• Название:

    Comp 60 pdf Vasilieva Функции нескольких переме...


  • Размер: 0.72 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

Установите безопасный браузер



  • Название: МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
  • Автор: Helen

Предпросмотр документа

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)

Кафедра математики
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Е.С.Баранова, Н.В.Васильева

Тема 6. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных
Компендиум по дисциплине «Математика»

Санкт-Петербург
2005

ББК 22.161.1
УДК 517.2
Е.С.Баранова, Н.В.Васильева. Математика. Тема 6. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных. Учеб. Пособие. СПб.: Изд. Центр СПбГМТУ, 2005. с. 43.
Ил. 9 . Табл. 22 . Библиогр.: 7 назв.
Настоящее издание адресовано студентам инженерных[ специальностей для
организации их самостоятельной работы. Учебное пособие разработано в виде
компендиума по изучаемой дисциплине. Оно содержит тематический план, выписки из
календарных планов лекций и практических занятий по теме «Дифференциальное
исчисление функций нескольких переменных», теоретический материал по этой теме, с
большим количеством разобранных типовых задач, а также контрольные вопросы по
теории и вопросы для подготовки к экзамену. Для самоконтроля полученных знаний в
пособие введен тест, в котором представлены тестовые задания с выбором ответа,
сформулированные на основе требуемого набора знаний и умений по изучаемой теме. В
конце пособия дан список рекомендуемой литературы и ответы к тесту.
Работа выполнено по заказу и при поддержке факультета целевой и контрактной
подготовки специалистов СПбГМТУ.

Е.С.Баранова, Н.В.Васильева

Тема 6. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных
Компендиум по дисциплине «Математика»
Редактор Н.Н.Катрушенко

ISBN
© СПбГМТУ, 2005

СОДЕРЖАНИЕ КОМПЕНДИУМА
1. Тематический план 2 –го семестра.
2. Выписка из календарного плана лекций.
3. Теоретический материал.
4. Контрольные вопросы по теории.
5. Вопросы для подготовки к экзамену.
6. Выписка из календарного плана практических занятий.
7. Тест

по

теме

6:

«Дифференциальное

нескольких переменных».
8. Рекомендуемая литература.
9. Ответы к тесту.

3

исчисление

функций

1. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН 2–го СЕМЕСТРА

Распределение часов
Аудиторные занятия

темы

Название темы
Всего

5

Дифференциальное исчисление
одной переменной. Часть 2.

функций

6

Дифференциальное исчисление
нескольких переменных.

функций

7

Интегральное
переменной.

8

Ряды.

исчисление

Всего за 2 семестр

функций

одной

Самостоятельная
работа

Из них

Всего
аудиторных

Лекции

Практические
занятия

48

28

16

12

20

38

26

12

14

12

66

44

24

20

22

38

28

20

8

10

190

126

72

54

64

2.

ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ЛЕКЦИЙ

6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
(14 часов)
10. Метрическое n - мерное пространство. Функция n переменных. Функция двух
11.

12.

13.
14.
15.

переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные
производные и их геометрический смысл (2 часа).
Дифференцируемая функция. Необходимое условие дифференцируемости.
Достаточное условие дифференцируемости. Производная сложной функции n
переменных. Полная производная (2 часа).
Дифференциал функции n переменных. Оценка погрешностей. Уравнение
касательной плоскости и нормали к поверхности. Геометрический смысл
дифференциала функции двух переменных (2 часа).
Производные
и
дифференциалы
высших
порядков.
Неявные
функции.
Дифференцирование
неявных
функций
одной
и
двух
переменных.
Дифференцирование неявных функций, заданных системой. (2 часа).
Экстремум функции двух переменных: определение, необходимое условие,
достаточное условие. Экстремум функций n переменных. (2 часа).
Задачи на наименьшее и наибольшее значения (2 часа).

3.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Таблица 2. Оглавление

1. Функции нескольких переменных.
1.1. Прямое произведение множеств, n - мерное пространство R n
1.2. Окрестности в пространстве

R n . Классификация точек. Открытые и

замкнутые
множества
1.3. Функции n переменных. Предел и непрерывность функций n переменных.
2. Дифференцирование функций n переменных.
1.4. Частные производные функций n переменных.
2.1. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости.
2.2. Производная сложной функции. Полная производная.
3. Дифференциал функций нескольких переменных.
1.5. Определение дифференциала функции нескольких переменных и его
свойства.
1.6. Инвариантность формулы первого дифференциала функций нескольких
переменных.
1.7. Геометрическ4ий смысл дифференциала функции двух переменных.
Уравнение
касательной плоскости и нормали к поверхности.
1.8. Приближенные вычисления и оценка погрешностей.
4. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
5. Производные функций нескольких переменных, заданных неявно.
5.1. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула для
частных

производных функции двух переменных, заданной неявно.
5.2. Производная неявной функции, заданной системой уравнений. Определитель
Якоби.
6. Экстремум функции нескольких переменных.
6.1. Формула Тейлора функции n переменных.
6.2. Экстремум функции двух переменных.
6.3. Экстремум функции n переменных.
6.4. Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных.

1. Функции нескольких переменных
1.1. Прямое произведение множеств.

n

- мерное пространство

Rn .

Определение 1
Пусть заданы два множества X и Y . Прямым произведением X × Y этих множеств

называется множество всех упорядоченных пар ( x, y ) , где x ∈ X и

y ∈Y .

ЗАМЕЧАНИЕ
Упорядоченность пары

( x, y )

следует понимать в том смысле, что

( x, y ) ≠ ( y , x ) .

Пример 1
Если заданы множества

X = {1,2,3} и Y = { p, q} , то их прямым произведением

является следующее множество

X × Y = {(1, p ); (1, q ); (2, p ); (2, q ); (3, p ); (3, q )} .
Пример 2

R - множество всех вещественных чисел, то прямое произведение R × R или
пространство R 2 - это множество всех упорядоченных пар вещественных чисел. Если
Если

использовать метод координат, то можно установить взаимно однозначное соответствие
между элементами

( x, y ) ∈ R 2

и точками M ( x, y ) плоскости с выбранной на ней

системой координат.
Пример 3

R × R × R или пространство R 3 - это множество всех упорядоченных троек
вещественных чисел. Метод координат позволяет установить взаимно однозначное
соответствие между элементами

( x, y , z ) ∈ R 3

и точками M ( x, y, z ) трехмерного

Евклидова пространства с выбранной в нем декартовой системой координат.
Определение 2
Прямое произведение
наборов

( x1 , x2 ,..., xn ) из n

и обозначается:

R × R × ... × R , то есть множество всех упорядоченных
n раз

вещественных чисел называется n - мерным пространством

R n . Элементы ( x1 , x 2 ,...x n ) ∈ R n называются точками пространства

R n и обозначаются M ( x1 , x 2 ,..., x n ) . Вещественные числа x1 , x 2 ,...x n называются
координатами точки M .
Определение 3

(

(

)

)

Расстоянием между точками M 1 x11 , x12 ,..., x1n и M 2 x1 , x 2 ,..., x n пространства
2

2

2

Rn

называется число, ρ( M 1 , M 2 ) , которое определяется по формуле:

ρ( M 1 , M 2 ) =

(x11 − x12 )2 + (x12 − x22 )2 + ... + (x1n − xn2 )2 .

Теорема
Расстояние ρ( M 1 , M 2 ) между точками
удовлетворяет следующим соотношениям:
a)
b)
c)
d)

M1 и

ρ( M 1 , M 2 ) ≥ 0 .
ρ( M 1 , M 2 ) = 0 ⇔ M 1 = M 2 .
ρ( M 1 , M 2 ) = ρ( M 2 , M 1 ) .
ρ( M 1 , M 2 ) ≤ ρ( M 1 , M 3 ) + ρ( M 3 , M 2 ) .
6

M 2 из пространства R n

a, b и c теоремы очевидны из определения расстояния. Утверждение

Утверждения

d , так называемое неравенство треугольников, доказывается аналогично тому, как это
было сделано для расстояния в линейном векторном евклидовом пространстве.
Пространство R n , в котором определено расстояние между двумя точками (метрика),
называется метрическим.
n

1.2. Окрестности точек в пространстве R . Классификация точек.
Открытые и замкнутые множества.
Определение 1

(

)

Пусть M 0 x10 , x 20 ,..., x n0 ∈ R n и δ > 0 - вещественное число. δ - окрестностью
точки

M0

называется

множество

точек

M ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n , для которых

справедливо: ρ( M 0 , M ) < δ . δ -окрестность точки

M 0 обозначается U δ ( M 0 ) .

Пример 1
Если M 0 ∈ R 2 , то
центром в точке

U δ ( M 0 ) - открытый круг (граница не входит в это множество) с

M 0 и радиусом δ (рис.1). Если M 0 ∈ R 3 , то U δ ( M 0 ) - открытый шар

(граница не входит в это множество) с центром в точке

M 0 и радиусом δ (рис.2).

z

y

δ
M0

δ
M0

y
x

x

Рис.1.

Определение 2

(

Рис.2.

)

Пусть M 0 x10 , x 20 ,..., x n0 ∈ R n и δ > 0 . Проколотой δ - окрестностью точки
называется

множество

U δ ( M 0 ) \ {M 0 } ,

то

есть

множество

M0

точек

M ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n , для которых справедливо: 0 < ρ( M 0 , M ) < δ . Проколотая δ окрестность точки M обозначается U& ( M ) .
0

δ

0

Определение 3
Точка

M 0 ∈ D ⊂ R n называется внутренней точкой множества

D , если

∃ U δ (M 0 ) ⊂ D .
Определение 4

D ⊂ R n , если ее любая
окрестность содержит как точки множества D , так и точки, не принадлежащие D .
Точка

M 0 называется

граничной точкой множества

Определение 5

M 0 называется предельной точкой множества D ⊂ R n , если любая ее
проколотая окрестность содержит хотя бы одну точку множества D .
Точка

ЗАМЕЧАНИЕ
Граничные и предельные точки множества могут и не принадлежать этому множеству.

7

Определение 6
Совокупность всех граничных точек множества называется его границей.
Пример 2
Для множества точек M ( x, y, z ) пространства

R 3 , для которых справедливо:

⎧0 ≤ x ≤ 1

⎨0 ≤ y ≤ 1 , и которое геометрически в прямоугольной системе координат изображается
⎪0 ≤ z ≤ 1

кубом (рис.3), начало координат O(0,0,0 ) является граничной и предельной точкой, а
точка P (0,5; 0,5; 0,5) - внутренней и предельной

.

Рис.3.

Рис.4.

Пример 3

D ⊂ R 2 является объединением множества пар чисел ( x, y ) , для

Пусть множество

которых x + y < 1 , и точки M (2,0 ) . Все точки этого множества кроме точки
2

2

( x, y ) ,

внутренние и предельные. Точки
предельные (рис.4). Точка
Определение 7
Множество D ⊂
точки - внутренние.
Определение 8

{

x 2 + y 2 = 1 - граничные и

M не является ни внутренней, ни предельной, ни граничной.

R n называется открытым, или связной областью, если все его

Множество D ⊂
предельные точки.
Пример 4
Множество

для которых

M-

Rn

называется

{

замкнутым,

}

E ⊂ R 2 : E = ( x, y ) : x 2 + y 2 < 1

}

если

оно

содержит

все

свои

является открытым. Множество

D ⊂ R 2 : D = ( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1 является замкнутым.
ЗАМЕЧАНИЕ
Не следует понимать, что любое множество открыто или замкнуто. Множество
x, y : x 2 + y 2 < 1 ∪ 2,2 , согласно определению, не является ни тем, ни другим.
Кроме того, можно указать множества, которые и замкнуты и открыты одновременно.
Например, множество вещественных чисел R и замкнуто и открыто одновременно. Если
2
2
его не рассматривать как подмножество R , то оно открыто. Если считать R ⊂ R , то
оно замкнуто.

{(

}

)

1.3. Функции

n

{( )}

переменных. Предел и непрерывность функции
переменных

n

Определение 1
Функцией n переменных называется отображение некоторого множества D ⊂ R n во
множество вещественных чисел R . Иначе говоря, функция - это правило, по которому
8

∀ M ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n ставится в соответствие вещественное число w . Это правило
(соответствие) обозначают:

w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) или w = f ( M ) .

D называется областью определения функции, а множество
E = {w ∈ R : w = f ( M ), M ∈ D } - областью значений функции w = f ( M ) .
Множество

ЗАМЕЧАНИЕ
Если

D ⊂ R2 ,

то

w = f ( x1 , x 2 )

- функция двух переменных. Обычно для функции

двух переменных используют обозначение

z = f ( x, y ) .

В трехмерном евклидовом пространстве с введенной декартовой системой координат
функция z = f ( x, y ) задает некоторую поверхность. Например, функция

z = x2 + y2

задает параболоид вращения (рис.5).

z

y

x
Рис.5.

Пример 1
Найдите область определения и область значений функции двух переменных

z=

4 − x2 − y2 .

Решение
Область определения заданной функции находится из условия 4 − x 2 − y 2 ≥ 0 , или

x 2 + y 2 ≤ 4 . Из последнего неравенства следует, что область определения D ⊂ R 2 это внутренность круга, ограниченного окружностью x 2 + y 2 = 4 .
Область значений функции найдем, записывая ее аналитическое выражение в виде:

⎧z 2 = 4 − x 2 − y 2
⎧x 2 + y 2 + z 2 = 4
, или ⎨
. Следовательно, функция задает верхнюю

z≥0
z≥0


половину сферы с центром в начале координат и радиусом 2 (рис.6). Из рисунка 6 видно,
что 0 ≤ z ≤ 2 , то есть областью значений функции является множество E = [0, 2] .
z

2

2
2
x

Рис.6.

9

y

Определение 2
Пусть на множестве

(

M 0 x10 , x 20 ,..., x n0

)

D ⊂ R n задана функция w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) и пусть

- предельная точка множества D . Число A называют пределом

функции w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) в

точке M 0 и записывают

lim f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = A или

xi → xi0

lim

M →M0

f (M ) = A ,

если для любой ε - окрестности точки A - U ε ( A) найдется δ - окрестность точки

Ì

0

- U (M 0 ) , для которой справедливо: если точка M ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ D ∩ U& (M 0 ) , то

значение функции в этой точке f ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ U ε ( A) .
ЗАМЕЧАНИЕ 1

n
Учитывая определение окрестностей в пространстве R , определение предела для
функции нескольких переменных можно записать в следующем виде:
Пусть функция

D.

lim

f (M )

M →M0

задана на множестве

f (M ) = A ,

если

D ⊂ Rn
∀ε > 0

и

M 0 ∈ D - предельная точка
∃δ > 0 :
∀M ∈ D:

0 < ρ(M 0 , M ) < δ ⇒ f ( M ) − A < ε .
Пример 2
Задана функция двух переменных f ( x, y ) = x sin 1 + y cos 1 при x ≠ 0 и
y

x

y ≠ 0.

Покажем, пользуясь определением, что lim f ( x, y ) = 0 . В самом деле, поскольку
x→0

y →0

f ( x, y ) ≤ x ⋅ sin
то для произвольного числа

1
y

+ y ⋅ cos 1x ≤ x + y ,

ε > 0 можно выбрать δ = 2ε . Тогда для любой точки

M ( x, y ) ∈ U& δ (O ) выполняется x + y <

ε
2

+

ε
2

= ε , откуда следует, что f ( x, y ) < ε .

ЗАМЕЧАНИЕ 2
Все теоремы о пределах для функции одной переменной справедливы и для функций
многих переменных.
ЗАМЕЧАНИЕ 3
Из определения пред