• Название:

    Нечеткая логика

  • Размер: 1.74 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Слайд 1

Нечеткие множества

Откуда всѐ это взялось?
Люди, в силу природного эгоизма, склонны оценивать любые
данные с точки зрения полезности для СЕБЯ: становятся
важны не сами количественные данные, а их интерпретация
КАКИЕ понятия, категории использовать для этого???
Большая часть используемых нами понятий по своей природе
нечетки и размыты:
КАК построить пороговую функцию принадлежности для множеств
«взрослый», «холодный», «качественный», «быстрый» и т.д. ???

Барт Коско, один из классиков нечеткой логики:
“Бинарная логика - не более чем роковая ошибка античной цивилизации.”

Для чего нужна нечеткая логика?
КАК на основе таких понятий (представленных нечеткими множествами)
смоделировать процесс человеческих рассуждений ???
создание аппарата, способного моделировать рассуждения на основе
сложных причинно-следственных связей – нечеткой логики и нечеткого
вывода
Нечеткая логика - надмножество булевой логики, расширенной с целью
обработки значений истинности между «полностью истинным» и «полностью
ложным» на основе нечетких множеств
разработана профессором Калифорнийского
университета Беркли Лотфи А. Заде
(Lotfi A. Zadeh) в работах:
«Fuzzy sets» (1965г) и «Fuzzy logic» (1975г).
University of California,
Berkeley
Professor Lotfi A. Zadeh

Примеры использования нечеткой логики
 Движением пригородных поездов до японского города Сендай, начиная
с 1987 года управляет система, основанная на нечеткой логике
 Создание управляющего микропроцессора на основе нечеткой логики,
способного автоматически решать «задачу о собаке, догоняющей кота»
(Министерство обороны США)
 Matsuhita в феврале 1991 года анонсировала первую «интеллектуальную»
стиральную машину, в системе управления которой применялась нечеткая
логика
 Решения сложнейших задач прогнозирования различных финансовых
индикаторов (японская корпорация Yamaichi)
 Один из отечественных программных продуктов - пакет
“Бизнес-прогноз” для оценки прибыльности инвестиционных проектов.

Характеристическая функция


Пусть U — так называемое универсальное
множество, из элементов которого образованы все
остальные множества, рассматриваемые в данном
классе задач, например множество всех целых
чисел, множество всех гладких функций и т.д.
Характеристическая функция множества A⊆U —
это функция μA, значения которой указывают,
является ли x∈U элементом множества A:

Функция принадлежности
Нечеткие множества есть естественное
обобщение обычных множеств, когда мы
отказываемся от бинарного характера этой
функции и предполагаем, что она может
принимать любые значения на отрезке [0,1].
 В теории нечетких множеств
характеристическая функция называется
функцией принадлежности, а ее
значение μA(x) — степенью
принадлежности элемента x нечеткому
множеству A.


Нечеткое множество


Более строго, нечетким
множеством A называется
совокупность пар
A={| x∈U},


где μA — функция принадлежности, т.е.
μA : U→[0, 1].

Пример
U={a, b, c, d, e}
A={, , , , }

a не принадлежит множеству A,
 b принадлежит ему в малой степени,
 c более или менее принадлежит,
 d принадлежит в значительной
степени,
 e является элементом множества A.


Лингвистическая переменная


Лингвистическую переменную
можно определить как переменную,
значениями которой являются не
числа, а слова или предложения
естественного (или формального)
языка.

Пример


Лингвистическая переменная "возраст" может
принимать следующие значения:










"очень молодой",
"молодой",
"среднего возраста",
"старый",
"очень старый"
и др.

Ясно, что переменная "возраст" будет обычной
переменной, если ее значения — точные числа;
лингвистической она становится, будучи
использованной в нечетких рассуждениях
человека.

«молодой»

Терм-множество
Терм–множеством (term
set) называется множество всех
возможных значений лингвистической
переменной.
 Термом (term) называется любой
элемент терм–множества. В теории
нечетких множеств терм
формализуется нечетким множеством
с помощью функции принадлежности.


Пример
Рассмотрим переменную ―скорость
автомобиля‖, которая оценивается по
шкале ―низкая", "средняя", "высокая‖ и
―очень высокая".
 В этом примере лингвистической
переменной является ―скорость
автомобиля‖, термами - лингвистические
оценки ―низкая", "средняя", "высокая‖ и
―очень высокая‖, которые и составляют
терм–множество.


Строгое определение


Лингвистическая переменная задается
пятеркой (x, T, U, G, M), где






x - имя переменной;
T - терм-множество, каждый элемент которого
(терм) представляется как нечеткое множество
на универсальном множестве U;
G - синтаксические правила, часто в виде
грамматики, порождающие название термов;
M - семантические правила, задающие функции
принадлежности нечетких термов, порожденных
синтаксическими правилами G.

Пример


Рассмотрим лингвистическую переменную
с именем x= "температура в комнате".
Тогда оставшуюся четверку (T, U, G,
M) можно определить так:



универсальное множество - U=[5, 35];
терм-множество - T={"холодно", "комфортно",
"жарко"} с функциями принадлежностями (u∈U)

Пример




синтаксические правила G, порождающее новые
термы с использованием квантификаторов "не",
"очень" и "более-менее";
семантические правила M, в виде таблицы

Квантификатор Функция принадлежности (u∈U)
не t

1–μt(u)

очень t

(μt(u))2

более-менее t

√μt(u)

ЛП «температура в комнате»
b = «температура в комнате» - имя лингвистической переменной;
X = [5,35] – универс определения;

T = {"холодно", "комфортно", "жарко"} - базовое терм-множество;
G - синтаксические правила, порождающее новые термы с использованием
квантификаторов "и","или", "не", "очень", "более-менее";
М - процедура, ставящая каждому
новому терму в соответствие
функцию принадлежности (т.е. задавая
нечеткое множество) по правилам: если
термы А и В имели функции
принадлежности μа(x) и μB(x)
соответственно, то новые термы будут
иметь функции принадлежности:
Квантификатор

Функция принадлежности:

не t
очень t
более-менее t
АиВ

max(μA(x),

μB(x))

А или В

min(μA(x),

μB(x))

Носитель и высота


Носителем (суппортом) нечеткого множества A
называется четкое множество supp A таких точек в
U, для которых величина μA(x) положительна, т.е.






supp A={x| μA(x) >0}.

Высотой нечеткого множества A называется
верхняя граница его функции принадлежности.
Для дискретного универсального sup U A ( x)
множества U супремум становится максимумом, а
значит высотой нечеткого множества будет
максимум степеней принадлежности его
элементов.

Нормальное нечеткое множество


Нечеткое множество A называется
нормальным, если
sup  A ( x )  1
U

В противном случае оно называется
субнормальным.
 Нечеткое множество называется
пустым, если ∀x∈U(μA(x)=0).




Непустое субнормальное нечеткое
множество можно привести к
нормальному (нормализовать) по
формуле

•Нормализация нечеткого
множества Ã с функцией
принадлежности

.

Ядро
Ядром нечеткого множества Ã
называется четкое подмножество
универсального множества U,
элементы которого имеют степени
принадлежности равные единице.
core(A)={x| μA(x) =0}
 Ядро субнормального нечеткого
множества пустое.


Срез


Множеством уровня α (α-срезом, αсечением) нечеткого множества A
называется четкое подмножество
универсального множества U,
определяемое по формуле
Aα={x| μA(x)≥α}, α∈[0,1].

Пример

Точка перехода
Множество строгого уровня
определяется в виде Aα={x| μA(x)>α}. В
частности, носителем нечеткого
множества является множество
элементов, для которых μA(x)>0.
 Точка перехода нечеткого множества
A — это такой элемент x∈U, для
которого μA(x)=0.5.


Четкое множество


Четкое множество A*, ближайшее к
нечеткому множеству A, определяется
следующим образом:

Выпуклое множество


Нечеткое множество A в пространстве
U=Rn называется выпуклым нечетким
множеством тогда и только тогда, если его
функция принадлежности выпукла, т.е. для
каждой пары точек x и y из U функция
принадлежности удовлетворяет
неравенству
μA(λx+(1–λ)y)≥min{μA(x), μA(y)}, для любого λ∈[0, 1]

Пример

Операции


Объединение




Пересечение




μA∪B(x)=max{μA(x), μB(x)}
μA∩B(x)=min{μA(x), μB(x)}

Дополнение

Пример

Пересечение

Треугольная конорма


Треугольной конормой (s-нормой) называется
бинарная операция S на единичном
интервале [0,1]×[0,1]→[0,1] , удовлетворяющая
следующим аксиомам для любых a, b, c∈[0,1] :







S(a,0)=a (граничное условие);
S(a,b)≤S(a,c) если b≤c (монотонность);
S(a,b)=S(b,a) (коммутативность);
S(a,S(b,c))=S(S(a,b),c) (ассоциативность).

Наиболее часто используются такие s-нормы:
объединение по Заде - S(a,b)=max(a,b);;
вероятностное объединение - S(a,b)=a+b–ab;
объединение по Лукасевичу - S(a,b)=min(a+b,1).

Объединение

Свойства операций над нечѐткими
множествами
Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются
следующие свойства:
1)Коммутативность:

A  B  B  A

A  B  B  A

2)Ассоциативность:

( A  B)  C  A  ( B  C )

( A  B)  C  A  ( B  C )

3)Идемпотентность:

A  A  A

A  A  A

4)Дистрибутивность:

 A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )

 A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )

!!!
A A  E ; A A  

5)Законы де Моргана:  A  B  A  B

A  B  A  B

6) A    A , где  - пустое множество, т.е .  ( x)  0, x  E

7) A    
8) A  E  A, A  E  E

База знаний
Общий вид правил в базе знаний:
Если
Лингвистическая Переменная 1 есть Терм Лингвистической Переменной 1
и
Лингвистическая Переменная 2 есть Терм Лингвистической Переменной 2
и…и
Лингвистическая Переменная N есть Терм Лингвистической Переменной N
То
Выходная Лингвистическая Переменная есть Терм Выходной Линг.Перем.
Пример:
Если Температура низкая и Расход малый То Давление низкое
Лингвистическая
Переменная 1
Терм
Лингвистической
Переменной 1

Лингвистическая
Переменная 2

Выходная
Лингвистическая
Переменная

Терм
Лингвистической
Переменной 2

Терм Выходной
Лингвистической
Переменной

Описание примеров

Система “Набор баскетболистов”
Лингвистические переменные
•Рост баскетболиста
Множество определения – [170,236]
Множество термов - {очень высокий, высокий, средний, низкий}
•Техника игры баскетболиста
Множество определения – [0,100]
Множество термов - {отличная, очень хорошая, хорошая, средняя, плохая}
•Уверенность принятия в команду
Множество определения – [0,100]
Множество термов - {полная, средняя, малая, не берѐм}

Система “Набор баскетболистов”- Правила
Входные лингвистические переменные

Выходная линг. переменная

Техника игры

Рост игрока

Уверенность отбора

Отлично

Очень высокий

Полная

Отлично

Высокий

Полная

Отлично

Не очень высокий

Средняя

Отлично

Низкий

Средняя

Очень хорошо

Очень высокий

Полная

Очень хорошо

Высокий

Полная

Очень хорошо

Не очень высокий

Средняя

Очень хорошо

Низкий

Средняя

Хорошо

Очень высокий

Полная

Хорошо

Высокий

Полная

Хорошо

Не очень высокий

Средняя

Хорошо

Низкий

Малая

Не очень хорошо

Очень высокий

Средняя

Не очень хорошо

Высокий

Средняя

Не очень хорошо

Не очень высокий

Малая

Не очень хорошо

Низкий

Не берѐм

Плохо

Очень высокий

Малая

Плохо

Высокий

Малая

Плохо

Не очень высокий

Малая

Плохо

Низкий

Не берѐм

Система “Футбол”
Лингвистические переменные
•Разница потерь ведущих игроков
Множество определения – [-6,6]
Множество термов - {большая скамейка, высокий, одинаковая скамейка,
короткая скамейка}
•Разница игровых динамик
Множество определения – [-15,15]
Множество термов - {существенный проигрыш, проигрыш, выигрыш,
существенный выигрыш}
•Разница в классе команд
Множество определения – [-13,13]
Множество термов - {лидер, верхняя половина, середина, нижняя половина,
аутсайдер}

Система “Футбол”
Лингвистические переменные
•Фактор поля
Множество определения – [-2,3]
Множество термов - {абсолютная неудача, неудача, преимущество,
абсолютное преимущество }
•Встречи команд
Множество определения – [-20,20]
Множество термов - {позорные встречи, равные встречи, разгромные
встречи}
•Результат матча
Множество определения – [-3,3]
Множество термов - {крупный проигрыш, проигрыш, ничья, выигрыш,
крупный выигрыш}

Система “Футбол” - Правила


Разница потерь
игроков

Разница
динамик

Разница в
классе

Фактор поля

Встреча
команд

Результат
матча

Важность
правила

1

Большая скамейка

Существенный
выигрыш

Лидер

Абсолютное
преимущество

Разгромные
встречи

Крупный
выигрыш

0,5

2

Одинаковая скамейка

Выигрыш

Верхняя
половина

Преимущество

Разгромные
встречи

Крупный
выигрыш

0.94844

3

Одинаковая скамейка

Проигрыш

Лидер

Преимущество

Разгромные
встречи

Крупный
выигрыш

0,5

4

Большая скамейка

Выигрыш

Верхняя
половина

Преимущество

Крупный
выигрыш

0.6289

5

Одинаковая скамейка

Выигрыш

Середина

Неудача

Выигрыш

0,5

6

Короткая скамейка

Проигрыш

Верхняя
половина

Преимущество

Выигрыш

0.75458

7

Одинаковая скамейка

Выигрыш

Середина

Неудача

Выигрыш

0,5

8

Большая скамейка

Существенный
выигрыш

Нижняя
половина

Преимущество

Равные
встречи

Выигрыш

1

9

Одинаковая скамейка

Выигрыш

Середина

Неудача

Равные
встречи

Ничья

0.00027162

10

Короткая скамейка

Существенный
проигрыш

Середина

Неудача

Равные
встречи

Ничья

0.22037

Равные
встречи
Разгромные
встречи
Равные
встречи
Разгромные
встречи

Система “Футбол” - Правила


Разница потерь
игроков

Разница
динамик

Разница в
классе

Фактор поля

Встреча
команд

Результат
матча

Важность
правила

11

Одинаковая скамейка

Проигрыш

Нижняя
половина

Преимущество

Позорные
встречи

Ничья

0.10194

12

Большая скамейка

Существенный
проигрыш

Верхняя
половина

Неудача

Равные
встречи

Ничья

0.083936

13

Большая скамейка

Проигрыш

Середина

Абсолютная
неудача

Равные
встречи

Проигрыш

0.013733

14

Одинаковая скамейка

Выигрыш

Нижняя
половина

Неудача

Позорные
встречи

Проигрыш

0.28575

15

Короткая скамейка

Существенный
проигрыш

Середина

Преимущество

Позорные
встречи

Проигрыш

0.30027

16

Одинаковая скамейка

Проигрыш

Аутсайдер

Неудача

Равные
встречи

Проигрыш

1

17

Короткая скамейка

Существенный
проигрыш

Аутсайдер

Абсолютная
неудача

Позорные
встречи

Крупный
проигрыш

1

18

Одинаковая скамейка

Существенный
проигрыш

Нижняя
половина

Неудача

Позорные
встречи

Крупный
проигрыш

1

19

Короткая скамейка

Проигрыш

Нижняя
половина

Абсолютная
неудача

Равные
встречи

Крупный
проигрыш

1

20

Большая скамейка

Существенный
проигрыш

Нижняя
половина

Неудача

Позорные
встречи

Крупный
проигрыш

1