• Название:

    3 ИДЗ Функции нескольких переменных(дифференцир...

  • Размер: 0.28 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Microsoft Word - ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ _ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ_
  • Автор: vi.kazarina

ВАРИАНТ 1

ВАРИАНТ 2

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
x
f  x, y   arcsin  ln xy  ; указать свойства множества
D f  :
y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
f  x, y   1  x  y 2 
; указать свойства множества D f  :
x y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  x 2  y 2 в точке M 0  1, 2, 5 .
Сделать схематичный рисунок.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  x 2  3y 2 в точке M 0  1, 1, 4  .
Сделать схематичный рисунок.

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция
уравнению:

z

x

y
2

y



2 5

удовлетворяет

уравнению:

1 z 1 z
z

 
 2.
x x y y y

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
z  y  arctg  x / y , x  t 2  1,

y  t3.

ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
2
2
f  x, y   2 xy  3x y  5 xy  8 в окрестности точки M 0 1; 1 при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   2 x  x  xy  4 x  3 на
локальный экстремум.
3

2

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция u  xy 2  yz 2  zx 2 удовлетворяет

2

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  x 2  y 2  9 xy  27; D : 0  x  3; 0  y  3 .

 3u
 x 2 z



 3u
.
 x z x

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
z  u v  vu , u  x 2  y 2 , v  x 2  y 2 .
ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
3
2
2
f  x, y   x  xy  x  2 y в окрестности точки M 0 1; 2  при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   2 x 2  2 y 2  5 xy  7 y на
локальный экстремум.
ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  x 2  2 y 2  1;

D : x  0,

y  0, x  y  3 .

ВАРИАНТ 3

ВАРИАНТ 4

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
f  x, y   x 2  y 2  4 
; указать свойства множества D f  :
2
x y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности x 2  2 y 2  6 z  0 в точке M 0  2, 1,  1 .
Сделать схематичный рисунок.
ЗАДАЧА 3. Показать, что функция z 
z
z
уравнению: x 2 
 xy 
 y2  0 .
x
y

y2
 arcsin  xy  удовлетворяет
3x

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
z  cos 2  x  y  t , x  sin t ,

y  cos 2t .

ЗАДАЧА 5. Написать формулу Тейлора для функции f  x, y   e x cos y в
окрестности точки M 0 0; 0 при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать
локальный экстремум.

функцию

f  x, y   x 3  8 y 3  6 xy

на

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
2

2

z  3  2x  x  y ;

D : x  1,

y  0,

y  x.





f  x, y   cos x 2  y 2 ;
указать
свойства
множества
D f  :
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.
ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  2 x 2  y 2 в точке M 0  1, 1, 3 .
Сделать схематичный рисунок.
ЗАДАЧА 3. Показать, что функция u  e  y / z  cos 2 x удовлетворяет

 3u
 3u
уравнению:

.
 x y z  y z x
ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
1
z  x xy  ln  x  2 y , x  , y  1  t .
t
ЗАДАЧА 5. Написать формулу Тейлора для функции f  x, y   y x в
окрестности точки M 0 1; 1 при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   x 2   y  12 на локальный
экстремум.
ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  x 2  3 y 2  x  y; D : x  1,

y  1, x  y  1 .

ВАРИАНТ 5

ВАРИАНТ 6

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции





f  x, y   x  y  ln y 2  x 2 ; указать свойства множества D f  :
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  3 x 2  y 2 в точке M 0  1, 2, 7  .
Сделать схематичный рисунок.
ЗАДАЧА

3.

Показать,

удовлетворяет уравнению:

что
2

 z
 x2



функция
2

 z
 y2





z  ln x 2  y 2  2 x  1

 0.



ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  4  x 2  y 2 в точке M 0  1, 1, 2  .
Сделать схематичный рисунок.
ЗАДАЧА

3.

Показать,

удовлетворяет уравнению:

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции



  ; указать свойства множества

ln x 2 y

D f  : ограниченность,
yx
связность, открытость, замкнутость; вычислить частные производные
первого и второго порядков; убедиться в равенстве смешанных
производных.
f  x, y  





u  ln x 2  y 2  z 2 , x  sin 3 y, z  ln 1  y 2 .
ЗАДАЧА 5. Написать формулу Тейлора для функции f  x, y   e
окрестности точки M 0 1; 0 при n  2 .

что
 2u
t2

функция
 a2

в

 x2

.

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
z  x  arcsin 1  x  2 y ,

x 2 y

 2u

u  x, t   A sin at    sin x





y  cos x 2  1 .

ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
f  x, y    x  y  /  x  y  в окрестности точки M 0 2; 1 при n  2 .

ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   1  x 2  y 2 на локальный
экстремум.

ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   xy 1  x  y  на локальный
экстремум.

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если

z  x 2  2 xy  2 y 2 ;

D :  1  x  1, 0  y  2 .

z  5 x 2  3 xy  y 2  4; D : x  1, y  1, x  y  1 .

ВАРИАНТ 7

ВАРИАНТ 8

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции

f  x, y   2 4 x  x 2  y 2 ;
указать
свойства
множества
D f  :
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

f  x, y   x  sin y  y  cos x ; указать свойства множества D f  :
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  1  x 2  y 2 в точке M 0  1, 1, 3 .
Сделать схематичный рисунок.





нормали к поверхности z  x 2  y 2 в точке M 0  2, 2, 2 2 .
Сделать схематичный рисунок.
ЗАДАЧА 3. Показать, что функция z  e xy удовлетворяет уравнению:
x2 

2z
 x2

 2 xy 

2z
2z
 y2 
 2 xyz  0 .
 x y
 y2

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
y t
1
z  tg
, y  ln t 2  2 , x 
.
x
1 t2





ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
x2
f  x, y   e  cos y  1 в окрестности точки M 0 0; 0 при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   2 x 3  xy 2  5 x 2  y 2 на
локальный экстремум.
ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  10  2 xy  x 2 ;

D : 0  y  4  x2 .



ЗАДАЧА 3. Показать, что функция z  y   x 2  y 2
1 z 1 z
z
уравнению: 
 

.
x  x y  y y2



удовлетворяет

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
u  u 3 v  u  v 3 , u  t  ln t , v  t 2  2t  3 .
ЗАДАЧА 5. Написать формулу Тейлора для функции f  x, y   2 x 3  y
в окрестности точки M 0 2; 0  при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   2 x 2  y 2  xy на локальный
экстремум.
ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если

z  x 2  2xy  y 2  4x; D : x  0, y  0, x  y  2  0 .

ВАРИАНТ 9

ВАРИАНТ 10

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
f  x, y  
 ln  x  y  1 ; указать свойства множества D f  :
1 x  y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
f  x, y  
 x 2  y 2  1 ; указать свойства множества D f  :
y x
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  1  2 x 2  y 2 в точке M 0  1, 1,  2 .
Сделать схематичный рисунок.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция
уравнению:

2



z  ln x  e  y



удовлетворяет

2

z  z
z  z



 0.
 x  x y  y  x 2





нормали к поверхности z  4  x 2  y 2 в точке M 0  1, 1, 2 .
Сделать схематичный рисунок.



ЗАДАЧА 3. Показать, что функция z  x  f y 2  x 2
z
z
уравнению: x 2 
 xy 
 yz.
y
x



удовлетворяет

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
t
u  t2x 
, y  cos 2t  x 2 .
2
y

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
cos y
u  1  x2  y3  z4, z 
.
x 1

ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
2
2
f  x, y   ln x  2 y  1 в окрестности точки M 0 0; 2  при n  2 .

ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
2
f  x, y   arctg x  y в окрестности точки M 0 0; 0  при n  2 .

f  x, y   x 2  xy  y 2  x  y на

ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   x 3  y 3  3 xy на локальный
экстремум.

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если









ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию
локальный экстремум.

z  x 2  xy  2;

D : 4x2  4  y  0 .





z  x 2  xy;

D :  1  x  1, 0  y  3 .

ВАРИАНТ 11

ВАРИАНТ 12

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
x y
f  x, y   arccos
 ln x ; указать свойства множества D f  :
y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
f  x, y   3 ln  y  sin x  
; указать свойства множества D f  :
x2  y2
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  2 x 2  3 y 2 в точке M 0  1,  1, 5 .
Сделать схематичный рисунок.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  4  x 2  y 2 в точке M 0  1, 1, 2  .
Сделать схематичный рисунок.

x
удовлетворяет уравнению:
y

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция z  ln x 2  x y  y 2 удовлетворяет
z
z
уравнению: x
y
2.
x
y

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция z 

x

z
2z

 0.
 x y  y

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции

u  z  arccos z  2 y  ,

z  sin 2 x ,

y  tg x .

ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
4
2
3
f  x, y   3x y  5 x  8 y в окрестности точки M 0 1; 1 при n  2 .









ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
1
t
z  7 3  cos 3 x  y 2 , x 
, y .
t

ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
 x2
f  x, y   e  sin  x  y  в окрестности точки M 0 0; 0 при n  2 .

на

ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   2 x 2  6 xy  5 y 2  x  4 y  5
на локальный экстремум.

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если

2
2
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   e  x  y  2 x 2  3 y 2
локальный экстремум.

z  x 6  y 6  3 x 2  6 xy  3 y 2 ;

D: 0 y  x  2.

z  xy  x 2 y 

xy 2
;
2

D : 0  x  1; 0  y  2 .

ВАРИАНТ 13

ВАРИАНТ 14

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
f  x, y   x 2  y 2  1 
; указать свойства множества D f  :
2
4
x y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
f  x, y   ln sin  x  y  
; указать свойства множества D f  :
x2  y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения

нормали к поверхности z   x 2  y 2 в точке M 0  3, 4,  5 .
Сделать схематичный рисунок.

нормали к поверхности z  9  x 2  y 2 в точке M 0  1, 1, 7 .
Сделать схематичный рисунок.

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция z  x y удовлетворяет уравнению:

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция z  arctg x 2  y 2
z
z
уравнению: y
x
 0.
x
y

y

z
2z
 1  y ln x  
.
 x y
x









удовлетворяет

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
5
1
u  2 z 3  y 2  4 x , z  t   3 , y  t , x 
.


ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции

ЗАДАЧА 5. Написать формулу Тейлора для функции f  x, y   2 x y  ln x
в окрестности точки M 0 1; 0 при n  2 .

ЗАДАЧА

ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   x 3  y 3  12 xy на локальный
экстремум.

ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   x 3  xy 2  6 xy на локальный
экстремум.

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если





2

z  x 3  2 y 3 3xy  5 ;

D : x  1; y  1 .





sin 2 3t   2
z
 ln 1  t  ,
1 

5.

Написать

формулу

t

 1
2

.

Тейлора

для

функции

f  x, y   3 1  x 2  y 4 в окрестности точки M 0 0; 0  при n  2 .

z  x 2  3 y 2  x  18 y  4 ;

D: 0 y  x  4.

ВАРИАНТ 15

ВАРИАНТ 16

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции





f  x, y   x 2  y 2  ln  x  2 y  ; указать свойства множества D f  :
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

f  x, y   y  tg x  1  y  x ; указать свойства множества D f  :
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  x 2 в точке M 0  1, 1, 1 .
Сделать схематичный рисунок.

нормали к поверхности z  1  4  x 2  y 2 в точке M 0 
Сделать схематичный рисунок.
ЗАДАЧА

3.

Показать,

что

2

функция

2

z  xe

y/x





2, 2, 1 .

удовлетворяет

2

 z
 z
 z
уравнению: x 2 
 2 xy 
 y2 
 0.
 x y
 x2
 y2

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции





u  e y  cos x 3  z 2 ,

z  x y .

y  x2
ЗАДАЧА 5. Написать формулу Тейлора для функции f  x, y   2
в
y x
окрестности точки M 0 2; 3 при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y  
локальный экстремум.

1  x 1  y x  y  1

на

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  x 3  3 y 2  3xy ;

D : 0  x  2; 0  y  1 .

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция
z
z
уравнению: x
y
 xyz.
x
y

y
z  x y  xe x

удовлетворяет

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
t 


,   2  x3 .
z  tg 2  ln
, t 
 1
 1  
ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
2
2
f  x, y   ln 1  x  y в окрестности точки M 0 0; 0  при n  2 .





ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   x 2  xy  y 2  3 ln x  3 ln y на
локальный экстремум.
ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  x3 y  x 2 y 2  x 2 y ;

D : 0  x  1; 0  y  1 .

ВАРИАНТ 17

ВАРИАНТ 18

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
f  x, y   lnsin x  cos y  ;
указать
свойства
множества
D f  :
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

f  x, y   x 2  y 2  2 x  2 y  ln x  ln 2 y  ; указать свойства множества
D f  : ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.
ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  1  4  y 2   x  1 в точке M 0  1, 0,  1 .
Сделать схематичный рисунок.
2

z  sin  x  5 y  удовлетворяет

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция
уравнению:

2

 z
 y2

 25 

 x2

.

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
cos 
u
, r  x2  y2  z 2 .
3
r
ЗАДАЧА
f  x, y  

5.
1

Написать

1  x3  y3

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция z  e x  x cos y  y sin y  удовлетворяет
уравнению:

2

 z

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  5  x 2  2 x  y 2 в точке M 0  1, 1, 1 .
Сделать схематичный рисунок.

формулу

Тейлора

для

функции

в окрестности точки M 0 0; 0  при n  2 .

ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию

f  x, y   x 2  xy  y 2 

1 1

x y

на

локальный экстремум.
ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  3x 2  3 y 2  2 x  2 y  2 ;

D : x  0; y  0; x  y  1 .

2z
 x2



2z
 y2

 0.

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
1
t
u  y2  x z 
, x  t  v , y  , z  t v .
2
v
cos z
ЗАДАЧА

Написать
формулу
Тейлора
для
функции
x
f  x, y   7 x 2 y 
в окрестности точки M 0 1; 1 при n  2 .
2
1 x  y2
5.

ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию
локальный экстремум.

2
f  x, y   e x  y  5  2 x  y 

на

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  3x 2 y  xy 2 ;

D : x2  y2  1.

ВАРИАНТ 19

ВАРИАНТ 20

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
1
f  x, y  

; указать свойства множества D f  :
2
2
y2 x x  y

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
f  x, y   x 2  y 2  1 
; указать свойства множества D f  :
2
2
4 x  y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.
ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  y 2 в точке M 0  1, 1, 1 .
Сделать схематичный рисунок.
ЗАДАЧА

3.

Показать,

что

функция

z  cos y   y  x   sin y

2

z
 z
удовлетворяет уравнению:  x  y  

.
 x y  y



ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
3 x
7 y x2
f  x, y   y  e  e
в окрестности точки M 0 0; 0  при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию
локальный экстремум.

f  x, y   x  y  2 sin x sin y

на

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  x 3  y 3  3 xy ;

D : 0  x  2;  1  y  2 .





нормали к поверхности z  4  x 2   y  2 в точке M 0  1, 2, 3 .
Сделать схематичный рисунок.
2

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция



z  ln e x  e y



удовлетворяет

2

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
1
ln t
v  cos 3 2t  4 x 5  7 y , x  , y 
.
t
t



ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения

 2 z  2 z   2 z 
уравнению:


.
 x 2  y 2   x  y 

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
u

r 2 1
r

5

,

r  x2  y2  z 2 .

ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
f  x, y   7 x  2 y  ln x  y  в окрестности точки M 0 1; 0 при n  2 .





ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   xy ln x 2  y 2 на локальный
экстремум.
ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если







2
2
z  e x  y  2x2  3 y 2 ;

D : x2  y 2  4 .

ВАРИАНТ 21

ВАРИАНТ 22

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
f  x, y  
 y  tg x ; указать свойства множества
D f  :
3 x y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.





f  x, y   arcsin x 2  y  arccos yx  ; указать свойства множества D f  :
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.
ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  x 2  y 2  2 x в точке M 0  1, 1, 0  .
Сделать схематичный рисунок.
ЗАДАЧА 3. Показать, что функция z  y  x y удовлетворяет уравнению:

3z
3 z

.
 x y  y  y x  y

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  9  x 2  y 2 в точке M 0  1, 2, 4  .
Сделать схематичный рисунок.
ЗАДАЧА 3. Показать, что функция u  x 3 y ln  x  z  удовлетворяет
уравнению:

 3u
 3u

.
 x y  z  y z  x

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
2
y
z  arctg 2 , y  1  t , x  e  t .
x

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции

ЗАДАЧА 5. Написать формулу Тейлора для функции
f  x, y   4 x 3 y 2  x y 3  5 x y в окрестности точки M 0 1;  1 при n  2 .

ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
x2 y
2
2
f  x, y   e
 x  y в окрестности точки M 0 0; 1 при n  2 .



2
2
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   e  x  y 3x 2  2 y 2
на локальный экстремум.



ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если





z  x  y 2  3  x  12 ;

D : y2  x  2 .

u  sin 5 2 y  3 x  ,



y  arcsin t ,

x t .



ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   x 3  y 3  6 xy на локальный
экстремум.
ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  x 2  xy ;

D :  1  x  1; 0  y  3 .

ВАРИАНТ 23

ВАРИАНТ 24

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции

f  x, y   1  x 2  y 2  y x 2  1 ; указать свойства множества D f  :
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

f  x, y   sin x 2  y 2  ln  x  y  ; указать свойства множества D f  :
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения









нормали к поверхности z  x  y
Сделать схематичный рисунок.
2

2

в точке M 0  4, 3, 5 .



ЗАДАЧА 3. Показать, что функция u  x 2  sin y  z 4

7 удовлетворяет

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
t
u  3 1  x  y , x  cos 2 t    , y  arcsin
.
2
5.

Написать

f  x, y   5 1   x  y  ,
2

формулу

Тейлора

для

функции

в окрестности точки M 0 0; 0  при n  2 .

ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   x 3  xy 2  6 xy на локальный
экстремум.
ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
2

2

z  12 xy  4 x y  3xy ;

D : 0  x  3; 0  y  4 .







нормали к поверхности z  1  4  x 2  y 2 в точке M 0  1, 1, 1  2 .
Сделать схематичный рисунок.

 3u
 3u
уравнению:

.
 x y  z  y z  x

ЗАДАЧА



ЗАДАЧА 3. Показать, что функция u   x  y  y  z  z  x  удовлетворяет
u u u
уравнению:


 0.
x y z
ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
v  u3  y  x ,





u  ln 2 y  x .

ЗАДАЧА 5. Написать формулу Тейлора для функции f  x, y   arcsin
в окрестности точки M 0 1; 2  при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y  
локальный экстремум.

2  x 2  y x  y  2

x
y

на

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  x3  y 3  4 ;

D : 0  x  1; x  y  2 .

ВАРИАНТ 25

ВАРИАНТ 26

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
x
f  x, y   arcsin  ln xy  ; указать свойства множества
D f  :
y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
f  x, y   1  x  y 2 
; указать свойства множества D f  :
x y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  x 2  y 2 в точке M 0  1, 2, 5 .
Сделать схематичный рисунок.

ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности z  x 2  3y 2 в точке M 0  1, 1, 4  .
Сделать схематичный рисунок.

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция
уравнению:

z

x

y
2

y



2 5

удовлетворяет

уравнению:

1 z 1 z
z

 
 2.
x x y y y

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
z  y  arctg  x / y , x  t 2  1,

y  t3.

ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
2
2
f  x, y   2 xy  3x y  5 xy  8 в окрестности точки M 0 1; 1 при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   2 x  x  xy  4 x  3 на
локальный экстремум.
3

2

ЗАДАЧА 3. Показать, что функция u  xy 2  yz 2  zx 2 удовлетворяет

2

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  x 2  y 2  9 xy  27; D : 0  x  3; 0  y  3 .

 3u
 x 2 z



 3u
.
 x z x

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
z  u v  vu , u  x 2  y 2 , v  x 2  y 2 .
ЗАДАЧА
5.
Написать
формулу
Тейлора
для
функции
3
2
2
f  x, y   x  xy  x  2 y в окрестности точки M 0 1; 2  при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать функцию f  x, y   2 x 2  2 y 2  5 xy  7 y на
локальный экстремум.
ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  x 2  2 y 2  1;

D : x  0,

y  0, x  y  3 .

ВАРИАНТ 27
ЗАДАЧА 1. Найти и построить область определения D f  функции
1
f  x, y   x 2  y 2  4 
; указать свойства множества D f  :
2
x y
ограниченность, связность, открытость, замкнутость; вычислить
частные производные первого и второго порядков; убедиться в
равенстве смешанных производных.
ЗАДАЧА 2. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к поверхности x 2  2 y 2  6 z  0 в точке M 0  2, 1,  1 .
Сделать схематичный рисунок.
ЗАДАЧА 3. Показать, что функция z 
z
z
уравнению: x 2 
 xy 
 y2  0 .
x
y

y2
 arcsin  xy  удовлетворяет
3x

ЗАДАЧА 4. Вычислить все производные первого порядка по
независимым аргументам сложной функции
z  cos 2  x  y  t , x  sin t ,

y  cos 2t .

ЗАДАЧА 5. Написать формулу Тейлора для функции f  x, y   e x cos y в
окрестности точки M 0 0; 0 при n  2 .
ЗАДАЧА 6. Исследовать
локальный экстремум.

функцию

f  x, y   x 3  8 y 3  6 xy

на

ЗАДАЧА 7. Найти absextr z  x, y  в замкнутой области D , заданной
системой неравенств, если
z  3  2x2  x  y 2 ;

D : x  1,

y  0,

y  x.