• Название:

    Механика грунтов (Р. А. Мангушев, Р. А. Усманов)

  • Размер: 1.58 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Usmanoff.indd
  • Автор: steshko

Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет

Р. А. МАНГУШЕВ, Р. А. УСМАНОВ

МЕХАНИКА ГРУНТОВ. РЕШЕНИЕ
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Учебное пособие

Санкт-Петербург
2012
1

УДК 624.131
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор В. Д. Карлов (СПбГАСУ); д-р техн.
наук, профессор С. И. Алексеев (ПГУПС)

Мангушев, Р. А.
Механика грунтов. Решение практических задач: учеб. пособие /
Р. А. Мангушев, Р. А. Усманов; СПбГАСУ. – СПб., 2012. – 111 с.
ISBN 978-5-9227-0409-6
Рассматриваются основные положения и примеры решения наиболее важных задач механики грунтов: определение нормативных и расчетных значений характеристик грунтов; напряжений в массиве грунта в условиях пространственной и плоской задачи; деформаций; прочности и устойчивости оснований
и фундаментов; давления грунтов на ограждающие конструкции.
Предназначено студентам строительных специальностей всех форм обучения.
Табл. 39. Ил. 46. Библиогр.: 8 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве
учебного пособия.

ISBN 978-5-9227-0409-6

Введение
Подготовка специалистов в области промышленного, гражданского, транспортного, сельскохозяйственного и других видов строительства тесно связана с освоением геотехнических дисциплин,
изучение которых требует знания основ по методам расчета грунтов. Среди геотехнических дисциплин особое место занимает курс
«Механика грунтов», который выделен в самостоятельную дисциплину и является теоретической подготовкой по другим дисциплинам, входящим в цикл геотехнических наук, включающих грунтоведение, инженерную геологию, основания и фундаменты.
За время изучения дисциплины «Механика грунтов» студент
должен освоить теоретический курс, выполнить контрольные работы, провести лабораторные работы и сдать зачет по дисциплине.
Содержание дисциплины (курса) изложено в учебниках и учебных
пособиях. При этом основной объем теоретического материала для
студентов очной формы обучения излагается на лекциях, а некоторый его объем усваивается студентами самостоятельно. На практических занятиях теоретический материал закрепляется путем решения практических задач и выполнения контрольных работ.
В процессе выполнения контрольных работ студентами приобретаются навыки самостоятельного выполнения различных расчетов.
Отсутствие соответствующих методических пособий и указаний по
решению практических задач создает определенные трудности для
более эффективного и глубокого освоения студентами теоретического материала по указанному курсу.
Данное учебное пособие охватывает почти все основные разделы
дисциплины, а также включает краткое изложение методики расчета
по соответствующим разделам курса.

© Р. А. Мангушев, Р. А. Усманов, 2012
© Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2012

2

3

1. Определение нормативных и расчетных значений
характеристик грунтов
В отчетах об инженерно-геологических изысканиях приводятся
следующие характеристики:
1) ρ – плотность грунта, т / м3, определяется в лабораторных условиях методом режущего кольца или парафинированием;
2) γ – среднее значение удельного веса грунта, кН / м3;
3) γn – нормативное значение удельного веса грунта, кН / м3;
4) γII – расчетный удельный вес по II группе предельных состояний (по деформациям), кН / м3;
5) γI – расчетный удельный вес по I группе предельных состояний
(по несущей способности), кН / м3.
Кроме того, существуют частные значения характеристик прочности грунта:
с – удельное сцепление, кПа;
φ – угол внутреннего трения, град.
Нормативные значения:
сn – нормативное удельное сцепление, кПа;
φn – нормативный угол внутреннего трения, град.
Расчетные значения:
сII, φII – удельное сцепление и угол внутреннего трения по II группе предельных состояний;
сI, φI – удельное сцепление и угол внутреннего трения по I группе предельных состояний.
Нормативные и расчетные значения характеристик грунта вычисляют для каждого выделенного на площадке строительства инженерно-геологического элемента (слоя грунта). За нормативное значение характеристики принимается среднее арифметическое значение результатов частных определений. При переходе к расчетному
значению учитывается, что среднее значение вследствие неоднородности грунта и ограниченного числа определений может содержать
ошибку, которая должна быть исключена.
Для плотности и модуля деформации нескальных грунтов, а также предела прочности на одноосное сжатие скальных грунтов статистическая обработка производится по следующей методике.
4

1. Вычисляют нормативное (среднее арифметическое) значение:

X

1
 Xi,
n

(1.1)

где X – среднее значение характеристики; Xi – частное значение характеристики; n – количество определений.
2. Делают проверку на исключение возможных грубых ошибок.
Исключать необходимо максимальное или минимальное значение Хi,
для которого выполняется условие:
| X – Хi | > ν · Sdis ,

(1.2)

где ν – статистический критерий, принимаемый по табл. 1.1.
Таблица 1.1
Значения статистического критерия
Число определений

ν

Число определений

ν

Число определений

ν

6
7
8
9
10
11
12

2,07
2,18
2,27
2,35
2,41
2,47
2,52

13
14
15
16
17
18
19

2,56
2,60
2,64
2,67
2,70
2,73
2,75

20
25
30
35
40
45
50

2,78
2,88
2,96
3,02
3,07
3,12
3,16

Если проверка выполняется, то ни одно из опытных значений не
следует исключать как грубую ошибку. Если проверка не выполняется, то значение исключается и производится пересчет.
Sdis – смещенная оценка среднего квадратического отклонения:

S dis 

1 n
X  X i 2 .

n i 1

(1.3)

3. Нормативное значение характеристики принимается равным:

Xn 

1 n
 Xi .
n i 1

5

(1.4)

Среднее квадратическое отклонение:

S

6. Коэффициент надежности по грунту:

1 n
X n  X i 2 ,

n  1 i 1

(1.5)

γg = 1 / (1 ± δ).
7. Расчетное значение характеристик:
Х = Хn / γg ,

коэффициент вариации:
V = S / Xn .

(1.6)

4. Ошибка среднего значения  x (в абсолютных единицах) или δх
(относительная ошибка):

 x  S / n ; x = ± V /

n.

(1.7)

5. Доверительный интервал, характеризующий область вокруг
среднего значения, в пределах которой с заданной вероятностью α
находится «истинное» (генеральное) среднее значение:
Δ = ± tα · S /

n ; δ = ± tα · V /

n,

(1.8)

где tα – коэффициент, принимаемый по табл. 1.2 в зависимости от заданной вероятности (надежности) α и числа определений n.
Таблица 1.2
Значения коэффициента tα при односторонней
доверительной вероятности α
tα при α

Число определений n–1 или n–2

0,85

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

1,34
1,25
1,19
1,16
1,13
1,12
1,11
1,10
1,10
1,09
1,08

tα при α

0,95

Число определений n–1 или n–2

0,85

0,95

2,92
2,35
2,13
2,01
1,94
1,90
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78

13
14
15
16
17
18
19
20
30
40
60

1,08
1,08
1,07
1,07
1,07
1,07
1,07
1,06
1,05
1,05
1,05

1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,72
1,70
1,68
1,67

6

(1.9)

или

(1.10)

Х = Хn ± Δ; Х = Хn (1 ± δ).

(1.11)

Пример 1.1. Для инженерно-геологического элемента, представленного суглинками, было выполнено восемь определений плотности грунта ρ, т / м3. Результаты определений и необходимые для дальнейших расчетов вычисления приведены в табл. 1.3.
Результаты определений

Таблица 1.3

№ п/п

ρi

γi

γ – γi

| γ – γi |2

1
2
3
4
5
6
7
8

1,50
1,52
1,58
1,60
1,53
1,55
1,59
1,60

14,7
14,896
15,48
15,68
14,99
15,19
15,58
15,68

0,57
0,374
–0,21
–0,41
0,28
0,08
–0,31
–0,41

0,325
0,139
0,044
0,168
0,078
0,0064
0,096
0,168

Порядок расчета
1. Определим отдельные значения удельного веса грунта:
γi = ρi · g = ρi  9,8 м / с2;

Σγi = 122,196 кН / м3; Σ| γ – γi |2 = 1,02.
2. Вычислим среднее арифметическое значение удельного веса грунта (формула (1.1)):
1
γ = · 122,196 = 15,27 кН / м3.
8
3. Определим смещенную оценку среднего квадратичного отклонения характеристики (формула (1.3)):

S dis 

1
 11,02
,02 =00,357.
,357
8
7

В табл. 1.4 приведены варианты заданий для самостоятельной работы.
8

1,50
1,52
1,58
1,60
1,53
1,55
1,59
1,60


1,62
1,64
1,68
1,70
1,57
1,62
1,68
1,70
1,70
1,72
1,42
1,49
1,54
1,58
1,60
1,42
1,65
1,55
1,57
1,59
1,54
1,58
1,62
1,67
1,72
1,54
1,55
1,59
1,73
1,82
1,47
1,52
1,55
1,54
1,59
1,49
1,63
1,68
1,71
1,54
1,59
1,69
1,67
1,59
1,56
1,62
1,67
1,65
1,68

1,69
1,74
1,76
1,71
1,68
1,62
1,70
1,71


1,57
1,53
1,47
1,57
1,62
1,56
1,64



1,52
1,53
1,64
1,68
1,69
1,55
1,71
1,74
1,65
1,82
1,68
1,67
1,54
1,74
1,78
1,52
1,49
1,50
1,52

1,55
1,62
1,64
1,68
1,57
1,54
1,70
1,70


1,64
1,70
1,68
1,53
1,64
1,61
1,72



1,56
1,51
1,52
1,60
1,61
1,57
1,59
1,61
1,63
1,62
1,58
1,53
1,60
1,61
1,53
1,64
1,61
1,57
1,57

1,46
1,49
1,52
1,54
1,56
1,50
1,50
1,59


1,51
1,52
1,64
1,68
1,51
1,50
1,59



1,42
1,44
1,51
1,60
1,67
1,69
1,70
1,55
1,55
1,59
1,37
1,42
1,47
1,49
1,54
1,62
1,70
1,66
1,69


13
12
11
3

4

5

6

7

8

9

ȼɚɪɢɚɧɬɵ

1,49
1,52
1,57
1,62
1,68
1,50
1,57




γI = 15,27 / 1,017 = 15,01 кН / м3.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

13. Расчетное значение удельного веса грунта по I группе предельных состояний:

2

γII = 15,27 / 1,0099 = 15,12 кН / м3.

1

9. Принимаем значения коэффициента t по табл. 1.2:
при α = 0,85 tα =1,12;
при α = 0,95 tα =1,9.
10. Тогда показатель точности оценки удельного веса грунта:
при α = 0,85  = 1,12 · 0,025 / 8 = 0,0099;
при α = 0,95  = 1,9 · 0,025 / 8 = 0,0168.
11. Коэффициент безопасности по грунту:
при α = 0,85 g = 1 / (1 – 0,0099) = 1,0099;
при α = 0,95 g = 1 / (1 – 0,0168) = 1,017.
12. Расчетное значение удельного веса грунта по II группе предельных состояний:

Ʉɨɥ-ɜɨ
ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ n

V = 0,382 / 15,27 = 0,025.

ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɡɚɞɚɧɢɹ (ɡɧɚɱɟɧɢɹ ȡi)

1
,02 
0,382 .
 11,02
= 0,382.
8 1
8. Определим коэффициент вариации характеристики (формула (1.6)):
S

14

7. Вычислим среднее квадратичное отклонение характеристики
(формула (1.5)):

1,53
1,94
1,83
1,82
1,39
1,54
1,58
1,59



20
19
18
17
16
15

γn = 15,27 кН / м3.

10

максимальное отклонение: | γ – γi | = 0,57 < 0,81;
минимальное отклонение: | γ – γi | = 0,08 < 0,81.
5. Так как условие | γ – γi | < Sdis · v выполняется, ни одно из значений не исключается как грубая ошибка.
6. Нормативное значение удельного веса:

Ɍɚɛɥɢɰɚ 1.4

4. Статиcтический критерий составит v = 2,27 (см. табл. 1.1).
Тогда:
Sdis · v = 0,357 · 2,27 = 0,81;

9

Методика статистической обработки для прочностных характеристик грунтов – угла внутреннего трения φ и удельного сцепления с
имеет следующие особенности. Нормативные значения φ и с определяют по нормативной зависимости τ = σ · tg φ + c, вычисляемой методом наименьших квадратов на основе всех определений τ в рассматриваемом слое грунта.
1. Нормативные значения прочностных характеристик грунтов вычисляют по формулам
n

tg n 
tg

cn 

n

i 1

i 1
2

n  i   i   i   i
i 1

;

(1.12)



n i 2    i 
 i 1 
i 1
n

n

n

n

n

n

i 1

n 1

i 1

i 1
2

n  i   i 2    i   i  i
n

n  i 2
i 1

или

n

,



    i 
 i 1 
n

(1.13)

(1.14)

2. Средние квадратические ошибки с и φ определяются по формулам
n

 i 2
i 1

n

n  i 2
i 1

S ttgg   S 

 n

    i 
 i 1 

2

 n 
n i    i 
 i 1 
i 1
10

2

(1.17)

3. Коэффициенты вариации φ и с вычисляются по формуле (1.6),
а доверительный интервал:
δtg φ = tα · Vtg φ; δс = tα · Vc .

(1.18)

4. Расчетные значения φ и с находят по формулам (1.10) и (1.11).
Доверительная вероятность α принимается равной 0,85 при расчетах оснований по деформациям и равной 0,95 при расчетах несущей
способности оснований и расчетах подпорных стен.
Пример 1.2. Для инженерно-геологического элемента, сложенного суглинками, было выполнено 27 лабораторных определений
сопротивления срезу τ в девяти сериях при трех значениях нормального давления σ = 100, 200 и 300 кПа. Результаты определений и необходимые для дальнейших расчетов вычисления приведены в табл. 1.5.

;

(1.15)

σ = 100 кПа
σ = 200 кПа
σ = 300 кПа
Номер
серии
2
2
2
опытов τi, кПа τ – τi (τ – τi) τi, кПа τ – τi (τ – τi) τi, кПа τ – τi (τ – τi)
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Σ

n
n

1 n
g n  cn  i 2 .
 i  ttg
n  2 i 1

S 

Таблица 1.5
Результаты лабораторного определения величины сопротивления
грунтов сдвигающим усилиям

n

1 n
g n  i  .
cn    i  ttg
n  i 1

i 1

Sc  S

где

2

,

(1.16)

55
10
57
8
60
5
60
5
67
–2
67
–2
72
–7
75
–10
75
–10
588

τ1 = 588 / 9 = 65
Sdis = 471 / 9 = 7
v = 2,35; v · Sdis = 16;
10 < 16

100
64
25
24
4
4
49
100
100
471

90
12
144
90
12
144
90
12
144
95
7
49
99
3
9
105
–3
9
107
–5
25
110
–8
64
130
–28
784
916

1372
τ2 = 916 / 9 = 102
Sdis = 1372 / 9 = 12
v = 2,35; v · Sdis = 28;
28 = 28
11

117
19
361
125
11
121
132
4
16
132
4
16
135
1
1
135
1
1
135
1
1
145
–9
81
172
–36
1296
1228

1894
τ3 = 1228 / 9 = 136
Sdis = 1894 / 9 = 15
v = 2,35; v · Sdis = 35;
36 > 35

Прежде чем приступить к вычислению нормативных и расчетных
значений φ и с, следует выполнить проверку на исключение грубых
ошибок в определениях τi при каждом значении нормального давления. Необходимые для этого подсчеты сведены в табл. 1.5. Значения
статистического критерия ν приняты по табл. 1.1 для n = 9.
В результате проверки установлено, что при σ = 100 кПа |τi – τ| <
< v · Sdis, следовательно, опытные данные не содержат грубых ошибок. При σ = 200 кПа для одного из значений τi = 130 кПа получено
равенство |τi – τ| = v · Sdis. Следовательно, τi = 130 кПа может быть как
исключено, так и оставлено. Примем решение: оставить это значение в статистической совокупности. При σ = 300 кПа для значения
τi = 172 кПа получили |τi – τ| > v · Sdis, следовательно, это значение τ
должно быть исключено как грубая ошибка.
Вычисления нормативных и расчетных значений с и φ следует вести в табличной форме (табл. 1.6). В графы 2 и 3 вписываем экспериментальные значения σi и τi. После вычислений, внесенных в графы
4 и 5, определяем tg φn и сn. Значения в графе 6 получаем путем подстановки найденных значений tg φn и сn в уравнение τi = σi · tg φn + cn.
Обозначим знаменатель в формулах (1.12), (1.13), (1.15) и (1.16)
буквой М и вычислим его значение:
М = 26 · 1 170 000 + 51002 = 4 410 000;
tg φn = (26 · 558 800 – 2560 · 5100) / 4 410 000 = 0,33; φn = 18º16′ ≈ 18º;
cn = (2560 · 1 170 000 – 5100 · 558 800) / 4 410 000 = 33 кПа.
Уравнение прямой графика τ = f(p) будет иметь вид
τ = 0,33р + 33.
Проверим уравнение подстановкой средних значений τ и р:
τ = 2560 / 26 = 98;
p = 5100 / 26 = 196;
98 = 0,33 · 196 + 33 = 98.
Сходимость результатов свидетельствует о правильности вычислений сn и tg φn.
После заполнения граф 7 и 8 табл. 1.6 вычисляем:
SIJ = 2385 / 27  2 = 10 ɤɉɚ;
Sɫ = 10 1 170 000 / 4 410 000 = 5 ɤɉɚ;
12

Таблица 1.6
Результаты вычисления нормативных и расчетных значений
прочностных характеристик грунтов
№ п/п
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

Σ

σi
2
100
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
200
200
200
300
300
300
300
300
300
300
300
5100

τi
3
55
57
60
60
67
67
72
75
75
90
90
90
95
99
105
107
110
130
117
125
132
132
135
135
135
145
2560

σi2
σi · τi
4
5
10 000
5500
5700
10 000
6000
10 000
6000
10 000
6700
10 000
6700
10 000
7200
10 000
7500
10 000
7500
10 000
18 000
40 000
40 000
18 000
40 000
18 000
40 000
19 000
40 000
19 800
40 000
21 000
40 000
21 400
40 000
22 000
40 000
26 000
90 000
35 100
90 000
37 500
90 000
39 600
90 000
39 600
90 000
40 500
90 000
40 500
90 000
40 500
90 000
43 500
1 170 000 558 800

τi
6
66
66
66
66
66
66
66
66
66
99
99
99
99
99
99
99
99
99
132
132
132
132
132
132
132
132


τ – τi
7
11
9
6
6
–1
–1
–6
–9
–9
9
9
9
4
0
–6
–8
–11
–31
15
7
0
0
–3
–3
–3
–13


(τ – τi)2
8
121
81
36
36
1
1
36
81
81
81
81
81
16
0
36
64
121
961
225
49
0
0
9
9
9
169
2385

Stg ij = 10 27 / 4 410 000 = 0,02;
Vc = 5 / 33 = 0,15;
Vtg φ = 0,02 / 0,33 = 0,06.

Находим расчетные значения с и φ для расчетов по второму предельному состоянию. Для α = 0,85 и числа степеней свободы n – 2 =
= 24 по табл. 1.2 находим, что tα = 1,06. Тогда:
13

с = 1,06 · 0,15 = 0,16;
g(c) = 1 / (1 – 0,16) = 1,19;
tg φ = 1,06 · 0,06 = 0,06;
g(tg φ) = 1 / (1 – 0,06) = 1,06;
cII = 33 / 1,19 = 28 кПа;
tg φII = 0,33 / 1,06 = 0,31; φII = 17º13′ ≈ 17º.

Окончание табл. 1.7
Вари- Давление
ант
σi, кПа
7

Определим расчетные значения с и φ для расчетов по первому
предельному состоянию: для α = 0,95 и n – 2 = 24 по табл. 1.2 – tα =
= 1,71. Тогда:
ρс = 1,71 · 0,15 = 0,26;
kg(c) = 1 / (1 – 0,26) = 1,35;
ρtg φ = 1,71 · 0,06 = 0,10;
kg(tg φ) = 1 / (1 – 0,10) = 1,11;
cI = 33 / 1,35 = 24 кПа;
tg φI = 0,33 / 1,11 = 0,30; φI = 16º42′ ≈ 17º.
В табл. 1.7 приведены варианты заданий для самостоятельной работы.
Варианты заданий
Вари- Давление
ант
σi, кПа
1
2
3
4
5
6

100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300

9
10
11
12

Таблица 1.7

13
14

τ1

τ2

τ3

τ4

τ5

τ6

τ7

τ8

τ9

54
93
125
55
95
127
53
96
126
56
95
124
51
98
125
50
102
122

53
95
129
54
96
127
55
98
128
55
97
129
53
100
129
54
103
126

57
97
135
52
98
137
57
100
139
59
102
141
54
105
138
62
106
130

52
99
138
54
101
140
58
103
142
56
105
144
57
108
146
69
111
135

61
95
144
62
96
146
64
98
148
68
103
152
58
105
154
66
108
145

56
106
148
59
108
150
52
110
152
57
112
154
56
115
156
60
118
155

58
110
159
53
112
161
60
114
163
61
116
165
53
118
167
64
123
165

56
115
168
51
117
170
62
119
172
60
123
175
61
125
177
57
128
175

74
124
170
77
126
172
74
128
175
73
128
177
74
132
179
71
136
168

14

8

15
16
17
18
19
20

100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300
100
200
300

τ1

τ2

τ3

τ4

τ5

τ6

τ7

τ8

τ9

56
98
124
54
96
120
55
95
125
52
98
123
56
94
127
54
96
124
51
93
122
53
98
125
55
95
127
52
100
123
54
94
126
50
99
124
56
95
128
53
97
122

58
101
128
59
98
125
57
96
131
54
103
128
56
98
132
52
99
130
55
97
129
54
103
132
58
105
134
59
104
129
55
97
133
51
102
131
54
99
133
55
103
128

60
108
135
56
103
130
59
98
136
53
107
133
58
102
137
57
103
136
53
108
136
57
105
139
57
110
141
52
110
135
56
103
139
54
113
138
58
102
138
59
113
134

61
115
140
55
116
135
60
105
141
55
112
138
60
105
142
59
110
142
54
114
142
56
112
146
61
115
148
58
119
141
62
113
145
57
119
145
61
109
142
64
122
140

59
99
149
63
101
140
62
108
146
65
111
143
62
108
147
59
121
148
59
123
149
61
128
153
59
133
155
61
141
147
64
132
151
59
123
152
65
123
147
68
132
146

60
95
156
59
98
145
63
100
151
59
105
148
59
103
152
57
126
144
52
128
156
65
133
159
64
138
162
59
146
153
59
139
157
63
133
159
68
132
152
61
138
152

61
103
159
57
106
150
57
110
156
61
113
153
63
115
157
54
129
150
58
132
163
62
134
166
67
142
169
62
146
159
64
148
163
65
153
166
59
139
157
63
146
158

69
133
158
61
137
155
65
139
161
62
135
158
65
139
162
56
143
156
59
153
170
64
148
173
58
152
176
60
155
165
62
153
169
67
158
173
55
148
162
57
156
164

72
142
175
73
148
165
76
146
166
75
149
165
77
152
167
72
153
162
74
156
177
78
154
180
70
151
165
77
159
171
75
163
175
78
167
180
76
163
167
77
162
170

15

2. Определение напряжений в грунтах
Вопрос об определении напряжений в грунтовой толще имеет
большое значение для установления условий прочности и устойчивости грунтов и определения их деформаций (главным образом осадок) под действием внешних сил и собственного веса грунта. Как известно, грунты являются дисперсными телами и, тем не менее, при
определении напряжений принимают, что они являются сплошным,
изотропным, линейно деформируемым телом, испытывающим одноразовое загружение. В указанных условиях при определении осредненных напряжений в точке массива грунта можно использовать решения теории упругости.
В практике проектирования и строительства наиболее широко
применяются отдельностоящие (пространственная задача) и ленточные (плоская задача) конструкции фундаментов. Кроме того, при
проектировании свеженасыпанных земляных сооружений и оценки
природной уплотненности грунтов необходимо вычислять величину
напряжений от природного их веса. Ниже рассматриваются методики определения напряжений для вышеуказанных условий.
2.1. Определение напряжений при действии местного
равномерно распределенного давления
В этом случае значения вертикальных напряжений σz для точек,
расположенных под центром прямоугольной площади (рис. 2.1),
определяются по формуле
σz = α · p,

(2.1)

где α – коэффициент, принимаемый по табл. 2.1 в зависимости от
величины соотношения сторон η = l / b и относительной глубины расположения рассматриваемой точки ξ = 2z / b (l – длинная
сторона прямоугольной площади загружения, м; b – ее ширина, м;
z – глубина расположения рассматриваемой точки или горизонта, м);
р – равномерно распределенное давление по подошве фундамента, кПа.
16

σzр

Рис. 2.1. Схема к расчету напряжений σz для прямоугольной площади

σzр

Значения вертикальных напряжений σz для точек, расположенных под углом прямоугольной площади, определяются по формуле
σz = 0,25α · p,

(2.2)

где α – коэффициент, также принимаемый по табл. 2.1 в зависимости
от величины соотношения сторон η = l / b и относительной глубины
расположения рассматриваемой точки ξ = z / b.
Пример 2.1. Требуется определить величину сжимающих напряжений σz по глубине основания, построить эпюру его распределения
под центром (точка М) и углом (точка С) загруженного прямоугольного фундамента размером l×b = 4×2 м на глубине z = 0,5; 1,0; 1,5;
2,0; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0; 4,5; 5,0; 5,5 и 6,0 м от поверхности при внешней
нагрузке интенсивностью р = 200 кПа.
Решение
Для точки М при η = l / b = 4 / 2 = 2 (формула (2.1)):
z = 0,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 0,0 / 2 = 0,0; α = 1,00; σz = 1,00 · 200 = 200 кПа;
z = 0,5 м; ξ = 2z / b = 2 · 0,5 / 2 = 0,5; α = 0,95; σz = 0,95 · 200 = 190 кПа;
z = 1,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 1,0 / 2 = 1,0; α = 0,80; σz = 0,80 · 00 = 160 кПа;
z = 1,5 м; ξ = 2z / b = 2 · 1,5 / 2 = 1,5; α = 0,63; σz = 0,63 · 200 = 126 кПа;
z = 2,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 2,0 / 2 = 2,0; α = 0,48; σz = 0,48 · 200 = 96 кПа;
z = 2,5 м; ξ = 2z / b = 2 · 2,5 / 2 = 2,5; α = 0,37; σz = 0,37 · 200 = 74 кПа;
z = 3,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 3,0 / 2 = 3,0; α = 0,29; σz = 0,29 · 200 = 58 кПа.
z = 3,5 м; ξ = 2z / b = 2·3,5 / 2 = 3,5; α = 0,23; σz = 0,23 · 200 = 46 кПа;
z = 4,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 4,0 / 2 = 4,0; α = 0,19; σz = 0,19 · 200 = 38кПа;
z = 4,5 м; ξ = 2z / b = 2 · 4,5 / 2 = 4,5; α = 0,14; σz = 0,14 · 200 = 28 кПа;
z = 5,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 5,0 / 2 = 5,0; α = 0,13; σz = 0,13 · 200 = 26 кПа;
z = 5,5 м; ξ = 2z / b = 2 · 5,5 / 2 = 5,5; α = 0,11; σz = 0,11 · 200 = 22 кПа;
z = 6,0 м; ξ = 2z / b = 2 · 6,0 / 2 = 6,0; α = 0,09; σz = 0,09 · 200 = 18 кПа.
17

z = 7,0 м; ξ = 2z / b = 2·7,0 / 2 = 7,0; α = 0,07; σz = 0,07 · 200 = 14 кПа;
z = 8,0 м; ξ = 2z / b = 2·8,0 / 2 = 8,0; α = 0,06; σz = 0,06 · 200 = 12 кПа.

В табл. 2.2 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.
Таблица 2.2

Для точки С при η = l / b = 4 / 2 = 2 (формула (2.2)):
z = 0,0 м; ξ = z / b = 0,0 / 2 = 0,00; α = 1,00; σz = 0,25 · 1,00 · 200 = 50 кПа;
z = 0,5 м; ξ = z / b = 0,5 / 2 = 0,25; α = 0,96; σz = 0,25 · 0,96 · 200 = 48 кПа;
z = 1,0 м; ξ = z / b = 1,0 / 2 = 0,50; α = 0,95; σz = 0,25 · 0,95 · 200 = 47 кПа;
z = 1,5 м; ξ = z / b = 1,5 / 2 = 0,75; α = 0,88; σz = 0,25 · 0,88 · 200 = 44 кПа;
z = 2,0 м; ξ = z / b = 2,0 / 2 = 1,00; α = 0,80; σz = 0,25 · 0,80 · 200 = 40 кПа;
z = 2,5 м; ξ = z / b = 2,5 / 2 = 1,25; α = 0,71; σz = 0,25 · 0,71 · 200 = 36 кПа;
z = 3,0 м; ξ = z / b = 3,0 / 2 = 1,50; α = 0,63; σz = 0,25 · 0,63 · 200 = 32 кПа;
z = 3,5 м; ξ = z / b = 3,5 / 2 = 1,75; α = 0,55; σz = 0,25 · 0,55 · 200 = 27 кПа;
z = 4,0 м; ξ = z / b = 4,0 / 2 = 2,00; α = 0,48; σz = 0,25 · 0,48 · 200 = 24 кПа;
z = 4,5 м; ξ = z / b = 4,5 / 2 = 2,25; α = 0,43; σz = 0,25 · 0,43 · 200 = 22 кПа;
z = 5,0 м; ξ = z / b = 5,0 / 2 = 2,50; α = 0,37; σz = 0,25 · 0,37 · 200 = 19 кПа;
z = 5,5 м; ξ = z / b = 5,5 / 2 = 2,75; α = 0,33; σz = 0,25 · 0,33 · 200 = 17 кПа;
z = 6,0 м; ξ = z / b = 6,0 / 2 = 3,00; α = 0,29; σz = 0,25 · 0,29 · 200 = 15 кПа;
z = 7,0 м; ξ = z / b = 7,0 / 2 = 3,50; α = 0,23; σz = 0,25 · 0,23 · 200 = 12 кПа;
z = 8,0 м; ξ = z / b = 8,0 / 2 = 4,00; α = 0,19; σz = 0,25 · 0,19 · 200 = 10 кПа.



Эпюры распределения напряжений по глубине основания приведены на рис. 2.2.



z, м

Рис. 2.2. Схема загруженной площади и эпюры распределения напряжений σz для точек М и С по
вертикальным сечениям к примеру 2.1
18

Варианты заданий
№ варианта

1

2

3

4

5

6

b×l, м

1×2
150

1,4×
×2,4
170

1,6×
×2,6
180

1,8×
×2,8
190

2×3

р, кПа

1,2×
×2,2
160

200

220

240

260

280

№ варианта

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

b×l, м

2×4

р, кПа

300

1,8×
×3,8
200

1,8×
×3,6
210

1,8×
×3,4
230

1,6×
×2,6
200

1,8×
×2,4
220

1,8×
×2,2
240

7

8

9

10

2×3,2 2×3,4 2×3,6 2×3,8

1,8× 1,8×3 1,8×
×3,2
×2,8
250
270
290

Примечание. Величину напряжений σz необходимо вычислить для глубины
z = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0; 4,5; 5,0; 5,5 и 6,0 м от поверхности действия нагрузки.

2.2. Определение напряжений в грунтовой толще
в условиях плоской задачи
Условия плоской задачи будут иметь место тогда, когда напряжения распределяются в одной плоскости, в направлении же перпендикулярном они или будут равны нулю, или постоянны. Это
условие имеет место для очень вытянутых в плане сооружений, например ленточных и стеновых фундаментов, оснований подпорных стенок, насыпей, дамб и подобных сооружений. При увеличении отношения длины площади загружения l к ее ширине b (при
равномерно распределенной нагрузке) задача по определению напряжений с большим основанием может рассматриваться как плоская (плоская деформация). Обычно плоская задача может приниматься, когда l / b > 10 (рис. 2.3).
В условиях плоской задачи определяются три составляющие
напряжений:
19

2

β=


2

σzр
+ β′

Рис. 2.3. Схема действия равномерно распределенной
полосовой нагрузки

20

Kyz
0
0,00
0,02
0,04
0,05
0,07
0,08
0,08
0,07
0,05


2
Ky
0
0,04
0,07
0,10
0,13
0,11
0,09
0,08
0,04
0,03


Kz
0,00
0,00
0,00
0,02
0,03
0,04
0,07
0,08
0,10
0,10
0,09

Kyz
0
0,01
0,04
0,07
0,10
0,10
0,10
0,10
0,07
0,05


1,5
Ky
0
0,07
0,12
0,14
0,14
0,12
0,09
0,07
0,03
0,02


Kz
0
0,00
0,02
0,04
0,07
0,10
0,13
0,14
0,13
0,12
0,11
0,10
Kyz
0
0,05
0,13
0,16
0,16
0,14
0,11
0,10
0,06
0,03


1
Ky
0
0,17
0,21
0,22
0,15
0,11
0,06
0,05
0,02
0,01


Kz
0
0,02
0,08
0,15
0,19
0,20
0,21
0,20
0,17
0,14
0,12
0,10
Kyz
0,32
0,30
0,26
0,20
0,16
0,12
0,10
0,08
0,06
0,03
0,02


Kz
0,50
0,50
0,48
0,45
0,41
0,37
0,33
0,30
0,28
0,20
0,15
0,12
0,10
Kyz
0
0,13
0,16
0,13
0,01
0,07
0,06
0,04
0,03
0,02
0,01



21

ɉɪɢɦɟɱɚɧɢɟ. ȼɟɥɢɱɢɧɵ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ Kz–Kɭ ɞɥɹ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɯ ɝɥɭɛɢɧ (2 z / b) ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɬɚɤɠɟ ɜ ɬɚɛɥ. 2.1 (ɩɪɢ ɚ > 10).



0

0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00

σz
σy

α

Kz
1,00
0,90
0,74
0,61
0,51
0,44
0,38
0,34
0,31
0,21
0,16
0,13
0,10

β′

p, кПа

Kyz
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,
0,
0
0

b

Kz
1,00
0,96
0,82
0,67
0,55
0,46
0,40
0,35
0,31
0,21
0,06
0,13
0,11

где Kz, Ky, Kyz – коэффициенты влияния соответствующих напряжений, значения которых приведены в табл. 2.3, в зависимости от величины относительных координат z / b и y / b; р – интенсивность равномерно распределенной полосовой нагрузки, кПа.
Пользуясь данными табл. 2.3, легко построить эпюры распределения напряжений по горизонтальным и вертикальным сечениям
массива грунта в случае плоской задачи.
Как пример на рис. 2.4 показаны эпюры сжимающих напряжений σz для вертикальных и горизонтальных сечений массива грунта. Пользуясь полученными эпюрами напряжений, легко построить
и кривые равных напряжений. На рис. 2.5, а приведены линии одинаковых вертикальных сжимающих напряжений или давлений (изобары), на рис. 2.5, б – линии одинаковых горизонтальных напряжений (распоры) и на рис. 2.5, в – линии одинаковых касательных напряжений (сдвиги), наглядно характеризующие всю напряженную
область грунта под полосообразной нагрузкой.

Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɭ / b

(2.4)

0,5
Ky
0,50
0,35
0,23
0,14
0,09
0,06
0,04
0,03
0,02
0,01




τyz = Kyz · p,

0,25
Ky
1,00
0,39
0,19
0,10
0,05
0,03
0,02
0,01






касательные напряжения τуz, вычисляемые по выражению

0
Ky
1,00
0,45
0,18
0,08
0,04
0,02
0,01







(2.3)

z/b

σz = Kz · p, σy = Ky · p;

Таблица 2.3
Значения коэффициентов влияния Kz, Kу и Kyz для определения составляющих напряжений в случае действия
равномерно распределенной нагрузки в условиях плоской задачи

нормальные напряжения σz и σy, которые вычисляются по выражениям

а)

Пример 2.2. Требуется определить величину напряжений σz для
ленточного фундамента шириной b = 2 м и длиной l = 26 м при внешней нагрузке интенсивностью р = 180 кПа (рис. 2.6), для вертикалей
y = 0; 1,0; 2,0 и 4,0 м на глубинах z = 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 3,5;
4,0; 6,0; 8,0; 10,0 и 12,0 м. Построить эпюру распределения напряжений и линию равных напряжений (изобару).
Решение
Для условия y / b = 0 / 2 = 0:

б)

Рис. 2.4. Эпюры распределения сжимающих напряжений σz
по вертикальным (а) и горизонтальным (б) сечениям массива грунта

а)

б)

z / b = 0,0 / 2 = 0,00; kz = 1,0; σz = 1,00 · 180 = 180 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; kz = 0,96; σz = 0,96 · 180 = 173 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; kz = 0,82; σz = 0,82 · 180 = 148 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; kz = 0,67; σz = 0,67 · 180 = 121 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; kz = 0,55; σz = 0,55 · 180 = 99 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; kz = 0,46; σz = 0,46 · 180 = 83 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; kz = 0,40; σz = 0,40 · 180 = 72 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; kz = 0,35; σz = 0,35 · 180 = 63 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; kz = 0,31; σz = 0,31 · 180 = 56 кПа;
z / b = 6,0 / 2 = 3,00; kz = 0,21; σz = 0,21 · 180 = 38 кПа;
z / b = 8,0 / 2 = 4,00; kz = 0,16; σz = 0,16 · 180 = 29 кПа;
z / b = 10,0 / 2 = 5,0; kz = 0,13; σz = 0,13 · 180 = 23 кПа;
z / b = 12,0 / 2 = 6,0; kz = 0,11; σz = 0,11 · 180 = 20 кПа;
Для условия y / b = 1,0 / 2 = 0,5:

в)

Рис. 2.5. Линии равных напряжений в массиве грунта:
а – изобары σz; б – распоры σу; в – сдвиги τzх
22

z / b = 0,0 / 2 = 0,00; kz = 0,50; σz = 0,50 · 180 = 90 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; kz = 0,50; σz = 0,50 · 180 = 90 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; kz = 0,48; σz = 0,48 · 180 = 86 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; kz = 0,45; σz = 0,45 · 180 = 81 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; kz = 0,41; σz = 0,41 · 180 = 74 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; kz = 0,37; σz = 0,37 · 180 = 67 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; kz = 0,33; σz = 0,33 · 180 = 59 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; kz = 0,30; σz = 0,30 · 180 = 54 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; kz = 0,28; σz = 0,28 · 180 = 50 кПа;
z / b = 6,0 / 2 = 3,00; kz = 0,20; σz = 0,20 · 180 = 36 кПа;
z / b = 8,0 / 2 = 4,00; kz = 0,15; σz = 0,15 · 180 = 27 кПа;
z / b = 10,0 / 2 = 5,0; kz = 0,12; σz = 0,12 · 180 = 22 кПа;
z / b = 12,0 / 2 = 6,0; kz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа.
23

2,0 м

Для условия y / b = 2 / 2 =1,0:
z / b = 0,0 / 2 = 0,00; kz = 0,0; σz = 0,00 · 180 = 0 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; kz = 0,02; σz = 0,02 · 180 = 4 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; kz = 0,08; σz = 0,08 · 180 = 14 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; kz = 0,15; σz = 0,15 · 180 = 27 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; kz = 0,19; σz = 0,19 · 180 = 34 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; kz = 0,20; σz = 0,20 · 180 = 36 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; kz = 0,21; σz = 0,21 · 180 = 38 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; kz = 0,20; σz = 0,20 · 180 = 36 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; kz = 0,17; σz = 0,17 · 180 = 31 кПа;
z / b = 6,0 / 2 = 3,00; kz = 0,14; σz = 0,14 · 180 = 25 кПа;
z / b = 8,0 / 2 = 4,00; kz = 0,12; σz = 0,12 · 180 = 22 кПа;
z / b = 10,0 / 2 = 5,0; kz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа;
z / b = 12,0 / 2 = 6,0; kz = 0,00; σz = 0,00 · 180 = 0 кПа.

Рис. 2.6. Эпюры распределения напряжений σz по вертикальным сечениям массива
грунта и линия равных напряжений (изобара)

Для условия y / b = 4 / 2 =2:
z / b = 0,0 / 2 = 0,00; kz = 0,00; σz = 0,00 · 180 = 0 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; kz = 0,00; σz = 0,00 · 180 = 0 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; kz = 0,00; σz = 0,00 · 180 = 0 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; kz = 0,02; σz = 0,02 · 180 = 0 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; kz = 0,03; σz = 0,03 · 180 = 5,4 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; kz = 0,04; σz = 0,04 · 180 = 7,2 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; kz = 0,07; σz = 0,07 · 180 = 12,6 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; kz = 0,08; σz = 0,08 · 180 = 14,4 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; kz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа;
z / b = 6,0 / 2 = 3,00; kz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа;
z / b = 8,0 / 2 = 4,00; kz = 0,09; σz = 0,09 · 180 = 16 кПа;
z / b = 10,0 / 2 = 5,0; kz = 0,00; σz = 0,00 · 180 = 0 кПа.

Таблица 2.4
Варианты заданий
№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

b, м
р, кПа

1,0
150

1,2
160

1,4
170

1,6
180

1,8
190

2
200

2,2
220

2,4
240

2,6
260

2,8
280

№ варианта

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

b, м
р, кПа

3
300

2,8
200

2,6
210

2,4
230

2,2
250

2
270

1,8
290

1,6
200

1,4
220

1,5
240

Эпюры распределения напряжения σz по глубине основания приведены на рис. 2.6.
В табл. 2.4 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.

Примечание. Величины напряжений необходимо вычислить для вертикалей
y = 0; 1,0; 2,0 и 4,0 м на глубинах z = 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0; 6,0; 8,0;
10,0 и 12,0 м.

24

25

Пример 2.3. Требуется определить величину напряжений σу для
ленточного фундамента шириной b = 2 м и длиной l = 26 м при внешней нагрузке интенсивностью р = 180 кПа (рис. 2.7) для вертикалей
y = 0; 1,0; 2,0; 3,0 и 4,0 м, на глубинах z = 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0;
3,5 и 4,0 м. Построить эпюру распределения напряжений.
Решение
Для y / b = 0 / 2 = 0:
z / b = 0,0 / 2 = 0,00; ky = 1,00; σz = 1,00 · 180 = 180 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; ky = 0,45; σz = 0,45 · 180 = 81 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; ky = 0,18; σz = 0,18 · 180 = 32 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; ky = 0,08; σz = 0,08 · 180 = 14,4 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; ky = 0,04; σz = 0,04 · 180 = 8,0 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; ky = 0,02; σz = 0,02 · 180 = 4,0 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; ky = 0,01; σz = 0,01 · 180 = 2,0 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; ky = 0,00; σz = 0,00 · 180 = 0,0 кПа.
Для y / b = 1,0 / 2 = 0,5:
z / b = 0,0 / 2 = 0,00; ky = 0,50; σz = 0,50 · 180 = 90 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; ky = 0,35; σz = 0,35 · 180 = 63 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; ky = 0,23; σz = 0,23 · 180 = 41 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; ky = 0,14; σz = 0,14 · 180 = 25 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; ky = 0,09; σz = 0,09 · 180 = 16 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; ky = 0,06; σz = 0,06 · 180 = 11 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; ky = 0,04; σz = 0,04 · 180 = 7 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; ky = 0,03; σz = 0,03 · 180 = 5 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; ky = 0,02; σz = 0,02 · 180 = 4 кПа.

Для y / b = 3,0 / 2 = 1,5:
z / b = 0,0 / 2 = 0,00; kz = 0,00; σz = 0,00 · 180 = 0 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; kz = 0,07; σz = 0,07 · 180 = 13 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; kz = 0,12; σz = 0,12 · 180 = 22 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; kz = 0,14; σz = 0,14 · 180 = 25 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; kz = 0,14; σz = 0,14 · 180 = 25 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; ky = 0,12; σz = 0,12 · 180 = 22 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; ky = 0,09; σz = 0,09 · 180 = 16 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; kz = 0,07; σz = 0,07 · 180 = 13 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; kz = 0,03; σz = 0,03 · 180 = 5 кПа.
Для y / b = 4,0 / 2 = 2,0:
z / b = 0,0 / 2 = 0,00; kz = 0,00, σz = 0,00 · 180 = 0 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; kz = 0,04; σz = 0,04 · 180 = 7 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; kz = 0,07; σz = 0,07 · 180 = 13 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; kz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; kz = 0,13; σz = 0,13 · 180 = 23 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; ky = 0,11; σz = 0,11 · 180 = 20 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; ky = 0,09; σz = 0,09 · 180 = 16 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; kz = 0,08; σz = 0,08 · 180 = 14 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; kz = 0,04; σz = 0,04 · 180 = 7 кПа.
Эпюры распределения напряжениий σy по глубине основания
приведены на рис. 2.7.
2,0 м

Для y / b = 2,0 / 2 = 1,0:
z / b = 0,0 / 2 = 0,00; ky = 0,00; σz = 0,00 · 180 = 0 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; ky = 0,17; σz = 0,17 · 180 = 31 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; ky = 0,21; σz = 0,21 · 180 = 38 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; ky = 0,22; σz = 0,22 · 180 = 40 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; ky = 0,15; σz = 0,15 · 180 = 27 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; ky = 0,11; σz = 0,11 · 180 = 20 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; ky = 0,06; σz = 0,06 · 180 = 11 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; ky = 0,05; σz = 0,05 · 180 = 9 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; ky = 0,02; σz = 0,02 · 180 = 4 кПа.
26

Рис. 2.7. Эпюры распределения напряжений σу
по вертикальным сечениям массива грунта
и линия равных напряжений (распоры)
27

В табл. 2.5 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы студентов.
Таблица 2.5
Варианты заданий
№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

b, м
р, кПа

1,0
150

1,2
160

1,4
170

1,6
180

1,8
190

2
200

2,2
220

2,4
240

2,6
260

2,8
280

№ варианта

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

b, м
р, кПа

3
300

2,8
200

2,6
210

2,4
230

2,2
250

2
270

1,8
290

1,6
200

1,4
220

1,5
240

Примечание. Величины напряжений необходимо вычислить для вертикалей
y = 0; 1,0; 2,0; 3,0 и 4,0 м на глубинах z = 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 3,5 и 4,0 м.

Пример 2.4. Требуется определить величину напряжений τуz для
ленточного фундамента шириной b = 2 м и длиной l = 26 м при внешней нагрузке интенсивностью р = 180 кПа (рис. 2.8), для вертикалей
y = 0,5; 1,0; 2,0 и 3,0 м на глубинах z = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 3,5;
4,0 и 6,0 м. Построить эпюру распределения напряжений.
Решение
Для условия y / b = 0,5 / 2 = 0,25:
z / b = 0,0 / 2 = 0,00; kyz = 0,00; σz = 0,00 · 180 = 0 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; kyz = 0,13; σz = 0,13 · 180 = 23 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; kyz = 0,16; σz = 0,16 · 180 = 29 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; kyz = 0,13; σz = 0,13 · 180 = 23 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; kyz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; kyz = 0,07; σz = 0,07 · 180 = 13 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; kyz = 0,06; σz = 0,06 · 180 = 11 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; kyz = 0,04; σz = 0,04 · 180 = 7 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; kyz = 0,03; σz = 0,03 · 180 = 5 кПа;
z / b = 6,0 / 2 = 3,00; kyz = 0,02; σz = 0,02 · 180 = 4 кПа.

28

Для условия y / b = 1,0 / 2 = 0,5:
z / b = 0,0 / 2 = 0,00; kyz = 0,32; σz = 0,32 · 180 = 58 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; kyz = 0,30; σz = 0,30 · 180 = 54 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; kyz = 0,26; σz = 0,26 · 180 = 47 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; kyz = 0,20; σz = 0,20 · 180 = 36 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; kyz = 0,16; σz = 0,16 · 180 = 29 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; kyz = 0,12; σz = 0,12 · 180 = 22 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; kyz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; kyz = 0,08; σz = 0,08 · 180 = 14 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; kyz = 0,06; σz = 0,06 · 180 = 11 кПа;
z / b = 6,0 / 2 = 3,00; kyz = 0,03; σz = 0,03 · 180 = 5 кПа.
Для условия y / b = 2,0 / 2 = 1,0:
z / b = 0,0 / 2 = 0,00; kyz = 0,00; σz = 0,00 · 180 = 0 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; kyz = 0,05; σz = 0,05 · 180 = 9 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; kyz = 0,13; σz = 0,13 · 180 = 23 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; kyz = 0,16; σz = 0,16 · 180 = 29 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; kyz = 0,16; σz = 0,16 · 180 = 29 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; kyz = 0,14; σz = 0,14 · 180 = 25 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; kyz = 0,11; σz = 0,11 · 180 = 20 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; kyz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; kyz = 0,06; σz = 0,06 · 180 = 11 кПа;
z / b = 6,0 / 2 = 3,00; kyz = 0,03; σz = 0,03 · 180 = 5 кПа.
Для условия y / b = 3,0 / 2 = 1,5:
z / b = 0,0 / 2 = 0,00; kyz = 0,00; σz = 0,00 · 180 = 0 кПа;
z / b = 0,5 / 2 = 0,25; kyz = 0,01; σz = 0,01 · 180 = 2 кПа;
z / b = 1,0 / 2 = 0,50; kyz = 0,04; σz = 0,04 · 180 = 7 кПа;
z / b = 1,5 / 2 = 0,75; kyz = 0,07; σz = 0,07 · 180 = 13 кПа;
z / b = 2,0 / 2 = 1,00; kyz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа;
z / b = 2,5 / 2 = 1,25; kyz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа;
z / b = 3,0 / 2 = 1,50; kyz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа;
z / b = 3,5 / 2 = 1,75; kyz = 0,10; σz = 0,10 · 180 = 18 кПа;
z / b = 4,0 / 2 = 2,00; kyz = 0,07; σz = 0,07 · 180 = 13 кПа;
z / b = 6,0 / 2 = 3,00; kyz = 0,05; σz = 0,05 · 180 = 9 кПа.
29

2,0 м

γ1 · h1
h2

Рис. 2.8. Эпюры распределения
напряжений τzх по вертикальным
сечениям массива грунта и линия
равных напряжений (сдвиги)

Напряжения, возникающие в массиве грунтов от действия сооружения, накладываются на уже существующие напряжения, сформировавшиеся в массиве основания к моменту строительства. В большинстве случаев при решении инженерных задач ограничиваются
нахождением вертикального напряжения от действия вышележащих
грунтов, обусловленного только силами гравитации, т. е. действием
собственного веса грунта. В этом случае эпюра напряжений по глубине однородного грунта имеет вид треугольника (рис. 2.9).
h1

Эпюры распределения напряжениий τyz по глубине основания
приведены на рис. 2.8.

Таблица 2.6

Варианты заданий
№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

b, м
р, кПа

1,0
150

1,2
160

1,4
170

1,6
180

1,8
190

2
200

2,2
220

2,4
240

2,6
260

2,8
280

№ варианта

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

b, м
р, кПа

3
300

2,8
200

2,6
210

2,4
230

2,2
250

2
270

1,8
290

1,6
200

1,4
220

1,5
240

Примечание. Величины напряжений необходимо вычислить для вертикалей
y = 0,5; 1,0; 2,0 и 3,0 м на глубинах z = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0 и 6,0 м.

2.3. Определение напряжений в грунтовой толще
от собственного веса грунта
Напряжения от собственного веса грунта (природные) имеют значение для свеженасыпанных земляных сооружений и оценки природной уплотненности грунтов.
30

γ2 · h2 + γ1 · h1
h3

В табл. 2.6 приведены варианты заданий для самостоятельной работы.

γ3 · h3 + γ2 · h2 + γ1 · h1
Рис. 2.9. Эпюры напряжений от собственного
веса грунтов

При горизонтальной поверхности грунта напряжения от собственного веса грунта σzg будут возрастать с глубиной z и вычисляются по формуле
σzg = Σ(γi · hi) ,

(2.5)

где n – число разнородных слоев в пределах глубины z; γi – удельный
вес i-го слоя грунта, кН / м3; hi – толщина i-го слоя грунта, м.
Горизонтальная составляющая вертикального напряжения определяется по формуле
σх = σу = ξi · σzg ,

(2.6)

где ξi – коэффициент бокового давления грунта в состоянии покоя.
При постоянном объемном весе грунта по глубине напряжения
равны
σz = γ · z .
31

(2.7)

Для водопроницаемых грунтов, залегающих ниже уровня подземных вод (УПВ), удельный вес принимается с учетом взвешивающего действия воды по формуле (рис. 2.10):
σzgi = γsbi · hi ,

(2.8)

где γsbi – удельный вес i-го слоя грунта с учетом взвешивающего действия воды, кН / м3, вычисляется по выражению
(2.9)

γ1 · h1

кПа



h1



γsb = (γs – γw) (1 – n) = (γs – γw) (1 + e).

Пример 2.5. Требуется рассчитать и построить эпюру распределения вертикальных природных напряжений σzg для нижеприведенного напластования грунтов (рис. 2.12):
первый слой – супесь пластичная с γ1 = 18 кН / м3;
второй слой – суглинок тугопластичный с γ2 = 17 кН / м3;
третий слой – песок мелкий с γ3 = 17 кН / м3.
Величина напряжений и эпюра их распределения приведены на
рис. 2.12.

h3

γ2 · h2 + γ1 · h1
γ1 · h1 + γ2sb · h2 + γ3sb · h3
Рис. 2.10. Эпюры напряжений от собственного веса грунтов
при наличии водопроницаемого слоя грунта ниже УПВ

h1

При залегании на некоторой глубине ниже УПВ водоупорного
слоя (плотные маловлажные суглинки или глины), на кровле этих
слоев также необходимо учитывать давление от столба вышележащей воды (рис. 2.11).



h2

кПа
кПа

Рис. 2.12. Эпюра распределения напряжений σzg

Пример 2.6. Требуется рассчитать и построить эпюру распределения вертикальных природных напряжений σzg для нижеприведенного напластования грунтов (рис. 2.13):
первый слой – суглинок мягкопластичный с γ1 = 17 кН / м3;
второй слой – песок пылеватый с γ2 = 18 кН / м3, n2 = 0,42;
γs2 = 26 кН / м3; γsb2 = (γs2 – γw) (1 – n2) = (26 – 10) (1 – 0,42) = 9,3 кН / м3;
третий слой – супесь пластичная с γ3 = 18 кН / м3; n3 = 0,37; γs3 =
= 26,6 кН / м3; γsb3 = (γs3 – γw) (1 – n3) = (26,6 – 10) (1 – 0,37) = 10,5 кН / м3.
Величина напряжений и эпюра их распределения приведены на
рис. 2.13.

γ1 · h1 + γ2sb · h2 + γ3 · h3

кПа



h3

γ1 · h1 + γ2sb · h2 + γw · h2

кПа


h2

γw · h2



γ1 · h1

кПа

Рис. 2.11. Эпюры напряжений от собственного веса грунтов
при наличии водоупорного слоя грунта ниже УПВ

Рис. 2.13. Эпюра распределения напряжений σzg

32

33



Пример 2.7. Требуется рассчитать и построить эпюру распределения вертикальных природных напряжений σzg для нижеприведенного напластования грунтов (рис. 2.14):
первый слой – супесь пластичная с γ1 = 16 кН / м3;
второй слой – песок мелкий с γ2 = 18 кН / м3, n2 = 0,45; γs2 =
= 26 кН / м3; γsb2 = (γs2 – γw) (1 – n2) = (26 – 10) (1 – 0,45) = 8,8 кН / м3;
третий слой – глина тугопластичная с γ3 = 20 кН / м3; n3 = 0,32.
Величина напряжений и эпюра их распределения приведены на
рис. 2.14.



кПа



кПа

кПа
кПа

Рис. 2.14. Эпюра распределения напряжений σzg

В табл. 2.7 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.
3. Расчет оснований по несущей способности

Таблица 2.7
Варианты заданий
Номер слоя и его характеристики
Номер
вари- Гру- h ,
анта нты м1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

1
2
3
4
1
3
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
1
2
3
4

5
4
3
6
5
4
3
6
5
4
3
6
5
4
3
6
5
4
3
6

1

2

Плотность,
кН / м3
γ

γs

18
19
17
18
18
19
17
18
18
19
17
18
18
19
17
18
18
19
17
18

26
27
26
27
26
27
26
27
26
27
26
27
26
27
26
27
26
27
26
27

3

ПлотПлотность,
ность,
n, Гру- h2,
n, Гру- h3,
n,
3
3
% нты м кН / м % нты м кН / м %
40
36
42
44
43
42
41
40
39
38
36
34
35
45
44
43
42
41
40
38

3
1
4
2
3
1
2
3
4
2
1
3
4
2
1
3
4
3
4
2

4
5
6
3
4
5
6
3
4
5
6
3
4
5
6
3
4
5
6
3

γ

γs

17
18
18
19
17
18
18
19
17
18
18
19
17
18
18
19
17
18
18
19

26
26
27
27
26
26
27
27
26
26
27
27
26
26
27
27
26
26
27
27

43
42
41
40
40
36
42
44
35
45
44
43
39
38
36
34
36
38
42
44

2
3
1
3
2
4
2
1
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
1

6
7
8
9
6
7
8
9
6
7
8
9
6
7
8
9
6
7
8
9

γ

γs

19
17
18
17
19
18
19
18
17
18
17
19
18
18
17
19
18
18
17
18

27
26
26
26
27
27
27
26
26
27
26
27
26
27
26
27
26
27
26
27

42
41
40
38
35
45
44
43
39
38
36
34
40
36
42
44
43
42
41
40

Расположение
УПВ,
м
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4

Целью расчета оснований по несущей способности является обеспечение прочности и устойчивости оснований, а также недопущение сдвига фундамента по подошве и его опрокидывания. При расчете основания по несущей способности следует учитывать, что возможны различные схемы потери устойчивости, например, в виде
плоского сдвига по подошве фундамента (или ниже ее) или по схеме
глубинного сдвига с образованием поверхностей скольжения, охватывающих и прилегающий к нему массив грунта. При выборе схемы
потери устойчивости следует учитывать характер нагрузок и их равнодействующей (вертикальность, наклон, эксцентриситет), форму
фундамента (ленточный, прямоугольный), характер подошвы фундамента (горизонтальность, наклон), наличие связей фундамента
с другими элементами здания, вид и свойства грунтов.

Расчет оснований по несущей способности производится в следующих случаях:
на основание передаются значительные горизонтальные нагрузки (горизонтальное давление грунта на подпорные стены, горизонтальная составляющая нагрузки на фундаменты распорных конструкций, сейсмические воздействия);
сооружение расположено на откосе или вблизи откоса;

34

35

Примечание. Наименование грунтов: 1 – супесь; 2 – глина; 3 – песок; 4 – суглинок.

F < γc · Fu / γn,

(3.1)

где F – расчетная нагрузка на основание, кН; Fu – сила предельного сопротивления основания, кН; γc – коэффициент условий работы, принимаемый: для песков, кроме пылеватых, γc = 1,0; песков пылеватых, а также пылевато-глинистых грунтов в стабилизированном состоянии γc = 0,9;
пылевато-глинистых грунтов в нестабилизированном состоянии γc =
= 0,85; скальных грунтов: невыветренных и слабовыветренных γc = 1,0;
выветренных γc = 0,9; сильновыветренных γc = 0,8; γn – коэффициент надежности по назначению сооружения, принимаемый равным 1,2; 1,15
и 1,10 соответственно для зданий и сооружений I, II, III классов.

дена на рис. 3.1. Размеры фундамента в плане получены из расчета по II группе предельных состояний с учетом веса фундамента
и грунта на его обрезах.
Порядок расчета
1. Приводим все нагрузки к подошве фундамента. Равнодействующая вертикальных расчетных нагрузок в уровне подошвы фундамента с учетом веса фундамента и грунта на его обрезах:
Fv = F′vI + b · l · d · γ, кН,

(3.2)

где F′vI – равнодействующая всех вертикальных нагрузок в уровне
верха фундамента для расчетов по первой группе предельных состояний, кН; b – сторона подошвы фундамента, направление которой совпадает с направлением действия горизонтальной составляющей нагрузки и возможным направлением потери устойчивости, м;
l – длина прямоугольного фундамента или условная длина круглого
фундамента, м; d – глубина заложения фундамента, м; γ – удельный
вес фундамента и грунта на его обрезах, кН / м3:
γ = (γI′ + γb) / 2.
а)

F ′vI

F ′hI

б)

M ′I

l = πR/2

основание сложено медленно уплотняющимися водонасыщенными глинистыми и заторфованными грунтами (при степени влажности Sr > 0,85 и коэффициенте консолидации сv < 107 см2 / год);
основание сложено скальными грунтами.
При проверке несущей способности основания фундамента следует учитывать, что потеря устойчивости может происходить по
трем возможным вариантам (в зависимости от соотношения вертикальной и горизонтальной составляющих равнодействующей, а также величины эксцентриситета):
плоский сдвиг по подошве;
глубокий сдвиг в направлении горизонтальной составляющей
нагрузки;
глубокий сдвиг в направлении момента.
Основания ленточного фундамента следует проверять на устойчивость только в направлении короткой стороны (ширины) фундамента,
а прямоугольного, квадратного и круглого – в направлении действия
момента или направления ее горизонтальной составляющей.
Расчет оснований по несущей способности производится исходя из условия

MI

Рис. 3.1. Схема к определению приведенных размеров фундамента:
а – прямоугольного; б – круглого

3.1. Аналитический метод расчета на глубокий сдвиг
фундаментов с горизонтальной подошвой при действии
внецентренной наклонной нагрузки

2. Вычисляем результирующий момент относительно центра тяжести подошвы, кН · м:

Необходимо рассчитать несущую способность основания прямоугольного (круглого) фундамента, расчетная схема которого приве-

где МI′ – равнодействующая моментов в уровне верха фундамента
для расчетов по I группе предельных состояний, кН · м; FhI′ – равно-

36

37

МI = МI′ – FhI′ · d ,

(3.3)

(3.4)

4. Определим приведенные размеры подошвы фундамента, м:
b′ = b – 2еb ; l′ = l – 2еl ,
где l = l′.
5. Определим коэффициент cоотношения сторон фундамента:
η = l / b,

(3.5)

где l и b – соответственно длина и ширина подошвы фундамента,
принимаемые в случае внецентренного приложения равнодействующей нагрузки равными приведенным значениям l′ и b′; если l / b < 1,
то следует принимать η = 1,0.
6. Вычислим коэффициенты формы фундамента:
ξγ = 1 – 0,25 / η ;
ξq = 1 +1,5 / η ;
ξс = 1 + 0,3 / η .

(3.6)

При соотношении сторон подошвы фундамента η > 5 фундамент
рассматривается как ленточный и коэффициенты ξγ, ξq, ξс принимаются равными единице.
7. Вертикальную составляющую силы предельного сопротивления Nи основания, кН, сложенного нескальными грунтами и если
фундамент имеет плоскую подошву и грунты основания ниже подошвы однородны до глубины не менее ее ширины, допускается определять по формуле
Nи = b′l′ (Nγξγ · b′ · γI + Nq · ξq · d · γI′ + Nc · ξc · CI),

(3.7)

F ′vI = 230 кН

F ′hI = 90 кН

M ′I = 65 кН · м
l = 2,1 м

eb = MI / Fv .

Nγ, Nq, Nc = ƒ (φI, δ) – безразмерные коэффициенты несущей способности, определяемые по табл. 5.12 СП 22.13330.2011.
Формула (3.7) применима для расчета основания по несущей способности при условии, что пригрузка со стороны, противоположной
возможному выпору грунта, не превышает 0,5R (R – расчетное сопротивление основания).
8. Расчет оснований по несущей способности производится исходя из условия (3.1). В случае невыполнения условия увеличиваем
размеры фундамента. Размеры фундамента должны быть кратными
300 мм. Не пересчитывая вес фундамента и грунта на его обрезах,
находим вертикальную составляющую силы предельного сопротивления Nu. Проверяем условие (3.1). Принимаем окончательные размеры подошвы фундамента.
Пример 3.1. Требуется рассчитать несущую способность основания прямоугольного фундамента (рис. 3.2), в основании которого
залегает слой суглинка со следующими характеристиками: е = 0,85,
IL = 0,5, φn = 22º; сn = 20 кПа; γI' = 16,8 кН / м3, γI = 18,2 кН / м3. Размеры фундамента в плане получены из расчета по II группе предельных состояний: b = 2,7 м, l = 2,1 м; d = 1,6 м. Нагрузки, действующие на фундамент: F'vI = 230 кН, F'hI = 90 кН, М'I = 65 кН · м, класс
здания – II.

d = 1,6 м

действующая горизонтальных нагрузок в уровне верха фундамента
для расчетов по I группе предельных состояний, кН.
3. Определим эксцентриситет приложения равнодействующей
вертикальных расчетных нагрузок, м:

MI
b = 2,7 м

b = 2,7 м

где γI и γI′ – удельный вес грунта для расчета по I группе предельных
состояний, залегающих соответственно ниже и выше подошвы фундамента, кН / м3.
Расчет по этой формуле допускается выполнять, если соблюдается условие tg δ < sin φI, где tg δ = Fh / Fv, (Fh = FhI). По tg δ находим δ.

Решение
1. Определим расчетные значения прочностных характеристик
грунта для расчета по I группе предельных состояний:

38

39

Рис. 3.2. Схема расчета фундамента к примеру 3.1

φI = 22 / 1,1 = 20º;
cI = 20 / 1,5 = 13 кПа.
2. Вычислим равнодействующую вертикальных расчетных нагрузок в уровне подошвы фундамента с учетом веса фундамента
и грунта на его обрезах:
Fv = 230 + 2,7 · 2,1 · 1,6 · 21,3 = 423 кПа;
γ = (18,2 + 24,5) / 2 = 21,3 кН / м3.

12. Производим проверку выполнения условия F ≤ γс · Fu / γn, F =
= 423 кН, γс = 0,9 – для пылевато-глинистых грунтов в стабилизированном состоянии, Fu = Nu = 2361 кН, γn = 1,15 – для зданий II класса.
423 кН < 0,9 · 2361 / 1,15 = 1848 кН.
Устойчивость основания фундамента обеспечена.
В табл. 3.1 приведены варианты заданий для самостоятельной работы студентов.
Таблица 3.1

3. Определим результирующий момент относительно центра тяжести подошвы:
МI = 65 – 90 · 1,6 = –79 кН · м.
4. Вычислим эксцентриситет приложения равнодействующей вертикальных расчетных нагрузок:
еb = 79 / 423 = 0,19 м.
5. Определим приведенные размеры подошвы фундамента:
b′ = 2,7 – 2 · 0,19 ≈ 2,4 м; l′ = l = 2,1 м.
6. Определим коэффициент соотношения сторон фундамента:
η = 2,1 / 2,4 = 0,88 < 1;
следовательно, принимаем η = 1,0.
7. Вычислим коэффициенты формы фундамента:
ξγ = 1 – 0,25 / 1 = 0,75;
ξq = 1 + 1,5 / 1 = 2,5;
ξс = 1 + 0,3 / 1 = 1,3.
8. Определим значение угла δ:
tg δ = 90 / 423 = 0,21; δ = 12º.
9. Проверяем выполнение условия sin φI = 20º = 0,342; 0,21 <
< 0,342; следовательно расчет можно производить по формуле (3.7).
10. По табл. 5.12 СП 22.13330.2011 при δ = 12º и φI = 20º находим:
Nγ = 1,15; Nq = 4,14 и Nc = 8,64.
11. Вычислим вертикальную составляющую силы предельного
сопротивления основания:
Nu = 2,4 · 2,1(1,15 · 0,75 · 2,4 · 18,2 + 4,14 · 2,5 · 1,6 · 16,8 +
+ 8,64 · 1,3 · 13) = 2361 кН.
40

Варианты заданий
Характеристики
E
IL
γn, кН / м3
γn′, кН / м3
FvI′, кН
FhI′, кН
MI′, кН · м
Класс здания
b, м
d, м
l, м
Грунт
Характеристики
E
IL
γn, кН / м3
γn′, кН / м3
FvI′, кН
FhI′, кН
MI′, кНм
Класс здания
b, м
d, м
l, м
Грунт

Варианты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,45 0,55 0,65 0,75 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,85
0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55
15,9 15,8 16,0 16,1 16,4 16,2 16,5 16,6 16,8 16,9
16,1 16,2 16,4 16,0 16,2 16,3 16,3 17,0 17,1 16,5
200 210 220 230 240 250 180 190 200 210
50
60
70
80
90 100 50
60
65
80
40
50
60
70
75
80
47
55
60
75
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0 1,2 1,5 1,8
1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 1,5 1,1
0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 0,6 0,9 1,2
Супесь
Сугл.
Варианты
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 0,55 0,65 0,75 0,85
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,2 0,3 0,4 0,5
16,4 17,1 17,2 17,4 17,3 16,9 17,4 17,7 17,6 17,7
16,9 17,2 17,4 16,9 16,7 17,5 16,4 18,0 17,5 18,1
220 230 240 250 180 190 200 210 220 230
90
80
50
60
55
80
70
55
80
90
76
II
2,1
1,15

80
III
2,4
1,2

41
I
2,7
1,25

50
II
3,0
1,3

48
55
III
I
1,2 1,5
1,35 1,4
πR / 2
Суглинок
41

68
II
1,8
1,45

77
III
2,1
1,5

72
I
2,4
1,55
Глина

65
II
2,7
1,6

3.2. Аналитический метод расчета на глубокий сдвиг
фундаментов с наклонной подошвой при действии
внецентренной наклонной нагрузки

δ′ = arctg Fh′ / Fv′ ,

Фундаменты с наклонной подошвой целесообразно применять
вместо фундаментов с горизонтальной подошвой в тех случаях, когда
для последних не выполняется условие tg δ < sin φІ. Коэффициенты
формы и приведенные размеры фундамента определяются так же,
как и для фундаментов с горизонтальной подошвой. Расчетная схема
фундамента приведена на рис. 3.3.

δ = δ′ – α,

(3.10)

где α – угол наклона подошвы фундамента к горизонту, град.
4. Вычисляют составляющую равнодействующей всех нагрузок
(нормаль к подошве):
Fv = F′ · cos δ / cos δ′.
Fv = Fv′ · sin δ / sin δ′.

Fh

(3.11)
(3.12)

6. Определяют эксцентриситет приложения составляющей нагрузок (нормалью к подошве), м:

Fv4

eb = M / Fv ,

Fv3

ц. т.

где Fh′ – горизонтальная составляющая внешних нагрузок, кН.
3. Определяется угол между направлением равнодействующей и
нормалью к подошве, град:

5. Определяют составляющую касательной к подошве по формуле

Fv1

Fv2

(3.9)

(3.13)

где М – момент относительно центра тяжести подошвы фундамента, кН · м.
7. Определяют приведенные размеры подошвы фундамента:
b′ = b – 2eb; l′ = l – 2el .

α

(3.14)

8. Определяют коэффициент формы фундамента по выражению
η = l / b.

Рис. 3.3. Схема к расчету фундамента с наклонной подошвой

1. Определяется равнодействующая вертикальных расчетных нагрузок на уровне подошвы фундамента, кН:
Fv′ = Fv1′ + Fv2′ + Fv3′ + Fv4′ ,

(3.8)

(3.15)

9. По табл. 3.2 назначают коэффициенты несущей способности
Nγ и Nc.
10. Тогда
Nq = (Nc / ctg φI) + 1.

(3.16)

11. Проверяем условие

где Fv1′ – вертикальная составляющая внешних нагрузок, кН; Fv2′ – вес
стеновых панелей, кН; Fv3′ – вес грунта на уступах фундамента, кН;
Fv4′ – вес фундамента, кН.
2. Определяется фактический угол наклона к вертикали равнодействующей всех сил, град:

12. Составляющую силы предельного сопротивления основания
вычисляют по формуле (3.7).
13. Проверяют условие (3.1).

42

43

tg δ = Fh / Fv < sin φI .

(3.17)

5 0
5
10
15
20
25
10 0
5
10
15
20
25
15 0
5
10
15
20
25
20 0
5
10
15
20
25
25 0
5
10
15
20
25
30 0
5
10
15
20
25
35 0
5
10
15
20
25

Значения Nγ при δº
0
0,22
0,26
0,30
0,34
0,38
0,41
0,63
0,64
0,67
0,70
0,72
0,73
1,38
1,35
1,33
1,31
1,28
1,25
2,86
2,68
2,55
2,40
2,26
2,15
5,90
5,37
4,89
4,38
4,07
3,66
12,38
10,80
9,39
8,53
7,56
6,80
27,10
23,09
19,11
16,94
14,12
12,18

5






0,38
0,40
0,45
0,48
0,51
0,53
0,95
0,96
0,96
0,95
0,94
0,94
2,08
1,97
1,88
1,75
1,70
1,60
4,36
3,99
3,59
3,31
3,05
2,78
9,01
7,90
6,96
6,20
5,55
5,20
20,40
16,96
14,17
12,25
9,89
8,74

10












0,52
0,57
0,59
0,61
0,63
0,65
0,52
0,57
0,59
0,61
0,63
0,65
2,93
2,71
2,49
2,32
2,14
2,01
6,30
5,60
4,96
4,39
3,90
3,40
13,9
11,7
9,95
8,66
7,57
6,34

15


















1,38
1,35
1,33
1,31
1,28
1,25
1,83
1,70
1,58
1,49
1,43
1,35
4,0
3,60
3,26
2,93
2,62
2,30
9,15
7,36
6,58
5,79
5,13
4,31

20
























0,93
0,90
0,89
0,86
0,85
0,85
2,38
2,15
1,96
1,80
1,66
1,50
5,55
4,83
4,16
3,66
3,12
2,82

25






























1,15
1,05
1,02
0,98
0,85
0,82
3,04
2,67
2,39
2,12
1,90
1,68

φº αº
5

10

15

20

25

30

35

44

0
5
10
15
20
25
0
5
10
15
20
25
0
5
10
15
20
25
0
5
10
15
20
25
0
5
10
15
20
25
0
5
10
15
20
25
0
5
10
15
20
25

Значения Nс при δº
0
6,64
6,30
6,10
5,84
5,57
5,32
8,59
8,15
7,74
7,33
6,94
6,55
11,37
10,68
10,02
9,39
8,79
8,22
15,47
14,40
13,30
12,31
11,39
10,52
21,79
19,92
18,19
16,60
15,14
13,79
31,98
28,80
25,83
23,18
20,80
18,50
49,45
43,60
38,42
33,84
29,78
26,19

5






6,78
6,40
6,04
5,69
5,34
5,05
9,47
8,87
8,29
7,74
7,22
6,72
13,08
12,11
11,19
10,34
9,53
8,78
18,44
16,83
15,35
13,98
12,72
11,56
26,91
24,10
21,68
19,44
17,41
15,60
41,13
36,24
31,91
28,07
24,68
21,68

10












7,16
6,67
6,19
5,74
5,30
4,89
10,48
9,66
8,90
8,18
7,51
6,88
15,03
13,69
12,45
11,31
10,26
9,27
21,97
19,60
17,65
15,79
13,11
12,40
33,37
29,36
25,82
22,69
19,91
17,46

15


















7,63
6,99
6,39
5,83
5,30
4,81
11,60
10,53
9,54
8,63
7,78
7,01
17,97
15,50
13,80
12,31
10,96
9,70
26,26
23,07
20,25
17,76
15,55
13,60

20
























8,13
7,38
6,59
5,91
5,28
4,70
12,75
11,50
10,18
9,04
8,01
7,20
19,87
17,42
15,25
13,33
11,64
10,13

25






























8,65
7,65
6,76
5,95
5,25
4,75
14,21
12,41
10,82
9,41
8,17
7,06

250 кН
180 кН

69,6 кН

27,5 кН

60,4 кН

M = 30 кН · м
ц. т.

l = l ′ = 2,1 м

φº αº

Пример 3.2. Требуется рассчитать несущую способность основания фундамента с наклонной подошвой, схема которого приведена
на рис. 3.4. В основании фундамента залегают пылеватые пески со
следующими характеристиками: е = 0,72, φn = 26º, сn = 2 кПа, γІ = γІ′ =
= 17,1 кН / м3, α = 20º. Размеры фундамента предварительно определены
из расчета по деформациям: b = 2,1 м, l = 1,2 м. На фундамент действуют нагрузки: Fv1′ = 250 кН, Fv2′ = 69,6 кН, Fv3′ = 60,4 кН, Fv4′ = 27,5 кН,
Fh′ = 180 кН, М = 30 кН · м, d = 1,5 м, класс сооружения II.

d = 1,5 м

Таблица 3.2
Значения коэффициента несущей способности Nγ и Nc

α
b = 2,1 м

b = 2,1 м

Рис. 3.4. Схема расчета фундамента к примеру 3.3

2. Вычислим расчетные значения прочностных характеристик:
φІ = 26º / 1,1 = 24º;
сІ = 2 / 1,5 = 1,3 кПа.
3. Определим величину равнодействующей вертикальных расчетных нагрузок на уровне подошвы фундамента:
Fv′ = 250 + 69,6 + 60,4 + 27,5 = 407,5 кН.
4. Определим фактический угол наклона к вертикали равнодействующей всех сил:
δ′ = arctg 180 / 407,5 = arctg 0,44 = 24º.
5. Опеделим угол между направлением равнодействующей и нормалью к подошве:
δ = 24º – 20º = 4º.
45

6. Вычислим составляющую равнодействующей всех нагрузок:
Fv = 407,5 · cos 4º / cos 24º = 407,5 · 0,998 / 0,914 = 445 кН.
7. Определим величину составляющей касательной к подошве:
Fh = 407,5 · sin 4º / sin 24º = 407,5 · 0,07 / 0,914 = 31,2 кН.
8. Эксцентриситет приложения составляющей нагрузки составит:

Тогда
445 кН < (0,9 · 1224) / 1,15 = 958 кН.
Несущая способность основания рассматриваемого фундамента
обеспечена.
В табл. 3.3 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.
Таблица 3.3

eb = 30 / 445 = 0,07 м.
9. Вычислим приведенные размеры подошвы фундамента:
l′ = l =1,2 м;
b′ = b – 2еb = 2,1 – 2 · 0,07 = 1,96 м.
10. Определим коэффициенты формы подошвы фундамента:
η = l′ / b′ = 0,61 < 1,
следовательно, принимаем η = 1. Тогда:
ξγ = 1 – (0,25 / 1) = 0,75;
ξq = 1 + (1,5 / 1) = 2,5;
ξс = 1 + (0,3 / 1) = 1,3.
11. Определим значения коэффициентов несущей способности:
Nγ = 2,97; Nс = 12,54.
Тогда по формуле (3.16)
Nq = (12,54 / ctg 24º) + 1 = (12,54 / 2,23) + 1 = 6,62.
12. Проверим выполнение условия:
tg δ = Fh / Fv < sin φI;
tg δ = 31,2 / 445 = 0,07 < sin 24º = 0,41.
Условие выполняется, поэтому можно использовать формулу
(3.1).
13. Вычислим составляющую силы предельного сопротивления
основания:
Nu = 1,96 · 1,2 (2,97 · 0,75 · 1,96 · 17,1 +
+ 6,62 · 2,5 · 17,1 · 1,5 · 12,54 · 1,3 · 1,3) = 1224 кН.
14. Проверяем выполнение условия (3.1):
F ≤ γc · Fu / γn; Fu = Nu = 1224 кН.
46

Варианты заданий
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Грунты основания – пылеватые пески: γІ = γІ′ = 17,4 кН / м3
16,5
17
17,5
18
18,5
19
19,5
20
21
φn, град
4
5
6
7
8
2
3
4
5
сn, кПа
α, град
20
20
20
20
20
22
22
22
22
2,1
2,4
2,7
1,5
1,8
2,1
2,4
2,7
1,5
b, м
1,5
1,5
1,5
1,2
1,2
1,5
1,5
1,5
1,2
l, м
1,5
1,5
1,7
1,7
1,7
1,6
1,6
1,6
1,5
d, м
Класс соI
II
оружений
210 220 230 240 250 210 220 230 240
Fv1′, кН
94
90
87
72
65
85
79
77
69
Fv2′, кН
60,4 65,4
78
79,4 80,1 70,2
68
68,4 65,5
Fv3′, кН
25,4
29
28,1
25
26,3 27,1 27,5 28,5 29,4
Fv4′, кН
180 180 180 180 180 170 170 170 170
Fh′, кН
28
26
24
22
20
22
24
26
28
М, кН · м
ХарактеВариант
11
12
13
14
15
16
17
18
19
ристики
Грунты основания – пылеватые пески: γІ = γІ′ = 17,2 кН / м3
23
24
25
26
27
28
29
30
31
φn, град
7
8
2
3
4
5
6
7
8
сn, кПа
α, град
24
24
24
24
20
20
20
20
20
2,1
2,4
2,7
1,5
1,8
2,1
2,4
1,5
1,8
b, м
1,2
1,5
1,5
1,2
1,5
1,5
1,5
1,2
1,2
l, м
1,5
1,7
1,7
1,7
1,6
1,6
1,6
1,5
1,5
d, м
Класс соII
III
оружений
210 220 230 240 250 210 220 230 240
Fv1′, кН
89
75,2 76,1
77
80
80
75,5 70,4
70
Fv2′, кН
76,2 74,2
69
65
84,2 62,1 60,3 70,2 68,2
Fv3′, кН
28,6 28,3 27,9 27,4 26,1 26,3
28
24,5
25
Fv4′, кН
175 175 175 175 175 180 180 180 180
Fh′, кН
28
26
24
22
20
22
24
26
28
М, кНм
Характеристики

47

10
22
6
24
1,8
1,2
1,5
250
65
70
29
170
30
20
26
2
20
2,1
1,2
1,5
250
69,6
60,4
27,5
180
30

3.3. Расчет устойчивости фундамента
по схеме плоского сдвига

Ер = 1 / 2 (γI · d · λp + cI · d / tg φI) (λp – 1),

Расчет фундамента на сдвиг по его подошве или по подошве
грунтовой подушки (рис. 3.5) производится при действии горизонтальной составляющей нагрузки на фундамент при нестабилизированном состоянии грунтов основания, а также и стабилизированного, если не выполняется условие tg δ < sin φI.

d1



где d – глубина заложения фундамента со стороны возможного выпора грунта, м; λр – коэффициент пассивного давления грунта, определяется по формуле
λр = tg2 (45º + φI / 2).
Равнодействующая активного давления вычисляется по выражению
Еа = 1 / 2 · (γI · d1 · λа – 2cI · λа) (d1 – hc),
(3.22)
где d1 – глубина заложения фундамента со стороны, противоположной возможному выпору грунта; λа – коэффициент активного давления грунта, определяется по формуле

hc
Fh

λа = tg2 (45º – φI / 2);
hc = 2cI · λa / (γI · λa).
Рис. 3.5. Схема расчета фундамента по схеме
плоского сдвига

При расчете на плоский сдвиг применяется формула
(3.18)

где ΣFsa и ΣFsr – суммы проекций на плоскость скольжения расчетных сил, соответственно удерживающих и сдвигающих, кН.
Сумма удерживающих сил
(3.19)

Сумма сдвигающих сил

ΣFsа = Fh + Ea ,

(3.20)

где Fv – нормальная к плоскости скольжения составляющая расчетной нагрузки на фундамент, кН; u – гидростатическое противодавление (при уровне грунтовых вод выше подошвы фундамента); А –
площадь подошвы фундамента, м2; Fh – касательная к плоскости
скольжения составляющей нагрузки на фундамент, кН; Ер и Еа – равнодействующие пассивного и активного давления грунта, кН.
Равнодействующая пассивного давления грунта на вертикальную
грань фундамента определяется по формуле
48

2,7 м

ΣFsr = (Fv – u) tg φI + A · cI + Ep .

(3.23)
(3.24)

Пример 3.3. Требуется рассчитать фундамент распорной системы по схеме плоского сдвига по подошве (рис. 3.6). Грунты основания представлены слоем супеси со следующими характеристиками:
Il = 0,5; e = 0,65; cn = 8 кПа; φn = 22º; γI = 17,4 кН / м3. Расчетные нагрузки на уровне подошвы фундамента Fv = 250 кН; Fh = 130 кН. Размеры фундамента получены из расчета по деформациям b = 1,8 м,
l = 1,2 м. Глубина заложения фундамента от уровня планировки
d = 2,4 м, от уровня пола d1 = 2,7 м. Класс здания – III.

2,4 м

ΣFsa < γс · ΣFsr / γn ,

(3.21)

Рис. 3.6. Схема расчета фундамента к примеру 3.3

Порядок расчета
1. Определим расчетные значения прочностных характеристик
грунта основания:
сI = сn / γg = 8 / 1,5 = 6 кПа; φI = φn / γg = 22 / 1,1 = 20º.
49

2. Проверяем выполнение условия tg δ < sin φI:

Таблица 3.4

tg δ = 130 / 250 = 0,52; δ = 28º;
sin 20º = 0,34; tg δ = 0,52 > sin φI = 0,34,
т. е. условие не выполняется и формула (3.7) в рассматриваемом случае неприменима. Расчет следует производить по схеме плоского
сдвига (рис. 3.3).
3. Для грунтов обратной засыпки принимаем:
γI′ = 0,95 · γI = 0,95 · 17,4 = 17,7 кН / м ;
сI′ = 0,5 · сI = 0,5 · 6 = 3 кПа; φI′ = 0,9 · φI = 0,9 · 20º = 18º.
3

4. Вычисляем равнодействующие активного и пассивного давления. Для этого предварительно определим коэффициенты λа и λр,
а также hc:
λa = tg2 (45º – 18º / 2) = 0,53;
λp = tg2 (45º + 18º / 2) = 1,9;
hc = 2 · 6 · 0,53 / (17,7 · 0,53) = 0,93 м.
Тогда
Еа = 1 / 2(17,7 · 2,7 · 0,53 – 2 · 3 · 0,53) · (2,7 – 0,93) = 18,5 кН;
Еp = 1 / 2(17,7 · 2,4 · 1,9 + 3 · 2,4 / tg 18º) · (1,9 – 1) = 46,5 кН.
5. Вычисляем суммы удерживающих и сдвигающих сил по фомулам (3.19 и 3.20):

ΣFsr = (250 – 0) · tg 20º + 1,8 · 1,2 · 6 + 46,5 = 149,5 кН;
ΣFsa = 130 + 18,5 = 148,5 кН.
6. Производим проверку выполнения условия (3.1):
γс · ΣFsr / γn = 0,9 · 149,5 / 1,1 = 122 кН < 148,5 кН.

Варианты заданий
Характеристики

Варианты
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Грунты основания – супеси: γІ = 17,0 кН / м

3

φn, град

16

17

18

19

20

21

22

23

24

23

сn, кПа
b, м
l, м
d, м
d1, м

4
1,5
1,0
1,0
1,5

5
1,6
1,1
1,2
1,6

6
1,7
1,2
1,2
1,6

7
1,8
1,3
1,3
1,7

8
1,9
1,4
1,4
1,8

9
1,8
1,2
1,5
1,9

10
1,7
1,3
1,4
1,8

5
1,6
1,2
1,3
1,7

6
1,5
1,1
1,2
1,6

5
1,4
1,0
1,1
1,5

Fv1, кН

210

220

230

240

250

260

270

260

250

250

Fh, кН

100

105

110

110

130

120

130

11

12

13

14

120 120
Варианты
15
16

130

Характеристики

17

18

19

20

Класс сооружения – II

Грунты основания – суглинки: γІ = 17,4 кН / м

3

φn, град
сn, кПа
b, м
l, м
d, м
d1, м

22
7
1,5
0,9
1,0
1,5

21
8
1,6
1,0
1,1
1,6

20
9
1,7
1,1
1,2
1,7

19
10
1,8
1,2
1,3
1,8

18
4
1,8
1,3
1,4
1,9

20
5
1,7
1,2
1,4
1,9

22
6
1,6
1,1
1,3
1,8

24
7
1,5
1,0
1,2
1,7

21
8
1,4
1,0
1,1
1,6

20
6
1,5
1,1
1,0
1,5

Класс сооружения – III
Fv1, кН

200

220

230

240

250

260

220

230

240

250

Fh, кН

100

110

115

120

125

130

110

120

130

120

Вывод. Устойчивость фундамента против сдвига по подошве
не обеспечена. При этом увеличение размеров подошвы практически не дает эффекта (в связи с малым значением удельного сцепления грунта с), поэтому целесообразнее устройство фундамента с наклонной подошвой или подушки с наклонной подошвой (с проверкой возможности сдвига по контакту «фундамент – подушка»).
В табл. 3.4 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.

Графоаналитические методы оценки несущей способности используются при сложных расчетных схемах системы «фундамент –
основание» (рис. 3.7), для которых аналитические методы не разработаны.

50

51

3.4. Графоаналитический метод расчета несущей
способности основания

а)

б)
k1

O1
O2

l2
l1

O1
k1

O2 O3 O4
k2 k3 k
4

O3

k3

рi

k2

αi
hi  I  b

Песок
Супесь

E1
E2

Рис. 3.7. Схема расчета фундамента графоаналитическим методом

Несущая способность основания определяется графоаналитическим методом с построением круглоцилиндрических поверхностей
скольжения в следующих случаях:
основание сложено неоднородными грунтами;
пригрузка со стороны, противоположной возможному выпору грунта основания, больше 0,5R (где R – расчетное сопротивление
грунта основания);
фундаменты расположены на откосе, вблизи откоса или под откосом;
возможно возникновение нестабилизированного состояния грунтов основания (кроме случаев, для которых имеются аналитические
методы расчета).
В методе круглоцилиндрических поверхностей скольжения вычисляется коэффициент устойчивости kst по нижеприведенной формуле. При этом его значение для опасной поверхности скольжения
должно быть kst > 1,2:
kst = ΣMsr / ΣMsa = r · b [Σ(pi + γI · hi) tg φIi · cos αi + Σ(cIi / cos αi)]

ΣEm · lm + Fv · a + r · bΣγIi · hi · sin αi

,

(3.25)

где ΣMsа и ΣMsr – cуммы моментов сдвигающих и удерживающих
сил относительно центра вращения, кН · м; r – радиус поверхности
скольжения, м; b – ширина элементарных вертикальных полос, на
52

которые делится сдвигаемый массив, м; pi – средняя (в пределах ширины полосы) ордината эпюры давлений на грунт от сооружения
без учета противодавления воды, определяемая по формуле для внецентренного сжатия, кПа; hi – средняя высота i-й полосы грунта, м;
γIi – расчетное значение удельного веса грунта в пределах i-й полосы, принимаемое с учетом взвешивающего действия воды, кН / м3;
φIi – расчетное значение угла внутреннего трения грунта по площадке скольжения в пределах рассматриваемой полосы, град; сIi – расчетное значение удельного сцепления грунта по площадке скольжения в пределах рассматриваемой полосы, кПа; αi – угол между вертикалью и нормалью к i-й площадке скольжения, град; Еm – равнодействующая активного давления m-го слоя грунта на боковую грань
фундамента, кН, определяемая по формуле (3.22); lm – расстояние
от линии действия силы Еm до горизонтали, проходящей через центр
поверхности скольжения, м; Fv – равнодействующая вертикальных
нагрузок на уровне подошвы фундамента, кН; а – расстояние от центра поверхности скольжения до линии действия силы Fv , м.
Произведение γIi · hi · sin αi в формуле (3.25) для нисходящей части кривой скольжения принимается со знаком «+», а для восходящей – со знаком «–».
Сущность метода круглоцилиндрических поверхностей скольжения заключается в том, что при отсутствии связей фундамента с конструктивными элементами здания, путем последовательных приближений определяются положение центра и радиус наиболее опасной
круглоцилиндрической поверхности скольжения, что представляет
собой весьма трудоемкую задачу. С целью облегчения расчетов, для
определения этого центра рекомендуется использовать рекомендованный в технической литературе упрощающий прием, предложенный проф. Н. Н. Масловым (Н. Н. Маслов, М. Ф. Котов, Н. В. Зинюхина. Задачник по механике грунтов. М.: Высшая школа, 1963),
который позволяет быстро определять искомый центр. Сущность
метода заключается в следующем (рис. 3.8): вначале находят точку С,
расположенную на глубине 2Н и на расстоянии 4,5Н от основания откоса (Н – высота рассчитываемого откоса). Полученную точку С соединяют с точкой В на бровке откоса прямой линией, которую продолжают за точку В. Вероятное положение центра О наиболее опасной
53

поверхности скольжения находится на этой прямой, вблизи от ее пересечения с вертикалью, проведенной через середину откоса.

A

P3

P1

r

P2

Ea

h2

0,5

h1

2,7 м

G

2,67

2,47

2,2 м

Q

1,5 м

0,2 м

F v = 200 кН

h4 h5
h3
B

h6

h7

b

1,8 м
Рис. 3.8. Схема к определению положения центра и радиуса
наиболее опасной круглоцилиндрической поверхности скольжения

При наличии связей фундамента с конструктивными элементами
зданий (перекрытиями, анкерами и др.) за центр поверхности скольжения может приниматься точка опирания фундамента.
Пример 3.5. Требуется определить несущую способность основания ленточного фундамента методом круглоцилиндрических поверхностей скольжения. Фундамент является стеной подвала и в точке А
связан с междуэтажным перекрытием (рис. 3.9).
Основание представлено следующими напластованиями грунтов:
верхний слой толщиной 2,2 м – суглинок: γI = 18,0 кН / м3; φI =
20º; сI = 15 кПа;
подстилающий слой – глина: γI = 18,5 кН / м3; φI = 6º; сI = 19 кПа;
грунт обратной засыпки – суглинок: γI′ = 0,95 · γI = 0,95 · 18 =
= 17 кН / м3; φI′ = 0,9 · φI = 0,9 · 20º = 18º; сI′ = 0,5 · cI = 0,5 · 15 = 7,5 кПа;
под фундаментом устроена песчаная подушка толщиной hп = 0,5 м
со следующими характеристиками: γI = 17 кН / м3; φI = 34º; сI = 1 кПа.
Вертикальная нагрузка N = 200 кН / м приложена с эксцентриситетом е = 0,25 м. Ширина подошвы фундамента определена расчетом по деформациям и составляет b = 1,8 м. Вес 1 пог. м длины фундамента G = 85 кН.
54

Рис. 3.9. Схема расчета фундамента к примеру 3.5

Порядок расчета
1. Поскольку фундамент загружен внецентренной наклонной нагрузкой и имеет место активное давление грунта, расчет по несущей
способности основания необходим. В связи с неоднородностью основания формула (3.7) в данном случае неприменима, поэтому расчет
выполняем методом круглоцилиндрических поверхностей скольжения по формуле (3.25). Фундамент в верхней части имеет неподвижную опору, следовательно, за центр поверхности скольжения принимается точка А, при этом радиус поверхности скольжения составит
r = АВ = 4,2 м.
2. Разбиваем массив грунта, ограниченный предполагаемой поверхностью скольжения, на 7 полос шириной b = 0,6 м каждая.
3. С целью облегчения расчетов значения параметров и их произведения, входящие в формулу (3.25), сводим в табл. 3.5.
4. Определим равнодействующую активного давления грунта по
формуле (3.22). Предварительно вычисляем значение λа (3.23) и hc
(3.24) для слоя суглинка:
λа = tg2 (45º – φI / 2) = tg2 (45º – 18º / 2) = 0,53;
hc = 2cI · λa / (γI · λa) = 2 · 7,5 · 0,53 / (17 · 0,53) = 0,9 м.
55

Таблица 3.6

Таблица 3.5
Варианты заданий

Результаты вычислений по формуле (3.25)
Поло- hi,
γIi, γIi · hi, αi, pi, φIi, cIi, cIi / cosαi, (pi + γIi· hi) × γIi hi sinαi,
са
м кН / м3 кПа град кН град кПа
кПа
× tg φIi cos αi,
кПа
1
2
3
4
5
6
7

0,1
0,2
0,25
1,2
1,05
0,7
0,3

17
17
17
18,5
18,5
18,5
18,5

1,7
3,4
4,25
22,2
19,4
13,0
5,6

16 100 34
9 200 34
0 280 34
11 0
6
22 0
6
30 0
6
41 0
6

1
1
1
19
19
19
19

1,0
1,0
1,0
19,4
20,4
21,8
25,3
Σ = 90

65,4
133,6
190,4
2,2
1,8
1,1
0,4
=
Σ 395

0,46
0,54
0
–4,2
–7,2
–6,5
–3,7
=
Σ –20,6

Тогда
Еа=1 / 2 · (γI · d1 · λа – 2cI · λа) (d1 – hc) = 1 / 2(17 · 3,7 · 0,53 –
– 2 · 7,5 · 0,53) (3,7 – 0,9) = 35,4 кН.
5. Вычисляем величину коэффициента устойчивости kst:
kst = ΣMsr / ΣMsa = r · b [Σ(pi + γIi · hi) tg φ1i · cos αi + Σ(cIi / cos αi)] /
/ [ΣEm · lm + Fv · a + r · b · ΣγIi · hi · sin αi] = 4,2 · 0,6 · (395 + 90) /
/ [35,4 · 2,5 + 85 · 0,4 + 200 · 0,25 + 4,2 · 0,6 · (–20,6)] = 10,1 > 1,2.
Устойчивость фундамента обеспечена.
В табл. 3.6 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.
4. Определение нижней границы сжимаемой толщи
(активной зоны) грунта в основании фундаментов
При расчете осадок фундаментов различными методами одним из
основных вопросов является определение величины сжимаемой толщи грунта в основании загруженных фундаментов (активная зона).
Сжимаемая толща грунта Нс соответствует такой глубине, ниже которой деформациями грунтов можно пренебречь. Решение этого вопроса имеет большое практическое значение: в частности, оно определяет величину грунтовой толщи, которая должна охватываться полевыми исследованиями при проведении инженерно-геологических
56

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

φI, град
сI, кПа
γI, кН / м3

16
14
17,6

φI, град
сI, кПа
γI, кН / м3

16
14
17,6

b, м
l1, м

1,5
1,0

Верхний слой грунта – супесь
17
18
19
20
21
22
15
16
17
18
17
16
17,6 17,6 17,6 17,6 17,6 17,6
Подстилающий слой грунта – глина
17
18
19
20
21
22
15
16
17
18
17
16
17,6 17,6 17,6 17,6 17,6 17,6
Грунт обратной засыпки – супесь
1,6
1,7
1,8
1,9
1,8
1,7
1,1
1,2
1,3
1,4
1,2
1,3

l2, м
hn, м

1,0
0,5

1,2
0,6

Fv1, кН

210

220

1,2
1,3
1,4
1,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Класс сооружения – II
230 240 250 260

Fh, кН

100

105

110

11

12

Вариант
φI, град

22

сI, кПа
γI, кН / м3

7
17,6

φI, град
сI, кПа
γI, кН / м3

16
14
17,6

b
l, м
d, м
d1, м

1,5
0,9
1,0
1,5

Fv1, кН
Fh, кН

200
100

1,4
1,0

8

9

10

23
15
17,6

24
16
17,6

23
15
17,6

23
15
17,6

24
16
17,6

23
15
17,6

1,6
1,2

1,5
1,1

1,4
1,0

1,3
0,9

1,2
0,8

1,1
0,7

270

260

250

250

130

130

120

130

13
14
15
16
17
Верхний слой грунта – суглинок
21
20
19
18
20
22

18

19

20

24

21

20

8
6
5
4
5
6
17,6 17,6 17,6 17,6 17,6 17,6
Подстилающий слой грунта – глина
17
18
19
20
21
22
15
16
17
18
17
16
17,6 17,6 17,6 17,6 17,6 17,6
Грунт обратной засыпки – суглинок
1,6
1,7
1,8
1,8
1,7
1,6
1,0
1,1
1,2
1,3
1,2
1,1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,4
1,3
1,6
1,7
1,8
1,9
1,9
1,8
Класс сооружения – III
220 230 240 250 260 220
110 115 120 125 130 110

7
17,6

8
17,6

6
17,6

23
15
17,6

24
16
17,6

23
15
17,6

1,5
1,0
1,2
1,7

1,4
1,0
1,1
1,6

1,5
1,1
1,0
1,5

230
120

240
130

250
120

110

120

57

120

изысканий. При наличии в основании слоя грунта, более слабого по
несущей способности, чем вышележащие слои, определение границы сжимаемой толщи грунта приобретает важное значение. Кроме
того, при назначении искусственных методов уплотнения или закрепления грунтов глубина сжимаемой толщи определяет объем и способы производства работ.
В практике проектирования для определения осадок фундаментов наиболее широко применяются методы элементарного послойного суммирования (по СП 50-101–2004, СП 22.13330.2011) и эквивалентного слоя грунта (по Н. А. Цытовичу). Определение нижней
границы сжимаемой толщи (активной зоны) в этих методах имеет
свои особенности.
Схема определения нижней границы сжимаемой толщи основания в методе элементарного послойного суммирования приведена
на рис. 4.1, где построение эпюр напряжений от собственного веса
грунта σzg и дополнительных напряжений от сооружения σzp производится до глубины Нс, ниже которой деформациями грунтов можно пренебречь.
p0

E3 = 11 МПа

h1
h2

E2 = 8 МПа

E1 = 10 МПа
E2 = 8 МПа

h3

h2

E1 = 10 МПа

h3

h1

p0

E3 = 5 МПа

Рис. 4.1. Схема для определения нижней границы сжимаемой толщи
основания методом послойного суммирования

При этом величины напряжения от собственного веса грунтов σzg
определяются по формуле
σzg = ΣγII · h ,

(4.1)

Дополнительные напряжения σzp от сооружения вычисляются по
формуле
σzp = α · рII ,
(4.2)
где α – коэффициент рассеивания напряжения по глубине основания, принимаемый по табл. 5.8 (СП 22.13330.2011) в зависимости
от η = l / b и ζ = 2z / b (l и b – соответственно длина и ширина фундамента, м; z – глубина расположения рассматриваемого слоя грунта от подошвы фундамента, м); рII – среднее давление под подошвой фундамента, кПа; γII' – удельный вес грунта выше подошвы
фундамента.
В случае, когда в основании фундамента залегают слои грунтов
с модулем деформации Е ≥ 8 МПа (см. рис. 4.1), нижнюю границу
сжимаемой толщи основания принимают на глубине z = Нс, где выполняется условие
(4.3)
σzp = 0,5 σzg .
При этом глубина сжимаемой толщи не должна быть меньше
Hmin, принимаемой равной:
Hmin = b / 2 при b ≤ 10 м;
Hmin = (4 + 0,1b) при 10 < b ≤ 60 м;
Hmin = 10 м при b > 60 м.
Если в пределах глубины Нс, найденной по указанным выше
условиям, залегает слой грунта с модулем деформации Е > 100 МПа,
сжимаемую толщу допускается принимать до кровли этого грунта.
Следует отметить, что если найденная по указанным выше условиям нижняя граница сжимаемой толщи находится в слое грунта
с модулем деформации Е ≤ 7 (см. рис. 4.1) или такой слой залегает
непосредственно ниже глубины Hc, то этот слой включают в сжимаемую толщу, а за Нс принимают минимальное из значений, соответствующих подошве слоя или глубине, где выполняется условие σzp =
= 0,2σzg.
В методе эквивалентного слоя грунта (рис. 4.2) нижняя граница
сжимаемой толщи основания вычисляется по выражению
Нс = 2he ,

(4.4)

где γII – удельный вес слоев грунтов, расположенных в пределах сжимаемой толщи основания, кН / м3; h – толщина слоя грунта, м.

где he – толщина эквивалентного слоя грунта, м, определяемая по
формуле

58

59

h3

Hc = 2he

h′3

h2

h2

h′1

h1

p0

Рис. 4.2. Схема для определения сжимаемой толщи
методом эквивалентного слоя грунта

he = Aω · b ,

(4.5)

где Aω – коэффициент эквивалентного слоя, зависящий от коэффициента бокового расширения ν (параметр А), формы и жесткости
фундамента (параметр ω), для жестких фундаментов принимается
по табл. 4.1; b – ширина фундамента, м.
Таблица 4.1
Значения коэффициента эквивалентного
слоя Aωсonst для жестких фундаментов
Гравий
и галька
η = l/b

1,0
1,5
2,0
3,0
4,0
5,0
≥10

Суглинки
пластичные

Пески

Глины
и суглинки
твердые
0,1
0,89
1,09
1,23
1,46
1,63
1,74
2,15

0,2
0,94
1,15
1,30
1,54
1,72
1,84
2,26

Супеси
При значении ν
0,25
0,30
0,99
1,08
1,21
1,32
1,37
1,49
1,62
1,76
1,81
1,97
1,94
2,11
2,38
2,60
60

Глины
сильноГлины пластичпластичные
ные
0,35
1,24
1,52
1,72
2,01
2,26
2,42
2,98

0,4
1,58
1,94
2,20
2,59
2,90
3,10
3,82

Пример 4.1. Требуется определить глубину сжимаемой толщи
для отдельностоящих фундаментов размерами 4×4; 4×2,8; 4×2,2;
4×1,7; 4×1,3 и 4×0,8 м методами элементарного послойного суммирования и эквивалентного слоя грунта.
Исходные данные: глубина заложения фундаментов d = 1,6 м, дополнительное давление по подошве фундаментов рdop = рII – σzg0 =
= 200 кПа. Инженерно-геологические условия участка строительства представлены следующими напластованиями грунтов:
1. Песок средней крупности, плотный: толщина h1 = 3,0 м; γ1,II =
= 17 кН / м3; ω1 = 14 %; E1 = 30 МПа; ν1 = 0,25.
2. Глина текучепластичная: толщина h2 = 2,0 м; γ2,II = 18,2 кН / м3;
ω2 = 36 %; E2 = 5 МПа; ν2 = 0,40.
3. Супесь пластичная: толщина h3 = 1,0 м; γ3,II = 19 кН / м3; ω3 = 22 %;
E3 = 17 МПа; ν3 = 0,30.
4. Песок мелкий, средней плотности: толщина h4 = 1,0 м; γ4,II =
= 19,2 кН / м3; ω4 = 16 %; E4 = 17 МПа; ν4 = 0,30.
5. Супесь пластичная: толщина h5 = 2,5 м; γ5,II = 20 кН / м3; ω5 = 29 %;
E5 = 18 МПа; ν5 = 0,30.
Порядок расчета
1. Для сравнения результатов вычислений определим нижнюю
границу сжимаемой толщи Нс для всех фундаментов методом элементарного послойного суммирования (формула (4.3)) и эквивалентного слоя грунта (формула (4.4)). В качестве примера на рис. 4.3, а
и в табл. 4.2 приведены эпюры распределения напряжений от собственного веса грунта (σzgi), дополнительного давления (σzpi) и величина нижней границы сжимаемой толщи грунтов (Нс) по глубине основания, вычисленные для фундамента размером l×b = 4×2,2 м
по методу элементарного послойного суммирования. При этом
нижняя граница сжимаемой толщи была определена из условия
0,5σzg = 0,5 · 97,64 = 48,82 кПа ≈ σzp = 42 кПа и составила Нс = 3,96 м >
> b / 2.
Результаты вычислений для остальных фундаментов с применением метода элементарного послойного суммирования и эквивалентного слоя грунта обобщены в табл. 4.3.
61

b = 2,2 м

b = 2,2 м

pII = 250 кПа

pII = 250 кПа

Размеры
подошвы
фундамента
l × b, м

Hc = 2hе = 6,24 м

γ2 = 17 кН/м
ν2 = 0,3

3

Таблица 4.3
Результаты вычисления сжимаемой толщи грунтов

б)

Hc = 4,41 м

γ1 = 17 кН/м
ν1 = 0,3

3

d = 1,6 м

м

а)

γ3 = 17 кН/м3
ν3 = 0,3
γ4 = 17 кН/м3
ν4 = 0,3

4,0×4,0
4,0×2,8
4,0×2,2
4,0×1,7
4,0×1,3
4,0×0,8

γ5 = 17 кН/м3
ν5 = 0,3

Рис. 4.3. Схема к определению глубины сжимаемой толщи по методу
элементарного послойного суммирования (а) и эквивалентного
слоя грунта (б)
Таблица 4.2
Результаты вычислений по методу послойного суммирования
для фундамента размером l×b = 4,0×2,2 м

слоя
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Грунт

z, м ζ = 2z / b

2
3
Песок
0
Е0 = 30 МПа 0,44
0,88
1,32
1,6
Глина
1,76
Е0 = 5,0 МПа 2,20
2,64
3,08
3,52
3,60
Супесь
3,96
Е0 = 14 МПа 4,40

4
0
0,4
0,8
1,2
1,45
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,27
3,6
4,0

σzgi

α

5
6
1,000 27,2
0,975 34,7
0,866 42,16
0,717 49,64
0,630 54,4 / 62
0,578 57,31
0,463 65,32
0,374 73,33
0,304 81,34
0,251 89,35
0,243 90,8
0,209 97,64
0,176 106,0

62

0,5σzgi

σzр

кПа
7
8
13,6
200
17,4
195
21,08
173
24,8
143
27,2 / 31 126
28,65
116
32,66
93
36,66
75
40,67
61
44,7
50
45,4
49
48,82
42
53
Нс =
= 3,96 м

σzрm
9

198
184
158
135
121
105
84
68
56
50
45

S, см
10

0,23
0,22
0,19
0,10
0,31
0,74
0,59
0,48
0,39
0,35
0,09
Σ 3,7

η= l/ b
1,0
1,4
1,8
2,4
3,2
5,0

Сжимаемая толща Нс, м, вычисленная методами
послойного
суммирования
5,6
4,48
3,96
3,66
3,38
3,60

эквивалентного
слоя
8,64
7,40
6,24
5,44
4,68
3,40

При определении толщины сжимаемой толщи Нс методом эквивалентного слоя (рис. 4.3, б), учитывая, что грунты основания под
фундаментами представлены разнородными слоями, для назначения
коэффициента Аω по табл. 4.1 было определено среднее значение коэффициента бокового расширения ν по выражению
νm = Σ(νi · hi) / Hc = (0,25 · 1 + 0,40 · 2 + 0,30 · 1 + 0,30 · 1 +
+ 0,30 · 2,5) / 9,5 = 0,30,
где νi и hi – соответственно коэффициент бокового расширения и толщина i-го слоя грунта в пределах сжимаемой толщи Нс.
Следует отметить, что для фундамента с размерами подошвы
4,0×0,8 м вычисленная по формуле (4.3) нижняя граница сжимаемой
толщи находится в слое грунта с модулем деформации Е = 5 МПа <
< 7 МПа, поэтому этот слой был включен в сжимаемую толщу основания Нс.
В табл. 4.4 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.
5. Определение осадки фундаментов методом
эквивалентного слоя
Метод предложен проф. Н. А. Цытовичем в предположении, что
осадка реального фундамента конечных размеров может быть равна осадке загруженного сплошной нагрузкой некоторого слоя грунта
63

64

2,1 2,2 2,3 2,4
16,2 16,4 16,6 16,8

350

3,3
20

370

ɇɚɩɥɚɫɬɨɜɚɧɢɹ ɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɝɪɭɧɬɨɜ
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2
17 17,2 17,4 17,6 17,8 19 19,2 19,4 19,6 19,8

380

330

2,3
270

15
2,6

290

320

360

13
2,4

310

300

340

ȼɚɪɢɚɧɬɵ
10
11
12
2,1× 2,2 2,3×
×2,1
×2,3
2,8 2,7 2,5
1,9

2,2

2,6

9
2,0

8
1,9×
×1,9
2,4

16
2,7×
×2,7
1,7

7
1,8

14
2,5×
×2,5
2,1

6
1,7×
×1,7
2,0

230

1,5
250

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 10,4 11,4 12,4 13,4 14,4 15,4 16,4 17,4 18,4 19,4
0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30

mv3
ν3

65

z3

h1
h2

mv2
ν2

h3

Hc = 2hе

mv
ν
mv1
ν1
Hc = 2hе

z1

190

20
3,1×
×3,1
1,8

7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 16,5
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
4
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 4,6 4,7 4,5 4,4
18 18,2 18,4 18,6 18,8 19 19,2 19,4 19,6 19,8 18,1 18,2 18,3 18,4 18,5 18,6 18,7 18,8 18,9 19,0

p0

z2

210

1,1

19
3,0

3,4 3,5 3,2 3,0
19,9 19,7 19,5 19,3

18
2,9×
×2,9
1,3

17
2,8

Ɍɚɛɥɢɰɚ 4.4

8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
17 17,2 17,4 17,6 17,8 18 18,2 18,4 18,6 18,8 15,6 15,7 15,8 15,9 16 16,1 16,2 16,4 16,6 16,8

280

1,8

2
16

260

240

1,4

220

5
1,6

200

1,0

4
1,5×
×1,5
1,6

3
1,4

2
1,3×
×1,3
1,2

1
1,2

ɉɪɢɦɟɱɚɧɢɟ. ȼ ɜɚɪɢɚɧɬɚɯ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 ɩɪɢɜɟɞɟɧɚ ɲɢɪɢɧɚ ɥɟɧɬɨɱɧɨɝɨ ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɚ.

h1, ɦ
ȖII,
ɤɇ/ɦ3
E, Ɇɉɚ
ȃ
ɉɟɫɨɤ
h2, ɦ
ɦɟɥɤɢɣ, ȖII,
ɫɪɟɞɧɟɣ ɤɇ/ɦ3
ɩɥɨɬɧɨE, Ɇɉɚ
ɫɬɢ
ȃ
ɋɭɩɟɫɶ h3, ɦ
ɩɥɚɫȖII,
ɬɢɱɧɚɹ ɤɇ/ɦ3
E, Ɇɉɚ
ȃ

ɋɭɝɥɢɧɨɤ ɬɭɝɨ-ɩɥɚɫɬɢɱɧɵɣ

Ɋɚɡɦɟɪɵ ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɚ b×l, ɦ
Ƚɥɭɛɢɧɚ ɡɚɥɨɠɟɧɢɹ d, ɦ
ɋɪɟɞɧɟɟ ɞɚɜɥɟɧɢɟ
ɊII, ɤɉɚ

ɂɫɯɨɞɧɵɟ
ɞɚɧɧɵɟ

ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɡɚɞɚɧɢɣ

толщиной he, который называется эквивалентным и определяется по
формуле (4.4).
Осадка фундамента методом эквивалентного слоя вычисляется
по формуле
S = he · mv · pdop ,
(5.1)

где mv – коэффициент относительной сжимаемости грунта, кПа–1; pdop –
дополнительное давление на уровне подошвы фундамента, кПа, определяемое по выражению
pdop = рII – γ′II · d ,

где рII – среднее давление по подошве фундамента, кПа.
Схема расчета фундаментов методом эквивалентного слоя приведена на рис. 5.1. При этом эпюра дополнительных напряжений
в массиве грунта представляет собой прямоугольник с вертикальным катетом Нс = 2he (глубина сжимаемой толщи основания).
Следует отметить, что при однородном напластовании грунтов
в основании фундаментов построение эпюры природных давлений не
требуется. В случае слоистого напластования грунтов в расчетах необходимо использовать осредненное значение коэффициента относительной сжимаемости, которое можно определить по выражению
mvm = Σ(hi · mvi · zi) / (2he2) ,
(5.2)

где hi – толщина i-го слоя грунта, м; mvi – коэффициент относительной сжимаемости i-го слоя, кПа–1; zi – расстояние от низа треугольной эпюры дополнительных напряжений до середины соответствующего i-го слоя, м.

p0

Рис. 5.1. Схема расчета осадки методом эквивалентного слоя грунта

Осадка многослойного основания определяется по формуле
(5.3)

mv = 2 · 10–5 кПа
ν = 0,35

Пример 5.2. Требуется определить осадку ленточного фундамента шириной b = 1,4 м методом эквивалентного слоя грунта, возведенного на слоистом основании (рис. 5.3, а).
б)

1,68
z2 = 3,68
0,68

z1 = 5,18 м

2,0 м

Hc = 5,68 м

z2 = 5,84
z1 = 7,34 м



1,4 м

z3 = 3,84



а)

1,34



Hc = 6,08 м

d

где νi и hi – соответственно коэффициент бокового расширения и толщина i-го слоя грунта в пределах сжимаемой толщи Нс.
Пример 5.1. Требуется определить осадку фундамента размером
b×l = 2×3 м методом эквивалентного слоя грунта, возведенного на
однородном слое суглинистого грунта (рис. 5.2).

S = he · mv · pdop = 3,04 · 0,06 · 0,25 = 0,046 м = 4,6 см.

Hc = 7,84 м

(5.4)

3. Тогда осадка фундамента составит



νm = Σ(νi · hi) / Hc ,

Нс = 2 · he = 2 · 3,04 = 6,08 м.

2м 2м

При выборе величины коэффициента Аω из табл. 4.1 необходимо
отметить, что в случае многослойного основания осреднение коэффициента бокового расширения грунта ν, если несущий слой имеет
толщину, не меньшую, чем ширина фундамента, как правило, не требуется. Если же несущий слой сложен относительно тонкими слоями разнородных грунтов, то среднее значение коэффициента ν можно определить по выражению

2. Вычислим глубину сжимаемой толщи:



S = he · mvm · pdop .

he = Aω · b = 1,52 · 2,0 = 3,04 м.

Рис. 5.3. Схема к расчету осадки фундамента для примеров 5.2 и 5.3

Исходные данные: глубина заложения фундамента d = 2,0 м, среднее давление по подошве рII = 250 кПа, mv = 0,06 МПа–1, ν = 0,35.
Порядок расчета
1. Определим толщину эквивалентного слоя грунта. Из табл. 4.1
при ν = 0,35 значение Aωconst = 1,52. Тогда

Исходные данные: глубина заложения фундамента d = 2,0, среднее давление по подошве рII = 300 кПа. Инженерно-геологические
условия участка представлены следующими напластованиями грунтов:
супесь пластичная: толщина h1 = 3,0 м; mv = 4 · 10–5 кПа; ν1 =
= 0,30;
глина текучепластичная: толщина h2 = 2,0 м; mv = 8 · 10–5 кПа;
ν2 = 0,40;
песок мелкий, средней плотности: толщина h4 = 2,0 м; mv =
= 2 · 10–5 кПа; ν3 = 0,25;
суглинок моренной, тугопластичный: толщина h6 = 3,0 м; mv =
= 4 · 10–5 кПа; ν4 = 0,35.

66

67

Рис. 5.2. Схема к расчету осадки фундамента
для примера 5.1

Порядок расчета
1. Определим толщину эквивалентного слоя грунта. Вначале, учитывая слоистость основания, вычислим осредненное значение коэффициента поперечного расширения νm.
νm = (0,30 · 1,0 + 0,40 · 2,0 + 0,25 · 2,0 + 0,35 · 3,0) / 8,0 ≈ 0,35.
2. Из табл. 4.1 при νm = 0,35 значение Aωconst = 2,8. Тогда
he = Aω · b = 2,8 · 1,4 = 3,92 м.
3. Вычислим глубину сжимаемой толщи:
Нс = 2 · he = 2 · 3,92 = 7,84 м.
4. Определим осредненное значение коэффициента относительной сжимаемости слоистого основания:
mvm = Σ(hi · mvi · zi) / (2he2) = (1,0 · 4 · 10–5 · 7,34 + 2,0 · 8 · 10–5 · 5,84 +
+ 2,0 · 2 · 10–5 · 3,84 + 3,0 · 4 · 10–5 · 1,34) / 7,842 = 2,62 · 10–5 кПа.
5. Тогда осадка фундамента составит:
S = he · mvm · pdop = 3,92 · 2,6 · 10–5 · 300 = 0,031 м = 3,1 см.
Пример 5.3. Требуется определить осадку отдельностоящего фундамента размером b×l = 2,0×3,0 м методом эквивалентного слоя грунта, возведенного на многослойном основании (рис. 5.3, б).
Исходные данные: глубина заложения фундамента d = 2,0 м, дополнительное давление по подошве рdop = 300 кПа. Инженерно-геологические условия участка аналогичны примеру 5.2.
Порядок расчета
1. Определим толщину эквивалентного слоя грунта. Учитывая
слоистость основания, вычислим осредненное значение коэффициента поперечного расширения νm:
νm = (0,30 · 1,0 + 0,40 · 2,0 + 0,25 · 2,0 + 0,35 · 3,0) / 8,0 ≈ 0,35.

3. Определим осредненное значение коэффициента относительной сжимаемости слоистого основания:
mvm = Σ(hi · mvi · zi) / (2he2) = (1,0 · 4 · 10–5 · 5,18 + 2,0 · 8 · 10–5 · 3,68 +
+ 2,0 · 2 · 10–5 · 1,68) / 5,682 = 2,67 · 10–5 кПа.
4. Тогда осадка фундамента составит:
S = he · mvm · pdop = 2,84 · 2,67 · 10–5 · 300 = 0,023 м = 2,3 см.
В табл. 5.1 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.
6. Определение осадки фундаментов методом
линейно деформируемого слоя
Метод линейно деформируемого слоя был разработан и предложен для практического использования профессором К. Е. Егоровым.
Метод в настоящее время регламентируется действующими нормами
(СНиП 2.02.01–83*, СП 50-101–2004), и его рекомендуется применять в случаях, когда:
в пределах сжимаемой толщи основания залегает слой малосжимаемого или практически несжимаемого грунта с модулем деформации Е > 100 МПа;
фундамент имеет ширину b ≥ 10 м и при этом модуль деформации грунтов основания Е ≥ 10 МПа.
Расчетная схема для вычисления осадок по указанному методу
приведена на рис. 6.1.
В методе линейно деформируемого слоя распределение напряжений в толще грунта оценивается как для однородного полупространства, а жесткость подстилающего слоя учитывается поправочным коэффициентом kc. При этом осадка фундамента определяется по формуле
S = (pbkc) / km [Σ(ki – ki–1) / Ei] ,

(6.1)

Нс = 2 · he = 2 · 2,84 = 5,68 м.

где р = рII – среднее давление под подошвой фундамента (в случае
фундамента с шириной подошвы b < 10 м определяется как при методе послойного суммирования, т. е. р = рdop = рII – γII · d), кПа; b – ширина или диаметр фундамента, м; kc и km – коэффициенты, принимаемые по табл. 6.1 и 6.2; ki и ki–1 – коэффициенты, принимаемые по
табл. 6.3; Еi – модуль деформации i-го слоя грунта.

68

69

Из табл. 4.1 при νm = 0,35 значение Aωconst = 1,42. Тогда
he = Aω · b = 1,42 · 2,0 = 2,84 м.
2. Вычислим глубину сжимаемой толщи:

70

240

1,2
220

260

1,6

4
1,4

280

5
1,6×
1,6
1,8

2,1 2,2 2,3 2,4
16,2 16,4 16,6 16,8

3
1,4×
1,4
1,4

2
1,2

20
2,9

370

310

2,1

230

1,3

210

190

1,8

3,4 3,5 3,2 3,0
19,9 19,7 19,5 19,3

19
3,0×
3,0
1,1

3,3
20

18
3,0

ɇɚɩɥɚɫɬɨɜɚɧɢɹ ɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɝɪɭɧɬɨɜ
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2
17 17,2 17,4 17,6 17,8 19 19,2 19,4 19,6 19,8

16
2,8

250

330

350

380

15
2,6×
2,6
1,9
270

360

340

2,5

14
2,6

290

320

300

2,4

13
2,4×
2,4
2,3

12
2,4

ȼɚɪɢɚɧɬɵ
10
11
2,2 2,2×
2,2
2,8 2,7
1,7

2,0

9
2,0×
2,0
2,6

8
1,8

17
2,8×
2,8
1,5

7
1,8×
1,8
2,2

6
1,6

Ɍɚɛɥɢɰɚ 5.1

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 10,4 11,4 12,4 13,4 14,4 15,4 16,4 17,4 18,4 19,4
0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30

7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 16,5
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
4
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 4,6 4,7 4,5 4,4
18 18,2 18,4 18,6 18,8 19 19,2 19,4 19,6 19,8 18,1 18,2 18,3 18,4 18,5 18,6 18,7 18,8 18,9 19,0

8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
17 17,2 17,4 17,6 17,8 18 18,2 18,4 18,6 18,8 15,6 15,7 15,8 15,9 16 16,1 16,2 16,4 16,6 16,8

2
16

200

1
1,2×
1,2
1,0

zi
zi–1

ɉɪɢɦɟɱɚɧɢɟ. ȼ ɜɚɪɢɚɧɬɚɯ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 ɩɪɢɜɟɞɟɧɚ ɲɢɪɢɧɚ ɥɟɧɬɨɱɧɨɝɨ ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɚ.

h1, ɦ
ȖII,
ɤɇ/ɦ3
E, Ɇɉɚ
ȃ
ɉɟɫɨɤ
h2, ɦ
ɦɟɥɤɢɣ, ȖII,
ɫɪɟɞɧɟɣ ɤɇ/ɦ3
ɩɥɨɬɧɨE, Ɇɉɚ
ɫɬɢ
ȃ
ɋɭɩɟɫɶ h3, ɦ
ɩɥɚɫȖII,
ɬɢɱɧɚɹ ɤɇ/ɦ3
E, Ɇɉɚ
ȃ

ɋɭɝɥɢɧɨɤ ɬɭɝɨɩɥɚɫɬɢɱɧɵɣ

Ɋɚɡɦɟɪɵ ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɚ b×l, ɦ
Ƚɥɭɛɢɧɚ ɡɚɥɨɠɟɧɢɹ d, ɦ
Ⱦɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨɟ
ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɪdop, ɤɉɚ

ɂɫɯɨɞɧɵɟ
ɞɚɧɧɵɟ

ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɡɚɞɚɧɢɣ

pII

Среднее
значение Е,
МПа
Е < 10
E ≥ 10

71

pII

E > 10 MПа

Рис. 6.1. Схема к расчету осадок методом
линейно деформируемого слоя

Коэффициент kc
Таблица 6.1

Относительная
толщина слоя
ζ1 = 2Н / b
Коэффициент kc

0 < ζ1 ≤ 0,5
1,5

0,5 < ζ1 ≤ 1
1,4

1 < ζ1 ≤ 2
2 < ζ1 ≤3
3 < ζ1 ≤ 5
ζ1 > 5
1,3
1,2
1,1
1,0

Коэффициент km
Таблица 6.2

Коэффициент km при ширине фундамента b, м
b < 10
10 ≤ b ≤ 15
b > 15

1
1
1
1,35
1
1,5

2,4

3,2

5

3
0,00
0,100
0,200
0,299
0,380
0,446
0,499
0,542
0,577
0,606
0,630
0,650
0,668
0,683
0,697
0,708
0,719
0,728
0,736
0,744
0,751
0,757
0,762
0,768
0,772
0,777
0,786
0,794

4
0,00
0,100
0,200
0,300
0,394
0,472
0,538
0,592
0,637
0,676
0,708
0,735
0,759
0,780
0,798
0,814
0,828
0,841
0,852
0,863
0,872
0,881
0,888
0,896
0,902
0,908
0,922
0,933

5
0,00
0,100
0,200
0,300
0,397
0,482
0,556
0,618
0,671
0,717
0,756
0,789
0,819
0,844
0,867
0,887
0,904
0,920
0,935
0,948
0,960
0,970
0,980
0,989
0,998
1,005
1,022
1,037

6
0,00
0,100
0,200
0,300
0,397
0,486
0,565
0,635
0,696
0,750
0,796
0,837
0,873
0,904
0,933
0,958
0,980
1,000
1,019
1,036
1,051
1,065
1,078
1,089
1,100
1,110
1,132
1,151

7
0,00
0,100
0,200
0,300
0,397
0,486
0,567
0,640
0,707
0,768
0,820
0,867
0,908
0,948
0,198
1,011
1,041
1,065
1,088
1,109
1,128
1,146
1,162
1,178
1,192
1,205
1,233
1,257

8
0,00
0,100
0,200
0,300
0,397
0,486
0,567
0,640
0,709
0,772
0,830
0,883
0,932
0,977
1,018
1,056
1,090
1,122
1,152
1,180
1,205
1,229
1,251
1,272
1,291
1,309
1,349
1,384

Н = (Н0 + ψb)kp ,

(6.2)

где Н0 и ψ – принимаются соответственно равными для пылеватоглинистых грунтов 9 м и 0,15, для песчаных грунтов 6 м и 0,10;
kp – коэффициент, принимаемый равным kp = 0,8 при среднем давлении под подошвой фундамента р = 100 кПа, kp = 1,2 при р = 500 кПа,
при промежуточных значениях – по интерполяции.
Если основание сложено песчаными и пылевато-глинистыми
грунтами, то значение Н определяется по осредняющей формуле
Н = Нs + hsl / 3,

(6.3)

где Нs – толщина слоя, вычисленная по формуле (6.2) в предположении, что основание сложено только песчаными грунтами, м; hsl – суммарная толщина слоев пылевато-глинистых грунтов в пределах от
подошвы фундамента до глубины Н, вычисленной по формуле (6.2)
в предположении, что основание сложено только пылевато-глинистыми грунтами.
Пример 6.1. Требуется определить осадку ж/б плитного фундамента высотного здания размером 22×22 м (рис. 6.2).
b = 22 м

E1 = 18 MПа

E2 = 12 MПа

pII = 200 кПа

z1 = 5,0

1,8

z2 = 9,4

1,4



2
0,00
0,090
0,179
0,266
0,348
0,411
0,461
0,501
0,532
0,558
0,579
0,596
0,611
0,634
0,635
0,645
0,653
0,661
0,668
0,674
0,679
0,684
0,689
0,693
0,697
0,700
0,705
0,720

1,0

ленточных
(η ≥10)
9
0,00
0,104
0,208
0,311
0,412
0,511
0,605
0,687
0,763
0,831
0,892
0,949
1,001
1,050
1,095
1,138
1,178
1,215
1,251
1,285
1,316
1,347
1,376
1,404
1,431
1,456
1,506
1,550

9,4 м

1
0,0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
6,4
6,8
7,2
7,6
8,0
8,4
8,8
9,2
9,6
10,0
11,0
12,0

прямоугольных с соотношением сторон η = l / b

7,0

Коэффициент k для фундаментов
ζ=
= 2z / b круглых

В расчетах толщина линейно деформируемого слоя Н принимается до кровли малосжимаемого грунта с модулем деформации Е >
> 100 МПа, а при ширине (диаметре) фундамента b ≥ 10 м и среднем
значении модуля деформации грунтов основания Е ≥ 10 МПа вычисляется по формуле

> 10 м

Таблица 6.3
Коэффициент k

Примечание. При промежуточных значениях ζ и η коэффициент k определяется по интерполяции.

Рис. 6.2. Схема к расчету осадки фундамента для примера 6.1

72

73

74

220

ɇɚɩɥɚɫɬɨɜɚɧɢɹ ɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɝɪɭɧɬɨɜ
4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,2 5,0
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4
21
22
23
24
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 4,6 4,7 4,5 4,4
15
16
17
18
19 10,4 11,4 12,4 13,4 14,4 15,4 16,4 17,4 18,4 19,4
4,4
15
6,9
20
4,4
14
4,3
14
6,8
19
4,3
13
4,2
13
6,7
18
4,2
12
4,1
12
6,6
17
4,1
11

190
210
230
250
270
290
310
330
350
370
380
360
340
320
300
280
260

ȼɚɪɢɚɧɬɵ
10
11
30× 12×
×30 ×18
2,8 2,7
9
28×
×28
2,6
8
26×
×26
2,4
7
24×
×24
2,2
6
22×
×22
2,0
5
20×
×20
1,8
4
18×
×18
1,6
3
16×
×16
1,4

200

4
11
6,5
16
4
10
h1, ɦ
E, Ɇɉɚ
ɉɟɫɨɤ h2, ɦ
ɦɟɥɤɢɣ E, Ɇɉɚ
ɋɭh3, ɦ
ɩɟɫɶ
E, Ɇɉɚ

Для определения осадки необходимо дополнительно устанавливать напряжение σzp,ai, возникающее по вертикали, проходящей через

ɋɭɝɥɢɧɨɤ

7. Определение осадки фундаментов с учетом загружения
соседних фундаментов и площадей

Ɋɚɡɦɟɪɵ ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɚ b×l, ɦ
Ƚɥɭɛɢɧɚ ɡɚɥɨɠɟɧɢɹ d, ɦ
ɋɪɟɞɧɟɟ ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɪII, ɤɉɚ

В табл. 6.4 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.

2
14×
×14
1,2

S = (pbkc) / km [Σ(ki – ki–1) / Ei] = (0,2 · 22 · 1,4 / 1,5) [(0,113 – 0) / 18 +
+ (0,212 – 0,113) / 12] = 6,0 cм.

1
12×
×12
1,0

2. Определим коэффициенты kc и km. При ζ1 = 2Н / b = 2 · 9,4 / 22 =
= 0,85, по табл. 6.1 kc = 1,4. При Е > 10 МПа и b > 15 м по табл. 6.2
km = 1,5.
3. Определим коэффициенты ki по табл. 6.3, учитывая η = l / b =
= 22 / 22 = 1,0:
при ξ1 = 2 · 5 / 22 = 0,45 k1 = 0,113;
при ξ2 = 2 · 9,4 / 22 = 0,85 k2 = 0,212.
4. Вычислим значение осадки фундамента по формуле (6.1):

ɂɫɯɨɞɧɵɟ
ɞɚɧɧɵɟ

Н = 7,4 + 6,1 / 3 = 9,4 м.

ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɡɚɞɚɧɢɣ

Тогда по формуле (6.3)

12
14×
×21
2,5

Hc = (6 + 0,1 · 22) · 0,9 = 7,4 м;
Hsl = (9 + 0,15 · 22) · 0,9 = 11,1 м;
hsl = 11,1 – 5,0 = 6,1 м.

240

13
16×
×24
2,3

14
18×
×27
2,1

15
20×
×30
1,9

16
22×
×33
1,7

17
24×
×36
1,5

18
26×
×39
1,3

19
28×
×42
1,1

20
30×
×45
1,8

Ɍɚɛɥɢɰɚ 6.4

Исходные данные: глубина заложения фундамента d = 2,0 м, среднее давление по подошве рII = 200 кПа. Грунтовые условия площадки строительства сверху вниз представлены следующими напластованиями грунтов:
песок средней крупности, средней плотности с h1 = 5,0 м; γII =
= 18,0 кН / м3; Е1 = 18 МПа;
суглинок мягкопластичный с h2 > 10 м; γII = 18,6 кН / м3; Е2 =
= 12 МПа.
Порядок расчета
1. Определим расчетную толщину слоя по формуле (6.2) для двух
случаев (основание сложено только песчаными и только пылеватоглинистыми грунтами (при рII = 200 кПа, коэффициент kp = 0,9)):

75

где σzp – вертикальное напряжение от внешней нагрузки по вертикали, проходящей через центр подошвы рассчитываемого фундамента.
При определении осадки фундамента методом элементарного послойного суммирования (СП 22.13330.2011) напряжения на границах i-го слоя следует определять от среднего давления под подошвой
фундамента рII. Осадку фундамента находят от суммарного напряжения σzp,at. До определения σzp,ai важно оценить, загрузку каких фундаментов следует учитывать. Для этого первоначально находят глубину сжимаемой толщи Нс в основании рассчитываемого фундамента.
Нижнюю границу сжимаемой толщи основания принимают на глубине z = Нс, где выполняется условие
σzp = 0,5 · σzg .

(7.2)

При этом глубина сжимаемой толщи не должна быть меньше
Hmin, принимаемой равной:
Hmin = b / 2 при b ≤ 10 м;
Hmin = (4 + 0,1b) при 10 < b ≤ 60 м;
Hmin = 10 м при b > 60 м.
Радиус r, в пределах которого следует учитывать загружаемые
соседние площади, может быть в первом приближении равным r =
= (1,2…1,3)Нс. При необходимости увеличивают радиус влияния r,
добиваясь приблизительного равенства глубины сжимаемой толщи
и радиуса влияния.
Пример 7.1. Определить осадку фундамента с размерами подошвы l×b = 3,6×2,0 м с учетом загрузки соседних одинаковых фундаментов, расположенных на расстоянии 6 м симметрично относительно рассчитываемого (рис. 7.1).
76

3,1 м

1,5 м

м

А

2 м pdop = 255 кПа

Б
> 6,0 м

центр подошвы рассчитываемого фундамента, от загрузки последнего. Дополнительные напряжения σzp,ai определяют методом угловых точек. В случае загрузки k соседних фундаментов и площадей
дополнительные напряжения от них суммируют, и тогда напряжения под центром рассчитываемого фундамента определяются следующим выражением:
σzp,nf = σzp + Σσzp,ai ,
(7.1)

Рис. 7.1. Схема расчета осадки фундамента с учетом загружения соседних

Исходные данные: глубина заложения фундамента d = 1,5 м, среднее давление по подошве рII = 280 кПа. Грунтовые условия площадки
представлены следующим напластованием грунтов:
песок мелкий, средней плотности толщиной h1 = 3,1 м; γII =
= γ'II = 20 кН / м3 (γsb = 10 кН / м3); Е1 = 16 МПа;
суглинок тугопластичный толщиной h2 > 10 м; γII = 18 кН / м3;
Е2 = 10 МПа. Уровень подземных вод находится на глубине WL = 1,0 м
от планировочной отметки территории.
Порядок расчета
Расчет производим в два этапа:
1. Вначале определим осадку фундамента Б методом элементарного послойного суммирования по СП 22.13330.2011. Для этого
основание под рассчитываемым фундаментом разбиваем на элементарные слои hi:
hi = 0,4 · b = 0,4 · 2 = 0,8 м.
2. Определяем величину природного давления грунта на уровне
подошвы фундамента σzg,0 и на границах слоев σzg,i (вычисления приведены в табл. 7.1):
σzg,0 = γII · 1,0 + γsb · 0,5 = 20 · 1,0 + 10 · 0,5 = 25 кН / м3.
3. Вычисляем вертикальные напряжения от внешней нагрузки
и собственного веса грунта по выражениям
σzр,i = α · рII ;
σzγ,i = α · σzg0 .
77

Все дальнейшие расчеты обобщены в табл. 7.1 и на рис. 7.1.

5. Осадка рассматриваемого фундамента составит:

Таблица 7.1
Результаты вычисления осадки фундаментов

слоя
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

2
Песок.
Е0 =
= 16 МПа
Суглинок.
Е0 =
= 10 МПа


слоя
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Грунт

Грунт
2
Песок.
Е0 =
= 16 МПа
Суглинок.
Е0 =
= 10 МПа

z, ζ =
м = 2z / b
3
0
0,8
1,6
2,4
3,2
4,0
4,8
5,6
6,4
7,2

4
0
0,8
1,6
2,4
3,2
4,0
4,8
5,6
6,4
7,2

z, ζ =
м = 2z / b
3
0
0,8
1,6
2,4
3,2
4,0
4,8
5,6
6,4
7,2

4
0
0,8
1,6
2,4
3,2
4,0
4,8
5,6
6,4
7,2

α

α1

α2

5
1,0
0,866
0,578
0,374
0,251
0,176
0,130
0,099
0,077
0,062

6
1,0
0,854
0,589
0,416
0,302
0,230
0,179
0,143
0,115
0,095

7
1,0
0,850
0,573
0,389
0,271
0,199
0,150
0,117
0,092
0,075

σzγ,i

σzγ,m

α

σzg
8
25
38
46 / 62
76,4
90,8
105,2
119,6
134,0
148,4
162,8

σzр σzр,m σzр,аf σzp,аfm S1
9
255
221
147
95
64
45
33
25
20
16

кПа
10

238
184
121
80
55
39
29
22
18

11
255
223
155
109
80
61
48
38
32
26

12

239
189
132
95
71
55
43
35
29

S2

см
13 14


0,80 0,86
0,66 0,68
0,69 0,77
0,46 0,56
0,32 0,42
Σ2,9 0,33
– Σ3,6





кПа
5
8
1,0
25
0,866 22
0,578 14,5
0,374 9,4
0,251 6,3
0,176 4,4
0,130 3,3
0,099 2,5
0,077 2,0
0,062 1,6

9
24
18
12
8
5,5
4
3
2,3
2

4. Определим нижнюю границу сжимаемой толщи основания:
Нс = 4,0 м
(принята из условия 0,5 · σzg = 0,5 · 105,2 = 52,6 кПа > σzр = 45 кПа).
78

S1 = β Σ[(σzpm – σzγm) · hi / Ei] = 0,8 [0,8(238 – 24) / 16 000 + 0,8 (184 –
– 18) / 16 000 + 0,8 (121 – 12) / 10 000 + 0,8 (80 – 8) / 10 000 + 0,8 (55 –
– 5,5) / 10 000] = 0,029 м = 2,9 см.
На втором этапе определим осадку рассчитанного фундамента
с учетом загрузки двух соседних одинаковых фундаментов.
6. Так как глубина сжимаемой толщи основания фундамента составляет Нс = 4,0 м, радиус влияния, в пределах которого следует
учитывать соседние фундаменты, будет равен:
r = 1,3Hc = 1,3 · 4,0 = 5,2 м.
7. Определим дополнительные напряжения σzp,ai в заданной точке
M' от загрузки двух соседних фундаментов с учетом двойной симметрии по формуле (7.1). Для этого представим точку M' как угловую
для фундаментов А – M'аcd и Б – M'abh. Таких площадей загружения
будет по четыре, поэтому:

Σσzp,ai = 4 · 0,25(α1 + α2)рII = (α1+ α2) 255 кПа.
Для нахождения α1 следует использовать параметр η1= l1 / b = 7 /
/ 1,8 = 3,9, соответствующий площади загружения А, а для α2 – η2 =
= l2 / b = 5 / 1,8 = 2,8, соответствующий площади Б. Все расчеты приведены в табл. 7.2.
Таблица 7.2
Вычисление коэффициентов α1 и α2 методом угловых точек
№ слоев
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Площади
загружения

l/b

2
А – M´acd
Б – M´abh

3,9
2,8

А – M´acd
Б – M´abh

3,9
2,8

z,
м

ζ=
= 2z / b

α1

α2

3
0
0,8
1,6
2,4
3,2
4,0
4,8
5,6
6,4
7,2

4
0
0,88
1,78
2,66
3,56
4,44
5,33
6,22
7,11
8,0

6
1,0
0,854
0,589
0,416
0,302
0,230
0,179
0,143
0,115
0,095

7
1,0
0,850
0,573
0,389
0,271
0,199
0,150
0,117
0,092
0,075

79

80

81



ɉɪɢɦɟɱɚɧɢɹ: 1. Ɏɭɧɞɚɦɟɧɬɵ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɧɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɢ 6 ɦ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɪɚɫɫɱɢɬɵɜɚɟɦɨɝɨ (ɫɦ.
ɪɢɫ. 5.1).
2. ȼ ɪɚɫɱɟɬɚɯ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ȖƍII = Ȗ II.

10,4 11,4
9,4
10,4 11,4 12,4 13,4 14,4
9,4
8,4
8
9
10
12
11
10
9
8
6
E, Ɇɉɚ

7

4,4
4,5
4,7
4,6
4,0
5,9
5,8
5,7
5,6
5,5
5,9
5,8
5,7
5,6

19,2 19,4 19,6 19,8 18,1 18,2 18,3 18,4 18,5 18,6 18,7 18,8 18,9 19,0
19

5,5
5,4
5,3
5,2
5,1

ȖII, ɤɇ/ɦ3

18,2 18,4 18,6 18,8

5

18

h3 , ɦ

ɋɭɩɟɫɶ
ɩɥɚɫɬɢɱɧɚɹ

11
10
9
8
7
19
18
17
16
15
14
13
12
11
16
14

2,8
2,7

18
12
10

20

3,4
3,3
3,2
3,1
3,0

16,1 16,2 16,4 16,6 16,8
16

2,9
2,8
2,7
2,6
2,5
3,4
3,3
3,2
3,1

18,2 18,4 18,6 18,8 15,6 15,7 15,8 15,9
18

3,0

17

2,9
2,6

17,2 17,4 17,6 17,8

2,5

ɉɟɫɨɤ
h2 , ɦ
ɦɟɥɤɢɣ,
ȖII, ɤɇ/ɦ3
ɫɪɟɞɧɟɣ
E, Ɇɉɚ
ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ

15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8

4,0
4,2
4,5
4,4

19,9 19,7 19,5 19,3
20

4,3
4,2
4,1
4,0
3,9

19,2 19,4 19,6 19,8
19

3,8
3,9
3,8
3,7
3,6
3,5

16,2 16,4 16,6 16,8
16

3,2

3,3

3,4
3,1
3

ɋɭɝɥɢɧɨɤ h1, ɦ
ɬɭɝɨȖII, ɤɇ/ɦ3
ɩɥɚɫɬɢɱE, Ɇɉɚ
ɧɵɣ

ɇɚɩɥɚɫɬɨɜɚɧɢɹ ɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɝɪɭɧɬɨɜ

17,2 17,4 17,6 17,8

170
190
210
230
250
270
290
310
330
360
340
320
300
280
260
240
220
200

17

150
250
ɋɪɟɞɧɟɟ ɞɚɜɥɟɧɢɟ
ɪII, ɉɚ

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

2,7

2,5

2,3

2,1

1,9

1,7

1,5

1,3

1,1

1,8
1,2
Ƚɥɭɛɢɧɚ ɡɚɥɨɠɟɧɢɹ
d, ɦ

20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10

ȼɚɪɢɚɧɬɵ

9
8
7
4
3
2
1
ɂɫɯɨɞɧɵɟ
ɞɚɧɧɵɟ

Опыт эксплуатации свидетельствует о том, что осадки зданий
и сооружений на слабых водонасыщенных грунтах, как правило, не
заканчиваются за время строительства (исключение составляют чистые пески) и величина полной осадки для различных грунтов достигается в разное время (от нескольких до десятков и даже сотен
лет). Длительность протекания осадок во времени зависит от водопроницаемости и ползучести скелета грунта, а также от деформируемости всех его компонентов (поровой воды, включений воздуха, паров и газов, органических веществ и др.).
Следует отметить, что водонасыщенные пластичные и особенно
текучепластичные пылевато-глинистые грунты дают наибольшие
осадки, часто весьма медленно затухающие, и создают наибольшие
затруднения для строителей. Осадки сооружений на указанных

5

6

8. Определение развития осадки жесткого фундамента
во времени

ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɡɚɞɚɧɢɣ

Анализ полученных результатов показывает, что учет влияния загружения соседнего фундамента увеличивает осадку рассчитываемого фундамента на [(3,6 – 2,9) / 3,6]100 % = 19 %. При шаге фундаментов 6 м влияние других фундаментов, расположенных на расстоянии 12 м, т. е. за пределами радиуса влияния r = 1,3 · 4,8 = 6,24 м,
учитывать нет необходимости.
В табл. 7.3 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.

1,2× 1,4× 1,6× 1,8× 2,0× 2,2× 2,4× 2,6× 2,8× 3,0× 2,2× 2,3× 2,4× 2,5× 2,6× 2,7× 2,8× 2,9× 3,0× 3,1×
×1,8 ×2,1 ×2,4 ×2,7 ×3,0 ×3,3 ×3,6 ×3,9 ×4,2 ×4,5 ×2,2 ×2,3 ×2,4 ×2,5 ×2,6 ×2,7 ×2,8 ×2,9 ×3,0 ×3,1

S = β Σ[(σzp,аfm – σzγ,m) hi / Ei] = 0,8[0,8(239 – 24) / 16 000 + 0,8(189 –
– 18) / 16 000 + 0,8(132 – 12) / 10 000 + 0,8(95 – 8) / 10 000 + 0,8(71 –
– 5,5) / 10 000 + 0,8(55 – 4,0) / 10 000] = 0,033 м = 3,3 см.

Ɋɚɡɦɟɪɵ ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɨɜ b×l, ɦ

Ɍɚɛɥɢɰɚ 7.3

Дополнительные напряжения σzp от загрузки самого рассчитываемого фундамента приведены в п. 9 табл. 7.1.
8. Сопоставляя природные напряжения σzg и суммарные дополнительные напряжения σzр,аf согласно табл. 7.1, определим глубину
сжимаемой толщи основания с учетом загружения соседних площадей Нс = 4,8 м (0,5 · σzg = 0,5 · 119,6 = 59,8 кПа > σzр = 39 кПа).
9. Осадка фундамента Б с учетом влияния соседнего составит:

грунтах могут достигать сотен сантиметров и протекать десятки
и сотни лет. Расчет и прогноз скорости протекания осадок во времени представляют для механики грунтов большой интерес, так
как различные строительные конструкции обладают в разной степени способностью перераспределять усилия, возникающие при
неравномерных осадках оснований. При больших величинах скоростей осадок могут иметь место хрупкие (аварийные) разрушения
конструкций, при меньших – медленные деформации ползучести.
В настоящее время для полностью водонасыщенных грунтов наиболее широко применяемой теорией, позволяющей решить поставленные задачи, является теория фильтрационной консолидации грунтов, основные положения которой были предложены и рассмотрены
в научных трудах К. Терцаги. Согласно этой теории величину осадки
фундамента на слабых водонасыщенных грунтах в любой промежуток времени можно определить по выражению
St = S · Q ,

(8.1)

где St – осадка за данное время, см; S – конечная (полная) стабилизированная осадка, см, величину которой рекомендуется вычислять с использованием метода эквивалентного слоя грунта (по Н. А. Цытовичу);
Q = St / S – степень консолидации (уплотнения) грунта;
Q = 1 – (8 / π2) (e–N + 1 / 9 · e–9N+1 / 25 · e–25N + …) .

(8.2)

С учетом степени консолидации Q осадка слоя грунта в момент
времени t определяется по выражению
St = hpmv [1 – (8 / π2) (e–N + 1 / 9 · e–9N + …)] .

(8.3)

В формулах (8.2) и (8.3) показатель степени N при основании натуральных логарифмов е (табл. 8.1) носит название фактора времени. Для случая равномерного уплотнения слоя грунта его значение
определяется по выражению
N = π2cv t / (4h2) ,

(8.4)

где сv = kf / (mvγw) – коэффициент консолидации грунта, м / год; kf –
коэффициент фильтрации грунта, м / год; h – толщина уплотняемого слоя, м; mv – коэффициент относительной сжимаемости, кПа–1;
γw – удельный вес воды, кН / м3.
2

82

Таблица 8.1
Значение е–х в зависимости от х
х
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009

0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37

е–х
0,000
0,999
0,998
0,997
0,996
0,995
0,994
0,993
0,992
0,991

0,990
0,980
0,970
0,961
0,951
0,942
0,932
0,923
0,914
0,905
0,896
0,887
0,878
0,869
0,861
0,852
0,844
0,835
0,827
0,819
0,811
0,803
0,795
0,787
0,779
0,771
0,763
0,756
0,748
0,741
0,733
0,726
0,719
0,712
0,705
0,698
0,691

х
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85

е–х
0,684
0,677
0,670
0,664
0,657
0,651
0,644
0,638
0,631
0,625
0,619
0,613
0,607
0,601
0,595
0,589
0,583
0,577
0,571
0,566
0,560
0,554
0,549
0,543
0,538
0,533
0,527
0,522
0,517
0,512
0,507
0,502
0,497
0,492
0,487
0,482
0,477
0,472
0,467
0,463
0,458
0,454
0,449
0,445
0,440
0,436
0,431
0,427

х
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33

е–х
0,423
0,419
0,415
0,411
0,407
0,403
0,399
0,394
0,391
0,387
0,383
0,379
0,375
0,372
0,368
0,364
0,351
0,357
0,353
0,350
0,346
0,343
0,340
0,336
0,333
0,330
0,326
0,323
0,320
0,317
0,313
0,310
0,307
0,304
0,301
0,298
0,295
0,292
0,289
0,286
0,284
0,281
0,278
0,275
0,273
0,270
0,267
0,264

83

х
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81

е–х
0,262
0,259
0,257
0,254
0,252
0,249
0,247
0,244
0,242
0,239
0,237
0,235
0,232
0,230
0,228
0,225
0,223
0,221
0,219
0,217
0,214
0,212
0,210
0,208
0,206
0,204
0,202
0,200
0,198
0,196
0,194
0,192
0,190
0,188
0,186
0,185
0,183
0,181
0,179
0,177
0,176
0,174
0,172
0,170
0,169
0,167
0,165
0,164

х
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
10,0

е–х
0,162
0,160
0,159
0,157
0,156
0,154
0,152
0,151
0,150
0,148
0,147
0,145
0,144
0,142
0,141
0,140
0,138
0,137
0,135
0,134
0,133
0,131
0,130
0,129
0,127
0,126
0,125
0,124
0,122
0,116
0,111
0,105
0,100
0,095
0,091
0,086
0,082
0,078
0,074
0,067
0,061
0,055
0,050
0,018
0,007
0,002
0,001
0,000

Для облегчения расчета осадок St во многих учебниках и справочниках приводятся таблицы, связывающие Q и N. При этом, задавшись последовательно значениями степени консолидации Q (обычно начиная с 0,1 до 0,9 с шагом по 0,1Q), из таблицы выбирают соответствующее значение N, для которого из формулы (8.4) определяют
время t. Величина осадки St, соответствующая этому времени, вычисляется из выражения (8.1).
В практике встречаются следующие случаи нагружения и развития эпюры уплотняющих напряжений в основании (рис. 8.1). Случай
«0» соответствует одномерной задаче уплотнения при сплошной нагрузке, случай «1» характерен для осадок во времени грунта, уплотняющегося под действием собственного веса, случай «2» отвечает
осадкам во времени фундаментов конечных размеров. Ниже приведены значения N и Q для всех рассмотренных случаев (табл. 8.2).
а)

б)

St = hpmv [1 – (8 / π2) (e–N + 1 / 9 · e–9N + …)].

z

Рис. 8.1. Схемы загружения и развития эпюры
уплотняющих давлений: а – случай «0»;
б – случай «1»; в – случай «2»
Таблица 8.2
Значения N в зависимости от Q
Q
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5

N для случая
0
0,02
0,08
0,17
0,31
0,49

1
0,12
0,25
0,39
0,55
0,73

Q

2
0,005
0,02
0,06
0,13
0,24

0,6
0,7
0,8
0,9
0,95

84

2. Определяют величину коэффициента N по формуле (8.4):
3. Вычисляют осадки фундамента St для различных промежутков
времени t по формуле (8.3):

p

h

h

h

p = γh

S = he · mv · pII .
N = π2cv t / (4h2).

в)

z

p

Следует отметить, что с использованием вышеприведенных формул в практических расчетах можно решать два вида задач:
1. При известных исходных данных можно вычислить величину
осадки фундамента St для любого времени t после его загружения.
2. При известных исходных данных для любого значения степени консолидации грунтов Q можно вычислить величину осадки фундамента St.
Определение величины осадки фундамента St при заданных
значениях времени t
1. Определяют конечную стабилизированную осадку фундамента с использованием расчетной схемы метода эквивалентного слоя
грунта по формуле

N для случая
0
0,71
1,00
1,40
2,09
2,80

1
0,95
1,24
1,64
2,35
3,17

2
0,42
0,69
1,08
1,77
2,54

Значения e–N определяются по табл. 8.1.
Пример 8.1. Требуется определить осадку отдельностоящего жесткого фундамента размером в плане b×l = 2,5×3,5 м через 1, 2 и 5 лет
эксплуатации здания.
Исходные данные: глубина заложения фундамента d = 1,8 м, среднее давление по подошве рII = 250 кПа. Грунты основания представлены однородним водонасыщенным слоем суглинка со следующими
характеристиками: γII = γ′II = 18,4 кН / м3; mv = 0,0001 кПа–1; kf = 2,0 ×
× 10–8 см / с = 2,0 · 10–8 · 3 · 107 = 0,6 см / год = 0,006 м / год; ν = 0,3.
Порядок расчета
1. Определим конечную стабилизированную осадку фундамента
методом эквивалентного слоя грунта. Вначале определим величину
дополнительного давления на уровне подошвы фундамента:
рdop = рII – γII · d = 250 – 18,4 · 1,8 = 217 кПа.

85

Для жесткого фундамента при η = l / b = 3,5 / 2,5 = 1,4 и ν = 0,30
по табл. 4.1 определим величину Аωc = 1,27. Тогда толщина эквивалентного слоя
he = Аωc · b = 1,27 · 2,5 = 3,18 м.

2. Вычисляют величину коэффициента консолидации грунтов
основания:
сv = kf / (mvγw) .
3. По формуле (8.4) вычисляют величину времени t:

Конечная стабилизированная осадка фундамента составит:
S = he · mv · pdop = 3,18 · 0,0001 · 217 = 0,069 м = 6,9 см.
2. Определим величину N по формуле (8.4):
N = π2cv t / (4h2).
Толщина сжимаемой зоны основания составит:
Н = 2he = 2 · 3,18 = 6,36 м.
Значение коэффициента консолидации сv:
сv = kf / (mv · γw) = 0,006 / (0,0001 · 10) = 6 м2 / год = 60 000 см2 / год.
Тогда
N = 3,142 · 6 · t / (4 · 6,362) ≈ 0,36 t.
3. Вычислим осадку фундамента St через 1 год. По табл. 8.2 определим значения:
e–N = e–0,36 · 1 = 0,698; e–9N = e–9 · 0,36 · 1 = 0,042.
Тогда
S1 = 6,9[1 – 0,81(0,698 + 0,042)] = 2,8 см.
4. То же через два года после загрузки. Согласно табл. 8.2,
e–N = e–0,36 · 2 = 0,487;
S2 = 6,9[1 – 0,81(0,487)] = 4,2 см.
5. То же через 5 лет после загрузки. По табл. 8.2
e–N = e–0,36 · 5 = 0,165;
S5 = 6,9[1 – 0,81(0,165)] = 5,6 см.

t = 4h2 N / (π2cv) .
4. Для различных значений степени консолидации грунта основания Q определяют величину осадки фундамента St по формуле (8.1)
при различных значениях t, строят график развития осадки фундамента S во времени t.
Пример 6.2. Требуется определить развитие осадки во времени
для отдельностоящего жесткого фундамента размером в плане b×l =
= 2,5×3,5 м.
Исходные данные: глубина заложения фундамента d = 1,8 м, среднее давление по подошве рII = 250 кПа. Грунты основания представлены
однородным водонасыщенным слоем суглинка со следующими характеристиками: γII = γ′II = 18,4 кН / м3; mv = 0,0001 кПа–1; kf = 2,0 · 10–8 см / с =
= 2,0 · 10–8 · 3 · 107 = 0,6 см / год = 0,006 м / год; ν = 0,3.
Порядок расчета
1. Определим конечную стабилизированную осадку фундамента
методом эквивалентного слоя грунта по аналогии с примером 8.1:
S = he · mv · pdop = 3,18 · 0,0001 · 217 = 0,069 м = 6,9 см.
2. Расчет развития осадки фундамента во времени производим
для случая «2». Вычисляем величину коэффициента консолидации
грунтов основания сv:
сv = kf / (mv · γw) = 0,006 / (0,0001 · 10) = 6 м2 / год = 60 000 см2 / год.
3. Для определения значения t вначале определим сжимаемую
толщу грунта основания фундамента по формуле
Тогда

h = Н = 2 he = 2 · 3,18 = 6,36 м.

Вычисление величины осадки фундамента St при заданных
значениях степени консолидации грунта Q
1. На основании исходных данных вычисляют конечную стабилизированную осадку фундамента S с использованием метода эквивалентного слоя грунта.

t = 4h2 · N2 / (π2cv) = 4 · 6,362 · N2 / (9,86 · 6,0) = 2,7 · N2.
4. Bычисляем величину осадки фундамента St и времени t для
различных значений степени консолидации Q по формуле (8.1).
Значения N2 принимаем по табл. 8.2.

86

87

Q = 0,2; St = 0,2 · 6,9 = 1,38 см; t = 2,7 · 0,02 = 0,05 год = 0,6 мес.
Q = 0,4; St = 0,4 · 6,9 = 2,76 см; t = 2,7 · 0,13 = 0,35 год = 4,2 мес.
Q = 0,6; St = 0,6 · 6,9 = 4,14 см; t = 2,7 · 0,42 = 1,10 год = 13,2 мес.
Q = 0,8; St = 0,8 · 6,9 = 5,52 см; t = 2,7 · 1,08 = 2,90 год = 35 мес.
Q = 0,9; St = 0,9 · 6,9 = 6,21 см ; t = 2,7 · 1,77 = 4,80 год = 58 мес.
График развития осадки фундамента во времени приведен на
рис. 8.2.
t, мес.

S, см
Рис. 8.2. График развития осадки фундамента
во времени

В табл. 8.3 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.
9. Определение давления грунтов
на ограждающие конструкции
(подпорные стены)
Вопросы давления грунтов на ограждения являются важнейшими в инженерных расчетах и решаются на базе общей теории предельного напряженного состояния грунтов. Если свободный откос
массива грунта имеет крутизну более предельной, возникает необходимость поддержать его подпорной стеной, которые по конструктивному решению подразделяются на массивные (рис. 9.1)
и тонкостенные (рис. 9.2 и 9.3). Устойчивость массивных подпорных стен на сдвиг и опрокидывание обеспечивается их собственным весом, а тонкостенных, собственным весом стены и грунта,
вовлекаемого конструкцией стены в работу, либо защемлением
стен в основание.
88

Таблица 8.3
Варианты заданий
Размеры
фунд.
b×l, м


варианта

1,2×1,8
1,4×2,0
1,6×2,2
1,8×2,4
2,0×2,6
2,2×2,8
2,4×3,0
2,6×3,2
2,8×3,4
3,0×3,6
3,2×3,8
3,4×4,0
1,2×1,8
1,4×2,1
1,6×2,4
1,8×2,7
2,0×3,0
2,2×3,3
2,4×3,6
2,6×3,9

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

а)

Глубина
Среднее
залодавление
жения
рII, кПа
d, м
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
2,7
2,5
2,3
2,1
1,9
1,7
1,5
1,3
1,1
1,0

б)

200
210
220
230
240
250
260
270
380
390
300
310
320
300
270
260
250
220
210
200

Характеристики грунтов
γII,
кН / м3

γ′II,
кН / м3

16,0
18,5
18,6
18,5
19,0
19,5
19,2
19,5
20,0
20,5
19,8
19,6
19,4
19,2
19,0
19,5
19,2
19,3
19,8
19,3

16,0
18,5
18,6
18,7
18,8
18,9
19
19,2
19,4
19,6
18,8
18,6
18,2
18,4
18,6
18,8
18,6
18,7
19,2
18,6

г)

в)

д)

mv,
кПа–1

kf,
см / с

0,00025 1,2 · 10–8
0,00011 1,5 · 10–8
0,00012 1,7 · 10–8
0,00013 2,4 · 10–8
0,00014 1,8 · 10–8
0,00015 2,5· · 10–8
0,00016 1,9 · 10–8
0,00017 2,6 · 10–8
0,00018 2,0 · 10–8
0,00019 2,7 · 10–8
0,00020 2,1 · 10–8
0,00021 2,8 · 10–8
0,00022 1,9 · 10–8
0,00023 2,6 · 10–8
0,00024 1,8 · 10–8
0,00025 2,4 · 10–8
0,00026 1,7 · 10–8
0,00027 2,2 · 10–8
0,00028 1,6 · 10–8
0,00029 2,1 · 10–8

е)

Рис. 9.1. Конструкции массивных (гравитационных) подпорных стен:
а – с двумя вертикальными гранями; б – с вертикальной лицевой
и наклонной тыльной гранью; в – с наклонной лицевой
и вертикальной тыльной гранью; г – с двумя наклонными
в сторону засыпки гранями; д – со ступенчатой
тыльной гранью; е – с ломаной тыльной гранью
89

а)

б)

в)

а)

б)

9.1. Определение активного и пассивного давления грунта
на подпорные стены
9.1.1. Давление грунта при отсутствии на поверхности засыпки
сплошной равномерно распределенной нагрузки
Несвязные грунты. Расчетная схема для определения сил активного и пассивного давления сыпучего грунта на подпорную стенку
приведена на рис. 9.4.

Рис. 9.2. Конструкции тонкостенных
подпорных стен: а – консольная;
б – с анкерными тягами;
в – контрфорсная

Рис. 9.3. Конструкции гибких
подпорных стен: а – консольная; б – с анкерами

а)

Давление грунта на стены зависит от их конструктивных особенностей (наклона и жесткости стены, наличия разгружающих элементов и др.), от свойств грунта, взаимодействующего со стеной, от величины и направления перемещений, поворота и прогиба стены.
Задача заключается в определении максимального давления грунта на подпорную стенку, что может быть выполнено математически точно, если известно точное очертание поверхностей скольжения, определяемое решением системы дифференциальных уравнений предельного равновесия.
Активное давление грунта σа реализуется при смещении стены от грунта и соответствует минимальному значению давления.
Пассивное давление грунта σр реализуется при смещении стены на
грунт и соответствует максимальному значению давления. При отсутствии смещений стены реализуется давление покоя σ0.
В целом на стенки действует боковое давление грунта нарушенного сложения. Характеристики этого грунта при расчете по предельным состояниям выражаются через соответствующие характеристики грунта ненарушенного сложения следующими соотношениями:

В случае свободной от нагрузки наклонной поверхности засыпки
и наклонной тыловой грани стены горизонтальная σаh и вертикальная σаv составляющие активного давления грунта на глубине z определяются по формулам
(9.1)
σаh = γ · z · λа ;
(9.2)
σаv = σah · tg (α + δ),

γ′I = 0,95γ1; φ′I = 0,9 φ1; с′I = 0,5сI (но не более 7 кПа);
γ′II = 0,95γII; φ′II = 0,9 φII; с′II = 0,5сII (но не более 10 кПа).

где γ – расчетное значение удельного веса грунта, кН / м3; α – угол наклона тыловой грани стены к вертикали, град, принимаемый со знаком

90

91

б)
n

Рис. 9.4. Схема к определению активного и пассивного
давления сыпучего грунта на подпорную стенку

«плюс» при отклонении от вертикали в сторону стены; δ – угол трения грунта на контакте со стенкой, град, принимаемый для стен
с повышенной шероховатостью равным φ, для мелкозернистых водонасыщенных песков и при наличии на поверхности вибрационных
нагрузок равным 0, в остальных случаях равным 0,5φ (здесь φ – расчетное значение угла внутреннего трения грунта); λа – коэффициент
активного давления грунта, определяемый по формуле
2





cos   
 .
a  


sin    sin     

 cos 1 
cos   cos    



(9.3)

Здесь ρ – угол наклона поверхности грунта к горизонту, принимаемый со знаком «плюс» при отклонении этой поверхности от горизонтали вверх | ρ | < φ; z – глубина расположения рассматриваемой
поверхности, м.
Для гладкой вертикальной тыловой грани и горизонтальной поверхности грунта коэффициент активного давления вычисляется по
формуле
λа = tg2 (45º – φ / 2).
(9.4)
Эпюра распределения активного давления по задней грани подпорной стенки имеет вид треугольника (см. рис. 9.4). Равнодействующие
горизонтального Еаh и вертикального Еаv давлений грунта для стен высотой Н определяются как площади соответствующих треугольных
эпюр давлений по формулам
Еаh = σah · H / 2;
Еаv = σav · H / 2.

(9.5)
(9.6)

В случае свободной от нагрузки горизонтальной поверхности засыпки и наклонной тыловой грани стены горизонтальная σph и вертикальная σpv составляющие пассивного давления грунта на глубине z
определяются по формулам
σph = γ · z · λрh;
σpv = σрh · tg(α + δ),
92

(9.7)
(9.8)

где λph – коэффициент пассивного давления грунта, определяемый
по формуле
2




cos   

 .
ph
(9.9)
ph 


sin    sin   


 cos 1 

cos   cos   


Для гладкой вертикальной тыловой грани и горизонтальной поверхности грунта коэффициент пассивного давления вычисляется
по формуле
λрh = tg2 (45º + φ / 2).
(9.10)
Эпюра распределения пассивного давления по задней грани подпорной стенки имеет вид треугольника (рис. 7.2). Равнодействующие
горизонтального Еph и вертикального Еpv давлений грунта для стен
высотой Н определяются как площади соответствующих треугольных эпюр давлений по формулам
Еph = σph · H / 2;
Еpv = σpv · H / 2.

(9.11)
(9.12)

При горизонтальной поверхности грунта и равномерно распределенной нагрузке на поверхности горизонтальная σрh и вертикальная
σpv составляющие пассивного давления на глубине z от поверхности
определяются по формулам
σрh = (q + γ · z)λph ;
σpv = σph · tg(α + δ),

(9.13)
(9.14)

где q – равномерно распределенная нагрузка на поверхности, кПа;
λph – коэффициент горизонтальной составляющей пассивного давления, определяемый при горизонтальной поверхности грунта по формуле (9.9).
В частном случае при α = δ = 0
λph = tg2(45º + φ / 2).

(9.15)

Пример 9.1. Построить эпюру активного и пассивного давления
грунта на подпорную стенку, определить равнодействующую активного и пассивного давления грунта на стенку и определить точку их
93

приложения. Схема и основные размеры подпорной стенки приведены на рис. 9.5. Грунт – песок мелкий со следующими свойствами:
γI = 18,0 кН / м3; φI = 29°; сI = 0.
Засыпка выполняется из того же грунта. Расчетные значения характеристик засыпки: γI′ = 0,95 · γI = 0,95 · 18 = 17 кН / м3; φI′ = 0,9 · φI =
= 0,9 · 29º = 26º; сI′ = 0,5 · сI = 0.
Порядок расчета
1. Определим угол наклона плоскости обрушения к горизонту:
θ = 45º – φI′ = 45º – 26º / 2 = 32º.
2. Вычисляем коэффициент активного давления грунта λа при δ =
= φI′ = 26º, α = θ = 32º, ρ = 0:

Oa

ª
«
$
$
«
 cos(26  32 )
«
§
sin(26$  26$ ) sin 26$
«


cos
32
1
«
¨
cos(32$  26$ ) cos 32$
«¬
©

º
»
»
»
·»
¸
¸»
¹ »¼

0,38 .

3. Находим горизонтальную и вертикальную составляющие активного давления грунта на глубине z = Н = 7,5 м с коэффициентом
надежности по нагрузке γn = 1,1:
σаh = 17 · 1,1 · 7,5 · 0,38 = 53,3 кПа;
σаv = 53,3 · tg (32º + 26º) = 85,3 кПа.
4. Определим равнодействующие горизонтального и вертикального давления грунта:
Еаh = 53,3 · 7,5 / 2 = 200 кН;
Еаv = 85,3 · 7,5 / 2 = 320 кН.
Точка приложения равнодействующей активного давления грунта показана на рис. 9.5.
5. Вычисляем коэффициент пассивного давления грунта λрh при
φI′ = 26º:

Рис. 9.5. Схема расчета подпорной стенки к примеру 9.1

6. Находим горизонтальную и вертикальную составляющие пассивного давления грунта на глубине z = Н = 1,5 м с коэффициентом
надежности по нагрузке γn = 1,1:
σрh = 17 · 1,1 · 1,5 · 2,56 = 65,3 кПа;
σрv = 65,3 · tg 26º = 28 кПа.
7. Определим равнодействующие горизонтального и вертикального пассивного давления грунта:
Ерh = 65,3 · 1,5 / 2 = 49 кН;
Ерv = 28 · 1,5 / 2 = 21 кН.
Точка приложения равнодействующей пассивного давления грунта показана на рис. 9.5.
Связные грунты. Горизонтальная σ′аh и вертикальная σ′а составляющие активного давления связного грунта на глубине z (рис. 9.6)
определяются по формулам
σ′аh = σаh – σсh ;
σ′аv = σ′ah · tg (α + δ),

(9.16)
(9.17)

где σсh – давление связности, кПа:
σсh = с · K,

(9.18)

где с – удельное сцепление грунта, кПа;

λph = tg2 (45º + φI′ / 2) = tg2 (45º + 26º / 2) = 2,56.

K = (1 / tg φ) [cos (α + δ) / cos α · cos δ – λa (cos α · cos ρ) / cos (α – ρ)].
(9.19)
Если значение K, вычисленное по формуле (9.18), меньше нуля,
в расчетах принимается K = 0.

94

95

Пример 9.2. Построить эпюру активного и пассивного давления
связного грунта на подпорную стенку, рассчитать полное активное
и пассивное давление грунта на стенку и определить точку его приложения. Схема и основные размеры подпорной стенки приведены
на рис. 9.7.

n

При горизонтальной поверхности засыпки (ρ = 0) и вертикальной задней грани (α = 0, или расчетной плоскости) горизонтальная
составляющая активного давления грунта на глубине z определяется по формуле
(9.20)
σ′аh = γ · z · λа + с · (λа – 1) / tg φ.
Равнодействующие горизонтального Е′аh и вертикального Е′аv
давлений грунта для стен высотой Н определяются по формулам

где

Е′аh = σ′ah · (H – hc) / 2;
Е′аv = σ′av · (H – hc) / 2,

(9.21)
(9.22)

hc = (σch / σ′ah) · H .

(9.23)

При горизонтальной поверхности грунта и равномерно распределенной нагрузке на поверхности горизонтальная σрh и вертикальная
σpv составляющие пассивного давления на глубине z от поверхности
определяются по формулам
σрh = (q + γ · z) λph + c / tg φ [λph – cos (α + δ) / (cos α · cos δ)]; (9.24)
σpv = σph · tg (α + δ),
(9.25)
где q – равномерно распределенная нагрузка на поверхности, кПа;
λph – коэффициент горизонтальной составляющей пассивного давления, определяемый при горизонтальной поверхности грунта по формуле (9.9).
В частном случае при α = δ = 0
λph = tg (45º + φ / 2).
2

96

(9.26)

H = 7,5 м

Рис. 9.6. Схема расчета давления связных грунтов
на подпорную стенку

151 кПа

65 кН

Рис. 9.7. Схема расчета подпорной стенки к примеру 9.2

Грунт – суглинок со следующими свойствами: γI = 18,6 кН / м3;
φI = 26°; сI = 24 кПа. Засыпка выполняется из того же грунта. Расчетные значения характеристик засыпки:
γ′I = 0,95 · γI = 0,95 · 18,6 = 17,7 кН / м3; φ′I = 0,9 · φI = 0,9 · 26º = 23º;
с′I = 0,5 · сI = 0,5 · 24 = 12 кПа.
Порядок расчета
1. Определим горизонтальную и вертикальную составляющие активного давления связного грунта на глубине z (см. рис.9.7):
σ′аh = σаh – σсh ;
σ′аv = σ′ah · tg (α + δ).
2. Вначале вычислим значение полного активного давления грунта σаh с учетом коэффициента надежности по нагрузке γn = 1,1:
σаh = γ′I · γn · z · λa = 17,7 · 1,1 · 7,5 · 0,44 = 64,3 кПа,
где при α = ρ = 0 коэффициент λа определяется по выражению
λа = tg2 (45º – φ′I / 2) = tg2 (45º – 23º / 2) = 0,44.
3. Вычислим значение σсh:
σсh = с′I · k = 12 · 1,12 = 13,4 кПа,
97

где при δ = φ′I = 23º и α = ρ = 0
K = (1 / tg 23º) [cos 23º / (cos 0º · cos 23º) – 0,44 · (cos 0º · cos 0º) /
/ cos 0º] = 1,12.
4. Определим горизонтальную составляющую активного давления:
σ′аh = σаh – σсh = 64,3 – 13,4 = 50,9 кПа.
5. Вертикальная составляющая активного давления (при α = 0,
δ = φ′I):
σ′аv = σ′ah · tg (α + δ) = 50,9 · tg 23º = 21,9 кПа.

9.1.2. Давление на подпорные стены от нагрузки,
приложенной на поверхности засыпки
При действии на поверхности грунта сплошной равномерно
распределенной нагрузки q рассмотрим три возможных случая
(рис. 9.8, а–в).
1. Сплошная равномерно распределенная нагрузка q (рис. 9.8, а).
При этом горизонтальная σqh и вертикальная σqv составляющие активного давления грунта на глубине z для связных и несвязных грунтов определяются по формулам

6. Определим равнодействующие горизонтального и вертикального давления грунта:
Е′аh = 50,9 · (7,5 – 1,56) / 2 = 151 кН;
Е′аv = 21,9 · (7,5 – 1,56) / 2 = 65 кН,

σqh = q · λa;
σqv = σqh · tg (α + δ).
а)

б)

где hc = (13,4 / 64,3) · 7,5 = 1,56 м.
Точка приложения равнодействующей активного давления грунта показана на рис. 9.7.
7. Находим горизонтальную и вертикальную составляющие пассивного давления грунта на глубине z = Н = 1,5 м с учетом коэффициента надежности по нагрузке γn = 1,1:
в)

tg ε + tg θ

σрh = (17,7 + 1,1 · 1,5) 2,28 + (12 / tg 23º) [2,28 –
– cos 23º / (cos 0º · cos 23º)] = 103,2 кПа;
σрv = 103,2 · tg 23º = 43,3 кПа,

tg ε + tg θ

где коэффициент пассивного давления связного грунта λрh при α =
= δ = 0; φ′I = 23º составит:
λph = tg2 (45º + φ′I / 2) = tg2 (45º + 23º / 2) = 2,28.
8. Определим равнодействующие горизонтального и вертикального пассивного давления грунта:
Ерh = 103,2 · 1,5 / 2 = 77,4 кН;
Ерv = 43,3 · 1,5 / 2 = 32,5 кН.
Точка приложения равнодействующей пассивного давления грунта была показана на рис. 9.7.
98

Рис. 9.8. Схема учета равномерно распределенной нагрузки: а – сплошная; б – на расстоянии а от стены;
в – приложенная в пределах призмы обрушения
на расстоянии а от стены

99

(9.24)
(9.25)

2. Сплошная (на всей призме обрушения) равномерно распределенная нагрузка q, приложенная на расстоянии а от стены
(см. рис. 9.8, б).
Горизонтальная σqh и вертикальная σqv составляющие активного
давления грунта от этой нагрузки определяются при z ≥ а / (tg ε + tg θ)
по формулам (9.24) и (9.25), а при 0 ≤ z ≤ а / (tg ε + tg θ) (где θ = 45º –
– φ / 2) – σqh = σqv = 0.
3. Полосовая (ширина полосы b) нагрузка q, приложенная
в пределах призмы обрушения на расстоянии а от стены (рис.
9.8, в). Горизонтальная σqh и вертикальная σqv составляющие активного давления грунта от этой нагрузки определяются при а / (tg ε +
+ tg θ) ≤ z ≤ (α + b) / (tg ε + tg θ) по формулам (9.24) и (9.25), а при 0 ≤
≤ z ≤ а / (tg ε + tg θ) и z > (α + b) / (tg ε + tg θ) – σqh = σqv = 0.
При расчете подпорных стен давления от нагрузок на поверхности засыпки, вычисленные по формулам (9.24) и (9.25), добавляются к давлениям от грунта, вычисленным по формулам (9.1), (9.2)
и (9.16), (9.17).
Пример 9.3. Построить эпюру активного и пассивного давления
грунта на массивную подпорную стенку при наличии на поверхности равномерно распределенной нагрузки q = 40 кПа, рассчитать
полное активное и пассивное давление грунта на стенку и определить точку их приложения. Схема и основные размеры подпорной
стенки приведены на рис. 9.9. Грунт – песок мелкий со следующими
свойствами: γI = 18,5 кН / м3; φI = 29°; сI = 0.

Засыпка выполняется из того же песка. Расчетные значения характеристик засыпки: γ′I = 0,95 · γI = 0,95 · 18,5 = 17,6 кН / м3; φ′I = 0,9 ×
× φI = 0,9 · 29º = 26º; с′I = 0 кПа.
Порядок расчета
1. Определим угол наклона плоскости обрушения к горизонту:
θ = 45º – φ′I / 2 = 45º – 26º / 2 = 32º.
2. Вычислим коэффициент активного давления грунта при δ = φ′I =
= 26º, α = θ =32º, ρ = 0 (см. пример 9.1).
3. По формулам (9.1) и (9.2) находим горизонтальную σah и вертикальную σav составляющие активного давления грунта на глубине z =
= H = 7 м с коэффициентом надежности по нагрузке γf = 1,1:
σah = 17,6 · 1,1 · 7 · 0,39 = 52,8 кПа;
σav = 52,8 · tg (32º + 26º) = 84,5 кПа.
4. Определим равнодействующие горизонтального и вертикального давления грунта по формулам (9.5) и (9.6):
Eah = 52,8 · 7 / 2 = 185 кН;
Eav = 84,5 · 7 / 2 = 296 кН.
5. Горизонтальную σqh и вертикальную σqv составляющие активного давления грунта от равномерно распределенной нагрузки q на
поверхности определим по формулам (9.19) и (9.20) с коэффициентом надежности по нагрузке γf = 1,2:
σqh = 40 · 1,2 · 0,39 = 18,7 кПа;
σqv = 18,7 · tg (32º + 26º) = 30 кПа.
6. Вычислим равнодействующие горизонтального и вертикального давлений грунта от нагрузки q на поверхности:

H = 7,0 м

40 кПа

Eqh = σqh · H = 18,7 · 7 = 131 кН;
Eqv = σqv · H = 30 · 7 = 210 кН.

Рис. 9.9. Схема расчета подпорной стенки

Точка приложения равнодействующей активного давления грунта была показана на рис. 9.9.
7. Находим горизонтальную и вертикальную составляющие пассивного давления грунта на глубине z = Н = 1,5 м с учетом коэффициента надежности по нагрузке γn = 1,1:

100

101

σрh = 17,6 · 1,1 · 1,5 · 2,56 = 74,3 кПа;
σрv = 74,3 · tg 26º = 35,7 кПа,
где коэффициент пассивного давления связного грунта λрh при α =
= δ = 0; φ′I = 26º составит:
λph = tg2 (45º + φ′I / 2) = tg2 (45º + 26º / 2) = 2,56.

В указанных случаях вес грунта, заключенного между условной
поверхностью и тыльной поверхностью стены, добавляется к весу
стены в расчетах на устойчивость, которые выполняются так же, как
и для массивных стен: α = θ = 45º – φ / 2; δ = φ (см. пример 9.3).
В табл. 9.1 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.
Таблица 9.1

8. Определим равнодействующие горизонтального и вертикального пассивного давления грунта:
Ерh = 74,3 · 1,5 / 2 = 55,7 кН;
Ерv = 35,7 · 1,5 / 2 = 26,8 кН.
Точка приложения равнодействующей пассивного давления грунта показана на рис. 9.9.
9.1.3. Определение давления грунта на уголковые
подпорные стены
Для уголковых подпорных стен активное давление грунта на
условную поверхность определяется по двум возможным вариантам:
1. Для длинной опорной плиты в предположении образования
симметричной призмы обрушения (рис. 9.10, а, условная поверхность аb);
2. Для короткой опорной плиты – несимметричной призмы обрушения (рис. 9.10, б, условная поверхность аbc).
q
a

б)

q
a E
q1
Ea1 Eq
2
b
E a2

Eq
E

Q
θ θ

H

а)

θ θ
c

b

Варианты заданий
Размеры подпорной стенки

Характеристики грунта


варианта

Н, м

Н′, м

В, м

b, м

q, кПа

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
9,5
9
8,5
8
7,5
7
6,5
6
5

1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,2
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6

2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,2
4,0
3,8
3,6
3,4
3,2
3,0
2,8
2,6
2,7

0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,7

30


35


40


45


40


35


30


γI,
φ , град сI, кПа
кН / м3 I
17,0
18

18,0
16
8
18,2
18
10
17,5
19

17,2
20
12
17,4
21
14
18,0
24

18,6
22
16
18,8
23
18
18,5
26

19,0
19
13
19,2
21
15
19,0
27

18,5
22
18
18,7
24
20
18,5
28

19,6
23
22
19,8
21
24
18,0
26

20
22
26

9.1.4. Давление грунта на гибкие незаанкеренные
подпорные стены

Рис. 9.10. Схема к определению активного давления грунта
на уголковые подпорные стены

Упрощенный метод расчета гибкой консольной стены основан
на использовании коэффициента постели, который позволяет учесть

102

103

как деформативные свойства грунта, так и жесткость самой стены.
При этом для практических расчетов составлены графики (рис. 9.11,
а–г), позволяющие получить распределение давлений вдоль защемленной части стены.
Коэффициент постели грунта ks определяется в зависимости от
вида грунта по табл. 9.2.
Таблица 9.2
Значения коэффициента постели ks
Вид грунта

ks, кН / м3

Текучепластичные глины и суглинки
Мягкопластичные суглинки, супеси и глины, пылеватые
и рыхлые пески
Тугопластичные суглинки, супеси и глины, пески мелкие
и средние
Твердые суглинки, супеси и глины, крупные пески
Пески гравелистые, грунты крупно-обломочные

1000
2000
4000
6000
10 000

При залегании в пределах защемленной части стены нескольких
слоев грунта в расчете используется средневзвешенное значение коэффициента постели, определяемое по формуле
ks = Σ(ksi · hi) / Σhi ,

(9.26)

где ksi – значение коэффициента постели для i-го слоя грунта, кН / м3;
hi – толщина i-го слоя, м.
Приведенный коэффициент сжимаемости K при глубине заделки
стены в грунт t вычисляется по формуле
K = ks / t .

(9.27)

Показатель жесткости ξ находится по зависимости
ξ = k · t = t · K · b / (E · I),

(9.28)

где k – коэффициент жесткости; Е – модуль упругости стены, кПа,
МПа; I – момент инерции, м4; b – ширина стены в продольном направлении, принимаемая в расчете равной 1 м.
Консольная часть стены рассчитывается на активное давление
грунта, определяемое по формулам (9.1), (9.13) и (9.22). При расчете защемленной части стены влияние консольной части заменяется
моментом М и силой F, приложенными в уровне верха заделки.
104

Давление грунта определяется отдельно от момента М и силы F по
формулам
(9.29)
σm = n · M ;
σq = m · F .
(9.30)
где n и m – коэффициенты, определяемые по графикам, приведенным на рис. 9.11, а–г, в зависимости от глубины t и коэффициента
жесткости k.
Указанные графики составлены только для значений показателя
жесткости ξ = 3 и ξ = 5, поскольку при ξ < 3 получаемые давления
близки к получемым при ξ = 3 (жесткая стена), а для значений ξ > 3
можно использовать графики для ξ = 5 (гибкая стена).
Полное давление на стену определяется суммированием давлений σm и σq:
σ = σm + σq .
(9.31)
Полученное распределение давлений σ позволяет построить эпюры моментов и поперечных сил для стены, а также проверить местную прочность грунта исходя из условия, что вдоль всей защемленной части стены выполняется соотношение
(9.32)
σ < σph,
где σph – пассивное давление грунта, определяемое по формуле (9.7).
Пример 9.4. Требуется определить давление грунта на гибкую
консольную стену (рис. 9.12), выполненную из металлического
шпунта с моментом инерции I = 0,00056 м4 и модулем упругости
Е = 21 · 107 кПа. Грунт – песок мелкий с расчетными характеристиками φI = 32º, сI = 0, γI = 18 кН / м3.
Порядок расчета
1. По табл. 9.2 находим значение коэффициента постели грунта
для мелкого песка: ks = 4000 кН / м3.
2. Вычисляем приведенный коэффициент сжимаемости грунта K
по формуле (9.27):
K = ks / t = 4000 / 4 = 1000 кН / м3.
3. Определим коэффициент жесткости:
k = K · b / (E · I) = 1000 · 1 / (21 · 107 · 0,00056) = 0,0085 = 0,385.
4. Вычисляем показатель жесткости:
ξ = k · t = 0,385 · 4 = 1,54.
105

а)

а)

б)

б)

в)

n

h=5м

n

t

t=4

σah

t

Рис. 9.12. Схема расчета гибкой стены

5. Определим величину активного давления грунта на консольную часть стены по формуле (9.1):
σ'аh = γI · h · tg2 (45º – φ / 2) = 18 · 5 · tg2 (45º – 32º / 2) = 27 кПа.
в)

6. Определим равнодействующую активного давления грунта
m

Еаh = 27 · 5 / 2 = 67,5 кН.
7. Сосредоточенная сила в уровне верха заделки составит:
F = Еаh = 67,5 кН.

г)

8. Момент в уровне верха заделки:

m

М = F · h / 3 = 67,5 · 5 / 3 = 113 кН · м.

t

t

Рис. 9.11. Зависимость коэффициентов m и n от глубины и коэффициента
жесткости k: а – зависимость коэффициента n от k и t при  = 3; б – зависимость коэффициента n от k и t при  = 5; в – зависимость коэффициента m от k и t при  = 3; г – зависимость коэффициента m
от k и t при  = 5

106

9. Вычисляем давление грунта отдельно от момента М и силы F
по формулам (9.29) и (9.30). Для построения эпюры давлений эти
давления, а также значения давлений для различных глубин сводим в табл. 9.3. При этом значения коэффициентов n и m находим по
рис. 9.11, а и б при ξ = 3 и k = 0,385.
11. Производим проверку местной прочности грунта для сечения 0 < z < 1,0, так как эта область является наиболее опасной.
Вычисляем значение давления σph по формуле (9.12)
σph = γI · z · tg2(45º + φ / 2) = 18 · z · 1,82 = 58 · z.
Построив эпюру σph, можно установить, что на участке 0 < z < 1,0
значения σph > σ, т. е. условие (9.32), выполняется и, следовательно,
местная прочность грунта обеспечена.
107

Таблица 9.3
Значения коэффициентов n и m
Глубина
расчетного
сечения
0,0
0,2t
0,4t
0,6t
0,8t
1,0t

σq, кПа

m

N

при F = 67,5 кН
0
0,28
0,28
0,18
–0,15
–0,53

σm, кПа

Суммарное
давление
σ = σq + σm

при М = 113 кН · м

0
18,9
18,9
12,2
–10,1
–35,8

0
0,06
0,04
–0,01
–0,11
–0,20

0
6,8
4,5
–1,13
–12,4
–22,6

0
25,7
23,4
11,07
–22,5
–58,4

В табл. 9.4 приведены варианты заданий для самостоятельной
работы.
Таблица 9.4
Варианты заданий
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Рекомендуемая литература
1. Цытович Н. А. Механика грунтов / Н. А. Цытович. – М.: Высшая школа, 1973.
2. Механика грунтов, основания и фундаменты / С. Б. Ухов [и др.]. – М.:
Изд-во АСВ, 1994.
3. Механика грунтов. Часть 1. Основы геотехники / Б. И. Далматов [и др.]. –
М.; СПб.: Изд-во АСВ, 2000.
4. Бугров А. К. Механика грунтов: учебное пособие / А. К. Бугров. – СПб.:
СПбГТУ, 2007.
5. Мангушев Р. А. Механика грунтов: учебник / Р. А. Мангушев, В. Д. Карлов,
И. И. Сахаров. – М.: Изд-во АСВ, 2010.
6. СП 22.13330.2011. Основания зданий и сооружений. Актуализированная
редакция. – М., 2011.
7. СП 50-101–2004. Проектирование и устройство оснований и фундаментов зданий и сооружений. – М.: Стройиздат, 2004.
8. Основания, фундаменты и подземные сооружения: справочник проектировщика / под ред. Е. А. Сорочана, Ю. Г. Трофименкова. – М., 1985.

Основные данные
h, м

t, м

Грунт

γI, кН / м3

φI, град

сI, кПа

5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
5,9
5,7
5,5
5,3
5,1
4,9
4,7
4,5
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,1

4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
4,9
4,7
4,5
4,3
4,1
3,9
3,7
3,5
4,0
4,4
4,2
4,6
4,8
4,5

Песок пылеват.
Песок мелкий
Песок ср. круп.
Песок пылеват.
Песок мелкий
Песок ср. круп.
Песок пылеват.
Песок мелкий
Песок ср. круп.
Песок пылеват.
Песок мелкий
Песок ср. круп.
Песок пылеват.
Песок мелкий
Песок ср. круп.
Песок пылеват.
Песок мелкий
Песок ср. круп.
Песок пылеват.
Песок мелкий

17,0
17,2
17,4
17,6
17,8
18,0
18,0
18,2
18,4
18,6
18,8
19,0
18,0
18,2
18,4
18,6
18,8
19,0
17,6
17,8

26
28
30
27
29
31
28
30
32
29
32
33
30
33
34
31
34
35
28
32






















108

109

Оглавление
Введение.....................................................................................................................3
1. Определение нормативных и расчетных значений
характеристик грунтов ..........................................................................................4
2. Определение напряжений в грунтах ..............................................................16
2.1. Определение напряжений при действии местного равномерно
распределенного давления................................................................................16
2.2. Определение напряжений в грунтовой толще в условиях
плоской задачи...................................................................................................19
2.3. Определение напряжений в грунтовой толще от собственного
веса грунта..........................................................................................................30
3. Расчет оснований по несущей способности...................................................34
3.1. Аналитический метод расчета на глубокий сдвиг фундаментов
с горизонтальной подошвой при действии внецентренной
наклонной нагрузки...........................................................................................36
3.2. Аналитический метод расчета на глубокий сдвиг фундаментов
с наклонной подошвой при действии внецентренной наклонной
нагрузки..............................................................................................................42
3.3. Расчет устойчивости фундамента по схеме плоского сдвига.................48
3.4. Графоаналитический метод расчета несущей способности
основания............................................................................................................51
4. Определение нижней границы сжимаемой толщи (активной зоны)
грунта в основании фундаментов.......................................................................56
5. Определение осадки фундаментов методом эквивалентного слоя...........63
6. Определение осадки фундаментов методом линейно
деформируемого слоя.............................................................................................69
7. Определение осадки фундаментов с учетом загружения соседних
фундаментов и площадей......................................................................................74
8. Определение развития осадки жесткого фундамента во времени............80
9. Определение давления грунтов на ограждающие конструкции
(подпорные стены)..................................................................................................88
9.1. Определение активного и пассивного давления грунта
на подпорные стены...........................................................................................91
9.1.1. Давление грунта при отсутствии на поверхности засыпки
сплошной равномерно распределенной нагрузки........................................91
9.1.2. Давление на подпорные стены от нагрузки, приложенной
на поверхности засыпки..................................................................................99
9.1.3. Определение давления грунта на уголковые подпорные стены.....102
9.1.4. Давление грунта на гибкие незаанкеренные подпорные стены......103
Рекомендуемая литература..............................................................................109

Подписано к печати 27.12.12. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 6,5. Тираж 500 экз. Заказ 226. «С» 134.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.

110

111

Учебное издание
Мангушев Рашид Александрович,
Усманов Рустам Алимджанович
МЕХАНИКА ГРУНТОВ.
РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Учебное пособие
Редактор О. Д. Камнева
Корректор М. А. Молчанова
Компьютерная верстка А. А. Стешко

ДЛЯ ЗАПИСЕЙ

112