• Название:

    Glava 3 Атом против ОТО


  • Размер: 0.32 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

Установите безопасный браузер



  • Название: Глава 1

Предпросмотр документа

Глава 3

АТОМ ПРОТИВ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

3.1 Дефект массы в гравитационном
поле
С точки зрения общей теории относительности пространствовремя искривляется вблизи больших масс. А что это означает
физически? Например, вблизи большой массы изменяются свойства
стандартных линеек и часов. Но ведь линейки и часы состоят из атомов.
Значит, свойства атома также изменяются в гравитационном поле.
Давайте рассмотрим какой-нибудь атом, который падает в
гравитационном поле (смотри рисунок 3.1).
m(Н)

Н

Рисунок 3.1. Атом падает с высоты Н
в поле тяжести g. При этом его кинетическая
энергия возрастает. Если мы заберём у атома
кинетическую энергию E, то вместе с ней мы
заберём у атома массу равную: E/c2. В
результате масса атома уменьшится:

g

m(0) = m(Н) 

m(0)

50

Глава 3. Атом против общей теории относительности

Атом, падая, совершает работу. Например, нагревает
окружающую среду, в которой он падает, в результате чего масса
окружающей среды повышается. Так как суммарная масса атома и
окружающей среды должна оставаться постоянной, то, следовательно,
масса атома уменьшается.
Мысль о том, что масса какого-либо тела должна уменьшится в
гравитационном поле, была высказана Эйнштейном ещё в 1912 году
(смотри рисунок 3.2) [5]:
Согласно теории относительности, инертная масса замкнутой
физической системы зависит от содержания энергии в ней, так что прирост
энергии системы на величину Е увеличивает инертную массу на Е/с2, где с –
скорость света в пустоте. Если М – инертная масса оболочки К в отсутствии
Р, а m – инертная масса точки Р в отсутствие К, или, другими словами,
М + m означает инертную массу системы, состоящей из Р и К, при условии,
что точка Р с массой m бесконечно удалена от К, то отсюда следует, что в
случае, когда m находится в центре оболочки К, инертная масса системы,
состоящая из К и m, принимает значение:

M  m G

Mm
Rc

(3.1)

2

причём G – гравитационная постоянная, R – радиус оболочки K. В самом
деле, GMm/R (по крайней мере, в первом приближении) есть энергия,
которую необходимо затратить, чтобы перевести точку P из центра оболочки
K в бесконечность.

K(M)
P(m)
Рисунок 3.2

Итак, масса покоя какого-либо тела зависит от того, в каком
месте гравитационного поля это тело находится. А так как тело состоит
из атомов, то, соответственно, и масса атома зависит от его положения в
гравитационном поле.
Предположим, что N атомов (N – очень большое число) находятся
на большом расстоянии друг от друга, существуя в виде очень
разреженного облака (смотри рисунок 3.3). Затем под действием
взаимного гравитационного притяжения это облако постепенно

3.1 Дефект массы в гравитационном поле

51

сжимается. При этом скорости атомов и их кинетическая энергия
возрастают, а температура облака повышается. Полная масса облака
остаётся при этом постоянной. Но часть его массы переходит из массы
покоя атомов в массу, связанную с кинетической энергией атомов. В
результате масса покоя атомов уменьшается.

m = E/c2

Рисунок 3.3
Затем нагретое облако остывает, излучая в окружающее
пространство тепло. В результате его энергия уменьшается на величину
Е, и, значит, масса уменьшается на величину Е/с2. Соответственно,
уменьшается и масса каждого атома. То есть дефект массы вызван
исключительно тем, что часть массы излучается вместе с теплом.
Е
m

m

M
M=m+m 

Рисунок 3.4. Масса свободного протона (или нейтрона) больше, чем
его масса в составе атомного ядра. Это явление вызвано тем, что когда протоны
и нейтроны сливаются вместе под действием ядерных сил, образуя атомное
ядро, часть их массы m выделяется вместе с выделившейся энергией: E = mc2.

Уменьшение массы атома вблизи большой массы, то есть вблизи
большого скопления других атомов, имеет тот же самый физический

52

Глава 3. Атом против общей теории относительности

смысл, что и уменьшение массы протона, находящегося в атомном ядре
(смотри рисунок 3.4). И в том и в другом случае этот дефект массы
равен энергии связи, делённой на квадрат скорости света.
Уменьшение массы атома (массы покоя) вблизи массивного тела
в рамках общей теории относительности подробно рассмотрено в книге
Я. Зельдовича и И. Новикова “Теория тяготения и эволюция звёзд”,
глава 10, §6 “Дефект массы” [52,с.321-323].

3.2 Что происходит с атомом
в гравитационном поле?
Давайте рассмотрим наиболее простой атом – атом водорода
(смотри рисунок 3.5), который состоит из одного протона и
вращающегося вокруг него электрона. В общем случае движение
электрона в атоме описывается волновым уравнением Шрёдингера. Но
для описания движения электрона в атоме водорода можно
воспользоваться более простой теорией – теорией Бора, которая в
данном случае также даёт правильный ответ.

m е

V

Fe
р
Рисунок 3.5 

Напомним постулаты теории Бора.
1) Электрон вращается вокруг протона в атоме водорода по
круговой орбите под действием кулоновской силы Fe и в соответствии с
законами Ньютона:
e2
mV 2
(3.2)
Fe  2  ma 
R
R
Здесь m – масса электрона, V – скорость с которой он движется по
орбите, a – центростремительное ускорение, а R – радиус орбиты.

3.1 Дефект массы в гравитационном поле

53

2) Электрон может двигаться только по такой орбите, на которой
момент импульса электрона L равен целому числу, умноженному на
постоянную Планка:
L = m V r = n ћ,
n = 1, 2, 3, 4 …
(3.3)
3) Двигаясь по такой орбите, электрон не излучает.
4) При переходе электрона с орбиты с порядковым номером k на
орбиту с номером  (k >  ) излучается фотон с частотой w:
E  E
w= k
(3.4)

Здесь Ek  энергия электрона на орбите k, а E  его энергия на
орбите  .
Давайте теперь, исходя из боровской модели атома, посмотрим,
что произойдёт с атомом водорода, если его масса немного
уменьшится. Например, уменьшится масса электрона. Кулоновская сила
притяжения электрона к протону не зависит ни от массы электрона, ни
от массы протона, и поэтому эта сила не изменится. Но так как масса
электрона уменьшится, то в атоме нарушится равновесие сил,
выраженное в уравнении (3.2). А именно будет:
e2
m*V2
e2
V2
или


a
R
R
R2
m * R2
Здесь m*  новая масса электрона: m* < m.
Из-за нарушения баланса сил электрон получит дополнительное
ускорение в направлении ядра и перейдёт на более низкую орбиту R*.
Скорость электрона при этом возрастёт и станет равной V*. И в
результате равновесие сил восстановится:
e2
m *V *2
или:

R*
R *2
(3.5)
e 2  R * m * V *2  RmV 2  const
Теперь мы можем подвести некоторые итоги. Атом, падая в
гравитационном поле, совершает работу. Например, он нагревает
окружающую среду, тем самым увеличивая её массу. В результате масса
атома уменьшается. То есть уменьшается масса электронов, протонов и
нейтронов, из которых состоит атом. Уменьшение массы электрона
приводит к тому, что нарушается баланс сил между электроном и ядром.
Электрон получает дополнительное центростремительное ускорение и
переходит на более низкую орбиту. При этом скорость его
увеличивается, и баланс сил восстанавливается.

54

Глава 3. Атом против общей теории относительности

Таким образом, мы пришли к выводу, что в гравитационном поле
(вблизи большой массы) масса атома уменьшается, и поэтому его
размер также уменьшается. При этом как-то изменяется и энергия
перехода между основными состояниями атома и, соответственно,
частота излучения атома. Но ведь это означает, что масштаб длины и
времени (стандартные линейки и часы) также изменяется в
гравитационном поле!
Далее в этой главе, основываясь на строении атома, мы
рассчитаем изменение масштаба вблизи большой массы и, таким
образом, сформулируем основы “атомной” теории гравитации. А затем
сравним полученные уравнения с уравнениями общей теории
относительности и с результатами гравитационных экспериментов.

3.3 Основы атомной теории гравитации
В предыдущих параграфах мы пришли к выводу, что масса атома
уменьшается в гравитационном поле (это следует из предположения о
сохранении полной массы замкнутой системы), и, следовательно,
изменяются его размеры и частота излучения. И если, исходя из этого,
мы рассчитаем, как изменятся в гравитационном поле размер атома и
его частота излучения, то мы узнаем, как в гравитационном поле
изменится пространственно-временной масштаб (длина стандартной
линейки, состоящей из определённого числа атомов, и длительность
стандартной секунды, производимой определёнными атомными
часами).
Кроме того, любой атом можно рассматривать как естественный
эталон для создания системы единиц измерения физических величин,
так как все единицы измерения физических величин могут быть
выражены через свойства атома.
Например, 1 килограмм можно выразить через массу протона или
электрона, 1 секунду можно выразить через количество периодов
излучения определённой спектральной линии, 1 метр можно выразить
через длину волны определённой спектральной линии. Силу в 1 ньютон
можно выразить через среднее значение силы притяжения между
электроном и ядром, энергию в 1 Джоуль – через энергию перехода
между двумя состояниями атома, или через энергию фотона,
испускаемого при таком переходе. Единицы измерения для ускорения
(м/с2), скорости (м/с) и импульса (кгм/с) также можно выразить через
среднее значение ускорения, скорости и импульса электрона. Таким
образом, рассчитав, какие изменения произойдут с атомом в
гравитационном поле, мы узнаем, как изменится в гравитационном поле
любая система единиц (эталонов) измерения физических величин.

3.1 Дефект массы в гравитационном поле

55

И в том числе мы узнаем, как изменится в гравитационном поле
пространственно-временной масштаб, то есть длина стандартной
линейки и скорость хода стандартных атомных часов.
Таким образом, если мы узнаем, что произойдёт с атомом в
гравитационном поле, то раскроем “механизм” искривления
пространства-времени. И сейчас мы сформулируем три достаточно
очевидных постулата (предположения), которые помогут нам решить
эту задачу.
Первый постулат. Полный заряд замкнутой системы остаётся
постоянным, и поэтому заряды электронов и протонов в
гравитационном поле не изменяются.
Второй постулат. Полная масса замкнутой системы остаётся
постоянной, и поэтому массы покоя электронов, протонов и нейтронов в
гравитационном поле (вблизи большой массы) уменьшаются (часть
массы покоя переходит в массу, связанную с кинетической энергией).
Третий постулат. Любая физическая величина изменится в
гравитационном поле пропорционально своей размерности. Например,
скорость света имеет размерность [c] = м/c, поэтому величина скорости
света изменится пропорционально изменению метра и обратно
пропорционально изменению секунды. Постоянная Планка имеет
размерность [ħ] = кгм2с1. Она также изменится пропорционально
своей размерности.
Третий постулат достаточно очевиден, но чтобы лучше понять
его физический смысл, давайте для примера рассмотрим, почему в
гравитационном поле должна измениться постоянная Планка. Величина
постоянной Планка равна моменту импульса электрона в основном
состоянии атома водорода (3.3). Поэтому если масса электрона, его
скорость и размер атома как-то изменятся, то, в соответствие с этими
изменениями, изменится момент импульса электрона, а, значит, и
величина постоянной Планка.
Необходимо подчеркнуть, что все эти три постулата (сохранение
заряда в гравитационном поле, уменьшение массы атома в
гравитационном поле, пропорциональное изменение физических
величин в гравитационном поле) выполняются также и в общей теории
относительности. Но, кроме того, в общей теории относительности
используются также и некоторые другие постулаты (предположения).
Например, принцип эквивалентности, из которого вытекает третий
постулат, но который не сводится к третьему постулату, так как является
более сильным утверждением.
Мы же при построении атомной теории гравитации будем
пользоваться (кроме трёх перечисленных постулатов) только
уравнениями квантовой механики, которые связывают между собой

56

Глава 3. Атом против общей теории относительности

различные характеристики атома. Что же касается других
предположений, используемых в общей теории относительности (вроде
принципа эквивалентности), то ими мы не будем пользоваться.
Так как заряд в гравитационном поле не изменяется, то для того
чтобы узнать, что произойдёт с атомом в гравитационном поле, нам
достаточно определить, как изменятся в гравитационном поле
килограмм, метр и секунда. И в результате мы узнаем, как изменится в
гравитационном поле любая физическая величина. В том числе мы
узнаем, как изменится в гравитационном поле выражение для квадрата
интервала, и в результате сможем рассчитать, как будет двигаться в
гравитационном поле то или иное тело.
Основная идея “атомного подхода” к гравитации состоит в
следующем. Килограмм, метр и секунда не могут измениться в
гравитационном поле произвольным образом. Изменение этих величин
связано между собой.
Например, потенциальная энергия U кулоновского притяжения
электрона к протону в атоме водорода (она отрицательна)
пропорциональна
квадрату
заряда
электрона
и
обратно
пропорциональна расстоянию R между электроном и протоном:
e2
U 
(3.6)
R
Удобнее всего в этом случае пользоваться системой СГС, в
которой коэффициент пропорциональности равен единице. Так как
e = const, то UR = const. [U] = гсм2с2, [R] = см. И, следовательно:
гсм3с2 = const
(3.7)
Уравнение (3.7) связывает между собой изменение грамма,
сантиметра и секунды, но очевидно, что изменение килограмма, метра и
секунды будет происходить в той же самой пропорции:
кгм3с2 = const
(3.7)*
Таким образом, физическая величина, имеющая размерность
(3.7), остаётся в гравитационном поле постоянной. Например,
произведение скорости света с на постоянную Планка ħ имеет точно
такую же размерность:
[сħ] = гсм3с2
И, следовательно, это произведение в гравитационном поле остаётся
неизменным:
сħ = const
(3.8)

3.1 Дефект массы в гравитационном поле

57

А так как заряд электрона в гравитационном поле не изменяется, то,
следовательно, постоянная тонкой структуры  также остаётся
неизменной в гравитационном поле:
e2
1
 const 
=
(3.9)
c
137
Итак, основываясь на “атомном подходе” к гравитации, мы
пришли к выводу, что постоянная тонкой структуры  не изменяется в
гравитационном поле, то есть её величина не зависит от величины
гравитационного потенциала. И это действительно так. Например, в
очень далёком прошлом, когда материя во Вселенной находилась в
более плотном состоянии, и, следовательно, гравитационный потенциал
Вселенной был значительно больше по модулю, величина постоянной
тонкой структуры не отличалась от современного значения. Это,
например, следует из анализа данных по тонкой структуре расщепления
спектральных линий квазаров и радиогалактик [47,т.3,с.303].
И, наоборот, если, исходя из существующих экспериментальных
данных, предположить, что постоянная тонкой структуры не изменяется
в гравитационном поле, то можно сделать вывод, что и произведение
скорости света на постоянную Планка также остаётся неизменным в
гравитационном поле (3.8).

3.4 Как изменится метр
в гравитационном поле?
В этом параграфе мы рассчитаем, как изменится длина
стандартного метра (эталона длины), а значит, и размер атома в слабом
гравитационном поле. Как будет видно в дальнейшем, для этого нам не
понадобятся никакие дополнительные предположения. Мы рассчитаем
изменение длины одного метра в гравитационном поле, основываясь
только на законе Всемирного тяготения Ньютона.
Итак, предположим, что одна физическая лаборатория находится
на достаточно большом удалении от большой массы М и неподвижна
относительно неё (смотри рисунок 3.6). Пусть в этой лаборатории
находятся стандартные часы (эталон времени), которые “выдают”
секунду, продолжительность которой равна T0. Эти часы показывают
мировое время. Кроме того, в лаборатории находится “стандартный
метр” длиной L0.
Предположим, что точно такая же лаборатория находится на
расстоянии r от центра массы M. Эта лаборатория также неподвижна
относительно массы М (например, она имеет реактивный двигатель,

Глава 3. Атом против общей теории относительности

58

работа которого компенсирует гравитационное притяжение массы М).
Как изменится скорость хода стандартных часов и длина стандартного
метра, находящихся в этой лаборатории?
Пусть T – продолжительность одной секунды, выдаваемой
стандартными часами, находящимися на расстоянии r от массы М; L –
длина стандартного метра, находящегося на расстоянии r от массы М.
Какая величина больше: L или L0? Продолжительность какой секунды
больше: T или T0?
М
Лаборатория 1

А

T0
L0

r

В

T
L
Лаборатория 2

Рисунок 3.6. Первая лаборатория находится достаточно далеко от
массы М. Продолжительность одной секунды, создаваемой стандартными
часами, находящимися в этой лаборатории, равна T0, а длина стандартного
метра – L0. Вторая лаборатория находится на расстоянии r от центра массы М.
Продолжительность одной секунды, создаваемой стандартными часами,
находящимися в этой лаборатории, равна T, а длина стандартного метра равна
L.
Пусть некоторая частица свободно движется в гравитационном
поле из точки А в точку В. Предположим, что лаборатории устроены
таким образом, что не мешают частице проходить через них. Так как
первая лаборатория находится далеко от массы М, то влиянием
гравитационного поля на неё можно пренебречь, и частица движется
внутри этой лаборатории практически по прямой линии. По мере того
как частица приближается к массе М, её траектория искривляется всё
сильнее и сильнее. Однако мы всегда можем выбрать очень малый
участок траекто