• Название:

    Основания конструктивной теории множеств

  • Размер: 0.55 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Всероссийский Институт Научной и Технической Информации
  • Автор: Kosha

1

Всероссийский Институт Научной и Технической Информации
Российской Академии Наук.

Давидюк Константин Васильевич.

Основания конструктивной теории множеств.

Москва - 2011 г.

Регистрационный номер: № 149 В – 2011.

2

Содержание.
Предисловие ………………………………………………………………………..

4

Введение ……………………………………………………………………………

9

Часть первая ……………………………………………………………………….

10

Что такое порядок ………………………………………………………………….

10

Отношения ………………………………………………………………………….

16

Прямое произведение множеств …………………………………………………..

17

Отношение строгого порядка………………………………………………………

19

Отношение нестрогого порядка……………………………………………………

21

Как определяются математические понятия………………………………………

26

Порядок в множестве математических понятий…………………………………..

32

Порядок в множестве математических предложений…………………………….

34

Маленькие теории внутри большой теории……………………………………….

39

Что такое аксиомы…………………………………………………………………..

44

Связь между исходными понятиями и исходными предложениями…………….

48

Что такое аксиоматический метод…………………………………………………

51

Требование непротиворечивости…………………………………………………..

53

Два пути решения проблемы непротиворечивости……………………………….

54

Типы аксиоматических теорий……………………………………………………..

55

Часть вторая………………………………………………………………………..

57

Объект и множество…………………………………………………………………

57

Графическое изображение множеств………………………………………………

60

Подмножества……………………………………………………………………….

61

Операция объединения множеств………………………………………………….

62

Операция пересечения множеств…………………………………………………..

63

Операция разности множеств………………………………………………………

64

Операция разбиения множества……………………………………………………

64

Операция выбора……………………………………………………………………

65

Отношения…………………………………………………………………………..

65

Функциональные отношения……………………………………………………….

68

Инверсия……………………………………………………………………………..

69

n-местные операции…………………………………………………………………

70

Анализ аксиом классической теории множеств…………………………………..

70

Аксиома существования пустого множества……………………………………...

71

3

Аксиома равенства множеств………………………………………………………

71

Аксиома неупорядоченных пар…………………………………………………….

72

Аксиома объединения (суммы) ……………………………………………………

73

Аксиома пересечения………………………………………………………………..

73

Аксиома бесконечности…………………………………………………………….

74

Аксиома степени…………………………………………………………………….

78

Аксиома подстановки……………………………………………………………….

78

Аксиома выбора……………………………………………………………………..

79

Выводы……………………………………………………………………………….

81

Система аксиом конструктивной теории множеств………………………………

82

Аксиома понятий и объектов……………………………………………………….

82

Аксиома операции множество……………………………………………………...

82

Аксиома определений (заданий) множеств………………………………………..

83

Аксиома структуры………………………………………………………………….

83

Аксиома понятия «множество» и объекта «пустое множество» ………………..

84

Часть третья………………………………………………………………………...

86

Числовые системы…………………………………………………………………..

86

Система натуральных чисел………………………………………………………..

86

Система целых чисел………………………………………………………………..

87

Система рациональных чисел………………………………………………………

89

Система действительных чисел…………………………………………………….

90

Равномощность множеств…………………………………………………………..

97

Мощность числовых систем………………………………………………………..

101

Мощность целых чисел……………………………………………………………..

101

Мощность рациональных чисел……………………………………………………

101

Мощность действительных чисел………………………………………………….

102

Мощность системы подмножеств множества натуральных чисел………………

103

Список литературы………………………………………………………………….

107

Регистрационный номер: № 149 В – 2011.

4

Предисловие.
Центральная задача теории множеств.
В математике, в частности в теории множеств, мы определяем (задаем) множества
свойствами. Например, берем какое-либо свойство и рассматриваем только те объекты
(предметы), которые этим свойством обладают. Возникает вопрос: можно ли назвать
множеством совокупность этих объектов? Это вопрос является центральной задачей
(главной проблемой) теории множеств. На протяжении последних двух столетий эта
задача стала причиной не только жарких споров, но и раскола математиков на сообщества
(математические школы Кантора, Гильберта, Пуанкаре, Гёделя, Коши и т.д.).
Вместо того чтобы дать точное определение термину «объект» и понятию «множество»,
т.е. однозначно определить исходные данные (и тем самым решить центральную задачу в
корне), определенная группа математиков (Кантор, Дедекинд, Коэн, Гёдель и др.) сумела
предотвратить такое развитие событий и направить исследования в совершенно другом
направлении. В чем же заключается предложенное этими учеными направление (подход)?
Предложенное направление заключается в том, чтобы «объект» и «множество» были
по-прежнему неопределяемыми. В результате такого подхода нужно отказаться от идеи
задания множеств любыми свойствами. Как следствие, было решено избавиться от тех
свойств, которые определяют «неудобные» множества (парадоксальные множества,
антиномии). Любой парадокс является следствием невозможности установить, обладает
объект (множество) каким-то конкретным свойством или не обладает.
Для реализации этого направления был создан ряд специальных аксиом (выбора,
подстановки, регулярности и т.д.). Эти аксиомы должны были оградить теорию множеств
от «неудобных» свойств. Дальнейшие их исследование показало, что если «правильно»
задать свойство, то эти аксиомы как раз и порождают антиномии. Поэтому аксиомы
решили усилить (модифицировать) – с одной стороны, а с другой – ввести еще ряд
аксиом. Исследование вновь созданных аксиом и их модификаций показало, что они не
способны выполнить поставленную задачу. Система аксиом снова была подвергнута
переработке (модифицированы старые и добавлены новые аксиомы). Вновь созданная
система аксиом также потерпела неудачу.
Время шло и одна система аксиом безрезультатно сменяла другую. Желание навязать
исключительно свою точку зрения и отсутствие возможности открыто обсудить
возникающие трудности привело к тому, что каждая группа математиков начала

5

разрабатывать свою собственную систему аксиом. В результате образовались
непримиримые математические школы, которые, хоть и использовали каждая свою
систему аксиом и методы доказательств, но все же не смогли добиться успеха и
избавиться от парадоксов. И в этом нет ничего странного: чтобы решить любую задачу,
необходимо правильно задать исходные данные (в данном случае определиться с тем, что
такое «множество» и «объект») и строго описать методы для ее решения, – а этого
сделано не было. Нет правильного подхода – нет решения.
Неудачные попытки угадать правильную систему аксиом привели к огромному
количеству «второстепенных» задач, решение которых, якобы, позволяло решить
центральную задачу. Второстепенные задачи плодились и порождали третьестепенные
задачи и т.д. На этом фоне появились такие личности как Кантор, Гедель и др., которые
под видом решения второстепенных задач стали публиковать «научные труды»,
относительно которых почти у всех математических школ был выражен протест. Яркими
представителями протестующих школ были: Гильберт, Брауэр, Фон-Нейман, Рассел,
Пуанкаре, Вейль и др. Эти труды содержат предположения, которые (даже по меркам
прошлого столетия) нельзя назвать решениями задач, поскольку содержат лишь
предположения. Поэтому их окрестили гипотезами (гипотезы Кантора, Гёделя и т.д.).
Спустя несколько десятилетий на удивление всему математическому сообществу эти
гипотезы в одночасье были признаны узким кругом лиц (представителями школы
Кантора) как строгие и образцовые решения основных задач математики. В знак протеста
Гильберт и его многочисленные сторонники собирают в 1900 году всемирную
математическую конференцию, на которой осуждают действия своих «коллег» и
намечают пути решения основных проблем математики, в частности теории множеств
(впоследствии они названы проблемами Гильберта).
Причина, по которой протестуют серьезные математики против гипотез Кантора и
построенных на этих гипотезах многочисленных работ, уважительна. С одной стороны
нарушен этикет открытого обсуждения научных работ, с другой – гипотезы (даже с
большой натяжкой) не похожи на математические.
Основные результаты последователей Кантора и Гёделя, основанные на гипотезах этих
двух ученых, собранные в труды, назвали классической математикой. Классическая
математика не содержит решения центральной задачи теории множеств и других, важных
для математики проблем. Ее целью является создание идеальной схемы доказательства,
не смотря на то, что многочисленные исследования подтверждают невозможность
реализации этого замысла (в этой книге на простом примере будет показана
несостоятельность такого замысла).

6

Время идет и стремительное развитие естественных наук требует от математиков
качественного математического инструмента, который бы удовлетворял критериям
простоты и надежности в инженерных исследованиях. К нашему времени классическая
математика проникла почти во все математические направления и стала причиной
появления в этих теориях сложных, громоздких и зачастую неприменимых методов для
инженерных наук, не говоря уже о парадоксах, которые сделали эти теории трудными для
изучения и понимания. Попытки применить эти методы на практике вскрыли, что
большинство «достижений» классической математики (более, чем за 150 лет) непригодны
для инженерной деятельности. Научная эволюция естественным путем потребовала
пересмотра «открытий» и постулатов (концепций) классической математики, но часть
математических школ отказались пересматривать свои концепции и методы (школа
Кантора, Гёделя, Коэна и их последователей).
В результате представители разных инженерных направлений стали создавать свои
методы исследования. Задачи, продиктованные сложными технологическими процессами,
порождают жесткие требования к создаваемым теориям. В этих условиях скелетом
теорий становятся системный и объектно-ориентированный подходы. Теории,
формируемые в рамках такого подхода, назвают конструктивными.
Системный подход.

Жизненные трудности заставляют человека проявлять интерес к методам их
устранения: систематизации, анализу и практическому способу их устранения. Трудности
формулируются в виде проблем, которые, в свою очередь, разбиваются на задачи.
Проблема – это перечень вопросов, отнесенных к некоторой деятельности и требующих
решения. В дальнейшем эти вопросы формулируются в виде задач конкретной области.
Решением задачи является алгоритм, использующий данные из некоторой совокупности.
Алгоритм представляет собой совокупность функций (операций) над объектом
(объектами), а объект представляется определенным набором свойств, которые
принимают конкретные значения (данные). Такова суть системного подхода,
выработанного на протяжении долгого времени инженерной деятельности человека.
Системный подход предъявляет повышенные требования к постановке задач и
корректности исходных данных.
Таким образом, решение проблемы требует четкого представления, выдвигает
требования к качеству данных и реализуемости алгоритмов, которые базируются на

7

конструктивных методах. В противном случае, не представляется возможным добиться
решения. Попытки решения проблем, не соблюдая системного подхода, приводят к
неоправданным затратам, ошибкам и потери времени (как следствие, к ложным теориям).
Объектно-ориентированный подход.
Объектный подход состоит в реализации схемы:
понятие – объект – множество.
Понятие – обобщенное имя, которое определяется объемом и содержанием; объем –
совокупность объектов, охватываемых данным понятием; содержание – совокупность
свойств, характеризующих это понятие.
В определение понятия входит раскрытие его содержания, т.е. совокупности свойств,
характеризующих это понятие. Так, например, содержанием понятия «треугольник»
является совокупность свойств: три стороны, три вершины, три угла, каждые две стороны
имеют общую вершину; а объемом – совокупность всевозможных треугольников. Задавая
для свойств их данные (конкретные длины сторон или вершины, или углы), получают
конкретные объекты-треугольники.
Объект получается из понятия путем подстановки в свойства их данных (значений).
Для решения вопроса, обладает объект каким-либо свойством или не обладает,
достаточно сравнить это свойство со свойствами из содержания понятия, которое
породило этот объект. Таким образом, вопрос об обладании объектом какого-либо
свойства, является алгоритмически реализуемым за конечное число шагов. Объекты,
которые могут одновременно обладать и не обладать каким-то свойством, при
соблюдении этой схемы – невозможны, т.е. невозможен парадокс.
Множества формируются из объектов на основании любых свойств. Таким образом,
построение (определение) множества по свойству является алгоритмически выполнимым
(для каждого объекта легко устанавливается, принадлежит он этому множеству или нет,
т.е. обладает он этим свойством или не обладает).
Детальное применение этой схемы к теории множеств является одной из целей данной
книги.
В рамках системного и объектного подходов центральная задача теории множеств
решается по следующей схеме:
1) дается точное определение термину «объект» и понятию «множество», т.е. однозначно
определяются исходные данные на аксиоматическом уровне (аксиома понятий и
объектов);

8

2) вводится единое требование к созданию множеств (аксиома задания множеств);
Созданная аксиоматика является алгоритмически реализуемой и конструктивной. Она
позволяет определять множества любыми свойствами и в то же время быть свободной от
парадоксов (парадоксы не предусмотрены аксиоматикой). Вместе с тем решается одна из
второстепенных задач Гильберта (1-ая проблема Гильберта). Простота, прозрачность и
алгоритмическая реализуемость, порожденной таким образом конструктивной теории
множеств, позволяет применять ее в любых инженерных приложениях.
Книга рассчитана для школьников, студентов и всех тех, кто работает в области
математики или интересуется ей.
Автор будет благодарен за любые замечания по вопросам изложения материала,
которые могут возникнуть в процессе чтения. Замечания прошу направить по адресу:
david_52@mail.ru

9

Введение.
Научная работа «Основания конструктивной теории множеств» состоит из трех частей.
В первой части разъясняются на элементарных примерах три направления в развитии
аксиоматического метода построения теорий. Ее целью является дать полный объем
знаний для самостоятельного построения аксиоматических теорий.
Во второй части производится детальный анализ аксиом классической теории
множеств. В ходе анализа все методы и понятия, которые содержаться в этих аксиомах,
детально разбираются на элементарные составляющие. Одновременно с анализом аксиом
рассматривается центральная задача (определение множеств свойствами). На основе
анализа строится новая система аксиом (конструктивная система аксиом).
Конструктивная система аксиом отличается от классической следующими свойствами:
1) определяет понятие «множество» и термин «объект» (в классической системе аксиом
они неопределяемые);
2) разрешает определять множества любыми свойствами (т.е. решается центральная
задача; в классической системе аксиом это невозможно по причине нарушения норм,
продиктованных для построения теорий аксиоматическим методом);
3) исключает возможность появления парадоксов (классическая система аксиом
предусматривает парадоксы).
В третьей части происходит построение основных числовых систем: натуральной,
целой, рациональной и действительной. Множество действительных чисел R определяется
посредством рекурсивной функции. Исследование этой функции показывает, что она
аналогична функции, которая задает множество натуральных чисел N. Таким образом,
количество (мощность) множества действительных чисел не превосходит количества
натуральных чисел по построению (решение 1-ой проблемы Гильберта). Применение этой
функции к множеству натуральных чисел определяет систему его подмножеств 2 N
(мощность 2 N не превосходит мощности N).

10

Часть первая.
Что такое порядок?
Примеры порядков.
Всегда, когда говорят о порядке, обычно предполагают некоторое множество объектов
(совокупность предметов), между которыми установлено отношение «первичности»,
«старшинства» или «важности», «предшествования» и т.п. Рассмотрим несколько
конкретных примеров (ситуаций).
Пусть имеется конечное множество А людей (множество, содержащее конечное число
элементов):
А = {Сергеев, Иванов, Михайлов, Петров, Трофимов, Гончаров, Рудаков},
среди которых нет ровесников.
Если известен год рождения каждого из них (дальше мы будем пользоваться
инициалами), например, С – 1917, И – 1927, М – 1923, П – 1941, Т – 1937, Г – 1936, Р –
1945, то можно установить в этом множестве людей отношение «старше», которое
порождает в нем определенный «порядок» или, по другому выражаясь, превращает это
множество в упорядоченное: Сергеев, Михайлов, Иванов, Гончаров, Трофимов, Петров,
Рудаков. В этой записи на первом месте стоит фамилия самого старшего, на втором месте
– фамилия того, кто старше всех остальных, кроме первого, на третьем – того, кто старше
всех остальных, кроме первых двух, и т.д.
Какими же свойствами обладает отношение «старше», введенное на множестве А?
Для выражения этих свойств применим буквы х, у, z в качестве обозначений элементов
из А (х, у, z, Î , А). x, y, z называются «переменными», поскольку вместо них в записях
можно подставить любую из перечисленных фамилий. Само отношение «старше»
обозначим буквой S. В таких обозначениях предложение «х старше у» запишется так:
«хSу». В силу соглашения, что среди элементов множества А нет ровесников, если хSу, то
неверно, что уSх для любых х и у из множества А (если х старше у, то неверно, что у
старше х). В дальнейшем для отрицания некоторого предложения, выражаемого словами
«неверно, что», будем применять специальный знак Ø .
Таким образом, обнаруженное свойство запишется так:
для любых х и у, если хSу, то Ø уSх.
Это свойство называется ассиметричностью.

11

Также, очевидно, что ни один человек не старше самого себя, т.е. для любого х: Ø хSх.
Это свойство называется антирефлексивностью.
Нетрудно также заметить, что если один человек старше второго, а второй старше
третьего, то и первый старше третьего, т.е для любых х, у, z, если хSу и уSz, то хSz.
Это свойство называется транзитивностью.
Таким образом, введенное в описанное выше конечное множество А людей отношение
старше является ассиметричным, антирефлексивным и транзитивным отношением.
Отношение старше в множестве А может быть задано множеством пар элементов из А,
таких, что первый элемент каждой пары находится в этом отношении со вторым
элементом пары:
{(С, М), (С, И), (С, Г), (С, Т), (С, П), (С, Р), (М, И), (М, Г), (М, Т), (М, П), (М, Р), (И, Г), (И,
Т), (И, П), (И, Р), (Г, Т), (Г, П), (Г, Р), (Т, П), (Т, Р), (П, Р)}
Сергеев, Михайлов, Иванов, Гончаров, Трофимов, Петров, Рудаков.
Это же отношение можно представить в виде истинностной таблицы, в которой
указано, какие истинностные значения (И – истина или Л – ложь) принимает предложение
хSу, если вместо переменных х и у подставить их возможные значения:
хSу

С

М

И

Г

Т

П

Р

С

Л

И

И

И

И

И

И

М

Л

Л

И

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

И

И

И

Г

Л

Л

Л

Л

И

И

И

Т

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

П

Л

Л

Л

Л

Л

Л

И

Р

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Как читать эту таблицу?
Например, в клетке, являющейся пересечением второй строки и четвертого столбца,
стоит буква И. Это означает, что высказывание СSИ истинно, т.е. Сергеев старше
Иванова. На пересечении восьмой строки и третьего столбца стоит буква Л. Это означает,
что высказывание РSМ ложно, т.е. Рудаков не старше Михайлова.
По существу истинностная таблица задает на множестве М некоторую функцию g,
сопоставляющую с каждым х Î М его год рождения. Обозначим через Е множество
значений g, т.е.
Е = {1917, 1927, 1923, 1941, 1937, 1936, 1945, }

12

Отношение S мы установили следующим образом: мы считали (и это вполне
естественно), что х старше у, если и только если х родился раньше у, т.е.
хSу равносильно ( Û ) g(х) < g(у).
Отношение «меньше» (<) в множестве Е (и вообще в множестве натуральных чисел)
обладает теми же свойствами (антирефлексивностью, ассиметричностью и
транзитивностью), что и отношение S в множестве М.
Отношения S и < порождают соответственно в множествах М и Е структуры одного и
того же рода (М, S), (Е, <). Обе эти структуры обладают еще одним важным свойством: из
двух различных элементов (х ≠ у) либо х находится в данном отношении (S, <) с у, либо у –
с х. Иными словами, одно и только одно из предложений хSу или уSх для любых х ≠ у (в
М) и g(х) < g(у) или g(у) < g(х) (в Е) истинно (оба не могут быть истинными в силу
асимметричности отношений S и <).
Функция или отображение g является взаимно-однозначным соответствием, или
биективным отображением множества М на множество Е (каждому элементу М
сопоставляется точно один элемент из Е и различным элементам из М – различные
элементы из Е). При этом g «переводит» отношение S в отношение <, т.е. если хSу, то g(х)
< g(у).
-1
Обратное отображение g является таким же (биективным), как и g. Оно отображает

множество Е на множество М и переводит отношение < в отношение S, т.е. если х < у, где
-1
-1
х, у Î Е, то g (х) М g (у).
-1

Такое отображение, как g ( g ), называется изоморфизмом, а структуры, между
которыми может быть установлен изоморфизм, – изоморфными. Так, структуры (М, S) и
(Е, <) изоморфны и как математические объекты неразличимы. Все свойства одной из
этих структур переводятся в свойства другой. Например, в множестве М есть самый
младший элемент (который не старше никакого другого, в Е – самое большое число
(которое не меньше никакого другого). В множестве М есть самый старший элемент (т.е.е
такой, что никакой другой не старше его), а в Е – самое маленькое число (т.е. такое, что
нет в Е числа, меньше его).
Рассмотрим еще один пример. Алфавит русского языка состоит из 33 знаков,
называемых буквами. Математик скажет, что это конечное множество В, состоящее из 33
элементов, называемых буквами, и что это – упорядоченное множество. Действительно,
буквы алфавита всегда перечисляются в определенном, строго установленном порядке.

13

Что же представляет собой этот порядок? Это не что иное, как отношение между двумя
буквами (бинарное отношение), которое можно называть словом «предшествует».
Исследуем это отношение.
Пусть В = {а, б, в, … э, ю, я} – алфавит.
Здесь «а» предшествует «б», «б» предшествует «в» и т.д. Буква «а» – первая, ей не
предшествует никакая другая буква, «я» – последняя буква алфавита, она не предшествует
никакой другой букве.
Если х, у, z – переменные для букв алфавита, а знак p обозначает отношение
«предшествует», то, очевидно, что:
1) Ø х p х для любого х Î В, т.е отношение «предшествует» антирефлексивно;
2) если х p у, то Ø у p х для любых х и у Î В, т.е. это отношение ассиметрично;
3) если х p у и у p z, то х p z для любых х, у, z Î В, т.е. отношение «предшествует»
транзитивно.
Если считать, что заданное перечисление букв алфавита В определяет отношение
«предшествует» лишь между соседними буквами (например, {(а, б), (б, в), (в, г) …}), и
принять в качестве характеристики этого отношения свойства 1 – 3, то можно доказать
такие предложения, как, например, а p г или Ø г p а.
Может возникнуть недоумение: зачем надо доказывать, когда и так видно, что,
перечисляя буквы алфавита, букву «а» мы записываем или называем раньше буквы «г».
Значит, «а» предшествует «г». Поэтому «г» не предшествует «а». Эти рассуждения и есть
в какой-то степени доказательство. Из а p г выводим Ø г p а, неявно ссылаясь на
свойство 2. Остается доказать, что а p г:
1) а p б (посылка, т.е. исходные данные, – по определению отношения p );
2) б p в (посылка – дана по определению);
3) а p в (из 1 и 2 по свойству транзитивности);
4) в p г (посылка – дана по определению);
5) а p г (из 3 и 4 по свойству транзитивности);
6) Ø г p а (из 5 по свойству ассиметричности).
Если же отношение «предшествует» задать перечислением пар букв алфавита В, т.е.:

p = {(а, б), (а, в), (а, г), (а, д), … (а, я),

14

(б, в), (б, г), (б, д), … (б, я),
(в, г), (в, д), … (в, я),
......................
(ю, я)},
то получим в качестве следствий свойства 1 – 3.
Действительно, в этом множестве мы не найдем ни одной пары вида (х, х), т.е.
состоящей из двух одинаковых букв. Это означает, что Ø х p х для любого х Î В. Мы
получили свойство антирефлексивности.
В этом множестве нет двух пар вида (х, у) и (у, х), т.е если х p у, то Ø у p х для любых
х и у Î В, т.е. это отношение ассиметрично. И, наконец, для всех случаев, когда имеются
две пары вида (х, у) и (у, z), т.е. одна и та же буква является вторым элементом первой
пары и первым элементом второй пары, то найдется третья пара (х, z), состоящая из
первого элемента первой пары и второго элемента второй пары, т.е. если х p у и у p z, то
х p z для любых х, у, z Î В (транзитивность).
На основе отношения «предшествует» введем отношение «непосредственно
предшествует».
Буква х непосредственно предшествует букве у, если х p у и не существует буквы z
такой, что х p z и z p у.
Так «а» непосредственно предшествует «б», «б» непосредственно предшествует «в», но
неверно, что «а» непосредственно предшествует «в» (так как существует буква «б», такая,
что а p б и б p в).
Если х p у, то мы говорим также, что у следует за х. Если х непосредственно
предшествует у, то мы говорим также, что у непосредственно следует за х.
Отметим, что, как в первом примере, здесь для всех х и у Î В, если х ¹ у, то либо х p у
и у p х, т.е. для любых двух различных букв из В одна обязательно предшествует другой.
Именно это свойство придает алфавиту русского языка, как говорят в математике,
структуру линейного (или совершенного) порядка. Эта структура и позволяет выписать
все буквы алфавита в ряд таким образом, чтобы справа от каждой буквы находилась
непосредственно следующая за ней. Благодаря этой же структуре, удается занумеровать
буквы алфавита, т.е. поставить в соответствие каждой букве номер и говорить, например,

15

что «а» – первая буква русского алфавита, «б» – вторая, «в» – третья и т.д., «я» – тридцать
третья.
Но что означает занумеровать? Попытаемся математически точно описать эту
процедуру.
Оказывается, что занумеровать элементы некоторого конечного множества означает
построить отображение этого множества на некоторый начальный отрезок Р = {1, 2, 3, …,
n} натурального ряда (множества N натуральных чисел). В нашем примере мы установили
соответствие между буквами множества (алфавита) А и числами начального отрезка
натурального ряда Р = {1, 2, 3, …, 33} или отображение f : А ® Р следующим образом:
букве а сопоставили число 1, букве б – число 2 и, вообще, если какой-нибудь букве х
"
соответствует число n, то непосредственно следующей за ней букве х сопоставили число

n + 1 (непосредственно следующее за n).
Определение этого отображения можно записать так:
f (а) = 1,
если f (х) = n, то f ( х ) = n + 1.
"

Этот способ определения функции называют рекурсивным (от лат. recursio –
возвращение). При определении значения функции для некоторого значения аргумента
приходится возвращаться к заданному (исходному) значению f (а).
Например, чтобы найти f (в), надо «возвращаться» к f (б), а от него к f (а).
Действительно, по второй строке определения, если f (х) = n, то f ( х ) = n + 1.
"

"
Пусть х = а, тогда х = б. Так как по первой строке определения f (а) = 1, то, подставив

последнее выражение во вторую строку, найдем: если f (а) = 1, то f (б) = 1 + 1 = 2. Теперь,
зная значение f (б), по второй строке определения получим: если f (б) = 2, то f (в) = 2 + 1
= 3.
Таким образом, данное рекурсивное определение f позволяет найти номер каждой
буквы из А.
-1
-1
Отображение f , обратное к f , отображает множество Р на множество А ( f : Р

® А) и может быть определено следующим образом:
f -1 (1) = а,
"
-1
если f (n) = х, то f (n + 1) = х .

Такая процедура нумерации может показаться очень медлительной. это вполне
естественно, так как мы привыкли быстро считать (или нумеровать) предметы в

16

определенном порядке, не думая о том, что счет математически описывается с помощью
-1
рассмотренной функции f (или f ).
-1
Функция f (и обратная ей функция f ) является изоморфизмом, так как представляет

собой биективное отображение (взаимно-однозначное соответствие), переводящее
отношение p в отношение < (или < в p ). Поэтому структуры (А, p ) и (Р, <) обладают
одними и теми же свойствами. Это изоморфные конечные модели структуры линейного
порядка.

Отношения.
Задание отношений посредством пар является очень распространенным. Такие
отношения называют двойными отношениями или бинарными отношениями, («би»
означает «два»). Любое бинарное отношение можно выразить с помощью множества пар.
Обратно, любое множество пар можно воспринимать как некоторое отношение R между
первыми и вторыми элементами пары. В связи с этим множество пар и отношение,
которое задается (определяется) этим множеством обозначают одним символом R.
Множество всех элементов, из которых составляются пары, называют областью
задания отношения R. Множество первых элементов пар называют областью определения
отношения R, а множество вторых элементов пар – областью значения отношения R.
Если выбрать произвольную пару (а, с) из множества R пар и переставить первый
элемент пары со вторым элементом пары (произвести инверсию), то пара (с, а) уже может
и не принадлежать отношению R (с не находится в отношенни R к а). Это означает, что
порядок элементов в паре должен учитываться (иметь строгое значение). Пары, в которых
порядок элементов имеет значение, называют упорядоченными парами. Таким образом,
любое отношение R характеризуется множеством упорядоченных пар. Для обозначения
упорядоченных пар выше использовались круглые скобки: (а, с). Наравне с круглыми
скобками используются так же квадратные скобки: [а, с].
Примером неупорядоченной пары является множество, содержащее два элемента.
Действительно, в множестве порядок элементов, которые его образуют, – безразличен:
А = {а, b} = {b, а},
поскольку множество определяется исключительно его элементами, а не их порядком.
Ниже вместо термина «упорядоченная пара» будет для краткости употребляться термин
«пара». На основе сказанного введем определения.

17

Определение. Отношением R называется любое множество упорядоченных пар (х, у).
Определение. Если пара (х, у) принадлежит множеству R ((х, у) Î R ), то говорят также,
что х находится в отношении R к у, и записывают так хRу.
Определение. Множество первых элементов пар называют областью определения
отношения S, а множество вторых элементов пар – областью значения отношения S.
Если множество первых элементов пар отношения R обозначить через А, а множество
вторых – через В , то D = А U В. D называется областью задания отношения R.
Говорят также, что R задает отношение между элементами множества D или что R
определено на D.

Прямое произведение множеств.
Для построения отношений вводят (искуственную) операцию прямого произведения
множеств.
Определение. Прямым произведением (произведением) множеств А и В называют
множество Q всевозможных упорядоченных пар (х, у), где х принимает значения из А, а у
– из В. Применяя для обозначения множества фигурные скобки, записывают это так:
Q = А ´ В = {(х, у)},
для любых х и у, где х Î А, у Î В, а символ Ä обозначает произведение множеств.
На математическом языке множество Q записывается так:
Q = {(х, у)│ для любых х и у, где х Î А, у Î В}.
Здесь множество А – область определения отношения Q, а множество В – область
значений отношения Q. Область задания Q есть D = А U В.
Пример. Пусть А = {1, 3, 5}, а В = {2, 4}, тогда
Q = {1, 3, 5} ´ {2, 4} = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)},
т.е. Q – это множество упорядоченных пар, где первым элементом пары является нечетное
число (1, 3, 5), а вторым элементом пары – четное число (2, 4). Здесь множество А –
область определения отношения Q, а множество В – область значений отношения Q.
Область задания Q есть D = А U В = {1, 3, 5, 2, 4}.
Если множество А и В равны, т.е состоят из одних и тех же элементов, то Q называют
квадратом или степенью (второй степенью) множества А:

18
2
Q=А ´ А=А .

Из определения видно, что порядок множеств под знаком произведения, вообще, имеет
значение. Действительно, переставив местами множества из предыдущего примера,
получим:
W = {2, 4} ´ {1, 3, 5}= {(2, 1), (4, 1), (2, 3), (4, 3), (2, 5), (4, 5)},
т.е. W – это множество упорядоченных пар, где первым элементом пары является четное
число (2, 4), а вторым элементом пары – нечетное число (1, 3, 5).
Беря любое подмножество С множества Q (W), можно рассматривать С как некоторое
отношение между первыми и вторыми элементами, принадлежащих множеству С пар.
Аналогично вводят операцию прямого произведения нескольких множеств как
последовательного выполнения операции произведения двух множеств. Рассмотрим
случай 3-ех множеств.
Пусть даны три множества А1 , А2 , А 3 . Возьмем произведение множеств А1 и А2 :
Q = А1 ´ А2 = {(х, у)│ для любых х и у, где х Î А1 , у Î А2 }.
Возьмем произведение множеств Q и А 3 :
S = Q ´ А 3 = {(w, z)│ для любых w и z, где w Î Q, z Î А 3 } или
S = {((х, у), z)│ для любых х, у, z, где х Î А1 , у Î А2 , z Î А 3 }
Поскольку в упорядоченной паре расположение элементов имеет строгое
местоположение, то одну пару скобок опускают (она легко восстанавливается):
S = {(х, у, z)│ для любых х, у, z, где х Î А1 , у Î А2 , z Î А3 }.
Так появляются понятие упорядоченной тройки и операция прямого прозведения 3-ех
множеств.
Определение. Прямым произведением (произведением) 3-ех множеств называют
множество S всевозможных упорядоченных 3-ек ( а 1 , а 2 , а 3 ) (или, что то же самое [ а 1 ,

а 2 , а 3 ]), где а j Î А j (j = 1, 2, 3):
S = А 1 ´ А2 ´ А 3

= {(х, у, z)│ для любых х, у, z, где х Î А1 , у Î А2 , z Î А3 }.

Область задания S есть D = А1 U А2 U А3 .
Пример. Пусть, А1 = {1, 3}, А2 = {2, 4}, А3 = {7, 9}, тогда
S = {1, 3} ´ {2, 4} ´ {7, 9} = {(1, 2, 7), (1, 4, 7), (3, 2, 7), (3, 4, 7), (1, 2, 9), (1, 4, 9), (3, 2,
9), (3, 4, 9)}.

19

Область задания S есть D = А1 U А2 U А3 = {1, 3, 2, 4, 7, 9}.
Если множества А1 , А2 , А3 состоят из одинаковых элементов, т.е. А1 = А2 = А3 = А, то
их произведение записывают так:

А1 ´ А2 ´ А3 = А3
и называют 3-ей степенью множества А.
Множество S из предыдущего примера можно получить и другим способом. Для этого
3
надо взять 3-ю степень множества D, т.е. D , а затем из получившейся 3-ей степени взять

S в качестве подмножества.
Аналогично вводится понятие упорядоченной n-ки ( а 1 , а 2 , … а n ) и операция прямого
произведения n множеств (cоответственно, n-ая степень) для любого натурального числа
n.

Отношение строгого порядка.
Всякое бинарное отношение, обладающее (подобно p или отношению строго меньше
(строго больше) на множестве чисел) свойствами антирефлексивности, асимметричности
и транзитивности, называется отношением строгого порядка или строгим порядком.
Таким образом, отношение Р на некотором множестве М является строгим порядком,
если оно обладает свойствами:
1. Ø хРх для всякого х Î М (т.е. х Î М ® (х, х) Ï Р );
2. если хРу, то Ø уРх для всяких х, у Î М (т.е. хРу ® Ø уРх);
3. если хРу и уРz, то хРz для всяких х, у, z Î М (т.е. хРу и уРz ® хРz).
Характеристика строго порядка с помощью свойств 1 – 3 является избыточной.
Математика, как правило, стремится давать характеристики, состоящие из минимального
числа свойств, но вместе с тем полные в том смысле, что из характеристики уже можно
вывести любое другое свойство изучаемого объекта.
В нашем примере изучаемым объектом является строгий порядок. Оказывается,
достаточно охарактеризовать его как антирефлексивное и транзитивное отношения, так
как из свойств 1 и 3 уже следует свойство 2.
Допустим, что свойство 2 ложно или истинно отрицание этого свойства, т.е. хРу и уРх.
Тогда по свойству 3 транзитивности имеем:

20

если хРу и уРх, то хРх, что противоречит свойству 1.
Таким образом, отношение строгого порядка можно определить как отношение,
обладающее свойствами антирефлексивности и транзитивности.
Если отношение строгого порядка Р введено на некотором множестве М и при этом
оказывается, что для любых двух различных элементов х и у (х ¹ у) из М либо хРу, либо
уРх, то говорят, что это отношение порождает в множестве М структуру линейного (или
совершенного) порядка. Термин «линейный» означает, что можно условно расположить
элементы в линию, т.е. записать их один за другим так, чтобы элемент записанный
раньше находился в отношении Р к элементу записанному позже. Исходя из определения
термина «структура», видно, что структура представляет собой набор (множество, пару)
из двух элементов: множества (носителя структуры) и отношения строгого порядка на
нем. Образцом такой структуры является (N,

), т.е. пара, состоящая из множества N

натуральных чисел и отношения строгого порядка «меньше» ( ), на нем. Эта структура
линейного порядка бесконечна, так как множество N (носитель структуры) – бесконечное
множество. Каждый начальный отрезок натурального ряда [1; n] = {1, 2, 3, … n} c
введенным в него тем же отношением «меньше» ([1; n],

) представляет собой конечную

структуру того же рода, т.е. линейный (совершенный) строгий порядок.
Структура ([1; n],

) служит своеобразным эталоном, с которым сопоставляют другие

структуры линейного порядка, как это было сделано в примере с алфавитом, где каждой
букве был поставлен в соответствие ее номер (число) и, таким образом, было произведено
сопоставление (установлено соответствие) между (А, p ) и ([1; 33], ). В этом случае
говорят, что структуры (А, p ) и ([1; 33], ) изоморфны.
Естественно возникает вопрос: всегда ли отношение строго порядка порождает
структуру линейного порядка. Возможна ли ситуация, когда существуют такие х, у Î М,
такие что х ¹ у и Ø уРх и Ø хРу, т.е. когда некоторые элементы х, у не находятся в
отношении Р ни х с у, ни у с х? Такие ситуации возможны. В таких ситуациях нельзя
выписать все элементы из М один за другим (в линию) так, чтобы элемент записанный
раньше находился в отношении Р к элементу записанному позже.
Рассмотрим простой пример. Пусть М = {1, 2, 3}. Составим множество Р(М) всех его
частей, т.е. рассмотрим подмножества множества М (систему подмножеств множества М):
Р(М) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}},

21

где символом Ø обозначено пустое множество, т.е множество не содержащее ни одного
элемента (это множество было вводится исключительно для удобства, которое станет
ясным ниже).
В множестве Р(М) введем отношение строгого включения Ì . Напомним определение
этого отношения: множество А строго включается в множество В (является собственной
частью В), если А ¹ В (А не совпадает с В) и каждый элемент А является элементом В,
т.е. А ¹ В и для всякого х, если х Î А, то х Î В.
Из этого определения непосредственно следует, что в множестве В есть элементы, не
принадлежащие А (в противном случае множества А и В совпадали бы, т.е. состояли бы из
одних и тех же элементов).
Нетрудно заметить, что это отношение не порождает в множестве Р(М) структуру
линейного порядка. Действительно, существуют такие различные элементы Р(М), как,
например, {2} и {3} или {1, 2} и {1, 3}, которые не находятся друг с другом в отношении

Ì , не сопоставимы по этому отношению. Поэтому нельзя расположить элементы Р(М) в
ряд (в линию) так, чтобы каждый элемент строго включался в соседний справа, или нельзя
занумеровать элементы Р(М) с помощью начального отрезка натурального ряда [1; 8] так,
чтобы между (Р(М), Ì ) и ([1; 8], ) установился изоморфизм (т.е. такое однозначное
сопоставление между элементами множеств Р(М) и [1; 8], что если элементам а и в
множества [1; 8], сопоставляются соответственно элементы с и е множества Р(М), то из а
в следует, что с Ì е и обратно).
Структура, порожденная отношением Ì в Р(М), носит более сложный, нелинейный
характер.

Отношение нестрого порядка.
Перейдем теперь к понятию нестрого порядка. Рассмотрим несколько примеров.
Возьмем отношение нестрогого включения (или включения в широком смысле Í ) на
том же множестве Р(М), на котором мы рассмотрели отношении строгого включения Ì .
Чем же отличается отношение Í от Ì ? Тем, что в определении Í не ставится
условие А ¹ В. Таким образом, множество А включается (здесь и далее под

22

«включением» будем понимать включение в широком смысле) в множество В, если
каждый элемент А является также элементом В, т.е. А Í В по определению тогда и
только тогда, когда для всякого х, если х Î А, то х Î В. Из этого определения следует,
что, если А Í В, то А Ì В или А = В.
Действительно, если А Í В, то или существует элемент множества В, не
принадлежащий А, т.е. А Ì В, или не существует таких элементов, т.е. и В Í А. В этом
случае, когда А Í В и В Í А, множества А и В состоят из одних и тех же элементов, т.е. А
= В.
На основании сказанного, отношение Í можно определить и исходя из отношения
строго включения Ì :
А Í В Û А Ì В или А = В.
Рассмотрим свойства, которыми обладает отношение Í .
Во-первых, в отличие от Ì отношение Í рефлексивно, т.е. А Í А для всякого А. Это
непосредственно следует из определения, так как А = А. Так , подставив А вместо В в
правую часть приведенного выше определения, получаем А Ì А или А = А. Это
предложение составлено из двух элементарных предложений: А Ì А (ложно) А = А
(истинно), а предложение, составленное с помощью союза «или» из двух других
предложений, считается истинным, когда истинно хотя бы одно из составляющих; значит,
предложение «А Ì А или А = А» истинно, т.е. А Í А.
Во-вторых, отношение Í в отличие от Ì не является ассиметричным. Здесь
одновременны возможны А Í В и В Í А, но в этом случае А = В, т.е. если А Í В и В Í
А, то А = В. Это свойство называется антисимметричностью. Отношение Í является
антисимметричным.
В-третьих, отношение Í , как и Ì , является транзитивным, т.е. если А Í В и В Í С,
то А Í С (так как для всех х, если х Î А, то х Î В (А Í В), и если х Î В, то х Î С (В Í
С), значит, если х Î А, то х Î С (А Í С)).

23

Структура, порождаемая в Р(М) отношением Í , отличается от структуры,
порождаемой в этом множестве отношением Ì , лишь тем, что каждый элемент находится
в отношении Í сам с собой. По-другому говоря, если представить отношения Í и Ì
множествами упорядоченных пар соответственно R и S, то в множестве R будут пары
вида (х, х), а в множестве S таких пар не будет.
Примеры.
Рассмотрим еще один пример нестрогого порядка. Иногда ответ на вопрос, истины ли
высказывания 3 £ 3, 3 £ 5, бывает неправильный. Для обоснования того, что эти
высказывания ложные, приводятся такие «рассуждения»: 3 = 3 истинно, следовательно,
3 £ 3 ложно; 3

5 истинно, а следовательно, 3 £ 5 уже ложно. При этом не

учитывается, что именно из 3 = 3 следует 3 £ 3 и, так как первое истинно, то и второе
истинно; из 3

5 следует 3 £ 5 и, так как первое истинно, то и второе истинно (об

отношении следования речь пойдет дальше).
Причина ошибок, возможно, состоит в непонимании точного смысла союза «или», с
помощью которого отношение £ образовано из отношений

(меньше) и = (равно).

Действительно, 3 £ 3 – сокращенная запись сложного высказывания «3
Первое из составляющих высказываний (3

3 или 3 = 3».

3) ложно, второе (3 = 3) истинно. Так как

высказывание, составленное из двух других высказываний с помощью союза (логической
связки) «или», считается истинным, если истинно хотя бы одно из составляющих
высказываний, то 3 £ 3 истинно. Точно так же 3 £ 5 – сокращенная запись сложного
высказывания «3

5 или 3 = 5». Первое из составляющих высказываний (3

3) истинно,

второе (3 = 5) ложно. Так как одно из составляющих высказываний истинно, то и 3 £ 5
истинно.
Рассмотрим отношение £ (не больше, меньше или равно) на множестве N натуральных
чисел. Это отношение можно определить следующим образом:
х £у Û х

у или х = у.

Заметим также, что для любых х и у Î N х £ у или у £ х.
Теперь сделаем обобщение для отношений £ и Í .

24

Отношение Р на множестве М называется отношением нестрогого порядка или
нестрогим порядком, если оно
1. рефлексивно, т.е. хРх для любого х Î М,
2. антисимметрично, т.е. если хРу и уРх, то х = у для любых х, у Î М,
3. транзитивно, т.е. если хРу и уРz, то хРz для любых х, у, z Î М.
Эта характеристика нестрогого порядка является избыточной. Ее можно несколько
упростить. Действительно, подставив х вместо z в пункт 3 (согласно пункту 2, хРу и уРх
совместимы), получим: если хРу и уРх, то хРх.
Таким образом, нестрогий порядок можно охарактеризовать как антисимметричное и
транзитивное отношение.
Если для любых х, у Î М имеет место хРу или уРх, то отношение Р порождает на
множестве М структуру линейного (совершенного) нестрого порядка. В приведенных
примерах отношение Í не порождает такой структуры на множестве Р(М), а
отношение £ порождает такую структуру на множестве N.
Рассмотрим еще один пример нестрогого порядка. Речь пойдет об отношении
следования. В дальнейшем мы еще не раз обратимся к этому отношению с целью
уточнения его смысла и расширения области определения. Рассмотрим пока это
отношение на множестве предложений с переменными, часто встречающихся в
математике в виде уравнений и неравенств.
Пусть имеем два уравнения:

х 2 – 2х = 0,

(1)

х 3 – 3 х 2 + 2х = 0.

(2)

Нетрудно заметить, что множество корней уравнения (1) Е 1 = {0, 2}, а множество
корней уравнения (2) Е 2 = {0, 1, 2}. Так как Е 1 Í Е 2 , то можно утверждать, что
уравнение (2) обращается в истинное высказывание (верное равенство), по крайней мере,
при всех тех значениях переменной х, при которых уравнение (1) обращается в истинное
высказывание. Иными словами, нет такого значения переменной х, при котором (т.е. при
подстановке которого) уравнение (1) обращалось бы в истинное высказывание, а
уравнение (2) – в ложное высказывание.
Говорят, что из уравнения (1) следует уравнение (2), или что уравнение (2) является
следствием уравнения (1), и записывают это так:

25

х 2 – 2х = 0 Þ х 3 – 3 х 2 + 2х = 0.
Рассмотрим два неравенства:
х

5,

(3)

х

10

(4)

на множестве R действительных чисел.
Множество решений неравенства (3) Е 3 = ] - ∞ ; 5 [ , а неравенства (4) Е 4 = ] - ∞ ; 10[.
Так как Е 3 Í Е 4 , то и здесь можно утверждать, что неравенство (4) обращается в
истинное высказывание, по крайней мере, при всех тех значениях переменной х, при
которых неравенство (3) обращается в истинное высказывание. Иными словами, нет
такого значения переменной х, при подстановке которого в (3) и (4) неравенство (3)
обращалось бы в истинное высказывание, а неравенство (4) – в ложное высказывание.
Говорят, что неравенство (4) следует из (3) или является его следствием. Записывают
это так:
х

5 Þ х

10.

Теперь обобщим рассмотренные примеры следования. Пусть имеем два предложения с
переменной х: А(х) и В(х). Предложение В(х) следует из предложения А(х) (или В(х)
является следствием предложения А(х)), если оно обращается в истинное высказывание по
крайней мере при тех значениях переменной х, при которых А(х) обращается в истинное
высказывание. Это записывается так:
А(х) Þ В(х).
Рассмотрим свойства отношения Þ (следует) между предложениями.
1. Нетрудно заметить, что А(х) Þ А(х). А(х) обращается в истинное высказывание по
крайней мере при всех тех значениях х, при которых оно обращается в истинное
высказывание, т.е. отношение Þ рефлексивно;
2. Возможен случай, когда каждое из двух предложений А(х) и В(х) следует из другого.
Например, пусть
2
А(х): х – х = 0,

В(х): х(х – 1) = 0.
Так как эти равенства обращаются в тождества при одних и тех же значениях х, то имеют
место следования А(х) Þ В(х) и В(х) Þ А(х).

26

В таком случае говорят, что предложения А(х) и В(х) эквивалентны (или равносильны),
и записывают это так:
А(х) Û В(х).
Обозначим через А множество тех значений х, при которых А(х) обращается в истинное
высказывание. Множество А в таком случае называют областью истинности. Если А(х) –
уравнение, то А – это множество корней. Аналогично, В – область истинности В(х).
Получаем:
если А(х) Þ В(х), то А Í В;
если В(х) Þ А(х), то В Í А.
Следовательно, если А(х) Û В(х), то А Í В и В Í А. Т.е. А = В. В нашем примере А = В
= {0, 1}.
Итак, отношение Þ (так же, как и отношение Í ) обладает свойством
антисимметричности:
если А(х) Þ В(х) и В(х) Þ А(х), то А(х) Û В(х).
3. Пусть имеем три предложения А(х), В(х) и С(х), и известно, что А(х) Þ В(х) и В(х) Þ
С(х).
Так как А(х) Þ В(х), то А Í В. Так как В(х) Þ С(х), то В Í С. Но если А Í В и В Í
С, то А Í С (транзитивность Í ). Так как А Í С, то предложение С(х) обращается в
истинное высказывание по крайней мере при всех тех значениях х, при которых А(х)
обращается в истинное высказывание, т.е. А(х) Þ С(х).
Как видно, отношение Þ обладает и свойством транзитивности: если А(х) Þ В(х) и
В(х) Þ С(х), то А(х) Þ С(х).
Таким образом, отношение следования Þ является рефлексивным, антисимметричным
и транзитивным, т.е. отношением нестрогого порядка.

Как определяются математические понятия.
Каждая математическая теория представляет собой множество истинных предложений,
описывающих какую-нибудь систему объектов или даже класс однотипных систем
объектов (объектов и отношений между ними). Эти объекты выражаются в теории

27

соответствующими понятиями. Предложения теории выражают свойства этих понятий
или отношения между ними.
Стремясь анализировать внутренний порядок какой-нибудь математической теории, мы
должны выявлять как порядок во множестве понятий, так и порядок во множестве
предложений, т.е. самой теории.
Каждое понятие имеет объем и содержание. Объем – это совокупность (множество)
объектов, охватываемых данным понятием. Содержание – совокупность свойств,
характеризующих это понятие.
Например, объем понятия «треугольник» – это множество, которое состоит из
всевозможных треугольников, а содержание – совокупность свойств: наличие трех сторон,
трех вершин, трех углов, пересечение которых и образует треугольник.
Вообще, в определение понятия входит раскрытие его содержания, т.е. совокупности
свойств, характеризующих это понятие. Например, мы могли бы раскрыть содержание
понятия «параллелограмм», перечисляя такие его свойства: это – фигура, ограниченная
замкнутой ломаной линией, состоящей из четырех звеньев (сторон), причем
противоположные стороны параллельны. Но тогда наши «определения-описания» станут
очень громоздкими, понятия окажутся изолированными, а множество понятий – без
всякой внутренней структуры.
В математике же одно понятие сводится к другим, ранее уже определенным.
Рассмотрим это на примере параллелограмма. Для сведения понятия «параллелограмм» к
исходным понятиям мы использовали 17 определяемых понятий. Всего мы получили
множество из 24 понятий.
Изобразим в виде рисунка взаимосвязь между этими понятиями. Для этого
воспользуемся графом («граф» - означает рисовать, изображать). Граф – это фигура
(схематический рисунок), которая состоит из вершин (вершины графа) и линий (сторон
графа), которые соединяют эти вершины. В нашем случае на рис. 1 вершины графа –
понятия, а стороны (стрелки) указывают, какое понятие выражается через другое понятие.
Для этого в квадратных рамочках записаны номера определяемых понятий, в круглых –
номера исходных понятий, а стрелками указано, какие понятия служат для определения
следующих. Если от вершины i идет стрелка к вершине j, то понятие i используется для
определения понятия j.

28

Рис. 1.

1
2

3

4

8

9

10

5

6

11

12

7

13

15

17

20

21

14

23

24

16

18

19

22

Номера понятиям даны произвольно и они отражают порядок появления понятий в
нашем исследовании: 1 – параллелограмм; 2 – четырехугольник; 3 – параллельные
стороны; 4 – многоугольник; 5 – отрезок; 6 – отрезок лежит на прямой; 7 – параллельные
прямые; 8 – объединение; 9 – простая замкнутая ломаная; 10 – внутренняя область; 11 –
множество; 12 – точка; 13 – лежит между; 14 – принадлежит; 15 – прямая; 16 – плоскость;
17 – прямая лежит в плоскости; 18 – пересечение; 19 – пустое множество; 20 – замкнутая
ломаная; 21 – ломаная; 22 – включение; 23 – разбиение множества; 24 – расстояние.
Указанный порядок определяется с помощью следующих определений.
Параллелограмм (1) – четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
С помощью этого определения понятие «параллелограмм» сводится к понятиям
«четырехугольник» и «параллельные стороны». Теперь надо определить эти понятия.
Четырехугольник (2) – многоугольник с четырьмя сторонами.
Параллельные стороны (3), или параллельные отрезки, – отрезки, лежащие на
параллельных прямых.
Итак, мы пришли к понятиям: многоугольник, отрезок; отрезок лежит на прямой;
параллельные прямые.
Многоугольник (4) – объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области.
Отрезок (5) – множество, состоящее из двух точек (концов отрезка) и всех точек,
лежащих между ними.

29

Отрезок лежит на прямой (6), если все точки отрезка лежат на прямой.
Параллельные прямые (7) – две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие
общей точки, или совпадающие.
Теперь мы должны выяснить, что такое объединение, простая замкнутая ломаная и
внутренняя область.
Объединение (8) двух множеств – множество, состоящее из элементов, принадлежащих
хотя бы одному из этих множеств:
А U В = {х | х Î А или х Î В}.
Чтобы выяснить, что такое простая замкнутая ломаная, сначала установим, что такое
ломаная, затем, что такое замкнутая ломаная и, наконец, что такое простая замкнутая
ломаная.
Ломаная (21) – объединение отрезков, таких, что конец каждого отрезка (кроме
последнего) является началом следующего и смежные отрезки не лежат на одной прямой.
Замкнутая ломаная (20) – такая ломаная, у которой конец последнего звена (отрезка)
совпадает с началом первого.
Простая замкнутая ломаная (9) – замкнутая ломаная, у которой несоседние звенья не
пересекаются.
Внутренняя область (10) – то из подмножеств, на которые замкнутая ломаная разбивает
множество всех не принадлежащих ей точек плоскости, в котором не может быть
расположена прямая.
Теперь проанализируем определение отрезка. Его можно записать так:
*
[А, В] = { А, В } U {х | А х В},
*
где А х В означает «точка х лежит между точками А и В».

Как видно, в этом определении используется отношение «лежит между», применимое к
трем точкам (тернарное отношение или трехместное).
Напомним определение этого отношения: точка х лежит между (13) точками А и В,
если эти три точки различны, т.е. х ¹ А, х ¹ В, А ¹ В и |Ах|+|хВ|= |АВ|. В этом
определении используется понятие «расстояние».
Проанализируем теперь определение параллельности прямых. Выражение «две прямые
лежат в одной плоскости» означает, что существует плоскость, в которой лежат обе эти
прямые. Так как прямая – множество точек, то отсутствие общей точки и двух прямых
означает, что пересечение этих множеств пусто (есть пустое множество). Необходимо
отметить, что понятие «пустое множество» было введено именно для того, чтобы

30

операция пересечения множеств была определена и в том случае, когда множества не
имеют ни одного общего элемента (объекта).
Выражение «существует…» называется квантором существования и обозначается
символом $ . Будем впредь пользоваться там, где это удобно, таким символом.
Определение понятия «параллельные прямые» (7) запишется в принятых в современной
математике обозначениях следующим образом, при этом символом «α» обозначим
плоскость, а символами «а» и «b» - прямые:
а||b ÛDf $ α (a Ì α и b Ì α) и (a I b = Ø или а = b).
Знак ÛDf читается «называется (означает, равносильно) по определению» (лат.
Definition - определение). Слева от знака ÛDf записано определяемое понятие
(отношение параллельности), справа – ранее известные отношения, через которые
определяется параллельность.
В этом определении использованы понятия: «включение одного множества в другое»
(оно же использовалось в определении отношения «отрезок лежит на прямой»),
пересечение множеств ( I ) и «пустое множество» (Ø).
Если исходить из другого определения параллельности прямых, не включающего
совпадение прямых (а = b), то оно запишется так:
а||b ÛDf $ α (a Ì α и b Ì α) и (a I b = Ø).
Приведем определения этих понятий.
Множество А включается (22) в множество В (является его подмножеством), если все
элементы множества А принадлежат и множеству В.
Выражение «все» («для всякого», «для любого») называется квантором общности и
обозначается кратко через " .
В этих обозначениях определение включения может быть записано так:
А Ì В ÛDf " х (х Î А Þ х Î В).
Как видно, отношение включения сводится к отношению принадлежности (элемента к
множеству).
Пересечение (18) двух множеств – множество, состоящее из всех общих элементов
(принадлежащих обеим множествам):
А I В = {х | х Î А и х Î В}.
Пустое множество (19) – множество Ø, не содержащее никаких элементов.

31

Если это «странное» множество не считать множеством, то пересечение двух множеств
не всегда было бы множеством (например, пересечение двух различных параллельных
прямых), т.е. операция пересечения множеств была бы не определена.
При выяснении того, что такое внутренняя область (10), мы использовали понятие
«разбиение множества» на подмножества (классы) или классификации. Это чрезвычайно
важное и широко применяемое понятие в любой области науки и практики действие
достаточно просто определяется на теоретико-множественном языке.
Разбиение (23) непустого множества М на классы К 1 , К 2 , … К n определяется
следующими условиями:
1. все классы не пусты, т.е. К i ¹ Ø для всех i = 1, 2, … n;
2. все классы попарно не пересекаются, т.е. К i I К j = Ø для всех i, j = 1, 2, … n при i ¹
j;


n

3. их объединение составляет все множество М, т.е.

i

= М.

i =1

Замкнутая ломаная осуществляет разбиение множества не принадлежащих ей точек
плоскости на два класса, называемых внутренней и внешней областями относительно этой
ломаной.
Итак, с помощью всех приведенных определений мы свели понятие «параллелограмм»
через ряд промежуточных (общематематических и геометрических) понятий к следующим
шести понятиям: множество (11), принадлежит (14), точка (12), прямая (15), плоскость
(16), расстояние (24).
Возникают вопросы: как же определить эти понятия; как продолжить процесс сведения
одних понятий к другим? Вполне понятно, что процесс сведения одних понятий к другим
не может продолжаться бесконечно, так как любая теория состоит из конечного числа
истинных предложений. Это означает, что некоторые понятия должны быть объявлены
исходными, первоначальными, а стало быть, не сводимыми к другим, не определяемыми
через другие в рамках данной теории. Поэтому исходные понятия вводятся с помощью
терминов (понятий), которые не входят в данную теорию, но выражают свойства и
отношения этих исходных понятий («понятие» – от слова понятно). Если этого не сделать,
то все последующие определения будут лишены смысла для читателя.
В связи с этим в предисловиях перед изложением теории вводятся исходные
понятия(описываются их свойства и отношения между ними). Если рассматривать
предисловие как часть теории, то теория разделяется на две части: первая часть описывает

32

исходные понятия (свойства и отношения между ними), а вторая часть – описывает
следствия из первоначально определенных свойств (отношений).
Из шести перечисленных понятий первые два – множество и отношение принадлежит
– являются исходными понятиями в формальной теории множеств, остальные четыре –
точка, прямая, плоскость, расстояние – исходными понятиями геометрической теории
(они приняты за исходные в школьных учебниках).

Порядок в множестве математических понятий.
Этот порядок мы можем установить с помощью следующего отношения, которое
назовем «предшествует».
Этот термин хорошо согласуется с обычным пониманием слова «предшествует». Если
понятие А предшествует понятию В, в том смысле, в котором это будет уточнено ниже, то
оно предшествует ему и в обычном смысле – по времени введения или месту.
Определим теперь это отношение.
Понятие А предшествует понятию В, если существует конечная последовательность
понятий А0 , А1 , … Аn , такая, что А0 = А, Аn = В, и каждое понятие Аk используется в
определении понятия Аk+1 для всех k, удовлетворяющих условию 0 £ k £ n – 1.
Если понятие А предшествует В, то будем говорить, что В следует за А.
Если n = 1, т.е.понятие А непосредственно используется в определении понятия В, то
будем говорить, что А непосредственно предшествует В, или В непосредственно следует
за А.
Если n ³ 1, то понятие А опосредованно (через другие понятия) используется в
определении понятия В. Обозначим отношение «предшествует» знаком p .
Нетрудно убедится в том, что отношение p является строгим порядком.
Действительно, Ø А p А для любого понятия А (ни одно понятие не предшествует
самому себе, не может использоваться непосредственно или опосредованно в совеем
собственном определении), т.е. отношение p антирефлексивно.
Если А p В, то Ø В p А, для любых понятий А и В (если В определяется через А, а
понятие А – через в, то получим порочный круг в определениях; например, «угол –
прямой, если его стороны взаимно перпендикулярны» и «прямые – взаимно
перпендикулярны, если они образуют прямой угол»; в результате такого порочного круга

33

мы не определили ни прямой угол, ни перпендикулярные прямые), т.е. отношение

p антисимметрично.
Если А p В и В p С, то А p С для любых трех понятий А, В, С.
Действительно, если А p В, то существует последовательность понятий А0 , А1 , … Аn ,
такая, что А0 = А, Аn = В, такая, что каждое понятие Аk непосредственно используется в
определении понятия Аk+1 для всех k, удовлетворяющих условию 0 £ k £ n – 1. Так как В

p С, то существует последовательность понятий В 0 , В 1 , … В р , такая, что В 0 = В, В р =
С, такая, что каждое понятие В i непосредственно используется в определении понятия

В i+1 для всех i, удовлетворяющих условию 0 £ i £ р – 1. Тогда последовательность
понятий
А = А0 , А1 , …, Аn = В 0 , В 1 , … В р = С
обладает таким же свойством, т.е. каждое понятие, кроме последнего, непосредственно
используется в определении соседнего справа. Следовательно, А p С.
По существу достаточно было убедиться, что отношение p ассиметрично и
транзитивно, чтобы заключить, что оно является строгим порядком. Естественно, это
отношение порождает в множестве математических понятий некоторую структуру,
которая, однако, не является линейным порядком. Это наглядно видно из рис. 1, на
котором структура порядка в множестве из 24 понятий изображена в виде графа.
Как же определить на графе, какие понятия предшествуют другим? Понятие i
предшествует понятию j, если существует хотя бы один путь (последовательность
стрелок), исходящий из вершины i и оканчивающийся в вершине j. Например, понятие
«множество» (11) предшествует понятию «параллелограмм» (1), так как существует путь
11 ® 5 ® 9 ® 4 ® 2 ® 1,
исходящий из вершины 11 и оканчивающийся в вершине 1.
Разумеется, путь в графе, ведущий от вершины i к вершине j, может оказаться не
единственным. Так можно указать и другие пути, ведущие от 11 к 1:
11 ® 8 ® 4 ® 2 ® 1 или 11 ® 19 ® 7 ® 3 ® 1.
Обратим особое внимание на то обстоятельство, что при правильном (целесообразном)
изучении математики усваивается не только некоторое множество М понятий, но и
отношение порядка между ними, т.е. усваивается система (М, p ) понятий или

34

определенным образом упорядоченная информация. По этому образцу человек
приобретает умение упорядочить знания и не только математические, т.е. порядок в
математических знаниях способствует и упорядочению любой информации,
воспринимаемой человеком.

Порядок в множестве математических предложений.
Маленькая математическая теория.
Представим себе, что кто-то кому-то сообщил следующую информацию о родственных
отношениях между четырьмя мальчиками – Андреем, Борисом, Владимиром и Геннадием.
«Борис – брат Андрея, Владимир – брат Бориса, Геннадий не является братом Владимира,
Андрей – брат Бориса и Владимира, но не является братом Геннадия, Владимир – брат
Андрея, но не является братом Геннадия, Геннадий не является братом Андрея и не
является братом Бориса».
Попытаемся привести в порядок эту неупорядоченную, сумбурную информацию. Для
краткости будем пользоваться инициалами имен мальчиков (А, Б, В, Г) и отношение
«быть братом» обозначим буквой «б». В этих обозначениях приведенная информация
может быть записана в виде следующих 12 предложений:

р 1 : БбА; р 2 : ВбБ; р 3 : Ø ГбВ; р 4 : АбБ; р 5 : АбВ; р 6 : Ø АбГ;

р 7 : БбВ; р 8 : Ø БбГ; р 9 : ВбА; р10 : Ø ВбГ; р11 : Ø ГбА; р12 : Ø ГбБ.
Естественно возникает вопрос: надо ли хранить в памяти все эти 12 предложений,
чтобы знать все о родственных отношениях, существующих между четырьмя
мальчиками? Ведь нет надобности загромождать свою память лишней информацией. Что
же достаточно запомнить?
Нетрудно заметить, что достаточно запомнить всего три предложения, например р 1 ,

р 2 , р 3 и знать, что отношение «быть братом» является симметричным (если ХбY, то YбХ,
для любых двух мальчиков Х и Y) и транзитивным (если ХбY и YбZ, то ХбZ для любых
двух мальчиков Х , Y и Z). Все остальные предложения следуют из первых трех по этим
двум свойствам.
Покажем, как математик построил бы из данного множества предложений Р = { р 1 ,

р 2 ,…, р12 }маленькую математическую теорию. Неважно, что объекты здесь не являются
привычными для нас математическими объектами (числами, геометрическими фигурами,

35

функциями и т.п.), а речь идет о мальчиках и отношении «быть братом». Дело в том, что
теория является математической и в том случае, если она описывает лишь свойства
отношений между предметами и отвлекается от природы самих предметов и смысла
отношений. Она является математической также по своему построению.
Математик сказал бы примерно так: дано некоторое четырех элементное множество М
= {А, Б, В, Г} и некоторое транзитивное и симметричное отношение «б» на этом
множестве. Какова природа элементов множества М и каков смысл отношения «б», его
может и не интересовать.
Далее он поставил бы перед собой задачу выделить из множества Р предложений
минимальное подмножество А, такое, чтобы из А следовали все остальные предложения
множества Р, причем, следование определяется отношением «б». Если за исходное
принять р 1 , то р 2 уже не следует из него. Если за исходные принять предложения р 1 и

р 2 , то р 3 из них не следует.
Попытаемся в качестве множества исходных предложений (аксиом) принять множество
А = { р 1 , р 2 , р 3 }. Если удастся доказать теперь все остальные предложения из Р в
качестве «теорем», то мы построим следующую теорию, состоящую из системы аксиом А
и 9 теорем:
Т.1. АбБ ( р 4 ):
АбБ непосредственно следует из БбА ( р 1 ) по свойству симметричности;
Т.2. БбВ ( р 7 ):
БбВ непосредственно следует из ВбБ ( р 2 ) по свойству симметричности;
Т.3. АбВ ( р 5 ):
Из АбБ (Т.1) и БбВ (Т.2) следует АбВ по свойству транзитивности;
Т.4. ВбА ( р 9 ):
ВбА непосредственно следует из АбВ (Т.3) по свойству симметричности;
Т.5. Ø ВбГ ( р10 ):
Существует две возможности (исхода событий, варианта) ВбГ и Ø ВбГ, которые
несовместимы (невозможно обладать свойством и не обладать им одновременно).
Исключим одно из них. Если предположить, что имеет место ВбГ, то в силу
симметричности будет ГбВ, а это противоречит (не согласуется с исходными данными)

р 3 : Ø ГбВ. Остается второй вариант: Ø ВбГ.

36

Т.6. Ø ГбА ( р11 ):
Существует два варианта ГбА и Ø ГбА. Исключим один из них. Если предположить, что
имеет место ГбА (допущение), то из АбВ (Т.3) и свойства транзитивности будет ГбВ, а это
не согласуется с исходными данными (аксиома р 3 ): Ø ГбВ. Остается второй вариант:

Ø ГбА.
Т.7. Ø АбГ ( р 6 );
Т.8. Ø ГбБ ( р12 );
Т.9. Ø БбГ ( р 8 ).
Итак, мы построили математическую теорию. Назовем ее Т. Чем же отличается
построенная теория Т от первоначального заданного множества Р?
Во-первых, первоначальное множество Р предложений лишено всякой структуры.
Теория Т получена в результате введения в множество Р отношения следования и
выделения множества А исходных предложений (посылок). По существу Т есть
множество всевозможных следствий из системы аксиом А. Если это множество
обозначить через «Сл (А)», то Т = Сл (А) (в это множество следствий входят, разумеется, и
сами аксиомы, так как каждая из них является следствием из самой себя).
Система аксиом А и отношение следования порождают в множестве Р определенную
структуру. Эта структура изображена в виде графа на рис. 2. Это и есть структура теории
Т.

37

Рис. 2

р1

р2

р3

р4

р5

р6

р7

р8

р9

р10

р11

р12

Множество А = { р 1 , р 2 , р 3 } – не единственно возможная система аксиом, на которой
можно построить теорию для множества предложений Р. Так из множества А1 =
{ р 7 , р 8 , р 9 } также можно получить в качестве следствий все предложения множества Р.
Все эти системы аксиом или соответствующие им (построенные на них) теории
считаются эквивалентными (равносильными) в том смысле, что множества следствий из
этих систем аксиом совпадают. Это выражают следующей записью:
Сл (А) = Сл ( А1 ) = Сл ( А2 ) = …
Иными словами, эти теории состоят из одного и того же множества Р предложений, но
структуры, порождаемые в данном множестве системой аксиом и отношением
следования, различны.
Второе отличие состоит в следующем. Элементы первоначально заданного множества
предложений Р – конкретные предложения, выражающие родственные отношения между
мальчиками А, Б, В, Г.
Аксиомы и теоремы теории Т – предложения, выражающие свойства некоторого
симметричного и транзитивного отношения «б» в множестве М произвольной природы,
причем все эти свойства следуют из трех свойств, принятых за исходные. Поэтому Т
описывает не только родственные отношения между мальчиками, но и свойства любого
другого конкретного четырех элементного множества с введенным в нем симметричным и

38

транзитивным отношением, удовлетворяющим условиям, выраженных в трех аксиомах

р 1 , р2 , р3 .
Множество М мальчиков с отношением «быть братом» составляет лишь одну из
всевозможных моделей построенной нами теории.
Приведем несколько примеров других моделей этой теории. Чтобы получить из
произвольной теории модель, необходимо проинтерпретировать («про» – произвести,
«интерпретировать» – наделять конкретным смыслом ) объекты и отношения теории. В
нашем случае: объекты – А, Б, В, Г и отношение – «б».
1. Пусть А, Б, В, Г – прямые (обозначим их a, b, c, d); «б» – отношение параллельности
(||) (интерпретация состоит в том, что под исходными объектами А, Б, В, Г мы
подразумеваем прямые, под отношением «б» – отношение параллельности).
Если истинны предложения р 1 : b||a, р 2 : с||b, р 3 : Ø d||c, то будут истинными и
предложения р 4 – р12 , записанные в этой интерпретации, так как они доказаны как
теоремы общей теории, выведены из р 1 , р 2 , р 3 без всякой ссылки на какую-нибудь
конкретную модель, т.е. доказаны, исходя лишь из свойств ( р 1 , р 2 , р 3 ) и свойства
отношения «б».
2. Пусть А, Б, В, Г – алгебраические выражения; «б» – отношение тождества выражений
на некотором числовом множестве (=); это отношение симметрично и транзитивно.
Если выполняются (истинны) предложения р 1 : Б||А, р 2 : В||Б, р 3 : Ø Г||В, то будут
истинными и предложения р 4 – р12 , записанные на этом языке (в этой интерпретации).
3. Пусть теперь А, Б, В, Г – геометрические фигуры, а «б» – отношение подобия фигур
(~). Оно симметрично и транзитивно.
Если истинны предложения р 1 : Б~А, р 2 : В~Б, р 3 : Ø Г~В, то истинны и предложения

р 4 – р12 , так как они следуют из р 1 , р 2 , р 3 и это доказано один раз для любых
возможных моделей, состоящих из четырех элементного множества М с симметричным и
транзитивным отношением «б» и удовлетворяющим системе аксиом А = { р 1 , р 2 , р 3 }.
Еще одно отличие теории Т от исходного множества предложений Р состоит в
следующем. Теория Т содержит все следствия из системы аксиом А (А Ì Р). Но
множество всевозможных следствий из А не обязательно совпадает с первоначально
заданным множеством Р. Система аксиом А выбирается так, чтобы среди следствий из А
были все предложения множества Р, т.е. так, чтобы

39

Р Ì Сл(А) = Т.
Возникает вопрос: нельзя ли получить еще следствия из системы аксиом А, не
содержащиеся в Р? Оказывается, можно, так как множество предложений Р не
исчерпывает всех следствий из А. Например, можно доказать еще Т.10: АбА.
Действительно, из АбБ ( р 4 ) и БбА ( р 1 ) по свойству транзитивности следует АбА. Таким
же образом можно доказать Т.11: БбВ и Т.12: ВбВ. Иными словами, всякое симметричное
и транзитивное отношение является также рефлексивным.
Перечисленные отношения и всякие другие, подобные им, т.е. рефлексивные,
симметричные и транзитивные, называются отношениями эквивалентности.

Маленькие теории внутри большой теории.
Рассмотрим несколько достаточно простых геометрических ситуаций, изображенных на
рис. 3, и попытаемся описать их математически, т.е. с помощью математических
предложений. При этом будем исходить из наблюдения, опыта (например, можно
скопировать рисунок на лист прозрачной бумаги и согнуть определенным образом),
производить измерения.
Рис. 3.
М

А

О

В А

О

В

l

А

О

В

l

Возьмем ситуацию, изображенную на рис. 3, а. Ее можно описать следующим образом.
Мы видим, что точка О лежит на отрезке АВ, т.е.

р 1 : О Î [АВ].
Что она – середина этого отрезка (можно подкрепить это предложение измерением), т.е.

р 2 : |АО| = |ОВ|.
Используя наши знания центральной симметрии, можно также утверждать, что

40

р 3 : Z 0 (А) = В, р 4 : Z 0 ([АВ]) = [ВА].
Итак, мы получили множество из четырех предложений Р = { р 1 , р 2 , р 3 , р 4 }. Надо ли
запоминать всю эту информацию, все четыре предложения, чтобы знать все о фигуре,
изображенной на рис. 3, а?
Выясним, что из чего следует на множестве Р. Из р 1 не следует р 2 , так как точка О
может принадлежать отрезку АВ, но не быть его серединой. Из р 2 не следует р 1 , так как
точка О может быть равноудаленной от концов отрезка АВ, но не принадлежать этому
отрезку. Но из р 1 и р 2 следует р 3 (по определению центральной симметрии), а из р 3
следует р 4 .
Таким образом, можно принять в качестве исходных (локальных аксиом) предложения

р 1 и р 2 . Из них в качестве следствий получаем р 3 и р 4 . Отношение следования (в
данном случае основанное на свойствах расстояния, центральной симметрии и т.д.)
порождает в этом случае структуру порядка, изображенную на рис. 4, а.
Рис. 4.

р1

р2

р3

р4

р3

р1

а

р2
б

р4

р4

р1

р2

р3

в

Но можно в качестве исходного принять одно предложение р 3 . Из него следуют р 1 ,

р 2 и р 4 (рис. 4, б). Можно также принять в качестве исходного предложения р 4 . Из него
следуют р 1 , р 2 и р 3 (рис. 4, в). В этом простом случае (четырех предложений р 1 – р 4 ) мы
указывали все возможные способы упорядочивания с помощью отношения следования.
Для описания ситуации, изображенной на рис. 3, б, дополним множество Р
следующими предложениями:

р 5 : О Î l; р 6 : [АВ] I l = О; р 7 : [АВ] ^ l; р 8 : S l (А) = В; Î l; р 9 : S l ([АВ]) = [А В];

41

Мы получили новое, расширенное множество предложений Р 1 = { р 1 , р 2 , …, р 9 },
такое, что Р Ì Р 1 . Здесь уже возможно намного большее число различных систем
исходных предложений, каждая из которых имеет среди своих следствий все предложения
из Р 1 . Например, если в каждом из трех вариантов системы исходных предложений для
множества Р присоединить к исходным предложениям р 8 , или р 9 , или р 5 и р 7 , или р 6 и

р 7 , то получим 12 различных систем. Присоединяя к варианту, представленному на рис.
4, б, в качестве нового исходного предложения р 8 , получим структуру, показанную на
рис. 5.
Рис. 5.

р3

р1

р8

р6

р5

р4

р2

р7

р9

Нетрудно заметить, что фигура на рис. 3, в включает фигуру рис. 3 б, но содержит и
некоторые другие элементы, а именно:
точку М, лежащую на прямой l, т.е. р10 : М Î l;
отрезки МА и МВ, которые равны, т.е. р11 : [МА] = [МВ];
и симметричны относительно l, т.е. р12 : S l ([МА]) = [МВ].
Возникает предположение, что и углы МАВ и МВА равны, т.е. р13 : Ð МАВ = Ð МВА;
l – биссектриса угла М, т.е. р14 : Ð АМО = Ð ВМО;
и сам треугольник АВМ симметричен относительно l, р15 : S l ( < МАВ) = < МВА.

42

В результате получили множество предложений: Р 2 = { р 1 , р 2 , …, р15 }, причем Р

Ì Р 1 Ì Р2 .
Возникает задача, аналогичная той, которую мы решили для Р 1 , т.е надо найти такую
систему исходных предложений, среди следствий которых находились бы все
предложения из Р 2 .
Возьмем, например, систему исходных предложений А = { р 3 }, для множества Р,
систему А1 = { р 3 , р 8 } для Р 1 и присоединим к ней предложение р10 . Иными словами,
примем систему исходных предложений А2 = { р 3 , р 8 , р10 }. Так как из А1 следуют все
предложения из Р 1 , то остается доказать, что из А2 следует каждое из предложений р11 –

р15 .
Легко заметить, что

р 8 , р10 Þ р12 ;
р 8 , р10 Þ р15 ;
р12 Þ р11 ,
так как всякие симметричные фигуры равны:

р15 Þ S l ( Ð МАВ) = Ð МВА,
а S l ( Ð МАВ) = Ð МВА Þ р13 ;

р 5 , р 8 , р10 Þ S l ( Ð АМО) = Ð ВМО,
а S l ( Ð АМО) = Ð ВМО Þ р14 .
Итак, множество А2 = { р 3 , р 8 , р10 } подходит в качестве системы исходных
предложений (посылок) для получения (доказательства) всех остальных предложений
из Р 2 . Полученная структура (порожденная выбором системы исходных предложений А2
и отношением следования) изображена на рис.6.

43

Рис. 6.

р3

р8

р10

р1

р2

р4

р5

р6

р7

р9

р11

р13

р12

р14

р15

В доказательствах предложений р11 – р15 (которые мы опустили) тоже используются
ранее уже известные геометрические факты, например определения осевой и центральной
симметрии, равенства фигур, свойства этих понятий.
Таким образом, мы построили «маленькую» теорию, описывающую фигуру,
изображенную на рис. 3, в (равнобедренный треугольник), в рамках «большой»
геометрической теории, некоторые аксиомы, определения и теоремы которой мы уже
знаем.
Для множества Р 2 (так же как для Р или Р 1 ) можно, разумеется, выбрать различные
системы исходных предложений. Наряду с А2 можно, например, выбрать А3 = { р 3 , р 5 ,

р12 } или А4 = { р 3 , р 5 , р 7 , р10 }, А5 = { р 3 , р 8 , р12 } или А6 = { р15 } и т.д.
Важно заметить, что каждая система определяет вариант теории равнобедренного
треугольника. Сколько вариантов исходных систем предложений, а стало быть и теорий,
столько возможных определений равнобедренного треугольника. Так, треугольник –
равнобедренный, если:

А2 ® две вершины симметричны относительно прямой, проходящей через третью
вершину;

44

А3 ® две стороны симметричны относительно прямой, на которой лежит медиана,
опущенная на третью сторону;

А4 ® медиана и высота, опущенные из одной вершины, совпадают;

А5 ® две стороны равны;
А6 ® имеется ось симметрии и т.д.
Все эти определения с точки зрения геометрии равносильны, так как относятся к
одному и тому же классу фигур (равнобедренных треугольников). Обычно в школьных
учебниках выбирается определение, соответствующее А5 . Этот выбор уже связан с
педагогическими соображениями (равенство двух сторон – свойство наглядное, оно и
принимается за определяющее, исходное для построения теории этого класса фигур).

Что такое аксиомы.
Мы видели на примерах, что упорядочение множества предложений, описывающих
некоторую конкретную ситуацию, или построение какой-либо теории неизбежно связано
с выделением системы исходных предложений, посылок или «локальных аксиом».
Из школьного курса известно, что вся геометрия строится на базе определенной
системы аксиом.
Обычно о каком-нибудь предложении, истинность которого очевидна, говорят, что это
– аксиома. В математике термин «аксиома» имеет совершенно иной смысл. Не
доказывается аксиома совсем не потому, что очевидно истина и не требует
доказательства. Можно привести сколько угодно примеров теорем, не менее очевидных,
чем аксиомы, из той же области математики, но которые доказываются. Почему же они
требуют доказательства, а аксиомы не требуют?
Например, предложение «две различные прямые могут иметь не более одной общей
точки» доказывается как теорема, хотя истинность его не менее очевидна, чем истинность
предложения «через две различные точки проходит точно одна прямая», которое обычно
принимается за аксиому и не доказывается.
Вообще, характерной особенностью математики является то, что все ее предложения
«требуют» доказательства, так же как и все ее понятия «требуют» определения. Мы уже
говорили о том, что с помощью определений одни понятия сводятся к другим, а эти
последние еще к другим и т.д. Этот процесс не может быть бесконечным, поэтому
некоторые исходные (первоначальные) понятия принимаются без определения. С

45

помощью доказательства (метода получения одних предложений из других) одни
математические предложения также сводятся к другим, а эти последние еще к другим и
т.д. Этот процесс тоже не может быть бесконечным, так как теория содержит конечное
число предложений. Поэтому в каждой математической теории некоторые предложения
объявляются исходными (первоначальными) и принимаются за истинные без
доказательства. Эти исходные предложения и называются аксиомами.
Рассмотрим для примера теорему о транзитивности отношения параллельности прямых
на плоскости. Пусть а, b, c – три прямые на одной плоскости. Докажем, что а||b и b||c

Þ а||с. (Мы будем исходить из определения, включающего совпадение прямых как
частный случай их параллельности.)
Представим доказательство в виде схемы, выявляющей последовательность шагов и
облегчающей анализ (рис. 7). Пользуясь этой схемой, проведем анализ доказательства.
Нам надо доказать параллельность прямых а и с, исходя из условий: а||b и b||c.
Относительно прямых а и с можно сделать два исключающих друг друга предположения:
а) прямые а и с совпадают (а = с);
б) прямые а и с различны (а ¹ с).
Рис. 7.

а||b и b||c Þ а||с

а=с

1

а≠с
1

а||с
2

Доказать: а ∩ с = Ø

д. к. д: а||b и b||c и а ∩ с ≠ Ø

3 а ≠ с и а ∩ с ≠ Ø Þ $ В (а ∩ с = В)
4 $ а, с (а ≠ с и В Î а и В Î с и а||b и
(Противоречие, теорема доказана)

46

Если прямые совпадают (а), то они параллельны (согласно определению), и теорема
доказана. Если прямые а и с различны (б), то они либо параллельны, либо имеют общие
точки. По-другому говоря, в случае (б) имеем два исключающих друг друга
предположения:
б.1) а и с не имеют общих точек (параллельны);
б.2) а и с имеют общие точки (не параллельны).
Чтобы доказать параллельность а и с (б.1), надо доказать:
а I с = Ø,

(1)

т.е. надо показать, что б.2. не выполняется (не имеет места).
Предположим, что выполняется б.2:
а||b и b||c и а I с ¹ Ø.

(2)

По известной теореме о том, что две различные прямые не могут иметь более одной
точки В и предположения (допущения) б.2 получаем:
а I с = В.

(3)

Из предположения (3) мы получаем, что существуют две различные прямые а и с,
проходящие через точку В и параллельные прямой b:
В Î а и В Î с и а ¹ с и а||b и c||b.

(4)

Предложение (4) противоречит аксиоме параллельности прямых, утверждающей, что
через точку проходит только одна прямая параллельная данной. Это доказывает
несовместимость предположения б.2 и аксиомы параллельности.
В процессе доказательства мы ссылались на определение параллельности прямых, на
теорему о том, что две различные прямые не могут иметь более одной общей точки, а
также использовали предложение «c||b», хотя по условию теоремы b||c. Иными словами,
мы неявно воспользовались свойством симметричности отношения параллельности,
которое, несмотря на очевидность, должно быть доказано, так как не числится среди
аксиом геометрии.
Теорема о том, что две различные прямые не могут иметь более одной общей точки,
доказывается способом от противного очень просто. Для этого рассматривается два
варианта (возможности), которые исключают друг друга, но в то же время одна из них
обязательно выполняется:
а) две различные прямые имеют одну общую точку;
б) две различные прямые имею две или более общих точек.

47

Не следует забывать о том, что рассматривается случай на плоскости. Будем
действовать методом исключения. Если нам удастся исключить один из вариантов
(событий), то будет иметь место другой вариант. Предположим, что имеет место быть
вариант б. Это, в свою очередь, означает, что через две (или более) точки А и В могут
проходить две различные прямые а и b. Но это противоречит аксиоме о единственности
прямой, проходящей через любые две точки. Итак, вариант б не согласуется
(противоречит) этой аксиоме. Исключив его, оставляем вариант а.
Теорема о симметричности отношения параллельности:
а||b Þ b||а
непосредственно следует из определения параллельности
а||b ÛDf $ р (а Ì р и b Ì р) и (а I b = Ø или а = b),

(5)

где р – это плоскость, содержащая прямые а и b. Это определение задает, что а и b
удовлетворяют двум отношениям: лежать в одной плоскости и не иметь общей точки.
Из этих отношений видно, что они симметричны, например, если а и b не имеют общей
точки, то b и а также не имеют общей точки:
а не имеет общей точки с b Û b не имеет общей точки с а.
Т.е. в правой части равенства (5) можно поменять местами а и b, и, как следствие,
поменять местами и в левой части равенства. Коротко это выражают так, симметричность
отношений влечет симметричность отношения, построенного на них:
а||b Þ b||а.
Необходимо отметить, что рассмотрение свойства симметричности отношения – как
результат построения из других отношений, е рассматривается в рамках геометрии и
представляет собой предмет другой теории (теории отношений), которая предшествует
геометрии. То же относится и к отношениям «=» и « I » (последнее отношение
рассматривается в теории множеств).
Таким образом, ограничиваясь только геометрическими предложениями, получаем
схему процесса сведения теоремы о транзитивности параллельности прямых (рис. 8):

48

Рис. 8.
Теорема о транзитивности
параллельности прямых

Определение
параллельности прямых

Теорема: две различные
прямые не могут иметь
более одной точки

Теорема о
симметричности
параллельности прямых

Аксиома о единственности
прямой, проходящей через
две различные точки

Аксиома
параллельных

Итак, аксиомы – исходные предложения теории и именно поэтому они не доказуемы
(не доказываются), не выводимы из других предложений этой теории. Они принимаются
за исходные истинные предложения. Все остальные предложения теории доказываются,
т.е. их истинность устанавливается с помощью доказательств, в которых используются
уже известные истинные предложения: ранее доказанные теоремы, аксиомы и
определения (истинные в силу того, что они приняты за определения).

Связь между исходными понятиями и исходными предложениями.
Какова же связь между исходными понятиями и исходными предложениями
(аксиомами)? Аксиомы выражают свойства исходных понятий или отношения между
ними и это все, что мы первоначально знаем об этих понятиях, и только этим мы имеем
право пользоваться в доказательствах теорем. Можно сказать, что аксиомы –
своеобразные косвенные определения исходных понятий.
Например, все, что мы знаем первоначально об отношениях между исходными
геометрическими понятиями «точка» «прямая», заложено в трех аксиомах
принадлежности:
1. Каждая прямая есть множество точек;
2. Для любых двух точек существует одна и только одна содержащая их прямая;
3. Существует хотя бы одна прямая; каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка.
В этих аксиомах выражена лишь минимальная информации, достаточная, однако, для
доказательства других свойств, которые мы интуитивно представляем. Например, мы

49

полагаем, что каждой прямой принадлежит не одна, а бесконечное множество точек. Но,
оказывается, это предложение может быть доказано. Правда, трех перечисленных аксиом
для этого еще недостаточно. Если построить маленькую теорию, основанную на этих трех
аксиомах (геометрию принадлежности), то она описывает и такие системы точек и
прямых, которые состоят из одной прямой и двух точек, или из трех точек и трех прямых,
из четырех точек и шести прямых и т.д. Например, назовем числа 0 и 1 точками, а
множество {0, 1} – прямой. Нетрудно убедиться в том, что все три аксиомы 1 – 3
выполняются (истинны) в этой системе объектов, состоящей из двух «точек» (0 и 1) и
одной «прямой» ({0, 1}).
Действительно, прямая {0, 1} – есть множество точек, т.е. аксиома 1 выполняется
(правда, прямая {0, 1} состоит всего из двух точек, но ведь аксиома не содержит никаких
требований относительно количества точек прямой).
Аксиома 2 утверждает, что для любых двух точек существует одна и только одна
содержащая их прямая. В нашей системе объектов всего две точки (0, 1) и существует
одна и только одна содержащая их прямая {0, 1}.
И, наконец, существует хотя бы одна прямая (в нашей системе одна – {0, 1}) и каждой
прямой принадлежит хотя бы одна точка (прямой {0, 1} принадлежат две точки).
Итак, аксиомы 1 – 3 выполняются в нашей системе объектов. Поэтому последняя
называется моделью системы аксиом 1 – 3.
Рассмотренные аксиомы могут выполняться и в других системах объектов, т.е. система
аксиом 1 – 3 может иметь и другие модели. Например, пусть D и ^ – «точки», а
множество { D , ^ } – «прямая». Опять выполняются аксиомы 1 – 3.
Не следует удивляться тому, что «точками» и «прямыми» здесь названы не те объекты,
к которым мы привыкли в школьной геометрии. Ведь «точки» и «прямые» – исходные,
неопределяемые понятия (см. ниже). Нигде не сказано, что они обязательно должны быть
объектами той природы, к которой мы привыкли.
Разумеется, те точки и прямые, которые изучаются в геометрии с древнейших времен,
удовлетворяют аксиомам 1 – 3; для них, собственно говоря, и сформулированы эти
аксиомы. Но с современной точки зрения они составляют лишь одну из моделей системы
аксиом 1 – 3.
Мы исследовали модели, содержащие всего две точки и одну прямую. Возьмем модель,
содержащую три точки и три прямые.
Пусть {0, 1, 2} – «точки», а {0, 1}, {1, 2},{0, 2} – «прямые». В этой системе «точек» и
«прямых» выполняются аксиомы 1 – 3.

50

Но если в какой-нибудь системе объектов выполняются аксиомы 1 – 3, то в ней
выполняются и все следствия из этих аксиом. Например, в приведенной модели
выполняется и теорема «две различные прямые имеют не более одной общей точки»,
доказуемая уже на базе этих аксиом.
Действительно, {0, 1} I {1, 2} = 1; {1, 2} I {0, 2} = 2; {0, 1} I {0, 2} = 0. Как видно,
в этой модели всякие две различные прямые имеют точно одну общую точку.
Если возьмем четыре «точки» – 0, 1, 2, 3 и шесть прямых {0, 1}, {0, 2},{0, 3}, {1, 2}, {1,
3},{2, 3}, то в этой модели существуют и такие прямые, которые не имеют общих точек.
Например, прямые {0, 1} I {2, 3} = Ø, {0, 2} I {1, 3} = Ø параллельны. Следовательно,
в этой модели всякие две различные прямые имеют не более одной общей точки (т.е. ни
одной или только одну).
Таким же путем можно построить и другие конечные модели (состоящие из конечного
числа точек и прямых) системы аксиом 1 – 3.
Если эту систему дополнить другими аксиомами, необходимыми для получения в
качестве следствий всех теорем геометрии плоскости, то такая «полная» система аксиом
геометрии уже не допускает конечных моделей. Из нее следует существование
бесконечного множества точек, принадлежащих каждой прямой, и бесконечного
множества прямых, лежащих в плоскости.
Добавим к аксиомам 1 – 3 аксиому 4:

4 1 . Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой (ни
одной или только одна), параллельной данной.
Маленькая теория, построенная на аксиомах 1 – 4 1 называется евклидовой геометрией.
Модель, состоящая из четырех точек и шести прямых, является примером конечной
евклидовой геометрической модели.
Рассмотрим вместо аксиомы 41 аксиому 42 :

42 . Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит несколько прямых (две или
более двух) параллельных данной.
Маленькая теория, построенная на аксиомах 1 – 42 называется геометрией
Лобачевского (неевклидовой геометрией). Модель, состоящая из пяти точек и десяти
прямых (пять «точек» – 0, 1, 2, 3, 4 и десять прямых {0, 1}, {0, 2},{0, 3}, {0, 4}, {1, 2}, {1,
3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}) является примером конечной неевклидовой
геометрической модели.

51

Действительно, возьмем «точку» 0 и «прямую» {1, 3}. Точка 0 принадлежит двум
прямым {0, 1}, {0, 4}, которые не имеют общих точек с прямой {1, 3}. По-другому говоря,
через точку 0 проходят две прямые ({0, 1} и {0, 4}), параллельные данной прямой ({2, 3}).
Аксиомы 4 1 и 42 – несовместимы, поскольку выражают несовместимые предложения
(в случае 4 1 имеем не более одной прямой, а в случае 42 – более двух прямых).
Таким образом, добавляя различные аксиомы к аксиомам 1 – 3, мы получаем различные
расширения геометрии принадлежности. Обозначим через В 1 теорию, построенную на
аксиомах 1 – 4 1 . В ней истинно (является теоремой) утверждение: через точку, не
принадлежащую данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную
данной (обозначим это утверждение через А). Обозначим через В 2 теорию, построенную
на аксиомах 1 – 4 2 . В ней истинно (является теоремой) утверждение: через точку, не
принадлежащую данной прямой, можно провести не менее двух прямых, параллельных
данной (обозначим это утверждение через С). Исходя из смысла утверждений А и С,
получается, что одно из них получается отрицанием другого:
С = Ø А.
Итак, теории В 1 и В 2 содержат несовместимые утверждения (соответственно А и Ø А).

Что же такое аксиоматический метод?
Описанный выше порядок в множестве понятий и предложений порождается
аксиоматическим построением математических теорий. Что это означает?
В наших примерах мы шли как бы обратным путем, к началу теории: от определяемых
понятий – к исходным, неопределяемым; от теорем (доказываемых предложений) – к
аксиомам, т.е. к исходным истинным предложениям, принимаемым без доказательства.
Аксиоматическое же построение какой-нибудь теории осуществляется по следующей
схеме:
1) перечисляются исходные понятия;
2) формулируются исходные истинные предложения (аксиомы), принимаемые без
доказательства, выражающие основные свойства и отношения исходных понятий;
3) на основе исходных понятий определяются все остальные понятия;
4) на основе аксиом и определений доказываются все остальные предложения (теоремы)
теории.

52

Отметим, что в доказательствах разрешается использовать, кроме аксиом и
определений, также и другие предложения, если только они ранее уже доказаны. Точно
так же в определениях понятий разрешается использовать, кроме исходных, и другие
понятия, если только они ранее уже определены. Таков порядок устанавливаемый
аксиоматическим методом.
Аксиоматический метод построения математических теорий возник в древнегреческой
геометрии. Наибольшую известность он получил благодаря знаменитым «Началам»
Евклида, относящимися к III в. до н.э. В них Евклид систематизировал почти весь
геометрический материал, известный к тому времени, объединил и систематизировал
разрозненные геометрические факты. Система Евклида многие столетия считалась
образцом логически стройного построения геометрической теории. Однако, с течением
времени само понятие аксиоматического построения теории претерпело столь
существенные изменения и настолько развилось, что евклидово построение геометрии
стало выглядеть несовершенным опытом в этой области. Так, принятая Евклидом система
исходных предложений оказалась недостаточной для строгого вывода из нее всех теорем
геометрии. Поэтому евклидовские доказательства не являются строгими в современном
смысле этого слова, в них отдельные звенья заменены ссылкой на наглядность чертежа, а
по существу на предложения, которые не только ранее не доказаны, но даже явно не
сформулированы. Только в конце XIX в. немецкий математик Д. Гильберт впервые
сформулировал достаточную для строгого построения евклидовой геометрии систему
аксиом.
Кроме того, Евклид с самого начала давал описания исходных понятий, таких,
например, как точка, прямая, плоскость. Эти описания, разумеется, не являются
математическими определениями, хотя, по своей форме похожи на определения. Они
привязывают геометрическую теорию к одной определенной системе объектов,
описанием которой она является. Говорить здесь о других моделях теории не имеет
смысла.
Сам «логический вывод» теорем из аксиом и логические средства доказательства у
Евклида не были уточнены.
Дальнейшее развитие аксиоматического метода шло по двум направлениям. Во-первых,
его взяли на вооружение другие математические теории. Во-вторых, в самой геометрии
возникла необходимость глубокого исследования ее оснований, что привело к
дальнейшему развитию аксиоматического метода. Эта необходимость связана с
построенной Лобачевским первой неевклидовой геометрической системы (конечной

53

неевклидовой геометрии, основанной на аксиомах 1 – 4 2 ). Спустя несколько лет такие же
результаты получили Больяй – венгерский ученый и еще ряд математиков.
Сама идея о возможности существования другой геометрической теории, отличной от
евклидовой и описывающей свойства реального пространства, только в других,
недоступных нашему непосредственному опыту, масштабах, идея, впервые понятая
гениальными учеными Лобачевским и Больяй, настолько опередила уровень науки того
времени, что многие видные ученые, их современники, считали построенную ими систему
ошибочной и внутренне противоречивой.
В связи с этим и возникла проблема непротиворечивости аксиоматической системы,
т.е.е встал вопрос об отсутствии противоречия внутри системы или невозможности двух
теорем вида А и Ø А, из которых одна отрицает другую (см. выше).

Требование непротиворечивости.
Требование непротиворечивости – основное из требований, предъявляемых ко всякой
аксиоматической теории. Противоречивая теория, т.е. такая, в которой доказуемы два
предложения А и Ø А, не различает истину и ложь. В ней можно доказать что угодно:
если из системы аксиом можно вывести два следствия А и Ø А, то можно получить в
качестве следствия и любое предложение, выражаемое на языке этой теории, и истинное,
и ложное. Очевидно, что противоречивая теория несостоятельна, поскольку она не
описывает никакой реально существующей системы объектов. Действительно, ни один
объект не может обладать свойством (выражаемым предложением А и в тут же не
обладать им – выражение Ø А).
Лобачевский был убежден в непротиворечивости разработанной им геометрической
теории, но он этого не доказал. Убеждение великого геометра получило окончательное
подтверждение в работах Клейна, Бельтрами, Пуанкаре и др., в которых были построены
модели геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости, т.е. в объектах евклидовой
геометрии. Этим было доказано, что геометрия Лобачевского непротиворечива, если
непротиворечива евклидова геометрия, или что противоречие в геометрии Лобачевского
имело бы своим следствием противоречие и в евклидовой геометрии.
Так возник метод моделей для сведения непротиворечивости одной математической
теории к другой: неевклидовой геометрии – к евклидовой, евклидовой геометрии – к
арифметике вещественных чисел, арифметики вещественных чисел – к арифметике

54

натуральных чисел, арифметики натуральных чисел – к теории множеств. Следовательно,
методом моделей проблема непротиворечивости математических теорий может быть
сведена к непротиворечивости теории множеств. А в последней были обнаружены
противоречия, получившие впоследствии название «парадоксов», или «антиномий»
теории множеств. Естественно, сами по себе они там не возникли: их появление стало
причиной введения методов (схем), приводящих к парадоксам, т.е. причина крылась в
уровне математической культуры математиков.
Для устранения парадоксов сама теория множеств была аксиоматизирована. Но как
доказать непротиворечивость аксиоматической теории множеств?
Если построить модель этой теории в объектах какой-нибудь другой математической
теории, это приведет к порочному кругу, так как непротиворечивость этой другой теории
в конечном итоге сводима к непротиворечивости теории множеств.
Непосредственная проверка списка теорем теории с целью обнаружения или
установления отсутствия двух теорем вида А и Ø А также безнадежна, так как нет
никакой уверенности в том, что уже имеющийся список доказанных теорем исчерпывает
все теоремы данной теории. Возможно, через некоторое время после окончания перебора,
установившего отсутствие противоречия, будет доказана новая теорема, представляющая
собой отрицание одной из ранее доказанных теорем, вошедших в проверенный список.

Два направления решения проблемы непротиворечивости.
В поисках выхода было намечено два направления.
Направление первое заключалось в следующей схеме «понятие – объект – множество»:
1) точное определении термина «понятие»;
2) качественное (точное) описание исходных понятий: «множество», «элемент
множества», «принадлежать».
3) однозначная процедура перехода от понятия к объекту и – наоборот;
Развитие в этом направлении не получило широкого распространения по причинам,
которые будут рассмотрены ниже. Во второй части этой книги мы пойдем именно этим
путем: методом детального анализа аксиом теории множеств будут выявлены свойства и
отношения исходных понятий, необходимые и достаточные для ее построения как
непротиворечивой теории, а с другой стороны – будет достигнута невозможность
получения парадоксов внутри теории. Результатом такого подхода станет конструктивная

55

теория множеств, избавленная от парадоксов, ложных утверждений и определений,
приводящих к антиномиям (парадоксам).
Второе направление заключалось в предложенном Гильбертом построении
математических теорий в виде формальных аксиоматических теорий (формальных
систем), в которых само понятие доказательства (следования) должно быть точным
понятием, единым для всех теорий.
Хотя дальнейшие исследования показали невозможность реализации этого замысла,
названного впоследствии программой Гильберта, он оказался стимулом для дальнейшего
развития аксиоматического метода и исследования оснований математики.
Действительно, к тому времени уже было известно, что понятие «следствие»
(отношение следствия) обладает в различных теориях различными свойствами. Так,
например, отношение следования для высказываний (предикатов) является рефлексивным
отношением, в то время как отношение следования, построенное на отношении «строго
меньше», таким свойством не обладает. Это означает, что невозможно построить
идеального отношения следования (идеального понятия «следствие», а вместе с тем и
идеального понятия «доказательство»), которое бы было универсальным, т.е. годилось в
любой теории.

Типы аксиоматических теорий.
В более чем двухтысячелетней истории аксиоматического метода различают три
направления развития и соответственно три типа аксиоматических теорий:
1. Содержательная (или неформальная) аксиоматическая теория, подобная евклидовой, в
которой исходные понятия с самого начала связываются с определенными интуитивными
представлениями, а «логические средства вывода» теорем из аксиом и ранее уже
доказанных теорем не фиксируются, действует здравый смысл и конструктивные
построения.
2. Появление различных моделей геометрии Лобачевского – Больяй в объектах
евклидовой геометрии уже означало отход от идеи содержательной аксиоматической
системы: в различных моделях одной и той же аксиоматической теории значения
исходных терминов различны, хотя логическая структура остается неизменной. Это
приводит к мысли о независимости логической структуры теории от значений исходных
терминов, и, следовательно, о возможности описания с помощью одной теории целого
класса однородных структур, обладающих одинаковыми свойствами, выраженных в

56

аксиомах и теоремах теории. Таким образом, возникло новое понимание аксиоматической
теории, характеризующее другое направление развития аксиоматического метода.
Гильберт начинает свое построение геометрической теории («Основания геометрии»)
со слов «Мы мыслим три системы вещей. Вещи первой системы назовем точками; вещи
второй системы назовем прямыми; вещи третьей системы назовем плоскостями». Природа
точек, прямых и плоскостей так же, как и смысл отношений, в которых они могут
находиться, несущественна для построения теории. Значения исходных терминов можно
брать какими угодно, лишь бы выполнялись принятые аксиомы.
Теорию, подобную гильбертовской аксиоматической теории евклидовой геометрии,
называют полуформальной аксиоматической теорией. «Полуформальной» потому, что в
ней схема получения одних утверждений из других (логика), используемая в
доказательствах теорем, как и в содержательной (неформальной) аксиоматической теории,
не фиксируется (не формализована). После перечисления исходных понятий и аксиом
действует опять же здравый смысл (интуитивная логика) и конструктивные построения.
Само же понятие «доказательство» остается на уровне интуитивных понятий
(конструктивных построений).
3. Программа Гильберта предусматривала дальнейший шаг в формализации
аксиоматической теории, а именно фиксирование логики, используемой в доказательствах
теорем, с помощью системы логических аксиом и правил вывода, иными словами,
превращения интуитивного понятия доказательства в точное математическое. Так
возникла формальная аксиоматическая теория.
Попытка фиксирования логики состоит в фиксировании свойств отношения следования,
или как его еще называют логического следования. Здесь необходимо отметить, что
невозможно зафиксировать (определить, назначить) раз и навсегда свойства этого
отношения, поскольку единственное свойство, которое является общим для всех
отношений следования, это свойство транзитивности. Остальные же свойства
определяются в зависимости от описываемой системы объектов. Это одна из причин
невозможности реализации программы Гильберта.
Во второй части этой книги будут реализованы первые два направления
(содержательный и полуформальный).

57

Часть вторая.
Объект и множество.
Предмет – конкретное явление, воспринимаемое как нечто существующее особо, как
субстанция, как вместилище каких-нибудь свойств или качеств, на что направлена
деятельность познания, источник деятельности.
Свойство – категория, выражающая ту сторону предмета, которая обуславливает его
различие или общность с другими предметами и обнаруживается в отношении к ним.
Данные – сведения, обстоятельства, служащие для какого-нибудь вывода или решения.
Объект – набор (совокупность) свойств и их данных.
Например, некоторые свойства и их данные меди:
температура плавления 1084 С,
температура кипения 2560 С,
плотность при 20С 8890 кг/м3,
теплопроводность при 20С 390 Вт/(мК), и т.д.
Здесь свойства: плавление, кипение, плотность при 20 С, теплопроводность при 20 С; а
их данные, соответственно: 1084 С, 2560 С, 8890 кг/м3, 390 Вт/(мК).
Операция – какое-либо действие.
Понятие – обобщенное имя, которое определяется объемом и содержанием; объем –
совокупность объектов, охватываемых данным понятием; содержание – совокупность
свойств, характеризующих это понятие (объект из объема).
По-другому говоря, совокупность обобщённых, отражённых, в понятии объектов
называется объёмом понятия, а совокупность существенных признаков, по которым
обобщаются и выделяются объекты в понятии, – его содержанием.
В определение понятия входит раскрытие его содержания, т.е. совокупности свойств,
характеризующих это понятие. Так, например, содержанием понятия «параллелограмм»
является: геометрическая фигура, плоская, замкнутая, ограниченная четырьмя прямыми,
имеющая взаимно параллельные стороны; а объём – совокупность всех возможных
параллелограммов. Содержанием понятия «треугольник» является совокупность свойств:
три стороны, три вершины, три угла, каждые две стороны имеют общую вершину; а объем
– совокупность всевозможных треугольников. Задавая для свойств их данные, получают
конкретные объекты: параллелограммы и треугольники.

58

Рассмотрим, например, инструмент чертежный треугольник. Он обладает следующими
свойствами: три стороны, соединенные попарно между собой, их длины, три вершины,
три угла, материал (пластик, дерево, железо), цвет, шероховатость сторон и т.д. Если
рассматривать его в рамках элементарной плоской геометрии, то достаточна лишь часть
свойств и их данных: 1) три стороны и их длины, 2) три вершины, 3) три угла и их
значения, 4) каждые две стороны имеют общую вершину. Указанная совокупность из
четырех свойств и их данных – это объект, который (в соответствии с понятием
«треугольник») называется треугольником.
Понятия описывают: предметный мир (окружающий нас), логические операции,
абстрактные модели, фантазии (на стадии предварительного моделирования, т.е. создания
модели). Понятия могут являться исходными данными при создании теории.
В качестве исходных данных в начале создания теории (модели) разработчик должен
описать: понятия, объекты, отношения между объектами и операции над объектами.
Сначала вводят понятия, затем – объекты путем наделения свойств их данными, а в
заключение – отношения и операции. Если этого не сделать, то получаются бесполезные
манипуляции, которые приводят к бессмысленным результатам: парадоксам и ложным
утверждениям (например, операции, предназначенные для объектов, применяют к
понятиям и т.д.).
Пусть даны какие-нибудь объекты b, с, е. Механизм (операция) рассмотрения этих
объектов совместно (одновременно) обозначается так:
{b, с, е},
где фигурные скобки означают результат применения этой операции, причем порядок
объектов или количество повторений объекта в записи не имеют значения:
{b, с, е} = {b, е, с, b}.
Исследуем результат этой операции. {b, с, е} определяется свойствами: является
результатом операции совместного рассмотрения, количественным составом,
качественным составом; и их данными, соответственно: – ; 3; b, с, е. При записи данных
употреблен символ «–» по следующей причине. Свойства разделяют на два вида: не
обладающие интенсивностью и поэтому не могущие ее менять (например, металлический,
деревянный и т.д.) и обладающие в предмете определенной интенсивностью, которая
может быть большей или меньшей (например, масса, температура, скорость и т.д.).
Свойство «быть результатом операции одновременного рассмотрения» не обладает
интенсивностью, т.е. не меняется. Это и выражено прочерком «–». Таким образом,
{b, с, е} определяется свойствами и их данными, т.е. является объектом.

59

Для обозначения объектов такого типа обычно используются строчные буквы,
например:
А = {b, с, е}.
Например, молочная сухая смесь представляет собой множество со следующими
свойствами: результат операции совместного нахождения (рассмотрения), количество
составляющих, качество составляющих (жиры, белки, углеводы); и их данными,
соответственно: – ; 3; 15 %, 29 %, 59,3 %.
Назовем операцию совместного рассмотрения множеством. Для чего вводится эта
операция? Операция множества применяется всякий раз, когда необходимо применить
какое-нибудь действие, требующее одновременного присутствия всех (или какой-либо
части) исследуемых объектов. Возьмем, например, любые три числа 2, 4, 8.
Одновременное рассмотрение этих чисел используется для нахождения их: общего
делителя или кратного, суммы или произведения, наибольшего или наименьшего и т.д.
Назовем объект, полученный в результате операции множества, также множеством.
Это не приведет к недоразумению, поскольку из контекста всегда будет ясно, о чем идет
речь: если даны исходные объекты и к ним применена операция множества, то результат
операции определяется и записывается однозначно.
Объекты b, с, е, к которым применена операция множество, называют элементами
множества {b, с, е}.
Особо надо отметить, что запись «{x, y, z}», где x, y, z – переменные для объектов
(вместо этих переменных подставляются объекты) является понятием со следующим
содержанием: совместное рассмотрение трех объектов; и объемом: совокупность всех
трехэлементных множеств. По-другому говоря, эта запись является алгебраической
формой записи «трех элементное множество», т.е. записи «{x, y, z}» и «трех элементное
множество» выражают одно и то же понятие (являются синонимами).
Таким образом, изучение предметного мира осуществляется посредством
моделирования в рамках конкретных теорий с помощью понятий и объектов, и другого
способа создания моделей пока не существует.

60

Графическое изображение множеств.
При изучении множеств помимо алгебраической записи (с использованием фигурных
скобок) используются и другие графические способы представления множеств.
Рассмотрим наиболее распространенные из них на примере множества {b, с, е}.
Таблица.
0

1

2

1

c

b

2

e

с

Эта таблица содержит числа в первых столбце и строке, указывающие на их номера, а
на пересечении занумерованных строк и столбцов располагаются объекты: b, с, е.
Таблица обладает следующими свойствами: количество клеток, порядок среди клеток и
их содержимое (например, (1, 2; b) – клетка, расположенная на пересечении первой
строки и второго столбца, содержащая b), набор объектов для заполнения клеток; и их
данными, соответственно: 9; (0, 0; 0), (0, 1; 1), (0, 2; 2), (1, 0; 1), (1, 1; с), (1, 2; b), (2, 0; 2)
(2, 1; е) (2, 2; с); 0, 1, 2, b, с, е. Таким образом, таблица (как объект) отличается от
множества (как объекта) как по свойствам, так и по их данным.
Представление множества в табличном виде не приведет к недоразумению, если
помнить, что множество определяется исключительно объектами, из которых оно
образовано. Рассматривая таблицу как множество, необходимо исключить такие свойства
как порядок среди клеток (порядок среди строк и столбцов), способ расположения
объектов по клеткам и т.д. – т.е. исключить все свойства, которыми множество как объект
не обладает.
Диаграмма.

Диаграмма может представлять собой эллипс (или любую другую геометрическую
фигуру), где выбор фигуры определяется удобством рассмотрения. Каждой фигуре внутри
данного эллипса (треугольнику, квадрату, кругу) соответствует один из элементов
множества {b, с, е}. Диаграмма обладает свойствами: эллипс, тип фигур внутри эллипса,
их количество, цвет, взаимное расположение; их данными, соответственно: 3 см. – малая
ось, 7 см. – большая ось; треугольник, квадрат, круг; 3; зеленый, белый, синий;

61

треугольник – слева, квадрат – выше всех, круг – справа. Здесь вместо цвета «зеленый»
надо было указать его номер, к понятию «треугольник» – добавить размеры этого
треугольника и т.д. Все эти неточности использовались для краткости записи данных.
Диаграмма (как объект) отличается от множества (как объекта).
Рассматривая диаграмму как множество, необходимо исключить все свойства,
которыми множество не обладает: способ расположения изображений, их цветовые и
геометрические характеристики и т.д.
Вообще, объекту, изображенному графически, не должно приписывать ни одного
свойства действительных изображений, кроме тех, которыми обладает исследуемый
объект. Графическое представление множества (в виде таблицы рисунка, графика,
диаграммы и т.д.) осуществляется с целью представить множество в форме, более
наглядной и с большей легкостью применимой к рассматриваемой задаче, чем форма,
использующая чисто алгебраические символы (фигурные скобки, запятые, объекты или их
обозначения).

Подмножества.
Если а, является элементом множества А, то говорят также, что а принадлежит этому
множеству (а входит в множество А, является представителем этого множества,
содержится в нем), и записывают это так:
а Î А.
В отношении же множества А говорят, что оно содержит элемент а. Символ Î вводит
среди объектов и множеств отношение «принадлежать» («быть элементом», «состоять в
множестве»).
Обычно множество обозначают посредством перечисления его элементов, заключенных
в фигурные скобки. Если множество содержит большое количество элементов, то,
обычно, записывают некоторые из них, а затем ставят знак многоточия:
А = {а, с, b, е, р…},
причем, из контекста всегда ясно, о каком множестве идет речь.
Пусть даны множества А и В. Если любой элемент из В является также элементом А, то
говорят, что множество В является подмножеством множества А (В включается в А) и
записывают так:
В Í А,

62

где символ « Í » вводит среди множеств отношение «быть подмножеством».
Например, пусть А = {а, с, b, е, р…} и В = {а, с, b}, тогда В Í А.
Используя отношение «подмножество» и объект-множество А, вводят понятие
«подмножество», объем которого состоит из всех множеств В, которые находятся в
отношении «быть подмножеством» к множеству А. Когда говорят, что В является
подмножеством, то всегда имеется такое А, что В является подмножеством множества А.
Пусть В является подмножеством А, если среди элементов А найдется такой а, что а не
принадлежит В, то говорят, что В является строго подмножеством множества А (В
строго включается в А) и обозначают так:
В Ì А,
где символ « Ì » выражает отношение «строго быть подмножеством».
Например, множество треугольников с равными сторонами (равносторонних
треугольников) образует подмножество от всего множества треугольников.
Если множества С и В содержат одни и те же элементы, то говорят, что они совпадают
или равны, и обозначают так:
С = В,
где символ «=» вводит среди множеств отношение равенства. Это отношение сообщает,
что множества по обе стороны знака равенства состоят из одинаковых элементов. В этом
случае, по сути, мы имеем дело с одним и тем же множеством, но в разных обозначениях:
в одном случае множество обозначено символом С, а в другом – символом В.
Используя отношение равенства множеств, можно определить отношение включения
через отношение строгое включение:
если С Ì В или С = В, то С Í В.

Операция объединения (суммирования) множеств.
Пусть даны два множества А и В. Множество С, содержащее элементы как множества
А, так и множества В, и только их, называют суммой множеств А и В и обозначается
символами «А U В» или «А + В»:
С = А + В = {х | х Î А или х Î В}.
Пусть даны два множества А = {1, 2, 3} и В = {3, 4, 5}. Результатом суммирования этих
множеств будет множество С:

63

С = А + В = {1, 2, 3} + {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
Операция суммы множеств ставит двум множествам А и В в соответствие третье
множество С, которое состоит из элементов множеств А и В.
Если даны три множества А, В и С, то, по аналогии, можно рассмотреть множество D,
любой элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств А, В и С и только им:
D = А + В + С = {х | х Î А или х Î В или х Î С}.
Общий случай суммы n множеств А1 , А2 , … Аn обозначается так:


n

i

= В.

i =1

n-ую сумму можно также рассмотреть как сложную операцию, которая является
последовательным (n-1 кратным) выполнением элементарной операции суммы двух
множеств.
Операция пересечения множеств.
Пусть даны два множества А и В. Множество С, содержащее элементы, которые
принадлежат одновременно А и В, и только их, называется пересечением множеств А и В и
обозначается символом «А I В»:
С = А I В = {х | х Î А и х Î В}.
Операция пересечения множеств ставит двум множествам А и В в соответствие третье
множество С, которое состоит из общих элементов для А и В.
Пусть даны два множества А = {1, 2, 3} и В = {3, 4, 5}. Результатом применения к
множествам А и В операции пересечения будет множество:
С = А I В = {1, 2, 3} I {3, 4, 5} = {3}.
Аналогично можно поступить в случае большего числа множеств. Рассмотрим
пересечение n множеств А1 , А2 , … Аn . Обозначим его так:


n

i

= В.

i =1

n-ое пересечение можно также рассмотреть как сложную операцию, которая является
последовательным (n-1 кратным) выполнением элементарной операции двойного
пересечения.
Операция разности множеств.

64

Пусть даны два множества А и В. Множество С, содержащее элементы множества А,
которые не принадлежат множеству В, называется разностью множеств и обозначается
символом «А – В»:
С = А – В = {с│для любого с, где с Î А и с Ï В}.
Операция разности множеств ставит двум множествам А и В в соответствие третье
множество С, которое состоит из элементов множества А, не принадлежащих множеству
В.
Операция разбиения множества.
Операция разбиения множества А на подмножества К 1 , К 2 , … К n определяется
следующим образом:
1. все подмножества не пусты, т.е. К i ¹ Ø для всех i = 1, 2, … n;
2. все подмножества попарно не пересекаются, т.е. К

i

I К j = Ø для всех i, j = 1, 2, … n;

i ¹ j;


n

3. объединение подмножеств составляет множество А, т.е.

i

= А.

i =1

4. результат операции разбиения: А р = { К 1 , К 2 , … К n }.
Итак, результатом применения операции разбиения к множеству А является множество

А р , элементы которого суть множества. Вместо словосочетания «множество множеств»
употребляют синонимы: «класс множеств», «система множеств», «множество классов»,
«система классов». Таким образом, понятия «класс», «множество» и «система» –
рассматриваются как синонимы.
Рассмотрим множество N 5 = {1, 2, 3, 4, 5}, т.е. множество, содержащее пять
натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5. Индекс «5» у символа N, означает, что множество N
содержит пять элементов. Разобьем это множество, например, на три класса. К первому
классу C отнесем числа 1 и 2. Ко второму классу D отнесем числа 3 и 4. К третьему классу
F – число 5:
N р = {{1, 2}, {3, 4}}, {5}}.

Такое распределение чисел по классам С, D и F удовлетворяет условиям 1 – 3.
В этом примере признаком для разбиения является следующее правило: числа 1 и 2,
принадлежат одному классу; числа 3 и 4 – другому классу; число 5 – третьему классу.

65

Множество N 5 можно разбить на подмножества и другим способом. Например:
N р = {{1, 2, 3, 4}}, {5}}.

Из определения и примеров видно, что существует много способов разбиения заданного
множества на классы. Из операции разбиения следует, что количество классов не
превосходит количества элементов разбиваемого множества, поскольку один, два и более
элементов могут попасть в один класс.
Ниже будет рассмотрен случай разбиения бесконечного множества на классы, причем,
множество А р также будет бесконечным.

Операция выбора.
Пусть дано некоторое множество А. Произведем выбор (извлечем) произвольный
элемент а из множества А. Операции выбора ставит множеству А в соответствие один из
его элементов (а).

Отношения.
При решении задач часто приходится вводить порядок между элементами какого-либо
множества (наделять множество порядком, структурой). Рассмотрим для начала
двухэлементное множество А:
А = {c, b}.

(1)

Между его элементами можно ввести отношение старшинства (важности, первичности
и т.д.). Например, назовем b первым элементом (старшим), а c – вторым (младшим),
причем, договоримся первый элемент располагать на первом месте при записи, а второй –
на втором месте:
А = [b, c],

(2)

где квадратные скобки означают, что на множестве А введено отношение старшинства
(порядка), причем, элемент b является первым, а элемент c – вторым.
Иногда над буквой «А» рисуют черту – символ проведенной операции введения порядка,
но, поскольку наличие квадратных скобок уже сообщает об этом действии, то черту не
используют.
В чем отличие между записями (1) и (2)? В записи (1) порядок элементов не имеет
значения в силу определения операции множества:
А = {c, b} = {b, c}.

66

В записи (2) изменив порядок элементов, мы получим то же множество, но уже (в силу
договоренности) с другим порядком: с старше b (с – первый, b – второй).
Исследуем запись «[b, c]». Она определяется множеством А и отношением порядка на
нем (свойством порядка). Таким образом, если в набор свойств, характеризующих объект
множество ({c, b}), добавить свойство порядка с его данными, то получится объект ([b,
c]). Добавляя в содержание понятия «множество» свойство порядка, получаем понятие
«упорядоченное множество».
Множество [b, c] с введенным на нем порядком (первого и второго элементов)
называют упорядоченной парой. Аналогично определяются упорядоченные тройки,
четверки и, вообще, n-ки – путем введения порядка на соответствующих множествах из 3ех, 4-ех и n элементов. Случай для множества из n элементов:
[ а 1 , а 2 , … а n ],
где а 1 – самый старший (первый элемент), а n – самый младший (n-ый элемент).
Характерной особенностью рассмотренного здесь порядка является то, что элементы
следуют строго один за другим в порядке старшинства (располагаются в «линию»). В
связи с этим такой порядок называют линейным порядком. Существуют и другие способы
упорядочивания элементов множества, где порядок может быть и нелинейным. Например,
рассмотрим на множестве из трех элементов А = {{а, b, c}, {а, b}, {а, c}} порядок,
продиктованный отношением «быть подмножеством»: {а, c} Ì {а, b, c}, {а, b} Ì {а, b, c}.
Такой порядок не является линейным, поскольку нельзя расположить элементы
множества А в линию так, чтобы они следовали друг за другом в порядке включения.
Если на множестве А задано некоторое отношение между любыми двумя его
элементами, то это отношение можно выразить путем записи всех упорядоченных пар [х,
у], где х находится в отношении к у. Обратно, если дано множество В упорядоченных пар,
то его можно рассматривать как задающее некоторое отношение между первым и вторым
элементами любой из этих пар. В связи с этим любое множество упорядоченных пар
называют двуместным отношением (или бинарным отношением). Отношение,
определенное множеством упорядоченных пар, обозначается тем же символом, что и само
множество этих пар. Если D – отношение и пара [х, у] Î D, то говорят, что х находится в
отношении D к у и записывают еще так: хDy.
В дальнейшем будет употребляться термин «пара» вместо «упорядоченная пара»,
причем из контекста всегда будет ясно, о чем идет речь.

67

Рассмотрим отношение «строго больше» на множестве А = {1, 2, 3}. Договоримся
размещать больший элемент на первом месте пары, а меньший – на втором:
В = {[3, 2], [3, 1], [2, 1]},
где В – множество, порожденное этим отношением.
Пусть дано множество пар:
С = {[a, b], [b, c], [a, d]}.

(3)

Множество С порождает некоторое отношение между элементами множества D = {a, b,
c, d}: а «старше» b и d, и b «старше» с.
Если отношение задано посредством множества упорядоченных пар, то множество
первых элементов этих пар называют областью определения этого отношения, а
множество вторых элементов – областью значений. Объединение области определения и
области значения дает множество, которое называется областью задания отношения.
Так в примере (3) область определения – {a, b}, область значений – {b, c, d} и {a, b, c,
d} – область задания.
Определим операцию прямого произведения двух множеств А и В как множество
упорядоченных пар:
С = А ´ В = {[х, у]│для любых х Î А и у Î В},
т.е. множество всевозможных пар, где первый элемент пары принадлежит А, а второй – В.
Если А = В, то прямое произведение называют второй степенью множества А:
2
С= А .

Аналогично определяется прямое произведение для любого числа сомножителей.
Приведем его для случая n. Пусть даны множества А1 , А2 , … Аn . Прямое произведение
этих множеств:
С = А1 ´ А2 ´ … ´ Аn = {[ а 1 , а 2 , … а n ]│для любых а 1 Î А1 , … а n Î Аn },
т.е. множество всевозможных упорядоченных n-элементных множеств (n-ок), где первый
элемент n-ки принадлежит А1 , второй – А2 и т.д.
n-ая степень определяется для случая, когда все сомножители одинаковы ( А1 = А2 = … =

Аn ).
Пусть даны два множества упорядоченных пар А и В. Композицией А и В называется
множество пар С, удовлетворяющее условию:
С = {[a, b]│если существует такое d, что [a, d] Î A, [d, b] Î B}.
Композиция А и В обозначается символом «А·В», т.е. С = А·В.

68

Функциональные отношения.
Рассмотрим теперь любое фиксированное подмножество D множества С
упорядоченных пар (D Í C).
Если D обладает следующим свойством:
из [у, а] и [у, с] следует а = с
(т.е. из равенства первых элементов любых двух пар следует равенство вторых
элементов), то говорят, что множество D является функциональным отношением и
называют для краткости функцией.
Функция порождает однозначное соответствие, при котором первому элементу пары
(аргументу) соответствует единственный (один) элемент, который является вторым
элементом пары (значение функции). По-другому говоря, у функции нет двух пар, у
которых первые элементы совпадают, а вторые – различны.
Если функция удовлетворяет условию:
из [у, z] и [х, z] следует х = у
(т.е. равенство вторых элементов любых двух пар влечет равенство первых элементов),
то ее называют взаимно-однозначной, и соответствие, порожденное этой функцией,
называют взаимно однозначным.
Если функция F – взаимно однозначна, то каждому элементу из области определения
соответствует единственный элемент из области значений и – наоборот.
Если F – функция и [х, у] Î F, то говорят, что х отображается в у и пишут:
у = F(х) или [х, F(х)].
Пусть F – функция, где А – ее область определения, а В – множество ее значений. В
этом случае говорят, что F отображает множество А на множество В. Любое
подмножество G функции F также является функцией. Если область определения и
область значений G не совпадают соответственно с А и В, то говорят, что G отображает из
А в В.
Любое однозначное соответствие, заданное на каком-либо множестве, определяет
множество упорядоченных пар (a и b образуют пару, если а соответствует b), т.е.
определяет функцию.
Рассмотрим сказанное выше на примерах. Пусть имеется множество А людей:
А = {Сергеев, Михайлов, Петров, Трофимов, Гончаров, Рудаков}. Пусть также известен
год рождения каждого из них (дальше мы будем пользоваться инициалами), например, С –

69

1917, М – 1923, П – 1941, Т – 1937, Г – 1936, Р – 1945. Определим бинарное отношение,
где на первом месте будет находиться инициал, а на втором месте – его год рождения:
D = {[С, 1917], [М, 1923], [П, 1941], [Т, 1937], [Г, 1936], [Р, 1945]}.
Это отношение порождает взаимно однозначное соответствие, где каждому инициалу
соответствует его год рождения. Область определения отношения D:
А = {С, И, М, П, Т, Г, Р}.
Область значений:
В = {1917, 1923, 1941, 1937, 1936, 1945}.
Обратно, ставя в соответствие каждому человеку его год рождения (соответствие
определено на множестве A U В), получаем множество D.
Тождественной функцией Е является функция, отображающая множество А на само
себя:
Е = {[х, х]│для любого х Î А}.
Характеристической функцией множества А называется функция, которая принимает
значение 1 для любого элемента из множества А и значение 0 – в противном случае:

F хр = {[х, у]│где у = 1 для любого х Î А и у = 0 для любого х Ï А },
где знак «Ï » означает, что объект х не является элементом множества А (не принадлежит
ему).
Инверсия.
Возьмем произвольное отношение D (множество упорядоченных пар). Рассмотрим
отношение, которое получается из D путем перестановки в каждой паре первого и второго
элементов местами:

D* = {[у, х]│где [х, у] Î D}.
*
Операция перестановки называется инверсией. Отношение D также называется

инверсией к отношению D.
Инверсия к любой взаимно однозначной функции также является взаимно однозначной
функцией.
Композиция двух функций является функцией. Действительно, пусть С – композиция
функций А и В и пусть [b, а] Î С и [b, с] Î С. Необходимо показать, что а = с.
По определению композиции:

70

[b, а] Î С, то существует такое d, что[b, d] Î A, [d, a] Î B,
[b, с] Î С, то существует такое s, что[b, s] Î A, [s, с] Î B.
Поскольку А – функция, то [b, d] Î A и [b, s] Î A влечет d = s. Аналогично, [d, a] Î B,
[s, с] Î B и d = s влечет а = с.

n-местные операции.
n-местной операцией S на множестве А называется отображение n-ой степени
множества А в (на) множество А:
S = {[[ а 1 , а 2 , … а n ], y]},

(4)

где а j Î А ( j = 1, … n) и y Î А.
В этом случае говорят, что операция задана на А (на множестве элементов А).
Операция объединения (пересечения, прямого произведения и т.д.) любых двух
множеств с точки зрения приведенного определения является двуместной операцией (n =
2). Одноместные операции называют операторами (n = 1). С точки зрения n-местных
операций инверсия и операция разбиения являются операторами.
В силу того, что в упорядоченных n-ках каждый элемент занимает строго определенное
место, то в записи (4) обычно одну пару скобок опускают:
[[ а 1 , а 2 , … а n ], y] = [ а 1 , а 2 , … а n , y],
поскольку она однозначно восстанавливается, но при этом указывают, какие элементы
образуют область определения.

Анализ аксиом классической теории множеств.
Перед тем как приступить к анализу аксиом теории множеств, необходимо сделать
несколько замечаний.
Во-первых, некоторые аксиомы всегда сопровождаются разъяснениями, смысл которых
не меняется от теории к теории.
Во-вторых, аксиомы условно разбиваются на три группы:
1) аксиомы, которое вводят исходные объекты для построений: пустое множество и
множество натуральных чисел.

71

2) аксиомы-операции: аксиомы объединения, пересечения, выбора, неупорядоченной
пары, степени и аксиома регулярности.
3) аксиома, которая вводит отношение равенства между множествами.
Аксиомы и разъяснения к ним, приведенные ниже, заимствованы из научной
монографии П.Дж. Коэна «Теория множеств и континуум-гипотеза» (см. список
литературы [1]), который был удостоен высшей математической награды (медали Филдса)
за изложенные в этой монографии результаты.
После аксиомы и разъяснения к ней следует их анализ.
1. Аксиома существования пустого множества:
Существует множество, которое не содержит ни одного элемента.
Разъяснение:
эта аксиома вводит множество, которое обладает тем свойством, что не содержит
ни одного элемента;
пустое множество обозначается символом Ø.
Анализ аксиомы.
Аксиома пустого множества утверждает, что пустое множество характеризуется
свойством «содержать элементы» и этому свойству присваивается значение (данные
свойства) «ни одного». Таким образом, аксиому и разъяснение можно рассмотреть в
рамках схемы «понятие – объект».
Объект «пустое множество» получается из понятия «множество» как результат
подстановки в свойства их данных (определяющих пустое множество):
свойства:
1) результат операции совместного рассмотрения,
2) количественный состав,
3) качественный состав
их данные соответственно:
1.а)

–,

2.а) нет,
3.а) нет.
Пустое множество вводится в качестве исходного (базового) объекта.
2. Аксиома равенства множеств:
Если два множества А и В состоят из одинаковых элементов, то они равны (А = В).
Разъяснение:
аксиома утверждает следующее свойство множеств: всякое множество определяется
его элементами.

72

Анализ аксиомы.
Возникает вопрос: почему свойство, указанное в разъяснении, не вводится в качестве
аксиомы, ведь на основе этого свойства непосредственно вводится отношение равенства?
Классическая теория множеств утверждает, что понятия «множество» и «элемент
множества» являются неопределяемыми понятиями. Исходя из этого, их свойства нельзя
описывать (в определение понятия входит раскрытие его содержания, т.е. свойств,
характеризующих это понятие). Но в разъяснении описывается не что иное, как свойство
понятия «множество»: множество определяется его элементами. Аксиома и разъяснение
к ней выражают свойство понятия «множество»: множество однозначно определяется
его элементами.
Возникает интересная ситуация, когда утверждается, что нельзя определять исходные
понятия, и в то же время они определяются (раскрывается содержание этих понятий) в
виде «разъяснений». Эта ситуация является характерной не только для классической
теории множеств.
3. Аксиома неупорядоченных пар.
Для любых двух объектов а и b существует множество А:
А = {а, b}.
Разъяснение.
Эта аксиома утверждает, что для любых двух объектов существует множество,
содержащее их в качестве элементов. Кроме того:
1) {а} = {а, а},
2) {а, b} = {b, а} (неупорядоченная пара),
3) {{b}, {b, а}} = (упорядоченная пара).
Пункт (3) является удобным способом сведения идеи упорядоченной пары к
неупорядоченным парам.
Анализ.
С точки зрения понятия «двухместной операции» эта аксиома вводит двуместную
операцию множества, т.е. частный случай операции множества (операция множества
вводится для любого количества объектов).
Пункт (1) разъяснения означает, что множество не меняется от количества повторений
одного и того же его элемента при записи, т.е. каждый элемент входит в множество
только один раз (свойство множества – как понятия).
Пункт (2) означает, что порядок элементов множества не имеет значения (свойство
множества – как понятия).

73

Целью пункта (3) является убедить, что понятие упорядоченной пары может быть
сведено (приравнено) к понятию неупорядоченной пары, что далеко не так.
Действительно, если взять запись {{b}, {b, а}} без разъяснений, то неясно, какой из
элементов (а или b) должен стоять на первом месте в упорядоченной паре (или b>). На самом деле, на множестве В = {{b}, {b, а}} вводится отношение «быть
подмножеством» (« Ì »), которое задает на В порядок включения, где {b} включается в
{b, а}. Закрепим первое место в паре за тем множеством, которое включается в другое
множество. Тогда множество В с рассмотренным на нем порядком старшинства
(включения) запишется так:
В = [{b}, {b, а}]
(в обозначениях угловых скобок: В = ).
4. Аксиома объединения (суммы):
Для любой совокупности S множеств существует множество С, состоящее из
элементов этих множеств и только их:
С = {х│ х Î В, где В Î S},
т.е. х Î С, если найдется такое В из совокупности S, что х Î В.
Анализ.
Эта аксиома вводит операцию объединения на множествах.
Когда совокупность S состоит из двух множеств, аксиома выглядит так:
Для любых двух множеств А и В существует множество, состоящее из элементов этих
множеств и только их.
С = {х│ х Î В или х Î А}.
5. Аксиома пересечения:
Для любой совокупности S множеств существует множество С, состоящее из
элементов общих для этих множеств и только их:
С = {х│ х Î В для любого В из S},
т.е. х Î С, если для любого В из совокупности S выполняется условие: х Î В.
Анализ.
Эта аксиома вводит операцию пересечения на множествах.
Когда совокупность S состоит из двух множеств, аксиома выглядит так:
Для любых двух множеств А и В существует множество С, которое содержит
элементы, общие для обеих множеств и только их:

74

С = {х│ х Î В и х Î А}.
Аксиомы пересечения и объединения вводят операции на совокупности множеств S,
причем, количество элементов этой совокупности не оговаривается.
В аксиомах суммы и пересечения вместо понятия «множество» употреблено понятие
«совокупность», хотя у совокупности наблюдаются в аксиомах те же свойства, что и у
множества:
1) совокупность S состоит из элементов (множеств).
2) совокупность S однозначно определена ее элементами (отсюда и однозначность
соответствия (устанавливаемого между S и множеством С) и, как следствие, право
рассматривать его как операцию.
6. Аксиома бесконечности:
Существует множество N со следующими свойствами:
1) Ø Î N,
2) если n Î N, то n U {n} Î N.
Анализ.
Эта аксиома содержит рекурсивную операцию (конструкцию). Исходным элементом
для построения множества N служит пустое множество Ø. Неограниченно повторяя
операцию рекурсии, получаем все новые элементы множества N (неограниченный процесс
приводит к количеству элементов N, неограниченному никаким числом). Если аксиома
пустого множества вводила один объект, то аксиома бесконечности вводит бесконечное
количество объектов (конечных множеств) – c одной стороны, и бесконечное множество
N (как объект) – с другой.
Множества Ø и N являются исходным для всех дальнейших построений (других
исходных объектов аксиоматика теории множеств не дает).
Аксиома бесконечности преследует три цели: ввести рекурсивные схемы построения,
разрешить неограниченные процессы и ввести конкретный результат этих построений (N),
применив их к пустому множеству.
Прежде, чем изложить оставшиеся аксиомы, необходимо указать, какую цель они
преследуют.
В математике множества определяются свойствами. Например, сумма множеств С
определена так:
множество С состоит только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы
одному из множеств совокупности S.

75

Свойство, определяющее множество С (определяющее свойство): «принадлежать хотя
бы одному из множеств совокупности S».
Пересечение множеств С определено так:
множеству С принадлежат только те элементы, которые одновременно принадлежат
каждому из множеств совокупности S.
Определяющее свойство: «одновременно принадлежать каждому из множеств
совокупности S».
Аксиома бесконечности определяет множество N свойством (условием):
1) Ø Î N,
2) если n Î N, то n U {n} Î N.
Возникает вопрос: нельзя ли ввести соответствующую аксиому, которая позволит
определять множества свойствами?
Действительно, в этом случае аксиомы (4 – 6) будут прямо следовать из нее.
Прежде всего, необходимо отметить следующий порядок, общий для всех
содержательных теорий (конструктивных, аксиоматических содержательных и
полуформальных). Сначала объявляются исходные понятия, затем из понятий получают
конкретные объекты (путем задания свойств их данными), а уже из объектов строят
множества:
понятие ® объект ® множество.
Зададим какое-либо фиксированное свойство S и рассмотрим его на любом множестве
объектов А. Содержание любого понятия (совокупность свойств, список свойств) всегда
точно определено и, как следствие, определена совокупность свойств объекта. Сравнивая
каждое свойство этой совокупности (понятия или объекта) со свойством S (перелистывая
список), можно определить, принадлежит или не принадлежит ей свойство S, т.е.
выяснить, обладает или не обладает этим свойством объект. Вместе с тем сразу же
решается вопрос, к какому классу отнести этот объект при разбиении А на два класса по
признаку S (в один класс ( А1 ) попадают объекты, обладающие свойством S, в другой ( A2 )
– объекты, не обладающие свойством S).
Таким образом, схема «понятие – объект – множество» обеспечивает алгоритмически
выполнимое разбиение множества А на два класса (по признаку S).
Теперь откажемся от такой схемы.
Пример 1.

76

Берем свойство S, например «неверно, что х Î х». Строим совокупность А1 (будем
называть ее здесь для удобства классом, в этом и следующих двух примерах термин
«класс» не является синонимом понятия «множество»), т.е. отнесем к этому классу все то,
что обладает свойством S. Теперь выясним, к какому классу принадлежит само А1 .
Пусть А1 не принадлежит самому себе, тогда (в силу построения) А1 принадлежит себе.
Обратно, если А1 принадлежит себе, то (в силу построения) А1 не попадает в себя в
качестве элемента, т.е. не принадлежит себе.
Итак, невозможно установить, обладает или не обладает свойством S класс А1 .
Исследуем причину такой ситуации.
1. Если бы класс А1 был получен из понятия, то мы могли бы установить элементарной
проверкой наличие свойства S (или его отсутствие) в содержании этого понятия.
Понятие не дано.
2. Никаких свойств, характеризующих класс А1 как объект, не дано и тем самым
невозможно установить данные этих свойств. Исходя из этого, мы не можем сравнить А1
с имеющимися объектами с целью установить совпадение одного из них с А1 .
Идентификация А1 как объекта невыполнима.
3. Любое множество определяется своими элементами, т.е. для любого объекта b можно
точно указать, принадлежит или не принадлежит этот объект множеству В. Для А1
невозможно установить принадлежность класса А1 (как элемента) себе (как множеству).

А1 не может быть множеством.
Исследование ситуации показало, что схема введения (построения) А1 не позволяет
рассматривать этот класс в рамках теории множеств.
Пример 2.
Выше было рассмотрено построение класса на основе наличия (отсутствия) некоторого
свойства. У каждого свойства есть его данные (значения свойства). Произведем теперь
построение, но уже не по свойству, а по его данным. Для этого рассмотрим свойство:
«быть высказыванием» и его данные (значения) – «истина» и «ложь».
Строим совокупности А1 и А2 (будем называть их здесь для удобства классами, см.
выше): отнесем к классу А1 истинные высказывания, а к А2 – ложные.
Дано предложение А: «Высказывание, которое вы читаете в данный момент, ложно.».
Если предположить, что оно истинно, то, в силу его смысла, оно ложно. Обратно, если

77

предположить, что оно ложно, то, опять же в силу его смысла, высказывание выражает
истину.
Итак, относительно высказывания А невозможно установить его истинность и, тем
самым, принадлежность его одному из классов. Исследуем причину такой ситуации.
1. Если бы имелось определение понятия «высказывание», то подставив в свойства этого
понятия их данные, мы смогли бы установить, является ли предложение А объектом из
объема этого понятия, т.е. является ли А высказыванием.
Понятие не дано.
2. Любое множество определяется своими элементами. Для А1 и А2 невозможно
установить принадлежность предложения А (как элемента) к ним как к множествам.

А1 и А2 не могут быть множествами.
Исследование ситуации показало, что схема введения (построения) А1 и А2 не
позволяет рассматривать эти классы в рамках теории множеств.
Пример 3.
Рассмотрим теперь ситуацию, которая производит разбиение множества на два класса
по свойству и по его значениям. Для этого возьмем множество всех всевозможных
сочетаний слов русского языка. Производим разбиение на два класса по признаку: «быть
истинным высказыванием» («быть высказыванием» – свойство, «истинным» – его
значение). К классу А1 отнесем истинные высказывания, а к классу А2 – все остальные
словосочетания.
Пусть дано предложение А: «Высказывание, которое вы читаете в данный момент,
ложно.». Исследование, аналогичное приведенным выше, показывает, что схема введения
(построения) А1 и А2 не позволяет рассматривать их в рамках теории множеств.
Подведем итог. Нарушение схемы «понятие – объект – множество», не дает
возможности:
1. определять множества их свойствами (или данными свойств) (пример – 1, 2),
2. разбивать множества на подмножества (пример – 3).
При построении классической теории множеств не представляется возможным ввести
схему «понятие – объект – множество», поскольку исходные понятия «множество» и
«элемент множества» («объект») не определяются. Нет точного определения и у
остальных понятий, поскольку они определяются через исходные. При таком подходе
остается единственный вариант:
ограничить совокупность свойств для определения множеств.

78

По этому пути и развивалась последние 200 лет теория множеств. Для попытки его
реализации были введены следующие три аксиомы (7 – 9). Современная теория множеств
признает, что, не смотря на тщательный подбор аксиом (7 – 9), все же не представляется
возможным оградить ее от парадоксов. Рассмотрим эти аксиомы.
7. Аксиома степени:
Для любого множества А существует множество В такое, что х Î В, тогда и только
тогда, когда х Í А.
Анализ.
Эта аксиома утверждает, что все подмножества множества А образуют совокупность В,
которая является (объявляется) множеством.
По существу, множество В вводится следующим правилом (которым оно однозначно
определяется):
х Î В тогда и только тогда, когда х Í А,
Определяющее свойство: «быть подмножеством множества А».
Эта аксиома вводит оператор (операцию степени множества), которая каждому
множеству ставит в соответствие систему его подмножеств.
8. Аксиома подстановки:
Пусть дана функция f и D есть образ С при отображении f:
D = {у│ у = f (х), где х Î C}.
Тогда, если С – множество, то D также множество.
Разъяснение.
Свойство, определяющее функцию f, может иметь чрезвычайно неконструктивный
характер, так что для проверки равенства у = f(х) может потребоваться ответ на
вопрос, касающийся всех множеств. Таким образом, аксиома 8 достаточна для весьма
неконструктивных определений.
Анализ.
Читателя не должна смущать сложность и запутанность разъяснения, поскольку
встречаются еще и не такие. Например, «Множество А настолько большое, что его уже
нельзя считать множеством».
Любая функция f представляет собой множество упорядоченных пар. Множество
первых элементов пар образуют область определения (А) этой функции. Множество
вторых элементов пар (В) образуют область значений. Если в А выделить подмножество С
(С Í А), то множество пар g, где на первом месте стоят элементы из С:

79

g = {[а, b] │где [а, b] Î f , а Î С и С Í А}
– будет функцией со значениями в множестве В. Аксиома подстановки объявляет
совокупность всех у (D), которые удовлетворяют свойству:
существует такое х Î С, что у = f (х)
– множеством.
В этой аксиоме свойство, определяющее совокупность D как множество, задано с
помощью функции, т.е. аксиома разрешает использовать для определения множеств
свойство: «быть значением функции».
Функция – это множество упорядоченных пар, т.е. прежде всего – множество.
Возникает вопрос: как определяется сама функция? Ответ на него содержится
разъяснениях: «необходимо быть осторожным при выборе функции, поскольку свойство,
определяющее функцию, может иметь чрезвычайно неконструктивный характер». Более
никаких ценных указаний по вопросу выбора функции не имеется.
9. Аксиома выбора:
Пусть дана совокупность S множеств, тогда существует такая функция f,
определенная на S, что:
f (А) Î А,
где А Î S.
Разъяснение:
1. Функция f называется функцией выбора.
2. Аксиома выбора позволяет совершать бесконечное количество «выборов», хотя бы и
не имелось никакого свойства, определяющего функцию f выбора и тем самым дающего
возможность применить аксиому подстановки вместо этой аксиомы.
3. Аксиома выбора позволяет не только совершать выбор элементов, но и объединять
все выбираемые элементы в одно множество:
С = {у│ у = f (А), где А Î S}.
Пример.
Пусть дана совокупность S, состоящая из трех элементов:
S = { А1 , А2 , А3 },
где А1 = {а, b, с}, А2 = {е, l, d}, А3 = {а, l, m}.
Аксиома 9 утверждает существование функции f и множества С:
1) f ( А1 ) = а, f ( А2 ) = l, f ( А3 ) = l;

80

2) С = {а, l} = {у│ у = f ( А n ), где А n Î S}.
Т.е. из каждого множества ( А1 , А2 , А3 ) совокупности S выбрано по одному элементу, а
затем из этих элементов (и только их) образовано С. Аксиома выбора разрешает
рассматривать С как множество.
Анализ.
Если совокупность S содержит всего одно множество А, то аксиома утверждает
существование функции выбора, которая ставит множеству А в соответствие один из его
элементов a:
f = {[A, a]},
где а Î А.
Аксиома выбора вводит операцию на множествах (совокупности S ставится в
соответствие множество С).
В аксиоме выбора вместо понятия «множество» употреблено понятие «совокупность»
(S), хотя у совокупности наблюдаются в аксиоме те же свойства, что и у множества:
1) совокупность S состоит из элементов, которые ей принадлежат.
2) совокупность S однозначно определена ее элементами (отсюда и однозначность
соответствия (устанавливаемого между S и множеством С) и, как следствие, право
рассматривать его как операцию.
В аксиоме выбора свойство, определяющее С (см. п. 3 разъяснения), задано с помощью
функции, т.е. эта аксиома разрешает использовать для определения множества С свойство
«быть значением функции» (см. аксиому подстановки). В связи с этим возникает вопрос: в
чем различие между аксиомой выбора и аксиомой подстановки?
Аксиома подстановки позволяет определять множества свойством: «быть значением
функции». Аксиома выбора позволяет определять множества свойством: «быть значением
функции» – если эта функция задана на совокупности множеств (функция выбора). Таким
образом, аксиома выбора является частным случаем аксиомы подстановки.
Чтобы воспользоваться функцией (в обеих аксиомах), т.е. перейти от функции к ее
множеству значений, ее нужно как-то определить (получить, где-то взять эту функцию).
Если нет свойства (свойств), задающих функцию, то не представляется возможным ее
определить (создать, построить). Пункт (2) разъяснения сообщает, что разница между
аксиомами подстановки и выбора состоит в том, что в случае аксиомы подстановки
необходимо условие, задающее функцию, а в случае аксиомы выбора такового не нужно
(в одном случае функция нужна, а в другом – нет). Тогда возникает вопрос: как
воспользоваться функцией, которая не определена (не задана, не построена)? Этот

81

конкретный вопрос научная монография П. Дж. Коэна обходит стороной, обходят
стороной этот вопрос и другие «научные» источники.
Аксиома выбора также вводит понятие «функция выбора». Определим его через
понятие «функция».
Содержание понятия «функция выбора»:
«быть функцией»,
«у любой пары второй элемент пары принадлежит первому элементу пары ([А, f (А)] и f
(А) Î А)»;
объем понятия «функция выбора»:
совокупность всех функций выбора.
Выводы.
Анализ приведенных аксиом и разъяснений к ним показывает следующее.
I. Понятие «множество» наделяется следующими свойствами:
а) множество состоит из элементов (объектов).
б) множество однозначно определяется его элементами.
в) порядок среди элементов во множестве не влияет на множество.
г) элемент, содержащийся во множестве, входит в него только один раз.
II. Аксиомы можно разбить условно на четыре группы:
а) аксиома существования – 1(см. выше),
б) аксиома отношения – 2,
в) аксиомы-свойства – 4, 5, 6, 7, 8, 9.
г) аксиома-операция – 3.
На основе перечисленного выше целесообразно:
1) ввести операцию множества,
2) ввести отношения (в частности, для построения упорядоченных пар),
3) придать точный смысл понятию «множество»,
4) для построения теории множеств использовать схему «понятие – объект – множество»,
5) создать соответствующую пунктам 1) – 4) новую систему аксиом, из которой будут
следовать аксиомы 1 – 9.

Система аксиом конструктивной теории множеств.
I.1. Аксиома понятий и объектов.

82

Понятие – обобщенное имя, которое определяется объемом и содержанием; объем –
совокупность объектов, охватываемых данным понятием; содержание – совокупность
свойств, характеризующих это понятие (объект из объема).
Объект – набор свойств и их данных.
Задавая (подставляя) в понятии свойствам их данные (значения), получается объект из
объема этого понятия.
Эта аксиома устанавливает, что все построения должны происходить по схеме «понятие
– объект – множество». При таком подходе все построения становятся прозрачными и
легко анализируемыми – с одной стороны, а с другой – теория становится свободной от
неопределенностей и двусмысленных трактовок одних и тех же понятий (объектов).
Любой парадокс является следствием невозможности установить наличие или
отсутствие какого-либо свойства у объекта. Аксиома I.1. исключает такую ситуацию.
Таким образом, любая теория, содержащая аксиому I.1. не может быть противоречивой
(не может содержать парадоксы).
I.2. Аксиома операции множество.
Для объектов существует операция их одновременного (совместного) рассмотрения.
Эта операция называется множеством и обладает следующими свойствами:
а) отношения между объектами не влияют на результат операции,
б) результат операции однозначно определен объектами совместного рассмотрения.
В применении к двум объектам аксиома I.2. дает аксиому неупорядоченных пар.
Результат операции множества в применении, например, к трем объектам
записывается так:
{b, с, е},
где фигурные скобки означают результат применения этой операции, причем порядок
объектов или количество повторений объекта в записи (в силу определения операции) не
имеют значения.
Результат операции множества будем называть также множеством. Это не приведет к
недоразумению, поскольку всегда ясно из контекста, о чем идет речь. С точки зрения
понятий понятие «множество» определяется так:
содержание (свойства):
1) результат операции совместного рассмотрения,
2) количественный состав,
3) качественный состав.
Подставляя в свойства их данные, получаем объект-множество. Например, объектмножество {b, с, е, d}:

83

свойства:
1) результат операции совместного рассмотрения,
2) количественный состав,
3) качественный состав;
их данные соответственно:
1.а)

–,

2.а) 4,
3.а) b, с, е, d.
Объекты, к которым применена операция множества, называются ее элементами
(соответственно – элементы объекта-множества). Элементы множества также называют
его представителями и говорят, что они принадлежат множеству.
I.3. Аксиома определений (заданий) множеств.
Множества определяются (задаются) объектами через свойства и их данные.
Эта аксиома позволяет определять множества свойствами. Рассмотрим пример.
Свойство «быть подмножеством множества А» определяет систему подмножеств
А

множества А (система подмножеств обозначается символом « 2 » и порождает операцию
(оператор) степени множества):

2 А = {х│где х Í А}.
Аналогично (см. выше анализ аксиом) вводятся множества, порождающие операции
суммы, пересечения, выбора, разбиения и т.д., а также множество натуральных чисел.
I.4. Аксиома структуры.
На множествах определяются (задаются) отношения между объектами через свойства
и их данные.
Эта аксиома позволяет вводить (строить) различные отношения между объектами
множества и тем самым определять (задавать) на нем порядок (структуру), в частности,
задавать упорядоченные пары (см. пример ниже).
Чтобы начать построение теории на основе аксиом I.1. – I.3. необходимо задать
исходный объект (или объекты). В силу схемы «понятие – объект – множество» введем
понятие множество, а затем определим исходный объект (пустое множество). В качестве
исходного можно определить любой другой объект, но в силу того, что нам все равно
придется пользоваться пустым множеством, введем его аксиомой.
I.5. Аксиома понятия «множество» и объекта «пустое множество».
Содержание понятия «множество» определяется свойствами:
1) результат операции совместного рассмотрения,

84

2) количественный состав,
3) качественный состав.
Объект «пустое множество»:
свойства:
1) результат операции совместного рассмотрения,
2) количественный состав,
3) качественный состав;
их данные соответственно:
1.а) –,
2.а) нет,
3.а) нет.
Рассмотрим пример, а затем введем понятие «упорядоченная пара» на основе понятия
«множество».
Пусть даны два объекта 1 и 3 (аксиомы I.3. и I.5. вводят, в частности, множество
натуральных чисел). Применим к ним операцию множества (аксиома I.2.):
А = {1, 3}.
Зададим на множестве А отношение «старше» («□») (Аксиома I.4.) правилом:
1 □ 3 (или 3 □ 1),
«1 старше 3».
Рассмотрим множество А и отношение «□» на нем, т.е. рассмотрим систему:
{1, 3}, 1 □ 3.
Вводим сокращенную запись для такой системы:
[1, 3].
Понятие «упорядоченная пара»:
содержание:
1) быть двухэлементным множеством,
2) элементы множества находятся в отношении.
объем:
совокупность всех упорядоченных пар.
Подставляя в свойства понятия «упорядоченная пара» их данные, получаем объект.
Например, объект [4, 8]:
свойства
1) быть двухэлементным множеством,
2) элементы множества находятся в отношении;
их данные соответственно:

85

1.а) {8, 4},
2.а) «меньше».
Вместо записи «упорядоченная пара» употребляется ее более короткая запись в
алгебраической форме «[а, b]». Эти записи – синонимы.

Часть третья.
Числовые системы.

86

Числа для счета, которые повседневно пользуются в быту, являются результатом
интуитивного опыта: рассматривая различные совокупности с точностью до взаимнооднозначного соответствия, получаем представление о количестве. Например,
рассматривая два карандаша, две ручки, две тетрадки и т.д., получаем представление о
числе 2, когда устанавливаем между этими двухэлементными совокупностями взаимнооднозначное соответствие. Т.е. представление о числе 2 возникает, когда эти
совокупности рассматриваются лишь с точностью до соответствия и не берется во
внимание отличающие свойства их элементов.
Представление о дроби, например, 2/3, воспринимается, как нечто целое разделено на
три части, а затем взято две части. И т.д.
Использование чисел в математике требует описания их свойств, отношений между
ними и операций над этими числами. С этой целью вводят специальные множества (их
элементы играют роль чисел, которые в последствии называются алгебраическими
числами). Затем, на этих множествах определяют отношения (операции) таким образом,
чтобы они обладали теми же свойствами, что и отношения (операции) между
интуитивными числами (дробями). В силу того, что мы пользуемся теми свойствами,
которые являются общими для обеих систем (интуитивной и алгебраической), и только
ими, то для нас эти системы идентичны (идентичны, равносильны, неразличимы).
Рассмотрим алгебраическое построение числовых систем в следующем порядке:
натуральная, целая, рациональна, действительная.
Совокупность, образованная множеством, операциями на нем и отношениями между
его элементами, называется системой.
Система натуральных чисел.
Элементы множества N будем обозначать символами 0, 1, 2 и т.д., и называть
натуральными числами.
Отношение «меньше» (<) определяется условием:
а < b равносильно (то же самое, что) а Ì b,
Операция «сложение» (+) и отношение «=» определяются рекурсивно правилом:
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 2,
1 + 1 + 1 = 3,
1 + 1 + 1 + 1 = 4 и т.д.

87

Операция «умножение» (×) определяется рекурсивно правилом:
1×0 = 0,
1×2 = 1 + 1,
1×3 = 1 + 1 + 1, …
2×0 = 0,
2×1 = 2,
2×2 = 2×(1 + 1) = 2×1 + 2×1 = 2 + 2,
2×3 = 2×(1 + 1 + 1) = 2×1 + 2×1 + 2×1 = 2 + 2 + 2, …
и т.д.
Необходимо обратить внимание, что здесь знак равенства «=» имеет другой смысл, чем
равенство множеств: он сообщает, что записи по обе стороны от него должны
восприниматься как эквивалентные (равносильные), т.е. обозначающие один и тот же
объект.
Отношение «меньше равно» (≤) определяется условием:
а ≤ b, если а < b или а = b.
Отношение «больше равно» (≥) определяется условием:
а ≥ b равносильно b ≤ а.
Натуральные числа с введенными на них операциями умножения, сложения и
отношениями «<» и «=» образуют систему натуральных чисел:
N = (N, +, ×, <, =).
Если для множества К (К Ì N) выполняется свойство:
существует такое натуральное число n, что для любого k (k Î К) выполняется k ≤ n,
то множество К называется конечным. Если такого n не существует, то множество К
называется бесконечным.
Здесь и ниже если для а и b не выполняется отношение «=», то это будет выражаться
отношением «≠», т.е. записью «а ≠ b».
Система целых чисел.
Рассмотрим прямое произведение множества N на себя, т.е. N ´ N:
Z = N ´ N = {[a, b]│для любых a, b Î N}.
Операции и отношения определяются таким образом, чтобы любая пара [a, b] вела себя
как разность a – b:

88

отношение «=»: [a, b] = [с, d] равносильно a + d = b + с;
отношение «<»: [a, b] < [с, d] равносильно a + d < b + с;
(отношение «≤»: [a, b] ≤ [с, d], если [a, b] < [с, d] или [a, b] = [с, d]);
(отношение «≥»:[a, b] ≥ [с, d] равносильно [с, d] ≤ [a, b]);
«сложение» (+): [a, b] + [с, d] = [a + с, b + d] (знак «+» внутри квадратных скобок означает
операцию сложения в системе натуральных чисел);
«умножение» (×): [a, b] × [с, d] = [aс + bd, bc + ad] (между а и с не употреблен знак «×»,
чтобы за ним закрепить другую операцию);
«вычитание» (–): [a, b] – [с, d] = [a + d, b + с].
Пара [a, b] называется целым числом, а совокупность Z = (N, +, ×, –, <, =) – системой
целых чисел.
Пары вида [a, 0] с введенными операциями и отношениями ведут себя как числа
натуральной системы (только в других обозначениях):
[a, 0] + [с, 0] = [a + с, 0 + 0] = [a + с, 0] (знак «+» внутри квадратных скобок означает
сложение в системе натуральных чисел, а снаружи скобок – в системе целых чисел; по
сути это совершенно разные операции, обозначенные для удобства одним символом).
[a, 0] × [с, 0] = [aс + 00, 0c + a0] = [aс, 0],
поэтому они называются натуральными числами (целыми положительными числами), а
пары вида [0, b] – целыми отрицательными числами.
Обозначая [a, 0] через а и [0, b] через –b, получаем знакомую запись для целых чисел:
[a, b] = [a, 0] + [0, b] = а + (– b)
или в сокращенном виде а – b.
Числа вида [a, а] обозначаются символом «0», а число [1, 0] – символом «1».
Необходимо обратить внимание, что здесь знак равенства «=» имеет другой смысл, чем
равенство множеств или натуральных чисел: он сообщает, что записи по обе стороны от
него должны восприниматься как эквивалентные (равносильные). По-другому говоря,
объекты (целые числа), которые стоят по обе стороны от знака равенства («=») считаются
одинаковыми, т.е. объекты рассматриваются с точностью до отношения «=». Так,
например, числа 5 – 3 и 7 – 5 в соответствии с введенным отношением «=» равны.
Употребление одного знака («=») для выражения отношений в различных системах не
приводит к путанице, поскольку из контекста всегда ясно, в какой системе он
рассматривается. Аналогичное замечание можно сделать относительно знака операции
«+», остальных операций и отношений, а также символов «0» и «1».
Система рациональных чисел.

89

Дано подмножество N * множества N:

N * = {n │ где n Î N и n > 0},
т.е. множество всех натуральных чисел, которые больше числа 0.
Рассмотрим прямое произведение множества Z целых чисел на множество N * :
I = Z ´ N * = {[a, b]│ для любых a и b, где a Î Z и b Î N * }.
Операции и отношения определяются таким образом, чтобы любая пара [a, b] вела себя
как частное a/b:
отношение «=»: [a, b] = [с, d] равносильно аd = bc (между а и d (b и c) не употреблен знак
«×», чтобы за ним закрепить другую операцию);
отношение «<»: [a, b] < [с, d] равносильно ad < bс;
(отношение «≤»: [a, b] ≤ [с, d], если [a, b] < [с, d] или [a, b] = [с, d]);
(отношение «≥»:[a, b] ≥ [с, d] равносильно [с, d] ≤ [a, b]);
«сложение» (+): [a, b] + [с, d] = [ad + bc, bd] (знак «+» внутри квадратных скобок означает
операцию сложения в системе целых чисел);
«умножение» (×): [a, b] × [с, d] = [aс, bd];
«вычитание» (–): [a, b] – [с, d] = [ad – bc, bd] (знак «–» внутри квадратных скобок означает
операцию вычитания в системе целых чисел);
«деление» (÷): [a, b] ÷ [с, d] = [ad, bc].
Пара [a, b] называется рациональным числом (рациональной дробью), а совокупность I
= (I, +, ×, –, ÷, <, =) – системой рациональных чисел.
Пары вида [a, 1] с введенными операциями ведут себя как целые числа:
[a, 1] + [с, 1] = [a + с, 0 + 0] = [a + с, 0],
[a, 1] × [с, 1] = [a × с, 1 × 1] = [a × с, 1] и т.д.
Зададим множество Z * (подмножество I):

Z * = {[b, 1] │для любого b, где b Î Z}.
Рассматривая на этом множестве операции и отношения введенные для системы
рациональных чисел, получаем систему

Z * = ( Z * ,+, ×, –, ÷, <, =),
которая называется подсистемой системы рациональных чисел I.
Поставим каждой паре [b, 1] (рациональному числу) в соответствие целое число b. При
таком соответствии с точки зрения введенных операций и отношений система Z *

90

отличается от системы Z целых чисел лишь обозначением элементов (системы
изоморфны). В этом смысле пары вида [b, 1] называют целыми числами и говорят, что
система целых чисел является подсистемой системы рациональных чисел. Аналогично
можно рассмотреть систему натуральных чисел как подсистему системы целых чисел или
системы рациональных чисел.
Пары вида [0, a] обозначаются символом «0», пару [1, 1] – символом «1».
Введя обозначение «а/b» вместо «[a, b]», получаем широко используемую запись для
рациональных чисел.
Функция абсолютной величины, определенная на множестве рациональных чисел I,
определяется условием:
если a ≥ 0 (т.е. [a, b] ≥ [0, 0]), то f ([a, b]) = [a, b],
если a ≤ 0 (т.е. [a, b] ≤ [0, 0]), то f ([a, b]) = [–a, b].
Для функции абсолютной величины вводится обозначение:
f ([a, b]) = | [a, b] | (или |а/b|).
Система действительных чисел.
Функция, отображающая множество натуральных чисел в какое-либо множество А,
называется последовательностью (рядом) элементов множества А.
Подпоследовательность (подмножество последовательности), область определения
которой является конечным множеством, называется конечной последовательностью, в
противном случае – бесконечной последовательностью.
Последовательность рациональных чисел а n называется фундаментальной
(сходящейся), если для любого натурального числа t найдется такое натуральное s, что
выполняется условие:
| а n – а m | ≤ 1/t для любых m и n, где m, n ≥ s.
Две фундаментальные последовательности а n и b n называются эквивалентными, если
для любого натурального числа t найдется такое натуральное s, что выполняется условие:
| а n – b m | ≤ 1/t для любых m и n, где m, n ≥ s.
Рассмотрим прямое произведение множества I на само себя, т.е. I ´ I:
P = I ´ I = {[a, b]│для любых a, b Î I}.
Последовательность пар, т.е. функция, отображающая N в Р:
[ а 0 , b 0 ], [ а 1 , b 1 ], [ а 3 , b 3 ],…

91

(сокращенно – [ а n , b n ]) называется вложенной, если для любых пар этой
последовательности выполняется условие:
для [ а n , b n ] и [ а n +1 , b n +1 ] выполняется свойство а n ≤ а n +1 и b n +1 ≤ b n .
Вложенная последовательность пар называется действительным числом, если она
удовлетворяет условиям:
а) первые элементы пар ( а n ) образуют фундаментальную последовательность,
б) вторые элементы пар ( b n ) образуют фундаментальную последовательность,
с) а n и b n – эквивалентны.
Введем среди действительных чисел f

1

(т.е. [ а n1 , b n1 ]) и f 2 (т.е. [ а 2n , b 2n ]) отношения

и операции:
отношение «=»: f

1

= f 2 , если а n1 и а 2n (или b n1 и b 2n ) эквивалентны;

отношение «<»: f 1 < f 2 , если, существует такое s, что для любого k, где k ≥ s,
выполняется свойство а k1 < а k2 (или b k1 < b k2 );
(отношение «≤»: f 1 ≤ f 2 , если f

1

= f

2

(отношение «≥»: f 1 ≥ f 2 равносильно f
«сложение» (+): f

1

или f 1 < f 2 );
2

≤ f 1 );

+ f 2 = [ а n1 + а 2n , b n1 + b 2n ] (знак «+» внутри квадратных скобок

означает операцию сложения в системе рациональных чисел);
«умножение» (×): f 1 × f

2

= [ а n1 × а 2n , b n1 × b 2n ] (знак «×» внутри квадратных скобок

означает операцию умножения в системе рациональных чисел);
«вычитание» (–): f 1 – f

2

= [ а n1 – а 2n , b n1 – b 2n ] (знак «–» внутри квадратных скобок

означает операцию вычитания в системе рациональных чисел);
«деление» (÷): f 1 ÷ f 2 = [ а n1 ÷ а 2n , b n1 ÷ b 2n ] (знак «÷» внутри квадратных скобок означает
операцию деления в системе рациональных чисел).
Обозначим символом «0» последовательность [ а n , b n ] для которой выполняется
свойство:
а n = b n = 0 для любого n.

Обозначим символом «1» последовательность [ а n , b n ] для которой выполняется
свойство:
а n = b n = 1 для любого n.

Множество R действительных чисел определяется как сумма четырех множеств:

92

R = А + В + С + D,
где
А = {а│где 0 ≤ а ≤ 1},
В = {1/а│где а Î А и а ≠ 0} (если а – последовательность [ а n , b n ], то 1/а является
последовательностью [1/ а n , 1/ b n ]),
С = {–а│ где а Î А и а ≠ 0}(если а – последовательность [ а n , b n ], то –а является
последовательностью [– а n , – b n ]),
D = {–а│где а Î В}.
Перед тем как определить множество А необходимо кратко описать основную идею его
построения. Для этого воспользуемся методом графического моделирования и выделим
текст курсивом, чтобы не спутать его с основным текстом. Моделирование будет
осуществляться:
1) представлением упорядоченной пары геометрическим отрезком,
2) расположением элементов множества в определенном порядке.
При моделировании не следует забывать, что на множество нельзя переносить свойства,
порожденные рисунком (порядок элементов в рисунке, порядок групп элементов и т.д.).
Пусть дан геометрический отрезок [0, 1]. Отметим на нем любую его внутреннюю
точку r. Разделим отрезок на два равных отрезка:
[0, 1/2] и [1/2, 1]
(квадратные скобки в геометрии обозначают отрезок) и возьмем тот из них, который
содержит точку r. Если эта точка принадлежит обеим отрезкам, то возьмем левый.
Затем снова произведем деление выбранного отрезка на две равные части с последующим
выбором того отрезка, который содержит точку r. И т.д.
Неограниченно продолжая этот процесс деления, получим последовательность
вложенных отрезков, содержащих точку r, длины которых стремятся к нулю
(сходящаяся последовательность отрезков):
[ а 0 , b 0 ], [ а 1 , b 1 ], …
где [ а 0 , b 0 ] = [0, 1].
Первые n отрезков этой последовательности назовем n-ым приближением точки r.
Между каждой точкой отрезка r и сходящейся последовательностью вложенных
отрезков, полученных указанным выше способом, существует взаимно-однозначное
соответствие.

93

Теперь будем строить одновременно для всех точек отрезка сходящиеся к ним
последовательности вложенных отрезков:
1) 1-ый шаг: берем отрезок [0, 1];
2) 2-ой шаг: делим отрезок [0, 1] на две части и записываем результат деления в виде
двух последовательностей):
[0, 1], [0, 1/2],
[0, 1], [1/2, 1].
Здесь графический метод моделирования заключается в представлении результата
деления посредством последовательностей (одной за другой в «столбик»);
3) 3-ий шаг: каждый из отрезков [0, 1/2] и [1/2, 1] делим на две части и записываем
результат деления (четыре последовательности):
[0, 1], [0, 1/2], [0, 1/4],
[0, 1], [1/2, 1], [2/4, 3/4],
[0, 1], [0, 1/2], [1/4, 2/4],
[0, 1], [1/2, 1], [3/4, 1].
И т.д.
В результате такого процесса для каждой точки отрезка на каждом n-ом шаге
построения в записи результата деления будет присутствовать ее n-ое приближение.
Неограниченно продолжая процесс деления, получим для всех точек отрезка сходящиеся к
ним последовательности вложенных отрезков.
Расположение n-ых приближений в «столбик» (порядок групп отрезков, см. выше)
задает между ними отношение порядка «выше» («ниже»), а это, в свою очередь,
порождает ощущение, что бесконечные сходящиеся последовательности вложенных
отрезков (а затем и сами точки) могут быть расположены одна за другой. Отношение
порядка «выше» является результатом наглядно представить схему построения
бесконечных последовательностей так, чтобы на каждом шаге для любой точки
отрезка имелось в наличии ее n-ое приближение. Перенос этого отношения порядка,
который наблюдается для n-ых приближений, на бесконечные последовательности,
исходя лишь из визуального ощущения, является необоснованным и бездоказательным
(см. выше раздел «Графическое изображение множеств» – для множества отношение
между его элементами не имеет значения).
Отрезок [0, 1] можно делить не только на число 2, но и на любое другое натуральное
число (кроме числа «0»). В результате получаться другие виды сходящихся
последовательностей вложенных отрезков, но с тем же результатом построения: для
каждой точки будет построена сходящаяся последовательностью вложенных отрезков.

94

Определение (построение) множества А (1) посредством рекурсивной функции.
Функция F, отображающая из N ´ N в I ´ I (вместо [[s, l]; [a, b]], будем записывать
кратко [s; l; [a, b]]) определятся рекурсивно условием:
1) {[1; 0; [0, 1]]} = F 0 Ì F
2)

если F n -1 Ì F, то F n Ì F (для любого натурального числа n ≥ 1), где:

а)

F n = V n + V n* ;

б)

V n = F n -*1 + F n -1 , где
F n -*1 = {[p + 2n -1 ; m; а р , m ] │для любых p, m, где [p; m; а р , m ] Î F n -1 };

в) V n* = G n-1 + G n-*1 , где

G n-1 = {[р; n; [2h/ 2 n , (2h + 1)/ 2 n ]] │для любого [р; n – 1; [h/ 2n -1 , (h + 1)/ 2n -1 ]] Î F n -1 },
G n-*1 = {[р; n; [(2h + 1)/ 2 n , (2h + 2)/ 2 n ]] │ для любого [р; n – 1; [h/ 2n -1 , (h + 1)/ 2n -1 ]] Î
F n -*1 },
и натуральное число h удовлетворяет условию: 0 ≤ h ≤ 2 n -1 – 1.
Произведем разбиение множества F на классы по признаку:
любые две упорядоченные тройки принадлежат одному классу в том и только том
случае, когда первые элементы троек равны.
Результат разбиения обозначим через F р и исследуем его.
При фиксированном k последовательность [k; 0; [ а 0 , b 0 ]], [k; 1; [ а 1 , b 1 ]], [k; 2; [ а 2 ,

b 2 ]], … обладает свойствами:
а) а n ≤ а n +1 и b n +1 ≤ b n для любого n, т.е. свойству вложенности;
б) а n +1 – а n = 2h/ 2 n – h/ 2n -1 = 0 или а n +1 – а n = (2h + 1)/ 2 n – h/ 2 n -1 = 1/ 2 n ,
поэтому для 1/t (где t – любое натуральное число) можно указать такое s, что а k +1 – а k
меньше 1/t для любого k ≥ s, т.е. последовательность а n фундаментальная (аналогично
устанавливается фундаментальность b n );
в) b n – а n = (h + 1)/ 2n -1 – h/ 2n -1 = 1/ 2 n -1 ,
поэтому для 1/t (где t – любое натуральное число) можно указать такое s, что b k – а k
меньше 1/t, для любого k ≥ s, т.е. последовательности а n и b n эквивалентны.

95

Таким образом, последовательность (класс) [k; n; [ а n , b n ]], где k некоторое
фиксированное натуральное число, соответствует действительному числу r ([n; [ а n ,
b n ]]). Такое соответствие порождает взаимно-однозначную функцию, областью

определения которой является множество F р . Обозначим через А множество значений
этой функции.
Рассмотрим любое действительное число r (0 ≤ r ≤ 1):
[ а 0 , b 0 ], [ а 1 , b 1 ], … [ а j , b j ], …
Последовательность r * ([ а n* , b n* ]) для числа r определяется рекурсивно по правилу:
1) [ а 0* , b 0* ] = [0, 1] Î r * ,
2) пусть [ а n -*1 , b n -*1 ] = [h/ 2 n -1 , h + 1/ 2 n -1 ], где 0 ≤ h ≤ 2 n -1 – 1 и n ≥ 1,
тогда, если множество K:
K = {k │ k Î N и 2h/ 2 n ≤ а k ≤ (2h + 1)/ 2 n }
бесконечно, то полагается [ а n* , b n* ] = [2h/ 2 n , (2h + 1)/ 2 n ], в противном случае (если K –
конечно) – полагается [ а n* , b n* ] = [(2h + 1)/ 2 n , (2h + 2)/ 2 n ].
Последовательность r * является действительным числом ( а n* и b n* – фундаментальны и
эквивалентны). Докажем, что числа r и r * равны (т.е. r = r * ).
Рассмотрим число r * и произвольное фиксированное натуральное число t, тогда [ а *t ,
b *t ] = [2h/ 2 t , (2h + 1)/ 2 t ] (случай [ а *t , b *t ] = [(2h + 1)/ 2 t , (2h + 2)/ 2 t ] рассматривается

аналогично). В силу того, что у действительного числа r ([ а j , b j ]) последовательность
а j – фундаментальна, то для любого i (например, i = 1/ 2t + 2 ) существует такое s, что для

любых m, l ≥ s выполняется условие:
| а m – а l | ≤ 1/ 2t + 2 (и тем более | а m – а l | ≤ 1/t).
Отсюда:
а *t = 2h/ 2 t ≤ а m , а l ≤ (2h + 2)/ 2 t

или то же самое
h/ 2t -1 ≤ а m , а l ≤ (h + 1)/ 2 t -1
Таким образом, существует натуральное р (достаточно взять р большее чем s и t), что
для любых m и l (где m, l ≥ р) выполняется:

96

| а m* – а l | ≤ 1/ 2t -1 (и тем более | а m* – а l | ≤ 1/t).
Таким образом, для любого натурального t существует такое р, что для любых m и l (где
m, l ≥ р) выполняется:
| а m* – а l | ≤ 1/t,
а это означает, что последовательности а n* и а j равносильны, т.е. числа r и r * равны (r =

r * ).
Назовем n-ым приближением числа r (n-ой степенью точности r), где 0 ≤ r ≤ 1,
подпоследовательность последовательности r * ([ а n* , b n* ]):
[ а 0* , b 0* ], [ а*1 , b *1 ], … [ а n* , b n* ]
и обозначим его через r n :
r n* = {[ а 0* , b 0* ], [ а*1 , b *1 ], … [ а n* , b n* ]}.

Рассмотрим функцию F и ее подмножества F n для любого n. Произведем разбиение F n
на классы по признаку равенства первых элементов упорядоченных троек и результат
обозначим через F рn .
Любой класс из F рn :
{[k; 0; [ а 0 , b 0 ]], … [k; n; [ а n , b n ]]}, где 1 ≤ k ≤ 2 n ,
соответствует n-му приближению:
[0; [ а 0 , b 0 ]], … [n; [ а n , b n ]]
некоторого действительного числа r (0 ≤ r ≤ 1). Такое соответствие порождает взаимнооднозначную функцию, областью определения которой является множество F рn .
Обозначим через А n множество значений этой функции:

А n = {{[0; [ а 0 , b 0 ]], … [n; [ а n , b n ]]}│для любого k, где 1 ≤ k ≤ 2 n и {[k; 0; [ а 0 , b 0 ]], …
[k; n; [ а n , b n ]]} Î F рn }.
Пусть дано любое действительное число r, где 0 ≤ r ≤ 1. Для любого числа n n-ое
приближение r (в силу построения F рn ) является элементом А n ( r n Î А n ) а это означает,
что число r является элементом множества А (r Î А).
Таким образом, множество А содержит все действительные числа r (0 ≤ r ≤ 1).

Равномощность множеств.

97

Множества называются А и В равномощными, если между их элементами можно
установить взаимно однозначное соответствие, т.е. определить взаимно-однозначную
функцию, отображающую А на В.
Если множества А и В равномощны, то говорят, что мощность А равна мощности В:
=

=

А = В,
где знак двойной черты над множествами означает, что множества рассматриваются с
точностью до взаимно однозначного соответствия.
Отношение равномощности обладает следующими свойствами:
1) А равномощно А;
это свойство следует из тождественной функции Е, которая отображает множество на
само себя: хЕх.
2) если А равномощно В, то В равномощно А;
это свойство следует из того, что инверсия взаимно однозначной функции, отображающей
А на В, является взаимно однозначной функцией, отображающей В на А.
3) если А равномощно В и В равномощно С, то А равномощно С;
если любому элементу из А соответствует единственный элемент из В ([а, b]) и любому
элементу из В соответствует единственный элемент из С ([b, c]), то любому элементу из А
соответствует единственный элемент из С ([а, с]).
По признаку «иметь одинаковую мощность» все множества разбиваются на классы. Эти
классы называют кардинальными числами. О кардинальных числах говорят, что они
характеризуют мощность (количество).
Множество С называется конечным, если существует такое натуральное n, что между
множествами С и n можно установить взаимно-однозначное соответствие.
=

Класс равномощных множеств, содержащий n, обозначается символом « n » и
называется конечным кардинальным числом. Символ двойной черты над числом n
=

опускают, когда из контекста ясно, о чем идет речь. Если множество С Î n , то говорят,
что С содержит n элементов.
В случае бесконечных множеств для обозначения кардинального числа используют
=

знак двойной черты над любым из его элементов – А .
=

Множества, равномощные множеству N, образуют класс N и называются счетными
множествами, а сама мощность N – натуральной.
На множестве кардинальных чисел вводятся отношения:

98
=

=

=

=

отношение «меньше» (≤): А ≤ В , если множество А равномощно одному из подмножеств
множества В.
=

=

отношение «больше» (≥): В ≥ А равносильно А ≤ В .
Множества, мощность которых меньше натуральной (в частности, конечные и счетные
множества) называются не более чем счетными.
Покажем, что для любой функции мощность области ее значений В меньше мощности
=

=

ее области определения А ( В ≤ А ).
Пусть дана функция f с областью определения А и множеством значений В.
Определим множество Аb условием:

Аb = {а │где а Î А и f (а) = b}.
Множество Аb называется прообразом элемента b при отображении f .
Определим разбиение множества А на классы условием:
два элемента b и d принадлежат одному классу только тогда, когда их значения
совпадают при отображении f , т.е. f (b) = f (d).
*
Обозначим множество классов через А . Исходя из определения прообраза, получаем:

А* = { Аb │для любого b, где b Î В}.
*
Любые два класса множества А не имеют общих элементов (наличие хотя бы одного

общего элемента влечет их равенство).
*
Между множествами А и В зададим соответствие (функцию):

g = {[b, Аb ]│для любого b, где b Î B}.
*
Эта функция отображает множество В на множество А , причем, отображение взаимно*
однозначно (В равномощно А ).
*
Поставим в соответствие каждому классу множества А один из его элементов

(представитель) каким-либо способом. Множество этих представителей С равномощно
*
*
множеству А и является подмножеством А, т.е. мощность А меньше мощности А.

В качестве примера рассмотрим функцию f :
f = {[0, 1], [1, 1], [2, 3], [5, 4], [6, 4], [7, 4]}.
Область определения А этой функции:
А = {0, 1, 2, 5, 6, 7},

99

область значений
В = {1, 3, 4}.
Прообразами элементов множества В будут соответственно:

А1 = {0, 1}, А3 = {2}, А4 = {5, 6, 7}.
*
Множество классов разбиения А = { А1 , А3 , А4 }.

Определяем функцию g:
g = {[b, Аb ]│для любого b, где b Î B} = {[1, А1 ], [3, А3 ], [4, А4 ]}.
Пусть дано любое подмножество D множества N. Элемент с множества D называется
наименьшим элементом, если для любого элемента d, где d Î D, d ≥ с.
*
Поставим в соответствие каждому классу множества А его наименьший элемент

(представитель), т.е. определим взаимно-однозначную функцию:
h = {[ А1 , 0], [ А3 , 2], [ А4 , 5]}.
*
Множество представителей С (С = {0, 2, 5}) равномощно множеству А . С другой

стороны множество С является подмножеством А. Отсюда, множество А равномощно
*

*
одному из подмножеств множества А, т.е. мощность А меньше мощности А. Исходя из
=

=

функции g, В ≤ А .
Сумма двух счетных множеств есть счетное множество.
Действительно, пусть даны два счетных множества А и В, т.е. две взаимно-однозначные
функции f и g отображающие соответственно N на А и N на В. Определим для функции f
функцию f * условием:

f * = {[2n, n] │где n Î N}
(натуральные числа вида 2n называются четными числами), а для функции g – функцию

g * условием:
g * = {[(n – 1)/2, n] │где n Î N и n ≥ 3}
(натуральные числа вида (n – 1)/2, где n ≥ 3, называются нечетными числами).
Композиция функций f и f * ( f · f * ) определяет функцию, отображающую взаимнооднозначно множество четных чисел на множество А. Композиция функций g и g * (g
· g * ) определяет функцию, отображающую взаимно-однозначно множество нечетных

100

чисел на множество В. Четные и нечетные числа образуют множество натуральных чисел,
причем, любое натуральное число либо четное, либо нечетное.
Функция f · f * + g · g * определяет взаимно-однозначную функцию, отображающую N
на А + В.
Аналогично устанавливается счетность суммы любого конечного числа счетных
множеств. Например, пусть дана сумма трех счетных множеств:
А + В + С.
Сначала устанавливается счетность суммы А + В, а затем счетность суммы (А + В) + С.
Пусть дано счетное множество В, элементами которого являются счетные множества не
имеющие попарно общих элементов:

А0 , А1 , А2 , … Аn , …,
где Аn Î В для любого натурального n и А m I Аn = Ø для любых натуральных m и n.
Определим функцию D, отображающую взаимно-однозначно N на сумму всех
множеств из В:
А = А 0 + А 1 + А2 + … + А n + …
Для этого множества выстраиваются в вертикальный ряд в порядке возрастания
индексов:

А0 = { а 00 , а 01 , а 02 , …}

А1 = { а 01 , а 11 , а 21 , …},
А2 = { а 20 , а 21 , а 22 , …},
А3 = { а 03 , а 31 , а 23 , …} и т.д.
Функция D определяется следующим образом. Числу 0 ставится в соответствие а 00 ,
числу 1 – а 01 , числу 2 – а 01 , 3 – а 02 , 4 – а 11 , 5 – а 20 и т.д. Этот метод соответствия
(нумерации) называется диагональным, поскольку элементы множеств нумеруются по
диагонали. В результате такого способа будут занумерованы все объекты множества А.
Таким образом, сумма счетных множеств образуют счетное множество, если счетно
множество слагаемых. Кратко это выражают фразой: счетная сумма счетных множеств
счетна (есть счетное множество).
Может случиться так, что для некоторых n множество Аn представляет собой конечное
множество, что не влияет на возможность занумеровать объекты диагональным методом.
При такой ситуации говорят, что счетная сумма не более чем счетных множеств счетна
(не более чем счетна).

101

Мощность числовых систем.
Мощность множества целых чисел.
Представим множество целых чисел в виде суммы двух непересекающихся множеств А
и В, причем множество В образовано положительными целыми числами, а множество А –
отрицательными:
Z = А + В,
где А = {–1, –2, –3, …}, В = {0, 1, 2, 3, …}.
Множества А и В – счетные. Отсюда, множество Z – счетное (как сумма двух счетных
множеств).
Мощность множества рациональных чисел.
Представим множество рациональных чисел I в виде суммы 4-ех множеств:
I = А + В + С + D,
где
А = {а│где 0 ≤ а ≤ 1},
В = {1/а│где а Î А и а ≠ 0},
С = {–а│где а Î А и а ≠ 0},
D = {–а│где а Î В}.
Множества А, В, С и D – равномощны в силу определения операций над
рациональными числами. Установим равномощность А и N.
Для этого надо произвести разбиение множества А на непересекающиеся
подмножества, а затем выстроить их в вертикальный ряд, чтобы занумеровать
диагональным методом.

А0 = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …}

А1 = {2/3, 2/5, 2/7, 2/9, 2/11…},
А2 = {4/3, 4/5, 4/7, 4/9, 4/11, …},
А3 = {5/6, 5/7, 5/8, 5/9, 5/11, …} и т.д.,

102

Вообще, множество Аn получается путем умножения на число n каждого элемента
множества А0 , а затем отбрасывания всех тех элементов, которые содержаться в
множествах А0 , А1 , … А n -1 . Используя диагональный метод, устанавливаем счетность
множества А:
А = А 0 + А 1 + А2 + …
Мощность множества действительных чисел.
Представим множество действительных чисел R в виде суммы 4-ех множеств:
R = А + В + С + D,
где
А = {а│где 0 ≤ а ≤ 1},
В = {1/а│где а Î А и а ≠ 0},
С = {–а│где а Î А и а ≠ 0},
D = {–а│где а Î В}.
Множества А, В, С и D – равномощны в силу определения операций над
действительными числами.
Исследуем мощность множества функции F (а вместе с ним и множества А) при
построении множества действительных чисел r (0 ≤ r ≤ 1).
Функция F строиться рекурсивно посредством последовательности F n . Исследуем
мощность F n :

F 0 содержит один (базовый элемент),

F 1 содержит 4 элемента (один элемент принадлежит F 0 ),
F 2 содержит 12 элементов (четыре элемента принадлежат F 1 ), и т.д..
n -1
n
Вообще F n содержит 2 × (n + 1) элементов, причем 2 × n элементов принадлежат

F n -1 (на каждом шаге n добавляется 2 n × (n + 1) – 2 n-1 × n = 2n-1 × (n + 2) элементов).
Представим функцию F в виде счетной суммы конечных множеств:
F = F 0 + ( F 1 – F 0 ) + ( F 2 – F 1 ) + ( F 3 – F 2 ) + … + ( F n – F n -1 ) + …
=

=

Таким образом, множество F счетное ( F = N ).

103

Множество F р получается разбиением множества F на классы, а это значит, что
мощность F р не превосходит мощности F .
Множество А по построению равномощно F р (А является образом F р при
=

=

=

=

однозначном соответствии). Отсюда, А ≤ F и А ≤ N .
Чтобы утверждать равномощность множества А и N необходимо определить
конкретную взаимно-однозначную функцию, отображающую А на N. На данный момент
такая функция еще не определена (не задана).

Мощность системы подмножеств множества натуральных чисел.
Построим систему подмножеств множества натуральных чисел N, используя
рекурсивную функцию (см. ниже Замечание). Система подмножеств определяется
условием:

2N = {х │для любого х, где х Í N }.
Функция F, отображающая из N ´ N в {0, 1} (вместо [[s, l]; a], будем записывать кратко
[s; l; a]) определятся рекурсивно условием:
1) F 0 = Ø,
2) F 1 = {[1, 0, 0], [2, 0, 1]},
3) {[1, 0, 0], [1, 1, 0], [2, 0, 1], [2, 1, 0], [3, 0, 0], [3, 1, 1], [4, 0, 1], [4, 1, 1]} = F 2 Ì F,
4)

если F n -1 Ì F, то F n Ì F (для любого натурального числа n ≥ 3), где:

а)

F n = V n + V n* ;

б)

V n = F n -*1 + F n -1 , где
F n -*1 = {[p + 2n-1 ; m; а р , m ] │для любых p, m, где [p; m; а р , m ] Î F n -1 };

в)

V n* = G n-1 + G n-*1 , где
G n-1 = {[р; n – 1; 0] │для любого р, где 0 ≤ р ≤ 2n-1 },
G n-*1 = {[р; n – 1; 1] │ для любого р, где 2n-1 + 1 ≤ р ≤ 2n }.
Произведем разбиение множества F на классы по признаку:

любые две упорядоченные тройки принадлежат одному классу в том и только том
случае, когда первые элементы троек равны.

104

Результат разбиения обозначим через F р и исследуем его.
При фиксированном k последовательность [k; 0; а 0 ], [k; 1; а 1 ], [k; 2; а 2 ], …
соответствует (взаимно-однозначно) характеристической функции
[0; а 0 ], [1; а 1 ], [2; а 2 ], … , [n; а n ], …
которая определяет некоторое подмножество С множества N, причем

а n = 1, если n Î С,
а n = 0, если n Ï С.
Таким образом, последовательность (класс) [k; n; а n ] соответствует некоторой
характеристической функции. Такое соответствие порождает взаимно-однозначную
функцию, областью определения которой является множество F р . Обозначим через А
множество значений этой функции.
Назовем n-ым приближением характеристической функции f (n-ой степенью
точности f ) подпоследовательность последовательности ([n; а n ]):
[0; а 0 ], [1; а 1 ], [2; а 2 ], …, [n – 1; а n -1 ]
и обозначим его через f n :

f n = {[0; а 0 ], [1; а 1 ], [2; а 2 ], …, [n – 1; а n -1 ]}.
Рассмотрим функцию F и ее подмножества F n для любого n (n ≥ 1). Произведем
разбиение F n на классы по признаку равенства первых элементов упорядоченных троек и
результат обозначим через F рn .
Любой класс из F рn :
{[k; 0; а 0 ], … [k; n – 1; а n -1 ]}, где 1 ≤ k ≤ 2 n ,
соответствует n-му приближению:
[0; а 0 ], … [n – 1; а n -1 ]
характеристической функции f некоторго подмножества множества {0, … n – 1}. Такое
соответствие порождает взаимно-однозначную функцию, областью определения которой
является множество F рn . Обозначим через А n множество значений этой функции:

А n = {{[0; а 0 ], … [n – 1; а n -1 ]}│для любого k, где 1 ≤ k ≤ 2 n и {[k; 0; а 0 ], … [k; n – 1;
а n -1 ]} Î F рn }.

105

Пусть дано любое подмножество В множества N. Для В соответствует (и при том
взаимно-однозначно) его характеристическая функция g. Для любого числа n n-ое
приближение g (в силу построения F рn ) является элементом А n ( g n Î А n ) а это означает,
что функция g является элементом множества А (g Î А).
Таким образом, множество А содержит все характеристические функции
определяемыми подмножествами множества N.
Определим 2 N условием:

2 N = { В │для любого В, где В определяется его характеристической функцией g (g
Î А)}.
Между системой подмножеств множества натуральных чисел и множеством А их
характеристических функций существует взаимно-однозначное соответствие
N
( 2 N равномощно А). Множество А не более чем счетно по построению, отсюда, 2 не

более чем счетно.
Замечание.
Как и в случае построения множества действительных чисел, чтобы легче понять
построение, произведем графическое моделирование. При моделировании не следует
забывать, что на множество нельзя переносить свойства, порожденные рисунком
(порядок элементов в рисунке, порядок групп элементов и т.д.).
Для наглядности того, что на каждом n-ом шаге построения в множестве F рn будут
все n-ые приближения любой из характеристической функции (соответствующих
подмножествам множества N) расположим элементы множества F n в «строки» и
«столбцы». Например, для случая n = 2:

F 2 = {[1, 0, 0], [1, 1, 0], [2, 0, 1], [2, 1, 0], [3, 0, 0], [3, 1, 1], [4, 0, 1], [4, 1, 1]}.
F 2 = {[1, 0, 0], [1, 1, 0],
[2, 0, 1], [2, 1, 0],
[3, 0, 0], [3, 1, 1],
[4, 0, 1], [4, 1, 1]}

А затем для большей наглядности в таблицу:
{0, 1}

0

1

106

1

f

2

0

0

f2

0

1

3

f

1

0

4

f4

1

1

1

3

где функции таблицы ( f 1 – f 4 ) являются 2-ми приближениями соответствующих
характеристических функций из А, причем, для любой характеристической функции из А
ее 2-ое приближение будет одной из функций таблицы.
Таким образом, связываются два направления для построения множества А (по
количеству строк ( 2n ) – наличию всех n-ых приближений, и столбцов (n) – n-ой степени
приближения). Эта связь выражается функцией, которая задается множеством
упорядоченных пар [n, 2n ], где n – номер шага построения.
В результате неограниченного количества шагов множество А характеристических
функций становится счетным, а степень приближения – абсолютной.

Список используемой литературы:

107

1. Как математика ум в порядок приводит – А.А. Столяр, издательство «Вышейшая
школа», 1991 г.
2. Теория множеств и континуум-гипотеза – П. Дж. Коэн, издательство «Мир», 1969 г.
3. Теория множеств – К. Куратовский и А. Мостовский, М.: Мир, 1970 г.
4. Избранные труды – Давид Гильберт, издательство «Факториал», 1998 г.
5. Труды по теории множеств – Кантор Г., М.,1985 г.
6. Основания математики – Гильберт Д. и Бернайс П., М.,1982 г.
7. Введение в теорию множеств и общую топологию – Александров П. С., М., 1977 г.
8. Математическая логика – Шенфилд Дж., М.: Наука, 1975 г.
9. Введение в математику – Клини С. К., М.,1957 г.
10. Математическая логика – Клини С. К., М.,1973 г.
11. Введение в математическую логику – Мендельсон Э., М.,1971 г.
12. Универсальная алгебра – Кон П., М.: Мир, 1969 г.
13. Алгебраические системы – А. И. Мальцев, М.: Наука, 1970 г.
14. Введение в теорию рекурсивных функций – А. И. Мальцев, М.: 1983 г.
15. Алгебра и теория чисел – Куликов Л. Я., М.: Высшая школа, 1979 г.
16. Алгоритмы и рекурсивные функции – Харви Дейтел и Пол Дейтел М. М.:
ФИЗМАТЛИТ, 1965 г.А. И. Мальцев, М.: Наука, 1970 г.
17. Курс математического анализа – Кудрявцев Л. Д., издательство «Высшая школа»,
1981г.
18. Курс дифференциального и интегрального исчисления – Фихтенгольц Г. М., М.:
Наука, 1966 г.
19. Курс высшей математики – Смирнов В. И., М.: Наука, 1974 г.
20. Теория множеств – Хаусдорф, М.,1937 г.
21. Основы теории функций вещественной переменной – Натансон И. П., издание ЛГУ,
1941 г.
22. Отсутствие мощности континуума и счетность множества действительных чисел –
Давидюк К.В., ВИНИТИ, 2006 г.
23. Универсальная конструкция для построения множества действительных чисел и
системы подмножеств множества натуральных чисел как счетных множеств – Давидюк
К.В., ВИНИТИ, 2007 г.