• Название:

    Отделение корней нелинейных уравнений и метод б...

  • Размер: 0.25 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Слайд 1

ТЕМА: РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Алгебраические уравнения в каноническом виде представляют собой полином
степени n:

a0 x + a1 ⋅ x
т

т −1

+ ... + an−1 ⋅ x + an = 0

Простейшее нелинейное алгебраическое
уравнение:

a⋅ x +b⋅ x +c =0
2

Его решение имеет вид:

− b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
x1,2 =
2⋅a

x + a⋅ x +b⋅ x + c = 0
3

Кубическое уравнение имеет вид:

2

В общем случае имеет 3 корня, которые можно найти по формулам
Кардано. Среди корней могут быть комплексные.
Уравнение 4-й степени:

x + a⋅x +b⋅x +c⋅x + d =0
4

3

2

Можно свести к решению 2-х квадратных уравнений , используя метод
Феррари.
Французский математик Галуа показал, что для уравнений 5-й степени и выше
нельзя получить конечные формулы в общем случае.
Всякое алгебраическое уравнение нечетной степени с
действительными коэффициентами имеет по крайней мере один
действительный корень.

Уравнения, не являющиеся алгебраическими, называют
трансцендентными.
Это уравнения, содержащие показательные, логарифмические,
тригонометрические и обратные к ним функции. Примеры:

ln x + 2 ⋅ cos x − 2 = 0
2

e − x =0
x

2

2 ⋅ ln3 ( 3 ⋅ x − 1 ) − ln9 ( 2 ⋅ x − 1 ) = 0
Аналитически они могут быть решены только в простейших
случаях. Для их решения используются приближенные методы.
Не существует общих методов нахождения всех решений. Все
приближенные (численные методы) применяются для
нахождения одного из решений.

В общем случае нелинейное уравнение имеет вид:

f(x)=0

(*)

ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ:
ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ

ВЫБОР ПРИБЛИЖЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ КОРНЯ

УТОЧНЕНИЕ КОРНЯ

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ
Корень уравнения считается отделенным на отрезке [a, b],
если он на этом отрезке единственный.
Отделить все корни – означает разбить область определения функции
f(x) на отрезки, в каждом из которых содержится не более одного
действительного корня.

Теорема
Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков
на отрезке [a, b], т.е. f(а) f(b)< 0, то внутри этого отрезка содержится по крайней
мере один корень уравнения (*).Корень будет единственным на отрезке [a, b],
если функция f(x) монотонна.

СПОСОБЫ ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ
ГРАФИЧЕСКИЙ

АНАЛИТИЧЕСКИЙ

ТАБУЛИРОВАНИЕ
ФУНКЦИИ

ГРАФИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ.
Задача. Отделить корни уравнения

ех - х2=0.

Решение. Представим уравнение в виде ех = х2 и построим графики функций
f1(x)= ех и f2(x)= х2.
Корень находится на отрезке [-1, 0]. Графически можно определить и
приближенное значение корня х0 =-0,5. Положительных корней нет.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ:
а) определяются интервалы монотонности функции f(x), для этого вычисляется ее
производная и решается уравнение f '(x)=0 и определяются интервалы, на которых
производная имеет постоянный знак.

а) определяются интервалы монотонности функции f(x), для этого
вычисляется ее производная и решается уравнение f '(x)=0 и
определяются интервалы на которых производная имеет постоянный знак.
Может оказаться, что решить это уравнение не проще, чем исходное.
Тогда этот способ применять не следует.
б) определяется знак функции в граничных точках области определения и в
точках, подозрительных на экстремум. Количество перемен знака функции равно
количеству корней уравнения.
с) уменьшаются промежутки, содержащие корни. Рекомендуется, чтобы длина
отрезка не превышала 1.

ПРИМЕР 5х-6·х-3=0
f(x)= 5х-6·х-3
5х ·ln5 –6=0
5х = 6/ ln5 x=ln5 (6/ ln5)=0,82
Составим таблицу знаков функции.

f '(x)= 5х ·ln5 –6

х

-∞

1

+∞

Знак функции f(x)

+

-

+

Происходит две перемены знака функции, следовательно, функция f(x)
имеет два действительных корня.
Уменьшаем промежутки.

х

-1

Знак функции f(x) +

0

1

+2

-

-

+

По таблице делаем вывод, что , x1 принадлежит [-1, 0], а x2 – [1, 2]

УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального
приближения х0.
Каждый такой шаг называется итерацией.
В результате итераций находится последовательность приближенных зна-чений
корня х1, х2, ..., хn.
Если эти значения с увеличением числа итера-ций n приближаются к
истинному значению корня, то говорят, что ите-рационный процесс
сходится
Метод бисекции
Другие названия: метод половинного деления, метод деления отрезка
пополам
Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a, b], т.е. f(а) f(b)< 0.
b-a>ε, где ε>0 –заданная точность.

+
a

c
-

b

Алгоритм метода бисекции (предполагается, что f(x) задается
оператором- функцией)
1. ввод исходных данных a, b, ε
Пункты 2,3 выполняются в цикле до тех пор, пока b-a>ε
1. Находим середину отрезка [a, b]:

с=(a+b)/2

2. Проверяем условие f(а) f(с)< 0.
Если условие выполнено, то отрезок [с, b] не содержит корня,
и его можно отбросить и положить b=с, в противном случае
полагаем а=с
1. Вывод результатов с, f(с)
2. конец алгоритма

Метод половинного деления практически удобно применять для грубого
нахождения корня данного уравнения, метод прост и надежен, всегда сходится.
Пример 3. Методом половинного деления уточнить корень уравнения
f(x) ≡ x4 + 2 x3 – x – 1 = 0
лежащий на отрезке [0, 1].
Последовательно имеем:
f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 – 0,5 – 1 = - 1,19;
f(0,75) = 0,32 + 0,84 – 0,75 – 1 = - 0,59;
f(0,875) = 0,59 + 1,34 – 0,88 – 1 = + 0,05;
f(0,8125) = 0,436 + 1,072 – 0,812 – 1 = - 0,304;
f(0,8438) = 0,507 + 1,202 – 0,844 – 1 = - 0,135;
f(0,8594) = 0,546 + 1,270 – 0,859 – 1 = - 0,043 и т. д.
Можно принять
ξ = (0,859 + 0,875) = 0,867