• Название:

    Высшая математика для чайников. Предел функции....

  • Размер: 10.77 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Название: Microsoft Word - Высшая математика

2011
год
Высшая математика для
чайников. Предел функции.

Виосагмир И.А.
Предел функции
2011 год

viosagmir@gmail.com

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Предел функции
Введение

Ну что же… Я приветствую Вас в своей первой книге, посвященной пределам функции. Это
первая часть из моей будущей серии “высшая математика для чайников”. Название книги уже
должно Вам многое о ней рассказать, но Вы его можете совершенно не так понять. Эта книга
посвящена не “чайникам”, а всем тем, кому нелегко понять то, что творят профессоры в своих
книгах. Я уверен, что Вы меня понимаете. Я сам находился и нахожусь в такой ситуации, что
просто вынужден прочитывать одно и то же предложение несколько раз. Это нормально? Я
думаю – нет.
Так чем же моя книга отличается от всех других? Во-первых, здесь нормальный язык, а не
“заумный”; во-вторых здесь разобрана масса примеров, которая, кстати, наверняка, пригодится
вам; в-третьих, текст имеет существенное различие между собой – главные вещи выделены
определенными маркерами, и наконец, моя цель лишь одна – ваше понимание. От Вас требуется
только одного: желания и умения. “Умения?” – спросите Вы. Да! Умения
и
.

Вообще рекомендуется завести отдельно тетрадку листов этак на 65, и все в ней писать.
Все, что написано в этой книге. Результат будет впечатляющим, это я Вам обещаю. Так же лучше
пользоваться разноцветными фломастерами. Ну что же, господа… Я хочу Вам пожелать успехов и
понимания. Если Вы добьете эту книгу, Вы сможете многое!!!

В моей книге будут встречаться некоторые обозначения. Крайне рекомендую им
следовать.

- учить обязательно!

- рекомендуется попробовать сделать самим.

- можно не учить, но нужно понять!

1

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Содержание

Предел функции в точке………………………………………………………………………………………………….3
Теоремы о пределах………………………………………………………………………………………………………..13
Односторонние пределы………………………………………………………………………………………………..14
Предел при  → ∞…………………………………………………………………………………………………………..17

Бесконечно большие функции…………………………………………………………………………………………25
Графики элементарных функций…………………………………………………………………………………..26

Непрерывность функции в точке………………………………………………………………………………….31
Непрерывность сложной функции………………………………………………………………………………..33
Классификация точек разрыва………………………………………………………………………………………36
Непрерывность элементарных функций………………………………………………………………………41
Первый замечательный предел……………………………………………………………………………………..42
Второй замечательный предел……………………………………………………………………………………..47
Кратко о Maple………………………………………………………………………………………………………………..52

Сравнение бесконечно малых функций…………………………………………………………………………..55
Свойства символа “o малое”…………………………………………………………………………………………..60
Асимптотические формулы……………………………………………………………………………………………64

2

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Глава 1. Предел функции.
1. Предел функции в точке.
Содержание:
1)
2)
3)
4)
5)
6)

Предел функции в точке
Теоремы о пределах
Односторонние пределы
Предел, при  → ∞
Бесконечно большие функции
Графики элементарных функций

Пусть   числовая переменная величина,  
область ее изменения. Если каждому числу  ∈ 
поставлено в соответствие некоторое число , то
говорят, что на множестве  определена функция, и
пишут 
 .

 независимая переменная (аргумент).
 область определения функции .
частное значение функции  в
точке.

Надеюсь это Вам понятно, но я на всякий случай
поясню. Множество  в данном случае – плоскость,
состоящая из двух координатных осей – 0X и 0Y. Это
вам должно быть известно еще со школы. Если Вы
забыли это, открывайте класс 7 – 8 и повторяйте. Для
примера, на рис. 1 изображена функция   . Оси
0X и 0Y образуют   область ее изменения. Мы
прекрасно видим на рис. 1, как ведет себя функция. В
таком случае говорят, что на множестве  определена
функция    .

Рис. 1

Совокупность
всех частных значений функции называется множеством значений
 .

Другими словами, множество значений – это промежуток по оси OY, где определена функция. Для
примера, рассмотрим рис. 1.
   – отсюда сразу видно, что
  0, т.к.    0. На рисунке
это явно видно. В данном случае область значений 0; ∞. Запомните, множество значений
смотрим по 0Y!
Совокупность всех  называется областью определения
 .

Делаем вывод из предыдущих соображений и понимаем, что множество определений смотрим
по 0. В нашем случае ОДЗ = ∞; ∞.
Точка   ∈  или    называется предельной точкой множества , если в любой
окрестности точки  имеются точки множества , отличные от .
Здесь я дополнять ничего не буду. И так все ясно. Можно лишь добавить, что в нашем случае  
предельная точка множества   области определения функции
 .
3

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Так, давайте перед определением я в общих словах объясню, что такое предел функции. Число b,
к которому стремится функция при стремлении x к числу , называется пределом функции. Вот так
это все записывается:
lim
 

→

Например,
   . Нам нужно узнать, к чему стремится (не равна!) функция, при  → 2.
Сначала запишем предел:
lim
 lim  

→

→

Теперь пришло время взглянуть на график. Проведем параллельно 0
линию через точку 2 на оси
0. Она пересекла наш график в точке 2; 4 . Опустим из этой точки на ось 0
перпендикуляр и…
опа! Какое там значение? Все правильно, 4. Вот к чему стремится наша функция, при  → 2.

Сложно? Ну, нет, конечно! Вы, наверное, заметили, что если подставить в функцию
 значение
2, то ответ будет таким же. Совершенно верно. Так и решаются эти “сложные” лимиты. Не
забывайте проверять на определенность! Определенность, это, когда у нас есть понятный
результат. Неопределенность, когда нет понятного результата. Например:  или  – все это




неопределенность. Это очень важно, никогда не забывайте про это! Следовательно, у Вас должна
быть в тетради вот такая запись (не забудьте нарисовать и рисунок):
lim
 lim   2  4

→

→

Ну, с этим, в общем, все понятно. Потренируйтесь и посчитайте вот такие вот пределы:
1
√

lim ! # ; lim   ; lim  
 ; lim 
→ 
→
→
→ 

То же самое происходит и для случая, когда  → ∞ или к другому бесконечному числу:
lim
 ∞  ∞

→


А вот пример, где есть неопределенность:
lim

→

sin 


Если мы подставим под  значение, равное 0, то вот, что у нас получится:  . А это


неопределенность, следовательно, решать мы не имеем права! Потом я Вас научу, как раскрывать
неопределенность. Сейчас же вы должны не забывать про это. Подставили и проверили.
Решается? Значит – определенность. Не решается? Ну что же, тогда потом решите. Когда все
пройдете.
Давайте перейдем к формальностям, то есть к определениям.

4

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ

 ,
 , 0 , 1 , ∞ , 0 ∙ ∞, ∞  ∞




Определение 1 (предел функции по Коши)
Число b называется пределом функции  в точке  (при  → ), если
∀   0 ∃   0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условиям   ,
0  |  |  , выполняется неравенство |  |  .

№1. Доказать, что lim→ sin  0.

Для удобства, давайте сформулируем теорему (по Коши) для нашего случая. Вот, что у нас
получится:
Число 0 называется пределом функции   sin  в точке 0 (при  →
0), если ∀   0 ∃   0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условиям
  , 0  ||  , выполняется неравенство |sin |  .

Воспользуемся неравенством |sin | ( || ∀ . Зададим произвольное *  0 и положим
+ *. Тогда если || , +, то |sin | ( || , + *. Это и означает (согласно определению
функции по Коши), что lim→ sin  0.

По этому поводу в принципе объяснить нечего. Что касается |sin | ( ||  это просто
нужно запомнить. Что касается *  это очень маленькое число, находящееся в
окрестности.

№2. С помощью “*  +” – рассуждений доказать, что lim→   4. Заполнить следующую
таблицу:
*
+

0.1

0.01

0.001

5

0.0001



Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Пусть *  0  произвольно. Тогда

|   4| |   2   4   2 | ( |  2|  4|  2| ( *,

как только 0 , |  2| , √4  *  2
выполняться, если
*

√4  *  2



*

2√4  *





. Последнее неравенство тем более будет

√



*

2√4  4*  * 



*
+ *  |  2|.
2 2  *

Так, давайте все-таки рассмотрим
этот пример более подробно.
1) Распишем определение:
Число 4 называется пределом
функции
   в точке 2 (при
 → 2), если ∀ *  0 ∃ +  0 такое,
что
∀ ,
удовлетворяющего
условиям  0 , 0 , |  2| , +,
выполняется
неравенство
|   4| , *.
2) Упростим:
a) Условие:

0 , |  2| , + ⟺ + ,   2 , + ⟺ 2  + ,  , 2  +

b) неравенство:

|   4| , * ⟺ * ,    4 , * ⟺ 4  * ,   , 4  *
3) Поймем:

Число 4 называется пределом функции
   в точке 2 (при  → 2), если ∀ *  0
∃ +  0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условиям  0 , 2  + ,  , 2  +,
выполняется неравенство 4  * ,   , 4  *.

Все! Прочтите последнее определение, которое мы написали, используя график. Верно?
Ну конечно верно! Этот способ я написал специально для вас, для понимания. Ни в какой
литературе вы такого не найдете. Поэтому, если хотите по-настоящему все это
быстро решать – пожалуйста! Да, объяснить, как это делается аналитически, я не
6

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

уверен, что смогу. Пример я вам написал, теперь вы должны в нем сами разобраться,
используя мой графический способ. Все строится от понимания, господа. Сейчас
попробую объяснить все на аналитическом уровне.
№3. Для закрепления.
Доказать, используя определение Коши предела функции, что
  − 16
=2
→   − 4
lim

Шаг 1:

Зададим функцию
(), которая является у нас выражением, стоящим у нас под
знаком предела:

 =

  − 16
  − 4

Поскольку мы рассматриваем предел, стремящийся к 4, нужно рассмотреть
некоторую окрестность 4-ки, которая для данной функции определена. Например,
интервал от 2 до 5.
4 0 (2, 5)
Но! Заметьте, что функция у нас определена не всюду! Она не определена в 0 и при
 = 4. Надеюсь, Вы это понимаете, но на всякий случай распишу:   − 4 ≠ 0 →
≠0
  − 4 ≠ 0 → 2
. Надеюсь все понятно. Так, отвлеклись, так что быстро идем
≠4
дальше. Мы можем в принципе рассмотреть любой интервал, но нам такой
удобнее 4 0 (2, 5).

Шаг 2:

Запишем определение предела функции
() по Коши.

∀* > 0, ∃+ > 0: ∀ ≠ 4, | − 4| < + ⇒ |
 − 2| < *

Это значит: для любого * мы должны найти такое +, что как только x у нас
отлично от 4 и x-4 по модулю не превосходит + ⇒ |
 − 2| должно не
превосходить *.

Шаг 3:

Преобразуем выражение |
 − 2|,  ≠ 4.

7

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

|
 − 2| = 3

| − 4|
+4
  − 16
− 23 = 4
− 24 =

 − 4



Эти преобразования нетрудно проделать самостоятельно. Надеюсь, у вас не
вызывает это трудности.
Итак, ∀* > 0, ∃+ > 0: ∀ ≠ 4, | − 4| < + ⇒ |
 − 2| < *

и |
 − 2| =

Заметьте, информации все больше и больше!

Шаг 4:

||


.

Оценим сверху выражение |
 − 2|,  ≠ 4,  ∈ (2, 5).
3

| − 4|
  − 16
− 23 <

 − 4
2

, т.к. 5మ  − 25 =

||

 మ 

||

||





||

Здесь самое главное не запутаться.  ∈ 2, 5 −это условие мы поставили еще в

Поняли? Мы оцениваем



. Следовательно,

начале. Отсюда идет сравнение дробей. Что больше

||


или

>



.

, где  ∈ 2, 5 .

||


Конечно первая дробь. Где знаменатель меньше, там дробь больше (при
одинаковых числителях).
Шаг 5:

Зададим + = 2*. Здесь мы можем брать и просто *, може взять и 5*. В данном
случае нам удобнее всего, когда + = 2*.
Итак, вот что мы сейчас имеем:

∀ 0 2, 5 0 < | − 4| < + |
 − 2| <

+
=*
2

Вывод:
Все! Мы доказали, что предел равен 2. Вывод один: если хотите решать все это,
берите еще раз и решайте. И так до тех пор, пока не поймете. Я попытался описать,
как это доказывается аналитически. Можете посмотреть на это все и с графической
точки зрения, не забыв все упростить.

Информация:
Вообще, честно говоря, от Вас таких доказательств не должны требовать. Они
слишком уж “плавающие”. Если Вам все же интересна эта тема, откройте любой
8

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

учебник и посмотрите там материал. Соответственно, Вы ничего не поймете, если не
напишете собственноручно решение + графики. Это Вам небольшая подсказка.
Нарисуйте! И все сразу станет ясно.

№1. Я забегаю немного вперед, но хотелось бы решить этот предел:
   16
→    4
lim

Если мы подставим 4 под , у нас получится неопределенность:

   16
0
7 8  неопределенность!

→   4
0
lim

Что делать? Все просто. А давайте ка упростим дробь!

   16   4   4   4


   4
   4


Все! Теперь, если мы подставим 4, у нас будет определенность, а, следовательно, мы можем
решать.
   16
4
8
lim
7 8 2
→    4
→ 
4
lim

Вывод: от неопределенности мы избавляемся с помощью преобразований.
№2. Посчитать предел:

  4
lim
→    6  16

Здесь все очень просто. Разложим на множители числитель и знаменатель. Рассказываю первый и
последний раз, как это делать.
Что бы разложить знаменатель на множители, мы должны приравнять его к нулю и просто решить
уравнение. Давайте сделаем это.
   6  16 0

Что бы решить квадратное уравнение, прежде всего нужно найти дискриминант по формуле:
D    4E
9

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

, , E − элементы квадратного уравнения. В общем виде квадратное уравнение выглядит так:
  +  + E = 0

Следовательно, в нашем случае  = 1,  = 6, E = −16. Подставляем значения и находим
дискриминант:
D = 36 + 4 ∙ 1 ∙ 16 = 100

Далее находим корни квадратного уравнения, используя формулу
, =

− ± √D
2

Подставляем и получаем:
−6 + 10
 =
= 2
−6 ± 10
2
, =
=F
−6 − 10
2
 =
= −8
2
Корни нашли, а значит мы очень близки к разложению на множители квадратного многочлена.
Сначала запишем формулу:
  +  + E = ( −  )( −  )

Заметим, что не всякий многочлен можно так расписать. В данном случае у нас нет никаких
противоречий, и, следовательно, это можно делать. Таким образом:
  + 6 − 16 = ( − 2)( + 8)

Вот эту вещь вы должны уметь делать очень быстро. Ну, максимум – минута. Так что, если есть
проблемы, сразуже их решайте.
В числитиле можно тоже разложить на множители. Это сделать гораздо проще, так как там
разность квадратов. Напоминаю формулу:

Таким образом:

И получаем наш предел:

 −   = ( − )( + )
  − 4 = ( − 2)( + 2)

 − 4
( − 2)( + 2)
( − 2)( + 2)
+2
4
2
= lim
= lim
= lim
=
=

→  + 6 − 16
→ ( − 2)( + 8)
→ ( − 2)( + 8)
→  + 8
10 5
lim

Как видите, в общем-то решение в одну строчку.
№3. Посчитать предел:

10

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

  + 5 + 4
( + 1)( + 4)
( + 1)( + 4)
+4
3
= lim
= lim
= lim
= − = −1

→ 2 +  − 1
→ (2 − 1)( + 1)
→ (2 − 1)( + 1)
→ 2 − 1
3
lim

№4. Посчитать предел:

  −   + 2  − 5 + 3
lim
→
  + 4  − 7 + 2

Здесь я вас хочу научить одной хитрой штучке. Как разложить на множители многочлен, у
которого степень > 2? По дискриминанту мы этого делать не можем – он только для квадратных
уравнений. Так что же делать? Объясняю: что бы разложить наш числитель на множители, нам
достаточно найти хотя бы один корень. В данном случае нам ничего не остается делать, как
подбирать.
  −   + 2  − 5 + 3 = 0

Когда равенство верно? Немного подумав, мы отвечаем: когда  = 1. Верно? Подставьте 1 в
уравнение и вы убедитесь в этом. Далее мы имеем право разложить наш многочлен на
множители:
  −   + 2  − 5 + 3 = ( − 1) ∙ G()

G  − функция, которую нам предстоит найти. Решаем уравнение относительно G(). Получаем:
G  =

  −   + 2  − 5 + 3
−1

Ну а теперь просто делим одно на другое в столбик!







  −   + 2  − 5 + 3
 − 
2  − 5 + 3

2  − 2
−3 + 3

−1

  + 2 − 3 = G()

−3 + 3
0

Таким образом, наша функция раскладывается так:

  −   + 2  − 5 + 3 = ( − 1) ∙ (  + 2 − 3)

То же самое делаем с знаменателем и получаем:

  + 4  − 7 + 2 = ( − 1)(  + 5 − 2)
11

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Итого:

      2   5  3
  1    2  3
   2  3 1  2  3 0

lim

lim

0
→
→   1    5  2
→    5  2
   4   7  2
152 4
lim

№5. Посчитать предел:

sin   cos 
sin   cos 
sin   cos 
sin   cos  cos 
lim
lim
lim
lim cos 
sin

sin


cos

cos

tg   1
sin   cos 
→
→
→
→
→






cos  cos 
cos 
√2

2
lim

Определение 2 (предел функции по Гейне)
Число b называется пределом функции  в точке , если для любой
сходящейся к  последовательности  ! такой, что  ∈ ,  # ,
соответствующая последовательность значений функции  !
сходится к b.
Обозначение: lim→    или  →  при  → .

Предел функции по Гейне редко можно встретить где-нибудь в практике. От Вас требуется лишь
одно – выучить его на всякий случай. Может быть и пригодится.

Подчеркнем, что понятие предела функции в точке  вводится только для предельных точек 
области определения функции. Отметим, что при этом функция может быть и не определена в
точке , т.е., вообще говоря,  не принадлежит .

12

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

2. Теоремы о пределах

Определения 1 и 2 предела функции эквивалентны.

Пусть
 и O  определены в некоторой окрестности точки , кроме, может
быть, самой точки , и lim→
 , lim→ O  E. Тогда:

lim P
  O  Q   E;

→

lim
 O  E;

lim

lim P
  O  Q   E



→

→ O 

→




при условии E  0
E

Пусть
 , O  и T  определены в некоторой окрестности точки , кроме,
может быть, самой точки , и удовлетворяют неравенствам
 ( O  ( T  . Пусть
lim→
 lim→ T  . Тогда lim→ O  .
Здесь, похоже, все понятно. Теоремы выражены четко и ясно, информация должна
восприниматься легко. Если что-то не так, не волнуйтесь, примеры нас ждут впереди.

13

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

3. Односторонние пределы

Односторонние
пределы…
Не
слишком
позитивно звучит, не правда ли? На самом деле
все очень просто. На рис. 3 изображён график
функции
 .



Давайте попробуем взять
Думаю, у нас все получится!

пару

пределов.

1) Если  → 1.
1
1
lim 7  есть определенность8 1
→ 
1
2) Если  → 0.
lim→    неопределенность




Рис. 3

Следовательно, мы не имеем права
дальше решать, а упростить никак
нельзя. Следовательно, предела не
существует. Посмотрите на рис. 3 и вы
увидите, что функция там не определена, сл. Ни о каком пределе не может быть и речи.

3) Если  → 0  0.

Запись  → 0  0 в данном случае означает “посмотрите на то, как ведет себя функция
справа от 0”. И что мы видим на графике? Функция возрастает в + бесконечность. Поэтому:
1
1
7
 определенность8 ∞
→
 
00
lim

Понимаете? 0  0  0, следовательно, мы уже делим не на ноль. Давайте рассмотрим
следующие примеры.

4) Если  → 0  0.

Что у нас делает функция слева от 0? Правильно, убывает. Причем убывает к ∞.

Ну как вам?
5) Если  → ∞

1
1
7
 определенность8 ∞
→ 
00
lim

14

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Смотрим на график и видим, что функция при  → ∞ стремится к 0.
6) Если  → ∞
Все то же самое:

1
1
7
 определенность8 0
→
 
∞
lim

lim

1

→ 

1
7
 определенность8 0
∞

Последние два примера рекомендую запомнить. При раскрытии неопределенности, они нам
потом очень понадобятся. Ну что, поняли суть? Ну, тогда формальности…
Определение 1 (предел функции по Коши)
Число b называется правым (левым) пределом функции  в точке a,
если для любой сходящейся к a последовательности  ! такой, что
  ,     , соответствующая последовательность
значений функции  ! сходится к b.

Определение 2 (предел функции по Гейне)
Число b называется правым (левым) пределом функции  в точке a,
если ∀  0 ∃  0 такое, что ∀, удовлетворяющего условиям ,
     &  (      , выполняется неравенство |  |  .

В общем, добавить тут и нечего. Полная аналогия с предыдущими определениями по Коши и по
Гейне, так что, если вы поняли, как доказываются пределы, то сможете доказать и односторонние.
Структура доказательств та же.
Обозначения:

lim
  &&
  0 

→


Если существуют
  0 и
  0 , причем
  0
  0 , то
существует lim→
 .

15

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Если функция
 определена в некоторой окрестности точки a, за
исключением, быть может, самой точки a, и существует lim→
 , то
существуют
  0 и
  0 , причем
  0
  0 .

 √.

Рис. 4

На всякий случай, рассмотрим пример на теорему 4.
Давайте рассмотрим
изображена на рис. 4.

функцию

Она

Давайте найдем пределы:

lim √ V√4  0  определенностьW 2

→


Почему 0 ни на что не повлиял? Да потому что ему
незачем что-то менять. Функция определена в  4,
следовательно, нет никакой надобности брать 0.
lim √ V√4  0  определенностьW 2

→

Все то же самое. Функция определена в  4,
следовательно, нет никакой надобности брать 0. Этого никто не объясняет, потому что это
вполне все логично.
Отсюда, по теореме 4:

lim √ , lim √  существуют, причем lim √ lim √ 2

→


→

→


Поэтому существует предел lim→ √ 2.

→

Так, это закрепили. А что, если мы рассмотрим  0?

Ну, давайте проверять:

lim √ V√0  0  определенностьW 0

→


Этот предел существует. Посмотрите на функцию, и вы увидите, что она там определена.
lim √ V√0  0  неопределенностьW предел не существует

→

Запомните раз и на всегда: корень не может быть отрицательным! Поэтому предела не
существует! Но зато существует вот что:
lim √ V√0  определенностьW 0

→

Как видите, теорема 4 работает лишь в одну сторону. В ней нельзя поставить отрицание. Поэтому,
друзья, будьте внимательны!
16

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

4. Предел функции при ( → ∞

Некоторые случаи мы уже рассмотрели (раскрытие неопределенности (часть 1)). От
неопределенности мы избавляемся с помощью преобразований! Запомните это, пожалуйста, и
ничего не бойтесь.

А сейчас я Вам хочу поведать одну небольшую тайну: если  → ∞, то в большинстве случаев
выражение, находящееся под знаком предела, стоит преобразовывать к формам вида E⁄, где c –
число. Почему? Потому что эта дробь всегда будет стремиться к 0! Мы с вами это уже доказали.
lim

'

→  

0

Запомните и всегда пользуйтесь этим!
№1. Посчитать предел:

5
  ]1   ^
  5
5

lim
lim
lim !1   # 1  0 1


→ 
→
→



Ну как вам? Вывод: когда у нас дробь, то мы выносим → сокращаем → пишем ответ.
P.S. В квадратных скобках я не буду теперь писать слово определенность☺
№2. Посчитать предел:

1 4
4
  ]     ^
  2 
   4  4
1 4
4


lim
lim
lim
lim !     # 0  0  0 0



→
→
→
→ 






Круто? Да! Значит, давайте сделаем и еще одно наблюдение: в таких случаях выносим ту же
степень, что и в знаменателе. Хотя, если самая высокая степень стоит в числителе, то лучше
вынести именно ее. В общем, как вам удобнее. Можно делать и так, и так.
№3. Посчитать предел:

16
  ]   8   ^
   4 

   8   16

lim
  неопределенность lim
lim
4
→   2 
→
→

  4

 ]1   ^

8
8

 ]1   ^
1 
  8
 lim
 lim 1 71  определенность8
lim
lim
1
1
→
→
→
→ 1
1
0
 ] ^





17

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

№4. Посчитать предел:

4
1
4
1
  ]3     ^
3  
3   4   1
300
3




lim
lim
lim
7
8 

5
5
→ 2  5  2
→  2
→ 2
002
2
 ]     2^
 2

 


№5. Посчитать предел:

5 1
5 1
  ]2  1    ^
2  1   
2      5  1
2  1
 
 
lim
lim
lim
lim


1 1
1 1
→
→
→
→
6    1
6
  ]6    ^
6  
 
 

№6. Посчитать предел:

1
1
2 4
2 4
  ]     ^
 
1  2   4 
000




lim
lim
lim 
7
8 0


4
4
→
→
→
4  
01
  ]   1^

1



Еще раз повторяю, когда дробь – тогда выносим!

Настало время поведать вам и вторую тайну. Если нам дано выражение вида _ ` _ , не
 

поленитесь его помножить на భ మ . Привожу пример:

    ∙    
   2   

lim
→
→
  
  
1
1
2
  ]1   ^
1 
  ]     1^
  1


lim
lim
lim
lim
1 1
1
1
1
→
→
→
→
1
  ]1   ^
 ] ^






lim     ∞  ∞  неопределенность lim

→

Несомненно, в будущем вы так не будете все подробно расписывать. Вам будет достаточно
нескольких действий, так что не волнуйтесь.
СОПРЯЖЕННОЕ

P.S. Как только встречаете

 

№1. Посчитать предел:

lim b   8   3  b    

→

Сложно? Нет! На какой вид похоже? На _ ` _ . Делаем сопряженное.

18

   & 
 & 

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

lim b  + 8  + 3 − b  +   = lim

P√  + 8  + 3 − √  +   QP√  + 8  + 3 + √  +   Q

√  + 8  + 3 − √  +  
 + 8 + 3 −  − 
7  + 3
= lim
= lim
→ √  + 8  + 3 − √  +  
→
3
8
1
  c1 +  +  +   c1 + 



3
3

 ]7 +  ^
7+ 


= lim
= lim
→
→
8
3
1
8
3
1
c1 +  +  + c1 + 
  dc1 +  +  + c1 +  e







→

→









Вот то, что я вам говорил. Вы ВСЕ должны в конечном итоге получать дроби вида

с
,
೙

потому что

все они стремятся к 0!!! Продолжаем:
3


7+0
7
=7
8=
→
2
√1 + 0 + 0 + √1 + 0
c1 + 8 + 3 + c1 + 1



7+

lim

Страшно? Ну нет же☺. Медленно, не спеша, решайте пределы и вы достигните многого!
№2. Посчитать предел:

lim

→


c + b + √
√ + 1

Страшно☺? Не волнуйтесь, все то же самое. Надо что-то сократить. Что и как? √ −это надо
вынести и сократить. Если попытаемся вынести , то мы с вами просто запутаемся, а ответ от этого
не изменится. Разве что может быть неопределенность. То есть выносим x с самой старшей
степенью в знаменателе.

lim

→


c + b + √
√ + 1

= lim

→


1
1
√  ∙ f1 + g  + c  
1
√ ∙ c1 + 

= lim

→


f1 + g 1 + c 1


c1 + 1


j
m
if 1 + g 1 + c 1 l
0
0 l
i
l=1
=i
i
l
1
c1 +
i
l
0
i
l
h
k

Трудность может состоять здесь лишь в одном: как вынести √? Надеюсь, что это вы делать
умеете.

№3. Посчитать предел:

P − √  − 1Q + P + √  − 1Q
lim
→




19



Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Кем бы ни был наш чужак, мы все равно его решим. Для начала давайте, используя теорему 2,
разобьем наш предел на два предела. Его так будет намного легче решать, в том смысле, что
можно меньше запутаться. Если боитесь разбивать, то сами мучайтесь. ☺
P − √  − 1Q + P + √  − 1Q
P − √  − 1Q
P + √  − 1Q
=
lim
+
lim
lim
→

→

→






 − √  − 1
 + √  − 1
= lim d
e + lim d
e
→

→











Мы просто все упростили для дальнейшей работы с пределами, используя сложение дробей и
свойство степени. Теперь у нас два предела. Видим дробь. Как я вас учил? Правильно, видим
дробь – умножаем на сопряженное. Так давайте сделаем это вместе.
 − √  − 1
 + √  − 1
lim d
e + lim d
e
→

→







P − √  − 1QP + √  − 1Q
P + √  − 1QP − √  − 1Q
= lim d
e + lim d
e
→

→

 ∙ P + √  − 1Q
 ∙ P − √  − 1Q




Вот, что у нас получилось. Заметьте, делаем то же самое, что и раньше. Отличие лишь в одном –
размеры. Теперь надо упростить каждый предел. В числителе у нас разность квадратов.
Упростим первый предел:
  − P√  − 1Q
 −  + 1
P − √  − 1QP + √  − 1Q
lim d
o = lim d
e = lim n
e
→

→
  ∙ P + √  − 1Q
→
  ∙ P + √  − 1Q
 ∙ P + √  − 1Q








1
= lim d
e
→
  ∙ P + √  − 1Q



Первый упростили. Теперь перейдем ко второму:

1
P + √  − 1QP − √  − 1Q
lim d
e = lim d
e
→

→
  ∙ P − √  − 1Q
 ∙ P − √  − 1Q




Вот, что у нас получилось:

1
1
P − √  − 1Q + P + √  − 1Q
lim
= lim d
e + lim d
e


→

→

→


 ∙ P + √ − 1Q
 ∙ P − √  − 1Q






Видим дробь. Что надо делать? ВЫНОСИТЬ   !

Первый предел:

20



Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

1
1
r
lim d
# = lim q
e = lim !
→
  ∙ P + √  − 1Q
→
   +  ∙ √  − 1
→


1
 ∙ 


0
u
=
7
8 =0
t
2
1
  d1 + c1 −  e
 s
p



Второй предел:

r
lim d
# = lim q
e = lim !



→

→

 ∙ P − √ − 1Q
 −  ∙ √ − 1
1





u
t
1
  d1 − c1 −  e
 s
p



1

1
 ∙ 


→


0
= 7 − неопределенность!8
0



Друзья, вот с таким вот вы будете сталкиваться часто, особенно на больших примерах. Что делать?
Ответ прост: вернуться и сделать по-другому. Хорошо, что хотя бы первый предел у нас
посчитался. Что же, возвращаемся до разбиения лимитов. Вот что у нас было:
 + √  − 1
lim d
e
→





Как решать, если наш способ не подошел? Что делать, если “метод сопряженных” не работает. А
давайте сразу попробуем вынести? Выносим со старшей степенью в знаменателе, следовательно
это просто .
1


 d1 + c1 −  e

 u
1
 + √ − 1
r

lim d
= lim n1 + g1 −  o = V1 + √1 − 0W
e = lim q
t
→

→

→






= 2

p

s

Получается, на самом деле, все было несколько проще.
Итого:

 − √  − 1
 + √  − 1
P − √  − 1Q + P + √  − 1Q
lim
=
lim
+
lim
d
e
d
e = 0 + 2
→

→

→












Все! Ответ: 2

Сложно? Я думаю, не очень. Здесь главное аккуратность и настойчивость. Если сразу не
получилось, не надо все бросать.

№4. Посчитать предел:

21

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

√4 −  − √4 + 
→
3
lim

Здесь у нас  не стремится к бесконечности, но я хочу тем показать, что метод сопряженного
действует и здесь.
4−−4−
P√4 −  − √4 + QP√4 −  + √4 + Q
√4 −  − √4 + 
= lim
= lim
→
→
→ 3P√4 −  + √4 + Q
3
3P√4 −  + √4 + Q
−2
2
1
1
= lim
= − lim
=−
→ 3P√4 −  + √4 + Q
3 → √4 −  + √4 + 
6
lim

№5. Посчитать предел:

√  + 1 − 1

→ √ 

lim

+ 2 − √2

Здесь сделаем еще круче – умножим числитель и знаменатель на выражения сопряженные
числителю и знаменателю.
√  + 1 − 1

→ √ 

lim

+ 2 − √2

P√  + 1 − 1QP√  + 1 + 1QP√  + 2 + √2Q

→ P√ 

= lim

= lim
= √2

→

+ 2 − √2QP√  + 1 + 1QP√  + 2 + √2Q

(  + 1 − 1)P√  + 2 + √2Q
(  + 2 − 2)P√  + 1 + 1Q

№6. Посчитать предел:
lim

→

= lim

→

  P√  + 2 + √2Q
  P√  + 1 + 1Q

= lim

→

√  + 2 + √2
√  + 1 + 1

Pb1 + tg  − b1 − tg QPb1 + tg  + b1 − tg Q
b1 + tg  − b1 − tg 
= lim
→
sin 2
sin 2 Pb1 + tg  + b1 − tg Q
2 tg 
1
1
= lim
= lim
=

→ sin 2 Pb1 + tg  + b1 − tg Q
→ cos  Pb1 + tg  + b1 − tg Q
2

22

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Итак, какой вывод мы можем сделать из всего предыдущего? Ну, во-первых, если вас просят
посчитать предел, то уж наверняка, там – неопределенность. Таблички снизу рекомендую вам
заучить!!!

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
1) Если у нас есть выражение типа   , и в итоге получается неопределенность, то
нам нужно провести вот такую операцию:
    
 
,
  
а потом вынести и сократить так, что бы  во всех случаях был в знаменателе.

Пример:

2
1
  ]1     ^
       
   2    


lim    lim
lim
lim
1
1
→
→
→
→
  
  
 ]   ^


2
1
1  
100


lim
7
8 ∞
1
1
→
0

0

 


РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
2) Если у нас есть выражение типа   , и в итоге получается неопределенность, то
нам нужно провести вот такую операцию:
   & 
 
,
 & 
а потом вынести и сократить так, что бы  во всех случаях был в знаменателе.

23

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Пример:

1
1




  ]1   ^
1 


 





10


lim     lim
lim 
lim
lim
7
8
1
1
→
→
→   
→  1
→ 1
   
00
 ]   ^
 







РАСКРЫТИЕ
3) Если у нас есть выражение типа

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
*
,
'*+

То вам нужно либо сразу выносить и сокращать так, что бы  во всех случаях был в
знаменателе, либо помножать на сопряженное числителя или знаменателя. В
зависимости от ситуации.

Все три выше приведенные пункты вы должны использовать при раскрытии
неопределенности, когда  → ∞.
Если  стремится к какому-то другому значению, и у нас неопределенность, то используют
просто упрощения (сопряженное или сокращения)
Как видите, мы один и тот же предел посчитали разными способами. Такое получается не всегда!
Все таблицы Вы должны запомнить, как таблицу умножения. Наверное, у многих может
возникнуть вопрос: а когда что использовать? Практика, друзья. Другого выхода у Вас нет, и не
может быть. Только на собственном опыте Вы можете достигнуть каких-то результатов.
Как всегда, переходим к формальностям (профессорской теории):

)
Пусть функция  определена на прямой ', &∞.
Число  называется пределом функции  при  → &∞  
lim→ , если ∀   0 ∃ ,  0  - ' такое, что ∀   ,
выполняется неравенство |  |  .

24

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Пусть функция  определена на прямой ', &∞.
Число  называется пределом функции  при  → &∞, если для любой
бесконечно
большое
последовательности
 !   '
соответствующая последовательность значений функции  !
сходится к .

5. Бесконечно большие функции

Функция  называется бесконечно большой в точке a справа, если
∀ .  0 ∃  0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условию   ,
     & , выполняется неравенство
||  ..
Обозначение: lim→   ∞

Функция  называется бесконечно большой при  → &∞, если
∀ .  0 ∃,, - ' такое, что ∀   , ||  ..
Обозначение: lim→   ∞

То же самое и для бесконечно малых функций. На мой взгляд, определение нам нужно либо для
доказательств, либо… для других целей. По крайней мере, оно мне ни разу не понадобилось.

Итак, мы с вами уже встречали ранее примеры, когда предел был равен ∞. Как видите, они
считаются точно также, как и все другие. Ключевую роль здесь играет вот такая конструкция: V1v0W.
Запомните, эта конструкция ВСЕГДА равна ∞!
25

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

01102  ∞

6. Графики элементарных функций

Да, именно это нам сейчас и предстоит. Они нам ОЧЕНЬ понадобятся в будущем. Поэтому, важно
их сейчас же закрепить, а заодно и посчитать пределы. Я согласен, это нудно и неинтересно. Если
Вы что-то знаете, пропускайте и идите дальше, я разрешаю☺.

  31

Итак, это наша первая и самая важная функция. Ранее
мы уже успели ее рассмотреть, но давайте повторим то,
что уже сделали.

lim

w

→
 

∞

w
∞
→ 
lim

lim

w

→
 

0

w
0
→ 
lim

Если хотите, можете запомнить все это, но вообще, я рекомендую вам запомнить сам график. Помоему все довольно ясно.
    &  & '
Ну, эту функцию вы просто обязаны знать, но, на всякий
случай я ее напомню. Знаете ли, разные случаи бывают☺.
lim
 ∞

→


lim
 ∞

→

26

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

   
Функция носит свое название – показательная функция. Здесь
важно не забывать об одной вещи:

при   1 функция возрастает;

при 0 ,  , 1 функция убывает.

Здесь давайте рассмотрим примеры:
№1. Посчитать предел 〈  1 〉

lim 2 2
  ∞

→


lim 2 2  0

→

ЗАЗУБРИТЬ! Вот это вы просто обязаны заучить, потому что графики часто путают между собой.
№2. Посчитать предел 〈0 ,  , 1 〉

1 
1
1
1
lim ! # lim  7

8 0
→
 2
→
 2
2
∞

1 
1
1
1
lim ! # lim  7  8 ∞
→ 2
→ 2
2
0

Как видите, последние два предела мы просто вывели из предыдущих двух. ЗАЗУБРИТЬ!

  log  

Функция носит свое название – логарифмическая
функция. Здесь есть тоже два подвоха:
при   1 функция возрастает;

при 0 ,  , 1 функция убывает.
№1. Посчитать пределы 〈  1 〉
lim log   0

lim log   ∞

→


→


lim log   ∄

lim log   ∄

→

→

27

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

№2. Посчитать пределы 〈0 ,  , 1 〉
lim log   0

→




→



lim log   ∞

→


lim log   ∄



lim log   ∄

→



Уверен, столько всего вы не запомните, так что лучше выучить график. Ok! Идем дальше…

  sin

Функция носит свое название –
синусоида.
№1. Посчитать предел

lim sin  .

→


Что делать? На графике явно видно, что функция “прыгает” от одного значения до другого. Вывод:
не существует такого предела. Давайте просто рассмотрим примеры, где функция стремится к
разным значениям:
lim sin 

→

~
|

lim sin  1
lim sin  0

;
→
}

lim
sin 

1
|

{ → 
→



  '67

Проделам то
косинусоиды.

же

№1. Посчитать предел:

самое

для

lim cos  .

→

Все те же размышления. Предела не существует! Вот, что у нас получается:

28

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

lim cos 

→

~
|

lim cos  0

lim cos  1 ;
→

}→
| lim cos  1
{ →


  89

  '89

На рисунке представлены две функции:

 O  и
 EO  .

Как видите, они очень похожи, поэтому очень важно, запомните Вы их или нет. Давайте проведем
небольшой опыт. Попробуйте запомнить два графика. Как только будете уверены в том, что все
выучили, прорешайте все пределы ниже, а потом проверьте себя по графикам.
№1. Посчитать пределы:
lim tg 

lim tg 

lim tg 

lim tg 

→

lim ctg 


→ 


lim ctg 

→


→ 


→



lim ctg 


→



lim ctg 

→




→



  arcsin
  arccos

 arcsin  – обратная функция к
функции sin  .


 arccos  – обратная функция к
функции cos  .
№1. Посчитать предел:

lim arcsin  .

→

29

lim tg 

lim tg 


→


lim ctg 


→



lim ctg 


→



→



Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Давайте посмотрим на график
 arcsin  . Что мы видим? При  → 0 функция принимает
бесконечно много значений. Например, lim→ arcsin  0 и lim→ arcsin  ‚ и т.д. Делаем
вывод: у нашего графика есть период.
lim arcsin  ‚w,

→

То же самое с
 arccos  .

w  целое число, лежащее в промежутке ∞, ∞

  arctg

  arcctg

 arctg  – обратная функция к
функции tg  .


 arcctg  – обратная функция к
функции ctg  .

№1. Посчитать предел:

lim arctg  w ∙

→


‚
2

w  целое число, имеющее шаг 2. Т.е. lim→
 arctg             ⋯. Можно записать

вот так:









‚
‚‚
lim arctg   ˆ
w
→

2
22




Заметим, что ‰  это произвольное целое число, которое мы задаем сами.
На этом, мы заканчиваем наш раздел – графики элементарных функций.

От автора:
Поздравляю! Вы смогли завершить первую главу “Предел функции” первой части “Предел и
непрерывность функции”. Конечно, это не все. Я рассказал Вам лишь элементарные вещи. Далее
нас будут ждать первый замечательный и второй замечательный приделы и другие методы взятия
пределов. Если Вы поняли все, что я здесь написал, то дальше будет только интересно! Ничего
сверхсложного вас не ожидает…
30

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Глава 2. Непрерывность функции в точке.
1. Непрерывность функции в
точке.

Содержание:
1) Непрерывность функции в точке
2) Непрерывность сложной
функции
3) Классификация точек разрыва
4) Непрерывность элементарных
функций
5) Первый замечательный предел
6) Второй замечательный предел
7) Кратко о Maple

Функция

называется
непрерывной в точке a, если
lim   
→

Запомните это определение раз и навсегда! Если вы его не знаете, вы – ничто и никто в
математике. Давайте рассмотрим простой пример:



1


Задание: проверить функцию на непрерывность в точках  1; 0.
1.  1. Используя определение 1, получаем:
lim

1

→ 

1 ↭
1

Выполняется определение 1? Да!

1
1
1

1

1 1
→ 
lim

Вывод: функция непрерывна в точке  1.

2.  0. Используя определение 1, получаем:

1
1
∞ ↭
0 → ∄
→ 
0
lim

Выполняется определение 1? Нет!

lim

1

→ 

31


0

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Вывод: функция не существует в точке  0.

Пусть функция  определена в правой (левой) полу окрестности
точки a, т.е. на некотором полуинтервале ,  &  (соответственно
  , ).
Функция

называется
непрерывной
справа
(соответственно слева) в точке a, если
lim    >соответственно lim   E.

→

→ 

Здесь то же самое. Пожалуйста, рассмотрите сами такие функции как ln ,  и другие. Хотя, думаю,


что все предельно ясно.

Для того чтобы функция была непрерывна в , необходимо и достаточно,
чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева.
Если функции
 и O  непрерывны в точке , то функции
  O  ,

  O  ,
 O  ,
 /O  также непрерывны в точке  (частное – при
условии O   0).

Пример №1.

Исследовать на непрерывность функцию


మ
.


Для начала распишем область определения D ∞, 0 ∪ 0, ∞ , т.к. знаменатель не
может равняться 0. Теперь просто используем теорему 6:
lim
 
 ,

→

где   0. Следовательно, по теореме 6, функция


кроме  0.

32

మ


непрерывна в любой точке,

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

2. Непрерывность сложной функции.

Пусть функция  F определена на множестве , а G  множество
значений этой функции. Пусть, далее, на множестве G определена
функция H   . Тогда говорят, что на множестве  определена
сложная функция, и пишут H   , где  F, или H  F.

Впрочем, пока что вам это не сильно понадобиться. Привожу примеры сложных функций:
1
 b|sin |,  cos ,  log     1 .


Почему они сложные? Давайте рассмотрим цепочку последовательных преобразований для
первой из них:
 sin  ⟹  || ⟹  √.

Вот и все! Теперь перейдем ко второй функции:


1
⟹  cos  ⟹  .


И так далее. Не хочется уделять этому много времени. Надеюсь, вы и так все поняли. Ну что же,
перейдем к теореме.
Пусть функция    непрерывна в точке , а функция 

непрерывна в точке    . Тогда сложная функция 
P  Q ‘ 
непрерывна в точке .

Давайте рассмотрим пример на доказательства. Здесь как раз и нужно рассматривать сложную
функцию.
Пример №1
Доказать, что:

  1
ln  ,   0,   1.
→

lim

Рассмотрим функцию       1. Она непрерывна в точке  0 и  0 0. При этом
33

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Вычислим lim→


:
ೌ 


 log  1   ,

  1


.

log  1  


 ln 
lim
→ log  1  
→ ln 1  
lim

Этот шаг может быть непонятен, поэтому я должен напомнить вам формулу преобразования к
логарифму с другим основанием:
log
 

log  
log  

Запомните ее и больше не возвращайтесь к этому. В данном случае  ’  новое основание.
Давайте напишем формулу именно для нашего случая:
log  1  

Итак, продолжаем:

log  1   ln 1  

.
log  
ln 


 ln 
lim
ln 
→ log  1  
→ ln 1  
lim

1
.
ln 1  
lim

→

Верно? ln   это число, поэтому мы его и вынесли. Теперь нужно посчитать предел lim→
Представим функцию
1  



.

 



в виде ln 1  





 

.


ln “ (тоже свойство логарифма!), где “

∙ log    log  

Так как lim→ 1    ’ (Это второй замечательный предел. Пока что мы его не прошли,
но, поверьте, равенство верно), а функция ln “ непрерывна в точке “ ’, то


lim ln 1  

→





ln ’ 1.

Возвращаемся к нашему примеру. И вот, что у нас получается:

34

Высшая математика для чайников. Предел функции.


→ log  (1 + )

lim

2011 год

 ln 

→ ln 1 + 

= lim

= ln 

1
ln 
=
= ln .
ln(1 + )
1
lim

→

Рассмотрим теперь функцию
(), непрерывную в точке  = 0:



при  ≠ 0

 = ” log  (1 + )
ln  при  = 0

Согласно теореме 8 сложная функция

 − 1

P  Q = •  при  ≠ 0
ln  при  = 0

Является непрерывной в точке  = 0. Поэтому

 − 1
lim
= ln .
→


Сложно? Может быть, но вы должны в этом разобраться, потому что это очень важно для
понимания этой темы. Тем более, здесь требуется внимательность, ну и “немножко подумать”.

35

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

3. Классификация точек разрыва.

Для начала, давайте поймем, что вообще означает “точка разрыва”. Все предельно просто!

Точка  называется точкой разрыва функции , если  в этой
точке не является непрерывной.

Прежде чем начинать рассматривать классификацию точек разрыва, вы должны всегда проверять
условие:
 должна быть определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть
может, самой точки .
Если условие выполняется, то можно рассматривать классификацию точек разрыва.

Точка    – устранимая
разрыва, если
lim  # 

точка

→

Пример №1.



sin 


Прежде всего, напишем область определения: D
∞; 0 ∪ 0; ∞ . Отсюда сразу видно,
что  0  необычная точка. В ней функция не определена, но
 определена в ее
окрестности.
sin 
sin 
1 
0
.
→ 

lim

Отсюда следует, что  0  устранимая точка разрыва.

36

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Точка    – точка разрыва первого
рода, если
∃ lim  # lim  # 
→ 

Пример №1.

→


 sgn 

Функция
 sgn  уже должна быть ранее вам известна, но я вам ее напомню.

lim sgn  1,

1,   0

 sgn  ” 0,  0,
1,  , 0

→

lim sgn  1,

f(x) = sgn(x)

→



0 0.

Отсюда следует, что lim→ sgn   lim→
 sgn   sgn  ⟹ точка  0  точка разрыва
первого рода.

Точка    – точка разрыва второго рода,
если хотя бы один из односторонних пределов
не существует или равен бесконечности.

Пример №1.


 tg 

Прежде всего, напишем область определения D  –\ 2  ‚w˜ , w 0 ™.
lim


ೖ →






tg  ∞

37

Высшая математика для чайников. Предел функции.
lim

2011 год


ೖ →



tg  ∞

Т.к. хотя бы один из пределов равен бесконечности, то    ‚w  точка разрыва второго рода.


Пример №2.

 ln 

Прежде всего, напишем область определения D  0; ∞ .
lim ln  0
→


lim ln  ∄
→

Т.к. хотя бы один из пределов не существует, то  0  точка разрыва второго рода.
Итак, мы теперь знаем классификацию точек разрыва. Мы рассмотрели примеры к каждому
случаю. Они достаточно легкие, поэтому давайте еще попрактикуемся. Во всех следующих
номерах определить точки разрыва.
P.S. Для начала попробуйте сделать это сами, ну а потом проверьте себя. Удачи ☺!
№1.

,  ( 1

 2ln  ,
1

lim
 lim ln  0,

→


→


lim
 lim  1.

→

→

lim
  lim


→


№2.

→

В т.  1 функция
 имеет разрыв первого рода.

 ’ 



Прежде всего, напишем

: D
∞, 0 ∪ 0, ∞ .

38

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

lim
 lim ’  7’  ’  08 0,


→




→


lim
 lim ’  ∄.


→

№3.

 0  предельная точка второго рода.


1

2  3

lim

1


→
2  3

lim

1


→

2  3

1
1
1
7
8 ,

→ 2  3
2
20

lim

1
1
7
8 0.


→ 2  3
∞

lim

 4  точка разрыва первого рода.



Прежде всего, напишем



:   4  0 ⟹ D  ∞, 4 ∪ 4, ∞ .

Прежде всего, напишем

№4.

→

|  1|
  

. Критические точки определяем вот так:

      0 ⟹   1    0.

Критические точки:  0 и  1. Теперь напишем область определения D
∞, 0 ∪
0, 1 ∪ 1, ∞ .
|  1|
1
7 8 ∞


→   
0
lim

 0  точка разрыва второго рода.

|  1|
1
1
1
lim 
lim
lim
1




→
   
→   
→    1
→  
lim

39

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

lim

|  1|
1
1
1
lim  
lim 
lim  1


→
→
→

 
   1


→  

 1  точка разрыва первого рода.

№5.

 0  точка разрыва второго рода,  1  точка разрыва первого рода.



1
1  

: D
∞, 1 ∪ 1, ∞ .

Прежде всего, напишем

1
1
1
1
lim
lim




→ 1  
→ 1   1    
→ 1    
3
lim

Точка разрыва устранимая:

№6.

1
,   1


 F1  
1
,  1
3

Она непрерывна в точке разрыва и на D –.

1
1
1


1
1

1 

Что бы найти критические точки, нужно упростить функцию.
1
1
    1   1 
1
1    1
1

Точки:  0; 1; 1.

lim
 1  устранимый разрыв.

→

lim
 ∞  разрыв второго рода.

→

lim
 0  устранимый разрыв.

→

40

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

№7.

‚


‚ 1
cos

cos

и получаем:


2
 устранимые точки разрыва.
2w  1

  0  точка разрыва второго рода.

Думаю, примеров достаточно. Если вы сами все это про решаете, то тему вы знать будете на 100%.
Ну что же, надеюсь, это было не слишком скучно. По крайней мере, столько разобранных
примеров вы не найдете нигде.

41

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

4. Непрерывность элементарных функций

Мы с вами эту тему уже разобрали в 1 главе, 6 пункте. Там мы рассматривали графики
элементарных функций и считали пределы. Сейчас перейдем к формальностям и “профессорской
теории”.
Как вы заметили, в моей книге присутствует эта “теория”. Зачем? Все просто, - хочется, что бы вы
не только принимали разжеванное, но и сами пытались разжевать. Если я уберу эту “теорию”, то
мои труды пойдут насмарку. Конечно, вы будете уметь что-то решать, но вы не будете понимать,
что да как. Поэтому прошу вас учить теорию! Она обязательно понадобиться вам в ближайшем
будущем. Ну что же, это было лирическое отступление ☺. Перейдем к небольшой теории.

Функции  I  '6J78,    ,    ,  log     0,  # 1,
 sin ,  cos ,  tg ,  ctg ,  arcsin ,  arccos ,
 arctg ,  arcctg  называются простейшими (или основными)
элементарными функциями.

Совокупность всех элементарных
элементарных функций.

функций

называется

классом

Функция называется элементарной, если она может быть получена с
помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций над
простейшими элементарными функциями.

Любая элементарная функция, определенная в окрестности некоторой точки,
непрерывна в этой точке.

На этом “профессорская теория” заканчивается, и мы переходим к замечательным пределам.
42

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

5. Первый замечательный предел

Очень важная тема! В ней мы будем учиться искать пределы. Вы должны набить руку на этом, и
у меня к вам просьба: перед тем, как смотреть решение, попытайтесь сами чего-то добиться.

sin 
1
→ 
lim

Зазубрите это раз и навсегда! И никогда не забывайте эту формулу!
Доказывать я ее не собираюсь, если хотите, поищите в интернете, там она точно есть. Ну что же,
переходим к примерам.
№1.
lim



→ sin 

Решение:

.


1

,
sin  sin 


Ура! Внизу появился замечательный предел.


1
1
lim
7 8 1.
→ sin 
→ sin 
1

lim

Легко? Безусловно…
№2.


.
→ arcsin 
lim

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть  arcsin . Тогда  sin  и база  → 0 переходит в
базу  → 0 (просто подставьте  → 0 под arcsin ). На самом деле это проще записывать
вот так:

 arcsin  ↭  sin 
sin 
1
7
7 8 1.
8 lim
→ arcsin 
→ 
→0↭→0
1
lim

43

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Запомните этот способ замены переменной. Он может сильно пригодиться вам в будущем.
№3.

arcsin 
.
→

lim

Решение:
lim

→

arcsin 
lim
→


№4.

1
 arcsin  ↭  sin 
1
1
7
7 8 1.
8

sin

→0↭→0
1
lim
arcsin 
→ 
lim

sin 2

→ sin 3

Решение:

.

Преобразуем функцию следующим образом:

sin 2
sin 2 3 2
lim !

∙ #.
→ sin 3
→
2 sin 3 3
lim

Вынесем постоянный множитель за знак придела и применим теорему о пределе
произведений:
sin 2
sin 2 3 2
2
sin 2
3
lim !

∙ # ∙ lim
∙ lim
→ sin 3
→
2 sin 3 3
3 → 2 → sin 3
lim

Делаем замену, как и в предыдущем примере:

!

lim

sin 2

→ sin 3

lim !
→

sin 2 3 2
2
sin 2
3

∙ # ∙ lim
∙ lim

2 sin 3 3
3 → 2 → sin 3

2  ↭ sin 2 sin  3 ž ↭ sin 3 sin ž
2
sin 
1
2
2
∙ lim ž ∙ 1 ∙ 1 .
# ∙ lim
4
→0↭→0
→0↭ž→0
3 !→  "→
3
3
sin ž

№5.
lim

→


sin 4


.

Умножим и разделим знаменатель на 4 и подведем выражение под знаком предела к
первому замечательному пределу.
lim

→


sin 4





sin 4 1
sin 4
 ↭  4 1 ∙ lim sin  1.
lim


lim

d
e
4


→ 4 ∙
4 →
4 !→ 
4
→0↭→0
4
4
44

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

№6.
lim

→

2 tg




2.

Представим тангенс через синус и косинус и воспользуемся теоремами о пределах.


2
2∙






2 tg
cos
2 sin
sin
2
2
2
2 ∙ lim 1 d  ↭  2e

lim

2
lim
lim  lim
2
→ 
→
→   cos  
→
  → cos 

→0↭→0
4 ]2 ^
2
2

sin 
1
1
1
1
lim  ∙ lim


1

8 1.
7
→ cos 
2 → 
2
1
2
sin

Видите, здесь немного посложнее, но в принципе, все одно и тоже. Если вы выучили
элементарные функции, то это вам не должно показаться сложным.

№7.
lim

→

По формулам двойных углов имеем:

1  cos 2
.
 tg 

1  cos 2
1  cos   sin 
cos   sin   cos    sin 
lim
lim
→
→
→
 tg 
 tg 
 tg 




cos   sin   cos   sin 
2 sin 
2 sin  cos 
lim
lim
lim
sin 
→
→  tg 
→
 tg 
 cos 
sin 
2 lim
lim cos  2 ∙ 1 ∙ 1 2.
→  →
lim

Господа, учим тригонометрические формулы! Они вам все равно понадобятся.

45

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

sin K & cos K  1
1
tg  K & 1 
cos K
1
ctg  K & 1 
sin K

sinK * L  sin K cos L * cos K sin L
cosK * L  cos K cos L ∓ sin K sin L
t9K * t9L
t9K * L 
1 ∓ t9Kt9L
ct9K't9L ∓ 1
ct9K * L 
ct9L * ct9K

sin 2K  2 sin K cos K
cos 2K  cos K  sin K  2 cos K  1
 1  2 sin K
2 tg K
tg 2K 
1  tg  K
ctg  K  1
ctg 2K 
2 ctg K

sin K * sin L  2 sin

cos K & cos L  2 cos

lim

K&L
KL
cos
2
2

cos K  cos L  2 sin

Формул много, но желательно их все выучить.
№8.

K*L
K∓L
cos
2
2



→ 8 sin 

Умножим и разделим числитель на 4 в кубе:

46

4

.

K&L
KL
sin
2
2

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

 
 


4 ] ^
] ^
4 8 lim 4 d  ↭  4e 8 lim  8 ∙ 1 8.
lim

lim
4
→ 8 sin 
→ 8 sin 
→ sin 
!→ sin 
→0↭→0
4
4
4


№9.

sin   2
.
→    4  1
lim

В знаменателе мы можем сделать квадрат разности, а потом, как всегда, перейти к новой
переменной. Тогда предел будет стремится к 0, и, следовательно, мы можем применить
первый замечательный предел.
sin   2
sin   2
sin 
2  ↭ 2

lim

]
^

lim
1 1.
→    4  1
→   2 
!→  
 →2↭ →22 0
lim

№10.

sin 3  sin 4
.
→
6
lim

На основании одной из теорем о пределах, мы можем данный предел разделить на два
предела:
sin 3  sin 4
sin 3
sin 4 1
sin 3 2
sin 4
lim
 lim
lim
 lim
→
→ 6
→ 6
6
2 → 3
3 → 4
ž

1
sin  2
sin  7
Ÿ3  ↭  3 4 ž ↭  4¡ lim
 lim
.
3 → 
6
2 → 


0

ž

0
→0↭→0
lim

№11.
lim

→

cos   cos 3
.


Преобразуем числитель с помощью формул разности косинусов двух углов и синуса
двойного угла:

тогда

cos   cos 3 2 sin 2 sin  4 sin  cos ,

cos   cos 3
sin 

4lim
cos  4lim cos  4.
→
→  
→

lim

47

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

6. Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется предел вида

1 
lim 1
 lim 1

  
→
→


Доказывать это мы с вами тоже не собираемся. Быть может, когда-нибудь я напишу отдельно
книгу про все доказательства, но пока что не будем тратить на это время и сразу перейдем к
примерам.

Как только вы видите скобку в степени , значит прежде всего пробуйте ее свести ко второму
пределу. Первые номера рассмотрим крайне подробно.
№1. Посчитать предел:
lim !

→

  4 
#


Видим скобку в степени 5, следовательно пробуем свести к второму замечательному


пределу. Сначала сведем то, что внутри к форме 1  :


lim !

→

  4 
4 
# lim !1  #
→



Теперь нужно “поиграть” со степенью. Т.е. нам нужен вид типа /4. Почему? Формулу
1 
lim !1  # ’
→

1 
lim !1  # ’.
→


можно было бы представить в виде



В данном случае у нас вместо единицы – четверка. Значит, вот, что у нас получается:
lim !

→

4
#




4
lim !1  #
→




4
lim ¢!1  # £ .
→

 


Что бы уж полностью свести к нашей формуле данный придел, мы обозначим  4.
Тогда получаем:
48

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

 + 4 
4 
4 
lim !
# = lim !1 + # = lim ¢!1 + # £
→
→
→




 

1 !
= lim ¦!1 + # §
!→




= ’  .


= ¤  = 4 ↭  = 4 ¥
→∞↭→∞

дроби к виду 1 + ⟹ приведение степени к виду ∙ ¨ ⟹ замена переменной ⟹ а далее

Как видите, ничего сложного здесь нет. Алгоритм работы весьма просто: приведение
#



#

просто считаем по формуле. Если запутались, не волнуйтесь. Мы еще успеем разобрать
массу примеров ☺.
№2. Найти предел:

 + 2 

lim !
#
→  + 1

Действуем так же, как и в прошлый раз:
lim !

→

 + 2 

 + 1 + 1 

1 

#
= lim !
#
= lim !1 +
#
→
→
+1
+1
+1

Здесь мы степень выделять будем после замены переменной. В данном случае, это проще,
чем попытаться свести к второму пределу до замены. На результат это никак не повлияет.
lim !

→

 + 2 

 + 1 + 1 

1 

 =−1↭ =+1
#
= lim !
#
= lim !1 +
#
=2
˜
→
→
→∞↭→∞
+1
+1
+1

1 !
1 !
1 
= lim !1 + #
= lim ¦!1 + # § lim !1 + # = ’  ∙ 1 = ’  .
!→
!→
!→




Как видите, ничего сверхестественного здесь нет. Отсюда можно написать алгоритм
#

приведение степени к виду # ∙ ¨ ⟹ а далее просто считаем по формуле.

решения, подобный прошлому. Приведение дроби к виду 1 +  ⟹ замена переменной⟹


№3. Найти предел:

 + 5
lim d 
e
→  + 2


 మ

Выделим целую часть в скобках:
 + 5
lim d 
e
→  + 2



 + 2 + 3
3
= lim d 
= lim !1 + 
#
e
→
→
 +2
 +2

 +2

= ” + 2 = 3 ↭  = 3 ©
→∞↭→∞

1 !
1 !
1 
1 

= lim ¦!1 + # § lim !1 + # = ’ ∙ 71 + 8 = ’ .
= lim !1 + #
!→
!→
!→



0


మ


 మ

49



Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Пример полностью аналогичен предыдущему. Если вы поняли, как “это работает”, то вы
молодцы и можете смело идти дальше. Большой плюс здесь заключается в том, что
достаточно знать лишь несколько методов, что бы решить тот или иной предел.
№4. Посчитать предел:

Выделим целую часть в скобках:
lim !

→

  1 
lim !
#
→
2

1 1 
  1 
1 
1 
#
lim 7!1  # 8
lim !1  #
lim ! #
→
→
→ 2
 2
2

1
1

2
2
”   ↭    © lim 7 1   !
 8 lim  ’  lim

!→
→ 2
→ 8
→∞↭→0

Далее не хочется так подробно рассматривать каждый пример, иначе каждое решение
будет занимать более половины страницы. Главное, чтобы вы поняли общую идею, и
стремились к идельному решению, т.е. короткому. Дам еще один совет, попробуйте для
начала сами что-то решить, а потом уже проверяйте, верно ли вы сделал ли или нет.
№5. Посчитать предел:

1 

lim !1  #
→
‰

Решение:

1 

1 
1 
1 
lim !1  #
1  ª‰«’
ª‰ª’ lim !1  # ∙ !1  # ’ ∙ lim !1  # ’ ∙ 1
→
→
→
‰
‰
‰
‰
’

№6. Посчитать предел:
lim 1   



→

Решение:
lim 1    1  ª‰«’
ª‰ª’ lim ! 1    # ’ 
 



→

№7. Посчитать предел:

→

2 
lim !1  #
→

50

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Решение:
2 
2 
lim !1  # 1  ª‰«’
ª‰ª’ lim n!1  # o ’ 
→
→




№8. Посчитать предел:



4 
lim !1  #
→



Решение:


4
4
lim !1  # 1  ª‰«’
ª‰ª’ lim n!1  # o ’ 
→
→








№9. Посчитать предел:
lim !

→

Решение:




  3 

#
1

  3 

  1  4 

4
#
1  ª‰«’
ª‰ª’ lim !
#
lim !1 
#
lim !
→   1
→
→
1
1
lim ’
→

№10. Посчитать предел:





  





’

lim   4 ln 2  3  ln 5  3 

→

Решение:

lim   4 ln 2  3  ln 5  3 

→

2  3
2  3 
3
lim   4 ln
lim ln !
#
lim ln !1 
#
→
→
→
5  3
5  3
5  3
lim ln ’ 1.
→

№11. Посчитать пределы:

51

 %

 

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

 + 1
lim d 
e
→  + 3



Должен сказать, примерчик этот уже чуть интереснее предыдущих.

Решение:

 + 1
 + 1
 + 1 −  − 3
−2 
lim d 
− 1e = lim d1 +
=
lim
!1
+
#
e = lim d1 + 
e
→  + 3
→
→
→
 +3
 + 3
 + 3




= lim !1 +
→

=1

−2
#
 + 3

 
 మ
∙ మ ∙
 




= lim ¢!1 +
→

−2
#
 + 3


  మ

మ



£

= ’ ೣ→ಮ మ
 = ’ 
&'



На этом я предлагаю закончить второй замечательный предел. Далее, в конце книги вы сможете
найти массу заданий на эту тему. Разумеется, ответы будут прилагаться.

52

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

7. Кратко о Maple

Так же хотелось бы сделать заметку по поводу электронного вычисления пределов. Есть такая
программа – Maple, и там пределы считаются просто на «ура».

Как видите, слева, в окошке есть шаблоны формул. Просто на них нажимаете и заполняете
данными. Нажимаете на Enter и получаете ответ. На скриншоте для примера посчитан наш
последний предел. Зачем нужна вам эта программа? Для проверок. Посчитали предел на бумаге,
получили ответ. Вбили формулу в программе и проверили. На самом деле очень удобная штука.

От автора:
Поздравляю! Вы смогли завершить вторую главу “Непрерывность функции в точке” первой части
части “Предел и непрерывность функции”. Впереди вас ждет сравнение бесконечно малых
функций, символ “Ο малое” и его свойства, вычичление пределов функций с помощью
асимптотических формул и вычисление пределов показательно-степенных функций. Темы будут
весьма важны, поэтому будут рассматриваться не только “технические” примеры, но так же
примеры и на доказательства. На этой ноте я хочу вам пожелать успехов!
До скорой встречи! Искренне Ваш, Виосагмир И.А.
53

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Глава 3. Бесконечно малые функции.

1. Сравнение бесконечно малых
функций.

Содержание:
1) Сравнение бесконечно малых
функций
2) Свойства символа “o малое”
3) Сравнение бесконечно малых
функций

Функции ­  и ®  называются:

Функция ­  называется бесконечно малой при  → 
(в точке ), если lim→ ­  0.
Пусть ­  и ®   две бесконечно малые функции
при  → .

a. Бесконечно малыми одного порядка при  →  (в точке ), если
­ 
E  0;
lim
→ ® 
b. Эквивалентными бесконечно малыми при  →  (в точке ), если
­ 
lim
1 обозначение: ­~® при  →  .
→ ® 

Если lim→

( 
) 

0, то говорят, что ­  является бесконечной малой более высокого порядка

при  →  (в точке ), чем ®  , и пишут ­ ² ® при  →  (­ равно “² малое” от ® при  → ).
Например,   ²  при  → 0.

Аналогичные определения имеют место для случаев  →   0,  →   0,  → ∞.

Следует иметь в виду, что равенства, содержащие символ “² малое”, являются условными.
Например, равенство   ²  при  → 0 верно, но ²    неверно, поскольку символ ² 
обозначает не какую-то конкретную функцию, а любую функцию, являющуюся при  → 0
бесконечно малой более высокого порядка, чем . Таких функций бесконечно много, в частности,
любая функция  * (где ³  1) есть ²  при  → 0. Таким образом, равенство   ²  при  → 0
означает, что функция   принадлежит множеству бесконечно малых функций более высокого
порядка при  → 0, чем . Поэтому “в обратную сторону” это равенство ²    неверно: все
множество функций ²  не сводится к одной функции   .
Ничего не понятно ☺? Не волнуйтесь, дале мы все
рассмотрим на примерах. Но теория в любом
случае нужна, иначе моя книга перестает быть
математической, и становится непонятно чем.

54

Функция K называется бесконечно
малой при  →  (в точке ), если
lim→ K  0.

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Рассмотрим несколько примеров, соответствующих данной теме.
№1. Верно ли равенство 2  ²  при  → 0?

Решение:

2  ²  – верно, так как

2 
lim
0.
→ 

Как видите, решение в одну строчку. Давайте его разберем более подробно ☺. Вспомним
наше определение!

Если lim→ )  0, то говорят, что ­  является бесконечной малой более высокого
( 

порядка при  →  (в точке ), чем ®  , и пишут ­ ² ® при  →  (­ равно “² малое”
от ® при  → ).

В нашем случае, мы обозначаем за ­  2  . Далее нам нужно от куда-то “выкопать”
®  . Посмотрим в определении на слова пишут ­ ² ® . Отсюда следует, то, что
®  , судя по нашему примеру 2  ²  .

Далее следуем просто определению, т.е. выписываем предел и проверяем, равен ли он
нулю или нет.
­ 
2 
lim
lim 2 0
→ ® 
→ 
→
lim

Предел равен нулю, следовательно ­  2  является бесконечной малой более
высокого порядка при  → 0 (в точке 0), чем ®  , и пишут 2  ² ® при  → .
Так же построим для наглядности
наши графики функции. Красный
график – это наша «главная» функция
­  2  , а зеленый график – это
функция ®  . По картинке видно,
что ближе к нулю функция ­  2 
стремится к нему быстрее, чем
®  .
Все! Мы с вами разобрали очень
подробно этот пример. Далее все
примеры
будут
идентичными,
поэтому так подробно я решение
писать не буду.

55

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Во всех остальных случаях красный график – это функция ­  , а зеленый - ®  .

№2. Верно ли равенство 3 ²  при  →
0?
Решение:

Для начала выпишем функции ­  и
®  . Вот, что у нас получится:
­  3, ®  

Теперь смотрим предел:

­ 
3
lim
30
→ ® 
→ 
lim

Предел не равен нулю, следовательно
равенство 3 ²  неверно. Но! Так
как предел равен константе, то
функции 3 и   бесконечно малые
одного порядка в точке  0.

№3. Верно ли равенство b|| ²  при
 → 0?
Решение:

Для начала выпишем функции ­  и
®  . Вот, что у нас получится:
­  b||,

®  

Теперь смотрим предел:

b||
b||
­ 
1
lim
lim
7 8
→ ® 
→ 
→ b|| ∙ b||
0
lim

∞0

равенство b|| ²  неверно.

Предел не равен нулю, следовательно

56

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

 → 0?

№4. Верно ли равенство


||

²  при

Решение:

Для начала выпишем функции ­  и
®  . Вот, что у нас получится:
­ 


,
ln||

®  

Теперь смотрим предел:


­ 
1
ln||
lim n
o lim
0
lim
→ ® 
→
→ ln||


равенство || ²  верно.

Предел равен нулю, следовательно


№5. Верно ли равенство 1  cos  ²  при  → 0?
Решение:

Для начала выпишем функции ­  и
®  . Вот, что у нас получится:
­  1  cos  ,

®  

Теперь смотрим предел:


2 sin ]2^
­ 
1  cos 
lim
lim
lim
→ ® 
→
→




sin ]2^ 
lim n  o 1 ∙ 0
→
2
2
0
Предел равен нулю, следовательно
равенство 1  cos  ²  верно.

P.S. Решение таких пределов у вас уже
57

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

не должно вызывать сложностей. Если чувствуете, что не справляетесь, лучше вернуться в
главу 1 и 2 и все повторить. Все пределы таких типов у нас уже были. Это, как говорится,
база, без которой никуда. Так как примеры все идентичны между собой, сначала решайте
их сами, а потом смотрите на решение. Если так делать не будете, то ничему не
научитесь!!!

№6. Верно ли равенство sin  ²   при  → 0?
Решение:

Для начала выпишем функции ­  и
®  . Вот, что у нас получится:
­  sin  ,

®   

Теперь смотрим предел:

­ 
sin 
sin  
lim
lim  lim !
# 1  1
→ ® 
→ 
→

Предел не равен нулю, следовательно
равенство sin  ²   неверно. Но!
Так как предел равен единицы, то
функции sin  и    эквивалентные
бесконечно малые в точке  0.

№7. Верно ли равенство   ²   при
 → 0?
Решение:

Для начала выпишем функции ­  и
®  . Вот, что у нас получится:
­    ,

®   

Теперь смотрим предел:

­ 

lim  0
→ ® 
→ 
lim

Предел равен нулю, следовательно
равенство   ²   верно.
58

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

№8. Верно ли равенство 1  cos  ²   при  → 0?

Решение:

Для начала выпишем функции ­  и ®  .
Вот, что у нас получится:
­  1  cos  ,

Теперь смотрим предел:
lim

­ 

→ ® 

lim

→

®   

1  cos  1


2

Предел не равен нулю, следовательно
равенство 1  cos  ²   неверно. Но!
Так как предел равен константе, то функции
1  cos  и   
бесконечно малые одного порядка в точке
 0.

59

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

2. Свойства символа “O малое”.
Пусть ­  и ­   две произвольные бесконечно малые при  →  функции
такие, что ­  ² ® и ­  ² ® . Тогда ­   ­  ² ® при  → .

Эту теорему можно записать так:

² ®  ² ® ² ® .

Сформулируем наряду с указаным еще ряд свойств символа “² малое” (всюду имеется ввиду, что
­ → 0 и ® → 0 при  → ).
1.
2.
3.
4.
5.

² ®  ² ® ² ®
² ®  ² ® ² ®
² E® ² ® ∀E  0
E² ® ² ® ∀E  0
² ®  ²P®  Q, ‰ ´ 2 ‰ ∈ µ , w 1,2, … , ‰  1

6. P² ® Q ² ®  ∀‰ ∈ µ
7. ®  ² ® ² ® 
 ∀‰ ∈ µ


8.

+ )೙
)

² ®  , ‰ ´ 2 ‰ ∈ µ

Обозначим любую бесконечно малую при  →  функцию символом ² 1 . Тогда свойство 8 будет
справедливо также при ‰ 1:

+ )
)

² 1 .

9. oP∑, c, β, Q o β , где c,  числа

10. ²P² ® Q ² ®

11. ²P®  ² ® Q ² ®
12. ­® ² ­ , ­® ² ®
13. Если  ~ ®, то ­  ® ² ­ и ­  ® ² ®

На сей ноте теория заканчивается и начинается практика. Рекомендую все свойства выучить. В
дальнейшем они нам сильно пригодятся.

Первая задача будет очень подробно разобрана. Следующие задачи вы должны будете сделать
сами, что бы “вникнуть” в эту тему.
№1. Используя предел lim-→

.& -

1 представить функцию sin x в виде

¹        ²P  Q при  → 0, где w 1 или w 2;  и   некоторые числа.
60

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Решение:

Докажем сначала, что если ­  и ®  бесконечно малые одного порядка при  → , т.е.
lim→

( 
) 

E  0, то ­  с®   ² ® при  → .

В самом деле, так как

­ 
­ 
­   E® 
E → lim d
 Ee 0 → lim
0,
→ ® 
→ ® 
→
® 
lim

То по определению символа ² ® имеем ­   E®  ² ® , или
­  E®   ² ® при  → .

Пользуясь данным равенством, получаем

sin x   ²  при  → 0,

Последняя формула называется асимптотической формулой функции sin  при  → 0. Последнее
слагаемое в правой части этой формулы ²  называется остаточным членом асимптотической
формулы.
Далее, в последующих примерах, мы не будем доказывать одно и тоже и будем исходить из уже
доказанного, т.е. ­  E®   ² ® при  → . Поэтому рекомендую прочесть доказательство
еще раз, и самое главное, понять его.

№2. Используя предел lim-→

/. 
-మ

 представить функцию sin x в виде


¹        ²P  Q при  → 0, где w 1 или w 2;  и   некоторые числа.

Решение:

Используем формулу ­  E®   ² ® при  →  и получаем:

1
cos  1     ²   при  → 0.
2

Последняя формула называется асимптотической формулой функции cos  при  → 0.
Последнее слагаемое в правой части этой формулы ²  называется остаточным членом
асимптотической формулы.
№3. Используя предел lim-→

 

-

1 представить функцию sin x в виде

¹        ²P  Q при  → 0, где w 1 или w 2;  и   некоторые числа.

Решение:

61

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Используем формулу ­  E®   ² ® при  →  и получаем:
ln 1     ²  при  → 0.

Последняя формула называется асимптотической формулой функции ln 1   при  → 0.
Последнее слагаемое в правой части этой формулы ²  называется остаточным членом
асимптотической формулы.
№4. Используя предел lim-→



√

-

представить функцию sin x в виде



¹        ²P  Q при  → 0, где w 1 или w 2;  и   некоторые числа.

Решение:

Используем формулу ­  E®   ² ® при  →  и получаем:

1
√1   1    ²  при  → 0.
‰



Последняя формула называется асимптотической формулой функции √1   при  → 0.
Последнее слагаемое в правой части этой формулы ²  называется остаточным членом
асимптотической формулы.


Я думаю, для вас этого будет достаточно. В институте или колледже этому почти не уделяется
времени. На сей раз я хотел, что бы вы поняли, откуда берется это “² малое”, и как выводятся
асимптотические формулы. Как говорится, немножко теории вам не помешает и, конечно,
желательно понимать, что от куда берется.

62

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

3. Асимптотические формулы

Ранее были уже получены асимптотические формулы для простейших элементарных функций при
 → 0. Запишем эти формулы в виде таблицы.
1 sin    & 6

2 cos   1  & 6
2
3 ln1 &    & 6
4    1 &  ln  & 6   0
5 S   1 &  & 6

6 1 &   1 &  & 6
7 tg    & 6
8 sh    & 6

9 ch   1 & & 6  
2
10 th    & 6

Указанные формулы остаются справедливыми, если в них вместо аргумента  подставить  , где
º »  бесконечно малая последовательность, либо   , где lim→   0. Например,
спарведливо представление, вытекающее из первой формулы:
sin

1
1
1
  ² !  #,

‰
‰
‰

где 2² ] మ ^˜  бесконечно малая последовательность более высокого порядка, чем 2 మ ˜, т.е.




lim

→

1
^
‰ lim ‰ ² ! 1 # 0.
1
→
‰

‰

²]

То есть этим мы хотим сказать, что если 2sin

асимптотическую формулу.




˜
మ

→ 0, то мы можем применить к синусу

Например, функция     1 является бесконечно малой при  → 1, поэтому из третьей
формулы получаем равенство

или

lnP1    Q    ²  при  → 1,

ln 1    1   1  ²  при  → 1.

Вот вам и еще один пример. Используя прошлое равенство и вторую формулу, запишем
асимптотическое представление функции cos ln  при  → 1.
63

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Функция ln  при  → 1 стремится к нулю, следовательно является бесконечно малой,
следовательно можно применить асимптотическую формулу номер три:
cos ln  cos   1  ²   1 .

Функция cos   1  ²   1 при  → 1 стремится к нулю, следовательно является бесконечно
малой, следовательно можно применить асимптотическую формулу номер два:
cos ln  cos   1  ²   1 1 

P  1  ²   1 Q

 ² ]P  1  ²   1 Q ^.
2


Вот теперь нам и пригодятся свойства “² малое”. Применяем их и получаем:

  1 
1
P  1  ²   1 Q


   1 ²   1  P²   1 Q
2
2
2
  1 
  1 

 ²   1   ²   1 
 ²   1  .
2
2


Первое, что мы сделали, это раскрыли числитель – там квадрат суммы. Далее мы просто
применяем свойства “² малое”. Если не учили их, посмотрите в таблице, которую я давал ранее.
Аналогично,

P  1  ²   1 Q   1   ²   1  .


Применяем асимптотическое свойство номер 11. Получаем:

² ]P  1  ²   1 Q ^ ²   1   ²   1  ²   1  .


Окончательно получаем

  1 
cos ln  1 
 ²   1  при  → 1.
2

Так же мы можем записать наше решение и так:

lim cos ln  lim d1 

→

→

  1 
 ²   1  e.
2

Теперь вы понимаете, зачем нам нужны эти асимптотичесие формулы! Как бы вы по другому
искали этот предел? Запомните, если функция стремится к нулю, мы всегда ее можем заменить
асимптотическими формулами. Если же она не стремится к нулю, а, например к какой-нибудь
константе или бесконечности, мы не имеем права использовать асимптотические формулы!!!
Асимптотические формулы применяются лишь в том
случае, когда функция стремится к 0!

64

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Давайте посчитаем наш предел:
lim cos ln  lim d1 

→

→

  1 
1  1 
 ²   1  e ¦1 
§ 1.
2
2

Сложно? Нет! Запутанно? Да! Но что же поделаешь, практика здесь определенно нужно. Думаю,
через несколько минут вам будет уже все понятно. Переходям к примерам. Так же как и всегда,
первый разобран подробно, остальные примеры решайте сначала сами, а потом смотрите
решение.
№1. Найти предел:
lim

→

Решение:

ln 1  4
.
sin 3

Для начала смотрим, можно ли применить асимптотические формулы. Вспоминае, кагда
их можно применять? Когда функция стремится к нулю. Проверяем:
lim ln 1  4 ln 1 0

→

lim sin 3 sin 0 0

→

Все верно! Значит применяем формулы. В данном случае это
ln 1  ¼ ~ ¼, sin ¼ ~ ¼.

Так как пример очень простой, “² малое” мы здесь можем не писать. Если хотите, можете
использовать его. Тогда
ln 1  4
4 4
lim
.
→
→ 3
sin 3
3
lim

Как видите, все очень просто.
№2. Найти предел:

√1    1
.
→

lim

Решение:



Так как ½√1    1¾ → 0 и º» → 0 при  → 0, то можем применять асимптотические
формулы.



√1   ~ 1  ,  .
3



То есть,

65

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год



131
1
√1    1
lim
lim
lim 3 .
→
→
→ 


3


№3. Найти предел:

1  cos 1  cos 
.
!→
sin  
lim

Решение:

Так как º1  cos 1  cos  » → 0 и ºsin   » → 0 при  → 0, то можем применять
асимптотические формулы.
cos  ~ 1 
То есть,


, sin  ~ .
2



1

cos
!1

1

1  cos 2
1  cos 1  cos 
2#
lim
lim
lim
!→
!→
!→
  
sin  
sin  

Пример упростился, но нам этого недостаточно. Поэтому, так как 21  cos  ˜ → 0 и
º    » → 0 при  → 0, то можем применять асимптотические формулы.
cos  ~ 1 


.
2



1  cos !1  1  2 #
1  cos 2
1  cos 1  cos 
lim
lim
lim
lim
!→
!→
!→
!→
sin  
  
sin  

 v
1
lim 8 .
!→ 
8
№4. Найти предел:

!మ

1  r1 
p




!2#

√1  2  3   1
.
→

lim

Решение:

Так как ½√1  2  3   1¾ → 0 при  → 0, то можем применять асимптотические
формулы.
1    ~ 1  .
66

2



u
s

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

В данном случае,  1/2. Поэтому вот что у нас получится:
1
√1  2  3   1
lim
lim
→
→

1.

№5. Найти предел:

2  3 
1 1
2  3  1
1
2
lim
lim 2  3 7 ∙ 28

2

2 →
2 →
ln ln 
.
→   ’
lim

Решение:

Так как ºln ln  » → 0 при  → ’, то можем применять асимптотические формулы.
ln 1  ¼ ~ ¼.

Таким образом получаем:

ln ln 
ln ln   1  1
ln1  ln   1 
ln   1
ln   ln ’
lim
lim
lim
lim
→   ’
→
→
→   ’
→
’
’
’


ln 1  ]’  1^
ln ’

lim
lim
2ln 1  ]  1^ → 0 при  → ’˜
→   ’
→
’
’

’
1
1
’ 1
lim ’
lim ’ lim
.
→   ’
→   ’
’ →   ’ ’
lim

Скажу честно, что предел не из простейших. Запутаться здесь достаточно легко, поэтому,
если вы, “чайник”, взяли этот предел, то вы уже далеко не тот, кем вы были до прочтения
этой книги. Вы уже средний студент хорошего института!
№6. Найти предел:

log    1
.
→
2
lim

Решение:

Так как ºlog    1» → 0 при  → 2, то можем применять асимптотические формулы.

Получаем:

ln 1  ¼ ~ ¼.

ln /2

log  2
log    1
log    log  2
1
ln /2
lim
lim
lim
lim ln 2
lim
→
→
→
→
→
2
2
2
2
ln 2
2


ln 1  ]  1^
1
1
1
1
2
1
2

lim

lim 2

lim

.
ln 2 →
2
ln 2 →   2 2 ∙ ln 2 →   2 2 ∙ ln 2

№7. Найти предел:

67

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

lim

→

Решение:

sin   1
.
  1

Так как ºsin   1 » → 0 при  → 1, то можем применять асимптотические формулы. Для
синуса у нас есть вот такая формула:
sin  ~ .

Следовательно, перейдем к новой переменной. Пусть   1 . Тогда  → 0 при  → 1.
Предел становится равным
¿ lim

!→ 

sin 
 1   1

Далее испольльзуем алгебраическое тождество:

  1     4   6   4  1

Таким образом находим предел:

sin 

1
1
sin  ~  lim 
lim 
.



!→   1  1
!→    4  6  4
!→   4  6  4
4

¿ lim

№8. Найти предел:

ln cos 
lim య
.
→ √1     1

Решение:

Так как ºln cos » → 0 и ½√1     1¾ → 0 при  → 0, то можем применять
асимптотические формулы.



√1   ~ 1  , ln 1   ~ .
w



Тогда предел можно записать в виде

ln cos 
ln1  cos   1
cos   1
1  cos 
¿ lim య
lim
lim
3 lim
→ √1     1
→
→   /3
→


!1  3 #  1


3

3
¦1  cos  ~ § 3 lim 2  lim   .
→ 
2
2 → 
2

№9. Найти предел:

lim

→


sin sin tg ! 2 #
ln cos 3
68

.

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Решение:
Свиду жуткий примерчик, не правда ли? Не волнуйтесь ☺! Мы всегда все преодолеваем.
Давайте так же в этом примере будем использовать “² малое”, для того, что бы наш ответ
был уж точно правильным.
Запишем асимптотическое разложение числителя, пользуясь асимптотическими
формулами для синуса и тангенса и свойствами “² малое”:








sin sin tg d e = sin sin Ÿ + ² d e¡ = sin À + ² d e + ² Ÿ + ² d e¡Á
2
2
2
2
2
2
2
= sin Ÿ




+ ²   + ²   ¡ = sin Ÿ + ²   ¡ =
+ ²   .
2
2
2

Здесь мы пользовались тем, что ² d  + ² ]  ^e = ²(  ) и ²   + ²   = ²(  ).
మ

మ

Выведем теперь асимптотическое разложение знаменателя, используя асимптотические
формулы для косинуса и логарифма:
ln cos 3 = ln Ÿ1 −

3 
+ ² 3  ¡
2

= ln n1 + Ÿ−
=−

9 
9 
9 
+ ²   ¡o = Ÿ−
+ ²   ¡ + ² Ÿ−
+ ²   ¡
2
2
2

9 
9 
+ ²   + ²   = −
+ ²   .
2
2

Здесь мы вольспользовались тем, что
² 3  = ²   , ² Ÿ−

9 
+ ²   ¡ = ²   , ²   + ²   = ²   .
2

Таким образом данный предел равен

lim

→


sin sin tg ! 2 #
ln cos 3

²(  )
1
1 ²(  )


+ lim 
+
+
²(
)
1

2 → 
2

= lim 2 
= lim
=
=− .


→ 9
→ 9
²( )
²( )
9
9
− 2 + ²(  )
−2 +
− 2 + lim 


→

Здесь мы воспользовались тем, что, по определению символа “² малое”
²  
= 0.
lim
→  

69

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

От автора:
Должен сказать, что если вы все-таки достигли этой страницы, то вы не чайник! Вы уже вполне
образованный человек, которы хорошо разбирается в пределах фунций. Я попытался объяснить
вам данную тему как можно более понятно. Надеюсь, мне это удалось сделать. Далее вас будет
ждать большая и очень важная тема. Это – произвидные и дифференциалы. Потом, в моих планах
стоит тема «неопределенный интеграл», далее – «основные теоремы о непрерывных и
дифференцируемых функциях». Но это все пока что в планах. Данную часть я написал и весьма
доволен этим. Наверняка, в книге, присутствуют как граматические ошибки, так и математические
(потеря знака). Прошу об этом писать мне на почту…
Удачи!
С Уважением, Ваш Виосагмир И.А.
viosagmir@gmail.com

70