• Название:

    Mcc part 1


  • Размер: 0.84 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

Установите безопасный браузер



  • Название: Министерство образования и науки РФ

Предпросмотр документа

Содержание
Введение.........................................................................................................8
Кинематика сплошной среды.....................................................................10
Основные гипотезы механики сплошной среды..................................10
Эйлерово и лагранжево описания движения сплошной среды..........10
Рис. 1.2.1...............................................................................................11
Вычисление скорости материальной частицы.................................11
Материальная производная................................................................12
Переход от эйлерова описания к лагранжевому и обратно............12
Траектории и линии тока. Установившиеся и неустановившиеся,
потенциальные движения сплошной среды....................................................16
Траектории и линии тока....................................................................16
Рис.1.3.1................................................................................................16
Установившиеся и неустановившиеся движения сплошной среды
18
Потенциальное и вихревое движения...............................................19
Операции над тензорами. Главные оси и главные значения тензора 2го ранга...............................................................................................................22
Ортогональное преобразование координат......................................22
Операции над тензорами....................................................................24
Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга.......................26
Тензорная функция и тензорная поверхность..................................33
Оператор Гамильтона и его применение к скалярным, векторным и
тензорным величинам...................................................................................34
Тензор деформаций.................................................................................37
Эйлеров и лагранжев тензоры деформаций.....................................37
Рис.1.5.1................................................................................................37
Рис. 1.5.2...............................................................................................37
Рис.1.5.3................................................................................................40
3

Тензор малых деформаций.................................................................40
Механический смысл тензора малых деформаций..........................44
Рис.1.5.4................................................................................................44
Рис. 1.5.5...............................................................................................44
Условия совместности деформаций..................................................47
Тензор скоростей деформаций...............................................................48
Механический смысл тензора скоростей деформаций....................48
Теорема Коши-Гельмгольца...............................................................49
Рис. 1.6.1...............................................................................................49
Закон сохранения массы.........................................................................51
Три теоремы об интегралах................................................................51
Рис. 1.7.1...............................................................................................53
Закон сохранения массы.....................................................................55
Рис. 1.7.2...............................................................................................56
Уравнение неразрывности при лагранжевом описании..................58
Рис. 1.7.3...............................................................................................58
Динамика сплошной среды........................................................................60
Массовые и поверхностные силы. Вектор напряжений......................60
Рис. 2.1.1...............................................................................................61
Рис. 2.1.2...............................................................................................61
Тензор напряжений.................................................................................62
Рис. 2.2.1...............................................................................................63
Рис. 2.2.2...............................................................................................63
Закон сохранения количества движения...............................................66
Рис. 2.3.1...............................................................................................66
Закон сохранения момента количества движения...............................68
Закон сохранения момента количества движения...........................68
Главные оси и главные напряжения..................................................72
Поверхность напряжений Коши........................................................73
Рис. 2.4.1...............................................................................................74
4

Закон сохранения энергии......................................................................74
Закон сохранения энергии..................................................................74
Рис. 2.5.1...............................................................................................76
Уравнение кинетической энергии.....................................................77
Уравнение внутренней энергии.........................................................78
Уравнение теплопроводности для неподвижной среды..................79
Уравнение теплопроводности для подвижной среды.....................80
Некоторые модели и теории механики сплошной среды........................81
Идеальная, вязкая, ньютоновская жидкости........................................81
Идеальная жидкость............................................................................81
Рис. 3.1.1...............................................................................................84
Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости.........84
Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости в поле
внешних потенциальных сил.......................................................................85
Интеграл Бернулли..............................................................................87
Рис. 3.1.2...............................................................................................89
Ньютоновская жидкость.....................................................................89
Рис. 3.1.3...............................................................................................92
Уравнения Навье-Стокса....................................................................94
Течение Куэтта....................................................................................96
Рис. 3.1.4...............................................................................................97
3.1.1.Течение Пуазейля.......................................................................97
Турбулентное течение........................................................................99
Упругое и линейно упругое изотропное тело.....................................100
Рис. 3.2.1.............................................................................................101
Уравнения акустики..............................................................................104
Уравнения акустики..........................................................................104
Волновое уравнение. Общее решение. Задача Коши и ее решение.
Смешанная задача и ее решение................................................................105
Решение уравнений акустики..........................................................107
5

Условия на поверхности сильного разрыва. Ударная адиабата.......109
Соотношения

на

разрыве

в

системе

координат,

связанной с разрывом.................................................................................109
Рис. 3.4.1.............................................................................................110
Соотношения

на

сильном

разрыве

в неподвижной системе координат............................................................116
Рис. 3.4.2.............................................................................................119
3.4.1.Соотношения

на

разрыве

в

системе

координат,

связанной с покоящимся газом..................................................................119
Адиабата. Ударная адиабата............................................................120
Рис. 3.4.3.............................................................................................120
Рис. 3.4.4. 1 – адиабата Пуассона, 2 – ударная адиабата (стрелкой
показан переход из начального состояния в конечное)...........................123
Рис. 3.4.5.............................................................................................124
Сверхзвуковые течения....................................................................124
Рис. 3.5.1.............................................................................................125
Подобие и моделирование явлений.................................................126
4....................................................................................Задачи и упражнения
4.1. Эйлерово и лагранжево описание движения сплошной среды.
Материальная производная..................................................................127
4.2. Линии тока и траектории. Стационарные и нестационарные
течения. Потенциальные течения........................................................131
4.3. Ортогональные преобразования координат. Тензор 2-го ранга.
Операции с тензорами. Тензор Кронекера..........................................132
4.4. Главные значения и главные оси симметричного тензора
второго ранга. Приведение симметричного тензора второго ранга к
главным осям.........................................................................................135
4.5.

Применение оператора Гамильтона к скалярным, векторным и

тензорным величинам...........................................................................136

6

4.6. Вектор перемещения материальной частицы. Лагранжев тензор
деформаций (Грина). Эйлеров тензор деформаций (Альманси).
Выражение через перемещения...........................................................137
4.7. Уравнение неразрывности...........................................................140
4.8. Вектор напряжений. Тензор напряжений..................................140
4.9. Уравнение импульсов..................................................................142
4.10. Уравнения кинетической и внутренней энергий.....................143
4.11. Идеальная и ньютоновская жидкости......................................144
4.12. Упругое тело...............................................................................145
4.1.13 Ответы и решения.....................................................................146
Рекомендуемая литература...................................................................162
Приложение 1. План учебного процесса по дисциплине «Механика
сплошной среды»...................................................................................164
Приложение 2. Именная справка.........................................................173

7

Введение
Предметом механики сплошной среды (МСС) является изучение
движения газов, жидкостей и твердых деформируемых тел. Причем
рассматривается макроскопическое движение, то есть не учитывается
движение отдельных атомов и молекул, и принимается гипотеза сплошности,
вводится понятие сплошной среды.
Сплошной средой (continuum) называется такая модель вещества, в
рамках которой параметры этого вещества являются непрерывными и
непрерывно-дифференцируемыми функциями, за исключением отдельных
точек, линий и поверхностей.
Параметрами вещества могут быть плотность, перемещение, скорость,
давление, температура, энтропия и др.
Сплошную среду можно представлять себе состоящей из бесконечного
множества частиц или материальных точек, но при этом каждая частица
состоит из многих атомов и молекул и ее размеры много больше размеров
атомов, молекул и расстояний между ними, то есть молекулярных размеров.
Теоретическая

механика

также

изучает

движение

системы

материальных точек, но система предполагается конечной, она может
содержать пусть очень большое, но конечное число точек. Исследовать
бесконечную систему намного сложнее. МСС имеет свою независимую
аксиоматику, свои специфические экспериментальные методы изучения
макроскопических свойств среды и свои развитые математические методы.
Исторически такие разделы механики и физики как гидродинамика,
газовая динамика, электродинамика, теория упругости, теория пластичности,
теория ползучести и другие возникли и развивались независимо друг от
друга. На первый взгляд они сильно различаются, но на самом деле у них
много общего и между ними существуют неразрывные связи. В результате
возникла механика сплошной среды как общий фундамент, как наука,
объединяющая эти дисциплины. Настоящий курс ММС является базовым
8

для дальнейшего и более глубокого изучения таких ее разделов, как
аэрогидродинамика, теория фильтрации, механика многофазных систем,
волновая динамика, и других курсов, читаемых на физическом факультете
кафедрами механики многофазных систем и моделирования физических
процессов.

9

Кинематика сплошной среды
Основные гипотезы механики сплошной среды
Основными гипотезами механики сплошной среды являются гипотеза
сплошности, евклидовости пространства и абсолютности времени.
1. Гипотеза

сплошности:

изучаемые

материальные

тела

и

физические поля считаются сплошной средой (континуумом).
2. Евклидовость пространства: в рассматриваемом пространстве
можно ввести единую для всех его точек декартову систему
координат.
3. Абсолютность времени: время течет одинаково для всех
наблюдателей, во всех используемых системах координат.
Приведем другие гипотезы, на которые будем в дальнейшем опираться.
4. Абсолютность массы: масса тела одна и та же во всех
используемых системах координат.
5. Постулат (принцип относительности) Галилея: формулировка
закона механики не зависит от выбора инерциальной системы
отсчета. Под инерциальной понимается такая система координат,
в которой справедлив закон инерции.
6. Гипотеза индивидуализации: положение любой материальной
частицы (точки) в любой момент времени можно определить по
ее начальному положению. Под материальной точкой понимается
частица с таким размером δ , что δ атом << δ << ∆ , где δ атом –
характерный молекулярный размер, ∆ – характерный размер
задачи.
Эйлерово и лагранжево описания движения сплошной
среды
Эйлеровыми

переменными

называются

координаты

точки

пространства (геометрические координаты) и время ( x1 , x2 , x3 , t ) (Рис.
10

1.2.1.).

Лагранжевыми

переменными

называются

координаты

материальной точки (материальные координаты) и время (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t ) .
Удобно

задавать

материальные

координаты

следующим

образом:

материальные координаты частицы равны ее геометрическим координатам в
начальный момент времени:
при t = 0 : ξi = xi .
При эйлеровом описании любой параметр ϕ

сплошной среды

задается как функция эйлеровых переменных ϕ = ϕ ( x1 , x2 , x3 , t ) . Тем самым
можно определить значения параметров сплошной среды в любой момент
времени и в любой точке пространства, занятого сплошной средой.
Часто для решения задачи оказывается
более

удобным

описание,

связанное

не

с

геометрическим пространством, а со сплошной
средой. В этом случае используют лагранжево
описание.
Рис. 1.2.1.
При лагранжевом описании любой параметр ϕ сплошной среды
задается как функция лагранжевых переменных ϕ(ξ1 , ξ2 , ξ3 , t ) . Лагранжево
описание позволяет найти параметры любой материальной частицы.
Вычисление скорости материальной частицы

r
Рассмотрим материальную частицу с координатой ξ = const . Тогда ее
геометрические координаты будут функциями времени и зададут траекторию
r r
этой частицы x = x (t ) . Следовательно, при эйлеровом описании скорость
r
r dx
частицы v =
. Но при лагранжевом описании
dt
r
r ∂ξ
Некоторые студенты пишут v =
, это грубая ошибка!
∂t

11

r r
x = x (ξ, t )

и

r
r ∂x
v=
∂t

.

Материальная производная

Материальной производной называется производная по времени
какого-либо параметра фиксированной материальной частицы.
Материальную

производную

в

литературе

также

называют

субстанциональной или индивидуальной производной.
При лагранжевом описании материальная производная вычисляется
как частная производная по времени:
∂ϕ
∂t

r
ξ

.

r
Найдем материальную производную параметра ϕ =ϕ( x , t )

при

эйлеровом описании. Для этого рассмотрим материальную частицу с
r
координатой ξ = const . При движении ее материальные координаты не
изменяются, но пространственные координаты являются функцией времени
r
r r
x = x (t ) для ξ = const .
Вычислим материальную производную
dϕ ∂ϕ ∂ϕ dxi
=
+
.
dt
∂t ∂xi dt
Таким образом, материальная производная при эйлеровом описании
совпадает с полной производной.
Учитывая определение скорости, можно записать
dϕ ∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ r
∂ϕ
∂ϕ
=
+ vi