!!! Математика-ЗО, 15.02.01.docm

Формат документа: docx
Размер документа: 0.47 Мб




Прямая ссылка будет доступна
примерно через: 45 сек.



  • Сообщить о нарушении / Abuse
    Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.


Министерство образования и науки Челябинской области
государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Первомайский техникум промышленности строительных материалов»
Программа, методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочного отделения
Дисциплина Математика: алгебра и начала
математического анализа; геометрия
Специальность 15.02.01. Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)
(на базе основного общего образования)
2020
Разработчик:
Аскарова Т.И., преподаватель
Согласовано:
методист заочного отделения
«___»___________20 __г. _____________ Л.А. АляеваСогласовано:
методист техникума
«___»___________20 __г. _____________ Т.И. Аскарова
Рекомендовано цикловой комиссией ОО и ОПД,
протокол № ___ от «___»_______20 __г.
Председатель комиссии _______________Г.В.Батуревич
СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка 4
Результаты освоения учебной дисциплины 5
Содержание учебной дисциплины 7
Учебно-методические материалы 11
Контрольные задания
Экзаменационный материал
Перечень учебных изданий, Интернет ресурсов 21
26
27
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методические указания и контрольные задания по ОУДП. 01 «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» предназначены студентов заочной формы обучения на базе основного общего образования.
Данное методическое пособие ставит своей целью оказание помощи студентам-заочникам в организации их работ по овладению системой знаний и умений в объеме действующей программы по математике.
Основной формой учебного процесса студента-заочника является индивидуальная самостоятельная работа с учебной литературой.
Все непонятные вопросы студент может выяснить на индивидуальной консультации у преподавателя.
В соответствии с учебным планом студент должен выполнить две контрольные работы.
Контрольная работа выполняется письменно, в соответствии с установленными требованиями, сдается преподавателю для проверки.
Домашняя контрольная работа является одной из форм проверки и оценки, усвоенных студентом знаний, а так же средством самоконтроля.
При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных ниже правил.
Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

Правила выполнения контрольных работ
Контрольную работу следует выполнять в тетради в клетку чернилами синего или черного цвета, оставляя поля для замечаний преподавателя.
На титульном листе тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины.
Контрольная работа, содержащая не все задания, а также задания не своего варианта, не засчитываются.
Выполнение задач надо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номер задачи.
Перед выполнением каждого задания надо выписывать полностью его условие.
Выполнение задания следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
К экзамену студент допускается при наличии зачтенной контрольной работы.
Контрольная работа выполняется самостоятельно.
Студент выполняет тот вариант, который совпадает с последней цифрой номера по порядку списка в журнале.
Изучать дисциплину ОУДп.04 Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия необходимо в логической последовательности:
1. Усвоить учебные материалы согласно программе.
2. Составить ответы на вопросы для самоконтроля.
3. Выполнить контрольную работу.
4. Сдать промежуточную аттестацию в виде экзамена.
РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Освоение содержания учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» обеспечивает достижение обучающимися следующих результатов:
личностных:
- сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;
- понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;
- развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;
- овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
- готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;
- готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;
- готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;
- отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;
метапредметных:
- умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;
- умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;
- владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;
- готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
- владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;
- владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их достижения;
- целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;
предметных:
- сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;
- сформированность представлений о математических понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
- владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
- владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
- сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;
- владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать геометрические фигуры на чертежах, моделях и в реальном мире; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;
- сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, статистических закономерностях в реальном мире, основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;
- владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.
СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Объем учебной дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Объем часов
Максимальная учебная нагрузка (всего) 354
Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего) 70
в том числе: обзорные, установочные занятия 44
практические занятия 26
Самостоятельная работа обучающегося (всего) 284
в том числе: самостоятельное изучение темы подготовка к экзамену решение упражнений по образцу выполнение контрольных работ 2
Итоговая аттестация в форме экзамена
3 СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Введение
Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО.
АЛГЕБРА
Развитие понятия о числе
Целые и рациональные числа. Действительные числа. Приближенные вычисления. Комплексные числа.
Корни, степени и логарифмы
Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.
Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.
Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений.
Практические занятия
Арифметические действия над числами, нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной), сравнение числовых выражений.
Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами.
Решение иррациональных уравнений. Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней. Преобразования выражений, содержащих степени. Решение показательных уравнений.
Решение прикладных задач.
Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому. Вычисление и сравнение логарифмов. Логарифмирование и потенцирование выражений.
Приближенные вычисления и решения прикладных задач. Решение логарифмических уравнений.
ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.
Основные тригонометрические тождества
Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения Формулы половинного угла.
Преобразования простейших тригонометрических выражений
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
Тригонометрические уравнения и неравенства
Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства.
Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс.
Практические занятия
Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой. Основные тригонометрические тождества, формулы сложения, удвоения, преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.  Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.
Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс.
Функции, их свойства и графики
Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.
Свойства функции. Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями.
Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции.
Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.
Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
Обратные тригонометрические функции
Определения функций, их свойства и графики.
Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.
Практические занятия
Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функций. Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции. Преобразования графика функции. Гармонические колебания. Прикладные задачи.
Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства.
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.
Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частные. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.
Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.
Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.
Практические занятия
Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Производная: механический и геометрический смысл производной.
Уравнение касательной в общем виде. Правила и формулы дифференцирования, таблица производных элементарных функций. Исследование функции с помощью производной. Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции.
Интеграл и первообразная. Теорема Ньютона—Лейбница. Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей.
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.
Равносильность уравнений, неравенств, систем.
Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).
Неравенства. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.
Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.
Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.
Интерпретация результата, учет реальных ограничений.
Практические занятия
Корни уравнений. Равносильность уравнений. Преобразование уравнений. Основные приемы решения уравнений. Решение систем уравнений. Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств.
КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Элементы комбинаторики
Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.
Элементы теории вероятностей
Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.
Элементы математической статистики
Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов.
Практические занятия
История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности. Правила комбинаторики. Решение комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки. Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Прикладные задачи.
Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей. Вычисление вероятностей. Прикладные задачи. Представление числовых данных. Прикладные задачи.
ГЕОМЕТРИЯ
Прямые и плоскости в пространстве
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.
Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.
Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.
Многогранники
Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.
Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.
Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Сечения куба, призмы и пирамиды.
Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, додекаэдре и икосаэдре).
Тела и поверхности вращения
Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.
Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.
Измерения в геометрии
Объем и его измерение. Интегральная формула объема. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.
Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.
Координаты и векторы
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула  расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.
Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.
Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.
Практические занятия
Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.
Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.
Параллельное проектирование и его свойства. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника. Взаимное расположение пространственных фигур.
Различные виды многогранников. Их изображения. Сечения, развертки многогранников. Площадь поверхности. Виды симметрий в пространстве. Симметрия тел вращения и многогранников. Вычисление площадей и объемов.
Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве. Уравнение окружности, сферы, плоскости. Расстояние между точками. Действия с  векторами, заданными координатами. Скалярное произведение векторов. Векторное уравнение прямой и плоскости. Использование векторов при доказательстве теорем стереометрии.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Решение типовых примеров.
Тема 1. Корни, степени, логарифмы и их свойства
Корнем n – й степени из неотрицательного числа a (n = 2,3,4,5,…) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n даёт в результате число a.
Корнем нечётной степени n из отрицательного числа a (n = 3,5,…) называют такое отрицательное число, которое при возведении в степень n даёт в результате число a.
,
Основные свойства корней:
1. na∙b=na∙nb2. nab=nanb , a≥0, b>03. nma=n∙ma4. nam=n∙kam∙k n,m,kϵN, n>15. nam=nam6. nam=amn
7.nan=nan=a, если n-нечетное число,a, если n-четное число. Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:
an=a∙a∙…∙an-разПусть a > 0, b > 0, x и y − любые действительные числа. Тогда справедливы следующие свойства степени с любым действительным показателем:
a1=a an∙am=an+m anam=an-m anm=an∙m a∙bn=an∙bn abn=anbn a0=1 a-n=1an ab-n=ban amn=nam 11. если а >1 и x<y, т о ax < ay; - свойства
12. если 0 < а < 1 и x<y, то ax > ay; монотонности
13. если а <b и x>0, то ax < bx ; степени.
14. если а <b и x<0,то ax > bx .Примеры. Вычислите:
1) 40.0081∙625 =40,0081 ∙40,0081∙4625=0,3∙5=1,52)725672=72562=7128=2Логарифмом положительного числа b по основанию а (записывают loga b), где а > 0, a 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
loga b=с aс = b, а > 0, a 1
alogab=b - основное логарифмическое тождество.
log10 b = lg b - десятичный логарифм (логарифм числа по основанию 10)
logе b = ln b - натуральный логарифм (логарифм числа по основанию е ≈2,7)
Основные свойства логарифмов
Пусть a,b,c и n- положительные действительные числа, причем a≠1.Тогда справедливы следующие утверждения:
loga1=0
logaa=1 logana=n logab∙c=logab+logac logabc=logab-logac logabn=n∙logab loganb=1n∙logab logab=logcblogcaПримеры. Вычислить логарифмы, используя свойства:
1. log214=log22∙7=log22+log27=1+log27;
2. log50,4=log525=log52-log55=log52-1;

Ответ. 1) 5; 2) 2401.
3. log345 =log3514=14log35;
4. log249=log272=2log27;
5. log94=log3222=22log32=log32;
6. log5(35)-32=-3212log535=-3(log53-log55)=-3(log53-1).
Решение показательных уравнений
1.Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.
Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение ax= b (где a>0,a≠1). Это уравнение можно решать графически.
Область значений функции y=ax - множество положительных чисел. Поэтому в случае b<0 или b=0 уравнение ax=b (a>0,a≠1) не имеет решений. Если b>0 , то уравнение ax=b (a>0,a≠1) имеет единственный корень.
2.Решение показательного уравнения вида af(x)=agx(где a>0, a≠1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x).Решение показательных неравенств
1.Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.
2.Решение показательных неравенств вида af(x)<ag(x) (где a>0,a≠1 ) основано на следующих утверждениях:
если a>1, то неравенства af(x)<ag(x) и f(x)<g(x) равносильны;
если 0< a<1 , то неравенства af(x)<ag(x) и f(x)>g(x) равносильны (это следует из того, что при a>1 показательная функция возрастает, а при 0<a<1 убывает).
Примеры.
Решить неравенство 32x >3x-2.
Решение. Показательная функция с основанием, больше 1 (3 >1), возрастает, поэтому 32x>3x-2=> 2x >x-2=>x>-2
Ответ: x∈-2;+∞2) Решить неравенство (12)2x-1 >116. Решение. Показательная функция с основанием, меньше 1
( 1 2<1), убывает, поэтому 2x – 1<4, т.е. x <2,53) Решить неравенство

так как a=14>1, то функция у=14t- возрастающая, тоx2+x≤ 2; x2+x-2≤ 0;Пусть f(x)=x2+x-2 – квадратичная функция. Графиком является парабола, ветви направлены вверх, т.к. a=1>0. Найдем нули функции: x2+x-2= 061150515557500по теореме обратной теореме Виета имеем x1+x2=-1, x1∙x2=-2; x1=-2. x2=1 .
018859500
-2 1 Ответ:x∈-2;1
Решение логарифмических уравнений

1.Уравнение, содержащее неизвестное только под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим логарифмическим уравнением служит уравнение вида logax=b(где a >0, a≠1).2.Решение логарифмического уравнения вида logafx=logag(x) основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x)>0, g(x)>0.3.Проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения в общем случае является необязательной. Можно выявить посторонние корни и с помощью нахождения области определения исходного уравнения (эта область задаётся системой неравенств f(x)>0, g(x)>0).4.При решении логарифмических уравнений часто бывает, полезен метод введения новой переменной.
5.При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени сдержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.
Решение логарифмических неравенств
1.Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим.
2.Решение логарифмических неравенств основано на том, что функция y=logax при a>1 является монотонно возрастающей, а при 0<a<1 монотонно убывающей:
{logafx<logagx; a >1 =>{f(x)>0; g(x)>0; a >1;f(x)<gx}.
{logafx<logag(x); 0<a <1; => {f(x)>0; g(x)>0; 0< a <1 f(x)>gx}. 3.Логарифмическое неравенство вида logg(x)f(x)>b эквивалентно двум системам неравенств:
f(x)>0; g(x)>1;f(x)>gxb и f(x)>0;0< g(x)<1; f(x)<gxb

Аналогично решаются и логарифмические неравенства вида logg(x)f(x)<b
Пример: Решить неравенство
Решение:

Ответ: x∈-12;12Тема 2. Тригонометрия
Основные тригонометрические формулы
1) sin2α+cos2α=1 2) tgα=sinαcosα 3) ctgα=cosαsinα 4) tgα∙ctgα=1 5) 1+tg2α=1cos2α 6) 1+ctg2α=1sin2αПример. Найдите sin x  и  cos x, если tg x=512 и π<x<3π2.
HYPERLINK "javascript:changeDecision(document.all.decision2,%20document.all.decisionname2)" Решение.
Так как π<x<3π2, то sin x < 0 и cos x < 0. Имеем:
1cos2x=1+tg2x=1+(512)2=122+52122=132122 = (1312)2 => cos2x=(1213)2=>cosx=-1213, sinx=1-cos2x=1--12132=25169=513
Решение простейших тригонометрических уравнений
Уравнение Общее решение Частные случаи

,
nϵZ
,
, nϵZ
,
, nϵZ
,
, nϵZ
Пример. Решить уравнение: 2sin3x=3Решение: sin3x=323x=-1narcsin32+πn, n∈Z3x=-1nπ3+πn, n∈Zx=-1nπ9+πn3, n∈ZТема 3. Производная функцииВажнейшим понятием математического анализа является понятие производной функции, которая определяет скорость изменения функции относительно своего аргумента.
Производной функции y = f(х) в точке х0 называется предел отношения приращения функции f(x0) = f(x0+x) – f(x0) к приращению аргумента x при стремлении последнего к нулю и обозначается , т.е.
205740097155
00

Другие обозначения:
,
При вычислении производных используют таблицу производных и правила дифференцирования.
Правила дифференцирования
Пусть u = u(x) и v = v(х) – непрерывные функции в точке х = х0, тогда существуют производные от суммы, разности, произведения частного этих функций в заданной х0.
(u v) = u v
(u v) = u v + u v
(c v) = c v

Производная сложной функции
Пусть у = f(u), а u = (х), тогда у = f((х)) – сложная функция, ее производная находится по правилу дифференцирования сложной функции. Если каждая из функций у = f(u) и u = (х) дифференцируема по своему аргументу, то

Таблица производных основных элементарных функций и производных сложных функций
№ Простые Сложные
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Решение типовых примеров
1) Найти значение производной функции: y=3x2+2x-4x+8.
Решение. По правилу нахождения производной алгебраической суммы функций:
y'= (3x2+2x-4x+8)'= (3x2)'+(2x)'-(4x)'+(8)'==3·2x+2x·ln2-4·1+0=6x+2x·ln2-4.2) Найти значение производной функции: y=x6(sinx+4).Решение. Функция представляет собой произведение двух множителей:
u=x6, v=sinx+4.y' =(x6(sinx+4))' = (x6)'(sinx+4)+ x6(sinx+4)'= =6x5(sinx+4)+x6·cosx.3) Найти значение производной функции: y=3x-54ex-3.Решение. Функция представляет собой частное двух выражений:
u= 3x-5, v=4ex-3. По формуле 4:
y'=(3x-54ex-3)'=3x-5'·4ex-3-4ex-3'·3x-5(4ex-3)2=34ex-3-4ex(3x-5)(4ex-3)2.
4) Если y = ln x·cos x, то y ' = (ln x) '∙ cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x.
Тема 4. Исследование функции и построение графиков
Основные свойства функций
Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором интервале, если для любых x из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. при x1 < x2 имеет место неравенство f (x1) > f (x2).
Функция y = f(x) называется убывающей на некотором интервале, если для любых x из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. при x1 < x2 имеет место неравенство f (x1) > f (x2).
Функции только убывающие или только возрастающие называются монотонными.
Правило нахождения интервалов монотонности
1)Вычисляем производную f '(x) данной функции f (х), а затем находим точки, в которых f '(х) равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции f (х).
2)Критическими точками область определения функции f (х) разбивается на интервалы, на каждом из которых производная f '(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.
8512810481330008649970206057500867791059982100087236302133600008729345-64135008744585-33655008763000204851000881189532524700088544402895600008942705548640003) Определяем знак f (х) на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f '(x)≥0,: то на этом интервале f(x) возрастает, если же f '(x)≤0, то на таком интервале f(x) убывает.
Исследование функции на экстремум с помощью производной
Точка х0 называется точкой минимума функции f (х), если существует такая, окрестность, точки х0, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)>f(x0).
Точка х0 называется точкой максимума функции f (x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство fx<fx0.Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума данной функций, а значения функции в точках максимума и минимума называются максимумами и минимумами функции или экстремумами функции.
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Правила нахождения экстремумов функции
Пусть f(x) определена и непрерывна в некотором интервале (а; b), имеет производную в интервале (а; b). Тогда для нахождения экстремумов функции надо:
1)найти критические точки функции f (x), т.е. точки, в которых или f ' (x) = 0 или f '(х) не существует;
2)исследовать знак производной f '(х) в некоторой б-окрестности каждой критической точки. При этом, если f '(х) меняет знак при переходе через такую точку, то функция f(x) в этой точке имеет экстремум. А именно, если знак меняется с минуса на плюс, то в этой точке минимум; если с плюса на минус, то в этой точке максимум. Если же знак f '(x) не меняется при переходе через рассматриваемую точку, то функция f (х) не имеет экстремума в этой точке.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Если известно, что на отрезке [a;b] функция f(x) монотонна, то наименьшее и наибольшее значения достигаются в концах отрезка, а именно, если f (х) — возрастающая функция, то f (а) — наименьшее значение, f(b)—наибольшее значение функции f(x);
если же f (х) — убывающая функция, то f(a) — наибольшее значение,
f (b) — наименьшее значение функции f (х).
Пусть теперь f(x) не является монотонной на отрезке a;b, но известно, что
f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и имеет производную во всех точках отрезка [a;b], за исключением, быть может, конечного числа точек, и имеет не более конечного числа стационарных точек. Тогда наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке функция принимает либо в одной из критических точек, принадлежащих (a;b), либо на концах отрезка a;b.Пример1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
fx=2x3-9x2+12x-3 на отрезке [0; 3].
Решение. Решив уравнение f '(x) =6x2-18x+12=6x-1x-2=0, найдем критические точки x=1 и 8625840271145008662670387350008769350152400008866505-97790009022080481901500x=2. Наименьшее из чисел
f0=-3, f(1) = 2, f2=1, f (3) = 6, будет наименьшим значением, а наибольшее—наибольшим значением данной функции на отрезке [0; 3].
Поэтому f наим = — 3 И f наи6 = 6.
Пример 2. Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции
y= 2x5 + 5x4 – 10x3 +3.y = (2x5 + 5x4 – 10x3 +3) =10x4 +20x3-30x2;y =0; 10x4 +20x3-30x2=0; 10x2∙(x2 +2x -3) =0x2=0 или x2 +2x -3=0; x=0 х1=1, х2=-3.
x=0, x=1, x=-3 – это стационарные точки.
10x2 (x-1)(x+3)=01153795102870002679701568450020605751504950027432009652000
62823616493400251587011239500187203511286400591820647700011430011239500
9779013525500186626512065002514600000+ - - +
-3 0 1
Функция возрастает на (-; -3, на 1; +). Функция убывает на -3; 1.
x=-3 – это точка максимума. x=1 – это точка минимума.
Ответ: x=-3 – это точка максимума, x=1 – это точка минимума.
Тема 4. Многогранники и тела вращений
Площади и объёмы многогранников и тел вращения
Призма
Прямая призма.
Наклонная призма.
Прямоугольный параллелепипед.
Куб.

Площадь полной поверхности
Sп.п.=2Sосн.+Sбок.
Площадь боковой поверхности
Sбок.=Pосн.∙h
Объем прямой призмы
V=Sосн.∙h
Площадь полной поверхности
Sп.п.=2Sосн.+Sбок.
Площадь боковой поверхности
Sбок.=Pсеч.∙l
Объем наклонной призмы
V=Sсеч.∙l, где l- боковое ребро, Sсеч.-площадь сечения,  перпендикулярного боковому ребру l.  Площадь полной поверхности
Sп.п.=2(ab+ac+bc),
a, b, c – измерения прямоугольного параллелепипеда
Диагональ прямоугольного параллелепипеда d2=a2+b2+c2
Объем прямоугольного параллелепипеда
V=abcПлощадь полной поверхности
Sп.п.=6а2
2.Площадь боковой поверхности
Sбок.=4а2
3.Диагональ куба
d=a∙34.Объем куба
V=a3
Пирамида
Пирамида
Правильная пирамида
Усеченная пирамида
Правильная усеченная пирамида

Площадь полной поверхности
Sп.п.=Sосн.+Sбок.
Объем пирамиды
V=13∙Sосн.∙H
Площадь полной поверхности
Sп.п.=Sосн.+Sбок.
Площадь боковой поверхности
Sбок.= 12∙Pосн.∙hбок.hбок.-апофема, высота боковой грани правильной пирамиды.
3.Объем правильной пирамиды
V=13∙Sосн.∙H Площадь полной поверхности
Sп.п.=S1+ S2 +Sбок.,
где S1, S2- площади оснований усеченной пирамиды
2.Объем усеченный пирамиды
V=13S1+S2++S1∙S2 ∙h Площадь полной поверхности
Sп.п.=S1+ S2 +Sбок.,
где S1, S2- площади оснований усеченной пирамиды.
2. Площадь боковой поверхности
S=12Р1+Р2 ∙hбок.
Объем усеченный пирамиды
V=13S1+S2++S1∙S2 ∙H
Тела вращений
Цилиндр
Конус
Усеченный конус
Шар и сфера

1.Площадь полной поверхности
Sп.п.=2πRH+2πR2
2.Площадь боковой поверхности
Sбок.=2πRH
3.Объем цилиндра
V=πR2H.
1.Площадь полной поверхности
Sп.п.=πRl+πR2
2.Площадь боковой поверхности
Sбок.= πRl3.Объем конуса
V=13πR2H. 1.Площадь полной поверхности
Sп.п.=πRl+πR2
2.Площадь боковой поверхности
Sбок.= π(R+r)l
3.Объем усеченного конуса
V=13πH(R2+r2+Rr) 1.Площадь сферы
Sп.п.=4πR2
2.Объем шара
V= 43πR3
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Контрольная работа №1 выполняется после изучения тем: Корни, степени и логарифмы, Основы тригонометрии, Уравнения и неравенства.
Контрольная работа №2 выполняется после изучения тем: Производная, Интеграл и раздела геометрии Многогранники и тела вращений.
Контрольная работа №1
Вариант 1
Вычислить: 29∙1614 – 15.
Вычислите: 3192∙313
Упростите выражение: log250– 2∙log25.
Решите уравнение: 7x+1-7x=42Решите неравенство: 52x-1≥125Решите уравнение: log5х + log53= log512.
Решите неравенство: .
Найдите остальные тригонометрические функции, если sinα = -0,8 и π<α<3π2.
Решите уравнение: cos2х = 1.
Контрольная работа №1
Вариант 2
Вычислить: 7 - 3∙6416Вычислите: 51215∙410
Упростите выражение: 4log43 +log575 - log53. Решите уравнение: 9x-4∙3x+3=0Решите неравенство: 32x-4≥127Решите уравнение: log5(7х+5)= log5(5x+3).
Решите неравенство: .
Найдите остальные тригонометрические функции, если cosα = -0,8 и π<α<3π2.
Решите уравнение: 2 sin2х = 3.
Контрольная работа №1
Вариант 3
Вычислить: 11614+81000,5 – 150.
Вычислите: 381∙313
Упростите выражение: log5150– log52.
Решите уравнение: 136x-2=6Решите неравенство: 3x2-4≥1Решите уравнение: log5(х+2) + log53= log512.
Решите неравенство: log22x+1>4Найдите остальные тригонометрические функции, если sinα = -0,6 и π<α<3π2.
Решите уравнение: ctg2х = 1.
Контрольная работа №1
Вариант 4
Вычислить: 127-13 +4∙2340Вычислите: 3236∙39
Упростите выражение: 7log73 +log812+ log8128. Решите уравнение: 14x-2=2Решите неравенство: 2-x2+3x<4Решите уравнение: log5(х+3)= log5(6x-4).
Решите неравенство: log3x-8≥1Найдите остальные тригонометрические функции, если cosx3 =- 22 и π2<α<π.
Решите уравнение: 2sinx-1=0Контрольная работа №1
Вариант 5
Вычислить: 7∙8114 +5.
Вычислите: 3128∙312
Упростите выражение: log225– 2∙log25.
Решите уравнение: 9x-2∙3x-3=0Решите неравенство: 271+2x>192+xРешите уравнение: lg (x-1)+lg (x+1)=0
Решите неравенство: log53x+1≤2Найдите остальные тригонометрические функции, если sinα = - 35 и π<α<3π2.
Решите уравнение: 2cos2х = -1.
Контрольная работа №1
Вариант 6
Вычислить: 5-25-5+12-4Вычислите: 51215∙410
Упростите выражение: 2log136- log1320+log1345. Решите уравнение: 7x+2-14∙7x=5Решите неравенство: 142+3x<8x-1Решите уравнение: log8x-2+log8x-4=1
Решите неравенство: log32x-1<3Найдите остальные тригонометрические функции, если cosα =- 35 и π<α<3π2.
Решите уравнение: 2 sin2х = 3.
Контрольная работа №1
Вариант 7
Вычислить: 125-1,5∙18-14.
Вычислите: 434∙4634
Упростите выражение: 13log1627+3log162.
Решите уравнение: 3x+2-5∙3x=36Решите неравенство: 52x-1≥125Решите уравнение: log12x-5+log12x+2=-3
Решите неравенство: .
Найдите остальные тригонометрические функции, если sinα = -0,5 и π<α<3π2.
Решите уравнение: cos2х = 1.
Контрольная работа №1
Вариант 8
Вычислить: 17 - 13∙2723Вычислите: 4128∙612
Упростите выражение: 2log213 +log612+ log63. Решите уравнение: 7x+2-14∙7x=5Решите неравенство: 32x-4≥127Решите уравнение: lg2x+1+lgx+3=lg3Решите неравенство: log153x+1<-1
Найдите остальные тригонометрические функции, если cosα =- 12 13 и π<α<3π2.
Решите уравнение: 2 cosх = -3.
Контрольная работа №1
Вариант 9
Вычислить: 90 ∙116-34 – 5.
Вычислите: 3-1000-14∙4256
Упростите выражение: 10lg3+ log1272+log122Решите уравнение: 7x+1-7x=42Решите неравенство: 52x-1≥125Решите уравнение: log3х-2+log3(x+6)=2
Решите неравенство:
Найдите остальные тригонометрические функции, если sinα = - 513 и π<α<3π2.
Решите уравнение: tg x2= 1.
Контрольная работа №1
Вариант 10
Вычислить: 32 – 7,30∙6434Вычислите: 4312∙28
Упростите выражение: 0,3log0,34 +log1354 - log132. Решите уравнение: 3x+2+3x=810
Решите неравенство: 43x+4≥116Решите уравнение: log2(3х-5)= log2(x+1).
Решите неравенство: log132-5x≥-1Найдите остальные тригонометрические функции, если cosα = - 3 5 и π<α<3π2.
Решите уравнение: 2cosx-3=0ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Перечень практических заданий
Преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы.
Нахождение области определения функций.
Решение показательных, логарифмических, иррациональных и тригонометрических уравнений.
Решение показательных, логарифмических, иррациональных и тригонометрических неравенств.
Вычисление производных функций.
Применение производной для решения физических и геометрических задач.
Вычисление неопределенного и определенного интеграла.
Использование интеграла для нахождения площади криволинейных трапеций.
Использование тригонометрии для решения геометрических задач.
Решение геометрических задач на вычисление площадей и объёмов многогранников и тел вращения.
2. Примерные задания для письменных экзаменационных работ:
Вычислить значение выражения: при x=6.
Решить уравнение: log4(17-x)=log413.
Найти область определения функции:
Упростить выражение:
Найти промежутки возрастания и убывания функции:
Решить неравенство: .
Решить уравнение: 2cosx-2=0.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2-4x, y=0.
Решить задачи:
Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найти боковую сторону.
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 9. Боковые ребра призмы равны . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
Критерии оценки
Экзамен проводиться в письменной форме и включает задания по алгебре и геометрии.
Критерии оценивания письменных работ итогового контроля:
5(отлично) – любые правильно выполненные 8 заданий, два из которых - геометрические задачи;
4(хорошо) – любые правильно выполненные 7 заданий, одно из которых геометрическая задача;
3(удовлетворительно) – любые правильно выполненные 5 заданий;
(неудовлетворительно) – менее 5 выполненных заданий.
Список литературы, необходимый студентам при подготовке к экзаменам
Ш.А. Алимов и др. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл. – М., 2004.
Л.С. Атанасян и др. Геометрия. 10 -11 кл. – М., 2000.
Н.В.Богомолов, П.И.Самойленко Математика. (Учебник для ссузов) – М.: Дрофа, 2012
А.А. Дадян Математика- М. Форум- Инфра - М, 2007.
Н.В.Богомолов Сборник задач по математике. (Учебное пособие для ссузов) – М.: Дрофа, 2012
В.Т. Лисичкин, И.Л.Соловейчик Математика – М.: ВШ,1985
Н.Г.Федин, С.Н.Федин Геометрия – М.: ВШ, 1989
Интернет-ресурсы:
http://mat.1september.ruhttp://www.mathematics.ruhttp://eqworld.ipmnet.ruhttp://www.kenguru.sp.ruhttp://www.etudes.ru
X