• Название:

    25. Следствие 1 (теорема Чебышева) и следствие...

  • Размер: 0.13 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Автор: Junkie

25. Следствие 1 (теорема Чебышева) и следствие 2 (теорема Бернулли) из теоремы Чебышева.
Теорема Бернулли:
Если Вероятность ρ наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pk,n того, что
событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:

где q = 1-p

Докаказательство:
Так как в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие A наступает с
вероятностью , следовательно противоположное ему событие с вероятностью

.

Обозначим Ai — наступление события A в испытании с номером i. Так как условия проведения опытов
одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате n опытов событие A наступает k раз, тогда
остальные n − k − раз это событие не наступает. Событие A может появиться k раз в n испытаниях в
различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по k. Это количество
сочетаний находится по формуле:

.
При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:
.
Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу
Бернулли:

где q = 1-p

= Эта теорема скорее всего не так, правильные скорее всего, которые внизу!
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Теорема Чебышева:
Пусть случайные величины

последовательности (2) таковы, что:

1) Они попарно независимы.
2) Имеют конечное математическое ожидание.
3) Имеют равномерно ограниченные дисперсии
Тогда к последовательности применим закон больших чисел.
Доказательство:
Оценим дисперсию:

Применим неравенство (1):

Левую часть выразим через вероятность противоположного события:

Умножим обе части на (-1):

С другой стороны:

На основании двух предыдущих формул получаем формулу (3)
Теорема Бернулли:
Относительная частота события “А” в вероятностном смысле сходится к вероятности этого события:

(4)
Доказательство:
С каждым испытанием свяжем случайную величину

.

Тогда число наступлений события “А” в “n” независимых испытаний будет равно:

Покажем, что к этой последовательности применим закон больших чисел (равенство 3). Проверим
выполнение условий теоремы Чебышева:
1)

– попарно независимы.

2)
3)
Таким образом в силу теоремы Чебышева к последовательности случайных величин { } применим закон
больших чисел, выражаемый равенством (3). В данном случае среднее арифметическое:
– относительная частота.

В силу (3) получаем равенство (4).
Теорема доказана.