• Название: Всероссийский Институт Научной и Технической Информации
  • Автор: Kosha

1

Всероссийский Институт Научной и Технической Информации
Российской Академии Наук.

Давидюк Константин Васильевич.

Основания конструктивной теории множеств.

Москва - 2011 г.

Регистрационный номер: № 149 В – 2011.

2

Содержание.
Предисловие ………………………………………………………………………..

4

Введение ……………………………………………………………………………

9

Часть первая ……………………………………………………………………….

10

Что такое порядок ………………………………………………………………….

10

Отношения ………………………………………………………………………….

16

Прямое произведение множеств …………………………………………………..

17

Отношение строгого порядка………………………………………………………

19

Отношение нестрогого порядка……………………………………………………

21

Как определяются математические понятия………………………………………

26

Порядок в множестве математических понятий…………………………………..

32

Порядок в множестве математических предложений…………………………….

34

Маленькие теории внутри большой теории……………………………………….

39

Что такое аксиомы…………………………………………………………………..

44

Связь между исходными понятиями и исходными предложениями…………….

48

Что такое аксиоматический метод…………………………………………………

51

Требование непротиворечивости…………………………………………………..

53

Два пути решения проблемы непротиворечивости……………………………….

54

Типы аксиоматических теорий……………………………………………………..

55

Часть вторая………………………………………………………………………..

57

Объект и множество…………………………………………………………………

57

Графическое изображение множеств………………………………………………

60

Подмножества……………………………………………………………………….

61

Операция объединения множеств………………………………………………….

62

Операция пересечения множеств…………………………………………………..

63

Операция разности множеств………………………………………………………

64

Операция разбиения множества……………………………………………………

64

Операция выбора……………………………………………………………………

65

Отношения…………………………………………………………………………..

65

Функциональные отношения……………………………………………………….

68

Инверсия……………………………………………………………………………..

69

n-местные операции…………………………………………………………………

70

Анализ аксиом классической теории множеств…………………………………..

70

Аксиома существования пустого множества……………………………………...

71

3

Аксиома равенства множеств………………………………………………………

71

Аксиома неупорядоченных пар…………………………………………………….

72

Аксиома объединения (суммы) ……………………………………………………

73

Аксиома пересечения………………………………………………………………..

73

Аксиома бесконечности…………………………………………………………….

74

Аксиома степени…………………………………………………………………….

78

Аксиома подстановки……………………………………………………………….

78

Аксиома выбора……………………………………………………………………..

79

Выводы……………………………………………………………………………….

81

Система аксиом конструктивной теории множеств………………………………

82

Аксиома понятий и объектов……………………………………………………….

82

Аксиома операции множество……………………………………………………...

82

Аксиома определений (заданий) множеств………………………………………..

83

Аксиома структуры………………………………………………………………….

83

Аксиома понятия «множество» и объекта «пустое множество» ………………..

84

Часть третья………………………………………………………………………...

86

Числовые системы…………………………………………………………………..

86

Система натуральных чисел………………………………………………………..

86

Система целых чисел………………………………………………………………..

87

Система рациональных чисел………………………………………………………

89

Система действительных чисел…………………………………………………….

90

Равномощность множеств…………………………………………………………..

97

Мощность числовых систем………………………………………………………..

101

Мощность целых чисел……………………………………………………………..

101

Мощность рациональных чисел……………………………………………………

101

Мощность действительных чисел………………………………………………….

102

Мощность системы подмножеств множества натуральных чисел………………

103

Список литературы………………………………………………………………….

107

Регистрационный номер: № 149 В – 2011.

4

Предисловие.
Центральная задача теории множеств.
В математике, в частности в теории множеств, мы определяем (задаем) множества
свойствами. Например, берем какое-либо свойство и рассматриваем только те объекты
(предметы), которые этим свойством обладают. Возникает вопрос: можно ли назвать
множеством совокупность этих объектов? Это вопрос является центральной задачей
(главной проблемой) теории множеств. На протяжении последних двух столетий эта
задача стала причиной не только жарких споров, но и раскола математиков на сообщества
(математические школы Кантора, Гильберта, Пуанкаре, Гёделя, Коши и т.д.).
Вместо того чтобы дать точное определение термину «объект» и понятию «множество»,
т.е. однозначно определить исходные данные (и тем самым решить центральную задачу в
корне), определенная группа математиков (Кантор, Дедекинд, Коэн, Гёдель и др.) сумела
предотвратить такое развитие событий и направить исследования в совершенно другом
направлении. В чем же заключается предложенное этими учеными направление (подход)?
Предложенное направление заключается в том, чтобы «объект» и «множество» были
по-прежнему неопределяемыми. В результате такого подхода нужно отказаться от идеи
задания множеств любыми свойствами. Как следствие, было решено избавиться от тех
свойств, которые определяют «неудобные» множества (парадоксальные множества,
антиномии). Любой парадокс является следствием невозможности установить, обладает
объект (множество) каким-то конкретным свойством или не обладает.
Для реализации этого направления был создан ряд специальных аксиом (выбора,
подстановки, регулярности и т.д.). Эти аксиомы должны были оградить теорию множеств
от «неудобных» свойств. Дальнейшие их исследование показало, что если «правильно»
задать свойство, то эти аксиомы как раз и порождают антиномии. Поэтому аксиомы
решили усилить (модифицировать) – с одной стороны, а с другой – ввести еще ряд
аксиом. Исследование вновь созданных аксиом и их модификаций показало, что они не
способны выполнить поставленную задачу. Система аксиом снова была подвергнута
переработке (модифицированы старые и добавлены новые аксиомы). Вновь созданная
система аксиом также потерпела неудачу.
Время шло и одна система аксиом безрезультатно сменяла другую. Желание навязать
исключительно свою точку зрения и отсутствие возможности открыто обсудить
возникающие трудности привело к тому, что каждая группа математиков начала

5

разрабатывать свою собственную систему аксиом. В результате образовались
непримиримые математические школы, которые, хоть и использовали каждая свою
систему аксиом и методы доказательств, но все же не смогли добиться успеха и
избавиться от парадоксов. И в этом нет ничего странного: чтобы решить любую задачу,
необходимо правильно задать исходные данные (в данном случае определиться с тем, что
такое «множество» и «объект») и строго описать методы для ее решения, – а этого
сделано не было. Нет правильного подхода – нет решения.
Неудачные попытки угадать правильную систему аксиом привели к огромному
количеству «второстепенных» задач, решение которых, якобы, позволяло решить
центральную задачу. Второстепенные задачи плодились и порождали третьестепенные
задачи и т.д. На этом фоне появились такие личности как Кантор, Гедель и др., которые
под видом решения второстепенных задач стали публиковать «научные труды»,
относительно которых почти у всех математических школ был выражен протест. Яркими
представителями протестующих школ были: Гильберт, Брауэр, Фон-Нейман, Рассел,
Пуанкаре, Вейль и др. Эти труды содержат предположения, которые (даже по меркам
прошлого столетия) нельзя назвать решениями задач, поскольку содержат лишь
предположения. Поэтому их окрестили гипотезами (гипотезы Кантора, Гёделя и т.д.).
Спустя несколько десятилетий на удивление всему математическому сообществу эти
гипотезы в одночасье были признаны узким кругом лиц (представителями школы
Кантора) как строгие и образцовые решения основных задач математики. В знак протеста
Гильберт и его многочисленные сторонники собирают в 1900 году всемирную
математическую конференцию, на которой осуждают действия своих «коллег» и
намечают пути решения основных проблем математики, в частности теории множеств
(впоследствии они названы проблемами Гильберта).
Причина, по которой протестуют серьезные математики против гипотез Кантора и
построенных на этих гипотезах многочисленных работ, уважительна. С одной стороны
нарушен этикет открытого обсуждения научных работ, с другой – гипотезы (даже с
большой натяжкой) не похожи на математические.
Основные результаты последователей Кантора и Гёделя, основанные на гипотезах этих
двух ученых, собранные в труды, назвали классической математикой. Классическая
математика не содержит решения центральной задачи теории множеств и других, важных
для математики проблем. Ее целью является создание идеальной схемы доказательства,
не смотря на то, что многочисленные исследования подтверждают невозможность
реализации этого замысла (в этой книге на простом примере будет показана
несостоятельность такого замысла).

6

Время идет и стремительное развитие естественных наук требует от математиков
качественного математического инструмента, который бы удовлетворял критериям
простоты и надежности в инженерных исследованиях. К нашему времени классическая
математика проникла почти во все математические направления и стала причиной
появления в этих теориях сложных, громоздких и зачастую неприменимых методов для
инженерных наук, не говоря уже о парадоксах, которые сделали эти теории трудными для
изучения и понимания. Попытки применить эти методы на практике вскрыли, что
большинство «достижений» классической математики (более, чем за 150 лет) непригодны
для инженерной деятельности. Научная эволюция естественным путем потребовала
пересмотра «открытий» и постулатов (концепций) классической математики, но часть
математических школ отказались пересматривать свои концепции и методы (школа
Кантора, Гёделя, Коэна и их последователей).
В результате представители разных инженерных направлений стали создавать свои
методы исследования. Задачи, продиктованные сложными технологическими процессами,
порождают жесткие требования к создаваемым теориям. В этих условиях скелетом
теорий становятся системный и объектно-ориентированный подходы. Теории,
формируемые в рамках такого подхода, назвают конструктивными.
Системный подход.

Жизненные трудности заставляют человека проявлять интерес к методам их
устранения: систематизации, анализу и практическому способу их устранения. Трудности
формулируются в виде проблем, которые, в свою очередь, разбиваются на задачи.
Проблема – это перечень вопросов, отнесенных к некоторой деятельности и требующих
решения. В дальнейшем эти вопросы формулируются в виде задач конкретной области.
Решением задачи является алгоритм, использующий данные из некоторой совокупности.
Алгоритм представляет собой совокупность функций (операций) над объектом
(объектами), а объект представляется определенным набором свойств, которые
принимают конкретные значения (данные). Такова суть системного подхода,
выработанного на протяжении долгого времени инженерной деятельности человека.
Системный подход предъявляет повышенные требования к постановке задач и
корректности исходных данных.
Таким образом, решение проблемы требует четкого представления, выдвигает
требования к качеству данных и реализуемости алгоритмов, которые базируются на

7

конструктивных методах. В противном случае, не представляется возможным добиться
решения. Попытки решения проблем, не соблюдая системного подхода, приводят к
неоправданным затратам, ошибкам и потери времени (как следствие, к ложным теориям).
Объектно-ориентированный подход.
Объектный подход состоит в реализации схемы:
понятие – объект – множество.
Понятие – обобщенное имя, которое определяется объемом и содержанием; объем –
совокупность объектов, охватываемых данным понятием; содержание – совокупность
свойств, характеризующих это понятие.
В определение понятия входит раскрытие его содержания, т.е. совокупности свойств,
характеризующих это понятие. Так, например, содержанием понятия «треугольник»
является совокупность свойств: три стороны, три вершины, три угла, каждые две стороны
имеют общую вершину; а объемом – совокупность всевозможных треугольников. Задавая
для свойств их данные (конкретные длины сторон или вершины, или углы), получают
конкретные объекты-треугольники.
Объект получается из понятия путем подстановки в свойства их данных (значений).
Для решения вопроса, обладает объект каким-либо свойством или не обладает,
достаточно сравнить это свойство со свойствами из содержания понятия, которое
породило этот объект. Таким образом, вопрос об обладании объектом какого-либо
свойства, является алгоритмически реализуемым за конечное число шагов. Объекты,
которые могут одновременно обладать и не обладать каким-то свойством, при
соблюдении этой схемы – невозможны, т.е. невозможен парадокс.
Множества формируются из объектов на основании любых свойств. Таким образом,
построение (определение) множества по свойству является алгоритмически выполнимым
(для каждого объекта легко устанавливается, принадлежит он этому множеству или нет,
т.е. обладает он этим свойством или не обладает).
Детальное применение этой схемы к теории множеств является одной из целей данной
книги.
В рамках системного и объектного подходов центральная задача теории множеств
решается по следующей схеме:
1) дается точное определение термину «объект» и понятию «множество», т.е. однозначно
определяются исходные данные на аксиоматическом уровне (аксиома понятий и
объектов);

8

2) вводится единое требование к созданию множеств (аксиома задания множеств);
Созданная аксиоматика является алгоритмически реализуемой и конструктивной. Она
позволяет определять множества любыми свойствами и в то же время быть свободной от
парадоксов (парадоксы не предусмотрены аксиоматикой). Вместе с тем решается одна из
второстепенных задач Гильберта (1-ая проблема Гильберта). Простота, прозрачность и
алгоритмическая реализуемость, порожденной таким образом конструктивной теории
множеств, позволяет применять ее в любых инженерных приложениях.
Книга рассчитана для школьников, студентов и всех тех, кто работает в области
математики или интересуется ей.
Автор будет благодарен за любые замечания по вопросам изложения материала,
которые могут возникнуть в процессе чтения. Замечания прошу направить по адресу:
david_52@mail.ru

9

Введение.
Научная работа «Основания конструктивной теории множеств» состоит из трех частей.
В первой части разъясняются на элементарных примерах три направления в развитии
аксиоматического метода построения теорий. Ее целью является дать полный объем
знаний для самостоятельного построения аксиоматических теорий.
Во второй части производится детальный анализ аксиом классической теории
множеств. В ходе анализа все методы и понятия, которые содержаться в этих аксиомах,
детально разбираются на элементарные составляющие. Одновременно с анализом аксиом
рассматривается центральная задача (определение множеств свойствами). На основе
анализа строится новая система аксиом (конструктивная система аксиом).
Конструктивная система аксиом отличается от классической следующими свойствами:
1) определяет понятие «множество» и термин «объект» (в классической системе аксиом
они неопределяемые);
2) разрешает определять множества любыми свойствами (т.е. решается центральная
задача; в классической системе аксиом это невозможно по причине нарушения норм,
продиктованных для построения теорий аксиоматическим методом);
3) исключает возможность появления парадоксов (классическая система аксиом
предусматривает парадоксы).
В третьей части происходит построение основных числовых систем: натуральной,
целой, рациональной и действительной. Множество действительных чисел R определяется
посредством рекурсивной функции. Исследование этой функции показывает, что она
аналогична функции, которая задает множество натуральных чисел N. Таким образом,
количество (мощность) множества действительных чисел не превосходит количества
натуральных чисел по построению (решение 1-ой проблемы Гильберта). Применение этой
функции к множеству натуральных чисел определяет систему его подмножеств 2 N
(мощность 2 N не превосходит мощности N).

10

Часть первая.
Что такое порядок?
Примеры порядков.
Всегда, когда говорят о порядке, обычно предполагают некоторое множество объектов
(совокупность предметов), между которыми установлено отношение «первичности»,
«старшинства» или «важности», «предшествования» и т.п. Рассмотрим несколько
конкретных примеров (ситуаций).
Пусть имеется конечное множество А людей (множество, содержащее конечное число
элементов):
А = {Сергеев, Иванов, Михайлов, Петров, Трофимов, Гончаров, Рудаков},
среди которых нет ровесников.
Если известен год рождения каждого из них (дальше мы будем пользоваться
инициалами), например, С – 1917, И – 1927, М – 1923, П – 1941, Т – 1937, Г – 1936, Р –
1945, то можно установить в этом множестве людей отношение «старше», которое
порождает в нем определенный «порядок» или, по другому выражаясь, превращает это
множество в упорядоченное: Сергеев, Михайлов, Иванов, Гончаров, Трофимов, Петров,
Рудаков. В этой записи на первом месте стоит фамилия самого старшего, на втором месте
– фамилия того, кто старше всех остальных, кроме первого, на третьем – того, кто старше
всех остальных, кроме первых двух, и т.д.
Какими же свойствами обладает отношение «старше», введенное на множестве А?
Для выражения этих свойств применим буквы х, у, z в качестве обозначений элементов
из А (х, у, z, Î , А). x, y, z называются «переменными», поскольку вместо них в записях