• Название:

    (БНТУ) Высшая математика. КР №1 и 2 (67)

  • Размер: 0.99 Мб
  • Формат: PDF
  • или

    Перечень

    уточнений:
    4х2-1
    К стр. 44. П р и м е р 5.1. Найти iim
    —.
    i_ arcsin(l - 2х)
    Р е ш е н и е . При х —> — функции
    а(х) = (1 - 2х) и а(х) = arcsin(l - 2х) являются эквивалентными
    бесконечно малыми. Поэтому
    4х2-1
    ,. (2х-1)(2х + 1) .. , ..
    _
    1чЧ
    lim
    = lim
    = lim (- (2х +1))=
    -2.
    v
    - 2х)' х-»—l
    1-2*
    х-»-1 arcsin(l
    х-*-1
    2
    2
    2
    и'
    и'
    К стр. 49
    8. (tg и)' =
    —; 11. (arctg и)' = -(arcctg и)' =
    ;
    COS

    К СТР.70.

    U

    17. г), lim ((2х + 1)(1п(3х +1) - 1п(3х - 2))).
    х—>оо

    _е-си
    еах
    К СТР. 77.86. б) lim arcsinxctgx.; 88,. a) lim
    ;
    х->0
    х->0
    sinx
    --arctg{\
    У
    89. a) lim +
    —*—;
    х->+оо
    _• 1
    sin—
    х
    /
    J
    000
    _L
    К СТР. 78. 94. б) iim — ^ • 95.6) lim x 1-* .
    х-к*>2еШх +1
    *-+1

    \+U

    Министерство образования Республики Беларусь
    БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
    УНИВЕРСИТЕТ
    Кафедра высшей математики № 1

    ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
    Методические указания и контрольные работы № 1 и № 2
    для студентов-заочников машиностроительных специальностей
    Третье издание, переработанное и дополненное

    Минск

    2002

    УДК 512.64 (075.8)
    Настоящие методические указания и контрольные работы пред­
    назначены для студентов первого курса заочной формы обучения
    машиностроительных специальностей БНТУ.
    Второе издание вышло в свет в 1999 году.
    Составители:
    А.Н.Андриянчик, Н.А.Микулик, Р.Ф.Наумович,
    М.Н.Покатилова, В.И.Юринок
    Рецензент Г.А.Романюк

    © Андриянчик А.Н., Микулик Н.А.,
    Наумович Р.Ф. и др.,
    составление, 2002

    Введение
    Настоящее пособие является методическим руководством для изу­
    чения общего курса высшей математики студентами-заочниками
    инженерно-технических специальностей. Оно является переработан­
    ным и дополненным вариантом изданий 1992 и 1999 годов. В посо­
    бии содержатся общие рекомендации студенту-заочнику по работе
    над курсом высшей математики, приводятся правила выполнения и
    оформления контрольных работ, представлена программа курса
    высшей математики, соответствующая учебным планам для 1-го се­
    местра. Изложены основные понятия, определения, теоремы и т.д. из
    курса высшей математики, приведены образцы решения типовых
    примеров и контрольные работы № 1 и 2. Определение номеров за­
    дач из контрольных работ производится следующим образом: номер
    первой задачи контрольной работы равен двум последним цифрам
    номера зачетной книжки студента; номера последующих задач полу­
    чаются от прибавления к номеру предыдущей задачи числа 20. Если
    две последние цифры номера зачетной книжки составляют число,
    большее чем 20, то номер первой задачи будет равен номеру из двух
    последних цифр минус число, кратное 20. Например:
    Номер зачетной книжки
    номера задач
    301787/148
    8, 28, 48 и т.д.
    303797/121
    14,34, 54 и т.д.
    301797/100
    20, 40, 80 и т.д.
    303797/106
    6, 26, 46 и т.д.

    1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ
    ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
    Основной формой обучения студента-заочника является само­
    стоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из
    следующих элементов:
    изучение теоретического материала по учебникам, учебным по­
    собиям, конспектам лекций и т.д.;
    решение задач и упражнений;
    выполнение контрольных работ.
    В помощь заочникам национальный технический университет
    организует чтение установочных лекций, проведение практических

    3

    занятий. На кафедре высшей математики № 1 каждую субботу с
    10.00 до 13.00 проводятся консультации. Кроме того, студент может
    обращаться к преподавателю с вопросами для получения письмен­
    ной консультации. Указания по текущей работе даются студенту
    также в процессе рецензирования контрольных работ.
    Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей
    математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с
    учебным планом.
    Работа с учебником
    1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следую­
    щему вопросу только после правильного понимания предыдущего,
    производя самостоятельно на бумаге все вычисления (в том числе и
    те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имею­
    щиеся в учебнике чертежи.
    2. Особое внимание следует обращать на определение основных
    понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, которые
    поясняют такие определения, и уметь решать аналогичные примеры
    самостоятельно.
    3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предпо­
    ложений и утверждения. Все предположения должны обязательно
    использоваться в доказательстве. Нужно точно представлять то, в
    каком месте доказательства использовано каждое предположение
    теоремы. Полезно составлять схему доказательств теорем. Пра­
    вильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров
    математических объектов, обладающих и не обладающих свойства­
    ми, указанными в предположениях и утверждениях теорем.
    4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект,
    в который рекомендуется вписывать определения, формулировки
    теорем, формулы, уравнения и т.д. На полях следует отмечать во­
    просы, выделенные студентом для получения письменной или уст­
    ной консультации преподавателя.
    5. Процесс письменного оформления работы студента с учебни­
    ком имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте
    должны быть сделаны чисто, аккуратно и расположены в опреде­
    ленном порядке. Хорошее внешнее оформление конспекта по изу-"
    ченному материалу приучает студента к необходимому в работе

    4

    порядку и позволяет ему избежать многочисленных ошибок, кото­
    рые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей.
    6. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в кон­
    спекте подчеркивать или обводить рамкой (желательно чернилами
    другого цвета), чтобы при перечитывании конспекта они выделя­
    лись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студен­
    там помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие
    и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не
    только помогает запомнить формулы, но и может служить постоян­
    ным справочником для студента.
    Решение задач
    1 .Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для
    чего рекомендуется завести специальную тетрадь.
    2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения
    исходя из теоретических положений курса. Если студент видит не­
    сколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них
    самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий
    план решения.
    3. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычис­
    ления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вы­
    числения от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но акку­
    ратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует
    особо тщательного выполнения (например, при графической про­
    верке решения, полученного путем вычислений), то следует пользо­
    ваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб.
    4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуе­
    мого условием, и по возможности в общем виде^с выводом форму­
    лы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения
    (если они даны). В промежуточных вычислениях не следует вво­
    дить приближенные значения корней, числа п и т.д.
    5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающи­
    ми из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с
    конкретным физическим или геометрическим содержанием, то по­
    лезно прежде всего проверить размерность полученного ответа. По­
    лезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами
    и сравнить полученные результаты.

    5

    6. Решение задач определенного типа нужно продолжать до
    приобретения твердых навыков в их решении.
    Самопроверка
    1. После изучения определенной темы по учебнику и решения
    достаточного количества соответствующих задач студенту реко­
    мендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул,
    формулировки и доказательства теорем.
    В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться
    в материале учебника, решить ряд задач.
    2. Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса вы­
    ясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом слу­
    чае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.
    3. Важным критерием усвоения теории является умение решать
    задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предосте­
    речь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся
    в том, что благополучное решение задач воспринимается им как
    признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи полу­
    чается в результате применения механически заученных формул,
    без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать
    задачи является необходимым, но недостаточным условием хоро­
    шего знания теории.
    Консультации
    1. Если в процессе работы над изучением теоретического мате­
    риала или при решении задач у студента возникают вопросы, раз­
    решить которые самостоятельно не удается (неясность терминов,
    формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обра­
    титься к преподавателю для получения от него письменной или
    устной консультации.
    2. В своих запросах студент должен точно указать, в чем он ис­
    пытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объ­
    яснениях, или в доказательстве теоремы, или в выводе формулы по
    учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и
    страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно
    его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении
    6

    задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести
    предполагаемый план решения.
    3. За консультацией следует обращаться и при сомнении в пра­
    вильности ответов на вопросы для самопроверки.
    Контрольные работы
    1. В процессе изучения курса математики студент должен вы­
    полнить ряд контрольных работ, главная цель которых - оказать
    студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют
    студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела
    курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное
    направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопро­
    сы для постановки их перед преподавателем.
    2. Не следует приступать к выполнению контрольной работы, не
    решив достаточного количества задач по материалу, соответствую­
    щему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение
    решить ту или иную задачу контрольной работы вызывается тем,
    что студент не выполнил это требование.
    3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно.
    Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности препо­
    давателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в
    усвоении им учебного материала.
    4. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми ис­
    правлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензен­
    та, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных кон­
    трольных работ студент не допускается к сдаче зачета или экзамена.
    Лекции и практические занятия
    Во время экзаменационных сессий для студентов-заочников ор­
    ганизуются лекции и практические занятия. Они носят по преиму­
    ществу обзорный характер. Их цель - обратить внимание на общую
    схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть
    важнейшие места, указать главные практические приложения тео­
    ретического материала, привести факты из истории науки, обратить
    внимание студента на место высшей математики в инженерном об­
    разовании. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подроб-

    7

    но рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие
    или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.
    Зачеты и экзамены
    На экзаменах и зачетах выясняется прежде всего усвоение всех
    теоретических и практических вопросов программы и умение при­
    менять полученные знания к решению практических задач. Опреде­
    ления, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пони­
    манием существа дела; решение задач в простейших случаях долж­
    но выполняться без ошибок и уверенно; всякая письменная и гра­
    фическая работа должна быть сделана аккуратно и четко.

    2. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ
    КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
    При выполнении контрольных работ необходимо строго при­
    держиваться указанных ниже правил. Работы, выполненные без со­
    блюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту
    для переработки.
    1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдель­
    ной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Не­
    обходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.
    2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно на­
    писаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр),
    название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует
    указать название учебного заведения, дату отсылки работы в на­
    циональный технический университет и адрес студента. В конце
    работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.
    3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в за­
    дании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, со­
    держащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не за­
    читываются.
    4. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их
    номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
    5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее
    условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент
    выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку,

    8

    следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные кон­
    кретными, взятыми из соответствующего номера. Например, усло­
    вие задачи № 21 должно быть переписано так:
    21. Найти работу, произведенную силой F ( l ; ~ 2 ; 5 ) , если ее
    точка приложения перемещается из точки Mj(0,2,1) в точку
    М2(1,3,2).
    Решение

    Ответ: А = 10.
    6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объяс­
    няя и мотивируя кратко и лаконично все действия по ходу решения
    и делая необходимые чертежи. Каждую задачу желательно начи­
    нать с новой страницы.
    7. После получения прорецензированной работы, как незачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные
    рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации
    рецензента.
    Если рецензент предлагает внести в решение задач те или иные ис­
    правления и дополнения, то в случае незачтенной контрольной работы
    ее следует представить на повторную рецензию в короткий срок.
    При повторном представлении работы должна обязательно на­
    ходиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому
    рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в
    конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и ис­
    правлений в соответствии с указаниями рецензента.

    3. ПРОГРАММА
    3.1. Элементы линейной алгебры
    и аналитической геометрии
    1. Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.
    Пространства R и R . Векторы. Линейные операции над векто­
    рами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы и длина
    9

    вектора. Понятие о векторных диаграммах в науке и технике (диа­
    граммы сил, моментов сил, электрических токов, напряжений
    и др.). Координаты центра масс.
    ч
    2. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина век­
    тора и угол между двумя векторами в координатной форме. Усло­
    вие ортогональности двух векторов. Механический смысл скаляр-s
    ного произведения.
    3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Ал­
    гебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка.
    Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
    4. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Условие
    коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определите­
    ля второго порядка. Простейшие приложения векторного произве­
    дения в науке и технике: моменты сил, сила, действующая на про­
    водник с током в магнитном поле, скорость точки вращающегося
    тела, направление распространения электромагнитных волн, поня­
    тие о явлении гироскопии.
    5. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл
    определителя третьего порядка.
    6. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения
    прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до
    прямой.
    7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, па­
    рабола, их геометрические свойства и уравнения. Технические при­
    ложения геометрических свойств кривых (использование фокаль­
    ных свойств, математические модели формообразования биологи­
    ческих, технических и других объектов).
    8. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плос­
    костями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
    9. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические по­
    верхности. Сфера. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Геомет­
    рические свойства этих поверхностей, исследование их формы мето­
    дом сечений. Технические приложения геометрических свойств по­
    верхностей (использование фокальных свойств, модели строитель­
    ных конструкций, физические модели элементов и т.п.).
    10. Полярные координаты на плоскости. Спираль Архимеда.
    11. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве.
    Различные способы задания линий и поверхностей в пространстве.
    10

    12. Матрицы, действия с ними. Понятие обратной матрицы.
    13. Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись
    системы линейных уравнений. Правило Крамера. Система т ли­
    нейных уравнений с п неизвестными. Метод Гаусса. Нахождение
    обратной матрицы методом Гаусса.
    14. Пространство

    R". Линейные операции над векторами.
    n

    Различные нормы в R . Скалярное произведение в R" .
    15. Линейные и квадратичные формы в R . Условие знако­
    определенности квадратичной формы.
    16. Понятие линейного (векторного) пространства. Вектор как
    элемент линейного пространства. Примеры. Линейные операторы.
    Примеры линейных операторов. Применение линейных операторов
    для моделирования различных процессов.

    3.2. Введение в математический анализ
    17. Элементы математической логики: необходимое и достаточ­
    ное условия. Прямая и обратная теоремы. Символы математической
    логики, их использование. Бином Ньютона. Формулы сокращенного
    умножения.
    18. Множество действительных чисел. Функция. Область ее оп­
    ределения. Способы задания. Основные элементарные функции, их
    свойства и графики.
    19. Числовые последовательности, их роль в вычислительных
    процессах. Предел числовой последовательности. Стабилизация
    десятичных знаков у членов последовательности, имеющей предел.
    Существование предела монотонной ограниченной последова­
    тельности.
    20. Сложные и обратные функции, их графики. Класс элемен­
    тарных функций.
    21. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности.
    Пределы монотонных функций.
    22. Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных
    элементарных функций.
    23. Бесконечно малые в точке функции, их свойства. Сравнение
    бесконечно малых. Символы Он О.
    11

    24. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность,
    существование наибольшего и наименьшего значений, существова­
    ние промежуточных значений.
    3.3. Дифференциальное исчисление
    функций одной переменной
    25. Понятие функции, дифференцируемой в точке, его геометри­
    ческий смысл. Дифференциал функции. Общее представление о
    методах линеаризации.
    26. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Пра­
    вила нахождения производной и дифференциала.
    27. Производная сложной и обратной функции. Инвариантность
    формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных
    параметрически.
    28. Точки экстремума функции. Теорема Ферма.
    29. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их применение.
    30. Производные и дифференциалы высших порядков.
    31. Правило Лопиталя.
    32. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и фор­
    ме Лагранжа. Представление функций ех, sin x, In (1 + х), (1 + х)",
    cosx по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора.
    3.4. Применение дифференциального исчисления
    для исследования функций
    и построения их графиков
    33. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, не­
    обходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего
    и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.
    34. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
    35. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении.
    36. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
    37. Понятие кривой. Примеры. Уравнение касательной к кривой
    в данной точке.
    38. Кривизна плоской кривой. Радиус и центр кривизны кривой.
    Понятие об эволюте и эвольвенте.
    12

    39. Векторная функция скалярного аргумента. Предел, непрерыв­
    ность. Производная векторной функции. Ее геометрический и механи­
    ческий смысл. Касательная прямая и нормальная плоскость к кривой.
    4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
    ГЕОМЕТРИЯ
    4.1. Матрицы
    Прямоугольная таблица из чисел вида

    состоящая из т строк и п столбцов, называется матрицей разме­
    ров тхп.
    Матрица А" называется обратной к квадратной матрице А, если
    А А- АА - Е, где Е - единичная матрица. Для невырожденной
    матрицы А = aij) i, j = \,2,...,n , det A*0 , где detA - опреде­
    литель матрицы А, существует единственная обратная матрица

    где Ау - алгебраические дополнения элементов а,, матрицы Л. Ес­
    ли матрица А - вырожденная (det4 = 0), то обратной к ней не су­
    ществует.
    13

    Рассмотрим некоторыее методы решения системы "ПТ
    формулы Крамерц. Если система (1) невырождена, то она имеет
    единственное решение, определяемое формулами Крамера:
    х, = - J - , / - 1.2

    н,

    где Д, - определитель, получаемый на определителя Л
    заменой его /-го столбца ни столбец В свободных членов.
    МОТРИЧННЙ МСТРД' Решение невырожденной системы (I) можно
    ш»йти по формуле X « А'' В.
    Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
    С помощью элементарных преобразований над строками система т
    линейных уравнений с п неизвестными может быть приведена к виду

    (3)

    0 = dm
    где си * О (/ = 1, 2, ...,г), г<п.
    Система (3) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно
    из чисел dr+\,...,dm отлично от нуля, то система (3), а следова­
    тельно, и исходная система несовместны. Если же dr+\ =d =0,
    15

    Производя элементарные преобразования
    расширенной матрицы, получаем

    над

    строками

    где цифрами [l| [2} [3j обозначены следующие операции:
    [lj - первую и вторую строки поменяли местами; [2J - ко второй
    строке прибавили первую, умноженную на (-2), а третью сложили с
    первой, умноженной на (-3); |3j - к третьей строке прибавили вто­
    рую, умноженную на (-1).
    16

    Механический смысл скалярного произведения: работа А, про­
    изводимая силой F, точка приложения которой перемещается из
    точки М] в точку М 2 , вычисляется по формуле ^4 = ( F , M j M 2 ) .
    4.4. Векторное произведение векторов
    Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а, Ъ, с назы­
    вается правой, если при наблюдении из конца третьего вектора
    кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой
    стрелки; в противном случае тройка называется левой (рис. 4.1).

    а.
    V

    Рис. 4.1: а) тройка (3,Ь,с) правая; б) тройка (а,Ь,с) левая

    19

    20

    Механический смысл векторного произведения. Пусть точка А
    твердого тела закреплена, а в его точке В приложена сила F . Тогда
    возникает вращательный момент М (момент силы). По определе­
    нию момент силы относительно точки А находится по формуле

    21

    22

    Здесь а и Ъ - величины отрезков, отсекаемых на осях координат Ох
    и Оу (т.е. длины, взятые с соответствующими знаками)'

    23

    25

    При помощи преобразования прямоугольной системы координат
    (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую но­
    вую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (18)
    имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):
    (19)

    (20)
    (21)
    где а, Ъ, р - положительные числа. Уравнение (18) может опреде­
    лять так называемую вырожденную кривую (пустое множество,
    точку, прямую, пару прямых). При этом линия, приводимая к виду
    (19), (20), (21), называется соответственно эллипсом, гиперболой
    или параболой.
    2

    2

    х
    у
    Эллипс с каноническим уравнением —»- + -у = 1, о>0, Ъ > 0,
    а
    Ъ
    а > Ь} имеет форму, изображенную на рис. 4.4.
    Точки F2(-c, 0) и Fj(c, 0), где с = л!а -Ь , называются фоку­
    сами эллипса.
    Числа а и b называются полуосями эллипса.

    Рис. 4.4

    27

    Рис. 4.5

    Рис. 4.6

    28

    \

    Рис. 4.7

    29

    30

    31

    32

    33

    34

    35

    36

    37

    40

    44

    45

    49

    50

    51

    52

    53

    54

    55

    56

    57

    61

    62

    63

    64

    65

    71

    73

    75

    76

    77

    78

    80

    15. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.
    В 4 ч. / Под ред. А.П.Рябушко. - Мн.: Выш. школа, 1990. - Ч. 1-4.
    16. С у х а я Т. А., Б у б н о в В. Ф. Задачи по высшей матема­
    тике: Учебное пособие. В 2 ч. - Мн.: Выш. школа, 1993.

    81

    Содержание

    )

    Введение
    1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО
    РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
    2. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ
    КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
    3. ПРОГРАММА
    3.1. Элементы линейной алгебры и аналитической
    геометрии
    3.2. Введение в математический анализ
    3.3. Дифференциальное исчисление функций одной
    переменной
    3.4. Применение дифференциального исчисления
    для исследования функций и построения их графиков
    4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
    ГЕОМЕТРИЯ
    4.1. Матрицы
    4.2. Системы линейных уравнений. Матричный метод.
    Правило Крамера. Метод Гаусса
    4.3. Скалярное произведение векторов в R3
    4.4. Векторное произведение векторов
    4.5. Смешанное произведение векторов
    4.6. Прямая на плоскости. Плоскость
    4.7. Линии второго порядка
    ,
    4.8. Поверхности второго порядка
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
    5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
    5.1. Предел числовой последовательности. Предел функции . . .
    5.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
    Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции.
    Точки разрыва и их классификация
    6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
    ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
    ,
    6.1. Дифференцирование функций
    6.2. Производные и дифференциалы высших порядков.
    Дифференцирование функций,
    заданных параметрически
    82

    3
    3
    8
    9
    9
    11
    12
    12
    13
    13
    14
    18
    19
    22
    23
    26
    30
    32
    40
    40

    43
    48
    48

    51

    6 3. Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши.
    Правило Лопиталя
    6 4. Формула Тейлора и ее приложения
    7. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
    ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
    И ПОСТРОЕНИЯ ИХ ГРАФИКОВ
    7.1. Исследование функций на экстремум. Выпуклость
    и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты
    7.2. Исследование функций и построение их графиков
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
    Литература

    53
    57

    61
    61
    65
    67
    80

    Учебное издание

    ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
    Методические указания и контрольные работы № 1 и № 2
    для студентов-заочников машиностроительных специальностей

    Составители: АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич
    МИКУЛИК Николай Александрович
    НАУМОВИЧ Руслан Федорович и др.

    Редактор Т.Н.Микулик
    Компьютерная верстка Н.А.Школьниковой
    Подписано в печать 18.12.2002.
    Формат 60x84 1/16. Бумага типографская № 2.
    Печать офсетная. Гарнитура Тайме.
    Усл. печ. л. 4,9. Уч.-изд. л. 3,8. Тираж 500. Заказ 769.
    Издатель и полиграфическое исполнение:
    Белорусский национальный технический университет.
    Лицензия ЛВ №155 от 30.01.98.220013, Минск, проспект Ф.Скорины, 65.