• Название:

    кривые 2 ого порядка

  • Размер: 0.1 Мб
  • Формат: PDF
  • или

    КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА
    Окружность
    уравнение

    рисунок

    пояснение

    y

    (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 = R 2

    y0

    (x 0 , y 0 ) − центр,

    R

    R − радиус

    0

    х

    x0
    y

    2

    2

    х +y =R

    (0; 0) − центр,

    2

    R − радиус

    R
    0

    х

    y
    верхняя часть
    окружности

    y = R2 − x2
    0

    х

    y

    y = − R2 − x2

    0

    х

    1

    нижняя часть
    окружности

    y
    правая часть
    окружности

    x = R 2 − y2
    0

    х

    y

    x = − R 2 − y2

    левая часть окружности
    0

    х

    Эллипс
    Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых
    сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть
    постоянная величина (большая, чем расстояние между фокусами)
    уравнение

    рисунок

    пояснение

    y

    (x − x 0 ) 2
    a2

    +

    (y − y 0 )2
    b2

    =1

    (x 0 , y 0 ) − центр,

    y0

    a , b − полуоси

    x0

    0

    х

    y
    x

    2

    a2

    +

    y

    2

    b2

    b

    (0; 0) − центр,

    =1

    a , b − полуоси
    а

    0

    2

    х

    Эллипс

    x2
    a

    2

    +

    y2
    b

    2

    = 1, у которого a > b

    y

    Точки F1 (− c, 0 ) и
    F2 (c, 0 ) − фокусы
    эллипса; расстояние
    между ними равно


    b
    Фокусы

    F1

    0

    F2

    а

    х

    c = a 2 − b2
    ε=

    y
    b

    а

    0
    x=−

    директриса

    Директрисы

    директриса

    Эксцентриситет

    a
    ε

    x=

    3

    х
    a
    ε

    c
    , 0 < ε <1
    a

    a
    a
    x=− , x=
    ε
    ε

    Эллипс

    x2
    a

    2

    +

    y2
    b

    2

    = 1, у которого a < b

    y
    b

    Точки
    F1 (0 ;−c )
    и
    F2 (0; c ) − фокусы
    эллипса;
    расстояние
    между ними равно 2с

    F2
    Фокусы
    а

    0

    х

    c = b2 − a 2

    F1

    ε=

    Эксцентриситет

    y
    y=

    директриса

    c
    , 0 < ε <1
    b

    b
    ε

    b

    Директрисы
    а

    0

    х

    y=−

    директриса

    4

    b
    ε

    b
    b
    y=− , y=
    ε
    ε

    Гипербола
    Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых
    модуль разности расстояний от двух фиксированных точек, называемых
    фокусами, есть постоянная величина (меньшая, чем расстояние между фокусами)

    y
    b
    x

    2

    a2



    y

    2

    b2

    (0; 0) − центр,

    =1

    a

    x

    a , b − полуоси

    y



    x2
    a2

    +

    y2
    b2

    (0; 0) − центр,

    b
    =1
    a

    5

    a , b − полуоси

    x

    x2

    Гипербола

    a2



    y2
    b2

    =1

    y
    b
    Фокусы

    F1

    F2
    a

    x

    Точки F1 (− c, 0 ) и
    F2 (c, 0 ) − фокусы
    гиперболы;
    расстояние между
    ними равно 2с

    c = a 2 + b2

    ε=

    Эксцентриситет

    c
    , ε >1
    a

    y
    b
    Директрисы

    a
    x=−

    a
    ε

    x=

    6

    a
    ε

    x

    a
    a
    x=− , x=
    ε
    ε

    Гипербола −

    x2
    a2

    +

    y2
    b2

    =1

    y
    F2
    Фокусы

    a

    x

    Точки F1 (0 ;−c ) и
    F2 (0; c ) − фокусы
    гиперболы;
    расстояние между
    ними равно 2с

    c = a 2 + b2

    F1

    ε=

    Эксцентриситет

    c
    , ε >1
    a

    y
    b

    b
    ε
    b
    y=−
    ε
    y=

    Директрисы

    7

    a
    a
    x=− , x=
    ε
    ε

    Парабола
    Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из
    которых расстояние до некоторой фиксированной точки, называемой фокусом,
    равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой

    директриса

    y 2 = 2px
    (p > 0)

    y

    0

    F

    х

    директриса

    y
    y 2 = 2px
    (p < 0)
    F

    0

    х

    p − параметр параболы,
    есть
    расстояние
    от
    фокуса до директрисы.
     p 
    F − ; 0  − фокус;
     2 
    уравнение директрисы:
    p
    x=−
    2

    p 
    F ; 0  − фокус;
    2 
    уравнение директрисы:
    p
    x=
    2

    y
    x 2 = 2py
    (p > 0)

    F

    0

    х
    директриса

     p
    F 0;  − фокус;
     2
    уравнение директрисы:
    p
    y=−
    2

    y
    директриса

    x 2 = 2py
    (p < 0)

    0
    F

    8

    х

    p

    F 0;−  − фокус;
    2

    уравнение директрисы:
    p
    y=
    2

    Эксцентриситет
    Окружность

    Эллипс

    Парабола

    Гипербола

    ε=0
    0 < ε <1

    ε →1

    эллипс более сплющенный,
    горизонтали; a > b

    вытянут

    по

    ε→0

    эллипс более округлый

    ε →1

    основной прямоугольник
    горизонтали; a > b

    вытягивается

    по

    ε =1
    ε >1

    ε = 2 для равносторонней гиперболы; a = b

    9