• Название:

    Основания конструктивной теории множеств


  • Размер: 0.55 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

    Осталось ждать: 10 сек.

Установите безопасный браузер



  • Название: Всероссийский Институт Научной и Технической Информации
  • Автор: Kosha

Предпросмотр документа

1

Всероссийский Институт Научной и Технической Информации
Российской Академии Наук.

Давидюк Константин Васильевич.

Основания конструктивной теории множеств.

Москва - 2011 г.

Регистрационный номер: № 149 В – 2011.

2

Содержание.
Предисловие ………………………………………………………………………..

4

Введение ……………………………………………………………………………

9

Часть первая ……………………………………………………………………….

10

Что такое порядок ………………………………………………………………….

10

Отношения ………………………………………………………………………….

16

Прямое произведение множеств …………………………………………………..

17

Отношение строгого порядка………………………………………………………

19

Отношение нестрогого порядка……………………………………………………

21

Как определяются математические понятия………………………………………

26

Порядок в множестве математических понятий…………………………………..

32

Порядок в множестве математических предложений…………………………….

34

Маленькие теории внутри большой теории……………………………………….

39

Что такое аксиомы…………………………………………………………………..

44

Связь между исходными понятиями и исходными предложениями…………….

48

Что такое аксиоматический метод…………………………………………………

51

Требование непротиворечивости…………………………………………………..

53

Два пути решения проблемы непротиворечивости……………………………….

54

Типы аксиоматических теорий……………………………………………………..

55

Часть вторая………………………………………………………………………..

57

Объект и множество…………………………………………………………………

57

Графическое изображение множеств………………………………………………

60

Подмножества……………………………………………………………………….

61

Операция объединения множеств………………………………………………….

62

Операция пересечения множеств…………………………………………………..

63

Операция разности множеств………………………………………………………

64

Операция разбиения множества……………………………………………………

64

Операция выбора……………………………………………………………………

65

Отношения…………………………………………………………………………..

65

Функциональные отношения……………………………………………………….

68

Инверсия……………………………………………………………………………..

69

n-местные операции…………………………………………………………………

70

Анализ аксиом классической теории множеств…………………………………..

70

Аксиома существования пустого множества……………………………………...

71

3

Аксиома равенства множеств………………………………………………………

71

Аксиома неупорядоченных пар…………………………………………………….

72

Аксиома объединения (суммы) ……………………………………………………

73

Аксиома пересечения………………………………………………………………..

73

Аксиома бесконечности…………………………………………………………….

74

Аксиома степени…………………………………………………………………….

78

Аксиома подстановки……………………………………………………………….

78

Аксиома выбора……………………………………………………………………..

79

Выводы……………………………………………………………………………….

81

Система аксиом конструктивной теории множеств………………………………

82

Аксиома понятий и объектов……………………………………………………….

82

Аксиома операции множество……………………………………………………...

82

Аксиома определений (заданий) множеств………………………………………..

83

Аксиома структуры………………………………………………………………….

83

Аксиома понятия «множество» и объекта «пустое множество» ………………..

84

Часть третья………………………………………………………………………...

86

Числовые системы…………………………………………………………………..

86

Система натуральных чисел………………………………………………………..

86

Система целых чисел………………………………………………………………..

87

Система рациональных чисел………………………………………………………

89

Система действительных чисел…………………………………………………….

90

Равномощность множеств…………………………………………………………..

97

Мощность числовых систем………………………………………………………..

101

Мощность целых чисел……………………………………………………………..

101

Мощность рациональных чисел……………………………………………………

101

Мощность действительных чисел………………………………………………….

102

Мощность системы подмножеств множества натуральных чисел………………

103

Список литературы………………………………………………………………….

107

Регистрационный номер: № 149 В – 2011.

4

Предисловие.
Центральная задача теории множеств.
В математике, в частности в теории множеств, мы определяем (задаем) множества
свойствами. Например, берем какое-либо свойство и рассматриваем только те объекты
(предметы), которые этим свойством обладают. Возникает вопрос: можно ли назвать
множеством совокупность этих объектов? Это вопрос является центральной задачей
(главной проблемой) теории множеств. На протяжении последних двух столетий эта
задача стала причиной не только жарких споров, но и раскола математиков на сообщества
(математические школы Кантора, Гильберта, Пуанкаре, Гёделя, Коши и т.д.).
Вместо того чтобы дать точное определение термину «объект» и понятию «множество»,
т.е. однозначно определить исходные данные (и тем самым решить центральную задачу в
корне), определенная группа математиков (Кантор, Дедекинд, Коэн, Гёдель и др.) сумела
предотвратить такое развитие событий и направить исследования в совершенно другом
направлении. В чем же заключается предложенное этими учеными направление (подход)?
Предложенное направление заключается в том, чтобы «объект» и «множество» были
по-прежнему неопределяемыми. В результате такого подхода нужно отказаться от идеи
задания множеств любыми свойствами. Как следствие, было решено избавиться от тех
свойств, которые определяют «неудобные» множества (парадоксальные множества,
антиномии). Любой парадокс является следствием невозможности установить, обладает
объект (множество) каким-то конкретным свойством или не обладает.
Для реализации этого направления был создан ряд специальных аксиом (выбора,
подстановки, регулярности и т.д.). Эти аксиомы должны были оградить теорию множеств
от «неудобных» свойств. Дальнейшие их исследование показало, что если «правильно»
задать свойство, то эти аксиомы как раз и порождают антиномии. Поэтому аксиомы
решили усилить (модифицировать) – с одной стороны, а с другой – ввести еще ряд
аксиом. Исследование вновь созданных аксиом и их модификаций показало, что они не
способны выполнить поставленную задачу. Система аксиом снова была подвергнута
переработке (модифицированы старые и добавлены новые аксиомы). Вновь созданная
система аксиом также потерпела неудачу.
Время шло и одна система аксиом безрезультатно сменяла другую. Желание навязать
исключительно свою точку зрения и отсутствие возможности открыто обсудить
возникающие трудности привело к тому, что каждая группа математиков начала

5

разрабатывать свою собственную систему аксиом. В результате образовались
непримиримые математические школы, которые, хоть и использовали каждая свою
систему аксиом и методы доказательств, но все же не смогли добиться успеха и
избавиться от парадоксов. И в этом нет ничего странного: чтобы решить любую задачу,
необходимо правильно задать исходные данные (в данном случае определиться с тем, что
такое «множество» и «объект») и строго описать методы для ее решения, – а этого
сделано не было. Нет правильного подхода – нет решения.
Неудачные попытки угадать правильную систему аксиом привели к огромному
количеству «второстепенных» задач, решение которых, якобы, позволяло решить
центральную задачу. Второстепенные задачи плодились и порождали третьестепенные
задачи и т.д. На этом фоне появились такие личности как Кантор, Гедель и др., которые
под видом решения второстепенных задач стали публиковать «научные труды»,
относительно которых почти у всех математических школ был выражен протест. Яркими
представителями протестующих школ были: Гильберт, Брауэр, Фон-Нейман, Рассел,
Пуанкаре, Вейль и др. Эти труды содержат предположения, которые (даже по меркам
прошлого столетия) нельзя назвать решениями задач, поскольку содержат лишь
предположения. Поэтому их окрестили гипотезами (гипотезы Кантора, Гёделя и т.д.).
Спустя несколько десятилетий на удивление всему математическому сообществу эти
гипотезы в одночасье были признаны узким кругом лиц (представителями школы
Кантора) как строгие и образцовые решения основных задач математики. В знак протеста
Гильберт и его многочисленные сторонники собирают в 1900 году всемирную
математическую конференцию, на которой осуждают действия своих «коллег» и
намечают пути решения основных проблем математики, в частности теории множеств
(впоследствии они названы проблемами Гильберта).
Причина, по которой протестуют серьезные математики против гипотез Кантора и
построенных на этих гипотезах многочисленных работ, уважительна. С одной стороны
нарушен этикет открытого обсуждения научных работ, с другой – гипотезы (даже с
большой натяжкой) не похожи на математические.
Основные результаты последователей Кантора и Гёделя, основанные на гипотезах этих
двух ученых, собранные в труды, назвали классической математикой. Классическая
математика не содержит решения центральной задачи теории множеств и других, важных
для математики проблем. Ее целью является создание идеальной схемы доказательства,
не смотря на то, что многочисленные исследования подтверждают невозможность
реализации этого замысла (в этой книге на простом примере будет показана
несостоятельность такого замысла).

6

Время идет и стремительное развитие естественных наук требует от математиков
качественного математического инструмента, который бы удовлетворял критериям
простоты и надежности в инженерных исследованиях. К нашему времени классическая
математика проникла почти во все