• Название:

    ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ посо...

  • Размер: 0.92 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении/Abuse
  • Название: Дифференциалные

Министерство образования и науки Российской Федерации
Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

В.В. Калинин

ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
пособие для практических занятий

Москва 2005

Министерство образования и науки Российской Федерации
Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

В.В. Калинин

ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
пособие для практических занятий

Издательство
«НЕФТЬ И ГАЗ»
РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина

Москва 2005

УДК 517.9
К18
Автор:
В.В. Калинин, зав. кафедрой высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, д.ф.-м.н.

К18 Калинин В.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения
(пособие для практических занятий). – ФГУП Изд-во «Нефть и газ»
РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. – 68 с.
ISBN 5-7246-0242-4
Настоящее пособие предназначено для студентов различных специальностей РГУ нефти
и газа им И.М. Губкина. В нем подробно рассматриваются способы и приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, разобраны реальные практические задачи, сводящихся к
решению таких уравнений. В начале каждого раздела сформулированы теоретические вопросы,
которые позволяют систематизировать знания по соответствующему разделу учебного курса.
Приведены задачи для самостоятельного аудиторного и домашнего решения. В приложениях
представлены приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, несколько расширяющие рамки стандартного курса технического вуза, а также современные компьютерные подходы к решению дифференциальных уравнений (на примере системы «Mathematica»). Пособие будет также полезно магистрантам, аспирантам и специалистам в качестве справочного материала при решении практических задач.

Рецензенты:
зав. кафедрой высшей математики МГУПП д.ф.-м.н. проф. А.Н. Филиппов,
д.ф.-м.н. проф. А.В. Баранов
Учебное издание
Калинин Василий Валерьянович
Обыкновенные дифференциальные уравнения
(пособие для практических занятий)
Редактор: В.В. Калинин
Редактор-корректор В.Б. Овчаров
Компьютерная верстка В.В. Калинин, Т.В. Уткина.
Подписано в печать 15.05.2005. Формат 60х90 1/16
Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Темза. П.л. 5,5.
Тираж 300 экз. Заказ №83
Федеральное государственное унитарное предприятие
Издательство «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина
Лицензия ИД №06329 от 26 ноября 2001 г.
119991, Москва, Ленинский просп., 65
Тел.: (095) 135-8406, 930-9711
Факс: 135-7416
Налоговая льгота – общероссийский классификатор продукции
ОК – 005 – 93, том 2: 953000
Отпечатано в типографии издательства
ISBN 5-7246-0242-4

© РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005
© ФГУП Издательство «Нефть и газ»
РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005
© Калинин В.В. 2005

Предисловие
Обыкновенные дифференциальные уравнения применяются для описания
многих процессов реальной действительности. Трудно представить себе область науки или производства, в которой не возникала необходимость использования дифференциальных уравнений. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи,
геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторая физическая величина (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке,
концентрация вещества, объем продаж продукта) оказывается меняющейся со
временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон ее
изменения по времени описывается именно дифференциальным уравнением,
т.е. уравнением, связывающим исходную переменную как функцию времени и
производные этой функции. Независимой переменной в дифференциальных
уравнениях может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д. Решение уравнения с анализом его зависимости от параметров задачи и начального состояния системы позволяет установить общие закономерности изменения исходной физической величины. В
этой связи изучение обыкновенных дифференциальных уравнений в рамках
курса высшей математики имеет принципиальное теоретическое и прикладное
значения для подготовки современного специалиста.
В настоящем пособии приведены основные типы уравнений, для которых
решения можно найти аналитическим путем, указаны способы их решения,
подробно разобраны соответствующие примеры. Кроме того, приведены решения реальных практических задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Содержание пособия разбито по практическим занятиям, что делает удобным его использование в учебном процессе. Часть примеров
оставлена для самостоятельного решения студентами во время аудиторных занятий, другая часть оставлена для самостоятельной домашней работы. Стандартный курс высшей математики в вузах, как правило, охватывает изучение
1

лишь наиболее важных классов обыкновенных дифференциальных уравнений.
Объем всего курса может сильно варьироваться в зависимости от специальности и требуемого уровня подготовки специалистов. В связи с этим в ходе изучения темы может возникнуть необходимость выхода за рамки стандартного
материала. В приложении 1 пособия дается дополнительный материал по решению обыкновенных дифференциальных уравнений, который может быть использован при более глубоком изучении курса или в качестве краткого справочника.
Класс дифференциальных уравнений, решение которых можно найти
аналитическим путем, достаточно узок. Поэтому часто при решении практических задач обычно не удается избежать численного моделирования. Кроме того,
во многих случаях, когда аналитическое решение уравнения существует, но
требует большого объема алгебраических выкладок, компьютерные методы
также оказываются предпочтительнее традиционных. Все это определяет новые
требования к подготовке современных специалистов в любой области народного хозяйства. Они должны владеть не только традиционными аналитическими
методами высшей математики, но и современными компьютерными подходами, в частности, пакетами математических программ. В приложении 2 пособия
на примере компьютерной системы “Mathematica” показаны компьютерные
(как численные, так и символьные) методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Использование таких методов позволяет:
1) установить, является ли то или иное уравнение «решаемым»;
2) проверить правильность проведения аналитических выкладок;
3) получить численные значения параметров решения в том случае, если
это связано с громоздкими алгебраическими преобразованиями;
4) визуально отобразить результаты расчетов и провести их анализ.
Настоящее пособие будет полезно не только студентам при изучении соответствующего курса высшей математики, но также и магистрантам, аспирантам, специалистам, желающим восстановить в памяти основные подходы к ре2

шению обыкновенных дифференциальных уравнений и познакомиться с современными компьютерными подходами к их решению.
Одновременно с изучением материала по настоящему пособию рекомендуется также использовать учебник [1], задачники [2] и [3], справочник [4].
Описание компьютерной системы “Mathematica” можно найти в книге [5] (ее
электронный вариант прилагается к дистрибутиву программы).
Материалы, связанные с данным изданием, можно найти на сайте
кафедры высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина:
http://kvm.gubkin.ru/Index.html
Справочные материалы по решению дифференциальных уравнений
широко представлены на сайте «EqWorld», редактируемом проф. А.Д. Поляниным::
http://eqworld.ipmnet.ru/eqworld/

3

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие

1

Оглавление

4

Занятие первое
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными. Однородные дифференциальные уравнения.

5

Занятие Второе
13

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Занятие третье
18

Уравнения Бернулли.

Занятие четвертое
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

22

Занятие пятое
29

Решение разных дифференциальных уравнений.

Занятие шестое
Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные
дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами и правой частью вида f ( x ) = Pn ( x ) e

ax

.

33

Занятие седьмое
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го
порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида

f ( x ) = ( Pn ( x ) cos bx + Qm ( x ) sin bx ) e

ax

.

43

Приложение 1
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений,
не вошедшие в основной курс.

52

Приложение 2
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
в компьютерной системе “Mathematica”.

63

Приложение 3
Основные типы дифференциальных уравнений и способы их решения.

4

72

75

Литература

5

Занятие первое
Темы:
«Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными».
«Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка».
Сведения из теории:
Уравнение вида

y′ = f ( x) ⋅ g ( y )
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Для решения такого уравнения следует провести разделение переменных:

dy
= f ( x) ⋅ g ( y ) ⇒
dx

dy
= f ( x)dx
g ( y)

и проинтегрировать обе части полученного равенства:

dy

∫ g ( y ) = ∫ f ( x)dx
Полученная после интегрирования неявная зависимость переменных y и x (содержащая произвольную постоянную C) называется общим интегралом дифференциального уравнения. Если удается выразить переменную y в явном виде,
то получается общее решение дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение вида

⎛ y⎞
y′ = f ⎜ ⎟
⎝x⎠
называется однородным уравнением 1-го порядка. Для решения однородного
уравнения проводится замена неизвестной функции по формуле:

u=

y
x

Тогда может быть выражена неизвестная функция y(x) и ее производная y′(x):

y = ux,

y′ = u ′x + u
5

Новая функция u удовлетворяет дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:

u ′x + u = f (u ) ⇒

du
⋅ x = f (u ) − u ,
dx

Зависимость между переменными u и x, полученная в ходе интегрирования этого уравнения, позволяет на основе равенства y = u⋅ x найти исходную
неизвестную функцию y.
Теоретические вопросы:
1. Что называется дифференциальным уравнением 1-го порядка?
2. Какие из перечисленных уравнений являются дифференциальными
уравнениями 1-го порядка:

2
3
a) y y ′′ = x ( y ′) + 1
б)

x
= xy ′′ + 2 y
y′

3
в) x y ′ = y ( x + y ′)
2
г) xy = 2 xy + 3
3. Написать общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка с
разделяющимися переменными.
4. Какие из перечисленных уравнений являются дифференциальными
уравнениями 1-го порядка с разделяющимися переменными?
2
2
а) ( x + 1) y ′ = y sin x + xy

б) ctg x ⋅ sin 2 y dx + ( x + 3) ln y dy = 0
в) ( x 2 + e x ) y ′ = xy + y 2 cos x
5. Каков общий вид однородного дифференциального уравнения 1-го порядка?

6

6. Какие из перечисленных уравнений являются однородными дифференциальными уравнениями 1-го порядка?
а) y ′ = tg ln sin
б) y ′ =

y
x

2x + 4 y
x − 3y

2
2
2
в) ( x + xy + 5 y )dy + (3xy + y )dx = 0

y x2 2 y5 y 4
г) y ′ = cos +
+

x y2
x5
x3
д) y ′ =

x4 − 2 y4
3 x 6 + xy 5 + 2 x 4 y 2

7. Какая замена неизвестной функции позволяет свести однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка к уравнению с разделяющимися переменными?
ПРИМЕР 1. Решить дифференциальное уравнение y ′ = e

−y

sin x с началь-

ным условием y (0) = 0 .
☺ Решение. Заданное уравнение представляет собой дифференциальное урав-

нение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Проведем разделение
переменных:

dy
= e − y sin x ⇒ e y dy = sin x dx ⇒ ∫ e y dy = ∫ sin x dx
dx
Находя интегралы, получим

e y = − cos x + C
Решение можно оставить в неявном виде (в виде общего интеграла дифференциального уравнения). Здесь, однако, несложно выразить искомую функ-

цию явно, т.е. получить общее решение дифференциального уравнения:
7

e y = − cos x + C ⇒

y = ln(C − cos x )

Для нахождения частного решения подставим начальное условие в найденное
общее решение:

y (0) = 0 ⇒ 0 = ln(C − 1) ⇒ C = 2
Тогда искомое частное решение

y = ln(2 − cos x )  (1)
ПРИМЕР 2. Решить уравнение ydx + xdy = 0 .
☺ Решение. Имеем дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными, записанное через дифференциалы. Разделение пере-

менных дает:

xdy = − ydx ⇒

dy
dx
=−
y
x

⇒ ∫

dy
dx
= −∫
y
x

После интегрирования получаем

ln | y |= − ln | x | + ln C

⇒ ln | y |= ln | x |−1 + ln C

(Произвольная постоянная интегрирования здесь записана в логарифмическом
виде для удобства дальнейших преобразований).

(

ln | y |= ln C | x |−1

)

⇒ ln | y |= ln

C
|x|

Отсюда находим общее решение уравнения

y=

C
x

(#)

) Замечание. Строго говоря, после исключения знака абсолютной величины
решение должно было быть записано в виде y = ±

C
. Однако, в силу своего
x

определения, произвольная постоянная C может быть только положительной,
При этом величина ± C принимает любые – как положительные, так и отрица1

( ) Знаком

здесь и далее обозначается завершение решения примера.

8

тельные – значения. Тогда, переобозначив величину ± C через новую постоянную C произвольного знака, приходим к записи (#). Одновременно, при C = 0
формула (#) описывает и тривиальное решение y = 0 исходного дифференциального уравнения, которое было потеряно в ходе разделения переменных. В
дальнейшем окончательная запись общего решения дифференциального вида
(#) с постоянной C произвольного знака будет применяться без приведенных в
данном замечании рассуждений.
Примеры для самостоятельного решения.

2
1. x y ′ =

1
cos y

2.

dy
= ex− y
dx

3 2
3
3. y ′ = x y + 2 x y

4. tg x ⋅ y ′ =

2
2
5. ( y + 2)dx + ( x − 4)dy = 0

6.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение y ′ = tg

ydx +

y2 + 3

dy
=0
ln x

y y
+ .
x x

☺ Решение. Данное уравнение представляет собой однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Произведем замену неизвестной функции:

u=

y
;
x

y = ux;

y ′ = u′x + u

Тогда для новой неизвестной функции u(x) получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

u′x + u = tg u + u ⇒

du
x = tg u ⇒
dx

du dx
=
tg u x

Интегрируя обе части равенства, получаем



dx
cos u
du = ∫
x
sin u

⇒ ln | sin u |= ln | x | + ln C ⇒ sin u = Cx

Теперь можно вернуться к исходной неизвестной функции y:

sin( y / x) = Cx
9

В результате получен общий интеграл исходного дифференциального
уравнения. Заметим, что в данном примере не представляет труда выразить неизвестную функцию y явно:

y
= arcsin(Cx ) ⇒
x

y = x arcsin(Cx ) ,

что дает общее решение дифференциального уравнения.
ПРИМЕР 4. Решить уравнение xy ′ = y +

4 x2 − y2

☺ Решение. Это – однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Выполняем замену неизвестной функции:

u=

y
;
x

y = ux;

y ′ = u′x + u

Тогда получаем уравнение

x (u′x + u ) = ux + 4 x 2 − u 2 x 2
Или, после упрощений,

u′x 2 + ux = ux + x 4 − u 2 ;
du 2
x = x 4 − u2
dx
Теперь переменные можно разделить:

du
4−u

2

=

dx
x

⇒ ∫

du
4−u

2

=∫

dx
x

⇒ arcsin


u
= ln | x | + ln C
2

Осталось только вернуться к исходной неизвестной:

arcsin

y
= ln | x | + ln C
2x

В результате получен общий интеграл дифференциального уравнения.

10

Примеры для самостоятельного решения.

1. y ′ = cos

3. y ′ =

2 y

x

+

y
x

x + 3y
x− y

2. xy ′ =

3x 2 + y 2

2
2
2
4. (3 y + 3xy + x )dx = ( x + 2 xy )dy

Задача о рекламе пасты «Бленд-а-мед».

В городе N. ежедневно продавалось в среднем всего 2 тюбика пасты
«Бленд-а-мед». Производители пасты решили начать рекламную кампанию на
местном телевидении. Их анализ показал, что если каждый житель будет чистить зубы дважды в день, то ежедневная продажа должна составить 1000 тюбиков. Через 10 дней после начала рекламы в городе N. стало продаваться по 20
тюбиков пасты. Считая скорость роста продажи