• Название:

    Высшая математика для чайников. Предел функции....


  • Размер: 10.77 Мб
  • Формат: PDF
  • или
  • Сообщить о нарушении / Abuse

Установите безопасный браузер



  • Название: Microsoft Word - Высшая математика

Предпросмотр документа

2011
год
Высшая математика для
чайников. Предел функции.

Виосагмир И.А.
Предел функции
2011 год

viosagmir@gmail.com

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Предел функции
Введение

Ну что же… Я приветствую Вас в своей первой книге, посвященной пределам функции. Это
первая часть из моей будущей серии “высшая математика для чайников”. Название книги уже
должно Вам многое о ней рассказать, но Вы его можете совершенно не так понять. Эта книга
посвящена не “чайникам”, а всем тем, кому нелегко понять то, что творят профессоры в своих
книгах. Я уверен, что Вы меня понимаете. Я сам находился и нахожусь в такой ситуации, что
просто вынужден прочитывать одно и то же предложение несколько раз. Это нормально? Я
думаю – нет.
Так чем же моя книга отличается от всех других? Во-первых, здесь нормальный язык, а не
“заумный”; во-вторых здесь разобрана масса примеров, которая, кстати, наверняка, пригодится
вам; в-третьих, текст имеет существенное различие между собой – главные вещи выделены
определенными маркерами, и наконец, моя цель лишь одна – ваше понимание. От Вас требуется
только одного: желания и умения. “Умения?” – спросите Вы. Да! Умения
и
.

Вообще рекомендуется завести отдельно тетрадку листов этак на 65, и все в ней писать.
Все, что написано в этой книге. Результат будет впечатляющим, это я Вам обещаю. Так же лучше
пользоваться разноцветными фломастерами. Ну что же, господа… Я хочу Вам пожелать успехов и
понимания. Если Вы добьете эту книгу, Вы сможете многое!!!

В моей книге будут встречаться некоторые обозначения. Крайне рекомендую им
следовать.

- учить обязательно!

- рекомендуется попробовать сделать самим.

- можно не учить, но нужно понять!

1

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Содержание

Предел функции в точке………………………………………………………………………………………………….3
Теоремы о пределах………………………………………………………………………………………………………..13
Односторонние пределы………………………………………………………………………………………………..14
Предел при  → ∞…………………………………………………………………………………………………………..17

Бесконечно большие функции…………………………………………………………………………………………25
Графики элементарных функций…………………………………………………………………………………..26

Непрерывность функции в точке………………………………………………………………………………….31
Непрерывность сложной функции………………………………………………………………………………..33
Классификация точек разрыва………………………………………………………………………………………36
Непрерывность элементарных функций………………………………………………………………………41
Первый замечательный предел……………………………………………………………………………………..42
Второй замечательный предел……………………………………………………………………………………..47
Кратко о Maple………………………………………………………………………………………………………………..52

Сравнение бесконечно малых функций…………………………………………………………………………..55
Свойства символа “o малое”…………………………………………………………………………………………..60
Асимптотические формулы……………………………………………………………………………………………64

2

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Глава 1. Предел функции.
1. Предел функции в точке.
Содержание:
1)
2)
3)
4)
5)
6)

Предел функции в точке
Теоремы о пределах
Односторонние пределы
Предел, при  → ∞
Бесконечно большие функции
Графики элементарных функций

Пусть   числовая переменная величина,  
область ее изменения. Если каждому числу  ∈ 
поставлено в соответствие некоторое число , то
говорят, что на множестве  определена функция, и
пишут 
 .

 независимая переменная (аргумент).
 область определения функции .
частное значение функции  в
точке.

Надеюсь это Вам понятно, но я на всякий случай
поясню. Множество  в данном случае – плоскость,
состоящая из двух координатных осей – 0X и 0Y. Это
вам должно быть известно еще со школы. Если Вы
забыли это, открывайте класс 7 – 8 и повторяйте. Для
примера, на рис. 1 изображена функция   . Оси
0X и 0Y образуют   область ее изменения. Мы
прекрасно видим на рис. 1, как ведет себя функция. В
таком случае говорят, что на множестве  определена
функция    .

Рис. 1

Совокупность
всех частных значений функции называется множеством значений
 .

Другими словами, множество значений – это промежуток по оси OY, где определена функция. Для
примера, рассмотрим рис. 1.
   – отсюда сразу видно, что
  0, т.к.    0. На рисунке
это явно видно. В данном случае область значений 0; ∞. Запомните, множество значений
смотрим по 0Y!
Совокупность всех  называется областью определения
 .

Делаем вывод из предыдущих соображений и понимаем, что множество определений смотрим
по 0. В нашем случае ОДЗ = ∞; ∞.
Точка   ∈  или    называется предельной точкой множества , если в любой
окрестности точки  имеются точки множества , отличные от .
Здесь я дополнять ничего не буду. И так все ясно. Можно лишь добавить, что в нашем случае  
предельная точка множества   области определения функции
 .
3

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Так, давайте перед определением я в общих словах объясню, что такое предел функции. Число b,
к которому стремится функция при стремлении x к числу , называется пределом функции. Вот так
это все записывается:
lim
 

→

Например,
   . Нам нужно узнать, к чему стремится (не равна!) функция, при  → 2.
Сначала запишем предел:
lim
 lim  

→

→

Теперь пришло время взглянуть на график. Проведем параллельно 0
линию через точку 2 на оси
0. Она пересекла наш график в точке 2; 4 . Опустим из этой точки на ось 0
перпендикуляр и…
опа! Какое там значение? Все правильно, 4. Вот к чему стремится наша функция, при  → 2.

Сложно? Ну, нет, конечно! Вы, наверное, заметили, что если подставить в функцию
 значение
2, то ответ будет таким же. Совершенно верно. Так и решаются эти “сложные” лимиты. Не
забывайте проверять на определенность! Определенность, это, когда у нас есть понятный
результат. Неопределенность, когда нет понятного результата. Например:  или  – все это




неопределенность. Это очень важно, никогда не забывайте про это! Следовательно, у Вас должна
быть в тетради вот такая запись (не забудьте нарисовать и рисунок):
lim
 lim   2  4

→

→

Ну, с этим, в общем, все понятно. Потренируйтесь и посчитайте вот такие вот пределы:
1
√

lim ! # ; lim   ; lim  
 ; lim 
→ 
→
→
→ 

То же самое происходит и для случая, когда  → ∞ или к другому бесконечному числу:
lim
 ∞  ∞

→


А вот пример, где есть неопределенность:
lim

→

sin 


Если мы подставим под  значение, равное 0, то вот, что у нас получится:  . А это


неопределенность, следовательно, решать мы не имеем права! Потом я Вас научу, как раскрывать
неопределенность. Сейчас же вы должны не забывать про это. Подставили и проверили.
Решается? Значит – определенность. Не решается? Ну что же, тогда потом решите. Когда все
пройдете.
Давайте перейдем к формальностям, то есть к определениям.

4

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ

 ,
 , 0 , 1 , ∞ , 0 ∙ ∞, ∞  ∞




Определение 1 (предел функции по Коши)
Число b называется пределом функции  в точке  (при  → ), если
∀   0 ∃   0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условиям   ,
0  |  |  , выполняется неравенство |  |  .

№1. Доказать, что lim→ sin  0.

Для удобства, давайте сформулируем теорему (по Коши) для нашего случая. Вот, что у нас
получится:
Число 0 называется пределом функции   sin  в точке 0 (при  →
0), если ∀   0 ∃   0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условиям
  , 0  ||  , выполняется неравенство |sin |  .

Воспользуемся неравенством |sin | ( || ∀ . Зададим произвольное *  0 и положим
+ *. Тогда если || , +, то |sin | ( || , + *. Это и означает (согласно определению
функции по Коши), что lim→ sin  0.

По этому поводу в принципе объяснить нечего. Что касается |sin | ( ||  это просто
нужно запомнить. Что касается *  это очень маленькое число, находящееся в
окрестности.

№2. С помощью “*  +” – рассуждений доказать, что lim→   4. Заполнить следующую
таблицу:
*
+

0.1

0.01

0.001

5

0.0001



Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

Пусть *  0  произвольно. Тогда

|   4| |   2   4   2 | ( |  2|  4|  2| ( *,

как только 0 , |  2| , √4  *  2
выполняться, если
*

√4  *  2



*

2√4  *





. Последнее неравенство тем более будет

√



*

2√4  4*  * 



*
+ *  |  2|.
2 2  *

Так, давайте все-таки рассмотрим
этот пример более подробно.
1) Распишем определение:
Число 4 называется пределом
функции
   в точке 2 (при
 → 2), если ∀ *  0 ∃ +  0 такое,
что
∀ ,
удовлетворяющего
условиям  0 , 0 , |  2| , +,
выполняется
неравенство
|   4| , *.
2) Упростим:
a) Условие:

0 , |  2| , + ⟺ + ,   2 , + ⟺ 2  + ,  , 2  +

b) неравенство:

|   4| , * ⟺ * ,    4 , * ⟺ 4  * ,   , 4  *
3) Поймем:

Число 4 называется пределом функции
   в точке 2 (при  → 2), если ∀ *  0
∃ +  0 такое, что ∀ , удовлетворяющего условиям  0 , 2  + ,  , 2  +,
выполняется неравенство 4  * ,   , 4  *.

Все! Прочтите последнее определение, которое мы написали, используя график. Верно?
Ну конечно верно! Этот способ я написал специально для вас, для понимания. Ни в какой
литературе вы такого не найдете. Поэтому, если хотите по-настоящему все это
быстро решать – пожалуйста! Да, объяснить, как это делается аналитически, я не
6

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

уверен, что смогу. Пример я вам написал, теперь вы должны в нем сами разобраться,
используя мой графический способ. Все строится от понимания, господа. Сейчас
попробую объяснить все на аналитическом уровне.
№3. Для закрепления.
Доказать, используя определение Коши предела функции, что
  − 16
=2
→   − 4
lim

Шаг 1:

Зададим функцию
(), которая является у нас выражением, стоящим у нас под
знаком предела:

 =

  − 16
  − 4

Поскольку мы рассматриваем предел, стремящийся к 4, нужно рассмотреть
некоторую окрестность 4-ки, которая для данной функции определена. Например,
интервал от 2 до 5.
4 0 (2, 5)
Но! Заметьте, что функция у нас определена не всюду! Она не определена в 0 и при
 = 4. Надеюсь, Вы это понимаете, но на всякий случай распишу:   − 4 ≠ 0 →
≠0
  − 4 ≠ 0 → 2
. Надеюсь все понятно. Так, отвлеклись, так что быстро идем
≠4
дальше. Мы можем в принципе рассмотреть любой интервал, но нам такой
удобнее 4 0 (2, 5).

Шаг 2:

Запишем определение предела функции
() по Коши.

∀* > 0, ∃+ > 0: ∀ ≠ 4, | − 4| < + ⇒ |
 − 2| < *

Это значит: для любого * мы должны найти такое +, что как только x у нас
отлично от 4 и x-4 по модулю не превосходит + ⇒ |
 − 2| должно не
превосходить *.

Шаг 3:

Преобразуем выражение |
 − 2|,  ≠ 4.

7

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

|
 − 2| = 3

| − 4|
+4
  − 16
− 23 = 4
− 24 =

 − 4



Эти преобразования нетрудно проделать самостоятельно. Надеюсь, у вас не
вызывает это трудности.
Итак, ∀* > 0, ∃+ > 0: ∀ ≠ 4, | − 4| < + ⇒ |
 − 2| < *

и |
 − 2| =

Заметьте, информации все больше и больше!

Шаг 4:

||


.

Оценим сверху выражение |
 − 2|,  ≠ 4,  ∈ (2, 5).
3

| − 4|
  − 16
− 23 <

 − 4
2

, т.к. 5మ  − 25 =

||

 మ 

||

||





||

Здесь самое главное не запутаться.  ∈ 2, 5 −это условие мы поставили еще в

Поняли? Мы оцениваем



. Следовательно,

начале. Отсюда идет сравнение дробей. Что больше

||


или

>



.

, где  ∈ 2, 5 .

||


Конечно первая дробь. Где знаменатель меньше, там дробь больше (при
одинаковых числителях).
Шаг 5:

Зададим + = 2*. Здесь мы можем брать и просто *, може взять и 5*. В данном
случае нам удобнее всего, когда + = 2*.
Итак, вот что мы сейчас имеем:

∀ 0 2, 5 0 < | − 4| < + |
 − 2| <

+
=*
2

Вывод:
Все! Мы доказали, что предел равен 2. Вывод один: если хотите решать все это,
берите еще раз и решайте. И так до тех пор, пока не поймете. Я попытался описать,
как это доказывается аналитически. Можете посмотреть на это все и с графической
точки зрения, не забыв все упростить.

Информация:
Вообще, честно говоря, от Вас таких доказательств не должны требовать. Они
слишком уж “плавающие”. Если Вам все же интересна эта тема, откройте любой
8

Высшая математика для чайников. Предел функции.
2011 год

учебник и посмотрите там материал. Соответственно,