• Название:

    Lect 03 Сингонии, решетки Браве

  • Размер: 0.57 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Microsoft PowerPoint - ëåêöèÿ 3
  • Автор:

химфак МГУ, осень 2007

Строение кристаллических веществ
и материалов
лекция №3
Сингонии, решетки Браве,
кристаллографические классы

Орбита группы
Совокупность точек, переводящихся одна в другую
операциями симметрии группы G, называется
системой эквивалентных точек, или орбитой группы G.
Каждая конечная группа имеет несколько разных орбит.

+ × +

симметрия
положения G1



+ × +
mm2

1
m(xz)
m(yz)
mm2

кратность
позиции

4
2
2
1

порядок группы G

кратность орбиты =

———————————
порядок группы G1

Hезависимая область фигуры

4mm

mm2

mm2

2

цветом – симметрически независимая область

М.Эшер, «Воды и небеса», 1938 г.

Кристалл –
это бесконечная периодическая структура,
т.е. «фигура», составленная из атомов
Как любая геометрическая фигура,
кристалл обладает симметрией

Распространенное определение симметрии:

Набор объектов (фигура, молекула и т.д.) обладает
симметрией, если хотя бы некоторые
его составные части неразличимы
симметрически эквивалентные части фигуры
без внешних «привязок» (например, наблюдателя симметрии 1)
НЕРАЗЛИЧИМЫ

Трансляционная симметрия
а)
a

б)
a

«наблюдатель на бесконечном шоссе»:
цветом выделены симметрически независимые области

а) цепь (N2)∞
б) цепь (NO)∞

°

a

°

°

°

°

°

°

Трансляционная симметрия кристалла
«Одномерный кристалл»: бесконечная цепочка (NO)∞
повторяющийся фрагмент
(элементарное звено)

вектор сдвига
с самосовмещением

группа t 1
Сдвиг бесконечной периодической фигуры,
приводящий к ее самосовмещению,
называется операцией трансляции

У любого кристалла всегда есть
трансляционная симметрия.
Кроме того, кристалл может иметь
точечную симметрию
бесконечная цепочка (N2)∞

точечная симметрия: центры инверсии

группа t1

Симметрию конечных фигур задают
точечные группы Gточ.
Они состоят из закрытых операций симметрии

Симметрию бесконечных периодических структур
задают пространственные группы Gпр.
В них входят как закрытые, так и открытые
(трансляционные) операции симметрии

Gпр. ⊃ Gточ., T(n),
где Т(n) – подгруппа трансляций; n = 1, 2, 3

Совокупность всех операций симметрии
трехмерного кристалла называется его
пространственной группой Gпр
Совокупность всех трансляций, входящих
в пространственную группу трехмерного
кристалла, называется его
подгруппой трансляций Т
Все закрытые операции симметрии
трехмерного кристалла
образуют его точечную группу:
кристаллографический класс Gкрист

Бесконечная правильная система точек,
связанных операциями подгруппы трансляций Т,
называется решеткой
узел

a2
a1
T={miai}, где mi – целые числа, ai (i = 1,2,…,n) – независимые
векторы трансляций; n = размерность решетки

Точечная группа узла в решетке называется
голоэдрической группой.
Все кристаллографические точечные группы −
подгруппы голоэдрических групп

Закрытые операции симметрии в кристалле

φ=2π/N

≥a

φ ≥ 60ο

a

поворотные оси: 2, 3, 4, 5, 6
3D: инверсионные оси1, (2=)m,3,4,6
32 кристаллографические точечные группы
(они же кристаллографические классы)

Все решетки, принадлежащие к одной и той же
точечной группе (голоэдрической группе),
образуют сингонию
Все решетки одной сингонии, переводимые
одна в другую непрерывными деформациями,
относятся к одному типу Браве
«Безразмерная» решетка данного типа Браве
называется решеткой Браве

Плоские решетки Браве

косоугольная

прямоугольная

γ≠90o

квадратная

гексагональная

Симметрия узла в 2D-решетках
(«крест минимальных трансляций»)
КОСОУГОЛЬНАЯ СИНГОНИЯ
инверсия в точке на плоскости = ┴ ось 2
голоэдрич. группа 2, примитивная решетка (р)

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИНГОНИЯ
голоэдрич. группа mm2 (2 случая)
плоскости m || мин. трансляциям,
примитивная решетка (р)
ТЕТРАГОНАЛЬНАЯ
СИНГОНИЯ
голоэдрич. группа
4mm
р-решетка

мин. трансляции a=b
связаны плоскостями m
центрированная решетка (с)
ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ
СИНГОНИЯ
голоэдрич. группа
6mm
р-решетка

Исследования атомной структуры поверхности:
сканирующая туннельная микроскопия (СТМ)

4
3

3
2

z

1

1: поверхность образца
2: зонд
3: пьезоэлементы
4: наноамперметр
туннельный ток: I~e-kz

G.Binnig, H.Rohrer et al., Phys. Rev. Lett. 1983, 50, 120-123

Пленка CdL2 на поверхности кремния

L = CH3(CH2)18COO−
D.Y.Takamoto et al., Science, 2001, 293, 1292-1295

Данные СТМ:
реконструкция поверхности монокристалла кремния

(«реконострукцией» называется
химическая перестройка поверхности)

Зондовая наномодификации поверхности

Сингонии и группы
в 2-х, 3-х и 4-мерном пространствах
изме- сингоний
рений

решеток
Браве

кристаллографич. групп
точечных

пространственных

2

4

5

10

17

3

7

14

32

230

64

227

4783

4

Сингонии и решетки Браве в трехмерном случае
Сингония

голоэдрич.
группа

кристаллогр.
классы

параметры
ячейки

решетки
Браве

триклинная

1

1

любые

Р

моноклинная

2/m

2, m

a, b, c, β – любые
α=γ=90о

Р, С (А)

mm2, 222

a, b, c – любые
α=β=γ=90о

P, A (B,C),
I, F

орторомбическая

mmm

тетрагональная

4/mmm

4,4, 4/m, 4mm,
422,42m

тригональная

3m

3,3, 3m, 32

гексагональная

6/mmm

6,6, 6/m, 6mm
622,6m2

кубическая

m3 m

a=b≠c
α=β=γ=90о

P, I

a=b≠c, α=β=γ≠90o P («гексагональная R»)
a=b≠c
α=β=90o, γ=120o

23, m3, 43m, 432 a=b=c, α=β=γ=90o

P
P, I, F