190401_Profilnaya_matematika_-_Probny_variant_31_s_resheniem

Формат документа: pdf
Размер документа: 0.84 Мб





Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 1 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


Единый государст_ggucwdaZf_g
по МАТЕМАТИКЕ
Профильный уро_gv
Инструкция по uiheg_gbxjZ[hlu
Экзаменационная работа состоит из д вух частей, dexqZxsbo в себя
19 заданий . Часть 1 содержит 8 заданий базоh]h уроgy сложности с
кра тким от_lhf Часть 2 содержит 4 задания с кратким от_lhf
поur_ggh]h уроgy сложности и 7 заданий с раз_jgmluf от_lhf
поur_ggh го и ukhdh]hmjhней сложности.
На uiheg_gb_ экзаменационной работы по математике о тh^blky 3
часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1 –12 записыZxlky по при_^zgghfm ниже
образцу  виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа
запишите  поля от_lh  тексте работы, а затем перенесите  бланк
от_lh № 1.

При uiheg_gbbaZ^Zgbc3 –19 требуется записать полное решение и
от_l бланке от_lh № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами.
Допускается использоZgb_]_e_ой или капиллярной ручки .
При uiheg_gbb заданий можно пользоZlvky черновиком. Записи 
черноbd_g_mqb тыZxlkyijbhp_gbании работы. Записи q_jghике, а
также  тексте контрольных измерительных материало не
учитываются при оцениZgbbjZ[hlu.
Баллы, полученные Вами за uiheg_ggu_ задания, суммируются.
Постарайтесь uihegblvdZdfh`gh[hevr_aZ^ZgbcbgZ брать наибольшее
количестh[Zeeh.
После за_jr_gby работы про_jvl_ что от_l на каждое задание в
бланках от_lh №1 и №2 запи сан под праbevgufghf_jhf.
Желаем успеха!

Спраhqgu_fZl_jbZeu
⊠⊖⊛ ⵁ⧤+⊐⊜⊠ ⵁ⧤= ╾
⊠⊖⊛ ╿⧤= ╿⊠⊖⊛ ⧤⢏⊐⊜⊠ ⧤
⊐⊜⊠ ╿⧤= ⊐⊜⊠ ⵁ⧤−⊠⊖⊛ ⵁ⧤
⊠⊖⊛ (⧤+⧥)= ⊠⊖⊛ ⧤⢏⊐⊜⊠ ⧥+⊐⊜⊠ ⧤⢏⊠⊖⊛ ⧥
⊐⊜⊠ (⧤+⧥)= ⊐⊜⊠ ⧤⢏⊐⊜⊠ ⧥−⊠⊖⊛ ⧤⢏⊠⊖⊛ ⧥
От_lhf к заданиям 1–12 яey_lky целое число или конечная
десятичная дробь. Запишите число ihe_ от_lZ тексте работы,
затем перенесите его  БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 спраZ от номера
соот_lklующего задания, начиная с перhc клеточки. Каждую
цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в
соот_lklии с приведёнными  бланке образцами. Единицы
измерений писать не нужно.

Шоколадка стоит 45 рублей. В hkdj_k_gv_  супермаркете действует
специальное предложение: заплати за три шоколадки, покупатель
получает четыре (одну  подарок). Сколько шоколадок можно получить на
270 рублей оскресенье?

Ответ: ___________________________.


При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в
электрической цепи фонарика падает. На рисунке п оказана заbkbfhklv
напряжения  цепи от j_f_gb работы фонарика. На горизонтальной оси
отмечается j_fy работы фонарика  часах, на вертикальной оси –
напряжение в hevlZo Определите по рисунку, на сколько hevl упадёт
напряжение за перu_qZkh работ ы фонарика.



Ответ: ___________________________.

1
2

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 2 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.



Ответ: ___________________________.

На олимпиаде по русскому языку 350 участнико разместили  трёх
аудиториях. В перuo^\mo удалось разместить по 140 чело_dhklZшихся
пере_eb  запасную аудиторию  другом корпусе. Найдите _jhylghklv
того, что случайно u[jZgguc участник писал олимпиаду  запасной
аудитории.

Ответ: ___________________________.


Найдите корень уравнен ия
⽷╾
▀⽻
ⵄⷶⵊⵅ
= ▅╾ ⏯

Ответ: ___________________________.

В четырёхугольник ⤮⤯⤰⤱ ibkZgZhdjm`ghklv
⤮⤯ = ╾▀ , ⤯⤰ = ▄ и ⤮⤱ = ╾╾ . Найдите четвёртую
сторону четырёхугольника.

Ответ: ___________________________.
На рисунке изображён график ⥠= ⥍ ⎹(⥟)− произh^ghc функции ⥍(⥟),
определённой на интерZe_ (−▀⏭╾▆ ). Найдите количестhlhq_dfZdkbfmfZ
функции ⥍(⥟), принадлежащих отрезку [−╿⏭╾▂ ].



Ответ: ___________________________.

Конус вписан rZj kf рисунок). Радиус осноZgbydhgmkZjZен радиусу
шара. Объём конуса ра_gGZc^bl_h[tzfrZjZ.



Ответ: ___________________________.

Найдите значение ujZ`_gby
▁◉▀⊠⊖⊛ (−╾╿╽◄ )⏯

Ответ: ___________________________.

3
4
5
6
7
8
9

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 3 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


Аlhfh[bev разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным
ускорением ⥈= ▁▂╽╽ ⓘⓚ ␋ⓥⵁ. Скорость ⧸ ( км /ч) uqbkey_lky по формуле
⧰= ◉╿⥓⥈, где ⥓− пройденный аlhfh[be_f путь ( км). Найдите, сколько
километро проедет аlhfh[bev к моменту, когда он разгонится до
скорости 90 км /ч.

Ответ: ___________________________.

Имеется два сплаZ Перuc спла содержит 5% меди, lhjhc – 14% меди.
Масса lhjh]hkieZа больше массы перh]hgZd]Bawlbo^\mokieZов
получили третий спла содержащий 12% меди. Найдите массу третьего
сплаZHl\_l^Zcl_ килограммах.

Ответ: ___________________________.

Найдите точку максимума функции
⥠= ⥟ⵂ−▃⥟ⵁ+▆⥟+▂.

Ответ: ___________________________.





Не забудьте перенести k_ от_lu  бланк от_lh № 1 
соот_lklии с инструкцией по uiheg_gbxjZ[hlu.






Часть 2

Для записи решений и от_lh на задания 13 –19 используйте БЛАНК
ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер uihegy_fh]h задания ( 13,
14 и т. д.), а затем полное обосноZggh_ решение и от_l От_lu
записыZcl_qzldhbjZa[hjqb\h.
а) Решите ураg_gb_
╿+⊙⊜⊔ ⵁ(⥟ⵁ+▅)= ⊙⊜⊔ ◉ⵁ⾰▁⥟ⵃ+▅⏯
б) Найдите k_dhjgbwlh]hmjZнения, принадлежащие отрезку
[╾⏬▀⏭╿⏬╿]⏯

В осноZgbb правильной треугольной пирамиды ⤮⤯⤰⤱ лежит треугольник
⤮⤯⤰ со стороной, раghc;hdhое ребро пирамиды раghGZj_[j_ ⤮⤱
отмечена точка ⥁ так, что ⤮⥁⏮⥁⤱ = ╿⏮╾. Через точку ⥁ параллельно
прямым ⤮⤰ и ⤯⤱ про_^_gZiehkdhklv.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является
прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.


Решите нера_gkl\h
╿ⷶ−▃− ▆▹╿ⷶ−▀▄
▁ⷶ−▄▹╿ⷶ+╾╿ ≤ ╾
╿ⷶ−▁⏯


В треугольнике ⤮⤯⤰ угол ⤮⤯⤰ ра_g 60 ◄. Окружность, ibkZggZy в
треугольник, касается стороны ⤮⤰ lhqd_ ⤺.

а) Докажите, что отрезок ⤯⤺ не больше утроенного радиуса вписанной в
треугольник окружности.
б) Найдите ⊠⊖⊛ ⟬⤯⤺⤰ , если из_klgh что отрезок ⤯⤺  2,5 раза больше
радиуса вписанной lj_m]hevgbdhdjm`ghklb.





10
11
12
13
14
15
16

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 4 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


15 -го янZjy планируется aylv кредит  банке на 19 месяце Условия его
haрата такоu:

– 1-го числа каждого месяца долг hajZklZ_lgZ ⥙% по сраg_gbxkdhgphf
предыдущего месяца;
– со 2 -го по 14 -е число каждого месяца необходимо uieZlblvqZklv^he]Z;
– 15 -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15 -е ч исло предыдущего месяца.

Из_klgh что общая сумма uieZl после полного погашения кредита на
30% больше суммы, aylhc кредит. Найдите ⥙.


Найдите k_ значения ⥈, для каждого из которых существует хотя бы одна
пара чисел ⥟ и ⥠, удовлетворяющая нера_gkl\m
▂␌⥟−╿␌+╿␌⥟+⥈␌≤ ⾰╿▂ −⥠ⵁ−▀⏯


В последоZl_evghklb ⥈ⵀ, ⥈ⵁ, …, ⥈ⷬⵊⵀ, ⥈ⷬ, состоящей из целых чисел, ⥈ⵀ=
╾, ⥈ⷬ= ╿▀▂ . Сумма любых двух соседних члено последоZl_evghklb
раgZbeb.

а) При_^bl_ijbf_jlZdhcihke_^h\ ательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 члено?
 Из какого наименьшего числа члено может состоять такая
последоZl_evghklv?






























СОСТАВИТЕЛЬ ВАРИАНТА :
ФИО: Е]_gbcIbnZ]hj
Предмет: Математика
Стаж: 7 лет репетиторской деятельности
Регалии: ОсноZl_evijh_dlZRdheZIbnZ]hjZ
Аккаунт ВК: https://vk.com/eugene10
Сайт и доп.
информация:
https://vk.com/shkolapifagora
https:// youtube .com/ ШколаПифагора
17
18
19

О проекте «Пробный ЕГЭ каждую неделю»
Данный ким состаe_gdhfZg^hcсероссийского hehglzjkdh]hijh_dlZ
«ЕГЭ 100 баллов» https://vk.com/ege100ballov и безhaf_a^gh
распространяется для любых некоммерческих образоZl_evguop_e_c.

Нашли ошибку \Zjb анте?
Напишите нам, пожалуйста, и мы обязательно её испраbf!
Для замечаний и пожеланий: https://vk.com/topic -10175642_39008096
(также доступны другие ZjbZglu^eykdZqbания)

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 5 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


Система оцениZgby
От_ludaZ^Zgbyf1 -19

Каждое из заданий 1 –12 считается uiheg_ggufb _jgh если
экзаменуемый дал _jguc от_l  b^_ целого числа или конечной
десятичной дроби. Каждое _jgh uiheg_ggh_ задание оцениZ_lky 1
баллом.
Верно uiheg_ggu_ задания 13 -15 максимум оцениZxlky  2 балла,
задания 16 -17 – [ZeeZZaZ^Zgby8 -19 – [ZeeZ.

задания Ответ
1 8
2 0,4
3 12
4 0,2
5 0,4
6 5
7 1
8 188
9 -6
10 0,9
11 18
12 1
13 а) ±◉▀.
б)◉▀
14 ╿╽

15 (−◆⏭╽]⟶(⊙⊜⊔ ⵁ▀⏭╿)⟶(╿⏭▀]
16 0,65
17 ▀
18 [−▀⏭−╾]
19 а) при_eb[ g_l) 23



Решения и критерии оценивания заданий 13 –19

Количестh балло uklZ\e_gguo за uiheg_gb_ заданий 13 –19, заbkbl
от полноты решения и правильности от_lZ.
Общие требоZgbydыполнению заданий с разzjgmluf от_lhfj_r_gb_
должно быть математически грамотным, полным, k_ hafh`gu_ случаи
должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы
записи от_lZ могут быть разными. За решение,  котором обосноZggh
получен правильный от_lыставляется максимальное количестh[Zeeh.
Праbevguchlет при отсутствии текста решения оцениZ_lky 0балло.
Эксперты про_jyxl только математическое содержание представленного
решения, а особенности записи не учитыZxl.
При uiheg_gbb задания могут использоZlvky без доказательстZ и
ссылок любые математические факты, содержащиеся  учебниках и
учебных пособиях, oh^ysbo  Федеральный перечень учебнико
рекомендуемых к использ оZgbx при реализации имеющих
государственную аккредитацию образоZl_evguo программ среднего
общего образоZgby.

а) Решите ураg_gb_
╿+⊙⊜⊔ ⵁ(⥟ⵁ+▅)= ⊙⊜⊔ ◉ⵁ⾰▁⥟ⵃ+▅⏯
б) Найдите k_dhjgbwlh]hmjZнения, принадлежащие отрезку
[╾⏬▀⏭╿⏬╿]⏯
.
Решение:
а)
╿+⊙⊜⊔ ⵁ(⥟ⵁ+▅)= ⊙⊜⊔ ⵁ⸸⸹(▁⥟ⵃ+▅)⸸⸹
__________________________________________________________
Сhcklо логарифмов
⊙⊜⊔ ⷟⥉ⷫ= ⥔ ▹⊙⊜⊔ ⷟⥉
__________________________________________________________
Сhcklо логарифмов
⊙⊜⊔ ⷟⻤⥉= ╾
⥕▹⊙⊜⊔ ⷟⥉
__________________________________________________________
╿+⊙⊜⊔ ⵁ(⥟ⵁ+▅)= ⊙⊜⊔ ⵁ(▁⥟ⵃ+▅)

⊙⊜⊔ ⵁ▁+⊙⊜⊔ ⵁ(⥟ⵁ+▅)= ⊙⊜⊔ ⵁ(▁⥟ⵃ+▅)
13

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 6 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


__________________________________________________________
Сложение логарифмоkh^bgZdh\ufbhkghаниями
⊙⊜⊔ ⷟⥉+⊙⊜⊔ ⷟⥊= ⊙⊜⊔ ⷟⥉▹⥊
______________ ____________________________________________
⊙⊜⊔ ⵁ▁▹(⥟ⵁ+▅)= ⊙⊜⊔ ⵁ(▁⥟ⵃ+▅)

▁⥟ⵁ+▀╿ = ▁⥟ⵃ+▅

▁⥟ⵃ−▁⥟ⵁ−╿▁ = ╽ ⼽⏮▁

⥟ⵃ−⥟ⵁ−▃= ╽

Пусть ⥟ⵁ= ⥛

⥛ⵁ−⥛−▃= ╽
⤱= ⥉ⵁ−▁⥈⥊ = ╾+╿▁ = ╿▂ = ▂ⵁ
⥛ⵀ= −⥉+◉⤱
╿⥈ = ╾+▂
╿ = ▀
⥛ⵁ= −⥉−◉⤱
╿⥈ = ╾−▂
╿ = −╿

⥟ⵁ= ▀
⥟= ±◉▀
⥟ⵁ= −╿
Нет решений

б)
−◉▀≈ −╾⏬▄▀
◉▀≈ ╾⏬▄▀
=>
−◉▀⟜[╾⏬▀⏭╿⏬╿]
◉▀⟛[╾⏬▀⏭╿⏬╿]

Ответ: а) ±◉▀. б )◉▀

Содержание критерия Баллы
ОбосноZgghihemq_guерные от_lu обоих пунктах 2
ОбосноZggh получен _jguc от_l  пункте а или 
пункте б
1
ИЛИ
Получены не_jgu_hlеты из -за uqbkebl_evghchrb[db
но при этом имеется _jgZy последоZl_evghklv всех
шагоj_r_gbyh[hboimgdlh – пункта а и пункта б

Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 2


В осноZgbb правильной треугольной пирамиды ⤮⤯⤰⤱ лежит треугольник
⤮⤯⤰ со стороной, раghc;hdhое ребро пирамиды раghGZj_[j_ ⤮⤱
отмечена точка ⥁ так, что ⤮⥁⏮⥁⤱ = ╿⏮╾. Через точку ⥁ параллельно
прямым ⤮⤰ и ⤯⤱ про_^_gZiehkdhklv.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является
прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

Решение:
а)
__________________________________________________________
Признак параллельности прямой и п лоскости
14

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 7 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой -нибудь
прямой, лежащей wlhciehkdhklblhhgZiZjZee_evgZ^Zgghciehkdhklb
__________________________________________________________
Построим прямую ⥁⤲ такую, чт о ⥁⤲ ⟱⤮⤰
Построим прямую ⥁⤸ такую, что ⥁⤸ ⟱⤯⤱
Построим прямую ⤸⤺ такую, что ⤸⤺ ⟱⤮⤰
Построим прямую ⤺⤲ , т.к. точки ⤺ и ⤲ лежат h^ghciehkdhklb

⥁⤲ ⟱⤮⤰ и ⤸⤺ ⟱⤮⤰
=>
⥁⤲ ⟱⤸⤺

⤺⤲⟱⤯⤱ и ⥁⤸ ⟱⤯⤱ (по признаку параллельности прямой и плоскости)
=>
⤺⤲ ⟱⥁⤸

=> ⥁⤲⤺⤸ − параллелограмм
Осталось доказать наличие угла 90 ◄  параллелограмме ⥁⤲⤺⤸ , тогда мы
докажем, что это прямоугольник

Угол между ⥁⤲ и ⥁⤸ ра_gm]emf_`^m ⤮⤰ и ⤯⤱ , т.к. ⥁⤲ ⟱⤮⤰ и ⥁⤸ ⟱⤯⤱

Найдём угол между ⤮⤰ и ⤯⤱ :
__________________________________________________________
Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая, про_^zggZy в плоскости через осноZgb_ наклонной
перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к
самой наклонной
⥈−прямая
⤮⤺ − наклонная
⤵⤺ − проекция
⤮⤵− перпендикуляр
__________________________________________________________
Пусть ⤯⤵− ukhlZ треугольнике ⤮⤯⤰
⤯⤵ ⡮⤮⤰
⤯⤼ − проекция ⤯⤱ на плоскость «пола», т.е. на плоскость ⤮⤯⤰

⤮⤰ ⡮⤯⤼
=>
⤮⤰ ⡮⤯⤱ (по теореме о трёх перпендикулярах)
=>
⥁⤲ ⡮⥁⤸
=>
⟬⤲⥁⤸ = ▆╽◄
=>
⥁⤲⤺⤸ −прямоугольник


Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 8 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


б)
⥀ⷘⷉⷑ⷏ = ⤸⥁ ▹⥁⤲

Найдём ⤸⥁ и ⥁⤲ :

⤮⤱ = ▂ и⤮⥁⏮⥁⤱ = ╿⏮╾
=>
⤮⥁= ╿
▀▹⤮⤱ = ╿
▀▹▂= ╾╽

⤱⥁= ╾
▀▹⤮⤱ = ╾
▀▹▂= ▂


⤮⤰ = ▃

Распишем отношение сходственных сторон  подобных треугольниках
⤱⥁⤲ и ⤮⤰⤱ (подобны по двум углам)
⤱⥁
⤮⤱ = ⥁⤲
⤮⤰


▂= ⥁⤲

=> ⥁⤲ = ╿

Распишем отношение сходственных сторон  подобных треугольниках
⤮⥁⤸ и ⤮⤯⤱ (подобны по двум углам)
⤮⥁
⤮⤱ = ⤸⥁
⤯⤱
ⵀⴿ

▂ = ⤸⥁

=> ⤸⥁ = ⵀⴿ


⥀ⷘⷉⷑ⷏ = ⤸⥁ ▹⥁⤲ = ╾╽
▀ ▹╿= ╿╽


Ответ: ⵁⴿ


Содержание критерия Баллы
ОбосноZgghihemq_gерный от_l обоих пунктах 2
Верно доказан пункт а.
ИЛИ
Верно решён пункт б при отсутствии обосноZgbc в
1
пункте а
Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 2


Решите нера_gkl\h
╿ⷶ−▃− ▆▹╿ⷶ−▀▄
▁ⷶ−▄▹╿ⷶ+╾╿ ≤ ╾
╿ⷶ−▁⏯
.
Решение:
Пусть ╿ⷶ= ⥛

⥛−▃− ▆⥛−▀▄
⥛ⵁ−▄⥛+╾╿ ≤ ╾
⥛−▁
__________________________________________________________
Разложение кZ^jZlgh]hljzoqe_gZgZfgh`bl_eb
⥈⥟ⵁ+⥉⥟ +⥊= ⥈(⥟−⥟ⵀ)(⥟−⥟ⵁ)
__________________________________________________________
⥛ⵁ−▄⥛+╾╿ = ╽
⤱= (−▄)ⵁ−▁▹╾▹╾╿ = ╾
⥛ⵀ= ▄+╾
╿ = ▁
⥛ⵁ= ▄−╾
╿ = ▀
⥛ⵁ−▄⥛+╾╿ = (⥛−▀)(⥛−▁)

⥛−▃
╾ − ▆⥛−▀▄
(⥛−▀)(⥛−▁)− ╾
⥛−▁≤ ╽

Нужно разложить числитель так, чтобы ⵀ
ⷲⵊⵃ aZbfghmgbqlh`bebkv

⥛−▃
╾ + ▀▄ −▆⥛
(⥛−▀)(⥛−▁)− ╾
⥛−▁≤ ╽

⥛−▃
╾ +⥛−▀−╾╽ ⥛+▁╽
(⥛−▀)(⥛−▁) − ╾
⥛−▁≤ ╽

⥛−▃
╾ + ⥛−▀
(⥛−▀)(⥛−▁)+ −╾╽ ⥛+▁╽
(⥛−▀)(⥛−▁)− ╾
⥛−▁≤ ╽
15

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 9 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401



⥛−▃
╾ + ╾
⥛−▁− ╾╽
⥛−▀− ╾
⥛−▁≤ ╽

ОДЗ:
1.
⥛≠ ▀
╿ⷶ≠ ▀
╿ⷶ≠ ╿⵵⵸⵰ ⸹ⵂ
⥟≠ ⊙⊜⊔ ⵁ▀
2.
⥛≠ ▁
╿ⷶ≠ ▁
╿ⷶ≠ ╿ⵁ
⥟≠ ╿

⥛−▃
╾ − ╾╽
⥛−▀≤ ╽

⥛ⵁ−▃⥛−▀⥛+╾▅ −╾╽
⥛−▀ ≤ ╽

⥛ⵁ−▆⥛+▅
⥛−▀ ≤ ╽

⥛ⵁ−▆⥛+▅= ╽
⤱= (−▆)ⵁ−▁▹╾▹▅= ▁▆
⥛ⵀ= ▆+▄
╿ = ▅
⥛ⵁ= ▆−▄
╿ = ╾
⥛−▀≠ ╽
⥛≠ ▀
ОДЗ:
⥛≠ ▁




⥛≤ ╾
╿ⷶ≤ ╾
╿ⷶ≤ ╿ⴿ
⥟≤ ╽
▀< ⥛≤ ▅
▀< ╿ⷶ≤ ▅
╿⵵⵸⵰ ⸹ⵂ< ╿ⷶ≤ ╿ⵂ
⊙⊜⊔ ⵁ▀< ⥟≤ ▀
ОДЗ:
⥟≠ ╿



Ответ: (−◆⏭╽]⟶(⊙⊜⊔ ⵁ▀⏭╿)⟶(╿⏭▀]

Содержание критерия Баллы
ОбосноZgghihemq_g _jguchlет 2
Решение содержит uqbkebl_evgmx ошибку, hafh`gh
при_^rmx к не_jghfm от_lm но при этом имеется
_jgZyihke_^hательность k_orZ]h решения
1
Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 2


В треугольнике ⤮⤯⤰ угол ⤮⤯⤰ ра_g 60 ◄. Окружность, ibkZggZy в
треугольник, касается стороны ⤮⤰ lhqd_ ⤺.

а) Докажите, что отрезок ⤯⤺ не больше утроенного радиуса вписанной в
треугольник окружности.
б) Найдите ⊠⊖⊛ ⟬⤯⤺⤰ , если из_klgh что отрезок ⤯⤺  2,5 раза больше
радиуса вписанной lj_m]hevgbdhdjm`ghklb.

Решение:
а)
16

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 10 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


Пусть
⤼−центр ibkZgghc окружности
⤵−точка касания окружности и стороны ⤯⤰
⥙−радиус ibkZgghchdjm`ghklb

Про_^zfijyfmx ⤯⤼
__________________________________________________________
Сhcklо касательных
Отрезки касательных к окружности, про_^zggu_ba одной точки, раgub
состаeyxl раgu_ углы с прямой, проходящей через эту точку и центр
окружности
__________________________________________________________
⟬⤼⤯⤵ = ╾
╿▹⟬⤮⤯⤰ = ╾
╿▹▃╽ = ▀╽◄
(по сhckl\mdZkZl_evguo )
__________________________ ________________________________
Сhcklо касательной
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, про_^zgghf точку
касания
__________________________________________________________
⟬⤼⤵⤯ = ▆╽◄
(по сhckl\mdZkZl_evghc)
__________________________________________________________
Сhcklо прямоугольного треугольника
Катет, лежащий напротиm]eZ 30 ◄, ра_giheh bg_]bihl_gmau
__________________________________________________________
Рассмотрим ㏩⤼⤯⤵ −прямоугольный
⤼⤵ = ⥙
⤯⤼ = ╿⥙
(по сhckl\mijyfhm]hevgh]hlj_m]hevgbdZ)

Про_^zfijyfmx ⤯⤺
Рассмотрим ㏩⤼⤯⤺
⤼⤺ = ⥙
⤯⤼ = ╿⥙
__________________________________________________________
Неравенство треугольника

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 11 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей
стороны
__________________________________________________________
⤼⤺ +⤯⤼ > ⤯⤺
(нера_gklо треугольника )
⥙+╿⥙> ⤯⤺
▀⥙> ⤯⤺


б)
⤯⤺ = ╿⏬▂⥙

⊠⊖⊛ ⟬⤯⤺⤰ = ⊠⊖⊛ (▆╽ −⟬⤯⤺⤼ )= ⊐⊜⊠ ⟬⤯⤺⤼
__________________________________________________________
Теорема Косинусов
⥈ⵁ= ⥉ⵁ+⥊ⵁ−╿⥉⥊ ▹⊐⊜⊠ ⧤
или
⊐⊜⊠ ⧤= ⥉ⵁ+⥊ⵁ−⥈ⵁ
╿⥉⥊
__________________________________________________________
Рассмотрим ㏩⤼⤯⤺
⊐⊜⊠ ⟬⤯⤺⤼ = ⥙ⵁ+(╿⏬▂⥙)ⵁ−(╿⥙)ⵁ
╿▹⥙▹╿⏬▂⥙
⊐⊜⊠ ⟬⤯⤺⤼ = ▀⏬╿▂ ⥙ⵁ
▂⥙ⵁ = ▀⏬╿▂
▂ = ▃⏬▂
╾╽ = ╽⏬▃▂

=>
⊠⊖⊛ ⟬⤯⤺⤰ = ╽⏬▃▂

Ответ: ╽⏬▃▂

Содержание критерия Баллы
Имеется _jgh_ доказательство ут_j`^_gby пункта а и
обосноZgghihemq_gерный от_l пункте б
3
Получен обосноZgguchlет imgdl_ б
ИЛИ
Имеется _jgh_^hdZaZl_evklо ут_j`^_gbyimgdlZZbijb
обосноZgghf решении пункта б получен не_jguc от_l
из-за арифметической ошибки
2
Имеется _jgh_^hdZaZl_evklо ут_j`^_gbyimgdlZ а,
ИЛИ
При обосноZgghf решении пункта б получен не_jguc
от_lba -за арифметической ошибки,
ИЛИ
ОбосноZggh получен _jguc от_l  пункте б с
использоZgb_fmlерждения пункта а, при этом пункт а не
uiheg_g
1
Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 3


15 -го янZjy планируется aylv кредит  банке на 19 месяце Условия его
haрата такоu:

– 1-го числа каждого месяца долг hajZklZ_lgZ ⥙% по сраg_gbxkdhgphf
предыдущего месяца;
– со 2 -го по 14 -е число каждого месяца необходимо uieZlblvqZklv^he]Z;
– 15 -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15 -е ч исло предыдущего месяца.

Из_klgh что общая сумма uieZl после полного погашения кредита на
30% больше суммы, aylhc кредит. Найдите ⥙.

Решение:
Пусть ⥟− сумма кредита

Тогда ╾⏬▀⥟− общая сумма uieZlij_ышающая сумму кредита на 30%

Составим таблицу:
Месяц Долг на
начало месяца
Осноghc
платёж
Дополнительный
платёж
17

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 12 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


1 ⥟ ⥟
╾▆ ⥙
╾╽╽ ▹⥟
2 ╾▅ ⥟
╾▆ ⥟
╾▆ ⥙
╾╽╽ ▹╾▅ ⥟
╾▆

19 ⥟
╾▆ ⥟
╾▆ ⥙
╾╽╽ ▹⥟
╾▆

Общая сумма uieZl (ОСВ) – это k_ осноgu_ платежи и k_
дополнительные платежи (сумму k_o дополнительных платежей найдём с
помощью формулы суммы перuo ⥕ членоZjbnf_lbq_kdhcijh]j_kkbb)
__________________________________________________________
Сумма первых n членоZjbnf_lbq_kdhcijh]j_kkbb
⥀ⷬ= ⥈ⵀ+⥈ⷬ
╿ ▹⥕
______________________________ ____________________ ________
⒨⒫⒜ = ╾▆ ▹⥟
╾▆ +

ⵀⴿⴿ ▹⥟+ ⷰ
ⵀⴿⴿ ▹ⷶ
ⵀⵈ
╿ ▹╾▆ = ╾⏬▀⥟

╾▆ ▹⥟
╾▆ +

ⵀⴿⴿ ▹⥟+ ⷰ
ⵀⴿⴿ ▹ⷶ
ⵀⵈ
╿ ▹╾▆ = ╾⏬▀⥟

ⵀⴿⴿ ▹(⥟+ ⷶ
ⵀⵈ)
╿ ▹╾▆ = ╽⏬▀⥟

⥙▹ⵁⴿⷶ
ⵀⵈ
╿╽╽ ▹╾▆ = ╽⏬▀⥟

⥙▹╿╽ ⥟
╿╽╽ ▹╾▆ ▹╾▆ = ╽⏬▀⥟
⥙▹⥟
╾╽ = ╽⏬▀⥟ ⼽⏮⥟

╾╽ = ╽⏬▀ ⼽▹╾╽

⥙= ▀

Ответ: 3

Содержание критерия Баллы
ОбосноZgghihemq_gерный от_l 3
Верно построена математическая модель, решение с_^_gh
к исследоZgbxwlhcfh^_eb получен не_jguchlет из -за
uqbkebl_evghchrb[db
ИЛИ
Получен _jguc от_l но решение недостаточно
обосноZggh
2
Верно построена математическая модель и решение
с_^_gh к исследоZgbx этой модели, при этом решение
может быть не за_jr_gh
1
Решение не с оот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 3

Найдите k_ значения ⥈, для каждого из которых существует хотя бы одна
пара чисел ⥟ и ⥠, удовлетворяющая нера_gkl\m
▂␌⥟−╿␌+╿␌⥟+⥈␌≤ ⾰╿▂ −⥠ⵁ−▀⏯
.Решение:
Пусть
⥍(⥟)= ▂␌⥟−╿␌+╿␌⥟+⥈␌
⥎(⥠)= ⾰╿▂ −⥠ⵁ−▀

=>
⥍(⥟)≤ ⥎(⥠)

Исследуем функцию ⥍(⥟) на hajZklZgb_m[uание
⥍(⥟)= ▂␌⥟−╿␌+╿␌⥟+⥈␌

Если ⥟≥ ╿
⥍(⥟)= ▂⥟−╾╽ ±╿(⥟+⥈)
⥍(⥟)= ±╿⥟+▂⥟−╾╽ ±╿⥈
=>
⥒= ▄ или ⥒= ▀
=>
18

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 13 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


⥍(⥟) hajZklZ_lijb ⥟≥ ╿

Если ⥟< ╿
⥍(⥟)= −▂⥟+╾╽ ±╿(⥟+⥈)
⥍(⥟)= ±╿⥟−▂⥟+╾╽ ±╿⥈
=>
⥒= −▄ или ⥒= −▀
=>
⥍(⥟) убыZ_lijb ⥟< ╿

=>

⥍(╿)= ▂␌╿−╿␌+╿␌╿+⥈␌
⥍(╿)= ╿␌╿+⥈␌− наименьшее значение функции

Исследуем функцию ⥎(⥠) на предмет чётности и hajZklZgb_m[uание

⥎(−⥠)= ⾰╿▂ −(−⥠)ⵁ−▀= ⾰╿▂ −⥠ⵁ−▀
=>
⥎(⥠)−чётная

⥎㏼(⥠)= −╿⥠
╿⾰╿▂ −⥠ⵁ= −⥠
⾰╿▂ −⥠ⵁ
−⥠
⾰╿▂ −⥠ⵁ= ╽

−⥠= ╽
⥠= ╽
=>
⥠= ╽−это точка максимума
=>
⥎(⥠) принимает наибольшее значение wlhclhqd_

⥎(╽)= ⾰╿▂ −╽ⵁ−▀
⥎(╽)= ╿− наибольшее значение функции

Итак, _jgzfkydbkoh^ghfmg_jZенству:
⥍(⥟)≤ ⥎(⥠)

╿␌╿+⥈␌≤ ⥍(⥟)
(т.к. ╿␌╿+⥈␌− наименьшее значение функции ⥍(⥟))
⥎(⥠)≤ ╿
(т.к. ╿− наибольшее значение функции ⥎(⥠))

=>
╿␌╿+⥈␌≤ ⥍(⥟)≤ ⥎(⥠)≤ ╿
=>
╿␌╿+⥈␌≤ ╿
␌╿+⥈␌≤ ╾

Получаем соhdmighklvkbkl_f

Если ⥈≥ −╿

㑏⥈≥ −╿
╿+⥈≤ ╾

㑏⥈≥ −╿
⥈≤ −╾
=>
−╿≤ ⥈≤ −╾
Если ⥈< −╿

㑏 ⥈< −╿
−╿−⥈≤ ╾

㑏⥈< −╿
⥈≥ −▀
=>
−▀≤ ⥈< −╿

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 14 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401




Ответ: ⥈⟛[−▀⏭−╾]

Содержание критерия Баллы
ОбосноZgghihemq_gijZ\bevguchlет 4
С помощью _jgh]h рассуждения получено множество
значений а, отличающееся от искомого конечным числом
точек
3
С помощью _jgh]h рассуждения получены k_ граничные
точки искомого множестZagZq_gbcZ
2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого
множестZagZq_gbcZ
1
Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 4

В последоZl_evghklb ⥈ⵀ, ⥈ⵁ, …, ⥈ⷬⵊⵀ, ⥈ⷬ, состоящей из целых чисел, ⥈ⵀ=
╾, ⥈ⷬ= ╿▀▂ . Сумма любых двух соседних члено последоZl_evghklb
раgZbeb.

а) При_^bl_ijbf_jlZdhcihke_^hательности.
б) Может ли такая последовательность состоят ь из 1000 члено?
 Из какого наименьшего числа члено может состоять такая
последоZl_evghklv?
Решение:
а)
Если сумма двух соседних члено последоZl_evghklb раgZ 3, потом 5,
потом сноZihlhfkghа 5 и т.д.:
╾ ╿ ▀ ╽ ▂ −╿ ▄ ⏰
=>
В такой последоZl_evghklb числа, стоящие на нечётных позициях,
у_ebqbаются на 2
=>
Очеb^ghqlhlZdbfkihkh[hffu^hc^zf^h ⥈ⷬ= ╿▀▂
╾ ╿ ▀ ╽ ▂ −╿ ▄ ⏰ ╿▀╾ −╿╿▅ ╿▀▀ −╿▀╽ ╿▀▂

б)
Заметим, что  при_^zgghc  предыдущем пункте последоZl_evghklb на
нечётных позициях стоят нечётные числа, а на чётных – чётные

Перh_ число – нечётное, и сумма двух чисел – число нечётное (по
условию 3, 5 или 25)
=>
В данной последоZl_evghklbсегда на нечётных позициях стоят нечётные
числа, а на чётных – чётные
=>
⥈ⵀⴿⴿⴿ должно быть чё тным, но последнее число последоZl_evghklb – это
235
=>
Не может

)
Наименьшее число членов последоZl_evghklb будет достигаться при
наибольшем у_ebq_gbbagZq_gbcihke_^hательности , т.е. если:

Уменьшение числа (по модулю) идёт на 3 (начиная с третьего )
У_ebq_gb_qbkeZ ihfh^mex b^zlgZ5

╾ ╿ ╿▀ −╿╽ ▁▂ −▁╿ ▃▄ ⏰

Нечётные числа при таком раскладе у_ebqbаются на 22, поэтому:
⥈ⵀ= ╾
⥈ⵂ= ╿▀
⥈ⵄ= ▁▂
⥈ⵆ= ▃▄
⥈ⵈ= ▅▆
⥈ⵀⵀ = ╾╾╾
⥈ⵀⵂ = ╾▀▀
⥈ⵀⵄ = ╾▂▂
⥈ⵀⵆ = ╾▄▄
19

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl1 .04.201 9 15 / 15

© 201 9 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/math_100/2019kim31 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
190401


⥈ⵀⵈ = ╾▆▆
⥈ⵁⵀ = ╿╿╾
⥈ⵁⵂ = ╿▁▀ (на 8 больше, чем нужно )
=>
Заменим четыре уменьшения числа (по модулю) на 3
на четыре уменьшения числа (по модулю) на 5, например, самые перu_
четыре, получаем последоZl_evghklvbaqe_gh:

╾ ▁ ╿╾ −╾▃ ▁╾ −▀▃ ▃╾ −▂▃ ▅╾ −▄▅ ╾╽▀ −╾╽╽
╾╿▂ −╾╿╿ ╾▁▄ −╾▁▁ ╾▃▆ −╾▃▃ ╾▆╾ −╾▅▅ ╿╾▀
−╿╾╽ ╿▀▂

Ответ: а) при_eb , б) нет,  3

Содержание критерия Баллы
Верно получены k_ перечисленные (см. критерий на 1
балл) результаты
4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1
балл) результатов
3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1
балл) результатов
2
Верно получен один из следующих результато:
- обосноZggh_j_r_gb_iZ;
- обосноZggh_j_r_gb_i[;
- искомая оценка i;
- пример  п.  обеспечиZxsbc точность предыдущей
оценки
1
Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критери е
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 4