181203_Profilnaya_matematika_-_Probny_variant_14_s_resheniem

Формат документа: pdf
Размер документа: 0.79 Мб





Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 1 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


Единый государст_ggucwdaZf_g
по МАТЕМАТИКЕ
Профильный уро_gv
Инструкция по uiheg_gbxjZ[hlu
Экзаменационная работа состоит из д вух частей, dexqZxsbo в себя
19 заданий . Часть 1 содержит 8 заданий базоh]h уроgy сложности с
кра тким от_lhf Часть 2 содержит 4 задания с кратким от_lhf
поur_ggh]h уроgy сложности и 7 заданий с раз_jgmluf от_lhf
поur_ggh го и ukhdh]hmjhней сложности.
На uiheg_gb_ экзаменационной работы по м атематике отh^blky 3
часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1 –12 записыZxlky по при_^zgghfm ниже
образцу  виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа
запишите  поля от_lh  тексте работы, а затем перенесите  бланк
от_lh № 1.

При uiheg_gbbaZ^Zgbc3 –19 требуется записать полное решение и
от_l бланке от_lh № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами.
Допускается использоZgb_]_e_ой или капиллярной ручки .
При uiheg_gbb заданий можно по льзоZlvky черновиком. Записи 
черноbd_g_mqbluаются при оцениZgbbjZ[hlu Записи q_jghике, а
также  тексте контрольных измерительных материало не
учитываются при оцениZgbbjZ[hlu.
Баллы, полученные Вами за uiheg_ggu_ задания, суммируются.
Пост арайтесь uihegblvdZdfh`gh[hevr_aZ^ZgbcbgZ[jZlv наибольшее
количестh[Zeeh.
После за_jr_gby работы про_jvl_ что от_l на каждое задание в
бланках от_lh №1 и №2 запи сан под праbevgufghf_jhf.
Желаем успеха!

Спраhqgu_fZl_jbZeu
sin 2�+cos 2�= 1
sin 2�= 2sin �⋅cos �
cos 2�= cos 2�−sin 2�
sin (�+�)= sin �⋅cos �+cos �⋅sin �
cos (�+�)= cos �⋅cos �−sin �⋅sin �
От_lhf к заданиям 1–12 яey_lky целое число или конечная
десятичная дробь. Запишите число ihe_ от_lZ тексте работы,
затем перенесите его  БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 спраZ от номера
соот_lklующего задания, начиная с перhc клеточки. Каждую
цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в
соот_lklии с приведёнными  бланке образцами. Единицы
измерений писать не нужно.

Блокнот fZ]Zabg_klhbljm[eyKdhevdhjm[e_caZieZlblihdmiZl_evaZ
70 блокното если при покупке больше 50 блокното магазин делает
скидку 5% от стоимости k_cihdmidb?

Ответ: ___________________________.

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура
ha^moZ  Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали
указыZxlky числа месяца, по _jlbdZeb – температура  градусах
Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите
по рисунку, какой была наибольшая среднесуточная температура за
указанный период. Ответ дайте ]jZ^mkZoP_evkby.



Ответ: ___________________________.

1
2

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 2 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.



Ответ: ___________________________.

В среднем из 900 садоuogZkhkh, поступиrbo продажу, 27 подтекают.
Найдите _jhylghklv того, что один случайно u[jZgguc для контроля
насос не подтекает.

Ответ: ___________________________.


Найдите корень уравнения
(�−10 )7= 1.

Ответ: ___________________________.

В треугольнике ��� угол � ра_g 56 °, углы � и �−
острые, ukhlu ��и �� пересекаются  точке �.
Найдите угол ��� . Ответ дайте ]jZ^mkZo.

Ответ: ___________________________.


На рисунке изображён график некоторой функции �= �(�) (два луча с
общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите �(−1)−
�(−8), где �(�)−одна из перhh[jZaguonmgdpbb �(�).



Ответ: ___________________________.

Объём праbevghc четырёхугольной пирамиды ����� ра_g 116. Точка
�− середина ребра �� . Найдите объём треугольной пирамиды ���� .



Ответ: ___________________________.

3
4
5
6
7
8

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 3 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


Найдите значение ujZ`_gby
12 sin 150° ∙cos 120° .

Ответ: ___________________________.

Незаbkbfh_ агентстh намерено \_klb рейтинг � ноhklguo изданий на
осно_ показателей информатиghklb ���, оперативности ��� и
объективности ��� публикаций. Каждый показатель оцениZ_lky целыми
числами от 1 до 6.

Аналитик, составляющий формулу, считает, что объективность публикаций
ценится ^ое, а информативность – q_lеро дороже, чем оператиghklv
В результате, формула примет b^

�= 4��� +���+2���
� .

Каким должно быть число �, чтобы издание, у которого k_ показатели
наибольшие, получило рейтинг 1?

Ответ: ___________________________.

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число
проценто а h lhjgbd подеше_eb на т о же самое число проценто В
результате они стали стоить на 4% дешеe_ чем при открытии торго в
понедельник. На сколько проценто подорожали акции компании в
понедельник?

Ответ: ___________________________.


Найдите наибольшее значение функции
�= 10 sin �−36 �
�� +7 на отрезке [−5��
6 ;0].

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести k_ от_lu  бланк от_lh № 1 
соот_lklии с инструкцией по uiheg_gbxjZ[hlu.

Часть 2

Для записи решений и от_lh на задания 13 –19 используйте БЛАНК
ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер uihegy_fh]h задания ( 13,
14 и т. д.), а затем полное обосноZggh_ решение и от_l От_lu
записыZcl_qzldhbjZa[hjqb\h.

а) Решите ураg_gb_
2cos 3�−2cos �+sin 2�= 0.
б) Найдите k_dhjgb этого ураg_gbyijbgZ^e_`Zsb_hlj_adm
[3��
2 ;3��].

В праbevghclj_m]hevghcibjZfb^_ ���� сторона осноZgby �� раgZ
а бокоh_ ребро �� раgh 8. Точки � и �− середины рёбер �� и ��
соот_lkl\_ggh Плоскость � содержит прямую �� и перпендикулярна
плоскости осноZgbyibjZfb^u.

а) Докажите, что плоскость � делит медиану �� осноZgby  отношении
5:1, считая от точки �.
б) Найдите объём пирамиды, _jrbghc которой является точка �, а
осноZgb_f – сечение пирамиды ���� плоскостью �.

Решите нера_gkl\h
3
(22−��2−1)2− 4
22−��2−1+1≥ 0.






9
10
11
12
13
14
15

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 4 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


В прямоугольной трапеции ���� с прямым углом при _jrbg_ �
расположены две окружности. Одна из них касается бокоuo сторон и
большего осноZgby �� , lhjZy – бокоuoklhjhgf_gvr_]hhkghания ��
и перhchdjm`ghklb.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает осноZgb_
�� lhqd_ �. Докажите, что ��
�� = sin �.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей раgu 4
3 и 1
3.

Григорий является eZ^_evp_f двух заh^h  разных городах. На заh^Zo
произh^ylkyZ[khexlghh^bgZdhые тоZjughgZ заводе, расположенном
hтором городе, используется более со_jr_ggh_h[hjm^hание.
В результате, если рабочие на заh^_ распо ложенном  перhf городе,
трудятся суммарно ��2 часо в неделю, то за эту неделю они произh^yl 3��
единиц тоZjZ если рабочие на заh^_ расположенном h lhjhf городе,
трудятся суммарно ��2 часо в неделю, то за эту неделю они произh^yl 5��
единиц тоZ ра.

За каждый час работы (на каждом из заh^h) Григорий платит рабочему
500 рублей.

Григорий гото u^_eylv 6 800 000 рублей  неделю на оплату труда
рабочих. Какое наибольшее количестh единиц тоZjZ можно произ_klb
за неделю на этих двух заh^Zo?

Найдите k_agZq_gby �, при каждом из которых нера_gkl\h
|�2+�� +1
�2+�+1|< 3
uihegy_lkyijbсех �.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произ_^_gb_
любых двух из которых больше 60 и меньше 140.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
 Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске,
если их четыре?



















СОСТАВИТЕЛЬ ВАРИАНТА :
ФИО: Е]_gbcIbnZ]hj
Предмет: Математика
Стаж: 7 лет репетиторской деятельности
Регалии: ОсноZl_evijh_dlZRdheZIbnZ]hjZ
Аккаунт ВК: https://vk.com/eugene10
Сайт и доп.
информация:
https://vk.com/shkolapifagora
https:// youtube .com/ ШколаПифагора

О проекте «Пробный ЕГЭ каждую неделю»
Данный ким состаe_gdhfZg^hcсероссийского hehglzjkdh]hijh_dlZ
«ЕГЭ 100 баллов» https://vk.com/ege100ballov и безhaf_a^gh
распространяется для любых некоммерческих образоZl_evguop_e_c.

Нашли ошибку  варианте?
Напишите нам, пожалуйста, и мы обязательно её испраbf!
Для замечаний и пожеланий: https://vk.com/topic -10175642_39008096
(также доступны другие ZjbZglu^eykdZqbания)

16
17
18
19

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 5 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


Система оцениZgby
От_ludaZ^Zgbyf1 -19

Каждое из заданий 1 –12 считается uiheg_ggufb _jgh если
экзаменуемый дал _jguc от_l  b^_ целого числа или конечной
десятичной дроби. Каждое _jgh uiheg_ggh_ задание оцениZ_lky 1
баллом.
Верно uiheg_ggu_ задания 13 -15 максимум оцениZxlky  2 балла,
задания 16 -17 – [ZeeZZaZ^Zgby8 -19 – [ZeeZ.


задания Ответ
1 1463
2 26
3 10
4 0,97
5 11
6 124
7 20
8 29
9 -3
10 42
11 20
12 32
13
а) ���� ,��
3+2���� ,−��
3+2���� ; ��∈�.
б)2��; 3��; 5��
3; 7��
3
14 80 √3
3
15 (−∞;−√2)∪(−√2;−1]∪{0}∪[1;√2)∪(√2;+∞)
16 116
7
17 680
18 (−1;5)
19 а) да (например, 8, 9, 10 , 11 , 12),
б) нет,  7


Решения и критерии оценивания заданий13 –19

Количестh[Zeeh, uklZленных за uiheg_gb_aZ^Zgbc3 –19, заbkblhl
полноты решения и праbevghklbhlета.
Общие требоZgbyd uiheg_gbxaZ^Zgbck разzjgmlufhlетом: решение
должно быть математически грамотным, полным, k_ hafh`gu_kemqZb
должны быть рассмотрены. Методы решения, формы е го записииформы
записи от_lZ могут быть разными. За решение,  котором обосноZggh
получен правильный от_lыставляется максимальное количестh[Zeeh.
Праbevguchlет при отсутствии текста решения оцениZ_lky 0балло.
Эксперты про_jyxl только матем атическое содержание представленного
решения, а особенности записи не учитыZxl.
При uiheg_gbb задания могут использоZlvky[_a^hdZaZl_evklаи ссылок
любые математические факты, содержащиеся  учебниках и учебных
пособиях, входящих в Федеральный перечень у чебникоj_dhf_g^m_fuod
использоZgbx при реализации имеющих государственную аккредитацию
образоZl_evguoijh]jZffkj_^g_]hh[s_]hh[jZahания.

а) Решите ураg_gb_
2cos 3�−2cos �+sin 2�= 0.
б) Найдите k_dhjgbwlh]hmjZнения, принадлежащие отрезку
[3��
2 ;3��].
.
Решение:
а)
__________________________________________________________
Осноgu_Ljb]hghf_ljbq_kdb_nhjfmeu
sin 2�+cos 2�= 1
tg�∙ctg �= 1
tg2�+1= 1
cos 2�
__________________________________________________________
2cos 3�−2cos �+1−cos 2�= 0

2cos �∙(cos 2�−1)−(cos 2�−1)= 0

13

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 6 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


(cos 2�−1)∙(2cos �−1)= 0

cos 2�−1= 0
cos 2�= 1
cos �= ±1
�= ���� ; ��∈�
2cos �−1= 0
2cos �= 1
cos �= 1
2
�= ��
3+2���� ; ��∈�
�= −��
3+2���� ; ��∈�

б)
Подберём корни для �= ���� ;��∈�
Если ��= 1, то �= ��∉[3��
2;3��]
Если ��= 2, то �= 2��∈[3��
2;3��]
Если ��= 3, то �= 3��∈[3��
2;3��]
Если ��= 4, то �= 4��∉[3��
2;3��]

Подберём корни для �= ��
3+2���� ;��∈�
Если ��= 0, то �= ��
3∉[3��
2;3��]
Если ��= 1, то �= ��
3+2��= 7��
3∈[3��
2;3��]
Если ��= 2, то �= ��
3+4��= 13��
3 ∉[3��
2;3��]

Подберём корни для �= −��
3+2���� ;��∈�
Если ��= 0, то �= −��
3∉[3��
2;3��]
Если ��= 1, то �= −��
3+2��= 5��
3∈[3��
2;3��]
Если ��= 2, то �= −��
3+4��= 11��
3 ∉[3��
2;3��]

Ответ: а) ���� ,��
3+2���� ,−��
3+2���� ; ��∈�. б )2��; 3��; 5��
3; 7��
3

Содержание критерия Баллы
ОбосноZgghihemq_guерные от_lu обоих пунктах 2
ОбосноZggh получен _jguc от_l  пункте а или 
пункте б
ИЛИ
1
Получены не_jgu_hlеты из -за uqbkebl_evghchrb[db
но при этом имеется _jgZy последоZl_evghklv всех
шагоj_r_gbyh[hboimgdlh – пункта а и пункта б

Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 2


В праbevghclj_m]hevghcibjZfb^_ ���� сторона осноZgby �� раgZ
а бокоh_ ребро �� раgh 8. Точки � и �− середины рёбер �� и ��
соот_lkl\_ggh Плоскость � содержит прямую �� и перпендикулярна
плоскости осноZgbyibjZfb^u.

а) Докажите, что плоскость � делит медиану �� осноZgby  отношении
5:1, считая от точки �.
б) Найдите объём пирамиды, _jrbghc которой является точка �, а
осноZgb_f – сечение пир амиды ���� плоскостью �. .
Решение:
а)
Пусть �− центр осноZgbyibjZfb^u

14

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 7 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


Рассмотрим △��� − раgh[_^j_gguc:
Про_^zff_^bZgm �� , являющуюся ещё и биссектрисой и ukhlhc
Пусть (��� )∩�� = �
Построим прямую �� такую, что �� ∥��
Построим прямую �� через точку � такую, что �� ∥��
Построим прямую �� , т.к. точки � и � лежат h^ghciehkdhklb
Построим прямую �� , т.к. точки � и � лежат h^ghciehkdhklb
���� −сечение пирамиды плоскостью �

Рассмотрим △��� − прямоугольный:
Т.к. �− середина �� и �� ∥�� , то �� − средняя линия △���
=> �− середина ��
Пусть �� = �� = �
Т.к. �� − медиана  △��� , то:
��
�� = 2:1
=> �� = 2∙�� = 2∙(�� +�� )= 2∙(�+�)= 4�

=> ��
�� = �� +��
�� = 4�+�
� = 5:1


б)
������� = 1
3∙����� ∙��

Найдём осноZgbybысоту трапеции ���� :
�� = 1
2∙�� = 1
2∙12 = 6 (т.к. �� − средняя линия △��� )
�� = 5
6∙�� = 5
6∙12 = 10 (т.к. ��
�� = 5:1)
�� = 2
3∙�� = 2
3∙√3
2 ∙�� = 12
√3
�� = √�� 2−�� 2= √82−(12
√3)2= 4 (по теореме Пифагора)
�� = 1
2∙�� = 1
2∙4= 2 (т.к. �� − средняя линия △��� )
����� = �� +��
2 ∙�� = 6+10
2 ∙2= 16

�� = 5
6∙√3
2 ∙�� = 5√3

������� = 1
3∙16 ∙5√3= 80 √3
3
Ответ: б) 80√3
3 .

Содержание критерия Баллы
ОбосноZgghihemq_gерный от_l обоих пунктах 2
Верно доказан пункт а.
ИЛИ
Верно решён пункт б при отсутствии обосноZgbc в
пункте а
1
Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 2


Решите нера_gkl\h
3
(22−��2−1)2− 4
22−��2−1+1≥ 0.
.
Решение:

Пусть 22−��2−1= ��

3
��2−4
��+1≥ 0

3−4��+��2
��2 ≥ 0

3−4��+��2≥ 0
��2−4��+3= 0
�= (−4)2−4∙1∙3= 4
��1= 4+2
2 = 3
��2= 4−2
2 = 1
��≠ 0
15

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 8 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203



��≤ 1
22−��2−1≤ 1
22−��2≤ 21
2−�2≤ 1
�2≥ 1
�≤ −1 �≥ 1
��≥ 3
22−��2−1≥ 3
22−��2≥ 4
22−��2≥ 22
2−�2≥ 2
�2≤ 0
�= 0
��≠ 0
22−��2−1≠ 0
22−��2≠ 1
22−��2≠ 20
2−�2≠ 0
�≠ ±√2


Ответ: (−∞;−√2)∪(−√2;−1]∪{0}∪[1;√2)∪(√2;+∞)

Содержание критерия Баллы
ОбосноZgghihemq_gерный от_l 2
Решение содержит uqbkebl_evgmx ошибку, hafh`gh
при_^rmx к не_jghfm от_lm но при этом имеется
_jgZy последоZl_evghklvсех шагоj_r_gby
1
Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 2

В прямоугольной трапеции ���� с прямым углом при _jrbg_ �
расположены две окружности. Одна из них касается бокоuo сторон и
большего осноZgby �� , lhjZy – бокоuoklhjhgf_gvr_]hhkghания ��
и перhchdjm`ghklb.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает осноZgb_
�� lhqd_ �. Докажите, что ��
�� = sin �.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей раgu 4
3 и 1
3.
.
Решение:
а)
Пусть �� ∩�� = �
__________________________________________________________
Сhcklо касательных
16

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 9 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


Отре зки касательных к окружности, про_^zggu_ba одной точки, раgub
состаeyxl раgu_ углы с прямой, проходящей через эту точку и центр
окружности
__________________________________________________________
Точка �, центры окружностей и точка � лежат на одной прямой ��,
которая яey_lky[bkk_dljbkhcm]eZ ��� (по сhckl\mdZkZl_evguo)
__________________________________________________________
Сhcklо биссектрисы
���
���= �

______________________________________________ ____________
��
�� = ��
��

sin � = ��
��

=>
��
�� = sin �


б)

Пусть �−центр большей окружности
Пусть �−центр меньшей окружности
Пусть �−точка касания меньшей окружности с прямой ��
Пусть �−точка касания большей окружности с прямой ��
Тогда
�� = 1
3= ��
�� = 4
3= ��

Опустим перпендикуляр �� на отрезок ��
Рассмотрим △��� −прямоугольный:
�� = 4
3+1
3= 5
3
�� = �� −�� = 4
3−1
3= 1
�� = √�� 2−�� 2= √(5
3)2−12= 4
3 (по теореме Пифагора)
=>
�� = �� = 4
3
=>

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 10 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


�� = �� +�� +�� = 4
3+4
3+1
3= 3

△��� ~△��� по двум углам
(∠��� = ∠��� = 90 °
∠��� −общий )

��
�� = ��
��

�� +��
�� +�� +�� = ��
��

�� +1
3
�� +1
3+4
3
=
1
34
3

�� +1
3
�� +5
3
= 1
4
�� +5
3= 4�� +4
3
3�� = 1
3
=>
�� = 1
9

cos ∠��� = ��
�� =
4
35
3
= 4
5
Пусть ∠��� = �
∠��� = 2�
cos �= 4
5
__________________________________________________________
Косинус дhcgh]hm]eZ
cos 2�= cos 2�−sin 2�
cos 2�= 2cos 2�−1
cos 2�= 1−2sin 2�
__________________________________________________________
cos 2�= 2∙(4
5)
2
−1= 2∙16
25 −1= 32
25 −25
25 = 7
25
__________________________________________________________
Осноgu_Ljb]hghf_ljbq_kdb_nhjfmeu
sin 2�+cos 2�= 1
tg�∙ctg �= 1
tg2�+1= 1
cos 2�
__________________________________________________________
sin 2�= √1−cos 22�= 24
25
tg2�= sin 2�
cos 2�= 24
25 :7
25 = 24
7

tg2�= 24
7 = ��
��
24
7 = ��
1
9

=>
�� = 8
21

tg2�= 24
7 = ��
��
24
7 = ��
�� +��
24
7 = ��
3+1
9

=>
�� = 32
3

����� = �� +��
2 ∙��
����� =
32
3+ 8
21
2 ∙3= 116
7

Ответ: б) 116
7

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 11 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


Содержание критерия Баллы
Имеется _jgh_ доказательство ут_j`^_gby пункта а и
обосноZgghihemq_gерный от_l пункте б
3
Получен обосноZgguchlет imgdl_ б
ИЛИ
Имеется _jgh_^hdZaZl_evklо ут_j`^_gbyimgdlZZbijb
обосноZgghf решении пункта б получен не_jguc от_l
из-за арифметической ошибки
2
Имеется _jgh_^hdZaZl_evklо ут_j`^_gbyimgdlZ а,
ИЛИ
При обосноZgghf решении пункта б получен не_jguc
от_lba -за арифметической ошибки,
ИЛИ
ОбосноZggh получен _jguc от_l  пункте б с
использоZgb_fmlерждения пункта а, при этом пункт а не
uiheg_g
1
Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 3


Григорий является eZ^_evp_f двух заh^h  разных городах. На заh^Zo
произh^ylkyZ[khexlghh^bgZdhые тоZjughgZ заводе, расположенном
hтором городе, используется более со_jr_ggh_h[hjm^hание.
В результате, если рабочие на заh^_ расположенном  перhf городе,
трудятся суммарно ��2 часо в неделю, то за эту неделю они произh^yl 3��
единиц тоZjZ если рабочие на заh^_ расположенном h lhjhf городе,
трудятся суммарно ��2 часо в неделю, то за эту неделю они произh^yl 5��
единиц тоZjZ.

За каждый час работы (на каждом из заh^h) Григорий платит рабочему
500 рублей.

Григорий гото u^_eylv 6 800 000 рублей  неделю на оплату труда
рабочих. Какое наибольшее количестh единиц тоZjZ можно произ_klb
за неделю на этих двух заh^Zo? .
Решение:

Величины ��2  перhf городе и h втором городе не одинакоu_ нам
просто показана заbkbfhklv количестZ единиц тоZjZ от количества
часов

Пусть
�2часоljm^ylky перhf]hjh^_bijhbaодят 3� единиц тоZjZ
�2часоljm^ylkyо lhjhf]hjh^_bijhbaодят 5� един иц тоZjZ

Тогда
�2+�2−суммарное количестhqZkh ^\mo]hjh^Zo
3�+5�−суммарное количестh_^bgbplhара ^\mo]hjh^Zo

За каждый час работы (на каждом из заh^h) Григорий платит рабочему
500 рублей.
Григорий гото u^_eylv 6 800 000 рублей  неделю на оплату труда
рабочих.
=>
500 ∙(�2+�2)= 6800000
Выразим �
�2+�2= 6800000
500
�2= 13600 −�2
�= √13600 −�2

Нужно найти какое наибольшее количестh единиц тоZjZ можно
произ_klbaZg_^_exgZwlbo^\moaZодах
=>
Нужно найти наибольшее значение ujZ`_gby 3�+5�, \_^zfnmgdpbx:
�(�,�)= 3�+5�
�(�)= 3�+5√13600 −�2
�′(�)= 3+ 5∙(−2�)
2√13600 −�2= 0
3= 5�
√13600 −�2
3√13600 −�2= 5� ⃒^2
9∙(13600 −�2)= 25 �2
9∙13600 −9�2= 25 �2
34 �2= 9∙13600
�2= 9∙13600
34
17

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 12 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


�2= 9∙400
�= 3∙20 = 60

Докажем, что это точка максимума:
=>
Наибольшее значение функция будет принимать wlhclhqd_

�(60 )= 3∙60 +5√13600 −60 2
�(60 )= 180 +500 = 680

Ответ: 680

Содержание критерия Баллы
ОбосноZgghihemq_gерный от_l 3
Верно построена математическая модель, решение с_^_gh
к исследоZgbxwlhcfh^_ebihemq_gg_ерный от_lba -за
uqbkebl_evghchrb[db
ИЛИ
Получен _jguc от_l но решение недостаточно
обосноZggh
2
Верно построена математическая модель и решение
с_^_gh к исследоZgbx этой модели, при этом решение
может быть не за_jr_gh
1
Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 3

Найдите k_agZq_gby �, при каждом из которых нера_gkl\h
|�2+�� +1
�2+�+1|< 3
uihegy_lkyijbсех �.

.Решение:

__________________________________________________________
Деление модулей
|�
�|= |�|
|�|
__________________________________________________________
|�2+�� +1|
|�2+�+1|< 3

|�2+�� +1|
|�2+2∙�∙0,5+0,25 +0,75 |< 3

|�2+�� +1|
|(�+0,5)2+0,75 |< 3
__________________________________________________________
Раскрытие модуля
Если gmljbfh^mevgh_ ujZ`_gb_ – положительное, то просто опускаем
модуль
Пример:
�= |2−1|= 2−1= 1

Если gmljbfh^mevgh_ыражение – отрицательное, то раскрыZ_ffh^mev
меняя k_agZq ки gmljbfh^meygZijhlbоположные
Пример:
�= |1−2|= −1+2= 1
__________________________________________________________
Внутримодульное ujZ`_gb_  знаменателе положительно при любом �,
поэтому можно опустить модуль

|�2+�� +1|
�2+�+1 < 3

Знаменатель дроби – положительное ujZ`_gb_
=>
Можно домножить на него обе части нера_gkl\Z и знак нера_gklа не
изменится:

|�2+�� +1|< 3∙(�2+�+1)

18

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 13 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


|�2+�� +1|< 3�2+3�+3

Итак, праZy часть нера_gkl\Z положительна. Модуль меньше
положительного ujZ`_gbydZdihklmiZlv такой ситуации? Легко понять
по примеру:
|�|< 5
−5< �< 5

=>
−3�2−3�−3< �2+�� +1< 3�2+3�+3

{−3�2−3�−3< �2+�� +1
�2+�� +1< 3�2+3�+3

{4�2+�� +3�+4> 0
2�2−�� +3�+2> 0

{4�2+(�+3)�+4> 0
2�2+(3−�)�+2> 0

Эти нера_gkl\Z^he`guh^ghременно uihegylvkyij и любых значениях
переменной �:

У нас есть 2 параболы с _lями \_jo которые должны быть строго
больше нуля (это происходит, когда парабола ur_hkbZ[kpbkk)

=>
Дискриминант у обоих кZ^jZlbqguo функций должен быть
отрицательным

4�2+(�+3)�+4

�= (�+3)2−4∙4∙4< 0
�2+6�+9−64 < 0
�2+6�−55 < 0
�2+6�−55 = 0
�= 36 +220 = 256
�1= −6+16
2 = 5
�2= −6−16
2 = −11
2�2+(3−�)�+2

�= (3−�)2−4∙2∙2< 0
9−6�+�2−16 < 0
�2−6�−7< 0
�2−6�−7= 0
�= 36 +28 = 64
�1= 6+8
2 = 7
�2= 6−8
2 = −1


Осталось найти пересечение полученных промежутков

Ответ: �∈(−1;5)

Содержание критерия Баллы
ОбосноZgghihemq_gijZ\bevguchlет 4
С помощью _jgh]h рассуждения получено множество
значений а, отличающееся от искомого конечным числом
точек
3
С помощью _jgh]h рассуждения получены k_ граничные
точки искомого множестZagZq_gbcZ
2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого
множестZagZq_gbcZ
1
Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 4

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произ_^_gb_
любых двух из которых больше 60 и меньше 140.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
 Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске,
если их четыре?
19

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 14 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


.
Решение:

а)
Да, например
8, 9, 10, 11, 12

Наименьшее произ_^_gb_gZb[hevr__ijhbaедение 132
=>
Произ_^_gb_ex[uo^\mobawlboqbk_e[hevr_bf_gvr_0
=>
Может

б)
Пусть
�, �, �, �, � и �−числа на доске, записанные ihjy^d_озрастания

�� > 60
�< �
=>
�= 9−наименьшее hafh`gh_agZq_gb_\lhjh]hihеличине числа

�� < 140
�< �
=>
�= 11 −наибольшее hafh`gh_ значение пред последнего по _ebqbg_
числа
=>
Получаем протиhj_qb_ldf_`^m � и � есть два ч исла – � и �, но между 9
и 11 есть только 10
=>
Не может

)
Пусть
�, �, � и �−числа на доске, записанные ihjy^d_озрастания

Если
�= 6, то:
�= 11 (чтобы меньшее произ_^_gb_ihemqbehkv[hevr_)
�= 12 или больше
�= 13 или больше
(но тогда большее произ_^_gb_[m^_l[hevr_)
=>
Такой ZjbZglg_ih^oh^bl

Если
�= 5, то:
�= 13 (чтобы меньшее произ_^_gb_ihemqbehkv[hevr_)
�= 14 или больше
�= 15 или больше
(но тогда большее произ_^_gb_[m^_l[hevr_)
=>
Такой ZjbZglg_ih^oh^blb
=>
�≥ 7

Если
�= 10 , то:
�= 11 или больше
�= 12 или больше
�= 13 или больше
(но тогда большее произ_^_gb_[m^_l[hevr_)
=>
Такой ZjbZglg_ih^oh^blb
�≤ 9
=>
Для наименьшего из четырёх чисел есть 3 ZjbZglZ:

�= 7

Какое число может
быть последним?
14 не может быть, т.к.
даже  примере с
наименьшими
средними числами 7, 9,
10, 14 нарушается
lhjh_mkehие

Последнее из четырёх
чисел равно 11, 12 или
13

�= 8

Какое число может
быть последн им?
14 не может быть, т.к.
даже  примере с
наименьшими
средними числами 8, 9,
10, 14 нарушается
lhjh_mkehие

Последнее из четырёх
чисел равно 11, 12 или
13

�= 9

Какое число может
быть последним?
13 не может быть, т.к.
даже  примере с
наименьшими
средними числами 9,
10, 11, 13 нарушается
lhjh_mkehие

Последнее из четырёх
чисел равно 12

9 10 11 12 (42)

Единый государственный экзамен, 2019 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный ZjbZglhl3 .12.201 8 15 / 15

© 2018 Всероссийский проект « ЕГЭ 100 БАЛЛОВ » vk.com /ege 100 ballov Составитель : vk.com/shkolapifagora
Разбор всех заданий: http://vk.com/ math _100/2019 kim 14 Разрешается свободное копирование g_dhff_jq_kdboh[jZah\Zl_evguop_eyo

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
181203


7 9 10 11 (37)

7 9 10 12 (38)
7 9 11 12 (39)
7 10 11 12 (40)

7 9 10 13 (39)
8 9 10 11 (38)

8 9 10 12 (39)
8 9 11 12 (40)
8 10 11 12 (41)

8 9 10 13 (40)


Ответ: а) да (например, 8, 9, 10, 11, 12), б) нет,  7

Содержание критерия Балл ы
Верно получены k_ перечисленные (см. критерий на 1
балл) результаты
4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1
балл) результатов
3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1
балл) результатов
2
Верно получен один из следующих результато:
- обосноZggh_j_r_gb_iZ;
- обосноZggh_j_r_gb_i[;
- искомая оценка i;
- пример  п.  обеспечиZxsbc точность предыдущей
оценки
1
Решение не соот_lkl\m_l ни одному из критерие
перечисленных ur_
0
Максимальный балл 4