• Название:

    Щербин и др основы гидравлики

  • Размер: 0.93 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: <4D6963726F736F667420576F7264202D20CEF1EDEEE2FB20E3E8E4F0E0E2EBE8EAE82E646F63>
  • Автор: Sherbin

Федеральное агентство по образованию
Ангарская государственная техническая академия
Кафедра «Машины и аппараты химических производств»

С.А. Щербин, И.А. Семёнов, Н.А. Щербина

ОСНОВЫ ГИДРАВЛИКИ
Учебное пособие

Ангарск 2009
1

УДК 532 (075.8)
С.А. Щербин, И.А. Семёнов, Н.А. Щербина. Основы гидравлики. –
Учебное пособие. - Ангарск: Издательство Ангарской государственной технической академии, 2009. – 94 с.

Рассмотрены основные законы гидравлики и их практическое
применение. Приведены необходимые справочные данные, примеры
решения задач. Материал сопровождается заданиями для самостоятельной работы студентов.
Предназначается для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Гидравлика».

Рецензенты:
доктор технических наук, профессор Тур А. А.;
кандидат технических наук, доцент Шустов П.А.

Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом АГТА.

© Ангарская государственная техническая академия, 2009.
© Кафедра «Машины и аппараты химических производств».
2

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
5

Предисловие
1 Основные свойства жидкостей
Примеры
Задания

7
16
17

2 Гидростатика
2.1 Гидростатическое давление и его свойства
2.2 Дифференциальные уравнения равновесия
жидкости (уравнения Эйлера)
2.3 Основное уравнение гидростатики
2.4 Закон Паскаля
2.5 Геометрическая интерпретация основного
уравнения гидростатики
2.6 Энергетическая интерпретация основного
уравнения гидростатики
2.7 Практические приложения основного уравнения
гидростатики
2.8 Давление жидкости на плоские и криволинейные
поверхности
2.8.1 Давление жидкости на плоскую
горизонтальную поверхность
2.8.2 Давление жидкости на плоскую наклонную
поверхность
2.8.3 Давление жидкости на криволинейную
поверхность
2.9 Закон Архимеда. Плавание тел
Примеры
Задания

18
18

3 Гидродинамика
3.1 Основные характеристики движения жидкостей
3.1.1 Скорость и расход жидкости
3.1.2 Гидравлический радиус и эквивалентный
диаметр
3.1.3 Установившееся и неустановившееся
движение жидкости

46
46
46

3

20
22
24
25
27
28
32
32
33
35
37
39
44

47
48

3.2 Уравнения движения жидкости
3.2.1 Уравнение постоянства расхода жидкости
3.2.2 Уравнение неразрывности потока жидкости
3.2.3 Уравнение Бернулли для потока жидкости
3.2.3.1 Геометрический и энергетический смысл
уравнения Бернулли
3.2.3.2 Пьезометрический и гидравлический
уклоны
3.2.3.3 Практическое приложение уравнения
Бернулли
3.3 Режимы движения жидкости
3.3.1 Опыт Рейнольдса. Критерий Рейнольдса.
Критическая скорость
3.3.2 Ламинарный режим движения жидкости.
Закон Стокса
3.3.3 Турбулентный режим движения жидкости
3.4 Гидравлические сопротивления. Потери напора
3.4.1 Потери напора по длине
3.4.2 Местные потери напора
3.4.2.1 Внезапное расширение
3.4.2.2 Внезапное сужение
3.4.2.3 Постепенное расширение в диффузоре
3.4.2.4 Постепенное сужение в конфузоре
3.4.2.5 Изменение направления потока
3.4.2.6 Диафрагма, установленная в трубопроводе
3.4.2.7 Трубопроводная арматура
3.5 Суммарные гидравлические потери. Коэффициент
сопротивления системы
Примеры
Задания
3.6 Гидравлический расчет трубопроводов
3.6.1 Гидравлический расчет длинных
трубопроводов
3.6.2 Гидравлический расчет коротких
трубопроводов
3.7 Гидравлический удар
Литература
4

Стр.
49
49
49
50
53
54
56
60
60
62
64
65
66
72
73
74
76
77
78
80
81
83
84
86
88
88
89
90
94

Предисловие
Гидравликой называется прикладная техническая наука, в которой изучаются законы равновесия и движения жидкостей, а также методы применения этих законов в практической деятельности.
Гидравлика является теоретической базой при расчете и конструировании систем водоснабжения и канализации, специальных сооружений (плотин, мостов, транспортных трубопроводов), различных
машин (насосов, компрессоров) и аппаратов (теплообменных, колонных и пр.).
Понятие «гидравлика» произошло от сочетания греческих слов
хюдор (вода) и аулос (труба), что означало вначале учение о движении воды по трубам. В далеком прошлом именно вопросы обеспечения водой были единственными, изучавшимися гидравликой.
Первым научным трудом в области гидравлики считается трактат
Архимеда (287-212 гг. до н. э.) «О плавающих телах», хотя сведения о
некоторых вопросах гидравлики были известны и ранее, так как задолго до этого строились оросительные каналы, первые водопроводы,
мосты, плотины.
На протяжении почти 17 веков после Архимеда гидравлика не
получила существенного развития. Строительство гидротехнических и
гидротранспортных сооружений основывалось на наблюдении и накопленном опыте.
Вторая половина XV в. охарактеризовалась появлением ряда работ в области гидравлики. Леонардо да Винчи (1452 - 1519 г.г.) написал работу «О движении и измерении воды», которая была опубликована лишь в XX столетии. Стевин (1548 - 1620 г.г.) написал книгу
«Начало гидростатики», Галилей (1564 - 1642 г.г.) рассмотрел основные законы плавания, Торичелли (1608 - 1647 г.г.) сформулировал законы истечения жидкости из отверстий, Паскаль (1623 - 1662 г.г.) открыл закон о передаче давления в жидкости, Ньютон (1642 - 1727 г.г.)
в 1686 г. высказал гипотезу о внутреннем трении в жидкости.
Однако перечисленные работы затрагивали только отдельные
разделы гидравлики. Формирование гидравлики как науки на прочной
теоретической основе стало возможным только после работ, выполненных академиками Петербургской Академии наук Михаилом Ломоносовым (1711 - 1765 г.г.), Даниилом Бернулли (1700 - 1782 г.г.) и Леонардом Эйлером (1707 - 1783 г.г.), которые установили основные законы движения жидкости.
М. В. Ломоносов в диссертации «Рассуждения о твердости и
5

жидкости тела» сформулировал открытый им закон сохранения вещества и энергии.
Академик Д. Бернулли в изданном в 1738 г. труде «Гидродинамика» вывел важнейшее уравнение, названное его именем и являющееся основным уравнением гидродинамики.
Л. Эйлер в труде «Общие принципы движения жидкости» (1755
г.) вывел систему дифференциальных уравнений равновесия и движения жидкостей.
Эти работы положили начало бурного развития гидравлики.
Велики заслуги и иностранных ученых: французов Шези (1718 1798), работавшего в области равномерного движения жидкости; Базена (1829 - 1897), изучавшего равномерное движение и истечение
жидкости через водосливы; итальянца Джованни Батиста Вентури
(1746 - 1822), исследовавшего истечение через отверстия и насадки;
немца Юлиуса Вейсбаха (1806 - 1871), в основном известного работами в области сопротивлений движению жидкости; английского физика
Осборна Рейнольдса (1842 - 1912), внесшего большой вклад в изучение ламинарного и турбулентного режимов движения.
Во второй половине XIX в. в России появляются работы, оказавшие большое влияние на последующее развитие гидравлики. И. С.
Громека (1851 - 1889 г.г.) создал основы теории винтовых потоков и
потоков с поперечной циркуляцией. Д. И. Менделеев (1834 - 1907 г.г.)
в своей работе «О сопротивлении жидкостей и воздухоплавании» привел важные выводы о наличии двух режимов движения жидкости (ламинарного и турбулентного). Далее Н. П. Петров (1836 - 1920 г.г.)
сформулировал закон внутреннего трения в жидкости. Н. Е. Жуковский (1847 - 1921 г.г.) создал теорию гидравлического удара в водопроводных трубах и ряд основополагающих работ в области фильтрации.
Труды академика Н. Н. Павловского (1884 - 1937 г.г.) в области
равномерного и неравномерного движения, фильтрации через земляные плотины и под гидротехническими сооружениями, составляют
основу инженерной гидравлики.
В настоящее время под «гидравликой» понимается изучение любых жидкостей и газов, а не только воды.
Гидравлика состоит из двух частей: гидростатики, изучающей
законы равновесия покоящейся жидкости, и гидродинамики, в которой
изучаются законы движущихся жидкостей.
6

1 Основные свойства жидкостей
Жидкость представляет собой физическое тело, в котором силы
межмолекулярного сцепления меньше, чем у твердых тел, поэтому
частицы жидкости легко подвижны и могут принимать как поступательное, так и вращательное движение. При этом жидкость может
принимать форму любого сосуда, в котором она находится.
Основными качествами, присущими жидкостям, являются текучесть и вязкость.
Подобными качествами обладает и газ. Любой газ подчиняется
тем же законам гидравлики, что и физическая жидкость. Поэтому под
понятием жидкости в гидравлике понимаются не только физические
жидкости, но и газы.
Соответственно жидкости разделяют на два вида:
- капельные (малосжимаемые) жидкости, например вода, нефть,
ртуть и т.д.;
- газообразные (сжимаемые) жидкости, к которым относятся все
газы.
Капельные жидкости обладают объемом, который практически
не изменяется под действием сил. Объем газообразных жидкостей под
действием сил может значительно изменяться.
Основные физические свойства жидкостей:
1.1 Объемный (удельный) вес – отношение веса жидкости к ее
объему:
G
γ = , Н/м 3 ,
(1)
V
где G – вес жидкости, Н; V – объем жидкости, м3.
1.2 Плотность (абсолютная) – масса единицы объема жидкости:
m
ρ = , кг/м3 ,
(2)
V
где m – масса жидкости, кг; V – объем жидкости, м3.
Значения γ и ρ для некоторых капельных и газообразных жидкостей приведены в табл. 1.
Абсолютная плотность и удельный вес жидкостей зависят от
температуры. Например, вода обладает наибольшей плотностью
(1000 кг/м3) и наибольшим удельным весом (9810 Н/м3) при температуре 3,98 оС. Поэтому в гидравлике используется понятие относительной плотности.
7

Таблица 1
Удельный вес и плотность некоторых жидкостей

γ , Н/м3

Жидкость

ρ , кг/м3

Капельные жидкости при t = 20 оС
пресная
9790
998,2
Вода
морская
10010-10090
1002-1029
Глицерин безводный
12260
1250
Керосин
7770-8450
792-840
касторовое
9520
970
Масло
минеральное
8000-8750
877-892
Нефть
8340-9320
850-950
Ртуть
132900
13547
Спирт этиловый безводный
7440
789,3
Хлористый натрий (раствор)
10690
1200
Эфир этиловый
7010-7050
715-719
Бензин авиационный
7250-7370
739-751
Газообразные жидкости при атмосферном давлении и t = 15 оС
Водород
0,81
0,08
Водяной пар
7,25
0,74
Окись углерода
11,3
1,15
Азот
11,3
1,15
Воздух
11,6
1,20
Кислород
12,8
1,30
Углекислота
17,6
1,80

Абсолютная плотность и удельный вес жидкостей зависят от
температуры. Например, вода обладает наибольшей плотностью
(1000 кг/м3) и наибольшим удельным весом (9810 Н/м3) при температуре 3,98 оС. Поэтому в гидравлике используется понятие относительной плотности.
Относительной плотностью называется отношение абсолютной плотности рассматриваемой жидкости к абсолютной плотности
воды при температуре 3,98 оС и атмосферном давлении. Относительная плотность обозначается d и определяется по выражению
d=

ρж
,
ρв3,98

где ρ ж - абсолютная плотность рассматриваемой жидкости, кг/м3;
8

ρ в3,98 - абсолютная плотность воды при температуре 3,98 оС и атмо-

сферном давлении, кг/м3.
Значения относительной плотности воды при атмосферном давлении приведены в табл. 2.
Таблица 2
Зависимость относительной плотности воды
при атмосферном давлении от температуры
о
t, С
d
t, оС
d
0
0,99987
5
0,99999
3
0,99999
30
0,99576
3,98
1,00000
60
0,98333

1.3 Сжимаемость – свойство жидкостей изменять свой объем
при изменении давления.
Сжимаемость характеризуется коэффициентом объемного
сжатия βV, выражающим относительное изменение объема жидкости
при изменении давления на 1 Па:
dV
βV = −
, Па -1 ,
(3)
V0 ⋅ dp
где V0 – начальный объем жидкости, м3; dp – элементарное изменение
давления, Па; dV – элементарное изменение объема, м3.
Знак «минус» в формуле (3) обусловлен тем, что положительному значению dp соответствует отрицательное значение dV (при увеличении давления объем жидкости уменьшается).
Величину, обратную βV, называют модулем упругости:
1
Е=
, Па.
(4)

βV

Величина βV и E зависит от температуры и давления жидкости.
Однако, для капельных жидкостей, их значение изменяется мало
(табл. 3). Например, для воды в среднем можно принимать
βV = 0,5 ⋅10−9 Па -1 и Е = 2 ⋅ 109 Па .
1.4 Температурное расширение, характеризующееся коэффициентом температурного расширения βt, выражающим относительное увеличение объема жидкости при повышении температуры на 1
градус:
dV о -1
βt =
, С ,
(5)
V0 ⋅ dt
9

где VO – начальный объем жидкости, м3; dt – элементарное изменение
температуры, оС; dV – элементарное изменение объема, м3.
Значение βt изменяется с изменением температуры и давления
жидкости (табл. 4). При температурах от 10 до 20 оС и атмосферном
давлении можно принимать β t = 0,0001 о С -1 .
Таблица 3
Значения коэффициента объемного сжатия воды, βV ⋅ 1010 , Па -1 ,
в зависимости от температуры t и давления p
p ⋅10−5 , Па
5
10
20
39
78
t, оС
0
5,4
5,37
5,31
5,23
5,15
5
5,29
5,23
5,18
5,08
4,93
10
5,23
5,18
5,08
4,98
4,81
15
5,18
5,1
5,03
4,88
4,7
20
5,15
5,05
4,95
4,81
4,6
Таблица 4
Значения коэффициента температурного расширения воды,
βt , о С-1, в зависимости от температуры t и давления p
t, оС
1-10
10-20
40-50
60-70
90-100
p ⋅10−5, Па
1
0,000014 0,000150 0,000422 0,000556 0,000719
98
0,000043 0,000165 0,000422 0,000548 0,000714
196
0,000072 0,000183 0,000426 0,000539
490
0,000149 0,000236 0,000429 0,000523 0,000661
883
0,000229 0,000294 0,000437 0,000514 0,000621
1.5 Вязкость – свойство жидкости оказывать сопротивление
относительному движению (сдвигу) ее частиц.
Это свойство обусловлено возникновением сил внутреннего трения при скольжении одного слоя жидкости по другому.
В 1687 г. Исаак Ньютон исследовал поток вязкой жидкости. В
своих опытах он рассматривал параллельно-струйный (ламинарный)
поток (рис. 1) и высказал следующую гипотезу: силы внутреннего
трения Fтр, возникающие между соприкасающимися слоями A и B
жидкости, прямо пропорциональны скорости относительного движе10

ния слоев dW и площади поверхности их соприкосновения S.
S
слой B

WB=WA+dW

dh
h

WA

слой A

Fтр
dW

Рис. 1. Схема возникновения сил внутреннего трения при движении жидкости.

В 1883 г. наш соотечественник, профессор Н.П. Петров, занимаясь вопросами трения при смазке, сформулировал закон трения в жидкостях и предложил формулу (формула Ньютона-Петрова):
dW
,
Fтр = ± μ ⋅ S ⋅
(6)
dh
dW
- градиент скорости, 1/с, имеюгде Fтр – полная сила трения, Н;
dh
щий знак «+» или «-», в зависимости от характера изменения скорости
по сечению потока; dW – разность скоростей движения соприкасающихся слоев, м/с; dh – расстояние между осями соседних слоев (элементарное изменение расстояния по нормали к движению слоев), м; S
– площадь поверхности соприкосновения слоев, м2; μ - коэффициент
внутреннего трения, или коэффициент динамической вязкости, Па⋅с.
Разделим правую и левую части уравнения (6) на S. Отношение
Fтр S есть не что иное, как касательное напряжение τ , т.е.
dW
, Па.
(7)
dh
Таким образом, можно сказать, что вязкость жидкости - это ее
способность оказывать сопротивление касательным напряжениям.
Соответственно, коэффициент динамической вязкости представляет собой отношение касательного напряжения к градиенту скорости:

τ = ±μ ⋅

μ=

τ

, Па·с.
dW / dh
В гидравлических расчетах также используется коэффициент
кинематической вязкости – отношение коэффициента динамической
11

вязкости к плотности жидкости:

ν=

μ 2
, м /с.
ρ

Из выражения (6) следует, что в покоящейся жидкости силы
внутреннего трения отсутствуют, и силы вязкости равны нулю.
Вязкость жидкости изменяется при изменении температуры и
давления. Значения коэффициентов вязкости μ и ν для некоторых
капельных и газообразных жидкостей приведены в табл. 5-7.
Таблица 5
Зависимость плотности ρ, динамической μ и кинематической ν
вязкости воды от температуры t (при атмосферном давлении)
t, оС
ρ, кг/м3
μ·103, Па·с
ν·104, м2/с
0
999,9
1,79
0,0179
4
1000
1,57
0,0152
20
998
1,01
0,0101
40
992
0,65
0,0066
60
983
0,48
0,0048
80
972
0,36
0,0037
90
965
0,31
0,0033
99
959
0,27
0,0028
Таблица 6
Динамическая μ и кинематическая ν вязкость некоторых
капельных жидкостей при атмосферном давлении
Жидкость

μ, Па·с

Вода пресная (t = 20 0C)
Глицерин безводный (t = 20 0C)
Керосин (t = 15 0C)
Бензин (t = 15 0C)
Масло
касторовое
0
(t = 20 C) минеральное
Нефть (t = 15 0C; d = 0,86)
Ртуть (t = 20 0C)
Спирт этиловый безводный (t = 20 0C)
12

ν·104, м2/с

0,00101
0,01012
0,512
4,1
0,0016-0,0025
0,02-0,03
0,0006-0,00065 0,0083-0,0093
0,972
10,02
0,0275-1,29
0,313-14,5
0,007-0,008
0,081-0,093
0,0015
0,00111
0,00119
0,0151

Таблица 7
Зависимость кинематической вязкости ν·10 , м /с,
некоторых газообразных жидкостей от температуры t
t, оС
0
20
50
100
Газ
Воздух
0,133
0,151
0,178
0,232
Метан
0,145
0,165
0,197
0,256
Этилен
0,075
0,086
0,104
0,138
4

2

Для измерения вязкости жидкости используются специальные
приборы – вискозиметры.
Закон Ньютона (7) справедлив для большинства реальных жидкостей с небольшой молекулярной массой, вязкость которых μ является функцией температуры и давления и не зависит от скорости
сдвига dW dh .
Кроме обычных (ньютоновских) жидкостей существуют аномальные (неньютоновские) жидкости – бингамовские, псевдопластические, дилатантные, тиксотропные, реопектические, вязкоупругие и
другие, для которых закон внутреннего трения выражается иначе.
Например, 42%-ная смесь воды и гипса после встряхивания (разрушения структуры) затвердевает по истечении 40 мин, а при медленном перекатывании, способствующем образованию структуры, – по
истечении 20 с.
Для бингамовских жидкостей, к которым относятся, например,
густые шламы, масляные краски, смазочные масла справедлива зависимость:
dW
τ =τ0 ± μ ⋅
, Па,
dh
где τ 0 – касательное напряжение в покоящейся жидкости, после преодоления которого жидкость приходит в движение, Па.
Понятие вязкости сильно усложняет любую жидкостную модель, поэтому для упрощения ввели понятие идеальной жидкости.
Идеальной жидкостью называют такую условную жидкость,
которая совершенно не сжимается и не расширяется, и в которой отсутствуют силы внутреннего трения (т.е. коэффициент вязкости равен
нулю).
Все модели, созданные с использованием понятия идеальной
жидкости, далеки от реальности. Они могут лишь отразить характер
13

зависимости изменения состояния системы от действующих на нее
факторов. Поэтому в гидравлике очень велико значение эксперимента,
способного подтвердить или опровергнуть результаты теоретических
исследований.
1.6 Поверхностное натяжение – это энергия, необходимая для
увеличения поверхности жидкости на 1 м2.
Молекулы жидкости, расположенные у поверхности контакта с
другой жидкостью, газом или твердым телом, находятся в условиях,
отличных от условий молекул, находящихся внутри жидкости. Внутри
объема молекулы со всех сторон окружены такими же молекулами, а
вблизи поверхности - только с одной стороны. Соответственно молекулы жидкости внутри ее объема испытывают примерно одинаковое
воздействие соседних молекул, в то время как молекулы, находящиеся
у поверхности раздела фаз, притягиваются молекулами внутренних
слоев жидкости сильнее, чем молекулами другой среды. Поэтому
энергия поверхностных молекул отличается от энергии молекул, находящихся в объеме жидкости, на некоторую величину, называемую поверхностной энергией:
Eп = σ ⋅ S , Дж,
(8)
2
где S - площадь поверхности раздела фаз, м ; σ - коэффициент пропорциональности, Дж/м2.
В результате на поверхности жидкости возникает давление, направленное внутрь жидкости по нормали к ее поверхности и стремящееся уменьшить эту поверхность до минимума.
Коэффициент пропорциональности σ представляет собой энергию (работу), необходимую для увеличения поверхности жидкости, и
называется поверхностным (межфазным) натяжением:
E
σ = п , Н/м.
S
Например, под действием поверхностного натяжения пузырьки
газа в жидкости, и капли, взвешенные в газе или в другой жидкости,
принимают форму, близкую к шарообразной, т.е. форму с минимальной поверхностью.
Значение поверхностного натяжения зависит от природы жидкости и температуры, – с ростом температуры поверхностное натяжение уменьшается, а в критической точке перехода жидкости в пар
становится равным нулю. При 20 оС для границы воды и воздуха
σ = 0,073 Н/м, для границы раздела ртуть-воздух σ = 0,48 Н/м.
14

На поверхности, разделяющей три фазы (рис. 2), например твердую 1, жидкую 2 и газообразную 3, между поверхностью жидкости и
твердой стенкой образуется краевой угол θ , величина которого зависит от поверхностных натяжений на границах фаз и не зависит ни от
формы сосуда, ни от действия силы тяжести. Если край жидкости
приподнят, ее поверхность имеет вогнутую форму (рис. 2, а), и краевой угол острый (θ < 90о). В этом случае жидкость смачивает твердую поверхность. С увеличением значения краевого угла θ смачивающая способность жидкости ухудшается, и при θ > 90о жидкость
считается несмачивающей (рис. 2, б). При полном несмачивании
(θ = 180о) жидкость стремится уменьшить площадь контакта с твердой поверхностью и находится на ней в виде нерастекающихся капель.

а)

б)

3

θ

2

2

1

1

газ.

θ

3

Рис. 2. К определению краевого угла θ : 1 – твердая фаза; 2 – жидкость; 3 –

От явления смачивания зависит поведение жидкости в тонких
трубках (капиллярах), погруженных в жидкость. При смачивании
жидкость в трубке поднимается над уровнем свободной поверхности,
при несмачивании опускается. Высота капиллярного поднятия (опускания) жидкости находится по формуле
4 ⋅σ
hк =
⋅ cosθ , м,
(9)
ρ ⋅g ⋅d
где d - диаметр капилляра, м; g - ускорение свободного падения, м/с2.
Угол θ между водой и чистой стеклянной поверхностью практически равен нулю, и в этом случае
4 ⋅σ
, м.
hк =
(9, а)
ρ ⋅ g ⋅d
Влияние сил поверхностного натяжения необходимо учитывать
при работе с жидкостными приборами для измерения давления, при
истечении жидкости из отверстий малого диаметра, при контактировании жидкостных и паровых потоков, при фильтрации, образовании
15

капель и в других случаях, когда прочие силы, действующие на жидкость (сила тяжести, давление), малы.
Пример 1.1 В системе водяного отопления объемом 0,7 м3, работающей при давлении 9,8 МПа и температуре воды от 90 до 110 оС,
установлен расширительный бак (рис. 3) для аккумулирования увеличения объема жидкости при повышении ее температуры. Определить наименьший объем расширительного бака с условием его полного опорожнения при падении температуры.

Рис. 3. К примеру 1.1.

Решение. По табл. 4 определяем коэффициент температурного
расширения воды при средней температуре воды (100 оС) и давлении
9,8 МПа: βt = 0,000714 о С-1 . Наименьший объем расширительного бака должен быть равен увеличению объема воды ΔV при увеличении
ее температуры от минимальной (90 оС) до максимальной (110 оС).
Тогда, используя формулу (5) получим:
ΔV = β t ⋅ V0 ⋅ Δt = 0,000714 ⋅ 0,7 ⋅ (110 − 90) = 0,009996 м 3 ≈ 10 л.
Пример 1.2 Определить высоту капиллярного поднятия воды
( σ в = 0,073 Н/м) и ртути (σ р = 0,48 Н/м) в стеклянных трубках диаметром 1 мм при температуре 20 оС.
Решение. По табл. 1 определяем коэффициент плотность воды и
ртути при температуре 20 оС: ρв = 1000 кг/м3, ρр = 13600 кг/м3.
По формуле (9, а) определим:
4 ⋅σв
4 ⋅ 0,073
hкв =
=
= 0,03 м = 30 мм;
ρв ⋅ g ⋅ d 1000 ⋅ 9,8 ⋅ 0,001
hкр =

4 ⋅σ р

ρр ⋅ g ⋅d

=

4 ⋅ 0,48
= 0,013 м = 13 мм.
13600 ⋅ 9,8 ⋅ 0,001
16

Задание 1.1 В нагревательном баке объемом V находится вода
при температуре t1 и атмосферном давлении. Как изменится объем
воды, если ее нагреть до температуры t2? Исходные данные приведены в табл. 8.

Таблица 8
Исходные данные к выполнению задания 1.1
Номер
t1, оС
t2, оС
V, м3
варианта
n
10·n
n + 10
n + 60
Задание 1.2 Емкость, полностью заполненная бензином, нагрелась на солнце от температуры t1 до температуры t2. Насколько повысилось бы давление в емкости, если бы она была абсолютно жесткой?
Исходные данные приведены в табл. 9.

Таблица 9
Исходные данные к выполнению задания 1.2
Номер
t1, оС
t2, оС
Е, МПа
β t , о С -1
варианта
n
n + 1300
n
n + 20
0,0008 - n ⋅ 10 − 6

17

2 Гидростатика
Гидростатика - раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия покоящейся жидкости.
Жидкость в неподвижном сосуде находится в абсолютном покое (относительно земной поверхности).
В состоянии относительного покоя движущейся жидкости форма объема жидкости не изменяется, и она, подобно твердому телу,
перемещается как единое целое. При этом частицы жидкости не перемещаются друг относительно друга и силы внутреннего трения отсутствуют, что позволяет считать жидкость идеальной. Жидкость находится в относительном покое, например, внутри движущейся цистерны, или внутри вращающегося с постоянной скоростью барабана.
Независимо от вида покоя на жидкость действуют силы тяжести
и давления. В случае относительного покоя необходимо учитывать
также силу инерции переносного (вместе с сосудом) движения жидкости.
2.1 Гидростатическое давление и его свойства
Внешние силы, действующие на жидкость, делятся на две категории:
Массовые (объемные) – это силы, пропорциональные массе
1
(объему) жидкости, – силы тяжести и силы инерции.
Поверхностные силы, действующие на поверхность, огра2
ничивающую исследуемый объем жидкости. К ним относятся, к примеру, силы давления поршня на жидкость, находящуюся в цилиндре
насоса.
Под действием внешних сил в каждой точке жидкости возникает
напряжение. Сжимающее напряжение, возникающее внутри покоящейся жидкости, называется гидростатическим давлением.
Различают среднее гидростатическое давление (рис. 4, а):
F
pср = , Па,
S
и гидростатическое давление в точке (рис. 4, б):
dF
, Па,
p = lim
dS → 0 dS
где F – равнодействующая сил, действующих на поверхность, Н; S –
площадь поверхности, на которую действует равнодействующая F,
м2; dF – элементарная сила, Н; dS – площадь элементарной поверхности, м2.
18

а)

б)

F
S

dF
а)
dS

Рис. 4. Гидростатическое давление: а - среднее; б - гидростатическое давление в точке.

Свойства гидростатического давления:
Гидростатическое давление всегда направлено по внут1
ренней нормали к той площадке, на которую оно действует.
Гидростатическое давление в любой точке жидкости по
2
всем направлениям одинаково, т.е. не зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует.
Единицей измерения давления в Международной системе единиц измерения СИ является Паскаль (Па):
1 Па = 1 Н/м2.
Одна техническая атмосфера (1 ат) равна 98066 Па и соответствует давлению ртутного столба высотой 735 мм, или давлению водяного столба высотой 10 м, или одному килограмму силы, приходящемуся на один квадратный сантиметр:
1 ат = 98066 Па = 735,6 мм рт. ст. = 10 м вод. ст. = 1 кгс/см2.
Внесистемные единицы измерения давления:
– физическая атмосфера (атм), 1 атм = 101325 Па = 760 мм рт. ст.;
– бар, 1 бар = 105 Па = 750 мм рт. ст.
Необходимо отметить, что параметром состояния жидкости является абсолютное давление p , т.е. полное давление, которое складывается из давления жидкости, и внешнего давления, воздействующего на данную жидкость.
Приборы для измерения давления:
Барометры, использующиеся для измерения атмосферного
1
давления.
Манометры, применяющиеся для измерения избыточного
2
19

(манометрического) давления pи и показывающие, насколько абсолютное давление жидкости p превышает атмосферное давление pат , т.е.
pи = p − pат ;
p = pи + pат .
3
Вакуумметры, применяющиеся для измерения вакуума
(разрежения) pв и показывающие, насколько абсолютное давление
жидкости p меньше атмосферного давления pат , т.е.
pв = pат − p ;
p = pат − pв .
2.2 Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
(уравнения Эйлера)
Соотношение между силами, действующими на покоящуюся
жидкость, определяющее условия равновесия жидкости, выражается
дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера.
В объеме жидкости, находящейся в покое, выделим элементарный параллелепипед объемом dV с ребрами dx, dy и dz, расположенными параллельно осям координат x, y и z (рис. 5).
p+

z

∂p
⋅ dz
∂z
p+

∂p
⋅ dy
∂y

p+

∂p
⋅ dx
∂x

dz
p

dx
dy

p

g·dm

p
x

y
Рис. 5. К выводу уравнений равновесия жидкости.
20

Сила тяжести, действующая на параллелепипед, выражается
произведением его массы dm на ускорение свободного падения g, т.е.
равна g·dm.
Сила гидростатического давления на любую из граней параллелепипеда равна произведению гидростатического давления p на площадь этой грани.
Выделенный объем жидкости, находящийся под действием
внешних сил, будет находиться в равновесии, если сумма проекций
всех действующих сил на любую из координатных осей будет равна
нулю.
Рассмотрим сумму проекций сил на ось z. Проекция силы тяжести
− g ⋅ dm = − g ⋅ ρ ⋅ dV = − ρ ⋅ g ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz .
Проекция силы гидростатического давления на нижнюю грань
p ⋅ dx ⋅ dy .
Если элементарное изменение гидростатического давления в на∂p
, то по всей длине ребра dz оно составит
правлении оси z равно
∂z
∂p
⋅ dz . Тогда гидростатическое давление на противоположную
∂z
∂p


(верхнюю) грань равно ⎜ p + ⋅ dz ⎟ и проекция силы гидростатиче∂z


ского давления на ось z составит
∂p


− ⎜ p + ⋅ dz ⎟ ⋅ dx ⋅ dy .
∂z


Проекция равнодействующей силы давления на ось z
∂p
∂p


p ⋅ dx ⋅ dy − ⎜ p + ⋅ dz ⎟ ⋅ dx ⋅ dy = − ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz .
∂z
∂z


Сумма проекций сил на ось z равна нулю, т.е.
∂p
− ρ ⋅ g ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz − ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = 0 .
∂z
Учитывая, что dx ⋅ dy ⋅ dz = dV ≠ 0 , получим
∂p
−ρ⋅g −
= 0.
∂z
Проекции сил тяжести на оси x и y равны нулю. Поэтому сумма
проекций сил на ось x составит
21

∂p
∂p


p ⋅ dy ⋅ dz − ⎜ p + ⋅ dx ⎟ ⋅ dy ⋅ dz = − ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = 0 ,
∂x
∂x



или


∂p
= 0.
∂x

Соответственно для оси y


∂p
∂p
p ⋅ dx ⋅ dz − ⎜ p + ⋅ dy ⎟ ⋅ dx ⋅ dz = − ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = 0 ,
∂y
∂у


или

∂p
= 0.
∂y
Таким образом, условия равновесия элементарного объема жидкости выражаются системой уравнений:

∂p
=0


∂x

∂p

=0

(10)
⎬.
∂y


∂p
= 0⎪
−ρ⋅g −
∂z

Уравнения (10) представляют собой дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера).
Для получения закона распределения давления во всем объеме
покоящейся жидкости необходимо проинтегрировать систему уравнений (10). Интегралом этих уравнений является основное уравнение
гидростатики, широко используемое в инженерной практике.


2.3 Основное уравнение гидростатики
Для практического использования дифференциальных уравнений
Эйлера их необходимо преобразовать и проинтегрировать.
Давление в покоящейся жидкости изменяется только по вертикали (вдоль оси z) и остается одинаковым во всех точках любой гори∂p
=0 и
зонтальной плоскости. Поэтому в системе уравнений (10)
∂x
∂p
dp
∂p
= 0 , а частная производная
= 0 может быть заменена на
= 0.
∂y
∂z
dz
Соответственно можно записать
22

dp
= 0,
dz
− ρ ⋅ g ⋅ dz − dp = 0 .
Разделив левую и правую части последнего выражения на
(− ρ ⋅ g ) , получим
1
dz +
⋅ dp = 0 .
ρ⋅g
Учитывая, что ρ = const , запишем
⎛ p ⎞
dz + d ⎜⎜
⎟⎟ = 0 ,
⎝ρ⋅g⎠
или

p ⎞
d ⎜⎜ z +
⎟⎟ = 0 .
ρ

g


Окончательно после интегрирования получим
p
z+
= const .
(11)
ρ⋅g
Для двух произвольных горизонтальных плоскостей 1 и 2 уравнение (11) выражают в форме
p
p
z1 + 1 = z 2 + 2 .
(12)
ρ⋅g
ρ⋅g
Уравнение (11) или (12) называется основным уравнением гидростатики. В нем z1 и z 2 – высоты расположения двух точек внутри
покоящейся капельной жидкости над произвольно выбранной плоскостью сравнения* (отсчета), м; p1 и p 2 – гидростатические давления в
этих точках, Па.
−ρ⋅g −

*

Плоскостью сравнения называют горизонтальную плоскость, проведенную на
произвольной высоте и используемую для определения вертикальных координат отдельных точек в жидкости.
23

z

z0

h

2.4 Закон Паскаля
Чтобы найти значение конp0
станты в уравнении (11), рассмот2
рим две частицы жидкости (рис. 6),
одна из которых (точка 1) располоp
жена внутри объема жидкости на
1
высоте z от плоскости сравнения 00, а другая (точка 2) находится на
поверхности жидкости, т.е. на высоте z0 от плоскости 0-0. Пусть p и p0 –
0
0
давления в точках 1 и 2 соответстРис. 6. К основному
венно. При таких обозначениях
уравнению гидростатики.
p0
p
,
z+
= z0 +
ρ⋅g
ρ⋅g
или
p − p0
= z0 − z ;
(13)
ρ⋅g
p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ ( z0 − z ).
(14)
Очевидно, что разность ( z0 − z ) представляет собой глубину h
погружения точки 1 относительно поверхности жидкости (точки 2),
поэтому
p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h .
(15)
Это - другая, удобная для расчетов форма основного уравнения
гидростатики. Анализируя уравнение (15) и учитывая, что ρ ⋅ g = γ ,
можно сделать вывод: давление в жидкости растет прямо пропорционально глубине, и коэффициентом пропорциональности является
удельный вес жидкости.
Уравнения (14) и (15) являются математической формулировкой
закона Паскаля, согласно которому давление, производимое на покоящуюся капельную жидкость, передается одинаково всем точкам
ее объема. Действительно, в соответствии с уравнением (14), при изменении давления p0 в точке z0 давление p в любой другой точке
объема жидкости изменится так же.

24

2.5 Геометрическая интерпретация основного уравнения
гидростатики
Геометрически основное уравнение гидростатики (11) для произвольной точки М можно представить (рис. 7) в виде суммы двух
p
. Величина
отрезков, высота которых равна соответственно z и
ρ⋅g
z называется геометрической высотой*, она отсчитывается от произp
определяется даввольной плоскости сравнения 0−0. Величина
ρ⋅g
лением p в рассматриваемой точке (М) и может быть измерена так
называемой приведенной высотой hпр подъема жидкости в присоединенной трубке, из которой полностью удален воздух:
p
.
hпр =
ρ⋅g

Рис. 7. Геометрическая и энергетическая интерпретация основного уравнения гидростатики.

*

Геометрической высотой называют расстояние от плоскости сравнения до
рассматриваемой точки.
25

Сумма геометрической высоты точки z и приведенной высоты
hпр называется гидростатическим (потенциальным) напором и обозначается H :
p
.
H = z + hпр = z +
ρ⋅g
Из основного уравнения гидростатики (11) можно сделать вывод,
что гидростатический напор для всех точек покоящейся жидкости –
величина постоянная:
p
H =z+
= const .
ρ⋅g
Так как напор для всех точек жидкости есть величина постоянная, то жидкость в трубке будет подниматься на одну и туже высоту
относительно плоскости сравнения. Горизонтальная плоскость 0/ −0/ ,
которая располагается на высоте H = (z + hпр ) от плоскости сравнения
0−0, называется плоскостью гидростатического напора.
Если трубка открытым концом соединена с атмосферой, то такая
трубка называется пьезометром, а высота подъема жидкости в ней hп
(пьезометрическая высота) будет определяться избыточным (манометрическим) давлением pи :
p
hп = и .
ρ⋅g
Величина, равная сумме геометрической высоты точки z и пьезометрической высоты hп , обозначается H п и называется пьезометрическим напором:
p
H п = z + hп = z + и .
ρ⋅g
Согласно основному уравнению гидростатики (11), для всех точек покоящейся жидкости можно записать
p
H п = z + и = const .
ρ⋅g
Горизонтальную плоскость 0// −0// , расположенную на высоте
H п = ( z + hп ) от плоскости сравнения 0−0, называют плоскостью пьезометрического напора.

26

Таким образом, геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики заключается в следующем: для всех точек покоящейся жидкости гидростатический и пьезометрический напоры
являются величинами постоянными.
2.6 Энергетическая интерпретация основного уравнения
гидростатики
Умножим каждое слагаемое уравнения (11) на вес рассматриваемого объема жидкости m ⋅ g :
p
z⋅m⋅ g +
⋅ m ⋅ g = const .
ρ⋅g
Произведение z ⋅ m ⋅ g представляет собой потенциальную энергию массы m, находящейся в точке M на высоте z относительно плоскости сравнения 0-0 (рис. 7).
Преобразуем второе слагаемое:
ρ ⋅ g ⋅ hпр
p
⋅m⋅ g =
⋅ m ⋅ g = hпр ⋅ m ⋅ g .
ρ⋅g
ρ⋅g
Произведение hпр ⋅ m ⋅ g есть потенциальная энергия, необходимая для поднятия массы m из точки М (рис. 7) в плоскость гидростатического напора 0/-0/ (на высоту hпр ).
Разделив оба слагаемых на m ⋅ g , получим удельную энергию*
P
e=z+
= const .
ρ⋅g
Таким образом, из основного уравнения гидростатики (11) следует, что сумма удельной потенциальной энергии положения z и
p
удельной потенциальной энергии гидростатического давления
ρ⋅g
есть величина постоянная для всех точек покоящейся жидкости.

*

Удельной называют энергию, приходящуюся на единицу веса или массы тела.
27

2.7 Практические приложения основного уравнения гидростатики
Уравнение гидростатики, выражаемое часто в виде закона Паскаля, имеет ряд важных практических приложений.
Принцип сообщающихся сосудов. Пусть два сообщающихся
сосуда (рис. 8, а) заполнены жидкостью. Выберем произвольную
плоскость сравнения 0-0 и некоторую точку А внутри жидкости, лежащую в этой плоскости. Используя уравнение (15) выразим давление в точке А
p А = p0 + ρ ⋅ g ⋅ z1 ,
или
p А = p0 + ρ ⋅ g ⋅ z 2 .
Следовательно z1 = z 2 .
Таким образом, в сообщающихся сосудах, находящихся под одинаковым давлением и заполненных однородной жидкостью, уровни
жидкости располагаются на одной высоте независимо от формы
сосудов. Этот принцип используется для измерения уровня жидкости
в закрытых аппаратах при помощи стеклянных трубок.

p0

z2

z1

A

0

p0

p0

z2

z1

p0

A

0

0

а)

0

б)

Рис. 8. Условия равновесия в сообщающихся сосудах: а - однородная
жидкость; б - разнородные несмешивающиеся жидкости.

Если сообщающиеся сосуды заполнены двумя несмешивающимися жидкостями, имеющими разные плотности ρ1 и ρ 2 (рис. 8, б),
получим
p А = p0 + ρ1 ⋅ g ⋅ z1 ,
или
p А = p0 + ρ 2 ⋅ g ⋅ z 2 .
28

Тогда

ρ1 ⋅ z1 = ρ 2 ⋅ z 2 ,

(16)

или

z1 ρ 2
.
=
z 2 ρ1
Следовательно, в сообщающихся сосудах высоты уровней разнородных жидкостей обратно пропорциональны плотностям этих
жидкостей.
Если сосуды заполнены одной жидкостью, но давления над
уровнем жидкости в них неодинаковы и равны p1 и p2 , то
p1 + ρ ⋅ g ⋅ z1 = p2 + ρ ⋅ g ⋅ z2 ,
откуда разность уровней жидкости в сосудах
p − p2
z 2 − z1 = 1
.
(17)
ρ⋅g
Полученное уравнение используют при измерениях давлений или
разностей давлений между различными точками жидкости с помощью
дифференциальных U-образных манометров (рис. 9).

Рис. 9. Применение принципа сообщающихся сосудов
для измерения давления жидкости.

Определение высоты гидравлического затвора. Условия равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах можно использовать
для определения высоты гидравлического затвора в различных аппаратах. Например, если в емкости (рис. 10) находится смесь жидкостей
с различной плотностью ρ1 и ρ 2 (эмульсия), давление над жидкостью
внутри резервуара и на выходе из затвора одинаково, граница раздела
фаз поддерживается на стыке цилиндрической и конической частей
емкости, то необходимая высота гидравлического затвора, согласно
уравнению (16)
29

z2

ρ1 ⋅ z1
.
ρ2

z1

z2 =

0

0

Рис. 10. К определению высоты гидравлического затвора.

Пневматическое измерение количества жидкости. Для измерения объема жидкости в резервуарах, в них устанавливают трубку,
нижний конец которой доходит практически до днища резервуара
(рис. 11).



4
3

p0

F2
d2

2
1

F1

d1

h

p
Рис. 12. Схема гидравлического
пресса: 1 - поршень малого диаметра; 2 - поршень большого диаметра; 3 - обрабатываемый материал; 4 - неподвижная плита.

Рис. 11. Пневматический
измеритель уровня жидкости.

Через верхний конец трубы в емкость подают сжатый газ, постепенно повышая его давление. Когда газ преодолеет сопротивление
столба жидкости ρ ⋅ g ⋅ h и давление p0 на поверхность жидкости в
резервуаре, он начнет барботировать (пробулькивать) через жидкость. При этом давление газа pг , замеряемое манометром, переста30

нет возрастать и согласно уравнению (15) будет равно
pг = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h ,
откуда уровень жидкости в резервуаре
p − p0
h= г
.
ρ⋅g
По величине h , м, и известной площади поперечного сечения резервуара S , м2, определяют объем находящейся в нем жидкости V , м3:
V = h⋅S .
Гидравлический пресс. Схема гидравлического пресса приведена на рис. 12. Приложение небольшого усилия F1 к поршню 1, движущемуся в цилиндре малого диаметра d1, приведет к созданию давления p, которое по закону Паскаля будет передаваться жидкостью
(техническим маслом), заполняющей цилиндры, на поршень 2 в цилиндре большого диаметра d2. При этом силы давления на поршни 1
и 2 соответственно составят
π ⋅ d12
π ⋅ d 22
; F2 = p ⋅
.
F1 = p ⋅
4
4
Соответственно
F2 d 22
=
.
F1 d12
Поскольку d2 > d1, то и F2 > F1. Таким образом осуществляется
прессование (раздавливание) обрабатываемого материала 3, помещенного между поршнем 2 и неподвижной плитой 4.
Гидравлический домкрат. Поднятие тяжелых грузов на небольшую высоту можно осуществлять при помощи гидравлических
домкратов, принцип работы которых во многом схож с работой гидравлического пресса (рис. 12). Гидравлический домкрат состоит из цилиндра с большим поршнем 2 и насоса с малым поршнем 1, нагнетающего в цилиндр жидкость. Давление, оказываемое поршнем насоса 1 на жидкость, передается на большой поршень 2, на котором устанавливаются поднимаемые грузы 3, 4. Гидравлические домкраты
применяются в ряде строительных машин: бульдозерах, автокранах,
канавокопателях и пр.

31

2.8 Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности
При определении воздействия жидкости на твердую поверхность решают две задачи: определяют величину равнодействующей
сил гидростатического давления и находят координаты центра давления*.
2.8.1 Давление жидкости на плоскую горизонтальную поверхность
Рассмотрим простейший случай – давление жидкости на плоское дно цилиндрического сосуда (рис. 13, а). Выделим элементарную
площадку dS . Сила давления dF на эту площадку составит
dF = p ⋅ dS ,
где p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h – абсолютное (полное) гидростатическое давление в любой точке площади дна.
Равнодействующая сила абсолютного гидростатического давления определяется интегралом от элементарной силы, взятым по всей
площади дна:
F = ∫ dF = ∫ p ⋅ d S = ∫ ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ h ) ⋅ dS = ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ h ) ⋅ S . (17)
S

S

S

Уравнение (18) показывает, что форма сосуда, заполненного
жидкостью, не влияет на силу гидростатического давления.

p0

S
а)

S1

p3

h3

dS

p2

h2

dF

h1

F

h

p1

S2

S3
б)

Рис. 13. Давление жидкости на плоскую горизонтальную поверхность.

*

Центром давления называют точку приложения равнодействующей сил гидростатического давления.
32

В частности, если у сосудов различной формы (рис. 13, б) одинаковы давления на свободную поверхность жидкости, площади плоских днищ и высоты уровня жидкости ( p1 = p2 = p3 ; S1 = S 2 = S3 ;
h1 = h2 = h3 ), то сила гидростатического давления на дно этих сосудов
будет также одинаковой.
В случае равномерно распределенной нагрузки на дно сосуда,
имеющее площадь S , точка приложения равнодействующей F (центр
давления) и центр тяжести площадки S совпадают (рис. 13, а).
2.8.2 Давление жидкости на плоскую наклонную поверхность
Определим силу абсолютного гидростатического давления на
площадку S , лежащую в плоскости стенки, расположенной под углом α к горизонту (рис. 14). Ось координат 0z расположена вдоль
рассматриваемой стенки; ось 0x совпадает с линией пересечения
плоскости свободной поверхности жидкости с плоскостью стенки и
располагается перпендикулярно плоскости чертежа. Для наглядности
развернем плоскость стенки и ось 0x на 90о до совпадения с плоскостью чертежа.
p0

0
hD F

x

h

hC

D

C
C

α
z

xC

D

xD

dS

z
zC

zD

S
Рис. 14. Давление жидкости на плоскую наклонную поверхность.

33

x

В пределах площади S выберем бесконечно малую площадку
dS , находящуюся на произвольной глубине h от свободной поверхности (оси 0x) и на произвольном расстоянии x от оси 0z. Примем
следующие обозначения: hC и hD – глубина погружения центра тяжести (точка С ) и центра давления (точка D ) площадки S ; xC и xD –
расстояния от точек С и D до оси 0z; zC и z D – расстояния от точек
С и D до свободной поверхности жидкости (оси 0x).
Элементарная сила абсолютного гидростатического давления на
площадку dS :
dF = p ⋅ dS = ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ h ) ⋅ dS .
(18)
Тогда сила абсолютного гидростатического давления составит:
F = ∫ ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ h ) ⋅ dS = ∫ p0 ⋅ dS + ∫ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dS .
(19)
S

S

S

Так как давление на свободной поверхности жидкости постоянно ( p0 = const ), то ∫ p0 ⋅ dS = p0 ⋅ S .
S

Кроме того, из рис. 14 видно, что h = z ⋅ sin α , поэтому
∫ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dS = ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ ∫ z ⋅ dS .
S

S

Интеграл ∫ z ⋅ dS представляет собой статический момент плоS

щади S относительно оси 0x, т. е.
∫ z ⋅ dS = S ⋅ zC ,
S

поэтому, учитывая что zC ⋅ sin α = hC ,
ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ ∫ z ⋅ dS = ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ S ⋅ zC = ρ ⋅ g ⋅ hC ⋅ S .
S

Подставив проинтегрированные выражения в исходное уравнение (19), получим
F = p0 ⋅ S + ρ ⋅ g ⋅ hC ⋅ S , или
F = ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ hC ) ⋅ S .
(20)
Таким образом, сила абсолютного давления на плоскую поверхность выражается произведением площади поверхности на величину
абсолютного гидростатического давления в ее центре тяжести.
Координаты центра давления определяются по выражениям:
I
z D = zС + x − x ;
(21)
zС ⋅ S
34

x⋅h
(22)
⋅ dS ,
S hС ⋅ S
где I x − x – центральный момент инерции площадки S относительно
оси, проходящей через ее центр тяжести и параллельной оси 0x.
Анализируя уравнения (22) и (23) можно сделать выводы:
– центр давления (точка D ) находится ниже центра тяжести фиI
гуры (точка С ) на расстоянии эксцентриситета e = x − x ;
zС ⋅ S
– расстояние z D от центра давления до свободной поверхности
жидкости (оси 0x) определяется не только глубиной zС погружения
центра тяжести площадки, но и формой самой площадки;
– для площадок, симметричных относительно оси, параллельной
оси 0z, центр тяжести (точка С ) и центр давления (точка D ) находится на одной прямой, параллельной оси 0z.
xD = ∫

2.8.3 Давление жидкости на криволинейную поверхность
Рассмотрим действие гидростаp0
тического давления на криволинейную поверхность произвольной
dS ///
x
0
формы (рис. 15). Выделим на этой
поверхности бесконечно малую
Fx h
площадку dS , центр тяжести котоdS
рой погружен в жидкость на глубину
α
/
dS
h . На эту элементарную площадку
dFx
F
α
нормально к криволинейной поверхFz
D
ности будет действовать элементарdF
dFz
ная сила абсолютного гидростатичеz
ского давления dF , определяемая по
уравнению (19). Элементарная сила
Рис. 15. Давление жидкости
давления также может быть пред- на криволинейную поверхность.
ставлена в виде:

dF = dFx2 + dFy2 + dFz2 ,
где dFx и dFy – горизонтальные составляющие элементарной силы
dF , действующие параллельно осям 0x и 0y; dFz – вертикальная составляющая силы dF , параллельная оси 0z.
35

Определим каждую составляющую отдельно. Предположим, что
элементарная сила dF расположена под углом α к горизонту (рис.
15). Тогда, с учетом уравнения (19), для горизонтальной составляющей dFx можно записать
dFx = dF ⋅ cos α = ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ h ) ⋅ dS ⋅ cos α .
(23)
Рисунок показывает, что величина dS ⋅ cos α является проекцией
площадки dS на вертикальную координатную плоскость y0z, т.е.
dS ⋅ cos α = dS / .
Соответственно
dFx = ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ h ) ⋅ dS / ,
и
Fx = ∫ ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ h ) ⋅ dS / = p0 ⋅ ∫ dS / + ρ ⋅ g ⋅ ∫ h ⋅ dS / .
S/

S/

S/

Интеграл ∫ h ⋅ dS / представляет собой статический момент плоS/

щади S / относительно оси 0y, равный произведению площади S / на
глубину погружения центра ее тяжести hC , т. е.
/
/
∫ h ⋅ dS = S ⋅ hC .

S/

Окончательно для горизонтальной составляющей Fx можно записать
Fx = p0 ⋅ S / + ρ ⋅ g ⋅ hC ⋅ S / = ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ hC ) ⋅ S / .
(24)
Уравнение для второй горизонтальной составляющей Fy , действующей вдоль оси 0y, запишем по аналогии с уравнением (25):
Fy = p0 ⋅ S // + ρ ⋅ g ⋅ hC ⋅ S // = ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ hC ) ⋅ S // ,
(25)
где S // – проекция площадки S на вертикальную координатную
плоскость x0z.
Определим вертикальную (параллельную оси 0z) составляющую
силы абсолютного гидростатического давления. По аналогии с уравнением (24) запишем
dFz = dF ⋅ sin α = ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ h ) ⋅ dS ⋅ sin α .
Учитывая, что произведение dS ⋅ sin α равняется площади проекции площадки dS на горизонтальную координатную плоскость x0y,
Fz = ∫ dF ⋅ sin α = ∫ ( p0 + ρ ⋅ g ⋅ h ) ⋅ dS /// = p0 ⋅ ∫ dS /// + ρ ⋅ g ⋅ ∫ h ⋅ dS /// .
S ///

S ///

S ///

S ///

Очевидно, что выражение h ⋅ dS /// представляет собой объем
36

dV , выделенный на рис. 15 штриховкой, а произведение ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dS ///
равно весу dG жидкости в этом бесконечно малом объеме, т. е.
ρ ⋅ g ⋅ ∫ h ⋅ dS /// = ρ ⋅ g ⋅ ∫ dV = ∫ dG .
S ///

S ///

S ///

Тогда вертикальная составляющая силы абсолютного гидростатического давления будет равна
Fz = p0 ⋅ ∫ dS /// + ρ ⋅ g ⋅ ∫ dV = p0 ⋅ S /// + ρ ⋅ g ⋅ V = p0 ⋅ S /// + G . (26)
S ///

S ///

Объем V , являющийся суммой элементарных объемов dV , называется телом давления.
Сила гидростатического давления F , являющаяся равнодействующей ее составляющих Fx , Fy и Fz , определяется по уравнению
F = Fx2 + Fy2 + Fz2 ,

(27)

а ее направление – углом α , который можно найти из уравнения
F
tgα = z .
(28)
Fx
Сила F приложена в центре давления. В рассматриваемом случае центр давления расположен в точке пересечения вектора силы F
с криволинейной поверхностью. Координаты центра давления для
криволинейных поверхностей находятся графоаналитическим методом.
2.9 Закон Архимеда. Плавание тел
Рассмотрим тело произвольной формы, погруженное в покоящуюся жидкость (рис. 16). На тело будут действовать поверхностные
силы гидростатического давления, направленные по нормали к его
поверхности.
Равнодействующая сила F , действующая на тело, раскладывается на составляющие по трем координатам: Fx , Fy , Fz , причем
Fx = Fx/ − Fx// ;
Fy = Fy/ − Fy// ;
Fz = Fz/ − Fz// .
Горизонтальные составляющие гидростатического давления равны нулю:
Fx = 0; Fy = 0 .
37

Соответственно, на тело
действуют только вертикальные силы: Fz/ – сила давления
на поверхность AECFB и Fz//
– сила давления на поверхность
Согласно
AECFD .
уравнению (27), не учитывая
p0 , запишем:
Fz/ = ρ ⋅ g ⋅ V AacCB = G AacCB ;
Fz// = ρ ⋅ g ⋅ V AacCD = G AacCD ,
где V AacCB , VAacCD и G AacCB ,
Рис. 16. К выводу закона Архимеда.
G AacCD – объем и вес соответствующих тел давления.
Тогда равнодействующая сил гидростатического давления на тело, погруженное в жидкость, составит
Fz = Fz/ − Fz// = ρ ⋅ g ⋅ (V AacCB − V AacCD ) = − ρ ⋅ g ⋅ V ABCD = −G ABCD . (29)
Уравнение (30) является аналитическим выражением закона Архимеда: на твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость,
действует сила гидростатического давления, равная весу жидкости
в объеме тела, направленная вертикально вверх и проходящая через
центр тяжести тела.
Подъемную силу Fz называют выталкивающей (архимедовой)
силой. Вес жидкости в объеме погруженной в нее части тела называют водоизмещением. Точка приложения архимедовой силы находится
в центре тяжести погруженной части тела, называемом центром водоизмещения.
Закон Архимеда лежит в основе теории плавания тел, использующей два понятия: плавучесть* и остойчивость†.
В зависимости от соотношения между весом плавающего тела
G и подъемной силой Fz возможны три состояния тела, погруженного в жидкость:
1
при Fz > G тело всплывает (плавает в полупогруженном
состоянии);
*

Плавучесть - это способность тела плавать.
Остойчивость - способность плавающего тела восстанавливать нарушенное
при крене равновесие после устранения сил, вызвавших крен.
38



2 при Fz < G тело тонет;
3 при Fz = G тело не тонет и не всплывает, находясь в состоянии покоя в любой точке водного пространства (плавает в погруженном состоянии).
При воздействии на плавающее тело внешних сил, например,
ветра, крутого поворота, удара, оно будет отклоняться от положения
равновесия, т.е. давать крен.
Если центр тяжести тела расположен ниже центра водоизмещения, после прекращения воздействия внешних сил тело возвращается в
первоначальное положение. Такое плавание называется остойчивым.
Если центр тяжести тела расположен выше центра водоизмещения, плавание будет неостойчивым. В этом случае тело не способно
возвратиться в прежнее положение, а наоборот, продолжает отклоняться от него.
При совпадении центров тяжести и водоизмещения тело будет
находиться в состоянии безразличного равновесия.
Пример 2.1 Определить разность
h1
давлений в двух резервуарах с водой
h 3 Δh
(рис. 16), если разность уровней ртути
h2
в U-образном дифференциальном маh4
нометре составляет Δh = 30 мм.
Решение. Давление в левом и pA
pB
правом колене U-образного дифференциального манометра согласно основному уравнению гидростатики (15)
составят:
Рис. 16. К примеру 2.1.
p A + ρ рт ⋅ g ⋅ h4 + ρ в ⋅ g ⋅ h3 =
= p B + ρ рт ⋅ g ⋅ h2 + ρ в ⋅ g ⋅ h1.
Выразим разность давлений в резервуарах:
p A − pB = ρ рт ⋅ g ⋅ (h2 − h4 ) + ρв ⋅ g ⋅ (h1 − h3 ) =

(

)

= ρ рт ⋅ g ⋅ Δh − ρв ⋅ g ⋅ Δh = g ⋅ Δh ⋅ ρ рт − ρв .
Из табл. 1 выпишем значения плотности воды и ртути:
ρ рт = 13547 кг/м3 ; ρв = 998 кг/м3.
Окончательно получим:
p A − pB = 9,8 ⋅ 0,03 ⋅ (13547 − 998) = 3689,4 Па
39

Пример 2.2 Определить величину вакуума в баллоне А (рис. 17), если известно,
что высота h подъема воды в трубке, опущенной в сосуд с водой В, составляет 7 м.
Решение. Абсолютное давление в баллоне А меньше атмосферного и составляет
p = pат − ρ ⋅ g ⋅ h = 9,8 ⋅ 10 4 −
− 103 ⋅ 9,8 ⋅ 7 = 29400 Па.
Вакуумом называют разность между
атмосферным и абсолютным давлением, соответственно
pв = pат − p = 9,8 ⋅ 10 4 −

А
pат
h
В

Рис. 17. К примеру 2.2.

− 2,94 ⋅ 10 4 = 6,86 ⋅ 10 4 Па.
Пример 2.3 Определить, какое усилие должно быть приложено
к поршню 1 насоса (рис. 12), чтобы гидравлический пресс сжимал тело 3 с силой F = 400 Н. Диаметр поршня насоса d1 = 6 см, диаметр
поршня пресса d2 = 40 см. Масса поршня пресса m2 = 15 кг, масса
сжимаемого тела m3 = 180 кг. На трение в уплотнениях поршней теряется 8% усилия, развиваемого прессом.
Решение. С учетом массы тела и масса поршня пресса, а также
потерь энергии на трение, для сжатия тела с силой F = 400 Н к поршню пресса 2 необходимо приложить усилие
F + (m2 + m3 ) ⋅ g 400 + (15 + 180) ⋅ 9,8
=
= 2512 Н.
F2 =
0,92
0,92
Соответственно давление рабочей жидкости пресса составит
2512
F2
p=
=
= 2 ⋅ 10 4 Па.
2
2
π ⋅ d 2 3,14 ⋅ 0,4
4
4
Сила, прилагаемая к поршню 1 насоса, должна быть равна
2
π ⋅ d12
4 3,14 ⋅ 0,06
F1 = p ⋅
= 2 ⋅ 10 ⋅
= 56,52 Н.
4
4

40

Пример 2.4 Какое усилие действует
на болты люка диаметром d = 1,2 м, расположенного в резервуаре (рис. 18) на
глубине hC = 6 м от свободной поверхности нефти, если давление над поверхностью жидкости p0 = 0,5 МПа? Определить глубину точки приложения равнодействующей сил давления на люк.
Решение. Абсолютное давление p,
действующее на люк, складывается из
давления над поверхностью жидкости p0
и гидростатического давления жидкости.
Принимая по табл. 1 плотность нефти
ρ = 950 кг/м 3 , получим

p0

hC

d

Рис. 18. К примеру 2.4.

p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ hС = 0,5 ⋅106 + 950 ⋅ 9,8 ⋅ 6 = 555860 Па.
Соответственно сила, действующая на люк, составит
π ⋅d2
3,14 ⋅ 1, 2 2
F = p⋅
= 555860 ⋅
= 628344,14 H.
4
4
Расстояние от свободной поверхности жидкости до точки приложения равнодействующей сил давления на люк (центра давления)
определяется формулой (22)
π ⋅d4 ⋅4
1,22
I x− x
d2
= hС +
= hС +
=6+
= 6,015 м.
z D = zС +
16 ⋅ hС
16 ⋅ 6
zС ⋅ S
64 ⋅ hС ⋅ π ⋅ d 2

Пример 2.5 Стальная цистерна (рис. 19)
диаметром D = 1,8 м и
длиной L = 6 м полностью заполнена минеральным маслом. Давление на поверхности масла – атмосферное. Определить силу давления
жидкости на внутреннюю
боковую поверхность и
направление этой силы.

D

Fz

Fx

α

F

Рис. 19. К примеру 2.5.
41

Решение. Равнодействующая силы гидростатического давления
определяется по выражению (28):
F = Fx2 + Fy2 + Fz2 .

В данном случае Fy можно не учитывать, тогда
F = Fx2 + Fz2 .

Значение горизонтальной составляющей Fx можно определить
по формуле (25), которая будет иметь вид:
Fx = ρ ⋅ g ⋅ hC ⋅ S / ,
где ρ = 892 кг/м3 – максимальная плотность минерального масла
D
(табл. 1); hC = – глубина погружения центра тяжести, м;
2
S / = L ⋅ D – площадь проекции боковой поверхности цистерны на вертикальную координатную плоскость, м2.
Соответственно
1,8
D
Fx = ρ ⋅ g ⋅ ⋅ L ⋅ D = 892 ⋅ 9,8 ⋅ ⋅ 6 ⋅1,8 = 84968,35 Н.
2
2
Вертикальная составляющая силы абсолютного гидростатического давления при p0 = pат по выражению (27) будет равна
Fz = ρ ⋅ g ⋅ V .
Так как по условию задания необходимо определить силу давления жидкости на внутреннюю боковую поверхность цистерны,
объем тела давления V равняется половине объема цистерны (рис.
19):
π ⋅ D2
1
.
V = ⋅L⋅
2
4
Тогда
L ⋅ π ⋅ D2
6 ⋅ 3,14 ⋅ 1,82
Fz = ρ ⋅ g ⋅
= 892 ⋅ 9,8 ⋅
= 66700,16 Н ;
8
8
F = 84968,352 + 66700,162 = 108021 Н.

Направление действия равнодействующей F определяется положением точки пересечения направлений действия составляющих
Fx и Fz , а также косинусом угла наклона равнодействующей к горизонту:
42

⎛ → →⎞
F
84968,35
cos⎜⎜ Fx , F ⎟⎟ = cos α = x =
= 0,786 .
108021
F


Соответственно
α = arccos 0,786 = 38о .

Пример 2.6 В резервуаре, заполненном бензином ( ρ б = 750 кг/м 3 ), располо-

dп

жен пенопластовый ( ρ п = 50 кг/м3 ) поплавок диаметром d п = 150 мм , который
обеспечивает открывание клапана диаметром d кл = 40 мм и толщиной δ кл = 10 мм , h lпр
установленного в днище резервуара, при
уровне бензина h > 1 м (рис. 20). Длина и
диаметр проволоки, соединяющей клапан
d кл
с поплавком, соответственно составляют
lпр = 900 мм и d пр = 3 мм . Материал клаРис. 20. К примеру 2.6.
пана
и
проволоки

сталь
( ρст = 7850 кг/м3 ). Определить необходимую толщину поплавка.
Решение. Сила гидростатического давления бензина на клапан
составляет
2
3,14 ⋅ 0,042
π ⋅ d кл
= 750 ⋅ 9,8 ⋅ 1 ⋅
= 9,2 Н .
Fг = ρб ⋅ g ⋅ h ⋅
4
4
Вес проволоки и клапана будет равен
2
2
⎛ π ⋅ d пр

π ⋅ d кл

(
)
G = Vпр + Vкл ⋅ ρ ст ⋅ g =
⋅ lпр +
⋅ δ кл ⎟ ⋅ ρ ст ⋅ g =
⎜ 4

4


π ⋅ ρ ст ⋅ g
2
2
= d пр
⋅ lпр + d кл
⋅ δ кл ⋅
= 0,0032 ⋅ 0,9 + 0,04 2 ⋅ 0,01 ⋅
4
3,14 ⋅ 7850 ⋅ 9,8

= 1,5 Н.
4
По закону Архимеда определим выталкивающую силу, действующую на поплавок:
FА = ρ б ⋅ g ⋅ Vп ,

(

)

(

43

)

где Vп =
Тогда

π ⋅ dп2
4

(

)

⋅ h − lпр – объем части поплавка, погруженной в бензин.

π ⋅ d п2

(

3,14 ⋅ 0,152

)

⋅ h − lпр = 750 ⋅ 9,8 ⋅
⋅ (1 − 0,9 ) = 13 Н.
4
4
Из условия равновесия поплавка выразим и определим его вес:
Gп + G + Fг = FА ,
Gп = FА − G − Fг = 13 − 1,5 − 9,2 = 2,3 Н.
Толщина поплавка будет равна:
4 ⋅ Gп
4 ⋅ 2,3
=
= 0,26 м.
δп =
π ⋅ d п2 ⋅ ρ п ⋅ g 3,14 ⋅ 0,152 ⋅ 50 ⋅ 9,8
FА = ρ б ⋅ g ⋅

Задание 2.1 Определить, какое усилие необходимо приложить к поршню 1
гидравлического домкрата для поднятия
поршня 2 с грузом 3 (рис. 21).
Исходные данные приведены в
табл. 10.

3
2
1

F2
d2

F1
d1

p
Рис. 21. Схема гидравлического домкрата.

Таблица 10
Исходные данные к выполнению задания 2.1
Масса
Масса
Номер
поршня
груза
Потеря усилия
вариd1, м
d2, м
(поз. 2) (поз. 3)
на трение, %
анта
m2, кг
m3, кг
n
n
n
+0,08
+0,8
+5
n
n + 10
100·n
1000
100
5

44

Задание 2.2 Чему равен объем воды ( ρ в = 1000 кг/м 3 ), находящейся под атмосферным давлением ( p0 = pат ) в цилиндрическом резервуаре с диаметром D , если в пневматическое устройство для измерения количества жидкости (рис. 11) подается газ (воздух) под абсолютным давлением pг ?
Исходные данные приведены в табл. 11.

Таблица 11
Исходные данные к выполнению задания 2.2
Номер
pг , МПа
D, м
варианта
0,01 ⋅ n + 0,1
n
0,5·n + 2
Задание 2.3 Стальной резервуар, имеющий форму шара (рис.
19), диаметром D полностью заполнен нефтью с плотностью ρ н . Избыточное давление на поверхности жидкости p0. Определить силу
давления жидкости на внутреннюю боковую поверхность резервуара
и направление этой силы.
Исходные данные приведены в табл. 12.

Таблица 12
Исходные данные к выполнению задания 2.3
Номер
D, м
p0, МПа
ρ н , кг/м 3
варианта
0,01 ⋅ n + 0,02
850 + 2 ⋅ n
n
n+1

45

3 Гидродинамика
Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы движения жидкостей.
Для возникновения движения жидкости необходима разность
давлений, которая создается с помощью специальных машин (насосов,
компрессоров), либо вследствие разности уровней или плотностей
жидкости.
Знание законов гидродинамики позволяет находить разность
давлений, необходимую для перемещения данного количества жидкости с требуемой скоростью, и, соответственно, расход энергии на
это перемещение, или наоборот – определять скорость и количество
перемещаемой жидкости при известном перепаде давления.
Основными параметрами, характеризующими движение жидкости, являются скорость и давление, изменяющиеся в пространстве и во
времени. Соответственно задача гидродинамики состоит в исследовании изменения этих параметров в потоке жидкости, т.е. в нахождении
вида функций
W = f1 ( x, y, z ,τ );
(30)
p = f 2 ( x, y, z ,τ ),
где W и p - скорость и давление в рассматриваемой точке жидкости;
x, y, z - координаты этой точки; τ - время.
3.1 Основные характеристики движения жидкостей
3.1.1 Скорость и расход жидкости
Рассмотрим движение жидкости по трубе постоянного сечения.
Количество жидкости, протекающей через живое сечение потока*
в единицу времени, называют расходом жидкости. Различают объемный расход, измеряемый в м3/с, и массовый расход, измеряемый в кг/с.
В разных точках живого сечения потока скорость частиц жидкости неодинакова. Поэтому в расчетах обычно используют не истинные
(локальные) скорости, а среднюю скорость. Средняя скорость обозначается буквой W и выражается отношением объемного расхода жидкости Q (м3/с) к площади живого сечения S (м2) потока:
Q
W = , м/с,
(31)
S
*

Живым сечением потока называется поперечное сечение потока, перпендикулярное его направлению.
46

откуда объемный расход

Q = W ⋅ S , м3/с.
(32)
Массовый расход жидкости M определяется произведением
M = ρ ⋅ W ⋅ S , кг/с.
(33)
На практике скорости протекания жидкостей и паров в трубопроводах близки к значениям, указанным в табл. 13

Таблица 13
Скорости движения жидкостей, газов и паров в трубопроводах
Перекачиваемая среда
Скорость W, м/с
Жидкости
При движении самотеком:
вязкие
0,1÷0,5
маловязкие
0,5÷1,0
При перекачивании насосами:
во всасывающих трубопроводах
0,8÷2,0
в нагнетательных трубопроводах
1,5÷3,0
Газы
При естественной тяге
2÷4
При небольшом давлении (от вентиляторов)
4÷15
При большом давлении (от компрессоров)
15÷25
Пары
Перегретые
30÷50
Насыщенные при абсолютном давлении, Па:
> 105
15÷25
5
(1÷0,5)·10
20÷40
4
(5÷2)·10
40÷60
4
(2÷0,5)·10
60÷75
3.1.2 Гидравлический радиус и эквивалентный диаметр
При движении жидкости в трубопроводе круглого сечения, в качестве расчетного линейного размера принимают внутренний диаметр
трубопровода. Если форма сечения отлична от круглой, используют
понятия гидравлический радиус и эквивалентный диаметр.
Под гидравлическим радиусом rг (м) понимают отношение площади затопленного сечения трубопровода или канала, через которое
протекает жидкость, т. е. живого сечения потока S (м2), к смоченному
47

периметру П (м):

S
, м.
(34)
П
Смоченным периметром называют полный периметр поперечного сечения потока.
Для круглой трубы с внутренним диаметром d гидравлический
радиус составит
π ⋅d2 4 d
= , м.
rг =
π ⋅d
4
Диаметр, выраженный через гидравлический радиус, называется
эквивалентным диаметром:
d э = 4rг , м.
Следовательно, согласно уравнению (35)
4S
dэ =
, м.
(35)
П
rг =

3.1.3 Установившееся и неустановившееся движение жидкости
Все случаи течения жидкости можно разделить на две группы:
установившееся и неустановившееся движение.
Установившимся называется такое движение жидкости, при котором скорость и давление в различных точках потока не меняются с
течением времени, а зависят только от положения точки в потоке
жидкости, т.е. являются функциями ее координат:
dW
= 0;
W = f1 ( x, y, z ),

dp
p = f 2 ( x, y, z ),
= 0.

Неустановившимся называется такой вид движения, при котором скорость движения жидкости и давление в каждой ее точке изменяются с течением времени, т.е. являются функциями не только координат, но и времени. Неустановившееся движение жидкости описывается системой уравнений (31).
Примером неустановившегося движения может служить истечение жидкости из резервуара через отверстие – с понижением высоты
столба жидкости в резервуаре скорость истечения жидкости уменьшается во времени.
48

3.2 Уравнения движения жидкости
3.2.1 Уравнение постоянства расхода жидкости
Рассмотрим установившееся движение жидкости в жестком русле переменного сечения (рис. 22). Выберем два произвольных сечения I-I и II-II, нормальных к оси потока, и рассмотрим заключенный
между ними участок потока. Через сечение I-I за время Δτ пройдет
жидкость в количестве m1 , а через сечение II-II – в количестве m2 .

II

I

W1

I

W2
II S2

S1

Рис. 22. К выводу уравнений постоянства расхода и неразрывности
потока.

Выразим массы m1 и m2 через объемные расходы Q1 и Q2 жидкости сечениях I-I и II-II:
m1 = ρ1 ⋅ Q1 ⋅ Δτ ;
m2 = ρ 2 ⋅ Q2 ⋅ Δτ ,
где ρ1 и ρ 2 – плотность жидкости в сечениях I-I и II-II, кг/м3.
Очевидно, что m1 = m2 = const , соответственно
ρ1 ⋅ Q1 = ρ 2 ⋅ Q2 .
Так как жидкость несжимаема, то
ρ1 = ρ 2 = const.
Следовательно
Q1 = Q2 = const.
(36)
Это уравнение называют уравнением постоянства расхода. Из
него следует, что при установившемся движении несжимаемой жидкости расход ее постоянен в любом сечении потока.

3.2.2 Уравнение неразрывности потока жидкости
Сопоставив уравнения (33) и (37) запишем:
W1 ⋅ S1 = W2 ⋅ S 2 = const.
(37)
Уравнение (38) называют уравнением неразрывности потока.
49

Оно показывает, что при установившемся движении несжимаемой
жидкости произведение средней скорости потока на площадь живого сечения является постоянной величиной.
Из уравнения (38) можно получить:
W1 S 2
=
= const.
W2 S1
Следовательно, при установившемся движении несжимаемой
жидкости средние скорости потока обратно пропорциональны
площадям соответствующих живых сечений.
3.2.3 Уравнение Бернулли для потока жидкости
Закон Бернулли и его аналитическое выражение (уравнение
Бернулли) по сути являются частной формулировкой (применительно
к потоку жидкости) закона сохранения и превращения энергии.
Рассмотрим установившееся движение потока жидкости (рис.
23). Выберем два произвольных сечения I-I и II-II, нормальных к оси
потока, и рассмотрим заключенный между ними участок потока. Ведем обозначения:
W1 и W2 – средние скорости потока в сечениях I-I и II-II, м/с;
S1 и S 2 – площади живых сечений, м2;
p1 и p2 – давления в центрах тяжести сечений I-I и II-II, Па;
z1 и z 2 – расстояния от центров тяжести сечений I-I и II-II до
произвольно выбранной плоскости сравнения 0-0, м.
Применим к рассматриваемому участку потока закон сохранения энергии.
За время Δτ частицы жидкости из сечения I-I переместятся в
сечение I/-I/, а из сечения II-II в сечение II/-II/. Через сечение I-I за
время Δτ пройдет объем жидкости V1 = Q1 ⋅ Δτ , м3, а через сечение
II-II объем V2 = Q2 ⋅ Δτ , м3. Определим количество энергии, внесенной потоком в рассматриваемый участок за время Δτ через сечение
I-I.
Кинетическая энергия объема V1 :
m1 ⋅ W12 V1 ⋅ ρ1 ⋅ W12 Q1 ⋅ Δτ ⋅ ρ1 ⋅ W12
=
=
=
, Дж.
2
2
2
Потенциальная энергия положения того же объема:
E1п.п. = m1 ⋅ g ⋅ z1 = V1 ⋅ ρ1 ⋅ g ⋅ z1 = Q1 ⋅ Δτ ⋅ ρ1 ⋅ g ⋅ z1 , Дж.
E1к

50

I

l1

I/

p1

II

/
S1 I

p2
z2

z1

I

W1

0

l2

II/

W2
II S2 II/

0

Рис. 23. К выводу уравнения Бернулли.

Рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией давления E1п.д. . Для ее определения представим, что жидкость в
сечении I-I перемещается поршнем, движущимся со скоростью W1 в
направлении сечения II-II. За время Δτ поршень пройдет путь
l1 = W1 ⋅ Δτ , м. Сила давления жидкости на поршень составит
F1 = p1 ⋅ S1 , Н. Произведенная поршнем работа, равная потенциальной
энергии давления жидкости, будет равна:
E1п.д. = F1 ⋅ l1 = p1 ⋅ S1 ⋅ W1 ⋅ Δτ = p1 ⋅ Q1 ⋅ Δτ , Дж.
Тогда общее количество энергии, внесенной потоком в рассматриваемый участок за время Δτ через сечение I-I:
Q1 ⋅ Δτ ⋅ ρ1 ⋅ W12
E1 =
+ Q1 ⋅ Δτ ⋅ ρ1 ⋅ g ⋅ z1 + Q1 ⋅ Δτ ⋅ p1 , Дж.
2
Для сечения II-II по аналогии запишем:
Q2 ⋅ Δτ ⋅ ρ 2 ⋅ W22
E2 =
+ Q2 ⋅ Δτ ⋅ ρ 2 ⋅ g ⋅ z 2 + Q2 ⋅ Δτ ⋅ p2 , Дж.
2
По закону сохранения энергии
E1 = E2 + E затр ,
где – E затр энергия, затраченная на преодоление трения и других сопротивлений при движении жидкости от сечения I-I к сечению II-II, Дж.
E затр можно выразить в виде произведения веса G рассматриI − II
ваемого объема жидкости на некоторую высоту hпот
(потерю высоты):

51

I − II
I − II
I − II
E затр = G ⋅ hпот
= m ⋅ g ⋅ hпот
= Q2 ⋅ Δτ ⋅ ρ 2 ⋅ g ⋅ hпот
, Дж.
Тогда
Q1 ⋅ Δτ ⋅ ρ1 ⋅ W12
Q2 ⋅ Δτ ⋅ ρ2 ⋅ W22
+ Q1 ⋅ Δτ ⋅ ρ1 ⋅ g ⋅ z1 + Q1 ⋅ Δτ ⋅ p1 =
+
2
2
(38)
I − II
+ Q2 ⋅ Δτ ⋅ ρ2 ⋅ g ⋅ z2 + Q2 ⋅ Δτ ⋅ p2 + Q2 ⋅ Δτ ⋅ ρ2 ⋅ g ⋅ hпот
.
*
Для перехода к удельной величине энергии, учитывая, что для
несжимаемой жидкости ρ1 = ρ 2 = ρ и согласно (37) Q1 = Q2 = Q , разделим обе части уравнения на (Q ⋅ Δτ ⋅ ρ ⋅ g ) :

p1
W12
p2
W22
I − II
z1 +
+
= z2 +
+
+ hпот
.
(39)
ρ ⋅ g 2⋅ g
ρ ⋅ g 2⋅ g
Следовательно, для любого сечения потока:
p
W2
z+
+
+ hпот = const ,
(40)
ρ ⋅ g 2⋅ g
где z – расстояние от плоскости сравнения до центра тяжести рассматриваемого сечения, м; p – давление жидкости в центре тяжести сечения,
Па; W – средняя скорость жидкости в рассматриваемом сечении, м/с;
hпот – удельная энергия, затраченная на преодоление сопротивлений
при движении жидкости от начального до рассматриваемого сечения, м.
Уравнения (40), (41) носят наименование уравнения Бернулли.
При необходимости учета влияния неравномерного распределения (по живому сечению) скоростей отдельных частиц жидкости на
удельную кинетическую энергию потока, используют коэффициент
Кориолиса† α . В этом случае уравнение Бернулли получает вид:
p
W2
z+
+α ⋅
+ hпот = const .
(41)
ρ⋅g
2⋅ g

*

Удельными, как правило, называют величины, отнесенные к единице количества вещества (1 кг, 1 м3 или 1 кмоль).

Другое название коэффициента Кориолиса – корректив кинетической энергии.
52

3.2.3.1 Геометрический и энергетический смысл уравнения
Бернулли
Все члены уравнения Бернулли (41) выражаются в единицах
длины, поэтому каждый из них можно назвать высотой:
z – геометрическая высота, или высота положения, м;
p
– пьезометрическая высота, или высота гидродинамичеρ⋅g
ского давления, м. Как и в случае равновесной жидкости, сумма
P
называется потенциальным напором и обозначается H ;
z+
ρ⋅g
W2
– высота, на которую поднимается жидкость относи2⋅ g
тельно потенциального напора вследствие движения, называемая
скоростным напором hW , м;
hпот – высота, соответствующая потерям напора, м.
Полный напор HП представляет собой сумму потенциального и
скоростного напора:
H П = H + hW .
Сущность геометрический интерпретации уравнения Бернулли
заключается в том, что при установившемся движении жидкости
сумма потенциального, скоростного и потерянного напора является
величиной постоянной вдоль потока:
H + hW + hпот = const.
(42)
Установим в любом сечении потока идеальной жидкости две
трубки (рис. 24) – пьезометрическую 1 и скоростную (трубку Пито) 2,
нижний конец которой
2
1
изогнут и направлен
W2
против течения. При
2⋅ g
этом в трубке 2 от воздействия движущейся
p

жидкости будет создаρ⋅g
W
H
ваться дополнительное
давление, и высота
z
подъема жидкости будет больше, чем в 0
0
трубке 1. Пьезометр
Рис. 24. Геометрическая интерпретация
покажет только потенчленов уравнения Бернулли.
53

циальный напор. Трубка Пито покажет так же кинетическую составляющую полного напора – скоростной напор.
Кроме того, каждый из членов уравнения Бернулли выражает
удельную энергию потока, т. е. энергию, приходящуюся на единицу
веса движущейся жидкости:
z – удельная потенциальная энергия положения, Дж/Н;
p
– удельная потенциальная энергия гидродинамического
ρ⋅g
давления, Дж/Н;
W2
– удельная кинетическая энергия, Дж/Н;
2⋅ g
hпот – удельная потеря энергии, Дж/Н.
Общая энергия, приходящаяся на единицу веса движущейся
жидкости, будет складываться из потенциальной энергии положения и
давления, а также кинетической энергии движения:
p
W2
.
e=z+
+
ρ ⋅ g 2⋅ g
Энергетический смысл уравнения Бернулли: при установившемся движении жидкости сумма четырех удельных энергий (энергии
положения, энергии давления, энергии движения и потерь энергии)
является величиной постоянной вдоль потока:
p
W2
+
+ hпот = const .
z+
(43)
ρ ⋅ g 2⋅ g
Соответственно, уравнение Бернулли является частной формулировкой закона сохранения энергии.
3.2.3.2 Пьезометрический и гидравлический уклоны
Для характеристики движения реальной жидкости используются
понятия о пьезометрическом и гидравлическом уклонах потока.
Все члены уравнения Бернулли изображены графически на рис.
25, на котором в двух сечениях потока установлены пьезометрические и скоростные трубки.
Соединением уровней жидкости в пьезометрах получают пьезометрическую линию 1, или линию потенциальной удельной энергии.
От плоскости сравнения 3 она находится на расстоянии, равном поp
тенциальному напору H = z +
. Изменение потенциального наρ⋅g
54

пора ΔH , отнесенное к единице длины l , называется пьезометрическим уклоном J p :

p ⎞ ⎛
p ⎞
⎜⎜ z1 + 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ z 2 + 2 ⎟⎟
(44)
ρ⋅g⎠ ⎝
ρ⋅g⎠
ΔH ⎝
Jp =
.
=
l
l
Пьезометрический уклон может быть направлен как в сторону
движения жидкости, так и в противоположную сторону.

2
1

W12
2⋅ g

hпот

p1
ρ⋅g

p2
ρ⋅g

W1
3
0

W22
2⋅ g

W2

z1

z2

0

Рис. 25. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли: 1 – пьезометрическая линия, или линия потенциальной удельной энергии; 2 – напорная линия, или линия суммарной удельной энергии; 3 – линия плоскости сравнения.

Соединяя уровни жидкости в скоростных трубках, получим напорную линию 2, или линию суммарной (потенциальной и кинетической) удельной энергии. От плоскости сравнения 3 она находится на
расстоянии, равном полному напору H П = H + hW . Изменение полного напора H П , отнесенное к единице длины l , называется гидравлическим уклоном i :
2 ⎞ ⎛
2⎞

p
W
p
W
1
1
2
2
⎜ z1 +
⎟ − ⎜ z2 +

+
+



ρ ⋅ g 2⋅ g ⎠ ⎝
ρ ⋅ g 2 ⋅ g ⎟⎠ hпот (45)
ΔH П ⎝
i=
=
=
.
l
l
l
Так как потеря напора hпот по длине возрастает, то гидравлический уклон всегда направлен в сторону движения жидкости (рис. 25).
55

3.2.3.3 Практическое приложение уравнения Бернулли
Уравнение Бернулли широко применяется для изучения различных физических явлений, в частности кавитации, а также для решения практических задач гидравлики: при расчете высоты всасывания
насосов, гидравлическом расчете систем водяного охлаждения и отопления, различных трубопроводов, автомобильных карбюраторов и
т.д. С использованием уравнения Бернулли создано множество приборов и устройств, в частности водомер Вентури, эжектор, водоструйный насос и др.
С помощью водомера Вентури (рис. 26) производят измерение
расхода жидкости в трубах. Устройство состоит из сужающейся трубы, за которой следует цилиндрическая вставка и конус, расширяющийся в направлении потока. Перед началом сужающегося конуса и в
цилиндрической вставке устанавливают два пьезометра.
II

I
h

0

D

0

d
II

I

Рис. 26. Водомер Вентури.

Запишем уравнение Бернулли (42) для потока жидкости, движущегося по водомеру Вентури. Проведем плоскость сравнения 0-0
через ось прибора и рассмотрим два сечения: сечение I – I, в котором
установлен первый пьезометр, и сечение II – II в цилиндрической
вставке, где установлен второй пьезометр. Вследствие малой длины
устройства и плавного конусообразного перехода потерями энергии
можно пренебречь. Геометрические высоты z1 и z2 будут равны нулю, так как плоскость сравнения 0-0 проходит центры тяжести живых
сечений, лежащие на оси прибора. Поэтому в данном случае уравнение Бернулли будет иметь вид:
p1
W12
p2
W22
.
+ α1 ⋅
=
+ α2 ⋅
ρ⋅g
2⋅ g ρ ⋅ g
2⋅ g
56

Используя уравнение неразрывности потока (38), определим
скорость W2 :
W1 ⋅ S1 = W2 ⋅ S 2 .
W1 ⋅

πD 2
4

= W2 ⋅

W2 = W1 ⋅

πd 2

D2
2

4
.

.

d
Подставим полученное выражение в уравнение Бернулли и определим скорость W1 , при этом разность пьезометрических высот
p1
p
− 2 обозначим h :
ρ⋅g ρ⋅g
2⋅ g ⋅h
W1 =
.
D4
α 2 ⋅ 4 − α1
d
Учитывая, что расход жидкости, проходящей через водомер, равен
Q = W1 ⋅ S1 ,
запишем
2⋅ g ⋅h
Q = S1 ⋅
.
4
(46)
D
α 2 ⋅ 4 − α1
d
Для учета потерь энергии потока при движении через устройство используют коэффициент расхода водомера μ , значение которого
изменяется в диапазоне 0,98 ≤ μ ≤ 0,985 . Тогда окончательное выражение для определения расхода жидкости будет иметь вид:
2⋅ g ⋅h
Q = μ ⋅ S1 ⋅
.
4
(47)
D
α 2 ⋅ 4 − α1
d
При расчете Q значения коэффициентов Кориолиса α1 и α 2
можно принимать 1,1.
В эжекторе (рис. 27) рабочая среда (жидкость, газ или пар высокого давления) поступает через патрубок 5. В сужающемся сопле 1
скорость потока увеличивается, а давление по закону Бернулли
уменьшается. Поэтому в камере 3 образуется пониженное давление
(вакуум), и через патрубок 4 в камеру подсасывается среда, давление
которой необходимо повысить. В камере смешения рабочая среда
57

часть своей кинетической энергии отдает подсасываемой среде, и
смесь двух сред поступает в диффузор 2, в котором происходит снижение скорости потока и увеличение давления, и далее выводится через патрубок 6. При этом давление подсасываемой среды оказывается
после эжектора выше, чем до него. Рабочая и подсасываемая среды
могут быть как одним и тем же веществом, так и разными веществами.

Рис. 27. Эжектор: 1 – сопло; 2 – диффузор; 3 – камера смешения; 4, 5 – патрубки для подачи смешиваемых сред; 6 – выходной патрубок.

Конструкция эжекторов проста. Быстро изнашиваются только
сопло и диффузор, поэтому их изготовляют легко сменяемыми, а также из материалов, стойких к коррозии и эрозии. При большой производительности в камерах смесителей располагают параллельно друг
другу несколько сопел.
Величину вакуума в эжекторе hв без учета потерь энергии определяют с помощью уравнения Бернулли, записанного для входного и
выходного сечений сопла 1 (рис. 27)
p1
W12
p2
W22
+ α1 ⋅
=
+ α2 ⋅
,
(48)
2⋅ g ρ ⋅ g
2⋅ g
ρ⋅g
где индекс «1» относится к параметрам потока во входном сечении
сопла 1, а индекс «2» – к параметрам в выходном сечении (устье) сопла.
Как известно, величина вакуума определяется разностью между
атмосферным давлением и пониженным давлением в устройстве. Для
рассматриваемого случая можно записать
58

pв = pат − p2 , или
p
p
hв = ат − 2 .
ρ⋅g ρ⋅g

Выразим из уравнения (49) соотношение

p2
ρ⋅g

p2
p1
W12
W22
=
+ α1 ⋅
− α2 ⋅
ρ⋅g ρ⋅g
2⋅ g
2⋅ g

и определим hв :
pат
p1
W12
W22
.
hв =

− α1 ⋅
+ α2 ⋅
ρ⋅g ρ⋅g
2⋅ g
2⋅ g
Учитывая, что
W1 =

4Q

и

π ⋅ D2

4Q ,
π ⋅d2
где Q – объемный расход жидкости, м3/с, получим
W2 =

pат
p1
16Q 2
16Q 2
hв =

− α1 ⋅
+ α2 ⋅
.
ρ⋅g ρ⋅g
2 ⋅ g ⋅π 2 ⋅ D4
2 ⋅ g ⋅π 2 ⋅ d 4
После преобразований окончательно получается выражение
8Q 2 ⎛ α 2 α1 ⎞ p1 − pат
,
hв =

(49)

⎟−
ρ⋅g
g ⋅ π 2 ⎝ d 4 D4 ⎠
где D и d – соответственно внутренние диаметры входного и выходного участков сопла, м; pат – атмосферное (внешнее) давление, Па;
p1 – давление рабочей среды в патрубке 5, Па.
Нужно отметить, что при больших скоростях потока рабочей
среды потери энергии hпот велики, поэтому уравнение (50), в котором они не учитываются, дает значительную погрешность.

59

3.3 Режимы движения жидкости
Различают два режима движения жидкости:
– ламинарный режим, при котором отдельные струи жидкости
скользят относительно друг друга и не перемешиваются (струйчатая
модель потока);
– турбулентный режим, когда струи жидкости движутся по
сложным переменным траекториям, смешиваясь друг с другом.
3.3.1 Опыт Рейнольдса. Критерий Рейнольдса. Критическая
скорость
Существование двух разных режимов движения жидкости открыл немецкий инженер-гидротехник Г. Xaгeн в 1839 и в 1854 гг. В
1880 г. предположение о существовании двух принципиально разных
режимов движения было высказано русским ученым Д. И. Менделеевым. В 1883 г. английский физик О. Рейнольдс подтвердил это экспериментально.
Опыты проводились на установке, принципиальная схема которой изображена на рис. 28, а. Рейнольдс наблюдал движение воды в
стеклянных трубах 5 разного диаметра, регулируя скорость движения
с помощью крана 6. Окрашенная жидкость из напорного бака 3 по тонкой трубке 4 с заостренным концом подводилась к входному сечению
стеклянной трубы 5. С помощью сливной трубы 2 в сосуде 1 поддерживался постоянный уровень воды, что обеспечивало постоянство напора на входе в трубу 5. Средняя скорость потока W при площади поперечного сечения трубы S рассчитывалась по расходу воды Q , который определялся по объему воды, поступившей в сливной бак 7 за
Q
время τ , т. е. W = .
S
Рейнольдсом было замечено, что переход от одного режим движения к другому происходит при одной скорости, которую называют
критической:
– при значениях скорости W потока в трубе 5, меньших критической скорости Wкр , окрашенная жидкость, попадающая из трубки 4 в
трубу 5, движется внутри нее в виде тонкой струйки, не перемешиваясь с остальной массой воды (рис. 28, б); этот вид движения при
W < Wкр получил название ламинарного;
– при постепенном увеличении скорости движения воды наступает момент, когда характер ее течения изменяется. Струйка окрашен60

ной жидкости начинает колебаться, затем размываться и перемешиваться с массой воды. Становится заметным вихреобразное, хаотичное
движение частичек жидкости (рис. 28, в). Такое движение жидкости,
сопровождающееся интенсивным ее перемешиванием, называется
турбулентным.

Рис. 28. Опытная установка Рейнольдса для изучения режимов движения
жидкости: а) – схема установки; б) – ламинарный режим течения жидкости; в) –
турбулентный режим течения жидкости; 1 – сосуд с водой; 2 – сливная труба; 3
– напорный бак; 4 – трубка; 5 – стеклянная труба; 6 – кран; 7 – сливной бак.

Критическая скорость Wкр не является постоянной величиной.
Она уменьшается при увеличении диаметра трубки, и возрастает при
увеличении вязкости жидкости. Следует так же отметить, что переход от ламинарного движения жидкости к турбулентному происходит
при большей скорости, чем обратный процесс. Так же было опытно
доказано, что критическая скорость уменьшается при движении жидкости в сужающихся трубах, и возрастает – при движении в расширяющихся.
Исходя из опытов, Рейнольдс вывел безразмерный критерий, с
помощью которого можно определить режим движения жидкости.
Этот критерий был назван критерием Рейнольдса:
W ⋅d ⋅ρ
Re =
, или
(50)
μ
61

Re =

W ⋅d

ν

,

где W – скорость движения жидкости, м/с; d – диаметр трубы, м;
ρ – плотность жидкости, кг/м3; μ – коэффициент динамической вязкости жидкости, Па·с; ν =

μ
– коэффициент кинематической вязкоρ

сти жидкости, м2/с.
Критической скорости Wкр соответствует критическое значение
критерия Рейнольдса Re кр . Так как критическая скорость зависит от
направления смены режима (турбулентный на ламинарный или наоборот), различают верхнее и нижнее критические значения Re кр .
Было вычислено, что они зависят от условий проведения эксперимента: шероховатости стенки трубы, гладкости краев трубы на входе, наличия вибрации и т.д. Но в большинстве случаев используют общее
критическое значение Re кр ≈ 2300 .
При переходе от одного режим к другому нет четкого разграничения. Поэтому на практике кроме турбулентного и ламинарного режимов используют понятие переходного режима. При Re < 2300 на
характер движения потока существенное влияние оказывает вязкость
жидкости, сглаживающая мелкие пульсации скорости, и режим считается ламинарным. Если Re > 2300, то большее влияние на поток
оказывают силы инерции и режим считается турбулентным (переходным). При Re ≥ 10000 режим называют развитым турбулентным.
В трубопроводах систем водоснабжения, вентиляции, отопления, холодильных и других машин движение, как правило, турбулентное, так как движущиеся среды имеют малую вязкость и большую скорость. Ламинарный режим характерен для жидкостей с
большой вязкостью (машинного масла, глицерина и т. п.). При небольших скоростях движения и малых диаметрах труб ламинарный
режим может иметь место и у маловязких жидкостей.
Критерий Re выводился для случаев движения жидкости по трубе круглого сечения. Если сечение трубопровода не круглое, вместо
диаметра в выражение (51) подставляют эквивалентный диаметр d э ,
определяемый по уравнению (36).
3.3.2 Ламинарный режим движения жидкости. Закон Стокса
Опытным путем было установлено, что при ламинарном движе62

нии реальной жидкости распределение скоростей по сечению имеет
параболический характер (рис. 29). Непосредственно у стенок, в результате значительных сил трения, скорость практически равна нулю.
По мере отдаления от стенки скорость увеличивается и достигает
максимального значения в центре потока. Неравномерность скоростей в потоке является следствием наличия сил трения не только с
внутренней стенкой трубы, но и сил трения между слоями жидкости.
W

r

d

y

dy

Wmax

Рис. 29. Распределение скоростей жидкости при ламинарном движении.

Теоретический закон распределения скоростей ламинарного потока по живому сечению трубопровода выражается формулой Стокса
ρ ⋅ g ⋅i 2
W =
(r − y 2 ) ,
(51)

где W – скорость движения слоя жидкости толщиной dy на расстоянии
y от оси трубы, м/с; i – гидравлический уклон; r – радиус трубы, м.
Исходя из закона Стокса, максимальная скорость движения
жидкости находится в середине потока. Так как расстояние y в середине потока равно нулю, то максимальную скорость можно определить по выражению
ρ ⋅ g ⋅i ⋅ r2
, или
Wmax =
(52)

Wmax

ρ ⋅ g ⋅i ⋅d 2
.
=
16 μ

Средняя скорость жидкости при ламинарном течении равна половине максимальной скорости:
Wmax ρ ⋅ g ⋅ i ⋅ r 2
Wср =
.
=
(53)
2

Тогда расход жидкости при ламинарном режиме движения
4
ρ ⋅ g ⋅i ⋅ r2
2 π ⋅ ρ ⋅ g ⋅i ⋅r
.
Q = Wср ⋅ S =
⋅π ⋅ r =
(54)


63

3.3.3 Турбулентный режим движения жидкости
При турбулентном движении жидкости распределение скоростей по сечению потока более сложное, чем при ламинарном режиме
(рис. 30). В центральной части сечения значения скоростей близки к
максимальному и слабо уменьшаются при отдалении от центра. Но в
слоях, близких к внутренней поверхности трубопровода, величины
скоростей начинают резко снижаться, стремясь к нулевому значению.
Это объясняется тем, что при турбулентном движении происходит перемешивание слоев жидкости друг с другом. Слои с максимальной скоростью сталкиваются со слоями с меньшими скоростями.
В результате перемешивания скорости слоев выравниваются. У твердой стенки турбулентное перемешивание затруднено, поэтому наблюдается резкое снижение скоростей.
Внутренний механизм турбулентного движения жидкости до сих
пор не изучен по причине большой сложности процесса, поэтому теоретических решений распределения скоростей по сечению потока нет.
Приближенно распределение скоростей при турбулентном режиме
может быть выражено степенной формулой
0,84 λ

W
⎛r − y⎞
(55)
,
=⎜

Wmax ⎝ r ⎠
где W – скорость движения слоя жидкости толщиной dy на расстоянии
y от оси трубы, м/с; r – радиус трубы, м; λ – коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси), зависящий от шероховатости
стенок трубы.
Wmax
Турбулентное
ядро

Ламинарный
слой

Wср

Рис. 30. Распределение скоростей при турбулентном движении жидкости
и структура турбулентного потока.

64

На основании экспериментальных исследований определенно,
что турбулентный поток имеет на границе с твердой поверхностью
тонкий слой жидкости с ламинарным режимом. Этот слой называется
ламинарным. Толщина его очень мала и зависит от средней скорости
движения потока. Остальная часть потока – это турбулентное ядро.
Между ламинарным подслоем и турбулентным ядром существует переходный слой со смешанным режимом движения жидкости (рис. 30).
3.4 Гидравлические сопротивления. Потери напора
Под термином гидравлические сопротивления понимают силы
трения, возникающие в реальной жидкости при ее движении.
На преодоление гидравлических сопротивлений поток жидкости
расходует часть энергии, которую называют гидравлическими потерями или потерями напора.
Гидравлические потери зависят от режима движения жидкости,
ее вязкости, от формы сечения русла и ее изменения, от шероховатости стенок. Общая сумма потерь напора hпот складывается из двух составляющих:
1) потерь напора по длине hтр , которые являются результатом
существования сил трения в равномерно движущемся потоке;
2) местных потерь напора hм , возникающих при изменении
скорости потока жидкости по величине или по направлению (вентиль,
диафрагма, резкий поворот трубопровода, сужение или расширение).
То есть
hпот = hтр + hм , м.
(56)
В гидравлике принят способ выражения гидравлических потерь
полного напора в единицах длины (метрах) и в единицах давления
(Паскалях)*.
Решение многих практических задач гидравлики сводится к нахождению зависимостей изменения скорости и давления по длине потока. Для этого используют уравнение Бернулли (41) и уравнение неразрывности потока (38). Но так как в этих уравнениях три неизвестных: W , p и hпот ,то для их решения необходимо третье уравнение, которым является зависимость hпот = f (W ) .
*

Для выражения потерь напора в единицах давления (Па) используют формулу
Δpпот = ρ ⋅ g ⋅ hпот .
65

3.4.1 Потери напора по длине
Потери напора по длине обусловлены силами внутреннего трения, т.е. вязкостью жидкости. Они возрастают пропорционально длине
трубы, также существенно зависят от ее диаметра, от скорости потока,
а следовательно, и от режима течения жидкости.
Установлено, что при ламинарном режиме потери напора по
длине прямо пропорциональны средней скорости потока W *:
hтр = a ⋅ W , м,
(57)
где a – коэффициент пропорциональности.
Для турбулентного режима
hтр = b ⋅ W n , м,
(58)
где b – коэффициент пропорциональности; n =1,75÷2,0 – показатель
степени.
В 1840 г. Ж. Пуазейль получил формулу для расчета потерь напора на трение по длине для круглых труб при ламинарном движении
μ ⋅ l ⋅W
hтр = 32
, м,
(59)
ρ ⋅ g ⋅d2
где μ – коэффициент динамической вязкости жидкости, Па·с; l и d –
соответственно длина и диаметр трубы, м; W – средняя скорость потока, м/с; ρ – плотность жидкости, кг/м3.
Анализируя выражение (60) можно отметить, что при ламинарном режиме течения потери напора на трение по длине:
- прямо пропорциональны средней скорости в первой степени;
- зависят от свойств жидкости ( μ , ρ );
- не зависят от шероховатости стенок;
- прямо пропорциональны длине и обратно пропорциональны
квадрату диаметра трубы.
Формулу (60) можно преобразовать, и получить уравнение для
расчета потерь напора потока по длине для всех режимов движения в
общем виде:
l W2
hтр = λ ⋅ ⋅
, м,
(60)
d 2g
где λ – безразмерный коэффициент гидравлического трения или ко*

В гидравлике среднюю скорость потока принято обозначать буквой W. Обозначение Wср употребляется только в случаях, когда местную скорость можно
спутать со средней.
66

W2
эффициентом потерь на трение по длине (коэффициент Дарси);

2g
удельная кинетическая энергия потока, м.
Для случая труб не круглой формы диаметр d заменяется эквивалентным диаметром d э .
Коэффициент трения λ зависит от скорости движения потока,
свойств жидкости, а так же от шероховатости поверхности труб. Для
разных режимов движения λ рассчитывается по различным зависимостям.
Для ламинарного режима величина λ зависит только от критерия Рейнольдса Re :
64
λ=
.
(61)
Re
Выражение (62) называется формулой Дарси-Вейсбаха. Она
справедлива и при турбулентном режиме движения. Однако коэффициент λ в этом режиме зависит не столько от Re, сколько от шероховатости поверхности труб. Определение значений коэффициента λ в
режиме турбулентного движения довольно сложная задача – при турбулентном режиме пульсации скоростей и процессы перемешивания
частиц жидкости вызывают дополнительные расходы энергии, что
приводит к увеличению потерь на трение по сравнению с ламинарным режимом. Вблизи стенок турбулентного потока располагается
ламинарный подслой (рис. 30, 31), толщина которого δ непостоянна
и уменьшается с увеличением скорости движения жидкости, т.е. с
увеличением числа Рейнольдса:
30d
δ≈
.
(62)
Re λ
Шероховатость поверхности стенок характеризуется величиной
и формой выступов, неровностей и зависит от материала и способа
изготовления и соединения труб. Она изменяется с течением времени
в результате отложения осадков, ржавления, эрозии и т. д.
Основной характеристикой шероховатости является абсолютная
шероховатость Δ , представляющая собой среднюю высоту бугорков
и выступов. Практически очень сложно оценить фактическую высоту
выступов, поэтому пользуются понятием эквивалентной шероховатости Δ экв , под которой подразумевают такую однородную шероховатость, которая дает потери на трение, равные потерям при действительной шероховатости.
67

Значения эквивалентной шероховатости Δ экв в зависимости от вида труб и состояния их внутренней поверхности приведены в табл. 14.
Таблица 14

Значения эквивалентной шероховатости Δ экв
в зависимости от материала и состояния поверхности труб
Δ экв , мм
Труба
Состояние поверхности
Бесшовная без покрытия
новая и гладкая
0,02÷0,1
после нескольких лет эксплуатации
0,15÷0,3
Бесшовная оцинкованная
новая и гладкая
0,1÷0,2
после нескольких лет эксплуатации
0,4÷0,7
Стальная
Сварная
новая и чистая
0,03÷0,1
с незначительной коррозией
0,1÷0,2
умеренно заржавевшая
0,3÷0,7
старая заржавевшая
0,8÷1,5
значительно заржавевшая или с
большими отложениями
2÷4
новая и гладкая
0,25÷1
Чугунная
водопроводная после нескольких лет
эксплуатации
1,4
Медная,
латунная,
Новая и гладкая
0,0015÷0,01
свинцовая,
стеклянная
Алюминиевая Новая и гладкая
0,015÷0,06

Эквивалентная шероховатость в зависимости от диаметра трубы
по-разному сказывается на величине гидравлических сопротивлений.
Поэтому в гидравлике для оценки гидравлических потерь используют
понятие относительная шероховатость
Δ
e = экв ,
(63)
d
d
.
и обратную величину - относительную гладкость
Δ экв
68

Толщина вязкого подслоя δ может быть больше или меньше
высоты выступов шероховатости Δ . Следовательно, одна и та же
труба при турбулентном режиме может быть гидравлически гладкой
или шероховатой.
У гладких поверхностей (рис. 31, а) выступы шероховатости
трубы Δ имеют высоту намного меньшую, чем толщина ламинарного
подслоя δ . Ламинарный слой полностью обволакивает все выступы и
жидкость скользит по нему, поэтому потери напора на трение определяются только лишь внутренним трением потока, и не зависят от
шероховатости стенок. Потери напора на трение по длине hтр в этой
области пропорциональны средней скорости W в степени n = 1,75 и
определяются по формуле (60).
У шероховатых поверхностей (рис. 31, в) толщина ламинарного
подслоя δ меньше высоты выступов Δ . Следовательно, шероховатость оказывает существенное влияние на потери. В этом случае выступы выходят за пределы ламинарного подслоя в турбулентное ядро
потока, являясь дополнительными источниками вихреобразования,
способствующими усилению процесса перемешивания. Обтекание
выступов носит резко выраженный отрывной характер. При этом значение λ зависит только от шероховатости и не зависит от числа Рейнольдса. Потери напора на трение прямо пропорциональны квадрату
скорости (в формуле (59) n = 2 ), поэтому такие участки называются
областью квадратичного сопротивления.
Возможен также переходный случай, при котором высота выступов Δ соразмерна с толщиной δ ламинарного подслоя (рис. 31, б).
В этом случае величины hтр и λ зависят как от числа Рейнольдса,
так и от высоты неровностей Δ . Эта область носит название области
доквадратичного сопротивления. В уравнении (59) потери напора
прямо пропорциональны средней скорости потока в степени
n = 1,75 ÷ 2,0 .
Следует отметить, что понятия «гладкая» и «шероховатая» поверхность весьма условны. Между ними нет четкой границы. Так как
толщина ламинарного подслоя δ зависит от скорости потока W , то с
увеличением скорости происходит переход от гладкой поверхности к
шероховатой.

69

Рис. 31. К рассмотрению гидравлически гладких и шероховатых труб: а –
гладкая труба; б – переходный случай; в – шероховатая труба.

Вывести уравнение расчета коэффициента трения λ при турбулентном режиме движения очень сложно из-за сложности его математического описания. Поэтому на практике использую эмпирические

d ⎞
⎟⎟ , составлензависимости и графики, например график λ = f ⎜⎜ Re,
Δ

экв ⎠
ный в 1948 г. Г.А. Мухиным для промышленных стальных труб с естественной шероховатостью (рис. 32), на котором хорошо видны три
вышеупомянутые зоны.
В справочной литературе по гидравлике [7] приводятся формулы
для нахождения λ , учитывающие особенности движения потока, вид
материала и конфигурацию сечения трубы. В большинстве случаев
для определения λ на практике используют следующие уравнения:
1 Ламинарный режим ( Re < 2300) – формула Дарси-Вейсбаха (62)
64
λ=
.
Re
2 Зона гладкого трения (2300 < Re < 10/e) – формула Блазиуса
0,3164
λ = 0,25 .
(64)
Re
3 Зона шероховатого трения (10/e < Re < 500/e) – формула Альтшуля
0, 25
68 ⎞

(65)
λ = 0,11 ⋅ ⎜ e + ⎟ .
Re ⎠

4 Развитый турбулентный режим ( Re > 500/e) – формула Шифринсона
(66)
λ = 0,11 ⋅ e 0,25 .
70

Рис. 32. Зависимость коэффициента гидравлического трения
рия Рейнольдса Re и относительной гладкости труб d Δ экв .

71

λ от крите-

3.4.2 Местные потери напора
Местные потери напора (энергии) hм , обусловленные наличием
местных гидравлических сопротивлений, являются следствием изменения размеров и конфигурации русла потока, что приводит к изменению направления и (или) скорости движения жидкости, отрыву потока от стенок трубы и возникновению вихрей. Сопротивления называются местными, так они располагаются на маленьком участке потока, в определенном его месте. Они, как и потери напора по длине,
обусловлены работой сил трения.
Примеры местных сопротивлений приведены на рис. 33. Более
сложными местными сопротивлениями являются комбинации простых. Например, в запорной и регулирующей арматуре поток жидкости меняет направление, сужается и расширяется.

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 33. Примеры местных гидравлических сопротивлений: а – задвижка;
б – диафрагма; в – вентиль; г – сужение; д – колено.

Потери напора на преодоление местных сопротивлений определяют по формуле Вейсбаха
W2
hм = ζ
, м,
(67)
2g
или, в единицах давления,
ρ ⋅W 2
(68)
Δp м = ρ ⋅ g ⋅ hм = ζ
, Па,
2
где ζ (зета) – коэффициент местного сопротивления, зависящий от
вида местного сопротивления и иногда от числа Рейнольдса.
Коэффициент местного сопротивления обычно определяют
опытным путем, получены эмпирические формулы, таблицы и графики. В справочной литературе приводятся значения ζ для различных случаев местных сопротивлений (сужений, расширений, диа72

фрагм, вентилей и т.д.) при различных скоростях потока. Рассмотрим
некоторые распространенные примеры.
3.4.2.1 Внезапное расширение
На практике часто встречается расширение трубопровода от диаметра d1 до диаметра d 2 (рис. 34, а).

Рис. 34. Примеры внезапного расширения труб.

Скорость потока резко падает от W1 до W2 на сравнительно коротком участке пути. Частички жидкости, движущиеся с большей скоростью, наталкиваются на частички, движущиеся с меньшей скоростью. Возникает удар, сопровождающийся расширением струи и локальным повышением давления. На начальном участке струя отрывается от стенки, и в кольцевом пространстве между струей и стенкой
образуется застойная (водоворотная) зона. Водоворотное движение
организуется за счет сил трения на поверхности раздела между основным потоком и этой зоной. Затраты энергии на преодоление сил трения и создание вихревого движения приводят к потерям напора. При
турбулентном движении потери напора при внезапном расширении
потока определяются по формуле Борда, выведенной в 1766 г.,
W1 − W2 )2
(
hв. р =
, м.
(69)
2g
Разность W1 − W2 называется потерянной скоростью.
Таким образом, потери при внезапном расширении потока равны кинетической энергии от потерянной скорости.
Для расчетов удобнее привести выражение (70) к виду формулы
Вейсбаха (68). Вынося за скобки величину W22 получим

73

2

hв. р

⎛ W1 ⎞ W2 2
W2 2
= ζ в. р ⋅
, м,
= ⎜⎜
− 1⎟⎟ ⋅
W
2
g
2
g
⎝ 2 ⎠

(70)

2

⎛W

где ⎜⎜ 1 − 1⎟⎟ = ζ в. р - коэффициент местного сопротивления при вне⎝ W2 ⎠
запном расширении.
Учитывая уравнение неразрывности потока (38) можно записать
2

2
2
⎛ d 22 ⎞
⎛ S2 ⎞
⎛ W1 ⎞
(71)
ζ в. р = ⎜⎜
− 1⎟⎟ = ⎜⎜ − 1⎟⎟ = ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ .
W
S
d
⎝ 1 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 1

В частном случае, когда поток выходит из трубы в резервуар
больших размеров (рис. 34, б), сечение S 2 значительно больше S1 и
скорость потока гасится резервуаре W2 = 0 . Тогда ζ в. р = 1 и уравнение (70) будет иметь вид
W12
, м.
hв. р =
(72)
2g
Следовательно, в этом случае вся кинетическая энергия потока расходуется на вихреобразование и поддержание вращательного движения
массы жидкости в застойных зонах с постоянным ее обновлением.

3.4.2.2 Внезапное сужение
При внезапном сужении потока, образованного, например, соединением труб большего и меньшего диаметров d1 и d 2 (рис. 35, а),
образуются две застойные зоны. Первая располагается в углах трубы
большего диаметра. Вторая зона в виде кольцевого пространства вокруг суженной части потока, в которой происходит водоворотное
движение частиц жидкости, образуется в результате отрыва частиц
струи от угла входа в трубу меньшего диаметра.

Рис. 35. Примеры внезапного сужения труб.
74

На небольшом участке входа (до сечения x − x ) струя жидкости
сначала сужается до d x , при этом ее скорость увеличивается до Wx , а
затем расширяется до d 2 с уменьшением скорости до W2 . В целом
при внезапном сужении скорость увеличивается (W2 >W1), а давление
уменьшается от ( p2 < p1 ).
Потери энергии обусловлены трением и вихреобразованием
жидкости. Опыты показывают, что основная доля местных потерь
при внезапном сужении сосредоточена на расширяющемся участке
струи от S x до S 2 .
Потерю напора на преодоление внезапного сужения определяют по
уравнению (68), в котором коэффициент местного сопротивления при
внезапном сужении ζ в.c можно определить по следующим формулам:
d
- при 2 > 0,5
d1
2

2
⎛ S2 ⎞
1 ⎞

ζ в.c = ⎜⎜ − 1⎟⎟ = ⎜ − 1⎟ ,
⎝ε ⎠
⎝ Sx ⎠
S
0,043
где ε = x = 0,57 +
- коэффициент сжатия струи;
2
S2
d
1,1 − 22
d1
d
- при 2 ≤ 0,5 по полуэмпирической формуле Идельчика
d1

ζ в.c

(73)

⎛ d 22 ⎞
⎛ 1⎞
= 0,5 ⋅ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = 0,5 ⋅ ⎜1 − ⎟ ,
⎝ n⎠
⎝ d1 ⎠

(74)

S1
- степень сужения.
S2
В случае определения потери напора на входе в трубу hвх из ре-

где n =

зервуара достаточно большого размера (рис. 35, б), S1 >> S2 и

d 22
d12

≈ 0,

поэтому по формуле (75) ζ в.c = 0,5 и в соответствии с формулой (68)
W2 2
, м.
hв.с = 0,5 ⋅
(75)
2g
Из сравнения формул (73) и (76) видно, что при одинаковом соотношении площадей S1 и S2 потери напора при внезапном расшире75

нии всегда больше потерь при внезапном сужении.
Потери напора на входе в трубу можно уменьшить путем закругления кромок или установки конического входа.
3.4.2.3 Постепенное расширение в диффузоре
В диффузоре (рис. 36) происходит постепенное уменьшение скорости и увеличение давления потока. Возле стенок слои жидкости, обладающие малой кинетической энергией, не в состоянии преодолеть
нарастающего давления. Эти слои останавливаются и начинают течь в
обратную сторону.

Рис. 36. Постепенное расширение потока жидкости в диффузоре.

Образуются завихрения, что приводит к потерям энергии на расширение h р , которые возрастают с увеличением угла конусности α .
Кроме того, в диффузоре имеются потери на трение по длине hтр . Потери напора в диффузоре определяются по выражению
W2 2
hдиф = h р + hтр = (ζ р + ζ тр )⋅
, м,
(76)
2g
⎛ d 24 ⎞
λ ⋅ ⎜⎜ 4 − 1⎟⎟
d
⎠ - коэффициент сопротивления по длине;
где ζ тр = ⎝ 1
α
8 sin
2
2

⎛ d 22 ⎞
ζ р = kсм ⋅ ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ - коэффициент сопротивления при расширении;

⎝ d1
kсм - коэффициент смягчения, учитывающий уменьшение потерь в
диффузоре по сравнению с потерями при внезапном расширении и
зависящий от угла конусности α .
76

Зависимость коэффициент смягчения kсм от угла конусности α
приведена в табл. 15.
Таблица 15

α ,о

Значения коэффициента смягчения kсм
2

4

6

8

10

12

15

20

25

30

40

kсм 0,02 0,05 0,10 0,14 0,16 0,22 0,30 0,42 0,62 0,72 0,85

45
1,0

При уменьшении угла α возрастает длина диффузора, и увеличиваются потери на трение по длине hтр , а вихреобразование и соответственно h р уменьшаются. Экспериментально установлено, что
при 0 о<α <10 о отрыва жидкости от стенки не происходит. Минимум
общих потерь в диффузоре наблюдается при значении α = 6 о.
3.4.2.4 Постепенное сужение в конфузоре
В конфузоре (рис. 37) скорость движения жидкости увеличивается, а давление по закону Бернулли уменьшается. Поэтому отрыва
потока от стенок не происходит. Вихреобразование наблюдается
только на выходе потока из конфузора в цилиндрическую трубу.

Рис. 37. Постепенное сужение потока жидкости в конфузоре.

Потери напора в конфузоре всегда меньше, чем в диффузоре и
равны сумме потерь на сужение hс и на трение по длине hтр
hкон

W2 2
, м,
= hс + hтр = ζ кон ⋅
(77)
2g
– коэффициент сопротивления конфузора.

где ζ кон = (ζ п.с + ζ тр )
Коэффициент сопротивления постепенного сужения ζ п.с принимают как часть коэффициента сопротивления при внезапном сужении (формулы (74), (75))
77

2

1
ζ п.с = k к.вх ⋅ ζ в.c = k к.вх ⋅ ⎛⎜ − 1⎞⎟ ,
⎝ε ⎠
где k к.вх – коэффициент конического входа, учитывающий уменьшение потерь напора в конфузоре
по сравнению с потерями напора
k к.вх
при внезапном сужении. Коэффициент k к.вх зависит от угла
сходимости α (рис. 38).
Коэффициент сопротивления движению по длине определяют по уравнению
α , град
⎛ d 24 ⎞
λ ⋅ ⎜⎜1 − 4 ⎟⎟
Рис. 38. Зависимость коэф⎝ d1 ⎠ .
=
ζ
тр
фициента конического входа k к.вх
α
8
sin
от угла сходимости конфузора α .
2

3.4.2.5 Изменение направления потока
На рис. 39, а изображен внезапный (без закругления) поворот
трубы.

а)

б)

Рис. 39. Примеры изменения направления потока: а) – резкий поворот
(острое колено); б) – плавный поворот (закругленное колено).
78

В таком случае происходят значительные потери энергии на отрыв потока от стенок и вихреобразование, которые увеличиваются с
увеличением угла поворота α . Под действием центробежных сил
возникают две зоны вихреобразования: у внутренней стороны – зона
отжима с пониженным давлением, а у внешней – водоворотная область (зона А па рис. 39) с повышенным давлением. Это приводит к
увеличению скорости и кинетической энергии потока у внутренней
стороны и уменьшению у наружной.
Как и в предыдущих случаях, основная доля потерь энергии сосредоточена на участке расширения потока (за сечением x − x ). Из-за
разных давлений в застойных зонах появляется винтовое движение
жидкости, направленное из зоны высокого давления в зону низкого
давления. Это движение накладывается на основной поток вдоль оси,
что способствует увеличению потерь напора, которые определяются
по формуле
W2
, м,
h =ζк ⋅
(78)
2g
где ζ к – коэффициент сопротивления колена без закругления, принимаемый в зависимости от угла поворота α по данным табл. 16.
Таблица 16

Значения коэффициента сопротивления колена ζ к

α ,о
30
ζ к 0,155

45

60

75

90

110

130

150

180

0,318

0,555

0,806

1,19

1,87

2,6

3,2

3,6

При плавном повороте потока в закругленном колене (рис. 39, б)
за счет уменьшения интенсивности вихреобразования сопротивление
движению значительно снижается. Снижение гидравлических потерь
происходит с увеличением относительного радиуса кривизны колена
R
. Коэффициент сопротивления плавного поворота для круглых труб
d
ζ к.п = ζ 90о ⋅ a ,
2, 5

⎛d ⎞
где ζ 90о = 0,02 ⋅ (100λ ) + 0,106 ⋅ ⎜ ⎟ – коэффициент сопротивления
⎝R⎠
при α = 90о ; a – коэффициент, зависящий от угла поворота α по данным табл. 17.
2, 5

79

Таблица 17

α,

о

a

Значения коэффициента a
20

30

40

50

60

70

80

90

120

140

160

180

0,40 0,55 0,65 0,75 0,83 0,88 0,95 1,00 1,13 1,20 1,27 1,33

3.4.2.6 Диафрагма, установленная в трубопроводе
Диафрагма используется для измерения расхода жидкости в
трубопроводах и представляет собой пластину с круглым отверстием
в центре. Края отверстия часто имеют острые входные кромки, расходящиеся под углом 45о (рис. 40). Гидравлические потери в этом
случае аналогичны потерям при внезапном сужении и зависят от соотношения диаметра трубопровода d 2 и диаметра отверстия в диафрагме d0 . Коэффициент сопротивления ζ д определяют по формуле
2

⎛ d 22

⎟ .
(79)

ζ д = ⎜⎜
1
2

⎝ ε ⋅ d0

Значения коэффициентов ζ д и ε в зависимости от отношения
d0
приведены в табл. 18.
d2

Рис. 40. Диафрагма, установленная в трубопроводе.

Таблица 18
Значения коэффициентов ε и ζ д в зависимости от отношения d0 d2
d0 d2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0

ε
ζд

0,613
292

0,616
83,3

0,621
29,5

0,628
11,6
80

0,640
4,8

0,667
1,79

0,718
0,52

1,0
0

3.4.2.7 Трубопроводная арматура
Коэффициент местного сопротивления трубопроводной арматуры (вентилей, кранов, задвижек и т.д.) зависит не только от типа и
конструкции арматуры, но и от степени ее открытия (размер h на
рис. 41).

Рис. 41. Задвижка, установленная в трубопроводе.

В арматуре происходят многократные деформации и искривления потока. По причине сложности гидродинамических явлений, теоретически определить коэффициенты местных потерь затруднительно, поэтому их находят опытным путем. Значения коэффициентов
местных потерь для различной арматуры приводятся в справочной
литературе, например [7].
Потери напора определяются по формуле Вейсбаха (68).
В табл. 19 приведены примерные значения коэффициентов местного сопротивления трубопроводной арматуры ζ турб при турбулентном режиме движения потока (при Re > 3500 ).
Таблица 19
Коэффициенты местного сопротивления арматуры ζ турб
при турбулентном режиме
ζ турб
Вид арматуры
Вентиль с прямым затвором

2–5

Вентиль с косым затвором

2–3

Вентиль обыкновенный

7–16

Клапан обратный

5,5–6,5

Клапан насоса приемный
Задвижка шиберная

5–6
0,5–1,5

Кран проходной

2–4
81

При ламинарном режиме местные потери зависят не только от
характера местного сопротивления, но и от сил вязкого трения, которые, согласно уравнению (6), пропорциональны скорости потока. Т.е.
в таком случае потери зависят от числа Рейнольдса. Причем при
Re < 10 в местных сопротивлениях жидкость течет без отрыва от стенок, и гидравлические потери обусловливаются только вязким трением. Коэффициент местного сопротивления при Re < 10 определяют
по формуле
A
ζ =
,
(80)
Re
где A – коэффициент, зависящий от вида местного сопротивления и
определяемый по данным табл. 20.
Таблица 20
Значения коэффициента A в уравнении (81)
Вид арматуры
Вид арматуры
A
Вентиль обыкновенный
3000 Задвижка (рис. 41) при
Вентиль угловой
400 соотношении h d :
1,0
Клапан шаровой
5000
0,75
Кран пробковый
150
0,5
Тройник
150
0,25
Колено закругленное
130 Диафрагма (рис. 40) при
о
соотношении d0 d2 :
(рис. 39, б), α = 90
Колено без закругления
0,64
(рис. 39, а):
0,40
о
0,16
400
α = 90
600
α = 135о

A

75
350
1300
3000

70
120
500

При значениях 10 < Re < 3500 потери зависят как от числа Рейнольдса, так и от соотношения площадей живого сечения трубопровода и арматуры. Коэффициент местных потерь находят по формуле
A
ζ =
+ ζ турб .
(81)
Re

82

3.5 Суммарные гидравлические потери. Коэффициент
сопротивления системы
В случае, когда на определенном участке трубопровода существует несколько источников местных сопротивлений, общие потери
находят простым суммированием всех потерь (если расход жидкости
является постоянной величиной).
Допустим, трубопровод имеет длину l и диаметр d. На нем находятся несколько источников местных сопротивлений с коэффициентами ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 ,Kζ n . По трубопроводу движется жидкость. Скорость потока – W. Отдельные потери рассчитываются:

W2
h1 = ζ 1 ⋅

2g

2

W

h2 = ζ 2 ⋅
2g


L
(82)
⎬ , м.

W2 ⎪
hn = ζ n ⋅

2g

l W2⎪
hтр = λ ⋅ ⋅
d 2 g ⎪⎭
Складывая левые и правые части системы (83), получаем:
l ⎞ W2

, м.
hпот = ⎜ ζ 1 + ζ 2 + Kζ n + λ ⋅ ⎟ ⋅
(83)
d
2
g


Выражение в скобках уравнения (84) называется коэффициентом сопротивления системы:
l
ζ сист = ζ 1 + ζ 2 + Kζ n + λ ⋅ .
(84)
d
Следовательно, общие потери системы находятся по уравнению:
W2
, м.
hпот = ζ сист ⋅
(85)
2g
Описанный способ определения суммарных гидравлических потерь называется методом наложенных потерь. Его можно использовать в случаях, когда местные сопротивления расположены друг от
друга на расстояниях, превышающих участок стабилизации скорости
потока после его возмущения в местном сопротивлении (возмущение
83

потока, связанное с прохождением его через местное сопротивление,
должно гаситься до следующего местного сопротивления). В зависимости от режима движения длина такого участка составляет от 20d до
50d. Если местные сопротивления соединены между собой без участков стабилизации, то их рассматривают как особые местные сопротивления, имеющие свой коэффициент сопротивления.
Пример 3.1 Водомер Вентури (рис. 26) имеет размеры D = 200
мм и d = 80 мм. Определить расход воды, если h = 400 мм. Коэффициент расхода μ принять равным 0,985. Значение коэффициентов
Кориолиса α1 = α 2 = 1,1 .
Решение. Определим расход воды по формуле (48):
2⋅ g ⋅ h
3,14 ⋅ 0,22
2 ⋅ 9,8 ⋅ 0,4
πD2
м3
Q=μ

= 0,985⋅

= 0,0134 .
4
4
с
0,24
D4
1,1⋅
α2 ⋅ 4 − α1

1
,
1
0,084
d
Пример 3.2 Определить критическую скорость для воды и воздуха при движении в трубе с внутренним диаметром 21 мм при температуре 20 оС.
Решение. По табл. 6, 7 определим кинематические коэффициенты вязкости при 20 оС:
– для воды ν = 0,01012 ⋅ 10− 4 м2/с;
– для воздуха ν = 0,151 ⋅ 10− 4 м2/с.
Используя критическое значение критерия Рейнольдса
Re кр = 2300 из уравнения (51) выразим критическую скорость:
Re кр ⋅ν
Wкр =
.
d
Определим искомые значения критической скорости:
2300 ⋅ 0,01012 ⋅ 10− 4
– для воды Wкр =
= 0,11 м/с;
0,021

– для воздуха Wкр

2300 ⋅ 0,151 ⋅ 10− 4
=
= 1,65 м/с.
0,021

84

d

D

Пример 3.3 Вода с расходом Q = 200 л/мин при температуре
20 оС протекает в горизонтальной трубе кольцевого сечения, состоящей из двух концентрических оцинкованных новых стальных труб
(рис. 42). Наружный диаметр внутренней трубы d = 75 мм, а внутренний диаметр наружной трубы D = 100 мм. Определить потери напора на трение на участке трубы длиной l = 200 м.

l
Рис. 42. К заданию 3.3.

Решение. Определим площадь живого сечения потока:
π
3,14 2
S = D2 − d 2 =
0,1 − 0,0752 = 0,00343 м2.
4
4
Смоченный периметр и эквивалентный диаметр по уравнению

(

)

(

)

(36)

П = π (D + d ) = 3,14(0,1 + 0,075) = 0,55 м;
4S 4 ⋅ 0,00343
dэ =
=
= 0,025 м.
П
0,55
По данным табл. 14 примем значение эквивалентной шероховатости Δ экв = 0,2 мм. Тогда по уравнению (64) относительная шероховатость составит
Δ экв 0,2 ⋅ 10−3
e=
=
= 0,008.

0,025
Скорость движения воды по формуле (32)
Q
200 ⋅ 10−3
W= =
= 0,97 м/с.
S 60 ⋅ 0,00343
Задавшись по табл. 6 значением кинематического коэффициента
вязкости воды при 20 оС ν = 0,01012 ⋅ 10− 4 м2/с по уравнению (51)
определим величину критерия Рейнольдса
W ⋅ dэ
0,97 ⋅ 0,025
Re =
=
= 24007.
−4
ν
0,01012 ⋅ 10
Поскольку в данном случае 10/e < Re < 500/e, коэффициент гид85

равлического трения определяем по формуле Альтшуля (66)
0, 25
0, 25
68 ⎞
68 ⎞


λ = 0,11 ⋅ ⎜ e + ⎟
= 0,11 ⋅ ⎜ 0,008 +
= 0,035.

24007 ⎠
Re ⎠


Тогда искомые потери напора по длине по уравнению (61) составят
l W2
200 0,97 2
hтр = λ ⋅ ⋅
= 0,035 ⋅

= 13,44 м.
dэ 2g
0,025 2 ⋅ 9,8
Пример 3.4 В системе отопления циркулирует вода при средней
температуре 60 оС. Стояк, подводящий нагретую воду, выполнен из
труб с внутренним диаметром d1 = 25 мм. В качестве нагревательных
использованы трубы с внутренним диаметром d 2 = 100 мм. Определить потерю давления воды при входе в обогревательные трубы, если
скорость воды с стояке W1 = 0,4 м/с.
Решение. По табл. 2, 5 определим плотность и кинематический
коэффициент вязкости воды при 60 оС: ρ = 983 кг/м3,

ν = 0,0048 ⋅ 10− 4 м2/с.
По уравнению (51) определим величину критерия Рейнольдса в
трубах стояка
W ⋅ dэ
0,4 ⋅ 0,025
=
= 20833.
Re =
ν
0,0048 ⋅ 10− 4
Так как Re > 2300, режим движения турбулентный и в соответствии с формулами (71) и (72) определим потерю напора на преодоление внезапного расширения
⎛ d 22
hв. р = ⎜⎜ 2
⎝ d1

2

2
d12 ⎞⎟
d 22 ⎟⎠

2

⎛ 0,0252 ⎞ 0,42
⎟ ⋅

= 1−
= 0,007 м,
2
⎟ 2 ⋅ 9,8
2g ⎜
0
,
1



⎞ W

− 1⎟⎟ ⋅ 2 = ⎜⎜1 −
⎠ 2g ⎝
или, в единицах давления,
Δpв. р = ρ ⋅ g ⋅ hв. р = 983 ⋅ 9,8 ⋅ 0,007 = 67,4 Па.
2

W12


Задание 3.1 В эжектор (рис. 27) под давлением p1 с помощью
насоса подается вода в количестве Q . Наружное давление – атмосферное. Определить величину давления p2 в камере смешения.
Возможно ли использовать данное устройство для подъема воды из
емкости, расположенной на высоте h ниже оси эжектора? Значение
86

коэффициентов Кориолиса α1 и α 2 принять равным 1,1.
Исходные данные приведены в табл. 21.
Таблица 21
Исходные данные к выполнению задания 3.1
Номер
варианта
n

Q , л/с

39 +

n
2

p1 , МПа

0,21 +

n
1000

D , мм

d , мм

100 + n

50 +

n
2

h, м

2+

n
5

Задание 3.2 Определить критическую скорость для минерального масла и этилена при движении в трубе прямоугольного сечения с
размерами сторон a × b при температуре 20 оС.
Исходные данные приведены в табл. 22.

Таблица 22
Исходные данные к выполнению задания 3.2
Номер
Размеры трубы
варианта
a , мм
b , мм
n
10 + n
20 + n
Задание 3.3 В коллекторе системы отопления, имеющем внутренний диаметр D , циркулирует вода с расходом Q и температурой
t , которая растекается по трубкам, количество которых N , а внутренний диаметр d . Определить режим движения воды в коллекторе и
в трубках.
Исходные данные приведены в табл. 23.

Таблица 23
Исходные данные к выполнению задания 3.3
Номер
Q , л/с
D , мм
t , оС
N , шт
d , мм
варианта
n
n
80 +
1+ n
n
100 + n 0,1 +
17 + n
10
2
Задание 3.4 По условию задания 3.1 определить потери напора
на сужение hс и на трение по длине hтр в конфузоре (сопле) эжектора (рис. 27). Значение угла сходимости α принять равным (10+n)о,
где n – номер варианта.
87

3.6 Гидравлический расчет трубопроводов
Трубопроводы бывают напорные и безнапорные, короткие и
длинные, простые и сложные.
В зависимости от длины различают два типа трубопроводов:
1 Короткие трубопроводы, которые имеют малую длину и
большое число местных сопротивлений. Для коротких трубопроводов
местные потери напора являются существенными, составляя более
10 % от потерь напора по длине. К таковым относятся трубопроводы
насосных станций, лабораторий, маслопроводы и др.
2 Длинные трубопроводы, имеющие значительную протяженность, в которых местные потери напора незначительны (не более
10 % от потерь напора по длине).
В зависимости от гидравлической схемы работы трубопроводы
подразделяются на:
1 Простые трубопроводы, не имеющие ответвлений и изготовленные из труб одного или нескольких диаметров.
2 Сложные трубопроводы – сети труб различного диаметра с
магистральными линиями и ответвлениями (тупиковые, кольцевые).
Целью гидравлического расчета трубопроводов, как правило,
является решение одной из трех задач:
1 Определение потери напора hпот при известных длине l, внутреннем диаметре d и расходе Q трубопровода.
2 Определение расхода трубопровода Q при заданных длине l,
внутреннем диаметре d и потере напора hпот .
3 Определение необходимого диаметра трубопровода d при заданных длине l, расходе Q трубопровода и потере напора hпот .
При решении этих задач широко используется понятие расходная характеристика (модуль расхода) K. Эта величина соотносит потери напора hпот в трубопроводе с расходом жидкости Q:
hпот 3
, м /с.
(86)
l
Модуль расхода является справочной величиной, и зависит от
конструктивных особенностей труб: диаметра, шероховатости поверхности и т.д.
Q=K⋅

3.6.1 Гидравлический расчет длинных трубопроводов
Рассмотрим расчет простого трубопровода с переменным сечением по длине. Допустим, трубопровод состоит из трех частей с раз88

личными диаметрами. Для каждого участка трубы из формулы (87)
выражаем потери напора, м:
l3 ⋅ Q 2
l1 ⋅ Q 2
l2 ⋅ Q 2
.
hпот1 =
; hпот 2 =
; hпот3 =
2
2
2
K1
K2
K3
Общие потери напора по длине трубопровода равны сумме потерь напора на отдельных его участках:
hпот = hпот1 + hпот 2 + hпот3 , м,
или
l1 ⋅ Q 2 l2 ⋅ Q 2 l3 ⋅ Q 2
hпот =
, м.
+
+
K12
K 22
K 32
Тогда
1
Q=
⋅ hпот , м3/с.
l3
l1
l2
(87)
+
+
2
2
2
K1 K 2 K 3
Обозначим постоянную величину, характеризующую пропускную способность данного трубопровода, через:
1
P=
.
l1
l2
l3
(88)
+
+
K12 K 22 K32
Окончательно получим
Q = P ⋅ hпот , м3/с.
(89)
Используя формулу (90) можно решить три основные задачи
гидравлического расчета трубопроводов.
3.6.2 Гидравлический расчет коротких трубопроводов
При гидравлическом расчете коротких трубопроводов учитываются как потери напора по длине, так и местные потери напора. Для
определения общих потерь напора необходимо установить коэффициент сопротивления системы по уравнению (85).
Первая основная задача гидравлического расчета трубопровода
(определение потерь напора) решается по формуле:
W2
hпот = ζ сист
, м.
(90)
2g
Q
πd 2
Учитывая, что W = и S =
, можно записать
4
S
89

hпот = ζ сист

8Q 2

, м.
(91)
gπ 2 d 4
Вторая задача (определение расхода) решается по формуле:
πd 2 2 ghпот 3
, м /с.
Q=
(92)
4
ζ сист
Третья задача (определение диаметра трубопровода) решается
подбором, так как коэффициент сопротивления системы так же представляет собой сложную функцию от диаметра трубы. В этом случае
задачу можно решить графическим способом или методом последовательных приближений.
Для решения графическим способом необходимо построить
график функции:
f (d ) =

ζ сист

.

(93)
d
На оси абсцисс откладываются значения диаметров, а на оси ординат – результаты функции (94). Далее по графику определяют значение диаметра на оси абсцисс, отвечающего равенству:
ghпотπ 2
= f (d ) .
(94)
8Q 2
При решении методом последовательного приближения для расчета первоначального диаметра потерями напора по длине можно
пренебречь. В этом случае первоначальный диаметр определяется по
формуле:
d =4

4

8ζ систQ 2
gπ 2 hпот

, м.

(95)

3.7 Гидравлический удар
Гидравлическим ударом называется резкое повышение давления
в напорном трубопроводе, вызываемое быстрым изменением скорости движения жидкости.
Гидравлический удар возникает чаще всего вследствие быстрого
закрытия или открытия запорных устройств. Давление в трубопроводе возрастает до значений, в несколько раз превышающих номинальное, что может привести к разрушению трубопровода или его арматуры. Существует много методов борьбы с этим явлением. Самый
простой из них, медленное закрытие трубопровода, что приведет к
90

плавному изменению скорости, а значит и к избеганию гидравлического удара.
Теоретическое обоснование и методику расчета этого явления
предложил профессор Н.Е. Жуковский в 1898 г. Было выяснено, что
гидравлический удар представляет собой колебательный процесс с
чередованием резких повышений и понижений давления.
Предположим, что в трубопроводе постоянного диаметра d длиной l, по которому движется жидкость с давлением p0 и скоростью W0
(рис. 43), мгновенно закрылась задвижка. Жидкость остановилась, в
результате чего ее кинетическая энергия перешла в потенциальную
энергию давления – происходит резкое повышение давления. В первую очередь давление увеличится непосредственно у задвижки – в
остановившемся перед задвижкой слое происходит резкое (ударное)
повышение давления на величину Δp уд и общее давление достигает
максимальноrо значения ( p0 + Δp уд ) , происходит прямой гидравлический удар.

Рис. 43. К рассмотрению гидравлического удара.

Предыдущие слои будут продолжать двигаться по инерции, при
этом оказывая давления на последующие. Затем, по мере остановки
слоев жидкости, увеличение давления будет распространяться с большой скоростью вверх по трубопроводу, создавая волну повышенного
давления – зона повышенноrо давления (сечение n-n) со скоростью с
перемещается к началу трубопровода в виде ударной волны (n/- n/).
За время τ = l c ударная волна достигает резервуара, и вся жидкость в трубе оказывается остановленной и сжатой до давления
( p0 + Δp уд ). Одновременно в стенках трубы возникают значительные
91

растягивающие напряжения, вызывающие соответствующие деформации. Жидкость, находящаяся в трубе под большим давлением, чем
в резервуаре, начинает вытекать из трубы. Давление в трубе падает
до первоначальноrо сначала в первых слоях, а затем по мере вытекания жидкости зона (волна) пониженного давления с той же скоростью
перемещается к задвижке (отраженный гидравлический удар). Коrда
эта волна достигнет задвижки, вся масса жидкости в трубе будет
иметь давление p0 и скорость W0, направленную в сторону резервуара.
Время τ ф двойного пробеrа ударной волны (от задвижки к резервуару
и обратно) называется длительностью фазы гидравлического удара:
τ ф = 2l c , с.
(96)
В связи с упругостью стенок трубы и жидкости при снятии нагрузки Δp уд деформации растяжения и сжатия в них исчезают, стенки
возвращаются в первоначальное состояние. Энергия давления переходит в энергию движения частиц жидкости, но направлена она уже в
противоположную сторону.
Как только ударная волна пониженного давления достигла задвижки, примыкающие к задвижке слои жидкости будут стремиться
оторваться от нее. Давление у задвижки, ставшее равным начальному
давлению, будет продолжать понижаться до тех пор, пока жидкость
не остановится. У задвижки образуется зона пониженного давления
p0 − Δp /уд , которая распространяется в сторону резервуара. Возникает отрицательная ударная волна, оставляющая за собой давление
p0 − Δp /уд и скорость W = 0. При уменьшении давления стенки трубы будут сжиматься, а жидкость расширяться. Вновь имеет место переход кинетической энергии в энергию давления, но с обратным знаком. На следующем этапе жидкость из резервуара вновь устремится в
трубу и весь цикл гидравлического удара повторится.
Описанный процесс происходит чрезвычайно быстро. Характер
изменения давления во времени у задвижки отображен на рис. 44. На
графике пунктирной линией показано теоретическое изменение ударного давления в сечении n-n в случае мгновенного закрытия задвижки
и при отсутствии сил трения. В действительности задвижка закрывается не мгновенно, и имеют место потери энергии на трение и деформацию стенок трубы. Поэтому повышение давления Δp уд также происходит не мгновенно и колебания ударных давлений затухают (показано сплошной линией) до некоторого первоначального давления.

(

)

(

)

92

Рис. 44. Изменение давления во времени при гидравлическом ударе.

Формула Жуковского для расчета ударного давления имеет вид
Δp уд = ρW0c , Па,
(97)
где ρ - плотность жидкости, кг/м3; c - скорость распространения
ударной волны
1
, м/с,
c=
ρ ρd
(98)
+
E0 Eδ
где E0 - модуль объемного сжатия жидкости, Па; E - модуль упругости материала трубы, Па; d и δ - соответственно внутренний диаметр
и толщина стенки трубы, м.
Формула Жуковского справедлива только при очень быстром
закрытии задвижки, когда τ закр < τ ф , т. е. когда имеет место прямой
гидравлический удар. Если τ закр > τ ф , возникает непрямой гидравлический удар, при котором отраженная от резервуара ударная волна
возвращается к задвижке раньше, чем задвижка закрывается. В этом
случае повышение давления от удара будет меньше.
Гидравлический удар может возникать в результате непредсказуемых причин, например при внезапном прекращении подачи энергии к насосам. Для избегания негативных последствий гидравлических ударов применяются специальные клапаны-гасители, которые
автоматически открываются при повышении давления. При открытии
клапана часть жидкости из трубопровода сбрасывается, тем самым
происходит снижение давления.
93

Литература

1. Калицун В.И. и др. Гидравлика, водоснабжение и канализация:
Учебник для вузов. – М.: Стройиздат, 1980. – 359 с.
2. Альтшуль А.Д. Гидравлика и аэродинамика: Учебник для вузов.
– М.: Стройиздат, 1987. – 414 с.
3. Угинчус А.А., Чугаева Е.А. Гидравлика: Учебник для вузов. –
Л.: Стройиздат, 1971. – 350 с.
4. Богомолов А.И., Михайлов К.А. Гидравлика: Учебник для вузов.
– М.: Стройиздат, 1972. – 648 с.
5. Ботук Б.О. Гидравлика: Учебник для вузов.– М.: Высшая школа,
1962. – 450 с.
6. Чугаев Р.Р. Гидравлика: Учебник для вузов.– Л.: Энергия, 1970.
– 552 с.
7. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям:
М.: Машиностроение, 1992. – 672 с.
8. Лашутина Н.Г., Макашова О.В., Медведев Р.М. Техническая
термодинамика с основами теплопередачи и гидравлики: Л.: Машиностроение, 1988. – 336 с.

94

95

96