. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q, âûäåëÿåìîå â ïðîâîäíèêå, ïî êîòî-
ðîìó òå÷åò ïîñòîÿííûé òîê, çà âðåìÿ t îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì
Äæîóëÿ—Ëåíöà:
= QIUt . (9.4.27)Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

275
Âåùåñòâà, â êîòîðûõ â çàìåòíîé êîíöåíòðàöèè ïðèñóòñòâóþò
èîíû, íàçûâàþò ý ë å ê ò ð î ë è ò à ì è . Ïðîâåäåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî
òîêà ýòèìè âåùåñòâàìè îáóñëîâëåíî íàëè÷èåì èîíîâ (òàê íàçûâà-
åìàÿ èîííàÿ ïðîâîäèìîñòü). Âñå áèîëîãè÷åñêèå æèäêîñòè ÿâëÿþò-
ñÿ ýëåêòðîëèòàìè. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ E âûçû-
âàåò äâèæåíèå èîíîâ ñî ñêîðîñòüþ v:
vuE= , (9.4.28)
ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè u íàçûâàåòñÿ ïîäâèæíîñ-
òüþ èîíà,
= []uì2/(•ñ).
Óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü ýëåêòðîëèòîâ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
()F cz u u +− σ=α + , (9.4.29)
ãäå
α — ñòåïåíü äèññîöèàöèè, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ ÷èñëà äèññîöè-
èðîâàííûõ ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà ê ÷èñëó âñåõ ìîëåêóë ðà-
ñòâîðåííîãî â ýòîì îáúåìå âåùåñòâà; c — ìîëÿðíàÿ êîíöåíòðàöèÿ;
z — çàðÿä èîíà â åäèíèöàõ ýëåìåíòàðíîãî çàðÿäà (âàëåíòíîñòü);
F — ÷èñëî Ôàðàäåÿ,
4 F9,6510=⋅ Êë/ìîëü; +u è −u — ñîîòâåò-
ñòâåííî ïîäâèæíîñòè ïîëîæèòåëüíîãî è îòðèöàòåëüíîãî èîíîâ.
Ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû ïîäâèæíîñòü èîíîâ âîçðàñòàåò,
è, êàê ñëåäñòâèå, âîçðàñòàåò ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ýëåêòðîëèòà.
Ïðîõîæäåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ÷åðåç ýëåêòðîëèòû ñîïðî-
âîæäàåòñÿ ÿâëåíèåì ýëåêòðîëèçà — âûäåëåíèåì íà ýëåêòðîäàõ ñî-
ñòàâíûõ ÷àñòåé ðàñòâîðåííûõ âåùåñòâ (íà àíîäå — îòðèöàòåëüíî
çàðÿæåííûõ èîíîâ; íà êàòîäå — ïîëîæèòåëüíî). Ýëåêòðîëèç îïè-
ñûâàåòñÿ äâóìÿ ç à ê î í à ì è Ô à ð à ä å ÿ.
Ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Ôàðàäåÿ, ìàññà m âåùåñòâà, âûäåëèâ-
øåãîñÿ íà ýëåêòðîäå, ïðîïîðöèîíàëüíà ñèëå òîêà I è âðåìåíè t åãî
ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ýëåêòðîëèò:
=
mkIt , (9.4.30)
ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè k íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîõè-
ìè÷åñêèì ýêâèâàëåíòîì,
= []kÊë/êã.
Âòîðîé çàêîí Ôàðàäåÿ óñòàíàâëèâàåò ïðîïîðöèîíàëüíóþ çàâè-
ñèìîñòü ìåæäó ýëåêòðîõèìè÷åñêèì è õèìè÷åñêèì
1 / AMz= ýêâè-
âàëåíòàìè:
=
FA
k , (9.4.31)
ãäå M — ìîëÿðíàÿ (èëè àòîìíàÿ) ìàññà; F — ÷èñëî Ôàðàäåÿ.
1 Õèìè÷åñêèé ýêâèâàëåíò ÷èñëåííî ðàâåí ìàññå õèìè÷åñêîãî ýëåìåíòà èëè
ñîåäèíåíèÿ, êîòîðîå çàìåùàåò èëè ïðèñîåäèíÿåò ìàññó âîäîðîäà, ðàâíóþ åãî àòîì-
íîé ìàññå (1,0079).
§ 9.4. Ïîñòîÿííûé ýëåêòðè÷åñêèé òîê

276
Ýëåêòðîëèç øèðîêî èñïîëüçóþò äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÷èñòûõ âåùåñòâ;
ñîçäàíèÿ òîíêèõ ïîêðûòèé (ãàëüâàíîñòåãèÿ), ìåòàëëè÷åñêèõ êî-
ïèé êàêèõ-ëèáî ïðåäìåòîâ (ãàëüâàíîïëàñòèêà), à òàêæå â õèìè÷å-
ñêîì àíàëèçå (ýëåêòðîàíàëèç, ïîëÿðîãðàôèÿ).
§ 9.5. ÌÀÃÍÈÒÎÑÒÀÒÈÊÀ
Ìàãíèòíûì ïîëåì íàçûâàåòñÿ îäíà èç ñîñòàâëÿþùèõ ýëåêòðî-
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, îêàçûâàþùàÿ ñèëîâîå äåéñòâèå íà äâèæóùèåñÿ
ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû è íà òåëà, îáëàäàþùèå ìàãíèòíûì ìîìåí-
òîì. Ìàãíèòíîå ïîëå, â îòëè÷èå îò ýëåêòðè÷åñêîãî, íå îêàçûâàåò
âîçäåéñòâèÿ íà ïîêîÿùèåñÿ çàðÿäû, êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, íå
ïîðîæäàþò ìàãíèòíîå ïîëå. Ñòàöèîíàðíîå ìàãíèòíîå ïîëå, êîòî-
ðîå ðàññìàòðèâàåòñÿ â äàííîì ïàðàãðàôå, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî
ñ ïîìîùüþ ïîñòîÿííûõ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ ëèáî ñ ïîìîùüþ ïðè-
ðîäíûõ èëè èñêóññòâåííûõ ìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ.
 1820 ãîäó äàòñêèé ôèçèê Õ. Ýðñòåä
1 (1777—1851) îáíàðóæèë,
÷òî ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà, ïîìåùåííàÿ âîçëå ïðÿìîëèíåéíîãî ïðî-
âîäíèêà, ïî êîòîðîìó øåë òîê, ïîâîðà÷èâàëàñü ïåðïåíäèêóëÿðíî
ïðîâîäíèêó. Ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ òîêà ñòðåëêà ïîâîðà÷è-
âàëàñü â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ïîçäíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî
òàêîå æå äåéñòâèå íà ìàãíèòíóþ ñòðåëêó îêàçûâàåò âñÿêîå äâèæó-
ùååñÿ çàðÿæåííîå òåëî.
Òàêèì îáðàçîì, â ïðîñòðàíñòâå, îêðóæàþùåì ìàãíèò ëèáî ïðî-
âîäíèê ñ òîêîì, âîçíèêàåò ìàãíèòíîå ïîëå, ñèëîâîå äåéñòâèå êî-
òîðîãî ìîæíî îáíàðóæèòü îïÿòü-òàêè ëèáî ñ ïîìîùüþ ìàãíèòà,
ëèáî ïðîâîäíèêà ñ òîêîì.
Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ïðîá-
íîãî òåëà. Ýòî ìîæåò áûòü ëèáî ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà, ëèáî ïðîâîä-
íèê ñ òîêîì, íàñòîëüêî ìàëûõ ðàçìåðîâ, ÷òîáû íå âíîñèòü èçìå-
íåíèé â èññëåäóåìîå ìàãíèòíîå ïîëå.  äàëüíåéøåì â êà÷åñòâå
ïðîáíîãî òåëà áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðîâîäíèê ñ òîêîì â âèäå êîí-
òóðà.
Îðèåíòàöèÿ êîíòóðà â ïðîñòðàíñòâå õàðàêòåðèçóåòñÿ íàïðàâëå-
íèåì íîðìàëè ê åãî ïëîñêîñòè. Íàïðàâëåíèå ïîëîæèòåëüíîé íîð-
ìàëè ñâÿçàíî ñ íàïðàâëåíèåì òîêà ïðàâèëîì ïðàâîãî âèíòà (ðèñ.
9.5.1).
1  ÷åñòü Õ. Ýðñòåäà íàçâàíà åäèíèöà íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ÑÃÑ
ñèñòåìå åäèíèö:
Э=⋅
π 3 1
1 1 0 Ам Ам
4/ = 79, 5775 / .
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

277
Íà ïðîáíûé êîíòóð ñ òî-
êîì, ïîìåùåííûé â ìàãíèò-
íîå ïîëå, äåéñòâóåò âðà-
ùàþùèé ìîìåíò, âåëè÷èíà
è íàïðàâëåíèå êîòîðîãî îï-
ðåäåëÿåòñÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû,
õàðàêòåðèñòèêàìè âíåøíåãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñ äðóãîé —
ñâîéñòâàìè êîíòóðà.
Ñèëîâîé õàðàêòåðèñòè-
êîé ìàãíèòíîãî ïîëÿ â êàæ-
äîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ÿâ-
ëÿåòñÿ âåêòîð ìàãíèòíîé
èíäóêöèè
r
B. Çà íàïðàâëåíèå
âåêòîðà r
B ïðèíèìàþò íà-
ïðàâëåíèå ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëè óñòàíîâèâøåãîñÿ â ìàãíèòíîì
ïîëå ïðîáíîãî êîíòóðà ñ òîêîì.
Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî âðàùàþùèé ìîìåíò, äåé-
ñòâóþùèé íà êîíòóð, ïðîïîðöèîíàëåí ñèëå òîêà I â íåì è ïëîùà-
äè S êîíòóðà è íå çàâèñèò îò åãî ôîðìû. Ïðîèçâåäåíèå
= mpIS (9.5.1)
íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì êîíòóðà ñ òîêîì. Ýòî âåêòîðíàÿ
âåëè÷èíà, íàïðàâëåíèå êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïîëî-
æèòåëüíîé íîðìàëè ê äàííîìó êîíòóðó (ðèñ. 9.5.1):
=r
r mpIS , (9.5.2)
ãäå
r
S — ïñåâäîâåêòîð, ðàâíûé ïî ìîäóëþ ïëîùàäè êîíòóðà, à ïî
íàïðàâëåíèþ ñîâïàäàþùèé ñ íàïðàâëåíèåì ïîëîæèòåëüíîé íîð-
ìàëè
r
n.
Ìàãíèòíûé ìîìåíò — ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ýêâèâàëåíòíàÿ
ýëåêòðè÷åñêîìó ìîìåíòó â ýëåêòðîñòàòèêå
1, [ mpr ] = À•ì 2.
Åñëè â ìàãíèòíîå ïîëå âíåñòè ðàìêó ñ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì
rmp , òî íà íåå áóäåò äåéñòâîâàòü âðàùàþùèé ìîìåíò:
=× rr
r
[] m MpB , (9.5.3)
1 Ìàãíèòíûé ìîìåíò ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé íå òîëüêî êîíòóðà ñ òîêîì,
íî è ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö (ïðîòîíîâ, íåéòðîíîâ, ýëåêòðîíîâ), è îïðåäåëÿåò èõ
ïîâåäåíèå â ìàãíèòíîì ïîëå. Ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö âûðàæà-
åòñÿ â îñîáûõ åäèíèöàõ, íàçûâàåìûõ àòîìíûì (
Бµ ) èëè ÿäåðíûì ( Яµ ) ìàãíåòî-
íàìè Áîðà: [ñì. § 9.6, ôîðìóëû (9.6.12) è (9.6.13)].
Ðèñ. 9.5.1. Íàïðàâëåíèå ïîëîæèòåëüíîé íîð-
ìàëè nr è ìàãíèòíîãî ìîìåíòà mpr ê ïëîñ-
êîñòè ïðîáíîãî êîíòóðà ñ òîêîì â çàâèñè-
ìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ òîêà I
§ 9.5. Ìàãíèòîñòàòèêà

278
èëè â ñêàëÿðíîé ôîðìå
=αsin m MpB , (9.5.4)
ãäå
α — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè mp è 
B.
Èç ñîîòíîøåíèÿ (9.5.3) ñëåäóåò, ÷òî åäèíèöåé èçìåðåíèÿ ìàã-
íèòíîé èíäóêöèè ÿâëÿåòñÿ:
м
л тесла
м
м ⋅
=

⋅ НН
А
А
2 [] = = ( )BT .
Ïðè âðàùåíèè ðàìêè ñ òîêîì ñèëàìè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîâåðøà-
åòñÿ ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà:
=− α=− α α
dd sind m AM pB . (9.5.5)
Çíàê «—» âîçíèêàåò îòòîãî, ÷òî
ïðè ñîâåðøåíèè ïîëåì ïîëîæè-
òåëüíîé ðàáîòû óãîë
α óìåíüøà-
åòñÿ (ðèñ. 9.5.2), òî åñòü
α< d0 .
Âðàùåíèå (â äàííîì íàïðàâëå-
íèè) ñîïðîâîæäàåòñÿ óìåíüøåíè-
åì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ðàìêè.
Ðàáîòà ðàâíà èçìåíåíèþ ïîòåí-
öèàëüíîé ýíåðãèè W ðàìêè, âçÿ-
òîé ñ îáðàòíûì çíàêîì:
=−
ddAW . (9.5.6)
Òîãäà
=αα
dsind m WpB . (9.5.7)
Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì
=− α+
cos const m WpB . (9.5.8.)
Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî
=
const 0 , òî
() =− α=− ⋅

cos mm WpB pB . (9.5.9)
Òàêèì îáðàçîì, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàìêè ìàêñèìàëüíà ïðè
àíòèïàðàëëåëüíîé îðèåíòàöèè âåêòîðîâ
mp è 
B è ìèíèìàëüíà
ïðè ïàðàëëåëüíîé, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæåíèþ óñòîé÷èâîãî ðàâ-
íîâåñèÿ ðàìêè.
Èç ñðàâíåíèÿ ôîðìóë (9.5.3) è (9.1.31), (9.5.9) è (9.1.32) âèäíî,
÷òî èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ

B ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì íàïðÿæåííî-
ñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ 
E. Ýòè âåëè÷èíû — îñíîâíûå ñèëîâûå
Ðèñ. 9.5.2. Âðàùåíèå êîíòóðà ñ òî-
êîì â ìàãíèòíîì ïîëå:
ïëîñêîñòü êîíòóðà ðàñïîëîæåíà ïåðïåíäè-
êóëÿðíî ïëîñêîñòè ðèñóíêà; íàïðàâëåíèå
âðàùåíèÿ óêàçàíî ñòðåëêîé ïðè óãëå α
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

279
õàðàêòåðèñòèêè ïîëåé. Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ r
H [ñì. ñî-
îòíîøåíèå (9.5.15)] ÿâëÿåòñÿ âñïîìîãàòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêîé è
ñîîòâåòñòâóåò âñïîìîãàòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêå ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ — èíäóêöèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
r
D.
Äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òàê æå êàê è äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî, ñïðà-
âåäëèâ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè: èíäóêöèÿ ðåçóëüòèðóþ-
ùåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîðîæäàåìîãî ñèñòåìîé èç íåñêîëüêèõ êîíòó-
ðîâ ñ òîêîì (èëè äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ), ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå
èíäóêöèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîðîæäàåìûõ êàæäûì êîíòóðîì ñ òîêîì
(èëè äâèæóùèìñÿ çàðÿäîì) â îòäåëüíîñòè:
=
=∑
rr
1 n
i
i
BB (9.5.10)
[ñðàâíèòå ñ (9.1.8)].
Ãðàôè÷åñêè ìàãíèòíîå ïîëå èçîáðàæàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ëèíèé
ìàãíèòíîé èíäóêöèè — êðèâûõ, êàñàòåëüíûå ê êîòîðûì â êàæäîé
òî÷êå ñîâïàäàþò ñ íàïðàâëåíèåì ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ïðè÷åì ãóñ-
òîòà ëèíèé (òî åñòü ÷èñëî ëèíèé ïðîíèçûâàþùèõ åäèíè÷íóþ ïåð-
ïåíäèêóëÿðíóþ èì ïëîùàäêó)
÷èñëåííî ðàâíà ìîäóëþ âåêòî-
ðà
r
B. Òàê êàê â ïðèðîäå íåò ìàã-
íèòíûõ çàðÿäîâ, òî ëèíèè ìàã-
íèòíîé èíäóêöèè çàìêíóòû (òî
åñòü ìàãíèòíîå ïîëå íå ÿâëÿåò-
ñÿ ïîòåíöèàëüíûì). Îíè íèãäå
íå íà÷èíàþòñÿ è íå çàêàí÷èâà-
þòñÿ (ñðàâíèòå ñ ëèíèÿìè íà-
ïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðàâ-
ëåíèÿ ëèíèé ìàãíèòíîé èíäóê-
öèè ïðèìåíÿåòñÿ ïðàâèëî ïðà-
âîãî âèíòà (áóðàâ÷èêà) èëè
ïðàâèëî îáõâàòà ïðàâîé ðóêè.
Ïóñòü ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïðîíèçûâàþò ìàëóþ ïëîùàä-
êó dS, â ïðåäåëàõ êîòîðîé ìàãíèòíîå ïîëå îäíîðîäíî (ðèñ. 9.5.3).
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
d(d)BS Φ= ⋅r
r (9.5.11)
íàçûâàåòñÿ ïîòîêîì âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè èëè ìàãíèòíûì
ïîòîêîì. Ìîäóëü ïñåâäîâåêòîðà
r
dS ðàâåí ïëîùàäè ðàññìàòðèâàå-
ìîé ïîâåðõíîñòè, à íàïðàâëåíèå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âíåø-
íåé íîðìàëè
r
n ê íåé. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëíîãî ïîòîêà ÷åðåç ïî-
âåðõíîñòü
S ïðîñóììèðóåì ýëåìåíòàðíûå ïîòîêè
Ðèñ. 9.5.3. Ê îïðåäåëåíèþ ìàãíèòíîãî
ïîòîêà
§ 9.5. Ìàãíèòîñòàòèêà

280
Φ= ⋅ ∫


d
S
BS . (9.5.12)
Äëÿ ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñïðà-
âåäëèâî
Φ= α
cos BS , (9.5.13)
ãäå
α — óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì âåêòîðà 
B è âíåøíåé íîðìàëè
êS. Åäèíèöåé èçìåðåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÿâëÿåòñÿ âåáåð (Âá),
1 Âá = 1 Òë•ì
2. Òàê êàê ìîäóëü âåêòîðà 
B ÷èñëåííî ðàâåí ãóñòî-
òå ëèíèé ìàãíèòíîé èíäóêöèè, òî ìàãíèòíûé ïîòîê ÷èñëåííî ðà-
âåí ÷èñëó ëèíèé, ïðîíèçûâàþùèõ äàííóþ ïîâåðõíîñòü. Ëèíèè ìàã-
íèòíîé èíäóêöèè çàìêíóòû, ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ìàãíèòíûé ïîòîê, ïðîíèçûâàþùèé çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü, ðàâåí
íóëþ(ò å î ð å ì à Ã à ó ñ ñ à):
Φ= = ∫


 d0
S
BS . (9.5.14)
Ââåäåì ïîíÿòèå íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ

H, êîòîðàÿ ñâÿ-
çàíà ñ ìàãíèòíîé èíäóêöèåé ñîîòíîøåíèåì
=µ µ  0 BH , (9.5.15)
ãäå
µ0 — ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, − µ=π⋅ 7
0 410 Ãí/ì; µ ∂

≤τ 9τΓ≥τ ∂

≤ψ≥τ
≤ ∂
≥ ∂

, ,

≤τ 9τχτ)≥:
=
= ∑



 1
d
n
i
i
L
Hl I . (9.5.16)
Íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà ïðè èíòåãðèðîâàíèè (óêàçàíî ñòðåë-
êîé) ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëó ïðàâîãî âèíòà. Ñîîòíîøåíèå (9.5.16) íî-
ñèò íàçâàíèå çàêîíà ïîëíîãî òîêà.
Ñîãëàñíî ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåííîìó Àìïåðîì çàêîíó,
íà ýëåìåíò äëèíû

dl ïðîâîäíèêà ñ òîêîì Iñî ñòîðîíû ìàãíèòíî-
ãî ïîëÿ èíäóêöèåé 
B äåéñòâóåò ñèëà — ñèëà Àìïåðà:
Ðèñ. 9.5.4. Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà
íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

281
[] =×r
rr
ddFIlB , (9.5.17)
ãäå âåêòîð r
dl íàïðàâëåí â ñòîðîíó òîêà;
â ñêàëÿðíîé ôîðìå:

dsindFIB l , (9.5.18)
ãäå
α — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r
dl è r
B.
Äëÿ ïðÿìîëèíåéíîãî ïðîâîäíèêà äëèíû l, ðàñïîëîæåííîãî â îä-
íîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, âûðàæåíèå (9.5.17) ïðèîáðåòàåò âèä:

sin FIBl . (9.5.19)
Íàïðàâëåíèå ñèëû Àìïåðà îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî ïðàâèëàì
âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (ñì. ïðèëîæåíèÿ) èëè ïî ïðàâèëó ëåâîé
ðóêè. Ñèëà Àìïåðà âûçûâàåò ïåðåìåùåíèå ïðîâîäíèêà, à ñëåäîâà-
òåëüíî, ñîâåðøàåò ðàáîòó.
Ïóñòü ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèò-
íîì ïîëå èíäóêöèåé r
B. Åñëè ïðîâîäíèê MN (ðèñ. 9.5.5) íå çàêðåïëåí
(íàïðèìåð, ñïîñîáåí ïåðåìåùàòüñÿ âäîëü çàìêíóòîé öåïè ABCD ñ ïîìî-
ùüþ ñêîëüçÿùèõ êîíòàêòîâ), òî äåéñòâóþùàÿ íà íåãî ñèëà Àìïåðà áóäåò
âûçûâàòü åãî ïåðåìåùåíèå â óêàçàííîì íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèè. Ïðè
ìàëîì ïåðåìåùåíèè ïðîâîäíèêà íà âåëè÷èíó dx ñîâåðøàåòñÿ ýëåìåíòàð-
íàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ðàáîòà:
=α= α=α=Φ d cos d cos d cos d d
A AF xIBl xIB SI, (9.5.20)
ãäå
α — óãîë ìåæäó ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëüþ r
n ê êîíòóðó è âåêòîðîì ìàã-
íèòíîé èíäóêöèè r
B. Òàêîé æå óãîë îáðàçóåò ñèëà r
F ñ íàïðàâëåíèåì ïåðå-
ìåùåíèÿ; óãîë ìåæäó âåêòîðîì r
B è ïðîâîäíèêîì MN ðàâåí 90°, ïîýòîìó
=
AFIBl; = ddSlx — ïðèðàùåíèå ïëîùàäè êîíòóðà; Φ= α dcosdBS —
ýëåìåíòàðíûé ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ïëîùàäêó
dS .
Ðèñ. 9.5.5. Êîíòóð ñ ïåðåìåùàþùåéñÿ ïåðåìû÷êîé â ìàãíèòíîì ïîëå
§ 9.5. Ìàãíèòîñòàòèêà

282
Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ñèëàìè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ïðè ïåðåìåùåíèè ïðîâîäíèêà ñ ïîñòîÿííûì òîêîì, ðàâíà ïðîèç-
âåäåíèþ âåëè÷èíû òîêà íà ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ïîâåðõíîñòü,
«ïåðåñå÷åííóþ» ïðîâîäíèêîì ïðè åãî äâèæåíèè:

ddAI . (9.5.21)
Ôîðìóëà (9.5.21) ñïðàâåäëèâà äëÿ ïðîâîäíèêà ïðîèçâîëüíîé
ôîðìû, ñîâåðøàþùåãî ïîñòóïàòåëüíîå èëè âðàùàòåëüíîå äâèæå-
íèå â îäíîðîäíîì ëèáî íåîäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå.
Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ïîëåì ïðè êîíå÷íîì ïåðåìåùåíèè ïðî-
âîäíèêà (ïðè
=
const I ),
, AI=Φ (9.5.22)
ãäå Φ — ïîòîê, ïåðåñå÷åííûé ïðîâîäíèêîì ïðè åãî äâèæåíèè.
Èç ñîîòíîøåíèÿ (9.5.17) ïîëó÷àåì, ÷òî íà çàðÿä q, äâèæóùèé-
ñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå èíäóêöèåé
r
B ñî ñêîðîñòüþ vr, äåéñòâóåò ñèëà
Ëîðåíöà:
[] Л , FqvB=× rr
r (9.5.23)
èëè â ñêàëÿðíîé ôîðìå
sin FqvB=α , (9.5.24)
ãäå
α — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè vr è r
B.
Êàê è íàïðàâëåíèå ñèëû Àìïåðà, íàïðàâëåíèå ñèëû Ëîðåíöà,
äåéñòâóþùåé íà ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä, îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó
âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èëè ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè. Äëÿ îòðèöà-
òåëüíîãî çàðÿäà íàïðàâëåíèå ñèëû Ëîðåíöà ïðîòèâîïîëîæíî. Ñèëà
Ëîðåíöà ïåðïåíäèêóëÿðíà ñêîðîñòè, ïîýòîìó îíà èçìåíÿåò òîëü-
êî íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ, íî íå çíà÷åíèå ñêîðîñòè. Åñëè ìîäóëü
ñêîðîñòè îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, òî îòñóòñòâóåò èçìåíåíèå êèíåòè-
÷åñêîé ýíåðãèè çàðÿæåííîé ÷àñòèöû. Òàêèì îáðàçîì, ñèëà Ëîðåí-
öà íå ñîâåðøàåò ðàáîòó. Â çàâèñèìîñòè îò óãëà
α ìåæäó âåêòîðàìè
vr è r
B, çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå ëèáî ïî
îêðóæíîñòè (
α=π
/2 ), ëèáî ïî ñïèðàëè ( <α<π 0 , α≠π
/2 ). Ïðè
ýòîì ÷àñòèöà, âðàùàÿñü âîêðóã ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîé èíäóê-
öèè, äðåéôóåò âäîëü (
α<π
/2 ) èëè ïðîòèâ ( α>π
/2 ) ñèëîâûõ ëè-
íèé.
Îïðåäåëèì ÷àñòîòó âðàùåíèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â ìàãíèò-
íîì ïîëå, òàê íàçûâàåìóþ öèêëîòðîííóþ ÷àñòîòó. Ñèëà, âûçûâà-
þùàÿ äâèæåíèå ïî îêðóæíîñòè, ÿâëÿåòñÿ öåíòðîñòðåìèòåëüíîé,
ïîýòîìó
2v
qvB m
R = , (9.5.25)Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

283
ãäå R — ðàäèóñ îêðóæíîñòè, ïî êîòîðîé ïðîèñõîäèò âðàùåíèå;
ëèíåéíàÿ v è óãëîâàÿ
ω ñêîðîñòè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì . vR=ω
Òîãäà öèêëîòðîííàÿ ÷àñòîòà ðàâíà
ω=q
B
m . (9.5.26)
Îòíîøåíèå
q
m íàçûâàåòñÿ óäåëüíûì çàðÿäîì ÷àñòèöû. Êàê âèä-
íî èç ôîðìóëû (9.5.26), öèêëîòðîííàÿ ÷àñòîòà íå çàâèñèò îò ñêî-
ðîñòè è ðàäèóñà òðàåêòîðèè. Ýòà îñîáåííîñòü èñïîëüçóåòñÿ â îä-
íîì èç òèïîâ óñêîðèòåëåé çàðÿæåííûõ ÷àñòèö — öèêëîòðîíàõ.
Ìàãíèòíîå ïîëå ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Ñîãëàñíî çàêîíó Áèî—Ñà-
âàðà—Ëàïëàñà
1, èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýëåìåí-
òîì ïðîâîäíèêà äëèíîé
dl , ïî êîòîðîìó òå÷åò òîê I, ðàâíà
[] µµ
×
=⋅
πr
r0
3 d
d
4Ilr
B
r , (9.5.27)
ãäå
r
dl — âåêòîð, ìîäóëü êîòîðî-
ãî ðàâåí ýëåìåíòó äëèíû ïðîâîä-
íèêà, à íàïðàâëåíèå ñîâïàäàåò
ñ íàïðàâëåíèåì òîêà;
r
r — âåêòîð,
ïðîâåäåííûé îò ýëåìåíòà òîêà â òó
òî÷êó, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ èí-
äóêöèÿ
r
dB (ðèñ. 9.5.6); r — ìî-
äóëü ýòîãî âåêòîðà.
Òîãäà ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäà-
âàåìîå ïðîâîäíèêîì ïðîèçâîëü-
íîé ôîðìû äëèíû
, l ìîæåò áûòü
âû÷èñëåíî ïî ïðèíöèïó ñóïåðïî-
çèöèè êàê âåêòîðíàÿ ñóììà âñåõ
ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ êàæäûì ýëå-
ìåíòîì äàííîãî ïðîâîäíèêà:
[] µµ
×
=
π

r
r
0
3 d
4
L
I
lr
B
r . (9.5.28)
 íåêîòîðûõ äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ äëÿ ðàñ÷åòà ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ çàêîíîì Áèî—Ñàâàðà—Ëàïëàñà
â ñêàëÿðíîé ôîðìå:
1 Ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ýòîãî çàêîíà áûëè ñîáðàíû
ôðàíöóçñêèìè ôèçèêàìè Æàíîì Áàòèñòîì Áèî (1774—1862) è Ôåëèêñîì Ñàâàðîì
(1791—1841) â 1820 ãîäó è îáîáùåíû Ïüåðîì Ëàïëàñîì (1749—1827).
Ðèñ. 9.5.6. Îïðåäåëåíèå èíäóêöèè
ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷êå À ñ ïîìî-
ùüþ çàêîíà Áèî—Ñàâàðà—Ëàïëàñà
§ 9.5. Ìàãíèòîñòàòèêà

284
µµ
α
=
π
∫ 0
2 sin
d
4
L
I
Bl
r , (9.5.29)
ãäå
α — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r
dl è r
r (ðèñ. 9.5.6). Èñïîëüçóÿ
ôîðìóëó (9.5.29), ìîæíî îïðåäåëèòü èíäóêöèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ïðîâîäíèêîâ ñ òîêîì ðàçëè÷íîé ôîðìû â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ
ïðîñòðàíñòâà.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà âû÷èñëèì èíäóêöèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â öåíòðå
êðóãîâîãî òîêà. Âñå ýëåìåíòû îêðóæíîñòè r
dlïåðïåíäèêóëÿðíû ðàäèóñ-
âåêòîðó r
r, ïîýòîìó α= sin 1 ; ðàññòîÿíèå îò âñåõ ýëåìåíòîâ ïðîâîäíèêà äî
òî÷êè, â êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ ïîëå îäèíàêîâî è ðàâíî ðàäèóñó îêðóæíî-
ñòè êîíòóðà,
= rR ; äëèíà êîíòóðà =π2. LR Òîãäà
22
00 0
22
00 d
d
42
4RR Il I I
Bl
R
RR ππ µµ µµ µµ
==
π
π = ∫∫ .
Òàêèì îáðàçîì, èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â öåíòðå êðóãîâîãî
òîêà ðàâíà
µµ
=0
2I
B
R , (9.5.30)
ãäå
R — ðàäèóñ îêðóæíîñòè êîíòóðà.
Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà îñè êðóãîâîãî òîêà íà ðàññòîÿ-
íèè
a îò ïëîñêîñòè êîíòóðà ðàäèóñîì R:
()
µµ
=
+ 2
0
3/2
22
2IR
B
Ra
. (9.5.31)
Èíäóêöèÿ ïðÿìîëèíåéíîãî áåñêîíå÷íî äëèííîãî ïðîâîäíèêà
ñ òîêîì íà ðàññòîÿíèè d îò íåãî:
µµ
=
π0
2I
B
d . (9.5.32)
Èç ñîîòíîøåíèé (9.5.32) è (9.5.19) ñëåäóåò, ÷òî ñèëà âçàèìî-
äåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ïðîâîäíèêàìè äëèíîé l
ðàâíà
µµ
=
π012
12
2II l
F
d , (9.5.33)
ãäå
1I è 2I — òîêè, ïðîòåêàþùèå ïî ïåðâîìó è âòîðîìó ïðîâîä-
íèêàì ñîîòâåòñòâåííî;
l — ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè.Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

285
Èç ñîîòíîøåíèÿ (9.5.16) ïîëó÷àåì, ÷òî èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî
ïîëÿ íà îñè äëèííîãî ñîëåíîèäà 1, òî åñòü ñîëåíîèäà, äëèíà êîòîðî-
ãî íàìíîãî áîëüøå äèàìåòðà (

ld ), ñîñòàâëÿåò:
=µµ =µµ 00 N
BI In , (9.5.34)
ãäå
N — ÷èñëî âèòêîâ ïðîâîäà ñîëåíîèäà; l — äëèíà ñîëåíîèäà;
n — ÷èñëî âèòêîâ, ïðèõîäÿùèõñÿ íà åäèíèöó äëèíû ñîëåíîèäà.
Ïîëå, ñîçäàâàåìîå îäíîðîäíûì áåñêîíå÷íî äëèííûì ñîëåíîè-
äîì, îäíîðîäíî è ñîñðåäîòî÷åíî âíóòðè íåãî, ñíàðóæè íàïðÿæåí-
íîñòü ðàâíà íóëþ (ñðàâíèòå ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ïëîñêîãî êîí-
äåíñàòîðà).
Ðèñ. 9.5.7. Ìàãíèòíîå ïîëå ñîëåíîèäàÐèñ. 9.5.8. Ê ôîðìóëå èíäóêöèè
ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîëåíîèäà êîíå÷íîé
äëèíû
 ñëó÷àå ñîëåíîèäà êîíå÷íîé äëèíû ïîëå ñíàðóæè îòëè÷íî îò
íóëÿ, íî íè÷òîæíî ìàëî (ðèñ. 9.5.7). Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà
îñè ñîëåíîèäà êîíå÷íîé äëèíû ðàâíà
() 0
21 cos cos
2In
Bµµ
= ϕ − ϕ , (9.5.35)
ãäå ϕ
1 è ϕ 2 — óãëû ìåæäó îñüþ ñîëåíîèäà è ðàäèóñ-âåêòîðîì,
ïðîâåäåííûì èç ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè ê êîíöàì ñîëåíîèäà
(ðèñ. 9.5.8).
§ 9.6. ÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÒÅË
Ëþáûå âåùåñòâà, ïîìåùåííûå â ìàãíèòíîå ïîëå, èçìåíÿþò ñâîå
ñîñòîÿíèå è ñàìè ÿâëÿþòñÿ èñòî÷íèêàìè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðè
ðàññìîòðåíèè ìàãíèòíûõ ñâîéñòâ âñå âåùåñòâà ïðèíÿòî íàçûâàòü
1 Ñîëåíîèäîì íàçûâàåòñÿ ñâåðíóòûé â ñïèðàëü èçîëèðîâàííûé ïðîâîäíèê, ïî
êîòîðîìó òå÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê.
§ 9.6. Ìàãíèòíûå ñâîéñòâà òåë

286
ì à ã í å ò è ê à ì è. Ìàãíèòíûå ñâîéñòâà âåùåñòâ îáóñëîâëåíû èõ
ñòðîåíèåì. Ðàññìîòðèì ìàãíèòíûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðîíîâ,
ÿäåð, àòîìîâ è ìîëåêóë íà îñíîâå êëàññè÷åñêèõ ïîíÿòèé è ïðåä-
ñòàâëåíèé
1.
Ïðè äâèæåíèè ýëåêòðîíà ñî ñêîðîñòüþ v ïî êðóãîâîé îðáèòå
(ðèñ. 9.6.1) ÷åðåç ëþáîå ñå÷åíèå, ðàñïîëîæåííîå ïåðïåíäèêóëÿð-
íî äâèæåíèþ ýëåêòðîíà, çà åäèíèöó âðåìåíè ïåðåíîñèòñÿ ýëåêò-
ðè÷åñêèé çàðÿä
ν e, ãäå e — çàðÿä ýëåêòðîíà; ν — ÷àñòîòà îðáè-
òàëüíîãî âðàùåíèÿ ýëåêòðîíà. Òàêèì îáðàçîì, îðáèòàëüíîå
âðàùåíèå ýëåêòðîíà ñîçäàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê ñèëîé:
=ν. Ie (9.6.1)
Ïîñêîëüêó çà íàïðàâëåíèå òîêà ïðèíÿòî äâèæåíèå ïîëîæèòåëü-
íûõ çàðÿäîâ, òî íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà è ýëåê-
òðè÷åñêîãî òîêà, ñîçäàâàåìîãî èì, ïðîòèâîïîëîæíû (ðèñ. 9.6.1).
Ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà â ýòîì ñëó÷àå ðàâåí:
орб ==νπ 2
m pISer , (9.6.2)
ãäå
=π 2 Sr — ïëîùàäü êðóãîâîé îðáèòû ýëåêòðîíà.
×àñòîòà ν âðàùåíèÿ ýëåêòðîíà ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç åãî
ëèíåéíóþ ñêîðîñòü v ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ν=
π 2v
r . (9.6.3)
Òîãäà ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà ñîñòàâèò:
орб =
2 m evr
p , (9.6.4)
èëè â âåêòîðíîé ôîðìå:
[] орб =× rrr
2 m e
pvr , (9.6.5)
Ìîìåíò
орб rmp íàçûâàåòñÿ îðáèòàëüíûì ìàãíèòíûì ìîìåíòîì,
òàê êàê âûçâàí äâèæåíèåì ýëåêòðîíà ïî îðáèòå. Íàïðàâëåíèå âåê-
òîðà
орб rmp îáðàçóåò ñ íàïðàâëåíèåì òîêà ïðàâîâèíòîâóþ ñèñòåìó.
Ïîìèìî îðáèòàëüíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà âðàùàþùèéñÿ ýëåê-
òðîí îáëàäàåò îðáèòàëüíûì ìåõàíè÷åñêèì ìîìåíòîì èìïóëüñà:
орб = e Lmvr , (9.6.6)
1 Íà ñàìîì äåëå èñ÷åðïûâàþùåå îáúÿñíåíèå ìàãíåòèçìà ìîæåò áûòü ïîëó÷å-
íî ëèøü ñ ïîìîùüþ êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Íàïðèìåð, ê ýëåêòðîíó íåïðèìåíèìî
ïîíÿòèå îðáèòû. Îäíàêî êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü áîëåå íàãëÿä-
íîå è âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î ìàãíåòèçìå.
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

287
èëè â âåêòîðíîé ôîðìå:
[] орб =× r
rr e Lmrv , (9.6.7)
ãäå
em — ìàññà ýëåêòðîíà.
Ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò îáðàçó-
åò ïðàâîâèíòîâóþ ñèñòåìó ñ íà-
ïðàâëåíèåì ñêîðîñòè âðàùåíèÿ,
ïîýòîìó íàïðàâëåíèå
орб
r
L ïðîòè-
âîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ
орб rmp
(ðèñ. 9.6.1).
Îòíîøåíèå ìàãíèòíîãî ìî-
ìåíòà ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû ê åå
ìåõàíè÷åñêîìó ìîìåíòó íàçûâàåò-
ñÿ ãèðîìàãíèòíûì èëè ìàãíèòî-
ìåõàíè÷åñêèì îòíîøåíèåì. Äëÿ
ýëåêòðîíà ýòà âåëè÷èíà ðàâíà:

орб
орб
орб ==−
2 m
ep
e
G
Lm . (9.6.8)
Çíàê «–» óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âåêòîðû
орб rmp è орб
r
L èìåþò
ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèå.
Ýëåêòðîí îáëàäàåò ñîáñòâåííûìè ìàãíèòíûì è ìåõàíè÷åñêèì
ìîìåíòàìè. Ñîáñòâåííûé ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò ýëåêòðîíà íàçû-
âàåòñÿ ñïèíîì
r
sL ; ñîáñòâåííûé ìàãíèòíûé ìîìåíò — ñïèíîâûì ìàã-
íèòíûì ìîìåíòîì rmsp . Ñïèíîâîå ãèðîìàãíèòíîå îòíîøåíèå â äâà
ðàçà áîëüøå îðáèòàëüíîãî:
==− ms
s
sP
e
G
Lm . (9.6.9)
Ïåðâîíà÷àëüíî ñïèí
1 ñâÿçûâàëè ñ âðàùåíèåì ýëåêòðîíà âîê-
ðóã ñâîåé îñè. Îäíàêî Áîð ïîêàçàë, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñêîðîñòü
âðàùåíèÿ ýëåêòðîííîãî îáëàêà íà åãî ïåðèôåðèè äîëæíà ïðåâû-
øàòü ñêîðîñòü ñâåòà. Ñîãëàñíî ñîâðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì, ñïèí
è ñïèíîâûé ìàãíèòíûé ìîìåíò ÿâëÿþòñÿ òàêèìè æå íåîòúåìëå-
ìûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ýëåêòðîíà, êàê åãî çàðÿä è ìàññà. Ñïè-
íîì îáëàäàþò íå òîëüêî ýëåêòðîíû, íî è äðóãèå ýëåìåíòàðíûå
÷àñòèöû — ïðîòîíû, íåéòðîíû, íåéòðèíî è äð.
Ñïèí ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö èçìåðÿåòñÿ â åäèíèöàõ
=
π h
2h , ãäå
h — ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà (h = 6,63•10 –34 Äæ•ñ):
1 Îò àíãë. spin — âåðòåòüñÿ, âðàùàòüñÿ.
Ðèñ. 9.6.1. Äâèæåíèå ýëåêòðîíà ïî
îðáèòå:
r — ðàäèóñ îðáèòû; v — ñêîðîñòü ýëåêòðî-
íà; I — ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ñîçäàâàåìûé
äâèæåíèåì ýëåêòðîíà;
орб mpr — ìàãíèòíûé
ìîìåíò ýëåêòðîíà; орбLr — ìåõàíè÷åñêèé
ìîìåíò
§ 9.6. Ìàãíèòíûå ñâîéñòâà òåë

288
=sLJ , (9.6.10)
ãäå J — õàðàêòåðíîå äëÿ êàæäîãî ñîðòà ÷àñòèö öåëîå (â òîì ÷èñëå
íóëåâîå) èëè ïîëóöåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå ñïèíî-
âûì êâàíòîâûì ÷èñëîì.
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ýëåêòðîíîâ
=
1/2 J . Òîãäà ñîáñòâåííûé ìàã-
íèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (9.6.9), ðà-
âåí:
=− =−
2 ms s
e ee
PL
mm . (9.6.11)
Âåëè÷èíà
Б м − µ= = ⋅ ⋅ 23 2 0, 927 10 A
2
e
e
m (9.6.12)
íàçûâàåòñÿ ìàãíåòîíîì Áîðà è ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííîé åäèíèöåé
èçìåðåíèÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.
ßäðî àòîìà òàêæå èìååò ìàãíèòíûé ìîìåíò, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ
âåêòîðíîé ñóììîé ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ âõîäÿùèõ â åãî ñîñòàâ
ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö — ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ. Ìàãíèòíûé ìî-
ìåíò ÿäåð èçìåðÿåòñÿ â ÿäåðíûõ ìàãíåòîíàõ:
Яµ=
2
p
e
m
, (9.6.13)
ãäå
pm — ìàññà ïðîòîíà.
Ìàãíèòíûé ìîìåíò àòîìà ðàâåí âåêòîðíîé ñóììå ìàãíèòíûõ
ìîìåíòîâ ÿäðà è ýëåêòðîííîé îáîëî÷êè, íî òàê êàê
=1840p
em
m , òî
ÿäåðíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò âñåãäà âî ìíîãî ðàç ìåíüøå ýëåêò-
ðîííîãî, â ñâÿçè ñ ÷åì ìàãíèòíûé ìîìåíò àòîìà ïðèáëèçèòåëüíî
ðàâåí âåêòîðíîé ñóììå ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ âõîäÿùèõ â åãî ñî-
ñòàâ ýëåêòðîíîâ:
ат эл
= ≈∑

1 Z
mm
i
PP , (9.6.14)
ãäå Z — êîëè÷åñòâî ýëåêòðîíîâ â àòîìå;
эл =+   орб mm ms PP P — ïîë-
íûé ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà.
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ïàóëè, ñïèíû ñïàðåííûõ ýëåêòðîíîâ âñåã-
äà îðèåíòèðîâàíû ïðîòèâîïîëîæíî, ïîýòîìó ñóììà ìàãíèòíûõ
ìîìåíòîâ ñïàðåííûõ ýëåêòðîíîâ ðàâíà íóëþ. Çàïîëíåííûå ýëåêò-
ðîííûå îáîëî÷êè òàêæå íå èìåþò ìàãíèòíîãî ìîìåíòà.
Ëþáîå âåùåñòâî â ìàãíèòíîì ïîëå ïðèîáðåòàåò ìàãíèòíûé
ìîìåíò (íàìàãíè÷èâàåòñÿ). Êîëè÷åñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêîé ýòî-Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

289
ãî ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ íàìàãíè÷åííîñòü — âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, ÷èñ-
ëåííî ðàâíàÿ ñóììàðíîìó ìàãíèòíîìó ìîìåíòó åäèíèöû îáúåìà
âåùåñòâà:
=
= ∑
rr
1
1 n
mi
i
JP
V , (9.6.15)
ãäå
r
miP — ìàãíèòíûé ìîìåíò ÷àñòèö (àòîìîâ èëè ìîëåêóë), èç
êîòîðûõ ñîñòîèò âåùåñòâî; n — êîëè÷åñòâî ýòèõ ÷àñòèö â îáúåìå V.
Åäèíèöåé íàìàãíè÷åííîñòè ÿâëÿåòñÿ àìïåð íà ìåòð, [J] = À/ì.
Äëÿ áîëüøèíñòâà âåùåñòâ (íåôåððîìàãíèòíûõ) íàìàãíè÷åí-
íîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ:
=χ rr
, JH (9.6.16)
ãäå
χ , ∂
ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ.  îòëè÷èå îò äèýëåêòðè÷åñêîé
âîñïðèèì÷èâîñòè (ñì. § 9.3), ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü ìîæåò áûòü
êàê ïîëîæèòåëüíîé (âåêòîð
r
J íàïðàâëåí âäîëü âåêòîðà r
H), òàê è îò-
ðèöàòåëüíîé ( r
Jíàïðàâëåí ïðîòèâ r
H).
Íàìàãíè÷åííîå âåùåñòâî ñîçäàåò ñâîå ñîáñòâåííîå ìàãíèòíîå
ïîëå. Ïîýòîìó ìàãíèòíîå ïîëå â ñðåäå îïðåäåëÿåòñÿ âíåøíèì ìàã-
íèòíûì ïîëåì è ñîáñòâåííûì ìàãíèòíûì ïîëåì ñðåäû:

=+=µ+µχ=µµ rr r r r r 0000 , BB B H H H (9.6.17)
ãäå
=µ rr00BH — èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â âàêóóìå; ′
=µ χ rr 0 BH —
ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ñðåäîé;
=µµ rr 0 BH — ðåçóëüòèðóþùåå
ìàãíèòíîå ïîëå â ñðåäå.
Èç ñîîòíîøåíèÿ (9.6.17) ñëåäóåò ðàâåíñòâî:
µ=+ χ 1 . (9.6.18)
Òàêèì îáðàçîì, îòíîñèòåëüíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðå-
äû
µ , ∂

µ>1 , χ>
0 ) èëè ìåíüøå (åñëè µ<1 , χ<
0 ) ìàãíèòíîãî
ïîëÿ â âàêóóìå.
Âåëè÷èíû
µ χ ∂
÷τ ,
÷
µ χ, ∂
, τ
äèàìàãíåòèêàì îòíîñÿòñÿ âåùåñòâà, ìîëåêóëû èëè àòîìû êî-
òîðûõ íå èìåþò ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà. Åñëè òàêîå
âåùåñòâî ââåñòè â ìàãíèòíîå ïîëå, òî â ýëåêòðîííîé îáîëî÷êå àòî-
ìîâ â ñèëó çàêîíîâ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè âîçíèêíóò èíäó-
öèðîâàííûå êðóãîâûå òîêè, äîáàâî÷íûå ê óæå ñóùåñòâóþùèì. Ýòè § 9.6. Ìàãíèòíûå ñâîéñòâà òåë

290
ñîçäàþò èíäóöèðîâàííûé ìàãíèòíûé ìîìåíò, íàïðàâëåíèå êîòîðî-
ãî, ñîãëàñíî ïðàâèëó Ëåíöà, ïðîòèâîïîëîæíî âíåøíåìó ìàãíèòíîìó
ïîëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, âíóòðè äèàìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà âíåøíåå ìàã-
íèòíîå ïîëå áóäåò óìåíüøàòüñÿ.
Ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü äèàìàãíåòèêîâ îòðèöàòåëüíà, ìàëà
ïî ìîäóëþ (
χ<
0 , χ || 1 ) è ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò òåìïåðà-
òóðû, à îòíîñèòåëüíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìåíüøå åäèíè-
öû (
µ<1 ). Äèàìàãíåòèçì ïðèñóù âñåì áåç èñêëþ÷åíèÿ âåùåñòâàì,
íî â ïàðà- è ôåððîìàãíåòèêàõ (ñì. íèæå) îí ïåðåêðûâàåòñÿ áîëåå
ñèëüíûìè ýôôåêòàìè ïàðà- è ôåððîìàãíåòèçìà. Ê ÷èñòûì äèà-
ìàãíåòèêàì îòíîñÿòñÿ èíåðòíûå ãàçû, Ag, Au, Cu, Zn, Se, P, C,
âîäà, áåëêè, óãëåâîäû.
Ïàðàìàãíåòèêàìè ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâà, ìîëåêóëû (èëè àòîìû)
êîòîðûõ â îòñóòñòâèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ èìåþò îòëè÷íûé
îò íóëÿ ìàãíèòíûé ìîìåíò. Ýòî âîçìîæíî, åñëè àòîìû âåùåñòâà
èìåþò íåñïàðåííûå ýëåêòðîíû. Ê ïàðàìàãíåòèêàì îòíîñÿòñÿ Cr,
Mn, Sn, Al, Pt, Na, K, O, N, NO, âîçäóõ.
 îòñóòñòâèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìàãíèòíûå ìîìåíòû
ïàðàìàãíåòèêîâ îðèåíòèðîâàííû õàîòè÷íî (ðèñ. 9.6.2, à) è ñóììàð-
íûé ìàãíèòíûé ìîìåíò âåùåñòâà ðàâåí íóëþ. Âî âíåøíåì ïîëå
ìàãíèòíûå ìîìåíòû óñòàíàâëèâàþòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ïîëÿ
(ðèñ. 9.6.2, á) è òåì ñàìûì óñèëèâàþò åãî.
Ðèñ. 9.6.2. Ïàðàìàãíåòèêè â îòñóòñòâèè (à) è â ïðèñóòñòâèè (á) âíåøíåãî ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ:
0B — ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ âíåøíåãî ïîëÿ; mi
ip∑ — ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò âåùåñòâà
Ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü ïàðàìàãíåòèêîâ ïîëîæèòåëüíà, íî
î÷åíü ìàëà (
<χ
01 ), ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü áîëüøå åäèíèöû
(
µ>1 ). Îðèåíòèðóþùåìó äåéñòâèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðåïÿòñòâóåò
òåïëîâîå äâèæåíèå ìîëåêóë ïàðàìàãíåòèêà. Ïîýòîìó ñ ïîâûøåíè-
åì òåìïåðàòóðû ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü ïàðàìàãíåòèêîâ óìåíü-
øàåòñÿ.
Ê ôåððîìàãíåòèêàì îòíîñÿòñÿ âåùåñòâà, ðàçäåëåííûå íà ìàëûå
îáëàñòè (äîìåíû), âíóòðè êîòîðûõ ìàãíèòíûå ìîìåíòû àòîìîâ èëè
ìîëåêóë ýòîãî âåùåñòâà ñàìîïðîèçâîëüíî âûñòðîåíû ïàðàëëåëüíîÃëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

291
äðóã äðóãó. Ôåððîìàãíåòèçì èìååò êâàíòîâîìåõàíè÷åñêóþ ïðèðî-
äó. Â îòñóòñòâèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ äîìåíû îðèåíòèðîâà-
íû ïî îòíîøåíèþ äðóã ê äðóãó áåñïîðÿäî÷íûì îáðàçîì, òàê ÷òî
ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò âåùåñòâà ðàâåí íóëþ. Ïðè íàëîæå-
íèè äàæå îòíîñèòåëüíî ìàëîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ãðàíèöû ìåæäó
äîìåíàìè ñìåùàþòñÿ òàê, ÷òî çà ñ÷åò îñòàëüíûõ äîìåíîâ óâåëè÷è-
âàþòñÿ ðàçìåðû òåõ èç íèõ, ìàãíèòíûå ìîìåíòû êîòîðûõ íàïðàâ-
ëåíû âäîëü ïîëÿ. Ïðè ýòîì ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò âåùå-
ñòâà óâåëè÷èâàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà âñå ìàãíèòíûå ìîìåíòû, åãî
ñîñòàâëÿþùèå, íå âûñòðîÿòñÿ âäîëü ïîëÿ (ÿâëåíèå ìàãíèòíîãî íà-
ñûùåíèÿ). Ôåððîìàãíåòèêè ñïîñîáíû ñîõðàíÿòü íàìàãíè÷åííîñòü
äàæå ïîñëå ñíÿòèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îíà ñíèæàåòñÿ ñ ðîñòîì òåì-
ïåðàòóðû è ïðè íåêîòîðîì åå çíà÷åíèè — òåìïåðàòóðå Êþðè — ñòà-
íîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ.
Ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ôåð-
ðîìàãíåòèêîâ î÷åíü âåëèêè (
χ θ, µ σ≥ , ÷ ∂
, µ è χ ïîñòîÿííû, ñèëüíî çàâèñÿò
îò âåëè÷èíû íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ê ôåððîìàãíåòèêàì îòíîñÿòñÿ Fe, Co, Ni è ìíîãèå èõ ñîåäèíå-
íèÿ. Ôåððîìàãíåòèêè øèðîêî ïðèìåíÿþò â ìåäèöèíå, íàïðèìåð,
äëÿ óäàëåíèÿ ìàãíèòíûõ ïûëèíîê è îïèëîê èç ãëàç è ðàí; â õèðóð-
ãèè äëÿ ñîåäèíåíèÿ êîíöîâ ïðîîïåðèðîâàííîé êèøêè (äëÿ ýòîãî
èñïîëüçóþò êîëüöà èç ñèëèêîíîâîé ðåçèíû ñ âëîæåííûìè ñòå-
ðèëüíûìè ôåððîìàãíåòèêàìè; êîãäà ÷åðåç íåñêîëüêî äíåé øîâ
ñðàñòàåòñÿ, êîëüöà âûâîäÿòñÿ åñòåñòâåííûì ïóòåì).
§ 9.7. ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÀß ÈÍÄÓÊÖÈß
Ýëåêòðè÷åñêèé òîê ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
 ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò âîïðîñ, ìîæåò ëè ìàãíèòíîå ïîëå ïîðî-
äèòü ýëåêòðè÷åñêèé òîê?  1831 ãîäó Ì. Ôàðàäååì áûëî ïîêàçàíî,
÷òî åñëè ïðîâîäÿùèé êîíòóð ïîìåñòèòü â ïåðåìåííîå ìàãíèòíîå
ïîëå (íàïðèìåð ïåðåìåùàòü ïîñòîÿííûé ìàãíèò îòíîñèòåëüíî êîí-
òóðà), òî â ïðîâîäíèêå âîçíèêàåò èíäóöèðîâàííîå ýëåêòðè÷åñêîå
ïîëå, êîòîðîå âûçûâàåò ïîÿâëåíèå ý ë å ê ò ð î ä â è æ ó ù å é ñ è ë û
èíäóêöèè 
i. Â ïðîâîäÿùåì çàìêíóòîì êîíòóðå ïðè ýòîì âîç-
íèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê, íàçûâàåìûé è í ä ó ê ö è î í í û ì ò î -
êîì
1. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèåé.
1 Ïåðåìåííîå ìàãíèòíîå ïîëå ïîðîæäàåò èíäóêöèîííûé òîê íå òîëüêî â ïðî-
âîäÿùèõ êîíòóðàõ, íî è â ëþáûõ ìàññèâíûõ òîêîïðîâîäÿùèõ òåëàõ. Âîçíèêàþùèå
ïðè ýòîì âèõðåâûå èíäóêöèîííûå òîêè íàçûâàþòñÿ òîêàìè Ôóêî. Èõ ïðîòåêàíèå
ñîïðîâîæäàåòñÿ âûäåëåíèåì çíà÷èòåëüíîãî êîëè÷åñòâà òåïëà. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî
ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ ïëàâëåíèÿ èëè íàãðåâàíèÿ òåë, ñ äðóãîé — ïðèâîäèòü
ê íåæåëàòåëüíîìó ïåðåãðåâó ìåòàëëè÷åñêèõ ÷àñòåé òðàíñôîðìàòîðîâ.
§ 9.7. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ

292
òîê åãî ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðîòèâîäåéñòâîâàë èçìåíåíèþ
ïåðâè÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà, êîòîðûé âûçâàë ýòîò èíäóêöèîííûé
òîê. Òàê, åñëè ïîñòîÿííûé ìàãíèò ïðèáëèæàòü ê çàìêíóòîé êàòóø-
êå, òî îí áóäåò îòòàëêèâàòüñÿ, à åñëè îòîäâèãàòü, òî — ïðèòÿãèâàòü-
ñÿ.
Ðàññìîòðèì ïðîâîäíèê, ñêîëüçÿùèé ïî çàìêíóòîé öåïè (ðèñ. 9.5.5).
Ïðè åãî ïåðåìåùåíèè íà ðàññòîÿíèå dx çà âðåìÿ dt â êîíòóðå âîçíèêàåò
ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà èíäóêöèè 
i. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ òîêîì, ðàâíà
=
dd i AI tE . (9.7.1)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè ïåðåìåùåíèè ïðîâîäíèêà ñ ïîñòîÿííûì òî-
êîì íàä ñèëàìè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà, ðàâíàÿ ïðîèçâåäå-
íèþ âåëè÷èíû òîêà íà ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ïîâåðõíîñòü, «ïåðåñå÷åí-
íóþ» ïðîâîäíèêîì ïðè åãî äâèæåíèè:
=− Φ dd.AI(9.7.2)
Çíàê «–» ìàòåìàòè÷åñêè îòîáðàæàåò çàêîí Ëåíöà.
Ïðèðàâíÿâ ôîðìóëû (9.7.1) è (9.5.21), ïîëó÷àåì ç à ê î í Ô à-
ðàäåÿ:
Φ
=−d
d i t E, (9.7.3)
êîòîðûé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïðè ëþáîì
èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîíèçûâàþùåãî ïîâåðõíîñòü, îõâà-
òûâàåìóþ ïðîâîäÿùèì êîíòóðîì, â íåì âîçíèêàåò ÝÄÑ èíäóêöèè 
i,
ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ýòîãî ïîòîêà.
Ïî îïðåäåëåíèþ,
= ∫  ст d i
i El E — ýòî ðàáîòà «ñòîðîííèõ» ñèë
ïî ïåðåíîñó åäèíèöû çàðÿäà ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó. Òîãäà, ó÷èòû-
âàÿ, ÷òî
Φ=
BS , çàêîí Ôàðàäåÿ ïðèîáðåòàåò âèä:
ст d
d(d)
d
lS
El BS
t =− ⋅∫∫


 , (9.7.4)
ãäå S — ïîâåðõíîñòü, îõâàòûâàåìàÿ êîíòóðîì l. Ðàâåíñòâî (9.7.4) ÿâ-
ëÿåòñÿ èíòåãðàëüíîé ôîðìîé çàïèñè çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èí-
äóêöèè.
Åñëè êîíòóð, â êîòîðîì èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ, ñîñòîèò íå èç îä-
íîãî âèòêà, à èç N ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ âèòêîâ, òî åñòü
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîëåíîèä, 
i áóäåò ðàâíà ñóììå ÝÄÑ, èíäóöè-
ðóåìûõ â êàæäîì èç âèòêîâ:
==

Φ
=− =− Φ

 ∑∑11
d
d
dd NN
i
ii
ii
tt E . (9.7.5) Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

293
Âåëè÷èíà
=
Φ= Φ ∑ c
1 N
i
i (9.7.6)
íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ìàãíèòíûì ïîòîêîì. Åñëè ïîòîê, ïðîíèçûâàþ-
ùèé êàæäûé èç âèòêîâ, îäèíàêîâ, òî
Φ= Φc . N (9.7.7)
Ýëåêòðè÷åñêèé òîê I, òåêóùèé â ëþáîì êîíòóðå, ñîçäàåò ïðî-
íèçûâàþùèé ýòîò êîíòóð ìàãíèòíûé ïîòîê Φ; ïðè èçìåíåíèÿõ I
èçìåíÿåòñÿ òàêæå è Φ, ñëåäîâàòåëüíî, â êîíòóðå áóäåò èíäóöèðî-
âàòüñÿ ÝÄÑ. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ñàìîèíäóêöèåé.
 ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Áèî—Ñàâàðà—Ëàïëàñà, ìàãíèòíàÿ
èíäóêöèÿ Â ïðîïîðöèîíàëüíà òîêó, âûçâàâøåìó ïîëå. Îòñþäà ñëå-
äóåò, ÷òî òîê â êîíòóðå I è ñîçäàâàåìûé èì ïîëíûé ìàãíèòíûé
ïîòîê Φ ÷åðåç êîíòóð ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíû:
Φ=
. LI (9.7.8)
Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè L ìåæäó òîêîì è ïîëíûì
ìàãíèòíûì ïîòîêîì íàçûâàåòñÿ èíäóêòèâíîñòüþ ïðîâîäíèêà. Â ÑÈ
èíäóêòèâíîñòü èçìåðÿþò â ãåíðè (Ãí),
[]L = 1 Ãí = 1 Âá/ñ. Èí-
äóêòèâíîñòü çàâèñèò òîëüêî îò ãåîìåòðèè ïðîâîäíèêà è ìàãíèò-
íûõ ñâîéñòâ ñðåäû è íå çàâèñèò îò õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà ïðîâîä-
íèêà.
Ïðè èçìåíåíèè òîêà â êîíòóðå âîçíèêàåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè 
,
ðàâíàÿ
() Φ

=− =− =− +

 c
d
ddd
dd ddLI
IL
LI
tt tt E . (9.7.9.)
Åñëè L ïðè èçìåíåíèè òîêà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé (â îòñóòñòâèå
ôåððîìàãíåòèêîâ), âûðàæåíèå äëÿ 
, ïðèíèìàåò âèä:
=−c d
dI
L
t E . (9.7.10)
Âû÷èñëèì èíäóêòèâíîñòü äëèííîãî ñîëåíîèäà.  ñîîòâåòñòâèè
ñ ôîðìóëàìè (9.7.7), (9.5.13) è (9.5.34) ìàãíèòíûé ïîòîê, ïðîíè-
çûâàþùèé ñîëåíîèä, ðàâåí
Φ= = µ µ =µ µ 2
00 , N
NBS N I S n IV
l
ãäå N — ÷èñëî âèòêîâ ñîëåíîèäà; S — ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷å-
íèÿ êàæäîãî âèòêà; ï — ÷èñëî âèòêîâ íà åäèíèöó äëèíû; l — äëèíà § 9.7. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ

294
íîèäà; =
VlS îáúåì ñîëåíîèäà. Èç âûðàæåíèÿ (9.7.8) ïîëó÷àåì èí-
äóêòèâíîñòü äëèííîãî ñîëåíîèäà:
=µ µ 2
0 LnV . (9.7.11)
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (9.7.11) åäèíèöåé èçìåðåíèÿ ìàãíèò-
íîé ïîñòîÿííîé ÿâëÿåòñÿ ãåíðè íà ìåòð [µ
0] = Ãí/ì.
Ïî ïðàâèëó Ëåíöà, äîïîëíèòåëüíûå òîêè, âîçíèêàþùèå â ïðî-
âîäíèêàõ âñëåäñòâèå ñàìîèíäóêöèè, âñåãäà íàïðàâëåíû òàê, ÷òîáû
âîñïðåïÿòñòâîâàòü èçìåíåíèþ òîêà, òåêóùåãî â öåïè. Ýòî ïðèâî-
äèò ê òîìó, ÷òî óñòàíîâëåíèå òîêà ïðè çàìûêàíèè öåïè è óáûâà-
íèå òîêà ïðè ðàçìûêàíèè öåïè ïðîèñõîäèò íå ìãíîâåííî.
Ïðè çàìûêàíèè öåïè, ñîñòîÿùåé èç âêëþ÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíî
àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R, âêëþ÷àÿ âíåøíåå ñîïðîòèâëåíèå öåïè è âíóò-
ðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà òîêà, èíäóêòèâíîñòè L è èñòî÷íèêà ÝÄÑ

0, áóäåò äåéñòâîâàòü ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè E ñ. Çàïèøåì çàêîí Îìà äëÿ ýòîé
öåïè:
=+ 0c IREE ,
èëè
0 d
dI
IR I R L
t =−
, (9.7.12)
ãäå
=00 IR E ; 0I— ïîñòîÿííûé òîê, êîòîðûé áóäåò òå÷ü â öåïè ïîä äåé-
ñòâèåì ÝÄÑ
0E .
Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå â óðàâíåíèè (9.7.12):
0
d
d IR
t
II L=−
−.
Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðåäåëàõ âðåìåíè îò t = 0 äî ïðîèçâîëüíîãî
ìîìåíòà t è ñèëû òîêà îò I = 0 äî I, ñîîòâåòñòâóþùåãî ìîìåíòó âðåìåíè t,
ïîëó÷àåì:
0
00
d
d It IR
t
II L=−
− ∫∫ ;
() 0
0
0 ln I
t R
II t
L −=− ;
ïîäñòàâèì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ
0
0 lnII R
t
IL −
=−

è âûðàçèì I:
01e
R
t
L
II − 

=−

 ,
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

295
Ïðè ðàçìûêàíèè öåïè ÝÄÑ èñòî÷íèêà òîêà ðàâíà íóëþ, íî âîçíèêàåò
ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, òî åñòü
=
c IRE,
èëè
d
dI
IR L
t =− . (9.7.13)
Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå è ïðîèíòåãðèðóåì â ïðåäåëàõ t = 0 äî ïðîèç-
âîëüíîãî ìîìåíòà t è ñèëû òîêà îò I = I
0 ä î I, ñîîòâåòñòâóþùåãî ìîìåíòó
âðåìåíè t:
0 0
d
dIt
I IR
t
IL=− ∫∫ ;
0 lnIR
t
IL=−;
0e
R
t
L
II − =.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè çàìûêàíèè öåïè, ñîñòîÿùåé èç âêëþ÷åí-
íûõ ïîñëåäîâàòåëüíî àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R è èíäóêòèâíîñ-
òè L, ñèëà òîêà âîçðàñòàåò ïî çàêîíó
0 1e
R
t
L
II − 

=−


, (9.7.14)
à ïðè ðàçìûêàíèè öåïè — óáûâàåò ïî çàêîíó
0e
R
t
L
II − = . (9.7.15)
Åñëè, îòêëþ÷èâ ñîëåíîèä îò áàòàðåè, çàìêíóòü åãî íà ñîïðî-
òèâëåíèå R', òî â îáðàçîâàâøåéñÿ öåïè áóäåò íåêîòîðîå âðåìÿ òå÷ü
ïîñòîÿííî óìåíüøàþùèéñÿ òîê. Óáûëü ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
çà âðåìÿ dt áóäåò ðàâíà ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé òîêîì ðàçìûêàíèÿ è
ðàâíîé äæîóëåâîé òåïëîòå, âûäåëÿþùåéñÿ íà ñîïðîòèâëåíèè:
== c dddAI t QE . (9.7.16)
Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ (9.7.10) çàïèøåì:
=−
dd.ALII (9.7.17)
Åñëè èíäóêòèâíîñòü íå çàâèñèò îò òîêà I, òî ïîëíàÿ ðàáîòà çà
âñå âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñõîäèò èñ÷åçíîâåíèå ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ, ðàâíà § 9.7. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ

296
=− = ∫
0
2
d
2
I
LI
ALII . (9.7.18)
Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêà (òî åñòü ïðîâîäíè-
êà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L, ïî êîòîðîìó òå÷åò òîê I):
2
2 H LI
W= . (9.7.19)
Ñîïîñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (9.7.19) ñ ôîðìóëîé äëÿ êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî èíäóêòèâíîñòü ÿâëÿåòñÿ ìåðîé
èíåðòíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî êîíòóðà, òàê æå êàê ìàññà ÿâëÿåòñÿ
ìåðîé èíåðòíîñòè ìåõàíè÷åñêîãî òåëà ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâè-
æåíèè.
Âûðàçèì ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ (9.7.19) ÷åðåç âåëè÷èíû,
õàðàêòåðèçóþùèå ñàìî ïîëå.  ñëó÷àå î÷åíü äëèííîãî ñîëåíîèäà
=µ µ 2
0 LnV ; =, HnI èëè =H
I
n . (9.7.20)
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (9.7.19), ïîëó÷àåì:
2
0
2 H H
WVµµ
= . (9.7.21)
Ìàãíèòíîå ïîëå áåñêîíå÷íî äëèííîãî ñîëåíîèäà îäíîðîäíî
è îòëè÷íî îò íóëÿ òîëüêî âíóòðè ñîëåíîèäà [ñì. ôîðìóëó (9.5.34)
è ðèñ. 9.5.7]. Òîãäà îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ðàâíà
2
0
22
H
H WH
BH
Vµµ
ω= = = . (9.7.22)
Ðàññìîòðèì äâà êîíòóðà, ðàñïîëîæåííûõ íà íåêîòîðîì ðàñ-
ñòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Åñëè â ïåðâîì êîíòóðå òå÷åò òîê I
1, òî îí
ñîçäàåò â äðóãîì êîíòóðå ïðîïîðöèîíàëüíûé I
1 ïîòîê:
Φ=2211 LI . (9.7.23)
Ïðè èçìåíåíèè òîêà I
1 âî âòîðîì êîíòóðå èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ:
=− 1
221 d
d i I
L
t E . (9.7.24)
Àíàëîãè÷íî ïðè ïðîòåêàíèè âî âòîðîì êîíòóðå ñ òîêîì I
2 âîç-
íèêàåò ñâÿçàííûé ñ ïåðâûì êîíòóðîì ïîòîê:Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

297
Φ=1122 LI . (9.7.25)
Ïðè èçìåíåíèè òîêà I
2 â ïåðâîì êîíòóðå èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ:
=− 2
112 d
d i I
L
t E . (9.7.26)
Òàêèå êîíòóðû íàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè, à ÿâëåíèå âîçíèêíîâå-
íèÿ ÝÄÑ â îäíîì êîíòóðå ïðè èçìåíåíèè òîêà â äðóãîì íàçûâàåò-
ñÿ âçàèìíîé èíäóêöèåé.
ÊîýôôèöèåíòûL
12 è L 21 íàçûâàþòñÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñ-
òüþ êîíòóðîâ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
= 12 21LL . (9.7.27)
Ýíåðãèÿ äâóõ ñâÿçàííûõ êîíòóðîâ â îòñóòñòâèå ôåððîìàãíåòè-
êîâ, ðàâíà
=++
22
11 2 2
12 1 2
22 LI LI
WLII . (9.7.28)
§ 9.8. ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÉ ÒÎÊ
Ïåðåìåííûì òîêîì íàçûâàåòñÿ òîê, ñèëà êîòîðîãî èçìåíÿåòñÿ
âî âðåìåíè. Çàêîíû Îìà è âûòåêàþùèå èç íåãî ïðàâèëà Êèðõãîôà
áûëè óñòàíîâëåíû äëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà, îäíàêî îíè îñòàþòñÿ
ñïðàâåäëèâûìè è äëÿ ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ èçìåíÿþùåãîñÿ òîêà,
åñëè èçìåíåíèå åãî íå ïðîèñõîäèò ñëèøêîì áûñòðî
1. Òàêîé òîê
íàçûâàåòñÿ ê â à ç è ñ ò à ö è î í à ð í û ì . Óñëîâèåì êâàçèñòàöèî-
íàðíîñòè ÿâëÿåòñÿ
, l
T
c τ= (9.8.1)
ãäåτ — âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ óñòàíîâëåíèÿ îäèíàêîâîãî çíà÷å-
íèÿ ñèëû òîêà â öåïè äëèíîé l (âîçìóùåíèå ïåðåäàåòñÿ ñî ñêîðî-
ñòüþ ñâåòà ñ); Ò — ïåðèîä èçìåíåíèÿ òîêà. Ïðè ðàçìåðàõ öåïè ïî-
ðÿäêà 3 ì τ ñîñòàâëÿåò 10
–8 ñ. Òàêèì îáðàçîì, âïëîòü äî Ò = 10 –6 ñ
òîê â öåïè ìîæíî ñ÷èòàòü êâàçèñòàöèîíàðíûì. Òîê ïðîìûøëåí-
íîé ÷àñòîòû (v = 50 Ãö, Ò = 0,02 ñ) êâàçèñòàöèîíàðåí äëÿ öåïåé
äëèíîé ïîðÿäêà 100 êì.
Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå çàêîíà Îìà äëÿ êàæäîãî èç ýëåìåíòîâ
öåïè: ñîïðîòèâëåíèÿ R, èíäóêòèâíîñòè L è åìêîñòè C. Ïóñòü ê çà-
1  ñëó÷àå ïåðåìåííîãî òîêà ñîïðîòèâëåíèå öåïè çàâèñèò îò ÷àñòîòû èçìåíå-
íèÿ òîêà.
§ 9.8. Ïåðåìåííûé òîê

298
æèìàì ïðîâîäíèêà ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì R (ðèñ. 9.8.1, à)
ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå, èçìåíÿþùååñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó:
=ω 0cos UU t , (9.8.2)
ãäåU
0 — àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ.
Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ êâàçèñòàöèîíàðíîñòè òîê ÷åðåç ñî-
ïðîòèâëåíèåR îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì Îìà:
== ω= ω 0
0cos cos , U
U
ItIt
RR (9.8.3)
ãäåI
0 — àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå ñèëû òîêà. Àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ
ñèëû òîêà è íàïðÿæåíèÿ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
= 0
0U
I
R . (9.8.4)
Íà ðèñ. 9.8.1, á ïðåäñòàâëåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà öåïè ñ àê-
òèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì. Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå, íà-
çîâåì åãî îñüþ òîêîâ. Îòëîæèì íà íåì âåêòîð òîêà äëèíîé I
0.
Ïîñêîëüêó íàïðÿæåíèå è òîê èçìåíÿþòñÿ ñèíôàçíî (ðèñ. 9.8.1, â),
âåêòîðU
0 òàêæå íàïðàâëåí âäîëü îñè òîêîâ è åãî äëèíà ðàâíà I 0R.
Ðàññìîòðèì êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L ñ íè÷òîæíî ìàëûìè àê-
òèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì (
=
0 R ) è åìêîñòüþ ( =
0 C ), ñ ïîäàííûì
ïåðåìåííûì íàïðÿæåíèåì, èçìåíÿþùèìñÿ ïî çàêîíó (9.8.2) (ðèñ.
9.8.2,à).  êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè íà÷èíàåò òå÷ü ïåðåìåííûé òîê,
âñëåäñòâèå ÷åãî âîçíèêàåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè:
=−c d
dI
L
t E (9.8.5)
Ðèñ. 9.8.1. Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì R (à), åå âåêòîðíàÿ äèàãðàììà (á),
êîëåáàíèÿ íàïðÿæåíèÿ è ñèëû òîêà (â)
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

299
(ïîëàãàåì, ÷òî L = const). Çàïèøåì çàêîí Îìà äëÿ äàííîé öåïè:
=+ с. IR UE (9.8.6)
 íàøåì ñëó÷àå
=
0 R . Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (9.8.2) è (9.8.5)
â ôîðìóëó (9.8.6), ïîëó÷àåì:
ω− = 0 d
cos 0,
dI
UtL
t (9.8.7)
îòêóäà
=ω 0 dcosd.U
Itt
L (9.8.8)
Èíòåãðèðîâàíèå äàåò
π

=ω= ω−

ω
 0
0sin cos
2 U
ItIt
L , (9.8.9)
ãäå
=
ω 0
0U
I
L . (9.8.10)
Âåëè÷èíà
=ωLXL (9.8.11)
íàçûâàåòñÿèíäóêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì, [Õ
L] = Ãí/ñ = Îì.
Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîñòè ðàâíî:
==ω ω 0cos LLUIX LI t . (9.8.12)
Èç ñîïîñòàâëåíèÿ âûðàæåíèé (9.8.9) è (9.8.12) ñëåäóåò, ÷òî êî-
ëåáàíèÿ òîêà íà èíäóêòèâíîñòè îòñòàþò îò êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ
ïî ôàçå íà π/2 (ðèñ. 9.8.2, á,â), òàê êàê âîçíèêàþùàÿ ÝÄÑ ñàìîèí-
äóêöèè ïðåïÿòñòâóåò èçìåíåíèþ ñèëû òîêà â öåïè.
Ðèñ. 9.8.2. Öåïü ñ èíäóêòèâíîñòüþ L (à), åå âåêòîðíàÿ äèàãðàììà (á), êîëåáàíèÿ
íàïðÿæåíèÿ è ñèëû òîêà (â)
§ 9.8. Ïåðåìåííûé òîê

300
Ïîäàäèì íàïðÿæåíèå, èçìåíÿþùååñÿ ïî çàêîíó (9.8.2), íà êîí-
äåíñàòîð åìêîñòüþ C (ðèñ. 9.8.3, à). Åñëè ñîïðîòèâëåíèåì ïîäâî-
äÿùèõ ïðîâîäîâ è èíäóêòèâíîñòüþ öåïè ïðåíåáðå÷ü (
=
0 R , =θ L),
òî â ýòîì ñëó÷àå íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå
/ CUqC= ìîæíî
ñ÷èòàòü ðàâíûì âíåøíåìó íàïðÿæåíèþ U:
== ω 0cos , C q
UUt
C (9.8.13)
îòêóäà
=ω 0cos . qCU t (9.8.14)
Ïðîèçâîäíàÿ îò çàðÿäà ïî âðåìåíè äàåò òîê â öåïè I:
00 d
sin cos
d2q
ICUtIt


==−ω ω= ω+

 , (9.8.15)
ãäå
=ω =


ω
 0
00
1 U
ICU
C . (9.8.16)
Âåëè÷èíà
=
ω1cX
C , (9.8.17)
íàçûâàåòñÿ åìêîñòíûì ñîïðîòèâëåíèåì [Õ
ñ] = Ô –1•ñ –1 = Îì. Çà-
ìåíèâ â âûðàæåíèè (9.8.13) U
0 íà ω 0 1
I
C [÷òî ñëåäóåò èç ôîðìóëû
(9.8.16)], ïîëó÷àåì:

ω 0 1
cos CUIt
C . (9.8.18)
Ñîïîñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (9.8.15) è (9.8.18), âèäèì, ÷òî òîê îïå-
ðåæàåò ïî ôàçå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè îò òîêà íà π/2
(ðèñ. 9.8.3, á). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî çàðÿä, à ñëåäîâàòåëüíî,
è íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå âîçðàñòàþò, ïîêà òîê èìååò îäíî
íàïðàâëåíèå (I > 0). Â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ñèëà òîêà äîñ-
òèãàåò ìàêñèìóìà è íà÷èíàåò óìåíüøàòüñÿ (I < 0), â òî âðåìÿ êàê
íàïðÿæåíèå åùå âîçðàñòàåò. Â ìîìåíò, êîãäà òîê ìåíÿåò íàïðàâëå-
íèå (
=
0 I ), íàïðÿæåíèå ìàêñèìàëüíî (ðèñ. 9.8.3, â).
Ðàññìîòðèì öåïü, ñîñòàâëåííóþ èç àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R,
èíäóêòèâíîñòè L è åìêîñòè Ñ (ðèñ. 9.8.4, à). Ïîäêëþ÷èì ê ýòîé
öåïè íàïðÿæåíèå, èçìåíÿþùååñÿ ïî çàêîíó (9.8.2). Â öåïè âîçíè-
êàåò òîê òîé æå ÷àñòîòû è àìïëèòóäû I
0, ôàçà êîòîðîãî îïðåäåëÿåò-Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

301
ñÿ ïàðàìåòðàìè öåïè R, L è Ñ. Ýòîò òîê âûçûâàåò ïàäåíèå íàïðÿæå-
íèÿ íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè U
R àìïëèòóäîé RI 0, ôàçà êîòîðîãî
ñîâïàäàåò ñ ôàçîé òîêà. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîñòè U
L (ñ àìïëèòóäîé ω 0 LI ) îïåðåæàåò òîê ïî ôàçå íà π/2, à ïàäåíèå íà-
ïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè U
Ñ (ñ àìïëèòóäîé ω 0 1
I
C ) îòñòàåò ïî ôàçå îò
òîêà íà π/2 (ðèñ. 9.8.4, á).
Ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèé U
R, U L è U Ñ äîëæíà áûòü ðàâíà
ïðèëîæåííîìó íàïðÿæåíèþ U. Ñëîæèâ âåêòîðû U
R, U L è U Ñ, ïî-
ëó÷àåì âåêòîð U, èìåþùèé àìïëèòóäó U
0. Ýòîò âåêòîð îáðàçóåò
ñ îñüþ òîêîâ óãîë ϕ, òàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí
Ðèñ. 9.8.4. Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì R, èíäóêòèâíîñòüþ L, åìêîñòüþ Ñ
(à), åå âåêòîðíàÿ äèàãðàììà (á), êîëåáàíèÿ íàïðÿæåíèÿ è ñèëû òîêà (â)
Ðèñ. 9.8.3. Öåïü ñ åìêîñòüþ Ñ (à), åå âåêòîðíàÿ äèàãðàììà (á), êîëåáàíèÿ íàïðÿæå-
íèÿ è ñèëû òîêà (â)
§ 9.8. Ïåðåìåííûé òîê

302

ϕ=
tgLCXX
R . (9.8.19)
Óãîë ϕ îïðåäåëÿåò ðàçíîñòü ôàç ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì
(ðèñ. 9.8.4, â). Èç âåêòîðíîé äèàãðàììû (ðèñ. 9.8.4, á) ñëåäóåò, ÷òî
() ( ) 
=+−
 2
2
2
00 0LC URI XXI , (9.8.20)
îòêóäà
()
=
+− 0
0
2
2
LCU
I
RXX . (9.8.21)
Èòàê, åñëè íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó
=ω 0cos , UU t (9.8.22)
òî â öåïè òå÷åò òîê
() =ω−ϕ 0cos , II t (9.8.23)
à âåëè÷èíà
() С =+− 2
2
L ZRXX (9.8.24)
íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì öåïè ïåðåìåííîìó òîêó, èëè
èìïåäàíñîì. Âåëè÷èíà
=−=ω−
ω1 LC XX X L
C (9.8.25)
íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì, èëè ðåàêòàíñîì. Íà ðå-
àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè â îòëè÷èå îò àêòèâíîãî íå ïðîèñõîäèò
ïîòåðü ýíåðãèè â âèäå âûäåëåíèÿ òåïëà.
Ïðè
>LCXX òîê îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ, à ïðè
òèâíîå ñîïðîòèâëåíèå îòñóòñòâóåò, èçìåíåíèÿ òîêà è íàïðÿæåíèÿ
ïðîèñõîäÿò ñèíôàçíî. Ïðè óäîâëåòâîðÿþùåé ýòîìó óñëîâèþ ÷àñ-
òîòå
резω=1
LC (9.8.26)
ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå Z ìèíèìàëüíî è ðàâíî R. Ñîîòâåòñòâåííî
ñèëà òîêà äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ïðè äàííîì U. Ïàäå-
íèÿ íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè U
Ñ è èíäóêòèâíîñòè U L îäèíàêîâû ïî
àìïëèòóäå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî ôàçå. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ
ðåçîíàíñîì íàïðÿæåíèé, à ÷àñòîòà (9.8.26) — ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé. Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

303
Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ìîùíîñòè, âûäåëÿåìîé â öåïè, ðàâíî
ïðîèçâåäåíèþ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ è ñèëû òîêà:
() () () ( ) =⋅= ω⋅ ω−ϕ 00cos cos . Pt U t I t U t I t (9.8.27)
Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé
() () 11
cos cos cos cos ,
22 α⋅ β=α− β +α+ β
âûðàæåíèþ äëÿ ìîùíîñòè ìîæíî ïðèäàòü âèä
() () 00 00 11
cos cos 2 .
22 P t UI UI t= ϕ+ω− ϕ (9.8.28)
Ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà-
÷åíèå Ð(t). Ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå ôóíêöèè, èçìåíÿþùåé-
ñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó, ðàâíî èíòåãðàëó îò ýòîé ôóíêöèè
â ïðåäåëàõ îäíîãî ïåðèîäà T, äåëåííîìó íà âåëè÷èíó ïåðèîäà
() 
=ϕ+ω−ϕ=

∫ 00 00
0 11 1
cos cos 2 d
22T
PUI UItt
T
() =ϕ+ ω−ϕ ∫∫ 00 00
00 11
cos d cos 2 d
22 TT
UI t UI t t
TT ,
ãäå
= ∫0
d
T
tT ; ()ω−ϕ = ∫0
cos 2 d 0,
T
tt , òàê êàê π
ω=2
T.
Òîãäà ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîùíîñòè ïåðåìåííîãî òîêà ñîñòàâëÿåò:
=ϕ 00 cos
2 UI
P . (9.8.29)
Åñëè òîê â öåïè íå ñîâåðøàåò ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû, ñðåäíÿÿ
ìîùíîñòü (9.8.29) âûäåëÿåòñÿ íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè â âèäå
òåïëîòû. Êàê âèäíî èç ðèñ. 9.8.4, á
()
ϕ= =
+− 2
2 cos
LC
RR
Z
RXX . (9.8.30)
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå â ôîðìóëó (9.8.29) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
=0
0U
I
Z , ïîëó÷àåì: § 9.8. Ïåðåìåííûé òîê

304
2
0
2 IR
P= . (9.8.31)
Òàêóþ æå ìîùíîñòü ðàçâèâàåò ïîñòîÿííûé òîê, ðàâíûé
эф = 0
2 I
I. (9.8.32)
Âåëè÷èíà (9.8.32) íàçûâàåòñÿ äåéñòâóþùèì (èëè ýôôåêòèâíûì)
çíà÷åíèåì òîêà. Àíàëîãè÷íî âåëè÷èíà
эф = 0
2 U
U (9.8.33)
íàçûâàåòñÿ äåéñòâóþùèì çíà÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ.
Ñ ó÷åòîì äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé ôîðìóëå (9.8.29) ìîæíî ïðè-
äàòü âèä:
эф эф =ϕcos PIU . (9.8.34)
Ìíîæèòåëü
ϕ cos êîýôôèöèåíòîì ìîùíîñòè. Åñëè
ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî íóëþ (X
L = X Ñ), òî ϕ=
cos 1
è P = UI. Ïðè ÷èñòî ðåàêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè ( =
0 R ) ϕ=
cos 0 ,
ïîýòîìó è ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü, âûäåëÿåìàÿ â öåïè, ðàâíà íóëþ.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè
ϕ=
cos 0 , òî íèêàêîé òîê íå äàñò â öåïè
ñðåäíþþ ìîùíîñòü, îòëè÷íóþ îò íóëÿ.  òåõíèêå ñòðåìÿòñÿ ñäå-
ëàòü
ϕ cos 1. Ïðè ìàëîì cos ϕ äëÿ âûäåëåíèÿ
â öåïè íåîáõîäèìîé ìîùíîñòè íóæíî ïðîïóñêàòü áîëüøèé òîê,
ïðè ýòîì ïîòåðè â ïîäâîäÿùèõ ïðîâîäàõ âîçðàñòàþò, è ïðèõîäèò-
ñÿ óâåëè÷èâàòü èõ ñå÷åíèå.
§ 9.9. ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß
Ýëåêòðîìàãíèòíûìè êîëåáàíèÿìè íàçûâàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå
èçìåíåíèÿ çàðÿäà, òîêà, íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàã-
íèòíîãî ïîëåé. Îíè âîçíèêàþò â öåïè, ñîäåðæàùåé èíäóêòèâíîñòü,
åìêîñòü è àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå. Òàêàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü íà-
çûâàåòñÿ êîëåáàòåëüíûì êîíòóðîì.
Ðàññìîòðèì èäåàëüíûé êîëåáàòåëüíûé êîíòóð, òî åñòü êîíòóð,
â êîòîðîì àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî íóëþ (ðèñ. 9.9.1). Âûç-
âàòü ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â êîíòóðå ìîæíî, åñëè çàðÿ-
1 Íàèìåíüøåå çíà÷åíèå cosϕ íà ïðîèçâîäñòâå ñîñòàâëÿåò 0,85.
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

305
æåííûé êîíäåíñàòîð ïîäêëþ÷èòü ê êà-
òóøêå èíäóêòèâíîñòè, âñëåäñòâèå ÷åãî
êîíäåíñàòîð íà÷íåò ðàçðÿæàòüñÿ
è â êîíòóðå ïîòå÷åò òîê. Ýíåðãèÿ ýëåê-
òðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà íà÷íåò
óìåíüøàòüñÿ, à ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî
ïîëÿ, îáóñëîâëåííàÿ òîêîì, òåêóùèì
÷åðåç èíäóêòèâíîñòü, — âîçðàñòàòü.
Êîãäà êîíäåíñàòîð ïîëíîñòüþ ðàçðÿ-
äèòñÿ, òîê â êîíòóðå äîñòèãíåò ìàêñè-
ìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ïîñëå ÷åãî êîíäåí-
ñàòîð íà÷íåò ïåðåçàðÿæàòüñÿ äî òåõ ïîð,
ïîêà ìîäóëü íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â êîíäåíñàòîðå
íå äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Çàòåì ñíîâà íà÷íåòñÿ ïðî-
öåññ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà, ïðè ýòîì òîê â êîíòóðå ïîòå÷åò â îá-
ðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî êîëåáàòåëüíîãî
êîíòóðà, ñîñòîÿùàÿ èç ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïî-
ëåé, íå ðàñõîäóåòñÿ íà âûäåëåíèå äæîóëåâà òåïëà (òàê êàê
=θ R)
è îñòàíåòñÿ ïîñòîÿííîé.
Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé
ñëåäóåò, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
2 1
2 E Wq
C = (9.9.1)
àíàëîãè÷íà ïîòåíöèàëüíîé óïðóãîé äåôîðìàöèè, à ýíåðãèÿ ìàã-
íèòíîãî ïîëÿ
2 1
2 H WLI= (9.9.2)
àíàëîãè÷íà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ åìêîñòè


1
C , èãðàåò ðîëü êîýôôèöèåíòà æåñòêîñòè k, çàðÿä q ñîîòâåòñòâó-
åò ñìåùåíèþ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ õ, èíäóêòèâíîñòü L — ìàñ-
ñå m, òîê
=d
dq
I
t — ñêîðîñòè d
dx
v
t = . Ñèëà òîêà, êàê è ñêîðîñòü
ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé âåëè÷èíîé, òî åñòü ìîæåò ïðèíèìàòü êàê
ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïðè ñîñòàâëåíèè
äàëüíåéøèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü ïî-
ëîæèòåëüíûì òàêîå íàïðàâëåíèå òîêà, ïðè êîòîðîì êîíäåíñàòîð
çàðÿæàåòñÿ, è íàîáîðîò.
Âî âðåìÿ êîëåáàíèé âíåøíåå íàïðÿæåíèå ê êîíòóðó (ðèñ. 9.9.1)
íå ïðèëîæåíî (íàïðÿæåíèå ïðèêëàäûâàåòñÿ òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òî-
Ðèñ. 9.9.1. Èäåàëüíûé êîëåáà-
òåëüíûé êîíòóð
§ 9.9. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ

306
áû çàðÿäèòü êîíäåíñàòîð, è çàòåì îòêëþ÷àåòñÿ, òî åñòü =
0 IR ), òîã-
äà, ñîãëàñíî çàêîíó Îìà,
=+= c 0 IR UE, (9.9.3)
ãäå
=−q
U
C (9.9.4)
âûðàæàåò ïàäåíèå íàïðÿæåíèé íà åìêîñòè ïðè ðàçðÿäêå êîíäåí-
ñàòîðà,
=−c d
dI
L
t E (9.9.5)
îïðåäåëÿåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, âîçíèêàþùóþ ïðè ïðîõîæäåíèè
òîêà ÷åðåç êàòóøêó.
Òîãäà óðàâíåíèå (9.9.3) ïðèíèìàåò âèä:
+= d
0
dIq
L
tC . (9.9.6)
Ðàçäåëèâ âûðàæåíèå (9.9.6) íà L è çàìåíèâ
d
dI
t íà
2
2d
dq
t , ïîëó-
÷àåì óðàâíåíèå
+=
2
2d1
0
dq
q
LC
t . (9.9.7)
Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå
ω=0 1
LC , (9.9.8)
òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñâîáîäíûõ íåçàòóõàþùèõ ýëåêòðî-
ìàãíèòíûõ êîëåáàíèé (9.9.7) ïðèìåò âèä:
+ω =
2
2
0
2d
0
dq
q
t , (9.9.9)
÷òî ìàòåìàòè÷åñêè òîæäåñòâåííî äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíå-
íèþ íåçàòóõàþùèõ ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé [ñì. óðàâíåíèå (2.3.7)].
Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (9.9.9) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ
() =ω+α 000cos qq t . (9.9.10)
Òàêèì îáðàçîì, çàðÿä íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà èçìåíÿåòñÿ ïî
ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé, îïðåäåëÿåìîé âûðàæåíèåì (9.9.8),Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

307
è íà÷àëüíîé ôàçîé α 0. ×àñòîòà ω 0 íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé
êîíòóðà. Ïåðèîä êîëåáàíèé îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Òîìñîíà:
=π2 TLC . (9.9.11)
Ñîîòâåòñòâåííî èçìåíåíèþ çàðÿäà èçìåíÿåòñÿ è íàïðÿæåíèå íà
êîíäåíñàòîðå:
() = = ω+α = ω+α 0
00 0 00cos ( ) cos , q
q
UtUt
CC (9.9.12)
ãäå
= 0
0q
U
C (9.9.13)
ðàâíî àìïëèòóäíîìó çíà÷åíèþ íàïðÿæåíèÿ.
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ôóíêöèþ (9.9.10) ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì
âûðàæåíèå äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ êîëåáàíèé òîêà:
() ( ) π

= −ω ω +α = ω +α +

 00 0 0 0 0 0 sin cos
2 It q t I t , (9.9.14)
ãäå
=ω000Iq (9.9.15)
îïðåäåëÿåò àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå ñèëû òîêà.
Ñîïîñòàâëÿÿ ôîðìóëû (9.9.10), (9.9.12) è (9.9.14), çàêëþ÷àåì, ÷òî
â ìîìåíò, êîãäà òîê äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, çàðÿä êîí-
äåíñàòîðà è íàïðÿæåíèå îáðàùàþòñÿ â íóëü è íàîáîðîò.
Èç ôîðìóë (9.9.13), (9.9.15) è (9.9.8) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
ìåæäó àìïëèòóäíûìè çíà÷åíèÿìè ñèëû òîêà è íàïðÿæåíèÿ:
=00 L
UI
C . (9.9.16)
Ëþáîé ðåàëüíûé êîíòóð îáëàäàåò
àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì (ðèñ. 9.9.2).
Ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â êîíòóðå, ïîñòå-
ïåííî ðàñõîäóåòñÿ íà íàãðåâàíèå ïðî-
âîäíèêîâ, èç êîòîðûõ ñîñòîèò êîíòóð,
âñëåäñòâèå ÷åãî ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ
çàòóõàþò. Çàïèøåì çàêîí Îìà äëÿ ýòî-
ãî ñëó÷àÿ:

=+ c IR UE . (9.9.17)
Ðèñ. 9.9.2. Êîëåáàòåëüíûé êîí-
òóð ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì
§ 9.9. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ

308
Ñ ó÷åòîì ôîðìóë (9.9.4) è (9.9.5) óðàâíåíèå (9.9.17) ïðèíèìàåò
âèä:
++ = d1
0
dI
LRIq
tC . (9.9.18)
Ðàçäåëèâ âûðàæåíèå (9.9.18) íà L è ïðîèçâåäÿ çàìåíû
=d
dq
I
t ,
=
2
2 dd
d
d Iq
t
t , ïîëó÷èì
+⋅ + =
2
2dd1
0
d
dqR q
q
LtLC
t . (9.9.19)
Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå
β=
2R
L (9.9.20)
è ïðîèçâåäÿ çàìåíó
=ω 2
0 1
LC , äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå çàòó-
õàþùèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé (9.9.19) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
+β +ω =
2
2
0
2dd
20
d
dqq
q
t
t , (9.9.21)
÷òî ìàòåìàòè÷åñêè òîæäåñòâåííî äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
çàòóõàþùèõ ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé [ñì. óðàâíåíèå (2.3.19)].
Ïðè óñëîâèè, ÷òî
β<ω22
0 , ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9.9.21) áóäåò
èìåòü âèä:
() −β =ω+α 00ecos t qq t , (9.9.22)
ãäå
ω= ω −β 22
0 . (9.9.23)
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (9.9.8) è (9.9.20) â óðàâíåíèå (9.9.23),
èìååì:
ω= −
2
2 1
4R
LC
L . (9.9.24)
Ïðè
=
0 R âûðàæåíèå (9.9.24) ïåðåõîäèò â âûðàæåíèå (9.9.8.).
Ðàçäåëèâ óðàâíåíèå (9.9.22) íà åìêîñòü Ñ, ïîëó÷àåì íàïðÿæåíèå
íà êîíäåíñàòîðå:Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

309
() () −β −β =ω+α=ω+α 0
00 0ecos ecos tt q
UtUt
C . (9.9.25)
×òîáû íàéòè òîê, ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå (9.9.22) ïî
âðåìåíè:
() () −β 
== −β ω+α−ω ω+α
 000 d
ecos sin
d t q
Iq t t
t . (9.9.26)
Óìíîæèâ è ðàçäåëèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå (9.9.26) íà
ω+β =ω22
0 [ñì. óðàâíåíèå (9.9.23)] è ââåäÿ óãîë ϕ, îïðåäåëÿå-
ìûé óñëîâèÿìè
ββ
ϕ=− =−
ω
ω+β
22
0 cos ; ωω
ϕ= =
ω
ω+β
22
0 sin ,
ïîëó÷àåì:
() −β =ω ω +α +ϕ 00 0 ecos . t Iq t (9.9.27)
Ïîñêîëüêó
ϕ<
cos 0 , à ϕ>
sin 0 , òî π
<ϕ<π
2 .
Òàêèì îáðàçîì, ïðè íàëè÷èè â êîíòóðå àêòèâíîãî ñîïðîòèâëå-
íèÿ òîê îïåðåæàåò ïî ôàçå íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå áîëåå ÷åì
íà
π
2 (ïðè =
0 R îïåðåæåíèå ñîñòàâëÿåò π
2).
Çàòóõàíèå êîëåáàíèé ïðèíÿòî õàðàêòåðèçîâàòü ëîãàðèôìè÷åñêèì
äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ [ñì. ôîðìóëó (2.3.24)]:
()
() λ= =β
+ ln ,At
T
At T (9.9.28)
ãäå À(t) — àìïëèòóäà ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíû (q, U èëè I). À(t+T ) —
àìïëèòóäà òîé æå âåëè÷èíû ÷åðåç âðåìÿ, ðàâíîå ïåðèîäó T.
Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð ÷àñòî õàðàêòåðèçóþò åãî äîáðîòíîñòüþ
Q, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåëè÷èíà, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëü-
íàÿ ëîãàðèôìè÷åñêîìó äåêðåìåíòó çàòóõàíèÿ:
ππ π ω

== = =

λβ β β
 12
22 Q
TT , (9.9.29)
èëè ñ ó÷åòîì ôîðìóë (9.9.8) è (9.9.20)
=1L
Q
RC . (9.9.30) § 9.9. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ

310
Ïðè 22
0β>ω , òî åñòü ≥
2
2 1
4R
LC
L , âìåñòî êîëåáàíèé ïðîèñõîäèò
àïåðèîäè÷åñêèé ðàçðÿä êîíäåíñàòîðà, è âñÿ âûäåëèâøàÿñÿ ïðè ýòîì
ýíåðãèÿ ðàñõîäóåòñÿ íà íàãðåâ ïðîâîäíèêîâ. Ñîïðîòèâëåíèå êîí-
òóðà, ïðè êîòîðîì êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ ïåðåõîäèò â àïåðèîäè-
÷åñêèé, íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì. Èç óñëîâèÿ
=
2
2 1
4R
LC
L , íàõîäèì
2 к L
R
C = . (9.9.31)
×òîáû ïîääåðæèâàòü íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ, íà êîíòóð ïî-
äàþò ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå (ðèñ. 9.8.4, à). Çàïèøåì çàêîí Îìà
äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:
=− − + ω 0 d
cos .
d qI
IR L U t
Ct (9.9.32)
Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
âûíóæäåííûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé:
+β +ω = ω
2
2
0
0
2dd
2cos,
d
dU
qq
qt
tL
t (9.9.33)
ìàòåìàòè÷åñêè òîæäåñòâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèå âû-
íóæäåííûõ ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé [ñì. óðàâíåíèå (2.3.28)]. Ðå-
øåíèå äëÿ óñòàíîâèâøèõñÿ (ñì. ðèñ. 2.3.5) âûíóæäåííûõ êîëåáà-
íèé èìååò âèä
1:
π

=ω−ϕ−

 0cos
2 qq t , (9.9.34)
ãäå
()
=
ω−ω +βω 0
0
2
22 22
0/
4 UL
q ; (9.9.35)
πβω

ϕ+ = − =

ϕ
ω−ω

22
0
12
tg
2tg . (9.9.36)
1 Óðàâíåíèå (9.9.34) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì íåîäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (9.9.33). Äëÿ íàõîæäåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ íåîáõî-
äèìî ê (9.9.34) ïðèáàâèòü îáùåå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî äèôôå-
ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (9.9.21), òî åñòü âûðàæåíèå (9.9.22).
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

311
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (9.9.8) è (9.9.20) ïîëó÷àåì:
=

ω+ω−

ω
 0
0
2
2
1 U
q
RL
C
; (9.9.37)
() 22
0 1
tgL
L
C
RR ω−
ω−ω
ωω
ϕ= =
. (9.9.38)
Âû÷èñëèì ñèëó òîêà â öåïè ïðè óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèÿõ:
() π

==−ω ω−ϕ−= ω−ϕ

 00 d
sin cos .
d2q
Iqt It
t (9.9.39)
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (9.9.37),
=ω=

+ω −

ω
 0
00
2
2
1 U
Iq
RL
C
. (9.9.40)
Òîê îòñòàåò îò íàïðÿæåíèÿ íà óãîë ϕ, ïðè ω>ω
0, îïåðåæàåò
ïðè ω<ω
0 è ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ íàïðÿæåíèåì ïðè ω=ω 0.
§ 9.10. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÊÑÂÅËËÀ.
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ÂÎËÍÛ
Ïîÿâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ âûçûâàþò íå òîëüêî òîêè ïðîâî-
äèìîñòè, íî è òàê íàçûâàåìûå òîêè ñìåùåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò òå÷ü
äàæå â âàêóóìå. Ðàññìîòðèì ýòî íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Èçâåñò-
íî, ÷òî êîíäåíñàòîð, ïîäêëþ÷åííûé â öåïü ïîñòîÿííîãî òîêà, ðàç-
ìûêàåò åå, à ïîäêëþ÷åííûé â öåïü ïåðåìåííîãî òîêà — íåò. Ñî-
ãëàñíî êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì, ëèíèè òîêà, òàê æå êàê
è ëèíèè ïîòîêîâ æèäêîñòè, äîëæíû áûòü çàìêíóòû, òî åñòü ÷åðåç
êîíäåíñàòîð â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà òîæå äîëæåí ïðîòåêàòü òîê.
Ïî ïðîâîäíèêàì öåïè òå÷åò òîê ïðîâîäèìîñòè I
ïð, òîê, ïðîòåêàþ-
ùèé ÷åðåç êîíäåíñàòîð â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà è çàìûêàþùèé
òîê ïðîâîäèìîñòè, áûë íàçâàí Ìàêñâåëëîì ò î ê î ì ñ ì å ù å-
íèÿ I
ñì. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ýòè òîêè ðàâíû:
см пр ==d
dq
II
t . (9.10.1) § 9.10. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû

312
Çàðÿä íà îáêëàäêàõ ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ðàâåí:
εε
== =εε0
0S
qCU Ed SE
d , (9.10.2)
[ñì. ôîðìóëû (9.2.3) è (9.2.7)].
Îòñþäà ñèëà òîêà ñìåùåíèÿ
см =ε ε 0 d
dE
IS
t . (9.10.3)
Òàêèì îáðàçîì òîê ñìåùåíèÿ — ýòî èçìåíÿþùååñÿ âî âðåìåíè
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå.
Ïîëå êîíäåíñàòîðà îäíîðîäíî, ïîýòîìó ïëîòíîñòü òîêà â íåì
ñîñòàâëÿåò:
см
см ==εε 0 d
,
d I
E
j
St (9.10.4)
èëè â âåêòîðíîé ôîðìå:
см =ε εr
r 0 d
.
dE
j
t (9.10.5)
Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå ìåæäó íàïðÿæåííîñòüþ è èíäóêöèåé
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ [ñì. ôîðìóëó (9.1.12)], ìîæíî çàïèñàòü:
см =r
r
d
.
dD
j
t (9.10.6)
Èç óðàâíåíèÿ (9.10.5) ñëåäóåò, ÷òî ïðè çàðÿäêå êîíäåíñàòîðà

>

d
0
dE
t âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà ñìåùåíèÿ см
r
j íàïðàâëåí âäîëü
âåêòîðà
r
E; ïðè ðàçðÿäêå 
<

d
0
dE
t — ïðîòèâ.
Ìàêñâåëë ââåë ïîíÿòèå ïîëíîãî òîêà, îïðåäåëÿåìîå êàê ñóììà
òîêîâ ïðîâîäèìîñòè è ñìåùåíèÿ:
() полн пр см пр см пр dd
SS
D
III jjSj S
t 

=+= + = + =



 ∫∫
r
r
rr r
() пр dd
SS
jS DS
t ∂
=+
∂∫∫
rr
r
r (9.10.7)
(çíàê ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé

∂t óêàçûâàåò íà çàâèñèìîñòü D, êàê îò
âðåìåíè, òàê è îò ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû).Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

313
 ïðîâîäíèêàõ òîêè ñìåùåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ òîêàìè ïðîâîäè-
ìîñòè î÷åíü ìàëû è èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, è, íàîáîðîò, â äèýëåêò-
ðèêàõ ïî÷òè îòñóòñòâóþò òîêè ïðîâîäèìîñòè.
Èç ôîðìóëû (9.3.8) ïîëó÷àåì, ÷òî ïëîòíîñòü òîêà ñìåùåíèÿ
â äèýëåêòðèêå ñîñòàâëÿåò:
см =ε +
 0dd
ddEP
j
tt . (9.10.8)
Çäåñü ïåðâîå ñëàãàåìîå îïðåäåëÿåò òîêè ñìåùåíèÿ â âàêóóìå,
à âòîðîå — ñìåùåíèå (íî íå ïåðåíîñ!) ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ â äè-
ýëåêòðèêå è åãî íàãðåâàíèå (òàê íàçûâàåìûé ò î ê ï î ë ÿ ð è-
çàöèè).
Òîêè ñìåùåíèÿ, âîçíèêàþùèå â áèîëîãè÷åñêèõ îáúåêòàõ ïðè
âîçäåéñòâèè íà íèõ ïåðåìåííûìè ýëåêòðîìàãíèòíûìè ïîëÿìè,
ïðèâîäÿò ê íàãðåâàíèþ òêàíåé. Ýòîò ôàêò èñïîëüçóåòñÿ â òåðàïåâ-
òè÷åñêèõ öåëÿõ (íàïðèìåð ÓÂ×-òåðàïèÿ), à ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÿâ-
ëÿåòñÿ îäíîé èç ïðè÷èí âðåäíîãî âîçäåéñòâèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ
ïîëåé âûñîêîé èíòåíñèâíîñòè (ñì. ãëàâó 16).
 îñíîâå òåîðèè ýëåêòðîìàãíåòèçìà ëåæàò óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà.
Ïåðâóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà îáðàçóþò óðàâíåíèÿ:

=−
∂ ∫∫


(d) (d);
LS
El BS
t (9.10.9)
= ∫


(d) 0.
S
BS (9.10.10)
Ïåðâîå óðàâíåíèå (9.10.9) ñâÿçû-
âàåò çíà÷åíèå

E ñ âðåìåííûì èçìå-
íåíèåì âåêòîðà 
B è ÿâëÿåòñÿ âûðà-
æåíèåì çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé
èíäóêöèè Ôàðàäåÿ [ñì. (9.7.4)]. Ïå-
ðåìåííîå ìàãíèòíîå ïîëå â ëþáîé
òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ñîçäàåò âèõðåâîå
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ëèíèè íàïðÿ-
æåííîñòè êîòîðîãî îõâàòûâàþò ëè-
íèè èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â âè-
äå çàìêíóòûõ êðèâûõ (ðèñ. 9.10.1).
Ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå íå ñî-
çäàåò ýëåêòðè÷åñêîå (ïðè
= 
const B
= 
d
0
dB
t ).
Ñîãëàñíî âòîðîìó óðàâíåíèþ
(9.10.10), ïîëíûé ïîòîê âåêòîðà ìàã- Ðèñ. 9.10.1. Ôîðìèðîâàíèå âèõðå-
âîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàïðÿ-
æåííîñòüþ
E ïåðåìåííûì ìàã-
íèòíûì ïîëåì èíäóêöèåé B
§ 9.10. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû

314
íèòíîé èíäóêöèè 
B ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S ðàâåí íóëþ.
Ýòî óðàâíåíèå îòðàæàåò ñâîéñòâî âåêòîðà 
B, ïðîÿâëÿþùååñÿ â òîì,
÷òî åãî ñèëîâûå ëèíèè çàìêíóòû. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, âûòåêàåò èç
òîãî ôàêòà, ÷òî â ïðèðîäå íåò ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ.
Âòîðóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà îáðàçóþò óðàâíåíèÿ:
пр ∂
=+
∂ ∫∫ ∫
 


(d) d d
LS S
Hl j S DS
t ; (9.10.11)
=ρ = ∫∫


(d) d .
SV
DS V q (9.10.12)
Ïåðâîå óðàâíåíèå (9.10.11), ÿâëÿÿñü îáîáùåííûì çàêîíîì ïîë-
íîãî òîêà (9.5.16), óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå ïîðîæäà-
åòñÿ äâóìÿ ôàêòîðàìè: òîêàìè ïðîâîäèìîñòè è òîêàìè ñìåùåíèÿ
[ñì. ôîðìóëó (9.10.7)]; ïîñëåäíèå, â ñâîþ î÷åðåäü, âîçíèêàþò òîëüêî
ïðè íàëè÷èè ïåðåìåííîãî ýëåêòðè-
÷åñêîãî ïîëÿ (


∂
0 D
t , ≠ 
const D ).
Ñîãëàñíî ýòîìó óðàâíåíèþ, âîêðóã
âñÿêîãî òîêà ïðîâîäèìîñòè è ïåðå-
ìåííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âñåãäà
ñóùåñòâóåò âèõðåâîå ìàãíèòíîå
ïîëå, ïðè÷åì
⊥ 
EH (ðèñ. 9.10.2).
Ñîãëàñíî âòîðîìó óðàâíåíèþ
(9.10.12), ïîòîê âåêòîðà èíäóêöèè
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíó-
òóþ ïîâåðõíîñòü S ðàâåí çàðÿäó,
çàêëþ÷åííîìó âíóòðè íåå. Èç óðàâ-
íåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ëèíèè âåêòîðà

D
ìîãóò íà÷èíàòüñÿ è îêàí÷èâàòüñÿ íà
çàðÿäàõ.
Óðàâíåíèÿ (9.10.9), (9.10.10),
(9.10.11) è (9.10.12) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â èí-
òåãðàëüíîé ôîðìå. Îò óðàâíåíèé â èíòåãðàëüíîé ôîðìå ìîæíî ñ ïî-
ìîùüþ òåîðåì âåêòîðíîãî àíàëèçà ïåðåéòè ê óðàâíåíèÿì â äèô-
ôåðåíöèàëüíîé ôîðìå, êîòîðûå ñâÿçûâàþò çíà÷åíèÿ

E èëè H
â íåêîòîðîé òî÷êå ñ

d
dB
t
èëè

d
dD
t
â òîé æå ñàìîé òî÷êå ïðîñòðàí-
ñòâà. Îäíàêî ýòî âûõîäèò çà ðàìêè ïðîãðàììû ïî âûñøåé ìàòåìà-
òèêå äëÿ ôàðìàöåâòè÷åñêèõ è ìåäèöèíñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé.
Óðàâíåíèÿ (9.10.9), (9.10.10), (9.10.11) è (9.10.12), òàê íàçûâàå-
ìûå óðàâíåíèÿ ïîëÿ, íå ó÷èòûâàþò ñâîéñòâà ñðåäû, â êîòîðîé ñó-
ùåñòâóåò ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, è âçàèìîäåéñòâèå ïîëÿ ñ âåùå-
Ðèñ. 9.10.2. Ôîðìèðîâàíèå âèõðå-
âîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ èíäóêöèåé B ïåðåìåííûì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì
íàïðÿæåííîñòüþ E
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

315
ñòâîì. Âëèÿíèå ñðåäû íà ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå îïèñûâàåòñÿ îò-
íîñèòåëüíûìè ýëåêòðè÷åñêîé ε è ìàãíèòíîé µ ïðîíèöàåìîñòÿìè
è óäåëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîñòüþ σ. Ïîýòîìó ê ñèñòåìå [(9.10.9) —
(9.10.12)] èç ÷åòûðåõ óðàâíåíèé äîáàâëÿþòñÿ åùå òðè óðàâíåíèÿ
ñîñòîÿíèÿ ñðåäû, òàê íàçûâàåìûå ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ:
=ε ε rr 0 DE ; (9.10.13)
=µ µ rr 0 BH ; (9.10.14)
=σr
r
. jE (9.10.15)
Ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé ïîëÿ [(9.10.9) — (9.10.12)] è ìàòåðè-
àëüíûõ óðàâíåíèé [(9.10.13) — (9.10.15)] îáðàçóåò ïîëíóþ ñèñòåìó
óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, ÿâëÿþùèõñÿ îñíîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè ïî-
êîÿùèõñÿ ñðåä.
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ñûãðàëè è ïðîäîëæàþò èãðàòü îãðîìíóþ
ðîëü â ðàçâèòèè ôèçèêè. Îíè ïîçâîëèëè îáúÿñíèòü óæå èçâåñòíûå
íà òîò ìîìåíò âðåìåíè ôàêòû, à òàêæå ïðåäñêàçàòü ðÿä íîâûõ,
íàïðèìåð, ñóùåñòâîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ýëåêòðîìàãíèò-
íóþ ïðèðîäó ñâåòà. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ëåæàò â îñíîâå ýëåêòðî-
òåõíèêè è ðàäèîòåõíèêè.
Ïåðåìåííîå ìàãíèòíîå ïîëå âûçûâàåò ïîÿâëåíèå ýëåêòðè÷åñêî-
ãî ïîëÿ è íàîáîðîò — òîêè ñìåùåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ ïåðåìåííûì
ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì, âûçûâàþò ïîÿâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Òà-
êèì îáðàçîì, ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ïîëÿ íåðàçðûâíî âçàèìî-
ñâÿçàíû è îáðàçóþò åäèíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Ðàñïðîñòðàíå-
íèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå, ñîïðîâîæäàþùååñÿ
âçàèìíûì ïðåâðàùåíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé, íà-
çûâàåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíîé.
Óðàâíåíèÿ (9.10.9) è (9.10.11) ìîãóò áûòü ïðåîáðàçîâàíû ê âèäó:
∂∂∂ ∂
++ =εεµµ
∂∂∂ ∂rrr r222
00
222 2
; EEE E
xyz t (9.10.16)
è
∂∂∂ ∂
++ =εεµµ
∂∂∂ ∂rrr r222 2
00
222 2
. HHH H
xyz t (9.10.17)
Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (9.10.16) è (9.10.17) íåðàçðûâíî âçàè-
ìîñâÿçàíû, òàê êàê îíè âûâåäåíû èç óðàâíåíèé (9.10.9) è (9.10.11),
êàæäîå èç êîòîðûõ ñîäåðæèò è
r
E, è r
. H
Óðàâíåíèÿ òàêîãî âèäà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âîëíîâûå óðàâíåíèÿ
[ñðàâíèòå ñ âîëíîâûì óðàâíåíèåì ìåõàíè÷åñêèõ âîëí (2.4.7)] è óêà- § 9.10. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû

316
çûâàþò íà òî, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü â âèäå
ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ôàçîâàÿ ñêîðîñòü êîòîðûõ ðàâíà:
00
11
v=⋅
ε
µ εµ. (9.10.18)
Äëÿ âàêóóìà èç ôîðìóëû (9.10.18) ïîëó÷àåòñÿ:
8
12 7
00 11
310 м/с
8, 8 5 1 0 4 1 0 vc
−− == = =⋅
εµ
⋅⋅π⋅ . (9.10.19)
Òàêèì îáðàçîì, â âàêóóìå ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí
ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà (ñâåò, ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, è åñòü ýëåê-
òðîìàãíèòíûå âîëíû â îïðåäåëåííîì äèàïàçîíå ÷àñòîò èëè äëèí
âîëí).
Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â ñðåäå ðàâíà
cc
v
n ==
εµ . (9.10.20)
Âåëè÷èíà
=εµ n (9.10.21)
íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû. Îíà ïîêà-
çûâàåò, âî ñêîëüêî ðàç ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â äàííîé
ñðåäå ìåíüøå ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â âàêóóìå.
Çàïèøåì ÷àñòíûé ñëó÷àé óðàâíåíèé (9.10.16) è (9.10.17) äëÿ
ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â îäíî-
ðîäíîé íåïðîâîäÿùåé ñðåäå (
ρ=
0 ; = r
0 j ; =ε ε rr 0 DE ; =µ µ rr 0 ; BH
ε è µ — ïîñòîÿííûå) âäîëü îñè õ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âîëíîâûì
ïîâåðõíîñòÿì:
22
00
22yyEE
xt ∂∂
=ε εµ µ
∂∂ (9.10.22)
è
22
00
22zzHH
xt ∂∂
=ε εµ µ
∂∂ . (9.10.23)
Îòìåòèì, ÷òî îñòàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå
r
Eè r
H ðàâíû íóëþ, òî
åñòü Å
x = Å z = 0; Í x = Í y = 0, òîãäà E y= E; H z= H. Èíäåêñû y è z
ïðè Å è Í ïîä÷åðêèâàþò òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âåêòîðû r
E è r
H
íàïðàâëåíû ïî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûì îñÿì y è z.
Ïðîñòåéøèì ðåøåíèåì óðàâíåíèé (9.10.22) è (9.10.23) áóäåò
ñëåäóþùåå:Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

317
=ω−+α 00cos ( ); yEE tkx (9.10.24)
=ω−+α 00cos( ) zHH tkx , (9.10.25)
ãäå ω — öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà âîëíû; k — âîëíîâîå ÷èñëî,
2
k
v ωπ
==
λ ; λ — äëèíà âîëíû; α 0 — íà÷àëüíàÿ ôàçà êîëåáàíèé.
Èç ôîðìóë (9.10.24) è (9.10.25) âèäíî, ÷òî âåêòîðû
r
E è r
H
êîëåáëþòñÿ â îäèíàêîâîé ôàçå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èõ àìïëèòó-
äû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
εε= µµ 00 0 0EH . (9.10.26)
Îòíîøåíèå
0
0E
H íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì ñîïðîòèâëåíèåì ñðåäû:
µµ
=
εε 00
00E
H . (9.10.27)
Äëÿ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â âàêóóìå (
ε=1 , µ=1 ):
7
00
12
00 410
120 377
8, 8 5 1 0 E
H −
− µ
π⋅
== =π≈
ε
⋅ Îì.
Óðàâíåíèÿ (9.10.24) è (9.10.25) ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû
ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âåêòîðíîì âèäå:
() =ω− rr 0cos EE tkx ; (9.10.28)
() =ω− rr 0cos HE tkx (9.10.29)
ïðè α
0 = 0.
Íà ðèñ. 9.10.3 ïîêàçàíà «ìîìåíòàëüíàÿ ôîòîãðàôèÿ» ïëîñêîé
ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, âåêòîðû
r
E è r
H
Ðèñ. 9.10.3. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà:
(λ — äëèíà âîëíû; vr — åå ñêîðîñòü (ñòðåëêîé óêàçàíî íàïðàâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû)
§ 9.10. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû

318
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû è, èçìåíÿÿñü ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêî-
íó, îáðàçóþò ñ íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû ïðàâîâèíòî-
âóþ ñèñòåìó. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû ÿâëÿþòñÿ ïîïåðå÷íûìè,
òî åñòü âåêòîðû
r
E è r
H êîëåáëþòñÿ â ïëîñêîñòÿõ, ïåðïåíäèêó-
ëÿðíûõ âåêòîðó ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû.
Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, êàê è ëþáûå äðóãèå âîëíû, ïåðåíî-
ñÿò ýíåðãèþ. Ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ω
ÅÍ ñêëà-
äûâàåòñÿ èç ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ïëîòíîñòè
ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ:
εε µµ
ω=ω+ω= + 22
00
22 EH E H EH . (9.10.30)
 ñëó÷àå âàêóóìà è íåïðîâîäÿùåé ñðåäû
() = r
0 j âåêòîðû rE è r
H
èçìåíÿþòñÿ â îäèíàêîâîé ôàçå. Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå (9.10.26) ìåæ-
äó Å
0 è Í 0 ñïðàâåäëèâî è äëÿ èõ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé.
Îòñþäà
ω =εε =µµ = εεµµ 22
00 00 . EH EH EH (9.10.31)
Óìíîæèâ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ω
ÅÍ íà ñêîðîñòü v (9.10.18), ïîëó-
÷àåì ìîäóëü ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè:
, EH IvEH=ω = (9.10.32)
èëè â âåêòîðíîé ôîðìå:


 rrr
IEH . (9.10.33)
Âåêòîð
r
I íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì Ïîéíòèíãà. Åãî íàïðàâëåíèå
ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïåðåíîñà ýíåðãèè â èçîòðîïíûõ ñðåäàõ
(à òàêæå ñî ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû), à ìîäóëü ýòîãî
âåêòîðà ðàâåí ÅÍ.
Ðèñ. 9.10.4. Øêàëà ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí
Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

319
Ñðåäíÿÿ ïî âðåìåíè ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè íàçûâàåòñÿ èí-
òåíñèâíîñòüþ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû:
2
000
0
0
0 11
d
22T
t EH
II It E
Tεε
== = =
µµ

rr , (9.10.34)
ãäå Ò — ïåðèîä êîëåáàíèé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû.
Âñå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû èìåþò åäèíóþ ïðèðîäó. Â çàâè-
ñèìîñòè îò ÷àñòîòû
ν (èëè äëèíû âîëíû λ) èõ ïîäðàçäåëÿþò íà
äèàïàçîíû: ðàäèîâîëíû, èíôðàêðàñíîå (ÈÊ) èçëó÷åíèå, âèäèìûé
ñâåò, óëüòðàôèîëåòîâîå (ÓÔ) èçëó÷åíèå, ðåíòãåíîâñêîå èçëó÷åíèå,
γ-ëó÷è (ðèñ. 9.10.4).
Î âîçäåéñòâèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ðàçëè÷íûõ äèàïàçîíîâ
íà æèâûå îðãàíèçìû ñì. â ãëàâå 16.
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß
ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×
Çàäà÷à 9.1. Íà ðèñ. 9.1. èçîáðàæåíû ñòðóêòóðíûå ôîðìóëû îðòîäè-
õëîðáåíçîëà î-Ñ
6Í4Cl2, ìåòàäèõëîðáåíçîëà ì-Ñ 6Í4Cl2, ïàðàäèõëîðáåíçîëà
ï-Ñ
6Í4Cl2 è ìîíîõëîðáåíçîëà Ñ 6Í4Cl. Îïðåäåëèòå äèïîëüíûå ìîìåíòû
ïåðâûõ òðåõ ìîëåêóë, ó÷èòûâàÿ, ÷òî äèïîëüíûé ìîìåíò ìîíîõëîðáåíçîëà
C
6H4Clðàâåí 5•10 –30 Êë•ì.
Ðèñ. 9.1. Õèìè÷åñêèå ôîðìóëû ê çàäà÷å 9.1
îðòîäèõëîðáåíçîë ìåòàäèõëîðáåíçîë ïàðàäèõëîðáåíçîë ìîíîõëîðáåíçîë
Ðåøåíèå. Ìîëåêóëà áåíçîëà â ñèëó ñâîåé ñèììåòðèè íå ìîæåò èìåòü
äèïîëüíûé ìîìåíò â îòñóòñòâèå âíåøíåãî ïîëÿ.
Äëÿ ìîëåêóëû ìîíîõëîðáåíçîëà ýòà ñèììåòðèÿ íàðóøåíà, â ñèëó ÷åãî
â íàïðàâëåíèè, óêàçàííîì íà ðèñóíêå ïóíêòèðîì, ïîÿâëÿåòñÿ äèïîëüíûé
ìîìåíò ð
0 = 5•10 –30 Êë•ì. Òîãäà ïîëíûé äèïîëüíûé ìîìåíò îðòîäè-
õëîðáåíçîëà ðàâåí âåêòîðíîé ñóììå äâóõ òàêèõ ìîìåíòîâ, ðàñïîëîæåí-
íûõ ïîä óãëîì 60° (áåíçîëüíîå êîëüöî — ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê).
Îí ëåãêî âû÷èñë