• Название:

    Comp 60 pdf Vasilieva Функции нескольких переме...

  • Размер: 0.72 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
  • Автор: Helen

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)

Кафедра математики
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Е.С.Баранова, Н.В.Васильева

Тема 6. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных
Компендиум по дисциплине «Математика»

Санкт-Петербург
2005

ББК 22.161.1
УДК 517.2
Е.С.Баранова, Н.В.Васильева. Математика. Тема 6. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных. Учеб. Пособие. СПб.: Изд. Центр СПбГМТУ, 2005. с. 43.
Ил. 9 . Табл. 22 . Библиогр.: 7 назв.
Настоящее издание адресовано студентам инженерных[ специальностей для
организации их самостоятельной работы. Учебное пособие разработано в виде
компендиума по изучаемой дисциплине. Оно содержит тематический план, выписки из
календарных планов лекций и практических занятий по теме «Дифференциальное
исчисление функций нескольких переменных», теоретический материал по этой теме, с
большим количеством разобранных типовых задач, а также контрольные вопросы по
теории и вопросы для подготовки к экзамену. Для самоконтроля полученных знаний в
пособие введен тест, в котором представлены тестовые задания с выбором ответа,
сформулированные на основе требуемого набора знаний и умений по изучаемой теме. В
конце пособия дан список рекомендуемой литературы и ответы к тесту.
Работа выполнено по заказу и при поддержке факультета целевой и контрактной
подготовки специалистов СПбГМТУ.

Е.С.Баранова, Н.В.Васильева

Тема 6. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных
Компендиум по дисциплине «Математика»
Редактор Н.Н.Катрушенко

ISBN
© СПбГМТУ, 2005

СОДЕРЖАНИЕ КОМПЕНДИУМА
1. Тематический план 2 –го семестра.
2. Выписка из календарного плана лекций.
3. Теоретический материал.
4. Контрольные вопросы по теории.
5. Вопросы для подготовки к экзамену.
6. Выписка из календарного плана практических занятий.
7. Тест

по

теме

6:

«Дифференциальное

нескольких переменных».
8. Рекомендуемая литература.
9. Ответы к тесту.

3

исчисление

функций

1. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН 2–го СЕМЕСТРА

Распределение часов
Аудиторные занятия

темы

Название темы
Всего

5

Дифференциальное исчисление
одной переменной. Часть 2.

функций

6

Дифференциальное исчисление
нескольких переменных.

функций

7

Интегральное
переменной.

8

Ряды.

исчисление

Всего за 2 семестр

функций

одной

Самостоятельная
работа

Из них

Всего
аудиторных

Лекции

Практические
занятия

48

28

16

12

20

38

26

12

14

12

66

44

24

20

22

38

28

20

8

10

190

126

72

54

64

2.

ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ЛЕКЦИЙ

6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
(14 часов)
10. Метрическое n - мерное пространство. Функция n переменных. Функция двух
11.

12.

13.
14.
15.

переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные
производные и их геометрический смысл (2 часа).
Дифференцируемая функция. Необходимое условие дифференцируемости.
Достаточное условие дифференцируемости. Производная сложной функции n
переменных. Полная производная (2 часа).
Дифференциал функции n переменных. Оценка погрешностей. Уравнение
касательной плоскости и нормали к поверхности. Геометрический смысл
дифференциала функции двух переменных (2 часа).
Производные
и
дифференциалы
высших
порядков.
Неявные
функции.
Дифференцирование
неявных
функций
одной
и
двух
переменных.
Дифференцирование неявных функций, заданных системой. (2 часа).
Экстремум функции двух переменных: определение, необходимое условие,
достаточное условие. Экстремум функций n переменных. (2 часа).
Задачи на наименьшее и наибольшее значения (2 часа).

3.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Таблица 2. Оглавление

1. Функции нескольких переменных.
1.1. Прямое произведение множеств, n - мерное пространство R n
1.2. Окрестности в пространстве

R n . Классификация точек. Открытые и

замкнутые
множества
1.3. Функции n переменных. Предел и непрерывность функций n переменных.
2. Дифференцирование функций n переменных.
1.4. Частные производные функций n переменных.
2.1. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости.
2.2. Производная сложной функции. Полная производная.
3. Дифференциал функций нескольких переменных.
1.5. Определение дифференциала функции нескольких переменных и его
свойства.
1.6. Инвариантность формулы первого дифференциала функций нескольких
переменных.
1.7. Геометрическ4ий смысл дифференциала функции двух переменных.
Уравнение
касательной плоскости и нормали к поверхности.
1.8. Приближенные вычисления и оценка погрешностей.
4. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
5. Производные функций нескольких переменных, заданных неявно.
5.1. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула для
частных

производных функции двух переменных, заданной неявно.
5.2. Производная неявной функции, заданной системой уравнений. Определитель
Якоби.
6. Экстремум функции нескольких переменных.
6.1. Формула Тейлора функции n переменных.
6.2. Экстремум функции двух переменных.
6.3. Экстремум функции n переменных.
6.4. Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных.

1. Функции нескольких переменных
1.1. Прямое произведение множеств.

n

- мерное пространство

Rn .

Определение 1
Пусть заданы два множества X и Y . Прямым произведением X × Y этих множеств

называется множество всех упорядоченных пар ( x, y ) , где x ∈ X и

y ∈Y .

ЗАМЕЧАНИЕ
Упорядоченность пары

( x, y )

следует понимать в том смысле, что

( x, y ) ≠ ( y , x ) .

Пример 1
Если заданы множества

X = {1,2,3} и Y = { p, q} , то их прямым произведением

является следующее множество

X × Y = {(1, p ); (1, q ); (2, p ); (2, q ); (3, p ); (3, q )} .
Пример 2

R - множество всех вещественных чисел, то прямое произведение R × R или
пространство R 2 - это множество всех упорядоченных пар вещественных чисел. Если
Если

использовать метод координат, то можно установить взаимно однозначное соответствие
между элементами

( x, y ) ∈ R 2

и точками M ( x, y ) плоскости с выбранной на ней

системой координат.
Пример 3

R × R × R или пространство R 3 - это множество всех упорядоченных троек
вещественных чисел. Метод координат позволяет установить взаимно однозначное
соответствие между элементами

( x, y , z ) ∈ R 3

и точками M ( x, y, z ) трехмерного

Евклидова пространства с выбранной в нем декартовой системой координат.
Определение 2
Прямое произведение
наборов

( x1 , x2 ,..., xn ) из n

и обозначается:

R × R × ... × R , то есть множество всех упорядоченных
n раз

вещественных чисел называется n - мерным пространством

R n . Элементы ( x1 , x 2 ,...x n ) ∈ R n называются точками пространства

R n и обозначаются M ( x1 , x 2 ,..., x n ) . Вещественные числа x1 , x 2 ,...x n называются
координатами точки M .
Определение 3

(

(

)

)

Расстоянием между точками M 1 x11 , x12 ,..., x1n и M 2 x1 , x 2 ,..., x n пространства
2

2

2

Rn

называется число, ρ( M 1 , M 2 ) , которое определяется по формуле:

ρ( M 1 , M 2 ) =

(x11 − x12 )2 + (x12 − x22 )2 + ... + (x1n − xn2 )2 .

Теорема
Расстояние ρ( M 1 , M 2 ) между точками
удовлетворяет следующим соотношениям:
a)
b)
c)
d)

M1 и

ρ( M 1 , M 2 ) ≥ 0 .
ρ( M 1 , M 2 ) = 0 ⇔ M 1 = M 2 .
ρ( M 1 , M 2 ) = ρ( M 2 , M 1 ) .
ρ( M 1 , M 2 ) ≤ ρ( M 1 , M 3 ) + ρ( M 3 , M 2 ) .
6

M 2 из пространства R n

a, b и c теоремы очевидны из определения расстояния. Утверждение

Утверждения

d , так называемое неравенство треугольников, доказывается аналогично тому, как это
было сделано для расстояния в линейном векторном евклидовом пространстве.
Пространство R n , в котором определено расстояние между двумя точками (метрика),
называется метрическим.
n

1.2. Окрестности точек в пространстве R . Классификация точек.
Открытые и замкнутые множества.
Определение 1

(

)

Пусть M 0 x10 , x 20 ,..., x n0 ∈ R n и δ > 0 - вещественное число. δ - окрестностью
точки

M0

называется

множество

точек

M ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n , для которых

справедливо: ρ( M 0 , M ) < δ . δ -окрестность точки

M 0 обозначается U δ ( M 0 ) .

Пример 1
Если M 0 ∈ R 2 , то
центром в точке

U δ ( M 0 ) - открытый круг (граница не входит в это множество) с

M 0 и радиусом δ (рис.1). Если M 0 ∈ R 3 , то U δ ( M 0 ) - открытый шар

(граница не входит в это множество) с центром в точке

M 0 и радиусом δ (рис.2).

z

y

δ
M0

δ
M0

y
x

x

Рис.1.

Определение 2

(

Рис.2.

)

Пусть M 0 x10 , x 20 ,..., x n0 ∈ R n и δ > 0 . Проколотой δ - окрестностью точки
называется

множество

U δ ( M 0 ) \ {M 0 } ,

то

есть

множество

M0

точек

M ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n , для которых справедливо: 0 < ρ( M 0 , M ) < δ . Проколотая δ окрестность точки M обозначается U& ( M ) .
0

δ

0

Определение 3
Точка

M 0 ∈ D ⊂ R n называется внутренней точкой множества

D , если

∃ U δ (M 0 ) ⊂ D .
Определение 4

D ⊂ R n , если ее любая
окрестность содержит как точки множества D , так и точки, не принадлежащие D .
Точка

M 0 называется

граничной точкой множества

Определение 5

M 0 называется предельной точкой множества D ⊂ R n , если любая ее
проколотая окрестность содержит хотя бы одну точку множества D .
Точка

ЗАМЕЧАНИЕ
Граничные и предельные точки множества могут и не принадлежать этому множеству.

7

Определение 6
Совокупность всех граничных точек множества называется его границей.
Пример 2
Для множества точек M ( x, y, z ) пространства

R 3 , для которых справедливо:

⎧0 ≤ x ≤ 1

⎨0 ≤ y ≤ 1 , и которое геометрически в прямоугольной системе координат изображается
⎪0 ≤ z ≤ 1

кубом (рис.3), начало координат O(0,0,0 ) является граничной и предельной точкой, а
точка P (0,5; 0,5; 0,5) - внутренней и предельной

.

Рис.3.

Рис.4.

Пример 3

D ⊂ R 2 является объединением множества пар чисел ( x, y ) , для

Пусть множество

которых x + y < 1 , и точки M (2,0 ) . Все точки этого множества кроме точки
2

2

( x, y ) ,

внутренние и предельные. Точки
предельные (рис.4). Точка
Определение 7
Множество D ⊂
точки - внутренние.
Определение 8

{

x 2 + y 2 = 1 - граничные и

M не является ни внутренней, ни предельной, ни граничной.

R n называется открытым, или связной областью, если все его

Множество D ⊂
предельные точки.
Пример 4
Множество

для которых

M-

Rn

называется

{

замкнутым,

}

E ⊂ R 2 : E = ( x, y ) : x 2 + y 2 < 1

}

если

оно

содержит

все

свои

является открытым. Множество

D ⊂ R 2 : D = ( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1 является замкнутым.
ЗАМЕЧАНИЕ
Не следует понимать, что любое множество открыто или замкнуто. Множество
x, y : x 2 + y 2 < 1 ∪ 2,2 , согласно определению, не является ни тем, ни другим.
Кроме того, можно указать множества, которые и замкнуты и открыты одновременно.
Например, множество вещественных чисел R и замкнуто и открыто одновременно. Если
2
2
его не рассматривать как подмножество R , то оно открыто. Если считать R ⊂ R , то
оно замкнуто.

{(

}

)

1.3. Функции

n

{( )}

переменных. Предел и непрерывность функции
переменных

n

Определение 1
Функцией n переменных называется отображение некоторого множества D ⊂ R n во
множество вещественных чисел R . Иначе говоря, функция - это правило, по которому
8

∀ M ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n ставится в соответствие вещественное число w . Это правило
(соответствие) обозначают:

w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) или w = f ( M ) .

D называется областью определения функции, а множество
E = {w ∈ R : w = f ( M ), M ∈ D } - областью значений функции w = f ( M ) .
Множество

ЗАМЕЧАНИЕ
Если

D ⊂ R2 ,

то

w = f ( x1 , x 2 )

- функция двух переменных. Обычно для функции

двух переменных используют обозначение

z = f ( x, y ) .

В трехмерном евклидовом пространстве с введенной декартовой системой координат
функция z = f ( x, y ) задает некоторую поверхность. Например, функция

z = x2 + y2

задает параболоид вращения (рис.5).

z

y

x
Рис.5.

Пример 1
Найдите область определения и область значений функции двух переменных

z=

4 − x2 − y2 .

Решение
Область определения заданной функции находится из условия 4 − x 2 − y 2 ≥ 0 , или

x 2 + y 2 ≤ 4 . Из последнего неравенства следует, что область определения D ⊂ R 2 это внутренность круга, ограниченного окружностью x 2 + y 2 = 4 .
Область значений функции найдем, записывая ее аналитическое выражение в виде:

⎧z 2 = 4 − x 2 − y 2
⎧x 2 + y 2 + z 2 = 4
, или ⎨
. Следовательно, функция задает верхнюю

z≥0
z≥0


половину сферы с центром в начале координат и радиусом 2 (рис.6). Из рисунка 6 видно,
что 0 ≤ z ≤ 2 , то есть областью значений функции является множество E = [0, 2] .
z

2

2
2
x

Рис.6.

9

y

Определение 2
Пусть на множестве

(

M 0 x10 , x 20 ,..., x n0

)

D ⊂ R n задана функция w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) и пусть

- предельная точка множества D . Число A называют пределом

функции w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) в

точке M 0 и записывают

lim f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = A или

xi → xi0

lim

M →M0

f (M ) = A ,

если для любой ε - окрестности точки A - U ε ( A) найдется δ - окрестность точки

Ì

0

- U (M 0 ) , для которой справедливо: если точка M ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ D ∩ U& (M 0 ) , то

значение функции в этой точке f ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ U ε ( A) .
ЗАМЕЧАНИЕ 1

n
Учитывая определение окрестностей в пространстве R , определение предела для
функции нескольких переменных можно записать в следующем виде:
Пусть функция

D.

lim

f (M )

M →M0

задана на множестве

f (M ) = A ,

если

D ⊂ Rn
∀ε > 0

и

M 0 ∈ D - предельная точка
∃δ > 0 :
∀M ∈ D:

0 < ρ(M 0 , M ) < δ ⇒ f ( M ) − A < ε .
Пример 2
Задана функция двух переменных f ( x, y ) = x sin 1 + y cos 1 при x ≠ 0 и
y

x

y ≠ 0.

Покажем, пользуясь определением, что lim f ( x, y ) = 0 . В самом деле, поскольку
x→0

y →0

f ( x, y ) ≤ x ⋅ sin
то для произвольного числа

1
y

+ y ⋅ cos 1x ≤ x + y ,

ε > 0 можно выбрать δ = 2ε . Тогда для любой точки

M ( x, y ) ∈ U& δ (O ) выполняется x + y <

ε
2

+

ε
2

= ε , откуда следует, что f ( x, y ) < ε .

ЗАМЕЧАНИЕ 2
Все теоремы о пределах для функции одной переменной справедливы и для функций
многих переменных.
ЗАМЕЧАНИЕ 3
Из определения предела и замечания 1 следует, что для того, чтобы функция
имела

предел

в

последовательности
существовал предел

f (M )

M 0 , необходимо и достаточно, чтобы для любой
точек M 1 , M 2 ,..., M n , имеющей пределом точку M 0 ,
lim f ( M n ) и был одинаковым для всех последовательностей

точке

n→∞

M 1 , M 2 ,..., M n .

10

Пример 3
Функция f ( x, y ) =

x2 y

не имеет предела в точке O(0,0 ) - начале координат.

x4 + y2

Если задать последовательности точек, стремящихся к началу координат по прямым

⎧ x = mt
, то

⎩ y = nt
lim

t →0

m2nt 3
m 4 t 4 + n 2t 2

= lim

t →0

m2nt
m 4t 2 + n 2

= 0.

Если же рассмотреть последовательность точек, сходящуюся к началу координат по
параболе

⎧ x=t

2 , то
⎩y = t
t4
=
t →0 t 4 + t 4
lim

1
.
2

Пример 4

e xy − cos xy
Пусть задана функция f ( x, y ) =
. Предел этой функции в начале
3xy
координат равен 1 . Это следует из того, что можно сделать замену переменных xy = t и
3

перейти

к

пределу

функции

(

одной

)

t+
e xy − cos xy
e t − cos t
e t − 1 + (1 − cos t )
= lim
= lim
= lim
x →0
t →0
t →0
t →0
3 xy
3t
3t
3t

lim

t.

переменной
1 t2
2

= 13 .

y →0

Определение 3
Функция w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) , определенная на множестве

(

D ⊂ R n , называется

)

непрерывной в точке M 0 x10 , x 20 ,..., x n0 ∈ D , если в этой точке существует конечный

lim

предел, равный значению функции в этой точке, то есть

M →M0

f (M ) = f (M 0 ) .

Определение 4

D ⊂ R n задана функция w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) и пусть

Пусть на множестве

(

)

M 0 x10 , x 20 ,..., x n0 ∈ D .

(

Пусть

Δx1 , Δx 2 ,..., Δx n

числа

)

M x10 + Δx1 , x 20 + Δx 2 ,..., x n0 + Δx n ∈ D .

Полным

таковы,

что

приращением

точка
функции

w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) в точке M 0 называется число Δw = f ( M ) − f ( M 0 ) .
Теорема 1
Для того чтобы функция w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) , заданная на множестве
непрерывна

в

(

)

M 0 x10 , x 20 ,..., x n0 ∈ D

точке

необходимо

и

D , была

достаточно,

чтобы

lim Δw = 0, i = 1,2,...n .

Δxi →0

Доказательство
Из того, что функция w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) непрерывна в точке M 0 следует, что
существует конечный
координаты

lim

M →M0

точки

f ( M ) = f ( M 0 ) . Тогда

M ( x1 , x 2 ,..., x n )
11

lim

M →M 0

( f (M ) − f (M 0 )) = 0 .

представить

в

Если
виде

x1 = x10 + Δx1 , x 2 = x 20 + Δx 2 , ..., x n = x n0 + Δx n ,

M → M 0 ⇔ Δxi → 0, i = 1,2,..., n .

Так

то

ясно,

что

f ( M ) − f ( M 0 ) = Δw ,

как

то

lim Δw = 0, i = 1,2,..., n .

Δxi →0

Определение 5
Функция w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) , заданная на множестве D ⊂ R n и непрерывная в
каждой точке M 0 ∈ D , называется непрерывной на множестве

D.

Определение 6
Точка, в которой не выполнено условие непрерывности, называется точкой разрыва
функции.
ЗАМЕЧАНИЕ
Множества точек разрыва функции нескольких переменных может иметь самую
разнообразную структуру. В частности, они могут образовывать линии разрыва и
поверхности разрыва.

Пример 5

y = x является линией разрыва для функции w =

Прямая

z2 = x2 + y2

поверхность

w=

является

поверхностью

x+ y
. Коническая
x− y

разрыва

для

функции

3x
.
x2 + y2 − z2

Для непрерывных функций n переменных справедливы следующие теоремы.
Теорема 2
Функция

w = f ( M ) , непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве

D ⊂ R n , ограничена на этом множестве и достигает на нем своего наибольшего и
наименьшего значений.
Теорема 3
Пусть функция w = f ( M ) непрерывна в замкнутом и ограниченном множестве

D ⊂ R n и пусть p ≤ f ( M ) ≤ P для всех точек M ∈ D . Если для числа c справедливо
неравенство

p ≤ c ≤ P , то существует точка M 0 ∈ D , такая, что f (M 0 ) = c .

2. Дифференцирование функций

n переменных

2.1. Частные производные функции n переменных
Определение 1
Пусть функция w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) определена на множестве
точки

(

M 0 x10 , x20 ,..., xi0 ,..., xn0

)

и

(

M i x10 , x20 ,..., xi0 + Δxi ,..., xn0

)

D ⊂ R n . Пусть

принадлежат

этому

множеству. Частным приращением функции f ( x1 , x 2 ,...xi ,..., x n ) по переменной xi
называется число, равное разности значений функции в этих точках, то есть

f ( M i ) − f ( M 0 ) или

(

)

(

)

f x10 , x 20 ,..., xi0 + Δxi ,..., x no − f x10 , x 20 ,..., xi0 ,..., x no . Частное

приращение обозначается Δ x w или Δ xi f .
i
В частности, для функции двух переменных z = f ( x, y ) частные приращения в точке

M 0 (x0 , y 0 ) по переменным x и y равны:

Δ x z = f (x0 + Δx, y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) ,
12

Δ y z = f ( x0 , y 0 + Δy ) − f ( x0 , y 0 ) .
Определение 2
Пусть функция w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) определена на множестве D ⊂ R n и

(

)

пусть M 0 x10 , x 20 ,..., xi0 ,..., x n0 ∈ D . Если существует и конечен

lim

Δxi → 0

Δ xi w
Δxi

, то он

называется частной производной функции w по переменной xi и обозначается ∂w или
∂xi

∂f
.
∂xi

В частности, для функции двух переменных z = f ( x, y ) частные производные по x

и y определяются как пределы:

∂z
f ( x0 + Δx, y0 ) − f (x0 , y0 )
= lim
,
∂x Δx →0
Δx
∂z
f ( x0 , y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 )
,
= lim
∂y Δy → 0
Δy
если они существуют и конечны.
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Ясно, что частные производные функции
функциями этих же переменных.

n

переменных в свою очередь являются

ЗАМЕЧАНИЕ 2
Из определения частных производных следует, что при вычислении частной производной

w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) по переменной xi , следует рассматривать ее как
функцию одной переменной xi , а все остальные переменные считать постоянными.
функции

ЗАМЕЧАНИЕ 3
Из определения частных производных и замечания 2, можно сделать вывод, что при
частном дифференцировании функции n переменных справедливы все правила
дифференцирования, а также таблица производных, полученные для функции одной
переменной.

Пример 1
Вычислите частные производные функции двух переменных z = x y .
Решение
Заданная функция является степенной относительно переменной x и показательной
относительно переменной y . Поэтому

∂z
∂z
= yx y −1 ;
= x y ln x .
∂x
∂y
Пример 2
Вычислите частные производные функции трех переменных

w=

x y
+ + x 2 yz .
y z

Решение

∂w 1
= + 2 xyz ,
∂x y

x 1
∂w
= − 2 + + x2z ,
∂y
z
y

13

y
∂w
= − 2 + x2 y .
∂z
z

Пример 3
Вычислить частные производные для функции двух переменных

1 − xy
x2 + y2

.

Решение
Используя правило дифференцирования частного, вычислим

(

2
2
2
2
∂z − y x + y − (1 − xy ) 12 x + y
=
∂x
x2 + y2

)

− 12

⋅ 2x

∂z
=
, или
∂x

− y x 2 + y 2 − (1 − xy )
x2 + y2

x
x2 + y2

.

x и y входят в аналитическое выражение функции
симметрично, то частную производную по y можно получить, заменяя в частной
Поскольку переменные

производной ∂z x на
∂x

y , а y на x . То есть
∂z
=
∂y

− x x 2 + y 2 − (1 − xy )

y
x2 + y2

x2 + y2

.

Следует заметить, что частным производным функции двух переменных можно дать
наглядный геометрический смысл.
Теорема 1
Путь функция двух переменных z = f ( x, y ) определена на множестве D ⊂ R 2 и
точка M 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ D . Частная производная

∂z
(M 0 ) равна tg α , где α - угол между
∂y
⎧ z = f ( x, y )
,
⎩ x = x0

касательной, проведенной к пространственной кривой, заданной системой ⎨
в точке с координатами x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 ) и осью Oy .
Доказательство
При вычислении частной производной
значение

∂z
(M 0 ) переменная x сохраняет постоянное
∂y

x = x0 . Функция z = f ( x, y 0 ) геометрически задает линию пересечения

поверхности z = f ( x, y ) с плоскостью x = x0 . Из геометрического смысла производной

∂z
(M 0 ) равняется угловому коэффициенту
∂y
касательной к этой кривой в точке с ординатой y0 или tg α , где α - угол, который эта
функции одной переменной следует, что

касательная составляет с осью Oy (рис.7).
z

y0

x0

α

y

x

Рис. 7.

Справедлива аналогичная теорема о геометрическом смысле частной производной

∂z
(M 0 ) .
∂x
14

Теорема 2
Пусть функция двух переменных z = f ( x, y ) определена на множестве D ⊂ R 2 и

∂z
(M 0 ) = tg α , где α - угол между
∂x
⎧ z = f ( x, y )
,
касательной, проведенной к пространственной кривой, заданной системой ⎨
=
y
y
0


точка M 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ D . Частная производная

в точке с координатами

x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 ) и осью Ox .

Пример 4

⎧⎪ z = x 2 + y 2
в точке M 0 (1,1) с осью
⎪⎩
x =1

Какой угол составляет касательная к кривой ⎨

Oy ?
Решение

α

Если
∂z
∂y

=

1
2

-

(x 2 + y 2 )−

1
2

⋅ 2y =

искомый

угол,

y
2

x +y

следовательно, искомый угол α =

2

arctg

и

tg α =

то
вычислим

в

∂z
∂y

(1,1) .

точке

M0.

Определим

tg α =

1 ,
2

1 .
2

2.2. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости
Определение 1
Функция

(

w = f ( x1 , x 2 ,..., x n )

)

называется

дифференцируемой

в

точке

M 0 x10 , x 20 ,..., x n0 ∈ D ⊂ R n , где D - область определения функции, если ее полное
n

Δw = ∑ Ai Δxi + θ(ρ) , где Ai

приращение Δw в этой точке можно представить в виде:

(

i =1

числа, которые зависят только от координат точки M 0 x10 , x 20 ,..., x n0

-

) и не зависят от

Δxi , а θ(ρ) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем бесконечно малая

ρ=

n

∑ (Δxi )2 .
i =1

ЗАМЕЧАНИЕ 1
Заметим, что согласно определению полное приращение
n
функции представимо в виде двух частей. Первая часть i =1

Δw

∑ Ai Δxi

относительно приращений

Δx i .

а вторая -

высокого порядка, чем каждое приращение

θ(ρ)

дифференцируемой
является линейной

является бесконечно малой более

Δx i .

ЗАМЕЧАНИЕ 2
В отличие от функции одной переменной для функции многих переменных нельзя
сформулировать условие, которое является одновременно необходимым и достаточным
условием дифференцируемости.

15

Теорема 1. (Необходимое условие дифференцируемости)
Если функция n переменных дифференцируема в некоторой точке, то она
непрерывна в этой точке и имеет в ней конечные частные производные по всем
переменным.
Доказательство
Пусть

функция

(

)

w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n )

дифференцируема

в

точке

M 0 x10 , x 20 ,..., xi0 ,..., x n0 из области определения D ⊂ R n . По определению ее полное

(

)

(

Δw = f x10 + Δx1 , x 20 + Δx 2 ,..., x n0 + Δx n − f x10 , x 20 ,..., x no

приращение

)

можно

представить в виде:
n

Δw = ∑ Ai Δxi + θ(ρ)

(1)

i =1

Из последнего равенства следует:

i = 1,2,..., n , а поскольку Ai - некоторые числа, то и

бесконечно малая при Δxi → 0 ,
n

∑ Ai Δxi
i =1

2.
виде

i = 1,2,..., n . Это ясно из того, что ρ -

Приращения Δw → 0 при всех Δxi → 0 ,

1.

→ 0 при Δxi → 0 , i = 1,2,..., n .

Δx2 = Δx3 = ... = Δxn = 0 ,

Если положить

Δ x1 w = A1Δx1 + θ(Δx1 ) или
lim

Тогда

Δ x1 w

Δx1 →0

lim

предел

Δx1 → 0

Δx1
Δx1

Аналогично

Δx1

= A1 +

θ(Δx1 )
и перейти к пределу при Δx1 → 0 .
Δx1

θ(Δx1 )
= A1 , откуда следует, что существует конечный
Δx1 →0 Δx
1

= lim A1 + lim
Δx1 →0

Δ x1 w

Δ x1 w

то равенство (1) можно записать в

=

∂w
(M 0 ) .
∂x1

можно

доказать

существование

конечных

частных

производных

Ai

определении

∂w
(M 0 ) , ∂w (M 0 ) , …., ∂w (M 0 ) .
∂x2
∂x3
∂xn
Следствие 1
Из

доказательства

теоремы

следует,

что

числа

в

дифференцируемой функции равны значениям частных производных
дифференцируемости.
Следовательно,
полное
приращение

в точке
функции

w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) , дифференцируемой в точке M 0 , можно представить в виде
∂w
(M 0 ) ⋅ Δxi + θ(ρ) , где θ(ρ) - бесконечно малая более высокого порядка, чем
i =1 ∂xi
n

Δw = ∑
ρ=

n

∑ (Δxi )2

при всех

i =1

Δxi → 0 .

Следствие 2
Если у функции
производная

w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) не существует конечная частная

∂w
(M 0 ) хотя бы по одной переменной xi , то в точке M 0 функция не
∂xi

является дифференцируемой.

16

Пример
Функция двух переменных z = x 3

y определена на полуплоскости: − ∞ < x < +∞ и

0 ≤ y < +∞ . Ее частные производные равны:

∂w
= 3x 2 y ,
∂x

∂w
x3
=
.
∂y 2 y

Так

как

∂w
не существует при y = 0 , то заданная функция не является дифференцируемой на
∂y
луче y = 0 , входящем в область определения.
Теорема 2. (Достаточное условие дифференцируемости).
Если функция

(

w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) определена на множестве D ⊂ R n и имеет

)

в точке M 0 x10 , x 20 ,..., xi0 ,..., x n0 ∈ D непрерывные частные производные по всем
переменным

xi , то она в этой точке дифференцируема.

Доказательство
При доказательстве ограничимся случаем функции двух переменных. Для функции
большего числа переменных доказательство будет аналогичным.
Для функции z = f ( x, y ) полное приращение в точке

M 0 ( x0 , y 0 ) имеет вид:

Δz = f ( x0 + Δx, y 0 + Δy ) − f ( x0 , y 0 ) . Прибавим и вычтем в левой части этого
соотношения значение функции

f ( x0 + Δx, y 0 ) . Тогда Δz можно записать в следующем

виде

Δz = ( f ( x0 + Δx, y 0 + Δy ) − f ( x0 + Δx, y 0 )) + ( f ( x0 + Δx, y 0 ) − f ( xo , y 0 )) .
Применяя теорему Лагранжа к разностям функций одной переменной, стоящих в
скобках, получим

Δz =

∂z
(x0 + Δx, y1 ) ⋅ Δy + ∂z (x1, y0 ) ⋅ Δx ,
∂y
∂x

(2),

y 0 < y1 < y 0 + Δy , x0 < x1 < x0 + Δx . Ясно, что при Δy → 0 , y1 → y 0 и при

где

Δx → 0 x1 → x0 .
Поскольку частные производные непрерывны, то

∂z
(x1, y0 ) = ∂z (x0 , y0 ) ; lim ∂z (x0 + Δx, y1 ) = ∂z (x0 , y0 ) ,
Δx → 0 ∂x
Δy → 0 ∂y
∂x
∂y
lim

откуда

следует,

что

∂z
(x1 , y0 ) = ∂z (x0 , y 0 ) + α(Δx )
∂x
∂x

и

∂z
(x0 + Δx, y1 ) = ∂z (x0 , y0 ) + β(Δy ) , где α(Δx ) и β(Δy ) - бесконечно малые функции
∂y
∂y
при Δx → 0 и Δy → 0 . Учитывая это, соотношение (2) можно переписать в следующем
виде

Δz =

∂z
(x0 , y0 ) ⋅ Δx + ∂z (x0 , y0 ) ⋅ Δy + α(Δx ) ⋅ Δx + β(Δy ) ⋅ Δy .
∂x
∂y

Заметим, что выражение α (Δx ) ⋅ Δx + β(Δy ) ⋅ Δy представляет собой бесконечно
малую функцию при Δx → 0 и

Δy → 0 , имеющую более высокий порядок, чем Δx и

Δy . Если обозначить эту бесконечно малую функцию θ(ρ ) , где ρ = Δx 2 + Δy 2 , то
полное приращение функции запишется в виде:

Δz = A1 ⋅ Δx + A2 ⋅ Δy + θ(ρ ) ,

где A1 и

A2 - вещественные числа, а θ(ρ) - бесконечно малая при Δx → 0 и Δy → 0 , более
17

высокого

порядка,

дифференцируема в точке

2.3.

z = f ( x, y )

ρ = Δx 2 + Δy 2 . Следовательно, функция

чем

M0.

Производная сложной функции. Полная производная

Теорема 1

D ⊂ R n задана

Пусть на множестве
функция

дифференцируемая по переменным

w = f ( x1 , x2 ,..., xi ,..., xn )

x 2 = x 2 (v1 , v 2 ,..., v n ) ,…,

и

m

дифференцируемыми функциями

x1 = x1 (v1 , v 2 ,..., v n ) ,

функции

xn = x n (v1 , v 2 ,..., vn )

в

свою

независимых переменных

x1 , x2 ,..., xn

очередь

v1 , v2 ,..., vm .

являются

Тогда функция

является сложной дифференцируемой функцией независимых переменных v1 , v 2 ,..., v m и
частные производные от функции w по этим переменным равны:

w

n ∂w ∂x
∂w
=∑
⋅ i , где j = 1,2,..., m .
∂v j i =1 ∂xi ∂v j

Доказательство
Из дифференцируемости функции w следует, что

ρ=

∂w
⋅ Δxi + θ(ρ ) , где
i =1 ∂xi
n

Δw = ∑

n

∑ (Δxi )2 . Тогда
i =1

n ∂w Δx
θ(ρ )
Δw
⋅ i +
.
=∑
Δv j i =1 ∂xi Δv j Δv j

В последнем равенстве перейдем к пределу при Δv j → 0 , зафиксировав все
остальные переменные v k . Получим

lim

Δvj w
Δv j

Δ v j xi
∂w
θ(ρ )
lim
.
+ lim
Δv j →0 Δv j
i =1 ∂xi Δv j →0 Δv j
n

=∑

Δv j →0

Из дифференцируемости функций x1 , x 2 ,..., x n по переменным v1 , v 2 ,..., v m следует
существование конечных пределов lim

Δ v j xi

=

Δv j

Δv j →0

∂xi
, а также непрерывность функций
∂v j

x1 , x 2 ,..., x n . Из непрерывности функций x1 , x 2 ,..., x n следует, что Δ v j xi → 0 при
Δv j → 0 для всех i = 1,2,...n . При этом из дифференцируемости функций x1 , x 2 ,..., x n

следует также, что θ(ρ ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем
значит,

θ(ρ )
= 0.
Δ v j → 0 Δv
j

lim

Следовательно,

lim

Δw ∂w n ∂w ∂xi
,
=
=∑

Δv j ∂v j i =1 ∂xi ∂v j

при

Δv j

и,

всех

Δv j → 0

j = 1,2,..., m . Теорема доказана.
В частном случае, для сложной функции двух переменных

z = f ( x, y ) , где

x = x(u , v ) и y = y (u , v ) , частные производные по независимым переменным u и v
вычисляются по формулам
18

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
+ ⋅
,
= ⋅
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= ⋅ + ⋅ .
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v

Пример 1

w=2

Задана сложная функция
частные производные

∂w
∂u

и

xy
z

, где

x=

u
, y= u
v

,

z = v 2 + 3v .

Вычислите

∂w
.
∂v

Решение
Используя формулу производной сложной функции

∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
=


+

+
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u
xy

и вычислив частные производные по переменной x :

y
∂w
= 2 z ⋅ ln 2 ⋅ , по переменной
z
∂x

xy

x
∂w
= 2 z ⋅ ln 2 ⋅ ,
z
∂y

xy

xy
∂w
= −2 z ⋅ ln 2 ⋅ 2 , а также частные
∂z
z
∂x 1
производные от переменных x, y, z по независимым переменным u и v :
= ,
∂u v
1
∂y
∂z
=
,
= 0 , получим выражение для частной производной функции
∂u
∂u 2 u
w по переменной u .

y:

и по переменной z :

∂w
=2
∂u

xy
z

y 1
⋅ ln 2 ⋅ ⋅ + 2
z v

xy
z

x 1
.
⋅ ln 2 ⋅ ⋅
z 2 u

Аналогично, выражение для частной производной функции w по независимой
переменной v получим, используя формулу производной сложной функции

∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z
⋅ , и, вычислив все входящие в нее частные производные
⋅ +
=
⋅ +
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v
u ∂y
∂z
∂x
= 0,
= 2v + 3 .
=− 2 ,
∂v
∂v
v ∂v
xy

xy

∂w
y u
xy
= −2 z ⋅ ln 2 ⋅ ⋅ 2 − 2 z ⋅ ln 2 ⋅ 2 ⋅ (2v + 3) .
∂v
z v
z
Следствие 1
Если на множестве
функция

D ⊂ R n задана дифференцируемая по переменным x1 , x 2 ,..., x n

w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n )

и

если

функции

x1 = x1 ( t ) ,

x 2 = x 2 ( t ) ,..…, x n = x n ( t ) - дифференцируемые функции независимой переменной t ,
то функция w является сложной дифференцируемой функцией одной переменной t и ее
полная производная по независимой переменной t равна:

dw n ∂w dxi
=∑

.
dt i =1 ∂xi dt
Пример 2
Найти полную производную по t

от функции

y = tg 3 t .
19

z=

arctg ( xy )
, если x = t ⋅ ln t ,
3 y

Решение
По формуле полной производной

dz ∂z dx ∂z dy
= ⋅ + ⋅ . Тогда
dt ∂x dt ∂y dt

2

∂z
=
∂y

y
1
1
∂z
,
=

⋅y=
2
∂x 3 y 1 + ( xy )
1 + ( xy )2
3

− x⋅ 3 y −arctg ( xy )⋅ 13 ⋅ y
1+ ( xy )2
1

3

−2
3

3 xy

=

y2

1+ ( xy )2

−arctg ( xy )

3 3 y4

,

1
dy
sin 2 t
dx
1
= ln t + t ⋅ = ln t + 1 ,
.
3
= 3 tg 2 t ⋅
=

dt
dt
t
cos 4 t
cos 2 t
Подставляя вычисленные производные в формулу, получим
3 xy

− arctg ( xy )
3 2
y
sin 2 t
dz
1+ ( xy )2
=
⋅ (ln t + 1) +
⋅3⋅
.
3 3 y4
dt 1 + ( xy )2
cos 4 t

ЗАМЕЧАНИЕ

w
явно
зависит
от
переменной
t , то есть
w = f ( t , x1 (t ), x 2 (t ),..., x n (t )) . В этом случае формула для полной производной имеет
dw ∂w n ∂w dxi
вид:

.
+∑
=
dt
∂t i =1 ∂xi dt

Иногда

Здесь

функция

следует

различать

предположении, что

частную

x1 , x 2 ,…, x n

не зависят от переменной

dw
, которая учитывает и зависимость от t
dt
Пример 3

(

)

∂w
,
∂t

производную

z = t ⋅ cos t + x 2 + 2 y 3 , где x = e −t , y =

функций

которая

вычисляется

t , и полную производную

x1 , x 2 ,…, x n .

1 . Вычислите полную производную dz .
dt
t2

Решение
По формуле полной производной

(

)

dz ∂z ∂z dx ∂z dy
=
+ ⋅ + ⋅ . Вычислим:
dt ∂t ∂x dt ∂y dt

(

)

(

)

∂z
∂z
= cos t + x 2 + 2 y 3 − t ⋅ sin t + x 2 + 2 y 3 , = −2 xt sin t + x 2 + 2 y 3 ,
∂t
∂x
dy
2
dx
∂z
= −e − t ,
=− 3 ,
= −6 y 2 t sin t + x 2 + 2 y 3 ,
dt
dt
∂y
t

(

)

и подставим вычисленные производные в формулу полной производной. Получим

(

)

(

) (

(

)) (

)

dz
= cos t + x 2 + 2 y 3 − t ⋅ sin t + x 2 + 2 y 3 + − 2 xt sin t + x 2 + 2 y 3 ⋅ − e −t +
dt

(

)) ( ).

(

+ − 6 y 2 t sin t + x 2 + 2 y 3 ⋅ −

20

2
t3

в

3. Дифференциал функции нескольких переменных
3.1. Определение дифференциала функции нескольких переменных и его
свойства. Инвариантность формулы дифференциала
Определение
Если

функция

(

M 0 x10 , x 20 ,..., xi0 ,..., x n0

)

w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n )
из

ее

области

дифференцируема

D ⊂ Rn ,

определения

в
то

точке
линейная

относительно приращений Δx1 , Δx2 ,..., Δxn часть полного приращения функции, то есть
n

∑ Ai Δxi

величина

называется дифференциалом функции

i =1

f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) в

точке M 0 и обозначается dw .
Учитывая замечание 1 раздела 2.2, формула для дифференциала в точке M 0 имеет
вид:

∂w
(M 0 ) ⋅ Δxi .
i =1 ∂xi
n

dw = ∑

Поскольку для независимых переменных Δxi = dxi , i = 1,2,...n , то последнюю
формулу для дифференциала в произвольной точке можно записать как

∂w
(x1, x2 ,..., xn ) ⋅ dxi .
i =1 ∂xi
n

dw = ∑

В частности, для дифференцируемой функции двух переменных

z = f ( x, y )

формула ее дифференциала в каждой точке дифференцируемости имеет вид:

dz =

∂z
(x, y ) ⋅ Δx + ∂z (x, y ) ⋅ Δy , или dz = ∂z (x, y ) ⋅ dx + ∂z (x, y ) ⋅ dy ,
∂x
∂y
∂y
∂x

ЗАМЕЧАНИЕ 1
Следует понимать, что дифференциал функции n переменных является функцией 2n
переменных. Чтобы вычислить его значение в некоторой точке, мало задать координаты
этой точки. Следует еще задать значения приращений независимых переменных.

Пример 1
Найти значение дифференциала функции
приращения

z = arctg

x
y

в точке

M 0 (1,1) , если

Δx = 0,02 , Δy = −0,03 .

Решение

∂z
(x0 , y0 ) ⋅ Δx + ∂z (x0 , y0 ) ⋅ Δy . Частные
∂x
∂y
∂z
1
x
=−
⋅ 2.
Вычислим
значения
2
∂y
y
1+ x

По формуле полного дифференциала dz =
производные равны:

1
∂z
=
∂x 1 + x
y

()

2



1
,
y

()
y

∂z
(1,1) = 1 , ∂z (1,1) = − 1 . Подставляя эти значения,
2 ∂y
2
∂x
и
Δy
в
формулу
дифференциала,
получим

частных производных в точке M 0 :
а

также

dz =

1
2

значения

⋅ 0,02 −

1
2

Δx

⋅ 0,03 = −0,005 .

21

Теорема 1
n

∂w
(x1, x2 ,..., xn ) ⋅ dxi обладает свойством инвариантности
i =1 ∂xi

Дифференциал dw = ∑

формы, то есть формула для него сохраняет свой вид, если x1 , x 2 ,..., x n не простые
независимые переменные, а являются функциями переменных v1 , v 2 ,..., v m . В этом
случае дифференциалы dxi ≠ Δxi , а в свою очередь вычисляются по формулам

dxi =

m

∂x

∑ ∂v i (v1, v2 ,..., vm ) ⋅ dv j , i = 1,2,..., n .
j =1

j

Доказательство этой теоремы легко провести самостоятельно.

Если u = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) и w = g ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) - функции n переменных,
то при вычислении дифференциалов справедливы следующие правила:

d (c ⋅ u ) = c ⋅ du , где c = const ;

1.

d (u ± w) = du ± dw ;

2.

d (u ⋅ w) = u ⋅ dw + w ⋅ du ;
du ⋅ w − u ⋅ dw
4. d u =
;
w
w2
5. df (w) = f w′ ⋅ dw .
3.

()

Эти правила удобно использовать при вычислении дифференциалов сложных
функций.
Пример 2
Найти дифференциал функции трех переменных w = 3

xyz

.

Решение

( )′

dw = 3 xyz
3.2.

xyz

⋅ d ( xyz ) = 3 xyz ⋅ ln 3 ⋅ ( yz dx + xz dy + xy dz ) .

Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.
Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

Теорема

Если функция z = f ( x, y ) - дифференцируема в точке

параллельная оси Oz

( x0 , y 0 ) ,

касательная плоскость к поверхности

M 0 ( x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )) , уравнение которой имеет вид
Z = z0 +

то существует не

z = f ( x, y ) в точке

∂z
(x0 , y0 )(x − x0 ) + ∂z (x0 , y0 )( y − y0 ) ,
∂x
∂y

где z 0 = f ( x0 , y 0 ) .
Доказательство

Напомним, что функция двух переменных z = f ( x, y ) задает в пространстве с

введенной декартовой системой координат некоторую поверхность.
Уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) , имеет вид:

A ( x − x0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 . Если C ≠ 0 , то можно разрешить это уравнение
относительно переменной

z , тогда получим уравнение z = z 0 + a ( x − x0 ) + b ( y − y 0 ) ,

B.
где a = − CA , b = − C

22

a и b это уравнение является
уравнением касательной плоскости к поверхности z = f ( x, y ) в точке ( x0 , y 0 ) .
Выясним, при каких значениях параметров

y = y0
,
⎩ z = z 0 + a (x − x0 )


Положив в этом уравнении y = y 0 , получим уравнение прямой ⎨

∂z
(x0 , y 0 ) является уравнением касательной к кривой, заданной
∂x
⎧ y = y0
системой ⎨
, в точке ( x0 , y 0 ) .
⎩ z = f ( x, y )

которая при a =



Положив в этом уравнении x = x 0 , получим уравнение прямой ⎨
которая при b =

x = x0

,

⎩ z = z0 + b ( y − y0 )
⎧ x = x0
является уравнением касательной к кривой ⎨
в
⎩ z = f ( x, y )

∂z
(x0 , y 0 )
∂y

точке ( x0 , y 0 ) .
Ясно, что обе эти касательные прямые принадлежат искомой касательной плоскости
(рис.8). Поскольку через две пересекающиеся прямые можно провести только одну
плоскость,

то

уравнение

z = z 0 + a (x − x0 ) + b ( y − y 0 )

является

касательной плоскости к поверхности z = f ( x, y ) в точке ( x0 , y 0 ) при a =

b=

уравнением

∂z
(x0 , y 0 ) и
∂x

∂z
(x0 , y 0 ) .
∂y

Рис.8.

Следствие 1
Если

поверхность

задана

уравнением

z = f ( x, y ) , и функция

z = f ( x, y )

(x0 , y0 ) , то уравнение нормали к этой поверхности в точке
f ( x0 , y 0 ) , имеет вид:

дифференцируема в точке

M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) , где z 0 =

x − x0
=
∂z ( x , y )
∂x 0 0
Следствие 2
Полагая

в

y − y0
z − z0
=
.
∂z ( x , y )

1
∂y 0 0

уравнении

касательной

плоскости

∂z
∂z
z = z0 + ( x0 , y0 )( x − x0 ) + ( x0 , y0 )( y − y0 ) , x − x0 = Δx и y − y 0 = Δy , можно
∂y
∂x
установить, что

dz =

∂z
(x0 , y0 )Δx + ∂z (x0 , y0 )Δy = z − z0 ,
∂x
∂y

23

то есть дифференциал функции двух переменных равен приращению аппликаты
касательной плоскости.
Пример
Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной

(

уравнением z = ln x + y

2

) в точке (1,0) .

Решение
Частные

производные

заданной

функции

∂z
1
,
=
∂x x + y 2

равны

Вычислим значения частных производных в точке

∂z
2y
.
=
∂y x + y 2

∂z
(1,0) = 1 , ∂z (1,0) = 0 .
∂x
∂y

(1,0) :

Значение функции в точке (1,0 ) z0 = ln1 = 0 . Тогда уравнение касательной плоскости
имеет

вид:

z = 0 + 1 ⋅ ( x − 1) + 0 ⋅ ( y − 0 ) ,

или

z = x −1.

Уравнение

нормали:

x −1 y
z
= =
.
1
0 −1
3.3.

Приближенные вычисления и оценка погрешностей
n

Из определения дифференциала

w = f ( x1, x2 ,..., xi ,..., xn )
Δxi

достаточно

малы,

малую

функции нескольких переменных

следует важный вывод. В тех случаях, когда модули приращений
можно

M ( x1 + Δx1, x2 + Δx2 ,..., xn + Δxn )
бесконечно

∂w
(M 0 ) ⋅ Δxi
i =1 ∂xi

dw = ∑

более

заменять

приращение

функции

в

некоторой

точке

ее дифференциалом, так как они отличаются на

высокого

порядка,

чем

ρ=

n

∑ (Δxi )2 .

Погрешность,

i =1

появляющаяся при такой замене, не превосходит ρ . Этим пользуются при вычислении
приближенных значений дифференцируемых функций.
Пример
Вычислить приближенно

3,012 + 3,98 2 .

Решение
Рассмотрим функцию z =

x 2 + y 2 . Необходимо вычислить ее значение в точке

M (3,01; 3,98) . Представим z = z 0 + Δz , где z 0 = f ( x0 , y 0 ) , x0 = 3, y 0 = 4 . Тогда

z 0 = 5 . Теперь представим

x = 3,01 = x0 + Δx и

y = 3,98 = y 0 + Δy . Так

как

x0 = 3 и y 0 = 4 , то Δx = 0,01 , а Δy = −0,02 . Поскольку Δx и Δy достаточно малы, то
заменим
приращение
функции
Δz
ее
дифференциалом
∂z
∂z
dz = ( x0 , y0 ) Δx + ( x0 , y0 ) Δy . Для этого вычислим частные производные
∂y
∂x
∂z
∂z
∂z
x
y
(3, 4) = 0,6 и
и
в точке (3, 4 ) . Получим
=
=
∂x
∂x
∂y
x2 + y 2
x2 + y 2
∂z
(3, 4) = 0,8 . Тогда дифференциал в точке (3, 4) при Δx = 0,01 и Δy = −0,02 равен
∂y
dz = 0,6 ⋅ 0,01 + 0,8 ⋅ (− 0,02 ) = 0,006 − 0,016 = −0,01 .

24

Следовательно, приближенное значение функции равно z 0 + dz = 5 − 0,01 =
При этом верхняя граница абсолютной погрешности Δ определяется из равенства:

Δ=
В рассмотренном примере

4,99 .

∂z
(x0 , y0 ) ⋅ Δx + ∂z (x0 , y0 ) ⋅ Δy .
∂y
∂x

Δ = 0,6 ⋅ 0,01 + 0,8 ⋅ 0,02 = 0,006 + 0,016 = 0,022 .

4. Частные производные и дифференциалы высших порядков
функции нескольких переменных
Пусть функция w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) имеет частные производные в точке

(

M 0 x10 , x 20 ,..., xi0 ,..., x n0

)

из ее области определения

D ⊂ R n . Будем называть их

частными производными первого порядка. Так как они являются функциями тех же
переменных, что и данная функция, то у каждой из них могут существовать частные
производные по любому из этих аргументов.
Полученные таким образом частные производные называются частными
производными второго порядка.
В частности для функции двух переменных z = f ( x, y ) можно составить четыре

частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z
∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z
∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z


′ ;


⎜ ⎟=
= z′xy


=
z
;
;
=
=
=
z
⎜ ⎟
2
x 2 ∂y ⎜ ∂y ⎟
y 2 ∂x ⎜ ∂y ⎟ ∂x ∂y
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x 2
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ∂y
∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z
′ .
= z′yx
⎜ ⎟=
∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ∂x
Вообще для каждой из этих частных производных второго порядка можно дать и
строгое определение.
Определение 1
Если существует и конечен

lim

∂z
∂x

(x0 + Δx, y 0 ) − ∂∂xz (x0 , y0 )
Δx

Δx →0

частной производной второго порядка от
обозначается

, то он называется

z по x дважды в точке

( x0 , y 0 )

и

∂2z
или z′′ 2 .
x
∂x 2

Аналогично даются строгие определения для остальных частных производных
второго порядка. Частные производные от частных производных второго порядка
называются частными производными третьего порядка, и.т.д.
Для функции

w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) частная производная пятого порядка

∂5w
, если она существует, определяется как функция, полученная из данной
∂ 2 xi ∂ 2 x j ∂ xn
путем двукратного дифференцирования по переменным xi и x j , и однократного
дифференцирования по x n . Порядок дифференцирования при этом не имеет значения,
так как имеет место теорема, которая в данном курсе приводится без доказательства.
Теорема 1
Если функция w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) имеет как в точке M 0 , так и в некоторой ее
окрестности частную производную второго порядка

25

∂ 2w
, причем она непрерывна в
∂xi ∂x j

∂2w
, совпадающая с
∂x j ∂xi

точке M 0 , то в этой точке существует и частная производная

частной производной

∂2w
.
∂xi ∂x j

Обобщая теорему на производные более высокого порядка, можно сделать вывод,
что при соблюдении указанных условий результат частного дифференцирования не
зависит от порядка дифференцирования.
Пример 1
2
Вычислить все частные производные второго порядка для функции w = x ⋅ z + cos x .
y

Решение
Учитывая результат теоремы, можно установить, что существует шесть различных
частных производных второго порядка для данной функции.
Частные производные первого порядка:

∂w
1
= z 2 − sin xy ⋅ ;
∂x
y

x
∂w
= sin xy ⋅ 2 ;
∂y
y

∂w
= 2 xz .
∂z

Частные производные второго порядка:

∂2w

= − cos xy ⋅

∂x 2

1

∂2w

y

∂y 2

;
2

= − cos xy ⋅

x
∂2w
1
= cos xy ⋅ 3 + sin xy ⋅ 2 ;
∂x ∂y
y
y

x2
y4

− sin xy ⋅ 2 3x ;
y

∂2w
= 2 z;
∂x ∂ z

∂2w
∂ z2

= 2x ;

∂2w
= 0.
∂y ∂z

Определение 2
Пусть

(

функция

)

w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n )

M 0 x10 , x 20 ,..., xi0 ,..., x n0 .

Тогда

в

этой

дифференцируема

точке

существует

в

точке

дифференциал

n

∂w
(x1, x2 ,..., xn ) ⋅ dxi . Будем в дальнейшем называть его дифференциалом
i =1 ∂xi

dw = ∑

первого порядка или первым дифференциалом. Дифференциалом второго порядка или
вторым дифференциалом функции w в точке

M 0 называется дифференциал от ее

первого дифференциала d (dw) , который обозначается d w .
2

Теорема 2
Если задана дифференцируемая функция w = f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) и x1 , x 2 ,..., x n независимые переменные, то имеет место формула

∂ 2w
(x1, x2 ,..., xn ) ⋅ dxi ⋅ dx j .
d w= ∑
i , j =1 ∂xi ∂x j
2

n

Доказательство
Так как

x1 , x 2 ,..., x n - независимые переменные, то dx1 , dx 2 ,..., dx n - тоже

независимые переменные. Поэтому

26

⎞ n ⎛ ∂w ⎞
⎛ n ∂w
⎟⎟ ⋅ dxi .
d 2 w = d (dw) = d ⎜⎜ ∑ ( x1, x2 ,..., xn ) ⋅ dx ⎟⎟ = ∑ d ⎜⎜
⎠ i =1 ⎝ ∂xi ⎠
⎝ i =1 ∂xi

⎛ ∂w ⎞

∂2w

n

⎟⎟ = ∑
Поскольку d ⎜⎜
⋅ dx j , то
⎝ ∂xi ⎠ j =1 ∂xi ∂x j
d 2w =

∂2w
(x1, x2 ,..., xn ) ⋅ dxi ⋅ dx j .

i , j =1 ∂xi ∂x j
n

В частности, для функции двух переменных z = f ( x, y ) , учитывая независимость
частных производных от порядка дифференцирования, справедливо:

d 2z =

∂2z
∂2z
∂2z
2
(
)

dx
+
2


dx

dy
+
⋅ (dy )2 .
2
2
∂x ∂y
∂x
∂y

Аналогично определяются дифференциалы более высокого порядка. Дифференциал
третьего порядка или третий дифференциал – это дифференциал от второго
дифференциала.
Легко показать, что для функции двух переменных z = f ( x, y ) формула для третьего
дифференциала имеет вид:

d 3z =

∂3z
∂3z
∂3 z
∂3 z
3
2
2
(
)
(
)
(
)

dx
+
3

dx
dy
+
3

dx
dy
+
⋅ (dy )3 .
3
2
2
3
∂x
∂x ∂y
∂x ∂y
∂y

Формулы для второго дифференциала функции двух переменных z = f ( x, y ) удобно
записывать в символическом виде:

⎛∂


d 2 z = ⎜⎜ ⋅ dx + ⋅ dy ⎟⎟ 2 z ,
∂y
⎝ ∂x


понимается операция взятия частной производной по переменной
∂x

x , а под записью
понимается операция взятия частной производной по переменной
∂y
y.
В общем случае для дифференциала n - го порядка функции двух переменных
z = f ( x, y ) справедлива формула:

где под записью

⎛∂


d n z = ⎜⎜ ⋅ dx + ⋅ dy ⎟⎟ n .
∂y
⎝ ∂x

ЗАМЕЧАНИЕ
Следует помнить, что эти формулы записаны в предположении, что

(

)

x

и

y

-

независимые переменные. Если же z = f x, y является сложной функцией, в которой
x и y в свою очередь являются функциями двух переменных, то

⎛ ∂z ⎞
⎛ ∂z

⎛ ∂z

∂z
∂z
∂z
⎛ ∂z ⎞

⎛ ∂z
d 2 z = d ⎜⎜ ⋅ dx + ⋅ dy ⎟⎟ = d ⎜ ⋅ dx ⎟ + d ⎜⎜ ⋅ dy ⎟⎟ = d ⎜ ⎟ ⋅ dx + ⋅ d 2 x + d ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ dy + ⋅ d 2 y =
∂y
∂x
∂y
⎝ ∂x ⎠

⎝ ∂x
⎝ ∂y ⎠
⎝ ∂y

⎝ ∂x


27

∂2z
∂2z
∂z
∂z 2
∂2 z
∂2 z
2
2
⋅ dy ⋅ dx + ⋅ d x + 2 ⋅ (dy ) +
= 2 ⋅ (dx ) +
⋅ dx ⋅ dy + ⋅ d 2 y =
∂x
∂y ∂x
∂x ∂y
∂x
∂x
∂y

=

∂2 z
∂2 z
∂z 2
∂2z
2
(
)
(dy )2 + ∂z d 2 y .
2
+
dx
dy
+
d
x
+
dx
2
2
∂x
∂x ∂y
∂x
∂y
∂x

ЗАМЕЧАНИЕ 2
Сравнивая формулы для дифференциала второго порядка в случае, когда что x и y независимые переменные, и когда они в свою очередь являются функциями двух
переменных, можно сделать вывод, что второй дифференциал не обладает свойством
инвариантности.
ЗАМЕЧАНИЕ 3
При вычислении дифференциалов высших порядков иногда удобно не пользоваться
полученными формулами, а вычислять дифференциалы, проводя непосредственное
n
n −1
дифференцирование, учитывая, что d w = d d
w и d n xi = 0 при условии n ≥ 2 ,

(

если

xi

)

- независимая переменная.

Пример 2
Вычислите d z , если z = cos( x − 5 y ) .
3

Решение
По формуле для дифференциала суперпозиции двух функций первый дифференциал
можно записать в виде

dz = − sin (x − 5 y ) ⋅ (dx − 5 dy ) .
Поскольку выражение

dx − 5dy не зависит от переменных x и y , то второй

дифференциал имеет вид

d 2 z = − cos( x − 5 y ) ⋅ (dx − 5dy )2 .
Аналогично вычисляется третий дифференциал

d 3 z = sin ( x − 5 y ) ⋅ (dx − 5dy )3 .
Пример 3
2

Вычислите d w , если w = 3

xyz

.

Решение
В разделе 2.4 был вычислен dw = 3

xyz

⋅ ln 3 ⋅ ( yz dx + xz dy + xy dz ) . Тогда

(( )

)

d 2 w = ln 3 d 3 xyz ⋅ ( yz dx + xz dy + xy dz ) + 3 xyz d ( yz dx + xz dy + xy dz )

d 2 w = 3 xyz ⋅ ln 2 3 ⋅ ( yz dx + xz dy + xy dz )2 + 3 xyz ⋅ ln 3 ⋅ ((dy ⋅ z + y ⋅ dz ) ⋅ dx + (dx ⋅ z + x ⋅ dz ) ⋅ dy +
+ (dx ⋅ y + x ⋅ dy ) ⋅ dz ) .
Упрощая полученное выражение, запишем

(

)

d 2 w = 3 xyz ⋅ ln 2 3 ⋅ y 2 z 2 (dx )2 + x 2 z 2 (dy )2 + x 2 y 2 (dz )2 +
+ 3 xyz ⋅ 2 ln 3 ⋅ (1 + xyz ⋅ ln 3) ⋅ ( z ⋅ dx ⋅ dy + ⋅ x ⋅ dy ⋅ dz + y ⋅ dx ⋅ dz ) .

28

5. Производные функций нескольких переменных, заданных неявно
5.1. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула
для частных производных функции двух переменных, заданной
неявно.
Определение

Функция w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) называется заданной неявно в окрестности точки

(x , x ,..., x , w ), если задано уравнение
F (x , x ,..., x , w ) = 0 ;

0
1

0
2

0
n

0

0
1

0
2

0
n

F ( x1 , x2 ,..., xn , w) = 0 и если:

0

∀ M ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ U δ (M 0 )

единственное
F ( x1 , x2 ,..., xn , w) = 0 .
В частности, уравнение F (x, y, z ) = 0 в окрестностях тех точек

w ∈ U δ (w0 ) :



(x0 , y0 , z0 ) ,

для

которых уравнение F ( x0 , y0 , z ) = 0 имеет хотя бы один корень z 0 , задает неявную

функцию z = f ( x, y ) , значения которой равны корням этого уравнения.

F ( x, y, z ) = 0 иногда может быть разрешено относительно z , а

При этом уравнение

иногда нет. Не следует путать вопрос о существовании неявной функции с вопросом
получения ее в виде явной зависимости. Следующая теорема дает условия
существования, единственности и дифференцируемости неявной функции.
Теорема 1
Если функция F (x1 , x 2 ,..., x n , w) :


(

0

0

0

)

непрерывна в окрестности точки x1 , x2 ,..., xn , w0 ;

• имеет в этой окрестности непрерывные
переменным;

(

)



F x10 , x 20 ,..., x n0 , w0 = 0 ;



Fw′ x10 , x 20 ,..., x n0 , w0 ≠ 0 ;

(

то уравнение

частные

производные

)

F ( x1 , x 2 ,..., x n , w) = 0 задает в окрестности точки

по

всем

(x , x ,..., x , w )
0
1

0
2

0
n

0

однозначную дифференцируемую функцию w = f ( x1 , x2 ,..., xn ) , для которой справедливо

(

)

w0 = F x10 , x20 ,..., xn0 .
Доказательство
В силу сложности и громоздкости доказательства этой теоремы, рассмотрим ее
доказательство только для функции двух переменных

y = f ( x ) , заданной неявной

F ( x, y ) = 0 , где функция F ( x, y ) непрерывна и дифференцируема в
δ - окрестности точки ( x0 , y 0 ) и F y′ ( x0 , y 0 ) ≠ 0 . Если точка

зависимостью
некоторой

(x0 + Δx, y 0 + Δy ) принадлежит этой окрестности, то
F ( x0 , y 0 ) = 0 и F (x0 + Δx, y 0 + Δy ) = 0 ,
тогда и F ( x 0 + Δx, y 0 + Δy ) − F ( x0 , y 0 ) = 0 . Для левой части
можно использовать теорему Лагранжа.

последнего равенства

F (x0 + Δx, y 0 + Δy ) − F ( x0 , y 0 ) = [F ( x0 + Δx, y 0 + Δy ) − F ( x0 + Δx, y 0 )] +
∂F
(x0 + Δx, y0 ) ⋅ Δy + ∂F (x0 , y0 ) ⋅ Δx = 0 .
+ [F (x0 + Δx, y 0 ) − F ( x0 , y 0 )] =
∂y
∂x

29

Δy
=−
Из последнего равенства следует, что
Δx
при

∂F
( x0 + Δx, y0 )
∂x
. Переходя в нем к пределу
∂F
( x0 , y0 )
∂y

Δx → 0 и учитывая, что частные производные непрерывны, получим


f ′( x0 ) = lim ⎜ −
Δx→0⎜


∂F
( x0 , y0 ) ⎞⎟
∂x

∂F
( x0 + Δx, y0 ) ⎟
∂y


=−

∂F
( x0 , y0 )
∂x
.
∂F
( x0 , y0 )
∂y

ЗАМЕЧАНИЕ
Мы не только доказали дифференцируемость функции
формулу для вычисления ее производной.

y ′x = −

y = f (x ) ,

∂F
∂x .
∂F
∂y

Аналогично доказывается, что функция двух переменных
уравнением

но и получили

z = f ( x, y ) , заданная

F (x, y, z ) = 0 , где F (x, y, z ) - дифференцируемая по всем переменным

функция, дифференцируема в точках, в которых ∂F ≠ 0 и ее частные производные
∂z
вычисляются по формулам
∂F

∂F

∂z
∂y
= − ∂F
∂y

∂z
= − ∂∂Fx ;
∂x
∂z

.

∂z

Пример 1
Выясните, в каких точках дифференцируема функция
вычислите ее производную, если

y = f ( x ) , заданная неявно, и

x
+ e xy = 0 .
y

Решение

x
+ e xy . Поэтому функция дифференцируема во всех точках, за
y
∂F
∂F
x
= 0 . Поскольку
исключением тех, где
= − 2 + e xy ⋅ x , то функция
∂y
∂y
y
F ( x, y ) =

дифференцируема

везде,

где

выполняется

условие



x
+ e xy ⋅ x ≠ 0 . Так как
2
y

∂F 1
= + e xy ⋅ y , то
∂x y

y ′x = −

1 xy
+e ⋅ y
y
.
x
− 2 +e xy ⋅ x
y

Пример 2
Выясните, в каких точках дифференцируема функция
вычислите ее производную, если

x
+ z ⋅ cos( xy ) = 0 .
z

30

z = f ( x, y ) , заданная неявно, и

Решение

x
+ z ⋅ cos( xy ) , то функция дифференцируема во всех точках, за
z
∂F
x
∂F
исключением тех, в которых
= − 2 + cos( xy ) , следовательно, функция
=0.
∂z
∂z
z
x
дифференцируема везде, где выполняется условие − 2 + cos( xy ) ≠ 0 . Учитывая, что
z
∂F
∂F 1
= − sin ( xy ) ⋅ zx , можно записать
= − sin ( xy ) ⋅ zy и
∂y
∂x z
Так как F ( x, y , z ) =

1

−sin ( xy )⋅ zy
∂z
=− zx
;
∂x
− 2 + cos ( xy )
z

∂z
−sin ( xy )⋅ zx
.
=− x
∂y
− 2 + cos ( xy )
z

5.2. Производные неявных функций, заданных системой уравнений.
Определитель Якоби
Пример 1

⎧⎪ ху + и 2 = − у
∂u ∂u
. Вычислить
,
,
Функции u ( x, y ) и w( x, y ) заданы системой ⎨
∂x ∂y
⎪⎩uw + y 2 = 0
∂w ∂w
и
.
∂x
∂y
Решение
Продифференцируем

оба

уравнения

системы

по

переменной

x . Получим

∂u
∂u


⎪ y + 2u ⋅ ∂x = 0
⎪ 2u ⋅ ∂x = − y
, или ⎨
. Решая эту систему относительно
⎨ ∂u
∂w
∂w
∂u
⎪ ⋅w+u⋅
⎪ ⋅w+u⋅
=0
=0
∂x
∂x
⎩ ∂x
⎩ ∂x
∂u ∂w
и
, получим
неизвестных
∂x
∂x
−y
0
∂u
=
2u
∂x
w

0
u
y
− yu
=
=− ;
2
0
2u
2u
u

2u
w
∂w
=
2u
∂x
w

−y
0
yw
= 2.
0
2u
u

Теперь продифференцируем оба уравнения системы по переменной y . Получим

∂u

= −1
x + 2u ⋅
⎪⎪
∂y
, или
⎨ ∂u
∂w
⎪ ⋅w+u⋅
+ 2y = 0
⎪⎩ ∂y
∂y
∂u
и
относительно производных
∂y

∂u

⎪⎪ 2u ⋅ ∂y = − x − 1
. Если решить эту систему
⎨ ∂u
∂w
⎪ ⋅w+u⋅
= −2 y
⎪⎩ ∂y
∂y
∂w
, то формулы для них будут иметь вид
∂y

2u − x − 1
− x −1 0
− 2y u
w − 2y
− xu − u
x + 1 ∂w
∂u
− 4 yu + xw + w
,
.
=
=
=−
=
=
2
2u 0
2u 0
2u
∂y
∂y
2u
2u 2
w u
w u
31

Из полученных формул для частных производных

∂u ∂u ∂w
∂w
,
,
и
видно, что
∂x ∂y ∂x
∂y

неявные функции u ( x, y ) и w( x, y ) не являются дифференцируемыми в точках, в
которых

2u 0
= 0 , или u = 0 . Такой определитель называется
w u

определитель

определителем Якоби.
Определение

⎧ F1 ( x, y, u , w) = 0
, то
⎩ F2 ( x, y, u , w) = 0

Если неявные функции u ( x, y ) и w( x, y ) заданы системой ⎨

определитель I =

∂F1
∂u
∂F2
∂u

∂F1
∂w называется определителем Якоби.
∂F2
∂w

Имеет место следующая теорема, которая легко обобщается на случай большего
числа переменных.
Теорема
Если

задана

система

⎧ F1 ( x, y, u , w) = 0
, где

⎩ F2 ( x, y, u , w) = 0

F2 ( x, y, u , w)

F1 ( x, y, u , w) и

непрерывные и дифференцируемые по всем переменным в окрестности точки
M 0 ( x0 , y 0 , u 0 , w0 ) , являющейся решением системы, функции и если в точке M 0
определитель Якоби I =

∂F1
∂u
∂F2
∂u

∂F1
∂w
∂F2
∂w

≠ 0 , то система определяет функции u (x, y ) и

w( x, y ) , которые являются дифференцируемыми в точке M 0 .
Пример 2

⎧u 2 − w 2 + x 2 + y 2 = 0
задает
uw
xy
0
+
=


Определите, при каком условии система уравнений ⎨

дифференцируемые функции u ( x, y ) и w( x, y ) , и вычислите du , dw и d u .
2

Решение
Вычислим определитель Якоби I =

2u − 2 w
= 2u 2 + 2w 2 . Поскольку I = 0 только
w
u

при u = w = 0 , то во всех точках, кроме начала координат заданная система определяет
две неявные дифференцируемые функции u ( x, y ) и w( x, y ) .
Теперь вычислим du , дифференцируя оба уравнения системы

(

)

⎧d x 2 + y 2 + u 2 − w 2 = 0
, или

d (uw + xy ) = 0


⎧ 2 xdx + 2 ydy + 2udu − 2 wdw = 0

⎩u ⋅ dw + w ⋅ du + dx ⋅ y + dy ⋅ x = 0

⎧ 2udu − 2wdw = −2 xdx − 2 ydy
.

⎩w ⋅ du + u ⋅ dw = − y ⋅ dx − x ⋅ dy
Решая последнюю систему относительно du , получим

32

(1) ,

du = −

xu + yw
yu + xw
dx − 2
dy ,
2
2
u +w
u + w2

dw =

(1)

Вычислим вторые дифференциалы в системе

xu + yw
− yu + xw
dx + 2
dy .
2
2
u +w
u + w2

⎧ 2dx 2 + 2dy 2 + 2du 2 − 2dw 2 + 2u ⋅ d 2 u − 2 w ⋅ d 2 w = 0
, или

2
2
w
d
u
du
dw
u
d
w
dw
du
dx
dy
dy
dx
0

+

+

+

+

+

=

⎧u ⋅ d 2 u − w ⋅ d 2 w = −dx 2 − dy 2 − du 2 + dw 2
.

2
2
⎩ w ⋅ d u + u ⋅ d w = −2du ⋅ dw − 2dx ⋅ dy
Решая эту систему относительно
дифференциала

d 2u = −

d 2 u , получим

(

выражение

для второго

)

u dx 2 + dy 2 + du 2 − dw2 + 2 w(du dw + dx dy )
.
u 2 + w2

Окончательно в это равенство нужно подставить выражения для дифференциалов
dw .

du

и

6. Экстремум функции нескольких переменных
6.1.

Формула Тейлора для функции n переменных

Если функция w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) n раз дифференцируема в окрестности точки

(

)

M 0 x10 , x20 ,..., x n0 , то в некоторой окрестности U δ (M 0 ) эту функцию можно представить
в виде

(

)

f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = f x10 , x 20 ,..., x n0 +

... +

)+

)

(

n

(0

0

0

(

)+

)

x 20 < ~
x 2 < x 2 ,…., xn0 < ~
xn < xn ;

x10 < ~
x1 < x1 ,

где

(

d n f x10 , x20 ,..., xn0
n!

(

df x10 , x20 ,..., xn0
d 2 f x10 , x20 ,..., xn0
+
1!
2!
(
n +1) ~ ~
~
d
x1, x2 ,..., xn
,
(n +1)!

а

)

dxi в выражениях для
0

дифференциалов d f x1 , x 2 ,..., x n полагаются равными xi − xi .
Эта формула называется формулой Тейлора для функции

точке

(

)

M 0 x10 , x20 ,..., x n0 . Если

w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) в

x10 = x 20 = ... = x n0 = 0 , то формула называется

формулой Маклорена.
Если

(

dxi = xi − xi0 бесконечно малые, то последний член формулы Тейлора

d ( n +1) ~
x1, ~
x2 ,..., ~
xn
(n +1)!

)

является бесконечно малой более высокого порядка, чем каждая из

бесконечно малых dxi .

6.2.

Экстремум функции двух переменных

Определение 1
Пусть функция f ( x, y ) определена в области D ⊂ R , а M 0 ( x0 , y 0 ) - внутренняя
точка этой области. Точка M 0 называется точкой минимума функции f ( x, y ) , если
2

∃U δ (M 0 ) : ∀ M ( x, y ) ∈ U δ (M 0 ) ⇒ f ( x, y ) ≥ f ( x0 , y 0 ) .

33

Определение 2
Пусть функция f ( x, y ) определена в области D ⊂ R , а M 0 ( x0 , y 0 ) - внутренняя
2

точка этой области. Точка M 0 называется точкой максимума функции f ( x, y ) , если

∃U δ (M 0 ) : ∀ M (x, y ) ∈ U δ (M 0 ) ⇒ f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y 0 ) .
Теорема 1

Если функция f ( x, y ) дифференцируема в окрестности точки M 0 ( x0 , y 0 ) и имеет в

⎧⎪ ∂f ( x0 , y 0 ) = 0
∂x
.
этой точке экстремум (максимум или минимум), то ⎨ ∂f
⎪⎩ ∂y ( x0 , y 0 ) = 0
Доказательство

Если рассмотреть функцию одной переменной f ( x, y 0 ) , то она имеет экстремум в

точке x0 . По необходимому условию экстремума для функции одной переменной
∂f
∂x

(x0 , y0 ) = 0 . Аналогично доказывается, что

∂f
∂y

( x0 , y 0 ) = 0 .

ЗАМЕЧАНИЕ
Доказанная теорема называется необходимым условием экстремума функции двух
переменных. Условие равенства нулю частных производных в некоторой точке не
является достаточным условием существования экстремума в этой точке.

Следствие
Если хотя бы одна из частных производных ∂x ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 или ∂y ( x0 , y 0 ) ≠ 0 , то в
∂f

∂f

точке M 0 ( x 0 , y 0 ) нет экстремума.

Значит, экстремум следует искать в тех точках, в которых обе частные производные
равны нулю. Так же как и для функции одной переменной экстремум может быть и в
точках, где функция не является дифференцируемой. Такие точки в дальнейшем будем
называть подозрительными на экстремум или критическими. Среди критических точек
особо выделяются стационарные точки.
Определение

Точка M 0 ( x 0 , y 0 ) называется стационарной точкой функции f ( x, y ) , если f ( x, y )

⎧⎪ ∂f ( x0 , y 0 ) = 0
дифференцируема в этой точке и ⎨ ∂∂fx
, или df ( x0 , y 0 ) = 0 .
⎪⎩ ∂y ( x0 , y 0 ) = 0
Теорема2

Если M 0 ( x0 , y 0 ) - стационарная точка дважды дифференцируемой функции f ( x, y )

и если в некоторой окрестности этой точки d f ( x0 , y 0 ) сохраняет знак, то функция в
2

точке M 0 имеет экстремум. При этом если d f ( x0 , y 0 ) > 0 , то этот экстремум
2

минимум. Если d f ( x0 , y 0 ) < 0 , то это максимум.
2

Доказательство

Представим функцию f ( x, y ) в окрестности точки M 0 ( x0 , y 0 ) формулой Тейлора до

членов

второго

порядка:

f ( x, y ) = f ( x 0 , y 0 ) +

df ( x0 , y0 )
1!

+

d 2 f ( x0 , y0 )
2!

точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем

34

+

d 3 f (~
x ,~
y)
.
3!

(dx )3 = (x − x0 )3

С
и

(dy )3 = ( y − y0 )3 ,

учитывая, что в стационарной точке

df (x0 , y 0 ) = 0 , формулу

Тейлора можно записать в виде

f ( x, y ) = f ( x 0 , y 0 ) +

d 2 f ( x0 , y0 )
2!

+

d 3 f (~
x ,~
y)
, где
3!

x0 < ~
x < x, y 0 < y < ~
y.

Из формулы дифференциала 3 - го порядка ясно, что при достаточно малых

x − x 0 , y − y 0 f ( x, y ) ≈ f ( x 0 , y 0 ) +

d 2 f ( x0 , y0 )
. Из последнего соотношения ясно, что
2!

если d f ( x0 , y 0 ) > 0 , то в некоторой окрестности U δ (M 0 ) выполняется неравенство
2

f ( x, y ) ≥ f ( x 0 , y 0 ) ,

d 2 f ( x0 , y 0 ) < 0 ,

что

то

соответствует

в

некоторой

определению

окрестности

минимума.

U δ (M 0 )

имеем

Если

же

неравенство

f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y 0 ) , из которого следует, что в точке M 0 максимум.

ЗАМЕЧАНИЕ
Если

d 2 f ( x0 , y 0 )

меняет знак в окрестности точки

M 0 , то это еще не означает, что в

этой точке нет экстремума.

Пример 1
Функция z = x + y − 4 x имеет в точке (1,0 ) минимум. Это следует из того, что
4

2

⎧ ∂z
= 4x3 − 4
⎪⎪ ∂x
и единственная стационарная точка (1,0 ) . Частные производные второго
⎨ ∂z
= 2y

⎪⎩ ∂y
порядка

∂2z
∂x 2

= 12x 2 ,

∂2z
∂y 2

∂2z
∂2z
∂2z
∂2z
(
)
(1,0) = 0 .
= 0;
1
,
0
=
12
,
(
)
,
1
,
0
=
2
∂x∂y
∂x∂y
∂x 2
∂y 2

= 2,

Тогда d z (1,0 ) = 12 ⋅ (dx ) + 2 ⋅ (dy ) ≥ 0 .
2

2

2

Теорема 3
Если

M 0 (x0 , y 0 ) - стационарная точка дважды дифференцируемой функции

z = f ( x, y ) и если A =

∂2z
∂x

( x0 , y 0 ) ,
2

C=

∂2z
∂y

( x0 , y 0 ) ,
2

B=

∂2z
∂y 2

( x0 , y 0 ) ,

2

то функция

AC − B 2 < 0 . При

имеет экстремум, если AC − B > 0 и не имеет экстремума, если
этом экстремум - максимум, если A < 0 и минимум, если A > 0 .
Доказательство

В теореме 2 доказаны достаточные условия экстремума: если d z ( x0 , y 0 ) ≥ 0 , то в
2

точке M 0 минимум; если d z ( x0 , y 0 ) ≤ 0 , то в точке M 0 максимум. Рассмотрим
2

d 2 z ( x0 , y 0 ) =

∂2z
∂x

2
z
(x0 , y0 ) ⋅ dx ⋅ dy + ∂ 2z (x0 , y0 ) ⋅ (dy )2 , или
∂x∂y
∂y

(x0 , y0 ) ⋅ (dx )2 + 2 ∂
2

2

d 2 z ( x0 , y 0 ) = A (dx )2 + 2 B ⋅ dx ⋅ dy + C (dy )2 .

35

Вынесем

обозначим

(dy )2

за

скобку


⎛ ⎛ dy ⎞ 2
dy
d 2 z ( x0 , y 0 ) = ⎜ A ⋅ ⎜ ⎟ + 2 B ⋅ + C ⎟ ⋅ (dy )2

⎜ ⎝ dx ⎠
dx



dy
= t . Тогда
dx

(

и

)

d 2 z (x0 , y 0 ) = A ⋅ t 2 + 2 B ⋅ t + C ⋅ (dy )2 .
d 2 z (x0 , y 0 ) было определенного знака, дискриминант D

Чтобы выражение
квадратного

трехчлена

(

2

)

2

D = 4B − 4 A C = 4 B − A C .

A ⋅ t 2 + 2B ⋅ t + C

должен

Следовательно,

быть

меньше

2

B − AC < 0 ,

при

или

нуля.
при

A C − B 2 > 0 есть экстремум. При A C − B 2 < 0 нет экстремума.
Если A C − B

2

> 0 , то при A > 0 квадратный трехчлен A ⋅ t 2 + 2 B ⋅ t + C > 0 и
2

экстремум является минимумом; при A > 0 квадратный трехчлен A ⋅ t + 2 B ⋅ t + C < 0 и
экстремум является максимумом.
ЗАМЕЧАНИЕ
2
Если A C − B = 0 экстремум может быть, а может и не быть. Этот случай требует
дополнительных исследований.

Пример 2
3

3

Исследовать на экстремум функцию z = x + y − 9 xy + 27 .
Решение

⎧ ∂z
= 3x 2 − 9 y
⎪⎪ ∂x
,
⎨ ∂z
2
⎪ = 3 y − 9x
⎪⎩ ∂y

⎧⎪3x 2 − 9 y = 0
,
⎨ 2
⎪⎩3 y − 9 x = 0

⎧⎪ x 2 = 3 y
,
⎨ 2
⎪⎩9 y − 27 x = 0

⎧⎪ x 2 = 3 y
,
⎨ 4
⎪⎩ x − 27 x = 0

⎧⎪ x 2 = 3 y
. Системе удовлетворяют две стационарные точки (0,0 ) и (3,3) .
⎨ 3
⎪⎩ x x − 27 = 0

(

)

Вычислим частные производные второго порядка
Для

первой

стационарной

точки

(0,0) :

∂2z

= 6x ,

∂x 2
A = C = 0,

∂2z

= 6y ,

∂y 2
B = −9 .

∂2z
= −9 .
∂x∂y

Дискриминант

D = AC − B 2 = −81 < 0 . Значит, в этой точке нет экстремума. Для точки (3,3) :
A = C = 18 , B = −9 . Дискриминант D = 324 − 81 > 0 , а так как A > 0 , то это точка
минимума.

6.3.

Экстремум функций n переменных

Определения и теоремы 6.1 и 6.2 легко обобщаются на функции n переменных.
Предоставляем Вам возможность, сделать это самостоятельно.
Пример
4

2

2

Исследовать на экстремум функцию w = x + y + z − 2 z .

36

Решение

⎧ ∂w
3
⎪ ∂x = 4 x = 0
⎪ ∂w

Стационарные точки находим из системы ⎨
= 2 y = 0 , из которой видно, что
y


⎪ ∂w = 2 z − 2 = 0
⎪⎩ ∂z
единственной стационарной точкой является точка M 0 (0,0,1) . Вычислим все частные
производные второго порядка:

∂2w
∂x 2

2

= 12x ,

∂2w
∂y 2

= 2,

∂2w
∂z 2

= 2,

∂2w ∂2w ∂2w
=
=
= 0.
∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z
Тогда второй дифференциал в стационарной точке равен:

d 2 w = 12 x 2 ⋅ (dx )2 + 2 ⋅ (dy )2 + 2 (dz )2 + 2 ⋅ 0 ⋅ dx dy + 2 ⋅ 0 ⋅ dx dz +

(

)

2 ⋅ 0 ⋅ dy ⋅ dz = 2 ⋅ 6 (dx )2 + (dy )2 ≥ 0 .
Следовательно, точка M 0 - точка минимума.

6.4. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных
Теорема

Непрерывная функция w = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) , заданная на ограниченном и замкнутом

множестве, принимает на этом множестве наибольшее и наименьшее значения.
Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться в точках экстремума и на
границе области, поэтому для их отыскания поступают следующим образом.
• Определяют стационарные точки функции и вычисляют значения функции в тех
стационарных точках, которые содержатся внутри заданного множества.
• Вычисленные значения функции сравнивают между собой и со значениями
функции на границе области. Среди них находят наибольшее и наименьшее.
Пример

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = sin x + sin y − sin ( x + y ) в

области, ограниченной координатными осями и прямой x + y = 2π .




Рис.9.

Решение
Стационарные

точки

⎧ ∂z
= cos x − cos( x + y ) = 0
⎪⎪ ∂x
.
⎨ ∂z
⎪ = cos y − cos(x + y ) = 0
⎪⎩ ∂y

функции

Вычитая

определяются

из

первого

37

уравнения

из

второе,

системы:

получим

cos x = cos y , или y = ± x + 2πk . Поскольку для заданной области 0 ≤ x ≤ 2π , то
достаточно взять y = x . Подставим это в первое уравнение. Получим cos x = cos 2 x ,
откуда x = 2πk или 3 x = 2πk . Соотношение x = 2πk дает точки x = 0 и x = 2π ,
лежащие на границе. Из соотношения 3 x = 2πk следует, что только одна стационарная
2π , 2π
лежит внутри области (рис.9). Значение функции в этой точке
точка
3 3

(

)

z1 = 2 sin 23π − sin 43π = 3 +

3
2

=

3 3
.
2

Граница области задается уравнениями:
1.
2.
3.

x = 0, 0 ≤ y ≤ 2π . На этой части границы z = sin y − sin y = 0 .
y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π . На этой части границы z = sin x − sin x = 0 .
x + y = 2π или y = 2π − x , 0 ≤ x ≤ 2π . На этой части
z = sin x + sin (2π − x ) + sin 2π = 0

границы

Следовательно, наибольшее значение функции равно z1 = 3 3 , а наименьшее
2

z2 = 0 .

4.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ

Как определяется прямое произведение множеств?
Как определяется расстояние между точками в n - мерном пространстве?
Какое пространство называется метрическим?
Что такое окрестность и проколотая окрестность точки в n - мерном метрическом
пространстве?
Какая точка множества называется внутренней?
Какая точка множества называется граничной?
Какая точка множества называется предельной?
Какое множество называется открытым?
Какое множество называется замкнутым?
Как определяется функция n переменных?
Что называется пределом функции n переменных в заданной точке?
Какая функция n переменных называется непрерывной в точке? На множестве?
Как определяются частные производные функции двух переменных?
Каков геометрический смысл частных производных функции двух переменных?
Какая функция n переменных называется дифференцируемой в точке?
Какое условие является необходимым для дифференцируемости функции n
переменных в некоторой точке?
Какое условие является достаточным для дифференцируемости функции n
переменных в некоторой точке?
Что такое дифференциал функции n переменных? Как записывается его формула?
В чем состоит инвариантность формулы первого дифференциала?
Каков геометрический смысл дифференциала функции двух переменных?
Какой вид имеет уравнение касательной плоскости к поверхности z = f ( x, y ) в точке

M 0 (x0 , y 0 , z 0 ) ?

22. Какой

вид

имеет

M 0 (x0 , y 0 , z 0 ) ?

уравнение

нормали

к

поверхности

z = f ( x, y ) в точке

23. Как определяются производные второго порядка функции двух переменных?
24. Какому условию удовлетворяют смешанные производные функции нескольких

переменных?
выглядит формула второго и третьего дифференциала функции двух
переменных?
26. Как выглядит формула производной сложной функции двух и более переменных?
27. Как выглядит формула полной производной функции нескольких переменных?
28. По каким формулам вычисляются частные производные функции двух переменных
z ( x, y ) , заданной неявно?
25. Как

38

29. При

каком
условии
неявная
функция,
заданная
дифференцируемой в данной точке?
30. Как выглядит формула Тейлора функции n переменных?
31. Функция двух переменных

означает по определению?
32. Функция двух переменных

системой,

является

z = f (x, y ) имеет в точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) минимум. Что это
z = f (x, y ) имеет в точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) максимум. Что

это означает по определению?
33. В чем состоит необходимое условие экстремума функции двух переменных?
34. Как формулируются достаточные условия экстремума функции двух переменных?

5.
1.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
n

n

Метрическое пространство R . Окрестности точек в R . Классификация точек в

R n . Открытые и замкнутые множества.
2. Функции n переменных. Предел и непрерывность функции n переменных.
3. Частные производные функции n переменных. Частные производные функции
двух переменных и их геометрический смысл.
4. Дифференцируемая
функция
n
переменных.
Необходимое
условие
дифференцируемости (случай функции двух переменных).
n
5. Дифференцируемая
функция
переменных.
Достаточное
условие
дифференцируемости (случай функции двух переменных).
6. Производная сложной функции n переменных. Полная производная функции n
переменных.
7. Дифференциал функции n переменных: определение, формула дифференциала,
инвариантность формулы первого дифференциала, правила дифференцирования.
8. Дифференциал функции двух переменных, его геометрический смысл. Уравнение
касательной плоскости и нормали к поверхности.
9. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции n
переменных.
10. Производные функций n переменных, заданных неявно. Дифференцирование
неявных функций, заданных системой. Определитель Якоби.
11. Экстремум функции n переменных: определение и необходимое условие.
Стационарные и критические точки.
12. Формула Тейлора и Маклорена функции n переменных. Достаточные условия
экстремума.

6.

ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
(10 часов)
Нахождение областей определения функций двух и более переменных. Вычисление
пределов и исследование на непрерывность функций двух переменных. Вычисление
частных производных. Геометрический смысл частных производных Типовой расчет
по теме: «Функции нескольких переменных» (2 часа).
Л.4: 3004, 3010, 3042, 3058,3067,3075,3091.
8.
Производная сложной функции. Полная производная (2 часа).
Л.4: 3032, 3033, 3126, 3127, 3128, 3131.
9.
Дифференциал функции нескольких переменных. Оценка погрешностей
приближенные вычисления. Уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности (2часа).
Л.4: 3106, 3111, 3113, 3324, 3326, 3327.
10. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование неявных
функций (2 часа).
Л.4:3176, 3181, 3188, 3222, 3225, 3228, 3329.
11. Экстремум функции двух переменных. Задачи на наименьшее и наибольшее
значение (2 часа).
Л.4: 3259, 3267, 3270, 3281, 3282.
12. Прием типового расчета «Функции нескольких переменных». Контрольная
работа» (2 часа).
7.

39



Вычислить производную параметрически заданной функции одной
переменной.

Вычислить предел по правилу Лопиталя..

Вычислить первый дифференциал функции двух или трех переменных.

Вычислить второй дифференциал функции двух переменных.

Вычислить производную неявно заданной функции двух переменных.
13. Коллоквиум. Тест по теме: «Дифференциальное исчисление функции одной и
нескольких переменных» (2 часа).

7.
1.

2.

Тест по теме 6: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
Что задает предел lim

Δx→0

f ( x + Δx, y )
? Укажите номер верного ответа в таблице 2.
Δx

1

2

3

∂f
(x + Δx, y )
∂x

∂f
( x, y )
∂x

∂f
( x, y )
∂y

Таблица 2
4

∂f
( x0 , y 0 )
∂x
⎧ z = f ( x, y )
в точке с
⎩ x = x0

Чему равен угловой коэффициент касательной к кривой ⎨

ординатой y = y 0 ? Укажите номер верного ответа в таблице 3.

3.

1

2

3

∂f
( x, y )
∂x

∂f
( x0 , y 0 )
∂x

∂f
( x, y )
∂y

Таблица 3
4

∂f
( x0 , y 0 )
∂y
⎧ z = f ( x, y )
в точке с
⎩ x = x0

Чему равен угловой коэффициент касательной к кривой ⎨

ординатой y = y 0 ? Укажите номер верного ответа в таблице 4.

4.

1

2

3

0o

90 o

45 o

30 o

При каком условии функция двух переменных является дифференцируемой в точке

(x0 , y0 ) ? Укажите номер верного ответа в таблице 5.

Таблица 5
2
Функция имеет в некоторой окрестности
этой точки непрерывные частные
производные.

1
Функция имеет в этой точке конечные
частные производные.
5.

Таблица 4
4

Если задана функция двух переменных f ( x, y ) = x
производная

sin y

, то чему равна частная

∂f
? Укажите номер верного ответа в таблице 6.
∂y

1

2

3

sin y x sin y −1

sin y x sin y −1 cos y

x sin y ln x

40

Таблица 6
4

x sin y ln x cos y

6.

Если задана функция двух переменных f ( x, y ) =
2

x 2 − y 2 , то чему равно

2

⎛ ∂f ⎞
⎛ ∂f ⎞
выражение ⎜ ⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ? Укажите номер верного ответа в таблице 7.
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠

7.

1

2

0

1

x2 − y2

4

x2 + y2

Если функция двух переменных имеет вид f ( x, y ) = (2 x + y )

3 y− x

значение частной производной

1

9
8.

Таблица 7
4

3

, то чему равно

∂f
(0;1) ? Укажите номер верного в таблице 8 ответа.
∂y

2

Таблица 8
4

3
3 ln 2 − 1
2

3

6

Чему равно значение полного дифференциала функции z = x + 2 y в точке (2; 1)
2

3

при Δx = 0,01 и Δy = 0,03 ? Укажите номер верного ответа в таблице 9.

9.

1

2

3

0,13

0,18

0,22

Задана функция двух переменных z =

Таблица 9
4

0,74

x
∂z
∂z
+y ?
. Чему равно выражение x
y
∂x
∂y

Укажите номер верного ответа в таблице 10.

10.

1

2

3

1

0

y
x

Таблица 10
4

x
y

Функция z = z ( x, y ) задана неявно зависимостью ( x − z ) + ( y − z ) = 8 . Чему
2

равно выражение

1

2

∂z ∂z
+
? Укажите номер верного в таблице 11 ответа.
∂x ∂y
2

Таблица 11
4

3

0
8
−1
x
11. Задана функция z = arctg , где x = u + v , y = u − v . Чему равно выражение
y
∂z ∂z
+
? Укажите номер верного в таблице 12 ответа.
∂u ∂v

1

12.

1

2

1

0

Таблица 12
4
1

3
u−v

(

u2 + v2

u2 + v2
3

Задана функция трех переменных u = ln 1 + x + y + z

2

). Чему равно значение

∂u ∂u ∂u
+
+
при x = y = z = 1 ? Укажите номер верного в таблице 13 ответа.
∂x ∂y ∂z

41

13.

1

2

3

1,5

7
12

5
12

Если задана функция u = e

∂ 2u
∂x 2

14.

∂ 2u

+

∂y 2

x

Таблица 13
4

3

(x cos y − y sin y ) , то чему равно выражение

? Укажите номер верного ответа в таблице 14.

1

2

3

1

0

ex

Задана функция z = e

xy

Таблица 14
4

− 2e x x cos y

. Чему равно значение производной

∂3z
∂x 2 ∂y

(0; 1) ? Укажите

номер верного в таблице 15 ответа.
1

2

Таблица 15
4

3

2

15.

0
3
1
Задана функция z = sin (2 x + y ) . Чему равно значение третьего дифференциала

(

d 3 z в точке − π2 ;

)

π при
2

Δx = Δ y = 0,1 ? Укажите номер верного в таблице 16

ответа.

16.

Таблица 16
4

1

2

3

1

0,027

− 0,027

0
2

Какой вид имеет уравнение касательной плоскости к поверхности z = x − 2 y

2

в

точке (1; 1; − 1) ? Укажите номер верного в таблице 17 ответа.

Таблица 17
1

2

2x − 4 y + z + 3 = 0
17.

3

2x − 4 y + z − 1 = 0

2x − 4 y − z + 1 = 0

Чему равно приращение ординаты касательной плоскости, проведенной к
2

2

поверхности, x + y + 2 z

2

= 7 в точке (1, − 2; − 1)

при

Δx = Δy = 0,01 ? Укажите

номер верного в таблице 18 ответа.
Таблица 18

18.

1

2

3

0,005

− 0,005

− 0,01

⎧ux − vy + y 2 = 0
Неявные функции u ( x, y ) и v( x, y ) заданы системой ⎨
. При каком
2
⎩uy − vx − x = 0
условии эти функции являются дифференцируемыми? Укажите номер верного в
таблице 19 ответа.
Таблица 19
1
2
3
При y ≠ x
При y ≠ − x
При y ≠ ± x

19.

Какие точки являются стационарными для неявной функции z = z ( x, y ) , заданной
2

2

2

зависимостью x + y + z − xyz = 4 ? Укажите номер верного в таблице 20
ответа.

42

Таблица 20
1

2

(± 1, ± 1, 2)
20.

3

(± 1, m 1, − 2)

Имеет ли функция z = 4 ( x − y ) − x − y
2

2

(± 1, ± 1, − 2)

экстремум? Укажите номер верного в

таблице 21 ответа.
Таблица 21
1

2
Не имеет экстремумов

Минимум в точке (2; − 2 )

8.

3

Максимум в точке (2; − 2 )

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная
1. Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т 1, М.: Наука, 1985.
2. В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа. Ч.1. М.: Наука, 1982.
3. Б.Письменный. Лекции по высшей математике. М.: Айрис, 2001.
4. Г.Н.Берман. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука, 1985.
Дополнительная
5. В.Немыцкий, М.Слудская, А.Черкасов. Курс математического анализа. 2 том,
М.:Наука,1987.
6. Г.П.Толстов. Курс математического анализа. 2 том, М.: Наука, 1980.
7. Н.А.Арцыкова, М.И.Володичева. Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных. ЛКИ, 1985.

9.

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ
Таблица 22


задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ответ

2

4

3

2

4

2

2

3

2

1


задания

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ответ

3

1

2

1

4

3

2

3

1

3

43