П. В. Грес

    Математика
    для гуманитариев
    Учебное пособие

    МОСКВА
    «ЮРАЙТ»
    2000

    УДК 51(075.8)
    ВБК 22.11я73
    Г80

    Ответственный

    редактор

    члсн-корреспондснт АТР, доктор технических наук, профессор В.И. Котюков
    Р е и е II '1 с II I ы :

    кафедра «Высшая математика» Сибирского государственного
    университета путей сообщения (зав. кафедрой доктор фичикомнтематических наук, профессор Ю,И. Со/юньеа)
    док юр фшико-математических наук, профессор А. В, Пожидаее
    доктор исторических наук, профессор, глинный научный
    сотрудник Институт исюрии СО РАН ММ. Ефимкин

    [ 80

    Грес П.В
    Ма1емашка для гуманитариев: Учебн. пособие. — М.: Юрайт,
    2 0 0 0 . — 1 1 2 с.
    ISBN 5 85294 041 7
    Плсйбис составлено с учетом фобшипшй Государит пенных образовлелышх стандарте»» высшею профессиональною обраювання ни (кинематике для студенюв 1уманширных вучов и факулыеюв.
    Изложение обличается комнакшос1ью с сохранением необходимой строгости, де1алыюГ] прорабо1кой узловых понятии, алгоритмпчностыо Даны основные онредс
    ления и методы, примеры решения типовых чадач. Упражнения и индивидуальные
    здания могут использоваться при самостоятельной работе иудешов.
    Пособие написано на основе практических занятии и лекций, чтившихся авюром
    в течение нескольких лет студентам юридическою и нсихолою-нсдшотческого факультетов Новосибирскою lyMUiiiuapiioro imcimyia.
    Для преподаиа1елей и студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и спениалыюаям: «Юриспруденция», «Психология», «Философия», «Социология», «Социальная работа», «История», «Политология», «Культурология», «Филология», «Журналистка». «Лингвистика», «Связи с общественностью», «Искусс1во».
    «Книговедение», «Физическая кулыура», «Коммерция», «Менеджмент» и т.д.
    УДК 51(075.8)
    ЬБК 22.1 1я73

    ©П.В. Грес, 1999
    ISBN 5-85294-091-7

    © ООО «Юрайт», 2000

    Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы;
    но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.

    Козьма Прутков

    ПРЕДИСЛОВИЕ
    Математика. Это слово, конечно, греческого происхождения:
    «учение», «наука» — в свою очередь, происходит от глагола,
    первоначальное значение которого — «учусь через размышление». Термин, таким образом, категорически отбрасывал учение путем опыта.
    В принципе математику можно рассматривать как разновидность
    уточненной, усовершенствованной логики. Замечательно, что, построив
    правила этой логики и выучив их, человек получил орудие гораздо более
    мощное, чем обыкновенный «здравый смысл», основанный на традиционной, «домашней» логике. Тенденция ко все большей общности сопровождается ростом требований, предъявляемых к логической строгости.
    Однако в заботе о логической безупречности легко хватить через край,
    заменив словесные рассуждения потоком логических символов и слепым
    применением стандартных приемов. В этом направлении можно далеко
    тйти и вместо того, чтобы углубить понимание, начисто его утратить.
    В настоящее время наблюдается разделение культуры на гуманитарную и естественно-научную. Такое разделение можно считать искусственным.
    "Гуманитарное" преподавание математики невозможно без изучения
    ее истории. Сюда входят и краткие сведения о возникновении тех или
    иных математических понятии, биографические сведения о выдающихся
    математиках, знакомство с историей возникновения математических
    идей, с историей математических открытий.
    Другая сторона математического образования - изучение приложений математики. В настоящее время создается система примеров и задач,
    ориентированных на гуманитарные приложения.
    Гуманитарный потенциал математики раскрывается по ряду направлений:
    1. Математика изучает математические модели реальных процессов,
    математические модели описываются на математическом языке. Человек,
    владеющий математическим языком, способен глубже проникнуть в суть

    реальных процессов, правильно ориентироваться в окружающей действительности.
    2. Математика "ум в порядок приводит". Общеизвестно влияние математики на формирование мышления и личностных черт человека.
    3. Человек, формулирующий математическое утверждение, проводящий математическое доказательство, оперирует не обыденной, а предметной речью, строящейся по определенным законам (краткость, четкость, лаконичность, минимизация и т.д.). Предметная речь оказывает
    существенное влияние и на развитие обыденной (литературной) речи.
    4. Изучая математику, человек постоянно осознает свое развитие,
    свое "поумнение". Осознанность процесса обучения — один из краеугольных принципов теории развивающего обучения. Если в*ять за основу пять дидактических принципов теории развивающею обучения —
    обучение на достаточно высоком уровне трудности, быстрый темп обучения, приоритет теории, дифференцированный подход к учащимся плюс
    упомянутый выше принцип осознанности процесса обучения, то нетрудно убедиться, что обучение математике наиболее адекватно соответствует системе этих принципов.
    Математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки бакалавра. Обусловлено это тем, что математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и
    элементом общей культуры.
    Современная математика в сочетании с информатикой и ЭВМ становится как бы междисциплинарным инструментарием, который выполняет две основные функции: первую — об\чающ>ю специалистапрофессионала умению правильно задавать цель том> или иному процессу, определить условия и ограничения в достижении цели, вторую —
    аналитическую, т.е. «проигрывание» на моделях возможных ситуаций и
    получение оптимальных решений.
    Одной из основных целей курса "Математика является развитие
    мышления, прежде всего формирование абстр^кт-ог^ мышления, способности к абстрагированию, и умения "работать с абстрактными, "неосязаемыми" объектами. В процессе изччения математики в наиболее
    чистом виде может быть сформировано -.с: ;•-.*.* . л: лактивное) мыш1
    ление, алгоритмическое мышление, мн. ;'. -_:-..--.- мышления, такие,
    как сила и гибкость, конструктивность и .-,г •* - .~ • л? Эти качества
    мышления сами по себе не связаны с к-К;"*.'- •" '.'-тематическим содержанием и вообще с математикой, но и б;. -^--.••. ^-".-м-тлке вносит в их
    формирование важную и специфическою :-- •• ~ . ~_.. которая не может

    быть эффективно реализована даже всей совокупностью остальных дисциплин.
    В то же время конкретные математические знания, лежащие за пределами, условно говоря, арифметики натуральных чисел и первичных
    основ геометрии, не являются "предметом первой необходимости" для
    большинства людей и не могут поэтому составлять целевую основу обучения математике как предмету общего образования.
    Именно поэтому в качестве основополагающего принципа математического образования в аспекте "Математика для гуманитариев" на первый план выдвигается принцип приоритета развивающей функции в обучении математике. Иными словами, обучение математике ориентировано
    не столько на собственно математическое образование, в узком смысле
    слова, сколько на образование с помощью математики.
    В соответствии с этим принципом главной задачей обучения математике становится не изучение основ математической науки как таковой,
    а общеинтеллектуальное развитие - формирование у студентов в процессе изучения математики качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования человека в современном обществе, для динамичной адаптации человека к этому обществу.
    С точки зрения приоритета развивающей функции, конкретные математические знания в аспекте "Математика для гуманитариев" рассматриваются не счолько как цель обучения, сколько как база, "полигон" для организации полноценной в интеллектуальном отношении деятельности. Для
    формирования личности, для достижения высокого уровня его развития
    именно эта деятельность, как правило, оказывается более значимой, чем те
    конкретные математические знания, которые послужили ее базой.
    И еще одно важное обстоятельство, присущее именно математике:
    она воспитывает такой склад ума, который требует критической проверки и логического обоснования тех или иных положений и точек зрения.
    Элемент сомнения — это здоровое рациональное зерно, присущее процессу математического мышления — нигде и никогда не помешает любому профессионалу.
    Из Государственного образовательного стандарта высшего
    профессионального образования
    {направления: юриспруденция; психология; социология, социальная
    работа, философия, коммерция, экономика, менеджмент и т.п.):
    бакалавр должен иметь представление
    (в области математики и информатики):

    • о месте и роли математики в современном мире, мировой культуре и истории;
    • о математическом мышлении, индукции и дедукции в математике, принципах математических рассуждений и математических доказательств;
    • о логических, топологических и алгебраических структурах на
    множестве;
    • о неевклидовых геометрических системах;
    • о математическом моделировании;
    • об информации, методах ее хранения, обработки и передач;
    • о проблеме искусственного интеллекта, способах представления
    знаний и манипулировании ими (об инженерии знания);
    • о роли математики и информатики в гуманитарных исследованиях.
    Основные вопросы по математике, определяемые стандартом:
    S геометрия Евклида как первая естественно-научная теория;
    S аксиоматический метод;
    S основные этапы становления современной математики;
    "S структура современной математики;
    •S основные черты математического мышления;
    S математические доказательства;
    •S элементы, множества, отношения, отображения;
    S числа;
    S комбинаторика;
    S конечные и бесконечные множества;
    S основные структуры на множестве;
    S неевклидовы геометрии;
    S геометрия микро- и макромира;
    S основные идеи математического анализа;
    S дифференциальные уравнения;
    S общая постановка задачи о принятии решения;
    S математические методы в целенаправленной деятельности;
    •/ математика случайного;
    S элементы теории вероятностей;
    S основные понятия математической статистики;
    S математические методы проверки гипотез;
    S роль математики в гуманитарных науках.
    Очевидно, что новые стандарты введены с целью содействовать
    лучшему пониманию этого предмета взамен бездумного манипулирова-

    ния символами. Нетрудно убедиться, что спектр вопросов достаточно
    широк и нетрадиционен.
    Настоящее учебное пособие - не учебник, а именно пособие, т. е.
    учебное издание, дополняющее или частично заменяющее учебник. По
    определению, учебник должен содержать систематическое изложение
    учебной дисциплины, соответствующее учебной программе. Однако следует учесть, что до настоящего времени учебников, предназначенных
    именно для студентов-гуманитариев, нет, поэтому студенты вынуждены
    пользоваться учебниками для «технарей» или общего, широкого профиля, в которых необходимые вопросы рассматриваются либо слишком
    углубленно, либо не затрагиваются вообще.
    Анализ опыта учебной работы ряда вузов по гуманитарным направлениям показывает, что наибольшие трудности в практике реализации
    трех составляющих естественно-научного блока - математики, информатики, естествознания - связаны прежде всего с введением в учебный
    процесс курса математики. Надеемся, что данная работа окажет помощь
    студентам при изучении дисциплины «Математика» в рамках их гуманитарного профиля как по направлениям 521400 «Юриспруденция», 520100
    «Культурология», 520200 «Теология», 520300 «Филология», 520400
    «Философия», 520500 «Лингвистика», 520600 «Журналистика», 520700
    «Книговедение», 520800 «История», 520900 «Политология», 521000
    «Психология», 521100 «Социальная работа», 521200 «Социология»,
    521300 «Регионоведение», 521500 «Менеджмент», 521600 «Экономика»,
    521800 «Искусство», 521900 «Физическая культура», 522000 «Коммерция» и т.д., так и по специальностям 021100 «Юриспруденция», 020400
    «Психология», 020100 «Философия», 0203000 «Социология», 0202000
    «Политология», 020600 «Культурология», 022000 «Связи с общественностью», 022100 «Социальная работа» и т.п.
    Пособие написано на основе практических занятий и лекций, читавшихся автором в течение нескольких лет студентам юридического и
    психолого-педагогического факультетов Новосибирского гуманитарного
    института. Объем курса определялся в соответствии с действующим Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.

    Математическая истина сама по себе не
    является ни простой, ни сложной, она существует.
    Э. Лемуан

    ВВЕДЕНИЕ
    Гуманитарная ориентация обучения математике как предмету общего образования и вытекающая из нее идея приоритета в курсе "Математика для гуманитариев" развивающей функции обучения по отношению
    к его чисто образовательной функции требует переориентации методической системы обучения математике с увеличения объема информации,
    предназначенной для "стопроцентного" усвоения студентами, на формирование умений анализировать, продуцировать и использовать информацию.
    Естественное для средней школы восприятие математики как вычислений, аксиом и доказательств теорем, то есть не содержательной
    стороны, а оторванного от нее важнейшего, но все же инструментария, не
    способствует пониманию реальной ее роли и значения в нашей жизни.
    Так сложилось не только у нас. Например, английский ученый профессор
    Дж.Гордон отмечает: «Что мы действительно находим трудным, так это
    формальное преподавание математики с пристрастием к символам и догме, доходящим до садизма».
    Известно, что для ученого и инженера математика — это орудие,
    для математика-профессионала — религия, а для обычного человека —
    камень преткновения. Будем надеяться, что данный курс поможет подругому взглянуть на математику, вскрыть ее внутреннюю логику и связи.
    Материал .курса разбит на разделы, отдельные темы. Как любое пособие по математике, это также предполагает активную работу читателя
    — решение приложенных упражнений, выполнение индивидуальных
    заданий, которые рецензируются преподавателем.
    Курс математики состоит из следующих разделов:
    I. Основания математики.
    И. Основы математического анализа.
    III. Математические методы.

    Программа курса высшей математики весьма широка, что связано с
    чрезвычайной математизацией современной науки и требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального
    образования. Но, конечно, нет никакой необходимости, чтобы конкретные математические вопросы обсуждались в настоящем курсе на глубоком уровне, соответствующем, например, математической специальности
    университета.
    Работая с этим пособием, а также с другой литературой, обратите
    внимание на определения. Не спешите их запоминать. Попробуйте понять это определение, почувствовать его структуру, его внутреннюю логику. Вы убедитесь, что каждое слово несет определенное необходимое
    содержание и что более лаконично дать определение просто невозможно.
    Не секрет, что можно заучить результаты и доказательства, не вникая в смысл. Особой пользы в таком изучении нет. Можно и разобраться
    в доказательстве, понять, что и зачем делается, но не суметь провести
    аналогичные действия в похожей ситуации. Это уже лучше, чем предыдущий способ изучения, но и этого недостаточно.
    Будем считать материал понятым и изученным, если студент может
    получить самостоятельно аналогичный результат и может его применить
    к решению задач. Ведь когда студент изучает учебник, он усваивает чужие мысли; когда решает задачу, он думает сам.
    Обычно форма отчета - экзамен. Надеемся, что математика и после
    экзамена останется для Вас точным и прекрасным языком, способом выражения мыслей и способом мышления; пусть математика не будет
    предметом, который нужно на экзамене «весь сдать и ничего себе не оставить».
    Как заметил выдающийся русский математик и кораблестроитель
    академик А.Н. Крылов, человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами». Ему прежде всего нужно
    ознакомиться со «столетиями испытанными инструментами и научиться
    ими правильно и искусно владеть».

    Математика—это орудие, специально
    приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными
    понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее
    могуществу.

    П.Дирак

    I. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
    1. Предмет математики. Методологические проблемы и
    принципы
    1.1. Предмет математики
    В литературе известны два подхода к определению предмета математики. Одно определение было дано Ф. Энгельсом, другое — коллективом французских математиков под общим псевдонимом Н. Бурбаки.
    Согласно Ф. Энгельсу, "чистая математика имеет своим объектом
    пространственные формы и количественные отношения действительного
    мира, стало быть, — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо
    затушевывать его происхождение из внешнего мира". Хотя это предложение и нельзя считать полным определением математики, поскольку в
    нем нет указаний ни на метод, ни на цели изучения математики, но оно
    отражает то, что объект изучения создан умом человека не произвольно,
    а в связи с реальным миром.
    Второй подход отражает методологические установки Н.Бурбаки.
    Бурбаки также определяют не математику, а только объекты, которые
    она исследует. Прежде чем привести их определение, отметим, что новый подход к объектам исследования в математике связан с "революцией
    в аксиоматике". Суть ее состоит в переходе от конкретной содержательной аксиоматики к аксиоматике сначала абстрактной, а затем полностью
    формализованной.
    В конкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике
    Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют
    единственную систему хотя и идеализированных, но конкретных объектов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает
    бесчисленное множество интерпретаций. Формализов