Математика в химии, В. В. Ерёмин

Формат документа: pdf
Размер документа: 0.43 Мб





Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

62

МАТЕМАТИКА В ХИМИИ 1

В.В. Еремин
Химический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, МоскZ, Российская Федерация

Никто не сделал так много для улучшения условий
жизни людей, как химики.
Г. Крото, Нобелеkdbc лауреат по химии 1996 года

Химия – одна из наук, изучающих природу. Многие химики, прояeyy сhckl-
_gguc профессионалам снобизм, считают ее основой естествознания. Впрочем, точ-
но так же думают физики и биологи. И каждый имеет на то сhb основания. Физика
рассматриZ_l наиболее общие законы Вселенной, биология исследует самое инте-
ресное яe_gb_ h Вселенной – жизнь, а химия
изучает то, из чего построены объекты
окружающего мира, – _s_klа. Все многообразие проблем, которые решает химия,
можно с_klb к следующим осноguf hijhkZf:
• Какие быZxl _s_klа?
• Как они устроены?
• Как сyaZgh строение _s_kl\ с их сhckl\Zfb?
• Как из одних _s_kl\ получить другие, более полезные или интересные?
Химия как
наука и как способ познания природы обладает необычными сhckl-
Zfb. У нее нет собст_gguo законов. Все законы химии, dexqZy Периодический за-
кон, служат лишь частными прояe_gbyfb общих законов, которыми занимается фи-
зика. Поэтому недалекие научные работники считают химию частью физики. Разуме-
ется, это глубоко ошибочная точка зрения. А что же
есть в химии сh_]h? В перmx
очередь, колоссальное многообразие изучаемых объектов. Одних только чистых ин-
диb^mZevguo _s_kl\ в химии охарактеризоZgh около 20 миллионов
2, не считая
многочисленных смесей. А _^v есть еще и химические реакции между _s_klами.
Из k_o из_klguo химии _s_kl\ лишь очень небольшая доля – всего несколько
процентов – имеется в природе, остальные _s_klа – продукт деятельности учёных.
По мнению u^Zxs_]h американского химика Роальда Хоффмана (род. 1937), хими-
ки отличаются от любых других ученых тем, что
собст_gghjmqgh творят те объекты,
которые потом hkijbgbfZxl и изучают. В точности то же самое делают писатели,
художники и композиторы. Это роднит химию с искусством. Другие естест_ggu_
науки – физика и биология – изучают то, что создано природой, а химия – глаguf
образом то, что сделала сама.
1 Статья написана по мотиZf лекции для математиков на «Малом мехмате» МГУ. 2 Самая большая из k_o из_klguo к концу прошлого _dZ молекул – ДНК одного из бактериофагов – содержит
199013 атомов.

63
Химия сродни не только искусству, но и her_[kl\m. Многие химические опы-
ты, сопроh`^Zxsb_ky неожиданным изменением ц_lZ, объема или агрегатного
состояния, производят на непосвященных людей магическое i_qZle_gb_. Во k_
j_f_gZ химики отличались большим искусством трансформации _s_kl\. Именно
поэтому специалистов по какому-нибудь делу, лоdbo людей и даже мошенников на
Руси шутливо
назыZeb «химиками». Д.И. Менделеев kihfbgZe о таком случае:
«Еду я в Моск_ как-то на изhaqbd_, а наklj_qm нам полицейские _^ml кучку ка-
ких-то жуликов. Изhaqbd мой поворачиZ_lky и говорит: «Ишь, химиков по_eb»
[1, с. 180].
Химикам присущ уникальный, характерный только для них, a]ey^ на окру-
жающий мир. Нобелеkdbc
лауреат, один из первооткрыZl_e_c фуллеренов Гарольд
Крото (род. 1939) писал [2]: «Химики, по-моему, страдают особой формой «шизофре-
нии». В самом деле, их мышление – это причудливая смесь самых абстрактных и со-
k_f наглядных предстаe_gbc. Они знают о тонких кZglhо-механических законо-
мерностях, определяющих сhcklа молекул, которые, в сhx очередь, от_lklенны
за k_ многообразие
окружающего нас мира. Эта aZbfhkязь микро- и макромира ос-
тается скрытой от ученых других специальностей. Кроме того, никто не сделал так
много для улучшения условий жизни людей, как химики, но их заслуги в должной
мере не оценены».
Настоящий химик k_]^Z «чуkl\m_l _s_klо». Это прояey_lky и в лаборато-
рии, где создаются
рецепты синтеза новых _s_kl\, и в быту, где, например, быZ_l
нужно подобрать подходящий клей или растhjbl_ev. Соj_f_ggu_ химики умеют
работать не только с большими количестZfb _s_kl\, но и с отдельными атомами
и молекулами. Техника манипулироZgby атомами достигла такой ukhdhc степени
развития, что химики могут синтезировать любую наперед заданную молекулу или
надмолекулярную структуру со сложной архитектурой. Теперь глаgh_ – понять,
что именно надо синтезировать. На перuc план в химии uoh^bl прикладной ас-
пект: осноgZy задача состоит в поиске ноuo _s_kl\, обладающих полезными
сhckl\Zfb – катализаторов, лекарственных средств, строительных материалов, ак-
кумуляторов энергии.
Роль математики в химии
«Кто не понимает ничего, кроме химии, тот и ее понимает
недостаточно».
Г.К. Лихтенберг (1742-1799), немецкий ученый и писатель.
«В любой науке столько истины, сколько в ней математики».
Иммануил Кант (1724-1804)
Химия широко использует в сhbo целях достижения других наук, в первую
очередь, физики и математики. Химики обычно определяют математику упрощенно
– как науку о числах. Числами ujZ`Zxlky многие сhcklа _s_kl\ и характеристи-
ки химических реакций. Для описания _s_kl\ и реакций используют физические

64
теории, в которых роль математики настолько _ebdZ, что иногда трудно понять, где
физика, а где математика. Отсюда следует, что и химия немыслима без математики.
Математика для химиков – это, в первую очередь, полезный инструмент реше-
ния многих химических задач. Очень трудно найти какой-либо раздел математики,
который соk_f не используется в
химии. Функциональный анализ и теория групп
широко применяются в кZglhой химии, теория _jhylghkl_c состаey_l основу ста-
тистической термодинамики, теория графов используется в органической химии для
предсказания сhckl\ сложных органических молекул, дифференциальные ураg_gby
– осноghc инструмент химической кинетики, методы топологии и дифференциаль-
ной геометрии применяются в химической термодинамике. Выражение «математиче-
ская химия»
прочно hreh в лексикон химиков. Многие статьи в серьезных химиче-
ских журналах не содержат ни одной химической формулы, зато изобилуют матема-
тическими ураg_gbyfb.
Приложения математики в химии обширны и разнообразны. Ниже мы постара-
емся Zf это показать.
Какие ограничения накладыZ_l химия на решение математических задач?
Как-то раз Гаусс спорил с Аh]Z^jh (1776-1856) о сущности научных законов. Гаусс ут-
_j`^Ze, что законы сущестmxl только в математике, а потому химия почитаться за науку не
может. В от_l Аh]Z^jh сжег 2 л h^hjh^Z в литре кислорода и, получив два литра h^ygh]h
пара, торжестmxs_ hkdebdgme: «Вот b^bl_! Если химия захочет, то
дZ плюс один окажутся
раgu двум. А что скажет на это ZrZ математика?» ([1], с. 95).
Математические уравнения и методы, используемые в химии, имеют дело не с
абстрактными _ebqbgZfb, а с конкретными сhcklами атомов и молекул, которые
подчиняются естест_gguf природным ограничениям. Иногда эти ограничения бы-
Zxl доhevgh жесткими и приh^yl к резкому сужению числа hafh`guo решений
математических уравнений. Гоhjy другим языком, математические уравнения, при-
меняемые в
химии, а также их решения должны иметь химический смысл. Рассмот-
рим конкретные примеры.
1) Число атомов в молекулах должно быть положительным целым числом.
Рассмотрим ураg_gb_ 12x + y = 16. Для математика это ураg_gb_ описыZ_l прямую
линию на плоскости. Оно имеет бесконечно много решений, в том числе и целочис-
ленных. А для химика ujZ`_gb_
12x + y описыZ_l молекулярную массу углеводо-
рода C
xHy (12 – атомная масса углерода, 1 – h^hjh^Z). Молекулярную массу 16 имеет
единст_gguc углеводород – метан CH
4, поэтому только одно решение данного урав-
нения обладает химическим смыслом: x = 1, y = 4.
2) Одно из ключеuo понятий химии – Ze_glghklv, то есть число химических
сya_c, которыми данный атом соединен с другими. Валентность почти k_]^Z яв-
ляется положительным целым числом
3. Например, углерод в органических соеди-
3 В некоторых приложениях кZglhой химии фигурируют дробные значения Ze_glghklb.

65
нениях почти k_]^Z четырехвалентен. Это накладыZ_l некоторые ограничения на
химические формулы. Например, число атомов h^hjh^Z h k_o углеводородах чет-
но. Кроме того, оно k_]^Z имеет _jogxx границу.
Найдем максимально hafh`gh_ число атомов h^hjh^Z в углеh^hjh^_, содер-
жащем n атомов углерода. Любой химик, будь то школьник, студент или научный со-
трудник,
сразу скажет, что это число раgh 2n + 2. Оно соот_lkl\m_l предельным уг-
леh^hjh^Zf – алканам. Решим эту задачу с помощью математических рассуждений.
Общее число Ze_glghkl_c углерода в молекуле C
nHx раgh 4n, так как каждый
атом углерода четырехZe_gl_g. Что oh^bl это число? Атомы углерода сyaZgu друг
с другом и с атомами h^hjh^Z. Минимально hafh`gh_ число сya_c C–С раgh
(n–1) – оно необходимо, чтобы углеродный скелет не имел разрыh\. В каждой такой
сyab участвует дZ атома углерода, поэтому число Ze_glghkl_c, расходуемых на

сyab C–С, раgh 2(n–1). Остальные 4n – 2(n–1) = 2n + 2 Ze_glghkl_c расходуются на
сyab C–H. Водород одноZe_gl_g, поэтому число его атомов раgh числу сya_c
C–H: x = 2n + 2. Доказательстh закончено.
3) Многие физические _ebqbgu, используемые для описания химических _-
ществ и реакций, могут принимать только неотрицательные значения: масса, объ-
ем, концентрация, скорость реакции и др.
Химикам часто приходится решать задачи на расчет состаZ раghесной смеси.
В них hagbdZxl полиномиальные ураg_gby относительно доли преjZs_gby исход-
ных _s_kl\ в продукты. Согласно осноghc теореме алгебры полином n-ой степени
имеет роgh n корней, среди которых могут быть и комплексные. Однако h k_o
ураg_gbyo, hagbdZxsbo в химии, только один
корень имеет химический смысл.
Рассмотрим такой пример. Смесь азота и h^hjh^Z в соотношении 1 : 3 нагрели
до установления раghесия. Рассчитаем, какая доля исходных _s_kl\ преjZlbeZkv
в аммиак, если константа раghесия при конечной температуре смеси и даe_gbb
100 атм раgZ 5⋅10
–6.
Запишем ураg_gb_ реакции:
N
2 + 3H 2 = 2NH 3.
Состаbf таблицу, в которой указаны количестZ _s_kl\ до реакции, klmibших в
реакцию и после реакции. Долю прореагироZшего азота обозначим x.

КоличестZ _s_kl\, моль N 2 H 2 NH 3 Всего
Исходный состав 1 3 0
Вступило в реакцию
x 3x 2x
Конечный (раghесный) состав 1 – x 3 – 3x 2x 4 – 2x
Неиз_klgh_ x можно определить из уравнения, ujZ`Zxs_]h константу раghесия
через даe_gby находящихся в смеси газов:

66
3
22
2
2
NH
6
3
3
NH 2
42
5.0 10
133
42 42x
P
P
x
K
PP
xx
PP
xx

⎛⎞
⎜⎟

⎝⎠
== =⋅
−−
⎛⎞

⎜⎟
−−
⎝⎠

При P = 100 атм данное ураg_gb_ 4-й степени относительно x имеет четыре дейстb-
тельных корня:
x
1 = –0.187, x 2 = 0.120, x 3 = 1.880, x 4 = 2.187,
из которых только один (x
2) удоe_lоряет условию положительности концентраций.
Такой результат со_jr_ggh типичен для расчетов химических раghесий: каким бы
сложным ни было ураg_gb_ относительно степени преjZs_gby реагентов в продук-
ты и сколько бы корней (в том числе и положительных) оно ни имело, k_]^Z только
один корень будет обладать химическим смыслом, то есть приh^blv к положитель-
ным раghесным концентрациям k_o _s_kl\.
В данном примере uoh^ реакции, то есть доля прореагироZших _s_kl\, со-
стаbe 12%.
4) В химии нет иррациональных чисел. Иррациональное число содержит бес-
конечное число знаков в десятичной записи. Химия – наука экспериментальная, она
оперирует с результатами измерений, которые ujZ`Zxlky или целыми числами, или
дробными, но полученными
с конечной точностью, как праbeh, не более 4 значащих
цифр. Например, показатель преломления _s_klа может быть ра_g 1.414, но не
быZ_l раguf 2
1/2 . Поэтому числа π и e, часто возникающие в химических расчетах,
обычно округляют до 3.14 и 2.72, соот_lklенно.
5) В химии нет понятия «бесконечность». Число атомов в наблюдаемой части
Вселенной очень _ebdh, но конечно, поэтому в природе нет бесконечно больших _-
личин. Какоu же самые большие числа, используемые химиками? Число атомов h
Вселенной
оцениZ_lky как 10 80, на Земле – 10 50 атомов, в чело_q_kdhf организме их
примерно 10
27. В статистической термодинамике hagbdZ_l число способов переста-
ноdb одинакоuo молекул в порции жидкого _s_klа, которое раgh N!, где N ~
10
23. Для оценки этого числа используем формулу Стирлинга:
23 23 23 23 24 ln(10 !) 10 ln(10 ) 10 5 10 ≈−≈⋅
( ) 24 23 24 2 10 10 ! exp 5 10 10 ⋅ ≈⋅≈
Для сраg_gby, математик Харди утверждал [3], что самое большое число, которое
когда-либо служило какой-либо цели в математике, раgh
34
10
10
10 .
Аналогично, в химии нет и бесконечно малых _ebqbg. Каждая физическая _-
личина – j_fy, энергия, масса, расстояние – имеет конечное наименьшее значение,
которому присущ химический смысл. Например, j_fy в химии ограничено снизу
значением 10
–14 с, которое характеризует самую быструю реакцию среди k_o ha-
можных:
H + H = H
2.

67
Нижняя граница для расстояний – это 10 –10 м, то есть характерный размер атомов.
Меньшие значения с точки зрения химии уже не имеют смысла.
Раз нет бесконечно малых _ebqbg, то, строго гоhjy, теряет смысл понятие
«произh^ghc в точке», которое раgh отношению бесконечно малых приращений
функции и аргумента. Тем не менее, в химии производная играет очень большую
роль:
произh^gu_ по температуре, даe_gbx и объему состаeyxl основу математи-
ческого аппарата химической термодинамики, а производные по j_f_gb – химиче-
ской кинетики. Это сyaZgh с тем, что при той точности измерений, которая принята в
химии, отличие произh^ghc от отношения конечных приращений экспериментально
ненаблюдаемо, то есть раgh нулю практически:
() 0f
ft
t ∆ ′ − ≈
∆ .
Симметрия в химии. Как она помогает устанаebать структуру
Симметрия – одно из осноguo понятий в соj_f_gghc науке. Она лежит в ос-
но_ фундаментальных законов природы, таких как закон сохранения энергии. Сим-
метрия – очень распространенное яe_gb_ в химии: практически k_ из_klgu_ моле-
кулы либо сами обладают симметрией какого-либо рода, либо содержат
симметрич-
ные фрагменты [4]. Так что, пожалуй, в химии труднее обнаружить несимметричную
молекулу, чем симметричную.
Из k_o многочисленных применений теории симметрии в химии мы рассмот-
рим только одно – доhevgh красиh_, хотя и несколько устаревшее: как с помощью
симметрии определить структуру _s_klа, если из_klgZ его молекулярная форму-
ла?
Одно из самых
популярных в химии _s_kl\ – бензол. Он был u^_e_g знаме-
нитым ученым Майклом Фарадеем в 1825 г. из с_lbevghc жидкости, которая в то
j_fy применялась для ос_s_gby улиц. В те же годы была установлена молекуляр-
ная формула бензола C
6H6. Однако его строение долгое j_fy остаZehkv загадкой:
даже после того, как была установлено, что углерод имеет Ze_glghklv IV и может
образоu\Zlv дhcgu_ С=С и тройные С≡С сyab, было непонятно, как и в какой по-
следоZl_evghklb соединены между собой атомы углерода.
Определить число hafh`guo изомеров состаZ C
6H6, в которых углерод имеет
Ze_glghklv IV, а h^hjh^ – I, – это отдельная математическая задача. Ее решение да-
ет число 217 – именно столько существует топологически различных структур, от_-
чающих формуле C
6H6. Большинстh из них не предстаey_l интереса для химии, так
как из-за пространст_gguo ограничений они могут сущестhать только на бумаге.
Однако задачу о числе изомеров можно постаblv более узко: сколько сущестm_l
структур, состаe_gguo только из фрагментов CH? Этот фрагмент имеет Ze_glghklv
III. СкомбинироZlv шесть таких фрагментов друг с другом можно k_]h шестью
спо-
собами. Перечислим hafh`gu_ структуры:

68
1) Основу кекулеkdh]h бензола состаey_l праbevguc шестиугольник из ато-
мов углерода, сyaZgguo между собой чередующимися одинарными и дhcgufb сy-
зями:
C
C
CC C C H
H
H
H HH
или

2) Дьюароkdbc бензол имеет бициклическую структуру и д_ дhcgu_ сyab
C=C:
или
3) В призмане (бензоле Ладенбурга) углеродный каркас имеет форму треуголь-
ной призмы, а k_ сyab в молекуле – одинарные:
или

4) БензZe_g содержит несколько углеродных циклов – один пятичленный и дZ трех-
членных:
или

5) Бициклопропенил состаe_g из дmo связанных между собой циклических фраг-
ментов:
или

69
6) Гипотетический бензол Клауса имеет следующий b^:
или
В последней структуре сyab между атомами не пересекаются в центре молекулы. Из
этих шести структур пять были получены в индиb^mZevghf b^_. В частности, смесь
дьюароkdh]h бензола, бензZe_gZ и призмана получается при ультрафиолетовом об-
лучении обычного жидкого бензола:
++


Бензол Клауса не сущестm_l из-за пространст_gguo ограничений.
Теперь посмотрим, какие экспериментальные факты позволили приписать бен-
золу формулу Кекуле. Найдем число теоретически hafh`guo произh^guo бензола,
в которых один или несколько атомов h^hjh^Z замещены на другие атомы или груп-
пы атомов (обозначим заместитель букhc R). Экспериментально определено, что для
каждого R существует только
одно монозамещенное произh^gh_ C 6H5R и роgh три
дизамещенных C
6H4R2.
СуществоZgb_ только одного монозамещенного гоhjbl о том, что k_ атомы
углерода в C
6H6 структурно экbалентны. Этому условию удоe_lоряют только
бензолы Кекуле и Ладенбурга. В самом деле, в силу симметрии бензола Кекуле заме-
щенные структуры
R
R
R
предстаeyxl одно и то же _s_klо. Аналогично – для бензола Ладенбурга. А hl в
бензоле Дьюара атомы углерода быZxl дmo типов: при дhcghc сyab и g_ ее, по-
этому hafh`gu дZ типа монозамещенных:
R
и
R

Попробуйте самостоятельно определить, сколько различных монозамещенных
состаZ C
6H5R существует у бензZe_gZ и бициклопропенила.
Определим теперь теоретическое число различных дизамещенных, C
6H4R2. По-
сле едения перh]h заместителя в молекулу кекулеkdh]h бензола симметрия моле-
кулы уменьшается: если в молекуле C
6H6 k_ атомы углерода в кольце были экbа-
лентны, то в C
6H5R экbалентность сохраняется только между атомами 2,6 и 3,5:

70
R
1
2
43
5 6

Поэтому добаe_gb_ lhjh]h R в молекулу C
6H5R приh^bl к трем дизамещенным –
орто-, мета- и пара-изомерам:
R
R R
R R
R
1
2
орто-изомер
(1,2-)мета-изомер
(1,3-)1
31
пара-изомер
(1,4-)4 22
3
43
4


Для призмана, на перuc a]ey^, число дизамещенных точно такое же – три:

Именно так рассуждал Ладенбург, который считал, что благодаря этому факту его
модель соот_lkl\m_l молекуле бензола. Однако Ладенбург был не соk_f прав. На
самом деле, сущестm_l чет_jlh_ дизамещенное производное. Дело в том, что одна
из структур, а именно праZy, не имеет ни осей, ни плоскостей симметрии. Такие мо-
лекулы не соiZ^Zxl
со сhbf зеркальным отражением. Их назыZxl зеркально
асимметричными или оптически актиgufb, потому что они способны aZbfh^_ckl-
hать с плоскополяризоZgguf с_lhf. Молекулы, имеющие плоскость симметрии,
зеркально симметричны и на плоскополяризоZgguc с_l не ebyxl.
Зеркальная асимметрия – понятие не только химическое. Зеркально асиммет-
ричные объекты klj_qZxlky не только в химии, но и в
окружающем нас мире. На-
пример, леZy и праZy рука яeyxlky зеркальным отображением друг друга, но не
соiZ^Zxl между собой
4.
Одно из дизамещенных призмана также яey_lky зеркально асимметричным и
может сущестhать в b^_ дmo оптических изомеров:
4 В химии зеркально асимметричные объекты часты назыZxl хиральными (от греческого chier – рука).

71 R
R R
R

А у кекулеkdh]h бензола и его моно- и дизамещенных не существует оптических
изомеров, так как молекула бензола – плоская и его производные имеют плоскость
симметрии, проходящую через атомы углерода.
СледоZl_evgh, единст_gghc структурой, удоe_lоряющей эксперименталь-
ным данным о числе моно- и дизамещенных производных, является кекулеkdbc бен-
зол.
Вот так соображения симметрии
позволяют устаноblv структуру молекул, ана-
лизируя число их производных или количестh продуктов реакций.
Какая сyav между дифференциальным ураg_gb_f y′ = y/x – 1
и сложным эфиром этиленгликоля и уксусной кислоты?
Погоhjbf о дифференциальных ураg_gbyo в химии.
Химия изучает сhcklа _s_kl\ и их заbkbfhklv от условий – температуры,
даe_gby, концентрации. Поэтому химикам часто
приходится исследоZlv функции
одной или нескольких переменных. Как из_klgh, осноghc способ исследоZgby
функции – анализ ее произh^ghc. Некоторые законы химии имеют дело с произh^-
ными и устанаebают праbeZ, по которым можно рассчитать производные и найти
искомые функции.
В первую очередь это касается химической кинетики – науки о скоростях и ме-
ханизмах химических
реакций. Скорость химической реакции показыZ_l, насколько
быстро увеличиZ_lky количестh продуктов реакции и уменьшается количестh ис-
ходных _s_kl\ (реагентов). Она обычно определяется как произh^gZy от концен-
трации продуктов по j_f_gb. Например, для реакции изомеризации b^Z
A → B
скорость реакции r, по определению, раgZ:
B () ()rt c t ′ = .
Как и концентрации, скорость реакции заbkbl от j_f_gb. Согласно ураg_gbx ре-
акции, сколько молекул B образоZehkv, столько же молекул A израсходоZgh, по-
этому общее количестh молекул A и B в любой момент времени остается неизмен-
ным – оно раgh исходной концентрации A:
c
A(t) + c B(t) = c A,0 .

72
ПродифференцироZ\ это тождестh по j_f_gb и учтя, что произh^gZy от постоян-
ной раgZ 0, находим, что скорость реакции можно ujZablv и через произh^gmx от
концентрации исходного _s_klа A:
AB
BA() () 0
() () () ct ct
rt c t c t′′
+=
′ ′
==−

Осноghc закон химической кинетики ут_j`^Z_l, что скорость элементарной
реакции (то есть, реакции, протекающей в одну стадию) пропорциональна произ_^_-
нию концентраций k_o реагирующих _s_kl\. В реакции изомеризации участвует
только одно _s_klо, поэтому ее скорость прямо пропорциональна концентрации A:
r(t) = kc
A(t),
где k – коэффициент пропорциональности, назыZ_fuc константой скорости. Он не
заbkbl ни от j_f_gb, ни от концентраций, поэтому и назыZ_lky константой.
Закон дейстmxsbo масс в сочетании с определением скорости дает дифферен-
циальное ураg_gb_, которому подчиняется концентрация исходного _s_klа A:
AA() () ct kct′
−= .
Если задана начальная концентрация, то это уравнение имеет единст_ggh_ решение.
Оно ujZ`Z_lky через экспоненциально убывающую функцию от j_f_gb:
AA() (0) kt ct c e − = .
Данное решение имеет ряд интересных сhckl\. Например, j_fy, за которое проис-
ходит превращение полоbgu _s_klа A, не заbkbl от его концентрации, а опреде-
ляется только константой скорости:
1/ 2
ln 2
t
k =
Разные реакции перh]h порядка отличаются только начальными концентрациями
c(0) и константами скорости k (периодами полураспада). Так, период полураспада ра-
диоактиgh]h изотопа иода
131 I, который попал в атмосферу в результате Чернобыль-
ской аZjbb, – 8 дней. Через месяц после аZjbb распалось 93% этого изотопа, а через
дZ месяца – 99.5%. Другой изотоп, который попадал в атмосферу в результате ядер-
ных испытаний –
90Sr – имеет период полураспада 28,1 лет. За дZ месяца распадается
только 0,42% этого изотопа.
В сложных химических реакциях, состоящих из нескольких стадий, закон дейст-
mxsbo масс записыZ_lky незаbkbfh для каждой стадии. Рассмотрим, например,
реакцию разложения озона O
3, которая состоит из трех стадий:
1
32
2
23
3
32 OOO
OO O
OO 2O k
k
k ⎯⎯→+
+⎯⎯→
+⎯⎯→

Озон расходуется в перhc и третьей реакциях и образуется h lhjhc. Скорость из-
менения его концентрации ujZ`Z_lky следующим образом:
3323O1231O2OO3OO () () () () () () c t rr r kct kctct kctct′
=− + − =− + −

73
Аналогичным образом находятся ураg_gby для дmo других участников реакции –
атомарного и молекулярного кислорода:
323 O1231O 2OO 3OO() () () () () () ct rr r kct kctct kctct ′
=−− = − −
2323O1231O2OO 3OO () 2 () () () 2 () () c t rr r kct kctct kctct ′
=−+ = − +
Данная система трех дифференциальных ураg_gbc перh]h порядка имеет однознач-
ное решение при условии, что заданы начальные концентрации _s_kl\, например:
32OOO(0) 0.01 моль/л, (0) 0, (0) 0 ccc=== .
Решение находят или численными методами, или аналитически, то есть ujZ`Zxl его
через элементарные функции. Последнее достигается, как праbeh, с помощью при-
ближенных методов.
Иногда, используя специальные приемы, удается найти точное решение. Рас-
смотрим реакцию образоZgby сложного эфира этиленгликоля и уксусной кислоты
[5]. Для его получения берут динатриевую соль этиленгликоля NaOCH
2CH 2ONa и
хлорангидрид уксусной кислоты CH
3COCl:

Cl + NaO CH 2CH 2 ONa + Cl C
OCH 3 C
O H 3C
OCH 2CH 2 OC
OCH 3 + 2NaCl C
O H 3C

Эта реакция протекает в д_ стадии: сначала с солью реагирует одна молекула
хлорангидрида, затем – lhjZy. Обозначив исходные _s_klа через X и Y, механизм
реакции можно записать в b^_:
2
XY XY
XY Y XY k
k +⎯⎯→
+⎯⎯→
где XY
2 – продукт реакции, полный сложный эфир, а XY – промежуточное _s_klо,
содержащее только одну сложноэфирную группу –O–CO–. Константы скорости k в
обеих стадиях одинакоu, так как в каждом случае между собой реагируют одни и те
же атомы.
Состаbf систему кинетических ураg_gbc для этой реакции:
2
X1XY
Y12XY XYY
XY 1 2 X Y XY Y
XY 2 XY Y() () ()
() () () () ()
() () () () ()
() () () ct r kctct
ct rr kctct kc tct
ctrrkctctkctct
ctrkctct′
−==

−=+= +

=− = −

==

Начальные условия u[_j_f так, чтобы количестZ исходных _s_kl\ соот_lklова-
ли уравнению реакции, а продукты в начальный момент j_f_gb отсутствоZeb:
c
X(0) = 1, c Y(0) = 2, c XY (0) = c XY2 (0) = 0.
Я сильно сомнеZxkv, что можно точно решить эту систему в яghf b^_ и найти за-
bkbfhklv k_o концентраций от j_f_gb. Существует, однако, любопытный прием,

74
позволяющий упростить систему: f_klh того, чтобы рассматриZlv концентрации
как функции j_f_gb, можно исключить j_fy и найти заbkbfhklv одной концен-
трации от другой. В физической химии это назыZ_lky «состаblv фазоuc портрет».
Для того, чтобы исключить j_fy, поделим третье уравнение на перh_ и найдем
произh^gmx одной концентрации по другой:
XY
XY X
X () 1c
cc
c ′ = −
Это – в точности то ураg_gb_, которое при_^_gh в заголоd_ параграфа (если при-
нять с
XY = y, c X = x). В качест_ дополнительного услоby u[_j_f концентрации в
конце реакции, когда не останется ни исходного _s_klа X, ни промежуточного XY:
с
X(∞) = с XY (∞) = 0. С этим условием дифференциальное уравнение имеет точное ре-
шение:
XY X X ln ccc =−
Концентрации остальных _s_kl\ можно найти, используя закон сохранения массы: в
любой момент j_f_gb сумма концентраций _s_kl\, содержащих фрагменты X,
раgZ исходной концентрации X, то есть 1:
c
X(t) + c XY (t) + c XY2 (t) = c X(0) = 1,
откуда
2XY X X X ln 1 cccc = −+ .
Аналогично записыZ_lky закон сохранения фрагментов _s_klа Y:
c
Y(t) + c XY (t) + 2c XY2 (t) = c Y(0) = 2,
откуда
YXXX 2ln cccc= − .
Таким образом, мы получили полное кинетическое описание этой двухстадийной ре-
акции. На рис. 1 предстаe_g график заbkbfhklb концентраций k_o _s_kl\ от c
X.
1,00,80,60,40,20,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
1,6 1,8 2,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
1,6 1,8 2,0
cXY2
cXY
cY


Концентрация
cX

Рис. 1.Фазоuc портрет двухстадийной реакции X + 2Y = XY
2

75
Напраe_gb_ оси c X u[jZgh так, что леZy часть графика соот_lkl\m_l началу реак-
ции. Из полученного решения можно найти максимальную концентрацию промежу-
точного _s_klа. Максимум функции –c
Xlnc X достигается при c X = e –1 и ра_g e –1, то
есть примерно 0.368, а не 1, как можно было бы ожидать из схемы последоZl_evghc
реакции X + Y + Y. Это означает, что _s_klо XY сразу, как только образуется, на-
чинает превращаться в конечный продукт XY
2.
Колебательные химические реакции
Теория устойчивости дифференциальных ураg_gbc – одна из тех областей ма-
тематики, на которые химия оказала значительное влияние. Это произошло после то-
го, как Б.П. Белоусоuf (1893-1970) и А.М. Жаботинским (1938-2008) была открыта
знаменитая колебательная химическая реакция, ihke_^klии назZggZy в их честь.
Интересна история этого открытия. Борис Паeh\bq
Белоусов был военным хи-
миком. Он обладал качестZfb u^Zxs_]hky ученого и сделал ряд Z`guo открытий
в области ha^_cklия радиации на организм. Этим объясняется то, что, даже не имея
ukr_]h образоZgby, ученый за_^hал лабораторией и по письменному указанию
ukr_]h рукоh^klа страны
5 получал оклад доктора наук. В послеh_ggu_ годы Бе-
лоусов интересоZeky биологическими циклами, сyaZggufb с преjZs_gbyfb _-
ществ в жиuo организмах. Пытаясь найти химические аналоги биологических цик-
лов, он исследоZe окисление лимонной кислоты броматом калия в присутстbb иона
церия (редкоземельного металла) и обнаружил, что в этой реакции концентрации _-
ществ испытыZxl
колебания h j_f_gb. В 1951 г. и 1955 г. Белоусов предпринял
попытки опубликоZlv сh_ открытие в журналах «Журнал физической химии» и
«Журнал общей химии». Отзыu на его статьи были категорично отрицательные – в
них утверждалось, что колебания концентраций неhafh`gu, так как противоречат
законам химии. Это так поebyeh на ученого, что он u[jhkbe сhb
лабораторные за-
писи и забыл о сh_c колебательной реакции.
Через несколько лет после этого ноhc реакцией заинтересоZebkv биохимики и
попросили Белоусова сообщить им методику эксперимента. Так как никаких доку-
ментов у БелоусоZ к тому времени не осталось, ему сноZ пришлось искать исход-
ные компоненты и их пропорции, на этот раз
путем последоZl_evgh]h перебора.
Можно сказать, что открытие было сделано Белоусоuf дZ`^u – перuc раз слу-
чайно, lhjhc раз в результате систематического поиска. Но актиgh участhать в
работе научного коллектиZ он больше не хотел. Все, что удалось коллегам, это уго-
hjblv БелоусоZ еще раз попытаться опубликоZlv сhx статью. В результате един-
ст_ggZy прижизненная
публикация ученого пояbeZkv в «Сборнике рефератов по ра-
диационной медицине» за 1958 г.
Систематическое исследоZgb_ открытой Белоусовым реакции перuf про_e
А.М. Жаботинский. Он обнаружил целый класс колебательных реакций, назZgguc
5 В те годы перuf лицом в СССР был И.В.Сталин (1878-1953).

76
ihke_^klии реакциями БелоусоZ – Жаботинского (в англоязычной литературе да-
же образоZeZkv устойчиZy аббреbZlmjZ – “BZ reactions”). Жаботинский установил,
что многие химические реакции прояeyxl кинетическую неустойчивость. При од-
них условиях – концентрации и температуре они протекают в устойчиhf режиме,
при других – переходят в колебательный режим, а в некоторых случаях демонстри-
руют и хаотическое по_^_gb_. Исследуя механизмы подобных
реакций, химики, а за
ними и математики узнали много ноh]h о разнообразном по_^_gbb решений диф-
ференциальных уравнений и их заbkbfhklb от параметров уравнения [6].
Все неустойчиu_ химические реакции dexqZxl аlhdZlZeblbq_kdb_ стадии. В
них продукт реакции сам яey_lky катализатором: чем больше образуется продукта,
тем быстрее идет реакция. Рассмотрим несколько простых моделей аlhdZlZeblbq_
-
ских реакций, используя качест_gguc анализ дифференциальных ураg_gbc.
ПерZy модель dexqZ_l одну аlhdZlZeblbq_kdmx стадию:
1
2 B2X 3X
DX P+⎯⎯→
+⎯⎯→ k
k

(В и D – реагенты, P – продукт). СкладыZy перh_ и lhjh_ ураg_gb_ и сокращая X
в леhc и праhc частях, находим суммарное ураg_gb_ реакции.
B + D → P
Промежуточное _s_klо X образуется в перhc реакции (в праhc части на одну мо-
лекулу больше,чем в леhc) и расходуется h lhjhc:
2
X121BX 2DX () () () () () ct rr kctct kctct′
=− = −
Пусть реакция протекает в открытой системе, где _s_klа B и D постоянно
добаeyxlky в реагирующую систему так, что их концентрации поддержиZxlky
постоянными и раgufb друг другу: c
B(t) = c D(t) = const. В этом случае, не решая
кинетическое ураg_gb_, можно качест_ggh определить заbkbfhklv концентрации
X от времени.
При указанных условиях дифференциальное ураg_gb_ для c
X(t) принимает b^:
() XBX1X2() () () ct cctkct k ′
=− .
Если начальная концентрация X достаточно _ebdZ: c
X(0) > k 2/k1, то c X′(t) > 0 в любой
момент j_f_gb, и концентрация X монотонно и неограниченно возрастает, f_kl_ со
сh_c перhc производной:
cX
t

77
Если же начальная концентрация X меньше порогоh]h значения: c X(0) < k 2/k1, то
c
X′(t) < 0 в любой момент j_f_gb, и концентрация X монотонно убывает. Возможны
дZ типа криuo: если k
2/2k 1 < c X(0) < k 2/k1, на криhc будет точка перегиба:
cX
t

Если же начальная концентрация X соk_f мала, c
X(0) < k 2/2k 1, то с течением j_f_gb
концентрация будет монотонно убывать f_kl_ с модулем сh_c перhc произh^ghc.
cX
t

В закрытой системе, где _s_klа B и D расходуются и не hah[ghляются, b^
заbkbfhklb c
X(t) будет соk_f другим. Рассмотрим случай большой начальной
концентрации, тогда начальная скорость образоZgby X положительна
2
X1BX 2DX (0) (0) (0) (0) (0) 0 ckcckcc′
=−>
СледоZl_evgh, в начале реакции c
X hajZklZ_l, но она не может увеличиZlvky до
бесконечности, поскольку lhjZy реакция необратима и k_ образоZшееся _s_klо
X неизбежно в конце концов преjZsZ_lky в продукт P. Согласно общему ураg_gbx
реакции B + D → P, _s_klо X в результате k_c реакции не образуется и не
расходуется, то есть служит просто катализатором.

78
cX(0)
cX
t

Еще более интересное по_^_gb_ hafh`gh в системе с несколькими
промежуточными _s_klами. Рассмотрим такой модельный механизм:

AX 2X
XY 2Y
YP + →
+→


Для простоты примем k_ константы скорости раgufb единице, а концентрацию
реагента A – постоянной (открытая система). Запишем систему кинетических
ураg_gbc для X и Y.
Вещестh X образуется в перhc реакции и расходуется h lhjhc, Y образуется
h lhjhc и расходуется в третьей реакции:
XAXXY
YXYY() () () ()
() () () () ct cct ctct
c t ctct ct ⎧

=−



=−


Стационарные концентрации _s_kl\ найдем из условия ра_gklа нулю
произh^guo: c
X,s = 1, c Y,s = c A. Рассмотрим качест_ggh заbkbfhklv от j_f_gb
концентраций X и Y для случая, когда начальная концентрация X больше
стационарной, а начальная концентрация Y – меньше стационарной. Перепишем
систему кинетических ураg_gbc, едя в нее значения стационарных концентраций
X и Y:
()
() XXY,sY
YYXX,s() () ()
() () () ct ctc ct
c t ctct c ⎧

=−



=−



Из условий c
X(0) > c X,s , c Y(0) < c Y,s b^gh, что в начальный момент обе произh^gu_
положительны, то есть обе концентрации растут. При увеличении c
Y произh^gZy
c
X′(t) проходит через 0, станоblky отрицательной, и c X начинает убывать. Когда c X
станоblky меньше стационарного значения, произh^gZy c
Y′(t) приобретает
отрицательный знак, и теперь уже c
Y убывает. По мере уменьшения c Y производная

79
cX′(t) станоblky положительной и c X сноZ начинает расти. В результате обе
концентрации, c
X(t) и c Y(t), испытыZxl колебания h j_f_gb:
5 10 15 20
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2



Этот пример демонстрирует условия, которые требуются для пояe_gby колебатель-
ных реакций: 1) открытая система, 2) несколько промежуточных _s_kl\, 3) аlhdZ-
талитические стадии.
Графическое представление молекул и их сhckl\ – теория графов в химии
Изучение сyab сhckl\ _s_kl\ с их строением – одна из осноguo задач хи-
мии. Большой deZ^ в ее решение g_keZ структурная
теория органических соедине-
ний, в число создателей которой oh^bl _ebdbc российский химик Александр Ми-
хайлоbq Бутлеров (1828-1886). Именно он перuf установил, что сhcklа _s_klа
заbkyl не только от его состаZ (молекулярной формулы), но и от того, в каком по-
рядке сyaZgu между собой атомы в молекуле. Такой порядок назZeb «химическим
строением». Бутлеров
предсказал, что составу C 4H10 могут соот_lklоZlv дZ _s_-
стZ, имеющие разное строение – бутан и изобутан, и подт_j^be это, синтезироZ\
последнее _s_klо.
CH 3 CH 2 CH 2 CH 3 CH 3 CH CH 3
CH 3 бутан
изобутан

Идея о том, что порядок соединения атомов имеет ключеh_ значение для
сhckl\ _s_klа, оказалась очень плодотhjghc. На ней осноZgh предстаe_gb_ мо-
лекул с помощью графов, в которых атомы играют роль _jrbg, а химические сyab
между ними – ребер, соединяющих _jrbgu. В графическом предстаe_gbb длины
сya_c и углы между ними игнорируются. Описанные
ur_ молекулы C 4H10 изобра-
жаются следующими графами:
Время, усл. ед.
Концентрация, усл. ед.

80 oooo
ooo
o

Атомы h^hjh^Z в таких графах не указываются, так как их расположение можно од-
нозначно установить по структуре углеродного скелета. Напомним, что углерод в ор-
ганических соединениях четырехZe_gl_g, поэтому в соот_lkl\mxsbo графах от ка-
ждой _jrbgu может отходить не более четырех ребер.
Графы – это математические объекты, поэтому их можно характеризоZlv с
по-
мощью чисел. Отсюда пояbeZkv идея ujZ`Zlv строение молекул числами, которые
сyaZgu со структурой молекулярных графов. Эти числа в химии назыZxl «тополо-
гическими индексами». Рассчитав какой-либо топологический индекс для большого
числа молекул, можно устаноblv сyav между его значениями и сhcklами _s_kl\,
и затем использоZlv эту сyav для предсказания сhckl\
новых, еще не синтезиро-
Zgguo _s_kl\ [7]. К настоящему моменту химиками и математиками предложены
сотни разнообразных индексов, характеризующих те или иные сhcklа молекул.
Способы расчета топологических индексов могут быть самыми разнообразными,
но k_ они должны удоe_lорять iheg_ естест_gguf требоZgbyf: 1) каждой мо-
лекуле соот_lkl\m_l сhc, индиb^mZevguc индекс; 2) близкие по сhcklам молеку-
лы
имеют похожие индексы.
Посмотрим, как реализуется эта идея на примере предельных углеh^hjh^h\ –
алканов. Ключеuf для построения многих индексов служит понятие «матрицы рас-
стояний» D. Так назыZxl матрицу, элементы которой показыZxl число ребер, раз-
деляющих соот_lkl\mxsb_ _jrbgu молекулярного графа. Построим эту матрицу
для трех изомерных углеh^hjh^h\ состаZ C
5H12. Для этого изобразим их молеку-
лярные графы и перенумеруем _jrbgu (в произвольном порядке):

ooooo ooo
oo ooo
o o
12 34 5
54 3 2 1
5 4
3
2 1

Диагональные элементы матрицы расстояний для углеh^hjh^h\ раgu 0. В перhf
графе _jrbgZ 1 сyaZgZ с _jrbghc 2 одним ребром, поэтому элемент матрицы
d
12 = 1. Аналогично, d 13 = 2, d 14 = 3, d 15 = 4. ПерZy строка в матрице расстояний нор-
мального пентана имеет b^: (0 1 2 3 4). Полные матрицы расстояний для трех гра-
фов:
ooooo ooo
oo ooo
o o
12 34 5
54 3 2 1
5 4
3
2 1

81 01234 01232 01222
10123 10121 10111

21012 21012 21022
32101 32103 21202
43210 21230 21220
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠


Расстояние между вершинами не заbkbl от порядка их перечисления, поэтому мат-
рицы расстояний симметричны относительно диагонали.
Перuc топологический индекс, отражающий структуру молекулярного графа
(G), был предложен в 1947 г. Винером [7, с. 188]. Он определяется как сумма диаго-
нальных элементов матрицы расстояний плюс полусумма ее недиагональных элемен-
тов:
111
1
()
2 nnn
ii ij
iij
ji
WG d d
===

=+∑ ∑∑
Для указанных ur_ графов, соот_lklующих пентанам C
5H12, индекс Винера при-
нимает значения 20, 18 и 16. Можно предположить, что он описыZ_l степень раз-
_lленности углеh^hjh^Z: наибольшие значения соот_lkl\mxl наименее раз_l\-
ленным углеводородам. С увеличением длины углеродного скелета индекс Винера
растет, так как в матрице расстояний станоblky больше элементов. Статистический
анализ на примере нескольких сотен углеводородов показал, что индекс Винера кор-
релирует с некоторыми физическими сhcklами алканов: температурами кипения,
теплотами испарения, молярным объемом.
Другой тип индексов осноZg не на расстояниях между _jrbgZfb, а на числе
ближайших соседей для каждой _jrbgu. В качест_ примера рассчитаем индекс
Рандича [7, c. 190], который определяется следующим образом:
k_f
ребрам
1
()
ij
G
vv χ= ∑ ,
где v
i – степень i-й _jrbgu, то есть число ребер, от нее отходящих. Для указанных
ur_ графов индекс Рандича ра_g:
1
12 23 34 45
2
12 23 34 25
3
12 23 24 25
1 1 1 1 1111
( ) 1 2 2.414
22
22
11111111
( ) 2.270
3623
1111 1
( ) 4 2.000
4 G
vv vv vv vv
G
vv v v v v v v
G
vv vv vv vv χ = + + + = +++ =+ =
χ=+++ =+++=
χ= + + + = =

Этот индекс также уменьшается с увеличением степени раз_lленности углеродного
скелета и может быть использоZg для описания физических сhckl\ алканов.
Алканы – самый скучный с химической точки зрения тип органических молекул,
так как он не содержит никаких «особенностей» – дhcguo и тройных сya_c или

82
атомов других элементов, кроме h^hjh^Z и углерода (такие элементы назыZxl ге-
тероатомами). В_^_gb_ гетероатомов в состав молекулы может кардинально изме-
нить сhcklа _s_klа. Так, добаe_gb_ k_]h одного атома кислорода преjZsZ_l
доhevgh инертный газообразный этан C
2H6 в жидкий этанол C 2H5OH, прояeyxsbc
_kvfZ ukhdmx химическую и биологическую актиghklv.
СледоZl_evgh, в топологических индексах молекул, более сложных, чем алка-
ны, надо учитыZlv присутстb_ кратных сya_c и гетероатомов. Это делается путем
присh_gby _jrbgZf и ребрам графов определенных числоuo коэффициентов –
«_kh\» [7, с. 262]. Например, в матрице расстояний диагональные элементы можно
определить через заряд ядра Z
i (напомним, что для углерода Z = 6):
6
1
ii
id Z = − .
Недиагональные элементы определяются суммироZgb_f по ребрам, причем каждому
ребру, соединяющему атомы с зарядами Z
i и Z j, присZbается _k
136
ij
k
bZZ = ,
где b раgh порядку сyab между атомами (1 для одинарной сyab, 2 для дhcghc,
3 для тройной). Для обычных одинарных сya_c углерод – углерод, k = 1.
Сраgbf индексы Винера пропана C
3H8 и трех близких по составу кислородсо-
держащих _s_kl\: пропилового спирта C
3H8O, изомерного ему изопропилоh]h
спирта C
3H8O и ацетона C 3H6O. Для этого рассчитаем по указанным праbeZf матри-
цы расстояний. В молекулярных графах укажем k_ атомы, кроме атомов h^hjh^Z.
1) Пропан:
CCC

012
101
210⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ D
W(G) = 4
2) В молекуле пропилоh]h спирта кислород сyaZg с крайним атомом углерода:

CCC
O

Для одинарной сyab C–O _khой коэффициент ра_g 36/(6⋅8) = 0.75. Диагональный
элемент матрицы, от_qZxsbc кислороду: d
44 = 1 – 6/8 = 0.25.

0122.75
1011.75
2100.75
2.75 1.75 0.75 0.25 ⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
D W(G) = 9.5
Для молекул, содержащих гетероатомы, индекс Винера перестает быть целым.

83
3) В молекуле изопропилоh]h спирта кислород сyaZg со средним атомом угле-
рода:

CCC
O


0121.75
1010.75
2101.75
1.75 0.75 1.75 0.25 ⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
D W(G) = 8.5
4) В ацетоне порядок соединения атомов – такой же, как в изопропилоhf спир-
те, но сyav между углеродом и кислородом – дhcgZy:
CCC
O

Для дhcghc сyab C=O _khой коэффициент ра_g 36/(2⋅6⋅8) = 0.375

0 1 2 1.375
1 0 1 0.375
2 1 0 1.375
1.375 0.375 1.375 0.25 ⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
D W(G) = 7.375
Как b^gh, добаe_gb_ гетероатома в структуру алканов приh^bl к hajZklZgbx ин-
декса Винера за счет увеличения размера матрицы расстояний. Добаe_gb_ кратных
сya_c или увеличение степени раз_lления молекулы уменьшают этот индекс. Эти
праbeZ uihegyxlky и для более сложных молекул.
ПерhgZqZevgh топологические индексы разрабатыZebkv только с целью пред-
сказания физико
-химических сhckl\ _s_kl\. Однако ihke_^klии их стали приме-
нять и для решения других задач.
Одно из приложений топологических индексов сyaZgh с классификацией орга-
нических соединений и созданием органических баз данных. Задача состоит в том,
чтобы найти такой индекс (или набор индексов), который aZbfgh однозначно харак-
теризует химическую структуру и по
которому эту структуру можно hkklZgh\blv.
Требуемый индекс должен обладать хорошей дискриминирующей способностью, то
есть различать между собой даже близкие по структуре молекулы. Эта задача – гран-
диозная, поскольку органических структур из_klgh уже более 20 миллионов. Ее ре-
шение, по-b^bfhfm, будет найдено в результате использоZgby состаguo топологи-
ческих индексов.
Наиболее перспектиgu_ применения
топологических индексов сyaZgu с раз-
работкой лекарст_gguo препаратов и других биологически актиguo _s_kl\. Раз-
работка каждого нового лекарстZ занимает не менее 10 лет, требует eh`_gby более
100 млн. долларов и про_^_gby десятков тысяч испытаний для _s_kl\-кандидатов.

84
Использование топологических индексов для характеристики биологической актив-
ности препаратов позволяет значительно сэкономить j_fy и средстZ, отбросив
большое число _s_kl\, которые по результатам расчета индексов за_^hfh не обла-
дают требуемыми сhcklами. Для подобных исследоZgbc в научной литературе
сформироZeZkv устойчиZy аббреbZlmjZ – QSAR (Quantitative structure-activity
relationships), по-русски – КССА (количест_ggu_ соотношения структура – актив-
ность). Фундаментальной научной ценностью
эти исследоZgby не обладают, так как
их результаты не имеют глубокого физико-химического обосноZgby, а носят, в зна-
чительной степени, статистический характер. И k_ же, их достоинство в том, что они
количест_ggh отражают одну из осноguo идей химии: «Структура определяет
сhcklа».
Заключение
Мы рассмотрели k_]h несколько примеров, показыZxsbo, как математика
ис-
пользуется в химии. Они дают определенное, хотя, конечно, неполное предстаe_gb_
о задачах, решаемых химиками с помощью математики, и ограничениях, которые хи-
мия накладыZ_l на применяемую в ней математику.
Взаимодейстb_ химиков и математиков не ограничиZ_lky решением только
химических задач. Иногда и в химии hagbdZxl абстрактные задачи, которые приh-
дят даже
к пояe_gbx ноuo областей математики. Так, математики до сих пор рабо-
тают над доказательстhf lhjh]h закона термодинамики – одного из осноguo зако-
нов химии, спра_^ebость которого для самих химиков очеb^gh ul_dZ_l из k_o
из_klguo до сих пор экспериментальных данных о химических _s_klах и химиче-
ских реакциях.
История науки гоhjbl о том,
что на границах различных областей знания могут
происходить очень интересные события. И хотя химики и математики мыслят соk_f
по-разному, те случаи, когда им удается aZbfh^_cklоZlv, приh^yl к пояe_gbx
красиuo и нетриbZevguo результатов и способствуют обогащению обеих наук.

ЛИТЕРАТУРА
1. Воронков М.Г., Рулев А.Ю. О химии с улыбкой,
или осноu пегниохимии. – СПб:
Наука, 1999.
2. Химия и жизнь – XXI _d, 1997, № 2, с. 5.
3. Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦНМО, 2000.
4. Харгиттаи И., Харгиттаи М. Симметрия глазами химика. – М.:Мир, 1989.
5. Леbpdbc М.М. О химии серьезно и с улыбкой. – М.: Академкнига, 2005.
6. Колебания и бегущие hegu в химических системах. – М.:
Мир, 1988.
7. Химические приложения топологии и теории графов. – М.: Мир, 1987.