• Название:

    суммы квадратов и целые гауссовы числа


  • Размер: 0.62 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

Установите безопасный браузер



  • Название: send.p65

Предпросмотр документа

14

ÊÂÀÍT 1999/¹3

Ñóììû êâàäðàòîâ
è öåëûå ãàóññîâû öèñëà
Â.ÑÅÍÄÅÐÎÂ, À.ÑÏÈÂÀÊ
«Çà÷åì ñêëàäûâàòü ïðîñòûå ÷èñëà? – íåäîóìåâàë âåëèêèé ôèçèê Ëàíäàó. –
Ïðîñòûå ÷èñëà ñîçäàíû äëÿ òîãî, ÷òîáû èõ óìíîæàòü, à íå ñêëàäûâàòü!»

Ç

À×ÅÌ ÑÊËÀÄÛÂÀÒÜ ÊÂÀÄÐÀÒÛ ÖÅËÛÕ ×ÈÑÅË?

«Äåòàëè» – ýòî êðèòåðèé òîãî, êàêèå íàòóðàëüíûå
÷èñëà ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ
÷èñåë.  äîêàçàòåëüñòâå ýòîãî êðèòåðèÿ áóäóò èñïîëüçîâàíû íå òîëüêî «îáû÷íûå» öåëûå ÷èñëà, íî è ÷èñëà
êîìïëåêñíûå – ïðåêðàñíûé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ àáñòðàêòíîé òåîðèè ê êîíêðåòíîé àðèôìåòè÷åñêîé çàäà÷å! Õîòÿ
ýòà ñòàòüÿ ñîäåðæèò ëèøü ìàëóþ ÷àñòü áîãàòåéøåé òåîðèè
äåëèìîñòè àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, íàäååìñÿ, åå î÷àðîâàíèå íèêîãî íå îñòàâèò ðàâíîäóøíûì.

Èëëþñòðàöèÿ Â.Âëàñîâà

Ïî÷åìó áû íå ñêëàäûâàòü èõ êóáû èëè 666-å
ñòåïåíè? Âîïðîñû ýòè âåñüìà ñåðüåçíû è âñòàþò
ïåðåä êàæäûì, êòî íà÷èíàåò èçó÷àòü ìàòåìàòèêó. Èç
îãðîìíîãî ðàçíîîáðàçèÿ çàäà÷ íå âñå äîñòîéíû ïðèñòàëüíîãî âíèìàíèÿ. Çàäà÷à î ñóììå êâàäðàòî⠖ â âûñøåé
ñòåïåíè äîñòîéíà. Ê ñîæàëåíèþ äëÿ ôèëîñîôà, ýòî
íåâîçìîæíî îáúÿñíèòü, íå ðàññêàçàâ åå ðåøåíèå è íå
óãëóáèâøèñü òåì ñàìûì â äåòàëè.

1*

ÑÓÌÌÛ

ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ

È

ÖÅËÛÅ

Åñëè âû âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòå çà âû÷èñëåíèÿìè â
îñíîâíîì òåêñòå è áóäåòå ðàññìàòðèâàòü óïðàæíåíèÿ
âû÷èñëèòåëüíîãî õàðàêòåðà íå òîëüêî êàê îòíèìàþùèå
âðåìÿ (íåèçáåæíî îíè îáëàäàþò ýòîé îñîáåííîñòüþ), íî
è êàê ïðåäñòàâëÿþùèå èíòåðåñ, äîñòàâëÿþùèå íàñëàæäåíèå è ïîíèìàíèå, òî ÿ óáåæäåí, ÷òî âû ñìîæåòå
îöåíèòü êàê ìîùü, òàê è êðàéíþþ ïðîñòîòó òåîðèè.
Ã.Ýäâàðäñ

Òàáëèöà ñóìì êâàäðàòîâ
Ðàññìîòðèì òàáëèöó, â âåðõíåé ñòðîêå è ëåâîì ñòîëáöå
êîòîðîé – êâàäðàòû öåëûõ ÷èñåë, à â äðóãèõ êëåòêàõ –
ñóììû êâàäðàòîâ:
0

1

4

9

16

25

36

49

64

81 100

1

2

5

10

17

26

37

50

65

82 101

4

5

8

13

20

29

40

53

68

85 104

9

10

13

18

25

34

45

58

73

90 109

16

17

20

25

32

41

52

65

80

97 116

25

26

29

34

41

50

61

74

89 106 125

36

37

40

45

52

61

72

85 100 117 136

49

50

53

58

65

74

85

98 113 130 149

64

65

68

73

80

89 100 113 128 145 164

81

82

85

90

97 106 117 130 145

101 104 109 116 125 136

149 164

Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 3
Íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë,– ýòî 3. Êðàòíûå 3
÷èñëà 6, 12, 15, 21 òîæå íå ïðåäñòàâèìû, à âîò ÷èñëà 9 =
2
= 32 + 02 è 18 = 3 + 32 – ïðåäñòàâèìû. Âîçíèêàåò
ãèïîòåçà: ÷èñëà, êîòîðûå êðàòíû 3, íî íå êðàòíû 9, íå
ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Ýòà ãèïîòåçà
âåðíà. Âåðíî äàæå áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå:
2
2
Òåîðåìà 1. Åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x + y öåëûõ ÷èñåë
x, y êðàòíà 3, òî ÷èñëà x, y òîæå êðàòíû 3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûïèøåì îñòàòêè îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë íà 3:
Çàêîíîìåðíîñòü î÷åâèäíà: îñòàòêè ïåðèîäè÷åñêè ïîâòî4

9

16

25

36

49

64

Î ñòàòîê

0

1

1

0

1

1

0

1

1

81 100
0

Ñëåäóþùåå ïîñëå 3 è 6 íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû
äâóõ êâàäðàòîâ ÷èñëî – ýòî 7. Êðàòíûå 7 ÷èñëà 14, 21, 28,
35, 42, 56, 63 íå ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ.
Îïÿòü âîçíèêàåò ãèïîòåçà: åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2
êðàòíà 7, òî è ñàìè öåëûå ÷èñëà x, y êðàòíû 7.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòàâèì òàáëèöó îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ íà 7:

2

4

1

0

1

4

2

2

4

1

0

Óïðàæíåíèÿ

Óïðàæíåíèå 1. Íàéäèòå íàèìåíüøåå ÷èñëî, êîòîðîå äâóìÿ
ñóùåñòâåííî ðàçíûìè (ò. å. íå ïîëó÷àþùèìèñÿ îäèí èç äðóãîãî
ïåðåñòàíîâêîé ñëàãàåìûõ) ñïîñîáàìè ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ à) öåëûõ; á) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.

1

Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 7

Îñòàòêè, êàê âèäèòå, ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ. Ïîñêîëüêó ñóììà íèêàêèõ äâóõ èç îñòàòêîâ 1, 2, 4 íå êðàòíà
7, ìû äîêàçàëè íàøó ãèïîòåçó.

181 200

0

Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ
öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 31999 , òî ýòà ñóììà êðàòíà 32000 .

Î ñòàòîê 0 1 4 2

162 181

Kâàäðàò

âòîðîì ñëó÷àå x = 9k 2 ± 6k + 1 äàåò ïðè äåëåíèè íà 3
îñòàòîê 1.)
Ñóììû îñòàòêîâ 0 + 1 è 1 + 1 íå êðàòíû 3. Çíà÷èò, ñóììà
êâàäðàòîâ x2 + y 2 êðàòíà 3 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,
êîãäà x è y êðàòíû 3.

Kâàäðàò 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196

Ýòà òàáëèöà ïîçâîëÿåò âûïèñàòü ïðåäñòàâëåíèÿ: 1 =
2
= 12 + 02 , 2 = 12 + 12 , 4 = 2 + 02 , 5 = 22 + 12 , 8 = 22 + 22 ,
2
2
2
2
2
2
9 = 3 + 0 , 10 = 3 + 1 , 13 = 3 + 2 ,... Íå âîøåäøèå â
òàáëèöó ÷èñëà ïåðâîé ñîòíè (3, 6, 7, 11, 12, 14, 15,...) â
âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ íå ïðåäñòàâèìû.

1

ðÿþòñÿ, è íèêàêèõ îñòàòêîâ êðîìå 0 è 1 íå áûâàåò.
(Òî÷íåå ãîâîðÿ, îñòàòîê îò äåëåíèÿ êâàäðàòà öåëîãî ÷èñëà
x íà 3 ðàâåí 0, åñëè x êðàòíî 3, ò. å. ïðåäñòàâèìî â âèäå
x = 3k, ãäå k – öåëîå ÷èñëî, è îñòàòîê ðàâåí 1, åñëè x íå
êðàòíî 3, ò. å. ïðåäñòàâèìî â âèäå x = 3k ± 1. Â ñàìîì äåëå,
2
â ïåðâîì ñëó÷àå x = 9k 2 äåëèòñÿ íà 3 áåç îñòàòêà, à âî
4*

15

×ÈÑËÀ

2

Ñóììû êâàäðàòîâ

100

ÃÀÓÑÑÎÂÛ

3. Îñòàòîê îò äåëåíèÿ êâàäðàòà öåëîãî ÷èñëà x íà 7 ðàâåí 0,
åñëè x = 7k, ãäå k – öåëîå ÷èñëî; ðàâåí 1, åñëè x = 7k ± 1; ðàâåí
2, åñëè x = 7k ± 3; ðàâåí 4, åñëè x = 7k ± 2. Äîêàæèòå ýòî.
4. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë
êðàòíà 21, òî îíà êðàòíà è 441.
5. à) Êàêèå îñòàòêè äàþò êâàäðàòû öåëûõ ÷èñåë ïðè äåëåíèè
íà 11? á) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë
êðàòíà 11, òî îíà êðàòíà 121. â) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà
êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 1331, òî îíà êðàòíà è 14641.

Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 19
Åñëè ïðîñòîå ÷èñëî p ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ, p = x2 + y 2 , òî, î÷åâèäíî, ÷èñëà x, y ìåíüøå p è
ïîòîìó íå ìîãóò áûòü êðàòíû p. Çíà÷èò, íà ðîëü òåõ ÷èñåë
p, äëÿ êîòîðûõ èç äåëèìîñòè ñóììû êâàäðàòîâ íà p
ñëåäóåò äåëèìîñòü íà p îáîèõ ñëàãàåìûõ, ïðåòåíäóþò
òîëüêî ÷èñëà, íå ïðåäñòàâèìûå â âèäå ñóììû äâóõ
êâàäðàòîâ. Ëþáîå òàêîå ÷èñëî ìîæíî èññëåäîâàòü àíàëîãè÷íî ÷èñëàì 3 è 7.
Íàïðèìåð, ïóñòü p = 19. Ñîñòàâèì òàáëèöó îñòàòêîâ îò
äåëåíèÿ êâàäðàòîâ íà 19:
Kâàäðàò

0

1

4

9

16

25

36

Î ñòàòîê

0

1

4

9

16

6

17

Kâàäðàò

49

64

81

100

121

144

169

Î ñòàòîê

11

7

5

5

7

11

17

Kâàäðàò

196

225

256

289

324

Î ñòàòîê

6

16

9

4

1

 âåðõíåé ñòðîêå – êâàäðàòû ÷èñåë 0, 1,..., 18. (Äðóãèå
êâàäðàòû ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü, ïîñêîëüêó ëþáîå
öåëîå ÷èñëî x ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå x = 19q + r, ãäå
q – öåëîå, 0 ≤ r ≤ 18, è ïðè ýòîì ÷èñëî x2 = 192 q 2 +

ÊÂÀÍT 1999/¹3

16

+ 38qr + r 2 äàåò ïðè äåëåíèè íà 19 òàêîé æå îñòàòîê, êàê
2
è r .)
 íèæíåé ñòðîêå òàáëèöû îäèí ðàç ïðèñóòñòâóåò ÷èñëî
0 è ïî äâà ðàçà – ÷èñëà 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16 è 17.
Íåíóëåâûå îñòàòêè îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë íà
ïðîñòîå ÷èñëî p > 2 íàçûâàþò êâàäðàòè÷íûìè âû÷åòàìè
ïî ìîäóëþ p. Âñå äðóãèå íåíóëåâûå îñòàòêè – êâàäðàòè÷íûå íåâû÷åòû (ïðè p = 19 ýòî 2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15
è 18).
Ïîñêîëüêó ñóììà íèêàêèõ äâóõ èç ÷èñåë 1, 4, 5, 6, 7, 9,
11, 16 è 17 íå êðàòíà 19, ïðèõîäèì ê âûâîäó: ñóììà
êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 19 â òîì è òîëüêî òîì
ñëó÷àå, êîãäà ñëàãàåìûå êðàòíû 19.
Óïðàæíåíèå 6. Åñëè p – ïðîñòîå ÷èñëî, p > 2, òî ñóùåñòâóåò
(p – 1)/2 êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ è ðîâíî ñòîëüêî æå êâàäðàòè÷íûõ íåâû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p. Äîêàæèòå ýòî.

Ñâîéñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ÿâëÿþùèõñÿ
ñóììàìè äâóõ êâàäðàòîâ
Êàê îòíîñèòüñÿ ê òðóäíîñòÿì? Â îáëàñòè íåâåäîìîãî
íàäî ðàññìàòðèâàòü òðóäíîñòè êàê ñêðûòûé êëàä! Îáû÷íî: ÷åì òðóäíåå, òåì ïîëåçíåå. Íå òàê öåííî, åñëè
òðóäíîñòè âîçíèêàþò îò òâîåé áîðüáû ñ ñàìèì ñîáîé.
Íî êîãäà òðóäíîñòè èñõîäÿò îò óâåëè÷èâøåãîñÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ïðåäìåòà – ýòî ïðåêðàñíî!!
À.È.Ñîëæåíèöûí

×åì áîëüøå ïî âåëè÷èíå ïðîñòîå ÷èñëî p, òåì áîëüøå
êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p. Ïîýòîìó ïîðà ìåíÿòü ìåòîä èññëåäîâàíèÿ: åñëè ìû íå æåëàåì ïîãðÿçíóòü
â íåñêîí÷àåìûõ âû÷èñëåíèÿõ, òî äîëæíû êàêèì-òî îäíèì
îáùèì ðàññóæäåíèåì îõâàòèòü ÷èñëà 3, 7, 11, 19 è ìíîãèå
äðóãèå ïðîñòûå ÷èñëà.
Ïîêà íå âïîëíå ÿñíî, ÷òî ýòî çà ÷èñëà è ÷åì îíè
îòëè÷àþòñÿ îò ÷èñåë 2, 5, 13, 17,... Âïðî÷åì, îäíî îòëè÷èå
î÷åâèäíî: ÷èñëà 3, 7, 11, 19 íå ïðåäñòàâèìû, à ÷èñëà 2, 5,
13, 17 ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ
÷èñåë. Êðîìå òîãî, ïðîñòûå ÷èñëà p = 3, 7, 11, 19
îáëàäàþò, êàê ìû óæå äîêàçàëè, òåì ñâîéñòâîì, ÷òî åñëè
ñóììà êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà p, òî êàæäîå èç
ñëàãàåìûõ êðàòíî p. Ïðîäîëæèâ (äîâîëüíî óòîìèòåëüíûå, åñëè íå èñïîëüçîâàòü êîìïüþòåð) âû÷èñëåíèÿ, ìîæíî äîêàçàòü ýòî ñâîéñòâî äëÿ p = 23, 31, 43, 47, 59, 67,
71, 79, 83, 87. Îñå÷êè íè ðàçó íå áóäåò:
Òåîðåìà 2. Åñëè ïðîñòîå ÷èñëî p íå ïðåäñòàâèìî â âèäå
2
2
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ è åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x + y
êðàòíà p, òî êàæäîå èç öåëûõ ÷èñåë x, y êðàòíî p.
Ìû ïîëó÷èì ýòó òåîðåìó êàê îäíî èç ñëåäñòâèé òåîðèè
öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë. Ïîñêîëüêó ýòî íå òàê óæ ïðîñòî,
äàâàéòå îòâëå÷åìñÿ íà íåêîòîðîå âðåìÿ îò òåîðåìû 2 è
îáðàòèì âíèìàíèå íà äðóãîå ñâîéñòâî ðàññìàòðèâàåìûõ
ïðîñòûõ ÷èñåë 3, 7, 11,..., 83, 87: ïðè äåëåíèè íà 4 îíè
äàþò îñòàòîê 3.

×èñëà âèäà 4n + 3
 âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ íå ïðåäñòàâèìû íå òîëüêî
ïðîñòûå ÷èñëà, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 4 äàþò îñòàòîê 3,
íî è âîîáùå âñå ÷èñëà 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27,...:
Òåîðåìà 3. Âñÿêîå ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë íå÷åòíîå ÷èñëî ïðè äåëåíèè íà
4 äàåò îñòàòîê 1, à íå 3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç äâóõ êâàäðàòîâ, ñóììà êîòîðûõ
íå÷åòíà, îáÿçàòåëüíî îäèí ÷åòåí, à äðóãîé íå÷åòåí. Êâàäðàò ÷åòíîãî ÷èñëà íàöåëî äåëèòñÿ íà 4, à êâàäðàò íå-

÷åòíîãî ÷èñëà ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1 (ïðîâåðüòå!).
Óïðàæíåíèå. 7 à) Êâàäðàò íå÷åòíîãî ÷èñëà äàåò îñòàòîê 1 íå
òîëüêî ïðè äåëåíèè íà 4, íî äàæå ïðè äåëåíèè íà 8. Äîêàæèòå
2
ýòî. á) Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x2 + y2 + z = 8n –
– 1. â) Íèêàêîå ÷èñëî âèäà 4 m 8n + 7 , ãäå m, n – öåëûå
íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ òðåõ öåëûõ ÷èñåë. Äîêàæèòå ýòî.

b

g

Ïðîèçâåäåíèå ñóìì êâàäðàòîâ
Ìû óæå íàøëè íåñêîëüêî ïðèçíàêîâ íåïðåäñòàâèìîñòè
÷èñëà â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Íå ìåíåå âàæíû
ïðèçíàêè ïðåäñòàâèìîñòè. Íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî åñëè n =
2
2
= x + y , òî

b x + yg + b x − yg
2

2

= x 2 + 2 xy + y 2 + x 2 − 2 xy + y 2 =

e

2

=2 x +y

2

j = 2n .

Çíà÷èò, âìåñòå ñ êàæäûì ïðåäñòàâèìûì ÷èñëîì n
ïðåäñòàâèìî è ÷èñëî 2n. Äàëåå,

b2 x + yg + b x − 2 yg
2

2

= 4 x 2 + 4 xy +
2

2

e

2

2

+ y + x − 4 xy + 4 y = 5 x + y
Ëåãêî ïðîâåðèòü è ôîðìóëû

2

j = 5n.

b2 x + 3yg + b3x − 2 yg = 13n ,
b4x + yg + b x − 4 yg = 17n .
2

2

2

2

Âñå îíè ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îáùåé ôîðìóëû,
êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ïðîèçâåäåíèå ñóìì äâóõ êâàäðàòîâ
â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. ×òîáû ïîëó÷èòü åå, ðàñêðîåì ñêîáêè

ea

2

je

j

+ b 2 x 2 + y 2 = a 2 x 2 + b 2 x 2 + a2 y 2 + b 2 y 2 ,

ïðèáàâèì è îòíèìåì 2abxy è èçìåíèì ïîðÿäîê ñëàãàåìûõ:

ea

2

je

j

+ b2 x2 + y 2 = a 2 x 2 + 2 axby +

b

+ b 2 y 2 + b 2 x 2 − 2bxay + a 2 y 2 = ax + by

g + bbx − ayg .(1)
2

2

Óïðàæíåíèå 8. Äîêàæèòå, ÷òî
à) åñëè ÷åòíîå ÷èñëî n åñòü ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ
÷èñåë, òî è ÷èñëî n/2 ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ
öåëûõ ÷èñåë;
á)* åñëè êðàòíîå 5 ÷èñëî n åñòü ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ
÷èñåë, òî ÷èñëî n/5 òîæå ïðåäñòàâèìî â òàêîì âèäå;
â)* åñëè 13k = x2 + y2 , ãäå k, x, y – öåëûå ÷èñëà, òî õîòÿ áû

F 3 x + 2 y I + FG 2x − 3y IJ
GH 13 JK H 13 K
2

îäíà èç ôîðìóë k =

F 2 x + 3y I
J
+ GG
H 13 JK

2

2

èk=

F 3x − 2y I
GH 13 JK

2

+

ïðåäñòàâëÿåò k â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ öåëûõ

÷èñåë.

Òåîðåìà Ôåðìà–Ýéëåðà
Ïîñêîëüêó ìû íàó÷èëèñü ïðåäñòàâëÿòü ïðîèçâåäåíèå
ñóìì äâóõ êâàäðàòîâ â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ, î÷åíü
âàæíî âûÿñíèòü, êàêèå ïðîñòûå ÷èñëà ïðåäñòàâèìû â
âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë, à êàêèå íå
ïðåäñòàâèìû. ×èñëà âèäà 4n + 3, êàê óòâåðæäàåò òåîðåìà
3, íå ïðåäñòàâèìû. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì ïðîñòûå ÷èñëà,
êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 4 äàþò îñòàòîê 1. Ýòî: 5 = 22 +

ÑÓÌÌÛ
2

ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ
2

È

ÖÅËÛÅ

2

ÃÀÓÑÑÎÂÛ

×ÈÑËÀ

17

2

+ 12 , 13 = 3 + 22 , 17 = 4 2 + 12 , 29 = 5 + 22 , 37 = 6 +
2
+ 12 , 41 = 5 + 4 2 , 53 = 72 + 22 ,...
Òåîðåìà 4. Ëþáîå ïðîñòîå ÷èñëî p, êîòîðîå ïðè
äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1, ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû
êâàäðàòîâ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî, ñîñòîÿùåå èç ñëåäóþùèõ
äâóõ ëåìì.
Ëåììà 1. Äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p = 4n + 1, ãäå
n ∈N, ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå ÷èñëî m, ÷òî m 2 + 1
êðàòíî p.
2
Ëåììà 2. Ëþáîé ïðîñòîé äåëèòåëü p ÷èñëà m + 1, ãäå
m – öåëîå, ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.

 êà÷åñòâå ÷èñëà m â ëåììå 1 ãîäèòñÿ m = (2n)!, ò. å.
ïðîèçâåäåíèå ïåðâûõ 2n íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ×òîáû ýòî
óâèäåòü, ðàññìîòðèì ÷èñëî

Óïðàæíåíèå 9. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (1), îáúÿñíèòå, ïî÷åìó
â ëåììå 2 ñëîâà «ëþáîé ïðîñòîé» ìîæíî çàìåíèòü íà «ëþáîé
íàòóðàëüíûé».

Îíî äàåò ïðè äåëåíèè íà p òàêîé æå îñòàòîê, êàê è ÷èñëî

Ëåììó 1 ìû âûâåäåì èç òåîðåìû Âèëüñîíà (1741–
1793), ëåììó 2 – èç òåîðèè äåëèìîñòè öåëûõ ãàóññîâûõ
÷èñåë. Íî ñíà÷àëà ñôîðìóëèðóåì îòâåò íà îäèí âàæíûé
âîïðîñ.

Êàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà –
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ?
Ïî òåîðåìàì 3 è 4, ïðîñòîå ÷èñëî p > 2 íå ïðåäñòàâèìî
â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ, åñëè îíî èìååò âèä p =
= 4k + 3, è ïðåäñòàâèìî – åñëè p = 4k + 1, ãäå k –
öåëîå. Âñïîìíèâ ôîðìóëó (1) è ïðèìåíèâ (åùå íå
äîêàçàííóþ íàìè) òåîðåìó 2, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ýëåãàíòíûé êðèòåðèé: íàòóðàëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â
âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â åãî ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ëþáîé ïðîñòîé ìíîæèòåëü âèäà 4k + 3 âõîäèò â
÷åòíîé ñòåïåíè.
Ýòîò êðèòåðèé âïåðâûå áûë ñôîðìóëèðîâàí ãîëëàíäöåì Àëüáåðîì Æèðàðîì (1595–1632) â ñëåäóþùåì âèäå:
íàòóðàëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ÿâëÿåòñÿ èëè
êâàäðàòîì, èëè ÷èñëîì 2, èëè ïðîñòûì ÷èñëîì, êîòîðîå
íà 1 áîëüøå, ÷åì íåêîòîðîå êðàòíîå 4, èëè ïðîèçâåäåíèåì
íåñêîëüêèõ âûøåïåðå÷èñëåííûõ ÷èñåë. Ñêîðåå âñåãî,
Æèðàð îïèðàëñÿ ëèøü íà èçó÷åíèå òàáëèö è íå ïðåòåíäîâàë íà òî, ÷òî ìîæåò äîêàçàòü íåîáõîäèìîñòü è äîñòàòî÷íîñòü ñâîèõ óñëîâèé.
Óïðàæíåíèÿ
10. Äîêàæèòå, ÷òî 15 íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ
äâóõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. (Ýòîò ôàêò óïîìÿíóò â «Àðèôìåòèêå» äðåâíåãðå÷åñêîãî ìàòåìàòèêà Äèîôàíòà.)
11. Âûâåäèòå èç êðèòåðèÿ ïðåäñòàâèìîñòè ÷èñëà â âèäå ñóììû
äâóõ êâàäðàòîâ, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2 öåëûõ ÷èñåë
2 s −1
êðàòíà p , ãäå s – íàòóðàëüíîå ÷èñëî, p – ïðîñòîå ÷èñëî,
êîòîðîå ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 3, òî ÷èñëà x è y êðàòíû
s
p .
12. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî íàòóðàëüíûõ
÷èñåë, êîòîðûå äàþò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà 4, íî íå
ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë.
2
13. à) Äëÿ ëþáîãî äåëèòåëÿ d ÷èñëà n + 1, ãäå n ∈ N,
2
ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ m ∈ N, ÷òî m + 1 êðàòíî d.
Äîêàæèòå ýòî. á) Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
2
n < 1000, äëÿ êîòîðûõ n + 1 êðàòíî 65?
2
14. Èç ëåììû 2 è òåîðåìû 3 âûâåäèòå, ÷òî ÷èñëî âèäà n + 1,
ãäå n ∈ N, íå èìååò íè îäíîãî äåëèòåëÿ âèäà 4k – 1, ãäå k ∈ N.
15. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè x, y, z – öåëûå ÷èñëà è 4xy – x – y =
2
= z , òî x ≤ 0 è y ≤ 0. (Ýòî óïðàæíåíèå ïðèäóìàë Ë. Ýéëåð.)
5 Êâàíò ¹ 3

16. à) Íèêàêîå ÷èñëî âèäà m + 1 íå êðàòíî íèêàêîìó ÷èñëó
âèäà n 2 – 1, ãäå m, n – öåëûå ÷èñëà, n > 1. Äîêàæèòå ýòî.
2
2
2
2 2
á) Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x y = x + y + z .

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1

> p − 1C! = 1 ⋅ 2 ⋅K⋅ >2n − 1C ⋅ >2nC ×
× >2 n + 1C ⋅ >2 n + 2 C ⋅ K ⋅ > 4 n − 1C ⋅ > 4 n C =
= 1 ⋅ 2 ⋅ K ⋅ >2n − 1C ⋅ >2nC ⋅ > p − 2 nC ×
× ? p − >2n − 1CD ⋅K ⋅ > p − 2C ⋅ > p − 1C .
>

C > C > C ⋅ >2nC ⋅ >2n − 1C ⋅K⋅ 2 ⋅ 1 = m .

1 ⋅ 2 ⋅ K ⋅ 2 n − 1 ⋅ 2 n ⋅ −1
2

2n

2

Çíà÷èò, m + 1 ïðè äåëåíèè íà p äàåò òàêîé æå îñòàòîê,
êàê è ÷èñëî (p – 1)! + 1. Ïîñëåäíåå ÷èñëî êðàòíî p ïî
òåîðåìå Âèëüñîíà, êî