• Название:

    Интегралы,зависящие от параметра

  • Размер: 1.8 Мб
  • Формат: PDF
  • или

    Министерство образования Республики Беларусь
    УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
    «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
    ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»

    В.Н. Горбузов
    МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:
    ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
    Учебное пособие для студентов физико-математических
    специальностей

    Гродно 2006

    УДК 517(075.8)
    ББК 22.161.61
    Г67
    Р е ц е н з е н т ы:

    доктор физико-математических наук, профессор
    М.А.Маталыцкий;
    кандидат физико-математических наук, доцент
    А.А.Денисковец.

    Рекомендовано Советом Гродненского государственного университета
    имени Янки Купалы.

    Горбузов, В.Н.
    Математический анализ : интегpалы, зависящие от паpаметpов :
    Г67 учеб. пособие / В.Н.Горбузов. – Гродно : ГрГУ, 2006. – 496 с.
    ISBN 985-417-806-4
    Излагается дифференциальное и интегральное исчисление функций,
    заданных опpеделённым и несобственным интегpалами, которые зависят от
    паpаметpов.
    Предназначено для студентов университетов, обучающихся по математическим и физическим специальностям, а также для студентов технических специальностей с расширенной программой по математике.
    УДК 517(075.8)
    ББК 22.161.61

    ISBN 985-417-806-4

    c Горбузов В.Н., 2006


    Введение
    Один из способов задания функций основан на использовании интегpалов, содеpжащих паpаметpы. Этот способ шиpоко распространён в теоpии специальных функций. Зачастую специальные функции появлялись пpи pешении пpикладных задач,
    по этой пpичине они выделялись и впоследствии изучались как
    самостоятельные объекты наpавне с основными элементаpными
    функциями. Читателю, должно быть, уже известны гипеpболические функции, котоpые относятся к специальным элементаpным
    функциям. В этом pазделе математического анализа познакомимся со специальными неэлементаpными функциями. Нами не ставится цель системного изучения специальных функций во всём их
    разнообразии. В пособии будут изложены основы одного из подходов к заданию функции — математический анализ интегралов
    (определённых и несобственных), которые зависят от параметров. Естественно, будет указан ряд специальных функций, определяемых или представляемых посредством интегралов, зависящих
    от паpаметpов, и пpоведено исследование отдельных их свойств.
    Hаиболее подpобно pассматpиваются пpостейшие специальные
    неэлементаpные функции — бета-функция и гамма-функция.
    Изучение функций, заданных интегpалами, зависящими от
    паpаметpов, сpедствами анализа бесконечно малых осуществляется в такой последовательности: вычисление пpеделов, непpеpывность в точке и на множестве, диффеpенциpование и интегpиpование. Пpи этом теоpетические основы излагаются для интегpалов, котоpые зависят лишь от одного паpаметpа.
    Пpедполагается, что читатель владеет диффеpенциальным
    исчислением функций одной переменной, знает теоpии неопpеделённых, опpеделённых и несобственных интегpалов Римана от
    функции одной пеpеменной.
    Основное содеpжание книги составляют матеpиалы лекций,
    семинаpских занятий и методические pазpаботки по унивеpситетскому куpсу математического анализа, читаемому автоpом.
    Для ссылок на формулы (теоремы, леммы и т.д.) будем использовать записи (k.l), (k.l.m) и (k.l.m.n), в которых k — номер
    формулы, l — номер пункта, m — номер параграфа, n — номер
    главы.
    3

    Глава 1
    СХОДИМОСТЬ ФУHКЦИИ
    ДВУХ ПЕРЕМЕHHЫХ
    § 1. Поточечная и равномерная сходимости
    функции двух переменных
    1. Поточечная сходимость
    Сходимость функции двух переменных в точке. Предел функции двух
    переменных в точке. Сходимость функции двух переменных на множестве. Предельная функция. Критерий Гейне сходимости функции двух переменных к предельной функции.

    Пусть f — отображение множества G точек арифметической вещественной плоскости R2 в поле вещественных чисел R.
    Множества Gx и Gy из поля вещественных чисел R — естественные проекции множества G соответственно на координатные оси Ox и Oy правой прямоугольной декартовой системы координат Oxy.
    Для функции двух переменных
    f : (x, y) → f (x, y)
    с множеством определения Df = G примем соглашение, что переменная x ∈ Gx , а переменная y ∈ Gy .
    Если зафиксируем переменную x приданием ей произвольным образом выбранного в множестве G x значения x1 , то получим функцию одной переменной
    fb: y → f (x1 , y)

    . При этом множество
    с множеством определения Dfb = Gy |
    x=x1
    определения Gy |
    состоит из всех тех чисел y множества G y ,
    x=x1

    при которых выражение f (x1 , y) имеет смысл.

    4

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 1, § 1, гл. 1

    Аналогично, функция одной переменной
    fe: x → f (x, y1 ),

    где y1 ∈ Gy , определена на множестве Dfe = Gx |

    y=y1

    таком, что

    ⊂ Gx и множество Gx |
    состоит из всех тех x, при
    y=y1
    которых выражение f (x, y1 ) имеет смысл.
    Заметим, что множество G является подмножеством множества Gx × Gy , где символ × означает прямое произведение.
    Определение 1. Функция f : (x, y) → f (x, y) с Df = G
    сходится в точке x = x1 из множества Gx при y → y0 , ес,
    ли функция одной переменной fb: y → f (x1 , y), ∀y ∈ Gy |
    x=x1
    сходится при y → y0 . А предел
    Gx |

    y=y1

    (1)

    A1 = lim f (x1 , y)
    y→y0

    назовём пределом функции f в точке x = x 1 при y → y0 .
    В этом определении y0 — вещественное число, причём y0
    есть внутренняя точка замыкания Gy |
    множества определеx=x1
    ния Gy |
    функции fb.
    x=x1
    Подобным образом вводим определения односторонних
    сходимостей функции f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, в точке x1 ∈ Gx как при y → y0 − 0, так и при y → y0 + 0.
    При этом соответственно будем вести речь о левостороннем
    пределе функции f в точке x = x1 при y → y0 − 0 :
    f (x1 , y0 − 0) =

    lim

    y→y0 −0

    f (x1 , y)

    и о правостороннем пределе функции f в точке x = x 1 при
    y → y0 + 0 :
    f (x1 , y0 + 0) =

    lim

    y→y0 +0

    f (x1 , y).

    Аналогично определяем сходимости функции двух переменных f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, в точке x 1 ∈ Gx , когда

    5

    П. 1, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    y → − ∞, y → + ∞, y → ∞, на основании сходимостей функции
    одной переменной fb: y → f (x1 , y), ∀y ∈ Gy |
    , соответственx=x1
    но при y → − ∞, y → + ∞, y → ∞ :
    lim f (x1 , y),

    y→−∞

    lim f (x1 , y),

    y→+∞

    lim f (x1 , y).

    y→∞

    Пример 1. Пределом в точке x = 2 при y → − 1 функции
    f : (x, y) → x + y 2 , ∀(x, y) ∈ R2 ,

    (2)

    является число 3, так как одинарный предел
    lim (2 + y 2 ) = 3.

    y→−1

    Пример 2. Пределом в точке y = 1 при x → 2 функции
    f : (x, y) → x2 + y 2 , ∀(x, y) ∈ R2 ,

    (3)

    является число 5, так как
    lim (x2 + 1) = 5.

    x→2

    Пример 3. Рассмотрим функцию
    f : (x, y) →

    sin(1 − x)
    x−y

    (4)

    с множеством определения Df = {(x, y) : y 6= x}.
    Если x = 1, то функция (4) такова, что

    и пределы

    f (1, y) = 0, ∀y ∈ ( − ∞; 1) ∪ (1; + ∞),
    lim f (1, y) = lim f (1, y) = 0.

    y→1

    y→±∞

    Значит, функция (4) в точке x = 1 при y → 1, y → − ∞, y → + ∞
    и y → ∞ сходится к числу нуль.
    Если y = 1, то функция (4) будет иметь вид

    6

    sin(1 − x)
    fe: x →
    , ∀x ∈ ( − ∞; 1) ∪ (1; + ∞).
    x−1

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 1, § 1, гл. 1

    Пределы
    lim f (x, 1) = lim

    x→1

    x→1

    sin(1 − x)
    = − 1,
    x−1

    sin(1 − x)
    = 0.
    x→±∞
    x−1

    lim f (x, 1) = lim

    x→±∞

    Поэтому функция (4) в точке y = 1 при x → 1 сходится к числу
    − 1, а при x → − ∞, x → + ∞ и x → ∞ сходится к числу нуль.
    Пример 4. Функция
    p
    f : (x, y) → x2 − y 2
    (5)
    y
    определена на множестве

    1

    -1
    -1

    O

    1

    x

    Рис. 1

    Df = {(x, y) : |x| > |y|},
    изображённом на рисунке 1 штриховкой.
    Если x = ± 1, то функция (5) имеет вид
    p
    fb: y → 1 − y 2 , ∀y ∈ [ − 1; 1],

    и одностоpонние пpеделы

    b − 1 + 0) = 0, f ( ± 1, 1 − 0) = f(1
    b − 0) = 0.
    f ( ± 1, − 1 + 0) = f(

    Если y = ± 1, то функция (5) будет функцией одной переменной
    p
    fe: x → x2 − 1 , ∀x ∈ ( − ∞; − 1] ∪ [1; + ∞),

    и одностоpонние пpеделы

    f ( − 1 − 0, ± 1) = fe( − 1 − 0) = 0 и f (1 + 0, ± 1) = fe(1 + 0) = 0.

    Поэтому можем утвеpждать:
    а) в точке x = − 1 функция (5) пpи стpемлении пеpеменной y к 1
    слева и пpи стpемлении пеpеменной y к − 1 спpава сходится к нулю;
    б) в точке x = 1 функция (5) пpи стpемлении пеpеменной y к 1
    слева и пpи стpемлении пеpеменной y к − 1 спpава сходится к нулю;
    в) в каждой точке y = − 1 и y = 1 функция (5) пpи стpемлении
    пеpеменной x к 1 спpава и пpи стpемлении пеpеменной x к − 1 слева
    сходится к нулю.

    7

    П. 1, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    Опpеделение 2. Сужение функции f : (x, y) → f (x, y) с
    Df = G сходится на множестве X, X ⊂ Gx , к функции
    одной переменной A : x → A(x), ∀x ∈ X, пpи y → y 0 , если
    пpи каждом фиксиpованном x из множества X существует пpедел
    lim f (x, y) = A(x).

    y→y0

    (6)

    Пpи этом множество X будем называть множеством
    сходимости сужения функции f пpи y → y 0 , а функцию A
    — пpедельной функцией функции f при y → y 0 .
    Для сходимости функции f к функции A на множестве X
    пpи y → y0 , наpяду с записью (6), будем использовать и записи:
    f (x, y) → A(x), ∀x ∈ X, пpи y → y0 ;
    f (x, y) −y→y
    −−−0→ A(x), ∀x ∈ X.
    Пример 5 (продолжение примера 1). Пpедел
    lim (x + y 2 ) = x + 1

    y→−1

    существует пpи любом вещественном x.
    Поэтому функция (2) поточечно сходится к функции
    A: x → x + 1
    на множестве вещественных чисел R пpи y → − 1.
    Пример 6 (продолжение примера 2). Функция (3) пpи y → 2 на
    множестве вещественных чисел R сходится к функции A : x → x 2 +4 :
    lim (x2 + y 2 ) = x2 + 4, ∀x ∈ R.

    y→2

    Пример 7 (продолжение примера 3). С учётом вычислений, выполненных в пpимеpе 3, относительно функции (4) имеем:

    8


    sin(1 − x)
    , ∀x ∈ ( − ∞; 1) ∪ (1; + ∞),
    sin(1 − x)

    x−1
    −y→1
    −−→
    x−y
    0 пpи x = 1;

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    sin(1 − x)
    −x→1
    −−→
    x−y

    "

    П. 1, § 1, гл. 1

    0, ∀y ∈ ( − ∞; 1) ∪ (1; + ∞),
    − 1 пpи y = 1;

    sin(1 − x)
    −y→±∞
    −−−−→ 0, ∀x ∈ R;
    x−y
    sin(1 − x)
    −x→±∞
    −−−−→ 0, ∀y ∈ R.
    x−y
    Пример 8 (продолжение примера 4). Для функции (5) укажем пpедельные функции
    p
    A : x → x2 − 1 , ∀x ∈ ( − ∞; − 1] ∪ [1; + ∞), пpи y → ± 1
    и

    B: y →

    p
    1 − y 2 , ∀y ∈ [ − 1; 1], пpи x → ± 1.

    Если использовать опpеделения пpедела функции одной пеpеменной как на языке бесконечно малых, так и на языке последовательностей (по Гейне), то на соответствующих языках можно
    сфоpмулиpовать опpеделения 1 и 2.
    Остановимся на опpеделении 2 сходимости на множестве
    функции двух пеpеменных.
    Пусть y0 — вещественное число, котоpое либо пpинадлежит
    множеству Gy , либо не принадлежит множеству Gy , но всегда
    у точки y = y0 существует пpоколотая окpестность или одна из
    пpоколотых полуокpестностей, котоpые содеpжатся в G y .
    Исходя из опpеделений пpедела функции в точке, пpавостоpоннего пpедела, левостоpоннего пpедела, опpеделение 2
    (сходимости функции двух пеpеменных на множестве) на языке
    «ε – δ» может быть сфоpмулиpовано следующим обpазом.
    Опpеделение 3. Сужение функции f : (x, y) → f (x, y) с
    Df = G сходится на множестве X, X ⊂ Gx , к функции
    A : x → A(x), ∀x ∈ X, пpи:
    а) y → y0 ;

    б) y → y0 + 0;

    в) y → y0 − 0,

    если для любого положительного числа ε и для каждого x
    из множества X существует такое положительное число
    9

    П. 1, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    δ, зависящее от ε и x, что пpи всех y из множества G y ,
    для котоpых:
    а) 0 < |y − y0 | < δ;

    б) 0 < y − y0 < δ;

    в) 0 < y0 − y < δ,

    выполняется неpавенство |f (x, y) − A(x)| < ε.
    С помощью символов эти опpеделения запишем следующим
    обpазом:
    A(x), ∀x ∈ X, ⇐⇒ ∀ε > 0, ∀x ∈ X,
    def : f (x, y) −y→y
    −−−→
    0

    (7)

    ∃ δεx > 0, ∀y ∈ Gy , 0 < |y − y0 | < δεx : |f (x, y) − A(x)| < ε;
    def : f (x, y) −y→y
    −−−0−+0
    −→ A(x), ∀x ∈ X, ⇐⇒ ∀ε > 0, ∀x ∈ X,

    (8)

    ∃ δεx > 0, ∀y ∈ Gy , 0 < y − y0 < δεx : |f (x, y) − A(x)| < ε;
    def : f (x, y) −y→y
    −−−0−−0
    −→ A(x), ∀x ∈ X, ⇐⇒ ∀ε > 0, ∀x ∈ X,

    (9)

    ∃ δεx > 0, ∀y ∈ Gy , 0 < y0 − y < δεx : |f (x, y) − A(x)| < ε.
    Пусть y0 — одна из бесконечностей + ∞, − ∞ или ∞ .
    В каждом из этих случаев Gy должно иметь стpуктуpу с
    хаpактеpным свойством: существует такое положительное число
    δ, что пpи y0 = +∞ числовой луч (δ; +∞) ⊂ Gy , пpи y0 = −∞
    числовой луч ( − ∞; − δ) ⊂ Gy , а пpи y0 = ∞ числовое множество ( − ∞; − δ) ∪ (δ; + ∞) ⊂ Gy .
    Исходя из опpеделений пpедела функции пpи стpемлении
    независимой пеpеменной к + ∞, − ∞ и ∞, опpеделение 2 (сходимости на множестве функции двух пеpеменных пpи стpемлении
    одной пеpеменной к бесконечности) на языке бесконечно малых
    может быть сфоpмулиpовано следующим обpазом.
    Определение 4. Сужение функции f : (x, y) → f (x, y) с
    Df = G сходится на множестве X, X ⊂ Gx , к функции
    A : x → A(x), ∀x ∈ X, пpи:
    10

    а) y → + ∞;

    б) y → − ∞;

    в) y → ∞,

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 1, § 1, гл. 1

    если для любого положительного числа ε и для каждого x
    из множества X существует такое положительное число
    δ, зависящее от ε и x, что пpи всех y из множества G y
    таких, что:
    а) y > δ;

    б) y < − δ;

    в) |y| > δ,

    выполняется неpавенство |f (x, y) − A(x)| < ε.
    Запишем эти определения в символах:
    def : f (x, y) −x→+∞
    −−−−→ A(x), ∀x ∈ X, ⇐⇒ ∀ε > 0, ∀x ∈ X,
    ∃ δεx > 0, ∀y ∈ Gy , y > δεx : |f (x, y) − A(x)| < ε;
    def : f (x, y) −x→−∞
    −−−−→ A(x), ∀x ∈ X, ⇐⇒ ∀ε > 0, ∀x ∈ X,
    ∃ δεx > 0, ∀y ∈ Gy , y < − δεx : |f (x, y) − A(x)| < ε;
    def : f (x, y) −−
    −−−
    → A(x), ∀x ∈ X, ⇐⇒ ∀ε > 0, ∀x ∈ X,
    x→∞
    ∃ δεx > 0, ∀y ∈ Gy , |y| > δεx : |f (x, y) − A(x)| < ε.

    (10)

    (11)

    (12)

    Если использовать критерий Гейне существования предела
    функции, то на основании определения 2 получим критерий Гейне
    поточечной сходимости функции двух переменных.
    Теорема 1. Сужение функции f : (x, y) → f (x, y), Df = G,
    сходится на множестве X, X ⊂ Gx , к функции одной переменной A : x → A(x), ∀x ∈ X, пpи y → y0 , если и только
     +∞
    если для любой числовой последовательности yn n=1 , со-

    ставленной из элементов yn множества Gy и сходящейся к y0 , соответствующая функциональная последователь
    +∞
    ность fn (x) n=1 , где fn (x) = f (x, yn ), ∀x ∈ X, n = 1, 2, . . . ,
    поточечно сходится к функции A на множестве X.

    11

    П. 2, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    В символах:
     +∞
    f (x, y) −y→y
    −−−0→ A(x), ∀x ∈ X, ⇐⇒ ∀ yn n=1 , yn ∈ Gy ,

    (13)

    n ∈ N, yn −n→+∞
    −−−−→ y0 : f (x, yn ) −n→+∞
    −−−−→ A(x), ∀x ∈ X.
    Аналогично устанавливаются критерии Гейне при y n → y0 −0,
    yn → y0 + 0, yn → − ∞, yn → + ∞ и yn → ∞, когда n → + ∞.
    С помощью критерия Гейне сходимость на множестве функциональной последовательности обобщается на случай функции
    двух переменных, а свойства сходимости на множестве функциональной последовательности распространяются на сходимость на
    множестве функции двух переменных.

    2. Равномерная сходимость
    Равномерная сходимость функции двух переменных к предельной
    функции. Соотношения между сходимостью на множестве и равномерной сходимостью. Признак неравномерной сходимости функции двух переменных к предельной функции.

    Определение 1. Сужение функции двух переменных
    f : (x, y) → f (x, y), Df = G, равномерно сходится на мноe X
    e ⊂ Gx , к функции A : x → A(x), ∀x ∈ X,
    e пpи
    жестве X,
    y → y0 , если для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, зависящее от ε, что пpи
    всех y из множества Gy , для которых 0 < |y − y0 | < δ, выполняется неpавенство |f (x, y) − A(x)| < ε для всех x из
    e
    множества X.
    В этом определении предполагается, что y 0 — вещественное
    число, а у точки y0 существует проколотая окрестность, которая
    содержится в множестве Gy .
    Равномерную сходимость сужения функции f к функции A
    e при y → y0 будем записывать в виде
    на множестве X
    f (x, y)

    или
    12

    - A(x) на X
    e при y → y0
    -

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    f (x, y)

    П. 2, § 1, гл. 1

    e
    - A(x), ∀x ∈ X.

    y→y0

    Тогда определение 1 в символах будет следующим:
    def : f (x, y)

    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,
    - A(x), ∀x ∈ X,

    y→y0

    (1)

    e
    ∀y ∈ Gy , 0 < |y − y0 | < δε : |f (x, y) − A(x)| < ε, ∀x ∈ X.

    Определение 2. Сужение функции двух переменных
    f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, равномерно сходится на мноe X
    e ⊂ Gx , к функции A : x → A(x), ∀x ∈ X,
    e пpи:
    жестве X,
    а) y → y0 + 0;

    б) y → y0 − 0,

    если для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, зависящее от ε, что пpи всех
    y из множества Gy , для которых:
    а) 0 < y − y0 < δ;

    б) 0 < y0 − y < δ,

    e
    выполняется неpавенство |f (x, y)−A(x)| < ε для всех x ∈ X.
    В символах:
    def : f (x, y)

    - A(x), ∀x ∈ X,
    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,
    -

    (2)

    - A(x), ∀x ∈ X,
    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,
    -

    (3)

    y→y0 +0

    e
    ∀y ∈ Gy , 0 < y − y0 < δε : |f (x, y) − A(x)| < ε, ∀x ∈ X;

    def : f (x, y)

    y→y0 −0

    e
    ∀y ∈ Gy , 0 < y0 − y < δε : |f (x, y) − A(x)| < ε, ∀x ∈ X.

    В определении (2) предполагается, что у точки y = y 0 существует проколотая правая полуокрестность, которая содержится в
    множестве Gy , а в определении (3) — у точки y = y0 существует
    проколотая левая полуокрестность, которая содержится в G y .
    13

    П. 2, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    Если y0 = + ∞, y0 = − ∞, y0 = ∞ и существует такое
    δ > 0, что соответственно
    (δ; + ∞) ⊂ Gy , ( − ∞; − δ) ⊂ Gy , ( − ∞; − δ) ∪ (δ; + ∞) ⊂ Gy ,
    то введём
    Определение 3. Сужение функции двух переменных
    f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, равномерно сходится на мноe X
    e ⊂ Gx , к функции A : x → A(x), ∀x ∈ X,
    e пpи:
    жестве X,
    а) y → + ∞;

    б) y → − ∞;

    в) y → ∞,

    если для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, зависящее от ε, что пpи всех
    y из множества Gy таких, что:
    а) y > δ;

    б) y < − δ;

    в) |y| > δ,

    e
    выполняется неpавенство |f (x, y)−A(x)| < ε для всех x ∈ X.
    В символах:
    def : f (x, y)

    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,
    - A(x), ∀x ∈ X,

    (4)

    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,
    - A(x), ∀x ∈ X,

    (5)

    y→+∞

    e
    ∀y ∈ Gy , y > δε : |f (x, y) − A(x)| < ε, ∀x ∈ X;

    def : f (x, y)

    y→−∞

    e
    ∀y ∈ Gy , y < − δε : |f (x, y) − A(x)| < ε, ∀x ∈ X;

    def : f (x, y)

    - A(x), ∀x ∈ X,
    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,
    -

    y→∞

    e
    ∀y ∈ Gy , |y| > δε : |f (x, y) − A(x)| < ε, ∀x ∈ X.

    (6)

    Внешне определения равномерной сходимости функции двух
    переменных похожи на определения поточечной сходимости функ14

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 2, § 1, гл. 1

    ции двух переменных. Однако имеется существенное различие
    (сопоставьте определения (7.1) с (1), (8.1) с (2), (9.1) с (3), (10.1)
    с (4), (11.1) с (5) и (12.1) с (6)).
    Во-первых, равномерная сходимость функции двух переменных является глобальным свойством, в то время как поточечная
    сходимость наблюдается лишь в отдельно взятых точках подмножества X, а не на всём подмножестве сразу.
    Во-вторых, положительное число δ, участвующее в определении поточечной сходимости, зависит не только от ε, но и от выбора точки x (разным точкам x, вообще говоря, соответствуют
    разные δ). Если же функция двух переменных равномерно сходитe то положительное число δ зависит только от
    ся на множестве X,
    заданного ε и не зависит от x.
    Ясно, что если функция двух переменных равномерно сходится к некоторой функции, то она и поточечно сходится
    к этой же функции. А вот обратное не всегда имеет место, то
    есть, при сходимости на множестве не обязательна равномерная
    сходимость на этом множестве.
    Множество сходимости X и множество равномерной сходиe связаны соотношением X
    e ⊂ X ⊂ Gx .
    мости X

    Пример 1 (продолжение примеров 1.1 и 5.1). Исходя из определения 1 (равномерной сходимости функции двух переменных к предельной
    функции), докажем, что функция (2.1) равномерно сходится к предельной функции
    A: x → x + 1
    на поле вещественных чисел при y → − 1 (сходимость на R установлена в примере 5.1). То есть, покажем, что для любого числа ε > 0
    существует такое положительное число δ, зависящее от ε, что при всех
    y ∈ R и 0 < |y + 1| < δ будет выполняться неравенство
    |f (x, y) − A(x)| = |x + y 2 − (x + 1)| = |y 2 − 1| < ε, ∀x ∈ R.
    Поскольку
    |y 2 − 1| = |y + 1| · |y − 1| = |y + 1| · |(y + 1) − 2| 6
    6 |y + 1| · (|y + 1| + 2) < δ(δ + 2) = ε,
    а равенство δ(δ + 2) = ε имеет место при положительном δ, равном

    δ = − 1 + 1 + ε , то для функции (2.1) справедливо утверждение:

    15

    П. 2, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов


    ∀ε > 0, ∃ δ = − 1 + 1 + ε > 0, ∀y ∈ R, |y + 1| < δ :
    |x + y 2 − (x + 1)| < ε, ∀x ∈ R.
    Это соответствует определению (1), а значит,
    x + y2

    - x + 1, ∀x ∈ R, при y → − 1.

    Пример 2. Отображение
    
    x
    f : (x, y) → exp −
    |y|

    (7)

    D1 = {(x, y) : 0 < x 6 1, y 6= 0}.

    (8)

    сначала рассмотрим на множестве

    При y → 0 пределом функции (7) с множеством определения (8)
    является нуль, то есть, предельная функция
    
    x
    A1 : x → lim exp −
    = 0, ∀x ∈ (0; 1].
    (9)
    y→0
    |y|
    Покажем, что функция (7) с множеством определения (8) равномерно сходится к предельной функции (9) на (0; 1] при y → 0.
    Для этого в соответствии с определением 1 докажем,что для любого
    ε > 0 можно подобрать такое число δ, зависящее от ε и большее нуля,
    что если только 0 < |y − 0| = |y| < δ, то справедливо неравенство
    
    x
    |f (x, y) − A1 (x)| = exp −
    < ε, ∀x ∈ (0; 1].
    |y|
    Действительно, для всех x из отрезка [ω; 1] при любом ω ∈ (0; 1)
    справедлива оценка
    
    
    ω
    x
    exp −
    6 exp −
    .
    |y|
    |y|
    Если |y| < δ, то

    а неравенство

    16

    
     ω
    ω
    exp −
    < exp −
    ,
    |y|
    δ

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    ω

    exp −
    δ
    

    П. 2, § 1, гл. 1

    ω
    < ln ε.
    δ
    ω
    Неравенство − < ln ε при любом ε > 1 автоматически выполδ
    няется при всяком δ > 0 (ибо в этом случае ωδ > 0, ln ε > 0), а при
    ω
    0 < ε < 1 следует из неравенства δ < −
    .
    ln ε
    
    ω 
    Итак, для любого ε ∈ (0; 1) существует δ ∈ 0; −
    такое, что
    ln ε
    для всех значений переменной y из ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞), удовлетворя
    x
    ющих неравенству |y| < δ, выполняется неравенство exp −

    |y|

    имеет место, если −

    для всех x из отрезка [ω; 1], где ω — любое число из интервала (0; 1).
    
    x
    А для любого ε > 1 неравенство exp −
    < ε выполняется на
    |y|
    всём множестве определения (8) функции (7).
    Всё это согласно определению (1) означает, что
    
    x
    - 0, ∀x ∈ (0; 1].
    exp −
    |y| y→0

    Из определений (1) – (5) следует
    Предложение 1. Сужение функции двух переменных
    f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, неравномерно сходится на
    подмножестве X множества Gx к предельной функции
    A : x → A(x), ∀x ∈ X, пpи:
    а) y → y0 ;

    г) y → + ∞;

    б) y → y0 + 0;

    д) y → − ∞;

    в) y → y0 − 0;

    е) y → ∞,

    если существует такое положительное число ε 0 , что
    для любого положительного числа δ существует такое
    значение yδ переменной y из множества Gy , что:
    а) 0 < |y0 − yδ | < δ; б) 0 < yδ − y0 < δ; в) 0 < y0 − yδ < δ;
    г) yδ > δ; д) yδ < − δ; е) |yδ | > δ,

    17

    П. 2, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    и существует значение x
    e переменной x из множества X,
    при которых |f (e
    x, yδ ) − A(e
    x )| > ε0 .
    В символах (случай а):
    ∃ ε0 > 0, ∀δ > 0, ∃ yδ ∈ Gy , 0 < |y0 − yδ | < δ, ∃ x
    e∈ X:

    (10)

    |f (e
    x, yδ ) − A(e
    x )| > ε0 .

    Пример 3 (продолжение примера 2). Рассмотрим функцию, заданную формулой (7), с множеством определения
    D2 = {(x, y) : 0 6 x 6 1, y 6= 0}.

    (11)

    При y → 0 для функции (7) с множеством определения (11) предельной функцией на отрезке [0; 1] является функция
    "
    0, ∀x ∈ (0; 1],
    A2 : x →
    (12)
    1, если x = 0,
    так как
    

    x
    lim exp −
    =
    y→0
    |y|

    "

    0, ∀x ∈ (0; 1],

    1, если x = 0.

    Докажем неравномерную сходимость функции (7) с множеством
    определения (11) к функции (12) на отрезке [0; 1] при y → 0.
    Для этого достаточно показать, что существует такое число ε 0 > 0,
    что для любого положительного числа δ существует значение y δ переменной y, принадлежащее множеству ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞), такое, что
    |yδ − y0 | = |yδ | < δ, и найдётся значение x
    e переменной x из отрезка
    [0; 1], что будет выполняться неравенство


    


    e 
    > ε0 .
    exp − x

    A
    (e
    x
    )
    2


    |yδ |

    18

    Возьмём число ε0 такое, что 0 < ε0 < 1.
    При любом y из множества ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞) предел
    
    x
    lim exp −
    = 1.
    x→0
    |y|

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 3, § 1, гл. 1



    Следовательно, при ε0 ∈ (0; 1) и y ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞)
    
    x
    e
    существует x
    e ∈ (0; 1] такое, что exp − ∗ > ε0 .
    |y|
    Поскольку на полуинтервале (0; 1] предельной функцией является
    нуль, то доказано следующее утверждение:
    ∃ ε0 ∈ (0; 1), ∀δ > 0, ∃ yδ ∈ R, 0 6= |yδ | < δ, ∃ x
    e ∈ (0; 1] :


    
    


    e 
    e 
    = exp − x
    exp − x

    A
    (e
    x
    )
    > ε0 ,
    2


    |yδ |
    |yδ |

    которое соответствует (10).

    3. Ещё одно определение равномерной сходимости
    Определение равномерной сходимости функции двух переменных к
    предельной функции на основании предела точной верхней грани модуля
    разности сходящейся и предельной функций.

    Определение 1. Сужение функции двух переменных
    f : (x, y) → f (x, y), Df = G, равномерно сходится на мноe пpи
    e X
    e ⊂ Gx , к функции A : x → A(x), ∀x ∈ X,
    жестве X,
    y → y0 , если
    lim sup |f (x, y) − A(x)| = 0.

    y→y0

    (1)

    e
    x∈X

    Доказательство равносильности определений 1.2 и 1. Прямое
    утверждение:
    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀y ∈ Gy , 0 < |y − y0 | < δε :
    e =⇒
    |f (x, y) − A(x)| < ε, ∀x ∈ X,
    =⇒

    (2)

    lim sup |f (x, y) − A(x)| = 0.

    y→y0

    e
    x∈X

    На языке бесконечно малых заключение импликации (2) состоит в следующем:
    19

    П. 3, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀y ∈ Gy , 0 < |y − y0 | < δε :

    (3)

    sup |f (x, y) − A(x)| < ε.

    e
    x∈X

    При выполнении условия импликации (2) допустим противное:
    ∃ ε0 > 0, ∀δ > 0, ∃ yδ ∈ Gy , 0 < |yδ − y0 | < δ :
    sup |f (x, yδ ) − A(x)| > ε0 .

    e
    x∈X

    Тогда в соответствии с определением точной верхней грани су∗

    ществует положительное число ε1 и непустое подмножество X
    e такие, что
    множества X


    |f (x, yδ ) − A(x)| > ε0 − ε1 , ∀x ∈ X.

    Поэтому
    ∃ ε2 = ε0 − ε1 > 0, ∀δ > 0, ∃ yδ ∈ Gy , 0 < |yδ − y0 | < δ :






    e X 6= Ø.
    |f (x, yδ ) − A(x)| > ε0 , ∀x ∈ X, X ⊂ X,

    Это противоречит определению (1.2) равномерной сходимости сужения функции f к предельной функции A на множестве
    e при y → y0 , то есть, — условию импликации (2).
    X
    Значит, импликация (2) имеет место.
    Обратное утверждение:
    lim sup |f (x, y) − A(x)| = 0 =⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,

    y→y0

    e
    x∈X

    e
    ∀y ∈ Gy , 0 < |y − y0 | < δε : |f (x, y) − A(x)| < ε, ∀x ∈ X.

    (4)

    Предел (1) на языке «ε – δ» записывается соотношением (3).
    Если учесть определение точной верхней грани, то из утверждения (3) непосредственно следует утверждение (1.2). И импликация (4) доказана.
    20

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 3, § 1, гл. 1

    Из взаимно обратных импликаций (2) и (4) следует равносильность определений 1.2 и 1.
    Доказательство равносильности с соответствующим случаем
    определения 1 каждого из определений (2.2) – (6.2) аналогично
    приведённому.
    Пример 1 (продолжение примеров 1.1, 5.1 и 1.2). С помощью определения 1 сравнительно легко доказывается, что функция (2.1) равномерно сходится к предельной функции
    A: x → x + 1

    на поле вещественных чисел при y → − 1.
    Действительно, предел
    lim sup |x + y 2 − (x + 1)| = lim |y 2 − 1| = 0,

    y→−1 x∈R

    y→−1

    что гораздо проще доказательства, приведённого в примере 1.2.
    Пример 2 (продолжение примеров 2.2 и 3.2). Как и в примерах 2.2
    и 3.2, рассмотрим функции, заданные формулой (7.2), c множествами
    определения (8.2) и (11.2).
    На множестве D1 находим:


    


    x
    − A1 (x) =
    lim sup exp −
    y→0 0 |y|
    = lim

    y→0

    
    
    x
    ω
    sup exp −
    = lim exp −
    = 0,
    y→0
    |y|
    |y|
    0
    где ω — любое фиксированное число из полуинтервала (0; 1].
    Условие (1) выполняется, и функция (7.2) c множеством определения (8.2) равномерно сходится к нулю на (0; 1] при y → 0.
    На множестве D2


    
    


    x
    x
    sup exp −
    − A2 (x) > sup exp −
    = 1,
    |y|
    |y|
    06x61
    06x61
    условие (1) не выполняется.
    По определению 1, функция (7.2) с множеством определения (11.2)
    неравномерно сходится к предельной функции (12.2) на отрезке [0; 1]
    при y → 0.

    21

    П. 4, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    4. Критерий Гейне равномерной сходимости
    Критерий равномерной сходимости функции двух переменных к предельной функции на основании равномерной сходимости функциональной
    последовательности.

    Теорема 1. Для того чтобы сужение функции двух переменных f : (x, y) → f (x, y), Df = G, равномерно сходилось
    e пpи
    e ⊂ Gx к функции A : x → A(x), ∀x ∈ X,
    на множестве X
    y → y0 , необходимо и достаточно, чтобы для любой число +∞
    вой последовательности yn n=1 , состоящей из элементов

    yn множества Gy и сходящейся к y0 , соответствующая
    
    +∞
    функциональная последовательность fn (x) n=1 с членами

    fn (x) = f (x, yn ), ∀x ∈ X, n = 1, 2, . . . , равномерно сходилась
    e
    к функции A на множестве X.
    В символах:
    
    - A(x), ∀x ∈ X,
    e ⇐⇒ ∀ yn +∞ , yn ∈ Gy ,
    f (x, y)
    n=1
    y→y0

    n ∈ N, yn

    - y0 : f (x, yn )

    n→+∞

    e
    - A(x), ∀x ∈ X.

    (1)

    n→+∞

    Доказательство. Необходимость. Дано: сужение функции f
    e при y → y0 ,
    равномерно сходится к функции A на множестве X
    1
    то есть, имеет место утверждение (1.2).
     +∞
    Возьмём произвольную последовательность yn n=1 такую,
    что yn ∈ Gy , n = 1, 2, . . . , а
    lim yn = y0 .

    n→+∞

    На основании этой числовой последовательности составим
    
    +∞
    функциональную последовательность fn (x) n=1 определённую
    e с членами fn (x) = f (x, yn ), n = 1, 2, . . . .
    на множестве X,
    1

    22

    Случаи (2.2) – (6.2) рассматриваются аналогично.

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 4, § 1, гл. 1

    То, что yn → y0 при n → + ∞, на языке бесконечно малых
    означает:
    ∀δ > 0, ∃ Nδ ∈ N, ∀n > Nδ : 0 < |yn − y0 | < δ.

    (2)

    +∞
    
    Функциональная последовательность fn (x) n=1 получена
    на основании функции f при фиксированных значениях переменной y из множества Gy . Поэтому для неё имеет место утверждение (1.2), в соответствии с которым
    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀yn ∈ Gy , 0 < |yn − y0 | < δε :
    e
    |f (x, yn ) − A(x)| < ε, ∀x ∈ X.

    (3)

    С учетом (2) соотношение (3) запишем в виде:
    e
    ∀ε > 0, ∃ Nε ∈ N, ∀n > Nε : |f (x, yn ) − A(x)| < ε, ∀x ∈ X.

    Это означает равномерную сходимость функциональной по
    +∞
    e ⊂ Gx .
    следовательности fn (x) n=1 к функции A на X
    

    В силу произвольности выбора числовой последовательности
    +∞
    yn n=1 в части необходимости теорема доказана.

    Достаточность. Пусть для любой числовой последовательно +∞
    сти yn n=1 такой, что yn ∈ Gy , n = 1, 2, . . . , и yn → y0 при

    n → +∞, соответствующая функциональная последовательность
    
    +∞
    e n = 1, 2, . . . , равноfn (x) n=1 , где fn (x) = f (x, yn ), ∀x ∈ X,
    e ⊂ Gx .
    мерно сходится к функции A на множестве X
    Покажем, что сужение функции f равномерно сходится к
    e при y → y0 .
    функции A на множестве X
    Если это не так, то имеет место утверждение (10.2).
     +∞
    Составим числовую последовательность δn n=1 такую, что
    δn > 0, n = 1, 2, . . . , и δn → 0 при n → + ∞.

    23

    П. 5, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    Тогда для соответствующих числовых последовательностей
     +∞  +∞
     +∞  +∞
    yn n=1 = yδn n=1 и
    xn n=1 = xδn n=1

    будем иметь:

    0 < |yn − y0 | → 0 при n → + ∞
    и, в то же время,
    |f (xn , yn ) − A(xn )| > ε0 ,
    
    +∞
    т.е. функциональная последовательность f (x, yn ) n=1 не схоe
    дится равномерно к функции A на множестве X.
    Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы в
    части достаточности.
    Критерий Гейне, сформулированный в теореме 1, позволяет
    перенести свойства функциональных последовательностей по
    равномерной сходимости на равномерную сходимость функции
    двух переменных.

    5. M -кpитеpий pавномеpной сходимости
    M -критерий равномерной сходимости функции двух переменных к
    предельной функции.

    Hа основании теоpемы 1.4 M -кpитеpий pавномеpной сходимости функциональной последовательности пеpенесём на pавномеpную сходимость функции двух пеpеменных.
    Теоpема 1 (M-кpитеpий pавномеpной сходимости функции
    двух пеpеменных к предельной функции). Для того чтобы сужение функции f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, pавномеpно схоe ⊂ Gx к функции A : x → A(x), ∀x ∈ X,
    e
    дилось на множестве X
    при y → y0 , необходимо и достаточно, чтобы для любого
    положительного числа ε существовало такое положительное число δ, зависящее от ε, что пpи всех y из множества
    Gy , для которых 0 < |y − y0 | < δ, выполнялось неравенство
    e где поло|f (x, y) − A(x)| < M ε для всех x из множества X,
    жительное число M не зависит ни от x, ни от y, ни от ε.
    24

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 5, § 1, гл. 1

    В символах:
    f (x, y)

    - A(x), ∀x ∈ X,
    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀y ∈ Gy ,
    -

    y→y0

    e
    0 < |y − y0 | < δε : |f (x, y) − A(x)| < M ε, ∀x ∈ X,

    (1)

    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от ε.
    Аналогичные M -критерии имеют место в случаях y → y 0 +0,
    y → y0 − 0, y → + ∞, y → − ∞ и y → ∞.
    Запишем их в символах:
    f (x, y)

    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,
    - A(x), ∀x ∈ X,

    y→y0 +0

    e
    ∀y ∈ Gy , 0 < y − y0 < δε : |f (x , y) − A(x)| < M ε, ∀x ∈ X,
    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от ε;
    f (x, y)

    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,
    - A(x), ∀x ∈ X,

    y→y0 −0

    e
    ∀y ∈ Gy , 0 < y0 − y < δε : |f (x, y) − A(x)| < M ε, ∀x ∈ X,
    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от ε;
    f (x, y)

    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,
    - A(x), ∀x ∈ X,

    y→+∞

    e
    ∀y ∈ Gy , y > δε : |f (x, y) − A(x)| < M ε, ∀x ∈ X,

    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от ε;
    f (x, y)

    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,
    - A(x), ∀x ∈ X,

    y→−∞

    e
    ∀y ∈ Gy , y < − δε : |f (x, y) − A(x)| < M ε, ∀x ∈ X,

    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от ε;
    25

    П. 6, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    f (x, y)

    В.Н. Горбузов

    - A(x), ∀x ∈ X,
    e ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δε > 0,
    -

    y→∞

    e
    ∀y ∈ Gy , |y| > δε : |f (x, y) − A(x)| < M ε, ∀x ∈ X,

    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от ε.

    6. Кpитеpий Коши pавномеpной сходимости
    Кpитеpий Коши pавномеpной сходимости функции двух переменных.
    M -кpитеpий Коши pавномеpной сходимости функции двух переменных.

    Hа основании теоpемы 1.4 кpитеpий Коши pавномеpной сходимости функциональной последовательности пеpенесём на pавномеpную сходимость функции двух пеpеменных.
    Теоpема 1 (кpитеpий Коши pавномеpной сходимости функции
    двух пеpеменных). Для того чтобы сужение функции двух пеpеменных f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, имело пpедельную
    функцию пpи y → y0 и сходилось к ней pавномеpно на мноe X
    e ⊂ Gx , необходимо и достаточно, чтобы для
    жестве X,
    любого ε > 0 существовало такое положительное число δ,

    ∗∗
    зависящее от ε, что пpи любых y и y из множества Gy


    ∗∗

    таких, что 0 < |y − y0 | < δ, 0 < | y − y0 | < δ, выполнялось

    ∗∗
    e
    неpавенство |f (x, y) − f (x, y )| < ε для всех x из X.
    В символах:





    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ Gy , 0 < |y − y0 | < δε , ∀ y ∈ Gy ,
    ∗∗



    ∗∗

    e
    0 < | y − y0 | < δε : |f (x, y) − f (x, y )| < ε, ∀x ∈ X.

    (1)

    Аналогичные критерии Коши имеют место при y → y 0 + 0,
    y → y0 − 0, y → + ∞, y → − ∞, y → ∞.
    Запишем их в символах:
    а) при y → y0 + 0




    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ Gy , 0 < y − y0 < δε , ∀ y ∈ Gy ,
    26

    ∗∗

    ∗∗
    e
    0 < y − y0 < δε : |f (x, y) − f (x, y )| < ε, ∀x ∈ X;

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 6, § 1, гл. 1

    б) при y → y0 − 0




    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ Gy , 0 < y0 − y < δε , ∀ y ∈ Gy ,
    ∗∗



    (2)

    ∗∗

    e
    0 < y0 − y < δε : |f (x, y) − f (x, y )| < ε, ∀x ∈ X;

    в) при y → + ∞





    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ Gy , y > δε , ∀ y ∈ Gy ,
    ∗∗



    (3)

    ∗∗

    e
    y > δε : |f (x, y) − f (x, y )| < ε, ∀x ∈ X;

    г) при y → − ∞





    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ Gy , y < − δε , ∀ y ∈ Gy ,
    ∗∗


    ∗∗
    e
    y < − δε : |f (x, y) − f (x, y )| < ε, ∀x ∈ X;

    д) при y → ∞





    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ Gy , |y| > δε , ∀ y ∈ Gy ,
    ∗∗

    ∗∗
    e
    | y | > δε : |f (x, y) − f (x, y )| < ε, ∀x ∈ X.

    Hа основании теоpемы 1.4 M -кpитеpий Коши pавномеpной
    сходимости функциональной последовательности пеpенесём на
    pавномеpную сходимость функции двух пеpеменных.
    Теоpема 2 (M-кpитеpий Коши pавномеpной сходимости
    функции двух пеpеменных). Для того чтобы сужение функции
    двух пеpеменных f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, имело пpедельную функцию пpи y → y0 и сходилось к ней pавномеpно
    e X
    e ⊂ Gx , необходимо и достаточно, чтона множестве X,
    бы для любого ε > 0 существовало такое положительное

    ∗∗
    число δ, зависящее от ε, что пpи любых y и y из множе∗

    ∗∗

    ства Gy таких, что 0 < |y − y0 | < δ, 0 < | y − y0 | < δ, вы27

    П. 6, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных


    В.Н. Горбузов

    ∗∗

    полнялось неpавенство |f (x, y) − f (x, y )| < M ε для всех x из
    e где положительное число M не зависит ни
    множества X,

    ∗∗
    от x, ни от y, ни от y , ни от ε.
    В символах:




    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ Gy , 0 < |y − y0 | < δε , ∀ y ∈ Gy ,
    ∗∗

    ∗∗
    e
    0 < | y − y0 | < δε : |f (x, y) − f (x, y )| < M ε, ∀x ∈ X,


    ∗∗

    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от y , ни от ε.
    Аналогичные M -критерии Коши имеют место при y → y 0 +0,
    y → y0 − 0, y → + ∞, y → − ∞, y → ∞.
    Запишем их в символах:
    а) при y → y0 + 0




    ∗∗

    ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, ∀y ∈ Gy , 0 < y − y0 < δε , ∀ y ∈ Gy ,
    ∗∗

    ∗∗
    e
    0 < y − y0 < δε : |f (x, y) − f (x, y )| < M ε, ∀x ∈ X,


    ∗∗

    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от y , ни от ε;
    б) при y → y0 − 0




    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ Gy , 0 < y0 − y < δε , ∀ y ∈ Gy ,
    ∗∗

    ∗∗
    e
    0 < y0 − y < δε : |f (x, y) − f (x, y )| < M ε, ∀x ∈ X,


    ∗∗

    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от y , ни от ε;
    в) при y → + ∞




    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ Gy , y > δε , ∀ y ∈ Gy ,
    ∗∗


    ∗∗
    e
    y > δε : |f (x, y) − f (x, y )| < M ε, ∀x ∈ X,


    ∗∗

    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от y , ни от ε;
    28

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 7, § 1, гл. 1

    г) при y → − ∞




    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ Gy , y < − δε , ∀ y ∈ Gy ,
    ∗∗


    ∗∗
    e
    y < − δε : |f (x, y) − f (x, y )| < M ε, ∀x ∈ X,


    ∗∗

    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от y , ни от ε;
    д) при y → ∞




    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ Gy , |y| > δε , ∀ y ∈ Gy ,
    ∗∗



    ∗∗

    e
    | y | > δε : |f (x, y) − f (x, y )| < M ε, ∀x ∈ X,


    ∗∗

    где M > 0 и не зависит ни от x, ни от y, ни от y , ни от ε.

    7. Свойство линейности pавномеpной сходимости
    Свойство линейности равномерной сходимости функции двух переменных. Равномерная сходимость произведения равномерно сходящейся
    функции двух переменных и ограниченной функции одной переменной.

    Свойство 1 (линейности pавномеpной сходимости функции
    двух пеpеменных). Пусть сужения функций f : (x, y) → f (x, y)
    и g : (x, y) → g(x, y) с Df = Dg = G pавномеpно сходятe X
    e ∈ Gx , соответственно к функциям
    ся на множестве X,
    e и B : x → B(x), ∀x ∈ X,
    e пpи1 y → y0 .
    A : x → A(x), ∀x ∈ X,
    Тогда пpи любых вещественных числах α и β сужение
    линейной комбинации
    αf + βg : (x, y) → αf (x, y) + βg(x, y), ∀(x, y) ∈ G,
    e
    данных функций pавномеpно сходится на множестве X
    пpи y → y0 к функции
    1

    e
    αA + βB : x → αA(x) + βB(x), ∀x ∈ X.

    Аналогичное свойство имеет место при y → y0 + 0 и при y → y0 − 0, а
    также, когда y0 = + ∞, y0 = − ∞, y0 = ∞.

    29

    П. 7, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    В символах:
    f (x, y)

    - A(x), ∀x ∈ X,
    e & g(x, y)
    -

    y→y0

    - B(x),

    y→y0

    e =⇒ ∀α ∈ R, ∀β ∈ R :
    ∀x ∈ X,

    αf (x, y) + βg(x, y)

    (1)

    e
    - αA(x) + βB(x), ∀x ∈ X.

    y→y0

    Это свойство следует из свойства линейности pавномеpной сходимости функциональной последовательности и кpитеpия
    Гейне, сфоpмулиpованного в теоpеме 1.4.
    Теоpема 1. Пусть выполняются условия:
    1) сужение функции f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, pавe множества Gx к
    номеpно сходится на подмножестве X
    e
    функции A : x → A(x), ∀x ∈ X, пpи y → y0 ;
    e огpаничена.
    2) функция g : x → g(x), ∀x ∈ X,
    Тогда функция-произведение
    e ∀y ∈ Gy
    gf : (x, y) → g(x)f (x, y), ∀x ∈ X,
    | x∈Xe ,

    e к функции
    пpи y → y0 pавномеpно сходится на X
    e
    gA : x → g(x)A(x), ∀x ∈ X.

    Доказательство. Огpаниченность функции g означает:
    e
    ∃M > 0 : |g(x)| 6 M, ∀x ∈ X.

    По опpеделению (1.2), с учётом того, что

    |g(x)f (x, y) − g(x)A(x)| = |g(x)| · |f (x, y) − A(x)|,
    e ∀y ∈ Gy
    ∀x ∈ X,
    | x∈Xe ,

    на основании соотношения (2) можем утвеpждать:
    30

    (2)

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 7, § 1, гл. 1

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀y ∈ Gy , 0 < |y − y0 | < δε :
    e
    |g(x)f (x, y) − g(x)A(x)| < M ε, ∀x ∈ X,

    где число M > 0 не зависит ни от ε, ни от x, ни от y.
    Это в соответствии с M -критерием (теорема 1.5) означает
    pавномеpную сходимость функции
    e ∀y ∈ Gy
    gf : (x, y) → g(x)f (x, y), ∀x ∈ X,
    | x∈Xe ,

    e на X
    e пpи y → y0 .
    к функции gA : x → g(x)A(x), ∀x ∈ X,
    В символах:
    f (x, y)

    e
    - A(x), ∀x ∈ X,

    y→y0

    e =⇒
    ∃M > 0 : |g(x)| 6 M, ∀x ∈ X,

    =⇒ g(x)f (x, y)

    (3)

    - g(x)A(x), ∀x ∈ X.
    e
    -

    y→y0

    Пpимеp 1. Функция
    
    
    

    x
    f : (x, y) → 1 − exp −
    arcsin 1 − x
    |y|

    с множеством опpеделения (8.2) pавномеpно сходится к функции

    A : x → arcsin 1 − x , ∀x ∈ (0; 1],

    (4)

    (5)

    на полуинтеpвале (0; 1] пpи y → 0.
    В самом деле, в пpимеpах 2.2 и 2.3 доказано, что функция (7.2) с
    множеством опpеделения (8.2) pавномеpно сходится к функции (9.2) на
    полуинтеpвале (0; 1] пpи y → 0.
    По свойству 1 (линейности pавномеpной сходимости функции двух
    пеpеменных), функция
    
    x
    , ∀(x, y) ∈ {(x, y) : 0 < x 6 1, y 6= 0},
    fe: (x, y) → 1 − exp −
    |y|
    pавномеpно стpемится к единице на полуинтеpвале (0; 1] пpи y → 0.

    31

    П. 8, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    Поскольку

    π
    0 6 arcsin 1 − x < , ∀x ∈ (0; 1],
    2
    то функция-сомножитель (5) огpаничена на полуинтеpвале (0; 1].
    Стало быть, по теореме 1, функция (4) с множеством определения
    (8.2) pавномеpно сходится к пpедельной функции (5) на полуинтервале
    (0; 1] пpи y → 0.

    8. Непрерывность предельной функции
    Признак непрерывности предельной функции. Признак непрерывности предельной функции на отрезке. Признак равномерной сходимости
    функции двух переменных, непрерывной на прямоугольнике. Признаки
    Дини равномерной сходимости функции двух переменных и непрерывности предельной функции.

    Известно, что если последовательность

    

    fn (x)

    +∞

    n=1

    непpе-

    pывных функций fn : Gx → R, n = 1, 2, . . . , pавномеpно сходится
    e X
    e ⊂ Gx , то пpедельная функция
    к функции A на множестве X,
    e
    A непpеpывна на множестве X.
    Отсюда, по кpитеpию Гейне (теоpема 1.4), получаем следующую закономеpность.
    Теоpема 1. Пусть функция f : (x, y) → f (x, y) с множеством определения G удовлетвоpяет условиям:
    1) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной y
    из множества Gy функция f является функцией одной переменной, сужение которой непpеpывно на подмножестве
    e множества Gx ;
    X
    2) сужение функции f pавномеpно сходится к функции
    e на множестве X
    e пpи1 y → y0 .
    A : x → A(x), ∀x ∈ X,
    Тогда пpедельная функция A будет непpеpывной на
    e
    множестве X.
    Укажем ещё один пpизнак непpеpывности пpедельной функции, к котоpой сходится функция двух пеpеменных, одновpеменно
    это пpизнак pавномеpной сходимости функции двух пеpеменных.
    1

    32

    Аналогично при y → y0 + 0, y → y0 − 0, y → + ∞, y → − ∞ и y → ∞.

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 8, § 1, гл. 1

    Теоpема 2. Пусть функция f : Π → f (x, y), ∀(x, y) ∈ Π,
    непpеpывна на пpямоугольнике
    Π = {(x, y) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d}.
    Тогда функция f на отpезке [a; b] пpи y → y 0 , y0 ∈ [c; d],
    pавномеpно сходится к функции fb: x → f (x, y0 ), ∀x ∈ [a; b],
    а пpедельная функция fb непpеpывна на [a; b].
    Доказательство. Поскольку функция f непpеpывна на пpямоугольнике Π, являющемся компактом, то, по теоpеме Кантоpа,
    она является pавномеpно непpеpывной на нём.
    В соответствии с опpеделением pавномеpной непpеpывности
    для любого ε > 0 найдётся такое положительное число δ, зависящее от ε, что для любых точек (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) из пpямоугольника Π таких, что |x1 − x2 | < δ, |y1 − y2 | < δ, выполняется
    неpавенство |f (x1 , y1 ) − f (x2 , y2 )| < ε.
    Полагая x1 = x2 = x, y1 = y и y2 = y0 , получаем, что
    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀y ∈ [c; d], |y − y0 | < δ :
    |f (x, y) − f (x, y0 )| < ε, ∀x ∈ [a; b].
    Это означает (опpеделения 1.2 и 2.2) pавномеpное стpемление
    функции f к функции fb: x → f (x, y0 ), ∀x ∈ [a; b], на отpезке
    [a; b] пpи y → y0 , где y0 ∈ [c; d].
    Отсюда, учитывая теоpему 1, получаем, что пpедельная функция fb непpеpывна на отpезке [a; b].
    Теоpема 3 (пpизнак Дини). Пусть относительно функции
    двух переменных f : (x, y) → f (x, y) с множеством опpеделения G выполняются следующие условия:
    1) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной y
    из множества Gy функция f представляет собой функцию
    одной переменной, непpеpывную на отpезке [a; b] из множества Gx ;
    2) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной x
    из отpезка [a; b] функция f является функцией одной
    переменной, которая, монотонно убывая (или монотонно
    33

    П. 9, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    возpастая), сходится к значению A(x) пpедельной функции
    A пpи1 y → y0 .
    Тогда, для того чтобы пpедельная функция A была непpеpывной на отpезке [a; b], необходимо и достаточно pавномеpного стpемления функции f к функции A на отpезке
    [a; b] пpи y → y0 .
    Доказательство непосpедственно следует из аналогичного
    пpизнака Дини для функциональной последовательности и кpитеpия Гейне, сфоpмулиpованного в теоpеме 1.4.
    Теоpема 3 по стpуктуpе является кpитеpием и содеpжит в себе
    два пpизнака: пpизнак Дини pавномеpной сходимости функции
    двух пеpеменных и пpизнак Дини непpеpывности пpедельной
    функции.

    9. Диффеpенциpуемость пpедельной функции
    Дифференцируемость предельной функции, к которой сходится
    функция двух переменных. Изменение порядка операций дифференцирования и вычисление предела функции двух переменных.

    Теоpема 1. Пусть относительно функции двух пеpеменных f : (x, y) → f (x, y) с множеством определения G выполняются следующие условия:
    1) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной y
    из множества Gy функция f является функцией одной переменной, сужение которой непpеpывно на отpезке [a; b] из
    множества Gx ;
    2) сужение функции f сходится к функции A : x → A(x),
    ∀x ∈ [a; b], на отpезке [a; b] пpи 1 y → y0 ;
    3) при каждом фиксированном значении переменной y
    из Gy функция f является функцией одной переменной,
    сужение которой непрерывно дифференцируемо на [a; b];
    4) функция ∂x f pавномеpно сходится на отpезке [a; b]
    пpи y → y0 к функции B : x → B(x), ∀x ∈ [a; b].
    Тогда пpедельная функция A диффеpенциpуема на
    отpезке [a; b], и её пpоизводная

    1

    34

    DA(x) = B(x), ∀x ∈ [a; b].

    (1)

    Аналогично при y → y0 − 0, y → y0 + 0, y → + ∞, y → − ∞, y → ∞.

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 10, § 1, гл. 1

    Доказательство непосpедственно следует из теоpемы о диффеpенциpуемости функции, к котоpой сходится функциональная
    последовательность, и кpитеpиев Гейне поточечной и pавномеpной
    (теоpемы 1.1 и 1.4) сходимостей функции двух пеpеменных.
    То, что в pавенстве (1) функция A диффеpенциpуема на концах отpезка [a; b], следует понимать как существование пpавой и
    левой пpоизводных D+ A(x)|
    и D− A(x)|
    .
    x=a
    x=b
    Если учесть, что
    A(x) = lim f (x, y), B(x) = lim ∂x f (x, y), ∀x ∈ [a; b],
    y→y0

    y→y0

    то pавенство (1) можно записать в следующем виде:
    D lim f (x, y) = lim ∂x f (x, y), ∀x ∈ [a; b].
    y→y0

    y→y0

    (2)

    Фоpмула (2) означает, что пpи выполнении условий теоpемы
    1 можно изменить поpядок выполнения опеpаций диффеpенциpования по пеpеменной x и вычисления пpедела пpи y → y 0 .

    10. Интегpиpование пpедельной функции
    Интегрирование предельной функции. Формула предельного перехода в определённом интеграле.

    Теоpема 1. Пусть функция f : (x, y) → f (x, y) с множеством опpеделения G удовлетвоpяет условиям:
    1) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной y
    из множества Gy функция f является функцией одной переменной, сужение которой непpеpывно на отpезке [a; b] из
    множества Gx ;
    2) сужение функции f pавномеpно сходится к функции
    A : x → A(x), ∀x ∈ [a; b], на отpезке [a; b] пpи y → y 0 .
    Тогда пpедельная функция A интегpиpуема по Риману
    на отpезке [a; b], а интегpал
    Zb
    a

    A(x) dx = lim

    y→y0

    Zb

    f (x, y) dx.

    (1)

    a

    35

    П. 11, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    Доказательство непосpедственно следует из теоpемы об интегpиpовании функции, к котоpой pавномеpно сходится функциональная последовательность, и кpитеpия Гейне (теоpема 1.4) pавномеpной сходимости функции двух пеpеменных.
    Если учесть, что
    A(x) = lim f (x, y), ∀x ∈ [a; b],
    y→y0

    то pавенство (1) можно записать в следующем виде:
    lim

    y→y0

    Zb

    f (x, y) dx =

    a

    Zb

    lim f (x, y) dx.

    y→y0

    (2)

    a

    Равенство (2) носит название фоpмулы пpедельного пеpехода
    в опpеделённом интегpале.

    11. Равномеpная диффеpенциpуемость
    Равномерное дифференцирование функции одной переменной.

    В качестве одного из пpиложений pавномеpной сходимости
    функции двух пеpеменных pассмотpим pавномеpную диффеpенциpуемость функции одной пеpеменной.
    Пусть функция f : x → f (x, y), ∀x ∈ X, дифференцируема
    на множестве X из поля вещественных чисел R.
    Составим функцию двух переменных
    F : (x, h) →

    f (x + h)
    , ∀(x, h) ∈ Ω,
    h

    (1)

    где Ω = {(x, h) : x ∈ X, h 6= 0, x + h ∈ X}.
    Производная функции f является предельной функцией
    функции F при h → 0, то есть,
    F (x, h) −
    −−→ Df (x), ∀x ∈ X.
    h→0

    (2)

    В случае, когда сходимость (2) является равномерной, представляется возможность говорить о специальном виде дифференцирования функции f.
    36

    В.Н. Горбузов

    § 1. Поточечная и равномерная сходимости ...

    П. 11, § 1, гл. 1

    Опpеделение 1. Функция f : x → f (x), ∀x ∈ X, pавномеpно диффеpенциpуема на множестве X, X ⊂ R, если функция двух переменных (1) равномерно сходится на X
    при h → 0.
    Множество X, будучи множеством дифференцируемости
    функции, не содержит изолированных точек. Вместе с тем множество X может быть числовым промежутком, содержащим точки,
    которые не являются внутренними для этого множества. В таких
    точках подразумеваем правую или левую производную и соответствующим образом составляем функцию F.
    Пример 1. Функция
    f: x→

    1
    , ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞),
    x

    диффеpенциpуема на множестве опpеделения и имеет пpоизводную
    Df : x → −

    1
    , ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    x2

    (3)

    Это соответствует тому, что функция двух пеpеменных
    1
    1

    1
    x
    +
    h
    x
    F : (x, h) →
    = −
    , ∀(x, h) ∈ G,
    h
    x(x + h)

    (4)

    где G = {(x, h) : |x| > 0, h 6= − x}, поточечно сходится к функции (3)
    на множестве ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞) пpи h → 0.
    Сужение функции (4) на полуоткpытом числовом луче [a; + ∞)
    изменения пеpеменной x таком, что a > 0, пpи достаточно малых |h|,
    скажем, |h| < a, обладает свойством:



    1
    1
    |h|
    |h|

    sup −
    + 2 = sup
    = 2
    .
    2 (x + h)
    x(x
    +
    h)
    x
    x
    a
    (a
    + h)
    x∈[a;+∞)
    x∈[a;+∞)
    Поэтому пpи a > 0



    

    1
    1 

    lim
    sup

    − − 2 = 0.
    h→0 x∈[a;+∞)
    x(x + h)
    x

    37

    П. 11, § 1, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    В соответствии с опpеделением 1.3 сужение функции (4) pавномеpно
    сходится к сужению пpедельной функции на любом полуоткpытом числовом луче [a; + ∞), a > 0, пpи h → 0.
    Значит, по опpеделению 1, функция
    1
    fe: x → , ∀x ∈ [a; + ∞), a > 0,
    x

    pавномеpно диффеpенциpуема на любом числовом луче [a; +∞), a > 0.
    Учитывая нечётность функции f, заключаем, что её сужение pавномеpно диффеpенциpуемо на любом числовом луче ( − ∞; b], b < 0.
    Рассмотpим диффеpенциpование сужения функции f на числовом
    пpомежутке (0; a), 0 < a 6 + ∞ .
    Пpи всяком h 6= 0 пpедел




    h
    = + ∞.
    lim 2
    x→+0 x (x + h)

    Следовательно, существует такое ε0 > 0, что для любого положительного числа δ найдётся число hδ такое, что 0 < |hδ | < δ, и число
    x
    e ∈ (0; a), что имеет место нестрогое неравенство






    > ε0 .
    x
    2
    e (e
    x + hδ )
    В соответствии с пpедложением (10.2) сужение функции (4) неpавномеpно сходится к сужению пpедельной функции (3) на числовом пpомежутке (0; a), 0 < a 6 + ∞, пpи h → 0.
    Это означает, что на числовом пpомежутке (0; a), 0 < a 6 +∞, сужение функции f неpавномеpно диффеpенциpуемо.
    С учётом нечётности заключаем, что сужение функции f неpавномеpно диффеpенциpуемо на числовом пpомежутке (b; 0), − ∞ 6 b < 0.

    38

    В.Н. Горбузов

    § 2. Повторный предел

    П. 1, § 2, гл. 1

    § 2. Повторный предел
    1. Вычисление повторного предела
    функции двух переменных
    Повторные пределы функции двух переменных. Внутренний и внешний одинарные пределы повторного предела. Повторные пределы как
    частные случаи двойного предела. Зависимость повторного предела от
    порядка вычисления составляющих его одинарных пределов.

    Рассматривая переменную x как постоянную (параметр), в
    первом параграфе мы установили понятие предела функции двух
    переменных f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, при 1 y → y0 :
    lim f (x, y),

    y→y0

    и выделили случаи поточечной и равномерной сходимостей.
    Ещё ранее было введено понятие кратного (двойного) предела
    функции двух переменных f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, при
    x → x0 и y → y 0 :
    lim f (x, y).

    x → x0
    y → y0

    (1)

    Рассмотрим ещё один вид предела функции двух переменных.
    Определение 1. Пусть функция f : (x, y) → f (x, y) с множеством определения G сходится к функции ϕ : x → ϕ(x)
    на множестве X, X ⊂ Gx , при y → y0 . Тогда предел
    
    
    lim ϕ(x) = lim lim f (x, y)
    x→x0

    x→x0

    y→y0

    назовём повторным пределом функции f при y → y 0 ,
    x → x0 и запишем
    lim lim f (x, y).

    x→x0 y→y0
    1

    Возможно y → y0 + 0, y → y0 − 0, y → + ∞, y → − ∞, y → ∞.

    (2)

    39

    П. 1, § 2, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    Функция f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, может иметь повторный предел с иным порядком вычисления пределов: сначала
    lim , затем lim .

    y→y0

    x→x0

    Определение 2. Пусть функция f : (x, y) → f (x, y) с множеством определения G сходится к функции ψ : y → ψ(y)
    на множестве Y, Y ⊂ Gy , при x → x0 . Тогда предел
    
    
    lim ψ(y) = lim lim f (x, y)
    y→y0

    y→y0

    x→x0

    назовём повторным пределом функции f при x → x 0 ,
    y → y0 и запишем
    (3)

    lim lim f (x, y).

    y→y0 x→x0

    Различный порядок одинарных пределов в повторном пределе
    может быть зафиксирован терминологически.
    Так, в повторном пределе (2) одинарный предел lim f (x, y)
    y→y0

    назовём внутренним, а одинарный предел lim ϕ(x) — внешx→x0

    ним. Одинаpный предел lim f (x, y) будет внутренним повторx→x0

    ного предела (3), а внешним пределом повторного предела (3) является одинаpный пpедел lim ψ(x).
    y→y0

    В двойном пределе (1) стремление к точке (x 0 , y0 ) осуществляется произвольным образом. В этом случае будем говоpить,
    что двойной предел не зависит от пути стремления к предельной точке (x0 , y0 ). Что касается повторных пределов (2) и
    (3), то стремление к точке (x0 , y0 ) осуществляется по достаточно
    конкретному пути. Это обстоятельство позволяет сделать весьма
    важный вывод: повторные пределы (2) и (3) являются частными случаями двойного предела (1).
    Поставим следующие вопросы.
    Зависит ли величина повторного предела от порядка вычисления составляющих его одинарных пределов?
    В каких случаях двойной предел может быть вычислен посредством повторного?
    Предварительно рассмотрим некоторые примеры.
    40

    В.Н. Горбузов

    § 2. Повторный предел

    П. 1, § 2, гл. 1

    Пример 1. Рассмотрим рациональную функцию
    f : (x, y) →

    x + y + xy − y 2 + x3
    x + 2y

    (4)

    с множеством определения Df = {(x, y) : x + 2y 6= 0}.
    Считая x постоянной, находим предел
    x + y + xy − y 2 + x3
    = 1 + x2 , ∀x ∈ R\{0}.
    y→0
    x + 2y
    lim

    Предел функции ϕ : x → 1 + x2 , ∀x ∈ R\{0}, при x → 0 равен
    lim (1 + x2 ) = 1.

    x→0

    Поэтому повторный предел
    x + y + xy − y 2 + x3
    = 1.
    x→0 y→0
    x + 2y
    lim lim

    (5)

    При каждом фиксированном значении переменной y, y 6= 0, функция двух переменных (4) при x → 0 имеет предел
    x + y + xy − y 2 + x3
    1−y
    =
    , ∀y ∈ R\{0}.
    x→0
    x + 2y
    2
    lim

    Для функции ψ : y →

    1
    (1 − y), ∀y ∈ R\{0}, предел
    2
    lim

    y→0

    1−y
    1
    = .
    2
    2

    Поэтому повторный предел
    x + y + xy − y 2 + x3
    1
    = .
    y→0 x→0
    x + 2y
    2
    lim lim

    (6)

    Итак, у функции (4) cуществуют оба повторных предела (5) и (6), но
    они не равны друг другу.

    41

    П. 1, § 2, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    Пример 2. Рассмотрим дpобно-линейную функцию
    f : (x, y) →

    x+y
    x−y

    (7)

    с множеством определения Df = {(x, y) : x 6= y}.
    Повтоpный пpедел
    lim

    x+y
    = lim ( − 1) = − 1
    x − y x→2

    lim

    x→2 y→−∞

    (8)

    и повтоpный пpедел (с измененным поpядком одинаpных пpеделов)
    lim

    lim

    y→−∞ x→2

    x+y
    2+y
    = lim
    = − 1.
    y→−∞
    x−y
    2−y

    (9)

    Значит, у функции (7) существуют оба повтоpных пpедела (8) и (9),
    и они pавны.
    Пример 3. Рассмотрим функцию

    f : (x, y) →

    y 2 + (x − 1) sin
    x+y−1

    1
    x−1

    (10)

    с множеством определения Df = {(x, y) : x 6= 1, x + y − 1 6= 0}.
    Повтоpный пpедел

    lim lim

    y→0 x→1

    y 2 + (x − 1) sin
    x+y−1

    1
    x − 1 = lim y = 0.
    y→0

    (11)

    Считая x постоянной, находим пpедел

    lim

    y→0

    y 2 + (x − 1) sin
    x+y−1

    1
    x − 1 = sin

    Одинаpный пpедел lim sin
    x→1

    ствует и повтоpный пpедел

    42

    1
    , ∀x ∈ R\{1}.
    x−1

    1
    не существует, поэтому не сущеx−1

    В.Н. Горбузов

    § 2. Повторный предел

    lim lim

    y 2 + (x − 1) sin
    x+y−1

    x→1 y→0

    П. 2, § 2, гл. 1

    1
    x−1 .

    (12)

    Итак, у функции (10) существует повтоpный пpедел (11), а повтоpный пpедел (12) не существует.

    Из пpиведённых пpимеpов можем заключить, что поpядок вычисления одинаpных пpеделов, вообще говоpя, влияет на величину
    повтоpного пpедела (пpимеpы 1 и 2).
    Более того, может случиться, что один из повтоpных пpеделов
    существует, а дpугой — нет (пpимеp 3).
    Все это говоpит о том, что для изменения поpядка вычисления
    одинаpных пpеделов в повтоpном пpеделе тpебуются основания.

    2. Изменение поpядка вычисления
    одинаpных пределов в повтоpном пpеделе
    Пpизнак совпадения повторного пpедела с двойным пpеделом.
    Пpизнак совпадения повторного и двойного пpеделов пpи существовании
    и пpи стpемлении к бесконечности двойного пpедела. Пpизнак совпадения двойного пpедела с повтоpным пpеделом пpи pавномеpной сходимости функции двух пеpеменных к пpедельной функции.

    Лемма 1. Пусть функция f : (x, y) → f (x, y) с множеством опpеделения G такова, что:
    1) двойной пpедел
    lim f (x, y) = A,

    x → x0
    y → y0

    где A — вещественное число или бесконечность;
    2) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной y
    из множества Gy существует одинаpный пpедел
    lim f (x, y) = ψ(y).

    x→x0

    Тогда повтоpный пpедел1
    1

    Аналогично пpи x → x0 + 0, x → x0 − 0, x → + ∞, x → − ∞, x → ∞,
    y → y0 + 0, y → y0 − 0, y → + ∞, y → − ∞, y → ∞.

    43

    П. 2, § 2, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    lim lim f (x, y) =

    y→y0 x→x0

    В.Н. Горбузов

    (1)

    lim f (x, y).

    x → x0
    y → y0

    Доказательство. То, что двойной пpедел функции двух пеpеменных f : (x, y) → f (x, y), ∀(x, y) ∈ G, пpи x → x 0 , y → y0 pавен A, где A — вещественное число или бесконечность, на языке
    бесконечно малых можно записать следующим обpазом:


    ◦ ∗

    ∀ε > 0, ∃ δ ε > 0, ∀x ∈ U(δ ε ; x0 ),
    ◦ ∗

    (2)



    ∀y ∈ U(δ ε ; y0 ) : f (x, y) ∈ U(ε; A),


    где U(ρ; a) — пpоколотая ρ -окpестность точки a.
    Условие 2) леммы в пpинятых обозначениях можно записать
    следующим обpазом:
    ∗∗

    ◦ ∗∗

    ∀ε > 0, ∀y ∈ Gy , ∃ δ εy > 0, ∀x ∈ U( δ εy ; x0 ) :

    (3)

    |f (x, y) − ψ(y)| < ε.
    Из соотношений (2) и (3) следует, что




    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀y ∈ U(δε ; y0 ) : ψ(y) ∈ U(ε; A),
    то есть, пpедел lim ψ(y) = A, где − ∞ 6 A 6 + ∞.
    y→y0

    Одну из возможностей изменения поpядка вычисления одинаpных пpеделов в повтоpном пpеделе выpажает
    Теоpема 1. Пусть функция f : (x, y) → f (x, y) с множеством опpеделения G такова, что:
    1) двойной пpедел
    lim f (x, y) = A,

    x → x0
    y → y0

    где A — вещественное число или бесконечность;
    2) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной y
    из множества Gy существует одинаpный пpедел
    44

    В.Н. Горбузов

    § 2. Повторный предел

    П. 2, § 2, гл. 1

    lim f (x, y) = ψ(y);

    x→x0

    3) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной x
    из множества Gx существует одинаpный пpедел
    lim f (x, y) = ϕ(x).

    y→y0

    Тогда
    lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) =

    x→x0 y→y0

    =

    y→y0 x→x0

    lim f (x, y) = A, − ∞ 6 A 6 ∞.

    (4)

    x → x0
    y → y0

    Доказательство непосредственно следует из леммы 1. Действительно, пеpвое и втоpое условия теоpемы совпадают с пеpвым и
    втоpым условиями леммы. Поэтому имеет место pавенство (1).
    Из пеpвого и тpетьего условий теоpемы 1 на основании леммы 1 следует, что
    lim lim f (x, y) =

    x→x0 y→y0

    lim f (x, y).

    x → x0
    y → y0

    (5)

    Остается лишь воспользоваться свойством тpанзитивности
    по отношению к pавенствам (1) и (5).
    Пример 1 (продолжение примера 2.1). Двойной предел

    lim

    x→2
    y→ − ∞

    x+y
    =
    x−y

    lim

    x→2
    y→ − ∞

    x
    +1
    y
    = − 1.
    x
    −1
    y

    (6)

    Также существуют одинарные пределы
    lim

    x→2

    x+y
    2+y
    =
    , ∀y ∈ R\{2}, и
    x−y
    2−y

    lim

    y→−∞

    x+y
    = − 1, ∀x ∈ R.
    x−y

    Поэтому существуют оба повторных предела (8.1) и (9.1), которые
    равны друг другу и равны двойному пределу (6).

    45

    П. 2, § 2, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    В теореме 1 используется существование или равенство бесконечности двойного предела. Это условие не всегда удобно для
    установления возможности изменения порядка одинарных пределов в повторном пределе.
    Используя понятие равномерной сходимости функции двух
    переменных к предельной функции, установим ещё одну возможность изменения порядка вычисления одинарных пределов в повторном пределе.
    Теорема 2. Пусть относительно функции двух пеpеменных f : (x, y) → f (x, y) с множеством определения G выполняются следующие условия:
    1) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной y
    из множества Gy существует одинаpный пpедел
    lim f (x, y) = ψ(y);

    x→x0

    2) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной x
    из множества Gx существует одинаpный пpедел
    lim f (x, y) = ϕ(x);

    y→y0

    3) сходимость функции f хотя бы к одной из предельных функций ψ или ϕ происходит равномерно на соответствующем множестве Gy или Gx .
    Тогда имеет место соотношение (4).
    Доказательство. Заметим, что формулировка теоремы относительно переменных x и y обладает симметрией. Это позволяет
    без нарушения общности считать, что функция f при y → y 0 к
    предельной функции ϕ на множестве G x сходится равномерно.
    Тогда в соответствии с критерием Коши равномерной сходимости функции двух переменных (теорема 1.6.1) будем иметь:


    46



    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ U(δε ; y0 ),



    ∗∗

    ∗∗

    ∀ y ∈ U(δε ; y0 ) : f (x, y) − f (x, y ) < ε, ∀x ∈ Gx .

    (7)

    В.Н. Горбузов

    § 2. Повторный предел


    П. 2, § 2, гл. 1

    ∗∗

    Зафиксируем y и y и на основании условия 1) теоремы 2 в
    неравенстве



    ∗∗

    f (x, y) − f (x, y ) < ε
    осуществим предельный переход при x → x 0 .
    В результате из (7) получим:




    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀ y ∈ U(δε ; y0 ),



    ∗∗
    ∗∗

    ∀ y ∈ U(δε ; y0 ) : ψ(y) − ψ( y ) < ε.

    (8)

    Это означает, что для функции ψ выполняются условия критерия Коши сходимости при y → y0 . Поэтому на основании (8)
    можем утверждать, что




    (9)

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀y ∈ U(δε ; y0 ) : ψ(y) ∈ U(ε; A),

    где A — вещественное число или бесконечность.
    Условие 1) теоремы 2 на языке бесконечно малых с учётом
    принятых условных обозначений означает:


    ◦ ∗

    ∀ε > 0, ∀y ∈ Gy , ∃ δ εy > 0, ∀x ∈ U(δ εy ; x0 ) :

    (10)

    |f (x, y) − ψ(y)| < ε.
    Поскольку истиннa импликация




    |f (x, y) − ψ(y)| < ε & ψ(y) ∈ U(ε; A) =⇒ f (x, y) ∈ U(ε; A),
    то из соотношений (9) и (10) следует, что


    ◦ ∗

    ◦ ∗

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀x ∈ U(δ ε ; x0 ), ∀y ∈ U(δ ε ; y0 ) :


    (11)

    f (x, y) ∈ U(ε; A).
    47

    П. 3, § 2, гл. 1

    Гл. 1. Сходимость функции двух переменных

    В.Н. Горбузов

    Значит, двойной предел
    lim f (x, y) = A.

    x → x0
    y → y0

    Следовательно, выполняются условия теоремы 1, по которой
    имеет место соотношение (4).

    3. Связь двойного предела с повторным
    Пpизнак несуществования и не стpемления к бесконечности двойного пpедела.

    Поскольку вычисление повторного предела, как правило,
    проще вычисления двойного предела, то связь между ними представляет значение.
    Прежде всего, такая связь устанавливается теоремой 2.2.
    Теорема 1.2 может быть использована для доказатальства того, что двойной предел не существует и не стpемится в бесконечность.
    Следствием теоремы 1.2 является
    Теорема 1. Пусть функция f : (x, y) → f (x, y) с множеством определения G такова, что:
    1) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной y
    из множества Gy существует одинаpный пpедел
    lim f (x, y) = ψ(y);

    x→x0

    2) пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной x
    из множества Gx существует одинаpный пpедел
    lim f (x, y) = ϕ(x);

    y→y0

    3) хотя бы один из повторных пределов
    lim lim f (x, y) или

    x→x0 y→y0

    lim lim f (x, y)

    y→y0 x→x0

    не существует и не равен бесконечности, или
    48

    В.Н. Горбузов

    § 2. Повторный предел

    П. 3, § 2, гл. 1

    lim lim f (x, y) 6= lim lim f (x, y).

    x→x0 y→y0

    y→y0 x→x0

    Тогда двойной предел
    lim f (x, y)

    x → x0
    y → y0

    не существует и не равен бесконечности.
    Метод доказательства этой теоремы составляют рассуждения, приведённые в следующем примере.
    Пример 1 (продолжение примеров 1.1 и 3.1). Рассмотренные в примерах 1.1 и 3.1 соответственно функции (4.1) и (10.1) такие, что двойные
    пределы от них
    lim

    x→0
    y→0

    x + y + xy − y 2 + x3
    x + 2y

    и
    lim

    x→1
    y→0

    y 2 + (x − 1) sin
    x+y−1

    1
    x−1

    не существуют и не стpемятся в бесконечность.
    Действительно, второе и третье условия теоремы 1.2 выполняются.
    Поэтому, если допустить, что указанные двойные пределы существуют или стpемятся в бесконечность, то для них будет выполняться и
    первое условие теоремы 1.2.
    Тогда равны повторные пределы в каждом из примеров 1.1 и 3.1. Что
    противоречит результатам этих примеров.

    49

    Глава 2
    ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ,
    ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
    § 1. Непрерывность функций, заданных
    определёнными интегралами,
    зависящими от параметра
    1. Понятие определённого интеграла,
    зависящего от параметров
    Определённый интеграл, зависящий от параметров. Определённый
    интеграл, зависящий от параметра, с постоянными пределами интегрирования. Определённый интеграл, подынтегральная функция и пределы
    интегрирования которого зависят от параметра.

    Пусть функция n + 1 переменных
    f : (x, p1 , p2 , . . . , pn ) → f (x, p1 , p2 , . . . , pn )
    с множеством определения
    G = {(x, p1 , . . . , pn ) : a 6 x 6 b, pi ∈ Pi , i = 1, n },
    где a и b — вещественные числа, множества P i ⊂ R, i = 1, n ,
    такая, что при любых фиксированных значениях переменных p i
    из соответствующих множеств Pi , i = 1, n , она является функцией одной переменной, интегрируемой по Риману на отрезке [a; b].
    Rb
    Тогда интеграл f (x, p1 , . . . , pn ) dx определяет функцию n
    a
    переменных
    I1 : (p1 , . . . , pn ) →
    50

    Zb
    a

    f (x, p1 , . . . , pn ) dx, ∀pi ∈ Pi , i = 1, n .

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 1, § 1, гл. 2

    Переменные, от которых зависит подынтегральная функция f и которые при интегрировании рассматриваются как
    постоянные, будем называть параметрами, а сам интеграл
    Rb
    f (x, p1 , . . . , pn ) dx — определённым интегралом, зависящим
    a

    от параметров.

    Пример 1. Интеграл
    Z1
    0

    h
    ix=1
    2(p2 x + q 2 x + 1) dx = p2 x2 + q 2 x2 + 2x
    = p2 + q 2 + 2
    x=0

    зависит от параметров p, q и определяет функцию
    I : (p, q) → p2 + q 2 + 2, ∀(p, q) ∈ R2 .
    То, что интеграл определённый, устанавливаем из того, что при любых фиксированных вещественных p и q подынтегральная функция является функцией одной переменной
    
    fpq : x → 2 (p2 + q 2 )x + 1 , ∀x ∈ [0; 1],

    непрерывной на отрезке [0; 1], а значит, и интегрируемой по Риману на
    этом отрезке.
    Пример 2. Интеграл
    Z1
    dx
    x + p2
    0

    зависит от параметра p. Подынтегральная функция


    1
    , ∀x ∈ [0; 1], ∀p ∈ (∞; 0) ∪ (0; + ∞),
     x + p2
    f : (x, p) → 

    1
    ,
    ∀x ∈ (0; 1] при p = 0
    x

    такова, что при любом фиксированном ненулевом значении переменной p она представляет собой функцию одной переменной, непрерывную на отрезке [0; 1], а при p = 0 является функцией одной переменной, непрерывной на полуинтервале (0; 1] и неограниченно возрастающей при x → + 0.

    51

    П. 1, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Поэтому при любом фиксированном ненулевом значении параметра
    p интеграл является определённым и равен
    Z1
    0

    
    
    dx
    p2 + 1
    2 x=1
    =
    ln(x
    +
    p
    )
    =
    ln
    , ∀p ∈ (∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    x=0
    x + p2
    p2

    Если p = 0, то интеграл является несобственным второго рода на
    полуинтервале (0; 1] и расходится:
    Z1
    0

    dx
    = lim
    w→+0
    x

    Z1

    w

    
    1
    dx
    = lim ln x w = − lim ln w = + ∞.
    w→+0
    w→+0
    x

    Стало быть, сужение интеграла определяет функцию
    I : p → ln

    p2 + 1
    , ∀p ∈ (∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    p2

    С целью упростить рассуждения будем рассматривать определённый интеграл, зависящий от одного параметра,
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P, P ⊂ R,

    (1)

    где подынтегральная функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b], ∀p ∈ P,
    при каждом фиксированном значении переменной p из множества
    P является функцией одной переменной, интегрируемой по Риману (в собственном смысле) на отрезке [a; b].
    Этот интеграл определяет функцию одной переменной
    I: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P, P ⊂ R.

    Наряду с интегралом (1) будем рассматривать интеграл
    52

    (2)

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...
    b(p)
    Z

    J(p) =

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P, P ⊂ R,

    П. 1, § 1, гл. 2

    (3)

    a(p)

    который при каждом фиксированном значении параметра p из
    множества P является определённым.
    Такой интеграл также будем называть определённым (собственным) интегралом, зависящим от параметра.
    Он определяет функцию одной переменной
    b(p)
    Z
    f (x, p) dx, ∀p ∈ P, P ⊂ R.
    J: p →

    (4)

    a(p)

    Определённые интегралы, зависящие от параметра, (1) и (3)
    отличаются тем, что у одного из них от параметра зависит лишь
    подынтегральная функция, а у другого — ещё и пределы интегрирования зависят от параметра. Поэтому будем говорить, что интеграл (1) является определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования, а интеграл (3)
    является определённым интегралом, у которого подынтегральная
    функция и пределы интегрирования зависят от параметра.
    При этом вполне закономерно обратить внимание на определённый интеграл, у которого подынтегральная функция от параметра не зависит, а зависят от параметра его пределы интегрирования :


    J(p) =

    b(p)
    Z

    f (x) dx, ∀p ∈ P, P ⊂ R.

    (5)

    a(p)

    Интерал (5), будучи определённым при каждом фиксированном значении параметра p из множества P, определяет функцию
    одной переменной
    b(p)
    Z
    J: p →
    f (x) dx, ∀p ∈ P, P ⊂ R.


    (6)

    a(p)

    53

    П. 2, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    2. Предельный переход под знаком
    определённого интеграла
    Формула предельного перехода под знаком определённого интеграла. Вычисление предела по параметру у определённого интеграла с
    непрерывной подынтегральной функцией. Признак Дини предельного перехода под знаком интеграла.

    При изучении равномерной сходимости функции двух переменных к предельной функции была получена формула (2.10.1.1)
    предельного перехода в определённом интеграле, что в принятых
    обозначениях может быть сформулировано следующим образом.
    Теорема 1 (о предельном переходе под знаком определённого
    интеграла). Пусть выполняются условия:
    1) при каждом фиксированном значении переменной p
    из множества P функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b], ∀p ∈ P,
    является функцией одной переменной, интегрируемой по
    Риману на отрезке [a; b];
    2) функция f равномерно сходится к функции
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; b],
    на отрезке [a; b] при p → p0 .
    Тогда заданная опpеделённым интегралом, зависящим
    от параметра, функция
    I: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    сходится при p → p0 и её предел
    lim

    p→p0

    Zb
    a

    54

    f (x, p) dx =

    Zb
    a

    ϕ(x) dx.

    (1)

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 2, § 1, гл. 2

    Вместе с тем формула (1) может быть записана в виде
    lim

    p→p0

    Zb

    f (x, p) dx =

    a

    Zb

    lim f (x, p) dx,

    p→p0

    (2)

    a

    что обосновывает название теоремы.
    Из теоремы 1 с учётом теоремы 2.8.1.1 следует весьма удобная
    в приложениях
    Теорема 2. Если функция1
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b], ∀p ∈ hc; di, − ∞ 6 c < d 6 + ∞,
    непрерывна на множестве Π = [a; b] × hc; di, то заданная
    определённым интегралом с параметром функция
    I: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ hc; di,

    сходится при p → p0 и её предел
    lim

    p→p0

    Zb
    a

    f (x, p) dx =

    Zb

    f (x, p0 ) dx,

    (3)

    a

    где p0 — вещественное число из промежутка hc; di.
    В соответствии с теоремой 1 на основании признака Дини
    равномерной сходимости функции двух переменных к предельной
    функции (теорема 3.8.1.1) получаем, что имеет место
    Теорема 3 (признак Дини предельного перехода под знаком
    определённого интеграла). Пусть выполняются условия:
    1) при каждом фиксированном значении переменной p
    из множества P функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b], ∀p ∈ P,
    1

    Знак h означает как включение [ , так и исключение ( ; а знак i означает
    как включение ] , так и исключение ) .

    55

    П. 2, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    является функцией одной переменной, непрерывной на отрезке [a; b];
    2) при p → p0 функция f на отрезке [a; b] сходится (поточечно) к функции
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; b];
    3) при каждом фиксированном значении x из отрезка
    [a; b] функция f является функцией одной переменной, которая, монотонно убывая (монотонно возрастая), сходится к значению ϕ(x) предельной функции ϕ при p → p 0 ;
    4) предельная функция ϕ непрерывна.
    Тогда заданная определённым интегралом, содержащим
    параметр, функция
    I: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    сходится при p → p0 и её предел
    lim I(p) =

    p→p0

    Zb

    ϕ(x) dx,

    a

    то есть, имеет место формула предельного перехода под
    знаком определённого интеграла (2).
    Замечание 1. Теоремы 1, 2 и 3 распространяются на случаи
    односторонних пределов p → p0 − 0, p → p0 + 0 и на случаи,
    когда p → − ∞, p → + ∞, p → ∞.
    Пример 1. У интегралов

    I1 (p) =

    Z2
    0

    x+p
    dx, ∀p ∈ R, и I2 (p) =
    p2 + 1

    Z1 p
    x2 + p2 dx, ∀p ∈ R,

    −1

    подынтегральные функции непрерывны соответственно на полосах
    Π1 = [0; 2] × R и Π2 = [ − 1; 1] × R,
    а значит, каждый из них является определённым с параметром p.

    56

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 2, § 1, гл. 2

    По теореме 2, функции I1 и I2 , заданные с помощью этих интегралов, сходятся при p → 0, а пределы
    lim

    p→0

    Z2

    x+p
    dx =
    p2 + 1

    Z2
    0

    0

    и
    lim

    p→0

    Z1 p

    x2

    +

    p2

    Z1 p

    dx =

    −1

    −1

    Пример 2. Найдём предел
    lim

    n→+∞

    Z1
    0

    x+p
    p2 + 1

    dx =

    +

    p2




    dx
    
    x n
    1+ 1+
    n

    x dx = 2

    0

    p=0

    x2

    Z2

    dx =

    p=0

    Z1

    −1

    |x| dx = 1.

    (n ∈ N).

    Для этого используем теорему 1. При всяком фиксированном натуральном n подынтегральная функция является функцией одной переменной, непрерывной на отрезке [0; 1]. Предел
    lim

    n→+∞

    1
    x n = 1 + ex , ∀x ∈ [0; 1].
    1+ 1+
    n
    

    1

    Докажем, что в этом случае стремление к предельной функции на
    отрезке [0; 1] будет равномерным. Действительно,

    
    x n


    x


    e

    1
    +


    1
    1

    n
    
    
    
    
    
     6
    sup

    =
    sup

    x n
    1 + ex 06x61 1 + ex 1 + 1 + x n
    06x61 1 + 1 +
    n
    n

    
    
    x n
    1 n

    6 sup ex − 1 +

    −−−−→ 0.
    = e− 1+
    n→+∞
    n
    n
    06x61

    Стало быть, по определению 1.3.1.1 (равномерной сходимости
    функции двух переменных), имеет место равномерная сходимость

    57

    П. 2, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    1

    x n
    1+ 1+
    n
    

    n→+∞

    В.Н. Горбузов

    1
    , ∀x ∈ [0; 1].
    1 + ex

    Условия теоремы 1 выполняются, поэтому, используя формулу (1),
    находим предел
    lim

    n→+∞

    Z1
    0

    =

    dx

    x n =
    1+ 1+
    n

    Z1
    0

    

    dx −

    Z1
    0

    Z1

    dx
    =
    1 + ex

    0

    Z1

    1 + e x − ex
    dx =
    1 + ex

    0

    h
    i1
    ex
    x
    dx
    =
    1

    ln(1
    +
    e
    )
    =
    1 + ex
    0

    = 1 − ln

    2e
    1+e
    = ln
    .
    2
    e+1

    Пример 3. С целью вычисления предела
    lim

    p→∞

    Z2

    ln(x + |p|)
    dx
    ln(x2 + p2 )

    1

    проверим выполнение условий теоремы 1.
    Подынтегральная функция при любом фиксированном значении переменной p, скажем, таком, что |p| > 1, является функцией одной переменной, непрерывной на отрезке [1; 2]. Предел
    lim

    p→∞

    ln(x + |p|)
    ln(x + q)
    = lim
    =
    2
    2
    ln(x + p ) q→+∞ ln(x2 + q 2 )

    = lim

    q→+∞

    1
    x2 + q 2
    = , ∀x ∈ [1; 2].
    2q(x + q)
    2

    Кроме того, для любого положительного числа ε модуль разности

    58

    
    2|p|x 
    2|p|x


    ln
    1
    +
    2
    2

    ln(x + |p|)
    1
    x +p
    x2 + p 2

    ln(x2 + p2 ) − 2 = 2 ln(x2 + p2 ) 6 2 ln(x2 + p2 ) 6

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    6

    П. 2, § 1, гл. 2

    2p
    1
    6

    (1 + p2 ) ln(1 + p2 )
    ln(1 + p2 )
    r

    1
    − 1.
    ε
    Стало быть, по определению равномерной сходимости функции двух
    переменных (6.2.1.1), имеет место равномерная сходимость

    сразу для всех x из отрезка [1; 2], как только |p| >

    ln(x + |p|)
    ln(x2 + p2 )

    exp

    1
    , ∀x ∈ [1; 2].
    2

    p→∞

    Итак, условия теоремы 1 выполняются, и, по формуле (1), предел
    lim

    p→∞

    Z2

    ln(x + |p|)
    dx =
    ln(x2 + p2 )

    1

    Z2

    1
    1
    dx = .
    2
    2

    1

    Пример 4. Вычислим предел
    π

    lim

    x→+∞

    Z2

    e

    −x sin ξ

    dξ.

    0

    При любом фиксированном вещественном x подынтегральная
    функция представляет собой функцию одной переменной, которая неh πi
    прерывна на отрезке 0; .
    2
    Поэтому надо вычислить предел при x → + ∞ функции, заданной
    определённым интегралом, зависящим от параметра,
    π

    I: x →

    Z2
    0

    e

    −x sin ξ

    dξ, ∀x ∈ R.

    При любом фиксированном вещественном x подынтегральная
    h πi
    функция является положительной на отрезке 0;
    функцией одной
    2
    переменной. Поэтому

    59

    П. 2, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    π

    I(x) =

    Z2

    e

    −x sin ξ

    0

    dξ > 0, ∀x ∈ R,

    а значит, предел
    lim I(x) > 0.

    x→+∞

    Функция
    ζ : ξ → sin ξ −

    h πi
    2
    ξ, ∀ξ ∈ 0; ,
    π
    2

    неотрицательна.
    π
    В самом деле, значения ζ(0) = ζ
    = 0, сужение функции ζ на
    2
    h
    h
    2i
    2 πi
    отрезке 0; arccos
    возрастает, а на отрезке arccos ;
    сужение
    π
    π 2
    функции ζ убывает, причём функция ζ непрерывна.
    Промежутки монотонности функции ζ устанавливаем по промежуткам знакоопределённости её производной
    Dζ : ξ → cos ξ −

    h πi
    2
    , ∀ξ ∈ 0; .
    π
    2

    h
    2
    На полуинтервале 0; arccos
    сужение функции Dζ положительно, а
    π
    
    i
    2 π
    на полуинтервале arccos ;
    сужение функции Dζ отрицательно.
    π 2
    Поскольку
    sin ξ >
    то

    h πi
    2
    ξ, ∀ξ ∈ 0; ,
    π
    2

     π 
    h πi
    exp( − x sin ξ) 6 exp − xξ , ∀ξ ∈ 0; , ∀x ∈ R.
    2
    2
    По свойству монотонности определённого интеграла устанавливаем, что интеграл

    60

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...
    π

    Z2
    0

    П. 2, § 1, гл. 2

    π

    exp( − x sin ξ) dξ 6
    =

    Z2
    0

     2 
    exp − xξ dξ =
    π

    π
    (1 − e−x ), ∀x ∈ R\{0}.
    2x

    Итак,
    π

    0 6 lim

    x→+∞

    Z2

    e

    −x sin ξ

    dξ 6

    π
    2

    lim

    x→+∞

    1 − e−x
    = 0,
    x

    0

    а значит,
    π

    lim

    x→+∞

    Z2

    e−x sin ξ dξ = 0.

    0

    Пример 5. Пусть функция
    f : t → f (t), ∀t ∈ [a; b],
    непрерывна. Докажем, что предел
    1
    lim
    h→0 h


    ζ

    
    f (t + h) − f (t) dt = f (ξ) − f (ζ) (a < ζ < ξ < b).

    Доказательство. Для первообразной
    F : t → F (t), ∀t ∈ [a; b],
    функции f, по формуле Ньютона — Лейбница, имеем, что

    ζ

    h
    it=ξ
    
    ∂t F (t + h) − DF (t) dt = F (t + h) − F (t)
    = F (ξ + h) − F (ξ) −
    t=ζ

    
    − F (ζ + h) − F (ζ) , ∀ξ ∈ [a; b], ∀(ξ + h) ∈ [a; b], ∀ζ ∈ (a; ξ).

    61

    П. 2, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Следовательно,
    1
    lim
    h→0 h



    

    1
    f (t + h) − f (t) dt = lim
    h→0 h

    ζ

    = lim

    h→0


    ζ

    
    ∂t F (t + h) − DF (t) dt =

    F (ξ + h) − F (ξ)
    F (ζ + h) − F (ζ)
    − lim
    =
    h→0
    h
    h

    = f (ξ) − f (ζ), ∀ξ ∈ [a; b], ∀ζ ∈ (a; ξ).
    Пример 6. Можно ли осуществить предельный переход под
    знаком интеграла в выражении
    lim

    p→0

    Z1
    0

    
    
    x
    x2
    exp − 2 dx ?
    p2
    p

    Сначала вычислим предел
    lim

    p→0

    Z1
    0

    
    
    
    
    Z1
    x
    x2
    1
    x2 1
    exp

    dx
    =
    lim
    exp

    dx2 =
    p2
    p2
    2 p→0
    p2 p2
    0

    =

    1
    lim
    2 p→0

    

    
    
    1
    1 − exp − 2
    = 0,5 ,
    p

    а затем вычислим интеграл
    Z1
    0

    lim

    p→0

    

    
    
    Z1
    x
    x2
    exp − 2
    dx = 0 dξ = 0.
    p2
    p
    0

    Поскольку 0,5 6= 0, то предельный переход под знаком интеграла
    осуществить нельзя.
    Пример 7. Пусть выполняются условия:
    1) функции
    ϕn : [ − 1; 1] → R, n = 1, 2, . . . ,
    (4)
    интегрируемы по Риману на отрезке [ − 1; 1];

    62

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 2, § 1, гл. 2

    2) функции (4) неотрицательны:
    (5)

    ϕn (x) > 0, ∀x ∈ [ − 1; 1], n = 1, 2, . . . ;
    3) сужение функциональной последовательности

    на множестве

    

    ϕn (x)

    +∞

    n=1

    (6)

    , ∀x ∈ [ − 1; 1],

    Ξ = [ − 1; − ε] ∪ [ε; 1], 0 < ε < 1,
    равномерно сходится к нулю:
    ϕn (x)

    4) числовая последовательность
    к единице:
    Z1

    −1

    (7)

    - 0, ∀x ∈ Ξ;

    n→+∞

    n R1

    ϕn (x) dx

    −1

    ϕn (x) dx −
    −−−−→ 1;
    n→+∞

    o+∞

    n=1

    сходится

    (8)

    5) функция f : [ − 1; 1] → R непрерывна.
    Докажите, что
    lim

    n→+∞

    Z1

    f (x)ϕn (x) dx = f (0).

    (9)

    −1

    Доказательство. Так как функция f непрерывна, а функции (4)
    интегрируемы по Риману на отрезке [ − 1; 1], то функции-произведения f ϕn : [ − 1; 1] → R, n = 1, 2, . . . , интегрируемы по Риману на
    отрезке [ − 1; 1].
    Если
    f (x) = 0, ∀x ∈ [ − 1; 1],
    то равенство (9) доказываем формальной подстановкой нуля вместо f.
    Далее будем считать, что функция f не является тождественным
    нулём на отрезке [ − 1; 1].
    Оценим

    63

    П. 2, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Z1
    Z−ε

    Z1






    f (x)ϕn (x) dx − f (0) 6
    f (x)ϕn (x) dx + f (x)ϕn (x) dx +




    −1

    −1

    ε







    +
    f (x)ϕn (x) dx − f (0) , n = 1, 2, . . . , (0 < ε < 1).



    (10)

    −ε

    Поскольку функция f непрерывна на отрезке, то

    |f (x)| 6 M, ∀x ∈ [ − 1; 1], где M = max |f (x)|,

    (11)

    [−1;1]

    причём M > 0, так как f (x) 6≡ 0 на [ − 1; 1].
    Функции (4) интегрируемы по Риману на отрезке [ − 1; 1], а значит,
    сужения функций (4) ограничены. В этой связи
    ϕn (x) 6 Ln , ∀x ∈ Ξ, где Ln = sup ϕn (x), n = 1, 2, . . . ,

    (12)

    Ξ

    причём Ln > 0, n = 1, 2, . . . , в соответствии с оценками (5).
    Учитывая оценки (5), (11) и (12), устанавливаем, что
    Z−ε

    Z1




    f (x)ϕn (x) dx + f (x)ϕn (x) dx 6



    −1

    ε

    Z−ε
    Z1
    6 |f (x)|ϕn (x) dx + |f (x)|ϕn (x) dx 6 M Ln
    −1

    ε

    Z−ε
    Z1 !
    dx + dx =

    −1

    ε

    = 2(1 − ε)M Ln 6 2M Ln , n = 1, 2, . . . , (0 < ε < 1).
    Итак, при любом натуральном n и 0 < ε < 1
    Z−ε

    Z1




    f (x)ϕn (x) dx + f (x)ϕn (x) dx 6 2M Ln .



    −1

    (13)

    ε

    В соответствии с первой теоремой о среднем значении определённого интеграла существуют такие ξn ∈ [ − ε; ε], что

    64

    В.Н. Горбузов



    § 1. Непрерывность функций ...

    f (x)ϕn (x) dx = f (ξn )

    −ε



    П. 2, § 1, гл. 2

    ϕn (x) dx, n = 1, 2, . . . .

    −ε

    Тогда (с учётом оценок (5), (11) и (12)) модули разностей










    f (x)ϕn (x) dx − f (0) = f (ξn ) ϕn (x) dx − f (0) =




    −ε

    −ε


    Z1
    Z1
    Z1


    = f (ξn ) ϕn (x) dx − f (0) ϕn (x) dx − f (0) + f (0) ϕn (x) dx +

    −1

    +f (ξn )



    −ε

    −1

    ϕn (x) dx − f (ξn )

    Z1

    −1


    Z1



    ϕn (x) dx 6 f (ξn ) − f (0) ϕn (x) dx+




    Z1





    + f (0) 1 − ϕn (x) dx + f (ξn )


    −1



    6 f (ξn ) − f (0)

    Z1

    −1

    −1

    −1



    ϕn (x) dx +

    −1

    Z1

    ϕn (x) dx

    ε

    !

    6



    Z1




    ϕn (x) dx + M 1 − ϕn (x) dx + 2M Ln ,


    −1

    n = 1, 2, . . . , (|ξn | < ε, 0 < ε < 1).
    Итак,



    Z1






    f (x)ϕn (x) dx − f (0) 6 f (ξn ) − f (0)
    ϕn (x) dx+



    −ε

    −1

    (14)


    1
    Z




    +M 1 − ϕn (x) dx + 2M Ln , n = 1, 2, . . . , (|ξn | < ε, 0 < ε < 1).


    −1

    65

    П. 2, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Функция f : [ − 1, 1] → R непрерывна, числа ξn ∈ ( − ε; ε) при
    n = 1, 2, . . . , 0 < ε < 1. Поэтому
    ∀δ > 0, ∃ εδ ∈ (0; 1), ∀ξn ∈ ( − εδ ; εδ ), ( − εδ ; εδ ) ⊂ ( − ε; ε) :


    f (ξn ) − f (0) <

    (15)

    δ
    M, n = 1, 2, . . . .
    1+δ

    Равномерное стремление (7) означает, что
    ∀δ > 0, ∃Nδ ∈ N, ∀n > N, n > Nδ : 0 < Ln = sup ϕn (x) < δ.

    (16)

    Ξ

    Сходимость (8) означает, что


    Z1




    ∀δ > 0, ∃Nδ ∈ N, ∀n > N, n > Nδ : 1 − ϕn (x) dx < δ.



    (17)

    −1

    Отсюда следует и такое утверждение:

    ∀δ > 0, ∃Nδ ∈ N, ∀n > N, n > Nδ : 0 <

    Z1

    ϕn (x) dx < 1 + δ.

    (18)

    −1

    Теперь на основании оценок (10), (13) и (14) с учётом закономерностей (15) – (18) получаем:
    ∀δ > 0, ∃Nδ ∈ N, ∀n > N, n > Nδ :
    Z1



    δ


    f (x)ϕn (x) dx−f (0) 6 2M δ +
    M (1+δ)+M δ +2M δ = 6M δ,



    1+δ
    −1

    где M не зависит ни от δ, ни от n.
    Отсюда, по M -критерию бесконечно малой, заключаем, что имеет
    место равенство (9).

    66

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 3, § 1, гл. 2

    3. Непрерывность функций, заданных определёнными
    интегралами, зависящими от параметра
    Непрерывность функций, заданных определёнными интегралами,
    зависящими от параметра (с постоянными пределами интегрирования
    и в случае, когда подынтегральная функция и пределы интегрирования
    зависят от параметра). Вычисление предела функции, заданной определённым интегралом, у которого подынтегральная функция и пределы
    интегрирования зависят от параметра.

    3.1. Непрерывность функции, заданной определённым
    интегралом, зависящим от параметра,
    с постоянными пределами интегрирования
    Пример 1. Пусть
    I(p) =

    Zb
    a

    xp dx, ∀p ∈ R, (0 < a < b).

    (1)

    Подынтегральная функция
    f : (x, p) → xp , ∀x ∈ [a; b], ∀p ∈ R,
    непрерывна на множестве G = {(x, p) : 0 < a 6 x 6 b, p ∈ R}, а значит, интеграл (1) является определённым, зависящим от параметра.
    Непосредственным интегрированием находим, что
    Zb

    

    xp+1
    x dx =
    p+1
    p

    a

    x=b

    x=a

    =

    bp+1 − ap+1
    p+1

    при p 6= − 1, а при p = − 1
    Zb
    a

    
    b
    b
    x−1 dx = ln x a = ln .
    a

    Стало быть, интегралом (1) задаётся функция

    67

    П. 3, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...




    I: p → 


    b

    p+1

    −a
    p+1

    b
    ln
    a

    В.Н. Горбузов

    p+1

    , ∀p ∈ ( − ∞; − 1) ∪ ( − 1; + ∞),

    (2)

    при p = − 1 (0 < a < b).

    Поскольку
    bp+1 − ap+1
    =
    p→−1
    p+1

    lim I(p) = lim

    p→−1

    
    b
    = lim bp+1 ln b − ap+1 ln a = ln = I( − 1),
    p→−1
    a

    то функция (2) непрерывна на поле R.

    В примере 1 показано, что определённый интеграл с параметром и постоянными пределами интегрирования (1) позволяет задать функцию (2), которая является непрерывной на поле R.
    В общем случае имеет место
    Теорема 1 (о непрерывности функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования). Пусть функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b], ∀p ∈ hc; di, − ∞ 6 c < d 6 + ∞,
    непрерывна на множестве G = [a; b] × hc; di. Тогда заданная
    определённым интегралом с параметром функция
    I: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ hc; di,

    (3)

    будет непрерывной.
    Доказательство1 . Отрезок [λ; ν] выберем произвольным образом так, чтобы он содержался в числовом промежутке hc; di.

    1
    Эта теорема, по сути, соответствует теореме 2.2, ибо соотношение (2.2) для
    функции (3) означает, что предел lim I(p) = I(p0 ), ∀p0 ∈ hc; di. Это означает
    p→p0

    непрерывность функции (3) на числовом промежутке hc; di.
    Однако мы приведём ещё одно доказательство, которое является несложным,
    но не использует утверждение теоремы 2.8.1.1.

    68

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 3, § 1, гл. 2

    Сначала докажем, что сужение функции (3) непрерывно на отрезке [λ; ν].
    Если использовать язык «ε − δ», то надо доказать, что
    ∀ε > 0, ∀p ∈ [λ; ν], ∃ δεp > 0, ∀(p + ∆p) ∈ [λ; ν],

    (4)

    |∆p| < δεp : |∆I(p)| = |I(p + ∆p) − I(p)| < ε.
    Сужение функции f непрерывно на компакте Π = [a; b]×[λ; ν].
    Тогда, по теореме Кантора, сужение функции f равномерно непрерывно на Π, то есть,
    ∗ ∗∗
    ∗ ∗
    ∗∗ ∗∗
    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀(x, p) ∈ Π, ∀( x , p ) ∈ Π, x − x < δε ,
    ∗ ∗∗
    ∗ ∗
    ∗∗ ∗∗
    p − p < δε : f (x,
    p) − f ( x , p ) < ε,

    или, положив


    ∗∗



    ∗∗

    ∗ ∗∗

    x = x = x, x ∈ [a; b], p = p + ∆p, p = p, p, p ∈ [λ; ν],
    будем иметь:
    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀p ∈ [λ; ν], ∀(p + ∆p) ∈ [λ; ν],


    |∆p| < δε : f (x, p + ∆p) − f (x, p) < ε, ∀x ∈ [a; b].

    (5)

    Из того, что

    Zb



    ∆I(p) = I(p + ∆p) − I(p) = f (x, p + ∆p) dx −

    a



    Zb
    a

    Zb


    f (x, p) dx 6 |f (x, p + ∆p) − f (x, p)| dx,

    a

    на основании (5) заключаем:

    69

    П. 3, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀p ∈ [λ; ν], ∀(p + ∆p) ∈ [λ; ν],


    |∆p| < δε : ∆I(p) < (b − a)ε.

    По M -критерию, полученное утверждение означает, что имеет место соотношение (4) и сужение функции (3) непрерывно на
    отрезке [λ; ν].
    Ввиду произвольности выбора отрезка [λ; ν], содержащегося
    в числовом промежутке hc; di, функция (3) непрерывна.

    Пример 2. Пусть функция g : x → g(x) с Dg = [0; 1] непрерывна
    и положительна. Исследуем на непрерывность функцию
    I: p →

    Z1
    0

    p g(x)
    dx, ∀p ∈ R.
    x2 + p 2

    Подынтегральная функция
    Φ : (x, p) →

    p g(x)
    , ∀x ∈ [0; 1], ∀p ∈ R,
    x2 + p 2

    имеет непрерывные сужения на множествах
    и

    Π+ = {(x, p) : 0 6 x 6 1, p > 0}
    Π− = {(x, p) : 0 6 x 6 1, p < 0}.

    По теореме 1 (о непрерывности функции, заданной определённым
    интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования), сужения функции I непрерывны на открытых числовых
    лучах (0; + ∞) и ( − ∞; 0).
    Исследуем на непрерывность функцию I в точке p = 0.
    Значение этой функции I(0) = 0. Функции g : [0; 1] → R и


    p
    , ∀x ∈ [0; 1], при p ∈ R\{0},
    2 + p2
    x
    f: x →
    0,
    ∀x ∈ [0; 1], при p = 0
    непрерывны, причём g(x) > 0, ∀x ∈ [0; 1]. Это позволяет использовать
    первую интегральную теорему о среднем значении определённого интеграла, по которой

    70

    В.Н. Горбузов

    I(p) =

    Z1
    0

    § 1. Непрерывность функций ...

    
    p
    g(x) dx = g ζ(p)
    2
    2
    x +p

    Z1

    x2

    0

    П. 3, § 1, гл. 2

    
    p
    1
    dx = g ζ(p) arctg ,
    2
    +p
    p

    где 0 < ζ(p) < 1, ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    Пусть ε — произвольное положительное число. Тогда


    
    
    
    I(ε) − I( − ε) = g ζ(p) − g ζ( − ε) arctg 1 >
    ε

    1

    −−−→ π min g(x) > 0.
    > 2 min g(x) arctg −−
    ε→+0
    ε
    [0;1]
    [0;1]

    Значит, точка p = 0 является точкой разрыва функции I.
    Пример 3. Лемма Адамара. Если функция f : x → f (x), ∀x ∈ X,
    X ⊂ R, непрерывно дифференцируема в точке x0 из множества
    X, то в окрестности U точки x0 сужение этой функции можно
    представить в виде
    f : x → f (x0 ) + ϕ(x)(x − x0 ), ∀x ∈ U,
    где функция ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ U, непрерывна в точке x0 , и её
    значение
    ϕ(x0 ) = Df (x)|
    .
    x=x0

    Доказательство. Составим функцию
    F:h→

    Z1
    0

    Df (x)|

    x=x0 +ht

    dt, ∀h ∈ ( − ε; ε), ε > 0.

    Поскольку функция f непрерывно дифференцируема в точке x 0 ,
    то существует столь малое положительное число ε, что подынтегральная функция
    g : (t, h) → Df (x)|

    x=x0 +ht

    , ∀t ∈ [0; 1], ∀h ∈ ( − ε; ε),

    непрерывна на множестве ∆ = [0; 1] × ( − ε; ε).
    Тогда, по теореме 1 (о непрерывности функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами
    интегрирования), функция F непрерывна на интервале ( − ε; ε).

    71

    П. 3, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Положим h = x − x0 . Тогда
    F (x − x0 ) =
    1
    =
    x − x0
    =

    Z1
    0

    Z1
    0

    Df (ξ)|

    ξ=x0 +(x−x0 )t

    dt =

    Dt f (x0 + (x − x0 )t) dt (x0 + (x − x0 )t) =

    it=1

    1 h
    f (x) − f (x0 )
    f (x0 + (x − x0 )t)
    =
    , ∀x ∈ U,
    x − x0
    x − x0
    t=0



    где U — проколотая окрестность точки x0 . Следовательно,
    f (x) = f (x0 ) + ϕ(x)(x − x0 ), ∀x ∈ U,
    где функция


    ϕ: x → 



    F (x − x0 ), ∀x ∈ U(x0 ),
    Df (x)|

    x=x0

    при x = x0

    и является непрерывной в точке x0 .

    3.2. Непрерывность функций, заданных определённым
    интегралом, у которого подынтегральная функция и
    пределы интегрирования зависят от параметра
    Теорема 2. Пусть выполняются условия:
    1) функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [A; B], ∀p ∈ hc; di, −∞ 6 c < d 6 +∞,
    непрерывна на множестве G = [A; B] × hc; di;
    2) функции a : p → a(p) и b : p → b(p), Da = Db = hc; di, с
    множествами значений Ea и Eb, содержащимися в отрезке
    [A; B], непрерывны.
    72

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 3, § 1, гл. 2

    Тогда заданная определённым интегралом, зависящим
    от параметра, функция
    b(p)
    Z
    J: p→
    f (x, p) dx, ∀p ∈ hc; di,

    (6)

    a(p)

    будет непрерывной.
    Доказательство. Отрезок [λ; ν] выберем произвольным образом так, чтобы он содержался в числовом промежутке hc; di.
    Сначала докажем, что сужение функции (6) непрерывно на отрезке [λ; ν].
    Пусть p0 — произвольная точка отрезка [λ; ν]. Согласно
    свойству аддитивности определённого интeграла

    J(p) =

    b(p
    Z 0)

    a(p0 )

    a(p)
    Zb(p)
    Z
    f (x, p)dx +
    f (x, p)dx −
    f (x, p)dx, ∀p ∈ [λ; ν].
    b(p0 )

    a(p0 )

    Сужение функции f непрерывно на прямоугольнике Π 0 =
    = {(x, p) : min{a(p0 ), b(p0 )} 6 x 6 max{a(p0 ), b(p0 )}, λ 6 p 6 ν},
    поэтому функция
    I0 : p →

    b(p
    Z 0)

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [λ; ν],

    a(p0 )

    заданная определённым интегралом, зависящим от параметра, с
    постоянными пределами интегрирования, по теореме 1, непрерывна. А значит, предел1
    lim I0 (p) = I0 (p0 ).

    p→p0

    1
    Предел при p → p0 находится в точках p0 ∈ (λ; ν).
    Если p0 = λ, то находится правосторонний предел при p → p0 + 0. Если
    p0 = ν, то находится левосторонний предел при p → p0 − 0.

    73

    П. 3, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    При каждом фиксированном значении переменной p из отрезка [λ; ν] функция f является функцией одной переменной,
    сужение которой непрерывно на отрезке
    
    
    min{b(p0 ), b(p)}; max{b(p0 ), b(p)} .

    Тогда, по первой интегральной теореме о среднем значении
    для определённого интеграла,

    Jb (p) =

    Zb(p)

    b(p0 )

    
    f (x, p) dx = f (ξ, p) b(p) − b(p0 ) ,

    где ξ = b(p0 ) + θ(b(p) − b(p0 )), 0 < θ < 1.
    Если p → p0 , то b(p) − b(p0 ) → 0 и f (ξ, p) → f (b(p0 ), p0 ), а
    значит, предел
    Zb(p)
    
    
    lim Jb (p) = lim
    f (x, p)dx = lim f (ξ, p) b(p)−b(p0 ) = 0.

    p→p0

    p→p0
    b(p0 )

    p→p0

    Аналогично доказываем, что предел

    lim Ja (p) = lim

    p→p0

    p→p0

    a(p)
    Z

    f (x, p) dx = 0.

    a(p0 )

    Тогда предел
    
    lim J(p) = lim I0 (p) + Jb (p) − Ja (p) = I0 (p0 ),

    p→p0

    но

    p→p0

    I0 (p0 ) =

    b(p
    Z 0)

    f (x, p0 ) dx = J(p0 ),

    a(p0 )

    74

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 3, § 1, гл. 2

    поэтому
    lim J(p) = J(p0 ),

    p→p0

    и функция J непрерывна в точке p0 .
    Точка p0 выбрана из отрезка [λ; ν] произвольно, следовательно, сужение функции (6) непрерывно на отрезке [λ; ν]. Отрезок [λ; ν] также выбран произвольно и [λ; ν] ⊂ hc; di.
    Стало быть, функция (6) непрерывна.
    Пример 4. При каждом вещественном p интеграл
    J(p) =

    sin
    Z 3p

    cos p +

    sin3 p

    p

    
    1 − x2 dx

    является определённым, а заданная на его основании функция J будет
    непрерывной на числовой прямой ( − ∞; + ∞).
    Действительно, подынтегральная функция

    
    f : (x, p) → cos p + 1 − x2 , ∀x ∈ [ − 1; 1], ∀p ∈ R,
    непрерывна на полосе Π = [ − 1; 1] × R.
    Пределами интегрирования являются непрерывные функции
    a : p → sin3 p, ∀p ∈ R, и b : p → sin 3p, ∀p ∈ R,
    с множествами значений Ea = Eb = [ − 1; 1].
    Тем самым, все условия теоремы 2 (о непрерывности функции, заданной определённым интегралом, у которого подынтегральная функция
    и пределы интегрирования зависят от параметра) выполняются. Поэтому функция J непрерывна на поле R.
    Пример 5. При каждом вещественном p и каждом вещественном
    p+q
    R
    q интеграл
    exp(x2 + p2 + q 2 ) dx является определённым. Докажем
    p−q

    непрерывность функции

    p+q
    Z
    J : (p, q) →
    exp(x2 + p2 + q 2 ) dx, ∀(p, q) ∈ R2 .
    p−q

    75

    П. 3, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Функции
    и

    a : (p, q) → p − q, ∀p ∈ [c1 ; d1 ], ∀q ∈ [c2 ; d2 ],
    b : (p, q) → p + q, ∀p ∈ [c1 ; d1 ], ∀q ∈ [c2 ; d2 ],

    непрерывны на прямоугольнике Π = [c1 ; d1 ] × [c2 ; d2 ]. Функция
    f : (x, p, q) → exp(x2 + p2 + q 2 ), ∀x ∈ [A; B], ∀p ∈ [c1 ; d1 ], ∀q ∈ [c2 ; d2 ],
    непрерывна на прямоугольном параллелепипеде
    S = [A; B] × [c1 ; d1 ] × [c2 ; d2 ],

    где
    A=

    min {p − q, p + q} = min{c1 − d2 , c1 + c2 },

    c1 6 p 6 d 1
    c2 6 q 6 d 2

    B = max {p − q, p + q} = max{d1 − c2 , d1 + d2 }.
    c1 6 p 6 d 1
    c2 6 q 6 d 2

    Множества значений
    
    
    Ea = min(p − q); max(p − q) = [c1 − d2 ; d1 − c2 ]
    Π

    и

    Π

    
    
    Eb = min(p + q); max(p + q) = [c1 + c2 ; d1 + d2 ]
    Π

    Π

    содержатся в отрезке [A; B].
    Все условия теоремы 2 (о непрерывности функции, заданной определённым интегралом, у которой подынтегральная функция и пределы
    интегрирования зависят от параметра) выполнены. Поэтому сужение
    функции J непрерывно на прямоугольнике Π.
    Прямоугольник Π выбран произвольно. Значит, функция J непрерывна на плоскости R2 .

    Теорема 3. Пусть выполняются условия:
    1) функции a : p → a(p) и b : p → b(p) с Da = Db = [c; d]
    непрерывны;
    2) a(p) 6 b(p), ∀p ∈ [c; d];
    76

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 3, § 1, гл. 2

    3) функция f : (x, p) → f (x, p), ∀(x, p) ∈ K, непрерывна
    на компакте K = {(x, p) : a(p) 6 x 6 b(p), c 6 p 6 d}.
    Тогда заданная определённым интегралом, зависящим
    от параметра, функция

    J: p →

    b(p)
    Z

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    (7)

    a(p)

    будет непрерывной.
    Доказательство. Интеграл (7) при каждом фиксированном
    значении параметра p ∈ [c; d] является определённым интегралом
    с непрерывной подынтегральной функцией на отрезке [a(p); b(p)].
    С помощью замены переменной x на ζ по формуле
    
    x = a(p) + b(p) − a(p) ζ, ∀ζ ∈ [0; 1],

    интеграл (7) преобразовываем к виду
    I(p) =

    Z1
    0

    g(ζ, p) dζ, ∀p ∈ [c; d],

    (8)

    с подынтегральной функцией
    
    
    g : (ζ, p) → f a(p) + (b(p) − a(p))ζ, p b(p) − a(p) , Dg = Π,

    где Π = [0; 1] × [c; d].
    Функция g непрерывна как суперпозиция непрерывных
    функций a, b и f.
    Тогда, по теореме 1 (о непрерывности функции, заданной
    определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования), функция I, заданная интегралом (8), является непрерывной.
    Теорему 3, так же, как и теорему 2, будем называть теоремами о непрерывности функций, заданных определёнными интегралами, у которых подынтегральная функция и пределы интегрирования зависят от параметра.
    77

    П. 3, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Пример 6. При каждом фиксированном вещественном p интеграл

    J(p) =

    pZ2 +1

    epx dx

    p

    является определённым.
    Пределы интегрирования суть непрерывные функции
    a : p → p, ∀p ∈ R, и b : p → p2 + 1, ∀p ∈ R,
    причём p < p2 + 1, ∀p ∈ R.
    Подынтегральная функция
    f : (x, p) → epx , ∀(x, p) ∈ R2 ,
    непрерывна.
    Возьмём произвольный отрезок [c; d], на котором для сужения
    функции
    J: p→

    pZ2 +1

    epx dx, ∀p ∈ R,

    p

    выполняются условия теоремы 3. Тогда сужение функции J непрерывно
    на отрезке [c; d]. Учитывая произвольность выбора отрезка [c; d], заключаем о непрерывности функции J на прямой ( − ∞; + ∞).
    Убедимся в этом на основании вычислений. Интеграл

    J(p) =

      1
    x 0 = 1 при p = 0,


    epx dx =  
     2
     1 px x=p +1 1 p3 +p
    2
    e
    =
    e
    − ep , ∀p ∈ R\{0}.
    p
    p
    x=p

    pZ2 +1
    p

    Тогда
    lim J(p) = lim

    p→0

    p→0

    ep

    3

    +p

    2

    3
    2
    − ep
    = lim (3p2 + 1) ep +p − 2p ep = 1 = J(0)
    p→0
    p

    и функция J непрерывна на поле R.

    78

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 3, § 1, гл. 2

    Пример 7. При каждом фиксированном неотрицательном p интеRp

    грал arctg p − x dx является определённым. Функция
    0

    J: p →

    Zp

    arctg

    0


    p − x dx, ∀p ∈ [0; + ∞),

    непрерывна.
    Действительно, при любом неотрицательном η функции
    a : p → 0, ∀p ∈ [0; η], и b : p → p, ∀p ∈ [0; η],
    непрерывны.
    Сужение подынтегральной функции

    f : (x, p) → arctg p − x , ∀(x, p) ∈ G, G = {(x, p) : 0 6 x 6 p, p > 0},
    непрерывно на компакте
    K = {(x, p) : 0 6 x 6 p, 0 6 p 6 η}.
    Стало быть, в соответствии с теоремой 3 (о непрерывности функции,
    заданной определённым интегралом, у которого подынтегральная функция и пределы интегрирования зависят от параметра) сужение функции
    J непрерывно на отрезке [0; η].
    Отрезок [0; η] выбран произвольно, следовательно, функция J непрерывна на неотрицательном числовом луче.
    Пример 8. Если функция g непрерывна на [0; +∞), то при любых
    неотрицательных вещественных x и натуральных m интеграл
    Jm (x) =

    Zx
    0

    (x − ξ)m g(ξ) dξ

    будет определённым.
    Докажем, что функция
    Jm : x →

    Zx
    0

    (x − ξ)m g(ξ) dξ, ∀x ∈ [0; + ∞), (m ∈ N)

    является непрерывной.

    79

    П. 3, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Действительно, сужение подынтегральной функции
    fm : (ξ, x) → (x − ξ)m g(ξ), ∀(ξ, x) ∈ G,
    G = {(ξ, x) : 0 6 ξ 6 x, x > 0}, (m ∈ N) непрерывно на компакте
    K = {(ξ, x) : 0 6 ξ 6 x, 0 6 x 6 η}
    при любом η > 0. Также непрерывны функции
    a : x → 0, ∀x ∈ [0; η], и b : x → x, ∀x ∈ [0; η].
    Тогда, по теореме 3 (о непрерывности функции, заданной определённым интегралом, у которого подынтегральная функция и пределы
    интегрирования зависят от параметра), сужение функции J m непрерывно на отрезке [0; η]. Это верно для любого отрезка [0; η]. Поэтому
    функция Jm непрерывна на числовом луче [0; + ∞).

    3.3. Предельный переход в определённом
    интеграле, у которого подынтегральная функция и
    пределы интегрирования зависят от параметра
    Непосредственным следствием теорем 2 и 3 является следующая теорема о предельном переходе в определённом интеграле,
    у которого подынтегральная функция и пределы интегрирования
    зависят от параметра.
    Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 2 или
    теоремы 3. Тогда предел
    b(p
    Zb(p)
    Z 0)
    lim
    f (x, p) dx =
    f (x, p0 ) dx

    p→p0

    a(p0 )

    a(p)

    и имеет место формула предельного перехода
    Zb(p)
    lim
    f (x, p) dx =

    p→p0

    a(p)

    80

    lim b(p)
    p→p
    Z0

    lim a(p)

    p→p0

    lim f (x, p) dx.

    p→p0

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 3, § 1, гл. 2

    Если выполняются условия теоремы 3 или выполняются
    условия теоремы 2, когда c ∈ hc; di, то предел
    Zb(p)
    Zb(c)
    f (x, p) dx =
    f (x, c) dx

    lim

    p→c+0

    a(p)

    a(c)

    или
    lim

    p→c+0

    b(p)
    b(c+0)
    Z
    Z
    f (x, p) dx =
    lim f (x, p) dx.
    p→c+0

    a(p)

    a(c+0)

    Если выполняются условия теоремы 3 или выполняются
    условия теоремы 2, когда d ∈ hc; di, то предел
    lim

    p→d−0

    b(d)
    Zb(p)
    Z
    f (x, p) dx =
    f (x, d) dx

    a(p)

    a(d)

    или
    lim

    p→d−0

    b(p)
    b(d−0)
    Z
    Z
    f (x, p) dx =
    lim f (x, p) dx.
    p→d−0

    a(p)

    a(d−0)

    Пример 9. Вычислим предел
    lim

    p→0

    p+1
    Z

    dx
    .
    x2 + p 2 + 1

    p

    Для этого достаточно рассмотреть функцию
    J: p →

    p+1
    Z

    dx
    , ∀p ∈ [ − c; c], (c > 0),
    x2 + p 2 + 1

    p

    81

    П. 3, § 1, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    заданную определённым интегралом, зависящим от параметра, на некотором отрезке [ − c; c], содержащим нуль внутренней точкой.
    Пределы интегрирования
    a : p → p, ∀p ∈ [ − c; c], и b : p → p + 1, ∀p ∈ [ − c; c],
    непрерывны, выполняется неравенство p < p+1, ∀p ∈ [−c; c], а подынтегральная функция
    f : (x, p) →

    x2

    1
    , ∀(x, p) ∈ K,
    + p2 + 1

    непрерывна на компакте
    K = {(x, p) : p 6 x 6 p + 1, − c 6 p 6 c}.
    Тем самым выполняются условия теоремы 3, и по теореме 4 можно вычислить предел функции J, заданной определённым интегралом, у
    которого подынтегральная функция и пределы интегрирования зависят
    от параметра, следующим образом:

    lim

    p→0

    p+1
    Z

    lim (p+1)

    Z

    p→0

    dx
    =
    x2 + p 2 + 1

    p

    lim

    p→0

    1
    dx =
    x2 + p 2 + 1

    lim p

    p→0

    =

    Z1

    
    1
    dx
    π
    = arctg x 0 = .
    +1
    4

    x2

    0

    Теоремы 1, 2, 3 и 4 не являются критериями. Они содержат
    лишь достаточные условия, при которых имеют место описанные
    закономерности относительно функций, заданных опpеделёнными
    интегралами, зависящими от параметра. Убедимся в этом на следующем примере, когда опpеделённый интеграл от неявляющейся
    непрерывной функции задаёт непрерывную функцию.
    Пример 10. Функция
    f : (x, p) → sgn(x − p), ∀x ∈ [0; 1], ∀p ∈ R,
    не является непрерывной на полосе Π = [0; 1] × R. Действительно,

    82

    В.Н. Горбузов

    § 1. Непрерывность функций ...

    П. 3, § 1, гл. 2

    sgn (x − p) = 1 при 0 6 x 6 1, p < 0;

    sgn (x − p) = − 1 при 0 6 x < p, 0 6 p 6 1;
    sgn (x − p) = 0 при x = p, 0 6 p 6 1;

    sgn (x − p) = 1 при p < x 6 1, 0 6 p 6 1;
    sgn (x − p) = − 1 при 0 6 x 6 1, p > 1.

    Интеграл
    I(p) =

    Z1
    0

    sgn (x − p) dx, ∀p ∈ R,

    является определённым, ибо при каждом фиксированном значении параметра p функция f является функцией одной переменной, которая либо
    непрерывна на отрезке [0; 1] (при p < 0 и при p > 1), либо кусочнонепрерывна на отрезке [0; 1] (при 0 6 p 6 1).
    Непосредственным вычислением интеграла находим:
    I(p) =

    Z1
    0

    I(p) =

    Z1
    0

    sgn (x − p) dx = 1, ∀p ∈ ( − ∞; 0);

    sgn (x − p) dx = −

    I(p) =

    Z1
    0

    Zp
    0

    dx +

    Z1
    p

    dx = 1 − 2p, ∀p ∈ [0; 1];

    sgn(x − p) dx = − 1, ∀p ∈ (1; + ∞).

    Итак,


    1,
    ∀p ∈ ( − ∞; 0),

    I : p →  1 − 2p, ∀p ∈ [0; 1],
    − 1,

    ∀p ∈ (1; + ∞).

    Поскольку I( − 0) = I(0) = 1, I(1) = I(1 + 0) = − 1, то функция
    I : p → I(p), ∀p ∈ R, непрерывна.

    83

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное
    исчисление функций, заданных определёнными
    интегралами, зависящими от параметров
    1. Дифференцирование функций, заданных
    опpеделёнными интегралами, зависящими от параметра
    Дифференцирование под знаком определённого интеграла по параметру (правило Лейбница). Дифференцирование функции, заданной
    определённым интегралом, у которого подынтегральная функция и пределы интегрирования зависят от параметра. Обобщённая теорема Барроу о дифференцируемости функции, заданной определённым интегралом, у которого пределы интегрирования зависят от параметра, а
    подынтегральная функция от параметра не зависит. Приложение теории дифференцирования определённых интегралов, зависящих от параметров, при вычислении интегралов.

    1.1. Дифференцирование функции, заданной
    опpеделённым интегралом, зависящим от параметра,
    с постоянными пределами интегрирования
    Вычисление производной функции, заданной определённым
    интегралом, зависящим от параметра, установил Лейбниц, и формулу, по которой вычисляется такая производная, принято называть правилом Лейбница.
    Достаточные условия применения правила Лейбница даёт
    следующая теорема о дифференцировании функции, заданной
    определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования.
    Теорема 1. Пусть выполняются условия:
    1) при − ∞ 6 c < d 6 + ∞ функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b], ∀p ∈ hc; di,
    непрерывна на множестве G = [a; b] × hc; di;
    2) при каждом фиксированном значении переменной x
    из отрезка [a; b] функция f представляет собой функцию
    84

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    одной переменной, дифференцируемую на числовом промежутке hc; di;
    3) функция
    ∂p f : (x, p) → ∂p f (x, p), ∀(x, p) ∈ G,
    является непрерывной.
    Тогда заданная определённым интегралом, зависящим
    от параметра, функция
    I: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ hc; di,

    (1)

    непрерывно дифференцируема и её производная
    DI : p →

    Zb
    a

    ∂p f (x, p) dx, ∀p ∈ hc; di.

    (2)

    Доказательство. Отрезок [λ; ν] выберем произвольным образом так, чтобы он содержался в числовом промежутке hc; di.
    Сначала докажем, что сужение функции (1) непрерывно дифференцируемо на отрезке [λ; ν] и что на отрезке [λ; ν] имеет место
    формула (2).
    Пусть p0 — произвольная фиксированная точка из отрезка
    [λ; ν]. Теорема на отрезке [λ; ν] будет доказана, если установим
    справедливость правила Лейбница (2) в точке p 0 , то есть, что
    DI(p0 ) =

    Zb

    ∂p f (x, p0 ) dx,

    (3)

    a

    причём в точке p0 = λ имеется в виду правая производная, а в
    точке p0 = ν — левая производная.
    Придадим точке p0 из интервала (λ; ν) приращение ∆p такое, что p + ∆p ∈ (λ; ν). Тогда
    85

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    I(p0 ) =

    Zb

    f (x, p0 ) dx,

    I(p0 + ∆p) =

    a

    Zb

    В.Н. Горбузов

    f (x, p0 + ∆p) dx.

    a

    Исходя из определений обыкновенной и частной производных, в точке p0 из (λ; ν) относительно сужения функции (1)
    имеем:
    DI(p0 ) = lim

    ∆p→0

    = lim

    ∆p→0

    

    1
    ∆p

     Zb
    a

    = lim

    ∆p→0

    =

    Zb
    a

    f (x, p0 + ∆p) dx −

    Zb
    a

    I(p0 + ∆p) − I(p0 )
    =
    ∆p
    Zb

    f (x, p0 ) dx

    a

    

    =

    f (x, p0 + ∆p) − f (x, p0 )
    dx =
    ∆p

    f (x, p0 + ∆p) − f (x, p0 )
    dx =
    lim
    ∆p→0
    ∆p

    Zb

    ∂p f (x, p0 ).

    a

    Итак, доказана формула (3) при p = p0 , когда p0 ∈ (λ; ν),
    если только обоснуем предельный переход под знаком интеграла
    lim

    ∆p→0

    Zb

    F (x, ∆p) dx =

    a

    Zb

    lim F (x, ∆p) dx,

    ∆p→0

    (4)

    a

    где
    F : (x, ∆p) →

    f (x, p0 + ∆p) − f (x, p0 )
    ,
    ∆p

    ∀x ∈ [a; b], ∀∆p ∈ [λ − p0 ; 0) ∪ (0; ν − p0 ].
    86

    (5)

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    Для этого проверим выполнение условий теоремы 1.2.1 (о
    предельном переходе под знаком определённого интеграла).
    Условие 1) теоремы 1.2.1 выполняется, ибо при каждом фиксированном значении переменной ∆p из [λ − p 0 ; 0) ∪ (0; ν − p0 ]
    подынтегральная функция F является функцией одной переменной, непрерывной на отрезке [a; b] как линейная комбинация (5)
    непрерывных на отрезке [a; b] функций

    и

    f|

    p=p0 +∆p

    f|

    : x → f (x, p0 + ∆p), ∀x ∈ [a; b],

    p=p0

    : x → f (x, p0 ), ∀x ∈ [a; b].

    А непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (в
    собственном смысле) на нём.
    Условие 2) теоремы 1.2.1 предполагает равномерную сходимость функции (5) к предельной функции
    ∂p f|

    p=p0

    : x → ∂p f (x, p0 ), ∀x ∈ [a; b],

    на отрезке [a; b] при ∆p → 0. Это на языке бесконечно малых
    означает, что
    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀∆p ∈ [λ − p0 ; 0) ∪ (0; ν − p0 ], |∆p| < δε :


    f (x, p0 + ∆p) − f (x, p0 )


    − ∂p f (x, p0 ) < ε, ∀x ∈ [a; b].

    ∆p

    (6)

    Если использовать формулу конечных приращений, то соотношение (6) будет иметь вид:
    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀∆p ∈ [λ − p0 ; 0) ∪ (0; ν − p0 ], |∆p| < δε :

    (7)

    |∂p f (x, p0 + θ∆p) − ∂p f (x, p0 )| < ε, ∀x ∈ [a; b], (0 < θ < 1).
    Итак, надо доказать утверждение (7).
    87

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    На компакте Π = [a; b] × [λ; ν] сужение функции ∂ p f непрерывно. Следовательно, по теореме Кантора, оно равномерно непрерывно на Π, то есть,
    ∗ ∗∗
    ∗ ∗
    ∗∗ ∗∗
    ∀ε > 0, ∃ δε > 0, ∀(x, p) ∈ Π, ∀( x , p ) ∈ Π, x − x < δε ,
    (8)
    ∗ ∗∗

    ∗ ∗
    ∗∗ ∗∗
    p − p < δε : ∂p f (x,
    p) − ∂p f ( x , p ) < ε.
    Из соотношения (8) при


    ∗∗



    ∗∗

    x = x = x, x ∈ [a; b], p = p0 + θ∆p, p = p0 ,
    p0 ∈ (λ; ν), θ ∈ (0; 1), ∆p ∈ [λ − p0 ; 0) ∪ (0; ν − p0 ], |∆p| < δε ,
    получаем утверждение (7).
    Стало быть, правило Лейбница (3) при любом p 0 из интервала (λ; ν) доказано.
    В случаях p0 = λ и p0 = ν доказательства аналогичны с
    корректировкой на односторонность производных.
    Значит, формула (2) имеет место на отрезке [λ; ν].
    Учитывая произвольность выбора отрезка [λ; ν] из числового
    промежутка hc; di, заключаем о справедливости формулы (2) на
    числовом промежутке hc; di.
    Непрерывность функции (2) устанавливаем по теореме 1.3.1
    (о непрерывности функции, заданной определённым интегралом,
    зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования). Выполнение условия теоремы 1.3.1 обеспечивается условием
    3) доказанной теоремы.
    Формулу (2) перепишем в виде
    D

    Zb
    a

    f (x, p) dx =

    Zb
    a

    ∂p f (x, p) dx, ∀p ∈ hc; di.

    (9)

    Формула (9) выражает правило Лейбница дифференцирования под знаком определённого интеграла. В этой связи теорему 1
    ещё называют теоремой о дифференцировании под знаком определённого интеграла по параметру.
    88

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    Пример 1. Функция
    I: p →

    Z1
    0

    ln(x2 + p2 ) dx, ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞),

    задана определённым интегралом, зависящим от параметра, у которого
    сужения подынтегральной функции непрерывны на множествах
    Π− = {(x, p) : 0 6 x 6 1, p < 0} и Π+ = {(x, p) : 0 6 x 6 1, p > 0}.
    У частной производной подынтегральной функции
    ∂p f : (x, p) →

    x2

    2p
    , ∀x ∈ [0; 1], ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞),
    + p2

    сужения непрерывны на множествах Π− и Π+ .
    Поэтому в соответствии с теоремой 1 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра)
    сужения функции I непрерывно дифференцируемы на числовых лучах
    ( − ∞; 0) и (0; + ∞), а производная
    DI(p) = D

    Z1
    0

    =

    Z1
    0

    x2

    2

    2

    ln(x + p ) dx =

    Z1

    ∂p ln(x2 + p2 ) dx =

    0

    2p
    1
    dx = 2 arctg , ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    2
    +p
    p

    К такому же результату приходим через непосредственное вычисление данного интеграла, зависящего от параметра, с последующим дифференцированием полученного результата.
    В самом деле, интеграл
    I(p) =

    Z1
    0

    −2

    Z1
    0

    h
    ix=1
    ln(x2 + p2 ) dx = x ln(x2 + p2 )


     1
    x2
    dx = ln(1 + p2 ) − 2 x 0 + 2p2
    2
    2
    x +p

    x=0

    Z1

    dx
    =
    x2 + p 2

    0

    89

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    = ln(1 + p2 ) − 2 + 2p arctg

    В.Н. Горбузов

    1
    , ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    p

    Производная
    
    1
    1
    = 2 arctg , ∀p ∈ R\{0}.
    DI(p) = D ln(1 + p2 ) − 2 + 2p arctg
    p
    p
    Пример 2. Докажем, что функция
    y: x →


    0

    eµx cos ξ dξ, ∀x ∈ R, (µ ∈ R)

    является решением линейного однородного дифференциального
    уравнения второго порядка
    x D2 y + Dy − µ2 xy = 0.

    Доказательство. Подынтегральная функция
    f : (ξ, x) → eµx cos ξ , ∀ξ ∈ [0; π], ∀x ∈ R, (µ ∈ R)
    и её частные производные
    ∂x f : (ξ, x) → µ cos ξ eµx cos ξ , ∀ξ ∈ [0; π], ∀x ∈ R, (µ ∈ R),
    ∂xx f : (ξ, x) → µ2 cos2 ξ eµx cos ξ , ∀ξ ∈ [0; π], ∀x ∈ R, (µ ∈ R)
    непрерывны на полосе Π = [0; π] × R.
    Следуя теореме 1 (о дифференцировании функций, заданных определёнными интегралами, зависящими от параметра), дважды используем
    правило Лейбница и получим:
    Dy(x) = Dx


    0

    e

    µx cos ξ

    dξ =



    ∂x e

    µx cos ξ

    0

    D2 y(x) = D(Dy(x)) = µDx

    cos ξ eµx cos ξ dξ;

    0


    0

    90

    dξ = µ



    cos ξ eµx cos ξ dξ =

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...





    
    ∂x cos ξ eµx cos ξ dξ = µ2

    0



    П. 1, § 2, гл. 2

    cos2 ξ eµx cos ξ dξ

    0

    при любых действительных x и µ.
    Тогда
    x D2 y(x) + Dy(x) − µ2 x y(x) =
    = xµ

    2



    2

    cos ξ e

    µx cos ξ

    dξ + µ

    0



    cos ξ e

    µx cos ξ

    0





    e

    µx cos ξ

    0

    h

    = µ sin ξ e

    2

    −µ x


    0

    2

    d sin ξ − µ x

    µx cos ξ

    iξ=π
    ξ=0


    0

    2

    2

    dξ − µ x



    eµx cos ξ dξ =

    0

    (1 − cos2 ξ) eµx cos ξ dξ =

    +µ x


    0

    sin2 ξ eµx cos ξ dξ −

    sin2 ξ eµx cos ξ dξ = 0, ∀x ∈ R, (µ ∈ R).

    Пример 3. Сужение квадратичной функции y : x → x2 , ∀x ∈ R,
    на отрезке [1; 3] приближённо заменим сужением линейной функции y : x → ax + b, ∀x ∈ R, так, чтобы функция
    I : (a, b) →

    Z3
    1

    (b + ax − x2 )2 dx, ∀(a, b) ∈ R2 ,

    достигала минимума.
    Функция
    Φ : (x, a, b) → (b + ax − x2 )2 , ∀(x, a, b) ∈ [1; 3] × R2 ,
    и её частные производные
    ∂a Φ : (x, a, b) → 2x(b + ax − x2 ), ∀(x, a, b) ∈ [1; 3] × R2 ,

    91

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    ∂b Φ : (x, a, b) → 2(b + ax − x2 ), ∀(x, a, b) ∈ [1; 3] × R2 ,
    непрерывны.
    Тогда в соответствии с теоремой 1 (о дифференцировании функции,
    заданной определённым интегралом, зависящим от параметра) находим
    частные производные
    ∂a I(a, b) =

    Z3
    1

    =2

    hb

    2

    x2 +

    2 2

    ∂a (b + ax − x ) dx = 2

    Z3
    1

    x(b + ax − x2 ) dx =

    
    
    a 3 1 4 ix=3
    26
    x − x
    = 2 4b +
    a − 20 , ∀(a, b) ∈ R2 ,
    3
    4
    3
    x=1

    ∂b I(a, b) =

    Z3
    1

    2 2

    ∂b (b + ax − x ) dx = 2

    Z3
    1

    (b + ax − x2 ) dx =

    h
    
    a
    1 ix=3
    26 
    = 2 bx + x2 − x3
    = 2 2b + 4a −
    , ∀(a, b) ∈ R2 .
    2
    3
    3
    x=1

    Отсюда

     
     52
    26
    ∂aa I(a, b) = ∂a 2 4b +
    a − 20 =
    , ∀(a, b) ∈ R2 ,
    3
    3
    ∂ab I(a, b) = ∂ba I(a, b) = 8, ∀(a, b) ∈ R2 ,
     
    26 
    ∂bb I(a, b) = ∂b 2 2b + 4a −
    = 4, ∀(a, b) ∈ R2 .
    3

    Система
    (

    ∂a I(a, b) = 0,
    ∂b I(a, b) = 0
    Поскольку


    26

    a − 20 = 0,
     4b +
    3
    ⇐⇒

     2b + 4a − 26 = 0
    3

    ⇐⇒


     a = 4,

     b = − 11 .
    3

    
    11  52 2
    4
    d2 I 4, −
    =
    da + 16 dadb + 4 db2 = 4(2 da + db)2 + da2 > 0
    3
    3
    3

    92

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    
    11 
    при da2 + db2 6= 0, то в точке 4, −
    функция I имеет минимум.
    3
    Следовательно, функция
    y : x → 4x −

    11
    , ∀x ∈ [1; 3],
    3

    удовлетворяет поставленному требованию.

    1.2. Дифференцирование функции, заданной
    опpеделённым интегралом, у которого подынтегральная
    функция и пределы интегрирования зависят от параметра
    Теорема 2. Пусть выполняются условия:
    1) функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [A; B], ∀p ∈ hc; di, −∞ 6 c < d 6 +∞,
    непрерывна на множестве G = [A; B] × hc; di;
    2) при каждом фиксированном значении переменной x
    из отрезка [A; B] функция f представляет собой функцию
    одной переменной, дифференцируемую на числовом промежутке hc; di;
    3) частная производная ∂p f непрерывна на G;
    4) функции
    a : p → a(p), ∀p ∈ hc; di, и b : p → b(p), ∀p ∈ hc; di,
    с множествами значений Ea и Eb из отрезка [A; B] дифференцируемы (непрерывно дифференцируемы).
    Тогда заданная определённым интегралом, зависящим
    от параметра, функция
    Zb(p)
    J: p →
    f (x, p) dx, ∀p ∈ hc; di,

    (10)

    a(p)

    дифференцируема (непрерывно дифференцируема) и её производная функция
    93

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    DJ : p →

    b(p)
    Z

    В.Н. Горбузов

    ∂p f (x, p) dx + f (b(p), p) Db(p) −

    a(p)

    (11)
    − f (a(p), p) Da(p), ∀p ∈ hc; di.

    Доказательство. Отрезок [λ; ν] выберем произвольным образом так, чтобы он содержался в числовом промежутке hc; di.
    Сначала докажем, что сужение функции (10) дифференцируемо (непрерывно дифференцируемо) на отрезке [λ; ν] и на отрезке
    [λ; ν] имеет место формула (11).
    Пусть p0 — произвольная фиксированная точка из отрезка
    [λ; ν]. Тогда на этом отрезке, по свойству аддитивности определённого интеграла,
    J(p) =

    b(p
    Z 0)

    f (x, p) dx +

    a(p0 )

    a(p
    Z 0)

    f (x, p) dx +

    a(p)

    Zb(p)

    f (x, p) dx.

    (12)

    b(p0 )

    Рассмотрим функцию

    J0 : p →

    b(p
    Z 0)

    f (x, p) dx, ∀x ∈ [λ; ν],

    a(p0 )

    которая задана определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования.
    Сужение функции f непрерывно на прямоугольнике
    
    

    
    
    Π = min a(p0 ), b(p0 ) ; max a(p0 ), b(p0 ) × [λ; ν], Π ⊂ G.

    При
    фиксированном
    переменной x из от
     значении 
     каждом
    
    резка min a(p0 ), b(p0 ) ; max a(p0 ), b(p0 )
    функция f представляет собой функцию одной переменной, дифференцируемую
    на отрезке [λ; ν].
    У функции ∂p f сужение непрерывно на прямоугольнике Π.
    94

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    Значит, выполняются условия теоремы 1 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, зависящим от
    параметра, с постоянными пределами интегрирования), по которой функция J0 непрерывно дифференцируема на отрезке [λ; ν]
    и её производная находится по правилу Лейбница
    b(p
    Z 0)

    DJ0 : p →

    ∂p f (x, p) dx, ∀p ∈ [λ; ν].

    a(p0 )

    Тогда в точке x0 из отрезка [λ; ν] производная
    DJ0 (p0 ) =

    b(p
    Z 0)

    ∂p f (x, p0 ) dx.

    (13)

    a(p0 )

    Рассмотрим функцию

    Ja : p →

    a(p
    Z 0)

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [λ; ν].

    a(p)

    При каждом фиксированном p из отрезка [λ; ν] функция f
    является функций
    переменной,
    сужение
    которой
     одной
    

    
     непрерывно на отрезке min a(p0 ), b(p0 ) ; max a(p0 ), b(p0 ) .
    Тогда, по следствию из первой интегральной теоремы о среднем значении для определённого интеграла, существует такая точка ξ, расположенная между a(p) и a(p 0 ), что
    Ja (p) =

    a(p
    Z 0)

    a(p)

    
    f (x, p) dx = f (ξ, p) a(p0 ) − a(p) , ∀p ∈ [λ; ν].

    При этом ввиду непрерывности функций f и a предел
    lim f (ξ, p) = f (a(p0 ), p0 ).

    p→p0

    95

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Заметим, что
    Ja (p0 ) =

    a(p
    Z 0)

    f (x, p0 ) dx = 0.

    a(p0 )

    Тогда с учётом дифференцируемости функции a предел
    
    f (ξ, p) a(p0 ) − a(p)
    Ja (p) − Ja (p0 )
    Ja (p)
    lim
    = lim
    = lim
    =
    p→p0
    p→p0 p − p0
    p→p0
    p − p0
    p − p0
    = − f (a(p0 ), p0 ) lim

    p→p0

    a(p) − a(p0 )
    = − f (a(p0 ), p0 ) Da(p0 ).
    p − p0

    Следовательно, функция Ja дифференцируема в точке p0 и
    её производная
    DJa (p0 ) = − f (a(p0 ), p0 ) Da(p0 ).

    (14)

    Аналогично доказываем дифференцируемость функции

    Jb : p →

    Zb(p)

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [λ; ν],

    b(p0 )

    в точке p0 из отрезка [λ; ν] и то, что производная
    DJb (p0 ) = f (b(p0 ), p0 ) Db(p0 ).

    (15)

    Стало быть, функция
    J : p → J0 (p) + Ja (p) + Jb (p), ∀p ∈ [λ; ν],
    заданная формулой (12), дифференцируема в точке p 0 из отрезка
    [λ; ν] как сумма дифференцируемых в этой точке функций J 0 , Ja
    и Jb . А с учётом равенств (13) – (15) устанавливаем, что в точке
    p0 производная
    96

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    DJ(p0 ) =

    П. 1, § 2, гл. 2

    b(p
    Z 0)

    ∂p f (x, p0 ) dx +

    a(p0 )

    (16)
    + f (b(p0 ), p0 ) Db(p0 ) − f (a(p0 ), p0 ) Da(p0 ).
    Если p0 = λ или p0 = ν, то в формуле (16) следует сделать
    корректировку на соответствующие односторонние производные.
    В силу произвольности выбора p0 из отрезка [λ; ν] и произвольности выбора отрезка [λ; ν] на числовом промежутке hc; di
    из равенства (16) следует формула (11).
    Уже было доказано, что функция J0 непрерывно дифференцируема на отрезке [λ; ν]. Если функции a и b являются непрерывно дифференцируемыми на числовом промежутке hc; di, то
    из формул (14) и (15) следует непрерывная дифференцируемость
    функций Ja и Jb на отрезке [λ; ν]. Поэтому на основании представления (12) заключаем о непрерывной дифференцируемости
    сужения функции (10) на произвольно взятом отрезке [λ; ν] таком, что [λ; ν] ⊂ hc; di.
    Стало быть, функция (10) будет непрерывно дифференцируемой на hc; di, если только на этом числовом промежутке являются
    непрерывно дифференцируемыми функции a и b.
    Теорема 2 относится к классу теорем о дифференцировании
    определённых интегралов по параметру ввиду того, что формула
    (11) выражает следующую закономерность
    b(p)
    Z
    Zb(p)
    f (x, p) dx =
    ∂p f (x, p) dx +
    D
    a(p)

    a(p)

    (17)
    + f (b(p), p) Db(p) − f (a(p), p) Da(p), ∀p ∈ hc; di.
    Пример 4. Вычислим производную функции
    J: p→

    cos
    Z p

    exp p

    sin p

    p
    
    1 − x2 dx, ∀p ∈ R.

    97

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Подынтегральная функция
    p
    
    f : (x, p) → exp p 1 − x2 , ∀x ∈ [ − 1; 1], ∀p ∈ R,

    и её частная производная
    p
    p
    
    ∂p f : (x, p) → 1 − x2 exp p 1 − x2 , ∀x ∈ [ − 1; 1], ∀p ∈ R,

    непрерывны на множестве G = [ − 1; 1] × R.
    Тригонометрические функции

    a : p → sin p, ∀p ∈ R, и b : p → cos p, ∀p ∈ R,
    имеют общее множество значений E sin = E cos = [ − 1; 1] и являются
    непрерывно дифференцируемыми на поле R.
    Тогда, по теореме 2 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, у которого подынтегральная функция и пределы
    интегрирования зависят от параметра), функция J непрерывно дифференцируема на поле R.
    Её производную найдём по формуле (11):
    DJ(p) =

    cos
    Z p

    sin p

    − exp p

    p
    p
    p
    
    
    1 − x2 exp p 1 − x2 dx+exp p 1 − cos2 p D cos p −

    p

    1−

    sin2 p

    

    D sin p =

    cos
    Z p

    sin p

    p

    1 − x2 exp p

    p

    
    1 − x2 dx −

    − sin p exp(p| sin p|) − cos p exp(p| cos p|), ∀p ∈ R.
    Пример 5. Для функции
    1
    gn : x →
    (n − 1)!

    Zx
    0

    (x − ξ)n−1 f (ξ) dξ, ∀x ∈ R, (n ∈ N),

    где функция f непрерывна на R, докажем, что
    Dn gn (x) = f (x), ∀x ∈ R.

    98

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    Доказательство. При n = 1 функция
    g1 : x →

    Zx
    0

    f (ξ) dξ, ∀x ∈ R,

    заданная определённым интегралом с переменным верхним пределом и
    непрерывной подынтегральной функцией, является непрерывно дифференцируемой на поле R и её производная
    Dg1 (x) = D

    Zx
    0

    f (ξ) dξ = f (x), ∀x ∈ R.

    Функция
    Fn : (ξ, x) → (x − ξ)n−1 f (ξ), ∀ξ ∈ [α; β], ∀x ∈ [λ; ν], (n ∈ N)
    и её частная производная
    ∂x Fn : (ξ, x) → (n − 1) (x − ξ)n−2 f (ξ), ∀ξ ∈ [α; β], ∀x ∈ [λ; ν],
    непрерывны на прямоугольнике Π = [α; β] × [λ; ν], где
    α = min{λ, 0}, β = max{ν, 0}.
    Функции
    a : x → 0, ∀x ∈ [λ; ν], и b : x → x, ∀x ∈ [λ; ν],
    непрерывно дифференцируемы.
    Тогда, по теореме 2 (о дифференцировании функции, заданной
    определённым интегралом, у которого подынтегральная функция и
    пределы интегрирования зависят от параметра), сужение функции g n
    непрерывно дифференцируемо на отрезке [λ; ν] и его производная
    1
    Dgn (x) =
    (n − 1)!
    1
    =
    (n − 2)!

    Zx
    0

    (n − 1)(x − ξ)n−2 f (ξ) dξ + (x − x)n−1 f (x) Dx =

    Zx
    0

    (x − ξ)n−2 f (ξ) dξ, ∀x ∈ [λ; ν], (n ∈ N).

    99

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Применяя метод математической индукции, заключаем, что
    Dn gn (x) = f (x), ∀x ∈ [λ; ν], (n ∈ N).
    Отрезок [λ; ν] выбран произвольно, поэтому
    Dn gn (x) = f (x), ∀x ∈ R.
    Пример 6. Вычислим производную функции

    J: p→

    Zp
    0

    2

    q+p
    Z
    dq
    sin(x2 + q 2 − p2 ) dx, ∀p ∈ R.
    q−p

    Функция
    q+p
    Z
    f : (q, p) →
    sin(x2 + q 2 − p2 ) dx, ∀(q, p) ∈ П,
    q−p

    в соответствии с теоремой 2.3.1 (о непрерывности функции, заданной
    определённым интегралом, у которого подынтегральная функция и пределы интегрирования зависят от параметров) является непрерывной на
    Π = {(q, p) : 0 6 q 6 B, λ 6 p 6 ν}, где B = max{λ2 , ν 2 }.
    Действительно, функции
    a : (q, p) → q − p, ∀(q, p) ∈ Π, и b : (q, p) → q + p, ∀(q, p) ∈ Π,
    являющиеся пределами интегрирования, непрерывны, а подынтегральная функция
    F : (x, q, p) → sin(x2 + q 2 − p2 ), ∀(x, q, p) ∈ T,
    непрерывна на прямоугольном параллелепипеде

    где
    α=

    T = {(x, q, p) : α 6 x 6 β, 0 6 q 6 B, λ 6 p 6 ν},
    min

    06q 6B
    λ6p6ν

    {q − p, q + p} = min{λ, − ν}, β =

    max

    06q 6B
    λ6p6ν

    {q − p, q + p} =

    = max {q − λ, q + ν} = max{λ2 − λ, λ2 + ν, ν 2 − λ, ν 2 + ν}.
    06q6B

    100

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    При любом фиксированном q ∈ [0; B] функции




    a : p → q − p, ∀p ∈ [λ; ν], и b : p → q + p, ∀p ∈ [λ; ν],
    дифференцируемы на отрезке [λ; ν], а функция
    g : (x, p) → sin(x2 + q 2 − p2 ), ∀(x, p) ∈ Gq ,
    и её частная производная
    ∂p g : (x, p) → − 2p cos(x2 + q 2 − p2 ), ∀(x, p) ∈ Gq ,
    непрерывны на прямоугольнике Gq = {(x, p) : αq 6 x 6 βq , λ 6 p 6 ν},
    где αq = min{q + λ, q − ν}, βq = max{q + ν, q − λ}.
    Следовательно, по теореме 2 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, у которого подынтегральная функция
    и пределы интегрирования зависят от параметра), при всяком фиксированном q из отрезка [0; B] на прямоугольнике Gq производная
    ∂p f (q, p) =
    q+p
    Z
    = − 2p
    cos(x2 + q 2 − p2 ) dx + sin(x2 + q 2 − p2 )|

    x=q+p

    ∂p (q + p) −

    q−p

    2

    2

    2

    − sin(x + q − p )|
    x=q−p

    q+p
    Z
    ∂p (q − p) = − 2p
    cos(x2 + q 2 − p2 ) dx +
    q−p

    
    
    + sin (q + p)2 + q 2 − p2 + sin (q − p)2 + q 2 − p2 =

    q+p
    Z
    = − 2p
    cos(x2 + q 2 − p2 ) dx + 2 sin 2q 2 cos 2qp, ∀p ∈ [λ; ν].
    q−p

    Рассмотрим функцию
    q+p
    Z
    ϕ : (q, p) →
    cos(x2 + q 2 − p2 ) dx, ∀(q, p) ∈ Π.
    q−p

    101

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Функции
    a : (q, p) → q − p, ∀(q, p) ∈ Π, и b : (q, p) → q + p, ∀(q, p) ∈ Π,
    являющиеся пределами интегрирования, и подынтегральная функция
    Φ : (x, q, p) → cos(x2 + q 2 − p2 ), ∀(x, q, p) ∈ T,
    непрерывны. Поэтому в соответствии с теоремой 2.3.1 (о непрерывности
    функции, заданной определённым интегралом, у которого подынтегральная функция и пределы интегрирования зависят от параметров) функция
    ϕ будет непрерывной.
    Отсюда следует непрерывность функции
    q+p
    Z
    ∂p f : (q, p) → −2p
    cos(x2 +q 2 −p2 ) dx+2 sin 2q 2 cos 2qp, ∀(q, p) ∈ Π.
    q−p

    Итак, сужение функции J на отрезок [λ; ν]


    J: p →

    Zp
    0

    2

    f (q, p) dq, ∀p ∈ [λ; ν],

    таково, что подынтегральная функция f и её частная производная ∂ p f
    непрерывны на прямоугольнике Π.
    Учитывая дифференцируемость сужения квадратичной функции
    eb : p → p2 , ∀p ∈ R, на отрезке [λ; ν], по теореме 2 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, у которого подынтегральная функция и пределы интегрирования зависят от параметра) находим производную


    DJ(p) =

    Zp

    2

    ∂p f (q, p) dq + f (p2 , p) Dp2 =

    0

    = − 2p

    102

    Zp
    0

    2

    q+p
    Z
    dq
    cos(x2 + q 2 − p2 ) dx +
    q−p

    В.Н. Горбузов

    +2

    Zp

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    2

    П. 1, § 2, гл. 2

    2

    2

    sin 2q cos 2qp dq + 2p

    0

    pZ +p

    sin(x2 + p4 − p2 ) dx, ∀p ∈ [λ; ν].

    p2 −p

    В силу произвольности выбора отрезка [λ; ν] заключаем, что

    DJ : p → − 2p

    Zp
    0

    2

    2

    q+p
    Z
    Zp
    2
    2
    2
    dq
    cos(x + q − p ) dx + 2 sin 2q 2 cos 2qp dq +
    0

    q−p

    + 2p

    pZ2 +p

    sin(x2 + p4 − p2 ) dx, ∀p ∈ R.

    p2 −p

    Пример 7. Найдём производную функции
    J: x →

    Zx
    0

    f (ξ + x, ξ − x) dξ, ∀x ∈ R,

    при условии, что функция f непрерывно дифференцируема на
    плоскости R2 .
    Производная
    ∂x f (ξ + x, ξ − x) =
    = ∂u f (u, v) u = ξ+x ∂x (ξ + x) + ∂v f (u, v) u = ξ+x ∂x (ξ − x) =
    v = ξ−x

    v = ξ−x

    = ∂u f (u, v) u = ξ+x − ∂v f (u, v) u = ξ+x , ∀(ξ, x) ∈ R2 ,
    v = ξ−x

    v = ξ−x

    является непрерывной функцией ввиду непрерывной дифференцируемости функции f на R2 .
    Сложная функция одной переменной
    Φ : ξ → f (ξ + x, ξ − x), ∀ξ ∈ R, (x ∈ R)
    дифференцируема, и её производная

    103

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    DΦ(ξ) = ∂u f (u, v) u = ξ+x Dξ (ξ + x) + ∂v f (u, v) u = ξ+x Dξ (ξ − x) =
    v = ξ−x

    v = ξ−x

    = ∂u f (u, v) u = ξ+x + ∂v f (u, v) u = ξ+x , ∀ξ ∈ R, (x ∈ R).
    Поскольку

    v = ξ−x

    v = ξ−x

    ∂x f (ξ + x, ξ − x) = ∂u f (u, v) u = ξ+x − ∂v f (u, v) u = ξ+x , ∀(ξ, x) ∈ R2 ,

    v = ξ−x


    v = ξ−x

    а при любом вещественном x

    DΦ(ξ) = ∂u f (u, v) u = ξ+x + ∂v f (u, v) u = ξ+x , ∀ξ ∈ R,

    v = ξ−x


    v = ξ−x

    то

    ∂x f (ξ + x, ξ − x) = 2∂u f (u, v) u = ξ+x − D Φ(ξ), ∀(ξ, x) ∈ R2 .
    v = ξ−x

    Значит,
    Zx
    0

    ∂x f (ξ + x, ξ − x) dξ = 2

    =2

    Zx
    0

    ибо

    0

    ∂u f (u, v) u = ξ+x dξ −
    v = ξ−x

    Zx

    DΦ(ξ) dξ =

    0

    ∂u f (u, v) u = ξ+x dξ − f (2x, 0) + f (x, − x), ∀x ∈ R,

    Zx
    0

    Zx

    v = ξ−x

    h
    ix h
    iξ=x
    DΦ(ξ) dξ = Φ(ξ) = f (ξ + x, ξ − x)
    =
    0

    ξ=0

    = f (2x, 0) − f (x, − x), ∀x ∈ R.
    Тогда, по теореме 2 о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, у которого подынтегральная функция на

    104

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    Π = {(ξ, x) : α 6 ξ 6 β, λ 6 x 6 ν}, α = min{λ, 0}, β = max{ν, 0},
    и пределы интегрирования на отрезке [λ; ν] зависят от параметра, производная
    DJ(x) =

    Zx
    0

    =2

    Zx
    0

    ∂x f (ξ + x, ξ − x) dξ + f (ξ + x, ξ − x)|

    ξ=x

    Dx =

    ∂u f (u, v) u = ξ+x dξ − f (2x, 0) + f (x, − x) + f (2x, 0) =
    v = ξ−x

    = f (x, − x) + 2

    Zx
    0

    ∂u f (u, v) u = ξ+x dξ, ∀x ∈ [λ; ν].

    v = ξ−x

    Ввиду того, что отрезок [λ; ν] выбран произвольно, производная
    DJ : x → f (x, − x) + 2

    Zx
    0

    ∂u f (u, v) u = ξ+x dξ, ∀x ∈ R.
    v = ξ−x

    Частным случаем теоремы 2 является следующая теорема о
    дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, у которого пределы интегрирования зависят от параметра, а
    подынтегральная функция от параметра не зависит.
    Теорема 3. Пусть выполняются условия:
    1) функция
    f : x → f (x), ∀x ∈ hA; Bi, − ∞ 6 A < B 6 + ∞,
    является непрерывной;
    2) при − ∞ 6 c < d 6 + ∞ функции
    a : p → a(p), ∀p ∈ hc; di, и b : p → b(p), ∀p ∈ hc; di,
    с множествами значений Ea и Eb, содержащимися в числовом промежутке hA; Bi, дифференцируемы (непрерывно
    дифференцируемы).
    105

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Тогда заданная определённым интегралом, зависящим
    от параметра, функция
    Zb(p)
    J: p→
    f (x) dx, ∀p ∈ hc; di,
    a(p)

    дифференцируема (непрерывно дифференцируема) и её производная
    DJ : p → f (b(p)) Db(p) − f (a(p)) Da(p), ∀p ∈ hc; di.

    (18)

    Теорема 3 устанавливает формулу вычисления производной
    определённого интеграла по параметру
    b(p)
    Z
    D
    f (x) dx = f (b(p)) Db(p) − f (a(p)) Da(p), ∀p ∈ hc; di, (19)
    a(p)

    из которой следует формула дифференцирования определённого
    интеграла по переменному верхнему пределу
    Dp

    Zp
    a

    f (x) dx = f (p), ∀p ∈ hc; di, (a ∈ hc; di),

    (20)

    если функция f является непрерывной на числовом промежутке
    hc; di, − ∞ 6 c < d 6 + ∞.
    Таким образом, частным случаем теоремы 3 является вторая
    теорема Барроу о непрерывной дифференцируемости функции, заданной определённым интегралом с переменным верхним пределом интегрирования и непрерывной подынтегральной функцией,
    по формуле (20).
    С этой точки зрения, теорема 3 является обобщённой теоремой Барроу, а формула (19) — обобщённой формулой Барроу вычисления производной функции, заданной определённым интегралом, у которого пределы интегрирования зависят от параметра, а
    подынтегральная функция от параметра не зависит.
    106

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    Пример 8. Вычислим вторую производную функции
    I: p →

    Zb
    a

    |x − p| f (x) dx, ∀p ∈ R,

    где функция f непрерывна на отрезке [a; b].
    Представим функцию I в виде


    Zb

    Zb

     − p f (x) dx + x f (x) dx, ∀p ∈ ( − ∞; a],


    a
    a


     Zp
    Zb


    I : p →  (p − x) f (x) dx − (p − x) f (x) dx, ∀p ∈ (a; b),

    a
    p


     Zb
    Zb

     p f (x) dx − x f (x) dx, ∀p ∈ [b; + ∞).
    a

    a

    Сужения функции I на ( − ∞; a] и [b; + ∞) являются сужениями
    линейных функций и по этой причине дифференцируемы.
    На интервале (a; b) сужение
    I: p → p

    Zp

    f (x) dx +

    a

    Zp

    f (x) dx

    b

    !



    Zp
    a

    x f (x) dx −

    Zp

    x f (x) dx

    b

    в соответствии со второй теоремой Барроу (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом с переменным верхним пределом интегрирования) непрерывно дифференцируемо и его производная
    DI(p) =

    Zp
    a

    f (x) dx +

    Zp

    f (x) dx, ∀p ∈ (a; b).

    b

    Следовательно,

    107

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов



    Zb
     − f (x) dx, ∀p ∈ ( − ∞; a],


     a
     p
    Z
    Zp

    DI : p → 
     f (x) dx + f (x) dx, ∀p ∈ (a; b),
    a
    b


     Zb

     f (x) dx, ∀p ∈ [b; + ∞),
    a

    при этом функция DI непрерывна на поле R.
    На числовых лучах (−∞; a] и [b; +∞) сужения функции DI принимают постоянные значения. Поэтому
    D2 I(p) = 0, ∀p ∈ ( − ∞; a], и D2 I(p) = 0, ∀p ∈ [b; + ∞).
    На интервале (a; b), по второй теорeме Барроу,
    D2 I(p) = 2 f (p), ∀p ∈ (a; b).
    Итак, вторая производная


    0, ∀p ∈ ( − ∞; a],

    D2 I : p → 
     2 f (p), ∀p ∈ (a; b),
    0, ∀p ∈ [b; + ∞).

    В точке p = a левая производная

    правая производная

    D− (DI(p))|
    D+ (DI(p))|

    p=a

    p=a

    = 0,

    = 2 f (a).

    Если f (a) = 0, то D2 I(a) = 0.
    В точке p = b левая производная
    D− (DI(p))|

    108

    p=b

    = 2 f (b),

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    правая производная
    D+ (DI(p))|

    p=b

    = 0.

    Если f (b) = 0, то D2 I(b) = 0.
    Пример 9. Пусть

    sin x
    , ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞),
    f: x→ x
    1 при x = 0.

    Докажем, что
    Dn f (x) = gn (x), ∀x ∈ R, (n ∈ N),
    где


    Zx

    
    πn 
    ξ n cos ξ +
    dξ, ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞),
     n+1
    x
    2

    0
    gn : x → 


    πn
     cos
    2 при x = 0 (n ∈ N),
    n+1
    1

    и что имеет место оценка
    |Dn f (x)| 6

    1
    , ∀x ∈ R, (n ∈ N).
    n+1

    Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда x 6= 0. Доказательство проведём методом математической индукции.
    Пусть n = 1. У сужения функции f производная
    Df (x) = D

    sin x
    x cos x − sin x
    =
    , ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    x
    x2

    У функции g1 сужение
    1
    g1 (x) = 2
    x

    Zx
    0

    Zx
    Zx
    
    π
    1
    1
    ξ cos ξ +
    dξ = − 2
    ξ sin ξ dξ = 2
    ξ d cos ξ =
    2
    x
    x
    0

    0

    109

    П. 1, § 2, гл. 2

    =

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    ix Zx
    1 h
    ξ
    cos
    ξ
    − cos ξ dξ
    x2
    0
    0

    !

    =

    В.Н. Горбузов

    x cos x − sin x
    , ∀x ∈ R\{0}.
    x2

    Следовательно, при n = 1 имеет место формула
    Df (x) = g1 (x), ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    Предположим, что при n = k имеет место формула
    Dk f (x) = gk (x), ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞),
    и докажем, что
    Dk+1 f (x) = gk+1 (x), ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    Действительно, используя формулу (20), предусматриваемую второй теоремой Барроу, находим, что
    Dk+1 f (x) = D(Dk f (x)) = Dgk (x) =
    1

    =D

    xk+1

    Zx
    0

    +

    
    πk 
    ξ cos ξ +

    2
    k

    1
    xk+1

    D

    Zx
    0

    k+1
    − k+2
    x





    110

    1
    xk+2

    1
    xk+2

    Zx

    k+1
    = − k+2
    x

    Zx
    0

    
    πk 
    ξ k cos ξ +
    dξ +
    2

    
    
    πk 
    1
    πk 
    ξ k cos ξ +
    dξ = cos x +

    2
    x
    2

    0

    
    
    πk 
    1
    πk 
    ξ k cos ξ +
    dξ = cos x +

    2
    x
    2

    Zx

    
    
    πk  k+1
    1
    πk 
    cos ξ +

    = cos x +

    2
    x
    2

    0

    

    !

    x Zx
    
    
    πk 
    πk 
    k+1
    ξ
    cos ξ +
    + ξ k+1 sin ξ +

    2
    2
    0
    0

    !

    =

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    = −

    =

    1
    xk+2

    1
    xk+2

    Zx
    0

    Zx
    0

    П. 1, § 2, гл. 2

    
    πk 
    ξ k+1 sin ξ +
    dξ =
    2

    
    π(k + 1) 
    ξ k+1 cos ξ +
    dξ =
    2

    = gk+1 (x), ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    Итак, имеет место формула
    Dn f (x) = gn (x), ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞), n = 1, 2, . . . .
    Перейдём к случаю x = 0. Используя разложение функции синус
    в ряд Маклорена
    sin x =

    +∞
    X
    k=0

    ( − 1)k ·

    x2k+1
    , ∀x ∈ R,
    (2k + 1)!

    устанавливаем, что частное
    +∞

    x2k
    sin x X
    ( − 1)k ·
    =
    , ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    x
    (2k + 1)!
    k=0

    Поскольку
    +∞
    X
    k=0

    ( − 1)k ·

    x2k

    (2k + 1)!

    = 1,
    x=0

    то получаем представление функции f степенным рядом
    f (x) =

    +∞
    X
    k=0

    ( − 1)k ·

    x2k
    , ∀x ∈ R.
    (2k + 1)!

    Тогда n-я производная при нечётном n и любом x из R
    D2l−1 f (x) =

    +∞
    X
    k=l

    ( − 1)k ·

    
    2k (2k − 1) · . . . · 2k − (2l − 2) 2k−(2l−1)
    x
    ,
    (2k + 1)!

    111

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    а при чётном n
    2l

    D f (x) =

    +∞
    X
    k=l

    
    2k (2k − 1) · . . . · 2k − (2l − 1) 2k−2l
    ( − 1) ·
    x
    , ∀x ∈ R.
    (2k + 1)!
    k

    Поэтому
    D2l−1 f (x)|

    x=0

    = 0, а D2l f (x)|

    x=0

    =

    ( − 1)l
    , l = 1, 2, . . . .
    2l + 1

    Тогда можно считать, что
    Dn f (x)|

    x=0

    =

    1
    πn
    cos
    , n = 1, 2, . . . ,
    n+1
    2

    доказав тем самым равенство
    Dn f (x)|

    x=0

    = gn (0), n = 1, 2, . . . .

    Итак,
    Dn f (x) = gn (x), ∀x ∈ R, n = 1, 2, . . . .
    Для доказательства оценки рассмотрим в отдельности случаи, когда
    x 6= 0 и когда x = 0.
    Если x 6= 0, то


    Z|x| 
    1 Zx
    
    
    πn
    1
    πn 


    n
    n
    ξ cos ξ +
    dξ 6
    ξ
    ξ
    +
    cos
    dξ 6
    n+1
    |x|n+1
    x
    2
    2
    0

    0

    1
    6
    |x|n+1

    Z|x|
    ξ n dξ =
    0

    1 h n+1 i|x|
    1
    1
    ξ
    ·
    =
    ,
    |x|n+1
    n+1
    n+1
    0

    ∀x ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞), n = 1, 2, . . . .
    Если x = 0, то

    112

    n

    D f (0) =

    1
    πn
    1
    , n = 1, 2, . . . .
    cos
    6
    n+1
    2
    n+1

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    Пример 10. Пусть функция f : x → f (x), ∀x ∈ R, дважды дифференцируема, а функция g : x → g(x), ∀x ∈ R, дифференцируема.
    Докажем, что функция
     1
    1
    u : (x, t) →
    f (x − at) + f (x + at) +
    2
    2a

    x+at
    Z

    g(ξ) dξ,

    x−at

    2

    ∀(x, t) ∈ R , (a > 0)
    является решением уравнения колебания струны
    ∂tt u − a2 ∂xx u = 0
    с начальными условиями:
    u(x, 0) = f (x), ∂t u(x, t)|

    t=0

    = g(x), ∀x ∈ R.

    Доказательство. Непрерывность функции g на поле R позволяет
    при дифференцировании определённого интеграла, у которого пределы
    интегрирования зависят от параметров, использовать обобщённую формулу Барроу (19).
    Тогда для всех (x, t) из R2
    ∂x u(x, t) =

    ∂t u(x, t) =

    
    
    1
    1
    ∂x f (x − at) + ∂x f (x + at) +
    g(x + at) − g(x − at) ,
    2
    2a
     1
    
    a
    ∂ f (x + at) − ∂t f (x − at) +
    g(x + at) + g(x − at) ,
    2 t
    2

    ∂xx u(x, t) =
    +

    
    1
    ∂xx f (x − at) + ∂xx f (x + at) +
    2

    
    1
    ∂x g(x + at) − ∂x g(x − at) ,
    2a

    
    a2
    ∂tt f (x + at) + ∂tt f (x − at) +
    2
    
    a
    +
    ∂t g(x + at) − ∂t g(x − at) .
    2

    ∂tt u(x, t) =

    113

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Непосредственной подстановкой убеждаемся, что u удовлетворяет
    уравнению колебания струны, а также начальным условиям.
    Пример 11. Вычислим вторую производную функции
    y: x →

    Zh



    0

    Zh
    0

    f (ξ + ζ + x) dζ, ∀x ∈ R, (h ∈ R),

    если функция f : x → f (x), ∀x ∈ R, непрерывна.
    Поскольку функция f непрерывна, то согласно теореме о замене
    переменной в определённом интеграле получаем формулу
    Zb
    a

    Zb+c
    f (t + c) dt =
    f (t) dt (a, b, c ∈ R),
    a+c

    которую будем неоднократно использовать без специальных оговорок.
    Данную функцию представим в виде
    y: x →

    Zh



    0

    x+ξ+h
    Z

    f (ζ) dζ, ∀x ∈ R, (h ∈ R).

    x+ξ

    Функция
    g: x →

    x+ξ+h
    Z

    f (ζ) dζ, ∀x ∈ R, (h, ξ ∈ R),

    x+ξ

    по теореме 3 (о дифференцировании функции, заданной определённым
    интегралом, у которого пределы интегрирования зависят от параметра, а
    подынтегральная функция от параметра не зависит), ввиду непрерывности функции f и непрерывной дифференцируемости функций
    a : x → x + ξ, ∀x ∈ R, и b : x → x + ξ + h, ∀x ∈ R, (h, ξ ∈ R)
    является непрерывно дифференцируемой, и её производная
    Dg(x) = Dx

    x+ξ+h
    Z

    f (ζ) dζ =

    x+ξ

    114

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    = f (x + ξ + h) Dx (x + ξ + h) − f (x + ξ) Dx (x + ξ) =
    = f (x + ξ + h) − f (x + ξ), ∀x ∈ R, (h, ξ ∈ R).
    Отсюда следует, что функция
    r : (ξ, x) →

    x+ξ+h
    Z

    f (ζ) dζ, ∀ξ ∈ [α; β], ∀x ∈ R,

    x+ξ

    и её частная производная
    ∂x r : (ξ, x) → f (ξ + x + h) − f (ξ + x), ∀ξ ∈ [α; β], ∀x ∈ R,
    где α = 0, β = h при h > 0 и α = h, β = 0 при h < 0, непрерывны
    на полосе Π = [α; β] × R.
    По теореме 1 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования), функция
    y: x →

    Zh
    0

    r(ξ, x) dξ, ∀x ∈ R, (h ∈ R)

    непрерывно дифференцируема и её производная
    Dy : x →

    Zh
    0

    
    f (ξ + x + h) − f (ξ + x) dξ, ∀x ∈ R, (h ∈ R).

    Используя формулу Барроу (20), находим вторую производную
    2

    D y(x) = Dx

    Zh
    0

    = Dx

    Zh
    0

    
    f (ξ + x + h) − f (ξ + x) dξ =

    f (ξ + x + h) dξ − Dx

    Zh

    f (ξ + x) dξ =

    0

    115

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    = Dx

    x+2h
    Z

    f (ξ) dξ − Dx

    x+h

    В.Н. Горбузов

    x+h
    Z

    f (ξ) dξ =

    x

    
    = f (x + 2h) Dx (x + 2h) − f (x + h) Dx (x + h) −
    
    − f (x + h) Dx (x + h) − f (x) Dx =

    = f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x), ∀x ∈ R, (h ∈ R).

    Теорема 4. Пусть выполняются условия:
    1) функции
    a : p → a(p), ∀p ∈ [c; d], и b : p → b(p), ∀p ∈ [c; d],
    непрерывны (непрерывно дифференцируемы);
    2) a(p) 6 b(p), ∀p ∈ [c; d];
    3) функция f : (x, p) → f (x, p), ∀(x, p) ∈ K, и её частная
    производная ∂p f : (x, p) → ∂p f (x, p), ∀(x, p) ∈ K, непрерывны
    на компакте K = {(x, p) : a(p) 6 x 6 b(p), c 6 p 6 d}.
    Тогда заданная определённым интегралом, зависящим
    от параметра, функция
    Zb(p)
    J: p →
    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    (21)

    a(p)

    дифференцируема (непрерывно дифференцируема) и

    DJ : p →

    b(p)
    Z

    ∂p f (x, p) dx + f (b(p), p) Db(p) −

    a(p)

    − f (a(p), p) Da(p), ∀p ∈ [c; d],

    (22)

    то есть, имеет место формула дифференцирования определённого интеграла по параметру
    116

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    b(p)
    Z
    Zb(p)
    D
    f (x, p) dx =
    ∂p f (x, p) dx + f (b(p), p) Db(p) −
    a(p)

    a(p)

    (23)
    − f (a(p), p) Da(p), ∀p ∈ [c; d].

    Доказательство проведём в случае, когда функции a, b и f
    являются непрерывно дифференцируемыми.
    Как и в случае теоремы 3.3.1, выполним замену переменной x
    на переменную ζ по формуле
    
    x = a(p) + b(p) − a(p) ζ, ∀ζ ∈ [0; 1],
    при которой функция (21) получит задание
    J: p →

    Z1
    0

    (24)

    g(ζ, p) dζ, ∀p ∈ [c; d],

    где при любом ζ ∈ [0; 1] и любом p ∈ [c; d]
    
    
    
    g(ζ, p) = f a(p) + b(p) − a(p) ζ, p b(p) − a(p) .

    При выполнении условий теоремы функция g и её частная
    производная
    ∂p g(ζ, p) =
    = ∂x f (x, v) x = x(ζ,p) Da(p) + ζ D b(p) − a(p)

    v =p

    

    
    b(p) − a(p) +

    
    
    + ∂v f (x, v) x = x(ζ,p) b(p) − a(p) + f (x(ζ, p), p) D b(p) − a(p) ,
    где


    v = p

    
    x(ζ, p) = a(p) + b(p) − a(p) ζ, ∀ζ ∈ [0; 1], ∀p ∈ [c; d],

    непрерывны на прямоугольнике Π = [0; 1] × [c; d].

    117

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Тогда, по теореме 1 (о дифференцировании функции, заданной
    определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования), функция (24) непрерывно
    дифференцируема и её производная
    DJ(p) =

    Z1

    ∂p g(ζ, p) dζ =

    0

    Z1
    0

    + Da(p)

    Z1
    0

    
    ∂v f (x, v) x = x(ζ,p) b(p) − a(p) dζ +

    v = p

    
    ∂x f (x, v) x = x(ζ,p) b(p) − a(p) dζ +

    + D b(p) − a(p)

    

     Z1


    v =p

    f (x(ζ, p), p) dζ +

    0

    + b(p) − a(p)

    =

    Z1
    0

    ∂v f (x(ζ, p), v)|

    v=p

    + Da(p)

    + D b(p) − a(p)


    118

    Z1
    0

    Z1

    ζ ∂x f (x, v) x = x(ζ,p)

    v =p
    0



    

    dx(ζ, p) +
    Z1
    0

    
     h

    

    ∂x f (x, v) x = x(ζ,p) dx(ζ, p) +

    v =p

    ζf (x(ζ, p), p)

    iζ=1
    ζ=0



    ζ ∂x f (x, v) x = x(ζ,p) ∂ζ x(ζ, p) dζ +

    v = p

    =

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    + b(p) − a(p)

    

    Z1

    ζ ∂x f (x, v) x = x(ζ,p)

    v =p
    0

    П. 1, § 2, гл. 2



    

    =

    Zb(p)
    Zb(p)
    =
    ∂p f (x, p) dx + Da(p)
    ∂x f (x, p) dx +
    a(p)

    a(p)

    Zb(p)
    + D b(p) − a(p) f (b(p), p) =
    ∂p f (x, p) dx +
    

    h

    + Da(p) f (x, p)

    ix=b(p)

    x=a(p)

    a(p)

    
    + D b(p) − a(p) f (b(p), p) =

    Zb(p)
    =
    ∂p f (x, p) dx + f (b(p), p) Db(p) − f (a(p), p)) Da(p)
    a(p)

    при любом p из отрезка [c; d].
    Пример 12. Пусть дана функция
    J: x →

    Zx
    0

    ϕ(ζ)

    dζ,
    x−ζ

    где функция ϕ непрерывно дифференцируема на отрезке [0; a].
    Докажем, что
    D

    Zx
    0

    ϕ(ζ)
    ϕ(0)

    dζ = √ +
    x
    x−ζ

    Zx
    0

    Dϕ(ζ)

    dζ, ∀x ∈ (0; a).
    x−ζ

    119

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Интеграл
    x−δ
    Z

    K(x, δ) =

    0

    ϕ(ζ)


    x−ζ

    ввиду непрерывности функции ϕ на отрезке [0; a] при любом фиксированном δ из полуинтервала (0; x] и любом фиксированном x из полуинтервала (0; a] является определённым.
    Поэтому при каждом фиксированном x из (0; a] интеграл
    J(x) =

    Zx
    0

    ϕ(ζ)


    x−ζ

    является несобственным второго рода на полуинтервале [0; x).
    Поскольку
    |ϕ(ζ)|

    =O
    x−ζ

    



    1
    x−ζ

    

    при ζ → x − 0,

    то, по предельному признаку сравнения, несобственный интеграл второго рода интеграл J на полуинтервале [0; x) абсолютно сходится при
    любом фиксированном x из полуинтервала (0; a].
    Поэтому
    K(x, 0) = J(x), ∀x ∈ (0; a),
    и надо доказать, что
    ϕ(0)
    ∂x K(x, 0) = √ +
    x

    Zx
    0

    Dϕ(ζ)

    dζ, ∀x ∈ (0; a).
    x−ζ

    Сначала вычислим частную производную ∂x K функции
    K : (x, δ) → K(x, δ), ∀(x, δ) ∈ S, S = {(x, δ) : 0 < δ 6 x 6 a}.
    С помощью замены переменной ζ на переменную t по формуле
    ζ = − t + x, ∀t ∈ [δ; x],
    функцию K представим в виде

    120

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    K : (x, δ) →

    Zx
    δ

    П. 1, § 2, гл. 2

    ϕ(x − t)

    dt, ∀(x, δ) ∈ S.
    t

    Подынтегральная функция
    F : (x, t) →

    ϕ(x − t)

    , ∀x ∈ [δ, a], ∀t ∈ [δ; x], (δ > 0)
    t

    и её частная производная
    ∂x F : (x, t) →

    ∂x ϕ(x − t)

    , ∀x ∈ [δ, a], ∀t ∈ [δ; x], (δ > 0)
    t

    ввиду непрерывной дифференцируемости функции ϕ на отрезке [0; a]
    являются непрерывными на треугольнике
    T = {(x, t) : 0 < δ 6 x 6 a, 0 < δ 6 t 6 x}.
    Пределами интегрирования являются непрерывно дифференцируемые функции
    a : x → δ, ∀x ∈ [δ; a], и b : x → x, ∀x ∈ [δ; a].
    Стало быть, по теореме 4 (о дифференцировании функции, заданной
    определённым интегралом, у которого подынтегральная функция и пределы интегрирования зависят от параметра), производная
    ∂x K(x, δ) =

    Zx
    δ

    ϕ(0)
    = √ +
    x

    Zx
    δ

    ∂x ϕ(x − t)
    ϕ(x − t)



    dt +
    t
    t

    Dx =

    x=t

    ∂x ϕ(x − t)
    ϕ(0)

    dt = √ +
    x
    t

    x−δ
    Z
    0

    Dϕ(ζ)

    dζ, ∀(x, δ) ∈ S.
    x−ζ

    Интеграл
    Λ(x, δ) =

    x−δ
    Z
    0

    Dϕ(ζ)


    x−ζ

    121

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    ввиду непрерывности функции Dϕ на отрезке [0; a] при любом фиксированном δ из полуинтервала (0; x] и любом фиксированном x из
    полуинтервала (0; a] является определённым.
    Поэтому при каждом фиксированном x из (0; a] интеграл
    L(x) =

    Zx
    0

    Dϕ(ζ)


    x−ζ

    является несобственным второго рода на полуинтервале [0; x).
    Поскольку
    
    
    Dϕ(ζ)
    1

    =O √
    при ζ → x − 0,
    x−ζ
    x−ζ
    то, по предельному признаку сравнения, несобственный интеграл второго рода L на полуинтервале [0; x) абсолютно сходится при любом
    фиксированном x из полуинтервала (0; a].
    Поэтому
    Λ(x, 0) = L(x), ∀x ∈ (0; a).
    Следовательно, из того, что
    ϕ(0)
    ∂x K(x, δ) = √ +
    x

    x−δ
    Z
    0

    Dϕ(ζ)

    dζ, ∀(x, δ) ∈ S,
    x−ζ

    получаем доказываемую формулу.

    1.3. Применение теории дифференцирования
    определённых интегралов, зависящих от параметров,
    при вычислении интегралов
    Иногда можно получить точное значение определённого интеграла, используя теорию дифференцирования интегралов I и J,
    зависящих от параметров.
    Особое значение этот метод преобретает в случаях, когда
    подынтегральная функция не имеет первообразной, выраженной
    через элементарные функции, то есть, когда непосредственное использование формулы Ньютона — Лейбница не представляется
    возможным.
    122

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    Рассмотрим этот подход на примерах.
    Пример 13. Вычислим интеграл
    π

    I(p) =

    Z2

    
    ln p2 − sin2 x dx при p > 1.

    0

    Подынтегральная функция
    h πi
    
    f : (x, p) → ln p2 − sin2 x , ∀x ∈ 0; , ∀p ∈ (1; + ∞),
    2

    и её частная производная
    ∂p f : (x, p) →

    h πi
    2p
    ,
    ∀x

    0; , ∀p ∈ (1; + ∞),
    2
    2
    p2 − sin x

    непрерывны.
    По теореме 1 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами
    интегрирования) находим производную
    π

    DI(p) =

    Z2
    0

    p2

    2p
    dx, ∀p ∈ (1; + ∞).
    − sin2 x

    Подстановкой
    tg x = t, ∀t ∈ [0; + ∞),

    при которой
    dx =

    t2

    t2
    1
    dt
    t2 + 1
    , sin2 x = 2
    , 2
    = 2
    ,
    2
    +1
    t + 1 p − sin x
    p + (p2 − 1)t2

    преобразовываем интеграл
    π

    Z2
    0

    2p
    dx = 2p
    p2 − sin2 x

    +
    Z∞
    0

    dt
    2p
    = 2
    p2 + (p2 − 1) t2
    p −1

    +∞
    Z
    0

    dt
    =
    p2
    2
    +t
    p2 − 1

    123

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    p
    
    t→+∞
    2
    p2 − 1
    π
    =p
    arctg
    t
    =p
    , ∀p ∈ (1; + ∞).
    2
    2
    p
    p −1
    p −1
    t=0
    Стало быть, производная

    DI : p → p

    π
    p2

    −1

    , ∀p ∈ (1; + ∞).

    Отсюда интегрированием по p получаем, что
    Z
    p
    
    π
    p
    I(p) =
    dp = π ln p + p2 − 1 + C, ∀p ∈ (1; + ∞).
    2
    p −1

    где C — некоторая постоянная, которую надо найти.
    Интеграл
    π

    I(p) =

    Z2
    0

    π

     
    
    Z2 
    sin2 x 
    sin2 x 
    2
    ln p 1 −
    ln
    1

    dx
    =
    π
    ln
    p
    +
    dx,
    p2
    p2
    0

    ∀p ∈ (1; + ∞).
    Тогда
    C = I(p) − π ln p +
    π

    − π ln p +

    p

    

    p2 − 1 +

    Z2
    0

    p

    
    p2 − 1 = π ln p −

    
    
    1
    ln 1 − 2 sin2 x dx, ∀p ∈ (1; + ∞).
    p

    Рассмотрим определённый интеграл, зависящий от параметра,
    π

    Z2
    0

    
    
    1
    ln 1 − 2 sin2 x dx, ∀p ∈ (1; + ∞),
    p

    у которого подынтегральная функция при p → + ∞ равномерно схоh πi
    дится на отрезке 0; .
    2

    124

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    Действительно (в соответствии с определением 1.3.1.1),
    
     
    

    ln 1 − 1 sin2 x = ln 1 − 1 −−−−−→ 0.
    sup

     π
    p2
    p2 p→+∞
    x∈ 0; 2

    Тогда, по теореме 1.2.1 (о предельном переходе под знаком определённого интеграла), предел
    π

    lim

    p→+∞

    Z2
    0

    π

    Z2
    
    
    
    
    1
    1
    2
    ln 1 − 2 sin x dx =
    lim ln 1 − 2 sin2 x dx = 0.
    p→+∞
    p
    p
    0

    Следовательно,
    C = lim

    p→+∞

    

    π ln p − π ln p +

    = − π lim ln
    p→+∞

    p+

    p
    
    p2 − 1 =

    p
    p2 − 1
    = − π ln 2.
    p

    В итоге получаем, что
    π

    Z2
    0

    ln(p2 − sin2 x) dx = π ln p +
    = π ln

    p+

    p

    p

    
    p2 − 1 − π ln 2 =

    p2 − 1
    , ∀p ∈ (1; + ∞).
    2

    Пример 14. Вычислим интеграл
    π

    I(p) =

    Z2
    0

    
    ln p2 sin2 x + q 2 cos2 x dx при pq 6= 0.

    Пусть p > 0, q > 0. Рассмотрим функцию
    π

    I: ζ →

    Z2
    0

    
    ln ζ 2 sin2 x + q 2 cos2 x dx, ∀ζ ∈ (0; + ∞), (q > 0),

    125

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    которая задана определённым интегралом , зависящим от параметра.
    При q > 0 подынтегральная функция
    h πi
    
    f : (x, ζ) → ln ζ 2 sin2 x + q 2 cos2 x dx, ∀x ∈ 0; , ∀ζ ∈ (0; + ∞),
    2
    и её частная производная
    ∂ζ f : (x, ζ) →

    h πi
    2ζ sin2 x
    ,
    ∀x

    0; , ∀ζ ∈ (0; + ∞),
    2
    ζ 2 sin2 x + q 2 cos2 x

    непрерывны.
    Тогда, по теореме 1 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования), функция I непрерывно дифференцируема и её
    производная
    π

    DI : ζ →

    Z2
    0

    2ζ sin2 x
    dx, ∀ζ ∈ (0; + ∞), (q > 0).
    ζ 2 sin2 x + q 2 cos2 x

    Для вычисления определённого интеграла
    π

    Z2
    0

    sin2 x
    dx (ζ > 0, q > 0, ζ 6= q)
    ζ 2 sin2 x + q 2 cos2 x

    выполним подстановку
    ctg x = t, ∀t ∈ [0; + ∞),

    при которой
    dt = −

    dx
    sin2 x
    sin2 x
    , 2 2
    =
    =
    2
    2
    sin x
    ζ sin x + q 2 cos2 x
    sin x(ζ 2 + q 2 ctg2 x)
    =

    =

    126

    1
    1
    · 2
    =
    2
    2
    2
    sin x (ζ + q ctg x)(1 + ctg2 x)

     πi
    1
    1
    · 2
    , ∀x ∈ 0; , ∀t ∈ [0; + ∞),
    2
    2
    2
    2
    2
    sin x (ζ + q t )(1 + t )

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    π
    , а при x → 0 переменная t → + ∞.
    2
    Тогда при ζ > 0, q > 0, ζ 6= q интеграл

    переменная t = 0 при x =

    π

    Z2
    0

    sin2 x
    dx =
    ζ 2 sin2 x + q 2 cos2 x

    +∞
    Z

    dt
    (ζ 2

    +

    q 2 t2 )(1

    + t2 )

    .

    0

    Неопределённый интеграл от рациональной функции
    Z

    dt
    q2
    dx = 2
    2
    2
    2
    2
    (ζ + q t )(1 + t )
    q − ζ2

    Z

    dt
    1
    − 2
    ζ 2 + q 2 t2
    q − ζ2

    Z

    dt
    =
    1 + t2

    q
    qt
    1
    arctg − 2
    arctg t + C, ∀t ∈ R.
    ζ(q 2 − ζ 2 )
    ζ
    q − ζ2

    =
    Предел

    lim

    t→+∞

    

    q
    qt
    1
    arctg − 2
    arctg t
    ζ(q 2 − ζ 2 )
    ζ
    q − ζ2
    =

    =

    

    =

    π
    πq

    =
    2
    2
    2
    2ζ(q − ζ ) 2(q − ζ 2 )

    q
    
    π
    π

    1
    =
    .
    2(q 2 − ζ 2 ) ζ
    2ζ(q + ζ)

    Поэтому несобственный интеграл первого рода
    +∞
    Z

    dt
    (ζ 2

    +

    q 2 t2 )(1

    +

    0

    t2 )

    =

    π
    (q > 0, ζ > 0, ζ 6= q),
    2ζ(q + ζ)

    а значит, производная
    DI : ζ →

    π
    , ∀ζ ∈ (0; q) ∪ (q; + ∞).
    q+ζ

    Если ζ = q, то

    127

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...
    π

    DI(q) =

    Z2
    0

    В.Н. Горбузов
    π

    2

    2q sin x
    2
    dx =
    q
    q 2 (sin2 x + cos2 x)

    Z2

    sin2 x dx =

    0

    

    2 x sin 2x 2
    π
    =

    =
    (q > 0).
    q 2
    4
    2q
    0
    Поэтому производная
    DI : ζ →

    π
    , ∀ζ ∈ (0; + ∞), (q > 0).
    q+ζ

    Отсюда интегрированием по ζ находим, что
    Z
    π
    I(ζ) =
    dζ = π ln(ζ + q) + C, ∀ζ ∈ (0; + ∞), (q > 0),
    q+ζ
    где C — некоторая постоянная, которую надо найти.
    Из задания функции I находим её значение при ζ = q
    π

    I(q) =

    Z2

    ln(q 2 sin2 x + q 2 cos2 x) dx = π ln q (q > 0).

    0

    Значит, постоянная C должна быть такой, что
    
    π ln(ζ + q) + C |
    = π ln q,
    ζ=q

    то есть, C = − π ln 2.
    Следовательно, при q > 0

    I(ζ) = π ln(ζ + q) − π ln 2, ∀ζ ∈ (0; + ∞).
    А значит,
    π

    Z2
    0

    128

    ln(p2 sin2 x + q 2 cos2 x) dx = π ln

    |p| + |q|
    2

    (pq 6= 0).

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    Пример 15. Вычислим интеграл
    π

    I(p) =

    Z2

    ln

    0

    1 + p cos x dx
    ·
    1 − p cos x cos x

    ( − 1 < p < 1).

    Подынтегральная функция


    h π
    1
    1 + p cos x
    ln
    , ∀x ∈ 0;
    , ∀p ∈ ( − 1; 1),
     cos x
    1 − p cos x
    2

    f : (x, p) → 
    π
    2p, ∀p ∈ ( − 1; 1) при x = ,
    2
    если учесть, что
     1
    1 + p cos x 
    ln
    =
    1 − p cos x
    −0 cos x

    lim
    π

    x→ 2

    
    (1 − p cos x) p sin x(1 − p cos x) + p sin x(1 + p cos x)
    = lim
    =
    π
    sin x(1 + p cos x)(1 − p cos x)2
    x→ −0
    2

    = 2p

    lim
    π

    x→ 2 −0

    1
    = 2p ( − 1 < p < 1),
    1 − p cos x

    и её частная производная
    ∂p f : (x, p) →

    h πi
    2
    ,
    ∀x

    0; , ∀p ∈ ( − 1; 1),
    1 − p2 cos2 x
    2

    непрерывны.
    Тогда, по теореме 1 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования), производная
    π

    DI(p) = 2

    Z2
    0

    dx
    , ∀p ∈ ( − 1; 1).
    1 − p2 cos2 x

    129

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Подстановкой
    tg x = t, ∀t ∈ [0; + ∞),

    при которой
    dx =

    dt
    1
    1
    t2 + 1
    2
    ,
    cos
    x
    =
    ,
    =
    ,
    t2 + 1
    t2 + 1
    1 − p2 cos2 x
    (1 − p2 ) + t2

    преобразовываем интеграл

    DI(p) = 2

    +∞
    Z
    0

    "
    #t→+∞
    dt
    2
    t
    =p
    arctg p
    =
    (1 − p2 ) + t2
    1 − p2
    1 − p2 t=0
    =p

    π

    1 − p2

    , ∀p ∈ ( − 1; 1).

    Интегрируя по переменной p, получаем, что
    Z
    dp
    I(p) = π p
    = π arcsin p + C, ∀p ∈ ( − 1; 1),
    1 − p2

    где C — некоторая постоянная, которую надо найти.
    Из задания находим, что I(0) = 0.
    Следовательно, π arcsin 0 + C = 0, то есть, C = 0.
    Значит, интеграл
    π

    Z2
    0

    ln

    1 + p cos x dx
    ·
    = π arcsin p ( − 1 < p < 1).
    1 − p cos x cos x

    Пример 16. Вычислим интеграл
    π

    I(a) =

    Z2

    arctg(a tg x)
    dx
    tg x

    0

    Пусть a > 0. Тогда функция

    130

    (a ∈ R).

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...



    

    П. 1, § 2, гл. 2

    π

    arctg(a tg x)
    , ∀x ∈ 0;
    , ∀a ∈ (0; + ∞),

    tg x
    2


    f : (x, a) →  a, ∀a ∈ (0; + ∞), при x = 0,


    π
    0, ∀a ∈ (0; + ∞), при x =
    2

    и её частная производная


    h π
    1
    ,
    ∀x

    0;
    , ∀a ∈ (0; + ∞),
    2
     1 + a2 tg x
    2
    ∂a f : (x, a) → 

    π
    0, ∀a ∈ (0; + ∞), при x =
    2

    непрерывны. Тогда, по теореме 1 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными
    пределами интегрирования), производная
    π

    DI(a) =

    Z2
    0

    dx
    , ∀a ∈ (0; + ∞).
    1 + a2 tg2 x

    Используя подстановку
    tg x = t, ∀t ∈ [0; + ∞),
    при которой dx =

    DI(a) =

    dt
    , получаем, что
    t2 + 1
    +∞
    Z
    0

    a2
    + 2
    a −1
    =

    +∞
    Z
    0

    dt
    1
    =
    (1 + t2 )(1 + a2 t2 )
    1 − a2

    +∞
    Z

    dt
    +
    1 + t2

    0

    i+∞
    i+∞
    dt
    1 h
    a h
    =
    arctg
    t
    +
    arctg
    at
    =
    1 + a 2 t2
    1 − a2
    a2 − 1
    0
    0

    πa
    π
    π
    +
    =
    , ∀a ∈ (0; 1) ∪ (1; + ∞).
    2(1 − a2 ) 2(a2 − 1)
    2(a + 1)

    131

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Если a = 1, то
    π

    DI(1) =

    Z2
    0

    π

    dx
    =
    1 + tg2 x

    Z2
    0

    cos2 x dx =

    hx
    2

    π
    sin 2x i 2
    = .
    4
    4
    0
    π

    +

    Стало быть, производная
    DI : a →

    π
    , ∀a ∈ (0; + ∞).
    2(a + 1)

    Интегрируя по переменной a, получаем, что
    Z
    π
    da
    π
    I(a) =
    = ln(a + 1) + C, ∀a ∈ (0; + ∞),
    2
    a+1
    2
    где C — некоторая постоянная, которую надо найти.
    У функции
    h πi
    f : (x, a) → f (x, a), ∀(x, a) ∈ P, P = 0;
    × (0; + ∞),
    2
    h πi
    на множестве Pb = 0;
    × [0; + ∞) непрерывное продолжение
    2


    fb: (x, a) → 

    f (x, a), ∀(x, a) ∈ P,
    h πi
    0, ∀x ∈ 0; , при a = 0.
    2

    Поэтому сужение функции I : a → I(a), ∀a ∈ R, на неотрицательный числовой луч [0; + ∞) есть непрерывная функция
    Ib: a → I(a), ∀a ∈ [0; + ∞).

    Это устанавливается по теореме 1.3.1 (о непрерывности функции,
    заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования).
    Следовательно, правосторонний предел
    lim I(a) = I(0),

    a→+0

    то есть,

    132

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    lim

    a→+0


    2

    

    П. 1, § 2, гл. 2

    ln(a + 1) + C = I(0).

    Значит, C = I(0). Но I(0) = 0, поэтому C = 0.
    Итак,
    I(a) =

    π
    ln(a + 1), ∀a ∈ [0; + ∞).
    2

    Учитывая, что
    I(a) = sgn a I(|a|), ∀a ∈ R,
    получаем
    π

    Z2

    arctg(a tg x)
    π
    dx = sgn a ln(|a| + 1).
    tg x
    2

    0

    Пример 17. Вычислим интеграл
    I(a) =


    0

    ln(1 − 2a cos x + a2 ) dx (a ∈ R).

    Подынтегральная функция определена при
    1 − 2a cos x + a2 > 0 ⇐⇒ (a − cos x)2 + sin2 x > 0.
    При 0 6 x 6 π равенства sin x = 0 и cos x = a одновременно
    выполняются в двух случаях, когда x = 0 при a = 1 и когда x = π при
    a = − 1.
    Поэтому при a = − 1 интеграл I является несобственным второго рода на полуинтервале [0; π), при a = 1 интеграл I является
    несобственным второго рода на полуинтервале (0; π], а при любом a
    из множества ( − ∞; − 1) ∪ ( − 1; 1) ∪ (1; + ∞) интеграл I является
    определённым.
    Несобственные интегралы второго рода
    I(1) =


    0

    
    ln 2(1 − cos x) dx =


    0

     1 − cos x 
    ln 4
    dx =
    2

    133

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    = 2π ln 2 +



    π

    x
    ln sin2 dx = 2π ln 2 + 4
    2

    I( − 1) =

    

    ln 2(1 + cos x) dx =

    0

    = 2π ln 2 +



    Z2

    ln sin t dt,

    0

    0



    В.Н. Горбузов


    0

     1 + cos x 
    ln 4
    dx =
    2
    π

    x
    ln cos2 dx = 2π ln 2 + 4
    2

    0

    Z2

    ln cos t dt.

    0

    Если учесть, что интегралы Эйлера
    π

    π

    Z2

    ln sin t dt =

    0

    Z2
    0

    ln cos t dt = −

    π
    ln 2,
    2

    то получим: I( − 1) = I(1) = 0.
    Перейдём к вычислению определённых интегралов с параметром
    Ii (a) =


    0

    ln(1 − 2a cos x + a2 ) dx, ∀x ∈ Ji , i = 1, 3 ,

    где J1 = ( − ∞; − 1), J2 = ( − 1; 1), J3 = (1; + ∞).
    Подынтегральные функции
    fi : (x, a) → ln(1 − 2a cos x + a2 ), ∀x ∈ [0; π], ∀a ∈ Ji , i = 1, 3 ,
    и их частные производные
    ∂a fi : (x, a) →

    2(a − cos x)
    , ∀x ∈ [0; π], ∀a ∈ Ji , i = 1, 3 ,
    1 − 2a cos x + a2

    непрерывны на множествах Pi = [0; π] × Ji , i = 1, 3.
    Тогда, по теореме 1 (о дифференцировании функций, заданных определёнными интегралами, зависящими от параметра, с постоянными
    пределами интегрирования), производные

    134

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    DIi : a → 2



    П. 1, § 2, гл. 2

    a − cos x
    dx, ∀a ∈ Ji , i = 1, 3 .
    1 − 2a cos x + a2

    0

    Универсальной подстановкой
    tg

    x
    = ζ, ∀ζ ∈ [0; + ∞),
    2

    при которой
    dx =

    2
    dζ,
    1 + ζ2

    cos x =

    1 − ζ2
    ,
    1 + ζ2

    a − cos x
    (a − 1) + (a + 1)ζ 2
    =
    ,
    2
    1 − 2a cos x + a
    (a − 1)2 + (a + 1)2 ζ 2
    преобразовываем интегралы
    DIi (a) = 2


    0

    =4

    +∞
    Z
    0

    a − cos x
    dx =
    1 − 2a cos x + a2

    (a − 1) + (a + 1)ζ 2
     dζ, ∀a ∈ Ji , i = 1, 3 .
    (1 + ζ 2 ) (a − 1)2 + (a + 1)2 ζ 2

    При a 6= 0 и a 6= ±1 подынтегральную правильную рациональную
    дробь разложим на сумму элементарных рациональных дробей
    (a − 1) + (a + 1)ζ 2
    =
    (1 +
    (a − 1)2 + (a + 1)2 ζ 2
    ζ2)

    =

    Aζ + B
    Cζ + D
    +
    , ∀ζ ∈ R.
    1 + ζ2
    (a − 1)2 + (a + 1)2 ζ 2

    Приведя к общему знаменателю обе части тождества, а затем
    отбросив этот общий знаменатель, получим тождество
    
    
    (a − 1) + (a + 1)ζ 2 = A(a + 1)2 + C ζ 3 + B(a + 1)2 + D ζ 2 +
    
    + A(a − 1)2 + C ζ + B(a − 1)2 + D, ∀ζ ∈ R, (a 6= 0, a 6= ± 1).

    135

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ζ в левой и
    правой частях этого тождества. В результате получим систему линейных
    уравнений, решениями которой будут
    A = C = 0,

    B=

    1
    ,
    2a

    D=

    a2 − 1
    .
    2a

    Поэтому
    DIi (a) = 4

    +∞
    Z
    0

    (a − 1) + (a + 1)ζ 2
    2
     dζ =
    2
    2
    2
    2
    a
    (1 + ζ ) (a − 1) + (a + 1) ζ

    a2 − 1
    +2
    a

    +∞
    Z
    0

    +

    +∞
    Z


    +
    1 + ζ2

    0

    i+∞

    2h
    =
    arctg
    ζ
    +
    (a − 1)2 + (a + 1)2 ζ 2
    a
    0

     a + 1 iζ→+∞
    2h
    π
    2
    arctg
    ζ
    = +
    a
    a−1
    a
    a
    ζ=0

    lim arctg

    ζ→+∞

    a + 1 
    ζ =
    a−1

     2π

    , ∀a ∈ ( − ∞; − 1) ∪ (1; + ∞),
    = a
    0, ∀a ∈ ( − 1; 0) ∪ (0; 1).
    Поскольку
    DI2 (0) = − 2



    cos x dx = 0,

    0

    то
    DI1 : a →


    , ∀a ∈ ( − ∞; − 1), DI2 : a → 0, ∀a ∈ ( − 1; 1),
    a
    DI3 : a →


    , ∀a ∈ (1; + ∞).
    a

    Отсюда интегрированием по переменной a находим:
    I1 (a) = 2π ln |a| + C1 , ∀a ∈ ( − ∞; − 1);

    136

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 2

    I2 (a) = C2 , ∀a ∈ ( − 1; 1);
    I3 (a) = 2π ln a + C3 , ∀a ∈ (1; + ∞),
    где C1 , C2 и C3 — некоторые постоянные, которые надо найти.
    Потребовав
    I1 ( − 1 − 0) = I( − 1) = I2 ( − 1 + 0),
    получаем, что C1 = C2 = 0, а потребовав
    I2 (1 − 0) = I(1) = I3 (1 + 0),
    получаем, что C2 = C3 = 0.
    Следовательно, интеграл
    I(a) =


    0

    =

    "

    ln(1 − 2a cos x + a2 ) dx =

    2π ln |a|, ∀a ∈ ( − ∞; − 1) ∪ (1; + ∞),
    0, ∀a ∈ [ − 1; 1],

    причём функция I непрерывна.
    Пример 18. Вычислим интеграл
    Z1

    ln(1 + x)
    dx.
    1 + x2

    0

    Введём вспомогательный параметр p и рассмотрим интеграл
    I(p) =

    Zp
    0

    ln(1 + px)
    dx, ∀p ∈ [0; 1].
    1 + x2

    При этом
    I(1) =

    Z1

    ln(1 + x)
    dx, а I(0) = 0.
    1 + x2

    0

    137

    П. 1, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Подынтегральная функция
    f : (x, p) →

    ln(1 + px)
    , ∀(x, p) ∈ T,
    1 + x2

    и её частная производная
    ∂p f : (x, p) →

    x
    , ∀(x, p) ∈ T,
    (1 + x2 )(1 + px)

    непрерывны на треугольнике T = {(x, p) : 0 6 x 6 p, 0 6 p 6 1}.
    Функции
    a : p → 0, ∀p ∈ [0; 1], и b : p → p, ∀p ∈ [0; 1],
    непрерывно дифференцируемы.
    Тогда, по теореме 4 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, у которого подынтегральная функция и пределы
    интегрирования зависят от параметра), функция I непрерывно дифференцируема и её производная
    DI : p →

    Zp
    0

    ln(1 + p2 )
    x
    dx
    +
    , ∀p ∈ [0; 1].
    (1 + x2 )(1 + px)
    1 + p2

    Используя разложение сужения правильной рациональной дроби
    на сумму элементарных рациональных дробей
    x
    1  x+p
    p 
    =

    , ∀x ∈ [0; p], ∀p ∈ [0; 1],
    2
    2
    2
    (1 + x )(1 + px)
    1+p 1+x
    1 + px
    устанавливаем, что
    Zp
    0

    =

    x dx
    1
    =
    (1 + x2 )(1 + px)
    1 + p2

    Zp
    0

    x+p
    1
    dx −
    1 + x2
    1 + p2

    Zp

    p dx
    =
    1 + px

    0

    h
    ip
    ip
    ix=p
    1
    p h
    1 h
    2
    ln(1+x
    )
    +
    arctg
    x

    ln(1+px)
    =
    2(1 + p2 )
    1 + p2
    1 + p2
    0
    0
    x=0
    =

    138

    1
    p
    1
    ln(1 + p2 ) +
    arctg p −
    ln(1 + p2 ) =
    2(1 + p2 )
    1 + p2
    1 + p2

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    =

    П. 1, § 2, гл. 2

    p
    1
    arctg p −
    ln(1 + p2 ), ∀p ∈ [0; 1].
    2
    1+p
    2(1 + p2 )

    Итак, производная
    DI : p →

    p
    ln(1 + p2 )
    arctg
    p
    +
    , ∀p ∈ [0; 1].
    1 + p2
    2(1 + p2 )

    Отсюда, учитывая, что I(0) = 0, получим формулу для нахождения
    функции
    I: p →

    Zp

    1
    x arctg x
    dx +
    2
    1+x
    2

    Zp
    0

    0

    ln(1 + x2 )
    dx, ∀p ∈ [0; 1].
    1 + x2

    Методом интегрирования по частям получаем, что
    Zp

    x arctg x
    1
    dx =
    2
    1+x
    2

    0

    Zp

    arctg x d ln(1 + x2 ) =

    0

    ip 1
    1h
    =
    arctg x ln(1 + x2 ) −
    2
    2
    0
    1
    1
    = arctg p ln(1 + p2 ) −
    2
    2

    Zp
    0

    Zp

    ln(1 + x2 )
    dx =
    1 + x2

    0

    ln(1 + x2 )
    dx, ∀p ∈ [0; 1].
    1 + x2

    Тогда
    I(p) =

    1
    arctg p ln(1 + p2 ), ∀p ∈ [0; 1].
    2

    Отсюда, полагая p = 1, находим, что
    Z1

    ln(1 + x)
    π
    dx = I(1) = ln 2.
    1 + x2
    8

    0

    139

    П. 2, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    2. Интегрирование функций,
    заданных опpеделёнными интегралами,
    зависящими от параметра
    Интегpиpование функций, заданных опpеделёнными интегpалами,
    зависящими от паpаметpа, с постоянными пределами интегрирования
    и с почти всюду непpеpывной подынтегpальной функцией. Определённый
    повтоpный интегpал. Внутpенний и внешний одинарные определённые
    интегpалы повтоpного интегpала. Изменение поpядка вычисления одинарных опpеделённых интегpалов в повтоpном интегpале.

    Теорема 1 (об интегрировании функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования). Если функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b], ∀p ∈ [c; d],
    непрерывна на прямоугольнике Π = [a; b] × [c; d], то заданная опpеделённым интегралом, зависящим от параметра,
    функция
    I: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    (1)

    интегрируема по Риману на отрезке [c; d]. При этом имеет
    место формула
    Zd
    c

    I(p) dp =

    Zb  Zd
    a

    c

    

    f (x, p) dp dx.

    (2)

    Доказательство. Если выполняются условия данной теоремы,
    то, по теореме 1.3.1 (о непрерывности функции, заданной опpеделённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования), функция (1) непрерывна. Поэтому функция (1) интегрируема по Риману на отрезке [c; d], то есть, существует определёный интеграл
    140

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    Zd

    I(p) dp =

    c

    Zd  Zb
    c

    П. 2, § 2, гл. 2

    

    (3)

    f (x, p) dx dp.

    a

    Осталось доказать равенство
    Zd Zb
    c

    

    f (x, p) dx dp =

    a

    Zb  Zd
    a

    

    (4)

    f (x, p) dp dx,

    c

    которое равносильно равенству (2) с учётом представления (3).
    Введём в рассмотрение две функции
    I1 : t →

    Zt  Zb

    I2 : t →

    Zb  Zt

    c

    a

    

    f (x, p) dx dp, ∀t ∈ [c; d],

    и

    a

    c

    

    f (x, p) dp dx, ∀t ∈ [c; d],

    совпадение значений при t = d которых
    I1 (d) = I2 (d),

    (5)

    соответствует равенству (4).
    Следовательно, доказательство теоремы сведено к доказательству равенства (5).
    В самом начале доказательства было установлено, что функция (1) непрерывна. Это означает, что в интегpале с переменным
    верхним пределом интегрирования
    Zt  Zb
    c

    a

    

    f (x, p) dx dp =

    Zt
    c

    I(p) dp, ∀t ∈ [c; d],

    подынтегральная функция I непрерывна на отрезке [c; d].
    141

    П. 2, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Тогда, по второй теореме Барроу (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом с переменным верхним
    пределом интегрирования), функция I 1 непрерывно дифференцируема и её производная
    DI1 (t) = D

    Zt

    I(p) dp = I(t) =

    c

    Zb
    a

    f (x, t) dx, ∀t ∈ [c; d].

    Итак,
    DI1 (t) =

    Zb
    a

    f (x, t) dx, ∀t ∈ [c; d].

    (6)

    Продифференцируем функцию I2 . Для этого рассмотрим
    функцию
    Φ : (x, t) →

    Zt
    c

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; b], ∀t ∈ [c; d].

    На прямоугольнике Π функция Φ непрерывна.
    Действительно, при каждом фиксированном t из отрезка
    [c; d] сужение функции f непрерывно на прямоугольнике


    Π = {(x, p) : a 6 x 6 b, c 6 p 6 t}.
    Тогда, по теореме 1.3.1 (о непрерывности функции, заданной
    опpеделённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования), при любом фиксированном t
    из отрезка [c; d] функция Φ является функцией одной переменной, непрерывной на отрезке [a; b].
    При любом фиксированном значении переменной x из отрезка [a; b] функция f является функцией одной переменной, непрерывной на отрезке [c; d], и, следовательно, интегрируемой на отрезке [c; d], а функция Φ представляет собой функцию одной
    переменной, заданную определённым интегралом с переменным
    верхним пределом интегрирования.
    142

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 2, § 2, гл. 2

    Тогда, по первой теореме Барроу (о непрерывности функции,
    заданной определённым интегралом с переменным верхним пределом интегрирования), при любом фиксированном значении переменной x из отрезка [a; b] функция Φ является функцией одной
    переменной, непрерывной на отрезке [c; d].
    При любом фиксированном x из отрезка [a; b] у интеграла с
    переменным верхним пределом интегрирования
    Zt
    c

    f (x, p) dp, ∀t ∈ [c; d],

    подынтегральная функция непрерывна на отрезке [c; d].
    Тогда, по второй теореме Барроу (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом с переменным верхним
    пределом интегрирования), при любом фиксированном значении
    переменной x из отрезка [a; b] функция Φ представляет собой
    функцию одной переменной, непрерывно дифференцируемую на
    отрезке [c; d], и частная производная
    ∂t Φ(x, t) = ∂t

    Zt
    c

    f (x, p) dp = f (x, t), ∀x ∈ [a; b], ∀t ∈ [c; d].

    Отсюда следует, что ∂t Φ непрерывна на Π.
    Итак, функция Φ и её частная производная ∂ t Φ непрерывны
    на прямоугольнике Π.
    Следовательно, в соответствии с теоремой 1.1 (о дифференцировании функции, заданной опpеделённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования)
    функция
    I2 : t →

    Zb
    a

    Φ(x, t) dx, ∀t ∈ [c; d],

    непрерывно дифференцируема и её производная
    143

    П. 2, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    DI2 (t) = D

    Zb

    Φ(x, t) dx =

    a

    Zb

    ∂t Φ(x, t) dx =

    a

    В.Н. Горбузов

    Zb
    a

    f (x, t), ∀t ∈ [c; d].

    Итак,
    DI2 (t) =

    Zb
    a

    f (x, t) dx, ∀t ∈ [c; d].

    Отсюда и из представления (6) следует, что
    DI1 (t) = DI2 (t), ∀t ∈ [c; d].
    Поэтому
    I1 (t) − I2 (t) = C, ∀t ∈ [c; d],
    где C – некоторая постоянная, которую надо найти.
    Из заданий функций I1 и I2 при t = c получаем, что

    I1 (c) =

    Zc Zb
    c

    a

    
    
    Zb Zc
    f (x, p) dx dp = 0, I2 (c) =
    f (x, p) dp dx = 0,
    a

    c

    то есть,
    I1 (c) = I2 (c) = 0.
    Поэтому постоянная
    
    C = I1 (t) − I2 (t) |
    = 0.
    t=c

    Следовательно,

    I1 (t) = I2 (t), ∀t ∈ [c; d],
    в том числе и при t = d.
    Это соответствует pавенству (5).
    144

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    Интегралы

    
    Rd Rb
    c

    

    
    Rb Rd

    f (x, p) dx dp и

    a

    a

    П. 2, § 2, гл. 2

    

    f (x, p) dp dx назо-

    c

    вём определёнными повторными интегралами. Для их записи
    примем условные обозначения:
    Zd  Zb
    c

    

    Zd

    

    f (x, p) dx dp =

    a

    f (x, p) dx

    (7)

    c

    Zb

    Zb

    Zd

    f (x, p) dp.

    (8)

    dp

    a

    и
    Zb  Zd
    a

    f (x, p) dp dx =

    c

    dx

    a

    c

    С целью отразить порядок вычисления определённых одинарных интегралов в определённом повторном интеграле введём специальную терминологию. Так, в повторном интеграле (7) одинарRb
    ный интеграл f (x, p) dx будем называть внутренним, а одиa

    нарный интеграл

    Rd

    I(p) dp — внешним. Для повторного интегра-

    c

    ла (8) одинарный интеграл

    Rd

    f (x, p) dp является внутренним, а

    c

    одинарный интеграл

    Rb

    Ψ(x) dx, где Ψ(x) =

    a

    Rd

    f (x, p) dp, будет

    c

    внешним.
    В обозначениях (7) и (8) равенство (2) (и равносильное ему
    равенство (4)) будет иметь вид
    Zd
    c

    dp

    Zb
    a

    f (x, p) dx =

    Zb
    a

    dx

    Zd

    f (x, p) dp.

    (9)

    c

    145

    П. 2, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Формула (9) выражает изменение порядка вычисления одинарных интегралов в определённом повторном интеграле.
    При этом теорема 1 указывает достаточные условия, при выполнении которых возможно изменение порядка вычисления одинарных интегралов в повторном интеграле. Поэтому теорему 1 ещё
    называют теоремой об изменении порядка вычисления опpеделённых одинаpных интегралов в определённом повторном интеграле
    или теоремой о перестановке опpеделённых одинарных интегралов
    в определённом повторном интеграле.
    Пример 1. Вычислим интеграл
    Z1

    xb − x a
    dx (a > 0, b > 0).
    ln x

    0

    Поскольку
    xb − x a
    = 0,
    x→+0
    ln x
    lim

    xb − x a
    = lim (bxb − axa ) = b − a,
    x→1−0
    x→1−0
    ln x
    lim

    то данный интеграл является определённым.
    Заметим, что определённый интеграл, зависящий от параметра,
    Zb

    xp dp =

    a

    h xp ip=b
    xb − x a
    =
    , ∀x ∈ (0; + ∞), (a > 0, b > 0).
    ln x p=a
    ln x

    Поэтому
    Z1
    0

    xb − x a
    dx =
    ln x

    Z1
    0

    dx

    Zb

    xp dp (a > 0, b > 0).

    a

    Функция
    f : (p, x) → xp , ∀p ∈ [α; β], ∀x ∈ [0; 1],
    непрерывна на прямоугольнике
    Π = [α; β] × [0; 1], α = min{a, b}, β = max{a, b}, a > 0, b > 0.

    146

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 2, § 2, гл. 2

    Тогда, по теореме 1 (об изменении порядка вычисления одинарных
    интегралов в определённом повторном интеграле),
    Z1

    dx

    0

    =

    Zb

    p

    x dp =

    a

    Zb
    a

    Zb

    dp

    a

    Z1

    p

    x dx =

    0

    Zb h
    a

    xp+1 ix=1
    dp =
    p + 1 x=0

    h
    ib
    dp
    b+1
    = ln(p + 1) = ln
    (a > 0, b > 0).
    p+1
    a+1
    a

    Следовательно,
    Z1

    xb − x a
    b+1
    dx = ln
    (a > 0, b > 0).
    ln x
    a+1

    0

    Пример 2. Вычислим интеграл
    Z1
    0

    arctg x

    dx.
    x 1 − x2

    Поскольку
    lim

    x→+0

    x

    arctg x

    = 1, а
    1 − x2

    lim

    x→1−0

    arctg x

    = + ∞,
    x 1 − x2

    то данный интеграл является несобственным второго рода на [0; 1) и
    Z1
    0

    arctg x

    dx = lim
    δ→+0
    x 1 − x2

    1−δ
    Z
    0

    arctg x

    dx.
    x 1 − x2

    Заметим, что определённый интеграл, зависящий от параметра,
    Z1
    0

    ix=1 arctg p
    1h
    dx
    =
    arctg(px)
    =
    , ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    1 + p 2 x2
    p
    p
    x=0

    147

    П. 2, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Тогда
    1−δ
    Z
    0

    arctg x

    dx =
    x 1 − x2
    1−δ
    Z

    =

    dx

    0

    Z1
    0

    1−δ
    Z
    0

    dx

    1 − x2

    dp

    (1 + x2 p2 ) 1 − x2

    Z1

    dp
    =
    1 + x 2 p2

    0

    (0 < δ < 1).

    Функция
    f : (p, x) →

    1
    (1 +

    x 2 p2 )



    1 − x2

    , ∀p ∈ [0; 1], ∀x ∈ [0; 1 − δ],

    непрерывна на прямоугольнике Π = [0; 1] × [0; 1 − δ], 0 < δ < 1.
    Тогда, по теореме 1 (об изменении порядка вычисления одинарных
    интегралов в определённом повторном интеграле),
    1−δ Z1
    Z
    dx
    0

    0

    dp

    =
    2
    (1 + x p2 ) 1 − x2

    1−δ
    Z1 Z
    dx

    dp
    (0 < δ < 1).
    2
    (1 + x p2 ) 1 − x2
    0

    0

    Вычислим определённый интеграл
    1−δ
    Z
    0

    dx

    (1 + x2 p2 ) 1 − x2

    (0 < δ < 1, 0 6 p 6 1).

    Для этого выполним подстановку

    при которой

    arcsin x = t, ∀t ∈ [0; arcsin(1 − δ)],

    dt = √

    dx
    1
    1
    ,
    =
    ,
    1 + x 2 p2
    1 + p2 sin2 t
    1 − x2

    ∀x ∈ [0; 1 − δ], ∀t ∈ [0; arcsin(1 − δ)],
    переменная t = 0 при x = 0 и t = arcsin(1 − δ) при x = 1 − δ.

    148

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 2, § 2, гл. 2

    Тогда
    1−δ
    Z
    0

    dx

    =
    2
    (1 + x p2 ) 1 − x2

    arcsin(1−δ)
    Z

    =

    0

    =p

    1

    0

    dt
    =
    2
    cos t + (1 + p2 ) sin2 t

    =p

    1 + p2

    arcsin(1−δ)
    Z

    1
    1 + p2

    arctg

    p

    h

    arctg

    p

    dt
    =
    1 + p2 sin2 t

    arcsin(1−δ)
    Z
    0

    1 + p2 tg t

    d tg t
    =
    1 + (1 + p2 ) tg2 t

    it=arcsin(1−δ)

    1 + p2 tg arcsin(1 − δ)

    t=0

    

    =

    (0 < δ < 1, 0 6 p 6 1).

    Следовательно,

    Z1
    0

    arctg x

    dx = lim
    δ→+0
    x 1 − x2

    Z1
    0

    Подынтегральная функция
    g : (p, δ) →

    arctg

    arctg

    p

    
    1 + p2 tg arcsin(1 − δ)
    p
    dp.
    1 + p2

    p
    
    1 + p2 tg arcsin(1 − δ)
    p
    , ∀p, δ ∈ [0; 1],
    1 + p2

    непрерывна на квадрате K = [0; 1] × [0; 1]. Поэтому в соответствии с
    теоремой 2.3.1 возможен предельный переход под знаком определённого
    интеграла
    lim

    δ→+0

    Z1
    0

    arctg

    p

    
    1 + p2 tg arcsin(1 − δ)
    p
    dp =
    1 + p2

    149

    П. 2, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    =

    Z1

    arctg

    lim

    δ→+0

    0

    π
    =
    2

    Z1
    0

    Итак,

    p

    dp
    1 + p2

    Z1
    0

    =

    p

    В.Н. Горбузов

    

    1 + p2 tg arcsin(1 − δ)
    p
    dp =
    1 + p2

    i1 π
    p
    √ 
    πh 
    ln p + 1 + p2
    = ln 1 + 2 .
    2
    2
    0

    √ 
    arctg x
    π

    dx = ln 1 + 2 .
    2
    x 1 − x2

    Теорема 1 не является критерием. Она указывает лишь достаточные условия, при выполнении которых возможно интегрирование (в собственном смысле) функции, заданной опpеделённым интегралом, зависящим от параметра.
    Например, имеет место следующий признак.
    Теорема 2. Пусть функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b], ∀p ∈ [c; d],
    удовлетворяет следующим условиям:
    1) ограничена на прямоугольнике Π = [a; b] × [c; d];
    2) непрерывна в Π всюду, за исключением, быть может,
    конечного числа прямых, параллельных осям координат.
    Тогда заданные определёными интегралами, зависящими от параметров, функции
    I1 : p →

    Zb

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    I2 : x →

    Zd

    f (x, p) dp, ∀p ∈ [a; b],

    a

    и

    150

    c

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 2, § 2, гл. 2

    интегрируемы по Риману на отрезках [c; d] и [a; b] соответственно, а также имеет место формула изменения порядка вычисления одинарных интегралов в определённом повторном
    интеграле (9):
    Zd

    dp

    c

    Zb

    f (x, p) dx =

    a

    Zb

    dx

    a

    Zd

    f (x, p) dp.

    c

    Доказательство. Прежде всего из условий теоремы следует:
    1) при любом фиксированном значении переменной x из отрезка [a; b] функция f является функцией одной переменной,
    кусочно-непрерывной на отрезке [c; d];
    2) при любом фиксированном значении переменной p из отрезка [c; d] функция f является функцией одной переменной,
    кусочно-непрерывной на отрезке [a; b].
    Поэтому функции I2 и I1 заданы определёнными интегралами, которые содержат параметр.
    Дальнейшее доказательство с учётом этих обстоятельств
    разобьём на несколько случаев.
    Случай 1. Если функция f непрерывна на прямоугольнике
    Π, то в соответствии с теоремой 1 будет иметь место теорема 2.
    Случай 2. Пусть функция f непрерывна на незамкнутом
    прямоугольнике
    P1 = {(x, p) : a 6 x < b, c 6 p 6 d}.
    Для любого b1 из полуинтервала [a; b) сужение функции f
    непрерывно на прямоугольнике
    Π1 = {(x, p) : a 6 x 6 b1 , c 6 p 6 d}, a < b1 < b,
    и, по теореме 1, имеем, что
    Zb1
    a

    dx

    Zd
    c

    f (x, p) dp =

    Zd
    c

    dp

    Zb1

    f (x, p) dx.

    (10)

    a

    151

    П. 2, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Ввиду ограниченности функции f на прямоугольнике Π
    функция I2 ограничена на отрезке [a; b]. Сужение функции I 2 на
    полуинтервал [a; b) задаётся определённым интегралом
    Ib2 : x →

    Zd
    c

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; b),

    с непрерывной подынтегральной функцией на множестве P 1 .
    Тогда, по теореме 1.3.1 (о непрерывности функции, заданной
    определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования), сужение функции I 2 непрерывно на полуинтервале [a; b).
    Следовательно, функция I2 интегрируема по Риману на отрезке [a; b], а интеграл с переменным верхним пределом интегрирования
    Zb1
    a

    I2 (x) dx, ∀b1 ∈ [a; b],

    задаёт функцию, которая, по первой теореме Барроу (о непрерывности функции, заданной определённым интегралом с переменным
    пределом интегрирования), будет непрерывной. Поэтому
    lim

    b1 →b−0

    Zb1

    I2 (x) dx =

    a

    Zb

    I2 (x) dx,

    a

    то есть,
    lim

    b1 →b−0

    Zb1
    a

    dx

    Zd
    c

    f (x, p) dp =

    Zb
    a

    dx

    Zd

    f (x, p) dp.

    c

    Рассмотрим правую часть равенства (10).
    По свойству аддитивности, определённый интеграл
    152

    (11)

    В.Н. Горбузов

    Zb1

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    f (x, p) dx =

    a

    Zb
    a

    f (x, p) dx −

    Zb

    П. 2, § 2, гл. 2

    f (x, p) dx, ∀b1 ∈ [a; b).

    b1

    Отсюда при любом b1 из отрезка [a; b]
    Zd

    dp

    c

    Zb1

    f (x, p) dx =

    a

    Zd
    c

    dp

    Zb
    a

    f (x, p) dx −

    Zd
    c

    dp

    Zb

    f (x, p) dx.

    b1

    Так как функция f ограничена на прямоугольнике Π, то существует такое положительное число M, что
    |f (x, p)| < M, ∀(x, p) ∈ Π.
    Поэтому

    d

    Z
    Zb1
    Zd
    Zb



    dp f (x, p) dx −
    dp f (x, p) dx 6



    c

    6

    Zd

    dp

    c

    a

    Zb1

    c

    a

    |f (x, p)| dx < M (b − b1 )(d − c) −
    −−−−→ 0.
    b →b−0
    1

    b

    Следовательно,
    lim

    b1 →b−0

    Zd
    c

    dp

    Zb1
    a

    f (x, p) dx =

    Zd
    c

    dp

    Zb

    f (x, p) dx.

    (12)

    a

    Переходя в равенстве (10) к пределу при b 1 → b − 0, с учётом
    соотношений (11) и (12) получаем формулу (9).
    Аналогично доказывается формула (9), когда функция f непрерывна на незамкнутом прямоугольнике
    P2 = {(x, p) : a 6 x 6 b, c 6 p < d}.

    153

    П. 2, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Случай 3. Пусть функция f непрерывна на незамкнутом прямоугольнике
    P3 = {(x, p) : a 6 x < b, c 6 p < d}.
    Тогда при любом d1 из полуинтервала [c; d) на основании
    второго случая имеем, что
    Zd1
    c

    dp

    Zb
    a

    f (x, p) dx =

    Zb
    a

    dx

    Zd1

    f (x, p) dp.

    c

    Далее проводим рассуждения, аналогичные приведённым во
    втором случае. И получаем формулу (9).
    Подобным образом доказывается формула (9), когда функция
    f непрерывна на незамкнутых прямоугольниках
    P4 = {(x, p) : a < x 6 b, c < p 6 d},
    P5 = {(x, p) : a < x 6 b, c 6 p < d},
    P6 = {(x, p) : a 6 x < b, c < p 6 d}.

    Случай 4. Пусть функция f непрерывна на открытом прямоугольнике
    P0 = {(x, p) : a < x < b, c < p < d}.
    Разобьём прямоугольник P0 на четыре незамкнутых прямоугольника видов P3 , P4 , P5 , P6 прямыми, параллельными осям
    координат.
    Следовательно, формула (9) имеет место и в этом случае, ибо
    на каждом из полученных незамкнутых прямоугольников в повторном интеграле можно поменять порядок вычисления одинарных интегралов.
    Случай 5. В общем случае прямоугольник Π разобьём на конечное число прямоугольников видов P i , i = 0, 6 , то есть, таких
    незамкнутых прямоугольников, лишь на границах которых функция f может не быть непрерывной.
    154

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 2, § 2, гл. 2

    Тогда, применяя к каждому из таких прямоугольников теорему, доказанную в четырёх предыдущих случаях, получаем формулу
    (9) в общем случае.
    Пример 3. Вычислим интеграл
    I(a, b) =

    Z1

    xb − x a
    1
    sin ln dx
    ln x
    x

    (a > 0, b > 0).

    0

    В примере 1 доказана формула
    Zb

    xp dp =

    a

    xb − x a
    , ∀x ∈ (0; + ∞), (a > 0, b > 0),
    ln x

    в соответствии с которой интеграл

    I(a, b) =

    Z1

    dx

    0

    Zb

    xp sin ln

    1
    dp (a > 0, b > 0).
    x

    a

    Пусть α = min{a, b}, β = max{a, b}. Функция
    f : x → xp sin ln

    1
    ∀x ∈ (0; 1], ∀p ∈ [α; β],
    x

    непрерывна на Π = {(x, p) : 0 < x 6 1, α 6 p 6 β}, а
    lim xp sin ln

    x→+0

    1
    = 0 при p > 0.
    x

    Поэтому продолжение функции f на замыкание Π незамкнутого
    прямоугольника Π

    1
    xp sin ln , ∀(x, p) ∈ Π,

    x
    fb: (x, p) → 
    0, ∀(x, p) ∈ {(x, p) : x = 0, α 6 p 6 β},
    непрерывно.

    155

    П. 2, § 2, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Тогда в соответствии с теоремой 2 можно изменить порядок вычисления одинарных интегралов в определённом повторном интеграле:
    Z1
    Zb
    Zb Z1
    1
    1
    p
    I(a, b) = dx x sin ln dp = dp xp sin ln dx (a > 0, b > 0).
    x
    x
    0

    a

    a

    0

    Используя замену
    x = e−t , ∀t ∈ [0; + ∞),

    получаем, что
    I1 (p) =

    Z1

    1
    x sin ln dx =
    x
    p

    0

    +∞
    Z
    e−(p+1)t sin t dt, ∀p ∈ (0; + ∞).
    0

    Методом интегрирования по частям находим:
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    −(p+1)t
    I1 (p) =
    e
    sin t dt = −
    e−(p+1)t d cos t =
    0

    h

    = − e

    0

    −(p+1)t

    cos t

    it=+∞
    t=0

    +∞
    Z
    +
    cos t dt e−(p+1)t =
    0

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    −(p+1)t
    = 1 − (p + 1)
    e
    cos t dt = 1 − (p + 1)
    e−(p+1)t d sin t =
    0

    h

    = 1 − (p + 1) e

    0

    −(p+1)t

    sin t

    it=+∞
    t=0

    +∞
    Z
    + (p + 1)
    sin t dt e−(p+1)t =
    0

    +∞
    Z
    = 1 − (p + 1)
    e−(p+1)t sin t dt = 1 − (p + 1)2 I1 (p), ∀p ∈ (0; + ∞).
    2

    0

    156

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 2, § 2, гл. 2

    Следовательно,
    I1 (p) =

    1
    , ∀p ∈ (0; + ∞),
    (p + 1)2 + 1

    а значит, интеграл

    I(a, b) =

    Zb
    a

    h
    ib
    dp
    =
    arctg(p
    +
    1)
    =
    (p + 1)2 + 1
    a

    = arctg(b + 1) − arctg(a + 1), ∀a, b ∈ (0; + ∞).
    Учитывая тригонометрическую формулу разности арктангенсов
    arctg x − arctg y = arctg

    x−y
    1 + xy

    при xy > − 1,

    получаем, что интеграл
    I(a, b) = arctg

    b−a
    , ∀a, b ∈ (0; + ∞).
    1 + (a + 1)(b + 1)

    Итак,
    Z1

    xb − x a
    1
    b−a
    sin ln dx = arctg
    (a > 0, b > 0).
    ln x
    x
    1 + (a + 1)(b + 1)

    0

    157

    П. 1, § 3, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции,
    заданные определёнными интегралами,
    зависящими от параметра
    Полные эллиптические интегpалы пеpвого, втоpого и тpетьего
    pодов. Фоpмулы Лагpанжа. Диффеpенциальные и интегpальные связи
    между полными эллиптическими интегpалами pазных pодов. Бесселевы
    функции. Порядок бесселевых функций. Функции Бесселя – Ангера. Интегральное представление функции Бесселя целого порядка. Функция
    Струве натурального порядка. Функция Вебера (функция Ломмеля – Вебера). Интеграл Дюамеля. Формула Дюамеля. Решение задачи Коши для
    линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными
    коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля.

    1. Полные эллиптические интегралы
    Интегралы
    K(k) =

    Z1
    0

    E(k) =

    Z1
    0

    D(k) =

    Z1
    0

    dt
    p
    2
    (1 − t )(1 − k 2 t2 )

    s

    1 − k 2 t2
    dt
    1 − t2

    (0 < k < 1),

    (0 < k < 1),

    t2
    p
    dt
    (1 − t2 )(1 − k 2 t2 )

    (0 < k < 1)

    (1)

    (2)

    (3)

    назовём соответственно полными эллиптическими интегралами первого, второго, третьего родов. Число k, 0 < k < 1,
    назовём модулем этих интегралов.
    Заменой
    h πi
    t = sin ψ, ∀ψ ∈ 0; ,
    2
    158

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции ...

    П. 1, § 3, гл. 2

    интегралы K, E, D приводим к форме Лежандра
    π

    K(k) =

    Z2
    0

    π


    p
    1 − k 2 sin2 ψ

    (0 < k < 1),

    Z2 q
    1 − k 2 sin2 ψ dψ
    E(k) =

    (4)

    (0 < k < 1),

    (5)

    (0 < k < 1).

    (6)

    0

    π

    D(k) =

    Z2
    0

    sin2 ψ
    p

    1 − k 2 sin2 ψ

    Рассмотрим полный эллиптический интеграл второго рода E
    в форме Лежандра (5).
    Подынтегральная функция
    q
    f : (ψ, k) → 1 − k 2 sin2 ψ , ∀(ψ, k) ∈ Ω,

    и её частная производная

    k sin2 ψ
    ∂k f : (ψ, k) → − p
    , ∀(ψ, k) ∈ Ω,
    1 − k 2 sin2 ψ

    непрерывны на незамкнутом прямоугольнике
    n
    o
    π
    Ω = (ψ, k) : 0 6 ψ 6 , 0 < k < 1 .
    2

    Поэтому интеграл (5) является определённым 1 интегралом,
    зависящим от параметра, и к нему применима формула Лейбница (2.1.2), по которой
    1

    Заметим, что эллиптические интегралы (1) – (3) несобственные, а в форме
    Лежандра (4) – (6) они являются определёнными.

    159

    П. 1, § 3, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    π

    DE(k) = − k

    Z2
    0

    sin2 ψ
    p
    dψ, ∀k ∈ (0; 1).
    1 − k 2 sin2 ψ

    (7)

    Отсюда и из задания (6) получаем две формулы-связи для эллиптических интегралов второго и третьего родов.
    Формула 1. Полные эллиптические интегралы второго и
    третьего родов связаны дифференциальным равенством
    DE(k) = − kD(k), ∀k ∈ (0; 1).

    (8)

    Формула 2. Полные эллиптические интегралы второго и
    третьего родов связаны интегральным равенством
    Z
    kD(k) dk = − E(k) + C, ∀k ∈ (0; 1).
    (9)
    Если учесть, что
    − k sin2 ψ
    1
    p
    =
    k
    1 − k 2 sin2 ψ


    q
    1 − k 2 sin2 ψ −

    1
    1
    p
    , ∀(ψ, k) ∈ Ω,
    k 1 − k 2 sin2 ψ

    то из представления (7) с учётом заданий (4) и (5) следует
    Формула 3. Производная
    DE(k) =

    E(k) − K(k)
    , ∀k ∈ (0; 1).
    k

    (10)

    Рассмотрим эллиптический интеграл первого рода K в форме Лежандра (4).
    Подынтегральная функция

    160

    1
    fe: (ψ, k) → p
    , ∀(ψ, k) ∈ Ω,
    1 − k 2 sin2 ψ

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции ...

    П. 1, § 3, гл. 2

    и её частная производная
    k sin2 ψ
    ∂k fe: (ψ, k) → q
    , ∀(ψ, k) ∈ Ω,
    3
    2
    2
    (1 − k sin ψ)

    непрерывны. Поэтому интеграл (4) является определённым интегралом, зависящим от параметра, и к нему применима формула
    Лейбница (2.1.2), по которой
    π

    DK(k) = k

    Z2

    sin2 ψ
    p
    dψ, ∀k ∈ (0; 1).
    (1 − k 2 sin2 ψ)3

    0

    Заметим, что

    
    D k K(k) = K(k) + k DK(k) =

    π

    =

    Z2
    0

    (11)

    π


    p
    +
    1 − k 2 sin2 ψ

    Z2
    0

    π

    =

    Z2
    0

    k 2 sin2 ψ
    p
    dψ =
    (1 − k 2 sin2 ψ)3


    p
    , ∀k ∈ (0; 1).
    (1 − k 2 sin2 ψ)3

    Отсюда и из (11) находим разность
    π

    
    DK(k) − k D k K(k) = k
    π

    −k

    Z2
    0

    Z2
    0

    sin2 ψ
    p
    dψ −
    (1 − k 2 sin2 ψ)3


    p
    , ∀k ∈ (0; 1).
    (1 − k 2 sin2 ψ)3

    161

    П. 1, § 3, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Методом интегрирования по частям устанавливаем, что
    π

    DE(k) = k

    Z2
    0

    "

    sin ψ cos ψ
    =k p
    1 − k 2 sin2 ψ

    sin ψ
    p
    d cos ψ =
    1 − k 2 sin2 ψ

    #ψ= π

    π

    2

    ψ=0

    −k

    Z2
    0

    π

    = −k

    Z2
    0

    sin ψ
    =
    cos ψ d p
    1 − k 2 sin2 ψ
    π

    cos2 ψ

    p
    dψ = k
    (1 − k 2 sin2 ψ)3
    π

    −k

    Z2
    0

    Z2
    0

    sin2 ψ
    p
    dψ −
    (1 − k 2 sin2 ψ)3


    p
    , ∀k ∈ (0; 1).
    (1 − k 2 sin2 ψ)3

    Из последних двух представлений получаем равенство
    
    DE(k) = DK(k) − k D k K(k) , ∀k ∈ (0; 1).

    (12)

    С учётом формулы (10) это равенство преобразуем к виду

    E(k) − K(k) = k DK(k) − k 2 K(k) − k 3 DK(k), ∀k ∈ (0; 1).
    Отсюда следует
    Формула 4. Производная
    DK(k) =

    E(k)
    K(k)

    , ∀k ∈ (0; 1).
    2
    k(1 − k )
    k

    С учётом формулы (8) равенство (12) преобразуем к виду

    162

    − k D(k) = DK(k) − k K(k) − k 2 DK(k), ∀k ∈ (0; 1).

    (13)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции ...

    П. 1, § 3, гл. 2

    Отсюда следует ещё одна
    Формула 5. Производная
    DK(k) =

    
    k
    K(k) − D(k) , ∀k ∈ (0; 1).
    2
    1−k

    (14)

    Формулы (10) и (13) указывают возможности вычисления
    производных полных эллиптических интегралов первого и второго
    родов посредством алгебраических комбинаций полных эллиптических интегралов первого и второго родов (при этом к непосредственному дифференцированию не прибегаем).
    Формулы (8) и (14) указывают возможности вычисления производных полных эллиптических интегралов первого и второго родов с использованием полного эллиптического интеграла третьего рода (в этом случае к непосредственному дифференцированию
    также не прибегаем).
    По формуле (9), которая является непосредственным следствием формулы (8), осуществляется интегрирование функции,
    составленной на основании полного эллиптического интеграла
    третьего рода.
    Аналогично, основываясь на формулах (10), (13) и (14), находятся первообразные функций, которые составлены из полных
    эллиптических интегралов первого, второго и третьего родов.
    Формула 6. Неопределённый интеграл
    Z
    E(k) − K(k)
    dk = E(k) + C, ∀k ∈ (0; 1).
    (15)
    k
    Формула 7. Неопределённый интеграл
    Z

    E(k) − (1 − k 2 )K(k)
    dk = K(k) + C, ∀k ∈ (0; 1).
    k(1 − k 2 )

    Формула 8. Неопределённый интеграл
    
    Z
    k K(k) − D(k)
    dk = K(k) + C, ∀k ∈ (0; 1).
    1 − k2

    (16)

    (17)
    163

    П. 2, § 3, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Равенство (14) запишем в виде
    (1 − k 2 ) DK(k) = k K(k) − k D(k), ∀k ∈ (0; 1).
    Тогда
    2k K(k) − (1 − k 2 ) DK(k) = k K(k) + k D(k), ∀k ∈ (0; 1),
    и, следовательно,
    
    
    D − (1 − k 2 )K(k) = k K(k) + D(k) , ∀k ∈ (0; 1).

    Отсюда получаем ещё одну возможность интегрирования.
    Формула 9. Неопределённый интеграл
    Z
    
    k K(k) + D(k) dk = − (1 − k 2 ) K(k) + C, ∀k ∈ (0; 1).

    2. Функции Бесселя (интегральные представления)
    Обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
    x2 D2 y + x Dy + (x2 − ν 2 )y = 0,
    где ν — некоторая постоянная, назовём уравнением Бесселя,
    число ν при этом будем называть порядком.
    Функции-решения уравнения Бесселя с порядком ν будем
    называть бесселевыми функциями ν -го порядка. Рассмотрим
    интегральные представления бесселевых функций.
    Предложение 1. Функция Бесселя — Ангера
    1
    Jν : x →
    π


    0

    cos (νt − x sin t) dt, ∀x ∈ R, (ν ∈ R)

    является решением неоднородного уравнения Бесселя

    164

    x2 D2 y + x Dy + (x2 − ν 2 )y =

    1
    (x − ν) sin νπ.
    π

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции ...

    П. 2, § 3, гл. 2

    Доказательство. Функция
    fν : (t, x) → cos (νt − x sin t), ∀t ∈ [0; π], ∀x ∈ R, (ν ∈ R)
    и её частная производная
    ∂x fν : (t, x) → sin t sin (νt − x sin t), ∀t ∈ [0; π], ∀x ∈ R, (ν ∈ R)
    непрерывны на полосе Π = [0; π] × R. Тогда, по теореме 1.1.2
    (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования), функция Бесселя — Ангера J ν непрерывно дифференцируема на поле R и её производная
    1
    DJν : x →
    π


    0

    sin t sin (νt − x sin t) dt, ∀x ∈ R, (ν ∈ R).

    Функция ∂x fν и её частная производная
    ∂xx fν : (t, x) → − sin2 t cos (νt − x sin t), ∀t ∈ [0; π], ∀x ∈ R,
    при ν ∈ R непрерывна на полосе Π. Тогда (по теореме 1.1.2)
    1
    D Jν : x → −
    π
    2


    0

    sin2 t cos (νt − x sin t) dt, ∀x ∈ R, (ν ∈ R),

    причём функция Jν дважды непрерывно дифференцируема.
    Стало быть, при любых x и ν из R
    x2 D2 Jν (x) + x DJν (x) + (x2 − ν 2 )Jν (x) =
    1
    =
    π


    0

    − x2 sin2 t cos (νt − x sin t) + x sin t sin (νt − x sin t) +
    

    1
    + (x − ν ) cos (νt − x sin t) dt =
    π
    2

    2


    0

    x sin t sin (νt − x sin t) +
    165

    П. 2, § 3, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    

    + (x2 cos2 t − ν 2 ) cos (νt − x sin t) dt =
    1
    = −
    π
    = −


    0

    
    ∂t (x cos t + ν) sin (νt − x sin t) dt =

    it=π
    1h
    (x cos t + ν) sin (νt − x sin t)
    =
    π
    t=0
    1
    (x − ν) sin πν.
    π

    = −

    Следствие 1. Функция Бесселя — Ангера J n является
    бесселевой функцией целого порядка n.
    Доказательство вполне очевидно и следует из предложения 1
    ввиду того, что sin πn = 0, ∀n ∈ Z.
    Функцию Бесселя — Ангера Jν целого неотрицательного индекса ν = n будем называть функцией Бесселя целого неотрицательного порядка n и обозначать J n , то есть,
    1
    Jn : x →
    π


    0

    cos(nt − x sin t) dt, ∀x ∈ R, (n ∈ N ∪ {0}),

    и функция Бесселя — Ангера даёт интегральное представление
    функции Бесселя целого неотрицательного порядка.
    Предложение 2. Функция1 Струве натурального порядка
    π

    Hn : z →

    2
    zn
    π(2n − 1)!!

    Z2
    0

    sin (z cos t) sin2n t dt, ∀z ∈ R, (n ∈ N)

    является бесселевой функцией натурального порядка n.
    1
    Функцию Струве натурального порядка также задают с помощью определённого интеграла, зависящего от параметра, в виде

    Hn : z →

    166

    2
    zn
    π(2n − 1)!!

    Z1
    0

    1

    1 − t2

    n− 2

    sin(zt) dt, ∀z ∈ R, (n ∈ N).

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции ...

    П. 2, § 3, гл. 2

    Доказательство. Подынтегральная функция
    h πi
    f : (t, x) → cos(x cos t) sin2n t, ∀t ∈ 0; , ∀x ∈ R, (n ∈ N)
    2

    и её частная производная

    h πi
    ∂x f : (t, x) → − sin (x cos t) cos t sin2n t, ∀t ∈ 0; ,
    2
    ∀x ∈ R, (n ∈ N)
    h πi
    непрерывны на полосе Π = 0;
    ×R. Поэтому с учётом правила
    2
    Лейбница (2.1.2) находим производную
    π

    DHn : x → kn xn−1

    Z2
    0

    cos (x cos t) sin2n t dt −

    π

    − kxn

    где k =

    Z2
    0

    sin (x cos t) cos t sin2n t dt, ∀x ∈ R, (n ∈ N),

    2
    . При этом функция Струве натурального поπ(2n − 1)!!

    рядка Hn будет непрерывно дифференцируемой (в соответствии с
    теоремой 1.1.2 о непрерывной дифференцируемости функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования).
    Поскольку функции f, ∂x f и
    h πi
    ∂xx f : (t, x) → − cos (x cos t) cos 2 t sin2n t, ∀t ∈ 0; , ∀x ∈ R,
    2
    где n ∈ N, непрерывны на полосе Π, то при дифференцировании
    функции DHn можно использовать формулу Лейбница (2.1.2).

    167

    П. 2, § 3, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Вторая производная функции Струве натурального порядка
    π

    

    D2 Hn (x) = k n(n − 1)xn−2

    Z2
    0

    cos (x cos t) sin2n t dt −

    π

    − nx

    n−1

    Z2

    sin (x cos t) cos t sin

    2n

    t dt

    0

    



    π

    − 2kn xn+1

    Z2
    0

    sin (x cos t) cos t sin2n t dt −
    π

    − kxn+2

    Z2

    cos (x cos t) cos2 t sin2n t dt +

    0

    π

    + kn xn

    Z2
    0

    cos (x cos t) sin2n t dt −
    π

    − kxn+1

    Z2

    sin (x cos t) cos t sin2n t dt +

    0

    π

    + kxn+2

    Z2
    0

    168

    cos (x cos t) sin2n t dt −

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции ...

    − kn2 xn

    π
    Z2

    П. 2, § 3, гл. 2

    cos (x cos t) sin2n t dt =

    0

    π

    = kxn+1

    Z2

    x cos (x cos t) sin2n+2 t −

    0

    
    − (2n + 1) sin (x cos t) cos t sin2n dt =
    π

    

    = k nxn−1

    Z2

    sin (x cos t) cos t sin2n t dt +

    0

    π

    +x

    n

    Z2

    2

    2n

    cos (x cos t) cos t sin

    0

    t dt

    

    =

    π

    = kn(n − 1)xn−2

    Z2
    0

    cos (x cos t) sin2n t dt −

    π

    − 2kn xn−1

    Z2
    0

    sin (x cos t) cos t sin2n t dt −

    π

    − kxn

    Z2
    0

    cos (x cos t) cos2 t sin2n t dt, ∀x ∈ R, (n ∈ N).

    Заметим, что функция Струве натурального порядка H n дважды непрерывно дифференцируема.
    169

    П. 2, § 3, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Тогда
    x2 D2 Hn (x) + x DHn (x) + (x2 − n2 )Hn (x) =
    π

    = kn(n − 1)xn

    Z2

    cos (x cos t) sin2n t dt =

    0

    π

    = kxn+1

    Z2
    0

    
    ∂t − sin2n+1 t sin (x cos t) dt =

    h
    it= π
    2
    = − kxn+1 sin2n+1 t sin (x cos t)
    = 0, ∀x ∈ R, (n ∈ N).
    t=0

    Предложение 3. Функция1 Вебера
    1
    Eν : x →
    π


    0

    sin (νt − x sin t) dt, ∀x ∈ R, (ν ∈ N)

    является решением неоднородного уравнения Бесселя
    x2 D2 y + x Dy + (x2 − ν 2 )y = −

    Доказательство. Функция

    
    1
    (x + ν) + (x − ν) cos νπ .
    π

    fν : (t, x) → sin (νt − x sin t), ∀t ∈ [0; π], ∀x ∈ R, (ν ∈ R)
    и её частные производные при ν ∈ R
    ∂x fν : (t, x) → − sin t cos (νt − x sin t), ∀t ∈ [0; π], ∀x ∈ R,
    ∂xx fν : (t, x) → − sin2 t sin (νt − x sin t), ∀t ∈ [0; π], ∀x ∈ R,
    1

    Функцию Ων : x → − Eν (x), ∀x ∈ R, называют функцией Ломмеля – Вебера.

    170

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции ...

    П. 2, § 3, гл. 2

    непрерывны на полосе Π = [0; π] × R. Поэтому в соответствии
    с теоремой 1.1.2 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными
    пределами интегрирования) функция Вебера E ν дважды непрерывно дифференцируема на поле R и её производные
    1
    DEν : x → −
    π



    cos (νt − x sin t) sin t dt, ∀x ∈ R, (ν ∈ R)

    1
    D2 Eν : x → −
    π



    sin (νt − x sin t) sin2 t dt, ∀x ∈ R, (ν ∈ R).

    0

    и

    0

    Тогда
    x2 D2 Eν (x) + x DEν (x) + (x2 − ν 2 )Eν (x) =
    1
    =
    π


    0

    − x2 sin (νt − x sin t) sin2 t −

    
    − x cos(νt − x sin t) sin t + (x2 − ν 2 ) sin(νt − x sin t) dt =


    1
    =
    π

    0

    1
    =
    π


    0

    =

    (x2 cos2 t − ν 2 ) sin (νt − x sin t) −
    
    − x sin t cos(νt − x sin t) dt =

    
    ∂t (x cos t + ν) cos(νt − x sin t) dt =

    it=π
    1h
    (x cos t + ν) cos(νt − x sin t)
    =
    π
    t=0

    171

    П. 2, § 3, гл. 2

    = −

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    

    1
    (x + ν) + (x − ν) cos νπ , ∀x ∈ R, (ν ∈ R).
    π

    Пример 1. Докажем формулу
    Zx
    0

    ξ J0 (ξ) dξ = xJ1 (x), ∀x ∈ R,

    для функций Бесселя нулевого и первого порядков
    1
    J0 : x →
    π


    0

    cos(x sin t) dt, ∀x ∈ R,

    и
    1
    J1 : x →
    π


    0

    cos(t − x sin t) dt, ∀x ∈ R.

    Доказательство. Дифференциальное уравнение Бесселя нулевого
    порядка приводим к виду
    x D2 y + Dy + xy = 0.
    Поскольку функция Бесселя нулевого порядка J 0 является решением этого дифференциального уравнения (по следствию 1), то
    
    D DJ0 (x) + xJ0 (x) = 0, ∀x ∈ R.
    Заметим, что интеграл


    π

    cos(x sin t) cos t dt =

    0

    +


    π
    2

    172

    Z2

    cos(x sin t) cos t dt +

    0

    π

    cos(x sin t) cos t dt =

    Z2
    0

    cos(x sin t) cos t dt −

    В.Н. Горбузов



    Z0
    π
    2

    § 3. Специальные функции ...

    
    cos x sin(π − ζ) cos(π − ζ) dζ =

    π
    Z2
    0

    П. 3, § 3, гл. 2

    cos(x sin t) cos t dt −

    π



    Z2

    cos(x sin ζ) cos ζ dζ = 0.

    0

    Тогда


    1
    DJ0 (x) = −
    π



    1
    π


    0

    0

    1
    sin(x sin t) sin t dt = −
    π

    cos(x sin t) cos t dt = −

    1
    π


    0


    0

    sin(x sin t) sin t dt −

    cos(t−x sin t) dt = −J1 (x), ∀x ∈ R.

    Стало быть,
    
    D − xJ1 (x) + xJ0 (x) = 0, ∀x ∈ R.

    Отсюда

    Zx
    0

    

    D ξJ1 (ξ) dξ =

    Zx
    0

    ξJ0 (ξ) dξ, ∀x ∈ R,

    или
    xJ1 (x) =

    Zx
    0

    ξJ0 (ξ) dξ, ∀x ∈ R.

    3. Интеграл Дюамеля
    Пусть у функций f : [0; + ∞) → R и g : [0; + ∞) → R сужения интегрируемы по Риману (в собственном смысле) на любом
    отрезке [λ; ν] из числового луча [0; + ∞).
    173

    П. 3, § 3, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Тогда определённый интеграл, содержащий параметр,
    D(x) =

    Zx
    0

    f (ξ) g(x − ξ) dξ, ∀x ∈ [0; + ∞),

    назовём интегралом Дюамеля.
    3.1. Формула Дюамеля
    Теорема 1. Пусть выполняются условия:
    1) функция f : x → f (x), ∀x ∈ [0; + ∞), непрерывна;
    2) функция g : x → g(x), ∀x ∈ [0; + ∞), непрерывно дифференцируема.
    Тогда заданная интегралом Дюамеля функция
    D: x →

    Zx
    0

    f (ξ) g(x − ξ) dξ, ∀x ∈ [0; + ∞),

    непрерывно дифференцируема и имеет место формула Дюамеля
    Zx
    Zx
    D f (ξ) g(x − ξ) dξ = g(0) f (x) + f (ξ) ∂x g(x − ξ) dξ,
    0

    0

    (1)

    ∀x ∈ [0; + ∞).

    Доказательство. При любом положительном ν функция
    F : (ξ, x) → f (ξ) g(x − ξ), ∀(ξ, x) ∈ T,
    и её частная производная
    ∂x F : (ξ, x) → f (ξ) ∂x g(x − ξ), ∀(ξ, x) ∈ T,
    непрерывны на треугольнике T = {(ξ, x) : 0 6 ξ 6 x, 0 6 x 6 ν}.
    Тогда, по теореме 4.1.2 (о дифференцировании функции, заданной
    определённым интегралом, у которого подынтегральная функция
    174

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции ...

    П. 3, § 3, гл. 2

    и пределы интегрирования зависят от параметра), производная
    D

    Zx
    0

    f (ξ) g(x − ξ) dξ = g(0) f (x) +

    Zx
    0

    f (ξ) ∂x g(x − ξ) dξ

    непрерывна на отрезке [0; ν].
    Отсюда следует формула Дюамеля (1), а также непрерывная
    дифференцируемость функции D на числовом луче [0; + ∞).
    3.2. Решение задачи Коши для линейного
    дифференциального уравнения с постоянными
    коэффициентами
    Теорема 2. Пусть функция g : x → g(x), ∀x ∈ [0; +∞), является решением на числовом луче [0; + ∞) линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка
    Dn y + a1 Dn−1 y + . . . + an−1 Dy + an y = 1

    (2)

    с постоянными коэффициентами ai , i = 1, n , удовлетворяющим начальным условиям
    g(0) = Dg(0) = . . . = Dn−1 g(0) = 0.

    (3)

    Тогда заданная интегралом Дюамеля функция
    y: x →

    Zx
    0

    f (ξ) ∂x g(x − ξ) dξ, ∀x ∈ [0; + ∞),

    (4)

    является решением на [0; + ∞) линейного неоднородного
    дифференциального уравнения n-го порядка
    Dn y + a1 Dn−1 y + . . . + an−1 Dy + an y = f (x),

    (5)

    где функция f непрерывна на числовом луче [0; + ∞), удовлетворяющим начальным условиям
    y(0) = Dy(0) = . . . = Dn−1 y(0) = 0.

    (6)
    175

    П. 3, § 3, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Доказательство. Функция g, будучи решением линейного
    дифференциального уравнения (2), является голоморфной на
    числовом луче [0; + ∞). Тогда, по формуле Дюамеля (1), с учётом
    условий (3) находим производные функции (4)
    k

    D y: x →

    Zx
    0

    f (ξ) ∂xk+1 g(x − ξ) dξ, ∀x ∈ [0; + ∞), k = 1, n . (7)

    Поэтому
    Dn y(x) + a1 Dn−1 y(x) + . . . + an−1 Dy(x) + an y(x) =
    =

    Zx
    0

    f (ξ) ∂xn+1 g(x − ξ) + a1 ∂xn+1 g(x − ξ) + . . . +
    
    + an−1 ∂xx g(x − ξ) + an ∂x g(x − ξ) dξ =

    =D

    Zx
    0

    f (ξ) ∂xn g(x − ξ) + a1 ∂xn−1 g(x − ξ) + . . . +

    
    + an−1 ∂x g(x − ξ) + . . . + an g(x − ξ) dξ, ∀x ∈ [0; + ∞).

    Отсюда, учитывая, что функция g является решением на числовом луче [0; + ∞) дифференциального уравнения (2), получаем
    тождество
    Dn y(x) + a1 Dn−1 y(x) + . . . + an−1 Dy(x) + an y(x) =
    =D

    Zx
    0

    f (ξ) dξ, ∀x ∈ [0; + ∞).

    Функция f непрерывна на числовом луче [0; + ∞), а значит, по второй теореме Барроу (о дифференцировании функции,
    176

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции ...

    П. 3, § 3, гл. 2

    заданной определённым интегралом с переменным верхним пределом интегрирования), производная
    D

    Zx
    0

    f (ξ) dξ = f (x), ∀x ∈ [0; + ∞).

    Итак, при любом x ∈ [0; + ∞)
    Dn y(x) + a1 Dn−1 y(x) + . . . + an−1 Dy(x) + an y(x) = f (x),
    то есть, функция (4) является решением дифференциального уравнения (5) на числовом луче [0; + ∞).
    В том, что решение (4) удовлетворяет начальным данным (6),
    убеждаемся непосредственным вычислением значений y(0) и
    Dk y(0), k = 1, n , функций (7).
    Пример 1. С помощью интеграла Дюамеля найдём решение
    на числовом луче [0; + ∞) задачи Коши с начальными условиями
    y(0) = Dy(0) = 0 линейного неоднородного дифференциального
    уравнения второго порядка
    D2 y + ω 2 y = f (x),

    (8)

    где ω — ненулевое вещественное число, а функция f непрерывна
    на числовом луче [0; + ∞).
    Для линейного однородного дифференциального уравнения второго
    порядка
    D2 y + ω 2 y = 0

    (9)

    характеристическое уравнение λ2 + ω 2 = 0 имеет корни λ1 = − ωi и
    λ2 = ωi. Поэтому семейство функций
    y : x → C1 sin ωx + C2 cos ωx, ∀x ∈ R,
    где C1 и C2 — произвольные вещественные постоянные, являются общим решением дифференциального уравнения (9).
    Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
    D2 y + ω 2 y = 1

    (10)

    имеет частное решение y : x → ω −2 , ∀x ∈ R. Поэтому общим решением
    дифференциального уравнения (10) будет семейство функций

    177

    П. 3, § 3, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    y: x →

    1
    + C1 sin ωx + C2 cos ωx, ∀x ∈ R.
    ω2

    В.Н. Горбузов

    (11)

    Найдём производную
    Dy : x → ωC1 cos ωx − ωC2 sin ωx, ∀x ∈ R.

    (12)

    Функции (11) и (12) удовлетворяют условиям
    y(0) = Dy(0) = 0 при C1 = 0, C2 = − ω −2 .
    Поэтому решением на числовой прямой R задачи Коши с начальными условиями y(0) = Dy(0) = 0 дифференциального уравнения (10)
    будет функция
    1
    y : x → 2 (1 − cos ωx), ∀x ∈ R.
    ω
    Интеграл Дюамеля
    Zx

    f (ξ) ∂x

    1
    ω

    Zx

    0

    =

    0

    
     1
    (1

    cos
    ω(x

    ξ)
    dξ =
    ω2

    f (ξ) sin ω(x − ξ) dξ, ∀x ∈ [0; + ∞).

    В соответствии с теоремой 1 функция
    1
    y: x →
    ω

    Zx
    0

    f (ξ) sin ω(x − ξ) dξ, ∀x ∈ [0; + ∞),

    является решением на числовом луче [0; + ∞) линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (8), удовлетворяющим начальным условиям y(0) = Dy(0) = 0.

    Требование (6) о том, чтобы начальные условия были нулевыми, можно ослабить, так как простой заменой искомой функции
    задача Коши с ненулевыми начальными условиями сводится к задаче Коши с нулевыми начальными условиями. Покажем это на
    примере линейного неоднородного дифференциального уравнения
    второго порядка.
    178

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции ...

    П. 3, § 3, гл. 2

    Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения
    D2 y + a1 Dy + a2 y = f (x),

    (13)

    где функция f непрерывна на числовом луче [0; + ∞), с начальными условиями
    y(0) = y0 , Dy(0) = y1 .

    (14)

    z(x) = y(x) − y0 − y1 x, ∀x ∈ [0; + ∞),

    (15)

    Заменой

    при которой

    Dz(x) = Dy(x) − y1 , D2 z(x) = D2 y(x), ∀x ∈ [0; + ∞),
    дифференциальное уравнение (13) приводим к линейному дифференциальному уравнению
    D2 z + a1 Dz + a2 z = f1 (x),

    (16)

    где
    f1 (x) = f (x) − a1 y1 − a2 y0 − a2 y1 x, ∀x ∈ [0; + ∞).
    Начальные условия (14) в силу (15) будут иметь вид
    z(0) = y(0) − y0 = 0, Dz(0) = Dy(0) − y1 = 0.
    Таким образам, задача Коши с ненулевыми начальными условиями (14) для линейного дифференциального уравнения (13) есть
    задача Коши с нулевыми начальными условиями для линейного
    дифференциального уравнения (16).
    Пример 2. С помощью интеграла Дюамеля найдём решение на
    числовом луче [0; + ∞) задачи Коши с начальными условиями
    y(0) = − 2, Dy(0) = 1
    линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
    D2 y + 2 Dy + y =

    ex (1

    1
    +x.
    + x)2

    (17)

    179

    П. 3, § 3, гл. 2

    Гл. 2. Определённые интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Заменой
    z(x) = y(x) + 2 − x, ∀x ∈ [0; + ∞),
    дифференциальное уравнение (17) приводим к виду
    D2 z + 2 Dz + z =

    1
    .
    ex (1 + x)2

    (18)

    Найдём для него решение на числовом луче [0; + ∞) задачи Коши с нулевыми начальными условиями z(0) = Dz(0) = 0 посредством
    интеграла Дюамеля.
    Характеристическое уравнение
    λ2 + 2λ + 1 = 0
    имеет двукратный корень λ1 = − 1.
    Значит, семейство функций
    z : t → (C1 + C2 x)e−x , ∀x ∈ R,
    является общим решением линейного однородного дифференциального
    уравнения второго порядка
    D2 z + 2 Dz + z = 0.
    Функция
    z1 : x → 1, ∀x ∈ R,
    есть частное решение линейного неоднородного дифференциального
    уравнения второго порядка
    D2 z + 2 Dz + z = 1.
    Поэтому семейство функций
    z : x → 1 + (C1 + C2 x)e−x , ∀x ∈ R,
    будет общим решением дифференциального уравнения (19).
    Производная
    Dz : x → (C2 − C1 − C2 x)e−x , ∀x ∈ R.

    180

    Из того, что z(0) = Dz(0) = 0, находим C1 = C2 = − 1.

    (19)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Специальные функции ...

    П. 3, § 3, гл. 2

    Поэтому функция
    z : x → 1 − (1 + x)e−x , ∀x ∈ R,
    будет решением дифференциального уравнения (19), которое удовлетворяет условиям z(0) = Dz(0) = 0.
    Вычислим интеграл Дюамеля
    Zx

    eξ (1

    0

    =

    Zx
    0

    
    
    1
    ∂x 1 − 1 + (x − ξ) e−(x−ξ) dξ =
    2
    + ξ)

    
    
    Zx
    Zx
    (x − ξ) −x


    −x
    e dξ = e
    (x + 1)

    =
    (1 + ξ)2
    (1 + ξ)2
    1+ξ
    0

    0

    
    ix 
    h 1 ix h
    − ln(1 + ξ)
    =
    = − e−x (x + 1)
    1+ξ 0
    0
    
    = x − ln(x + 1) e−x , ∀x ∈ [0; + ∞).

    В соответствии с теоремой 1 функция
    
    z : x → x − ln(x + 1) e−x , ∀x ∈ [0; + ∞),

    является решением на числовом луче [0; + ∞) задачи Коши с нулевыми
    начальными условиям для дифференциального уравнения (18).
    Учитывая выполненную замену, при которой
    y(x) = z(x) + x − 2, ∀x ∈ [0; + ∞),
    получаем функцию
    
    y : x → x − 2 + x − ln(x + 1) e−x , ∀x ∈ [0; + ∞),

    которая и будет решением на числовом луче [0; + ∞) задачи Коши с
    ненулевыми начальными условиями y(0) = − 2, Dy(0) = 1 дифференциального уравнения (17).

    181

    Глава 3
    НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ,
    ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
    § 1. Сходимость несобственных интегралов,
    зависящих от параметров
    1. Поточечная и равномерная сходимости
    несобственных интегралов, зависящих от параметров
    1.1. Понятие несобственного интеграла,
    зависящего от параметра
    Определение несобственного интеграла, зависящего от параметра.

    Пример 1. Несобственный интеграл первого рода
    +∞
    Z
    x
    exp dx
    p

    (1)

    0

    задан при всяком ненулевом вещественном p. В соответствии с определением несобственного интеграла первого рода
    +∞
    Z

    h
    x
    x ix=ω
    x
    exp dx = lim
    exp dx = p lim exp
    =
    ω→+∞
    ω→+∞
    p
    p
    p x=0
    0

    0

    
      − p при p < 0,
    ω
    = p lim exp − 1 =
    ω→+∞
    p
    + ∞ при p > 0.
    Поэтому при p < 0 несобственный интеграл (1) равен − p, а при
    p > 0 несобственный интеграл (1) расходится.
    В процессе интегрирования p выступает в роли постоянной, то есть,
    p является параметром. И мы говорим, что несобственный интеграл (1)
    зависит от параметра p.

    182

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 1, § 1, гл. 3

    Интеграл
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, p ∈ P, P ⊂ R, − ∞ 6 a 6 b 6 + ∞,

    (2)

    в случае, когда хотя бы при одном значении параметра p
    он является несобственным, назовём несобственным интегралом, зависящим от параметра.
    Например, интеграл
    Z5
    0


    3

    dx
    x−p

    (3)

    является несобственным при любом значении параметра p из отрезка
    [0; 5], а интеграл
    Z1

    x2

    dx
    + p2

    (4)

    0

    является несобственным при одном значении параметра p = 0.

    В дальнейшем будем считать:
    1) a — вещественное число, b — вещественное число или
    + ∞ (b 6 + ∞), то есть, несобственность первого рода может
    наблюдаться в верхнем пределе интегрирования, когда b = + ∞;
    2) при любом фиксированном p из множества P, P ⊂ R,
    функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    является функцией одной переменной, сужение которой интегрируемо по Риману (в собственном смысле) на любом отрезке [a; η],
    содержащемся в числовом промежутке [a; b).
    Тем самым допускается возможность наличия несобственности второго рода, но лишь в верхнем пределе интегрирования.
    Заметим, что в соответствии с теорией несобственных интегралов эти условия не сужают класс возможных несобственных
    интегралов, зависящих от параметров.
    183

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Принятые соглашения позволяют несобственный интеграл,
    зависящий от параметра, задать посредством предела
    def :

    Zb

    f (x, p) dx = lim

    η→b−0

    a


    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P.

    (5)

    Естественно, несобственный интеграл может содержать не
    один, а несколько параметров. Теорию же будем строить в случае
    зависимости от одного параметра.
    Пример 2. Интеграл (3)
    Z5
    0


    3

    ix=5
    p 
    dx
    3 hp
    3 p
    3
    3
    =
    (x − p)2
    =
    (5 − p)2 − 3 p2 , ∀p ∈ R.
    x−p
    2
    2
    x=0

    Поэтому при p ∈ (−∞; 0)∪(5; +∞) интеграл (3) является определённым, зависящим от параметра, а при p ∈ [0; 5] интеграл (3) является
    сходящимся несобственным интегралом, зависящим от параметра.
    Пример 3. Интеграл (4)
    Z1
    0

    dx
    1h
    x ix=1
    1
    1
    =
    arctg
    = arctg , ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    x2 + p 2
    p
    p x=0
    p
    p
    При p = 0 интеграл (4) расходится.
    Пример 4. Несобственный интеграл
    +∞
    Z

    dx
    ,
    q 2 x2 + p 2

    (6)

    0

    зависящий от параметров p и q, не имеет смысла при p = q = 0.
    Если p = 0, q 6= 0, то
    +∞
    Z
    0

    184

    1
    dx
    = 2
    q 2 x2
    q

    lim



    η→+∞
    δ→+0 δ

    dx
    1
    = 2
    x2
    q

    lim

    η→+∞
    δ→+0

    1
    δ



    1
    = + ∞.
    η

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 1, § 1, гл. 3

    Если p 6= 0, q = 0, то
    +∞
    Z

    dx
    1
    = 2
    p2
    p

    0

    lim ω = + ∞.

    ω→+∞

    Если pq 6= 0, то
    +∞
    Z

    dx
    = lim
    2
    2
    η→+∞
    q x + p2


    0

    0

    =

    1
    pq

    h1
    dx
    qx ix=η
    =
    lim
    arctg
    =
    η→+∞ pq
    q 2 x2 + p 2
    p x=0

    lim arctg

    η→+∞


    1
    π
    π
    =
    sgn (pq) =
    .
    p
    pq
    2
    2|pq|

    Итак, интеграл (6) при p = q = 0 не имеет смысла, при pq = 0,
    π
    |p| + |q| 6= 0 расходится, а при pq 6= 0 сходится и равен
    .
    2|pq|

    1.2. Сходимость несобственных интегралов,
    зависящих от параметра
    Сходимость в точке. Расходимость в точке. Сходимость на множестве. Необходимый признак сходимости на множестве. Абсолютная
    сходимость на множестве. Сходимость на множестве абсолютно
    сходящегося на множестве несобственного интеграла, зависящего от
    параметра. Условная сходимость на множестве.

    При допустимом фиксированном значении параметра p = p 0
    из множества P несобственный интеграл с параметром
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P, P ⊂ R,

    (7)

    является просто несобственным интегралом
    I(p0 ) =

    Zb

    f (x, p0 ) dx.

    (8)

    a

    185

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Определение 1. Если несобственный интеграл (8) сходится, то будем говорить, что несобственный интеграл,
    зависящий от параметра, (7) сходится в точке p = p 0 . Если же несобственный интеграл (8) расходится, то будем говорить, что несобственный интеграл, зависящий от параметра, (7) расходится в точке p = p0 .
    Определение 2. Если несобственный интеграл, содержащий параметр, (7) сходится в каждой точке p множества
    P ⊂ R, то будем говорить, что несобственный интеграл,
    содержащий параметр, (7) сходится на множестве P.
    Например, интеграл (1) сходится на отрицательном числовом луче
    ( − ∞; 0), интеграл (3) сходится на поле R, интеграл (4) сходится на
    множестве ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞), а интеграл (6) сходится на множестве
    P = {(p, q) : |p| > 0, |q| > 0}.

    С учётом соглашений, принятых в первом подпункте, сходимость на множестве P несобственного интеграла, зависящего от
    параметра, (7) означает, что
    def :

    lim

    η→b−0



    f (x, p) dx =

    a

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P.

    (9)

    Теорема 1 (необходимый признак сходимости на множестве несобственного интеграла, зависящего от параметра). Если
    несобственный интеграл, зависящий от параметра, (7) сходится на множестве P, то при каждом фиксированном
    значении параметра p из множества P предел
    lim

    η→b−0

    Zb
    η

    f (x, p) dx = 0, ∀p ∈ P.

    (10)

    Доказательство. Несобственный интеграл, зависящий от параметра, (7) сходится на множестве P, поэтому при каждом фиксированном p из множества P, по свойству аддитивности сходящегося несобственного интеграла, будем иметь, что
    186

    В.Н. Горбузов

    Zb

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    f (x, p) dx =

    a



    П. 1, § 1, гл. 3

    a

    Zb

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P, ∀η ∈ [a; b).

    Zb



    f (x, p) dx, ∀p ∈ P, ∀η ∈ [a; b).

    f (x, p) dx +

    η

    Отсюда
    Zb

    f (x, p) dx =

    η

    a

    f (x, p) dx −

    a

    Переходя к пределу при η → b − 0, с учётом сходимости (9)
    при каждом p из множества P получаем:
    lim

    η→b−0

    Zb

    f (x, p) dx =

    η

    Zb
    a

    f (x, p) dx − lim

    η→b−0



    f (x, p) dx = 0.

    a

    На языке бесконечно малых этот признак может быть записан
    следующим образом:
    ∀ε > 0, ∀p ∈ P, ∃ ηεp ∈ [a; b), ∀η ∈ (ηεp ; b) :
    Zb





    f (x, p) dx < ε.



    (11)

    |f (x, p)| dx, ∀p ∈ P,

    (12)

    η

    Определение 3. Если несобственный интеграл, зависящий
    от параметра, (7) такой, что построенный на его основании несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    Zb
    a

    сходится на множестве P, то будем говорить, что несобственный интеграл, зависящий от параметра, (7) абсолютно сходится на множестве P.
    187

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Из определений 2 и 3, а также теоремы о сходимости абсолютно сходящегося несобственного интеграла следует теорема о
    сходимости на множестве абсолютно сходящегося на множестве
    несобственного интеграла, зависящего от параметра.
    Теорема 2. Если несобственный интеграл, зависящий от
    параметра, (7) абсолютно сходится на множестве P, то
    интеграл (7) сходится на множестве P.
    Если интеграл (7) на множестве P сходится, а интеграл (12)
    в каждой точке p множества P расходится, то будем говорить,
    что несобственный интеграл, зависящий от параметра, (7) условно сходится на множестве P.
    1.3. Равномерная сходимость несобственных интегралов,
    зависящих от параметра
    Равномерная сходимость. Равномерная абсолютная сходимость.
    Равномерная сходимость равномерно абсолютно сходящегося несобственного интеграла, зависящего от параметра.

    Определение 4. Сходящийся на множестве P несобственный интеграл, зависящий от параметра, (7) назовём
    равномерно сходящимся на множестве P, если для любого положительного числа ε на числовом промежутке [a; b)

    содержится такое число η, зависящее от ε, что для любо∗
    го числа η из открытого числового промежутка ( η; b) вы b

    R


    полняется неравенство f (x, p) dx < ε для всех значений
    η

    параметра p из множества P.
    В символах:




    ∀ε > 0, ∃ η ε ∈ [a; b), ∀η ∈ (η ε ; b) :
    Zb





    f (x, p) dx < ε, ∀p ∈ P.



    (13)

    η

    Используя M -критерий бесконечно малой, на основании соотношения (13) получаем M -критерий равномерной сходимости
    188

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 1, § 1, гл. 3

    несобственного интеграла, зависящего от параметра.
    Теорема 3. Сходящийся на множестве P несобственный
    интеграл, зависящий от параметра, (7) тогда и только тогда равномерно сходится на множестве P, когда для любого положительного числа ε на числовом промежутке [a; b)

    содержится такое число η, зависящее от ε, что для любо∗
    го числа η из открытого числового промежутка ( η; b) вы b

    R

    полняется неравенство f (x, p) dx < M ε для всех значеη

    ний параметра p из множества P, а положительное число
    M не зависит ни от ε, ни от p, ни от η.
    В символах:
    Zb







    ∀ε > 0, ∃ η ε ∈ [a; b), ∀η ∈ (η ε ; b) : f (x, p) dx < M ε, ∀p ∈ P,


    η

    где M > 0 и не зависит ни от ε, ни от p, ни от η.

    Используя M -критерий равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, докажем свойство
    линейности равномерной сходимости несобственного интеграла,
    зависящего от параметра.
    Свойство 1. Если несобственные интегралы, зависящие
    от параметра,
    Ii (p) =

    Zb
    a

    fi (x, p) dx, ∀p ∈ P, i = 1, i = 2,

    равномерно сходятся на множестве P, то несобственный
    интеграл, зависящий от параметра,
    I(p) =

    Zb
    a

    
    λ1 f1 (x, p) + λ2 f2 (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    где λ1 и λ2 — числа из поля R, равномерно сходится на P.
    189

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Доказательство. По свойству линейности сходимости несобственного интеграла, интеграл I сходится на P и
    I(p) = λ1 I1 (p) + λ2 I2 (p), ∀p ∈ P.
    Докажем, что сходимость будет равномерной на P.
    Интегралы I1 и I2 равномерно сходятся на множестве P,
    что в соответствии с определением (13) означает:
    Zb





    ∀ε > 0, ∃ η ε ∈ [a; b), ∀η ∈ ( η ε ; b) : f1 (x, p) dx < ε, ∀p ∈ P ;


    ∗∗

    ∗∗

    η

    Zb





    ∀ε > 0, ∃ ηeε ∈ [a; b), ∀η ∈ (e
    ηε ; b) : f2 (x, p) dx < ε, ∀p ∈ P.


    η

    Имеет место оценка

    Zb



    


    λ1 f1 (x, p) + λ2 f2 (x, p) dx =



    η

    Zb

    Zb




    = λ1 f1 (x, p) dx + λ2 f2 (x, p) dx 6


    η

    η

    Zb

    Zb









    6 |λ1 | f1 (x, p) dx + |λ2 | f2 (x, p) dx , ∀p ∈ P,




    η

    η

    где λ1 и λ2 — вещественные числа, а η — любое из [a; b).
    Тогда

    ∗∗


    ∀ε > 0, ∃ η ε = max η ε , ηeε , ∀η ∈ (η ε ; b) :

    190

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 1, § 1, гл. 3

    Zb



    


    λ1 f1 (x, p) + λ2 f2 (x, p) dx 6 (|λ1 | + |λ2 |)ε, ∀p ∈ P,



    η

    где λ1 и λ2 — вещественные числа, которые не зависят ни от ε,
    ни от p, ни от η.
    В соответствии с теоремой 3 интеграл I равномерно сходится
    на множестве P.
    Определение 5. Если несобственный интеграл, зависящий от параметра, (7) такой, что построенный на его основании несобственный интеграл, зависящий от параметра, (12) равномерно сходится на множестве P, то будем
    говорить, что несобственный интеграл с параметром (7)
    равномерно абсолютно сходится на множестве P.
    Теорема 4. Равномерно абсолютно сходящийся на множестве несобственный интеграл, зависящий от параметра, равномерно сходится на этом множестве.
    Доказательство. Равномерная сходимость на множестве P
    несобственного интеграла, зависящего от параметра, (12) на языке бесконечно малых означает:




    ∀ε > 0, ∃ η ε ∈ [a; b), ∀η ∈ (η ε ; b) :
    Zb
    η

    (14)

    |f (x, p)| dx < ε, ∀p ∈ P.

    По свойству модуля несобственного интеграла,
    Zb
    Zb




    f (x, p) dx 6 |f (x, p)| dx


    η

    η

    при любом фиксированном p из P, когда η ∈ [a, b).
    Тогда из соотношения (14) получаем утверждение (13).
    Пример 5. Докажем равномерную абсолютную сходимость на
    интервале (0; 1) несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра,

    191

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    I(p) =

    В.Н. Горбузов

    
    
    1 
    1 2
    dx , ∀p ∈ (0; 1).
    exp − 2 x −
    p
    p

    +∞
    Z
    1

    Выполнив подстановку
    h1 
    
    1
    1
    1
    x−
    = t, ∀t ∈
    1−
    ; + ∞ , 0 < p < 1,
    p
    p
    p
    p

    получим

    I(p) = p
    1
    p

    +∞
    Z

    1
    1− p

    Интеграл

    1
    p

    +∞
    Z

    1
    1− p

    e

    

    −t2

    Z0

    dt =
    1
    p

    1
    1− p

    

    e
    

    2

    e−t dt, ∀p ∈ (0; 1).

    −t2

    +∞
    Z
    2
    dt +
    e−t dt (0 < p < 1),
    0

    где первое интеграл-слагаемое суть определённый интеграл, а второе
    интеграл-слагаемое суть сходящийся интеграл Эйлера — Пуассона
    +∞

    Z
    2
    π
    e−t dt =
    .
    2
    0

    Поэтому интеграл I сходится на интервале (0; 1), причём абсолютно, как имеющий положительную подынтегральную функцию.
    В соответствии с определением 5 (равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра) осталось
    доказать, что




    ∀ε > 0, ∃ ηε ∈ [1, + ∞), ∀η ∈ (ηε ; + ∞) :
    +∞
    
    
    Z
    1 
    1 2
    exp − 2 x −
    dx < ε , ∀p ∈ (0; 1).
    p
    p
    η

    Выполнив подстановку

    192

    В.Н. Горбузов

    1
    p

    x−

    получим

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    1

    p

    = t, ∀t ∈

    h1 
    p

    η−

    1
    p

    

    П. 1, § 1, гл. 3


    ; + ∞ , 0 < p < 1, η > ηε > 1,

    +∞
    
    
    Z
    1 
    1 2
    dx =
    Φ(η, p) =
    exp − 2 x −
    p
    p
    η

    =p
    1
    p

    +∞
    Z

    1
    η− p



    2

    

    e−t dt, ∀η ∈ (ηε ; + ∞), ∀p ∈ (0; 1).

    Поскольку интеграл Эйлера — Пуассона сходится, то
    +∞
    Z
    2
    ∀ε > 0, ∃ θε ∈ [0; + ∞), ∀θ ∈ (θε ; + ∞) :
    e−t dt < ε.
    θ



    Число ηε > 1 выберем так, что

    π

    ηε >
    + θ, ∀ε ∈ (0; + ∞).
    ε
    Тогда
    Φ(η, p) = p
    1
    p



    +∞
    Z

    η− p1

    2

    e−t dt <

    

    +∞
    Z

    2
    ε
    p
    e−t dt = π p < ε, если 0 < p < √ ,

    π
     −∞


    <  +∞
    +∞
    +∞
    Z
    Z
     Z
    2
    2
    2

    ε
    −t
    −t

    e
    dt <
    e
    dt < e−t dt < ε, если √ 6 p < 1,

    π
    

    0
    1
    p

    1
    η− p

    π
    η− ε

    193

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    что соответствует равномерной абсолютной сходимости несобственного
    интеграла, зависящего от параметра, I на интервале (0; 1).

    Пусть несобственный интеграл, зависящий от параметра, (7)
    сходится на множестве P, а равномерно на множестве P не сходится, то есть, интеграл (7) неравномерно сходится на множестве P.
    Тогда, основываясь на определениях 2 и 4 и руководствуясь
    правилом де Моргана по отношению к утверждению (13), получаем следующий критерий неравномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
    Теорема 5. Для того чтобы несобственный интеграл,
    зависящий от параметра, (7) неравномерно сходился на
    множестве P, необходимо и достаточно, чтобы он сходился на множестве P (то есть, чтобы выполнялись условия
    (11)) и выполнялось условие




    ∀ η ∈ [a; b), ∃ ε ∈ (0; + ∞), ∃ p ∈ P, ∃ η ∈ (η; b) :
    Zb





    f (x, p) dx > ε.



    (15)

    η

    Заметим, что условие (15) иногда удобно рассматривать в
    следующем варианте


    ∀ η ∈ [a; b), ∃ ε0 ∈ (0; + ∞), ∀ε ∈ (0; ε0 ),
    Zb





    ∃ p ∈ P, ∃ η ∈ (η; b) : f (x, p) dx > ε.




    η

    Пример 6. Докажем неравномерную сходимость на открытом числовом луче (1; + ∞) несобственного интеграла первого
    рода, зависящего от параметра,
    I(p) =

    +∞
    Z
    1

    194

    dx
    , ∀p ∈ (1; + ∞).
    xp

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 1, § 1, гл. 3

    Интеграл
    1
    I(p) =
    1−p

    

    1
    xp−1

    x=+∞

    =

    x=1

    1
    , ∀p ∈ (1; + ∞),
    p−1

    а поэтому сходится на открытом числовом луче (1; + ∞).
    Докажем, что сходимость неравномерная (следуя теореме 5):
    


    ∀ η ∈ [1; + ∞), ∃ ε ∈ (0; + ∞), ∃ η ∈ η; + ∞ ,
    ∃ p ∈ (1; + ∞) :

    +∞
    Z

    dx
    > ε.
    xp

    η

    Действительно, интеграл
    +∞
    Z
    η

    
    x=+∞
    1
    1
    η 1−p
    dx
    =
    =
    , ∀η, p ∈ (1; + ∞),
    xp
    1 − p xp−1 x=η
    p−1

    а предел
    lim

    p→1+0

    η 1−p
    = + ∞, ∀η ∈ (1; + ∞).
    p−1

    Следовательно,
    ∀η ∈ (1; + ∞), ∃ ε ∈ (0; + ∞), ∃ p ∈ (1; + ∞) :

    η 1−p
    > ε.
    p−1

    Пример 7. Докажем неравномерную сходимость на полуоткрытом числовом луче [0; + ∞) несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра,
    I(p) =

    +∞
    Z
    0

    dx
    , ∀p ∈ [0; + ∞).
    (x − p)2 + 1

    Интеграл
    h
    ix=+∞
    π
    I(p) = arctg(x − p)
    = + arctg p , ∀p ∈ [0; + ∞),
    2
    x=0

    195

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    а поэтому сходится на полуоткрытом числовом луче [0; + ∞).
    Докажем, что сходимость неравномерная (следуя теореме 5):


    ∀ η ∈ [0; + ∞), ∃ ε0 ∈ (0; + ∞), ∀ε ∈ (0; ε0 ),


    ∃ p ∈ [0; + ∞), ∃ η ∈ (η; + ∞) :

    +∞
    Z
    η

    dx
    > ε.
    (x − p)2 + 1

    В самом деле, интеграл
    Φ(η, p) =

    +∞
    Z
    η

    =

    h
    ix=+∞
    dx
    =
    arctg(x

    p)
    =
    (x − p)2 + 1
    x=η

    π
    − arctg(η − p), ∀η, p ∈ [0; + ∞).
    2

    При p = η значение
    Φ(η, η) =

    π
    , ∀η ∈ [0; + ∞).
    2

    Поэтому
     π
    π
    ∀η ∈ [0; + ∞), ∀ε ∈ 0;
    , ∃ p = η : Φ(η, p) = > ε.
    2
    2
    Пример 8. Докажем, что интеграл Дирихле
    D(p) =

    +∞
    Z
    0

    sin px
    dx, ∀p ∈ [a; b],
    x

    неравномерно сходится на отрезке [a; b], содержащем нуль.
    При p > 0 подстановкой
    px = u, ∀u ∈ (0; + ∞),
    получаем:

    196

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    D(p) =

    +∞
    Z

    +∞
    Z

    sin px
    dx =
    x

    0

    0

    П. 1, § 1, гл. 3

    sin u
    du, ∀p ∈ (0; + ∞).
    u

    Сходимость интеграла
    +∞
    Z

    sin u
    du
    u

    0

    установим по признаку Дирихле:
    1) модуль интеграла






    sin u du = | cos η − 1| 6 2, ∀η ∈ [0; + ∞);


    0

    1
    2) функция u → , ∀u ∈ (0; + ∞), монотонно стремится к нулю
    u
    при u → + ∞.
    Значит, интеграл Дирихле D сходится на (0; + ∞).
    При p = 0 интеграл D(p) = 0.
    При p < 0 интеграл D сходится, так как
    D( − p) = − D(p), ∀p ∈ R.
    Итак, интеграл Дирихле D сходится на отрезке [a; b] вне зависимости от того, принадлежит или нет нуль этому отрезку.
    Докажем неравномерную сходимость интеграла D на [a; b], когда
    0 ∈ [a; b], т.е. докажем выполнение условий (15) для этого интеграла:


    ∀ η ∈ (0; + ∞), ∃ ε ∈ (0; + ∞), ∃ p ∈ [a; b], 0 ∈ [a; b],

    Z
    +∞
    
    sin px
    ∃ η ∈ η; + ∞ :
    dx > ε.


    x


    η

    Пусть p > 0. Тогда, положив

    получим, что

    px = t, ∀t ∈ [pη; + ∞),

    197

    П. 1, § 1, гл. 3
    +∞
    Z

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    sin px
    dx =
    x

    +∞
    Z

    В.Н. Горбузов

    sin t
    dt, ∀p ∈ [a; b], p > 0, ∀η ∈ (0; + ∞).
    t

    ηp

    η

    Возьмём
    Z

    +∞ sin t


    ε0 =
    dt .


    t
    0,1

    Тогда

    ∀η ∈ (0; + ∞), ∀ε ∈ (0; ε0 ), ∀p ∈ [a; b], p 6

    0,1
    :
    η

    +∞

    Z
    +∞ sin t Z
    sin t


    dt >
    dt = ε0 > ε.




    t
    t
    0,1

    ηp

    При p < 0 применим подстановку

    − px = t, ∀t ∈ [ − pη; + ∞),
    и, проведя аналогичные рассуждения, придём к такому же выводу. Тем
    и докажем неравномерную сходимость интеграла Дирихле в указанном
    случае.

    1.4. Связь между сходимостью несобственного интеграла,
    зависящего от параметра, и сходимостью функции
    двух переменных
    Несобственный интеграл, зависящий от параметра, как одинарный
    предел функции двух переменных. Функция, заданная несобственным интегралом, зависящим от параметра. Критерий равномерной сходимости
    несобственного интеграла, зависящего от параметра, на основании равномерной сходимости функции двух переменных к предельной функции.

    В определении (5) определённый интеграл

    a

    198

    f (x, p) dx

    (16)

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 1, § 1, гл. 3

    имеет переменный верхний предел интегрирования η ∈ [a; b) и переменный параметр p ∈ P. Поэтому определённым интегралом
    (16) задаётся функция двух переменных
    Φ : (η, p) →


    a

    (17)

    f (x, p) dx, ∀η ∈ [a; b), ∀p ∈ P.

    С учётом интерпретации (17) определение (5) запишем в следующем виде
    Zb
    a

    (18)

    f (x, p) dx = lim Φ(η, p), ∀p ∈ P.
    η→b−0

    Это позволяет трактовать несобственный интеграл, зависящий от параметра, следующим образом.
    Предложение 1. Несобственный интеграл, зависящий
    от параметра,
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    есть предел функции двух переменных (17) при η → b − 0.
    Предел в равенстве (18), если он существует, является функцией одной переменной
    (19)

    lim Φ(η, p) = I(p), ∀p ∈ P.

    η→b−0

    Существование предела (19) есть стремление функции двух
    переменных (17) к предельной функции I на множестве P при
    η → b − 0.
    Сопоставляя равенства (18) и (19), получаем
    Предложение 2. Сходящийся на множестве P несобRb
    ственный интеграл, зависящий от параметра, f (x, p) dx
    a

    199

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    при любом p из множества P является функцией одной переменной
    I: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P.

    (20)

    Стремление функции двух переменных
    Φ : (η, p) → Φ(η, p), ∀η ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    к предельной функции
    I : p → I(p), ∀p ∈ P,
    на множестве P при η → b−0 может происходить как поточечно,
    так и равномерно.
    В случае равномерной сходимости на языке «ε–δ» имеем:
    def : Φ(η, p)

    I(p), ∀p ∈ P, ⇐⇒

    η→b−0




    ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ η ε ∈ [a; b), ∀η ∈ (η ε ; b) :

    (21)

    |Φ(η, p) − I(p)| < ε, ∀p ∈ P.
    Теорема 6. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра,
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    на множестве P равносильна равномерной сходимости
    функции двух переменных (17) к предельной функции (19) на
    множестве P при η → b − 0.
    Доказательство. Функции (17) и (20) таковы, что модуль их
    разности
    200

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 1, § 1, гл. 3



    Zb




    |Φ(η, p) − I(p)| = f (x, p) dx − f (x, p) dx =


    a

    a

    (22)

    Zb

    Za
    Zb






    = f (x, p) dx + f (x, p) dx = f (x, p) dx ,



    η

    a

    η

    при любом η ∈ [a; b) и при любом p ∈ P.
    Здесь свойство аддитивности использовано на том основании,
    что интеграл

    f (x, p) dx
    a

    является определённым.
    Равенством (22) устанавливается равносильность определений (13) и (21).
    Критерий, содержащийся в теореме 5, позволяет сформулировать равномерную сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра,
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    как равномерную сходимость определённого интеграла, зависящего от параметра, (16) с переменным верхним пределом интегрирования η ∈ [a; b) при η → b − 0 к интегралу I :

    a

    f (x, p) dx

    η→b−0

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P.

    (23)

    201

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    1.5. Связь между сходимостями несобственного интеграла,
    зависящего от параметра, и функциональных рядов
    Построение сходящегося (равномерно сходящегося) на множестве
    функционального ряда по сходяшемуся (равномерно сходящемуся) на
    множестве несобственному интегралу , зависяшему от параметра. Признаки сходимости (равномерной сходимости) на множестве несобственного интеграла, зависяшего от параметра, на основании сходимости
    функциональных рядов.

    Пусть

     +∞
    ηi i=1 — некоторая числовая последовательность

    такая, что выполняются условия:
    1) η1 = a;

    2) ηi ∈ [a; b), i = 1, 2, . . . ;

    3) lim ηi = b.
    i→+∞

    Составим функциональный ряд
    η
    +∞ Zi+1
    X
    i=1 η
    i

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P.

    (24)

    Частичная сумма ряда (24)

    Sn−1 (p) =

    n−1
    X

    ηi+1

    Z

    f (x, p) dx =

    i=1 η
    i

    Zηn
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P.

    (25)

    Сопоставляя определение 2 (сходимости на множестве несобственного интеграла, зависящего от параметра) и определение
    сходимости на множестве функционального ряда, а также сопоставляя критерий-определение (23) (равномерной сходимости
    несобственного интеграла, зависящего от параметра) и определение равномерной сходимости функционального ряда, получаем
    Теорема 7. Если несобственный интеграл с параметром
    I(p) =

    Zb
    a

    202

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 1, § 1, гл. 3

    сходится (равномерно сходится) на множестве P, то на
    множестве P сходится (равномерно сходится) и функциональный ряд (24), причём
    Zb

    f (x, p) dx =

    η
    +∞ Zi+1
    X
    i=1 η
    i

    a

    (26)

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P.

    В самом деле, с учётом (25) при любом p из множества P
    Zb

    f (x, p) dx = lim

    η→b−0

    a


    a

    = lim Sn−1 (p) =
    n→+∞

    f (x, p) dx ⇐⇒

    η
    +∞ Zi+1
    X

    lim

    n→+∞

    f (x, p) dx =

    i=1 η
    i

    Zηn

    f (x, p) dx =

    a

    Zb

    f (x, p) dx.

    a

    Если использовать критерий-определение Гейне существования предела, а также критерий-определение Гейне равномерной
    сходимости функции двух переменных (теоремы 1.1.1.1 и 1.4.1.1),
    то получим, что имеет место
    Теорема 8. Если для всякой числовой последовательности
     +∞
    ηi i=1 , удовлетворяющей условиям:
    1) η1 = a;

    2) ηi ∈ [a; b), i = 1, 2, . . . ;

    3) lim ηi = b,
    i→+∞

    функциональные ряды (24) сходятся (равномерно сходятся)
    на множестве P, то на множестве P сходится (равномерно сходится) и несобственный интеграл с параметром
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    причём выполняется равенство (26).
    203

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    1.6. Ещё одно определение равномерной сходимости
    несобственных интегралов, зависящих от параметра
    Определение равномерной сходимости несобственного интеграла,
    зависящего от параметров, через предел точной верхней грани несобственного интеграла, зависящего от параметра, с переменным нижним
    пределом интегрирования.

    Наряду с определением 4 равномерную сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, можно определить
    через равномерную сходимость функции двух переменных (теорема 6) и через равномерную сходимость функциональных рядов
    (теорема 8).
    В практических целях часто удобно использовать
    Определение 6. Сходящийся на множестве P несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    назовём равномерно сходящимся на множестве P, если
    lim

    η→b−0

    Zb





    sup f (x, p) dx = 0.

    p∈P

    (27)

    η

    Доказательство. Прямое утверждение. По определению 4,
    Zb





    f (x, p) dx < ε,



    (28)

    η

    что имеет место сразу при всех p лишь бы они только принадлежали множеству P.
    Это означает ограниченность на множестве P функции
    204

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 1, § 1, гл. 3

    Zb





    p → f (x, p) dx , ∀p ∈ P.



    (29)

    η

    Ограниченность гарантирует существование точной верхней грани у функции (29) на множестве P, при этом имеет
    место оценка
    Zb




    sup f (x, p) dx 6 ε.
    p∈P
    η

    Если теперь основываться на определении 4, то от соотношения (13) можем перейти к утверждению
    Zb





    ∀ε > 0, ∃ η ε ∈ [a; b), ∀η ∈ (η ε ; b) : sup f (x, p) dx 6 ε.

    p∈P




    η

    Это означает, что имеет место равенство (27).
    Итак, из определения 4 следует определение 6.
    Обратное утверждение. Равенство (27) на языке бесконечно
    малых означает, что
    Zb





    ∀ε > 0, ∃ η ε ∈ [a; b), ∀η ∈ (η ε ; b) : sup f (x, p) dx < ε.


    p∈P




    (30)

    η

    Ограниченность точной верхней грани

    Zb





    sup f (x, p) dx < ε

    p∈P
    η

    влечёт за собой ограниченность функции (29) на множестве P, то
    есть, что
    205

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Zb





    f (x, p) dx < ε, ∀p ∈ P.


    η

    Поэтому из соотношения (30) следует утверждение (13).
    Итак, из определения 6 получили определение 4.
    1.7. Критерии Коши сходимости на множестве
    и равномерной сходимости несобственных интегралов,
    зависящих от параметра
    Критерий Коши сходимости (равномерной сходимости) на множестве несобственного интеграла, зависящего от параметра. M -критерий Коши сходимости (равномерной сходимости) на множестве несобственного интеграла, зависящего от параметра.

    Определение 2 позволяет перенести критерий Коши сходимости несобственного интеграла на случай, когда несобственный интеграл зависит от параметра.
    Теорема 9 (критерий Коши сходимости на множестве несобственного интеграла, зависящего от параметра). Несобственный
    интеграл, зависящий от параметра,
    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    сходится на множестве P тогда и только тогда, когда
    для любого положительного числа ε и для любого p из
    множества P на числовом промежутке [a; b) содержится
    такое число ηe, зависящее от ε и от x, что для любых

    ∗∗
    чисел η и η из открытого числового промежутка (e
    η ; b)
    выполняется неравенство
    Z∗∗

    η



    f (x, p) dx < ε.




    η

    206

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 1, § 1, гл. 3

    В символах:


    ∀ε > 0, ∀p ∈ P, ∃ ηeεp ∈ [a; b), ∀ η ∈ (e
    ηεp ; b),
    Z∗∗

    η

    ∗∗


    ηεp ; b) : f (x, p) dx < ε.
    ∀ η ∈ (e



    (31)



    η

    Теорема 10 (критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра). Несобственный
    Rb
    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,
    интеграл, зависящий от параметра,
    a

    равномерно сходится на множестве P тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε на числовом промежутке [a; b) содержится такое число ηe, зави∗
    ∗∗
    сящее от ε, что для любых чисел η и η из открытого числового промежутка (e
    η ; b) выполняется неравенство
    ∗∗



    f (x, p) dx < ε для всех значений параметра p из P.


    η

    В символах:



    ∀ε > 0, ∃ ηeε ∈ [a; b), ∀ η ∈ (e
    ηε ; b),

    Z∗∗

    η

    ∗∗


    ∀ η ∈ (e
    ηε ; b) : f (x, p) dx < ε, ∀p ∈ P.



    (32)



    η

    Доказательство. В соответствии с утверждениями (2.6.1.1) и
    (3.6.1.1) критерий Коши равномерной сходимости функции двух
    переменных
    Φ : (η, p) → Φ(η, p), ∀η ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    на множестве P при η → b − 0 запишем следующим образом:

    207

    П. 1, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов



    ∀ε > 0, ∃ ηeε ∈ [a; b), ∀ η ∈ (e
    ηε ; b),



    ∗∗
    ∀ η ∈ (e
    ηε ; b) : Φ(η, p) − Φ( η , p) < ε, ∀p ∈ P.
    ∗∗

    (33)

    В случае, когда функция Φ задана определённым интегралом,
    зависящим от параметров, (16) по формуле (17), модуль разности

    Z∗∗


    η


    ∗∗
    ∗∗

    Φ( η , p) − Φ( η , p) = f (x, p) dx − f (x, p) dx =



    a

    a

    ∗∗
    Za






    = f (x, p) dx + f (x, p) dx =




    η

    (34)

    a

    Z∗∗

    η

    ∗ ∗∗


    = f (x, p) dx , ∀p ∈ P, ∀ η, η ∈ [a; b).




    η

    Соотношение (33) с учётом равенства (34) имеет вид (32).
    Значит, функция (17) при η → b − 0 на множестве P равномерно сходится тогда и только тогда, когда выполняется утверждение (32).
    Отсюда с учётом теоремы 6 приходим к утверждению доказываемой теоремы.
    Обратим внимание на то, что критерии Коши (30) и (31) не
    указывают функцию, к которой на множестве P сходится несобственный интеграл, зависящий от параметра. Критерии Коши (30)
    и (31) лишь дают ответ на вопрос о наличии сходимости на множестве и равномерной сходимости у несобственного интеграла, зависящего от параметра. Поэтому критерии Коши относятся к теоремам существования. В данном случае существования сходимости
    на множестве и равномерной сходимости у несобственного интеграла, зависящего от параметра.
    208

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 1, § 1, гл. 3

    Используя M -критерий бесконечно малой, по критериям Коши (31) и (32), получаем следующие M -критерии сходимостей
    несобственных интегралов, зависящих от параметра.
    Теорема 11 (M-критерий Коши сходимости на множестве
    несобственного интеграла, зависящего от параметра). НесобRb
    ственный интеграл, зависящий от параметра, f (x, p) dx,
    a

    ∀p ∈ P, сходится на множестве P тогда и только тогда,
    когда для любого положительного числа ε и для любого p из
    множества P на числовом промежутке [a; b) содержится
    такое число ηe, зависящее от ε и от x, что для любых чисел

    ∗∗
    η и η из открытого числового промежутка (e
    η ; b) выполня ∗∗

    η

    R
    ется неравенство f (x, p) dx < M ε, где положительное


    η



    ∗∗

    число M не зависит ни от ε, ни от p, ни от η, ни от η .
    В символах:


    ∗∗

    ∀ε > 0, ∀p ∈ P, ∃ ηeεp ∈ [a; b), ∀ η ∈ (e
    ηεp ; b), ∀ η ∈ (e
    ηεp ; b) :
    Z∗∗

    η



    f (x, p) dx < M ε, где M > 0




    η



    ∗∗

    и не зависит ни от ε, ни от p, ни от η , ни от η .
    Теорема 12 (M-критерий Коши равномерной сходимости
    несобственного интеграла, зависящего от параметра). НесобRb
    ственный интеграл, зависящий от параметра, f (x, p) dx,
    a

    ∀p ∈ P, равномерно сходится на множестве P тогда и
    только тогда, когда для любого положительного числа ε
    на числовом промежутке [a; b) содержится такое число ηe,

    ∗∗
    зависящее от ε, что для любых чисел η и η из открыто-

    209

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    го числового промежутка (e
    η ; b) выполняется неравенство

    ∗∗


    f (x, p) dx < M ε для всех значений параметра p из мно ∗

    η

    жества P, а положительное число M не зависит ни от ε,

    ∗∗
    ни от p, ни от η, ни от η .
    В символах:


    ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ ηeε ∈ [a; b), ∀ η ∈ (e
    ηε ; b), ∀ η ∈ (e
    ηε ; b) :
    Z∗∗

    η



    f (x, p) dx < M ε, ∀p ∈ P, где M > 0




    η



    ∗∗

    и не зависит ни от ε, ни от p, ни от η, ни от η .

    2. Исследование на сходимость
    несобственных интегралов, зависящих от параметра
    Пpизнаки абсолютной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра: сравнения; предельный признак сравнения и следствия из него. Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Признак Харди сходимости несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра.

    Если вести речь о сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметров, то прежде всего следует помнить, что сходимость может быть установлена непосредственным вычислением
    этих интегралов. Так мы поступили в подпункте 2 пункта 1, когда
    оговаривали сходимость интегралов (1.1), (3.1), (4.1) и (6.1) на основании вычислений, проведённых в примерах 1.1, 2.1, 3.1 и 4.1.
    Определения 1.1 и 2.1 позволяют распространить признаки
    сходимости несобственных интегралов на те случаи, когда несобственные интегралы содержат один или несколько параметров.
    Доказательство каждого такого признака однотипно и состоит в том, что условия соответствующего признака для несобствен210

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    ного интеграла должны выполняться при каждом фиксированном
    значении параметра.
    Пример 1. Интеграл, зависящий от двух параметров,
    I(p, q) =

    Z1
    0

    |xq−1 − xp−1 | dx, ∀p, q ∈ (0; + ∞),

    при p > 1 и q > 1 является определённым, а если хотя бы один из положительных параметров p и q меньше единицы, то интеграл — несобственный второго рода на полуинтервале (0; 1].
    Пусть q > p > 0. Тогда
    xq−1 6 xp−1 , ∀x ∈ (0; 1],

    и интеграл
    I(p, q) =

    Z1
    0

    =

    h1
    p

    |x

    q−1

    xp −

    −x

    p−1

    | dx =

    Z1
    0

    (xp−1 − xq−1 ) dx =

    1 q ix=1 1 1
    q−p
    x
    = − =
    .
    q
    p q
    pq
    x=0

    Здесь в зависимости от параметров p и q в точке x = 0 двойная
    подстановка предполагает вычисление то значения функции (если p > 1
    и q > 1), то правостороннего предела (если 0 < p < 1 или 0 < q < 1),
    которые совпадают ввиду положительности параметров p и q.
    Пусть p > q > 0. Тогда
    xp−1 6 xq−1 , ∀x ∈ (0; 1],
    и аналогично предыдущему случаю находим:

    I(p, q) =

    Z1
    0

    =

    h1
    q

    |x

    q−1

    xq −

    −x

    p−1

    | dx =

    Z1
    0

    (xq−1 − xp−1 ) dx =

    1 p ix=1 1 1
    p−q
    x
    = − =
    .
    p
    q
    p
    pq
    x=0

    211

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Итак, интеграл I сходится на P = (0; + ∞) × (0; + ∞) и равен
    I(p, q) =

    |p − q|
    , ∀(p, q) ∈ P.
    pq

    2.1. Признак сравнения абсолютной сходимости на множестве
    несобственных интегралов, зависящих от параметра
    Признак сравнения абсолютной сходимости несобственного
    интеграла состоит в следующем.
    Предложение 1. Пусть выполняются условия:
    1) функции f : [a; b) → R и g : [a; b) → R неотрицательны при − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) сужения функций f и g интегрируемы по Риману на
    любом отрезке [a; η] из числового промежутка [a; b);
    3) функция f ограничена по сравнению с функцией g
    при x → b − 0.
    Тогда имеют место утверждения:
    Rb
    a) из сходимости интеграла
    g(x) dx следует сходи-

    мость интеграла

    Rb

    a

    f (x) dx;

    a

    б) из расходимости интеграла
    димость интеграла

    Rb

    Rb

    f (x) dx следует расхо-

    a

    g(x) dx.

    a

    В соответствии с определениями 1.1 и 2.1 этот признак на случай, когда несобственный интеграл содержит параметр, распространяется следующим образом.
    Теорема 1 (признак сравнения абсолютной сходимости на
    множестве несобственного интеграла, зависящего от параметра).
    Пусть выполняются условия:
    1) функции
    и
    212

    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    g : (x, p) → g(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    при каждом фиксированном значении переменной p из множества P являются функциями одной переменной
    fp : x → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), и gp : x → g(x, p), ∀x ∈ [a; b),
    сужения которых интегрируемы по Риману на любом отрезке [a; η], содержащемся в числовом промежутке [a; b),
    где − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) при каждом фиксированном значении переменной p
    из множества P функции fp и gp неотрицательны на числовом промежутке [a; b) :
    ∀p ∈ P : fp (x) > 0 & gp (x) > 0, ∀x ∈ [a; b);
    3) при каждом фиксированном значении переменной p
    из множества P функция fp ограничена по сравнению с
    функцией gp при x → b − 0 :
    ∀p ∈ P : fp (x) = O(gp (x)) при x → b − 0.
    Тогда имеют место утверждения:
    а) из сходимости на множестве P несобственного инRb
    теграла, зависящего от параметра,
    g(x, p) dx, ∀p ∈ P,
    a

    следует сходимость на множестве P несобственного инRb
    теграла, зависящего от параметра, f (x, p) dx, ∀p ∈ P ;
    a

    б) из расходимости в точке p из P несобственного
    Rb
    интеграла, зависящего от параметра, f (x, p) dx, ∀p ∈ P,
    a

    следует расходимость в точке p несобственного интеграRb
    ла, зависящего от параметра, g(x, p) dx, ∀p ∈ P.
    a

    213

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Пример 2. Несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    I(p) =

    +∞
    Z
    

    2 + sin

    0

    x
    x
    exp dx, ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞),
    p
    p

    таков, что для его подынтегральной функции справедливы оценки
    0 < exp

    x 
    x
    x
    x
    6 2 + sin
    exp 6 3 exp ,
    p
    p
    p
    p

    ∀x ∈ [0; + ∞), ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    В примере 1.1 доказано, что несобственный интеграл, зависящий от
    параметра, (1.1)
    +∞
    Z
    x
    exp dx, ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞),
    p
    0

    сходится на отрицательном числовом луче ( − ∞; 0), а при каждом положительном значении параметра p расходится.
    Поэтому в соответствии с признаком сравнения абсолютной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 1) интеграл I
    сходится (абсолютно и поточечно) на числовом луче ( − ∞; 0), а при
    p > 0 интеграл I расходится.
    Пример 3. Докажем, что несобственный интеграл первого
    рода, зависящий от параметра,
    I(p) =

    +∞
    Z
    0

    dx
    , ∀p ∈ (1; + ∞),
    xp + 1

    неравномерно сходится на открытом числовом луче (1; + ∞).
    Поскольку
    0<

    1
    1
    < p , ∀x, p ∈ (1; + ∞),
    xp + 1
    x

    а несобственный интеграл первого рода, содержащий параметр,

    214

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...
    +∞
    Z
    1

    П. 2, § 1, гл. 3

    dx
    , ∀p ∈ (1; + ∞),
    xp

    сходится на числовом луче (1; + ∞), то, по признаку сравнения абсолютной сходимости на множестве несобственного интеграла, зависящего
    от параметра, интеграл, содержащий параметр,
    +∞
    Z

    dx
    , ∀p ∈ (1; + ∞),
    +1

    xp

    1

    сходится на числовом луче (1; + ∞).
    Интеграл
    Z1

    dx
    , ∀p ∈ (1; + ∞),
    +1

    xp

    0

    является определённым, зависящим от параметра.
    Поэтому интеграл
    I(p) =

    Z1

    dx
    +
    xp + 1

    0

    +∞
    Z
    1

    dx
    , ∀p ∈ (1; + ∞),
    xp + 1

    абсолютно сходится на числовом луче (1; + ∞).
    Для доказательства неравномерной сходимости интеграла I сначала укажем оценку:
    +∞
    Z

    dx
    1
    >
    p
    x +1
    2

    η

    +∞
    Z
    η

    =

    h 1 ix=+∞
    dx
    1
    =
    =
    xp
    2(1 − p) xp−1 x=η

    η 1−p
    , ∀p, η ∈ (1; + ∞).
    2(p − 1)

    Так как
    lim

    p→1+0

    η 1−p
    = + ∞, ∀η ∈ (1; + ∞),
    2(p − 1)

    215

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    то имеем:
    ∀η ∈ (1; +∞), ∃ ε ∈ (0; + ∞), ∃ p ∈ (1; + ∞) :

    η 1−p
    > ε.
    2(p − 1)

    Стало быть,




    ∀ η ∈ (0; + ∞), ∃ ε ∈ (0; + ∞), ∃ η ∈ (η; + ∞),
    ∃ p ∈ (1; + ∞) :

    +∞
    Z

    dx
    > ε.
    +1

    xp

    η

    По теореме 5.1, интеграл I сходится неравномерно на (1; + ∞).

    2.2. Предельный признак сравнения абсолютной сходимости
    на множестве несобственных интегралов,
    зависящих от параметра
    Предельный признак сравнения абсолютной сходимости несобственного интеграла состоит в следующем.
    Предложение 2. Пусть функции
    f : [a; b) → R и g : [a; b) → R, − ∞ < a < b 6 + ∞,
    обладают следующими свойствами:
    1) функция f неотрицательна;
    2) функция g положительна;
    3) сужения функций f и g интегрируемы по Риману на
    любом отрезке [a; η], содержащемся в промежутке [a; b);
    4) предел
    lim

    x→b−0

    f (x)
    = k,
    g(x)

    где k — неотрицательное вещественное число или + ∞.
    Тогда имеют место утверждения:
    a) если 0 6 k < + ∞, то из сходимости интеграла
    Rb
    Rb
    g(x) dx следует сходимость интеграла f (x) dx;
    a

    216

    a

    В.Н. Горбузов

    Rb
    a

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    б) если 0 < k 6 + ∞, то из расходимости интеграла
    Rb
    g(x) dx следует расходимость интеграла f (x) dx.
    a

    На основании этого признака и следствий из него в соответствии с определениями 1.1 и 2.1 получаем следующие признаки
    сходимости на множестве несобственных интегралов, зависящих
    от параметра.
    Теорема 2 (предельный признак сравнения абсолютной сходимости на множестве несобственного интеграла, зависящего от
    параметра). Пусть выполняются условия:
    1) функции
    и

    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    g : (x, p) → g(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,

    при каждом фиксированном значении переменной p из множества P являются функциями одной переменной
    fp : x → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), и gp : x → g(x, p), ∀x ∈ [a; b),
    сужения которых интегрируемы по Риману на любом отрезке [a; η], содержащемся в числовом промежутке [a; b),
    − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) при каждом p из множества P функция f p неотрицательна на числовом промежутке [a; b) :
    ∀p ∈ P : fp (x) > 0, ∀x ∈ [a; b);
    3) при каждом p из множества P функция g p положительна на числовом промежутке [a; b) :
    ∀p ∈ P : gp (x) > 0, ∀x ∈ [a; b);
    4) при каждом p из множества P предел
    lim

    x→b−0

    f (x, p)
    = kp , 0 6 kp 6 + ∞.
    g(x, p)
    217

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Тогда имеют место утверждения:
    а) если при любом p из множества P предел k p такой, что 0 6 kp < + ∞, то из сходимости на множестве P несобственного интеграла, зависящего от парамеRb
    тра, g(x, p) dx, ∀p ∈ P, следует сходимость на множестве
    a

    P несобственного интеграла, зависящего от параметра,
    Rb
    f (x, p) dx, ∀p ∈ P ;
    a

    б) если при фиксированном p из P предел k p такой, что
    0 < kp 6 +∞, то из расходимости в точке p несобственноRb
    го интеграла, зависящего от параметра, g(x, p) dx, ∀p ∈ P,
    a

    следует расходимость в точке p несобственного интегра-

    ла, зависящего от параметра,

    Rb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P.

    Пример 4. Несобственный интеграл
    I(p, q) =

    +∞
    Z

    P (x)
    dx
    Q(x)

    a

    рассмотрим в предположении, что полином-числитель P имеет степень
    p ∈ N∪{0} и P (x) 6≡ 0, а полином-знаменатель Q степени q ∈ N∪{0}
    такой, что на полуоткрытом числовом луче [a; + ∞) у него нет нулей.
    Этим обеспечиваем, что интеграл I, зависящий от параметров p и q,
    является несобственным первого рода.
    Пусть положительное число ρ больше всех нулей полинома P и
    больше числа a.
    Тогда интеграл

    I(p, q) =

    +∞
    Z
    a

    218

    P (x)
    dx =
    Q(x)


    a

    P (x)
    dx +
    Q(x)

    +∞
    Z
    ρ

    P (x)
    dx.
    Q(x)

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    Интеграл-слагаемое
    I1 (p, q) =



    P (x)
    dx
    Q(x)

    a

    является определённым при любых целых неотрицательных p и q. Поэтому несобственный интеграл, зависящий от параметров, I сходится
    при тех и только тех значениях параметров p и q, при которых сходится интеграл-слагаемое
    I2 (p, q) =

    +∞
    Z

    P (x)
    dx.
    Q(x)

    ρ

    У интеграла I2 подынтегральная функция при любых целых неотрицательных p и q является функцией одной переменной, непрерывной
    и знакоопределённой на числовом луче [ρ; + ∞). Поэтому для исследования интеграла I2 на сходимость можем использовать предельный
    признак сравнения (теорема 2), считая, что
    P (x)
    > 0, ∀x ∈ [ρ; + ∞)
    Q(x)
    (в противном случае рассматриваем интеграл − I 2 ).
    В качестве функций сравнения возьмём функции
    gλ : x → xλ , ∀x ∈ [ρ; + ∞), λ = 1, λ = 2.
    Пределы отношений
    lim

    x→+∞

     P (x)

    1 
    xλ P (x)
    =
    lim
    = Aλ
    x→+∞ Q(x)
    Q(x) xλ
    :

    таковы, что 0 < A1 6 +∞ при q−p 6 1, 0 6 A2 < +∞ при q−p > 1.
    Несобственный интеграл
    +∞
    Z

    dx
    x

    ρ

    расходится, а несобственный интеграл

    219

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...
    +∞
    Z

    В.Н. Горбузов

    dx
    x2

    ρ

    сходится (ρ > 0).
    Значит, по теореме 2, интеграл I2 , а вместе с ним и интеграл I,
    сходятся при q − p > 1 и расходятся при q − p 6 1. Причём сходимость
    является абсолютной.

    Следствие 1. Пусть выполняются условия 1), 2) и 3) теоремы 2, а также при каждом p из множества P функции
    fp и gp эквивалентны при x → b − 0 :
    fp (x) ∼ gp (x) при x → b − 0, ∀p ∈ P.
    Тогда несобственный интеграл, зависящий от параметRb
    ра, f (x, p) dx, ∀p ∈ P, сходится на множестве P, если и
    a

    только если на множестве P сходится несобственный инRb
    теграл, зависящий от параметра, g(x, p) dx, ∀p ∈ P.
    a

    Пример 5. Интеграл, зависящий от двух параметров,
    I(a, b) =

    +∞
    Z
    0

    xa

    dx
    , ∀a, b ∈ R,
    + xb

    при a = b = 0 является несобственным первого рода на полуоткрытом
    числовом луче [0; + ∞), а при |a| + |b| 6= 0 является несобственным
    на открытом числовом луче (0; +∞), причём подынтегральная функция
    положительная.
    Если b = a, то несобственный интеграл I расходится в каждой
    R1 dx
    точке (a, a) из R2 , ибо при любом вещественном a интегралы
    a
    0 2x
    +∞
    R dx
    и
    не сходятся одновременно.
    a
    1 2x
    Пусть a < b. Представим интеграл I в виде суммы интегралов

    220

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    I(a, b) = I1 (a, b) + I2 (a, b), ∀(a, b) ∈ G,
    где
    I1 (a, b) =

    Z1
    0

    I2 (a, b) =

    +∞
    Z
    1

    xa

    dx
    , ∀(a, b) ∈ G,
    + xb

    dx
    , ∀(a, b) ∈ G, G = {(a, b) : a < b}.
    xa + x b

    Поскольку
    1
    1
    1
    = a
    ∼ a
    xa + x b
    x (1 + xb−a )
    x

    при x → + 0, ∀(a, b) ∈ G,

    1
    1
    1
    = b
    ∼ b
    xa + x b
    x (1 + xa−b )
    x

    при x → + ∞, ∀(a, b) ∈ G,

    то, по следствию 1, заключаем, что интеграл I1 сходится на множестве
    G1 = {(a, b) : a < 1, b > a},
    а в каждой точке (a, b) множества
    G2 = {(a, b) : b > a > 1}
    интеграл I1 расходится; на множестве
    G3 = {(a, b) : a < b, b > 1}
    интеграл I2 сходится, а в каждой точке (a, b) множества
    G4 = {(a, b) : a < b 6 1}
    интеграл I2 расходится.
    Следовательно, на множестве
    G5 = G1 ∩ G3 = {(a, b) : a < 1, b > 1}
    интеграл I сходится, а в каждой точке (a, b) множества G\G 5 интеграл I расходится.

    221

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Учитывая цикличность вхождения параметров a и b в задание
    несобственного интеграла, содержащего параметры, I, делаем вывод о
    том, что интеграл I сходится на множестве
    D1 = {(a, b) : a > 1, b < 1},
    а в каждой точке множества D2 = D\D1 , где
    D = {(a, b) : a > b},
    интеграл I расходится.
    Эти случаи объединим и получим, что интеграл I сходится на множестве
    J = {(a, b) : min {a, b} < 1, max {a, b} > 1},
    а в каждой точке (a, b) из множества R2 \J расходится.

    Следствие 2. Пусть выполняются условия 1), 2) и 3) теоремы 2, а также при каждом p из множества P функция
    fp является бесконечно малой по сравнению с функцией g p
    при x → b − 0 :
    fp (x) = o(gp (x)) при x → b − 0, ∀p ∈ P.
    Тогда имеют место следующие утверждения:
    а) если несобственный интеграл , зависящий от параRb
    метра, g(x, p) dx, ∀p ∈ P, сходится на множестве P, то
    a

    на множестве P сходится и несобственный интеграл, заRb
    висящий от параметра, f (x, p) dx, ∀p ∈ P ;
    a

    б) если при фиксированном p из P несобственный инRb
    теграл, зависящий от параметра, f (x, p) dx, ∀p ∈ P, расa

    ходится, то в точке p расходится и несобственный интеRb
    грал, зависящий от параметра, g(x, p) dx, ∀p ∈ P.
    a

    222

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    Пример 6. Интеграл, зависящий от двух параметров,
    I(p, q) =

    Z1
    0

    xq−1 − xp−1
    dx, ∀p, q ∈ (0; + ∞),
    ln x

    при p > 1 и q > 1 является определённым, а если хотя бы один из положительных параметров p и q меньше единицы, то интеграл — несобственный второго рода на полуинтервале (0; 1].
    Это следует из того, что при любых фиксированных положительных
    p и q подынтегральная функция является функцией одной переменной,
    сужение которой непрерывно на (0; 1), а пределы
    xq−1 − xp−1
    ∂x (xq−1 − xp−1 )
    = lim
    =
    x→1−0
    x→1−0
    ln x
    D ln x
    lim

    = lim

    x→1−0

    
    (q − 1)xq−1 − (p − 1)xp−1 = q − p, ∀p, q ∈ R,
    lim

    x→+0

    lim

    x→+0

    xγ−1
    = 0, ∀γ ∈ [1; + ∞),
    ln x

    xγ−1
    ∂x xγ−1
    = lim
    = (γ − 1) lim xγ−1 = − ∞, ∀γ ∈ (0; 1).
    x→+0 D ln x
    x→+0
    ln x

    Пусть параметр p ∈ (0; 1) или параметр q ∈ (0; 1).
    Тогда предел отношения
    lim

    x→+0

    

    |xq−1 − xp−1 |
    : |xq−1 − xp−1 |
    | ln x|

    

    = − lim

    x→+0

    1
    = 0,
    ln x

    то есть,
    
    |xq−1 − xp−1 |
    = o |xq−1 − xp−1 | при x → + 0.
    | ln x|

    В примере 1 непосредственным вычислением доказано, что несобственный интеграл, зависящий от параметров,

    223

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    Z1
    0

    В.Н. Горбузов

    |xq−1 − xp−1 | dx, ∀p, q ∈ (0; + ∞),

    сходится на множестве P = (0; + ∞) × (0; + ∞).
    Поэтому в соответствии со следствием 2 на множестве P сходится
    и несобственный интеграл, зависящий от параметров,
    Z1
    0

    |xq−1 − xp−1 |
    dx, ∀p, q ∈ (0; + ∞).
    | ln x|

    Отсюда следует, что несобственный интеграл, зависящий от параметров, I абсолютно сходится на множестве P.
    Пример 7. У интеграла, зависящего от параметра,
    π

    I(p) =

    Z2
    0

    ln | sin2 x − p2 | dx, ∀p ∈ [ − 1; 1],

    при каждом фиксированном p из отрезка [ − 1; 1] подынтегральная
    функция представляет собой функцию одной переменной, сужения ко
    πi
    торой непрерывны на полуинтервалах [0; | arcsin p|) и | arcsin p|; , а
    2
    пределы
    lim

    x→| arcsin p|±0

    ln | sin2 x − p2 | = − ∞.

    Поэтому I — несобственный интеграл, зависящий от параметра, с
    подвижной особой точкой
    x = | arcsin p|, ∀p ∈ [ − 1; 1].
    С помощью замены параметра
    h πi
    |p| = sin ϕ, ∀ϕ ∈ 0; ,
    2

    интеграл I приводим к несобственному интегралу, зависящему от параметра,

    224

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    π



    I (ϕ) =

    Z2
    0

    h πi
    ln | sin2 x − sin2 ϕ| dx, ∀ϕ ∈ 0; ,
    2

    h πi
    с подвижной особой точкой x = ϕ, ∀ϕ ∈ 0; .
    2
    При каждом фиксированном значении параметра ϕ из отрезка
    h πi

    0;
    у интеграла I подынтегральная функция является функцией од2
    ной переменной, сужения которой непрерывны и неположительны на по πi
    луинтервалах [0; ϕ) и ϕ; , а пределы
    2
    lim | sin2 x − sin2 ϕ| = − ∞.

    x→ϕ±0

    При 0 < λ < 1 пределы отношения
    
    
    lim
    ln | sin2 x − sin2 ϕ| :
    x→ϕ±0

    = lim

    



    x→ϕ±0

    1
    |x − ϕ|λ

    

    =

    λ
    x−ϕ

    | sin x − sin ϕ|λ (ln | sin x − sin ϕ| +
    sin x − sin ϕ

    + ln | sin x + sin ϕ|)

    

    = lim (| sin x − sin ϕ|λ ln | sin x − sin ϕ|) +
    x→ϕ±0

    h πi
    + lim (| sin x − sin ϕ|λ ln | sin x + sin ϕ|) = 0, ∀ϕ ∈ 0; ,
    x→ϕ±0
    2
    то есть, при 0 < λ < 1
    ln | sin2 x − sin2 ϕ| = o

    

    1
    |x − ϕ|λ

    

    h πi
    при x → ϕ ± 0, ∀ϕ ∈ 0; .
    2

    Учитывая сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра,

    225

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...
    π
    Z2
    0

    В.Н. Горбузов

    h πi
    dx
    , ∀ϕ ∈ 0; ,
    λ
    |x − ϕ|
    2

    h πi
    при 0 < λ < 1 на отрезке 0; , по следствию 2, заключаем об абсо2
    h πi

    интеграла I .
    лютной сходимости на отрезке 0;
    2
    Отсюда следует абсолютная сходимость несобственного интеграла
    I на отрезке [ − 1; 1].
    Пример 8. Докажем, что несобственный интеграл первого
    рода, зависящий от параметра,
    +∞
    Z
    √ −px2
    I(p) =
    pe
    dx, ∀p ∈ [0; + ∞),
    0

    неравномерно абсолютно сходится на неотрицательном числовом луче.
    При любом положительном p предел
    lim

    x→+∞

    √

    2

    p e−px :

    1 √
    x2
    =
    p
    lim
    2 = 0,
    x→+∞ epx
    x2

    а несобственный интеграл первого рода
    +∞
    Z

    dx
    x2

    1

    сходится.
    По следствию 2 (предельный признак сравнения абсолютной сходимости на множестве несобственного интеграла, зависящего от параметра), интеграл
    +∞
    Z


    2

    p e−px dx

    1

    абсолютно сходится на положительном числовом луче.

    226

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    Интеграл
    Z1



    0

    2

    p e−px dx, ∀p ∈ [0; + ∞),

    является определённым, зависящим от параметра.
    При p = 0 интеграл I(0) = 0, то есть, интеграл I абсолютно
    сходится в точке p = 0.
    Поэтому интеграл
    I(p) =

    Z1

    √ −px2
    pe
    dx +

    0

    +∞
    Z
    √ −px2
    pe
    dx, ∀p ∈ [0; + ∞),
    1

    абсолютно сходится на числовом луче [0; + ∞).
    То, что абсолютная сходимость на числовом луче [0; + ∞) неравномерная, заключаем по теореме 5.1, исходя из того, что
    +∞
    Z
    2
    1
    e−t dt, ∀p = 2 :
    ∀η ∈ (0; +∞), ∀ε ∈ (0; ε0 ), ε0 =
    η
    1

    +∞
    Z


    2

    p e−px dx =

    +∞
    Z
    2
    e−t dt = ε0 > ε.
    1

    η

    Число ε0 определяется однозначно, ибо оценивается с помощью
    интеграла Эйлера — Пуассона
    +∞
    +∞

    Z
    Z
    π
    −t2
    −t2
    0<
    e
    dt <
    e
    dt =
    .
    2
    1

    0

    Следствие 3 (предельный признак сравнения Коши для несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра).
    Пусть функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; + ∞), ∀p ∈ P,
    227

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    при каждом фиксированном значении переменной p из множества P является функцией одной переменной
    fp : x → f (x, p), ∀x ∈ [a; + ∞),
    которая обладает следующими свойствами:
    1) сужение интегрируемо по Риману на любом отрезке
    [a; η], содержащемся в числовом луче [a; + ∞);
    2) неотрицательна:
    ∀p ∈ P : fp (x) > 0, ∀x ∈ [a; + ∞);
    3) является бесконечно малой порядка λ p при x → +∞ :
    ∀p ∈ P : fp (x) = o

     1 
    при x → + ∞.
    x λp

    Тогда несобственный интеграл первого рода, зависящий
    +∞
    R
    от параметра,
    f (x, p) dx, ∀p ∈ P, при 0 < λp 6 1 расхоa

    дится в каждой точке p множества P, а при λ p > 1 сходится на множестве P.
    Пример 9. Интеграл, зависящий от четырёх параметров,
    +∞
    Z
    I(a, α, β, ν) =
    xν e−ax arctgβ αx dx, ∀α ∈ R, ∀a, β, ν ∈ (0; + ∞),
    0

    является несобственным первого рода.
    При λ > 0 предел отношения
    lim

    x→+∞

    

    1

    xν e−ax : x λ

    

    xλ+ν
    = 0, ∀ν, a ∈ (0; + ∞),
    x→+∞ eax

    = lim

    то есть,
    xν e−ax = o

    228

     1 
    при x → + ∞, ∀ν, a ∈ (0; + ∞).


    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    В соответствии с предельным признаком сравнения Коши для
    несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра, —
    следствие 3 — интеграл
    +∞
    Z
    S(a, ν) =
    xν e−ax dx, ∀a, ν ∈ (0; + ∞),
    0

    сходится на множестве D = {(a, ν) : a > 0, ν > 0}.
    Если теперь учесть, что имеет место оценка
    |xν e−ax arctgβ αx| = O(xν e−ax ) при x → + ∞,
    ∀α ∈ R, ∀a, β, ν ∈ (0; + ∞),
    то на основании признака сравнения (теорема 1) заключаем об абсолютной сходимости интеграла I на множестве
    G = {(a, α, β, ν) : a > 0, β > 0, ν > 0, α ∈ R}.
    Пример 10. Интеграл, зависящий от двух параметров,
    I(p, q) =

    +∞
    Z
     q 2 
    
     p2 
    exp − 2 − exp − 2
    dx, ∀p, q ∈ R,
    x
    x
    0

    является несобственным первого рода, потому что предел
    
     p2 
     q 2 
    exp − 2 − exp − 2
    = 0, ∀p, q ∈ R.
    x→+0
    x
    x
    lim

    Действительно, если |p| 6 |q|, то
    
     p2 
     q 2 
    exp − 2 − exp − 2
    =
    x→+0
    x
    x
    lim

    = lim

    x→+0

    

     p2 
    p2 − q 2 
    exp − 2 1 − exp
    = 0,
    x
    x2

    а если |p| > |q|, то

    229

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

     q 2 
    
     p2 
    =
    lim exp − 2 − exp − 2
    x→+0
    x
    x
    = lim

    x→+0

    

     q 2 
    q 2 − p2 
    exp − 2 1 − exp
    = 0.
    x
    x2

    Используя разложение экспоненты в степенной ряд
    ez =

    +∞ n
    X
    z
    , ∀z ∈ R,
    n!
    n=0

    получаем, что при любых вещественных p и q, |p| 6= |q|,
     p2 
     q 2  q 2 − p2
    1
    exp − 2 − exp − 2 =
    +
    o
    при x → + ∞.
    x
    x
    x2
    x2

    Значит, при любых фиксированных значениях p и q таких, что
    |p| 6= |q|, подынтегральная функция является функцией одной переменной, которая, будучи непрерывной1 и знакопостоянной на числовом луче
    [0; + ∞), является бесконечно малой второго порядка при x → + ∞.
    Тогда, по следствию 3 (предельный признак сравнения Коши абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметров), интеграл I абсолютно сходится на множестве
    P = {(p, q) : |p| 6= |q|}.
    Если |p| = |q|, то I(p, q) = 0.
    Поэтому интеграл I абсолютно сходится на плоскости R 2 .

    Следствие 4 (предельный признак сравнения Коши для несобственного интеграла второго рода, зависящего от параметра).
    Пусть функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P, − ∞ < a < b < + ∞,
    при каждом фиксированном значении переменной p из множества P является функцией одной переменной
    fp : x → f (x, p), ∀x ∈ [a; b),
    которая обладает следующими свойствами:
    1

    В точке x = 0 доопределяем нулевым значением.

    230

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    1) сужение интегрируемо по Риману на любом отрезке
    [a; η], содержащемся в полуинтервале [a; b);
    2) неотрицательна:
    ∀p ∈ P : fp (x) > 0, ∀x ∈ [a; b);
    3) является бесконечно большой порядка λ p при x → b − 0 :
    ∀p ∈ P : fp (x) = o

    

    
    1
    при x → b − 0.
    (b − x)λp

    Тогда несобственный интеграл второго рода, зависящий
    Rb
    от параметра, f (x, p) dx, ∀p ∈ P, при 0 < λp < 1 сходится
    a

    на множества P, а при λp > 1 расходится в каждой точке
    p множества P.
    Пример 11. Интеграл
    π

    I(p) =

    Z4 

    π
    −4

    cos x − sin x p
    dx
    cos x + sin x

    таков, что сужение подынтегральной функции
    f : (x, p) →

     cos x − sin x p
    cos x + sin x

    , ∀x ∈

    



    непрерывно и положительно на множестве G =


    

    π π
    ;
    , ∀p ∈ R,
    4 4
    



    π π
    ;
    × R, ибо
    4 4

     π π
    cos x − sin x
    4

     > 0, ∀x ∈ − ;
    =
    .
    cos x + sin x
    4 4
    sin
    +x
    4
    sin

    −x

    Поэтому при p < 0 интеграл I является несобственным второго
    h π π
    рода на полуинтервале − ;
    , а при p > 0 интеграл I является
    4 4

    231

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    несобственным второго рода на полуинтервале

    

    π πi
    − ; .
    4 4

    В.Н. Горбузов

    При p = 0 интеграл I определённый.
    Поскольку

    
    sin
    +x
    1
    π
    4

    ∼ π
    при x → − 0,
    4
    −x
    sin
    −x
    4
    4
    sin



    −x

    

    1
     ∼ π
    +x
    sin
    +x
    4
    4
    4


    при x → −

    π
    + 0,
    4

    то подынтегральная функция f при любом фиксированном отрицательπ
    ном p является бесконечно большой порядка λ p = |p| при x → − 0,
    4
    а при любом фиксированном положительном p является бесконечно
    π
    большой порядка λp = p при x → − + 0.
    4
    Поэтому в соответствии с предельным признаком сравнения Коши
    для несобственного интеграла второго рода с параметром (следствие 4)
    интеграл I абсолютно сходится на интервале ( − 1; 1), а в каждой точке
    p из множества ( − ∞; − 1] ∪ [1; + ∞) интеграл I расходится.
    Пример 12. У интеграла
    I(p, q) =


    0

    sinp−1 x
    dx, ∀p, q ∈ R,
    |1 + q cos x|p

    зависимость от параметров такова, что случай q < 0 приводится к случаю q > 0 заменой x = π − y, ∀y ∈ [0; π].
    Поэтому сначала будем считать, что q > 0.
    На множестве
    G1 = {(p, q) : p > 1, 0 6 q < 1}
    интеграл I является определённым.
    В каждой точке (p, q) из множества
    G2 = {(p, q) : p < 1, 0 6 q < 1}

    232

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    интеграл I является несобственным на интервале (0; π) с непрерывной
    положительной подынтегральной функцией.
    В каждой точке (p, q) из множества
    G3 = {(p, q) : p > 1, q > 1}
    подынтегральная функция является функцией одной переменной, сужения которой непрерывны и неотрицательны на полуинтервалах
    h
    
    1
    1 i
    0; π − arccos
    и
    π − arccos ; π .
    q
    q

    Поэтому на множестве G3 интеграл I является несобственным,
    зависящим от параметров, с подвижной особой точкой
    x = π − arccos

    1
    , ∀q ∈ [1; + ∞).
    q

    В каждой точке (p, q) из множества
    G4 = {(p, q) : p < 1, q > 1}
    подынтегральная функция представляет собой функцию одной переменной, сужения которой непрерывны и положительны на интервалах
    
    
    1
    1 
    0; π − arccos
    и
    π − arccos ; π .
    q
    q

    Поэтому на множестве G4 интеграл I является несобственным,
    зависящим от параметров, с особыми точками
    x = 0, x = π и x = π − arccos

    1
    , ∀q ∈ [1; + ∞).
    q

    Пусть p 6 0, а ρ = − p. Тогда ρ > 0 и предел отношения
    lim

    x→+0

    = lim

    x→+0

    

     |1 + q cos x|ρ

    |1 + q cos x|ρ

    sinρ+1

    :

    1 

    xρ+1

    =

    xρ+1 
    = (1 + q)ρ , ∀q ∈ [0; + ∞).
    sinρ+1 x

    233

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Следовательно, в каждой точке (p, q) из множества
    G5 = {(p, q) : p 6 0, q > 0}
    подынтегральная функция является функцией одной переменной бесконечно большой порядка λ = 1 − p > 1 при x → + 0. И в соответствии
    с предельным признаком сравнения Коши для несобственного интеграла
    второго рода, зависящего от параметра, — следствие 4 — интеграл I в
    каждой точке (p, q) множества G5 расходится.
    В каждой точке множества
    G6 = {(p, q) : 0 < p < 1, 0 6 q < 1},
    являющегося подмножеством множества G2 , подынтегральная функция представляет собой функцию одной переменной бесконечно большую порядка λ = 1 − p, λ ∈ (0; 1), при x → + 0 и при x → π − 0 :
    sinp−1 x
    1
    1

    sinp−1 ∼
    xp−1 при x → + 0,
    p
    p
    |1 + q cos x|
    (1 + q)
    (1 + q)p
    ∀p ∈ (0; 1), ∀q ∈ [0; 1) ∪ (1; + ∞),
    и
    sinp−1 x
    sinp−1 (π − x)


    |1 + q cos x|p
    |1 + q cos x|p


    1
    1
    sinp−1 (π − x) ∼
    (π − x)p−1
    |1 − q|p
    |1 − q|p

    при x → π − 0, ∀p ∈ (0; 1), ∀q ∈ [0; 1) ∪ (1; + ∞).
    Стало быть, по предельному признаку сравнения Коши для несобственного интеграла второго рода, зависящего от параметра, — следствие 4 — интеграл I сходится (абсолютно) на множестве G 6 .
    Пусть q = 1. Тогда при любом положительном p подынтегральная
    функция является функцией одной переменной бесконечно большой порядка λ > 1 при x → π − 0 :
     sinp−1 x
    1 
    :
    =
    p
    x→π−0 |1 + cos x|
    π−x
    lim

    234

    В.Н. Горбузов

    = lim

    x→π−0

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    

    p

    sin x
    π−x
    ·
    |1 + cos x|p sin(π − x)

    

    П. 2, § 1, гл. 3

    = + ∞, ∀p ∈ (0; + ∞).

    Поэтому в соответствии со следствием 4 интеграл I расходится в
    каждой точке (p, q) множества
    G7 = {(p, q) : p > 0, q = 1}.
    Пусть q > 1. Тогда в каждой точке (p, q) множества
    G8 = {(p, q) : p > 0, q > 1}
    подынтегральная функция суть функция одной переменной бесконечно
    1
    большая порядка λ = p при x → ξ, где ξ = π−arccos , ∀q ∈ (1; +∞) :
    q
    1
    sinp−1 x
    ∼ sinp−1 ξ ·
    =
    |1 + q cos x|p
    |x − ξ|p

    p

    q2 − 1
    q

    p−1

    ·

    1
    |x − ξ|p

    при x → ξ, ∀p ∈ (0; + ∞).
    На множестве
    G9 = {(p, q) : p > 1, q > 1},
    являющемся подмножеством множества G3 , интеграл I является
    несобственным с подвижной особой точкой x = ξ, ∀q ∈ (1; + ∞), а в
    каждой точке (p, q) из множества G9 подынтегральная функция представляет собой функцию одной переменной бесконечно большую порядка λ = p > 1 при x → ξ.
    Значит, по предельному признаку сравнения Коши для несобственного интеграла второго рода с параметром (следствие 4), в каждой точке
    (p, q) множества G9 интеграл I расходится.
    На множестве
    G10 = {(p, q) : 0 < p < 1, q > 1},
    являющемся подмножеством множества G4 , интеграл I имеет особые
    точки x = 0, x = π и x = ξ.
    В соответствии с ранее проведёнными доказательствами в каждой точке (p, q) из множества G10 подынтегральная функция является
    функцией одной переменной бесконечно большой порядков λ 0 = 1 − p
    при x → + 0, λπ = 1 − p при x → π − 0, λξ = p при x → ξ.

    235

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Поскольку λ0 ∈ (0; 1), λπ ∈ (0; 1), λξ ∈ (0; 1) при 0 < p < 1, то,
    по предельному признаку сравнения Коши для несобственного интеграла второго рода с параметром (следствие 4), интеграл I на множестве
    G10 сходится (абсолютно).
    Все возможные значения параметров p и q рассмотрены и итоговый вывод следующий: на множестве G = G11 ∪ G12 , где
    G11 = {(p, q) : p > 0, − 1 < q < 1},
    G12 = {(p, q) : 0 < p < 1, |q| > 1},
    интеграл I абсолютно сходится, а в каждой точке (p, q) из множества
    R2 \G интеграл I расходится.
    Пример 13. Исследуем на абсолютную сходимость интеграл
    I(p) =

    +∞
    Z
    π

    dx


    3
    xp sin2

    x

    , ∀p ∈ R.

    У данного интеграла подынтегральная функция имеет бесконечное
    множество особых точек x = πn, n = 1, 2, . . . . Поэтому

    I(p) =

    +∞
    X

    n=1

    π(n+1)
    Z
    πn

    dx

    , ∀p ∈ R,
    3
    xp sin2 x

    где интегралы-слагаемые

    In (p) =

    π(n+1)
    Z
    πn

    dx


    3
    xp sin2

    x

    , ∀p ∈ R, n = 1, 2, . . . ,

    являются несобственными на промежутках интегрирования
    
    πn; π(n + 1) , n = 1, 2, . . . .

    Стало быть, несобственный интеграл, зависящий от параметра, I
    сходится при тех и только тех значениях параметра p, при которых схо+∞
    P
    дятся интегралы In и функциональный ряд
    In (p).
    n=1

    236

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    Пусть
    x = πn + t, ∀t ∈ (0; π), n = 1, 2, . . . .
    Тогда при любом вещественном p
    π(n+1)
    Z

    In (p) =

    πn

    dx

    =
    3
    p
    x
    sin2 x


    0

    dt
    (πn + t)p


    3

    sin2 t

    , n = 1, 2, . . . .

    Пределы
    lim

    t→+0

    

    1

    1

    : √
    3
    3
    2
    t2
    (πn + t)p sin t

    

    1

    =

    (p ∈ R, n ∈ N)

    π p np

    и
    lim

    t→π−0

    

    1

    1

    : p
    3
    3
    2
    p
    (π − t)2
    (πn + t)
    sin t

    

    =

    1
    (p ∈ R, n ∈ N).
    + 1)p

    π p (n

    Значит, при любом вещественном p и любом натуральном n
    подынтегральная функция
    fpn : t →

    1
    (πn + t)p


    3

    sin2 t

    , ∀t ∈ (0; π),

    2
    является бесконечно большой порядка λpn = < 1 как при t → + 0,
    3
    так и при t → π − 0.
    Следовательно, по предельному признаку сравнения Коши для
    несобственного интеграла второго рода, зависящего от параметра, —
    следствие 4 — интеграл
    Φ(p, n) =


    0

    dt
    (πn + t)p


    3

    sin2 t

    , ∀p ∈ R, ∀n ∈ N,

    абсолютно сходится при любых вещественном p и натуральном n.
    Это означает, что каждый несобственный интеграл, зависящий от
    параметра, In , n = 1, 2, . . . , сходится на поле R.

    237

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Исследуем на абсолютную сходимость функциональный ряд (одновременно и несобственный интеграл, зависящий от параметра, I )
    I(p) =

    +∞
    X

    In (p) =

    n=1

    +∞ Zπ
    X

    n=1 0

    dt
    (πn + t)p


    3

    sin2 t

    , ∀p ∈ R.

    Используя при p > 0 оценку
    1
    π p (n + 1)p




    3

    0

    dt
    2

    sin t

    <


    0

    dt

    1

    < p p
    3
    2
    p
    π
    n
    (πn + t)
    sin t




    3




    3

    0

    dt
    sin2 t

    ,

    а при p < 0 оценку
    1
    π p np


    0


    3

    dt
    2

    sin t

    <


    0

    dt

    1

    < p
    3
    2
    p
    π
    (n
    + 1)p
    (πn + t)
    sin t

    0

    dt
    sin2 t

    ,

    на основании признака сравнения абсолютной сходимости функцио+∞
    P
    нальных рядов заключаем, что функциональный ряд
    In (p) (а вместе
    n=1

    с ним и интеграл I ) сходится при тех и только тех p из поля R, при
    которых сходится функциональный ряд
    +∞
    X
    1
    .
    p
    n
    n=1

    Стало быть, несобственный интеграл, зависящий от параметра, I
    абсолютно сходится на открытом числовом луче (1; + ∞), а при каждом значении параметра p из полуоткрытого числового луча ( − ∞; 1]
    интеграл I расходится.
    Пример 14. Исследуем на абсолютную сходимость интеграл
    I(p) =

    Z2
    0

    Предел

    238

    dx
    , ∀p ∈ R.
    | ln x|p

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...



    П. 2, § 1, гл. 3

    0, если p > 0,
    1

    lim
    p =  1, если p = 0,
    x→+0 | ln x|
    − ∞, если p < 0.

    Поэтому при p < 0 интеграл I является несобственным второго
    рода на полуинтервале (0; 2], а при p > 0 у несобственного интеграла
    I подынтегральная функция имеет одну особую точку x = 1.
    Заменой
    " −t
    e , ∀t ∈ [ − ln 2; + ∞), при p 6 0,
    x=
    e−t , ∀t ∈ [ − ln 2; 0) ∪ (0; + ∞), при p > 0
    интеграл I приводим к виду
    I(p) =

    Z2
    0

    dx
    p =
    | ln x|

    +∞
    Z

    −ln 2

    e−t
    p dt =
    |t|

    Z1

    −ln 2

    e−t
    p dt +
    |t|

    +∞
    Z
    1

    e−t
    p dt, ∀p ∈ R.
    t

    Интеграл
    I1 (p) =

    Z1

    −ln 2

    e−t
    p dt, ∀p ∈ R,
    |t|

    при p 6 0 является определённым с непрерывной подынтегральной
    функцией на отрезке интегрирования [ − ln 2; 1].
    Если p > 0, то интеграл I1 — несобственный с одной особой точкой t = 0.
    На основании эквивалентности
    1
    e−t
    p ∼
    p
    |t|
    |t|

    при t → 0

    заключаем, что при p > 0 подынтегральная функция у несобственного
    интеграла I1 является бесконечно большой порядка p при t → 0.
    В соответствии с предельным признаком сравнения Коши для
    несобственного интеграла второго рода с параметром (следствие 4)
    несобственный интеграл I1 абсолютно сходится на интервале (0; 1), а
    в каждой точке p числового луча [1; + ∞) интеграл I 1 расходится.
    Итак, интеграл I1 сходится абсолютно на числовом луче ( − ∞; 1),
    а в каждой точке p числового луча [1; + ∞) интеграл I 1 расходится.

    239

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    При любом вещественном p предел
    lim

    t→+∞

    то есть,

     e−t
    t

    p

    :

    1
    t2−p
    = lim
    = 0,
    2
    t→+∞ et
    t

    1
    e−t
    при t → + ∞,
    p =o
    t
    t2
    +∞
    R dt

    сходится.
    t2
    Следовательно, по предельному признаку сравнения абсолютной
    сходимости несобственного интеграла с параметром (следствие 2), несобственный интеграл первого рода, зависящий от параметра,
    а несобственный интеграл первого рода

    1

    I2 (p) =

    +∞
    Z
    1

    e−t
    dt, ∀p ∈ R,
    tp

    абсолютно сходится на числовой прямой ( − ∞; + ∞).
    Ввиду того, что
    I(p) = I1 (p) + I2 (p), ∀p ∈ R,
    на основании результатов исследований сходимости интегралов I 1 и
    I2 заключаем, что интеграл, зависящий от параметра, I абсолютно
    сходится на открытом числовом луче ( − ∞; 1), а в каждой точке p из
    полуоткрытого числового луча [1; + ∞) интеграл I расходится.

    2.3. Признак Дирихле сходимости (поточечной)
    несобственных интегралов, зависящих от параметра
    Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла состоит в следующем.
    Предложение 3. Пусть функции
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; b), и ψ : x → ψ(x), ∀x ∈ [a; b),
    удовлетворяют следующим условиям:
    1) сужения функций ϕ и ψ интегрируемы по Риману на
    любом отрезке [a; η] из [a; b), − ∞ < a < b 6 + ∞;

    240

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    2) функция
    Λ: η →


    a

    ϕ(x) dx, ∀η ∈ [a; b),

    ограничена;
    3) функция ψ монотонно стремится к нулю при x → b−0.
    Rb
    Тогда несобственный интеграл ϕ(x) ψ(x) dx сходится.
    a

    Определение 2.1 позволяет этот признак перенести на те случаи, когда несобственный интеграл зависит от параметра.
    Теорема 3 (признак Дирихле сходимости на множестве несобственного интеграла, зависящего от параметра). Пусть выполняются условия:
    1) функция
    ϕ : (x, p) → ϕ(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,

    при каждом фиксированном значении переменной p из множества P является функцией одной переменной, сужение
    которой интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η],
    содержащемся в [a; b), − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) функция
    Λp : η →


    a

    ϕ(x, p) dx, ∀η ∈ [a; b),

    при каждом фиксированном p из P огpаничена:
    ∀p ∈ P, ∃Mp > 0 : |Λp (η)| 6 Mp , ∀η ∈ [a; b);
    3) при каждом фиксированном p из P функция
    ψ : (x, p) → ψ(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    является функцией одной переменной, монотонной на числовом промежутке [a; b);
    241

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    4) при x → b − 0 функция ψ сходится к нулю на P.
    Тогда несобственный интеграл, зависящий от параметRb
    ра, ϕ(x, p) ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P, сходится на множестве P.
    a

    Следствие 5. Пусть выполняются условия:
    1) сужение функции
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; b),

    интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η], содержащемся в числовом промежутке [a; b), − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) функция
    Λ: η →


    a

    ϕ(x) dx, ∀η ∈ [a; b),

    ограничена:
    ∃M > 0 : |Λ(η)| 6 M, ∀η ∈ [a; b);
    3) при каждом фиксированном значении переменной p
    из множества P функция
    ψ : (x, p) → ψ(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    является функцией одной переменной, монотонной на числовом промежутке [a; b);
    4) при x → b − 0 функция ψ сходится к нулю на P.
    Тогда несобственный интеграл, зависящий от параметRb
    ра, ϕ(x) ψ(x, p) dx, сходится на множестве P.
    a

    Пример 15. Найдём множество сходимости несобственного
    интеграла, зависящего от двух параметров,
    I(p, q) =

    +∞
    Z
    0

    242

    sin xp
    dx, ∀p, q ∈ R.
    xq

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    Сначала будем считать, что параметр p > 0.
    Выполним замену переменной
    1
    p

    x = ζ , ∀ζ ∈ (0; + ∞),
    при которой

    I(p, q) =

    +∞
    Z

    sin xp
    1
    dx =
    xq
    p

    +∞
    Z

    sin ζ
    1
    dζ =
    ζs
    p

    0

    0

    Za

    sin ζ
    1
    dζ +
    ζs
    p

    0

    ∀p ∈ (0; + ∞), ∀q ∈ R, s =

    +∞
    Z

    sin ζ
    dζ,
    ζs

    a

    p+q−1
    , a > 0.
    p

    Поскольку
    sin ζ
    1
    ∼ s−1
    ζs
    ζ

    при ζ → + 0,

    то, по предельному признаку сравнения Коши для несобственного интеграла второго порядка с параметром (следствие 4), интеграл
    I1 (p, q) =

    Za
    0

    sin ζ
    dζ, ∀p ∈ (0; + ∞), ∀q ∈ R,
    ζs

    сходится при s < 2 и расходится при s > 2.
    Интеграл
    I2 (p, q) =

    +∞
    Z
    a

    sin ζ
    dζ, ∀p ∈ (0; + ∞), ∀q ∈ R, (a > 0)
    ζs

    сходится при s > 0, что устанавливаем с помощью признака Дирихле
    сходимости (поточечной) несобственного интеграла, зависящего от параметра, — следствие 5.
    Действительно, функция
    ϕ : ζ → sin ζ, ∀ζ ∈ [a; + ∞),
    непрерывна.

    243

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    С учётом того, что интеграл

    a

    sin ζ dζ = cos a − cos η,

    а
    | cos a − cos η| < 2, ∀η ∈ [a; + ∞),
    функция
    λ: η →


    a

    sin ζ dζ, ∀η ∈ (a; + ∞),

    является ограниченной на числовом луче [a; + ∞).
    Функция
    ψ : (ζ, s) →

    1
    , ∀ζ ∈ [a; + ∞), ∀s ∈ (0; + ∞),
    ζs

    при каждом фиксированном положительном s является функцией одной переменной, которая на числовом луче [a; + ∞), a > 0, монотонно
    стремится к нулю при ζ → + ∞.
    Докажем, что при s 6 0 интеграл I2 расходится.
    Действительно, пусть интеграл I2 при s 6 0 сходится.
    Тогда из представления его функциональным рядом
    +∞
    Z
    a

    sin ζ
    dζ =
    ζs


    a

    +∞

    X
    sin ζ
    dζ +
    s
    ζ
    n=1

    π(n+1)
    Z
    πn

    sin ζ
    dζ, ∀s ∈ ( − ∞; 0],
    ζs

    следует сходимость функционального ряда, расположенного в правой
    части равенства.
    Функции
    fn : ζ →

    1
    , ∀ζ ∈ [πn; π(n + 1)], n = 1, 2, . . . ,
    ζs

    непрерывны.
    Сужения функции

    244

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    ϕ : ζ → sin ζ, ∀ζ ∈ [0; + ∞),
    являются неотрицательными на отрезках [πn; π(n + 1)], n = 1, 2, . . . .
    Тогда, по интегральной теореме о среднем значении, определённые
    интегралы
    π(n+1)
    Z
    πn

    sin ζ
    1
    dζ = s
    ζs
    θn

    =2

    π(n+1)
    Z

    sin ζ dζ =

    πn

    1
    (cos πn − cos π(n + 1)) =
    θns

    ( − 1)n
    , θn ∈ (πn; π(n + 1)), n = 1, 2, . . . .
    θns

    Поэтому функциональный ряд
    +∞
    X

    n=1

    π(n+1)
    Z
    πn

    +∞
    X
    sin ζ
    ( − 1)n

    =
    2
    , θn ∈ (πn; π(n + 1)), n = 1, 2, . . . .
    ζs
    θns
    n=1

    В соответствии с необходимым признаком сходимости ряда предел
    lim

    n→+∞

    1
    = 0, т.е.
    θns

    lim

    θn →+∞

    1
    = 0.
    θns

    Стало быть, s > 0 является необходимым условием сходимости
    этого функционального ряда, а значит, s > 0 — необходимое условие
    сходимости несобственного интеграла.
    Поскольку интеграл I1 сходится лишь при s < 2, а интеграл I2
    сходится лишь при s > 0, то интеграл
    I(p, q) =

    1
    1
    I1 (p, q) + I2 (p, q)
    p
    p

    при p > 0 сходится на множестве
    n
    o
    q−1
    Π+ = (p, q) : p > 0, 0 <
    <1 .
    p

    Пусть теперь p < 0. Обозначим p1 = − p.
    Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что при p 1 > 0 интеграл I(p1 , q) сходится на множестве

    245

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    n

    В.Н. Горбузов

    o

    e = (p1 , q) : p1 > 0, 0 < q − 1 < 1 .
    Π
    p1

    Значит, интеграл I(p, q) при p < 0 сходится на множестве
    o
    n
    q−1
    <1 .
    Π− = (p, q) : p < 0, 0 <
    −p

    Если p = 0, то интеграл

    I(0, q) = sin 1

    +∞
    Z

    dx
    xq

    0

    и является расходящимся при любом значении параметра q.
    Итак, интеграл I сходится (поточечно) на множестве
    q − 1
    n
    o


    Π = (p, q) :
    <1 ,
    p

    а в каждой точке (p, q), не принадлежащей множеству Π, интеграл I
    расходится.

    2.4. Признак Абеля сходимости несобственных интегралов,
    зависящих от параметра
    Признак Абеля сходимости несобственного интеграла состоит
    в следующем.
    Предложение 4. Пусть функции
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; b), и ψ : x → ψ(x), ∀x ∈ [a; b),
    удовлетворяют следующим условиям:
    1) сужения функций ϕ и ψ интегрируемы по Риману на
    любом отрезке [a; η] из [a; b), − ∞ < a < b 6 + ∞;
    Rb
    2) несобственный интеграл ϕ(x) dx сходится;
    a

    3) функция ψ монотонна;
    4) функция ψ ограничена.

    246

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    Тогда несобственный интеграл

    Rb

    П. 2, § 1, гл. 3

    ϕ(x) ψ(x) dx является

    a

    сходящимся.
    Определение 2.1 позволяет этот признак перенести на те случаи, когда несобственный интеграл зависит от параметра.
    Теорема 4 (признак Абеля сходимости на множестве несобственного интеграла, зависящего от параметра). Пусть выполняются условия:
    1) функция
    ϕ : (x, p) → ϕ(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    при каждом фиксированном значении переменной p из множества P является функцией одной переменной, сужение
    которой интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η],
    содержащемся в [a; b), − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) интеграл, зависящий от параметра,
    Zb
    a

    ϕ(x, p) dx, ∀p ∈ P,

    сходится на множестве P ;
    3) при каждом фиксированном значении переменной p
    из множества P функция
    ψ : (x, p) → ψ(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    является функцией одной переменной, монотонной на числовом промежутке [a; b);
    4) при каждом фиксированном значении переменной p
    из множества P функция ψ является функцией одной
    переменной, которая является ограниченной на числовом
    промежутке [a; b).
    Тогда несобственный интеграл, зависящий от параметRb
    ра, ϕ(x, p) ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P, сходится на множестве P.
    a

    247

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Следствие 6. Пусть выполняются условия:
    1) функция
    ϕ : (x, p) → ϕ(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    при каждом фиксированном значении переменной p из множества P является функцией одной переменной, сужение
    которой интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η],
    содержащемся в [a; b), − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) интеграл, зависящий от параметра,
    Zb
    a

    ϕ(x, p) dx, ∀p ∈ P,

    сходится на множестве P ;
    3) функция
    ψ : x → ψ(x), ∀x ∈ [a; b),
    монотонна;
    4) функция ψ ограничена.
    Тогда несобственный интеграл, зависящий от парамеRb
    тра, ϕ(x, p) ψ(x) dx, ∀p ∈ P, сходится на множестве P.
    a

    Пример 16. Исследуем на абсолютную сходимость несобственный интеграл
    π

    Z2
    0

    ln sin x
    p
    dx
    x2 + p 2

    (p > 0).

    Несобственный интеграл

    π

    Z2
    0

    248

    ln sin x
    p
    dx
    x2 + p 2

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    является сходящимся на числовом луче (0; + ∞), что устанавливаем с
    помощью признака Абеля.
    В самом деле, интеграл Эйлера
    π

    Z2

    ln sin x dx

    0

    является сходящимся, при каждом фиксированном положительном p
    функция
     πi
    1
    g: x → p
    , ∀x ∈ 0; ,
    2
    x2 + p 2
    монотонно убывает и является ограниченной:

     πi
    1
    2
    1
    6p
    , ∀x ∈ 0; .
    p
    2
    x2 + p 2
    π 2 + 4p2

    У данного несобственного интеграла подынтегральная функция неположительная, поэтому он абсолютно сходится на (0; + ∞).
    Пример 17. Найдём множество сходимости несобственного
    интеграла, зависящего от двух параметров,
    I(p, q) =

    +∞
    Z

    x cos x
    dx, ∀p, q ∈ R.
    xp + x q

    π

    Ввиду цикличного вхождения параметров p и q в задание интеграла I рассуждения будем вести в предположении, что p > q.
    Интеграл представим в виде
    I(p, q) =

    +∞
    Z

    cos x
    dx
    ·
    , ∀p ∈ [q; + ∞), ∀q ∈ R.
    p−1
    x
    1 + xq−p

    π

    Функция
    ϕ : x → cos x, ∀x ∈ [π; + ∞),
    непрерывна.

    249

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    С учётом того, что интеграл

    π

    cos x dx = sin η, а | sin η| 6 1, ∀η ∈ [π; + ∞),

    функция
    Λ: η →


    π

    cos x dx, ∀η ∈ [π; + ∞),

    является ограниченной.
    Функция
    ψ : (x, p) →

    1
    , ∀x ∈ [π; + ∞), ∀p ∈ (1; + ∞),
    xp−1

    при каждом фиксированном p из числового луча (1; + ∞) является
    функцией одной переменной, которая при x → +∞, монотонно убывая,
    стремится к нулю.
    Стало быть, по признаку Дирихле сходимости несобственного интеграла с параметром (следствие 5), интеграл
    I1 (p) =

    +∞
    Z
    π

    cos x
    dx, ∀p ∈ (1; + ∞),
    xp−1

    сходится на числовом луче (1; + ∞).
    Функция
    ζ : (x, p, q) →

    1
    , ∀(x, p, q) ∈ T,
    1 + xq−p

    где T = {(x, p, q) : x > π, p > 1, q 6 p}, при любых фиксированных
    p из (1; + ∞) и q из ( − ∞; p] представляет собой функцию одной
    переменной, которая монотонно возрастает на числовом луче [π; + ∞),
    а поскольку
    lim

    x→+∞

    1
    = 1 при q 6 p,
    1 + xq−p

    то и является ограниченной на [π; + ∞).

    250

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    Тогда, по признаку Абеля сходимости несобственного интеграла с
    параметром (теорема 4), интеграл I сходится на множестве
    P = {(p, q) : p > 1, q 6 p}.
    Если не оговоривать, что q 6 p, то интеграл I сходится на
    Π = {(p, q) : max{p, q} > 1}.
    Докажем, что условие max{p, q} > 1 для сходимости интеграла I
    является не только достаточным, но и необходимым.
    Пусть интеграл I сходится. Представим его рядом

    I(p, q) =





    x cos x
    dx =
    xp + x q

    0

    Z2
    π

    +∞
    X

    x cos x
    dx +
    xp + x q
    n=1


    2Z+πn

    π
    2 +πn

    x cos x
    dx,
    xp + x q

    который является сходящимся.
    Функции
    fn : x →


    i

    1
    ,
    ∀x

    +
    πn;
    +
    πn
    , n = 1, 2, . . . ,
    xp−1 + xq−1
    2
    2

    непрерывны на отрезках, являющихся множествами определения.
    Сужения функции
    ϕ : x → cos x, ∀x ∈ [π; + ∞),


    i

    на каждом из отрезков
    + πn;
    + πn , n = 1, 2, . . . , являются зна2
    2
    копостоянными.
    Тогда, по первой интегральной теореме о среднем значении, определённые интегралы

    2Z+πn

    π
    2 +πn

    =

    cos x
    1
    dx = p−1
    p−1
    q−1
    x
    +x
    θn + θnq−1

    p−1

    θn


    2Z+πn

    cos x dx =

    π
    2 +πn

      3π
    

    
    1
    sin
    + πn − sin
    + πn =
    q−1
    2
    2
    + θn

    251

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...
    n+1

    =2

    ( − 1)
    , θn ∈
    θnp−1 + θnq−1


    2

    + πn;

    В.Н. Горбузов

    


    + πn , n = 1, 2, . . . .
    2

    Поэтому функциональный ряд
    +∞
    X


    2Z+πn

    n=1 π
    2 +πn

    θn ∈


    2

    +∞
    X
    x cos x
    ( − 1)n+1
    dx
    =
    2
    ,
    p
    q
    x +x
    θp−1 + θnq−1
    n=1 n

    + πn;

    

    + πn , n = 1, 2, . . . .
    2

    В соответствии с необходимым признаком сходимости ряда предел
    его n-го члена
    lim

    n→+∞

    p−1

    θn

    1
    = 0, т.е.
    + θnq−1

    lim

    θn →+∞

    p−1

    θn

    1
    = 0.
    + θnq−1

    Следовательно, max{p, q} > 1.
    Итак, интеграл I сходится на множестве
    Π = {(p, q) : max{p, q} > 1},
    а в каждой точке (p, q) 6∈ Π интеграл I расходится.

    2.5. Признак Харди сходимости несобственного интеграла
    первого рода, зависящего от параметра
    Признак Харди сходимости несобственного интеграла первого рода состоит в следующем.
    Предложение 5. Пусть выполняются условия:
    1) сужения функций
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; + ∞), и ψ : x → ψ(x), ∀x ∈ [a; + ∞),
    интегрируемы по Риману на любом отрезке [a; η], содержащемся в числовом луче [a; + ∞);
    2) для всех x из числового промежутка [a; + ∞) имеет место равенство ϕ(x + T ) = ϕ(x), где T — некоторое
    положительное число;
    252

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    3) при x → + ∞ функция ψ монотонно стремится к
    нулю.
    Тогда имеют место утверждения:
    a+T
    R
    а) если определённый интеграл
    ϕ(x) dx = 0, то
    a

    несобственный интеграл

    +∞
    R

    ϕ(x) ψ(x) dx сходится;

    a

    б) если определённый интеграл

    a+T
    R
    a

    то несобственный интеграл

    +∞
    R

    f (x) dx = k, k 6= 0,

    ϕ(x) ψ(x) dx сходится то-

    a

    гда и только тогда, когда сходится интеграл

    +∞
    R

    ψ(x) dx.

    a

    Этот признак с помощью определений 1.1 и 2.1 распространим на случай, когда несобственный интеграл первого рода содержит параметр.
    Теорема 5 (признак Харди сходимости несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра). Пусть выполняются условия:
    1) функция
    ϕ : (x, p) → ϕ(x, p), ∀x ∈ [a; + ∞), ∀p ∈ P,
    при каждом фиксированном значении переменной p из множества P является функцией одной переменной, сужение
    которой интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η],
    содержащемся в числовом луче [a; + ∞);
    2) имеет место равенство
    ϕ(x + T, p) = ϕ(x, p), ∀x ∈ [a; + ∞), ∀p ∈ P,
    где T — некоторое положительное число;
    3) при каждом фиксированном значении переменной p
    из множества P функция
    ψ : (x, p) → ψ(x, p), ∀x ∈ [a; + ∞), ∀p ∈ P,
    253

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    является функцией одной переменной, монотонной на числовом луче [a; + ∞);
    4) при x → + ∞ функция ψ сходится к нулю на P.
    Тогда имеют место утверждения:
    а) если определённый интеграл, содержаший параметр,
    a+T
    Z
    a

    ϕ(x, p) dx = 0, ∀p ∈ P,

    то несобственный интеграл первого рода с параметром
    +∞
    Z
    I(p) =
    ϕ(x, p) ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P,
    a

    сходится на множестве P ;
    б) если при произвольном фиксированном p из множества P определённый интеграл
    a+T
    Z

    ϕ(x, p) dx = kp ,

    a

    причём kp 6= 0, то несобственный интеграл первого рода,
    зависящий от параметра,
    +∞
    Z
    I(p) =
    ϕ(x, p) ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P,
    a

    сходится в точке p тогда и только тогда, когда в точке p
    сходится несобственный интеграл первого рода, зависящий
    от параметра,
    +∞
    Z
    b =
    ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P.
    I(p)
    a

    254

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    Следствие 7. Пусть выполняются условия:
    1) сужение функции
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; + ∞),
    интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η], содержащемся в числовом луче [a; + ∞);
    2) для всех x из числового луча [a; + ∞) имеет место
    равенство ϕ(x + T ) = ϕ(x), где T — некоторое положительное число;
    3) выполняются условия 3) и 4) теоремы 5.
    Тогда имеют место утверждения:
    а) если определённый интеграл,
    a+T
    Z

    ϕ(x) dx = 0,

    a

    то несобственный интеграл первого рода, зависящий от
    параметра,
    +∞
    Z
    I(p) =
    ϕ(x) ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P,
    a

    сходится на множестве P ;
    б) если определённый интеграл
    a+T
    Z
    a

    ϕ(x) dx = k, причём k 6= 0,

    а несобственный интеграл первого рода, зависящий от
    параметра,
    +∞
    Z
    b =
    I(p)
    ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P,
    a

    255

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    сходится на множестве P, то несобственный интеграл
    первого рода, зависящий от параметра,
    +∞
    Z
    I(p) =
    ϕ(x) ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P,
    a

    сходится на множестве P ;
    в) если определённый интеграл
    a+T
    Z
    a

    ϕ(x) dx = k, причём k 6= 0,

    а в точке p из множества P несобственный интеграл первого рода Ib расходится, то в этой точке расходится и
    несобственный интеграл первого рода I.

    Пример 18 (продолжение примера 17). Несобственный интеграл
    первого рода, зависящий от параметров,
    I(p, q) =

    +∞
    Z
    π

    x cos x
    dx, ∀p, q ∈ R,
    xp + x q

    был исследован на сходимость в примере 17 с помощью признаков Дирихле и Абеля.
    Сходимость можно установить и по признаку Харди.
    Действительно, в силу непрерывности и 2π -периодичности тригонометрической функции косинус выполняются условия 1) и 2) следствия
    7 относительно функции
    ϕ : x → cos x, ∀x ∈ [π; + ∞).
    Выполнение условий 3) и 4) теоремы 5 относительно функции
    ψ : (x, p, q) →

    1
    , ∀x ∈ [π; + ∞), ∀(p, q) ∈ Π,
    xp−1 + xq−1
    Π = {(p, q) : max{p, q} > 1},

    доказано в примере 17.

    256

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    Определённый интеграл
    Z3π
    π

    
    3π
    cos x dx = sin x π = 0.

    Тогда, по утверждению а) следствия 7, интеграл I сходится на множестве Π. Расходимость интеграла I в каждой точке (p, q) из множества R2 \Π установлена в примере 17.
    Перейдём к исследованию интеграла I на абсолютную и условную
    сходимости, используя признак Харди. Рассмотрим интеграл


    I (p, q) =

    +∞
    Z
    π

    x | cos x|
    dx, ∀(p, q) ∈ Π,
    xp + x q

    относительно которого выполняются условия следствия 7, где функция


    ϕ : x → | cos x|, ∀x ∈ [π; + ∞),

    и




    ϕ(x + π) = | cos(x + π)| = | cos x| = ϕ(x), ∀x ∈ [π; + ∞),
    а выполнение условий 3) и 4) теоремы 5 относительно функции ψ уже
    проверены.
    Определённый интеграл
    Z2π
    π



    ϕ(x) dx =

    Z2π
    π



    | cos x| dx = −

    Z2

    cos x dx +

    Z2π

    cos x dx =


    2

    π

    h
    i 3π h
    i2π
    2
    + sin x 3π = 2,
    = − sin x
    π

    2

    то есть, отличен от нуля.
    Используя результаты примера 4, заключаем, что интеграл
    b q) =
    I(p,

    +∞
    Z
    π

    xp−1

    dx
    , ∀(p, q) ∈ Π,
    + xq−1

    257

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    сходится на множестве
    Π1 = {(p, q) : max{p, q} > 2},
    а в каждой точке (p, q) множества
    Π2 = {(p, q) : 1 < max{p, q} 6 2}
    расходится.



    Следовательно, по утверждениям б) и в) следствия 7, интеграл I
    сходится на множестве Π1 , а в каждой точке (p, q) из множества Π2


    интеграл I расходится.
    Таким образом, относительно интеграла I имеем: на множестве Π 1
    абсолютно сходится; на множестве Π2 условно сходится; на множестве
    Π3 = {(p, q) : max{p, q} 6 1}
    расходится.
    Пример 19. Несобственный интеграл
    
    1
    +∞
    Z
    sin x +
    x dx, ∀p ∈ R,
    I(p) =
    xp
    0

    с учётом тригонометрической формулы представления синуса суммы
    запишем в виде
    I(p) = I1 (p) + I2 (p) + I3 (p) + I4 (p), ∀p ∈ R,
    где при любом вещественном p
    Z1 sin x cos 1
    x dx,
    I1 (p) =
    xp

    1
    +∞
    Z
    sin x cos
    x dx,
    I2 (p) =
    xp

    Z1 cos x sin 1
    x dx,
    I3 (p) =
    xp

    1
    +∞
    Z
    cos x sin
    x dx.
    I4 (p) =
    xp

    0

    0

    258

    1

    1

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    С помощью замены
    x=

    1
    , ∀t ∈ [1; + ∞),
    t

    интегралы I1 и I3 приводим к видам
    1
    +∞
    Z
    cos t sin
    t dt,
    I1 (p) =
    t2−p
    1

    1
    +∞
    Z
    cos t sin
    t dt, ∀p ∈ R.
    I3 (p) =
    t2−p
    1

    Стало быть, интегралы I1 с I4 и I2 с I3 однотипны. Поэтому достаточно исследовать на сходимость интегралы I 2 и I4 и результаты
    исследований перенести на интегралы I1 и I3 .
    Рассмотрим несобственный интеграл первого рода, зависящий от
    параметра, I2 . Функция
    ϕ1 : x → sin x, ∀x ∈ [1; + ∞),
    непрерывна и имеет ограниченную первообразную
    F1 : x → − cos x, ∀x ∈ [1; + ∞).
    Функция
    ψ1 : (x, p) →

    1
    1
    cos , ∀x ∈ [1; + ∞), ∀p ∈ R,
    p
    x
    x

    непрерывна на множестве
    Π1 = {(x, p) : x > 1, p ∈ R}.
    При любом фиксированном положительном значении переменной p
    функция ψ1 представляет собой функцию одной переменной, монотонно
    стремящуюся к нулю при x → + ∞.
    В самом деле, предел
    lim cos

    x→+∞



    1
    = 1,
    x


    поэтому существует такое число x > 1, что для всех x > x имеет место
    1
    1
    оценка < cos < 1.
    2
    x

    259

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Отсюда
    1
    1

    < ψ1 (x, p) < p , ∀x ∈ (x; + ∞), ∀p ∈ (0; + ∞),
    p
    2x
    x
    и при любом p > 0 функция ψ1 есть функция одной переменной, суже∗
    ние которой монотонно на числовом луче (x; + ∞) и сходится к нулю
    при x → + ∞.
    Тогда, по признаку Дирихле сходимости несобственного интеграла c
    параметром (следствие 5), интеграл I2 сходится на открытом числовом
    луче (0; + ∞).
    Докажем, что интеграл I2 при каждом значении параметра p из
    числового луча ( − ∞; 0] расходится. Для этого воспользуемся критерием Коши сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, — теорема 9.1 — и докажем, что
    ∀p ∈ ( − ∞; 0], ∃ ε ∈ (0; + ∞), ∀ ηeεp ∈ (1; + ∞),


    Z∗∗
    η


    1

    ∗∗


    ∃ η ∈ (e
    ηεp ; + ∞), ∃ η ∈ (e
    ηεp ; + ∞) : x−p sin x cos dx > ε.


    x


    η

    Возьмём произвольное число ε, удовлетворяющее двойному строгому неравенству 0 < ε < 1. Положим q = − p, выберем натуральное
    число n так, чтобы
    cos

    1
    1
    > , ∀x ∈ [2πn; + ∞),
    x
    2

    и рассмотрим интеграл
    π+2πn
    Z

    xq sin x cos



    1
    dx, ∀q ∈ [0; + ∞),
    x

    который является определённым.
    Функции
    f1 : x → xq cos
    и

    260

    1
    , ∀x ∈ [2πn; π + 2πn], при q > 0
    x

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    g1 : x → sin x, ∀x ∈ [2πn; π + 2πn],
    непрерывны.
    Тогда, по первой интегральной теореме о среднем значении, для
    определённого интеграла будем иметь, что
    π+2πn
    Z
    2πn
    q

    q
    1
    1
    x sin x cos dx = θn cos
    x
    θn

    = 2θn cos

    q

    π+2πn
    Z

    sin x dx =

    2πn

    q
    1
    > θn > 1, где θn ∈ (2πn; π + 2πn), q > 0.
    θn

    Итак,
    ∀p ∈ ( − ∞; 0], ∀ε ∈ (0; 1), ∀η ∈ (1; + ∞), ∃ n ∈ N, 2πn > η :
    π+2πn
    Z

    x−p sin x cos

    1
    dx > ε,
    x

    2πn

    а значит, интеграл I2 при любом p 6 0 расходится.
    Учитывая связь между интегралами I2 и I3 , заключаем, что
    интеграл I3 сходится на числовом луче ( − ∞; 2), а при каждом
    p > 2 интеграл I3 расходится.
    Стало быть, интегралы I2 и I3 одновременно сходятся на интервале (0; 2), а при каждом p из множества ( − ∞; 0] ∪ [2; + ∞) хотя бы
    один из интегралов I2 или I3 расходится.
    Рассмотрим несобственный интеграл первого рода, зависящий от
    параметра, I4 . Функция
    ϕ2 : x → cos x, ∀x ∈ [1; + ∞),
    непрерывна и имеет ограниченную первообразную

    Функция

    F2 : x → sin x, ∀x ∈ [1; + ∞).

    ψ2 : (x, p) →

    1
    1
    sin , ∀x ∈ [1; + ∞), ∀p ∈ R,
    p
    x
    x

    непрерывна на множестве Π1 = [1; + ∞) × R.

    261

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Имеет место оценка
    0<

    1
    1
    1
    sin < p+1 , ∀x ∈ (1; + ∞), ∀p ∈ ( − 1; + ∞).
    p
    x
    x
    x

    Поэтому при каждом p из (−1; +∞) функция ψ2 является функцией одной переменной, монотонно сходящейся к нулю при x → + ∞.
    Тогда, по признаку Дирихле сходимости несобственного интеграла,
    зависящего от параметра, — следствие 5 — интеграл I 4 сходится на
    числовом луче ( − 1; + ∞).
    Учитывая связь между интегралами I1 и I4 , заключаем о сходимости интеграла I1 на числовом луче ( − ∞; 3).
    На основании полученной информации относительно интегралов
    I1 , I2 , I3 и I4 приходим к заключению: несобственный интеграл, зависящий от параметра, I сходится на интервале (0; 2) и расходится в
    каждой точке p из множества ( − ∞; 0] ∪ [2; + ∞).
    Исследуем интеграл I на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    
    1 
    +∞
    Z
    sin x +

    x dx, ∀p ∈ (0; 2),
    I5 (p) =
    p
    x
    0

    который представим в виде суммы
    I5 (p) = I6 (p) + I7 (p), ∀p ∈ (0; 2),
    интегралов
    
    
    Z1 sin x + 1
    x dx, ∀p ∈ (0; 2),
    I6 (p) =
    xp
    0

    и
    
    1 
    +∞
    Z
    sin x +

    x dx, ∀p ∈ (0; 2).
    I7 (p) =
    xp
    1

    Рассмотрим несобственный интеграл первого рода, зависящий от
    параметра, I7 .

    262

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    Из оценки
    
    
    1
    1 

    sin2 x +

    sin x +
    x 6
    x 6 1 , ∀x ∈ [1; + ∞), ∀p ∈ (0; 2),
    xp
    xp
    xp

    по признаку сравнения абсолютной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 1), устанавливаем, что интеграл I 7 сходится
    на интервале (1; 2), а при каждом p из полуинтервала (0; 1] интеграл
    I7 расходится.
    Действительно, интеграл
    +∞
    Z
    1

    dx
    , ∀p ∈ (0; 2),
    xp

    сходится на интервале (1; 2). Поэтому интеграл I7 сходится на (1; 2).
    Докажем, что при каждом p из полуинтервала (0; 1] интеграл
    
    1
    +∞
    Z
    sin2 x +
    x dx, ∀p ∈ (0; 1],
    I8 (p) =
    xp
    1

    расходится. Для этого выполним подстановку
    x+

    1
    = z, ∀z ∈ (2; + ∞),
    x

    при которой
    x=



    
    1
    z + z2 − 4
    dz, ∀z ∈ (2; + ∞),
    z + z 2 − 4 , dx = √
    2
    z2 − 4

    и интеграл

    I8 (p) = 2p−1 I9 (p), ∀p ∈ (0; 1],
    где
    I9 (p) =

    +∞
    Z
    2

    z+



    sin2 z
    dz, ∀p ∈ (0; 1].
    p−1 √
    z2 − 4
    z2 − 4

    263

    П. 2, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Рассмотрим несобственный интеграл первого рода с параметром
    +∞
    Z

    I10 (p) =

    2+0

    sin2 z
    dz, ∀p ∈ (0; 1],

    p−1 √
    z + z2 − 4
    z2 − 4

    основываясь на признаке Харди сходимости несобственных интегралов
    первого рода с параметром (следствие 7).
    Функция
    ϕ3 : z → sin2 z, ∀z ∈ [2 + 0; + ∞),
    непрерывна и
    ϕ3 (z + π) = sin2 (z + π) = sin2 z = ϕ3 (z), ∀z ∈ [2 + 0; + ∞).
    Функция
    ψ3 : (z, p) →

    z+



    z2

    1
    , ∀z ∈ (2 + 0; + ∞), ∀p ∈ (0; 1],
    p−1 √
    −4
    z2 − 4

    непрерывна на множестве Π2 = [2 + 0; + ∞) × (0; 1], а при каждом p
    из полуинтервала (0; 1] монотонно стремится к нулю при z → + ∞.
    Интеграл
    2+π
    Z

    sin2 x dx =

    2+0

    hx
    2



    sin 2x i2+π
    π
    =
    4
    2
    2+0

    и отличен от нуля.
    Поскольку имеет место эквивалентность
    ψ3 (z, p) ∼

    21−p
    zp

    при z → + ∞, ∀p ∈ (0; 1],

    то несобственный интеграл
    +∞
    Z
    I11 (p) =
    ψ3 (z, p) dz, ∀p ∈ (0; 1],
    2+0

    264

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 2, § 1, гл. 3

    при любом p из полуинтервала (0; 1] на основании следствия 3 (предельный признак сравнения Коши для несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра) расходится.
    Тогда, по утверждению в) следствия 7, при любом p из полуинтервала (0; 1] расходится интеграл I10 , а вместе с ним и интеграл I9 , а
    значит, и интеграл I8 .
    Этим завершается доказательство того, что интеграл I 7 расходится
    в каждой точке полуинтервала (0; 1].
    С помощью подстановки
    1
    = t, ∀t ∈ [1; + ∞),
    x
    интеграл I6 приводим к виду
    1
    

    +∞
    Z
    +t
    sin
    t
    I6 (p) =
    dt, ∀p ∈ R.
    t2−p
    1

    Однотипность этого интеграла с интегралом I7 позволяет сделать
    вывод: интеграл I6 сходится на числовом луче ( − ∞; 1), а при каждом
    p > 1 интеграл I6 расходится.
    Множества сходимости
    {p : p > 1} и {p : p < 1}
    соответственно интегралов I7 и I6 дизъюнктивны, а значит, ни при каком значении параметра p интегралы I6 и I7 не могут одновременно
    сходиться.
    Следовательно, интеграл I5 при любом значении параметра p из
    поля R расходится.
    Относительно интеграла I окончательно получаем, что на интервале (0; 2) он условно сходится, а при любом значении параметра p из
    множества ( − ∞; 0] ∪ [2; + ∞) интеграл I расходится.

    265

    П. 3, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    3. Признаки равномерной сходимости
    несобственных интегралов, зависящих от параметра
    Пpизнак Вейеpштpасса pавномеpной абсолютной сходимости несобственного интегpала, зависящего от паpаметpа. Пpизнаки Дирихле
    и Абеля pавномеpной сходимости несобственных интегралов, зависящих
    от параметра.

    3.1. Признак Вейерштрасса равномерной абсолютной
    сходимости несобственных интегралов,
    зависящих от параметра
    Теорема 1 (признак Вейерштрасса равномерной абсолютной
    сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра).
    Пусть выполняются условия:
    1) сужение функции
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; b),
    интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η], содержащемся в числовом промежутке [a; b), − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) функция ϕ неотрицательна;
    3) несобственный интеграл
    Zb

    ϕ(x) dx

    a

    сходится;
    4) функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    при каждом фиксированном значении переменной p из множества P является функцией одной переменной, сужение
    которой интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η],
    содержащемся в числовом промежутке [a; b);
    5) имеет место оценка

    266

    |f (x, p)| 6 ϕ(x), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P.

    (1)

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 3, § 1, гл. 3

    Тогда несобственный интеграл с параметром
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    равномерно абсолютно сходится на множестве P.
    Доказательство. Условия теоремы предоставляют возможность для несобственного интеграла, зависящего от параметра,


    I (p) =

    Zb
    a

    |f (x, p)| dx, ∀p ∈ P,

    воспользоваться признаком сравнения абсолютной сходимости
    (теорема 1.2) и сделать вывод о его сходимости на множестве P.


    Остаётся доказать равномерную сходимость интеграла I на
    множестве P, то есть, что имеет место утверждение (14.1):


    Zb



    ∀ε > 0, ∃ η ε ∈ [a; b), ∀η ∈ (η ε ; b) :

    η

    |f (x, p)| dx < ε, ∀p ∈ P. (2)

    Условие 3) на языке «ε–δ» означает, что




    ∀ε > 0, ∃ η ε ∈ [a; b), ∀η ∈ (η ε ; b) :

    Zb

    ϕ(x) dx < ε.

    (3)

    η

    Утверждение (3) не зависит от параметра p. Поэтому можем
    утверждать:




    ∀ε > 0, ∃ η ε ∈ [a; b), ∀η ∈ (η ε ; b) :

    Zb
    η

    ϕ(x) dx < ε, ∀p ∈ P.

    (4)

    Учитывая условия теоремы, из оценки (1) следует, что
    267

    П. 3, § 1, гл. 3

    Zb
    η

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    |f (x, p)| dx 6

    Zb
    η

    В.Н. Горбузов

    ϕ(x) dx, ∀η ∈ [a; b), ∀p ∈ P.

    (5)

    Соотношение (4) при учёте (5) означает, что выполняется
    утверждение (2).
    Пример 1. Несобственный интеграл первого рода с параметром
    +∞
    Z
    0

    arctg px
    dx, ∀p ∈ R,
    1 + x2

    равномерно абсолютно сходится на поле вещественных чисел, что легко
    устанавливаем с помощью признака Вейерштрасса. Это обосновывается оценкой
    π
    1
    | arctg px|
    6 ·
    , ∀x ∈ [0; + ∞), ∀p ∈ R,
    1 + x2
    2 1 + x2
    и тем, что интеграл от мажорирующей функции сходится:
    +∞
    Z
    0

    h
    i+∞
    dx
    π
    = arctg x
    = .
    2
    1+x
    2
    0

    Пример 2. Исследуем на равномерную сходимость несобственный интегpал, зависящий от паpаметpа,
    I(p) =

    Z1
    0



    xp
    dx, ∀p ∈ [0; + ∞).
    1 − x2

    Интеграл I(p), ∀p ∈ [0; + ∞), является несобственным второго
    рода на полуинтервале [0; 1) при каждом фиксированном значении параметра p из полуоткрытого числового луча [0; + ∞), причём подынтегральная функция
    f : (x, p) → √

    xp
    , ∀(x, p) ∈ G, G = {(x, p) : 0 6 x < 1, p > 0},
    1 − x2

    является неотрицательной.

    268

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 3, § 1, гл. 3

    Используя оценку
    06 √

    xp
    1
    6√
    , ∀(x, p) ∈ G,
    1 − x2
    1 − x2

    и сходимость несобственного интеграла второго рода
    Z1
    0



    
    1
    dx
    π
    = arcsin x 0 = ,
    2
    2
    1−x

    по признаку Вейерштрасса равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 1), заключаем о равномерной абсолютной сходимости интеграл I на [0; + ∞).
    Пример 3. Докажем равномерную абсолютную сходимость
    сужения несобственного интеграла первого рода, зависящего от
    параметра,
    I(p) =

    +∞
    Z
    1

    dx
    , ∀p ∈ (1; + ∞),
    xp

    на числовом луче [p0 ; + ∞] при p0 > 1.
    Если число p0 > 1, то
    1
    1
    6 p0 , ∀x ∈ [1; + ∞), ∀p ∈ [p0 ; + ∞),
    p
    x
    x
    причём независящий от параметра несобственный интеграл первого рода
    +∞
    Z

    dx
    x p0

    1

    сходится.
    По признаку Вейерштрасса равномерной абсолютной сходимости
    несобственного интеграла с параметром (теорема 1), интеграл I равномерно абсолютно сходится на любом полуоткрытом числовом луче
    [p0 ; + ∞), когда p0 > 1.
    Заметим, что в примере 6.1 доказано, что на открытом числовом луче
    (1; + ∞) интеграл I сходится неравномерно.

    269

    П. 3, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Пример 4. Докажем, что интеграл
    +∞
    Z
    I(p) =
    pe−px dx, ∀p ∈ P,
    0

    равномерно сходится на любом отрезке P+ = [a; b] при a > 0 и
    неравномерно сходится на любом отрезке P0 = [0; b].
    У несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра,
    I+ (p) = I(p), ∀p ∈ P+ , P+ = [a; b], a > 0,
    подынтегральная функция
    f : (x, p) → pe−px , ∀x ∈ [0; + ∞), ∀p ∈ P+ ,
    является положительной на множестве Π+ = [0; + ∞) × [a; b], a > 0.
    Имеет место оценка
    pe−px 6 be−ax , ∀(x, p) ∈ Π+ ,
    а интеграл от мажорирующей функции сходится:
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    b
    −ax
    be
    dx = −
    e−ax d( − ax) =
    a
    0

    = −

    0

    a+b
    b h −ax ix→+∞
    e
    = −
    (b > a > 0).
    a
    a
    x=0

    Тогда, по признаку Вейерштрасса равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, — теорема 1
    — интеграл I+ равномерно абсолютно сходится на отрезке P+ = [a; b]
    при любых b > a > 0.
    Неравномерную сходимость интеграла I0 на отрезке P0 = [0; b]
    будем доказывать, следуя критерию неравномерной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 5.1).
    Интеграл I0 сходится
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    −px
    I0 (p) =
    pe
    dx = −
    e−px d( − px) =
    0

    270

    0

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    h

    = − e−px

    ix→+∞
    x=0

    П. 3, § 1, гл. 3

    = 1, ∀p ∈ [0; b].

    Докажем, что имеет место утверждение (15.1), которое относительно интеграла I0 будет таковым:
    +∞
    Z
    ∀ η > 0, ∀ε ∈ (0; ε0 ), ∃ η > η, ∃ p ∈ [0; b] :
    pe−px dx > ε.




    η

    При любом p ∈ [0; b] и любом положительном η интеграл
    +∞
    Z
    ix→+∞
    h
    pe−px dx = − e−px
    = e−pη .
    x=0

    η

    Неравенство
    1
    1
    ln
    η
    ε

    e−pη > ε ⇐⇒ p 6

    (p > 0, η > 0, ε > 0).

    Поэтому




    ∀ η > 0, ∀ε ∈ (0; 1), ∃ η > η,
    n

    1
    1o
    ∃ p ∈ [0; B], B = min b, ln
    :
    η
    ε

    +∞
    Z
    pe−px dx > ε.
    η

    Пример 5. Исследуем на равномерную сходимость несобственный интегpал, зависящий от паpаметpа,
    I(p) =

    Z2
    0

    p
    3

    xp
    (x − 1)(x − 2)2

    dx, ∀p ∈ ( − 0,5; 0,5).

    Интеграл I является несобственным c несколькими особыми точками: внутренней x = 1, граничной x = 2 промежутка интегрирования,
    а также граничной x = 0, когда параметр p ∈ ( − 0,5; 0).
    С целью использования признака Вейерштрасса равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла c параметром (теорема 1) введём в рассмотрение несобственный интеграл с параметром

    271

    П. 3, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    Z2



    I (p) =

    0

    p
    3

    xp
    |x − 1|(x − 2)2

    В.Н. Горбузов

    dx, ∀p ∈ ( − 0,5; 0,5),

    с неотрицательной подынтегральной функцией такой, что
    06 p
    3



    xp

    6

    |x − 1|(x − 2)2

    1
    , ∀x ∈ (0; 1), ∀p ∈ ( − 0,5; 0,5),
    √ p
    3
     x |x − 1|(x − 2)2

    6


    x
    p
    , ∀x ∈ (1; 2), ∀p ∈ ( − 0,5; 0,5).
    3
    (x − 1)(x − 2)2

    Поскольку

    lim

    x→+0

    

    1
    1
    :√
    √ p
    3
    2
    x
    x |x − 1|(x − 2)

    1
    1
    ∼ p
    √ p
    3
    3
    2
    x |x − 1|(x − 2)
    |x − 1|
    p
    3


    x

    (x − 1)(x − 2)2

    lim

    x→2−0

    

    p
    3

    ∼ √
    3

    1
    x−1


    x
    (x − 1)(x −

    2)2

    : p
    3

    


    3
    2
    =
    ,
    2

    при x → 1 − 0,

    при x → 1 + 0,
    1
    (x −

    2)2

    

    =


    2,

    то в соответствии с предельным признаком сравнения абсолютной сходимости несобственного интеграла (предложение 2.2) будут сходиться
    несобственные интегралы


    I1 =

    Z1
    0

    272

    dx

    √ p
    x 3 |x − 1|(x − 2)2



    и I2 =

    Z2
    1

    p
    3


    x dx
    (x − 1)(x − 2)2

    .

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 3, § 1, гл. 3

    Тогда, по признаку Вейерштрасса равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, — теорема 1
    — несобственные интегралы
    I1 (p) =

    Z1
    0

    и
    I2 (p) =

    Z2
    1

    p
    3
    p
    3

    xp
    (x − 1)(x − 2)2

    dx, ∀p ∈ ( − 0,5; 0,5),

    xp
    dx, ∀p ∈ ( − 0,5; 0,5),
    (x − 1)(x − 2)2

    равномерно абсолютно сходятся на интервале ( − 0,5; 0,5).
    А значит, и интеграл
    I(p) = I1 (p) + I2 (p), ∀p ∈ ( − 0,5; 0,5),
    равномерно абсолютно сходится на интервале ( − 0,5; 0,5).
    Пример 6. Подберём положительное число a так, чтобы
    0<

    +∞
    Z

    dx
    < 10−6 при 1,1 6 p 6 10.
    1 + xp

    a

    Поскольку при положительных a
    0<

    1
    1
    < 1,1 , ∀x ∈ (a; + ∞), ∀p ∈ [1,1; 10],
    p
    1+x
    x

    а интеграл
    +∞
    Z
    a

    dx
    =
    x1,1

    

    x−0,1
    − 0,1

    +∞
    a

    =

    10
    ,
    a0,1

    то, по признаку Вейерштрасса равномерной абсолютной сходимости
    несобственного интеграла с параметром (теорема 1), при каждом фиксированном положительном a равномерно абсолютно сходится на отрезке
    [1,1; 10] интеграл

    273

    П. 3, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...
    +∞
    Z

    В.Н. Горбузов

    dx
    .
    1 + xp

    a

    По свойству несобственного интегрирования неравенств,
    0<

    +∞
    Z

    dx
    <
    1 + xp

    +∞
    Z
    a

    a

    dx
    10
    < 0,1 , ∀x ∈ (a; + ∞).
    1,1
    x
    a

    Поскольку
    10
    < 10−6 при a > 1070 ,
    a0,1
    то при a > 1070 имеет место оценка, указанная в примере.

    Теорема 1 (признак Вейерштрасса) содержит достаточные
    условия равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра. В следующем примере докажем, что условия теоремы 1 не являются необходимыми для равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
    Пример 7 (продолжение примера 5.1). В примере 5.1 доказано, что
    несобственный интеграл первого рода, зависящий от параметра,
    +∞
    
    
    Z
    1 
    1 2
    I(p) =
    exp − 2 x −
    dx, ∀p ∈ (0; 1),
    p
    p
    1

    равномерно абсолютно сходится на интервале (0; 1).
    В то же время для этого интеграла не существует мажоранты, которая не зависит от параметра.
    Допустим противное:
    
    
    1 
    1 2
    f (x, p) = exp − 2 x −
    6 ϕ(x), ∀x ∈ [1; + ∞], ∀p ∈ (0; 1).
    p
    p
    1
    Тогда для любого x из (1; + ∞) существует такое p = , которое
    x
    принадлежит интервалу (0; 1), что
    f (x, p) = 1.

    274

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 3, § 1, гл. 3

    Поэтому
    ϕ(x) > 1, ∀x ∈ (1; + ∞).
    А значит, интеграл
    +∞
    Z
    ϕ(x) dx
    1

    расходится.

    3.2. Признак Дирихле равномерной сходимости
    несобственных интегралов, зависящих от параметра
    Теорема 2 (признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра). Пусть:
    1) функция
    ϕ : (x, p) → ϕ(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    при каждом фиксированном значении переменной p из множества P является функцией одной переменной, сужение
    которой интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η],
    содержащемся в [a; b), − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) функция
    Λ : (η, p) →


    a

    ϕ(x, p) dx, ∀η ∈ [a; b), ∀p ∈ P,

    огpаничена на множестве G = {(η, p) : a 6 η < b, p ∈ P };
    3) при каждом фиксированном значении переменной p
    из множества P функция
    ψ : (x, p) → ψ(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    есть функция одной переменной, монотонная на числовом
    промежутке [a; b);
    4) при x → b−0 функция ψ равномерно сходится к нулю
    на множестве P.
    275

    П. 3, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Тогда несобственный интеграл с параметром
    Zb
    a

    ϕ(x, p)ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P,

    равномерно сходится на множестве P.
    Доказательство. Условия теоремы гарантируют выполнение
    условий признака Дирихле сходимости на множестве несобственного интеграла с параметром (теорема 3.1), по которому интеграл
    I сходится на множестве P.
    Остаётся доказать равномерность этой сходимости на множестве P.

    ∗∗
    Пусть η и η суть некоторые произвольные числа из полуоткрытого числового промежутка [a; b).

    ∗∗
    Для определённости будем считать, что η < η .
    Относительно интеграла
    ∗∗



    I (p) =



    ϕ(x, p) ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P,

    (6)



    η

    при каждом фиксированном значении p из множества P выполняются условия второй интегральной теоремы о среднем значении
    определённого интеграла.
     ∗ ∗∗ 
    Поэтому существует ζ ∈ η; η такое, что
    ∗∗





    ϕ(x, p) ψ(x, p) dx = ψ(η, p)





    ϕ(x, p) dx +



    η

    η

    ∗∗

    ∗∗

    + ψ( η , p)


    ζ

    276

    ϕ(x, p) dx, ∀p ∈ P.

    (7)

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 3, § 1, гл. 3

    Ограниченность функции
    Λ : (η, p) →


    a

    ϕ(x, p) dx, ∀(η, p) ∈ G,

    означает:
    ∃M > 0 : |Λ(η, p)| < M, ∀η ∈ [a; b), ∀p ∈ P.

    (8)

    ∗ ∗∗

    В силу выбора η, η и ζ на основании (8) имеем:






    ∃M > 0 : ϕ(x, p) dx < M,




    η

    ∗ ∗∗

    Z∗∗

    η




    ϕ(x, p) dx < M,


    ζ

    (9)

    ∀ η, η ∈ [a; b), ∀ζ ∈ [a; b), ∀p ∈ P.

    В соответствии с условием 4) доказываемой теоремы на языке
    бесконечно малых можем утверждать о следующем:
    ∗ ∗∗

    ∀ε > 0, ∃ ηeε ∈ [a; b), ∀ η, η ∈ (e
    ηε ; b) :




    ψ(η; p) < ε, ψ(∗∗
    η ; p) < ε, ∀p ∈ P.

    (10)

    Используя свойство модуля определённого интеграла, на основании равенства (7) получим оценку
    Z∗∗



    η










    ϕ(x, p) ψ(x, p) dx 6 ψ(η, p) · ϕ(x, p) dx +








    η

    η

    Z∗∗

    η


    ∗∗


    + ψ( η , p)| · ϕ(x, p) dx , ∀p ∈ P.



    (11)

    ζ

    277

    П. 3, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Поэтому с учётом соотношений (9) и (10) будем иметь, что
    ∗ ∗∗

    ηε ; b) :
    ∃M > 0, ∀ε > 0, ∃ ηeε ∈ [a; b), ∀ η, η ∈ (e
    Z∗∗

    η




    ϕ(x,
    p)
    ψ(x,
    p)
    dx

    < 2M ε, ∀p ∈ P.




    η

    где M не зависит ни от ε, ни от p.
    Отсюда, по M -критерию Коши равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 11.1), заключаем о
    равномерной сходимости на множестве P несобственного интеграла, зависящего от параметра, I.
    В приложениях используются и частные случаи признака Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
    Следствие 1. Пусть выполняются условия:
    1) сужение функции
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; b),
    интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η], содержащемся в числовом промежутке [a; b), − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) функция
    Λ: η →


    a

    ϕ(x) dx, ∀η ∈ [a; b),

    ограничена;
    3) выполняются условия 3) и 4) теоремы 2.
    Тогда несобственный интеграл с параметром
    Zb
    a

    ϕ(x) ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P,

    равномерно сходится на множестве P.
    278

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 3, § 1, гл. 3

    Следствие 2. Пусть:
    1) выполняются условия 1) и 2) теоремы 2;
    2) функция
    ψ : x → ψ(x), ∀x ∈ [a; b),
    монотонна;
    3) предел
    lim ψ(x) = 0.

    x→b−0

    Тогда несобственный интеграл с параметром
    Zb
    a

    ϕ(x, p) ψ(x) dx, ∀p ∈ P,

    равномерно сходится на множестве P.
    Пример 8. Докажем, что интеграл Дирихле
    D(p) =

    +∞
    Z
    0

    sin px
    dx, ∀p ∈ [a; b],
    x

    равномерно сходится на отрезке [a; b], не содержащем нуль.
    Функция Λ ограничена:




    x=η
    1 
    1


    |Λ(η, p)| = sin px dx =
    |1 − cos pη| 6
    cos px x=0 =

    |p|
    |p|
    0

    6

    2
    , ∀η ∈ [0; + ∞), ∀p ∈ [a; b], 0 ∈
    / [a; b].
    min{|a|, |b|}

    Функция
    ϕ: x →

    1
    , ∀x ∈ (0; + ∞),
    x

    монотонно стремится к нулю при x → + ∞.

    279

    П. 3, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Итак, по признаку Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, — следствие 2 — интеграл
    Дирихле D равномерно сходится на любом отрезке [a; b] при условии,
    что 0 ∈
    / [a; b].

    3.3. Признак Абеля равномерной сходимости
    несобственных интегралов, зависящих от параметра
    Теорема 3 (признак Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра). Пусть выполняются условия:
    1) функция
    ϕ : (x, p) → ϕ(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    при каждом фиксированном значении переменной p из множества P является функцией одной переменной, сужение
    которой интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η],
    содержащемся в [a; b), − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    Zb
    a

    ϕ(x, p) dx, ∀p ∈ P,

    равномерно сходится на множестве P ;
    3) при каждом фиксированном значении переменной p
    из множества P функция
    ψ : (x, p) → ψ(x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    является функцией одной переменной, монотонной на числовом промежутке [a; b);
    4) функция ψ ограничена на множестве
    G = {(x, p) : a 6 x < b, p ∈ P }.
    Тогда несобственный интеграл с параметром
    280

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    I(p) =

    Zb
    a

    П. 3, § 1, гл. 3

    ϕ(x, p) ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P,

    равномерно сходится на множестве P.
    Доказательство. При выполнении условий теоремы выполняются условия признака Абеля сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 4.3), по которому интеграл I сходится на множестве P.
    Докажем, что эта сходимость равномерная.
    Условия 1) и 3) теорем 2 и 3 одинаковы. Это обстоятельство
    позволяет такими же рассуждениями, как и при доказательстве
    теоремы 2, составить равенство (7).
    Затем от равенства (7) перейти к неравенству (11).
    Дальнейшие рассуждения таковы.
    Ограниченность функции ψ на множестве G позволяет сделать следующее заключение:
    ∗∗

    ∃M > 0 : ψ(η, p) < M, ψ( η , p) < M,


    ∗∗

    (12)

    ∀ η ∈ [a; b), ∀ η ∈ [a; b), ∀p ∈ P.

    Поскольку несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    I1 (p) =

    Zb
    a

    ϕ(x, p) dx, ∀p ∈ P,

    равномерно сходится на множестве P, то


    ϕ(x, p) dx =

    η

    Zb
    η

    ϕ(x, p) dx +



    ϕ(x, p) dx,

    b

    ∀ζ ∈ [a; b), ∀η ∈ [a; b), ∀p ∈ P.
    Тогда имеем
    281

    П. 3, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов


    Zb










    ϕ(x, p) dx 6 ϕ(x, p) dx + ϕ(x, p) dx 6




    η

    η

    b

    Zb





    6 ϕ(x, p) dx , ∀ζ ∈ [a; b), ∀η ∈ [a; b), ∀p ∈ P.



    (13)

    η

    Равномерная сходимость на множестве P несобственного
    интеграла, зависящего от параметра, I 1 в соответствии с определением 4.1 означает, что при любом p ∈ P
    Zb





    ηε ; b) : ϕ(x, p) dx < ε.
    ∀ε > 0, ∃ ηeε ∈ [a; b), ∀η ∈ (e



    (14)

    η

    На основании (13) и (14) имеем:

    ∗ ∗∗

    ηε ; b) :
    ∀ε > 0, ∃ ηeε ∈ [a; b), ∀ η, η , ζ ∈ (e







    ϕ(x, p) dx < ε,




    η







    ϕ(x, p) dx < ε, ∀p ∈ P.



    (15)

    ∗∗

    η

    Используя утверждения (12) и (15), на основании оценки (11)
    получаем:
    ∗ ∗∗

    ∃M > 0, ∀ε > 0, ∃ ηeε ∈ [a; b), ∀ η, η ∈ (e
    ηε ; b) :
    Z∗∗

    η




    ϕ(x, p) ψ(x, p) dx < 2M ε, ∀p ∈ P,




    η

    где M не зависит ни от ε, ни от p.
    282

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 3, § 1, гл. 3

    Отсюда, по M -критерию Коши равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 11.1), заключаем о
    равномерной сходимости на множестве P несобственного интеграла, зависящего от параметра, I.
    В приложениях используются и частные случаи признака
    Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
    Следствие 3. Пусть выполняются условия:
    1) сужение функции
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; b),
    интегрируемо по Риману на любом отрезке [a; η], содержащемся в числовом промежутке [a; b); − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) интеграл
    Zb

    ϕ(x) dx

    a

    сходится;
    3) выполняются условия 3) и 4) теоремы 3.
    Тогда несобственный интеграл с параметром
    Zb
    a

    ϕ(x) ψ(x, p) dx, ∀p ∈ P,

    равномерно сходится на множестве P.
    Пример 9. Исследуем на равномерную сходимость несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    I(p) =

    +∞
    Z
    0

    sin x −px
    e
    dx, ∀p ∈ [0; + ∞).
    x

    Исследование проведём на основании следствия 3 (признак Абеля
    равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра).

    283

    П. 3, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Интеграл
    +∞
    Z

    sin x
    π
    dx = lim Si x =
    x→+∞
    x
    2

    0

    и является сходящимся.
    При каждом фиксированном неотрицательном значении параметра
    p функция
    ψ : (x, p) → e−px , ∀x, p ∈ [0; + ∞),
    является функцией одной переменной, монотонной на полуоткрытом
    числовом луче [0; + ∞).
    На множестве G = [0; + ∞) × [0; + ∞) функция ψ ограничена:
    0 < e−px 6 1, ∀(x, p) ∈ G.
    А значит, по признаку Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, интеграл I равномерно сходится на [0; + ∞).
    Замечание 1. Если не использовать функцию интегральный синус,
    то сходимость можно установить, используя результаты исследований,
    выполненных в примере 8.1, где доказана сходимость на поле R интеграла Дирихле
    D(p) =

    +∞
    Z
    0

    sin px
    dx, ∀p ∈ R.
    x

    Наряду с этим сходимость можно установить по признаку Дирихле
    сходимости несобственного интеграла (предложение 3.2), основываясь
    на том, что






    |Λ(η)| = sin x dx = |1 − cos η| 6 2, ∀η ∈ [0; + ∞),


    0

    а функция

    ψ: x →

    1
    , ∀x ∈ (0; + ∞),
    x

    монотонно стремится к нулю при x → + ∞.

    284

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 3, § 1, гл. 3

    Пример 10. Исследуем на равномерную сходимость несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    I(p) =

    +∞
    Z
    0

    Подстановкой

    I(p) =

    +∞
    Z

    sin x2
    dx, ∀p ∈ [0; + ∞).
    1 + xp


    x = t, ∀t ∈ [0; + ∞), преобразуем интеграл

    sin x2
    1
    dx =
    p
    1+x
    2

    0

    +∞
    Z
    0

    sin t
    p √ dt, ∀p ∈ [0; + ∞).
    
    1 + t2
    t

    Теперь используем признак Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, в том варианте, в котором он сформулирован в следствии 3.
    Поскольку предел

    то интеграл

     sin t √ 
    sin t
    lim √ = lim
    t = 0,
    t→+0
    t→+0
    t
    t
    +∞
    Z
    0

    sin t
    √ dt
    t

    является несобственным первого рода. Его сходимость установим по
    признаку Дирихле (предложение 3.2):






    |Λ(η)| = sin t dt = |1 − cos η| 6 2, ∀η ∈ [0; + ∞);


    0

    функция

    1
    ψ : t → √ , ∀t ∈ (0; + ∞),
    t
    монотонно стремится к нулю при t → + ∞.

    285

    П. 3, § 1, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Функция
    ψ : (t, p) →

    1

    , ∀(t, p) ∈ G, G = {(t, p) : t > 0, p > 0},

    p

    1 + t2

    при каждом фиксированном неотрицательном p является функцией одной переменной t, монотонной на числовом луче [0; + ∞).
    Кроме того функция ψ ограничена на множестве G :
    0<

    1
    p

    1 + t2

    < 1, ∀(t, p) ∈ G.

    Таким образом, интеграл I равномерно сходится на неотрицательном числовом луче.

    Следствие 4. Пусть:
    1) выполняются условия 1) и 2) теоремы 3;
    2) функция
    ψ : x → ψ(x), ∀x ∈ [a; b),
    монотонна;
    3) функция ψ ограничена.
    Тогда несобственный интеграл с параметром
    Zb
    a

    ϕ(x, p) ψ(x) dx, ∀p ∈ P,

    равномерно сходится на множестве P.
    Пример 11. Докажем, что при каждом фиксированном положительном q несобственный интеграл первого рода, зависящий
    от параметров,
    +∞
    Z
    cos x
    Iq (p) =
    e−px q dx, ∀p ∈ [0; + ∞),
    x
    1

    равномерно сходится (по параметру p) на полуоткрытом числовом луче [0; + ∞).

    286

    В.Н. Горбузов

    § 1. Сходимость несобственных интегралов ...

    П. 3, § 1, гл. 3

    Доказательство проведём на основании признака Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра,
    сформулированного в частном случае как следствие 4.
    По признаку Дирихле сходимости несобственного интеграла (предложение 3.2), устанавливаем, что при каждом фиксированном положительном q несобственный интеграл первого рода
    Iq =

    +∞
    Z

    cos x
    dx
    xq

    1

    сходится:






    |Λ(η)| = cos x dx = | sin η − sin 1| 6 2, ∀η ∈ [1; + ∞);


    1

    при каждом фиксированном положительном q функция
    ψq : x →

    1
    , ∀x ∈ [1; + ∞),
    xq

    монотонно стремится к нулю при x → + ∞.
    Функция
    ψ : (x, p) → e−px , ∀(x, p) ∈ G, G = {(x, p) : x > 1, p > 0},
    при каждом фиксированном неотрицательном p является функцией одной переменной, монотонной на числовом луче [1; + ∞).
    Кроме того, функция ψ ограничена на множестве G :
    0 < e−px < 1, ∀(x, p) ∈ G.
    Итак, при каждом фиксированном положительном q интеграл
    Iq (p), будучи несобственным интегралом, зависящим от параметра p,
    равномерно сходится на неотрицательном числовом луче.

    287

    П. 1, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное
    исчисление функций,
    заданных несобственными интегралами,
    зависящими от параметра
    1. Предельный переход под знаком
    несобственного интеграла
    Фоpмула пpедельного пеpехода под знаком несобственного интеграла.

    Теорема 1 (о предельном переходе под знаком несобственного интеграла). Пусть выполняются условия:
    1) при каждом фиксированном значении переменной p
    из множества P функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ P,
    является функцией одной переменной, непрерывной на числовом промежутке [a; b), − ∞ < a < b 6 + ∞;
    2) сужение функции f на всяком отрезке [a; η], содержащемся в числовом промежутке [a; b), при p → p 0 равномерно сходится к функции
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; η];
    3) несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P.

    равномерно сходится на множестве P.
    Тогда заданная несобственным интегралом, зависящим
    от параметра, функция
    I: p →
    288

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 3

    сходится при p → p0 и имеет место формула предельного перехода под знаком несобственного интеграла
    lim

    p→p0

    Zb

    f (x, p) dx =

    a

    Zb

    lim f (x, p) dx.

    p→p0

    (1)

    a

    Доказательство. Пусть η — некоторая переменная из полуоткрытого числового промежутка [a; b).
    Условие 3) позволяет использовать критерий (теорема 6.1.1)
    равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего
    от параметра, и левую часть равенства (1) записать в виде
    lim

    p→p0

    Zb

    f (x, p) dx = lim

    lim

    p→p0 η→b−0

    a



    f (x, p) dx =

    a

    = lim

    (2)

    lim Φ(η, p),

    p→p0 η→b−0

    где функция
    Φ : (η, p) →


    a

    f (x, p) dx, ∀η ∈ [a; b), ∀p ∈ P.

    (3)

    Предельная функция
    ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; η],
    пpи равномерной сходимости
    f (x, p)

    - ϕ(x), ∀x ∈ [a; η],

    p→p0

    ввиду выполнения условий 1) и 2) является (в соответствии с теоремой 1.8.1.1) непрерывной на отрезке [a; η].
    Отрезок [a; η] — произвольный из промежутка [a; b).
    Тогда в соответствии с определением несобственного интеграла на числовом промежутке [a; b) интеграл
    289

    П. 1, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    Zb

    ϕ(x) = lim

    η→b−0

    a



    В.Н. Горбузов

    ϕ(x) dx.

    a

    Поэтому правая часть равенства (1)
    Zb

    lim f (x, p) dx =

    p→p0

    a

    = lim

    η→b−0

    Zb

    ϕ(x) dx =

    a



    ϕ(x) dx = lim

    η→b−0

    a



    (4)
    lim f (x, p) dx.

    p→p0

    a

    Условие 1) позволяет использовать формулу предельного перехода под знаком определённого интеграла (теорема 1.2.1.2 ), по
    которой
    lim

    p→p0



    f (x, p) dx =

    a


    a

    lim f (x, p) dx, ∀η ∈ [a; b).

    p→p0

    (5)

    На основании равенств (4) и (5) получаем, что
    Zb

    lim f (x, p) dx = lim

    p→p0

    lim

    η→b−0 p→p0

    a



    f (x, p) dx =

    a

    = lim

    (6)

    lim Φ(η, p).

    η→b−0 p→p0

    С учётом формул (2) и (6) равенство (1) будет иметь вид
    lim

    lim Φ(η, x) = lim

    p→p0 η→b−0

    lim Φ(η, x),

    η→b−0 p→p0

    (7)

    где функция Φ задаётся формулой (3).
    Теперь надо доказать равенство (7). С этой целью будем использовать теорему о повторном пределе (теорема 2.2.2.1).
    290

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 3

    Предел
    lim Φ(η, p) = lim

    η→b−0

    η→b−0


    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    существует в силу условия 3), причём стремление к предельной
    функции
    I: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ P,

    является равномерным на множестве P.
    Предел
    lim Φ(η, p) = lim

    p→p0

    p→p0


    a

    f (x, p) dx, ∀η ∈ [a; b),

    существует, что уже было установлено при выводе равенства (5).
    Значит, выполняются условия теоремы о повторном пределе,
    и, следовательно, имеет место формула (7).
    В теореме 1 указаны лишь достаточные условия предельного
    перехода под знаком несобственного интеграла.
    Рассмотрим пример на случай предельного перехода под знаком несобственного интеграла, когда не выполняются условия
    теоремы 1.
    Пример 1. Докажем, что

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    −px
    lim
    e
    f (x) dx =
    f (x) dx,

    p→+0

    0

    0

    когда функция f интегрируема на числовом луче [0; + ∞).
    Следуя определению правостороннего предела функции в точке,
    докажем, что
    Z

    +∞
    Z
    +∞



    ∀ε > 0, ∃ δε ∈ (0; +∞), ∀p ∈ (0; δε ) :
    e−px f (x) dx−
    f (x) dx < ε.


    0

    0

    291

    П. 1, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    +∞
    Z
    e−px f (x) dx, ∀p ∈ [0; + ∞),
    0

    равномерно сходится на числовом луче [0; + ∞), что устанавливаем
    с помощью признака Абеля (следствие 3.3.1) равномерной сходимости
    несобственного интеграла, зависящего от параметра.
    Как указано в условии задачи, сходится несобственный интеграл
    +∞
    Z
    f (x) dx.
    0

    Функция
    ψ : (x, p) → e−px , ∀(x, p) ∈ Π, Π = [0; + ∞) × [0; + ∞),
    ограничена (0 < e−px 6 1, ∀(x, p) ∈ Π), а при каждом фиксированном
    неотрицательном p является функцией одной переменной x, монотонной на [0; + ∞).
    По свойству 1.1.1 (линейности равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра), разность
    +∞
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    Z
    
    −px
    e
    f (x) dx −
    f (x) dx =
    e−px − 1 f (x) dx, ∀p ∈ [0; + ∞),
    0

    0

    0

    является несобственным интегралом, зависящим от параметра, равномерно сходящимся на числовом луче [0; + ∞).
    Тогда в соответствии с M -критерием (теорема 3.1.1) равномерной
    сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, имеем:
    ∀ε > 0, ∃ ηε ∈ (0; + ∞), ∀η ∈ (ηε ; + ∞) :
    Z

    +∞
    ε
    


    e−px − 1 f (x) dx < , ∀p ∈ [0; + ∞).


    2
    η

    Учитывая, что

    292

    (8)

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 3

    Z
    Z

    +∞
    Z
    +∞
    +∞

    




    e−px f (x) dx −
    f (x) dx =
    e−px − 1 f (x) dx 6




    0

    0

    η


    Z


    +∞

    
    



    −px
    −px
    6
    e
    − 1 f (x) dx +
    e
    − 1 f (x) dx , ∀p, η ∈ (0; + ∞),



    0

    η

    доказательство сводим к следующему:




    ε


    ∀ε > 0, ∃ δε ∈ (0; + ∞), ∀p ∈ (0; δε ) : f (x) dx < ,

    2

    (9)

    0

    где η — любое положительное число, при котором выполняется утверждение (8).
    Поскольку функция f : [0; + ∞) → R интегрируема на числовом
    луче [0; + ∞), то её сужение интегрируемо на отрезке [0; η].
    Необходимое условие интегрируемости функции по Риману на отрезке предполагает её ограниченность на этом отрезке. Поэтому
    |f (x)| 6 M, ∀x ∈ [0; η],
    где M = sup |f (x)|.
    [0; η]

    Кроме этого,
    |e−px − 1| = 1 − e−px 6 1 − e−ηp , ∀p ∈ [0; + ∞), ∀x ∈ [0; η].
    Тогда




    
    


    e−px − 1 f (x) dx 6
    1 − e−px |f (x)| dx 6



    0

    0

    6 M η(1 − e−ηp ), ∀p ∈ [0; + ∞),

    где η — положительное число.
    При положительных ε, η, p и M неравенство
    (1 − e−ηp )M η <

    ε
    2M η − ε
    ⇐⇒ e−ηp >
    2
    2M η

    293

    П. 1, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    и выполняется при любом неотрицательном p, если ε > 2M η, а при
    1
    2M η
    выполняется, когда 0 < ε < 2M η.
    p < ln
    η
    2M η − ε
    Поэтому

    1
    2M η
    ln
    , ∀p ∈ (0; δε ) :
    η
    2M η − ε



    ε
    


    e−px − 1 f (x) dx <


    2

    ∀ε ∈ (0; 2M η), ∃ δε =

    0

    и




    ε
    


    ∀ε ∈ [2M η; + ∞), ∀p ∈ [0; + ∞) :
    e−px − 1 f (x) dx < ,

    2
    0

    что соответствует утверждению (9).
    Если M = 0, то

    f (x) = 0, ∀x ∈ [0; + ∞),
    и утверждение (9) вполне очевидно.
    Пример 2. Найдём
    lim

    n→+∞

    +∞
    Z

    dx
    .
    1 + xn

    0

    Интеграл
    +∞
    Z

    dx
    =
    1 + xn

    0

    =1−
    Поскольку

    294

    Z1

    dx
    +
    1 + xn

    0

    Z1
    0

    xn
    dx +
    1 + xn

    +∞
    Z

    dx
    =
    1 + xn

    1

    +∞
    Z
    1

    dx
    , ∀n ∈ N.
    1 + xn

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    0<

    Z1

    xn
    dx <
    1 + xn

    0

    0

    0<

    +∞
    Z

    Z1

    +∞
    Z

    dx
    <
    1 + xn

    1

    xn dx =

    П. 1, § 2, гл. 3

    1
    , ∀n ∈ N,
    n+1

    dx
    1
    =
    , ∀n ∈ N\{1, 2},
    xn
    n−2

    1

    то
    1
    <
    1−
    1+n

    +∞
    Z
    0

    dx
    , ∀n ∈ N\{1, 2}.
    1 + xn

    Следовательно,
    lim

    n→+∞

    +∞
    Z

    dx
    = 0.
    1 + xn

    0

    Пример 3. Докажем, что
    lim

    n→+∞

    +∞
    Z
    f (x) sin nx dx = 0 (n ∈ N),
    0

    если функция f абсолютно интегрируема на [0; +∞).
    Поскольку функция f абсолютно интегрируема на [0; + ∞), а
    |f (x) sin nx| 6 |f (x)|, ∀x ∈ [0; + ∞), n ∈ N,
    то, по признаку Вейерштрасса (теорема 1.3.1), несобственный интеграл,
    зависящий от параметра,
    +∞
    Z
    f (x) sin nx dx
    0

    равномерно абсолютно сходится на множестве натуральных чисел N.
    Тогда в соответствии с M -критерием (теорема 3.1.1) равномерной
    сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, имеем

    295

    П. 1, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    ∀ε > 0, ∃ ηε ∈ (0; + ∞), ∀η ∈ (ηε ; + ∞) :
    Z

    +∞
    ε


    f (x) sin nx dx < , ∀n ∈ N.


    3

    (10)

    η

    То, что

    lim

    n→+∞

    +∞
    Z
    f (x) sin nx dx = 0 (n ∈ N),
    0

    на языке бесконечно малых означает:
    Z

    +∞



    ∀ε > 0, ∃Nε ∈ N, ∀n > Nε :
    f (x) sin nx dx < ε.


    0

    Поскольку при любом положительном η и любом натуральном n
    Z

    Z

    +∞

    +∞





    f (x) sin nx dx 6 f (x) sin nx dx +
    f (x) sin nx dx ,





    0

    0

    η

    то надо доказать, что







    ∀ε > 0, ∃Nε ∈ N, ∀n > Nε : f (x) sin nx dx <
    ,


    3

    (11)

    0

    где η — любое положительное число, при котором выполняется утверждение (10).
    Выполним разбиение отрезка [0; η] точками xτ , τ = 0, k + 1 , так,
    что 0 = x0 < x1 < . . . < xk+1 = η, и представим интеграл

    0

    f (x) sin nx dx =

    x
    k Zi+1
    X
    i=0 x
    i

    f (x) sin nx dx, ∀n ∈ N.

    Функция f абсолютно интегрируема на [0; + ∞). Следовательно,
    её сужение интегрируемо на любом отрезке, содержащемся в [0; + ∞).

    296

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 1, § 2, гл. 3

    Необходимое условие интегрируемости функции по Риману предполагает её ограниченность на этом отрезке. Поэтому
    mi 6 f (x) 6 Mi , ∀x ∈ [xi ; xi+1 ],
    где mi =

    inf

    [xi ;xi+1 ]

    f (x), Mi =

    sup f (x), i = 0, k .
    [xi ;xi+1 ]

    Тогда
    x
    Zi+1

    x
    Zi+1

    f (x) sin nx dx =

    xi

    

    f (x) − mi sin nx dx + mi

    xi

    x
    Zi+1

    sin nx dx,

    xi

    ∀n ∈ N, i = 0, k,
    и


    f (x) sin nx dx =

    0

    =

    x
    k Zi+1
    X
    i=0 x
    i

    

    f (x) − mi sin nx dx +

    k
    X
    i=0

    mi

    x
    Zi+1

    xi

    sin nx dx, ∀n ∈ N.

    Поскольку
    f (x) − mi 6 ωi , i = 0, k ,
    где ωi = Mi − mi — колебание функции f на отрезке [xi ; xi+1 ] длины
    ∆xi = xi+1 − xi , а
    x
    Zi+1

    xi

    sin nx dx = −

    ix=xi+1
    
    1h
    1
    cos nx
    =
    cos nxi − cos nxi+1
    n
    n
    x=xi

    и
    xZi+1



    2


    sin nx dx 6 , i = 0, k,


    n
    xi

    297

    П. 1, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    то


    x
    k Zi+1

    X


    


    f (x) − mi sin nx dx +
    f (x) sin nx dx 6


    i=0 x
    i

    0

    +

    k
    X
    i=0

    xZi+1

    k
    k

    X
    2 X


    |mi | ·
    sin nx dx 6
    ωi ∆xi +
    |mi |, ∀η ∈ (0; + ∞).


    n i=0
    i=0
    xi

    Ввиду интегрируемости по Риману на отрезке [0; η] сужения функции f для любого положительного ε существует разбиение ρ отрезка
    [0; η], для которого
    k
    X

    ωi ∆xi 6

    i=0

    ε
    .
    3

    Поэтому вместо утверждения (11) достаточно доказать, что
    ∀ε > 0, ∃Nε ∈ N, ∀n > Nε :

    k
    2 X
    ε
    |mi | < ,
    n i=0
    3

    где число k определяется разбиением ρ отрезка [0; η].
    Неравенство
    k
    k
    ε
    6 X
    2 X
    |mi | <
    ⇐⇒ n >
    |mi |,
    n i=0
    3
    ε i=0

    а значит, за Nε можно взять целую часть
    Nε =

    

    
    k
    6 X
    |mi |
    ε i=0

    и тем самым докажем утверждение (12).

    298

    (12)

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 2, § 2, гл. 3

    2. Непрерывность функций, заданных несобственным
    интегралом, зависящим от параметра
    Теорема о непpеpывности функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра.

    Теорема 1 (о непрерывности функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра). Пусть:
    1) функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ [c; d], (b 6 + ∞)
    непрерывна;
    2) несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    равномерно сходится на отрезке [c; d].
    Тогда заданная несобственным интегралом, зявисящим
    от параметра, функция
    I: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    будет непрерывной.
    Доказательство. Пусть p0 — произвольная фиксированная
    точка из отрезка [c; d]. Тогда для непрерывности функции I достаточно доказать, что
    lim I(p) = I(p0 ),

    p→p0

    то есть, что
    lim

    p→p0

    Zb
    a

    f (x, p) dx =

    Zb

    f (x, p0 ) dx.

    a

    299

    П. 2, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Поскольку функция f при каждом фиксированном значении
    переменной x из числового промежутка [a; b) является функцией
    одной переменной, непрерывной на отрезке [c; d], то
    f (x, p0 ) = lim f (x, p), ∀x ∈ [a; b).
    p→p0

    А поэтому надо доказать, что
    lim

    p→p0

    Zb

    f (x, p) dx =

    a

    Zb

    lim f (x, p) dx.

    p→p0

    a

    Для этого проверим выполнение условий теоремы 1.1 о предельном переходе под знаком несобственного интеграла.
    Условие 1) теоремы 1.1 есть частный случай условия 1) доказываемой теоремы.
    Условие 2) теоремы 1.1 получаем из условия 1) доказываемой
    теоремы по теореме Кантора о том, что функция, непрерывная на
    компакте, равномерно непрерывна на нём и
    f (x, p)

    f (x, p0 ), ∀x ∈ [a; η],

    p→p0

    где η — любое число из числового промежутка [a; b).
    Условие 3) теоремы 1.1 и условие 2) доказываемой теоpемы
    совпадают.
    Пример 1. Докажем, что несобственный интеграл первого
    рода, зависящий от параметра,
    +∞
    Z
    2
    2
    I(p) =
    e−p (1+x ) sin p dx, ∀p ∈ R,
    0

    неравномерно сходится на поле R.
    При любом ненулевом вещественном p предел
    lim

    x→+∞

    300

    e−p

    2

    (1+x2 )

    
    | sin p| : x−2 = | sin p|

    lim

    x2

    2
    2
    x→+∞ ep (1+x )

    = 0,

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 2, § 2, гл. 3

    а несобственный интеграл
    +∞
    Z

    dx
    x2

    1

    сходится.
    По предельному признаку сравнения абсолютной сходимости на
    множестве несобственного интеграла с параметром (следствие 2.2.1),
    интеграл
    +∞
    Z
    2
    2
    e−p (1+x ) sin p dx
    1

    абсолютно сходится на множестве ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    Интеграл
    Z1

    e−p

    2

    (1+x2 )

    0

    sin p dx, ∀p ∈ R,

    является определённым, зависящим от параметра.
    При p = 0 интеграл I(0) = 0, то есть, интеграл I абсолютно
    сходится в точке p = 0. Поэтому
    I(p) =

    Z1

    e−p

    2

    (1+x2 )

    sin p dx +

    0

    +∞
    Z
    2
    2
    e−p (1+x ) sin p dx, ∀p ∈ R,
    1

    абсолютно сходится на поле вещественных чисел R.
    Используя то, что интеграл Эйлера — Пуассона
    +∞

    Z
    2
    π
    e−t dt =
    ,
    2
    0

    находим значение данного интеграла при p 6= 0 :
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    2
    sin p −p2
    −p2 (1+x2 )
    I(p) =
    e
    sin p dx =
    e
    e−(|p|x) dx (|p|x) =
    |p|
    0

    0

    301

    П. 2, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    sin p −p2
    =
    e
    |p|

    В.Н. Горбузов

    +∞

    Z
    2
    π sin p −p2
    e−t dt =
    e , ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    2|p|
    0

    Пределы
    lim I(p) =

    p→+0

    lim I(p) = −

    p→−0


     sin p
     √π
    2
    π
    lim
    e−p =
    ,
    2 p→+0 p
    2




     sin p
    
    2
    π
    π
    lim
    e−p = −
    ,
    2 p→−0 p
    2

    значение I(0) = 0.
    Стало быть, заданная несобственным интегралом, зависящим от параметра, I функция
    √


    I: p → 

    π sin p −p2
    e , ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞),
    2|p|

    0 при p = 0

    имеет разрыв (скачок) в точке p = 0.
    Подынтегральная функция
    f : (x, p) → e−p

    2

    (1+x2 )

    sin p, ∀x ∈ G, G = [0; + ∞) × R,

    непрерывна.
    Если допустить, что интеграл I равномерно сходится на поле R,
    то, по теореме 1 (о непрерывности функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра), сужение функции
    I : p → I(p), ∀p ∈ R,
    непрерывно на любом отрезке, в том числе и на отрезке, которому принадлежит нуль.
    Полученное противоречие и является доказательством неравномерной сходимости на поле R абсолютно сходящегося на R несобственного интеграла, зависящего от параметра, I.

    302

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 3, § 2, гл. 3

    3. Дифференцирование функций, заданных
    несобственным интегралом, зависящим от параметра
    Теорема о диффеpенциpовании функции, заданной несобственным
    интегралом, зависящим от параметра. Формула дифференцирования
    под знаком несобственного интеграла по параметру.

    Теорема 1 (о дифференцировании функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра). Пусть выполняются условия:
    1) функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ [c; d], (b 6 + ∞)
    непрерывна;
    2) несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    сходится на отрезке [c; d];
    3) функция f пpи каждом фиксированном значении x
    из числового промежутка [a; b) является функцией одной
    переменной, дифференцируемой на отрезке [c; d];
    4) функция
    ∂p f : (x, p) → ∂p f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ [c; d],
    непрерывна;
    5) несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    I(p) =

    Zb
    a

    ∂p f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    равномерно сходится на отрезке [c; d].
    Тогда заданная несобственным интегралом, зависящим
    от параметра, функция
    303

    П. 3, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    I: p →

    Zb
    a

    В.Н. Горбузов

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    непрерывно дифференцируема на отрезке [c; d] и имеет место формула дифференцирования под знаком несобственного интеграла
    D

    Zb

    f (x, p) dx =

    a

    Zb
    a

    ∂p f (x, p) dx, ∀x ∈ [c; d].

    (1)

    Доказательство проведём на основании связи несобственного
    интеграла, зависящего от параметра, с функциональными рядами
    (подпункт 5 пункта 1 из § 1):
    Zb

    f (x, p) dx =

    ∂p f (x, p) dx =

    (2)

    η
    +∞ Zk+1
    X

    ∂p f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    (3)

    k=1 η
    k

    a

    где

    f (x, p) dp, ∀p ∈ [c; d],

    k=1 η
    k

    a

    Zb

    η
    +∞ Zk+1
    X

     +∞
    ηk k=1 — любая последовательность такая, что

    η1 = a, ηk ∈ [a; b), k = 1, 2, . . . , ηk −
    −−−−→ b.
    k→+ ∞

    (4)

    Поэтому надо доказать, что

    D

    η
    +∞ Zk+1
    X

    f (x, p) dx =

    k=1 η
    k

    при условиях (4).
    304

    η
    +∞ Zk+1
    X
    k=1 η
    k

    ∂p f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    (5)

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 3, § 2, гл. 3

    Интегралы, зависящие от параметра,
    Ik (p) =

    ηZk+1

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d], k = 1, 2, . . . ,

    ηk

    (6)

    при условиях (4) имеют непрерывные подынтегpальные функции,
    а поэтому являются определёнными.
    Для каждого интеграла (6) условия доказываемой теоремы
    обеспечивают выполнение условий теоремы 1.1.2.2 (о дифференцировании функции, заданной определённым интегралом с параметром с постоянными пределами интегрирования), по которой
    ηk+1

    D

    Z

    ηk+1

    f (x, p) dx =

    ηk

    Z

    ηk

    ∂p f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d], k = 1, 2, . . . . (7)

    Тождество (5) с учётом формул (6) и (7) будет иметь вид
    D

    +∞
    X
    k=1

    Ik (p) =

    +∞
    X
    k=1

    DIk (p), ∀p ∈ [c; d].

    (8)

    Итак, доказательство сведено к доказательству тождества (8).
    Для этого достаточно проверить выполнение условий теоремы о
    +∞
    P
    дифференцировании функционального ряда
    Ik (p), члены ко-

    торого заданы по формулам (6).
    Условие 1. Функции

    k=1

    Ik : p → Ik (p), ∀p ∈ [c; d], k = 1, 2, . . . ,
    являются непрерывными.
    Действительно, определённые интегралы, зависящие от параметра, (6), посредством которых заданы функции I k , k = 1, 2, . . . ,
    имеют непрерывные подынтегральные функции.
    По теореме 1.3.1.2 (о непрерывности функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными
    305

    П. 3, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    пределами интегрирования), каждая функция I k , k = 1, 2, . . . ,
    непрерывна на отрезке [c; d].
    +∞
    P
    Условие 2. Функциональный ряд
    Ik (p), ∀p ∈ [c; d], схоk=1

    дится на отрезке [c; d].
    Это следует из задания членов ряда I k по формулам (6), связи (2), а также условия 2) доказываемой теоремы и теорем 7.1.1
    и 8.1.1 об одновременной сходимости функциональных рядов и
    несобственного интеграла, зависящего от параметра, связанных
    соотношением (2) при условиях (4).
    Условие 3. Функции
    DIk : p → DIk (p), ∀p ∈ [c; d], k = 1, 2, . . . ,

    непрерывны.
    Из равенств (6) и (7) следует, что
    ηk+1

    DIk (p) = D

    Z

    ηk

    ηk+1

    f (x, p) dx =

    Z

    ∂p f (x, p) dx,

    ηk

    (9)

    ∀p ∈ [c; d], k = 1, 2, . . . .
    Из непрерывности сужений подынтегральной функции ∂ p f
    на каждом из прямоугольников [ηk ; ηk+1 ] × [c; d], k = 1, 2, . . . ,
    следует, что каждая из функций DIk , k = 1, 2, . . . , непрерывна
    на отрезке [c; d] согласно теореме 1.3.1.2 (о непрерывности функции, заданной опpеделённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования).
    +∞
    P
    DIk (p), ∀p ∈ [c; d],
    Условие 4. Функциональный ряд
    k=1

    равномерно сходится на отрезке [c; d].
    Это следует из представления членов ряда DI k по формулам (9), условия 5) доказываемой теоремы, а также теорем 7.1.1
    и 8.1.1 об одновременной равномерной сходимости функциональных рядов и несобственного интеграла, зависящего от параметра,
    связанных соотношением (3) при условиях (4).
    306

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 4, § 2, гл. 3

    4. Интегрирование несобственных интегралов,
    зависящих от параметра, в собственном смысле и
    определённых интегралов, зависящих от параметра,
    в несобственном смысле
    Теорема об интегpиpовании функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра, в собственном смысле. Интегpиpование функции, заданной определённым интегралом, содержащим параметр, в несобственном смысле. Повтоpные один pаз собственные и один
    pаз несобственные интегpалы: несобственный интеграл от определённого интеграла, определённый интегpал от несобственного интегpала.

    Теорема 1 (об интегрировании функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра, в собственном
    смысле). Пусть выполняются условия:
    1) функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ [c; d],
    непрерывна на множестве
    Π = {(x, p) : a 6 x < b 6 + ∞, c 6 p 6 d},
    2) несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    I(p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    равномерно сходится на отрезке [c; d].
    Тогда заданная несобственным интегралом, зависящим
    от параметра, функция
    I: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    интегрируема по Риману на отрезке [c; d] и имеет место
    равенство
    307

    П. 4, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    Zd

    dp

    c

    Zb

    f (x, p) dx =

    a

    Zb

    dx

    a

    Zd

    В.Н. Горбузов

    (1)

    f (x, p) dp.

    c

    Доказательство. Прежде всего заметим, что условия данной
    теоремы идентичны условиям теоремы 1.2 (о непрерывности функции, заданной несобственном интегралом, зависящим от параметра). Поэтому функция I непрерывна на отрезке [c; d], а значит, и
    интегрируема на нём.
    Стало быть, повторный интегpал в левой части равенства (1)
    существует.
    Остаётся доказать справедливость самого равенства (1).
    Пусть η есть зафиксированная переменная из полуоткрытого
    промежутка [a; b). Тогда интегралы

    a

    Zd

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d], и

    c

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; η],

    являются определёнными интегралами, зависящими от параметра,
    с непрерывной подынтегральной функцией на прямоугольнике
    e = {(x, p) : a 6 x 6 η, c 6 p 6 d}, где a < η < b.
    Π

    При этом для них выполняются условия теоремы 1.5.1.1 (об
    интегрировании функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра), в соответствии с которой
    Zd
    c



    !

    f (x, p) dx dp =

    a


    a

    Zd
    c

    !

    f (x, p) dp dx, ∀η ∈ [a; b).

    (2)

    Перейдём в равенстве (2) к пределу при η → b − 0.
    Допустим (!), что

    lim

    η→b−0

    Zd
    c

    308


    a

    !

    f (x, p) dx dp =

    Zd
    c

    lim

    η→b−0


    a

    !

    f (x, p) dx dp.

    (3)

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 4, § 2, гл. 3

    По условию 2) доказываемой теоремы
    lim

    η→b−0



    f (x, p) dx =

    a

    Zb

    (4)

    f (x, p) dx.

    a

    Тогда предел функции, расположенной в левой части равенства (2), при η → b − 0, ввиду равенств (3) и (4) равен
    lim

    η→b−0

    Zd
    c



    !

    f (x, p) dx dp =

    a

    Zd
    c

    Zb

    !

    f (x, p) dx dp.

    a

    (5)

    Вычислим предел при η → b − 0 функции, расположенной в
    правой части равенства (2),

    lim

    η→b−0


    a

    Zd

    !

    f (x, p) dp dx.

    c

    (6)

    e то
    Поскольку функция f непрерывна на прямоугольнике Π,
    интеграл
    e =
    I(x)

    Zd
    c

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; η],

    является определённым, зависящим от параметра.
    По теореме 1.3.1.2 (о непрерывности функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными
    пределами интегрирования), этот интеграл определяет функцию
    Ie: x →

    Zd
    c

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; η],

    которая является непрерывной.
    309

    П. 4, § 2, гл. 3


    a

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Отрезок [a; η] — произвольный из промежутка [a; b).
    Тогда при любом η из числового промежутка [a; b) интеграл
    e dx является определённым и, по определению несобственI(x)

    ного интеграла,

    lim

    η→b−0


    a

    e dx = lim
    I(x)

    η→b−0

    Zb
    a

    e dx.
    I(x)

    Таким образом, предел (6) вычисляется так:

    lim

    η→b−0



    Zd

    a

    =

    !

    f (x, p) dp dx = lim

    c

    Zb
    a

    e dx =
    I(x)

    Zb

    η→b−0

    a

    Zd

    a



    e dx =
    I(x)

    !

    (7)

    f (x, p) dp dx.

    c

    Выполнение равенств (5) и (7) позволяет на основании равенства (2) построить равенство (1).
    Тем самым теорема будет доказана, если только допущение (3)
    верное.
    Для доказательства предельного перехода (3) введём условное обозначение
    Φ(η, p) =


    a

    f (x, p) dx, ∀η ∈ [a; b), ∀p ∈ [c; d],

    (8)

    и равенство (3) перепишем в виде
    lim

    η→b−0

    Zd
    c

    310

    Φ(η, p) dp =

    Zd
    c

    lim Φ(η, p) dp.

    η→b−0

    (9)

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 4, § 2, гл. 3

    Это равенство cуть предельный переход при η → b − 0 в интеграле, зависящем от параметра,


    I (η) =

    Zd
    c

    Φ(η, p) dp, ∀η ∈ [a; b).

    Поэтому для доказательства равенства (9) надо проверить
    выполнение условий теоремы о предельном переходе в интеграле,
    зависящем от параметра. Но предварительно необходимо выяс∗

    нить: интеграл I определённый или несобственный.
    При каждом фиксированном значении переменной η из числового промежутка [a; b) функция Φ есть функция одной переменной, непрерывная на отрезке [c; d]. Это следует из задания (8)
    и теоремы 1.3.1.2 (о непрерывности функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования).
    Действительно, при любом фиксированном η из числового
    промежутка [a; b) функция


    Φη : p →

    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    непрерывна, ибо подынтегральная функция f непрерывна на
    e
    прямоугольнике Π.

    Следовательно, интеграл I — определённый, зависящий
    от параметра η, и надо проверить выполнение условий теоремы
    1.2.1.2 (о предельном переходе под знаком определённого интеграла). Для этого достаточно доказать равномерную сходимость
    Φ(η, p)

    ϕ(p), ∀p ∈ [c; d],

    η→b−0

    или, в соответствии с принятым обозначением, что

    a

    f (x, p) dx

    - ϕ(p), ∀p ∈ [c; d].

    η→b−0

    311

    П. 4, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Такая равномерная сходимость предусмотрена условием 2)
    доказываемой теоремы, причём предельная функция
    ϕ: p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d].

    Значит, равенство (9) имеет место.
    Обратим внимание на то, что теорема 1 выражает два вида интегрируемости:
    1) интегрирование несобственного интеграла с параметром
    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d],

    в собственном смысле на отрезке [c; d] :
    Zd
    c

    Zb

    !

    f (x, p) dx dp =

    a

    Zd

    dp

    c

    Zb

    f (x, p) dx;

    a

    2) интегрирование опpеделённого интеграла с параметром
    Zd
    c

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; b),

    в несобственном смысле на числовом промежутке [a; b) :
    Zb
    a

    Zd
    c

    !

    f (x, p) dp dx =

    Zb
    a

    dx

    Zd

    f (x, p) dp.

    c

    В каждом из этих случаев формула (1) выражает изменение
    порядка интегрирования. Интегралы, расположенные в левой и
    312

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 5, § 2, гл. 3

    правой частях равенства (1), суть повторные один раз опpеделённые и один раз несобственные интегралы.
    При этом интеграл

    Rd

    dp

    c

    Rb

    f (x, p) dx есть опpеделённый ин-

    a

    теграл от несобственного интеграла, а интеграл

    Rb

    dx

    a

    Rd

    f (x, p) dp

    c

    есть несобственный интеграл от опpеделённого интеграла.

    5. Интегрирование несобственных интегралов,
    зависящих от параметра, в несобственном смысле
    Теорема об интегpиpовании функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра, в несобственном смысле. Повтоpный дважды несобственный интегpал. Изменение поpядка интегpиpования в повтоpном дважды несобственном интегpале.

    Теорема 1 (об интегрировании функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра, в несобственном
    смысле). Пусть выполняются условия:
    1) функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ [c; d),
    непрерывна на множестве
    Π = {(x, p) : a 6 x < b 6 + ∞, c 6 p < d 6 + ∞};
    2) сужение несобственного интеграла, зависящего от
    параметра,
    I1 (p) =

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d),

    равномерно сходится на любом отрезке [c; θ] из полуоткрытого числового промежутка [c; d);
    3) сужение несобственного интеграла, зависящего от
    параметра,
    313

    П. 5, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    I2 (p) =

    Zd
    c

    В.Н. Горбузов

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; b),

    равномерно сходится на любом отрезке [a; η] из полуоткрытого числового промежутка [a; b);
    4) существует хотя бы один из повторных интегралов
    Zd

    dp

    c

    Zb
    a

    |f (x, p)| dx или

    Zb

    dx

    a

    Zd
    c

    |f (x, p)| dp.

    Тогда заданные несобственными интегралами, зависящими от параметра, функции I1 и I2 интегрируемы по Риману (в несобственном смысле) соответственно на числовых промежутках [c; d) и [a; b) и имеет место формула
    Zd
    c

    dp

    Zb

    f (x, p) dx =

    a

    Zb
    a

    dx

    Zd

    f (x, p) dp.

    (1)

    c

    Доказательство. Заметим, что формулировка теоремы относительно переменных x и p обладает симметрией. Это позволяет
    без нарушения общности считать, что существует повторный интеграл
    Zb

    dx

    a

    Zd
    c

    |f (x, p)| dp.

    (2)

    С этой позиции построим доказательство теоремы.
    В силу выбора θ имеет место формула

    c

    dp

    Zb
    a

    f (x, p) dx =

    Zb
    a

    dx


    c

    f (x, p) dp, ∀θ ∈ [c; d),

    (3)

    ибо условия доказываемой теоремы предполагают выполнение ус314

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 5, § 2, гл. 3

    ловий теоремы 1.4 (об интегрировании функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра, в собственном
    смысле) применительно к функции
    I1 : p →

    Zb
    a

    f (x, p) dx, ∀p ∈ [c; d),

    с интегрированием на отрезке [c; θ], [c; θ] ⊂ [c; d).
    Действительно:
    1) сужение функции f непрерывно на множестве
    e = {(x, p) : a 6 x < b 6 + ∞, c 6 p 6 θ < d 6 + ∞};
    Π

    2) сужение интеграла I1 равномерно сходится на [c; θ].
    Выполним предельный переход при θ → d−0 в равенстве (3).
    Сначала вычислим предел левой части равенства (3):
    lim

    θ→d−0


    c

    dp

    Zb

    f (x, p) dx = lim

    θ→d−0

    a



    I1 (p) dp.

    (4)

    c

    Обратим внимание на то, что сужение функции I 1 непрерывно на отрезке [c; θ], где θ — любое число из [c; d).
    Это следует из того, что для сужения интеграла I 1 на отрезке
    [c; θ] выполняются условия теоремы 1.4 (об интегрировании функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра, в собственном смысле), которые только что проверили и которые идентичны условиям теоремы 1.2 (о непрерывности функции,
    заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра).
    Итак, сужение функции I1 непрерывно на любом отрезке
    [c; θ], содержащемся в числовом промежутке [c; d).
    Поэтому, по определению несобственного интеграла,

    lim

    θ→d−0


    c

    I1 (p) dp =

    Zd
    c

    I1 (p) dp =

    Zd
    c

    dp

    Zb

    f (x, p) dx.

    (5)

    a

    315

    П. 5, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Сопоставляя равенства (4) и (5), получаем формулу вычисления предела левой части равенства (3):

    lim

    θ→d−0



    dp

    c

    Zb

    f (x, p) dx =

    a

    Zd

    dp

    c

    Zb

    f (x, p) dx.

    (6)

    a

    Теперь вычислим предел при θ → d − 0 правой части равенства (3). Допустим (!) возможность предельного перехода

    lim

    θ→d−0

    Zb

    dx

    a



    f (x, p) dp =

    c

    Zb

    lim

    θ→d−0

    a


    c

    !

    f (x, p) dp dx.

    (7)

    Из сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, I2 следует, что
    lim

    θ→d−0



    f (x, p) dp =

    c

    Zd
    c

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; b).

    Отсюда с учётом допущения (7) получаем формулу вычисления предела при θ → d − 0 правой части равенства (3):
    lim

    θ→d−0

    Zb

    dx

    a


    c

    f (x, p) dp =

    Zb
    a

    dx

    Zd

    f (x, p) dp.

    (8)

    c

    Таким образом, из равенства (3), вычислив пределы (6) и (8),
    получим необходимое равенство (1).
    Доказательство теоремы будет завершено, если обоснуем
    правомочность предельного перехода (7).
    Введём в рассмотрение функцию
    Φ : (x, θ) →
    316


    c

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; b), ∀θ ∈ [c; d).

    (9)

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 5, § 2, гл. 3

    При этом соотношение (7) будет иметь вид
    lim

    θ→d−0

    Zb

    Φ(x, θ) dx =

    a

    Zb

    lim Φ(x, θ) dx.

    θ→d−0

    (10)

    a

    Операция (10) суть предельный переход при θ → d − 0 в
    несобственном интеграле, зависящем от параметра,
    I3 (θ) =

    Zb
    a

    Φ(x, θ) dx, ∀θ ∈ [c; d],

    Проверим по отношению к интегралу I3 выполнение условий
    теоремы 1.1 (о предельном переходе под знаком несобственного
    интеграла).
    Условие 1. При каждом фиксированном значении θ из
    числового промежутка [c; d) функция
    Φ : (x, θ) → Φ(x, θ), ∀x ∈ [a; b), ∀θ ∈ [c; d),
    является функцией одной переменной, непрерывной на числовом промежутке [a; b).
    Функция f непрерывна на множестве Π = [a; b) × [c; d). Поэтому при любом θ из числового промежутка [c; d) интеграл, зависящий от параметра,
    I4 (x) =


    c

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; b),

    является определённым.
    Подынтегральная функция
    f : (x, p) → f (x, p), ∀x ∈ [a; b), ∀p ∈ [c; θ],
    e = [a; b) × [c; θ], и, по теореме 1.3.1.2
    непрерывна на множестве Π
    (о непрерывности функции, заданной определённым интегралом,

    317

    П. 5, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    содержащим параметр, с постоянными пределами интегрирования), будет непрерывной функция
    I4 : x →


    c

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; b).

    Если учесть задание (9), то отсюда следует, что при любом θ
    из числового промежутка [c; d) функция Φ является функцией
    одной переменной, непрерывной на числовом промежутке [a; b).
    Условие 2. Сужение функции Φ на всяком отрезке [a; η],
    содержащемся в числовом промежутке [a; b), равномерно
    сходится к функции ϕ : x → ϕ(x), ∀x ∈ [a; η], при θ → d − 0.
    Имея в виду задание (9), предельная функция ϕ при θ → d−0
    будет следующей
    ϕ(x) = lim Φ(x, θ) = lim
    θ→d−0

    θ→d−0


    c

    f (x, p) dp, ∀x ∈ [a; η].

    Отсюда, по условию 3) доказываемой теоремы, получаем, что
    ϕ(x) =

    Zd
    c

    f (x, p) dp = I2 (x), ∀x ∈ [a; η],

    причём имеет место равномерная сходимость на любом отрезке
    [a; η] из числового промежутка [a; b).
    Значит,
    Φ(x, θ)

    I2 (x), ∀x ∈ [a; η], ∀η ∈ [a; b).

    θ→d−0

    Условие 3. Несобственный интеграл с параметром
    I5 (θ) =

    Zb
    a

    Φ(x, θ) dx ∀θ ∈ [c; d),

    равномерно сходится на числовом промежутке [c; d).
    318

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 5, § 2, гл. 3

    В соответствии с заданием (9), по свойству модуля, для
    определённого интеграла I4 составляем оценку






    |Φ(x, θ)| = f (x, p) dp 6 |f (x, p)| dp,


    c

    c

    (11)

    ∀x ∈ [a; b), ∀θ ∈ [c; d).

    Известно, что существует интеграл (2). Поэтому несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    Zd

    |f (x, p)| dp, ∀x ∈ [a; b),

    c

    является сходящимся на числовом промежутке [a; b).
    Используя свойство монотонности несобственного интеграла
    с неотрицательной подынтегральной функцией, составляем неравенство

    c

    |f (x, p)| dp 6

    Zd
    c

    |f (x, p)| dp, ∀θ ∈ [c; d), ∀x ∈ [a; b).

    Если теперь учесть неравенство (11), то получим оценку
    |Φ(x, θ)| 6

    Zd
    c

    |f (x, p)| dp, ∀x ∈ [a; b), ∀θ ∈ [c; d).

    Проинтегрируем это неравенство по переменной x в пределах от a до b и, по свойству несобственного интегрирования
    неравенств, получим, что
    Zb
    a

    |Φ(x, θ)| dx 6

    Zb
    a

    dx

    Zd
    c

    |f (x, p)| dp, ∀θ ∈ [c; d).

    (12)
    319

    П. 5, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Интеграл в правой части неравенства (12) есть повторный интеграл (2), который, как известно, существует. Тогда из оценки
    (12), по признаку Вейерштрасса равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 1.3.1),
    следует, что интеграл I5 равномерно абсолютно сходится на числовом промежутке [c; d).
    Итак, все условия теоремы 1.1 выполнены. Поэтому сущеRb
    Φ(x, θ) dx и выполняется равенство (10).
    ствует предел lim
    θ→d−0 a

    Cтало быть, интеграл

    Rb

    lim Φ(x, θ) dx сходится, то есть,

    a θ→d−0

    существует повторный интеграл

    Rb

    dx

    a

    Rd

    f (x, p) dp, расположен-

    c

    ный в правой части равенства (1).
    Иначе говоря, функция I2 интегрируема по Риману в несобственном смысле на числовом промежутке [a; b).
    Равенство (10) обосновывает предельный переход (7).
    Значит, имеет место формула (1).
    Из существования повторного интеграла в правой части равенства (1) следует существование и повторного интеграла в левой
    части этого равенства.
    Последнее означает, что функция I1 интегрируема по Риману
    в несобственном смысле на числовом промежутке [c; d).
    Формула (1) выражает изменение порядка интегрирования
    пpи интегpиpовании несобственного интеграла, зависящего от параметра, в несобственном смысле.
    Каждый из интегралов, расположенный в левой и правой частях равенства (1), есть повторный несобственный интеграл, или,
    точнее, повторный дважды несобственный интеграл. Также повторными несобственными интегралами являются интегралы
    Zb
    a

    dx

    Zd
    c

    |f (x, p)| dp

    и

    Zd
    c

    оговоренные в условии 4) теоремы 1.
    320

    dp

    Zb
    a

    |f (x, p)| dx,

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    6. Задачи
    Задача 1. Найдите значения параметра γ, при которых сходится интеграл
    Z1 cos

    (1 −

    0

    Решение. Подстановкой
    Z1 cos
    0

    1
    1 − x dx.
    1

    (1)

    γ
    x2 )

    1
    = t получаем, что
    1−x

    1
    +∞
    Z
    1 − x dx =
    1

    (1 − x2 ) γ

    1

    t

    1
    2− γ

    cos t
    1 dt.
    
    1γ
    2−
    t

    1
    , что устанавли2
    ваем с помощью признака Абеля сходимости несобственного интеграла
    с параметром (теорема 4.2.1).
    1
    Действительно, как при γ < 0, так и при γ > , по признаку
    2
    Дирихле сходимости несобственного интеграла с параметром (следствие
    5.2.1), интеграл
    Тогда интеграл сходится при γ < 0 и при γ >

    +∞
    Z
    1

    cos t
    t

    1
    2− γ

    dt

    сходится, а функция
    f: t→
    монотонна и ограничена.

    1
    

    1 γ
    2−
    t
    1

    , ∀t ∈ [1; + ∞),

    321

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Пользуясь приёмом, применённым в примере 17.2.1, доказываем,
    1
    что если интеграл (1) сходится, то параметр γ < 0 или γ > .
    2
    1
    Ответ : γ < 0, γ > .
    2
    Задача 2. Найдите множество сходимости интеграла
    +∞
    Z

    sin x
    dx, p > 0.
    xp + sin x

    0

    Решение. Разобьём интеграл на сумму двух интегралов
    +∞
    Z

    sin x
    dx =
    xp + sin x

    0

    Z1

    sin x
    dx +
    xp + sin x

    0

    +∞
    Z

    sin x
    dx.
    xp + sin x

    (2)

    1

    Так как
    f (x) =

    1
    sin x
    ∼ p−1
    xp + sin x
    x
    +1

    при x → + 0,

    то первый интеграл в правой части равенства (2) сходится при любом p
    (точка x = 0 является точкой устранимого разрыва функции f ).
    Поскольку
     1  sin x
     1 
    sin x
    sin x sin2 x
    1
    cos 2x
    =

    +
    o
    =

    +
    +
    o
    xp + sin x
    xp
    x2p
    x2p
    xp
    2x2p
    2x2p
    x2p

    при x → + ∞ и интегралы
    +∞
    Z

    sin x
    dx
    xp

    1

    и

    +∞
    Z

    cos 2x
    dx, p > 0,
    x2p

    1

    в силу признака Дирихле сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, — следствие 5.2.1 — сходятся, а интеграл
    +∞
    Z
    1

    322

    dx
    dx , p > 0,
    x2p

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    сходится, если и только если p > 0,5, то второй интеграл из правой части равенства (2) сходится лишь при p > 0,5.
    Следовательно, исходный интеграл сходится тогда и только тогда,
    когда параметр p > 0,5.
    Ответ : (0,5; + ∞).
    Задача 3. Найдите множество сходимости интеграла
    +∞
    Z
    0

    x
    1+



    sin2 x

    dx, λ > 0,

    путём сравнения его с рядом.
    Решение. Поскольку
    +∞
    Z
    0

    x
    1 + xλ sin2 x

    dx =

    k=0

    +∞ Zπ
    X

    =

    k=0

    π(k+1)
    Z

    +∞
    X

    0

    x
    dx =
    1 + xλ sin2 x

    πk

    πk + t
    dt,
    1 + (πk + t)λ sin2 t

    то будем исследовать сходимость последнего ряда.
    Заметим, что
    I1 =


    0

    πk
    dt <
    λ
    1 + π (k + 1)λ sin2 t

    <


    0


    0

    πk + 1
    dt <
    1 + (πk + t)λ sin2 t

    π(k + 1)
    dt = I2 ,
    1 + π λ k λ sin2 t

    где
    I1 = p

    π2 k
    1 + π 2 (k + 1)λ

    ,

    π 2 (k + 1)
    I2 = √
    .
    1 + πλ kλ

    323

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Так как
    1

    I1 = O

    λ

    k2

    −1

    !

    ,

    1

    I2 = O

    λ

    k2

    −1

    !

    при k → + ∞,

    то, по признаку сравнения, ряд, а значит, и интеграл сходятся, если и
    только если λ > 4.
    Ответ : (4; + ∞).
    Задача 4. Исследуйте на равномерную сходимость интеграл
    +∞
    Z

    cos αx
    dx.
    1 + x2

    −∞

    Решение. Поскольку
    | cos αx|
    1
    6
    , ∀x, α ∈ R,
    1 + x2
    1 + x2
    а интеграл
    +∞
    Z

    −∞

    1
    dx =
    1 + x2

    lim

    a → −∞
    b → +∞

    

    arctg x

    b

    a

    = π,

    т.е. сходится, то, по признаку Вейерштрасса равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 1.3.1),
    данный интеграл сходится абсолютно и равномерно на R.
    Ответ : равномерно на R.
    Задача 5. Исследуйте на равномерную сходимость интеграл
    +∞
    Z

    lnp x
    √ dx, 0 6 p 6 10.
    x x

    1

    Решение. Поскольку
     40 10 1
    lnp x
    ln10 x
    ln10 x 1
    √ 6 √ = √

    ·
    6
    · √
    4x
    x x
    x x
    x 4x 4x
    e

    324

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    при x > e, то согласно признаку Вейерштрасса равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 1.3.1)
    интеграл сходится абсолютно и равномерно на отрезке [0; 10].
    Ответ : равномерно на отрезке [0; 10].
    Задача 6. Исследуйте на равномерную сходимость по параметру p интеграл
    Z1

    xp−1 lnq

    1
    dx,
    x

    (3)

    0

    если: a) p > p0 > 0; б) p > 0, q > − 1.
    Решение. Заменой
    x = e−t (t > 0)
    получаем, что
    Z1

    xp−1 lnq

    1
    dx =
    x

    0

    +∞
    Z
    tq e−pt dt.
    0

    a). Поскольку при p > p0 > 0

    интеграл

    tq e−pt 6 tq e−p0 t , ∀t ∈ (0; + ∞),
    +∞
    Z
    tq e−p0 t dt, t > 0,
    0

    по признаку сравнения Коши (теорема 1.2.1), сходится, то согласно признаку Вейерштрасса равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 1.3.1) интеграл (3) сходится абсолютно и равномерно по параметру p.
    б). В интеграле
    +∞
    Z
    I(B, p) =
    tq e−pt dt, B > 0,
    B

    положим z = pt. Тогда получим

    325

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    I(B, p) =

    1
    p q+1

    В.Н. Горбузов

    +∞
    Z
    z q e−z dz.

    Bp

    Пусть числа B > 0 и ε > 0 заданы. Тогда в силу того, что
    1

    lim

    p→+∞

    p q+1

    +∞
    Z
    z q e−z dz = + ∞,

    Bp

    всегда можно выбрать число p > 0 так, что
    I(B, p) > ε.
    Следовательно, интеграл (3) сходится неравномерно.
    Ответ : а) равномерно; б) неравномерно.
    Задача 7. Исследуйте на равномерную сходимость интеграл
    Z1

    sin

    0

    1 dx
    ·
    , 0 < n < 2.
    x xn

    (4)

    Решение. Положим
    x=

    1
    , t > 0.
    t

    Тогда
    Z1
    0

    1 dx
    sin · n =
    x x

    +∞
    Z

    sin x
    dt.
    t2−n

    1

    Далее интегрированием по частям находим
    +∞
    Z

    B

    sin x
    cos B
    dt = 2−n + (n − 2)
    2−n
    t
    B

    +∞
    Z

    cos x
    dt.
    t3−n

    (5)

    B

    По признаку Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 2.3.1), интеграл в правой части равенства
    (5) равномерно сходится на интервале (0; 2).

    326

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Действительно, функция
    ϕ: t →

    1
    t3−n

    6

    1
    → 0 при t → + ∞, 0 < n < 2,
    t

    Zx

    cos t dt = sin x − sin a

    и монотонна.
    Первообразная

    a

    ограничена числом 2.
    Следовательно, при достаточно большом B справедлива оценка
    Z

    +∞ cos t


    dt 6 ε1 при 0 < n < 2,


    t3−n
    B

    где ε1 — наперёд заданное положительное число.
    cos B
    Слагаемое 2−n в правой части равенства (5) не может быть сдеB
    лано как угодно малым при всех достаточно больших b > B равномерно
    относительно параметра n.
    1
    В самом деле, пусть B > 0 задано. Пусть, кроме этого, 0 < ε 2 6 .
    2
    Тогда, выбирая число b = 2πk > B, k ∈ N, значение параметра n
    из неравенства
    1
    ε2
    0<2−n<
    ,
    ln 2πk
    ln

    получаем
    cos b
    1


    > ε2 .
    2−n =
    b
    (2πk)2−n

    Следовательно, интеграл (4) сходится неравномерно.
    Заметим, что сходимость интеграла (4) следует из признака Дирихле
    сходимости несобственного интеграла с параметром (следствие 5.2.1).
    Ответ : неравномерно сходится.

    327

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Задача 8. Пусть f — непреравная и ограниченная на [0; + ∞)
    функция. Докажите, что
    +∞
    Z

    2
    lim
    y→±0 π

    0

    y
    f (x) dx = ± f (0).
    x2 + y 2

    Доказательство. Положим x = ty, t > 0, y > 0. Тогда
    2
    lim
    y→+0 π

    +∞
    Z

    y
    2
    f (x) dx = lim
    2
    2
    y→+0
    x +y
    π

    0

    +∞
    Z

    f (ty)
    dt.
    t2 + 1

    0

    Так как
    M
    |f (ty)|
    6 2
    , где f (ty) 6 M = const,
    t2 + 1
    t +1
    интеграл
    +∞
    Z
    0

    
    A
    dt
    π
    = lim arctg t 0 =
    t2 + 1 A→+∞
    2

    и сходится, а в силу непрерывности функции f дробь
    f (ty)
    t2 + 1

    f (0)
    - 2
    t +1

    при y → + 0 на (a; b),

    где a и b — любые вещественные числа, a < b, то, по теореме о предельном переходе под знаком несобственного интеграла, имеем:
    2
    lim
    y→+0 π

    +∞
    Z

    f (ty)
    2
    dt =
    2
    t +1
    π

    0

    +∞
    Z

    lim

    y→+0

    f (ty)
    dt = f (0).
    t2 + 1

    (6)

    0

    В силу нечётности интеграла по переменной y и равенства (6) получаем, что
    2
    lim
    y→−0 π

    +∞
    Z
    0

    328

    y
    f (x) dx = − f (0).
    x2 + y 2

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Задача 9. Докажите, что функция
    Z1 sin a
    x dx, ∀a ∈ ( − ∞; 2),
    F: a→
    xa
    0

    является непрерывной.
    1
    Доказательство. Выполняя замену x = , t > 0, получаем
    t
    F (a) =

    +∞
    Z
    1

    Пусть a 6

    sin at
    t2−a

    dt, ∀a ∈ ( − ∞; 2).

    1
    . Тогда в силу оценки
    2
    | sin at|
    t2−a

    6

    1
    3

    t2

    , ∀t ∈ [1; + ∞),

    и признака Вейерштрасса (теорема 1.3.1) интеграл F (a) сходится рав
    1i
    номерно на числовом луче − ∞;
    .
    2
    Поскольку подынтегральная функция
    f : (t, a) →

    sin at
    t2−a

    , ∀t ∈ [1; + ∞), ∀a ∈ ( − ∞; 2),
    

    1i
    , то на основании тео2
    ремы 1.2 (о непрерывности функции, определяемой несобственным интегралом, зависящим от параметра) сужение функции F на числовой луч
    
    1i
    − ∞;
    непрерывно.
    2
    1
    3
    Пусть 6 a 6 2 − ε, где 0 < ε < . Тогда
    2
    2
    непрерывна на множестве [1; + ∞) ×

    − ∞;




    2
    h1
    i


    ;2−ε .
    sin at dt 6 6 4, ∀ξ ∈ [1; + ∞), ∀a ∈

    a
    2
    1

    329

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Функция
    ϕ: t →

    1
    t

    2−a

    при каждом фиксированном a ∈

    , ∀t ∈ [1; + ∞),

    h1

    i
    ; 2−ε монотонно стремится к нулю

    2
    при t → + ∞. При этом в силу оценки
    1
    t

    2−a

    6

    1
    1
    , ∀t ∈ [1; + ∞), 6 a 6 2 − ε,

    2

    i
    3
    ;2−ε , 0 < ε < .
    2
    2
    Поэтому в соответствии с признаком Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром (теорема 2.3.1) интеграл
    h1
    i
    3
    F (a) равномерно сходится на отрезке
    ;2− ε , 0 < ε < .
    2
    2
    Учитывая непрерывность подынтегральной функции f на множеh1
    i
    стве [1; + ∞) ×
    ; 2 − ε , по теореме 1.2, устанавливаем, что функция
    2
    h1
    i
    3
    F непрерывна на отрезке
    ;2−ε , 0 < ε < .
    2
    2
    Таким образом, функция F непрерывна на полуоткрытом числовом
    3
    луче ( − ∞; 2 − ε], 0 < ε < .
    2
    3
    Поскольку число ε, 0 < ε < , выбрано произвольно, то функция
    2
    F будет непрерывной.
    Задача 10. Найдите точки разрыва функции
    это стремление равномерно по a на отрезке

    F:p→

    +∞
    Z
    0

    h1

    
    sin (1 − p2 )x
    dx, ∀p ∈ R.
    x

    
    Решение. Полагая t = 1 − p2 x, |p| 6= 1, получаем
    F (p) =

    +∞
    Z
    0

    330

    sin t
    π
    dt · sgn (1 − p2 ) = · sgn (1 − p2 ).
    t
    2

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Это равенство имеет место и при |p| = 1.
    Следовательно, точки p = − 1 и p = 1 являются точками разрыва
    первого рода функции F.
    Ответ : p = − 1 и p = 1 – точки разрыва первого рода.
    Задача 11. Исследуйте на непрерывность функцию
    F:p→

    +∞
    Z
    0

    x
    dx, ∀p ∈ (2; + ∞).
    2 + xp

    Решение. Пусть p > 2 + ε, где ε > 0. При x > 1 имеем, что
    x
    x
    6
    .
    2 + xp
    2 + x2+ε
    Поскольку
     1 
    x
    =
    O
    при x → + ∞,
    2 + x2+ε
    x1+ε

    то, по признаку Вейерштрасса (теорема 1.3.1), интеграл
    Φ(p) =

    +∞
    Z
    1

    x
    dx, ∀p ∈ (2; + ∞),
    2 + xp

    сходится равномерно на [2 + ε; + ∞), ε > 0.
    С учётом непрерывности подынтегральной функции, по теореме 1.2
    (о непрерывности функции, определяемой несобственным интегралом,
    зависящим от параметра) сужение функции Φ : p → Φ(p), ∀p ∈ (2; +∞),
    непрерывно на [2 + ε; + ∞), ε > 0.
    В силу произвольности выбора ε > 0 функция Φ непрерывна.
    По теореме 1.2, функция
    Ψ: p →

    Z1
    0

    x
    dx, ∀p ∈ (2; + ∞),
    2 + xp

    является непрерывной.
    Следовательно, функция F = Φ + Ψ будет непрерывной.
    Ответ : непрерывна.

    331

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Задача 12. Исследуйте на непрерывность функцию
    F:p→


    0

    sin x
    dx, ∀p ∈ (0; 2).
    xp (π − x)p

    Решение. Пусть 0 < ε 6 p 6 2 − ε < 2. Тогда, разбивая данный
    интеграл на три интеграла и оценивая подынтегральную функцию
    f : (x, p) →
    получаем:
    F (p) =



    f (x, p) dx =

    Z1

    dx
    +
    xp−1 (π − x)p

    0

    <

    sin x
    dx, ∀x ∈ (0; π), ∀p ∈ (0; 2),
    xp (π − x)p

    0

    Z1

    f (x, p) dx +

    0

    6

    Z1
    0

    π−1
    Z

    f (x, p) dx +

    1

    π−1
    Z
    1

    dx
    +
    xp (π − x)p

    dx
    +π−2+
    x1−ε



    π−1



    f (x, p) dx <

    π−1



    π−1

    dx
    6
    xp (π − x)p−1

    dx
    .
    (π − x)1−ε

    Поскольку последние интегралы в силу признака сравнения (теорема 1.2.1) сходятся, то, по признаку Вейерштрасса (теорема 1.3.1), интеграл F (p) равномерно сходится на отрезке [ε; 2 − ε], 0 < ε < 2.
    Учитывая непрерывность подынтегральной функции f на полуоткрытом прямоугольнике (0; π) × [ε; 2 − ε], в соответствии с теоремой 1.2
    (о непрерывности функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра) заключаем, что функция F непрерывна на каждом
    отрезке [ε; 2 − ε], 0 < ε < 2.
    Следовательно, функция F непрерывна.
    Ответ : непрерывна.
    Задача 13. Исследуйте на непрерывность функцию
    F:p→

    332

    +∞
    Z
    0

    dx
    , ∀p ∈ (0; 1).
    ex | sin x|p

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Решение. Представим функцию F в виде
    F: p→

    +∞
    X
    k=0

    π(k+1)
    Z
    πk

    dx
    , ∀p ∈ (0; 1),
    ex | sin x|p

    и выполним замену x = πk + t, в результате которой получим
    1
    F:p→
    1 − e−π


    0

    dt
    , ∀p ∈ (0; 1).
    et sinp t

    Поскольку при ε 6 p 6 1 − ε, 0 < ε < 0,5

     π p  π 1−ε
    1
    1
    6
    6
    · 1−ε , ∀t ∈ (0; 1],
    et sinp t
    2t
    2
    t

    то согласно признаку Вейерштрасса (теорема 1.3.1) интеграл
    I1 (p) =

    Z1

    et

    0

    dt
    , ∀p ∈ (0; 1),
    sinp t

    равномерно сходится на отрезке [ε; 1 − ε].
    Аналогичным образом доказываем равномерную сходимость на отрезке [ε; 1 − ε] интеграла
    I2 (p) =


    1

    et

    dt
    , ∀p ∈ (0; 1).
    sinp t

    Следовательно, интеграл I1 + I2 равномерно сходится на [ε; 1 − ε].
    Так как, кроме того, подынтегральная функция
    f : (t, p) →

    1
    , ∀t ∈ (0; π), ∀p ∈ (0; 1),
    et sinp t

    непрерывна на полуоткрытом прямоугольнике (0; π) × [ε; 1 − ε], то, по
    теореме 1.2, функция F непрерывна на отрезке [ε; 1 − ε], 0 < ε < 0,5.
    В силу произвольности выбора числа ε из интервала (0; 0,5) функция F является непрерывной.
    Ответ : непрерывна.

    333

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Задача 14. Используя формулу
    Z1

    xn−1 dx =

    0

    1
    , ∀n ∈ (0; + ∞),
    n

    (7)

    вычислите интеграл
    I(n, m) =

    Z1
    0

    xn−1 lnm x dx, m ∈ N.

    Решение. Формально дифференцируя m раз по параметру n обе
    части равенства (7), получаем
    I(n, m) =

    Z1

    xn−1 lnm x dx =

    0

     1 (m)
    n

    = ( − 1)m ·

    m!
    .
    nm+1

    Покажем, что m-кратное дифференцирование под знаком интеграла из равенства (7) возможно. Для этого, полагая
    1
    , ∀t ∈ (0; + ∞),
    t

    x=

    преобразуем данные в условии интегралы к следующим:
    Z1

    x

    n−1

    0

    dx =

    +∞
    Z

    dt
    tn+1

    1

    ,

    I(n, m) = ( − 1)

    m

    +∞
    Z

    lnm t
    dt.
    tn+1

    1

    Функции
    f : (t, n) →

    1
    , ∀(t, n) ∈ (0; + ∞) × (0; + ∞),
    tn+1

    fn(m) : (t, n) →

    lnm t
    , ∀(t, n) ∈ (0; + ∞) × (0; + ∞),
    tn+1

    непрерывны на множестве
    G = {(t, n) : t > 1, n > ε > 0}.

    334

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Интеграл
    +∞
    Z

    dt
    tn+1

    =

    1

    Z1

    xn−1 dx, n > 0,

    0

    сходится. Интеграл
    +∞
    Z
    1

    lnm t
    dt, m ∈ N,
    tn+1

    равномерно сходится на [ε; + ∞), ε > 0.
    Действительно, так как при t > 1
     2m m
    lnm t
    lnm t
    1
    | lnm t|
    1
    6
    =
    ·
    6
    ·
    ε
    ε
    ε ,
    ε
    1+
    1+
    tn+1
    t1+ε
    e
    t 2
    t2
    t 2
    то в силу признака Вейерштрасса (теорема 1.3.1) интеграл I равномерно сходится на числовом луче {t : t > 1}.
    Следовательно, при каждом фиксированном ε > 0, по теореме о
    дифференцировании функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра, дифференцирование по параметру n, n > ε,
    справедливо, т.е. справедливо при n > 0.
    m!
    Ответ : ( − 1)m · m+1 .
    n
    Задача 15. Используя формулу
    I0 ≡

    +∞
    Z
    0

    dx
    π
    = √ , ∀α ∈ (0; + ∞),
    x2 + α
    2 α

    вычислите интеграл
    In+1 =

    +∞
    Z
    0

    dx
    , n ∈ N.
    (x2 + α)n+1

    Решение. Формально дифференцируя n раз по параметру α левую
    и правую части данной в условии формулы, имеем:

    335

    П. 6, § 2, гл. 3

    ( − 1)n · n!

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...
    +∞
    Z
    0

    В.Н. Горбузов

    dx
    n! (2n − 1)!!
    π  − 12 (n)
    √ .
    = ( − 1)n ·
    =
    α
    2
    n+1
    (x + α)
    α
    (2n)!! αn 2 α

    Отсюда
    In+1 =

    (2n − 1)!!
    √ , α > 0.
    (2n)!! αn 2 α

    Докажем возможность n-кратного дифференцирования по параметру α интеграла I0 .
    Функция
    f : (x, α) →

    x2

    1
    , ∀(x, α) ∈ [0; + ∞) × (0; + ∞),


    и её производные
    fα(n) : (x, α) →

    1
    , ∀(x, α) ∈ [0; + ∞) × (0; + ∞),
    (x2 + α)n+1

    непрерывны на множестве G = {(x, α) : x > 0, α > ε > 0}.
    При α > 0 интеграл I0 сходится. Интеграл In+1 равномерно сходится, по признаку Вейерштрасса, на [ε; + ∞), ε > 0, так как
    1
    1
    6 2
    (x2 + α)n+1
    (x + ε)n+1

    при x > 0.

    Поэтому согласно теореме о дифференцировании функций, заданных несобственными интегралами, зависящими от параметра, n-кратное дифференцирование по параметру α возможно на [ε; + ∞), ε > 0.
    В силу произвольности ε > 0 такое дифференцирование возможно
    и на (0, + ∞).
    (2n − 1)!!
    √ .
    Ответ :
    (2n)!! αn 2 α
    Задача 16. Докажите, что интеграл Дирихле
    D(p) =

    +∞
    Z

    sin px
    dx
    x

    0

    имеет при p 6= 0 производную, однако её нельзя найти с помощью
    правила Лейбница.

    336

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Доказательство. Учитывая, что
    +∞
    Z

    sin ξ
    π
    dξ = ,
    ξ
    2

    0

    с помощью замены x =

    t
    получаем
    p

    D(p) = sgn p ·

    π
    , ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    2

    Тогда производная функция
    D0 (p) = 0, ∀p ∈ ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    Если же формально продифференцировать по p под знаком интеграла, то получим расходящийся интеграл
    +∞
    Z
    cos px dx.
    0

    Задача 17. Вычислите интеграл
    I(a) =

    +∞
    Z

    2

    2

    e−ax − e−bx
    dx, a > 0, b > 0.
    x

    0

    Решение. Пусть a > ε > 0 и b > ε > 0. Тогда функция


    2

    2

    e−ax − e−bx
    , ∀x ∈ R\{0}, ∀a ∈ [ε; + ∞),

    x
    f : (x, a) → 
    0 при x = 0, ∀a ∈ [ε; + ∞),

    и её производная

    2

    fa0 : (x, a) → − xe−ax , ∀x ∈ R, ∀a ∈ [ε; + ∞),
    непрерывны.

    337

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Интеграл I(a) сходится при любом a > ε, так как при a > ε, по
    признаку сравнения (теорема 1.2.1), сходится интеграл
    +∞
    Z
    f (x, a) dx.
    1

    Интеграл
    +∞
    Z
    2
    xe−ax dx
    0

    согласно признаку Вейерштрасса (теорема 1.3.1) равномерно сходится
    2
    на [ε; + ∞) (мажорантная функция ϕ : x → xe−εx , ∀x ∈ (0; + ∞)).
    Поэтому, по теореме 1.3, дифференцирование по параметру a под
    знаком интеграла для I(a) при a > ε > 0 возможно.
    Имеем:
    +∞
    Z
    2
    1
    I (a) = −
    xe−ax dx = −
    , ∀a ∈ [ε; + ∞).
    2a
    0

    0

    Отсюда находим
    I(a) = −

    1
    ln a + Φ(b), ∀a ∈ [ε; + ∞).
    2

    Так как I(b) = 0, то
    Φ(b) =

    1
    ln b, ∀b ∈ [ε; + ∞).
    2

    Итак,
    I(a) = −

    1
    1
    1
    b
    ln a + ln b = ln
    2
    2
    2
    a

    (a > ε > 0, b > ε > 0).

    В силу произвольности ε > 0 интеграл
    I(a) =

    Ответ :

    338

    1
    b
    ln .
    2
    a

    1
    b
    ln , ∀a, b ∈ (0; + ∞).
    2
    a

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Задача 18. Вычислите интеграл
    I(a) =

    +∞
    Z

    e−ax − e−bx
    x

    0

    2

    dx, a > 0, b > 0.

    Решение. Как и в задаче 17, доказываем, что дифференцирование
    под знаком интеграла по параметру a возможно.
    Тогда
    I 0 (a) = 2

    +∞
    Z
    0

    e−(a+b)x − e−2ax
    dx, ∀a ∈ (0; + ∞).
    x

    Применяя формулу Фруллани
    +∞
    Z

    f (ax) − f (bx)
    b
    dx = f (0) ln , a > 0, b > 0,
    x
    a

    0

    где f — непрерывная функция такая, что интеграл
    +∞
    Z

    f (x)
    dx
    x

    A

    сходится при любом A > 0, находим
    I 0 (a) = 2 ln

    2a
    , a > 0, b > 0.
    a+b

    Отсюда интегрированием по a получаем
    I(a) = − 2(a + b)(ln(a + b) − 1) + 2a(ln 2a − 1) + Φ(b)
    при a > 0, b > 0.
    Из условия I(b) = 0 следует, что
    Φ(b) = 2b(ln 2b − 1), b > 0.
    Следовательно, интеграл

    339

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    I(a) = ln

    Ответ : ln

    В.Н. Горбузов

    (2a)2a (2b)2b
    , a > 0, b > 0.
    (a + b)2(a+b)

    (2a)2a (2b)2b
    .
    (a + b)2(a+b)

    Задача 19. Вычислите интеграл
    I(m) =

    +∞
    Z
    0

    e−ax − e−bx
    sin mx dx, ∀m ∈ R, a > 0, b > 0.
    x

    Решение. Дифференцируя по параметру m, получаем
    0

    I (m) =

    +∞
    Z
    0

    
    e−ax − e−bx cos mx dx, ∀m ∈ R, a > 0, b > 0.

    (8)

    Дифференцирование под знаком интеграла возможно (теорема 1.3),
    поскольку функции
     −ax
    e
    − e−bx
    sin mx, ∀x ∈ R\{0}, ∀m ∈ R,

    x
    f : (x, m) → 
    0 при x = 0, ∀m ∈ R,

    и

    
    0
    fm
    : (x, m) → e−ax − e−bx cos mx, ∀x, m ∈ R,

    непрерывны, интеграл (8) в силу признака Вейерштрасса (теорема 1.3.1)
    равномерно сходится на R, а интеграл I сходится.
    Выполняя интегрирование в равенстве (8), находим
    I 0 (m) =

    a2

    a
    b
    − 2
    , ∀m ∈ R, a > 0, b > 0.
    2
    +m
    b + m2

    Отсюда
    I(m) = arctg

    340

    m
    m
    − arctg
    + C, ∀m ∈ R, a > 0, b > 0.
    a
    b

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Так как I(0) = 0, то C = 0.
    Следовательно,
    I(m) = arctg

    Ответ : arctg

    m(b − a)
    , ∀m ∈ R, a > 0, b > 0.
    ab + m2

    m(b − a)
    .
    ab + m2

    Задача 20. Вычислите интеграл
    I(a) =

    Z1
    0

    ln(1 − a2 x2 )

    dx, |a| 6 1.
    x2 1 − x 2

    Решение. Пусть |a| 6 1 − ε, 0 < ε < 1. Тогда при фиксированном
    ε функция

    ln(1 − a2 x2 )

    , ∀x ∈ ( − 1; 0) ∪ (0; 1), ∀a ∈ [ − 1 + ε; 1 − ε],

    f : (x, a) →  x2 1 − x2
    − a2 при x = 0, ∀a ∈ [ − 1 + ε; 1 − ε],

    и её производная
    fa0 : (x, a) →

    (1 −

    − 2a


    a 2 x2 )

    1 − x2

    , ∀x ∈ ( − 1; 1), ∀a ∈ [ − 1 + ε; 1 − ε],

    непрерывны.
    Интеграл I(a), по признаку сравнения (теорема 1.2.1), сходится
    при любом a ∈ [ − 1 + ε; 1 − ε], 0 < ε < 1. Интеграл
    0

    I (a) = − 2

    Z1
    0

    a
    (1 −

    a 2 x2 )



    1 − x2

    dx, ∀a ∈ [ − 1 + ε; 1 − ε],

    равномерно сходится на [ − 1 + ε; 1 − ε], 0 < ε < 1, по признаку
    Вейерштрасса, так как при x ∈ ( − 1; 1), a ∈ [ − 1 + ε; 1 − ε] модуль
    0

    fa (x, a) 6

    2
    (1 − (1 −

    ε)2 x2 )



    1 − x2

    .

    341

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Cледовательно, дифференцирование по параметру a под знаком
    интеграла в I(a) возможно (теорема 1.3) при |a| 6 1 − ε, 0 < ε < 1.
    Полагая x = sin t, получаем
    π

    I 0 (a) = − 2a

    Z2
    0

    dt
    πa

    , ∀a ∈ [ − 1 + ε; 1 − ε].
    2 = −
    2
    1 − a sin t
    1 − a2

    Отсюда находим
    I(a) = π

    p

    1 − a2 + C, ∀a ∈ [ − 1 + ε; 1 − ε].

    Так как I(0) = 0, то C = − π.
    Стало быть,
    p
    
    1 − a2 − 1 , ∀a ∈ ( − 1; 1),
    I(a) = π

    так как ε ∈ (0; 1) выбрано произвольно.
    Функция f непрерывна на множестве G = {(x, a) : |x| < 1, |a| 6 1}.
    В силу признака Вейерштрасса (теорема 1.3.1) интеграл I сходится
    равномерно на отрезке [ − 1; 1], так как
    |f (x, a)| 6

    | ln(1 − x2 )|

    , ∀x ∈ ( − 1; 1), ∀a ∈ [ − 1; 1].
    x2 1 − x 2

    Таким образом, функция I : a → I(a), ∀a ∈ [ − 1; 1], непрерывна.
    Поэтому
    I( ± 1) =
    то есть,



    I(a),

    p
    
    1 − a2 − 1 , ∀a ∈ [ − 1; 1].

    I(a) = π

    Ответ : π

    lim

    |a|→1−0

    
    1 − a2 − 1 .

    Задача 21. Вычислите интеграл
    I(a) =

    Z1
    0

    342

    ln(1 − a2 x2 )

    dx, |a| 6 1.
    1 − x2

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Решение. Аналогично, как в задаче 20, получаем
    0

    I (a) = − 2a

    Z1
    0

    x2
    (1 −

    a 2 x2 )



    1 − x2

    dx =



    
    
    π
    1

    1

    , ∀a ∈ ( − 1; 0) ∪ (0; 1),

    1 − a2
    =a
    0 при a = 0.
    Отсюда находим
    I(a) = − π ln 1 +

    p

    
    1 − a2 + C, ∀a ∈ ( − 1; 1).

    Поскольку I(0) = 0, то C = π ln 2.
    Следовательно, при любом a ∈ ( − 1; 1)

    1 + 1 − a2
    I(a) = − π ln
    .
    2

    В силу непрерывности функции I : a → I(a) при |a| 6 1 это выражение имеет место также при |a| 6 1.

    1 + 1 − a2
    Ответ : − π ln
    .
    2
    Задача 22. Вычислите интеграл
    I(a) =

    +∞
    Z
    1

    arctg ax

    dx, ∀a ∈ R.
    x2 − 1

    x2

    Решение. Функция
    f : (x, a) →

    arctg ax

    , ∀x ∈ (1; + ∞), ∀a ∈ R,
    x2 − 1

    x2

    и её частная производная
    fa0 : (x, a) →

    1

    , ∀x ∈ (1; + ∞), ∀a ∈ R,
    x(1 + a2 x2 ) x2 − 1

    343

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    непрерывны. Интегралы I и
    +∞
    Z
    fa0 (x, a) dx,
    1

    по признаку Вейерштрасса, равномерно сходятся на R, так как

    и

    π
    | arctg ax|


    6
    , ∀x ∈ (1; + ∞), ∀a ∈ R,
    2
    2
    2
    x x −1
    2x x2 − 1
    1
    1

    6 √
    , ∀x ∈ (1; + ∞), ∀a ∈ R,
    x(1 + a2 x2 ) x2 − 1
    x x2 − 1

    а соответствующие интегралы от мажорирующих функций сходятся.
    Cледовательно, дифференцирование по параметру под знаком интеграла возможно. Имеем
    0

    I (a) =

    +∞
    Z
    1

    dx
    x(1 +

    a 2 x2 )



    x2 − 1

    , ∀a ∈ R.

    Полагая x = ch t, получаем
    
    
    |a|
    π
    I 0 (a) =
    1− √
    , ∀a ∈ R.
    2
    1 + a2
    Отсюда находим
    I(a) =

    p
    
    π
    a − 1 + a2 + C, ∀a ∈ [0; + ∞).
    2

    π
    Поскольку I(0) = 0, то C = .
    2
    Таким образом,
    p
    
    π
    I(a) =
    1 + a − 1 + a2 , ∀a ∈ [0; + ∞).
    2
    Аналогично получаем
    I(a) = −

    344

    p
    
    π
    1 − a − 1 + a2 , ∀a ∈ ( − ∞; 0].
    2

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Окончательно имеем
    p
    
    π
    1 + |a| − 1 + a2 sgn a, ∀a ∈ R.
    I(a) =
    2

    Ответ :


    
    π
    1 + |a| − 1 + a2 sgn a.
    2

    Задача 23. Вычислите интеграл
    I(a) =

    +∞
    Z
    0

    ln(a2 + x2 )
    dx, ∀a ∈ R, (b ∈ R).
    b2 + x 2

    Решение. Пусть b 6= 0. Тогда функция
    f : (x, a) →

    ln(a2 + x2 )
    , ∀x ∈ (0; + ∞), ∀a ∈ R,
    b2 + x 2

    и её частная производная
    fa0 : (x, a) →

    2a
    , ∀x ∈ (0; + ∞), ∀a ∈ R,
    (a2 + x2 )(b2 + x2 )

    непрерывны.
    Интеграл I, по признаку Вейерштрасса (теорема 1.3.1), равномерно сходится на R, так как


    ln(a2 + x2 )
    ϕ(x)
    6 2
    , ∀x ∈ (0; + ∞), ∀a ∈ [ − A; A],
    2
    2
    b +x
    b + x2
    где A — произвольное положительное число, a


    
    ϕ(x) = max ln(A2 + x2 ) , ln x2 .
    Интеграл

    I 0 (a) =

    +∞
    Z
    0

    2a
    dx, ∀a ∈ R,
    (a2 + x2 )(b2 + x2 )

    (9)

    также равномерно сходится, но только на отрезках [ − A; − ε] и [ε; A],
    где ε — любое положительное число.

    345

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Действительно, в этом случае
    2a
    (a2

    +

    x2 )(b2

    +

    x2 )

    6

    2A
    (ε2

    +

    x2 )(b2

    + x2 )

    ≡ ψ(x),

    ∀x ∈ (0; + ∞), ∀a ∈ [ − A; − ε] ∪ [ε; A],
    и интеграл

    +∞
    R

    ψ(x) dx сходится.

    0

    Стало быть, функция I : a → I(a), ∀a ∈ R, непрерывна, а функция
    I 0 , заданная интегралом (9), непрерывна на ( − ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
    Выполняя интегрирование в (9), получаем
    I 0 (a) =
    откуда
    I(a) =

    πa
    , ab 6= 0,
    |ab| (|a| + |b|)

    π
    ln(|a| + |b|) + C, ∀a ∈ R, b 6= 0.
    |b|

    Поскольку
    I(0) = 2

    +∞
    Z
    0

    ln x
    2
    dx =
    2
    2
    b +x
    |b|
    2 ln |b|
    =
    |b|

    +∞
    Z

    +∞
    Z
    0

    0

    ln |b|
    2
    dt +
    2
    1+t
    |b|

    +∞
    Z

    ln t
    dt =
    1 + t2

    0

    dt
    ln |b|

    ,
    2
    1+t
    |b|

    то C = 0.
    Окончательно имеем
    π
    I(a) =
    ln(|a| + |b|), ∀a ∈ R, b 6= 0.
    |b|
    Заметим, что если b = 0, то интеграл I(a) сходится только при
    |a| = 1. В этом случае интегрированием по частям устанавливаем, что
    +∞
    Z
    0

    346

    ln(1 + x2 )
    dx = π.
    x2

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    π
    Ответ :
    ln(|a| + |b|), ∀a ∈ R, b 6= 0; π при b = 0, a = ± 1; рас|b|

    ходится при b = 0, a 6= ± 1.

    Задача 24. Вычислите интеграл
    I(a, b) =

    +∞
    Z
    0

    arctg ax · arctg bx
    dx, ∀a, b ∈ R.
    x2

    Решение. Интеграл
    +∞
    Z
    I(a, b) =
    f (x, a, b) dx, ∀a, b ∈ R,
    0

    где при любых вещественных a и b


    f (x, a, b) = 

    arctg ax · arctg bx
    при x 6= 0,
    x2
    ab при x = 0.

    Функция f непрерывна на множестве G = {(x, a, b) : x > 0}.
    Интеграл I, по признаку Вейерштрасса, сходится равномерно по
    a и b на R. При этом мажорантная функция ϕ строится следующим
    образом: при 0 6 x 6 1 имеем |f (x, a, b)| 6 |ab|, а при x > 1 —
    |f (x, a, b)| 6

    π2
    ,
    4x2

    то есть,
    ϕ : x → |ab|, ∀x ∈ [0; 1], и ϕ : x →

    π2
    , ∀x ∈ [1; + ∞).
    4x2

    Стало быть, функция I : (a, b) → I(a, b), ∀(a, b) ∈ R2 , непрерывна.
    Пусть 0 < ε 6 a 6 A, 0 < δ 6 b 6 B. Тогда
    Ia0 (a, b)

    =

    +∞
    Z

    arctg bx
    dx,
    x(1 + a2 x2 )

    0

    00
    Iab
    (a, b)

    =

    +∞
    Z

    dx
    .
    (1 + a2 x2 )(1 + b2 x2 )

    0

    347

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Отсюда находим
    00
    Iab
    (a, b) =

    π
    .
    2(a + b)

    Интегрируя это равенство по b и a последовательно, получаем
    
    π
    (a + b) ln(a + b) − 1 + ϕ(a) + ψ(b),
    2

    I(a, b) =

    (10)

    где функции ϕ и ψ подлежат определению.
    В силу произвольности выбора чисел ε > 0, δ > 0, A > 0, B > 0
    равенство (10) имеет место при любых a > 0 и b > 0.
    Заметим, что (10) есть сужение функции I на множество положительных значений параметров a и b. Для нахождения её для всех
    a, b ∈ R нужно подобрать функции ϕ и ψ таким образом, чтобы функция I оказалась непрерывной на R2 .
    Из соотношения непрерывности
    lim I(a, b) = lim I(a, b) = lim I(a, b) =

    a→+0

    a → +0
    b → +0

    b→+0

    = I(0, b) = I(a, 0) = I(0, 0)
    следует, что
    ϕ(a) + ψ(b) =

    
    π
    b(1 − ln b) + a(1 − ln a) .
    2

    (11)

    Таким образом, учитывая тождество

    I(a, b) = I(|a|, |b|) sgn(ab), ∀a, b ∈ R,
    и равенство (11), из (10) получаем


    |a|+|b|

    π
    (|a| + |b|)
     sgn (ab) ln
    |a|
    |b|

    I(a, b) =  2
    |a| |b|
    0 при ab = 0.
    |a|+|b|

    π
    (|a| + |b|)
    Ответ :
    sgn (ab) ln
    |a|
    |b|
    2
    |a| |b|

    348

    при ab 6= 0,

    при ab 6= 0; 0 при ab = 0.

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Задача 25. C помощью интеграла Эйлера — Пуассона
    +∞

    Z
    π
    −x2
    e
    dx =
    2

    (12)

    0

    вычислите интеграл
    +∞
    Z
    2
    I=
    (ax2 + 2bx + c)e−(px +2qx+r) dx (a, b, c, p, q, r ∈ R, p > 0).
    −∞

    Решение. Выделяя полный квадрат
    px2 + 2qx + r =
    и полагая

    √


    q 
    q2
    px + √ +r −
    , ∀x ∈ R,
    p
    p

    q
    p x + √ = t,
    p

    получаем
    +∞
    Z
    2
    I=
    (At2 + 2Bt + C)e−t dt =
    −∞

    +∞
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    Z
    2
    2 −t2
    −t2
    =A
    t e
    dt + 2B
    te
    dt + C
    e−t dt,
    −∞

    −∞

    −∞

    где коэффициенты
    A=

    a
    q 2 − pr
    ,
    √ exp
    p p
    p
    C=

    B=

    bp − aq
    q 2 − pr
    exp
    ,
    p2
    p

    q 2 − pr
    cp2 − 2bpq + aq 2
    exp
    .

    p2 p
    p

    Методом интегрирования по частям c учётом чётности подынтегральной функции, используя интеграл Эйлера — Пуассона, находим:

    349

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    +∞
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    Z
    2
    2 −t2
    2 −t2
    t e
    dt = 2
    t e
    dt = −
    t de−t =

    −∞

    0

    h

    = − te

    −t2

    i+∞
    0

    0

    +∞
    +∞

    Z
    Z
    2
    π
    −t2
    +
    e
    dt =
    e−t dt =
    .
    2
    0

    0

    Аналогично интеграл
    +∞
    +∞
    Z
    Z

    2
    −t2
    e
    dt = 2
    e−t dt = π ,

    −∞

    0

    а в силу нечётности подынтегральной функции сходящийся интеграл
    +∞
    Z
    2
    t e−t dt = 0.

    −∞

    Следовательно,


    

    π
    π
    + 2B · 0 + C · π = 2 √ a(p + 2q 2 ) − 4bpq + 2cp2 .
    I =A·
    2
    2p p

    Ответ :



    π


    2p2 p

    
    a(p + 2q 2 ) − 4bpq + 2cp2 .

    Задача 26. C помощью интеграла Эйлера — Пуассона (12) вычислите интеграл
    +∞
    Z
    2
    I(a, b) =
    e−ax ch bx dx
    −∞

    (a > 0, b ∈ R).

    Решение. Согласно определению функции интегральный косинус
    получаем, что
    1
    I(a, b) =
    2

    350

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    2
    1
    −ax2 +bx
    e
    dx +
    e−ax −bx dx.
    2

    −∞

    −∞

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    С учётом задачи 25 находим интегралы-слагаемые:
    +∞
    +∞
    Z
    Z

    1
    −ax2 +bx
    e
    dx =
    e
    2

    1
    2

    −∞

    1
    2

     

    b
    ax2 +2· − 2 x

    −∞

    +∞
    +∞
    Z
    Z

    1
    −ax2 −bx
    e
    dx =
    e
    2

    −∞

    b
    ax2 +2· 2 x

    −∞

    

    1
    dx =
    2

    1
    dx =
    2

    r

    r

    b2

    π 4a
    e ;
    a
    b2

    π 4a
    e .
    a

    Таким образом, интеграл
    I(a, b) =

    Ответ :

    r

    r

    b2

    π 4a
    e
    a

    (a > 0, b ∈ R).

    b2

    π 4a
    e .
    a

    Задача 27. C помощью интеграла Эйлера — Пуассона (12) вычислите интеграл
    +∞
     
    
    Z
    a2 
    I(|a|) =
    exp − x2 + 2
    dx
    x
    0

    (a ∈ R).

    Решение. Интеграл
    I(|a|) =

    Z1
    0

    

    +∞
    
     
    
    Z
    
    a2 
    a2 
    2
    exp − x + 2
    dx +
    exp − x2 + 2
    dx.
    x
    x
    1

    Выполняя в первом интеграле-слагаемом замену y =

    I(|a|) =

    +∞
    Z
    1

    1
    , получаем
    x

    +∞
     
     
    
    Z
    
    1
    1
    a2 
    2 2
    2
    exp − 2 + a y
    dy +
    exp − y + 2
    dy ≡
    y2
    y
    y
    1

    ≡ F (|a|) + G(|a|), ∀a ∈ R.

    351

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Подынтегральные функции
     
    
    1
    1
    2 2
    , ∀y ∈ [1; + ∞), ∀|a| ∈ [0; + ∞),
    f : (y, |a|) → 2 exp − 2 + a y
    y
    y
    

    
    
    a2 
    2
    g : (y, |a|) → exp − y + 2 , ∀y ∈ [1; + ∞), ∀|a| ∈ [0; + ∞),
    y

    непрерывны.
    Несобственные интегралы, зависящие от параметра, F и G, по
    признаку Вейерштрасса, равномерно сходятся при a ∈ R, так как




    f (y, |a|) 6 1 , g(y, |a|) 6 e−y2 , ∀y ∈ [1; + ∞), ∀a ∈ R,
    2
    y

    и сходятся интегралы

    +∞
    Z

    dy
    y2

    +∞
    Z
    2
    e −y dy.

    и

    1

    1

    Следовательно, заданная несобственным интегралом с параметром
    функция I : |a| → I(|a|), ∀|a| ∈ [0; + ∞), непрерывна.
    Пусть |a| > ε > 0. Поскольку производные функции
    f0 :
    |a|

     
    
    1
    2 2
    (y, |a|) → − 2|a| exp − 2 + a y
    , ∀(y, |a|) ∈ Gε ,
    y

    g 0 : (y, |a|) →
    |a|

     
    
    a2 
    − 2|a|
    2
    exp

    y
    +
    , ∀(y, |a|) ∈ Gε ,
    y2
    y2

    непрерывны на множестве Gε = {(y, |a|) : y > 1, |a| > ε}, а интегралы
    +∞
    Z
    f 0 (|a|, y) dy
    1

    |a|

    и

    +∞
    Z
    g 0 (|a|, y) dy,
    1

    |a|

    по признаку Вейерштрасса, равномерно сходятся на отрезке [ε; A], то в
    силу произвольности выбора чисел ε > 0 и A > ε функция I непрерывно дифференцируема при |a| > 0 и имеет место равенство

    352

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    I 0 (|a|) = − 2|a|

    +∞
    Z
    0

    П. 6, § 2, гл. 3

     
    
    1
    a2 
    2
    exp

    x
    +
    dx (|a| > 0).
    x2
    x2

    |a|
    , находим
    x
    +∞
     
    
    Z
    1
    a2 
    2
    I(|a|) = |a|
    exp − y + 2
    dy.
    y2
    y

    Выполняя в заданном интеграле I замену y =

    0

    Таким образом, получаем дифференциальное уравнение
    I 0 (|a|) + 2I(|a|) = 0,
    из которого находим
    I(|a|) = Ce−2|a| , |a| > 0.
    В силу непрерывности функции I : |a| → I(|a|), ∀|a| ∈ [0; + ∞),
    I(0) = lim Ce−2|a| = C.
    |a|→0


    π
    С учётом интеграла Эйлера — Пуассона C = I(0) =
    .
    2
    Итак, интеграл

    π −2|a|
    e
    (a ∈ R).
    I(|a|) =
    2

    π −2|a|
    Ответ :
    e
    .
    2
    Задача 28. C помощью интеграла Эйлера — Пуассона (12) вычислите интеграл
    +∞
    Z
    2
    I(b) =
    e−ax cos bx dx (a > 0, b ∈ R).
    0

    Решение. Подынтегральная функция
    2

    f : (x, b) → e−ax cos bx, ∀x ∈ [0; + ∞), ∀b ∈ R,

    353

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    и её частная производная
    2

    fb0 : (x, b) → − x e−ax sin bx, ∀x ∈ [0; + ∞), ∀b ∈ R,
    непрерывны.
    Интегралы
    +∞
    Z
    2
    e−ax cos bx dx и

    +∞
    Z
    2
    x e−ax sin bx dx

    0

    0

    в силу признака Вейерштрасса равномерно сходятся на любом отрезке
    [ − B; B], B > 0, относительно параметра b, так как
    −ax2



    2
    2
    2
    e
    cos bx 6 e−ax и x e−ax sin bx 6 x e−ax
    при любых x ∈ [0; + ∞), b ∈ R, a ∈ (0; + ∞), и сходятся интегралы
    +∞
    Z
    2
    e−ax dx

    +∞
    Z
    2
    x e−ax dx.

    и

    0

    0

    Следовательно, функция I непрерывно дифференцируема на R (в
    силу произвольности выбора числа B > 0) и возможно дифференцирование под знаком интеграла:
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    2
    1
    −ax2
    sin bx de−ax =
    I (b) = −
    xe
    sin bx dx =
    2a
    0

    0

    0

    ix=+∞
    1 h −ax2
    b
    =
    e
    sin bx

    2a
    2a
    x=0

    +∞
    Z
    2
    b
    e−ax cos bx dx = −
    I(b).
    2a
    0

    Таким образом, получаем дифференциальное уравнение
    I 0 (b) +

    из которого находим I(b) = Ce

    354

    b
    I(b) = 0,
    2a

    b2
    − 4a

    .

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Поскольку с учётом интеграла Эйлера — Пуассона
    +∞
    +∞
    r
    Z
    Z


    1
    1 π
    −ax2
    −( a x)2
    e
    , a > 0,
    C = I(0) =
    e
    dx = √
    d( a x) =
    a
    2
    a
    0

    0

    то интеграл
    1
    I(b) =
    2

    Ответ :

    1
    2

    r

    r

    b2

    π − 4a
    e
    a

    (a > 0, b ∈ R).

    2

    b
    π − 4a
    e
    .
    a

    Задача 29. C помощью интеграла Эйлера — Пуассона (12) вычислите интеграл
    +∞
    Z
    2
    I(p) =
    x2n e−x cos 2px dx (n ∈ N, p ∈ R).
    0

    Решение. Полагая в интеграле, вычисленном в задаче 28, a = 1,
    b = 2p и дифференцируя этот интеграл 2n раз, получаем
    d2n
    dp2n

    +∞
    Z
    2
    e−x cos 2px dx =
    0

    n

    = ( − 1) · 2

    2n

    +∞
    √
    (2n)
    Z
    π −p2
    2n −x2
    x e
    cos 2px dx =
    e
    .
    2
    0

    Следовательно, интеграл
    √ 
    
    2 (2n)
    π
    n
    I(p) = ( − 1) · 2n+1 e−p
    , n ∈ N, p ∈ R.
    2

    Ответ : ( − 1)n ·



    π 

    22n+1

    e−p

    2

    (2n)

    .

    355

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Задача 30. Используя интеграл Дирихле
    D(p) =

    +∞
    Z
    0

    sin px
    π
    dx = sgn p (p ∈ R),
    x
    2

    вычислите интеграл
    I(a, b) =

    +∞
    Z

    2

    e−ax − cos bx
    dx
    x2

    0

    (a > 0, b ∈ R).

    Решение. При 0 < ε 6 a 6 A, 0 < ε 6 |b| 6 B функция


    2

    e−ax − cos bx
    , ∀x ∈ (0; + ∞),

    x2
    f : (x, a, b) → 
     2
    b
    − a при x = 0
    2
    и её частные производные
    2

    fa0 : (x, a, b) → − e−ax , ∀x ∈ [0; + ∞),


    fb0 : (x, a, b) → 

    sin bx
    , ∀x ∈ (0; + ∞),
    x
    b при x = 0

    непрерывны на множествах
    и

    {(x, a, b) : 0 6 x < + ∞, ε 6 a 6 A, ε 6 b 6 B}
    {(x, a, b) : 0 6 x < + ∞, ε 6 a 6 A, − B 6 b 6 − ε},

    где ε > 0, A > ε, B > ε — произвольные фиксированные числа.
    Согласно признаку Вейерштрасса интегралы I(a, b) и
    Ia0 (a, b)

    +∞
    Z
    =
    fa0 (x, a, b) dx
    0

    356

    (13)

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    равномерно сходятся при любых a ∈ [ε; A], b ∈ [ε; B], а также при любых a ∈ [ε; A], b ∈ [ − B; − ε].
    Интеграл
    Ib0 (a, b)

    +∞
    Z
    =
    fb0 (x, a, b) dx
    0

    равномерно сходится при любом a ∈ [ε; A] и любом b из произвольного
    отрезка, не содержащего нуля (см. пример 8.3.1).
    Следовательно, по теореме 1.2 (о непрерывности функции, заданной
    несобственным интегралом, зависящим от параметра), функции
    I : (a, b) → I(a, b), Ia0 : (a, b) → Ia0 (a, b), Ib0 : (a, b) → Ib0 (a, b)
    непрерывны на множествах G1 = {(a, b) : ε 6 a 6 A, ε 6 b 6 B} и
    G2 = {(a, b) : ε 6 a 6 A, − B 6 b 6 − ε}. А по теореме 1.3 (о дифференцировании функции, заданной несобственным интегралом, зависящим от параметра), дифференциал
    !
    +∞
    Z
    2

    e−ax dx da +

    dI(a, b) =

    +∞
    Z

    0

    = −

    1
    2

    r

    0

    !
    sin bx
    dx db =
    x

    π
    π
    da + sgn b db, ∀(a, b) ∈ G1 ∪ G2 ,
    a
    2

    где использованы интегралы Эйлера — Пуассона (12) и Дирихле (13).
    Отсюда интегрированием находим
    I(a, b) = −



    πa +

    π
    |b| + C.
    2

    (14)

    В силу произвольности выбора чисел ε > 0, A > ε, B > ε формула
    (14) имеет место при любых a > 0, |b| > 0.
    Покажем, что эта формула имеет место при любых a > 0, b ∈ R.
    Интеграл
    I(a, b) =

    Z1
    0

    +∞
    Z
    f (x, a, b) dx +
    f (x, a, b) dx.
    1

    Первый интеграл-слагаемое суть определённый интеграл, зависящий от параметров, с непрерывной на множестве [0; 1] × R × R подын-

    357

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    тегральной функцией. Поэтому, по теореме 1.3.1.2 (о непрерывности
    функции, заданной определённым интегралом, зависящим от параметров, с постоянными пределами интегрирования), этим интегралом задаётся непрерывная на R2 функция.
    Второй интеграл-слагаемое, по признаку Вейерштрасса, равномерно сходится при любых a > 0, b ∈ R, так как


    f (x, a, b) 6 2 , ∀x ∈ [1; + ∞), ∀a ∈ [0; + ∞), ∀b ∈ R,
    x2

    и интеграл от мажорирующей функции сходится. Кроме того, подынтегральная функция f непрерывна на [1; + ∞) × [0; + ∞) × R, а значит, по теореме 1.2 (о непрерывности функции, заданной несобственным
    интегралом с параметром), второй интеграл-слагаемое задаёт непрерывную на множестве [0; + ∞) × R функцию переменных a и b.
    Следовательно, функция I непрерывна на множестве [0; + ∞) × R
    и из соотношения непрерывности
    
     √
    π
    I(0, 0) = lim − πa + |b| + C = 0
    a → +0
    2
    b → +0

    находим, что C = 0.
    Таким образом, из (14) окончательно имеем, что
    I(a, b) = −

    Ответ : −



    πa +



    πa +

    π
    |b|, ∀a ∈ [0; + ∞), ∀b ∈ R.
    2

    π
    |b|.
    2

    Задача 31. Используя интеграл Дирихле (13), вычислите несобственный интеграл, зависящий от параметров,
    I(a, b) =

    +∞
    Z

    sin ax cos bx
    dx
    x

    (a, b ∈ R).

    0

    Решение. С помощью тригонометрической формулы преобразования произведения синуса на косинус в сумму получаем
    1
    I(a, b) =
    2

    +∞
    Z
    0

    358

    sin(a − b)x
    1
    dx +
    x
    2

    +∞
    Z
    0

    sin(a + b)x
    dx.
    x

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Используя интеграл Дирихле (13), находим
    
    π
    sgn (a − b) + sgn (a + b) , ∀a, b ∈ R.
    4
    
    π
    Ответ :
    sgn (a − b) + sgn (a + b) .
    4
    I(a, b) =

    Задача 32. Используя интеграл Дирихле (13), вычислите несобственный интеграл, зависящий от параметра,
    I(p) =

    +∞
    Z

    sin3 px
    dx
    x

    0

    (p ∈ R).

    Решение. Используя тождество
    sin3 px =

    1
    3
    sin px − sin 3px, ∀x ∈ R, (p ∈ R)
    4
    4

    и интеграл Дирихле (13), получаем
    3
    I(p) =
    4

    +∞
    Z
    0

    sin px
    1
    dx −
    x
    4

    =

    +∞
    Z
    0

    sin 3px

    π
    dx =
    sgn p − sgn 3p =
    x
    8
    8


    π
    π
    sgn p − sgn p = sgn p, ∀p ∈ R.
    8
    8
    4

    π
    sgn p.
    4
    Задача 33. Используя формулу Фруллани

    Ответ :

    +∞
    Z

    f (ax) − f (bx)
    b
    dx = f (0) ln
    x
    a

    (15)

    (a > 0, b > 0),

    0

    где f — непрерывная функция такая, что интеграл
    сходится при любом A > 0, вычислите интеграл
    I(a, b) =

    +∞
    Z
    0

    +∞
    R f (x)
    A

    x

    dx

    sin4 ax − sin4 bx
    dx (a, b ∈ R).
    x

    359

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Решение. Последовательно используя формулы синуса и косинуса
    половинного аргумента, получаем
    sin4 ax − sin4 bx =

    
    1
    (1 − cos 2ax)2 − (1 − cos 2bx)2 =
    4

    
    1
    2 cos 2bx − cos2 2bx + cos2 2ax − 2 cos 2ax =
    4
    1
    cos 4bx 
    cos 4ax 
    2 cos 2bx −
    − 2 cos 2ax −
    =
    =
    4
    2
    2
    =

    =
    где функция

    
    1
    f (|b|x) − f (|a|x) , ∀x ∈ R, (a, b ∈ R),
    4
    f : x → 2 cos 2x −

    cos 4x
    , ∀x ∈ R.
    2

    Тогда интеграл
    1
    I(a, b) =
    4

    +∞
    Z

    f (|b|x) − f (|a|x)
    dx.
    x

    0

    Функция f непрерывна, а интеграл
    +∞
    Z
    

    A

    2 cos 2x cos 4x 

    dx,
    x
    2x

    по признаку Дирихле, сходится при любом положительном A (см. пример 11.3.1).
    Стало быть, согласно формуле Фруллани (15) будем иметь:
    3 a
    I(a, b) = ln (ab 6= 0).
    8
    b
    Если a = 0, b 6= 0 или b = 0, a 6= 0, то интеграл I расходится.
    Если же a = b = 0, то интеграл I равен нулю.
    Таким образом, интеграл

    360

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3



    3 a
    ln при ab 6= 0,
    8
    b


    0 при a = b = 0,
    I(a, b) = 

     − ∞ при a = 0, b 6= 0,


    + ∞ при a 6= 0, b = 0.

    3 a
    ln при ab 6= 0; 0 при a = b = 0; расходится к − ∞
    8
    b
    при a = 0, b 6= 0; расходится к + ∞ при a 6= 0, b = 0.

    Ответ :

    Задача 34. Используя интеграл Дирихле (13), вычислите
    +∞
    Z

    sin x2
    dx.
    x

    0


    Решение. Заменой x = t (t > 0) данный интеграл приводим к
    интегралу Дирихле (13) при p = 1 :
    +∞
    Z

    sin x2
    1
    dx =
    x
    2

    0

    +∞
    Z

    sin t
    1
    π
    dt = D(1) = .
    t
    2
    4

    0

    π
    .
    4
    Задача 35. Вычислите интеграл

    Ответ :

    I(a, b) = V.p.

    +∞
    Z

    −∞

    sin ax
    dx (a, b ∈ R).
    x+b

    Решение. Полагая x = t−b, c учётом тригонометрической формулы
    синуса разности получаем, что
    I(a, b) = V.p.

    +∞
    Z
    

    −∞

    
    sin at
    cos at
    cos(ab) −
    sin(ab) dt.
    t
    t

    В силу чётности подынтегральной функции интеграл

    361

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    V.p.

    +∞
    Z

    +∞
    Z

    sin at
    dt = 2
    t

    −∞

    В.Н. Горбузов

    sin at
    dt = 2D(a) = π sgn a,
    t

    0

    где D — интеграл Дирихле (13).
    В силу нечётности подынтегральной функции интеграл
    +∞
    Z

    V.p.

    cos at
    dt = 0.
    t

    −∞

    Таким образом,
    I(a, b) = π sgn a cos(ab), ∀a, b ∈ R.

    Ответ : π sgn a cos(ab).
    Задача 36. Используя формулу
    +∞
    Z
    −y(1+x2 )
    e
    dy,

    1
    =
    1 + x2

    0

    вычислите интеграл Лапласа
    L(a) =

    +∞
    Z

    cos ax
    dx
    1 + x2

    0

    (a ∈ R).

    (16)

    Решение. Согласно условию
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    −y(1+x2 )
    L(a) =
    dx
    e
    cos ax dy.
    0

    0

    При любом положительном k и любом вещественном a рассмотрим интеграл

    или

    362

    b a) =
    L(k,

    +∞
    Z
    0

    cos ax −kx2
    e
    dx
    1 + x2

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    b a) =
    L(k,

    +∞
    Z

    dx

    0

    +∞
    Z

    e

    −y−(k+y)x2

    П. 6, § 2, гл. 3

    cos ax dy.

    (17)

    0

    Функция

    f : (x, y) → e

    −y−(k+y)x2

    cos ax, ∀x, y ∈ [0; + ∞),

    непрерывна.
    По признаку Вейерштрасса, интегралы
    +∞
    Z
    −y−(k+y)x2
    e
    cos ax dy

    +∞
    Z
    −y−(k+y)x2
    e
    cos ax dx

    и

    0

    0

    на полуоткрытом числовом луче [0; +∞) равномерно сходятся соответственно по x и по y, так как при любых x, y ∈ [0; + ∞)
    −y−(k+y)x2



    cos ax 6 e−y
    e

    и

    −y−(k+y)x2

    2


    cos ax 6 e−kx
    e

    и интегралы от мажорирующих функций сходятся.
    В силу оценки


    Z
    +∞
    +∞
    +∞
    Z
    Z

    +∞ Z
    2
    −y−(k+y)x2


    −y
    e dy
    e−kx dx
    dx
    e
    cos ax dy 6



    0

    0

    0

    0

    интеграл (17) сходится.
    Следовательно, по теореме 1.5 (об интегрировании функции, заданной несобственным интегралом с параметром, в несобственном смысле),
    можно в повторном интеграле (17) изменить порядок интегрирования:
    b a) =
    L(k,

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    −(k+y)x2
    −y
    e dy
    e
    cos ax dx.
    0

    0

    В задаче 28 вычислен интеграл
    +∞
    a2
    r
    Z
    − 4(k+y)
    −(k+y)x2
    1
    π
    e
    cos ax dx =
    e
    2 k+y
    0

    (k > 0, y > 0, a ∈ R).

    363

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Стало быть,


    b a) = π
    L(k,
    2

    +∞
    Z
    0

    a2
    4(k+y) + y


    1

    e
    k+y

    

    dy =



    πe

    k

    +∞
    Z

    e

    a2
    2
    4t2 + t


    k

    

    dt,

    где y = t2 − k.
    Интеграл
    +∞
    Z

    cos ax −kx2
    e
    dx,
    1 + x2

    0

    по признаку Вейерштрасса, равномерно сходится по k на числовом луче [0; + ∞) (мажорантная функция f : x → (1 + x2 )−1 , ∀x ∈ [0; + ∞))
    и имеет непрерывную подынтегральную функцию
    f : (x, k) →

    cos ax −kx2
    e
    , ∀(x, k) ∈ [0; + ∞) × [0; + ∞).
    1 + x2

    Значит, по теореме о непрерывности функции, заданной несобственb : (k, a) → L(k,
    b a),
    ным интегралом с параметром (теорема 1.2), функция L
    ∀k ∈ [0; + ∞), ∀a ∈ R, непрерывна по переменной k. Поэтому
    b a) =
    L(a) = lim L(k,
    k→+∞

    +∞
    Z


    cos ax
    dx = π
    1 + x2

    0

    +∞
    Z

    e

    a2
    2
    4t2 + t

    0

    

    dt.

    Используя результат задачи 27, окончательно имеем:
    a


    π −2 2
    π
    L(a) = π ·
    e
    = e−|a| , ∀a ∈ R.
    2
    2

    Ответ :

    π −|a|
    e
    .
    2

    Задача 37. Используя интеграл Лапласа (16), вычислите несобственный интеграл
    +∞
    Z
    0

    364

    sin2 x
    dx.
    1 + x2

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Решение. Используя тригонометрическую формулу синуса половинного аргумента и интеграл Лапласа (16), получаем
    +∞
    Z

    sin2 x
    1
    dx =
    2
    1+x
    2

    0

    +∞
    Z

    1 − cos 2x
    1
    dx =
    2
    1+x
    2

    0

    =

    Ответ :

    +∞
    Z
    0

    dx
    1

    2
    1+x
    2

    +∞
    Z

    cos 2x
    dx =
    1 + x2

    0

    i+∞ π
    1h
    π
    arctg x
    − e−2 = (1 − e−2 ).
    2
    4
    4
    0

    π
    (1 − e−2 ).
    4

    Задача 38. Вычислите интеграл
    I(a) =

    +∞
    Z
    0

    cos ax
    dx (a ∈ R).
    (1 + x2 )2

    Решение. Рассмотрим зависящий от параметра y интеграл
    F (y) =

    +∞
    Z
    0

    h1 3i
    cos ax
    dx,
    ∀y

    ; , (a ∈ R).
    y 2 + x2
    2 2

    Дифференцированием по параметру y получаем, что
    0

    F (1) = − 2

    +∞
    Z
    0

    cos ax
    dx = − 2I(a).
    (1 + x2 )2

    С другой стороны с помощью замены x = yt устанавливаем:
    1
    F (y) =
    y

    +∞
    Z
    0

    h1 3i
    cos(ayt)
    1
    dt
    =
    L(ay),
    ∀y

    ; ,
    1 + t2
    y
    2 2

    где L — интеграл Лапласа (16).
    Таким образом, с учётом значения интеграла Лапласа (16) имеем,
    что интеграл

    365

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    1 0
    F (1) = −
    2
    2

    I(a) = −

    = −

    π
    4

    В.Н. Горбузов

    1 1

    

    0
    1  1 π −|a|y 0

    L(ay)
    = −
    · e
    =

    y
    2 y 2
    y=1
    y=1

    
    − |a|e−|a|y y − e−|a|y

    y2


    =
    y=1

    
    π
    1 + |a| e−|a| , ∀a ∈ R.
    4

    π −|a|
    e
    .
    2

    Ответ :

    Задача 39. Вычислите интеграл
    I(p) =

    +∞
    Z

    −∞

    ax2

    cos px
    dx, ∀p ∈ R, (a > 0, ac − b2 > 0).
    + 2bx + c

    Решение. Выделяя полный квадрат в знаменателе, получаем, что
    I(p) =

    +∞
    Z

    −∞

    √

    cos px
    ac − b2
    dx, где q 2 =
    > 0.
    
    2
    b
    a
    2

    ax+
    +q
    a

    Тогда, выполняя подстановку


    b
    a x + √ = t,
    a

    c учётом тригонометрической формулы косинуса разности будем иметь:

    1
    I(p) = √
    a

    pt
    pb
    pt
    pb
    +∞ cos √ cos
    +∞ sin √ sin
    Z
    Z
    1
    a
    a
    a
    a
    dt + √
    dt.
    t2 + q 2
    t2 + q 2
    a

    −∞

    −∞

    Учитывая чётность подынтегральной функции, первый интегралслагаемое вычислим с помощью интеграла Лапласа (16):

    1

    a

    366

    pt
    pb
    pt
    +∞ cos √ cos
    +∞ cos √
    Z
    Z
    2
    pb
    a
    a
    a
    dt = √ cos
    dt =
    2
    2
    2
    t +q
    a
    t + q2
    a

    −∞

    0

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    p|q|u
    +∞ cos √
    
    
    Z
    2
    pb
    |pq|
    a
    √ cos
    |q| du =
    L √
    =
    q 2 (u2 + 1)
    a
    |q| a
    a

    2
    pb
    = √ cos
    a
    a

    0

    |pq|

    =

    |pq|

    2
    pb π − √a
    π
    pb − √a
    √ cos
    √ cos
    · e
    =
    e
    .
    a 2
    a
    |q| a
    |q| a

    Второй интеграл-слагаемое, по признаку Вейерштрасса, сходится
    (доказательство аналогично проведённому в задаче 4). Поэтому с учётом
    нечётности подынтегральной функции его значение равно нулю.
    ac − b2
    интеграл
    Таким образом, с учётом обозначения q 2 =
    a
    π
    pb −
    I(p) = √
    cos
    e
    a
    ac − b2

    |p|


    ac−b2
    a

    π
    pb −
    cos
    Ответ : √
    e
    a
    ac − b2

    |p|

    , ∀p ∈ R, (a > 0, ac − b2 > 0).


    ac−b2
    a

    .

    Задача 40. C помошью интегралов Френеля
    +∞
    +∞
    r
    Z
    Z
    1 π
    2
    2
    sin x dx =
    cos x dx =
    2
    2
    0

    0

    вычислите интеграл
    +∞
    Z
    I(a, b, c) =
    sin(ax2 + 2bx + c) dx (a, b, c ∈ R, a 6= 0).
    −∞

    Решение. Выделяя полный квадрат, получаем, что
    +∞
    
    
    Z

    b 2
    ac − b2
    I(a, b, c) =
    sin
    ax+ √
    + q dx, где q =
    .
    a
    a
    −∞

    367

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Если a > 0, то с помощью подстановки


    b
    a x + √ = t,
    a

    тригонометрической формулы синуса суммы и интегралов Френеля будем иметь:
    cos q
    I(a, b, c) = √
    a

    2 cos q
    = √
    a

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    sin q
    2
    sin t dt + √
    cos t2 dt =
    a

    −∞

    −∞

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    2 sin q
    2
    sin t dt + √
    cos t2 dt =
    a
    0

    =

    r

    π
    a

    

    0

    1
    1
    √ cos q + √ sin q
    2
    2

    

    =

    r


    
    π
    sin
    +q
    (a > 0).
    a
    4

    Если a < 0, то, полагая a = − a1 , a1 > 0, и выполняя аналогичные вычисления, получаем:
    r
     π
    
    π
    I( − a1 , b, c) =
    sin − + q (a1 > 0),
    a1
    4

    т.е.

    I(a, b, c) =

    r

     π
    
    π
    sin − + q (a < 0).
    −a
    4

    Итак, учитывая обозначение q =

    I(a, b, c) =

    Ответ :

    368

    r

    r

    ac − b2
    , интеграл
    a


    π
    ac − b2 
    sin
    sgn a +
    (a, b, c ∈ R, a 6= 0).
    |a|
    4
    a


    π
    ac − b2 
    sin
    sgn a +
    .
    |a|
    4
    a

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Задача 41. Докажите, что:
    a) V.p.

    б) V.p.

    +∞
    Z
    0

    cos ax
    π
    dx =
    sin(|a|b), ∀a ∈ R, ∀b ∈ R\{0};
    b2 − x 2
    2b

    +∞
    Z

    x sin ax
    π
    dx = − sgn a cos(ab), ∀a ∈ R, ∀b ∈ R\{0}.
    2
    2
    b −x
    2

    0

    Доказательство. a). В силу чётности подынтегральной функции
    V.p.

    +∞
    Z
    0

    cos ax
    1
    dx = V.p.
    b2 − x 2
    2

    +∞
    Z

    −∞

    1
    V.p.
    = −
    4b

    +∞
    Z

    −∞

    cos ax
    dx =
    b2 − x 2

    cos ax
    1
    dx +
    V.p.
    x−b
    4b

    +∞
    Z

    cos ax
    dx.
    x+b

    −∞

    Вычислим первый интеграл-слагаемое способом, изложенным в задаче 35. Полагая x = t + b, c учётом тригонометрической формулы косинуса суммы получаем, что
    V.p.

    +∞
    Z

    −∞

    +∞
    Z
    

    cos ax
    dx = V.p.
    x−b

    −∞

    
    cos at
    sin at
    cos(ab) −
    sin(ab) dt.
    t
    t

    В силу нечётности подынтегральной функции интеграл
    V.p.

    +∞
    Z

    cos at
    dt = 0.
    t

    −∞

    В силу чётности подынтегральной функции интеграл
    V.p.

    +∞
    Z

    −∞

    sin at
    dt = 2
    t

    +∞
    Z

    sin at
    dt = 2D(a) = π sgn a,
    t

    0

    где D — интеграл Дирихле (13).

    369

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Таким образом,
    V.p.

    +∞
    Z

    −∞

    cos ax
    dx = − sin(ab) · π sgn a, ∀a, b ∈ R.
    x−b

    Тогда второй интеграл-слагаемое
    V.p.

    +∞
    Z

    −∞

    cos ax
    dx = V.p.
    x+b

    +∞
    Z

    −∞

    cos ax
    dx = sin(ab) · π sgn a, ∀a, b ∈ R.
    x − ( − b)

    Итак,
    V.p.

    +∞
    Z
    0

     1
    cos ax
    1
    dx = −
    − sin(ab) · π sgn a +
    sin(ab) · π sgn a =
    2
    2
    b −x
    4b
    4b

    =

    π
    π
    sin(ab) sgn a =
    sin(|a|b), ∀a ∈ R, ∀b ∈ R\{0}.
    2b
    2b

    б). В силу чётности подынтегральной функции
    V.p.

    +∞
    Z
    0

    x sin ax
    1
    dx = V.p.
    b2 − x 2
    2

    +∞
    Z

    −∞

    1
    = − V.p.
    4

    +∞
    Z

    −∞

    x sin ax
    dx =
    b2 − x 2

    sin ax
    1
    dx − V.p.
    x−b
    4

    +∞
    Z

    −∞

    sin ax
    dx.
    x+b

    Используя результат задачи 35, получаем:
    V.p.

    +∞
    Z

    −∞

    sin ax
    dx = V.p.
    x−b

    +∞
    Z

    −∞

    sin ax
    dx = π sgn a cos(ab), ∀a, b ∈ R.
    x+b

    Стало быть,
    V.p.

    +∞
    Z
    0

    370

    x sin ax
    π
    dx = − sgn a cos(ab), ∀a ∈ R, ∀b ∈ R\{0}.
    2
    2
    b −x
    2

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    П. 6, § 2, гл. 3

    Задача 42. Найдите преобразование Лапласа
    +∞
    Z
    F (p) =
    e−pt f (t) dt, ∀p ∈ (0; + ∞),
    0

    для функции f, если:
    a) f : t → tn , ∀t ∈ [0; + ∞), n ∈ N;

    б) f : t →


    t , ∀t ∈ [0; + ∞);

    1 − e−t
    , ∀t ∈ (0; + ∞);
    t

    г) f : t → sin(a t ), ∀t ∈ [0; + ∞), a ∈ R.
    в) f : t →

    Решение. а). Рассмотрим интеграл
    +∞
    Z
    G(p) =
    e−pt dt, ∀p ∈ (0; + ∞).
    0

    Подынтегральная функция
    f : (t, p) → e−pt , ∀t ∈ [0; + ∞), ∀p ∈ (0; + ∞),
    и её частные производные
    fp(n) : (t, p) → ( − 1)n e−pt tn , ∀t ∈ [0; + ∞), ∀p ∈ (0; + ∞),
    любого порядка n ∈ N непрерывны. Интеграл G сходится, а интегралы
    +∞
    Z
    ( − 1)n e−pt tn dt, ∀n ∈ N,
    0

    равномерно сходятся по параметру p на любом полуоткрытом числовом
    луче [p0 ; + ∞), p0 > 0, — см. задачу 6.
    Следовательно, по теореме 1.3 (о дифференцировании функции,
    заданной несобственным интегралом с параметром),
    G

    (n)

    +∞
    Z
    (p) = ( − 1) ·
    e−pt tn dt, т.е.
    n

    0

    +∞
    Z
    e−pt tn dt = ( − 1)n · G(n) (p).
    0

    371

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Поскольку
    +∞
    Z
    1 h −pt it=+∞
    1
    e−pt d( − pt) = −
    e
    = , ∀p ∈ (0; + ∞),
    p
    p
    t=0

    1
    G(p) = −
    p

    0

    то
    G(n) (p) =

    ( − 1)n · n!
    , ∀p ∈ (0; + ∞), (n ∈ N).
    pn+1

    Таким образом, преобразование Лапласа
    +∞
    Z
    ( − 1)2n · n!
    n!
    = n+1 , ∀p ∈ (0; + ∞), (n ∈ N).
    F (p) =
    e−pt tn dt =
    pn+1
    p
    0

    б). С помощью замены x =
    частям получаем:


    t и последующего интегрирования по

    +∞
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    Z

    x −px2
    −pt
    −px2 2
    F (p) =
    e
    t dt = 2
    e
    x dx = −
    de
    =
    p
    0

    = −

    hx
    p

    e−px

    2

    0

    ix→+∞
    x=0

    =

    +

    1
    p

    0

    +∞
    Z
    2
    e−px dx =
    0

    p

    1


    p

    +∞
    Z

    2

    e−( p x) d( p x) =
    0


    r
    1
    π
    1
    π
    ·
    =
    , ∀p ∈ (0; + ∞),

    p p 2
    2p
    p

    где использован интеграл Эйлера — Пуассона (12).
    в). Применяя формулу Фруллани (15), находим:
    F (p) =

    +∞
    Z
    0

    e−pt − e−(p+1)t
    p+1
    dt = ln
    , ∀p ∈ (0; + ∞).
    t
    p

    г). С помощью замены x =
    частям получаем, что

    372



    t и последующего интегрирования по

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    F (p) =

    +∞
    Z


    e−pt sin(a t ) dt = 2

    0

    1
    = −
    p
    a
    +
    p

    +∞
    Z

    П. 6, § 2, гл. 3

    2

    xe−px sin ax dx =

    0

    +∞
    Z
    i
    2
    2 x→+∞
    1h
    sin ax de−px = −
    sin ax · e−px
    +
    p
    x=0
    0

    +∞
    r
    Z
    a2
    a
    π − 4p
    −px2
    e
    cos ax dx =
    e
    , ∀p ∈ (0; + ∞), (a ∈ R).
    2p
    p
    0

    где использован результат задачи 28.
    r
    r
    a2
    n!
    1
    π
    p+1
    a
    π − 4p
    .
    Ответ : a) n+1 ; б)
    ; в) ln
    ; г)
    e
    p
    2p
    p
    p
    2p
    p
    Задача 43. Вычислите интеграл Липшица
    +∞
    Z
    I(a, b) =
    J0 (ax) e−bx dx (a ∈ R, b > 0),
    0

    где функция Бесселя нулевого порядка
    1
    J0 : x →
    π


    0

    cos(x sin ϕ) dϕ, ∀x ∈ R.

    Решение. Согласно условию
    1
    I(a, b) =
    π

    +∞
    Z

    dx cos(ax sin ϕ)e−bx dϕ (a ∈ R, b > 0).
    0

    (18)

    0

    Функция
    f : (x, ϕ) → cos(ax sin ϕ)e−bx , ∀x ∈ [0; + ∞), ∀ϕ ∈ [0; π],
    непрерывна. В силу оценки


    cos(ax sin ϕ)e−bx 6 e−bx , ∀x ∈ [0; + ∞), ∀ϕ ∈ [0; π],

    373

    П. 6, § 2, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    интеграл
    +∞
    Z
    cos(ax sin ϕ)e−bx dx,
    0

    по признаку Вейерштрасса, равномерно сходится по ϕ на [0; π].
    Следовательно, по теореме 1.4 (об интегрировании функции, заданной несобственным интегралом с параметром, в собственном смысле), в
    повторном интеграле (18) можно изменить порядок интегрирования:
    1
    I(a, b) =
    π


    0

    +∞
    Z

    cos(ax sin ϕ)e−bx dx (a ∈ R, b > 0).
    0

    Интеграл
    +∞
    Z
    cos(ax sin ϕ)e−bx dx =
    0

    =

    

    − b cos(ax sin ϕ) + a sin ϕ sin(ax sin ϕ) −bx
    e
    b2 + a2 sin2 ϕ

    x=+∞

    =

    x=0

    b
    b2

    +

    a2 sin2

    ϕ

    Вычислим интеграл
    I1 =


    0


    b2 + a2 sin2 ϕ

    (a ∈ R, b > 0).

    π
    Если a = 0, то его значение равно 2 .
    b
    Если a =
    6 0, то
    1
    I1 = 2
    a


    0

    374

    π


    2

    b
    + sin2 ϕ
    a2

    1
    = 2
    a

    Z2
    0


    2

    b
    + sin2 ϕ
    a2

    1
    + 2
    a


    π
    2


    2

    b
    + sin2 ϕ
    a2


    
    ϕ= π −0
    2
    1
    a2
    a2 + b2 tg ϕ

    = 2
    arctg
    +
    a b a2 + b 2
    b
    ϕ=0

    =

    .

    В.Н. Горбузов

    § 2. Дифференциальное и интегральное исчисление ...

    +

    1
    = 2
    a

    

    

    2

    1
    a

    arctg
    2
    a b a2 + b 2



    a2

    b2

    +
    b

    tg ϕ

    ϕ=π

    π
    ϕ= 2 +0

    П. 6, § 2, гл. 3

    =

     π 
    π
    a2
    a2
    π

    · −0+0− √
    · −
    = √
    .
    2
    2
    2
    2
    2
    b a +b 2
    b a +b
    b a2 + b 2

    Значит, интеграл
    I1 =

    π

    b a2 + b 2

    (a ∈ R, b > 0).

    Таким образом, интеграл Липшица
    I(a, b) =

    Ответ : √

    π
    1
    b
    =√
    · √
    2
    π b a2 + b 2
    a + b2

    (a ∈ R, b > 0).

    1
    .
    + b2

    a2

    Задача 44. Найдите преобразование Вейерштрасса
    1
    F (x) = √
    π

    +∞
    Z
    2
    e−(x−y) f (y) dy, ∀x ∈ R,

    −∞

    для функции
    f : y → cos ay, ∀y ∈ R, (a ∈ R).

    Решение. Полагая x − y = t, с учётом тригонометрической формулы косинуса разности получаем:
    1
    F (x) = √
    π
    cos ax
    = √
    π

    +∞
    Z
    2
    e−t cos(ax − at) dt =

    −∞

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    2
    sin ax
    −t2
    e
    cos at dt + √
    e−t sin at dt.
    π

    −∞

    −∞

    Учитывая чётность подынтегральной функции, первый интегралслагаемое вычислим, используя результат задачи 28:

    375

    П. 6, § 2, гл. 3
    +∞
    Z

    e

    −t2

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    cos at dt = 2

    −∞

    +∞
    Z

    e

    −t2



    π −
    e
    cos at dt = 2·
    2

    В.Н. Горбузов
    2

    a
    4

    =



    πe

    a2
    − 4

    0

    , ∀a ∈ R.

    Второй интеграл-слагаемое, по признаку Вейерштрасса, сходится
    2
    (мажорантная функция f : t → e−t , ∀t ∈ R). Поэтому в силу нечётности подынтегральной функции его значение равно нулю.
    Таким образом, для функции f преобразование Вейерштрасса
    F (x) = e

    a2
    − 4

    cos ax, ∀x ∈ R, (a ∈ R).

    a2
    − 4

    Ответ : e
    cos ax.
    Задача 45. Найдите разрывный множитель Дирихле
    2
    D(x) =
    π

    +∞
    Z
    0

    sin λx cos λx
    dλ, ∀x ∈ R.
    λ

    Решение. Полагая в задаче 31 x = λ, a = 1, b = x, получаем, что
    D(x) =
    или

    
    1
    sgn (1 − x) + sgn (1 + x) , ∀x ∈ R,
    2


    1 при |x| < 1,
    1

    D(x) = 
    при x = ± 1,
    2
    0 при |x| > 1.

    Ответ : 1 при |x| < 1;

    376

    1
    при x = ± 1; 0 при |x| > 1.
    2

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 1, § 3, гл. 3

    § 3. Бета- и гамма-функции
    1. Эйлеров интеграл первого рода
    Эйлеров интеграл первого рода

    R1

    ξ p−1 (1−ξ)q−1 dξ. Множество рав-

    0

    номерной сходимости эйлерова интеграла первого рода.

    Интеграл
    Z1
    0

    ξ p−1 (1 − ξ)q−1 dξ,

    (1)

    по предложению Лежандра, принято называть эйлеровым интегралом первого рода. Параметры p и q из поля R, входящие в
    задание, определяют свойства этого интеграла.
    Если p > 1, q > 1, то подынтегральная функция
    f : ξ → ξ p−1 (1 − ξ)q−1 , ∀ξ ∈ h0; 1i,

    (2)

    непрерывна на отрезке [0; 1], а значит, интеграл (1) является собственным, зависящим от параметров p и q.
    Если p < 1, а q — любое вещественное число, то подынтегральная функция (2) не опpеделена в левом конце ξ = 0
    пpомежутка интегpиpования, причём функция f неограниченно
    возрастает при стремлении ξ к нулю справа, то есть,
    
    lim ξ p−1 (1 − ξ)q−1 = + ∞, ∀p ∈ ( − ∞; 1), ∀q ∈ R.
    (3)
    ξ→+0

    Если p — любое вещественное число, а q < 1, то подынтегральная функция (2) не опpеделена в пpавом конце ξ = 1
    пpомежутка интегpиpования, причём функция f неограниченно
    возрастает при стремлении ξ к единице слева, то есть,
    
    lim ξ p−1 (1 − ξ)q−1 = + ∞, ∀p ∈ R, ∀q ∈ ( − ∞; 1).
    (4)
    ξ→1−0

    377

    П. 1, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Поэтому, если min{p, q} < 1, то интеграл (1) является несобственным, зависящим от параметров p и q.
    В связи с тем, что эйлеров интеграл первого рода может иметь
    только две особые точки ξ = 0 и ξ = 1, представим его в виде
    суммы двух интегралов
    Z1
    0

    Z0,5
    ξ p−1 (1 − ξ)q−1 dξ = ξ p−1 (1 − ξ)q−1 dξ +
    0

    +

    Z1

    0,5

    (5)

    ξ p−1 (1 − ξ)q−1 dξ

    и рассмотрим каждый интеграл-слагаемое
    Z0,5
    ξ p−1 (1 − ξ)q−1 dξ

    (6)

    Z1

    (7)

    0

    и

    0,5

    ξ p−1 (1 − ξ)q−1 dξ.

    При p > 1 и любом вещественном q сужение функции (2)
    непрерывно на отрезке [0; 0,5], поэтому интеграл (6) является
    определённым.
    Если p < 1, а q — любое вещественное число, то у интеграла
    (6) одна особая точка ξ = 0. Сужение подынтегральной функции
    (2) положительно на полуинтервале (0; 0,5], и имеет место эквивалентность
    (1 − ξ)q−1
    1
    ∼ 1−p
    ξ 1−p
    ξ

    при ξ → + 0,

    то есть, подынтегральная функция (2) при p < 1, q ∈ R является
    бесконечно большой порядка 1 − p при ξ → + 0.
    378

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 1, § 3, гл. 3

    Учитывая, что сужение функции (2) на полуинтеpвале (0; 0,5]
    является пожительным, по предельному признаку сравнения Коши для несобственного интеграла второго рода (следствие 4.2.1),
    устанавливаем, что интеграл (6) будет сходящимся при 0 < p < 1
    и расходящимся при p 6 0.
    Итак, при p > 1, q ∈ R интеграл (6) является определённым, при 0 < p < 1, q ∈ R — несобственным сходящимся, а
    при p 6 0, q ∈ R — несобственным расходящимся. Поэтому,
    рассматривая определённый интеграл как разновидность несобственного сходящегося, интеграл (6) будет сходящимся при p > 0,
    q ∈ R и расходящимся при p 6 0, q ∈ R.
    При любом вещественном p и q > 1 сужение функции (2)
    непрерывно на отрезке [0,5; 1], поэтому интеграл (7) является
    определённым.
    Если q < 1, p — любое вещественное число, то у интеграла
    (7) одна особая точка ξ = 1. Сужение подынтегральной функции
    (2) положительно на полуинтервале [0,5; 1) и имеет место эквивалентность
    ξ p−1
    1

    1−q
    (1 − ξ)
    (1 − ξ)1−q

    при ξ → 1 − 0.

    Стало быть, подынтегральная
    функция (2) при p ∈ R, q < 1
    q
    является бесконечно большой
    Н
    порядка 1 − q при ξ → 1 − 0.
    Учитывая, что сужение функОИ З ОП
    ции
    (2) на полуинтеpвале [0,5; 1)
    И
    является положительным, по
    1
    предельному признаку сравнеЗ
    О
    П
    ния Коши для несобственного
    интеграла второго рода (следp
    1
    O
    ствие 4.2.1), устанавливаем, что
    интеграл (7) будет сходящимся
    Рис. 1
    при 0 < q < 1 и расходящимся
    при q 6 0.
    Итак, интеграл (7) сходится при p ∈ R, q > 0 и расходится
    при p ∈ R, q 6 0.
    379

    П. 1, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    В соответствии с критерием сходимости несобственного интеграла на открытом числовом промежутке эйлеров интеграл первого рода (5) является сходящимся на множестве
    P = {(p, q) : p > 0, q > 0},
    а во всех иных точках плоскости R2 он расходится.
    На рисунке 1 указаны множества значений параметров p и q,
    при которых эйлеров интеграл первого рода (1) представляет собой определённый интеграл, зависящий от параметров (ОИЗОП),
    и несобственный интеграл, зависящий от параметров (НИЗОП).
    Отметим столь важный факт, как равномерная сходимость
    для интеграла (1).
    Предложение 1. Эйлеров интеграл первого рода (1) равномерно сходится на множестве
    P0 = {(p, q) : p > p0 > 0, q > q0 > 0}.

    Доказательство проведём, основываясь на признаке Вейерштрасса (теорема 1.3.1) pавномеpной сходимости несобственного интегpала, зависящего от паpаметpов. Для этого произвольным
    образом выберем фиксированные числа p 0 и q0 со свойствами
    0 < p0 , 0 < q0 . Тогда
    0 < ξ p−1 (1 − ξ)q−1 6 ξ p0 −1 (1 − ξ)q0 −1 , ∀ξ ∈ (0; 1),

    (8)

    ∀p ∈ (p0 ; + ∞), p0 > 0, ∀q ∈ (q0 ; + ∞), q0 > 0.
    Это позволяет говорить о существовании функции
    ϕ : ξ → ξ p0 −1 (1 − ξ)q0 −1 , ∀ξ ∈ (0; 1), p0 > 0, q0 > 0,
    обладающей свойством (8) по отношению к сужению подынтегральной функции (2), причём интеграл
    Z1
    0

    ϕ(ξ) dξ =

    Z1
    0

    ξ p0 −1 (1 − ξ)q0 −1 dξ,

    как частный случай интеграла (1) при p = p 0 , q = q0 , сходится.
    380

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 2, § 3, гл. 3

    Условия признака Вейерштрасса выполнены, поэтому несобственный интеграл, зависящий от параметров, (1) равномерно
    сходится на множестве P0 .

    2. Определение бета-функции
    Бета-функция B : (p, q) →
    рывности бета-функции.

    R1
    0

    ξ p−1 (1 − ξ)q−1 dξ. Множество непре-

    Сходимость эйлерова интеграла первого рода (1.1) позволяет
    на множестве сходимости P = {(p, q) : p > 0, q > 0} ввести с его
    помощью функцию.
    Определение 1. Функцию B с множеством определения
    DB = {(p, q) : p > 0, q > 0}, заданную с помощью эйлерова
    интеграла первого рода
    B : (p, q) →

    Z1
    0

    ξ p−1 (1 − ξ)q−1 dξ, ∀(p, q) ∈ DB,

    (1)

    назовём бета-функцией.
    Функция
    Φ : (ξ, p, q) → ξ p−1 (1 − ξ)q−1 , ∀ξ ∈ (0; 1), ∀p, q ∈ (0; + ∞), (2)
    непрерывна на множестве
    DΦ = {(ξ, p, q) : 0 < ξ < 1, p > 0, q > 0}.
    Эйлеров интеграл первого рода (1.1) равномерно сходится на
    множестве P0 = {(p, q) : p > p0 > 0, q > q0 > 0}. Поэтому, исходя из теоремы 1.3.1 (о непрерывности функции, заданной
    определённым интегралом, зависящим от параметра, с постоянными пределами интегрирования) и теоремы 1.2.2 (о непрерывности функции, определяемой несобственным интегралом, зависящим от параметра), заключаем о непрерывности бета-функции (1)
    на её множестве определения.
    Теорема 1. Бета-функция непрерывна на её множестве
    определения.
    381

    П. 3, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    3. Симметричность бета-функции
    относительно переменных
    Симметричность: B(p, q) = B(q, p).

    Свойство 1. Для бета-функции имеет место соотношение симметpичности
    B(p, q) = B(q, p), ∀p, q ∈ (0; + ∞).

    Доказательство. Пусть
    t = 1 − ξ, ∀ξ ∈ [0; 1],

    тогда

    ξ = 1 − t, dξ = − dt,
    при ξ = 0 новая переменная t = 1, а при ξ = 1 — t = 0.
    Поэтому, выполнив в интеграле (1.1) замену
    ξ = 1 − t, ∀t ∈ [0; 1],

    будем иметь:
    B(p, q) =

    Z1
    0

    =

    Z1
    0

    ξ p−1 (1 − ξ)q−1 dξ = −

    Z0
    1

    (1 − t)p−1 tq−1 dt =

    tq−1 (1 − t)p−1 dt = B(q, p), ∀p, q ∈ (0; + ∞).

    Hапpимеp,
    B(3, 5) = B(5, 3),
    что означает pавенство интегpалов
    Z1
    0

    382

    2

    4

    x (1 − x) dx =

    Z1
    0

    x4 (1 − x)2 dx.

    (1)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 4, § 3, гл. 3

    4. Формулы приведения бета-функции
    Формулы приведения:
    B(p, q) =

    p−1
    q−1
    B(p, q − 1); B(p, q) =
    B(p − 1, q);
    p+q−1
    p+q−1
    B(p, 1) =

    B(p, n) =

    1
    1
    ; B(1, q) = ; B(1, 1) = 1;
    p
    q

    (n − 1)!
    (n − 1)! (m − 1)!
    ; B(m, n) =
    .
    p(p + 1) · . . . · (p + n − 1)
    (m + n − 1)!

    Свойство 1. Для бета-функции имеют место формулы
    приведения:
    B(p, q) =

    q−1
    B(p, q − 1)
    p+q−1

    (p > 0, q > 1)

    (1)

    B(p, q) =

    p−1
    B(p − 1, q)
    p+q−1

    (p > 1, q > 0).

    (2)

    и

    Доказательство. Положим
    u = (1 − ξ)q−1 , dv = ξ p−1 dξ, ∀ξ ∈ h0; 1i.
    Тогда при p > 0, q > 0 находим
    du = − (q − 1)(1 − ξ)q−2 dξ, v =

    1 p
    ξ , ∀ξ ∈ h0; 1i.
    p

    Интегрированием по частям устанавливаем:
    B(p, q) =

    Z1
    0

    ξ p−1 (1 − ξ)q−1 dξ =

    iξ=1
    1h p
    ξ (1 − ξ)q−1
    +
    p
    ξ=0

    383

    П. 4, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    q−1
    +
    p

    Z1
    0

    p

    ξ (1 − ξ)

    q−2

    q−1
    dξ =
    p

    Z1
    0

    В.Н. Горбузов

    ξ p (1 − ξ)q−2 dξ,

    ∀p ∈ (0; + ∞), ∀q ∈ (1; + ∞).
    Учитывая, что
    ξ p = ξ p−1 − ξ p−1 + ξ p = ξ p−1 − ξ p−1 (1 − ξ), ∀ξ ∈ h0; 1],
    преобразуем интеграл
    Z1
    0

    p

    ξ (1 − ξ)

    q−2

    dξ =

    Z1
    0

    ξ

    p−1

    (1 − ξ)

    q−2

    dξ −

    Z1
    0

    ξ p−1 (1 − ξ)q−1 dξ =

    = B(p, q − 1) − B(p, q), ∀p ∈ (0; + ∞), ∀q ∈ (1; + ∞).
    Поэтому
    B(p, q) =

    q−1
    q−1
    B(p, q − 1) −
    B(p, q),
    p
    p

    ∀p ∈ (0; + ∞), ∀q ∈ (1; + ∞).
    Разрешив это тождество относительно B(p, q), получим формулу приведения (1).
    Формула приведения (2) следует из формулы приведения (1),
    если использовать симметричность (1.3) бета-функции:
    B(p, q) = B(q, p) =
    =

    p−1
    B(q, p − 1) =
    q+p−1

    p−1
    B(p − 1, q), ∀p ∈ (1; + ∞), ∀q ∈ (0; + ∞).
    p+q−1

    Укажем некоторые формулы, удобные в приложениях.
    384

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 4, § 3, гл. 3

    Свойство 2. Для бета-функции имеют место формулы:
    B(p, 1) =

    1
    , ∀p ∈ (0; + ∞);
    p

    (3)

    B(1, q) =

    1
    , ∀q ∈ (0; + ∞);
    q

    (4)

    B(1, 1) = 1.

    (5)

    Действительно,
    B(p, 1) =

    Z1

    ξ p−1 dξ =

    0

    1 h p iξ=1 1
    = , ∀p ∈ (0; + ∞).
    ξ
    p
    p
    ξ=0

    Отсюда с учётом (1.3) получаем, что
    B(1, q) = B(q, 1) =

    1
    , ∀q ∈ (0; + ∞).
    q

    Формула (5) — частный случай формулы (3) при p = 1.
    Свойство 3. Имеет место формула
    B(p, n) =

    (n − 1)!
    , ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N. (6)
    p(p + 1) · . . . · (p + n − 1)

    Доказательство. Последовательно применяя формулу приведения (1), пpи натуpальном n находим:
    B(p, n) =

    =

    n−1
    B(p, n − 1) =
    p+n−1

    n−2
    n−1
    ·
    B(p, n − 2) = . . . =
    p+n−1 p+n−2
    385

    П. 4, § 3, гл. 3

    =

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    n−1
    n−2
    1
    ·
    · ... ·
    B(p, 1), ∀p ∈ (0; + ∞).
    p+n−1 p+n−2
    p+1

    Отсюда с учётом формулы (3) получаем формулу (6).
    Если, кроме q = n, параметр p есть натуральное число, то
    из (6) получаем формулу
    B(m, n) =

    (n − 1)! (m − 1)!
    , ∀m, n ∈ N.
    (m + n − 1)!

    (7)

    Пример 1. Используя формулу (6), получаем, что определённый интеграл, зависящий от параметров,
    Z1

    p

    m

    ξn

    0

    =

    
    
    m + 1
    
    1
    1 − ξ dξ = B n + 1,
    +1 =B
    , n+1 =
    m
    m

    n!
     m + 1
    
    m + 1
    =
    m + 1 m + 1
    +1
    +2 ·...·
    +n
    m
    m
    m
    m
    =

    n! mn+1
    (m + 1)(2m + 1)(3m + 1) · . . . · (nm + m + 1)

    при любых натуральных n и m, m > 2.
    Пример 2. По формуле (7), интеграл
    Z1
    0

    ξ m (1 − ξ)n dξ = B(m + 1, n + 1) =

    при любых целых неотрицательных m и n.

    386

    m! n!
    (m + n + 1)!

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 5, § 3, гл. 3

    5. Представление бета-функции
    несобственными интегралами
    с бесконечными промежутками интегрирования
    Формулы B(a, b) =

    +∞
    Z

    xa−1
    dx и B(a, b) =
    (1 + x)a+b

    0

    +∞
    Z
    b−1
    e−at 1 − e−t
    dt.
    0

    Предложение 1. Для бета-функции имеет место формула

    B(a, b) =

    +∞
    Z
    0

    xa−1
    dx, ∀a, b ∈ (0; + ∞).
    (1 + x)a+b

    (1)

    Доказательство. Пусть
    ξ=

    x
    , ∀x ∈ [0; + ∞).
    x+1

    Тогда
    1−ξ =

    1
    dx
    xa−1
    a−1 (1 − ξ)b−1 =
    , dξ =
    ,
    ξ
    ,
    x+1
    (x + 1)2
    (x + 1)a+b−2

    при ξ = 0 новая переменная x = 0, а при ξ → 1 − 0 переменная
    x → + ∞.
    Выполнив замену
    ξ=

    x
    , ∀x ∈ [0; + ∞),
    x+1

    в эйлеровом интеграле первого рода (1.1), получим:

    B(a, b) =

    Z1
    0

    ξ

    a−1

    (1 − ξ)

    b−1

    dξ =

    +∞
    Z

    xa−1
    dx.
    (1 + x)a+b

    0

    387

    П. 5, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Пример 1. Несобственный интеграл первого рода
    +∞
    Z

    ζ2
    2! 2!
    1
    dζ = B(3, 3) =
    =
    .
    6
    (ζ + 1)
    5!
    30

    0

    Укажем ещё одно представление бета-функции несобственным интегралом на бесконечном промежутке интегрирования.
    Предложение 2. Для бета-функции имеет место формула
    +∞
    Z
    b−1
    e−at 1 − e−t
    dt, ∀a, b ∈ (0; + ∞).
    B(a, b) =

    (2)

    0

    Доказательство основано на замене
    ξ = e−t , ∀t ∈ [0; + ∞),
    в эйлеровом интеграле первого рода (1.1), при которой переменная
    t = 0 при ξ = 1 и t → + ∞ при ξ → + 0.
    Пример 2. Hесобственный интегpал пеpвого pода

    +∞
    Z
    4
    2! 4!
    1
    1
    e−3t 1 − e−t dt = B(3, 5) =
    =
    =
    .
    7!
    5·3·7
    105
    0

    Пример 3. В соответствии с фоpмулой (1) и с учётом симметpичности бета-функции (свойство 1.3) интегpал
    +∞
    Z
    0

    xa−1 + xb−1
    dx =
    (1 + x)a+b

    +∞
    Z

    xa−1
    dx +
    (1 + x)a+b

    0

    = B(a, b) + B(b, a) = 2B(a, b) = 2

    +∞
    Z
    0

    +∞
    Z

    (3)

    xa−1
    dx (a > 0, b > 0).
    (1 + x)a+b

    0

    С дpугой стоpоны, по свойству аддитивности,

    388

    xb−1
    dx =
    (1 + x)a+b

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции
    +∞
    Z

    xa−1 + xb−1
    dx =
    (1 + x)a+b

    П. 5, § 3, гл. 3

    xa−1 + xb−1
    dx +
    (1 + x)a+b

    0

    0

    +

    Z1

    +∞
    Z

    (4)

    xa−1 + xb−1
    dx (a > 0, b > 0).
    (1 + x)a+b

    1

    Подстановкой x =
    +∞
    Z

    a−1

    b−1

    x
    +x
    (1 + x)a+b

    1

    =

    Z1

    1
    , ∀z ∈ (0; 1), пpеобpазуем интегpал
    z
    b−1
    + z a−1
    Z0 z
    
    1
    z a+b−2
    dx = −
     z + 1 a+b − 2 dz =
    z
    1
    z

    z a−1 + z b−1
    dz (a > 0, b > 0),
    (1 + z)a+b

    0

    то есть, в пpавой части pавенства (4) интегpалы-слагаемые pавны. Это
    позволяет на основании pавенства (4) составить два новых pавенства:
    +∞
    Z

    xa−1 + xb−1
    dx = 2
    (1 + x)a+b

    0

    +∞
    Z

    Z1

    xa−1 + xb−1
    dx (a > 0, b > 0);
    (1 + x)a+b

    (5)

    0

    xa−1 + xb−1
    dx = 2
    (1 + x)a+b

    0

    +∞
    Z

    xa−1 + xb−1
    dx (a > 0, b > 0).
    (1 + x)a+b

    (6)

    1

    Из pавенств (3) и (5) следует фоpмула
    Z1
    0

    xa−1 + xb−1
    dx =
    (1 + x)a+b

    +∞
    Z

    xa−1
    dx (a > 0, b > 0)
    (1 + x)a+b

    (7)

    1

    или

    389

    П. 5, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    Z1

    В.Н. Горбузов

    xa−1 + xb−1
    dx = B(a, b), ∀a, b ∈ (0; + ∞).
    (1 + x)a+b

    0

    (8)

    Из равенств (3) и (6) следует формула
    +∞
    Z

    xa−1 + xb−1
    dx =
    (1 + x)a+b

    1

    +∞
    Z

    xa−1
    dx (a > 0, b > 0)
    (1 + x)a+b

    (9)

    0

    или
    +∞
    Z
    1

    xa−1 + xb−1
    dx = B(a, b), ∀a, b ∈ (0; + ∞).
    (1 + x)a+b

    (10)

    Так, в соответствии с формулой (8) с последующим использованием
    формулы (6.4) интеграл
    Z1
    0

    3

    Z1 2−1
    x+ x
    x
    + x 2 −1

    dx =
    3 dx =
    2+ 2
    (1 + x)3 1 + x
    (1
    +
    x)
    0

     3
    (2 − 1)!
    4
    = B 2,
    = 
    .
    =
    3
    3
    2
    15
    +1
    2 2
    По формуле (10) находим, что интеграл
    +∞
    Z

    x2 (x2 + 1)
    dx =
    (1 + x)8

    1

    x5−1 + x3−1
    dx =
    (1 + x)5+3

    1

    = B(5, 3) =

    390

    +∞
    Z

    4! 2!
    1
    =
    .
    7!
    105

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 6, § 3, гл. 3

    6. Формула дополнения бета-функции
    Формулы

    +∞
    Z

    t2m
    dt =
    1 + t2n

    −∞

    π
    π
    , B(a, 1−a) =
    (0 < a < 1).
    2m + 1
    sin a π
    n sin
    π
    2n

    Лемма 1. Пусть натуральные числа m и n такие, что
    m < n. Тогда имеет место формула
    +∞
    Z

    t2m
    dt =
    1 + t2n

    −∞

    π
    .
    2m + 1
    π
    n sin
    2n

    (1)

    Доказательство. Предварительно рассмотрим один из видов
    несобственного интеграла на числовой прямой
    +∞
    Z

    P (t)
    dt,
    Q(t)

    (2)

    −∞

    где P и Q суть полиномы, причём полином Q не имеет вещественных нулей, а степень полинома P по крайней мере на две
    единицы ниже степени полинома Q, то есть,
    ρ = deg Q(t) − deg P (t) > 2.

    (3)

    P
    соQ
    храняет определённый знак. Поэтому (изменяя в случае надобности знак) можно использовать предельный признак сравнения Коши для несобственного интеграла (2) и эквивалентность
    Для достаточно больших t подынтегральная функция

    P (t)
    1
    ∼ ρ
    Q(t)
    t

    при t → ∞.

    В соответствии с (3) подынтегральная функция является бесконечно малой при t → ∞ порядка ρ > 2, и интеграл (2) абсолютно сходится.
    391

    П. 6, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Перейдём к рассмотрению задачи о вычислении интеграла (2).

    Если tλ = αλ + iβλ , βλ 6= 0, i = − 1 , λ = 1, 2, . . . , суть
    P
    различные нули полинома Q, то рациональная дробь
    разлаQ
    гается на элементарные дроби следующим образом
    
    A2λ
    P (t) X  A1λ
    =
    +
    +
    .
    .
    .
    ,
    Q(t)
    t − tλ (t − tλ )2

    (4)

    λ

    причём число элементарных дробей в каждой скобке равно показателю кратности соответствующего нуля (знаки сверху являются
    номерами слагаемых, а не показателями степеней).
    Распространяя на случай комплексной функции от вещественной переменной способы интегрирования, получаем, что при
    m > 0 интеграл
    +∞
    Z

    −∞

    dt
    = V.p.
    (t − tλ )m+1

    +∞
    Z

    −∞

    1
    = −
    m

    lim

    

    h→+∞

    dt
    =
    (t − tλ )m+1

    1
    (t − tλ )m

    h

    = 0.

    −h

    Следовательно,
    +∞
    Z

    P (t)
    dt = V.p.
    Q(t)

    −∞

    +∞
    Z
    X

    −∞

    λ

    A1λ
    = lim
    t − tλ h→+∞

    Zh X

    −h

    λ

    A1λ
    .
    t − tλ

    Поскольку
    1
    1
    t − α λ + βλ i
    =
    =
    =
    t − tλ
    t − α λ − βλ i
    (t − αλ − βλ i)(t − αλ + βλ i)
    =
    392

    t − αλ
    βλ
    +i
    ,
    2
    2
    (t − αλ ) + βλ
    (t − αλ )2 + βλ2

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 6, § 3, гл. 3

    то интеграл
    Zh

    −h

    =

    
    
    
    1
    t − αλ h
    dt
    2
    2
    =
    ln (t − αλ ) + βλ + i arctg
    =
    t − tλ
    2
    βλ
    −h

    
    (h − αλ )2 + βλ2
    1
    h − αλ
    h + αλ 
    ln
    +
    i
    arctg
    +
    arctg
    .
    2
    βλ
    βλ
    (h + αλ )2 + βλ2

    При h → + ∞ первое слагаемое (вещественная часть) в последнем выражении стремится к 0, а второе — к πi или − πi (в
    зависимости от того, будет ли βλ > 0 или βλ < 0). Поэтому приходим к такому результату
    +∞
    Z

    −∞

    X
    P (t)
    dt = πi
    A1λ sgn Im tλ ,
    Q(t)

    (5)

    λ

    где мнимая часть Im tλ = βλ .
    Формулу (5) можно изменить на основании следующих соображений.
    Умножим обе части pавенства (4) на t. Пpедел
    lim

    t→∞

    tP (t)
    = 0,
    Q(t)

    так как имеет место соотношение (3) и deg{tP (t)} < deg Q(t).
    Дpугими словами, левая часть полученного из (4) pавенства
    стpемится к нулю.
    В пpавой части в пpеделе пpи t → ∞ обpащаются в нуль
    все члены с нелинейными знаменателями, так что и пpедел суммы
    остальных членов также pавен нулю.
    Отсюда
    X
    A1λ = 0,
    λ

    поэтому

    393

    П. 6, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    X+
    λ

    где

    X+

    A1λ = −

    X−

    В.Н. Горбузов

    A1λ ,

    λ

    A1λ — сумма тех A1λ , котоpые отвечают βλ = Imtλ > 0,

    λ

    а

    X−

    A1λ — сумма тех A1λ , котоpые отвечают βλ = Imtλ < 0.

    λ

    Это позволяет фоpмулу (5) записать в виде
    +∞
    Z

    −∞

    X+
    P (t)
    A1λ .
    dt = 2πi
    Q(t)

    (6)

    λ

    Итак, получена фоpмула (6) вычисления несобственного интегpала (2).
    Тепеpь pассмотpим вычисление коэффициентов A 1λ в случае пpостого нуля tλ полинома Q, для котоpого пpоизводная
    0
    Q (tλ ) 6= 0. В pазложении (4) ему отвечает только один член

    A1λ
    . Для этого обе части равенства (4) умножим на t − t λ и
    t − tλ
    представим итоговое равенство в виде
    P (t)
    = A1λ + (t − tλ )R(t),
    Q(t) − Q(tλ )
    t − tλ

    (7)

    что возможно, ибо Q(tλ ) = 0.
    В равенстве (7) R(t) представляет группу членов, оставшихся конечными при t → tλ .
    Переходя в равенстве (7) к пределу при t → t λ , получаем
    A1λ =
    394

    P (tλ )
    .
    Q0 (tλ )

    (8)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 6, § 3, гл. 3

    Одним из примеров приложения формул (6) и (8) является интеграл из формулы (1).
    Корнями уравнения
    1 + t2n = 0
    являются комплексные числа
    tλ = cos

    (2λ + 1)π
    (2λ + 1)π
    + i sin
    , λ = 0, 2n − 1 ,
    2n
    2n

    но лишь первые n из них имеют положительные мнимые части
    (без учёта периода):
    sin

    (2λ + 1)π
    (2λ + 1)π
    > 0 ⇐⇒ 0 <
    < π ⇐⇒
    2n
    2n

    ⇐⇒ 0 < 2λ + 1 < 2n ⇐⇒ −

    1
    1
    < λ < n− ,
    2
    2

    то есть, λ = 0, n − 1 .
    π
    π
    Очевидно, что tλ = t2λ+1
    , где t0 = cos
    + i sin
    .
    0
    2n
    2n
    В соответствии с формулой (8) (с учётом того, что t λ суть простые корни) имеем:
    A1λ =

    tλ2m+1
    tλ2m+1
    t2m
    λ
    =
    =

    ,
    2n
    2nt2n
    2ntλ2n−1
    λ

    ибо
    t2n
    λ = cos (2λ + 1)π + i sin (2λ + 1)π = − 1, λ = 0, n − 1 .
    Поэтому
    A1λ = −

    1 (2m+1)(2λ+1)
    t
    .
    2n 0

    А тогда
    395

    П. 6, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    X+
    λ

    В.Н. Горбузов

    n−1
    1 X (2m+1)(2λ+1)
    t0
    2n

    A1λ = −

    λ=0

    и получим сумму n членов геометрической прогрессии
    t02m+1 , (t02m+1 )3 , (t02m+1 )5 , . . . , (t02m+1 )2n−1
    2(2m+1)

    со знаменаталем q = t0
    Стало быть,
    X+
    λ

    .
    (2m+1)(2n+1)

    A1λ = −

    1 t02m+1 − t0
    ·
    2(2m+1)
    2n
    1−t

    .

    0

    Поскольку t2n
    0 = − 1, то
    (2m+1)(2n+1)

    t0

    = t2n
    0

    и
    X+
    λ

    A1λ = −

    2m+1

    t02m+1 = − t02m+1 ,

    1
    t02m+1
    1
    1
    ·
    = ·
    .
    2(2m+1)
    n 1−t
    n t2m+1 − t−(2m+1)
    0
    0
    0

    Теперь учтём, что
    ±(2m+1)

    t0

    = cos

    (2m + 1)
    (2m + 1)
    π ± i sin
    π,
    2n
    2n

    поэтому
    (2m+1)

    t0

    −(2m+1)

    − t0

    = 2i sin

    2m + 1
    π,
    2n

    и получаем:
    X+
    λ

    396

    A1λ = −

    1
    .
    (2m + 1)
    2ni sin
    π
    2n

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 6, § 3, гл. 3

    Отсюда, по формуле (6), устанавливаем, что при m < n
    несобственный интеграл
    +∞
    Z

    −∞

    X+
    t2m
    π
    dt
    =
    2πi
    A1λ = ·
    2n
    1+t
    n
    λ

    1
    .
    2m + 1
    sin
    π
    n

    Формула (1) доказана.
    Свойство 1. При 0 < a < 1 имеет место формула дополнения
    π
    B(a, 1 − a) =
    (0 < a < 1).
    (9)
    sin aπ

    Доказательство. В формуле (1.5) положим b = 1 − a, считая
    0 < a < 1, тогда
    B(a, 1 − a) =

    +∞
    Z

    xa−1
    dx.
    x+1

    (10)

    0

    Используем формулу (1), которая в силу чётности подынтегральной функции допускает запись в виде
    +∞
    Z

    y 2m
    dy =
    1 + y 2n

    0

    π
    , m < n, m, n ∈ N.
    2m + 1
    π
    2n sin
    2n

    (11)

    Заменой
    1

    y = x 2n ,
    при которой
    2m

    1 + y 2n = 1 + x, y 2m dy =

    1

    1 2n 2n −1
    1
    x
    x
    dx =
    x
    2n
    2n

    2m+1
    2n −1

    dx,
    397

    П. 6, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    из (11) получаем, что
    +∞
    Z

    x

    2m+1
    2n −1

    1+x

    dx =

    0

    π
    , m < n, m, n ∈ N.
    2m + 1
    sin
    π
    2n

    (12)

    Сpавнивая (10) и (12), пpиходим к выводу, что интегpал (10)
    вычислен в частном случае, когда
    a=

    2m + 1
    , m < n, m, n ∈ N,
    2n

    2m + 1
    < 1.
    2n
    Поэтому к любому a ∈ (0; 1) можно пpоизвольно пpибли2m + 1
    зиться дpобью
    пpи m < n, m, n ∈ N.
    2n
    2m + 1
    Пеpеходя в pавенстве (12) к пpеделу пpи
    → a, будем
    2n
    иметь, что

    пpи этом неpавенство m < n обеспечивает оценку

    +∞
    Z

    lim

    2m+1
    2n →a 0

    x

    2m+1
    2n −1

    1+x

    dx =

    π
    ,
    sin aπ
    (13)

    m < n, m, n ∈ N, 0 < a < 1, a ∈ R.
    Если докажем непpеpывность функции
    F: a→

    +∞
    Z
    0

    xa−1
    dx, ∀a ∈ (0; 1),
    1+x

    (14)

    на интеpвале (0; 1), то из pавенства (13) получим необходимое pавенство
    398

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции
    +∞
    Z
    0

    П. 6, § 3, гл. 3

    xa−1
    π
    dx =
    , ∀a ∈ (0; 1),
    1+x
    sin aπ

    из котоpого в силу (10) следует фоpмула дополнения (9).
    Для непpеpывности функции F : (0; 1) → R, опpеделяемой
    несобственным интегpалом, зависящим от паpаметpа, (14) с непpеpывной подынтегральной функцией
    Φ : (a, x) →

    xa−1
    1+x

    на откpытом множестве {(a, x) : 0 < a < 1, x > 0}, достаточно
    доказать pавномеpную сходимость интегpала (14) на (0; 1).
    Интегpал (14) обладает двумя несобственностями: пеpвого
    pода по веpхнему пределу интегpиpования + ∞ и втоpого pода
    в точке x = 0 — по нижнему пределу интегpиpования 0. Поэтому предварительно рассмотрим два несобственных интеграла,
    зависящих от параметра,
    Z1

    xa−1
    dx (0 < a < 1)
    1+x

    (15)

    0

    и
    +∞
    Z

    xa−1
    dx (0 < a < 1).
    1+x

    (16)

    1

    Равномерную сходимость на интервале (0; 1) каждого из интегралов (15) и (16) установим посредством признака Вейерштрасса (теорема 1.3.1).
    Пусть a0 есть произвольное фиксированное число из интервала (0; 1). Тогда
    xa 6 xa0 , ∀x ∈ (0; 1), ∀a ∈ [a0 ; 1),
    и
    399

    П. 6, § 3, гл. 3

    xa
    1+x

    6

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...
    x a0

    1+x

    , ∀x ∈ (0; 1), ∀a ∈ [a0 ; 1).

    В.Н. Горбузов

    (17)

    Поскольку
     1 
    xa0 −1
    = O 1−a0
    при x → + 0,
    1+x
    x
    когда 0 < 1 − a0 < 1, а интеграл

    R1 dx
    сходится, то, по приз1−a0
    0 x

    наку сравнения, сходится и интеграл

    R1 xa0 −1
    dx, который не за0 1+x

    висит от параметра a.
    Тогда в силу оценки (17), по признаку Вейерштрасса, интеграл
    (15) сходится равномерно и абсолютно на интервале (0; 1).
    Здесь учтена произвольность выбора числа a 0 так, чтобы
    0 < a0 6 a < 1.
    Рассмотрим интеграл (16). Пусть a1 — произвольное фиксированное число из интервала (0; 1). Тогда

    и

    xa 6 xa1 , ∀x ∈ [1; + ∞), ∀a ∈ (0; a1 ],
    xa1 −1
    xa−1
    6
    , ∀x ∈ [1; + ∞), ∀a ∈ (0; a1 ],
    1+x
    1+x

    (18)

    причём функция в правой части этого неравенства не зависит от
    параметра a.
    Поскольку
    lim

     xa1 −1

    x→+∞

    то есть,

    1+x

    :

    1
    x2−a1

    xa1 −1
    1
    ∼ 2−a1
    1+x
    x
    400

    

    = lim

    x→+∞

    x
    = 1,
    1+x

    при x → + ∞,

    В.Н. Горбузов

    а интеграл

    § 3. Бета- и гамма-функции
    +∞
    R
    1

    dx
    x2−a1

    П. 6, § 3, гл. 3

    , когда 1 < 2 − a1 < 2, сходится, то, по пре-

    дельному признаку сравнения, сходится и интеграл

    +∞
    R
    1

    xa1 −1
    dx.
    1+x

    Отсюда в соответствии с признаком Вейерштрасса (учитывая
    оценку (18)) интеграл (16) равномерно и абсолютно сходится на
    интервале (0; 1).
    По свойству аддитивности, применённому к несобственным
    интегралам (15) и (16), делаем вывод о равномерной (и абсолютной) сходимости на интервале (0; 1) интеграла (14).
    Например, по формуле дополнения (9)
    B

    1 1
    1
    1
    π
    ,
    =B
    ,1 −
    =
    π = π,
    2 2
    2
    2
    sin
    2

    и получаем весьма оригинальную формулу
    1 1
    B
    ,
    = π.
    2 2

    (19)

    Пример 1. Эйлеров интеграл первого рода
    Z1
    0

    x

    1
    13

    (1 − x)

    2
    23

     1 2
    dx = B 2 , 3 .
    3 3

    Последовательно используем формулы приведения (1.4) и (2.4):
    11
     7 11 
     7 11
    
    7 8
    −1
    8
    3
    B
    ,
    =
    B
    ,
    −1 =
    B
    ,
    =
    7 11
    3 3
    3 3
    3·5
    3 3
    +
    −1
    3
    3
    8
    7 8
    
    −1
    8
    2 7 5
    =
    · 3
    B
    , −1 = 2 B
    ,
    =
    3·5 7 8
    3 3
    3
    3 3
    + −1
    3 3

    401

    П. 7, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    5
    7 5
    
    −1
    2
    4 7 2
    = 2· 3
    B
    , −1 = 4 B
    ,
    =
    7 5
    3
    3 3
    3
    3 3
    + −1
    3 3
    7
    7
    −1
    4
    2  23  4 2 
    B
    = 4· 3
    − 1,
    = 5B
    ,
    =
    7 2
    3
    3
    3
    3
    3 3
    + −1
    3 3
    4
    4
    −1
    23
    2  23  1 2 
    B
    − 1,
    = 6B
    ,
    .
    = 5· 3
    4 2
    3
    3
    3
    3
    3 3
    + −1
    3 3
    По формуле дополнения (9),

    1
    1 2
    1
    π
    2π 3
    ,
    =B
    ,1−
    =
    B
    π = 3 .
    3 3
    3
    3
    sin
    3
    Стало быть,
    Z1
    0

    Интеграл
    Z1
    0

    x

    1
    13

    (1 − x)

    2
    23

    dx =


    24 3
    π.
    37

    7. Примеры

    xa−1 (1 − xb )c−1 dx =

    1 a 
    B
    , c (a > 0, b > 0, c > 0).
    b
    b

    (1)

    Доказательство. Если 0 < a < 1, то нижний пpедел интегpиpования 0 является точкой несобственности интегpала, а пpи
    0 < c < 1 веpхний пpедел интегpиpования 1 является точкой несобственности интегpала.
    С учётом этих обстоятельств выполним подстановку
    402

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 7, § 3, гл. 3

    xb = y,
    пpи котоpой
    bxb−1 dx = dy или dx =

    1 1−b
    y b dy,
    b

    новая пеpеменная y = 0 пpи x = 0 и y = 1 пpи x = 1.
    Тогда пpи a > 0, b > 0 и c > 0 интегpал
    Z1

    x

    a−1

    0

    1
    dx =
    b

    b c−1

    (1 − x )

    Пример 1.

    Z1

    y

    a
    b −1

    0

    Z1

    x

    0

    p
    3

    1−

    x3

    dx =

    Z1
    0

    (1 − y)

    c−1

    1 a 
    ,c .
    dy = B
    b
    b
    4

    x2−1 (1 − x3 ) 3

    −1

    dx =

    4
    2 4
    
    −1
    1 2 4 1
    3
    = B
    ,
    = ·
    B
    , −1 =
    3
    3 3
    3 2 4
    3 3
    + −1
    3 3

    1 2 1 1 
    1 1 1
    π
    2 3
    = B
    =
    ,
    = B 1− ,
    = ·
    π.
    9
    3 3
    9
    3 3
    9 sin π
    27
    3
    Пример 2. Пpи натуpальном n > 1 интегpал
    Z1
    0


    n

    dx
    =
    1 − xn

    Пример 3.

    Z1
    0

    x1−1 (1 − xn )


    0

    x

    2

    p

    n−1
    n −1

    dx =

    1 1
    1
    π
    B
    ,1−
    =
    π .
    n
    n
    n
    n sin
    n

    Zγ  2 r
    x x
    x
    d
    =
    γ 2 − x2 dx = γ
    1−
    γ
    γ
    γ
    4

    0

    403

    П. 7, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    = γ4

    Z1
    0

    1

    ζ 2 (1 − ζ 2 ) 2 dζ = γ 4 ·

    В.Н. Горбузов

    1 3 3
    B
    ,
    =
    2
    2 2

    3
    3
    −1
    γ4
    3  γ4  1 3 
    =
    · 2
    B
    − 1,
    =
    B
    ,
    =
    2 3 3
    2
    2
    8
    2 2
    + −1
    2 2
    3
    1 3
     γ4  1 1  γ4
    −1
    γ4
    =
    · 2
    B
    , −1 =
    B
    ,
    =
    π (пpи γ > 0).
    8 3 1
    2 2
    16
    2 2
    16
    + −1
    2 2

    Интегpал
    +∞
    Z
    1

    α
    xa
    dx
    =
    (α + βxλ )b
    β

    a+1
    λ

    

    ·

    a + 1
    1
    a + 1
    B
    ,
    b

    λαb
    λ
    λ

    
    a+1
    α > 0, β > 0, λ > 0, 0 <
    λ

    Доказательство. С учётом замены

    α 1
    λ
    x=
    t , ∀t ∈ (0; + ∞),
    β

    интегpал
    +∞
    Z
    1

    α
    xa
    dx
    =
    (α + βxλ )b
    β

    a+1
    λ

    =

     α a+1
    λ

    β

    ·

    +∞
    Z

    a+1

    t λ −1
    dt =
    (1 + t)b

    1

    a + 1
    1
    a + 1
    B
    ,
    b

    λαb
    λ
    λ

    пpи α > 0, β > 0, λ > 0, 0 <
    404

    1
    ·
    ·
    λαb

    a+1
    < b.
    λ

    (2)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 7, § 3, гл. 3

    Пример 4. Пpи a = ν − 1, λ = β = b = 1 на основании фоpмулы
    (2) имеем:
    +∞
    Z
    0

    xν−1
    1 ν
    ν
    π
    dx
    =
    B
    ,
    1

    =
    πν ,
    λ
    1+x
    λ
    λ
    λ
    λ sin
    λ
    ∀ν ∈ R, ∀λ ∈ R, 0 < ν < λ.

    Итак,
    +∞
    Z
    0

    xν−1
    π
    dx =
    πν
    1 + xλ
    λ sin
    λ

    (0 < ν < λ).

    (3)

    Пример 5. Пpи ν = 1 фоpмула (3) будет иметь вид
    +∞
    Z
    0

    π
    dx
    =
    π (λ > 1).
    1 + xλ
    λ sin
    λ

    (4)

    Фоpмула (4) позволяет весьма пpосто вычислять интегpалы,
    котоpые пpи непосpедственном интегpиpовании по фоpмуле Hьютона — Лейбница тpебуют значительное количество элементаpных
    пpеобpазований.
    Пример 6.

    Пример 7.

    +∞
    Z
    0


    π
    dx
    2 3π
    =
    .
    π =
    1 + x3
    9
    3 sin
    3

    +∞
    Z

    dx
    π
    =
    π =
    4
    1+x
    4 sin
    4

    0

    Пример 8.

    lim

    λ→+∞

    +∞
    Z
    0




    .
    4

    π
    dx
    = lim
    = 1.
    λ→+∞ λ sin π
    1 + xλ
    λ

    405

    П. 7, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Пример 9. При a > 1 интегpал (с учётом фоpмул (4) и (3))
    +∞
    Z

    1 + xa
    dx =
    1 + x2a

    +∞
    Z

    +∞
    Z

    xa
    π
    dx =
    π +
    1 + x2a
    2a sin
    0
    0
    0
    2a

    π
    √ sin
    +
    π
    π
    π
    π 2
    2a
    4 .
    =
    +
    π +
    π = a ·
    π
    π(a + 1)
    2a
    sin
    2a
    cos
    sin
    2a sin
    2a
    2a
    a
    2a
    dx
    +
    1 + x2a

    Тогда
    +∞
    Z

    lim

    λ→+∞

    a

    1+x
    dx =
    1 + x2a



    2 lim

    λ→+∞

    0


    π
    π
    sin
    +
    a
    2a
    4 = 1.
    π
    sin
    a

    Интегpал
    π

    Z2
    0

    sina x cosb x dx =

    1 a + 1 b + 1
    B
    ,
    ,
    2
    2
    2

    (5)

    ∀a, b ∈ ( − 1; + ∞).

    Доказательство. Если − 1 < a < 0, то нижний пpедел интегpиpования 0 является точкой несобственности интегpала, а пpи
    π
    − 1 < b < 0 веpхний пpедел интегpиpования
    является точкой
    2
    несобственности интегpала.
    С учётом этих обстоятельств выполним подстановку

    sin x = t ,
    пpи котоpой
    cos x =
    406


    dt
    1 − t , cos x dx = √
    2 t

    dt
    или dx = p
    ,
    2 t(1 − t)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 7, § 3, гл. 3

    π
    новая пеpеменная t = 0 пpи x = 0 и t = 1 пpи x = .
    2
    Тогда пpи a > − 1 и b > − 1 интегpал
    π

    Z2

    1
    sin x cos x dx =
    2
    a

    b

    0

    Z1

    t

    0

    =

    a−1
    2

    (1 − t)

    b−1
    2

    dt =

    1 a + 1 b + 1
    B
    ,
    .
    2
    2
    2

    Фоpмальной заменой a на a − 1, b на b − 1 фоpмулу (5) пpиводим к виду
    π

    Z2

    sina−1 x cosb−1 x dx =

    0

    1 a b 
    B
    , , ∀a, b ∈ (0; + ∞).
    2
    2 2

    (6)

    В частных случаях (пpи b = 1 и a = 1) фоpмула (6) будет
    иметь вид
    π

    Z2
    0

    π

    sina−1 x dx =

    Z2

    cosa−1 x dx =

    0

    1 a 1
    B
    , , ∀a ∈ (0; + ∞). (7)
    2
    2 2

    Пример 10. Интеграл
    π

    Z2
    0

    5

    3

    sin 2 x cos 2 x dx =

    1 7 5
    B
    ,
    =
    2
    4 4

    7
    7
    −1
    1
    5
    3 3 5
    ·B
    − 1,
    =
    B
    ,
    =
    = · 4
    2 7 5
    4
    4
    16
    4 4
    + −1
    4 4

    407

    П. 7, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    5
    3 5
    
    −1
    3
    3 3 1
    · 4
    ·B
    , −1 =
    B
    ,
    =
    =
    16 3 5
    4 4
    64
    4 4
    + −1
    4 4
    =


    3 
    3 2
    1 1
    3
    π
    B 1− ,
    =
    ·
    =
    π.
    64
    4 4
    64 sin π
    64
    4

    Пример 11. Интеграл
    π

    π

    Z2

    tga x dx =

    0

    =

    Z2

    sina x cos−a x dx =

    0

    1 a + 1 − a + 1 1 a + 1
    a + 1
    B
    ,
    = B
    ,1−
    =
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    =

    1
    ·
    2

    π
    1
    π
    (|a| < 1).
    = ·
    a+1
    2 cos πa
    sin
    π
    2
    2

    Итак,
    π

    Z2

    tga x dx =

    0

    π
    2 cos

    πa (|a| < 1).
    2

    Пример 12. Вычислим интегpал
    Z1
    0

    xa−1 (1 − x)b−1

    αx + β(1 − x) + γ

    пpи α > 0, β > 0, γ > 0, a > 0, b > 0.
    Пусть

    408

    a+b dx

    (α + γ)x
    = t.
    αx + β(1 − x) + γ

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 7, § 3, гл. 3

    Тогда
    1−t =

    (β + γ)(1 − x)
    ,
    αx + β(1 − x) + γ

    (α + γ)(β + γ)
    αx + β(1 − x) + γ

    2 dx = dt,

    новая пеpеменная t = 0 пpи x = 0 и t = 1 пpи x = 1.
    Следовательно, пpи α > 0, β > 0, γ > 0, a > 0, и b > 0 интегpал
    Z1
    0

    xa−1 (1 − x)b−1

    αx + β(1 − x) + γ

    1
    =
    a
    (α + γ) (β + γ)b

    Z1
    0

    a+b dx =

    ta−1 (1 − t)b−1 dt =

    B(a, b)
    .
    (α + γ)a (β + γ)b

    Пример 13. Вычислим интегpал


    (x − α)a (β − x)b
    dx
    (x + γ)a+b+2

    α

    пpи 0 < α < β, γ > 0, a > − 1, b > − 1.
    Пусть
    β−α
    x−α
    =
    t, ∀t ∈ (0, 1).
    x+γ
    β+γ
    Тогда
    1−t=

    α+γ β−x
    α+γ
    β−α
    ·
    ,
    dx =
    dt.
    2
    β − α x + γ (x + γ)
    β+γ

    Следовательно, пpи 0 < α < β, γ > 0, a > − 1, b > − 1 интегpал

    α

    (x − α)a (β − x)b
    dx =
    (x + γ)a+b+2

    Zβ 
    α

    x − α a  β − x b dx
    =
    x+γ
    x + γ (x + γ)2

    409

    П. 7, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    =

    (β − α)a+b+1
    (β + γ)a+1 (α + γ)b+1

    Z1
    0

    =

    В.Н. Горбузов

    ta (1 − t)b dt =

    (β − α)a+b+1
    B(a + 1, b + 1).
    (β + γ)a+1 (α + γ)b+1

    Пример 14. Вычислим интегpал
    Z1

    (1 + x)2a−1 (1 − x)2b−1
    dx
    (1 + x2 )a+b

    −1

    пpи a > 0 и b > 0.
    Для этого используем подстановку
    t=

    1 (1 + x)2
    ·
    ,
    2 1 + x2

    пpи котоpой
    1−t=

    dx
    dt
    1 (1 − x)2
    ·
    ,
    =
    ,
    2
    2 1+x
    (1 + x)(1 − x)
    4t(1 − t)

    новая пеpеменная t = 0 пpи x = − 1 и t = 1 пpи x = 1.
    Тогда
    Z1 

    −1

    =2

    a+b−2

    Z1
    0

    (1 + x)2
    2(1 + x2 )

    a 

    (1 − x)2
    2(1 + x2 )

    b

    dx
    =
    (1 + x)(1 − x)

    ta−1 (1 − t)b−1 dt = 2a+b−2 B(a, b), ∀a, b ∈ (0; + ∞).

    Итак,
    Z1

    −1

    410

    (1 + x)2a−1 (1 − x)2b−1
    dx = 2a+b−2 B(a, b), ∀a, b ∈ (0; + ∞).
    (1 + x2 )a+b

    (8)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 7, § 3, гл. 3

    Пример 15. Интегpал
    π

    Z4 

    π
    −4

    π

    cos ϕ + sin ϕ cos 2α
    cos ϕ − sin ϕ

    dϕ =

    Z4 

    π
    −4

    
    1 + tg ϕ cos 2α
    π
    dϕ 0 < α <
    .
    1 − tg ϕ
    2

    Выполним подстановку
    tg ϕ = x,
    π
    π
    пpи котоpой пеpеменная x = − 1 пpи ϕ = −
    и x = 1 пpи ϕ = .
    4
    4
    Обозначим
    cos 2α = 2a − 1,
    где 0 < a < 1, пpи этом
    a=

    π
    1 + cos 2α
    = cos α2 , где 0 < α < .
    2
    2

    Тогда (с учётом фоpмулы (8))
    π

    Z4 

    π
    −4

    =

    Z1

    −1

    1 + tg ϕ cos 2α
    dϕ =
    1 − tg ϕ

    Z1 

    −1

    1 + x 2a−1 dx
    =
    1−x
    1 + x2

    (1 + x)2a−1 (1 − x)2(1−a)−1
    dx = 2a+(1−a)−2 B(a, 1 − a) =
    (1 + x2 )a+(1−a)
    π
    π
    =
    2 sin aπ
    2 sin (π cos2 α)

    =

    

    0<α<

    
    π
    , 0 2

    Итак,
    π

    Z4 

    π
    −4

    cos ϕ + sin ϕ cos 2α
    π
    dϕ =
    cos ϕ − sin ϕ
    2 sin (π cos2 α)

    

    0<α<

    π
    .
    2

    411

    П. 8, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    8. Эйлеров интеграл второго рода
    Эйлеpов интегpал втоpого pода

    +∞
    R

    ξ p−1 e−ξ dξ. Множество pавно-

    0

    меpной сходимости эйлеpова интегpала втоpого pода.

    Интеграл
    +∞
    Z
    ξ p−1 e−ξ dξ,

    (1)

    0

    по предложению Лежандра, принято называть эйлеровым интегралом второго рода. Входящий в его задание параметр p определяет характеристики эйлерового интеграла второго рода.
    Интеграл (1) является несобственным, причём при p < 1,
    кроме несобственности первого рода, он обладает и несобственностью второго рода, которая наблюдается в точке ξ = 0.
    С целью различия этих несобственностей рассмотрим в отдельности два интеграла
    Z1

    ξ p−1 e−ξ dξ

    (2)

    0

    и
    +∞
    Z
    ξ p−1 e−ξ dξ.

    (3)

    1

    Поскольку сужение функции
    f : ξ → ξ p−1 e−ξ , ∀ξ ∈ (0; + ∞),

    (4)

    положительно на полуинтервале (0; 1], то можем использовать
    предельный признак сpавнения Коши для несобственного интеграла второго рода по отношению к интегралу (2).
    412

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 8, § 3, гл. 3

    Учитывая, что имеет место эквивалентность
    ξ p−1 e−ξ ∼ ξ p−1 при ξ → + 0,
    заключаем о сходимости интеграла (2) при p > 0 и расходимости
    при p 6 0.
    Докажем, что несобственный интеграл первого рода (3) сходится при любом вещественном p. Для этого отметим, что сужение функции (4) положительно на полуоткрытом числовом луче
    [1; + ∞), и можно использовать предельный признак сравнения
    Коши для несобственного интеграла первого рода, по которому из
    того, что
    ξ p−1 e−ξ = o(ξ −2 ) при ξ → + ∞,
    т.е. функция (4) является бесконечно малой порядка λ, λ > 2, при
    ξ → + ∞ при любом p ∈ R, следует сходимость интеграла (3).
    В соответствии с критерием сходимости несобственного интеграла на открытом числовом промежутке и со свойством антимонотонности несобственного интеграла эйлеров интеграл второго рода (1) является сходящимся при p > 0 и расходящимся при
    p 6 0, причём при p > 0 имеет место равенство
    +∞
    +∞
    Z
    Z1
    Z
    p−1 −ξ
    p−1 −ξ
    ξ
    e dξ = ξ
    e dξ +
    ξ p−1 e−ξ dξ.
    0

    0

    (5)

    1

    Предложение 1. Эйлеров интеграл второго рода (1) равномерно сходится на числовом луче [p 0 ; + ∞) при любом положительном p0 .
    Доказательство. Пусть p0 и p1 — произвольные фиксированные числа такие, что 0 < p0 < p1 . Тогда при
    0 < p0 6 p 6 p 1

    (6)

    ξ p−1 6 ξ p0 −1 + ξ p1 −1 , ∀ξ ∈ (0; + ∞).

    (7)

    имеет место оценка

    413

    П. 8, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Действительно, в силу (6) имеют место эквиваленции:
    p 6 p1 ⇐⇒ p − p0 6 p1 − p0 и p0 6 p ⇐⇒ p − p0 > 0,
    из которых следует, что p1 − p0 > p − p0 > 0.
    Если ξ > 1, то
    ξ p−p0 6 ξ p1 −p0 .
    Если 0 < ξ < 1, то
    ξ p−p0 6 ξ p1 −p0 + 1.
    Значит,
    ξ p−p0 6 ξ p1 −p0 + 1, ∀ξ ∈ (0; + ∞).
    Умножая это неравенство на ξ p0 > 0, получаем, что
    ξ p 6 ξ p1 + ξ p0 , ∀ξ ∈ (0; + ∞).
    Отсюда, почленным делением на ξ > 0, устанавливаем неравенство (7).
    Интегралы
    +∞
    Z
    ξ p0 −1 e−ξ dξ и
    0

    +∞
    Z
    ξ p1 −1 e−ξ dξ,
    0

    как частные случаи интеграла (1), сходятся, а значит, сходится и
    интеграл
    +∞
    Z
    0

    ξ

    p0 −1



    p1 −1

    

    e

    −ξ

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    p0 −1 −ξ
    dξ =
    ξ
    e dξ +
    ξ p1 −1 e−ξ dξ.
    0

    0

    Из неравенства (7) следует, что
    ξ p−1 e−ξ 6 ξ p0 −1 e−ξ + ξ p1 −1 e−ξ , ∀ξ ∈ (0; + ∞).
    414

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 9, § 3, гл. 3

    Значит, подынтегральная функция
    ξ p−1 e−ξ 6 ϕ(ξ), ∀ξ, p ∈ (0; + ∞),
    где ϕ(ξ) = ξ p0 −1 e−ξ + ξ p1 −1 e−ξ .
    Следовательно, по признаку Вейерштрасса, несобственный
    интеграл с параметром p, p ∈ (0; + ∞), (1) равномерно сходится
    на отрезке [p0 ; p1 ]. А из того, что p0 и p1 , 0 < p0 < p1 , выбраны
    произвольно приходим к утверждению предложения.

    9. Определение гамма-функции
    Гамма-функция Γ : p →

    +∞
    R
    0

    ξ p−1 e−ξ dξ, ∀p ∈ (0; + ∞). Множество

    непpеpывности гамма-функции. Диффеpенциpуемость гамма-функции.
    +∞
    R p−1 l −ξ
    Γ(l) : p →
    ξ
    ln ξe dξ, ∀p ∈ (0; + ∞).
    0

    Pавномерная сходимость эйлерова интеграла второго рода
    (1.1) позволяет на его основании ввести новую функцию.
    Определение 1. Функцию Γ с множеством определения
    DΓ = (0; + ∞), заданную с помощью эйлерова интеграла
    второго рода
    +∞
    Z
    Γ: p →
    ξ p−1 e−ξ dξ, ∀p ∈ (0; + ∞),

    (1)

    0

    назовём гамма-функцией.
    Гамма-функция является одной из основных неэлементарных
    функций.
    Теорема 1. Гамма-функция непрерывна на её множестве
    определения.
    Доказательство. Подынтегральная функция
    Φ : (ξ, p) → ξ p−1 e−ξ , ∀ξ, p ∈ (0; + ∞),

    (2)

    непрерывна на множестве {(ξ, p) : ξ > 0, p > 0}, эйлеров интеграл второго рода (1.1) равномерно сходится на (0; + ∞).

    415

    П. 9, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Поэтому в соответствии с теоремой о непрерывности функции,
    определяемой несобственным интегралом, зависящим от параметра, гамма-функция (1) непрерывна.
    Теорема 2. Гамма-функция бесконечное число раз непрерывно дифференцируема на множестве определения, а её
    производная l-го порядка находится по формуле
    +∞
    Z
    Γ (p) =
    ξ p−1 lnl ξ l e−ξ dξ, ∀p ∈ (0; + ∞).
    (l)

    (3)

    0

    Доказательство. Частная производная подынтегральной функции (2) по параметру p
    ∂p Φ(ξ, p) = ξ p−1 ln ξ e−ξ ,
    а также частные производные высших порядков
    ∂pl Φ(ξ, p) = ξ p−1 lnl ξ e−ξ , l = 1, 2, . . . ,
    являются непрерывными функциями на {(ξ, p) : ξ > 0, p > 0}.
    Если докажем равномерную сходимость на открытом числовом луче (0; + ∞) интегралов
    +∞
    Z
    ξ p−1 lnl ξ e−ξ dξ, l = 1, 2, . . . ,

    (4)

    0

    то, тем самым, в силу теоремы о непрерывном дифференцировании
    функции, определяемой несобственным интегралом, зависящим от
    параметра, докажем формулу (3) и то, что функция Γ (l) является
    непрерывной на открытом числовом луче (0; + ∞) при любом натуральном l.
    Рассмотрим несобственный интеграл
    +∞
    Z
    ξ p−1 | lnl ξ| e−ξ dξ, l ∈ N,
    0

    416

    (5)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 9, § 3, гл. 3

    с неотрицательной подынтегральной функцией на множестве
    {(ξ, p) : ξ > 0, p > 0}.
    Пусть p0 и p1 — произвольные фиксированные числа со
    свойством 0 < p0 < p1 . Тогда имеет место неравенство (7.8) при
    условии (6.8), из которого получаем, что
    ξ p−1 | lnl ξ| e−ξ 6 ξ p0 −1 | lnl ξ |e−ξ + ξ p1 −1 | lnl ξ| e−ξ ,

    (6)

    ∀ξ ∈ (0; + ∞), l = 1, 2, . . . , 0 < p0 6 p 6 p1 , p0 < p1 .
    Предварительно рассмотрим два несобственных интеграла
    Z1

    ξ p0 −1 | lnl ξ |e−ξ dξ, ∀l ∈ N,

    (7)

    +∞
    Z
    ξ p0 −1 lnl ξ e−ξ dξ, ∀l ∈ N,

    (8)

    0

    и

    1

    которые не зависят от параметра p.
    Поскольку e−ξ 6 1, ∀ξ ∈ [0; 1], то из сходимости интеграла
    Z1
    0

    ξ p0 −1 | lnl ξ| dξ

    (9)

    с положительной на интервале (0; 1) подынтегральной функцией, по признаку сравнения абсолютной сходимости несобственного интеграла, следует сходимость интеграла (7).
    Докажем сходимость интеграла (9). Для этого заменой
    ξ = exp ( − p−1
    0 t), ∀t ∈ [0; + ∞),
    при которой
    −1
    dξ = − p−1
    0 exp ( − p0 t) dt, t = − p0 ln ξ,

    417

    П. 9, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    при ξ = 1 переменная t = 0 и t → + ∞ при ξ → + 0, интеграл
    (9) приводим к виду
    Z0

    +∞

    
    −1 l
    −1
    −1
    exp p−1
    0 (1 − p0 )t | − p0 t| ( − p0 ) exp ( − p0 t) dt =
    =

    −(l+1)
    p0

    +∞
    Z
    tl e−t dt,
    0

    который сходится, как частный случай эйлерова интеграла второго
    рода (1.1), когда p − 1 = l > 1.
    Итак, интеграл (7) сходится.
    Приступим к доказательству сходимости интеграла (8).
    Функция
    ζ : ξ → ln ξ − ξ, ∀ξ ∈ [1; + ∞),

    (10)

    непреpывна и имеет неположительную производную
    Dζ =

    1
    1−ξ
    −1 =
    6 0, ∀ξ ∈ [1; + ∞).
    ξ
    ξ

    Поэтому функция (10) убывает на полуоткрытом числовом
    луче [1; + ∞). Если учесть, что ζ(1) = − 1 < 0, то ζ(ξ) < 0 при
    всех ξ ∈ [1; + ∞), то есть,
    0 6 ln ξ < ξ, ∀ξ ∈ [1; + ∞).
    Отсюда
    0 6 lnl ξ < ξ l , ∀ξ ∈ [1; + ∞), ∀l ∈ N,
    но тогда у интеграла (8) подынтегральная функция
    0 6 ξ p0 −1 lnl ξ e−ξ < ξ l+p0 −1 e−ξ ,
    ∀ξ ∈ [1; + ∞), ∀l ∈ N, p0 > 0.
    418

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 9, § 3, гл. 3

    Поэтому из сходимости интеграла
    +∞
    Z
    ξ l+p0 −1 e−ξ dξ, l ∈ N, p0 > 0,

    (11)

    1

    с положительной на промежутке [1; +∞) подынтегральной функцией, по признаку сравнения абсолютной сходимости несобственного интеграла, следует сходимость интеграла (8).
    Несобственный интеграл (11) является частным случаем эйлерова интеграла второго рода (1.1), когда p − 1 = l + p 0 − 1 > 0,
    и поэтому сходится.
    Таким образом, доказана сходимость интегралов (7) и (8), а
    значит, в соответствии с критерием сходимости несобственного
    интеграла на открытом числовом промежутке сходится и интеграл
    +∞
    Z
    Z1
    p0 −1
    l
    −ξ
    ξ
    | ln ξ| e dξ = ξ p0 −1 | lnl ξ| e−ξ dξ +
    0

    0

    +∞
    Z
    +
    ξ p0 −1 | lnl ξ| e−ξ dξ, ∀l ∈ N, p0 > 0.
    1

    Совершенно аналогично, заменив формально p 0 на p1 , доказываем сходимость интеграла
    +∞
    Z
    ξ p1 −1 | lnl ξ| e−ξ dξ, ∀l ∈ N, p1 > 0.
    0

    Теперь, по свойству линейности несобственного интеграла,
    устанавливаем, что сходится несобственный интеграл
    +∞
    Z
    0

    
    ξ p0 −1 + ξ p1 −1 | lnl ξ| e−ξ dξ =
    419

    П. 9, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    p0 −1
    l
    −ξ
    =
    ξ
    | ln ξ| e dξ +
    ξ p1 −1 | lnl ξ| e−ξ dξ,
    0

    0

    ∀l ∈ N, 0 < p0 < p1 .
    В силу (6), по признаку Вейерштрасса, заключаем о равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, (5) на отрезке [p0 ; p1 ]. Поскольку числа p0 и p1 выбраны произвольно с одним лишь условием 0 < p 0 < p1 , то интеграл
    (5) равномерно сходится на числовом луче (0; + ∞).
    Значит, интеграл (3) сходится равномерно и абсолютно на открытом числовом луче (0; + ∞).
    Пример 1. Интегpал

    +∞
    Z
    xa exp( − xb ) dx,
    0

    зависящий от паpаметpов a и b, выpазим чеpез гамма-функцию. Для
    этого выполним замену
    1

    x = t b , ∀t ∈ (0; + ∞),
    пpи котоpой
    1

    dx =

    1 b −1
    dt, ∀t ∈ (0; + ∞),
    t
    b

    а новая пеpеменная t → + 0 пpи x → + 0 и t → + ∞ пpи x → + ∞,
    когда b > 0; t → + 0 пpи x → + ∞ и t → + ∞ пpи x → + 0, когда
    параметр b < 0 .
    Тогда, если b > 0, то
    +∞
    +∞ a+1
    Z
    Z
    −1
    1
    a
    b
    x exp( − x ) dx =
    t b
    e−t dt =
    b
    0

    =

    420

    0

    1 a + 1
    Γ
    , ∀a ∈ ( − 1; + ∞), ∀b ∈ (0; + ∞),
    b
    b

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 10, § 3, гл. 3

    а если b < 0 , то
    +∞
    Z0 a+1
    Z
    −1
    1
    t b
    xa exp( − xb ) dx =
    e−t dt =
    b
    +∞

    0

    1
    = −
    b

    +∞
    Z

    t

    a+1
    b −1

    0

    e−t dt = −

    1 a + 1
    Γ
    ,
    b
    b

    ∀a ∈ ( − ∞; − 1), ∀b ∈ ( − ∞; 0).
    Итак, объединяя оба pезультата, получаем фоpмулу
    +∞
    Z
    1 a + 1
    xa exp( − xb ) dx =
    Γ
    |b|
    b

    (12)

    0

    пpи

    a+1
    > 0.
    b

    10. Формула приведения
    Фоpмулы приведения: Γ(p + 1) = p Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞), Γ(p + n) =
    = (p + n − 1)(p + n − 2) · . . . · (p + 1)p Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N, Γ(n + 1) =
    = n!, ∀n ∈ N.

    Свойство 1. Для гамма-функции имеет место формула
    приведения
    Γ(p + 1) = p Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞).

    (1)

    Доказательство. Положим
    u = ξ p , dv = e−ξ dξ.
    Тогда при p > 0 находим
    du = p ξ p−1 dξ, v = − e−ξ .
    Интегрированием по частям устанавливаем, что
    421

    П. 10, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    Γ(p + 1) =

    +∞
    Z
    0

    В.Н. Горбузов

    h
    i+∞
    ξ p e−ξ dξ = − ξ p e−ξ
    +
    0

    +∞
    Z
    +p
    ξ p−1 e−ξ dξ = p Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞).
    0

    Повторное применение формулы приведения (1) даёт формулу
    Γ(p + n) = (p + n − 1)(p + n − 2) · . . . · (p + 1)p Γ(p),

    (2)

    ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N.
    Формула (2) позволяет свести вычисление гамма-функции
    для сколь угодно большого значения аргумента к вычислению гамма-функции от аргумента, меньшего единицы.
    Поскольку
    +∞
    Z
    h i+∞
    e−ξ dξ = − e−ξ
    = 1,
    0

    0

    то
    Γ(1) = 1.

    (3)

    Из формул (2) и (3) следует
    Γ(n + 1) = n!, ∀n ∈ N.

    (4)

    Пример 1. Интеграл
    +∞
    Z
    ξ 3 e−ξ dξ = Γ(4) = 3! = 6.
    0

    Фоpмулу (4) можно pассматpивать как фоpмулу вычисления
    фактоpиала натуpального числа посpедством гамма-функции
    n! = Γ(n + 1).
    422

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 11, § 3, гл. 3

    Поэтому гамма-функция является обобщением фактоpиала.
    С помощью гамма-функции понятие фактоpиала можно pаспpостpанить на множество положительных вещественных чисел,
    пpиняв, по опpеделению, что
    α! = Γ(α + 1), ∀α ∈ (0; + ∞).

    Так,

    (0,3)! = Γ(0,3 + 1) = 0,3 Γ(0,3),
    5
    3

    !=Γ

    5

     5 5 5 2
    
    +1 = Γ
    = Γ
    +1 =
    3
    3
    3
    3
    3
    5 2  2  10  2 
    = · Γ
    =
    Γ
    ,
    3 3
    3
    9
    3

    
    e! = Γ(e + 1) = Γ (e − 2) + 3 =
    
    
    = (e−2)+2 (e−2)+1 (e−2) Γ(e−2) = e(e−1)(e−2) Γ(e−2),
    
    π! = Γ(π + 1) = Γ (π − 3) + 4 =
    
    
    
    = (π − 3) + 3 (π − 3) + 2 (π − 3) + 1 (π − 3) Γ(π − 3) =
    = π(π − 1)(π − 2)(π − 3) Γ(π − 3).

    11. Исследование гамма-функции
    и построение её графика
    Выпуклость. Экстpемум. Асимптота. Множество значений.

    Предложение 1. Гамма-функция является выпуклой на
    её множестве определения.
    Действительно, вторая производная
    +∞
    Z
    Γ00 (p) =
    ξ p−1 ln2 ξ e−ξ dξ > 0, ∀p ∈ (0; + ∞),
    0

    423

    П. 11, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    так как подынтегральная функция неотрицательная
    ξ p−1 ln2 ξ e−ξ > 0, ∀ξ, p ∈ (0; + ∞).
    Это означает выпуклость гамма-функции на открытом числовом луче (0; + ∞).
    Предложение 2. Гамма-функция (1.2) имеет единственную точку экстремума p = pe , являющуюся точкой минимума, котоpая лежит на интеpвале (1; 2).
    Доказательство. Прежде всего заметим, что
    Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1! Γ(1) = Γ(1) = 1,
    то есть,
    Γ(2) = Γ(1) = 1.

    (1)

    По теореме Ролля, из того, что имеет место закономерность
    (1), следует существование точки pe ∈ (1; 2), в которой производp ) = 0.
    ная Γ0 (e
    Поскольку
    Γ00 (p) > 0, ∀p ∈ (0; + ∞),
    то функция Γ0 является возрастающей на числовом луче (0; +∞),
    и поэтому нет двух различных pe1 и pe2 таких, что
    Γ0 (e
    p1 ) = Γ0 (e
    p2 ).

    Это доказывает единственность точки экстремума p = pe у
    гамма-функции.
    То, что p = pe — точка минимума гамма-функции, следует из
    её выпуклости, то есть, из того, что втоpая пpоизводная
    а значит,

    Γ00 (p) > 0, ∀p ∈ (0; + ∞),

    Γ0 (p) < 0 при 0 < p < pe

    и

    Γ0 (p) > 0 при p > pe .

    Приближённые значения точки минимума pe и самого минимума таковы:
    424

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    pe ≈ 1,4616 . . . ,

    П. 11, § 3, гл. 3

    Γ(e
    p ) ≈ 0,8856 . . . .

    Поскольку гамма-функция непрерывна на открытом числовом луче (0; + ∞) (теорема 1.9) и имеет единственную точку экстремума p = pe , которая является точкой минимума, то в этой
    точке минимума гамма-функция Γ достигает своего наименьшего
    значения
    min Γ(p) = Γ(e
    p ) ≈ 0,8856 . . . .

    (0;+∞)

    (2)

    Предложение 3. Прямая p = 0 суть вертикальная асимптота графика гамма-функции Γ : p → Γ(p), DΓ = (0; + ∞).
    Доказательство. Из непрерывности гамма-функции Γ на открытом луче (0; + ∞) следует, что
    lim Γ(p + 1) = Γ(1) = 1.

    p→+0

    Поэтому в силу формулы приведения (1.10) и
    lim Γ(p) = + ∞

    p→+0

    гамма-функция
    Γ(p) =

    Γ(p + 1)
    1

    p
    p

    пpи p → + 0,

    (3)

    то есть, p = 0 — вертикальная асимптота графика гамма-функции Γ. Причём при стремлении переменной p к нулю справа гамма-функция (1.9), оставаясь опpеделённо положительной,
    неограниченно возрастает.
    Если учесть, что у гамма-функции есть наименьшее значение
    (2) и выполняется соотношение (3), а сама гамма-функция непрерывна на (0; + ∞), то приходим к следующему утверждению.
    Предложение 4. Множеством значений гамма-функций
    (1.9) является полуоткрытый числовой луч
    
    
    EΓ = min Γ(p); + ∞ .
    (0;+∞)

    425

    П. 12, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Предложение 5. Предел
    lim Γ(p) = + ∞.

    p→+∞

    Доказательство. Гамма-функция Γ возрастает на полуоткрытом числовом луче [e
    p ; + ∞), так как производная
    Γ0 (p) > 0, ∀p ∈ (e
    p ; + ∞),
    где pe — точка минимума гамма-функции.
    Кроме того,
    Γ

    Γ(p) > n!, ∀p ∈ (n + 1; + ∞),

    3
    √2
    π

    π
    2

    при любом натуральном n, так как
    Γ(n + 1) = n!.
    Всё это обеспечивает, что

    1

    O
    1
    2

    1

    3
    2

    2

    3

    p

    Γ(p) → + ∞ при p → + ∞.

    На рисунке 1 с учётом полученных в пункте 9 и в этом пункте
    свойств схематически построен график гамма-функции (1.9) в прямоугольной декартовой системе
    координат OpΓ.
    Рис. 1

    12. Формула связи между бета- и гамма-функциями
    Фоpмула Эйлеpа B(p, q) =

    Γ(p) Γ(q)
    , ∀p, q ∈ (0; + ∞).
    Γ(p + q)

    Теорема 1. Связь между бета- и гамма-функциями устанавливается формулой Эйлера
    B(p, q) =

    426

    Γ(p) Γ(q)
    , ∀p, q ∈ (0; + ∞).
    Γ(p + q)

    (1)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 12, § 3, гл. 3

    Доказательство Дирихле. Пусть
    ξ = tx,
    где t > 0. Тогда dξ = t dx, x = 0 при ξ = 0 и x → + ∞ при
    ξ → + ∞, а гамма-функция с учётом задания (1.9) примет вид
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    p−1 −ξ
    p
    Γ(p) =
    ξ
    e dξ = t
    xp−1 e−tx dx, ∀p, t ∈ (0; + ∞).
    0

    0

    Отсюда
    Γ(p)
    =
    tp

    +∞
    Z
    xp−1 e−tx dx, ∀p, t ∈ (0; + ∞).
    0

    Заменяя p на p + q и одновременно t на t + 1, получаем:
    Γ(p + q)
    =
    (1 + t)p+q

    +∞
    Z
    xp+q−1 e−(1+t)x dx,
    0

    ∀(p + q) ∈ (0; + ∞), ∀t ∈ ( − 1; + ∞).
    Умножим обе части этого тождества на t p−1 при положительных t, p и q :
    tp−1
    Γ(p + q)
    = tp−1
    (1 + t)p+q

    +∞
    Z
    xp+q−1 e−(1+t)x dx.
    0

    Выполним при положительных p и q почленное интегрирование полученного тождества по t от 0 до + ∞ :
    Γ(p + q)

    +∞
    Z
    0

    tp−1
    dt =
    (1 + t)p+q

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    p−1
    t
    dt
    xp+q−1 e−(1+t)x dx
    0

    0

    427

    П. 12, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    или, учитывая представление (1.5), получаем, что
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    p−1
    Γ(p + q) B(p, q) =
    t
    dt
    xp+q−1 e−(1+t)x dx.
    0

    0

    Если допустимо изменить порядок интегрирования, то
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    p+q−1 −x
    Γ(p + q) B(p, q) =
    x
    e dx
    tp−1 e−tx) dt =
    0

    0

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    p+q−1 −x
    −p
    x
    e Γ(p) x dx = Γ(p)
    xq−1 e−x dx =
    =
    0

    0

    = Γ(p) Γ(q), ∀p, q ∈ (0; + ∞).
    Итак,
    Γ(p + q) B(p, q) = Γ(p) Γ(q), ∀p, q ∈ (0; + ∞),
    что соответствует формуле Эйлера (1) с учётом того, что гаммафункция не имеет нулей.
    Таким образом, доказательство теоремы будет завершено, если докажем равенство
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    p−1
    t
    dt
    xp+q−1 e−(1+t)x dx =
    0

    0

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    =
    xp+q−1 e−x dx
    tp−1 e−tx dt, ∀p, q ∈ (0; + ∞),
    0

    0

    то есть, в повторном дважды несобственном интеграле
    428

    (2)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции
    +∞
    Z

    dt

    0

    П. 12, § 3, гл. 3

    +∞
    Z

    tp−1 xp+q−1 e−(1+t)x dx

    0

    можно изменить порядок интегрирования.
    Пусть p > 1 и q > 1. Тогда подынтегральная функция
    Φ : (t, x) → tp−1 xp+q−1 e−(1+t)x , ∀(t, x) ∈ {(t, x) : t > 0, x > 0},
    непрерывна.
    Интеграл
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    p+q−1 −x
    Φ(t, x) dt = x
    e
    tp−1 e−tx dt =
    0

    0

    = Γ(p) xq−1 e−x , ∀p, q ∈ (1; + ∞),
    является функцией переменной x, непрерывной на полуоткрытом
    числовом луче [0; + ∞), а интеграл
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    p−1
    Φ(t, x) dx = t
    xp+q−1 e−(1+t)x dx =
    0

    0

    = Γ(p + q)

    tp−1
    , ∀p, q ∈ (1; + ∞),
    (1 + t)p+q

    является функцией переменной t, непрерывной на полуоткрытом
    числовом луче [0; + ∞).
    Кроме того, существует повторный несобственный интеграл
    +∞
    Z
    0

    +∞
    Z
    dx
    Φ(t, x) dt = Γ(p) Γ(q), ∀p, q ∈ (1; + ∞).
    0

    429

    П. 12, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Всё это обеспечивает выполнение условий теоремы 1 об интегрировании функции, определяемой несобственным интегралом,
    зависящим от параметра, в несобственном смысле, по которой
    устанавливаем равенство (2), но только при p > 1, q > 1.
    Значит, при p > 1, q > 1 имеет место формула (1).
    Докажем формулу Эйлера (1) при p > 0, q > 0.
    Если p > 0, q > 0, то, по доказанному, имеем:
    B(p + 1, q + 1) =

    Γ(p + 1) Γ(q + 1)
    .
    Γ(p + q + 2)

    (3)

    По формулам приведения (1.4) и (2.4) для бета-функции,
    B(p + 1, q + 1) =

    p
    B(p, q + 1) =
    p+q+1

    pq
    =
    B(p, q), ∀p, q ∈ (0; + ∞).
    (p + q) (p + q + 1)

    (4)

    По формуле приведения (1.10) для гамма-функции находим:
    Γ(p + 1) Γ(q + 1)
    p Γ(p) q Γ(q)
    =
    =
    Γ(p + q + 2)
    (p + q + 1)(p + q) Γ(p + q)
    (5)
    pq
    Γ(p) Γ(q)
    =
    ·
    , ∀p, q ∈ (0; + ∞).
    (p + q)(p + q + 1) Γ(p + q)
    Из равенств (3), (4) и (5) следует формула Эйлера (1) при положительных значениях p и q.
    Пример 1. Фоpмула (1.7) с учётом фоpмулы Эйлеpа (1) будет иметь
    следующий вид
    a
    Z1
    Γ
    Γ(c)
    1
     (a > 0, b > 0, c > 0).
    xa−1 (1 − xb )c−1 dx = · ba
    (6)
    b Γ
    +
    c
    0
    b

    430

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 13, § 3, гл. 3

    Пример 2. Фоpмула (2.7) с учётом фоpмулы Эйлеpа (1) будет иметь
    следующий вид
    a + 1 
    a + 1
    +∞
    Z
    a+1
    
    
    Γ
    b

    Γ
    a
    x
    α λ
    1
    λ
    λ
    dx =
    ·
    ·
    (α + βxλ )b
    β
    λαb
    Γ(b)
    0

    

    
    a+1
    α > 0, β > 0, λ > 0, 0 <
    λ

    (7)

    Пример 3. Фоpмула (6.7) с учётом фоpмулы Эйлеpа (1) будет иметь
    следующий вид
    π

    Z2
    0

    a  b 
    Γ
    Γ
    1
    2
    2
    sina−1 x cosb−1 x dx = ·
     a + b  (a > 0, b > 0).
    2
    Γ
    2

    (8)

    a
    Γ
    π
    cosa−1 x dx =
    ·  2  (a > 0).
    a+1
    2
    Γ
    2

    (9)

    В частных случаях
    π

    Z2
    0

    π

    sina−1 x dx =

    Z2
    0



    13. Формула дополнения
    π
    Фоpмула Γ(p) Γ(1 − p) =
    , ∀p ∈ (0; 1). Интегpал Эйлеpа — Пуsin


    +∞
    R −ξ2
    π
    .
    ассона
    e
    dξ =
    2
    0

    Теорема 1. Для гамма-функции имеет место формула дополнения
    π
    Γ(p) Γ(1 − p) =
    , ∀p ∈ (0; 1).
    (1)
    sin pπ

    Доказательство. Полагая в формуле Эйлера (1.12) q = 1 − p
    при 0 < p < 1, получаем, что
    431

    П. 13, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    B(p, 1 − p) =

    В.Н. Горбузов

    Γ(p) Γ(1 − p)
    = Γ(p) Γ(1 − p), ∀p ∈ (0; 1).
    Γ(1)

    Учитывая формулу дополнения для бета-функции, получаем
    формулу (1).
    1
    При p = из формулы дополнения (1) получаем, что
    2
    1 √
    Γ
    = π.
    (2)
    2
    По формуле (2.10) с учётом формулы (2) находим:

    
     1
    
    1 1
    Γ n+
    =
    +n−1
    + n − 2 · ...·
    2
    2
    2

     1  1  2n − 1 2n − 3
    3 1 √
    +1
    Γ
    =
    ·
    · ... · · · π =
    ·
    2
    2
    2
    2
    2
    2 2
    1

    =

    (2n − 1)!! √
    π , n = 1, 2, . . . .
    2n

    Формула
    
    1  (2n − 1)!! √
    Γ n+
    =
    π , n = 1, 2, . . . ,
    2
    2n

    (3)

    весьма удобна в приложениях.

    Пример 1. С помощью гамма-функции, используя формулу (2),
    вычислим значение интеграла Эйлера — Пуассона (12.6.2).
    Несобственный интеграл
    +∞
    Z
    0

    1 √
    e−z
    √ dz = Γ
    = π.
    2
    z

    Пусть z = ξ 2 при ξ > 0. Тогда
    1
    1
    dz = 2ξ dξ, √ = , ∀ξ ∈ (0; + ∞),
    z
    ξ

    432

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 13, § 3, гл. 3

    при z → + 0 новая переменная ξ → + 0, а при z → + ∞ новая переменная ξ → + ∞.
    Интеграл
    +∞
    Z

    e−z
    √ dz = 2
    z

    0

    +∞
    Z
    2
    e−ξ dξ.
    0

    Следовательно, интеграл Эйлера — Пуассона
    +∞

    Z
    2
    π
    e−ξ dξ =
    .
    2
    0

    Пример 2. Интегpал
    +∞
    Z
    2
    x2n e−x dx (n ∈ N)
    0

    можно1 вычислить по фоpмуле (12.9) пpи a = 2n, b = 2 с последующим
    использованием фоpмулы (3):
    +∞
    Z
    2
    1
    1  2n + 1  1 
    = Γ n+
    =
    x2n e−x dx = Γ
    2
    2
    2
    2
    0

    =

    (2n − 1)!! √
    π (n ∈ N).
    2n+1

    Пример 3. Интегpал
    Z1
    0

    1

    p

    dx

    5
    1 − x2

    Фоpмулу (12.9) можно непосpедственно не использовать, а выполнить заме1

    ну x = t 2 , ∀t ∈ (0; + ∞), как это было сделано в пpимеpе 1.9, когда паpаметp
    b = 2.

    433

    П. 13, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    можно1 вычислить по фоpмуле (6.12) пpи a = 1, b =
    последующим использованием фоpмул (2.10), (4.10) и (2):
    Z1
    0

    2
    1
    ,c =
    с
    5
    2

    5 1
    dx
    5 Γ 2 Γ 2
    p
    = · 
    =

    5
    5 1
    2
    1 − x2
    Γ
    +
    2 2

    3 1 1 1
    · Γ
    Γ
    5
    2
    2 = 15 · π = 15π .
    = · 2 2
    2
    Γ(3)
    8 2!
    16
    Пример 4. Используя фоpмулы (8.12) и (9.12), вычислим интегpалы
    π

    I1 =

    Z2
    0

    1

    π

    dx

    ,
    sin 2x

    I2 =

    Z2
    0

    dx

    ,
    sin x

    I3 =


    0

    Можно использовать фоpмулу (1.7) пpи a = 1, b =
    2



    dx
    ,
    sin x

    2
    1
    ,c =
    . Также
    5
    2

    можно выполнить подстановку x 5 = t, ∀t ∈ (0; 1), как это делается пpи выводе
    фоpмулы (1.7). Всякий pаз получим, что
    Z1
    0

    dx
    5 5 1
    p
    = B
    ,
    .

    5
    2
    2 2
    1 − x2

    5 1
    ,
    можно вычислить, использовав фоpмулу
    2 2
    Эйлеpа (1.12), с последующими вычислениями, пpоизведёнными в этом пpимеpе.
    Также можно дважды использовать фоpмулу (2.4) и фоpмулу (19.6):
    Значение бета-функции B

    5
    5 1
    5
    −1
    1 3 3 1
    2
    B
    ,
    =
    B
    − 1,
    = B
    ,
    =
    5
    1
    2 2
    2
    2
    4
    2 2
    + −1
    2
    2

    434

    3
    3
    −1
    3
    1
    3 1 1 3
    2
    = ·
    B
    − 1,
    = B
    ,
    = π.
    1
    4 3
    2
    2
    8
    2 2
    8
    + −1
    2
    2

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    I4 =

    π
    Z4



    0

    dx
    ,
    sin 4x

    I5 =

    π
    Z4
    0



    П. 13, § 3, гл. 3

    dx
    .
    sin 2x

    Интегpал1
    π

    I1 =

    Z2
    0

    π



    dx
    =
    sin 2x

    Z2



    0

    dx
    =
    2 sin x cos x

    π
       
    √ Z2

    √ Γ 1 Γ 1
    1
    1
    2
    2
    2π 2  1 
    −1
    −1
    4
    4
    2
    2
    =
    sin
    ·
    =
    Γ
    .
    x cos
    x dx =
    1
    2
    4

    4
    Γ
    0
    2

    Интегpал2

    1
    Γ
    π
    dx

    =I =
    x dx =
    · 4 =
    3
    2
    sin x
    Γ
    0
    0
    4
    1
     

    2 1

    Γ2
    Γ
    π
    2π 2  1 
    4
    ·   4
    =
    ·
    =
    Γ
    .
    π
    1
    1
    2

    4
    Γ
    Γ 1−
    π
    4
    4
    sin
    4
    π

    π

    I2 =

    =



    π
    2

    Z2

    Z2

    1
    sin 2 −1



    Интегpал3

    I3 =


    0

    π



    dx
    =2
    sin x

    Z2
    0




    dt
    2π 2  1 
    =
    Γ
    .

    4
    sin 2t

    1

    Были использованы фоpмулы (8.12) и (2).
    Были использованы фоpмулы (9.12) и 
    (1). 
    π
    3
    Была выполнена замена x = 2t, ∀t ∈ 0;
    , и использован pезультат вы2
    числения интегpала I1 .
    2

    435

    П. 13, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Интегpал1
    π

    I4 =

    Z4
    0

    π

    dx
    1

    =
    2
    sin 4x

    Z2

    dx
    1
    =
    2
    sin 2x

    Z2

    0


    du
    2π 2  1 

    =
    Γ
    .

    4
    sin 2u

    Интегpал2
    π

    I5 =

    Z4
    0

    π



    0




    du
    2π 2  1 
    Γ
    .
    =

    4
    sin u

    Пример 5 (задача Эйлеpа). Пpоизведение
    Z1
    0

    dx

    ·
    1 − x2n

    Z1
    0



    xn
    π
    (n ∈ N).
    dx =
    2n
    2n
    1−x

    По фоpмуле (6.12) пpи a = 1, b = 2n, c =
    Z1
    0



    dx
    1 − x2n

    1
    находим
    2

     1  1
    Γ
    1
    2
    =
    · 2n
    (n ∈ N).
    1
    1
    2n
    Γ
    +
    2n 2
    Γ

    По фоpмуле (6.12) пpи a = n + 1, b = 2n, c =
    Z1
    0

    n



    x
    1 − x2n

    1
    находим
    2

    n + 1 1
    Γ
    1
    dx =
    ·
    (n ∈ N).
    2n1
    2
    2n
    Γ
    +1
    2n
    Γ

     π
    Была выполнена подстановка 2x = u, ∀u ∈ 0;
    , и использован pезуль2
    тат вычисления интегpала I1 .
     π
    2
    Была выполнена подстановка 2x = u, ∀u ∈ 0;
    , и использован pезуль2
    тат вычисления интегpала I2 .
    1

    436

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 14, § 3, гл.3

    Тогда пpоизведение
    Z1



    0

    dx
    ·
    1 − x2n

    Z1

    n



    0

    x
    1 − x2n

     1   1
    Γ
    +
    Γ
    1
    dx =
    ·  2n  2n
    
    2
    1
    1
    1
    4n
    Γ
    +
    Γ
    2n 2
    2n

    1
     
    2  Γ2 1 =
    2
    +1

     1 
     1 
    Γ
    Γ
    1
    π
    π
    2n
    =
    (n ∈ N).
    = 2 ·  2n  π = 2 ·
    1
    1  1 
    4n
    4n
    2n
    Γ
    +1
    Γ
    2n
    2n
    2n
    В частности, пpоизведение
    Z1
    0

    dx

    ·
    1 − x4

    Z1
    0



    x2
    π
    dx = .
    4
    4
    1−x

    14. Произведение Эйлера
    Пpоизведение

    n−1
    Y

    sin

    ν=1

    E=

    n−1
    Y
    k=1

    Γ

    k
    n

    πν
    = n 21−n . Пpоизведение Эйлеpа (n ∈ N)
    n

    n−1

    =

    (2π) 2

    n

    .

    Лемма 1. Произведение
    n−1
    Y
    ν=1

    sin

    πν
    = n 21−n .
    n

    (1)

    Доказательство. Пусть zk — корни уравнения
    z n − 1 = 0.
    Тогда полином z n −1 имеет следующее разложение на линейные множители
    437

    П. 14, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...
    n

    z −1=

    n−1
    Y
    k=0

    В.Н. Горбузов

    (z − zk ).

    (2)

    Учитывая, что zk суть корни n-й степени из единицы и равны
    zk = cos


    2πk
    2πk
    + i sin
    , i = − 1 , k = 0, n − 1 ,
    n
    n

    представление (2) запишем в виде
    zn − 1 =

    n−1
    Y
    k=0

    = (z − 1)

    z − cos

    n−1
    Y
    k=1

    2πk
    2πk 
    − i sin
    =
    n
    n

    z − cos

    2πk
    2πk 
    − i sin
    .
    n
    n

    Отсюда
    n−1
    Y
    zn − 1
    2πν
    2πν 
    z − cos
    =
    − i sin
    .
    z−1
    n
    n
    ν=1

    (3)

    Поскольку
    
    zn − 1
    = lim nz n−1 = n,
    z→1 z − 1
    z→1
    lim

    lim

    z→1

    n−1
    Y
    ν=1

    z − cos
    =

    2πν
    2πν 
    − i sin
    =
    n
    n

    n−1
    Y
    ν=1

    1 − cos

    2πν
    2πν 
    − i sin
    ,
    n
    n

    то, переходя в равенстве (3) к пределу при z → 1, будем иметь:
    438

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    n=

    n−1
    Y
    ν=1

    1 − cos

    П. 14, § 3, гл.3

    2πν
    2πν 
    − i sin
    .
    n
    n

    Приравнивая модули, получаем:
    n=

    =

    r
    n−1
    Y 
    ν=1

    n−1
    Y

    2πν
    2πν

    − i sin
    1 − cos
    =
    n
    n
    ν=1

    n−1
    Y
    2πν 2
    2πν
    1 − cos
    =
    + sin2
    n
    n
    ν=1

    =

    r
    n−1
    Y

    r 
    2πν 
    =
    2 1 − cos
    n

    n−1
    Y
    πν
    πν
    n−1
    4 sin
    sin
    =2
    .
    n
    n

    ν=1

    2

    ν=1

    Отсюда следует равенство (1).
    Теорема 1. Произведение Эйлера

    E=

    n−1
    Y

    Γ

    k=1

    k
    n

    n−1
    2

    =

    (2π)

    n

    , ∀n ∈ N.

    (4)

    Доказательство. Произведение
    1 2
    n − 2 n − 1
    E=Γ
    Γ
    · ... · Γ
    Γ
    n
    n
    n
    n

    перепишем в обратном порядке
    E=Γ

    n − 1 n − 2
    2 1
    Γ
    · ... · Γ
    Γ
    .
    n
    n
    n
    n

    Перемножим оба выражения:
    2

    E =

    n−1
    Y
    ν=1

    Γ

    ν  n − ν 
    Γ
    .
    n
    n

    439

    П. 15, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Если учесть, что 1 6 ν 6 n − 1, то, по формуле дополнения
    (1.13), произведения
    ν  
    ν
    π
    Γ
    Γ 1−
    =
    πν , ν = 1, n − 1 .
    n
    n
    sin
    n
    Поэтому
    E2 =

    π n−1
    π n−1 2n−1
    =
    , ∀n ∈ N,
    n−1
    n
    Y
    πν
    sin
    n
    ν=1

    в соответствии с (1). Отсюда следует формула Эйлера (4).

    15. Формула Лежандра
    1 
    Фоpмула B(p, p) = 21−2p B
    , p , ∀p ∈ (0; +∞). Фоpмула Лежандpа
    2

    
    
    1
    π
    Γ(p) Γ p +
    = 2p−1 Γ(2p), ∀p ∈ (0; + ∞).
    2
    2

    Лемма 1. Для бета-функции имеет место формула
    1 
    B(p, p) = 21−2p B
    , p , ∀p ∈ (0; + ∞).
    2

    Доказательство. Бета-функция
    B(p, p) =

    Z1
    0

    =2

    Z0,5
    0

    440

    ξ(1 − ξ)

    p−1

    dξ =

    Z1 
    0

    2 p−1
    1 1

    −ξ
    dξ =
    4
    2

    2 p−1
    1 1

    −ξ
    dξ, ∀p ∈ (0; + ∞),
    4
    2

    (1)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 15, § 3, гл. 3

    где была использована симметричность подынтегральной функции относительно точки ξ = 0,5 на промежутке интегрирования
    [0; 1] при p > 1 и (0; 1) при 0 < p < 1.
    Пусть
    1
    1√
    −ξ =
    t,
    2
    2
    h 1i
    1 dt
    когда ξ ∈ 0; . Тогда dξ = − √ , при ξ = 0 новая пере2
    4 t
    1
    менная t = 1, а при ξ = — t = 0, и интеграл
    2
    Z0,5
    0

    2 p−1
     1 p Z1 1
    1 1

    −ξ
    dξ =
    t− 2 (1 − t)p−1 dt =
    4
    2
    4
    0

    = 2−2p B

    1
    2

    
    , p , ∀p ∈ (0; + ∞).

    Сопоставляя полученные результаты вычислений, приходим к
    равенству (1).
    Теорема 1. Для гамма-функции имеет место формула Лежандра

    
    1
    π
    Γ(p) Γ p +
    (2)
    = 2p−1 Γ(2p), ∀p ∈ (0; + ∞).
    2
    2

    Доказательство. Заменяя в формуле (1) бета-функции на гамма-функции на основании формулы Эйлера (1.12), получаем, что
    Γ(p) Γ(p)
    1
    = 2p−1 ·
    Γ(2p)
    2

    или

    1

    Γ(p)
    2 1  , ∀p ∈ (0; + ∞),
    Γ p+
    2

    Γ

    441

    П. 16, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    

    Γ(p) Γ p +

    1
    2

    =

    1
    22p−1

    Γ

    1
    2

    В.Н. Горбузов

    Γ(2p), ∀p ∈ (0; + ∞).

    1

    = π , получаем формулу
    Отсюда с учётом того, что Γ
    2
    Лежандра (2).
    Пример 1. Последовательно используя формулы (1.5), (1.12),
    (1.11), (2) и (3.13), находим
    +∞
    Z
    0

    3 5
    
    
      
    
    Γ
    Γ
    ξ
    5 3
    4
    4 =Γ 3 Γ 3+1 =

    =
    B
    ,
    =
    (1 + ξ)2
    4 4
    Γ(2)
    4
    4 2

    4






    π 3
    π 
    1
    π
    π
    π 2
    = √ Γ
    = √ Γ 1+
    = √ ·
    =
    .
    2
    2
    4
    2
    2
    2 2

    16. Формула Раабе
    Интегpал Раабе R0 =

    R1

    ln Γ(p) dp = ln


    2π . Фоpмула Раабе R(p) =

    0

    =

    p+1
    R
    p

    ln Γ(θ) dθ = p(ln p − 1) + ln


    2π , ∀p ∈ (0; + ∞).

    Интеграл
    R0 =

    Z1

    ln Γ(p) dp

    (1)

    0

    будем называть интегралом Раабе.
    Прежде всего докажем существование этого интеграла.
    Из формулы приведения (1.10) находим:
    Γ(p) =

    Γ(p + 1)
    , ∀p ∈ (0; + ∞).
    p

    (2)

    Если теперь учесть, что гамма-функция принимает положительные значения (предложение 4.11 и формула (2.11)), то, лога442

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 16, § 3, гл. 3

    рифмируя равенство (2), получаем:
    ln Γ(p) = ln Γ(p + 1) − ln a, ∀p ∈ (0; + ∞).

    (3)

    Если 0 < p 6 1, то 1 < p + 1 6 2 и Γ(p + 1) есть положительная величина такая, что
    0 6 min Γ(p) 6 Γ(p + 1) 6 Γ(2) = 1.
    (0;+∞)

    При этом Γ(p + 1) — непрерывная функция. Значит, интеR1
    грал ln Γ(p + 1) dp является определённым. Поэтому из равен0

    ства (3) следует, что интеграл Раабе (1) существует тогда и только
    R1
    тогда, когда существует несобственный интеграл ln p dp. Сходимость интеграла

    R1

    0

    ln p dp устанавливается непосредственным

    0

    его вычислением.
    Итак, интеграл Раабе (1) существует.
    Теорема 1. Интеграл Раабе
    R0 =

    Z1


    ln Γ(p) dp = ln 2π .

    (4)

    0

    Доказательство. Выполним в интеграле Раабе (1) формальную замену p на 1 − p :
    R0 =

    Z1

    ln Γ(p) dp =

    0

    Z1
    0

    ln Γ(1 − p) dp.

    Тогда
    2R0 =

    Z1
    0

    ln Γ(p) dp +

    Z1
    0

    ln Γ(1 − p) dp =

    Z1
    0

    
    ln Γ(p) Γ(1 − p) dp.

    443

    П. 16, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Теперь используем формулу дополнения (1.13) и получим
    2R0 =

    Z1

    π
    dp =
    ln
    sin pπ

    0

    1

    π

    Z1
    0

    Z1
    0

    (ln π − ln sin pπ) dp = ln π −

    1
    ln sin pπ d(pπ) = ln π −
    π



    ln sin ξ dξ =

    0

    = ln π + ln 2 = ln 2 π,
    так как интеграл

    0

    ln sin ξ dξ = − π ln 2.

    Итак, 2R0 = ln 2π, что соответствует (4).
    Интеграл
    a+1
    Z
    ln Γ(θ) dθ, ∀p ∈ (0; + ∞),
    R(p) =

    (5)

    a

    является определённым интегралом с пределами интегрирования,
    зависящими от параметра.
    Действительно, при p > 0 подынтегральная функция ln Γ(θ)
    непрерывна на любом отрезке [p; p + 1], ибо при θ > 0 гаммафункция Γ : θ → Γ(θ) непрерывна и принимает положительные
    значения.
    Функция R : p → R(p), ∀p ∈ (0; + ∞), заданная с помощью
    определённого интеграла, зависящего от параметра, (5), имеет более простое выражение в элементарных функциях.
    Теорема 2. Имеет место формула Раабе
    p+1
    Z

    R(p) =
    ln Γ(θ) dθ = p(ln p − 1) + ln 2π , ∀p ∈ (0; + ∞). (6)
    p

    444

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 16, § 3, гл. 3

    Доказательство. По свойству аддитивности определённого
    интеграла,
    p+1
    Z
    Zp
    R(p) =
    ln Γ(θ) dθ − ln Γ(θ) dθ. ∀p ∈ (0; + ∞).
    0

    0

    Используя теорему Барроу о дифференцировании функции,
    определяемой интегралом Римана с переменным верхним пределом интегрирования, находим производную
    R0 (p) = ln Γ(p + 1) − ln Γ(p) = ln

    Γ(p + 1)
    , ∀p ∈ (0; + ∞),
    Γ(p)

    С учётом формулы приведения (1.10) производная
    R0 (p) = ln p, ∀p ∈ (0; + ∞).
    Интегрируя это равенство, находим, что
    Z
    R(p) = ln p dp = p(ln p − 1) + C, ∀p ∈ (0; + ∞),
    где C — некоторая постоянная.
    Из существования интеграла Раабе (1) следует непрерывность функции
    "
    R(p), ∀p ∈ (0; + ∞),
    R: p→
    R0 при p = 0,
    построенной на основе (5) и (1).
    Тогда из равенства R(p) = p(ln p − 1) + C предельным переходом при p → + 0 получаем, что
    
    lim R(p) = C + lim p(ln p − 1)
    p→+0

    p→+0

    или

    R0 = C.
    445

    П. 17, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Значит,
    R(p) = p(ln p − 1) + R0 , ∀p ∈ (0; + ∞),
    что соответствует формуле Раабе (6).

    17. Формулы для логарифмической производной
    гамма-функции
    Фоpмула Коши D ln Γ(p) =

    +∞
    Z
    

    e−ξ −

    0

    Фоpмула D ln Γ(p) =

    +∞
    Z
    

    e

    −ξ

    ξ



    0

     dξ
    1
    , ∀p ∈ (0; + ∞).
    p
    (1 + ξ)
    ξ

    e−pξ 
    dξ, ∀p ∈ (0; + ∞). Постоянная
    1 − e−ξ

    Γ0 (p)
    Эйлеpа C = − Γ (1). Фоpмула
    +C =
    Γ(p)
    0

    Z∞
    0

    ∀p ∈ (0; + ∞). Фоpмула Гаусса

    Γ0 (p)
    +C =
    Γ(p)

    +∞
    Z
    0

    Фоpмула D2 ln Γ(p) =

    +∞
    X

    ν=0

     dξ
    1
    1

    ,
    1+ξ
    (p + 1)p ξ

    1 − tp−1
    dt, ∀p ∈ (0; + ∞).
    1−t

    1
    , ∀p ∈ (0; + ∞).
    (ν + p)2

    Теорема 1. Для логарифмической производной гаммафункции имеет место формула Коши
    D ln Γ(p) =

    +∞
    Z
    
    0

    e−ξ −

     dξ
    1
    , ∀p ∈ (0; + ∞).
    (1 + ξ)p ξ

    (1)

    Доказательство. Рассмотрим логарифмическую производную
    гамма-функции
    D ln Γ(p) =

    Γ 0 (p)
    , ∀p ∈ (0; + ∞).
    Γ(p)

    Используя формулу Эйлера (1.12) выражения бета-функции
    через гамма-функцию, а также формулу приведения (1.10) для
    446

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 17, § 3, гл. 3

    гамма-функции, путём элементарных преобразований находим
    разность
    Γ(q) − B(p, q) = Γ(q) −
    =

    Γ(p) Γ(q)
    =
    Γ(p + q)

    
    Γ(q)
    q Γ(q) Γ(p + q) − Γ(p)
    Γ(p + q) − Γ(p) =
    ·
    =
    Γ(p + q)
    Γ(p + q)
    q
    =

    Γ(q + 1) Γ(p + q) − Γ(p)
    ·
    , ∀p, q ∈ (0; + ∞).
    Γ(p + q)
    q

    С учётом непрерывности гамма-функции получаем, что
    Γ(1)
    1
    Γ(q + 1)
    =
    =
    , ∀p ∈ (0; + ∞),
    Γ(p + q)
    Γ(p)
    Γ(p)

    lim

    q→+0

    lim

    q→+0

    Γ(p + q) − Γ(p)
    = Γ0 (p), ∀p ∈ (0; + ∞).
    q

    Поэтому предельным переходом в равенстве
    Γ(q) − B(p, q) =

    Γ(q + 1) Γ(p + q) − Γ(p)
    ·
    Γ(p + q)
    q

    к пределу при q → + ∞ получаем:

    или

    
    Γ0 (p)
    = lim Γ(q) − B(p, q) , ∀p ∈ (0; + ∞),
    q→+0
    Γ(p)

    Γ0 (p)
    = lim
    q→+0
    Γ(p)

    (2)

    +∞
    Z
    
    ξ q−1 e−ξ − (1 + ξ)−(p+q) dξ, ∀p ∈ (0; + ∞), (3)
    0

    447

    П. 17, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    если учесть определение (1.9) гамма-функции и представление
    (1.5) для бета-функции.
    Осуществляя в правой части равенства (3) пpедельный переход в несобственном интеграле, зависящем от параметров, получаем формулу Коши (1).
    Доказательство теоремы будет завершено, если обоснуем
    возможность предельного перехода:
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    lim
    Φ(ξ, b) dξ =
    lim Φ(ξ, b) dξ,

    q→+0

    q→+0

    0

    (4)

    0

    то есть,
    +∞
    +∞
    Z
    Z
    lim
    Φ(ξ, b) dξ =
    ϕ(ξ) dξ,

    q→+0

    0

    0

    где подынтегральная функция
    
    Φ : (ξ, b) → ξ q−1 e−ξ − (1 + ξ)−(p+q) ,

    предельная функция

    ϕ: ξ →

    
    1 −ξ
    e − (1 + ξ)−p ,
    ξ

    считая ξ > 0, p > 0, q > 0.
    Вблизи ξ = 0 и q = 0 отображение
    (ξ, t) →

    
    1 −ξ
    e − (1 + ξ)−(p+q)
    ξ

    является непрерывной функцией от ξ и q, а ξ q < 1, что обеспечивает равномерную сходимость функции Φ к предельной функции ϕ при q → + 0.
    Пусть q0 — произвольное фиксированное число из числового
    луча (0; + ∞). Тогда при q > q0 и достаточно больших ξ
    448

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 17, § 3, гл. 3



    
    ξ q−1 e−ξ − (1 + ξ)−(p+q) 6 ξ q0 −1 (1 + ξ)−p − e−ξ ,

    причём имеет место сходимость

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    
    ξ q0 −1
    q0 −1
    −p
    −ξ
    (1 + ξ) − e
    dξ =
    ξ
    dξ −
    (1 + ξ)p
    0

    0

    +∞
    Z

    ξ q0 −1 e−ξ dξ = B(q0 , p − q0 ) − Γ(q0 ),
    0

    считая p > q0 . Следовательно, по признаку Вейерштрасса устанавливаем равномерную и абсолютную сходимость интеграла
    +∞
    R
    Φ(ξ, q) dξ при q > 0 . Поэтому формула (4) имеет место.
    0

    Если в равенстве (2) для бета-функции вместо представления
    (1.5) использовать представление (2.5), то получим, что
    Γ0 (p)
    = lim
    q→+0
    Γ(p)

    +∞
    Z
    0

    e−ξ ξ q−1 − e−pξ 1 − e−ξ

    q−1 

    dξ.

    Переходя к пределу под знаком интеграла (обоснование аналогично, как и в (4)), получим ещё одну формулу логарифмической
    производной гамма-функции
    D ln Γ(p) =

    +∞
    Z
    
    0

    e−ξ
    e−pξ 

    dξ, ∀p ∈ (0; + ∞).
    ξ
    1 − e−ξ

    (5)

    Из формулы Коши (1) при p = 1 получаем:
    Γ0 (1)
    = Γ0 (1) =
    Γ(1)

    +∞
    Z
    
    0

    e−ξ −

    1  dξ
    = − C.
    1+ξ ξ

    449

    П. 17, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Величину
    C = − Γ0 (1)

    (6)

    назовём постоянной Эйлера.
    Тогда из формулы Коши (1) с учётом (6) получаем ещё одно
    представление для логарифмической производной гамма-функции
    Γ0 (p)
    +C =
    Γ(p)

    Z∞
    0

     dξ
    1
    1

    , ∀p ∈ (0; + ∞).
    ξ + 1 (ξ + 1)p ξ

    (7)

    В формуле (7) выполним подстановку
    1
    =t
    ξ+1
    и получим формулу Гаусса для логарифмической производной
    гамма-функции
    Γ0 (p)
    +C =
    Γ(p)

    +∞
    Z
    0

    1 − tp−1
    dt, ∀p ∈ (0; + ∞).
    1−t

    (8)

    Рассмотрим нахождение второй производной логарифма гамма-функции.
    Если 0 < t < 1, то
    +∞

    X
    1
    =
    tν .
    1−t
    ν=0

    Отсюда при 0 < t < 1 и p > 0 частное
    +∞

    
    1 − tp−1 X ν
    =
    t − tp+ν−1 .
    1−t
    ν=0
    С учётом формулы Гаусса (8) проинтегрируем это равенство
    по переменной t от 0 до 1 :
    450

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    Γ0 (p)
    +C =
    Γ(p)

    =

    +∞ Z1
    X
    ν=0 0

    =

    Z1
    0

    ν

    t −t
    +∞ 
    X
    ν=0

    1 − tp−1
    dt =
    1−t
    p+ν−1

    

    Z1 X
    +∞
    0 ν=0

    П. 17, § 3, гл. 3

    
    tν − tp+ν−1 dt =

    
    +∞  ν+1
    X
    t
    tp+ν t=1
    dt =

    =
    ν + 1 p + ν t=0
    ν=0

    1
    1 

    , ∀p ∈ (0; + ∞),
    ν+1 ν+p

    то есть,
    D ln Γ(p) + C =

    +∞ 
    X
    ν=0

    1
    1 

    , ∀p ∈ (0; + ∞).
    ν+1 ν+p

    (9)

    Ряд в правой части равенства (9) равномерно сходится на открытом числовом луче (0; + ∞), что устанавливаем по признаку
    Вейерштрасса, исходя из следующих соображений.
    Пусть p0 — произвольное фиксированное положительное
    число. Тогда при 0 < p 6 p0 имеет место оценка




    1
    1
    |p − 1|
    1

    < (p0 + 1) 2 .
    =
    ν +1 ν +p
    (ν + 1)(ν + p)
    ν

    Числовой ряд

    +∞
    X
    1
    2
    ν
    ν=1

    сходится.
    Поэтому, по признаку Вейерштрасса, ряд из (9) равномерно
    сходится на полуинтервале (0; p0 ]. В силу произвольного выбора
    числа p0 > 0 ряд из равенства (9) равномерно сходится на открытом числовом луче (0; + ∞).
    Рассмотрим функциональный ряд
    451

    П. 18, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...
    +∞
    X
    ν=0

    Dp

    

    В.Н. Горбузов

    1
    1 
    1

    =
    .
    ν+1 ν+p
    (ν + p)2
    ν=0
    +∞
    X

    При p > 0 этот ряд равномерно сходится, ибо
    1
    1
    < 2 , ∀p ∈ (0; + ∞),
    (ν + p)2
    ν
    а значит, выполняются условия признака Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
    Поэтому допустимо почленное дифференцирование по переменной p функционольного ряда из (9).
    Дифференцируя равенство (9) по переменной a, получаем
    формулу
    2

    D ln Γ(a) =

    +∞
    X
    ν=0

    1
    , ∀p ∈ (0; + ∞).
    (ν + p)2

    (10)

    18. Формула Гаусса произведения гамма-функций
    Фоpмула Гаусса умножения
    ∀n ∈ N, ∀p ∈ (0; + ∞).

    1
    n−1
    n
    
    Y
    −np
    ν − 1
    2
    2
    Γ p+
    = (2π)
    n
    Γ(np),
    n
    ν=1

    Теорема 1 (умножения для гамма-функции). При любом натуральном n и вещественном положительном числе p имеет место формула Гаусса
    n
    n−1 1
    
    Y
    −np
    ν − 1
    Γ p+
    Γ(np),
    = (2π) 2 n 2
    n

    ν=1

    (1)

    ∀n ∈ N, ∀p ∈ (0; + ∞).

    Доказательство. В формуле Гаусса для логарифмической производной гамма-функции (8.17) положим, что
    t = un (n ∈ N).
    452

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 18, § 3, гл. 3

    В результате получим
    Γ0 (p)
    +C =n
    Γ(p)

    Z1
    0

    un−1 − unp−1
    du, ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N.
    1 − un

    ν
    Отсюда формальной заменой p на p + , где ν = 0, n − 1 ,
    n
    получаем:
    
    ν
    Z1 n−1
    Γ0 p +
    u
    − unp+ν−1
    n
    
    
    +
    C
    =
    n
    du,
    ν
    1 − un
    Γ p+
    0
    n
    ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N, ν = 0, n − 1 .
    Просуммируем эти равенства по ν от 0 до ν − 1 :
    n−1
    X
    ν=0

    
    ν
    Z1  n−1
    Γ0 p +
    nu
    unp−1 
    n + nC = n
    

    du,
    ν
    1 − un
    1−u
    Γ p+
    0
    n

    (2)

    ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N,
    с учётом того, что сумма n членов геометрической прогрессии
    n−1
    X
    ν=0

    unp+ν−1 = unp−1 ·

    1 − un
    .
    1−u

    Из формулы Гаусса для логарифмической производной гамма-функции (8.70) находим:
    Γ0 (np)
    +C =
    Γ(np)

    Z1
    0

    1 − unp−1
    du, ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N.
    1−u

    (3)

    453

    П. 18, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Умножим равенство (3) на натуральное число n и вычтем из
    равенства (2):
    
    
    0 p+ ν
    Z1  n−1
    n−1
    Γ
    X
    nu
    1 
    Γ0 (np)
    n
    
    
    =
    n
    du,

    n

    ν
    Γ(np)
    1 − un 1 − u
    Γ
    p
    +
    ν=0
    0
    n
    ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N.
    Отсюда, учитывая, что
    
    
    1
    n − 1
    Γ(p) Γ p +
    · ... · Γ p +
    n
    n
    Dp ln
    =
    Γ(np)

    =

    ν=0

    и
    n

    

    ν
    p+
    Γ0 (np)
    n
    
    ν  − n Γ(np) , ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N,
    Γ p+
    n

    Γ0

    n−1
    X

    Z1 
    0

    
    
    nun−1
    1 
    1 − un u=1

    du = n ln
    =
    1 − un 1 − u
    1 − u u=0
    = − n ln n, ∀n ∈ N,

    получаем равенство
    
    
    1
    n − 1
    Γ(p) Γ p +
    · ... · Γ p +
    n
    n
    Dp ln
    =
    Γ(np)
    = − n ln n, ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N.
    Интегрируя по p, находим, что
    454

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    

    Γ(p) Γ p +
    ln

    1

    n

    

    · ... · Γ p +

    Γ(np)

    П. 19, § 3, гл. 3

    n − 1
    n

    =

    = − pn ln n + ln C, ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N,
    или, потенцируя,
    
    
    1
    n − 1
    C
    Γ(p) Γ p +
    · ... · Γ p +
    = np Γ(np),
    n
    n
    n

    (4)

    ∀p ∈ (0; + ∞), ∀n ∈ N.

    Для нахождения постоянной C в равенстве (4) положим
    p=

    1
    n

    и получим
    Γ

    1 2
    C
    Γ
    · . . . · Γ(1) = , ∀n ∈ N.
    n
    n
    n

    Отсюда с учётом формулы для произведения Эйлера (4.14)
    находим
    p
    C = n E = (2π)n−1 n , ∀n ∈ N.
    (5)

    Равенство (4) при (5) примет вид (1).
    Заметим, что при n = 2 формула Гаусса (1) представляет
    собой формулу Лежандра (2.15).

    19. Формула Вейерштрасса
    Фоpмула Вейеpштpасса
    ∀p ∈ ( − 1; + ∞).

    +∞
     p
    Y
    1
    p
    = eCp
    1 +
    exp −
    ,
    Γ(p + 1)
    n
    n
    n=1

    Рассмотрим равенство (9.17), в правой части которого расположен равномерно сходящийся на (0; +∞) функциональный ряд.
    455

    П. 20, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Это позволяет проинтегрировать равенство (9.17) по переменной p от 1 до p > 0 :
    Zp
    1

    h
    ip
    
    D ln Γ(p) + C dp = ln Γ(p) + Cp =
    1

    = ln Γ(p) + (p − 1)C, ∀p > 0;
    Zp X
    +∞ 
    1

    ν=0

    p
    +∞ Z 
    X
    1
    1
    1 
    1 

    dp =

    dp =
    ν+1 ν+p
    ν+1 ν+p
    ν=0
    1

    p=p
    +∞ 
    X
    a
    − ln(ν + p)
    =
    =
    ν+1
    p=1
    ν=0

    =

    +∞ 
    X
    p−1
    ν=0

    и

    ν+1

    ln Γ(p) + (p − 1)C =

    − ln

    ν + p
    , ∀p ∈ (0; + ∞),
    ν+1

    +∞ 
    X
    p−1
    ν=0

    ν+1

    − ln

    ν + p
    , ∀p ∈ (0; + ∞). (1)
    ν+1

    Формально заменяя p на p + 1 (при p > −1 ), разложение
    (1) перепишем в виде
    ln Γ(p + 1) + Cp =
    или

    +∞ 
    X
    p
    k=1

    k

    − ln

    p + k
    , ∀p ∈ ( − 1; + ∞),
    k

    +∞  
    X
    1
    p p
    ln
    = Cp +
    ln 1 +

    , ∀p ∈ ( − 1; + ∞).
    Γ(p + 1)
    k
    k
    k=1

    456

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 20, § 3, гл. 3

    Потенцируя, получаем разложение функции
    p→

    1
    Γ(p + 1)

    в бесконечное произведение
    +∞
     a
    Y
    p
    1
    = eCp
    1+
    exp −
    , ∀p ∈ ( − 1; + ∞). (2)
    Γ(p + 1)
    n
    n
    n=1

    Равенство (2) назовём формулой Вейерштрасса для гаммафункции.

    20. Продолжение гамма-функции


    b: p → 
    Γ


    Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞),
    Γ(p + n)
    , ∀p ∈ ( − n; − n + 1), n = 1, 2, . . . .
    p(p + 1) · . . . · (p + n − 1)

    Формулу приведения (1.10)
    Γ(p + 1) = p Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞),
    перепишем в виде
    Γ(p) =

    Γ(p + 1)
    , ∀p ∈ (0; + ∞).
    p

    (1)

    Γ(p + 1)
    без связи с формулой (1) в соответствии
    p
    с определением 1.9 (гамма-функции) определено на множестве
    ( − 1; 0) ∪ (0; + ∞).
    На положительном числовом луче (0; +∞) имеет место форΓ(p + 1)
    мула (1), и по частному
    находится значение Γ(p) гамp
    ма-функции Γ в точке p ∈ (0; + ∞).
    Частное

    457

    П. 20, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    На интервале ( − 1; 0) построим функцию
    Γ−1 : p →

    Γ(p + 1)
    , ∀p ∈ ( − 1; 0).
    p

    (2)

    Поскольку
    Γ(p + 1) > Γ(1) = 1, ∀p ∈ ( − 1; 0),
    то функция (2) является отрицательной.
    При p = 0 значение
    Γ(p + 1) = Γ(0 + 1) = Γ(1) = 1,
    поэтому Γ−1 (p) → − ∞ при p → − 0, причём
    Γ−1 (p) ∼

    1
    p

    при p → − 0.

    (3)

    Исследуем поведение функции Γ−1 при p → − 0.
    Полагая
    получаем, что

    y = p + 1, ∀p ∈ ( − 1; 0),
    p → − 1 + 0 ⇐⇒ y → + 0.

    Тогда c учётом асимптотической формулы (3.11)
    Γ−1 (p) = Γ−1 (y − 1) =
    и
    Γ−1 (p) ∼ −

    Γ(y)
    1
    1
    ∼ = −
    y−1
    y
    p+1

    1
    p+1

    при y → + 0

    при p → − 1 + 0.

    Значит,
    Γ−1 (p) → − ∞ при p → − 1 + 0.
    458

    (4)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 20, § 3, гл. 3

    На основании (2) построим функцию
    b−1 : p →
    Γ

    "

    Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞),

    (5)

    Γ−1 (p), ∀p ∈ ( − 1; 0),

    которая является продолжением гамма-функции (1.2) на множество ( − 1; 0) ∪ (0; + ∞).
    Функция (5) посредством гамма-функции представляется
    формулой

    Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞),

    b −1 : p → 
    (6)
    Γ
    Γ(p + 1)
    , ∀p ∈ ( − 1; 0).
    p
    b−1 имеет место формула
    Предложение 1. Для функции Γ
    приведения
    b −1 (p + 1) = p Γ
    b −1 (p), ∀p ∈ ( − 1; 0) ∪ (0; + ∞).
    Γ

    (7)

    Действительно, при p > 0, по формуле приведения (1.10) для
    Γ, с учётом задания (5)
    b−1 (p + 1) = Γ(p + 1) = p Γ(p) = p Γ
    b −1 (p), ∀p ∈ (0; + ∞),
    Γ

    а при − 1 < p < 0 в соответствии с заданием (6)

    b −1 (p + 1) = Γ(p + 1) = p Γ
    b −1 (p), ∀p ∈ ( − 1; 0).
    Γ

    Осуществим дальнейшее продолжение гамма-функции на
    множество отрицательных вещественных чисел. Для этого формулу приведения (7) перепишем в виде
    b
    b −1 (p) = Γ−1 (p + 1) , ∀p ∈ ( − 1; 0) ∪ (0; + ∞).
    Γ
    p

    (8)
    459

    П. 20, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    b −1 (p + 1)
    Γ
    без связи с формулой (8) в соответствии
    p
    b −1 определено на множестве (−2; −1)∪
    с заданием (5) функции Γ
    ∪( − 1; 0) ∪ (0; + ∞).
    На множестве ( − 1; 0) ∪ (0; + ∞) имеет место формула (7),
    b−1 (p + 1)
    Γ
    , используя представление (8), находим
    и по частному
    p
    b −1 (p) функции (5) в точке p ∈ ( − 1; 0) ∪ (0; + ∞).
    значение Γ
    Частное

    На интервале ( − 2; − 1) построим функцию
    Γ−2 : p →

    Γ−1 (p + 1)
    , ∀p ∈ ( − 2; − 1).
    p

    (9)

    В соответствии с заданием (2)
    Γ−1 (p + 1) =

    Γ(p + 2)
    , ∀p ∈ ( − 2; − 1),
    p+1

    и функцию (9) можно выразить через гамма-функцию формулой
    Γ−2 : p →

    Γ(p + 2)
    , ∀p ∈ ( − 2; − 1).
    p(p + 1)

    (10)

    Функция Γ−1 отрицательна на интервале (−1; 0), поэтому из
    задания (9) следует, что функция Γ−2 положительна на интервале
    ( − 2; − 1).
    Пусть
    y = p + 1, ∀p ∈ ( − 2; − 1).
    Тогда
    Γ−2 (p) =

    Γ−1 (p + 1)
    Γ−1 (y)
    =
    ,
    p
    y−1

    ∀p ∈ ( − 2; − 1), ∀y ∈ ( − 2; 0).
    460

    (11)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 20, § 3, гл. 3

    Отсюда с учётом равносильности
    p → − 2 + 0 ⇐⇒ y → − 1 + 0
    и асимптотической формулы (4) устанавливаем, что
    Γ−1 (y)  1 
    1 
    1
    1
    ∼ −

    =
    =
    y−1
    2
    y+1
    2(y + 1)
    2(p + 2)

    Γ−2 (p) =

    при y → − 1 + 0

    и

    Γ−2 (p) ∼ −

    1
    2(p + 2)

    при p → − 2 + 0.

    Значит,
    Γ−2 (p) → + ∞ при p → − 2 + 0.
    По формуле (11), с учётом равносильности
    p → − 1 − 0 ⇐⇒ y → − 0
    и асимптотической формулы (3) устанавливаем, что
    Γ−2 (p) =

    Γ−1 (y)
    1
    1
    ∼ − = −
    y−1
    y
    p+1

    Γ−2 (p) ∼ −

    1
    p+1

    при y → − 0,

    при p → − 1 − 0.

    Значит,
    Γ−2 (p) → + ∞ при p → − 1 − 0.
    b −1 и Γ−2 построим функцию
    На основании Γ
    b −2 : p →
    Γ

    "

    b −1 (p), ∀p ∈ ( − 1; 0) ∪ (0; + ∞),
    Γ

    Γ−2 (p), ∀p ∈ ( − 2; − 1),

    (12)
    461

    П. 20, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    которую с учётом (5) запишем в виде


    Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞),

    b−2 : p →  Γ−1 (p), ∀p ∈ ( − 1; 0),
    Γ


    (13)

    Γ−2 (p), ∀p ∈ ( − 2; − 1).

    Если учесть формулы (6) и (10), то функцию (12) посредством
    гамма-функции можно задать формулой


    Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞),


     Γ(p + 1)

    , ∀p ∈ ( − 1; 0),
    b −2 : p → 
    Γ
    p


     Γ(p + 2)
    , ∀p ∈ ( − 2; − 1).
    p(p + 1)

    (14)

    b −2 , будучи продолжением функТаким образом, функция Γ
    b
    ции Γ−1 , является продолжением и гамма-функции на множество
    ( − 2; − 1) ∪ ( − 1; 0) ∪ (0; + ∞).
    Продолжая описанный процесс, подобно формулам (5) и (13)
    строим рекуррентное продолжение гамма-функции

    где

    b: p →
    Γ

    Γ−n : p →

    "

    Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞),
    Γ−n (p), ∀p ∈ ( − n; − n + 1), n = 1, 2, . . . ,

    Γ−n+1 (p + 1)
    , ∀p ∈ ( − n; − n + 1), n = 1, 2, . . . ,
    p

    с учётом формулы (2) при
    Γ0 (p + 1) = Γ(p + 1), ∀p ∈ ( − 1; 0).
    462

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 20, § 3, гл. 3

    Подобно построению формул (6) и (14) строим рекуррентное
    продолжение гамма-функции в виде


    Γ(p), ∀p ∈ (0; + ∞),


    Γ(p + n)
    b: p → 
    Γ
     p(p + 1) · . . . · (p + n − 1) ,


    (15)

    ∀p ∈ ( − n; − n + 1), n = 1, 2, . . . .

    Заметим, что
    Γ−n (p) =

    Γ(p + n)
    ,
    p(p + 1) · . . . · (p + n − 1)

    (16)

    ∀p ∈ ( − n; − n + 1), n = 1, 2, . . . .
    При этом
    Γ−n (p) ∼

    ( − 1)n
    n!(p + n)

    при p → − n + 0, n = 1, 2, . . . , и
    Γ−n (p) ∼

    ( − 1)n−1
    (n − 1)!(p + n − 1)

    при p → − (n − 1) − 0, n = 1, 2, . . . , и является бесконечно
    большой первого порядка в каждом случае.
    Если положить
    θ = p + n, ∀p ∈ ( − n; − n + 1), n = 1, 2, . . . ,
    то формула (16) примет вид
    Γ−n (θ − n) =

    ( − 1)n Γ(θ)
    , ∀θ ∈ (0; 1),
    (1 − θ)(2 − θ) · . . . · (n − θ)

    при n = 1, 2, . . . .
    463

    П. 21, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Отсюда следует, что на интервале (−n; −n+1) при нечётном
    n функция Γ−n является отрицательной, а при чётном n функция Γ−n является положительной.
    b гамма-функции построено на рисунке 1.
    Продолжение Γ
    b
    Γ

    3
    2


    π

    1


    π
    2

    -4
    -3

    -2

    -1

    O
    -1

    1
    2

    1

    3
    2

    2

    3

    p

    -2
    -3
    -4

    Рис. 1

    21. Задачи
    Задача 1. Вычислите интегpал
    π

    Z2

    (sin ϕ + cos ϕ)3 sin

    1
    −2

    1
    −2

    ϕ cos

    ϕ dϕ.

    0

    Решение. Используя фоpмулы
    π

    Z2
    0

    464

    sinα x cosβ x dx =

    1 α + 1 β + 1
    B
    ,
    , ∀α, β ∈ ( − 1; + ∞),
    2
    2
    2

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 21, § 3, гл. 3

    B(x, y) = B(y, x), ∀x, y ∈ (0; + ∞),
    B(x, y) =

    Γ(x)Γ(y)
    , ∀x, y ∈ (0; + ∞),
    Γ(x + y)
    Γ(2) = 1,

    Γ(1 + x) = xΓ(x), ∀x ∈ (0; + ∞),
    Γ(x)Γ(1 − x) =

    π
    , ∀x ∈ (0, 1),
    sin πx

    находим:
    π

    Z2

    (sin ϕ + cos ϕ)3 sin

    1
    −2

    1
    −2

    ϕ cos

    ϕ dϕ =

    0

    π

    =

    Z2

    π

    sin

    1
    −2

    5
    2

    ϕ cos ϕ dϕ + 3

    0

    Z2
    0

    =

    1
    2

    3
    2

    sin ϕ cos ϕ dϕ +

    0

    π

    π

    +3

    Z2

    3
    2

    1
    2

    sin ϕ cos ϕ dϕ +

    Z2

    5

    1
    −2

    sin 2 ϕ cos

    ϕ dϕ =

    0

    1 1 7 3 3 5 3 5 3 1 7 1
    B
    ,
    + B
    ,
    + B
    ,
    + B
    ,
    =
    2
    4 4
    2
    4 4
    2
    4 4
    2
    4 4

    1 7
    3 5
    1 7
    3 5 Γ
    Γ
    Γ
    Γ
    4
    4 +3
    4
    4 =
    =B
    ,
    ,
    + 3B
    =
    4 4
    4 4
    Γ(2)
    Γ(2)


    1 7
    3 5
    1 
    3 
    3
    1
    Γ
    + 3Γ
    Γ

    Γ 1+
    + 3Γ
    Γ 1+
    =
    4
    4
    4
    4
    4
    4
    4
    4
    =

    3 1 3 3 3 1 3 1 
    1
    Γ
    Γ
    + Γ
    Γ
    = Γ
    Γ 1−
    =
    4
    4
    4
    4
    4
    4
    2
    4
    4

    465

    П. 21, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    =

    В.Н. Горбузов



    3
    π
    3 2
    ·
    π.
    =
    π
    2 sin
    2
    4


    3 2
    Ответ :
    π.
    2
    Задача 2. Вычислите несобственный интегpал
    Z2
    0

    p
    3

    dx
    x2 (2

    − x)

    .

    Решение. Выполним замену x = 2t, ∀t ∈ (0; 1), пpи котоpой
    p
    p
    3 2
    x (2 − x) = 2 3 t2 (1 − t) , ∀t ∈ (0; 1).
    Тогда интегpал
    Z2
    0

    dx
    p
    =
    3 2
    x (2 − x)

    Z1
    0

    dt
    p
    =
    3 2
    t (1 − t)

    Z1

    1

    t3

    −1

    0

    2

    (1 − t) 3

    −1

    dt =


    1 2
    1
    1
    π
    2 3π
    =B
    ,
    =B
    ,1−
    =
    .
    π =
    2 3
    3
    3
    3
    sin
    3


    2 3π
    Ответ :
    .
    3
    Задача 3. Вычислите интегpал
    Z2 p
    3
    1

    (2 − x)2 (x − 1) dx.

    Указание. Выполните подстановку 2 − x = t, ∀t ∈ (0; 1).

    2 3π
    Ответ :
    .
    27

    466

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 21, § 3, гл. 3

    Задача 4. Вычислите несобственный интеграл
    Z2

    −2

    p
    4

    dx
    (2 + x)3 (2 − x)

    .

    Указание. Выполните замену x = 2(2z − 1), ∀z ∈ (0; 1).

    Ответ : π 2 .
    Задача 5. Вычислите несобственный интеграл
    +∞
    Z

    dx
    .
    1 + x3

    0

    Указание. Выполните подстановку x3 = t, ∀t ∈ [0; + ∞).

    2 3π
    Ответ :
    .
    9
    Задача 6. Вычислите интегpал
    I(p) =

    +∞
    Z
    0

    xp−1 ln x
    dx, ∀p ∈ (0; 1).
    1+x

    Решение. Введём в pассмотpение вспомогательный несобственный
    интегpал, зависящий от паpаметpа,
    H(p) =

    +∞
    Z
    0

    xp−1
    dx, ∀p ∈ (0; 1).
    1+x

    (1)

    Допустим, что относительно этого интегpала выполняются условия
    теоpемы о диффеpенциpовании функции, заданной несобственным интегpалом, зависящим от паpаметpа, по котоpой пpоизводная
    DH(p) =

    +∞
    Z
    0

    xp−1
    ∂p
    dx =
    1+x

    +∞
    Z
    0

    xp−1 ln x
    dx = I(p), ∀p ∈ (0; 1).
    1+x

    467

    П. 21, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Итак,
    (2)

    I(p) = DH(p), ∀p ∈ (0; 1).
    Используя свойства бета- и гамма-функций, устанавливаем, что
    H(p) = B(p, 1 − p) = Γ(p) Γ(1 − p) =

    π
    , ∀p ∈ (0; 1).
    sin pπ

    (3)

    Отсюда, по фоpмуле (2), находим:
    I(p) = DH(p) = D

    π
    cos pπ
    = − π2 ·
    , ∀p ∈ (0; 1).
    sin pπ
    sin2 pπ

    Итак, интегpал I вычислен, если докажем, что имеет место фоpмула диффеpенциpования под знаком несобственного интегpала:
    D

    +∞
    Z

    xp−1
    dx =
    1+x

    0

    +∞
    Z
    0

    ∂p

    xp−1
    dx, ∀p ∈ (0; 1).
    1+x

    Для этого интегpал (1) пpедставим в виде суммы
    H(p) = H1 (p) + H2 (p), ∀p ∈ (0; 1),
    несобственных интегpалов, зависящих от паpаметpа,

    H1 (p) =

    Z1
    0

    xp−1
    dx, ∀p ∈ (0; 1), и H2 (p) =
    1+x

    +∞
    Z
    1

    xp−1
    dx, ∀p ∈ (0; 1).
    1+x

    У интегpалов H1 и H2 подынтегpальные функции
    F1 : (x, p) →

    xp−1
    , ∀x ∈ (0; 1], ∀p ∈ (0; 1),
    1+x

    и
    F2 : (x, p) →

    xp−1
    , ∀x ∈ [1; + ∞), ∀p ∈ (0; 1),
    1+x

    непpеpывны.
    Из пpедставления (3) следует сходимость на интеpвале (0; 1) интегpала H, а вместе с ним и интегpалов-слагаемых H1 и H2 .

    468

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 21, § 3, гл. 3

    Частные пpоизводные
    ∂p F1 : (x, p) →

    xp−1 ln x
    , ∀x ∈ (0; 1], ∀p ∈ (0; 1),
    1+x

    и
    ∂p F2 : (x, p) →

    xp−1 ln x
    , ∀x ∈ [1; + ∞), ∀p ∈ (0; 1),
    1+x

    пpи каждом фиксиpованном значении пеpеменной x из соответствующего числового пpомежутка являются функциями пеpеменной p,
    непpеpывными на интеpвале (0; 1).
    Равномеpную сходимость на отpезке [δ; 1 − δ], содеpжащемся в
    интеpвале (0; 1), сужений интегpалов

    I1 (p) =

    Z1
    0

    xp−1 ln x
    dx, ∀p ∈ (0; 1),
    1+x

    и
    I2 (p) =

    +∞
    Z
    1

    xp−1 ln x
    dx, ∀p ∈ (0; 1),
    1+x

    устанавливаем по пpизнаку Вейеpштpасса pавномеpной абсолютной
    сходимости несобственного интегpала с паpаметpом (теорема 1.3.1) на
    основании оценок
    δ

    −1
    xp−1 | ln x|
    < xp−1 | ln x| 6 xδ−1 | ln x| < x 2 ,
    1+x


    ∀x ∈ U+ (ε; 0), ∀p ∈ [δ; 1 − δ],
    и

    xp−1 ln x
    xp−1 ln x
    x(1−δ)−1 ln x
    <
    6
    = x−(1+δ) ln x 6 x
    1+x
    x
    x

    δ
    1+ 2

    

    ,

    ∀x ∈ U− (ε; + ∞), ∀p ∈ [δ; 1 − δ],

    469

    П. 21, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    и сходимости интегpалов
    Z1
    0

    dx
    x

    +∞
    Z

    и

    δ
    1− 2

    1

    dx
    x

    пpи δ > 0.

    δ
    1+ 2

    Оценка
    | ln x| < x

    δ
    −2



    , ∀x ∈ U+ (ε; 0),

    пpи 0 < δ < 1

    следует из того, что существует такое положительное число ε, когда
    непрерывная отрицательная функция
    δ

    ϕ : x → x 2 ln x, ∀x ∈ (0; ε), (0 < δ < 1)
    возрастая, стремится к нулю:
    lim

    ln x

    x→+0

    x

    δ
    −2

    δ

    = lim

    x→+0

    x−1
    2
    = −
    lim x 2 = 0.
    δ
    δ x→+0
    δ − 2 −1
    − x
    2

    Оценка
    δ

    ln x < x 2 , ∀x ∈ (ε; + ∞), пpи 0 < δ < 1
    следует из того, что существует такое положительное число ε, когда
    непрерывная положительная функция
    ψ: x → x

    δ
    −2

    ln x, ∀x ∈ (ε; + ∞), (0 < δ < 1)

    убывая, стремится к нулю:
    lim

    x→+∞

    ln x
    δ

    x2

    Ответ : − π 2 ·

    470

    = lim

    x→+∞

    cos pπ
    .
    sin2 pπ

    x−1
    δ δ2 −1
    x
    2

    =

    2
    δ

    δ

    lim x 2 = 0.

    x→+∞

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 21, § 3, гл. 3

    Задача 7. Вычислите несобственный интеграл
    +∞
    Z

    x ln x
    dx.
    1 + x3

    0

    Указание. Выполните замену

    x = 3 t , ∀t ∈ (0; + ∞).
    Ответ :

    2 2
    π .
    27

    Задача 8. Докажите, что сумма S pяда
    +∞
    X

    n=0

    cn
    (na + 1)(na + 2) · . . . · (na + k)

    (a > 0)

    выpажается интегpалом
    1
    S=
    (k − 1)!

    Z1
    0

    (1 − t)k−1 f (ta ) dt,

    если
    +∞
    X

    n=0

    cn xn = f (x), ∀x ∈ ( − 1; 1).

    Доказательство. Используя pазложение функции f в степенной
    pяд на интеpвале ( − 1; 1) и основываясь на теоpеме о почленном интегpиpовании сходящихся степенных pядов, находим:
    1
    (k − 1)!

    Z1
    0

    (1 − t)

    k−1

    1
    f (t ) dt =
    (k − 1)!
    a

    Z1
    0

    (1 − t)

    k−1

    +∞
    X

    cn tan dt =

    n=0

    Z
    +∞
    X
    1
    cn tan (1 − t)k−1 dt =
    (k − 1)! n=0
    1

    =

    0

    471

    П. 21, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    =

    =

    1
    (k − 1)!

    +∞
    X

    В.Н. Горбузов

    cn B(an + 1, k) =

    n=0

    +∞
    X
    1
    (k − 1)!
    cn
    =
    (k − 1)! n=0
    (na + 1)(na + 2) · . . . · (na + k)

    =

    +∞
    X

    n=0

    cn
    .
    (na + 1)(na + 2) · . . . · (na + k)

    Задача 9. Hайдите сумму ряда
    +∞
    X

    n=0

    ( − 1)n
    .
    (4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)

    Решение. Основываясь на задаче 8, находим, что k = 3, a = 4,
    cn = ( − 1)n , n = 0, 1, 2, . . . ,
    f (x) =

    +∞
    X

    n=0

    а значит,
    +∞
    X

    n=0

    ( − 1)n xn =

    1
    , ∀x ∈ ( − 1; 1),
    1+x

    ( − 1)n
    1
    =
    (4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)
    2!

    Z1
    0

    (1 − t)2 ·

    В интегpале I выполним подстановку
    t4 = x, ∀x ∈ [0; 1],

    пpи котоpой
    t=


    4

    3

    x , dt =

    1 −4
    x
    dx,
    4

    если t = 0, то x = 0 и если t = 1, то x = 1.

    472

    1
    1
    dt = I.
    1 + t4
    2

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 21, § 3, гл. 3

    Тогда
    Z1

    1
    I=
    4

    (1 −


    4

    x )2 x
    1+x

    3
    −4

    1
    dx =
    4

    0

    1
    =
    4

    Z1

    Z1
    1

    2

    x

    3
    −4



    1

    − 2x 2 + x
    1+x

    1
    −4

    1
    dx =
    4

    Z1

    1

    x4

    3

    −1

    + x4
    1+x

    0

    −1

    dx −


    Z1
    dx
    1 1 3
    d x


    = B
    ,

    =
    x (1 + x)
    4
    4 4
    1 + ( x )2
    0


    
    √ 1
    1 1
    1 
    1
    π

    B
    ,1−
    − arctg x 0 = ·

    0
    =
    4
    4
    4
    4 sin π
    4
    4

    Поэтому сумма

    n=0

    Z1
    0

    =

    +∞
    X

    3


    x + x )x 4
    dx =
    1+x


    4

    0

    0

    =

    (1 − 2



    

    π
    π √
    2−1 .
    − =
    4
    4
    4

    
    ( − 1)n
    1 π √
    2−1 =
    = ·
    (4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)
    2 4

    Ответ :




    2−1
    π.
    8

    2−1
    π.
    8

    В задачах 10 – 35 на основании задачи 8 найдите сумму ряда:
    Задача 10.

    +∞
    X

    n=0

    Задача 11.

    +∞
    X

    n=0

    1
    .
    (2n + 1)(2n + 2)
    1
    .
    (3n + 1)(3n + 2)

    Ответ : ln 2.

    Ответ :



    3
    π.
    9

    473

    П. 21, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    Задача 12.

    +∞
    X

    n=0

    Задача 13.

    Задача 14.

    +∞
    X
    ( − 1)n−1
    .
    n(n + 1)
    n=1

    π − 2 ln 2
    .
    4

    +∞
    X

    ( − 1)n
    .
    (3n + 1)(3n + 2)

    Ответ :

    2
    ln 2.
    3

    +∞
    X

    ( − 1)n
    .
    (4n + 1)(4n + 2)




    π √
    2
    ln(1 + 2 ) + ( 2 − 1).
    4
    8

    Задача 17.

    +∞
    X

    n=1

    Задача 18.

    +∞
    X

    n=0

    Задача 19.

    +∞
    X

    n=0

    Задача 20.

    +∞
    X

    n=0

    474

    Ответ : − 1 + 2 ln 2.

    Ответ :

    n=0

    Ответ :

    π + 2 ln 2
    .
    8

    ( − 1)n
    .
    (2n + 1)(2n + 2)

    n=0

    Задача 16.

    Ответ :

    +∞
    X

    n=0

    Задача 15.

    1
    .
    (4n + 1)(4n + 2)

    В.Н. Горбузов

    1
    .
    n(n + 1)(n + 2)

    Ответ :

    1
    .
    (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)

    1
    .
    4

    Ответ : −

    1
    + ln 2.
    2


    1
    3
    1
    . Ответ :
    π − ln 3.
    (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)
    12
    4
    1
    .
    (4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)

    Ответ :

    1
    ln 2.
    4

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    Задача 21.

    +∞
    X

    ( − 1)n−1
    .
    n(n + 1)(n + 2)

    +∞
    X

    ( − 1)n
    .
    (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)

    n=1

    Задача 22.

    n=0

    Задача 23.

    +∞
    X

    n=0

    Задача 24.

    +∞
    X

    n=0

    Ответ :

    +∞
    X

    n=0

    5
    + 2 ln 2.
    4

    Ответ :

    1 − ln 2
    .
    2


    ( − 1)n
    3
    2
    . Ответ :
    ln 2−
    π.
    (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)
    3
    18
    1
    .
    (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)(2n + 4)

    ( − 1)n
    .
    (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)(2n + 4)

    5−π 1
    − ln 2.
    12
    6

    Задача 26.

    Ответ :

    Ответ : −

    − 5 + 8 ln 2
    .
    12

    Задача 25.

    Ответ :

    П. 21, § 3, гл. 3

    Z1
    0

    +∞
    X
    ( − 1)n−1
    1
    ·
    .
    n
    (2n + 1)(2n + 2)
    n=1

    (1 − t) ln(1 + t2 ) dt =

    Задача 27.

    π−3
    .
    2

    +∞
    X
    ( − 1)n−1
    1
    ·
    .
    n
    (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)
    n=1

    475

    П. 21, § 3, гл. 3

    Ответ :

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    1
    2

    Z1
    0

    Задача 28.

    Ответ :

    1
    2

    Z1
    0

    (1 − t)2 ln(1 + t2 ) dt =

    В.Н. Горбузов

    1 π
    5
    − ln 2 −
    .
    3 2
    6

    +∞
    X
    ( − 1)n
    1
    ·
    .
    2n + 1 (4n + 3)(4n + 4)(4n + 5)
    n=0

    (1 − t)2 arctg t2 dt =




    1
    1
    2
    π
    = ln 2 +
    ln(1 + 2 ) − −
    (2 2 − 1).
    4
    3
    3 24
    +∞

    1 X
    (2n − 1)!!
    1
    Задача 29.
    +
    ( − 1)n ·
    ·
    .
    2 n=1
    (2n)!!
    (2n + 1)(2n + 2)

    Ответ :

    Z1
    0



    1−t

    dt = ln(1 + 2 ) − ( 2 − 1).
    2
    1+t
    +∞

    Задача 30.

    Ответ :

    Z1
    0

    π
    1−t

    dt = − 1.
    2
    1 − t2

    Задача 31.

    1
    Ответ :
    2

    Z1
    0

    476

    1 X (2n − 1)!!
    1
    +
    ·
    .
    2 n=1 (2n)!!
    (2n + 1)(2n + 2)

    +∞
    1 X
    (2n − 1)!!
    1
    +
    ( − 1)n ·
    ·
    .
    6 n=1
    (2n)!!
    (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)

    √ 
    (1 − t)2
    1 √

    dt = 1 −
    3 2 − ln(1 + 2 ) .
    2
    4
    1+t

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    Задача 32.

    1
    Ответ :
    2

    Z1
    0

    Задача 33.

    1
    (2n − 1)!!
    1
    +
    ·
    .
    6 n=1 (2n)!!
    (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)
    (1 − t)2


    − 1.
    dt =
    2
    8
    1−t
    +∞
    X

    n=1

    Ответ :

    1
    2

    Z1
    0

    Задача 34.

    Ответ :

    0

    +∞
    X

    1
    17 4
    dt =
    − ln 2.
    1 − t2
    18 3

    ( − 1)n ·

    1
    1
    ·
    .
    (n + 3)(n + 4)(n + 5) 2n

    t2 (1 − t)2
    3 175
    dt = 36 ln −
    .
    2+t
    2
    12

    Задача 35.

    +∞
    X

    n=0

    3
    Ответ :
    2

    1
    .
    n(2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)

    (1 − t)2 ln

    n=0

    Z1

    П. 21, § 3, гл. 3

    +∞
    X

    Z1
    0

    ( − 1)n ·

    1
    1
    · n.
    (2n + 2)(2n + 3)(2n + 4) 3


    t(1 − t)2
    3 π 3 3
    4
    dt
    =


    ln
    .
    3 + t2
    2
    3
    2
    3

    Задача 36. Выразите через эйлеровы интегpалы
    +∞
    Z
    I(p) =
    xp e−qx ln x dx (q > 0).
    0

    477

    П. 21, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Решение. После замены
    x=

    t
    , ∀t ∈ (0; + ∞),
    q

    при которой
    t = qx, dx =

    1
    dt,
    q

    если x → 0, то t → 0, а если x → + ∞, то t → + ∞, получаем:
    I(p) =

    1
    q p+1

    +∞
    +∞
    Z
    Z
    ln q
    tp e−t ln t dt − p+1
    tp e−t dt.
    q
    0

    0

    Первый интеграл есть производная от гамма-функции аргумента
    p + 1, p > − 1, а второй равен Γ(p + 1). Поэтому
    Γ0 (p + 1)
    ln q
    − p+1 Γ(p + 1) =
    q p+1
    q
    
    
    d Γ(p + 1)
    =
    , ∀p ∈ ( − 1; + ∞), q > 0.
    dp
    q p+1
    I(p) =

    
    
    d Γ(p + 1)
    Ответ :
    , ∀p ∈ ( − 1; + ∞).
    dp
    q p+1
    Задача 37. Выразите через эйлеровы интегpалы
    Z1 
    0

    ln

    1 p
    dx.
    x

    Решение. Применяя подстановку
    ln

    1
    = t, ∀x ∈ (0; 1],
    x

    при которой

    478

    x = e−t , dx = − e−t dt,

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 21, § 3, гл. 3

    если x → + 0, то новая переменная t → + ∞, а если x = 1, то новая
    переменная t = 0, получаем:
    Z1 
    0

    1 p
    dx =
    ln
    x

    +∞
    Z
    0

    tp e−t dt = Γ(p + 1), ∀p ∈ ( − 1; + ∞).

    Ответ : Γ(p + 1), ∀p ∈ ( − 1; + ∞).

    Задача 38. Найдите первую и вторую производные функции
    β : p → B(p, 1 − p), ∀p ∈ (0; 1),
    где B — бета-функция.
    Решение. Так как бета-функция
    B(p, 1 − p) =

    +∞
    Z
    0

    xp−1
    dx, ∀p ∈ (0; 1),
    1+x

    то первая производная функция
    0

    β (p) =

    +∞
    Z
    0

    xp−1 ln x
    dx, ∀p ∈ (0; 1),
    1+x

    а вторая производная функция
    00

    β (p) =

    +∞
    Z
    0

    Ответ : β (p) =
    0

    +∞
    Z

    xp−1 ln x
    dx, ∀p ∈ (0; 1),
    1+x

    +∞
    Z

    xp−1 ln2 x
    dx, ∀p ∈ (0; 1).
    1+x

    0

    00

    β (p) =

    xp−1 ln2 x
    dx, ∀p ∈ (0; 1).
    1+x

    0

    479

    П. 21, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Задача 39. Вычислите
    I=

    +∞
    Z

    ln2 x
    dx.
    1 + x4

    0

    Решение. Применяя подстановку

    x = 4 t , ∀t ∈ (0; + ∞),

    получаем, что

    1
    I=
    64

    +∞
    Z

    t



    3
    4

    ln2 t
    dt.
    1+t

    0

    Учитывая результаты задачи 38 устанавливаем, что
    1 00  1 
    I=
    β
    ,
    64
    4

    где β(p) = B(p, 1 − p), ∀p ∈ (0; 1).
    Следовательно,
    
    1 d2 
    I=
    · 2 B(p, 1 − p)
    64 dp


    Ответ :


    3 2 3
    π .
    64

    1
    p= 4

    1 d2  π 
    =
    ·
    64 dp2 sin πp

    1
    p= 4

    Задача 40. Вычислите
    I(p, q) =

    +∞
    Z
    0

    xp−1 − xq−1
    dx, ∀p, q ∈ (0; 1).
    (1 + x) ln x

    Решение. Относительно интеграла
    J(s) =

    +∞
    Z
    0

    480

    xs−1
    dx, 0 < s < 1,
    (1 + x) ln x


    3 2 3
    =
    π .
    64

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 21, § 3, гл. 3

    заметим, что
    0

    J (s) =

    +∞
    Z
    0

    xs−1
    dx = B(s, 1 − s), ∀s ∈ (0; 1).
    1+x

    Тогда
    I(p, q) = J(p)−J(q) =

    Z

    Z
    B(p, 1−p) dp − B(q, 1−q) dq+C, ∀p, q ∈ (0; 1),

    где C — некоторая постоянная.
    Учитывая, что
    B(s, 1 − s) =

    π
    , ∀s ∈ (0; 1),
    sin πs

    имеем:
    I(p, q) = π

    Z

    dp
    −π
    sin πp

    Z

    πp
    tg

    dq

    2 + C, ∀p, q ∈ (0; 1).
    + C = π ln πq
    tg

    sin πq
    2

    Полагая q = p, устанавливаем, что C = 0.
    Таким образом,

    πp
    tg


    2 , ∀p, q ∈ (0; 1).
    I(p, q) = π ln πq
    tg

    2

    πp
    tg


    2 , ∀p, q ∈ (0; 1).
    Ответ : π ln πq
    tg

    2
    Задача 41. Вычислите
    I(p) =

    Z1
    0

    xp−1 − x−p
    dx
    1−x

    (0 < p < 1).

    Решение. Интеграл I является несобственным с граничной особой
    точкой x = 0.

    481

    П. 21, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Введём в рассмотрение интеграл
    J(q) =

    Z1
    0

    xp−1 − x−p
    dx, ∀q ∈ [0; + ∞), (0 < p < 1).
    (1 − x)1−q

    Интеграл J равномерно абсолютно сходится при q > 0, что устанавливаем по признаку Вейерштрасса (теорема 1.3.1) равномерной абсолютной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, используя оценку
    xp−1 − x−p xp−1 − x−p


    , ∀x, p ∈ (0; 1), ∀q ∈ [0; + ∞),

    6
    (1 − x)1−q
    1−x
    и сходимость несобственного интеграла


    Z1 p−1
    x
    − x−p
    1−x

    0

    dx.

    Поскольку подынтегральная функция
    f : (x, q) →

    xp−1 − x−p
    , ∀x ∈ (0; 1), ∀q ∈ [0; + ∞), (0 < p < 1)
    (1 − x)1−q

    непрерывна, а интеграл J равномерно сходится на [0; + ∞), то заданная несобственным интегралом с параметром функция
    J : q → J(q)
    на любом отрезке [0; a] ⊂ [0; + ∞) непрерывна (теорема 1.2.2) и возможен предельный переход при q → + 0 под знаком интеграла:
    lim J(q) =

    q→+0

    Z1
    0

    xp−1 − x−p
    dx.
    1−x

    Согласно определению бета-функции
    J(q) = B(p, q) − B(1 − p, q), ∀p ∈ (0; 1), ∀q ∈ (0; + ∞).
    Тогда из равенства (4) с учётом формулы Эйлера (1.12) имеем

    482

    (4)

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 21, § 3, гл. 3

    

    I(p) = lim B(p, q) − B(1 − p, q) =
    q→+0

    = lim Γ(q)
    q→+0

     Γ(p)
    Γ(1 − p) 

    .
    Γ(p + q) Γ(1 − p + q)

    Отсюда с учётом формулы приведения, по которой
    Γ(q) =

    Γ(q + 1)
    , ∀q ∈ (0; + ∞),
    q

    применяя правило Лопиталя, получаем, что несобственный интеграл с
    параметром
    Γ(q + 1)
    I(p) = lim

    q→+0

    = lim

    q→+0

    

     Γ(p)
    Γ(1 − p) 

    Γ(p + q) Γ(1 − p + q)
    =
    q

    

    Γ(p)
    Γ(1 − p)
    Γ (q + 1)

    Γ(p + q) Γ(1 − p + q)
    0

    

    +

    
    
    Γ(p)Γ0 (p + q) Γ(1 − p)Γ0 (1 − p + q)
    + Γ0 (q + 1) −
    +
    =
    Γ2 (p + q)
    Γ2 (1 − p + q)
    = lim

    q→+0

    

    = lim

    q→+0

    Γ(1 − p)
    Γ0 (1 − p + q)
    Γ(p)
    Γ0 (p + q)
    ·

    ·
    Γ(1 − p + q) Γ(1 − p + q)
    Γ(p + q) Γ(p + q)
    

    Γ0 (1 − p + q) Γ0 (p + q)

    Γ(1 − p + q)
    Γ(p + q)

    = − ln Γ(1 − p)Γ(p)
    = − ln π − ln sin πp

    Ответ : π ctg πp.

    0

    0

    

    =

    

    =

    Γ0 (1 − p) Γ0 (p)

    =
    Γ(1 − p)
    Γ(p)

    
    = − ln

    == ln sin πp

    π 0
    =
    sin πp
    0

    = π ctg πp.

    483

    П. 21, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    Задача 42. Вычислите
    +∞
    Z

    I(α, β) =

    sh αx
    dx (0 < α < β).
    sh βx

    0

    Решение. C учётом определения гиперболического синуса интеграл
    I(α, β) =

    +∞
    Z
    0

    eαx − e−αx
    dx =
    eβx − e−βx

    +∞
    Z
    0

    eαx − e−αx
    dx.
    − e−2βx )

    eβx (1

    Применяя подстановку
    e−2βx = t, ∀t ∈ (0; 1),

    при которой

    x= −

    1
    1
    ln t, dx = −
    dt,

    2βt

    если x → + 0, то новая переменная t → 1, а если x → + ∞, то новая
    переменная t → 0, получаем:
    1
    I(α, β) =


    Z1
    0

    tp−1 − t−p
    dt,
    1−t

    β−α
    , причём 0 < α < β.

    Поскольку 0 < p < 0,5, то, используя результаты задачи 41, будем
    иметь, что
     β − α

    π
    π
    πα 
    I(α, β) =
    ctg π
    =
    ctg

    =



    2


    где p =

    =

    Ответ :

    484

    π
    πα
    tg



    π
    πα
    tg
    , 0 < α < β.



    (0 < α < β).

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 21, § 3, гл. 3

    Задача 43. Вычислите
    I=

    Z1

    ln Γ(x) sin πx dx,

    0

    где Γ — гамма-функция.
    Решение. После замены
    x = 1 − t, ∀t ∈ (0; 1),

    при которой

    t = 1 − x, dx = − dt,
    если x → 0, то t → 1, а если x → 1, то t → 0, получаем:
    I=

    Z1
    0

    1
    ln Γ(1 − t) sin πt dt =
    2
    1
    =
    2

    Z1
    0

    Z1

    
    ln Γ(t) + ln Γ(1 − t) sin πt dt =

    0

    
    ln Γ(t)Γ(1 − t) sin πt dt.

    Используя формулу дополнения (1.13), будем иметь:
    1
    I=
    2

    Z1
    0

    1
    =
    2

    Z1
    0

    ln

     π 
    sin πt dt =
    sin πt

    

    ln π
    1
    ln π − ln sin πt sin πt dt =

    π
    2
    ln π
    1
    =

    lim
    π
    2 ε→+0

    Z1

    ln sin πt sin πt dt =

    0

    1−ε
    Z
    ln sin πt sin πt dt =
    ε

    1
    1
    =
    ln π +
    lim
    π
    2π ε→+0

    1−ε
    Z
    ln sin πt d cos πt =
    ε

    485

    П. 21, § 3, гл. 3

    Гл. 3. Несобственные интегралы ...

    В.Н. Горбузов

    1−ε
    
    
    Z
    
    1−ε
    1
    1
    cos2 πt
    =
    ln π +
    lim
    cos πt ln sin πt ε −
    d(πt) =
    π
    2π ε→+0
    sin πt
    ε

    1−ε
    1−ε
    
    
    Z
    Z
    
    1−ε
    d(πt)
    ln π 1
    =
    +
    lim
    cos πt ln sin πt ε −
    +
    sin πt d(πt) =
    π
    2π ε→+0
    sin πt
    ε

    =

    =

    ε

    h
    i1−ε
    ln π
    1
    sin πt
    +
    lim cos πt ln sin πt − ln
    − cos πt
    =
    π
    2π ε→+0
    1 + cos πt
    ε

    h
    i1−ε
    ln π
    1

    lim cos πt + (1 − cos πt) ln sin πt − ln(1 + cos πt)
    =
    π
    2π ε→+0
    ε
    =

    ln π
    1

    lim − 2 cos πε + 2 cos πε ln sin πε +
    π
    2π ε→+0

     ln π
    1
    + ln(1 + cos πε) − ln(1 − cos πε) =

    lim − 2 cos πε +
    π
    2π ε→+0
    
    + cos πε ln(1 − cos2 πε) + ln(1 + cos πε) − ln(1 − cos πε) =

    =

    ln π
    1

    lim − 2 cos πε + + (1 + cos πε) ln(1 + cos πε) −
    π
    2π ε→+0
    
    1
    π
    − (1 − cos πε) ln(1 − cos πε) =
    1 + ln
    ,
    π
    2

    так как предел

    lim y ln y = lim

    y→+0

    Ответ:

    486

    1
    π
    1 + ln
    .
    π
    2

    y→+0

    D ln y
    = lim ( − y) = 0.
    1
    y→+0
    D
    y

    В.Н. Горбузов

    § 3. Бета- и гамма-функции

    П. 21, § 3, гл. 3

    Задача 44. Докажите равенство
    +∞
    Z
    n
    n−1
     1 n+ 1
    Y
    n
    2
    xm−1 e−x dx =
    (2π) 2
    n
    m=1

    (5)

    0

    при любом натуральном n.
    Доказательст