• Название:

    Mcc part 1

  • Размер: 0.84 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Министерство образования и науки РФ

Содержание
Введение.........................................................................................................8
Кинематика сплошной среды.....................................................................10
Основные гипотезы механики сплошной среды..................................10
Эйлерово и лагранжево описания движения сплошной среды..........10
Рис. 1.2.1...............................................................................................11
Вычисление скорости материальной частицы.................................11
Материальная производная................................................................12
Переход от эйлерова описания к лагранжевому и обратно............12
Траектории и линии тока. Установившиеся и неустановившиеся,
потенциальные движения сплошной среды....................................................16
Траектории и линии тока....................................................................16
Рис.1.3.1................................................................................................16
Установившиеся и неустановившиеся движения сплошной среды
18
Потенциальное и вихревое движения...............................................19
Операции над тензорами. Главные оси и главные значения тензора 2го ранга...............................................................................................................22
Ортогональное преобразование координат......................................22
Операции над тензорами....................................................................24
Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга.......................26
Тензорная функция и тензорная поверхность..................................33
Оператор Гамильтона и его применение к скалярным, векторным и
тензорным величинам...................................................................................34
Тензор деформаций.................................................................................37
Эйлеров и лагранжев тензоры деформаций.....................................37
Рис.1.5.1................................................................................................37
Рис. 1.5.2...............................................................................................37
Рис.1.5.3................................................................................................40
3

Тензор малых деформаций.................................................................40
Механический смысл тензора малых деформаций..........................44
Рис.1.5.4................................................................................................44
Рис. 1.5.5...............................................................................................44
Условия совместности деформаций..................................................47
Тензор скоростей деформаций...............................................................48
Механический смысл тензора скоростей деформаций....................48
Теорема Коши-Гельмгольца...............................................................49
Рис. 1.6.1...............................................................................................49
Закон сохранения массы.........................................................................51
Три теоремы об интегралах................................................................51
Рис. 1.7.1...............................................................................................53
Закон сохранения массы.....................................................................55
Рис. 1.7.2...............................................................................................56
Уравнение неразрывности при лагранжевом описании..................58
Рис. 1.7.3...............................................................................................58
Динамика сплошной среды........................................................................60
Массовые и поверхностные силы. Вектор напряжений......................60
Рис. 2.1.1...............................................................................................61
Рис. 2.1.2...............................................................................................61
Тензор напряжений.................................................................................62
Рис. 2.2.1...............................................................................................63
Рис. 2.2.2...............................................................................................63
Закон сохранения количества движения...............................................66
Рис. 2.3.1...............................................................................................66
Закон сохранения момента количества движения...............................68
Закон сохранения момента количества движения...........................68
Главные оси и главные напряжения..................................................72
Поверхность напряжений Коши........................................................73
Рис. 2.4.1...............................................................................................74
4

Закон сохранения энергии......................................................................74
Закон сохранения энергии..................................................................74
Рис. 2.5.1...............................................................................................76
Уравнение кинетической энергии.....................................................77
Уравнение внутренней энергии.........................................................78
Уравнение теплопроводности для неподвижной среды..................79
Уравнение теплопроводности для подвижной среды.....................80
Некоторые модели и теории механики сплошной среды........................81
Идеальная, вязкая, ньютоновская жидкости........................................81
Идеальная жидкость............................................................................81
Рис. 3.1.1...............................................................................................84
Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости.........84
Потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости в поле
внешних потенциальных сил.......................................................................85
Интеграл Бернулли..............................................................................87
Рис. 3.1.2...............................................................................................89
Ньютоновская жидкость.....................................................................89
Рис. 3.1.3...............................................................................................92
Уравнения Навье-Стокса....................................................................94
Течение Куэтта....................................................................................96
Рис. 3.1.4...............................................................................................97
3.1.1.Течение Пуазейля.......................................................................97
Турбулентное течение........................................................................99
Упругое и линейно упругое изотропное тело.....................................100
Рис. 3.2.1.............................................................................................101
Уравнения акустики..............................................................................104
Уравнения акустики..........................................................................104
Волновое уравнение. Общее решение. Задача Коши и ее решение.
Смешанная задача и ее решение................................................................105
Решение уравнений акустики..........................................................107
5

Условия на поверхности сильного разрыва. Ударная адиабата.......109
Соотношения

на

разрыве

в

системе

координат,

связанной с разрывом.................................................................................109
Рис. 3.4.1.............................................................................................110
Соотношения

на

сильном

разрыве

в неподвижной системе координат............................................................116
Рис. 3.4.2.............................................................................................119
3.4.1.Соотношения

на

разрыве

в

системе

координат,

связанной с покоящимся газом..................................................................119
Адиабата. Ударная адиабата............................................................120
Рис. 3.4.3.............................................................................................120
Рис. 3.4.4. 1 – адиабата Пуассона, 2 – ударная адиабата (стрелкой
показан переход из начального состояния в конечное)...........................123
Рис. 3.4.5.............................................................................................124
Сверхзвуковые течения....................................................................124
Рис. 3.5.1.............................................................................................125
Подобие и моделирование явлений.................................................126
4....................................................................................Задачи и упражнения
4.1. Эйлерово и лагранжево описание движения сплошной среды.
Материальная производная..................................................................127
4.2. Линии тока и траектории. Стационарные и нестационарные
течения. Потенциальные течения........................................................131
4.3. Ортогональные преобразования координат. Тензор 2-го ранга.
Операции с тензорами. Тензор Кронекера..........................................132
4.4. Главные значения и главные оси симметричного тензора
второго ранга. Приведение симметричного тензора второго ранга к
главным осям.........................................................................................135
4.5.

Применение оператора Гамильтона к скалярным, векторным и

тензорным величинам...........................................................................136

6

4.6. Вектор перемещения материальной частицы. Лагранжев тензор
деформаций (Грина). Эйлеров тензор деформаций (Альманси).
Выражение через перемещения...........................................................137
4.7. Уравнение неразрывности...........................................................140
4.8. Вектор напряжений. Тензор напряжений..................................140
4.9. Уравнение импульсов..................................................................142
4.10. Уравнения кинетической и внутренней энергий.....................143
4.11. Идеальная и ньютоновская жидкости......................................144
4.12. Упругое тело...............................................................................145
4.1.13 Ответы и решения.....................................................................146
Рекомендуемая литература...................................................................162
Приложение 1. План учебного процесса по дисциплине «Механика
сплошной среды»...................................................................................164
Приложение 2. Именная справка.........................................................173

7

Введение
Предметом механики сплошной среды (МСС) является изучение
движения газов, жидкостей и твердых деформируемых тел. Причем
рассматривается макроскопическое движение, то есть не учитывается
движение отдельных атомов и молекул, и принимается гипотеза сплошности,
вводится понятие сплошной среды.
Сплошной средой (continuum) называется такая модель вещества, в
рамках которой параметры этого вещества являются непрерывными и
непрерывно-дифференцируемыми функциями, за исключением отдельных
точек, линий и поверхностей.
Параметрами вещества могут быть плотность, перемещение, скорость,
давление, температура, энтропия и др.
Сплошную среду можно представлять себе состоящей из бесконечного
множества частиц или материальных точек, но при этом каждая частица
состоит из многих атомов и молекул и ее размеры много больше размеров
атомов, молекул и расстояний между ними, то есть молекулярных размеров.
Теоретическая

механика

также

изучает

движение

системы

материальных точек, но система предполагается конечной, она может
содержать пусть очень большое, но конечное число точек. Исследовать
бесконечную систему намного сложнее. МСС имеет свою независимую
аксиоматику, свои специфические экспериментальные методы изучения
макроскопических свойств среды и свои развитые математические методы.
Исторически такие разделы механики и физики как гидродинамика,
газовая динамика, электродинамика, теория упругости, теория пластичности,
теория ползучести и другие возникли и развивались независимо друг от
друга. На первый взгляд они сильно различаются, но на самом деле у них
много общего и между ними существуют неразрывные связи. В результате
возникла механика сплошной среды как общий фундамент, как наука,
объединяющая эти дисциплины. Настоящий курс ММС является базовым
8

для дальнейшего и более глубокого изучения таких ее разделов, как
аэрогидродинамика, теория фильтрации, механика многофазных систем,
волновая динамика, и других курсов, читаемых на физическом факультете
кафедрами механики многофазных систем и моделирования физических
процессов.

9

Кинематика сплошной среды
Основные гипотезы механики сплошной среды
Основными гипотезами механики сплошной среды являются гипотеза
сплошности, евклидовости пространства и абсолютности времени.
1. Гипотеза

сплошности:

изучаемые

материальные

тела

и

физические поля считаются сплошной средой (континуумом).
2. Евклидовость пространства: в рассматриваемом пространстве
можно ввести единую для всех его точек декартову систему
координат.
3. Абсолютность времени: время течет одинаково для всех
наблюдателей, во всех используемых системах координат.
Приведем другие гипотезы, на которые будем в дальнейшем опираться.
4. Абсолютность массы: масса тела одна и та же во всех
используемых системах координат.
5. Постулат (принцип относительности) Галилея: формулировка
закона механики не зависит от выбора инерциальной системы
отсчета. Под инерциальной понимается такая система координат,
в которой справедлив закон инерции.
6. Гипотеза индивидуализации: положение любой материальной
частицы (точки) в любой момент времени можно определить по
ее начальному положению. Под материальной точкой понимается
частица с таким размером δ , что δ атом << δ << ∆ , где δ атом –
характерный молекулярный размер, ∆ – характерный размер
задачи.
Эйлерово и лагранжево описания движения сплошной
среды
Эйлеровыми

переменными

называются

координаты

точки

пространства (геометрические координаты) и время ( x1 , x2 , x3 , t ) (Рис.
10

1.2.1.).

Лагранжевыми

переменными

называются

координаты

материальной точки (материальные координаты) и время (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t ) .
Удобно

задавать

материальные

координаты

следующим

образом:

материальные координаты частицы равны ее геометрическим координатам в
начальный момент времени:
при t = 0 : ξi = xi .
При эйлеровом описании любой параметр ϕ

сплошной среды

задается как функция эйлеровых переменных ϕ = ϕ ( x1 , x2 , x3 , t ) . Тем самым
можно определить значения параметров сплошной среды в любой момент
времени и в любой точке пространства, занятого сплошной средой.
Часто для решения задачи оказывается
более

удобным

описание,

связанное

не

с

геометрическим пространством, а со сплошной
средой. В этом случае используют лагранжево
описание.
Рис. 1.2.1.
При лагранжевом описании любой параметр ϕ сплошной среды
задается как функция лагранжевых переменных ϕ(ξ1 , ξ2 , ξ3 , t ) . Лагранжево
описание позволяет найти параметры любой материальной частицы.
Вычисление скорости материальной частицы

r
Рассмотрим материальную частицу с координатой ξ = const . Тогда ее
геометрические координаты будут функциями времени и зададут траекторию
r r
этой частицы x = x (t ) . Следовательно, при эйлеровом описании скорость
r
r dx
частицы v =
. Но при лагранжевом описании
dt
r
r ∂ξ
Некоторые студенты пишут v =
, это грубая ошибка!
∂t

11

r r
x = x (ξ, t )

и

r
r ∂x
v=
∂t

.

Материальная производная

Материальной производной называется производная по времени
какого-либо параметра фиксированной материальной частицы.
Материальную

производную

в

литературе

также

называют

субстанциональной или индивидуальной производной.
При лагранжевом описании материальная производная вычисляется
как частная производная по времени:
∂ϕ
∂t

r
ξ

.

r
Найдем материальную производную параметра ϕ =ϕ( x , t )

при

эйлеровом описании. Для этого рассмотрим материальную частицу с
r
координатой ξ = const . При движении ее материальные координаты не
изменяются, но пространственные координаты являются функцией времени
r
r r
x = x (t ) для ξ = const .
Вычислим материальную производную
dϕ ∂ϕ ∂ϕ dxi
=
+
.
dt
∂t ∂xi dt
Таким образом, материальная производная при эйлеровом описании
совпадает с полной производной.
Учитывая определение скорости, можно записать
dϕ ∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ r
∂ϕ
∂ϕ
=
+ vi
=
+ v ⋅ ∇ϕ =
+v r ,
dt
∂t
∂xi ∂t
∂t
∂µv
r
r v
где µv = .
v
Переход от эйлерова описания к лагранжевому и
обратно

Эйлерово и лагранжево описание являются равносильными и нужно
уметь переходить от одного описания к другому. Рассмотрим этот вопрос на
примере.
12

Пример 1. Дано эйлерово описание движения сплошной среды
v1 = x1t ,

v2 = 0,
v = 0.
 3
Требуется найти его лагранжево описание.
Решение.
Зададим материальные координаты так, что в начальный момент
движения они равны геометрическим, т.е. при t = 0 : ξi = xi . Учитывая
определение скорости и начальное условие, имеем задачу Коши для системы
уравнений
dxi
= vi ,
dt
xi t =0 = ξi .
Решим эту задачу.
 dx1

 dx1
= tdt ,
v1 = x1t ,
=
v
=
x
t
,

 
t2
1
1
x1
 dt


  x1 = C1e 2 ,

2


 
t
 dx2
= v2 = 0, ⇒  ln x1 = + C1,  ⇒  x2 = C2 ,
v2 = 0, ⇒ 
2

 dt

 x = C .
2
3
t

 dx3

  3
2
=
v
=
0.

3
v3 = 0.

 x1 = C1e.

 dt


t

ξ1 = C1 ,
 x1 = ξ1e 2 ,


ξ 2 = C2 , ⇒  x2 = ξ 2 ,
ξ = C .
x = ξ .
3
3
 3
 3

2

При t = 0

Закон движения в лагранжевых переменных найден.
Таким образом, чтобы перейти от эйлерова описанию к лагранжевому,
необходимо составить систему

dxi
= vi и решить ее с учетом начальных
dt

условий xi t =0 = ξi .
13

Убедимся, что

x (ξ)

и ξ (x) – взаимнооднозначные зависимости, т.е. в

любой момент времени в любой точке пространства находится только одна
материальная частица. Для этого нужно вычислить якобиан и убедиться, что
он никогда не обращается в нуль.
2

∆( x, ξ )

et /2
∂x
= i = 0
∂ξ j
0

0 0
2
1 0 = et /2 ≠ 0
0 1

для любого момента времени.
Следовательно, зависимость
∆ ( x , ξ ) ⋅ ∆ (ξ , x ) = 1 .

Отсюда

x (ξ)

следует,

взаимнооднозначная. Известно, что

что

обратная

зависимость

также

взаимнооднозначная. В этом можно убедиться и непосредственно, вычислив
якобиан обратного преобразования
2



e − t /2
∂ξ
= i = 0
∂x j
0

(ξ , x )

0 0
2
1 0 = e − t /2 ≠ 0
0 1

для любого момента времени.
Найдем выражения для скорости и ускорения в лагранжевых
переменных.

Чтобы

выразить

скорость,

достаточно

геометрические

координаты заменить на материальные, используя для этого закон движения
в лагранжевых переменных. Получим
v1 = ξ1t et

v2 = 0,
v = 0.
 3

2

/2

,

Найдем ускорение, которое вычисляется как материальная производная
скорости.

Напомним,

что

при

лагранжевом

описании

материальная

производная совпадает с частной производной по времени.
a1 = ξ1 et

a2 = 0,
a = 0.
 3

2

/2

+ ξ1t 2 et

2

/2

,

a1 = ξ1 et

⇒ a2 = 0,
a = 0.
 3
14

2

/2

(1 + t 2 ),

Пример 2. Дано лагранжево описание движения сплошной среды
v1 = ξ1t et

v2 = 0,
v = 0.
 3

2

/2

,

Требуется найти его эйлерово описание.
Решение.
Учитывая определение скорости и начальное условие, имеем задачу
Коши для системы уравнений:
∂xi
= vi ,
∂t
xi t =0 = ξi .
Подставим

в

систему

заданное

выражение

для

скорости

и

проинтегрируем по времени. Получим, проделав несложные выкладки,
эйлерово описание:
t

 x1 = ξ1e 2 ,

 x2 = ξ 2 ,
x = ξ .
3
 3

2

t


ξ1 = x1e 2 ,

⇒ ξ 2 = x2 ,
ξ = x .
3
 3

2

v1 = ξ1t et

v2 = 0,
v = 0.
 3

2

/2

,

v1 = x1t ,

⇒ v2 = 0,
v = 0.
 3

Найдем ускорение, которое вычисляется как материальная производная
r
r dv
скорости a =
:
dt
a1 =

d ( x1t )
= x1 + v1t = x1 (1 + t 2 ) .
dt

Можно вычислить иначе:
a1 =

∂v1
∂v
∂v
∂v
+ v1 1 + v2 1 + v3 1 = x1 + x1t 2 = x1 (1 + t 2 ) ,
∂t
∂x1
∂x2
∂x3
a2 = a3 = 0 .

Третий путь состоит в том, чтобы вычислить ускорение в лагранжевых
переменных (см. Пример 1), и потом заменить в его выражении
15

материальные координаты на геометрические, как выше было сделано для
скорости.
Окончательно:
a1 = x1 (1 + t 2 ),

a2 = 0,
a = 0.
 3
Траектории и линии тока. Установившиеся и
неустановившиеся, потенциальные движения сплошной
среды
Траектории и линии тока

Траекторией материальной частицы называется линия, которую
частица описывает в процессе движения.
Дифференциальное уравнение траектории имеет вид:
r
dxi
r
r
dx
=v .
= vi ( x , t ) или
dt
dt

Решив

его,

найдем

параметрическое

уравнение

траектории

рассматриваемой частицы с материальной координатой ξ:
r r
x = x (t ) .
Линией тока называется такая линия, касательная к которой в каждой
точке совпадает с направлением скорости сплошной среды в этой точке в
данный момент времени (Рис.1.3.1).
Из определения следует, что линия тока
есть векторная линия поля скоростей сплошной
среды.
Рис.1.3.1
Линия тока рассматривается для фиксированного момента времени,
траектория описывает перемещение частицы в пространстве с течением
времени.

16

Получим

уравнение

линии

тока

в

параметрической

форме

с

параметром λ .
По определению в любой фиксированный момент времени t вектор
касательной к линии тока

( dx1 , dx2 , dx3 )

коллинеарен вектору скорости

( v1 , v2 , v3 ) . Поэтому
dxi
dx
= d λ ⇒ i = vi (i = 1,2,3)
vi

– дифференциальное уравнение линии тока.
Поверхностью (трубкой) тока называется поверхность, состоящая из
линий тока, проведенных через каждую точку некоторого контура, не
являющегося линией тока.
Если скорость сплошной среды v = 0 или v = ∞ в некоторой точке, то
эта точка называется особой точкой.
Теорема. Через каждую неособую точку проходит единственная линия
тока.
Данная теорема следует из теоремы существования и единственности
решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Примеры особых точек.
1. Круг на плоскости обтекается жидкостью, в лобовой точке v = 0 и
линия тока раздваивается в этой точке.
2. Источник или сток. Из точки равномерно во все стороны вытекает
жидкость (источник), в этой точке v = ∞ , линий тока бесконечно много.
Движение абсолютно твердого тела называется поступательным, если
r r
все точки тела перемещаются с одинаковой скоростью v = v (t ) .
Примеры траекторий и линий тока.
1. Произвольное поступательное движение абсолютно твердого тела.
Траектории – любые линии. Найдем уравнение линий тока.

17

dxi
= vi (t ) ⇒ xi = vi λ + C ,

то есть линии тока – прямые линии.
2. Прямолинейное поступательное движение абсолютно твердого тела.
Траектории - прямые линии и совпадают с линиями тока. Заметим, что
модуль скорости может меняться, но ее направление остается постоянным.
Этого оказывается достаточно, чтобы траектории и линии тока совпадали.
3. Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг оси.
Траектории и линии тока являются окружностями с центром на оси и
совпадают.
4. Произвольное движение абсолютно твердого тела.
Траектории – любые линии, линии тока – винтовые линии.
Установившиеся и неустановившиеся движения
сплошной среды

Движение называется установившимся (стационарным), если при
эйлеровом описании параметры движения не зависят от времени.
Заметим, что в стационарном движении ускорение может быть отлично
от нуля. Далее, из определения следует, что движение может быть
стационарным или нестационарным в зависимости от выбора системы
координат наблюдателя.
Моделирование стационарного движения может оказаться легче, так
как параметры будут зависеть от трех аргументов вместо четырех. Но иногда
решение стационарной задачи бывает сложнее, чем нестационарной.
Теорема. Если движение стационарное, то линии тока и траектории
совпадают.
◄ Для стационарного движения

dxi
r
dxi
r
= vi ( x ) и
= vi ( x ) . Видно, что
dt


отличие лишь в обозначении параметра интегрирования, следовательно,
решения этих уравнений, то есть линии тока и траектории, совпадают. ►

18

r
r
r r
Замечание. Пусть движение нестационарное и v = v( x , t ) ⋅ µ ( x ) , т.е.
модуль скорости зависит от времени, а направление нет. Линия тока связана
с направлением скорости, следовательно, она со временем меняться не будет
и линии тока и траектории совпадут.
Потенциальное и вихревое движения

Поле скорости называется потенциальным, если существует такая
r
функция ϕ , что v = ∇ϕ . Функция ϕ называется потенциалом скорости.
Движение сплошной среды называется потенциальным, если поле
скорости является потенциальным.
r
r
Поле скорости называется безвихревым, если ω = rot v = 0 . В
r
противном случае, когда ω ≠ 0 , движение называется вихревым. По
аналогии с линией тока для вихревого движения вводится понятие вихревой
r
линии. Вихревой линией называется векторная линия вектора вихря ω .
Уравнение вихревой линии имеет вид:
dxi
dx
= d λ ⇒ i = ωi (i = 1,2,3) .
ωi

Вихревой

поверхностью

(трубкой)

называется

поверхность,

состоящая из вихревых линий, проведенных через каждую точку некоторого
контура, не являющегося вихревой линией.
Для вихревого движения имеет место формула Стокса: поток вихря
поля скорости через поверхность S, ограниченную замкнутым контуром L,
равен циркуляции поля вокруг контура L
r r
r r
∫ ω ⋅ ndS = Ñ
∫ v ⋅ dr .
S

L

r
Из теоремы следует, что для потенциального течения ( ω = 0 )
r r
v
Ñ
∫ ⋅ dr = 0 .
L

Условие потенциальности течения доказывается в следующей теореме.
Теорема. Поле скорости является потенциальным тогда и только тогда,
когда оно безвихревое.
19

◄ Необходимость. Дано, что
r
v = ∇ϕ ,
отсюда следует, что
r
rot v = 0 .
Достаточность. Дано, что
r
rot v = 0 .
r
e1
r

0 = rot v =
∂x1
v1

r
e2

∂x2
v2

r
e3

,
∂x3
v3

то есть координаты вектора вихря равны нулю:
∂v3 ∂v2 ∂v3 ∂v1 ∂v2 ∂v1
=
=
=
,
,
.
∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x2
Согласно теореме математического анализа, если функции v1 , v2 и v3
удовлетворяют выписанным выше равенствам, то существует функция ϕ
такая, что
dϕ = v1dx1 + v2 dx2 + v3dx3 .
По определению
dϕ =

∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dx1 +
dx2 +
dx3 ,
∂x1
∂x2
∂x3

v1 =

∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
, v2 =
и v3 =
.
∂x1
∂x2
∂x3

следовательно,

Отсюда следует, что
r
v = ∇ϕ . ►
Примеры потенциальных движений.
1. Поступательное движение
r r
v = v (t ) .
Легко убедиться, что потенциалом скорости будет функция

ϕ = v1 x1 + v2 x2 + v3 x3 .
20

2. Одномерное движение
r r
r
v = v ( x1 , t ) = v( x1 , t )e1 , v2 = v3 = 0
Легко убедиться, что
r
rot v = 0 .
Построим потенциал ϕ . По условию

∂ϕ ∂ϕ
=
= 0 , следовательно,
∂x2 ∂x3

x

1
∂ϕ
= v1 ( x1 , t ), ϕ = ∫ v( y, t ) dy .
ϕ = ϕ ( x1 ) ,
∂x1
x10

3. Источник (сток)
Чтобы построить потенциал скорости жидкости, сначала нужно
получить выражение для скорости. Пусть скорость жидкости зависит от
r r
расстояния до центра и от времени v = v ( r , t ) . Тогда в сферической системе
координат эта задача является одномерной.
Пусть Q = Q(t ) – расход жидкости через некоторую сферическую
поверхность радиуса r . Ее площадь
S = 4π r 2 , Q = ρ vS .
где ρ – плотность жидкости.
Жидкость будем считать несжимаемой Для простоты положим ρ = 1 .
Тогда
Q = v ⋅ 4π r 2 .
Отсюда
Q
r
Q r r rr
v=
er , er = .
,v=
4π r 2
4π r 2
r
Легко убедиться, интегрируя скорость по радиусу, что потенциал скорости

ϕ =−

Q
.
4π r

21

Операции над тензорами. Главные оси и главные
значения тензора 2-го ранга
Ортогональное преобразование координат

В дальнейшем будем пользоваться правой декартовой прямоугольной
системой координат в пространстве. Такую систему можно задать
r r
r
ортонормированным базисом e1 , e2 и e3 .
Преобразование,

которое

переводит одну правую декартову
r
прямоугольную систему координат ei в другую правую декартову
r
прямоугольную систему координат ei′ с тем же началом, называется
ортогональным.
Пусть

система

r
ei′

получена

из

системы

r
ei

ортогональным
r
преобразованием – поворотом. Каждый вектор базиса ei′ может быть
разложен по базису старой системы:
r
r
r r
e1′ = α1 j e j , α1 j = cos ( e1′, e j ) .
Аналогично для i = 2,3 .
Таким образом, формулы преобразования имеют вид:
r
r
ei′ = α ij e j .
Формулы обратного преобразования имеют вид:
r
r
e j = α ij ei′ .
Составим матрицу ортогонального преобразования:
A = ( α ij )

 α11 α12 α13 
=  α 21 α 22 α 23  .
α

 31 α 32 α 33 

r
Видно, что i -я строка матрицы составлена из координат вектора ei′ в системе
r
без штрихов, i -й столбец – из координат вектора ei в системе со штрихом.
Символом Крóнекера называется функция

22

1, i = j
δ ij = 
0, i ≠ j
Свойства матрицы ортогонального преобразования:
1. α ikα jk = δ ij
Матрица, обладающая свойством 1, называется ортогональной.
2. αki αkj = δij
3. Транспонированная матрица AT является ортогональной, кроме того
−1
T
A−1 = AT , A = A = A = ± 1 .

r

Любой вектор a может быть разложен по базису
3
r
r
r
r
r
r
a = a1e1 + a2e2 + a3e3 = ∑ ai ei = ai ei ,
i =1

r

где ai – компоненты вектора a . Получим связь между компонентами
вектора в разных системах координат:
r
r
a = ai ei , ai′ = α ij a j ,
r r
a′ = a , ⇒ r
r ⇒
a′ = ai′ei′. ai = α ji a′j .
Вектор – это математический объект, который задается тройкой чисел,
r
компонентами a = ( a1 , a2 , a3 ) , и при ортогональном преобразовании, заданном
матрицей A = ( α ij ) , компоненты вектора преобразуются по следующему
правилу:
ai′ = α ij a j .
Это определение равносильно определению вектора как направленного
отрезка. Последнее следует из равенства:
r
r
r r
a = ai ei = ai′ei′ = a′ .
Можно определить скалярное произведение векторов, модуль вектора и
показать, что они инвариантны.
Тензором 2-го ранга T называется математический объект, который
задается девятью числами (компонентами) Tij в некоторой системе координат
23

r
ei

r
r
. Причем при преобразовании A координат ei в ei′ , новые компоненты

тензора связаны со старыми следующим соотношением:
Tij′ = α ikα jlTkl
Последнее равенство можно записать в матричной форме:
T ′ = ATA−1 .
Можно найти обратное преобразование:
Tkl = α ikα jlTij′ .
Тензор является инвариантной величиной, т.е. T´=T, но их компоненты,
вообще говоря, не совпадают Tij′ ≠ Tij .
Тензором n-го ранга T называется математический объект, который
r
задается 3n числами (компонентами) Tij ... p в некоторой системе координат ei .
r
r
Причем при ортогональном преобразовании координат ei в ei′ , новые
компоненты тензора связаны со старыми следующим соотношением:
Tij′... p = α ikα jl ...α prTkl ...r .
Операции над тензорами

Сложение: T = P + S ⇔ Tij ...r = Pij ...r + Sij ...r .
Умножение тензора на число: T = λ P

⇔ Tij ... r = λPij ... r .

rr
Диадным произведением двух векторов ab = T называется тензор
второго ранга с компонентами

Tij = ai b j .

Диадным произведением базисных векторов

rr
ei e j

является тензор

второго ранга T, матрица которого имеет один ненулевой элемент

Tij =1 .

r
Полиадным произведением тензора второго ранга T на вектор r

называется тензор третьего ранга с компонентами
Pijk =Tij rk .

В общем случае, при полиадном произведении ранг произведения
равен сумме рангов сомножителей.

24

Заметим,

что

диадное

и

полиадное

произведения

являются

некоммутативными операциями.
Тензор второго ранга, так же, как и вектор, можно разложить по базису,
rr

причем базис состоит из девяти тензоров ei e j :
rr
rr
T = Tij ei e j = Tij′ei′e′j .
Умножение со сверткой. Умножение со сверткой тензоров 1-го ранга
представляет собой скалярное произведение, результатом которого является
тензор нулевого ранга
r r
a ⋅ bс= a=b

i i

.

Умножение со сверткой тензоров 2-го ранга дает в результате скаляр и
определяется как
T·S =Tij S ij .
Умножение со сверткой тензора 2-го ранга на вектор дает в результате
вектор и определяется как
r

r

T· a =Tij a j ei .
Заметим, что последняя операция является некоммутативной, т.к.
r
r
a ·T =aiTij e j .
r
Проекцией тензора T на единичный вектор µ называется вектор,

который вычисляется как
Пр µr T

= T· µr =T µ er .
ij

j

i

Заметим, что компонентами проекций тензора на базисные векторы
являются соответствующие столбцы матрицы тензора. Например, T
r
r
⋅ e2 = Ti 2 ei – вектор, компоненты которого расположены во 2-м столбце

матрицы

Tij

Введем определения некоторых тензоров второго ранга специального
вида.
Симметричный тензор:

S ij = S ji .

Антисимметричный тензор:

Aij = −A ji .

25

Теорема 1. Любой тензор можно представить в виде суммы
симметричного

и

антисимметричного

тензоров.

Это

представление

единственно.
◄ Доказательство следует из равенства
Tij =

(

)

(

1
1
Tij + T ji + Tij − T ji
2
2

).

Единственность доказывается методом от противного. ►
Теорема 2. Симметричный (антисимметричный) тензор при любом
ортогональном

преобразовании

остается

симметричным

(антисимметричным).
◄ Доказательство. Sij′ = α ikα jl Skl = α ikα jl Slk = α jlα ik Slk = S ′ji . Аналогично,
Aij′ = − A′ji . ►
Транспонированный тензор:
rr

TT =T ji ei e j .
Свойства:
1. если тензор S симметричный, то ST=S
2. (Tij′ )T

( )′

= TijT

Тензор Кронекера:

rr
∆ = δij ei e j

.

Шаровым называется тензор S=λ∆.
Изотропным называется тензор T, если
Tij′ = Tij .
Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга

r
Единичный вектор µ называется главной осью тензора T, если
r
Прµr T = λµ ,
r
r
т.е. проекция тензора T на вектор µ коллинеарна µ . При этом число λ
называется главным значением тензора T.
Из определения главной оси тензора следуют уравнения
Tij µ j = λµi , i = 1,2,3 .
26

3
r
µ = 1 ⇒ ∑ µi2 = 1 или µi µi = 1.
i =1

Tij µ j = λµi , i = 1,2,3

 µi µ i = 1
В этой системе четыре уравнения и четыре неизвестные: µi , i = 1,2,3 , и
λ , т.е. система замкнута.

Первые три уравнения системы являются линейными алгебраическими
уравнениями.
С учетом тождества µi

= µ j δij

эти уравнения можно переписать в виде

(Tij − λδ ij ) µ j = 0 , i = 1,2,3 .
Эта система представляет собой однородную систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных µi , i = 1,2,3 , ее
определитель:
det ( Tij − λδ ij )

T11 − λ
T12
T13
= T21
T22 − λ
T23 .
T31
T32
T33 − λ

Тривиальное решение этой системы (нулевой вектор µi = 0 , i = 1,2,3 )
не представляет интереса, так как нулевой вектор не задает никакого
направления.
Ненулевое решение этой системы существует, когда
det ( Tij − λδ ij ) = 0 .

Это

равенство

представляет

собой

алгебраическое

уравнение

относительно главного значения λ и называется характеристическим
уравнением.
При каждом значении λ система уравнений
Tij µ j = λµi , i = 1,2,3 ,
имеет бесконечно много решений. Среди них только два единичных
r
r
(нормированных) вектора: µ и − µ .
Преобразуем характеристическое уравнение:
27

T11 − λ
T12
T13
T21
T22 − λ
T23 = 0,
T31
T32
T33 − λ

( T11 − λ )

T22 − λ
T23
T
T23
T T −λ
− T12 21
+ T13 21 22
=
T32
T33 − λ
T31 T33 − λ
T31
T32

= ( T11 − λ ) ( T22 − λ ) ( T33 − λ ) − T23T32 ( T11 − λ ) − T12 ( T21 ( T33 − λ ) − T31T23 ) +
+T13 ( T21T32 − T31 ( T22 − λ ) ) = −λ 3 + λ 2 ( T33 + T22 + T11 ) +
−λ ( T22T33 + T33T11 + T22T11 − T23T32 − T12T21 − T13T31 ) + det ( Tij ) .

Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид:

λ 3 − Ι1λ 2 + Ι 2λ − Ι 3 = 0
где
Ι1 = Tii ,
Ι2 =

1
( TiiT jj − TijT ji ) ,
2
Ι 3 = det ( Tij ) .

Можно показать, что коэффициенты Ι1 , Ι 2 , Ι 3 не меняются при
переходе от одной системы координат к другой. Поэтому они называются
инвариантами тензора T.
Докажем, например, что Ι1 является инвариантом.
Tii ′ = α ik α il Tkl = δ kl Tkl = Tkk ,

так как α ikα il = δ kl .

Так как коэффициенты характеристического уравнения инвариантны,
то и само уравнение, и его решения инвариантны. Таким образом, главные
значения тензора инвариантны.
Известно, что у кубического уравнения всегда есть хотя бы один
вещественный

корень.

Нас

интересует

случай,

когда

вещественные. Ответ на это вопрос дает следующая теорема.

28

все

корни

Теорема (о собственных значениях симметричного тензора). Любой
симметричный тензор второго ранга имеет три вещественных главных
значения.
◄Доказательство.

λ1

Пусть



характеристического

уравнения тензора
r
соответствующую главную ось µ ( 1) .

вещественный
T.

Тогда

корень

можем

найти

Перейдем к новой системе координат. В качестве 1-го базисного
r
вектора штрихованной системы координат выберем единичный вектор µ ( 1) :
r r1
e1′ = µ ( ) .
Тогда матрица тензора Tij в новой системе координат примет вид
0 
 λ1 0


′
 0 T22 T23 
 0 T ′ T ′
32
33 


Так как свойство симметричности тензора является инвариантным, то
Tij = T ji ⇒ Tij′ = T ji′ .
Запишем характеристическое уравнение в новой системе координат:

λ1 − λ
0
0

0
0
T22′ − λ
T23′ = 0 .
T32′
T33′ − λ

Преобразуем его:
T22′ − λ
T23′
= ( λ1 − λ ) T22′ − λ T33′ − λ − T23′T32′ =
( λ1 − λ )
T32′
T33′ − λ

((

(

)

(

)(

)

)

)

= ( λ1 − λ ) λ 2 − λ T22′ + T33′ + T22′T33′ − T23′T32′ = 0.
Отсюда следует квадратное уравнение для нахождения главных значений

λ2 , λ3 :

(

)

λ 2 − λ T22′ + T33′ + +T22′T33′ − T23′T32′ = 0 ,
29

Вычислим дискриминант этого уравнения:

(

∆ = T22′ + T33′

(

= T22′ − T33′

)

2

) (
2

) (

− 4 T22′T33′ − T23′T32′ = T22′ + T33′

) − 4 ( T ′T ′ − T ′ ) =
2

2

22

33

23

+ 4T23′2 ≥ 0.

Так как дискриминант неотрицательный, то корни λ2 , λ3 вещественные.
Теорема доказана. ►
Замечание. Пусть ∆ = 0 , тогда:

λ2 = λ3 , T22′ = T33′ , T23′ = T32′ = 0 .
Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид

λ 2 − 2T22′λ + T22′2 = 0,

(

λ − T22′

)

2

= 0.

Корни уравнения:

λ2,3 = T22′.
Теорема



диагональности

матрицы

тензора).

Матрица

симметричного тензора T является диагональной тогда и только тогда, когда
координатный базис составлен из главных осей.
◄ Необходимость.
Пусть матрица тензора T диагональна:
 λ1 0
0 λ
2

0 0


0
0  .
λ3 

Найдем проекции тензора на базисные векторы:
 λ1 
1
r
r


Прer1 T = 0 = λ1  0  = λ1e1 , ⇒ e1 – главная ось тензора T,
 
 
0
0
 
 
r
r
Прer2 T = λ2e2 , ⇒ e2 – главная ось тензора T,
r
r
Прer3 T = λ3e3 , ⇒ e3 – главная ось тензора T.
Достаточность.
30

r
Пусть координатный базис составлен из главных осей, т.е. ei , i = 1,2,3 –
главные оси тензора. Тогда, по определению главных осей:
r
Прeri T = λi ei .
Но

Прeri T

компоненты

составляют

i-й

столбец

матрицы

T,

следовательно, матрица T имеет диагональный вид:
 λ1 0
0 λ
2

0 0


0
0  . ►
λ3 

Следствие. Инварианты симметричного тензора T связаны с его
главными значениями следующими выражениями:
Ι1 = λ1 + λ2 + λ3 ,
Ι 2 = λ1λ3 + λ1λ2 + λ2λ3 ,
Ι 3 = λ1λ2λ3 .
Теорема

(об

ортогональности

главных

осей

тензора).

Дан

симметричный тензор 2-го ранга T .
1. Если λ1 и λ2 – два неравных между собой собственных значения
тензора

T,
то
соответствующие
главные
оси
ортогональны:
r
r
λ1 ≠ λ2 ⇒ µ (1) ⊥ µ (2) .
r
2. Пусть λ1 , µ (1) – главное значение и главная ось тензора T. Если

другие главные значения равны между собой и равны λ , то любой вектор,
r
ортогональный µ (1) , является главной осью, соответствующей главному
значению λ :
r
r r
λ2 = λ3 = λ ⇒ ∀µ ⊥ µ (1) , Прµr T = λµ .
◄ 1. По условию теоремы

(T

ij

− λkδ ij ) µ (j k ) = 0 , i, j = 1, 2, 3 , k = 1, 2 .

31

Умножим уравнения с k = 1 на µi(2) с соответствующим значением i
(i = 1, 2, 3) , а уравнения с k = 2

на − µi(1) и сложим все полученные

уравнения:
(2)
(2)
(1)
(2) (1)
Tij µ (1)
− λ1δ ij µ (1)
− Tij µ (2)
j µi
j µi
j µi + λ2δ ij µ j µ i = 0

Так как
Tij = T ji ,
то
(2)
(1)
Tij µ (1)
= Tij µ (2)
j µi
j µi .

Тогда
r r
λ2 µi(2) µi(1) − λ1µi(1) µi(2) = µ (1) ⋅ µ (2) ( λ2 − λ1 ) = 0 .
r
r
Отсюда, в силу λ1 ≠ λ2 , получаем µ (1) ⊥ µ (2) .
2. Из замечания к теореме о собственных значениях следует, что в
данном случае и в системе координат, в которой первым базисным вектором
r r
является первая главная ось e1 = µ (1) , матрица тензора Т имеет вид:
 λ1 0 0 
( Tij ) =  0 λ 0  .
 0 0 λ


r
r
r
r r
Возьмем вектор µ такой, что µ ⊥ µ (1) . Тогда вектор µ лежит в плоскости e2 ,
r
e3 и его можно разложить по базису:
r
r
r
µ = α e2 + β e3 .
Найдем проекцию:
r
r
r
r
r r
r r
r
Прµr Т = Т ⋅µ = Т ⋅ ( α e2 + β e3 ) = α Т ⋅e2 + β Т ⋅e3 = e2 = µ (2) , e3 = µ (3)  =
r
r
r
= αλ e2 + βλ e3 = λµ .
r
Следовательно, µ – главная ось. ►
Следствие.
1. Пусть λ1 = λ2 = λ3 = λ . В этом случае тензор Т имеет вид Т = λ E , то
есть является шаровым, и любой единичный вектор является главной осью:
32

2.

r
r
∀µ , Прµr Т = λµ .
r
r
r
λ1 ≠ λ2 ≠ λ3 ⇒ µ (1) ⊥ µ (2) ⊥ µ (3) . Трем различным

собственным

значениям соответствуют три взаимно ортогональные главные оси, причем
эта тройка векторов единственна (с точностью до знака).
3. Других случаев нет.
Тензорная функция и тензорная поверхность

Пусть в системе координат Ox1 x2 x3 задан тензор второго ранга
rr
Т = Tij ei e j
Тензорной функцией называется функция
Φ( x1 , x2 , x3 ) = Tij xi x j .
Поверхность
Tij xi x j = C = const
называется тензорной поверхностью.
r r r
Если привести тензор T к главным осям e1′, e2′ , e3′ , то
 λ1 0
rr 
T´ = λi ei′ ei′ =  0 λ2
0 0


0
0  ,
λ3 

Φ′ = λ1 ( x1′ ) + λ2 ( x′2 ) + λ3 ( x3′ ) .
2

2

2

В этом случае при C = 1 квадратичная форма Φ′ и тензорная
поверхность принимают каноническую форму:

λi ( xi′ ) = 1 ,
2

( x1′ )

2

1 λ1

( x′ )
+ 2

2

1 λ2

( x′ )
+ 3

2

1 λ3

= 1.

Тензорная поверхность представляет собой:
1. При λi > 0 – эллипсоид ( λ1 = λ2 = λ3 – сфера).
2. При λ1 , λ2 > 0 , λ3 < 0 – однополостный гиперболоид.
3. При λ1 > 0 , λ2 , λ3 < 0 – двуполостный гиперболоид.
33

4. При λi < 0 – мнимый эллипсоид.
Главные оси тензорной поверхности совпадают с главными осями
тензора.
r r
Для тензора первого ранга (вектора) t = ti ei тензорная функция имеет
вид:
Φ = ti xi ,
а тензорная поверхность:
ti xi = C ,
то

есть

тензорная

поверхность
r
перпендикулярную вектору t .

представляет

собой

плоскость,

Оператор Гамильтона и его применение к скалярным, векторным и
тензорным величинам

Оператором Гамильтона или оператором ∇ («набла») называется
оператор

r r ∂
r
∇ = ei
= ei∇ i .
∂xi
Символ ∇ i обозначает производную по i -ой координате. Набла (ναβλα ) с
греческого переводится как арфа.
Пусть

r
ϕ ( x , t ) – скалярная функция. Результатом применения

оператора Гамильтона к скалярной функции является вектор

r
∂ϕ r
∇ϕ =
ei = gradϕ .
∂xi

r

Заметим, что производная по направлению µ скалярного поля ϕ
равна проекции градиента поля на это направление:

∂ϕ r r
r = µ ⋅ ∇ϕ .
∂µ
rr

r

Пусть v ( x , t ) = vi ei – векторная функция. Результатом применения
оператора Гамильтона к векторной функции является тензор 2-го ранга
34

r r ∂v j r r
∇v =
ei e j ,
∂xi

r

который называется векторным градиентом поля v .
Покажем, что

∂vi
– тензор 2-го ранга.
∂x j

∂vi′
∂α ik v k ∂x l α ik∂v k
∂v
= [ vi′ = α ik vk ] =
=
α jl =  x l = α jl x′j  = α ikα jl k
∂x′j
∂xl ∂x′j
∂x l
∂x l

Следовательно, по определению

∂vi
– тензор 2-го ранга.
∂x j
r

Так же, как для скалярного поля, производная по направлению µ

r

векторного поля v равна проекции векторного градиента поля на это
направление

r
rr r
∂v
=

v ⋅µ .
r
∂µ

( )

Результатом применения оператора Гамильтона к тензору 2-го ранга
является тензор 3-го ранга

r
∂T jk r r r
∇T =
ei e j ek .
∂xi
Таким образом, применение оператора ∇ повышает ранг тензора на
единицу.
С помощью символа (но не оператора!) ∇ можно также записать
выражение для дивергенции и вихря (ротора) векторной функции:

r r r ∂v
div v = ∇ ⋅ v = i
∂xi
r
e1
r
r r r
rot v = curl v = ∇ × v = ∇1
v1
35

,

r
e2
∇2
v2

r
e3
∇3 .
v3

Следует обратить внимание, что символом ∇ не всегда можно пользоваться
как вектором. Например, смешанное произведение трех векторов есть скаляр
rrr r r r
abc = a ⋅ b × c .
rr
С другой стороны, выражение ∇ab есть тензор третьего ранга.

(

)

Кроме того, для смешанного произведения векторов справедливо:
r r r
r r r
a ⋅ b ×c = a×b ⋅c .

(

) (

)

Однако, если один из векторов в этом равенстве заменить на оператор

∇ , то равенство перестанет быть верным:
r r r
r r r
∇⋅ a ×b ≠ ∇×a ⋅b .

(

) (

)

Действительно,
r r r
r r
∇ ⋅ a × b = div a × b ,

(

(

)

(

)

r r r
r r
∇ × a ⋅ b = rot a ⋅ b .

)

r
r r
Распишем более подробно операции a × b и rot a :
r r r
e1 e2 e3  a2b3 − a3b2 
r r
a × b = a1 a2 a3 =  a3b1 − a1b3  ,


b1 b2 b3  a1b2 − a2b1 
r r
r
e1 e2 e3 ∇ 2 a3 − ∇ 3a2 
r
rot a = ∇1 ∇ 2 ∇3 =  ∇3a1 − ∇1a3  .


a1 a2 a3  ∇1a2 − ∇ 2 a1 
r r r
r r r
Продолжив вычисления, можно убедиться, что ∇ ⋅ a × b ≠ ∇ × a ⋅ b .

(

36

) (

)

Тензор деформаций
Эйлеров и лагранжев тензоры деформаций

Деформация
взаимного



это

расположения

изменение
материальных

частиц сплошной среды, которое вызывает
изменение

сил

взаимодействия

между

материальными частицами.
Рис.1.5.1
Деформация малой

окрестности

некоторой

точки

определяется

изменением длины и поворотом любого материального волокна (отрезка),
исходящего из этой точки (Рис.1.5.1), то есть простейшими деформациями
является относительное удлинение и сдвиг.
Для описания деформационного движения сплошной среды нужно
определить изменение длины и поворот любого материального волокна.
Пусть ( x1 , x2 , x3 ) – пространственная декартова система координат с базисом
r
r
ei и ξ = ( ξ1 , ξ 2 , ξ3 ) – материальные координаты частицы, равные ее
пространственным координатам в начальный момент времени, то есть
r
r
ξi = xi ξ ,0 , xi = xi ξ , t – закон движения частицы.

(

)

( )

Рис. 1.5.2
r
элементом с началом в частице ξ
и
r
r
соответствующим вектору dξ = dξi ei называется совокупность частиц,
Материальным

заполняющих

бесконечно

малый

отрезок
37

и

имеющих

лагранжевы

координаты в пределах от

( ξ1 ,ξ 2 ,ξ3 )

до

( ξ1 + dξ1 ,ξ 2 + dξ 2 ,ξ3 + dξ3 )

(Рис.

1.5.2).
В текущий момент времени t положение материального элемента
r
r r
определяется положением x ξ , t его начальной точки ξ и вектором

( )

r
r ∂x
r
dx = dxi ei = i dξ j ei .
∂ξ j
Для определения изменения длины составим выражение для квадратов
длины материального элемента dξ в начальный t = 0 и dx в текущий t
моменты времени:
r
r r
( d ξ ) 2 = d ξ ⋅ d ξ = d ξi d ξi ,
r
r r
(dx ) 2 = dx ⋅ dx = dxi dxi .
Найдем изменение квадрата длины в лагранжевых переменных. Так как
r r r
x = x (ξ , t ) , то
dxk =
dxk dxk =

∂xk
dξ i ,
∂ξi

∂xk ∂xk
dξi dξ j .
∂ξi ∂ξ j

Составим выражение для изменения квадрата длины материального
элемента:
(dx) 2 − (dξ ) 2 =

 ∂x ∂x

∂xk ∂xk
dξi dξ j − dξi dξi =  k k − δ ij  dξi dξ j .
 ∂ξ ∂ξ

∂ξi ∂ξ j
j
 i


 ∂x ∂x

Выражение  k k − δ ij  не зависит от конкретного материального
 ∂ξi ∂ξ j

элемента (волокна).
Тензор


1  ∂x ∂x
Lij =  k k − δ ij 

2  ∂ξi ∂ξ j


называется лагранжевым тензором

деформаций (тензором деформаций Грина).
38

Таким образом, изменение квадрата длины материального элемента
выражается через лагранжев тензор деформаций:
(dx) 2 − (dξ ) 2 = 2 Lij dξi dξ j .
Теперь выразим изменение квадрата длины материального элемента в
r rr
эйлеровых переменных. В этом случае ξ = ξ ( x , t ) ,
dξ k =
dξ k d ξ k =

∂ξ k
dxi ,
∂xi

∂ξ k ∂ξ k
dxi dx j , dxi dxi = δ ij dxi dx j ,
∂xi ∂x j


∂ξ ∂ξ 
(dx) 2 − (dξ ) 2 =  δ ij − k k  dxi dx j .

∂xi ∂x j 

Тензор

1
∂ξ ∂ξ 
Eij =  δ ij − k k 
2 
∂xi ∂x j 

называется

эйлеровым

тензором

деформаций (тензором деформаций Альманси).
Изменение квадрата длины материального элемента выражается через
эйлеров тензор деформаций:
(dx) 2 − (dξ ) 2 = 2 Eij dxi dx j .
Итак,

1  ∂x ∂x
1
∂ξ ∂ξ 
Lij =  k k − δ ij  , Eij =  δ ij − k k  ,

2  ∂ξi ∂ξ j
2 
∂xi ∂x j 

(dx) 2 − (dξ ) 2 = 2 Lij dξi dξ j = 2 Eij dxi dx j .
Легко видеть, что тензоры деформаций являются симметричными
тензорами 2-го ранга.
Получим формулы для вычисления тензоров L и E через перемещение
r r r
материальной частицы w = r − r0 (Рис.1.5.3).

39

Рис.1.5.3 r
r
r r r
1. Лагранжево описание: w = x (ξ , t ) − ξ , wi = xi (ξ , t ) − ξi .
Для

вычисления

необходимы производные

лагранжева

тензора

конечных

деформаций

∂xk
. Выразим эти производные через производные
∂ξi

перемещения:
∂xk ∂wk
=
+ δ ik .
∂ξi ∂ξi
Подставим их в выражение для тензора:

 ∂w
  ∂w
∂w ∂w ∂w ∂wk
2 Lij =  k + δ ik   k + δ jk  − δ ij = i + j + k
.



ξ

ξ

ξ

ξ
j
i
i
j
 ∂ξi
  ∂ξ j

Окончательно получаем:
1  ∂w ∂w ∂w ∂w 
Lij =  i + j + k k 
2  ∂ξ j ∂ξi ∂ξi ∂ξ j 
r
r r
r rr
2. Эйлерово описание: w( x , t ) = x − ξ ( x , t ) , wi = xi − ξi ( x , t ) .
Аналогично, если выразить производные

∂ξ k
∂xi

через производные

перемещения, эйлеров тензор конечных деформаций примет вид:
1  ∂w ∂w ∂w ∂w 
Eij =  i + j − k k  .
2  ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j 
Тензор малых деформаций

Под малыми деформациями понимается движение сплошной среды,
при котором длины материальных волокон и углы между ними мало
изменяются, то есть относительное удлинение волокон и относительное
скашивание первоначально прямых углов между волокнами много меньше
единицы. Кроме того, потребуем малость частных производных компонентов
перемещений по сравнению с единицей. В этом случае, в выражениях для
компонентов тензоров L и E произведением малых величин можно
40

пренебречь. Таким образом, линеаризованные тензоры деформаций или
тензоры малых деформаций имеют вид:
1  ∂w ∂w 
lij =  i + j  ,
2  ∂ξ j ∂ξi 
1  ∂w ∂w 
ε ij =  i + j  .
2  ∂x j ∂xi 
Можно доказать, что тензоры малых деформаций совпадают.
Пример. Пусть движение сплошной среды происходит по закону:
 x1 = f (ξ1 , t ),

.
 x2 = ξ 2 ,
x = ξ .
3
 3
Найдем тензор L. Для этого сначала вычислим компоненты вектора
перемещений в лагранжевых координатах:
 w1 = f (ξ1 , t ) − ξ1 ,

.
 w2 = 0,
 w = 0.
 3
Из всех компонентов тензора L ненулевым будет только один – L11 .
2
2

 ∂f 
1  ∂f
∂f  1   ∂f 


.
L11 =  2
−2+
+
1

2
=

1






2  ∂ξ1

ξ

ξ
2

ξ
 1
1

 1


Найдем

тензор

E.

Сначала

вычислим

компоненты

вектора

перемещений в эйлеровых координатах:
 w1 = x1 − f −1 ( x1 , t ) ,

.
 w2 = 0,
 w = 0.
 3
Тензор E имеет только один ненулевой компонент:
2
2
 ∂f −1 
 ∂f −1  
1
∂f −1
∂f −1  1 
 =  1− 
E11 =  2 − 2
−1 − 
 +2
 .
2
∂x1
∂x1 
∂x1  2 
∂x1  







41

В нашем случае
 ∂f −1 ( x1 , t ) 
1

 = ∂f (ξ , t ) .
∂x1
1


∂ξ1
Поэтому нетрудно найти E11 в лагранжевых координатах:




1
1 
E11 =  1 −
2 
2
 ∂f  


 

 ∂ξ1  

Видно, что L11 ≠ E11 . То есть лагранжев и эйлеров тензор конечных
деформаций не совпадают.
Найдем лагранжев и эйлеров тензоры малых деформаций и покажем,
что они совпадают.
Пусть

∂w1
= δ << 1 . Тогда
∂ξ1
∂f
=1+ δ ,
∂ξ1
l11 =

∂w1
=δ .
∂ξ1

Вычислим ε11 . Так как в линейном приближении
1
=1+ x ,
1− x
то
−1

 ∂f 
∂w1
∂f −1
1
ε11 =
=1−
=1− 
=1−1+ δ = δ
 =1−
∂x1
∂x1

ξ
1
+
δ
 1
Итак, ε11 = l11 .
Перейдем

к

вычислению

относительного

материального элемента при малых деформациях:
42

изменения

длины

e=

dx − dξ
.


Отсюда следует, что
dx = (1 + e)dξ , ( dx) 2 = (1 + e) 2 (dξ ) 2 .
В силу малости деформаций относительное изменение длины мало,
следовательно, в линейном приближении квадратом этой величины можно
пренебречь:
(dx) 2 ≈ (1 + 2e)(dξ ) 2 .
Далее
(dx) 2 − (dξ ) 2 ≈ 2e( dξ ) 2 .
Отсюда
(dx) 2 − ( dξ ) 2
e=
.
2(dξ ) 2
Относительное изменение длины отрезка выразим через лагранжев или
эйлеров тензор малых деформаций, получим:
e=

lij dξi dξ j
( dξ )

2

=

ε ij dxi dx j
, ε ij = lij .
(dξ ) 2

r
Можно ввести единичный вектор µ в направлении рассматриваемого
r

отрезка dξ:
dξi
= µi .


Тогда формулу для e можно переписать в матричном виде:
 l11 l12

e = ( µ1 , µ 2 , µ 3 )  l21 l22
l
 31 l32

или


e = µ ⋅l ⋅ µ .

43

l13  µ1 
 
l23  µ 2  ,
l33  µ 3 

Механический смысл тензора малых деформаций

Пусть материальный элемент в момент
времени t = 0 расположен вдоль оси ξ 2 , как
показано

на

Рис.1.5.4.

В

этом

случае

dξ1 / dξ = dξ3 / dξ = 0 , dξ 2 / dξ = 1 .
Рис.1.5.4
Поэтому относительное его удлинение
e=
Итак,

lij dξi dξ j
(dξ )

2

=

l22dξ 2d ξ 2
dξ dξ
= l22 2 ⋅ 2 = l22 .
2
(dξ )
dξ d ξ

l22 = e , то есть относительное удлинение материального

элемента, первоначально расположенного вдоль направления ξ 2 равно
компоненте l22 . Точно так же для элементов, первоначально лежащих вдоль
осей ξ1 и ξ3 , их относительные удлинения равны l11 и l33 соответственно.
Таким
деформаций

образом,
численно

диагональная
равна

компонента

относительному

тензора
удлинению

малых
вдоль

соответствующей оси координат.
Рассмотрим деформацию сдвига,
т.е.

изменение

угла

между

материальными элементами, которые
первоначально лежат вдоль двух осей
координат. Пусть после деформации
отрезок P0Q0 перешел в отрезок PQ ,
Рис. 1.5.5
а отрезок P0 M 0 перешел в отрезок PM (Рис. 1.5.5). Угол между этими
векторами, первоначально прямой, перешел в угол θ . Обозначим изменение
этого угла как

ψ 23 =

π
−θ .
2

44

Тогда θ =

π
− ψ 23 .
2


Разложим перемещение (функцию) w в ряд Тейлора в окрестности

точки P0 :


∂w
∂w



w( Q0 ) = w( P0 ) +
dξi = w( P0 ) +
dξ2 ,
∂ξi
∂ξ2

так как dξ1 = dξ 3 = 0 для точки Q0 .
uuuuur uuur uuuur uuuur
Построим векторы Q0Q0′ = P0 P , PQ′0 = P0Q0 .
uuuur
Выразим Q0′Q через перемещение

v
uuuur uuuur uuuuur r
r
∂w
Q0′Q = Q0Q − Q0Q0′ = w ( Q0 ) − w ( P0 ) =
dξ 2
∂ξ 2

тогда
v
uuur uuuur uuuur
 r ∂w r 
r ∂w
PQ = PQ0′ + Q0′Q = d ξ2e2 +
d ξ 2 = d ξ 2  e2 + i e i  .
∂ξ 2
∂ξ 2 

Аналогично,
uuuur
 r ∂w r 
PM = dξ3  e3 + i ei  .
∂ξ3 

uuur uuuur
Вычислим скалярное произведение векторов PQ и PM :
uuur uuuur
 ∂w ∂w ∂w ∂w 
PQ ⋅ PM = dξ 2d ξ3  3 + 2 + k k  .
 ∂ξ 2 ∂ξ3 ∂ξ 2 ∂ξ3 
В линейном приближении, в силу малости деформаций:
uuur uuuur
PQ ⋅ PM = 2l23dξ 2 dξ3 .
С другой стороны,
uuur uuuur uuur uuuur


π

PQ ⋅ PM = PQ ⋅ PM cosθ = cosθ = cos  −ψ 23  = sinψ 23 = ψ 23  =
2



= dξ 2 (1 + l22 )dξ3 (1 + l33 )ψ 23 = dξ 2 dξ3ψ 23
в линейном приближении, в силу малости деформаций.
Таким образом,
1
l 23 = ψ 23 .
2

45

1
Аналогично можно показать, что lij = ψ ij ,
2

Таким

образом,

недиагональная

i ≠ j.

компонента

тензора

малых

деформаций численно равна половине изменения первоначально
прямого угла между соответствующими осями координат
Замечание. В силу симметричности тензор деформаций имеет три
вещественных главных значения, называемые главными деформациями. В
любой точке тензор малых деформаций можно привести к главным осям, и
он будет иметь диагональный вид, то есть в любой точке существуют три
взаимно перпендикулярных волокна, которые при деформации изменяют
лишь свою длину, но остаются взаимно перпендикулярными.
Вычислим относительное изменение объема материальной частицы.
Для простоты рассмотрим частицу в форме шара. Расположим центр шара в
начале координат. В качестве осей координат возьмем главные оси тензора
малых деформаций. Вследствие выбора осей координат, при деформации не
произойдет скашивания углов, т.е. шар перейдет в эллипсоид.
Вычислим относительное изменение объема

V − V0
.
V0

4
3
Пусть радиус шара равен dr , тогда V0 = π ( dr ) .
3
Вычислим объем шара после деформации в линейном приближении
относительно lij :
4
4
V = π (1 + l11 )(1 + l22 )(1 + l33 )( dr )3 = V0 + π (l11 + l22 + l33 )(dr )3 .
3
3
Тогда
4
π (l11 + l22 + l33 )(dr )3
V − V0 3
=
= l11 + l22 + l33 = I1 (l) ,
4
V0
3
π (dr )
3
V − V0
= l11 + l22 + l33 = I1 (l) .
V0
46

Вычислим первый инвариант тензора малых деформаций l через
перемещения:
I1 (l) =

∂wi
r
= div w .
∂ξi

r
Если div w > 0 , то объем шара увеличивается, и наоборот.
Таким образом, первый инвариант тензора малых деформаций –
дивергенция вектора перемещения – численно равен относительному
изменению малого материального объема сплошной среды.
Условия совместности деформаций

Сначала поясним смысл понятия условия совместности на примере
потенциального течения. Если поле скоростей потенциальное, то

ϕ – потенциал. Если смотреть на систему

∂ϕ
= vi , где
∂xi

∂ϕ
= vi как на систему
∂xi

относительно неизвестных скоростей, то имеем три уравнения относительно
трех неизвестных. Следовательно, система всегда имеет решение.
Если же заданы vi , но ϕ неизвестно, то система переопределена и
может не иметь решения.
Скорость потенциального течения должна удовлетворять условию
r
rot v = 0 . Это условие можно назвать условием совместности скоростей
потенциального течения. Оно обеспечивает разрешимость задачи по
нахождению потенциала.
Таким

образом,

условия

совместности



это

некоторые

дополнительные условия разрешимости задачи.
1  ∂w ∂w j
Для малых деформаций ε ij =  i +
2  ∂x j ∂xi


 , (i, j = 1, 2, 3) . Тензор малых


деформаций в силу симметрии имеет шесть различных компонент. Если

47

перемещения заданы, то из этой системы всегда можно найти деформации:
r
w ⇒ ε ij .
Наоборот, если заданы деформации и необходимо найти перемещения (
?

r
ε ij ⇒ w

),

то

система

становится

переопределенной

(6

уравнений

относительно трех неизвестных). Условия, при которых эта задача решается,
называются условиями совместности деформаций (деформации должны
быть такими, чтобы не нарушалась сплошность среды, т.е. чтобы материал не
«порвался» и чтобы не образовалось «складок»). Условия совместности
являются условиями реализуемости заданных деформаций сплошной среды.
Тензор скоростей деформаций
Тензор скоростей деформаций есть тензор с компонентами
eij = ε&ij =

d ε ij
dt

.

Из определения следует формула для вычисления компонент
eij = lim

∆t →0

Vε ij
Vt

=

1
1  ∂w ∂w ∂w ∂wk 
lim  i + j − k
=
2 ∆t →0 Vt  ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j 

1  ∂v ∂v 
= [ wk = vk Vt ] =  i + j  ,
2  ∂x j ∂xi 
1  ∂v ∂v 
eij =  i + j  .
2  ∂x j ∂xi 
Тензор скоростей деформаций является симметричным.
Зная скорость деформации, можно найти деформацию за малый
промежуток времени dt :

ε ij = eij dt .
Механический смысл тензора скоростей деформаций

Из определения тензора скоростей деформаций и механического
смысла тензора деформаций следует, что eii – скорость относительного
48

1 •
удлинения вдоль i -го базисного вектора, eij = ψ ij , ( i ≠ j ) – скорость
2
скашивания первоначально прямого угла между i -м и j -м базисными
векторами,
r
V − V0 V&
I1 (e) = div v = lim
=
∆t →0 V ⋅ ∆t
V0
0
– скорость относительного изменения малого материального объема.
Так как тензор e симметричен, то всегда можно указать три взаимно
перпендикулярных волокна (главные оси) таких, что при деформации
скорость скашивания углов между ними равна нулю.
В общем случае, главные оси тензора деформаций и тензора скоростей
деформаций не совпадают. Этот вопрос нужно исследовать дополнительно
для каждой конкретной модели сплошной среды.
Условия

совместности

скоростей

деформаций

формулируются

аналогично условиям совместности деформаций.
Теорема Коши-Гельмгольца

Рассмотрим

материальный

объем

(Рис.

1.6.1). Возьмем в этом объеме произвольную точку
M . Если бы объем был твердым телом, то к нему
была бы применима теорема о произвольном
движении твердого тела:
Рис. 1.6.1
r
всякое движение тела можно разложить на поступательное со скоростью v M
r
точки M и вращательное с угловой скоростью Ω вокруг мгновенной оси,
проходящей через эту точку M :

r
r
r
v M ′ = v M + Ω × MM ′ .

При этом угловая скорость не зависит от положения точки M , к которой
отнесено вращение твердого тела. Поэтому можно говорить об угловой
скорости вращения твердого тела, не указывая эту точку.

49

Для произвольного движения объема сплошной среды справедливо
следующее утверждение.
Теорема. Скорость любой точки малого объема сплошной среды в
линейном приближении относительно его размера можно представить как
сумму

скорости

поступательного

движения,

скорости

вращательного

движения и скорости деформационного движения:
r r
r
r
v = vпост + vвращ + vдеф ,
причем

поступательное

и

деформационное

движения

являются

потенциальными.
◄ Выделим в материальном объеме произвольную точку M . Пусть
M ′ – любая другая точка этого объема,
uur uuuuur
dx = MM ′ .
Разложим скорость частицы

M′

в ряд Тейлора в линейном

приближении в окрестности точки M :
 ∂v
vi M ′ = vi M + i
 ∂x
 j
Представим компоненты

∂vi
∂x j


 dx j , i = 1,2,3 .
M

векторного градиента скорости в

следующем виде:
∂vi 1  ∂vi ∂v j  1  ∂vi ∂v j 
= 

+
+ 
.
∂x j 2  ∂x j ∂xi  2  ∂x j ∂xi 
Введем обозначения:
1  ∂v ∂v 
1  ∂v ∂v 
ωij =  i − j  , eij =  i + j  .
2  ∂x j ∂xi 
2  ∂x j ∂xi 
Тогда
r
r
r
v M ′ = v M + ( ωij dx j + eij dx j ) ei .
Тензор ωij антисимметричный, следовательно, определяется тремя
компонентами. Тензор eij есть тензор скоростей деформаций.
50

Рассмотрим
непосредственным

(

r 1
r
Ω = (rot v ) M .
2

вектор
вычислением,

Ω1 = ω32 ,

что

Можно
Ω 2 = ω13 ,

r r
r r r
r
=(v
Ω × dx = ωij dx j . Но Ω × dx = vвращ , следовательно ωij dx jвращ

)

убедиться

i

Ω3 = ω21

и

).
i

r
Назовем вектор с компонентами eij dx j деформационной скоростью vдеф
.
Таким образом, получим:
r r
r
r
v = vпост + vвращ + vдеф .
Покажем, что поступательное и деформационное движения являются
потенциальными.

Действительно,

нетрудно

записать

потенциал

поступательного движения:

ϕпост = viM dxi
и потенциал деформационного движения:

ϕдеф = eij dxi dx j . ►
Закон сохранения массы
Три теоремы об интегралах

r r
Теорема 1. Дана функция f ( x ), x ∈V . Рассмотрим подобласть V% ⊂ V .
Если
r

∫ f ( x ) dV = 0, ∀V% ,

V%

то
r
f (x) ≡ 0 .
◄ Докажем утверждение теоремы методом от противного. Если
r
r
r
r
функция f ( x ) непрерывна в точке x0 и f ( x0 ) ≠ 0 , то функция f ( x )
r
сохраняет знак в некоторой окрестности Ω точки x0 , следовательно,

∫ f ( x)dx ≠ 0 , Ω ⊂ V . Полученное противоречие доказывает теорему. ►



51

r
Теорема 2. Для векторного поля A

r
A
dS
=
div
A
dV
∫ n

S

V

или, в другой записи,
r r
r r
A

n
dS
=


∫ ⋅ A dV ,
S

V

r
где n – единичный вектор внешней нормали поверхности S ,
r
ограничивающей объем V , в котором определен вектор A .
В координатах эта формула принимает вид

∫ An

i i

S

dS = ∫ ∇i Ai dV .
V

Замечание. Обобщение формулы Гаусса-Остроградского
В математическом анализе формула Гаусса-Остроградского доказана в
следующем виде

∫ ( Pn + Qn
1

S

2

 ∂P ∂Q ∂R 
+ Rn3 ) dS = ∫ 
+
+
 dV .

x

x

x
1
2
3 
V

Покажем, что формула будет верна, если скалярные функции P , Q и
r r r
R заменить на векторные P , Q и R .
r r
r
Для доказательства каждую векторную функцию P , Q и R надо
разложить по базису и применить указанную формулу к каждой компоненте
r
r
r
r
r
r
Pn
+
Qn
+
Rn
∫ 1 2 3 dS = ∫ ( Pei i n1 + Qiei n2 + Riei n3 ) dS =
S

(

)

S

r
r  ∂Pi ∂Qi ∂Ri 
= ei ∫ ( Pn
+
Q
n
+
R
n
dS
=
e
+
+
)
 dV =
i 1
i 2
i 3
i ∫

x

x

x
1
2
3


S
V
r
r
r
 ∂P ∂Q ∂R 
= ∫
+
+
 dV .
∂x1 ∂x2 ∂x3 
V
Итак, формула справедлива как для скалярных, так и для векторных
функций P , Q и R .

∫(
S

r
r
r
r
r
r
 ∂P ∂Q ∂R 
Pn1 + Qn2 + Rn3 dS = ∫ 
+
+
 dV .

x

x

x
1
2
3 
V

)

52

В дальнейшем нам понадобятся понятия контрольного объема
(поверхности), скорости поверхности, переноса параметра сплошной среды
через поверхность и правило дифференцирования по времени интеграла по
подвижному пространственному объему.
Контрольным объемом называется выделенный объем пространства
V , его граница S называется контрольной поверхностью.
Для определения скорости поверхности S в некоторой точке M
рассмотрим положения поверхности S в два момента времени: t и t + ∆t
(Рис. 1.7.1). Выберем окрестность точки M , площадку dS и проведем в
r
точке M внешнюю нормаль n . Отрезок нормали между поверхностями S (t )

и S (t +Vt ) обозначим ∆h . Скоростью перемещения поверхности S в точке
M называется

Vh
.
Vt →0 Vt

D = lim

r
Переносом параметра f через площадку dS с нормалью n называют

величину, равную
fvn dS ,
r
где v – скорость сплошной среды, vn dS – секундный расход среды через dS .
Перенос через поверхность S определяется интегралом

∫ fv dS .
n

S

Теорема 3. (О дифференцировании интеграла по подвижному объему).
Рассмотрим пространственный объем V ,
ограниченный поверхностью

S

(Рис. 1.7.1).

Имеет место формула
d
r
∂f
r
f ( x , t ) dV = ∫ dV + ∫ f ( x , t ) D dS

dt V
∂t
V
S
Рис. 1.7.1
r
где D – скорость поверхности S , f ( x , t ) – произвольная функция.

53

◄ Рассматриваемый объем в момент времени t обозначим V , а в
момент времени t + ∆t – V ′ .
Представим объем V ′ в виде
V′ =V + (V′ −V ) .

d
1
r
r
f
dV
=
lim
f
(
x
,
t
+

t
)
dV

f
(
x
,
t
)
dV

 = [ V ′ = V + (V ′ − V ) ] =

∆t →0 ∆t  ∫

dt V∫(t )
V
 V′


1
r
r
1
r
f
(
x
,
t
+

t
)
dV

f
(
x
,
t
)
dV
+
lim
f
(
x
, t + ∆t ) dV =



∆t →0 ∆t ∫
∆t →0 ∆t ∫
V
V ′−V
V


= lim

=∫
V

∂f
1
r
dV + lim
f ( x , t + ∆t ) dV .

∆t →0 ∆t
∂t
V ′−V

Разобьем объем (V ′ − V ) на цилиндры с основанием dS и высотой D∆t
(Рис. 1.7.1). Объем цилиндра с основанием dS и высотой D∆t равен
dV = D∆t dS .
Тогда интеграл по объему V ′ − V можно преобразовать в интеграл по
поверхности S :



V ′−V

fdV = ∫ fDVtdS ,
S

d
∂f
1
∂f
fdV = ∫ dV + lim ∫ fD VtdS = ∫ dV + ∫ fD dS . ►

∆t →0 ∆t
dt V
∂t
∂t
V
S
V
S
Следствия.
1. Пусть объем V является материальным, V = VL , S = S L , тогда
скорость поверхности S L равна D = vn , где v – скорость сплошной среды, и
формула дифференцирования принимает вид
d
r
∂f
r
f ( x , t ) dV = ∫ dV + ∫ f ( x , t )vn dS .

dt VL
∂t
VL
SL
2. Используя теорему Гаусса-Остроградского, формулу
переписать иначе:

54

можно



f vn dS =

SL

∫(

SL

r r
r
f v ) ⋅ n dS = ∫ div ( f v ) dV
VL

.

d
r
r
 ∂f
f
(
x
,
t
)
dV
=
+
div
f
v
(
)  dV .
∫V  ∂t
dt V∫L

L
3. Если предположить, что в момент времени t контрольный объем
V (t ) совпадает с материальным
V (t ) = VL (t ) , S (t ) = S L (t ) ,
то из формул и следует
d
d
fdV
=
fdV + ∫ f (vn − D) dS
dt V∫L
dt V∫
S
Замечание.

Получим

еще

одну

формулу

дифференцирования

интеграла по материальному объему, когда подынтегральная функция имеет
вид
r
f = ρA,
где A – скалярная или векторная функция.

r
r
r
d
d r
dA
dA
ρ AdV = [ ρ dV = dm ] = ∫ Adm = ∫ dm = ∫ ρ dV .
dt V∫L
dt m
dt
dt
m
VL

Обратим

внимание,

что

под

интегралом

стоит

материальная

производная, так как при интегрировании параметр A вычисляется для
фиксированной материальной частицы dm .
Итак,
r
r
d
dA
ρ AdV = ∫ ρ dV .
dt V∫L
dt
VL
Закон сохранения массы

В ньютоновской механике любой материальный объем сохраняет свою
массу во времени.

55

Получим закон сохранения массы в дифференциальной форме. Пусть
r
VL – произвольный материальный объем с переменной плотностью ρ ( x , t )
(Рис. 1.7.2).
Масса, заключенная в этом объеме
m = ∫ ρ dV .
VL

Рис. 1.7.2
Согласно закону сохранения массы
dm
= 0.
dt
Применим следствие 2 из теоремы 3, т.е. формулу
dm d
r
 ∂ρ
= ∫ ρ dV = ∫ 
+ div ρ v  dV .
dt dt VL
∂t

VL 
Таким образом,
 ∂ρ

∫  ∂t

VL

r
+ div ρ v  dV = 0 .


Так как объем VL выбран произвольно, то по теореме 1
∂ρ
r
+ div ρ v = 0
∂t
Это дифференциальное уравнение, выражающее закон сохранения
массы, называется уравнением неразрывности.
Полученная форма его записи называется дивергентной. Такая форма
уравнений в частных производных повышает эффективность процедуры
решения с помощью численных методов.
r
Преобразуем выражение для div ρ v
r ∂ρ vi
∂v
∂ρ
r
∂ρ
div ρ v =
= ρ i + vk
= ρ div v + vk
.
∂xi
∂xi
∂xk
∂xk
Тогда
∂ρ
∂ρ
r
+ vk
+ ρ div v = 0 ,
∂t
∂xk
56


r
+ ρ div v = 0
dt
Перепишем это равенство иначе
1 dρ
r
= − div v .
ρ dt
Такая формула уравнения неразрывности делает прозрачным его
физический

смысл:

скорость

относительного

изменения

плотности

материальной частицы равна скорости относительного изменения ее объема,
взятой с противоположным знаком.
Уравнение баланса массы можно записать и для пространственного
объема V , ограниченного поверхностью S .
В силу следствия 3 из теоремы 3 (формула )
d
d
ρ dV = ∫ ρ dV − ∫ ρ (vn − D) dS ,

dt V
dt VL
S
где VL – материальный объем, который в момент времени t совпадает с
объемом V . Так как первый интеграл справа равен нулю, то баланс массы
для контрольного объема V имеет вид
d
ρ dV = − ∫ ρ (vn − D)dS .
dt V∫
S
Если контрольный объем неподвижен, то D = 0 . Из интегрального
уравнения

можно

снова

получить

дифференциальное

уравнение

неразрывности, рассуждая так же, как в случае материального объема VL .
Уравнение неразрывности, которое было получено, справедливо при
эйлеровом описании движения сплошной среды. При лагранжевом описании
оно будет выглядеть иначе.

57

Уравнение неразрывности при лагранжевом описании

Рассмотрим

Рис. 1.7.3
материальную частицу

в

форме

прямоугольного

параллелепипеда (Рис. 1.7.3) с ребрами
dξi , i = 1,2,3 .
Объем материальной частицы в момент t = 0
rr r
dV0 = dξ1 dξ 2 dξ 3 e1 e2 e3 .
В момент времени t эта частица деформируется и станет косоугольным
r
параллелепипедом с ребрами dξi Эi , его объем будет равен
r
r r r r ∂r
r r
,(i = 1,2,3) r = r ( x1 , x2 , x3 , t ) .
dV = dξ1 dξ 2 dξ3 Э1Э2 Э3 , Эi =
∂ξi
Так как деформации малы, то отрезок переходит в отрезок, но возможно
другой длины, углы между ребрами параллелепипеда изменяются. Но длина
ребер параллелепипеда в материальных координатах не изменяется!
rr r
Вычислим смешанное произведение векторов Э1Э2 Э3
∂x1
∂ξ1

∂x2
∂ξ1

∂x3
∂ξ1

rr r
∂x
Э1Э2 Э3 = 1
∂ξ 2

∂x2
∂ξ 2

∂x3
= ∆ ( x ,ξ ) .
∂ξ 2

∂x1
∂ξ3

∂x2
∂ξ3

∂x3
∂ξ3

Перепишем выражение для объема:
58

dV = dξ1dξ 2 dξ3 ∆ ( x ,ξ ) .
Вычислим отношение объемов
dV
= ∆ ( x ,ξ ) .
dV0
Масса параллелепипеда не изменилась
m = m0 = ρ dV = ρ0 dV0 .
Отсюда получим

ρ0 = ρ

dV
= ρ ∆ ( x ,ξ ) ,
dV0

ρ
ρ0
= ∆ (ξ , x ) .
= ∆ ( x ,ξ ) ,
ρ0
ρ
Отсюда ясен механический смысл якобиана ∆ (ξ , x ) : якобиан, вычисленный в
некоторый момент времени, равен отношению плотности частицы в текущий
момент времени к плотности частицы в начальный момент времени.
Уравнение

неразрывности

при

лагранжевом

описании

в

дифференциальной форме следует из и имеет вид

ρ∆ ( x ,ξ ) ) = 0
(
∂t
Для одномерного случая
∆ ( x ,ξ ) =

∂x
,
∂ξ

∂  ∂x 
ρ
= 0,
∂t  ∂ξ 
 ∂ρ ρ 2 ∂v
∂x ∂ρ
∂v  ∂x ρ0 ∂x

= = ,
= v =
+
= 0.
∂ξ ∂t
∂ξ  ∂ξ ρ ∂t

t
ρ

ξ

0
Таким образом, уравнение неразрывности в лагранжевых переменных для
одномерного движения имеет вид
∂ρ ρ 2 ∂v
+
= 0.
∂t ρ0 ∂ξ

59

Данное уравнение можно получить и непосредственно из уравнения
неразрывности в эйлеровых переменных

r
+ ρ div v = 0 ,
dt
которое в одномерном случае выглядит так

∂v
+ρ = 0.
dt
∂x
Заменим x на ξ , тогда производная



заменится на производную
:
∂ξ
∂x

−1

∂ ∂ξ ∂ξ
ρ
=
⋅ ,
= ( ∆ x ,ξ ) =
.
∂x ∂ξ ∂x ∂x
ρ0


– это материальная производная, при лагранжевом описании она
dt
вычисляется как частная производная. Получим
∂ρ ρ 2 ∂v
+
= 0.
∂t ρ0 ∂ξ

Динамика сплошной среды
Массовые и поверхностные силы. Вектор напряжений
В механике сплошной среды различают два типа внешних сил,
действующих на элемент объема сплошной среды, – массовые и
поверхностные силы.
Массовой силой называется сила, действие которой не зависит от
присутствия других частей сплошной среды, кроме рассматриваемого
элемента, а численное значение пропорционально массе этого элемента.
Примером

массовой

силы

могут

служить

сила

тяжести

(гравитационные силы), электромагнитные силы, силы инерции.

r
Напряженностью или массовой плотностью поля массовой силы F

называется массовая сила, отнесенная к единице массы сплошной среды.

60

Например, напряженность силы тяжести равна ускорению свободного
r
падения g . Для тела, движущегося в инерциальной системе отсчета с
r
r
ускорением a , напряженность даламберовой силы инерции равна −a .
Поверхностными силами называются силы, приложенные к элементу
сплошной среды со стороны прилегающих к нему частиц остальной части
сплошной среды. Эти силы действуют на поверхность рассматриваемого
элемента. Поверхностная сила, отнесенная к единице площади поверхности,
на которую она действует, называется напряжением.
r
Обозначим через P главный вектор поверхностных сил, действующих
r
на площадку δ S с нормалью n .
r
r
P
Напряжение – это удельная поверхностная сила σ n =
(Рис. 2.1.1).
δS
Вектор напряжений зависит от ориентации
площадки
r r rr
r r
σ = σ (n, x , t ) = σ n ( x , t ) .
Индекс n показывает, что напряжение вычислено на
r
r
площадке с нормалью n (это не проекция на n ).
Рис. 2.1.1
r r
r r
r
Обратим внимание, что σ (−n ) = −σ ( n ) , т.е. σ – нечетная функция.
r
r
Н 
Размерность σ n : [ σ n ] =  2  .
м 
Вектор напряжений на площадке с нормалью
r
n

Рис. 2.1.2

в каждой точке сплошной среды

можно

разложить на две составляющие – в направлении
r
r
нормали n ( σ nn n – нормальное напряжение) и
r
r
касательной τ ( σ τ nτ – касательное или сдвиговое
напряжение) к площадке δ S (Рис. 2.1.2).

61

r
Совокупность всевозможных векторов напряжений σ n в точке M
определяет напряженное состояние в этой точке. Задача состоит в том, чтобы
r
научиться определять напряжение на площадке с нормалью n .
Тензор напряжений
r
Пусть задана площадка с нормалью n . Нужно научиться определять
напряжение на этой площадке.
Оказывается, что задать напряженное состояние сплошной среды в
точке M или, что то же самое, определить правило вычисления вектора
напряжений на любой площадке, содержащей эту точку M , можно, задавая
векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках в точке
M.
Убедимся в этом. Возьмем точку M за начало системы координат и
r
r
обозначим через σ i – вектор напряжений на площадке с нормалью ei ,
лежащей на соответствующей координатной плоскости. Разложим векторы
r
r
напряжений σ i по базису ei :
r
r
r
r
σ 1 = σ 11e1 + σ 21e2 + σ 31e3 ,
r
r
r
r
σ 2 = σ 12e1 + σ 22e2 + σ 32e3 ,
r
r
r
r
σ 3 = σ 13e1 + σ 23e2 + σ 33e3 .
Девять компонент σ ij определяют тензор 2-го ранга (докажем это позже),
который называется тензор напряжений:
 σ 11 σ 12 σ 13 
σ ij =  σ 21 σ 22 σ 23  .
σ

 31 σ 32 σ 33 
Заметим, что i -й столбец матрицы тензора напряжений составлен из
r
компонент вектора напряжений σ i . Разложение тензора напряжений по
соответствующему базису имеет вид
rr
σ = σ ij ei e j .

62

Рассмотрим механический смысл компонент тензора напряжений.
Поясним его на примере компонент σ 13 , σ 23 , σ 33 .
Эти компоненты являются компонентами
r
вектора напряжений σ 3 на площадке с нормалью
r
e3 (Рис. 2.2.1). Проекция
r
Прer3 σ 3 = σ 33
Рис. 2.2.1
дает нормальное напряжение на этой площадке, а проекции
r
r
Прer1 σ 3 = σ 13 и Прer2 σ 3 = σ 23
r
r
определяют касательные (сдвиговые) напряжения в направлении e1 и e2
соответственно. Нормальные напряжения связаны с деформаций растяжения,
а касательные – с деформацией сдвига. Аналогично можно выяснить
механический смысл остальных компонент тензора напряжений.
Таким образом, диагональные компоненты тензора напряжений задают
нормальные напряжения на соответствующих координатных площадках, а
недиагональные – сдвиговые напряжения в направлении соответствующих
осей координат: σ ii – нормальное напряжение на i -й координатной
площадке, σ ij – касательное напряжение.
r
Теперь найдем вектор напряжений σ n на
r
произвольной площадке с нормалью n ,
содержащей точку M .

Рис. 2.2.2
Для этого рассмотрим материальный тетраэдр MABC с вершиной в точке M
r
, основанием ABC , перпендикулярным нормали n , и боковыми гранями,
лежащими на координатных плоскостях (Рис. 2.2.2). Запишем условие
63

равновесия тела MABC – равенство нулю суммы действующих массовых и
поверхностных сил

∫(

V

r
r
r
ρ F − ρ a dV + ∫ σ n dS = 0 ,

)

S

где V , S , ρ – объем, поверхность и плотность тела соответственно.
r
Массовые силы складываются из внешних сил с напряженностью F и
r
даламберовых сил инерции с напряженностью −a . Поверхностные силы
r
r
задаются вектором напряжений σ n , где n – внешняя нормаль к поверхности
S.
Обозначим площади основания и боковых граней
S ABC = Sn , S MBC = S1 , S MAC = S2 , S MAB = S3 ,
причем индексы 1, 2, 3 совпадают с номером координатной оси,
перпендикулярной данной грани.
Заметим, что
rr
S1 = Sn ⋅ cos( n, e1 ) = S n ⋅ n1 ,
rr
S2 = Sn ⋅ cos( n, e2 ) = S n ⋅ n2 ,
rr
S3 = Sn ⋅ cos( n, e3 ) = Sn ⋅ n3 ,
так

как

каждая

боковая

грань

является

проекцией

основания

на

соответствующую координатную плоскость.
1
Таким образом, Si = S n ⋅ ni (i = 1,2,3) . Объем тетраэдра V = Sn h , где h
3
– высота тетраэдра.
Интеграл по поверхности S представим как сумму интегралов по
граням тетраэдра MABC .
r
r
r
r
r
r
(
ρ
F

ρ
a
)
dV
+
σ
dS
+
σ
dS
+
σ
dS
+
σ

1

2

3




∫ n dS = 0
V

S1

S2

где
r
r r
σ − i = σ (−ei ) ,
причем
r
r
σ − i = −σ i .
64

S3

Sn

,

Применив теорему о среднем к каждому интегралу, получим
r
r
r
r
r
r
( ρ F − ρ a ) * ⋅ V + σ −1 P ⋅ S1 + σ −2 P ⋅ S2 + σ −3 P ⋅ S3 + σ n P ⋅ Sn = 0
M

1

2

3

4

Выразим объем V и площади S1 , S2 и S3 через Sn и учтем нечетность
r
функции σ i . Получим
r
r
(ρ F − ρ a)

1
r
r

S
h

σ

S
n

σ
1 P1
n 1
2
M* 3 n

P2

r
r
⋅ S n n2 − σ 3 P ⋅ S n n3 + σ n P ⋅ S n = 0 .
3

4

Так как Sn ≠ 0 , то поделим на него данное выражение. Устремим h к нулю,
при этом грань ABC в пределе совпадет с рассматриваемой площадкой, т.е. в
r
пределе σ n будет искомым напряжением. Точки P1 , P2 , P3 и P4 переходят в
точку M . Получим
r r
r
r
σ n = σ 1n1 + σ 2 n2 + σ 3n3
или
r r
σ n = σ i ni .
Выражая через компоненты σ ij , получим
r r
r
r
σ n = σ i ni = σ ij n j ei = σ ⋅ nПр
=
r
σ n = Прnr σ.

r
n

σ,

Итак, чтобы вычислить вектор напряжений на произвольной площадке с
r
нормалью n , содержащей точку M , нужно найти проекцию тензора
r
напряжений σ, вычисленного в точке M , на направление нормали n . Тензор
напряжений σ в точке M определяет напряженное состояние сплошной
среды в этой точке.
Докажем, что девять компонент σ ij образуют тензор 2-го ранга, т.е.

σ ij′ = α ikα jlσ kl .
Для этого рассмотрим вектор напряжений на произвольной площадке с
r
нормалью n . Вектор является инвариантом, следовательно,
r
σ n = Прnrσ = Прnr′σ ′ ,
r
r
r
r
Прnrσ = σ kl nl ek = nl = α jl n ′j , ek = α ik ei′ = α ikα jlσ kl n′je′i ,
65

r
Прnr′σ ′ = σ ij′ n′j ei′ .
Тогда

α ikα jlσ kl n′j = σ ij′ n′j , i = 1,2,3
или
(σ ij′ − α ikα jlσ kl )n′j = 0 , i = 1,2,3 .
r
Так как n ≠ 0 , то
(σ ij′ − α ikα jlσ kl ) = 0 , i, j = 1,2,3 .
Что и требовалось доказать.
Закон сохранения количества движения
Основным динамическим соотношением механики сплошной среды
является закон сохранения количества движения, согласно которому
скорость изменения количества движения любого материального объема
равна главному вектору всех действующих на него внешних массовых и
поверхностных сил.
Рассмотрим материальный объем VL , ограниченный
поверхностью S L (Рис. 2.3.1). Тогда, согласно закону
Рис. 2.3.1

сохранения количества движения,
r
d
r
r
ρ
v
dV
=
σ
dS
+
ρ
F
∫S n V∫ dV
dt V∫L
L
L

r
где F – массовая плотность внешних массовых сил.
Если проинтегрировать уравнение по времени, то оно будет иметь вид
t 

r 
r  
r 
r
 ∫ ρ v dV  −  ∫ ρ v dV  = ∫  ∫ σ n dS + ∫ ρ FdV dt .
V
 V

VL
 L
t  L
t0 t0  S L


Правая часть уравнения представляет собой импульс внешних сил за время

[ t0 , t ] , поэтому оно называется уравнением импульсов.
Получим дифференциальное уравнение количества движения или
балансовое уравнение импульсов. Для этого продифференцируем интеграл
66

r
по подвижному объему VL , выразим вектор напряжений σ n через базисные
r r
векторы напряжений σ n = σ i ni и применим к поверхностному интегралу
обобщенную теорему Гаусса-Остроградского. Получим
r
r
dv
r
ρ
dV


σ
dV

ρ
F
∫V dt
∫V i i
∫V dV = 0 .
L
L
L
В силу произвольности объема VL , согласно теореме 1 параграфа 1.7.1,
получим векторное дифференциальное уравнение импульсов
r
r
dv
r
ρ
= ∇iσ i + ρ F ,
dt
или три скалярных в проекциях на i -ю ось

ρ

∂vi
∂v ∂σ
∂σ
∂σ
+ ρ vk i = i1 + i 2 + i 3 + ρ Fi , i = 1,2,3 .
∂t
∂xk
∂x1
∂x2
∂x3

Уравнение импульсов можно записать и для контрольного объема V ,
который в момент времени t совпадает с материальным объемом VL . В силу
следствия 3 из теоремы 3 параграфа 1.7.1
d
r
d
r
r
ρ
v
dV
=
ρ
v
dV

ρ
v
∫S (vn − D) dS .
dt V∫
dt V∫L
В силу уравнения получим
r
d
r
r
r
ρ
v
dV
=

ρ
v
(
v

D
)
dS
+
σ
dS
+
ρ
F
∫S n
∫S n V∫ dV .
dt V∫
Если контрольный объем неподвижен, то D = 0 . Из интегрального уравнения
можно еще раз получить дифференциальное уравнение импульсов .
Так же, как в случае уравнения неразрывности, можно получить
уравнение импульсов для одномерного случая в лагранжевых переменных

ρ

dv ∂σ x
=
+ ρF ,
dt
∂x


∂ ∂ξ ρ ∂
=

=

,
∂x ∂ξ ∂x ρ0 ∂ξ
∂v 1 ∂σ x
=
+F.
∂t ρ0 ∂ξ
67

Могут быть полезны и другие формы записи уравнения импульсов,
которые можно получить с помощью следующих равенств.
1. Дивергентная форма записи ускорения
r
r
dv ∂ρ v
r
ρ
=
+ ∇ k ( ρ vvk ) .
dt
∂t
2. Формула Громеки-Ламба для ускорения
r
r
dv ∂v
r r
v2
=
+ (rot v ) × v + ∇ .
dt ∂t
2
Проанализируем полученную для описания движения сплошной среды
систему уравнений неразрывности и импульсов
r
 ∂ρ
+
div(
ρ
v
) = 0,
 ∂t
 r
r
 ρ dv = ∇ σr + ρ F .
i i
 dt
В этой системе четыре скалярных уравнения и 13 неизвестных –

ρ , vi , σ ij . Для замыкания необходимы 9 уравнений. Для этого можно
использовать уравнения состояния или реологические законы, определяющие
тензор напряжений σ ij и учитывающие характерные механические свойства
среды. В общем случае может понадобиться привлечь термодинамику,
электродинамику и физико-химическую кинетику.
Закон сохранения момента количества движения
Закон сохранения момента количества движения

В теоретической механике момент количества движения материальной
точки M массы m относительно точки O , начала некоторой инерциальной
системы координат, определяется как
r r
r
K = r × mv ,
где
r uuuur
r = OM

68

Уравнение момента количества движения материальной точки имеет
вид
r
dK r r
=r×F ,
dt
r r
где r × F – момент главного вектора действующих на нее сил относительно
точки O .
Момент количества движения системы материальных точек M i
относительно точки O
r
r
r
K = ∑ ri × mi vi ,
i

где
r uuuur
ri = OM i .
Уравнение момента количества движения системы материальных точек
имеет вид
r
dK
r r
= ∑ rj × F j ,
dt
j
причем в силу третьего закона Ньютона в сумме учитываются моменты
только внешних по отношению к системе сил, то есть производная по
времени от момента количества движения системы точек относительно
некоторой точки O равняется сумме моментов всех внешних действующих
на систему сил относительно той же точки O .
Получим уравнение моментов количества движения сплошной среды.
Рассмотрим произвольный материальный объем VL с поверхностью S L .
Моментом количества движения объема VL сплошной среды относительно
точки O называется вектор
r
r r
K = ∫ r × ρ v dV
VL

,

r
где r – радиус-вектор материальной точки объема VL относительно точки O ,
r
а v , ρ – скорость и плотность частицы сплошной среды.
69

Согласно закону сохранения момента количества движения скорость
изменения момента количества движения материального объема VL равна
сумме моментов действующих на этот объем внешних массовых и
поверхностных сил
r
d r r
r r
r
r
×
ρ
v
dV
=
r
×
σ
dS
+
r
×
ρ
F
dV .
n
∫S
∫V
dt V∫L
L
L
Уравнение можно записать и для контрольного объема VE аналогично
тому, как это было сделано в случае закона сохранения количества движения.
Преобразуем уравнение , используя полученные выше формулу
дифференцирования

интеграла

и

обобщенную

формулу

Гаусса-

Остроградского

∫ρ

VL

r
d r r
r r
r
( r × v ) dV = ∫ ∇i ( r × σ i ) dV + ∫ r × ρ F dV
dt
VL
VL

В силу произвольности объема VL и согласно теореме 1 параграфа 1.7.1
получим

дифференциальное

уравнение

баланса

момента

количества

движения

ρ

r
d r r
r r
r
( r × v ) = ∇i ( r × σ i ) + r × ρ F .
dt

Теорема. Тензор напряжений является симметричным тензором 2-го
ранга.
◄ Из уравнения количества движения
r
r
dv
r
ρ
− ∇iσ i − ρ F = 0 ,
dt
следует равенство
r
r
r  dv
r
r ×ρ
− ∇iσ i − ρ F  = 0 ,
 dt

или
r
r
r
dv r
r r
r×ρ
= r × ∇iσ i + r × ρ F .
dt

70

Вычтем это уравнение из уравнения моментов количества движения,
переписанного в виде
r
r
r
r
dv
r dr r
r r
r r
r×ρ
− ρv ×
= r × ∇iσ i − σ i × ∇i r + r × ρ F .
dt
dt
Получим
r
r dr r
r
ρ v × = σ i × ∇i r .
dt
r
r r
dr r
= v и ρ v × v = 0 , то из последнего равенства следует, что
Так как
dt
r
r
σ i × ∇ir = 0 .
Вычислим частную производную от радиус-вектора
r
r ∂r

r
r
∇i r =
=
( xk ek ) = ei .
∂xi ∂xi
Тогда
r r
σ i × ei = 0
или
r r
σ ji e j × ei = 0 .
r r
Разобьем сумму σ ji e j × ei на два слагаемых:
r r
r r
σ ji e j × ei + σ ji e j × ei = 0
i< j

i> j

.

В первом слагаемом сгруппированы все члены с индексами i < j , во втором –
i > j . Во втором слагаемом можем обозначить индекс i как j , а j как i , так
как сумма не зависит от обозначения индекса суммирования
r r
r r
σ ji e j × ei + σ ij ei × e j = 0
.
i< j
j >i
Поменяем порядок сомножителей во втором слагаемом
r r
r r
σ ji e j × ei − σ ij e j × ei = 0 ,
и вынесем общий множитель за скобку
r r
e j × ei (σ ji − σ ij ) = 0 , i < j .
71

Расписав сумму слева почленно для i, j = 1,2,3 ( i < j ) и вычислив векторные
произведения базисных векторов, можно убедиться, что

σ ij = σ ji . ►
Замечание. Тензор напряжений является симметричным для многих
сред,

такой

случай

называется

классическим.

Но

для

некоторых

структурированных сред с внутренними напряжениями он может быть
несимметричным из-за наличия внутренних моментов, а также моментов
распределенных массовых и поверхностных пар сил.
Главные оси и главные напряжения

Тензор напряжений σ – это симметричный тензор второго ранга.
Поэтому, как выше показано, он имеет три вещественных главных значения
r r
r
σ1* , σ2* и σ3* . Им соответствуют три главные оси µ1 , µ2 и µ3 . Если в
r r
качестве базиса системы координат взять главные оси ei = µi , то тензор
напряжений будет иметь диагональный вид
 σ 1* 0 0 


*
 0 σ2 0 ,
 0 0 σ 3* 


то есть на площадках с нормалями, являющимися базисными векторами этой
системы координат, есть только нормальные напряжения.
r
Прµri σ = σ i*µi (по i не суммировать!).
Нормальные напряжения σ i* ( σ 1* ≥ σ 2* ≥ σ 3* ) называются главными
напряжениями. Вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью
r
n можно выразить через главные напряжения
r
r
r
σ n = Прnrσ = σ ij n j ei = σ i*ni ei .
Состояние сплошной среды называется одноосным напряженным
состоянием, если σ 1* ≠ 0 , σ 2* = σ 3* = 0 (если σ 1* > 0 , то происходит одноосное
растяжение,

если

σ 1* < 0 ,

то

сжатие).
72

Соответственно,

двухосное

напряженное состояние: σ 1* ≠ 0 , σ 2* ≠ 0 , σ 3* = 0 . Трехосное напряженное
состояние: σ i* ≠ 0, ∀i .
Важной характеристикой напряженного состояния среды является
первый инвариант
I1 = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ 1* + σ 2* + σ 3* .
Давлением p называется величина
1
p = − I1 .
3
Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров

σ ij = − pδ ij + τ ij .
В этой сумме первое слагаемое есть шаровой тензор, второе слагаемое
называется девиатором. Такое представление тензора напряжений удобно
для изучения свойств сплошной среды.
Отсюда следует выражение для девиатора тензора напряжений

τ ij = σ ij + pδ ij .
Например, для тензора напряжений, приведенного к главным осям,
разложение на шаровой тензор и девиатор имеет вид
 σ 1* 0 0   − p 0
0   σ 1* + p
0
0





*
σ 2* + p
0
 0 σ2 0  =  0 − p 0  +  0
 0 0 σ 3*   0
0 − p   0
0
σ 3* +






p 

Поверхность напряжений Коши

Тензорная поверхность тензора напряжений называется поверхностью
напряжений Коши. Уравнение этой поверхности
Ф( x1 , x2 , x3 ) = σ ij xi x j = C .
С помощью поверхности напряжений Коши можно геометрически построить
r
направление вектора напряжений σ n на произвольной площадке δ S (Рис.
2.4.1). Для этого нужно выбрать систему координат с началом O на
площадке δ S , построить поверхность напряжений Коши. Из точки O
73

r
перпендикулярно к заданной площадке провести вектор r до пересечения с
поверхностью Φ = C . В точке пересечения построить нормаль к этой
r
поверхности. Вектор σ n должен быть коллинеарен построенной нормали.
Докажем это.
По построению,
следовательно, ni =

r r
n || r , где

r
r
r = xi ei ,

xi
.
r

r
r 1
r
σ n = σ ij n j ei = σ ij x j ei .
r

Рис. 2.4.1
Направление нормали поверхности Коши совпадает с направлением gradΦ .
r
r
∇Φ = ∇ k ( σ ij xi x j ) ek = σ ij ( δ ik x j + δ jk xi ) ek =
r
r
r
r
r
= σ ij x j ei + σ ij xi e j = σ ij x j ei + σ ji xi e j = 2σ ij x j ei .
Видно, что
r
∇Φ = 2rσ n ,
т.е.
r
σ n || ∇Φ .
Следовательно, вектор напряжений должен быть коллинеарен нормали
поверхности Коши.
Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии

Будем рассматривать сплошную среду как термодинамическую
систему, изменение состояния которой обусловлено обменом энергией как
между материальными частицами среды, так и с внешними телами и полями.
Состояние системы может быть равновесным или неравновесным.
При равновесии все локальные параметры системы с течением времени не
изменяются. Переход из неравновесного состояния в равновесное называется
процессом релаксации.

74

Равновесное состояние характеризуется конечным числом параметров.
Для однородных жидкостей и газов такими параметрами являются плотность

ρ или удельный объем V = 1/ ρ , давление p и абсолютная температура T .
Они связаны уравнением состояния
f ( p ,V , T ) = 0
Поэтому независимыми являются любые два из трех параметров.
Важной

характеристикой

термодинамической

системы

является

внутренняя энергия, равная суммарной энергии микродвижения молекул.
Обозначим через u удельную (единицы массы) внутреннюю энергию
сплошной среды. Другой характеристикой является кинетическая энергия,
равная суммарной энергии макродвижения материальных частиц среды со
скоростью v . Кинетическая энергия единицы массы среды равна v 2 / 2 , а
единицы объема – ρ v 2 / 2 . Полная удельная энергия (единицы массы)
сплошной среды равна
v2
E =u+ .
2
Обмен энергией между рассматриваемым телом и другими телами
происходит за счет совершения работы и обмена теплом. Работой δ A
называют количество энергии, переданное телом при силовом воздействии
на внешние тела. Если δ A > 0 , то тело совершает работу и его энергия
уменьшается. Если δ A < 0 , то работа совершается над телом и его энергия
растет. Внешний теплообмен характеризуется количеством теплоты δ Q .
Если δ Q > 0 , то тело получает тепло, и отдает его, если δ Q < 0 .
Первое

начало

термодинамики

гласит,

что

количество

тепла,

сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии и совершение
системой работы над внешними телами

δ Q = du + δ A .
Для равновесной системы с уравнением состояния работа равна

δ A = pdV .
75

Рассмотрим

материальный

объем

VL

с

поверхностью S L (Рис. 2.5.1).

Рис. 2.5.1
Согласно закону сохранения энергии скорость изменения во времени полной
энергии материального объема равна сумме работы в единицу времени
(мощности) действующих на объем внешних массовых и поверхностных сил,
притока к объему тепла и других видов энергии немеханической природы.
Запишем баланс полной энергии для материального объема VL .
r r
d
r r
r r
ρ
E
dV
=
σ

v
dS
+
ρ
F

v
dV

q
∫ n

∫ ⋅ n dS + V∫ ρW dV .
dt V∫L
Sn
VL
SL
L
Изменение полной энергии тела VL происходит за счет работы внешних
поверхностных сил, внешних массовых сил, внешнего теплообмена и
взаимодействия с внешними полями, не связанного с движением частиц тела
(например, поглощение электромагнитного или оптического излучения,
намагничивание, электрическая поляризация и т.д.). Каждый фактор задается
r r
соответствующим интегралом справа. Здесь σ n ⋅ v – мощность внешних
r r
поверхностных сил на единицу площади, ρ F ⋅ v – мощность внешних
r
массовых сил в единице объема, q – поверхностная плотность внешнего
потока тепла в единицу времени, W – массовая плотность потока энергии
немеханической природы в единицу времени.
Получим балансовое уравнение полной энергии в дифференциальной
форме. Для этого преобразуем интегральное уравнение аналогично тому, как
это делали при получении уравнений неразрывности, импульса, момента
импульса. К интегралу слева применим формулу дифференцирования, к
поверхностным интегралам применим соответствующие формулы ГауссаОстроградского, предварительно представив вектор напряжений в виде
r r
σ n = σ i ni .
Тогда
76

∫ρ

VL

r r
dE
r r
dV = ∫ ∇i (σ i ⋅ v ) dV + ∫ ρ F ⋅ v dV − ∫ ∇ i qi dV + ∫ ρW dV .
dt
VL
VL
VL
VL

В силу произвольности объема VL и теоремы 1 получим дифференциальное
уравнение полной энергии

ρ

r r
dE
r r
= ∇i (σ i ⋅ v ) + ρ F ⋅ v − ∇i qi + ρW .
dt

Заметим, что для приведения этого уравнения к дивергентной форме
следует воспользоваться аналогом дивергентной формы ускорения

ρ

dE ∂ρ E
=
+ ∇ k ( ρ Evk ) .
dt
∂t

Запишем закон сохранения энергии для контрольного объема V . Для
этого воспользуемся формулой , связывающей производные по времени от
интегралов по материальному и контрольному объемам, и уравнением .
Получим
d
r r
ρ
EdV
=

ρ
E
(
v

D
)
dS
+
σ
n
∫S
∫S n ⋅ vdS +
dt V∫
r r
+ ∫ ρ F ⋅ vdV − ∫ qn dS + ∫ ρWdV
V

S

V

Если контрольный объем неподвижен, то D = 0 .
Так же, как в случае законов сохранения массы, количества движения и
момента

количества

движения,

из

уравнения

можно

дифференциальное уравнение баланса энергии .
Уравнение кинетической энергии

Получим это уравнение из уравнения импульсов
r
r
dv
r
ρ
= ∇iσ i + ρ F .
dt
Воспользуемся формулой
r
r dv d  v 2 
v
=  .
dt dt  2 

77

получить

r
Умножим уравнение импульсов скалярно на вектор скорости v , используем
указанную формулу и получим уравнение кинетической энергии
r r
d  v2  r
r
ρ   = v ⋅ ∇iσ i + ρ F ⋅ v .
dt  2 
Уравнение внутренней энергии

Уравнение внутренней энергии получается путем вычитания из
уравнения полной энергии уравнения кинетической энергии . Оно имеет вид

ρ
Часть

полной

du r
r
= σ i ⋅ ∇i v − ∇i qi + ρW .
dt

работы

поверхностных сил отвечает за изменение
r
r
кинетической энергии – v ⋅ ∇ iσ i , другая часть – за изменение внутренней
энергии.
Выясним физический смысл первого слагаемого справа. Для этого
покажем, что
r
r
σ i ⋅ ∇i v = σ kl ekl ,
то есть свертка тензоров напряжений и скоростей деформаций.
Действительно,
r
r
r
r
σ i ⋅ ∇i v = σ ki ek ⋅ ∇i vl el = σ ki∇ i vlδ kl = σ ki∇ i vk ,
eij =

1
( ∇ j vi + ∇iv j ) .
2

В частности,

σ 11∇1v1 = σ 11e11 ,
σ 12∇ 2v1 + σ 21∇1v2 = σ 12 ( ∇ 2v1 + ∇1v2 ) = 2σ 12e12 = σ 12e12 + σ 21e21
в силу симметричности тензоров напряжений и скоростей деформаций.
Аналогичные соотношения можно получить и для других значений
индексов суммирования. Суммируя по всем значениям i, k = 1,2,3 , получим
искомую свертку.
Дифференциальное
материальной частицы

уравнение

справедливо

сплошной среды. Поэтому
78

для

внутренней

свертку

тензоров

напряжений и скоростей деформаций можно интерпретировать как мощность
внутренних поверхностных сил на деформациях в единице объема. Таким
образом, в уравнении внутренней энергии содержится внутренний источник
энергии за счет процессов взаимодействия между частицами среды, что
принципиально отличает его от уравнений неразрывности, импульса,
момента импульса.
Итак, уравнение внутренней энергии может быть записано и в такой
форме

ρ

du
r
= σ ij eij − divq + ρW .
dt

Заметим, что если
r
r
v = 0, q = 0 , W = 0,
то
u = const ,
т.е. внутренняя энергия неподвижной теплоизолированной среды неизменна.
Уравнение теплопроводности для неподвижной
среды

Рассмотрим теплообмен за счет теплопроводности в неподвижной
r
среде: v = 0 , eij = 0 , W = 0 . В этом случае уравнение внутренней энергии
примет вид

ρ

du
r
= −divq .
dt

Из курса термодинамики известны соотношения
u = cV T + const , i = c pT + const , i = u +

p
,
ρ

где i – энтальпия (теплосодержание); c p , cV – удельная теплоемкость при
постоянном давлении и при постоянном объеме
 ∂Q 
cp = 
 ,
 ∂t  p
79

 ∂Q 
cV = 
 .
 ∂t V
Поток тепла за счет теплопроводности описывается эмпирическим законом
Фурье
r
q = −λ grad T ,
где λ – коэффициент теплопроводности.
В неподвижной среде материальная производная совпадает с частной
производной по времени. Используя выписанные соотношения и предполагая

λ постоянным, можно переписать уравнение притока тепла в виде
∂T
= a∆T ,
∂t
где
a=


коэффициент

λ
ρ cV

температуропроводности.

Уравнение

называется

уравнением теплопроводности.
Для стационарного процесса теплопроводности уравнение принимает
вид уравнения Лапласа
∆T = 0 .
Заметим, что уравнение теплопроводности является уравнением
параболического типа, а уравнение Лапласа имеет эллиптический тип.
Уравнение теплопроводности для подвижной среды

Пусть

σ ij = − pδ ij .
Вычислим свертку тензора напряжений с тензором скоростей деформаций
1  ∂v ∂v 
∂v
r
σ ij eij = − pδ ij  i + j  = − p i = − pdiv v .
2  ∂x j ∂xi 
∂xi
Тогда уравнение притока тепла при постоянном λ и W = 0 принимает вид

80

ρ

du
r
= − pdiv v + λ∆T .
dt

Это уравнение можно преобразовать, перейдя к энтальпии
u =i−

p
1
p
, du = di − dp + 2 d ρ .
ρ
ρ
ρ

Из уравнения неразрывности найдем

r
= − ρ div v .
dt
В итоге из (2.5.11) получим уравнение теплопроводности для подвижной
среды

ρ cp

dT
dp
= λ∆T +
.
dt
dt

Это уравнение уже нужно решать совместно с уравнениями неразрывности и
импульса, а также уравнением состояния, в качестве которого можно взять,
например, уравнение состояния совершенного газа. В механике под
совершенным газом имеют в виду идеальный калорически совершенный газ,
для которого выполняются следующие соотношения:
уравнение Клапейрона-Менделеева
p = ρ RT ,
соотношения для внутренней энергии и энтальпии
u = cV T + const , i = c pT + const .

Некоторые модели и теории механики сплошной среды
Рассмотрим некоторые модели сплошной среды такие, как идеальная
жидкость, ньютоновская жидкость, тело Гука.
Идеальная, вязкая, ньютоновская жидкости
Идеальная жидкость

Сплошная среда называется идеальной жидкостью, если
1) тензор напряжений является шаровым
81

σ ij = − pδ ij ;
2) плотность является функцией давления и температуры ρ = ρ ( p, T ) ,
причем повышение давления p вызывает повышение плотности ρ , а
повышение температуры T вызывает понижение плотности ρ .
Если в рассматриваемом процессе плотность является функцией одного
давления ρ = f ( p ) , то жидкость называется баротропной. Тогда можно
ввести функцию давления
P( p) = ∫

dp
dp
=∫
,
ρ
f ( p)

для которой
dP =

dp
∇p
, ∇P =
.
ρ
ρ

Для идеальной жидкости тензор напряжений является шаровым,
следовательно, изотропным. Матрица тензора напряжений имеет вид
0 
−p 0
 0 −p 0 

,
 0
0 − p 

1
где p = − σ ii . Главные напряжения равны между собой и равны − p .
3
Если тензор шаровой, то любой единичный вектор является его
r
главной осью. Поэтому на любой площадке с нормалью n вектор
напряжений имеет вид
r
r
r
σ n = Прnrσ = − pE ⋅ n = − pn .
Следовательно, σ nn = − p , σ τ n = 0 , т.е. нормальное напряжение равно (с
противоположным знаком) давлению, касательных напряжений нет.
Отсутствие касательного напряжения – основное свойство идеальной
жидкости. Давление на любой площадке не зависит от ее ориентации. Во
многих случаях вода и воздух ведут себя как идеальные жидкости, так как
обладают малой вязкостью.

82

Построим математическую модель течения идеальной жидкости. Для
этого в систему уравнений движения
r
 ∂ρ
+
div(
ρ
v
) = 0,
 ∂t
 r
r
 ρ dv = ∇ σr + ρ F ,
i i
 dt
подставим тензор напряжений для идеальной жидкости
r
r
r
∇iσ i = ∇i ( − pei ) = −ei∇i p = −∇p .
Для замыкания системы не хватает уравнения для давления p . Во многих
случаях можно принять условие несжимаемости жидкости, считать, что
плотность не зависит от давления. Реальные жидкости обладают большой
теплоемкостью, в отличие от газов. Поэтому часто можно пренебречь
зависимостью ρ от T и считать, что ρ = ρ0 = const . Тогда уравнение
неразрывности будет иметь вид
r
div v = 0 ,
то есть относительная скорость изменения материального объема равна
нулю. Получили модель идеальной несжимаемой жидкости
r
div v = 0,
 r
 dv = − 1 ∇p + Fr.
 dt
ρ0


r
Решим эту систему уравнений в одномерном случае. Пусть F = 0 , тогда
 ∂v
 ∂x = 0,
 ∂v
 + v ∂v = − 1 ∂p .
∂x
ρ0 ∂x
 ∂t
Можно исключить из системы скорость и получить уравнение для давления.
Продифференцируем первое уравнение по t , второе – по x . Получим:
∂2 p
= 0.
∂x 2
Решение уравнения имеет вид
p = ax + b ,
83

где a и b в общем случае могут зависеть от времени t .
Если задать давление на входе и
выходе (Рис. 3.1.1), то для фиксированного
момента времени изменение давления вдоль
трубы задается формулой

Рис. 3.1.1

p − pa x − a
=
.
pb − pa b − a

Условие несжимаемости можно применять к дозвуковым течениям,
когда скорость потока много меньше скорости звука в среде.
Рассмотрим две задачи для идеальной жидкости.
Потенциальное течение идеальной несжимаемой
жидкости

Покажем,

что

потенциальное

течение

идеальной

несжимаемой

жидкости описывается одним уравнением.
По определению потенциального течения существует такая функция ϕ ,
r
что ∇ϕ = v . Запишем уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
r
div v = 0 .
Выразив скорость течения через потенциал, получим уравнение Лапласа
относительно потенциала ϕ
∆ϕ = 0 .
Рассмотрим задачу Неймана для уравнения Лапласа:
∆ϕ = 0,

r
 ∂ϕ
=
ψ
(
x
, t ).
 ∂n
S

Выясним физический смысл задачи Неймана.
Пусть абсолютно твердое тело с поверхностью

S

обтекается

потенциально идеальной жидкостью. Напомним, что потенциальное течение
является безвихревым, а производную по нормали можно вычислить как
проекцию градиента потенциала на нормаль
84

∂ϕ
r
= (∇ϕ ) ⋅ n = vn .
∂n
Таким образом, граничное условие можно переписать иначе
r
vn S = ψ ( x , t ) .
Если
r
ψ ( x , t ) = vnS
– нормальная скорость поверхности тела S , то граничное условие
vn S = vn ( S )
заключается в требовании, чтобы нормальная скорость жидкости на
поверхности тела совпадала с нормальной скоростью этой поверхности.
Другими словами, жидкость не может проникнуть через поверхность и
оторваться от нее. Такое условие называют условием непротекания. Таким
образом, задача Неймана описывает безвихревое обтекание тела идеальной
несжимаемой жидкостью при условии непротекания жидкости через
поверхность тела.
Потенциальное течение идеальной несжимаемой
жидкости в поле внешних потенциальных сил

r
Пусть внешние массовые силы имеют потенциал U , тогда F = −∇U .
Запишем уравнение импульсов
r
dv
1
= − ∇ p − ∇U .
dt
ρ0
В этом случае удобно воспользоваться формулой Громеки-Ламба
r
r
dv ∂v
r r
v2
=
+ (rot v ) × v + ∇ .
dt ∂t
2
Так как течение потенциальное, то
r
rot v = 0 .
Тогда уравнение импульсов примет вид
r
∂v
v2
1
+ ∇ = − ∇p − ∇U .
∂t
2
ρ0
85

Выразим скорость через потенциал
 1

∂ (∇ϕ )
v2
+ ∇ + ∇
p +U  = 0.
∂t
2
 ρ0

В первом слагаемом поменяем порядок дифференцирования, тогда
 ∂ϕ v 2 p

∇
+ +
+U  = 0 .
2 ρ0
 ∂t

Интегрируя по пространству, получим
∂ϕ v 2 p
+ +
+ U = Φ (t ) .
∂t
2 ρ0
Это решение называется интегралом Коши-Лагранжа.
Интеграл Коши-Лагранжа можно получить и для баротропной
сжимаемой жидкости. В этом случае в уравнение импульсов следует ввести
функцию давления P, используя равенство ∇P =

несжимаемой

жидкости

совершенного газа P =

P=

p
,
ρ0

а

для

∇p
. В частности, для
ρ

адиабатического

течения

γ p
.
γ −1 ρ

Запишем интеграл Коши-Лагранжа для адиабатического течения
совершенного газа при отсутствии массовых сил. В этом случае U = 0 ,
квадрат скорости звука равен a 2 = γ p / ρ , и интеграл принимает вид
∂ϕ v 2
a2
+ +
= C (t ) .
∂t
2 γ −1
Пусть в бесконечно удаленной точке
∂ϕ
= 0 , v = v∞ , a = a∞ .
∂t
Тогда

86

v∞2
a∞2
C (t ) = +
.
2 γ −1
Интеграл Бернулли

Рассмотрим

установившееся

движение

идеальной

баротропной

жидкости в потенциальном поле массовых сил. Запишем уравнение
импульсов в форме Громеки-Ламба
r
∂v
v2 r r r 1
+ ∇ + ω × v = F − ∇p
∂t
2
ρ
Учитывая стационарность течения, потенциальность массовых сил и
функцию давления, получим
 v2

r r
∇  + U + P  = −ω × v .
2

r
Пусть dr – вектор элементарного перемещения частицы жидкости и
r r uur
ω × v ⋅ dr = 0 ,
тогда
 v2

d  +U + P = 0
2

Отсюда следует интеграл Бернулли
v2
+ U + P = const .
2
Интеграл Бернулли имеет место, когда выполняется условие , т.е.

2)

r uur
вдоль линии тока (траектории), когда v || dr ,
r uur
вдоль вихревой линии, когда ω || dr ,

3)

при безвихревом (потенциальном) движении,

1)

когда ω = 0 ,
4)

r r
при винтовом движении, когда ω || v .

Заметим, что в случаях 1, 2 постоянная в интеграле Бернулли может быть
своя для каждой траектории или вихревой линии, а в случаях 3, 4 она одна и

87

та же для всего течения. Интеграл Бернулли в этих случаях следует
непосредственно из .
Рассмотрим частные случаи.
А. Течение однородной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести.
В этом случае P =

p
, U = gz . Интеграл Бернулли принимает вид
ρ0
v2
p
+ gz +
= const .
2
ρ0

Б. Адиабатическое течение совершенного газа при отсутствии
массовых сил. В этом случае
P=

γ p
.
γ −1 ρ

Интеграл Бернулли принимает вид
v2
γ p
+
= const
2 γ −1 ρ
Заметим, что скорость звука a в рассматриваемом случае равна
a2 =

γp
,
ρ

поэтому
v2
a2
+
= const .
2 γ −1
Пусть скорость звука в покоящемся газе равна a0 , тогда
a02 − a 2 =

γ −1 2
v .
2

Отсюда видно, что скорость v ограничена и достигает максимума при a = 0
vmax = a0

2
.
γ −1

Скорость потока равная местной скорости звука называется критической.
Она равна

88

v* = a* = a0
Рассмотрим

одномерное

2
.
γ +1

стационарное

адиабатическое

течение

совершенного газа в трубке тока (Рис. 3.1.2).
Уравнение

сохранения

массы

можно

записать в виде

ρ vS = const ,

Рис. 3.1.2.
где S – площадь поперечного сечения трубки тока. Логарифмируя и
дифференцируя соотношение , получим
d ρ dv dS
+
+
= 0.
ρ
v
S
Продифференцируем интеграл Бернулли и учтем, что
dp γ p
=
= a2

ρ
получим
vdv + a 2


= 0.
ρ

Исключая плотность ρ из , и вводя число Маха M = v / a , получим

(M

2

− 1)

dv dS
=
.
v
S

Отсюда следует, что при дозвуковом течении ( M < 1 ) уменьшение ( dS < 0 )
площади сечения S ′ приводит к увеличению скорости течения ( dv > 0 ). Но в
сверхзвуковом течении ( M > 1 ) для увеличения скорости нужно увеличивать
сечение S . На этом принципе построено сопло Лаваля, в котором поток газа
разгоняется от дозвуковой до сверхзвуковой скорости.
Ньютоновская жидкость

Сплошная

среда

называется

вязкой

жидкостью,

напряжений является функцией тензора скоростей деформаций
89

если

тензор

σ = σ ( e) .
Рассмотрим частный случай линейно-вязкой жидкости, когда эта функция
является линейной

σ ij = − p ( st )δ ij + M ijkl ekl ,
где

M ijkl



постоянный

тензор,

компоненты

которого

называются

коэффициентами вязкости, p ( st ) – давление покоя или гидростатическое
давление. В неподвижной жидкости

σ ij = − p ( st )δ ij .
Ранее в параграфе 2.4.2 было введено представление тензора напряжений в
виде

σ ij = − pδ ij + τ ij ,
где p – давление .
Вообще говоря,
p ( st ) ≠ p .
Тензор четвертого ранга M имеет 81 компоненту. Учитывая
симметричность тензора напряжений и тензора скоростей деформаций,
можно показать, что у тензора M независимых компонент 36. Число
независимых компонент значительно уменьшается в случае, когда тензор M
является изотропным M´=M. Жидкость в этом случае также называется
изотропной.
Рассмотрим

подробнее

линейно-вязкие

изотропные

жидкости.

Кратко такие жидкости называются ньютоновскими жидкостями.
Теорема. Для ньютоновской жидкости тензор M имеет следующий вид
M ijkl = λδ ijδ kl + µ (δ ikδ jl + δ ilδ jk ) .
Теорему примем без доказательства.
Коэффициенты λ и µ называются коэффициентами Ляме.
Подставив выражение для M ijkl в выражение для σ ij

σ ij = − p ( st )δ ij + M ijkl ekl ,
90

получим

уравнение

состояния

или

реологическое

уравнение

ньютоновской жидкости

σ ij = − p ( st )δ ij + λ ekkδ ij + 2µ eij .
1
Найдем давление p = − σ ii . Проделав вычисления, получим
3
p = p ( st ) − ζ ekk ,
где
2
ζ =λ+ µ.
3
Отсюда следует, что p ( st ) = p при ekk = 0 , а это выполняется в двух случаях:
1) жидкость находится в состоянии покоя, v = 0 ;
2) жидкость является несжимаемой.
Поэтому p ( st ) и назвали гидростатическим давлением. Коэффициент ζ
называется коэффициентом объемной вязкости потому, что он стоит перед
ekk , равным скорости относительного изменения объема жидкой частицы, и
характеризует сопротивление жидкости изменению ее объема (сжатию).
Выразим уравнение состояния через давление p и девиатор тензора
напряжений τ ij . Получим

σ ij = − pδ ij + τ ij ,
где
1


τ ij = 2µ  eij − ekkδ ij  .
3


Для несжимаемой жидкости

τ ij = 2µ eij .
Чтобы выяснить смысл этой формулы и коэффициента µ , рассмотрим
плоское слоистое (ламинарное) течение несжимаемой жидкости вдоль оси
x1 (Рис. 3.1.3).

91

В этом случае вектор скорости имеет одну
ненулевую компоненту v1 ( x1 , x2 , t ) , а девиатор –
одно ненулевое касательное напряжение

Рис. 3.1.3
1  ∂v ∂v 
∂v
τ 12 = 2µ e12 = 2µ  1 + 2  = µ 1 .
2  ∂x2 ∂x1 
∂x2
Отсюда видно, что если скорости соседних слоев жидкости различаются
 ∂v1

≠ 0  , то между ними возникает трение, вызывающее и касательное

 ∂x2

напряжение. Такое свойство жидкости называют внутренним трением или
вязкостью

по

Ньютону,

а

коэффициент

µ

-

динамическим

коэффициентом вязкости. Закон вязкого течения был предложен Ньютоном
в виде

τ =µ

∂v
.
∂n

Запишем выражение реологического закона для ньютоновской несжимаемой
жидкости через давление и скорость (величины, которые можно измерить).
∂vi

i
=
j
:

p
+
2
µ

∂xi

σ ij = 
i ≠ j : µ  ∂vi + ∂v j
 ∂x

 j ∂xi


(по i, j не суммировать!)




Тензор напряжений имеет три главные оси, тензор скоростей
деформаций тоже. Возникает вопрос, совпадают ли указанные оси или нет.
Ответ дает следующая теорема.
Теорема.

Для

ньютоновской

жидкости

главные

оси

тензора

напряжений и тензора скоростей деформаций совпадают.
◄ Пусть тензор напряжений приведен к главным осям, т.е. σ ij = 0 ,
i ≠ j . Из уравнения состояния для ньютоновской жидкости
92

1


σ ij = − pδ ij + 2µ  eij − ekkδ ij 
3


видно, что eij = 0 при i ≠ j .
Обратно, пусть eij = 0 , i ≠ j . Из того же уравнения следует σ ij = 0 , i ≠ j
.►
Вязкой

жидкости

свойственна

диссипация

(рассеивание)

механической энергии: за счет внутреннего трения часть кинетической
энергии переходит в тепло и другие виды энергии. Чтобы убедиться в этом ,
рассмотрим уравнение притока тепла:

ρ

du r
r
= σ k ⋅ ∇ k v − ∇ k qk + ρW .
dt

Преобразуем выражение
r
r
1
1


σ k ⋅ ∇ k v = σ ij eij = σ ij = − pδ ij + 2µ (eij − ekkδ ij ) = − pekk + 2 µ eij2 − (ekk ) 2  =
3
3


r
= − pdivv + Φ,
1


Φ = 2 µ eij2 − (ekk ) 2 
3


Функция

Φ

называется диссипативной функцией. Пусть жидкость
r
несжимаемая, q = 0 , W = 0 , тогда

ρ cV

dT
= Φ , Φ = 2 µ eij eij .
dt

Видно, что Φ ≥ 0 .Следовательно, при движении вязкой жидкости происходит
ее нагрев за счет диссипации кинетической энергии.
Как уже отмечалось, балансовые уравнения в дифференциальной
форме справедливы для внутренних материальных частиц сплошной среды.
Для пограничных частиц должны выполняться граничные условия.
Рассмотрим два вида границ: поверхность твердого тела и поверхность
раздела двух жидких сред.
1. Поверхность твердого тела
93

r
Пусть S – поверхность твердого тела с внешней нормалью n , vS –
скорость поверхности S . Если тело непроницаемо для жидкости, то ставится
граничное условие непротекания
r
vn = (vS ) n , ∀x ∈ S .
Вязкая жидкость, в отличие от идеальной, не может скользить по
поверхности тела. Для нее ставится условие прилипания
r r
r
v = vS , ∀x ∈ S .
2. Поверхность раздела двух жидкостей
Обозначим индексами 1, 2 параметры рассматриваемых жидкостей, S
– поверхность раздела. Если обе жидкости вязкие, то ставится условие
r r
r
v1 = v2 , ∀x ∈ S .
В противном случае условие
r
v1n = v2 n , ∀x ∈ S .
Такие условия (на скорости жидкостей) называются кинематическими.
Кроме них ставятся динамические граничные условия (на поверхностные
силы) равенства векторов напряжений
r
r
r
σ 1n = σ 2 n , ∀x ∈ S .
Если одна из сред является вакуумом, то такая граница называется
свободной поверхностью и граничное условие имеет вид
r
r
σ n = 0 , ∀x ∈ S .
Уравнения Навье-Стокса

Уравнением

Навье-Стокса

называют

уравнение

импульсов

ньютоновской жидкости. Имея в виду три скалярных уравнения, принято
говорить уравнения Навье-Стокса.
Подставив в уравнение импульсов
r
r
dv
r
ρ
= ∇iσ i + ρ F
dt

94

выражение σ ij из уравнения состояния для ньютоновской жидкости , можно
получить уравнение Навье-Стокса
r
r
dv
r 1
r
ρ
= −∇p + µ ∆v + µ grad div v + ρ F .
dt
3
Проделаем выкладки.
r
r
σ j = σ ij ei ,
1


σ ij = − pδ ij + 2µ  eij − ekkδ ij  ,
3


r
r

1

 r
∇ jσ j = ∇ jσ ij ei = ∇ j  − pδ ij + 2 µ  eij − ekkδ ij   ei .
3



Первое слагаемое дает градиент давления с обратным знаком. Второе
слагаемое
r
r
r
r
2 µ ∇ j eij ei = µ∇ j ( ∇ i v j + ∇ j vi ) ei = µ∇ i∇ j v j ei + µ∇ j∇ j viei =

r r
r
r
r
= µ∇i ( divv ) ei + µ∆v = µ grad divv + µ∆v .
Третье слагаемое
2
r
2
r
r
2
r
− µ∇ j ekk δ ij ei = − µ∇ i ekk ei = [ ekk = div v ] = − µ grad div v .
3
3
3
Таким образом,
r
r
r 2
r
∇iσ i = −∇ p + µ grad div v + µ ∆v − µ grad div v =
3
r 1
r
= −∇ p + µ ∆v + µ grad div v .
3
Подставим это выражение в уравнение импульсов и получим уравнение
Навье-Стокса
r
r
dv
r 1
r
ρ
= −∇ p + µ ∆v + µ grad div v + ρ F
dt
3
Если жидкость несжимаемая, то уравнение упрощается и принимает вид
r
r
dv
r
ρ0
= −∇p + µ ∆v + ρ0 F .
dt
В пределе, когда µ = 0 , получим уравнение импульсов идеальной жидкости
95

r
r
dv
ρ
= −∇p + ρ F .
dt
Течение Куэтта

Течением Куэтта называется плоское стационарное течение вязкой
несжимаемой жидкости между двумя бесконечными пластинами (Рис. 3.1.4),
одна из которых неподвижна, а другая движется с постоянной скоростью
vпласт . При этом расстояние h между пластинами остается постоянным, а
внешние силы отсутствуют.
Математическая постановка задачи Куэтта включает уравнения
неразрывности и импульсов
∂v1 ∂v2
+
= 0,
∂x1 ∂x2
∂v j

2
1 ∂p µ ∂ v j
vi
=−
+
, j = 1,2 ,
∂xi
ρ0 ∂x j ρ0 ∂xi ∂xi

и граничные условия, которые выражают условие прилипания жидкости к
пластинам:
x2 = 0 : vi = 0, i = 1,2
x2 = h : v1 = vпласт , v2 = 0
Можно убедиться, что решением задачи является:
v1 =

x2
vпласт , ν 2 = 0 , p = const .
h

Течение Куэтта является слоистым или ламинарным, то есть жидкость
перемещается слоями, параллельными направлению течения (lamina пластина, полоса). Зная скорость, можно вычислить компоненты тензора
вязких напряжений:

τ 11 = τ 22 = 0 , τ 12 =

96

µ
vпласт .
h

Таким образом, на каждую единичную площадку,
перпендикулярную оси x2 (Рис. 3.1.4), действует
постоянное

сопротивление

вязкого

трения,

направленное против движения жидкости.
Рис. 3.1.4
3.1.1. Течение Пуазейля

Течением Пуазейля называется стационарное ламинарное течение
вязкой несжимаемой жидкости через трубу круглого поперечного сечения
под действием заданного перепада давления, причем движение жидкости во
всех сечениях одинаково.
Математическая модель течения Пуазейля выглядит следующим
образом

ν 2 = ν 3 = 0 , ν 1 = ν 1 ( x2 , x3 ) .
Уравнение неразрывности превращается в тождество, а уравнение НавьеСтокса имеет вид
 ∂ 2v1 ∂ 2v1  1 ∂p ∂p
∂p
=
0
= 0.
ν
+
=
,
,
2
2 

x

x

x

x
ρ

x
2
3
2
3 
0
1

Причем

ν 1 = 0 при x22 + x32 = R 2 и
p ( x1b , x2 , x3 ) − p( x1a , x2 , x3 ) = −∆p , при x1b − x1a = l ,

где R – радиус трубы, ∆p – заданный перепад давления на расстоянии l .
Задача Пуазейля имеет точное решение. Найдем его. Из уравнений следует,
что
∂p
∂2 p
= const , p = p ( x1 ) ,
=
0
,
т.е.
∂x1
∂x12
причем эта зависимость линейная. Поэтому из граничного условия на
давление и из вида решения следует, что
∂p
∆p
=−
.
∂x1
l
Таким образом, задача сводится к задаче для ν 1
97

 ∂ 2v1 ∂ 2v1
∆p
+
=− ,

2
2
µl
 ∂ x2 ∂ x3
2
2
2
vпри
 1 = 0 x x 2 +R 3 = .
Можно убедиться, что решением задачи является функция
v1 ( x2 , x3 ) =

∆p 2 2
R − r ) , r 2 = x22 + x32 .
(
4 µl

Согласно найденному решению скорость потока в сечении изменяется в
зависимости от радиуса r по параболическому закону, достигая максимума
на оси трубы.
Вычислим объемный расход жидкости Q через сечение трубы S
(формула Пуазейля)
R

R

S = 2π ∫ rdr = π R , Q = 2π ∫ v1 (r )rdr =
2

0

0

π∆p 4
R , [Qм
] = с3 / .
8µ l

Среднюю (среднеобъемную) скорость потока можно определить следующим
образом
vср =

Q
Q
∆p 2
=
=
R .
2
S πR
8µ l

Видно, что
1
vср = vmax .
2
Можно ввести коэффициент сопротивления трубы λ как отношение
силы сопротивления к скоростному напору и площади контакта жидкости с
трубой

λ=

Fтр
ESбок

.

Рассмотрим жидкий цилиндр длины l, движущийся со средней
скоростью vср . Тогда площадь контакта Sбок = 2π Rl , скоростной напор
E = ρ0vср2 / 2, сила сопротивления трения со стороны трубы Fтр = Sбокτ ,
напряжение сдвига τ = − µ∂v1 / ∂r при r = R . В результате вычислений
98

получим

Fтр = π R 2 ∆p , т.е. сила сопротивления уравновешивает силу,

движущую жидкий цилиндр за счет перепада давления.
Введем число Рейнольдса Re , которое определяется формулой
2 R vср

Re =

ν

.

Тогда для течения Пуазейля коэффициент сопротивления выражается через
число Рейнольдса и равен

λ=

Fтр
ESбок

=

16
.
Re

Закон Пуазейля справедлив для ламинарных (слоистых) течений, которые
наблюдаются при малых числах Рейнольдса, когда трубка очень тонкая или
жидкость очень вязкая.
Турбулентное течение

Кроме ламинарного течения существует турбулентное течение
жидкости, в котором частицы среды движутся хаотически. Переход из
ламинарного течения в турбулентное течение может происходить с ростом
скорости течения, когда число Рейнольдса достигает определенного
критического значения. В опытах установлено, что при течении вязкой
несжимаемой жидкости в круглой трубе минимальное критическое значение
числа Re ≈ 1000 . На переход течения из ламинарного в турбулентное
оказывают влияние различные факторы: форма канала, вид его поверхности,
наличие возмущений и т.д.
Модели

турбулентного

течения

строят

на

основе

уравнений,

получаемых из уравнений Навье-Стокса путем осреднения. Параметр
жидкости представляют в виде суммы двух слагаемых: осредненного и
пульсационного. Осредненная составляющая вводится путем операции
осреднения по времени или по пространству. В итоге число неизвестных
увеличивается и исходная замкнутая система уравнений становится
незамкнутой. Для её замыкания применяются различные дополнительные
99

гипотезы и основанные на них соотношения. Последние могут содержать
неизвестные коэффициенты, для определения которых может потребоваться
проведение экспериментов или теоретических исследований.
Упругое и линейно упругое изотропное тело
Сплошная среда называется упругим телом, если тензор напряжений
является функцией тензора деформаций:

σ = σ (ε ) .
Если зависимость σ = σ (ε )

линейна, т.е. σ ij = M ijklε kl , то тело

называется линейно упругим.
Если тензор коэффициентов упругости является изотропным M´=M, то
сплошная среда называется изотропным линейно упругим телом или
кратко телом Гука.
Так же, как для ньютоновской жидкости , тензор M может быть
записан в виде
M ijkl = λδ ijδ kl + µ (δ ikδ jl + δ ilδ jk ) .
Подставив это выражение для M ijkl в выражение для σ ij , получим уравнение
состояния тела Гука или обобщенный закон Гука

σ ij = λε kkδ ij + 2 µε ij .
Коэффициенты λ и µ называются коэффициентами Ляме или модулями
упругости. Латинское слово modulus переводится как мера.
Аналогично теореме о главных осях тензоров напряжений и скоростей
деформаций в ньютоновской жидкости можно доказать следующую теорему,
при этом надо использовать обобщенный закон Гука.
Теорема. Для тела Гука главные оси тензоров напряжений и
деформаций совпадают.
Уравнение импульсов для тела Гука, называемое уравнением Ляме,
можно

получить

аналогично

уравнениям

Навье-Стокса.

При

этом

предполагается, что деформации малые и тензор деформаций берется в виде
100

1  ∂w ∂w 
ε ij =  i + j  .
2  ∂x j ∂xi 
Тогда уравнение Ляме имеет вид
r
r
d 2w
r
r
ρ 2 = µ ∆w + (λ + µ )grad div w + ρ F .
dt
Рассмотрим три важных случая деформации твердого тела: растяжение
стержня, всестороннее сжатие и сдвиг.
1. Растяжение стержня (Рис. 3.2.1) является примером одноосного
напряженного

состояния

тела,

описываемого

тензором

напряжений,

имеющим в главных осях следующий вид
 σ 1* 0 0 


σ ij =  0 0 0 
 0 0 0



Рис. 3.2.1
Запишем выражения для диагональных компонент тензора напряжений
в соответствии с обобщенным законом Гука

σ 1* = λ I1 (ε ) + 2 µε1* ,
σ 2* = 0 = λ I1 (ε ) + 2 µε 2* ,
σ 3* = 0 = λ I1 (ε ) + 2 µε 3* .
Последние два равенства запишем более подробно

λε1* + (λ + 2 µ )ε 2* + λε 3* = 0 ,
λε1* + λε 2* + (λ + 2 µ )ε 3* = 0 .
Вычтем из первого уравнения второе, получим

ε 2* = ε 3* = −νε1* ,
где

ν=

λ
2(λ + µ )
101

– коэффициент Пуассона.
Подставим найденные значения в выражение для σ 1* , получим

σ 1* = λε1* − 2λνε1* + 2µε1* = (λ − 2λν + 2µ )ε1* =

(3λ + 2µ ) µ *
ε1 .
λ+µ

Таким образом, для растяжения стержня связь между продольным
напряжением и деформацией (закон Гука) имеет вид

σ 1* = Eε1* ,
где коэффициент
E=

(3λ + 2 µ ) µ
λ+µ

называется модулем Юнга.
Поперечные и продольные деформации связаны соотношением

ε 2* = ε 3* = −νε1* .
2. Всестороннее сжатие
Запишем выражение для давления при упругой деформации
1
1
2 
r

p = − σ ii = − (3λε kk + 2 µε kk ) = −  λ + µ  div w .
3
3
3 

Введем модуль объемной упругости
2
K =λ+ µ.
3
Тогда
r
p = − K div w .
Видим, что модуль объемной упругости K характеризует сопротивление
объемному сжатию.
Иногда используют обратную величину

β=

1
K

– коэффициент сжимаемости.
Тогда
r
div w = − β p .
102

3. Сдвиг
Напряжение и деформация сдвига описываются недиагональными
элементами тензоров деформаций и напряжений.
По закону Гука

σ ij = 2 µε ij , i ≠ j .
Это выражение напоминает закон течения ньютоновской жидкости, но
вместо eij стоит ε ij .
Коэффициент µ называется модулем сдвига и обозначается G
G=µ.
В теории упругости пользуются парами коэффициентов упругости:
(λ , µ ) , или ( E ,ν ) , или ( K , G ) . Эти коэффициенты выражаются друг через
друга следующим образом

λ=

νE
E
, µ=
,
(1 + ν )(1 − 2ν )
2(1 + ν )

E=

(3λ + 2 µ ) µ
λ
,ν =
,
λ+µ
2(λ + µ )

K=

E
E
,G =
,
3(1 − 2ν )
2(1 + ν )

2
K =λ+ µ, G=µ.
3
Все модули неотрицательные, поэтому ν ≤
Видно, что

K →∞

при ν →

1
.
2

1
1
, поэтому ν =
2
2

соответствует

несжимаемому материалу.
Из закона Гука следует выражение для упругих деформаций через
напряжения

ε ij =

1 +ν
E

ν


σ kkδ ij  .
 σ ij −
1 +ν



103

Уравнения акустики
Уравнения акустики

Акустика изучает распространение звука или малых возмущений в
сплошной среде. Уравнения акустики можно получить линеаризацией
уравнений гидродинамики.
Как было показано выше, уравнения динамики идеальной жидкости
имеют вид
∂ρ
r
+ div( ρ v ) = 0,
∂t
r
r
r
r
 ∂v
ρ  + (v ⋅ ∇)v  = −grad p + ρ F .
 ∂t

Если считать течение баротропным, то есть
p = p( ρ ) ,
то система уравнений замкнута.
Пусть p = p0 + p′ , ρ = ρ 0 + ρ′ и v = v 0 + v′ . Здесь индексом 0 отмечены
значения давления, плотности и

скорости, усредненные по большому

промежутку времени, и постоянные или начальные значения; а штрихом –
возмущения

этих

величин.


p′

,v′
малы

Предположим,

что

возмущения

по сравнению с p0 , ρ
0 , v 0 . В рамках

этого предположения получим уравнения для распространения малых
возмущений, т.е. уравнения акустики. Будем сохранять лишь члены с
возмущениями в первой степени. Тем самым линеаризуем уравнения
гидродинамики. Разлагая в ряд Тейлора уравнение состояния , получим
p = f ( ρ 0 ) + f ′( ρ 0 )( ρ − ρ 0 ) + ...,

или
d p 
p = p0 +
 d ρ
 ρ′ .

0

По определению

dp
=c2 ,


где c называется скоростью звука в среде. Тогда
p′ = c02 ρ ′ .
104

Линеаризованное

уравнение

состояния

называется

акустическим

уравнением состояния.
Предположим отсутствие поступательного движения, общего для всех
точек сплошной среды, т.е. v 0 = 0 . Это предположение не ограничивает
общности, так как можно перейти к системе координат, движущейся
поступательно со скоростью v 0 , в которой жидкость будет покоиться.
Линеаризуем уравнение неразрывности
∂ρ
∂ρ ′
∂ρ ′
+ div ( ρ v ) =
+ div ( ρ0 + ρ ′ ) v′ =
+ ρ0 div v′ = 0 .
∂t
∂t
∂t
Линеаризуем уравнение импульсов
 ∂ v′

+ ( v′ ⋅ ∇ ) v′  = − grad p′ + ( ρ 0 + ρ ′ ) F .
 ∂t


( ρ0 + ρ ′ ) 

В отсутствие внешних массовых сил F = 0 . Оставляя члены первого порядка,
получим линеаризованное уравнение сохранения импульса

ρ0

∂ v′
= − grad p′ .
∂t

Выпишем замкнутую систему уравнений акустики - :
∂ ρ′
 ∂ t + ρ0 div v′ = 0,

 ∂ v′
= − grad p′,
 ρ0

t

 p′ = c 2 ρ ′.
0


Волновое уравнение. Общее решение. Задача Коши и ее решение.
Смешанная задача и ее решение

Перейдем в к безразмерным переменным:
p=
v∗ =

p
ρ
, ρ= ,
p0
ρ0

x=

x
v
, v= ,
x∗
v∗

p0
x
t
c
, t∗ = ∗ , t = , c = 0 .
ρ0
v∗
t∗
v∗
105

Выпишем для одномерного случая систему уравнений акустики, опустив
штрих и черту над безразмерными переменными:
∂ ρ ∂ v
 ∂ t + ∂ x = 0,

∂ v ∂ p
= 0,
 +

t

x

 p = c2 ρ.


После перекрестного дифференцирования, использованного ранее при
решении уравнений несжимаемой жидкости, можно получить волновое
уравнение для каждого из параметров p , ρ , v :
2
∂ 2ϕ
2 ∂ ϕ
−c
= 0, ϕ = { p, ρ , v} .
∂t2
∂ x2

Его общее решение имеет вид

ϕ = P ( x − ct ) + Q ( x + ct ) .
В этом можно убедиться, если сделать замену переменных:
ξ = x − ct ,

η = x + ct.
Тогда получим
∂ 2ϕ
=0 .

ξ∂
η

Очевидно, решение последнего имеет вид

ϕ = P(ξ ) + Q(η ) .
Задача Коши для волнового уравнения. Поставим задачу Коши для
волнового уравнения. Так как это уравнение второго порядка по времени, то
необходимо для выделения искомого частного решения задать начальные
условия для ϕ и ее производной по времени ∂ ϕ ∂ t . Таким образом, задача
Коши имеет вид

106

2
 ∂ 2ϕ
2 ∂ ϕ
 ∂ t 2 = c ∂ x2 ,


ϕ ( x,0 ) = ψ 1 ( x ) ,
 ∂ϕ
 ( x,0 ) = ψ 2 ( x ) ;
 ∂ t

− ∞ < x < ∞.
Решение задачи Коши дает формула Даламбера
x + ct

1
1
ϕ ( x, t ) =
ψ 2 ( ξ ) dξ + ψ 1 ( x − ct ) + ψ 1 ( x + ct )  .

2c x−ct
2
Смешанная задача. Если решение волнового уравнения ищется на
отрезке [a, b] , то необходимо задание граничных условий. Математическая
постановка задачи формулируется следующим образом:
2
2

ϕ
2 ∂ϕ
=
c
, a
t2

x2

ϕ ( x,0 ) = ψ 1 ( x ) ,

Н .У .:  ∂ ϕ
 ∂ t ( x,0 ) = ψ 2 ( x ) ;


t = 0, a < x < b,

∂ϕ

 x = a : α1ϕ ( a, t ) + β1 ∂ x ( a, t ) = χ1 ( t ) ,

Г .У .: 
t >0

ϕ
 x = b : α ϕ ( b, t ) + β
( b, t ) = χ 2 ( t ) .
2
2

∂x
В частности, граничные условия могут быть заданы на полупрямой:
− ∞ < x < b , или

a< x< ∞.

Смешанная задача решается методами Фурье, преобразования Лапласа
и другими. Когда аналитическое решение получить не удается, используют
метод конечных разностей.
Решение уравнений акустики

Так как волновое уравнение является эквивалентом системы уравнений
акустики, то его решение может быть использовано для нахождения решений

107

уравнений акустики. Применим общее решение

к плотности жидкости.

Тогда

ρ = P ( x − ct ) + Q ( x + ct ) .
Согласно акустическому уравнению состояния

p =c 2 ρ имеем

p
= P ( x − ct ) + Q ( x + ct ) .
c2
Найдем скорость среды v из уравнения неразрывности:
∂v
∂ρ
=−
=c[ P ′( x −ct ) −Q ′( x +ct )] ,
∂x
∂t

где штрихом обозначено дифференцирование по ξ и η соответственно.
Интегрируя по x , получим
v = c[ P( x − ct ) − Q( x + ct ) ] + A( t ) .

Для определения произвольной функции A( t ) , зависящей от времени,
используем уравнение импульсов. Получим
∂v
∂p
=−
=−c 2 [ P ′( x −ct ) +Q ′( x +ct )] .
∂t
∂x

С другой стороны
∂v
= −c 2 [ P ′( x − ct ) + Q′( x + ct )] + A′( t ) .
∂t

Приравнивая правые части уравнений, видим, что
A′( t ) = 0 , т.е. A = const .

Итак,
v
= P ( x − ct ) − Q ( x + ct ) + B ,
c

A

B = .
c


Значение постоянной B определяется после постановки конкретной задачи
из начальных и граничных условий, как правило B = 0 .
Запишем решение уравнений акустики в исходных размерных
переменных и при B = 0 :
∆ρ
= P( x − ct ) + Q( x + ct ) ,
ρ0

∆p
= P ( x − ct ) + Q ( x + ct ) ,
ρ0 c0 2
108

v
= P ( x − ct ) − Q( x + ct ) + B .
c0

Для волны, бегущей вправо

Q =0 .

Следовательно,
∆ρ
∆p
v
=
=
2
ρ0 ρ0 c0 c0

.

Условия малости возмущения, соответственно, принимают вид
∆ρ << ρ0 ,

Так, например, для воды

c0 =1500

Следовательно, при

∆p << ρ0 c02 ,

кг
м
ρ0 = 1000 3
,
с
м

∆p =10 3 бар

v << c0 .
2
9
и ρ0 cПа
0 = 2,25 ⋅ 10

.

возмущение в воде еще можно

рассматривать как малое и пользоваться линейной теорией. Заметим, сначала
мы предположили, что возмущение давления мало по сравнению с
начальным давлением. Теперь ясно, что это требование является слишком
сильным. Достаточно предположения, что возмущение плотности мало по
сравнению с начальным ее значением.
Условия на поверхности сильного разрыва. Ударная
адиабата
Соотношения на разрыве в системе координат,
связанной с разрывом

r
r r
По определению, функция f ( x ) непрерывна в точке x = x0 , если
выполняется одно из трех равносильных между собой условий:
r
r
f ( x ) = f ( x0 ) ;
1) xlim
→ x0
r
2) ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε ) > 0, ∆x < δ , ∆f < ε ;
∆f = 0 .
r
3) ∆lim
x →0
В противном случае говорят, что функция терпит разрыв в точке
x = x0 , а сама точка называется точкой разрыва. Для функции двух
переменных точки разрыва могут образовывать линию, для функции трех
переменных – поверхность.
109

В механике сплошной среды выделяют поверхности слабого и
сильного разрыва. Разрыв называется сильным, если на нем терпит разрыв
какой-нибудь параметр сплошной среды. Разрыв называется слабым, если
все параметры непрерывны, но производная какого-либо параметра терпит
разрыв.
Рассмотрим поверхность сильного
разрыва Σ (Рис. 3.4.1). Предположим,
что все параметры сплошной среды и их
производные

ограничены

в

рассматриваемой области течения.
Рис. 3.4.1
Возьмем произвольную точку M на поверхности Σ и получим условия
на скачке (разрыве) в этой точке. При этом будем предполагать, что
распределенные по поверхности Σ источники массы, импульса, энергии
отсутствуют.
r
Направим нормаль n поверхности Σ в точке M в направлении ее
скорости D . Возьмем на поверхности Σ произвольную окрестность dΣ
точки M , в силу малости ее можно считать плоской. Отложим в обе стороны
от dΣ отрезки длиной h / 2 из каждой точки, принадлежащей dΣ . Получим
прямой цилиндр V высоты h , ограниченный поверхностью S , состоящей из
оснований dS1 , dS2 и боковой поверхности Sбок
S = dS1 + dS2 + Sбок ,
dS1 = dS2 = d Σ .
Цилиндр V делится площадкой dΣ на два равных цилиндра V1 и V2 ,
ограниченных поверхностями S1 , S2 . Введем подвижную систему координат
с началом в точке M и движущуюся со скоростью D . Тогда цилиндр V
будет неподвижен в этой системе координат. Получим три вспомогательные
формулы.
1. Докажем, что
110

lim ∫ f dV = 0 .
h →0
V

Справедливо равенство

∫ f dV = ∫ f dV + ∫ f dV .

V

V1

V2

По теореме о среднем
1

1

∫ f dV = 2 f hd Σ , ∫ f dV = 2 f
*

V1

**

hd Σ .

V2

Подставляя значения интегралов и переходя к пределу при h → 0 , получим
искомую формулу.
2. Можно доказать, что
d
f dV = 0 .
h →0 dt ∫
V

lim
Действительно,

d

f
dV
=
∫V ∂t f dV
dt V∫1,2
1,2
в силу неподвижности объемов V1,2 . Осталось применить формулу и учесть,
что
V = V1 + V2 .
r
3. Обозначим ϕ1 – значения параметра ϕ на dΣ со стороны нормали n ,

ϕ2 – значения на противоположной стороне dΣ .
ϕ1 − ϕ 2 = [ϕ ] .
Докажем, что
lim ∫ ϕ n dS = ∫ [ϕ n ] dS ,
h →0



S

где ϕ n – проекция параметра ϕ на внешнюю нормаль поверхности S .

∫ϕ

n

dS =

S

∫ϕ

n

dS +

dS1

∫ϕ

Sбок

n

dS =

∫ϕ

n

dS +

dS 2



ϕ n dS +

S1 бок

n

dS

Sбок



S 2 бок

111

∫ϕ

ϕ n dS

.

,

По теореме о среднем
1
ϕ n dS = ϕn ∗hl → 0 , при h → 0 ,
2
S1 бок



где l – длина границы площадки dΣ . Аналогично можно убедиться, что
второй интеграл также стремится к нулю. Поэтому
lim
h →0

∫ϕ

n

Sбок

dS = 0 .

Далее,
lim ∫ ϕ n dS =
h →0

lim
h →0

dS1

∫ϕ

dS 2

n

∫ (ϕ )



n 1

dS ,

dS = − ∫ ( ϕ n ) 2 dS


,

поскольку нормали dS2 и dΣ направлены в противоположные стороны, а
Пр− nrϕ = − Прnrϕ .
Суммируя, получим искомую формулу.
1. Закон сохранения массы
Запишем закон сохранения массы в неподвижном контрольном объеме
V
d
ρ dV = − ∫ ρ vn dS .
dt V∫
S
Устремим h к нулю и применим формулы , , получим
0 = ∫ [ ρ vn ] dS .


Рассмотрим
1
[ ρ vn ]dS = [теорема о среднем] = lim 1 [ ρ vn ]* d Σ = [ ρ vn ] .

d Σ→0 d Σ
d Σ→0 d Σ

lim

Таким образом, в точке M имеет место равенство
[ ρ vn ] = 0
– закон сохранения массы на скачке в точке M .

112

Итак, скачок расхода массы через поверхность разрыва равняется
нулю, т.е. расход массы не изменяется

ρ1vn1 = ρ 2vn 2 .
Заметим, что при этом скачок ρ и скачок vn могут быть не равными нулю.
2. Закон сохранения импульса
В интегральном уравнении баланса импульса для объема V
r
d
r
r
r
ρ
v
dV
=

ρ
v
v
dS
+
σ
dS
+
ρ
F
∫S n
∫S n V∫ dV
dt V∫
перейдем к пределу при h → 0 и применим формулы - . Получим
r
r
0 = − ∫ [ ρ vvn ] dS + ∫ [σ n ] dS ,
d∑

d∑

r
r
0 = ∫ [ ρ vvn − σ n ] dS ,


отсюда, деля на dΣ и устремляя dΣ к нулю, получим закон сохранения
импульса на скачке в точке M
r
r
[ ρ vvn − σ n ] = 0 .
3. Закон сохранения энергии
Запишем закон сохранения энергии в интегральной форме для объема
V
r r
d
r r
ρ
E
dV
=

ρ
v

E
dS
+
σ

v
dS
+
ρ
F
n
n
∫S
∫S
∫V ⋅ v dV + V∫ ρW dV − ∫S qn dS .
dt V∫
Перейдем к пределу при h → 0 и примем формулы - , при этом qn будем
считать непрерывной функцией, т.е.
[qn ] = 0 .
Получим
r r
0 = ∫ [ ρ Evn − σ n ⋅ v ]dS .


Отсюда, деля на dΣ и устремляя dΣ к нулю, получим
r r
[ ρ Evn − σ n ⋅ v ] = 0
– закон сохранения полной энергии на скачке в точке M .
113

Итак, условия на поверхности сильного разрыва имеют вид
[ ρ vn ] = 0
r
 r
[ ρ vvn − σ n ] = 0
[ ρ Ev − σr ⋅ vr] = 0
n
n

Здесь не выписано условие на момент количества движения, так как оно
становится следствием баланса импульсов на скачке.
Проанализируем полученные условия, записав их применительно к
совершенному газу, когда
r
r
σ n = − pn .
Имеем
 [ ρ vn ] = 0
r
 r
 [ ρ vvn + pn ] = 0
 [ ρ Ev + pv ] = 0
n
n

Здесь возможны два случая: поверхность разрыва распространяется по газу
или покоится относительно него.
Пусть скачок и газ движутся с одной и той же скоростью, то есть
vn1 = vn 2 = 0 .
Такой разрыв называется контактным. Из баланса массы следует, что
плотность с обеих сторон разрыва может принимать произвольные значения.
r
Из баланса импульса, если его спроектировать на n , следует, что давление
непрерывно

на

разрыве.

Уравнение

баланса

энергии

тождественно. Касательная составляющая скорости vτ

выполняется

так же, как и

плотность, может принимать произвольные значения с обеих сторон разрыва.
Поэтому

контактный

разрыв

также

называют

касательным

тангенциальным. Действительно,
r
r
r
v = vn n + vττ .
r
Из баланса импульса, если его спроектировать на τ , следует, что

ρ vn [vτ ] = 0 ,
то есть [vτ ] может быть не равным нулю.
114

или

Итак, на контактном разрыве плотность и касательная составляющая
скорости разрывны, а давление и нормальная скорость непрерывны.
Пусть поверхность сильного разрыва распространяется по газу, то есть
vn1 ≠ vn 2 ≠ 0 .
Такой разрыв называется ударной волной или скачком уплотнения.
r
Запишем уравнение баланса импульсов в проекции на нормаль n
[ ρ vn2 + p ] = 0
r
и на касательный вектор τ
[ ρ vτ vn ] = 0
или

ρ1vτ 1vn1 − ρ 2vτ 2vn 2 = 0 .
Так как, согласно балансу массы,

ρ1vn1 = ρ 2vn 2 ,
то отсюда следует, что
vτ 1 = vτ 2 ,
то есть на ударной волне терпит разрыв только нормальная составляющая
скорости газа, а касательная составляющая непрерывна.
Уравнение баланса энергии имеет вид
 

v2 
 ρ  u +  vn + pvn  = 0 .
2
 

Перейдем к энтальпии. По определению
i =u+

p
.
ρ

Тогда
 

p v2 
 ρ  i − +  vn + pvn  = 0
  ρ 2

  v2  
 ρ  i +  vn  = 0 ,
2 
 
или
115



v12 
v22 
ρ1vn1  i1 +  = ρ 2vn 2  i2 +  .
2
2


Так как

ρ1vn1 = ρ 2vn 2 ,
то
v12
v22
i1 + = i2 + .
2
2
Кроме того
v 2 = vn2 + vτ2 ,
vτ 1 = vτ 2 ,
поэтому баланс энергии принимает вид
vn21
vn22
.
i1 +
= i2 +
2
2
Окончательно, система балансовых уравнений на ударной волне
имеет вид
[ ρ vn ] = 0,
[ ρ vn2 + p] = 0,
[vτ ] = 0,
 vn2 
i + 2  = 0.


Соотношения на сильном разрыве
в неподвижной системе координат

Получим соотношения на сильном разрыве в неподвижной системе
координат. Выкладки выполним на примере уравнения баланса импульса.
Интегральное уравнение баланса импульса для материального объема
VL имеет вид
r
d
r
r
ρ
vdV
=
σ
dS
+
ρ
FdV
.
∫ n V∫
dt V∫L
SL
L

116

Пусть Σ – поверхность разрыва. Рассмотрим два момента времени t и
t + ∆t . Пусть в момент t Σ совпадает с материальной поверхностью S2 L , а в
момент t + ∆t – с материальной поверхностью S1L . Если ∆t → 0 , то S1L
совпадает в пределе с S2 L . Возьмем на Σ произвольную точку M и получим
соотношения на разрыве в этой точке. Рассмотрим малую плоскую
r
окрестность dΣ точки M , перпендикулярную к нормали n поверхности Σ в
точке M . Нормаль направим в сторону перемещения поверхности Σ .
Продолжим нормаль в обе стороны от точки M

до пересечения с

поверхностями S1L , S2 L и построим прямой цилиндр с образующими,
нормальными к dΣ и проходящими через границу dΣ . Осью цилиндра
является отрезок нормали в точке M между поверхностями S1L , S2 L .
Основания обозначим dS1L , dS2 L .
Применим к построенному материальному цилиндру VL уравнение
баланса импульса
r
1 
r
r 
r
ρ
vdV

ρ
vdV
=
σ
dS
+
ρ
FdV


n




∆t →0 ∆t
VL (t +∆t )
VL ( t )
 S L (t )
V L (t )
lim

Вычислим объемы VL (t + ∆t ) и VL (t ) . Обозначим параметры сплошной
среды перед разрывом индексом 1, за разрывом – 2, скорость поверхности
разрыва в точке M через D . Площадь основания цилиндра равна dΣ , а
высота зависит от времени. В момент t разрыв находится на S2 L , через
отрезок времени ∆t он переместится на S1L со скоростью D . Поверхность
S1L в течение ∆t движется со скоростью vn1 , а поверхность S2 L имеет
скорость vn 2 .
В момент t поверхность S1L должна находиться на таком расстоянии
от S2 L (разрыва), чтобы через ∆t разрыв догнал S1L , т.е. высота цилиндра в
момент t должна быть ( D − vn1 )∆t (Рис. 3.4.2).

117

За время ∆t разрыв проходит расстояние D ∆t , а поверхность S2 L
расстояние vn 2 ∆t , поэтому высота цилиндра в момент t + ∆t

равна

( D − vn 2 )∆t (Рис. 3.4.2).
Распишем интеграл по S L как сумму трех интегралов по основаниям и
боковой поверхности цилиндра. Применим теорему о среднем к интегралам в
уравнении . Получим
1
r
r
ρ 2v2 ( D − vn 2 )∆td Σ − ρ1v1 ( D − vn1 )∆td Σ} =
{
∆t →0 ∆t
r
r
r
r
= ρ F ( D − vn1 ) ∆td Σ + σ n1d Σ − σ n 2 d Σ + σ n Ld Σ ( D − vn1 )∆t.
r
Знак минус перед σ n 2 обусловлен тем, что нормали к dΣ и dS2 L
lim

разнонаправлены.
Перейдем к пределу при ∆t → 0 , потом поделим на dΣ и перейдем к
пределу при dΣ → 0 (стягиваем окрестность к точке M ). В результате
получим баланс импульса на разрыве в точке M в неподвижной системе
координат
r
r
r
r
ρ 2v2 ( D − vn 2 ) − ρ1v1 ( D − vn1 ) = σ n1 − σ n 2
или
r

r

[ ρ v (vn − D) − σ n ] = 0 .
Аналогично можно получить балансовые соотношения для массы и
энергии в неподвижной системе координат.

[ ρ (vn − D)] = 0 ,
  v2

r r
 ρ  + u  ( vn − D ) − σ n ⋅ v  = 0 .

 2


118

Рис. 3.4.2
3.4.1.

Соотношения на разрыве в системе координат,
связанной с покоящимся газом

Пусть перед ударной волной газ покоится, а волна бежит по нему со
скоростью D . Получим условия на ударной волне в неподвижной системе
координат, связанной с покоящимся газом. Обозначим через v% – нормальную
к поверхности скачка скорость газа за скачком, тогда скорости в подвижной
и неподвижной системе координат связаны соотношением
v% = vn 2 + D
или
vn1 = − D , vn 2 = v% − D .
Подставим в , получим

 − ρ1D = ρ 2 (v% − D)

2
2
 ρ1D + p1 = ρ2 (v% − D) + p2 .

2
2
%
 i12 + D = i22 + (v − D)

2
2
В силу баланса массы

ρ 2 (v% − D) 2 = ρ1D( D − v% ) .
Поэтому баланс импульса примет вид
% .
p2 − p1 = ρ1vD
Таким образом, условия на ударной волне в неподвижной системе
координат, когда газ перед волной покоится, имеют вид
119


 ρ1D = ρ 2 ( D − v% )

p2 − p1 = ρ1Dv%
.


2
% 2
i1 + D = i2 + ( D − v )

2
2
Адиабата. Ударная адиабата

Адиабатой называется линия на термодинамической ( p,V ) диаграмме
состояния, изображающая равновесный адиабатический процесс. В таких
процессах отсутствует внешний теплообмен и энтропия сохраняется
постоянной.
Уравнение адиабаты для совершенного газа имеет вид
−γ

γ

p  ρ 
p V 
=   или
=  ,
p0  ρ 0 
p0  V0 
где V = 1/ ρ .
Ему соответствует кривая, называемая адиабатой Пуассона (Рис.
3.4.3).
Уравнение

легко

получить,

используя

термическое уравнение состояния (уравнение
Клапейрона-Менделеева ), выражение для
внутренней энергии ,
Рис. 3.4.3
c

p
определение показателя адиабаты γ = c , соотношение Майера R = c p − cV ,
V

условие отсутствия теплообмена δ Q = 0 (постоянства энтропии dS = 0 ) и
первое начало термодинамики

δ Q = du + pdV ,
где u – удельная внутренняя энергия, R – газовая постоянная,

cp

, cV –

удельные изобарная и изохорная теплоемкости, δQ – количество теплоты,
подводимое к системе, V – удельный объем.
120

Отметим, что в адиабатическом процессе при переходе из начального
состояния А в конечное B система последовательно проходит все
промежуточные состояния, определяемые уравнением адиабаты (Рис. 3.4.3).
Теперь получим уравнение ударной адиабаты для совершенного газа.
Используя выражение для энтальпии
i =u+

p
,
ρ

термическое уравнение состояния и определение показателя адиабаты,
найдем, что
i=

γ p
.
γ −1 ρ

Для ударно-волнового процесса на ( p,V ) диаграмме можно построить
линию, исходящую из начального состояния газа перед ударной волной и
состоящую из точек, соответствующих всевозможным состояниям газа за
ударными волнами. По аналогии с адиабатой ее называют ударной
адиабатой.

Для

вывода

уравнения

ударной

адиабаты

используем

соотношения на разрыве в подвижной системе координат . Задача состоит в
том, чтобы три уравнения свести к одному, исключив скорость и энтальпию.
Для простоты опустим индексы n , 2, относящиеся к значениям параметров
за разрывом, а индекс 1 заменим на индекс 0. Третье уравнение перепишем,
используя выражение энтальпии через p и V .
v 2 − v02 =


( p0 V0 − pV ) .
γ −1

Из первого уравнения выразим v0
v0 =

ρ
v.
ρ0

Тогда из второго уравнения с учетом можно выразить v и v0 через p и ρ
v2 =

p − p0
 ρ

ρ  − 1 ,
 ρ0

121

v02 =

ρ p − p0
ρ0 2  ρ
.
 − 1
 ρ0


Перейдем от ρ к V ( ρ=1 V ) и вычислим разность
p − p0 
V0 2 
V


=
V0 V − 1 
V 


p  V
= ( p0 − p ) ( V + V0 ) = p0V0  1 −  + 1 .
p0  V0



v 2 − v0 2 =

Приравнивая правые части и , получим

2γ 
pV  
p  V
1 −
 = 1 −
 
+ 1 .
γ −1
p0V0  
p0   V0


Введем безразмерные параметры

p=

(1 − p )(V

Выразив

p

p
p0

, V = V / V0 . Тогда

+1) =


(1 − pV
γ −1

).

через V , получим уравнение ударной адиабаты (адиабаты

Гюгонио)
p=

( γ − 1) V − ( γ + 1)
( γ − 1) − ( γ + 1) V .

Его можно записать иначе, выразив V через
V =

p

( γ − 1) p + ( γ + 1)
( γ − 1) + ( γ + 1) p .

В размерной форме уравнение ударной адиабаты имеет вид
p ( γ − 1) V − ( γ + 1) V0
=
,
p0 ( γ − 1) V0 − ( γ + 1) V
V ( γ − 1) p + ( γ + 1) p0
=
.
V0 ( γ − 1) p0 + ( γ + 1) p

Рассмотрим асимптотику параметров газа за скачком. При очень
больших перепадах давления
p → ∞:

V
γ −1

.
V0
γ +1

122

Следовательно, в ударной волне газ можно сжать только до
определенного значения. Например, воздух ( γвозд.

=1.4 )

в ударной волне

можно сжать не более чем в 6 раз.

Рис. 3.4.4. 1 – адиабата Пуассона, 2 – ударная адиабата (стрелкой показан
переход из начального состояния в конечное)
В отличие от адиабаты Пуассона, ударная

адиабата



это

геометрическое место точек, соответствующих возможным состояниям газа
за ударными волнами. Процесс изменения параметров газа при переходе
через разрыв идет так, что из начального состояния ( 1,1) газ мгновенно
переходит в конечное состояние

( p, V ) ,

не проходя последовательно

промежуточные точки кривой (Рис. 3.4.4. 1 – адиабата Пуассона, 2 – ударная
адиабата (стрелкой показан переход из начального состояния в конечное). В
начальной точке

( 1,1)

касательные к адиабатам Пуассона и Гюгонио

совпадают, в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием
уравнений этих адиабат:
γ ⋅ p0
dp
=−
.
dV
V0

Поэтому для слабых волн вместо адиабаты Гюгонио можно использовать
адиабату Пуассона.
Пусть за первой ударной волной идет вторая ударная волна. Чтобы
построить ударную адиабату для второй волны, нужно за начальное
состояние взять точку

( p, V )

на первой ударной адиабате (линия 1 на

Рис.3.4.5), соответствующую состоянию газа за первой волной. Поэтому
123

вторая ударная адиабата (линия 2 на Рис. 3.4.5) не будет совпадать с ударной
адиабатой для первой волны.

Рис. 3.4.5
Заметим, что энтропия газа за ударной волной больше, чем до нее, т.е.
энтропия в ударной волне возрастает. Ударные волны могут использоваться
для быстрой диссипации механической энергии.
Скачки разрежения в совершенном газе невозможны. Это утверждение
(теорема Цемплена) доказывается в газовой динамике.
Сверхзвуковые течения

Течение газа называется сверхзвуковым, если в рассматриваемой
области скорость газа больше местной скорости звука.
Сверхзвуковые течения могут возникать при движении снарядов,
ракет, самолетов, в турбинах, аэродинамических трубах и т.д. Сверхзвуковое
течение существенно отличается от звукового и имеет свои характерные
особенности. Движущееся тело создает в окружающей среде возмущения.
Малые возмущения распространяются во все стороны со скоростью звука и
передают в среду информацию о движении тела. Если тело движется с
дозвуковой скоростью, то возмущения уходят от него вверх по потоку, поток
перестраивается и плавно обтекает тело. Когда скорость тела приближается к
звуковой, возмущения не успевают уходить далеко от тела и скапливаются
перед телом. При сверхзвуковом движении тела параметры потока перед
телом изменяются скачком, образуется ударная волна.

124

Для анализа течения удобно обратить движение, считать тело
неподвижным, а поток набегающим на тело. Именно по такой схеме
проводятся эксперименты в аэродинамических трубах для исследования
особенностей обтекания тел при движении в атмосфере.
Важной характеристикой потока является число Маха, равное
отношению скорости потока к местной скорости звука
M=

v
.
a

Рассмотрим картину распространения возмущений в движущейся среде
при разных числах Маха на примере обтекания потоком неподвижного
точечного источника звука. На Рис. 3.5.1 окружностями изображены для двух
моментов времени звуковые фронты в случаях дозвукового (M<1), звукового
(M=1) и сверхзвукового (M>1) течений.

Рис. 3.5.1
При дозвуковом течении возмущения распространяются вверх и вниз
по потоку, вниз – быстрее на 2a . При звуковом течении – только вниз. При
сверхзвуковом течении – тоже только вниз, причем в области, ограниченной
конусом Маха.
При сверхзвуковом обтекании тела конечных размеров перед телом
формируется ударная волна. Если ударная волна касается обтекаемого тела,
то она называется присоединенной, в противном случае – отошедшей.
Присоединенная волна образуется при обтекании заостренного тела (клина),
отошедшая – при обтекании затупленного тела (сферы).
За ударной волной скорость газа становится меньше местной скорости
звука, плотность и температура газа возрастают. При гиперзвуковом

125

обтекании, когда скорость потока много больше скорости звука, температура
газа может стать очень высокой.
Подобие и моделирование явлений

Теория подобия изучает условия подобия физических явлений и
является основой моделирования явлений. Физическое моделирование
основано на замене исследования интересующего нас явления исследованием
аналогичного явления на лабораторной модели с тем, чтобы по результатам
лабораторных экспериментов сделать выводы о свойствах, характере,
закономерностях исходного явления.
Физическое подобие является обобщением понятия геометрического
подобия. При физическом подобии поля соответствующих физических
параметров двух систем подобны в пространстве и времени. В частности,
механическое

подобие

предполагает

наличие

геометрического,

кинематического и динамического подобий. При кинематическом подобии
должно быть подобие полей скоростей для двух рассматриваемых движений,
при динамическом – соответствующих силовых полей.
Каждый процесс имеет ряд определяющих параметров. Из этих
параметров могут быть составлены безразмерные комбинации, называемые
критериями подобия. Условием подобия исходного и модельного
процессов является равенство численных значений критериев подобия.
Значения размерных физических параметров подобных процессов или
систем могут сильно отличаться друг от друга, но значения безразмерных
критериев подобия должны совпадать.
В качестве примера рассмотрим задачу моделирования движения
жидкости в трубах. Пусть труба гладкая, круглая с диаметром d и имеет
бесконечную длину, чтобы не учитывать особенности входного и выходного
участков течения. Течение будем считать установившимся, жидкость
несжимаемой, имеющей плотность ρ и вязкость µ . Средняя скорость
жидкости равна vср . Зная среднюю скорость, можно определить перепад
126

давления вдоль трубы и расход жидкости в единицу времени через
поперечное сечение трубы.
Следовательно, труба, жидкость и состояние движения жидкости в
целом определяются системой четырех определяющих параметров

ρ , µ , d , vср .
Все механические характеристики движения являются функциями этих
параметров.

Из

них

можно

образовать

только

одну

независимую

безразмерную комбинацию
Re =

ρ dvср
,
µ

которая называется числом Рейнольдса. Все другие комбинации являются
функциями числа Рейнольдса. Например, коэффициент сопротивления трубы
для течения Пуазейля равен

λ=

64
.
Re

В других случаях, когда нельзя получить выражение для коэффициента
сопротивления через число Рейнольдса теоретически, задача сводится к
отысканию функциональной зависимости λ ( Re ) . Эту функцию можно найти
экспериментальным путем, проводя опыты по движению, например, воды в
одной какой-нибудь трубе и измеряя сопротивление в зависимости от
скорости

воды.

Полученные

результаты

можно

использовать

при

рассмотрении движения других жидкостей и в трубах с другими диаметрами.
Критерием подобия при этом является число Рейнольдса, а условием
подобия – условие равенства значения числа Рейнольдса для исходного и
модельного течений.

127