Matematika_prof_EGE_Variant_2_kriterii

Формат документа: pdf
Размер документа: 0.16 Мб





Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

Открытый вариант 2 МАТЕМАТИКА. Профильный уровень

1/10


© 2019 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
а) Решите уравнение
3 2
2 cos cos 2 cos 1 0
x x x− + − =
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отр езку

2π ;
2
   
.


Решение.
а) Запишем исходное уравнение в виде
( )
(
)
2
2 cos 1 cos 1 0
x x− + =
.
Значит, или
2
cos 1
x= −
, что невозможно, или
1
cos
2
x=
, откуда
π 2
π
3
x n= + ,
n∈ℤ, или
π
2
π
3
x m= − + ,
m∈ℤ.
б) С помощью числовой окружности отберём корни,
принадлежащие отрезку 7π
2π ;
2
   
.
Получим число
7π 3.
Ответ: а)
π 2
π
3
n
+ ,
n∈ℤ;
π
2
π
3
m
− + ,
m∈ℤ;
Ответ:
б)
7π 3.


Содержание критерия Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах 2 Обоснованно получен верный ответ в пункте
а
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом
имеется верная последовательность всех шагов решени я обоих
пунктов: пункта
а и пункта
б 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, пе
речисленных
выше 0
Максимальный балл

2

13
02
π
7 π—2
3 7π—

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
В правильной четырёхугольной пирамиде
SABCD
сторона основания
AB

равна 6, а боковое ребро
SA
равно 7. На рёбрах
CD
и
SC
отмечены
точки
N и
K соответственно, причём
: : 1: 2
DN NC SK KC
= =
. Плоскость
α
содержит прямую
KN
и параллельна прямой
BC
.
а) Докажите, что плоскость
α параллельна прямой
SA
.
б) Найдите угол между плоскостями
α и
SBC
.

Решение.
а) Пусть плоскость
α пересекает прямые
SB
и
AB

в точках
L и
M
соответственно. Поскольку
плоскость
α параллельна прямой
BC
, прямые
KL
,
BC
и
MN
параллельны. Следовательно, : : : :
SL LB SK KC DN NC AM MB
= = =
.
Таким образом, прямая
LM
, лежащая в плоскости
α,
параллельна прямой
SA
, а значит, плоскость
α
параллельна прямой
SA
.
б) Поскольку плоскость
α параллельна
плоскости
SAD
, искомый угол равен углу между
плоскостями
SAD
и
SBC
. Пусть точки
E и
F — середины рёбер
AD
и
BC

соответственно. Тогда прямые
SF
и
EF
перпендикулярны прямой
BC
,
а прямые
SE
и
EF
— прямой
AD
. Таким образом, плоскость
SEF

перпендикулярна прямым
BC
и
AD
, а также содержащим их
плоскостям
SBC
и
SAD
соответственно.
Таким образом, угол между плоскостями
α и
SBC
равен углу
ESF
.
Высота
SO
пирамиды
SABCD
лежит в плоскости
SEF
, откуда
3
EO
=
,
2
2
2 10
4
AD
SE SA = − =
;
3 10
sin
20
OE
ESO SE
∠ = = ;
3 10
2 2 arcsin
20
ESF ESO∠ = ∠ = .
Ответ: б)
3 10
2 arcsin
20
.


Содержание критерия Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта
а и обоснованно
получен верный ответ в пункте
б 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта
а
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б, возможно,

с использованием утверждения пункта
а, при этом пункт
а
не выполнен 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, пе
речисленных
выше 0
Максимальный балл

2

14
A
B
C
S
K
M D
O
F
E
L
N

Открытый вариант 2 МАТЕМАТИКА. Профильный уровень

3/10


© 2019 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки

Решите неравенство
( )
(
)
(
)
(
)
( )
2 2
3 3 3
log 2 5 log 5 6 log 4
x x x x x− + ≥ − + + −
.


Решение.
Запишем исходное неравенство в виде:
( )
(
)
(
)
( ) ( )( )
( )
2
3 3 3
log 2 5 log 2 3 log 4
x x x x x− + ≥ − − + −
;
( )
(
)
( ) ( ) ( )
2
3 3 3 3 3
log 2 log 5 log 2 log 3 log 4
x x x x x− + + ≥ − + − + −
.
Неравенство определено при
2
x<
, поэтому при
2
x<
неравенство
принимает вид:
( ) ( )
2
5 3 4
x x x
+ ≥ − −
;
2 2
5 7 12
x x x
+ ≥ − +
; 7 7x≥
,
откуда
1
x≥
. Учитывая ограничение
2
x<
, получаем:
1 2
x≤ <
.
Ответ:
[
)
1; 2
.


Содержание критерия Баллы

Обоснованно получен верный ответ 2 Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного
исключением точки 1,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом
имеется верная последовательность всех шагов решени я 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, пе
речисленных
выше 0
Максимальный балл

2
В треугольнике
ABC
угол
A равен
120
°. Прямые, содержащие высоты
BM

и
CN
треугольника
ABC
, пересекаются в точке
H. Точка
O — центр
окружности, описанной около треугольника
ABC
.
а) Докажите, что
AH AO
=
.
б) Найдите площадь треугольника
AHO
, если
3
BC
=
,
15
ABC∠ = °
.


15 16
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом


Решение.
а) Точки
M
и
N лежат на окружности диаметром
BC
,
поэтому
AMN CMN ABC∠ = ∠ = ∠
. Значит,
треугольники
AMN
и
ABC
подобны с коэффициентом
подобия
1
cos cos 60
2
AN NAC AC
= ∠ = ° =
. Следовательно,
радиус окружности, описанной около треугольника
AMN
,
равен
2 AO
.
Точки
M
и
N лежат на окружности диаметром
AH
,
поэтому
AH AO
=
.
б) Пусть прямые AH
и
BC
пересекаются в точке
K, а точка
L — середина
стороны
AC
, тогда
90
AKB∠ = °
,
1 1
2 15
2 2
AOL AOC ABC ABC∠ = ∠ = ⋅ ∠ = ∠ = °
.
Значит,
90 75
OAL AOL∠ = ° − ∠ = °
,
90 75
BAK ABC∠ = ° − ∠ = °
;
(
)
180 180 150
OAH OAK BAK OAL BAC∠ = ° − ∠ = ° − ∠ + ∠ − ∠ = °
.
Площадь треугольника
AHO
равна
2 2
2
sin sin150 sin150 3 2 2 4
8 sin 120
AO AH OAH AO BC⋅ ⋅ ∠ ⋅ ° ⋅ °
= = =
°
.
Ответ: б)
3 4.


Содержание критерия Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта
а и обоснованно
получен верный ответ в пункте
б 3
Обоснованно получен верный ответ в пункте
б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта
а и при
обоснованном решении пункта
б получен неверный ответ из-за
арифметической ошибки 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта
а,
ИЛИ
при обоснованном решении пункта
б получен неверный ответ

из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте
б с использованием
утверждения пункта
а, при этом пункт
а не выполнен 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, пе
речисленных
выше 0
Максимальный балл

3

B
C
H
M
NO
K
A
L

Открытый вариант 2 МАТЕМАТИКА. Профильный уровень

5/10


© 2019 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его во зврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом
предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплати ть часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если извес тно, что общая сумма
выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?



Решение.
Пусть кредит планируется взять на
n лет. Долг перед банком (в млн рублей)
по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля рав номерно:
10;
(
)
10 1
n n −
; …;
10 2 n ⋅
; 10 n; 0.
По условию, каждый январь долг возрастает на 10%, з начит,
последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
11;
(
)
11 1
n n −
; …;
11 2 n ⋅
; 11 n.
Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть с ледующими:
10
1
n+
; (
)1 10
n
n − +
; …;
2 10 n +
; 1 10 n +
.
Всего следует выплатить
(
)
1 2 1 1
10 10
2
n n n n n n n
− +
+ + + + + = +

(млн рублей).
Общая сумма выплат равна 15 млн рублей, поэтому
9
n=
.
Ответ: 9.



17
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом


Содержание критерия Баллы

Обоснованно получен верный ответ 3 Верно построена математическая модель, решение свед
ено

к исследованию этой модели и получен результат:
— неверный ответ из-за вычислительной ошибки;
— верный ответ, но решение недостаточно обосновано 2 Верно построена математическая модель, решение свед
ено

к исследованию этой модели, при этом решение может быть

не завершено 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, пе
речисленных
выше 0
Максимальный балл

3

Открытый вариант 2 МАТЕМАТИКА. Профильный уровень

7/10


© 2019 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки

Найдите все значения
a, при каждом из которых уравнение
2 2
2 2
4
0
6 9 x a
x x a

=
+ + −

имеет ровно два различных корня.



Решение.
Корнями исходного уравнения являются корни уравнени я
2 2
4 0x a
− =
,
для которых выполнено условие
2 2
6 9 0
x x a
+ + − ≠
.
Поскольку
( ) ( )
2 2
4 2 2x a x a x a
− = − +
, уравнение
2 2
4 0x a
− =
задаёт
на плоскости
Oxa
пару прямых
1l и
2l, заданных уравнениями
2
a x=

и
2
a x= −
соответственно. Значит, это уравнение имеет один к орень
при
0
a=
и имеет два корня при
0
a≠
.
Поскольку ( ) ( )
2 2
6 9 3 3
x x a x a x a
+ + − = + − + +
,
уравнение
2 2
6 9 0
x x a
+ + − =
задаёт пару прямых
1m
и
2m
, заданных
уравнениями
3
a x= +
и
3
a x= − −
соответственно.
Координаты точки пересечения прямых
1l и
1m
являются решением системы
уравнений:
{
2 ,
3;
a x a x == +
{
3 2 ,
3;
x x a x+ =
= +
{
3, 6.
x
a= =

Значит, прямые
1l и
1m
пересекаются в точке
(
)
3; 6
.
Координаты точки пересечения прямых
1l и
2m
являются решением
системы уравнений:
{
2 ,
3;
a x
a x = = − −
{
3 2 ,
3;
x x a x
− − =
= − −
{
1, 2.
x
a= − = −

Значит, прямые
1l и
2m
пересекаются в точке
(
)
1; 2− −
.
Координаты точки пересечения прямых
2l и
1m
являются решением
системы уравнений:
{
2 , 3;
a x a x = −= +
{
3 2 ,
3;
x x a x+ = −
= +
{
1, 2.
x
a= − =

Значит, прямые
2l и
1m
пересекаются в точке
(
)
1; 2−
.
Координаты точки пересечения прямых
2l и
2m
являются решением
системы уравнений:
{
2 ,
3;
a x a x = −= − −
{
3 2 ,
3;
x x a x
− − = −
= − −
{
3, 6.
x
a = = −

Значит, прямые
2l и
2m
пересекаются в точке
(
)
3; 6−
.
18
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Следовательно, условие
2 2
6 9 0
x x a
+ + − ≠
выполнено для корней
уравнения
2 2
4 0x a
− =
при всех
a, кроме
6
a= −
,
2
a= −
,
2
a=
и
6
a=
.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два к орня при
6
a< −
;
6 2
a
− < < −
;
2 0
a
− < <
; 0 2
a< <
; 2 6
a< <
;
6
a>
.
Ответ:
6
a< −
;
6 2
a
− < < −
;
2 0
a
− < <
; 0 2
a< <
; 2 6
a< <
;
6
a>
.


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ 4 С помощью верного рассуждения получено множество зн ачений
a,
отличающееся от искомого только включением точки
0
a=
3
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и
получено или
множество значений
a, отличающееся от искомого только
включением точек 6
a= −
,
0
a=
и
/ или
2
a=
, или множество
значений
a, отличающееся от искомого только включением точек
2
a= −
,
0
a=
и / или
6
a=
,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом
верно выполнены все шаги решения 2
Задача верно сведена к исследованию взаимного распо
ложения
прямых (аналитически или графически) 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, пе
речисленных
выше 0
Максимальный балл

4

Открытый вариант 2 МАТЕМАТИКА. Профильный уровень

9/10


© 2019 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки

В течение
n дней каждый день на доску записывают натуральные ч исла,
каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (к роме первого) сумма
чисел, записанных на доску в этот день, больше, а к оличество меньше, чем
в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанны х в первый день, быть
меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, запи санных за все дни, быть
больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый д ень, равна 5. Какое
наибольшее значение может принимать сумма всех чисе л, записанных за все
дни?



Решение.
а) Пусть в день с номером
k записано
k чисел 3 и
14 2
k

чисел 1. Тогда
сумма чисел в этот день равна
14
k+
. Таким образом,
n может быть равным 7.
б) Пусть
4
n=
, в первый день на доску записали число 1 и 32 числ а 2,
во второй день — 12 чисел 4 и 20 чисел 5, в третий день — 6 чисел 4 и 25
чисел 5, а в четвёртый день — 30 чисел 5. Тогда сум ма чисел в первый день
равна 65, во второй — 148, в третий — 149, а в четв ёртый — 150. Среднее
арифметическое чисел, записанных в первый день, рав но
321 233
<
, а среднее
арифметическое всех записанных чисел равно
44 463
>
.
в) Заметим, что в первый день на доску было записан о не более 5 чисел.
Значит, если
4
n>
, то в пятый день на доску было записано одно число .
Но это невозможно, поскольку это число должно быть больше суммы чисел,
записанных в первый день, равной 5. Таким образом,
4
n≤
.
Если
4
n=
, то в четвёртый день на доску было записано не бол ее двух чисел,
а их сумма не превосходит 10. Значит, суммы чисел, записанных в третий
и второй дни, не превосходят 9 и 8 соответственно, а сумма всех записанных
чисел в этом случае не превосходит 32.
Если 3
n=
, то в третий день на доску было записано не более трёх чисел, а их
сумма не превосходит 15. Значит, сумма чисел, запис анных во второй день,
не превосходит 14, а сумма всех записанных чисел в этом случае
не превосходит 34.
Если 2
n=
, то во второй день на доску было записано не более четырёх
чисел, а их сумма не превосходит 20. Значит, сумма всех записанных чисел
в этом случае не превосходит 25.
Если 1
n=
, то сумма всех записанных чисел равна 5.
Таким образом, сумма всех записанных чисел не прево сходит 34.
Покажем, что сумма всех записанных чисел могла равн яться 34. Пусть
3
n=
,
и в первый день были записаны числа 1, 1, 1, 1, 1; во второй — 3, 3, 4, 4;
в третий — 5, 5, 5. Тогда суммы записанных за эти д ни чисел соответственно
19
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

равны 5, 14 и 15, то есть числа удовлетворяют услов
иям задачи, а их сумма
равна 34. Ответ: а) да; б) да; в) 34.



Содержание критерия Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл)
результаты 4 Верно получены три из перечисленных (см. критерий н
а 1 балл)
результатов 3 Верно получены два из перечисленных (см. критерий н
а 1 балл)
результатов 2 Верно получен один из следующих результатов:
— обоснованное решение пункта
а;
— обоснованное решение пункта б;
— искомая оценка в пункте
в;
— пример в пункте
в, обеспечивающий точность предыдущей оценки 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, пе
речисленных
выше 0
Максимальный балл

4