• Название:

    суммы квадратов и целые гауссовы числа


  • Размер: 0.62 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

    Осталось ждать: 10 сек.

Установите безопасный браузер



  • Название: send.p65

Предпросмотр документа

14

ÊÂÀÍT 1999/¹3

Ñóììû êâàäðàòîâ
è öåëûå ãàóññîâû öèñëà
Â.ÑÅÍÄÅÐÎÂ, À.ÑÏÈÂÀÊ
«Çà÷åì ñêëàäûâàòü ïðîñòûå ÷èñëà? – íåäîóìåâàë âåëèêèé ôèçèê Ëàíäàó. –
Ïðîñòûå ÷èñëà ñîçäàíû äëÿ òîãî, ÷òîáû èõ óìíîæàòü, à íå ñêëàäûâàòü!»

Ç

À×ÅÌ ÑÊËÀÄÛÂÀÒÜ ÊÂÀÄÐÀÒÛ ÖÅËÛÕ ×ÈÑÅË?

«Äåòàëè» – ýòî êðèòåðèé òîãî, êàêèå íàòóðàëüíûå
÷èñëà ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ
÷èñåë.  äîêàçàòåëüñòâå ýòîãî êðèòåðèÿ áóäóò èñïîëüçîâàíû íå òîëüêî «îáû÷íûå» öåëûå ÷èñëà, íî è ÷èñëà
êîìïëåêñíûå – ïðåêðàñíûé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ àáñòðàêòíîé òåîðèè ê êîíêðåòíîé àðèôìåòè÷åñêîé çàäà÷å! Õîòÿ
ýòà ñòàòüÿ ñîäåðæèò ëèøü ìàëóþ ÷àñòü áîãàòåéøåé òåîðèè
äåëèìîñòè àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, íàäååìñÿ, åå î÷àðîâàíèå íèêîãî íå îñòàâèò ðàâíîäóøíûì.

Èëëþñòðàöèÿ Â.Âëàñîâà

Ïî÷åìó áû íå ñêëàäûâàòü èõ êóáû èëè 666-å
ñòåïåíè? Âîïðîñû ýòè âåñüìà ñåðüåçíû è âñòàþò
ïåðåä êàæäûì, êòî íà÷èíàåò èçó÷àòü ìàòåìàòèêó. Èç
îãðîìíîãî ðàçíîîáðàçèÿ çàäà÷ íå âñå äîñòîéíû ïðèñòàëüíîãî âíèìàíèÿ. Çàäà÷à î ñóììå êâàäðàòî⠖ â âûñøåé
ñòåïåíè äîñòîéíà. Ê ñîæàëåíèþ äëÿ ôèëîñîôà, ýòî
íåâîçìîæíî îáúÿñíèòü, íå ðàññêàçàâ åå ðåøåíèå è íå
óãëóáèâøèñü òåì ñàìûì â äåòàëè.

1*

ÑÓÌÌÛ

ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ

È

ÖÅËÛÅ

Åñëè âû âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòå çà âû÷èñëåíèÿìè â
îñíîâíîì òåêñòå è áóäåòå ðàññìàòðèâàòü óïðàæíåíèÿ
âû÷èñëèòåëüíîãî õàðàêòåðà íå òîëüêî êàê îòíèìàþùèå
âðåìÿ (íåèçáåæíî îíè îáëàäàþò ýòîé îñîáåííîñòüþ), íî
è êàê ïðåäñòàâëÿþùèå èíòåðåñ, äîñòàâëÿþùèå íàñëàæäåíèå è ïîíèìàíèå, òî ÿ óáåæäåí, ÷òî âû ñìîæåòå
îöåíèòü êàê ìîùü, òàê è êðàéíþþ ïðîñòîòó òåîðèè.
Ã.Ýäâàðäñ

Òàáëèöà ñóìì êâàäðàòîâ
Ðàññìîòðèì òàáëèöó, â âåðõíåé ñòðîêå è ëåâîì ñòîëáöå
êîòîðîé – êâàäðàòû öåëûõ ÷èñåë, à â äðóãèõ êëåòêàõ –
ñóììû êâàäðàòîâ:
0

1

4

9

16

25

36

49

64

81 100

1

2

5

10

17

26

37

50

65

82 101

4

5

8

13

20

29

40

53

68

85 104

9

10

13

18

25

34

45

58

73

90 109

16

17

20

25

32

41

52

65

80

97 116

25

26

29

34

41

50

61

74

89 106 125

36

37

40

45

52

61

72

85 100 117 136

49

50

53

58

65

74

85

98 113 130 149

64

65

68

73

80

89 100 113 128 145 164

81

82

85

90

97 106 117 130 145

101 104 109 116 125 136

149 164

Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 3
Íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë,– ýòî 3. Êðàòíûå 3
÷èñëà 6, 12, 15, 21 òîæå íå ïðåäñòàâèìû, à âîò ÷èñëà 9 =
2
= 32 + 02 è 18 = 3 + 32 – ïðåäñòàâèìû. Âîçíèêàåò
ãèïîòåçà: ÷èñëà, êîòîðûå êðàòíû 3, íî íå êðàòíû 9, íå
ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Ýòà ãèïîòåçà
âåðíà. Âåðíî äàæå áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå:
2
2
Òåîðåìà 1. Åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x + y öåëûõ ÷èñåë
x, y êðàòíà 3, òî ÷èñëà x, y òîæå êðàòíû 3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûïèøåì îñòàòêè îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë íà 3:
Çàêîíîìåðíîñòü î÷åâèäíà: îñòàòêè ïåðèîäè÷åñêè ïîâòî4

9

16

25

36

49

64

Î ñòàòîê

0

1

1

0

1

1

0

1

1

81 100
0

Ñëåäóþùåå ïîñëå 3 è 6 íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû
äâóõ êâàäðàòîâ ÷èñëî – ýòî 7. Êðàòíûå 7 ÷èñëà 14, 21, 28,
35, 42, 56, 63 íå ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ.
Îïÿòü âîçíèêàåò ãèïîòåçà: åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2
êðàòíà 7, òî è ñàìè öåëûå ÷èñëà x, y êðàòíû 7.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòàâèì òàáëèöó îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ íà 7:

2

4

1

0

1

4

2

2

4

1

0

Óïðàæíåíèÿ

Óïðàæíåíèå 1. Íàéäèòå íàèìåíüøåå ÷èñëî, êîòîðîå äâóìÿ
ñóùåñòâåííî ðàçíûìè (ò. å. íå ïîëó÷àþùèìèñÿ îäèí èç äðóãîãî
ïåðåñòàíîâêîé ñëàãàåìûõ) ñïîñîáàìè ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ à) öåëûõ; á) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.

1

Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 7

Îñòàòêè, êàê âèäèòå, ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ. Ïîñêîëüêó ñóììà íèêàêèõ äâóõ èç îñòàòêîâ 1, 2, 4 íå êðàòíà
7, ìû äîêàçàëè íàø