• Название:

    4 л ХАОТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

  • Размер: 1.68 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Презентация PowerPoint
  • Автор: admin

ХАОТИЧЕСКИЕ
ОТОБРАЖЕНИЯ
И ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ

Классификация фракталов

Что надо знать

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ –
АТТРАКТОРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

• Детерминированная динамическая система
• Отображение
• Детерминированный хаос
• Аттрактор
• бифуркация
• Бифуркационная диаграмма
• Сценарий перехода к хаосу
• Показатель Ляпунова

Динамическая система
Под динамической системой понимают любой
объект или процесс, для которого однозначно
определено понятие состояния, как совокупности
некоторых величин в данный момент времени, и
задан закон, который описывает изменение
начального состояния с течением времени.
Этот закон позволяет по начальному
состоянию прогнозировать будущее состояние
динамической системы, его называют законом
эволюции.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ –
АТТРАКТОРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1. СИСТЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

X i+1 = f (Xi )
Отображения на комплексной
плоскости. Множества Жюлиа
и Мандельброта.
2. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

dX
= f (X)
dt

Странные аттракторы

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ: МНОЖЕСТВА ЖЮЛИА

Z n1  Z  c
2
n

Множество Жюлиа есть граница множества
начальных точек, стремящихся к бесконечности
при итерировании Z0Z1Z2…Zn

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ: МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА
2
Множество Мандельброта – правило, указывающее,
n 1
n
какой вид имеет множество Жюлиа при конкретном С

Z

 Z c

с1  0,5634 , с2  0,5134

с1  1,3 , с 2  0

4

1
с1  0,12375 , с2  0,56508

с1  0,1328 , с2  0,7547

5

2
с1  1,157 , с2  0,2

с1  0,376 , с2  0,357

3
6

Дискретные отображения
• x n + 1 = f (x n , y n , …),
• y n + 1 = g(x n , y n , …)
Консервативные: сохранение фазового объема
Диссипативные: уменьшение фазового объема

Консервативные отображения

Консервативные отображения
Отображение пекаря

Консервативные отображения
Отображение Арнольда

В. И́. Арнóльд (р. 1937)
выдающийся российский математик

Отображение Арнольда
первые 5 итераций

Диссипативные отображения

Отображение Хенона

Фрактальная размерность
Отображение Хенона

Логистическое отображение
X i1  AX i (1  X i )

Решения отображения

БИФУРКАЦИИ
Две системы топологически эквивалентны, т. е. имеют одинаковую
структуру разбиения фазового пространства на траектории, если
движения одной из них могут быть сведены к движениям другой
непрерывной заменой координат и времени.
Бифуркация – структурная перестройка фазового портрета системы,
нарушающая топологическую эквивалентность.

а - форма жёлоба и соответствующий фазовый портрет с одним состоянием
равновесия типа центр, б - форма желоба с двумя минимумами и
соответствующий фазовый портрет с тремя состояниями равновесия: седло S и
два центра C1 и С2.

Бифуркационная диаграмма логистического отображения:
переход к хаосу через удвоение периода
xi 1  r  xi (1  xi )

СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА К ХАОСУ
Сценарий Фейгенбаума
(УДВОЕНИЕ ПЕРИОДА)
1978-1979

Митчелл Фейгенбаум
американский физик
Переход к хаосу через каскад (бесконечную последовательность) бифуркаций удвоения периода.
Хотя Фейгенбаум не является первооткрывателем удвоений периода, описанных и изучавшихся до него, он
первым осознал присущие этому сценарию свойства универсальности и скейлинга (масштабного
подобия) и разработал их теоретическое обоснование.
Сущность концепции универсальности состоит в том, что имеется обширное множество нелинейных
диссипативных систем различной природы, которые не просто демонстрируют одну и ту же
последовательность бифуркаций, но проявляют одни и те же количественные закономерности скейлинга.

Константа Фейгенбаума
Чему равно: 4,66920016…
Где применяется: В теории хаоса и катастроф, с помощью которых можно описывать
любые явления — от размножения кишечной палочки до развития российской экономики
Кто и когда открыл: Американский физик Митчелл Фейгенбаум в 1975 году. В отличие
от большинства других открывателей констант (Архимеда, например), он жив и преподает
в престижном Рокфеллеровском университете
Когда и как праздновать день δ: Перед генеральной уборкой

Что общего у капусты брокколи, снежинок и елки? То, что их детали в миниатюре
повторяют целое. Такие объекты, устроенные как матрешка, называют фракталами.
Фракталы возникают из беспорядка, как картинка в калейдоскопе. Математика
Митчелла Фейгенбаума в 1975 году заинтересовали не сами узоры, а хаотические процессы,
которые заставляют их появляться. Тут у него и появилась эта δ. Константа оказалась
универсальной: она встречается в описании сотен других хаотических процессов,
от аэродинамики до биологии.

Бифуркационная диаграмма логистического отображения:
переход к хаосу через удвоение периода
xi 1  r  xi (1  xi )

Бифуркационный режим

Аттрактор Фейгенбаума

xi 1  r  xi (1  xi )

Аттрактор Фейгенбаума

Фрактальная размерность

d  lim
 0

log N   
log1/ 

 0.538

ХАОТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ

 Под действием «обратных» бифуркаций хаотические интервалы сближаются, пока при r= 4
итерации не распределятся на всем интервале [0, 1].
 Окна характеризуются периодическими р -циклами (р = 3, 5, 6, ...), которые подвергаются
последовательным бифуркациям удвоения. Соответствующие значения r изменяются
согласно соотношению Фейгенбаума, в котором величина  та же, а константы другие.
n
 Утроение и также учетверение периодов и т. д. происходит при r  r  const
для
различных констант Фейгенбаума



, которые тоже являются универсальными

Показатель Ляпунова
Основным свойством хаотических систем является чувствительная
зависимость к сколь угодно малым изменениям начальных
условий.
Это обстоятельство ведет к потере детерминированной
предсказуемости и необходимости вводить вероятностные
характеристики для описания динамики систем.

Показатель Ляпунова
.

Две траектории, близкие друг другу в фазовом пространстве в некоторый начальный момент времени, экспоненциально расходятся за
малое в среднем время. Если d 0 – мера начального расстояния между двумя точками, то спустя малое время t, расстояние между траекториями, выходящими из этих точек,
становится равным

d (t )  d 0e

t
.

Показатель Ляпунова
Величина  называется показателем Ляпунова.
Показатель Ляпунова можно оценить
выражением

d (t k )
1 N

ln

t N  t 0 k 1 d 0 (t k 1 )
Критерий хаоса :
>0 –хаотическое движение,
<=0 –регулярное движение.

Бифуркационная диаграмма и показатель Ляпунова

λ

1
N

N

ln
k 1

f (x k )

f (x k

)

ЛОГИСТИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

xi 1  R  xi (1  xi )

Скейлинг структуры бифуркационного дерева и показателя Ляпунова

Множество Мандельброта –
комплексный аналог сценария удвоения периода

Периоды обрамления

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ: СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ

dX
= f (X)
dt