• Название:

    решение СЛАУ

  • Размер: 0.24 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Microsoft Word - 1_1_a.doc

1 . Ч И СЛ Е Н Н Ы Е М Е ТОД Ы Л И Н Е Й Н О Й А Л Г Е Б Р Ы
В разделе «Численные методы линейной алгебры» рассматриваются численные
методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

и численные

методы решения задач на собственные значения и собственные векторы матриц.
Среди численных методов алгебры существуют прямые методы, в которых решение
получается за конечное фиксированное число операций и итерационные методы, в
которых результат достигается в процессе последовательных приближений.

1 . 1 . Ч и с л е н н ы е м е тод ы р е ш е н и я СЛ АУ
Из прямых методов решения СЛАУ рассмотрим методы Гаусса и прогонки.
1.1.1. Метод Гаусса
В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных преобразований преобразуется
в верхнюю треугольную матрицу, получающуюся в результате прямого хода. В обратном
ходе определяются неизвестные.
Пусть дана СЛАУ
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a x + a x + ... + a x = b
 21 1
22 2
2n n
2

................................
a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = bn

Запишем расширенную матрицу системы:

Ведущая строка → 








x1

x2

x3 L

xn

a11

a12

a13

a 21

a 22

a 23 L a 2 n

a31

a32

a33 L a3n

L

L

L

L a1n

L

L

a n1 a n 2 a n 3 L a nn
↑ Ведущий столбец

b

a
a
a
b1  (− 21 a11 ); (− 31 a11 );K; (− n1 a11 )

b2 
1

→
b3 
−й шаг

L
bn 

На первом шаге алгоритма Гаусса выберем диагональный элемент a11 ≠ 0 (если он
равен 0, то первую строку переставляем с какой-либо нижележащей строкой) и объявляем
его ведущим, а соответствующую строку и столбец, на пересечении которых он стоит ведущими. Обнулим элементы a 21 ,..., a n1 ведущего столбца. Для этого сформируем числа

(− a 21

a11 ); (− a31 a11 );...; (− a n1 a11 ) . Умножая ведущую строку на число

(− a 21

a11 ) ,

складывая со второй и ставя результат на место второй строки, получим вместо элемента
a 2 j , j = 2, n ,

нуль, а вместо элементов

a 21

b2

– соответственно элементы

j = 2, n , b21 = b2 + b1 (− a 21 a11 ) и т.д. Умножая ведущую строку

a 12 j = a 2 j + a1 j (− a 21 a11 ),

на число (− a n1 a11 ) , складывая с n-ой строкой и ставя результат на место n-ой строки,
получим вместо элемента a n1 нуль, а остальные элементы этой строки будут иметь вид:

bn1 = bn + b1 (− a n1 a11 ) . Сохраняя ведущую строку неизменной,

a 1nj = a nj + a1 j (− a n1 a11 ),

получим в результате 1-го шага алгоритма Гаусса следующую матрицу:

x1

Ведущая строка → 





a11
0
0
L
0

x2

x3 L x n b
a12 a13 L a1n b1 
1
1
a 122 a 123 L a 12 n b21  − a32 a122 ;K; − an 2 a122
1
1
L a31n b31 
a32
a33
2
→
−й шаг

L L L L L
a 1n 2 a 1n 3 L a 1nn bn1 
↑ Ведущий столбец

(

) (

)

На втором шаге алгоритма Гаусса в качестве ведущего элемента выбирается элемент
1
a22
≠ 0 (если он равен нулю, то вторую строку взаимно меняем на нижележащую строку).
1
 a32
  a 1n 2 

Формируются числа  − 1 ;...;  − 1  , которые ставятся около ведущей строки.
 a 22   a 22 

 a1 
Умножая ведущую строку на число  − 132  и складывая результат с третьей строкой,
 a 22 
1
нуль, а вместо элементов a31 j , j = 3, n , b31 , Σ13 – элементы
получим вместо элемента a32

a32 j

=

a31 j

+

1 
 a32
,
1 
a
 22 

a12 j  −

j = 3, n ,

b32

=

b31

1 
 a32
 ,. И так далее. Умножая ведущую
1 
a
 22 

+ b21  −

 a1n 2 
строку на число  − 1  , складывая результат с n-ой строкой и ставя полученную сумму
 a 22 
на место n-ой строки, получим вместо элемента a 1n 2 нуль, а вместо элементов a1nj , bn1 , Σ1n

 a1 
j = 3, n , bn2 = bn1 + b21  − n1 2  . Сохраняя 1-ую и 2-ую
 a 22 

 a1 
- элементы a nj2 = a1nj + a12 j  − n1 2 ,
 a 22 

строки матрицы неизменными, получим в результате второго шага алгоритма Гаусса
следующую матрицу:
x1
 a11
 0

 0

L
 0

Ведущая строка →

x2
a12

x3 L x n b
a13 L a n1 b1 
a 123 L a 12 n b21 
2

→
L a32n b32  3
a33
→ L (
n −1)−й шаг
− й шаг

L L L L
2
a n23 L a nn
bn2 
↑ Ведущий столбец

a 122
0
L
0

После (n-1)-го шага алгоритма Гаусса получаем следующую расширенную матрицу,
содержащую верхнюю треугольную матрицу СЛАУ:
x1

x2

a11
0

0

L
 0

a12

a13

1
22

a

0

a

1
23
2
33

L

L L

0

0

a

x3 L

xn

b

L

a1n

b1

L

a

L

a

1
2n
2
3n

1
2
2
3

L

L a

n −1
nn

b
b

L

bnn −1






L


Прямой ход алгоритма Гаусса завершен.
В обратном ходе алгоритма Гаусса из последнего уравнения сразу определяется x n ,
из предпоследнего - x n−1 и т.д. Из первого уравнения определяется x 1 .
n −1
ann
x n = bnn−1
 n −2
an −1n −1x n −1 + ann−−12n x n = bnn−−12

...................................
a x +...+a x = b
1n n
1
 11 1

⇒ xn
⇒ x n−1
⇒ x1

Замечание 1. Если элементы какой-либо строки матрицы системы в результате
преобразований стали равными нулю, а правая часть не равна нулю, то СЛАУ
несовместна, поскольку не выполняются условия теоремы Кронекера-Капелли.
Замечание 2. Если элементы какой-либо строки матрицы системы и правая часть в
результате преобразований стали равными нулю, то СЛАУ совместна, но имеет
бесконечное множество решений, получающееся с помощью метода Гаусса для СЛАУ
порядка r , где r - ранг матрицы исходной СЛАУ.

Замечание 3. В результате прямого хода метода Гаусса можно вычислить
определитель матрицы A исходной СЛАУ:

2
n −1
det A = (−1) p a11 a 122 a 33
⋅ ... ⋅ a nn

При этом с помощью множителя (−1) p , где p - число перестановок строк в

процессе прямого хода,

учитываются соответствующие перемены знаков вследствие

перестановок строк.

Замечание 4. Метод Гаусса можно применить для обращения невырожденной
( det A ≠ 0 ) матрицы.
Действительно, пусть требуется обратить невырожденную матрицу

A = [aij ] ,

i, j = 1, n . Тогда, сделав обозначение A −1 = X , X = [ xij ] , i, j = 1, n , можно выписать
1
0
матричное уравнение AX = E , где E - единичная матрица E = 
...

0

0
1
...
0

...
...
...
...

0
0 
, на основе
...

1

которого можно записать цепочку СЛАУ
 x11   1 
   
 x 21   0 
A⋅  =  ,
...
...
   
 x   0
 n1   

 x12   0 

  
 x 22   1 
,
=
A⋅
...   ...

  
x  0
 n2   

 x1n   0 
   
x  0
… A ⋅  2n  =   ,
...
...
   
x  1
 nn   

каждую из которых можно решить методом Гаусса. При этом, поскольку верхняя
треугольная матрица для всех этих СЛАУ будет одной и то же, то метод Гаусса
применяется один раз. Строится следующая расширенная матрица:
x1n

x2n

...
x12
x11

...
x 22
x 21

... x nn
... ...
... x n 2
... x n1 b1 b 2

a11
a 21
...
a n1

a12
a 22
...
an2

... a1n
... a 2 n
... ...
... a nn

1
0
...
0

0
1
...
0

.
...
...
...
...

bn
0
0
... ...
1

В результате применения (n − 1) -го шага метода Гаусса получаем:

x1n

x2n

...
x12
x11

...
x 22
x 21

... x nn
... ...
... x n 2
... x n1

a11

a12
a122
...
0

... a1n b11 b12
1
1
b22
... a12 n b21
...
...
... ...
n −1
bnn1−1 bnn2−1
... a nn

...
0

b1

b2

При этом первый столбец ( x11

L bn

... b1n
... b21n
... ...
n −1
... bnn

...

x 21 ... x n1 ) T

обратной матрицы определяется в

обратном ходе метода Гаусса с правой частью b1 , столбец ( x12
частью b 2 и так далее. Столбец ( x1n

x2n

x 22

... x n 2 ) T - с правой

... x nn ) T определяется с правой частью b n .

П
Пример 1.1. Методом Гаусса решить СЛАУ.
10 x1 + x 2 + x3 = 12

2 x1 + 10 x 2 + x3 = 13
2 x + 2 x + 10 x = 14
2
3
 1

Р е ш е н и е.
Прямой ход:
x1

x2

x3

10 1 1

 2 10 1
 2 2 10

x1

x2

b
12
13
14

x3

1
10 1

 0 9,8 0,8
 0 1,8 9,8


b
12
10,6
11,6

 (−2 / 10); (−2 / 10)

1
→

−й шаг


x1

x2

x3

1
10 1



→  0 9,8 0,8
 (−1,8 / 9,8) 2
−й шаг
 0 0 9,653




b
12
10,6
9,653







Обратный ход:
9,653x3 = 9,653,

x3 = 1

9,8 x 2 + 0,8 x3 = 10,6,

x2 = 1

x1 = 1.
10 x1 + x 2 + x3 = 12,
Ответ: x1 = x 2 = x3 = 1 .
Пример 1.2. Методом Гаусса вычислить определитель матрицы и обратить
матрицу СЛАУ из примера 1.1.
Р е ш е н и е.

 10 1 1 


A =  2 10 1  ;
 2 2 10 


Прямой ход.
x13 x 23 x33

x12

x 22

x 23

x11

x 21

x31

b1 b 2 b 3

10

 2
 2


1
10
2

1
1
10

1
0
0

x13

x 23

x33

x12

x 22

x 23

x11

x 21

x31

10

0
0


1
9,8
1,8

x13

x 23

x33

x12

x 22

x32

x11

x 21

x31

1
0,8
9,8

0 0
1 0
0 1

det A = 10 ⋅ 9.8 ⋅ 9.65 = 945.994

 (−2 / 10); (−2 / 10)

1
→

−й шаг



b1

b 2 b3

1
− 0,2
− 0,2

0 0
1 0
0 1

b1

(точное значение 946).



→
 (−1,8 / 9,8) 2
−й шаг



b2

b3

0
0
1
1
1

10


− 0,2
0
1

 0 9,8 0.8

0
0 9,653 − 0,163 − 0,184 1


Обратный ход:
9,653 x31 = −0,163
9,653 x32 = −0,184
9,653 x33 = 1



9,8 x 21 + 0,8 x31 = −0,2 9,8 x 22 + 0,8 x32 = 1
9,8 x 23 + 0,8 x33 = 0
10 x + x + x = 1
10 x + x + x = 0 10 x + x + x = 0
21
31
22
32
23
33
 11
 12
 13
− 0.0085 − 0.0095 
 x11 x12 x13   0.104




Отсюда A −1 =  x 21 x 22 x 23  =  − 0.019
− 0.0085 
0.104
 x
 
0.104 
 31 x32 x33   − 0.0169 − 0.019
− 0,0085 − 0,0095   1,004
0
0,0005 
10 1 1   0,104






Проверка: A ⋅ A −1 =  2 10 1  ⋅  − 0,019
− 0,0085  =  0,001 1,004
0,104
0 ,
 2 2 10   − 0,0169 − 0,019
0,104   0,001 0,001 1,004 

 
т.е. с точностью до ошибок округления получена единичная матрица.

Замечание 5. Компьютерная реализация метода Гаусса часто осуществляется с
использованием LU-разложения матриц.

LU – разложение матрицы A представляет собой разложение матрицы A в
произведение нижней и верхней треугольных матриц, т.е.
A = LU ,

где L - нижняя треугольная матрица (матрица, у которой все элементы, находящиеся
выше главной диагонали равны нулю, lij = 0 при i < j ), U - верхняя треугольная матрица
(матрица, у которой все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю,
u ij = 0 при i > j ).
LU – разложение может быть построено с использованием описанного выше метода
Гаусса. Рассмотрим k - ый шаг метода Гаусса, на котором осуществляется обнуление
поддиагональных элементов k - го столбца матрицы A ( k −1) .

Как было описано выше, с

этой целью используется следующая операция:
a ij( k ) = a ij( k −1) − µ i( k ) a kj( k −1) ,

µ i( k ) =

aik( k −1)
, i = k + 1, n , j = k , n .
a kk( k −1)

В терминах матричных операций такая операция эквивалентна умножению
A ( k ) = M k A ( k −1) , где элементы матрицы M k определяются следующим образом
 1, i = j

m =  0, i ≠ j , j ≠ k .
− µ ( k ) , i ≠ j , j = k
 k +1
k
ij

0
1

1
0
0
0
Т.е. матрица M k имеет вид 
0
0
 ... ...

0
0


0

0

0

0

0

0

1

0

0

−µ
...

1 0
... ...

− µ n( k )

0

(k )
k +1

0

0

0
0
.
0
...
1 

При этом выражение для обратной операции запишется в виде A ( k −1) = M −k1A ( k ) , где

M k−1

0
1

1
0
0
0
=
0
0
 ... ...

0
0


0

0

0

0

0

0

1

0

0

µ k( k+1)
...

µ n( k )

1 0
... ...
0

0

0

0
0

0
...
1 

В результате прямого хода метода Гаусса получим A ( n −1) = U ,
A = A ( 0) = M 1−1 A (1) = M 1−1 M 2−1 A ( 2 ) = M 1−1 M 2−1 ...M n−−11 A ( n −1) ,

где A ( n −1) = U - верхняя треугольная матрица, а L = M 1−1 M 2−1 ...M n−−11 - нижняя треугольная
 1
 (1)
 µ2
 µ (1)
матрица, имеющая вид L =  3
 ...
 ...

 µ (1)
 n

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

... µ
...

1
...

0
...

µ

( 2)
3

...
...

µ n( 2)

(k )
k +1

µ n( k )

µ n( k +1) ... µ n( n −1)

0

0
0
.
0
...
1 

Таким образом, искомое разложение A = LU получено.
В частности, для рассмотренного выше примера 1.1. LU – разложение матрицы А
0 0  10 1
1 
10 1 1   1

 
 

имеет вид A =  2 10 1  =  0,2 1 0  ⋅ 
9,8 0,8  = LU
 2 2 10   0,2 0,18 1  
9,65 

 
 

В дальнейшем LU – разложение может быть эффективно использовано при решении
систем линейных алгебраических уравнений вида Ax = b . Действительно, подставляя LU
– разложение в СЛАУ, получим LUx = b , или Ux = L−1b . Т.е. процесс решения СЛАУ
сводится к двум простым этапам.
На первом этапе решается СЛАУ Lz = b . Поскольку матрица системы - нижняя
треугольная, решение можно записать в явном виде:
i −1

z1 = b1 , z i = bi − ∑ l ij z j , i = 2, n .
j =1

На втором этапе решается СЛАУ Ux = z с верхней треугольной матрицей. Здесь, как
и на предыдущем этапе, решение представляется в явном виде:
z
1
( zi −
x n = n , xi =
u nn
u ii

n

∑u

j =i +1

ij

x j ) , i = n − 1,1 .

Отметим, что второй этап эквивалентен обратному ходу методу Гаусса, тогда как
первый соответствует преобразованию правой части СЛАУ в процессе прямого хода.

1.1.2. Метод прогонки

Метод прогонки является одним из эффективных методов решения СЛАУ с трех диагональными матрицами, возникающих при конечно-разностной аппроксимации задач
для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных
производных второго порядка и является частным случаем метода Гаусса. Рассмотрим
следующую СЛАУ:
a1 = 0 b1 x1 + c1 x 2 = d1
a x + b x + c x = d
2 2
2 3
2
 2 1

a3 x 2 + b3 x3 + c3 x 4 = d 3

.........................................................................

a n −1 x n− 2 + bn −1 x n −1 + c n −1 x n = d n −1


a n x n −1 + bn x n = d n ,
c n = 0,

(1.1)

решение которой будем искать в виде
xi = Pi xi +1 + Qi ,

i = 1, n

(1.2)

где Pi , Qi , i = 1, n - прогоночные коэффициенты, подлежащие определению. Для их
определения выразим из первого уравнения СЛАУ (1.1) x1 через x 2 , получим:
x1 =

d
− c1
x 2 + 1 = P1 x 2 + Q1 ,
b1
b1

P1 =

d
− c1
, Q1 = 1 .
b1
b1

(1.3)

откуда

Из второго уравнения СЛАУ (1.1) с помощью (1.3) выразим x 2 через x3 , получим:
x2 =

d − a 2 Q1
− c2
x3 + 2
= P2 x3 + Q2 ,
b2 + a 2 P1
b2 + a 2 P1

P2 =

d − a 2 Q1
− c2
, Q2 = 2
.
b2 + a 2 P1
b2 + a 2 P1

откуда

Продолжая этот процесс, получим из i-го уравнения СЛАУ (1.1):
xi =

d − ai Qi −1
− ci
,
xi +1 + i
bi + ai Pi −1
bi + ai Pi −1

следовательно
Pi =

d − ai Qi −1
− ci
, Qi = i
.
bi + ai Pi −1
bi + a i Pi −1

Из последнего уравнения СЛАУ имеем
xn =

− cn
d − a n Qn −1
x n +1 + n
= 0 ⋅ x n +1 + Qn ,
bn + a n Pn −1
bn + a n Pn −1

то есть
Pn = 0 (т.к. c n = 0 ), Qn =

d n − a n Qn −1
= xn .
bn + a n Pn −1

Таким образом, прямой ход метода прогонки по определению прогоночных
коэффициентов Pi , Qi , i = 1, n

завершен. В результате прогоночные коэффициенты

вычисляются по следующим формулам:
Pi =

− ci
d − ai Qi −1
, Qi = i
,
bi + ai Pi −1
bi + a i Pi −1
P1 =

i = 2, n − 1;

d
− c1
, Q1 = 1 , так как a1 = 0, i = 1;
b1
b1

Pn = 0, т.к. c n = 0 , Qn =

d n − a n Qn −1
, i = n.
bn + a n Pn −1

(1.4)
(1.5)
(1.6)

Обратный ход метода прогонки осуществляется в соответствии с выражением (1.2)
 x n = Pn x n +1 + Qn = 0 ⋅ x n +1 + Qn = Qn
x = P x + Q
n −1 n
n −1
 n −1
 x n −1 = Pn − 2 x n −1 + Qn − 2
LLLLLLLLLL

 x1 = P1 x 2 + Q1 .

(1.7)

Формулы (1.4)-(1.7) - формулы правой прогонки.
Аналогично, начиная с последнего уравнения СЛАУ (1.1) можно вывести формулы
левой прогонки.
Общее число операций в методе прогонки равно 8n+1, т.е. пропорционально числу
уравнений. Такие методы решения СЛАУ называют экономичными. Для сравнения число
операций в методе Гаусса пропорционально n 3 [1].
Для устойчивости метода прогонки (1.4)-(1.7) достаточно выполнение следующих
условий [2]:
ai ≠ 0 , ci ≠ 0 , i = 2, n − 1
bi ≥ ai + ci ,

i = 1, n ,

(1.8)

причем строгое неравенство имеет место хотя бы при одном i . Здесь устойчивость
понимается в смысле ненакопления погрешности решения в ходе вычислительного

процесса при малых погрешностях входных данных (правых частей и элементов матрицы
СЛАУ).
Пример 1.3. Методом прогонки решить СЛАУ
8 x1 − 2 x 2 = 6
− x + 6 x − 2 x = 3
 1
2
3

2 x 2 + 10 x3 − 4 x 4 = 8
− x3 + 6 x 4 = 5
Р е ш е н и е.
−c
d
2
P1 = 1 = = 0,25, Q1 = 1 = 0,75;
8
b1
b1
− c2
d − a 2 Q1 (3 + 1 ⋅ 0,75)
2
=
= 0,6522;
=
= 0,3478, Q2 = 2
P2 =
5,75
b2 + a 2 P1
b2 + a 2 P1 6 − 1 ⋅ 0,25
− c3
d − a 3 Q2
= 0,374, Q3 = 3
= 0,626;
P3 =
b3 + a3 P2
b3 + a3 P2
d − a 4 Q3
= 1,0;
P4 = 0 (c 4 = 0), Q4 = 4
b4 + a 4 P3
x 4 = P4 x5 + Q4 = 1,0, x3 = P3 x 4 + Q3 = 1,0, x 2 = P2 x3 + Q2 = 1,0 ,
x1 = P1 x 2 + Q1 = 1,0 .

1.1.3. Нормы векторов и матриц

Для исследования сходимости численных методов решения задач линейной алгебры
вводятся понятия нормы векторов и матриц.
Нормой вектора x = ( x 1, x 2 ,K, x n )T (обозначают x ) в n-мерном вещественном
пространстве векторов x ∈ R n называют неотрицательное число, вычисляемое с помощью
компонент вектора и обладающее следующими свойствами:
а) x ≥ 0 ( x = 0 тогда и только тогда, когда x - нулевой вектор x = ϑ );
б) α ⋅ x = α ⋅ x для любых действительных чисел α ;
в) x + y ≤ x + y .
Нормой

матрицы An×n (обозначается

A ) с вещественными элементами в

пространстве матриц называют неотрицательное число, вычисляемое с помощью
элементов матрицы и обладающее следующими свойствами:
а) A > 0 ( A = 0 тогда и только тогда, когда А - нулевая матрица A = Θ );
б) α ⋅ A = α ⋅ A для любых действительных чисел α ;
в) A + B ≤ A + B для всех n × n матриц A и B рассматриваемого пространства;
г) A ⋅ B ≤ A ⋅ B для всех n × n матриц A и соответствующих матриц B .
Как видно из последнего свойства (если в качестве матрицы B использовать вектор
x ), норма матриц должна быть согласована с нормой векторов. Это согласование

осуществляется связью
Ax ≤ A x .

(1.9)

Наиболее употребительными являются следующие нормы векторов:
n

x 1 = ∑ xi ,

(1.10)

i =1

x2 =

n

∑ xi2

= ( x, x ) .

(1.11)

i =1

x c = max xi ,
i

(1.12)

Наиболее распространенными согласованными с ними с помощью связи (1.9)
нормами матриц будут соответственно:

n

A 1 = max ∑ aij ,
j

i =1

n

∑ aij2

A2 =

(1.13)

.

(1.14)

i , j =1

n

A c = max ∑ aij ,
i

(1.15)

j =1

Отметим, что норма (1.15) согласована со всеми приведенными выше нормами векторов.
Для исследования погрешностей, возникающих при решении СЛАУ, вводят понятие
числа обусловленности матрицы cond (A) [1]:

cond ( A ) = A ⋅ A −1
Число

обусловленности

характеризует

степень

зависимости

относительной

погрешности решения СЛАУ от погрешности входных данных (правые части, элементы
матрицы). Можно показать что для ненулевых векторов x справедливы следующие
неравенства:
∆x
x

∆b

≤ condA

b

,

∆x
x

≤ condA

∆A
A + ∆A

Таким образом, чем больше число обусловленности, тем сильнее влияние
погрешности входных данных на конечный результат. Матрица считается плохо
обусловленной, если cond (A)>>1.
Если в качестве нормы матрицы принять ее спектральный радиус max λ i (см. раздел
i

1.2 настоящего пособия), то
cond ( A ) = max λ i
i

1
≥1
min λ i
i

поскольку спектральный радиус обратной матрицы A −1 равен обратной величине
минимального собственного значения исходной матрицы.
Пример 1.4.
Для матрицы A и вектора b вычислить различные нормы ⋅ 1 , ⋅ 2 , ⋅ c . Проверить
выполнение условия согласованности норм Ax ≤ A x для различных комбинаций норм.
Вычислить число обусловленности матрицы A .

−1 2 
 3
A=
 , b=  .
 3 − 5
 − 4
Решение.
Вычислим соответствующие нормы:
b 1 = 3 + − 4 = 7 , b 2 = (3 2 + ( −4) 2 )1/ 2 =5, b c = max( 3 , − 4 ) = 4 .

A 1 = max( − 1 + 3 , 2 + − 5 ) = 7 , A 2 = (( −1) 2 + 32 + 2 2 + ( −5) 2 )1/ 2 = 39 ,
A c = max( − 1 + 2 , 3 + − 5 ) = 8 .
Для проверки условия согласованности вычислим различные нормы вектора
 − 11
c = Ab = 
.
 29 
c 1 = − 11 + 29 = 40 , c 2 = (( −11) 2 + 29 2 )1/ 2 = 962 , c c = max( − 11 , 29 ) = 29.
Легко убедиться в том, что условие согласованности выполняется для согласованных
норм:
c 1 = 40 ≤ A 1 b 1 = 7 ⋅ 7 = 49 , c 2 = 962 ≤ A 2 b 2 = 39 ⋅ 5 = 975 ,
c c = 29 ≤ A c b c = 8 ⋅ 4 = 32.
Кроме того, известно что матричная норма A c согласована со всеми введенными выше
нормами векторов. В данном примере это подтверждается выполнением неравенств:
c 1 = 40 ≤ A c b 1 = 8 ⋅ 7 = 56 , c 2 = 962 ≤ A c b 2 = 8 ⋅ 5 = 40 .
В то же время использование ряда других комбинаций норм матрицы и вектора приводит
в данном случае к нарушению условия согласованности:
c c = 29 > A 1 b c = 7 ⋅ 4 = 28 , c c = 29 > A 2 b c = 39 ⋅ 4 .
Рассмотренный пример наглядно иллюстрирует важность использования согласованных
норм матрицы и вектора.
Вычислим число обусловленности матрицы A , взяв в качестве нормы матрицы ⋅ c . Для
этого найдем сначала обратную матрицу:
 5 2
A −1 = 

 3 1
и вычислим ее норму:
A −1 = max( 5 + 2 , 3 + 1 ) = 7 .
c

В результате
cond ( A) = A

c

A −1

c

= 8 ⋅ 7 =56.